i
i
“Lemut” — 2019/6/26 — 8:19 — page 22 — #1 i
i
i
i
i
i
O ENAČBI KORTEWEG-DE VRIES
TIMOTEJ LEMUT
Fakulteta za matematiko in fiziko,
Univerza v Ljubljani
PACS: 47.35.Fg
V članku opǐsemo izpeljavo enačbe KdV iz osnovnih hidrodinamskih enačb in prika-
žemo reševanje enačbe ob predpostavki potujočega vala, najprej za lokalizirano, nato pa
še za periodično rešitev.
ON THE KORTEWEG-DE VRIES EQUATION
We derive the KdV equation from the basic equations of hydrodynamics and solve the
equation under the assumption of a traveling wave, first in the case of localized solution
and then in the case of periodical solution.
Uvod
Enačbo Korteweg-de Vries (KdV) za neznano funkcijo u, spremenljivk x in
t, zapǐsemo kot
ut − 6uux + uxxx = 0, (1)
kjer podpisana koordinata predstavlja parcialni odvod. Zgornjo enačbo je
leta 1877 prvi zapisal Joseph Valentin Boussinesq, 1895 pa še Diederik Kor-
teweg in Gustav de Vries. Vsi trije so študirali valove v plitvi vodi, pojasniti
pa so hoteli zanimiv pojav potujočega vala na vodni površini, ki ob poto-
vanju po kanalu/rečni strugi ohranja svojo obliko, za razliko od običajnega
vala, katerega oblika se sčasoma razleze ali pa se zlomi.
Pojav je pred tem v kanalu Union med Falkirkom in Edinburghom leta
1834 prvi opazil škotski inženir John Scott Russell in ga potem tudi poustva-
ril v za to zgrajenem kanalu. Val, ki ohranja obliko, je imenoval translacijski
val, poleg tega pa je izmeril, da je hitrost vala sorazmerna njegovi vǐsini. Do-
datna presenečenja so sledila pri eksperimentih z več translacijskimi valovi.
Translacijski valovi ne interagirajo, temveč v nespremenjeni obliki zapustijo
trk. Interakcija med valovi se razkrije le z zamikom glede na položaj, ki
bi ga val imel, če bi se gibal s konstantno hitrostjo. Kasneje se je takih in
podobnih valov prijelo tudi ime solitonski valovi oziroma kraǰse solitoni.
22 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 1
i
i
“Lemut” — 2019/6/26 — 8:19 — page 23 — #2 i
i
i
i
i
i
O enačbi Korteweg-de Vries
Na spodnji sliki je prikazan primer trka dveh solitonskih valov v primeru,
ko hitreǰsi (večji) dohiti počasneǰsega (manǰsega), kjer lepo vidimo zamik v
položajih po trku.
x
−u
x
−u
x
−u
x
−u
x
−u
x
t
hitr
eǰsi
po
ča
sn
eǰ
si
vǐsj
i
ni
žj
i
Slika 1. Primer trka dveh solitonskih valov. Na zgornjih slikah sta prikazana solitonska
vala ob nekaj različnih časih pred trkom in po njem, na spodnjem delu pa položaj obeh
valov v odvisnosti od časa.
V članku si ogledamo izpeljavo in osnovne rešitve enačbe KdV. V dru-
gem poglavju opǐsemo izpeljavo iz osnovnih enačb hidrodinamike, v tretjem
poglavju pa izpeljemo rešitev za solitonski val in opǐsemo njemu sorodno
periodično rešitev, t. i. cnoidni val.
22–29 23
i
i
“Lemut” — 2019/6/26 — 8:19 — page 24 — #3 i
i
i
i
i
i
Timotej Lemut
Izpeljava enačbe KdV
Obravnavamo ravninski val z valovno dolžino λ, ki je veliko večja od globine
mirujoče tekočine h. Poleg λ  h naj velja še a  h, kjer je a amplituda
valovanja. Val z označenimi količinami in koordinatnimi osmi je prikazan
na spodnji sliki. Če majhne parametre, ki se bodo pojavili pri opisu dolgo-
valovnih valov v plitvi vodi, povsem zanemarimo, dobimo za odmik gladine
od ravnovesne vǐsine valovno enačbo. Izkaže se, da je enačba KdV naslednja
v razvoju po malih količinah, ki jih srečamo pri opisu takih valov. Začnemo
h
λ
a
z
x
y
Slika 2. Obravnavan ravninski val z označenimi osmi in relevantnimi parametri h, λ in
a.
z osnovnimi enačbami hidrodinamike. Veljata ohranitvi mase in gibalne
količine,
ρt +∇ · (ρv) = 0, (2)
ρ (vt + (v · ∇) v) = −∇p+ f , (3)
kjer je ρ gostota tekočine, v hitrost, p tlak, f pa označuje zunanje sile. Dalje
predpostavimo, da je tekočina nestisljiva in brezvrtinčna,
∇ · v = 0,
∇× v = 0.
Druga predpostavka nam dovoli, da hitrost opǐsemo s potencialom φ, tako
da je v = ∇φ. Skupaj z zahtevo po nestisljivosti iz enačbe (2) sledi
∇2φ = 0. (4)
24 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 1
i
i
“Lemut” — 2019/6/26 — 8:19 — page 25 — #4 i
i
i
i
i
i
O enačbi Korteweg-de Vries
V tem približku določa hitrostni potencial samo robni pogoj, hkrati pa mora
rešitev ustrezati še enačbi (3). Robni pogoj za hitrostni potencial sledi iz
zahteve, da je na meji med tekočino in dnom hitrost tekočine lahko samo
tangentna na mejo. Tako pri z = 0 velja φz = 0. Površino vala opǐsemo s
funkcijo z = h+ η(x, t), tako da na površju velja φz = ηt + ηxφx.
Enačba (3) mora veljati tudi na površju, kjer je tlak enak nič. Za zunanjo
silo f vstavimo gravitacijsko silo f = −ρgez. Upoštevamo še identiteto
(v · ∇)v = 12∇(v2)− v × (∇× v) in dobimo
φt +
1
2(φ
2
x + φ
2
z) + gη = 0, pri z = h+ η(x, t), (5)
kjer smo irelevanten konstantni člen gh kar izpustili.
Enačbi (4) in (5) torej opisujeta gibanje nestisljive tekočine na brezvr-
tinčen način. Upoštevaje, da je tako gibanje možno v dolgih plitvih valovih,
lahko problem v nadaljnjem preoblikujemo v enačbo KdV. Vpeljemo brez-
dimenzijske koordinate, čas in potencial:
x→ x
λ
, z → z
h
, t→ t
√
gh
λ
, η → η
a
, φ→ hφ
aλ
√
gh
.
Laplaceova enačba tako postane:
δφxx + φzz = 0,
robni pogoji pa so:
pri z = 1 + η : φz = δ(ηt + ηxφx) in (6)
φt +
1
2(φ
2
x +
1
δφ
2
z) + η = 0 (7)
pri z = 0 : φz = 0. (8)
V zgornjih enačbah se pojavita dva brezdimenzijska parametra
δ = (h/λ)2 in  = a/h,
ki sta po predpostavki oba majhna.
Hitrostni potencial razvijemo okoli z = 0 in ga z upoštevanjem Laplace-
ove enačbe (4) zapǐsemo v obliki:
φ(x, z, t) = f − δ z
2
2
fxx + δ
2 z
4
24
fxxxx − · · · =
∞∑
n=0
(−δ)n z
2n
(2n)!
∂2nx f, (9)
22–29 25
i
i
“Lemut” — 2019/6/26 — 8:19 — page 26 — #5 i
i
i
i
i
i
Timotej Lemut
kjer je f(x, t) := φ(x, 0, t) hitrostni potencial pri z = 0.
Prepričajmo se najprej, da v primeru, ko  in δ povsem zanemarimo, res
dobimo valovno enačbo. Razvoj (9) vstavimo v robna pogoja na gladini (6)
in (7) ter ohranimo količine, v katerih  in δ ne nastopata. Dobimo enačbi
fxx + ηt = 0 in ft + η = 0, ki ju lahko preoblikujemo v valovno enačbo
z enako brezdimenzijsko hitrostjo tako za fx kot tudi η. Pri razvoju do
ničtega reda v  in δ torej velja
fx = η in (10)
ηx + ηt = 0. (11)
Za odmik gladine od ravnovesne vǐsine η smo res dobili valovno enačbo
(11). Zaradi (10) pri razvoju do naslednjega reda v  oziroma δ uporabimo
nastavek
fx = η + F (x, t) + δG(x, t), (12)
za neki funkciji F in G. Iz razvoja do ničtega reda sledi še, da se odvoda po
kraju in po času funkcije η oziroma fx razlikujeta šele v prvem redu  in δ.
Tako za funkciji F in G, ki vedno nastopata skupaj z  oziroma δ, v prvem
redu velja Fx = −Ft in Gx = −Gt.
Sedaj zapǐsemo enačbi robnega pogoja na gladini (6) in (7) do prvega
reda v  in δ. Drugo enačbo robnega pogoja (7) še odvajamo po x, tako
da lahko uporabimo nastavek (12), s katerim se znebimo fx. Dobimo dve
enačbi
ηx + Fx + δGx + ηt =
δ
6
ηxxx − 2ηηx (13)
ηx + ηt + Ft + δGt =
δ
2
ηxxt − ηηx, (14)
kjer zapisujemo le člene do prvega reda v  in δ. Zgornji enačbi odštejemo in
ker parametra  in δ nastopata neodvisno, dobimo dve enačbi, eno za F in
eno za G. Upoštevamo še zvezo med odvodom po kraju in po času in tako
dobimo izraza za vsako od funkcij: F = −14η2 in G = 13ηxx, ki ju uporabimo
v eni od enačb (13) oziroma (14) in dobimo enačbo KdV za η(x, t), odmik
gladine od ravnovesne vǐsine,
ηt + ηx +
3
2
ηηx +
δ
6
ηxxx = 0.
26 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 1
i
i
“Lemut” — 2019/6/26 — 8:19 — page 27 — #6 i
i
i
i
i
i
O enačbi Korteweg-de Vries
Zgornjo enačbo lahko preoblikujemo v (1), tako da se z x → x − t najprej
premaknemo v drug koordinatni sistem in se s tem znebimo člena s prvim
odvodom po x, nato pa še spremenimo koeficiente pred posameznimi členi
s skaliranjem η → −2δ3η in t→ 6δ t.
Rešitve enačbe KdV
Nizozemska matematika sta v svojem članku zapisala tudi rešitev enačbe
KdV, ki opisuje solitonski val, ter periodično rešitev, ki sta jo poimenovala
cnoidni val.
Obe rešitvi dobimo z nastavkom za potujoči val, u(x, t) = f(x − ct).
Enačba KdV (1) tako postane
−cf ′ + f ′′′ − 3(f2)′ = 0,
kjer opuščaj nakazuje na odvod po spremenljivki ξ = x − ct. Po enkratni
integraciji po ξ ter nato še eni integraciji po ξ z integrirajočim faktorjem f ′
dobimo izraz
1
2
(f ′)2 = F (f), (15)
kjer smo označili F (f) = A+Bf + 12cf
2 + f3.
V primeru, da ǐsčemo lokalizirano rešitev, postavimo A in B na nič, saj
morajo f, f ′, f ′′ → 0 za |ξ| → ∞. Zgornjo enačbo nato še enkrat integriramo
po ξ in dobimo
f(ξ) = − c
2 cosh2
(√
c
2 (ξ − x0)
) , (16)
kjer je x0 poljubna integracijska konstanta, predstavlja pa položaj vala ob
času t = 0. Dobili smo izraz za solitonski val, ki ga je proučeval Russell.
Kot vidimo, ima hitreǰsi val res večjo amplitudo. S takim nastavkom lahko
opǐsemo le en lokaliziran val. Za rešitev, ki bi na primer opisala trk dveh
takih valov, bi bilo treba že pri začetnem nastavku ubrati drugačen pristop.
V primeru, da pri zgornjem nastavku ne zahtevamo lokaliziranega potu-
jočega vala, ampak le to, da je rešitev omejena, moramo natančneje proučiti
funkcijo F (f). Najprej opazimo, da vrednosti konstant A in B določata po-
ložaj ničel, neodvisno od njiju pa velja F → ±∞, ko f → ±∞. Glede na
22–29 27
i
i
“Lemut” — 2019/6/26 — 8:19 — page 28 — #7 i
i
i
i
i
i
Timotej Lemut
število in relativen položaj ničel imamo tako 6 različnih možnosti za F (f).
Če si jih narǐsemo, lahko sklepamo, da mora imeti za periodično rešitev
funkcija F (f) tri realne ničle, ki jih označimo od največje do najmanǰse s
f1 > f2 > f3. Zgornja enačba (15) je tako enaka
1
2
(f ′)2 = (f − f1)(f − f2)(f − f3). (17)
Za f uporabimo nastavek f = f3 + (f2 − f3) sin2 θ, enačba pa postane
(θ′)2 =
f1 − f3
2
(
1− f2 − f3
f1 − f3
sin2 θ
)
.
Sedaj ločimo spremenljivki in pointegriramo obe strani enačbe∫ ξ
ξ3
dξ =
1√
l
∫ θ
0
dθ′√
1−m sin2 θ′
,
kjer smo označili l = f1−f32 in m =
f2−f3
f1−f3 , število ξ3 pa je določeno prek
f(ξ = ξ3) = f(θ = 0) = f3. Zgornji izraz po definiciji Jacobijeve elip-
tične funkcije sinus amplitudinis implicira, da je sn
(
(ξ − ξ3)
√
l,m
)
= sin θ,
oziroma, končna rešitev je
f(ξ) = f3 + (f2 − f3) sn2
(
(ξ − ξ3)
√
l, m
)
.
Ker je sn(u,m) ∈ [0, 1] za poljuben u, se rešitev giblje med f3 in f2, tako da
bi lahko za amplitudo vala vzeli količino f2−f32 , za ravnovesno globino pa h =
f2+f3
2 . S primerjavo enačb (15) in (17) lahko izluščimo še hitrost valovanja
c v odvisnosti od ničel funkcije F , in sicer dobimo c = −2(f1 + f2 + f3).
Na spodnji sliki so prikazane tri rešitve za različne m, pri istem l in isti
globini h, kjer za m → 1 dobimo ravno lokalizirano rešitev (16), medtem
ko limita m→ 0 (oziroma f3 → f2) predstavlja rešitev linearizirane enačbe
KdV
ut − 6f2ux + uxxx = 0.
S pomočjo nastavka potujočega vala smo poiskali omejeno periodično
rešitev in v posebnem tudi lokaliziran solitonski val, ki ohranja obliko pri
28 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 1
i
i
“Lemut” — 2019/6/26 — 8:19 — page 29 — #8 i
i
i
i
i
i
O enačbi Korteweg-de Vries
ξ
−f
Slika 3. Periodične rešitve enačbe KdV izražene s funkcijo sn, pri isti globini h in istem
l za vrednosti m = 0,1, 0,6 in 0,99 označene s pikčasto, črtkano in polno črto. Na grafu
prikazujemo vrednost −f .
potovanju in katerega hitrost je res sorazmerna vǐsini. Ostane nam le še
pokazati, da dva taka vala ohranita obliko tudi po trku. Rešitev, ki opisuje
trk dveh solitonov, pa ne ustreza nastavku potujočega vala, zato moramo za
iskanje novih rešitev uporabiti kakšno bolj splošno metodo reševanja enačbe
KdV.
LITERATURA
[1] J. S. Russell, Report on Waves: Made to the Meetings of the British Association in
1842-+43, R. and J. Taylor, 1845.
[2] R. S. Johnson, A modern introduction to the mathematical theory of water waves,
Cambridge University Press, Cambridge, 1997.
[3] P. G. Drazin in R. S. Johnson, Solitons: An introduction, Cambridge university press,
Cambridge, 1989.
22–29 29