UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO ODDELEK ZA FIZIKO Matjaž Licer Polielektrolitno posredovane interakcije v kolumnarnih fazah DNK Doktorska disertacija Mentor: prof. dr. Rudolf Podgornik Ljubljana, 4. junij 2009 Jorge Luis Borges On Exactitude in Science ...In that Empire, the Art of Cartography attained such Perfection that the map of a single Province occupied the entirety of a City, and the map of the Empire, the entirety of a Province. In time, those Unconscionable Maps no longer satisfied, and the Cartographers Guilds struck a Map of the Empire whose size was that of the Empire, and which coincided point for point with it. The following Generations, who were not so fond of the Study of Cartography as their Forebears had been, saw that that vast Map was Useless, and not without some Pitiless-ness was it, that they delivered it up to the Inclemencies of Sun and Winters. In the Deserts of the West, still today, there are Tattered Ruins of that Map, inhabited by Animals and Beggars; in all the Land there is no other Relic of the Disciplines of Geography. Suárez Miranda, Viajes de varones prudentes, Libro IV, Cap. XLV, Lérida, 1658 [vzeto iz J. L. Borges, The Aleph, translated by Andrew Hurley, Penguin Books, London 1998] Zahvala Na prvem mestu se za zanimiv teoretski problem in za vso potrpežljivost, kije bila potrebna na poti do njegove rešitve, zahvaljujem svojemu mentorju prof. dr. Rudiju Podgorniku. Njegove teoretske smernice, intervencije in interpretacije so bile nepogrešljive. Hvala Mateji, Zlati in Leonu za vse oblike podpore pri vseh popolnoma divergentnih preokupacijah, v katerih sem se znašel tekom študija, in ostajajo še danes z menoj. In hvala Ani, ker si vedno zraven. Za ključne nasvete glede uporabljenih numericnih algoritmov se zahvaljujem dr. Andreju Mihelicu in dr. Mateju Kristanu. Na splošno se na tem mestu zahvaljujem tudi osebju in vsem profesorjem Oddelka za fiziko Fakultete za matematiko in fiziko ter gospe Jasmin Anžicek, ki je vedno znala akademskim papirnim mlinom nadeti cloveški obraz. Povzetek V disertaciji razvijemo teorijo povprečnega polja za nabite verige v limitah šibke in mocne sklopitve z zunanjim poljem. Teorijo apliciramo na sistem polielektrolitov na hek-sagonalni mreži DNK makroionov ob prisotnosti ionov soli. Prispevke soli sprva upoštevamo v Debye-Hückelovi linearizaciji Poisson-Boltzmannove teorije nabitih fluidov, kar nam prinese kot prispevek makroiona in soli sencen coulombski potencial, ki nastopa kot povprecno polje, v katerem se nahaja polielektrolitna veriga. Za verigo zapišemo Greenovo funkcijo oz. funkcionalni integral, ter zanju v približku osnovnega stanja izpeljemo rekurzivno zvezo, ki predstavlja temeljno enacbo te slike. Ed-wardsovo enacbo, ki predstavlja robni problem 2. reda z neznanim parametrom lastne energije, numericno rešimo v Wigner-Seitzevem celicnem modelu. Heksagonalno mrežo kolumnarne faze DNK simuliramo z robnim pogojem ustrezne simetrije. Predstavimo rešitve Edwardsove enacbe ter pokažemo, da polielektrolit vzpostavi med makroioni molekularne mostove in tako med njimi posreduje privlacne interakcije. V drugem delu disertacije Edwardsovo teorijo reformuliramo za mocna polja, kjer se odpovemo Debye-Hückelovi sliki elektrostatskega potenciala v sistemu. Zapišemo partici-jsko funkcijo sistema, ki poleg Poisson-Boltzmannovega prispevka soli vsebuje še Greenovo funkcijo polielektrolita. Z minimizacijo funkcionala akcije, ki nastopa v particijski funkciji, pridemo do samousklajenih nelinearno sklopljenih diferencialnih enacb 2. reda za gostotno in elektrostatsko polje v sistemu, ki predstavljata Euler-Lagrangev sistem za naš problem. Rešitve dolocimo numericno, iz njih pa izracunamo prosto energijo sistema ter sile, ki jih med makroioni prek vzpostavitve molekularnih mostov posreduje polielektrolit. Pokažemo tudi, da v sistemu pri dolocenih vrednostih sistemskih parametrov pride do faznih prehodov brez parametra urejenosti med fazami z enako simetrijo. Kljucne besede: Mosticne interakcije, polielektroliti, Poisson-Boltzmannova teorija, teorija povprecnega polja, samousklajena teorija polja, Greenova funkcija PACS 2008: 31.15.xk Path-integral methods, 31.15.xr Self-consistent-field methods, 34.20.Gj Intermolecular potentials and forces, 34.35.+a Interactions of atoms and molecules with surfaces, 36.20.-r Macromolecules and polymer molecules, 82.35.Gh Polymers on surfaces, 8 2.35.Rs Polyelectrolytes, 87.15.K- Molecular interactions; membraneprotein interactions. Abstract In the Phd. thesis, we develop the mean field theory for charged molecular chains in external field in the weak and strong coupling limits. We apply the theory to describe a polyelectrolyte chain on a hexagonal lattice of DNA macroions in the presence of salt ions. Salt contributions are first described in the Debye-Hückel framework. This yields the macroion electrostatic field in the screened coulombic form, which we take to represent the mean field into which our chain is immersed. We introduce the Green's function (or functional integral) for the chain and derive its recurrence relation, the Edwards equation. We solve Edwards equation numerically in the Wigner-Seitz cylindrical cell and simulate the DNA columnar phase by using an appropriate boundary condition. The solutions indicate a presence of polyelectrolyte bridging, which results in a like-charge attraction of DNA macroions. In the second part of the thesis we reformulate the Edwards theory for the strong field case and we use the standard Poisson-Boltzmann picture to describe the salt solution. We rather begin with a partition function containing the action functional which we minimize to obtain the Euler-Lagrange equations of our system. The solutions represent self-consistently determined monomer density and electrostatic fields of our system. We furthermore calculate the free energy density and total force acting on the macroions. We again show that bridging implicates like-charge attractions between columnar macroions. We also demonstrate that in certain parts of parameter space a phase transition without order parameter occurs between phases of equal symmetry. Keywords: Bridging interactions, polyelectrolytes, Poisson-Boltzmann theory, mean field theory, self-consistent field theory, polyelectrolyte Green function, functional integral PACS 2008: 31.15.xk Path-integral methods, 31.15.xr Self-consistent-field methods, 34.20.Gj Intermolecular potentials and forces, 34.35.+a Interactions of atoms and molecules with surfaces, 36.20.-r Macromolecules and polymer molecules, 82.35.Gh Polymers on surfaces, 8 2.35.Rs Polyelectrolytes, 87.15.K- Molecular interactions; membraneprotein interactions. Kazalo Poglavje 1. Uvod 9 1.1. Vsebinska umestitev in struktura disertacije 9 Poglavje 2. Statistična fizika nevtralnih molekularnih verig 15 2.1. Fizikalni modeli polimerov 15 2.1.1. Model naključnega gibanja 15 2.1.2. Entropična elastičnost 17 2.1.3. Izključitveni volumni: Floryjev model 18 2.1.4. Model Kratky-Porod in persistenčna dolžina 19 Poglavje 3. Statistična fizika nabitih molekularnih verig 25 3.1. Poisson-Boltzmannova teorija nabitih tekočin 25 3.2. Približek povprečnega polja in teorija samousklajenih polj 27 3.3. Polielektrolit v zunanjem polju v limiti šibke sklopitve 28 3.3.1. Greenova funkčija 28 3.3.2. Edwardsova enačba 29 3.3.3. Približek osnovnega stanja 31 Poglavje 4. Reševanje Edwardsove enačbe v Wigner-Seitzevi čeliči 35 4.1. Wigner-Seitzev čelični model 35 4.2. Formulačija problema in algoritem reševanja 36 4.3. Rešitve Edwardsove enačbe 40 4.3.1. Gostota p = |^(r)|2 in površinska vezana stanja 40 4.3.2. Energija osnovnega stanja 43 4.3.3. Osmotski tlak 47 Poglavje 5. Samousklajena teorija polja za zamejene polielektrolite 51 5.1. Območje veljavnosti Edwardsovega modela 51 5.2. Reformulačija teorije za močna polja 51 5.2.1. Hamiltonka sistema in partičijska funkčija 51 5.2.2. Minimizačija funkčionala S^ 55 Poglavje 6. Reševanje Euler-Lagrangevih samousklajenih enačb 61 6.1. Algoritem reševanja 62 6.2. Rešitve samousklajenega sistema enacb 64 6.2.1. Polji V>(r) in p(r) 64 6.2.2. Limita (AD/Ai)2 ^ 0 in Poisson-Boltzmannove rešitve 66 Poglavje 7. Lastne in proste energije sistema. Sile med makroioni. 71 7.1. Lastne energije 71 7.2. Proste energije in sile med makroioni 75 7.2.1. Mosticne interakcije med makroioni in fazni prehod 81 7.3. Koeksistencne krivulje in odvisnost p*(a/aDNK) 87 Poglavje 8. Zakljucek 93 Literatura 97 POGLAVJE 1 Uvod 1.1. Vsebinska umestitev in struktura disertacije Fizika molekularnih verig je dinamična in razvijajoča se veja fizike mehke snovi. V zadnjih letih se močno večajo fizikalni apetiti po razumevanju bioloških sistemov in v svetovni literaturi opažamo vedno več prispevkov o fizikalnih obravnavah prevodnosti DNK, virusov, konformačijske dinamike proteinov, interakčijah med polimeri in površinami in podobno. Kot součinkujoče dejstvo so se pojavile inter-disčiplinarne povezave med različnimi vejami znanosti, ki najlepše predstavljajo kreativno margino, na kateri so možna nova odkritja. Znanosti o polimerih tako ni moč omejevati na fiziko, saj nujno posega tudi v kemijo, biologijo, medičino, materiale in tehnologijo ipd. V zadnjih dvajsetih letih so se na področju elektromagnetnih lastnosti bioloških sistemov zgodili številni pomembni premiki. Na eksperimentalnem področju so bili izvedeni poskusi manipulačije posameznih molekul in atomov, določeni so bili osnovni mehanizmi in modelski parametri transporta nabojev v bioloških sistemih, še zlasti v DNK, gl. literaturo [1]-[10]. Pregled sodobnih eksperimentalnih rezultatov s področja fizike polimerov ponuja literatura [11] - [36]. Po drugi strani nam na področju teoretične fizike stalno rastoča pročesorska moč in vedno zmogljivejši numerični algoritmi omogočajo vedno bolj podrobne simulačije elektrostatike in molekularne dinamike bioloških sistemov. Opis kompleksnih sistemov prek analitičnih aproksimačij je predstavljen pretežno v literaturi [37] - [74], medtem ko so direktne metode reševanja, molekularna dinamika, Monte Carlo metode, ipd. predstavljene v literaturi [75] - [80]. Obravnava pričujoče disertačije je omejena na statične lastnosti polimerov s fokusom na področje teoretične fizike zamejenih polielektrolitnih verig v zunanjem polju. Z izjemo uvoda obravnavamo sisteme nabitih polimerov, saj elektrostatske interakčije pomembno vplivajo na vedenje takih sistemov - konsistentne fizikalne obravnave molekule DNK in sorodnih življenskih makromolekul si brez pripoz-nanja dejstva, da je DNK močno nabita veriga, obdana s protiioni, sploh ni moč misliti. Podobno velja za teoretično in eksperimentalno obravnavo elektrostatskih interakčij DNK - protein. Iz navedene literature je razvidno, da teorija zamejenih polielektrolitov v zunanjem polju v zadnjih petnajstih letih predstavlja pomemben segment raziskovanja neklasicne elektrostatike bioloških sistemov. Teoretične formalizme obravnave polielektrolitnih sistemov in polielektrolitno posredovanih interakcij je v približku šibkih sklopitev z zunanjim poljem razvil Samuel F. Edwards, gl. npr. [81]. Pierre Gilles de Gennes je za študij interakcij med adsorp-cijskimi površinami in raztopino gibkih polimerov uporabil samousklajeno teorijo polja v približku dominantnega osnovnega stanja, ki privzema neskoncno dolge verige, [37, 38]. Skau in Blokhuis sta nedavno izracunala korekcije koncne dolžine polimernih verig k modelu osnovnega stanja, [44]. Tovrstne interakcije lahko vodijo do zanimivih pojavov: med enako nabitimi makroioni zaradi mocnih elek-trostatskih korelacij v kopeli vecvalentnih protiionov pride do privlaka, gl. [44], [51], [75]. Z obravnavo tovrstnih sklopljenih sistemov imajo raziskovalci na ljubljanski univerzi precej izkušenj, gl. npr. [39], [42] in [40], saj so podrobno obravnavali planarno zamejene polielektrolitne verige, ki so mocno sklopljene z zunanjim poljem, z analiticnimi aproksimacijami pa so v limiti šibke sklopitve med poli-elektrolitom in zunanjim poljem raziskali tudi vedenje vecdelcnega sistema togih DNK molekul na heksagonalni mreži, med katerimi polielektrolitna veriga vzpostavi t.i. mosticne interakcije, gl. [68]. V primeru mocne sklopitve Edwardsova teorija ne velja vec. Potrebno je uporabiti približek povprecnega polja, v katerem upoštevamo, daje gostotno polje nabitega polielektrolita sklopljeno z zunanjim potencialom - enacbe polja je v tem primeru potrebno reševati samousklajeno. Vsebinskih motivacij za tovrstne izracune ne manjka. Kompleksi, ki nastanejo med polielektroliti in nasprotno nabitimi makroioni, so zadnje case deležni velike pozornosti zaradi obsežnih aplikativnih možnosti. Eden najbolj zanimivih primerov polielektrolit-makroionske kompleksacije je pakiranje DNK v celicnem jedru, v katerem se približno 1 meter dolga molekula DNK s celotnim negativnim nabojem 1010e0, oz. 1e0/1.7Ä zvije v celicno jedro, ki ima nekaj mikrometrov premera. Pri tovrstni kompaktifikaciji DNK v energiji prevladuje elasticni deformaci-jski clen [54], pakirni proces pa ima hierarhicno strukturo, v kateri se DNK najprej navije okrog pozitivno nabitih proteinov histonov, kar vodi do strukture, imenovane nukleosom. Nukleosomi so nato urejeni podobno kot biseri na ogrlici in tvorijo ra-zlicne strukture višjega reda [35, 53]. Genosomski kompleksi med DNK in razlicnimi velikimi protiioni imajo posebno velik pomen v fiziki mehkih snovi in tudi veliko pricakovano aplikativno vrednost v uporabi genske terapije pri zdravljenju razlicnih bolezni, kjer bi z lipidnimi sloji ali polielektroliti obdana DNK nadomestila virusne metode prenosa zdrave DNK v celicna jedra bolnih celic pri sesalcih. Koltover in Safinya sta s sodelavci v [11] SLIKA 1.1. Leva slika: Shema lamelarne faze lipid-DNK kompleksa. DNK je modro vijolicna dvojna vijacnica, stisnjena med lipidne sloje. Desna slika: Kolumnarna faza lipid-DNK kompleksa. Safinya s sodelavci je ekper-imentalno potrdil fazni prehod med obema fazama, gl. [11]. Slika prirejena po [11]. in [12] obravnavala lipid-DNK komplekse in pokazala, da ti kompleksih v kolum-narnih fazah nudijo bistveno bolj ucinkovit mehanizem prenosa kot pri lamelarnih fazah [13], gl. sliko 1.1. Avtorji v [11] in [12] so eksperimentalno odkrili prehode med lamelarno in heksagonalno fazo lipid-DNK kompleksov, vendar v isti sapi opozarjajo, da kvantitativna narava interakcij v teh sistemih še ni znana. Znano pa je, da s preprosto coulombsko elektrostatsko sliko, ki ne vkljucuje entropijskih ucinkov, mnogih pojavov v teh sistemih ne moremo pojasniti. Za DNK v vodni raztopini se ve že dalj casa, da ob prisotnosti velikih makro-molekularnih protiionov kolapsira v urejene strukture, kjer makromolekularni pro-tiioni delujejo kot molekularno lepilo za sicer zelo negativno nabito DNK [20]. Med proucevane makromolekularne protiione, pri katerih je opažen ta efekt, sodijo pozitivno nabite lipidne molekule ter dolgi pozitivno nabiti polielektroliti. V obeh primerih lahko DNK kondenzira v faze z lokalno heksagonalno simetrijo in ne-maticno urejenostjo. Tipicen primer takšnega kolapsa DNK se vidi, ko raztopini dodamo pozitivno nabita polipeptida polilizin (poly-L-lysin) in poliarginin (poly-L-arginin), pa tudi pozitivno nabit razvejan polielektrolit polietilenimid (PEI). Raziskave z rentgenskim sipanjem [19], [20] in uporaba metode osmotskega stiskanja za dolocanje enacbe stanja [14] kažejo zelo zanimivo odvisnost osmotskega tlaka od gostote DNK v takšnem kompleksu. Enačba stanja ima, kot je videti, več vej, ki jih določajo molekularne interakčije v kompleksu. Med temi vejami se včasih vidi tudi nezvezne prehode, ki so odvisni od dodatnega osmotskega tlaka, ki ga prispeva polietilenglikol (PEG), raztopljen v rezervoarju. Pri velikih gostotah DNK - in s tem pri velikih osmotskih tlakih - je videti, da prevladujejo neposredne odbojne hidračijske oziroma elektrostatske interakčije med molekulami DNK. Pri nekoliko manjših gostotah se začne kazati vpliv entropijsko pogojenih interakčij, ki jih posredujejo pozitivno nabiti makromolekularni protiioni, pri še manjših gostotah pa pride do faznega prehoda v sičer še vedno heksagonalno, vendar bolj neurejeno fazo. Ta prehod bomo skušali povezati s silami polielektrolitnega premoščanja, kijih posredujejo pozitivno nabiti makroioni. O mostičnih interakčijah oz. premoščanju govorimo takrat, ko se ena polielektrolitna veriga med več nasprotno nabitimi makroioni vzpostavi molekularne mostove in med njimi posreduje privlačne interakčije, gl. sliko 1.2. V tem primeru govorimo o t.i. mehki adsorpčiji polielektrolita na obe nabiti površini, ki ne izvira iz lokalnih kemijskih spečifik površine in poli-elektrolita, temveč iz elektrostatskih interakčij med polielektrolitom in nasprotno nabitima makroionskima površinama. Sile polielektrolitskega premoščanja so v fiziki koloidov znane že nekaj časa in so v določenih geometrijah in posebnih primerih tudi relativno dobro razumljene. V tej nalogi pa se bomo posvetili posebnemu primeru polielektrolitnega premoščanja v heksagonalno pakiranih fazah DNK. V teoretskem uvodu disertačije predstavimo osnove statistične fizike polimerov ter vpeljemo nekatere ključne pojme področja. Predstavimo nekatere osnovne fizikalne modele polimernih verig ter izpeljemo entropično elastičnost molekularne verige. Nato na kratko predstavimo Floryjev model polimera in približek Kratky-Porod. V disertačiji smo se ukvarjali z obravnavo polielektrolitno posredovanih interakčij v kolumnarnih fazah DNK. Model je skičiran na sliki 1.2. Kolumnarno fazo DNK simuliramo s heksagonalno mrežo nabitih čilindrov, med katerimi se nahajajo neskončno dolgi polielektroliti, kar nam omogoča reševanje v približku dominantnega osnovnega stanja. Sistem smo sprva opisali v limiti šibke sklopitve med polielektroliti in DNK elektrostatskim poljem: v čilindrični geometriji smo formulirali Edwardsovo teorijo povprečnega polja in nato reševali iz nje izhajajoče enačbe v osno-simetričnem potenčialu. Izračunali smo gostotno polje polielektrolitov in predstavili odvisnost lastne energije osnovnega stanja od mrežne konstante in kon-čentračije protiionov. 4 .. * J ^^ • r • SLIKA 1.2. Shema našega modela: sestavljen je iz neskončno dolgih togih negativno nabitih kolumnarnih makroionov DNK (čilindra temno modre barve) na 2D heksagonalni mreži (kolumnarna faza DNK), nasprotno nabitih polielektrolitnih verig (nit svetlo modre barve), ter eno-enovalentnega elektrolita (krogliče rumene barve). Leva slika: polielektro-litna veriga se nahaja le ob enem makroionu. Srednja slika: shema mostične interakčije, kjer molekularna veriga povezuje različne makroione in med njimi posreduje privlačne interakčije. Desna slika: naši izračuni so narejeni v čilindrični Wigner-Seitzevi čeliči (prosojni valj sive barve). Zatem smo čelotni problem v limiti močnega polja reformulirali za fleksibilne protiionske verige, ki zapolnjujejo prostor med molekulami DNK. Zapisali smo prosto energijo čelotnega sistema v obliki, ki ekspličitno vsebuje preprosto mono-monovalentno sol, kot rečimo NaCl, in pozitivno nabite dolge polielektrolite. Iz Euler-Lagrangeovih enačb, ki ustrezajo tej prosti energiji, smo izpeljali dve nelinearno sklopljeni diferenčialni enačbi, ki hkrati popisujeta gostotno polje poli-elektrolitov in protiionov oz. ionov soli. Enačbi smo ob ustreznih robnih pogojih, ki jih navajamo kasneje, reševali v čilindrični Wigner-Seitzevi čeliči (gl. sliko 1.2), s čimer smo simulirali heksagonalno pakiranje DNK. Zanimalo nas je, kaj se dogaja v eni Wigner-Seitzevi čeliči, vloženi v velik rez-ervar, ki lahko s čeličo izmenjuje ione soli, ne pa tudi polielektrolitnih verig, ki iz čeliče ne morejo in se nahajajo v stanju omejenega ravnovesja. Na zunanji steni Wigner-Seitzove čeliče smo izračunali osmotski tlak polielektrolitnih verig v takšnem sistemu pri različnih vrednostih fenomenoloških parametrov, ki opisujejo naš model. Študirali smo, v kakšnem primeru lahko polielektrolitno posredovane interakčije pripeljejo do nemonotonega osmotskega tlaka v sistemu in s tem preko Maxwellove konstrukčije do faznih prehodov med različnimi fazami. V disertačiji predstavimo spinodalne in koeksistenčne krivulje ter odvisnost kritične točke od makroionske površinske gostote naboja ter Debyevega radija v solni kopeli. POGLAVJE 2 Statistična fizika nevtralnih molekularnih verig 2.1. Fizikalni modeli polimerov Med polimere oz. makromolekule spadajo zelo raznoliki materiali s široko paleto različnih morfologij, faz in fizikalnih lastnosti. Taki sistemi imajo običajno zelo veliko število prostostnih stopenj, zato je njihovo obnašanje težko zajeti z golo posplošitvijo tradičionalnih formalizmov, ki so bili razviti za preproste sisteme na atomski skali. Makromolekule in druge kompleksne sisteme lahko opisujemo na različnih nivojih, nivo konkretnega opisa pa je odvisen od tega, na katere lastnosti sistema se želimo osredotočiti. Predmet (in domet) statistične fizike so tako predvsem makroskopski, globalni parametri kompleksnih sistemov, za opis dogajanja na molekularni ali atomski ravni pa moramo uporabiti drugačne prijeme. Statistični modeli so običajno razmeroma preprosti, vendar nam kljub temu omogočajo dokaj natančen izračun nekaterih makroskopskih ravnovesnih lastnosti kompleksnih sistemov. Mikroskopski (lokalni) modeli so narejeni tako, da čimbolj natančno opisujejo interakčije na kvantnem nivoju, posplošitve na večje skale pa so le redko samoumevne. Takšni opisi so neizbežni pri razvoju aplikačij: izboljšave konkretnih materialov zahtevajo podrobno poznavanje lokalnih pojavov, vezi med gradniki, njihovih odvisnosti in interakčij ipd. Na tem mestu bomo razvili le najenostavnejše mikroskopske modele linearnih polimerov (tj. polimernih verig) in si ogledali nekaj njihovih rezultatov, ki jih bomo potrebovali kasneje, pri interpretačiji numeričnih rešitev našega modela. 2.1.1. Model naključnega gibanja. Eden najpreprostejših modelov linearnega polimera je model, kjer obliko polimerne verige aproksimiramo s potekom naključnega gibanja po prostoru. Naključno gibanje se začne v (poljubni) izhodiščni točki, ki predstavlja en koneč polimera, in konča v končni točki, ki predstavlja drug koneč polimera. Od enega do drugega konča pridemo v N korakih v naključne smeri, ki opisujejo N naključno orientiranih, v verigo povezanih monomerov. Ori-entačijo i-tega monomera opišemo z vektorjem r,, njegovo dolžino pa označimo z b. Začetno in končno točko i-tega monomera označimo s krajevnima vektorjema R, in Ri+i, tako da velja r = Ri+i — R,. Vektor, ki povezuje oba konča polimera, označimo z Ree (ang. end-to-end vector). Očitno velja Ree = N=1 r = RN — R1 (gl. sliko 2.1). SLIKA 2.1. Modeliranje polimera z naključnim gibanjem. Orientacijo prvega monomera predstavlja vektor ri, orientacijo drugega predstavlja vektor r2, ki je od r1 popolnoma neodvisen itd. Orientacijo i-tega monomera predstavlja vektor r, = Ri+1 — R,, pri čemer za vsak i velja r, = b. Oglejmo si, kako je tipična prostorska razsežnost polimera odvisna od njegove dolžine. Pred tem omenimo, da ni samoumevno, kaj naj bi tipična razsežnost polimera pomenila. V polimernem sistemu lahko namreč definiramo različne karakteristične velikosti. Primeri takih karakterističnih velikosti so: (i) koren povprečne vrednosti kvadrata razdalje med končema polimera < R2e >1/2 (ii) povprečna razdalja med končema polimera < |Ree| > (iii) povprečna maksimalna razdalja med katerimakoli segmentoma polimera < maxij |Ri — Rj | > itd. Navedena povprečja < .. > pomenijo povprečenje po vseh polimernih konformačijah. Vse tri navedene velikosti so sorazmerne produktu N1/2a, razlikujejo se zgolj za multiplikativno konstanto. Tule se bomo ukvarjali izključno s prvo zgoraj navedeno karakteristično velikostjo, torej z < R2e >1/2. Ker gre za opis konfiguračije polimera v modelu naključnega leta, je orientačija vektorja r, popolnoma neodvisna od orientačije kateregakoli vektorja rj=, torej v primeru j = i velja < r, • rj >=< r, > • < rj >=0 in < R2e >= E < r< • rj >= E < r2 >= Nb2 . i,j i Dobili smo za naključno gibanje značilen rezultat: tipična dimenzija polimera v okviru tega modela narašča s korenom števila monomerov, torej kot < R2e >1/2= bN1/2. Izpeljimo verjetnostno porazdelitev vektorja Ree, ki jo bomo potrebovali za nadaljne račune. Najprej potrebujemo porazdelitev po orientacijah posameznih monomerov. Ker gre naključni sprehod, in so torej orientačije monomerov neodvisne ena od druge, lahko konformačijo polimera ^(r^) zapišemo kot produkt ori-entačij vseh N monomerov N (1) *(ri) = n ^(ri) , i=1 kjer s ^(ri) označimo verjetnostno porazdelitev orientačije enega monomera, ki je kar naključna porazdelitev vektorja z dolžino b: (2) ^ = ¿2^i|- b). Verjetnostno porazdelitev vektorja Ree, da bosta po N korakih konča polimera napenjala vektor Ree, dobimo iz konformačije polimera s pomočjo integrala (3) Pn (Ree) = / drW dr 2 ... drN & Ree — ^ N ri i=1 N n^(ri) i=1 Za dovolj velike N je porazdelitev PN (ree) Gaussova (za natančni izračun gl. npr. [89], str. 306, ali [81], str. 12): 3 \ 3/2 / 5D2 \ 3 \ / 3Ree \ (4) PN (Ree ^^ - Do enakega rezultata pridemo tudi v primeru, ko polimer modeliramo na kak drug način. Gaussovska oblika porazdelitve PN(Ree) namreč ne izhaja iz lastnosti našega konkretnega modela naključnega gibanja, temveč je poslediča statističnega čentralnega limitnega izreka in ena od temeljnih lastnosti (dovolj dolgih) polimerov. 2.1.2. Entropicna elastičnost. Iz porazdelitve (4) lahko z logaritmiranjem izračunamo entropijo verige S = kB ln PN (Ree) pri fiksni prečni dimenziji Ree 3 k r2 (5) S (Ree) = So - 32NR? , kjer je kB Boltzmannova konstanta. Od tod je do ustrezne proste energije le korak: 1 /3kB T\ 2 (6) F (Ree) = E - T S = Fo + ^ N- j R^ . Tako smo izpeljali zanimivo lastnost polimerne verige, ki v polimerni fiziki nosi ime entropicna elastičnost. Ko polimerno verigo raztegnemo, tj. povečamo Ree, njena entropija pade, prosta energija pa zraste: za razteg smo morali opraviti delo - veriga se globalno vede elastično, čeprav je lokalno sestavljena iz togih mono-merov. Elastičnost polimerne verige je povezana z njeno entropijo. Pri nerazteg-njenem polimeru je število možnih konformačij večje kot pri raztegnjenem, zato je entropija pri raztegnjenem polimeru manjša kot pri neraztegnjenem, medtem ko je prosta energija raztegnjenega polimera večja od proste energije neraztegn-jenega polimera. Iz enačbe (6) lahko preberemo tudi efektivno "konstanto vzmeti" polimerne verige k = 3 kBT/Nb2. Konstanta vzmeti s temperaturo narašča - pri višjih temperaturah moramo za enak raztezek polimer obremeniti z večjo silo. Ce polimer ob konstantni obremenitvi grejemo, se začne krčiti. Ta pojav lahko enostavno opazujemo: ko segrevamo zavijalno folijo iz polietilena, se ta krči, podoben pojav krčenja ob segrevanju pa opazimo tudi pri gumah. Takšno vedenje je ravno nasprotno od tistega, ki ga opazimo pri kristalih, kjer je koefičient linearnega raztezka tipično pozitivno odvisen od temperature. 2.1.3. Izključitveni volumni: Floryjev model. Pri modelu naključnega gibanja se obnašamo, kot da je polimer t.i. fantomska veriga, katere segmenti se lahko neomejeno prekrivajo v prostoru. Realnejši modeli polimerov upoštevajo, da imajo monomeri - s tem pa tudi polimer - končen volumen, kar omeji možnosti naključnega gibanja, saj se dva različna segmenta polimera v resniči ne moreta znajti na istem kraju ob istem času. V takih modelih, ki jih je prvi formuliral Flory v letu 1940, lahko prvič začnemo govoriti o interakčijah dolgega dosega med različnimi segmenti polimera, ki so si na verigi daleč, v prostoru pa blizu. V modelu naključnega gibanja takih interakčij ni. Najpreprostejši interakčijski potenčial je kar stericni potenčial, s katerim simuliramo zgolj trdo sredičo interakčije: tak potenčial je enak nič povsod, kjer se različni segmenti polimera ne dotikajo, ob dotiku pa zraste prek vseh meja. Takemu modelu pravimo model samoizogiba-jočega gibanja (ang. self-avoiding flight). Zaradi omenjenih interakčij pakiranje polimera ne more biti več tako tesno kot v primeru naključnega gibanja. Okrog vsakega segmenta polimera lahko namreč definiramo t.i. izkljucitveni volumen, v katerega ne more prodreti noben drug segment polimera. Volumen, ki ga zavzame polimer, ki se ogiba samega sebe, bo torej v primerjavi z volumnom fantomske verige narastel. Temu pravimo efekt izkljucitvenih volumnov. Flory in Kuhn sta pokazala, da tovrstne interakčije dolgega dosega vplivajo na statistične parametre verige. Tipična dimenzija polimera npr. ne narašča več s korenom iz števila monomerov N, temveč z višjo potenčo (7) < R2e >oc N2v(d) Kritični eksponent v (d) je odvisen od dimenzije problema d. V prostorskem (d = 3) primeru v pri naključnem gibanju znaša 1/2, ob upoštevanju izključitvenih volumnov pa je v(3) ^ 3/5, ki mu rečemo Floryjev eksponent (natančnejša obravnava, ki upošteva še fluktuačije gostotnega polja, daje vrednost v(3) ^ 0.588, kar se presenetljivo dobro ujema z grobim Floryjevim modelom, gl. [93], str. 50.): 3-D fantomska veriga: ree ~ N1/2 3 - D ogibajoča se veriga: ree ~ N3/5 Efekt izključitvenih volumnov je pri dolgih verigah nezanemarljiv, saj spremeni kritični eksponent in ne le amplitude. Ko želijo v model poleg trdega steričnega odboja kratkega dosega vpeljati še šibke van der Waalsove privlačne sile dolgega dosega, v prvem približku običajno uporabijo Lennard-Jonesov potenčial oblike V(r) = e[(a/r)12 — (a/r)6], kjer sta E in a modelska parametra. Več o obravnavi izključitvenih volumnov in dodatnih modifikačij modelov braleč najde npr. v [91] in [81]. 2.1.4. Model Kratky-Porod in persistencna dolžina. Realni polimeri v res-niči niso popolnoma gibki in upogljivi v zglobih med monomeri verige, ampak lahko vsaki deformačiji pripišemo od nič različno elastično energijo. V takih primerih molekularno verigo bolje opišemo z modelom, ki sta ga leta 1949 predstavila Kratky in Porod. Molekulo v modelu Kratky-Porod opisujemo kot povsod zvezno in zvezno odvedljivo nit (v uporabi je tudi oznaka WLC model, ang. Worm-Like Chain). Pri modelu naključnega gibanja je bil polimer upogljiv le v diskretni množiči točk, pri modelu Kratky-Porod je upogljiv povsod, z upogibom pa je povezana določena elastična energija. SLIKA 2.2. Razlicna modela polimera. Na levi model je prikazan model nakljucnega gibanja, kjer je polimer popolnoma gibek zgolj v diskretnih tockah prostora, na desni pa model Kratky-Porod, kjer je polimer upogiben povsod - a vsak upogib zahteva vloženo delo. Polimer dolžine L parametriziramo s parametrom n C [0, L], ki teče vzdolž konture polimera, polje tangentnih vektorjev na verigi označimo s t(n), do poljubne točke na verigi pa vodi krajevni vektor R(n). V tej sliki je t = dR/dn in Ree = / t(n)dn = J dndlRnn) , kjer je t(n) tangentni vektor na polimer v točki n. Iz teorije elastičnih deformačij tankih palič sledi, da je za upogib ravne paliče potrebna energija, ki je obratnoso-razmerna s kvadratom krivinskega radija Rc upognjene paliče E a 1/R [85] oz. natančneje: (8) ECurv = ^K i' dn 2 curv 2" J0 — \ dn CCe je tangentni vektor vzdolž polimera konstanten, je polimer ravna palica. Elastična energija mora biti odvisna od odvoda tangentnega vektorja. Sedaj lahko zapišemo particijsko funkcijo it(L)=tL ßK rL j (dt(n)\2 (9) Z = Dt e-ßK /c dn(-dn1) , J t(0)=k kjer je ß = 1/(kBT) inverzna termična energija. To je particijska funkcija za polimer, ki se zacne v tocki t(0) = k in je v zacetni tocki orientiran v smeri z-osi (k je enotski vektor v z smeri), ter se po prepotovani poti z dolžino L konca v tocki, kjer je njegov tangentni vektor enak t(L) = tL. Z notacijo /^0)==^ Dt oznacu-jemo funkcionalni integral, ki pomeni vsoto po vseh tangentnih poljih na polimer z dolžino L, ki je na enem koncu orientiran v smeri z-osi, na drugem koncu pa v smeri tL, gl. npr. [92]. Edwards in Doi na tej tocki vpeljeta analogijo s kvantno mehaniko. Ce za naravni parameter n vpeljemo imaginarni cas n = it, potem particijska funkcija postane , . f t(L)=tL ißK r-iL d,( öt )2 (10) Z = Dt e-~ßK ^o dt(dt) , t(0)=k v cemer lahko prepoznamo [81, 92] s Feynmanovim integralom po poti izraženo rešitev Schrödingerjeve enacbe za en delec, ce T nadomestimo s h, K z maso m delca, in t z lego delca. Ker je t enotski vektor, je tudi ustrezajoci krajevni vektor delca enotski vektor - delec se torej nahaja na enotski sferi. Za particijsko funkcijo torej velja Schrödingerjevi analogna enacba [90] (11) ön 2/„L Z, kjer z izrazom lp = pK vpeljemo persistencno dolžino polimera, L2 pa je kotni del Laplačeovega operatorja (12) L2 1 4 (srn 4^ + 1 * sin 9 39 \ 39) sin2 9 d^2 ' Fizikalni pomen persistenčne dolžine razberemo iz sledečega izračuna. Ker je polimer statistično gledano enak vzdolž čelotne konture, lahko pri izračunu ko-relačije tangentnih vektorjev uporabimo homogeni nastavek (13) < t(n) ■ t(n') >=< t(n - n') ■ t(0) >=< cos 9(n - n') > . Povprečje < cos 9 > tu pomeni s partičijsko funkčijo uteženo povprečenje po prostorskem kotu f+1 d(cos 9) cos 9Z (14) < cos 9 >= ^f-1---. /_+11 d(cos 9) Z Z uporabo formul (11), (12) in (14) lahko izpeljemo, da velja d< cos 9(n - n') > 1 t2 , 1 , (15) -^--— = — < L2 cos(n - n') >= - — < cos 9(n - n') > , dn 2lp lp kjer smo upoštevali, da velja L2 cos 9 = -2 cos 9. Iz enačbe (15) sledi (16) < cos 9(n - n') >= e_(n_n')/lp . Pokazali smo, da korelačija med orientačijami segmentov polimera pada eksponentno s polimerno konturno razdaljo, in sičer na skali persistenčne dolžine lp. To ni presenetljivo, saj večje lokalne deformačije zahtevajo več vloženega dela kot manjše. Energijsko je ugodneje, da se molekula upogiba gladko in povsod, kot pa ostro na diskretnih mestih, zatorej pričakujemo, da bodo tangentni vektorji v dveh bližnjih točkah polimera kazali v približno enako smer in da bodo korelačijo izgubljali šele zlagoma, na večjih razdaljah. Persistenčna dolžina torej predstavlja tipično dolžino vzdolž polimera, na kateri polimerni tangentni vektorji popolnoma dekorelirajo. Možna je tudi interpretačija, da se lahko polimer močno zvije šele na razdaljah, ki so prečej večje od lp, medtem ko je za razdalje pod persistenčno dolžino razmeroma raven. Persistenčna dolžina predstavlja minimalno mersko lestvičo, nad katero linearno verigo še lahko obravnavamo z gaussovskimi aproksi-mačijami. Iz persistenčne dolžine lahko ugotovimo, kako upogljiv je polimer. Zelo mehki in upogljivi polimeri imajo majhne persistenčne dolžine, kar pomeni, da tangentni vektorji na verigi zelo hitro dekorelirajo. Pri dolgih linearnih polimerih alkanih persistenčna dolžina znaša ~ 1 nm. Pri manj upogljivih verigah je deko-relačija počasnejša, persistenčna dolžina pa večja. Primer za to je npr. molekula DNK, katere persistenčna dolžina znaša ~ 53 nm, čemur ustreza okrog 150 baznih parov v dvojni vijacnici. Pri modelih naključnega gibanja persistencne dolžine ni moc vpeljati, ker je po definiciji enaka nič, saj so orientacije monomerov popolnoma nekorelirane. Kvadrat vektorja med zacetkom in koncem polimera sedaj izracu-namo takole: (17) L n L n < (R(L) - R(0))2 >= J j dndn'^ ^R^ ■ ^R^) = J j dndn' < t(n- n') ■ t(0) >= 0 0 0 0 L n = // dndn'e-<->/-p = 2^ - lp + lpe-L/'p). 00 Rezultat (17) ima pomembni limiti [90]. Prva limita je tista, kjer je dolžina L polimera bistveno daljša od persistencne dolžine lp: (18) lim < (R(L) - R(0))2 >= 2lpL = bL . Dolžini b = 2lp = 2/3K obicajno recemo Kuhnova dolžina in opisuje neodvisno enoto polimerne verige. V tej limiti termicna kopel na skali Kuhnove dolžine unici ko-relacije dolgega dosega med dovolj oddaljenimi deli polimera. Druga limita izraza (17) je limita, kjer je dolžina polimera bistveno krajša od persistencne dolžine. V tem primeru lahko eksponent v (17) razvijemo do clenov 2. reda in dobimo (19) lim < (R(L) - R(0))2 >= L2 . Tuje torej razdalja med koncema polimera enaka L, polimer se torej vede kot popolnoma iztegnjena palica. Termicna kopel tu ne igra nobene vloge. Polimer se torej na razdaljah mnogo pod persistencno dolžino vede kot toga palica, na razdaljah nad persistencno dolžino pa korelacijska funkcija < t(n - n') ■ t(0) > eksponentno razpade. Na skalah nad persistencno dolžino lahko zato polimer - vsaj kar se tice njegovih globalnih lastnosti - opišemo v modelu nakljucnega gibanja, kjer v vsakem koraku skocimo za Kuhnovo dolžino dalec. Vsak korak tu igra vlogo nekakšnega "monomera" dimenzije b. Lahko gremo še dlje: fiksiranje dolžine skoka na dolžino b je v resnici nepotrebno. Dovolj je, ce zahtevamo zgolj to, da so dolžine skokov normalno porazdeljene okrog dolžine b. Gibko verigo modela Kratky-Porod lahko torej na velikih skalah opišemo kot nakljucno gibanje, za dolžine korakov gibanja r pa velja Gaussova porazdelitev (20) ^(r) = (3/2nb2)3/2 exp[-3r2/2b2] , tako daje < r2 >= b2. Taki verigi pravimo Gaussova veriga in je zaradi centralnega limitnega izreka v termodinamski limiti N ^ to ekvivalentna verigi, ki jo gener-iramo z modelom naključnega gibanja s fiksno dolžino koraka, gl. npr. [89] str. 308. Za orientacijsko nekorelirane monomere, kijih opišemo z vektorji r^, potem iz enačb (20) in (1) sledi N (21) tf(ri,..., rN) = n(3/2nb2)3/2 exp[—3r2/2b2] = (3/2nb2)3/2 exp 2=1 3N — V r2 2b2^ 2 2=1 Ko upoštevamo, daje r2 = R„+1 — R«, dobimo (22) tf(ri,..., rN) = (3/2nb2)3/2 exp N 2b2 +1 — Rn) 2=1 V zvezni limiti dobimo Wienerjevo porazelitev (23) ^(R(n)) / dR'dRGN'(R', R) • Razvoj po lastnih funkcijah (51) vsebuje faktor exp(-NEk), ki maksimalno obteži lastno funkcijo osnovnega stanja k = 0, saj je lastna energija E0 minimalna. Ko imamo opravka z dolgimi verigami, tj. z N ^ to, je zato smiselno obdržati zgolj prvi clen k = 0 v razvoju. Prosta energija sistema z Greenovo funkcijo GN(R', R) je [68]: (55) F = T ln^J dR'dRGw (R', R) Naš sistem je translačijsko invarianten vzdolž z-osi (gl. sliko 1.2), zato lahko čelotni izračun predstavimo v ravnini, ki jo popiše (sedaj ravninski) vektor R = (x,y). V približku osnovnega stanja sta Greenova funkčija sistema in sistemska prosta energija (56) Gn(R,R') ^ ^0(R)^0(R')e-£oN (57) F ~ kB T N N E0, kjer je N število vseh verig v sistemu [68]. Najnižje ležeča lastna vrednost v tem približku torej direktno določa prosto energijo sistema. S pomočjo povedanega iz-računajmo gostoto polielektrolita. Ko upoštevamo zvezo (56) v enačbi (53) zaradi ortonormiranosti in kompletnosti sistema funkčij ^ dobimo (58) ( ) = V dR' V dREN= 0 ^0(R')^0(r)e-£oN/^(r)^(R)e-Eo(N-N') = (58) P(r) // dR'dR^0 (R')^0 (R)e-EoN = N|^(r)|2 . Gostota je torej sorazmerna kvadratu ^0, to je zato, ker se v točki r stikata dva konča verige, od katerih vsak s seboj nosi en faktor Tudi normalizačija je (za eno verigo z N monomeri) ustrezna: / dr p = N oziroma J dr|^0(r)|2 = 1. POGLAVJE 4 Reševanje Edwardsove enačbe v Wigner-Seitzevi celici 4.1. Wigner-Seitzev celični model Raztopine nabitih makromolekul so tako zapleteni fizikalni sistemi, da njihova teoreticna formalizacija prek kakršnih koli ab initio izracunov odpade. Celicni model je ena od aproksimacij, ki nam vseeno omogoca njihovo kvalitativno obravnavo. Ker imajo makroioni enak predznak naboja, se bodo (ob odsotnosti drugih efektov, gl. npr. [51], [70]) organizirali tako, da bodo eden od drugega cimbolj oddaljeni. V tem primeru lahko celotni prostor razdelimo v celice, od katerih vsaka vsebuje en makroion, pa tudi dovolj protiionov in soli, daje posamezna celica navzven nevtralna. Ob predpostavki, da je porazdelitev makroionov v prostoru približno homogena, ima vsaka celica približno enak volumen, ki je enak celotnemu volumnu, deljenemu s številom makroionov v sistemu. Med celicami zaradi elektronevtral-nosti ni elektrostatskih interakcij. V celicnem modelu omejimo obravnavo celotnega sistema na eno samo celico in pri tem zanemarimo vse interakcije prek celicne stene. Povedano drugace: v celicnem modelu razklopimo particijsko funkcijo celotnega sistema na disjunktne faktorje posameznih makroionov, tj. vecdelcni problem prevedemo na enodelcnega. Za numericne izracune se splaca obliko celice izbrati tako, da dosežemo cim višjo stopnjo simetrije, pri cemer se moramo seveda opirati tudi na obliko makroiona. V disertaciji obravnavamo linearne polielektrolite, zamejene v cilindricne celice. V centru vsake celice se nahaja makroion DNK. V tem primeru je celicam težko dati nek jasen pomen - popolnoma možno je, da jih v dejanski raztopini sploh ne moremo formulirati. DNK opišemo kot nabit, tog in neskoncen valj, polielektrolit pa kot gibko nabito nit, ki se nahaja v celici, katere os je makroion DNK. Opis DNK s togim neskoncnim valjem si lahko privošcimo, dokler sistem opazujemo na dovolj majhni skali, kjer je dejanska molekula precej daljša od svojega radija. To je v ♦ i V^ ♦♦ "I ♦ ♦ »i v našem primeru nedvomno res - že ce se omejimo zgolj na razmerje persistencne dolžine DNK proti njenemu radiju, dobimo razmerje približno 50 proti 1, torej je približek popolnoma legitimen. SLIKA 4.1. Skica celicnega modela. Homogeno raztopino a) razdelimo na približno enaka podrocja okrog makroionov b), nato pa celice simetriziramo c). V zadnjem koraku se osredotocimo zgolj na eno celico d). V našem primeru je ureditev cilindricnih celic regularna s šestštevno simetrijo. Povzeto po [50]. 4.2. Formulacija problema in algoritem reševanja Natančno formulirajmo naš problem. Naš model, prikazan na slikah 1.2 in 4.2, je sestavljen iz mreže DNK makroionov, potopljenih v eno-enovalentni elektrolit, zraven pa se nahaja tudi nasprotno nabita neskončno dolga in gibka poli-elektrolitna veriga. Ker je veriga dolga, lahko upravičeno uporabimo približek osnovnega stanja. Dokler je sklopitev polielektrolitnih nabojev z zunanjim poljem 0(r) dovolj šibka, sistem opišemo z Edwardsovo enačbo (45), ki jo bomo v približku povprečnega polja reševali v cilindrični Wigner-Seitzovi celici, kolumnarno fazo DNK (gl. sliko 1.2) pa bomo simulirali z ustreznim robnim pogojem. Eno-enovalentni elektrolit povzroči senčenje makroionskega elektrostatskega polja, ki ga zato opišemo z Debye-Hučkelovim potenčialom (30). Zaradi translačijske in-varianče sistema okrog vzdolžne z-osi makroionov je prikladno zapisati Debye-Hučkelov potenčial v drugačni obliki [68]. Ce z p označimo linearno gostoto negativnega naboja na makroionu DNK, naboj enega segmenta polielektrolitne verige pa z e, lahko zapišemo (59) 0(x,y) = H — dz = KoM = Tw0K0(Kr), 4nee0 Jr 4neeo kjer je K0(x) modifičirana Besselova funkčija drugega reda; ker je problem ravninski, naj bo od sedaj dalje tudi r = (x, y) ravninski vektor. V enačbo (59) smo vpeljali tudi brezdimenzijsko interakčijsko jakost ian\ Peo P e , (60) wo = -:-=--Ib , 4nee0fcBT e0 e0 kjer je standardna Bjerrumova dolžina = e2/4nee0T, ki pomeni razdaljo, na kateri je elektrostatska energija med dvema točkastima nabojema enaka njuni termični energiji. Ko upoštevamo približek osnovnega stanja, iz enačb (56) in (45) sledi Edwardsova enačba v obliki (61) -b2Vi^0(r) - W0^0(Kr)^0(r) = ^(r). 6 Pri tem je = r-1(d/dr)(rd/dr) radialni del Laplačeovega operatorja v čilin-dričnih koordinatah. Z robnimi pogoji je pa takole. Lastna funkčija "0(r) mora zadoščati normalizačijskemu pogoju (62) j dr|^0(r)|2 = 1. Poleg tega zahtevamo, da polielektrolitna veriga ne more prodreti v makroion DNK, torej mora biti gostota polielektrolita na površini makroiona enaka nič. Ce se eden od makroionov z radijem a nahaja v izhodišču, torej velja (63) "00 (a) = 0 Vnaprej lahko povemo še nekaj o rešitvah "0. Gostota monomerov N|"012 mora biti simetrična funkčija koordinate r, zato mora biti polje "0 nujno simetrično ali an-tisimetrično glede na površino Wigner-Seitzeve čeliče. Rešitve povprečnega polja minimizirajo sistemsko prosto energijo, osnovno stanje bo zato tisto, ki med površinama makroionov nima dodatnih vozlov. Povedano pomeni, da mora biti odvod gostotnega polja na čelični površini enak nič: (64) n ■ V00(rws) = 0 , , kjer je n normalni vektor na površini Wigner-Seitzove čeliče, rWS pa njen radij, gl. sliko 4.2. Medosna razdalja makroionov je tako 2rWS. Enačba (61) predstavlja robni problem 2. reda s parametrom E0, ki gaje prav tako potrebno šele določiti. Problem (61) zahteva, da numerično poiščemo lastne funkčije osnovnega stanja. Reševali smo ga numerično v okolju Matlab. Eden od prvih problemov, s katerimi smo se srečali, so divergenče senčenega makroionskega potenčiala K0(^r) na površini makroiona. Poleg tega je potrebno določiti tudi parameter lastne energije E0 , zato moramo poleg robnih pogojev kakopak upoštevati tudi normal-izačijo lastne funkčije. Sčasoma se je izkazalo, da je eden glavnih problemov pri numeričnem reševanju izviral ravno iz normalizačijskega pogoja. Nastopila sta dva ločena problema. Ko smo reševali Edwardsovo enačbo v čeličah z majhnim premerom, je prišlo do velikih težav s konvergenčo, v čeličah z velikim premerom pa je rešitev sičer konvergirala, a je preskakovala v višja lastna stanja. Ugotovili smo, SLIKA 4.2. Skica Wigner-Seitzeve celice. DNK makroiona sta temno modra, polielektrolitna veriga je svetlo modra, sol, zaradi katere pride do Debye-Huckelove interakcije, pa je predstavljena z rumenimi kroglicami. Oznacena sta celicni radij rWS in normalni vektor na celicno površino n. daje Matlabova knjižnica bvp4c za reševanje robnih problemov uporabljala strelsko metodo po odvodu lastne funkcije v izhodišcu racunske mreže, tj. na površini makroiona. To je dodatni pogoj, ki gaje algoritem primoran vpeljati, da sploh zagotovi dolocenost sistema, kije sicer pravzaprav poddolocen - z normalizacijo si nam-rec vnaprej ne moremo pomagati in torej ostanemo z dvema robnima pogojema, ki za sistem 2. reda z neznanim parametrom ne zadostujeta. Algoritem je zato sam dodal odvod funkcije na površini makroiona, izracunal rešitev, ter izracunal, ali je normirana. Nato je ustrelil znova in poskusil zadeti normalizacijski pogoj. Problem v majhnih celicah (rWS C 1) pa je v tem, da so odvodi —0 (a) ~ r—S izjemno veliki in je algoritem vecinoma popolnoma nestabilen: že majhna sprememba odvoda v izhodišcu lahko pomeni zelo veliko razliko na površini celice - in seveda napacno normalizacijo. Problem smo rešili tako, da smo napisali strelsko metodo, ki je klicala knjižnico bvp4c, streljali pa smo po vrednosti -0(rWS) na površini Wigner-Seitzove celice. S tem je bil problem dobro dolocen in je konvergiral tudi za nizke vrednosti rWS. Omenili smo tudi preskakovanje v višja lastna stanja. Ta problem je nastal zaradi dejstva, da je uspešnost reševanja robnih problemov pogosto zelo odvisna od tega, kako dober zacetni približek za -0, -00 in E0 uporabimo na zacetku. Pri velikih celicah rWS > 1 so bile lastne energije osnovnega (E0) in prvega vzbujenega fminbnd i bvp4 c r_ ipo{r), ipo{r), E0 f dr|i/'o|2 - 1| - Id 6 SLIKA 4.3. Diagram numericnega algoritma za reševanje Edwardsove enacbe (61). Strelski algoritem strelja po vrednostih ^0(rws), algoritem Bvp4c reši robni problem in približno doloci gostoto polielektrolita na celični površini, minimizacijski algoritem FminBnd pa nato minimizira | / dr|^0|2 — 1| do napake reda 10-6. stanja (E1) dovolj blizu skupaj, daje iteracija znotraj predpisane napake lahko kon-vergirala tudi v E\. Problem smo odpravili, ko smo vrednost za zacetni približek E0(rws) izracunali z ekstrapolacijo iz množice lastnih energij, izracunanih pri manjših celicnih radijih E0(rws — A), E0(rws — 2A), E0(rws — 3A) itn., kjer je A velikost koraka pri racunanju. Celotna metoda je sestavljena iz treh modulov, gl. sliko 4.3. Najprej strelski algoritem proizvede vrednost ^>0(rws) in jo pošlje rutini bvp4c, ki reši robni problem (61), ter generira vrednosti ^0(r), ip0 (r), E0 ter J dr|^>012. Pri tem z vijugo oznacene vrednosti predstavljajo približke na poti do rešitve. Strelska metoda spreminja vrednost ^>0(rws) dokler normalizacija ni znotraj intervala J dr|^>0|2 G 1 ± 0.15. Ko je enkrat napaka v normalizaciji nižja kot 15 odstotkov, vrednost ^>0(rws) kot robni pogoj posredujemo Matlabovemu algoritmu fminbnd za natancnejšo omejeno optimizacijo, ki potem generira rešitve ^>0(r), ^>0(r) ter E0 z natancnostjo normalizacije e = 10-6, tj. | J dr|^0|2 — 1| ~ 10-6. Numericno integracijo smo izvedli s pomocjo Matlabove trapezne metode trapz na neekvidistantni mreži, ki jo je generiral algoritem bvp4c. Tako dobimo dovolj natančno izračunane lastne funkčije in lastne energije. 4.3. Rešitve Edwardsove enačbe V tem razdelku predstavljamo rešitve enačbe (61) 16 (65) "0'(r) + (r) + pK^M + £0)^) = 0 , z robnimi pogoji (66) 00(a) = 0 (67) "0 (rws) = 0 (68) /dr|"0|2 = 1, kjer je a radij makroiona DNK, rWS pa radij Wigner-Seitzeve čeliče. Enačbo (65) smo rešili v parameterskem prostoru za spremenljivke k g [0.1,4]/nm, w0 G [2,10] in rWS G [0.2,1.8]. Variačija po k pomeni regulačijo Debyejeve dolžine senčenja in torej količine uni-univalentnega elektrolita v sistemu. Večje končentračije elektrolita v skladu z enačbo (30) pomenijo močnejše senčenje makroionskega poten-čiala, krajšo dolžino AD in torej večje vrednosti parametra k = A^1. Parameter w0 v skladu z zvezo (60) pomeni v enotah termične energije merjeno jakost sklopitve med površinskim nabojem na makroionu in linearnim nabojem na polielektrolitu. Velik w0 pomeni močnejše sklopitve, majhen w0 pa manjše. Tuje potrebno poudariti, da smo ne glede na velikost w0 tu še vedno v približku šibkega zunanjega polja 0e00 C 1, kajti do Edwardsove enačbe smo prišli z razvojem (43). Parameter rWS pomeni radij čeliče, v kateri enačbo (65) rešujemo in bo imel velik vpliv na rešitve tako v primeru enačbe (65) kot tudi kasneje, pri samousklajenem reševanju sklo-pljenih enačb za 0(r) in "(r). 4.3.1. Gostota p = |"(r)|2 in površinska vezana stanja. Slika 4.4 na levi strani kaže prečni prerez dveh značilnih polielektrolitnih gostotnih profilov p = "0 - prikazan je prerez skozi dve sosednji čeliči, čeprav je bilo računsko območje le v eni sami čeliči, kot kaže desni graf slike 4.4. V primeru močnega senčenja (zelena krivulja) veriga šibkeje čuti elektrostatsko polje makroiona, zato je tu bolj kot elektrostatski privlak med verigo in makroionom pomembna zahteva "0 (a) = 0, ki verigi prepoveduje prodiranje skozi steno makroiona. Gostota je zato v tem primeru največja na sredini slike, tj. na robu Wigner-Seitzeve čeliče. Takemu gos-totnemu profilu, katerega edini maksimum se nahaja na robu čeliče, v disertačiji SLIKA 4.4. Levo: Precni prerez dveh značilnih polielektrolitnih gostot-nih profilov p = . V primeru močnega senčenja (zelena krivulja) je gostota največja na sredini slike, tj. na robu Wigner-Seitzeve celice. Takemu gostotnemu profilu, katerega edini maksimum se nahaja na robu celice, v disertaciji recemo monomodalni profil. V primeru šibkega sencenja (modra krivulja) se polielektrolitna veriga zgosti v bližini makroionov DNK, ki niso narisana, nahajajo pa se ob levem in desnem robu slike. V tem primeru gostota ni najvecja na robu celice, temvec v bližini makroionov, kar vodi v bimodalni gostotni profil. Tako smo ga poimenovali, ker ima gostota v tem primeru v našem prerezu dva maksimuma. Desno: Gostota (r) pri parametrih k = 0.7/nm, w0 = 2:1: 10, rWS = 0.2. Celica je v tem primeru dovolj ozka, da elektrostatski efekti ne pridejo do izraza, ker mocno dominira zahteva ^o (a) = 0, da polielektrolitna veriga ne more prodreti v makroion. Veriga se zato zgosti karseda dalec stran od makroiona, na robu celice oz. na sredini med makroioni. recemo monomodalni profil. V primeru šibkega sencenja (modra krivulja) pa elektrostatski privlak med verigo in makroionom pride bolj do izraza. Zaradi tega se polielektrolitna veriga zgosti v bližini makroionov DNK, ki na sliki niso narisani, nahajajo pa se ob levem in desnem robu slike. Zgostitev v bližini makroionov vodi v gostotni profil z maksimumi ob makroionih in mu od tu dalje recemo bimodalni gostotni profil. Stanja verige, za katera je znacilen bimodalni gostotni profil, imenujemo površinska vezana stanja, ker se veriga v teh stanjih zgošca ob površini makroiona. Desna stran slike prikazuje polielektrolitno gostoto (r) pri parametrih k = 0.7/nm, w0 = 2:1: 10, rWS = 0.2. (Zapis p = a : S : b bo v nadaljevanju pomenil, da parameter p spreminjamo od a do b s korakom S.) Celica je v tem primeru dovolj ozka, da elektrostatski efekti ne pridejo do izraza, ker mocno do-minira zahteva ^0(a) = 0, da polielektrolitna veriga ne more prodreti v makroion. Veriga se zato zgosti karseda dalec stran od makroiona, na robu celice oz. na sredini med makroioni. Pri tako majhnih celicnih radijih ocitno za vse prikazane parametre mocno dominirajo stericni1 mehanizmi, ki preferirajo zgostitev verige na sredini celice in ki smo jih vpeljali noter z robnim pogojem ^0(a) = 0. Gos-totni profili so zato ne glede na razlicne interakcijske jakosti w0 in za razmeroma šibko sencenje k = 0.7/nm zelo podobni - v vloženem grafu prilagamo povecavo v bližini celicne površine, ki sploh pokaže, da dejansko imamo opravka z razlicnimi rešitvami. Ko celicni radij povecamo, se razmere spremenijo in vplivni postanejo tudi elektrostatski prispevki. To prikazuje slika (4.5), kjer je edini spremenjeni parameter radij rWS. Ponovno smo spreminjali parameter w0 = 2:1: 10 in lepo je viden prehod iz monomodalne v bimodalno gostotno porazdelitev, gl. še sliko 4.7. Dokler so inter-akcijski parametri nizki w0 = 2, 3,4,5, je porazdelitev monomodalna in v dolocanju gostotnega profila ^ dominirajo stericni prispevki. Ko w0 povecamo na vrednosti med 6 in 10, prevlada elektrostatika in polielektrolitna veriga se pricne zgošcevati v bližini posameznega makroiona, kar vodi do bimodalne gostotne porazdelitve. Najjasneje se ti pojavi pokažejo primeru šibkega sencenja (k = 0.7/nm) in najširše Wigner-Seitzeve celice (rWS = 1.8), gl. sliko 4.6. Najbolj izrazito bimodalna distribucija ustreza najmocnejši interakciji w0 = 9, najmanj izrazito bimodalna pa W0 = 2. V našem sistemu poteka stalno uravnovešanje med stericnimi in elektrostat-skimi prispevki. Eden od nacinov vplivanja na to, kateri prispevek bo dominanten, je - kot je razvidno iz gornjih rešitev - celicni radij rWS. Razmerje med prispevkoma pa se da regulirati tudi prek variacij inverznega radija sencenja k oz. prek variacij koncentracije elektrolita. Naši izracuni kažejo, da je vpliv variacij k izdaten -prikazujemo ga na sliki 4.8. Po pricakovanjih bo pri nizkih koncentracijah elektrolita, tj. pri nizkih k in velikih AD sencenje makroionskega potenciala dovolj šibko, da bodo monomerni gostotni profil |^(r)|2 narekovale elektrostatske interakcije, kar vodi v bimodalne gostotne profile, saj polielektrolitna veriga tu preferira površinska vezana stanja. Pri mocnem sencenju, tj. pri velikih k, pa so elektrostatske sklopitve med makroionskim potencialom in nabojem na verigi dovolj 1Na tem mestu opozarjamo, da nam stericnost tu in v nadaljevanju disertacije ne pomeni ster-icnih efektov na racun izkljucitvenih volumnov, kot pri Floryjevi teoriji. Od tu dalje kot stericne poimenujemo efekte, ki nastanejo zaradi robnega pogoja ^o(a) = 0, da polielektrolit ne more prodreti v makroion DNK. Efektov izkljucitvenih volumnov v disertaciji nismo upoštevali! w SLIKA 4.5. Gostota polielektrolita pri parametrih k = 0.7/nm, w0 = 2 : 1 : 10, rWS = 0.8. Senčenje je tu dovolj šibko, da začne pri dovolj visokih vrednostih interakcijskega parametra w0 prevladovati elektrostatski privlak med makroionom in verigo, ki povzroči zgostitev polielektrolita v bližini makroiona. šibke, da je gostotni profil pod izdatnejšim vplivom sterike, kar namesto površinskih vezanih stanj vodi v monomodalno porazdelitev. 4.3.2. Energija osnovnega stanja. Prehod med monomodalno in bimodalno porazdelitvijo je moč zasledovati z opazovanjem gibanja maksimuma gostotne porazdelitve v odvisnosti od sistemskih parametrov. Definirajmo količino 5rmax = | rmax — rWs |, ki meri odmik lege maksimuma gostotne porazdelitve od celične površine, ki se nahaja pri r = rWS. Dokler je gostotna porazdelitev monomodalna, se njen maksimum nahaja na celični površini, tj. na sredini med makroionoma. S prehodom v vedno izraziteje bimodalno porazdelitev, pa se odmik maksimuma porazdelitve od celične površine veča. Na sliki 4.9 prikazujemo dva mehanizma prehoda iz monomodalne v bimodalno gostotno distribučijo. Na sliki je prikazano razmerje 5rmax/rmax = |rmax — rws|/rmax, ki meri relativni odmik lege maksimuma v2 (w) 0.9 0.6 0.3 0.0 j-i 1.8 1.5 1.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 w SLIKA 4.6. Gostotno polje (r) pri parametrih k = 0.7/nm, w0 = 2:1: 9, rWS = 1.8. Najbolj izrazito bimodalna distribucija ustreza najmočnejši interakciji w0 = 9, najmanj izrazito bimodalna pa w0 = 2. gostotne porazdelitve rmax od celicne površine, ki se nahaja pri r = rWS. Dokler je 5rmax/rmax = 0, je maksimum gostotne porazdelitve na površini celice, tj. na sredini med makroioni. Ko pa razmerje zraste nad nic, to implicira odmik maksimuma gostotne porazdelitve od površine celice - in torej prehod v površinsko vezano stanje. Vecja vrednost 5rmax/rmax pomeni vecji odmik maksimuma gostotne porazdelitve od površine celice in torej zgostitev verige bližje makroionov. Na tem mestu je potrebno opozoriti, da vloga x-osi na tem grafu ni vec taka kot pri prejšnjih, na katerih smo navajali gostotne profile. Pri prejšnjih grafih smo predstavili numer-icno funkcijsko rešitev za gostotno polje, ki smo jo iskali na intervalu (0, rWS]. Slika 4.9 pa je nastala, ko smo pri vsakem celicnem radiju rWS poiskali maksimum gostotne porazdelitve. Na gornjem grafu je lepo razvidno, da pri šibkem sencenju (k = 0.1/nm) do prehoda v bimodalno porazdelitev pri manjših 'kriticnih' radijih rWS^c kot pri mocnem sencenju (k = 3.1/nm). Spodnji graf pa kaže, da pri višjih in-terakcijskih jakostih (w0 = 8) do prehoda v bimodalno porazdelitev pride pri nižjih celicnih radijih rWS, kot je tudi fizikalno smiselno. Kako ob vecanju celicnega radija pride do tega prehoda oz. kaj prehod pomeni za profil gostotnega polja, kaže slika 4.10. SLIKA 4.7. Gostotni polji ^0(r) pri parametrih k = 0.1/nm, w0 = 2, rWS = 1.8 (levo zgoraj), ter pri k = 0.1/nm, w0 = 10, rWS = 1.8 (desno zgoraj). Sencenje je tu šibko, zato je lepo viden vpliv parametra w0. Levo spodaj: Pri nizkih vrednostih w0 je polielektrolit zbran večinoma na sredini med makroioni, sterične interakcije prevladuje nad elektrostatskimi interakcijami. Desno spodaj: w0 = 10 pomeni močne interakcije med makroionom in polielektrolitom, zato je tu dominantna elektrostatika in polielektrolitna veriga se navije okrog makroionov. Mosticne interakcije med makroioni so tu izdatnejše. Na sliko 4.10 smo dodali tudi graf energije osnovnega stanja E0(r), izračunan pri enakih sistemskih parametrih, ki ima natanko v točki prehoda svoj minimum. Očitno se lahko po energijskem grafu E0(r) orientiramo o tem, kje polielektrolitna veriga preide v površinsko vezano stanje. To se pri danih sistemskih parametrih w0 in k zgodi pri tisti vrednosti celičnega radija rWS, kjer ima E0(r) minimum. Na sliki 4.11 so prikazane prostorske odvisnosti energije pri različnih parametrih k = 2.8 : 0.3 : 4.0/nm in pri dveh vrednostih w0 = 4, 10. Tip črte je pri določeni vrednosti k enak za obe interakčijski jakosti, tj. w0 = 4 in w0 = 10, kar omogoča 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 W SLIKA 4.8. Vpliv inverznega radija senčenja k na gostotni profil (r)|2 pri interakcijskem parametru w0 = 10. Pri velikih k so radiji senčenja xd = k-1 majhni, zato je potencial makroiona močneje senčen. Pri določitvi gostot-nega profila monomerov (r)|2 zato sterični prispevek prevlada nad elektro-statiko in je profil monomodalen. Nasprotno pa je pri nizkih k makroionski potenčial šibko senčen in gostotni profil izdatneje narekujejo elektrostatski efekti, kar vodi v polielektrolitna površinska vezana stanja. hitro primerjavo. Opazimo lahko, da pri w0 = 4 in k = 4/nm do prehoda v površinsko vezano stanje ne pride, saj je graf E0(r) pri teh vrednostih monotono padajoč (polna modra črta na sliki 4.11). Pri k = 4/nm in večji interakčijski jakosti w0 = 10 do prehoda sičer pride, funkčija namreč ima zelo blag minimum, vendar se pojavi šele pri velikih čeličnih radijih rWS,c — 11 (polna črna črta na sliki 4.11). S padajočim inverznim radijem senčenja k, tj. s padajočim senčenjem, do prehoda prihaja vedno hitreje. Najprej do njega pride pri majhnih k, kjer je senčenje makroionskega potenčiala šibko, najkasneje pa pri večjih k, ko je senčenje močnejše. Tako je npr. rWS, c U=2.8/nm,wo=10 — °-66 , medtem ko se pri večjem k minimum lastne energije preseli k večjim radijem: rWS,cU=4.0/nm,wo=10 — 1-° • SLIKA 4.9. Dva mehanizma prehoda iz monomodalne v bimodalno porazdelitev pri večanju celičnega radija rWS. Na slikah je prikazano razmerje $rmax/rmax = \rmax rws\/rmax, ki meri relativni odmik lege maksimuma gostotne porazdelitve rmax od celične površine, ki se nahaja pri r = rWS. Gornja slika: pri konstantni interakcijski jakosti w0 = 10 smo variirali koncentracijo elektrolita oz. inverzni radij senčenja k. Spodnja slika: pri konstantnem inverznem radiju senčenja k = 0.1/nm smo variirali interakci-jsko jakost w0. 4.3.3. Osmotski tlak. Sistem (gl. sliko 1.2) smo opisali z Wigner-Seitzevo celico okrog makroiona, vloženo v velik rezervar, ki lahko prek polprepustne celične stene s celico izmenjuje ione soli, ne pa tudi polielektrolitnih verig; te iz celice ne morejo. Ustavimo se za hip še pri silah, ki jih med makroioni posreduje molekularna veriga. Te sile merimo z osmotskim tlakom polielektrolitnih verig na steno Wigner-Seitzeve celice. Z osmotskim tlakom polielektrolitnih verig na steno celice razumemo tlak, ki ga na steno Wigner-Seitzeve celica izvaja veriga, ker ji celična stena preprecuje izhod iz celice - ne govorimo torej o hidrostaticnih tlakih v sistemu. Pri izracunu osmotskih tlakov polielektrolitnih verig smo upoštevali, da je brezdimenzijski tlak p* v sistemu enak gostoti proste energije na robu Wigner-Seitzeve celice [61] (69) p* = _ (dm. P V dV = -ks TNN W=WWS dEo (wws) dV Odvod proste energije po volumnu mora biti izracunan pri konstantni temperaturi, prosta energija sistema pa je z lastno energijo povezana prek enacbe F = ksTNNE0, gl. enacbo (57). Sila oz. tlak med makroioni je sorazmerna odvodu lastne energije na površini celice. Iz slik 4.10 in 4.11 lahko torej opazimo, da v tistih podrocjih parametrskega prostora, kjer je krajevna odvisnost lastne energija nemonotona, pride do privlaka med makroioni. Kjer je odvod lastne energije SLIKA 4.10. Prehod iz monomodalne v bimodalno gostotno porazdelitev ob vecanju celicnega radija v primeru w0 = 3 in k = 0.1/nm. Z modro barvo je oznacena krivulja pri 'kriticnem' radiju rws,c = 0.8, kjer pride do prehoda. Dodan je graf energije osnovnega stanja E0 (r), ki ima natanko pri tocki prehoda svoj minimum. SLIKA 4.11. Krajevne odvisnosti energije pri različnih parametrih k = 2.8 : 0.3 : 4.0/nm in pri dveh vrednostih w0 = 4, 10. negativen, je namreč tlak med makroioni ravno tako negativen - polielektrolitna veriga torej med makroioni istega predznaka posreduje privlačne interakcije. To se zgodi zaradi entropične elastičnosti verige, ki smo jo opisali z enačbo (6). Veriga je v površinskem vezanem stanju zgoščena v bližini večih makroionov. Ce želimo makroione razmakniti, s tem raztegnemo tudi verigo, ki je med temi makroioni vzpostavila molekularne mostove. Z raztegom znižamo število možnih konformačij, ki jih veriga lahko zavzame, in torej znižamo njeno entropijo oz. povečamo njeno prosto energijo. Zaradi tega se v verigi pojavijo sile, ki želijo ponovno vzpostaviti ravnovesno stanje, tj. vrniti makroione na njihovo prejšnje mesto: zaradi prisotnosti polielektrolitne verige med makroioni že v limiti šibkega polja nastanejo privlačne sile. O tem mehanizmu in njegovih posledičah bomo podrobneje govorili tudi v poglavju 7. POGLAVJE 5 Samousklajena teorija polja za zamejene polielektrolite 5.1. Območje veljavnosti Edwardsovega modela Povzemimo najprej dosedanje korake. Naš sistem je sestavljen iz cilindričnih makroionov s površinsko gostoto naboja o, eno-enovalentnega elektrolita, ter dolge polielektrolitne verige z nabojem t na 'monomeru' Kuhnove dolžine b. Polielektro-lit smo opisali s funkcionalnim integralom oz. Greenovo funkcijo (36). Pokazali smo, da lahko v limiti šibkega polja za funkcionalni integral izpeljemo rekur-zivno formulo (45), ki je formalno identicna Schrodingerjevi enacbi. Verigo smo obravnavali v približku povprecnega zunanjega polja 0(r), za katerega smo vzeli kar makroionsko elektrostatsko polje, senceno z elektrolitom v Wigner-Seitzevi celici. Sencenje smo opisali v Debye-Huckelovi linearizaciji Poisson-Boltzmannove teorije, torej ponovno v limiti šibkega polja eo0(r) ^ 25 meV. V cilindricni geometriji smo lahko Debye-Huckelov potencial prek integrala vzdolž makroionske simetri-jske osi prepisali v modificirano Besselovo funkcijo 2. reda K0(kt) in tako izpeljali Edwardsovo enacbo (65) za šibko polje v cilindricni geometriji. Ena glavnih pomanjkljivosti zgornje metode je v tem, da razklopi zunanji potencial 0(r) in polielektrolitno gostotno polje ^(r). Pri obravnavi rezultatov moramo zato stalno imeti pred ocmi, da jih ne moremo samoumevno posplošiti na sisteme, kjer je polielektrolit mocno sklopljen z zunanjim poljem. Pokazali bomo, da se v tem primeru polji 0(r) in ^(r) vzajemno dolocujeta in razklopljena slika torej ni vec ustrezna. Formulirali bomo samousklajeno teorijo takega sistema, pri cemer se bomo tesno naslonili na soroden izracun v planarni geometriji, predstavljen v literaturi [40]. 5.2. Reformulacija teorije za močna polja 5.2.1. Hamiltonka sistema in particijska funkcija. Zapišimo Hamiltonko našega sistema. Polielektrolitno verigo bomo opisali z Edwardsovim modelom v približku osnovnega stanja, ki na skalah mnogo nad Kuhnovo dolžino b preide v Wienerjev kontinuumski model prosto povezanih palic (s Kuhnovo dolžino b in nabojem t) v zunanjem polju. Na tej skali nas lokalna elasticnost Kratky-Porod ne bo vec zanimala, prispevki k Hamiltonki bodo zgolj entropicni Wienerjeve oblike, ki pa bodo poskrbeli za entropicno elastičnost, ki smo jo opisali zgoraj, gl. enacbo (6). Celotna konturna dolžina verige je NI, celotno število verig v sistemu pa je N. Vse elektrostatske interakcije so posredovane prek Coulombskega jedra u(rj, rj) = (1/4nee0)|ri — rj |-1, kije rešitev Poissonove enacbe (70) V2u(ri, rj) = — ¿(ri — rj) eeo V našem približku bomo zanemarili nehomogeno porazdelitev naboja vzdolž verige in privzeli, da je ta vzdolž verige konstantna. Poleg tega privzamemo, da je sistem monodisperzen in so vse verige enako dolge. Hamiltonka v tej sliki potem izgleda takole (71) 3 N "N >m = 2^ dn a=1 d ra(n) dn ' 3 \ 3 + 2 S eiejrj) — 2 Neku(rk, rfc)+P Y1 ei^e(ri) . i,j Prvi clen predstavlja entropicni prispevek k energiji polielektrolitnih verig, oznaka ra pa pomeni zvezno krajevno koordinato vzdolž konture a-te verige. Indeksi i, j in k tecejo po vseh nabojih v sistemu, tj. po vseh anionih in kationih soli ter po vseh nabojih na vseh polielektrolitnih verigah. Tretji clen predstavlja regular-izacijo Hamiltoniana in le odstrani samointerakcijske clene i = j. oznacuje elektrostatski potencial zaradi fiksnih površinskih nabojev, tj. makroionov DNK, v sistemu. V tej sliki privzamemo, da v prostoru ni dielektricnih nezveznosti. V zvezni sliki Hamiltonka izgleda takole (72) 3 N ,3H = 232^ a=1 i dra(n) dn ( ~- on 0 +2 — 3 f drp2(r)Nu(r, r) + 3 drdr'p(r)p(r')u(r, r') — drp(r)0e(r), kjer je p(r) gostota vseh gibljivih nabojev (tj. soli in polielektrolitovih monomerov) v sistemu. Oblika Hamiltonke (72) je razmeroma neprikladna, saj je nelokalna - vsebuje Coulombsko jedro u(r, r'), ki zgolj posredno govori o tem, v kakšnem polju se nahaja vsak posamezni naboj v sistemu. Kar bi si želeli, je Hamiltonka, ki namesto parskih coulombskih interakcij vsebuje povprecno polje, v katerem se nahaja posamezni delec. Da bi to dosegli, Hamiltonko (72) podvržemo Hubbard-Stratonovicevi transformaciji, ki v splošnem izgleda takole (73) exp drdr'p(r)p(r')u(r, r') 0 2 A(3) J D0(r) exp ^J drp(r)0(r) - 3 JJ drdr/0(r)u-1(r, r')0(r')^ 3 / I drdr^rV-1' kjer je A(3) = (2n)N/2^det[3u-1(r, r)]. Pod korenom v A(3) ter v eksponentu pod fukcionalnim integralom po transformacijskih poljih 0(r) nastopa inverzni Coulombski potencial u-1(r, r'), za katerega velja (gl. [71]) (74) u-1(r, r') = -eeoi(r - r')V2 . Bistvo Hubbard-Stratonoviceve transformacije je preoblikovanje drugega clena v enačbi (72), ki se tako iz parske interakcije med naboji prevede na interakcijo delca s fluktuirajocimi polji 0(r), po katerih izvajamo funkcionalno integracijo. Ob upoštevanju zveze (74) lahko zapišemo (75) e-l3H = A(3) j D0(r) exp (-/A E |N dn (A^) 2 + l3 j drp(r)0(r^ x x exp ^ j dr0(r)V20(r) - 3 j drp2(r)Nu(r, r) + /J drp(r)^e(r) V nadaljevanju bomo študirali, kaj se dogaja v eni Wigner-Seitzevi celici, vloženi v velik rezervar, ki lahko s celico izmenjuje ione soli, ne pa tudi polielektrolitnih verig, ki iz celice ne morejo in se nahajajo v stanju omejenega ravnovesja. Število ionov soli v sistemu torej ne bo fiksno. Particijska funkcija sistema je zato v prispevku soli velekanonicna, v njej pa moramo upoštevati naslednja dejavnika: i) opravka imamo z N verigami. ii) prosti naboji, tj. anioni a in kationi c so med seboj nerazlocljivi in imamo zato Na,c\ razlicnih permutacij, ki dajo enako fazno vsoto. Permutacij polielektrolitnih nabojev nam na ta nacin ni potrebno upoštevati, saj so pripeti na verigo in med seboj ne morejo menjati mest. Velekanonicna particijska funkcija je zato oblike N ro ro Nc zNa r r rra r S= nEE Nr Nn DNC rDNa r / , Dr»A(3) D0(r) x a=1 Nc=0 Na=0 c' a Jr" J (76) X exp -3A g /N d^^ra^) 2 + i3 / drp(r)0(r^ x x exp ^ ^ dr0(r)V20(r) - 3 J drp2(r)Nu(r, r) + /J drp(r)0e(r) Tu kolicini zO,^ = exp(3pa,cNa c) oznacujeta ionski aktivnosti anionov in kationov, Ha,c pa je ustrezni kemijski potencial. Prva dva funkcionalna integrala v enacbi (76) pomenita vsoto po vseh možnih legah anionov in kationov v sistemu, tretji funkcionalni integral pa pomeni vsoto po vseh konfiguracijah a-te polielektrolitne verige, ki se zacne v ra' in konca v ra. Singularnost, ki jo predstavlja predzadnji, samointerakcijski clen v eksponentu zgornje enačbe, pospravimo v renormalizirano aktivnost no,a,c = za,cexp[fi/drp2(r)Nu(r, r)]. Nato združimo člene, ki so linearni v gostoti naboja p, kar nam prinese eksponent oblike exp(i^y drp(r)[0(r) - i0e(r)]). Sedaj naredimo transformacijo 0(r) ^ 0(r) + i0e(r), da se znebimo člena 0e(r). Nadalje upoštevamo, daje gostota naboja lahko prostorska (ioni), ploskovna (makro-ioni) ali linearna (polielektrolit), p(r) = pV(r)+pCT(s)+pž(n) = pV(r)+ač(r—s)+rč(r— ra). Nato v eksponentu enacbe (76) upoštevamo identiteto 0V20 = V ■ (0V0) — (V0)2 ter robni pogoj — eeoV0|rob = a. Robni pogoj nam kasneje omogoci, da se (po uporabi Gaussovega izreka) znebimo clena V ■ (0V0), ker se iznici s ploskovnim prispevkom fi/ dsai0(s). Ko vse našteto vpeljemo v particijsko funkcijo (76), se ta poenostavi v: (77) S = A(fi) Y[ !! rDNr f D0(r) G^(ra, ra', N) e-|HpB[^(r)1. a=1 • Pri tem je G^(ra, ra , N) standardna polielektrolitna Greenova funkcija, ki smo jo vpeljali že prej (gl. enacbo (36)), in je za fluktuirajoce polje 0(r) definirana kot (78) "r" / O N r N SX2 G^(ra, ra'Dra(n)exp fi£ / dn (^d^) + ^ / dn0(r») medtem ko je HPB standardni Poisson-Boltzmannov Hamiltonian, v katerem upoštevamo dekompozicijo gostote naboja na volumski prispevek pV = no(exp(fieo0) — exp(—fieo0)) = 2n0 cosh(fieo0) in površinski del pa(s) = ač(r — s) (linijskega smo pospravili v Greenovo funkcijo), in ki deluje na polje i0(r) (79) fiHpB M = 2no j dr cosh(fieo^(r)) + fi^ dsa^(s) — ^ J dr(zV0(r))2 . Gornja enacba nam omogoca fizikalno interpretacijo transformacijskih polj 0. Ker ima Hamiltonka Poisson-Boltzmannovo obliko, lahko recemo, da so transformacijska polja kar z imaginarno enoto množena elektrostatska polja v sistemu. Še bolj zgošcen zapis particijske funkcije dobimo, ce vpeljemo povprecje oblike (80) < f >4>= j D0(r) e-lHpB [i^(r)1 f . V tem primeru sledi (81) S = A(fi) n^Jj d3rd3r' G^(ra, ra', N . Kolikor je zgornji zapis S eleganten, pa ni najbolj pripraven. Precej bolj koristno je, ce v eksponent enačbe (77) spravimo tudi logaritem Greenove funkcije, kar je seveda isto kot če nam Greenova funkcija direktno nastopa kot faktor zraven exp(-PHpb ). V tem primeru dobi particijska funkcija (77) obliko, kije standardna v kvantni teoriji polja, namrec (82) S = ) ^ D0(r) e-^ , kjer smo funkcional akcije S$ definirali v obliki (83) = Hpb [¿0] - kbTn ln (^jf G$(r, r', N)d3 r d3r^ . 5.2.2. Minimizacija funkcionala S$. Particijske funkcije (82) ne moremo iz-racunati analiticno, lahko pa se iz nje veliko naucimo, ce se problema lotimo nu-mericno, gl. [46]. Vpeljemo samousklajena polja, ki jih definiramo kot tista, ki minimizirajo funkcional akcije in zadošcajo enacbi (84) S^' pri cemer predstavlja funkcionalni odvod funkcije f (x) po funkciji g(y). Iz enacb (83) in (84) torej sledi bUpB[¿0] , , i (85) - kBTN^-- ln i / I G$(r, r', N)d3r d3r' ) =0 . S0( r) S0(r) V nadaljevanju bomo uporabili naslednji formuli za funkcionalno odvajanje integralov funkcionalov: s r , ....... „ . s r , fdf(y)\ 2 (86) dyg(f(y))=g'(f(x)) in *fwLd»Un = -2/"(x)- Formuli sta preprosto dokazljivi, gl. npr. [93], str. 124. V enacbi se bomo funkcionalnega odvoda vsakega clena lotili posebej. Pri tem bo koristno, ce najprej eksplicitno izracunamo funkcionalni odvod Greenove funkcije (87) A A f r»,N) = ^ exp 3 rN /dra(n)\2 rN -2P.L +lPT.1 dn0(r>)) s N N xprGJra, r'a,N) r/, , ^ dn0(ra(n)) = xprGJra, r'a,N) dn S(r(n) - r a(n)). s9(r(n)) Jo Jo Sedaj lahko uporabimo kompozicijsko identiteto (52) in za funkcionalni odvod Green- ove funkcije dobimo (88) 0 i' i'N —GAra, r'a, N) = ipr dr"a / dnGJr'a, r"a, N - n)GJr"a, ra, n)S(r(n) - ra(n)). 00 J Jo Z znanim odvodom (88) lahko pri funkcionalnem odvodu logaritma, ki nastopa v funkcionalu akcije S^, postopamo takole: (89) -0- ln , , d3ra d3r/aG^(ra, r'a, N) 00 1 ^ ^ j3„a j 3 /a 0 /a ta t.-3- U r U r — G M 3 a 3 a a a ff d3ra d3r/aG^(ra, r/a, N) ipr J j d3ra dYa-°-G^(ra, r/a, N) ff d3ra d3r/aG^(ra, r/a, N) x x d3rad3r'a J dr"a / dnG^(r'a, r"a, N - n)G^(r"a, ra, n)5(r(n) - ra(n)) = = iPrp^(r) . pri cemer smo ponovno prišli do formule za polielektrolitno gostoto (53), le da tokrat v sistemu z nenicelnim poljem 0(r) = 0: JJ d3r"a d3rto f0N dn G^(r'a, r//a, N - n)G^(r"a, r, n) (90) P^(r) = ff d3r d3r'aG^(r, r^, N) . Ker je particijska funkcija po definiciji realna in pozitivna za vsak fizikalni sistem [47], mora biti količina I0(r) realna. Zato naredimo transformacijo 0(r) ^ I0(r), gl. npr. [47], [40], [46] in [59]. Oglejmo si še funkcionalni odvod Poisson-Boltzmannove proste energije HPB. Funkcional proste energije lahko odvajamo clenoma in pri tem uporabimo formuli (86). Sledi (91) 0Hpb eeo 0 [ ^ 0 [ ,, 0 -T00/ dr (V0)2 - 2kBTnoJ dr cosh^) - 00/ d2r 0a 00 2 = eeoV20(r) - 2kBTn0 sinh(^eo0), medtem ko zadnji, površinski clen v prvi vrstici enacbe (91) ob predpostavki elek-tronevtralnosti sistema poskrbi za ustaljeni elektromagnetni robni pogoj (gl. komentar nad enacbo (77)): too\ d0(r) (92) -tto^— = a , d n kjer je n lokalni normalni vektor na površino Wigner-Seitzeve celice. Sedaj poznamo oba funkcionalna odvoda iz enacbe (85). Z minimizacijo funkcionala akcije smo torej prišli do sistema diferencialnih enacb, ki predstavljata samousklajeni enacbi polja za polielektrolitno verigo, potopljeno v elektrolitno kopel: (93) eeoV20(r) - 2ksTno sinh(3eo<) - rNp^(r) = 0 (94) -tto^— = a. d n CCe se želimo lotiti reševanja sistema (93), moramo poiskati eksplicitno funkcijsko odvisnost za p$. Tu nimamo prav veliko možnosti - uporabili bomo približek dominantnega osnovnega stanja (56), G$(r, r',N) ~ ^o(r)^o(r') exp(-EoN). V tem približku je gostota polielektrolita (95) p$(r) = U d3r'' d3r' /oN dn^o(r')^o(r'')e-Eo(N(r'')Mr)e-£or U d3r d3r'^o(r)^o(r')e-£°N = N|^(r)|2 . S tem korakom smo nelinearno sklopili polji <(r) in ^(r), sistem (93) pa predstavlja komplementarno enacbo k Edwardsovi enacbi (45). Ce tudi v enacbi (45) Greenovo funkcijo zapišemo v približku osnovnega stanja, dobimo enacbi samousklajenih polj (96) eeoVi<(r) - 2ksTno sinh[/eo<(r)] - tNN|^(r)|2 = 0 /2 (97) - - V^(r) + /T<(r)^(r) - £^(r) = 0 , 6 pri cemer je = r-1(d/dr)(rd/dr) ponovno radialni del Laplaceovega operatorja v cilindricnih koordinatah. Zgornji diferencialni enacbi (96) in (97) sta osnovni enacbi našega sistema in njune rešitve predstavljajo temeljni vsebinski problem disertacije. Ocitno je, da se sistem v odsotnosti elektrolita poenostavi v Poisson-Boltzmannovo enacbo (28). Ob prisotnosti elektrolita pa sistem pomeni modificirano Poisson-Boltzmannovo enacbo, kjer moramo elektrostatsko polje samouskla-jeno dolociti skupaj z gostoto nabojev v sistemu. Imamo torej sistem cetrtega reda z neznanim parametrom Eo. Navedimo robne pogoje. Eden od robnih pogojev bo ponovno zahteval, da odvoda gostotnega in elektrostatskega polja na površini celice izgineta, s tem simuliramo makroionsko heksagonalno mrežo; drugi robni pogoj mora poskrbeti, da je interakcija med polielektrolitno verigo in makroioni stericna in je gostotno polje v na površini makroiona enako nic; tretji robni pogoj pa upošteva, da je elektrostatsko polje <(r) soda funkcija razdalje med makroionoma. Ne glede na to pa mora zanj veljati standardni elektromagnetni robni pogoj (92). Ker moramo hkrati ohranjati število monomerov, lahko k navedenim pogojem dodamo še normalizacijsko zahtevo za gostotno polje, od koder bomo določili E0. Po vrsti so robni pogoji, ki spadajo k enačbama (96) in (97), torej naslednji (98) 7;—(r = rws) d n =0 (99) -0(r = a) =0 (100) dn (r = r ws ) d n =0 (101) -eeo dn(r =a) = a (102) i dr|^(r)|2 = 1 Pri tem je a radij makroiona DNK, rWS pa radij Wigner-Seitzeve celice. S temi dodatnimi pogoji je naš sistem (96) in (97) popolnoma določen in se lahko lotimo njegovega reševanja. Preden to storimo, določimo še prosto energijo sistema: določimo jo iz partičijske funkčije (82) s pomočjo zveze F(r) = — (^V)-1 lnS, torej (103) F (r) = - (£V )-1 ln ^ D0(r) x x exp j — PHpb[0] + Nln Qj G^(r, r', N)d3r d3r'^ Ker ne smemo zamenjati logaritma in funkčionalne integračije, smo prisiljeni par-tičijsko funkčijo aproksimirati z nečim, kar bomo znali logaritmirati. Ker v funk-čionalnem integralu v enačbi (103) integriramo po vseh možnih funkčijskih oblikah polja 0(r), je običajen trik kar aproksimačija integrala z eksponentom funkčionala akčije S^, izračunanega v sedelni točki (ang. saddle-point approximation), kjer je ¿S^/&0(r) = 0. Torejtakole (104) j D0(r) e-^ ~ exp [-^S^] , kjer je S^ funkčional, ki deluje na poljubni polji 0(r) in funkčional SS°F pa je isti funkčional, izračunan v sedelni točki, ki jo določata samousklajeni rešitvi enačb (96) in (97). S tem integračijo po vseh možnih, še tako eksotičnih oblikah polja 0(r) nadomestimo z eksponentom akčije tistega polja, ki je rešitev Euler-Lagrangevih enačb (96) in (97). Kaj s tem pridobimo? Ko enkrat numerično rešimo dotični sistem (96) in (97), tj. ko poznamo samousklajeni polji 0(r) in ^(r), lahko prosto energijo sistema izračunamo s pomočjo formule (103) takole (105) F (r) = - --V lnS = ^bTN(N/S)Eo (r) + Hpb (r)/S. Prvi clen v gornji enacbi, ki opisuje polielektrolitni prispevek k prosti energiji sistema, dobimo iz enacbe (104), ce Greenovo funkcijo zapišemo v približku osnovnega stanja G$(r, r', N) - ^(r)^o(r')e-£°N . Drugi clen predstavlja obicajno Poisson-Boltzmannovo Hamiltonko (106) PHpb[0] = 2no j dr cosh(/eo0(r)) + /3 £ d sa0(s) - ^ J dr(V0(r))2 , ki po vrsti vsebuje prispevke soli, površinskih nabojev in zunanjega polja. POGLAVJE 6 Reševanje Euler-Lagrangevih samousklajenih enacb V razdelku predstavljamo reševanje samousklajenega (v nadaljevanju tudi SCF, iz ang. self-consistent field) sistema sklopljenih diferencialnih enacb (96) in (97) pri dodatnih pogojih (98). Omenjeni sistem je bistveno bolj zapleten kot Edwardsova enačba, vendar na ta racun njegove rešitve ponujajo vecje bogastvo interpretacij in pojavov. Prvi korak v reševanju je ponovno transformacija SCF sistema v brezdimenzi-jsko obliko. Brez izgube splošnosti lahko privzamemo, daje naboj na posameznem monomeru enak osnovnemu naboju t = e0, ter daje površinska gostota naboja na makroionu negativnega predznaka a < 0. Zdaj uvedemo i) brezdimenzijski radij w = A^V, kjer je AD Debyev radij sencenja za eno-enovalentni elektrolit, definiran z AD1 = 2n0^e0/ee0; ii) brezdimenzijsko gostoto naboja ^e0ADa/ee0; iii) parameter elektro-statske sklopitve med gostoto polielektrolitnih verig in povprecno gostoto naboja (107) ad = (^e0/ee0)N(N/S)ad . A1 V zgornji enacbi smo numericni predfaktor pred AD, ki ima enoto dolžine, poimenovali z A-1 = (^e0/ee0)N (N/S), da bi bilo stalno eksplicitno jasno, daje razmerje ^ brezdimenzijsko. Sedaj navajamo še numericne vrednosti sistemskih konstant, ki se v naših racu-nih pogosto pojavljajo. Brezdimenzijsko gostoto naboja ^e0ADa/(ee0) v vodi z dielek-tricno konstanto e = 80 in pri sobni temperaturi kBT = 25 meV prepišemo v /-men ^e0Ad as0ad ^ a (108) -a = —0--« 9 nm ■ AD ■ — , ee0 ee0 e0 e0 pri cemer je a/e0 obratna plošcina makroionskega valja, na katerem se ob površinski gostoti a nabere naboj e0. Za molekulo DNK velj a a d nk /e0 ~ 1 nm 2. To je vred- o nost, ki ustreza linearni gostoti naboja na DNK, 1e0/1.7 A, ce molekulo aproksimiramo s togim valjem s premerom 1 nm. Kuhnovo dolžino polielektrolita smo na podlagi eksperimentalnih podatkov postavili na 1 nm, kar ustreza ~ 3 — 6 monomerom v polifosfatnih ali poliakrilatnih verigah (gl. [72]). V našem modelu zanemarimo vplive, ki jih imajo coulombske elektrostatske interakcije na Kuhnovo dolžino. Ce nadalje vpeljemo še brezdimenzijsko polje p = fieo<, lahko na podlagi povedanega samousklajen sistem (96) in (97) zapišemo v brezdimenzijski obliki (112) A„.\WWS=rwSD 0 . £4 + i^ + 6(Ad//)2(Eo - p)V = 0 dw2 w dw (109) ^ + -dp - sinh p + (\D/A^2 = 0 dw2 w dw Elektromagnetni robni pogoj se sedaj glasi /1im dp Peo AD (110) ■^—|w=a/XD = -a dw ' D eeo Nepredirnost makroionske površine zapišemo z robnim pogojem (111) ^w=a/XD =0 , medtem ko Wigner-Seitzev robni pogoj zahteva niclo odvoda polielektrolitnega gos-totnega polja na površini Wigner-Seitzeve celice: dw' Normalizacijski pogoj se sedaj glasi r rwsAd / ^2(w)2nwdw = 1. J a/\D Pri tem je a polmer molekule DNK, in predstavlja notranjo površino Wigner-Seitzeve celice, rWS pa je zunanji celicni radij. Tudi tokrat smo SCF enacbe reševali numericno v okolju Matlab. Ponovno smo uporabili strelsko metodo po vrednostih gostotnega polja r^2(wWS) na površini Wigner-Seitzeve celice; šele s tem je sistem dobro dolocen in ima dovolj dodatnih pogojev za dolocitev polj p in ^(r) ter energije osnovnega stanja Eo. Vecina problemov, s katerimi smo se srecali med reševanjem, je podobna tistim iz razdelka 4.3, posebno velike težave pa smo imeli s preskakovanjem v višja stanja, kjer ima ^2(r) znotraj Wigner-Seitzeve celice vec kot eno niclo. Tu se je kompleksnosti ustrezno jasneje pokazala obcutljivost reševanja robnih problemov na zacetni približek. 6.1. Algoritem reševanja V bližini izhodišca smo rešitve sistema (109) sicer še lahko iskali na podoben nacin kot pri reševanju Edwardsove enacbe, za vecje radije Wigner-Seitzeve celice pa je tisti algoritem prenehal konvergirati in potrebno je bilo izdelati novega. Novi algoritem zacne z inicializacijo sistemskih parametrov (a, AD, (AD/Ai)2) in wWS. Nato v prvem koraku postavimo polje ^ na nic in zacnemo z naslednjo iteracijo. Opišimo prvi cikel iteracije. Najprej rešujemo enacbo (113) ^ + -^ + 6(Ad//)2^ = 0 . dw2 w dw Gornjo enacbo smo reševali s kombinacijo strelske metode in Matlabovih opti-mizacijskih algoritmov, s katerimi smo minimizirali kolicino |1 - 2n J dww^2| in tako zadostili normalizacijskemu pogoju. Shema v iteraciji uporabljenih strelskih in optimizacijskih metod je bila naslednja. Pri danih (a, AD, (AD/A1 )2) in wWS smo si izmislili robni pogoj ^(wWS) in z bvp4c rešili enacbi (113) ali (115) (pri enacbi (114) strelske metode ne potrebujemo). Nato smo preverili normalizacijski pogoj |1 - J 2nwdw^21, in ce je bila razlika vecja od 0.15, smo povecali ^(wWS). Tako smo nadaljevali, dokler razlika ni padla pod 0.15. Tako smo s streljanjem približno dolocili ustrezno vrednost ^'(wWS) - za natancno dolocitev smo nato uporabili že omenjeni algoritem fminbnd za omejeno optimizacijo, ki je dolocil odvod na robu celice dovolj natancno, daje veljalo |1 - / 2nwdw^2| < 10-6. A vrnimo se nazaj k opisu iteracije. Iz enacbe (113) dobimo približek ^(o) za polielektrolitno gostotno polje ki ga potem v naslednjem koraku nesemo v enacbo 0. (114) ^ + - sinh^i, + (Ad/Ai)2^2o, Enacbo (114) rešimo z Matlabovo rutino bvp4c - tokrat streljanja ne potrebujemo - ter si tako zagotovimo vektor približkov (^(1), (w) pri parametrih a = 0.1 : 1 : 5.1 aDNK, AD = 1.1 nm, (AD/A1)2 = 0.1. Gostota polielektrolita je vtem primeru nizka, zato mora biti Poisson-Boltzmannova slika veljavna. Kot vidimo, povecevanje gostote naboja na makroionu ni pomemben dejavnik, torej ob nizki gostoti polielektrolitov (in v primeru (AD/A1)2 = 0.1 je temu tako) sklopitev med makroionom in polielektroliti ne more kaj dosti vplivati na sistem. Dominantna tako ostaneta prispevka ionskega oblaka in makroiona, kar pa je seveda natanko SLIKA 6.5. Primerjava rešitev Poisson-Boltzmannove enačbe (28) (modri kvadratki) s samousklajenim poljem 0(r) (zvezni črni grafi) pri parametrih a = 6 aDNK, Ad = 0.7 : 0.2 : 1.7 nm, (AD/Ai)2 = 1. makroionska gostota naboja je tu zelo visoka, razmerje (AD/Ai )2 pa dovolj nizko, da očitno gostota polielektrolitov še ni dovolj velika, da bi pomenila kaj več kot perturbacijo k Poisson-Boltzmannovi rešitvi za polje ^(w). Poisson - Boltzmannova slika - in ujemanje mora biti popolno, kot tudi je: Poisson-Boltzmannove rešitve so prikazane z modrimi kvadratki in lepo sovpadajo s črno črto, ki predstavlja rešitve samousklajenih enačb za primer nizke polielektrolitne gostote. Slika 6.5 prikazuje situacijo z izredno visoko gostoto naboja na makroionu, vendar je hkrati razmerje (XD/Xi)2 = 1 očitno dovolj nizko, da sta prispevka ionskega oblaka in makroiona še vedno dominantna. Opazen je sicer rahel odmik Poisson-Boltzmannovih od samousklajenih rešitev. Ceprav torej ujemanje ni več tako popolno kot na sliki 6.4, pa Poisson-Boltzmannova slika še vedno ostaja v najnižjem redu ustrezen opis. Slika 6.6 kaže primerjavo med Poisson-Boltzmannovo rešitvijo (modri kvadratki) ter SCF rešitvami pri različnih gostotah polielektrolita v celici. Kot je pričakovati, se v primeru majhnih polielektrolitnih gostot Poisson-Boltzmannov opis dobro ujame s samousklajenim (najbolj zgornja krivulja na sliki 6.6). Cim pa povečamo gostoto verig v sistemu, postane ta opis popolnoma neustrezen, kar je na sliki 6.6 lepo vidno . Slike 6.6, 6.7 in 6.8 zelo nazorno kažejo, kakšen vpliv ima polielektrolit v sistemu na elektrostatski potencial v sistemu. Zanimiva je tudi primerjava med slikama 6.5 in 6.8. Razmerje (AD/Ai)2 je pri obeh enako, le da imamo enkrat visoko, drugic pa nizko nabit makroion. Na sliki 6.5 so dolžine senčenja med AD = 0.7 - 1-7 nm, na sliki 6.8 pa med AD = 0.01 - 3.01 nm. Rešitve za polja p(w) pri enakih vrednostih (AD/Ai)2 in AD so ne glede na razlike v a v obeh primerih zelo podobne. V tem razdelku je bilo predstavljenih zgolj malo rešitev za gostotne porazdelitve in sorazmerno več za elektrostatski potencial Za to smo se odločili, da smo jasneje ilustrirali, da naše samousklajene numericne rešitve konvergirajo k pravi, tj. k nemodificirani Poisson-Boltzmannovi limiti, ko gostoto polielektrolitov limitiramo proti nic. Gostotni profili bodo še dodatno predstavljeni v naslednjem razdelku ter tudi pri analizi vedenja osmotskega tlaka v sistemu. SLIKA 6.6. Primerjava rešitev Poisson-Boltzmannove enacbe (28) (modri kvadratki) s samousklajenim poljem p(w) (zvezni crni grafi) pri parametrih a = 0.1 aDNK, Ad = 0.26 nm, (AD/Ai)2 = 0.01 : 1 : 5.01. Variacija razmerja (Ad/Ai)2 ima, vsaj kar se tice odmika od Poisson-Boltzmannove teorije brez polielektrolitnih verig, precej vecjo težo kot variacije makroionske gostote naboja a. SLIKA 6.7. Primerjava rešitev Poisson-Boltzmannove enačbe (28) (modri črtkani grafi) s samousklajenim poljem 0(r) (zvezni Crni grafi) pri parametrih a = 0.3 aDNK, AD = 0.01 : 0.25 : 3.76 nm, (AD/Ai)2 = 5. Visoko razmerje (AD/Ai)2 implicira visoko vsebnost polielektrolita v Wigner-Seitzevi celici, zato postanejo rešitve Poisson-Boltzmannove enačbe popolnoma neustrezne. To se lepo vidi že na sliki 6.6. SLIKA 6.8. Primerjava rešitev Poisson-Boltzmannove enačbe (28) (modri črtkani grafi) s samousklajenim poljem 0(r) (zvezni Crni grafi) pri parametrih a = 0.1 aDNK, Ad = 0.01 : 0.25 : 3.01 nm, (AD/Ai)2 = 1. POGLAVJE 7 Lastne in proste energije sistema. Sile med makroioni. 7.1. Lastne energije V prejšnjem razdelku smo prikazali rešitve za polji ^(w) in y(w), ki smo ju določali samousklajeno iterativno. Sedaj predstavljamo vedenje najnižje lastne energije E0 (delamo v približku dominantnega osnovnega stanja), gostote proste energije F ter p-V fazne diagrame našega sistema. Lastno energijo osnovnega stanja E0 smo hkrati z normalizacijo polja ^(w) določili s strelsko metodo, gl. razdelek 6. Na ta način polielektroliti vplivajo na interakcijo med makroioni. Dokler smo v limiti ozke celice, je polielektrolit stisnjen med makroione in polielektrolitno posredovana interakcija med njimi je stericna odbojna, kar nakazujejo pozitivne vrednosti lastne energije pri majhnih radijih, še bolj pa divergence tlaka v ozkih celicah. Do stericnih vplivov pride ne glede na vse ostale sistemske parametre - ko celico dovolj zožimo, postanejo vrednosti E0 pozitivne. Ta efekt nastane zaradi robnega pogoja ^|w=Ka = 0, ki zahteva, daje gostota polielektrolita na površini makroiona enaka nic. Ko radij celice povecamo, se zacne pri dovolj visokih gostotah naboja in dovolj velikih Debyevih radijih sencenja polielektrolit gostiti v bližini makroionske 4.2 pfrpn—i—1—i—1—i—1—i—1—i—1—i—1—i—1—i—1—i—'—=b : ,n 1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-<-1-1-r SLIKA 7.1. Leva slika: Gostotni profili in lastna energija E0(w) pri ra-zlicnih celicnih radijih pri parametrih a = 6 aDNK, AD = 1.3 nm, (XD/Ai )2 = 1. Desna slika: lastne energije E0(w) pri parametrih a = 6 aDNK, AD = 0.7 : 0.2 : 1.7nm, (Ad/Ai)2 = 1. SLIKA 7.2. Krivulje lastne energije in gostote monomerov ob variaciji makroionske gostote naboja pri fiksnih AD in (AD/Ai)2, tj. pri parametrih a = 0.1 : 1 : 5.1 aDNK, AD = 1.1, (AD/Ai)2 = 0.1. Variacija a ne vpliva na pozicijo minimuma lastne energije. površine, kar implicira vzpostavitve molekularnih mostov med makroioni in vodi v privlačne interakcije med njimi. V razdelku z rešitvami Edwardsove enačbe smo na sliki 4.10 prikazali gostotne profile pri različnih celičnih radijih, kjer je lepo vidno, da je imela lastna energija v točki prehoda iz monomodalne v bimodalno gostotno porazdelitev svoj minimum. V primeru močne sklopitve verige z zunanjim poljem to ne velja več - minimum lastne energije ne sovpada več s prehodom. To je prikazano na levem grafu slike 7.1, kjer na levi strani prikazujemo gostotne profile pri različnih celičnih radijih, na desni strani pa vpliv Debyevega senčenja na vedenje lastne energije. Iz levega grafa je razvidno, da do prehoda v površinsko vezano stanje pride precej zatem, ko je šla lastna energija skozi svoj minimum. To razhajanje z Edwardsovo enačbo utemeljujemo s tem, da v primeru samouskla-jenega določanja polj ^(w) in ^(w) lastne energije ne določa več zgolj polje ^(w). Na sliki 4.10 je bil k = XDi fiksen, torej je bil potencial 0(w) pri različnih celičnih E0(w) 4.5 2.0 2.5 4.0 3.0 0.5 3.5 1.5 1.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 w SLIKA 7.3. Krivulje lastne energije pri nizki makroionski gostoti naboja in različnih vrednostih AD; grafi so narisani za parametre a = 0.1 aDNK, AD = 0.01 : 0.25 : 3.01 nm (od zgoraj navzdol), (AD/A1)2 = 2.5. V vloženem grafu nekaj gostotnih porazdelitev pri istih parametrih. Korelacij med funkcijsko odvisnostjo E0 in prehodom v površinska vezana stanja ni vec. radijih in pri različnih vrednostih sklopitvenega parametra w0 prav tako fiksen. V SCF primeru pa se polje ^ določa hkrati s poljem zato vsaka sprememba polja ^ implicira tudi spremembo polja Lastna energija E0 se v Edwardsovem primeru določa skupaj z gostotnim poljem ^, v SCF primeru pa skupaj z gostotnim in elektrostatskim poljem to pa pripelje do prikazanega zamika med minimumom lastne energije in prehodom v bimodalno distribucijo. Lastna energija ni vec ustrezen indikator prehoda, kar se najlepše vidi na sliki 7.3. Ceprav so krivulje lastnih energij monotone in ohranjajo predznak, sistem vseeno preide v - sicer zelo blago, pa vendar - površinsko vezano stanje. To jasno kaže sliki 7.3 vloženi graf, ki prikazuje gostotne profile (w) pri tistih parametrih, pri katerih smo racunali tudi prikazane lastne energije. Oglejmo si še sliki 7.4 in 7.5. Prva prikazuje grafe lastnih energij v primerih a = 0.1 aDNK ter a = 4.1 aDNK pri razlicnih vrednostih (Ad/A1 )2. Pri nizki vrednosti XD = 1 je vedenje lastne energije monotono ne glede na a in (AD/A1 )2. Krivulje (AD/A1 )2 = 0.1, 1.1, 2.1 so pri a = 0.1 zelo rahlo razmaknjene, pri a = 4.1 aDNK pa je njihov vpliv izdatnejši, gl. sliko 7.5. Po pricakovan-jih se pri nizki makroionski gostoti naboja (gl. levi graf slike 7.4) energija vede monotono, pri visokih (desni graf iste slike) pa ne. Gostota naboja na makroionu ima torej, kar se tice splošne funkcijske odvisnosti E0(w, a, AD, (AD/A1 )2), tu podoben SLIKA 7.4. Leva slika: grafi lastnih energij pri parametrih a = 0.1 aDNK, AD = 0.1, 1.1 nm, (AD/Ai)2 = 0.1, 2.1, 4.1. Desna slika: grafi lastnih energij pri parametrih a = 4.1 aDNK, AD = 0.1, 1.1 nm, (AD/Ai)2 = 0.1, 2.1, 4.1. Grafi za navedene vrednosti (AD/Ai)2 si sledijo pri določenem a in Ad od spodaj navzgor. vpliv kot pri Edwardsovem primeru, hkrati pa ni več jasnih korelacij med minimumom lastne energije in prehodom v površinsko vezano stanje. Iz slike 7.2 je moč natančneje sklepati, da variacija makroionske gostote naboja očitno ne vpliva na lego minimuma lastne energije. Podobno kaže tudi slika 7.5, kjer prikazujemo krivulje lastne energije pri fiksni vrednosti Debyevega radija XD = 1.1 ter pri treh različnih vrednostih makroionske gostote naboja in razmerja (AD/Ai)2, ki meri gostoto polielektrolitov. Kar je zanimivo pri rezultatih, prikazanih na slikah 7.4 in 7.5 - in se tudi nanaša na zgoraj povedano - je dejstvo, da na lego minimuma ne vplivajo niti variačije o (torej lastnosti makroionov) niti razmerje (AD/Ai)2 (torej gostota polielektrolitov). Kot kaže, je edini parameter, ki vpliva na lego minimuma lastne energije, Debyev radij AD. Ta na lego močno vpliva, kar kaže na to, kako pomembno vlogo v sistemu igra sol. Cim večji je Debyev radij, v tem ožji Wigner-Seitzevi čeliči energija doseže svoj minimum. To je razumljivo, saj izjemno majhen Ad pomeni zelo veliko zasenčitev makroionskega potenčiala, temu primerno pa v gostotni porazdelitvi začnejo dominirati entropijski prispevki, ki preferirajo zgostitve na površini čeliče. Podobno, čeprav nekoliko manj izrazito vedenje opazimo tudi v obnašanju rešitev Edwardsove enačbe, gl. sliko 4.11. Tudi tam Debyev radij narekuje pozičijo minimuma lastne energije. w SLIKA 7.5. Grafi lastnih energij pri parametrih a = 0.1,2.1,4.1 aDNK, Ad = 1.1, (Ad/Ai)2 = 0.1,1.1,2.1 (pri danem a od spodaj navzgor). Variaciji a in (AD/Ai)2 ne vplivata na pozicijo minimuma lastne energije. To je vidno tudi na sliki 7.4. 7.2. Proste energije in sile med makroioni Interakcijo med enako nabitima makroionoma v prisotnosti polielektrolita narekujejo trije mehanizmi. i) Entropicni prispevki k stericnim interakcijam med makroionom in verigo, ki vedno pomenijo odboj makroionskih površin. ii) Sencena elektrostatska interakcija med nabitima površinama, ki prav tako vodi do odbojnih interakcij. iii) Mehka adsorpcija polielektrolita na obe nabiti površini, ki izvira iz direktnih elektrostatskih interakcij med polielektrolitom in nasprotno nabitima makroionskima površinama. Izraz mehka adsorpcija pomeni kvalitativno drugacno fizikalno vsebino kot pri 'obicajni' adsorpciji, gl. [40]. Obicajno se vzame adsorpcijsko energijo za konstantno in neodvisno od sistemskih parametrov, oz. ona sama je sistemski parameter. To vodi v situacijo, kjer je lastna energija sistema E0(w) monotona funkcija, gl. [40]. V primeru mehke adsorpcije elektrostatskega izvora pa adsorpcijska energija ni konstantna, temvec je odvisna od sistemskih parametrov na netrivialen nacin, ki ga eksplicitno niti ne poznamo. Boj omenjenih treh mehanizmov za prevlado v sistemu pripelje do nemonotonega vedenja lastne energije, proste energije in tudi sile med makroionskimi površinami. SLIKA 7.6. Shematski prikaz polielektrolitnega mostičenja, ki vodi v privlake med enako nabitimi makroioni. Veriga je narisana s črno črto, makroioni DNK pa kot sivi vodoravni valji. Levo: veriga v ozki celici. Gos-totno porazdelitev v največji meri določa robni pogoj ^(a) = 0, da veriga ne more prodreti v makroion DNK. V tem režimu je sistem efektivno električno nevtralen in elektrostatika ne pride do izraza. Dominantne sile so sile zaradi izključevanja verige iz makroiona in tlak v sistemu je pozitiven. Desno: veriga v široki celici. Sile zaradi izključevanja verige iz makroiona niso več prevladujoče. Do izraza pride elektrostatika: veriga se zgosti v bližini makroionov, ter med njimi vzpostavi molekularne mostove. Zaradi entropične elastičnosti verige molekularni mostovi posredujejo med enako nabitimi makroioni privlačne interakcije - tlak v sistemu postane negativen. Stalnica vseh spodaj prikazanih rezultatov je sterično izključevanje polielektro-litne verige iz makroiona, ki pri majhnih makroionskih separacijah, tj. v ozkih Wigner-Seitzevih celicah, generira trdo sredico interakcije, ki vedno pomeni močno pozitivne proste energije (pa tudi tlake in lastne energije). Sistem je ob močno dominantnih steričnih interakcijah efektivno električno nevtralen. Ko makroione dovolj približamo, neizogibno prevladajo sterične odbojne interakcije, gl. levo okno na sliki 7.6. Ko makroione razmikamo, pa lahko ob ustreznih vrednostih sistemskih parametrov a, XD in (XD/Xi)2 zadanemo predele faznega prostora, kjer interakcije med enako nabitimi površinami postanejo privlačne. Ta privlak izvira iz prepleta mehke adsorpcije polielektrolitne verige na makroione ter iz njene entropične elastičnosti, ki smo jo izpeljali na začetku disertacije, v razdelku 2.1.2. Dokler so medpovršinske razdalje majhne, je polielektrolit stisnjen v prostor med makroioni. Ko makroione razmikamo in razmaknemo prek neke mejne razdalje (ki jo lahko preberemo iz spodnjih grafov tlaka v sistemu), začnemo polielektrolitno verigo, mehko adsorbirano na makroione, prav tako raztegovati. S tem nižamo število možnih verižnih konformačij, nižamo entropijo in opravljamo delo, s tem pa začne njegova prosta energija naraščati. Veriga se globalno vede elastično; ker pa je ad-sorbirana na makroione, med njimi generira privlačne interakčije, gl. desno okno na sliki 7.6. Pri velikih makroionskih separačijah lahko makroionska elektrostatska inter-akčija prevlada nad mostičnimi interakčijami, kar pomeni, da na velikih razdaljah lahko spet pride do odboja. Obstajajo torej deli faznega prostora, kjer z večanjem makroionske razdalje preidemo režime odboja, privlaka in končno spet odboja. V katerem režimu se sistem nahaja, je moč razbrati iz tlačnih krivulj. Da bi izračunali osmotski tlak v sistemu, tj. silo med makroionskimi površinami, moramo poznati prosto energijo sistema, ki jo, kot že omenjeno v razdelku 5.2.2, določimo iz partičijske funkčije S s pomočjo enačbe F(w) = — (^V)-i lnS, gl. enačbo Ker poznamo polji ^ in ^ ter E0(w), smo lahko prosto energijo računali direktno z numerično integračijo po gornji formuli. Za izračun osmotskih tlakov smo uporabili definičijo tlaka, ki tlak v sistemu enači z gostoto proste energije na središčni ploskvi med makroionoma, tj. na robu Wigner-Seitzeve čeliče: V prejšnjem poglavju smo predstavili vedenje lastnih energij na širokem področju faznega prostora (parameter o je imel vrednosti med 0.1 oDNK in 6 oDNK, (Ad/b) pa med 0.1 in 2.1). Tu predstavljamo rezultate, ki smo jih dobili pri površinskih gostotah naboja, ki so blizu oDNK. Na grafih smo skupaj prikazali lastne energije, proste energije ter osmotske tlake. Pri analizi smo se v tem razdelku osredotočili na lastne in proste energije, medtem ko obravnavo osmotskih tlakov puščamo za naslednji razdelek, kjer bomo skupaj s tlaki analizirali še fazni prehod v sistemu. Graf 7.7 kaže vedenje lastne in proste energije ter tlaka pri sistemskih parametrih o = 0.9 oDNK, Ad/b = 1.21, (Ad/Ai)2 = 0.45 : 0.02 : 0.55 in 0.65. Vrednosti (Ad/Ai)2 si od 0.45 do 0.65 sledijo od spodaj navzgor. Ce je v šibkem polju, tj. pri rešitvah Edwardsove enačbe, še veljalo, da vedenje proste energije enolično določa (105): (118) F(w) = —¿InS = TN(N/S)E0(w) + 4nn0 / dwwcosh(^e0p(w)) + (119) -0,15- -0,30- 0,45- 0,30- 0,15- 0,00- E P* F 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 W SLIKA 7.7. Lastna energija (crtkana modra crta), prosta energija (rdeca crta) in osmotski tlak (crna crta) pri sistemskih parametrih a = 0.9 aDNK, Ad/b = 1.21, (Ad/Ai)2 = 0.45 : 0.02 : 0.55 in 0.65. Vrednosti (Ad/Ai)2 si od 0.45 do 0.65 sledijo od spodaj navzgor. lastna energija, tukaj to ni vec vsa resnica. Vedenje lastne energije je monotono pri vseh parametrih, medtem ko prispevki soli in zunanjega polja poskrbijo za nemonotono vedenje proste energije. Slika 7.7 tudi že kaže nemonotono vedenje tlaka p* ter prisotnost mosticnih interakcij (kjer je p* < 0), a o tem kasneje. Naslednja grafa 7.8 in 7.9 prikazujeta sistem, v katerem je površinska gostota naboja na makroionih enaka aDNK. Graf 7.8 prikazuje E, F in p* pri parametrih a = aDNK, Ad/b = 0.91, (AD/Ai)2 = 0.35 : 0.02 : 0.45 in 0.55 (od spodaj navzgor). Graf 7.9 pa prikazuje E, F in p* pri parametrih a = aDNK, XD/b = 1.21, (AD/Ai)2 = 0.55 : 0.02 : 0.65 (od spodaj navzgor). Lastna energija na obeh grafih spet monotono pada s celicnim radijem, prosta energija pa ne. Iz primerjave obeh grafov lahko sklepamo na pomembnost elektrolitnega sencenja: pri manjšem radiju sencenja AD/b = 0.91 je prosta energija opazno bolj monotona kot pri AD/b = 1.21. To je pricakovano, saj vecji radiji sencenja omogocajo mocnejše sklopitve polielektrolita z zunanjim povr-precnim elektrostatskim poljem. Morda bi kdo oporekal, da smo hkrati z Debye-vim radijem spreminjali tudi gostoto polielektrolita (AD/Ai)2, in da torej ne moremo priti do enoznacnih zakljuckov glede vloge sencenja, vendar ta ocitek ne drži. Iz omenjenih grafov, ter tudi tistih kasneje navedenih, je razvidno, da so pri visokih gostotah polielektrolita (tj. pri visokih vrednostih (AD/Ai)2) tako energijski kot -0,25 -0,50 0,50 0,25 0,00 E P* F -0,75 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 W SLIKA 7.8. Energija, prosta energija in tlak pri parametrih a = aDNK, Ad/b = 0.91, (Ad/A1 )2 = 0.35 : 0.02 : 0.45 in 0.55 (od spodaj navzgor). tlacni profili monotoni - to pomeni, daje v sistemu nad elektrostatskimi interakcijami prevlada sterika. Kljub temu lahko v zvezi z vlogo radija sencenja pridemo do nekaterih zakljuckov, ki so popolnoma enoznacni - in to drži tudi za trditve, ki smo jih o radiju sencenja navedli zgoraj. Oglejmo si namrec omenjena grafa. Sistem, katerega vedenje prikazujemo na grafu 7.8, ima manjšo vrednost AD/b in manjšo vrednost (AD/A1 )2 od sistema z grafa 7.9. Majhen radij sencenja (AD/b = 0.91) za sistem na sliki 7.8 pomeni, da je makroion ucinkoviteje sencen kot v primeru AD/b = 1.21 na sliki 7.9. Hkrati pa ne pozabimo, da so gostote polielektrolitov na grafu 7.8 nižje od gostot na grafu 7.9. Prvi sistem je torej mocneje sencen, in z nižjimi gostotami polielektrolita. Drugi sistem je šibkeje sencen in z višjimi gostotami polielektrolita. Ce bi imela oba enaki gostoti polielektrolita, bi lahko nesporno trdili, da ima radij sencenja takšno vlogo, kot smo jo zgoraj opisali. Ker pa smo hkrati spremenili še gostoto polielektrolita, lahko to trdimo še toliko bolj, ne manj. Gostoto polielektrolita smo namrec v drugem primeru povecali v primerjavi s prvim, pa sta vendar tlak in prosta energija opazno bolj nemonotona. Ce še nekoliko povecamo gostoto naboja na površini makroiona, kot smo to storili na sliki 7.10, je prehod iz stericno dominiranega v elektrostatsko domini-rani sistem še toliko lepše viden. Slika 7.10 prikazuje E, F in p* pri parametrih -0,2- -0,1- 0,3- 0,2- 0,0- 0,1- E P* F -0,3- 0,0 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 W SLIKA 7.9. Energija, prosta energija in tlak pri parametrih a = aDNK, a D = 1.21, (A D/Ai )2 = 0.55 : 0.02 : 0.65 (od spodaj navzgor). a = 1.2aDNK, XD/6 = 1.21, (XD/Xi)2 = 0.55, 0.65 : 0.02 : 0.75 in 0.85 (od spodaj navzgor). Pri majhnih gostotah polielektrolita je sta tako E kot F nemonotona; tlak pa -kot odvod F - še toliko bolj. Za dodatno ponazoritev vpliva soli si oglejmo graf 7.11, ki prikazuje E, F in p* pri fiksni gostoti naboja a = 1.3aDNK in fiksni gostoti polielektrolita (XD/Xi)2 = 0.65, ter pri različnih vrednostih XD/6 = 0.91 : 0.05 : 1.21 (na sliki od zgoraj navzdol). Ta graf onkraj vsakega dvoma kaže, kako pomemben dejavnik je pri določanju dominance stericnih oz. elektrostatskih interakcij količina soli, tj. radij senčenja, v sistemu. Pri močnejšem senčenju XD/6 = 0.91 so grafi vseh doticnih količin monotoni, nato pa z večanjem radija senčenja, tj. z manjšanjem gostote soli, preidejo v izrazito elektrostatsko dominirano področje. Edino v zelo ozkih celicah stericne interakcije neizogibno dominirajo. Naše teoretične rezultate želimo primerjati z eksperimentalnimi. Clanka, ki bi poročal o eksperimentalni določitvi tlakov v sistemu, kot je naš (DNK v kolum-narni fazi + polielektrolit + sol) žal nismo zasledili. Obstaja pa nekaj člankov, ki poročajo o faznih diagramih DNK brez polielektrolita ter tudi o pojavljanju kolum-narnih faz in tlakih v njih, gl. npr. [15], [16] in [14]. Iz citiranih člankov lahko izvemo velikostne rede tlakov v kolumnarnih fazah DNK: gibljejo se med 0.1 — 10 pN/nm2 gl. [16], [15]. Za izračun fizikalnih vrednosti prikazanih tlakov je potrebno SLIKA 7.10. Količine E, F in p* pri parametrih a = 1.2aDNK, AD/b = 1.21, (Ad/Ai)2 = 0.55, 0.65 : 0.02 : 0.75, 0.85 (od spodaj navzgor). Povečana gostota naboja na makroionu vodi skupaj z razmeroma velikim Debyevim radijem vodi v pri dovolj nizkih gostotah polielektrolita v nemonotono vedenje lastne energije. brezdimenzijski tlak p* preračunati v dimenzijsko obliko eeo (kB T )2 (120) p (eo Ad )2 * "P , pri čemer je e = 80 dielektričnost vode, T = 25 meV termična energija pri sobni temperaturi, e0 osnovni naboj, AD pa Debyev radij solne raztopine. Pri teh vrednostih konstant se izračunani tlaki v sistemu gibljejo med —0.15 — 10 pN/nm2, kar je v okviru velikostnega reda skladno z vrednostmi, ki so jih v kolumnarnih (kristalnih in heksatičnih) fazah izmerili v [15] in [16]. Naš sistem se od merjenih v [15] in [16] razlikuje po vsebnosti polielektrolitne verige, ki lahko med makroioni posreduje privlačne interakčije, tj. povzroči negativne tlake. Ker se tlak p skalira kot 2 P ~ Ad P na spodnjih grafih raje prikazujemo brezdimenzijsko različičo p*, smo pa na vseh grafih navedli fizikalne vrednosti osmotskih tlakov za značilne točke krivulj. 7.2.1. Mosticne interakcije med makroioni in fazni prehod. Kot je razvidno iz mnogih v disertačiji predstavljenih tlačnih odvisnosti, lahko polielektrolit -0,30- -0,15- 0,00- 0,30- 0,15- P* F E -0,45-| 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 W SLIKA 7.11. Kolicine E, F in p* pri fiksni gostoti naboja a = 1.3aDNK in fiksni gostoti polielektrolita (AD/Ai)2 = 0.65, ter pri razlicnih vrednostih AD/b = 0.91 : 0.05 : 1.21 (na sliki od zgoraj navzdol). prek mehke adsorpcije med enako nabitima makroionoma posreduje privlacne interakcije. Te izvirajo iz entropicne elasticnosti verige, kije vzpostavila molekularne mostove med makroionoma in se zgostila v njuni bližini [64]. Dokler obnašanje sistema dominira entropija, je veriga zbrana na površini celice (na sredini med makroioni) in vse interakcije so odbojne. Z razmikom makroionov ali povecanjem radija sencenja ipd. postane energijsko ugodnejša mehka adsorpcija na makroion. V tem primeru imamo opravka s površinsko vezanim stanjem in ko razmikamo makroione, hkrati raztegujemo tudi verigo, ki je na njih adsorbirana. Z raztegovanjem verige nižamo število njenih možnih konformacij, zato entropija pada, prosta energija verige pa raste s kvadratom razdalje med koncema verige, kar smo pokazali v uvodu, gl. formulo (6); smo torej v elasticnem režimu. Oglejmo si sedaj izracunane sile med makroioni v solni kopeli ob prisotnosti polielektrolitnih verig. Samousklajeni sistem (109) smo reševali na širokem po-drocju faznega prostora. Kot bomo videli, je sistem ob majhnih radijih sencenja predvidljivo stericno dominiran, pri vecjih radijih sencenja in nizkih gostotah polielektrolita pa je elektrostaticno dominiran. Pokazali smo, da na zamejenem po-drocju faznega prostora (a, AD/b, (AD/A1 )2, wWS) pride do faznega prehoda ter do koeksistence dveh faz. Kar nas je v disertaciji še zlasti zanimalo, pa je prehod med tema dvema režimoma. To se najlepše vidi iz grafov osmotskega tlaka, ki imajo pri določenih vrednostih (a, AD/b, (AD/Ai)2, wWS) van der Waalsovsko odvisnost od celicnega radija. 0,50 - 0,25 -P*(w) 0,00 - -0,25 - -0,50 - 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 w SLIKA 7.12. Brezdimenzijski osmotski tlak p* v sistemu pri parametrih a = 0.8 : 0.1 : 1.3 aDNK, XD/b = 1.21, (AD/Ai)2 = 0.55. Grafi si za a = 0.8 : 0.1 : 1.3 sledijo od zgoraj navzdol. Vložene vrednosti dimenzijskega tlaka p = 66o(kBT)2p*/(e0AD)2 tako tu kot na kasnejših grafih predstavljajo iz brezdimenzijskih vrednosti izracunane maksimalne vrednosti privlacne interakcije med makroioni. Graf 7.12 prikazuje tlacne odvisnosti v sistemu pri fiksni kolicini soli in pri fiksni gostoti polielektrolita. Variirali smo površinsko gostoto naboja in rezultati niso presenetljivi. Za primera a = aDNK in a = 1.3 aDNK navajamo tudi maksimalno vrednost p = ee0(kBT)2p*/(e0AD)2 privlacne interakcije med makroioni. Tako je pmin(aDNK) = -0.04 pN/nm2 in pmin(1.3aDNK) = -0.15 pN/nm2. Pri razmeroma nizkih gostotah naboja a = 0.8aDNK tlak monotono pada s celicnim radijem (kar implicira dominacijo izkljucitvenega robnega pogoja ^(a) = 0), pri višjih gostotah pa zacnejo prevladovati elektrostatske interakcije. Tu prosta energija ni vec monotona in veriga se v ravnovesnem stanju zgošca v bližini makroionov. Pri teh vrednostih sistemskih parametrov se to zgodi brez faznega prehoda. Podobno sporocilo dobimo iz grafa 7.13, ki kaže tlacne izoionske krivulje (krivulje p*(w) pri fiksnih vrednostih AD/b) pri treh razlicnih gostotah naboja, dveh radijih SLIKA 7.13. Osmotski tlak pri treh različnih gostotah naboja (a = 0.9, 1, 1.3aDNK), dveh radijih senčenja (AD/b = 0.91, 1.21 od zgoraj navzdol) in fiksni gostoti polielektrolita ((AD/A1)2 = 0.35). SLIKA 7.14. Osmotski tlak pri parametrih a = aDNK, AD/b = 0.91, (AD/A1 )2 = 0.35 : 0.05 : 0.85 (od spodaj navzgor). Vložena vrednost p = -0.016 pN/nm2 označuje maksimalno velikost privlačne interakcije med makroioni v primeru a = aDNK, AD/b = 0.91, (AD/A1 )2 = 0.35. senčenja in fiksni gostoti polielektrolita. Tu lahko hkrati opazujemo vpliv gostote naboja na makroionu in vpliv variačije radija senčenja pri dotični gostoti. Pri a = 0.9 aDNK pri majhnem radiju senčenja dominira sterika (še enkrat opozarjamo, da za monotone profile tlaka tu ni odgovorna sterika v smislu izključitvenih volumnov, temveč robni pogoj ^(a) = 0, ki verigi ne pusti prodreti v makroion), pri večjem pa elektrostatika. Pri radiju senčenja AD = 1.21 nm navajamo še največje vrednosti polielektrolitno posredovanih privlačnih interakčij p = ee0(kBT)2p*/(e0AD)2 pri vseh treh gostotah naboja na makroionih. Velikost privlačnih interakčij je močno odvisna od površinskega naboja na makroionu in z večanjem a strmo narašča. Pri višjih gostotah naboja elektrostatika dominira ne glede na radij senčenja, vseeno pa je pri večjih radijih senčenja dominačija izdatnejša. Na grafu 7.14 so prikazane tlačne krivulje za molekulo DNK pri AD/6 = 0.91 in (Ad/Ai)2 = 0.35 : 0.05 : 0.85 (od spodaj navzgor). Pri (AD/Ai)2 = 0.35 pri dovolj velikih čeličah prevladajo elektrostatski vplivi, pri ostalih primerih pa povsod dominira sterika. Faznega prehoda med različnimi fazami tu ni opaziti, najdemo pa ga, če povečamo radij senčenja na AD/6 = 1.21, gl. še sliko 7.16. W SLIKA 7.15. Levo: Shematski prikaz koeksistenčne in spinodalne krivulje. Na področju med koeksistenčno krivuljo (črne točke) in spinodalno krivuljo (bele točke), obstajajo metastabilna stanja sistema. Desno: Shematski prikaz soobstoja dveh faz s heksagonalno simetrijo. Znotraj manj urejene faze (sivi valji) se nahajajo otoki bolj kristalizirane faze (rumeni valji). Molekularno verigo predstavlja rdeča nit. Levo okno slike 7.15 prikazuje van der Waalsovske izoterme ter spinodalno in koeksistenčno krivuljo. Spinodalna krivulja zamejuje področje z negativno stislji-vostjo. Taka stanja so nestabilna in v naravi ne morejo obstajati. Med koeksistenčno in spinodalno krivuljo je področje metastabilnih stanj, izven koeksistenčne krivulje pa - dokler smo pod kritično izotermo - ena ali druga faza, kot kaže levo okno. Na desnem oknu slike 7.15 je skica sistema med faznim prehodom. Ce začnemo iz stanja s široko celico ter potujemo po izotermi k ožjim celicam, se med faznim prehodom zacnejo v manj urejeni fazi (faza I, sivi valji) pojavljati otoki druge faze (faza II, rumeni valji), ki na tocki, ko preidemo koeksistencno krivuljo na levi strani, napolnijo celoten sistem. 0,06 0,03 P*(w) 0,00 -0,03 -0,06 -0,09 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 w SLIKA 7.16. Osmotski tlak v bližini faznega prehoda pri parametrih a = a dnk , A D/b = 1.21, (Ad/Al )2 = 0.55 : 0.02 : 0.65 (od spodaj navzgor). Z rdecimi tockami so oznacene tocke koeksistencne krivulje, z modrimi pa tocke spinodalne krivulje. Na sliki 7.16 prikazujemo izracunane tlake pri parametrih a = aDNK, AD/b = 1.21, (Ad/A1 )2 = 0.55 : 0.02 : 0.65 (od spodaj navzgor). Z rdecimi tockami so oznacene tocke koeksistencne krivulje, z modrimi pa tocke spinodalne krivulje. Na podrocju med koeksistencno in spinodalno krivuljo obstajajo metastabilna stanja sistema, pod spinodalno krivuljo pa so stanja nestabilna in v naravi ne morejo obstajati. Edina tocka na spinodalni krivulji, ki ustreza možnemu fizikalnemu stanju sistema, je kriticna tocka. Vložena vrednost p = -0.016 pN/nm2 oznacuje maksimalno velikost privlacne interakcije p = ee0(kBT)2p*/(e0AD)2 med makroioni v primeru a = aDNK, AD/b = 1.21, (AD/A1 )2 = 0.55. Izoionske krivulje so tukaj van der Waalsove oblike, zato smo jih analizirali z Maxwellovimi konstrukcijami, izracunali koeksistencne in spinodalne krivulje ter poiskali kriticne tocke. Kriticna tocka lahko obstaja le v sistemih, kjer je razlika med fazami zgolj kvantitativna, tj. kjer se fazi razlikujeta zgolj v stopnji interakcije med molekulami, sicer pa imata enako simetrijo, gl. desno okno na sliki 7.15. P*(w) -0,2 -0,1 0,0 -0,3 — p = -0.087 pN/nnrr j_i_i_i_i_i_i_i_i_i_l 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 w SLIKA 7.17. Osmotski tlak v sistemu pri parametrih a = 1.1aDNK, AD/b = 1.21, (Ad/Ai)2 = 0.55 : 0.02 : 0.75 (od spodaj navzgor). Na grafih je lepo viden fazni prehod, z rdecimi tockami so oznacene tocke koeksistencne krivulje, z modrimi pa tocke spinodalne krivulje. Vloženi graf prikazuje eno od Maxwellovih konstrukcij, vložena vrednost p = -0.087 pN/nm2 oz-nacuje maksimalno velikost privlacne interakcije med makroioni v primeru a = 11aDNK, Ad/b = 1.21, (AD/Ai)2 = 0.55. Na slikah 7.17 in 7.18 prikazujemo osmotske tlake v sistemu pri parametrih a = 1.1aDNK, Ad/b = 1.21, (AD/Ai)2 = 0.55 : 0.02 : 0.75 (od spodaj navzgor) ter pri parametrih a = 1.3 aDNK, Ad/b = 0.91, (Ad/Ai)2 = 0.50 : 0.02 : 0.60 (od spodaj navzgor). Fazni prehod je v obeh primerih jasno viden, primera Maxwellovih konstrukcij pa sta v vloženih grafih. Ponovno so z rdecimi tockami so oznacene tocke koeksistencne krivulje, z modrimi pa tocke spinodalne krivulje. Na grafu 7.17 ocenjujemo maksimalni polielektrolitno posredovani privlak na p = -0.087 pN/nm2, na grafu 7.18 pa na p = -0.088 pN/nm2. V prejšnjih sekcijah smo pokazali rešitve sistema (109). Zaceli smo z gostotnimi polji in elektrostatskim poljem v sistemu, nato prikazali lastne energije, proste energije in nazadnje še tlacne odvisnosti. Pri dolocenih vrednostih sistemskih parametrov smo pokazali, da so tlacne krivulje p* (wWS) van der Waalsove oblike, kar pomeni, da imamo v sistemu zvezni fazni prehod brez parametra urejenosti med fazama z isto simetrijo. V sistemu se ob prehodu simetrija ne zlomi, le mrežna 7.3. Koeksistencne krivulje in odvisnost pC ( a/a dnk) "HT p*(w) -0,1 0,2 0,1 0,0 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 w SLIKA 7.18. Osmotski tlak v sistemu pri parametrih a = 1.3 aDNK, AD/b = 0.91, (Ad/Ai)2 = 0.50 : 0.02 : 0.60. Na grafih je lepo viden fazni prehod, z rdečimi točkami so označene točke koeksistencne krivulje, z modrimi pa točke spinodalne krivulje. Vloženi graf prikazuje eno od Maxwellovih konstrukcij, vložena vrednost p = -0.088 pN/nm2 označuje maksimalno velikost privlačne interakčije med makroioni v primeru a = 1.3aDNK, AD/b = 0.91, (Ad/Ai)2 = 0.50. konstanta kolumnarne faze pade in pride do zveznega prehajanja med bolj (faza I) in manj (faza II) kondenzirano fazo. Razlika med fazama I in II je izključno kvantitativna, razlikujeta se zgolj v stopnji interakčij med molekulami gl. npr. [84], str. 258, ter desno okno slike 7.15. Povejmo nekaj splošnih opazk glede vpliva gostote polielektrolitnih verig na vedenje sistema. Pri visokih vrednostih parametra (AD/Ai)2, tj. pri visokih gostotah polielektrolita, je sistem stalno v fazi z nižjo povprečno mrežno konstanto: tu DNK makroionov ni mogoče zbliževati brez izdatnih vložkov dela. Stisljivost X = —V-i(dV/dp) je stalno pozitivna in v limiti majhnih čelič pada proti nič, gl. npr. sliko 7.17. Ta padeč k ničli se pojavi bistveno bolj na račun steričnega robnega pogoja ^2(a) = 0 kot na račun elektrostatskega odboja med makroioni. To utemeljujemo s tem, da lahko z rahlimi variačijami (AD/Ai)2 bistveno bolj vplivamo na p — V profile kot z variačijami površinske gostote naboja na makroionu. Pri dovolj visoki vrednosti (AD/Ai)2 je bilo nemogoče povečati makroionsko gostoto naboja do te mere, da bi izsilili površinska vezana stanja. Gostotni profili ^2 so ostali monomodalni za vse vrednosti a. SLIKA 7.19. Koeksistencni krivulji pri parametrih a = 1.2aDNK, AD/b = 1.21, (Ad/Ai)2 = 0.65 : 0.02 : 0.75 (crne tocke), ter pri a = 1.2 adnk, Ad/b = 0.91, (Ad/Ai)2 = 0.45 : 0.02 : 0.55 (rdece tocke). Vrisane so tocke, izračunane iz Maxwellove konstrukcije, ter v ustreznih režimih tudi skici faz, med katerima pride do prehoda. Črtkane crte so tu in na spodnjih grafih zgolj za vizualno oporo. Pri nizkih vrednostih (AD/Ai )2 je situacija drugačna: tuje gostota polielektro-lita dovolj nizka, da stericni prispevek polielektrolita ni dominanten. Tu pride do izraza polielektrolitno premošcanje, ki med enako nabitimi makroioni posreduje privlačne interakcije. O tem pričajo negativne vrednosti tlaka in stisljivosti. Na določenih intervalih faznega prostora je sistem podvržen faznemu prehodu. Kje natanko se to zgodi, je odvisno od vseh sistemskih parametrov - kot je tudi razvidno iz grafov v tem poglavju. Ko sledimo tlacni krivulji p(V)(Ad/Al)2 pri konstantni gostoti polielektrolita, preidemo iz podrocja z eno fazo prek podrocja, kjer sta fazi v ravnovesju, v podrocje z drugo fazo. Pri velikih celicnih radijih se sistem nahaja v fazi I in ima veliko pozitivno stisljivost. Ko Wigner-Seitzev radij manjšamo do te mere, da vstopimo na podrocje znotraj koeksistencne krivulje, preidemo na podrocje faznega prehoda, kjer stisljivost divergira: tlak se z ožanjem celice ne spreminja. Med procesom stiskanja se v dvofaznem sistemu, kjer sta fazi I in II v ravnovesju, veca delež faze I. Ko celicni radij zmanjšamo dovolj, da 'zadenemo' ob koeksistencno krivuljo, je ves sistem v fazi I. Tu stisljivost mocno pade in tlak 0,03 0,02 p = 0.016 pN/nm p = 0.0061 pN/nm' f 'i m > IIP *o. 0,01 i 2 0,00 O = 1.3 a , X = 0.91, ) = 0.50 : 0.02 : 0.60 dnk D D1 "D t O = 1.3 a , 1.21, (XJXA) = 0.75 : 0.02 : 0.85 dnk D D1 "D 1 -0,01 i 0,0 0,4 0,8 1,2 1,6 w SLIKA 7.20. Koeksistencni krivulji pri parametrih a = 1.3aDNK, AD/b = 1.21, (A d/Ai )2 = 0.65 : 0.02 : 0.75 (crne tocke), ter pri a = 1.2 a dnk , A d/b = 0.91, (Ad/Ai)2 = 0.45 : 0.02 : 0.55 (sive tocke). Vrisane so tocke, izračunane iz Maxwellove konstrukcije, ter v ustreznih režimih tudi skici faz, med katerima pride do prehoda. zacne z nadaljnim manjšanjem celicnega radija divergirati. V zvezi z grafi koek-sistencnih krivulj v tem poglavju dodajamo opozorilo, da so crtkane krivulje, ki na grafih povezujejo tocke, tu zgolj v vizualno oporo in nimajo fizikalne vrednosti. Slika 7.19 prikazuje koeksistencni krivulji pri parametrih a = 1.2 aDNK, AD/b = 1.21, (Ad/Ai)2 = 0.65 : 0.02 : 0.75 (crne tocke), ter pri a = 1.2 aDNK, Ad/b = 0.91, (Ad/Ai)2 = 0.45 : 0.02 : 0.55 (rdece tocke). V grafu prikazane tocke smo izracu-nali prek Maxwellove konstrukcije za dvofazni sistem v faznem ravnovesju. Graf nakazuje vpliv radija sencenja, tj. gostote elektrolita v sistemu. Pri višjih radijih sencenja, tj. pri izdatnejšem makroionskem elektrostatskem vplivu, se kriticna tocka nahaja pri višjem tlaku in manjšem celicnem radiju. (Mimogrede, nad kri-ticno tocko ne moremo govoriti o razliki v fazah, sistem tam postane homogen [84].) Podoben vpliv variacij radija sencenja kaže slika 7.21, ki prikazuje koeksistencni krivulji pri parametrih a = 1.3 aDNK, AD/b = 1.21, (AD/Ai)2 = 0.65 : 0.02 : 0.75 (crne tocke), ter pri a = 1.2 aDNK, AD/b = 0.91, (AD/Ai)2 = 0.45 : 0.02 : 0.55 (sive tocke). Obe sliki kažeta, da z višanjem radija AD/b sencenja dosežemo, da ima sistem van der Waalsovski tlacni profil tudi tam, kjer pri nižjih AD/b že dominira sterika in so tlacni profili monotoni. SLIKA 7.21. Niz koeksistenčnih krivulj pri različnih vrednostih makroionske gostote naboja a = 0.9 : 0.1 : 1.3 adnk, ter pri AD/b = 1.21. Vrednosti (AD/Ai)2, pri katerih je v posameznem primeru prišlo do faznega prehoda, so navedene na grafu. Vrisane so točke, izračunane iz Maxwellove konstrukcije, ter v ustreznih režimih tudi skici faz, med katerima pride do prehoda. Soroden nauk lahko potegnemo iz slike 7.21, ki prikazuje niz koeksistenčnih krivulj pri različnih vrednostih makroionske gostote naboja g = 0.9 : 0.1 : 1.3 gdnk, ter pri XD/b = 1.21. Vrednosti (AD/A1 )2, pri katerih je v posameznem primeru prišlo do faznega prehoda, so navedene na grafu. Pri nižjih gostotah naboja se tudi kritične točke nahajajo pri nižjih tlakih, kar pomeni, da pri nižjih gostotah naboja ob višanju tlaka v sistemu hitreje prevladajo sterične interakčije nad premostitvenimi. Sile elektrostatskega premoščanja so pri višjih gostotah naboja na makroionu dlje časa enakovredne ali močnejše od steričnih. Poleg tega se tudi kritična točka ob večanju gostote naboja na makroionu zlagoma seli na krivulje p(V)(ad/Al)2 z vedno višjimi vrednostmi (AD/A1 )2. To pomeni, da pri višjih makroionskih gostotah naboja sterika izgubi premoč nad premoščanjem pri relativno višjih vrednostih (AD/A1 )2. Z drugimi besedami, pri višjih gostotah naboja sterika preneha dominirati že pri tistih vrednostih (AD/A1 )2, ki pri nižjih gostotah naboja še zadostujejo za sterično dominačijo in monotone tlačne profile. Naraščanje kritičnega tlaka z gostoto naboja prikazujemo na sliki 7.22. Gostoto naboja smo spreminjali od g = 0.9gdnk do g = 1.3gdnk s korakom 0.1. Vrednosti P*(G/GDNK) 0,030 0,025 0,020 0,015 0,010 0,005 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 p = 0.087 pN/nm2 ^^ T p = 0.075 pN/nm2^^ p = 0.050 pN/nm2 - - , f-L = 0.046 pN/nm2 . p = 0.0041 pN/nm2 Xp = 0.0035 pN/nm2 _ 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 a / a. DNK SLIKA 7.22. Tlak kritične točke pj(a/aDNK) pri različnih površinskih gostotah naboja a ter pri AD/b = 1.21. Gostoto naboja smo spreminjali od a = 0.9aDNK do a = 1.3aDNK s korakom 0.1. na sliki 7.22 so vzete iz rezultatov, na podlagi katerih je narisana tudi slika 7.21, le vrednost pri a = 1.15 aDNK smo naknadno izračunali in dodali v graf. Stolpči napake izvirajo iz dejstva, da pri numeričnem reševanju Euler-Lagrangevih enačb s parametri nismo nikoli popolnoma natančno zadeli kritične izoionske krivulje, zato smo napako v izračunanem kritičnem osmotskem tlaku očenili iz parametrsko sosednjih rešitev. POGLAVJE 8 Zaključek V disertaciji smo razvili teorijo povprečnega polja za nabite verige ob prisotnosti nabitih površin v limitah šibke in močne sklopitve z zunanjim poljem. Teorijo smo uporabili na sistemu polielektrolitov na heksagonalni mreži DNK makroionov ob prisotnosti ionov soli. Tovrstni problemi so bili v planarni geometriji že obravnavani, v cilindrični pa še ne, zato smo namesto planarne vpeljali cilindrično Wigner-Seitzevo celico, v kateri smo z robnimi pogoji ustrezne simetrije simulirali kolumnarno fazo DNK. Sistem smo opisali z Greenovo funkcijo, za katero velja Edwards-ova enacba, ki je formalno identicna Schrodingerjevi. V Edwardsovi sliki polielektrolitno verigo modeliramo s potekom prostorskega Brownovega gibanja, kar pomeni, da verižno konfiguracijo dobimo kot rezultat difuzijskega procesa v prostoru, podobno kot Schrodingerjeva enacba opisuje difuzijo kvantnega delca v verjetnostnem prostoru. Zaradi te formalne sorodnosti so v polimerno fiziko vstopile funkcionalne metode kvantne teorije polja, ki so bile v osemdesetih letih prejšnjega stoletja že dobro razvite. Kondenzirani sistemi polielektrolitov, makroionov in soli so v bioloških tkivih sicer pogosti, pa tudi kolumnarne faze so danes precej raziskovane, vendar je treba rešitve Edwardsove teorije šibke sklopitve brati s pridržkom. Glavni problem teorije je, da ne upošteva povratne zveze med polielektrolitno gostoto in elektrostatskim poljem v sistemu. Ti dve kolicini sta v Edwardsovi sliki efektivno razklopljeni in monomer verige cuti zgolj povprecno elektrostatsko polje soli in površinskih makroionov. V sistemu pride do tekmovanja med stericnimi prispevki, ki smo jih vpeljali v model z robnim pogojem -0(a) = 0 ter elektrostatskimi prispevki zaradi sencenega coulombskega potenciala. Kot podrobno razložimo v razdelku 4, razmerje teh dveh mehanizmov doloca mono ali bimodalnost gostotne porazdelitve monomerov. Prehod v bimodalnost lahko med povecevanjem celicnega radija dosežemo na dva nacina, i) pri konstantni interakcijski jakosti w0 variiramo koncentracijo elektrolita oz. inverzni radij sencenja k. ii) pri konstantnem Debyevem radiju k-1 variiramo interakci-jsko jakost w0. Prehod v površinsko vezano stanje smo povezali z lastno energijo sistema, s katero je v Edwardsovem primeru sorazmerna tudi celotna prosta energija, saj v približku osnovnega stanja velja, gl. enacbo (57) (121) F ~ ks TNN Eo . Pokazali smo, da ima prosta energija na tocki prehoda iz monomodalne v bimodalno porazdelitev svoj minimum, sila med makroionoma bi bila v tem približku tedaj torej enaka nic in bi se na tej tocki prevesila iz odbojne v privlacno. Prehod je seveda mocno pogojen s celicnim radijem - v limiti majhnih radijev do prehoda za nobeno testno vrednost ni prišlo, ker je bil polielektrolit stisnjen med makroiona in kot tak posredoval zgolj stericne odbojne interakcije. Pri velikih radijih pa smo našli zelo izrazito mosticenje, gl. npr. sliko 4.6. Naše delo predstavlja razširitev objavljenih raziskav v zvezi z Edwardsovo enacbo, saj njenih direktnih numericnih rešitev v literaturi še nismo zasledili. Enacba je bila že rešena z analiticnimi aproksimacijami, konkretneje z WKB metodo v asimptotskem režimu nizke gostote makroionov, izpeljani pa so bili tudi nekateri analiticni limitni zakoni, gl. [68]. Pricujoca disertacija je, kolikor nam je znano, prva celovita numericna obravnava Edwardsove enacbe. Kot smo opisali v razdelku 4.2, smo problem reševali s strelsko metodo po vrednostih gostotnega polja na površini celice in s tem algoritmu dali dodatni robni pogoj, ki ga je sicer moral zagotoviti sam. To je algoritem naredil z variacijo odvodov gostotnega polja v izhodišcu, kar je vodilo v hude nestabilnosti in nam sprva povzrocalo precej težav. Kot smo že veckrat navedli, ima Edwardsova enacba omejeno podrocje veljavnosti, zato smo teorijo v poglavju 5 reformulirali za primer mocnih sklopitev med poljema ^2(r) in 0(r). Zapisali smo Hamiltonko sistema, ki vsebuje entropicne clene z energijo verige v Wienerjevi obliki, coulombsko interakcijo med vsemi naboji v sistemu, ter prispevek nabitih površin. Hamiltonko smo transformirali v skladu s Hubbard-Stratonovicevo transformacijo. Na ta nacin smo nelokalne coulombske parske interakcije prevedli v interakcijo enega naboja s povprecnim lokalnim zunanjim poljem. Zatem smo s to Hamiltonko konstruirali particijsko funkcijo, ki je v prispevkih soli velekanonicna, v polielektrolitnem delu pa ne - s tem smo se odpovedali možnosti, da bi polielektrolit lahko zapustil celico in tako zanemarili efekte koncne velikosti celice. Particijsko funkcijo smo faktorizirali na polielek-trolitni del, ki ga predstavlja Greenova funkcija G