Σ Povzetek V članku predstavimo uporabljene učne strategije pri obrav- navi tematskega sklopa Stožnice – elipsa v tretjem letniku srednje šole. V uvodnem delu članka navedemo osnovne po- datke o tematskem sklopu, ki izhajajo iz učnega načrta za ma- tematiko (operativni cilji, vsebinski cilji, procesni cilji, dejav- nosti za razvoj kompetence, učni dosežki …). Ob konkretnem primeru iz sklopa Elipse prikažemo uporabo strategije VŽN. V izvedbo sklopa (pred in med učenjem ter po njem) so bile vključene tudi dejavnosti za razvoj kompetence učenje učen- ja s poudarkom na vključevanju kompetenc učenje učenja in manj na vsebinski ravni. Te dejavnosti (na primer dejavnosti za spodbujanje motivacije) opišemo in ponazorimo s primeri in odzivi dijakov. Ključne besede: učenje učenja, učne strategije, VŽN, stožnice, elipsa, miselni vzorec, refleksija dijakov Emilija Grahor Škofijska gimnazija Vipava Σ Abstract The article presents implemented learning strategies for discuss- ing the learning content “Conical Sections and Ellipse” in the 3 rd year of secondary school. The introduction lists basic data about the topic, which is prescribed by the mathematics sylla- bus (operational goals, content goals, procedural goals, activi- ties for competences development, learning achievements etc.). Razvijanje kompetence učenje učenja pri vsebini »Elipsa« Developing the Learning to Learn Competence through Discussion of the Learning Content “Ellipse” α Matematika v šoli ∞ XX. [2014] ∞ 60-69 61 A practical example from the topic “Ellipse” demonstrates im- plementation of the KWL strategy. Activities for developing the learning to learn competence, with an emphasis on incorpora- tion of the learning to learn competence rather than the contents aspect, were also carried out before, during and after the learn- ing process. These activities (for instance motivational activi- ties) are described, as well as illustrated with examples and the students’ reactions. Keywords: learning to learn, learning strategies, KWL, conical sections, ellipse, mind map, students’ opinions področje bolj sistematično in pogosteje in načrtneje vključujem te kompetence v pouk. Za opis sklopa Stožnice - Elipsa sem se odločila, ker sem tudi do zdaj v tem sklopu redno uporabljala strategije učenje učenja, pa tudi zato, ker je ravno v tem sklopu kar precej povezav matematike z naravo in sploh z našim okoljem. V sklop sem vgradila znan- je, ki sem ga pridobila kot članica šolskega tima za učenje učenja. b Osnovni podatki o tematskem sklopu Stožnice - elipsa Tematski/učni sklop Stožnice - Elipsa v tretjem letniku srednje šole zajema več ur. V učnem načrtu za gimnazijo so našteti na- slednji operativni cilji 1 : Dijaki/dijakinje: • poiščejo primere stožnic v naravi; • primerjajo in uporabljajo analitično in geometrijsko definicijo stožnice; • interpretirajo krožnico kot poseben primer elipse in izpeljejo enačbe elipse iz enačbe krožni ce z raztegom vzdolž iz- brane osi; 1 V poševnem tisku so navedeni cilji, ki opisujejo poseb- na znanja. a Uv od V pouk matematike vedno vključujem posamezne strategije s področja kompetenc učenja učenja. Tako med grafičnimi organi- zatorji pogosto uporabim izdelavo miselnega vzorca ali primerjalne matrike predvsem ob koncu obravnave posameznega sklopa, na primer: • po koncu obravnave številskih množic, • po koncu obravnave linearne funkcije, • po koncu obravnave kvadratne funkci- je, • po koncu obravnave kvadratne enačbe in neenačbe, • po koncu obravnave kotnih funkcij … Z dijaki začnemo izdelovati miselni vzo- rec (ali primerjalno matriko) v šoli, včasih s celim oddelkom, včasih z delom po sku- pinah. Izdelek dokončajo doma. Ker se ista strategija ponovi večkrat v štirih letih, jo di- jaki kar dobro usvojijo. Poleg posameznih strategij vključujem tudi posamezne elemente s področja celovi- tega razvoja kompetenc učenja učenja. Tako zelo pogosto dajem dijakom na primer mož- nost samopreverjanja svojega znanja. V zadnjem času sem kot članica pro- jektnega tima za učenje učenja spoznala to 62 Razvijanje kompetence učenje učenja pri vsebini »Elipsa« • analizirajo enačbo in grafično predsta- vijo krožnice in elipse v središčni in v premaknjeni legi; • konstruirajo stožnice; • narišejo stožnico tudi z uporabo primer- nega računalniškega programa; • analitično in grafično obravnavajo tan- gento stožnice; • analitično in grafično določijo preseči- šča stožnice s premico in določijo pre- sečišča stožnic v središčni legi; • utemeljijo smiselnost rezultatov pri analitični obravnavi presečišč; • rešujejo problemske naloge. Vsebinski cilj predvideva, naj dijak/dija- kinja pozna in uporablja enostavne stožnice in zveze med njihovo geometrijsko in alge- brsko pred stavitvijo. Predvidena vsebina je Elipsa v središčni in premaknjeni legi. V učnem načrtu niso navedena procesna znanja za posamezni sklop, temveč le sploš- na procesna znanja za celotni učni načrt. Tukaj so izbrana tista procesna znanja, ki jih lahko dosegamo v obravnavanem sklopu. Dijak/dijakinja: • abstraktno razmišlja; • razume razliko med formalnim mate- matičnem sklepanjem in intuitivnimi izpeljavami; • analitično zastavi reševanje problemov in jih reši z uporabo različnih strategij; • uporablja matematiko v vsakdanjem živ ljenju (uporaba geometrije); • izraža se ustno, pisno in v drugih izraz- nih oblikah; • kritično razmišlja o potrebnih in za- dos t ni h p og o ji h; • uporablja informacijsko-komunikacij- sko tehnologijo, sposoben je kritičnega odnosa do infor macij na spletu in dr ug j e; • kritično reflektira lastno znanje (učenje učenja); • je ustvarjalen, daje pobude, sprejema odločitve, podaja ocene tveganj (samo- iniciativnost in podjetnost); • konstruktivno obvlada čustva, spoštuje sebe in soljudi, razvije integriteto (po- štenost in od kritost), razvije zmožnosti za delo v skupinah, odgovoren odnos in vrednote, razvije in izbolj ša kritičen in pošten odnos do sveta (socialne in dr- žavljanske kompetence). Poleg teh ciljev so v učnem načrtu nave- dene tudi dejavnosti za razvoj kompetence učenje učenja (načrtovanje lastnih aktivno- sti, odgovornost za lastno znanje, razvoj me- takognitivnih znanj). Dijaki/dijakinje: • načrtujejo lastni proces učenja: se spremljajo in usmerjajo v procesu učen- ja ter evalvirajo lastni učni proces; • se nadzirajo pri delu; • reflektirajo lastno znanje, sodelujejo v pogovorih o ocenjevanju znanja, razvi- jajo odgovornost za lastno znanje, raz- vijajo delovne navade, metakognitivna znanja. Pričakovani dosežki v zvezi z operativ- nimi cilji niso zapisani v učnem načrtu, zato sem jih oblikovala sama. Dijak/dijakinja • v naravi (in svetu) prepozna obliko sto- žnice; • s programom za dinamično geometrijo zna narisati elipso; • pozna definicijo elipse; 63 • zna načrtati elipso z vrtnarsko kon- strukcijo; • pozna enačbo elipse v središčni legi; • pozna enačbo elipse v premaknjeni legi; • zna narisati elipso, če pozna središče in obe polosi; • zna določiti gorišče elipse; • pozna enačbo elipse v splošni obliki; • zna pretvarjati iz splošne oblike enačbe v enačbo v premaknjeni legi; • zna izračunati, ali je premica sekanta, tangenta ali mimobežnica dane elipse; • zna razmišljati o svojem učenju; • zna uporabljati strategijo uporabe mi- selnega vzorca; • se zna ustvarjalno vključiti v pogovor o učenju; • se zna dejavno vključiti v sodelovalno učenje. Z didaktičnega vidika sem izbrala učno- -ciljni in procesno razvojni pristop (načrto- vanje dejavnosti za dijake v povezavi s cilji procesa in pričakovanimi rezultati). Vključila sem dejavnosti za razvoj kompetence učen­ je učenja. Kombinirala sem frontalno razlago snovi z aktivnimi oblikami pouka: skupin- skim delom, delom v parih in individualnim delom. Uporabila pa sem tudi aktivne meto- de pouka: diskusija, preiskovanje, delo z viri. Dijaki so uporabili računalnik (programi za dinamično geometrijo) in svetovni splet. b Načtrtovanje dejavnosti Pred učenjem dijakov Učiteljeva dejavnost je najprej usmerje­ na v spodbujanje motivacije za učenje. Tu- kaj gre za uporabo strategije VŽN 2 , in sicer 2 VŽN –Vem (Kaj že vem?), Želim (Kaj želim izvedeti, se naučiti?), Naučil (Kaj sem se naučil?) prvih dveh korakov: Usmerjanje v to, kaj že znajo in kaj se želijo naučiti. V ta namen razrežemo stožec iz stiropora, dijaki pa predvidevajo, katero krivuljo dobi- mo. V dvojicah iščejo primere stožnic iz na- rave in urbanega okolja. Dijake usmerjamo v to, kaj že znajo. Sledi usmerjanje v proces učenja. Ker poznajo krožnico kot geome- trijski lik in kot krivuljo, zapisano z enač- bo, odgovarjajo na vprašanje: Zakaj se jim zdi smiselno in pomembno, da tudi elipso obravnavamo kot krivuljo, zapisano z enač- bo? Dijaki osmišljajo, kaj se želijo naučiti. Nato predvidevajo, katera znanja o krožnici bodo uporabili pri obravnavi elipse (Kaj že znam, vem?). Med učenjem dijakov V nadaljevanju uporabimo učno strategi- jo preiskovanja. Ob konkretnem reševanju problema »Katera je karakteristična lastnost točk na elipsi?« se učijo uporabe te strategi- je. Zapišejo definicijo. »Odkrijejo« vrtnarsko konstrukcijo elipse in jo preizkusijo na tabli. Dijaki se urijo v spremljanju svojega učenja in sprejemanja povratne informacije. Učitelj izpelje enačbo elipse, dijaki so osredotoče- ni na reševanje problema in razumevanje procesa izpeljave enačbe ter vzdrževanje koncentracije. Učitelj reši temeljne primere na tablo, naslednje vaje pa rešujejo najprej samostojno, šele čez nekaj časa je prikaza- na rešitev na tabli. S tem so dijaki usmerjeni v samostojno reševanje problemov, hkra- ti pa jim je omogočeno (samo) preverjanje znanja. Naloge iz iskanja presečišč elipse s premico rešijo s sodelovalnim načinom. Tako razvijajo tudi zmožnosti za delo po skupinah. Dijaki narišejo elipso s pomočjo računalniškega programa. Spodbujamo jih k samostojnemu reševanju problemov. Tik 64 pred koncem ponovimo uporabo strategije izdelave miselnega vzorca, uporabe virov in kritičnega razmišljanja, ko naredijo miselno vzorec na temo Elipsa v naravi in urbanem svetu s pomočjo svetovnega spleta. Na koncu dijaki rešujejo problemsko nalogo. Tako pri- dobivajo problemska znanja. Po učenju dijakov Učitelj pripravi vprašanja in usmeri dija- ke za samoevalvacijo. Dijaki naredijo samo- evalvacijo načina učenja. Navajam nekatera vprašanja oz. trditve, ki jih dijaki ovrednotijo (s točkami od 1 do 5): V diskusiji sem sodeloval. V skupini sem si prizadeval za rešitev problema. Razumel sem povezave med krožnico in elipso. Stra- tegija VŽN mi pomaga povezovati prejšnje z novim znanjem. Z miselnim vzorcem si pomagam pri ponavljanju snovi. Svoj način učenja matematike stalno izboljšujem. g Opis izvedbe in primeri odzivov dijakov Pred učenjem Dijaki že poznajo krivulje, ki jih v nada- ljevanju opredelimo kot stožnice: krožni- co, elipso, parabolo in hiperbolo. Na tablo narišemo te oblike in jih poimenujemo. S stališča oblike dijaki ločijo krivulje med sabo (parabolo smo že srečali kot graf kva- dratne funkcije, hiperbolo kot graf funkcije f(x) = 1/x, krožnica in elipsa pa sta že »udo- mačeni« obliki. Analitično je bila obdelana le krožnica (z enačbami). V celotnem sklo- pu stožnice obravnavamo omenjene štiri krivulje analitično, z enačbami. V članku je opis obravnave elipse s poudarkom na vključevanju kompetenc učenje učenja in manj na vsebinski ravni. Spodbujanje motivacije Na začetku sklopa Elipsa sem prinesla v razred stožec iz stiropora in napovedala, da ga bom razrezala z ravnimi rezi na različne načine. Dijaki so si zapisali te predvidene na- čine in pred vsakim rezom napovedali obli- ko preseka ravnine s stožcem (stožec smo si predstavljali kot neskončni dvojni stožec). Pravilnost so seveda sproti preverjali po vsa- kem rezu. Odgovarjali so individualno z za- pisovanjem v zvezek (Slika 1). [Slika 1] Odgovora dijakov o presekih dvojnega stožca z ravnino Pri tej aktivnosti je bila poleg motivacije vključena tudi kompetenca učenje učenja (UU) spodbujanja samopreverjanja svojega znanja. Motivacija za učenje in spodbujanje razmišljanja o uporabi znanja Dijake sem povabila s spodbudo: Razvijanje kompetence učenje učenja pri vsebini »Elipsa« 65 Zapiši ali nariši v zvezek primere stožnic v naravi oz. v urbanem svetu. Primere zapiši najprej sam, nato pa se s sošolcem pogovori- ta in dopolnita vsak svoj seznam. Dijaki so najprej posamično našteli pri- mere stožnic, ki jih opazijo v naravi in ur- banem svetu, nato pa so s sošolci dopolnili svoje predloge (Slika 2). Potem so poročali in primere po skupinah zapisali na tablo. Vča- sih je bil potreben kritični razmislek, kam uvrstiti kakšno krivuljo, vendar se s podrob- nostmi nismo ukvarjali. Prilagam dva zapisa dijakov v zvezek. [Slika 2] Zapisa dijakov o primerih stožnic v na- ravi Usmerjanje v proces učenja: razmišljanje o smiselnosti učenja o elipsi. Dijaki so odgovarjali na vprašanje: Poznamo krožnico kot lik in kot krivu- ljo, podano z enačbo. Se ti zdi smiselno in pomembno poznati tudi enačbe elipse, hi- perbole in parabole in z njimi računati? Po diskusiji sem ugotovila, da večinoma niso odgovorili na to vprašanje (Slika 3). Pa tudi že sama iz prejšnjih izkušenj nisem pri- čakovala kakšnih poglobljenih odgovorov, saj je to zelo težko vprašanje tako za dijake kot za učitelja (Kako osmisliti učenje?). Ne- kaj razmislekov prilagam. [Slika 3] Zapisi dijakov o pomenu poznavanja enačb stožnic Odgovori seveda potrjujejo moja pričako- vanja. No, poskus osmislitve pa je vendarle bil. Dijakom se pomen učenja običajno »od- pre« šele potem, ko se naučijo uporabe na- uč en ega. Usmerjanje v proces učenja: Kaj že vem? In Kaj se želim naučiti? Dijaki odgovorijo na vprašanje: Elipso bomo obravnavali kot krivuljo v koordinatnem sistemu, izpeljali in računa- li bomo z njeno enačbo. Za katera znanja o krožnici lahko predvidiš, da jih boš lahko uporabil pri učenju o elipsi? S tem vprašanjem sem želela, da bi s po- močjo svojih zapiskov ali učbenika sami ponovili znanje o krožnici in predvideli, kaj bi lahko delali pri elipsi. Novo snov bomo gradili na predhodnem znanju o krožnici. V 66 diskusiji potem se je izkazalo, da so večino- ma zapisali samo to, da bomo izpeljali enač- bo elipse ali pa nič, dva izstopajoča odgovora prilagam (Slika 4). [Slika 4] Katera znanja o krožnici bom uporabil pri učenju o elipsi? (zapisa dijakov) Med učenjem Usmerjanje v samostojno preiskovanje, kreiranje novega znanja Dijakom sem razdelila liste z narisano elipso (brez gorišč) in jih usmerila v preisko- vanje z navodilom: Točke na krožnici so vse enako oddaljene od središča krožnice. S pomočjo merjenja poskusi ugotoviti karakteristično lastnost točk na elipsi. Opiši, kako bi s pomočjo svoje ugotovitve narisal elipso. Izkazalo se je, da je bila naloga zelo zah- tevna. Predlagali so veliko idej, nekatere tudi pravilne. Prilagam dva primera preiskovanja (Slika 5). Dijaki, ki so prišli do prave karakteristike, so risanje elipse prikazali na tabli. Po tem smo izpeljali njeno enačbo v obeh oblikah in naredili tipične primere. Sledile so naloge za utrjevanje. [Slika 5] Preiskovanje elipse: iskanje karakteristič- ne lastnosti točk na elipsi Omogočanje dijakom (samo)preverjanje znanja Naloge najprej zastavim, nato jih posku- šajo dijaki sami rešiti. Šele nato jih rešimo na tablo. S tem omogočam dijakom, da se lahko preverjajo, koliko že znajo. Usmerjanje v samostojno reševanje problemov in uporabe drugih virov. Glede na to, da dijaki znajo uporabljati program Geogebro, so v računalniški učilni- ci reševali nalogo: S pomočjo programa Geogebra narišite elipso. Razvijanje kompetence učenje učenja pri vsebini »Elipsa« 67 Naloga je zahtevna, ker morajo s premi- slekom odkriti, kako uporabiti vrtnarsko konstrukcijo. Dijakom pomagam z nasveti, tako da na koncu vsi uspešno dokončajo na- logo, Omogočanje razvoja veščine vključevanja v skupno reševanje problemov Dijake sem razdelila na skupine po štiri dijake in vsaki skupini dodelila iste naloge. V vsaki skupini sem določila vodjo. Sama sem spremljala delo. Naloge so bile kompleksnej- še, tiste ob koncu obravnave sklopa Elipsa (glej Prilogo 1). 1. Nariši krivuljo z enačbo 4x 2 + y 2 – 16x + 2y +1 = 0 ter izračunaj abscisi presečišča krivulje z osjo x. 2. Elipsa na sliki ima temena v točkah A (0, 0), B (8, 0), C (4, –2) in D (4, 2). Na- piši enačbo te elipse in izračunaj razda- ljo med njenima goriščema F 1 in F 2 . 3. Dani sta elipsa 4x 2 + y 2 – 16x + 2y +1 = 0 in premica y – 2x + 1 = 0 a. Izračunaj presečišča med elipso in premico. b. Izračunaj dolžino tetive, ki jo premi- ca odreže od elipse. [Priloga 1] Naloge za delo po skupinah (Vir: RIC, Naloge iz splošne mature 2012, OR) Po reševanju sem dijakom zastavila vpra- šanji: Koliko si ti pomagal, da ste prišli do konč- ne rešitve? Ali si se v skupini naučil več ali manj, kot če bi delal sam? Z vprašanji sem skušala dijake usmeriti v razmišljanje o svojem učenju. Prilagam ne- kaj mnenj (Slika 6). [Slika 6] Zapisi dijakov o spremljanju lastnega učenja 68 Učenje strategije izdelave miselnega vzorca Kot sem povedala že v uvodu, redno upo- rabljam to strategijo ob koncu obravnave po- sameznih sklopov. Tokrat so dijaki doma sa- mostojno s pomočjo spleta naredili miselni vzorec na temo Elipsa v naravi in urbanem svetu. Prilagam izdelek ene izmed učenk. (Glej prilogo slika 7) Omogočanje učenja problemskih znanj Dijakom sem zastavila problemsko nalo- go: Kakšne oblike je lunin krajec (srp pred prvim krajcem)? Prilagam dve nepravilni rešitvi (Slika 8), pravilnih pa tokrat ni bilo. Po učenju Usmerjanje v refleksijo o svojem učenju Ob koncu sklopa Elipsa sem dijake pova- bila, da zapišejo svoje mnenje o učenju v tem sklopu: [Slika 8] Nepravilni rešitvi o obliki luninega krajca Katera znanja o krožnici so ti pomagala pri učenju o elipsi? Kako ti je všeč ta pristop, ko izhajamo iz tega, kar že vemo? Izbrala sem nekaj razmišljanj, ki kažejo na velike razlike med dijaki (Slika 9). Razvijanje kompetence učenje učenja pri vsebini »Elipsa« [Priloga slika 7] Miselni vzorec – delo dijakinje 69 [Slika 9] Razmišljanja dijakov o njihovem učenju e Viri in literatura: 1. Pečjak, S.: Kompetence »učenje učenja« Gradivo v spletni učilnici Učenje učenja, dostopno na http:// skupnost.sio.si/course/view.php?id=5776 2. Vesel, J.: Vrste učnih strategij Gradivo v spletni učil- nici Učenje učenja, dostopno na http://skupnost.sio. si/course/view.php?id=5776 3. Vesel, J.: Kaj so učne strategije? Gradivo v spletni učilnici Učenje učenja, dostopno na http://skupnost. sio.si/course/view.php?id=5776 d Sklep Vključevanje kompetenc učenja učenja v redni pouk se mi zdi smiselno, ker učitelj več pozornosti namenja motivaciji dijakov za učenje, dijaki se ob učenju vsebin učijo strategij učenja, ki jih bodo lahko uporabili tudi v drugih primerih, pa tudi, ker dijakom omogoča načrtovanje in spremljanje lastne- ga učenja. Vendar pa sistematično delo na tem področju zahteva veliko napora od uči- telja. Meni je bilo najzahtevnejše, kako obli- kovati primerna vprašanja. S tem načinom pa dobimo dodatni vpogled v to, kako dijak napreduje v znanju, kako povezuje znanja med seboj in kakšna so njegova stališča o učenju. Tudi drugim učiteljem priporočam, da poskusijo s tem načinom in naj vključu- jejo kompetence učenje učenja v svoj pouk.