i i “1146-Strnad-fatamorgana” — 2010/7/19 — 9:34 — page 1 — #1 i i i i i i List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN 0351-6652 Letnik 20 (1992/1993) Številka 5 Strani 258–267 Janez Strnad: FATAMORGANA IN DALJNOGLED Ključne besede: fizika, lom svetlobe. Elektronska verzija: http://www.presek.si/20/1146-Strnad.pdf c© 1993 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije c© 2010 DMFA – založništvo Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo- ljeno. .-,-/'/" r L"" FATAMORGANA IN DALJNOGLED Ali ni nekoliko nenavadno fatamorgano , izj em en pojav , ki ga opazijo predvsem v oddaljenih krajih , povezovati z daljnogledom, uporabno optično napravo? Ne, ker ima oboje skupno osnovo : lom svetlobe. Pojdimo lepo po vrsti . Najprej povejmo nekaj besed o lomu svetlobe v zraku in potem poročajmo o nenavadnem daljnogledu , ki uporab lja namesto leče segret zrak . Nazadnje začinimo vse skupaj še z nekaj računi . O lomu je Presek pisal v članku O naravi svetlobe in o lomu, 14 (1987) 194. Samo na hitro ponovimo. Curek se lomi od pravokotn ice na mejo med območjema, če potuje na drugem območju z večjo hitrostjo kot na prvem. Razmerje med hitrostjo svetlobe v praznem prostoru in hitrostjo svetlobe v snovi vpeljemo kot lomni kvocient snovi. Lomni kvoc ient praznega prostora je enak 1, lomni kvocient zraka pa je samo malo večji kot 1, v navadnih okoliščinah 1,0003. Svetloba potuje v zraku samo malo počasneje kot v praznem prostoru . Lim gostejši je zrak, tem večji lomni kvocient ima, tem manjša je v njem hitrost svetlobe glede na hitrost v praznem prostoru. Razl ika lom nih kvocientov n - nprazni prostor = n - 1 je tem večja , čim gostejši je ·zrak. Gostota zraka pri nespremenjenem tlaku pa je tem večja, čim nižja je temperatura. Potemtakem je lomni kvocient zraka tem manjši, tem bliže 1, čim višja je temperatura . Tla se zaradi sončnega obsevanja lahko močno segrejejo, na primer puščava ali asfaltna cesta. Zrak v plasti tik ob tleh se segreje od njih , zrak v višji plasti se segreje manj. V plasti ob tleh je lomni kvocient zraka manjši , bliže 1, v višji plasti pa večji . Le prihaja svetloba od zgoraj, iz hladnejših plasti z večjim lomnim kvocientom, se lomi od pravokotnice na mejo . Pravokotnica -------------.----- ~ Slika 1. Nastanek fatamorgane. Zrak je močno segret le neposredno ob tleh in izraz ito ukr ivljen i so le žarki , ki gredo skozi plast tik ob tleh. Ocenjeni odklon je zato precej prevel ik. 259 na mejo plasti je navpična , zato se svetloba lomi od tal. Ker se lomni kvocient postopno sprem inja, se svetloba postopno lomi. Žarek se ukrivi, v navedenem primeru od tal. Opazujrno v takih razmerah oddaljeno drevo . Žarki z njegovega vrha naravnost do očesa pridejo po razmeroma hladnih plasteh zraka in se komaj kaj ukrivijo. Vendar pridejo do očesa tudi žarki z vrha, ki gredo skozi močno segreto plast blizu tal. Tako vidimo vrh drevesa dvakrat , prvič skoraj tam, kjer bi ga pričakovali, in drugič navidez premaknjenega navzdol (slika 1). Do očesa pridejo tudi malo ukrivljeni žarki z dna drevesa . Zato vidimo dve sliki drevesa : pokončno, ki je malo popačena , in obrnjeno, ki je bolj popačena . Navajeni smo, da vidimo pokon čno in obrnjeno sliko predmeta ob vodi, ko nastane obrnjena slika z zrcaln im odbojem na gladini . Zaradi te izkušnje ob dvojni sliki drevesa pomislimo na vodno gladino, čeprav so v bližini samo ." Slika 2. Nastanek zgornje fatamorgane in fotografija na arkt i čnern ledu. 260 Slika 3. Fotografija iz Hiller- sovega članka (zgoraj). Na povečanem delu spodaj je mo- goče videti skupino ljudi, obr- njeno sliko in v prečni smeri skrčeno neobrnjeno sliko . Ker je razlika temperature majh- na , mora biti predmet v veli- ki razdalji , v tem primeru 163 metrov. Ob jektiv fotografske- ga aparata je bil 16 centime- trovoddaljen od stene. vroča tla, nobene vode . To je fa- tamorgana . V izročilu je za var- ljive pojave te vrste kriva vila (italijansko fata) Morgana . Men- da izhaja poimenovanje iz Mesin- ske ožine med Apeninskim pol- otokom in Sicilijo, kjer so podob- ni pojavi pogostni . Zgornja ali obrnjena fata- morgana nastane , če se tempe- ratura z višino spreminja obrnje- no: višja plast zraka se segreje, pod njo pa ostane hladna plast. V tem primeru je lomni kvocient zraka v višji plasti manjši, bliže 1, lomni kvocient v nižji plasti pa večji . Le prihaja svetloba od zgo- raj, iz toplejše plasti z manjšim lomnim kvocientom, se lomi proti pravokotnici na mejo . Pravokot- nica na mejo plasti je navpična, zato se svetloba lomi k tlom . Ker se lomni kvocient postopno spre- -~-- ------- - .... L ~-_-. ·~ r- I 261 minja, se svetloba postopno lomi . Žarek se ukrivi proti tlom, ne od tal (slika 2) . Zaradi tega vidimo predmet navidez dvignjen . Do tega pojava pride nad hladnim morjem ali nad ledom. Poročajo o primerih, ko so ljudje ladje videli, čeprav so bile te zaradi ukrivljenosti Zemlje še pod obzorjem. > Slika 4. Fotografija fatamorgane v labora- toriju. Italijanski fiziki so segrevali hrapa- vo napično železno ploščo 86 crn -? crnL? cm s petimi likalniškimi grelniki , ki so dosegli največ moč 2 kW . Zaradi večje temperaturne razl ike je zadostovala razmeroma kratka plošča , Razločno je mogoče videti pokon čno sliko predmeta v obliki pu š čice , nekoliko ne- jasno obrnjene sliko in še skrčeno pokon čno sliko. Zares je bolje opazovati fata- morgano na navpični ravnini kot na vodoravni . Nad vodoravno seg- reto ploskvijo nastanejo vrtinci z vodoravno osjo, tako imenovane konvekcijske celice. Ob navpični steni pa teče samo enakomeren tok zraka navgor in je razmere laže nadzorovati . Fabri, Fiorio, Lazzeri in Violino z univerze v Pisi so v članku Mirage in the laboratory (Fatamorgana v laboratoriju) v American Journal of Physics 50 (1982) 517 objavili dobro fotogra- fijo (slika 4). V tej reviji sicer naj- demo še več zanimivih člankov o Fatamorgano je prvi pojasnil matematik Gaspard Monge, ki je spremljal Napoleona na pohodu v Egipt leta 1798. V laboratoriju jo je poskušal opa- zovati Wollastone leta 1800 . V zraku mu to ni uspelo, več uspeha je imel s plastmi raztopin s spremenljivim lomnim kvocientom . Tedaj so že vedeli, da opazimo pri fatamorgani v določenih okoliščinah tri slike: poleg obeh, ki smo ju omenili, še tretjo, bolj odklonjeno, pokončno in stisnjeno. V laboratoriju v zraku ni bilo mogoče dobiti dobrih ponovljivih fotografij . Pač pa je Wilhelm Hillers objavil v članku Photographische Aufnahmen einer mehrfachen Luft- spiegelung (Fotografski posnetki večkratnega zrcaljenja v zraku) v Physika- lische Zeitschrift 14 (1913) 718 le- po fotografijo, ki so jo naredili na prostem. Na 188 metrov dolgi navpični steni ob Labi pri Blanke- neseju je bilo mogoče opazovati pojav skoraj vse leto , ko je sonce segrelo steno za nekaj stopinj nad okolico (slika 3) . Slika 5 . Poenostavljena risba kovinske ce- vi, ki služi kot plinska leča. , " C T2 l:, < , ...1 ti 1 , - . - . . 7" - -- .-12R T _ . - -,/ / / ,,--1 _ C /: 1 / // 1 / 1(/ 1 T, / /: I I . :4---- { I, I / ! , ' / J - : II,' IJ curekzraka 262 fatamorgani. Pojav je mogoče računsko zasledovati. V najpreprostejšem približku, v katerem vzamemo, da se lomni kvocient spreminja linearno z razdaljo od plošče, so žarki parabole. Približki z bolj zapleteno odvisnostjo lomnega kvocienta od kraja so pripravni za računalnik . O tem lahko preberete članek Davisa in Greenslada Computer modeling of mirage formation (Raču­ nalniško modeliranje nastanka fatamorgane) v The Physics Teacher 29 (1991) 47 in v razpravi, ki se je razvila po njem (prav tam, str. 485). Kako naj na osnovi fatamorgane dobimo daljnogled? Ni težko. Del segretih tal si mislimo zvitih v cev. V osi cevi je zrak manj segret in ima večji lomni kvocient, ob robu cevi pa bolj in ima manjši lomni kvocient. Zaradi tega se žarki, ki so nagnjeni glede na os cevi, ukrivijo proti osi. Taka cev ima podoben učinek kot steklena leča . Žarke, ki izhajajo iz točke na osi, pripravi do tega, da se na osi zopet približno sestanejo. Točka predmeta na osi da sliko na osi , druge točke predmeta, malo bolj oddaljene od osi, pa prispevajo k sliki predmeta. Kovinsko cev, dolgo 20 centi- metrov in z notranjim premerom 8 milimetrov z električnim tokom z zunanje strani segrejejo za nekaj de- set stopinj . Vrtinčenje zraka v ce- vi preprečijo z vetrom, se pravi, da pihajo zrak stransko proti cevi (sli- ka 5). _ Motečemu vrtinčenju zra- ka se lahko izognejo tudi s tem , da cev vrtijo. S takšno plinsko lečo je mogoče dobiti slike oddaljenih pred- metov in jih fotografirati , ne da bi si pomagali z lečjern fotografskega aparata (slika 6) . Vendar zajamejo z njo le majhno vidno polje. Poskuse s plinskimi lečami in z daljnogiedi te vrste delajo že dlje časa na univerzi države Natal v Durbanu v Južni Afriki. Slike so vzete iz članka A gas- -lens telescope, ki so ga Michaelis , Dempers, Kosch , Notcutt , Cunningham in Waltham objavili v londonski Nature 353 (1991) 547. Raziskovanje plinskih leč ni kak konjiček . Leče te vrste utegnejo imeti pomembno vlogo . Z njimi je mogoče zbrati laserski curek na zelo majhen presek . Navadno je za to preprosteje uporabiti stekleno lečo . Vendar bi stek- lene leče odpovedale pri zelo močnih laserskih curkih z gostoto svetlobnega toka nad milijardo wattov na kvadratn i centimeter , ker bi se preveč seg rele. Slika 6 . Posnetek vodnega stolpa s plinsko l e čo , kakršno kaže slika 5, iz razdalje 5 ki- lometrov (a), Lune (b). (c) in Sonca (d). Slike so vzete iz članka v Nature. ~ o' W 264 Plinske leče prenesejo svetlobni tok s stokrat večjo gostoto. Take leče utegne- jo uporabiti pri spreminjanju poti umetnih satelitov z Zemlje. Le bi na umetni satelit deset minut usmerili laser, ki bi dajal po deset sunkov na sekundo z energijo dvesto tisoč joulov, bi ga lahko prestavili na bolj oddaljen tir. Stekle- na leča tega ne bi prenesla, plinska leča pa bi bila za to zelo pripravna : curek zbere v veliki razdalji, ki jo je mogoče naravnavati . Plinske leče utegnejo biti uporabne tudi za manj nenavadne podvige , vsekakor pa so šele na začetku razvojne poti. Preproste račune začnimo s tem , da ponovimo lomni zakon in ga izrazimo v drugi obliki. Hitrost svetlobe na prvem območju je CI in na drugem C2. ( a) - ~ C, I n, - c , ( b) f- --- - - - - - - : 'p =J!J. r =.R.- R f 5 Slika 7. Iz lomnega zakona (a) dob imo radij kroga , ki ga položimo ob ukrivljeni žarek [b}, in ocenimo razdaljo slike (c) in goriščno razdaljo plinske le če (d) . 265 Lomni kot med lomljenim žarkom in pravokotnico na mejo 13 in vpadni kot med vpadnim žarkom in vpadno pravokotnico cx (slika 7a) povezuje lomni zakon v obliki Sin cx sin 13 c2 nI Pri tem sta nI = col cl in n2 = col c2 lomna kvocienta prve in druge snovi in Co hitrost svetlobe v praznem prostoru . Lomni zakon izrazimo lahko drugače : anI sin cx = an2 sin 13 ali a je razdalja med sosednjima žarkoma na meji. Po tej obliki lomnega zakona je produkt (geometrijske) poti s in lomnega kvocienta n - temu produktu rečemo optična pot - merjen po katerem koli žarku med dvema presekoma curka vedno enak. V zraku, v katerem se temperatura zvezno spreminja, se žarki ukrivijo. Del ukrivljenega žarka lahko približno opišemo kot krog. Vzemimo dva kroga. Po prvem zradijem '1 je med dvema presekoma curka pot 'l!P na mestu , kjer je lomni kvocient nI , po drugem pa po krogu zradijem '2 = '1 +~, pot '2!P na mestu, kjer je lomni kvocient n2 = nI + ~n (slika 7b) . Po lomnem zakonu o enaki optični poti je nl'l!P = n2 '2!P in ali Pri tem smo zanemarili zelo majhen produkt ~,~n. Iz zapisane enačbe lahko izračunamo radij kroga , po katerem se žarek lomi v zraku s spremenljivim lomnim kvocientom , 1 '1 = - ~n/~'· Pri tem smo faktor nI zadomestili kar z 1, ker se lomni kvocient zelo malo razlikuje od 1. Spremembo lomnega kvocienta s krajem ~n/~' izrazimo s spremembo lomnega kvocienta s temperaturo in s spremembo temperature s krajem : (~nl~T) . (~TI ~,). Razlika n - 1 je sorazmerna z gostoto zraka , pri konstantnem tlaku pa je gostota obratno sorazmerna s temperaturo, ki jo merimo od absolutne ničle -273 0c. Zapišemo nI - 1 = AlTI in n2 - 1 = = AIT2 in prvo enačbo odštejemo od druge : 266 Radij kroga je potemtakem Ocenimo temperaturo zraka tik ob tleh s 50 0c. temperaturo dva cen- timetra više s 30 ° C in spremembo temperature s krajem AT/Ar na 10 K/cm ali 103 K/m. Razliko nI - 1 ocenimo s 3 . 10-4, za temperaturo ob tleh, ki jo moramo meriti od absolutne ničle , pa vstavimo (50 + 273) K = 323 K ali približno 300 K. To da za radij kroga r oceno r s 1. 300 K r = ---"7 3 .10-4 Q 1 1 km . s·· Slika 8 . Iz točk S in T prideta do opazovalca O po dve različno nagnjeni paraboli. Žarka , ki gresta iz točk S in T do točke O skoraj naravnost, zaradi preglednosti nista vrisana. te je točka na območju S', ni fatamorgane, če je na območju S", pa nastane samo obrnjena slika . Le na vmesnem območju dobimo še dodatno pokončno sliko (iz članka E.Fabrija in sodelavcev). t e oparujemo predmet iz rardalja I okoli sto metrov, ga vidimo ra kot I / r , to js okoli 0 , l radians ati 6 stopinj, odklory'enega od zvarnice. Ma rardalji lsto metmv ustrua temu prenik 41. I/r, to jt okoli 0,051 ali pet mdrov (slika 7c3. S k m smo vsaj okvirno pojasnili fatomorgana. Onnimo Te gorifio razdaljcr plinske IeEe s premwom 2R in dolfino I. Za r vstavimo I/yr in up~itttyarno, da stka tawk os v goriRni razdatji f, za katwo vrQa f = R/v (slika 7d). Tako imamo napasred Za nl -1 zoptt vstavimo 3 za 1 0,2 m, za R in Ar 4. low3 m, za AT 45 K in za T 300 K, pa dobimo ra f 1,7 metra. tzmerjena gargarWna r zdalja ja manjSa, meri okofi 1 meter. RaEuni, v katerih namesto kroga dobimo kot bobs priblibk parabolo, niso tnatno zahtevnejIi, a se jim m a m a cdpovedati, ket j e bralee ndbrr 2s utreljen. Pokafimo samo z risbo, da na dolotenem obmoEju prideta do opazovalca iz dana to& dve paraboli z razlienirna nagiboma (slika 8). To sporninja na pogevni met tozka na revnini je mogad M s parabolama z razlitnima nagiboma hitrosti v tazetni totki. Ali ni fatamwgana rsnimiva tudi za fitika, na samo za popotnika v daljnje defele? Za eksperimentatorja je trd oreh in tudi teoretikom ponuja delo, kkoristiti jo je mogrilie kot zgled pri poutevanju, tudi za uporabo rarunalnika. l a n u Strnad