IZ TEORIJE ZA PRAKSO 8 Matematika v šoli, št. 1., letnik 27, 2021 Učenčevo (samo)preverjanje pravilnosti reševanja nalog pri matematiki Dr. Adrijana Mastnak Univerza v Ljubljani, Pedagoška fakulteta Izvleček Eden izmed pomembnih ciljev učiteljev, ki želijo samostojne in odgovorne učence, je, da pri učencih razvijajo spretnost samopreverjanja pravilnosti reševanja nalog. Do sedaj ni veliko znanega o tem, katere vire informa- cij učenci pri procesu preverjanja uporabljajo. Temeljni namen prispevka je torej predstaviti učenčeve načine preverjanja pravilnosti reševanja nalog, kar nam bo pomagalo bolje razumeti učenčev proces samospremljanja pri reševanju nalog ter pri učencih razvijati pomembne elemente pri oblikovanju točne ocene lastnega znanja. Ključne besede: samopreverjanje pravilnosti reševanja nalog, povratna informacija, samospremljanje, samo- regulacija Student Self-Checking the Correctness of Task-Solving in Mathematics Abstract A student self-checking the correctness of the solved mathematical tasks should be the central goal of primary school teachers who wish to foster responsible learners. However, there is not enough evidence about which information sources the students use in this process. Finding out more about the basis of their self-assessment (that is, the sources of information the students use) aft er doing mathematical tasks, would be helpful in un- derstanding the students' self-monitoring processes and would help the students to become better self-asses- sors of their mathematical knowledge. Keywords: checking the correctness of task-solving, feedback, self-monitoring, self-regulation Uvod Ena izmed pomembnih usmeritev pri oblikovanju sodobnega pouka je podpiranje razvoja mladih v samostojne vseživljenjske učence ter nudenje pomoči pri razvijanju ključnih kompetenc, med njimi tudi kompetence učenje učenja (European Commu- nities, 2007). Razvijanje kompetence učenje učenja je poudarjeno tudi v Učnem načrtu za matematiko v osnovni šoli (2011), kjer so avtorji med splošnimi cilji zapisali, naj učitelj matematike poleg razvijanja matematične kompetence, ki je pri pouku matematike najbolj poudarjena, spodbuja razvoj še drugih kompetenc, med njimi tudi kompetenco učenje učenja. V didaktičnih priporočilih razvijanja kompetence učenje učenja je v Učnem načrtu za mate- matiko v osnovni šoli (2011, str. 75) napisanih nekaj dejavnosti, ki naj bi jih bili učenci pri pouku deležni. Pri tem bi kot pomemb- no izpostavili, da naj bi učenci spremljali, usmerjali in evalvirali lastni proces učenja ter se samonadzirali pri delu. Kompetenca učenje učenja tako pomembno vpliva na razvoj učenčeve zavesti o lastnem učnem procesu in potrebah ter pomaga pri oblikovanju realne slike o svojem znanju. Več avtorjev (npr. Andrade, 2010; Y an in Brown, 2016) poudarja, da so učenci lahko sami sebi vir in- formacij o lastnem znanju. Pri tem imajo pomembno vlogo učen- čeve samoregulativne in metakognitivne spretnosti, saj vključujejo učenčevo zmožnost učinkovitega samospremljanja pri učenju. Ta postaja še posebej pomembna v trenutnih razmerah izobraževanja na daljavo, ko je učencem takojšna (zunanja) povratna informaci- ja o uspešnosti reševanja neke naloge, razumevanju nekega mate- matičnega koncepta še toliko težje dosegljiva. V teoretičnem delu prispevka bomo umestili pomen poznavanja in razvijanja različ- nih načinov (samo)preverjanja pravilnosti reševanja nalog v učni proces, z izsledki empirične raziskave pa predstavili sedanje stanje uporabe načinov (samo)preverjanja pravilnosti reševanja nalog in utemeljili pomembnost uvajanja novih. (Samo)preverjanje kot del učenčeve samoregulacije učenja Samoregulacijsko učenje je proces, pri katerem si učenci postavlja- jo učne cilje in poskušajo spremljati, uravnavati in nadzirati svoje vedenje, motivacijo ter znanje z namenom doseganja zastavljenih učnih ciljev (Andrade, 2010). Samoregulacijo učenja avtorji naj- IZ TEORIJE ZA PRAKSO 9 Matematika v šoli, št. 1., letnik 27, 2021 pogosteje razlagajo z behaviorističnega in socialnokognitivne- ga pogleda. Med ključnimi procesi samoregulacijskega procesa behavioristi navajajo učenčevo spremljanje samega sebe, samo- poučevanje s pisnimi ali ustnimi navodili, ki si jih daje učenec, samovrednotenje na osnovi primerjave lastnega dosežka z dolo- čenim standardom in samoojačevanje (Pečjak in Košir, 2002). S socialnokognitivnega pogleda pa je najbolj znan Zimmermanov (1998) krožni model samoregulacijskega učenja, ki je sestavljen iz treh faz: predhodno razmišljanje, izvedba in zavestna kontrola ter samorefl eksija. Predhodna faza predstavlja fazo priprave na učenje in vključuje učenčevo postavljanje učnih ciljev, prepričanja o lastni učinkovitosti, načrtovanje izbire strategij, metod učenja ipd. Faza izvedbe in zavestne kontrole poteka med samim učenjem in med drugim vključuje tudi spremljanje samega sebe, pri čemer učenec pridobiva povratne informacije o lastnem napredovanju. Pri pou- ku matematike učenec najpogosteje zbira informacije o svoji učni uspešnosti preko reševanja nalog. V fazi izvedbe učenec spremlja in vrednoti, kako uspešen je pri reševanju naloge, ki jo rešuje. V fazi samorefl eksije pa učenec ovrednoti lasten dosežek, končni iz- delek, premisli o optimalnih strategijah učenja in pripisuje uspe- šnost različnim dejavnikom (atribucije). V ožjem pomenu, npr. pri reševanju neke naloge, učenec v slednji fazi ovrednoti uspe- šnost reševanja naloge. To doseže s (samo)preverjanjem pravilno- sti reševanja naloge. Pogosto učenec (samo)preverjanje izvaja že v fazi reševanja naloge, medtem ko se samospremlja. (Samo)prever- janje je torej metakognitivna spretnost znotraj samoregulativnega učenja, pri kateri učenec išče nase usmerjene povratne informacije o pravilnosti reševanja naloge. Te so lahko iz zunanjega vira ali pa je vir učenec sam. Pri slednjem bomo v prispevku uporabljali iz- raz samopreverjanje. Samopreverjanje je prav tako del učenčevega samospremljanja pri reševanju naloge (Y an in Brown, 2016) in sa- morefl eksije po reševanju naloge (Hacker, Bol, Horgan in Rakow, 2000). Pri tem pa mora imeti učenec tako znanje o nalogi kot zna- nje o nadzoru učnega procesa (S. Pečjak, 2012b). Znanje o nalogi vključuje znanje o kriterijih in standardih. Učenec mora vedeti, katera so ključna znanja (kriteriji), ki jih mora pri nalogi pokazati, ter na kateri stopnji jih dosega (standard). Znanje o nadzoru pa vključuje tudi samoregulacijske strategije spremljanja, ki naj bi jih učenec med učenjem uporabljal. Med njimi S. Pečjak (2012b) na- vaja samotestiranje (oz. samopreverjanje) kot strategijo, pri kateri učenec preverja, ali napreduje v pravi smeri reševanja naloge. Pomen uporabe strategije samopreverjanja v učnem procesu Kurnaz in Cimer (2010) sta proučevala strategije, ki učencem povedo, da so se nekaj naučili. Ena izmed glavnih strategij, ki jo navajata, je, da se učenci samopreverijo. Pri tem učenci kot kriterij uspešnosti uporabljajo število pravilnih odgovorov pri nalogah ter zahtevnost nalog, ki jih uspejo rešiti. Bolj zahtevne naloge učenec reši, bolje zna učno vsebino. Podobne kriterije na- vaja tudi Yildiz s sod. (2006, v Kurnaz in Zimmer, 2010). Učencu zmožnost samopreverjanja tako lahko pomaga pri oblikovanju realne slike o lastnem znanju oz. pri bolj točni samooceni uspešnosti reševanja nalog (Kostons, van Gog in Paas, 2012). Ta pa je nadalje pomembna za učenčev napredek v znanju. Učenci se namreč lahko v kontekstu samoregulativnega učenja učijo učinkovito le, če imajo točno predstavo o svojem znanju (Raaijmakers idr., 2017). Tudi Hattie (2009) v svoji metaanalizi dejavnikov, ki vplivajo na učno učinkovitost učencev, navaja vi- sok učinek učenčeve samoevalvacije in srednje velik učinek spre- mljanja na učno učinkovitost učencev. Če povzamemo, učencu sposobnost samopreverjanja pomaga učiti se učinkovito, imeti bolj točno predstavo o lastnem znanju ter postati neodvisen vse- življenjski učenec (Ramdass in Zimmerman, 2008). Viri informacij v procesu (samo)preverjanja Da učenci vedo, kako dobro znajo ali kako uspešno so rešili neko nalogo, morajo dobiti povratno informacijo. Hattie in Timper- ley (2007) opredelita povratno informacijo kot informacijo, ki jo nudi neko sredstvo (učitelj, vrstnik, knjiga, lastne izkušnje) in se nanaša na vidik učenčevega razumevanja učne vsebine ali uspe- šnosti pri reševanju nalog. Učenec tako pri preverjanju uspešno- sti reševanja naloge uporablja svoje lastne (notranje) in zunanje vire povratnih informacij (Andrade, 2010) o kriterijih in stan- dardih, ki so pri reševanju neke naloge pomembni. Pri (samo) preverjanju imajo še posebej pomembno vlogo učenčevi notra- nji viri povratnih informacij (Andrade, 2007). Težko je namreč doseči, da bi učitelj učencem ves čas podajal sprotno povratno informacijo o uspešnosti reševanja nalog. V tem kontekstu He- ritage (2009, v van der Meer, 2012) opredeli notranjo povratno informacijo kot učenčevo sposobnost spremljanja lastnega ra- zumevanja ali uspešnosti pri reševanju nalog s čim manj učite- ljevega vodenja. Da pa učenec to lahko doseže, mora učitelj to sposobnost pri učencu tudi razvijati. Učencu je treba jasno pred- staviti ključna znanja pri nalogi, da ve, kdaj je naloga pravilno rešena, ter ga naučiti, kako lahko sam preveri pravilnost rešene naloge. Ko učenci prvič rešujejo neko nalogo, še namreč nimajo ponotranjenega standarda, ki bi jim povedal, ali je naloga pra- vilno rešena (Raaijmakers idr., 2017), prav tako nimajo razvitih mehanizmov, s katerimi bi si pomagali, da preverijo pravilnost rešene naloge brez zunanjega vira (npr. podanih rešitev naloge). Poučevanje samopreverjanja pravilnosti reševanja nalog Več raziskav je pokazalo, da so učenci pogosto neuspešni pri preverjanju rešitev nalog oz. pri prepoznavanju napak v nalogah (Montague, Enders in Dietz, 2011; Pennequin, Sorel, Nanty in Fontaine, 2010). Garcia, Betts, Gonzalez-Castro, Gonzalez-Pi- enda in Rodriguez (2016) so v svoji raziskavi ugotavljali, katere samoregulacijske strategije učenci 5. in 6. razreda uporabljajo pri reševanju matematičnih problemov. Ugotovili so, da učenci naj- redkeje in najmanj učinkovito uporabljajo strategije v zadnji fazi samoregulacije, to je preverjanje in popravljanje napak pri reše- vanju nalog. Tudi S. Okita (2004) pravi, da učenci sami po sebi niso nagnjeni k samopreverjanju rešene naloge. Učence je treba torej spodbujati k samopreverjanju pravilnosti reševanja naloge ter jih tudi naučiti, kako so lahko pri tem učinkoviti. S. Pečjak (2012b) pravi, da je več raziskav pokazalo, da se metakognitivne sposobnosti, med njimi tudi samopreverjanje, najbolj intenziv- no razvijajo med otrokovim 12. in 14. letom, zato naj bi učitelji učencev v višjih razredih osnovne šole zavestno in sistematično vključevali poučevanje teh sposobnosti. IZ TEORIJE ZA PRAKSO 10 Matematika v šoli, št. 1., letnik 27, 2021 Onu s sodelavci (2012) pravi, da je uporaba učitelja kot modela metakognitivnega obnašanja ena izmed najboljših tehnik raz- vijanja metakognitivnih strategij pri učencih. Učence torej lahko učitelj uči samopreverjanja pravilnosti rešene naloge tako, da jim modelira pri konkretni nalogi, kako se lahko samopreverijo. Pri modeliranju učitelj razmišlja na glas in s tem učenca usmerja v metakognitivno razmišljanje. Pogosta strategija, ki jo pri tem upo- rablja, je tudi metakognitivno samospraševanje (Pečjak, 2012a). Zimmerman, Moylan, Hudesman, White in Flugman (2011) so učili učence pri pouku matematike samoregulativnih spretno- sti. Pri tem so se osredotočili na učenje prepoznavanja napak v matematičnih nalogah ter uporabo te povratne informacije za nadaljnje učenje. Učence so učili tako, da jim je učitelj najprej modeliral različne tehnike prepoznavanja napak v matematičnih nalogah, nato pa so učenci individualno in v skupinah vadili pre- poznavanje in popravljanje napak v nalogah. Učenci so na ta na- čin izboljšali spretnost samopreverjanja. Tudi S. Okita (2004) je v svoji raziskavi uporabila računalniško orodje, ki izhaja iz ideje, da učenci običajno niso nagnjeni k temu, da bi pravilnost reše- nih nalog preverjali, so pa zelo motivirani za iskanje napak pri nalogah, ki so jih rešili sošolci. Učenci, ki so bili vključeni v razi- skavo, so se s pomočjo računalniškega orodja učili iskati napake v matematičnih nalogah, kar jim je nato pomagalo, da so znali spremljati in preverjati pravilnost nalog, ki so jih rešili sami. Pri matematičnih nalogah se običajno, za razliko od nalog pri dru- gih predmetih, da ugotoviti pravilnost reševanja/rešitve naloge s premislekom, brez zunanjih virov, vendar pa je tovrstna znanja pri učencih treba razviti. Predvsem lahko učence naučimo samo- preverjanja pravilnosti reševanja naloge, ki vključuje učenčevo poznavanje postopka (npr. pisno množenje dveh števil). Uber- ti, Mastropieri in Scruggs (2004) so v svoji raziskavi pri učencih spodbujali reševanje in samopreverjanje pri nalogi s kontrolni- mi listami. Kontrolne liste vsebujejo seznam ključnih kriterijev, elementov v nalogi, ki jih je treba doseči. V zaključni fazi tako kontrolna lista vključuje seznam opravil za samopreverjanje pra- vilnosti rešenih nalog (npr. preveril sem pravilnost rešitve enačbe, preveril sem smiselnost rešitve v kontekstu naloge, zapisal sem odgovor). Pomembno vprašanje pri tem pa je, kako je učenec pre- veril pravilnost rešitve naloge (npr. pravilnost rešitve enačbe). V kontrolnih listah smo lahko pozorni tudi na ta element. Pri pre- verjanju pravilnosti rešitve enačbe naredimo preizkus, s katerim preverimo, ali z dobljeno vrednostjo enačbe dosežemo, da je leva stran enačbe enaka desni. Tudi pri geometrijski nalogi (npr. načr- tovanje trikotnika) lahko učenca naučimo, da si zastavi vprašanja, ki vključujejo ključne kriterije samopreverjanja pravilnosti nastale geometrijske konstrukcije. Učenec se na primer lahko vpraša, ali je uporabil le dovoljene konstrukcijske postopke, katero geometrij- sko dejstvo (izrek) pojasnjuje pravilnost konstrukcije, kako lahko preveri pravilnost konstrukcije (preveri z merjenjem dolžin stra- nic trikotnika, velikostjo kotov). V teh vprašanjih učencu eksplici- ramo kriterije, torej ključna znanja, ki jih mora naloga vključevati ter jih spomnimo, da preveri, ali so uspešno prikazana v nalogi. Tudi Keeley in Tobey (2011) navajata nekaj primerov tehnik, s katerimi učence učimo samopreverjanja pravilnosti reševanja na- log. Predvsem je pomembno, da učenci s temi tehnikami utrjujejo spretnost samopreverjanja, učitelj pa učencem modelira ključne kriterije pri nalogah, ki jih rešujejo. Poznavanje le-teh je namreč pomemben element pri preverjanju pravilnosti rešene naloge. Prva izmed tehnik, ki jo Keeley in Tobey (2011) predstavljata, je skupinsko popravljanje z namigi (»CCC: Collaborative clued corrections«). Pri tej tehniki učitelj izbere nekaj izdelkov učencev in jih pregleda. Med izdelki izbere tiste, ki vsebujejo tipične na- pake, na katere želi učitelj opozoriti. Za pregledane izdelke učitelj poda namige in komentarje ter jih razdeli učencem za pregled izdelka v skupini. Učenci prediskutirajo izdelek in raziščejo uči- teljeve namige. Po končanem skupinskem pregledu izdelka vsak učenec pregleda in popravi še svoj izdelek. Druga tehnika je pre- gled s podajanjem komentarjev (»Comments-only marking«). Pri tej tehniki učitelj pregleda učenčev izdelek in mu poda po- vratno informacijo. Povratna informacija se pri tem nanaša na: • komentar o doseganju kriterijev uspešnosti: pri tej nalogi si pokazal, da znaš …; • nejasnost postopka: podal si pravilne odgovor, a ni razumljiv postopek, kako si prišel do rešitve; • napako pri računanju: poišči in popravi računsko napako; • uporabo matematične terminologije: uporabil si napačen ma- tematični termin. Lahko uporabiš drugega?; • število pravilnih odgovorov: pravilno si odgovoril na (št.) na- log. Določi, katere naloge so rešene pravilno in katere napač- no. Napačno rešene naloge popravi. Učenec mora pri tej tehniki znati interpretirati in uporabiti uči- teljevo povratno informacijo. Tretja tehnika, ki jo predstavljata Keeley in Tobey (2011) pa je vnaprejšnja povratna informacija (»FFF - Feedback to feed-forward«). Ta tehnika se uporablja kot nadaljevanje tehnike »Comments-only marking«. Učenci pre- mislijo, kako bodo uporabili učiteljevo povratno informacijo, da popravijo svoj izdelek. Pri tem si pomagajo tako, da odgovorijo na vprašanja na listu (Slika 1). Kako bom povratno informacijo uporabil pri pregledu svojega izdelka? Kako mi bo ta povratna informacija pomagala izboljšati moj naslednji izdelek? 1. Kaj mi povratna informacija pove? 2. Pri svojem izdelku želim popraviti (seznam stvari, ki jih želim popraviti): 3. Česa pri povratni informaciji ne razumem (napiši in nato vprašaj osebo, ki ti je podala povratno informacijo, da ti jo bolj jasno razloži). 1. Del povratne informacije, ki ga lahko uporabim, ko bom reševal naslednjo nalogo, je … 2. Povratno informacijo si bom zapomnil, ko bom reševal naslednjo nalogo s tem, da bom … Slika 1: Primer lista za tehniko FFF (Keeley in Tobey, 2011, str. 91). Četrta tehnika, ki jo Keeley in Tobey (2011) podajata kot pri- mer učenja samopreverjanja, je vrstniška povratna informacija (»Peer to peer focused feedback«). Pri tej tehniki se z učenci naj- prej pogovorimo o kriterijih uspešnosti, nato učenci rešijo na- logo ter odgovorijo na prvo vprašanje na listu (Slika 2). Učenci si zamenjajo izdelke za pregled, ob pregledu sošolčevega izdelka učenec odgovori na preostali dve vprašanji na listu ter popravi svoj izdelek na osnovi vrstniške povratne informacije. IZ TEORIJE ZA PRAKSO 11 Matematika v šoli, št. 1., letnik 27, 2021 Vrstniška povratna informacija Ime in priimek: 1. Kateri so kriteriji uspešnosti? Pregledovalec: 2. Kateri kriteriji so pri nalogi doseženi? Napiši konkretne primere iz naloge, ki kažejo, da so kriteriji doseženi. 3. Kateri kriteriji v nalogi niso doseženi? Podaj mi predloge, ki mi bodo pomagali popraviti nalogo pri pregledu. Slika 2: Primer lista za tehniko vrstniška povratna informacija (Keeley in Tobey, 2011, str. 152). Vpogled v prakso (samo)preverjanja pravilnosti reševanja nalog z empirično raziskavo Vpogled v prakso (samo)preverjanja pravilnosti reševanja nalog predstavljamo z rezultati empirične raziskave, izvedene v letu 2017. V raziskavo smo vključili 164 učencev 7. razreda iz štirih priložnostno izbranih osnovnih šol. V raziskavi smo ugotavljali učenčeve vire informacij za ugotav- ljanje pravilnosti reševanja nalog. Zanimalo nas je, kako učenci najpogosteje ugotavljajo, ali so nalogo pravilno rešili ter kateri načini preverjanja pravilnosti reševanja nalog se jim pri tem zdijo najpomembnejši, da vedo, kako dobro znajo učno vsebi- no. Pri tem nas je tudi zanimala povezanost med pogostostjo in pomembnostjo posameznih načinov ter učenčeva prepričanost v pravilnost reševanja nalog, če učenec ne dobi povratne informa- cije o pravilnosti reševanja iz zunanjega vira. Podatke smo zbrali z anketiranjem. Učenci so po obravnavi iz- polnili anketni vprašalnik o učenčevih mehanizmih za samooce- njevanje, ki je vključeval tudi krajše preverjanje znanja s štirimi nalogami iz obravnavane učne vsebine. V nadaljevanju predsta- vljamo del rezultatov vprašalnika, ki se navezuje na naša razisko- valna vprašanja. Rezultati, ki jih predstavljamo, so namreč del nekoliko obsežnejše raziskave. Raziskava je bila kvantitativna, naredili smo osnovne statistične izračune opisne in inferenčne statistike. Vsi učenci niso odgovorili na vsa vprašanja v vprašal- niku. V preglednicah so prikazani rezultati učencev, ki so na po- samezno vprašanje oz. trditev pri vprašanju odgovorili. Načini ugotavljanja pravilnosti reševanja nalog Učencem smo zastavili deset trditev (T1 ... T10 v Preglednici 1) o možnih načinih preverjanja pravilnosti reševanja nalog. Na 4-stopenjski ocenjevalni lestvici (1 - nikoli, 2 - redko, 3 - obča- sno, 4 - pogosto) so morali oceniti, kako pogosto pri pouku ma- tematike preverijo pravilnost rešitve naloge na naveden način. Iz Preglednice 1 je razvidno, da največji delež učencev zaznava, da pri pouku matematike pogosto preverijo pravilnost rešitev nalog tako, da jim učiteljica pove rešitve/rezultate nalog. Ostale načine preverjanja rešitev nalog (razen zadnjega navedenega) ocenjujejo učenci v največjem deležu kot občasno ali redko uporabljene. Naj- večji delež učencev zaznava kot občasne načine samopreverjanje s ponovnim pregledom naloge ali s pregledom rešitev v učbeniku. Prav tako največji delež učencev zaznava, da si občasno preveri- jo rešitve tako, da sami vprašajo učiteljico, ali so nalogo pravilno rešili, ali pa jim naloge preveri učiteljica in popravi v njih napake. Učenci v največjem deležu zaznavajo kot redko in kot občasno uporabljen način ta, da učiteljica označi naloge, v katerih so na- pake. Učenci kot redke načine zaznavajo to, da učiteljica pregleda naloge in v njih označi napake, ali pa pri nalogi napiše, kaj ima učenec prav/narobe, ter da učenec rešitve nalog primerja s sošolci. Malo več kot polovica učencev pa zaznava, da učiteljica učencem ne točkuje/oceni naloge. Ta način je največji delež učencev ocenil, da ga nikoli ne uporabijo za preverjanja rešitev nalog. Zanimalo nas je tudi, kako močno učencem navedeni načini pre- verjanja pravilnosti reševanja naloge pomagajo, da vedo, ali je nalo- ga pravilno rešena. Učenci so stopnjo pomoči za posamezen način preverjanja ocenili na 4-stopenjski ocenjevalni lestvici ocenili (1 - sploh mi ne pomaga, 2 - malo mi pomaga, 3 - mi pomaga, 4 - zelo mi pomaga). P r eglednica 1: Pogostost posameznih načinov preverjanja pravilnosti reševanja nalog pri pouku matematike. Nalogo preverim tako, da... N 1234 f f % f f % f f % f f % T1 ... nam učiteljica pove rešitve/rezultate nalog. 133 8 4,9 19 11,6 47 28,7 59 36,0 T2 ... se sam preverim s tem, da rešim nalogo ponovno oz. si jo pregledam. 133 11 6,7 35 21,3 50 30,5 37 22,6 T3 ... rešitve nalog preverim tako, da pogledam rešitve, rezultate nalog v učbeniku. 134 24 14,6 27 16,5 45 27,4 38 23,2 T4 ... rešitve/rezultate nalog primerjam s sošolci. 134 24 14,6 42 25,6 38 23,2 30 18,3 T5 ... mi učiteljica pregleda naloge in označi napake v nalogah. 136 19 11,6 53 32,3 42 25,6 22 13,4 T6 ... sam vprašam učiteljico, ali sem nalogo pravilno rešil. 133 29 17,7 42 25,6 47 28,7 15 9,1 T7 ... mi učiteljica označi naloge, v katerih so napake. 134 33 20,1 41 25,0 41 25,0 19 11,6 T8 ... mi učiteljica pregleda naloge in popravi napake v nalogah. 135 36 22,0 36 22,0 48 29,3 15 9,1 T9 ... mi učiteljica pregleda naloge in pove/napiše, česa pri nalogi še ne znam. 134 35 21,3 46 28,0 36 22,0 17 10,4 T10 ... nam učiteljica točkuje/ oceni naloge. 133 62 37,8 32 19,5 24 14,6 15 9,1 IZ TEORIJE ZA PRAKSO 12 Matematika v šoli, št. 1., letnik 27, 2021 Preglednica 2: Pomembnost posameznih načinov preverjanja pravil- nosti reševanja nalog pri pouku matematike. Kako močno mi pomaga, da vem, ali je naloga pravilno rešena, če... N 1234 f f % f f % f f % f f % T1 ... nam učiteljica pove rešitve/rezultate nalog. 133 12 7,3 25 15,2 53 32,3 43 26,2 T2 ... se sam preverim s tem, da rešim nalogo ponovno oz. si jo pregledam. 133 11 6,7 42 25,6 52 31,7 28 17,1 T3 ... rešitve nalog preverim tako, da pogledam rešitve, rezultate nalog v učbeniku. 134 21 12,8 29 17,7 47 28,7 34 20,7 T4 ... rešitve/rezultate nalog primerjam s sošolci. 134 23 14,0 44 26,8 46 28,0 21 12,8 T5 ... mi učiteljica pregleda naloge in označi napake v nalogah. 136 16 9,8 57 34,8 46 28,0 16 9,8 T6 ... sam vprašam učiteljico, ali sem nalogo pravilno rešil. 133 15 9,1 40 24,4 46 28,0 29 17,7 T7 ... mi učiteljica označi naloge, v katerih so napake. 134 20 12,2 53 32,3 39 23,8 20 12,2 T8 ... mi učiteljica pregleda naloge in popravi napake v nalogah. 135 26 15,9 43 26,2 45 27,4 19 11,6 T9 ... mi učiteljica pregleda naloge in pove/napiše, česa pri nalogi še ne znam. 134 19 11,6 35 21,3 45 27,4 32 19,5 T10 ... nam učiteljica točkuje/ oceni naloge. 133 49 29,9 38 23,2 35 21,3 12 7,3 Iz Preglednice 2 je razvidno, da učenci v največjem deležu zazna- vajo, da jim pri preverjanju pravilnosti reševanja nalog pomaga to, da jim učiteljica pove rešitve nalog. To, da učiteljica učencem pre- gleda naloge in v njih označi napake ali pa, da učiteljica le označi naloge, v katerih so napake, največji delež učencev zaznava, da jim malo pomaga pri preverjanju pravilnosti reševanja nalog. Učenci v največjem deležu zaznavajo, da jim sploh ne pomaga, če jim uči- teljica točkuje/oceni naloge. Ostale navedene načine učenci zazna- vajo, da jim pomagajo, da vedo, ali so naloge pravilno rešili. Nadalje nas je za posamezne načine preverjanja pravilnosti re- ševanja zanimala povezanost med učenčevim doživljanjem po- membnosti in pogostostjo uporabe posameznega načina. S Spre- armanovim koefi cientom korelacije smo ugotovili, da znotraj po- sameznega načina preverjanja pravilnosti reševanja nalog obstaja statistično pomembna povezanost med pogostostjo uporabe in oceno pomembnosti načina. Pri vseh načinih je bila stopnja zna- čilnosti nižja od 1 %. Spearmanov korelacijski koefi cient rangov je znašal med 0,4 in 0,6. Rezultati so prikazani v Preglednici 3. Pri vseh načinih gre torej za pozitivno povezanost, kar pomeni, da se za posamezni način preverjanja pravilnosti reševanja pri učencih z večanjem ocene pogostosti uporabe veča tudi ocena pomembno- sti načina. Najmočnejša povezanost med pogostostjo in pomemb- nostjo uporabe je pri treh načinih preverjanja: učiteljica točkuje/ oceni naloge (0,636), učenci rešitve/rezultate primerjajo s sošolci (0,626) in učenci si naloge pregledajo z rešitvami, rezultati nalog v učbeniku (0,600). Najšibkejša povezanost med pogostostjo in po- membnostjo uporabe je pri načinu, pri katerem učiteljica pregleda naloge in pove/napiše, česa učenec pri nalogi še ne zna (0,318). Preglednica 3: Povezanost med pogostostjo in pomembnostjo načina preverjanja pravilnosti reševanja nalog.   r s p T1 ... nam učiteljica pove rešitve/rezultate nalog. 0,445 0,00 T2 ... se sam preverim s tem, da rešim nalogo ponovno oz. si jo pregledam. 0,564 0,00 T3 ... rešitve nalog preverim tako, da pogledam rešitve, rezultate nalog v učbeniku. 0,600 0,00 T4 ... rešitve/rezultate nalog primerjam s sošolci. 0,626 0,00 T5 ... mi učiteljica pregleda naloge in označi napake v nalogah. 0,498 0,00 T6 ... sam vprašam učiteljico, ali sem nalogo pravilno rešil. 0,521 0,00 T7 ... mi učiteljica označi naloge, v katerih so napake. 0,425 0,00 T8 ... mi učiteljica pregleda naloge in popravi napake v nalogah. 0,535 0,00 T9 ... mi učiteljica pregleda naloge in pove/ napiše, česa pri nalogi še ne znam. 0,318 0,00 T10 ... nam učiteljica točkuje/oceni naloge. 0,636 0,00 Grafi kon 1: Odnos med povprečno oceno pogostosti in povprečno oceno pomembnosti načinov preverjanja pravilnosti reševanja nalog. IZ TEORIJE ZA PRAKSO 13 Matematika v šoli, št. 1., letnik 27, 2021 Kot zanimivost podajamo diagram (Grafi kon 1), ki prikazuje odnos med povprečno oceno pogostosti in povprečno oceno po- membnosti obravnavanih načinov preverjanja pravilnosti reševa- nja nalog. Načini preverjanja so označeni od T1 do T10 (poime- novani v Preglednicah 1, 2 in 3). Tudi iz diagrama je razvidno, da učenci v povprečju ocenjujejo bolj pogosto uporabljene načine preverjanja rešitev kot zanje bolj pomembne. Nekoliko pri tem od- stopata načina preverjanja, kjer učiteljica pregleda naloge in pove/ napiše, česa učenec pri nalogi še ne zna (T9) ter da učenec sam vpraša učiteljico, ali je nalogo pravilno rešil (T6). Pri teh dveh na- činih učenci zaznavajo pomembnost višje kot pogostost uporabe. Učenčeva prepričanost v pravilnost reševanja nalog Učence smo po reševanju štirih matema- tičnih nalog (naloge so na QR kodi), ki so se navezovale na obravnavano učno vsebi- no, vprašali, ali so prepričani v pravilnost reševanja nalog. Učenčevo prepričanost v pravilnost reševanja naloge smo v možnih odgovorih na to vprašanje povezali z viri informacij o pravilnosti reševanja nalog. Učencem namreč reši- tve nalog niso bile podane iz zunanjega vira (učiteljica, učbenik). Rezultati so prikazani v Preglednici 4. Ugotovili smo, da malo manj kot polovica učencev (43,8 %) ni prepričana v pravilnost rešenih nalog, ker jim nalog ni nihče pre- gledal oz. nimajo rešitev. Gre najbrž za učence, ki pri preverjanju pravilnosti reševanja nalog uporabljajo zunanje vire (učiteljico, učbenik). Nekoliko več kot polovica učencev (53,9 %) pa je pre- pričana v (ne)pravilnost rešenih nalog, ker so dobili »lepo sliko« oz. »se je izšlo« ali pa zato, ker so/niso prišli skozi nalogo. Zelo majhen delež učencev (4,6 %) je prepričan v (ne)pravilnost reše- vanja zato, ker je sam preveril pravilnost rešenih nalog. Zaključek Analiza rezultatov pogostosti in pomembnosti uporabe načinov preverjanja pravilnosti reševanja nalog je poka- zala, da je način, kjer učenci uporabljajo učiteljico kot vir, ki jim pove pravilnost rešenih nalog, pogosto upora- bljen način, ki jim tudi pomaga, da vedo, ali so nalogo pravilno rešili. Podobno so ugotovili tudi Gennip, Segers in Tillema, (2010) in Gielen (idr. 2010), da učenci pri ugotavljanju pravilnosti rešenih nalog najpogosteje izhajajo iz povratne informacije učiteljice, saj menijo, da je bolj točna. Učenci v primeru učiteljeve povratne informacije namreč občutijo večjo psihološko varnost, saj težko zaupajo v svoje sposobnosti oblikovanja lastne povratne informacije o razumevanju učne vsebine ali pravilnosti rešene naloge (Gennip, Segers in Tillema, 2010). Tako je tudi v naši raziskavi približno polovica učencev navedla, da niso prepričani v pravilnost reševanja nalog, ker jim teh nalog ni nihče pregledal. Gennip, Segers in Tilema (2010) kot razlog navajajo, da se učenci ne počutijo uspo- sobljeni za oblikovanje lastne povratne informacije o pravilnosti rešene naloge. S. Okita (2004) k temu dodaja, da učenci niso vajeni samopreverjanja pravilnosti rešene naloge brez zunanjega vira, če jih tega ne učimo. Pridobiti morajo torej izkušnje s samopreverjanjem. V raziskavi je sicer približno polovica učencev navedla, da vsaj obča- sno preveri pravilnost rešenih nalog in da jim ta način pomaga vedeti, ali so nalogo pravilno rešili. Pri tem pa žal ne vemo, kako učinkoviti so njihovi načini samopreverjanja. Po reševanju nalog večina učencev ni navedla, da bi si sama preverila pravilnost rešene naloge in s tem bila prepričana v pravilnost rešenih nalog. Večina učencev je bila prepričanih, ker so prišli skozi nalogo oz. so dobili »lepo« sliko oz. se je izšlo. Učenci, ki so prepričani v pravilnost reševanja, so torej razvili načine, s katerimi sami pri sebi preverjajo pravilnost rešenih nalog, vendar pa navedena kriterija nista najbolj relevantna za oceno pravilnosti rešene naloge. Rezultati raziskave tako kažejo, da učenci mehanizmov za samopreverjanje pravilnosti reševanja nalog nimajo ustrezno razvitih in bi jih bilo smi- selno pri pouku učiti. To je namreč tudi osnova za učenčevo sprotno samougotavljanje in spremljanje lastnega znanja ter samousmerjanje napredovanja v znanju. Prav tako rezultati raziskave kažejo, da učitelji redko v pouk vključuje elemente samopreverjanja pravilnosti reševanja nalog, s katerimi bi učence spodbujali k iskanju lastnih napak in popravljanju teh napak. Hkrati pa učenci zaznavajo te načine preverjanja pravilnosti reševanja nalog kot pomembne. T udi raziskava Stallings in T ascione (1996) je pokazala pozitivne učinke učiteljevega spodbujanje učencev k iskanju napak pri razvijanju učenčeve spretnosti samopreverjanja. Pri vključevanju poučevanja samopreverjanja pri pouku je torej treba poznati načine, kako učenci lahko preverijo pravilnost rešenih in tudi upoštevati, kateri so učencem bolj pomembni, da vedo, ali so nalogo pravilno rešili. V raziskavi smo namreč ugotovili, da pogostost uporabe nekega načina sovpada z njegovo pomembnostjo. Še pose- bej je treba biti pozoren na načine, ki so učencem pomembni, a se je izkazalo, da niso tako pogosto uporabljeni. Pri tem izstopata dva načina – to, da učenec sam vpraša učiteljico, ali je nalogo pravilno rešil, ter da učiteljica pregleda naloge in pove/napiše, česa učenec pri nalogi še ne zna. V pouk pa je treba vpeljati tudi poučevanje preverjanja, Preglednica 4: Prepričanost v pravilnost reševanja nalog. ff % Nisem prepričan, ker mi ni nihče pregledal teh nalog. 42 32,3 Nisem prepričan, ker nimam rešitev teh nalog. 15 11,5 Sem prepričan, ker sem prišel skozi naloge. 27 20,8 Sem prepričan, ker sem dobil »lepo« sliko, ker se je izšlo. 37 28,5 Sem prepričan, ker sem sam preveril. 6 4,6 Drugo 3 2,3 Skupaj 130 100 IZ TEORIJE ZA PRAKSO 14 Matematika v šoli, št. 1., letnik 27, 2021 Viri in literatura Andrade, H. L. (2010). Students as the Defi nitive Source of Formative Assessment: Academic Self-Assessment and the Self-Regulation of Learning. Paper presented at the annual meeting of the Northeastern Educational Research Association. Rocky Hill, CT. Andrade, H. (2007). Self-assessment through rubbrucs. Educational Leadership, 65(4), 60–63. European Communities (2007). Key competences for lifelong learning European Reference Framework. Luxembourg: Offi ce for Offi cial Publications of the European Communities. García, T., Betts, L., González-Castro, P., González-Pienda, J. in Rodríguez, C. (2016). On-line assessment of the process involved in maths problem-solving in fi ft h and sixth grade students: self-regulation and achievement. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa, 19(2), 165–186. Gennip, N. A. E., Segers, M. S. R. in Tillema, H. H. (2010). Peer assessment as a collaborative learning activity: the role of interpersonal variables and conceptions. Learning and Instruction, 20(4), 280–290. Gielen, S., Peeters, E., Dochy, F ., Onghena, P . in Struyven, K. (2010). Improving the eff ectiveness of peer feedback for learning. Learning and Instruction, 20, 304–315. Hacker, D. J., Bol, L., Horgann, D. in Rakow, E. A. (2000). Test prediction and performance in a classroom context. Journal of Educa- tional Psychology, 92(1), 160–170. Hattie, J. (2009). Visible Learning: A Synthesis of Over 800 Meta-Analyses Relating to Achievement. USA: Routledge. Hattie, J. in Timperley, H. (2007). Th e power of feedback. Review of Educational Research, 77(1), 81–112. Keeley, P . in T obey, C. R. (2011). Mathematics formative assessment. 75 Practical Strategies for Linking Assessment, Instruction, and Learn- ing. Sage, California. Kostons, D., Van Gog, T. in Paas, F. (2012). Training self-assessment and task-selection skills: A cognitive approach to improving self- regulated learning. Learning and Instruction, 22, 121–132. Kurnaz, M. A. in Cimer, S. O. (2010). How do students know that they have learned? An investigation of students’ strategies. Procedia Social and Behavioral Sciences, 2(2), 3666–3672. Mastnak, Adrijana: povezava do nalog: (pridobljeno 24. 5. 2021) https://drive.google.com/fi le/d/1u_9SoaltLTYakrisnH8C194ziysbNF QT/view?usp=sharing Montague, M., Enders, G. in Dietz, S. (2011). Eff ects of cognitive strategy instruction on math problem solving of middle school stu- dents with learning disabilities. Learning Disability Quarterly, 34(4), 262–272. Pennequin, V ., Sorel, O., Nanty, I. in Fontaine, R. (2010). Metacognition and low achievement in mathematics: Th e eff ect of training in the use of metacognitive skills to solve mathematical word problems. Th inking and Reasoning, 16(3), 198–220. Raaijmakers, S. F., Baars, M., Schaap, L., Paas, F., Van Merriënboer, J. J. G. in Van Gog, T. (2017). Training self-regulated learning skills with video modeling examples: Do task-selection skills transfer? Instructional Science, Advance online publication. Ramdass, D. in Zimmerman, B. J. (2008). Eff ects of Self-Correction Strategy Training on Middle School Students‘ Self-Effi cacy, Self- Evaluation, and Mathematics Division Learning. Journal of Advanced Academic, 20(1), 18–41. Rawson, K. A. in Dunlosky, J. (2007). Improving students’ self-evaluation of learning for key concepts in textbook materials. European Journal of Cognitive Psychology, 19, 559–579. Okita, S. Y. (2014). Learning from the folly of others: learning to self-correct by monitoring the reasoning of virtual characters in a computer supported mathematics learning environment. Computer & Education, 71, 257–278. Onu, V . C., Eskay, M., Igbo, J.N., Obiyo, N., in Agbo, O. (2012). Eff ect of training in math metacognitive strategy on fractional achieve- ment in Nigerian schoolchildren. US-China Education Review, 3, 316–325. Pečjak, S. (2012a). Razvoj metakognitivnih sposobnosti pri učenju in vloga učitelja. Vzgoja in izobraževanje, 43(6), 10–16. Pečjak, S. (2012b). Metakognitivne sposobnosti pri učenju: struktura in njihov razvoj. Vzgoja in izobraževanje, 43(6), 4–9. Pečjak, S. in Košir, K. (2002). Poglavja iz pedagoške psihologije. Izbrane teme. Ljubljana: Oddelek za psihologijo Filozofske fakultete. Stallings, V . in Tascione, C. (1996). Student self-assessment and self-evaluation. Th e mathematics teacher, 89(7), 548–554. Uberti, H., Mastropieri, M. A., in Scruggs, T. E. (2004). Check if off : Individualizing a math algorithm for students with disabilities via self-monitoring checklists. Intervention in Schooland Clinic, 39, 269–275. van der Meer, K. (2012). Student self-assessment in mathematics and the implications on leardership. Master of Education. Faculty of Education, Lethbridge Alberta. Y an, Z. in Brown, G. (2016). A cyclical self-assessment process: towards a model of how students engage in self-assessment. Assessment & Evaluation in Higher Education. Zimmerman, B. J. (1998). Developing Self-Fulfi lling Cycles of Academic Regulation: An Analysis of Exemplary Models. V D. H. Schunk, in B. J. Zimmerman (ur.), Self-Regulated Learning: From Teaching to Self-Refl ective Practice (str. 1–19). New Y ork, NY: Guilford Press. Zimmerman, B.J., Moylan, A., Hudesman, J., White, N., in Flugman, B. (2011). Enhancing self-refl ection and mathematics achievement of at-risk urban technical college students. Psychological Test and Assessment Modeling, 53(1), 108–127. Žakelj, A., Röhler Prinčič, A., Perat, Z., Lipovec, A. in drugi (2011). Učni načrt. Program osnovna šola. Matematika. ZRSŠ: Ljubljana. kjer je učenec sam sebi vir informacij (samopreverjenje) pravilnosti rešene naloge. Ta vpeljava naj bo načrtna in postopna. Učitelj lahko učence spodbuja k samopreverjanju reševanja naloge tudi z vprašanji (npr. Kako veš, da si nalogo rešil pravilno? Kako boš preveril pravilnost rešene naloge?) ter modeliranjem primernih odgovorov nanje. Še posebej pri geometrijskih, pa tudi nekaterih aritmetičnih nalogah, lahko učence naučimo, kako sami preverijo pravilnost rešene naloge brez zunanjega vira. Če znajo sami preveriti pravilnost naloge, postanejo sami sebi vir povratne informacije in tako postajajo bolj neodvisni pri učenju in lažje sproti ovrednotijo svoje znanje.