Gradbeni vestnik • letnik 68 • november 2019 279 OPTIMIZACIJA TRAJNOSTNEGA DOBIČKA, USTVARJENEGA PRI PROIZVODNJI NOSILCEV•doc. dr. Tomaž Žula, prof. dr. Stojan Kravanja, izr. prof. dr. Stane Božičnik OPTIMIZACIJA TRAJNOSTNEGA DOBIČKA, USTVARJENEGA PRI PROIZVODNJI NOSILCEV OPTIMIZATION OF THE SUSTAINABILITY PROFIT GENERATED BY THE PRODUCTION OF BEAMS doc. dr. Tomaž Žula, univ. dipl. inž. grad. tomaz.zula@um.si prof. dr. Stojan Kravanja, univ. dipl. inž. grad. stojan.kravanja@um.si izr. prof. dr. Stane Božičnik, univ. dipl. ekon. stane.bozicnik@um.si Univerza v Mariboru, Fakulteta za gradbeništvo, prometno inženirstvo in arhitekturo Povzetek l V prispevku predstavljamo optimizacijo trajnostnega dobička, pridoblje- nega pri proizvodnji prefabriciranih gradbenih elementov. V tej študiji je prikazan izračun optimizacije določenega števila enakih prostoležečih nosilcev. Nosilci so lahko izdelani iz treh različnih alternativnih materialov: iz konstrukcijskega jekla, armiranega betona in lep- ljenega lesa. Razvili smo optimizacijske modele za vsak material posebej. Poleg tega smo modelom za vsako materialno alternativo določili dve namenski funkciji: ekonomski dobiček in trajnostni dobiček. Slednji vključuje ekološke stroške globalnega segrevanja. Predlagani namenski funkciji sta podvrženi pogojem iz statike konstrukcij in dimenzioniranja v skladu s standardi Evrokod 2, 3 in 5. Optimizacijo prostoležečih nosilcev smo izvedli z mešanim celoštevilskim nelinearnim programiranjem (MINLP). Naloga optimizacije je izračunati naj- višji možni ekonomski in trajnostni dobiček, najugodnejši material in prerez nosilcev. Na koncu članka prikazujemo računski primer optimizacije prostoležečih nosilcev, kjer rezultati jasno kažejo, da izkazujejo armiranobetonski nosilci največji ekonomski dobiček, leseni nosilci dajejo največji trajnostni dobiček, izvedba nosilcev v jeklu pa bi generirala izgubo. Ključne besede: optimizacija, mešano celoštevilsko nelinearno programiranje, MINLP, eko- nomski dobiček, trajnostni dobiček, prefabricirani elementi Summary l The paper presents the optimization of the sustainability profit generated by the manufacturing of prefabricated elements in the area of civil engineering. In the study, the optimization of equal simply supported beams is considered. A number of beams are defined to be designed from three different material alternatives: from structural steel, from reinforced concrete and from laminated timber. For this reason, three optimization models of beams are developed for the three materials. In addition, two different objectives are de- fined for each different material alternative: for the economic profit and for the sustainability profit (which includes environmental costs of the global warming). The proposed objective functions are subjected to the design, resistance and deflection constraints of the beams, determined in accordance with the Eurocode 2, 3 and 5 specifications. The optimizations of beams are performed by the mixed-integer non-linear programming (MINLP) approach. The task of the optimization is to find the highest possible economical and sustainable profits, the most advantageous material and the most optimal cross-section alternative for the beams. The numerical example, presented at the end of the paper, clearly shows that the reinforced concrete beams exhibit the highest economic profit, the timber beams give the highest sus- tainability profit, whereas the steel beams generate loss. Key words: optimization, mixed-integer non-linear programming, MINLP, economical profit, sustainable profit, prefabricated elements Znanstveni članek UDK 624.012.3:69.057 Gradbeni vestnik • letnik 68 • november 2019 280 1•UVOD 2•OPTIMIZACIJSKI MODELI SSBOPT Različne optimizacijske metode postajajo vse bolj prepoznavne kot ključna orodja za trajno- stno optimizacijo na vseh področjih tehnike, tudi v gradbeništvu. Na primer Zaforteza idr. [Zaforteza, 2009] so uporabili algoritem simuli- rano hlajenje (simulated annealing algorithm, SA) za optimizacijo armiranobetonskega objek- ta, pri čemer je bil namen minimiranje nastalih emisij CO 2 . Camp in Huq [Huq, 2013] sta za optimalno zasnovo armiranobetonskih okvirjev uporabila hibridni algoritem velikega trka in velikega krča (hybrid big bang-big crunch algo- rithm, BB-BC). Namen je bil zmanjšati skupne stroške ali emisije CO 2 . Alonso in Berdasco [Alonso, 2015] sta predstavila ogljični odtis ža- ganih lesenih izdelkov. Li in sodelavci [Li, 2017] so z uporabo metode izboljšane osnovne strukture (improved ground structure method, IGSM) dobili najboljši možni dizajn škatlastega jeklenega nosilca z najmanjšo oddano količi- no toplogrednih plinov. Gradbeništvo je eden glavnih sektorjev, ki proizvajajo toplogredne pline. V ta namen so Liu in sodelavci [Liu, 2013] naredili študijo, ki bi gradbincem poma- gala pri iskanju optimalne rešitve med stroški gradnje in pri tem nastalimi toplogrednimi Diskretno optimiranje MINLP lahko rešujemo na splošno z naslednjimi metodami MINLP in algoritmi: metoda posplošene Bendersove dekompozicije (Generalized Benders Decom- position method) [Geoffrion, 1972], meto- da razširjenega rezanja ravnine (Extended Cutting-Plane method) [Westerlund, 1998], algoritem vejanja in omejevanja (Branch and Bound algorithm) [Tawarmalani, 2004] in algoritem zunanje aproksimacije (Outer Ap- proximation algorithm) [Duran, 1986, 1987]. 2.1 Splošna modelna formulacija MINLP Splošno modelno formulacijo MINLP lahko zapišemo v naslednji obliki: pri čemer je funkcija f(x, y) namenska funk- cija z in g p (x,y) je množica pogojnih enačb in neenačb. Vse funkcije so nelinearne, zvezne in zvezno odvedljive. Vektor x je vektor zveznih spremenljivk, definiran na definicijskem ob- plini. Za optimizacijo so uporabili algoritem roja delcev (partical swarm algorithm, PSA). V pričujočem članku predstavljamo optimizaci- jo ekonomskega dobička in trajnostnega do- bička, ki ju dobimo s proizvodnjo prostoležečih nosilcev. Cilj optimiranja je izračunati največja možna omenjena dobička. Medtem ko je eko- nomski dobiček med gradbinci poznan izraz in ga je treba pri vsakem produktu izračunati, izračun trajnostnega dobička v splošnem ni v navadi ter ga računajo samo v ekološko naprednih proizvodnjah in okoljih. Trajnostni dobiček dobimo tako, da od ekonomskega dobička odštejemo stroške obremenjevanja okolja zaradi emisij CO 2 , to je ekološke stroške globalnega segrevanja, ki smo jih dobili pri proizvodnji produktov. Vsak produkt sestoji iz različnih materialov, ki izkazujejo svojstven ogljični odtis (faktor) v CO 2 eq./kg. Višji ko je faktor ogljičnega odtisa nekega materiala, bolj ta material obremenjuje okolje. Tako ima jeklo bistveno višji faktor ogljičnega odtisa kot les, saj pri proizvodnji jekla nastaja bistveno več CO 2 kot pri lesu. Zato je jeklo okoljsko bolj potraten material. V članku želimo na prime- ru proizvodnje enakih prostoležečih nosilcev pokazati, kako različni materiali, kot so jeklo, armirani beton in lepljen les, vplivajo na višino trajnostnega dobička. Optimiranje nosilcev smo izvedli z mešanim celoštevilskim nelinearnim programiranjem (MINLP). Ker je optimizacijski problem pro- stoležečega nosilca diskretno/zvezen, nekon- veksen in nelinearen, optimiranje poteka v treh korakih. V prvem koraku se izvede generacija mehanske superstrukture različnih alternativ materialov in zaokroženih dimenzij. Drugi korak obsega razvoj modelne formulacije MINLP . Zadnji korak pa predstavlja rešitev definiranega optimizacijskega problema MINLP . Namenska ekonomska funkcija in trajnostna funkcija sta podvrženi pogojnim (ne)enačbam, poznanim iz statične analize in dimenzioniranja nosil- cev. Obravnavani prostoležeči nosilci so lahko izdelani iz jeklenega varjenega I-prereza ali armiranobetonskega ali lepljenega lesenega pravokotnega prereza. Pogoji dimenzioniranja so definirani v skladu s standardi Evrokod 2 [Evrokod 2, 2005] za armiranobetonski nosi- lec, Evrokod 3 [Evrokod 3, 2005] za jekleni no- silec in Evrokod 5 [Evrokod 5, 2005] za lepljen nosilec. Zadovoljeni so vsi pogoji mejnih stanj nosilnosti in uporabnosti. Za reševanje opti- mizacijskega problema smo uporabili program GAMS/DICOPT [Grossmann, 2002]. močju X in y je vektor diskretnih binarnih spre- menljivk, ki lahko zavzamejo vrednost 0 ali 1. V pričujočem članku namenska funkcija pred- stavlja ekonomski dobiček ali trajnostni do- biček pri proizvodnji nosilcev. Z namenom, da bi dosegli največji možni dobiček, v optimizaci- ji iščemo maksimum namenske funkcije. 2.2 Optimizacijski modeli Na osnovi prikazane splošne modelne formu- lacije MINLP smo za prostoležeči nosilec razvi- li šest optimizacijskih modelov MINLP SSBOPT (Simply Supported Beam OPTimization), ki jih dobimo s kombinacijo med: • 3 različnimi materiali za prerez nosilca: – jekleni varjeni prerez oblike I, – armiranobetonski pravokotni prerez, – lepljeni leseni pravokotni prerez, • 2 različnima namenskima funkcijama: – ekonomska funkcija, – trajnostna funkcija. Optimizacijske modele prostoležečega nosilca smo zapisali v višjem algebrajskem model- nem jeziku GAMS (General Algebraic Modeling System) [Brooke, 1988]. Vsak model vsebu- je namensko funkcijo, pogojne (ne)enačbe, vhodne podatke (konstante) in spremenljivke, glej sliko 1. 2.3 Namenski funkciji ekonomskega in trajnostnega dobička Za dva različna namena optimizacije smo razvili dve namenski funkciji. Prvi namen Slika 1• Struktura modelov (programa) SSBOPT. doc. dr. Tomaž Žula, prof. dr. Stojan Kravanja, izr. prof. dr. Stane Božičnik•OPTIMIZACIJA TRAJNOSTNEGA DOBIČKA, USTVARJENEGA PRI PROIZVODNJI NOSILCEV Gradbeni vestnik • letnik 68 • november 2019 281 optimizacije vključuje maksimiranje ekonom- skega dobička (P E [€]). Ekonomski dobiček izračunamo tako, da od prodajne cene odšte- jemo stroške materiala za izdelavo, stroške dela ter režijske stroške (režija, amortizacija, vračilo kreditov itd.), glej enačbo (1). (1) Namenska funkcija je bila določena za tri različne materiale. N je število nosilcev, C S [€] je prodajna cena prostoležečega nosil- ca, C Mi [€/kg] je cena materiala za (i ∈I, armiranobetonski nosilec: beton, armatura in opažne plošče; jekleni nosilec: konstrukcijsko jeklo, elektrode za varjenje, plin in protikoro- zijska zaščita; ter leseni nosilec: lepljeni les, impregnacija in barva za zaščito lesa), ρ i [kg/m 3 ] je gostota pripadajočega materiala in V i [m 3 ] je prostornina. Medtem ko C Lj [€/h] predstavlja strošek delovne ure, je t j [h] čas, potreben za (j ∈J; armiranobetonski nosilec: vgrajevanje, strjevanje in vibriranje betona, rezanje, polaganje armature in opaževanje; jekleni nosilec: rezanje, varjenje in nanos protikorozijske zaščite; leseni nosilec: impreg- niranje in barvanje) ter faktor režijskih stroškov f O (f O =2). Podrobneje je ekonomska namens- ka funkcija opisana v člankih [Jelušič, 2017] in [Kravanja, 2017]. Drugi namen optimizacije je maksimiranje trajnostnega dobička (P SUS [€]), ki ga iz- računamo tako, da od ekonomskega dobička odštejemo okoljske stroške globalnega seg- revanja [EVR, 2018] in [Bogataj., 2019], glej enačbo (2). (2) Namenska funkcija je bila razvita za tri različne materiale. C GW (€/kg CO 2 eq.) je strošek globalnega segrevanja 0,1 16 €/kg CO 2 eq. [EVR, 2018], ρ k [kg/m 3 ] in V k [m 3 ] sta gostota in prostornina za pripadajoči material ter f CFEFk je faktor emisij ogljičnega odtisa za (k ∈ K; armiranobetonski nosilec, jekleni nosilec in leseni nosilec). Pripomniti velja, da omenjeni strošek globalnega segrevanja 0,1 16 €/kg CO 2 eq. predstavlja eno od možnih ocen tega stroška, ki se z leti spreminja. Faktor emisij og- ljičnega odtisa, ki smo ga uporabili v raziskavi, znaša za beton 0,1 1–0,16 kg CO 2 eq./kg (od- visno od tlačne trdnosti betona), za armaturne palice 2,43 kg CO 2 eq./kg, za konstrukcijsko jeklo 1,72 kg CO 2 eq./kg ter za les 0,69 kg CO 2 eq./kg. Omenjeni faktorji emisij ogljičnega odtisa so dobljeni iz reference [EVR, 2018]. 2.4 Pogojne (ne)enačbe Namenska ekonomska funkcija in namenska trajnostna funkcija sta podvrženi pogojnim (ne)enačbam, poznanim iz statične analize in dimenzioniranja nosilcev. Pogojne (ne)enačbe dimenzioniranja prostoležečega nosilca so definirane v skladu s standardi Evrokod 2 za armiranobetonski nosilec, Evrokod 3 za jekleni nosilec in Evrokod 5 za leseni nosilec. Zado- voljeni so vsi pogoji po mejnem stanju nosil- nosti (MSN) in po mejnem stanju uporabnosti (MSU). Slika 2 prikazuje prostoležeči nosilec, obtežen z zvezno obtežbo, slika 3 pa različne alternative prečnega prereza protoležečega nosilca za tri različne materiale. Enačba (3) prikazuje pogoj za nosilnost jeklenega nosilca na bočno zvrnitev, kjer je M Ed projektni upogibni moment, M b,Rd je projektna upogibna nosilnost pri bočni zvrnitvi. Projektni upogibni moment izračuna- mo z enačbo (4), z enačbo (5) pa projektno zvezno obtežbo q Ed . V enačbah predstavlja L razpon nosilca, γ g je delni faktor za stalno obtežbo, γ q je delni faktor za spremenljivo obtežbo, g je lastna teža nosilca in stalna obtežba ter q je spremenljiva koristna obtež- ba. Projektno upogibno nosilnost jeklenega nosilca pri bočni zvrnitvi prikazuje enačba (6), χ LT je redukcijski faktor pri bočni zvrnitvi, f y je napetost tečenja jekla, W el je elastični odpornostni moment prereza in γ M1 je delni faktor odpornosti (1,0). (3) kjer je: (4) (5) (6) Enačbi (7) in (9) opisujeta odpornost no- silca na strig, kjer je upoštevana nevarnost lokalnega izbočenja stojine zaradi striga. V Ed je projektna strižna sila, glej enačbo (8), V b,Rd je projektna strižna nosilnost z upoštevanjem lokalnega izbočenja stojine, χ w je redukcijski faktor pri izbočenju stojine, W el je elastični odpornostni moment prereza okoli močnejše osi, h je višina prereza, t f je debelina pasnice in t w je debelina stojine prereza, glej sliko 3. (7) kjer je: (8) Slika 2• Prostoležeči nosilec, obtežen z zvezno obtežbo. Slika 3• Prečni prerezi nosilca. OPTIMIZACIJA TRAJNOSTNEGA DOBIČKA, USTVARJENEGA PRI PROIZVODNJI NOSILCEV•doc. dr. Tomaž Žula, prof. dr. Stojan Kravanja, izr. prof. dr. Stane Božičnik Gradbeni vestnik • letnik 68 • november 2019 282 (9) V nadaljevanju enačbe (10)–(15) predstavl- jajo pogojne (ne)enačbe upogibne nosilnosti armiranobetonskega nosilca. M Ed in M c,Rd označujeta projektni upogibni moment in upo- gibno nosilnost prereza armiranobetonskega nosilca, f ck je karakteristična tlačna trdnost betona, b je širina prereza nosilca, glej sliko 3, h je višina prereza armiranobetonskega nosilca, c je debelina krovnega sloja betona, x c je oddaljenost nevtralne osi od zgornjega roba betonskega nosilca, f sk je karakteristič- na vrednost napetosti tečenja armaturnega jekla, A s je prerez armature, γ c je delni faktor varnosti odpornosti za beton in γ s je delni faktor varnosti odpornosti za armaturno jeklo. Z enačbo (12) smo določili najmanjši prerez armature za omejitev širine razpok, kjer je A s,min najmanjši potrebni prerez armature, A s,max je največji dovoljeni prerez armature, A ct je ploščina natezne cone betona, σ s je absolutna vrednost največje dovoljene napeto- sti armature takoj po nastanku razpoke, k c je koeficient, ki upošteva razporeditev napetosti prereza neposredno pred nastankom razpok in vpliv spremembe ročice notranjih sil, k 1 je koeficient, ki omogoča upoštevanje učinkov neenakomernih samouravnoteženih napetosti, ki zmanjšujejo sile zaradi preprečenih ali vsilje- nih deformacij, f ct,eff je povprečna vrednost natezne trdnosti sodelujočega betona v času, ko je pričakovan nastanek prvih razpok, in f ctm je srednja vrednost osne natezne trdnosti betona. (10) (1 1) (12) (13) (14) (15) Strižno nosilnost armiranobetonskega nosilca prikazujejo enačbe (16)–(19), kjer je V Ed pro- jektna strižna sila in V Rd,c je projektna strižna odpornost prereza. σ cp je tlačna napetost betona zaradi osne sile (σ cp = 0), ρ 1 je stopnja armiranja z vzdolžno armaturo, A sl je ploščina prereza natezne armature, ki jo je treba voditi za (l bd + d) preko obravnavanega prečnega prereza, l bd je projektna sidrna dolžina in d je statična višina prečnega prereza. (16) (17) kjer je: (18) (19) Pri lesenem nosilcu morajo biti največje nor- malne napetosti manjše od projektne upo- gibne trdnosti, glej enačbo (20). Pogoj za kontrolo lesenega nosilca na bočno zvrnitev opisujeta enačbi (21) in (22). W označuje od- pornostni moment prereza okoli močnejše osi, k mod je modifikacijski faktor za trajanje obtežbe in vlažnost, f m,k je karakteristična upogibna trdnost, γ M je delni faktor varnosti odpornosti za lastnost materiala, σ m,crit je kritična upogib- na napetost, l ef je efektivna dolžina nosilca, E 0,05 je 5. centil vrednosti modula elastičnosti, b je širina prereza lepljenega lesa in h je višina prereza lepljenega lesa, glej sliko 3. (20) (21) (22) Kontrolo lesenega prereza na strižno silo iz- vedemo z enačbo (23), kjer predstavlja faktor k cr = 0,67 vrednosti za lepljeni les, medtem ko je f v,d projektna strižna trdnost lepljenega lesa. (23) Neenačba (24) definira projektno tlačno nape- tost na kontaktni površini pravokotno na vlakna σ C,90,d , kjer je f C,90,d projektna tlačna trdnost pravokotno na vlakna in k C,90 je faktor, s katerim se v računu upoštevajo razporeditev obtežbe, možnost cepitve in stopnja tlačne deformacije. (24) Pogojne (ne)enačbe za mejno stanje upo- rabnosti so definirane z enačbami (25)– (31). Navpični upogibek jeklenega nosilca preverimo s pomočjo enačb (25)–(26), kjer je δ max upogibek prostoležečega nosilca zaradi zvezne celotne obtežbe g in q, E je elastični modul jekla in I je vztrajnostni moment varje- nega prereza okoli močnejše osi. (25) (26) Navpični upogibek armiranobetonskega nosil- ca določajo neenačba (25) in enačbe od (27) do (30), kjer je δ I upogibek armiranobeton- skega nosilca zaradi celotne obtežbe pri upoštevanju nerazpokanega prereza in δ II je upogibek armiranobetonskega nosilca zaradi celotne obtežbe pri upoštevanju razpokanega prereza. ζ je koeficient porazdelitve, σ sr je napetost v natezni armaturi razpokanega prereza pri obtežnih pogojih nastanka prvih razpok, σ s je napetost v natezni armaturi pri razpokanem prerezu, E c,eff je efektivni modul elastičnosti betona, E cm je sekantni modul elastičnosti betona, I u je vztrajnostni moment prereza nerazpokanega nosilca, I c je vztrajnostni moment prereza razpokanega armiranobetonskega nosilca. (27) (28) (29) (30) Kontrola navpičnega upogibka lesenega no- silca je izvedena z enačbama (25) in (31). E mean definira povprečno vrednost modula elastičnosti, I je vztrajnostni moment lesenega prereza, k def označuje deformacijski faktor, medtem ko ψ 2 predstavlja faktor za navidezno stalno vrednost spremenljivega vpliva. (31) 2.5 Logične pogojne (ne)enačbe Z logičnimi pogojnimi (ne)enačbami računa- mo: diskretne nominalne vrednosti materialov d mat (trdnosti jekla in betona), glej enačbi (32) in (33); standardne dimenzije d st (standardne debeline jeklenih pločevin za stojino in pasnici, prereze armaturnih palic), glej enačbi (34) in (35); zaokrožene dimenzije d rd (širina in viši- na varjenih jeklenih nosilcev, armiranobeton- skih nosilcev in lepljenih lesenih nosilcev), glej enačbi (36) in (37). (32) (33) (34) (35) (36) (37) doc. dr. Tomaž Žula, prof. dr. Stojan Kravanja, izr. prof. dr. Stane Božičnik•OPTIMIZACIJA TRAJNOSTNEGA DOBIČKA, USTVARJENEGA PRI PROIZVODNJI NOSILCEV Gradbeni vestnik • letnik 68 • november 2019 283 [Brooke, 1988]. Ker je optimizacijski problem nosilcev diskreten in nelinearen, smo opti- mizacijo izvedli s programom GAMS/DICOPT [Grossmann, 2002]. Na ta način smo izvedli sočasno optimiranje MINLP ekonomskega ali trajnostnega dobička, diskretnih materialov, standardnih dimenzij in zaokroženih dimenzij nosilcev. Za varjene jeklene nosilce superstrukturo tvori- jo možne kombinacije: 8 standardnih debelin pločevin, posebej za stojino in pasnici (6 mm, 8 mm, 10 mm, 12 mm, 15 mm, 20 mm, 25 mm in 30 mm), 1051 zaokroženih dimenzij za širino nosilca, 1301 zaokrožena dimenzija za višino nosilca (širino in višino nosilca smo zaokroževali na 1 mm) in 3 trdnosti konstruk- cijskega jekla (S235, S275 in S355). V primeru, ko so prostoležeči nosilci armiranobetonski, superstrukturo predstavlja množica konstrukcijskih alternativ, dobljenih s kombinacijo: 101 možnost zaokroženih dimen- zij za širino nosilca, 131 zaokroženih dimenzij za višino nosilca (širino in višino nosilca smo zaokroževali na 1 cm), 13 različnih standard- nih prerezov armaturnih palic (za debelino armaturne palice Փ28 mm do 13 ∙ Φ28 mm) in 7 trdnostnih razredov betona (od C20/25 do C50/60). Superstruktura nosilcev iz lepljenega lesa je sestavljena iz kombinacije alternativ: 101 možnost zaokroženih dimenzij za širino nosil- ca in 131 zaokroženih dimenzij za višino no- silca (širino in višino nosilca smo zaokroževali na 1 cm) in en trdnostni razred lesa GL24. Skupno je definiranih 1 204 021 različnih konstrukcijskih alternativ za armiranibetonski nosilec, 262 531 392 za jekleni nosilec in 13 231 različnih konstrukcijskih alternativ za lepljeni nosilec. Ena od teh alternativ je optimalna pri izračunu največjega možnega ekonomskega dobička in ena pri določitvi največjega trajnostnega dobička. Dobljeni rezultati optimizacije MINLP sto enakih prostoležečih nosilcev kažejo, da no- 3•PRIMER OPTIMIZACIJE PROTOLEŽEČIH NOSILCEV V članku predstavljamo računski primer op- timizacije ekonomskega dobička in trajno- stnega dobička pri proizvodnji in prodaji sto enakih prostoležečih nosilcev (N = 100) razpona 8,0 m, obremenjenih z lastno ob- težbo, enakomerno zvezno stalno obtežbo g = 15 kN/m in zvezno spremenljivo obtežbo q = 12 kN/m. Nosilci se lahko izdelajo v treh al- ternativah različnih materialov: iz jekla (varjeni I-prerez), iz armiranega betona ali iz lepljene- ga lesa. Nosilci se prodajajo po prodajni ceni 1600,00 €/kos. Ugotoviti moramo, katera izvedba nosilcev izkazuje največji ekonomski in trajnostni dobiček pri prodaji. Za optimizacijo nosilcev smo uporabili razvite optimizacijske modele MINLP SSBOPT. Modeli vsebujejo ekonomsko in trajnostno namensko funkcijo, ki zajemata razliko med prodajno ceno nosilcev in stroški materiala, energije, dela ter okoljskimi stroški globalnega segre- vanja. Podrobneje je ekonomska namenska funkcija opisana v člankih [Jelušič, 2017] in [Kravanja, 2017], medtem ko je trajnostna na- menska funkcija prikazana v enačbi (2), glej tudi [Bogataj, 2019]. Stroški materiala in dela za izdelavo nosilcev so prikazani v preglednici 1. Za matematično modeliranje smo uporabili GAMS (General Algebraic Modelling System), Preglednica 1• Stroški materiala in dela za izdelavo. Dobiček Jeklo S 275 Armirani be- ton C 50/60 Les GL24h 1. Ekonomski dobiček (€) -16 678 26 577 22 195 b (mm) 319 350 320 h (mm) 491 600 640 2. Trajnostni dobiček (€) -28 733 10 658 16 181 b (mm) 319 350 320 h (mm) 491 600 640 Slika 4• Optimalni prečni prerezi prostoležečega nosilca (enote v mm). Preglednica 2• Optimalni rezultati prostoležečega nosilca. OPTIMIZACIJA TRAJNOSTNEGA DOBIČKA, USTVARJENEGA PRI PROIZVODNJI NOSILCEV•doc. dr. Tomaž Žula, prof. dr. Stojan Kravanja, izr. prof. dr. Stane Božičnik Gradbeni vestnik • letnik 68 • november 2019 284 4•ZAKLJUČEK 5•LITERATURA V članku je predstavljena optimizacija eko- nomskega in trajnostnega dobička pri proiz- vodnji prostoležečih nosilcev, pri čemer hkrati izračunamo optimalni izbor materiala in dimen- zije prereza. Trajnostni dobiček dobimo tako, da od ekonomskega dobička odštejemo stroške obremenjevanja okolja zaradi emisij CO 2 , to Alonso, C. M., Berdasco, L., Carbon footprint of sawn timber products of Castanea sativa Mill. in the north of Spain, Journal of Cleaner Production, 102, 127–135, 2015. Bogataj, M., Čuček, L., Žula, T., Kravanja, S., Kravanja, Z., Sustainable synthesis and optimization of engineering systems, High performance and optimum design of structures and materials III, Third International Conference on High performance and optimum design of structures and materials, HPSM/OPTI 2018, (WIT transactions on the built environment vol. 175), Southampton; Boston: WIT Press. cop., 185–194, 2019. Brooke, A., Kendrick, D., Meeraus, A., GAMS - A User's Guide, Scientific Press, Redwood City, CA, 1988. Camp, C. V., Huq, F., CO2 and cost optimization of reinforced concrete frames using a big bang-big crunch algorithm, Engineering Structures, 48, 363–372, 2013. Duran, M. A., Grossmann, I. E., An outer approximation method for a class of mixed-integer nonlinear programs, Math. Program., 36, 307–339, 1986. Eurocode 2, Design of concrete structures. European Committee for Standardization, Brussels, 2005. Eurocode 3, Design of steel structures. European Committee for Standardization, Brussels, 2005. Eurocode 5, Design of timber structures. European Committee for Standardization, Brussels, 2005. EVR, The Model of the Eco-costs / Value Ratio, Delft University of Technology, www.ecocostsvalue.com/. Accessed on: 23 Mar 2018. Geoffrion, A. M., Generalized benders decomposition, J. Optim. Theory, 10, 237–262, 1972. Grossmann, I. E., Viswanathan, J., DICOPT - Discrete and Continuous Optimizer. Engineering Design Research Center (EDRC) at Carnegie Mellon University, Pittsburgh, PA, 2002. Jelušič, P ., Kravanja, S., Optimal design of timber-concrete composite floors based on the multi-parametric MINLP optimization. Composite structures, 179, 285–293, 2017. Kocis, G. R., Grossmann, I. E., Relaxation strategy for the structural optimization of process flow-sheets, Ind. Eng. Chem. Res., 26, 1869, 1987. Kravanja, S., Žula, T., Klanšek, U., Multi-parametric MINLP optimization study of a composite I beam floor system, Engineering structures, 130, 316–335, 2017. Kravanja, Z., Challenges in sustainable integrated process synthesis and the capabilities of an MINLP process synthesizer MipSyn, Comput. chem. eng., 34, 1831–1848, 2010. Li, B.. Hong, J., Liu, Z., A novel topology optimization method of welded box-beam structures motivated by low-carbon manufacturing concerns, Journal of Cleaner Production, 142, 2792–2803, 2017. Liu, S., Tao, R., Tam, C. M.,. Optimizing cost and CO2 emission for construction projects using particle swarm optimization, Habitat International, (37), 155–162, 2013. Tawarmalani, M., Sahinidis, N. V., Global optimization of mixed-integer non-linear programs: A theoretical and computational study, Math. Program., Ser. A 99, 563–591, 2004. Westerlund, T., Petterson, F., An extended cutting plane method for a class of non-convex MINLP problems, Comput. Chem. Eng., 22 (Suppl.), 357, 1998. Zaforteza, I. P ., Yepes, V., Hospitaler, A., Vidosa, F.G., CO2-optimization of reinforced concrete frames by simulated annealing, Engineering Structures, 31, 1501–1508, 2009. Žula, T., Kravanja, S., Klanšek, U., MINLP optimization of a composite I beam floor system. Steel and composite structures, 22(5), 1 163–1 192, 2016. je okoljske stroške globalnega segrevanja, ki bi nastali pri proizvodnji nosilcev. Optimiranje je bilo izvedeno z mešanim celoštevilskim nelinearnim programiranjem (MINLP). Naloga optimizacije je najti najvišji možni ekonomski in trajnostni dobiček, najugodnejši material in optimalni prerez prostoležečih nosilcev. Pri optimiranju nosilcev so bili uporabljeni dve namenski funkciji (ekonomski dobiček in trajno- stni dobiček) in trije materiali za izdelavo le-teh (konstrukcijsko jeklo, armirani beton in lepljeni les). Na koncu članka je predstavljen račun- ski primer optimizacije izdelave enakih pro- stoležečih nosilcev, kjer rezultati jasno kažejo, da izkazujejo armiranobetonski nosilci največji ekonomski dobiček, medtem ko leseni nosilci dajejo največji trajnostni dobiček. Izvedba no- silcev iz jekla v tem primeru generira izgubo. silci v armiranobetonski izvedbi prinašajo največji ekonomski dobiček v višini 26.577 €, medtem ko največji trajnostni dobiček daje izvedba nosilcev iz lepljenega lesa v višini 16.181 €, glej preglednico 2. Jekleni nosilci izkazujejo najslabša rezultata za oba na- mena. Negativni predznak pri jeklu pove, da bi proizvodnja jeklenih nosilcev pri prodaji 1600,00 €/kos predstavljala izgubo. Omeniti velja, da so nosilcem poleg opti- malnega ekonomskega in trajnostnega do- bička izračunani še optimalni standardni in zaokroženi prerezi nosilcev in najugodnejše trdnosti materialov, glej sliko 4. Dobljene opti- malne dimenzije prečnih prerezov so, tako pri optimizaciji ekonomskega kakor tudi trajnost- nega dobička, enake. doc. dr. Tomaž Žula, prof. dr. Stojan Kravanja, izr. prof. dr. Stane Božičnik•OPTIMIZACIJA TRAJNOSTNEGA DOBIČKA, USTVARJENEGA PRI PROIZVODNJI NOSILCEV