     
P 52 (2024/2025) 1 7
Reševanje kubičnih enačb
D G
Enačbam oblike
ax3 ` bx2 ` cx ` d “ 0,
kjer so a,b, c in d realna števila ter a ‰ 0, pravimo
kubične enačbe. V tem prispevku bomo rešili ne-
kaj primerov takih enačb in se seznanili s formulo
za izračun rešitve ter njeno uporabo. Preprost pri-
mer kubične enačbe (a “ 1, b “ c “ 0, d “ ´2)
je
x3 ´ 2 “ 0.
Hitro opazimo, da je edina realna rešitev te enačbe
3
?
2. Malo kompleksnejša kubična enačba je
64x3 ´ 48x2 ` 12x ´ 1 “ 0. (1)
Najprej opazimo, da nobeno celo število ne more biti
rešitev te enačbe. Za vsako celo število x je namreč
število 64x3 ´ 48x2 ` 12x ´ 1 liho, saj je za ena
manjše od vsote sodih števil 64x3, ´48x2 in 12x, to-
rej ni enako 0, ki je sodo število. Dijaki zaključnih le-
tnikov gimnazij bi znali našteti vse možne kandidate
za racionalne rešitve, mi pa na tem mestu uganimo,
da je ena rešitev 14 . To pomeni, da mora biti 4x ´ 1
faktor izraza 64x3 ´ 48x2 ` 12x ´ 1 in zaključni le-
tniki gimnazij bi znali poiskati preostale faktorje (mi
pa uganimo) 64x3´48x2`12x´1 “ p4x´1q3. Sledi,
da je 14 edina rešitev enačbe 1. Nadaljujmo z enačbo
64x3 ´ 48x2 ` 12x ` 1 “ 0, (2)
ki je zelo podobna prejšnji. Ali nam lahko to dejstvo
kako pomaga pri reševanju? Opazimo 64x3 ´48x2 `
12x ` 1 “ p4x ´ 1q3 ` 2, torej je naša enačba ekviva-
lentna enačbi p4x ´ 1q3 “ ´2, od koder sledi, da je
4x ´ 1 “ 3
?
´2 “ ´ 3
?
2, torej je x “ 1´
3?2
4 edina re-
alna rešitev enačbe 2. Nadaljujmo s še zahtevnejšo
enačbo
x3 ` 3x ` 2 “ 0. (3)
Tokrat je rešitev precej težko uganiti:
3
a
´1 `
?
2 ´
3
a
1 `
?
2. Bralca vabimo, da rešitev preveri tako, da
jo vstavi v enačbo in da razmisli, zakaj enačba nima
drugih realnih rešitev. Slednje je moč storiti tako, da
dokažemo, da je funkcija f pxq “ x3`3x`2 narašča-
joča. To lahko storimo, recimo, s pomočjo odvoda
ali z analizo preoblikovanega izraza x3 ` 3x ` 2 “
xpx2 ` 3q ` 2, kjer ločimo primera x ě 0 in x ă 0.
-6 -4 -2 2 4 6
-6
-4
-2
2
4
6
0
f
SLIKA 1.
Graf funkcije f pxq “ x3 ` 3x ` 2. Funkcija f je naraščajoča in
njen graf seka x-os pri x “ 3
a
´1 `
?
2 ´ 3
a
1 `
?
2 9“ ´ 0,6.
Rešitev enačbe 3 smo torej uganili. Morda pa ob-
staja formula, ki bi nam pomagal pri reševanju? Ide-
     
P 52 (2024/2025) 18
alno bi bilo, da bi formula delovala za vsako ku-
bično enačbo in se posledično več ne bi rabili za-
našati na ugibanje. Kot bomo videli v nadaljevanju,
formula obstaja, a je precej komplicirana že za ra-
zumeti, pa tudi za uporabo. Preden pa zagrizemo
vanjo, si oglejmo dva preprostejša primera sorodnih
enačb in njunih rešitev. Začnimo z linearno enačbo
ax ` b “ 0,
kjer sta a,b P R. Bralec je gotovo v glavi že izrazil
rešitev kot x “ ´ba , ki velja, če je a ‰ 0. Linearna
enačba ima torej zelo preprosto formulo za izračun
rešitve. Nadaljujmo s kvadratno enačbo
ax2 ` bx ` c “ 0,
kjer so a,b, c P R in a ‰ 0. Pri tej enačbi bomo
uporabili trik, ki nam bo prav prišel tudi kasneje pri
kubični enačbi: preoblikovali jo bomo tako, da bo
koeficient kvadratnega člena enak 1, linearni člen pa
bo izginil. Najprej enačbo delimo z a. Tako dobimo
x2 ` bax`
c
a “ 0. Prva dva člena na levi strani enačbe
dopolnimo do popolnega kvadrata, tako da dobimo
x2 ` bax `
c
a “ px `
b
2a q2 ´
b2
4a2 `
c
a “ 0. Če sedaj
uvedemo novo neznanko y “ x ` b2a in oznako K “
b2
4a2 ´
c
a , vidimo, da smo začetno kvadratno enačbo
preoblikovali v y2 ´K “ 0, ki ima koeficient pred y2
enak 1, linearni člen pa v enačbi ne nastopa. Tako
enačbo je zelo preprosto rešiti. Opazimo, da realna
rešitev obstaja natanko tedaj, ko je K ě 0 in da so v
tem primeru vse rešitve y “ ˘
?
K. Ko upoštevamo
y “ x ` b2a in K “
b2
4a2 ´
c
a , dobimo slavno formulo
za izračun rešitev kvadratne enačbe
x “ ´b ˘
?
b2 ´ 4ac
2a
.
Ta formula se, za razliko od formule za rešitev ku-
bične enačbe, v srednjih šolah ogromno uporablja.
Uporaba ni pretirano zahtevna.
Podobo kot smo uvedli novo neznanko pri kvadra-
tni enačbi, lahko naredimo za kubično enačbo
ax3 ` bx2 ` cx ` d “ 0,
kjer so a,b, c in d realna števila in a ‰ 0. Naj-
prej delimo z a, nato pa prva dva člena dopolnimo
do popolnega kuba. Dobimo x3 ` bax2 `
c
ax `
d
a “
px ` b3a q3 ´
b2
3a2x ´
b3
27a3 `
c
ax `
d
a “ 0. Ko uvedemo
novo neznanko y “ x` b3a in poenostavimo, dobimo
enačbo oblike
y3 ` py ` q “ 0, (4)
kjer sta p in q neki realni števili. Zainteresiranega
bralca vabimo, da p in q izrazi z a,b, c in d. Nova
enačba je videti preprosteje kot prvotna, saj na levi
nima kvadratnega člena, koeficient pred y3 pa je 1.
Ta trik z novo neznanko je že dovolj, da lahko bra-
lec brez ugibanja reši enačbi (1) in (2). Iz rešitev po-
enostavljene enačbe (4) lahko hitro dobimo rešitve
splošne kubične enačbe; le b3a jim moramo odšteti.
Zato se bomo od tod naprej posvetili le reševanju
enačbe (4). Formula za rešitev take enačbe je
y “ 3
c
´q
2
`
?
∆` 3
c
´q
2
´
?
∆,
kjer je ∆ “ q
2
4
` p
3
27
.
Pravimo ji Cardanova formula. Ideja izpeljave te for-
mule je sicer preprosta, a za dobro razumevanje iz-
peljave je potrebno zelo dobro poznavanje komple-
ksnih števil, zaradi česar se bomo izpeljavi v tem pri-
spevku odrekli. Žal pa tudi pri uporabi Cardanove
formule ne bo šlo povsem brez kompleksnih števil
in to dejstvo zelo oteži njeno uporabo. O čem go-
vorimo? Ali ni treba le vstaviti ustrezna p in q in
poračunati?
Najprej formulo uporabimo za najtežji primer
enačbe z začetka sestavka, enačbo (3):
x3 ` 3x ` 2 “ 0.
Opazimo, da je koeficient pred x3 enak 1 in da ni
kvadratnega člena, torej lahko uporabimo Cardano-
vo formulo za p “ 3 in q “ 2. Izračunamo ∆ “ 2,
torej je rešitev
3
a
´1 `
?
2 ` 3
a
´1 ´
?
2. Nič lažjega!
Poglejmo še kak lažji primer enačbe, recimo
x3 ´ x “ 0. (5)
Za ta primer sploh ne potrebujemo Cardanove for-
mule, saj je x3 ´ x “ xpx2 ´ 1q “ xpx ´ 1qpx `
1q, torej so vse rešitve enačbe 0, 1 in ´1. Vseeno
poglejmo, kako do istih rešitev pridemo s Cardano-
vo formulo. V našem primeru je p “ ´1 in q “ 0,
     
P 52 (2024/2025) 1 9
zato je ∆ “ ´ 127 . Negativno? Kako pa naj ∆ kore-
nimo, kot zahteva Cardanova formula? Ali na tem
primeru (in podobnih) Cardanova formula odpove?
Odgovor je NE, a se moramo sprijazniti z uporabo
korenov negativnih števil. To je zelo čudno, kaj bi
sploh pomenilo
?
´1?
Podobna vprašanja so si zastavljali italijanski ma-
tematiki v 15. in 16. stoletju, ko so odkrivali for-
mulo [2]. Takrat je na Univerzi v Bologni aritmetiko
učil Scipione del Ferro [6], za katerega se je govorilo,
da zna reševati kubične enačbe. Kako dobro jih je
znal reševati, pa ni znano zaradi pomanjkanja virov
iz tistega obdobja. K pomanjkanju je gotovo pripo-
moglo dejstvo, da so takrat matematiki občasno iz-
zvali drug drugega na dvoboje in s tem dokazovali
svoje matematično znanje. In če je neki matematik
poznal metodo za reševanje kubičnih enačb, ki jih
drugi niso znali rešiti, je imel veliko prednost. To je
bil gotovo pomemben razlog, da del Ferro svoje me-
tode ni želel objaviti. Je pa skrivnost tik pred svojo
smrtjo posredoval učencu Antoniu Fiorju. Slednji je
svoje znanje želel izkazati na matematičnem dvo-
boju z Niccolom Fontano Tartaglio [5], ki je prav tako
trdil, da zna reševati težke kubične enačbe. Dvoboj
je trajal 30 dni, v tem času pa je vsak moral rešiti
kubične enačbe, ki jih je predlagal (in znal rešiti) na-
sprotnik. Zmagal je Tartaglia. Novica o zmagi se
je hitro razširila in dosegla tudi takrat že uveljavlje-
nega matematika Gerolama Cardana, ki je Tartaglio
prepričal, da mu je izdal svojo metodo. Cardano je
formulo za rešitev kubične enačbe kasneje objavil in
je tako poimenovana po njem. Zgoraj smo videli, da
je Cardano v svoji knjigi moral omeniti tudi korene
negativnih števil, saj pri uporabi formule naravno na-
stopijo. Ker takrat teorija kompleksnih števil še ni
obstajala, je delo s takimi števili opisal kot ›mentalno
mučenje‹ [1].
Izvedimo sedaj to ›mentalno mučenje‹ za rešitev
enačbe (5) s Cardanovo formulo. Iz ∆ “ ´ 127 sledi, da
so rešitve oblike x “ 3
c
b
´ 127 `
3
c
´
b
´ 127 . Kvadratni
koren iz ´1 označimo z i, torej ima i lastnost i2 “
´1. Dodatno znamo poenostaviti 3
c
b
1
27 “
6
b
1
33 “
1?
3
“
?
3
3 . Torej lahko zapišemo
x “
?
3
3
3
?
i´
?
3
3
3
?
i. (6)
SLIKA 2.
Portret Gerolama Cardana, po katerem je poimenovana formula
za rešitev kubǐcne enačbe (4).
Čeprav je videti, da s formulo dobimo le rešitev 0,
pa to ne drži. Namreč, s 3
?
i smo označili katerokoli
rešitev enačbe y3 “ i. Slednja ima natanko 3 kom-
pleksne rešitve, ki so y1 “
?
3
2 `
1
2i, y2 “ ´
?
3
2 `
1
2i
in y3 “ ´i. Bralec lahko s kubiranjem in upošteva-
njem i2 “ ´1 sam preveri, da y1, y2 in y3 res rešijo
enačbo y3 “ i. Ker izraz 3
?
i lahko predstavlja kate-
rokoli izmed števil y1, y2 ali y3, je
?
3
3
3
?
i P
"
1
2
`
?
3
6
i,´1
2
`
?
3
6
i,´
?
3
3
i
*
.
Ostane še zadnji korak, izračun razlike (6) dveh
števil iz te množice. Čeprav imamo 3 možnosti za
zmanjševanec in 3 za odštevanec, pa vsaka izmed
9 možnosti izbire zmanjševanca in odštevanca ne da
     
P 52 (2024/2025) 110
rešitve enačbe (5). Tu moramo upoštevati še dodatek
h Cardanovi formuli, ki smo ga zamolčali, namreč da
se izmed vseh parov tretjih korenov u “ 3
b
´q2 `
?
∆
in v “ 3
b
´q2 ´
?
∆ v rešitev enačbe y3 ` py ` q “
0 seštejejo natanko tisti pari, za katere velja p “
´3uv . V našem primeru tako dobimo rešitve
x1 “
ˆ
1
2
`
?
3
6
i
˙
´
ˆ
´1
2
`
?
3
6
i
˙
“ 1,
x2 “
ˆ
´1
2
`
?
3
6
i
˙
´
ˆ
1
2
`
?
3
6
i
˙
“ ´1 in
x3 “ ´
?
3
3
i´
ˆ
´
?
3
3
i
˙
“ 0,
ki so res iskane rešitve enačbe (5).
Čeprav uporaba Cardanove formule ni zmeraj naj-
lažja pot do rešitve in se pri nekaterih, tudi nezah-
tevnih kubičnih enačbah, kot je enačba (5), moramo
›mentalno mučiti‹, pa jo dejstvo, da lahko z njeno
pomočjo rešimo vsako kubično enačbo, naredi zelo
pomembno. Pomembna je tudi zato, ker za njeno
uporabo v primeru ∆ ă 0 potrebujemo korene nega-
tivnih števil, kar je bila motivacija za uvedbo kom-
pleksnih števil. Z definicijo teh števil se dijaki sre-
čajo v srednji šoli, kjer pa se kot razlog za uvedbo
le redko omenja reševanje kubičnih enačb. Veliko
pogosteje se za motivacijo omenja, da kompleksna
števila lahko rešijo enačbo x2 ` 1 “ 0, za katero je
očitno, da nima realnih rešitev. Moje mnenje je, da je
uporaba Cardanove formule vsaj tako dobra motiva-
cija1. Izkaže se namreč, da je pri reševanju kubične
enačbe vredno ločiti tri primere: ∆ ą 0, ∆ “ 0 in
∆ ă 0. V prvem primeru je pot do (edine) realne re-
šitve preprosta, kompleksnih števil ne potrebujemo.
Tudi v drugem primeru kompleksnih števil ne potre-
bujemo, dobimo pa eno ali dve različni realni rešitvi.
V tretjem primeru, ko je ∆ ă 0, pa se kompleksnim
številom ne moremo preprosto izogniti, enačba pa
ima tri različne realne rešitve.
Za zaključek bralcu ponujamo štiri naloge.
1. Izpeljite, da za p in q iz (4) velja p “ 3ac´b23a2 in
1Motivacijo lahko učitelj poda tudi le informativno, brez pri-
kaza formule in njene uporabe. Uporaba formule je namreč
glede na trenutni učni načrt prezahtevna za tipǐcnega gimna-
zijca. Vseeno pa se najdejo talenti, kot je bil naš slavni mate-
matik Josip Plemelj, ki formulo poznajo že v srednji šoli [3].
q “ 2b3´9abc`27a2d27a3 .
2. Z vpeljavo nove neznanke eliminirajte kvadra-
tni člen iz enačbe x3 ´ 3x2 ` 4x ´ 2 “ 0 in jo
rešite. [reš. x “ 1]
3. Poiščite edino realno rešitev enačbe x3 ´ 3x `
4 “ 0 . [reš. x “ 3 ´2 `
?
3 ´ 3
a
2 `
?
3s
4. Poiščite vse tri realne rešitve enačbe x3 ´ 2x “
0, najprej s pomočjo ugibanja, nato z uporabo
Cardanove formule. [reš. x P t0,
?
2,´
?
2u]
Literatura
[1] A., Ekert. Complex and Unpredictable Cardano.
International Journal of Theoretical Physics, 47,
2008.
[2] L., Guilbeau. The History of the Solution of the
Cubic Equation. Mathematics News Letter,, 5(4):
48–12, 1930. dostopno na: https://doi.org/
10.2307/3027812.
[3] I., Vidav.Josip Plemelj: ob stoletnici rojstva., Dr-
žavna založba Slovenije, 1973.
[4] G., Cardano. Stipple engraving by R. Cooper. Well-
come Collection. Public Domain Mark. dostopno
na: https://wellcomecollection.org/works/
q737gkmx, ogled 19. 7. 2024.
[5] Cubic equation. dostopno na: https:
//en.wikipedia.org/wiki/Cubic_equation,
ogled 26. 6. 2024.
[6] Scipione del Ferro. dostopno na: https://en.
wikipedia.org/wiki/Scipione_del_Ferro,
ogled 26. 6. 2024.
ˆ ˆ ˆ
www.presek.si
www.fmf.uni-lj.si/sl/zalozba/