Elektrotehniški vestnik 76(1-2): 31-37, 2009 Electrotechnical Review, Ljubljana, Slovenija
Izračun magnetnega polja okrog dolgih prevodnih nemagnetnih zaslonov
Edi Bulič
Univerza v Ljubljani, Fakulteta za elektrotehniko, Tržaška 25, 1000 Ljubljana, Slovenija E-požta: edi. bulic @fe. uni-lj. ši
Povzetek. Predstavljena je numerična metoda za izračun kvazistatičnega magnetnega polja v okolici dolgih prevodnih nemagnetnih zaslonov, ki so nameščeni ob ravnih vodnikih s harmoničnimi toki kot viri primarnega polja. Njihov namen je zmanjšati gostoto magnetnega polja v določenem delu prostora. Učinkovitost zastiranja se vrednoti s primerjavo primarnega in čelotnega polja. Izračun polja temelji na predhodni določitvi vrtinčnih tokov v zaslonih oziroma na rešitvi integralske enačbe, kateri so pridruzene še enačbe, ki izhajajo iz načinov električnega povezovanja zaslonov. Dobljen sistem sklopljenih integralskih enačb rešujemo z momentno metodo, numerični rezultati polja in očene zastiranja pa so primerljivi z meritvami in analitičnimi očenami iz literature. Metoda omogočša pregled nad učšinki zastiranja in pomeni primerno orodje za dizajniranje zaslonov.
Ključne besede: magnetno zaslanjanje, vrtinčni toki, integralske enačbe, momentna metoda
Computation of the Magnetic Field around Long Conducting Nonmagnetič Shields
Extended abstract. A numerical method for computation of the quasi-static magnetic field in the vicinity of long conducting nonmagnetic shields placed around straight wires is presented. The primary magnetic field source are time-harmonic currents in wires. The purpose of the shields is to reduce the magnetic flux density in a particular region. The shielding efficiency can be determined by a comparison of the primary and total field. The calculation of the field is based on a preceding determination of eddy-currents. This determination is acomplished by solving the integral equation and the associated equations that describe how the shields are connected. The system of coupled integral equations is solved by the moment method. The numerical results for the field are comparable with measurements and analytical estimations from literature. The method provides a good insight into the effectiveness of shielding and is a suitable tool for designing the shields.
The method is based on the expression of the magnetic vector potential by the Green's function in 2D, on relation between the eddy-current density and electric field intensity in the conducting cylinders, and on preparation of the needed integral equations. Four cases are numerically investigated in the paper. The first one considers the comparison of the numerical results and analytical solution for a cylindrical shield surrounding a pair of wires (Figs. 2 and 3). The second one is designed for the comparison of the results of the numerical method with the analytical estimation for an exceedingly wide flat shield above the wire (Figs. 5 and 4). The third case deals with a flat shield above a pair of conductors and presents a comparison of the numerical results with the results of the measurement and with the analytical estimation by the hybrid method (Figs. 5 and 6). The last case deals with the effect of parts of a three-piece shield and intends to reveal the possibilities of an efficient shield designing (Figs. 7, 8, and 9).
Key words: magnetic shielding, eddy-currents, integral equa-
Prejet 20. december, 2008 Odobren 29. december, 2008
tions, moment methods
1 Uvod
Potrebe po zaslanjanju magnetnega polja narekujejo kriteriji elektromagnetne kompatibilnosti in standardi za neionizirajoča sevanja. Zmanjšanje motečega magnetnega polja v določenem območju se v praksi doseze s prestavljanjem virov ali z nameščanjem zaslonov [1, 2]. Kadar na vire polja ni mogoče vplivati, ostajajo zasloni edini izhod. Njihovo učinkovitost pogojujejo spečifična prevodnost, polozaj, oblika, debelina in elek-tričšne povezave. Za dobro dizajniranje zaslonov je očšitno potrebna ustrezna metoda, ki omogočša izračšun polja in očeno zastiranja.
Opravimo kratek pregled metod, ki se uporabljajo za analizo zastiranja magnetnega polja s pomočjo prevodnih nemagnetnih zaslonov. Klasičšne so različšne analitične očene; kot taksne so računsko hitre in preproste, imajo pa zšal, zaradi privzetkov in poenostavitev, omejeno področje uporabnosti [3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]. Pomanjkljivostim so kos primerne numerične metode. V elek-tromagnetiki zelo uveljavljena metoda končnih elementov [10] se zaradi odprtih mej in tankih zaslonov ne izkaze kot najbolj primerna, saj zahteva veliko elementov, to pa velik spomin in dolgo računanje; v literaturi jo zasledimo praviloma v vlogi verifikačije kakšnega drugega
pristopa [8, 9, 11]. Nekaj podobnega velja tudi za metodo končnih razlik [12].
Navedene teZave v znatni meri zaobide integralska metoda [13], ki temelji na določitvi induciranih vrtinčnih tokov v zaslonih; ti so namreč neposredno odgovorni za perturbacijo primarnega magnetnega polja [2, 11]. Ker se pri tej metodi vrši le diskretizacija zaslonov, je potrebno stevilo neznank bistveno manjše. Omenjeno metodo smo uporabili tudi v tem članku, s tem da smo jo zastavili nekoliko širše: da omogoča analizo različnih električnih povezovanj med zasloni in povezav zaslonov z zemljo ter analizo povratnih učšinkov zaslonov na primarne vire p°!ia.
2 Opredelitev problema
Problematika je prikazana na primeru, ki je v praksi elektromagnetne kompatibilnosti zelo pogost: da imamo opraviti s snopom vzporednih vodnikov s harmoničšnimi toki industrijske frekvenče 50 Hz kot viri primarnega magnetnega polja, zaradi katerega se izkazuje potreba po njegovem zastiranju. Učinek senčenja polja dosezemo z namestitvijo ustrezno oblikovanih prevodnih zaslonov (slika 1), ki so ponavadi daljši in kot takšni opravičujejo analizo v 2D geometriji.
Vodnike in zaslone (valje, čilindre) bomo obravnavali
z isto metodologijo. Preseki valjev naj so Si, S2.....Sn,
unija njih pa S; spečifične električne prevodnosti naj so
Yi, 72.....Yn, indučirani ali vsiljeni toki v čilindrih pa
I1,12.....In. Dolzina strukture bodi l.
Analizo bomo opravili v frekvenčnem prostoru; poljske količšine bomo razumeli kot kompleksne, nizkofrekvenčno elektromagnetno polje pa kot kvazi-statično [14, razdelek 3.3].
•Si
®/i n
s2 ®/2
72
®In
7n
Vk
sb (T) =
|Bo (T )| |B(T)| ■
(1)
3 Teorija
Izbrana numerična metoda je primerna za analizo nemag-netnih prevodnih čilindrov in temelji na resšitvi integralske enačbe za gostoto vrtinčnih tokov J = ez Jz v njih; izpeljavo te in dodatnih enačb predstavljamo v nadaljevanju.
Vzdolzšno komponento vektorskega magnetnega po-tenčiala tokov v čilindrih izrazimo z integralom produkta tokovne gostote in logaritemske funkčije, ki je v vlogi Greenove funkčije v 2D [14, razdelek 8.1]:
Az(T ) = - Jz (T') TT ds',	(2)
T in T' sta splošna in integračijska točka, TT' pa je razdalja med njima. Gostota toka je v linearni prevodni snovi sorazmerna električni poljski jakosti E, ki jo določata vektorski magnetni in skalarni električšni potenčial:
Jz (T) = y(T )Ez (T) = -jW7 (T )Az (T) - 7(T) ^V^ •
(3)
Y je spečifična električna prevodnost, j je imaginarna enota in w je krozna frekvenča. Odvod dV(T)/dz je v kvazistatičnih razmerah enak kvočientu — U (T)/l, v katerem je U (T) padeč električnega potenčiala na dolzini l med začšetkom in končem čilindra in ima v posameznih čilindrih na splošno različne vrednosti. Za gostoto toka dobimo enačbo:
Jz (T) = -jw7(T)AZ (T)+ y(t)
U (T) l '
(4)
Po vstavitvi potenciala (2) v enačbo (4) sledi integralska enačba za gostoto toka v čilindrih,
J z (T) j^o
Y (T)
J J z (T') ln TT' ds' -	= 0. (5)

2p
Slika 1. Presek splošne strukture zaslonov in vodnikov
Figure 1. Cross-section of a general structure of shields and
wires
V literaturi zasledimo različne definicije cenilk, ki se uporabljajo za vrednotenje ucinkov zastiranja; tu smo izbrali tako imenovan faktor zastiranja sB, ki je v splošni tocki T definiran z razmerjem absolutnih vrednosti vektorjev gostot magnetnega pretoka primarnega (B0) in celotnega polja (B):
Poleg gostote toka so neznanke tudi padči potenčialov U1,U2,... ,Un v čilindrih. Za končno rešitev potrebujemo torej se n enačb. Te pridobimo glede na električne povezave med čilindri in povezave teh do zemlje [15, razdelek 3.20].
(Če je j-ti čilinder zaslon, kije obojestransko odprt ali le enostransko ozemljen, je tok I j vzdolz njega enak nič:
J Jz (T')ds' = 0.
(6)
(Če je zaslon dvostransko ozemljen, je toku odprta pot skozi zemljo. (Če je skupna impedanča ozemljitev Zgj, je potenčialna razlika Uj v tem čilindru naslednja:
Zgj J Jz (T')ds' = U.
(7)
Pri idealni dvostranski ozemljitvi je potencialna razlika med začetkom in koncem cilindra enaka nic in jo kot takšno v enačbi (5) tudi razumemo.
V vodnikih, ki so viri primarnega polja, so toki praviloma znani: za npr. k-ti vodnik z znanim tokom Ik velja
J Jz (T')ds' = Ik.
J Jz(T')ds' = 0.
(9)
s j usi
Az(p, <p) = cos ((2n - 1)<p) ( Chnp
n= 1 1
2n-1
+
mqiq
p (2n - 1)22n-1 V p J
2n-1
' ), p<pi (10a)
O
Az(p,<p) = ^>os((2n - 1V) (c2,nH2n-i(kp)
n= 1
+ C3,nH2n-i(kp^ , pi < p < p2 (10b)
Az(p,<p) = ^cos((2n - 1)<p) C4,np (2'
— (2n-1)
n= 1
kjer
H
(1) 2n-1
H
(2)
2n-1
Hankelove funkcije prve
oziroma druge vrste reda (2n — 1), k = a/ — jwp0Y pa je difuzijska konstanta zaslona. Konstante C1n, C2,n, n in C4 n, n = 1, 2,... se določi iz zveznosti tangencialnih komponent magnetne in elektricne poljske jakosti na površinah zaslona. Zaradi hitre konvergence vrst v aktualni blizšini zaslona smo pri izracšunu uposštevali le prvih deset clenov.
Zasloni so lahko med seboj tudi elektricšno povezani. Ce sta npr. j-ti in i-ti zaslon elektricno povezana na zacetkih in koncih, imata na dolzini l enaki potencialni razliki (Uj = Uj), za gostoti tokov v njiju pa velja enacba
Sklenimo. Za rešitev integralske enacbe (5) potrebujemo dodatne enacbe: te so tipa (6), (7), (8) in/ali (9) in izhajajo iz nacšinov povezav in prikljucšitev cilindrov. Skupaj z njimi pridobimo sistem sklopljenih integralskih enacb za gostote vrtincnih tokov in padce potencialov v cilindrih.
Sistem integralskih enacšb smo resševali z momentno metodo: gostoto tokov v cilindrih smo iskali v prostoru impulznih funkcij, pri tem pa smo te iste izbrali tudi kot testne. Daje numericna napaka še sprejemljiva, je treba mrezšo impulznih funkcij izbrati dovolj gosto, da korak mrezše ne presezše polovice vdorne globine.
4 Numericni rezultati 4.1 Oklopljen dvovod
Primer dvovoda tankih zšic znotraj cevnega zaslona, ki ima v preseku obliko kroznega kolobarja (slika 2), je anal-iticno rešljiv [2]. Nastavki v obliki neskoncnih vrst sledijo iz Poissonove enacbe za vektorski magnetni potencial v valjnem koordinatnem sistemu po metodi locšitve spremenljivk:
Slika 2. Dvovod v cevnem zaslonu, ki ima presek v obliki krožnega kolobarja
Figure 2. Bifilar pair of conductors inside a cylindrical shield
Na sliki 3 je podana primerjava radialnih odvisnosti absolutne vrednosti magnetne poljske jakosti po analiticni in izbrani numericni poti pri kotu f = p/4. Pri tem sta toka v vodnikih dvovoda vzeta kot linijska. Številski podatki so I0 = 100 A, f = 50 Hz, 2d = 30 mm, pi = 50 mm, p2 = 55 mm in 7 = 30,5 MS/m (aluminij). Omembe vredno odstopanje (do 3,60%) je opaziti le znotraj zaslona (p1 < p < p2), ki pa za samo zastiranje niti ni pomembno.
4.2 Zelo sirok raven zaslon
Obravnavali smo primer dvostransko idealno ozeml-jenega in zelo sirokega zaslona širine w in debeline t, ki je namešcen na višini nad zico (podobno kot je to na sliki 5, le da je namesto zic ena sama, ki lezi v osi z). Ce je zaslon res zelo širok, moremo za primerjavo uporabiti analiticno rešitev za primer "neskoncno" razseznega, ki se izraza s Fourierjevim integralom, kot na primer v [16, 7]. Za z-komponento Az magnetnega potenciala nad zaslonom dobimo
p > p2, (10c)
Az (x,y>yc +1) = J f (£)<
e-cos(£x)d£. (11)
OO
OO
300 250
"g 200
¡aH 150 100
50
							
					an< • nu	ilitika merika	
							
							
							
							
45
50
55
60
P/m
	70
	60
	50
P	40
CD	
O	
1—1	
	30
cq	
	20
	10
	0
					1			
					analitika • numerika -			
								
								
								
								
								
								. *
							.. • •	
Slika 3. Prikaz radialnih odvisnosti absolutnih vrednosti magnetnih poljskih jakosti za primer dvovoda v cevnem zaslonu, izračunanih po analitični in numericni metodi Figure 3. Radial dependence of the absolute values of the magnetic field intensity calculated analytically and numerically for a cylindrical shield surrounding a pair of conductors
Funkcija f (£) sledi iz mejnih pogojev za tangencialni komponenti poljskih jakosti na spodnji in zgornji površini zaslona in se izraZa v naslednji obliki:
f (0 = ^Ve-k2 e« p
• ^v^2 - k2 cosh^v^2 - k2) +
x -1
(2£2 - k2) Sinh(tv/Š2—k2)J . (12)
Za potrebe numericne določitve gostote magnetnega polja smo Fourierjev določen integral (11) računali pri zgornji meji 104.
Na sliki 4 so podane absolutne vrednosti gostote magnetnega pretoka nad zaslonom na višini yR = 15 cm nad zico, ki so pridobljene z numerično metodo in z analitično aproksimacijo. Številski podatki za ta primer so bili: I0 = 100 A, f = 50Hz, t = 1,2mm, yC = 5cm, w = 4m in y = 30,5 MS/m. V območju najmočnejšega polja je ujemanje solidno, vstran pa prihaja do odstopanja analitične aproksimacije, saj ta ne upošteva dane širine zaslona.
4.3 Raven zaslon
V delu [9] je predstavljena hibridna metoda za izračun učinka zastiranja ravnega kovinskega zaslona (slika 5). Ta analitična aproksimacija za magnetno polje izza zaslona zdruzuje izraz za prodiranje polja skozi "neskončno" sirok zaslon in izraz za prepuščanje okrog končno sširokega.
-2-1012
x / m
Slika 4. Primerjava absolutnih vrednosti gostot magnetnega pretoka nad širokim ravnim zaslonom, ki je nad vodnikom, izracunanih po numericni metodi in po analiticni aproksimaciji Figure 4. Comparison of the absolute values of the magnetic flux density calculated numerically and with the analytical approximation above an exceedingly wide flat shield placed above the wire
ay
H-
w/2
yc
Jo
d
w/2
-H
Jo
VR
d
Slika 5. Raven zaslon nad dvovodom Figure 5. Flat shield above a pair of conductors
Frix in Karady sta opravila meritve magnetnega polja nad takšnima, na konceh odprtima zaslonoma [2]. Prvi je imel debelino t = 3,175 mm, prevodnost 7 = (103/36,99) MS/m, gostoto magnetnega pretoka pa sta merila na višini yR = 14,13 cm. Drugi zaslon je imel debelino t = 6,35 mm, prevodnost 7 = (103/45) MS/m, gostoto pa sta merila na višini yR = 14,45 cm. Drugi številski podatki so bili: I0 = 100 A, f = 60Hz, yC = 6,35 cm, 2d = 7,62 cm in w = 30,48 cm.
Na sliki 6 smo primerjalno prikazali rezultate meritev in rezultate hibridne ter numericne metode. Povprečje absolutnih vrednosti relativnega odstopanja od meritev je bilo pri numericni metodi (|er|sr. = 5,1 %) trikrat manjse kot pri hibridni (|er|sr. = 16,2%).
	45
	40
	35
P	30
CD	
O	25
	20
	15
	10
	5
					........								
						x m			Leritev umerika ibridna metoda				
		C				□ h							
													
C1	1		\										
		] [	\										
				] \		X							
							X □ V	x					
									X	X	X		
												X	□
10 15 20 25
x / cm
(a) Tanjši zaslon (t = 3,175 mm)
30
35
30 25
EH 201
CD
O
D^ 15 10
					........									
						x m			Leritev umerika ibridna metoda					
	\					n □ h								
	\	\												
1	1	\	s											
		1	\											
			[	\										
					: \									
														
											X			
														
10
15 20
x / cm
25
30
35
(b) Debelejši zaslon (t = 6,35 mm)
Slika 6. Primerjava absolutnih vrednosti gostot magnetnega pretoka nad ravnim aluminijastim zaslonom nad dvovodom, pridobljenih z meritvijo in s hibridno ter numericno metodo
Figure 6. Comparison of the absolute values of the magnetic flux density calculated numerically, with the hybrid method, and measured above the flat aluminum shield placed above the pair of conductors
4.4 Sestavljeni zasloni
Ustrezen prikaz rezultatov numericnega izračuna magnetnega polja daje vpogled v učinke zastiranja in pomaga pri dizajniranju zaslonskih struktur. Za demonstracijo moznosti smo izbrali dve konfiguraciji (slika 7): prva je enodelni zaslon (brez stranskih dveh), druga pa je tridelni zaslon, kot je prikazan na sliki. Pri obeh konfiguracijah so zasloni dvostransko idealno ozemljeni. Primarni vir polja je tok I0 = 100 A frekvence f = 50 Hz v bakrenem vodniku polmera p0 = 2 cm in specificne prevodnosti 70 = 56,5 MS/m. Sirini rez in debelina zaslonov iz aluminija specificne prevodnosti 7 = 30,5 MS/m so t = 1 cm, širina zgornjega je w = 30 cm, višina stranskih je h =18 cm in dvig yC = 7cm.
Na sliki 8 so prikazane gostotnice magnetnega polja z enakimi vmesnimi pretoki v trenutku 0 s (cšrtkaste so gos-totnice primarnega polja). Pri enodelnem zaslonu se v njem inducira tok I = -(82,20++ j5,35) A (slika 8(a)), v primeru tridelnega pa tok I = — (96,49 + j3,51) A (slika 8(b)). V prvem, še posebno pa v drugem primeru je induciran tok tako rekoc nasproten primarnemu toku, kar se dodatno potrjuje, zakaj se polje za zaslonom tako izdatno zmanjsa.
Slika 9 prikazuje porazdelitev faktorja zaslanjanja. Ko dodamo še stranska zaslona, se zaslanjanje izdatno izboljša povsod in ne le za slednjima.
M
w /2
.t
yc
ro
tu/2
-H
Jo
t Po
Slika 7. Sestavljen zaslon ob/nad tokovodnikom kroznega preseka
Figure 7. Compound shield around/above a circular cross-section conductor
5 Sklep
Iz primerjave rezultatov predstavljene numericne metode z drugimi sklepamo, da so njeni rezultati verodostojni in da je prikaz polja v okolici zaslona primerna podlaga za ucinkovito dizajniranje tudi v specificnih razmerah. Metoda ne postavlja omejitev glede oblike in števila zaslonov ter morebitnih povezovanj med njimi in zemljo. Metoda (v mejah kvazistaticšnosti) tudi nima frekvencšne omejitve; omejitev so le vdorna globina in gostota mreze impulznih funkcij ter zmogljivost racšunalnika. Posebno pozornost bi potrebovala še moznost analiziranja povratnega ucinka na vodnik, kakršen je bil vkljucen v zadnji primer, in elektricšnih povezav, cšesar v literaturi ni za-
5
5
5
0
0
30 n-
15
-15
-30 -30
-15
0
x / cm (a) Enodelni zaslon
15
30
30
15
-15
-30 -30
		
	(i?)	
-		
-15
0
x / cm (b) Tridelni zaslon
15
30
Slika 8. Gostotnice magnetnega polja za primer enodelnega in tridelnega zaslona ob/nad tokovodnikom kroZnega preseka. Crtkaste linije prikazujejo gostotnice primarnega polja.
Figure 8. Magnetic flux lines in the case of onepiece or three-piece shield around/above the circular cross-section conductor. Dashed lines represent magnetic flux lines of the primary field.
80
40
-40
-80
-40
1	°o		CP	1
		,13.		/
		s. LJy		
				
		•		
				
0
x / cm (a) Enodelni zaslon
40
80
80
-40
x / cm (b) Tridelni zaslon
80
Slika 9. Faktor zastiranja okoli enodelnega in tridelnega zaslona ob/nad tokovodnikom kroznega preseka
Figure 9. Shielding factor around the one-piece or three-piece shield placed around/above the circular cross-section conductor
slediti. Predstavljena metoda se glede na omenjena de- 6 Literatura jstva kaže kot ena bolj splošnih in primernih za analizo senčenja s prevodnimi nemagnetnimi zasloni.
[1] J. F. Hoburg. "A Computational Methodology and Results for Quasistatic Multilayered Magnetic Shielding." IEEE Trans. Electromagn. Compat., vol. 38, no. 1, pp. 92-103, Feb. 1996.
0
0
0
[2]	W. M. Frix and G. G. Karady. "A Circuital Approach to Estimate the Magnetic Field Reduction of Nonfer-rous Metal Shields." IEEE Trans. Electromagn. Compat, vol. 39, no. 1, pp. 24-32, Feb. 1997.
[3]	R. B. Schulz, V. C. Plantz, and D. R. Brush. "Shielding Theory and Practice." IEEE Trans. Electromagn. Compat, vol. 30, no. 3, pp. 187-201, Aug. 1988. Originally published in Proc. 9th Tri-Service Conf. on Electromagnetic Compatibility, Oct. 1963.
[4]	J. R. Harrington and R. B. Schulz. "Design of Minimum Weight and Maximum Effectiveness of Very-Low-Frequency Shielding." IEEE Trans. Electromagn. Compat, vol. 10, no. 1, pp. 152-157, Mar. 1968.
[5]	P. R. Bannister. "Further Notes for Predicting Shielding Effectiveness for the Plane Shield Case." IEEE Trans. Electromagn. Compat., vol. 11, no. 2, pp. 50-53, May 1969.
[6]	J. F. Hoburg. "Principles of Quasistatic Magnetic Shielding with Cylindrical and Spherical Shields." IEEE Trans. Electromagn. Compat, vol. 37, no. 4, pp. 574-579, Nov. 1995.
[7]	R. G. Olsen, M. Istenic, and P. Zunko. "On Simple Methods for Calculating ELF Shielding of Infinite Planar Shields." IEEE Trans. Electromagn. Compat., vol. 45, no. 3, pp. 538-547, Aug. 2003.
[8]	L. Sandrolini, A. Massarini, and U. Reggiani. "Transform Method for Calculating Low-Frequency Shielding Effectiveness of Planar Linear Multilayered Shields." IEEE Trans. Magn., vol. 36, no. 6, pp. 3910-3919, Nov. 2000.
[9]	M. Istenic. Zaščita pred magnetnim poljem ekstremno nizkih frekvenc z magnetnimi zasloni končnih dimenzij. Doktorska disertacija, Fakulteta za elektrotehniko Univerze v Ljubljani, 2003.
[10]	P. P. Silvester and R. L. Ferrari. Finite Elements for Electrical Engineers. Cambridge University Press, Cambridge, 1983. Reprinted 1986.
[11]	A. Canova, G. Gruosso, and M. Repetto. "Integral Methods for Analysis and Design of Low-Frequency Conductive Shields." IEEE Trans. Magn., vol. 39, no. 4, pp. 2009-2017, July 2003.
[12]	C.-P. Chang and C.-F. Yang. "A Moment Method Solution for the Shielding Properties of Three-Dimensional Objects Above a Lossy Half Space." IEEE Trans. Electromagn. Compat., vol. 47, no. 4, pp. 723-730, Nov. 2005.
[13]	P. Silvester. "AC Resistance and Reactance of Isolated Rectangular Conductors." IEEE Trans. Power App. Syst., vol. 86, no. 6, pp. 770-774, June 1967.
[14]	H. A. Haus and J. R. Melcher. Electromagnetic Fields and Energy. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1989.
[15]	K. L. Kaiser. Electromagnetic Shielding. CRC Press, Boca Raton, 2006.
[16]	J. R. Carson. "Wave Propagation in Overhead Wires with Ground Return." Bell System Technical Journal, vol. 5, pp. 539-554, Oct. 1926.
Edi Bulic je diplomiral leta 1997 in magistriral leta 2000, oboje na Fakulteti za elektrotehniko v Ljubljani. Od leta 1997 je zaposlen kot asistent na Fakulteti za elektrotehniko v Ljubljani. Raziskovalno se ukvarja z numeričnimi metodami za izračun elektromagnetnega polja.