Anleitung
z u m
Kopfrechnen
für die

erste Klaffe -er Volksschulen

in den k. k. Staaten.

' -

Verfaßt von
Doctor Franz Mozhnik,

Lehrer der vierten Claffe an der Hauptschule zu Gör).

Im Verlage der k. k. Schulbücher - Verschleiß - Admini¬
stration bey St. Anna in der Johannisgasse.

! 7'- - lN!^

' -- . '

Erstes Hauptstück.

Entwicklung der ersten Begriffe
von den Zahlen.

l. Zahlen von eins bis zehn.

1.

^eym Rechnen kommt es vor Allem darauf an, daß
man von den Zahlen recht klare Vorstellungen erlange.

Der Lehrer leite das Kind zuerst aus den Begriff
von eins hin, indem er ihm folgende und ähnliche Fra¬
gen stellt: Welche Dinge sind hier in der Schule zu se¬
hen ? — Welche von diesen Dingen sind hier mehrmahl
zu sehen? — Was nicht mehrmahl vorhanden ist, ist nur
einmahl da; welches Ding ist also hier nur einmahl da?
— Welche Theile sind an deinem Kopfe nur einmahlvor¬
handen? — Hebe nun eine Hand auf, — zeige einen
Finger an derselben, — weise mir auf einen Schüler,
auf eine Bank, zeige mir ein Buch, — komm du her¬
aus, und mache mit der Kreide einen Strich an die
Tafel!

Sehet also: Jedes Ding für sich allein betrachtet
ist eins oder eine Einheit. — Eine Hand ist also eine
Einheit, ein Finger ist eine Einheit, eben so ein Schüler,
eine Bank, ein Buch, ein Strich, u- s. W.

Anleit. z. Kopfrechnen. A

2

Eins ist die Grundvorstellung aller Zahlen; die
Anschaulichkeit der übrigen Zahlen bestehet nähmlich
darin, daß man sich bey jeder derselben vorstellt, wie
vielmahl eins oder wie viele Einheiten sie enthält.

§. 2.

Um den Begriff von zwey beyzubringen, ziehe der
Lehrer an der Tafel einen Strich, und sage: das ist ein
Strich; dann ziehe er dazu noch einen Strich, und
frage: wie viel Striche sind nun da? — Wie vielmahl
ein Strich sind also zwey Striche? Zwey Striche sind
zweymahl ein Strich. — Wie viel hast du Hände, wie
viel Füße, Augen, Ohren? — Zeige mir nun auch
zwey Schüler, zwey Blätter in deinem Buche, hebe
zwey Finger auf! — Kannst du mir einige Thiere
nennen, welche nur zwey Füße haben? Die Hühner,
Tauben, Enten, Gänse und alle Vogel haben nur zwey
Füße.

8. L

Nun rufe der Lehrer einen Schüler heraus, frage
ihn, wie viel Striche schon an der Tafel sind, und sage
dann: Ziehe zu den zwey Strichen noch einen Strich;
wie viel Striche sind jetzt da? — Wie nennt man also
eins und noch eins und wieder eins? — Wie vielmahl
kommt also eins in -rey vor? — Wie viele Schüler
müßten herauskommen, damit jeder einen Strich von
der Tafel weglösche? — Zeig' du mir drey Buchsta¬
ben in deinem Abc-Täfelchen! Zähle von diesen Stäb¬
chen drey ab. — Nun hebe noch jeder drey Finger in
die Höhe!

Z

8. 4.

Wie viel Füße hat dieser Tisch? Zähle sie! —
Wie viel ist also drey und eins? — Kannst du mir
noch welchen Gegenstand nennen, der auch auf vier
Füßen stehet? Der Stuhl, der Kasten, das Bett stehet
auf vier Füßen. — Zeige mir vier Finger an der
Hand! — Welche Thiere haben vier Füße? Die Hun¬
de, Katzen, Pferde, Ochsen, Schafe haben vier Füße.
— Komm du zur Tafel; du siehst hier — wie viel
Striche? — Wie viele mußt du noch machen, damit
du vier Striche habest? — Ziehe du diesen Strich. —
Mache nun neben den vier Strichen auch vier Punkte;
zähle von diesen Federn vier ab.

Auf diese oder ähnliche Art wird man den Kin¬
dern auch den Begriff von fünf, sechs, sieben, acht,
neun, zehn zu recht anschaulicher Deutlichkeit bringen.
Bey zehn bemerke man, daß zehn Dinge auch ein Zeh¬
ner genannt werden.

Ehe den Schülern die weitern Zahlen versinnlichet
werden, müssen sie sich mit dem Zusammenhänge der
ersten zehn recht vertraut machen. Zn diesem Ende
nehme man folgende Übungen vor.

1. Das Zählen.

§. 5.

Der Lehrer zähle langsam von eins bis zehn vor,
und hebe zu jeder Zahl die entsprechende Anzahl Finger
empor; die Kinder zählen nach. Dann hebt der Lehrer
bloß die Finger empor, und die Kinder nennen die
zugehörigen Zahlen. Endlich zählt der Lehrer, und die
Kinder heben die Finger empor. — Haben die Kinder

A2

4

darin Fertigkeit erlangt, so übe man das Zählen außer
der Ordnung, indem man bald eine beliebige Anzahl
Striche an die Tafel schreibt, und sich von einem Schü¬
ler die entsprechende Zahl angeben läßt; bald umgekehrt
eine Zahl ausspricht, und von einem Kinde so viele
Finger aufheben, oder so viele Striche aufschreiben
läßt. — Hierauf werden die Kinder auch im Nückwärts-
Zählen von zehn bis eins geübt. — Zum Schluffe dieser
Übungen stelle man noch Fragen wie die folgenden:
welche Zahl kommt nach fünf? — und welche vor
fünf? — zwischen welchen Zahlen liegt also fünf?

2. Das Zusammenzählen.

8. 6.

Man lasse die Kinder Anfangs Finger und Striche,
dann andere Gegenstände, und endlich auch bloße
Zahlen zusammenzählen. Dabcy soll zuerst nur eins,
dann zwey, drey, .... dazu gezählt werden, und
sedesmahl nur so weit, daß^nicht mehr als zehn ber-
auskommt. Z. B. Ein Finger und noch ein Finger,
wie viel sind es Finger? — Em Strich und darneben
noch ein Strich, wie viel sind es Striche? — Wie viel
ist also eins und eins? — Zwey Striche und noch ein
Strich, wie viel machen sie Striche? — Hier auf dem
Tische liegen zwey Federn, ich lege noch eine dazu, wie
viel Federn sind nun da? — Wie viel ist also zwey
und eins? .... Heb' du zuerst einen Finger auf,
und setzt noch zwey, wie viel Finger ragen empor?—
Wie viel ist also eins und zwey? — Karl bekommt
von seinem Vater zwey Kreuzer und von seiner Mutter
auch zwey Kreuzer; wie viel Kreuzer macht dieses zu-

5
sammen?-— Wie viel sind also zwey und zwey? u. s. w.
Man überzeuge auch die Kinder, daß gleichviel her¬
auskommt , ob man z. B. drey und vier, oder vier
und drey zusammenzählt, und zwar am besten durch
Striche, indem man schreibt

I ! I und ! II !

oder I ! ! I und i I I

In Heyden Fällen hat man sieben Striche.

3. Das Weg nehm en.

§. 7.

Dieses geschieht, wie das Zusammenzählen, zuerst
mit Strichen und Fingern, dann mit andern Dingen,
und endlich bloß mit Zahlen. Auch hier wird zuerst eins,
dann zwey, drey .... weggenommcn. Z.äV. An der
Tafel steht ein Strich, ich lösche diesen einen Strich aus,
wie viele Striche bleiben übrig? Kerner. — Was bleibt
also übrig, wenn man von eins wieder eins weg-
nimmt? — Halte du zwey Finger in die Höhe, biege
nun einen zusammen, wie viel Finger ragen noch
empor? — Wenn ich von zwey Kreuzern einen weg¬
nehme, wie viel Kreuzer bleiben noch? — Wie viel
bleibt also eins von zwey? .... Du erhältst von
deinem Vater zwey Groschen, und kaufst ihm für zwey
Groschen Papier, wie viel bleibt davon übrig? Zwey
von zwey bleibt also nichts. Ich schreibe an die Tafel
drcy Striche, lösche von diesen zwey weg, wieviel blei¬
ben noch? Wie viel bleibt also zwey von drey? ....

6

Von neun Kegeln sind drey stehen geblieben, wie viel
Kegel sind umgefallen?— Um wie viel ist zehn größer
als vier? Wie viel muß man zu sieben noch hinzusetzen,
damit man zehn bekomme?

Hier kann auch das Zerlegen der Zahlen in zwcy
beliebige Zahlen vorgenommen werden. Z. B. Wie
läßt sich zwey zerlegen? In eins und eins. Wie läßt
sich zehn in zwey Zahlen zerlegen? In neun und eins,
acht und zwey, sieben und drey, sechs und vier, fünf
und fünf.

4. Das Vervielfachen.

8. 8.

Auch hier geschieht die Versinnlichung durch Finger,
Striche und andere Gegenstände. Es hebe jedes Kind
einen Finger empor; wie viel Finger heben nun zwey
Kinder empor? Wie viel ist also zweymahl ein Finger?
Wie viel Finger heben drey Kinder empor? Wie viel
ist also dreymal ein Finger? .... Dann lasse man
fünf Kinder jedes zwey Finger aufhcben, und frage:
Wie viel Finger heben zwey Kinder auf? Wie viel
sind also zweymahl zwcy Finger? Wie vielFinger heben
drey, vier, fünf Kinder auf? Wie viel sind also drey-
mahl, viermahl, fünfmahl zwcy Finger? Eben somit
Strichen. Man lasse z. B. drcy Striche anschrciben,
darneben in einiger Entfernung wieder drcy Striche,
und frage, wie viel Striche nun da sind? Wie viel
sind also zweymahl drey Striche? Dann lasse man
weiterhin wieder drey Striche machen, und frage nach
der ganzen Anzahl; wie viel sind also dreymahl drey
Striche? Wie viel ist zweymahl vier?

7

Auch überzeuge man die Kinder, daß es gleichviel
ist, ob man z. B. zwcymahl drey, oder dreymahl
zwey nimmt; denn man bekommt sechs Striche, ob man

oder I ! ! I ! ! I,

setzt-

5. Das Enthaltcnseyn.

§. 9.

Man mache auf der Tafel zuerst einen Strich,
und darneben in gehöriger Entfernung nach und nach
zwey, drey, vier, .... zehn Striche, und stelle an
verschiedene Schüler folgende Fragen : Wie oft ist ein
Strich in zwey Strichen enthalten? — Wie oft kommt
ein Strich in drey Strichen, wie oft in vier, fünf,...
zehn Strichen vor? Wie oft ist also eins in zwey, in
drey, vier, fünf, .... zehn enthalten? — Wie oft
kann man zwey Striche von zwey Strichen wegneh-
men? Wie oft sind also zwey in zwey enthalten? —
Wie oft lassen sich zwey Striche von drey Strichen weg-
nehmen? Bleibt aber von drey Strichen kein Strich
zurück, wenn ich zwey Striche einmahl wegnchmc?
Zwey sind also in drey eimnahl enthalten, und cs
bleibt noch eins übrig. — Wie ost lassen sich drey
Striche von acht Strichen wcgnehmcn? Zwcymahl und
cs bleiben noch zwey Striche. Wie ost sind also drey
in acht enthalten? — Dein Bruder erhält neun Bozen
Papier und braucht jeden Monat vier Bogen, wie
viele Monate wird er damit auskommen? Zwey Mo-

8

nate und es bleibt ihm noch ein Bogen übrig. Wie ost
sind also vier in neun enthalten? u. s. w.

Mit den bisher angegebenen Übungen sind die
Schüler so lange ju beschäftigen, bis sie darin voll¬
kommene 'Festigkeit erlangen. Dabey ist noch zu bemer¬
ken, daß bey jeder folgenden Übung auch die schon
vorgenommenen zu wiederhohlen sind.

8- 10.

Hier ist der schicklichste Ort, den Kindern die
Zeichen für die ersten zehn Zahlen beyzubringen.

Der Mehrer bezeichne zu diesem Ende die einzel¬
nen Zahlen an der Tafel durch Striche, schreibe dar¬
neben die entsprechenden Ziffern, nähmlich:

I. 1

l j . 2

! I I.. . 3

5

6

7

8

9

10

9

und gehe sie mehrmahl in und außer der Ordnung
durch. Alsdann schreibe er verschiedene Ziffern an die
Tafel, und lasse dieselben ablesen, d. i. angeben, wie
Vielmahl eins sie bedeuten; eben so nenne er verschiedene
Zahlen, und lasse die entsprechenden Ziffern anschreiben.

Es ist wohl zu merken, daß hier die Kenntniß der
Ziffern nur darum vorgenommen wird, weil die Bil¬
dung derselben auch beym Schönschreiben eingeübt
werden soll, und damit die Schüler die Seiten ihres
Schulbüchleins aufzufinden und anzugeben in den
Stand gesetzt werden; daß man sich übrigens dieselben
beym Kopfrechnen durchaus nicht vorzustellen habe.
Wenn in der hier folgenden Anleitung zum Kopfrechnen
Ziffern gebraucht werden, so geschieht es nur der Kürze
wegen, und man muß sich an deren Stelle überall nur
Zahlwörter denken.

H. Zahlen von zehn bis hundert.

§. 11.

Haben die Schülex die ersten zehn Zahlen recht
klar aufgefaßt, und in den damit vorgenommcnen
Übungei; die gehörige Fertigkeit erlangt, so werden sic
mit den weitern Zahlen bekannt gemacht. Die Verfinn-
lichung geschieht am zweckmäßigsten mittelst der Striche,
die man an der Schultafel zu zehn in einer Reihe hin¬
schreibt, oder mittelst kleiner Stäbchen, von denen man
je zehn zusammenbindet.

Der Lehrer schreibe zu diesem Ende zehn Striche
neben einander an die Tafel, und lasse ebenso von
einem Schüler zehn kleine Stäbe laut abzählen , die er
dann zusamrnenbindell Sodann frage er: W-e viel

10

Striche stehen an der Tafel? wie viel Zehner von
Strichen sind es? — Wie viel Stäbchen sind hier zusam¬
mengebunden? wie viel Zehner von Stäbchen sind
es? — Ich ziehe unter den zehn Strichen an der Tafel
noch einen Strich; wie viel Striche sind setzt da? —
Wie nennt man also 10 und 1 ? Wie vielmahl ist 1 in
enthalten?In diesem Päckchen sind 10 Stäbe,
ich setze nun noch einen Stab dazu; wie viel sind dann
Stäbe beysammen? — Sehet ihr noch cinmahl die Stri¬
che an der Tafel an; wie viel Zehner von Strichen
kommen da vor? und wie viel Striche noch darüber? —
Und nun betrachtet auch die II Stäbe; das Päckchen
enthält 10 Stäbe oder einen Zehner von Stäben, und
wie viele Stäbe sind noch außer dem Päckchen? —
Wie viel Zehner sind also in 11 enthalten? und wie
viel Einheiten noch darüber? — 11 besteht also aus
einem Zehner und einer Einheit. — Nun zähle du
mir II Schüler ab, und hier auf dem Tische II
Federn.

8. 12.

Sodann gehe man zu dör Zahl zwölf über. — An
der Tafel steht bereits eine Reihe von 10 Strichen,
und in der zweytcn Reihe auch schon ein Strich; ziehe
du zu dem Striche der zweyten Reihe noch einen Strich;
wie viel Striche sind dann? — Eilf und eins nennt
man also zwölf. — Wie viel Zehner von Strichen sind
an der Tafel? und wie viel Einheiten noch darüber? —
Woraus besteht also 12? Aus 1 Zehner und 2 Einhei¬
ten. — Oder mit Stäbchen. Hier ist bereits ein Päck¬
chen von Stäben, und noch ein Stab darüber; wie
viel sind ihrer dann? — Wie viel Päckchen oder Zeh¬
ner kommen darin vor? und wie viel einzelne Stäbe

1L

oder Einheiten noch darüber? — Wenn ich 10 habe,
wie viel muß ich noch dazu setzen, um 12 zu bekom¬
men? — Wie viel ist also 2 und 10?

8. 13.

Wenn man auf dieselbe Art an der Schultafel zu
den Strichen der zweyten Reihe immer noch einen
Strich dazusetzt, bis man eine volle Reihe von IO
Strichen erhalten hat; und eben so auch zu den bereits
gezählten Stäbchen immer wieder einen neuen Stab
hinzufügt, bis man ein zweytes Päckchen von Stäben
zusammenbinden kann: so wird man dem Anfänger
nach und nach die Begriffe von -reyzehn, vierzehn,
fünfzehn, sechzehn, siebenzehn, achtzehn, neun¬
zehn, zwanzig, beybringen. — Zugleich lasse man
sich angeben, wie viel jede dieser Zahlen Zehner, und
wie viel sie Einheiten enthält.

Wenn man auf die Zahl 20 gekommen ist, so
frage man: Wie viel Reihen von Strichen stehen hier
an der Tafel? und wie viel Striche sind in jeder
Reihe? — Wie viel Päckchen von Stäben sind da?
und wie-viel Stäbe in jedem Päckchen? — Wie vicl-
mahl 10 , oder wie viele Zehner enthält also zwanzig?
2 mahl IO oder 2 Zehner.

Hier müssen die Schüler aufmerksam gemacht wer¬
den, daß man eigentlich nur bis '10 zählt, und dann
' jcdcsmahl wieder von vorne anfängt, nur sagt man
statt eins und zehn . . . cilf,

„ zwei) und zehn . . . zwölf,
drey und zehn . . . dreyzehn,

, ,, zehn und zehn . . . zwanzig.

12

§. 14.

Will man über zwanzig hinaus zählen, so beginnt
man wieder mit eins, und sagt:

ein und zwanzig, zwey und zwanzig, . . . neun
und zwanzig.

Statt zehn und.zwanzig sagt man dreyßig.

Bey der Versinnlichung dieser Zahlen verfahre
man so: Unter den zwey Reihen an der Tafel, deren
sede zehn Striche oder einen Zehner enthält, ziehe man
noch einen Strich, und frage: Wie viel Striche oder
wie viclmahl eins enthält diese Zahl? — Wie viel volle
Reihen von Strichen oder wie viel Zehner finden sich
in 21 ? und wie viel Striche sind noch in der dritten
Reihe? — Dieser Strich ist eine Einheit; woraus be¬
steht also 21 ? Aus zwey Zehnern und 1 Einheit. —
Oder mittelst der Stäbe. Hier sind zwey Päckchen Stäbe,
d. i. zwey Zehner oder zwanzig Stäbe. Setze noch einen
Stab dazu, wie viel sind ihrer dann?— Wie viel
ganze Päckchen oder Zehner kommen also in 21 vor?
und wie viel Stäbe oder Einheiten noch darüber? —
21 besteht also aus 2 Zehnern und 1 Einheit.

Man ziehe ferner ig, der dritten Reihe an der
Tafel noch einen Strich, und lasse die Anfänger, wie
früher, beachten, wie vielmahl eins die neue Zahl ent¬
hält, dann wie viel Zehner und Einheiten darin Vor¬
kommen.—Dasselbe versinnliche man auch mit Stäbchen.

Wenn man, auf diese Art fortfahrend, bis
-rehßig gekommen ist, bemerke man, daß diese Zahl
an der Tafel gerade aus drsy vollen Reiben, jede
von 10 Strichen, bey Stäben aber aus drey Päckchen,
jedes von 10 Stäben, daß sic also aus 3 Zehnern
besteht.

13

§. 15.

Auf die nähnliche Weise, und gleichfalls durch
Versinnlichung mittelst der Striche oder Stäbchen,wird
das weitere Zählen vorgenommen.

Nach je 10 Strichen, oder nach jedem Zehner ziehe
man wieder in der folgenden Reihe einen Strich,
und setze dazu immer wieder einen Strich, bis die
ganze Reihe von 10 Strichen vollendet ist. So oft man
einen neuen Strich gezogen hat, lasse man sich von
mehreren Schülern die Zahl nennen, und zugleich ange¬
ben, wie viele Zehner und Einheiten sie enthält; die
vollen Reihen zeigen nähmlich die Zehner, die Striche
aber in der letzten noch nicht vollständigen Reihe
die Einheiten an, aus denen die betreffende Zahl
bestehet.

Ebenso mit Stäben. Sobald man 10 Stäbe zu
einem Päckchen zusammengebundcn hat, lasse man nach
und nach immer wieder einen Stab dazusetzen, bis ein
neues Päcken von 10 Stäben zusammcnkommt. Man
frage dann, wie bep den Strichen, nach derjedesmah-
ligen Zahl und deren Bestandthcilen, die Päckchen
zeigen die Zehner, die Stäbchen aber, welche noch nicht
zusammengebunden sind, die Einheiten an.

Zugleich bemerke man an den gehörigen Orten,
daß 4 Zehner vierzig, 5 Zehner fünfzig, . . . .
10 Zehner hundert heißen.

§.16.

Nachdem man die Zahlen bis hundert nach der
hier angegebenen Stufenfolge vorgenommen hat, stelle
man noch folgende- und ähnliche Fragen:

14

Wie heißt Iv und 5? — 20 und 3? —70 und 9?

Zwölf ist 10 und wie viel ? — 35 ist 30 und
wie viel?

Dreyßig ist wie Vielmahl 10 ?-— 100 ist wie viel-
mahl 10?

4 Zehner sind wie vielmahl I ? — 7 Zehner sind
wie vielmahl I?

Wie viel Einheiten enthalten 2 Zehner? — 8
Zehner?

Wie viel Zehner und Einheiten kommen in 31
vor? — wie viel in 67 ? — in 89 ?

60 Einheiten, wie viel Zehner geben sie? — wie
viel Zehner geben 30 Einheiten?—50 Einheiten?

Zwischen welchen Zablen liegt 37? — 49? —
60? — 91 ?

17.

Wenn auch die Schüler bepm Kopfrechnen an
keine Ziffern denken dürfen, so ist es doch gut, wenn
sie das, was sie im Kopfe ausgerechnet haben, um es
nicht zu vergessen, durch Ziffern sichtbar darzustellen im
Stande sind. Deßwegen ist es zweckmäßig, wenn die
Schüler hier mit dem Lesen und Anschreiben der
Zahlen bis hundert bekannt gemacht werden. Dabep
verfahre man in folgender Ordnung:

1. Bloße Zehner.

So wie 10, d. i. 1 mit der Nulle zur Rechten 1
Zehner bedeutet, eben so schreibt man, um 2 Zeh¬
ner darzustellen, die Ziffer 2 mit der Nulle rechts; um
3, 4, 5, . . Zehner anzuzeigen, schreibt man die
Ziffer 3, 4, 5, . . und hängt ihr rechts die Nulle an;
Lö bedeutet also

15

10 ... 1 Zehner oder zehn,

20 ... 2 Zehner „ zwanzig,

30 ... 3 Zehner „ dreyßig,

100 . . 10 Zehner ,/ hundert.

2, Zehner nnd Einheiten.

Bestehet eine Zahl aus Zehnern und Einheiten,
so schreibt man die Einheiten an die Stelle der Nulle,
also an die Stelle zur' Rechten, die Zehner aber blei¬
ben in der zweyten Stelle. Z. B. vier und dreyßig
enthält 3 Zehner und 4 Einheiten, man schreibt also
34; achtzehn besteht aus I Zehner und 8 Einheiten,
man schreibt daher 18.

Wie schreibt man fünf und zwanzig, sieben und
fünfzig, ein und achtzig, neun und neunzig?

Um umgekehrt eine mit zwey Ziffern ungeschrie¬
bene Zahl zu lesen, braucht man nur die erste Ziffer
rechts als Einheiten und die zweyte als Zehner aus¬
zusprechen. Z. B. 63, die erste Ziffer rechts bedeutet
3 Einheiten also drey, die zweyte 6 Zehner also sechzig;
daher wird 63 gelesen: drey und sechzig.

Man lasse nun folgende Zahlen aussprechen: 23,
57, 12, 71, 94, 33, 65.

!H. Zahlen über hundert hinaus.

18.

Wenn die Schüler bis hundert mit Sicherheit
zählen können, so unterliegt das weitere Zählen keiner
Schwierigkeit. Man fängt nähmlich wieder bey eins an,
und setzt jedesmal bloß das Wort hundert voraus,
nähmlich:

16

hundert eins, hundert zwey, . . , hundert zehn;
hundert eilf, hundert zwölf,. . . hundert zwanzig;

hundert ein und neunzig, hundert zwey und neunzig, . .
Statt hundert und hundert sagt man zweihundert.
Dann zählt man eben so weiter:

zweyhundert eins, zweyhundert zwey,
und kommt nach und nach auf dreihundert, vierhun¬
dert . . . neunhundert, tausend. Tausend ist
nähmlich so viel als zehnhundert.

So wie man zehn Dinge einen Zehner nennt,, so
heißen hundert Dinge ein Hundert, und tausend
Dinge ein Tausend.

Ein Zehner enthält daher zehn Einheiten, ein Hun¬
dert zehn Zehner, und ein Tausend zehn Hunderte.

§. 19.

Nun bringe man den Schülern bcy,wie die Zahlen
zwischen hundert und tausend angeschrieben, und wie
die angeschriebenen ausgesprochen werden; und zwar
in folgender Stufenfolge:

1. Bloße Hunderte.

So wie 1 Hundert durch 1 und zwey Nullen rechts
bezeichnet wird, so stellt man alle Hunderte in die
dritte Stelle, und hängt ihnen rechts zwey Nullen an,
wenn bloß Hunderte geschrieben werden sollen.

IVO bedeutet also 1 Hundert oder hundert,

200 „ 2 Hunderte ,, zweyhundert

300 „ 3 Hunderte „ dreyhundert,

1000 „ io Hunderte tausend

17

2. Hunderte und Zehner.

Die Hunderte werden in die dritte, die Zehner in
die zweyte Stelle, und in die erste Stelle zur Rechten
eine Nulle gesetzt; z. B.

dreihundert vierzig schreibt man 340,
zweihundert neunzig „ „ 290

Wie schreibt man sechshundert vierzig; siebenhun¬
dert dreißig; fünfhundert zehn?

3. Hunderte und Einheiten.

Mau setzt die Hunderte an die dritte, die Einhei¬
ten an die erste Stelle rechts, die zweyte Stelle wird,
weil keine Zehner vorkommen, durch eine Nulle aus-,
gefüllt; z. B.

hundert sechs schreibt man „ 106,

dreihundert acht ,, ,, 308

Wie wird zweihundert sechs; fünfhundert neun;
siebenhundert zwey; neunhundert eins angeschrieben?

4. Hunderte, Zehner und Einheiten.

Die Ziffer der Hunderte schreibt man an die
dritte, die Ziffer der Zehner an die zweyte, und die
Ziffer der Einheiten an die erste Stelle zur Rechten.
Z. B. vierhundert zwey und achtzig enthält 4 Hunderte,
8 Zehner und 2 Einheiten; 4 wird also an die dritte
Stelle von der Rechten an gesetzt, 8 an die zweyte
und 2 an die erste; man hat also 482.— Wenn ich
hier zuerst 4 schreibe, verstehet man schon 4 Hunderte
darunter'? — Wie viel Ziffern müssen nothwendig noch
darauf folgen, damit 4 eben Hunderte bedeute? Zwey,
wovon die eine Zehner, und die letzte Einheiten bedeutet.

Anleit-j-Kopfrechnen. B

18

Wie wird hundert zwey und dreyßig; fünfhundert
ein und vierzig; achthundert zwölf anaeschrieben.

Um umgekehrt eine mit drey Ziffern ange¬
schriebene Zahl auszusprachen, braucht man nur die
dritte Ziffer von der Rechten an als Hunderte, die
zweyte als Zehner und die erste als Einheiten aus-
zusprcchen.

Z. B. In 738 bedeutet 7 Hunderte d. i. sieben¬
hundert, 3 bedeutet Zehner also dreyßig, und 8 Ein¬
heiten also acht; zusammen siebenhundert? acht
und dreyßig.

Wie werden folgende Zahlen gelesen?

321, 179 , 866 , 991, 101, 509 , 240.

§. 20.

Das weitere Zählen über tausend wird auf die¬
selbe Art vorgenymmen, wie das Zählen von 1 bis 10,
von 10 bis 100, von 100 bis 1000. —Dasselbe; ist
auch von dem Verfahren, das Anschreiben und Ausspre¬
chen höherer Zahlen beyzubringen, zu bemerken.

Da übrigens solche Zahlen im gemeinen Leben
nur selten vorkommen, und selbst da, wo sie vorkom¬
men, ohnehin die Rechnung im Kopfe meistensWcht
leicht anzewendet werden kann, so wird hier das
bisher Vorgenommene genügen.

is

" — H. —7- - . _

Zweytes Hauptstück.

Die verschiedenen Rechnungsarten
im Kopfe.

§. 21.

Da die Aufgaben des bürgerlichen Lebens sich
stets auf benannte Zahlen beziehen, so müssen nun die
Schüler mit den vorzüglichsten Münzen, Maße»
und Gewichten, so wie auch mit deren Eintheilun-
gen bekannt gemacht werden; jedoch nicht auf emmahl,
sondern bcy Gelegenheit der einzelnen Aufgaben.

Die wichtigsten bep uns gebräuchlichen'Maße,
Münzen und Gewichte enthält die folgende Tabelle:

1. Zeitmaß.

L Jahr hat 12 Monathe, 1 Tag hat 24 Stunden,.

„ „ ,, 360 Tage>Z^. . I Stde. ,/ 60 Minuten,

I Mon. „ 30 „ I Min. „ 6tt Secund.

Außer der Zinsrechnung enthält ein gemeines
Jahr 365, ein Schaltjahr aber 366 Tage.

2. Längenmaß.

4 Klafter (°) hat 6 Fuß (Z ! Stück (Leinwand oder
r Fuß „ !2 Zoll (") Tuch) hat 30 Ellen,

L Zoll „ 42Lin.("') 1 Elle ,/ 4Äiertel.

B2

20

3. Hohlmaß.

Für das Getreide.

I Muth hat 3t) Metzen,

1 Metzen „ 8 Achtel.

L. Münzen.

I Guld. (fl.) hat 6t) Kreuz.

I ,, „ 2«) Gr sch.

4 Groschen // 3Kreuz.
L Kreuzer ,/ 4Pfen.

Für Flüssigkeiten.

1 Eimer hat 40 Maß,

I Maß „ 4 Seidl.

5. Gewichte.

1 Zentner (Ztr.)

. hat 100 Pf. (K),

I Pfd. „ 32Loth,

1 Loth „ 4Qntch.

6. Zählbare Dinge.

4 Schock' enthält 60 Stck.

1 Schills „ 30 „

I Mandel „ 15 „

I Dutzend 12 ,/

1 Bund Federn

1 Ballen Pap. hat 10 Rieß,

1 Rieß // 20 Buch,

1 Buch Schbpap. 24 Bog.

1 Buch Dckpapr. 25 „
sind 25 Stück.

I. Zusammenzählen der Zahlen.

§. 22.

«. Hinzuzählen von Zahlen, welche nicht größer
als 10 sind.

Dieses wird am zweckmäßigsten durch das Vcr-
'wärtszählen eingcübt.

1. Indem das Vorwärtszählen in natürlicher
Ordnung nichts anderes ist, als ein immerwährendes
Hmzuzählen von eins zu -er sedesmahl vorhergehen¬
den Zahl, so haben die Schüler das Hinzuzählen von
eins gelernt, sobald sic fertig vorwärts zu zählen wis¬
sen. Damit aber dabey alle Schüler in gespannter

21

Aufmerksamkeit erhalten werden, ruft der Lehrer bey
dieser und den folgenden Übungen die Schüler abwech¬
selnd auf, und läßt jeden im Zählen fortfahrcn, wo
der vorhergehende aufgehört hat.

2. Um das Hinzuzählen von 2 zur Fertigkeit zw
bringen, lasse der Lehrer zu 1, und dann zu jeder
neu entstehenden Zahl, bis man auf 100 kommt?
2 hinzuzählen, nähmlich 1 und 2 ist 8, 3 und 2 ist 5,
5 und 2 ist 7, u. s. w., wodurch man die Zahlen
1, 3, 5,7, 9, . . . 95, 97, 99 erhält. — Dann
lasse man mit 2 anfangen, und immer wieder
2 dazusetzen; dadurch bekommt man nach und nach
die Zahlen 2,4,6, 8, 19,ch. . 96, 98,100. —Würde
man hier von 3 anfangen, so bekäme man dieselben
Zahlen, wie wenn man mit 1 anfängt.

3. Hierauf läßt man zu 1, 3 hinzuzählen, zu der

dadurch erhaltenen Zahl 4 wieder 3, u. s. w. —
Sodänn fange man mit 2, endlich mit 3 an, und setze
wiederhohlt 3 dazu. Wan erhält dadurch die Reihen:

1, 4, 7, 10, 13, .... 91, 94, 97, 100,

2, 5, 8, II, 14, ... . 92, 95, 98,

3, 6, 9, 12, 15, .... 93, 96, 99.

4. Auf dieselbe Art wird dann das Hinzusetzen
von 4, 5, . . . 9, 10 cingeübt, indem man jedes»
mahl mit 1, 2, 3 oder einer beliebigen Zahl ansan-
gen, und dann wiederhohlt die betreffende Zahl hin¬
zusetzen läßt.

Die Versinnlichung der Zahlen geschieht auch
hier am besten mittelst der Striche, welche man neren-
einauder hinschreibt.

22

Bey diesen Übungen mache man die Schüler auf
die Aehnerrechnung aufmerksam. Wenn z. B. zu
8 die Zahl 7 hinzugezählt werden soll, so wird statt 8
und 7 gesagt: 8 und 2 ist 10, und 5 ist 15; die
Zahl 7 wird nähmlich in 2 und 5 zerlegt, und davon
zuerst 2 dann 5 hinzugezählt.

Aufgaben.

1. Karl hat 10 Kreuzer; wie viel wird er Haben,
wenn ihm der Vater noch 5 Kreuzer dazu gibt? —
10 Kr. und noch 5 Ar'., zusammen 15 Kr.

2. Dein Vater gab gestern 12 und heute 8 Gul¬
den aus; wie viel hat er zusammen ausgegeben?

2d> Gulden; denn 12 fl. und 8fl. machen zusammen
20 fl. aus.

3. Dein Bruder gibt für Papier 18 Kr. und
für Federn 6 Kr. qn-Sz wie viel gibt er im Ganzen
ans? —24 Kr. -

4. Ein Landmann Hai 60 Schafe; dazu kauft er
noch 7; wie viel Schake hat er dann? 67 Schafe.

5. In dieser Schule "sind setzt noch 73 Schüler'
8 sind aber schon' ausgeblieben; wie viel Schüler-
Waren Anfangs da? — 73 Schüler, die noch da
sind, und jene 8 Schüler, welche schon ausgeblieben
siird, also zusammen 81 Schüler.

6. Dein «lterer Bruder ist 15 Jahre alt, und
hat noch durch 7 Jahre zu studiren; wie alt wird er
seyn, wenn er seine Studien vollendet? — 22 Jahre.

7. Eine Obsthändlerin verkauft um 48 Kr. Äpfel,
und um 9 Kr. Birnen; wie viel macht dieses zusam¬
men? — 57 Kr.

23

8. Em Pfund Ähl kostet 45 Kr.; wenn es nun
um 10 Kr. theurcr wird, wie viel kostet es dann?
— 55 Kr.

8- 23.

I». Hinzuzählen einer Zahl, welche größer
als 10 ist.

Dabey beobachte man folgenden Stufengan

1. Wenn beyde Zahlen aus lauter Zehnern
bestehen. Z.'B. 50 und 20 sind 70; denn 50 sind
5 Zehner, 20 sind 2 Zehner, 5 Zehner und 2 Zehner
sind 7 Zehner oder 70; —oder: 50 ist 5mahl 10, 20
ist 2mahl 10, 5mahl 10 und 2mahl 10 ist 7mahl
10, d. i. 70. Wie viel machen 40 und 30 zusammen
aus; wie viel 20 und 60; 30 und 50; 10 und 80; 70
Und 30?

2. Wenn die zweyte Zahl nur aus Zehnern

bestehet. Z. B. 45 und 30; man sage: 40 und 30
sind 70, und 5 sind 75. — Wie viel geben 26 und
40; 37 und 50; 71 und 20; 63 und 30? Nach meh¬
reren solchen Beyspielen muffen die Schüler sogleich die
zweyte Zahl zu der ersten dazuzählen:^ z. B. 45 und
30 sind 75. »

3. Wenn beyde Zahlen aus Zehnern und
Einheiten bestehen. Dabey verfährt man am bequem¬
sten, wenn man zu der ersten Zahl zuerst die Zeh¬
ner und dann die Einheiten der zwcyten Zahl hinzu¬
zählt. Z. B. 25 und 43; man sagt: 25 und 40
sind 65, und 3 sind 68. — Man könnte auch so versah-

24

ren: 20 und 40 sind 60, 5 und 3 sind 8, zusammen
68; —; oder: 2 Zehner und 4 Zehner sind 6 Zehner,
5 Einheiten und 3 Einheiten sind 8 Einheiten, also
zusammen 6 Zehner und 8 Einheiten d. i. 68.

Wie viel gibt 25 und 15; 38 und 39; 79 und
12; 32 und 67; 29 und 17; 33 und 42; 88 und 12?

4. Das Znsammenzählen von Zahlen, welche
auch Hunderte enthalten, ist schon schwieriger,
.schon darum, weil man dabcy die Zahlen nicht leicht
im Kopfe behalten kann: daher sollen nur fähigere
Schüler darin geübt werden. Dabey verfährt man am
bequemsten, wenn zu der ersten Zahl zuerst die Hun¬
derte, dann die Zehner und endlich die Einheiten der
zwcyten Zahl hinzugezählt werden. Z. B. wie viel
machen 345 und 456 aus? Man spricht 345 und 400
sind 745, und 50 sind 795, und 6 sind 801. —
Man könnte das Zusammenzählen auch so auoführen:
300 und 400 sind 700, 40 und 50 sind 90, man
hat also schon 790, ferner 5 und 6 sind 11, und
jene 790 sind 801.

Aufgaben.

1. Wie viel betragen 30 Kr. und 20 Kr. ? — 50 Kr..

2. Eduard hatte 2 fl. 26 Kr., dazu gibt ihm noch
der Onkel 20 Kr. ;wie viel hat er dann? — 2 fl. 46 Kr-

3. 45 K" und 30 A wie viel sind es A? — -75

4. Dein Vater ist 35, und deine Mutter 30
Jahre alt; wie alt sind beyde zusammen?— 65 Jahre.

5. Ein Taglöhner verdient den ersten Tag 48 Kr.^
den zweyten 40 Kr.; wie viel, macht dieses zusam¬
men ? — 88 Kr.

25

6. WaS machen 18 Loth und 14 Loch? —32
Loch oder 1 K".

7. Jemand gibt täglich 28 Kr. für die Kost, und
25 Kr. für andere Bedürfnisse aus; wie groß ist seine
tägliche Ausgabe? — 28 Ke. und 25 Kr., zusam¬
men 53 Kr.

8. Deine Mutter kaust zwey Halstücher, das eine
kostet 1 fl. 12 Kr., das andere 45 Kr; was kostem
beyde zusammen? — 1 fl. 57 Kr.

9. Dein Vater hat zwey Schuldner, der erste
ist ihm 400 fl., derzweyte 500fl. schuldig; wie vielbeträgt:
dieses zusammen? — 900 fl.

10. Jemand besitzt an baarem Gelde 2500 fl.^
und an Kapitalien 4000 fl.; wie groß ist sein gan¬
zes Vermögen? — 6500 fl.

§. 24.

v. Sind mehr als zwey Zahlen zusainmerr
zu zählen, so werden zuerst zwep zusammengezählt;
zu dem, was herauskommt, setzt man die dritte dazu^
u. s. w. Hier dürfen jedoch nicht alle Zahlen auf cin-
mahlzusammengezählt werden; sondern zuerst nur zwey;
nachdem sie zusammengezählt wurden, die dritte, u.s. w.

Aufgaben.

1. Ein erwachsener Mensch hat 8 Schneidczähne,
4 Eckzähne und 20 Backenzähne; wie viel sind das
zusammen Zähne? — 8 Schneidezähne und 4 Cckzähne
sind 12 Zähne, und noch 20 Backenzähne sind 32 Zähne-

26

2. Ein A Reis kostet 8 Kr.; was kosten 5 A?
2 K" kosten 8 und 8 d. i. 16 Kr., 3 K" kosten 16 und
8 d. i. 24 Kr., 4 A kosten 32 Kr., und 5K40Kr.

3. Wie viel Schläge macht die 4lhr in 12 Stun¬
den? — 78 Schläge.

4. In einem Dorfe sind 50 Einwohner, in einem
andern 40, und in einem dritten 70; wie viel Einwoh¬
ner haben alle drey Dörfer? — 50 und 40 sino 90
und 70 sind 160: also 160 Einwohner.

5. Jemand gab den ersten Monath 28 fl., den
zweyten 25 ff., den dritten 17 fl. aus; wie groß ist die
Ausgabe des ganzen Quartals?— 28 fl. und 25 ss.
(28 und 20 sind 48, und 5) sind 53 fl. und 17 fl.
(53 und 10 sind 63, und 7) sind 70 fl.; die ganze
Ausgabe beträgt also 70 fl.

6. Ein Schüler kauft drey Bücher; daS erste kostet
20 Kr. ,das zweyte 16 Kr; das dritte 12 Kr.; wie viel
kosten alle drey Bücher? —48 Kr.

D. Hinwegnehmen der Zahlen.

N. *egnehinen einer Zahl, welche nicht
größer s 10 ist.

Da Hinwegnehmen der Zahlen wird durch da§
Nückwäri zahlen eingeübt.

I. Der Lehrer lasse von 100,1 wcgnehmen, dann
von 99, u. s. w., bis man auf I kommt; nähmlich:
1 von 100 bleiben 99, 1 von 99 bleiben 98, . . . .'

27

so daß man nach und nach die Zahlen 100, 99, 98,
97 4, 3, 2,1, 0 erhält.

2. Hierauf lasse man von 100 wiederhohlt 2 weg¬
nehmen, wodurch man 100, 98, 96, 94, ... 8,
6^4, 2, 0 bekommt. — Dann lasse man von 99 an¬
fangen, und nach und nach immer 2 abziehen; dadurch
erhält man die Zahlen 99,97, 95,93, . . . 7,5,3,1.

3. Nun fange man wieder mit 100 an, nehme
davon 3 hinweg, von 97 wieder 3, ... — Ebenso
wird von 99, dann von 98 wiederhohlt 3 weggenom¬
men. Man bekommt dabey folgende Zahlenreihen:

100, 97, 94, 91, ... . 10, 7, 4, 1,

99, 96, 93, 90, .... 9, 6, 3, 0,

98, 95, 92, 89, ... . 8, 5, 2, .

4. Auf dieselbe Art wird dann der Lehrer die
Schüler im Wegnehmen vcn 4, 5 , . . . 9, 10
einüben, indem er sie sedesmahl mit 100, 99 oder
einer beliebigen Zahl anfangen, und dann wieder¬
hohlt die betreffende Zahl wegnehmen läßt.

Auch bey diesen Übungen sind die Zahlen durch
Striche anschaulich za machen.

Aufgaben.

1. Joseph hat 45 Kr., und gibt 8 Kr. auS; wie viel
Kr. bleiben ihm noch übrig?— 8Kr. von 45 Kr. weg¬
genommen, bleibem noch 37 Kr.

2. Ein Schüler kauft um 6 Kr. Papier, und gibt
einen Zwanziger hin? wie vielKr. wird er zurückbekom¬
men ? — 14 Kr. — Warum?

28

3. Dein Vater ist jetzt 30 Jahre alt, du aber
bist 7 Jahre alt; um wie viel Jahre ist dein Vater älter
als du? — Um 23 Jahre.

4. Ein Beamter bezieht monathlich 40 fl., und
erspart davon 9 fl ; wie viel hat er ausgegeben ? — 31 fl.

5. Ludwig kauft 15 Birnen; wenn er nun 5 ver¬
zehrt, wie viel bleiben ihm noch? — 10 Birnen.

6. Jemand ist 52 fl. schuldig, und zahlt darauf 9 fl.
ab; wieviel bleibt er noch schuldig ?— -43 fl.

7. In einer Schule sind 45 Knaben, die Zahl der
Mädchen ist um 10 kleiner; wie viel sind also Mäd¬
chen in-jener Schule? — 35.

§. 26.

1». Wegnehmen einer Zahl, welche größer
als 10 ist. s

Dabey halte man sich an folgende Ordnung.

1. Wenn behde Zahlen bloß Zehner enthal¬
ten. Z. B. von 70 sind 30 wegzunehmen, was bleibt
übrig? 40; denn von 7 Zehnern 3 Zehner wegge¬
nommen bleiben noch 4 Zehner, d. r. 40 ; — oder: 70
ist 7mahl 10, 30 ist 3mahl 10; 3mahl 10 von 7mahl
10 bleiben noch 4mahl 10 d.i. 40. —Was bleibt, wenn
man 20 von 50; 30 von 90; 50 von 80 wegnimmt.

2. Wenn nur dieZahl, welche wegzunehmen
ist, aus bloßen Zehnern bestehet. Z. B. wie
viel bleibt 20 von 54? — Man sagt: 20 von 50 bleir
den 30, und dann noch 4 sind 34. — Wie viel
bleibt übrig, wenn man 30 von 46; 20 von 85; 40«
von 71; 70 von 99 abzieht?

Nach,'einigen Übungen müssen die Schüler die
Zehner unmittelbar abziehen, z. B. 20 von 54 blei¬
ben 34>

3. Wenn beyde Zahlen ans -Zehnern
und Einheiten bestehen. Hier ist es am einfachsten
von der größer» Zahl zuerst die Zehner und dann
die Einheiten der kleinern Zahl abzuzichen. Z. B. von
65 ist 41 abzuziehen, man sagt: 40 von 65 blei¬
ben 25, und noch eins davon, bleiben 24.— Man
könnte auch so verfahren: 41 von 50 bleiben 9, 50
von 65 bleiben 15, und die früher gebliebenen 9
sind 24.

Was bleibt 22 von 35; 47 von 89; 53 vv.l 61;
37 von 94?

4. Wenn die Zahlen auch Hunderte enthal¬
ten, so ist das Abziehen im Kopse für Anfänger meist
zu schwierig. Man müßte dabey von der größeren Zahl
zuerst die Hunderte, dann die Zehner und endlich die
Einheiten der kleinern Zahl wegnehmen. Z. B. Wie
viel bleibt übrig, wenn man von 1000 die Zahl 548
wegnimmt? Von 1000, 500 weg bleiben noch 500,
davon 40 abgezogen bleiben 460, und davon noch 8
weggenommen bleiben 452.

Aufgaben.

1. Wie viel bleibt, wenn man 30 Kr. von 1 ff. wez-
k -nimmt?-—30 Kr. von 1 ff.oder 60 Kr.bleiben noch30 Kr.

2. Wie viel fehlt von 50 Kr. noch zu 1 ff. ? —
10 Kr.

3. Was fehlt von 35 Kr. noch zu 1 ff. ? —
Von 35 Kr. bis zu 40 Kr. fehlen 5 Kr.; von 40 Kr.

30 >

bis 1 fl. noch 20 Kr.; also von 35 Kr. bl'SÄ fl. fehlen
noch 25 §r.

4- Ein Bäcker kauft 45 Metzen Mehl, oavon ver¬
braucht er'20 Metzen;- wie groß ist noch sein Mehl-
vorrath? — 45Metzen weniger20 Metzen d. i. 25Metzen.

5. Ein Taglöhncr gibt täglich 38 Kr. ans, ver¬
dient aber 50 Kr.; wie viel erspart er jeden Tag? —
38 Kr. von 50 Kr. bleiben 12 Kr.

6. In einem Fasse waren 82 Maß Bier; wenn
man nun 53 Maß ausgeschenkt hat, wie viel Maß
bleiben noch darin? — Von 82 Maß 53 Maßwegge¬
nommen bleiben noch (50 von 82 bleiben 32" davon
noch 3, bleiben) 29 Maß.

7. Ein Hutmacher bringt 58 Hüte zu Markte; von
diesen verkauft er 15; wie viel Hüte bleiben ihm noch
übrig? — 43 Hüte.

8. Ein Landmann hat 87 Metzen Weizen geern¬
tet, davon aber sogleich 18 Metzen verkauft; wie viel
bleibt ihm noch übrig? — 69 Metzen.

9. Jemand hat ein jährliches Einkommen von 800 fl.
gibt aber nur 600 fl. aus; wie viel erspart er je¬
des Jahr? — 200 fl.

10. Von 5 fl. 40 Kr- sind 3 fl. 10 Kr. wegzu¬
nehmen. 3 fl. von 5 fl. bleiben 2 fl., 10 Kr. von
40 Kr. bleiben 30 Kr. ; es bleiben also im Ganzen 2 fl.
30 Kr. — oder: von 5 fl. 40 Kr. zuerst 3 fl. weg, blei¬
ben 2 fl. 40 Kr., und davon noch 10 Kr., bleiben
2 fl. 30 Kr.

11. Wie viel bleibt übrige »denn man I fl. 50 Kr.
von 4fl. 15 Kr. abzieht?— Man sagt: von 4 fl. 15 Kr.

SL

I fl. wegg^rommen bleiben 3 fl. 15 Kn, nun wer¬
den von 3 fl. die 50 Kr. abgezogen, so bleiben 2 fl.
10 Kr., und jene 15 Kr- dazu, sind 2 fl. 25 Kr. —
Oder: von 1 fl. 50 Kr. bis 2 fl. fehlen noch 10 Kr.,
von 2 fl. bis 4 fl. 15 Kr. fehlen wieder 2 fl. 15 Kr.;
also von 1 fl. 50 Kr. bis 4 fl. 15 kr. fehlen 2 fl. 25 Kr.

Man lasse öfters die Aufgaben auf verschiedene
Arten auflösen, und dann die Kinder beurtheilen,
.welche von diesen Auflößearten für jeden einzelnen Fall die
bequemste ist.

III. Vervielfältigen der Zahlen.

§. 27.'

rr. Vor Allem ist nothwendig, daß die Schüler das
Vervielfachen solcher Zahlen, die nicht größer als
1V sind, sich eigen machen, daß sie nahmlich das so¬
genannte Einmahleins recht gründlich erlernen.' Da
dieses für das ganze Rechnen höchst wichtig ist, so hat
der Lehrer dieser Übung die größte Aufmerksamkeit zu
schenken, und dafür zu sorgen, daß die Schüler das
Einmahleins nicht bloß mechanisch auswendig lernen,
sondern auf eine recht anschauliche Weise zur überzeu¬
genden und bleibenden Kenntniß desselben gelangen.

Folgendes Verfuhren wird sicher zum Ziele führen/

'Dian frage: Wie viel ist Imähl 1 ? — 2mahl 1?

— 3mahl 1? u. s. w. Die Schüler müssen dieses ohne- '
hin gleich anzugebm wissen, wenn sie anders von den
ersten Zahlen die wahren Begriffe haben.

Nun gehe man zu den Vielfachen von 2 über. Der
Lehrer rufe 10 Schüler heraus, und stelle sie so auf,
daß sie von allen Schülern gesehen werden können. So-

32

Hann lasse er zuerst einen Schüler allein,^dann auch
den zwepten, und nach und nach den dritten und jeden
folgenden Schüler 2 Finger aufheben, und fraze je-
-esmahl: Wie viel Schüler heben zu 2 Finger auf?
Wie viel Finger sind cs zusammen? Wie viel sind
also Imahl 2 Finger, 2mahl 2 Finger, 3mahl 2
Finger, .... — Anstatt der Finger können auch klei¬
ne Stäbchen zur Versinnlichnng benützt werden; der Leh¬
rer gebe nähmlich jedem der 10 Schüler 2 Stäbchen,
welche sic Anfangs gegen den Boden gesenkt halten, und
dann auf den Wink des Lehrers einen nach dem ändert!,
emporheben; wobey der Lehrer wieder jedesmahl fragt:
Wie vielmahk2 Stäbchen ragen nun empor? und wie
diel Stäbchen sind es zusammen? Wie viel sind also
Imahl 2 Stäbchen, 2mahl 2 Stäbchen, 3mahl 2'Stäb-
chen, . . . — Auch kann und soll die Versinnlichung
mittelst der Striche an der Schnttafel angewendet wer¬
den, indem der Lehrer zuerst 2 Striche, darneben in
einiger Entfernung wieder 2 Striche, dann immer wie¬
der 2 Striche macht, und jedesmahl fragt: Wie vielmahl
2 Striche sind da? und wieviel sind ihrer zusammen?
Wie viel sind also Imahl 2 Striche, 2mahl 2 Striche,
Smahl 2 Striche, ....?— Nun lasse sich der Lehrer
die Vielfachen von 2 von verschiedenen Schülern an-
Heben.

Auf gleiche Weise und mittelst der nähmlichen Ver-
'sinnlichungsmittel werden dann die Schüler mit den
-Vielfachen von 3, 4, 5, ... . 9, 10 bekannt gemacht.

Dey diesen Übungen habe man übrigens stets den
Grundsatz vor Augen, dast zu den Vielfachen einer fol¬
genden Zahl nicht eher der Übergang geschehe, als bis die
Kinder durch oftmahligcs Wiederhohlen und verschieden-

33

artiges Auffassen die Vielfachen der vorhergehenden
Zahlen sich recht gut eigen gemacht haben.

Das Ergebniß dieser Übungen enthält folgende
Tabelle.

Anleit. r- Kopfrechnen. E

1 Mahl 7 ist 7

2 „ 7 „ 14

3 „ 7 „ 21

"4 „ 7 „ 28

5 „ 7 „ 35

, 6' „ 7 „ 42

>7 „ 7 „ 49

8 „ 7 „ 56

9 „ 7 „ 63

10 „ 7 „ 70

1 Mahl 8 ist 8

2 ,/ 8 /, 16

3 „ 8 „ 24

4 „ 8 „ 32

5 ,/ 8 ,/ 40

6 „ 8 „ 48

7 „ 8 „ 56'

8 „ 8 „ 64

9 „ 8 „ 72

10 „ 8 „ 80


1 Mahl 9 ist 9

2 „ 9 ,, 18

3 „ 9 „ 27

4 „ 9 „ 36

5 „ 9 „ 45

6 „ 9 „ 54

7 „ 9 „ 63

8 „ 9 „ 72

9 „ 9 >, 81

10 » 9 „ 90

1 Mahl 10 ist 10

2 „ 10 „ 20

3 „ 10 ,, 30

4 „ 10 „ 40

5 „ 10 ,/ 50

6 „ 10 „ 60

7 „ 1<, „ 70

8 „ 1i) // 80

9 „ 10 „ 90

10 „ 10 „ 100

28.

Zur Abwechslung und großem Übung wird der
Lehrer die einzelnen Ergebnissedes Einmahleins in passen¬
de Beispiele, wie die folgenden einkleiden.

Aufgaben.

1. Wie viel Kreuzer machen 2 Groschen? — 1 Gr.
hat 3 Kr. 2 Gr. also 2mahl3 Kr. d. i. 6 Kr.

2. Wie viel Kreuzer betragen 5 Zehner? — 1
Zehn, hat 10 Kr., 2 Zehn. 2mahl 10 Kr., 3 Zehn. 3mahl
10 Kr., . . . 5 Zehn, ömahl 10 Kr., also 50 Kr.

35

3. Ein Fenster hat 6 Glastafeln, wie viel 8 Fen¬
ster?— 2 Fenster haben 2mahl 6, 3 Fenster 3mahl 6,
also 8 Fenster 8mahl 6 Glastafeln, d. i. 48 Glastafeln.

4. Ein A Neiß kostet 8 Kr.; was kosten 7 K? —
56 Kr.

5. In I Schulbank sitzen 6 Schüler; wie viel in
40 Bänken? — lOmahl 6 d.i. 60 Schüler.

6. Jemand verdient monathlich IO fl., wie viel in
8 Monathen? — 8mahl IO fl., also 80 fl.

7. Unter 6 Arme wurde Geld vertheilt, so daß je¬
der 5 Kr. bekam; wie viel Kreuzer erhielten alle zusam¬
men? — 6mahl 5 d. i. 30 Kr.

8. Was kosten 10 K Rindfleisch zu 9Kr.? —
lOmahl 9, also 90 Kr. oder I fl. 30 Kr-

9. Ein Bote legt täglich 8 Meilen zurück; wie viel
in 6 Tagen? — 48 Meilen.

§. 29.

I». Eine Zahl, welche größer als 10 ist,
mehrmahl zu nehmen.

Dabey gehe man in folgender Ordnung vor:

I.Wenn die Zahl nur aus Zehnern bestehet.

Z. B. 2mahl 40 ist 80; denn Lmahl 4 Zehner sind
8Zehner d.i.80;oder 40ist 4mahl 10, Lmahl 4mahl
10 ist 8mahl 10 d. i. 80. — Wie viel ist 3mahl 20;
5mahl 20; 4mahl 30; Omahl 80; 7mahl50?

2. Wenn die Zahl Zehner und Einheiten
enthält.

In diesem Falle werden sowohl die Zehner als die
Einheiten mehrmahl genommen. Z. B. wie viel ist Lmahl

C 2

36

32? Man sagt: 2mahl 30 ist 60, 2mahl2ist4, und
60 ist 64. — Wie viel ist 3mahl 26 ; 4mahl 41; 6mahl
82; 8mahl 54; 7mahl69?

3. Wenn die Zahl auch Hunderte enthält.

Da ist die Rechnung im Kopfe schon schwieriger;
dabey muß man zuerst die Hunderte, dann die Zehner
und endlich die Einheiten vervielfachen. Z. B. wie viel
macht 3mahl 248 ? 3mahl200 ist 600, 3mahl 40 ist
120, und 600 ist 720 , 3mahl 8 ist 24, und 720 ist
744; 3r-.ahl 248 ist also 744. — Wie viel ist lOmahl
140? 10 mahl 100 ist 1000, 10 mahl 40 ist 400, und
1000 ist 1400.

Ausgaben.

1. WievielKr.machen2fl.? —1si.gibt60Kr., 2fl.
geben also 2mahl 60 Kr., di i. 120 Kr.

2. Von 10 Armen bekommt feder 12 Kr.; wie viel
bekommen alle zusammen? lOmahl 12 Kr., lOmahl 12
ist 120, also 120 Kr., oder 2 ff.

3. Ein Landmann hat 63 Schafe; wenn nun jedes
3 A Wolle gibt, wie viel Wolle geben alle zusammen?
— 63mahl 3 A, 63mahl 3 ist aber so viel als 3mahl 63,
3mahl 60 ist 180, 3mahl 3 ist 9, zusammen 189, also
189 K" Wolle.-Oder: wenn 1 Schaf 1 K" Wolle geben
würde, so würden 63 Schafe 63 K" Wolle geben; nun
gibt aber jedes Schaf 3 also werden auch 63 Schafe
3mahl 63 d. i. 189 S Wolle geben.

4. In einem Garten sind 8 Reihen Bäume, in
jeder Reihe stehen ihrer 24; wie viel Bäume befinden
sich in dem Garten? 8mahl 24 Bäume; 8mahl 20 ist
160, 8mahl 4 ist 32, und 160 ist 192, also 192 Bäume,

37

5. Wie viel Kr. geben 19 Groschen? — 19mahl
3, oder 3mahl 19 Kr., d. i. 57 Kr.

6. Ern Pfund Kaffeh kostet 36Kr., was kosten

4 A? — 4mahl 36 Kr. also 144 Kr., oder 2 fl. 24 Kr.

7. Ern Pfund Butter kostet 13 Kr., was kosten

5 K"? —65Kr., oder Ist. 5 Kr.

8. 4 Brüder erben feder 800 fl.; wie viel beträgt
ihre ganze Erbschaft? — 3200 fl.

9. Für ein Mannshemd verlangt eine Nähterin 35 Kr.,
wie viel wird der Arbeitslohn für 3 Hemden betragen?
— 105 Kr. oder I fl 45 Kr.

10. Jemand gibt täglich 3 Gulden aus, wie viel
betragt dieses in einem Jahre (365 Tagen) ? — Wür¬
de man täglich 1 fl. ausgeben, so würde die Ausgabe
in 365 Tagen 365 fl. betragen; gibt man aber täglich
3 fl. aus, so wird die jährliche Ausgabe 3mahl so groß,
also 3mahl 365 d. i. 1095 fl. seyn.

8. 30.

e Eine Zahl mehr als Ivmahl zu nehmen.

Dabey halte man sich an die nachstehende Stufen¬
folge:

1. Wenn eine Zahl LVmahl, LV, LS. . .
SV, Ivvmahl zu nehmen ist.

Z. B. Wie viel ist 20mahl 40? — lOmahl 40 ist
400, 20 mahl 40 ist doppelt so viel, also 800; oder:
20mahl 4 ist 80, 20mahl 4 Zehner sind also 80 Zehner
d. i. 800. — Was gibt 30mahl 24? 30mahl 2 Zehner
sind 60 Zehner d.i. 600, 30mahl 4 ist 120, und 600
ist 720.

38

2. Wenn eine Zahl mehr als lOmahl,
LOmahl, genommen werden soll.

Da nehme man sie zuerst so oft, als es die Zehner
anzeigen, und dann noch so ost, als es die Einheiten
anzeigen. Z. B. Wieviel ist 12mahl 25? — Man be¬
rechnet zuerst lOmahl 25, und zwar lOmahl 20 ist 200,
lOmahl 5 ist 50, und 200 ist 250; und nun noch 2mahl
25, nähmlich 2mahl20 ist 40, 2mahl 5 ist 10, und 40
ist 50; 250 und 50 ist 300.

Wie viel ist 24mahl 32? — Man nimmt 32 zu¬
erst 20mahl, dann 4mahl, und fügt dieses zusammen.
LOmahl 30 ist LOmahl 3 Zehner d. i. 60 Zehner oder
600, LOmahl 2 ist 40, und 600 ist 640: nun noch
4mahl 30 oder 4mahl 3 Zehner sind 12 Zehner d. i. 120,
4mahl 2 ist 8, und 120 ist 128; 640 und 128 ist 768.
Solche zusammengesetztere Rechnungen sind jedoch nur
mit den fähigern Schülern vorzunehmen.

Aufgaben.

1. Wie viel Kreuzer geben 20 fl. ? — 1 fl. hat 60 Kr.
20 fl. also 20mahl60 Kr., nämlich 1200 Kr.

2. Eine Maß Wein kostet 16 Kreuzer; was kosten
30 Maß?—480 Kr.

3. Ein Beamter hat monathlich 30 fl. Besoldung, wie
viel in einem Jahre? — ILmahl 30 fl. d. i. 360.

4. Ein Geländer enthält 15 Balken, deren jeder 11
Fuß lang ist; wie lang ist das ganze Geländer? — 1
Balken ist II Fuß lang, I5Balken also I5mahl II Fuß,
lOmahl 11 ist 110,5mahl II ist55, zusammen 165 Fuß.

5. Wie viel Loth geben 22 K? — 1 K" gibt 32
Loth, 22 K werden also LLmahl 32 oder 704 Loth
gebens

39

6. Ein Buch hat 92 Seiten, und auf jeder Seite
34 Zeilen; wie viel Zeilen enthält das ganze Buch?

— 3128 Zeilen.

IV. Enthaltens«)» einer Zahl in einer andern.

§. 31.

«. Wenn die kleinere Zahl nicht größer
als 10 ist, «nd in der andern auch nicht über
IVmahl enthalten ist.

Dabey wende man folgendes Verfahren an:

Der Lehrer frage zuerst: Wie oft kommt I in 1
vor? — wie oft in 2? — in 3, 4, ... 9, 10? —
Dieses bedarf keiner weitern Versinnlichung, weil man
voraussetzt, daß die Schüler von den ersten zehn Zah¬
len richtige Vorstellungen haben.

Um zu sehen, wie oft 2 in den verschiedenen Zah¬
len enthalten ist, ziehe der Lehrer an der Tafel 2 Stri¬
che, darneben wieder 2 Striche u. s. w., und frage:
Wie vielmahl 2 Striche sind in 2 Strichen enthalten?
Imahl. — Wie oft kommen 2 Striche in 4 Strichen
vor? 2mahl. — Wie vielmahl sind 2 Striche in 7
Strichen enthalten? 3mahl, und es bleibt noch 1 Strich.

— Wie oft lassen sich 2 Striche von 10 Strichen weg-
nehmcn? wie ost ist also 2 in 19 enthalten? u. s. w.—
Noch gründlicher kann dieses aus dem Cinmahleins ab¬
geleitet werden. Der Lehrer frage: Wie viel ist Imahl
2? wie viel 2mahl 2 oder das 2fache von 2? wie viel
3mahl 2 oder das 3fache von 2? u. s. w. Diese Viel¬
fachen von 2 lasse er sich wiederhohlt von recht vielen
Schülern angcben, und stelle dann abwechselnd folgende
und ähnliche Fragen: Ist 6 ein Vielfaches von 2?

40

Das wie Vielfache? Das 3fache. Wie ost kommt also
2 in 6 vor? 3mahl. — Ist 14 ein Vielfaches von 2?
Wie vielmahl 2 ist es? 7mahl. Wie oft ist also 2 in
14 enthalten? 7mahl. —Ist 17 ein Vielfaches von 2?
Welches ist das nächst kleinere Vielfache von 2? 16.
Man kann nun 17 in 16 und 1 zerlegen. 16 ist 8mahl
2, wie ost ist also 2 in 16 enthalten? 8mahl. Wie
oft also in 17? Auch 8mahl, aber es bleibt noch 1
übrig u. s. w.

Auf dieselbe Art kann mittelst der Striche an der
Tafel und aus dem Einmahleins auch bestimmt wer¬
den, wie oft 3, 4, 5, ... 9, 10 in den verschiedenen
Zahlen enthalten sind; ferner, ob sie genau enthalten
sind, oder ob noch etwas übrig bleibt. Wenn man z. B.
durch Ableitung aus dem Einmahleins entwickeln wollte,
wie oft 5 in den verschiedenen Zahlen bis 50 vorkommt,
so denke man nach, ob die gegebene Zahl ein Vielfa¬
ches von 5 ist. Wenn sie es ist, so ist 5 darin genau
enthalten, und zwar so oftmahl, daS wie Vielfache von
5 jene Zahl ist. Ist aber jene Zahl kein Vielfaches
von 5, so denke man sich sogleich das nächst kleinere
Vielfache, das so Vielfache von 5 dieses ist, so oft ist
5 in der gegebenen Zahl enthalten, jedoch nicht genau,
es bleibt noch etwas übrig, was man bekommt, wenn
man jenes nächst kleinere Vielfache von der gegebenen
Zahl abzieht.

Wie ost ist 7 in 58 enthalten? — Ich mache ent¬
weder wiederhohlt 7 Striche neben einander an die
Schultafel, bis ich 58 Striche habe, dann sehe r.y,
wie oft T^Striche darin vorkommen, und wie viel
Striche noch übrig bleiben. Oder ich stelle mir die Viel¬
faches von 7 vor, unter welchen 56 das nächst kleinere
unter S8 ist, ur.d zwar daö Sfache; also ist 7 in S8

4t
8mahl enthalten, aber nicht genau, es bleibt noch (56
von 58) 2.

Die Ergebnisse dieser Übungen, ohne Angabe der
Reste, enthält nachstehende Tabelle, welche man gewöhn¬
lich das Einsineins zu nennen Pflegt. _

42

8. 32.

Auch das Einsineins soll durch Einkleidung in pas¬
sende Aufgaben entwickelt und geübt werden.

Aufgaben.

1. Man soll einen Gulden unter die Armen so Ver¬
theilen, daß jeder 6 Kr. bekommt; wie viel Arme kann man
damit beiheilcn? — I fl. bat 60 Kr.; 6 Kr. sind in 60 Kr.
lOmahl enthalten; also kann man 10 Arme betheilen.

2. Wie viele Ellen Tuch bekommt man um si., wenn
eine Elle 4 fl. kostet? — 8 Ellen; weil 4 fl. in 32 fl.
8mahl enthalten find.

43

3. Wie viele Kreuzer betragen 24 Pfennige? —
Auf 1 Kr. gehen 4 Pf., also machen 24 Pf. 6 Kr.;weil
4 in 24 6mahl vorkommt.

4. Jemand will 40 fl. gegen Banknoten zu 5 fl.
umwechseln; wie viel solche Banknoten wird er dafür
erhalten? — 8 Banknoten; denn 5 fl. kommen in 40 fl.
8mahl vor.

5. 28 Bogen Papier sollen unter 7 Schüler zu
gleichen Theilen vertheilt werden; wie viel bekommt
feder? — 4 Bogen.

6. Dein Vater schenkt dir nach und nach 12 Zwan¬
ziger, wie viel Gulden macht dieses? — 4 Gulden.

7. Eine Schreibtheke kostet 6 Kr.; wie viele Schreib¬
theken kann man um einen Gulden kaufen? — 10
Schreibtheken.

8. Wie viele Zehner kommen in 70 Kreuzern vor?
— 7 Zehner.

8. 33.

I». Wenn -ie kleinere Zahl nicht über 10
beträgt, aber in -er andern mehr als lOmahl
enthalten ist.

Dabey soll folgender Stufengang beobachtet werden:

1. Wenn die kleinere Zahl gerade 10 ist.

Z. B. Wie oft ist 10 in 400 enthalten? — 10
in 40 ist 4mahl enthalten, in 400 aber kommt es
lOmahl so oft, also 40mahl vor; oder: 10 kommt in
jedem Zehner Imahl vor, 400 sind 40 Zehner, also
kommt 10 darin lOmahl vor. — Wie oft kommt 10 in
300, in 500, in WO, in 1000 vor?

44

Bey einigen Übungen werden die Schüler dieses
auch unmittelbar anzugeben wissen, nähmlich: 10 in
400 ist 40mahl enthalten.

Wie oft ist 10 in 750 enthalten? — 10 in 700
ist 70mahl, 10 in 50 5mahl enthalten, zusammen
75mahl. — Wie oft kommt 10 in 380, 590, 280,
310 vor?

Wie oft ist 10 in 635 enthalten? — 63mahl und
es bleiben noch 5.

2. Wenn die Zehner der größeren Zahl
gerade ein Vielfaches der kleineren Zahl sind.

Wie oft kommt 3 in 69 vor? — 3 in 6 ist 2mahl
enthalten, also in 60 20mahl, 3 in 9 3mahl, zusam¬
men 23mahl. — Wie Vielmahl ist 4 in 84; 2 in 68; 3
in 96; 5 in 105; 8 in 248; 9 in 369 enthalten?

3. Wenn die Zehner der größeren Zahl
kein Vielfaches der kleineren Zahl sind. Da
bedient man sich der Zerlegung.

Wie oft ist 3 in 84 enthalten? Man zerlegt 84
in 60 und 24, und sagt: 3 in 60 ist 20mahl, in 24
8mahl, also zusammen 28mahl enthalten. — Wie oft
kommt 6 in 324 vor? Man sagt: 6 in 300 ist 50mahl,
6 in 24, 4mahl, zusammen 54mahl enthalten.

Wie Vielmahl ist 8 in 96; 3 in 54; 6 in 72; 5
in 95 enthalten?

Diese zusammengesetzter!: Übungen sind wieder
nur mehr auf die fähigem Schüler zu beschränken.

Aufgaben.

1. Die Reisekosten einer Gesellschaft betragen

140 fl»; wenn nun auf jede Person 10 st. kommt,

4S
wie viel Personen haben Theil genommen? — 10 fl.
sind in 140 fl. 14mahl enthalten; also 14 Personen.

2. Wie viel Groschen machen36 Kr.— Auf 1 Gro¬
schen gehen 3 Kr.; nun ist 3 in 36, 12mahl enthalten;
36 Kr. geben also 12 Groschen.

3. 1 Ztr. kostet8fl.; wieviel Ztr. bekommt man
um 88 fl. —11 Ztr.; weil8 in 88, llmahl enthalten ist.

4. Ein Schüler zahlt monathlich 4 fl. fürs Quar¬
tier; durch wie viele Monathe wird er mit 48 fl. aus¬
kommen?— 4 in 48 ist 12mahl enthalten, also durch
12 Monathe.

5. Jemand gibt täglich 6 Kr. fürs Frühstück; in
wie viel Tagen wird er dafür 2 fl. 30 Kr. ausgeben? —
Ifl. macht 60 Kr., 2 fl. also 2mahl 60 d. i. 120 Kr.
und die 30 Kr. dazu, sind im Ganzen 150 Kr.; 6 ist
nun in 150, 25mahl enthalten; also in 25 Tagen,

6. Wie viel gestochene Vorschriften bekommt man
um 38 Kr., wenn eine 2Kr. kostet? —19 Vorschriften.

7. Für 8 Tage bekommt man 14 fl. (840 Kr.);
wie viel für einen Tag? — 105 Kr. oder 1 fl. 45 Kr.

V, Theilen der Zahlen.

8- 34.

Wenn man 20 Kreuzer, unter zwey Arme so ver-
theilt,daßder eine 12 Kr., verändere 8 Kr. bekommt;
erhalten sie da gleiche Theile? Wie viel müßte man
sedem geben, damit sie gleiche Theile erhalten? —
Sehet nun: wenn man eine Zahl in 2 gleiche Theile
theilt, so heißt seder Theil ein Halbes oder die
Hälftedavorr. Wie vielist also dieHälftevo»20Kr'

46

Was ist die Hälfte von einem Gulden? Ein Gulden
enthält 60 Kr.^; theilt man ihn in 2 gleiche Theile,
wie viel enthält ein Theil? 30 Kr. sind also die Hälfte
von einem Gulden oder ein halber Gulden.— Was
ist die Hälfte von einem Kreuzer? — die Hälfte von
einem Tage? — die Hälfte von einem Jahre? —
von einem Pfunde? u. s. w.

Wie viele halbe Gulden muß man nehmen, um
wieder einen ganzen Gulden zu haben? Wie viele halbe
Jahre oder wie vielmahl 6 Monathe gehen auf ein ganzes
Jahr? — Zwey Halbe machen also ein Ganzes.

Um den Kindern den Begriff des Theilens noch
anschaulicher zu machen, ziehe der Lehrer an der Schul¬
tafel eine Linie, und sage: ich kann diese Linie in zwey
ungleiche aber auch in zwey gleiche Theile theilen; wo
muß ich sie theilen, damit beyde Theile gleich groß wer¬
den? Ich theile also die Linie genau in der Mitte, was
ist dann ein Theil? Ein Halbes oder die Hälfte von der
Linie. Was machen wieder zwey Halbe oder beyde Hälf¬
ten zusammen aus? Die ganze Linie.

8. 35.

Wenn ein Ganzes in drey gleiche Theile getheilt
wird, so heißt feder Theil ein Drittel. Z. B. die
Zahl 3 kann in l, 1 und 1 zerlegt werden; list dann
das Drittel von 3. — Was ist das Drittel von einem
Gulden? Ein Zwanziger oder 20 Kr. Wie viel sind
2 Drittelgulden? wie viel 3 Drittelgulden? — Drey
Drittel machen also ein Ganzes.

Wie viel ist das Drittel von einem Jahre? — von
einem Monathe? — Wie viel sind 2 Drittel, 3 Drittel

47
eines Jahres?— wieviel 2 Drittel, 3 Drittel eines
Monathes.

Ich ziehe wieder eine Linie, und theile sie in drey
gleiche Theile, wie heißt dann ein solcher Theil? Ein
Drittel. 2 solche Theile sind 2 Drittel, 3 solche Theile
sind 3 Drittel und geben die ganze Linie.

Auf gleiche Weise sollen den Kindern die Begriffe
Viertel, Fünftel, . . . beygebracht werden.

Insbesondere übe man sie in der Bestimmung der
Guldentheile. Was ist die Hälfte, das Drittel, Vier¬
tel, der 5te, 6te, lOte Theil eines Guldens? — Wie
viel Kreuzer sind 3 Viertel, 5 Sechstel, 8 Zehntel,
2 Fünftel von einem Gulden? — Wie viel Groschen
machen 2 Viertel, 4 Fünftel, 7 Zehntel eines Guldens ?

Zugleich nehme man die umgekehrte Übung vor,
indem man fragt: Welcher Guldentheil sind 30, 20,
15, 12, 10, 6 Kreuzer? — Der wievielte Theil eines
Guldens sind 10, 5, 4, 2 Groschen?

Zum Schluffe werden die Schüler auch in den be¬
quemen Theilen von einem Zentner, Pfund, Jahr, Mo-
nath, Nieß, Buch u. dgl. eingeübt.

§. 36.

Die Bestimmung der Hälfte, des dritten, vierten
Theils ... kann am gründlichsten wieder aus dem Ein-
mahl'eins entwickelt werden.

Der Lehrer frage: Wie viel ist das 2fache oder
Doppelte von 1 ? Das Doppelte von 2, von 3, 4,... ?—
Diese Zweyfachen der verschiedenen Zahlen werden
von mehreren Schülern wiederhohlt; alsdann stelle der
Lehrer folgende und ähnliche Fragen: Ist 8 das Dop¬
pelte von einer Zahl? Von welcher Zahl? Von 4,

48

Was ist also die Hälfte von 8? — Ist 14 das Dop¬
pelte einer Zahl? Von welcher Zahl? Wie heißt also
die Hälfte von 14? —Ist 9 das Doppelte einer Zahl?
Wie heißt das nächst kleinere Doppelte? Bon welcher
Zahl ist 8 das Doppelte? Was ist also die Hälfte
von 8? Und daher die Hälfte von 9? Auch 4, aber es
bleibt noch 1 übrig, wovon die Hälfte 1 Halbes ist;
die Hälfte von 9 ist also 4 und 1 Halbes.

Auf dieselbe Art lasse sich der Lehrer die 3fachen,
dann die 4fachen, ... der verschiedenen Zahlen angeben,
und däraus entwickeln, wie groß das Drittel, Vier¬
tel, ... einer gegebenen Zahl ist.

Die Schlußfolge, nach welcher bestimmt wird, wie
groß irgend ein Theil z. B. ein Sechstel von einer ge¬
gebenen Zahl sey, ist diese: Man beurtheile zuerst, ob
die gegebene Zahl das 6fache von einer andern Zahl
ist oder nicht. Ist sie gerade ein Sfaches, so frage man
weiter, von welcher Zahl sie das 6fache ist; weiß man
diese Zahl, so schließt man: also ist diese Zahl das
Stel von der gegebenen. Zst aber die gegebene Zahl
nicht eben ein Sfaches, so denke man sogleich an das
nächst kleinere Sfache, suche davon das Stel, so ist die¬
ses zugleich das Sechstel von der gegebenen Zahl, nur
sind noch so viele Sechstel dazu zu setzen, als der Un¬
terschied zwischen jenem Sfachen und der gegebenen Zahl
beträgt.

8- 37.

Ein anderes sehr übendes Verfahren, einen be¬
stimmten Theil selbst von einer großer» Zahl zu finden,
ist das Zurückführen dieser Aufgabe auf das Enthalten-
sepn. Die Folgerung, deren man sich dabey bedient,
wird man aus nachstehenden Beyspielen ersehen.

49

Wie viel ist der 4te Theil von 28 fl.? — Um den
4ten Therl von 28 fl. zu finden, wird man von jeden
4 fl. nur I fl. nehmen; man wird also so vielmahl
I fl. oder so viele Gulden erhalten, als wie oft 4 fl.
in 28 fl. vorkommen; d. h. der 4te Theil von 28 ist
so viel, als wie oft 4 in 28 enthalten ist; 4 ist.in 28
7mahl enthalten; der 4te Theil von 28 fl. ist also 7 fl.

Wie groß ist das Fünftel von 405? — Um das
Fünftel von 405 zu bekommen, werde ich 405 in lau¬
ter Theile theilen, deren jeder 5 enthält; solcher Thcile
werde ich so viele bekommen, als wie oft 5 in 405 enthal¬
ten ist; dann werde ich von jedem solchen Theile 4 nehmen.
Dadurch erhalte ich so vielmahl 4, als Theile da find,
also so vielmahl 4, als wie ost 5 in 405 vorkommt,
nähmlich 24mahl; das Fünftel von 405 ist also 24.

Wie groß ist das Drittel von 27; das Viertel
von 48; das Sechstel von 72?

Aus diesen Beyspielen werden die Schüler einsehen,
daß man, um einen bestimmten Theil einer Zahl zu fin¬
den, nur zu untersuchen braucht, wie oft die Zahl, welche
den Theil anzeigt, in der gegebenen Zahl enthalten ist.
Z. B. Was ist das Viertel von 36? 4 in 36 ist 9mahl
enthalten: das Viertel von 36 ist also 9.

. 8- 38.

Aufgaben über das Theilen.

4. Unter 3 Kinder werden 24 Nüsse zu gleichen Theilen
vcrtheilt; wviele kommen auf 4 Kind? — 4 Kind ist der
3te Theil von 3 Kindern, also erhält 4 Kind auch nur den
3ten Theil von 24 Nüssen; 3 in 24geht 8mahl; also Müsse.

2. 6 Ellen Tuch kosten 30 fl., was kostet 4 Elle?

— 4 Ette ist der 6te Theil von 6 Ellen, folglich kostet 1
Anleit. z. Kopfrechnen. D

60

Elle auch den 6ten Theil von 30 ff.; der 6te Theil von
30 ist 5; 1 Elle kostet also 5 ff.

3. Wie viel ist der 4te Theil von 12 ff. 16 Kr. ?—
das Viertel von 12 ff. sind 3 ff., das Viertel von 16 Kr.
sind 4 Kr.; zusammen 3 ff. 4 Kr.

4. Was ist der 5te Theil von 30 ff. 20 Kr.? — der
5te Theil von 30 ff. sind 6 ff., der 5te Theil von 20 Kr.
sind 4 Kr.; zusammen 6 ff. 4 Kr.

5. Ein Schüler zahlt durch das ganze Schuljahr
(10 Monathe) 200 ff.; wie viel kommt auf 1 Monath?
— 1 Monath ist der lOte Theil von 10 Monathen, also
kommt auf 1 Monath auch^nur der lOte Theil von 200
ff., d. i. 20 ff-

6. Für 6 ff. bekommt man 96 M einer Waare; wie
viel für 1 ff.? — 1 ff. ist der 6te Theil von 6 ff., also
bekommt man für 1 ff. den 6ten Theil von 96 K"; 6 in
60 ist lOmahl, in 36 6mahl, also in 96 16mahl ent¬
halten; für 1 ff. bekommt man also 16 N.

7. 2 Kinder erben ein Vermögen von 840 ff. zu
gleichen Theilen; wie viel bekommt jedes Kind? —
Die Hälfte von 840 ff-, also 420 ff.

8. 5 Dörfer haben 108 ff. zu gleichen Theilen zu¬
sammenzubringen, wie viel kommt auf 1 Dorf? — Der
5te Theil von 108 ff.; der 5te Theilvon 100 ist 20, der
5te Theil von 8 ist 1 und 3 Fünftel; also zusammen 21
ff.und 3 Fünstelgulden; 1 Fünftelgulden ist 12 Kr., 3
Fünftelgulden also3mahl 12 oder 36 Kr.; folglich zahlt
jedes Dorf 21 ff. 36 Kr.

9. 6 Eimer Wein kosten 84 Gulden; wie hoch
kommt 1 Eimer? — Auf 14 ff.

10. 6 Personen sollen 546 ff. unter sich zu gleichen
Theilen theilen; wie viel kommt auf eine Person?—91 ff.

51

11. 10 A Muskatnüsse kommen auf 80 fl.; was
kostet 1 N? — 8 fl.

12. In einer Küche verbraucht man. in 4 Wochen
72 Eyer; wie viel im Durchschnitte in einer Woche? —
18 Eher.

13. Ein Zentner Kaffeh kommt auf 34 fl.; wie viel
kostet ein halber Zentner? — 17 fl.

14. Ein Beamter hat jährlich 600 fl. Gehalt; wie
viel kommt auf ein Vierteljahr? — 150 fl.

§. 39.

VI. Verwandlung der Guldentheile in
Gulden.

Die Verwandlung der Guldentheile in Gulden ge-
schicht, entweder unmittelbar oder mittelbar. So
werden z. B. Zwanziger unmittelbar auf Gulden ge¬
bracht, Fünfer aber werden zuerst in Zehner oder Zwan¬
ziger, und dann erst diese in Gulden verwandelt.

Die Schlußfolge, nach welcher jede solche Ver¬
wandlung vorgenommen wird, ersieht man aus folgen¬
dem Beyspiele. Es seyen 32 Fünfzehner in Gulden zu
verwandeln. Man folgert: 1 Fünfzehncr ist der 4te
Theil von 1 fl., 2 Fünfzehner sind der 4te Theil von
2 fl., 3 Fünfzehner sind der 4te Theil von 3 fl., ... 32
Fünfzehner sind also der 4te Theil von 32 fl.; der 4te
Theil von 32 fl. sind 8 fl.; folglich machen 32 Fünf¬
zehner 8 fl.

1. Halbe Gulden.

Wie viel Gulden geben 12 halbe Gulden? — 1
halber Gulden ist die Hälfte von 1 fl., 12 halbe Gulden
find also die Hälfte von 12 fl., d. i. 6 fl.

D 2

52

Was machen 65 halbe Gulden? — Die Hälfte von
65 fl.; die Hälfte von 60 ist 30, die Hälfte von 5 ist 2
und 1 Halbes, also zusammen 32 fl. und 1 halber Gul¬
den, oder 32 fl. 30 Kr.

Wie viel geben 18, 26, 100, 15, 47, 95 halbe
Gulden?

2. Zwanziger.

Wie viel Gulden betragen 24 Zwanziger? — 1
Zwanziger ist der 3te Theil von 1 fl., 24 Zwanziger
also der 3te Theil von 24 fl., folglich 8 fl.

Was mach'en 19 Zwanziger? — den 3ten Theil
von 19 fl.; der dritte Theil von 19 fl. sind 6 fl. und 1
Drittelgulden, oder 6 fl. 20 Kr.

Was geben 12, 36, 60, 26, 47, 100 Zwanziger?

3. Fünfzehner oder Fünfgroschenstücke.

Wie viel Gulden geben 20 Fünfzehner? — 1 Fünf¬
zehner ist der 4te Theil von 1 fl., also 20 Fünfzehner
der 4te Theil von 20 fl., folglich 5 fl.

Man könnte auch die Fünfzehner zuerst auf halbe
Gulden, und diese dann auf Gulden bringen; z. B. wie
viel betragen 85 Fünfgroschenstücke? — Die Hälfte von
85 halben Gulden,'also 42 halbe Gulden und 1 Fünf¬
groschenstück; 42 halbe Gulden geben ferner 21 fl., und
jenes Fünfgroschenstück, sind 21 fl. 5 Groschen.

Man verwandle 36, 48, 17, 58 Fünfzehner in
Gulden und Kreuzer.

8.40. '

L. Zwölfer oder Viergroschenstücke.

Wie viel Gulden geben 35 Zwölfer?— 1 Zwölfer
ist der 5te Theil von I fl., also45 Zwölfer der 5te Theil

53

von 35 fl., nähmlich 7 fl. — Man kann auch die Zwöl¬
fer zuerst in doppelt so viele Sechser verwandeln, und
diese dann auf Gulden bringen, was unten bey 6.
vorkommt.

Was geben 38 Zwölfer? — Der 5te Theil von
38 ist 7, also 7 fl., und es bleiben noch 3 Zwölfer
oder 36 Kr.; zusammen 7 fl. 36 Kr.

Wie viel machen 20, 65, 100, 42 , 64 Zwölfer r

5. Zehner.

Was betragen 48 Zehner? — 1 Zehner ist der
6te Theil von 1 fl., folglich 48Zehner der 6te Theil
von 48 fl., also 8 fl. -- Man könnte auch die Zehner
zuerst in Zwanziger, und dann diese in Gulden ver¬
wandeln: 48 Zehner geben halb so viel Zwanziger,
also 24 Zwanziger, und diese den 3ten Theil so viel
Gulden, somit 8 Gulden.

Wie viel machen 27 Zehner? — Der 6te Theil
von 27 ist 4, also 4 fl., und es bleiben noch 3Zeh¬
ner oder 30 Kr.; zusammen 4 fl. 30 Kr.

Es sollen 36, 60, 84, 3S, 122 Zehner in Gul¬
den und Kreuzer verwandelt werden.

' 6. Sechser oder Zwehgroschenstücke.

Wie viel Gulden machen 20 Sechser? — Den
Wien Theil von 20 fl., also 2 fl.

Wie viel geben 75 Sechser? — 70 Sechser geben
den lOten Theil von 70 fl., also 7 fl., und 5 Sechser
betragen 30 Kr.; zusammen 7 fl. 30 Kr.

Was machen 30, 100 , 54 , 95 , 214 Sechser?

Wie viel betragen 54 Zwölfer? — 54. Zwölfer
sind 2mahl 54 Sechser d. i. 108 Sechser, und diese der
lOte Theil von 108 fl., also 10 fl. und 8 Sechser
oder 10 fl. und 48 Kr.

54

K. 4l.

7. Fünfer.

Die Fünfer werden zuerst in Zehner oder Zwan¬
ziger, und diese dann in Gulden verwandelt.

Was geben 72 Fünfer? — Halb so viele Zehner,
also 36 Zehner; und diese den 6tcn Theil von 36 fl.,
folglich 6 fl.

Wie viel betragen 68 Fünfer? — Den 4ten Theil
von 68 Zwanziger, also 17 Zwanziger, und diese sind
der 3te Theil von 17 fl., also 5 fl. und 2 Zwanzi¬
ger, oder 5 fl. 40 Kr.

Wie viel machen 36, 84, 50, 124 Fünfer?

8. Groschen.

Diese bringt man zuerst auf Sechser, und die
letztem dann auf Gulden.

Wie viel Gulden machen 100 Groschen? — Die
Hälfte von 100 Sechsern, folglich 50 Sechser; und
diese den lOten Theil von 50 fl., also 5 fl.

Was geben 84 Groschen? — Die Hälfte so viel
Sechser, also 42 Sechser; diese aber machen den lOten
Theil von 42 fl.; also 4 fl. und 2 Sechser, oder
4 fl. 12 Kr.

Wie viel betragen 157 Groschen? — Halb so
viel Sechser, also 78 Sechser und noch I Groschen
darüber; die 78 Sechser machen den lOten Theil von
78 fl., also 7 fl. und noch 8 Sechser oder 16 Gro¬
schen; der früher gebliebene Groschen dazu, sind zu¬
sammen 7 fl. 17 Gr.

Wie viel betragen 40 , 68, 112, 208 Groschen?

Da die Rechnung mit Groschen häufig vorkommt,
so verhalte man die Schüler, daß sie sich die Groschen-

55
zahlen, welche ganze Gulden enthalten, nähmlich 20,
40, 60, 80, 100, . . . auswendig merken.

9. Kreuzer.

Diese werden zuerst in Sechser, und die Sechser
in Gulden verwandelt.

Wie viel Gulden machen 180 Kreuzer? — Den
6ten Theil von 180 Sechsern, somit 30 Sechser; diese
aber den lOten Theil von 30 fl., also 3 fl.

Was machen 846 Kreuzer? — Den 6ten Theil
von 846 Sechsern, also 141 Sechser; diese aber be¬
tragen den lOten Theil von 141 fl., folglich 14 fl. und
noch 1 Sechser, oder 14 fl. 6 Kr.

Wie viel betragen 300, 100, 280 , 500 Kreuzer?

Auch hier lasse man die Kreuzerzahlen 60, 120,
180 , 240, . . . welche ganze Gulden enthalten, von
den Schülern auswendig merken.

Die im Vorhergehenden angezeigten Verwandlun¬
gen sollen, weil sie einen wesentlichen Theil des Kopf¬
rechnens bilden, in recht vielen Beyspielen zur mög¬
lichst größten Fertigkeit gebracht werden.

——

SS

Drittes Hanptstück.

Berechnung des Betrages einer
Mehrheit aus dem Betrage der
gleichartigen Einheit.

§. 42.

Äm häufigsten kommen im gemeinen Leben solche Auf¬
gaben vor, wo aus dem Werthe der Einheit der Werth
einer gleichartigen Mehrheit berechnet werden soll; da¬
her sind auch die Schüler in der Auflösung solcher Auf¬
gaben ganz vorzüglich zu üben.

Der einfachste Fall ist derjenige, wo der Werth
der Einheit in Gulden gegeben ist; da'ist die Aufgabe
ein bloßes Vervielfachen der Guldenzahl.

Aufgaben.

1. 1 K Seide kostet 8 st., was kosten 5 '

Wenn 1 K" 8 st. kostet, so kosten 2 K 2mahl 8 fl>, 3 K"
3mahl 8 st., ... 5 A 5mahl 8 st. d. i. 40 st.

2. 1 Ztr. Zucker kostet 20 st., was kosten 10 Ztr. ?

— lOmahl 20 st., folglich 200 st.

3. 1 Elle Tuch kostet 6 st., was kosten 14 Ellen?

— 14mahl 6 st.; Illmahl 6 ist 60, 4mahl 6 ist 24,
und 60 sind 84; 14 Ellen kosten also 84 st.

57

4. I Ztr. Feigen kostet 15 fl., was kosten 12 Ztr.?
— 12mahl 15 fl.; lOmahl 15 ist 150, 2mahl 15 ist
30, und 150 ist 180; 12 Ztr. kosten also 180 fl.

5. Was kosten 6 Meßen Weizen zu 3 fl. —18 fl.

6. Wie groß ist die Ausgabe in 5 Monathen, wenn
man in einem Monathe 51 fl. ausgibt? — 270 fl.

8. 43.

Kommen aber im Betrage der Einheit Kreuzer
oder Groschen vor, so sieht man bcy der Berechnung
entweder auf diese Kreuzer und Groschen, oder
auch auf die Mehrheit, deren Werth man sucht.

I. Berechnung mit Rücksicht auf die Kreuzer
oder Groschen.

Dabey beobachte man folgenden Stufengang:

r». Wenn die Kreuzer oder Groschen ge¬
rade ein bequemer Guldentheil sind.

Aufgaben.

1. >Was kosten 15 K" Kerzen zu 20 Kr.? — 15
Zwanziger, oder 5. fl.

2. 1 Elle Tuch kostet 4 fl. 30 Kr., tvas kosten 8
Ellen? — 8 Ellen zu 4 fl. betragen 8mahl 4 d. i. 32 fl.;
8 Ellen zu 30 kr. betragen 8 halbe Gulden, oder 4 Gul
den; zusammen 36 fl.

3. Wenn ein Armer täglich 12 Kr. bekommt, wie,
viel macht dieses in 22 Tagen? -- 22 Zwölfer, oder
4 fl: 24 Kr.

58

4. Ein Gärtner verkauft 200 Stück junge Bäum¬
chen, das Stück um 5 Gr.; wie viel hat er dafür einge¬
nommen? — 200 Fünfgroschenstücke, oder 50 fl.

5. Wenn I K Kalbfleisch 10 Kr. kostet; wie viel
wird man für 18 A geben müssen? — 10 Zehner, oder
I fl. 40 Kr.

6. Ein Soldat bekommt täglich 6 Kr.'; wie groß ist
seine Löhnung in einem gemeinen Jahre (365 Tagen)?
— 365 Sechser d. i. 36 fl. 30 Kr.

7. Wie hoch kommen 56 A Tabak zu stehen, wenn
1 N um 1 fl. 3 Kr. Verkauft wird? — 56 A zu 1 fl.
machen 56 fl.; 56 A Zu 3 Kr. geben 56 Groschen, oder
28Sechser, oder 2 fl. 48 Kr.; zusammen 58 fl. 48 Kr.

8. Was kosten 132 Päckchen Zündhölzer, das Päck¬
chen zu 1 Kr.?—132 Kr., oder 22 Sechser, oder 2 fl. 12 Kr.

9. Wenn ein Pfund Zucker um 20 Kr. verkauft wird;
wie hoch kommen 25 K? — Auf 8 fl. und 20 Kr.

18. Wie viel wird man für 62 K' Feigen geben,
Wenn 1 K 5 Kr. kostet? — 5 fl. 10Kr.

11. Jemand kaust 6 A Schmalz, das Pfund zu 20
Kr.; was hat er dafür ausgegeben? — 2 fl.

12. Was kosten 1500 Dachziegel, das Stück zu
1 Kr. gerechnet? — 25 fl.

13. Wie viel gibt man in 20 Tagen aus, wenn die
tägliche Ausgabe 1 fl. 15 Kr. beträgt? — 25 fl.

14. Wenn eine Elle Bänder 3Kr. kostet; wie hoch
kommen 28.Ellen? — 1 fl. 24 Kr.

15. In einem Hause braucht man täglich um 10Kr.
Brot; wie viel in 30 Tagen? — Um 5 fl.

16. Ein Pfund Kaffeh kostet 10 Groschen; was
kosten 45 N? -— LL fl» 10 Groschen.

59

17. Ein Eimer Wein kommt auf 10 fl. 12 Kr.; was
kosten 9 Eimer? — 91 fl. 48 Kr>

18. Wie theuer kommen 28 Bund Federkiele zu
stehen, wenn ein Bund 5 Groschen kostet? — Auf 7 fl.

8- 44.

I». Wenn die Kreuzer oder Groschen keine
bequemen Guldentheile sind.

In diesem Falle nimmt man zuerst einige Kreuzer oder
Groschen weniger oder mehr, so daß man bequem rechnen
kann; der dadurch erhaltene Werth ist aber nicht der wahre;
man muß, wenn man zu wenig genommen hat, auch
dieses berechnen und hinzuzählen; hat man aber zu viel
genommen, so berechnet man dieses, und zieht es ab.

Aufgaben.

1. 1 Elle Leinwand kostet 12 Groschen, was kosten
26 Ellen? — Man nimmt zuerst die Elle zu 10 Gr.,
so erhält man 26 halbe Gulden, oder 13 fl.; nun berech¬
net man noch sede Elle zu 2 Gr., was 26 Sechser, oder
2 fl. 12 Gr. gibt; zu 12 Gr. also werden 26 Ellen 15 fl.
12 Gr. kosten.

2. Jemand kauft einen Eimer (40 Maß) Wein,
die Maß zu 13 Kr.; wie viel wird er für den Wein
zahlen? — Hier berechnet man die 40 Maß zuerst zu
12 Kr., dann zu 1 Kr., und setzt beydes zusammen: 40
Maß zu 12 Kr. geben 40 Zwölfer d. i. 8 fl.: 40 Maß
zu I Kr. geben 40 Kr.; zusammen 8 fl. 40 Kr,

3. Ein Taglöhner verdient täglich 36 Kr.; wie
viel macht dieses in 24 Tagen? — 24 Tage zu 30 Kr.
geben 24 halbe Gulden oder 12 fl.; 24 Tage zu 6 Kr.

60

fleben 24 Sechser d. i. 2 fl. 24 Kr.; 24 Tage zu 36
Kr. geben daher 12 fl. und 2fl. 24 Kr., also 14fl.24Kr.

4. Ein Krämer kaust 10 Dutzend (120 Stück)
Messer, das Stück zu 40 Kr.; wie viel gibt er dafür
aus? — 120 Stück zu 20 Kr. geben 120 Zwanziger,
oder 40 fl.; zu 40 Kr. geben sie also dovpelt so viel,
folglich 80 fl.

5. Was kosten 72 ABaumwolle, wenn 1 K' 53 Kr.
kostet? — Man rechnet zuerst zu 30,. dann zu 20,
und endlich noch zu 3 Kr., und zählt alles zusammen:
72 A zu 30 Kr. betragen 72 halbe Gulden, oder36 fl.;
72 A zu 20 Kr. machen 72 Zwanziger, oder 24 fl., dazu
jene 36 fl., so sind schon 60 fl.; nun noch 72 K" zu
3 Kr., was 72 Groschen, oder 36 Sechser, oder 3 fl. 36
Kr. gibt; zusammen also 63 fl. 36 Kr.

6. 1 Zucker wird um 9 Groschen verkauft, wie
hoch kommen 18 T? — Man nimmt, um leichter zu
rechnen, das A zu 10 Groschen, wodurch man 18 halbe
Gulden oder 9 fl. erhält; nun muß man noch das K'zu
1 Gr. berechnen und den Betrag abziehen, 18 K zu 1 Gr.
betragen 18 Gr., von 9 fl. abgezogen, bleiben 8 fl. 2 Gr.;
18 A kosten also 8 fl. 2 Gr.

7. In einer Haushaltung braucht man täglich im
Durchschnitte um 18 Kr. Br^-t; was macht diese Aus¬
gabe in einem Schaltjahre (366 Tagen) ? — Rechnet
man täglich zu 20 Kr., so hat man 366 Zwanziger,
oder 122 fl.; nun muß man noch zu 2 Kr. täglich be¬
rechnen, und von 122 fl. abziehen; 366 Tage zu 2 Kr.
aber geben 366mahl 2 Kr. d. i. 732 Kr. oder 122 Sech¬
ser, oder 12 fl. 12 Kr.; zieht man diese von 122 fl. ab,
so bleiben 109 fl. 48 Kr. — Bey der Berechnung zu 2
Kr. hätte man auch so folgern können: 2 Kr. ist der 10te

61

von 20 kr. ; der Betrag zu 2 Kr. wird also nur der lOte
Theil des Betrages zu 20 Kr., d. i. der lOte Theil von
122 fl. seyn; der 10t? Theil von 122 fl. sind 12 fl. und
2 Zehntelgulden, oder 12 fl. 12 Kr.

8. Ein Buchhändler verkauft für eine Schule 65
Gebethbücher; wie viel wird er dafür einnehmen, wenn
er das Stück um 48 Kr. hergibt? — 65 Gebethbücher
zu 1 fl. würden 65 fl. machen; 48 Kr. sind aber um 12
Kr. weniger als 1 fl.," man muß also noch 65 Stück zu

12 Kr. berechnen, und den Betrag von 65 fl. hinweg¬
nehmen; 65 Stück zu 12 Kr. machen 65 Zwölfer, oder

13 fl.; zieht man diese von 65 fl. ab, so bleiben 52
fl.; 65 Stück zu 48 Kr. kosten also 52 fl.

9. Wie hoch kommen 56 K Kaffeh, das Pfund zu
24Kr.? — Auf22 fl. 24 Kr.

10. Was kosten 23 A Schmalz zu 9 Groschen?
— 10 fl. 7 Gv.

11. Was kosten 28 Maß Wein zu 16 Kr.? —
7 fl. 28 Kr.

12. Ein Hutmacher verkauft 25 Hüte zu 4 fl. 40
Kr.; wie viel nimmt er dafür ein? — 116 fl. 40 Kr.

13. Wie hoch kommen 84 Ellen Leinwand zu 15
Groschen? — Auf 63 fl.

14. Ein Zentner Eisen wird um 7 fl. 48 Kr. ver¬
kauft; was kosten 18 Ztr.? — 140 fl. 24 Kr.

15. Was kosten 32 Maß zu 6 Groschen? —
9 fl. 12 Gr.

16. Wie viel sind 49 Ellen zu 47 Kr. Werth? -°
38 fl. 23 Kr.

62

8. 45.

II, Berechnung mit Rücksicht aufdie
Mehrheit.

Dabep haltc man sich an folgende Ordnung:

Wenn die Mehrheit eine solche Zahl
ist, daß eben so viele Kreuzer oder Groschen
einen Gulden oder einen bequemen Gulden-
theil ausmachen.

Aufgaben.

1. Was kosten 60 N Zucker, wenn 1 K" 28 Kr.
kostet? — Man schließt: 60 A zu 1 Kr. betragen 60
Kr. oder 1 fl.; zu 2 Kr. betragen sie doppelt so viel,
also 2 fl.; zu 3 Kr. machen sie 3 fl.; ... zu 28 Kr.
geben sie also 28 fl.

2. Eine Maß Wein wird um 16 Kr. verkauft,
was kostet ein halber Eimer d. i. 20 Maß? — 20
Maß zu L Kr. geben 1 Zwanziger, zu 2 Kr. geben sie
2 Zwanziger, ... zu 16 Kr. geben sie also 16 Zwan¬
ziger, d. i. 5 fl. 20 Kr.

3. Wie hoch kommen 5 Baumwolle, wenn 1 N
18 Groschen kostet? — 5 A zu 1 Gr. machen 5 Gr.
oder 1 Fünfzehner, zu 2 Gr. machen sie 2 Fünfzehner,
... zu 18 Gr. betragen sie aljo 18 Fünfzehner, oder
4 fl. 10 Gr.

4. Wie hoch kommt ein Rieß Papier, wenn das
Buch 12 Kr. kostet? —1 Rieß hat 20 Buch; 20 Buch
zu 1 Kr. geben 1 Zwanziger, zu 12 Kr. also 12 Zwan¬
ziger, oder 4 fl.

6Z

5. Was kosten 10 A Butter, das N zu 17 Kr. ? —
10 N zu I Kr. kosten I Zehner, zu 17 Kr. also 17 Zeh¬
ner d. i. 2 fl. 50 Kr.

6. Wenn 1 Teller 8 Kr. kostet, wie hoch kommt ein
Dutzend? — Ein Dutzend hat 12 Stück; 12 Stück zu
I Kr. geben 1 Zwölfer, zu 8 Kr. also 8 Zwölfer, oder
1 fl. 36 Kr.

7. Eine Elle Tuch kostet 4 fl. 16 Kr., was kosten
15 Ellen? — 15 Ellen zu 4 fl. kosten 60 fl.; 15 Ellen
zu 1 Kr. machen 1 Fünfzehner, zu 16 Kr. also 16 Fünf¬
zehner, oder 4 fl., und jene 60 fl., sind 64 fl.

8. Ein Beamter bezieht monathlich 33 fl. 20 Kr.,
wie groß ist seine jährliche Besoldung? — 12 Monathe
zu 33 fl. machen (lOmahl 33 ist 330, 2mahl 33 ist 66,
und 330 ist:) 396 fl.; 12 Monathe zu 20 Kr. machen
20 Zwölfe», oder 4 fl.; also die jährliche Besoldung 396
und 4 d. i. 400 fl.

9. Wie hoch kommt ein Muth (30 Metzen) Weizen,
wenn der Metzen um 2 fl. 54 Kr. verkauft wird? —
Auf 87 fl.

10. Wenn 1 Maß 10 Kr. kostet; wie hoch kommen
60 Maß (ein 601120 im Küftenlande) ? — Auf 10 fl.

11. Ein Taglöhner verdient täglich 35 Kr.; wie
viel macht dieses in 6 Tagen? — 3 fl. 30 Kr.

12. Jemand zahlt täglich 52 Kr. für die Kost;
Wie viel macht dieses in einem Monathe? — 26 fl.

13. Wenn man 1 K Käse mit 28 Kr. bezahlt,
wie viel werden 3 K kosten? — 1 fl. 24 Kr.

14. Wie viel kosten 5 A Schmalz, das Pfund
zu 8 Groschen? — 2 fl.

64

15. Wie hoch kommen 20 Ellen Leinwand zu 38
Kr.?— 12 fl. 40 Kr.

16. Ein Papierhändler kauft einen Ballen (10
Rieß) Pafier, den Rieß zu 3 fl. 45 Kr.; wie viel wird
er für diesen Ballen geben? 37 fl. 30 Kr.

§. 46.

I». Wenn die Mehrheit keine solche Zahl
ist, daß eben so viele Krenzer oder Groschen
einen Gulden oder einen bequemen Gulden-
theil ausmachen.

In diesem Falle sucht man den Werth für eine
kleinere oder größere Mehrheit, für welche sich bequem
rechnen läßt; dann sucht man auch den Werth für das
zu wenig oder zu viel-Genommene, und zählt das
erste hinzu, das zweyte aber wird abgezogen.

Aufgaben.

1. Was kosten 36 Maß Wein zu 14 Kr.? —
Man sucht zuerst den Werth von 30 Maß, und dann
von 6 Maß, und setzt beyde Werthe zusammen: 30
Maß zu 1 Kr. geben 1 halben Gulden, zu 14 Kr. also
14 halbe Gulden, oder 7 fl.; 6 Maß kosten nur den
5ten Theil von dxm, was 30 Maß kosten, also den
5ten Theil von 7 fl., dieser ist 1 fl. und 2 Fünftel¬
gulden, 1 Fünftelgulden ist 12 Kr., 2 Fünftelgulden
also 24 Kr.; folglich kosten 6 Maß 1 fl. 24 Kr.; also
30 und 6 Maß zusammen 7 fl. und 1 fl. 24 Kr., d. i.
8 fl. 24 Kr.

2. Ein Loth Seide kauft man um 18 Kr>; was
kostet 1 K°? — 1 A enthält 32 Loth; man berechnet

65

zuerst den Werth für 36 Loch, dann für 2 Loch, und
setzt beyde zusammen: 80 Loch zu 18 Kr. geben 18
halbe Gulden, oder 9 fl.; 2 Loch zu 18 Kr. betragen
36 Kr.; für 32 Loch oder 1 wird man daher 9 fl.
und 36 Kr. zu zahlen haben.

3. Ein Fubrmann führt 19 Eimer Wein; wenn
man ihm nun von jedem Eimer 46 Kr. zahlt, wie
viel beträgt die ganze Fracht? — Man sucht zuerst die
Fracht für 20 Eimer; 20 Eimer zu 46 Kr. betragen
46 Zwanziger, oder 15 fl. 20 Kr.; man hat aber 1
Eimer zu viel gerechnet, als muß man von 15 fl. 20 Kr.
die Fracht für 1 Eimer, nähmlich 46 Kr. hinwcaneh-
men; 46 Kr. von 15 fl. weggenommen bleiben 14 fl.
14 Kr., und nun noch die 20 Kr. dazu, sind 11 fl.
34 Kr.

4. Was kosten 28 N Kaffeh zu 34 Kr. ? — 30 A
zu 34 Kr. sind 34 halbe Gulden, oder 17 fl.; man hat aber
2 K" zu viel gerechnet, diese kosten 2mahl 84 Kr. d. i.
1 fl. 8 Kr., welche man von 17 fl. abziehcn muß; 1 fl.
von 17 fl. bleiben noch 16 fl., und nun noch 8 Kr. ab¬
gezogen, bleiben 15 fl. 52 Kr.

5. Jemand verkauft 24 Stück Leuchter, das Stück
zu 42 Kr.; wie viel bekommt er dafür? — 16 fl.
48 Kr.

6. Was kosten 16 K" einer Waare zu 36Kr.? —
9 fl. 36 Kr.

7. Wie viel betragen II K" Farbe, wenn daS
Pfund 1 fl. 18 Kr. kostet? — 14 fl. 18 Kr.

8. Wenn Jemand täglich 48 Kr. ausgibt, wie
viel gibt er in 27 Tagen aus? — 21 fl. 36 Kr.

Anleit. z. Kopfrechnen. E

66

р. Wie hoch kommen 50 Stück Hasen zu 42 Kr.?
— Auf 35 fl.

§. 47.

Nach diesen Übungen soll nun eine und dieselbe
Aufgabe auf verschiedene Art gelöset werden.

Z. B. Wenn 1 Elle Leinwand 40 Kr. kostet, wie
hoch kommen 24 Ellen?

g. 24 Ellen zu 1 fl. sind 24 fl.; 1 Elle kostet aber
nur 40 Kr., also 20 Kr. weniger; daher berechnet man
noch zu 20 Kr., und zieht ab; 24Ellen zu 20 Kr. si nd 24
Zwanziger, oder 8 fl.; 8 fl. von 24 fl. bleiben 16 fl.;
24 Ellen zu 40 Kr. kosten also 16 fl.

l>. 24 Ellen zu 30 Kr. geben 24 halbe Gulden^
oder 12 fl.; nun noch zu 10 Kr., diese sind der 3te
Theil von 30 Kr., also werden 24 Ellen zu 10 Kr.
gerade den 3ten Theil von 12 fl. d. i. 4 fl. kosten;
12 fl. und 4 fl. sind dann 16 fl.

с. 24 Ellen zu 20 Kr. sind 24 Zwanziger, oder
8 fl.; zu 40 Kr. aber kosten sie doppelt so viel, also
16 fl.

ä. Man berechnet den Werch von 20 Ellen, dann
von 4 Ellen, und fügt bcyde zusammen; 20 Ellen zu
zu 1 Kr. geben 1 Zwanziger, zu 40 Kr. also
40 Zwanziger; 4 Ellen sind der 5te Theil von
20 Ellen, also kosten sie den 5ten Theil von 40 Zwan-
gern, d. i. 8Zwanziger; 20 und 4 Ellen kosten also
40 und 8 d^ i. 48 Zwanziger, oder 16 fl.

«. Man sucht den Werth von 30 Ellen, und zieht
davon den Werth von 6 Ellen ab; 30 Ellen zu 1 Kr.
kosten 1 halben Gulden, zu 40 Kr. also 40 halbe Gulden-

. 67

oder 20 ff.; 6 Ellen sind gerade der 5te Theil vorr
30 Ellen, kosten daher auch den 5ten Theil von 20 ff.,
nähmlich 4 fl.; 4 fl. von 20 ff. bleiben 16 ff.

Solche Übungen werden am zweckmäßigsten in der
Art vorgenommen, daß der Lehrer ein paffendes Bey-
spiel aufgibt, und die ganze Ausrechnung den Schülern
überläßt. Nachdem die Aufgabe gelöst wurde, lasse er
sie von verschiedenen Schülern vollständig ausrechnen.
Dabey wird sich nun meistens zeigen, daß die Aufgabe
von verschiedenen Schülern auch auf verschiedene Art
ausgerechnet wrmde. Der Lehrer lasse dann beurtheilen,.
welche von den verschiedenen Verfahrungsarten wohl
bey diesem Beyspiele die zweckmäßigste sey (in dem
früher» Beyspiele ist offenbar die Auflösung unter o.
die einfachste und kürzeste). So werden die Schüler
durch mehrere Beyspiele die Fertigkeit erlangen, bey
jedem vorkommenden Falle sogleich zu entscheiden, welche
Verfahrungsart am vortheilhaftesten.angcwendet wer¬
den könne.

Auf dieselbe Art, wie das vorhergehende Beyspiel,
lassen sich auch folgende Aufgaben behandeln:

1. Was kosten 25 K zu 50 Kr.? — 20 fl. 50 Kr.

2. Wie viel betragen 30 K zu 26 Kr. — 13 fl.

3. Wie viel sind 45 K" Kaffeh zu 36 Kr. werth?
— 27 fl.

4. Jemand kauft 2 Dutzend (24 Stück) Schnupf¬
tücher/ das Stück zu 18 Kr.; wie "iel muß er dafür
geben? — 7 fl. 12 Kr.

5. Wie hoch kommen 40 S Tabak, wenn 1
um 56 Lr. verkauft wird? — Auf 37 fl. 20 Kr.

E 2

68

6. Wie hoch kommen 26 Maß Wein zu 18 Kr. ?
— Auf 7 fl. 48 Kr.

7. Jemand kaust 38 Ellen Taffet zu 45 Kr., wie
viel hat er dafür zu zahlen? — 28 fl. 30 Kr.

8. Ein Schuhmacher verkauft 50 Paar Stiefel
zu 4 fl. 48 Kr.; wie viel nimmt er dafür ein? —
240 fl.

6S

Viertes Hauptstück.

Auffinden von Nechnrrugsvortheilen.

§. 48.

9tun können die Schüler auch zur Auffindung von
Morth.ilen für die häufiger verkommenden Berech¬
nungen «»geleitet werden. Solche Vortheile kommen
insbesondere gut zu Statten, wenn aus dem Betrage
einer niedcrn Einheit der Betrag für eine höhere Ein¬
heit, oder umgekehrt zu bestimmen ist.

Bey der Anwendung der Rechnungsvortheile sol¬
len übrigens die Schüler nicht bloß mechanisch zu Werk
gehen, sondern fedesmahl auch den Grund für die
Richtigkeit des Bortheils angeben.

I. Wenn aus dem Betrage einer nievern Einheit
der Betrag für eine höhere Einheit zu berechnen ist.

8. 49.

Man ftll einen Bo.theil finden, »ach welchem
man aus dem Preise einer Elle den Preis eines Stü¬
ckes von Ellen findet.

Man folgert: wenn 1 Elle 1 Kr. kostet, so kommt
das ganze Stück aus 30 Kr. oder 1 halben Gulden;
kostet die Elle 2 Kr., so kommt das Stück doppelt so

70

hoch, also auf 2 halbe Gulden; die Elle zu 3 Kr., so
kostet das Stück 3 halbe Gulden, u. s. w.; also:

So viel Kreuzer die Elle, eben so viel
halbe Gulden kostet das Stück zu 3« Ellen.

Nach diesem Vortheile lasse man dann mehrere
Aufgaben berechnen.

Aufgaben.

1. 1 Elle Leinwand kostet 35 Kr.; was wird ein
Stück kosten? — 35 halbe Gulden, d. i. 17 fl. 30 Kr.

2. WaS kostet ein Stück, wenn die Elle 12, 17,
32, 45 Kr. kostet?

3. Wie viel kostet ein Stück Tuch, wovon die
Elle um 5 fl. 18 Kr. verkauft wird? — 1 Stück zu

5 fl. die Elle kostet 30mahl 5 d. i. 150 fl., zu 18 Kr.
koket es 18 halbe Gulden, oder 9 fl.; zusammen
159 fl.

§. 50.

Es soll ein Vorthsil entwickelt werden, um aus
dem Preise eines Pfundes den Preis eines Zentners
zu berechnen.

a. Wenn der Preis eines Pfundes in Kreuzern
gegeben ist.

Wenn 1 Pfund 1 Kr. kostet, so kostet der Zentner
100 Kr. d. i. 2 fl. weniger 1 Zwanziger; wenn das
Pfund 2 Kr. kostet, so wrrd ein Zentner doppelt so
viel kosten, also 4 fl. weniger 2 Zwanziger; rechnet
man das Pfund zu 3 Kr., so rostet der Zentner

6 fl. weniger 3 Zwanziger, u. s. w. Daraus folgt:

71

So viel Kreuzer das Pfund, doppelt so
viel Gulden weniger so viel Zwanziger kostet
Der Zentner.

Aufgaben.

1. Was lostet der Zentner Kaffeh, wenn I
36 Kr. kostet? — 2mahl 36 d. i. 72 st., weniger
36 Zwanziger, oder 12 fl.; 12 fl. von 72 st. bleiben
60 fl.; der Zentner kostet also 60 fl.

2. Wie viel kostet 1 Ztr., wenn das Pfund 8,
15, 24, 32, 48, 50 Kreuzer kostet?

3. WaS kostet der Zentner, wenn das Pfund
2 fl. 25 Kr. kostet? — 1 Ztr. zu 2 fl. das Pfund ko¬
stet lOOmahl 2 d. i. 200 fl.; zu 25 Kr. kostet er 50 fl.
weniger 25 Zwanziger d. i. 50 fl. weniger 8 fl. 20 Kr.,
also 41 fl. 40 Kr.; zusammen 241 fl. 40 Kr.

d. Wenn der Preis eines Pfundes in Groschen
angegeben ist.

Wird das Pfund um 1 Groschen verkauft, so
kommt der Zentner ruf 100 Gr., oder 5 fl., kostet
das Pfund 2 Gr., so kommt der Zentner doppelt so
hoch, also auf 10 fl.; das Pfund zu 3 Gr-, so kostet
der Zentner 3mahl 5 d. i. 15 fl.; u. s. w. Überhaupt:
So viel Groschen das Pfund- Lmahl so viel
Gulden kostet der Zentner.

Aufgaben.

1. 1 K" Lhl kostet 8 Gr.; wie hoch kommt der
Ztr. ? — Auf 5mahl 8 d. i. 40 fl.

2. Wie hoch kommt der Zentner, wenn das Pfund
mit 2, 4, 7- 11, 15, 18 Gr. bezahlt wird?

72

§. SL.

Auf ähnliche Art können auch folgende Vortheile
abgeleitet werden.

So viel Kreuzer täglich, eben so viel halbe Gul¬
den in einem Monathe.

So viel Kreuzer täglich, 6mahl so viel Gulden
in einem Jahre.

So viel Kreuzer die Maß, doppelt so viel Zwan¬
ziger kostet der Eimer.

So viel Groschen die Maß, doppelt so viel Gul¬
den kostet der Eimer.

So viel Kreuzer das Buch, eben so viel Zwanzi¬
ger kostet der Nicß.

So viel Groschen das Buch, eben so viel Gul¬
den kostet der Nieß.

Aufgaben.

1. Jemand Zahlt für die Kost täglich 32 Kr.;
wie viel zahlt er monathlich? — 32 halbe Gulden,
oder 16 st.

2. Jemand verdient täglich 55 Kr.; wie viel
macht dieses in einem Monathe? — 55 halbe Gul¬
den, oder 27 fl. 30 Kr.

3. Von einem Kapitale wird tägliche 38 Kr.
Zins gezahlt, wie viel in einem Jahre? — 6mahl
.38 fl. d. i. 228 fl.

4. Jemand hat täglich L fl. 18 Kr. zu verzehren,
Wie viel in einem Jahre? — 360 Tage zu 1 fl. ge»

73

ten erstlich 360 fl., und täglich 18 Kr. geben in
einem Jahre 6mahl 18 d. i. 108 fl.; zusammen
468 fl.

5. Eine Maß kostet 16 Kr., was kostet der
Eimer? — 2mahl 16 d. i. 32 Zwanziger, oder
10 fl. 40 Kr.

6. Wie hoch kommt der Eimer Bier, wenn man
die Maß zu 7 Kr. zahlt ? — Auf 2mahl 7 d. i. 14 Zwan¬
ziger, oder 4 fl. 40 Kr.

7. Was kostet ein Eimer Wern, zu 8 Groschen
die Maß? — 2mahl 8 d. i. 16 fl.

8. Ein Buch Papier kostet 14 Kr., wie hoch
kommt ein Nieß? — Auf 14 Zwanziger, oder 4 fl.
40 Kr.

9. Wie viel kostet ein Rieß, wenn das Buch
27 Kr. gilt? — 27 Zwanziger, oder 9 fl.

10. Was betragen 6 Rieß Papier, das Buch zu
5 Groschen? — 1 Rieß kommt auf5fl., 6 Rieß also
auf 6mahl 5 d. i. 30 fl.

LI. Wenn aus dem Betrage einer höhern Einheit
der Betrag einer niedrigern Einheit zu bestimmen ist.

8- 52.

Es soll ein Vortheil entwickelt werden, um aus dem
Preise eines Eimers den Preis einer Maß zu finden.
Wenn 1 Eimer 1 fl. kostet, so wird die Hälfte von einem
Eimer auch nur die Hälfte von 1 fl., der dritte Thcil
eines Eimers nur den'dritten Thcil von 1 fl. kosten,
..1 Maß ist der 40ste Theil von 1 Eimer, also wird

74

sie den 40stcn Theil von 1 fl. kosten; dw 20ste Theil
von I ff. ist 1 Groschen, also der 40ste Theil 1 halber
Groschen; wenn daher der Eimer I si. lostet, so kostet
die Maß 1 halben Groschen; kommt der Eimer auf2fl.,
so kostet die Maß 2 halbe Groschen; der Eimer zu 3 fl.,
so kommt die Maß ans 3 halbe Groschen, u. s. w. Dar¬
aus folgt:

So viel Gulden der Eimer, eben so viele
Halbe Groschen kostet kie Maß.

Aufgaben.

1. Was kostet I Maß, wenn der Eimer zu 12 fl.
verkauft wird? — 12 halbe Groschen, d. i. 6 Gr., oder
18 Kr.

2. Ein Eimer kostet 20 fl., wie hoch kommt 1 Maß?
— Auf 20 halbe Gr., d. i. 10 Gr. oder 30 Kr.

3. Was ist 1 Maß werth, wenn der Eimer zu 6,
Z0, 15, 18, 25 fl. gerechnet wird?

8- 53.

Man leite einen Vortheil ab, nach welchem aus
dem Betrage eines Jahres der Betrag eines Mouathes
Lestimmr wird.

Man folgert: Wenn man in 1 Jahre I fl. einnimmt
oder ausgidt, so kommt auf einen Monath der I2te Theil
von L fl., d. i. 1 Fünfer; rechnet man jährlich 2 fl., so
kommt auf einen Monath doppelt so viel, also 2 Fün¬
fer; 3 fl. jährlich geben 3 Fünfen monatlich, u. s. w.
Überhaupt:

75

So viel Gulden jährlich, eben so viele
Fünfer monathlich.

Aufgaben.

1. Em Beamter hat jährlich 500 fl. Besoldung;
wie viel bezieht er monathlich? — 500 Fünfer, oder
125 Zwanziger, oder 41 fl. 40 Kr.

2. In einer Haushaltung kann man jährlich 400 fl.
ausgeben; wie viel kommt auf einen Monath? — 400
Fünfer, oder 100 Zwanziger, oder 33 fl. 20 Kr.

3. Ein Kapital gibt jährlich 30 fl. Zins; wie viel
kommt auf einen Monath? — 30 Fünfer, oder 15 Zeh¬
ner, oder 2 fl. 30 Kr.

4. Wie viel beträgt die monathlichc Einnahme oder
Ausgabe, wenn man jährlich 100, 150, 200, 240, 360,
450, 800, 1000 fl. einnimmt oder ausgibt?

§.54.

Auf ähnliche Art, wie die vorhergehenden, können
von den Schülern auch folgende Vortheile aufgefunden
werden:

So viel Gulden in einem Monathe, doppelt so viel
Kreuzer in einem Tage.

So viel Gulden jährlich, eben so viel Scchstel-
kreuzer täglich.

So viel Gulden der Zentner', eben so viel Fünstel-
groschen kostet das Pfund.

So viel Gulden das Stück, doppelt so viel Kreuzer
kostet die Elle.

76

So viel Gulden der Rieß, so viel Groschen kostet
das Buch.

So viel Gulden der Ballen; eben so viel Sechser
kostet der Rieß.

Aufgaben.

1. Jemand zahlt monathlich 6 ff. Wohnzins; wie
viel kommt auf einen Tag? — 2mahl 6 Kr. d. i.
12 Kr.

2. In einem Hause braucht man monathlich um
5 fl. Milch; wie viel kommt auf einen Tag? —2mahl
5 Kr. d. i. 10 Kr.

3. Die jährliche Einnahm: ist 450 fl.; wie groß
die tägliche? — 450 Sechstclkreuzer, also der 6te Theil
von 450 Kr. d. i. 75 Kr., oder 1 fl. 15 Kr.

4. Ein Kapital gibt jährlich 48 fl. Zins; wie viel
in einem Tage? — 48 Sechstelkreuzcr, also den 6ten
Theil von 48 Kr., d. i. 8 Kr.

5. 1 Ztr. Wachs kostet 90 fl.; wie hoch kommt 1

— Auf 90 Fünftelgroschen, oder den 5ten Theil von
SO Groschen, d. i. 18 Er.

6. Wie viel kostet 1 K" Mandeln, wenn der Zentner
32 fl. kostet? — 32 Fünftelgroschen, also den 5ten Theil
von 32 Gr. d. i. 6 Gr. und den 5ten Theil von 2 Gr.
oder 6 Kr.; 6 Gr. sind 18 Kr.; der 5te Theil von 6 Kr.
ist 1 Kr. und 1 Fünstclkreuzer; zusammen etwas mehc
als 19 Kr.

7. Ein Stück Leinwand kostet 13 fl., wie hoch kommt
1 Elle? — Auf 2mahl 13 Kr. d. i. 26 Kr.

77

8. Was kostet I Elle Tuch, wenn daS Stück 90 fl.
kostet? — 2mahl 90 Kr. d. i. 180 Kr. oder 3 fl.

9. Was kostet I Buch Papier, wenn der Rieß mit
6 fl. bezahlt wird? — 6 Groschen.

10. Wenn ein Ballen Papier 50 fl. kostet, wie viel
ist ein Rieß, und wie viel ein Buch werth? — Ein Rieß
kommt auf 50 Sechser, oder 5 fl.; ein Buch also auf
5 Gr.

78

Fünftes Hauptstück.

Berechnung Der Zinsen.

§. 55.

geschieht häufig im bürgerlichen Leben, daß man
Jemanden Geld ausleihet. Für die Benützung dieses
Geldes muß dann jährlich etwas gezahlt werden. Das¬
jenige nun, was man für die Benützung eines Geldes
dem Ausleiher zahlt, heißt Zins oder Interesse; das
dargcliehene Geld aller wird Kapital genannt.

Bey Darleihen wird jedesmahl bestimmt, wie
viel Zins man von 100 fl. Kapital in einem Jahre
Zahlen soll, diesen Zins nennet man das Perzent.

Z. B. Jemand leihet 200 fl. aus, und verlangt,
daß ihm für jede 100 fl. in einem Jahre für die Be¬
nützung 5 fl. gezahlt werden. Man sagt hier: er leihet
das Kapital zu 5 Perzent aus. Von 200 fl. wird er
natürlich 2mahl 5 fl., also 10 fl. erhalten. — Hier ist
200 fl. das Kapital, 5 ist das Perzent, und 10 fl. das
Interesse für ein Jahr.

8- 56.

Am häufigsten kommt das Interesse für ein Jahr
zu berechnen vor. Dabey beobachte man folgenden
Stufengang.

79

k. Wenn das Kapital nur Hunderte
enthält.

l. Wie viel Zins geben 500 fl. Kapital zu 6
Perzent in einem Jahre? — 100 fl. geben jährlich 6 fl.
Zins; 200 fl. geben doppelt so viel, also 2mabl 6 fl.
Zins; 300 fl. geben 3mahl 6 fl.; ... 500 fl. also
5mahl 6 fl. d. i. 30 fl.

2. Wie groß ist das jährliche Interesse von 600 fl'
zu 4 Perzent? — 100 fl. Kapital geben jährlich 4 fl.
Interesse, 600 fl. also 6mahl 4 fl. d. i. 24 fl.

3. Wie viel Interesse geben 1000 fl. in I Jahre
zu 5 Perzent? — 1000 ssnd 10 Hundert-e; wenn man
nun von 1 Hundert 5 fl. ZinS bekommt, so geben 10
Hunderte lOmahl 5 fl. d. i. 50 fl. als Zins.

Wenn also das Kapital bloß aus Hunderten be¬
stehet, so findet man den einjährigen Zins, wenn man
das Perzent so vielmahl nimmt, als Hunderte da find.

4. Wie viel Zins geben 800 fl. zu 5 Perzent in
1 Jahre? — 40 fl.

5. Wie groß ist das jährliche Interesse von 700 fl.
zu 4 Perzent? — 28 fl.

k. Wenn das Kapital nicht aus bloßen
Hunderten bestehet.

l. Wie viel Zins bekommt man von 20 fl. zu 6
Perzent in 1 Jahre? — Man folgert: wenn 100 fl.
6 fl. Zins geben, so kommt auf I fl. der lOOste Theil
von 6 fl., der 20ste Theil von 6 fl. find 6 Groschen,
der lOOste Theil, welcher 5mahl kleiner ist, sind also
6 Fünftelgroschen; 1 fl. Kapital gibt also jährlich 6
Fünftelgroschen, 20 fl. Kapital werden 20mahl 6 d. i.
120 Fünftelgroschen Zins geben; 120 Fünftelgroschen
find der 5te Theil von 120 Groschen, also 24 Groschen,

80

oder I fl. 12 Kr.; 20 fl. Kapital geben also zu 6 Per¬
zent jährlich 1 fl. 12 Kr. Zins. — Oder kürzer: 20 fl.
sind der 5le Theil von 100 fl., es werden also auch 20 fl.
nur den 5tcn Theil von 6 fl. zum Zinse geben; der 5te
Theil von 6 fl. ist 1 fl. und 1 Fünftelgulden oder 1 fl.
und 12 Kr.

2. Wie groß iß das jährliche Interesse von 65 fl.
zu 4 Perzent? — Wenn 100 fl. Kapital 4 fl. Zins
geben, so gibt 1 fl. Kapital den lOOsten Theil von 4 fl-,
der lOOste Theil von 1 fl. ist 1 Fünftelgroschen, von
4 fl. also 4 Fünftelgroschen; 1 fl. gibt also 4 Fünftel¬
groschen Zinsdaher 65 fl. 65mahl 4 d. i. 260 Fünf¬
telgroschen; diese sind der 5te Theil von 260 Groschen,
also 52 Groschen, oder 2 fl. 36 Kr.

3. Wie viel Interessen geben jährlich 850 fl. zu
4 Perzent? — 34 fl.

4. Wie groß ist der jährliche Zins von 345 fl. zu
6 Perzent? — 20 fl. 42 Kr.

8. 57.

Da die Berechnung des jährlichen Zinses in dem
Falle, wo das Kapital nicht aus bloßen Hunderten be¬
stehet, meistens zusammengesetzt ist, und im gemeinen
Leden der Zins fast immer z-u 4, 5 oder 6 Perzent ge¬
rechnet wird; so kann man die Schüler Bortheile auf¬
suchen lassen, nach welchen sich der Zins zu 4, 5 und
6 Perzent kürzer und einfacher ausrechnen läßt, als
nach deta früher angcwendeten allgemeinen Verfahren.

Zu 6 Perzent.

Wenn 100 fl, Kapital 6 fl. Zins geben, so gibt
1 fl. den lOOsten Theil von 6 fl.; der 20stc Theil von

81

6 fl. sind 6 Groschen, der 100 ste also 6 Fünftelgroschen,
diese machen einen ganzen Groschen und noch 1 Fünf-
telgroschen; 1 fl. Kapital gibt also 1 Groschen und

1 Fünftclgroschen Zins, 2 fl. geben 2 Groschen und

2 Fünftelgroschen, 3 fl. geben 3 Gr. und 3 Fünstelgr.,
u. s. w. Man kann daher sagen:

So viele Gulden das Kapital beträgt^
eben so viel Groschen und Fünftelgroschen
beträgt das einjährige Interesse zu 6 Per¬
zent. .

Aufgaben.

1. Was geben 75 fl. zu 6 Perzent in einem
Jahre? — 75 Groschen d. i. 3 fl. 15 Gr., und 75
Fünftelgroschen d. i. 15 Gr.; zusammen 3 fl. 15 Gr.
und 15 Gr., d. i. 4 fl. 30 Kr.

2. Jemand legt 940 fl. zu 6 Perzent an; wie viel
Zins bezieht er jährlich? — 900 fl. geben 9mahl 6 d. i.
54 fl. Interesse; 40 fl. aber geben 40 Groschen oder
2fl., und 40 Fünftelgroschen d. i. 8 Groschen, also
2 fl. 24 Kr., und dazu jene 54 fl., so hat man 56 fl.
24 Kr.

3. Wie viel Zins erhält man jährlich von 240 fl-
zu 6 Perzent? — 14 fl. 24 Kr.

4. Wie viel Interesse geben 75 fl. zu 6 Perzent
in 1 Jahre? — 4 fl. 30 Kr.

§. 58.

Ir. Zu 5 Perzent.

Wenn 100 fl. Kapital 5 fl. Interesse geben, s» '
gibt 1 fl. den lOOsten Theil von 5 fl., also 5 Fünftel-

Anleit.;. Kopfrechnen. F

82

groschen oder 1 ganzen Groschen; 2 fl. geben 2 Gro¬
schen; 3 fl. geben 3 Groschen; u. s. w Überhaupt:

So viele Gulden das Kapital enthält,
eben so viel Groschen beträgt das einjährige
Interesse zu ss, Perzent.

Aufgaben.

1. Wie groß ist daS jährliche Interesse von 36 fl.
zu 5 Perzent? — 36 Groschen, oder 1 fl. 48 Kr.

2. Wie viel Zins geben 2520 fl. zu 5 Perzent in
1 Jahre? — 2500 sind 25 Hunderte, geben also 25mahl
5 d. i. l25 fl. Interesse; 20 fl. aber geben 20 Gro¬
schen, oder 1 fl.; zusammen 126 fl.

3. 680 fl. sind zu 5 Perzent angelegt; wie viel
Zins geben sie jährli ch? — 34 fl.

4. Wie groß ist das jährliche Interesse von 77 fl.
zu 5 Perzent? 3 fl. 51 Kr.

§ 59

v. Zu L Perzent.

Wenn 100 fl. Kapital 4 fl. Zins geben, so kommt
auf 1 fl. der lOOste Theil von 4 fl., also 4 Füuftel-
groschcn; diese machen 1 ganzen Groschen weniger
I Fünftelgroschen; 1 fl. Kapital gibt also 1 Groschen
weniger 1 Fünftelgroschen Zins; 2 fl. geben 2 Gr.
weniger 2 Fünftelgr.; 3 fl. geben 3 Gr. weniger 3
Fünftelgr. u. s. w. Allgemein:

So viel Gulden das Kapital beträgt, eben
so viel Groschen weniger so viel Fünftelgro¬
schen enthält der einjährige Zins zu L Perzent.

83

Aufgaben.

1. Wie viel jährlichen Zins geben 15 fi. zu 4
Perzent? — 15 Gr. weniger 15 Fünstclgr. d. i. 3 Gr.;
15 Gr. weniger 3 Gr. sind IS Gr. oder 36 Kr.

2. Wie viel beträgt das einjährige Interesse von
510 fl. zu 4 Perzent? — 500 fl. zu 4 Perzent geben
5mahl 4 d. i. 20 fl.; 10 fl. aber geben 10 Gr. weniger
10 Fünftelgr. d. i. 2 Gr., also 8 Gr. oder 24 Kr.;
und jene 20 fl. sind 20 fl. 24 K».

3. Wie groß ist das jährliche Interesse von 85 fl.
zu 4 Perzent? — 3 fl. 24 Kr.

4. Wie viel Zins geben jährlich 1220 fl. zu 4
Perzent? — 48 fl. 48 Kr.

§. 60.

Um das Interesse eines Kapitals auf mehrere
Jahre zu finden, sucht man zuerst das Interesse für
ein Jahr, und nimmt dieses so oft, als Jahre da <»nd.

Aufgaben.

1. Was geben 500 fl. zu 4 Perzent in 2 Jah¬
ren? — 500 fl. geben in 1 Jahre 5mahl 4 d. i.
20 fl., in 2 Jahren also doppelt so viel, folglich
2mahl 20 d. i. 40 fl.

2. Ein Kapital von 3000 fl. liegt zu 5 Perzent
an; wie viel Zins bringt es in 3 Jahren? — 3000
sind 30 Hunderte, geben also in I Jahre 30mahl 5
d. i. 150 fl. Zins; in 3 Jahren geben sie 3mahl so
viel, also 3mahl 150 fl., oder 450 fl.

84

3. Wie viel Interesse geben 245 fl. in 2 Jahren
zu 6 Perzent? — 200 fl. geben in 4 Jahre 2mahl
6 d. i. 12 fl. Zins; 45 fl. geben 45 Gr. und 45
Fünftelgr. d. i. 9 Gr-, also 54 Gr. oder 2 fl. 14 Gr.;
zusammen 14 fl. 14 Gr.; 245 fl. geben also in 1
Jahre 14 fl. 14 Gr. Zins, in 2 Jahren also doppelt
so viel, nähmlich 28 fl. und 28 Ge., oder 29 fl. 8 Gr.

4. Wie viel Zins tragen 840 fl. zu 5 Perzent
in 5 Jahren? — 210 fl.

5. Wie groß ist das Interesse von 650 fl. zu 4
Perzent in 3 Jahren? — 78 fl.

6. Ein Kapital von 1110 fl. ist zu 5 Perzent
angelegt; wie viel Interessen wird man in 20 Jahren
dafür beziehen? — 1110 fl.

Aus diesem Deyspiele sicht man, daß die Inte¬
ressen zu 5 Perzent so viel betragen, als das ange¬
legte Kapital.

§. 61.

Um das Interesse für Monathe zu finden,
sucht man zuerst das Interesse für ein Jahr, und be¬
stimmt daraus durch richtiges Folgern das monath-
liche Interesse.

Aufgaben.

1. Was geben 200 fl. Kapital zu 6 Perzent in
1 Monathe? — In 1 Jahre geben sie 2mahl 6 d.
i. 12 fl., in 1 Monathe also den 12ten Theil davon,
d. i. 1 fl.

85

2. Wie viel Zins geben 800 fl. zu 5 Perzent in
6 Monathen? — Zn L Jahre geben sie 8mahl 5 d.
i. 40 fl.,; 6 Monathe sind aber die Hälfte von 1 Jahre,
daher wird der Zins für 6 Monathe die Hälfte von
40 fl., also 20 fl. seyn.

3. Wie groß ist das Interesse von 1000 fl. zu
G Perzent in 5 Monathen? — Das Interesse für 1
Jahr ist lOmahl 6 d. i. 60 fl.; für 4'Monathe, die
Ser 3te Thcil eines Jahres sind, beträgt also der Zins
den 3ten Theil von 60 fl., nähmlich 20 fl.; für 4
Wonach beträgt er so viel Fünfer, als in 1 Jahre
Gulden, also 60 Fünfer, oder 30 Zehner, oder 5 fl.;
für 4 und 1 Wonach also 20 und 5 d. i. 25 fl.

4. Wie viel Interesse geben 810 fl. zu 5 Per¬
zent in 4 Monathen? — 14 fl.

5. Wie viel Zins erhält man von 600 fl. zu 6
Perzent in 8 Monathen? — 24 fl.

6. Wie groß ist das Interesse, welches man
von 350 fl. zu 4 Perzent in 7 Monathen bezieht? —
8 fl. 10 Kr. -

§. 65.

Die Berechnung der Zinsen für eine gewisse An¬
zahl von Lagen ist schon schwieriger, kommt übrig, nS
im gemeinen Leben auch nur selten vor.

Man wendet dabey den Vortheil an: So viel
Gulden auf 1 Jahr kommen, eben so vi«.l Sechstel¬
kreuzer kommen auf 1 Tag.

86

Aufgaben.

1. Wie viel Zins geben 100 fl. Kapital zu 6 Per¬
zent in 1 Tage? — In 1 Jahre c-eben sie 6 fl., also
in 1 Tage 6 Sechstclkreuzer, d. i. L Kreuzer.

2. Wie hoch beläuft sich das Interesse von 600 fl.
zu 5 Perzent in 12 Tagen? — Der Zins für I Jahr
ist 6mahl 5 d. i. 30 fl.; für I Tag also 30 Sechs¬
telkreuzer, oder 5 Kr.; für 12 Tage also 12mahl 5 Kr.
d. i. 60 Kr., oder 1 fl.

87

Z. 63.

». Ä^erwandlurrg der ConventionS-Münze
in Wiener - Währung.

Wenn man Conventions-Münze (E. M.) in Wie»
ner-Währung (W. W.) oder Euldcn-Schekne verwandeln
will, jo bedenke man, daß 2 fl. C. M. 5 fl W. W.
geben. 5 aber entstehet aus 2, wenn man das Dop¬
pelte von 2 d. i. 4, und noch die Hälfte von 2 d. i. 1
zusammennimmt. — Um also Conventions-Münze in
Wiener-Währung zu verwandeln, nimmt man das
Doppelte, dann noch die Hälfte, und zählt es zu¬
sammen.

Bevspiele. '

1. Wie viel in W. W. machen 8 fl. C. M. F —
Das Doppelte von 8 ist 16, die Hälfte von 8 ist 4,
zusammen 20 fl. W. W.

2. Wie viel W. W. geben 12 Kr. E. M.? —
DaS Doppelte von 12 ist 24, die Hälfte von 12 ist 6>
24 und 6 ist 30; also SO Kr. W. W.

Anhang.

Verwandlung der Conventions - Münze in
Wiener-Währung und umgekehrt.

S8

3. Ein Buch kostet 36 Kr. C. M.; was beträgt
dieses in W. W.? —2mahl 36 ist 72, und die Hälfte
von 36 ist 18; 72 und 18 sind 90 Kr. d. i. 1 fl.
30 Kr. W. LS.

4. Jemand hat 240 fl. C. M. zu zahlen; wie
Viel fl. W. W. macht dieses? — 2mahl 240 ist 480;
die Hälfte von 240 ist 120; 480 und 120 sind
600 fl. W. W.

5. Wie viel in W. W. betragen 15 fl. 24 Kr.
C. M.? — 38 fl. 30 Kr. W. W.

6. Eine Schuld beträgt 8400 fl. C. M.; wir
viel ist das in W. W.? — 21000 fl. W. W.

8. 64.

I». Verwandlung der Wiener-Währung
in ConvenLions - Münze.

5 fl. W. W. geben 2 fl. C. M. Es entstehet
aber 2 aus 5, wenn man das4fache von 5 sucht, uns
aus diesem (20) den lOten Theil nimmt. — Um da¬
her Wiener-Währung in ConventionSgeld zu verwan¬
deln, nehme man das 4fache der Wiener-Währung,
und suche davon den lOten Theil.

Beyspiele.

1. Wie viel C. M. erhält man für 35 Kr.
W. W. ? — 4mabl 35 ist 140, und der 10te Theil
von 140 ist 14; also 14 Kr. C. M.

2. Wie viel C. M. geben 220 fl. W. W.? —
4mahl 220 ist 880, und der lOte Theil von 880 ist
88; also 88 fl. C. M.

89

3. Eine Elle Tuch kostet 10 fl. 20 Kr. W. W.;
was macht dieses in C. A.? — 10 fl. W. W. geben
(Imahl iy ist 40, davon der lOte Theil ist) 4 fl.
C. M.; 20 Kr. W. W. aber (Imahl 20 ist 80, und
davon der 10te Theil, ist (8 Kr. C. M.) zusammen
4 fl. 8 Kr. C. M.

4. Was betragen 2021 fl. W. W. in C. M.? —
Das 4fache von 2021 ist 8084, und der lOte Theil
davon 808 und 4 Zehntel; also 808 fl. und 4 Zehntel¬
gulden, oder 808 fl. 24 Kr. C. M.

5. Wie viel C. M. geben 32 fl. W. W. ? —
12 fl. 48 Kr. C. M.

6. Jemand Hat5 fl. 45Kr. W.W. zu fordern; wie
viel C. M. wird er dafür bekommen? — 2 fl.
18 Kr. C. M.

7. Ein Kaufmann nimmt 126 fl. 15 Kr. W. W.
ein; wie viel beträgt dieses in §. M.? — 50 fl.
30 Kr. C. M.

Inhalt.

ErstesHauptstück.

Entwicklung der ersten Begriffe vsn den
Zahlen.

Seite

I. Zahlen vsn eins bis zehn. 1

1. DaS Zählen. 3

2. DaS Zusammenzählen. 4

3- DaS Wegnehmen. 5

4. DaS Vervielfachen. 6

5. DaS Enthaltenscpn. 7

H. Zahlen von zehn bis hundert. S

111. Zahlen über hundert hinaus.15

ZweptesHauptstück.

Die verschiedenen Rechnungsarten im Kopfe.

1. Zusammenzählcn der Zahlen.2V

2- Hinwegnehmen der Zahlen.26

3. Vervielfältigen der Zahlen.  - 31

4. Cnthaltensepn einer Zahl in einer andern ... 39

5- Theilen »er Zahlen.  45

6- Verwandlung der Guldentheile in Gulden . . 51

DrittesHauptstück.

Berechnung des Betraget einer Mehrheit aus
deui Betrage der gleichartigen Einheit.

I. Berechnung mit Rücksicht auf die Kreuzer oder Groschen 57

II. Berechnpng mit Rücksicht auf die Mehrheit .... 62

> 9t

H Seit«

Viertes H auptstü ck.^

Auffinden von ÄechnungSvortheilen-
!. Wenn aus dem Betrage einer niedern Einheit der Be¬
trag für eine höhere Einheit zu berechnen ist . - - 69
II. Wenn aus dem Betrage einer Hähern Einheit der Be¬
trag einer niedriger» Einheit zu bestimmen ist . . 73

FünftesHauptftück.

Berechnung der Zinsen-

Anhang.

Verwandlung der ConventionS-Münze in Wiener-Wäh-
rung, und umgekehrt. 67

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Gedruckt bey Leop. Grund.