Elektromagnetno polje v bližini napake v materialu
UDK: 621.191:620.179.6 ASM/SLA: S13h, X8k
Božidar Brudar
UVOD
Osnovni princip odkrivanja napak s pomočjo elektromagnetnega polja je v tem, da preiskovani predmet namagnetimo in potem merimo, kako se magnetno polje v njem porazdeljuje1. Na porazdelitev polja namreč pomembno vplivajo tudi napake v materialu.
Vpliv radialnih razpok v kovinskih palicah in ceveh na izmenično magnetno polje je določil dr. F. Forster že leta 1954 s poskusi na modelih2. Rezultate njegovih eksperimentov so več kot 20 let navajali v najrazličnejših člankih s tega področja3.
Tudi v jeseniški železarni pregledujemo površino kovinskih palic s tem, da merimo spremembe v impedanci tuljave, skozi katero preiskovane palice potujejo (Defectomat 2.189, izdelan v Inštitutu dr. Forster).
Praksa pa je pokazala1, da pri tem delu lahko nekatere napake zgrešimo, če se faze signalov zelo močno razlikujejo od faze, ki jo je povzročila napaka, ki jo ravno še dopuščamo. To je še posebno problematično pri feromagnetnih materialih, kjer skušamo z močnim dodatnim enosmernim magnetnim poljem doseči magnetno nasičenje. Meritve in teoretični izračuni so pokazali, da nikdar ne vemo, s kolikšno vrednostjo relativne diferencialne permeabilnosti imamo opra-
Slika 1
Splošna oblika površinske razpoke v palici
Fig. 1
General čase of a surface crack in a bar.
viti. Zato je skoraj nemogoče napovedovati, kolikšna je fazna razlika med signali, ki ustrezajo zelo tankim radialnim razpokam in napakam drugih oblik.
Vsi ti problemi so nas silili, da smo sami začeli natančneje raziskovati princip delovanja aparatov, kjer ugotavljamo defekte s pomočjo elektromagnetnih polj. Takšna raziskava je koristna predvsem za praktično delo, saj omogoča ne le, da kritično preverimo, kaj aparat zmore registrirati, ampak tudi česa ne more. Tega podatka navadno v trgovskih prospektih ni.
Pri svojem delu nismo eksperimentirali z živo-srebrnimi modeli, ampak smo simulirali napake s pomočjo matematičnih modelov. Poiskali smo splošno metodo, po kateri lahko simuliramo različne napake v palicah ali ceveh in pridemo do podobnih rezultatov, kot jih je izmeril dr. F. Forster.
Študirali pa smo tudi vpliv enosmernega magnetnega polja na možnost odkrivanja napak v feromagnetnem materialu z znanimi magnetnimi karakteristikami.
V prvem delu tega sestavka so opisane izhodne enačbe za izračunavanje polja, v nadaljevanju pa bo opisan postopeik za izračunavanje polja v palicah z radialno razpoko in rezultati pri simuliranju podpovršinskih in površinskih razpok v ceveh.
SEZNAM UPORABLJENIH SIMBOLOV
a	polmer palice
a, notranji polmer cevi
A,	A, A amplituda vektorskega potenciala
B,	B, B amplituda gostote magnetnega pretoka
b	oddaljenost od osi, kjer je vpliv napake
zanemarljiv
E električna poljska jakost
f, F frekvenca
H, H, H magnetna poljska jakost
i	imaginarna enota
I		jakost električnega toka v tuljavi
j. j		gostota toka
L«		induktivnost prazne tuljave
n		število ovojev na enoto dolžine tuljave
P		magnetni pretok
r, r		polmer
t		čas
V		vektorski potencial
W		amplituda vektorskega potenciala
x, y,	z	pravokotne koordinate
Z, Z		impedanca
(t		električna prevodnost
Ho		permeabilnost praznega prostora
(i		relativna permeabilnost
=	1	dB relativna diferencialna
	Vo	dH permeabilnost
to =	2-rtf	
koordinatni sistem. Enačbi (4) in (5) nadomestimo s sistemom enačb za posamezne komponente Ar, A,, A,, oziroma Ar*, A9*, A,*:
d2 Ar J_ dA, 1	_Ar	d2Ar
dr2 + r ' dr +r2 ' dtp2 r2	dz2 7 d A
--Z. . -f F . Ar* = 0,
r2 d
tp
d2A„ 1 dA 1 d2 A, A d2 A
H—' *--r-: • —-—r ——— H—— T
(6)
dr2
dr
2 d Ar
dz2
d
+ F.A/ = 0,
(7)
(P
d2Az + 1dA1+J_i^Ai+d^+F ^ = : dr r2 dtp2 dz2
dr2
(8)
d2Ar* + J.	+ i d2Ar* Ar* | d2Ar*
dr2
koordinata v smeri ep
II. MATEMATIČNA FORMULACIJA
A. Osnovne enačbe
Magnetno polje v materialu in zunaj njega lahko opišemo na več načinov. Največkrat uporabljamo izhodne enačbe za vektorski potencial, skalami potencial ali enačbe za gostoto magnetnega pretoka. Izbira je odvisna od narave problema.
1. Vektorski potencial
Izhajamo iz enačbe:
dV	d2 V
V2V — tloJAlT—--HlloEEo —r =	W
dt dt2
Predpostavljamo, da gre za sinusno nihanje polja:	V = W . eiwt.
Namesto enačbe (1) zapišemo: V2W — iwniK)0-W + HPOEEO"2W = 0. (2)
Pri neporušnih preiskavah delamo navadno z razmeroma nizkimi frekvencami, tako da tretji člen v enačbi (2) lahko zanemarimo. Iščemo rešitev enačbe:	.	«r n	<x\ y2\y — i w ji ti«, <T W = 0. (J)
Vpeljemo nove spremenljivke: W = A + i A*
• * 'J.'.'	V>
in zapišemo enačbo (3) za realno in imaginarno komponento: y2 A + w ^ ^ A* = 0,	(4)
V2A* —wnyo<rA = 0.	(5)
Če študiramo razmere v ceveh ali palicah krožnega prereza, je ugodno vpeljati cilindrični
dr rz _2 dA/ "r2 '
dtp
t)2 A/ | 1 _ dA/ | dr2 r dr r
d<p2 • F . Ar = 0,
1 d2 A*
d z2
(9)
, <>2V I 2 dz2 r2
d V
d<p
dtp2 r: ■F.A, = 0,
(10)
d^2 v; + i + i _ + _ F. K = 0.
dr2
dr
dtp2
dz2
(11)
Enačbe (6) do (11) so zapisane v brezdimen-zijski obliki, kjer pomeni:
Ar	V	Ar* =	A* 4, '	r r = —, a
A,		A * —	A * A<P 4, '	z z = — , a
A,	A,	Az* =	4* 4 '	F = a2 w (ji a.
Pri tem je a referenčna dolžina (na primer polmer palice), A> neka izbrana vrednost vektorskega potenciala in F brezdimenzijska frekvenca. - Gostoto magnetnega pretoka pa izračunamo iz relacije:	B = rotW
V cilindričnih koordinatah to zapišemo za realno komponento na primer takole:
1 dK dA_
B„ =
B„ =
r dtp d z dAr_ d K dz dr
r dr,	r d<?
(12)
(13)
Pri tem so Br, B(? in Bz komponente vektorja
B .v . _ A, —, pri čemer je Ba =--
B0	a
Iz zveze
E = —
dv
dt
lahko poiščemo tudi izraz za gostoto vrtinčnih
tokov:	. _ p.
J — 'ff . b.,
oziroma:
jr = Ar* - i Ar,	(15)
j, =V —iA,,	(16)
jz = A^* — i Aj.	(17)
Pri tem so jr, jp in jz komponente vektorja —, kjer je jQ = a w A0.
jo
2. Gostota magnetnega pretoka
Izhajamo iz Maxwellovih enačb in predpostavljamo sinusno nihanje polja. Enačbo za ampli-tudo gostote magnetnega pretoka zapišemo v obliki: V2B — i w p, n0 c B = 0	(18)
Če vpeljemo nove spremenljivke:
Br =
B * =-
B0
B*
~~B7'
B = * Bo'
B *
B*_ <p
m ■	J
Bn
Bz = —, B0 B£
Bn :
B,
lahko za posamezne komponente Br, B,, in Bz zapišemo prav takšne enačbe, kot smo jih zapisali za komponente vektorskega potenciala Ar, Ap in Az. V enačbah (6) do (11) bi bilo treba črke A zamenjati z B.
Na podoben način kot pri vektorskem potencialu lahko zapišemo izraz za gostoto vrtinčnih
tokov:	j = rot H
oziroma na primer:
r d<p dz
Rej„ =
dBr QBZ dz dr
1 d , „ , 1 dBr
Re ]lz= — . — (rB;--. —.
r dr	r dq>
(20)
(21)
3. Robni pogoji
S sistemom diferencialnih enačb (6) do (11) opisujemo vektorski potencial V, oziroma gostoto magnetnega pretoka B v snovi, kjer je električna prevodnost končna.
V praznem prostoru veljajo podobne enačbe. Upoštevati je treba le, da je v zraku na primer <y = 0, oziroma F = 0. Zato bi zadnji členi v enačbah (6) do (11) odpadli.
Razmere na meji med palico in zrakom pa določa robni pogoj, ki pravi, da se tangencialna komponenta jakosti magnetnega polja pri prehodu
iz ene snovi v drugo ohranja. Prav tako se ohranja tudi normalna komponenta gostote magnetnega pretoka.
Upoštevamo pa tudi, da velja v vsaki snovi:
div V = 0	(22)
in	div B = 0.	(23)
4. Impedanca
Impedanca (Z na enoto dolžine tuljave, po kateri tece tok I, je definirana kot:
I
Pri tem je n število ovojev na enoto dolžine, U; pa napetost, ki se inducira v enem ovoju:
Ui = -dP = dt
-Af dt J
B d S.
Gostoto pretoka integriramo po celotnem prerezu tuljave. Kadar pa imamo opraviti z vektorskim potencialom, pa uporabimo Stokesovo formulo in zapišemo:
U; = — A frotVdS=-AlVds
dt J	dt J
Pri tem pa integriramo po obodu tuljave. Očitno je, da je pomemben le prispevek komponente vektorskega potenciala v smeri cp.
Običajno pa zapišemo impedanco v brezdimen-zijski obliki:	^
pri čemer je Z0 absolutna vrednost impedance prazne tuljave. V vsem prerezu prazne tuljave je namreč gostota magnetnega pretoka enaka Ba in
|ZQ| = w Lc.
Če je tuljava tesno navita na preiskovano palico ali cev, je polmer tuljave enak polmeru palice a.
V takem primeru dobimo za realno in imaginarno komponento impedance naslednje izraze:
1 2n
Im Z
ReZ
-iff o o
-if/
Bz. r . dr . dtp,
— I Bz* . r. dr . dtp, (24)
oziroma
Im Z =
2tc	2TC
-I J A, dtp, ReZ = -ijA„*
dtp.
B. Primeri razpok
Oglejmo si nekaj primerov. Neferomagnetno palico okroglega prereza postavimo v homogeno izmenično magnetno polje. Palica naj bo zelo dolga in položena v smeri polja. Zapisali bomo robne pogoje za nekaj posebnih oblik napak.
Pri tem izhajamo iz predpostavke, da napaka vpliva le na polje v njeni neposredni bližini. To pomeni, da je v veliki oddaljenosti (r-» polje homogeno in usmerjeno vzdolž palice. Če nismo preveč natančni, se namesto z neskončnostjo zadovoljimo z neko zadosti veliko oddaljenostjo r = b.
Cilindrični koordinatni sistem položimo tako. da se os z ujema s smerjo polja.
1. Površinska razpoka končnih dimenzij Na sliki 1 je prikazana razpoka, ki jo omejujejo ploskve r = konst., <p = konst., in z = konst. V razdalji r = b polje ni moteno. 1.1. Pogoji za vektorski potencial 1.1.1. Robni pogoj pri r = b Tu je polje homogeno in v smeri osi z. Edina komponenta gostote magnetnega pretoka, ki je različna od nič, je Bz = B0, oziroma Bz = 1, Bz* = 0. Iz izrazov (12) — (14) zapišemo enačbe, ki ustrezajo posameznim komponentam vektorskega potenciala na robu.
d\ | A„ dr r	1	dAr
	r	d<p
d A/ ( A/ dr r	1 r	dAr* d<p
= 0,
dK
dz r d A/ 1 dz r d<P
1
d<p dK*
= 0,
= 0,
d K d K
dz
dAr*
dr
dV
0,
= 0.
(25)
(26)
(27)
(28)
(29)
(30)
C
/dV| = /dA\
Na ploskvi cp = konst.: A, = 0,
in na ploskvi z = konst.:
Aj = 0, -
v dz
) = 1^1
/in l dZ Jc
/dAA = / dAr\ l dz )in {dz ;ol
(34)
(35)
(36)
(37)
(38)
(39)
Pri tem pomeni indeks »in« znotraj palice, »out« pa zunaj nje. Za imaginarne komponente bi dobili podobne izraze.
1.2. Pogoji za gostoto magnetnega pretoka
Robni pogoj pri r = b zapišemo takole: Br = Br* - 0, B„ = B/ = 0, Bz = 1, Bz* = 0.
Poleg tega je v vsem področju zunaj palice gostota tokov enaka nič. To seveda velja tudi na mejnih ploskvah r = konst., <p = konst., z = konst.: Iz enačb (19) do (21) sledi:
dBz dB_
d<? c)Br
d z dB
= 0,
dz dr
= 0,
dz dr
1.1.2. Robni pogoji na mejnih ploskvah r = = konst., (p — konst., z = konst.
Upoštevamo, da je normalna komponenta gostote tokov enaka nič in da se pri prehodu preko mejne ploskve tangencialna komponenta jakosti magnetnega polja ohranja. Ker ne obravnavamo feromagnetnih .palic, velja ta trditev tudi za gostoto magnetnega pretoka.
S pomočjo enačb (12) do (14) in (15) do (17) zapišemo izraze, ki ustrezajo tem zahtevam na posameznih mejnih ploskvah, na primer za realne komponente vektorskega potenciala.
Na ploskvi r = konst.:
Ar = 0,	(31)
'm	,	(32)
dr An l /out
dr	r dv
(40)
(41)
(42)
Enako velja tudi za imaginarne komponente polja B*.
2. Poseben primer napake, kjer je — = 0.
dq>
Problem je rotacijsko simetričen. Napaka take vrste bi bila na primer nenadna sprememba v premeru palice in bo natančneje opisana v nadaljevanju.
2.1. Pogoji za vektorski potencial
Namesto enačb (25) do (30) zdaj pišemo:
Av _ . _ h L> dr r
d A*
(33)
dr dAr
+
A *
12- =0, r
dAz
(43)
= 0.
d A*
dz
dr
= 0,
dz
dBr dBz dz dr
= 0,
(45)
— • — (r B ) = 0. r dr
V oddaljenosti r = b je Bz = Ba edina komponenta gostote magnetnega pretoka, ki je različna od nič. Zato je tam Bz = 1 in Bz* = 0. Enačba (45) povezuje komponenti Br in Bz. Komponenta B,, pa z Br in Bz ni povezana.
Zato bi v tem primeru morali reševati enačbi za Br in Bz. Na mejnih ploskvah r = konst., oziroma z = konst. velja robni pogoj (45), oziroma:
V dz dr Jout
Velja pa tudi izraz (23), oziroma: dr r dz
(46)
Podobno bi lahko zapisali tudi za imaginarne komponente Br* in Bz*.
3. Poseben primer napake, kjer je — =0.
dz
Napaka take oblike se enakomerno razteza vzdolž palice.
3.1. Pogoji za vektorski potencial Namesto enačb (25) do (30) dobimo:
d\ + dr		1	dAr _
	r	r	d<?
d\* + dr	A *	1	dA*
	dr	r	d<p
= 0,
(47)
(48)

dz dz
Na robu r = b je edina komponenta gostote magnetnega pretoka, ki je različna od nič, £z = Bol oziroma Bz = 1, Bz* = 0. Ta vpliva le na komponento vektorskega potenciala A, in A,*. Komponente Ar, A*, Aj in A* pa niso povezane z in A,,,*. Zato nas ne zanimajo.
V	rotacijsko simetričnih problemih je koristno vpeljati vektorski potencial, saj zadostuje, če rešimo enačbe le za eno komponento A,, oziroma A?*.
Pri robnih pogojih na ploskvah r = konst. in z = konst. uporabimo enačbo (33), oziroma (38).
2.2. Pogoji za gostoto magnetnega pretoka
V	področju zunaj palice in na mejnih ploskvah r = konst. in z = konst. pišemo namesto enačb (40) do (42):
= 0,
dA, dr
dK
dr
d K*
dq> d<P
= 0.
(49)
(50)
Iz zadnjih dveh enačb sledi, da je A^ = konst. Ta komponenta pa tudi preko enačb (6) do (11) ni povezana z Ar ali A„. Enačbi (47) in (48) pa povezujeta samo komponenti Ar in A, ter Ar* in Ap*. Zato rešujemo samo enačbe (6), (7), (9) in (10). Robna pogoja (47) in (48) dopolnimo še z izrazom (22), ki ga zapišemo takole:
dAr Ar 1 dAm
Ar 1
dr +7 + 7	d,
1	dA„*
r	d<p
dAr* A/ dr r
= 0
= 0
Za robne pogoje na ploskvah r = konst. in <p = konst. pa uporabimo izraze (31), (33), (34) in (36).
3.2. Pogoji za gostoto magnetnega pretoka Iz enačb (40) do (42) sledi:
^ = 0,
d<p
dB„ B„ 1 dBr _ Q dr r r d<p
dBz dr
= 0.
V	področju zunaj palice in tudi na mejnih ploskvah r = konst. in <p = konst. je Bz = B0 = = konst., oziroma:
Bz = 1,	(51)
Bz* = 0.	(52)
Ostali dve komponenti nista povezani z Bz.
V	dvodimenzionalnih primerih, ko je -—- = 0,
d z
je ugodno izhajati iz enačb za gostoto magnetnega pretoka, saj zadošča, če rešimo le enačbi za Bz in B,*.
Poseben primer (— = 0, — = ol.
Vdz d<P J Problem je enodimenzionalen.
4.1. Pogoji za vektorski potencial Robni pogoji pri r = b:
dA_ A.
4.
dr dA *

+
dr r Robni pogoj pri r = a
A *
^2- = 0.
V dr Jout V dr Ji, V dr Jout { dr
V	središču:
A,= A/ =0-
4.2. Pogoji za gostoto magnetnega pretoka
Robni pogoj pri r = b in r = a:
Bz = l Bz* = 0.
5.	Cev brez napake
5.1.	Pogoji za vektorski potencial
Robni pogoji pri r = b in r = a so enaki kot pri palici. Tudi pogoji pri r = at so enaki pogojem pri r = a. Enačbe za komponento vektorskega potenciala A,, oziroma A^* so pri r < prav takšne kot pri r > a.
5.2.	Pogoji za gostoto magnetnega pretoka
V	področju a ^ r ^ b veljajo enaki pogoji kot pri palici. Tudi v področju r ^ velja Bz = konst. Robni pogoj pri r = a, pa lahko poiščemo takole:
Na notranjem robu prereza velja:
rot E = — ^	(53)
d t
Enačbo (53) integriramo na obeh straneh po notranjem prerezu cevi:
^rot (B + i B*) d S = [ p0 p <r to (B* — i B) d S.
Uporabimo Stokesov stavek in ločeno zapišemo pogoja za realno in imaginarno komponento:
^rotBz.ds = \F.Bz*.dS,	(54)
rot Bz* . d s = — ^ F. Bz. d S. (55)
Pri celi cevi dobimo:
— (^j -2. tu. a, = F . Bz*. n a,2, (56)
.2.«.a, = — F.Bz.Tta,2. (57)
6.	Podpovršinske razpoke
6.1.	Pogoji za vektorski potencial
Na notranjem robu podpovršinske razpoke so enaki robni pogoji kot pri palici pri r = a, saj gre za prehod iz kovine v prazen prostor.
6.2.	Pogoji za gostoto magnetnega pretoka
Znotraj podpovršinske razpoke veljajo enaki pogoji kot pri cevi, saj je cev v nekem smislu palica s podpovršinsko razpoko posebne oblike.
Zato na notranjem robu uporabimo enačbe (54) in (55) in pri tem integriramo preko prereza raz-
poke, oziroma vzdolž zaključene poti, ki ta prerez omejuje. Če gre za zelo tanko podpovršinsko razpoko, je seveda desna stran v enačbah (54) in (55) enaka nič.
Lahko se prepričamo, da zelo tanka razpoka v azimutalni smeri (r = konst.) ne vpliva prav nič na porazdelitev polja in vrtinčnih tokov. Prav tako ne vpliva na spremembo impedance in zato take napake na ta način ni mogoče odkriti.
Za površinske razpoke v zunanji steni pa veljajo enaki pogoji kot za površinske napake v palicah.
Zaključek
Opisane so teoretične osnove za izračunavanje porazdelitve izmeničnega magnetnega polja v bližini napake v palici ali v cevi okroglega prereza.
Izhajamo iz predpostavke, da je zunanje magnetno polje homogeno in usmerjeno vzdolž palice ali cevi.
V rotacijsko simetričnih primerih je koristno izhajati iz enačbe za vektorski potencial, ker je v tem primeru treba reševati diferencialno enačbo le za eno komponento. Podobno je v primerih napak, ki se enakomerno raztezajo po vsej dolžini palice. Enačbo za gostoto magnetnega pretoka je treba reševati le za eno komponento.
Opisani postopki, ki smo jih razvili na raziskovalnem odelku jeseniške železarne, so bili tudi že uspešno uporabljeni v posebnih primerih (dvodimenzionalni in tridimenzionalni matematični modeli površinskih in podpovršinskih razpok).
Na področju neporušne kontrole s pulznimi in večfrekvenčnimi elektromagnetnimi polji pa predstavljajo opisane matematične metode popolnoma novo osnovo za raziskovalno delo.
Simuliranje pogojev s pomočjo računalnika je namreč mnogo cenejše in hitrejše od praktičnega eksperimentiranja.
Literatura:
1.	B. Brudar: Odkrivanje površinskih napak na paličastem jeklu s pomočjo vrtinčnih tokov, železarski zbornik 8, (1974), št. 1, stran 47—64.
2.	F. Forster, H. Breitfeld: Theoretische und experimein-telle Grundlagen der zerstorungsfreien Werkstoffprii-fung von metalischen Werkstoffen mit der Durchlauf-spule, Z. Metallkunde, Bd 45 (1954), Hett 4, stran 188
3.	A. Aldeen, J. Blitz: Eddy current investigations of obli-que longitudinal craoks in metal tubes using a mercury model, NDT International, 9 WCNDT, Special Conferen-ce Issue, 1979, Vol. 12, No 5, 211—223.
ZUSAMMENFASSUNG
Die theoretischen Grundlagen fiir die Berechnung der Verteilung eines Wechselmagnetfeldes in der Nahe eines Fehlers im Stab oder Rohr runden Ouerschnittes werden beschrieben.
Wir gehen aus der Voraussetzung aus, dass das aussere Magnetfeld homogen und langs des Stabes oder Rohres gerichtet ist.
In rotationssymmetrischen Beispielen ist es niitzlich aus der Vektorpotenzialgleichung auszugehen, da in solchen Fallen die Diferentialgleichung nur fiir eine Komponente gelost vverden soli. Ahnlich ist es bei den Fehlern welche sich iiber der ganzen Stablange erstrecken. Die Gleichung fiir die magnetische Induktion soli nur fiir eine Komponente gelost vverden.
Die beschriebenen Verfahren vvelche in der Forschungs-abteilung des Hiittenvverkes Jesenice entvvickelt vvurden, sind erfolgreich auch in besonderen Fallen (zweidimen-sionelle und dreidimensionelle mathematische Modelle der Oberflachen und Innenrisse) angevvendet vvorden.
Auf dem Gebiet der zerstorungsfreien Prufung durch Impuls-Wirbelstrom-Verfahren stellen die beschriebenen mathematischen Methoden eine vollig neue Grundlage fiir die Forschungsarbeit dar.
Das Simulieren der Bedingungen mit Hilfe des Rech-ners ist nahmlich vid billiger und schneller als das prakti-sche Experimentieren.
SUMMARY
There are theoretical principles given for calculation of the a. c. magnetic field in the neighbourhood of a de-fect in a rod or a tube vvith the circular cross-section.
It is assumed that the magnetic field outside is homo-genous and directed along the rod or a tube.
In cases vvith the rotational summetry it is useful to start from the equation for the vector potential since it is necessary to solve the differential equation for one component only. A similar čase vve have vvith the defects extending uniformly ali along the vvhole length of the bar.
The differential equation for the magnetic field density is to be solved just for one component again.
The procedures developped in the research department of the Iron and Steel Works Jesenice have been already applied in some special cases (mathematical models of tvvodimensional and three-dimensional surface cracks).
In the field of nondestructive control vvith pulsed and multifrequency electromagnetic fields the described mathematical methods represent quite a nevv basis for the research vvork.
3AKAKMEHHE
AaHO onHcaHHe TeopeimecKoro ocHOBamia aas BtinoAHeHHSi pacnpeAeAeHiis nepeMeHHoro MarHHTHoro noAH b6ah3h norpeniHocra b npyrKe hah b Tpy5e KpyrAoro ceMeirna.
Buxoahm h3 npeAnoAoaceHHH, ito BHeiiiHee MarHHTHoe noAe roMoreHO h aokht b HanpaBACHiin npyTHKa hah Tpy6u.
B pOTaUHOHHO-CHMMeTpHHHMX npHMepaX nOAe3HO B3HTB KaK Hex0AH0e 3HaqeHHe BeKTopHbift noreHimaA n0T0My, ito b TaKOM npHMepe HaAO BbinOAHHTb BLIHHCAeHHe TOAbKO AAH OAHOii KOMnO-HeHTU. ToMte caMoe HMeeT MecTO b npHMepax nopokob, KOTopue paBHOMepHO pacTHHyn>i no ueAoii AAHHe npyTKa. YpaBiieiiHe aasi rvcTOTti MarHHTHoro noAa HaAo bu^hcahti, toalko aasi oahoh KOMnOHeHTM.
OniicaHHtie cnocoGu, pa3BHTHe Koxopux BbinoAHeHO b HayHHO-HCCAeAOBaTeABHOM HHCTHTyTe MeTaAAyprHHecKoro 3aB0Aa >KeAe3apna EceHHijc 6 u ah nphmehehbi TaKJKe ycnenmo Ha cnenHaAbHbix npn-Mepax (AByxMepHbie H TpexMepnMe MaTeMaTHiecKHe MOAeAH no-
BepXHOCTHiIX h nOAIJOBepXHOCTHbIX nOpOKOB).
B o6Aacra kohtpoah 6e3 pa3pymeHHJi c nyAbCHpyioniHM h MHoroiacTHUM SAeKTpoMarHHTHtiM noAeM npeACTaBAaeT onHcaHHe MaTeMaTH^ecKHX mctoaob coBceM hobyk> 6a3y aas 3KcnepHMeHTaAJb-hbix paSoT. moaeahpobahhe ycaobhh npn nomoiuh cienhka ro-pa3AO AeuieBAe h 6bicTpee ot npaKTmeeKoro 9KcnepH.vieHTHpoBaHHH. n. Eeprep/Ile.Vie