Univerza v Ljubljani Ekonomska fakulteta Janez Komelj Aktuarsko modeliranjevsot koreliranihzavarovalnih tveganj Doktorska disertacija Ljubljana, 2012 IZJAVA O AVTORSTVU SpodajpodpisaniJanezKomelj,študentEkonomskefakulteteUniverzevLjubljani,izjav- ljam,da sem avtordoktorske disertacije z naslovom Aktuarsko modeliranje vsotkoreli- ranihzavarovalnihtveganj,pripravljenevsodelovanjussvetovalcemprof. dr. Mihaelom Permanom. Izrecno izjavljam, da v skladu z doloˇ cili Zakona o avtorskih in sorodnih pravicah (Ur. l. RS, št. 21/1995 s spremembami) dovolim objavo doktorske disertacije na fakultetnih spletnih stranehter objavobibliografskih podatkovz abstraktomv mednarodnih bazah disertacij. Fakulteta zadrži pravico uporabe doktorske disertacije (teksti in objavljeni rezultati) v izobraževalne namene v okviru fakultete. S svojim podpisom zagotavljam,da • sta predloženi tiskana in elektronska verzija besedila doktorske disertacije istovetni; • je predloženo besedilo rezultat izkljuˇ cno mojega lastnega raziskovalnega dela; • je predloženo besedilo jezikovno korektno in tehniˇ cno pripravljeno v skladu z Navo- dili za izdelavo zakljuˇ cnih nalog Ekonomske fakultete Univerze v Ljubljani, kar po- meni, da sem ◦ poskrbel, dasodela inmnenja drugihavtorjevoziromaavtoric,kijihuporabljam v doktorskidisertaciji, citiranaoziromanavedena v skladuz Navodilizaizdelavo zakljuˇ cnih nalog Ekonomske fakultete Univerze v Ljubljani, in ◦ pridobil vsadovoljenjazauporaboavtorskihdel, kiso vceloti(vpisni aligrafiˇ cni obliki) uporabljena v tekstu, in sem to v besedilu tudi jasno zapisal; • se zavedam, da je plagiatorstvo – predstavljanje tujih del (v pisni ali grafiˇ cni obliki) kot mojih lastnih – kaznivo po Zakonu o avtorskih in sorodnih pravicah (Ur. l. RS, št. 21/1995 s spremembami); • se zavedam posledic, ki bi jih na osnovi predložene doktorske disertacije dokazano plagiatorstvo lahko predstavljalo za moj status na Ekonomski fakulteti Univerze v Ljubljani v skladu z relevantnim pravilnikom. Datum zagovora: 6. julij 2012 Predsednik: prof. dr. Aleš Ahˇ can Svetovalec: prof. dr. Mihael Perman ˇ Clan: prof. dr. Tomaž Košir V Ljubljani, dne 18. junija 2012 Podpis doktoranda: Aktuarsko modeliranjevsot koreliranihzavarovalnih tveganj Povzetek V doktorski disertaciji so obravnavani predpisi o kapitalu zavarovalnic, tveganja v zavarovalništvu, merjenje, primerjanje in urejanje tveganj, mere in modelira- nje odvisnosti med sluˇ cajnimi spremenljivkami, aktuarsko modeliranje agregat- nih odškodnin, izraˇ cun porazdelitvenih funkcij vsot koreliranih sluˇ cajnih spre- menljivk in optimalna alokacija kapitala. Teorijo dopolnjuje praktiˇ cen primer izraˇ cuna porazdelitvene funkcije agregatnih odškodnin za veˇ c portfeljev. Pozna- vanje naštetega je poleg podatkov kljuˇ cno za izraˇ cun solventnostnega kapitala zavarovalnice z internim modelom, ki ga kot alternativo standardnemu modelu predvideva nova zavarovalniška regulativa Solventnost 2. Kljuˇ cniproblem,ki je obravnavan v disertaciji, je, kako izraˇ cunati porazdelitveno funkcijo vsote koreliranih tveganj, za katera poznamo porazdelitvene funkcije in korelacijemednjimi. Splošnarešitevtegaproblemašeniznana. Edenodmogoˇ cih naˇ cinovzanjegovoreševanjetemeljinaideji,dabikarakteristiˇ cnofunkcijosluˇ caj- negavektorja zdanostrukturoodvisnostimednjegovimikomponentamizapisali sfunkcijo robnihkarakteristiˇ cnih funkcij, ki bibila odvisna leodstruktureodvis- nosti med komponentami. ˇ Ce bi taka funkcija obstajala, bi bila analogija kopuli, ki po Sklarovem izreku povezuje porazdelitveno funkcijo sluˇ cajnega vektorja z njegovimi robnimi porazdelitvenimi funkcijami, hkrati pa bi omogoˇ cala enosta- ven izraˇ cun karakteristiˇ cne in porazdelitvene funkcije vsote komponent sluˇ caj- nega vektorja. V disertaciji je dokazano, da v splošnem primeru taka funkcija ne obstaja. V disertaciji je razvita metoda, ki v posebnih primerih omogoˇ ca izraˇ cun karakte- ristiˇ cne funkcije sluˇ cajnega vektorja iz njegovih robnih karakteristiˇ cnih funkcij, karakteristiˇ cnih funkcij z distorzijskimi funkcijami transformiranih komponent sluˇ cajnega vektorja ter korelacijske matrike. Od tu do karakteristiˇ cne in nato po- razdelitvene funkcije vsote komponent sluˇ cajnega vektorja pa je le še rutinski postopek, pri katerem je kot raˇ cunsko sredstvo zelo primerna hitra Fourierova transformacija. Nova metoda je zaenkrat uporabna le za manjše število tveganj in strukturo od- visnosti,kijodoloˇ canovadružinakopul,skateropajemogoˇ cedoseˇ cilešibkedo zmernekorelacije. Teomejitve ni,ˇ ceodvisnostmedtveganjidoloˇ canormalnako- pula. V disertaciji je razvita nova metoda tudi za tak primer, njena matematiˇ cna korektnost pa je dokazana za dve tveganji. Kljuˇ cne besede: karakteristiˇ cna funkcija, kopula, porazdelitev agregatnih škod, solventnostnikapital, tveganje. Actuarial modellingof sums of correlatedinsurancerisks Summary Thisdoctoralthesisdiscussesregulationsoncapitalininsurancecompanies,risks in insurance, the measuring, comparing and sorting of risks, dependence mea- suresandrandom variables dependence modelling, actuarial aggregate loss mod- elling, the cumulative distribution functions of sums of correlated random vari- ables calculation, and optimal capital allocation. The theory presented is illus- trated by showingthe aggregate losscumulative distribution function calculation for several portfolios. In addition to data, a knowledge of the above is crucial for the calculation of the solvency capital of an insurance company with an internal model as an alternative to the standard model provided by the new Solvency 2 regulation. A key problem addressed in this thesis is how to calculate a cumulative distribu- tionfunctionofthesumofcorrelatedrisksbasedonthedistributionfunctionsof individual risks and correlations between them. A general solution to this prob- lem has not yet been found. One possible way to solve it is based on the idea that thecharacteristic function oftherandomvector with a given structureofde- pendence between its components could be a function of marginal characteristic functionsdependentonlyonthestructureofdependenciesbetweencomponents. If such a function existed, it would be an analogy to copula, which by Sklar’s theorem links a joint cumulative distribution function with marginal cumulative distribution functions. Such a function would enable a simple calculation of the characteristic and cumulative distribution function of the sum of random vector components. I prove in the thesis that such a function in a general case does not exist. Furthermore, I develop a method that allows, in special cases, the calculation of the characteristic function of the random vector from its marginal characteristic functions, characteristic functions of distorted components of a random vector, and correlation matrix. To get from here to the characteristic and cumulative distribution function of the sum of random vector components is only a matter of routine, especially if using the Fast Fourier Transform as a calculation tool. The new method is currently applicable only to a small number of risks and the structure dependence imposed by the new copula family, by which only weak to moderate correlations can be achieved. This restriction does not apply if the de- pendencebetweenrisksisimposedbynormalcopula. Inthethesisa newmethod is developed for such a case and its mathematical correctness is proved for two risks. Keywords: aggregate loss distribution, characteristic function, copula, risk, sol- vency capital. Kazalo 1 Uvod 1 1.1 Opredelitev problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Cilji in namen dela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Uporabljena metodologija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 Znanstveni prispevek dela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.5 Struktura dela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2 Predpisi o kapitalu zavarovalnic 9 2.1 Kratek pregled razliˇ cnih predpisov o solventnosti zavarovalnic . . . 10 2.2 Kapitalske zahteve v Evropski uniji pred projektom Solventnost 1 . 11 2.2.1 Direktive za premoženjska zavarovanja . . . . . . . . . . . . . 12 2.2.2 Direktive za življenjska zavarovanja . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3 Kapitalske zahteve v Evropski uniji – projekt Solventnost 1 . . . . . 16 2.3.1 Müllerjevo poroˇ cilo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3.2 Direktiva za premoženjska zavarovanja . . . . . . . . . . . . . 17 2.3.3 Direktiva za življenjska zavarovanja . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.4 Kapitalske zahteve v Evropski uniji – projekt Solventnost 2 . . . . . 18 2.4.1 Kapitalski dogovor Basel II za banke . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.4.2 Lamfalussyjev proces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.4.3 KPMG-jevo poroˇ cilo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.4.4 Sharmovo poroˇ cilo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.4.5 Poroˇ cilo Mednarodnega aktuarskega združenja . . . . . . . . 22 2.4.6 Standardni model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.4.7 Interni model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.4.8 Kvantitativne študije vpliva sprememb . . . . . . . . . . . . . . 26 3 Tveganja v zavarovalništvu 28 3.1 Problematika klasifikacije tveganj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.2 Klasifikacija tveganj za premoženjska zavarovanja . . . . . . . . . . 31 3.3 Slovenski predpisi o obvladovanju tveganj v zavarovalnicah . . . . . 34 3.4 Obvladovanje tveganj za premoženjska zavarovanja . . . . . . . . . 35 3.5 Predstavitev glavnih pozavarovalnih oblik . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.5.1 Kvotno pozavarovanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.5.2 Vsotno presežkovno pozavarovanje . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.5.3 Škodno presežkovno pozavarovanje . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.5.4 Pozavarovanje letnega presežka škod . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.5.5 Primerjava uˇ cinkovitosti posameznih pozavarovalnih oblik . 43 i 4 Merjenje,primerjanjein urejanjetveganj 45 4.1 Osnovnipojmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.2 Mere tveganja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.2.1 Koherentne mere tveganja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.2.2 Varianca in standardni odklon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.2.3 Tvegana vrednost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.2.4 Konˇ cna tvegana vrednost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.2.5 Priˇ cakovani primanjkljaj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.2.6 Mere tveganja na podlagi funkcij koristnosti . . . . . . . . . . 56 4.2.7 Mere tveganja na podlagi distorzijskih funkcij . . . . . . . . . 58 4.2.8 Medsebojna primerjava posameznih mer tveganja . . . . . . . 60 4.2.9 Primerjava klasiˇ cnega in dualnega odloˇ canja v razmerah ne- gotovosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.3 Primerjanje in urejanje tveganj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.3.1 Stohastiˇ cna urejenost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.3.2 Stop-loss urejenost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.3.3 Zaporedje stohastiˇ cnih urejenosti . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.3.4 Konveksna urejenost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.3.5 Korelacijska urejenost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 4.3.6 Relacije med razliˇ cnimi urejenostmi . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.4 Premijski principi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.4.1 Neto premijski princip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 4.4.2 Princip variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.4.3 Princip standardnega odklona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 4.4.4 Princip funkcije koristnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.4.5 Wangov premijski princip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 5 Merein modeliranjeodvisnostimed sluˇ cajnimispremenljivkami 82 5.1 Pearsonovkorelacijski koeficient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 5.2 Spearmanov korelacijski koeficient ranga . . . . . . . . . . . . . . . . 87 5.3 Kendallov tav . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 5.4 Komonotonost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 5.5 Kopule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 5.5.1 Definicija kopule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 5.5.2 Lastnosti kopul. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 5.5.3 Sklarov izrek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 5.5.4 Konstruiranje kopul. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 ii 5.5.5 Potrebni in zadostni pogoji za veˇ crazsežno porazdelitveno funkcijo z danimi robnimi porazdelitvenimi funkcijami . . . 107 5.5.6 Splošen razred veˇ crazsežnih porazdelitvenih funkcij . . . . . 109 5.5.7 Merjenje odvisnosti med ekstremnimi vrednostmi . . . . . . . 120 6 Aktuarskomodeliranjeagregatnih odškodnin 124 6.1 Kolektivni model rizikov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 6.2 Doloˇ canje verjetnostnih funkcij, ki modelirajo število odškodnin. . 125 6.3 Doloˇ canje porazdelitvenih funkcij, ki modelirajo višino odškodnin 127 6.4 Izraˇ cun agregatnih odškodnin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 6.4.1 Eksaktna porazdelitvena funkcija agregatnih odškodnin . . . 128 6.4.2 Metoda momentov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 6.4.3 Izraˇ cuni na podlagi rekurzije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 6.4.4 Izraˇ cuni s simulacijo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 6.4.5 Izraˇ cuni na podlagi inverzne Fourierove transformacije . . . 135 7 Izraˇ cunporazdelitvenihfunkcijvsotkoreliranihsluˇ cajnihspremenljivk140 7.1 Metoda momentov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 7.2 Metoda dodanega šuma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 7.3 Izraˇ cuni s simulacijo normalne in Studentove kopule . . . . . . . . . 145 7.4 Iman-Conoverjeva metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 7.5 Izraˇ cuni na podlagi inverzne Fourierove transformacije . . . . . . . 154 7.5.1 Wangova metoda s (psevdo)karakteristiˇ cno funkcijo . . . . . 154 7.5.2 "Sklarov" izrek za karakteristiˇ cne funkcije ne obstaja . . . . . 158 7.6 Izraˇ cuni s kopulami in hitro Fourierovo transformacijo . . . . . . . . 165 7.6.1 Kopule z loˇ cljivimi spremenljivkami in hitra Fourierova trans- formacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 7.6.2 Normalna kopula in hitra Fourierova transformacija . . . . . 169 8 Optimalnaalokacija kapitala 182 8.1 Alokacija kapitala po vrstah tveganj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 8.2 Alokacija kapitala po zavarovalnih vrstah . . . . . . . . . . . . . . . . 200 9 Praktiˇ cenprimer izraˇ cunaagregatnih odškodnin za veˇ c portfeljev 206 9.1 Predpostavke o posameznih portfeljih . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 9.2 Izraˇ cun za neodvisne portfelje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 9.2.1 Primer brez pozavarovanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 9.2.2 Primer s pozavarovanjem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 9.3 Izraˇ cun za odvisne portfelje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 9.3.1 Primer brez pozavarovanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 iii 9.3.2 Primer s pozavarovanjem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 Sklep 221 Literatura 225 Viri 237 Tabele 2.1 Primerjava nekaterih zavarovalniških solventnostnih sistemov . . . 10 4.1 Primerjava razliˇ cnih mer tveganja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 8.1 Korelacijskikoeficientimedtveganji,kivplivajo nasolventnostnika- pital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 9.1 Osnovnipodatki o izhodišˇ cnih portfeljih A, B, C in D . . . . . . . . . 207 9.2 Karakteristike kosmatih in ˇ cistih agregatnih odškodnin za portfelje A, B, C in D – teoretiˇ cno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 9.3 Karakteristike kosmatih in ˇ cistih agregatnih odškodnin za portfelje A, B, C in D – rekurzija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 9.4 Karakteristike kosmatih in ˇ cistih agregatnih odškodnin za portfelje A, B, C in D – simulacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 9.5 Ekonomskikapitalzakosmateinˇ cisteportfeljeA,B,CinD–rekurzija 212 9.6 Ekonomski kapital za kosmate in ˇ ciste portfelje A, B, C in D – simu- lacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 9.7 EkonomskikapitalzavsotoneodvisnihkosmatihportfeljevA+B,C+D ter A+B+C+D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 9.8 Ekonomskikapitalzavsotoneodvisnihˇ cistihportfeljevA+B,C+Dter A+B+C+D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 9.9 Ekonomskikapital zavsotoodvisnihkosmatihportfeljevA+Bzaρ∈ {− 1 4 ,0, 1 4 , 1 2 , 3 4 } . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 9.10EkonomskikapitalzavsotoodvisnihkosmatihportfeljevC+Dzaρ∈ {− 1 4 ,0, 1 4 , 1 2 , 3 4 } . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 9.11Ekonomski kapital za vsoto odvisnih kosmatih portfeljev A+B+C+D zaρ∈{− 1 4 ,0, 1 4 , 1 2 , 3 4 } . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 9.12Ekonomski kapital za vsoto odvisnih ˇ cistih portfeljev A+B za ρ ∈ {− 1 4 ,0, 1 4 , 1 2 , 3 4 } . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 9.13Ekonomski kapital za vsoto odvisnih ˇ cistih portfeljev C+D za ρ ∈ {− 1 4 ,0, 1 4 , 1 2 , 3 4 } . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 iv 9.14Ekonomski kapital za vsoto odvisnih ˇ cistih portfeljev A+B+C+D za ρ∈{− 1 4 ,0, 1 4 , 1 2 , 3 4 } . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 Slike 2.1 Komponente za izraˇ cun zahtevanega solventnostnega kapitala . . . 24 5.1 KopulaΠ 2 (kopula neodvisnosti) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 5.2 KopulaW 2 (Fréchet-Hoeffdingova spodnja meja) . . . . . . . . . . . . 95 5.3 KopulaM 2 (Fréchet-Hoeffdingova zgornja meja) . . . . . . . . . . . . 95 5.4 Nivojnice kopuleΠ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 5.5 Nivojnice kopuleW 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 5.6 Nivojnice kopuleM 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 5.7 Gostota verjetnosti normalne kopuleC Ga 1/4 . . . . . . . . . . . . . . . . 104 5.8 Gostota verjetnosti normalne kopuleC Ga 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . 104 5.9 Gostota verjetnosti normalne kopuleC Ga 3/4 . . . . . . . . . . . . . . . . 104 5.10Gostota verjetnosti Studentove kopuleC t 1,1/4 . . . . . . . . . . . . . . 105 5.11Gostota verjetnosti Studentove kopuleC t 1,1/2 . . . . . . . . . . . . . . 105 5.12Gostota verjetnosti Studentove kopuleC t 1,3/4 . . . . . . . . . . . . . . 105 5.13Gostota verjetnosti Claytonove kopuleC Cl 3 . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.14Gostota verjetnosti Frankove kopuleC Fr 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.15Gostota verjetnosti Gumbelove kopuleC Gu 2 . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.16Gostota verjetnosti FGM kopule iz primera 5.7 . . . . . . . . . . . . . 118 5.17Gostota verjetnosti modificirane FGM kopule iz primera 5.8 . . . . . 118 5.18Gostota verjetnosti nove kopule iz primera 5.9 . . . . . . . . . . . . . 118 5.19Nivojnice gostote verjetnosti FGM kopule iz primera 5.7 . . . . . . . 119 5.20Nivojnice gostote verjetnosti modificirane FGM kopule iz primera 5.8 119 5.21Nivojnice gostote verjetnosti nove kopule iz primera 5.9 . . . . . . . 119 5.22Funkciji F X 1 +X 2 in f X 1 +X 2 za X 1 ∼ Exp(1) in X 2 ∼ Exp(2), ki ju pove- zuje FGM kopula iz primera 5.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 5.23Funkciji F X 1 +X 2 in f X 1 +X 2 za X 1 ∼ Exp(1) in X 2 ∼ Exp(2), ki ju pove- zuje modificirana FGM kopula iz primera 5.8 . . . . . . . . . . . . . . 119 5.24Funkciji F X 1 +X 2 in f X 1 +X 2 za X 1 ∼ Exp(1) in X 2 ∼ Exp(2), ki ju pove- zuje nova kopula iz primera 5.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 5.25Nivojnice gostote verjetnosti normalne kopuleC Ga 1/2 . . . . . . . . . . 123 5.26Nivojnice gostote verjetnosti Studentove kopuleC t 1,1/2 . . . . . . . . 123 5.27Nivojnice gostote verjetnosti Gumbelove kopuleC Gu 2 . . . . . . . . . 123 5.28Gostota verjetnosti f X 1 ,X 2 zaX 1 ∼ N(0,1) inX 2 ∼ N(0,1), ki ju pove- zuje kopulaC Ga 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 v 5.29Gostota verjetnosti f X 1 ,X 2 zaX 1 ∼ N(0,1) in X 2 ∼ N(0,1), ki ju pove- zuje kopulaC t 1,1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 5.30Gostota verjetnosti f X 1 ,X 2 zaX 1 ∼ N(0,1) in X 2 ∼ N(0,1), ki ju pove- zuje kopulaC Gu 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 5.31Nivojnice gostote verjetnostif X 1 ,X 2 zaX 1 ∼N(0,1) inX 2 ∼N(0,1), ki ju povezuje kopulaC Ga 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 5.32Nivojnice gostote verjetnostif X 1 ,X 2 zaX 1 ∼N(0,1) inX 2 ∼N(0,1), ki ju povezuje kopulaC t 1,1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 5.33Nivojnice gostote verjetnostif X 1 ,X 2 zaX 1 ∼N(0,1) inX 2 ∼N(0,1), ki ju povezuje kopulaC Gu 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 7.1 Shematiˇ cen izraˇ cunS 8 z dvojiškim drevesom . . . . . . . . . . . . . . 179 7.2 Izraˇ cunS 11 z algoritmom 7.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 8.1 Shematiˇ cen izraˇ cun ekonomskega kapitala. . . . . . . . . . . . . . . . 186 9.1 Porazdelitvene funkcije števila odškodnin za portfelje A, B, C in D . 208 9.2 Verjetnostne funkcije števila odškodnin za portfelje A, B, C in D . . 208 9.3 Porazdelitvene funkcije kosmatih odškodnin za portfelje A, B, C in D 208 9.4 Gostote verjetnosti kosmatih odškodnin za portfelje A, B, C in D . . 208 9.5 Porazdelitvene funkcije kosmatih agregatnih odškodnin za portfelje A, B, C in D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 9.6 Porazdelitvene funkcije ˇ cistih agregatnih odškodnin za portfelje A, B, C in D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 9.7 GostoteverjetnostikosmatihagregatnihodškodninzaportfeljeA,B, C in D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 9.8 Gostote verjetnosti ˇ cistih agregatnih odškodnin za portfelje A, B, C in D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 9.9 Porazdelitvena funkcijakosmatihagregatnihodškodninzavsotone- odvisnih portfeljev A+B, C+D ter A+B+C+D . . . . . . . . . . . . . . . 214 9.10Gostota verjetnosti kosmatih agregatnih odškodnin za vsoto neod- visnih portfeljev A+B, C+D ter A+B+C+D . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 9.11Porazdelitvena funkcija ˇ cistih agregatnih odškodnin za vsoto neod- visnih portfeljev A+B, C+D ter A+B+C+D . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 9.12Gostota verjetnostiˇ cistih agregatnih odškodnin za vsoto neodvisnih portfeljev A+B, C+D ter A+B+C+D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 9.13Porazdelitvenafunkcijakosmatihagregatnihodškodninzavsotood- visnih portfeljev A+B zaρ∈{− 1 4 ,0, 1 4 , 1 2 , 3 4 } . . . . . . . . . . . . . . . 216 9.14Gostota verjetnosti kosmatih agregatnih odškodnin za vsoto odvis- nih portfeljev A+B zaρ∈{− 1 4 ,0, 1 4 , 1 2 , 3 4 } . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 vi 9.15Porazdelitvenafunkcijakosmatihagregatnihodškodninzavsotood- visnih portfeljev C+D zaρ∈{− 1 4 ,0, 1 4 , 1 2 , 3 4 } . . . . . . . . . . . . . . . 216 9.16Gostota verjetnosti kosmatih agregatnih odškodnin za vsoto odvis- nih portfeljev C+D zaρ∈{− 1 4 ,0, 1 4 , 1 2 , 3 4 } . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 9.17Porazdelitvenafunkcijakosmatihagregatnihodškodninzavsotood- visnih portfeljev A+B+C+D zaρ∈{− 1 4 ,0, 1 4 , 1 2 , 3 4 } . . . . . . . . . . . . 217 9.18Gostota verjetnosti kosmatih agregatnih odškodnin za vsoto odvis- nih portfeljev A+B+C+D zaρ∈{− 1 4 ,0, 1 4 , 1 2 , 3 4 } . . . . . . . . . . . . . . 217 9.19Porazdelitvena funkcija kosmatega tehniˇ cnega izida za vsoto odvis- nih portfeljev A+B+C+D zaρ∈{− 1 4 ,0, 1 4 , 1 2 , 3 4 } . . . . . . . . . . . . . . 218 9.20Gostota verjetnosti kosmatega tehniˇ cnega izida za vsoto odvisnih portfeljev A+B+C+D zaρ∈{− 1 4 ,0, 1 4 , 1 2 , 3 4 } . . . . . . . . . . . . . . . . 218 9.21Porazdelitvena funkcija ˇ cistih agregatnih odškodnin za vsoto odvis- nih portfeljev A+B zaρ∈{− 1 4 ,0, 1 4 , 1 2 , 3 4 } . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 9.22Gostota verjetnosti ˇ cistih agregatnih odškodnin za vsoto odvisnih portfeljev A+B zaρ∈{− 1 4 ,0, 1 4 , 1 2 , 3 4 } . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 9.23Porazdelitvena funkcija ˇ cistih agregatnih odškodnin za vsoto odvis- nih portfeljev C+D zaρ∈{− 1 4 ,0, 1 4 , 1 2 , 3 4 } . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 9.24Gostota verjetnosti ˇ cistih agregatnih odškodnin za vsoto odvisnih portfeljev C+D zaρ∈{− 1 4 ,0, 1 4 , 1 2 , 3 4 } . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 9.25Porazdelitvena funkcija ˇ cistih agregatnih odškodnin za vsoto odvis- nih portfeljev A+B+C+D zaρ∈{− 1 4 ,0, 1 4 , 1 2 , 3 4 } . . . . . . . . . . . . . . 219 9.26Gostota verjetnosti ˇ cistih agregatnih odškodnin za vsoto odvisnih portfeljev A+B+C+D zaρ∈{− 1 4 ,0, 1 4 , 1 2 , 3 4 } . . . . . . . . . . . . . . . . 219 9.27Porazdelitvena funkcija ˇ cistega tehniˇ cnega izida za vsoto odvisnih portfeljev A+B+C+D zaρ∈{− 1 4 ,0, 1 4 , 1 2 , 3 4 } . . . . . . . . . . . . . . . . 221 9.28Gostota verjetnosti ˇ cistega tehniˇ cnega izida za vsoto odvisnih port- feljev A+B+C+D zaρ∈{− 1 4 ,0, 1 4 , 1 2 , 3 4 } . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 Algoritmi 7.1 Generiranje nakljuˇ cnega vzorca sluˇ cajnega vektorja X∼N n (µ, Σ) . 146 7.2 Generiranje nakljuˇ cnega vzorca sluˇ cajnega vektorja X∼t n (ν,µ, Σ) 146 7.3 Generiranjem nakljuˇ cnih vzorcevn-razsežnega sluˇ cajnega vektorja s predpisanimi robnimi porazdelitvenimi funkcijami. Komponente povezuje normalna ali Studentova kopula, ki jo doloˇ ca predpisana korelacijska matrika. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 vii 7.4 Generiranjem nakljuˇ cnih vzorcevn-razsežnega sluˇ cajnega vektorja s predpisanimi robnimi porazdelitvenimi funkcijami z Iman-Cono- verjevo metodo. Komponente povezuje normalna ali Studentova ko- pula, ki jo doloˇ ca predpisana korelacijska matrika. . . . . . . . . . . 153 7.5 Izraˇ cun porazdelitvene funkcije vsote komponentn-razsežnega slu- ˇ cajnega vektorja s predpisanimi robnimi porazdelitvenimi funkci- jamiinmatrikolinearnihkorelacijskih koeficientovternormalnoko- pulo. Izvedba z zaporednim prištevanjem. . . . . . . . . . . . . . . . . 177 7.6 Izraˇ cun porazdelitvene funkcije vsote komponentn-razsežnega slu- ˇ cajnega vektorja s predpisanimi robnimi porazdelitvenimi funkci- jamiinmatrikolinearnihkorelacijskih koeficientovternormalnoko- pulo. Izvedba z dvojiškim drevesom. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 Priloge Priloga 1: Seznam uporabljenih kratic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 viii 1 Uvod 1.1 Opredelitev problema Zavarovalnice so pri svojem poslovanju izpostavljene številnim tveganjem, med katerimi so najpomembnejša zavarovalna in tržna tveganja. Med zavarovalna so- dijotista tveganja, kisoneposrednoaliposrednopovezana z zavarovalno-tehniˇ c- nimi oziroma aktuarskimi izraˇ cuni zavarovalnih premij in zavarovalno-tehniˇ cnih rezervacij, pa tudi tveganja, povezana s prehitro oziroma nenadzorovano rastjo operativnih stroškov. Med tržna pa sodijo tista tveganja, ki so povezana z nesta- novitnostjo cen finanˇ cnih instrumentov in tržnih cen drugih sredstev zavaroval- nice. Posledica prevelikega zavarovalnega tveganja je lahko veliko poveˇ canje obvez- nosti zavarovalnice, posledica prevelikega tržnega tveganja pa je lahko obˇ cutno zmanjšanjenjenihsredstev. Seveda navišinoobveznostiinsredstevvplivajo tudi druga tveganja, ki jih tu ne omenjamo,ˇ ce pa se posamezna veˇ cja ali veˇ c manjših tveganj uresniˇ ci, to lahko povzroˇ ci nesolventnost zavarovalnice. Vzroki za težave s solventnostjo so lahko zelo raznoliki. Usodne so lahko na- paˇ cne odloˇ citve pri sprejemanju posameznih velikih rizikov v zavarovanje, de- nimoneustreznodoloˇ cenezavarovalnepremijealinapaˇ cnoocenjenemaksimalne priˇ cakovane škode, za celo vrsto manjših rizikov pa so lahko kritiˇ cne že v iz- hodišˇ cu aktuarsko napaˇ cno izraˇ cunane premijske stopnje v premijskih cenikih. Tudi ˇ ce so premije pravilno doloˇ cene, so lahko za zavarovalnico usodni izredno neugodni nakljuˇ cni škodni procesi, denimo zaradi naravnih nesreˇ c, neustrezno pozavarovanje, nepredvideno narašˇ canje števila ali višine škod zaradi sprememb gospodarskega okolja in še najrazliˇ cnejši drugi vzroki, seveda tudi taki, ki niso povezani z zavarovalnimi tveganji. Zavarovalništvo temelji na "nadzorovani" nakljuˇ cnosti, zaradi ˇ cesar je za varno poslovanje izjemno pomembno ustrezno upravljanje tveganj. Zavarovalnice bi morale zgodaj ugotavljati probleme in s pravoˇ casnim ukrepanjem šˇ cititi interese zavarovancev in lastnikov, da ne bi prišlo do delne ali celo popolne izgube ka- pitala, s katerim zavarovalnica jamˇ ci za izplaˇ cilo zavarovalnin oziroma odškod- nin 1 ,ˇ cezbranepremijeinzavarovalno-tehniˇ cnerezervacijenezadošˇ cajo. Interesi 1 V nadaljevanju bomo namesto izrazov zavarovalnina in odškodnina kot sinonim za obe vrsti dajatve zavarovalnice, ki ju predvideva Obligacijski zakonik (Ur. l. RS, št. 97/2007-UPB1), uporabljali le izraz odškodnina. Izraz zavarovalnina je sicer nevtralnejši in bi lahko pomenil tudi odškodnine, ki se nanašajo le na odgovornostna zavarovanja, vendar bomo kljub temu raje uporabljali izraz odškodnina v smislu nadomestila za škodo, kot ga pojmuje Boncelj (1983, str. 20). 1 lastnikov niso vedno enaki interesom zavarovancev, ki bi bili ob morebitni nesol- ventnosti zavarovalnice prikrajšani za izplaˇ cilo odškodnin, zato je potreben tudi neodvisen zavarovalni nadzor. Zavarovalni nadzorniki bi morali zgodaj ugotoviti morebitne težave zavarovalnice, ko te še niso kritiˇ cne, in s pravoˇ casnim ukre- panjem prepreˇ citi nastanek nesolventnosti. Tega problema se razvite države že dolgo dobro zavedajo, zato predpisujejo minimalno višino kapitala, ki ga morajo imeti zavarovalnice, in preverjajo njihovo solventnost. Razliˇ cne metode izraˇ cuna zakonsko zahtevanega minimalnega kapitala se razli- kujejo predvsem po tem, katera tveganja, ki so jim izpostavljene zavarovalnice, so upoštevana pri izraˇ cunu, seveda pa tudi po tem, kako na podlagi tveganja do- loˇ cimo višino kapitala. Trenutno v Evropski uniji (EU) minimalni kapital za zavarovalnice, ki se ukvar- jajo s premoženjskimi zavarovanji, raˇ cunamo v skladu z Direktivo 2002/13/ES (Ur. l. EU, št. L 77/17, 2002), za zavarovalnice, ki se ukvarjajo z življenjskimi zavarovanji 2 , pa z Direktivo 2002/83/ES (Ur. l. EU, št. L 345/1, 2002). Predpi- sani izraˇ cun minimalnega kapitala v obeh direktivah pa je le izboljšana verzija prvotnega naˇ cina izraˇ cuna, ki je bil predpisan že v 70. letih prejšnjega stoletja in ima nekatere pomanjkljivosti. Tako so, denimo, pri izraˇ cunu kapitala za pre- moženjskezavarovalnice upoštevanalezavarovalna tveganja,delnotudikreditna tveganja, preostala tveganja pa so popolnoma zanemarjena. Pomanjkljivostiobstojeˇ cegazavarovalniškega solventnostnegarežima, ki ne upo- števa vseh glavnih tveganj, želja po odpravi velikih razlik v predpisih posamez- nih držav EU in novi mednarodni standardi raˇ cunovodskega poroˇ canja (MSRP) so glavnirazlogizaspremembozavarovalniške regulative, kiurejapodroˇ cjesolvent- nosti. Delo poteka v okviru projekta Solventnost 2, ki še ni konˇ can, kljuˇ cna nova Direktiva 2009/138/ES (Ur. l. EU, št. L 335/1, 2009, v nadaljevanju Direktiva Solventnost 2) pa je že sprejeta. Direktiva predpisuje izraˇ cun solventnostnega kapitala, ki temelji na glavnih tveganjih zavarovalnice, predvideva pa uporabo standardnega, delnega ali popolnega internega modela. Zelo verjetno bodo popolne interne modele lahko razvile le zelo velike zavaroval- nice, kakršnih v Sloveniji ni. Delni interni modeli pa bi morali biti izziv tudi za slovenske zavarovalnice in pozavarovalnice, ˇ ce bodo hotele bolj zanesljivo pre- živeti. Tudi ˇ ce bodo višino kapitala raˇ cunale s standardnim modelom, bo boljše poznavanje in upravljanje tveganj nujno, saj Solventnost 2 poleg kvantitativne predvideva tudi kvalitativno obravnavo tveganj. Obstaja tudi vrsta možnosti za 2 S pojmom premoženjska oziroma življenjska zavarovanja so mišljena zavarovanja, kot jih v 2. ˇ clenu doloˇ ca Zakon o zavarovalništvu(Ur. l. RS, št. 99/2010-UPB7). 2 izboljšanjeposlovanja, kijihlahkozavarovalnice uresniˇ cijole,ˇ ceboljeupravljajo tveganja in jih ustrezno modelirajo. Odpirajo pa se tudi nove priložnosti, de- nimo pridobitev oziroma lažja ohranitev primerne bonitetne ocene, ki je vsaj za pozavarovalnice pogoj za resen vstop na mednarodno tržišˇ ce. Osrednje vprašanje, ki ga obravnavamo v doktorski disertaciji, je vprašanje, kako izraˇ cunati skupno tveganje, ˇ ce poznamo posamezna tveganja, ki so med seboj odvisna oziroma korelirana. Glavna podvprašanja pa so,kako tveganja sploh me- riti, jih med seboj primerjati in urejati. Našteta vprašanja so kljuˇ cna za izgradnjo (delnega) internega modela, ki bi bil boljši napovedovalec dejanskih kapitalskih potreb kot pa standardni model Solventnosti 2. Sicer pa ta vprašanja v teoriji sodijo na podroˇ cje verjetnostnega raˇ cuna, v praksi pa so povezana z odloˇ canjem v negotovih razmerah. Uporabna so predvsem pri reševanju pomembnih eko- nomskih problemov v zavarovalništvu in banˇ cništvu, pa tudi na mnogih drugih podroˇ cjih. 1.2 Cilji in namendela Splošni okvir raziskovanja v disertaciji se posredno nanaša na predpise o kapi- talski ustreznosti zavarovalnic. Ti so potrebni zaradi tveganosti dejavnosti, ki temelji na obvladovanju velikega števila nakljuˇ cnih škodnih dogodkov. Izhodi- šˇ ceraziskovanjasotveganja,kisojimizpostavljenepremoženjskezavarovalnice, glavni predmet raziskovanja pa so abstraktni modeli tveganj (sluˇ cajne spremen- ljivke) in z njimi povezana vprašanja kvantitativne narave: kako tveganja meriti, primerjati in urejati. Predvsem pa gre za to, kako izraˇ cunati vsoto koreliranih tveganj. ˇ Ce so posamezna tveganja zaradi v zavarovanje prevzetih rizikov med seboj ne- odvisna in jih je veliko, zanje lahko oblikujemo ustrezne aktuarske modele, ki so dovolj dobri za praktiˇ cno napovedovanje bodoˇ cega škodnega dogajanja oziroma doloˇ canje primerne zavarovalne premije. Kljuˇ cne so pravilno napovedane agre- gatne odškodnine, ki se nanašajo na posamezno obdobje. Napoved, ki je odvisna odpredvidenega števila zavarovanj, pogostostinastanka škodinporazdelitve nji- hove višine, je obvladljiva oziroma praktiˇ cno rešljiva. Kot taka je obravnavana v disertaciji, kjerrešitevtegavprašanja,denimoporazdelitvena funkcijaagregatnih odškodnin na ravni zavarovalne vrste, pomeni le enega od vhodnih podatkov za glavni problem. Odvisnost oziroma koreliranost med posameznimi tveganji zaradi v zavarovanje prevzetih rizikov teoretiˇ cno vedno obstaja že zaradi skupnih dejavnikov, denimo vremena ali inflacije, vendar pa ocenjujemo, da je majhna. Tovrstne odvisnosti 3 oziroma koreliranosti med posameznimi riziki za isto zavarovalno vrsto v diser- taciji ne obravnavamo (glej npr. Wang, 1998b, 1998c). Za njen vpliv predpostav- ljamo, da je že zajet v vhodnih podatkih (porazdelitvenih funkcijah agregatnih odškodnin na ravni zavarovalne vrste) oziroma je zanemarljiv. Omenimo še, da so korelacije med posameznimi tveganji zaradi v zavarovanje prevzetih rizikov oziroma med ustreznimi odškodninami vˇ casih tudi velike, ˇ ce so škode posledica naravnih nevarnosti, denimo toˇ ce ali viharja, kar pa modeliramo s posebnimi me- todami, ki jih v disertaciji ne obravnavamo. Izraˇ cun porazdelitvene funkcije agregatnih odškodnin za veˇ c neodvisnih zavaro- valnih vrst skupaj je obvladljiv oziroma praktiˇ cno rešljiv. Ko pa predpostavimo, da so agregatne odškodnine posameznih zavarovalnih vrst med seboj korelirane, se stvari zapletejo. Rešiti je treba kljuˇ cni teoretiˇ cni problem, ki si ga zastavljamo vdisertaciji, kako izraˇ cunati porazdelitveno funkcijo vsote med seboj koreliranih sluˇ cajnih spremenljivk za dovolj širok nabor veˇ crazsežnih porazdelitev. Prak- tiˇ cnih interpretacij tega teoretiˇ cnega problema je veliko. V kontekstu projekta Solventnost 2 se kot najpomembnejše zastavlja vprašanje, kako izraˇ cunati po- razdelitveno funkcijo dobiˇ cka oziroma izgube zavarovalnice, ˇ ce poleg prihodkov upoštevamo tudi med seboj korelirane odhodke zaradi zavarovalnih, tržnih, kre- ditnih in operativnih tveganj. Z znanim rezultatom lahko ob dani še sprejemljivi stopnji tveganja nesolventnosti za dani ˇ casovni okvir doloˇ cimo primerno višino kapitala, kar je eden od kljuˇ cnih ciljev nove solventnostne zakonodaje. Glavni namen disertacije je rešiti vprašanje, kako izraˇ cunati skupno tveganje, ˇ ce poznamoposameznatveganja,kisomedsebojodvisnaoziromakorelirana. Pred- postavimo, da za vsako glavno tveganje poznamo porazdelitveno funkcijo slu- ˇ cajnespremenljivke,skaterogamodeliramo,hkratipa poznamovrstoodvisnosti oziroma korelacije med tveganji. Glavni cilj disertacije je konkretni izraˇ cun po- razdelitvene funkcije vsote znanega števila koreliranih sluˇ cajnih spremenljivk, s katerimi smo modelirali posamezna tveganja. Za rešitev te naloge obstaja veˇ c posebnih metod, ki so predstavljene tudi v disertaciji, nobena med njimi pa ni splošno uporabna oziroma primerna za vse primere. Zato je dobrodošel vsak prispevek k reševanju tega vprašanja, ˇ ceprav predstavlja le nov korak na poti do njegove splošne rešitve. V disertaciji predstavljamo novo izvirno pot, ki temelji na teoriji kopul, a je do cilja prehojena le za posebne primere. V standardnem modelu, ki ga predpisuje Solventnost 2, je uporabljen poenostav- ljen pristop, da bo izraˇ cun izvedljiv tudi v zavarovalnicah z manjšimi finanˇ cnimi možnostmi. Tudiˇ ce uporaba primernejšihmetodza izraˇ cun skupnega tveganja v majhnih zavarovalnicah ne bo vplivala na višino njihovega solventnostnega kapi- 4 tala, bodo natanˇ cnejši izraˇ cuni omogoˇ cali ustreznejše upravljanje tveganj z dru- gimi ukrepi, denimo primernejšim pozavarovanjem. Pomembni bodo tudi drugi stranski uˇ cinki podrobnejšega poznavanja tveganj. Tako bo s primerno aloka- cijo kapitala po zavarovalnih produktih, odvisno od njihove tveganosti, omogo- ˇ cena realnejša ocena njihove dobiˇ ckonosnosti. Tudi v zavarovalnicah, v katerih operativne stroške dosledno razporejajo na posamezne zavarovalne produkte ali vsaj na zavarovalne vrste, zelo verjetno kot kljuˇ c za alokacijo stroškov kapitala uporabljajo ustrezni delež zavarovalne premije. To je sicer usklajeno s trenutno veljavnimi predpisi za izraˇ cun minimalnega kapitala, vendar bistveno premalo odraža dejstvo, da zavarovalnice kapital potrebujejo zaradi tveganosti svoje de- javnosti, med tveganostjo posameznih zavarovalnih vrst ali posameznih zavaro- valnih produktov pa so zelo velike razlike. Navedimo še temeljno hipotezo in glavno tezo doktorske disertacije ter njima podrejene teze. Temeljna hipoteza: Tudi v majhnih zavarovalnicah in pozavarovalnicah, ki bodo vrežimuSolventnosti2uporabljalestandardnimodelzaizraˇ cunsolventnostnega kapitala, je smiselno in uresniˇ cljivo razvijati interne modele merjenja in uprav- ljanja tveganj, oziroma je smiselno in uresniˇ cljivo dopolnjevati modele, ki bodo predpisani. Glavna teza: Porazdelitveno funkcijo vsote šibko do srednje moˇ cno koreliranih sluˇ cajnih spremenljivk, odvisno od števila le-teh, je mogoˇ ce izraˇ cunati s pomoˇ cjo formulezaveˇ crazsežnokarakteristiˇ cnofunkcijo. Tovrstnateoretiˇ cnarešitevjeza neodvisnesluˇ cajnespremenljivkepreprosta,zakoreliranesluˇ cajnespremenljivke pa je v strokovni literaturi še neznana. Teza 1: Vsak model merjenja in upravljanja tveganj, ˇ cetudi preprost, lahko pri- pomore k izboljšanju poslovanja zavarovalnice. Teza 2: Pozitivni uˇ cinki merjenja tveganj bi lahko nastali predvsem zaradi na- tanˇ cnejšega doloˇ canja višine zavarovalne premije, natanˇ cnejšega doloˇ canja zava- rovalno-tehniˇ cnih rezervacij in lažjega doloˇ canja primernega pozavarovanja. Teza 3: Med agregatnimi odškodninami za posamezne zavarovalne vrste veˇ ci- noma ni prevelike korelacije, vsaj majhna korelacija pa je gotovo že zaradi od- visnosti od skupnih faktorjev, denimo inflacije ali vremena. Zato so za izraˇ cune skupnih agregatnih odškodnin primerne tudi metode, ki za veˇ cje korelacije niso uporabne. 5 Teza 4: Med bistveno razliˇ cnimi tveganji, denimo zavarovalnimi, kreditnimi, tr- žnimi in operativnimi, obstajajo majhne do zmerno velike korelacije, ki pa jih je težko meriti. Zato se bodo v praksi verjetno uveljavile dogovorjene vrednosti. Teza 5: V praksi so pogojno uporabne tudi razliˇ cne ne dovolj teoretiˇ cno ute- meljene metode izraˇ cuna porazdelitvenih funkcij vsot koreliranih sluˇ cajnih spre- menljivk, ˇ ce le dajo rezultate, katerih uporabo lahko upraviˇ cimo z naˇ celom pre- vidnosti. Primerniprimerjalni rezultatiso rezultati, ki jih dobimoza iste sluˇ cajne spremenljivke ob predpostavki, da so med seboj neodvisne. Namen in cilj doktorske disertacije je tudi priprava orodij, med njimi tudi novih, potrebnih za izgradnjo internega modela za izraˇ cun kapitala, kot ga predvideva projekt Solventnost 2, oziroma priprava orodij za boljše upravljanje tveganj. 1.3 Uporabljena metodologija Doktorska disertacija vsebuje teoretiˇ cni vidik problematike in praktiˇ cen primer uporabe teorije. V uvajalnem delu disertacije podajamo pregled že znanih rezul- tatov z uporabo metode kompilacije, deskripcije, komparacije in sinteze. Osrednjiproblemdisertacije je eksaktno raˇ cunanje porazdelitvene funkcije vsote koreliranih sluˇ cajnih spremenljivk. Za ta problem splošna analitiˇ cna rešitev, ki bi omogoˇ cala tudi praktiˇ cno uporabo, še ne obstaja, zato pa je problem prak- tiˇ cno mogoˇ ce rešiti s simulacijo. V osrednjem delu disertacije so uporabljene predvsem metode matematiˇ cnega modeliranja, verjetnostnega raˇ cuna in klasiˇ cni matematiˇ cni metodi analize in sinteze. Pri praktiˇ cnem prikazu teoretiˇ cnih rezultatov je uporabljena tudi metoda simula- cije in komparacije. 1.4 Znanstveniprispevek dela Znanstveniprispevekdoktorskedisertacijeoziromaznjotesnopovezanegarazis- kovalnega dela, katerega delni rezultati so objavljeni v (Komelj & Perman, 2010), temelji na dokazu glavne teze disertacije. Znano je, da lahko porazdelitveno funkcijo vsote neodvisnih sluˇ cajnih spremenljivk izraˇ cunamo posredno prek veˇ c- razsežne karakteristiˇ cne funkcije, ki je enaka produktu karakteristiˇ cnih funkcij sluˇ cajnih spremenljivk, ki jih seštevamo. Ko že poznamo veˇ crazsežno karakte- ristiˇ cno funkcijo danega sluˇ cajnega vektorja, je izraˇ cun porazdelitvene funkcije vsotenjegovihkomponentpreprost, tudiˇ cesosluˇ cajnespremenljivke korelirane. Za tak izraˇ cun je zelo primerna hitra Fourierova transformacija. 6 Po zgledu neodvisnih sluˇ cajnih spremenljivk bi radi isto metodo uporabili tudi za korelirane sluˇ cajne spremenljivke. Problem je le v tem, da teoretiˇ cno še ni znano, kako se veˇ crazsežna karakteristiˇ cna funkcija sluˇ cajnega vektorja s kore- liranimi komponentami izraža s karakteristiˇ cnimi funkcijami komponent. Zato praktiˇ cna uporaba sicer izjemno uporabne hitre Fourierove transformacije ne pride v poštev. Wang (1998b) je poskusil iz karakteristiˇ cnih funkcij sluˇ cajnih spremenljivk sestaviti njihovo karakteristiˇ cno funkcijo. Rezultat njegove metode je lahko karakteristiˇ cna funkcija izhodišˇ cnih koreliranih sluˇ cajnih spremenljivk, ni pa to nujno. Izhodišˇ cniizzivzaraziskovalnodelo,prikazanovpriˇ cujoˇ cidisertaciji,jebilaprav potencialno uˇ cinkovita Wangova metoda, ki pa nima trdnih teoretiˇ cnih temeljev. V disertaciji razvita nova metoda jamˇ ci, da je kljuˇ cni vmesni rezultat izraˇ cuna porazdelitvene funkcije vsote koreliranih sluˇ cajnih spremenljivk z znano kore- lacijsko matriko vedno pripadajoˇ ca veˇ crazsežna karakteristiˇ cna funkcija, od tu naprej pa po že znani poti pripelje do konˇ cnega rezultata. Nova metoda je uˇ cin- kovita, vendar ima praktiˇ cne omejitve. Uporabna je le za manjše število sluˇ cajnih spremenljivk, ki jih želimo sešteti, in za šibke do zmerne višine korelacij. Z ve- ˇ canjem števila sluˇ cajnih spremenljivk se namreˇ c interval dopustnih korelacijskih koeficientov hitro krˇ ci proti niˇ c. Za sluˇ cajne vektorje, za katere odvisnost med komponentami doloˇ ca normalna kopula s poljubno korelacijsko matriko z zunajdiagonalnimi elementi, ki so ab- solutno manjši kot ena, smo v disertaciji razvili novo metodo za izraˇ cun poraz- delitvene funkcije vsote komponent. V tem primeru torej ni omejitve na šibke do zmerne korelacije, vendar pa v dokazu korektnosti metode obstajajo še odprte tehniˇ cne podrobnosti. Za dvorazsežni primer je metoda zrela za objavo, za veˇ c- razsežni primer pa je še v fazi domneve oziroma v fazi formalnega dokazovanja pravilnosti. Praktiˇ cne primerjave z novo metodo dobljenih rezultatov z rezultati, dobljenimi s simulacijo, pa utrjujejo prepriˇ canje o njeni pravilnosti. 1.5 Strukturadela V drugem poglavju predstavljamo pregled kljuˇ cnih predpisov o kapitalu zavaro- valnic v EU od prve generacije zavarovalniških direktiv do Solventnosti 2, kar je bilo delno predstavljeno že v (Komelj, 2011b). Predstavljena so tudi nekatera poroˇ cila o stanju v EU pred sprejetjem nove solventnostne direktive in rezultati kvantitativnih študij vpliva sprememb. V tretjem poglavju prikazujemo tveganja, ki so jim izpostavljene premoženjske zavarovalnice, slovenske predpise o obvladovanju tveganj vzavarovalnicah in na- 7 ˇ cine obvladovanja tveganj, kar je bilo delno predstavljeno že v (Komelj, 2011a). Ker je pozavarovanje izjemno pomemben ukrep za zmanjšanje zavarovalnih tve- ganj, so predstavljene še glavne pozavarovalne oblike. Vˇ cetrtem poglavju naštevamo naˇ cine, kako merimo, primerjamo in urejamo tve- ganja. Predstavljena sotudiglavna naˇ cela za doloˇ canjezavarovalne premije, ki ni niˇ c drugega kot mera tveganja izˇ casov, ko tega pojma še niso poznali. V petem poglavju zaˇ cenjamo osrednji del disertacije. V njem so predstavljene mere in modeliranje odvisnosti med sluˇ cajnimi spremenljivkami, poudarek pa je na kopulah. V razdelku 5.5.6 obravnavamo novo družino kopul, ki je rezultat ra- ziskovalnega dela, katerega izsledki so objavljeni v (Komelj & Perman, 2010). Na temmestuprikazujemo,kakozasluˇ cajnevektorje,zakatereodvisnostmedkom- ponentamidoloˇ ca novakopula, veˇ crazsežno karakteristiˇ cno funkcijo izraˇ cunamo iz robnih karakteristiˇ cnih funkcij. V šestem poglavju navajamo že znane metode za aktuarski izraˇ cun porazdelit- venih funkcij agregatnih odškodnin. Z metodami, ki so podrobneje obravnavane že v (Komelj, 2004), izraˇ cunamo porazdelitvene funkcije agregatnih odškodnin za posamezne zavarovalne vrste, to pa so vhodni podatki za izraˇ cune na višjih ravneh, pri katerih upoštevamo korelacije med zavarovalnimi vrstami. Vsedmempoglavjuobravnavamometodezaizraˇ cunporazdelitvenih funkcijvsot koreliranih sluˇ cajnih spremenljivk. Razdelek 7.6, v katerem razvijamo metodo za izraˇ cun s kopulami in hitro Fourierovo transformacijo, predstavlja znanstveni prispevek disertacije. To velja tudi za razdelek 7.5.2, v katerem dokazujemo, da ne obstaja "kopula", ki bi povezovala veˇ crazsežno karakteristiˇ cno funkcijo z rob- nimikarakteristiˇ cnimi funkcijami, tako kot po Sklarovem izreku kopula povezuje veˇ crazsežne porazdelitvene funkcije z robnimi porazdelitvenimi funkcijami. V osmem poglavju obravnavamo optimalno alokacijo kapitala po vrstah tveganj in po zavarovalnih vrstah. V devetem poglavju predstavljamo rezultate izraˇ cunov ekonomskega kapitala za vsoto štirih odvisnih tveganj, ki se nanašajo na štiri zavarovalne vrste. Izraˇ cuni so narejeni tudi za primer, ko imamo portfelje zašˇ citene s škodno presežkovnim pozavarovanjem. Delo zakljuˇ cujemo s sklepom ter seznamom literature in virov. 8 2 Predpisio kapitalu zavarovalnic Temeljna dejavnost vsake zavarovalnice je prevzem tveganj, ki jih zavarovalci, fiziˇ cne in pravne osebe, prenesejo na zavarovalnico, v zameno pa ji plaˇ cajo zava- rovalno premijo. Na ta naˇ cin raje vnaprej izgubijo znani znesek, da se izognejo negotovim in predvsem po višini neznanim finanˇ cnim posledicam morebitnega škodnega dogodka. Zavarovalnica premijo aktuarsko izraˇ cuna tako, da na daljši rok posluje z dobiˇ c- kom,ˇ casovno razliko med prejemom premije in izplaˇ cilom odškodnine pa obvla- duje z zavarovalno-tehniˇ cnimi rezervacijami. ˇ Ce bipremijo izenaˇ cila s priˇ cakova- nimi odškodninami in stroški, tako da bi na daljši rok poslovala brez dobiˇ cka, bi postala nesolventna, ne glede na kapital (glej npr. Antal, 2009, str. 34, izrek 4). Višina kapitala bi sicer vplivala na priˇ cakovani ˇ cas do nesolventnosti, prepreˇ cila pa je ne bi. Zavarovalnica potrebuje kapital predvsem zato, ker mora svoje obljube, da bo povrnilaškodo,ˇ cebodonjeprišlo,izpolnititudivletih,koskupneodškodninein operativni stroškipresegajo skupno premijo. Brez zadostnega kapitala, s katerim lahko pokrije primanjkljaj, bi v takih primerih postala nesolventna. Kapital je torej potreben zaradi tveganj, ki jim je zavarovalnica izpostavljena, med katerimi je že omenjeno od zavarovalcev prevzeto tveganje sicer najveˇ cje, vendar le eno izmed njih. Zato je prva obrambna linija pred nesolventnostjo zavarovalnice ustrezno upravljanje tveganj, šele druga linija pa kapital (A Global Frameworkfor Insurer Solvency Assessment,2004, str. 7, toˇ cka 2.33). Zaradi pomembnosti kapitala za varno poslovanje zavarovalnic je v veˇ cini razvi- tih držav že dolgo predpisan minimalni potrebni kapital, ki ga mora imeti zava- rovalnica. Uˇ cinkovito definirani potrebni kapital ima naslednje namene (A Global Frameworkfor Insurer Solvency Assessment,2004, str. 9, toˇ cka 3.3): • zagotavlja fond za slabeˇ case, • motivira zavarovalnico, da se izogne neželeni ravni tveganja, • promovira kulturo merjenja in upravljanja tveganj v smislu, da je zahtevani kapital funkcija dejanskega ekonomskega tveganja, • zavarovalnemu nadzorniku zagotavlja orodje za prevzem nadzora nad pro- padlo oziroma propadajoˇ co zavarovalnico, • zavarovalnega nadzornika opozarja na nove trende na trgu, • z veliko verjetnostjo zagotavlja možnost prenosa portfelja z zavarovalnice v težavah na drugo zavarovalnico. 9 Predpisiominimalnempotrebnemkapitalu,pravtakopatudizavarovalninadzor, šˇ citijo interese zavarovancev, ne pa tudi interesov lastnikov zavarovalnic. Le- ti svoje interese lahko zašˇ citijo predvsem tako, da svoje apetite po prevzemu tveganj in s tem povezanimi priˇ cakovanimi dobiˇ cki prilagodijo kapitalu, ki so ga dejansko pripravljeni tvegati. 2.1 Kratek pregled razliˇ cnih predpisov o solventnostizavarovalnic V svetu so se oblikovali razliˇ cni predpisi o solventnosti zavarovalnic, ki se razli- kujejo predvsem po naˇ cinu vrednotenja sredstev in obveznosti, med katerimi so najbolj pomembe zavarovalno-tehniˇ cne rezervacije, po kriterijih za izraˇ cun sol- ventnostnegakapitala, po sredstvih, kijih upoštevamo kot dejansko razpoložljivi kapital, poˇ casovnemokviruopazovanja,zavarovalnemnadzoruterštevilnihdru- gih podrobnostih. Tabela 2.1: Primerjava nekaterih zavarovalniških solventnostnihsistemov Vrednotenje Osnove sistema Kapital Avstralija Kanada Danska Nizozemska Singapur Švica Velika Britanija ZDA Obveznosti Najboljša ocena Aktuarska ocena Najboljša ocena Najboljša ocena Najboljša ocena Najboljša ocena Najboljša ocena Aktuarska ocena Zavarovalno−tehnične rezervacije Poštena vrednost Aktuarska ocena Tržna vrednost Poštena vrednost Poštena vrednost Poštena vrednost Poštena vrednost Aktuarska ocena Sredstva Tržna vrednost Tržna vrednost Tržna vrednost Tržna vrednost Tržna vrednost Tržna vrednost Tržna vrednost Tržna ali nabavna vrednost Količniki Po pravilih iz leta 1973 Po pravilih EU Po pravilih EU Po pravilih EU Po pravilih EU Tveganja Da Da Da Da Da Da Scenariji Da Da Da Da Da Da, minimalne kapitalske zahteve Da Načela Da Da Da Da, povečane kapitalske zahteve Zajamčeni kapital 2 mio AUD Po pravilih EU Po pravilih EU 5 mio SGD Po pravilih EU Po pravilih EU Minimalne kapitalske zahteve (MCR − minimal Capital Requirement) Da 100 % rezultata testa minimalnega kapitala oziroma 120 % rezultata testa ustreznosti sredstev Da, po pravilih EU Da, po pravilih EU Da, po pravilih EU Da, po pravilih EU Določen odstotek kapitala, odvisnega od posameznih tveganj (upoštevaje korelacije) Ciljne kapitalske zahteve (SCR − Solvency Capital Requirement) 150 % rezultata testa minimalnega kapitala oziroma 150 % rezultata testa ustreznosti sredstev Ciljni kapital Seštevek kapitala za posamezna tveganja Ciljni kapital Povečane kapitalske zahteve Kapital, odvisen od posameznih tveganj (upoštevaje korelacije) Vir: Prirejeno po Sandström, Solvency: Models, Assessment and Regulation, 2006, str. 178 Tako obveznosti v razliˇ cnih državah ocenjujejo, denimo, po metodi najboljše ocene ali pa aktuarsko, zavarovalno-tehniˇ cne rezervacije ocenjujejo aktuarsko, po tržni ali pošteni vrednosti, sredstva pa po tržni ali nabavni vrednosti. Pri tem lahko zelo poenostavljeno reˇ cemo, da je najboljša ocena najveˇ ckrat enaka pri- ˇ cakovani vrednosti ali pa mediani porazdelitve, ko pa k temu prištejemo še na razliˇ cne naˇ cine doloˇ cen pribitek na negotovost, dobimo pošteno vrednost 3 . 3 ˇ Ce prilagodimodefinicijo, ki jo navajaTurk (2004, str. 505), je poštenavrednost zavarovalno- tehniˇ cnih rezervacij znesek, ki ga v premišljenem poslu dobro obvešˇ ceni in voljni odstopnik 10 Ne da bi se spušˇ cali v podrobnosti pomena posameznih celic, v tabeli 2.1 na- vajamo primerjalni pregled nekaterih lastnosti solventnostne ureditve nekaterih držav. Kljub delnemu poenotenju v EU, ki je posledica že sprejetih direktiv, je celo iz te tabele razvidno, da še vedno obstajajo razlike med posameznimiˇ clanicami EU. Razlike pa so tudi tam, kjer so vsaj formalno upoštevana enaka pravila. Tako je, denimo, iz Manghettijevega poroˇ cila o zavarovalno-tehniˇ cnih rezervacijah za premoženjska zavarovanja razvidno, da obstajajo razlike pri previdnosti, s ka- tero razliˇ cne ˇ clanice EU oblikujejo škodne rezervacije, na zlasti velike razlike pa naletimo pri izravnalnih rezervacijah (glej Manghetti, 2000, str. 37–39). 2.2 Kapitalskezahtevev Evropskiunijipred projektom Solventnost1 Problematika nadzorovanja solventnosti zavarovalnic je v Evropi že dolgo aktu- alna, zato je bilo razvitih kar nekaj metod za preverjanje solventnosti. Tako Kastelijn in Remmerswaal (1986, str. 22–26) navajata 19 razliˇ cnih, veˇ cinoma evropskih metod za preverjanje solventnosti zavarovalnic, ki se ukvarjajo s pre- moženjskimi oziroma življenjskimi zavarovanji. Veˇ cina metod upošteva naˇ celo neprekinjenega poslovanja in ˇ casovni okvir eno leto, kot navajata že Kastelijn in Remmerswaal (1986, str. 19), pa jih po skupnih znaˇ cilnostih lahko razvrstimo v tri skupine: 1. Metode, ki temeljijo na analizi raznih koliˇ cnikov, v veˇ cini primerov doloˇ cajo minimalni kapital kot odstotek neke druge koliˇ cine, denimo premije, ali pa solventnostno pozicijo zavarovalnice presojajo na podlagi razliˇ cnih koliˇ cni- kov. 2. Metode, ki temeljijo na teoriji tveganj, vkljuˇ cno s teorijo porušitve, upo- števajo variabilnost obveznosti – agregatnih odškodnin, ki jih primerjajo z agregatno premijo in kapitalom, ne upoštevajo pa variabilnosti sredstev. 3. Metode na podlagi kompleksnih modelov, ki upoštevajo variabilnost obvez- nosti in sredstev. ˇ Ceprav metode iz prve skupine sodijo med najbolj preproste, je v EU še vedno predpisana prav metoda iz te skupine. Finska se s problematiko solventnosti zavarovalnic intenzivno ukvarja že od 50. let prejšnjega stoletja, Evropska gospodarska skupnost (EGS) kot predhodnica EU pa je že kmalu po nastanku leta 1957 zaˇ cela razmišljati o prostem zavarovalnem obveznosti zamenjaza prevzemobveznosti, zaradikaterih sopotrebnezavarovalno-tehniˇ cne rezervacije, z dobro obvešˇ cenim in voljnim prevzemnikom obveznosti. 11 trgu in usklajevati poglede na zavarovalno-tehniˇ cne rezervacije, kritno premože- nje in nadzor nad sredstvi. Na temelju raziskav, katerih rezultate je leta 1961 ob- javilCampagne,sodelovanjazOrganizacijozagospodarskosodelovanjeinrazvoj (OECD – Organisation for Economic Co-operation and Development) in rezultati delovne skupine, ki je nadaljevala Campagnejevo delo in objavila poroˇ cilo (glej de Mori, 1965), je EGS naˇ cin izraˇ cuna minimalnega kapitala za zavarovalnice, ki se ukvarjajo s premoženjskimi zavarovanji, predpisala leta 1973, za življenjska zavarovanja pa leta 1979. Vnaslednjihdveh razdelkih opisana ureditevsolventnostijebila upoštevana tudi v prvem slovenskem zavarovalniškem zakonu, le da je Zakon o zavarovalnicah (Ur. l. RS, št. 64/1994 in 35/1995) uporabljal drugaˇ cno terminologijo, kot jo uporabljamo danes. 2.2.1 Direktiveza premoženjskazavarovanja Glavni namen prve premoženjske direktive (Direktiva 73/239/EGS, Ur. l. ES, št. L 228/3, 1973) je bil odstraniti omejitve pri odpiranju zavarovalniških podružnic in zastopstev v drugih državah, ˇ clanicah EGS. Za dosego tega cilja je bilo nujno odstraniti razlike v nacionalnih predpisih, ki so urejali zavarovalni nadzor, in usklajevati doloˇ cbe, ki se nanašajo na finanˇ cna jamstva. Zato je prva premo- ženjska direktiva predpisala tudi izraˇ cun minimalnega kapitala, ki ga navajamo poenostavljeno, ne da bi se spušˇ cali v podrobnosti in izjeme za posamezne zava- rovalnice oziroma zavarovalne vrste: 1. Izraˇ cun s premijskim koliˇ cnikom: prvi rezultat izraˇ cunamo tako, da kos- mato premijo zadnjega leta do 10 milijonov obraˇ cunskih enot 4 pomnožimo z 18 % in prištejemo presežek nad 10 milijonov, pomnožen s 16 %. Dob- ljeni seštevek pomnožimo z lastnim deležem odhodkov za škode (razmer- jemmedˇ cistimiinkosmatimi 5 odhodkizaškode) vzadnjem letu,vendarne z manj kot 50 %. 2. Izraˇ cun s škodnim koliˇ cnikom: drugi rezultat izraˇ cunamo tako, da pov- preˇ cne kosmate odhodke za škode v zadnjih treh letih 6 do 7 milijonov ob- raˇ cunskih enot pomnožimo s 26 % in prištejemo presežek nad 7 milijonov, 4 Obraˇ cunska enota, danes evro, je bila definirana kot enota iz 4. ˇ clena statuta Evropske inve- sticijske banke. 5 Kosmate vrednosti se nanašajona vrednosti predupoštevanjem pozavarovanja,ˇ ciste vredno- sti pa na vrednosti po upoštevanju pozavarovanja, zaradi ˇ cesar so ˇ ciste vrednosti obiˇ cajno manjše od kosmatih. 6 ˇ Ce prevladujejo zavarovanja, ki krijejo škodo zaradi nevihte, toˇ ce ali pozebe, se upošteva zadnjih sedem let. 12 pomnožen s 23 %. Dobljeni seštevek pomnožimo z lastnim deležem odhod- kov za škode v zadnjem letu, vendar ne z manj kot 50 %. 3. Minimalnikapital jeenakveˇ cjemuodobehrezultatov, vendarpa nesmebiti manjši od absolutno predpisane spodnje meje. Iz primerjave faktorjev za izraˇ cun s premijskim in škodnim koliˇ cnikom ugoto- vimo, da je normalno priˇ cakovano razmerje med odškodninami in premijo okrog 70 %, preostanek do 100 % pa je namenjen za kritje stroškov in dobiˇ cek. ˇ Ce je dejanski delež odškodnin veˇ cji od 70 %, je premija, ki je v bistvu neke vrste mera zavarovalnega tveganja, podcenjena, zato takrat prevlada rezultat, dobljen s škodnim koliˇ cnikom. Množenjeznajmanj50%jepredpisanozato,dazmanjšujeodvisnostsolventnosti zavarovalniceodsolventnostipozavarovalnic, prikaterihimapozavarovanesvoje rizike. Kapitalsko šibke zavarovalnice ne morejo poveˇ cati obsega poslovanja ˇ cez razumne meje in se izogniti poveˇ canju kapitala s prenosom veˇ cine tveganja na pozavarovalnice. Poleg naˇ cina izraˇ cuna solventnostnega kapitala je v direktivi natanˇ cno predpi- sano, katera sredstva upoštevamo kot razpoložljivi (dejanski) kapital, ki ga pri- merjamo z minimalnim kapitalom. Zavarovalnica je kapitalsko ustrezna, ˇ ce je razpoložljivikapital najmanjenakminimalnemukapitalu innajmanjenakzajam- ˇ cenemu kapitalu. Drugi pogoj pride v poštev le pri zavarovalnicah z majhnim obsegom poslovanja, saj je zajamˇ ceni kapital definiran kot ena tretjina minimal- nega kapitala, vendar ne manj od absolutno doloˇ cenega zneska, ki je odvisen le od zavarovalnih vrst, s katerimi se zavarovalnica ukvarja. ˇ Ce se ukvarja z veˇ c zavarovalnimivrstami,seupoštevatista, zakatero sokapitalske zahteve najvišje. Za zavarovalnice, ki se ukvarjajo vsaj z eno od bolj tveganih zavarovalnih vrst (katero koli odgovornostno zavarovanje, kreditno zavarovanje, kavcijsko zavaro- vanje), je spodnja meja za zajamˇ ceni kapital 400.000 obraˇ cunskih enot, sicer pa 300.000 oziroma 200.000 obraˇ cunskih enot, ˇ ce se ukvarja le z drugim škodnim zavarovanjem in/ali zavarovanjem stroškov postopka. Direktiva predpisuje tudi ukrepe za primer, ko razpoložljivi kapital pade pod predpisano mejo. ˇ Ce pade pod minimalni kapital, mora zavarovalnica pripraviti naˇ crtzasanacijofinanˇ cnegastanjaingazavarovalnemunadzornikuvdržavi,kjer ima sedež, predložiti v odobritev. ˇ Ce pa razpoložljivi kapital pade pod zajamˇ ceni kapital, morazavarovalnica pripraviti kratkoroˇ cnifinanˇ cninaˇ crtingapredložitiv odobritevzavarovalnemunadzorniku. Le-talahkozavarovalniciomejialiprepove prosto razpolaganje s sredstvi. 13 Kreditna direktiva (Direktiva 87/343/EGS, Ur. l. ES, št. L 185, 1987) je spod- njo mejo zajamˇ cenega kapitala za kreditna zavarovanja zvišala na 1,4 milijona evrov in predpisala obvezno oblikovanje izravnalnih rezervacij. Te rezervacije se v bistvu nanašajo na bodoˇ ce odškodnine iz bodoˇ cih zavarovalnih pogodb in so zato v nasprotju z raˇ cunovodskim naˇ celom strogega upoštevanja ˇ casa nastanka poslovnega dogodka. Nekatere države so izravnalne rezervacije uvedle tudi za preostalezavarovalne vrste, pritempa doloˇ cile, kako jihupoštevati prikapitalski ustreznosti. Tako so bile na Finskem prav izravnalne rezervacije glavni steber solventnosti že od 50. let prejšnjega stoletja naprej 7 . V Sloveniji je Zakon o za- varovalnicah (Ur. l. RS, št. 64/1994 in 35/1995) predpisal izravnalne rezervacije za vse zavarovalne vrste, za katere so bili izpolnjeni doloˇ ceni pogoji, in dopu- stil njihovo upoštevanje pri izraˇ cunu razpoložljivega kapitala. Ko jih je Zakon o spremembah in dopolnitvah Zakona o zavarovalništvu (Ur. l. RS, št. 79/2006– ZZavar-C) odpravil, razen za kreditna zavarovanja, so bile prenesene v kapital. Drugapremoženjskadirektiva (Direktiva 88/357/EGS, Ur. l. ES, št. L172/1, 1988) pomeni velik korak k skupnemu zavarovalnemu trgu, ker ga je omogoˇ cila tudi za velike rizike, na podroˇ cje kapitalskih zahtev pa ni posegla. Tretja premoženjska direktiva (Direktiva 92/49/EGS, Ur. l. ES, št. L 228/1, 1992) je z uvedbo enotnega dovoljenja za opravljanje zavarovalnih poslov naredila po- memben korak k enotnemu zavarovalnemu trgu, posredno pa je posegla tudi na podroˇ cje kapitalskih zahtev. Za izravnalne rezervacije za kreditna zavarovanja, ki so obvezne, je namreˇ c predpisala, da se ne smejo upoštevati pri izraˇ cunu raz- položljivega kapitala. 2.2.2 Direktiveza življenjskazavarovanja Sandström(2006, str. 15) navaja, da jeglavnirazlogzaskorajšestletnizaostanek med prvo premoženjsko in prvo življenjsko direktivo (Direktiva 79/267/EEC, Ur. l. ES, št. L 63, 1979) nesoglasje o tem, ali se lahko zavarovalnica hkrati ukvarja s premoženjskimi in življenjskimi zavarovanji. Zato ni presenetljivo, da ima prva življenjska direktiva kljub ˇ casovni distanci podoben namen in strukturo kot pre- moženjska predhodnica, prav tako pa tudi Campagnejevo izhodišˇ ce za ureditev solventnosti. Prva življenjska direktiva predpisuje izraˇ cun minimalnega kapitala, ki ga nava- jamo poenostavljeno, ne da bi se spušˇ cali v podrobnosti in izjeme za posamezne zavarovalnice oziroma zavarovalne vrste: 7 Finska ob izdaji kreditne direktive še ni bilaˇ clanica EGS. V EGS je vstopila leta 1995. 14 1. Prvi rezultat izraˇ cunamo tako, da 4 % kosmate matematiˇ cne rezervacije po- množimozlastnimdeležemmatematiˇ cnerezervacijevzadnjemletu,vendar ne z manj kot 85 %. Za veˇ c kot petletna zavarovanja, vezana na enote investicijskih skladov, za katera zavarovalnica ne prevzema naložbenega tveganja, pogodbeno dogo- vorjeni stroški upravljanja pa so fiksni za veˇ c kot pet let, namesto 4 % upo- števamo 1 %. 2. Drugi rezultat izraˇ cunamo tako, da 0,3 % tveganega kapitala (seštevka pozi- tivnih razlik med zavarovalnimi vsotami in matematiˇ cnimi rezervacijami po vseh policah) pomnožimo z lastnim deležem tveganega kapitala v zadnjem letu, vendar ne z manj kot 50 %. Za zavarovanje rizika smrti z zavarovalno dobo do treh let namesto 0,3 % upoštevamo 0,1 %, za zavarovalno dobo veˇ c kot tri in ne veˇ c kot pet let pa 0,15 %. 3. Minimalni kapital je enak seštevku obeh rezultatov. 4. Za dodatna zavarovanja, prikljuˇ cena življenjskemu zavarovanju, minimalni kapital izraˇ cunamo po pravilih za premoženjska zavarovanja in ga prište- jemo rezultatu iz tretje toˇ cke. Tudi ta direktiva zajamˇ ceni kapital definira kot tretjino minimalnega kapitala, vendar ne manj kot 800.000 obraˇ cunskih enot, in predpisuje, kaj lahko upošte- vamo kot razpoložljivi kapital. V nasprotju s prvo premoženjsko direktivo dopu- šˇ ca tudi upoštevanje 50 % bodoˇ cih dobiˇ ckov, vendar le z odobritvijo zavaroval- nega nadzornika. Glede na dejstvo, da v izraˇ cunu minimalnega kapitala nastopa tudi matematiˇ cna rezervacija, direktiva pri izraˇ cunu le-te po Zillmerjevi metodi, ki matematiˇ cno re- zervacijo zaradi razmejevanja stroškov pridobivanja zavarovanj zmanjšuje, upo- števane stroške pridobivanja zavarovanj navzgor omejuje na 3,5 %. Za primer, ko razpoložljivi kapital pade pod predpisano višino, direktiva predpi- suje enake ukrepe kot prva premoženjska direktiva. Drugaživljenjska direktiva (Direktiva 90/619/EEC, Ur. l. ES,št. L330, 1990) ureja zavarovalni nadzor v domaˇ ci državi in državi gostiteljici, tretja življenjska direk- tiva (Direktiva 92/96/EEC, Ur. l. ES, št. L 360, 1992) pa uvaja enotno dovoljenje za opravljanje zavarovalnih poslov tudi za življenjska zavarovanja. Na podroˇ cje solventnosti ti dve direktivi ne posegata. 15 2.3 Kapitalskezahtevev Evropskiuniji– projekt Solventnost1 Glavna pomanjkljivost izraˇ cuna minimalnega kapitala, kot ga zahteva prva pre- moženjska direktiva, je dejstvo, da je pri izraˇ cunu upoštevano predvsem zavaro- valno tveganje. Izjema je le delno upoštevanje kreditnega tveganja, kamor uvr- šˇ camo tudi tveganje, da pozavarovalnica zavarovalnici ne bo sposobna poravnati svojih obveznosti, izvirajoˇ cih iz prevzetega dela zavarovalnega tveganja. Tako je, denimo, kreditno tveganje pri premoženjskih zavarovalnicah upoštevano le v primeru, ko zavarovalnica v lastni izravnavi obdrži manj kot 50 % prevzetega zavarovalnega tveganja, merjeno z odhodki za škode, preostanek pa cedira poza- varovalnicam. V tem primeru je v izraˇ cunu upoštevanih 50 % veˇ c od dejanskega razmerja med ˇ cistimi in kosmatimi odhodki za škode. Zato dobimo višji mini- malnikapital, kot bi izhajal iz zavarovalnega tveganja, ki ga zavarovalnica obdrži v lastni izravnavi, presežek pa lahko pripišemo kreditnemu tveganju. Podobno velja tudi za minimalni kapital, kot ga zahteva prva življenjska direk- tiva, saj je odvisen predvsem od zavarovalnega tveganja in tveganj, povezanih z naložbami. Že pri pripravi tretje generacije zavarovalniških direktiv, ki so izšle leta 1992, se je pojavilo vprašanje o potrebnosti revizije obstojeˇ cega solventnostnega režima. Dospremembpaniprišlo,danebizamujalipriuvajanjuskupnegazavarovalnega trga. Naloga je bila odložena z zavezo v obeh tretjih direktivah, da bo Evropska komisijanajpoznejevtrehletihZavarovalnemuodboru(InsuranceCommittee),ki jepredhodnikEvropskegaodborazazavarovalništvoinpoklicnepokojnineEIOPC (EuropeanInsuranceandOccupationalPensionsCommittee)poroˇ calaopotrebipo nadaljnji uskladitvi minimalnega kapitala. Evropska komisija je nalogo izpolnila s poroˇ cilom (glej Report to the Insurance Committee, 1997), v katerem je upo- števala ugotovitve Müllerjevega poroˇ cila in mnenja dveh panožnih združenj ter posvetovalne aktuarske organizacije Groupe Consultatif. Kasneje je bila sprejeta odloˇ citev, da se v prvi fazi (Solventnost 1) obstojeˇ ci sol- ventnostni sistem revidira, v drugi fazi (Solventnost 2) pa temeljito prenovi. 2.3.1 Müllerjevo poroˇ cilo Evropska komisija se je za revizijo obstojeˇ cega solventnostnega sistema odloˇ cila na podlagi poroˇ cila delovne skupine pod vodstvom dr. Helmuta Müllerja, ki je bilaimenovana leta 1994. Müllerjevoporoˇ cilo (Müller,1997) analizira tveganja, ki so jim izpostavljene zavarovalnice, ter vzroke za težave zavarovalnic v državah EGS v zadnjih 20 letih. Poroˇ cilo ugotavlja, da bi se sicer redkim steˇ cajem veˇ ci- 16 noma lahko izognili s poveˇ canjem kapitala ali prevzemom. Nekaj primerov, ko je do steˇ caja prišlo zaradi premajhnih rezervacij za premoženjska zavarovanja z dolgoroˇ cnim iztekanjem obveznosti, neustreznih naložb,neusklajenih sredstev in obveznosti, hitre rasti ali neustreznega pozavarovanja, pa bi lahko prepreˇ cil ustreznejšisolventnostni režim. Sicer pa poroˇ cilo ugotavlja, da se je evropski solventnostni režim izkazal kot za- dovoljiv, ˇ ceprav ima nekatere metodološke slabosti. Poroˇ cilo predlaga poveˇ canje zajamˇ cenega kapitala ter dodatne omejitve prisredstvih, kijihlahko upoštevamo kot razpoložljivi kapital, ter še nekaj izboljšav. Tako, denimo, predlaga še tretji koliˇ cnik, povezan z zavarovalno-tehniˇ cnimi rezervacijami za premoženjska zava- rovanja, ki bi ga upoštevali pri izraˇ cunu minimalnega kapitala. 2.3.2 Direktiva za premoženjska zavarovanja Prva faza sprememb solventnostnega režima se je konˇ cala leta 2002, ko sta bili izdani novi direktivi za premoženjska in življenjska zavarovanja. Direktiva 2002/13/ES (Ur. l. EU,št. L77/17, 2002) jeuvedla sprememboparamet- rov za izraˇ cun minimalnega kapitala, ki je opisan v razdelku 2.2.1. Mejna zneska 10 oziroma 7 milijonov evrov sta poveˇ cana na 50 oziroma 35 milijonov evrov, hkrati pa je uvedenih še nekaj novosti, ki zmanjšujejo verjetnost nastanka nesol- ventnosti. Za zavarovanje odgovornosti pri uporabi zrakoplovov in plovil ter pri splošnem zavarovanju odgovornosti je treba pri izraˇ cunu minimalnega kapitala s premijskim oziroma škodnim koliˇ cnikom premijo in odhodke za škode poveˇ cati za 50 %, pri izraˇ cunu lastnega deleža odškodnin pa je treba upoštevati zadnja tri leta. Direktiva uvaja tudi razne korektivne mehanizme za zavarovalnice, ki se jim ob- segposlovanjazmanjšuje. Takoje,denimo,priizraˇ cunuspremijskimkoliˇ cnikom treba upoštevati prihodke od premij, ˇ ce so veˇ cji od premije tekoˇ cega leta. To se zgodi takrat, ko obseg poslovanja pada, zaradi ˇ cesar je prenosna premija na za- ˇ cetku obraˇ cunskega obdobja veˇ cja od tiste na koncu obraˇ cunskega obdobja. Prav tako minimalni kapital tekoˇ cega leta ne sme biti manjši od minimalnega kapitala preteklega leta, pomnoženega z razmerjem med ˇ cistimi škodnimi rezervacijami tekoˇ cega in preteklega leta, ˇ ce se škodne rezervacije zmanjšujejo. S tem je zago- tovljeno, da se minimalni kapital ne zmanjšuje hitreje kot škodne rezervacije. Direktiva je spodnjo mejo zajamˇ cenega kapitala zvišala na 3 milijone evrov,ˇ ce se zavarovalnica ukvarja vsaj z eno od bolj tveganih zavarovalnih vrst (katero koli odgovornostno zavarovanje, kreditno zavarovanje, kavcijsko zavarovanje), sicer pa na 2 milijona. 17 Navedene dopolnitve prvotnega naˇ cina izraˇ cuna minimalnega kapitala za premo- ženjska zavarovanja iz leta 1973 so sicer pomembne, ne odpravljajo pa glavne pomanjkljivosti. Ševednojepriizraˇ cunuminimalnegakapitala praktiˇ cno upošte- vano le zavarovalno tveganje. 2.3.3 Direktiva za življenjskazavarovanja Novo življenjsko direktivo (Direktiva 2002/12/EC, Ur. l. ES, št. L 77/11, 2002) je žepo osmihmesecihzamenjala konsolidirana Direktiva 2002/83/ES (Ur. l. EU,št. L 345/1, 2002), ki je razveljavila tudi prvi dve življenjski direktivi, delno pa tudi tretjo. Pri izraˇ cunu minimalnega kapitala, kot je poenostavljeno predstavljen v razdelku 2.2.2, je spremembale prizavarovanjih, vezanih nainvesticijske sklade, pri katerih zavarovalnica ne prevzema naložbenega tveganja. ˇ Ce pogodbeno do- govorjeni stroški upravljanja niso fiksni veˇ c kot pet let, je po novem namesto štirih odstotkov odmatematiˇ cne rezervacije trebaupoštevati 25 %ˇ cistih stroškov upravljanja premoženja v preteklem letu. Zaradi spremembe pri izraˇ cunu mini- malnega kapitala za premoženjska zavarovanja je sprememba tudi pri izraˇ cunu minimalnega kapitala za dodatna zavarovanja. Direktiva dopolnjuje tudi seznam premoženja, ki ga lahko upoštevamo kot raz- položljivi kapital, predvsem pa spodnjo mejo za zajamˇ ceni kapital postavlja na 3 milijone evrov. Še vedno pa je izraˇ cun minimalnega kapitala odvisen od pomanj- kljivega nabora tveganj. 2.4 Kapitalskezahtevev Evropskiuniji– projekt Solventnost2 Novi solventnostni režim bo bistveno drugaˇ cen od obstojeˇ cega režima, temelje- ˇ cega na koliˇ cnikih, saj bo projekt Solventnost 2 uvedel izraˇ cun potrebnega kapi- tala na podlagi tveganj, ki so jim zavarovalnice izpostavljene. Za Evropsko unijo nov naˇ cin, razen delno za Finsko, Veliko Britanijo in Nizozemsko, temeljeˇ c na t. i. RBC (Risk Based Capital) naˇ celu, je marsikje že uveljavljen, denimo v ZDA, Ka- nadi,Avstraliji, Švici innaJaponskem,pravtako pa jetemeljnonaˇ celovbanˇ cnem kapitalskem dogovoru Basel II. Projekt Solventnost 2 predvideva tri stebre. V prvem stebru bodo definirane ka- pitalske zahteve, ki jih bo morala izpolnjevati zavarovalnica, tako da bosta dolo- ˇ ceni dve višini kapitala. ˇ Ce bo razpoložljivi kapital zavarovalnice padel pod prvo mejo,kijobopredstavljal zahtevanisolventnostnikapital (SCR–SolvencyCapital Requirement), bo zavarovalni nadzornik zaˇ cel ukrepati po predpisih iz drugega stebra. ˇ Ce pa bo dejanski kapital padel tudi pod drugo mejo, ki jo bo predstavljal 18 zahtevaniminimalnikapital (MCR–MinimalCapital Requirement),bozavarovalni nadzornik še resneje ukrepal, lahko tudi s prepovedjo sklepanja novih zavaro- vanj. V prvem stebru bo doloˇ ceno, katera tveganja bodo upoštevana pri izraˇ cunu kapitala, kar pomeni, da jih bo potrebno kvantitativno obravnavati – meriti, prav tako bo predpisano, kako upoštevati medsebojne odvisnosti oziroma korelacije med temi tveganji. Prvi steber bo urejal tudi zavarovalno-tehniˇ cne rezervacije in vrednotenje sredstev. Drugi steber bo dopolnjeval prvega in bo urejal predvsem nadzor. Tu bo urejen tudi proces upravljanja tistih tveganj, ki ne bodo kvantitativno upoštevana pri izraˇ cunu potrebnega kapitala v prvem stebru. Tako tveganje bo, denimo, likvid- nostno tveganje. Tretji steber bo urejal predvsem razkritja, poroˇ canje in drugo, kar je povezano s preglednostjo poslovanja. 2.4.1 Kapitalskidogovor Basel II za banke Baselski odbor za banˇ cni nadzor (Basel Committee on Bank Supervision) s sede- žem pri Banki za mednarodne poravnave (Bank for International Settlements) v Baslujeleta1988uvedelstandardzaizraˇ cunkapitalskih zahtevzabanke,imeno- van Baselski kapitalski dogovor oziroma Basel I, po katerem je višina potrebnega kapitala odvisna od strukture oziroma riziˇ cnosti sredstev banke. V nasprotju z zavarovalnim sektorjem, za katerega še ni na vidiku enotne ureditve, veljavne po vsem svetu, je Basel I postal temelj banˇ cnega nadzora v veˇ c kot 100 svetovnih državah,ˇ ceprav ni zavezujoˇ c. Leta 1999 je bila objavljena revizija pravil, ki je bila z dopolnitvami sprejeta leta 2004 (glej International Convergence of Capital Measurement and Capital Stan- dards, 2004). Novi baselski kapitalski dogovor oziroma Basel II, ki je bil nato še dopolnjen, je v uporabi od konca leta 2006 naprej in temelji na treh med seboj povezanih stebrih. Prvi steber pokriva minimalne kapitalske zahteve, odvisne od kreditnega,tržnegainoperativnega tveganja,druginadzorinupravljanjetveganj, tretji pa tržno disciplino, kamor uvršˇ ca tudi razkritje pomembnih informacij. Basel II tveganja iz prvega stebra obravnava kvantitativno, pri ˇ cemer dopušˇ ca tudi uporabo internih modelov, preostala tveganja, med njimi tudi tveganje spre- membe obrestne mere, pa obravnava kvalitativno v drugem stebru. Po mnenju Evropske komisije bi Basel II lahko bil dobra osnova za projekt Sol- ventnost 2 (Note to the Solvency Subcommittee – Banking rules, 2001), ˇ ceprav so 19 se pojavili tudi dvomi o primernosti banˇ cnih pravil za zavarovalnice (glej Note to the Solvency Subcommittee: Risk-based capital systems, 2001). 2.4.2 Lamfalussyjevproces Svet EU je leta 2001 za razvoj regulative za finanˇ cni sektor odobril t. i. Lam- falussyjev proces, ki temelji na štirih ravneh. V primeru Solventnosti 2 so ravni naslednje: 1. raven: Evropska komisija pripravi predlog direktive, ki vsebuje okvirna na- ˇ cela. Ko Evropski parlament in Svet EU sprejmeta direktivo, se podrobni izvedbeni predpisi pripravijo na 2. ravni. 2. raven: Po posvetu z EIOPC, ki je odbor druge ravni, Evropska komisija zah- teva nasvet o izvedbenih predpisih od Odbora evropskih nadzornikov za zavarovalništvo in poklicne pokojnine (CEIOPS – Committee of European In- surance and Occupational Pensions Supervisors), ki je odbor tretje ravni. CEIOPSpoposvetuzudeležencinatrgu,npr. GroupeConsultatifinCEA(Co- mité Européen des Assurances), pripravi odgovor in ga posreduje Evropski komisiji. Ta pripravi formalni predlog in ga posreduje EIOPC, ki je pristojen za sprejem. 3. raven: CEIOPS pripravi predlog interpretacije priporoˇ cil, navodila in stan- darde za zagotovitev konsistentne uvedbe v uporabo. 4. raven: Evropska komisija nadzoruje uvajanje zakonodaje EU v zakonodajo ˇ clanic in njuno usklajenost. Tak pristop naj bi omogoˇ cil prožnejše in uˇ cinkovitejše uravnavanje ter hitrejše odloˇ canje in izboljšano konvergenco nadzora na ravni EU. V primeru Solventnosti 2 je obstajalo soglasje o tem, da naj novi režim upošteva tveganja, ki so jim izpostavljene zavarovalnice, hkrati pa naj bo prilagodljiv na spremembe v finanˇ cnem okolju. Zato je bilo težišˇ ce dela na nižjih ravneh. Tako je revizijska in svetovalna družba KPMG pripravila splošno poroˇ cilo o trenutnem stanju,delovnaskupinaKonferencezavarovalnihnadzornikovEU(InsuranceCon- ference, the Conference of Insurance Supervisory Authorities of the European Union), ki je bila ustanovljena že leta 1958 in je predhodnica CEIOPS 8 , pa po- roˇ cilo o vzrokih zadnjih primerov nesolventnosti zavarovalnic. Poleg teh dveh poroˇ cil, na kratko predstavljenih v nadaljevanju, je delovna skupina za življenj- ska zavarovanja preuˇ cila in poroˇ cala o pravilih za izraˇ cun matematiˇ cnih rezerva- cij in usklajevanju obveznosti in sredstev (glej Report of the working group on 8 EIOPA (European Insurance and Occupational Pensions Authority) je 1. januarja 2011 zame- njala CEIOPS in dobila tudi nove pristojnosti. 20 life assurance, 2002), druga delovna skupina pa je preuˇ cila škodne in izravnalne rezervacije. Tudi njeno poroˇ cilo (glej Report of the working group on non-life technical provisions, 2002), ki je dopolnitev Manghettijevega poroˇ cila, ugotavlja razlike pri previdnosti, s katero razliˇ cne ˇ clanice oblikujejo škodne rezervacije, zlasti pa velike razlike pri izravnalnih rezervacijah. 2.4.3 KPMG-jevo poroˇ cilo Poroˇ cilo Study into the methodologies to assess the overall financial position of an insurance undertaking from the perspective of prudential supervision (2002), ki ga je Evropska komisija pri KPMG-ju naroˇ cila decembra 2000, torej še pred zaˇ cetkom projekta Solventnost 2, povzema takratno stanje in možnosti razvoja problematike solventnosti zavarovalnic. Poroˇ cilo ugotavlja, da solventnostni si- stem temelji na predpisih o sredstvih, zavarovalno-tehniˇ cnih rezervacijah in mi- nimalnem kapitalu, izraˇ cunanem na podlagi koliˇ cnikov. Kot glavno omejitev tega sistemanavaja odvisnostminimalnegakapitala odomejeneganaboratveganj ozi- romaneupoštevanjezaposameznozavarovalnicospecifiˇ cnihtveganjpriizraˇ cunu njenega minimalnega kapitala. Poroˇ cilo navaja priložnosti oziroma izzive zaradi konvergiranja k skupnim pravi- lomzavesfinanˇ cnisektorzaradibodoˇ ceuvedbeMSRPterstempovezanetežave. Tako, denimo,ugotavlja razkorakmedtrenutnimpreudarnim oziromaprevidnim vrednotenjem zavarovalno-tehniˇ cnih rezervacij in vrednotenjem na podlagi naj- boljše ocene, poveˇ cane za pribitek na negotovost. Poroˇ cilougotavlja,dabimoralbitikapitalodvisenvsajodzavarovalnega,tržnega, kreditnega in operativnega tveganja ter tveganja zaradi neusklajenosti sredstev in obveznosti, za bodoˇ co ureditev pa po banˇ cnem zgledu predlaga sistem treh stebrov, od katerih bi prvi zajemal kapitalske zahteve, drugi nadzor, tretji pa tržno disciplino. 2.4.4 Sharmovoporoˇ cilo KojeEvropska komisija maja 2001 zaˇ cela sprojektom Solventnost2,jezaprosila Konferenco zavarovalnih nadzornikov EU za izhodišˇ ca in priporoˇ cila. Delovna skupina, ki jo je vodil Paul Sharma, se je pri delu osredotoˇ cila na ra- zumevanje vzrokov in posledic tveganj, ki ogrožajo solventnost zavarovalnic, na vprašanje boljšega nadzora upravljanja tveganj v zavarovalnicah ter na preven- tivne in kurativne ukrepe za pravoˇ casno predvidevanje in odpravljanje težav s solventnostjo. 21 Vporoˇ cilu(glejSharma,2002)jepodanaanalizavzrokovzapropadeinzeloresne težave zavarovalnic po obdobju, ki ga je že obdelalo Müllerjevo poroˇ cilo. Med le- toma 1996 in 2001 je bilo v EU 85 veˇ cjih težav v zavarovalnicah, s katerimi so se ukvarjali zavarovalni nadzorniki. V 20 primerih (17 premoženjskih in 3 živ- ljenjske zavarovalnice) je prišlo do zaprtja, za preostalih 65 pa so našli obliko zašˇ cite interesov zavarovancev z obveznim ali prostovoljnim prenosom portfe- lja na drugo zavarovalnico, prevzemom ali dokapitalizacijo. V teh postopkih je potem dejansko izginilo še 29 zavarovalnic. Delovna skupina je podrobno obdelala 21 primerov in ugotovila, da je bila za vsako težavo sicer kriva uresniˇ citev konkretnega tveganja, ki pa je bila le zaklju- ˇ cek verige med seboj povezanih vzrokov in posledic. Do težav je vedno prihajalo od znotraj, denimo zaradi slabega ali neizkušenega vodstva, posledica pa so bile neustrezne notranje kontrole in napaˇ cne odloˇ citve, zaradi katerih je zavaroval- nica postala ranljiva na zunanje dogodke z neugodnimi finanˇ cnimi posledicami. Na podlagi teh ugotovitev je v poroˇ cilu naveden sistematiˇ cen pregled tveganj ter shematiˇ cna veriga vzrokov in posledic. Poroˇ cilougotavlja, da bibilnadzorustreznejši,ˇ cebiuporabljalorodja, skaterimi bi se lahko lotili celotne vzroˇ cne verige, in taka orodja tudi predlaga. Pri tem pa ugotavlja, da bo v bodoˇ cem sistemu treba najti ravnotežje med nadzornimi in preventivnimi aktivnostmi ter ohranitvijo svobodnega poslovanja zavarovalnic. 2.4.5 Poroˇ cilo Mednarodnega aktuarskegazdruženja Pri pripravi MSRP je zaradi raˇ cunovodskega naˇ cela, ki prepoveduje oblikovanje zavarovalno-tehniˇ cnih rezervacij za obveznosti, ki se nanašajo na bodoˇ ce zava- rovalne pogodbe, npr. izravnalne rezervacije ali skrite rezerve v preveˇ c previdno oblikovanih škodnih rezervacijah, kmalu postalo jasno, da se bo raven zavaro- valno-tehniˇ cnih rezervacij verjetno znižala. ˇ Ce ne želimo zmanjšati varnosti za- varovancev,jesamoumevenodgovornazmanjšanjerezervacijpoveˇ canjekapitala. Mednarodno aktuarsko združenje (IAA 9 – International Actuarial Association) je zaznalopriložnostzatakoureditevproblematike,kibibilasprejemljivazaOdbor za mednarodne raˇ cunovodske standarde (IASB – International Accounting Stan- dards Board) in za Mednarodno združenje zavarovalnih nadzornikov (IAIS – In- ternational Association of Insurance Supervisors). Zato IAA sodeluje pri pripravi MSRP in novi solventnostni ureditvi, kar sta dva loˇ cena procesa. 9 Zaradi delnega prekrivanja podroˇ cij, ki jih obravnavajo aktuarji in notranji revizorji, obstaja možnost zamenjavemedInternationalActuarialAssociation inInternalAuditorsAssociation, ker obe združenji uporabljata isto kratico. V tej disertaciji je s kratico IAA vedno mišljeno Mednarodno aktuarsko združenje. 22 Na pobudo IAIS, naj IAA z aktuarskega vidika razišˇ ce problematiko solventnosti, jedelovnaskupinaIAAizdelalaporoˇ ciloAGlobalFrameworkforInsurerSolvency Assessment(2004). Poroˇ cilo ugotavlja, da je sistem treh stebrov zelo primeren, ker lahko ustvari stiˇ cno toˇ cko med banˇ cnim in zavarovalnim sektorjem, zlasti še, ker je marsikje nadzor zavarovalnic že del skupnega finanˇ cnega nadzora. Ker vseh tveganj ne bo mogoˇ cekvantitativno ovrednotitivprvemstebru,bozelopomembentudinadzor, predviden v drugem stebru, in razkritje bistvenih podatkov v tretjem stebru. Poroˇ cilopodpira celovitpoglednabilancostanjaterrealnoovrednotenjesredstev in obveznosti, kar onemogoˇ ca skrite presežke ali primanjkljaje. Poroˇ cilo ugotavlja, da mora predvideni ˇ casovni okvir upoštevati ˇ casovni zaosta- nekmed ugotovitvami in možnimireakcijami nadzornikov. Dovolj dolg mora biti tudi zato, da zajame tudi morebitne ekstremne dogodke. ˇ Ceprav je treba gle- dati daleˇ c naprej, poroˇ cilo za ugotavljanje trenutne kapitalske pozicije priporoˇ ca ˇ casovni okvir enega leta. Poroˇ cilo z izjemno pozornostjo obravnava tveganja in priporoˇ ca, da se ocenijo medsebojni vplivi posameznih tveganj, tako da skupni kapital za nevtralizacijo skupnega tveganja ne bo le seštevek posameznih delnih kapitalov. Zaradi zelo naprednih pogledov, ˇ ce jih primerjamo z obstojeˇ co solventnostno ureditvijo, te- meljeˇ conakoliˇ cnikih, sopotrebnatudiustreznamatematiˇ cnaorodja. Poroˇ cilojih obravnava – od preprostih do zapletenih, kot so, denimo, kopule. 2.4.6 Standardnimodel V prvem stebru Solventnosti 2 je predvideno, da bodo zavarovalnice SCR in MCR raˇ cunale s standardnim modelom (s standardno formulo), delnim ali popolnim internimmodelom. Vvseh trehprimerih bodotveganja urejenavdrevesno struk- turo. Minimalni nabortveganj, ki jih botreba upoštevati pri izraˇ cunu,je razviden s slike 2.1, na kateri so upoštevana le tveganja, ki jih Direktiva Solventnost 2 na- vajavprilogiIV,ˇ cepravso,denimo,vbesediludirektive tudizavarovalnatveganja zdravstvenih zavarovanj razˇ clenjena na štiri podtveganja. Zaizraˇ cunSCR jekljuˇ cna zahteva Solventnosti2, da morazavarovalnica po enem letu z 99,5-odstotno verjetnostjo ostati solventna. Ta razmeroma stroga zahteva je ob ustreznih predpostavkah izpolnjena, ˇ ce SCR raˇ cunamo od spodaj navzgor. Najprej za vsa tveganja, ki jih ne delimo veˇ c na podtveganja 10 , izraˇ cunamo delne 10 Ta tveganja niso nujno na isti najnižji ravni drevesa tveganj, so pa njegovi listi. 23 SCR, s katerimi jih z 99,5-odstotno verjetnostjo nevtraliziramo, nato pa izraˇ cu- namo delne SCR za tveganja na naslednji višji ravni iz delnih SCR za neposredno podrejena tveganja in korelacij med njimi. Tako postopoma priplezamo do vrha drevesa. Slika 2.1: Komponente za izraˇ cun zahtevanega solventnostnega kapitala SCR Adj prilagoditve BSCR SCR oper operativna tveganja SCR prem zavarovalna tveganja premoženjskih zavarovanj SCR življ zavarovalna tveganja življenjskih zavarovanj SCR zdr zavarovalna tveganja zdravstvenih zavarovanj SCR trg tržna tveganja SCR nepl tveganje neplačila nasprotne stranke − tveganje premij in rezervacij − tveganje katastrofe − tveganje umrljivosti − tveganje dolgoživosti − tveganje invalidnosti in obolevnosti − tveganje stroškov − tveganje revizije rent − tveganje predčasne prekinitve − tveganje katastrofe − tveganje obrestne mere − delniško tveganje − nepremičninsko tveganje − tveganje razpona − tveganje koncentracije − devizno tveganje Vir: Lastna izdelava na podlagi Direktive Solventnost 2, priloga IV Ko postopoma izraˇ cunamo delne solventnostne kapitale za vsa tri zavarovalna tveganja s slike 2.1 ter tržna tveganja in tveganje neplaˇ cila nasprotne stranke, osnovni zahtevani solventnostni kapital (BSCR – Basic Solvency Capital Require- ment) izraˇ cunamo s formulo BSCR= s X i,j ρ ij × SCR i × SCR j , (2.1) kjer indeksa i in j teˇ ceta po vseh možnih vrednostih prem, življ, zdr, trg in nepl za glavna tveganja, ρ ij pa so v direktivi predpisani korelacijski koeficienti med njimi. SCR dobimo tako, da k BSCR prištejemo delni SCR za operativna tveganja 24 inseštevekprilagodimo(zmanjšamo)zaradiabsorbcijskezmožnostizavarovalno- tehniˇ cnih rezervacij in odloženih davkov. Standardni model bo predpisan v izvedbenih predpisih Direktive Solventnost 2, zato vse podrobnosti o njem še niso znane. Bil naj bi dovolj preprost, da bi ga lahko uporabljale vse zavarovalnice. V njem bo predpisano, kako je treba iz- raˇ cunati delni SCR na dnu hierarhije tveganj, za vse ravni pa bodo predpisani korelacijski koeficienti medtveganji, ki sestavljajo tveganje na prvi višji ravni. Iz- raˇ cun delnih SCR bo za številna tveganja na dnu hierarhije temeljil na razliˇ cnih faktorjih, izraˇ cunanih za povpreˇ cno zavarovalnico, za višje ravni pa bozadošˇ cala enaˇ cba (2.1). Tak izraˇ cun, ki bo temeljil na številnih poenostavitvah teoretiˇ cnega modela,ki stojiza njim,in nanaˇ celu previdnosti, boverjetno za nekatere zavaro- valnice, predvsem pa za zavarovalne skupine, zahteval preveˇ c kapitala. To pa je pomemben motiv za izgradnjo natanˇ cnejših internih modelov, ki ga spodbujajo tudirezultatipetekvantitativne študijevplivasprememb. Zinternimmodelomiz- raˇ cunaniSCR sev povpreˇ cju za posamezne zavarovalnice nepomembnorazlikuje odSCR, ki je bil izraˇ cunan s standardno formulo,zato pa je pri zavarovalnih sku- pinah za 20 % manjši (glej EIOPA Report on the fifth Quantitative Impact Study, 2011, str. 7 in 114). 2.4.7 Interni model Interni modeli se bodo od standardnega modela v bistvu razlikovali le po tem, da bodo pri izraˇ cunu delnih SCR za tveganja na dnu hierarhije upoštevane specifiˇ c- nosti in podatki posameznih zavarovalnic, pri izraˇ cunu SCR na višjih ravneh pa bodo uporabljene natanˇ cnejše metode. Stroški razvoja internega modela bodo zelo veliki, potrebna pa bo tudi kritiˇ cna masa strokovnjakov z razliˇ cnih podroˇ cij, aktuarjev, finanˇ cnikov, specialistov za posamezne vrste tveganj itd. Uporabo internega modela bo moral odobriti za- varovalni nadzornik, za kar bo moral interni model, med drugim, prestati test uporabnosti, zagotavljati ustrezno kakovost podatkov in metod ter biti ustrezno dokumentiran. Polegobstojeˇ cihprednosti, denimozaradiekonomijeobsega,bodonajveˇ cje zava- rovalnice z uporabo internih modelov pridobile še dodatno prednost. Z internim modelom izraˇ cunani kapital bo verjetno manjši od kapitala, izraˇ cunanega s stan- dardnim modelom, zato bodo laže dosegale donosnost na kapital, ki jo priˇ caku- jejolastnikiinmorebitniinvestitorji. Zaraditovrstnihpriˇ cakovanjpapriizgradnji internih modelov obstaja tudi možnost zlorab. 25 2.4.8 Kvantitativneštudijevpliva sprememb Evropska komisija je v drugem valu pozivov za nasvet prosila CEIOPS, naj ugo- tovi kvantitativne vplive novega solventnostnega režima na zavarovalnice. Prva kvantitativna študija vpliva spremembjebilaizvedena leta 2005 spodatki zaleto 2004. Vštudijijesodelovalo312 zavarovalnic iz19 držav, vendarvse nisouspele izraˇ cunati kljuˇ cnih rezultatov. Tako je dovolj podrobne rezultate pripravilo 272 zavarovalnic. Od tega je bilo 68 majhnih, 90 srednjih in 101 velika, za 13 zavaro- valnic pa velikost ni znana. Kriterije za doloˇ citev velikosti so doloˇ cili posamezni nacionalni zavarovalni nadzorniki in iz rezultatov študije niso razvidni. Z rezultati, ki so objavljeni v poroˇ cilu QIS1 – Summary report (2006), naj bi ugo- tovilistopnjoprevidnostipriocenjevanjuzavarovalno-tehniˇ cnih rezervacij. Sode- lujoˇ ce zavarovalnice so morale primerjati dejansko stanje zavarovalno-tehniˇ cnih rezervacij z zavarovalno-tehniˇ cnimi rezervacijami, izraˇ cunanimi na razliˇ cne na- ˇ cine,kibiponovemlahkoprišlivpoštev. Zatanamenjebilopotrebnoizraˇ cunati najboljšo oceno rezervacij (priˇ cakovano vrednost obveznosti), standardni odklon in višino rezervacij, ki bi z verjetnostjo 60 %, 75 % oziroma 90 % zadošˇ cala za po- kritje obveznosti. Ocene je bilo potrebno narediti za prenosnopremijo in škodne rezervacije, posebej za kosmate zneske in posebej za ˇ ciste zneske, enkrat z dis- kontiranjem, drugiˇ c brez njega. Kljuˇ cna ugotovitev prve kvantitativne študije je, da so dejanske zavarovalno-teh- niˇ cne rezervacije za klasiˇ cna življenjska zavarovanja in za premoženjska zavaro- vanja višje od ocen, temeljeˇ cih na izraˇ cunu prej navedenih kvantilov, in višje od najboljše ocene obveznosti, poveˇ cane za pribitek na negotovost v višini polovice standardnega odklona. V drugi kvantitativni študiji, ki je bila izvedena leta 2006 s podatki za leto 2005, je sodelovalo 514 zavarovalnic iz 23 držav, od tega 155 majhnih, 220 srednjih in 132 velikih. Tokrat so bili kriteriji za velikost, ki so ostali enaki tudi v naslednjih študijah, jasno doloˇ ceni. Med majhne življenjske zavarovalnice so bile uvršˇ cene zavarovalnice,kisoimelemanjkotenomilijardoevrovkosmatihzavarovalno-teh- niˇ cnih rezervacij, medvelike tiste, ki sojih imele veˇ c kot deset milijard, preostale pa med srednje. Med majhne premoženjske zavarovalnice so bile uvršˇ cene zava- rovalnice, ki so imele manj kot sto milijonov evrov kosmate obraˇ cunane premije, med velike tiste, ki so je imele veˇ c kot eno milijardo, preostale pa med srednje. Študija je poleg obveznosti obravnavala tudi vrednotenje sredstev, zahtevani sol- ventnostni in minimalni kapital ter razpoložljivi kapital, izraˇ cunan z razliko med tržnovrednostjosredstevinobveznosti. Namenštudijejebilugotovitivplivpred- laganih izraˇ cunov na bilanco stanja in višino kapitala, upoštevaje standardni in 26 internimodel,terdobitiocenoopraktiˇ cniuporabnostioziromaprimernostipred- laganih naˇ cinov izraˇ cunov. ˇ Ce rezultate, izraˇ cunane po metodologiji študije in predstavljene v poroˇ cilu QIS2 – Summary Report (2006), primerjamo s tistimi po pravilih za Solventnost 1, so sezavarovalno-tehniˇ cnerezervacijezmanjšale(vplivdiskontiranjajepomemben), zahtevani solventnostni kapital se je poveˇ cal, prav tako se je poveˇ cal tudi razpo- ložljivi kapital. Razmerje med razpoložljivim kapitalom in zahtevanim solvent- nostnimkapitalom za življenjske zavarovalnice se je za 11 držav zmanjšalo, ven- dar je ostalo nad 100 %, za 7 držav pa se je veˇ cinoma poveˇ calo. Za premoženjske zavarovalnice se je razmerje med razpoložljivim kapitalom in zahtevanim sol- ventnostnim kapitalom za 16 držav veˇ cinoma zmanjšalo, za 2 državi pa je za polovico zavarovalnic padlo pod 100 %. Študija ugotavlja, da je vpliv sprememb na manjše zavarovalnice in vzajemne za- varovalniceveˇ cjikotnavelikezavarovalnice,šeizrazitejšipajeprispecializiranih zavarovalnicah, ki se ukvarjajo le z eno zavarovalno vrsto, zaradi ˇ cesar je uˇ cinek razpršitve manjši. Za take zavarovalnice je razmerje med razpoložljivim kapi- talom in minimalnim kapitalom veˇ ckrat padlo pod 100 %. Prav tako so tovrstne zavarovalnice med tistimi zavarovalnicami, za katere bi se moral kapital poveˇ cati vsaj za 50 %. V tretji kvantitativni študiji, ki je potekala leta 2007 s podatki za leto 2006, je sodelovalo 1.027 zavarovalnic iz 28 držav, od tega 422 majhnih, 418 srednjih in 187 velikih. Pridobili naj bi informacije o primernosti v študiji predvidenih osnovnihinalternativnihizraˇ cunovternjihovihvplivih nabilancostanjainvišino kapitala zavarovalnic ter prviˇ c tudi zavarovalnih skupin. Rezultati študije naj bi služili tudi za umerjanje standardnega modela za izraˇ cun SCR in MCR. Rezultati študije, objavljeni v poroˇ cilu CEIOPS’s Report on its third Quantitative Impact Study (2007), sorazkrili, da evropsko zavarovalništvo kot celota nebopo- trebovalo dodatnega kapitala, priˇ cakovati pa je njegovo prerazporeditev. Pri tem naj bi 16 % zavarovalnic moralo poveˇ cati kapital. Kapitalske zahteve, izraˇ cunane z internimi modeli, so bile pomembno manjše kot tiste, dobljene s standardnim modelom, kar velja za premoženjske in življenjske zavarovalnice. Vˇ cetrti kvantitativni študiji, ki je potekala leta 2008 spodatki za leto 2007, jeso- delovalo 1.412 zavarovalnic iz 30 držav, od tega 220 velikih, 522 srednjih in 667 majhnih 11 . Študija je bila osredotoˇ cena na sredstva in obveznosti, SCR in MCR, lastnevireinzavarovalneskupine. Rezultatištudije,objavljenivporoˇ ciluCEIOPS’ 11 Vsota ni enaka številu sodelujoˇ cih zavarovalnic – nekonsistentnost je že v viru. 27 Report on its fourth Quantitative Impact Study (2008), so spodbudni, saj naj bi 89 % zavarovalnic izpolnjevalo nove kapitalske zahteve, kar je veˇ c kot po tretji kvantitativni študiji. To je povezano z dejstvom, da se struktura bilanc stanja ne bo bistveno spremenila, ker se zmanjšanje obveznosti kompenzira s poveˇ canimi kapitalskimi zahtevami. Sicer pa so se tehniˇ cne specifikacije za posamezne zava- rovalnice izkazale kot dovolj doreˇ cene, pri zavarovalnih skupinah pa je še precej nejasnosti. Vpetikvantitativni študiji,kijepotekalaleta2010spodatkizaleto2009,jesode- lovalo 2.520 zavarovalnic iz 30 držav, od tega 217 velikih, 791 srednjih in 1.511 majhnih 11 . Namen študije je bil vsem deležnikom zagotoviti podrobne informa- cijeokvantitativnem vplivu Solventnosti2nazavarovalnice, preveritiusklajenost tehniˇ cnih specifikacij s principi in kalibracijskimi cilji nove solventnostne direk- tive, spodbuditi zavarovalnice k uvedbi zahtev Solventnosti 2 ter identifikaciji internih postopkov, pravil in podatkov, kjer bi bile potrebne izboljšave, ter zago- toviti izhodišˇ ca za dialog med zavarovalnimi nadzorniki in zavarovalnicami pri pripravi novega nadzornega režima. Rezultati študije, objavljeni v poroˇ cilu EIOPA Report on the fifth Quantitative Im- pact Study (2011), razkrivajo, da 15 % zavarovalnic po metodologiji študije ne dosega SCR, 5 % pa jih ne dosega niti MCR. To je slabše kot pri ˇ cetrti kvantita- tivni študiji, kar pa je delno tudi posledica finanˇ cne krize med obema študijama. Sicer pa udeleženke študije, v kateri je tokrat sodelovalo bistveno veˇ c pozavaro- valnic in majhnih zavarovalnic kot prej, ugotavljajo, da so posamezni izraˇ cuni prezapleteni, pojavljajo pa se tudi nove težave. Problematiˇ cen je, denimo, mo- dulza izraˇ cun delnega SCR,ki ga premoženjske zavarovalnice potrebujejo zaradi katastrofalnih tveganj. Rezultati kvantitativnih študij vpliva sprememb so dobro izhodišˇ ce za pripravo izvedbenih predpisov v okviru druge in tretje ravni Lamfalussyjevega procesa, zlasti še zaradi primernega kalibriranja. Nove kapitalske zahteve paˇ c ne morejo biti take, da v praksi zaradi pomanjkanja kapitala ne bi bile izvedljive. Drugo vprašanje pa je, kako bodo vplivale na preživetje majhnih zavarovalnic. 3 Tveganja v zavarovalništvu Tveganje lahko razumemo na veˇ c naˇ cinov, saj obstaja vrsta definicij. Tu bomo navedli dve starejši, vendar soˇ casni, iz katerih je razvidna osnovna dilema pri definiranju, in eno novejšo. 28 Definicija3.1: Tveganje je možnost, da sebo zgodilonekaj, kar bo imelo posledice na zastavljene cilje. Merimo ga glede na posledice in verjetnost nastanka. Definicija3.2: Tveganje je možnost, da se bo zgodil dogodek, ki bo negativno vpli- valnadoseganjezastavljenihciljev. Priložnostjemožnost,dasebozgodildogodek, ki bo pozitivno vplival na doseganje zastavljenih ciljev. Definicija 3.3: Tveganje je uˇ cinek negotovosti na zastavljene cilje. Prva definicija je iz dokumenta A Global Framework for Insurer Solvency Asses- sment (2004, str. 26, toˇ cka 5.5 12 ), druga je iz dokumenta ERM 13 – Integrated Framework: Executive Summary and Framework (2004, str. 16) in tretja iz med- narodnega standarda o upravljanju tveganj ISO 31000:2009. Po definicijah 3.1 in 3.3 smer odmikov od zastavljenih ciljev ni opredeljena, zato so odmiki od zastavljenih ciljev lahko negativni in pozitivni. Po teh dveh defi- nicijah torej ne razlikujemo tveganj od priložnosti. Po definiciji 3.2, v kateri je z dogodkom mišljen poljuben notranji ali zunanji pojav, ki bi lahko vplival na uresniˇ citev zastavljenih ciljev, pa tveganje razumemo le v negativnem smislu. V tej disertaciji bomo tveganje razumeli po definiciji 3.1, torej v širšem smislu, kar vpliva na odloˇ citev o izbiri sluˇ cajnih spremenljivk, s katerimi bomo tveganja modelirali. ˇ Ce bi se odloˇ cili za definicijo 3.2, bi lahko uporabljali le nenegativne sluˇ cajne spremenljivke, kar ima nekaj prednosti, vendar pa tudi slabosti. Upravljanje tveganj, ki so jim izpostavljene zavarovalnice, je izredno pomembno zaradi zagotavljanja in nadzorovanja solventnosti zavarovalnic. Tako bi morale zavarovalnice same, še bolj pa zavarovalni nadzorniki, zgodaj ugotavljati težave in s pravoˇ casnim ukrepanjem prepreˇ cevati nesolventnost. To je tudi bistveni na- men solventnostne zakonodaje oziroma predpisov o minimalnem kapitalu, ki je v EU za premoženjska zavarovanja odvisen praktiˇ cno le od zavarovalnih tveganj, za življenjska zavarovanja pa še od tržnih tveganj. Zavarovalnice, ki se ukvarjajo s premoženjskimi zavarovanji, so res najbolj ogro- žene zaradi zavarovalnih tveganj, vendar preostala tveganja nikakor niso zane- marljiva. Zavarovalna tveganja so bila v ZDA v letih od 1969 do 1998 vzrok za 41%primerovnesolventnosti(Solvencyofnonlifeinsurers,2000,str. 6)drugjepa verjetno tudi ni bistveno drugaˇ ce, kot lahko sklepamo iz kratkih povzetkov raz- liˇ cnih študij, navedenih v KPMG-jevem poroˇ cilu, obravnavanem v razdelku 2.4.3. 12 Dokument se sklicuje na prvo verzijo avstralskega standarda o upravljanju tveganj iz leta 1995, vendar pa navaja dopolnjeno definicijo iz AS/NZS 4360:2004, ki je tretja verzija prvot- nega standarda. Vˇ cetrti verziji AS/NZS ISO 31000:2009 pa je že definicija 3.3. 13 EnterpriseRisk Management – upravljanje tveganj v podjetjih. 29 Tako lahko, vsaj po svetu, veˇ c kot polovico primerov nesolventnosti premoženj- skih zavarovalnic pripišemo tveganjem, ki so v EU pri izraˇ cunu minimalnega ka- pitala popolnoma zanemarjena. V EU sta težave s solventnostjo zavarovalnic analizirali Müllerjevo in Sharmovo poroˇ cilo. Med letoma 1996 in 2001 so se solventnostne težave za 17 premoženj- skih in 3 življenjske zavarovalnice konˇ cale z zaprtjem (Sharma, 2002, str. 88). ˇ Ce prištejemoše31primerovzapremoženjske,14zaživljenjskein3zakompozitne zavarovalnice med letoma 2001 in 2004, ki jih navaja dokument Answers to the European Commission on the second wave of Calls for Advice (2005, str. 260), lahko ugotovimo, da je v EU med letoma 1996 in 2004 propadlo le 68 od prib- ližno 5.000 zavarovalnic, kar je razmeroma malo. Za primerjavo navedimo, da je v ZDA v letih od 1984 do 1993 število premoženjskih zavarovalnic, ki so postale nesolventne, redno predstavljalo vsaj 1 % od vseh delujoˇ cih premoženjskih zava- rovalnic, v najbolj kritiˇ cnih letih pa veˇ c kot 2 %, medtem ko v Nemˇ ciji v obdobju od leta 1980 do 1998 ni bilo niti enega primera (Solvency of non life insurers, 2000, str. 5). 3.1 Problematikaklasifikacijetveganj Trenutno v svetovnem merilu še ni enotne in splošno sprejete klasifikacije tve- ganj, ki so jim izpostavljene zavarovalnice (Report of Solvency Working Party, 2002, str. 12). Tako jih, denimo, IAIS, tako kot že Müllerjevo poroˇ cilo, razvršˇ ca v tri skupine. Deli jih na tehniˇ cna, naložbena in netehniˇ cna tveganja (On Solvency, Solvency Assessments and Actuarial Issues, 2000, str. 9). Tehniˇ cna tveganja so tveganja, ki so neposredno ali posredno povezana z zavarovalno-tehniˇ cnimi ozi- roma aktuarskimi izraˇ cuni zavarovalnih premij in zavarovalno-tehniˇ cnih rezer- vacij, oziroma s tveganji, povezanimi s prehitro oziroma nenadzorovano rastjo operativnih stroškov. Naložbena tveganja so tveganja, ki so neposredno ali pos- rednopovezanazupravljanjempremoženja. Netehniˇ cnatveganjapasovsadruga tveganja, ki jih ne moremo razvrstiti v prvi dve skupini. Konkretna tveganja IAIS navaja v dokumentu Principles on Capital Adequacy and Solvency (2002), v doku- mentu Discussion Note to the Members of the IC Solvency Subcommittee (2002, str. 18)pajihvseh26sistematiˇ cnonašteva,karpajeleenaodmožnihrazvrstitev. S klasifikacijo tveganj se ukvarja tudi IAA. V poroˇ cilu Report of Solvency Working Party (2002, str. 12–17) je navedenih veˇ c primerov iz zavarovalniške in banˇ cne prakse, v katerih so skupne toˇ cke, vendar pa je tudi veliko razlik. Kljub velikemu številu obstojeˇ cih klasifikacij je delovna skupina IAA predlagala še svojo razvr- stitev. Tveganja je razvrstila v naslednje skupine: zavarovalna, kreditna, tržna, 30 operativna, likvidnostna in tveganja zaradi zunanjih dogodkov, vsako od navede- nih skupin pa je razdelala še na nižji ravni. V kasnejšem dokumentu A Global Frameworkfor Insurer Solvency Assessment (2004) je delovna skupina svojo raz- vrstitev dopolnila, tako da, denimo, tveganj zaradi zunanjih dogodkov ni uvrstila v samostojno skupino, ampak jih je dodala k operativnim tveganjem, ˇ ceprav te skupine ni razdelala še na nižjo raven. Poleg omenjenih klasifikacij tveganj obstaja še vrsta drugih. Izdelavo enotne in splošno uporabne razvrstitve tveganj, ki bi bila hkrati tudi uravnotežena, otežu- jejo specifiˇ cnosti posameznih panog. Tako je, denimo, za zavarovalnice najpo- membnejše zavarovalno tveganje, ki je zaradi prevzemanja razliˇ cnih tveganj od zavarovancev razvejano v širino in globino, za preostala podjetja pa je analogno tveganje, povezano z njihovimi produkti, morda le eno od manj pomembnih pos- lovnih tveganj. Zato je, denimo, podrobna klasifikacija tveganj v (Archer-Lock et al., 2002, str. 27–30) uporabna le za zavarovalnice. 3.2 Klasifikacijatveganj za premoženjska zavarovanja Spodnjarazvrstitevtveganjjenarejenanapodlagiklasifikacijetveganjvobehprej omenjenihporoˇ cilihdelovneskupineIAA,vendarseodnjijuvpodrobnostihrazli- kuje. Kljubnaslovurazdelka je uporabnatudi za življenjska zavarovanja, le da bi bilo mogoˇ ce zanja smiselno zavarovalna tveganja razdelati malo drugaˇ ce. Ker še ne obstaja splošnosprejeta slovenska terminologija, so v oklepaju za posamezna tveganja navedeni angleški izrazi. Zavarovalna tveganja (angl. underwriting risks) so tveganja, ki izvirajo iz zava- rovalnih pogodb. Povezana so tako z nevarnostmi, ki so krite z zavarovalnimi pogodbami, kot tudi s spremljajoˇ cimi postopki. Med zavarovalna tveganja uvr- šˇ camo: 1. tveganje pri sprejemu rizikov v zavarovanje (angl. underwriting process risk), 2. cenovno tveganje (angl. pricing risk), 3. tveganje, da je produkt neustrezno naˇ crtovan (angl. product design risk), 4. tveganje škod (angl. claims risk), 5. tveganje ekonomskega okolja (angl. economic environment risk), 6. tveganje samopridržaja (angl. net retention risk), 7. tveganje obnašanja zavarovalcev (angl. policyholder behaviour risk), 8. tveganje zavarovalno-tehniˇ cnih rezervacij (angl. reserving risk), 9. tveganje katastrofe (angl. CAT risk). 31 Tržnatveganja(angl. marketrisks)sotveganja,kisopovezanaznestanovitnostjo cen finanˇ cnih instrumentov in tržnih cen drugih sredstev. Med tržna tveganja uvršˇ camo: 1. tveganje obrestne mere (angl. interest rate risk), 2. tveganje lastniških vrednostnih papirjev (angl. equity risk), 3. tveganje premoženja (angl. property risk), 4. valutno tveganje (angl. currency risk), 5. tveganje kreditnega razpona (angl. spread risk oziroma basis risk), 6. tveganje reinvestiranja (angl. reinvestment risk), 7. tveganje koncentracije (angl. concentration risk), 8. tveganje neusklajenostiobveznostiinnaložb(angl. asset/liabilitymissmatch risk). Kreditna tveganja (angl. credit risks) so tveganja, povezana z neizpolnitvijo ob- veznosti in spremembo kreditne bonitete izdajateljev vrednostnih papirjev, ki jih ima zavarovalnica v portfelju, pozavarovateljev, posrednikov in drugih poslov- nih partnerjev, ki imajo obveznosti do zavarovalnice. Med kreditna tveganja uvr- šˇ camo: 1. tveganje neposredne neizpolnitve obveznosti (angl. direct default risk), 2. padec ali sprememba bonitetne ocene (angl. downgrade or migration risk), 3. posredno kreditno tveganje (angl. indirect credit or spread risk), 4. poravnalno tveganje (angl. settlement risk), 5. deželno tveganje (angl. sovereignrisk), 6. tveganje koncentracije (angl. concentration risk), 7. tveganje nasprotne stranke (angl. counterparty risk). Operativna tveganja (angl. operational risks) so tveganja, povezana z neprimer- nimiali spodletelimi notranjimipostopki, ljudmi, raˇ cunalniškimisistemiin zuna- njimi dogodki. Med operativna tveganja uvršˇ camo: 1. tveganjeˇ cloveških virov (angl. human capital risk), 2. upravljalsko tveganje (angl. management control risk), 3. raˇ cunalniška tveganja (angl. system risks), 4. postopkovna tveganja (angl. process risks), 5. pravno tveganje (angl. legal risk), 6. tveganje katastrofe (angl. disaster risk), 7. regulatorno tveganje (angl. regulatory risk), 8. politiˇ cno tveganje (angl. political risk). Likvidnostna tveganja (angl. liquidity risks) so tveganja, povezana z izgubo za- radiprenizkihlikvidnihsredstevobzapadlostiobveznostialispoveˇ canimistroški 32 unovˇ cevanja manj likvidnih sredstev. Med likvidnostna tveganja uvršˇ camo: 1. tveganjenepriˇ cakovanih denarnihobveznostizaradivelikih škod(angl. cash calls following major loss events), 2. padec bonitetne ocene (angl. credit rating downgrade), 3. tveganje negativne publicitete (angl. negative publicity), 4. tveganje poslabšanja ekonomije (angl. deteriorationof economy), 5. tveganje zaradi problemov v sorodnih podjetjih (angl. reports of problems in other companies in the same or similar line of business), 6. tveganje zaupanja vvarnostin uˇ cinkovitost virov(angl. extent of reliance on and performance of secured sources of fundings and their terms), 7. tveganje kapitalskih trgov (angl. breadth of funding and accessibility/liquid- ity of capital market). Tveganjekatastrofe,tveganjekoncentracijeinpadecbonitetneocenesepojavljajo podvakrat,vendarimajovrazliˇ cnemkonteksturazliˇ cenpomen. Tako,denimo,se tveganje katastrofe pri zavarovalnih tveganjih nanaša na velika izplaˇ cila odškod- ninzaradikatastrofe, prioperativnih tveganjihpanadejstvo,dazavarovalnica ne bi mogla poslovati,ˇ ce bi ji, denimo, potres porušil poslovno stavbo. Našteti seznamtveganj še zdaleˇ c nipopoln, predvsem pa nirazgrajen še na nižje ravni. Iz dokumentov, ki so trenutno dostopni, se vidi, da je v projektu Solvent- nost 2 okrog tveganj odprtih še nekaj vsebinskih vprašanj. Zato bo za dokonˇ cen seznam vseh tveganj, ki bodo upoštevana v standardnem modelu, treba poˇ cakati vsaj na dokumente druge Lamfalussyjeve ravni, seveda pa to še bolj velja za me- todologijo merjenja. Zavarovalna, kreditna, tržna in operativna tveganja bodo obravnavana v prvem stebru, kar pomeni, da jih bo treba obravnavati kvantitativno, likvidnostna tvega- nja pa bodo obravnavana v drugem stebru. Med tveganja v zgornjem seznamu lahko uvrstimo vsa tveganja, ki so bila upoštevana v CEIOPS-ovi peti kvantitativni študiji uˇ cinkov, sopa v seznamutudi tveganja, ki vstandardnem modelu za izra- ˇ cun SCR ne bodo upoštevana, kar pa še ne pomeni, da jih lahko kar zanemarimo. Med operativna tveganja bi vsaj naˇ celoma lahko uvrstili tudi strateško tveganje in tveganje izgube dobrega imena. Ker pa sta ti dve tveganji pri Baslu II izrecno izkljuˇ ceni (International Convergence of Capital Measurement and Capital Stan- dards, 2006, str. 144), ju tudi tu nismo upoštevali. Verjetno so operativna tve- ganja za kvantifikacijo še najmanj primerna, ker so analitiˇ cno težko obvladljiva, zato pa zanje lahko predvidimo doloˇ cene (neugodne) scenarije. 33 3.3 Slovenskipredpisi o obvladovanju tveganj v zavarovalnicah Zakoni, ki so v Sloveniji veljali pred osamosvojitvijo, niso imeli posebnega pog- lavja o tveganjih. Zakon o temeljih sistema premoženjskega in osebnega zava- rovanja (Ur. l. SFRJ, št. 24/1976), imenovan tudi Boncljev zakon, je dopušˇ cal le po naˇ celih vzajemnosti in solidarnosti organizirane zavarovalne skupnosti, ki so za posamezne riziˇ cne skupnosti same doloˇ cale višino varnostne rezerve, upošte- vaje vrsto nevarnosti, pred katerimi so zavarovale premoženje in osebe. Bistveno spremembo je uvedel enako imenovani zakon iz leta 1990. Po njem so se zavaro- valnicelahkoorganiziraletudikotdelniškedružbe. Zapremoženjskazavarovanja sopotrebovalevsaj10 milijonovdinarjevzaˇ cetnega varnostnegasklada, kar jeob koncu leta 1990 pri "Markovi´ cevem" teˇ caju 7 din/DEM pomenilo 1,429 milijona DEM oziroma 0,695 milijona ECU 14 , za življenjska pa 5 milijonov din. Po tem zakonu soleta 1991 iz Zavarovalne skupnostiTriglav nastale štiri zavarovalnice. Zakon o zavarovalnicah (Ur. l. RS, št. 64/1994 in 35/1995) je prvi v samostojni Sloveniji sprejeti zakon, ki ureja zavarovalništvo, vendar tudi ta še nima poseb- nega poglavja o tveganjih. To pa še zdaleˇ c ne pomeni, da tveganjem ne posveˇ ca pozornosti. Zakon predpisuje izraˇ cun minimalnega kapitala, ki je predstavljen v razdelku 2.2.1, in doloˇ ca, koliko mora znašati zajamˇ ceni kapital ter kaj se šteje za razpoložljivi kapital 15 . Zneski, ki se upoštevajo pri izraˇ cunu minimalnega ka- pitala oziroma pri doloˇ canju zajamˇ cenega kapitala v odvisnosti od zavarovalnih vrst, s katerimi se zavarovalnica ukvarja, so izraženi v tolarjih, vendar veˇ cinoma v ekvivalentni višini, kot je takrat veljala v EU. K obvladovanju oziroma upravljanju tveganj lahko uvrstimo tudi doloˇ cbe o ob- veznem pozavarovanju presežkov v zavarovanje prevzetih nevarnosti in o zava- rovalno-tehniˇ cnih rezervacijah in varnostni rezervi. Zraven sodijo tudi naˇ cela in doloˇ cbe o nalaganju zavarovalno-tehniˇ cnih rezervacij in varšˇ cin, pa tudi doloˇ cbe o nadzoru v zavarovalnici. Zakon o zavarovalništvu (Ur. l. RS, št. 13/2000) vsebuje tudi poglavje o obvlado- vanju tveganj. Zaˇ cne se s 104. ˇ clenom, ki doloˇ ca: (1) Zavarovalnica mora zagotoviti, da vedno razpolaga z ustreznim kapitalom, glede na obseg in vrste zavarovalnih poslov, ki jih opravlja, ter tveganja, ki jim je izpostavljena pri opravljanju teh poslov (kapitalska ustreznost). 14 EvropskadenarnaenotaECUje biladoloˇ cenaskošaricovalut. 1. januarja1999jojezamenjal evro z enako vrednostjo. 15 Zakon za minimalni kapital, zajamˇ ceni kapital in razpoložljivi kapital uporablja izraze sol- ventna meja, garancijski sklad in viri sredstevsolventnosti. 34 (2) Zavarovalnica mora poslovati tako, da tveganja, ki jim je zavarovalnica iz- postavljena pri posameznih oziroma vseh vrstah zavarovalnih poslov, ki jih opravlja, nikoli ne presežejo omejitev, doloˇ cenih s tem zakonom in na nje- govi podlagi izdanih predpisov. (3) Zavarovalnica mora poslovati tako, da je v vsakem trenutku sposobna pra- voˇ casnoizpolnjevatizapadleobveznosti(likvidnost)terdajetrajnosposobna izpolniti vse svoje obveznosti (solventnost). V poglavju o obvladovanju tveganj je podrobno predpisano, kaj se upošteva kot razpoložljivi kapital, kako se izraˇ cuna minimalni kapital ter koliko znaša zajam- ˇ cenikapital, karjevseusklajenozzahtevamiEU.Obdelanesošezavarovalno-teh- niˇ cne rezervacije, vrste in omejitve naložb kritnega premoženja ter drugi ukrepi za obvladovanje tveganj, med njimi dolžnost pozavarovanja in upravljanje z lik- vidnostjo. Poglavje o obvladovanju tveganj je obsežno,saj z upoštevanjem kasnejših dopol- nitev v zadnjem uradnem preˇ cišˇ cenem besedilu Zakon o zavarovalništvu (Ur. l. RS, št. 99/2010-UPB7) vsebuje kar 42ˇ clenov. Kljub temu pa podrobnejše predpi- sovanje pravil za obvladovanje tveganj prepušˇ ca Agenciji za zavarovalni nadzor, ki je izdala že vrsto podzakonskih predpisov. 3.4 Obvladovanjetveganj za premoženjskazavarovanja Obvladovanje oziroma upravljanje tveganj v podjetju lahko opišemo s spodnjo definicijo iz dokumenta ERM – Integrated Framework: Executive Summary and Framework(2004, str. 16). Definicija 3.4: Upravljanje tveganj je proces, ki omogoˇ ca, da ugotovimo potenci- alne dogodke z vplivom na cilje, omogoˇ ca, da obdržimo tveganja znotraj toleranc, ter zagotavlja razumno doseganje ciljev. Ta definicija sodi v okvir metodologije odbora COSO (Committee of Sponsoring Organizations of the Treadway Commission), ki je splošno sprejeta med notra- njimirevizorji,zajemapadefinicije,koncepte,kategorijeciljev,smernicezavzpo- stavitevinvzdrževanje upravljanjatveganjvpodjetjihterkriterijezaocenjevanje uspešnostiupravljanja tveganj. Cilj uporabe COSO metodologije je doseˇ ci strateške in operativne cilje, denimo uspešnostinuˇ cinkovitost,terzanesljivoporoˇ canjeinskladnostspredpisi. Želene cilje naj bibilo mogoˇ cedoseˇ ciz uporaboosmihpovezanih komponentmetodolo- gije, ki so: postavitev notranjega okolja, definiranje ciljev, opredelitev dogodkov, 35 ocena tveganj, obravnava tveganj, izvajanje kontrolnih aktivnosti, informiranje in komuniciranje ter nadziranje (ERM – Integrated Framework: Executive Summary and Framework, 2004, str. 22). Pri tem se proces nikoli ne zakljuˇ ci, ker ga je potrebno stalno vzdrževati, po možnosti pa tudi izboljševati. Zato je zelo po- membno, da v podjetju ustvarimo in nenehno dopolnjujemo kulturo upravljanja tveganj. Upravljanja tveganj v zavarovalnicah se lahko lotimo še na veliko drugih naˇ cinov, od katerih nekatere navaja Dvoršak Bugarija (2005), seveda pa tudi po metodo- logiji, navedeni v spremljajoˇ ci dokumentaciji mednarodnega standarda o uprav- ljanju tveganj (glej IEC/ISO 31010:2009). Neodvisno od naˇ cina upravljanja pa je vsekakor najprej treba vedeti, katera konkretna tveganja ogrožajo zavarovalnico, predvsem pa, kolikšna je izpostavljenost in z njo povezan priˇ cakovani uˇ cinek uresniˇ citve tveganja. Zato je koristno narediti register tveganj, v katerem poleg identifikacijskih podatkov in procesa, kjer se tveganje pojavlja, evidentiramo iz- merjeno ali ocenjeno izpostavljenost tveganju, oceno verjetnosti uresniˇ citve tve- ganja, njene posledice, priˇ cakovani uˇ cinek tveganja, maksimalno dopustno mejo, kontrolne mehanizme, primerne ukrepe za zmanjšanje tveganja, izpostavljenost tveganju po ukrepih, odgovorne osebe pa še kaj. Izpostavljenost bi morali meriti na doloˇ cene preseˇ cne datume, denimo ob koncu kvartalov, pa tudi intervalno. Priporoˇ cena enota izpostavljenosti pri preseˇ cnem merjenju je kar denarna enota, kar je naravno za tržna in kreditna tveganja, pa tudi za nekatera zavarovalna tveganja. Tako, denimo, za požarno zavarovanje, potres, poplavo, vihar, toˇ co, pa tudi za nezgodno in še kakšno zavarovanje pre- seˇ cno izpostavljenost lahko merimo s seštevkom zavarovalnih vsot S= P n i=1 S i , kjer je n število rizikov ter S i zavarovalna vsota i-tega rizika. Mimogrede lahko izraˇ cunamo še povpreˇ cno zavarovalno vsoto, standardni odklon in Herfindahlov indeks koncentriranosti, definiran s H S = P n i=1 S i S  2 . Pri zavarovanju avtomobil- skeodgovornostiinnekaterihdrugihzavarovanjih,kjerrazlikemedzavarovanimi objektializavarovalnimivsotaminisoprevelike, paizpostavljenostlahkomerimo kar s številom zavarovanih objektov ali celo s številom zavarovalnih polic. Poleg višine izpostavljenosti je vsekakor pomemben tudi ˇ cas izpostavljenosti. Zato izpostavljenost v doloˇ cenem obdobju merimo bodisi s povpreˇ cno preseˇ cno izpostavljenostjo v obdobju bodisi intervalno. V drugem primeru za enoto iz- postavljenosti upoštevamo enoto za preseˇ cno izpostavljenost, pomnoženo s ˇ ca- sovnoenoto. Tako,denimo,zazavarovanje avtomobilskeodgovornostizaosebne avtomobile lahko upoštevamo kar enotovozilo×leto. Podatek o izpostavljenosti pri nespremenjenih drugih okolišˇ cinah omogoˇ ca pri- 36 merjavo tveganja ob razliˇ cnemˇ casu, ne zadostuje pa za oceno dejanskega tvega- nja. Zato za posamezno tveganje posebej doloˇ cimo še verjetnost uresniˇ citve tve- ganjavdoloˇ cenemobdobju,posebejpa njenefinanˇ cneuˇ cinke, sproduktom obeh vrednosti pa dobimo oceno priˇ cakovanih posledic uresniˇ citve tveganja v doloˇ ce- nemobdobju. Tapodatek,kigaprizavarovalnihtveganjihprepoznamokotnevar- nostnopremijo,paježepraktiˇ cnouporabenzaurejanjetveganjpopomembnosti ter s tem povezano doloˇ citvijo prioritet, zlasti pa za doloˇ citev primernih ukrepov za upravljanje tveganj. Za vsako od registriranih tveganj moramo doloˇ citi še sprejemljivo zgornjo mejo priˇ cakovanih posledic uresniˇ citve tveganja, kontrolne mehanizme ter odgovorno osebo (skrbnika tveganja), predvsem pa ustrezne ukrepe. Po COSO metodologiji so osnovni ukrepi za upravljanje tveganj štirje: izogibanje, sprejetje, zmanjšanje in razdelitev (ERM – Integrated Framework: Aplication Techniques, 2004, str. 55). S prvim ukrepom s prepreˇ citvijo izpostavljenosti bodoˇ cim možnim dogodkom tveganje odstranimo, z drugim ga vzdržujemo na sprejemljivi ravni, s tretjim ga z ustrezno politiko in postopki zmanjšamo, s ˇ cetrtim pa ga v celoti ali delno s prenosom na druge neodvisne in finanˇ cno sposobne organizacije razdelimo med veˇ c subjektov. Za vsakega od osnovnih ukrepov obstaja veˇ c naˇ cinov izvedbe ozi- roma konkretnih ukrepov, ki jih tu ne bomo naštevali (glej npr. Guide to ERM, 2006, str. 75). Množicoukrepovzaupravljanjetveganjbivdrevesnostrukturolahkoorganizirali tudi drugaˇ ce, tako da bi na najvišji ravni dobili druge osnovne ukrepe. Tako, de- nimo, IAA za zavarovalnice poleg preudarnega obravnavanja odškodninskih zah- tevkov navaja naslednje ukrepe: zmanjšanje,integracija, razpršitev, šˇ citenje, pre- nos in razkritje tveganj (A Global Framework for Insurer Solvency Assessment, 2004, str. 6, toˇ cka 2.26). Pri odloˇ citvi za konkreten ukrep je poleg priˇ cakovanih posledic uresniˇ citve tve- ganja, ki jih želimo zmanjšati, vsekakor treba upoštevati tudi stroške izbranega ukrepa. Pritemsejetrebazavedati,dasposameznimukrepomsicerlahkozmanj- šamoposameznotveganje,zatopalahkohkratipoveˇ camokakšnodrugotveganje. Tipiˇ cen primer je pozavarovanje, s katerim zavarovalnica del zavarovalnega tve- ganja prenese na pozavarovalnice, hkrati pa poveˇ ca kreditno tveganje. Zaradi iz- jemnega pomena pozavarovanja, ki je glavni ukrep za zmanjšanje zavarovalnega tveganja, si bomo v naslednjem razdelku ogledali glavne pozavarovalne oblike. 37 3.5 Predstavitev glavnih pozavarovalnihoblik Bistvo zavarovanja je prenos tveganja z zavarovanca na zavarovalnico. Analogno je pri pozavarovanju, le da na višji ravni – zavarovalnica ima vlogo zavarovanca, pozavarovalnica pa vlogo zavarovalnice. Zavarovalnica in pozavarovalnica lahko skleneta obvezno pozavarovalno pogodbo, s katero se dogovorita, da mora zava- rovalnica vse rizike, ki izpolnjujejo pogoje iz pogodbe, ponuditi v pozavarovanje, pozavarovalnica pa jih mora sprejeti. Za izjemne rizike, ki ne izpolnjujejo po- gojev iz obvezne pozavarovalne pogodbe, pa se lahko za vsak primer posebej dogovorita o pogojih sprejema v pozavarovanje. V takih primerih govorimo o fakultativnem pozavarovanju. S pozavarovanjem zmanjšujemo variabilnost odškodnin, kar povzroˇ ca manjša nihanja poslovnih rezultatov zavarovalnice. Poleg tega ima pozavarovanje tudi drugepomembnevloge,sajznjimlahkofinanciramorastzavarovalnice, nadome- šˇ camo kapital, optimiziramo davke ter zagotavljamo likvidnost (Antal, 2009, str. 2). Zacelovito pozavarovalno zašˇ cito lahkokombiniramorazliˇ cnepozavarovalne ob- like tudi za isto podmnožico portfelja, pri ˇ cemer moramo pri raˇ cunanju ˇ cistih odškodninizkosmatihupoštevatidogovorjenivrstnireduˇ cinkovanjaposamezne pozavarovalne oblike. 3.5.1 Kvotno pozavarovanje Kvotno pozavarovanje je oblika pozavarovanja, pri katerem se zavarovalnica od- loˇ ci za lastni delež tveganja α∈ (0,1), ki ga bo zadržala, presežek pa odstopi pozavarovalnici. Pri kvotnem pozavarovanju si zavarovalnica in pozavarovalnica premijo in odškodnine delita v razmerjuα:1−α, zaradiˇ cesar kvotno pozavaro- vanje sodi med t. i. proporcionalna pozavarovanja. Zavarovalnicalahkoenotnokvotnopozavarujecelotenportfelj,lahkopaseodloˇ ci le za kvotno pozavarovanje posameznih zavarovalnih vrst ali drugaˇ ce izbranih podmnožicportfelja,zakatere lahkoizbererazliˇ cnelastnedeleže,zaposamezno podmnožico izbrani lastni delež pa velja za vse rizike iz te podmnožice. Najnenegativnasluˇ cajnaspremenljivkaX=X l +X p pomenikosmatoodškodnino, ki jo zavarovalnica izplaˇ ca zavarovancu. ˇ Cista odškodnina X l odpade na za- varovalnico, pozavarovalni del X p pa na pozavarovalnico. Ker je X l =αX, je E[X l ]=αE[X], var[X l ]=α 2 var[X] in σ X l =ασ X . Analogne enaˇ cbe veljajo tudi za pozavarovalni del odškodnine X p =(1−α)X, za kosmate agregatne odškod- 38 nine v doloˇ cenem obdobju, denimo enem letu, ter pripadajoˇ ce ˇ ciste agregatne odškodnine in pozavarovalni del agregatnih odškodnin. Pri primernem pozavarovanju se zmanjšajo povpreˇ cne odškodnine in povpreˇ c- ne agregatne odškodnine, ki bremenijo zavarovalnico, predvsem pa se zmanjša njihova varianca. Oboje pa moramo gledati povezano. Relativno nihanje okoli priˇ cakovanih vrednosti pogosto merimo s koeficientom variacije ̺, izraˇ cunanim kot razmerje med standardnim odklonom in povpreˇ cno vrednostjo. Pri kvotnem pozavarovanju velja ̺ X =̺ X l =̺ X p tako za posamezne kot tudi agregatne od- škodnine. Prikvotnempozavarovanjusevariancaˇ cistihagregatnihodškodninzmanjša,ven- dar koeficient variacije ostaja nespremenjen. Zato si zavarovalnica s kvotnim po- zavarovanjem zmanjšuje predvsem lastni delež odhodkov za škode, ki vpliva na izraˇ cun minimalnega kapitala, opisan v razdelku 2.2.1. Poslediˇ cno se pri dani kosmati premiji zmanjšajo kapitalske zahteve, pri danem kapitalu pa poveˇ ca zgornjamejakosmatepremije,dokaterelahkozavarovalnica sklepazavarovanja. Za zmanjšanje koeficienta variacije agregatnih odškodnin pa mora zavarovalnica uporabiti druge pozavarovalne oblike. Kvotno pozavarovanje je primerno za vsa zavarovanja, odlikuje pa se po svoji preprostosti in z njo povezanimi nizkimi administrativnimi stroški. Za pozava- rovalne obraˇ cune zadošˇ ca poznavanje kosmate agregatne premije in kosmatih agregatnih odškodnin, lastnega deleža zavarovalnice in provizijske stopnje, ki jo pozavarovalnicapriznazavarovalnicikotnadomestilozastroškepridobivanjaza- varovanj, reševanje odškodninskih zahtevkov in druge stroške zavarovalnice. 3.5.2 Vsotnopresežkovno pozavarovanje Glavna slabost kvotnega pozavarovanja je v tem, da zavarovalnica odstopi poza- varovalnici isti odstotek tveganja za vse rizike iz iste kvotno pozavarovane pod- množice portfelja. Majhne rizike bi lahko v celoti obdržala sama, za velike rizike pa bi bilo morda primerneje, ˇ ce bi veˇ c tveganja prenesla na pozavarovalnico. To slabost odpravlja vsotno presežkovno pozavarovanje, pri katerem se lastni delež posebej doloˇ ci za vsak riziko, ki izpolnjuje pogoje iz pozavarovalne pogodbe. Zavarovalnica mora najprej oceniti višino maksimalne posamezne škode, ki jo lahkokrijesama,nedabibilaogrožena,tudiˇ cebisevenemletuzgodiloveˇ ctakih škod. Dobljena ocena M se imenuje maksimalni samopridržaj in služi kot krite- rij za odloˇ canje o potrebnosti vsotno presežkovnega pozavarovanja posameznih rizikov. Optimalno doloˇ canje maksimalnega samopridržaja je zelo zahtevno delo 39 (glej npr. Komelj, 2004, str. 53–70), zato zavarovalnice maksimalne samopridr- žaje zelo pogosto doloˇ cajo kar izkustveno. Pri vsotno presežkovnem pozavarovanju obstajata dva pristopa, ki se razlikujeta le po merilu, na podlagi katerega med zavarovalnico in pozavarovalnico delimo premijo in odškodnine za posamezni riziko. Pri prvem pristopu upoštevamo za- varovalno vsoto, pri drugem pa maksimalno priˇ cakovano škodo (EML – Expected Maximum Loss). Pri nekaterih zavarovanjih, npr. požarnem ali strojelomnem, je za velike rizike popolna škoda, ko je odškodnina enaka zavarovalni vsoti, zelo maloverjetna. Pritakihzavarovanjihsejevpraksiizkazalo,dajeboljeupoštevati maksimalno priˇ cakovano škodo, ki pa jo je treba oceniti za vsak riziko posebej. Zavarovalnica mora pozavarovati vse tiste rizike, za katere je zavarovalna vsota veˇ cjaodmaksimalnegasamopridržaja,ˇ ceserazmerjemeddeležemzavarovalnice in pozavarovalnice doloˇ ca na podlagi zavarovalne vsote, oziroma tiste rizike, za katere je maksimalna priˇ cakovana škoda veˇ cja od maksimalnega samopridržaja, ˇ ce se razmerje med deležem zavarovalnice in pozavarovalnice doloˇ ca na podlagi EML. Ker sta raˇ cunsko oba naˇ cina ekvivalentna, bomo v nadaljevanju uporabljali EML, kar lahko povsod nadomestimo z zavarovalno vsoto. Pozavarovalnica vˇ casih ne želi, da bi zavarovalnica obdržala premajhen delež ce- lotnega tveganja, zato je v pozavarovalni pogodbi dogovorjeno, da bo prevzela le tveganjedom-kratnikasamopridržajaM oziromamt. i. linij. Morebitnipresežek tveganja nad (m+1)M ostane zavarovalnici, seveda pa se ta s pozavarovalnico lahkodogovoritudizat. i. fakultativnopozavarovanje,kipasesklepaodprimera do primera. Pri vsotno presežkovnem pozavarovanju s samopridržajem M in m linijami nad samopridržajem je za kosmato odškodnino X, ki se nanaša nai-ti riziko s priˇ ca- kovano maksimalno škodoEML i ,X l =α i X inX p =(1−α i )X, kjer je α i =            1 zaEML i ≤M, M EML i zaM (m+1)M. Vpraksijedoloˇ canjeEMLstrokovnozelozahtevenproblem. Zatosevˇ casihzgodi, da je dejanska škoda veˇ cja od EML 16 , kar pa ne spremeni lastnega deleža zava- rovalnice. Zato pozavarovalnice iz previdnosti obiˇ cajno zahtevajo, da priˇ cako- 16 UporabaokrajšaveEMLzaexpected(estimated)maximumlossjezatoprimernejšaoduporabe bolj pogoste okrajšave PML za probable (possible) maximum loss. EML in PML sta v praksi sinonima. 40 vana maksimalna škoda ni manjša od predpisanega odstotka zavarovalne vsote, ki predstavlja teoretiˇ cno maksimalno odškodnino, ki jo plaˇ ca zavarovalnica. Vsotnopresežkovnapozavarovalnapogodbazmlinijamiomogoˇ cakvalitetno po- zavarovanje rizikov, za katere je EML manjši ali enak (m+1)M (t. i. limit po- godbe). Za rizike z veˇ cjim EML presežek rizika nad limitom pogodbe ne bi bil pozavarovan, zato se je treba v takem primeru posebej dogovoriti o fakultativ- nem pozavarovanju. Vpliv vsotno presežkovnega pozavarovanja na priˇ cakovane ˇ ciste agregatne od- škodnineinustreznovariancojeodvisenodstruktureportfelja. Kljuˇ cnajeseveda porazdelitev maksimalnih priˇ cakovanih škod (t. i. profil rizikov) oziroma z njimi linearno povezanih lastnih deležev. Uˇ cinek vsotno presežkovnega pozavarovanja na zmanjšanje koeficienta variacije je obiˇ cajno pomemben, kar je posledica dej- stva, da z vsotno presežkovnim pozavarovanjem bistveno omejimo potencialne maksimalneˇ ciste odškodnine oziroma dele rizikov, ki ostanejo v lastni izravnavi zavarovalnice, homogeniziramo. Za predpostavke in formule,ki omogoˇ cajo prak- tiˇ cno oceno uˇ cinka vsotno presežkovnega pozavarovanja na zaˇ cetne momenteˇ ci- stih odškodnin, s tem pa tudi izraˇ cun uˇ cinka na koeficient variacije, glej (Komelj, 2004, str. 55–57). Vsotno presežkovno pozavarovanje je primerno za zavarovanje premoženja (po- žarno ali strojelomno zavarovanje itd.), nezgodno in življenjsko zavarovanje, po- morska zavarovanja itd., zahteva pa veˇ c administriranja kot kvotno pozavarova- nje. Tudi vsotno presežkovno pozavarovanje sodi med t. i. proporcionalna poza- varovanja, ker za delitev premije in odškodnin, ki se nanašajo na isti zavarovani riziko, velja isti vnaprej dogovorjeni delež. 3.5.3 Škodno presežkovnopozavarovanje Pri škodno presežkovnem pozavarovanju s kritjem v višini L nad maksimalnim samopridržajem M, ki ga v tem primeru imenujemo tudi prioriteta, je ˇ cista od- škodnina doloˇ cena z enaˇ cbo X l =            X zaX≤M, M zaM M+L, karkrajšezapišemokotX l = min{X,M}+max{X−M−L,0}. Napozavarovalnico odpade X p = min{max{X−M,0},L}. ˇ Ce je kritje nad prioriteto M neomejeno, X l = min{X,M} odpade na zavarovalnico, X p = max{X−M,0} pa na pozavaro- 41 valnico. Zato jeX= min{X,M}+max{X−M,0}. Odskupnenevarnostnepremije E[X]zavarovalnicipripadaE[X l ]=E[min{X,M}],karbomooznaˇ cilizE[X;M]in imenovali omejena priˇ cakovana vrednost, pozavarovalnici pa E[X p ]=E[max{X−M,0}]=E[X]−E[X;M]. (3.1) PriomejenempozavarovalnemkritjuvvišiniLnadmaksimalnimsamopridržajem M je del nevarnostne premije, ki pripada pozavarovalnici, enak E[X p ]=E[X;M+L]−E[X;M], (3.2) razlika doE[X] pa pripada zavarovalnici. Omejeno priˇ cakovano vrednost za ne- negativno sluˇ cajno spremenljivkoX izraˇ cunamo z enaˇ cbo E[X;M]= Z M 0 (1−F X (x))dx, v razdelku 4.1 pa bomo spoznali še alternativni izraˇ cunE[X;M] in t. i. stop-loss premijeE[X p ] s stop-loss transformiranko sluˇ cajne spremenljivkeX. Z navedenimi enaˇ cbami lahko izraˇ cunamo razmerje med pozavarovalno nevar- nostno premijo in kosmato nevarnostno premijo, ki za neomejeno kritje nad pri- oritetoM znaša1− E[X;M] E[X] ,karlahkouporabimokotpremijskostopnjozapozava- rovanje. Vtem primerusizavarovalnica in pozavarovalnica premije in odškodnin ne delita v enakih razmerjih, zato škodno presežkovno pozavarovanje sodi med neproporcionalna pozavarovanja. Vpliv škodno presežkovnega pozavarovanja na priˇ cakovane ˇ ciste agregatne od- škodnine in ustreznovarianco je odvisen odporazdelitvene funkcije posameznih odškodnin. Za formule, ki omogoˇ cajo praktiˇ cno oceno uˇ cinka škodno presežkov- nega pozavarovanja na zaˇ cetne momenteˇ cistih odškodnin, s tem pa tudi izraˇ cun uˇ cinka na koeficient variacije, glej (Komelj, 2004, str. 58). Škodnopresežkovnopozavarovanjevpraksiveˇ ckraturedimovveˇ cslojihoziroma intervalih,kijihlahkopozavarujemoprirazliˇ cnihpozavarovateljih. Vprvemsloju priˇ cakujemo zmernoštevilo škod, višji slojipa sonamenjenizašˇ citi predvelikimi ali celo izjemno velikimi škodami, ki jih obiˇ cajno ne priˇ cakujemo veliko, ˇ ce pa se zgodijo, vˇ casih že ena sama lahko pomeni preveliko breme za zavarovalnico brez ustreznega pozavarovanja. Škodno presežkovno pozavarovanje je primerno predvsem za zavarovanje pre- moženja (požarno ali strojelomno zavarovanje itd.), razna odgovornostna zava- rovanja, pomorska zavarovanja itd. Ker se pozavarovalna premija obraˇ cunava od 42 kosmate zavarovalne premije za vse zavarovane rizike iz ustrezne podmnožice portfelja, je administriranje v glavnem povezano s prijavljanjem škod, ki prese- gajo prioriteto. Škodno presežkovno pozavarovanje se lahko nanaša le na posamezne rizike, lah- ko pa tudi na posamezen dogodek. V prvem primeru se pozavarovalno kritje aktivira za vsak škodni primer, kjer odškodnina presega prioriteto. V drugem primeru pa je prvi pogoj za aktiviranje pozavarovalnega kritja, da sta vsaj dva škodna primera posledica istega dogodka, drugi pogoj pa je, da skupne odškod- nine, že zmanjšane za pozavarovalni del preostalih pozavarovanj, presegajo pri- oriteto škodno presežkovnega pozavarovanja. Tovrstno škodno presežkovno po- zavarovanje je primerno predvsem za zavarovanja, ki krijejo škode zaradi na- ravnih nesreˇ c, kot so vihar, toˇ ca, poplava ali potres, pri katerih obiˇ cajno kot en škodni dogodek upoštevamo vse škode, nastale v najveˇ c 72-urnem obdobju. Zato takemu pozavarovanju reˇ cemo škodno presežkovno pozavarovanje za katastrofe ali pa škodno presežkovno pozavarovanje za zašˇ cito samopridržaja. 3.5.4 Pozavarovanjeletnega presežka škod Škodno presežkovno pozavarovanje za katastrofe je že primer pozavarovanja, ki senanašanaagregatneodškodnine, kisoposledica enegaškodnega dogodka. Po- leg tega pa obstaja tudi pozavarovanje letnega presežka škod, ki se nanaša na agregatne odškodnine celotnega leta, ne le enega dogodka. Pri pozavarovanju let- nega presežka škod pozavarovalnica zavarovalnici izplaˇ ca morebitno pozitivno razliko (ali njen del) med letnimi agregatnimi odškodninami in samopridržajem zavarovalnice. Le-tajelahkoizraženvabsolutnemzneskualipaposrednosškod- nim koliˇ cnikom. Tovrstno pozavarovanje je najbolj pogosto pri zavarovanju po- sevkov, ko je, denimo, dogovorjeno, da pozavarovalnica izplaˇ ca morebitni del agregatnih odškodnin, ki leži v pasu letnih agregatnih odškodnin od 110 % do 160 %, raˇ cunano od letne tehniˇ cne premije, to je dela letne kosmate premije, ki je namenjen kritju škod. 3.5.5 Primerjavauˇ cinkovitostiposameznih pozavarovalnihoblik Gledano dolgoroˇ cno,zavarovalnica s prenosom dela tveganja na pozavarovalnico prenaša tudi del dobiˇ cka. Pri tem mislimo le na tisti del dobiˇ cka, ki izvira iz tehniˇ cne premije, ne pa na dobiˇ cek iz naložb ali razlike med dejanskimi in vra- ˇ cunanimi stroški. Zavarovalnica po eni strani teži k zadrževanju veˇ c tveganja v lastni izravnavi, ker s tem priˇ cakuje, da ji bo ostalo veˇ c dobiˇ cka, po drugi pa teži k veˇ cjemu prenosu tveganja na pozavarovalnice, kar ji poveˇ cuje varnost. Kje je 43 optimum,je težko presoditi, odgovor pa je odvisen tudiodkriterija optimalnosti. V tem razdelku bomo le predstavili problem, mnogo veˇ c o optimiziranju pozava- rovanja pa najdemo v (Krvavych, 2005). Za poljuben t≥0, ki naj meri ˇ cas v letih, in konstanto c >0 naj bo P(t)=ct kosmata tehniˇ cna premija, zbrana od trenutka 0 do t. V istem obdobju na- stale škode naj šteje sluˇ cajna spremenljivka N(t), skupne kosmate odškodnine pa meri sluˇ cajna spremenljivka S(t)= P N(t) i=1 X i , ˇ ce je N(t)>0, in S(t)=0, ˇ ce je N(t)=0. Predpostavimo, da je{N(t):t≥0} Poissonovproces,kosmate odškod- nine X 1 ,X 2 ,... pa so med seboj in od{N(t) : t≥0} neodvisne ter enako poraz- deljene sluˇ cajne spremenljivke. Pri navedenih predpostavkah je{S(t) : t≥0} sestavljen Poissonov proces, sluˇ cajne spremenljivke S=S 1 =S(1),S 2 =S(2)− S(1),S 3 =S(3)−S(2),..., ki predstavljajo skupne kosmate odškodnine v posa- meznih letih, pa so neodvisne in enako porazdeljene. Naj bo K kapital, ki ga je zavarovalnica pripravljena tvegati, Ψ(K) pa verjetnost, da bo za nek t>0 izpolnjen pogoj K+P(t)−S(t)<0. Z znano Lundbergovo neenaˇ cbo Ψ(K)≤e −RK (3.3) (glej npr. Teugels & Sundt, 2004, str. 1050, in Komelj, 2004, str. 63) lahko izraˇ cunamo zgornjo mejo te verjetnosti. Poznati moramo le konstanto R, ki je najmanjši pozitivni koren enaˇ cbe M S (t)=e ct , (3.4) kjer jeM S (t)=E[e tS ] momentno rodovna funkcija sluˇ cajne spremenljivkeS. Zavarovalnica s pozavarovanjem letno premijo, ki ji ostane, zmanjša naP l , s tem pa tudi letne odškodnine zmanjša na S l . Pri korektno doloˇ ceni premiji se zato zmanjša tudi verjetnost, da ˇ cista premija skupaj s kapitalom ne bo zadošˇ cala za izplaˇ cilo ˇ cistih odškodnin. Hkrati se zmanjša tudi priˇ cakovani ˇ cisti tehniˇ cni izid, merjen z razliko medˇ cisto premijo inˇ cistimi odškodninami. Seveda enaˇ cba (3.3) še vedno velja, le v enaˇ cbi (3.4), iz katere izraˇ cunamo R, je treba za S in c upoštevati vrednosti, ki se nanašata naˇ ciste zneske. Kriterijev za optimalnost pozavarovanja je veˇ c. Veˇ cina jih je povezanih s ˇ cistim tehniˇ cnim izidom, z verjetnostjo izgube tveganega kapitala ter s kombinacijo obojega. Klasiˇ cen cilj optimiziranja pozavarovanja je doseˇ ci minimalno varianco var[P l −S l ]pripredpisanemˇ cistemtehniˇ cnemiziduE[P l −S l ]. Zaproporcionalna pozavarovanja je temu cilju ekvivalenten cilj, da dosežemo maksimalni priˇ cako- vani ˇ cisti tehniˇ cni izid E[P l −S l ] pri predpisani varianci var[P l −S l ] (Bühlmann, 44 1970, str. 114). ZaciljoptimizacijesilahkopostavimotudimaksimalnikoeficientRpripogoju,da jepriˇ cakovaniˇ cisti tehniˇ cniizidE[P l −S l ]veˇ cjialienakpredpisani vrednosti(glej npr. Dickson & Waters, 1997). Nasprotno pa lahko za cilj postavimo maksimalni priˇ cakovani ˇ cisti tehniˇ cni izid E[P l −S l ] ob pogoju, da je koeficient R veˇ cji ali enak predpisani vrednosti. Še natanˇ cnejši pa smo, ˇ ce namesto spodnje meje za R predpišemo maksimalno verjetnostǫ, s katero je zavarovalnica še pripravljena izgubiti tvegani kapital K. Ta kriterij, ko išˇ cemo maksimalni priˇ cakovani ˇ cisti tehniˇ cni izid E[P l −S l ] ob pogojuP(K+P l −S l <0)≤ǫ, je podrobno obdelan v (Komelj, 2004). Vpraksiveˇ cinomanismosposobninajtioptimalnepozavarovalne zašˇ cite,zatose zadovoljimo s primerno pozavarovalno zašˇ cito. Obiˇ cajno nam manjkajo ustrezni podatki za izraˇ cun, znanje ali pa na pozavarovalnem trgu ni ustrezne ponudbe. Pogosto so težave tudi s kriteriji, ko se je treba odloˇ citi za višino tveganega ka- pitala K in še dopustno verjetnost ǫ, da ga bomo izgubili. Kljub temu pa uˇ cin- kovitost posameznih pozavarovalnih oblik lahko razvrstimo enako kot njihovo teoretiˇ cno optimalnost. Optimalna pozavarovalna oblika je zavarovanje letnega presežka škod, ki pa ga je na trgu težko dobiti. Sledi škodno presežkovno pozavarovanje ter vsotno pre- sežkovno pozavarovanje. Najslabše pa je kvotno pozavarovanje. O teoretiˇ cnem ozadju teh trditev glej npr. (Wang & Young, 1998, str. 157, in Gerber & Pafumi, 1998, str. 79). Seveda pa praksa in teorija ne gresta vedno z roko v roki s po- nudbo in povpraševanjem. Zato zavarovalnice zaradi razliˇ cnih omejitev, ki jih postavljajo pozavarovatelji, svoj portfelj zašˇ citijo s kombinacijo razliˇ cnih poza- varovalnih oblik. 4 Merjenje, primerjanje in urejanje tveganj ˇ Ce hoˇ cemo neko tveganje matematiˇ cno obravnavati, mu moramo prirediti slu- ˇ cajno spremenljivko X, s katero ga modeliramo. V nekaterih primerih iz po- datkov, ki so nam na voljo, lahko zelo dobro ocenimo porazdelitveno funkcijo sluˇ cajne spremenljivke X. Tak primer je, denimo, škodno dogajanje v zavaro- valnicah, kjerštevilo škodmodeliramozdiskretnimi sluˇ cajnimispremenljivkami, višine odškodnin pa z zveznimi, pa tudi z mešanimi, ki imajo odsekoma zvezno porazdelitveno funkcijo z diskretnimi skoki na mejah odsekov. Kako iz konkret- nih podatkov pridemo do modela, glej npr. (Hogg & Klugman, 1984; Klugman, Panjer & Willmot, 2004; Komelj,2004). 45 Ko se odloˇ camo za modeliranje tveganj, so pomembni predvsem cilji, ki jih že- limo doseˇ ci, pa tudi dejanske možnosti. ˇ Ce je tveganje zelo pomembno, denimo eno iz prvega stebra Solventnosti 2, je vsaj za izgradnjo internega modela zelo smiselno tveganje modelirati na naˇ cin, ki bo omogoˇ cal natanˇ cno kvantitativno obravnavo. Seveda morajo biti izpolnjeni potrebni pogoji, kot je obstoj ustrezne teorije, primerno znanje in zanesljivi podatki. ˇ Ce ti pogoji niso izpolnjeni ali pa obravnavamo manj pomembnotveganje, se lahko zadovoljimo tudi s preprostimi merami tveganja, kot sta varianca in standardni odklon. V najbolj neugodnih primerih, ko imamo o tveganju zelo malo podatkov, pa še ti so nezanesljivi, ga lahko opišemo s posameznimi mogoˇ cimi scenariji. Vsakemu scenariju priredimo oceno izgube in verjetnost uresniˇ citve, pa smo že pri dis- kretni sluˇ cajni spremenljivki, ki jo lahko uporabimo kot model. 4.1 Osnovnipojmi Naj bo(Ω ,F,P) verjetnostni prostor, kjer jeΩ množica elementarnih dogodkov, F ⊆ 2 Ω σ-algebra podmnožic množice Ω oziroma množica vseh dogodkov in P:F→[0,1] verjetnostna mera. Naj bo(G,G)merljiv prostor inX množica vseh (F,G)-merljivih funkcij X:Ω → G, torej takih, za katere je praslika X −1 (B)∈F za vsakB∈G. Funkcijo X ∈X bomo imenovali (G,G)-sluˇ cajna spremenljivka. V tej disertaciji bomo privzeli, da je vedno G⊆R n za n∈N + ,G pripadajoˇ ca σ- algebraBorelovihmnožicinX množicavsehBorelovomerljivihfunkcijX:Ω →G. Funkcijo X ∈ X bomo imenovali sluˇ cajna spremenljivka, ˇ ce je n=1, sicer pa sluˇ cajni vektor. Naj bo X sluˇ cajna spremenljivka s porazdelitveno funkcijo F X :R→ [0,1], ki je definirana s F X (x)=P(X≤x). Vsaka porazdelitvena funkcija F X (x) je z desne zveznanarašˇ cajoˇ cafunkcija 17 ,zakaterojelim x→−∞ F X (x)=0inlim x→∞ F X (x)=1. ˇ Ce je F X (x) absolutno zvezna, kar pomeni, da jo za neko nenegativno funkcijo f X (x) lahko napišemo kot F X (x)= R x −∞ f X (t)dt, bomo rekli, da je X zvezna slu- ˇ cajna spremenljivka. V nadaljevanju bomo zapis, da je porazdelitvena funkcija F X (x) zvezna, vedno razumeli kot sinonim za to, da je sluˇ cajna spremenljivka X zvezna, torej kot dogovor, da zveznost porazdelitvene funkcije F X (x) dejansko pomeni njeno absolutno zveznost. Porazdelitvena funkcija zvezne sluˇ cajne spremenljivke X je narašˇ cajoˇ ca zvezna funkcija, ki ima lahko tudi horizontalne segmente, to je intervale I α =[a α ,b α ]⊂ 17 V tej disertaciji bomo narašˇ cajoˇ co funkcijo vedno razumeli v nestrogem smislu, torej kot nepadajoˇ co funkcijo. Analogno velja za padajoˇ co funkcijo. 46 R za α∈ (0,1) in a α α}= sup x∈R {F X (x)≤α}, ki je tudi definirana zaα∈[0,1], in linearna kombinacija F −1(β) X (α)=βF −1 X (α)+(1−β)F −1+ X (α), (4.2) ki je definirana za α∈ (0,1) in β∈ [0,1]. Njena prednost pred F −1 X in F −1+ X je v tem,da zavsakx, za katerega je00, ugoden dogodek (dobiˇ cek), ˇ ce je x<0, in nevtralen dogodek, ˇ ce je x=0. Sluˇ cajna spremenljivka X je priložnost, ˇ ce je−X tveganje. Opomba 4.1: V definiciji 4.1 z oznako "manj ugoden" dejansko mislimo na "manj ali enako ugoden", tako kot pri narašˇ cajoˇ ci ali konkavni funkciji ne mislimo na strogo narašˇ cajoˇ co ali strogo konkavno funkcijo,ˇ ce tega izrecno ne navedemo.  ˇ Ce ne bomo izrecno povedali drugaˇ ce, bomo pojma sluˇ cajna spremenljivka in tveganje v nadaljevanju uporabljali kot sinonima. Vˇ casih dve razliˇ cni tveganji modeliramo s sluˇ cajnima spremenljivkama X in Y s porazdelitvenima funkcijamaF X (x) inF Y (x), ki staenaki. Taki sluˇ cajnispremen- ljivki sta enako porazdeljeni oziroma enaki v porazdelitvi, kar bomooznaˇ cevali z X d = Y. ˇ Ce pa bomo hoteli poudariti, da nista enako porazdeljeni, bomo zapisali X d ≠Y. 49 Sluˇ cajne vektorje bomo oznaˇ cevali s krepkimi ˇ crkami. Razlikovanje med vrstiˇ c- nimi in stolpiˇ cnimi vektorji veˇ cinoma ne bo potrebno. Kadar pa bo potrebno, denimoprimatriˇ cnihoperacijah,bomoX=(X 1 ,...,X n )razumelikotvrstiˇ cnivek- tor,X=(X 1 ,...,X n ) t pa kot stolpiˇ cni vektor. 4.2 Meretveganja Razliˇ cni tveganji X in Y, o katerih imamo vse potrebne podatke, pod ˇ cemer ra- zumemo poznavanje njunih porazdelitvenih funkcij F X (x) in F Y (x), v splošnem primeru težko primerjamo glede tveganosti. Le v posebnih primerih se ni težko odloˇ citi. ˇ Ce jeE[X]var[Y]? V tem primeru priX sicer priˇ cakujemo ugodnejši izid kot priY, hkrati pa veˇ cjo va- riabilnost. Kateri pogoj naj v takem primeru prevlada? V nekaterih primerih prvi, v nekaterih drugi. Idealno bi bilo, ˇ ce bi lahko upoštevali primerno kombinacijo obeh, zraven pa še vse preostale informacije, ki se skrivajo v obeh porazdelitve- nih funkcijah, na koncu pa vse skupaj izrazili z eno samo realno vrednostjo – mero tveganja. Poskusi, kako z eno vrednostjo konsistentno ovrednotiti tveganje X, so že stari in bolj ali manj uspešni. Pregled merjenja tveganja v razliˇ cnih panogah, npr. psihologiji, operacijskih raziskavah, znanosti o upravljanju, financah in ekono- miji, navajata Pedersen in Satchell (1998). ˇ Ceprav navajata kar 30 že obstojeˇ cih mer tveganja, avtorja na podlagi Stonove definicije družine mer tveganja iz leta 1973 definirata še splošnejšo družino in uvedeta sistem štirih aksiomov, od kate- rih prve tri izpolnjujejo vse mere iz nove družine, ˇ cetrtega (subaditivnost) pa le nekatere. Praktiˇ cno soˇ casnosodrugiavtorjirazvili novsistemaksiomovza kohe- rentne mere tveganja, ki je postal trenutno še vedno veljavni standard za dobre mere tveganja, ˇ ceprav tudi ta ni brez pomanjkljivosti. Tako, denimo, v ˇ clankih (Dhaene, Goovaerts & Kaas, 2003; Goovaerts, Kaas, Dhaene & Tang, 2003a) avtorji naprimerih ugotavljajo, da razliˇ cne potrebe narekujejo razliˇ cne aksiome za mere tveganja. 4.2.1 Koherentnemere tveganja Vsako funkcijo ρ, ki sluˇ cajni spremenljivki X s porazdelitveno funkcijo F X (x) priredi realno število, bomo imenovali mera tveganja. Ponavadi zahtevamo, da funkcija ρ izpolnjuje še kakšne dodatne lastnosti. Take lastnosti obiˇ cajno zdru- žimo v sistem aksiomov, ki naj bi ga izpolnjevale "dobre" mere tveganja. 50 V ˇ clanku (Artzner, Delbaen, Eber & Heath, 1999) je postavljen trenutno še vedno aktualen sistem aksiomov, ki ga izpolnjujejo t. i. koherentne mere tveganja, na- našapasenapriložnosti,kerjeprirejenzapotrebebank. Zatovspodnjidefiniciji navajamo aksiome, kise odprvotnih razlikujejo, ker soprirejeni za tveganja (glej Tsanakas, 2004, str. 225). Definicija4.2: Funkcijaρ:X→R,kisluˇ cajnispremenljivkiX∈X priredivrednost ρ(X), je koherentna mera tveganja, ˇ ce za poljubni sluˇ cajni spremenljivki X in Y izpolnjuje naslednje aksiome: 1. Monotonost: ˇ Ce jeP(X≤Y)=1, potem jeρ(X)≤ρ(Y). 2. Subaditivnost: ρ(X+Y)≤ρ(X)+ρ(Y). 3. Pozitivnahomogenost: Za vsakα∈R + jeρ(αX)=αρ(X). 4. Neobˇ cutljivostna premik: Za vsakα∈R jeρ(X+α)=ρ(X)+α. Opomba 4.2: Pod pojmomneobˇ cutljivost na premik biobiˇ cajno priˇ cakovali enaˇ c- bo ρ(X+α)=ρ(X). Vendar X+α pomeni tveganje X, ki ga spremenimo za konstantnotveganje,karsemoraodražatitudiprimerjenju. Zatrivialnosluˇ cajno spremenljivko X=α po tretjem aksiomu dobimo ρ(2α)=2ρ(α), po ˇ cetrtem pa ρ(α+α)=ρ(α)+α, izˇ cesar slediρ(α)=α za vsakα∈R.  Vˇ casih se zadovoljimo tudi z merami tveganja, ki izpolnjujejo manj zahtevne po- gojeodtistihvdefiniciji4.2. Enaodmožnostije,dazahtevamomonotonostinne- obˇ cutljivostnapremikterizpolnjenostneenaˇ cbeρ(λ 1 X+λ 2 Y)≤λ 1 ρ(X)+λ 2 ρ(Y) za poljubni tveganji X in Y in poljubni konstanti λ 1 ≥0 in λ 2 ≥0, λ 1 +λ 2 =1. Mere tveganja, ki izpolnjujejo navedene tri pogoje, so konveksne mere tveganja. Vsaka koherentna mera tveganjaρ je tudi konveksna, saj zaradi subaditivnosti in pozitivne homogenostisledi ρ(λ 1 X+λ 2 Y)≤ρ(λ 1 X)+ρ(λ 2 Y)=λ 1 ρ(X)+λ 2 ρ(Y), nasprotno pa ne velja. ˇ Ce pa je konveksna mera tveganjaρ tudi pozitivno homo- gena, je zaradiρ(X+Y)=2ρ(X/2+Y/2)≤2(ρ(X/2)+ρ(Y/2))=ρ(X)+ρ(Y) subaditivna in zato koherentna. Iz znanih koherentnih mer tveganja s konveksno linearno kombinacijo spet do- bimo koherentno mero tveganja. ˇ Ce se pri merjenju tveganja X ne moremo od- loˇ citi med dvema koherentnima merama tveganja ρ 1 in ρ 2 , lahko doloˇ cimo uteži λ 1 >0 inλ 2 >0,λ 1 +λ 2 =1, ter tveganje izmerimozρ(X)=λ 1 ρ 1 (X)+λ 2 ρ 2 (X), kar je spet koherentna mera tveganja. Definiciji 4.2 daje težo drugi aksiom, ki zahteva subaditivnost in s tem spodbuja združevanje portfeljev tveganj, ne pa razdruževanje. ˇ Ce za zavarovalnici s port- 51 feljemaX inY potrebnikapitalK x inK y izraˇ cunamo skoherentnomerotveganja kot K x =ρ(X) in K y =ρ(Y), potem združena zavarovalnica za portfelj X+Y potrebujemanjkapitala,ˇ cevneenaˇ cbiK=ρ(X+Y)≤ρ(X)+ρ(Y)=K x +K y do- sežemo strogi neenaˇ caj. Dejstvo lahko pojasnimo z ekonomijo obsega in opaža- njem,dasemedsebojnipozitivniinnegativniuˇ cinkiposameznihtveganjvveˇ cjem portfelju laže nevtralizirajo kot v manjšem,seveda pa tudi s trdnimi teoretiˇ cnimi razlogi, denimo z Lundbergovo neenaˇ cbo. Vendar pa so mnenja o subaditivnosti deljena. TakosiAcerbiinTasche(2002a,str. 382)sicerzlahkapredstavljataalter- nativni sistem aksiomov za mere tveganja, vendar pa trdno verjameta, da ne sme dopustiti kršitve subaditivnosti. Po drugi stranipa je vsaj v nekaterih okolišˇ cinah subaditivnostlahkosporna,vˇ casihpa jespornacelopozitivna homogenost–glej, denimo, primere, ki jih navajajo Dhaene et al. (2003). V (Goovaerts, Kaas, Dhaene &Tang,2003b,str. 183,opomba3.8)jecelomnenje,dabimoralizadoloˇ canjeka- pitalaupoštevatisuperaditivnemeretveganja,zakaterejeρ(X+Y)≥ρ(X)+ρ(Y), ali pa aditivne, za katere jeρ(X+Y)=ρ(X)+ρ(Y). Omenimo le še to, da obstaja veˇ c definicij za koherentne mere tveganja. Razlike mednjimisovdefinicijskem obmoˇ cjuinzalogivrednosti funkcijeρ,ki jeveˇ ckrat definirana le za nenegativne sluˇ cajne spremenljivke in preslikuje v R + , ter pri razliˇ cnem pomenu predznaka pri priložnostih in tveganjih. Poleg takih razlik, ki so formalne narave in se jih da s pravilno interpretacijo izniˇ citi, pa obstajajo tudi vsebinske razlike. Zato definicije med seboj niso vedno ekvivalentne – primerjaj definicijo 4.2 in definicijo v (Wirch & Hardy, 1999, str. 338), prav tako še ne obstaja splošnosprejeti sistem aksiomov za koherentne mere tveganja (Denuit et al., 2005, str. 65). 4.2.2 Variancain standardniodklon Varianca in standardni odklon sta med seboj tesno povezani meri tveganja, saj je za sluˇ cajno spremenljvko X standardni odklon definiran kotσ X = p var[X]. Zato imata obe skupne slabosti, a tudi nekaj razliˇ cnih lastnosti. Varianca in standardni odklon sta zaradi zelo pogoste uporabe v statistiki, eko- nomijiinfinanˇ cniteorijipolegpriˇ cakovane vrednostiE[X], kijekoherentnamera tveganja, verjetno najbolj znani meri tveganja. Žal sta primerni predvsem takrat, ko lahko predpostavimo normalno porazdelitev. Pri asimetriˇ cnih porazdelitvah, ki so zlasti v zavarovalništvu zelo pogoste, pa nista uporabni, kar navaja veliko avtorjev (glej npr. Ramsay, 1993, str. 312). Varianca in standardni odklon nista koherentni meri tveganja. Varianca ne izpol- njuje nobene zahteve za koherentnost, standardni odklon pa ni monoton in ni 52 neobˇ cutljivnapremik,preostalidvezahtevipaizpolnjuje. Variancajeaditivna za neodvisne sluˇ cajne spremenljivke, kar pa za standardni odklon ne velja. 4.2.3 Tvegana vrednost Tvegana vrednost (VaR – Value at Risk) sluˇ cajne spremenljivkeX pri stopnji zau- panjaα∈(0,1) je definirana z enaˇ cbo VaR α (X)= inf x∈R {F X (x)≥α}. Tvegana vrednost pri dani stopnji zaupanja α je le sinonim za ustrezni kvantil, saj je VaR α (X)=F −1 X (α), kjer je F −1 X (α) kvantilna funkcija, ki smo jo definirali z enaˇ cbo (4.1). Tvegana vrednost je pogosto uporabljana mera tveganja in bo uporabljena tudi v Solventnosti 2, ˇ ceprav ni koherentna. Izpolnjuje vse aksiome iz definicije 4.2, razen drugega. Da ni subaditivna, so z diskretnim primerom ugotovili že avtorji originalne verzije definicije koherentne mere tveganja (glej Artzner et al., 1999, str. 216 in 217). Dokaz, da kvantili tudi v zveznem primeru niso subaditivni, pa lahko najdemo v (Antal, 2009, str. 44 in 45). Tvegana vrednost ima nekaj pomanjkljivosti. Tako ji, denimo, oˇ citajo, da ne pre- poznava koncentracije tveganj in ne spodbuja razprševanja tveganj, ker ne upo- števa ekonomskih posledic dogodkov, katerih verjetnosti nadzoruje (glej Artzner et al., 1999, str. 216–218). Wang (2002a, str. 3) ugotavlja, da tvegana vrednost sicer upošteva verjetnost, da bo tveganje preseglo doloˇ cenomejo,ne upošteva pa velikosti prekoraˇ citve. Balbás, Garrido in Mayoral (2002, str. 2), ki se sicer skli- cujejo na druge vire, pa navajajo, da jo je težko optimizirati, ker ni konveksna in ima lahko veˇ c lokalnih ekstremov. Kljub številnim oˇ citkom pa je tvegana vrednost v posebnih primerih lahko ust- rezna mera tveganja. Tako Embrechts, McNeil in Straumann (1999, str. 12) nava- jajo,dajevokoljueliptiˇ cnih porazdelitev (zadefinicijoglejrazdelek5.1)tuditve- ganavrednostkoherentnameratveganja. Zaeliptiˇ cne porazdelitve, kisovnekem smislu razširitev veˇ crazsežne normalne porazdelitve, se celo izkaže, da je upo- raba koherentnih mer tveganja pri reševanju doloˇ cenih problemov ekvivalentna uporabi variance. Tako bi znani Markowitzev pristop k minimizaciji tveganja pri predpisani donosnostiportfelja, kitemelji naminimiziranju variance donosnosti, hkrati minimiziral vsako merotveganja, ki je pozitivno homogenain neobˇ cutljiva na premik – torej vsako koherentno mero tveganja in tudi tvegano vrednost. Za dodaten primer, ko se tvegana vrednost obnaša kot subaditivna mera tveganja, 53 glej (Daníelsson, Jorgensen, Sarma, Samorodnitsky & de Vries, 2005). Datveganavrednostkljubpomanjkanjusubaditivnostinidaleˇ c odkoherentnosti, pove tudi enaˇ cba VaR α (X)= inf{ρ(X) :ρ je koherentna mera tveganja inρ(X)>VaR α (X)} iz (Artzner et al., 1999, str. 224, trditev 5.2). 4.2.4 Konˇ cna tvegana vrednost Izberimo poljubno stopnjo zaupanja α∈ (0,1) in poljubno konstanto x α . Vsaki zveznisluˇ cajnispremenljivkiX sporazdelitveno funkcijoF X (x), kivtoˇ ckix α do- seže vrednostF X (x α )=α in je tam strogonarašˇ cajoˇ ca, pripada tvegana vrednost VaR α (X)=x α . To pomeni, da je popolnoma vseeno, kako hitro narašˇ caF X (x) za x≥x α proti svoji konˇ cni vrednosti 1. Rep gostote verjetnostif X (x) na intervalu [x α ,∞) tako prav niˇ c ne vpliva na VaR α (X). Po drugi strani pa iz prakse dobro vemo, da je rep izjemno pomemben, saj so prav z njim povezana velika tveganja. Topomanjkljivosttveganevrednostiodpravljakonˇ cnatveganavrednost(TVaRali TailVaR – Tail Value at Risk) sluˇ cajne spremenljivke X, ki je za stopnjo zaupanja α∈(0,1) definirana z enaˇ cbo TVaR α (X)= 1 1−α Z 1 α VaR q (X)dq. Konˇ cna tvegana vrednost TVaR α (X) je torej enaka povpreˇ cju vseh tveganih vred- nosti za stopnje zaupanja odα do 1. Definirajmo še pogojno tvegano vrednost (CVaR – Conditional Value at Risk) in TVaR sorodnopogojno konˇ cnotvegano vrednost (CTE – Conditional Tail Expecta- tion). Za stopnjo zaupanjaα∈(0,1) je prva definirana z enaˇ cbo CVaR α (X)=E[X−VaR α (X)|X >VaR α (X)], druga pa z enaˇ cbo CTE α (X)=E[X|X >VaR α (X)]. Oˇ citno je CTE α (X)=VaR α (X)+CVaR α (X), velja pa tudi CTE α (X)=TVaR β (X) za β=F X (VaR α (X)) (Dhaene et al., 2004b, str. 6, izrek 1). Za zvezne sluˇ cajne spremenljivke je β=α 54 inCTE α (X)=TVaR α (X)=VaR α (X)+CVaR α (X),sicerpaseTVaR α (X)inCTE α (X) razlikujeta za tiste stopnje zaupanja, ki jih porazdelitvena funkcijaF X (x) zaradi skoka ne more doseˇ ci. Pomembnejša je razlika, da je TVaR koherentna mera tveganja, CTE pa ni, ker ni subaditivna (Dhaene et al., 2004b, str. 15). Pri tovrstnih trditvah, na katere naletimo v literaturi, pa je treba biti zelo pozoren na definicije. Obstaja namreˇ c kar precej vsebinskih razlik v terminologiji, ki lahko vodijo do razliˇ cnih sklepov. Tako nekateri viri, denimo (Wang, 2002a, str. 4), TVaR in CTE uporabljajo kot sinonima, pri drugih pa za istimi pojmi lahko stojijo razliˇ cne definicije, ki med seboj niso ekvivalentne. Da je terminološka zmešnjava precejšnja, ugotavljata tudiAcerbiinTasche(2002b,str. 1488),kipanaproblematikogledatazbanˇ cnega zornega kota. Kljub koherentnosti pa tudi konˇ cna tvegana vrednost ni brez slabosti. ˇ Ceprav upošteva verjetnost prekoraˇ citve doloˇ cene meje in velikost prekoraˇ citve, pa po- polnomazanemarjatistidelporazdelitvenefunkcije,kisenanašanax0inu ′′ (t)≤0,seimenuje funkcijakoristnosti. ˇ Ceje šeu(0)=0 inu ′ (0)=1, jeu(t) normirana funkcija koristnosti. Opomba4.3: Polegzgornjedefinicije obstajajotudidefinicije, ki nezahtevajo, da je funkcija u(t) definirana na celi realni osi, nekatere ne zahtevajo odvedljivosti, sezadovoljijoznarašˇ canjemnamestostrogimnarašˇ canjem,nezahtevajokonkav- nosti, dopušˇ cajo tudi strogo padanje ipd. V nadaljevanju bomo v razdelkih 4.2.9 in 4.3.6 pri primerjanju klasiˇ cnega in dualnega odloˇ canja v razmerah negotovosti oziroma pri obravnavi relacij med razliˇ cnimi urejenostmi tveganj omilili pogoje iz definicije 4.3, na kar pa bomo posebej opozorili.  Za poljubni konstantiα>0 inβ je tudiv(t)=αu(t)+β funkcija koristnosti, ki jesstališˇ caodloˇ canjamedrazliˇ cnimimožnostmiekvivalentnau(t). Kerjesistem linearnihenaˇ cbαu(0)+β=0inαu ′ (0)=1vednoenoliˇ cnorešljiv,vsakofunkcijo koristnosti lahko normiramo,ne da bi s tem spremenili naˇ cin odloˇ canja. Sfunkcijor(t)= −u ′′ (t) u ′ (t) =− d dt logu ′ (t),kiseobmorebitnemnormiranjunespre- meni, definirajmo absolutno averzijo do tveganja. Pozitivna absolutna averzija pomeni nenaklonjenost tveganju, negativna naklonjenost tveganju, niˇ c pa nev- tralnost. Za vsako funkcijo koristnosti, ki izpolnjuje pogoje iz definicije 4.3, je r(t)≥0 za vsak t ∈ R. To pomeni, da imajo razliˇ cne osebe sicer lahko raz- liˇ cnefunkcijekoristnosti,vendarpajevsemskupno,datveganjunisonaklonjene. Spodnja mejatolerancedotveganja, kijodopušˇ cadefinicija 4.1,jenevtralnost,ki jopredstavljalinearnafunkcijakoristnostiu(t)=t zabsolutnoaverzijor(t)≡0. Funkcije koristnosti uporabljamo za izbiro med negotovimi priložnostmi, tako da se odloˇ camo na podlagi priˇ cakovanih koristnosti, za katere molˇ ce predpostav- ljamo obstoj. MedpriložnostmaX inY se odloˇ cevalec s funkcijo koristnostiu(t) odloˇ ci za X, ˇ ce je E[u(X)]≥E[u(Y)] (seveda je Y enakovredna izbira, ˇ ce velja enaˇ caj). TveganjemaX inY v okolju funkcij koristnosti, ki so prirejene za prilož- nosti, ustrezata priložnosti−X in−Y. Ko se med njima odloˇ cimo za priložnost −X,ˇ ce jeE[u(−X)]≥E[u(−Y)], se s tem dejansko odloˇ cimo za tveganjeX, ki je manjše ali enako tveganjuY. Z normirano funkcijo koristnosti u(t) lahko naravno definiramo mero tveganja ρ u (X)= −E[u(−X)]. Ker je za normirane funkcije koristnosti u(t)≤u(0)=0 57 za t≤0 in u(t)≥u(0)=0 za t≥0, je ρ u (X)≥0 za X≥0, ρ u (X)≤0 za X≤0 in ρ u (X)=0 za X=0. To pa ni edina možnost, kako s funkcijo koristnosti de- finiramo mero tveganja. Še nekaj možnosti si bomo ogledali v razdelku 4.4.4 o premijskih principih. Za zavarovalništvo so namreˇ c funkcije koristnosti postale zanimiveintudipraktiˇ cno uporabnezadoloˇ canjepremijžerelativno zgodaj(glej npr. Borch, 1961). 4.2.7 Mere tveganja na podlagi distorzijskih funkcij DistorzijskefunkcijejevaktuarskomatematikossvojoPH(proportionalhazards) transformacijo vpeljal Wang (1995), ˇ ceprav jim je ime dal šele kasneje (Wang, 1996). Distorzijske funkcije imajo pomembno in raznoliko vlogo, saj jih upo- rabljamo pri doloˇ canju zavarovalnih premij, odloˇ canju v razmerah negotovosti, merjenu tveganj in še marsikje. To je presenetljivo, saj je njihova definicija zelo preprosta. Definicija 4.4: Narašˇ cajoˇ ca funkcijag: [0,1]→[0,1] je distorzijskafunkcija,ˇ ce je g(0)=0 ing(1)=1. ˇ Ce distorzijski funkciji g(x) priredimo funkcijo g ∗ (x)=1−g(1−x), dobimo distorzijsko funkcijo, imenovano dualna distorzijska funkcija. Tej dualna pa je prvotnag(x). Lastnosti distorzijskih funkcij zagotavljajo, da ima transformiranka g ∗ (F X (x)) porazdelitvene funkcijeF X (x) vse potrebne lastnosti za porazdelitveno funkcijo, razen zveznosti z desne, ker kompozitum g ∗ ◦F X ni nujno z desne zvezen. ˇ Ce jeg(x) z desne zvezna funkcija, je taka tudi g ∗ (x). V tem primeru je tudi kom- pozitumg ∗ ◦F X z desne zvezen, ker jeF X (x) narašˇ cajoˇ ca funkcija,g ∗ (F X (x)) pa je porazdelitvena funkcija neke sluˇ cajne spremenljivkeX ∗ g . Njena funkcija preži- vetja je1−g ∗ (F X (x))=1−(1−g(1−F X (x)))=g(F X (x)), torejtransformiranka funkcije preživetja sluˇ cajnespremenljivkeX. ˇ Ce jeg(x) konkavna, jeg ∗ (x) kon- veksna, zato poteka g ∗ (F X (x)) pod F X (x), g(F X (x)) pa nad F X (x). S konkavno distorzijsko funkcijo g(x) sluˇ cajno spremenljivko X preslikamo v bolj tvegano sluˇ cajno spremenljivkoX ∗ g . Zato smo na varni strani,ˇ ce zavarovalno premijo, re- zervacije, kapital ipd. raˇ cunamo zX ∗ g namesto zX. ˇ Ce uporabimo terminologijo iz nadaljevanja (glej razdelek 4.3.1), je sluˇ cajna spremenljivka X v stohastiˇ cnem smislu manj tvegana odX ∗ g ,ˇ ce jeg(x) konkavna distorzijska funkcija. Distorzijski funkciji g(x), za katero je g ∗ (F X (x)) porazdelitvena funkcija, pri- redimo mero tveganja H g [X]=E[X ∗ g ], ki jo zaradi enaˇ cbe (4.3) lahko zapišemo 58 kot H g [X]= − Z 0 −∞ (1−g(F X (x)))dx+ Z ∞ 0 g(F X (x))dx, (4.6) kar se v posebnem primeru, ko jeX≥0, poenostavi v H g [X]= Z ∞ 0 g(F X (x))dx. (4.7) Tudi ˇ ce g ∗ (F X (x)) ni porazdelitvena funkcija, ker ni z desne zvezna, z enaˇ cbo (4.6) definiramo mero tveganja H g [X], seveda pa je v tem primeru ne moremo interpretirati kot priˇ cakovano vrednost sluˇ cajne spremenljivkeX ∗ g . ˇ Ce v integralih na desni strani enaˇ cbe (4.6) vstavimo g(F X (x))= R F X (x) 0 dg(q), s Fubinijevim izrekom z zamenjavo vrstnega reda integriranja dobimo H g [X]= Z 1 0 F −1 X (1−q)dg(q)= Z 1 0 F −1 X (q)dg(q) (4.8) (Dhaene et al., 2004b, str. 18). V posebnem primeru, ko je g(x)=x in zato X ∗ g =X terH g [X]=E[X], se enaˇ cba (4.8) poenostavi v E[X]= Z 1 0 F −1 X (1−q)dq= Z 1 0 F −1 X (q)dq. (4.9) Mera tveganja H g , definirana z enaˇ cbo (4.6), je monotona, pozitivno homogena in neobˇ cutljiva na premik (Dhaene et al., 2004b, str. 20). ˇ Ce je g(x) konkavna funkcija, je ustrezna mera tveganja tudi subaditivna in zato koherentna (Dhaene et al., 2004b, str. 23). Vsaka konkavna distorzijska funkcija je na intervalu (0,1) zvezna (glej Rudin, 1970, str. 60, izrek 3.2), vendar bomo vedno molˇ ce predpo- stavili zveznost na intervalu [0,1]. To pa pomeni, da je za konkavne distorzijske funkcije g ∗ (F X (x)) vedno porazdelitvena funkcija, zato zanje lahko napišemo H g [X]=E[X ∗ g ]. Distorzijske funkcije nam omogoˇ cajo preprosto generiranje razliˇ cnih t. i. distor- zijskih mer tveganja, kamor sodijo tudi nekatere že znane mere tveganja. Tako za α∈ (0,1) z g(x)= 0 za x ∈ [0,1−α) ter g(x)= 1 za x ∈ [1−α,1] do- bimo H g [X]=VaR α (X), z g(x)= min{ x 1−α ,1}, ki je konkavna funkcija, dobimo H g [X]=TVaR α (X), CTE in ESF pa nista distorzijski meri tveganja (Dhaene et al., 2004b, str. 18 in 19). Naj bog(x) odvedljiva distorzijska funkcija. V tem primeru lahko enaˇ cbo (4.6) z 59 integriranjem per partes preoblikujemo v H g [X]= Z ∞ −∞ xg ′ (F X (x))f X (x)dx=E[Xg ′ (F X (X))]=E[Xζ(X)], (4.10) kjer je ζ(x)=g ′ (F X (x)). ˇ Ce je g(x) konkavna funkcija, je njen odvod nenega- tivna padajoˇ ca funkcija. Taka je tudi funkcija preživetjaF X (x), zato je kompozi- tum ζ=g ′ ◦F X nenegativna narašˇ cajoˇ ca funkcija. Poleg tega zaradi g(0)=0 in g(1)=1 s substitucijou=F X (x) dobimo E[ζ(X)]= Z ∞ −∞ g ′ (F X (x))f X (x)dx= Z 1 0 g ′ (u)du=1. To pa pomeni, da je za vsako odvedljivo konkavno distorzijsko funkcijo g(x) mera tveganjaH g [X] le poseben primer mer tveganja, ki so za narašˇ cajoˇ ce funk- cijeζ(x), za katere jeE[ζ(X)]=1, definirane z enaˇ cbo H ζ (X)=E[Xζ(X)] (4.11) (glej Tsanakas, 2007, str. 10). Za odvedljivo konkavno distorzijsko funkcijo g(x) in ζ(x)=g ′ (F X (x)) enaˇ cbo (4.10) lahko zapišemo kot H g [X]=E[Xζ(X)]=E Q [X], kjer je E Q [X] priˇ cakovana vrednost sluˇ cajne spremenljivke X, ki jo raˇ cunamo z verjetnostno mero Q namesto s P, funkcija ζ pa je Radon-Nikodýmov odvod verjetnostne mereQ glede naP, torej dQ dP (X)=ζ(X)=g ′ (F X (X)). Omenimoše,dadistorzijskemeretveganjapodimenomspektralnemeretveganja sreˇ camo tudi v literaturi, ki problem merjenja tveganj obravnava z zornega kota bank (glej Acerbi, 2002). 4.2.8 Medsebojna primerjava posameznihmer tveganja Vtemrazdelkusioglejmoprimerjalnotabelo,izkaterejerazvidno,katerelastno- sti izpolnjujejo naslednje mere tveganja: E[X], var[X], σ X , VaR α (X), TVaR α (X), CTE α (X), ESF α (X) in H g [X], kjer je α∈ (0,1) in g poljubna distorzijska funk- cija. Poleg znanih lastnosti smo v tabelo dodali tudi aditivnost za komonotona tveganja. Natanˇ cno definicijo komonotonosti navajamo v razdelku 5.4, tu pa naj zadošˇ ca pojasnilo, da sta tveganji X in Y komonotoni, ˇ ce se njune uresniˇ citve hkrati veˇ cajo oziroma manjšajo. 60 Tabela 4.1: Primerjava razliˇ cnih mer tveganja Lastnost E[X] var[X] σ X VaR TVaR CTE ESF H g Monotonost ✓ ✕ ✕ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ Subaditivnost ✓ ✕ ✓ ✕ ✓ ✕ ✓ ✕ ∗ Pozitivna homogenost ✓ ✕ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ Neobˇ cutljivost na premik ✓ ✕ ✕ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ Aditivnost ✓ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ – za neodvisna tveganja ✓ ✓ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ – za komonotona tveganja ✓ ✕ ✓ ✓ ✓ ✕ ✓ ✓ ∗ H g je subaditivna mera tveganja,ˇ ce jeg konkavna distorzijska funkcija Med lastnostmi, ki so navedene v tabeli 4.1, je še vedno najbolj sporna suba- ditivnost, vendar pa argumente proti subaditivnosti vsaj delno ublažimo, ˇ ce je konkretna mera tveganja aditivna za komonotona tveganja. Take pa so vse suba- ditivne mere tveganja, ki so navedene v tabeli 4.1. Iz tabele 4.1 bi lahko sklepali, da je priˇ cakovana vrednost idealna mera tvega- nja, saj izpolnjuje vse v tabeli navedene lastnosti. Vendar pa ni tako preprosto, saj razliˇ cne potrebe upraviˇ cujejo uporabo razliˇ cnih mer tveganja. Kot smo že omenili, je linearna kombinacija koherentnih mer tveganja spet koherentna mera tveganja. To pa ni edini naˇ cin sestavljanja novih mer tveganja iz že znanih. Kot bomo videli v razdelku 4.4 o premijskih principih, je smiselno tudi sestavljanje novihmertveganjaizpriˇ cakovanevrednostiinvarianceterpriˇ cakovanevrednosti in standardnega odklona. 4.2.9 Primerjavaklasiˇ cnega in dualnega odloˇ canja v razmerahnegotovosti Funkcije koristnosti so eleganten pripomoˇ cek za odloˇ canje med razliˇ cnimi nego- tovimi priložnostmi oziroma tveganji. Odloˇ canje med priložnostma X in Y na podlagiprimerjave priˇ cakovanih vrednostiE[u(X)] inE[u(Y)], kjer jeufunkcija koristnosti, v bistvu temelji na relaciji "≼", ki je v množici priložnostiX u ={X∈ X : E[u(X)] obstaja} definirana z ekvivalenco X ≼ Y ⇐⇒ E[u(X)]≤E[u(Y)]. Tako se med priložnostma X in Y, za kateri je X ≼ Y, kar lahko zapišemo tudi kotY ≽X, odloˇ cimo za "veˇ c", torej zaY. Originalen sistem aksiomov Johna von Neumannain Oskarja Morgensternani po- poln, zaradi ˇ cesar so ga kasneje mnogi dopolnjevali, Yaari (1987, str. 97–98) pa naj bi to naredil najbolj jedrnato (Denuit et al., 2005, str. 79). Relacija "≼" izpol- njuje zahteve njegovega sistema aksiomov, ki se nanaša na priložnosti z zalogo vrednosti [0,1], natanko takrat, ko obstaja taka narašˇ cajoˇ ca zvezna funkcija u, definirana na intervalu [0,1], da je X ≼ Y ⇐⇒ E[u(X)]≤E[u(Y)] (Yaari, 1987, 61 str. 98, izrek 0). Primarno nas zanimajo tveganja. Zato naj boX u ={X∈X :E[u(−X)] obstaja} množica tveganj, ki so primerljiva s funkcijo koristnosti u, inF u = S X∈X u {F X } množica pripadajoˇ cih porazdelitvenih funkcij. V tem primeru se med tveganji odloˇ camo na podlagi relacije, ki je v množiciX u definirana z ekvivalenco X ≼ Y ⇐⇒E[u(−X)]≥E[u(−Y)]. ˇ Ce za tveganji X in Y velja X ≼ Y, se odloˇ cimo za "manj",torej zaX. Relacija "≼" je refleksivna (X ≼ X za vsak X ∈ X u ), tranzitivna (iz X ≼ Y in Y ≼ Z sledi X ≼ Z) in sovisna (za poljubni razliˇ cni tveganji X,Y ∈X u je X ≼ Y ali Y ≼ X). Primerjava tveganj X in Y na podlagi primerjave E[u(−X)] in E[u(−Y)] je pri dani funkciji koristnosti odvisna le od porazdelitvenih funkcij F X in F Y . Zato lahko relacijo "≼" v množici X u nadomestimo z relacijo "" v množiciF u , ki jo definiramo z ekvivalenco F X  F Y ⇐⇒ X ≼ Y. V množicoX u z Wassersteinovorazdaljod W (X,Y)=kF X −F Y k 1 = R ∞ −∞ |F X (x)−F Y (x)|dx vpeljimo šemetriko. Funkcijad W :X u ×X u →R + jeenostavnaverjetnostnarazdalja, sajza poljubne X,Y,Z∈X u izpolnjuje zahtevane pogoje (glej Denuit et al., 2005, str. 389): 1. X d =Y =⇒d W (X,Y)=0. 2. Simetrija: d W (X,Y)=d W (Y,X). 3. Trikotniška neenakost: d W (X,Y)≤d W (X,Z)+d W (Z,Y). Naj bodo X,Y,Z ∈X tveganja s porazdelitvenimi funkcijami F X , F Y in F Z . Za poljubenα∈[0,1] definirajmo še tveganji X α,Z =      X z verjetnostjoα, Z z verjetnostjo 1−α, Y α,Z =      Y z verjetnostjoα, Z z verjetnostjo 1−α, ki imata funkciji preživetja F X α,Z (x)=αF X (x)+(1−α)F Z (x), (4.12) F Y α,Z (x)=αF Y (x)+(1−α)F Z (x). (4.13) Kriteriji odloˇ cevalca, ki primerja tveganja v skladu s teorijo Johna von Neumanna inOskarjaMorgensterna,izpolnjujejoaksiomeEU1–EU5,kijihnavajamoprirejene po (Wang & Young, 1998, str. 146, in Denuit et al., 2005, str. 79). V prvem viru so aksiomi prirejeni še za tveganja v smislu nenegativnih sluˇ cajnih spremenljivk, v drugem pa je omejitev na nenegativnost opušˇ cena, vendar pa vse trditve niso podkrepljene z ustreznimi dokazi ali sklici nanje. 62 EU1: ˇ Ce jeX d =Y, potem jeX ≼Y inY ≼X, kar pomeni, da sta tveganjiX inY ekvivalentni. EU2: Relacija "≼" je refleksivna, tranzitivna in sovisna. EU3: Relacija "≼" je zvezna glede na razdaljo d W . Za poljubni tveganji X in Y, ki nista ekvivalentni in za kateri je X ≼ Y, obstaja tak ǫ>0, da iz d W (X,X ′ )<ǫ ind W (Y,Y ′ )<ǫ slediX ′ ≼Y ′ . EU4: ˇ Ce jeF X (x)≤F Y (x) za vsakx, potem jeX ≼Y. EU5: Za poljubenZ inα∈[0,1] izX ≼Y slediX α,Z ≼Y α,Z . Sovisnost,kijozahtevaaksiomEU2,vpraksilahkopovzroˇ catežave,karugotavlja Maccheroni (2004, str. 702) in mnogi drugi avtorji, zaradi ˇ cesar so bile razvite tudi teorije odloˇ canja v razmerah negotovosti brez zahteve po sovisnosti. Druge lastnosti relacije "≼", ki jih zahtevajo aksiomi EU1–EU5, pa vsaj na prvi pogled niso problematiˇ cne. V preostanku tega razdelka zaˇ casno omilimo pogoje iz definicije 4.3 za funkcijo koristnostiu(t). Zadošˇ ca naj, da jeu(t) realna narašˇ cajoˇ ca zvezna funkcija, de- finirana na R. Definirajmo še dualno funkcijo koristnosti u ∗ (t), ki jo dobimo z zrcaljenjem prek obeh koordinatnih osi, torej u ∗ (t)= −u(−t), tej dualna pa je u(t). Kerjeu(x 1 )≤u(x 2 )⇐⇒−u(−x 1 )≤−u(−x 2 ),jeu ∗ (t)narašˇ cajoˇ cazvezna funkcija. Zrcaljenjepreky-osinevplivanakonkavnostinkonveksnost,zrcaljenje prek x-osi pa konkavne funkcije preslika v konveksne in obratno, tiste funkcije, ki niso niti konkavne niti konveksne, pa take ostanejo tudi po zrcaljenju. Zato je u ∗ (t) konveksna funkcija natanko takrat, ko je u(t) konkavna, in konkavna natanko takrat, ko je u(t) konkveksna. To je razlog, da funkcija u ∗ (t) ne more biti hkrati zu(t) funkcija koristnosti po definiciji 4.3, razen ˇ ce jeu(t)=t, ko je u ∗ (t)=u(t). Relacija "≼" izpolnjuje zahteve aksiomov EU1–EU5 natanko takrat, ko obstaja na- rašˇ cajoˇ ca zvezna funkcija koristnostiu, za katero je X ≼Y⇐⇒E[u(−X)]≥E[u(−Y)] (glej Yaari, 1987, str. 98, izrek 0, in Wang & Young, 1998, str. 147), kar z dualno funkcijo koristnostiu ∗ lahko ekvivalentno zapišemo kot X ≼Y⇐⇒E[u ∗ (X)]≤E[u ∗ (Y)]. ˇ Ce funkcijo koristnostiu normiramo, da jeu(0)=u ∗ (0)=0, lahko priˇ cakovano 63 vrednostE[u(X)] izraˇ cunamo z enaˇ cbo E[u(X)]= − Z 0 −∞ (1−F X (x))du(x)+ Z ∞ 0 F X (x)du(x), E[u(−X)] pa z analogno enaˇ cbozaE[u ∗ (X)] in zvezoE[u(−X)]=−E[u ∗ (X)]. Aksiom EU5 se imenuje aksiom neodvisnosti, saj se odloˇ cevalec med tveganjema X α,Z inY α,Z odloˇ ca le na podlagi primerjave tveganjX inY, torej neodvisno odα in Z. Funkciji preživetja F X α,Z in F Y α,Z , definirani z enaˇ cbama (4.12) in (4.13), sta linearni kombinaciji funkcij preživetja F X in F Z oziroma F Y in F Z , torej linearni kombinacijivrednostinay-osi,kipomenijoverjetnost. Yaari(1987) jenavsebino aksioma neodvisnosti pogledal z drugega zornega kota, tako da je raje sestavil linearne kombinacije vrednostinax-osi, ki pomenijo denarne zneske. To je storil tako, da je funkcije preživetja zamenjal s pripadajoˇ cimi inverznimi funkcijami. Prinjegovemalternativnem pogleduseenaˇ cbi(4.12) in (4.13) spremenita venaˇ cbi F −1 ˜ X α,Z (x)=αF −1 X (x)+(1−α)F −1 Z (x), (4.14) F −1 ˜ Y α,Z (x)=αF −1 Y (x)+(1−α)F −1 Z (x). (4.15) V posebnem primeru, ko so tveganja X, Y in Z paroma komonotona, se inverzni funkciji preživetja F −1 ˜ X α,Z in F −1 ˜ Y α,Z nanašata na tveganji ˜ X α,Z =αX+(1−α)Z in ˜ Y α,Z =αY+(1−α)Z. Yaarijeva zamenjava funkcij preživetja z ustreznimi inverznimi funkcijami na aksiomeEU1–EU4 nevpliva, vpliva panaaksiomneodvisnostiEU5,kisespremeni v aksiom DU5: ZapoljubenZ inα∈[0,1]izX ≼Y sledi ˜ X α,Z ≼ ˜ Y α,Z ,kjersta ˜ X α,Z in ˜ Y α,Z tveganji z inverznima funkcijama preživetja, definiranima z enaˇ cbama (4.14) in (4.15). Sistem aksiomov EU1–EU4 in DU5 je Yaarijev dualni sistem aksiomov, prirejen za tveganja. Relacija "≼" izpolnjuje Yaarijev dualni sistem aksiomov natanko takrat, ko obstaja zvezna distorzijska funkcijag, za katero je X ≼Y⇐⇒H g [−X]≥H g [−Y] (glej Yaari, 1987, str. 99, izrek 1, in Wang & Young, 1998, str. 148), kar z dualno distorzijsko funkcijog ∗ lahko ekvivalentno zapišemo kot X ≼Y⇐⇒H g ∗[X]≤H g ∗[Y]. 64 Mero tveganja H g [X] lahko izraˇ cunamo z enaˇ cbo (4.6), H g [−X] pa z analogno enaˇ cbo H g ∗[X]= − Z 0 −∞ (1−g ∗ (F X (x)))dx+ Z ∞ 0 g ∗ (F X (x))dx in zvezoH g [−X]= −H g ∗[X]. Dualnoodloˇ canjemedtveganjemaX inY seodklasiˇ cnegarazlikujepotem,dase neodloˇ camonapodlagipriˇ cakovanihvrednostiE[u(−X)]inE[u(−Y)],ampakna podlagimertveganjaH g [−X]inH g [−Y]. Topastapriˇ cakovanivrednostiE[−X ∗ g ] in E[−Y ∗ g ], kjer sta X ∗ g in Y ∗ g tveganji s porazdelitvenima funkcijama g ∗ (F X ) in g ∗ (F Y ) ter funkcijama preživetja g(F X ) in g(F Y ). Seveda sta tu mišljeni funkciji g in u, pripadajoˇ ci relaciji "≼", ki izpolnjuje zahteve aksiomov EU1–EU4 in DU5 oziroma EU1–EU5. ˇ Ce se omejimo na sluˇ cajne spremenljivke z zalogo vrednosti [0,1], jeg=u −1 (Yaari, 1987, str. 102). Yaarijeva dualna teorija odloˇ canja v razmerah negotovosti je alternativa za kla- siˇ cno teorijo Johna von Neumannova in Oskarja Morgensterna. Za obe teoriji obstaja ustrezna ekonomska interpretacija, prav tako pa je za obe teoriji empi- riˇ cno preverjanje odkrilo nekatere paradokse. Pri tem Yaarijeva dualna teorija pojasnjuje nekatere paradokse klasiˇ cne teorije, zato pa v njej obstajajo dualni paradoksi, ki jih v klasiˇ cni teoriji ni. 4.3 Primerjanjein urejanjetveganj Ko za množico sluˇ cajnih spremenljivkX izberemo mero tveganja, s tem vanjo uvedemo tudi relacijo popolne urejenosti. Sluˇ cajne spremenljivke primerjamo in urejamo na podlagi njihovih mer tveganja, tako kot to delamo v množici realnih števil. Možnosti izbire mere tveganja je seveda veˇ c, zato se lahko zgodi, da je za sluˇ cajni spremenljivki X in Y za prvo mero tveganja ρ 1 (X)<ρ 1 (Y), za drugo pa ρ 2 (X)>ρ 2 (Y). Zato je izbira mere tveganja odvisna tudi od tega, kaj želimo pri primerjanju poudariti. V tem poglavju bomo tveganja primerjali neodvisno od mer tveganja, tako da bomoprimerjalinjihoveporazdelitvene funkcije. Vmnožicoenorazsežnihporaz- delitvenih funkcij bomo vpeljali relacijo "", za katero je zaželeno, da je reflek- sivna, antisimetriˇ cna (iz F X  F Y in F Y  F X sledi F X ≡ F Y ) in tranzitivna. ˇ Cep- rav bomo z relacijo "" dejansko primerjali porazdelitvene funkcije, bomo hkrati primerjali tudi sluˇ cajne spremenljivke, za katere relacijo "≼" definirajmo z ekvi- valencoX ≼Y⇐⇒F X F Y . Zavedati pa se moramo, da izX ≼Y inY ≼X sledi le F X ≡ F Y , torej X d = Y, ne pa X=Y, kar pomeni, da relacija "≼" ni antisimetriˇ cna. Še veˇ c, kot ugotavlja Møller (2004, str. 487), se enako porazdeljeni sluˇ cajni spre- 65 menljivkiX inY vsplošnemprimerulahkonanašatatudinarazliˇ cnaverjetnostna prostora,koenaˇ cbaX=Y nitinimogoˇ ca. Poopozorilusezaradienostavnostido- govorimo,dabomovnadaljevanjunamestoX ≼Y pisalikarXY inenakostkot posledico antisimetriˇ cnosti razumeli kotX d =Y. Vsaka refleksivna, antisimetriˇ cna in tranzitivna relacija "" v množici porazdelit- venihfunkcijdoloˇ cadelnourejenost,dopopolneurejenostipajiobiˇ cajnomanjka sovisnost, ker poljubnih dveh porazdelitvenih funkcij ni mogoˇ ce primerjati. Ko relacijo "" z zaželenimi lastnostmi imamo, lahko poskusimo najti še tako mero tveganja ρ, ki relacijo ohranja v smislu, da iz X  Y sledi ρ(X)≤ρ(Y). ˇ Ce jo najdemo, porazdelitveni funkciji F X in F Y , ki za relacijo "" nista primerljivi, po- stanetaprimerljivizuporaboρ(X)inρ(Y). Vtakemprimerulahkonaizhodišˇ cno relacijo""celopozabimo,sajjomeratveganjaρ konsistentnonadomešˇ ca,hkrati pa namesto delne zagotavlja popolno urejenost. 4.3.1 Stohastiˇ cnaurejenost Definicija 4.5: Sluˇ cajna spremenljivka X je v stohastiˇ cnem smislu manj tvegana odY, kar oznaˇ cujemo zX st Y,ˇ ce jeF X (x)≤F Y (x) za vsakx∈R. Opomba 4.4: V tej in kasnejših definicijah z oznako "manj tvegana" dejansko mislimo "manj ali enako tvegana", torej ne v strogem smislu.  Relacija " st " je refleksivna, antisimetriˇ cna in tranzitivna, ne omogoˇ ca pa primer- jave poljubnih dveh sluˇ cajnih spremenljivk. ˇ Ce je X st Y, obstajata sluˇ cajni spremenljivki ˜ X in ˜ Y, da je ˜ X d = X, ˜ Y d = Y in P( ˜ X≤ ˜ Y)=1 (Shaked & Shanthikumar, 2007, str. 5). Varianca ne ohranja prve stohastiˇ cne urejenosti, prav tako je ne ohranja stan- dardni odklon (Wang, 1998a, str. 95). Ohranjajo pa jo vse distorzijske mere tveganja, torej tudi VaR in TVaR. Velja tudi obratno, saj je X st Y⇐⇒H g [X]≤H g [Y] za vse distorzijske funkcijeg (Dhaene, Vanduffel et al., 2006, str. 594, izrek 5.1.1). Stohastiˇ cna urejenost je še posebej tesno povezana s tvegano vrednostjo, saj je X st Y⇐⇒VaR α (X)≤VaR α (Y) za vsakα∈(0,1) (glej Dhaene, Vanduffel et al., 2006, str. 582, izrek 3.1). Ker je VaR α (X)=F −1 X (α), iz X st Y zaradi zgornje ekvivalence in enaˇ cbe (4.9) pri predpostavki, da priˇ ca- 66 kovani vrednostiE[X] inE[Y] obstajata, dobimo E[X]−E[Y]= Z 1 0 (F −1 X (q)−F −1 Y (q))dq≤0 oziromaE[X]≤E[Y]. Velja celo X st Y⇐⇒E[h(X)]≤E[h(Y)] za vse narašˇ cajoˇ ce funkcijeh, za katere priˇ cakovani vrednosti obstajata (4.16) (Bäuerle & Müller,2006, str. 134, definicija 2.1 in izrek 2.2). Naj bo X st Y in h(x)=x n . ˇ Ce zaˇ cetna momentaE[X n ] inE[Y n ] obstajata, je za nenegativne sluˇ cajne spremenljivke E[X n ]≤E[Y n ], v splošnem pa to velja le za lihen. Kompozitum h◦f narašˇ cajoˇ cih funkcij je narašˇ cajoˇ ca funkcija. Zato pri dani narašˇ cajoˇ ci funkciji f(x) iz X st Y zaradi implikacije =⇒ v (4.16) za vsako na- rašˇ cajoˇ cofunkcijoh(x)veljaE[h(f(X))]≤E[h(f(Y))],ˇ cepriˇ cakovani vrednosti obstajata. To pa zaradi implikacije⇐= v (4.16) pomeni, da jef(X) st f(Y). Zato izX st Y za vsako narašˇ cajoˇ co funkcijof(x) sledif(X) st f(Y). ˇ Ce imamo dve zaporedji{X 1 ,...,X n } in{Y 1 ,...,Y n } neodvisnih sluˇ cajnih spre- menljivk, za katere je X i  st Y i , i= 1,...,n, potem je P n i=1 X i  st P n i=1 Y i (Denuit et al., 2005, str. 114, trditev 3.3.17). Tej lastnosti pravimo stabilnost za konvolu- cijo. Ugotavljanje primerljivosti X in Y z relacijo " st " po definiciji 4.5 ali z zgoraj navedenimi lastnostmi stohastiˇ cne urejenosti je lahko nepraktiˇ cno, zato si vˇ ca- sih pomagamo z zadostnimi pogoji. ˇ Ce se za zvezni sluˇ cajni spremenljivki X in Y njuni gostoti verjetnosti f X (x) in f Y (x) enkrat sekata, potem je X st Y (Denuitet al.,2005, str. 122, lastnost3.3.32). Pritemz enkratnimsekanjemrazu- memoobstojtake konstantec,da jef X (x)≥f Y (x) zax1 in X 2 Y =⇒ X n Y za n>2. Za sluˇ cajni spremenljivki X≥0 in Y≥0, za kateri je X  n Y, iz neenaˇ cbe (4.20) za t=0 sledi E[X n ]≤E[Y n ]. To pa pomeni, da je X  n+1 Y, saj smo za drugi pogoj iz definicije 4.7 že ugotovili, da je izpolnjen. Z matematiˇ cno indukcijo ugotovimo, da za vsak n∈ N + velja implikacijaX n Y =⇒X k Y zavsakk>n,zakateregazaˇ cetnamomentaE[X k ] inE[Y k ] obstajata. Zato za nenegativne sluˇ cajne spremenljivke lahko napišemo verigo implikacij X 1 Y =⇒X 2 Y =⇒X 3 Y =⇒···, kivelja,doklerustreznizaˇ cetnimomentiobstajajo. Zadanisluˇ cajnispremenljivki X≥0inY≥0 jeizhodišˇ cnopozicijoX n Y vverigitrebautemeljitizdokazom, 70 da sta pogoja v definiciji 4.7 izpolnjena, kar pa je lahko nepraktiˇ cno. Zato si vˇ casih pomagamo tudi z zadostnimi pogoji (glej npr. Wang & Young, 1998, str. 150, trditev 3.6). Omenimo še, da je tudi pri relacijah treba biti previden pri interpretiranju raz- nih izrekov, ki se lahko nanašajo na razliˇ cne definicije, podobno kot to velja pri merah tveganja, ali pa le na nenegativne sluˇ cajne spremenljivke. Tako, denimo, Shaked in Shanthikumar (2007, str. 208, izrek 4.A.62) navajata, da izX n−icx Y sledi X  k−icx Y za vsak k>n, ˇ ce ustrezni zaˇ cetni momenti obstajajo. Pri tem je " 1−icx " sinonim za " st " in " 2−icx " sinonim za " icx " oziroma " sl ", vendar pa v tem primeru " n−icx " in " n " zan≥3 nista sinonima. Shaked in Shanthiku- mar (2007, str. 206) namreˇ c za relacijo " n−icx " zahtevata le izpolnitev drugega pogoja v definiciji 4.7, ne pa tudi prvega. Ta pa je zan=1 inn=2 avtomatiˇ cno izpolnjen,ˇ ce je izpolnjen drugi pogoj, zan≥3 pa ne. 4.3.4 Konveksnaurejenost Definicija4.8: Sluˇ cajnaspremenljivkaX jevkonveksnemsmislumanj tveganaod Y, kar oznaˇ cujemo z X cx Y, ˇ ce je E[X]=E[Y] in R ∞ x F X (t)dt≤ R ∞ x F Y (t)dt za vsakx∈R. Relacija " cx " je refleksivna, antisimetriˇ cna intranzitivna, neomogoˇ capa primer- jave poljubnih dveh sluˇ cajnih spremenljivk. Definicija 4.8 seoddefinicije 4.6razlikuje po dodanempogojuE[X]=E[Y]. Zato je X cx Y⇐⇒X sl Y inE[X]=E[Y], (4.21) zaradi ekvivalence (4.18) pa velja še X cx Y⇐⇒E[X]=E[Y] in TVaR α (X)≤TVaR α (Y) za vsakα∈(0,1). Iz X cx Y sledi vse, kar sledi iz X sl Y, denimo neenaˇ cba H g [X]≤H g [Y], ki velja za vsako konkavno distorzijsko funkcijog, in stabilnost za konvolucijo. Konveksna urejenost je ime dobila zaradi naslednje ekvivalence X cx Y⇐⇒E[h(X)]≤E[h(Y)] za vse konveksne funkcijeh, za katere priˇ cakovani vrednosti obstajata (4.22) (Bäuerle & Müller,2006, str. 134 in 135, definicija 2.1 in izrek 2.5). Naj bo X cx Y in h(x)=x n . ˇ Ce zaˇ cetna momentaE[X n ] inE[Y n ] obstajata, je za nenegativne sluˇ cajne spremenljivkeE[X n ]≤E[Y n ], v splošnem primeru pa to 71 veljazasodeninzaradipogojaE[X]=E[Y]tudizan=1. KerjeE[X 2 ]≤E[Y 2 ], je var[X]=E[X 2 ]−(E[X]) 2 ≤E[Y 2 ]−(E[Y]) 2 =var[Y]. Zato iz X cx Y sledi var[X]≤var[Y],obratnopavsplošnemnedrži(Kaas,Dhaene&Goovaerts,2000, str. 152). Ugotavljanje primerljivosti med X in Y z relacijo " cx " po definiciji 4.8 je lahko nepraktiˇ cno, zato si vˇ casih pomagamo z zadostnimi pogoji. ˇ Ce jeE[X]=E[Y] in seF X (x) in F Y (x) enkrat sekata, potem je X cx Y (Dhaene et al., 2002b, str. 8). Pri tem enkratno sekanje razumemo tako kot pri stop-loss urejenosti v razdelku 4.3.2. 4.3.5 Korelacijska urejenost Potrebainželjapourejanjuobstajatudizasluˇ cajnevektorje. Tusioglejmoleeno odmožnosti,ki je primerna za delno urejanjedvorazsežnih sluˇ cajnihvektorjev z razliˇ cnimi dvorazsežnimi porazdelitvenimi funkcijami, vendar pa z enakimi rob- nimiporazdelitvami. Take sluˇ cajne vektorje za dani robniporazdelitveni funkciji F X (x) inF Y (x) združimo v množico R 2 (F X ,F Y )={(X,Y):P(X≤x)=F X (x) inP(Y≤x)=F Y (x)}, ki ji reˇ cemo Fréchetov prostor. Definicija 4.9: Sluˇ cajni vektor (X 1 ,Y 1 )∈R 2 (F X ,F Y ) je manj koreliran od sluˇ caj- negavektorja(X 2 ,Y 2 )∈R 2 (F X ,F Y ),karoznaˇ cujemoz(X 1 ,Y 1 ) corr (X 2 ,Y 2 ),ˇ ceje cov[f(X 1 ),h(Y 1 )]≤cov[f(X 2 ),h(Y 2 )] za vse narašˇ cajoˇ ce funkcije f(x) in h(x), za katere kovarianci, ki ju primerjamo, obstajata. Dhaene in Goovaerts (1996, str. 203, definicija 2) se pri definiranju korelacijske urejenosti omejujeta na sluˇ cajne vektorje z nenegativnimi komponentami, enako tudi Wang in Dhaene (1998, str. 238, definicija 3), vendar pa Tsanakas (2004, str. 227) ugotavlja, da so njihovi rezultati splošnejši in veljajo tudi brez omejitve na nenegativne komponente. Definiciji4.9 jeekvivalentna definicija zdvorazsežnima porazdelitvenima funkci- jama sluˇ cajnih vektorjev(X 1 ,Y 1 ) in(X 2 ,Y 2 ), po kateri je (X 1 ,Y 1 ) corr (X 2 ,Y 2 )⇐⇒F X 1 ,Y 1 (x,y)≤F X 2 ,Y 2 (x,y) za vsak(x,y)∈R 2 (glej Tsanakas, 2004, str. 227, trditev 3, oziroma Dhaene & Goovaerts, 1996, str. 204, izrek 1). 72 Razlogzauvrstitevrelacije" corr "zadvorazsežnesluˇ cajnevektorjevtopoglavje je implikacija (X 1 ,Y 1 ) corr (X 2 ,Y 2 ) =⇒X 1 +Y 1  sl X 2 +Y 2 (4.23) (Dhaene & Goovaerts, 1996, str. 206, izrek 2), ki omogoˇ ca primerjavo tvegano- sti vsot X 1 +Y 1 in X 2 +Y 2 , kjer seštevamo odvisne sluˇ cajne spremenljivke. Di- storzijskemeretveganja,definiraneskonkavnimidistorzijskimifunkcijamig(x), torej koherentne distorzijske mere tveganja, zaradi implikacije =⇒ v (4.17) ohra- njajo stop-loss urejenost. Zato zanje, upoštevaje implikacijo (4.23), velja, da iz (X 1 ,Y 1 ) corr (X 2 ,Y 2 ) slediH g [X 1 +Y 1 ]≤H g [X 2 +Y 2 ]. 4.3.6 Relacije med razliˇ cnimiurejenostmi Stohastiˇ cno, stop-loss in konveksno urejenost lahko med seboj primerjamo tudi napodlaginjihovih definicij sfunkcijamikoristnosti, kijihnavajamo vnadaljeva- njuinsoekvivalentneženavedenimdefinicijam4.5,4.6in4.8. Pritempamoramo funkcijo koristnosti razumeti širše, kot to dopušˇ ca definicija 4.3. ˇ Ce dopustimo, da imajo odloˇ cevalci tudi negativno absolutno averzijo do tveganja, ker so tvega- nju naklonjeni, potem moramo opustiti zahtevo o konkavnosti. ˇ Ce pa dopustimo še možnost, da za nekatere odloˇ cevalce veˇ c dobrin ni bolje kot manj, moramo opustiti zahtevo o narašˇ canju funkcije koristnosti. Prav tako se odpovejmo zah- tevi o dvakratni odvedljivosti. V takem najbolj splošnem okolju je treba v tem razdelku razumeti funkcije koristnosti, za katere nam ostane le še zahteva, da so realne in definirane naR. Kljub temu, da smo dopustili ekonomsko neracionalno odloˇ canje, pa še vedno trdno velja kriterij, da je tveganje X ugodnejša izbira od tveganjaY,ˇ ce jeE[u(−X)]≥E[u(−Y)]. Vrazdelku4.2.9smougotovili,da jedualnafunkcija koristnostiu ∗ (t)=−u(−t) konveksna, ko je u(t) konkavna, in obratno. Sodili E[u(−X)]≥E[u(−Y)] in E[−u(−X)]≤E[−u(−Y)] za odloˇ canje med tveganjema X in Y sta ekvivalentni, zato je E[u(−X)]≥E[u(−Y)]⇐⇒E[u ∗ (X)]≤E[u ∗ (Y)], (4.24) kar smo tudi že upoštevali v razdelku 4.2.9. ˇ Ce priˇ cakovani vrednosti, ki ju pri- merjamo na levi strani zgornje ekvivalence, obstajata, obstajata tudi priˇ cakovani vrednosti, ki ju primerjamo na desni strani, in obratno. Oglejmosišedefinicije zanekatere relacije medtveganji, kisousklajenesteorijo odloˇ canja na podlagi funkcij koristnosti. Zato v definicijah 4.10 do 4.12 predpo- stavljamo, ne da bi posebej navajali, da je za odloˇ cevalca s funkcijo koristnosti u(t)X ugodnejša izbira odY,ˇ ce je izpolnjena leva neenaˇ cba v ekvivalenci (4.24). 73 Prav tako brez navajanja predpostavljamo, da upoštevamo le tiste odloˇ cevalce oziroma funkcije koristnosti, za katere priˇ cakovani vrednosti, ki ju primerjamo, obstajata. Definicija 4.10: Sluˇ cajna spremenljivkaX je v stohastiˇ cnem smislu manj tvegana odY, kar oznaˇ cujemo zX st Y, natanko takrat, ko jeX ugodnejša izbiraodY za vse odloˇ cevalce z narašˇ cajoˇ co funkcijo koristnosti. Opomba 4.5: Definicija 4.10 je zaradi ekvivalenc (4.24) in (4.16) ekvivalentna de- finiciji 4.5.  Definicija4.11: Sluˇ cajnaspremenljivkaX jevstop-losssmislumanj tveganaodY, kar oznaˇ cujemo z X sl Y, natanko takrat, ko je X ugodnejša izbira od Y za vse odloˇ cevalce z narašˇ cajoˇ co konkavno funkcijo koristnosti. Opomba 4.6: Definicija 4.11 je zaradi ekvivalenc (4.24) in (4.19) ter dejstva, da je za narašˇ cajoˇ co konkavno funkcijo koristnostiu(t) njena dualna funkcija kori- stnosti u ∗ (t) narašˇ cajoˇ ca konveksna funkcija, in obratno, ekvivalentna definiciji 4.6.  Definicija 4.12: Sluˇ cajna spremenljivka X je v konveksnem smislu manj tvegana odY, karoznaˇ cujemo zX cx Y, natanko takrat,kojeX ugodnejšaizbiraodY za vse odloˇ cevalce s konkavno funkcijo koristnosti. Opomba 4.7: Definicija 4.12 je zaradi ekvivalenc (4.24) in (4.22) ter dejstva, da je za konkavno funkcijo koristnostiu(t) njena dualna funkcija koristnostiu ∗ (t) konveksna funkcija, in obratno,ekvivalentna definiciji 4.8.  Opomba 4.8: V definiciji 4.12 je lepotna napaka, saj govorimo o konveksni ure- jenosti, merodajni odloˇ cevalci pa imajo konkavne funkcije koristnosti. Morda bi bila definicija malo bolj informativna, ˇ ce bi na podlagi ekvivalence (4.21) in de- finicije 4.11 definirali, da je X cx Y natanko takrat, ko je E[X]=E[Y] in je X ugodnejša izbira od Y za vse odloˇ cevalce z narašˇ cajoˇ co konkavno funkcijo kori- stnosti, lepotne napake pa s tem ne bi odpravili.  ˇ Ce jeX st Y, jeX ugodnejša izbira odY za vse odloˇ cevalce z narašˇ cajoˇ co funk- cijo koristnosti, torej tudi za vse odloˇ cevalce z narašˇ cajoˇ co konkavno funkcijo koristnosti, kar pomeni že znano implikacijoX st Y =⇒X sl Y. V razdelku 4.3.1 smo ugotovili, da iz X st Y slediE[X]≤E[Y]. ˇ Ce pa je hkrati X st Y in E[X]=E[Y], potem je X d = Y (Denuit et al., 2005, str. 114, trditev 74 3.3.17). Zato z relacijo " st " ne moremo primerjati razliˇ cno porazdeljenih slu- ˇ cajnih spremenljivk X in Y z enako priˇ cakovano vrednostjo. Stohastiˇ cna ureje- nost oziroma primerjava z relacijo " st " je povezana predvsem z velikostjo slu- ˇ cajnihspremenljivk,merjenospriˇ cakovanovrednostjo. Podrugistranismovraz- delku 4.3.4 ugotovili, da izX cx Y sledivar[X]≤var[Y]. ˇ Ce je hkratiX cx Y in var[X]=var[Y], potem jeX d =Y (Denuit et al., 2005, str. 151, lastnost 3.4.5). Ta ugotovitev in dejstvo, da z relacijo " cx " že po definiciji lahko primerjamo samo sluˇ cajnespremenljivke zenakopriˇ cakovano vrednostjo,pomeni,da jekonveksna urejenostoziromaprimerjavazrelacijo" cx "povezanapredvsemzvariabilnostjo sluˇ cajnih spremenljivk, merjeno z varianco. ˇ Ce je X d ≠ Y, ne more hkrati veljati X st Y in X cx Y, saj iz X cx Y sledi E[X]=E[Y], nato pa iz X st Y še X d = Y, kar je protislovje. Zato sta relaciji " st " in " cx " tuji v smislu, da je {(X,Y):X d ≠Y inX st Y}∩{(X,Y):X d ≠Y inX cx Y}=∅. Stop-loss urejenost oziroma primerjava z relacijo " sl " je povezana z velikostjo in z variabilnostjo sluˇ cajnih spremenljivk. Za poljubni sluˇ cajni spremenljivki X in Y je namreˇ c X sl Y natanko takrat, ko obstaja taka sluˇ cajna spremenljivka Z, da je X st Z cx Y (Bäuerle & Müller, 2006, str. 135, izrek 2.4). To pa ne pomeni, da iz X sl Y sledi E[X]≤E[Y] in var[X]≤var[Y]. Brez težav se da namreˇ c skonstruirati primer, ko jeX sl Y,E[X]var[Y]. 4.4 Premijskiprincipi Zavarovalnice že od nekdaj ocenjujejo tveganja, ki jih prevzemajo. Zato so že davno pred pojavom aksiomov o merah tveganj uvedle svojo mero tveganja – zavarovalno premijo, za katero so tveganje pripravljene prevzeti. Zavarovalec zavarovalnici za prevzem tveganja plaˇ ca kosmato zavarovalno pre- mijo, ki naj bi bila izraˇ cunana tako, da na daljši rok zadošˇ ca za izplaˇ cilo odškod- nin,kritje stroškovzavarovalnice, vkljuˇ cno s pozavarovanjem, in dobiˇ cek. Tunas ne bodo zanimale vse sestavine kosmate zavarovalne premije (glej npr. Komelj, 2004, str. 3), ampak le t. i. tehniˇ cna premija, pa še ta le za premoženjska zava- rovanja. Tovrstna zavarovanja, razen v redkih izjemnih primerih, v nasprotju z veˇ cino življenjskih zavarovanj ne vsebujejo varˇ cevalne komponente. Njihova teh- niˇ cna premija je sestavljena iz nevarnostne premije in varnostnega dodatka. Ne- varnostna premija je doloˇ cena tako, da dolgoroˇ cno ravno zadostuje za izplaˇ cilo odškodnin, medtem ko varnostni dodatek kratkoroˇ cno (vsaj delno) nevtralizira 75 nakljuˇ cne neugodne odmike dejanskih odškodnin od priˇ cakovanih, dolgoroˇ cno pa se akumulira in je vir dobiˇ cka. V nadaljevanju tega poglavja nas bo zanimala izkljuˇ cno tehniˇ cna premija, zato bomo s premijo π(X), ki se nanaša na posamezno tveganje X, mislili tehniˇ cno premijo za enoletno zavarovanje, ne da bi to posebej navajali. Analogno velja za letno agregatno premijoπ(S) za skupno tveganjeS= P n i=1 X i , ki se nanaša na skupino neodvisnih istovrstnih tveganj. V tem razdelku, ko s tveganji mislimo iz- kljuˇ cnonaškode oziromaodškodnine, selahko omejimonanenegativnesluˇ cajne spremenljivke. Od premije obiˇ cajno zahtevamo ali pa le želimo, da izpolnjuje doloˇ cene zahteve. Tako mora biti premija vsaj tako velika, kot je priˇ cakovana odškodnina, torej π(X)≥E[X], hkrati pa ne sme biti veˇ cja od najveˇ cje mogoˇ ce odškodnine, torej π(X)≤max(X). Tidvezahtevi,kiju,denimo,navajata GerberinJones(1976, str. 216), sta nujni. ˇ Ce prva ni izpolnjena, dolgoroˇ cno vsaka zavarovalnica propade, ˇ ce druga ni izpolnjena, pa se nihˇ ce noˇ ce zavarovati. Zato je varnostni dodatek π(X)−E[X] nenegativen, prav tako tudi varnostni koeficientδ= π(X) E[X] −1. Vˇ casih želimo, da je premija aditivna za neodvisne rizike, aditivna po slojih, kar bomo opisali v razdelku 4.4.5, pa še marsikaj. Zahtevamo ali želimo lahko, da izpolnjuje doloˇ cene posebne aksiome (glej npr. Wang, 1998a, str. 92), lahko pa se zadovoljimo tudi z izpolnjevanjem standardnih aksiomov za koherentne mere tveganja. Pri tem pa se moramo zavedati, da ni dovolj le matematiˇ cni pogled na tveganjeX in pripadajoˇ co premijo π(X), ampak je nujen tudi ekonomski pogled in upoštevanje razmer na trgu (glej npr. Bühlmann, 1980, 1985a, 1985b; Lan- dsman & Sherris, 2007). Šele s celovitim pogledom na problem doloˇ canja premije so se izkristalizirale zaželene lastnosti premije. 4.4.1 Neto premijskiprincip Najbolj preprost je neto premijski princip, po katerem je π(X)=E[X]. Ker je priˇ cakovana vrednost aditivna, je seštevekpremij po vsehrizikih vportfelju enak priˇ cakovanim agregatnim odškodninam, torejπ(S)=E[S]. To pomeni, da z neto premijskimprincipomdoloˇ cimonevarnostnopremijo,kizadošˇ cazaizplaˇ cilo pri- ˇ cakovanih odškodnin. Tako doloˇ cena premija ne vsebuje varnostnega dodatka in služi le za osnovo, na katero dodamo varnostni dodatek, izraˇ cunan z eno od pre- prostih metod, denimo kot doloˇ cen odstotek nevarnostne premije, standardnega odklonaalivariance. Kotsmougotoviliževuvodudrugegapoglavja,bizuporabo nevarnostne premije vsaka zavarovalnica postala nesolventna, ne glede na višino 76 kapitala. Seveda to velja za primer, ko v kosmato premijo vraˇ cunani stroški za- došˇ cajo le za kritje dejanskih stroškov, tako da v tem delu kosmate zavarovalne premije nikakšne dodatne rezerve, denimo za dobiˇ cek, ki bipod drugim imenom lahko predstavljala varnostni dodatek. Kljubtemu,daznetopremijskimprincipomdoloˇ cenapremijaizpolnjujevseaksi- ome za koherentne mere tveganja, pa sama zase brez varnostnega dodatka ni primerna za uporabo. 4.4.2 Princip variance Potempremijskemprincipupremijoizraˇ cunamozenaˇ cboπ(X)=E[X]+βvar[X], kjerjeβ>0. Takoizraˇ cunanapremija,gledanakotmeratveganja,jeneobˇ cutljiva za premik, preostalih treh pogojev za koherentnost pa ne izpolnjuje. Kot je raz- vidno iz primera, ki ga navajata Gerber in Jones (1976, str. 216), tudi pogoja π(X)≤max(X) ne izpolnjuje. Ima pa vsaj to lepo lastnost, da je aditivna za neodvisna tveganjaX 1 ,...,X n , saj zaπ(S)=E[S]+βvar[S] velja π(S)=E   n X i=1 X i   +βvar   n X i=1 X i   = n X i=1 E[X i ]+β n X i=1 var[X i ]= n X i=1 π(X i ). Kljub številnim pomanjkljivostim, ˇ ce za standard upoštevamo koherentnost, ima princip variance zelo trdno teoretiˇ cno ozadje, ki nam daje tudi praktiˇ cen kriterij za izbiro konstanteβ. Naj tveganje X i pomeni skupne kosmate odškodnine v enem letu, ki se nana- šajo na i-to zavarovanje, tako da S pomeni skupne kosmate odškodnine v enem letu za celoten portfelj. K naj bo kapital, ki ga je zavarovalnica pripravljena tve- gati,Ψ(K) pa verjetnost, da bo za nekt>0 izpolnjen pogoj K+P(t)−S(t)<0. Kot smo videli v razdelku 3.5.5, zgornjo mejo za to verjetnost lahko izraˇ cu- namo z Lundbergovo neenaˇ cbo (3.3), kjer jeR najmanjši koren enaˇ cbe (3.4), torej M S (R)=E[e RS ]=e cR . Z logaritmiranjem dobimo logM S (R)= logE[e RS ]=cR. Kolevostranteenaˇ cbeaproksimiramosprvimitremiˇ cleniTaylorjevevrsteokrog 0, dobimoE[S]R+ 1 2 var[S]R 2 ≈cR (glej Komelj, 2004, str. 59). Kerˇ cas merimo v letih, jeπ(S)=P(1)=c, tako da iz prejšnje enaˇ cbe dobimo π(S)= 1 R logE[e RS ]≈E[S]+ R 2 var[S], (4.25) izLundbergoveneenaˇ cbepadobimošeR≤− logΨ(K) K . Zatosmonavarnistrani,ˇ ce konstantoβ pri dani stopnji tveganjaǫ=Ψ(K) doloˇ cimo zβ= − logǫ 2K . Koeficient 77 β je tako sorazmeren z relativno averzijo do tveganja, ki jo merimo z− logǫ 2 , in obratno sorazmeren z višino tveganega kapitalaK. Omenimo le še to, da je za normalno porazdeljeno sluˇ cajno spremenljivko S ∼ N(µ,σ 2 ) logM S (t)=µt + 1 2 σ 2 t 2 . V tem primeru smo dejansko upoštevali vse ˇ clene Taylorjeve vrste, zaradiˇ cesar za normalno porazdeljene sluˇ cajne spremen- ljivke v enaˇ cbi (4.25) namesto znaka za aproksimacijo velja enaˇ caj. 4.4.3 Princip standardnega odklona Po tem premijskem principu premijo izraˇ cunamo z enaˇ cboπ(X)=E[X]+β X σ X , kjer jeβ X >0. Tako izraˇ cunana premija ni monotona, druge pogoje za koherent- nost pa izpolnjuje. Kot je razvidno iz primera, ki ga navajata Gerber in Jones (1976, str. 216), tudi pogoja π(X)≤max(X) ne izpolnjuje, prav tako ni aditivna za neodvisna tveganja. Zato je bolj primerno, da premijski princip standardnega odklonagledamonaravnivsehistovrstnihtveganjinagregatnopremijodoloˇ cimo z enaˇ cboπ(S)=E[S]+β S σ S , nato pa iz konstanteβ S >0 izraˇ cunamoβ X . Zatempremijskimprincipomstojipredpostavkaonormalniporazdelitvisluˇ cajne spremenljivkeS, zato konstantoβ S doloˇ cimo z ustreznim kvantilom standardizi- rane normalne porazdelitve. Tako naj bi konstanta β S =Φ −1 (α) zagotavljala, da bo skupna premija z verjetnostjoα zadošˇ cala za izplaˇ cilo skupnih odškodnin. Predpostavimo, da jeportfeljS sestavljen iznneodvisnih inenako porazdeljenih tveganj. Po izhodišˇ cni premijski enaˇ cbi bi za n enakih tveganj zbrali nE[X]+ nβ X σ X premije, alternativno izraˇ cunano za cel portfelj skupaj pa E[S]+β S σ S . Ker je E[S]=nE[X] in var[S]=nvar[X] oziroma σ S = √ nσ X , z izenaˇ citvijo obeh premij dobimoβ X = β S √ n . V praksi predpostavka o normalni porazdelitvi sluˇ cajne spremenljivke S marsik- daj ni izpolnjena. Kljub temu pa vsaj vˇ casih premijski princip standardnega od- klonaševedno lahkouporabljamo,lekonstantoβ S moramoustreznospremeniti. Tako, denimo, za sluˇ cajno spremenljivko S, ki nima prevelikega koeficienta asi- metriˇ cnostiγ S , zadošˇ ca, da vzamemo β S =x α + γ S 6 (x 2 α −1), kjer jex α =Φ −1 (α). Tapriredbatemeljinat. i. NP-aproksimaciji(glejKomelj,2004,str. 25). Pritemni nujno, da naS gledamo kot naS= P n i=1 X i , kjer seX i nanaša nai-to zavarovanje. Izhajamo lahko tudi iz kolektivnega modela rizikov, kjer je nakljuˇ cno število od- škodninN neodvisnoodneodvisnihinenakoporazdeljenihodškodninX 1 ,...,X N terS= P N i=1 X i . Zadošˇ ca,daizmomentovsluˇ cajnihspremenljivkN inX 1 ocenimo E[S],σ S inγ S (glej npr. Komelj, 2004, str. 12), nato pa pri dani stopnji zaupanja α izraˇ cunamoβ S inβ X = β S √ n , kjer jen število zavarovanj. 78 Omenimoše principu standardnega odklona podobenpremijski princip, kiga do- bimo tako, da standardni odklon zamenjamo s priˇ cakovano vrednostjo absolut- nega odklona od mediane M(X)=F −1 X (0,5). Pritem premijskem principu, ki ga je predlagal Denneberg (1990), premijo izraˇ cunamo z enaˇ cboπ(X)=E[X]+β X τ X , kjerjeτ X =E[|X−M(X)|]inβ X ∈[0,1]. Premijaπ(X)izpolnjujepogojezakohe- rentnost,jeaditivna zakomonotonatveganja,veljapašeE[X]≤π(X)≤max(X). Kotnavaja Wang(1996, str. 82),jetako dobljenapremija distorzijska meratvega- nja za konkavno odsekoma linearno funkcijog, ki povezuje toˇ cke(0,0), 1 2 , 1+β X 2  in(1,1). ˇ Ce je P[X=0]≥ 1 2 , je M(X)=0 in τ X =E[X]. V tem primeru se doloˇ canje pre- mije poenostavi vπ(X)=(1+β X )E[X]. Skratka, nevarnostnopremijo poveˇ camo za varnostni dodatek, doloˇ cen na najbolj preprost naˇ cin, kar tukaj pomeni sla- bost. Vpraksi namreˇ cobiˇ cajnopriˇ cakujemo, da zaposameznotveganje zveˇ c kot 50-odstotno verjetnostjo ne bo škode. Prav v takem primeru pa se Dennebergov premijski princip izrodi, medtem ko izraˇ cun π(S) v bistvu zahteva poznavanje porazdelitvene funkcije F S (x). ˇ Ce jo že izraˇ cunamo, pa raje neposredno upora- bimo kakšen drug kvantil, ki je za doloˇ canje premije primernejši od mediane. 4.4.4 Princip funkcijekoristnosti Z vsako mero tveganja lahko primerjamo tudi tveganja, ki jih prevzemajo za- varovalnice, vendar s tem še ni nujno vzpostavljen tudi primeren kvantitativen odnos med tveganjem in zavarovalno premijo. Tako, denimo, mera tveganja ρ u (X)= −E[u(−X)], ki smo jo za poljubno normirano funkcijo koristnostiu(t) definirali v razdelku 4.2.6, v splošnem ni primerna za doloˇ canje premije. ˇ Ce za funkcijo koristnosti izberemou(t)=t, dobimo že znani neto premijski princip. Za zavarovalnico, ki tveganje X zavaruje za premijo π(X), je priložnost za do- biˇ cek v priˇ cakovani pozitivni razliki π(X)−X, seveda pa se lahko zgodi, da se priˇ cakovanja ne bodo uresniˇ cila. Premija π(X) mora biti vsaj tako velika, da je priˇ cakovana koristnost veˇ cja ali enaka koristnosti v primeru, ko zavarovalnica tveganja X ne zavaruje, to pa je E[u(0)]=u(0), kar je za normirane funkcije koristnosti enako 0. Na opisanem razmisleku temelji princip niˇ cle funkcije ko- ristnosti, ki ga je uvedel Bühlmann (1970, str. 86). Po tem principu za tveganje X s konˇ cno priˇ cakovano vrednostjo E[X] premijo π(X) izraˇ cunamo kot rešitev enaˇ cbeE[u(π(X)−X)]=u(0). Razmišljamolahkotudiširše,takoda namestoposameznegatveganjaX gledamo agregatne letneodškodnineS inagregatno letnopremijoπ(S). ˇ Ce ima zavaroval- nica na zaˇ cetku leta kapital K, ga na koncu leta lahko priˇ cakuje K+π(S)−S. V 79 tem primeru premijoπ(S) izraˇ cunamo kot rešitev enaˇ cbe E[u(K+π(S)−S)]=u(K). (4.26) Zgornja enaˇ cba ima enoliˇ cno rešitev, ki pa se v splošnem primeru ne da ekspli- citno zapisati (Gerber & Pafumi, 1998, str. 78). Zato enaˇ cbe ne bomo še dodatno zapletali s tem, da bi upoštevali davek na dobiˇ cek, stroške kapitala ipd. Prin- cipdoloˇ canjapremijezenaˇ cbo(4.26) seimenujeprincipekvivalentne koristnosti, princip niˇ cle funkcije koristnosti pa je le njegov poseben primer, ko jeK=0. S principom niˇ cle funkcije koristnosti doloˇ cena premija π(X), gledana kot mera tveganja, je monotona in neobˇ cutljiva na premik, vendar v splošnem primeru ni pozitivno homogena, prav tako ni subaditivna, zato tudi koherentna ni. Vedno pa izpolnjuje praktiˇ cno zelopomembenpogojE[X]≤π(X)≤ max(X) (Denuit et al., 2005, str. 82), s primerno izbiro funkcije koristnosti pa lahko pridobimo še kakšno zaželeno lastnost. Kot zelo pomembna in primerna izbira se izkaže eksponentna funkcija koristno- sti,kijezadaniα>0definirana zu(t)= 1 α (1−e −αt ). Zavarovalnica stako funk- cijo koristnosti ima absolutno averzijo, ki je neodvisna od velikosti priložnosti oziroma tveganja, saj je r(t)≡ α. Zato niti ni pomembno, ali gledamo posame- zno tveganjeX ali skupno tveganjeS. Enaˇ cba (4.26) ima od kapitalaK neodvisno eksplicitno rešitevπ(S)= 1 α logE[e αS ] (Gerber & Pafumi, 1998, str. 78). To pa je le z drugim parametrom zapisana leva enaˇ cba (4.25). Skratka, parameterα ni niˇ c drugegakotkoeficientR vLundbergovineenaˇ cbi. Stemsmospetdobiliuporaben kriterijzadoloˇ citevα. ˇ CepridanemtveganemkapitaluK indanistopnjitveganja ǫ=Ψ(K) izberemoα= − logǫ K , smo na varni strani. Za neodvisni tveganji X in Y iz E[e α(X+Y) ]=E[e αX ]E[e αY ] z logaritmiranjem in deljenjem zα dobimoπ(X+Y)=π(X)+π(Y). Zato je z eksponentno funkcijo koristnostidoloˇ cenapremijaaditivna zaneodvisnatveganja. Tododatnopotrjuje ugotovitev, da isti α lahko uporabljamo za posamezno in skupno tveganje, ki je seštevek med seboj neodvisnih tveganj. Zaradi enaˇ cbe (4.25) je premija, izraˇ cunana po principu variance, aproksimacija premije, izraˇ cunane po principu niˇ cle eksponentne funkcije koristnosti. V raz- delku 4.4.2 smo ugotovili, da za normalno porazdeljene sluˇ cane spremenljivke znak za aproksimacijo v enaˇ cbi (4.25) lahko zamenjamo z enaˇ cajem. Zato pre- mija, doloˇ cena z eksponentno funkcijo koristnosti, ki je v takem primeru enaka premiji, doloˇ ceni s principom variance, ni subaditivna niti aditivna, ker varianca nima teh dveh lastnosti. 80 Poprincipuniˇ clefunkcijekoristnostidobimoaditivnostpremijezaneodvisnatve- ganja za eksponentno funkcijo koristnosti (Gerber, 1974, str. 217) in za linearno funkcijo u(t)=t, ki je limitni primer eksponentne funkcije koristnosti, ko greα proti 0. Z u(t)=t po principu niˇ cle funkcije koristnosti dobimo neto premijski princip, ki je aditiven tudi za odvisna tveganja. Poleg navedenih obstaja še nekaj premijskih principov, povezanih s funkcijami koristnosti, denimo Esscherjev premijski princip ali švicarski premijski princip (glej npr. Goovaerts et al., 2003b; Bühlmann,Gagliardi, Gerber & Straub, 1977). 4.4.5 Wangov premijskiprincip Wangov premijski princip je pomemben primer premijskega principa, temelje- ˇ cega na distorzijski funkciji. Wang (1998d) priporoˇ ca PH (proportional hazards) transformacijo z distorzijsko funkcijo g(x)=x r , r ∈ (0,1], ter navaja veliko praktiˇ cnih primerov uporabe v zavarovalništvu oziroma pozavarovalništvu. Po njegovempremijskemprincipu premijoizraˇ cunamotako,dajoizenaˇ cimozmero tveganja, ki je zaX≥0 definirana z enaˇ cbo (4.7). Ker je vtem posebnemprimeru distorzijska funkcija g enoliˇ cno doloˇ cena s parametrom r, namesto indeksa g v H g pišimo karr. Z upoštevanjem enaˇ cbe (4.8) dobimo π(X,r)=H r [X]= Z ∞ 0 (F X (x)) r dx=r Z 1 0 F −1 X (q)q r−1 dq. Premija H r [X] je padajoˇ ca funkcija r, ki spodnjo mejo E[X] doseže pri r=1, sicer pa jeE[X]≤H r [X]≤ max(X) (Wang, 1995, str. 45). Pri dani porazdelitveni funkcijiF X (x) potrebno višino varnostnega koeficientaδ= H r [X] E[X] −1 dosežemo s primerno izbiro parametrar. Ker jeg(x)=x r konkavna distorzijska funkcija, je z njo doloˇ cena distorzijska mera tveganja H r [X] tudi subaditivna in zato kohe- rentna. TveganjeX,kigaželimoškodnopresežkovnopozavarovati prienialiveˇ cpozava- rovalnicah, veˇ ckrat razstavimo na sloje oziroma intervaleX=X (x 0 ,x 1 ] +X (x 1 ,x 2 ] + X (x 2 ,x 3 ] +···, kjer je 0=x 0 x,Y >y|Θ=θ)=e −θx e −θy =e −θ(x+y) , je P(X >x,Y >y)= Z ∞ 0 e −θ(x+y) f Θ (θ)dθ= Z ∞ 0 λ α θ α−1 e −(λ+x+y)θ Γ(α) dθ. 83 S substitucijot=(λ+x+y)θ dobimo P(X >x,Y >y)= λ λ+x+y ! α . (5.1) KerjeP(X≤x,Y≤y)=1−P(X >x)−P(Y >y)+P(X >x,Y >y), zveza med dvorazsežnoporazdelitvenofunkcijoinpripadajoˇ cofunkcijopreživetjavkljuˇ cuje tudi robnifunkciji preživetja F X,Y (x,y)=1−F X (x)−F Y (y)+F X,Y (x,y), (5.2) karzupoštevanjemF X (x)=1−F X (x)inF Y (y)=1−F Y (y) lahkozapišemo tudi kot F X,Y (x,y)=1−F X (x)−F Y (y)+F X,Y (x,y). (5.3) Upoštevajmoenaˇ cbo(5.1)indejstvo,dajeF X (x)=  λ λ+x  α teranalognozaF Y (y), panamenaˇ cba(5.2)razkrijeporazdelitvenofunkcijodvorazsežneParetoveporaz- delitve F X,Y (x,y)=1−  λ λ+x  α − λ λ+y ! α + λ λ+x+y ! α . ˇ Ce bi bili sluˇ cajni spremenljivki X in Y neodvisni, bi se njuna skupna porazde- litvena funkcija F X,Y (x,y) od izraza na desni v zgornji enaˇ cbi razlikovala le v ˇ cetrtemˇ clenu, ki bi bil  λ 2 (λ+x)(λ+y)  α .  Podobno kot pri merah tveganja bi tudi tu radi odvisnost med sluˇ cajnima spre- menljivkama X in Y izrazili z enim številom, t. i. mero konkordance, ki mora izpolnjevati doloˇ cene pogoje. Z njo bi radi merili, kako se velike oziroma majhne vrednosti ene sluˇ cajne spremenljivke pojavljajo hkrati z velikimi oziroma majh- nimi vrednostmi druge sluˇ cajne spremenljivke. Oglejmo si mero konkordance, kot je definirana v (Denuit et al., 2005, str. 247), le z drugimi oznakami. Definicija 5.1: Funkcija κ, ki vsakemu paru sluˇ cajnih spremenljivk X inY priredi vrednostκ(X,Y), je mera konkordance,ˇ ce izpolnjuje naslednje aksiome: 1. κ(X,Y)=κ(Y,X) (simetriˇ cnost). 2. −1≤κ(X,Y)≤1 (normalizacija). 3. κ(X,Y)=1⇐⇒X inY sta komonotoni. 4. κ(X,Y)= −1⇐⇒X inY sta nasprotno monotoni. 5. ˇ Ce je T:R→R strogo monotona transformacija, definirana na zalogi vred- nosti sluˇ cajne spremenljivkeX, potem je: 84 κ(T(X),Y)=      κ(X,Y) za narašˇ cajoˇ co transformacijoT, −κ(X,Y) za padajoˇ co transformacijoT. Hitro se lahko prepriˇ camo, da iz neodvisnosti sluˇ cajnihspremenljivkX inY sledi κ(X,Y)=0. Nasprotno pa ne velja. Zahteva, da jeκ(X,Y)=0 natanko takrat, ko stasluˇ cajnispremenljivkiX inY neodvisni,nizdružljiva spetozahtevodefinicije 5.1 (Denuit et al., 2005, str. 247). 5.1 Pearsonov korelacijskikoeficient Za sluˇ cajni spremenljivki X in Y s konˇ cnima standardnima odklonoma σ X >0 inσ Y >0 ter kovarianco cov[X,Y]=E[XY]−E[X]E[Y] je Pearsonovkorelacijski koeficient definiran z ρ(X,Y)= cov[X,Y] σ X σ Y . Pearsonov korelacijski koeficient je za neodvisnisluˇ cajni spremenljivkiX inY niˇ c, saj je zanju cov[X,Y]=0, nasprotno panevelja. ˇ Ceje,denimo,sluˇ cajnaspremenljivkaX enakomernoporazdeljenana intervalu[−1,1]ter jeY=X 2 ,je zaradi simetrijeE[X]=0 inE[XY]=E[X 3 ]=0. Zato je cov[X,Y]=0 in ρ(X,Y)=0. V tem primeru sta sluˇ cajni spremenljivki X inY nekorelirani, oˇ citno pa nista neodvisni. Za Pearsonov korelacijski koeficient velja neenaˇ cba −1≤ρ(X,Y)≤1. Enaˇ caja dosežemo pri linearni zvezi Y=aX+b. Za a>0 je ρ(X,Y)=1, za a<0 je ρ(X,Y)= −1, možnosta=0 pa zaradi pogoja σ Y >0 ni mogoˇ ca. Ker je za po- ljubnea,b,c,d∈R,ac6=0,ρ(aX+b,cY+d)=sgn(ac)ρ(X,Y),Pearsonovkore- lacijskikoeficientniinvariantennalinearnetransformacije,kerselahkospremeni predznak,vendarpajeinvariantennastrogonarašˇ cajoˇ celinearnetransformacije. Pearsonov korelacijski koeficient na nek naˇ cin meri linearno odvisnost, zato mu reˇ cemo tudi linearni korelacijski koeficient. Je zelo pogosto uporabljana mera odvisnosti v prostoru n-razsežnih normalno porazdeljenih sluˇ cajnih vektorjev X=(X 1 ,...,X n ) t s porazdelitveno funkcijo Φ n µ, Σ (x)= 1 p (2π) n |Σ| Z x 1 −∞ ··· Z x n −∞ e − 1 2 (z−µ) t Σ −1 (z−µ) dz 1 ···dz n (5.4) in gostoto verjetnosti φ n µ, Σ (x)= 1 p (2π) n |Σ| e − 1 2 (x−µ) t Σ −1 (x−µ) , kar bomo oznaˇ cevali z X∼ N n (µ, Σ). Tu sta x=(x 1 ,...,x n ) t in z=(z 1 ,...,z n ) t vektorja stolpca, Σ je kovarianˇ cna matrika z elementi Σ ij =cov[X i ,X j ] za i6= j 85 in Σ ii =cov[X i ,X i ]=var[X i ]=σ 2 i , |Σ| njena determinanta ter µ =(µ 1 ,...,µ n ) t priˇ cakovana vrednost sluˇ cajnega vektorja X. Naj bo σ=(σ 1 ,...,σ n ) t . Ker je X i ∼ N(µ i ,σ 2 i ), so robne porazdelitvene funk- cije sluˇ cajnega vektorja X natanko doloˇ cene z vektorjema µ in σ. Pearsonove korelacijske koeficiente med vsemi možnimi pari komponent sluˇ cajnega vektorja X zložimo v n-razsežno korelacijsko matriko P z elementi P ij =ρ(X i ,X j ). Ko- relacijska matrika P ima enice na diagonali, absolutne vrednosti preostalih ele- mentov pa ne presegajo enice, je simetriˇ cna ter pozitivno semidefinitna oziroma pozitivno definitna, ˇ ce so komponente sluˇ cajnega vektorja X linearno neodvisne. Naj bo D diagonalna matrika, ki ima na diagonali vektor σ. Ker je Σ=DPD, je n-razsežna normalna porazdelitev natanko doloˇ cena z vektorjema µ in σ ter s korelacijsko matriko P, torej z robnimi porazdelitvami in korelacijsko matriko P. To pa pomeni, da v okolju veˇ crazsežnih normalno porazdeljenih sluˇ cajnih vek- torjev X=(X 1 ,...,X n ) t Pearsonovi korelacijski koeficienti ρ(X i ,X j ) popolnoma doloˇ cajo njihovo strukturo odvisnosti. Zato je v takem okolju Pearsonov korela- cijski koeficient brez dvoma kvalitetna mera odvisnosti. Pearsonov korelacijski koeficient popolnoma doloˇ ca odvisnost tudi v okolju elip- tiˇ cno porazdeljenih sluˇ cajnih vektorjev. Eliptiˇ cno so porazdeljeni vsi n-razsežni sluˇ cajni vektorji X, za katere je X d = µ +AZ, kjer je µ =(µ 1 ,...,µ n ) t konstanten vektor, A n×m razsežna matrika in Z m-razsežen sluˇ cajni vektor, ki je poraz- deljen sferiˇ cno (McNeil, Frey & Embrechts, 2005, str. 93, definicija 3.26). Sluˇ cajni vektor Z je porazdeljen sferiˇ cno, ˇ ce je QZ d = Z za vse ortogonalne matrike Q, za katere je torejQQ t =Q t Q=I (McNeil et al., 2005, str. 89, definicija 3.18). Veˇ crazsežnanormalnaporazdelitevjeposebenprimereliptiˇ cneporazdelitve,veˇ c- razsežnastandardizirana normalnaporazdelitevznekoreliranimikomponentami pajetudisferiˇ cna. Posebenprimereliptiˇ cne porazdelitve jetudiveˇ crazsežna Stu- dentova porazdelitev. Naj bo µ ∈R n , A n×m razsežna nesingularna matrika inΣ=AA t t. i. disper- zijska matrika. Sluˇ cajni vektor X je porazdeljen Studentovo, kar bomo oznaˇ cili z X ∼ t n (ν,µ, Σ), ˇ ce je njegova n-razsežna porazdelitvena funkcija pri danem številu prostostnih stopenjν∈N + enaka t n ν,µ, Σ (x)= 1 p (νπ) n |Σ| Γ( ν+n 2 ) Γ( ν 2 ) Z x 1 −∞ ··· Z x n −∞ 1+ (z−µ) t Σ −1 (z−µ) ν ! − ν+n 2 dz 1 ···dz n , 86 gostota verjetnosti pa f(x)= 1 p (νπ) n |Σ| Γ( ν+n 2 ) Γ( ν 2 ) 1+ (x−µ) t Σ −1 (x−µ) ν ! − ν+n 2 . Priˇ cakovana vrednost obstaja le za ν >1, ko je E[X]=µ , kovarianˇ cna matrika pa obstaja le za ν >2, ko je enaka ν ν−2 Σ (Embrechts, Lindskog & McNeil, 2003, str. 26). Matrika P, ki jo iz disperzijske matrike Σ izraˇ cunamo s formulami P ij = Σ ij √ Σ ii Σjj ,i,j=1,...,n,jekorelacijska matrikazaν >2,sicerpajibomorekli psevdokorelacijska matrika, saj izpolnjuje formalne pogoje za korelacijsko mat- riko – je pozitivno semidefinitna simetriˇ cna matrika z enicami nadiagonali, abso- lutne vrednosti preostalih elementov pa ne presegajo enice. V splošnem primeru zunaj okolja eliptiˇ cno porazdeljenih sluˇ cajnih vektorjev ima Pearsonov korelacijski koeficient kar nekaj pomanjkljivosti. Tako, denimo, Em- brechts, McNeil in Straumann (1999, str. 233) kot pomanjkljivost navajajo dej- stvo, da Pearsonov korelacijski koeficient ρ(X,Y) ni definiran, ˇ ce varianci sluˇ caj- nih spremenljivk X in Y nista konˇ cni, da iz nekoreliranosti ne smemo sklepati o neodvisnosti, predvsem pa, da ni invarianten na strogo narašˇ cajoˇ ce nelinearne transformacije. Polegteganavajajoprimer,kopridanihrobnihporazdelitvahniso mogoˇ ceodvisnosti, kibiustrezalepoljubnilinearnikorelacijiρ∈[−1,1](glejpri- mer 5.3 na str. 97). To pa niso edine pomanjkljivosti linearnega korelacijskega koeficienta, ki od pogojev iz definicije 5.1 izpolnjuje le prva dva. Nekaj referenc naˇ clanke, ki obravnavajo njegove slabosti, navajajo tudi De la Peña, Ibragimov in Sharakhmetov (2006). 5.2 Spearmanovkorelacijskikoeficient ranga Naj bosta X in Y sluˇ cajni spremenljivki s porazdelitvenima funkcijama F X (x) in F Y (x). Spearmanov korelacijski koeficient ranga ρ S je definiran s pomoˇ cjo Pear- sonovega korelacijskega koeficienta ρ kot ρ S (X,Y)=ρ(F X (X),F Y (Y)). Sluˇ cajni spremenljivkiF X (X) inF Y (Y) oˇ citno lahko zavzameta samo vrednosti z intervala [0,1]. ˇ Ce staX inY zvezni sluˇ cajni spremenljivki, je za vsakx∈[0,1] P(F X (X)≤x)=P(X≤F −1 X (x))=F X (F −1 X (x))=x, zatojeF X (X)∼U[0,1]inanalognoF Y (Y)∼U[0,1]. Vtakemprimeruveljaenaˇ cba ρ S (X,Y)=12E[(F X (X)−0,5)(F Y (Y)−0,5)] (Mildenhall, 2006, str. 111). Spearmanov korelacijski koeficient ranga za vzorca (x 1 ,...,x n ) in (y 1 ,...,y n ) sluˇ cajnih spremenljivk X in Y izraˇ cunamo z upoštevanjem vzorˇ cnih porazdelit- 87 venihfunkcij. Priraˇ cunanjukorelacijskega koeficienta rangasevulomkuvelikost vzorca krajša, zato dobimo enak rezultat, ˇ ce vzorˇ cne vrednosti nadomestimo z njihovimi rangi (mesti v narašˇ cajoˇ ce urejenem vzorcu) in izraˇ cunamo linearni ko- relacijski koeficient. Spearmanov korelacijski koeficient lahko izraˇ cunamo za poljubni sluˇ cajni spre- menljivkiX inY. Izpolnjuje vse pogoje iz definicije 5.1, iz neodvisnosti sluˇ cajnih spremenljivkX inY paslediρ S (X,Y)=0(Embrechts,McNeil&Straumann,2002, str. 16). ˇ Ce delamo s sluˇ cajnim vektorjem, Spearmanove korelacijske koeficiente izraˇ cunamozavseparenjegovihkomponentinjihzložimovkorelacijskomatriko rangov. 5.3 Kendallov tav Kendallovτ temeljinapojmukonkordanceindiskordance. ˇ Ceimamoparasluˇ caj- nih spremenljivk (X 1 ,Y 1 ) in (X 2 ,Y 2 ) ter je hkrati X 1 >X 2 in Y 1 >Y 2 ali pa hkrati X 1 X 2 inY 1 Y 2 ,govorimoodiskordanci. ˇ Cejeprodukt(X 1 −X 2 )(Y 1 −Y 2 ) pozitiven, imamo konkordanco, ˇ ce je negativen, imamo diskordanco. Kendallov τ za sluˇ cajni vektor (X,Y) izraˇ cunamo kot razliko verjetnosti konkordance in diskordance τ(X,Y)=P((X−X ′ )(Y−Y ′ )>0)−P((X−X ′ )(Y−Y ′ )<0), kjer je(X ′ ,Y ′ ) od(X,Y) neodvisen, vendar enako porazdeljen sluˇ cajni vektor. Kendallov τ lahko izraˇ cunamo za poljubni sluˇ cajni spremenljivki X in Y. Izpol- njuje vse zahteve definicije 5.1, iz neodvisnosti sluˇ cajnih spremenljivkX inY pa slediτ(X,Y)=0 (Embrechts et al., 2002, str. 16). ˇ Ce delamo s sluˇ cajnim vektor- jem, Kendallove τ izraˇ cunamo za vse pare njegovih komponent in jih zložimo v korelacijsko matriko Kendallovihτ. 5.4 Komonotonost V razdelku 5.1 smo se seznanili s Pearsonovim oziroma linearnim korelacijskim koeficientom ρ(X,Y), ki meri linearno odvisnost med sluˇ cajnima spremenljiv- kama X in Y. Linearno povezani sluˇ cajni spremenljivki se hkrati poveˇ cujeta in hkrati zmanjšujeta, ˇ ce je ρ(X,Y)=1, oziroma se ena zmanjšuje, ko se druga poveˇ cuje, ˇ ce je ρ(X,Y)= −1. Tako usklajeno gibanje pa je mogoˇ ce tudi v bolj splošnem primeru, kot je linearna povezanost, ˇ ce sta sluˇ cajni spremenljivki X in Y komonotoni oziroma nasprotno monotononi. 88 Definicija 5.2: Sluˇ cajni spremenljivki X in Y sta komonotoni, ˇ ce med porazdelit- veno funkcijo F X,Y (x,y) sluˇ cajnega vektorja (X,Y) in robnima porazdelitvenima funkcijama F X (x) in F Y (x) velja zveza F X,Y (x,y)= min{F X (x),F Y (y)} za vsak x,y ∈ R. Sluˇ cajni spremenljivki X in Y sta nasprotno monotoni, ˇ ce sta X in−Y komonotoni. Iz definicije, povzete po (Wang & Dhaene, 1998, str. 236), vendar z opušˇ ceno zahtevo po nenegativnosti sluˇ cajnih spremenljivk X in Y, se še ne vidi njunega usklajenega gibanja. To postane razvidno iz naslednjega izreka. Izrek 5.1: Sluˇ cajni spremenljivki X in Y sta komonotoni natanko takrat, ko ob- staja sluˇ cajna spremenljivkaZ in taki narašˇ cajoˇ ci realni funkcijiu(x) inv(x), da sta sluˇ cajna vektorja (X,Y) in (u(Z),v(Z)) enako porazdeljena, torej (X,Y) d = (u(Z),v(Z)). Dokaz: Glej (Wang & Dhaene, 1998, str. 236, izrek 1). V tem viru je sicer ome- jitev na sluˇ cajne vektorje z nenegativnimi komponentami, vendar kot ugotavlja Tsanakas (2004, str. 227), v njem navedeni rezultati veljajo tudi brez nje. Sicer pa je izrek le poseben primer splošnejšega izreka za sluˇ cajne vektorje z razsež- nostjo n≥2, kjer omenjene omejitve ni (glej Dhaene et al., 2002b, str. 13, izrek 2).  Izrek 5.2: Sluˇ cajni spremenljivki X in Y sta komonotoni natanko takrat, ko za sluˇ cajno spremenljivkoU∼U[0,1] velja(X,Y) d =(F −1 X (U),F −1 Y (U)). Dokaz: Naj boU∼ U[0,1]. Vemo, da jeF −1 X (U) d =X inF −1 Y (U) d =Y (Angus, 1994, str. 652, izrek 2), kar je potrebni pogoj za (X,Y) d = (F −1 X (U),F −1 Y (U)). Ker sta kvantilni funkcijiF −1 X inF −1 Y narašˇ cajoˇ ci, iz izreka 5.1 sledi (X,Y) d =(F −1 X (U),F −1 Y (U)) =⇒X inY sta komonotonisluˇ cajni spremenljivki. Pokažimo še, da velja tudi obratno. ˇ Ce staX inY komonotoni sluˇ cajni spremen- ljivki, iz P(F −1 X (U)≤x,F −1 Y (U)≤y)=P(U≤F X (x),U≤F Y (y)) =P(U≤ min{F X (x),F Y (y)}) = min{F X (x),F Y (y)} =F X,Y (x,y) sledi(X,Y) d =(F −1 X (U),F −1 Y (U)).  89 Izrek 5.2 je zelo uporaben, saj nam omogoˇ ca generiranje komonotonih vzor- cev sluˇ cajnega vektorja (X,Y). Najprej z generatorjem (psevdo)nakljuˇ cnih šte- vil za U ∼ U[0,1] nakljuˇ cno generiramo vrednost u, nato pa izraˇ cunamo vektor (x,y)=(F −1 X (u),F −1 Y (u)). Komonotoni sluˇ cajni spremenljivki X in Y nista neodvisni, saj ju po izreku 5.2 tesnopovezuje sluˇ cajna spremenljivkaU. KerSpearmanov korelacijski koeficient rangainKendallovτ izpolnjujetavsezahtevedefinicije5.1,jeponjenitretjitoˇ cki ρ S (X,Y)=τ(X,Y)=1. Pearsonov oziroma linearni korelacijski koeficient je za komonotoni sluˇ cajni spremenljivki X in Y sicer vedno nenegativen, ker je njuna kovarianca nenegativna (glej Wang, 1998a, str. 90, lema 2.3), vendar je lahko poljubno blizu 0 – glej primer 5.3 na strani 97. Komonotonost je posplošitev pojma linearna koreliranost in jo lahko definiramo tudizan>2sluˇ cajnihspremenljivk. ˇ Cepravbianalognokotvdefiniciji5.2lahko izhajali iz enaˇ cbe F X 1 ,...,X n (x 1 ,...,x n )= min{F X 1 (x 1 ),...,F X n (x n )}, bomo tokrat ravnali drugaˇ ce. Definicija 5.3: Sluˇ cajne spremenljivke X 1 ,...,X n s porazdelitvenimi funkcijami F X 1 ,...,F X n so komonotone natanko takrat, ko velja (X 1 ,...,X n ) d =(F −1 X 1 (U),...,F −1 X n (U)), kjer jeU∼U[0,1]. Komonotonost pomeni najveˇ cjo možno stopnjo odvisnosti med sluˇ cajnimi spre- menljivkami X 1 ,...,X n . Kot tako jo lahko uporabimo predvsem za ocenjevanje raznih zgornjih mej. Tako, denimo, lahko želimo izraˇ cunati porazdelitveno funk- cijo vsote S= P n i=1 X i sluˇ cajnih spremenljivk, ki niso neodvisne. Ker problem ni enostavno rešljiv, smo vˇ casih zadovoljni, ˇ ce znamo izraˇ cunati zgornjo mejo za porazdelitevS, ki jo dobimo tako, da namesto originalnih sluˇ cajnih spremenljivk X 1 ,...,X n seštejemo komonotone sluˇ cajne spremenljivkeX c 1 ,...,X c n , za katere je X c i d =X i ,i=1,...,n. ZaS c = P n i=1 X c i namreˇ c veljaS cx S c (Dhaene et al., 2002b, str. 23, izrek 7), kar pomeni, da je S c bolj tvegana sluˇ cajna spremenljivka kot S. Veˇ cometodi, kijepodrobnejerazdelana zalogaritemskonormalnoporazdeljene sluˇ cajne spremenljivke, glej (Dhaene, Denuit, Goovaerts, Kaas & Vyncke, 2002a; Vanduffel, 2005; Vanduffel, Hoedemakers & Dhaene, 2005; Ahˇ can, 2005), za loga- ritemskoeliptiˇ cnoporazdeljenesluˇ cajnespremenljivkepa(Valdez,Dhaene,Maj& Vanduffel, 2009). Tu le omenimo, da je tovrstna velika uporabnost komonotonije posledica dejstva, da kvantilno funkcijo F −1 S c izraˇ cunamo precej enostavneje kot kvantilno funkcijoF −1 S . Velja namreˇ c naslednji izrek. 90 Izrek 5.3: Naj bodoX c 1 ,...,X c n komonotone sluˇ cajne spremenljivke s porazdelitve- nimifunkcijamiF X 1 ,...,F X n inS c = P n i=1 X c i . Linearnokombiniranokvantilnofunk- cijoF −1(β) S c (α),definiranozenaˇ cbo(4.2),zavsakα∈(0,1)inβ∈[0,1]izraˇ cunamo z enaˇ cbo F −1(β) S c (α)= n X i=1 F −1(β) X i (α). Dokaz: Glej (Dhaene et al., 2002b, str. 19, izrek 5).  Opomba5.1: KotnavajajoDhaene,Goovaerts,LundininVanduffel(2005, str. 15), nasprotno ne velja. Iz dejstva, da je F −1 S (α)= P n i=1 F −1 X i (α), ne sledi nujno, da so sluˇ cajne spremenljivkeX 1 ,...,X n komonotone.  KvantilnofunkcijoF −1 S c zizrekom5.3 zaβ=1izraˇ cunamokot vsotorobnihkvan- tilnih funkcij F −1 X 1 ,...,F −1 X n , kar je bistveno preprosteje kot raˇ cunanje porazdelit- vene funkcijeF S in pripadajoˇ ce kvantilne funkcijeF −1 S . ˇ Ce želimo, lahko porazde- litveno funkcijo F S c izraˇ cunamo z obratom F −1 S c , kar pa veˇ ckrat niti ni potrebno, denimo takrat, ko nas zanima le tvegana vrednost VaR α (S c ). 5.5 Kopule 5.5.1 Definicija kopule Vrazdelku4.3.5smoprimerjalidvorazsežnesluˇ cajnevektorje(X,Y)izFrécheto- vega prostoraR 2 (F X ,F Y ). Sluˇ cajni vektorji iz tega prostora imajo enako porazde- ljeneistoležne komponente, njihovedvorazsežne porazdelitvene funkcije pa so v splošnem razliˇ cne. Analogno velja za n-razsežne sluˇ cajne vektorje, ki pripadajo istemun-razsežnemu Fréchetovemu prostoru R n (F X 1 ,...,F X n )={(X 1 ,...,X n ):P(X i ≤x)=F X i (x),i=1,...,n}. Naj boU∼U[0,1]. ˇ Ce jeF X 1 =···=F X n =F U , so porazdelitvene funkcije sluˇ caj- nih vektorjev izR n (F U ,...,F U ) tako pomembne,da so dobile posebno ime. Definicija5.4: FunkcijaC: [0,1] n →[0,1] jen-razsežna kopula,ˇ ce je veˇ crazsežna porazdelitvena funkcija n sluˇ cajnih spremenljivk, ki so enakomerno porazdeljene na intervalu[0,1]. Nekaterelastnostikopulsorazvidne izspodnjedefinicije, povzete po(Ibragimov, 2005, str. 17), ki je ekvivalentna definiciji 5.4. Definicija 5.5: FunkcijaC: [0,1] n →[0,1] jen-razsežna kopula,ˇ ce izpolnjuje nas- lednje pogoje: 91 1. C(u 1 ,...,u n ) je narašˇ cajoˇ ca funkcija spremenljivkeu i ,i=1,...,n. 2. C(u 1 ,...,u k−1 ,0,u k+1 ,...,u n )=0 za vseu i ∈[0,1],i6=k,k=0,1,...,n. 3. C(1,...,1,u i ,1,...,1)=u i za vsaku i ∈[0,1],i=1,...,n. 4. Za vse(a 1 ,...,a n ),(b 1 ,...,b n )∈[0,1] n , za katere jea i ≤b i ,i=1,...,n, je 2 X i 1 =1 ··· 2 X i n =1 (−1) i 1 +···+i n C(x 1i 1 ,...,x ni n ) ≥ 0, kjer jex k1 =a k inx k2 =b k za vsakk∈{1,...,n}. Zaradi omejitve definicijskega obmoˇ cja funkcije C na n-razsežno enotno kocko vrednosti 0 in 1 opravljata analogni vlogi kot−∞ in∞ pri splošni porazdelitveni funkciji F X (x 1 ,...,x n ) sluˇ cajnega vektorja X=(X 1 ,...,X n ). Prvi pogoj v defini- ciji 5.5 je potreben za vsako veˇ crazsežno porazdelitveno funkcijo. Drugi pogoj je analogija pogoja lim x i →−∞ F X (x 1 ,...,x n )=0 za splošne n-razsežne porazde- litvene funkcije. Tretji pogoj zagotavlja, da so robne porazdelitvene funkcije enake F U za U ∼ U[0,1]. Pomen ˇ cetrtega pogoja pa ni tako oˇ citen. Zagotav- lja nam, da je P(a 1 ≤U 1 ≤b 1 ,...,a n ≤U n ≤b n )≥0 za vsak n-razsežen kvader [a 1 ,b 1 ]×···×[a n ,b n ]. Najbon>2 inU=(U 1 ,...,U n )sluˇ cajnivektor, katerega porazdelitvena funkcija je kopula C(u 1 ,...,u n ). Izberimo k, 2≤k≤n−1, komponent sluˇ cajnega vek- torja U, preostalih n−k pa zbrišimo. Porazdelitvena funkcija tako dobljenega sluˇ cajnega vektorja jek-razsežna robna kopula kopuleC, ki jo dobimo tako, da v C(u 1 ,...,u n )spremenljivke, kisenanašajonan−kzbrisanihkomponent,zame- njamo z 1. Definicija 5.6: Kopula C: [0,1] n → [0,1] je absolutno zvezna, ˇ ce ima gostoto ver- jetnosti. ˇ Ce je kopula ustrezno parcialno odvedljiva, je njena gostota verjetnosti c(u 1 ,...,u n )= ∂ n C(u 1 ,...,u n ) ∂u 1 ···∂u n . Definicija5.7: Zan-razsežnikopuliC 1 inC 2 bomorekli,dajeC 1 manjšaodC 2 ,kar bomo oznaˇ cili sC 1 C 2 , ˇ ce jeC 1 (u 1 ,...,u n )≤C 2 (u 1 ,...,u n ) za vseu 1 ,...,u n ∈ [0,1]. Množica vseh n-razsežnih kopul je z relacijo "" le delno urejena, saj poljubni dve kopuli nista primerljivi. Obstajajo pa družine kopul, ki so s to urejenostjo, imenovano konkordanˇ cna urejenost, popolnoma urejene. Izrek 5.4: Za vsakon-razsežno kopuloC velja neenaˇ cba W n (u 1 ,...,u n )≤C(u 1 ,...,u n )≤M n (u 1 ,...,u n ), 92 kjer sta t. i. Fréchet-Hoeffdingova spodnja in zgornja meja enaki W n (u 1 ,...,u n )= max{u 1 +···+u n −n+1,0}, M n (u 1 ,...,u n )= min{u 1 ,...,u n }. Dokaz: Glej (Nelsen, 2006, str. 47, izrek 2.10.12 v povezavi z definicijo 2.10.6 na str. 45 in izrekom 2.10.11 na str. 47).  M n je kopula za vsak n≥2, medtem ko je W n kopula le za n=2 (McNeil et al., 2005,str. 200,primer5.21). Kljubtemupapredstavljanajboljšomogoˇ cospodnjo mejo. Za vsak n≥3 in za vsak vektor (u 1 ,...,u n )∈ [0,1] n sicer obstaja taka kopulaC,dajeC(u 1 ,...,u n )=W n (u 1 ,...,u n ),vendarjeodvisnaod(u 1 ,...,u n ) (Nelsen, 2006, str. 48, izrek 2.10.13). 5.5.2 Lastnostikopul MalopodrobnejesioglejmokopuliW 2 inM 2 . Iznjunedefinicijelahkougotovimo, da nista absolutno zvezni. Gostota verjetnosti kopule W 2 je enakomerno razma- zana na diagonali u 2 =1−u 1 enotnega kvadrata, gostota verjetnosti kopule M 2 pa na diagonali u 2 =u 1 . Kopula W 2 je porazdelitvena funkcija sluˇ cajnega vek- torja (U,1−U), kjer je U ∼ U[0,1], in povezuje nasprotno monotone sluˇ cajne spremenljivke. Kopula M 2 je porazdelitvena funkcija sluˇ cajnega vektorja (U,U) inpovezuje komonotonesluˇ cajne spremenljivke. Tudizan>2 jeM n porazdelit- vena funkcija n-razsežnega sluˇ cajnega vektorja (U,...,U), povezuje pa sluˇ cajne spremenljivke, ki so komonotone v smislu definicije 5.3. Oglejmo si še nekaj lastnosti kopul, priˇ cemer se bomo omejili le na dvorazsežne kopule. Izrek 5.5: Za vsako kopuloC(u 1 ,u 2 ) velja: 1. Zapoljubneu 1 ,u 2 ,v 1 ,v 2 ∈[0,1]je|C(u 1 ,u 2 )−C(v 1 ,v 2 )|≤|u 1 −v 1 |+|u 2 − v 2 |, zato jeC(u 1 ,u 2 ) enakomerno zvezna funkcija. 2. Horizontalni presek C(t,u 0 ) je narašˇ cajoˇ ca in enakomerno zvezna funkcija iz[0,1] v[0,1] za vsaku 0 ∈[0,1]. 3. Vertikalni presek C(u 0 ,t) je narašˇ cajoˇ ca in enakomerno zvezna funkcija iz [0,1] v[0,1] za vsaku 0 ∈[0,1]. 4. Diagonalni presek C(t,t) je narašˇ cajoˇ ca in enakomerno zvezna funkcija iz [0,1] v[0,1]. 5. Parcialni odvod ∂ ∂u 1 C(u 1 ,u 2 ), ˇ ce obstaja, je za vsak u 2 ∈ [0,1] narašˇ ca- joˇ ca funkcija spremenljivke u 1 , ki je definirana skoraj povsod na [0,1]. Za u 1 ,u 2 ∈[0,1], za katera je definirana, je 0≤ ∂ ∂u 1 C(u 1 ,u 2 )≤1. 93 6. Parcialni odvod ∂ ∂u 2 C(u 1 ,u 2 ), ˇ ce obstaja, je za vsak u 1 ∈ [0,1] narašˇ ca- joˇ ca funkcija spremenljivke u 2 , ki je definirana skoraj povsod na [0,1]. Za u 1 ,u 2 ∈[0,1], za katera je definirana, je 0≤ ∂ ∂u 2 C(u 1 ,u 2 )≤1. Dokaz: Glej (Nelsen, 2006, str. 11, izrek 2.2.4, str. 12, posledica 2.2.6, in str. 13, izrek 2.2.7).  Iz zadnjih dveh toˇ ck izreka 5.5 sledi, da parcialni odvod ∂ 2 ∂u 1 ∂u 2 C(u 1 ,u 2 ) obstaja skoraj povsod na [0,1] 2 , seveda pa za absolutno zvezne kopule obstaja za vsak urejenipar(u 1 ,u 2 )∈[0,1] 2 . 5.5.3 Sklarov izrek Pojem kopula je znan iz slovnice, kar je bil povod za uporabo istega pojma v matematiki(glejSklar, 1996, str. 5),kjerkopulepovezujejo veˇ crazsežneporazde- litvene funkcije z njihovimi robnimi porazdelitvenimi funkcijami, kot je razvidno iz naslednjega izjemno pomembnega izreka. Izrek 5.6: (Sklar, 1959) Naj bodoX 1 ,...,X n sluˇ cajne spremenljivke s porazdelitve- nimifunkcijamiF X 1 (x 1 ),...,F X n (x n )inskupnon-razsežnoporazdelitvenofunkcijo F X 1 ,...,X n (x 1 ,...,x n ). Potemobstajatakan-razsežnakopulaC X 1 ,...,X n (u 1 ,...,u n ),da je F X 1 ,...,X n (x 1 ,...,x n )=C X 1 ,...,X n (F X 1 (x 1 ),...,F X n (x n )) (5.5) za vsak x i ∈ R, i = 1,...,n. ˇ Ce so vse porazdelitvene funkcije F X i (x i ) zvezne, potem je taka kopula ena sama, izraˇ cunamo pa jo z enaˇ cbo C(u 1 ,...,u n )=F X 1 ,...,X n (F −1 X 1 (u 1 ),...,F −1 X n (u n )). (5.6) Velja tudi nasprotno. ˇ Ce je C X 1 ,...,X n (u 1 ,...,u n ) kopula in so F X 1 (x 1 ),...,F X n (x n ) porazdelitvene funkcije, potem je funkcija F X 1 ,...,X n (x 1 ,...,x n ), ki je definirana z enaˇ cbo (5.5),n-razsežnaporazdelitvenafunkcija zrobnimi porazdelitvenimifunk- cijamiF X 1 (x 1 ),...,F X n (x n ). Dokaz: Glej (Nelsen, 2006, str. 46, izrek 2.10.9, in str. 47, posledica 2.10.10, ter Sklar, 1996, str. 7).  Porazdelitvena funkcija sluˇ cajnega vektorja (X 1 ,...,X n ) z neodvisnimi kompo- nentami je enaka produktu robnih porazdelitvenih funkcij. Iz Sklarovega izreka sledi,da jihpovezuje t. i. kopulaneodvisnostiΠ n =u 1 u 2 ···u n ,kiimana[0,1] n gostotoverjetnostikonstantno1. ˇ Cesosluˇ cajnespremenljivkeX 1 ,...,X n zvezne, 94 je po Sklarovem izreku to edina taka kopula, sicer pa jih je lahko tudi veˇ c (glej npr. Genest & Nešlehová, 2007, str. 488, primer 5). Naslikah5.1,5.2in5.3soprikazane kopuleΠ 2 ,W 2 inM 2 ,naslikah5.4,5.5in5.6 panjihovenivojnice. Zaraditretjegapogojavdefiniciji5.5lahkovrednostikopule na posameznih nivojnicah preberemo na desnem robu slike. Slika 5.1: KopulaΠ 2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 u 1 u 2 Verjetnost Slika 5.2: KopulaW 2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 u 1 u 2 Verjetnost Slika 5.3: KopulaM 2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 u 1 u 2 Verjetnost Slika 5.4: Nivojnice kopuleΠ 2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 Slika 5.5: Nivojnice kopuleW 2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 Slika 5.6: Nivojnice kopuleM 2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 Naj bo kopula C, ki z enaˇ cbo (5.5) povezuje F X 1 ,...,X n z njenimi zveznimi robnimi porazdelitvenimifunkcijamiF X 1 ,...,F X n ,absolutnozvezna. Potemgostotoverjet- nosti f X 1 ,...,X n (x 1 ,...,x n )= ∂ n ∂x 1 ···∂x n F X 1 ,...,X n (x 1 ,...,x n ) z robnimi gostotami ver- jetnostif X 1 (x 1 )=F ′ X 1 (x 1 ),...,f X n (x n )=F ′ X n (x n ) povezuje enaˇ cba f X 1 ,...,X n (x 1 ,...,x n )=c(F X 1 (x 1 ),...,F X n (x n )) n Y i=1 f X i (x i ), (5.7) kjer je c(u 1 ,...,u n )= ∂ n ∂u 1 ···∂u n C(u 1 ,...,u n ) gostota verjetnosti kopule C. To pomeni, da odvisnost med sluˇ cajnimi spremenljivkami X 1 ,...,X n dejansko do- loˇ ca gostota verjetnosti c(u 1 ,...,u n ), ki lokalno spreminja gostoto verjetnosti Π n i=1 f X i (x i ), kakršna bi bila, ˇ ce bi bile sluˇ cajne spremenljivke X 1 ,...,X n neod- visne. 95 V porazdelitveni funkciji F X 1 ,...,X n (x 1 ,...,x n ) so zajete vse lastnosti sluˇ cajnega vektorja (X 1 ,...,X n ), tako posameznih komponent X 1 ,...,X n kot tudi struktura odvisnosti med njimi. Sklarov izrek omogoˇ ca, da brez izgube informacij loˇ ceno obravnavamo posamezne komponente sluˇ cajnega vektorja (robne porazdelitvene funkcije) in strukturo odvisnosti med njimi (kopulo). To se odraža tudi v dejstvu, da staza poljubnirazliˇ cni komponetniX i inX j sluˇ cajnegavektorja(X 1 ,...,X n )z zveznimi komponentami, ki jih povezuje kopula C, Spearmanov korelacijski ko- eficient ranga ρ S (X i ,X j ) in Kendallov τ(X i ,X j ) odvisna le od kopule C. Še veˇ c. Odvisna sta le od dvorazsežne robne kopule C ij (u i ,u j ), ki jo dobimo tako, da v C(u 1 ,...,u n ) vse u k , k6= i in k6= j, postavimo na 1. Spearmanov korelacijski koeficient ranga izraˇ cunamo z enaˇ cbo ρ S (X i ,X j )=12 Z 1 0 Z 1 0 u i u j dC ij (u i ,u j )−3 =12 Z 1 0 Z 1 0 C ij (u i ,u j )du i du j −3 (glej Nelsen, 2006, str. 167, izrek 5.1.6), kjer v prvem integralu integriramo po meri,kijonakvadratu[0,1] 2 generirakopulaC ij . Kendallovτ(X i ,X j )izraˇ cunamo z enaˇ cbama τ(X i ,X j )=4 Z 1 0 Z 1 0 C ij (u i ,u j )dC ij (u i ,u j )−1, Z 1 0 Z 1 0 C ij (u i ,u j )dC ij (u i ,u j )= 1 2 − Z 1 0 Z 1 0 ∂C ij (u i ,u j ) ∂u i ∂C ij (u i ,u j ) ∂u j du i du j (glej Nelsen, 2006, str. 161, izrek 5.1.3, in str. 164, izrek 5.1.5). Pearsonov korelacijski koeficient ρ(X i ,X j ), za katerega smo že v razdelku 5.1 navedli, da ima kar nekaj pomanjkljivosti, pa ni odvisen le od kopuleC ij , ampak tudi od robnih porazdelitvenih funkcijF X i inF X j . Najbon>2,X=(X 1 ,...,X n )∈R n (F X 1 ,...,F X n )inC kopula,kizenaˇ cbo(5.5)po- vezuje porazdelitveno funkcijoF X 1 ,...,X n z njenimi robnimi porazdelitvenimi funk- cijami. Izberimo k, 2≤k≤n−1, komponent sluˇ cajnega vektorja X, preostalih n−k pa zbrišimo. Porazdelitveno funkcijo tako dobljenega sluˇ cajnega vektorja z njenimi robnimi porazdelitvenimi funkcijami z enaˇ cbo (5.5) povezujek-razsežna robnakopula kopuleC,kijodobimotako, da vC(u 1 ,...,u n )spremenljivke,kise nanašajo nan−k zbrisanih komponent, zamenjamo z 1. Definicija 5.8: Sluˇ cajni spremenljivkiX inY sta istega tipa,ˇ ce obstajata konstanti a>0inb,dajeY d =aX+b. Topomeni,dajeF Y (x)=F X x−b a  inF X (x)=F Y (ax+ b). 96 Primer 5.2: Naj bo X ∼ N(µ X ,σ 2 X ) in Y ∼ N(µ Y ,σ 2 Y ) ter σ X ,σ Y >0. Naj bo Z=aX+b za a>0. Potem je F Z (x)=F X x−b a  =Φ x−aµ X −b aσ X  , kar pomeni, da je Z∼ N(aµ X +b,(aσ X ) 2 ). ˇ Ce izberemo a= σ Y σ X in b=µ Y − σ Y σ X µ X , je Y d = Z, kar pomeni, da staX inY istega tipa.  Izrek 5.7: Naj bo (X,Y)∈ R 2 (F X ,F Y ) sluˇ cajni vektor z neznano strukturo odvis- nosti. Naj bo 0<σ X ,σ Y <∞. Potem je množica vseh mogoˇ cih linearnih korelacij- skihkoeficientovρ(X,Y)interval[ρ min ,ρ max ], kjerjeρ min <0<ρ max . Korelacij- ski koeficient ρ min dosežemo natanko takrat, ko sta X in Y nasprotno monotoni, ρ max pa natanko takrat, ko sta X in Y komonotoni sluˇ cajni spremenljivki. Spod- njo mejo ρ min = −1 dosežemo natanko takrat, ko sta sluˇ cajni spremenljivki X in −Y istega tipa. Zgornjo mejo ρ max =1 dosežemo natanko takrat, ko sta sluˇ cajni spremenljivkiX inY istega tipa. Dokaz: Glej (McNeil et al., 2005, str. 204, izrek 5.25).  Primer5.3: (Embrechtsetal.,1999,str. 240)NajboX∼LN(0,1)terY∼LN(0,σ 2 ), σ >0. ˇ Ceprav sta logaritma sluˇ cajnih spremenljivk X in Y istega tipa, X in Y nista. Za Z=aX+b porazdelitvene funkcije F Z (x)=F X x−b a  =Φ log x−b a  z izbiro konstant a>0 in b ne moremo izenaˇ citi s F Y (x)=Φ logx σ  =Φ log x 1 σ  , ˇ ce jeσ6=1. Naj bo U∼ N(0,1). Nasprotno monotonima sluˇ cajnima spremenljivkama X in Y (oziroma komonotonimaX in−Y) pripadaρ min =ρ(e U ,e −σU )= e −σ −1 √ (e−1)(e σ 2 −1) , ko- monotonima pa ρ max =ρ(e U ,e σU )= e σ −1 √ (e−1)(e σ 2 −1) . ˇ Ce jeσ=1, sta sluˇ cajni spre- menljivki X in Y enako porazdeljeni, torej sta tudi istega tipa, zato je ρ max =1, vendar pa je ρ min = −e −1 . Možnosti, da bi dosegli ρ min = −1, ni, saj sluˇ cajna spremenljivka−Y, ki v tem primeru lahko zavzame le negativne vrednosti, ne more biti enako porazdeljena kotaX+b,a>0. Ker je lim σ→∞ ρ min =0 in lim σ→∞ ρ max =0, se interval [ρ min ,ρ max ] s poveˇ ceva- njem σ približuje toˇ cki 0. Konvergenca je zelo hitra. Dolžina intervala je za σ=4,2 že manjša od 0,01.  Primer5.3jepouˇ cen. Splošnoznanodejstvo, daiznekoreliranostisluˇ cajnihspre- menljivk ne sledi njuna neodvisnost, še dodatno poudari. Tudi ˇ ce je linearni ko- relacijski koeficient poljubno blizu niˇ cle, med ustreznima sluˇ cajnima spremen- ljivkama lahko obstaja najveˇ cja stopnja odvisnosti – komonotonost. Še pomemb- nejše pa je spoznanje, da naloga, kako iz znanih robnih porazdelitvenih funkcij in predpisane korelacijske matrike doloˇ citi veˇ crazsežno porazdelitveno funkcijo, 97 ni vedno rešljiva. V okolju eliptiˇ cno porazdeljenih veˇ crazsežnih sluˇ cajnih vektor- jev ima omenjena naloga natanko eno rešitev. Kot je razvidno iz primera 5.3, pa rešitev ne obstaja vedno. Mogoˇ ce je tudi, da je rešitev veˇ c (glej Embrechts et al., 1999, str. 239, primer 1), oziroma celo neskonˇ cno, kot navajajo Embrechts et al. (1999, str. 3). ˇ Ceprav smo mero konkordance že definirali, zaradi naravne vloge kopul pri mer- jenju odvisnosti navedimo še prvotno definicijo (glej Scarsini, 1984, str. 205), prirejeno po (Lindskog, 2000, str. 15). Definicija 5.9: Naj bo κ neka numeriˇ cna mera odvisnosti med zveznima sluˇ caj- nimaspremenljivkamaX inY,povezanimaskopuloC,karbomooznaˇ cevalisκ X,Y oziromasκ C . κ je mera konkordance,ˇ ce izpolnjuje naslednje pogoje: 1. κ je definirana za vsak par zveznih sluˇ cajnih spremenljivkX inY. 2. −1≤κ X,Y ≤1,κ X,X =1 inκ X,−X = −1. 3. κ X,Y =κ Y,X . 4. ˇ Ce staX inY neodvisni sluˇ cajni spremenljivki, potem jeκ X,Y =κ Π 2=0. 5. κ −X,Y =κ X,−Y = −κ X,Y . 6. ˇ Ce staC 1 inC 2 kopuli ter jeC 1 C 2 , potem jeκ C 1 ≤κ C 2 . 7. Najbo{(X n ,Y n )}zaporedjeparovzveznihsluˇ cajnihspremenljivk,povezanih s kopulamiC n . ˇ Ce zaporedje{C n } po toˇ ckah konvergirah kopuliC, potem je lim n→∞ κ C n =κ C . Opomba5.2: Definicija5.9zahtevazveznostsluˇ cajnihspremenljivk,definicija5.1 pa je njena posplošitev, ki zveznosti ne zahteva. Zato zanjo tudi sedma zahteva definicije 5.9 ni smiselna.  Izrek 5.8: Naj bosta X in Y zvezni sluˇ cajni spremenljivki, povezani s kopulo C. PotemstaSpearmanov korelacijskikoeficient rangaρ S (X,Y) in Kendallovτ(X,Y) meri konkordance v smislu definicije 5.9. Dokaz: Glej (Lindskog, 2000, str. 15, izrek 3.6).  Izrek 5.9: Naj bosta X in Y zvezni sluˇ cajni spremenljivki, povezani s kopulo C. Potem za Spearmanov korelacijski koeficient rangaρ S (X,Y) in Kendallovτ(X,Y) velja −1≤3τ(X,Y)−2ρ S (X,Y)≤1, 1+ρ S (X,Y) 2 ≥  1+τ(X,Y) 2  2 , 1−ρ S (X,Y) 2 ≥  1−τ(X,Y) 2  2 . 98 Dokaz: Glej (Nelsen, 2006, str. 175, izrek 5.1.10, in str. 176, izrek 5.1.11).  Skopulamilahkopovezujemotudiveˇ crazsežnediskretneporazdelitvenefunkcije z njihovimi robnimi diskretnimi porazdelitvenimi funkcijami, vendar pa nam v takemprimeruSklarovizreknezagotavlja enoliˇ cnostikopule. Iztegalahkoizvira kar nekaj težav, ki jih s primeri navajata Genest in Nešlehová (2007). 5.5.4 Konstruiranjekopul V zelo redkih primerih lahko kopulo enostavno izlušˇ cimo iz veˇ crazsežne poraz- delitvene funkcije inustreznihrobnihporazdelitvenih funkcij. Takprimerjedvo- razsežna Paretova kopula, ki si jo bomo ogledali v naslednjem primeru. Primer 5.4: (Nadaljevanje primera 5.1 na strani 83) Enaˇ cbo (5.1) iz primera 5.1 preoblikujmo v P(X >x,Y >y)= λ λ+x+y ! α =  1+ x λ  +  1+ y λ  −1  −α , nato pa jo zaradi enaˇ cbe 1−F X (x)=  λ λ+x  α =  1+ x λ  −α in analogne enaˇ cbe za drugo spremenljivko zapišimo kot P(X >x,Y >y)=  (1−F X (x)) − 1 α +(1−F Y (y)) − 1 α −1  −α . Desno stran vstavimo v enaˇ cbo (5.2), ki jo za malenkost preuredimo. Dobimo enaˇ cbo F X,Y (x,y)=F X (x)+F Y (y)−1+  (1−F X (x)) − 1 α +(1−F Y (y)) − 1 α −1  −α , ki je za robni porazdelitveni funkciji iz primera 5.1 na strani 83 ekvivalentna enaˇ cbi (5.3), sicer pa je veliko bolj splošna. ˇ Ce spreminjamo robni porazdelitveni funkciji F X (x) in F Y (y) na desni strani, se spreminja tudi dvorazsežna porazde- litvena funkcija na levi strani. Zgornjoenaˇ cbo lahko zapišemo kotF X,Y (x,y)=C Pa α (F X (x),F Y (y)), kjer je C Pa α (u 1 ,u 2 )=u 1 +u 2 −1+  (1−u 1 ) − 1 α +(1−u 2 ) − 1 α −1  −α (5.8) dvorazsežna Paretova kopula. Kopulo z izhodišˇ cno dvorazsežno Paretovo poraz- delitvijo veže le še ime in pogojα>0.  ˇ Ce na poljubno kopulo C(u 1 ,u 2 ) gledamo kot na dvorazsežno porazdelitveno funkcijo, potem ji pripada dvorazsežna funkcija preživetja, ki jo izraˇ cunamo z 99 enaˇ cbo(5.3). Upoštevajmo, da sta robniporazdelitveni funkciji enakiu 1 inu 2 , pa dobimo funkcijo preživetja C(u 1 ,u 2 )=1−u 1 −u 2 +C(u 1 ,u 2 ), ki pa ni kopula. Oglejmo si še funkcijo ˆ C(u 1 ,u 2 )=C(1−u 1 ,1−u 2 )+u 1 +u 2 −1, za katero je ˆ C(1−u 1 ,1−u 2 )=C(u 1 ,u 2 )−u 1 −u 2 +1=C(u 1 ,u 2 )=P(U 1 >u 1 ,U 2 >u 2 ). Hitro se lahko prepriˇ camo, da ˆ C izpolnjuje vse pogoje iz definicije 5.5 za kopulo, kar sledi iz izpolnjenosti istih pogojev za kopuloC in prve toˇ cke izreka 5.5. Zato je smiselna naslednja definicija. Definicija 5.10: Za dano dvorazsežno kopuloC se kopula ˆ C, definirana z enaˇ cbo ˆ C(u 1 ,u 2 )=C(1−u 1 ,1−u 2 )+u 1 +u 2 −1, imenuje kopuliC pripadajoˇ ca kopula preživetja. Pripadnost kopule preživetja ˆ C kopuli C je simetriˇ cna relacija, saj je kopula C kopula preživetja, ki pripada kopuli ˆ C. Simetrija se kaže tudi v tem, da z upošte- vanjem enaˇ cbe (5.5) iz Sklarovega izreka in enaˇ cbe (5.3) dobimo ˆ C(F X (x),F Y (y))=C(1−F X (x),1−F Y (y))+F X (x)+F Y (y)−1 =C(F X (x),F Y (y))−F X (x)−F Y (y)+1 =F X,Y (x,y)−F X (x)−F Y (y)+1 =F X,Y (x,y). Iz zgornje enaˇ cbe vidimo, da kopula preživetja ˆ C povezuje dvorazsežno funkcijo preživetja in robni funkciji preživetja, tako kot kopula C povezuje dvorazsežno porazdelitveno funkcijo inrobniporazdelitveni funkciji. To ugotovitevse da pos- plošiti tudi na veˇ c razsežnosti. Kot navajajo McNeil et al. (2005, str. 195), obstaja enaˇ cbi (5.5) analogna enaˇ cba F X 1 ,...,X n (x 1 ,...,x n )= ˆ C X 1 ,...,X n (F X 1 (x 1 ),...,F X n (x n )), ki s kopulo preživetja ˆ C X 1 ,...,X n povezujen-razsežno funkcijo preživetja F X 1 ,...,X n (x 1 ,...,x n )=P(X 1 >x 1 ,...,X n >x n ) in robne funkcije preživetjaF x 1 ,...,F X n . ˇ Cena dano kopuloC gledamo kot naporazdelitveno funkcijo sluˇ cajnega vektorja (U 1 ,...,U n ), potem je kopuli C pripadajoˇ ca kopula preživetja ˆ C porazdelitvena 100 funkcija sluˇ cajnega vektorja(1−U 1 ,...,1−U n ). Primer 5.5: Ni nujno, da se kopula ˆ C razlikuje od C. Tako je, denimo, ˆ M 2 =M 2 , ˆ W 2 =W 2 in ˆ Π 2 =Π 2 . Paretovi kopuli C Pa α , definirani z enaˇ cbo (5.8), pripada Pa- retova kopula preživetja ˆ C Pa α (u 1 ,u 2 )=  u − 1 α 1 +u − 1 α 2 −1  −α , ki se od kopule C Pa α razlikuje. Ker parameter α>0 lahko spreminjamo, govorimo kar o družini Pare- tovih kopul in pripadajoˇ ci družini Paretovih kopul preživetja.  Nasluˇ cajnivektor(X 1 ,...,X n )lahkogledamozzornegakotanjegoveveˇ crazsežne porazdelitvene funkcije oziroma njegovih robnih porazdelitvenih funkcij in pri- padajoˇ ce kopule C, lahko pa tudi z zornega kota njegove veˇ crazsežne funkcije preživetja oziroma njegovih robnih funkcij preživetja in pripadajoˇ ce kopule pre- živetja ˆ C,kisevsplošnemrazlikuje odC. Podrugistranipa lahkoz danokopulo C, v katero vstavimo porazdelitvene funkcijeF X 1 (x 1 ),...,F X n (x n ), sestavimo veˇ c- razsežnoporazdelitveno funkcijo,ˇ cepa vanjo vstavimo robnefunkcije preživetja F X 1 (x 1 ),...,F X n (x n ),sestavimoveˇ crazsežnofunkcijopreživetja,kisevsplošnem nanaša na drugoveˇ crazsežno porazdelitveno funkcijo. Za obe konstrukciji pa sta korelacijski matriki rangov enaki, prav tako tudi korelacijski matriki Kendallovih τ, saj sta odvisni le od kopuleC. Konstruiranjekopuls Sklarovimizrekom Kot smo videli v primeru 5.1 na strani 83, je konstruiranje dvorazsežne Paretove porazdelitvene funkcije enostavno, v splošnem pa ne vemo, ˇ ce je na podoben naˇ cin mogoˇ ce konstruirati dvorazsežno porazdelitveno funkcijo s predpisanima robnimaporazdelitvama, šemanjpa,kakojevveˇ ckotdvehrazsežnostih. Sklarov izrek pa omogoˇ ca prav to za vsak n≥2. Ker lahko izbiramo razliˇ cne kopule, lahko enostavno sestavljamo razliˇ cne veˇ crazsežne porazdelitve z istimi robnimi porazdelitvami. Seveda pa za tak postopek najprej potrebujemo ustrezen nabor kopul. S Sklarovim izrekom lahko enostavno konstruiramo tudi nove kopule. Vzamemo poljubno zvezno porazdelitveno funkcijo F X 1 ,...,X n (x 1 ,...,x n ) in strogo narašˇ ca- joˇ ce zvezne porazdelitvene funkcije F X i (x i ), i= 1,...,n, ter uporabimo enaˇ cbo (5.6). Tako je skonstruirana tudi izjemno pomembna normalna kopula. Izrek 5.10: Naj bodo Z 1 ,...,Z n sluˇ cajne spremenljivke s skupno n-razsežno stan- dardizirano normalno porazdelitveno funkcijo Φ n Σ (x 1 ,...,x n )= 1 p (2π) n |Σ| Z x 1 −∞ ··· Z x n −∞ e − 1 2 z t Σ −1 z dz 1 ···dz n , (5.9) 101 kjer jez=(z 1 ,...,z n ) t vektor stolpec,Σ pozitivno definitna korelacijskamatrika z elementiΣ ij =ρ(Z i ,Z j ),|Σ| pa njena determinanta. Potem je funkcija C Ga Σ (u 1 ,...,u n )=Φ n Σ (Φ −1 (u 1 ),...,Φ −1 (u n )) (5.10) kopula, imenovanan-razsežna normalna kopula. Za poljubno izbrane porazdelitvene funkcije F X 1 ,...,F X n imajo sluˇ cajne spremen- ljivkeX 1 =F −1 X 1 (Φ(Z 1 )),...,X n =F −1 X n (Φ(Z n )) skupno porazdelitveno funkcijo F X 1 ,...,X n (x 1 ,...,x n )=C Ga Σ (F −1 X 1 (Φ(Z 1 )),...,F −1 X n (Φ(Z n ))) z robnimi porazdelitvenimi funkcijamiF X 1 ,...,F X n . Spearmanove korelacijskekoeficienterangainKendalloveτ zai,j=1,...,n izra- ˇ cunamo z enaˇ cbama ρ S (X i ,X j )=ρ S (Z i ,Z j )= 6 π arcsin  1 2 ρ(Z i ,Z j )  , (5.11) τ(X i ,X j )= τ(Z i ,Z j )= 2 π arcsin(ρ(Z i ,Z j )). (5.12) Dokaz: Glej (Wang, 1998c, str. 890, izrek 2).  Opomba 5.3: V izreku 5.10 ni enaˇ cbe za ρ(X i ,X j ). ˇ Ce bi obstajala funkcijska zveza f(ρ(X i ,X j ),ρ(Z i ,Z j ),ρ S (Z i ,Z j ),τ(Z i ,Z j ))=0, bi jo zaradi enaˇ cb (5.11) in (5.12) lahko zapisali kot ˜ f(ρ(X i ,X j ),ρ(Z i ,Z j ))=0. Taka od robnih porazdelitve- nih funkcij neodvisna zveza bi za i6= j morala omogoˇ citi poljuben ρ(X i ,X j )∈ (−1,1), kar pa zaradi izreka 5.7 ni mogoˇ ce.  Zaradi Sklarovega izreka je porazdelitev sluˇ cajnega vektorja z zveznimi robnimi porazdelitvenimi funkcijaminatanko doloˇ cenaznjimiinkopulo,kipovezuje nje- gove komponente. Zato na robne porazdelitvene funkcije in kopulo, ki povezuje komponente sluˇ cajnega vektorja, lahko gledamo kot na njegove atribute. V taki vlogi je kopula invariantna na strogo narašˇ cajoˇ ce transformacije robnih porazde- litvenih funkcij. Izrek 5.11: Naj bo (X 1 ,...,X n ) sluˇ cajni vektor s komponentami, ki imajo zvezne porazdelitvene funkcije in jih povezuje kopula C. ˇ Ce so T 1 ,...,T n strogo narašˇ ca- joˇ ce funkcije, potem komponente sluˇ cajnega vektorja (T 1 (X 1 ),...,T n (X n )) pove- zuje kopulaC. Dokaz: Glej (McNeil et al., 2005, str. 188, trditev 5.6).  102 Primer 5.6: Naj bo µ ∈ R n in Σ pozitivno definitna kovarianˇ cna matrika z vek- torjem (σ 2 1 ,...,σ 2 n ) na diagonali. Sluˇ cajni vektor X∼ N n (µ, Σ) ima komponente X i ∼ N(µ i ,σ 2 i ), ki jih s funkcijami T i (x)= x−µ i σ i preslikajmo v sluˇ cajni vektor Z s komponentami Z i =T i (X i )= X i −µ i σ i ∼ N(0,1), i= 1,...,n. Za dobljeni sluˇ cajni vektor velja Z ∼ N n (0,P), kjer je P=D −1 ΣD −1 in D diagonalna matrika z vek- torjem (σ 1 ,...,σ n ) na diagonali. Matrika P z elementi P ij = Σ ij σ i σ j , kar so linearni korelacijskikoeficientiρ(X i ,X j ),i,j=1,...,n,jepozitivnodefinitnakorelacijska matrika. KersovsefunkcijeT i (x)strogonarašˇ cajoˇ ce,poizreku5.11komponente sluˇ cajnegavektorjaZpovezujeistakopulaC,kipovezujekomponentesluˇ cajnega vektorja X. ˇ Cebivizreku5.10nameston-razsežnestandardizirane normalneporazdelitvene funkcije vzeli n-razsežno normalno porazdelitveno funkcijo Φ n µ, Σ (x), definirano z enaˇ cbo (5.4), bi dobili kopulo, ki jo po istem izreku že dobimo s korelacijsko matriko P. Skratka, dobili ne bi niˇ c novega.  Normalna kopula je uporabna, ker je fleksibilna. Kot je razvidno iz izreka 5.10, dopušˇ ca poljubne robne porazdelitve in poljubno pozitivno definitno korelacij- sko matriko Σ, kar je pogoj za konsistentnost linearne korelacijske strukture in linearno neodvisnost sluˇ cajnih spremenljivk X 1 ,...,X n . Zaradi pomembnosti si normalno kopulo podrobneje oglejmo za n=2. V tem primeru je korelacijska matrikaΣdoloˇ cenažezelementomΣ 12 =Σ 21 =ρ,karbomoupoštevaliprioznaki in indeksΣ zamenjali zρ. Zahteva, da je matrikaΣ pozitivno definitna, je v tem primeru ekvivalentna zahtevi, da je|ρ|<1. Enaˇ cba (5.9) se poenostavi v Φ 2 ρ (x 1 ,x 2 )= 1 2π p 1−ρ 2 Z x 1 −∞ Z x 2 −∞ e − s 2 −2ρst+t 2 2(1−ρ 2 ) dsdt, enaˇ cba (5.10) pa vC Ga ρ (u 1 ,u 2 )=Φ 2 ρ (Φ −1 (u 1 ),Φ −1 (u 2 )), kar pa raje zapišimo kot C Ga ρ (u 1 ,u 2 )=Φ 2 ρ (ξ 1 ,ξ 2 ), ξ 1 =Φ −1 (u 1 ), ξ 2 =Φ −1 (u 2 ). Upoštevajmo, da iz ξ i =Φ −1 (u i ) oziroma u i =Φ(ξ i ) sledi du i dξ i =Φ ′ (ξ i )=φ(ξ i ) oziroma dξ i du i = 1 φ(ξ i ) = √ 2πe 1 2 ξ 2 i , i=1,2, in izraˇ cunajmo gostoto verjetnosti nor- malne kopule. Dobimo c Ga ρ (u 1 ,u 2 )= ∂ 2 C Ga ρ (u 1 ,u 2 ) ∂u 1 ∂u 2 = ∂ 2 Φ 2 ρ (ξ 1 ,ξ 2 ) ∂ξ 1 ∂ξ 2 1 φ(ξ 1 )φ(ξ 2 ) (5.13) 103 oziroma c Ga ρ (u 1 ,u 2 )= 1 p 1−ρ 2 e − ξ 2 1 −2ρξ 1 ξ 2 +ξ 2 2 2(1−ρ 2 ) e 1 2 (ξ 2 1 +ξ 2 2 ) = 1 p 1−ρ 2 e 2ρξ 1 ξ 2 −ρ 2 (ξ 2 1 +ξ 2 2 ) 2(1−ρ 2 ) , (5.14) kjer jeξ 1 =Φ −1 (u 1 ) inξ 2 =Φ −1 (u 2 ). Normalna kopula je absolutno zvezna kopula. ˇ Ce dopustimo tudi pozitivno se- midefinitne korelacijske matrike Σ, za n=2 dopustimo tudi skrajni vrednosti ρ=−1inρ=1,stempaizgubimoabsolutnozveznost. Vprvemprimerunamreˇ c dobimo kopulo W 2 , ki povezuje nasprotno monotone sluˇ cajne spremenljivke, v drugem pa kopulo M 2 , ki povezuje komonotone sluˇ cajne spremenljivke. Tako se sspreminjanjemlinearnegakorelacijskega koeficientaρ od−1do1lahkozvezno premikamo od ene skrajne oblike odvisnosti do druge, vmes pa zaρ=0 dobimo tudi kopulo neodvisnostiΠ 2 . Gostota verjetnosti dvorazsežne normalne kopule za nekaj korelacijskih koefici- entov je razvidna s slik 5.7, 5.8 in 5.9. Slika 5.7: Gostota verjetnosti kopuleC Ga 1/4 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 u 1 u 2 Gostota verjetnosti Slika 5.8: Gostota verjetnosti kopuleC Ga 1/2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0 1 2 3 4 u 1 u 2 Gostota verjetnosti Slika 5.9: Gostota verjetnosti kopuleC Ga 3/4 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0 2 4 6 u 1 u 2 Gostota verjetnosti Na analogen naˇ cin, kot je uporabljen v izreku 5.10, tudi za vsakon-razsežno Stu- dentovo porazdelitveno funkcijo lahko sestavimo kopulo. Tako, kot smo videli v primeru 5.6, tudi v tem primeru dobljena kopula ni odvisna od parametraµ . Od- visnajeleoddisperzijskematrikeΣoziromaodmatrikePzelementiP ij = Σ ij √ Σ ii Σjj , i,j=1,...,n (Embrechts et al., 2003, str. 26). ˇ Ce jeν >2, je P korelacijska mat- rika, sicer pa psevdokorelacijska matrika. V obeh primerih lahko vzamemoµ =0 in zn-razsežno Studentovo porazdelitveno funkcijo t n ν,P (x)= 1 p (νπ) n |P| Γ( ν+n 2 ) Γ( ν 2 ) Z x 1 −∞ ··· Z x n −∞ 1+ z t P −1 z ν ! − ν+n 2 dz 1 ···dz n 104 ter enorazsežnimi Studentovimi porazdelitvenimi funkcijami t ν (x)= 1 √ νπ Γ( ν+1 2 ) Γ( ν 2 ) Z x −∞ 1+ z 2 ν ! − ν+1 2 dz dobimon-razsežno Studentovo kopulo C t ν,P (u 1 ,...,u n )=t n ν,P (t −1 ν (u 1 ),...,t −1 ν (u n )). Tudi pri Studentovi kopuli bomo v posebnem primeru, ko je n=2, v oznaki ko- pule matriko P zamenjali zρ. Analogno kot pri normalni kopuli izraˇ cunajmo gostoto verjetnosti dvorazsežne Studentove kopuleC t ν,ρ . Dobimo c t ν,ρ (u 1 ,u 2 )= ∂ 2 C t ν,ρ (u 1 ,u 2 ) ∂u 1 ∂u 2 = ∂ 2 t 2 ν,ρ (ξ 1 ,ξ 2 ) ∂ξ 1 ∂ξ 2 1 t ′ ν (ξ 1 )t ′ ν (ξ 2 ) oziroma c t ν,ρ (u 1 ,u 2 )= Γ( ν+2 2 )Γ( ν 2 ) p 1−ρ 2 Γ( ν+1 2 ) 2 1+ ξ 2 1 −2ρξ 1 ξ 2 +ξ 2 2 ν(1−ρ 2 ) !" 1+ ξ 2 1 ν ! 1+ ξ 2 2 ν !# ν+1 2 , kjer jeξ 1 =t −1 ν (u 1 ) inξ 2 =t −1 ν (u 2 ). S Studentovo kopulo povezane sluˇ cajne spremenljivke za ν <∞ ne morejo biti neodvisne, tudi ˇ ce so nekorelirane (McNeil et al., 2005, str. 191 in str. 74, lema 3.5). Ko pa gre ν proti neskonˇ cnosti, Studentova kopula konvergira k normalni kopuli (Demarta & McNeil, 2005, str. 3). Gostota verjetnosti dvorazsežne Studentove kopule za nekaj korelacijskih koefi- cientov je razvidna s slik 5.10, 5.11 in 5.12. Slika 5.10: Gostota verjetnosti kopuleC t 1,1/4 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0 2 4 6 8 10 u 1 u 2 Gostota verjetnosti Slika 5.11: Gostota verjetnosti kopuleC t 1,1/2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0 5 10 15 u 1 u 2 Gostota verjetnosti Slika 5.12: Gostota verjetnosti kopuleC t 1,3/4 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0 5 10 15 20 u 1 u 2 Gostota verjetnosti 105 Arhimedskekopule V praksi konstruiranje kopul z enaˇ cbo (5.6) iz Sklarovega izreka, v kateri nasto- pajo inverzne porazdelitvene funkcije, ni ravno preprosto. Dobljeni izrazi za ko- pule so prezapleteni za nadaljno analitiˇ cno obravnavo. Zato je bilo razvitih veˇ c razliˇ cnihmetodzakonstruiranjekopul,kijihpodrobnoobravnava Nelsen(2006). Na kratko si oglejmo le konstruiranje dvorazsežnih arhimedskih kopul. Izrek5.12: Najboφ: [0,1]→[0,∞]zveznainstrogopadajoˇ cafunkcija,zakatero jeφ(1)=0, inφ [−1] :[0,∞]→[0,1] njena psevdoinverzna funkcija, definirana s φ [−1] (t)=      φ −1 (t) za 0≤t≤φ(0), 0 zaφ(0)≤t≤∞. FunkcijaC(u 1 ,u 2 )=φ [−1] (φ(u 1 )+φ(u 2 ))jekopulanatanko takrat,kojeφ kon- veksna. Dokaz: Glej (Nelsen, 2006, str. 111, izrek 4.1.4).  Z vsako zvezno in strogo padajoˇ co konveksno funkcijo φ: [0,1] → [0,∞], za katero jeφ(1)=0, lahko generiramo arhimedsko kopulo, zaradiˇ cesar funkcijiφ reˇ cemo generator arhimedskih kopul. ˇ Ce je φ(0)=∞, potem je φ [−1] =φ −1 , za generatorφ pa reˇ cemo,da jestrog. Kerjegeneratorjevneskonˇ cno,jetudiznanih arhimedskihdružinkopulveliko. Izseznama,kiganavajaNelsen(2006,str. 116), navedimo tri: • Claytonova kopulaC Cl θ (u 1 ,u 2 )= max{(u −θ 1 +u −θ 2 −1) −1/θ ,0},θ∈(−1,∞]\ {0}, ima generatorφ(t)= 1 θ (t −θ −1), ki je zaθ>0 strog. • FrankovakopulaC Fr θ (u 1 ,u 2 )=− 1 θ log(1+ (e −θu 1−1)(e −θu 2−1) e −θ −1 ),θ6=0,imastrog generatorφ(t)= −log e −θt −1 e −θ −1 . • Gumbelova kopula C Gu θ (u 1 ,u 2 )=e −((−logu 1 ) θ +(−logu 2 ) θ ) 1/θ , θ≥1, ima strog generatorφ(t)=(−logt) θ . Vˇ casih naletimo na razliˇ cne definicije. Tako, denimo, je Claytonova kopula v (Denuit et al., 2005, str. 205) definirana s C Cl θ (u 1 ,u 2 )=(u 1 −θ +u −θ 2 −1) −1/θ za θ>0,karjeekvivalentno ženavedenidefiniciji,ˇ ceseomejimonaθ>0. Istodru- žino kopul lahko sreˇ camo tudi pod razliˇ cnimi imeni. Tako se Cook-Johnsonova družinaC(u 1 ,u 2 )=(u 1 −1/θ +u −1/θ 2 −1) −θ ,θ>0,nerazlikujeodClaytonovedru- žine pri pogoju θ>0, le parameter θ moramo preslikati v 1 θ . Še veˇ c, Cook-John- sonovo družino kopul smo spoznali že v primeru 5.5 na strani 101 kot družino Paretovih kopul preživetja. 106 Naslikah 5.13,5.14 in5.15vidimo gostoteverjetnostiza Claytonovo,Frankovoin Gumbelovo kopulo. Slika 5.13: Gostota verjetnosti kopuleC Cl 3 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0 10 20 30 u 1 u 2 Gostota verjetnosti Slika 5.14: Gostota verjetnosti kopuleC Fr 5 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0 1 2 3 4 5 u 1 u 2 Gostota verjetnosti Slika 5.15: Gostota verjetnosti kopuleC Gu 2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0 5 10 u 1 u 2 Gostota verjetnosti Med arhimedske kopule sodi tudi kopula neodvisnostiΠ 2 , ki jo dobimo s strogim generatorjem φ(t)= −logt za t ∈ [0,1], prav tako kopula W 2 z generatorjem φ(t)=1−t zat∈[0,1], kopulaM 2 pa ni arhimedska. Navedimo še, kako za arhimedske kopule iz znanega generatorjaφ lahko izraˇ cu- namo Kendallovτ. Izrek5.13: NajkopulaC povezujekomponentisluˇ cajnegavektorja(X 1 ,X 2 )zzvez- nima robnima porazdelitvenima funkcijama. ˇ Ce je C arhimedska kopula, generi- rana s funkcijoφ, potem jeτ(X 1 ,X 2 )=1+4 R 1 0 φ ′ (t) φ(t) dt. Dokaz: Glej (Nelsen, 2006, str. 163, posledica 5.1.4).  Omenimo le še, da so arhimedske kopule dobile ime zato, ker imajo lastnost, ki spominjanalastnostrealnihštevil,zakateraveljaArhimedovaksiom,pokaterem za poljubni pozitivni realni števili ab. V podrobnosti, ki si jih lahko ogledamo v (Nelsen, 2006, str. 115 in 122), pa se tu ne bomo spušˇ cali. Prav tako le omenimo, da je mogoˇ ce generirati n- razsežne arhimedske kopule tudi zan>2. Veˇ c o tem najdemo npr. v (Denuit et al., 2005, str. 229) ali (Nelsen, 2006, str. 151). 5.5.5 Potrebni in zadostnipogoji za veˇ crazsežnoporazdelitveno funkcijoz danimi robnimiporazdelitvenimi funkcijami V tem razdelku sta navedena dva izreka, ki sta kljuˇ cnega pomena za znanstveni prispevek avtorja, objavljen v ˇ clanku (Komelj & Perman, 2010) in predstavljen v naslednjem razdelku. ˇ Ceprav se nanju ne bomo neposredno sklicevali, ju nava- jamo zato, ker sta temelj za rezultate iz omenjenega ˇ clanka. Doloˇ cata namreˇ c 107 potrebne in zadostne pogoje za absolutno zvezne veˇ crazsežne kopule in poraz- delitvenefunkcijezdanimirobnimiporazdelitvenimifunkcijami. Tojeomogoˇ cilo konstruiranjetakihnovihkopul,dazaustreznesluˇ cajnevektorjeveˇ crazsežneka- rakteristiˇ cne funkcije lahko razmeromaenostavno izraˇ cunamo iz robnihkarakte- ristiˇ cnih funkcij. Naj bodo X 1 ,...,X n sluˇ cajne spremenljivke, F X 1 ,...,F X n njihove porazdelitvene funkcijeinµ X 1 ,...,µ X n pripadajoˇ ceporazdelitve. Predpostavimo,daimaporazde- litvena funkcija sluˇ cajnega vektorja X=(X 1 ,...,X n ) gostoto verjetnosti g X glede na produktno meroΠ n i=1 µ X i v smislu, da je za vsako Borelovo množicoA⊂R n P(X∈A)= Z A g X (x 1 ,...,x n ) n Y i=1 µ X i (dx i ). Predpostavimo še, da ima sluˇ cajnivektor X gostoto verjetnostif X glede na Lebes- gueovo mero naR n . Izrek 5.14: (De la Peña et al., 2006) Naj bodo V 1 ,...,V n na [0,1] enakomerno porazdeljene neodvisne sluˇ cajne spremenljivke. Funkcija C: [0,1] n → [0,1] je absolutno zvezna n-razsežna kopula natanko takrat, ko obstajajo take funkcije ˜ g i 1 ,...,i c : R c → R, 1≤i 1 < ··· < i c ≤n, c = 2,...,n, ki izpolnjujejo naslednje pogoje: C1 (integrabilnost): Z 1 0 ··· Z 1 0 |˜ g i 1 ,...,i c (t i 1 ,...,t i c )|dt i 1 ···dt i c <∞, C2 (degeneriranost): E h ˜ g i 1 ,...,i c (V i 1 ,...,V i k−1 ,V i k ,V i k+1 ,...,V i c )|V i 1 ,...,V i k−1 ,V i k+1 ,...,V i c i = Z 1 0 ˜ g i 1 ,...,i c (V i 1 ,...,V i k−1 ,t i k ,V i k+1 ,...,V i c )dt i k =0 (a.s.), 1≤i 1 <···2 dobimo nove kopule, medtem ko zan=2 oziroma z enaˇ cbo (5.19) dobimo že znane dvorazsežne kopule, zapisane malo drugaˇ ce kot C(u,v)=uv+f(u)g(v). (5.20) Take kopule, kjer sta f in g absolutno zvezni funkciji, ki sta definirani na enot- nem intervalu in imata omejena odvoda, kjer obstajata, sta študirala Rodríguez- 111 Lallena in Úbeda-Flores (2004). Ugotovila sta, da je z enaˇ cbo (5.20) definirana funkcijaC(u,v)absolutnozveznakopula,ˇ cejef(0)=f(1)=g(0)=g(1)=0in min{αδ,βγ}≥ −1. Pri tem jeα= inf{f ′ (u) :u∈A}<0, β= sup{f ′ (u) :u∈ A}>0, kjer jeA={u∈[0,1] :f ′ (u) obstaja}, inγ= inf{g ′ (v):v∈B}<0 ter δ= sup{g ′ (v) : v∈B}>0, kjer jeB={v∈ [0,1] : g ′ (v) obstaja} (Rodríguez- Lallena & Úbeda-Flores, 2004, str. 317, izrek 2.3, in str. 318, posledica 2.4).  Interval[− 1 M a , 1 M b ] zaθ 12 je najširši dopustni interval zan=2, medtem ko so za n>2 intervali [− 1 M a ,0], [0, 1 M b ] in [− 1 M , 1 M ] najširši za nepozitivne, nenegativne in razliˇ cno predznaˇ cene konstante θ ij , 1≤i2, θ ij ∈[− 1 M , 1 M ] ali θ ij ∈[− 1 M a ,0] ali θ ij ∈[0, 1 M b ], 1≤i0 obstajajo take funkcije g i (t), i= 1,...,n, ki izpolnjujejo predpo- stavke izreka,da Spearmanovi korelacijskikoeficientiρ C (X i ,X j ), 1≤i0 pomeni pozitivno korelirani, θ ij <0 negativno korelirani inθ ij =0 nekorelirani sluˇ cajni spremenljivkiX i inX j .  Opomba 5.11: Zaradi enostavnosti smo v definiciji 5.12 za funkcije g 1 ,...,g n predpostavili zveznost. To lahko omilimo in zahtevamo le merljivost in omeje- nost skoraj povsod. V definicijah 5.12 ter 5.13 moramo min 0≤t≤1 g i (t) zame- njati z essinfg i = sup{c ∈ R : µ( {t ∈ [0,1] : g i (t)>c})=0}, max 0≤t≤1 g i (t) pa z esssupg i = inf{c∈R :µ( {t∈[0,1] :g i (t) 2 moramo vse meje pomnožiti z 2 n(n−1) . Naj bo X j ∼ Exp(λ j ) za j= 1,2,...,n. Ker je F˜ X j (x j )= (1−e −λ j x j ) 2 , σ j = 1 λ j in E[X j ]−E[ ˜ X j ]=− 1 2λ j , nam izrazi (5.22) do (5.25) po krajšem raˇ cunanju dajo f X (x 1 ,...,x n )= n Y j=1 λ j e −λ j x j   1+ X 1≤j 0, i= 1,...,n. V tem primeru je a i = p, b i = 1, c i = R 1 0 t(1−(p+ 1)t p )dt=− p 2(p+2) , G i (x)= x−x p+1 in h i (x)= x p+1 . Po izreku 5.16 in enaˇ cbi (5.17) dobimo modificirano FGM kopulo C(u 1 ,...,u n )= n Y i=1 u i   1+ X 1≤i2 mo- ramovsemejepomnožitiz 2 n(n−1) ,primeraθ ij ∈  − 2 n(n−1) max{1,p 2 } , 2 n(n−1) max{1,p 2 }  in θ ij ∈  0, 2 n(n−1)p  pa moramo obravnavati loˇ ceno, ker tu ni simetrije kot v pri- meru 5.7. Primer lahko posplošimo s predpostavko, da jeg i (t)= 1−(p i +1)t p i , p i > 0, i= 1,...,n, vendar pa se s tem navedena dejstva o spodnji in zgornji mejizaρ C (X 1 ,X 2 )nespremenijo. Kerje∆ F i (x i )=F X i (x i )−F˜ X i (x i )=F X i (x i )(1− (F X i (x i )) p )in∆ f i (x i )=f X i (x i )−f ˜ X i (x i )=f X i (x i )(1−(p+1)(F X i (x i )) p ),seizraza (5.22) in (5.24) zaf X (x 1 ,...,x n ) inF X (x 1 ,...,x n ) poenostavita v n Y i=1 f X i (x i )   1+ X 1≤i0 pa dobimo novo družino kopul C(u 1 ,...,u n )= n Y i=1 u i + 2p+1 4(p+1) ! 2 X 1≤i 0 obstaja tak p∈ N, da je ρ C (X 1 ,X 2 ) < − 3 4 +ǫ, ko je θ 12 =−1, in ρ C (X 1 ,X 2 ) > 3 4 −ǫ, ko je θ 12 = 1. Že za p=7 lahko izpolnimoneenaˇ cboρ C (X 1 ,X 2 )<−0,7oziromaρ C (X 1 ,X 2 )>0,7. Sevedamoramo zan > 2 vse meje pomnožiti z 2 n(n−1) , zaradi simetrije pa lahko obravnavamo le primer, ko jeθ ij ∈[− 2 n(n−1) , 2 n(n−1) ]. ˇ Ceprav je v tem primeru izraz (5.23) še bolj zapleten kot v prejšnjem primeru, pa ga lahko brez veˇ cjih težav uporabimo za numeriˇ cni izraˇ cun. Tuditokratprimerlahkoposplošimospredpostavkog i (t)=(1−2t) 1 2p i +1 ,p i ∈N, i=1,...,n.  Primer 5.10: (Nadaljevanje primerov 5.7, 5.8 in 5.9) Za n=2 gostote verjetnosti FGM kopule za θ 12 = 4 5 , modificirane FGM kopule za p=2 in θ 12 = 2 5 ter nove kopule iz primera 5.9 za p=3 in θ 12 = 3 5 vidimo na slikah 5.16, 5.17 in 5.18, pripadajoˇ ce nivojnice pa na slikah 5.19, 5.20 in 5.21. Slika 5.16: Gostota verjetnosti kopule iz primera 5.7 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,0 0,5 1,0 1,5 u 1 u 2 Gostota verjetnosti Slika 5.17: Gostota verjetnosti kopule izprimera 5.8 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 u 1 u 2 Gostota verjetnosti Slika 5.18: Gostota verjetnosti kopule iz primera 5.9 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,0 0,5 1,0 1,5 u 1 u 2 Gostota verjetnosti Gostota verjetnosti na sliki 5.18 je zvezna, videti pa je, kot da se bo pretrgala na obeh srednjicah enotnega kvadrata. Taka je zato, ker je funkcija g(t)=(1− 2t) 1 2p+1 zap=3naenotnemintervalužeprecejpodobnanezveznifunkcijif(t)= lim p→∞ (1− 2t) 1 2p+1 , ki je za t<0,5 enaka 1, −1 za t>0,5 in 0 za t=0,5. Z enaˇ cbo (5.18) ter sf namestog 1 ing 2 bi v našem primeru za gostoto verjetnosti c(u 1 ,u 2 )dobili1+θ 12 =1,6za(u 1 ,u 2 )∈  0, 1 2  ×[0, 1 2 )in(u 1 ,u 2 )∈ 1 2 ,1  × 1 2 ,1  , 1−θ 12 =0,4 za (u 1 ,u 2 ) ∈  0, 1 2  × 1 2 ,1  in (u 1 ,u 2 ) ∈ 1 2 ,1  ×  0, 1 2  ter 1 za (u 1 ,u 2 )∈ 1 2 ×[0,1] in(u 1 ,u 2 )∈[0,1]× 1 2 . 118 Slika 5.19: Nivojnice gost. verjet. kopule iz primera 5.7 0,3 0,3 0,4 0,4 0,5 0,5 0,6 0,6 0,7 0,7 0,8 0,8 0,9 0,9 0,95 0,95 0,98 0,98 1 1 1,02 1,02 1,05 1,05 1,1 1,1 1,2 1,2 1,3 1,3 1,4 1,4 1,5 1,5 1,6 1,6 1,7 1,7 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 Slika 5.20: Nivojnice gost. verjet. kopule izprimera 5.8 0,3 0,3 0,4 0,4 0,5 0,5 0,6 0,6 0,7 0,7 0,8 0,8 0,9 0,9 0,95 0,95 0,98 0,98 1 1 1,02 1,02 1,05 1,05 1,1 1,1 1,2 1,2 1,3 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2 2,1 2,2 2,3 2,4 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 Slika 5.21: Nivojnice gost. verjet. kopule iz primera 5.9 0,41 0,41 0,42 0,42 0,43 0,43 0,45 0,45 0,47 0,47 0,5 0,5 0,55 0,55 0,6 0,6 0,65 0,65 0,7 0,7 1 1 1,3 1,3 1,35 1,35 1,4 1,4 1,45 1,45 1,5 1,5 1,53 1,53 1,56 1,56 1,58 1,58 1,59 1,59 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 Naj boX 1 ∼ Exp(λ 1 ), X 2 ∼ Exp(λ 2 ), S=X 1 +X 2 inθ 12 ∈[−1,1]. Za dvorazsežno FGM kopulo, definirano z enaˇ cbo (5.28), z enaˇ cbo (5.29) dobimo ϕ S (t)=ϕ X (t,t)= λ 1 λ 2 (λ 1 −it)(λ 2 −it) 1− θ 12 t 2 (2λ 1 −it)(2λ 2 −it) ! . Od tu z inverzno Fourierovo transformacijo lahko izraˇ cunamo f S (x), nato pa še F S (x). Naj bo X 1 ∼ Exp(1) in X 2 ∼ Exp(2). Za θ 12 ∈{−1,0,1}, kar ustreza ρ C (X 1 ,X 2 )∈ {− 1 3 ,0, 1 3 }, gostoto verjetnosti f S (x) in porazdelitveno funkcijo F S (x) vidimo na sliki 5.22. Slika 5.22:F S inf S za kopulo iz primera 5.7 0 1 2 3 4 5 6 0,0 0,2 0,4 0,6 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 Gostota verjetnosti Verjetnost θ 12 = −1 θ 12 = 0 θ 12 = +1 Slika 5.23:F S inf S za kopulo iz primera 5.8 0 1 2 3 4 5 6 0,0 0,2 0,4 0,6 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 Gostota verjetnosti Verjetnost θ 12 = −1/4 θ 12 = 0 θ 12 = +1/2 Slika 5.24:F S inf S za kopulo iz primera 5.9 0 1 2 3 4 5 6 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 Gostota verjetnosti Verjetnost θ 12 = −1 θ 12 = 0 θ 12 = +1 Za dvorazsežno modificirano FGM kopulo, definirano z enaˇ cbo (5.30), smo za p=2 in θ 12 ∈{− 1 4 ,0, 1 2 }, kar ustreza ρ C (X 1 ,X 2 )∈{− 3 16 ,0, 3 8 }, iz numeriˇ cno iz- raˇ cunane karakteristiˇ cne funkcije ϕ S (t)=ϕ X (t,t) z inverzno diskretno Fourie- rovo transformacijo izraˇ cunali gostoto verjetnosti f S (x) in porazdelitveno funk- cijoF S (x),kijuvidimonasliki5.23. Analognosmozakopulo,definiranozenaˇ cbo (5.31),zap=3 inθ 12 ∈{−1,0,1}, kar ustrezaρ C (X 1 ,X 2 )∈{− 49 75 ,0, 49 75 },izraˇ cunali funkcijif S (x) inF S (x), ki sta na sliki 5.24.  119 5.5.7 Merjenjeodvisnosti med ekstremnimivrednostmi V uvodu tega poglavja smo ugotovili, da na škodno dogajanje lahko pomembno vpliva tudi vreme, na višino posameznih odškodnin pa inflacija. Zato predpo- stavka o odvisnosti med sluˇ cajnima spremenljivkama X 1 in X 2 , s katerima mo- deliramo agregatne odškodnine za razliˇ cni zavarovalni vrsti, ni nerealna. ˇ Ce se zavedamo, da odvisnost obstaja, ocenjujemo pa, da je majhna, obiˇ cajno predpo- stavimo, da sta sluˇ cajni spremenljivkiX 1 inX 2 neodvisni. S tem si poenostavimo model, ki ga sicer morda niti ne bi matematiˇ cno obvladali. Vse se odvija po pri- ˇ cakovanjih, dokler se bolj ali manj neodvisno dogajajo posamezne škode. ˇ Ce pa se zgodi veˇ cja naravna nesreˇ ca, se hkrati pojavi veliko škod oziroma odškodnin, ki se lahko nanašajo na obe zavarovalni vrsti, zato seštevka odškodnin za posa- meznizavarovalnivrstinista veˇ c neodvisna. Opisaniprimersezgodi, denimo,pri zavarovanju požara in pri zavarovanju avtomobilskega kaska, ˇ ce pride do kata- strofalne toˇ ce. Obe zavarovalni vrsti namreˇ c krijeta tudi škodo zaradi toˇ ce. Zanima nas, kako meriti odvisnost, ki se nanaša le na hkratni pojav velikih škod oziroma na hkratni pojav majhnih škod, pri ˇ cemer nas ne zanima, kakšne so si- ceršnje mere odvisnosti, kot so linearni korelacijski koeficient, Spearmanov kore- lacijski koeficient ranga in Kendallovτ. Opisano odvisnost bomo merili asimpto- tiˇ cno s koeficientom odvisnosti zgornjih oziroma spodnjih repov porazdelitvenih funkcij. Definicija 5.14: Naj bosta X 1 in X 2 zvezni sluˇ cajni spremenljivki s porazdelitve- nima funkcijama F X 1 inF X 2 . Koeficient odvisnosti zgornjih repovλ U je definiran z enaˇ cbo λ U (X 1 ,X 2 )= lim u→1 − P(X 1 >F −1 X 1 (u)|X 2 >F −1 X 2 (u)), (5.32) koeficient odvisnosti spodnjih repovλ L pa z enaˇ cbo λ L (X 1 ,X 2 )= lim u→0 + P(X 1 ≤F −1 X 1 (u)|X 2 ≤F −1 X 2 (u)). (5.33) Koeficienta λ U in λ L oˇ citno ležita na intervalu [0,1]. Z veˇ canjem koeficienta λ U oziroma λ L se veˇ ca asimpotiˇ cna verjetnost, da se bodo velike oziroma majhne vrednosti sluˇ cajnih spremenljivkX 1 inX 2 pojavljale hkrati. Naj bo(U 1 ,U 2 )=(F X 1 (X 1 ),F X 2 (X 2 )) sluˇ cajnivektor, kopulaC njegova porazdelit- vena funkcija, ˆ C kopula preživetja in C(u 1 ,u 2 )=1−u 1 −u 2 +C(u 1 ,u 2 ) funk- cija preživetja. ˇ Ce sta F X 1 in F X 2 zvezni in strogo narašˇ cajoˇ ci funkciji, po izreku 5.11 tudi komponenti sluˇ cajnega vektorja (X 1 ,X 2 ) povezuje kopula C. Desno stranenaˇ cbe(5.32)zapišimokotlim u→1 −P(F X 1 (X 1 )>u|F X 2 (X 2 )>u)oziromakot 120 lim u→1 −P(U 1 >u|U 2 >u), kar nam da λ U = lim u→1 − P(U 1 >u,U 2 >u) P(U 2 >u) = lim u→1 − 1−2u+C(u,u) 1−u . Isto enaˇ cbo s kopulo preživetja zapišemo kot λ U = lim u→1 − P(U 1 >u,U 2 >u) P(U 2 >u) = lim u→1 − ˆ C(1−u,1−u) 1−u = lim u→0 + ˆ C(u,u) u . Desno stran enaˇ cbe (5.33) zapišimo kot lim u→0 +P(F X 1 (X 1 )≤u|F X 2 (X 2 )≤u) ozi- roma kot lim u→0 +P(U 1 ≤u|U 2 ≤u), kar nam da enaˇ cbo λ L = lim u→0 + P(U 1 ≤u,U 2 ≤u) P(U 2 ≤u) = lim u→0 + C(u,u) u . Ugotovili smo, da sta koeficienta odvisnosti zgornjih in spodnjih repov za kom- ponenti dvorazsežnega sluˇ cajnega vektorja z zveznima in strogo narašˇ cajoˇ cima robnima porazdelitvenima funkcijama odvisna le od kopule. Zato ju bomo ekvi- valentno definirali še alternativno. Ker pa smo zgoraj strogo narašˇ canje poraz- delitvenih funkcij uporabili le zaradi lažje ilustracije smiselnosti prehoda s prve definicije na drugo, strogega narašˇ canja ne bomo veˇ c zahtevali. Definicija 5.15: Naj kopula C povezuje komponenti sluˇ cajnega vektorja (X 1 ,X 2 ) z zveznima robnima porazdelitvenima funkcijama. Koeficient odvisnosti zgornjih repovλ U je definiran z enaˇ cbo λ U (X 1 ,X 2 )= lim u→1 − 1−2u+C(u,u) 1−u , koeficient odvisnosti spodnjih repovλ L pa z enaˇ cbo λ L (X 1 ,X 2 )= lim u→0 + C(u,u) u . ˇ Ce je λ U (X 1 ,X 2 )>0, sta sluˇ cajni spremenljivki X 1 in X 2 asimptotiˇ cno odvisni v zgornjemrepu,ˇ ce jeλ U (X 1 ,X 2 )=0, sta asimptotiˇ cno neodvisni v zgornjemrepu. ˇ Ce je λ L (X 1 ,X 2 )>0, sta sluˇ cajni spremenljivki X 1 in X 2 asimptotiˇ cno odvisni v spodnjem repu,ˇ ce jeλ L (X 1 ,X 2 )=0, sta asimptotiˇ cno neodvisni v spodnjem repu. Opomba5.12: Priuporabidefinicije 5.15nismoomejenilenadve razsežnosti. Za n>2 za sluˇ cajne vektorje (X 1 ,...,X n ), katerih komponente povezuje kopula C, asimptotiˇ cno odvisnost zgornjih ali spodnjih repov za razliˇ cni sluˇ cajni spremen- ljivkiX i inX j ugotavljamo na podlagi dvorazsežne robnekopuleC ij (u i ,u j ), ki jo dobimo tako, da vC(u 1 ,...,u n ) vseu k ,k6=i ink6=j, postavimo na 1.  121 Arhimedske kopule so doloˇ cene s svojim generatorjem, zato koeficienta odvis- nosti repov lahko izraˇ cunamo iz generatorja. Izrek5.20: NajboC arhimedskakopulazgeneratorjemφ(t), kiizpolnjujepogoje izizreka5.12,terφ [−1] njegovapsevdoinverznafunkcija,definiranavizreku5.12. Potem je λ U =2− lim t→1 − 1−φ [−1] (2φ(t)) 1−t =2− lim x→0 + 1−φ [−1] (2x) 1−φ [−1] (x) in λ L = lim t→0 + φ [−1] (2φ(t)) t = lim x→∞ φ [−1] (2x) φ [−1] (x) . Dokaz: Glej (Nelsen, 2006, str. 215, posledica 5.4.3).  Za Claytonovo družino kopulC Cl θ v ožjem smislu (z omejitvijoθ>0) jeλ U =0 in λ L =2 − 1 θ , za Frankovo kopulo C Fr θ je λ U =λ L =0, za Gumbelovo kopulo C Gu θ pa je λ U =2−2 1 θ in λ L =0 (glej Nelsen, 2006, str. 215). Gumbelova kopula C Gu θ je zaθ=1 kar kopula neodvisnostiΠ 2 , ko greθ v neskonˇ cnost, pa limitira h kopuli M 2 , ki povezuje komonotone sluˇ cajne spremenljivke in ni arhimedska. Tako z Gumbelovo kopulo lahko dosežemo ves spekter med neodvisnostjo in najveˇ cjo stopnjo odvisnosti. Ker lahko dosežemo λ U poljubno blizu zgornje meje 1, je Gumbelova kopula zelo primerna za povezovanje sluˇ cajnih spremenljivk, za ka- tere se ekstremne vrednosti pojavljajo hkrati. Tako Faivre (2003, str. 6) navaja, da je Gumbelovakopula primerna za razne neugodnescenarije (stresneteste), po katerihsovelikeškodeoziromaodškodninepovezane,preostalepasoneodvisne. Za normalno kopulo sta koeficientaλ U inλ L niˇ c (glej npr. McNeil et al., 2005, str. 211). Kljubnjenisiceršnjivelikiprilagodljivostijevˇ casihtokljuˇ cnaslabost,zaradi katere raje uporabimo kakšno drugo kopulo. Ena takih je Studentova kopula, ki pa ne omogoˇ ca modeliranja neodvisnosti. Za Studentovo kopulo in ρ> − 1 koeficienta repne odvisnosti izraˇ cunamo po formuli λ U =λ L =2t ν+1 − s (ν+1)(1−ρ) 1+ρ ! (McNeil et al., 2005, str. 211). Tudinajboljšameraodvisnostizenosamovrednostjonemoreplastiˇ cno ponazo- riti vse kompleksnosti strukture odvisnosti. Predstavo si lahko olajšamo z grafiˇ c- nimprikazom nivojnic. Naslikah 5.25, 5.26 in5.27 vidimo nivojnice dvorazsežne gostoteverjetnosti normalne,Studentove in Gumbelovekopule s parametri, ki jih je za ilustracijo uporabil že Faivre (2003, str. 7). 122 Slika 5.25: Nivojnice gostote verjetnosti kopuleC Ga 1/2 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,3 0,4 0,4 0,5 0,5 0,6 0,6 0,7 0,7 0,8 0,8 0,9 0,9 1 1 1,1 1,1 1,2 1,2 1,3 1,3 1,4 1,4 1,5 1,5 1,6 1,6 1,7 1,7 1,8 1,8 1,9 1,9 2 2 2,5 2,5 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 Slika 5.26: Nivojnice gostote verjetnosti kopuleC t 1,1/2 0,5 0,5 0,5 0,5 1 1 1 1 1,5 1,5 1,5 1,5 2 2 2 2 2,5 2,5 3 3 4 4 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 Slika 5.27: Nivojnice gostote verjetnosti kopuleC Gu 2 0,5 1 1,5 2 2 2,5 2,5 3 3 4 4 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 Oglejmo si še tri dvorazsežne sluˇ cajne vektorje (X 1 ,X 2 ) s standardizirano nor- malno porazdeljenimi komponentami, ki jih povezujejo pravkar omenjene ko- pule. Gostote verjetnostif X 1 ,X 2 , izraˇ cunane z enaˇ cbo(5.7), sorazvidne s slik5.28, 5.29 in 5.30, njihove nivojnice pa s slik 5.31, 5.32 in 5.33. Slika 5.28: Gostota verjetnosti f X 1 ,X 2 s kopuloC Ga 1/2 . −3 −2 −1 0 1 2 3 −2 −1 0 1 2 3 0,00 0,05 0,10 0,15 x 1 x 2 Gostota verjetnosti Slika 5.29: Gostota verjetnosti f X 1 ,X 2 s kopuloC t 1,1/2 . −3 −2 −1 0 1 2 3 −2 −1 0 1 2 3 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 x 1 x 2 Gostota verjetnosti Slika 5.30: Gostota verjetnosti f X 1 ,X 2 s kopuloC Gu 2 . −3 −2 −1 0 1 2 3 −2 −1 0 1 2 3 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 x 1 x 2 Gostota verjetnosti Slika 5.31: Nivojnicef X 1 ,X 2 s kopuloC Ga 1/2 . 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,1 0,11 0,12 0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,18 −3 −2 −1 0 1 2 3 −3 −2 −1 0 1 2 3 X 1 ~ N(0,1) X 2 ~ N(0,1) Slika 5.32: Nivojnicef X 1 ,X 2 s kopuloC t 1,1/2 . 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0,16 0,18 0,2 0,22 0,24 0,26 0,28 −3 −2 −1 0 1 2 3 −3 −2 −1 0 1 2 3 X 1 ~ N(0,1) X 2 ~ N(0,1) Slika 5.33: Nivojnicef X 1 ,X 2 s kopuloC Gu 2 . 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0,16 0,18 0,2 0,22 0,24 −3 −2 −1 0 1 2 3 −3 −2 −1 0 1 2 3 X 1 ~ N(0,1) X 2 ~ N(0,1) 123 6 Aktuarsko modeliranjeagregatnih odškodnin V razdelku 4.4 smo pri nekaterih premijskih principih premijo doloˇ cili tudi na podlagi agregatnih odškodnin S, pri tem pa nismo zahtevali veˇ c kot poznavanje priˇ cakovane vrednostiE[S]in variance var[S]oziroma standardnega odklonaσ S . Omenjene parametre lahko razmeroma preprosto izraˇ cunamo, kar pa obiˇ cajno ne zadošˇ ca za natanˇ cnejši izraˇ cun primerne premije. ˇ Ce želimo premijo doloˇ citi na podlagi kakšne od aktualnih mer tveganja, npr. tvegane vrednosti ali konˇ cne tvegane vrednosti, moramo poznati porazdelitveno funkcijoF S (x). Praktiˇ cno izraˇ cunavanje porazdelitvene funkcije F S (x) je ena od kljuˇ cnih aktu- arskih nalog. Pred nekaj desetletji je bil to tudi eden od osrednjih aktuarskih problemov, ki pa je danes razmeroma preprosto rešljiv, ˇ ce le predpostavimo, da so odškodnine, ki jih seštevamo, med seboj neodvisne. Danes so za izraˇ cune na voljo tudi prosto dostopne programske rešitve, ki nam precej olajšajo delo (glej npr. Dutang, Goulet & Pigeon, 2008). V tem poglavju si bomo kot uvod v naslednje poglavje ogledali nekaj metod za izraˇ cunavanje agregatnih odškodnin, ki temeljijo na predpostavki o neodvisnosti innakolektivnem modelurizikov. Tidve predpostavki stabistveniomejitvi, sicer pa so v nadaljevanju predstavljene metode primerne tudi za agregiranje drugih tveganj, ki bodo vplivala na višino solventnostnega kapitala v režimu Solventnost 2, ne le za odškodnine. Kolektivni model rizikov zahteva, da so odškodnine, ki se nanašajo na razliˇ cne rizike, enako porazdeljene. Poleg tega modela obstaja tudi individualni model rizikov, ki dopušˇ ca, da so višine odškodnin, ki se nanašajo na razliˇ cne rizike, razliˇ cno porazdeljene, zato pa ima nekatere druge omejitve. Najosnovnejše in- formacije o individualnem modelu, ki ga v praksi veˇ ckrat aproksimiramo prav s kolektivnim modelom, najdemo v (Komelj, 2004, str. 18). Sicer pa je to poglavje v celoti le pregledna predstavitev nekaterih v aktuarski praksi uporabnih metod oziroma delni povzetek tega, kar je podrobneje obdelano v (Komelj, 2004), z ma- lenkostnimi dopolnitvami. 6.1 Kolektivni model rizikov Prikolektivnemmodelurizikovlahkoobravnavamomnožicorizikov, zavarovanih z eno samo zavarovalno polico, skupino polic ali celotnim portfeljem istovrstnih polic. Poleg izbrane množice rizikov je pomemben tudi ˇ cas opazovanja. Ena od možnosti je, da opazujemo vse škode, ki se nanašajo na posamezne rizike, zavarovane npr. z enoletnimi zavarovalnimi policami, sklenjenimi v doloˇ cenem 124 koledarskemletu,pritempaposamezenriziko opazujemoodsklenitve doizteka zavarovanja, ˇ cemur bomo rekli opazovanje po letu sklenitve zavarovanja. Druga možnost je, da opazujemo vse škode, ki se nanašajo na vse rizike, ki so bili v doloˇ cenemkoledarskem letu vsaj endan zavarovani, neglede na datum sklenitve zavarovanja, pri tem pa posamezen riziko opazujemo le vpreseku zavarovalnega in koledarskega leta, ˇ cemur bomo rekli opazovanje po letu nastanka škode. Pri opazovanju po letu sklenitve zavarovanja je opazovani ˇ cas izpostavljenosti ne- varnostim za vse rizike eno leto (morebitne uniˇ cene rizike opazujemo do izteka zavarovanja,ˇ ceprav škoda ne more veˇ c nastati), zato pa vse škode nastanejo šele v dveh zaporednih koledarskih letih. Pri opazovanju po letu nastanka škode pa opazovani ˇ cas izpostavljenosti nevarnostim ni enak za vse rizike, zato pa vse škode nastanejo v istem koledarskem letu. Tako ima vsak od obeh navedenih pristopov opazovanja svoje prednosti in slabosti. S kolektivnim modelom rizikov želimo izraˇ cunati agregatne odškodnine, ki jih predstavljavsotanakljuˇ cnegaštevilanakljuˇ cnovelikihodškodninS= P N i=1 X i ,pri ˇ cemer je po dogovoru S=0, ˇ ce je N=0. Pri tem je N število odškodnin, ki se nanašajo na izbrano množico rizikov in ˇ cas opazovanja, X 1 ,...,X N pa so posa- mezne odškodnine. Ker množico rizikov gledamo kot celoto, indeks i pomeni le zaporedno številko odškodnine za škodo, nastalo v opazovanem obdobju, saj ni pomembno,na kateri riziko se odškodninaX i nanaša. V tem poglavju predpostavimo, da so sluˇ cajne spremenljivke N in X 1 ,X 2 ,... ne- odvisne, X 1 ,X 2 ,... pa so še nenegativne in enako porazdeljene. Glavne naloge tega poglavja, kako izraˇ cunati porazdelitveno funkcijo F S (x) sluˇ cajne spremen- ljivkeS,selotimotako,danajprejdoloˇ cimoverjetnostnofunkcijop n =P(N=n), n= 0,1,2..., sluˇ cajne spremenljivke N in porazdelitveno funkcijo F X (x) sluˇ caj- nih spremenljivkX 1 ,X 2 ,... Omenimo le še, da vˇ casih kolektivni model rizikov ni uporaben, ker ni praktiˇ cno ali pa ni mogoˇ ceškodnega dogajanja loˇ citi na del, ki se nanaša na število odškod- nin, in na del, ki se nanaša na višino odškodnin. Tak primer obravnavajo Papush, Patrik in Podgaits (2001), ki ugotavljajo, da je za modeliranje agregatnih odškod- ninmednormalno,logaritemskonormalnoingamaporazdelitvijonajprimernejša izbira gama porazdelitev, zlasti še,ˇ ce nas zanima le rep porazdelitve. 6.2 Doloˇ canjeverjetnostnihfunkcij,ki modelirajo število odškodnin Pri kolektivnem modelu rizikov se sluˇ cajna spremenljivka N nanaša na število vseh odškodnin za škode, ki se nanašajo na izbrano množico rizikov in opazo- vano obdobje, npr. eno leto. ˇ Ce se število odškodnin po letih nastanka škode 125 bistveno spreminja, kar pa ni posledica soˇ casnega spreminjanja obsega poslo- vanja, bi morali za dovolj velik vzorec letnega števila odškodnin, iz katerega bi s statistiˇ cnimi metodami zanesljivo doloˇ cili verjetnostno funkcijo sluˇ cajne spre- menljivke N, zelo dolgo ˇ cakati. Zato se naloge obiˇ cajno lotimo tako, da najprej ocenimo porazdelitev števila odškodnin, ki se nanašajo na en riziko, nato pa z upoštevanjemštevila rizikov oziromanjihovih opazovanihˇ casovizpostavljenosti nevarnostim ocenimo verjetnostno funkcijo sluˇ cajne spremenljivkeN. Opisanipristopzahteva,dajeopazovanamnožicarizikovhomogenanevarnostna skupina neodvisnih rizikov, za katere lahko predpostavimo enako porazdelitev števila odškodnin za en riziko. V praksi sicer veˇ ckrat ni tako, vendar pa se pred- postavka o enaki porazdelitvi odškodnin za en riziko veˇ ckrat da upraviˇ citi. ˇ Ce kolektiv rizikov opazujemo po letusklenitve zavarovanja, homogenostlahko ute- meljimozmešanjemsluˇ cajnihspremenljivk(glejnpr. Komelj,2004,str. 8). Vtem primeru skupno izpostavljenost kolektiva rizikov merimo kar s številom rizikov, saj je izpostavljenost vseh posameznih rizikov eno leto. Za utemeljitev homogenosti kolektiva rizikov, ki ga opazujemo po letu nastanka škode, potrebujemo še predpostavko o linearni odvisnosti števila škod oziroma odškodnin od ˇ casa izpostavljenosti nevarnostim. Tako, denimo, dva dejanska rizika s polletno opazovano izpostavljenostjo nadomestimo z enim fiktivnim ri- zikom z enoletno opazovano izpostavljenostjo. Tak pristop obiˇ cajno ni sporen, ˇ ceprav dopušˇ ca nekatere pomisleke, saj, denimo, verjetnost nastanka škode pri avtomobilskih zavarovanjih ni enaka v poletni in zimski polovici leta. Pri do- volj velikem številu dejanskih rizikov, za katere je opazovaniˇ cas izpostavljenosti krajši od enega leta, pa omenjenipomislek nima velike teže, saj se napake zaradi kombiniranja dejanskih v fiktivne rizike med seboj veˇ cinoma izniˇ cijo. Seštevek vseh fiktivnih in dejanskih izpostavljenosti, ki so ostale po transformaciji dejan- skih rizikov v fiktivne, merjeno v letih, lahko proglasimo za skupno izpostavlje- nost kolektiva rizikov, ki ga opazujemo po letu nastanka škode. S stališˇ ca števila odškodninjekolektivrizikov,kigaopazujemopoletunastankaškode,ekvivalen- tenkolektivu rizikovzenakoizpostavljenostjo,kigaopazujemopoletusklenitve zavarovanja, zato je nadaljevanje uporabno za obe vrsti opazovanja. Za doloˇ citev verjetnostne funkcije porazdelitve števila odškodnin, ki se nanašajo na en riziko iz kolektiva rizikov, najprej predpostavimo tip porazdelitve, nato pa z eno od metod, denimo z metodo momentov ali metodo najveˇ cjega verjetja, na podlagi zgodovinskih podatkov doloˇ cimo konkretne parametre. Za izraˇ cun za- dostuje, ˇ ce poznamo število rizikov brez odškodnin, z eno odškodnino, dvema odškodninama itd. ˇ Ce zgodovinske podatke opazujemo po letu nastanka škode, 126 kosoˇ casiopazovanjaposameznihrizikovpravilomakrajšiodenegaleta,nampo- datek o številu rizikov brez odškodnin ne pove veliko. Nobene garancije namreˇ c ni, da odškodnine ne bi bilo, ˇ ce bi riziko opazovali celo leto. Analogno velja za rizike z eno odškodnino, dvema odškodninama itd. Zato je za raˇ cunanje verjet- nostne funkcije porazdelitve števila odškodnin, ki se nanašajo na en riziko, bolj primerno opazovanje po letu sklenitve zavarovanja, ki pa tudi ni brez pasti. ˇ Ce opazujemo podatke za bližnja pretekla leta, nam namreˇ c lahko za obe vrsti opa- zovanja manjkajo podatki o odškodninah, ki se nanašajo na že nastale škode, ki še niso prijavljene. Tovrstno napako pa se da z ustreznimi metodami zmanjšati. ˇ Ce izberemo Poissonovo, negativno binomsko ali binomsko porazdelitev, se pri seštevanjuneodvisnihsluˇ cajnihspremenljivktipporazdelitveohranja,parametre verjetnostnefunkcijesluˇ cajnespremenljivkeN padobimotako,daustreznipara- meterzaenriziko pomnožimozizpostavljenostjo. Pritemizraˇ cunaneparametre za en riziko lahko korigiramo zaradi razliˇ cnih trendov ipd. Tehniˇ cne podrobnosti za konkretno delo so razvidne npr. iz (Komelj, 2004) ali (Klugman et al., 2004). V nadaljevanju privzemimo, da tip in parametre verjet- nostne funkcije sluˇ cajne spremenljivkeN poznamo. 6.3 Doloˇ canjeporazdelitvenih funkcij,ki modelirajovišino odškodnin Porazdelitveno funkcijo višine odškodnin ocenjujemo na podlagi vzorca vseh od- škodnin, ki se nanašajo na doloˇ cen kolektiv rizikov in doloˇ cenoˇ casovno obdobje. ˇ Cesevišina odškodninnespreminjabistvenozaradi raznihdejavnikov, kot soin- flacija, praksa sodišˇ c ali vremenske razmere, je priporoˇ cljivo upoštevati podatke za veˇ c let, saj s tem poveˇ cujemo velikost vzorca, sicer pa upoštevamo podatke vsaj za eno leto, da izloˇ cimo sezonske vplive. Najbolj preprosto je, ˇ ce porazdelitveno funkcijo odškodnin modeliramo kar z vzorˇ cno porazdelitveno funkcijo, vendar pa si s tem onemogoˇ cimo izraˇ cune, v katerih biuporabljalianalitiˇ cno izražene porazdelitvene funkcije. Pomembnasla- bostuporabe vzorˇ cne porazdelitvene funkcije je tudi v tem, da siz njoonemogo- ˇ cimo modeliranje odškodnin, ki presegajo najveˇ cjo vrednost iz vzorca. Obe omenjeni pomanjkljivosti vzorˇ cne porazdelitvene funkcije odpravimo, ˇ ce jo uspemodovoljdobroaproksimiratizanalitiˇ cnoizraženimiporazdelitvenimifunk- cijami. Pri tem obiˇ cajno najprej prosto doloˇ cimo tip porazdelitve, nato pa z razliˇ cnimi metodami, npr. z metodo momentov ali metodo najveˇ cjega verjetja, doloˇ cimo konkretne parametre. Kvaliteto aproksimacije preverimo z razliˇ cnimi testi,denimosχ 2 -testomalistestomKolmogorov-Smirnova. ˇ Ceaproskimacijane 127 izpolnjuje minimalnih pogojev, poskusimo z drugim tipom porazdelitvene funk- cije. ˇ Ceprav imamo danes na voljo velik nabor porazdelitvenih funkcij in tudi programe za izraˇ cun njihovih parametrov, pa je iskanje primerne porazdelitvene funkcije še vedno veˇ ckrat odvisno od obˇ cutka in izkušenj. Sicer pa ni nujno, da najdemo zelo dobro aproksimacijo, ˇ ce se zadovoljimo s tako, ki je varna, ker se nanaša na bolj tvegano sluˇ cajno spremenljivko. Tehniˇ cne podrobnosti za konkretno delo so razvidne npr. iz (Komelj, 2004) ali (Klugman et al., 2004). V nadaljevanju privzemimo, da tip in parametre porazde- litvene funkcijeF X (x) sluˇ cajnih spremenljivkX 1 ,X 2 ,... poznamo. 6.4 Izraˇ cun agregatnih odškodnin Vtemrazdelku sibomoogledali nekaj naˇ cinovizraˇ cunaagregatnih odškodnin, ki temeljijo na kolektivnem modelu rizikov z znano verjetnostno funkcijo sluˇ cajne spremenljivkeN ter znano porazdelitveno funkcijoF X (x) nenegativnih sluˇ cajnih spremenljivkX 1 ,X 2 ,... 6.4.1 Eksaktnaporazdelitvena funkcijaagregatnih odškodnin Porazdelitveno funkcijo agregatnih odškodninS lahko zapišemo kot F S (x)=P(S≤x)= ∞ X n=0 P(N=n)P(S≤x|N=n). PridanemnjeverjetnostP(S≤x|N=n)enakan-kratnikonvolucijiF ∗n X (x),zato zgornjo enaˇ cbo lahko zapišemo kot F S (x)= ∞ X n=0 p n F ∗n X (x). (6.1) KonvolucijaF ∗n X (x)jeporazdelitvena funkcijasluˇ cajnespremenljivke P n i=1 X i . Iz- raˇ cunamo jo rekurzivno z F ∗0 X (x)=      0 zax<0, 1 zax≥0, F ∗n X (x)= Z ∞ −∞ F ∗(n−1) X (x−z)dF X (z) (n=1,2,...). 128 Druga enaˇ cba se zaradi nenegativnosti sluˇ cajnih spremenljivk X 1 ,X 2 ,... poeno- stavi v F ∗n X (x)= Z x 0 F ∗(n−1) X (x−z)dF X (z) (n=1,2,...). Za zvezno sluˇ cajno spremenljivko X z odvajanjem in z matematiˇ cno indukcijo ugotovimo, da je dF ∗n X (x) dx =f ∗n X (x) (n=1,2,...), kjer je f ∗1 X (x)=f X (x), f ∗n X (x)= Z x 0 f ∗(n−1) X (x−z)f X (z)dz (n=2,3,...). ˇ Ce definiramo še f ∗0 X (x)=      0 zax6=0, 1 zax=0, gostoto verjetnosti sluˇ cajne spremenljivkeS lahko zapišemo kot f S (x)= ∞ X n=0 p n f ∗n X (x). (6.2) ˇ Ce jep 0 =0, jeF ′ S (x)=f S (x) za vsakx,ˇ ce pa jep 0 >0, porazdelitvena funkcija F S (x) zaradiF ∗0 X (x) v toˇ cki 0 ni odvedljiva, ker ima v njej skok zap 0 . Oglejmo si še primer, ko so sluˇ cajne spremenljivke X 1 ,...,X N diskretne in imajo pri danem h>0 verjetnostno funkcijo P(X 1 =kh)=f k , k= 0,1,2... Pri danem n verjetnostiP(S=kh|N=n), k= 0,1,2..., izraˇ cunamo kot n-kratno diskretno konvolucijoverjetnostnefunkcijef k ,k=0,1,2...,samesseboj. Konvolucijof ∗n k , k= 0,1,2..., ki je v tem primeru verjetnostna funkcija sluˇ cajne spremenljivke P n i=1 X i , izraˇ cunamo rekurzivno f ∗0 k =      1 zak=0, 0 zak=1,2,..., (6.3a) f ∗n k = k X j=0 f ∗(n−1) k−j f j (n=1,2,...) (k=0,1,2...). (6.3b) Naj bo g k =P(S=kh). Verjetnostno funkcijo sluˇ cajne spremenljivke S izraˇ cu- 129 namo z g k = ∞ X n=0 p n f ∗n k (k=0,1,2...). (6.4) Teoretiˇ cno je problem izraˇ cuna porazdelitvene funkcije F S (x) sluˇ cajne spremen- ljivke S in njene gostote verjetnosti f S (x), oziroma verjetnostne funkcije g k , k = 0,1,2..., rešen. Vendar v praksi raˇ cunanje po enaˇ cbah (6.1), (6.2) in (6.4) tudi z uporabo raˇ cunalnikov ni enostavno, pogosto pa sploh ni izvedljivo v ra- zumnemˇ casu, ker je število potrebnih raˇ cunskih operacij preveliko, pa še težave z numeriˇ cno stabilnostjo imamo. 6.4.2 Metoda momentov Metoda momentov je aproksimativna metoda, pri kateri porazdelitveno funkcijo F S (x) aproksimiramo z neko predpostavljeno porazdelitveno funkcijo, ki ima ne- kaj prvih momentov, obiˇ cajno dva ali tri, enakih momentomF S (x). Za kolektivni model rizikov potrebne momente lahko izraˇ cunamo iz momentov, ki se nana- šajo na sluˇ cajno spremenljivko N oziroma na sluˇ cajne spremenljivke X 1 ,X 2 ,..., z enaˇ cbami (glej npr. Komelj, 2004, str. 12) E[S]=E[N]E[X 1 ], var[S]=E[N]var[X 1 ]+var[N]E 2 [X 1 ], µ 3 [S]=E[N]µ 3 [X 1 ]+3var[N]E[X 1 ]var[X 1 ]+µ 3 [N]E 3 [X 1 ]. V zelo pomembnem primeru, ko je sluˇ cajna spremenljivka N ∼ Po(λ) porazde- ljena Poissonovo, se zgornje enaˇ cbe poenostavijo v E[S]=λm 1 , var[S]=λm 2 , µ 3 [S]=λm 3 , kjer so m 1 , m 2 in m 3 prvi trije zaˇ cetni momenti sluˇ cajne spremenljivke X 1 . Za prav tako zelo pomemben primer, ko je sluˇ cajna spremenljivkaN∼NB(α,p) po- razdeljena negativno binomsko, pa ustrezne formule najdemo v (Komelj, 2004, str. 14). V nadaljevanju ni bistveno, kako smo momente sluˇ cajne spremenljivke S izraˇ cunali oziroma ocenili, zadošˇ ca nam, da predpostavimo poznavanje priˇ ca- kovane vrednosti µ S =E[S], standardnega odklona σ S = p var[S] in koeficienta asimetrijeγ S = µ 3 [S] σ 3 S sluˇ cajne spremenljivkeS. Porazdelitveno funkcijo F S (x) najlaže aproksimiramo tako, da predpostavimo normalno porazdelitev, torej S ∼ N(µ S ,σ 2 S ). V takem primeru govorimo o nor- malni aproksimaciji. Normalna porazdelitev ima koeficient asimetrije niˇ c, zato v splošnem ni ravno dobra aproksimacija za porazdelitev agregatnih odškodnin, ki 130 je obiˇ cajno asimetriˇ cna z γ S >0. Slabost se pokaže predvsem pri repu porazde- litve, od katerega pa so odvisne mere tveganja, kot sta tvegana in konˇ cna tvegana vrednost. TakozaproksimacijoVaR α (S)≈Φ −1 (α)pravilomadobimopodcenjeno vrednost. Slabost normalne aproksimacije lahko vsaj delno odpravimo tako, da poišˇ cemo tako transformacijo Y=h(S) sluˇ cajne spremenljivke S, da bo gostota verjetno- stisluˇ cajne spremenljivkeY ˇ cim bolj simetriˇ cna, nato pa porazdelitveno funkcijo F S (x) sluˇ cajne spremenljivke S=h −1 (Y) aproksimiramo s F S (x)≈Φ(h(x)). Iz- kaže se (glej Komelj, 2004, str. 25–27), da je dobra izbira S=h −1 (Y)=µ S +σ S  Y+ γ S 6 (Y 2 −1)  , Y=h(S)= − 3 γ S + s 9 γ 2 S +1+ 6 γ S · S−µ S σ S , vendar le za S >µ S , ker je v izrazu za Y upoštevan le veˇ cji od obeh korenov kvadratne enaˇ cbe. S to aproksimacijo, imenovano NP-aproksimacija, lahko relativno dobro aproksi- miramo rep porazdelitvene funkcijeF S (x),ˇ ce koeficient asimetrijeγ S ne presega ene. Tako lahko tvegano vrednost agregatnih odškodnin VaR α (S) aproksimiramo s korenom enaˇ cbe α=Φ(h(x)), ki je x α =h −1 (Φ −1 (α)). Izraˇ cunamo ga v dveh korakih y α =Φ −1 (α), x α =µ S +σ S  y α + γ S 6  y 2 α −1   , natopapreverimo,ˇ cejex α >µ S ,sajjeaproksimacijauporabnalezadovoljvelike α. Omenimo le še aproksimaciji s premaknjeno in s transformirano gama porazde- litvijo, o katerih veˇ c podrobnosti najdemo v (Komelj, 2004), ter aproksimacijo s premaknjeno logaritemsko normalno porazdelitvijo, ki je predstavljena v raz- delku 7.2. Vse tovrstne aproksimacije so namreˇ c z razvojem raˇ cunalništva, ki je omogoˇ cilo praktiˇ cno uporabo natanˇ cnejših metod, svoj nekdanji velik pomen izgubile. Kljub temu pa ostajajo standardno aktuarsko orodje vsaj za hitro oce- njevanje. 6.4.3 Izraˇ cunina podlagi rekurzije Rekurzivnemetodezaizraˇ cunagregatnihodškodninpolegstandardnihzahtevza kolektivnimodelrizikovzahtevajo,dasovseodškodnineX 1 ,X 2 ,... mnogokratnik 131 korakah. V praksi je vedno tako, ˇ ce zah vzamemo najmanjši del denarne enote oziroma denarno enoto, ˇ ce odškodnine zaokrožujemo na cele vrednosti. Vendar pa bi bilo upoštevanje tega dejstva in vzorˇ cne porazdelitvene funkcije praktiˇ cno neuporabno,ker biizraˇ cunizahtevali preveˇ c korakov oziromaˇ casa izvajanja tudi na najhitrejših raˇ cunalnikih. Tudi ˇ ce bi bil izvedljiv, tak naˇ cin izraˇ cuna ne bi bil smiseln, saj bi po eni strani raˇ cunali z nepotrebno veliko natanˇ cnostjo, po drugi pa bi zanemarili možnost, da bi bile posamezne odškodnine lahko veˇ cje od najveˇ cje vzorˇ cne odškodnine. Obematežavama seizognemo,ˇ ceizvzorˇ cnihpodatkovnajprejocenimoporazde- litvenofunkcijoF X (x),natopajosprimernimkorakomhdiskretiziramo,takoda dobimoverjetnostnofunkcijoP(X 1 =kh)=f k ,k=0,1,...,r. Pritemr izberemo tako, da je F S (rh) dovolj blizu 1, kar pa ni vedno nujno. ˇ Ce nas, denimo, zani- majoˇ ciste agregatne odškodnine po upoštevanju škodno presežkovnega pozava- rovanja, r in h doloˇ cimo tako, da je produkt rh enak prioriteti. Po razporeditvi verjetnosti F X (rh) na toˇ cke mreže s korakom h na intevalu [0,rh] preostanek verjetnosti do 1 prištejemo kf r . Ekvidistantno diskretizacijo lahko naredimo na veˇ c naˇ cinov. Verjetnost, ki od- pade na posamezen interval dolžineh, ki ga definira mreža 0,h,2h,...,rh, lahko priredimo levemu ali desnemu krajišˇ cu, lahko pa jo porazdelimo tudi na veˇ c toˇ ck mreže,karnamomogoˇ caohranitivrednostenegaaliveˇ cmomentov. Diskretizacij- skialgoritem,kiverjetnostposameznegaintervala delnopriredilevemu,delnopa desnemu krajišˇ cu, hkrati pa ohranja priˇ cakovano vrednost, je naveden v (Komelj, 2004, str. 23), za realizacijo v programskem jeziku R pa glej (Dutang et al., 2008, str. 15). Ker taka diskretizacija poveˇ ca originalno varianco (Daykin, Pentikäinen & Pesonen, 1994, str. 505), smo z uporabo bolj tvegane porazdelitvene funkcije na varni strani. ˇ Ce pa želimo natanˇ cnejšo diskretizacijo v smislu ohranjanja veˇ c momentov, lahko uporabimo algoritem iz (Klugman, Panjer & Willmot, 1998, str. 314). Zaradi diskretizacije pride do sistematiˇ cne napake metode, ki pa jo vsaj za nekatere naˇ cine diskretizacije lahko ocenimo (glej npr. Walhin & Paris, 1998), od tu naprej pa so rekurzijske metode eksaktne. Izhodišˇ ce za rekurzivno raˇ cunanje verjetnostne funkcije P(S=kh)=g k , k = 0,1,2..., sluˇ cajne spremenljivke S je dejstvo, da verjetnostno funkcijo sluˇ cajne spremenljivke N, ki je porazdeljena Poissonovo, negativno binomsko ali binom- sko, iz znane vrednosti p 0 lahko izraˇ cunamo rekurzivno po enaˇ cbi p n = a+ b n  p n−1 , n= 1,2,..., kjer sta a in b konstanti. Hitro se lahko prepriˇ camo, da je a=0inb=λ,ˇ cejeN∼Po(λ),a=1−p inb=(α−1)(1−p),ˇ cejeN∼NB(α,p), ter a= − p 1−p in b= (n+1)p 1−p , ˇ ce je N ∼ Bin(n,p). Poleg naštetih treh možno- 132 sti izpolni navedeno rekurzijsko enaˇ cbo le še trivialna porazdelitev p 0 =1, ki ji ustrezataa=b=0. Zaradi rekurzijske enaˇ cbe za p n ter enaˇ cb (6.3a) in (6.3b) lahko enaˇ cbo (6.4) pre- delamo v Panjerjevo rekurzijsko formulo (glej Komelj, 2004, str. 39 in 40) g k = 1 1−af 0 k X j=1  a+ jb k  f j g k−j (k=1,2,...). (6.5) Zaˇ cetno vrednost za izraˇ cun s Panjerjevo rekurzijo, prviˇ c predstavljeno v(Panjer, 1981) oziroma v (Panjer, 1980) za poseben primer, izraˇ cunamo z g 0 =            e λ(f 0 −1) zaN∼Po(λ),  p 1−(1−p)f 0  α zaN∼NB(α,p), (pf 0 +1−p) n zaN∼Bin(n,p). V primeru, ko jef 0 =0, se zgornja enaˇ cba poenostavi vg 0 =p 0 . Bistvena prednost Panjerjeve rekurzije pred raˇ cunanjem s konvolucijo po enaˇ c- bi (6.4) je manjše število operacij, saj v prvem primeru potrebujemo O(m 2 ), v drugem pa O(m 3 ) množenj in deljenj, ˇ ce raˇ cunamo do g m in je r=m. Tudi ˇ ce želimo F S (x) poznati do mh, porazdelitvene funkcije F X (x) obiˇ cajno ni treba diskretizirati domh, saj je verjetnost, da biposamezna odškodnina doseglamh, praktiˇ cno niˇ c. ˇ Ce jer r oziroma je P r k=0 f k ≈ 1, za rekur- zivni izraˇ cun zadošˇ ca žeO(mr) operacij (glej Komelj, 2004, str. 40). Omenimo le še to, da pri praktiˇ cni uporabi Panjerjeve rekurzije hitro naletimo na numeriˇ cnetežave z obsegomštevil (pogoja underflowin overflow), ki pa se jih da odpraviti na veˇ c naˇ cinov (glej npr. Komelj, 2004, str. 42 in 43). Ena od rešitev je tudi uporaba Waldmannove rekurzije (glej Waldmann, 1996, in Komelj, 2004, str. 43), katere stranski produkt je tudi izraˇ cun stop-loss premije. Po odkritju Panjerjeve rekurzije, ki je uporabna le za raˇ cunanje agregatnih od- škodnin, porazdeljenih sestavljeno Poissonovo, sestavljeno negativno binomsko ali sestavljeno binomsko, so razliˇ cni avtorji odkrili rekurzivne formule še za pre- cej drugih verjetnostnih funkcij sluˇ cajne spremenljivke N (glej npr. Sundt & Jewell, 1981; Willmot, 1988; Sundt, 1992; Hesselager, 1994; Wang & Sobrero, 1994). Prav tako se da Panjerjeva rekurzija posplošiti tudi za veˇ crazsežne po- razdelitve (glej Sundt, 1999), kar je uporabnonpr. pri optimizaciji pozavarovanja (glej Walhin, 2003). Omenimoše,dajemogoˇ ceverjetnostnofunkcijovsehtrehporazdelitev,zakatere 133 je primerna Panjerjeva rekurzija, zapisati z eno samo formulo za verjetnostno funkcijo enotne porazdelitve z dvema parametroma (glej Fackler, 2009). 6.4.4 Izraˇ cunis simulacijo Za simulacijo potrebujemo generator nakljuˇ cnih števil, ki so enakomerno poraz- deljena na enotnem intervalu. Nakljuˇ cnih števil ne smemo generirati z nakljuˇ cno izbranimi metodami (Knuth, 1981, str. 5), zato generatorji nakljuˇ cnih števil obi- ˇ cajno iz neke zaˇ cetne vrednosti (semena) po natanko doloˇ cenem postopku gene- rirajo zaporedje psevdonakljuˇ cnih števil. Tako dobljena števila sicer niso nak- ljuˇ cna,vendar jihzrazliˇ cnimistatistiˇ cnimi testi nemoremorazloˇ citi oddejansko nakljuˇ cnih števil, ˇ ce je le generator dober. ˇ Ce s takim generatorjem dobimo nak- ljuˇ cno vrednost u, ki se nanaša na sluˇ cajno spremenljivko U ∼ U[0,1], potem je x=F −1 X (u) nakljuˇ cna vrednost, ki se nanaša na sluˇ cajno spremenljivko X s porazdelitveno funkcijoF X (x), saj jeF −1 X (U) d =X. Opisana metoda je izredno enostavna, kadar je mogoˇ ce funkcijo F −1 X (x) anali- tiˇ cno izraziti. Za tiste porazdelitve, za katere funkcije F −1 X (x) ne znamo anali- tiˇ cnoizraziti,pavrednostx=F −1 X (u)poišˇ cemoznumeriˇ cnimreševanjemenaˇ cbe F X (x)−u=0, ˇ ce zanje ne obstajajo posebni generatorji nakljuˇ cnih števil. Tudi taki generatorji, npr. Box-Mullerjeva oziroma polarna metoda za standardizirano normalno porazdelitev (glej npr. Press, Flannery, Teukolsky & Vetterling, 1992, str. 224), temeljijo na generatorjih enakomerno porazdeljenih nakljuˇ cnih števil na enotnem intervalu, vendar pa pogosto s primerno transformacijo zaobidejo reševanje enaˇ cbeF X (x)−u=0, da so hitrejši. Naˇ celomazaceloštevilskesluˇ cajnespremenljivkenakljuˇ cnevrednostigeneriramo analognokot pri zveznih sluˇ cajnih spremenljivkah, seveda pa tudi v tem primeru za doseganje veˇ cje hitrosti obstajajo razliˇ cni posebni prijemi za posamezne po- razdelitve. Veˇ c o problematiki generiranja ustrezno porazdeljenih sluˇ cajnih spremenljivk najdemo v (Komelj, 2004, str. 46–49, in Press et al., 1992), predvsem pa v (Knuth, 1981). S simulacijo oziroma z metodo Monte Carlo, kot veˇ ckrat reˇ cemo, razmeroma pre- prosto doloˇ cimo porazdelitveno funkcijo F S (x), ˇ ce poznamo verjetnostno funk- cijo sluˇ cajne spremenljivke N in porazdelitveno funkcijo F X (x) sluˇ cajnih spre- menljivkX 1 ,X 2 ,... Zadošˇ ca namreˇ c, da za dovolj veliko število let najprej simuli- ramoletnošteviloodškodnin,natopašeposamezneodškodnine,kijihseštejemo. Tako dobimo vzorec agregatnih odškodnin, iz katerega lahko sestavimo vzorˇ cno 134 porazdelitveno funkcijo. ˇ Ce je potrebno, na podlagi dobljenega vzorca na na- ˇ cin, opisan v razdelku 6.3, doloˇ cimo analitiˇ cno izraženo porazdelitveno funkcijo F S (x). Vsekakor za reševanje našega problema poˇ casnost,ki jo nekateri še vedno pripisujejo metodi simulacije, ni resna ovira. 6.4.5 Izraˇ cunina podlagi inverzne Fourierovetransformacije Problema, kako izraˇ cunati porazdelitveno funkcijo F S (x), se lahko lotimo tudi tako, da najprej izraˇ cunamo karakteristiˇ cno funkcijo ϕ S (t) = E[e itS ] sluˇ cajne spremenljivkeS, ki enoliˇ cno doloˇ caf S (x), izϕ S (t) izraˇ cunamo f S (x), nato pa z integriranjem šeF S (x). Za zaˇ cetek raˇ cunanja zadošˇ ca poznavanje verjetnostne funkcijep n ,n=0,1,2..., sluˇ cajne spremenljivke N in porazdelitvene funkcije F X (x) sluˇ cajnih spremen- ljivkX 1 ,X 2 ,... Toomogoˇ caizraˇ cun rodovnefunkcijeG N (s)=E[s N ]= P ∞ n=0 p n s n sluˇ cajne spremenljivke N in karakteristiˇ cne funkcije ϕ X (t)=E[e itX 1 ] sluˇ cajnih spremenljivkX 1 ,X 2 ,... Kerimasluˇ cajnaspremenljivkaS=X 1 +···+X n gostoto verjetnosti f ∗n X (x) in karakteristiˇ cno funkcijo (ϕ X (t)) n , zaradi aditivnosti priˇ ca- kovane vrednosti in enaˇ cbe (6.2) dobimo ϕ S (t)= ∞ X n=0 p n (ϕ X (t)) n =G N (ϕ X (t)). Topomeni,da lahkopredpostavimo poznavanje karakteristiˇ cne funkcijeϕ S (t)in se osredotoˇ cimo na problem, kako iz nje izraˇ cunatif S (x). Za diskretno sluˇ cajno spremenljivko N z zalogo vrednosti{x 0 ,x 1 ,x 2 ,...} je ka- rakteristiˇ cna funkcija ϕ N (t) Fourier-Stieltjesova transformiranka verjetnostne funkcije p n , n= 0,1,2... Le-to iz znane karakteristiˇ cne funkcije izraˇ cunamo z inverzno Fourier-Stieltjesovo transformacijo po enaˇ cbi p n = lim R→∞ 1 2π Z R −R e −itx n ϕ N (t)dt (n=0,1,2...), ki se za sluˇ cajno spremenljivkoN z zalogo vrednostiN poenostavi v p n = 1 2π Z π −π e −itn ϕ N (t)dt (n=0,1,2...). Za zvezno sluˇ cajno spremenljivko X s porazdelitveno funkcijo F X (x) je karakte- ristiˇ cna funkcija ϕ X (t) Fourierova transformiranka gostote verjetnosti f X (x). Iz znane karakteristiˇ cne funkcije gostoto verjetnosti izraˇ cunamo z inverzno Fourie- rovo transformacijo. ˇ Ce je R ∞ −∞ |ϕ X (t)|dt <∞, potem jeF X (x) absolutno zvezna, 135 f X (x) pa zvezna funkcija. Izraˇ cunamo jo po enaˇ cbi f X (x)= 1 2π Z ∞ −∞ e −itx ϕ X (t)dt, (6.6) ki jo lahko predelamo v f X (x)= 1 π Z ∞ 0 Re[e −itx ϕ X (t)]dt. V splošnem primeru velja, da je za toˇ ckox, v kateri je funkcijaF X (x) zvezna, F X (x)= lim y→−∞ lim R→∞ 1 2π Z R −R e −ity −e −itx it ϕ X (t)dt. ˇ Ce je R ∞ −∞ |ϕ X (t)|dt<∞, zgornjo enaˇ cbo lahko predelamo v F X (x)= 1 2 − 1 π Z ∞ 0 Im[e −itx ϕ X (t)] t dt. (6.7) Vrnimo se k sluˇ cajni spremenljivki S, ki je zvezna, ˇ ce je p 0 =0, sicer pa je me- šana, ker ima porazdelitvena funkcijaF S (x) v toˇ ckix=0 skok z 0 nap 0 . V obeh primerih jo lahko zapišemo kotS=(1−p 0 )S 1 +p 0 S 2 , kjer staS 1 inS 2 neodvisni sluˇ cajni spremenljivki. S 1 je zvezna s porazdelitveno funkcijo F S 1 (x)=      0 zax<0, F S (x)−p 0 1−p 0 zax≥0, S 2 pa je diskretna z verjetnostno funkcijoP(S 2 =0)=1. Ker je ϕ S (t)=E[e it((1−p 0 )S 1 +p 0 S 2 ) ]=E[e it(1−p 0 )S 1 ]E[e itp 0 S2 ]=ϕ S 1 ((1−p 0 )t)ϕ S 2 (p 0 t) in je ϕ S 2 (t)≡ 1, je ϕ S (t)=ϕ S 1 ((1−p 0 )t) oziroma ϕ S 1 (t)=ϕ S ( t 1−p 0 ). Iz abso- lutne integrabilnosti ϕ S 1 (t) na realni osi sledi absolutna integrabilnost ϕ S (t) in nasprotno. Tako ni nobene potrebe, da biF S (x) raˇ cunali po ovinku, tako da bi po enaˇ cbi (6.7) izraˇ cunaliF S 1 (x), nato pa sestaviliF S (x)=p 0 +(1−p 0 )F S 1 (x). V praksi je zelo pomemben primer, ko porazdelitvena funkcija F X (x) ni zvezna, kerimavtoˇ ckix=M skoknakonˇ cnovrednost1. Natakomožnostnaletimo,ˇ ceje jamstvozavarovalnice zzavarovalnovsotonavzgoromejeno,takodaodškodnina ne more preseˇ ci zgornje meje M, pa tudi takrat, ko imamo škodno presežkovno pozavarovanje s prioriteto M, zanimajo pa nas ˇ ciste agregatne odškodnine. V takem primeru porazdelitvena funkcija F S (x) ni zvezna, ker ima skok v toˇ cki 136 x=M in v njenih pozitivnih mnogokratnikih. Tudi v takem primeru pa lahko uporabimo enaˇ cbo (6.7). V splošnem primeru je praktiˇ cno raˇ cunanje F S (x) po enaˇ cbi (6.7) zahtevno. ˇ Ce pa je sluˇ cajna spremenljivkaN porazdeljena Poissonovo, negativno binomsko ali binomsko, F X (x) pa aproksimiramo z odsekoma linearno funkcijo, se da enaˇ cbo (6.7) predelati v obliko, ki je primerna za numeriˇ cno raˇ cunanje. Za podrobnosti glej (Komelj, 2004, str. 32–34), predvsem pa (Heckman & Meyers, 1983, 1984). V prejšnjem odstavku omenjenem postopku preskoˇ cimo z zvezne obravnave na diskretno šele pri numeriˇ cnem integriranju, v nadaljevanju pa si bomo ogledali še zelo pomembno varianto izraˇ cuna, kjer tak preskok naredimo že kmalu na zaˇ cetku. V ta namen si najprej oglejmo diskretno Fourierovo transformacijo. Naj bo{f k }=h...,f −2 ,f −1 ,f 0 ,f 1 ,f 2 ,...i neskonˇ cno periodiˇ cno zaporedje kom- pleksnih števil s periodo n, za katero je f k =f kmodn za vsak k∈ Z. Vrednosti f 0 ,f 1 ,...,f n−1 natanko doloˇ cajo zaporedje{f k } in periodiˇ cno funkcijof: k֏f k izZ vC. Zaporedje{f k } preslikajmo z diskretno Fourierovo transformacijo ˜ f k = n−1 X j=0 f j e 2πi n jk (k∈Z) (6.8) v zaporedje{ ˜ f k }=h..., ˜ f −2 , ˜ f −1 , ˜ f 0 , ˜ f 1 , ˜ f 2 ,...i. Tudi to zaporedje, ki ga lahko in- terpretiramo kot funkcijo ˜ f: k֏ ˜ f k izZ vC, je oˇ citno periodiˇ cno s periodo n in zatonatankodoloˇ cenozvrednostmi ˜ f 0 , ˜ f 1 ,..., ˜ f n−1 . Iznjegazinverznodiskretno Fourierovo transformacijo f k = 1 n n−1 X j=0 ˜ f j e − 2πi n jk (k∈Z) (6.9) { ˜ f k } preslikamo nazaj v{f k } (glej npr. Komelj, 2004, str. 35). Z enaˇ cbama (6.8) in (6.9) sta definirani preslikavi, ki ju simboliˇ cno zapišemo z operatorjem DFT (Discrete FourierTransform)kot{ ˜ f k }=DFT{f k }in{f k }=DFT −1 { ˜ f k },pritempa zaradi periodiˇ cnosti zadošˇ ca raˇ cunanje le zak=0,1,...,n−1. Raˇ cunanje diskretne Fourierove transformacije po enaˇ cbi (6.8) in inverzne Fouri- erove transformacije po enaˇ cbi (6.9) zahteva O(n 2 ) operacij, a se da zmanjšati na O(nlog 2 n). To je za velike n bistveno hitreje, zato se izboljšani postopek, ki je skiciran tudi v (Komelj, 2004, str. 37), imenuje hitra Fourierova transforma- cija. Uporablja sepredvsemvprocesiranjusignalovinjepo mnenjumnogiheden najpomembnejših algoritmov sploh (glej npr. Rockmore, 2000). Zato bomo v na- daljevanjunamestooperatorjaDFTrajeuporabljalikaroperatorFFT(FastFourier 137 Transform), ki se od DFT ne razlikuje po vsebini, ampak le po implementaciji. S podrobnostmi izraˇ cuna, ki ga je mogoˇ ce opraviti tudi v originalni kompleksni ta- beli, v kateri je shranjen izhodišˇ cni vektorhf 0 ,f 1 ,...,f n−1 i, se tu ne bomoukvar- jali. Algoritem je zaradi svoje pomembnostiteoretiˇ cno dobroobdelan, obstaja pa tudi cela paleta algoritmov, prirejenih za posebne primere (glej npr. Press et al., 1992), in prosto dostopnih programskih implementacij, npr. tista v programu R (glej R Development Core Team, 2011). Poleg hitrosti je za naš namen bistveno to, da FFTtransformacija zelo poenostavi izraˇ cun cikliˇ cne diskretne konvolucije. Naj bosta{f k } in{g k } poljubni neskonˇ cni kompleksniperiodiˇ cnizaporedjisperiodon,{(fg) k }zaporedje,dobljenozmno- ženjem istoležnihˇ clenovzaporedij{f k } in{g k },{(f∗g) k } pa njuna cikliˇ cna dis- kretna konvolucija, definirana z enaˇ cbo (f∗g) k = n−1 X j=0 f j g k−j (k∈Z). (6.10) Tudi cikliˇ cna diskretna konvolucija {(f ∗ g) k } je natanko doloˇ cena že s ˇ cleni zaporedja z indeksi k= 0,1,...,n− 1. Namesto da bi jo raˇ cunali po definiciji (6.10), jo lahko izraˇ cunamo hitreje z{(f∗g) k }=FFT −1 { ˜ f k ˜ g k } (glej npr. Komelj, 2004, str. 35). To pomeni, da najprej izraˇ cunamo hitri Fourierovi transformi- ranki{ ˜ f k }=FFT{f k } in{˜ g k }=FFT{g k }, zmnožimo istoležneˇ clene, nato pa izra- ˇ cunamo še inverzno hitro Fourierovo transformacijo. ˇ Ce za sluˇ cajno spremenljivko X z zalogo vrednosti{0,h,...,(n−1)h} in verjet- nostno funkcijo f k =P(X=kh), k= 0,1,...,n−1, izraˇ cunamo ϕ X (t)=E[e itX ] v toˇ cki t= 2πk nh za k ∈ {0,1,...,n− 1}, dobimo ˜ f k . Zato vˇ casih tudi vektorju h ˜ f 0 , ˜ f 1 ,..., ˜ f n−1 i reˇ cemo kar karakteristiˇ cna funkcija. V nadaljevanju opisana metoda za izraˇ cun agregatnih odškodnin temelji na hitri Fourierovi transformaciji. Uporabna je v primerih, ko je porazdelitev odškodnin podana z verjetnostno funkcijo P(X=kh)=f k , k= 0,1,...,r−1, kjer sta h in r primerno izbrani vrednosti. Ustrezno obliko iz zvezne porazdelitvene funkcije F X (x) dobimo s postopkom ekvidistantne diskretizacije, ki smo ga opisali pri re- kurzivnem izraˇ cunu, le da smo tam funkcijo F X (x) diskretizirali do rh, tu pa do (r−1)h. Kot bomo videli, je izjemno pomembno, da raˇ cunamo z ekvivalentno verjetnostnofunkcijof k ,k=0,1,...,n−1,kjerjen=2r terf k =0zak≥ n 2 =r. Na tako definirano verjetnostno funkcijo lahko gledamo kot na podzaporedje pe- riodiˇ cnega zaporedja{f k }=h...,f −2 ,f −1 ,f 0 ,f 1 ,f 2 ,...i s periodo n, za katerega jef k =f kmodn za vsakk∈Z. Naj bo Y sluˇ cajna spremenljivka z verjetnostno funkcijo g k =P(Y=kh), k = 138 0,1,...,n−1,kidoloˇ cazaporedje{g k }=h...,g −2 ,g −1 ,g 0 ,g 1 ,g 2 ,...i speriodon, ing k =0 zak≥ n 2 . Naj bosta sluˇ cajni spremenljivki X in Y neodvisni in Z=X+ Y. Vse mogoˇ ce vrednosti sluˇ cajne spremenljivke Z so mnogokratniki koraka h. Najveˇ cja mogoˇ cavrednost je 2(r−1)h=(n−2)h, zato jeh k =P(Z=kh)=0 za k≥n−1. Preostale verjetnosti izraˇ cunamo z diskretno konvolucijo h k = k X j=0 f j g k−j (k=0,1,...,n−1). (6.11) Da enaˇ cba velja tudi za k=n−1, ko je vrednost(n−1)h za vsoto X+Y nedo- segljiva, smo lahko zapisali zato, ker je f j g n−1−j =0 za j=0,1,...,n−1, saj je f j =0 zaj≥ n 2 ing n−1−j =0 zaj≤ n 2 −1. ˇ Ce na verjetnostno funkcijo sluˇ cajne spremenljivke Z gledamo kot na podzapo- redje cikliˇ cnega zaporedja s periodo n, enaˇ cba (6.11) velja za vsak k∈ Z in se od enaˇ cbe (6.10) razlikuje le po meji, do katere seštevamo. V našem primeru, ko na verjetnostni funkcijif k ing k ,k= 0,1,...,r−1, gledamo kot na podzaporedji dolžine r, dopolnjeni z r niˇ clami do dolžine n=2r, sta enaˇ cbi (6.10) in (6.11) ekvivalentni. Nadaljevanje seštevanja na desni strani enaˇ cbe (6.11) namreˇ c nima smisla, ker je P n−1 j=k+1 f j g k−j =0 (glej Komelj, 2004, str. 36). Ugotovili smo, da v primeru, ko je izpolnjen pogoj f k =g k =0 za k≥ n 2 , verjet- nostno funkcijo vsote Z=X+Y namesto z diskretno konvolucijo lahko izraˇ cu- namo tudi s cikliˇ cno diskretno konvolucijo. Zato lahko uporabimo enaˇ cbo {h k }={(f∗g) k }=FFT −1 { ˜ f k ˜ g k } (k=0,1,...,n−1). Naj bo N sluˇ cajna spremenljivka z verjetnostno funkcijo P(N=k)=p k , k = 0,1,2..., in rodovno funkcijo G N (s). Naj bodo X 1 ,X 2 ,... od N in med seboj ne- odvisne inenako porazdeljene sluˇ cajnespremenljivke z verjetnostnofunkcijof k , k= 0,1,...,r−1. Verjetnostno funkcijo P(S=kh)=g k , k= 0,1,2..., sluˇ cajne spremenljivke S= P N i=1 X i lahko izraˇ cunamo po enaˇ cbi (6.4). ˇ Ce na zaporedje {g k } uporabimo FFT operator, za katerega iz enaˇ cbe (6.8) vidimo, da je linearen, dobimo FFT{g k }= ∞ X j=0 p j FFT{f ∗j k }= ∞ X j=0 p j { ˜ f j k }={G N ( ˜ f k )} in od tu {g k }=FFT −1 {G N ( ˜ f k )}. Pri raˇ cunanju po zgornji enaˇ cbi je pomembna pravilna izbira števila n. ˇ Ce je n premajhen, zaradi cikliˇ cnosti dobimo izkrivljene rezultate. ˇ Ce bi raˇ cunali ver- 139 jetnostno funkcijo za S=X 1 +···+X j po enaˇ cbi{f ∗j k }=FFT −1 { ˜ f j k }, bi morali podzaporedjef 0 ,f 1 ,...,f r−1 dopolnitizniˇ clamidodolžinen,kijeveˇ cjaalienaka jr. Zaradi specifiˇ cnosti implementacije hitre Fourierove transformacije obiˇ cajno zahtevamo še, da je n potenca števila 2, ni pa to nujno. V našem primeru j teˇ ce v neskonˇ cnost, zato bi morali analizirati velikosti elementov p j ˜ f j k oziroma hitrost konvergence neskonˇ cne vrste. Enostavneje in dovolj natanˇ cno pa je, ˇ ce izraˇ cunamoE[S] inσ S ter z normalnoaproksimacijo doloˇ cimo takn=2 m , da bo F S (nh)≈1. S hitro Fourierovo transformacijo lahko preprosto izraˇ cunamo tudi porazdelit- veno funkcijo sluˇ cajne spremenljivke S= P n i=1 X i , kjer so sluˇ cajne spremenljivke X 1 ,...,X n neodvisneinrazliˇ cnoporazdeljene. PorazdelitvenefunkcijeF X 1 ,...,F X n moramo diskretizirati z istim korakom h, za vsako od njih izraˇ cunati karakteri- stiˇ cno funkcijo, dobljeno s hitro Fourierovo transformacijo, karakteristiˇ cne funk- cije po komponentah zmnožiti in izraˇ cunati inverzno hitro Fourierovo transfor- macijo. Tako lahko zelo enostavno dodatno agregiramo odškodnine na višjih ravneh, ˇ ce jih, denimo, na prvi ravni raˇ cunamo za posamezne zavarovalne vr- ste. Tako najprej za k-to zavarovalno vrsto izraˇ cunamo karakteristiˇ cno funkcijo vsote S k = P N k i=1 X ki , kjer so X k1 ,...,X kN k neodvisne in enako porazdeljene slu- ˇ cajne spremenljivke ter N k od njih neodvisna sluˇ cajna spremenljivka, nato pa z množenjem dobljenih karakteristiˇ cnih funkcij po komponentah izraˇ cunamo še karakteristiˇ cno funkcijo sluˇ cajne spremenljivkeS= P n k=1 S k . Zanimivo in podrobno predstavitev uporabe hitre Fourierove transformacije za izraˇ cun agregatnih odškodnin, vkljuˇ cno s podrobno predstavitvijo algoritmov in obravnavonezanesljivostiparametrov, silahkoogledamov(Robertson,1992). Tu lešeomenimo,dajebilavprejšnjemodstavkuopisanaprožnostizraˇ cunovshitro Fourierovo transformacijo pomemben motiv za iskanje metode, ki bi omogoˇ cila njenouporabo tudipriseštevanju koreliranih sluˇ cajnih spremenljivk. Potdo tega cilja je za poseben primer predstavljena v naslednjem poglavju v razdelku 7.5. 7 Izraˇ cun porazdelitvenihfunkcijvsot koreliranihsluˇ cajnih spremenljivk V prejšnjem poglavju smo si ogledali, kako za kolektivni model rizikov izraˇ cu- namo vsoto S= P N i=1 X i nakljuˇ cnega števila neodvisnih sluˇ cajnih spremenljivk, ki so enako porazdeljene. ˇ Ce opustimo predpostavko o neodvisnosti, za izra- ˇ cun S potrebujemo še informacijo o strukturi odvisnosti sluˇ cajnih spremenljivk X 1 ,...,X N . V praksi je obiˇ cajno priˇ cakovano številoE[N] sluˇ cajnih spremenljivk 140 veliko, zlasti v zavarovalništvu, ko z njimi modeliramo višine odškodnin. Zato je iluzorno priˇ cakovati poznavanje medsebojne odvisnosti za vse mogoˇ ce pare X i , X j , 1≤i0, je definirana za x>0 in ima prva dva zaˇ cetna momenta m 1 =e µ + 1 2 σ 2 in m 2 =e 2µ +2σ 2 . Po logaritmiranju in razrešitvi sistema dveh enaˇ cb z dvema nez- 142 nankama dobimo 18 µ =2 logm 1 − 1 2 logm 2 = log m 2 1 √ m 2 ! , σ= q logm 2 −2 logm 1 = v u u t log m 2 m 2 1 ! . Ko v zgornji enaˇ cbi zam 1 inm 2 vstavimoµ S inµ 2 S +σ 2 S , dobimo µ = logµ S − 1 2 log(1+̺ 2 S ), σ= q log(1+̺ 2 S ), kjer je̺ S = σ S µ S koeficient variacije, in privzamemoS∼LN(µ,σ 2 ). Gama porazdelitvena funkcija F(x)= 1 Γ(α) R λx 0 t α−1 e −t dt, α,λ>0, ima prva dva zaˇ cetnamomentaenakam 1 = α λ inm 2 = α(α+1) λ 2 . Zrazrešitvijosistemadvehenaˇ cb zdvemaneznankamadobimoα= m 2 1 m 2 −m 2 1 inλ= m 1 m 2 −m 2 1 . Kozam 1 inm 2 vstavimo µ S inµ 2 S +σ 2 S , dobimoα= µ 2 S σ 2 s inλ= µ S σ 2 S ter privzamemoS∼Γ(α,λ). Sevedalahkouporabimotudikakšnodrugodvoparametriˇ cnoporazdelitvenofunk- cijo, vendar vnobenemprimeru nimamozanesljivega kriterija, s katerim bilahko ocenili kvaliteto aproksimacije. Morda je še najboljši praktiˇ cni kriterij, da naj- prej eksaktno in po metodi momentov izraˇ cunamo oziroma aproksimiramo po- razdelitveno funkcijo sluˇ cajne spremenljivke ˜ S= P n i=1 X i ob predpostavki, da so sluˇ cajne spremenljivkeX 1 ,...,X n neodvisne. ˇ Ce se tako dobljenipomožni poraz- delitvi kveˇ cjemu nebistveno razlikujeta, sklepamo, da to velja tudi v koreliranem primeru, sicer pa aproksimaciji ne zaupamo. Pri tem opozorimo še na to, da je od metod iz razdelka 6.4 za preverjanje uporaben izraˇ cun na podlagi inverzne Fourierove transformacije, pa tudi simulacija, saj jo brez težav priredimo za slu- ˇ cajne spremenljivke, ki so vsote znanega števila razliˇ cno porazdeljenih sluˇ cajnih spremenljivk. Opisanemu naˇ cinu preverjanja kvalitete aproksimacije poleg nezanesljivosti lah- ko oˇ citamo tudi neracionalnost, saj z zapleteno metodo rešujemo pomožni prob- lem, da bi upraviˇ cili uporabo preproste metode za reševanje glavnega problema. To slabost sicer neobveznega preverjanja kvalitete aproksimacije odpravlja me- toda dodanega šuma, ki zna koristno uporabiti pomožni rezultat za sluˇ cajno 18 V(Komelj,2004,priloge,str. 30)stanavedenienaˇ cbi,kijuizvzorcadobimozmetodonajveˇ c- jega verjetja. Zravenpiše, daju dobimo tudi z metodomomentov, kar je napaka. Dejanskoju dobimo z metodo momentov za logaritem izhodišˇ cne sluˇ cajne spremenljivke. 143 spremenljivko ˜ S. 7.2 Metoda dodanega šuma Tudi metoda dodanega šuma je aproksimacijska metoda, ki temelji na izena- ˇ citvi prvih dveh momentov. Njeno izhodišˇ ce je predpostavka, da je S= ˜ S+Z, kjer je ˜ S= P n i=1 X i ob predpostavki, da so sluˇ cajne spremenljivke X 1 ,...,X n ne- odvisne, Z pa od ˜ S neodvisna neznana sluˇ cajna spremenljivka. Ob teh pred- postavkah je E[ ˜ S]=E[S], iz ˇ cesar sledi E[Z]=0, ter var[ ˜ S]= P n i=1 var[X i ] in var[S]=var[ ˜ S]+var[Z], tako da jeσ 2 Z =var[Z]=2 P 1≤i0, je predznak v enaˇ cbiZ=d±X enak predznakuγ Z . 144 Naj bo η= p e σ 2 −1. Ker je γ X =(η 2 +3)η, za γ Z >0 dobimo enaˇ cbo η 3 +3η− γ Z =0, za γ Z <0 pa η 3 +3η+γ Z =0. Obe lahko združimo v tretji pogoj η 3 + 3η−|γ Z |=0. Na levi strani enaˇ caja je narašˇ cajoˇ c kubiˇ cni polinom, ki je v toˇ cki 0 negativen. Zato imasamoenorealnoniˇ clo ˆ η,kipa jepozitivna. Znjoizraˇ cunamo σ= p log(1+ ˆ η 2 ), iz prvih dveh pogojev pa dobimo še d=µ Z − sgn(γ Z ) σ Z ˆ η in µ = logσ Z −logˆ η− 1 2 log(1+ ˆ η 2 ). V našem posebnem primeru je poleg µ Z =0 predpisan le še standardni odklon σ Z . Zato lahko poljubno izberemo koeficient asimetrije γ Z , poišˇ cemo koren ku- biˇ cne enaˇ cbe η 3 + 3η−|γ Z |=0 ter z njim izraˇ cunamo σ = p log(1+ ˆ η 2 ), d= −sgn(γ Z ) σ Z ˆ η in µ = logσ Z −logˆ η− 1 2 log(1+ ˆ η 2 ). Tako tudi v tem primeru lahko najdemo poljubno število razliˇ cnih aproksimacij porazdelitvene funkcije F S (x). Za nobeno od njih pa nimamo garancije, da je taka, kot bi jo dobili s kakšno veˇ c- razsežno porazdelitveno funkcijo z danimi robnimi porazdelitvenimi funkcijami in predpisano kovarianˇ cno oziroma korelacijsko matriko. Premaknjena logaritemsko normalna porazdelitev nam omogoˇ ca modeliranje ne- gativno asimetriˇ cnih nenegativnih sluˇ cajnih spremenljivk, za kar logaritemsko normalna porazdelitev ni primerna. Z dovolj velikim pozitivnim premikom za d lahkopraktiˇ cnoizniˇ cimouˇ cinekzrcaljenjapreky-osi,kipozitivnevrednostispre- meni v negativne in obratno, seveda pa so teoretiˇ cno še vedno mogoˇ ce negativne vrednosti. To pa je enaka napaka, kot jo zagrešimo,ˇ ce z normalnoporazdelitvijo aproksimiramo nenegativne sluˇ cajne spremenljivke. 7.3 Izraˇ cunis simulacijonormalnein Studentove kopule Naj bo Z=(Z 1 ,...,Z m ) t sluˇ cajni vektor z neodvisnimi standardizirano normalno porazdeljenimi komponentami. ˇ Ce je µ =(µ 1 ,...,µ n ) t in A poljubna n×m raz- sežna matrika, potem je sluˇ cajni vektor X=µ +AZn-razsežno normalno poraz- deljen. To je ena od veˇ c ekvivalentnih definicij veˇ crazsežne normalne porazde- litve, ki jo navajajo npr. McNeil et al. (2005, str. 66). Iz nje sledi, da jeE[X]=µ in cov[X]=Σ, kjer jeΣ=AA t n×n razsežna kovarianˇ cna matrika. Naj bo X=(X 1 ,...,X n ) t n-razsežno normalno porazdeljen sluˇ cajni vektor s pri- ˇ cakovano vrednostjo µ in s pozitivno definitno kovarianˇ cno matriko Σ. Matriko Σ z metodo Choleskega (glej npr. Bohte, 1994, str. 113) razcepimo na produkt Σ=LL t , kjer jeL spodnje trikotna matrika. Naj bom=n in Y=µ +LZ. Sluˇ cajni vektorYjeporazdeljenn-razsežnonormalnospriˇ cakovanovrednostjoµ inkova- rianˇ cnomatrikoΣ, torejenako kot sluˇ cajnivektorX. To namomogoˇ cauˇ cinkovito generiranjenakljuˇ cnihn-razsežnihnormalnoporazdeljenih sluˇ cajnihvektorjev z algoritmom 7.1 (glej npr. McNeil et al., 2005, str. 66). 145 Algoritem 7.1: Generiranjenakljuˇ cnega vzorca sluˇ cajnega vektorja X∼N n (µ, Σ). Podatki: 1. n – razsežnost vzorca. 2. µ –n-razsežen vektor (priˇ cakovana vrednost). 3. Σ –n×n razsežnapozitivno definitna kovarianˇ cna matrika. Rezultat: x – nakljuˇ cenn-razsežen vzorec sluˇ cajnega vektorja X∼N n (µ, Σ). Postopek: 1. MatrikoΣ po metodi Choleskega razcepi naΣ=LL t , kjer je L spodnje trikotna matrika. 2. Nakljuˇ cno generiraj n standardizirano normalno porazdeljenih vrednosti in jih združi v vektor z=(z 1 ,...,z n ) t . 3. Izraˇ cunajx=µ +Lz. Opomba 7.1: V algoritmu 7.1 smo se osredotoˇ cili le na kljuˇ cne korake. Zato ge- neriranje standardizirano normalno porazdeljenih nakljuˇ cnih vrednosti obravna- vamo kot elementaren korak. Opravimo ga lahko na veˇ c naˇ cinov, npr. z Box-Mul- lerjevo oziroma polarno metodo, ki jo najdemo v (Press et al., 1992, str. 224, in Knuth, 1981, str. 117), ali pa z metodo razmerja (Knuth, 1981, str. 125). Seveda imajo razni programi, denimo R, ustrezno funkcijo že vgrajeno.  Med Studentovo in normalno porazdelitvijo obstaja stohastiˇ cna povezava X d =µ + √ ν √ W Z, po kateri je X∼ t n (ν,µ, Σ), ˇ ce je Z ∼ N n (0,Σ) in W ∼ χ 2 ν od Z neodvisna slu- ˇ cajna spremenljivka (Embrechts et al., 2003, str. 26). To nam omogoˇ ca, da z malenkostno spremembo algoritma 7.1 sestavimo algoritem 7.2 za generiranje nakljuˇ cnihn-razsežnih Studentovo porazdeljenih sluˇ cajnih vektorjev. Algoritem 7.2: Generiranjenakljuˇ cnega vzorca sluˇ cajnega vektorja X∼t n (ν,µ, Σ). Podatki: 1. n – razsežnost vzorca. 2. ν – število prostostnih stopenj. 3. µ –n-razsežen vektor (priˇ cakovana vrednost,ˇ ce jeν >1). 4. Σ –n×n razsežnapozitivno definitna disperzijska matrika. Rezultat: x – nakljuˇ cenn-razsežen vzorec sluˇ cajnega vektorja X∼t n (ν,µ, Σ). Postopek: 1. MatrikoΣ po metodi Choleskega razcepi naΣ=LL t , kjer je L spodnje trikotna matrika. 2. Nakljuˇ cno generiraj n standardizirano normalno porazdeljenih vrednosti in jih združi v vektor z=(z 1 ,...,z n ) t . 3. Za sluˇ cajno spremenljivkoW∼χ 2 ν nakljuˇ cno generiraj od vektorja z neodvisenw. 4. Izraˇ cunajx=µ + √ ν √ w Lz. 146 Najbosluˇ cajnivektorYporazdeljenstandardiziranonormalno,torejY∼N n (0,Σ), kjer jeΣ hkrati kovarianˇ cna in korelacijska matrika. Normalna kopulaC Ga Σ , ki po- vezujenjegovekomponente,poizreku5.11povezujetudikomponentesluˇ cajnega vektorja, ki ga iz Y dobimo s strogo narašˇ cajoˇ cimi transformacijami komponent. ˇ Ce komponente nakljuˇ cnega vzorca y, dobljenega z algoritmom 7.1, transformi- ramo s funkcijo Φ, dobimo nakljuˇ cni vzorec u sluˇ cajnega vektorja U, katerega porazdelitvena funkcija je kopula C Ga Σ . ˇ Ce nato komponente nakljuˇ cnega vzorca utransformiramosfunkcijamiF −1 X 1 ,...,F −1 X n ,poizreku5.10dobimonakljuˇ cnivzo- rec x sluˇ cajnega vektorja X z robnimi porazdelitvenimi funkcijami F X 1 ,...,F X n in komponentami, ki jih povezuje kopula C Ga Σ . To pa ne pomeni, da je matrika Σ X linearnih korelacijskih koeficientov med komponentami sluˇ cajnega vektorja X enaka matrikiΣ. Predpostavimo,dakomponentesluˇ cajnegavektorjaXzrobnimiporazdelitvenimi funkcijami F X 1 ,...,F X n povezuje normalna kopula C Ga Σ , za katero matrike Σ še ne poznamo. Porazdelitev sluˇ cajnega vektorja X želimo s simulacijo modelirati tako, da se bo dobro prilegala izkustveno dobljenim m vzorˇ cnim podatkom, ki jih po stolpcih zložimo v n×m razsežno matriko A. Izraˇ cunajmo vzorˇ cna pov- preˇ cja vrstic ˆ µ i = 1 m P m j=1 A ij , vzorˇ cne standardne odklone ˆ σ i = q 1 m P m j=1 A 2 ij − ˆ µ 2 i , i = 1,...,n, ter matriko B z elementi B ij =A ij − ˆ µ i . To zadošˇ ca za izraˇ cun vzorˇ cnekovarianˇ cnematrikeC=BB t invzorˇ cnekorelacijskematrike ˆ Σzelementi ˆ Σ ij = C ij ˆ σ i ˆ σ j ,i,j=1,...,n. Matrika ˆ ΣjeprimernaocenazaΣ X ,nipaprimernaocena zaΣ,kermatrikaΣ X niodvisnaleodkopuleC Ga Σ ,ampaktudiodrobnihporazdelit- venih funkcij F X 1 ,...,F X n . Njihov vpliv izniˇ cimo,ˇ ce namesto matrike A vzamemo matrikoDzelementiD ij =F X i (A ij ),i=1,...,n,j=1,...,m,ternaopisaninaˇ cin izraˇ cunamo matriko ˆ Σ, ki jo privzamemo zaΣ. Izhajamo lahko tudi iz korelacijske matrike rangov ali Kendallovih τ, ki sta od- visni le od kopule, ocenimo pa ju lahko na podlagi vzorˇ cnih podatkov v matriki A. Z eno od omenjenih matrik zaradi enaˇ cb (5.11) in (5.12) iz izreka 5.10, ki ju obrnemov ρ ij =2sin  π 6 ρ S (X i ,X j )  , (7.1) ρ ij = sin  π 2 τ(X i ,X j )  , (7.2) izraˇ cunamo elementeρ ij korelacijske matrikeΣ za 1≤i0, za sluˇ cajno spremenljivkoW∼χ 2 ν nakljuˇ cno generirajm neodvisnih vrednosti w 1 ,...,w m , ki so neodvisne tudi od nakljuˇ cno generiranih vrednosti v 5. koraku, nato pa vse elementej-tega stolpca matrikeY pomnoži s √ ν √ w j ,j=1,...,m. 8. ˇ Ce jeν=0, izraˇ cunaj matriko U z elementiu ij =Φ(y ij ), sicer pa z elementiu ij =t ν (y ij ), i=1,...,n,j=1,...,m. 9. Izraˇ cunaj matrikoX z elementix ij =F −1 X i (u ij ),i=1,...,n,j=1,...,m. Opomba 7.2: Pri generiranju velikih nakljuˇ cnih vzorcev z raˇ cunalniškimi prog- rami je pomembno tudi varˇ cevanje s pomnilnikom. Ker v algoritmu 7.3 enaˇ cbo a=b razumemo kot prirejanjea←b, bi lahko namesto štirih matrikZ, Y, U in X uporabljalienosamo,denimoX. PritembiprirejanjeY←LZv6. korakunadome- stili zX←LX, vendar pa bimoraliprodukt spodnje trikotne matrikeL in matrike 148 X raˇ cunati po vrsticah od zadnje proti prvi, da si ne bi prezgodaj starih vredno- sti matrike X prepisali z novimi. Druga spremenjena prirejanja (x ij ← Φ(x ij ) in x ij ←t ν (x ij ) v 8. koraku ter x ij ←F −1 X i (x ij ) v 9. koraku) niso problematiˇ cna, ker z njimi matriko X spreminjamo po elementih.  Z algoritmom 7.3 lahko rešimo našo glavno nalogo z dvema razliˇ cnima kopu- lama. Za sluˇ cajni vektor X=(X 1 ,...,X n ) t z robnimi porazdelitvenimi funkcijami F X 1 ,...,F X n inznanokorelacijskostrukturozadovoljvelikoštevilomgeneriramo m nakljuˇ cnih vektorskih vzorcev. Za vsakega od njih seštejemo vseh n kompo- nent in dobimo vzorec m vsot s 1 ,...,s m , iz katerega sestavimo vzorˇ cno stopni- ˇ casto porazdelitveno funkcijo ˆ F S (x)= 1 m P m i=1 1 (−∞,x] (s i ), kjer je indikator 1 A (a) enak 1, ˇ ce je a∈A, sicer pa 0. ˆ F S (x) privzamemo za porazdelitveno funkcijo F S (x) sluˇ cajne spremenljivke S= P n i=1 X i . Seveda pa lahko dobljeno vzorˇ cno po- razdelitveno funkcijo ˆ F S (x) aproksimiramo še s kakšno od znanih porazdelitve- nih funkcij,ˇ ce zaradi nadaljnje obdelave potrebujemo analitiˇ cno izraženo poraz- delitveno funkcijo, in dobljeno aproksimacijo ˜ F S (x) namesto ˆ F S (x) privzamemo za iskano porazdelitveno funkcijoF S (x). Omenimo še, da so simulacije mogoˇ ce tudi za druge kopule, seveda pa vsaka zahteva svoj postopek. Kako za dvorazsežno kopulo C generiramo ustrezno po- razdeljene nakljuˇ cne pare (u 1 ,u 2 ) t , glej (Nelsen, 2006, str. 41), za posplošitev na veˇ c dimenzij pa (Embrechts et al., 2003, str. 8). Iz danega nakljuˇ cnega vzorca (u 1 ,...,u n ) t zan-razsežnokopuloC enostavnoizraˇ cunamonakljuˇ cnivzorecslu- ˇ cajnega vektorja X∈R n (F X 1 ,...,F X n ), katerega komponente povezuje kopula C. Ustrezno porazdelitev nam za vektor (F −1 X 1 (u 1 ),...,F −1 X n (u n )) t zagotavlja enaˇ cba (5.6) iz Sklarovega izreka. V praksi je pomembno vprašanje, kateri tip kopule in katere parametre naj iz- beremo za nakljuˇ cno generiranje vzorcev sluˇ cajnega vektorja X=(X 1 ,...,X n ) t . Tako kot njegove robne porazdelitvene funkcijeF X 1 ,...,F X n doloˇ camo na podlagi vzorˇ cnihpodatkov, iznjihizhajamotudipridoloˇ canjukopuleC,kipovezuje nje- govekomponente. Za veˇ c otem glejnpr. (Frees& Valdez, 1998; Klugman&Parsa, 1999; De Matteis, 2001; Tang & Valdez, 2006; Genest & Favre, 2007). 7.4 Iman-Conoverjevametoda Metoda iz prejšnjega razdelka že v osnovi generira nakljuˇ cne vzorˇ cne vektorje, katerihkomponentesoporazdeljenetako,kotzahtevajopredpisanerobneporaz- delitvenefunkcijesluˇ cajnegavektorjaX,hkratipamednjimiustvarjakorelacijsko strukturo,kijozahtevapredpisanakorelacijskamatrikaΣ,zagotavljapaustrezna 149 normalnaali Studentova kopula. Tudi metoda, ki jo bomoopisali v tem razdelku, temeljina simulaciji, ki zagotavlja predpisane robneporazdelitve. Dopolnjena pa je z izvirnim postopkom, s katerim sta Iman in Conover (1982) zagotovila aprok- simacijo predpisane korelacijske strukture. Omenimo še, da je bilo v prejšnjem razdelku naravno, da je bil sluˇ cajni vektor X vektor stolpec, v tem pa je naravno, da jeX vrstiˇ cni vektor. V prvi fazi postopka nakljuˇ cno generiramom nakljuˇ cnih vzorcev sluˇ cajnega vek- torjaX=(X 1 ,...,X n ),pritempaupoštevamolepredpisanerobneporazdelitvene funkcijeF X 1 ,...,F X n . Napredpisano korelacijsko matrikoΣseneoziramo,ampak predpostavljamo, da so X 1 ,...,X n neodvisne sluˇ cajne spremenljivke. Dobljene vzorˇ cne vektorje po vrsticah zložimo v m×n razsežno matriko A. Tako so v i-tem stolpcu vrednosti, ki se nanašajo na sluˇ cajno spremenljivko X i . S permu- tiranjem vrednosti v i-tem stolpcu ne vplivamo na robno porazdelitev, zato pa spreminjamo linearne korelacijske koeficiente, korelacijske koeficiente ranga in Kendalloveτ medX i in drugimi sluˇ cajnimi spremenljivkami. V drugi fazi tako premešamo vrednosti v stolpcih matrike A, da se približamo predpisani korelacijski strukturi. Naˇ cin mešanja nam narekujejo referenˇ cni nor- malno oziroma Studentovo porazdeljeni vzorci v m×n razsežni matriki B, ki imajo predpisano linearno korelacijsko strukturo. Ta je lahko predpisana nepos- redno z matriko linearnih korelacijskih koeficientov, lahko pa posredno s korela- cijskomatrikorangovoziromaKendallovihτ. Vtemprimerulinearnekorelacijske koeficiente izraˇ cunamo z enaˇ cbo(7.1) oziroma (7.2). Vrednostiv stolpcih matrike A premešamo tako, da korelacijske koeficiente rangov izenaˇ cimo s korelacijskimi koeficienti rangov v referenˇ cni matriki B. S tem izenaˇ cimo tudi Kendallove τ, ne pa tudi linearnih korelacijskih koeficientov, kar zaradi odvisnosti od robnih porazdelitvenih funkcij v splošnem tudi ni mogoˇ ce. V nadaljevanju bomo podrobneje opisali, kako sestavimo referenˇ cno matriko B, pri tem pa bomo s spremenjenimi oznakami sledili viru (Mildenhall, 2006). Naj bo Z=(Z 1 ,...,Z n ) sluˇ cajni vektor z neodvisnimi standardiziranimi kompo- nentami, za katere je E[Z i ]=0 in var[Z i ]=1, i = 1,...,n. V tem primeru je E[Z 2 i ]=1 inE[ZZ t ]=n. ˇ Ce je Y od Z neodvisen, vendar enako porazdeljen slu- ˇ cajni vektor, jeE[YZ t ]=E[ P n i=1 Y i Z i ]= P n i=1 E[Y i Z i ]= P n i=1 E[Y i ]E[Z i ]=0. Za sluˇ cajni vektor Z nakljuˇ cno generirajmo m neodvisnih vzorˇ cnih vektorjev, ki jih po vrsticah zložimo v m×n razsežno matriko M. Vrednosti v i-tem stolpcu se nanašajo na sluˇ cajno spremenljivko Z i , zato za dovolj velik m lahko predpo- stavimo, da je povpreˇ cje vrednosti v i-tem stolpcu 0, varianca pa 1, kar velja za i= 1,...,n. V tem primeru je vzorˇ cna kovarianˇ cna matrika enaka 1 m M t M in je 150 hkrati tudi vzorˇ cna korelacijska matrika. Zaradi neodvisnosti bi morale biti vr- stice matrike M nekorelirane, zato lahko zahtevamo, da je 1 m M t M=I, kjer je I n×n razsežna enotna matrika. NajboΣ predpisana pozitivno definitna matrika linearnihkorelacijskih koeficien- tov. Po metodi Choleskega jo razcepimo na produkt Σ=U t U, kjer je U zgornje trikotna matrika. Naj bo B=MU, kar je spet m×n razsežna matrika. Stolpci matrike B so linearne kombinacije stolpcev matrike M, zato tudi zanje velja, da je povpreˇ cje vrednosti v poljubnem stolpcu enako niˇ c. Ker je 1 m M t M=I, je 1 m B t B= 1 m (MU) t MU= 1 m U t M t MU=U t U=Σ. Ker je kovarianˇ cna matrika enaka korelacijski, je tudi povpreˇ cje kvadratov v po- ljubnemstolpcumatrikeBenako1. Bistvenopaje,daimamatrikaBpredpisanoli- nearnokorelacijskostrukturo. ˇ Cejesluˇ cajnivektorZn-razsežnostandardizirano normalno porazdeljen, mu zaradi neodvisnosti komponent pripada korelacijska matrika I. V tem primeru je B t =U t M t produkt spodnje trikotne matrike z mat- riko M t , v kateri so stolpci nakljuˇ cni vzorci sluˇ cajnega vektorja Z. Zato tako kot v razdelku 7.3 ugotovimo, da stolpci matrike B t predstavljajo nakljuˇ cne vzorce n-razsežnega standardizirano normalno porazdeljenega sluˇ cajnega vektorja U t Z s kovarianˇ cno in hkrati korelacijsko matrikoΣ. Opisani postopek je kljuˇ cen za Iman-Conoverjevo metodo, pomembna pa je tudi izbiraporazdelitve sluˇ cajnegavektorjaZoziromaporazdelitevizhodišˇ cnihvzorˇ c- nih vektorjev, ki jih obiˇ cajno ne generiramo nakljuˇ cno, ampak kar sestavimo. Avtorja metode sta ugotovila, da na konˇ cni rezultat pomembno vpliva izbira konstant a 1 ,...,a m , za katere je P m i=1 a i =0 in 1 m P m i=1 a 2 i =1, s katerimi sesta- vimo izhodišˇ cno matriko M. Kljub svoji ugotovitvi pa sta v primerih upora- bila le normalno porazdeljene vrednosti. Le-te lahko nakljuˇ cno generiramo in z dodatnimi transformacijami zagotovimo, da izpolnjujejo pogoja P m i=1 a i =0 in 1 m P m i=1 a 2 i =1, lahko pa jih kar doloˇ cimo. ˇ Ce izberemo b i = Φ −1 i m+1  in a i = b i √ m xx , i = 1,...,m, kjer je m xx = 1 m P m i=1 b 2 i , sta oba pogoja izpolnjena, z nakljuˇ cnim mešanjem vrednosti v posameznih stolpcih matrike M pa dobimo matriko referenˇ cnih vzorcev. Ker je malo verjetno, da bo po mešanju vrednosti v stolpcih matrike M pogoj 1 m M t M=I natanˇ cno izpolnjen, naredimo še zadnjo ko- rekcijo. Matriko E= 1 m M t M po metodi Choleskega razcepimo naE=F t F, kjer jeF zgornje trikotna matrika, namesto B=MU pa raje vzamemo B=MF −1 U. Sedaj je 1 m B t B= 1 m (MF −1 U) t MF −1 U= 1 m U t (F t ) −1 M t MF −1 U=U t U=Σ, kar smo želeli. ˇ Cep- rav se pri dovolj velikem vzorcu matrika E ne razlikuje dosti odI, se lahko zgodi, da ni pozitivno definitna. V takem primeru razcep po metodi Choleskega ni mo- goˇ c, kar pa ni prehuda težava. Stolpce matrike M dodatno nakljuˇ cno premešamo 151 in poskusimo znova, dokler nam razcep ne uspe. To pa se v praksi skoraj vedno zgodi že v prvem poskusu, tako da dodatno mešanje ni potrebno. Ostane nam še zadnji korak, da strukturo rangov posameznih elementov v stolp- cih matrike A izenaˇ cimo s tisto v referenˇ cni matriki B. ˇ Ce je element b ij v j-tem stolpcu matrike B k-ti po velikosti, potem mora biti tudi a ij po velikosti k-ti ele- ment vj-tem stolpcu matrike A. ˇ Ce ni, tja prestavimo pravega. Odopisanega postopka se algoritem 7.4razlikuje le vtehniˇ cnipodrobnosti. Tako v6. in7. korakuupoštevamo,dajeΦ −1 (0,5−x)=−Φ −1 (0,5+x)zax∈  0, 1 2  ,kar naj bi zagotovilo, da je kljub zaokrožitvenim napakam P m i=1 a i =0. V algoritem smo vgradili tudi varianto za Studentovo kopulo, v zadnjem koraku pa smo s transponiranjem dosegli, da je rezultat formalno tak kot rezultat algoritma 7.3. Poleg razcepa korelacijskih matrik P in E z metodo Choleskega je v algoritmu 7.4 kljuˇ cnonakljuˇ cnomešanjeelementovvstolpcihmatrikeMv9. koraku,malozah- tevnejšipajetudiizraˇ cunmatrike rangovRv15. koraku. Algoritemzanakljuˇ cno mešanje navaja Knuth (1981, str. 139), algoritem za izraˇ cun rangov za en stolpec pa najdemo v (Press et al., 1992, str. 261). Za oba navedena koraka v nekaterih programih, denimo v R, obstaja ustrezna že vgrajena funkcija. ˇ Ce bi v 13. koraku algoritma 7.4 ostali pri izhodišˇ cni referenˇ cni matriki B=MU, bistolpcimatrikeB t predstavljali nakljuˇ cnevzorcen-razsežnegastandardizirano normalno oziroma Studentovo porazdeljenega sluˇ cajnega vektorja s kovarianˇ cno inhkratikorelacijskomatrikoΣ. Dodatnakorekcija,pokaterijeB=MY=MF −1 U, pri velikem m nebistveno vpliva na dejansko referenˇ cno matriko B. Ne glede na velikost vzorca pa korekcijo zaradiB t =U t (F −1 ) t M t lahkointerpretiramo tako, da nakljuˇ cne vzorce, ki so po stolpcih zloženi v matriko M t , spremeni v(F −1 ) t M t , da seempiriˇ cnadejstvanatanˇ cnoujemajosteoretiˇ cnopriˇ cakovanimi. Zatosostolpci matrike X, dobljene z algoritmom 7.4, nakljuˇ cni vzorci sluˇ cajnega vektorja z rob- nimi porazdelitvenimi funkcijami F X 1 ,...,F X n in identiˇ cno korelacijsko strukturo rangov, kot jo ima referenˇ cna matrika B. Ta pa ima natanko tako linearno korela- cijsko strukturo, kot jo zahteva matrika P. Vsaj približno tako linearno korelacijsko strukturo naj bi imeli tudi nakljuˇ cni vzorci, dobljeni z algoritmom 7.4. To pa v splošnem ne drži, kar tudi praktiˇ cno preverjeno sledi iz primera 5.3. Predpostavka, da se linearni korelacijski koefi- cient ne razlikuje dosti od korelacijskega koeficienta ranga, v splošnem ne velja, ˇ ceprav velja za normalno kopulo, ˇ ce jo gledamo kot veˇ crazsežno porazdelitev. Enaˇ cba (7.1) namreˇ c pomeniρ ij ≈ρ S (X i ,X j ), saj se funkcijay=2sin πx 6  na in- tervalu [−1,1] absolutno za manj kot 0,02 razlikuje od funkcije y=x, relativno pa za manj kot 5 %. 152 Algoritem 7.4: Generiranje m nakljuˇ cnih vzorcev n-razsežnega sluˇ cajnega vektorja s predpi- sanimi robnimi porazdelitvenimi funkcijami z Iman-Conoverjevo metodo. Komponente povezuje normalna ali Studentova kopula, ki jo doloˇ ca predpisana korelacijska matrika. Podatki: 1. m – število vzorcev. 2. n – razsežnost vzorca. 3. ν – število prostostnih stopenj (ν=0 pomeni izbiro normalne kopule). 4. F X 1 ,...,F X n – robne porazdelitvenefunkcije. 5. Σ –n×n razsežnapozitivno definitna korelacijska matrika. 6. Tip korelacijske matrike (matrika linearnih korelacijskih koeficientov ali Kendallovih τ, za normalno kopulo tudi korelacijska matrika rangov – algoritem združljivosti tipa kopule in matrike ne kontrolira). Rezultat: X –n×m razsežna matrika s stolpci, ki so nakljuˇ cnin-razsežni vzorci sluˇ cajnega vektorja z robnimi porazdelitvenimi funkcijami F X 1 ,...,F X n in komponentami, ki jih povezuje n- razsežna normalna ali Studentova kopula z ν prostostnimi stopnjami in z aproksimativno korelacijsko strukturo, doloˇ ceno s korelacijsko matrikoΣ in njenim tipom. Postopek: 1. ˇ Ce jeΣ matrika linearnih korelacijskih koeficientov, naj boP=Σ. 2. ˇ Ce je Σ korelacijska matrika Kendallovih τ, z enaˇ cbo ρ ij = sin  π 2 Σ ij  za i,j=1,...,n izraˇ cunaj elementeρ ij korelacijske matrike P. 3. ˇ Ce jeΣ korelacijska matrika rangov, z enaˇ cbo ρ ij = 2sin π 6 Σ ij  zai,j=1,...,n izraˇ cunaj elementeρ ij korelacijske matrikeP. 4. ZaU∼ U[0,1]m-krat generiraj pon neodvisnih nakljuˇ cnih vrednostiu 1 ,...,u n , izraˇ cunaj x i =F −1 X i (u i ), i= 1,...,n, in dobljene vektorje x=(x 1 ,...,x n ) po vrsticah zloži v m×n razsežno matrikoA. 5. Matriko P po metodi Choleskega razcepi na P=U t U, kjer je U zgornje trikotna matrika. 6. Naj bok=  m 2  inb i =Φ −1 i 2k+1  ,i=1,...,k. 7. Za lihem sestavi vektor stolpeca=(b k ,b k−1 ,...,b 1 ,0,−b 1 ,...,−b k−1 ,−b k ) t , za sodem pa a=(b k ,b k−1 ,...,b 1 ,−b 1 ,...,−b k−1 ,−b k ) t . Vektor a normiraj, da bo 1 m P m i=1 a 2 i =1. 8. Sestavim×n razsežnomatrikoM, tako da so vsi njeni stolpci enaki vektorju a. 9. V matrikiM v vseh stolpcih nakljuˇ cno premešajvrednosti. 10. Izraˇ cunajn×n razsežnokorelacijsko matrikoE= 1 m M t M. 11. Matriko E po metodi Choleskega razcepi na E=F t F, kjer je F zgornje trikotna matrika. ˇ Ce razcep ni mogoˇ c, ker E ni pozitivno definitna matrika, se vrni na 9. korak. 12. Izraˇ cunaj Y=F −1 U, kar uˇ cinkovito storiš, ˇ ce poišˇ ceš rešitev n zgornje trikotnih sistemom linearnih enaˇ cbFY=U, kjer je Y neznanan×n razsežna matrika. 13. Izraˇ cunaj referenˇ cno matriko B=MY=MF −1 U, ki ima zahtevano linearno korelacijsko strukturo. 14. ˇ Ce jeν >0, za sluˇ cajno spremenljivkoW∼χ 2 ν nakljuˇ cno generirajm neodvisnih vrednosti w 1 ,...,w m , ki so neodvisne tudi od nakljuˇ cno generiranih vrednosti v 4. koraku, nato pa vse elementei-te vrstice matrikeB pomnoži s √ ν √ w i ,i=1,...,m. 15. Za referenˇ cno matriko B sestavi matriko rangov R. Element R ij =k pove, da je B kj po velikostii-ti element vj-tem stolpcu matrikeB,i=1,...,m,j=1,...,n. 16. Za j= 1,...,n narašˇ cajoˇ ce uredi j-ti stolpec matrike A in ga shrani v vektor a, nato pa za i=1,...,m doloˇ ci indeksk=R ij in postaviA kj =a i . 17. Izraˇ cunajX=A t . 153 Dodajmoše,dabiv7. korakulahkoizpustilinormiranjevektorjaa. ˇ Cegapomno- žimo s poljubno konstanto α6= 0, s tem z α pomnožimo tudi matriko M. S tem posrednozαpomnožimotudimatrikoF,matrikoF −1 pa z 1 α . Zatonormiranjene vpliva na referenˇ cno matriko B=MF −1 U. Omenimo le še to, da uspešnost oziroma izvedljivost postopka, ki sta ga od- krila Imanin Conover (1982), temelji na kasneje odkritem rezultatu – Vitalejevem izreku. Po njem vsak sluˇ cajni vektor X=(X 1 ,...,X n ) z zveznimi robnimi po- razdelitvenimi funkcijami F X 1 ,...,F X n lahko aproksimiramo s sluˇ cajnimi vektorji Z k =(F −1 X 1 (T 1k (U)),...,F −1 X n (T nk (U))), k=1,2,..., ki v porazdelitvi konvergirajo k X, ko grek v neskonˇ cnost. Pri tem jeU∼ U[0,1], T ik :[0,1]→[0,1], i=1,...,n, k=1,2,...,pasoobrnljivefunkcije,odvisneodveˇ crazsežneporazdelitvenefunk- cije sluˇ cajnega vektorja X. Za podrobnosti glej (Mildenhall, 2006, str. 185–188, in Vitale, 1990, str. 465, izrek 3). Z algoritmom 7.4 lahko rešimo našo glavno nalogo na naˇ cin, ki smo ga opisali že nakoncurazdelka 7.3,sajseštevkistolpcevmatrikeXpredstavljajomnakljuˇ cnih vzorcev sluˇ cajne spremenljivke S= P n i=1 X i , s katerimi lahko sestavimo vzorˇ cno porazdelitveno funkcijo ˆ F S (x). 7.5 Izraˇ cunina podlagi inverzneFourierove transformacije Vsak izraˇ cun agregatnih odškodnin na podlagi inverzne Fourierove transforma- cije je v bistvu sestavljen iz dveh kljuˇ cnih korakov. V prvem koraku izraˇ cunamo karakteristiˇ cno funkcijo ϕ S (t) sluˇ cajne spremenljivke S= P n i=1 X i , v drugem ko- rakupa z inverznoFourierovotransformacijo po enaˇ cbi(6.6) izraˇ cunamogostoto verjetnosti f S (x). Z integriranjem f S (x) lahko izraˇ cunamo še porazdelitveno funkcijo F S (x), ˇ ce pa f S (x) ne potrebujemo, lahko drugi korak reduciramo na neposredni izraˇ cunF S (x) z enaˇ cbo (6.7). Drugi korak ni prav niˇ c odvisen od tega, ali so sluˇ cajne spremenljivke X 1 ,...,X n neodvisne ali odvisne. Zato k tistemu, kar smo o inverzni Fourierovi transforma- ciji že povedali v razdelku 6.4.5, ne bomo niˇ c dodajali, ampak se bomo osredoto- ˇ cili le na izraˇ cunϕ S (t). Iz znanih robnih porazdelitvenih funkcijF X 1 ,...,F X n lahko izraˇ cunamo robne ka- rakteristiˇ cne funkcijeϕ X 1 ,...,ϕ X n ,zatovnadaljevanju privzemimo,da soznane. 7.5.1 Wangova metoda s (psevdo)karakteristiˇ cnofunkcijo Wang (1998b) se je izraˇ cuna karakteristiˇ cne funkcije ϕ S (t) lotil tako, da je za sluˇ cajni vektor X=(X 1 ,...,X n ) t s predpisanimi robnimi karakteristiˇ cnimi funk- 154 cijamiϕ X 1 ,...,ϕ X n in predpisano kovarianˇ cno matrikoΣ konstruiraln-razsežno (psevdo)karakteristiˇ cno funkcijo ϕ X (t 1 ,...,t n )= n Y i=1 ϕ X i (t i )  1+ X 1≤i0, z zgornjo enaˇ cbo dobimo ϕ X (−t 1 ,t 2 )=ϕ X 1 (t 1 )ϕ X 2 (t 2 )e ρt 1 t 2 6=ϕ X 1 (t 1 )ϕ X 2 (t 2 )e −ρt 1 t 2 =ϕ X (t 1 ,t 2 ), kar je v protislovju z enaˇ cboϕ X (−t 1 ,t 2 )=K Ga ρ (ϕ X 1 (t 1 ),ϕ X 2 (t 2 ))=ϕ X (t 1 ,t 2 ).  Opomba 7.3: V zgornjem izreku zavestno nismo dopustili možnosti ρ= −1 in ρ=1, ko se kopula C Ga ρ izrodi v kopulo W 2 oziroma M 2 , vendar pa izrek oˇ citno velja tudi za ta dva primera.  Posledica 7.1: Naj bo n≥3 inΣ poljubna n×n razsežna pozitivno definitna ko- relacijska matrika,Σ6=I. Ne obstaja taka funkcijaK Ga Σ :C n →C, da bi bila enaˇ cba ϕ X (t 1 ,...,t n )=K Ga Σ (ϕ X 1 (t 1 ),...,ϕ X n (t n )) izpolnjena za vsak X∈R n (C Ga Σ ) in za vsak(t 1 ,...,t n )∈R n . Dokaz: Predpostavimo obstoj pozitivno definitne korelacijske matrike Σ6= I in take funkcije K Ga Σ : C n → C, da je ϕ X (t 1 ,...,t n )=K Ga Σ (ϕ X 1 (t 1 ),...,ϕ X n (t n )) za vsakX=(X 1 ,...,X n )∈R n (C Ga Σ )inzavsak(t 1 ,...,t n )∈R n . Zaradipozitivne de- finitnosti in pogojaΣ6=I obstaja vsaj en zunajdiagonalni elementΣ ij ∉{−1,0,1}. Brez škode za splošnost privzemimo, da je to elementΣ 12 =ρ. Naj bo Z=(X 1 ,X 2 )∈R 2 (C Ga ρ ), kjer je C Ga ρ (u 1 ,u 2 )=C Ga Σ (u 1 ,u 2 ,1,...,1) robna dvorazsežna normalna kopula kopuleC Ga Σ . Potem je ϕ Z (t 1 ,t 2 )=ϕ X (t 1 ,t 2 ,0,...,0)=K Ga Σ (ϕ X 1 (t 1 ),ϕ X 2 (t 2 ),1,...,1), kar sK Ga ρ (z 1 ,z 2 )=K Ga Σ (z 1 ,z 2 ,1,...,1) za vsak(t 1 ,t 2 )∈R 2 lahko zapišemo kot ϕ Z (t 1 ,t 2 )=K Ga ρ (ϕ X 1 (t 1 ),ϕ X 2 (t 2 )). Ta enaˇ cba velja za vsak Z∈R 2 (C Ga ρ ), saj vedno obstaja primeren X∈R n (C Ga Σ ), 160 ki ga lahko skrajšamo v Z. To pa je protislovje, saj po izreku 7.1 taka funkcija K Ga ρ ne obstaja.  Za vsako enorazsežno karakteristiˇ cno funkcijo ϕ(t) velja ϕ(−t)=ϕ(t), zaradi ˇ cesarjedovolj,ˇ cejopoznamonaR + . Zavsakodvorazsežnokarakteristiˇ cno funk- cijoϕ(t 1 ,t 2 )paveljaϕ(−t 1 ,−t 2 )=ϕ(t 1 ,t 2 )inϕ(t 1 ,−t 2 )=ϕ(−t 1 ,t 2 ). Vtempri- meru je dovolj, ˇ ce jo poznamo na prvem in drugem kvadrantuR 2 . Dokaz izreka 7.1 je temeljil na tem, da je izraz K Ga ρ (ϕ X 1 (t 1 ),ϕ X 2 (t 2 )) v izbranem posebnem primeru za vse štiri kvadrante doloˇ cal iste vrednosti, odvisne le od|t 1 | in|t 2 |. Zato poskusimo še z možnostjo, da obstajata funkcijiK Ga+ ρ inK Ga− ρ , za kateri ve- lja enaˇ cba ϕ X (t 1 ,t 2 )=K Ga± ρ (ϕ X 1 (t 1 ),ϕ X 2 (t 2 )), kjer se predznak plus nanaša na (t 1 ,t 2 ) iz prvega in tretjega kvadranta, minus pa na(t 1 ,t 2 ) iz drugega inˇ cetrtega kvadranta R 2 . Ugotovili bomo, da tudi taka možnost ne obstaja. Še prej pa si oglejmo kriterij za presojo, ali je funkcijaf:R→C karakteristiˇ cna funkcija neke sluˇ cajne spremenljivke. Definicija7.2: Zveznafunkcijaf:R→C je pozitivno definitna,ˇ ce zavsakn∈N + inzavsaknaborrealnihštevilt 1 ,...,t n tervsaknaborkompleksnihštevilz 1 ,...,z n velja n X i=1 n X j= 1 f(t i −t j )z i z j ≥0. Brez težav se s primerno izbiro n, t 1 ,...,t n in z 1 ,...,z n lahko prepriˇ camo (glej npr. Gnedenko, 1976, str. 239), da za vsako pozitivno definitno funkcijo f velja f(0)≥0,f(−t)=f(t) in|f(t)|≤f(0). ˇ Ce za poljubno izbrane realne vrednosti t 1 ,...,t n sestavimon×nrazsežno matrikoAz elementiA ij =f(t i −t j ), dobimo Hermitsko matriko, saj je A ji =f(t j −t i )=f(t i −t j )=A ij . ˇ Ce vzamemo še po- ljuben kompleksen vektor z=(z 1 ,...,z n ) t , potem v dvojni vsoti v definiciji 7.2 prepoznamokvadratno formoz t Az. To pa pomeni,da je funkcijaf pozitivno de- finitna,ˇ ce je za vsakn∈N + in za vsak nabor realnih števil t 1 ,...,t n pripadajoˇ ca matrika A pozitivno semidefinitna. Izrek 7.2: (Bochner-Hinˇ cin) Zvezna funkcija f:R→ C je karakteristiˇ cna funkcija natanko takrat, ko je pozitivno definitna in jef(0)=1. Dokaz: Glej (Gnedenko, 1976, str. 240).  Izrek 7.3: ˇ Ce za ρ∈ (−1,1) obstajata taki funkciji K Ga+ ρ ,K Ga− ρ :C 2 → C, da je za vsak X∈R 2 (C Ga ρ ) in za vsak(t 1 ,t 2 )∈R 2 izpolnjena enaˇ cba ϕ X (t 1 ,t 2 )=      K Ga+ ρ (ϕ X 1 (t 1 ),ϕ X 2 (t 2 )) za sgn(t 1 t 2 )≥0, K Ga− ρ (ϕ X 1 (t 1 ),ϕ X 2 (t 2 )) za sgn(t 1 t 2 )<0, (7.6) 161 potem jeρ=0. Dokaz: Za normalno kopulo iz nekoreliranosti sledi neodvisnost, zaradi ˇ cesar je ϕ X (t 1 ,t 2 )=ϕ X 1 (t 1 )ϕ X 2 (t 2 ). Za ρ=0 in K Ga+ 0 (z 1 ,z 2 )=K Ga− 0 (z 1 ,z 2 )=z 1 z 2 je enaˇ cba(7.6)oˇ citnoizpolnjenazavsakX∈R 2 (C Ga 0 )=R 2 (Π 2 )inzavsak(t 1 ,t 2 )∈ R 2 . Vzemimo poljuben ρ ∈ (−1,1)\{0} in kot izhodišˇ ce predpostavimo obstoj ta- kih funkcij K Ga+ ρ in K Ga− ρ , da enaˇ cba (7.6) velja za vsak X∈R 2 (C Ga ρ ) in za vsak (t 1 ,t 2 )∈R 2 . S protislovjem bomo dokazali, da to ni mogoˇ ce. Na bo X=(X 1 ,X 2 ) ∈ R 2 (C Ga ρ ), kjer je X 1 ∼ N(µ 1 ,σ 2 1 ) in X 2 ∼ N(µ 2 ,σ 2 2 ). Slu- ˇ cajni vektor X je porazdeljen dvorazsežno normalno. Njegovi robni karakteri- stiˇ cni funkciji staϕ X j (t j )=e iµ j t j − 1 2 σ 2 j t 2 j ,j=1,2, karakteristiˇ cna funkcija pa ϕ X (t 1 ,t 2 )=e i(t 1 µ 1 +t 2 µ 2 )− 1 2 (σ 2 1 t 2 1 +2ρσ 1 σ 2 t 1 t 2 +σ 2 2 t 2 2 ) =ϕ X 1 (t 1 )ϕ X 2 (t 2 )e −ρσ 1 σ 2 t 1 t 2 . Iz enaˇ cbe|ϕ X j (t j )|=e − 1 2 σ 2 j t 2 j ob dejstvu, da je σ j >0, medtem ko je t j poljubno predznaˇ cenorealnoštevilo,zdoslednimupoštevanjemenaˇ cbe √ x 2 =|x|dobimo σ j t j =sgn(t j ) q −2log|ϕ X j (t j )| ter ϕ X (t 1 ,t 2 )=ϕ X 1 (t 1 )ϕ X 2 (t 2 )e −2sgn(t 1 t 2 )ρ √ log|ϕ X 1 (t 1 )| log|ϕ X 2 (t 2 )| . Tu nam povzroˇ ca težave izraz sgn(t 1 t 2 ), ki ga vsaj v primeru, ko je µ 1 =µ 2 =0, ne moremo izraziti s funkcijama ϕ X 1 (t 1 )=e − 1 2 σ 2 1 t 2 1 in ϕ X 2 (t 2 )=e − 1 2 σ 2 2 t 2 2 . Na tem dejstvu v bistvu temelji dokaz izreka 7.1, zato jeˇ cas za razvejanje ϕ X (t 1 ,t 2 )=      z 1 z 2 e −2ρ √ log|z 1 | log|z 2 | za sgn(t 1 t 2 )≥0, z 1 z 2 e +2ρ √ log|z 1 | log|z 2 | za sgn(t 1 t 2 )<0, (7.7) kjer je z 1 =ϕ X 1 (t 1 ) in z 2 =ϕ X 2 (t 2 ). Trdimo, da mora za vsak (z 1 ,z 2 )∈D 2 0 , kjer jeD 0 ={z∈C:0<|z|<1}, veljati K Ga+ ρ (z 1 ,z 2 )=z 1 z 2 e −2ρ √ log|z 1 | log|z 2 | , (7.8) K Ga− ρ (z 1 ,z 2 )=z 1 z 2 e +2ρ √ log|z 1 | log|z 2 | . (7.9) ˇ Ce bi obstajal tak par (w 1 ,w 2 ) ∈ D 2 0 , da enaˇ cba (7.8) ne bi bila izpolnjena, bi za X j ∼ N(arg(w j ),−2log|w j |) in t j =1 ter z j =ϕ X j (1)=e iarg(w j )+log|w j | =w j , j=1,2, po enaˇ cbi (7.7) dobili ϕ X (1,1)=w 1 w 2 e −2ρ √ log|w 1 | log|w 2 | 6=K Ga+ ρ (w 1 ,w 2 )=K Ga+ ρ (ϕ X 1 (1),ϕ X 2 (1)), 162 kar je protislovje z izhodišˇ cno predpostavko. ˇ Ce bi obstajal tak par (w 1 ,w 2 ) ∈ D 2 0 , da enaˇ cba (7.9) ne bi bila izpolnjena, bi izbraliX 1 ∼N(−arg(w 1 ),−2log|w 1 |)inX 2 ∼N(arg(w 2 ),−2log|w 2 |). Zat 1 =−1 int 2 =1 bidobiliz 1 =ϕ X 1 (−1)=e iarg(w 1 )+log|w 1 | =w 1 inz 2 =ϕ X 2 (1)=w 2 ter po enaˇ cbi (7.7) ϕ X (−1,1)=w 1 w 2 e +2ρ √ log|w 1 | log|w 2 | 6=K Ga− ρ (w 1 ,w 2 )=K Ga− ρ (ϕ X 1 (−1),ϕ X 2 (1)), kar je protislovje z izhodišˇ cno predpostavko. To pa pomeni, da pri izhodišˇ cni predpostavki enaˇ cbi (7.8) in (7.9) veljata za vsak (z 1 ,z 2 )∈D 2 0 . Zato enaˇ cba (7.7) velja splošno, ne le za normalno porazdeljene sluˇ cajne spremenljivke X 1 in X 2 , vendar zaenkrat še z omejitvijo na vse urejene pare (t 1 ,t 2 ) ∈ R 2 , za katere je 0<|ϕ X 1 (t 1 )|<1 in 0<|ϕ X 2 (t 2 )|<1. Oba pogoja omilimo z dopustitvijo možnosti, ko jet j =0 inz j =ϕ X j (0)=1, saj z enaˇ cbo (7.7) za poljubno porazdeljeni sluˇ cajni spremenljivki X 1 in X 2 dobimo pravilne rezultate ϕ X (0,0)=1, ϕ X (t 1 ,0)=ϕ X 1 (t 1 ) in ϕ X (0,t 2 )=ϕ X 2 (t 2 ). S tem smorazširilidefinicijskoobmoˇ cjefunkcijeK Ga+ ρ zD 2 0 na(D 0 ∪{1}) 2 inizˇ crpalivse možnosti, ki se lahko pojavijo pri uporabi enaˇ cbe (7.6) z izhodišˇ cnima normalno porazdeljenima sluˇ cajnima spremenljivkamaX 1 inX 2 . Za karakteristiˇ cno funkcijo ϕ(t) zvezne sluˇ cajne spremenljivke je|ϕ(t)|<1 za t6= 0 (Feller, 1971, str. 501, lema 4), v splošnem pa ϕ(t) lahko doseže vrednost ϕ(t)6= 1, za katero je|ϕ(t)|=1. ˇ Ceprav za nadaljevanje dokaza ni potrebno, definicijsko obmoˇ cje funkcij K Ga+ ρ in K Ga− ρ razširimo na D 2 0 , kjer je D 0 ={z ∈ C : 0<|z|≤1}. To storimo tako, da enaˇ cbi (7.8) in (7.9) upoštevamo tudi za {z∈C:|z|=1} 2 , kar ohranja zveznost funkcijK Ga+ ρ inK Ga− ρ . Nekaterekarakteristiˇ cnefunkcijezveznihsluˇ cajnihspremenljivkimajoniˇ cle. Zan- je je trenutno definicijsko obmoˇ cje D 2 0 funkcij K Ga+ ρ in K Ga− ρ še vedno preozko. Kermoramoprirazširitvahzagotavljatizveznost,sioglejmoobnašanjeabsolutne vrednostidesnihstranienaˇ cb(7.8)in(7.9),kose|z 1 |prikonstantnivrednosti|z 2 |, 0<|z 2 |≤1, približuje niˇ cli. Pri tem za obe možnosti, ki se nanašata na funkciji K Ga+ ρ in K Ga− ρ , uporabimo skupen zapis s simboloma± in∓ ter dogovorom, da zgornji predznak velja zaK Ga+ ρ , spodnji pa zaK Ga− ρ . Iz zapisa l= lim |z 1 |→+0 z 1 z 2 e ∓ρ √ log|z 1 | log|z 2 | = lim |z 1 |→+0 |z 1 ||z 2 |c √ −log|z 1 | , kjer jec=e ∓ρ √ −log|z 2 | , z novo spremenljivkox= p −log|z 1 | dobimo l= lim x→∞ e −x 2 |z 2 |c x = lim x→∞ |z 2 |e −x 2 +xlogc =0. 163 Zato neodvisno od tega, kako se z 1 bliža k 0, desni strani enaˇ cb (7.8) in (7.9) konvergirata k 0, zaradi simetrije pa analogno velja tudi zaz 2 . Definicijsko obmoˇ cje funkcij K Ga+ ρ in K Ga− ρ razširimo naD 2 , kjer jeD={z∈C : |z|≤1}. Zaradi zagotavljanja zveznosti z enaˇ cbo (7.6) konstruiranih karakteri- stiˇ cnih funkcij je edina izbiraK Ga± ρ (0,0)=K Ga± ρ (0,z)=K Ga± ρ (z,0)=0 zaz∈D 0 . Konˇ cnolahko zapišemo K Ga± ρ (z 1 ,z 2 )=      z 1 z 2 e ∓2ρ √ log|z 1 | log|z 2 | zaz 1 ,z 2 ∈{z :0<|z|≤1}, 0 zaz 1 z 2 =0. (7.10) Poudarimo, da smo do tu dokazali, da sta z zgornjo enaˇ cbo definirani funkciji K Ga+ ρ inK Ga− ρ edini funkciji, ki pri izhodišˇ cni predpostavki zagotavljata izpolnje- nost enaˇ cbe (7.6) za vsak X ∈ R 2 (C Ga ρ ) in za vsak (t 1 ,t 2 ) ∈ R 2 . Z razširitvijo izhodišˇ cnega definicijskega obmoˇ cja funkcij K Ga+ ρ in K Ga− ρ naD 2 smo zagotovili, da kot parametre lahko sprejmeta vse mogoˇ ce vrednosti enorazsežnih karakteri- stiˇ cnih funkcij. Nismo pa preverjali, ˇ ce z enaˇ cbama (7.6) in (7.10) konstruirane funkcije izpolnjujejo vse potrebne oziroma zadostne pogoje za karakteristiˇ cno funkcijo. Naj bo X=(X 1 ,X 2 ) ∈ R 2 (C Ga ρ ), kjer je X 1 ∼ N(0,ρ 2 ) in X 2 sluˇ cajna spremen- ljivka z gostoto verjetnosti f X 2 (x)= 1 2 φ x+1 |ρ|  +φ x−1 |ρ|  , torej konveksna line- arna kombinacija gostot verjetnosti sluˇ cajnih spremenljivk X a 2 ∼ N(−1,ρ 2 ) in X b 2 ∼ N(1,ρ 2 ). Zaradi Sklarovega izreka obstoj takega sluˇ cajnega vektorja ni vprašljiv. Za nadaljevanje potrebujemo karakteristiˇ cni funkciji ϕ X 1 (t)=e − 1 2 ρ 2 t 2 inϕ X 2 (t)= 1 2 e −it− 1 2 ρ 2 t 2 +e it− 1 2 ρ 2 t 2  =e − 1 2 ρ 2 t 2 cost, zak∈Z int6=(2k+1) π 2 pa še log|ϕ X 1 (t)|=− 1 2 ρ 2 t 2 inlog|ϕ X 2 (t)|=− 1 2 ρ 2 t 2 +log|cost|=− 1 2 (ρ 2 t 2 −log(cos 2 t)) ter∓2ρ q log|ϕ X 1 (t)| log|ϕ X 2 (t)|= ∓ρ 2 t p ρ 2 t 2 −log(cos 2 t). ZaS=X 1 +X 2 dobimoϕ S (t)=ϕ X (t,t)=K Ga+ ρ (ϕ X 1 (t),ϕ X 2 (t)) oziroma ϕ S (t)=      e −ρ 2 t  t+ √ ρ 2 t 2 −log(cos 2 t)  cost zat6=(2k+1) π 2 ink∈Z, 0 zat=(2k+1) π 2 ink∈Z, zaR=X 1 −X 2 paϕ R (t)=ϕ X (t,−t)=K Ga− ρ (ϕ X 1 (t),ϕ X 2 (−t)) oziroma ϕ R (t)=      e −ρ 2 t  t− √ ρ 2 t 2 −log(cos 2 t)  cost zat6=(2k+1) π 2 ink∈Z, 0 zat=(2k+1) π 2 ink∈Z. Po izreku 7.2 sta karakteristiˇ cni funkciji ϕ S (t) in ϕ R (t) pozitivno definitni. Iz- berimon=3,t 1 =0,t 2 = π 4 int 3 = π 2 ter sestavimo matriko argumentov A z ele- 164 mentiA ij =t i −t j , matriko funkcijskih vrednosti B + z elementi B + ij =ϕ S (t i −t j ) in matriko funkcijskih vrednosti B − z elementiB − ij =ϕ R (t i −t j ). Dobimo A= 0 − π 4 − π 2 π 4 0 − π 4 π 2 π 4 0 in B ± = 1 b ± 0 b ± 1 b ± 0 b ± 1 , kjer jeb ± = √ 2 2 e − ρ 2 π 4 π 4 ± r ( ρπ 4 ) 2 +log2 ! . Matriki B + in B − sta simetriˇ cni, zato imata po 3 realne lastne vrednosti in 3 or- togonalne lastne vektorje. Za pozitivno semidefinitnost morajo biti vse lastne vrednostinenegativne, zaradiˇ cesarje nenegativen tudi njihovprodukt, ki je enak determinanti det(B + )=1−2(b + ) 2 oziroma det(B − )=1−2(b − ) 2 . Zato je det(B ± )=1−e − ρ 2 π 2 π 4 ± r ρπ 4  2 +log2 ! ≥0. Od tu sledi π 4 ± q ρπ 4  2 +log2≥0 in π 4  2 ≥ ρπ 4  2 +log2 terρ 2 ≤1− 16log2 π 2 <0, kar je protislovje. To pa pomeni, da izhodišˇ cna predpostavka ni izpolnjena. Zato iz izpolnjenosti enaˇ cbe (7.6) za vsak X∈R 2 (C Ga ρ ) in za vsak (t 1 ,t 2 )∈ R 2 sledi edina možnost, da jeρ=0.  Opomba 7.4: V zgornjem izreku smo korelacijski koeficientρ omejili na interval (−1,1), ker se zaρ=−1 kopulaC Ga ρ izrodi v kopuloW 2 , zaρ= 1 pa vM 2 . Izrek 7.3 velja tudi zaρ∈[−1,1].  7.6 Izraˇ cunis kopulamiin hitro Fourierovo transformacijo V tem razdelku je predstavljeno raˇ cunanje veˇ crazsežne karakteristiˇ cne funkcije iz njenih robnih karakteristiˇ cnih funkcij z uporabo enorazsežne hitre Fourierove transformacije. Zaenkrat je tak naˇ cin reševanja izhodišˇ cnega problema uporaben lezaposebneprimere,medkaterimipajetudipomembenprimer,kokomponente sluˇ cajnega vektorja povezuje normalna kopula. 7.6.1 Kopule z loˇ cljivimi spremenljivkamiin hitra Fourierova transformacija V razdelku 5.5.3 smo za sluˇ cajni vektor X=(X 1 ,...,X n ) z zveznimi robnimi po- razdelitvenimi funkcijami F X 1 ,...,F X n in absolutno zvezno kopulo C X za gostoto verjetnosti izpeljali enaˇ cbo (5.7), tu zapisano le z drugimi indeksi f X (x 1 ,...,x n )=c X (F X 1 (x 1 ),...,F X n (x n )) n Y k=1 f X k (x k ). (7.11) 165 Raˇ cunanjeveˇ crazsežne karakteristiˇ cne funkcijeϕ X podefiniciji jezaradizaplete- nosti enaˇ cbe (7.11) v veˇ cini primerov neizvedljivo. ˇ Ce pa lahko loˇ cimo spremen- ljivke,takodajec X (u 1 ,...,u n )=Π n k=1 g k (u k ),seraˇ cunanjeprecejpoenostavi,ker za karakteristiˇ cno funkcijo dobimo ϕ X (t 1 ,...,t n )=E[e i(t 1 X 1 +···+t n X n ) ]=E   n Y k=1 e it k X k   = Z ∞ −∞ ··· Z ∞ −∞ f X (x 1 ,...,x n ) n Y k=1 e it k x k dx k = Z ∞ −∞ ··· Z ∞ −∞ n Y k=1 f X k (x k )g k (F X k (x k )) n Y k=1 e it k x k dx k = n Y k=1 Z ∞ −∞ f X k (x k )g k (F X k (x k ))e it k x k dx k . Ta enaˇ cba se od analogne enaˇ cbe za neodvisne sluˇ cajne spremenljivkeX 1 ,...,X n razlikujelevtem,davnjejnamestoFourierovihtransformirankgostotverjetnosti f X k nastopajo Fourierove transformiranke funkcij f X k ·(g k ◦F X k ), k = 1,...,n, katerih obstoj pri izhodišˇ cni predpostavki o loˇ cljivosti spremenljivk ni vprašljiv. ˇ Ce katera od njih ne bi obstajala, tudi njihov produkt ne bi obstajal, s tem pa ne bi obstajala tudi veˇ crazsežna karakteristiˇ cna funkcija ϕ X , kar bi bilo protislovje z dejstvom, da vedno obstaja. ˇ Ceprav zelo verjetno karakteristiˇ cne funkcije ϕ X še vedno ne bomo znali analitiˇ cno izraˇ cunati, pa jo bomo znali izraˇ cunati vsaj numeriˇ cno. Analognougotovimo,dan-razseženproblemlahkorešujemozenorazsežnoFou- rierovo transformacijo tudi v splošnejšem primeru, ko gostoto verjetnosti abso- lutno zvezne kopule lahko zapišemo kot vsoto c X (u 1 ,...,u n )=1+ m X j=1 n Y k=1 g jk (u k ), (7.12) saj je potem ϕ X (t 1 ,...,t n )= n Y k=1 ϕ X k (t k )+ m X j=1 n Y k=1 Z ∞ −∞ f X k (x k )g jk (F X k (x k ))e it k x k dx k . (7.13) Na desni strani enaˇ cbe (7.12) smo enico, ki ustreza gostoti verjetnosti kopule neodvisnosti, napisali le zato, da se jasno vidi preostanek, ki je povezan s koreli- ranostjo. ˇ Ce nas enica moti, jo lahko izpustimo, hkrati pa zgornjo mejo indeksa j poveˇ camo za enoin zaj=m+1 definiramog jk (u k )≡1,k=1,...,n. Na desni 166 strani enaˇ cbe (7.12) sicer formalno seštevamo produkte n funkcij, pri tem pa v vsakemproduktukotfunkcijeg jk lahkonastopajotudikonstante,mednjimitudi enice in niˇ cle. Zato, denimo, tudi enaˇ cbo c X (u 1 ,...,u n )=1+ X 1≤i3, je m= n(n−1) 2 , doloˇ citev funkcij g jk pa zahtevamaloveˇ c truda. Spodrobnostmisenebomoukvarjali, kertonipotrebno. Ne pozabimo, da smo izhajali iz predpostavke, da je desna stran enaˇ cbe (7.12) oziroma enaˇ cbe (7.14) gostota verjetnosti neke kopule. ˇ Ce je predpostavka izpol- njena, z enaˇ cbo (7.13) namesto izraˇ cuna n-razsežne Fourierove transformiranke raje izraˇ cunamo n enorazsežnih Fourierovih transformirank, kar v praksi zah- tevabistvenomanjoperacij. ˇ Cebiraˇ cunalizn-razsežnoFFTnamrežin-razsežne kocke ter r toˇ ckami na posamezni osi, bi potrebovali O(nr n log 2 r) operacij, z enorazsežnoFFTpa jih potrebujemoO(mnr log 2 r). Pri praktiˇ cno uporabnihpa- rametrihm,n inr, za katere jem≪r n−1 , je druga ocena bistveno ugodnejša. Z opisanim naˇ cinom izraˇ cun veˇ crazsežne karakteristiˇ cne funkcije razbijemo na veˇ cizraˇ cunovenorazsežnihkarakteristiˇ cnihfunkcij,karimaoˇ citneprednosti. Žal pa je tak izraˇ cun mogoˇ c le takrat, ko se da gostota verjetnosti kopule zapisati z enaˇ cbo(7.12)oziromazekvivalentnoenaˇ cbo,vkaterisospremenljivkeloˇ cene. To je bileden odpomembnihmotivov za iskanje kopul z loˇ cljivimi spremenljivkami, ki smo jih obravnavali v razdelku 5.5.6. V nadaljevanju tega razdelka predposta- vimo,da pravtaka kopula povezuje komponente sluˇ cajnegavektorjaX, pravtako naj bodo izpolnjeni vsi pogoji za uporabo izrekov 5.16 do 5.19. Za izraˇ cun karakteristiˇ cne funkcije ϕ X sluˇ cajnega vektorja X∈R n (C), kjer je C kopula, definirana z enaˇ cbo (5.17) iz izreka 5.16, zadošˇ ca izraˇ cun 2n enorazsež- nihFourierovihtransformirank.Polegrobnihkarakteristiˇ cnihfunkcijϕ X 1 ,...,ϕ X n moramo izraˇ cunati še F k (t)= Z ∞ −∞ f X k (x)g k (F X k (x))e itx dx (k=1,...,n). 167 Kergostotoverjetnostikopuledoloˇ caenaˇ cba(5.16)izizreka5.16oziromaenaˇ cba (7.14), z enaˇ cbo (7.11) dobimo f X (x 1 ,...,x n )=   1+ X 1≤i2 pa je dokazana le za normalno porazdeljene sluˇ cajne spremenljivke X 1 ,...,X n , medtem ko za splošen primer zaenkrat ostaja na ravni domneve. Izrek7.4: NajbostaX inY zveznisluˇ cajnispremenljivkisporazdelitvenimafunkci- jamaF X (x) inF Y (x) ter gostotama verjetnostif X (x) inf Y (x). ˇ Ce je Z=(X,Y)∈ R 2 (C Ga ρ ), potem karakteristiˇ cno funkcijo ϕ Z (s,t) za|ρ|<1 lahko izraˇ cunamo s konvergentno vrsto ϕ Z (s,t)= ∞ X m=0 A m (s)B m (t) ρ m m! , (7.15) kjer so funkcije A m (t)= Z ∞ −∞ a m (x)e itx dx in B m (t)= Z ∞ −∞ b m (x)e itx dx (7.16) zam=0,1,2,... Fourierove transformiranke funkcij a m (x)=He m (Φ −1 (F X (x)))f X (x) in b m (x)=He m (Φ −1 (F Y (x)))f Y (x), (7.17) He m (x) pa Hermitovi polinomi, definirani s He m (x)=(−1) m e x 2 2 d m dx m e − x 2 2 (m=0,1,2,...). (7.18) Pomožne funkcijea m (x) inb m (x) lahko izraˇ cunamo rekurzivno a 0 (x)=f X (x), a 1 (x)=Φ −1 (F X (x))f X (x), a m (x)=Φ −1 (F X (x))a m−1 (x)−(m−1)a m−2 (x) (m=2,3,...), (7.19) 169 b 0 (x)=f Y (x), b 1 (x)=Φ −1 (F Y (x))f Y (x), b m (x)=Φ −1 (F Y (x))b m−1 (x)−(m−1)b m−2 (x) (m=2,3,...). (7.20) Dokaz: Zaˇ cnimo s porazdelitveno funkcijo Φ 2 ρ (x,y), ki jo v praksi lahko izraˇ cu- namo na veˇ c naˇ cinov (glej npr. Gai, 2001; Genz, 2004). Med njimi je tudi izraˇ cun s tetrahoriˇ cno vrsto (glej npr. Vasicek, 1998, str. 2) Φ 2 ρ (x,y)=Φ(x)Φ(y)+φ(x)φ(y) ∞ X m=0 He m (x)He m (y) ρ m+1 (m+1)! , ki konvergira hitreje kot geometrijska vrsta s kvocientom ρ. Konvergenco je za ρ 2 >0,5 mogoˇ ce pospešiti z alternativno vrsto, ki konvergira kot geometrijska vrsta s kvocientom 1−ρ 2 , kar pa tu ni bistveno (glej Vasicek, 1998, str. 2–4). Desno stran zgornje enaˇ cbe parcialno odvajajmo pox iny. Dobimo φ(x)φ(y)+ ∞ X m=0 (φ ′ (x)He m (x)+φ(x)He ′ m (x)) (φ ′ (y)He m (y)+φ(y)He ′ m (y)) ρ m+1 (m+1)! , kar nam po deljenju sφ(x)φ(y) da 1+ ∞ X n=0 φ ′ (x) φ(x) He m (x)+He ′ m (x) ! φ ′ (y) φ(y) He m (y)+He ′ m (y) ! ρ m+1 (m+1)! . Ker je φ ′ (x) φ(x) =−x, zaradi rekurzijske enaˇ cbe He m+1 (x)=xHe m (x)−He ′ m (x) za Hermitove polinome dobimo ∂ 2 Φ 2 ρ (x,y) ∂x∂y 1 φ(x)φ(y) = 1+ ∞ X m=0 He m+1 (x)He m+1 (y) ρ m+1 (m+1)! . Zzamikomsumacijskegaindeksainupoštevanjem,dajeHe 0 (x)=1,zaradienaˇ c- be (5.13) dobimo iskano vrsto c Ga ρ (u 1 ,u 2 )= ∞ X m=0 He m (ξ 1 )He m (ξ 2 ) ρ m m! , ξ 1 =Φ −1 (u 1 ), ξ 2 =Φ −1 (u 2 ). (7.21) S primerjavo z enaˇ cbo (5.14) ugotovimo, da smo mimogrede izpeljali formulo 1 p 1−ρ 2 e 2ρxy−ρ 2 (x 2 +y 2 ) 2(1−ρ 2 ) = ∞ X m=0 He m (x)He m (y) ρ m m! , 170 ki je znana pod imenom Mehlerjeva formula. Uporabimo enaˇ cbo (5.5) iz Sklarovega izreka in zapišimo porazdelitveno funkcijo F Z (x,y)=C Ga ρ (F X (x),F Y (y)). S parcialnim odvajanjem po x in y izraˇ cunajmo gostoto verjetnosti f Z (x,y)= c Ga ρ (F X (x),F Y (y))f X (x)f Y (y), nato pa še karak- teristiˇ cno funkcijo ϕ Z (s,t)=E[e i(sX+tY) ]= Z ∞ −∞ Z ∞ −∞ c Ga ρ (F X (x),F Y (y))f X (x)f Y (y)e i(sx+ty) dxdy. Z upoštevanjem enaˇ cb (7.21) dvojni integral v zgornjienaˇ cbi lahko zapišemo kot Z ∞ −∞ Z ∞ −∞ ∞ X m=0 He m (Φ −1 (F X (x)))He m (Φ −1 (F Y (y)))f X (x)f Y (y)e i(sx+ty) ρ m m! dxdy, z upoštevanjem enaˇ cb (7.17) pa dobimo enaˇ cbo ϕ Z (s,t)= Z ∞ −∞ Z ∞ −∞ ∞ X m=0 a m (x)b m (y)e isx e ity ρ m m! dxdy, v kateri bi radi zamenjali vrstni red integriranja in seštevanja. Po uvedbi novega para integracijskih spremenljivk u= Φ −1 (F X (x)) in v = Φ −1 (F Y (y)), ki mu pri- pada Jacobijeva determinanta φ(u)φ(v) f X (x)f Y (y) , dobimo enaˇ cbo ϕ Z (s,t)= Z ∞ −∞ Z ∞ −∞ ∞ X m=0 c m (u)c m (v)e isF −1 X (Φ(u)) e itF −1 Y (Φ(v)) ρ m m! dudv, (7.22) v kateri jec m (x)=He m (x)φ(x). PolegdefinicijeHermitovihpolinomovzenaˇ cbo(7.18),kismojouporabilivizreku 7.4, obstaja tudi definicija H m (x)=(−1) m e x 2 d m dx m e −x 2 (m=0,1,2,...) Hermitovih polinomov, za katere velja ocena|H m (x)|≤2 m 2 + 1 4 (m!) 1 2 e 1 2 x 2 (Reuter, 1949, str. 159). Ker med obema vrstama Hermitovih polinomov velja zveza He m (x)=2 − m 2 H m ( x √ 2 ), je|He m (x)|≤2 1 4 (m!) 1 2 e 1 4 x 2 in |c m (x)|=|He m (x)φ(x)|≤2 1 4 (m!) 1 2 e 1 4 x 2 1 √ 2π e − 1 2 x 2 =2 − 1 4 1 √ π (m!) 1 2 e − 1 4 x 2 (7.23) ter c m (u)c m (v)e isF −1 X (Φ(u)) e itF −1 Y (Φ(v)) ρ m m! ≤ |ρ| m π √ 2 e − 1 4 (u 2 +v 2 ) ≤ |ρ| m π √ 2 , 171 kar nam za|ρ|<1 da ∞ X m=0 c m (u)c m (v)e isF −1 X (Φ(u)) e itF −1 Y (Φ(v)) ρ m m! ≤ 1 π √ 2(1−|ρ|) . Vrsta,ki jo integriramo v enaˇ cbi(7.22), je absolutnokonvergentna, zato lahko za- menjamo vrstni red integriranja in seštevanja, nato pa dvojne integrale zapišemo kotdvakratneintegrale,kizaradiloˇ cenihspremenljivkrazpadejovprodukteenoj- nih integralov. Dobimo ϕ Z (s,t)= ∞ X m=0 Z ∞ −∞ Z ∞ −∞ c m (u)c m (v)e isF −1 X (Φ(u)) e itF −1 Y (Φ(v)) ρ m m! dudv = ∞ X m=0 ρ m m! Z ∞ −∞ c m (u)e isF −1 X (Φ(u)) du Z ∞ −∞ c m (v)e itF −1 Y (Φ(v)) dv = ∞ X m=0 A m (s)B m (t) ρ m m! , kar je enaˇ cba (7.15), v kateri nastopata funkciji A m (s)= Z ∞ −∞ c m (u)e isF −1 X (Φ(u)) du= Z ∞ −∞ He m (u)φ(u)e isF −1 X (Φ(u)) du, B m (t)= Z ∞ −∞ c m (v)e itF −1 Y (Φ(v)) dy = Z ∞ −∞ He m (v)φ(v)e itF −1 Y (Φ(v)) dv. Ssubstitucijox=F −1 X (Φ(u))inx=F −1 Y (Φ(v))terupoštevanjemenaˇ cb(7.17)ugo- tovimo, da sta zgornji funkciji prav tisti, ki sta definirani z enaˇ cbama (7.16), saj je A m (s)= Z ∞ −∞ He m (Φ −1 (F X (x)))f X (x)e isx dx= Z ∞ −∞ a m (x)e isx dx, B m (t)= Z ∞ −∞ He m (Φ −1 (F Y (x)))f Y (x)e itx dx = Z ∞ −∞ b m (x)e itx dx. Poglejmo še, kako hitro konvergira vrsta v enaˇ cbi (7.15). Upoštevajmo neenaˇ cbo (7.23) in ocenimo |A m (s)|≤2 − 1 4 1 √ π (m!) 1 2 Z ∞ −∞ e − 1 4 u 2 du=2 3 4 (m!) 1 2 . Analognoje|B m (t)|≤2 3 4 (m!) 1 2 inzato|A m (s)B m (t) ρ m m! |≤2 3 2 |ρ| m . Oˇ citnojevrsta v enaˇ cbi (7.15) za|ρ| < 1 absolutno konvergentna in konvergira vsaj tako hitro kot geometrijska vrsta s kvocientom|ρ|. Vrednosti Hermitovih polinomov iz zaˇ cetnih vrednostiHe 0 (x)= 1 inHe 1 (x)=x 172 lahko izraˇ cunamo z rekurzijsko formulo He m (x)=xHe m−1 (x)−(m−1)He m−2 (x) (m=2,3,...). Vanjo za x vstavimo Φ −1 (F X (x)), jo na obeh straneh pomnožimo s f X (x) ter upoštevajmo levo enaˇ cbo (7.17). Dobimo rekurzijsko formulo a m (x)=Φ −1 (F X (x))a m−1 (x)−(m−1)a m−2 (x) (m=2,3,...) z zaˇ cetnima vrednostma a 0 (x)=f X (x) in a 1 (x)=Φ −1 (F X (x))f X (x). Analogno velja tudi zab m (x), izrek je dokazan.  Posledica 7.2: Pri pogojih iz izreka 7.4 karakteristiˇ cno funkcijo sluˇ cajne spremen- ljivkeS=X+Y lahko izraˇ cunamo s konvergentno vrsto ϕ S (t)= ∞ X m=0 A m (t)B m (t) ρ m m! . (7.24) Dokaz: ϕ S (t)=E[e it(X+Y) ]=ϕ Z (t,t)= P ∞ m=0 A m (t)B m (t) ρ m m! .  Opomba 7.5: ˇ Ce odvisnost med komponentama sluˇ cajnega vektorja (X,Y) do- loˇ ca dvorazsežna normalna kopula, iz nekoreliranosti sledi neodvisnost. Da je v tem primeru potrebni in zadostni pogoj za neodvisnost izpolnjen, se vidi tudi iz enaˇ cbe(7.15),kisezaρ=0prelevivϕ Z (s,t)=ϕ X (s)ϕ Y (t),sajjeA 0 (s)=ϕ X (s) in B 0 (t)=ϕ Y (t). Le kot zanimivost dodajmo, da iz enaˇ cbe (7.24) za ρ=0 ozi- romaizenaˇ cbeϕ S (t)=ϕ X (t)ϕ Y (t)nesmemosklepati, da stasluˇ cajnispremen- ljivki X in Y neodvisni. Za primer odvisnih sluˇ cajnih spremenljivk X in Y, za kateri je ϕ X+Y (t)=ϕ X (t)ϕ Y (t), glej npr. (Gnedenko, 1976, str. 245, ali Feller, 1971, str. 51 in 99).  V praksi porazdelitveni funkciji F X (x) in F Y (x) oziroma pripadajoˇ ci gostoti ver- jetnostif X (x) in f Y (x) ekvidistantno diskretiziramo, kot smo opisali v razdelku 6.4.3, nato pa za m=0,1,2,... rekurzivno izraˇ cunamo a m (x) in b m (x), ju s hitro Fourierovo transformacijo preslikamo v A m (t) in B m (t), izraˇ cunamo ˇ clen A m (t)B m (t) ρ m m! in sestavljamo vrsto na desni strani enaˇ cbe (7.15). Pri dovolj veli- kemm,kigapridanemρinzahtevaniabsolutnialirelativninatanˇ cnostilahkodo- loˇ cimo na podlagi hitrosti konvergiranja vrste P ∞ m=0 |ρ| m , seštevanje prekinemo. Konˇ cno z inverzno hitro Fourierovo transformacijo izraˇ cunamo verjetnostno in porazdelitveno funkcijo vsoteS=X+Y. Vrsto(7.24) biradiuporabilitudiza izraˇ cunkarakteristiˇ cne funkcije veˇ c kotdveh sluˇ cajnihspremenljivk,zakateremedsebojnoodvisnostdoloˇ canormalnakopula, 173 tako da bi postopoma prištevali po eno sluˇ cajno spremenljivko. Teoretiˇ cno nam ustreznega postopka še ni uspelo utemeljiti, vendar pa praktiˇ cni izraˇ cuni potrju- jejo uporabnost v nadaljevanju navedenega izreka 7.6, temeljeˇ cega na domnevi 7.1,primerjave zrezultati, dobljenimissimulacijo,pautrjujejoprepriˇ canje onje- govi pravilnosti. Definicija 7.3: Naj bo Σ n-razsežna korelacijska matrika z elementi Σ ij =ρ ij ter |ρ ij |<1 zai6=j. Naj bo X=(X 1 ,...,X n ) t ∈R n (C Ga Σ ) sluˇ cajni vektor z zveznimi robnimiporazdelitvenimifunkcijamiF X 1 ,...,F X n ,gostotamiverjetnostif X 1 ,...,f X n ter karakteristiˇ cnimi funkcijami ϕ X 1 ,...,ϕ X n in standardnimi odkloni σ 1 ,...,σ n , 0<σ i <∞,i=1,...,n. NajbodoS k = P k i=1 X i sluˇ cajnespremenljivkesporazdelit- venimifunkcijamiF S 1 =F X 1 ,F S 2 ,...,F S n ,gostotamiverjetnostif S 1 =f X 1 ,f S 2 ,...,f S n ter karakteristiˇ cnimi funkcijamiϕ S 1 =ϕ X 1 ,ϕ S 2 ,...,ϕ S n . Naj bo ρ k = P k−1 i=1 ρ ik σ i q P k−1 i=1 P k−1 j=1 ρ ij σ i σ j (k=2,...,n), (7.25) funkcije A mk (t)= Z ∞ −∞ a mk (x)e itx dx in B mk (t)= Z ∞ −∞ b mk (x)e itx dx zam=0,1,2,... ink=2,...,n pa naj bodo Fourierovetransformiranke funkcij a mk (x)=He m (Φ −1 (F S k−1 (x)))f S k−1 (x) in b mk (x)=He m (Φ −1 (F X k (x)))f X k (x), kjer soHe m (x) Hermitovi polinomi, definirani z enaˇ cbo (7.18). Lema 7.1: Naj bodo izpolnjeni pogoji iz definicije 7.3. Potem jeρ(S k−1 ,X k )=ρ k in |ρ k |<1, k=2,...,n, funkcije a mk in b mk pa za k=2,...,n lahko izraˇ cunamo z rekurzijo a −2,k (x)=f S k−1 (x), a −1,k (x)=0, a mk (x)=Φ −1 (F S k−1 (x))a m−1,k (x)−(m−1)a m−2,k (x) (m=0,1,2,...), (7.26) b −2,k (x)=f X k (x), b −1,k (x)=0, b mk (x)=Φ −1 (F X k (x))b m−1,k (x)−(m−1)b m−2,k (x) (m=0,1,2,...). (7.27) Dokaz: Ker je var[S k−1 ]= P k−1 i=1 P k−1 j=1 ρ ij σ i σ j ter zaradi linearnosti kovariance 174 cov[S k−1 ,X k ]= P k−1 i=1 cov[X i ,X k ]= P k−1 i=1 ρ ik σ i σ k , je ρ(S k−1 ,X k )= cov[S k−1 ,X k ] p var[S k−1 ]σ k = P k−1 i=1 ρ ik σ i q P k−1 i=1 P k−1 j=1 ρ ij σ i σ j =ρ k (k=2,...,n). Izberimo poljuben k∈{2,...,n}. Ker so parcialni odvodi ∂ρ k ∂ρ ik za i=1,...,k−1 veˇ cjiod0,jeρ k strogonarašˇ cajoˇ cafunkcijaspremenljivkρ ik . Popredpostavkahiz definicije 7.3je|ρ ik |<1,i=1,...,k−1,zato dobimozaρ k nedosegljivospodnjo oziromazgornjomejo,ˇ cevdesnostranenaˇ cbe(7.25)vstavimoρ ik =−1oziroma ρ ik =1, kar nam da − P k−1 i=1 σ i q P k−1 i=1 P k−1 j=1 ρ ij σ i σ j <ρ k < P k−1 i=1 σ i q P k−1 i=1 P k−1 j=1 ρ ij σ i σ j . Toda|ρ ik |=1 pomeni linearno zvezo med sluˇ cajnima spremenljivkamaX i inX k . Zatoizρ ik =−1oziromaizρ ik =1,i=1,...,k−1,slediρ ij =1zai,j=1,...,k− 1. Zato je q P k−1 i=1 P k−1 j=1 ρ ij σ i σ j = q P k−1 i=1 P k−1 j=1 σ i σ j = P k−1 i=1 σ i ter|ρ k |<1. Funkcijea mk inb mk solezdodatnim indeksomnapisanefunkcijea m inb m ,kiso definirane z enaˇ cbama (7.17), v katerihX zamenjamo sS k−1 ,Y pa zX k . Prav tako staenaˇ cbi(7.26)in(7.27) karenaˇ cbi(7.19)in(7.20)izizreka7.4,kizaradiumetno dodaniha mk inb mk zam= −2 inm= −1 veljata tudi zam=0 inm=1.  Domneva 7.1: Naj bo n≥3 in X=(X 1 ,...,X n ) t ∈R n (C Ga Σ ). Potem komponente sluˇ cajnegavektorjaZ=(X 1 +X 2 ,X 3 ,...,X n ) t povezuje(n−1)-razsežnanormalna kopula. Opomba 7.6: ˇ Ce ima matrika Σ elemente Σ ij =ρ ij , potem je matrika ˜ Σ z ele- menti ˜ Σ 11 =1, ˜ Σ 1j = ˜ Σ j1 = σ 1 ρ 1,j+1 +σ 2 ρ 2,j+1 q σ 2 1 +2ρ 12 σ 1 σ 2 +σ 2 2 za j=2,...,n− 1 in ˜ Σ ij =ρ i+1,j+1 za i,j=2,...,n−1 korelacijska matrika sluˇ cajnega vektorja Z iz domneve 7.1. ˇ Ce domneva velja, jeZ∈R n−1 (C Ga ˜ Σ ).  Domneve 7.1 še ne znamo korektno dokazati, kot sledi iz naslednjega izreka, pa velja vsaj zan-razsežno normalno porazdeljene vektorje. Izrek7.5: Najbon≥3inX=(X 1 ,...,X n ) t n-razsežnonormalno porazdeljenslu- ˇ cajni vektor. Potem je sluˇ cajni vektor Z=(X 1 +X 2 ,X 3 ,...,X n ) t (n−1)-razsežno normalno porazdeljen. Dokaz: Naj bo X∈ N n (µ, Σ), kjer je µ =(µ 1 ,...,µ n ) t priˇ cakovana vrednost in Σ kovarianˇ cna matrika. Oˇ citno jeE[Z]=(µ 1 +µ 2 ,µ 3 ,...,µ n ) t = ˜ µ . Ker je var[X 1 + 175 X 2 ]=var[X 1 ]+2cov[X 1 ,X 2 ]+var[X 2 ] in cov[X 1 +X 2 ,X j ]=cov[X j ,X 1 +X 2 ]=cov[X 1 ,X j ]+cov[X 2 ,X j ] za j=3,...,n, je matrika ˜ Σ z elementi ˜ Σ 11 =Σ 11 +2Σ 12 +Σ 22 , ˜ Σ 1j = ˜ Σ j1 =Σ 1j + Σ 2j za j=2,...,n−1 in ˜ Σ ij =Σ i+1,j+1 za i,j=2,...,n−1 kovarianˇ cna matrika sluˇ cajnega vektorja Z. Naj bo t=(t 1 ,...,t n ) t in s=(t 1 ,...,t n−1 ) t . Ker je ϕ X (t)=e it t µ − 1 2 t t Σt (glej Denuit et al., 2005, str. 41), se z malo truda hitro prepriˇ camo, da je ϕ Z (s)=E h e i(t 1 (X 1 +X 2 )+t 2 X 3 +···+t n−1 X n ) i =ϕ X (t 1 ,t 1 ,t 2 ,...,t n−1 )=e is t ˜ µ − 1 2 s t ˜ Σs . Ker je desna stran zgornje enaˇ cbe karakteristiˇ cna funkcija (n− 1)-razsežnega normalno porazdeljenega sluˇ cajnega vektorja, ki ga enoliˇ cno doloˇ ca, je izrek do- kazan.  Izrek 7.6: Naj bodo izpolnjeni pogoji iz definicije 7.3. Predpostavimo, da je dom- neva 7.1 pravilna. Potem je ϕ S k (t)= ∞ X m=0 A mk (t)B mk (t) ρ m k m! (k=2,...,n). (7.28) Dokaz: Dokazovalibomozmatematiˇ cnoindukcijo. Zak=2jeS k−1 =S 1 =X 1 . Po lemi 7.1 je ρ(S 1 ,X 2 )=ρ 2 , kar je po enaˇ cbi (7.25) enako ρ 12 . Zaradi predpostavk v definiciji 7.3 so vsi pogoji izreka 7.4 in posledice 7.2 izpolnjeni. Ker je enaˇ cba (7.28) le z dodatnim indeksom napisana enaˇ cba (7.24), izrek zak=2 velja. Predpostavimo, da je n≥3 in da izrek velja za k, 2≤k≤n−1. Zaradi predpo- stavke o pravilnosti domneve 7.1, ki jo (k− 1)-krat uporabimo, odvisnost med komponentamisluˇ cajnegavektorja(S k ,X k+1 ,...,X n ) t doloˇ ca(n+1−k)-razsežna normalna kopula. Ker je vsaka robna kopula normalne kopule normalna kopula, odvisnost med S k in X k+1 doloˇ ca dvorazsežna normalna kopula. Korelacijski ko- eficient ρ(S k ,X k+1 ) je po lemi 7.1 enak korelacijskemu koeficientu ρ k+1 , ki ga iz- raˇ cunamo z enaˇ cbo (7.25). Vsi pogoji izreka 7.4 in posledice 7.2 so izpolnjeni, zatoϕ S k+1 (t) lahko izraˇ cunamo z vrsto (7.28). Izrek velja zak+1, s tem pa smo dokazali, da velja zak=2,...,n.  Opomba 7.7: Zaradi izreka 7.5 izrek 7.6 velja vsaj za normalno porazdeljene slu- ˇ cajne vektorje. Ker pa zanje poznamo eksplicitni izraz za karakteristiˇ cno funk- cijo, še bolj pa zato, ker vemo, da so vsote njihovih komponent normalno poraz- deljene, zanje nima praktiˇ cne vrednosti.  176 Algoritem 7.5: Izraˇ cun porazdelitvene funkcije vsote komponent n-razsežnega sluˇ cajnega vek- torja s predpisanimi robnimi porazdelitvenimi funkcijami in matriko linearnih korelacijskih koe- ficientov ter normalno kopulo. Izvedba z zaporednim prištevanjem. Podatki: 1. X –n-razsežen sluˇ cajni vektor. 2. F X 1 ,...,F X n – robne porazdelitvenefunkcije. 3. f X 1 ,...,f X n – robne gostote verjetnosti. 4. σ=(σ 1 ,...,σ n ) t – vektor standardnihodklonov komponent vektorja X. 5. Σ –n×n matrika linearnih korelacijskih koeficientovρ ij ,|ρ ij |<1 zai6=j. 6. ǫ – minimalna norma posameznegaˇ clena, ki ga še upoštevamo pri seštevanju vrste. Rezultati: 1. Karakteristiˇ cna funkcijaϕ S (t) zaS=X 1 +···+X n . 2. Gostota verjetnostif S (x). 3. Porazdelitvena funkcijaF S (x). Postopek: 1. f S (x)←f X 1 (x) 2. F S (x)←F X 1 (x) 3. for k← 2 to n do 4. ρ← P k−1 i=1 ρ ik σ i q P k−1 i=1 P k−1 j=1 ρ ij σ i σ j ⊲ korelacijski koeficientρ k =ρ(S k−1 ,X k ) 5. a q (x)←Φ −1 (F S (x)) ⊲ utež iz rekurzijske formule zaa mk (x) 6. b q (x)←Φ −1 (F X k (x)) ⊲ utež iz rekurzijske formule zab mk (x) 7. a p (x)←f S (x) ⊲ tua −2,k (x), splošno pa prejšnjia mk (x) 8. b p (x)←f X k (x) ⊲ tub −2,k (x), splošno pa prejšnjib mk (x) 9. a(x)← 0 ⊲ tua −1,k (x), splošnopa tekoˇ cia mk (x) 10. b(x)←0 ⊲ tub −1,k (x), splošno pa tekoˇ cib mk (x) 11. ϕ S (t)←0 12. r←1 13. m←−1 14. repeat 15. m←m+1 16. z(x)←a(x) 17. a(x)←a q (x)a(x)−(m−1)a p (x) ⊲ rekurzijski izraˇ cun tekoˇ cegaa mk (x) 18. a s (x)←z(x) 19. z(x)←b(x) 20. b(x)←b q (x)b(x)−(m−1)b p (x) ⊲ rekurzijski izraˇ cun tekoˇ cegab mk (x) 21. b s (x)←z(x) 22. A(t)← R ∞ −∞ a(x)e itx dx ⊲ tekoˇ ciA mk (t) 23. B(t)← R ∞ −∞ b(x)e itx dx ⊲ tekoˇ ciB mk (t) 24. ifm>0 thenr← rρ m ⊲ tu je vednor= ρ m k m! 25. ϕ S (t)←ϕ S (t)+A(t)B(t)r ⊲ tu je vednoϕ S (t)= P m i=0 A ik (t)B ik (t) ρ i k i! 26. untilkA(t)B(t)rk<ǫ ⊲ zanko konˇ camo, ko jekA mk (t)B mk (t) ρ m k m! k<ǫ 27. Izϕ S (t) izraˇ cunajf S (x) ⊲ uporabi inverzno Fourierovo transformacijo 28. Izf S (x) izraˇ cunajF S (x) ⊲ integriraj 29. end for 177 Strukturaodvisnostimedkomponentamisluˇ cajnegavektorjaXniodvisnaodrob- nih porazdelitvenih funkcij, ampak le od pripadajoˇ ce kopuleC X , ki povezuje nje- gove komponente. Poslediˇ cno to velja tudi za strukturo odvisnosti sluˇ cajnega vektorja Z, ki ga dobimo s preureditvijo X. Kopula C Z , ki povezuje komponente sluˇ cajnega vektorja Z, je odvisna od kopuleC X in naˇ cina preureditve. To pa še ne pomeni, da je tudi istega tipa kot C X . V posebnem primeru, ki ga obravnava iz- rek 7.5, pa je. Domnevo 7.1 smo postavili na podlagi posplošitve tega posebnega primera ter na podlagi izreka 7.6 in leme 7.1 sestavili algoritem 7.5. Opomba 7.8: Algoritem 7.5 je primeren tudi za izraˇ cun porazdelitvene funkcije sluˇ cajnespremenljivkeS n ,kijevsotasluˇ cajnihspremenljivkX 1 ,...,X n ,zakatere smo ekvidistantno diskretizirali porazdelitvene funkcije. V tem primeru moramo na funkcije spremenljivk x in t v algoritmu gledati kot na vektorje vrednosti, ki se nanašajo na diskretizacijsko mrežo zax oziromat.  Naj bo r dolžina vektorjev f X 1 ,...,f X n , s katero smo dosegli zahtevano natanˇ c- nost pri diskretizaciji porazdelitvenih funkcijF X 1 ,...,F X n . Fourierove transformi- ranke v 22. in 23. koraku algoritma 7.5 raˇ cunamo s FFT. ˇ Ce se dosledno držimo tehniˇ cnih zahtev FFT transformacije, moramo pred seštevanjem S k =S k−1 +X k , k=2,...,n, v 7. koraku vektor a p z niˇ clami podaljšati do dvojne dolžine, v 8. koraku pa vektor b p z niˇ clami podaljšati do nove dolžine vektorja a p . Prav tako moramodonovedolžinevektorjaa p podaljšatitudivektorjaa q inb q . Natanaˇ cin je po n−1 seštevanjih dolžina vektorja f S n enakar2 n−1 , kar že pri malo veˇ cjem n presega mejo praktiˇ cne izvedljivosti algoritma. Doslednopodvajanje v tem pri- meru ni potrebno, saj z njim praktiˇ cno omogoˇ cimo le seštevanje niˇ cel. ˇ Ce kot izhodišˇ ceupoštevamoverjetnostnefunkcije, dobljenezdiskretizacijo, neodvisno od naˇ cina seštevanja za S n zadošˇ ca vektor dolžine nr. Zato pri raˇ cunanju s FFT zadošˇ ca,ˇ ceizhodišˇ cnevektorjef X 1 ,...,f X n podiskretizacijizniˇ clamipodaljšamo do 2nr, nato pa to dolžino ohranjamo pri vseh vmesnih rezultatih. Kljub temu pa si oglejmo še eno možnost. Naj bo, denimo, X=(X 1 ,...,X 8 ) t ∈R 8 C Ga Σ  . Pri predpostavki, da domneva 7.1 velja, brez težav dokažemo, da komponente sluˇ cajnih vektorjev (X 1 +X 2 ,X 3 + X 4 ,X 5 +X 6 ,X 7 +X 8 ) t in(X 1 +X 2 +X 3 +X 4 ,X 5 +X 6 +X 7 +X 8 ) t povezuje normalna kopula. Zato si raˇ cunanje lahko organiziramo na naˇ cin, razviden s slike 7.1. 178 Slika 7.1: Shematiˇ cen izraˇ cunS 8 z dvojiškim drevesom S 8 = S 1:8 = S 1:4 + S 5:8 S 1:4 = S 1:2 + S 3:4 S 5:8 = S 5:6 + S 7:8 S 1:2 = X 1 + X 2 S 3:4 = X 3 + X 4 S 5:6 = X 5 + X 6 S 7:8 = X 7 + X 8 Najprej iz F X 1 ,...,F X 8 izraˇ cunamo porazdelitvene funkcije F S 1:2 ,F S 3:4 ,F S 5:6 in F S 7:8 . Nato izraˇ cunamo korelacijski koeficient ρ(S 1:2 ,S 3:4 )= var[X 1 +X 2 +X 3 +X 4 ]−var[X 1 +X 2 ]−var[X 3 +X 4 ] 2 p var[X 1 +X 2 ] p var[X 3 +X 4 ] inF S 1:4 ter analognoF S 5:8 . Konˇ cno izraˇ cunamo še ρ(S 1:4 ,S 5:8 )= var P 8 i=1 X i  −var P 4 i=1 X i  −var P 8 i=5 X i  2 q var P 4 i=1 X i  q var P 8 i=5 X i  inF S 8 . Oglejmo si še splošnejši primer, ko je n=2 m in m≥2. Pripadajoˇ ce seštevalno dvojiško drevo ima log 2 n=m ravni. ˇ Ce zaˇ cnemo raˇ cunati z vektorjif X 1 ,...,f X n , ki jih z niˇ clami podaljšamo do dolžine 2r, konˇ camo z vektorjem f S n , ki je dolg 2r2 log 2 n =2nr. Polnodvojiškodrevoskravnmiima2 k −1vozlišˇ c,karjevnašem primeru enako n−1, v vsakem pa je treba izraˇ cunati vrsto (7.24). Tudi za n, ki ni potenca števila 2, se da seštevanje organizirati po dvojiškem drevesu, ki ima ⌈log 2 n⌉ ravni. Pri takem naˇ cinu je dolžina vektorjaf S n enaka 2r2 ⌈log 2 n⌉ , kar je za veliken bistveno manj kotr2 n−1 in vedno manj kot 4nr. Oglejmo si še algoritem 7.6, ki je prirejen za izraˇ cun z dvojiškim drevesom. 179 Algoritem 7.6: Izraˇ cun porazdelitvene funkcije vsote komponent n-razsežnega sluˇ cajnega vek- torja s predpisanimi robnimi porazdelitvenimi funkcijami in matriko linearnih korelacijskih koe- ficientov ter normalno kopulo. Izvedba z dvojiškim drevesom – prvi del. Podatki: 1. X –n-razsežen sluˇ cajni vektor. 2. F X 1 ,...,F X n – robne porazdelitvenefunkcije. 3. f X 1 ,...,f X n – robne gostote verjetnosti. 4. σ=(σ 1 ,...,σ n ) t – vektor standardnihodklonov komponent vektorja X. 5. Σ –n×n matrika linearnih korelacijskih koeficientovρ ij ,|ρ ij |<1 zai6=j. 6. ǫ – minimalna norma posameznegaˇ clena, ki ga še upoštevamo pri seštevanju vrste. 7. varianta – 1 (razcep drevesa na maksimalno uravnoteženi binarni poddrevesi) ali 2 (razcep drevesa na poddrevo s težo, ki je potenca števila 2, in preostanek). ˇ Ce je n potenca števila 2, sta oba razcepa enaka. Rezultati: 1. Karakteristiˇ cna funkcijaϕ S (t) zaS=X 1 +···+X n . 2. Gostota verjetnostif S (x). 3. Porazdelitvena funkcijaF S (x). Postopek: 1. functionSeštejXinY(ϕ X ,ϕ Y ,ρ) ⊲ funkcija vrneϕ S (t) zaS=X+Y 2. Izϕ X (t) inϕ Y (t) izraˇ cunajf X (x) inf Y (x) 3. Izf X (x) inf Y (x) izraˇ cunajF X (x) inF Y (x) 4. a q (x)←Φ −1 (F X (x)) ⊲ utež iz rekurzijske formule zaa m (x) 5. b q (x)←Φ −1 (F Y (x)) ⊲ utež iz rekurzijske formule zab m (x) 6. a p (x)←f X (x) ⊲ tua −2 (x), splošno pa prejšnjia m (x) 7. b p (x)←f Y (x) ⊲ tub −2 (x), splošno pa prejšnjib m (x) 8. a(x)←0 ⊲ tua −1 (x), splošno pa tekoˇ cia m (x) 9. b(x)←0 ⊲ tub −1 (x), splošno pa tekoˇ cib m (x) 10. ϕ S (t)←0 11. r←1 12. m←−1 13. repeat 14. m←m+1 15. z(x)←a(x) 16. a(x)←a q (x)a(x)−(m−1)a p (x) ⊲ rekurzijski izraˇ cun tekoˇ cegaa m (x) 17. a s (x)←z(x) 18. z(x)←b(x) 19. b(x)←b q (x)b(x)−(m−1)b p (x) ⊲ rekurzijski izraˇ cun tekoˇ cegab m (x) 20. b s (x)←z(x) 21. A(t)← R ∞ −∞ a(x)e itx dx ⊲ tekoˇ ciA m (t) 22. B(t)← R ∞ −∞ b(x)e itx dx ⊲ tekoˇ ciB m (t) 23. ifm>0 thenr← rρ m ⊲ tu je vednor= ρ m m! 24. ϕ S (t)←ϕ S (t)+A(t)B(t)r ⊲ tu je vednoϕ S (t)= P m i=0 A i (t)B i (t) ρ i i! 25. untilkA(t)B(t)rk<ǫ ⊲ zanko konˇ camo, ko jekA m (t)B m (t) ρ m m! k<ǫ 26. returnϕ S (t) 27. end function 180 Algoritem 7.6: Izraˇ cun porazdelitvene funkcije vsote komponent n-razsežnega sluˇ cajnega vek- torja s predpisanimi robnimi porazdelitvenimi funkcijami in matriko linearnih korelacijskih koe- ficientov ter normalno kopulo. Izvedba z dvojiškim drevesom – drugi del. 28. function Seštej(i,m) ⊲ funkcija vrneϕ S (t) zaS= P m k=i X k 29. ifi=m then ⊲ prišli smo do lista 30. ϕ S (t)←ϕ X i (t) ⊲ ni veˇ c kaj raˇ cunati, ker rezultat že imamo 31. else 32. ifi=m-1then ⊲ sešteti je treba dve izhodišˇ cni sluˇ cajni spremenljivki 33. ϕ S (t)←SeštejXinY(ϕ X i ,ϕ X m ,ρ im ) 34. else ⊲ drevo razcepimona dve poddrevesi 35. if varianta=1then ⊲ maksimalno možno uravnoteženi poddrevesi 36. j←  i+m 2  37. else ⊲ poddrevos težo, ki je potenca števila 2, in preostanek 38. j←i+2 ⌊log 2 (k−i)⌋ −1 39. end if ⊲j je konˇ cni indeks levega poddrevesa 40. k←j+1 ⊲k je zaˇ cetni indeks desnega poddrevesa 41. ϕ 1 (t)←Seštej(i,j) ⊲ karakteristiˇ cna funkcija levega poddrevesa 42. ϕ 2 (t)←Seštej(k,m) ⊲ karakteristiˇ cna funkcija desnega poddrevesa 43. v 0 ←σ t i:m Σ i:m,i:m σ i:m ⊲ varianca korena 44. v 1 ←σ t i:j Σ i:j,i:j σ i:j ⊲ varianca levega poddrevesa 45. v 2 ←σ t k:m Σ k:m,k:m σ k:m ⊲ varianca desnega poddrevesa 46. ρ= v 0 −v 1 −v 2 2 √ v 1 v 2 ⊲ korelacijski koeficient med levim in desnim poddrevesom 47. ϕ S (t)←SeštejXinY(ϕ 1 ,ϕ 2 ,ρ) ⊲ združi obe poddrevesi 48. endif 49. endif 50. returnϕ S (t) 51. end function 52. ϕ S (t)←Seštej(1,n) 53. Izϕ S (t) izraˇ cunajf S (x) ⊲ uporabi inverzno Fourierovo transformacijo 54. Izf S (x) izraˇ cunajF S (x) ⊲ integriraj Opomba 7.9: Algoritem 7.6 deluje po naˇ celu "deli in vladaj". Problem razbije na dva manjša problema,rešivsakega posebej, nato pa obarezultata združi. Pritem se rekurzivno spušˇ ca v globino, dokler ne naleti na poddrevo, za katero je treba sešteti dve sluˇ cajni spremenljivki, oziroma na osamljeno sluˇ cajno spremenljivko. Mogoˇ cih razcepov drevesa na dve poddrevesi je veˇ c. Za prvo varianto smo izbrali takega, ki poskuša izenaˇ citi število sumandov. Pri drugi varianti pa je število sumandovv prvem poddrevesu najveˇ cja potenca števila 2, ki je manjša od števila sumandov v nadrejenem drevesu, v drugem poddrevesu pa zberemo preostanek. ˇ Ce jen potenca števila 2, sta oba razcepa enaka. Zan=11 oba naˇ crta seštevanja vidimo na sliki 7.2. 181 Slika 7.2: Izraˇ cunS 11 z algoritmom 7.6 – levo prva, desno druga varianta S 1:11 10 S 1:6 5 S 7:11 9 S 1:3 2 S 4:6 4 S 7:9 7 S 10:11 8 S 1:2 1 S 3:3 S 4:5 3 S 6:6 S 7:8 6 S 9:9 S 1:11 10 S 1:8 7 S 9:11 9 S 1:4 3 S 5:8 6 S 9:10 8 S 11:11 S 1:2 1 S 3:4 2 S 5:6 4 S 7:8 5 Nad pravokotniki je oznaˇ cen vrstni red seštevanja. Nad tistimi, v katere vodijo prekinjene povezave, oznake ni, ker v njih seštevanje ni potrebno.  Sevedasomogoˇ citudidrugaˇ cnivrstnirediseštevanjapodvehsluˇ cajnihspremen- ljivk, vendar pa je število izraˇ cunov vrste (7.24) oziroma primerno interpretirane vrste (7.28) v vseh primerih enako n−1. Izbrani vrstni red seštevanja vpliva na korelacijske koeficiente, s tem pa tudi na hitrost konvergence. Rezultate testnih izraˇ cunov z algoritmom 7.6 smo primerjali z rezultati, doblje- nimi s simulacijo. Pri tem domneve 7.1 nismo mogli ovreˇ ci, seveda pa je na ta naˇ cin tudi potrditi ne moremo. Tudi vsi v 9. poglavju predstavljeni izraˇ cuni so narejeni po prvi varianti delno optimiziranega algoritma 7.6. Ker je tamn=4, je izbor variante nepomemben. Da ne bi navajali le "argumentov" za pravilnost domneve 7.1, si za konec oglejmo še primer, ko se je posplošitev rezultata za veˇ crazsežno normalno porazdeljene sluˇ cajne vektorje po praktiˇ cnem preverjanju izkazala za nekorektno. Naj bo X∈ N n (µ, Σ) sluˇ cajni vektor, σ=(σ 1 ,...,σ n ) t vektor standardnih odklo- nov njegovih komponent, D diagonalna matrika z vektorjem σ na diagonali in s=(s 1 ,...,s n ) t . Na podlagi zapisa karakteristiˇ cne funkcije v obliki ϕ X (s)=e is t µ − 1 2 s t Σs =e is t µ − 1 2 s t D 2 s e − 1 2 s t (Σ−D 2 )s = n Y i=1 ϕ X i (s i )e − 1 2 s t (Σ−D 2 )s , ki smo jo za dvorazsežni primer že sreˇ cali pri dokazovanju izreka 7.3, bi lahko pomislili, da velja tudi v primeru, ko porazdelitvene funkcije F X 1 ,...,F X n niso normalne,kar pa se izkaže kot napaˇ cno. 8 Optimalna alokacija kapitala Zavarovalnice so kot pravne osebe lahko organizirane na razliˇ cne naˇ cine. Med njimistanajpomembnejšiorganizacijskioblikidelniška družbaindružbazavza- 182 jemno zavarovanje. To sta v Sloveniji, kjer je veˇ cina zavarovalnic organiziranih kot delniška družba, tudi edini dovoljeni obliki 19 . Medinteresilastnikovdelniškihdružbinnjihovimizavarovalciinzavarovanciob- staja konflikt interesov. Tako, denimo, lastniki želijo doseˇ ci želeni dobiˇ cek sˇ cim manj kapitala, medtem ko zavarovanci želijo, da bi zavarovalnica za izpolnitev svojih obveznosti jamˇ cila sˇ cim veˇ c kapitala. Med razliˇ cnimi pogledi na kapital zavarovalnice, ki ga imajo deležniki zavaroval- nice (zavarovalci, zavarovanci, lastniki, nadzorniki, vodstvo zavarovalnice, drugi zaposlenci, bonitetne agencije in morda še kdo), je najpomembnejši pogled last- nikov, ˇ ceprav tudi o tem lahko razpravljamo (Besson, Dacorogna, de Martin, Ka- stenholz & Moller, 2009). Zato na predpise o kapitalu, ki smo si jih ogledali v 2. poglavju, lahko gledamo tudi kot na robne pogoje, pri katerih lastniki zavaroval- nic želijo optimalno alocirati svoj kapital. Pri tem je veˇ c možnosti za osnovne alokacijske enote, denimo organizacijske enote, tveganja, zavarovalne vrste ali posamezne produkte. Prav tako je veˇ c kriterijev optimalnosti. V tem poglavju nas ne bo zanimal s predpisi zahtevani kapital (regulatorni kapi- tal), ampak ekonomski kapital. Kot navajata Tang in Valdez (2006, str. 2), je to minimalni znesek kapitala, ki ga mora imeti zavarovalnica za nadomestilo priˇ ca- kovanihinnepriˇ cakovanihbodoˇ cihodškodnin. Tozelosplošnodefinicijosmoza- vestno izbrali za izhodišˇ ce. Z njo bi radi ponazorili nekatere terminološke težave oziroma dvoumnosti v aktuarski in finanˇ cni literaturi, celo zmedo, kot omenjata Hesselager in Anderssen (2002, str. 2), ki navajata, da se ekonomski kapital na- naša na zašˇ cito pred nepriˇ cakovanimi škodami oziroma odškodninami. Skratka, takoj naletimo na bistveno razliko, ki izvira iz razliˇ cne obravnave priˇ cakovanih odškodnin. ˇ Ce pogledamo zelo poenostavljeno bilanco stanja zavarovalnice, imamo na eni strani sredstva v skupni višini A (assets), na drugi pa obveznosti v skupni višini L (liabilities). ObveznostiL so sestavljene iz kapitalaK, ki je obveznost do lastni- kov,in(ocenjenih)obveznostiS,kisenanašajonaprevzeta zavarovalna tveganja. Pri tem se ne obremenjujmo s tem, na kakšen naˇ cin so vrednotena sredstva A in obveznosti S. Ker je v bilanci stanja A=L in je L=K+S, je K=A−S. Ta presežek sredstev nad obveznostmi, ki se sˇ casoma spreminja oziroma prilagaja spremembam vrednosti sredstev in obveznosti, bi moral zadošˇ cati za hude ˇ case, ko bi dejanske obveznosti bistveno presegle priˇ cakovane oziroma ocenjene ob- veznosti. 19 Zapravneoblike, ki sodovoljenevdrugihdržavahEU,glejDirektivoSolventnost2, prilogaIII. 183 Na spodnjih shemah si oglejmo tri razliˇ cne strukture sredstev, priˇ cemer so v isti liniji posamezne sheme na levi sredstva, na desni pa njihov vir. Sredstva Obveznosti A K S A L Sredstva Obveznosti A−E[S] K E[S] S A L Sredstva Obveznosti A−π(S) K π(S) S A L Iz leve sheme vidimo, da je vir sredstev le kapital K. Pri tej možnosti je ekonom- skikapital mišljenkot nadomestilo za priˇ cakovane innepriˇ cakovane odškodnine. Ta možnost sicer ne odraža realnega stanja v zavarovalnicah, lahko pa jo inter- pretiramotako,daekonomskikapital vtemprimerupomenipotrebnovišinovseh sredstev. ˇ Cenjihovovišinoizraˇ cunamozmerotveganja,kijeneobˇ cutljivanapre- mik,inodštejemonadomestilozaprevzemtveganja(tehniˇ cnopremijooziromaiz nje financirane naložbe), pa res dobimo ekonomski kapital. Iz srednje sheme vi- dimo,dajevirsredstevkapitalK innevarnostnapremijavvišiniE[S],kotznašajo priˇ cakovane obveznosti. Ta možnostodraža stališˇ ce, da seekonomskikapital na- naša na zašˇ cito pred nepriˇ cakovanimi odškodninami, ne upošteva pa dejstva, da je nadomestilo za priˇ cakovane odškodnine praviloma veˇ cje odE[S]. Tretja mož- nost, ki sledi iz desne sheme, je za zavarovalnice najbolj realna. Upošteva, da je vir sredstev kapital K in tehniˇ cna premija v višini π(S). Režijskega dela kos- mate premije tudi v tej bilanˇ cni shemi ni, ker lahko predpostavimo, da ga sproti porabimo za kritje stroškov. Skratka, ekonomski kapital, zlasti pa še njegova alokacija na posamezne alokacij- ske enote, je predvsem teoretiˇ cen koncept. Lahko je udejanjen tudi v praksi, ˇ ce je regulatornikapital ustrezno izraˇ cunan, ni pa nujno. To še zlasti velja za aloka- cijo kapitala, kjer je smiselna dejanska alokacija kapitala zavarovalne skupine na posamezneˇ clanice skupine, ne pa tudi na tveganja ali zavarovalne vrste. ˇ Ceseneželimoobremenjevatiznadomestilomzapriˇ cakovane odškodnine,drugi in tretji primer prevedemo na prvega, ˇ ce namesto tveganja S gledamo tveganji S−E[S]inS−π(S), s tem pa tudi upraviˇ cimo uporaboizraza ekonomski kapital v prvem primeru. Pravilna interpretacija dejanskega stanja je zlasti pomembna, ˇ ce ekonomski kapital za skupno tveganje rutinsko raˇ cunamo iz ekonomskih ka- pitalov za posamezna tveganja na nižji ravni. Tako možnost s poenostavljenim pristopom, prirejenim za srednjo bilanˇ cno shemo zgoraj, bomo predstavili v na- daljevanju. Vrnimo se k definiciji ekonomskega kapitala. Zanj, denimo, so v dokumentu Specialty Guide on Economic Capital (2004, str. 5 in 6) navedene štiri razliˇ cne 184 definicije, ki so precej bolj natanˇ cne od že navedene. Vse omenjajo tudi predpi- sano toleranco do tveganja in ˇ casovni okvir, na katerega se toleranca nanaša. Tu navedimo definicijo, ki je posplošitev ene od definicij iz omenjenega dokumenta, ker nismo predpisali tudi metode vrednotenja sredstev in obveznosti. Definicija 8.1: Ekonomski kapital je presežek vrednosti sredstev nad vrednostjo obveznosti, ki je potreben za zagotovitev poravnave obveznosti, upoštevaje dano stopnjo tveganja inˇ casovni okvir. Za naš namen je kljuˇ cno, da gre pri ekonomskem kapitalu za minimalno višino kapitala, ki je doloˇ cena na podlagi specifiˇ cnosti posamezne zavarovalnice, med- tem ko regulatorni kapital praviloma temelji na povpreˇ cju panoge. Zato naj bi bil ekonomski kapital boljše merilo kapitalskih zahtev za konkretno zavarovalnico kot pa regulatornikapital. Razliko med obema vrstama kapitala bo odpravila Sol- ventnost 2,ˇ ce bomo solventnostni kapital raˇ cunali z internim modelom namesto s standardno formulo. Naekonomskikapital lahkogledamokotnakapital, kitemeljinatveganjih (RBC– RiskBasedCapital,karpajevZDAskorajsinonimzaregulatornikapital),oziroma na kapital, ki je prilagojen tveganju (RAC – Risk Adjusted Capital). Zato moramo, ˇ ce smo natanˇ cni, poleg višine ekonomskega kapitala navesti še mero tveganja, ˇ casovniokvir in toleranco do tveganja, da sredstev za poravnavo vseh obveznosti ne bo dovolj. Recimo, da za poravnavo obveznosti zaradi prevzetega tveganja X, upoštevaje predpisano verjetnost in dani ˇ casovni okvir, potrebujemo ρ(X) sredstev. Za pri- ˇ cakovane obveznosti v višini E[X] sredstva pridobimo kot nadomestilo za prev- zem tveganja, za morebitni presežek pa je potreben ekonomski kapital v višini EC[X]=ρ(X)−E[X]. ˇ Ce je tveganj veˇ c, moramo za izraˇ cun ekonomskega kapi- tala,kisenanašananjihovseštevek,poznatiporazdelitvenefunkcijeposameznih tveganjinkorelacijeoziromaodvisnostimednjimi,predvsempaustreznemetode za izraˇ cun porazdelitvene funkcije vsote koreliranih oziroma odvisnih tveganj. Shematiˇ cno je izraˇ cun ekonomskega kapitala razviden s slike 8.1. Natanˇ cenizraˇ cunekonomskegakapitalazahtevauporabometodizprejšnjihdveh poglavij, pogosto pa zaradi nepoznavanja posameznih parametrov, denimo ko- relacij, niti ni mogoˇ c. Zato ga v praksi veˇ ckrat poenostavimo, tako da privza- memo veˇ crazsežno normalno porazdelitev vseh upoštevanih tveganj, korelacije med njimi pa predpišemo s primerno stopnjo previdnosti. 185 Slika 8.1: Shematiˇ cen izraˇ cun ekonomskega kapitala 1. Identificiraj vire tveganj Tveganja Zav. tveganja premoženjskih zavarovanj Zav. tveganja življenjskih zavarovanj Zav. tveganja zdravstvenih zavarovanj Tržna tveganja Kreditna tveganja 2. Izračunaj porazdelitvene funkcije 3. Sestavi agregatno porazdelitveno funkcijo K O R E L A C I J E 4. Izračunaj ekonomski kapital Pričakovana vrednost Predpisani kvantil Ekonomski kapital Vir: Prirejeno po Wason, Insurer Solvency Assessment: Towards a Global Framework, 2004, objavljeno v Komelj, Solventnost II – izraˇ cun kapitala za avtomobilska zavarovanja, 2011 Poglejmo si primer, ko za mero tveganja upoštevamo tvegano vrednost pri dani stopnji zaupanjaα∈(0,1). ˇ Casovni okvir, denimo eno leto, je že implicitno upo- števan v porazdelitveni funkciji sluˇ cajne spremenljivke X, ki se nanaša na tve- ganje enega leta. V tem primeru dobimo ekonomski kapital EC α [X]=VaR α (X)− E[X]inanalognoEC α [Y]=VaR α (Y)−E[Y]. Zapremajhnostopnjozaupanjaα,za katerojeVaR α (X) 1 2 , tako da je Φ −1 (α)>0. V tem primeru je VaR α (X)=µ X +σ X Φ −1 (α), EC α [X]=σ X Φ −1 (α)>0 in analogno EC α [Y]=σ Y Φ −1 (α)>0. Naj bosta tvega- nji X in Y korelirani ter ρ=ρ(X,Y) in S=X+Y. Potem je S∼ N(µ X +µ Y ,σ 2 S ), kjerjeσ S = q σ 2 X +2ρσ X σ Y +σ 2 Y ,inEC α [S]=σ S Φ −1 (α)>0. Vsitrijeekonomski kapitali EC α [X], EC α [Y] in EC α [S] so Φ −1 (α)-kratniki pripadajoˇ cih standardnih 186 odklonov, zato je EC α [S]= q (EC α [X]) 2 +2ρEC α [X]EC α [Y]+(EC α [Y]) 2 . (8.1) Pri danih ekonomskih kapitalih EC α [X] in EC α [Y] po zgornji enaˇ cbi dobimo naj- manj zaρ= −1, ko je EC α [S]= q (EC α [X]−EC α [Y]) 2 =|EC α [X]−EC α [Y]|, najveˇ c pa zaρ=1, ko je EC α [S]= q (EC α [X]+EC α [Y]) 2 =EC α [X]+EC α [Y]. Zaradi previdnosti obiˇ cajno za negativne korelacije namestoρ=ρ(X,Y) upošte- vamo ρ=0. S tem privzetkom je v našem primeru najmanjši možni ekonomski kapital za tveganjeS=X+Y enak EC α [S]= q (EC α [X]) 2 +(EC α [Y]) 2 , kar ustreza ekonomskemu kapitalu za primer, ko sta X in Y neodvisni sluˇ cajni spremenljivki. Razlika EC α [X]+EC α [Y]−EC α [S], ki ji reˇ cemo uˇ cinek razpršitve, je padajoˇ ca nenegativna funkcija spremenljivkeρ. Formulo(8.1) brez težav posplošimo za splošen primern-razsežne normalne po- razdelitvesluˇ cajnegavektorja(X 1 ,...,X n )skorelacijskomatrikoΣzelementiρ ij , i,j=1,...,n. V tem primeru zaS= P n i=1 X i dobimo EC α [S]= v u u u t n X i=1 n X j=1 ρ ij EC α [X i ]EC α [X j ]. (8.2) Tudi tukaj privzemimo, da vse morebitne negativne korelacijske koeficiente po- stavimo na niˇ c, tako da velja neenaˇ cba v u u t n X i=1 (EC α [X i ]) 2 ≤ EC α [S] ≤ n X i=1 EC α [X i ]. Spodnjo mejo dosežemo, ko so tveganja X 1 ,...,X n neodvisna, zgornjo pa, ko so komonotono linearno odvisna, zaradiˇ cesar so vsi Pearsonovi korelacijski koefici- enti ena. Opomba 8.1: Naj bo S= P n i=1 X i vsota komponent sluˇ cajnega vektorja, za kate- 187 rega je X 1 −E[X 1 ] σ X 1 d = ··· d = X n −E[X n ] σ Xn d = S−E[S] σ S . Za take sluˇ cajne vektorje, katerih poseben primer so n-razsežno eliptiˇ cno porazdeljeni sluˇ cajni vektorji, torej tudi n-razsežno normalno porazdeljeni, lahko enaˇ cbo (8.2) posplošimo. ˇ Ce za tvega- nje X i ekonomski kapital izraˇ cunamo z distorzijsko mero tveganja H g , tako da je EC[X i ]=H g [X i ]−E[X i ], potem je EC[S]= q P n i=1 P n j=1 ρ ij EC[X i ]EC[X j ] (glej Dhaene et al., 2005, str. 23). Kot smo spoznali v razdelku 4.2.7, je konˇ cna tve- ganavrednostdistorzijskameratveganja. Zatozaeliptiˇ cnoporazdeljenesluˇ cajne vektorje (X 1 ,...,X n ) enaˇ cba (8.2) velja, tudi ˇ ce ekonomski kapital za tveganje X i izraˇ cunamo z EC α [X i ]=TVaR α [X i ]−E[X i ].  Priraˇ cunanjuekonomskegakapitala, kigapotrebujemozaradiupravljanjazaupa- nega portfelja naložb, lahko s sluˇ cajnimispremenljivkamiX 1 ,...,X n modeliramo kar negotove bodoˇ ce vrednosti oziroma donose posameznih naložb, upoštevaje spremembe vrednosti naložb, obresti, dividende, upravljalske in druge stroške itd. ˇ Ce lastniku naložbeX i jamˇ cimo, da mu bomo po preteˇ cenem dogovorjenem ˇ casu izplaˇ cali priˇ cakovano vrednost E[X i ], je definicija ekonomskega kapitala s formuloEC α [X i ]=VaR α [X i ]−E[X i ]zaposameznonaložbogotovosmiselna. Prav takojesmiselnatudienaˇ cba(8.2),skateroizraˇ cunamoekonomskikapitalzacelo- ten portfelj naložb,ˇ ce se le ne obremenjujemo z vprašanjem, ali je predpostavka oveˇ crazsežninormalniporazdelitvisluˇ cajnegavektorja(X 1 ,...,X n )dovoljdobro izpolnjena. Poslediˇ cnosetudineobremenjujemozdejstvom,daekonomskikapi- tal EC α kot mera tveganja, ki jo McNeil et al. (2005, str. 38) oznaˇ cujejo z VaR mean α , v splošnem primeru ni koherentna, ker ni subaditivna. Zato je uˇ cinek razpršitve tveganj lahko tudi negativen, vendar ne v našem primeru n-razsežne normalne porazdelitve, ko je vedno P n i=1 EC α [X i ]−EC α [S]≥0. Naj bo (X 1 ,...,X n ) n-razsežno normalno porazdeljen sluˇ cajni vektor zavaroval- nih tveganj s korelacijsko matriko Σ, pri ˇ cemer se tveganje X i nanaša na vsoto vseh tveganj za i-to zavarovalno vrsto. Zavarovalnica za prevzem tveganja X i , za katerega predpostavimo, da je E[X i ]>0, prejme tehniˇ cno premijo v višini π(X i )=(1+δ i )E[X i ], δ i >0, i= 1,...,n. Zato za tveganje X i , ˇ ce ga gledamo samostojno, dejansko potrebuje ekonomski kapital v višini K α [X i ]=VaR α [X i ]− π(X i ), kar je za varnostni dodatek δ i E[X i ] manj kot EC α [X i ]. Pri dovolj veliki stopnji zaupanja v konkurenˇ cnih razmerah varnostni dodatek ne more biti preti- rano velik. Zato lahko predpostavimo, da jeK α [X i ]≥0. ˇ Ce pa navedene predpo- stavke niso izpolnjene, raje uporabimo enaˇ cboK α [X i ]=(VaR α [X i ]−π(X i )) + . Naj bo ˜ K α [S] dejanski ekonomski kapital, ki je potreben za seštevek tveganj S= P n i=1 X i . Z upoštevanjem enaˇ cb π(S)= P n i=1 π(X i ) in E[S]= P n i=1 E[X i ] do- bimoskupnivarnostnidodatekπ(S)−E[S]= P n i=1 δ i E[X i ],zakolikorjeekonom- 188 ski kapital, izraˇ cunan z enaˇ cbo (8.2), prevelik. Zato je ˜ K α [S]= v u u u t n X i=1 n X j=1 ρ ij EC α [X i ]EC α [X j ]− n X i=1 δ i E[X i ] (8.3) oziroma ˜ K α [S]= v u u u t n X i=1 n X j=1 ρ ij (K α [X i ]+δ i E[X i ])(K α [X j ]+δ j E[X j ])− n X i=1 δ i E[X i ]. Tudi v tem primeru morebitni negativni ekonomski kapital ˜ K α [S] postavimo na niˇ c. Ekonomski kapital za sluˇ cajno spremenljivko S izraˇ cunajmo še na tretji naˇ cin, tako da preprosto na desni strani enaˇ cbe (8.2) namesto ekonomskih kapitalov EC α [X i ] vstavimoK α [X i ],i=1,...,n. Dobimo K α [S]= v u u u t n X i=1 n X j=1 ρ ij K α [X i ]K α [X j ]. (8.4) Vtemprimerujeuˇ cinekrazpršitvetveganjvednonenegativen,ˇ cepaprivzamemo, da vse morebitne negativne korelacijske koeficiente postavimo na niˇ c, velja nee- naˇ cba v u u t n X i=1 (K α [X i ]) 2 ≤ K α [S] ≤ n X i=1 K α [X i ]. Oˇ citno je EC α [S]≥ ˜ K α [S] in EC α [S]≥K α [S], pri tem pa enaˇ caj lahko dosežemo le,ˇ cepogojezavarnostnekoeficienteomilimo,takodanamestoδ i >0zahtevamo δ i ≥0, i= 1,...,n. Malo veˇ c truda zahteva dokaz, da jeK α [S]≥ ˜ K α [S]. Skratka, za naše tri ekonomske kapitale velja neenaˇ cba EC α [S]≥K α [S]≥ ˜ K α [S], zaradi katere smo na varni strani, ˇ ce ekonomski kapital raˇ cunamo z enaˇ cbo (8.4) namesto z enaˇ cbo (8.3). Z uporabo enaˇ cbe (8.2) bi bili še bolj na varni strani, vendar bipri tem popolnoma zanemarili dejstvo, da v mnogihprimerih kot nado- mestilo za prevzem tveganjaX zahtevamo veˇ c kotE[X]. Enaˇ cba (8.4) bo hierarhiˇ cno uporabljena tudi kot standardna formula za izraˇ cun solventnostnega kapitala v okviru Solventnosti 2. Z njo bomo pri stopnji zaupa- nja α=0,995 za obdobje enega leta raˇ cunali zahtevani solventnostni kapital na 189 posameznih ravneh. Na ravni tik pod vrhom se sluˇ cajne spremenljivkeX 1 ,...,X 5 nanašajonazavarovalnatveganja pripremoženjskih,življenjskihinzdravstvenih zavarovanjih, tržna tveganja in kreditna tveganja. Pripadajoˇ ci ekonomskikapitali K 0,995 [X 1 ],...,K 0,995 [X 5 ] predstavljajo zahtevani solventnostni kapital, ˇ ce vsako od navedenih tveganj gledamo samostojno, vendar pa kot seštevek morebitnih tveganj na nižji ravni. V našem primeru K 0,995 [S] pomeni osnovni zahtevani sol- ventnostnikapital, kisenanašanaseštevektveganjS=X 1 +···+X 5 . Korelacijski koeficienti, ki so potrebni za izraˇ cun z enaˇ cbo (8.4), so razvidni iz tabele 8.1, v kateri se kreditna tveganja nanašajo le na tveganje neplaˇ cila nasprotne stranke. Tabela 8.1: Korelacijski koeficienti med tveganji, ki vplivajo na solventnostni kapital Zavarovalna tveganja Tržna Kreditna Premoženjska Življenjska Zdravstvena tveganja tveganja Premoženjska 1 0 0 0,25 0,50 Življenjska 0 1 0,25 0,25 0,25 Zdravstvena 0 0,25 1 0,25 0,25 Tržna 0,25 0,25 0,25 1 0,25 Kreditna 0,50 0,25 0,25 0,25 1 Vir: Direktiva Solventnost 2, priloga IV Skupnizahtevanisolventnostnikapitaldobimotako,daosnovnemuzahtevanemu solventnostnemu kapitalu prištejemo zahtevani solventnostni kapital za opera- tivna tveganja ter upoštevamo morebitna zmanjšanja zaradi absorbcijskih zmož- nosti zavarovalno-tehniˇ cnih rezervacij in odloženih davkov. Lastnike kapitala med drugimi kazalniki uspešnosti poslovanja obiˇ cajno zanima tudi donosnost na kapital (ROC – Return On Capital). ˇ Ce izraˇ cun kapitala temelji na tveganjih, pa jih zanima donosnost na tveganju prilagojeni kapital (RORAC – Return On Risk Adjusted Capital oziroma RAROC – Risk Adjusted Return On Capital). Zato je eden od ciljev optimizacije alokacije kapitala, da pri predpisani meri tveganja in toleranci do tveganja dosežemo ˇ cim veˇ cji RORAC. Seveda pri iskanju optimuma upoštevamo tudi praktiˇ cni pogoj, da moramo "zaposliti" vsaj toliko kapitala, kolikršna je višina regulatornega kapitala. ˇ Ce pri izraˇ cunu ekonomskega kapitala izhajamo iz danih predpostavk o obsegu poslovanja v posameznih zavarovalnih vrstah in s tem povezanimi tveganji, na prvi pogled nimamo veˇ c ˇ cesa optimizirati, vendar ni tako. Zaradi uˇ cinka razpr- šitve potrebujemo namreˇ c manj ekonomskega kapitala od seštevka posameznih ekonomskih kapitalov za posamezna tveganja oziroma zavarovalne vrste, ˇ ce le uporabljamosubaditivnomerotveganja. Zatojetrebaizraˇ cunaniekonomskikapi- talalociratinaposameznatveganjaoziromazavarovalnevrste,takodaposamezni 190 alokacijski enotidejansko priredimo najveˇ c toliko kapitala, kolikor zanjo zahteva izraˇ cunbrezupoštevanjadrugihtveganjoziromazavarovalnihvrst. Lahkobicelo rekli, da gre v tem primeru za alokacijo uˇ cinka razpršitve. Seveda lahko optimizacijsko nalogo definiramo tudi drugaˇ ce. Pri danem razpo- ložljivem kapitalu poišˇ cimo tak naˇ crt poslovanja, da bo ekonomski kapital enak razpoložljivemu kapitalu, hkrati pa bomo dosegli kar najveˇ cjo donosnost na ka- pital. Navedeni cilj optimizacije alokacije kapitala je le eden od možnih. Tako bi, denimo, lahko iskali tudi tako alokacijo razpoložljivega kapitala, za katero bi predpisali ciljno donosnost in najmanjšo še sprejemljivo verjetnost, da jo bomo dosegli, tveganje, da bomo izgubili celoten kapital (ali njegov del), pa bi radi zmanjšali na minimum. Tovrstna optimizacija ima smisel predvsem v primeru, ko želimo izpolniti kapitalske zahteve za ustrezno bonitetno oceno, kar je obi- ˇ cajno zahtevnejše od zahtev regulatorja. V nadaljevanju si bomo ogledali, kako že izraˇ cunani ekonomski kapital (oziroma uˇ cinek razpršitve) alociramo po posameznih alokacijskih enotah. ˇ Ce posamezno zavarovalnico (ali zavarovalno skupino) gledamo celovito, so alokacijske enote na najvišji ravni obiˇ cajno posamezne poslovne enote (ali podružnice) ali pa po- samezne skupine tveganj. ˇ Ce sestavimo matriko z vrsticami, ki se nanašajo na poslovne enote, in stolpci, ki se nanašajo na skupine tveganj, nas torej zanima alokacija kapitala po vrsticah ali stolpcih. Prva možnost nas zanima predvsem zaradi spremljanja ekonomske uspešnosti posamezne poslovne enote, za katero želimo upoštevati tudi stroške kapitala, druga pa zaradi ustreznega naˇ crtovanja upravljanja tveganj in dejstva, da je skupni kapital odvisen od tveganj. Ker so metode alokacije kapitala enake, lahko oba primera pokrijemo z razdelkom 8.1. V bistvu bi tudi alokacijo kapitala po zavarovalnih vrstah lahko obravnavali ana- logno kot alokacijo kapitala po poslovnih enotah ali skupinah tveganj. Vprašanje pa je, ali posamezni zavarovalni vrsti znamo korektno prirediti vsa tveganja, ki so z njo povezana, saj imamo v praksi težave že s korektno alokacijo stroškov po zavarovalnih vrstah. Pri tem posebnem primeru alokacije kapitala, ki ga bomo obravnavali v razdelku 8.2, je alokacija kapitala potrebna predvsem zaradi ko- rektnega doloˇ canja primerne zavarovalne premije in spremljave rezultatov zava- rovalne vrste, upoštevaje tudi stroške kapitala. 8.1 Alokacija kapitalapo vrstahtveganj NajbodoX 1 ,...,X n zvezne sluˇ cajnespremenljivke, skaterimi modeliramon raz- liˇ cnih tveganj, in S= P n i=1 X i skupno tveganje, za katero moramo izraˇ cunati eko- nomski oziroma tveganju prilagojeni kapital K. 191 Najprej si podrobneje oglejmo eno izmed možnosti, kako lahko izraˇ cunamoK za zavarovalnice. Za merotveganja izberimo tveganovrednost inpredpostavimo, da porazdelitveno funkcijo F S (x) že poznamo. Ker s tem poznamo tudi E[S]=µ S in var[S]=σ 2 S , poznamo tudi porazdelitveno funkcijo standardizirane sluˇ cajne spremenljivke Z= S−µ S σ S , saj je F Z (x)=F S (µ S +σ S x), in pripadajoˇ co kvantilno funkcijoF −1 Z (x). ˇ Ceprav bi lahko shajali tudi brez porazdelitvene funkcijeF Z (x), je njeno poznavanje koristno že zaradi primerjave s standardizirano normalno porazdelitveno funkcijo Φ(x). Na podlagi primerjave namreˇ c vsaj grobo lahko ocenimo,kakonatanˇ cnisoaproksimativniizraˇ cunikapitalazenaˇ cbami(8.2),(8.3) in (8.4). Lastniki zavarovalnice priˇ cakujejo donosnost na tveganju prilagojeni kapital K v višiniRORAC=r f +r,kjerjer f netvegana obrestnamera,r padodatek zatvega- nje. Kerdonosnakapital vvišinir f K lahkodosežejo žeznetveganiminaložbami kapitala, morajo razliko rK do priˇ cakovanega donosa dobiti neposredno iz pre- mije oziroma posredno iz donosa naložb kritnega premoženja, delno pa tudi iz morebitnega donosa naložb kapitala, ki presega netvegani donos. V tem primeru seveda priˇ cakujemo, da je med tržnimi in kreditnimi tveganji upoštevano tudi tveganje, ki se nanaša na naložbe kapitala. Pripomnimo še, da je v zavarovalni- cah kapital pogosto vsaj delno "zamrznjen" v nedonosnih osnovnih sredstvih za lastno uporabo, kar vpliva tudi na tveganje premoženja zaradi spremembe cen nepremiˇ cnin. V takem primeru izpad priˇ cakovanega netveganega donosa nado- mestimo z ustreznim poveˇ canjem r, lahko pa ga upoštevamo kot (delni) strošek kapitala, ki ga v kosmato zavarovalno premijo vraˇ cunamo skupaj z drugimi obra- tovalnimi stroški. Dodajmo še, da so pri danem obsegu poslovanja obratovalni stroški praktiˇ cno konstantni, kljub temu pa naj bo med tveganji X 1 ,...,X n tudi sluˇ cajnaspremenljivka,kisenanašanamorebitnipresežekobratovalnihstroškov nad vraˇ cunanimi stroški. Tako nam izjemoma ne bo treba delati s tehniˇ cno pre- mijo, ampak bomo lahko shajali kar s kosmato. Pri navedenih predpostavkah je izhodišˇ cno nadomestilo za prevzete obveznosti enakoµ S , kar se v glavnem nanaša na nevarnostno premijo, poveˇ cano za režijski dodatek in zmanjšano za priˇ cakovane donose naložb kritnega premoženja,ˇ ce ne omenjamo drugih komponent. Za doseganje priˇ cakovane donosnosti na kapital potrebujemo šerK sredstev. Seveda jih lahko dobimo le,ˇ ce jih vraˇ cunamo v kos- mato premijo v funkciji varnostnega dodatka, ki skupaj z nevarnostno premijo sestavlja tehniˇ cno premijo, namenjeno izplaˇ cilu odškodnin. Dolgoroˇ cno se var- nostnidodatek pri korektno doloˇ ceni nevarnostni premiji sprosti kot dobiˇ cek. Za izraˇ cunkapitalaK potrebujemošepodatekotem,kolikosolastnikizavarovalnice pripravljenitvegati. Denimo,da sovenemletupripravljeni izgubitinajveˇ cβK ka- 192 pitala, 0≤β≤1, z verjetnostjo, ki ne presega 1−α, α∈ (0,1). Pri teh zahtevah dobimo enaˇ cboP(S−µ S −rK>βK)=1−α oziromaP(S−µ S ≤(r+β)K)=α, od tu paP  S−µ S σ S ≤ (r+β)K σ S  =P  Z≤ (r+β)K σ S  =α in K= σ S F −1 Z (α) r+β . (8.5) Enaˇ cbo (8.5) je Antal (2003, str. 39) uporabil za izraˇ cun ekonomskega kapitala, potrebnega za nevtralizacijo tveganja, da bodo agregatne odškodnine presegle agregatno premijo. Ker so tu poleg zavarovalnih upoštevana tudi druga tveganja, je opisani izraˇ cun le trivialna posplošitev njegovega izraˇ cuna oziroma splošnejša interpretacija. Vanalizienaˇ cbe(8.5),kisledi,privzemimo,daseportfeljinokoljenespreminjata, zaradiˇ cesarseporazdelitvene funkcije posameznihtveganjX 1 ,...,X n nespremi- njajo,prav tako se nespreminja odvisnost mednjimi. Zato setudi porazdelitveni funkcijiF S (x) inF Z (x) ne spreminjata. Pridani porazdelitveni funkcijiF Z (x) je kapitalK, izraˇ cunan z enaˇ cbo (8.5), odvi- sen le odr, α in β. Pri danih r in α se z manjšanjemβ višina kapitala poveˇ cuje, s tem pa se poveˇ cuje tudi donos na kapital v višini rK, ki ga pripisujemo prev- zetemu tveganju, kar pa poveˇ cuje kosmato zavarovalno premijo za dani portfelj zavarovanj. Po drugi strani pa se znesekβK, ki so ga lastniki pripravljeni tvegati, zmanjšuje, ker je β r+β narašˇ cajoˇ ca funkcija spremenljivkeβ. Ker se tudi razmerje med donosomrK in tveganim kapitalomβK z zmanjševanjemβ poveˇ cuje, je cilj lastnikovzmanjševanjeβproti0(inšenaprejproti−r,ˇ ceopustimopogojβ≥0), dokler ne trˇ cijo na ekonomske omejitve. Prva možnost je, da z enaˇ cbo (8.5) izra- ˇ cunani kapital doseže višino kapitala, ki ga imajo na razpolago, druga pa je, da trg ne sprejme poveˇ canja kosmate premije, kar poruši naše predpostavke. Analogno ugotovimo, da se pri danih α in β višina kapitala z veˇ canjem r zmanj- šuje, donos na kapital v višini rK, ki ga pripisujemo prevzetemu tveganju, pa se poveˇ cuje, ker je r r+β narašˇ cajoˇ ca funkcija spremenljivke r. Ker se tudi razmerje med donosom rK in tveganim kapitalom βK z veˇ canjem r poveˇ cuje, je logiˇ cna težnja lastnikov zavarovalnic, da bi poveˇ cali r ter z manj kapitala hkrati dosegli veˇ cjo donosnostin veˇ cji donosna kapital, torej relativno in absolutnoveˇ c. Kerpa sezveˇ canjemr veˇ catudikosmatapremijazadaniportfeljzavarovanj,sepoveˇ ce- vanje spremenljivker v praksi slej ko prej zaustavi zaradi vpliva cenovne elastiˇ c- nosti na povpraševanje, ki spodnese predpostavko o nespremenljivem portfelju zavarovanj. Priizbranemα inkapitaluK,ki galastniki želijoinvestirati vzavarovalnico, je po 193 obravnavanem modelu pri danem portfelju seštevekr+β že doloˇ cen, ne pa tudi njegova struktura. S poveˇ cevanjem r in ob hkratnem zmanjševanju β lastniki zmanjšujejo svoje tveganje na raˇ cun poveˇ cevanja premije za dani portfelj, kjer pa meje doloˇ ca trg. Po drugi strani pa z zmanjševanjem r in hkratnem poveˇ ce- vanju β lastniki zmanjšujejo donosnost na kapital in poveˇ cujejo svoje tveganje. Takozopet naletijonamejolastnihinteresovoziromapredpisov ovišinikapitala. Skratka, morebitni pohlep lastnikov ali pa pretirano previdnost, ki se izraža pri doloˇ canju parametrov r, α in β, ustavi tržno ravnovesje med ponudbo in pov- praševanjem, ˇ ceprav vˇ casih z zakasnitvijo. Drugo skrajnost, ko bi bili lastniki pripravljeni tvegati preveˇ c, pa bi morali ustaviti predpisi o kapitalu in dosleden zavarovalni nadzor. V pravkar obravnavanem posebnem primeru izraˇ cuna ekonomskega kapitala se alokacije kapitala na posamezna tveganja še nismo lotili. Zato na problem do- loˇ canja višine kapitala in njegovo alokacijo spet poglejmo bolj splošno. Najprej pa se dogovorimo za poenostavitev, povezano z nadomestilom za prevzem tve- ganja, ki smo jo omenili že na zaˇ cetku tega poglavja. Med tveganji X 1 ,...,X n so namreˇ c lahko tudi taka, za prevzem katerih je zavarovalnica dobila nadomestilo za prevzem, denimo zavarovalna tveganja, in taka, za katera nadomestila ni pre- jela, denimo operativna tveganja. Tovrstne razlike, ki zapletejo problem, bi radi neškodljivo odpravili. Zato tveganje X i , za katerega zavarovalnica prejme nado- mestilo v višini π(X i ), nadomestimo z X i −π(X i ). Zato bomo v nadaljevanju privzeli, da za nobeno tveganje ne dobimo nadomestila, ˇ ce ne bomo posebej na- vedli drugaˇ ce. Sicer pa posebna pozornost ni potrebna, ˇ ce je mera tveganja ρ, s katero bomo doloˇ cali ekonomski kapital, neobˇ cutljiva na premik. V tem primeru je ρ(X i −π(X i ))=ρ(X i )−π(X i ), zaradi ˇ cesar pri izraˇ cunu kapitala lahko upo- števamo izhodišˇ cno tveganje X i in šele po alokaciji kapitala skupni ekonomski kapitalK in tveganjuX i alocirani kapital K i zmanjšamo zaπ(X i ). ˇ Ce tveganje X i , i= 1,...,n, gledamo samostojno, za nevtralizacijo z njim pove- zanim nepriˇ cakovanim poveˇ canjem obveznosti ali zmanjšanjem sredstev potre- bujemoρ(X i ) kapitala. Za skupno tveganje S= P n i=1 X i lahko ekonomski kapital K izraˇ cunamo z isto mero tveganja, torej K=ρ(S), ni pa nujno. Mogoˇ ce je, da je K paˇ c kapital, ki je na razpolago, ne glede na to, kako je doloˇ cena njegova vi- šina. Naša naloga je, da kapital K alociramo na posamezna tveganja X 1 ,...,X n , tako da jim priredimo K 1 ,...,K n enot kapitala. Pri tem lahko zahtevamo, da so izpolnjeni nekateri pogoji. Tako je, denimo, Denault (2001) definiral aksiome za koherentno alokacijo kapitala, ki pa so prirejeni za primer, ko sluˇ cajna spremen- ljivka X pomeni priložnost. Zato tudi tu, tako kot v definiciji 4.2 za koherentne meretveganja,navedimo ekvivalentne aksiome,prirejenezaprimer,koX pomeni 194 tveganje. Pritembomoslediliviru(Panjer,2002), vendarzmajhnimikorekcijami. Definicija 8.2: Tveganju S= P n i=1 X i s koherentno mero tveganja ρ priredimo K=ρ(S) enot kapitala, na vsako posamezno tveganje X 1 ,...,X n pa alocirajmo K 1 ,...,K n enot kapitala. Taka alokacija kapitala je koherentna, ˇ ce izpolnjuje nas- lednje lastnosti: 1. K= P n i=1 K i , kar pomeni popolno alokacijo kapitala. 2. ZaI⊆{1,2,...,n} je P i∈I K i ≤ρ( P i∈I X i ), kar pomeni, da nobeni podmno- žici tveganjM⊆{X 1 ,...,X n } ne alociramo veˇ c kapitala, kot bi ga alocirali, ˇ ce bi jo gledali samostojno. 3. ˇ Ce za i,j∈{1,2,...,n}, i6= j, za vsakM⊆{X 1 ,...,X n }\{X i ,X j } množi- camaM∪{X i } inM∪{X j } alociramo enako kapitala, potem jeK i =K j . 4. Zatveganje,prikateremninegotovosti,nealociramokapitalazadeltveganja nad priˇ cakovano vrednostjo. Zadnja zahteva bi se dala jasneje zapisati, ˇ ce bi bilo vedno jasno, kaj natanˇ cno je mišljeno s kapitalom K=ρ(S). Konstantnemu tveganju X i =α alociramo α kapitala, ˇ ce za njegov sprejem nismo dobili nadomestila, oziroma niˇ c, ˇ ce smo dobili nadomestilo v višiniα. Zakoherentnoalokacijokapitalasmoževizhodišˇ cuzahtevali,dajeρ koherentna mera tveganja. Subaditivnost kot kljuˇ cna lastnost koherentnih mer tveganja pa je zahtevana tudi posredno. Iz druge zahteve namreˇ c sledi, da je K i ≤ρ(X i ), i=1,...,n, iz prve pa šeρ( P n i=1 X i )=K= P n i=1 K i ≤ P n i=1 ρ(X i ). Kot ugotavljata Kim in Hardy (2009, str. 357), je alokacija kapitala že standarden del procesa upravljanja tveganj v družbah, vendar pa še ni splošnega soglasja, kakozahtevanikapitalalocirati. Zatoobstajajotudisistemiaksiomovzaalokacijo kapitala, ki se razlikujejo od v definiciji 8.1 navedenega sistema za koherentno alokacijo, vendar nas tu ne bodo zanimali (glej npr. Hesselager & Anderssen, 2002; Kalkbrener, 2005; Kim & Hardy, 2009). Prav tako je sporen drugi aksiom za koherentno alokacijo kapitala (glej Kim & Hardy, 2009, str. 364), po katerem nobeni podmnožici tveganj ne alociramo veˇ c kapitala, kot bi ga alocirali, ˇ ce bi jo gledali samostojno. V nadaljevanju ne bomo zahtevali, da je alokacija kapitala koherentna, ker se ne želimo odreˇ ci nekoherentnim meram tveganja, med njimi zlasti ne tvegani vred- nosti. Pravtako nebomozahtevali, da soizpolnjeni kakšni drugialokacijski aksi- omi. Predpostavili bomo le, da je K=ρ(S), in zahtevali, da je alokacija popolna, torejK= P n i=1 K i . 195 V posebnem primeru, ko je ρ aditivna mera tveganja, je za K=ρ(S) naravna alokacijaK i =ρ(X i ),i=1,...,n,zaradiaditivnostipopolna. Vsplošnemprimeru, ko ρ ni aditivna mera tveganja, pa se kot naravna ponuja sorazmerna alokacija K i =γρ(X i ), i = 1,...,n, ki je za γ= K P n i=1 ρ(X i ) popolna. Za subaditivne mere tveganja jeγ≤1, za superaditivne pa jeγ≥1. Oglejmosinekaj primerovsorazmernihalokacij kapitala. ˇ Ce za merotveganja iz- beremo tvegano vrednost pri dani stopnji zaupanja α∈(0,1), je K=VaR α (S) in K i =γVaR α (X i ), i= 1,...,n, kjer je γ= K P n i=1 VaR α (X i ) . Ta naˇ cin alokacije kapitala Dhaene, Tsanakas, Valdez in Vanduffel (2009, str. 5) imenujejo princip aloka- cije kapitala s striženjem las. Primeren je tudi takrat, ko kapital K namesto s K=VaR α (S) doloˇ cimo kako drugaˇ ce. Pri alokaciji kapitala s striženjem las kapitalu K i oziroma tveganju X i ustreza stopnja zaupanjaα i =F −1 X i (K i ),i=1,...,n. V splošnemprimeru so zaradi razliˇ c- nih porazdelitvenih funkcij F X 1 ,...,F X n stopnje zaupanja α 1 ,...,α n razliˇ cne. To je lahko moteˇ ce, ˇ ce bi radi dosegli enotno stopnjo zaupanja za vsa posamezna tveganja X 1 ,...,X n . Motnjo poskusimo odpraviti tako, da s sorazmernostnim faktorjem γ ne množimo že izraˇ cunanih tveganih vrednosti VaR α (X i ), ampak iz- hodišˇ cno stopnjo zaupanja α. To pomeni, da želimo poiskati stopnjo zaupanja ˜ α=γα, za katero je K i =VaR ˜ α (X i ), i= 1,...,n, in K= P n i=1 K i , kar pa ni vedno mogoˇ ce, ˇ ce kakšna od porazdelitvenih funkcij F X 1 ,...,F X n ni strogo narašˇ cajoˇ ca. Težavo odpravimo z alokacijo K i =F −1(β) X i (˜ α), i= 1,...,n, kjer je β∈ [0,1] pri- mernakonstanta,funkcijeF −1(β) X 1 ,...,F −1(β) X n pasodefiniranezenaˇ cbo(4.2). Iskana parametra ˜ αinβpoišˇ cemotako,daizraˇ cunamo ˜ α=F S c(K),kjerjeF S c porazdelit- vena funkcija komonotone vsoteS c = P n i=1 F −1 X i (U), U∼ U[0,1], nato pa iz enaˇ cbe K=F −1(β) S c (F S c(K)) izraˇ cunamo še konstanto β (glej Dhaene et al., 2009, str. 6). Takemu naˇ cinu alokacije kapitala pravimo princip alokacije na podlagi kvantilov. Za strogo narašˇ cajoˇ ce zvezne porazdelitvene funkcije F X 1 ,...,F X n je β=1, prin- cip alokacije na podlagi kvantilov pa je le poseben primer alokacije kapitala s striženjem las za stopnjo zaupanja ˜ α=F S c(K). Kapital K lahko sorazmerno alociramo tudi po CTE principu, ˇ ce za mero tvega- nja pri dani sluˇ cajni spremenljivkiS izberemoρ(X)=E[X|S >VaR α (S)]. Skupni kapital doloˇ cimo s K=E[S|S >VaR α (S)]=CTE α (S), kar je za zvezno sluˇ cajno spremenljivkoS enako TVaR α (S). TveganjuX i alociramoK i =E[X i |S >VaR α (S)] kapitala, kar je zaradi aditivnosti priˇ cakovane vrednosti korekten prispevek tve- ganja X i k skupnemu kapitalu. Po CTE principu alocirani kapital izpolnjuje vse pogoje iz definicije 8.2 za koherentno alokacijo kapitala (Panjer, 2002, str. 6). Za sluˇ cajne vektorje (X 1 ,...,X n ), ki son-razsežno normalno porazdeljeni, Panjer 196 (2002, str. 5–6) navaja eksplicitno formulo za alokacijo, ki sta jo Landsman in Valdez (2003, str. 68, izrek 3) posplošila za eliptiˇ cno porazdeljene vektorje. Od sorazmernih alokacij kapitala omenimo še alokacijo kapitala po principu ko- variance. Merotveganjaρ pridanemS definirajmozρ(X)=cov[X,S]. ZnjozaS dobimo kapital v višiniK=var[S], lahko pa ga doloˇ cimo tudi neodvisno od mere tveganja. Delne kapitale doloˇ cimo z ρ(X i )=cov[X i ,S], tako da izpolnimo pogoj o popolni alokaciji kapitala. Ker je var[S]=cov[S,S]= P n i=1 cov[X i ,S], cilj dose- žemo sK i =K cov[X i ,S] var[S] ,i= 1,...,n. Oˇ citno je v tem primeru kakšen delni kapital K i lahko tudi negativen. Za sluˇ cajne vektorje (X 1 ,...,X n ), ki so n-razsežno eliptiˇ cno porazdeljeni in za katere je E[X i ]=0, i= 1,...,n, je alokacija skupnega kapitala K=CTE α (S) po CTEprincipu enaka alokaciji kapitala poprincipu kovariance (Dhaene etal.,2009, str. 8). S kapitalom K = ρ(S) nevtraliziramo morebitne prevelike neugodne finanˇ cne uˇ cinkeuresniˇ citvetveganjaS. KljubkapitaluK pavednoostanešenekajtveganja, vendar vsprejemljivih okvirih. Za poljubnomerotveganjaρ,kijeneobˇ cutljiva na premik, zaradi K=ρ(S)=ρ(S−K+K)=ρ(S−K)+K dobimo, da je preostalo tveganje ρ(S−K)=0. Zato je smiselno, da za merje- nje preostalega tveganja izberemo drugo mero tveganja. Denimo, da ga merimo s priˇ cakovanim primanjkljajem ϕ(S,K)=E[(S−K) + ], kar je v primeru, ko je K=ρ(S)=VaR α (S), enako ESF α (S). Zaradi pogoja K= P n i=1 K i z verjetnostjo 1 velja (S−K) + ≤ P n i=1 (X i −K i ) + , kar nam zaradi aditivnosti priˇ cakovane vrednosti da neenaˇ cbo E[(S−K) + ]≤ n X i=1 E[(X i −K i ) + ]. (8.6) Pri danih robnih porazdelitvenih funkcijah F X 1 ,...,F X n in danem kapitalu K je leva stran neenaˇ cbe (8.6) odvisna od kopule C, ki povezuje komponente sluˇ caj- nega vektorja X=(X 1 ,...,X n ), desna stran pa od K 1 ,...,K n . ˇ Ce pri danem slu- ˇ cajnem vektorju X in danem kapitalu K želimo uravnotežen pogled na skupno preostalotveganjeinnaseštevekposameznihpreostalihtveganj,sizaciljoptimi- zacije lahko postavimo minimizacijo desne strani neenaˇ cbe (8.6), medtem ko je leva stran zX inK že doloˇ cena. Zato nas neposredno zanima rešitev optimizacij- skega problema 8.1, le kot zanimivost pa tudi rešitev optimizacijskega problema 8.2. 197 Problem 8.1: Za dani sluˇ cajni vektor (X 1 ,...,X n ) ∈R n (F X 1 ,...,F X n ) poišˇ ci po- polno alokacijo K 1 ,...,K n danega kapitala K, za katero vsota P n i=1 E[(X i −K i ) + ] doseže minimum.  Problem 8.2: Poišˇ ci sluˇ cajni vektor (X 1 ,...,X n )∈R n (F X 1 ,...,F X n ), ki pri danem kapitaluK zaS= P n i=1 X i maksimizira izrazE[(S−K) + ].  Izkažese,dajepridanihrobnihporazdelitvenih funkcijahF X 1 ,...,F X n inkapitalu K maksimum, ki pripada rešitvi problema 8.2, enak minimumu, ki pripada rešitvi problema8.1(Dhaeneetal.,2003, str. 54). Rešitevproblema8.2jesluˇ cajnivektor (X c 1 ,...,X c n ) s komponentami X c i =F −1 X i (U), U∼ U[0,1], i= 1,...,n, ki so komo- notone sluˇ cajne spremenljivke. Rešitev problema 8.1 pa je K i =F −1(β) X i (F S c(K)), i=1,...,n,kjer jeS c = P n i=1 X c i inβrešitev enaˇ cbeK=F −1(β) S c (F S c(K)) (Dhaene et al., 2009, str. 17, izrek 2). Ker je šeE[(S c −K) + ]= P n i=1 E[(X i −K i ) + ], z alokacijo kapitala na podlagi kvantilov minimiziramo desno stran neenaˇ cbe (8.6), tako da je E[(S−K) + ]≤E[(S c −K) + ]= n X i=1 E[(X i −K i ) + ]. Za rešitev problema 8.1 moramo najprej izraˇ cunati α=F S c(K). Pomagamo si z izrekom 5.3, po katerem je F −1(β) S c (α)= P n i=1 F −1(β) X i (α) za α∈ (0,1) in β∈ [0,1]. ˇ Ce je porazdelitvena funkcija F S c v toˇ cki K strogo narašˇ cajoˇ ca, α izraˇ cunamo iz enaˇ cbe K=F −1 S c (α), kar lahko storimo npr. z bisekcijo. Sicer pa najprej poi- šˇ cemotakα,da jeF −1 S c (α)=K a ≤K≤K b =F −1+ S c (α), terzaβ= K b −K K b −K a izraˇ cunamo K i =F −1(β) X i (α),i=1,...,n. Poudarimo, da smo v problemu 8.1 za merjenje tveganja X i −K i uporabili pri- ˇ cakovani primanjkljaj E[(X i −K i ) + ], ki ni neobˇ cutljiv na premik. ˇ Ce bi merili s poljubno mero tveganja ρ, ki je neobˇ cutljiva na premik, bi za vsoto, ki jo želimo minimizirati,dobili P n i=1 ρ(X i −K i )= P n i=1 ρ(X i )−K,karjeneodvisnoodalokacije kapitala. Na tej podlagi Dhaene et al. (2003, str. 48, primer 3) ugotavljajo, da alo- kacija kapitala K znotraj finanˇ cne skupine ni pomembna za presojanje varnosti skupine, ˇ ce jo ocenjujemo s primerjavo ρ 0 (S−K) in P n i=1 ρ i (X i −K i ), kjer so ρ 0 in ρ 1 ,...,ρ n na premik neobˇ cutljive mere tveganja, s katerimi merimo preostalo tveganje skupine in njenih enot. Oglejmo si še en zanimiv primer optimizacije iz (Dhaene, Laeven, Vanduffel, Dar- kiewicz & Goovaerts, 2006). Predpostavimo, da mora imeti zavarovalnica s port- feljem (oziroma tveganjem) X vsaj K=ρ(X) kapitala, kjer je ρ predpisana mera tveganja. Zavarovalninadzornikmeritudipreostalotveganje(X−ρ(X)) + ,pritem pa uporablja priˇ cakovani primanjkljaj, definiran sϕ(X,ρ(X))=E[(X−ρ(X)) + ]. 198 ˇ Ce bi se pri predpisovanju mere tveganja za izraˇ cun kapitala K odloˇ cal med me- rama tveganja ρ 1 in ρ 2 , za kateri je ρ 1 (X)≤ρ 2 (X) za vsak X, bi bilo zaradi nee- naˇ cbeE[(X−ρ 1 (X)) + ]≥E[(X−ρ 2 (X)) + ] v interesu varnosti zavarovancev,ˇ ce bi se odloˇ cil za ρ 2 . Po drugi strani pa ima kapital svojo ceno, ki jo lahko merimo z donosnostjo nad netvegano obrestno mero. Ker bi bila donosnost na kapital pri prestrogih kapitalskih zahtevah premajhna, mora nadzornik kapitalske zahteve predpisati tako, da vsaj delno upošteva tudi interese lastnikov kapitala. To lahko nareditako, da v funkciji, ki jo želiminimizirati, vsaj delno upošteva tudi stroške kapitala. Za opisano okolje je smiseln naslednji optimizacijski problem. Problem 8.3: Naj boA X ={ρ(X) : ρ je mera tveganja} in α∈ (0,1). Poišˇ ci K∈ A X , za katerega funkcijaC(X,K)=E[(X−K) + ]+αK doseže minimum.  ˇ Ce upoštevamo enaˇ cbo (3.3), s katero je definirana stop-loss transformiranka, vi- dimo, da pri danem X išˇ cemo minimum funkcije h(K)= R ∞ K F X (x)dx+αK. Pot- rebni pogoj za minimumh ′ (K)= −F X (K)+α=0 oziromaF X (K)=1−α izpol- njuje vsak K=F −1(β) X (1−α), β∈ [0,1], najmanjši pa je K=VaR 1−α (X). Ker je h ′′ (K)=f X (K)≥0, bi funkcija h(x) v toˇ cki K lahko imela tudi prevoj, vendar ima minimum (glej Dhaene, Laeven et al., 2006, str. 8, izrek 1). Izraˇ cunajmo še vrednost funkcije C(X,K) za K=VaR 1−α (X). V njenem prvem ˇ clenuprepoznamopriˇ cakovaniprimanjkljajESF 1−α (X),zatozupoštevanjemenaˇ c- be (4.5) dobimo C(X,VaR 1−α (X))=ESF 1−α (X)+αVaR 1−α (X)=αTVaR 1−α (X). ˇ Ce v problemu 8.3 v definiciji množiceA X nabor mer tveganja omejimo na di- storzijske mere tveganja ρ(X)=H g [X] za konkavne distorzijske funkcije g(x), za katere je H g [X]≥VaR 1−α (X), je rešitev problema K=TVaR 1−α (X) (Dhaene, Laeven et al., 2006, str. 9, izrek 3). V(Dhaene,Laevenetal.,2006,str. 9)jerešitevproblema8.3omenjenakotmožen teoretiˇ cen argument za izbor tvegane vrednosti pri doloˇ canju kapitalskih zahtev. Dodajmo,da bito pri Solventnosti2 pomenilo,da sov kriterijski funkcijiC(X,K) upoštevani stroški kapitala v višini 0,5 % nad netvegano obrestno mero. Pouda- rimo, da moramo tu spet pomisliti na to, kaj je mišljeno s kapitalom ρ(X), ker je pomembno za doloˇ canje parametra α. ˇ Ce so mišljena vsa sredstva, je osnova za izraˇ cun dejanskih stroškov kapitala prevelika, kar pa lahko nevtraliziramo z manjšim parametromα. Za konec omenimo še združevanje portfeljev, kjer bomo sledili viru (Dhaene, La- even et al., 2006). Naj boK 1 =ρ(X 1 ) in K 2 =ρ(X 2 ) kapital, ki je za zavarovalnici 199 sportfeljemaX 1 inX 2 doloˇ cen z merotveganjaρ,tako da izpolnjujeta vse zahte- vane pogoje glede višine kapitala. ˇ Ce združimo portfelja X 1 inX 2 ter kapitala K 1 inK 2 , z verjetnostjo 1 velja neenaˇ cba (X 1 +X 2 −K 1 −K 2 ) + ≤(X 1 −K 1 ) + +(X 2 −K 2 ) + , (8.7) ki je posledica pravnih predpisov zaradi razliˇ cnega jamstva za poravnavo obvez- nosti po združitvi in pred njo. ˇ Ce zavarovalni nadzornik preostalo tveganje meri s priˇ cakovanim primanjkljajem ϕ(X,K)=E[(X−K) + ], potem iz neenaˇ cbe (8.7) sledi ϕ(X 1 +X 2 ,K 1 +K 2 )≤ϕ(X 1 ,K 1 )+ϕ(X 2 ,K 2 ), kar pomeni, da se je z združitvijo zavarovalnic varnost kveˇ cjemu poveˇ cala. Sedaj pa tudi kapital združene zavarovalnice doloˇ cimo s K=ρ(X 1 + X 2 ). ˇ Ce je mera tveganja ρ superaditivna, potem se varnost po združitvi poveˇ ca, saj je K≥K 1 +K 2 in ϕ(X 1 +X 2 ,K)≤ϕ(X 1 ,K 1 )+ϕ(X 2 ,K 2 ). ˇ Ce pa je mera tveganjaρ subaditivna, zaradiK≤K 1 +K 2 velja (X 1 +X 2 −K) + ≥(X 1 +X 2 −K 1 −K 2 ) + . ˇ Ce jeKK 1 inx 2 >K 2 , da je(x 1 +x 2 −K 1 −K 2 ) + =(x 1 −K 1 ) + +(x 2 −K 2 ) + , zaradiˇ cesar je (x 1 +x 2 −K) + >(x 1 +x 2 −K 1 −K 2 ) + =(x 1 −K 1 ) + +(x 2 −K 2 ) + . To pa pomeni, da se varnost po združitvi zavarovalnic lahko tudi zmanjša, ˇ ce je mera tveganjaρ (preveˇ c) subaditivna. Ozdruževanjuportfeljevglejše(Dhaene,Laevenetal.,2006;Gerber&Shiu,2006), o razliˇ cnih pogledih regulatorja in investitorja na višino zahtevanega kapitala pa (Desmedt & Walhin, 2008). 8.2 Alokacijakapitala po zavarovalnihvrstah Kot smo že omenili, bi alokacijo kapitala po zavarovalnih vrstah lahko obravna- vali tako kot alokacijo kapitala po poslovnih enotah ali skupinah tveganj. V vseh treh primerih gre v tehniˇ cnem smislu za isti problem s podobno motivacijo in interpretacijo. Prav tako je vsaj v grobem enak tudi celoten postopek, ki pripelje 200 do rešitve problema. V prvem koraku je treba izraˇ cunati kapital za posamezne alokacijske enote, ˇ ce jih gledamo neodvisno, nato pa še skupni kapital, upošte- vaje korelacije med alokacijskimi enotami. Ta korak vˇ casih kar preskoˇ cimo, ˇ ce je skupni kapital že doloˇ cen na kakšen drug naˇ cin. V drugem koraku je treba skupnikapital, ki sepraviloma razlikuje odseštevka kapitalov za posameznealo- kacijske enote, gledane neodvisno, korektno razdeliti na posamezne alokacijske enote. Kervtehniˇ cnemsmisluzaradirazliˇ cnihalokacijskihenotnirazlik,sibomo v tem razdelku ogledali še nekaj mogoˇ cih naˇ cinov alokacije kapitala. Najprej problem posplošimo. Naj boW ⊂ R n \{0} odprta homogena množica, zaradi ˇ cesar za vsakλ>0 iz w=(w 1 ,...,w n ) t ∈W slediλw∈W. Zahtevajmo še, da je 1=(1,...,1) t ∈W. Vzemimo poljuben vektor w∈W in si oglejmo tveganje S(w)= P n i=1 w i X i . Zanj potrebni kapital izraˇ cunajmo z izbrano mero tveganja ρ, tako da je K(w)=ρ(S(w)). Privzemimo še, da je mera tveganja ρ pozitivno homogena, kapitalK(w) pa odvedljiva funkcija naW. Za poljubno konstantoλ>0 z upoštevanjem, da jeS(λw)=λS(w), dobimo K(λw)=ρ(S(λw))=ρ(λS(w))=λρ(S(w))=λK(w), kar pomeni, da jeK(w) homogena funkcija stopnje ena. Z Eulerjevo enaˇ cbo (glej Vidav, 1973, str. 294) jo lahko zapišemo kot K(w)= n X i=1 w i ∂K(w) ∂w i = n X i=1 w i ∂ρ(S(w)) ∂w i . V našem izhodišˇ cnem primeru, ko nas zanima le S= P n i=1 X i , kar je S(1), in pri- padajoˇ ci kapitalK=ρ(S)=ρ(S(1))=K(1), iz zgornje enaˇ cbe sledi K= n X i=1 ∂ρ(S(w)) ∂w i w=1 . Dobljena enaˇ cba nam zagotavlja, da je alokacija kapitala K i = ∂ρ(S(w)) ∂w i w=1 (i=1,...,n) (8.8) popolna, za subaditivne mere tveganja ρ pa velja še K i ≤ρ(X i ) (glej Tsanakas, 2007, str. 12, za podrobnosti pa Tasche, 2008, str. 5). Navedeni naˇ cin alokacije kapitala se imenuje alokacija kapitala z Eulerjevim prin- cipom (glej Patrik, Bernegger & Rüegg, 1999, str. 87, in Tasche, 2004, str. 8) oziroma alokacija kapitala z gradientom (glej npr. Fischer, 2002, str. 3), ker je 201 vektor(K 1 ,...,K n ) t enak gradientu∇ρ(S(w)) v toˇ cki w=1, pa tudi alokacija ka- pitala na podlagi mejnih stroškov kapitala (glej npr. Tsanakas, 2007, str. 11). Zaradi enaˇ cbe dK(w)= n X i=1 ∂K(w) ∂w i dw i = n X i=1 ∂ρ(S(w)) ∂w i dw i , veljavne naW in izraˇ cunane v toˇ cki w=1, je dK= P n i=1 K i dw i . Tako majhna sprememba tveganja X i v strukturi S na spremembo skupnega kapitala K vpliva sorazmernoz alociranim kapitalomK i . Denimo, da se tveganja ˜ X i =X i −π(X i ), i= 1,...,n, nanašajo na morebitno iz- gubo zaradi skupnih prevzetih tveganj X 1 ,...,X n v n razliˇ cnih zavarovalnih vr- stah, za katera smo prejeli skupne kosmate premije π(X 1 ),...,π(X n ). Ker smo tokrat π(X i ) proglasili za kosmato premijo, se tveganje nanaša na možnost, da bo seštevek odškodnin in stroškov veˇ cji od kosmate premije, pri tem pa takoj lahkopredpostavimo, dasetveganjedejanskonanašalenaprevelike odškodnine, saj so stroški praktiˇ cno konstantni. Za ˜ S= P n i=1 ˜ X i smo izraˇ cunali skupni kapital K in ga z Eulerjevim principom alocirali K 1 ,...,K n na tveganja ˜ X 1 ,..., ˜ X n . Raz- merje K i π(X i ) nam pove, koliko kapitala potrebujemo na enoto kosmate premije za i-to zavarovalno vrsto, kar lahko primerjamo z 0,18 (oziroma 0,16), kot zahteva Solventnost 1. Obiˇ cajnosorazmerja K 1 π(X 1 ) ,..., K n π(X n ) zaradirazliˇ cnetveganostiposameznihzava- rovalnih vrst razliˇ cna, prav niˇ c pa ne odražajo poslovnih rezultatov posameznih zavarovalnih vrst. Zato z r i oznaˇ cimo razmerje med priˇ cakovanim dobiˇ ckom in kosmato premijo v i-ti zavarovalni vrsti in izraˇ cunajmo priˇ cakovane donosnosti r 1 π(X 1 ) K 1 ,..., r n π(X n ) K n na tveganju prilagojeni kapital za posamezne zavarovalne vr- steinskupnopriˇ cakovano donosnostnatveganjuprilagojenikapital RORAC= D K , kjer jeD= P n i=1 r i π(X i ) skupni priˇ cakovani dobiˇ cek. Ker izraˇ cunane priˇ cakovane donosnosti lahko primerjamo z donosnostjo na kapital, ki jo priˇ cakujejo lastniki zavarovalnice, smo dobili merilo, na podlagi katerega se lahko odloˇ camo o more- bitnem prestrukturiranju portfelja. Predpostavimo, da majhna relativna sprememba δ i obsega posla v i-ti zavaro- valni vrsti višino kosmate premijeπ(X i ) in tveganjeX i spremeni zaδ i π(X i ) ozi- romaδ i X i , na preostale zavarovalne vrste pa ne vpliva. Poudarimo, da to velja za majhne relativne spremembe obsega poslovanja, saj sicer sprememba obsega po- slovanja vi-ti zavarovalni vrsti v splošnem primeru vpliva tudi na kapital za pre- ostale zavarovalne vrste,ˇ ce smoga alocirali z Eulerjevim principom. Priprivzetih predpostavkahsetveganje ˜ X i spremenizaδ i ˜ X i ,priˇ cakovanidobiˇ cekzar i δ i π(X i ), potrebni kapital pa za δ i K i . Pri hkratnih majhnih spremembah v veˇ c zavaro- 202 valnih vrstah se skupni priˇ cakovani dobiˇ cek spremeni za δD= P n i=1 r i δ i π(X i ), skupni kapital pa za δK= P n i=1 δ i K i . S primernimi majhnimi relativnimi spre- membami obsega poslovanja v dveh ali veˇ c zavarovalnih vrstah lahko dosežemo, da se skupni kapital ne spremeni, hkrati pa se morda poveˇ ca priˇ cakovani dobiˇ cek oziroma donosnost na kapital, kar je naš cilj. Sprememba strukture portfelja ima smisel,ˇ ce se zaradi nje donosnost na kapital poveˇ ca, kar nam da pogoj D+δD K+δK > D K . Pri predpostavki, da je δK>0, dobimo po- goj δD δK > D K , pri δK<0 dobimo δD δK < D K , pri δK=0 pa δD>0. ˇ Ce se sprememba nanaša le na i-to zavarovalno vrsto, za katero je K i >0, je za δ i >0 pogoj iz- polnjen, ˇ ce je r i π(X i ) K i > D K , za δ i <0 pa, ˇ ce je r i π(X i ) K i < D K . Zakljuˇ cek je priˇ cakovan. Portfelj je smiselno poveˇ cevati v zavarovalnih vrstah, za katere je priˇ cakovana donosnost na tveganju prilagojeni kapital veˇ cja od povpreˇ cne, in zmanjševati v zavarovalnih vrstah, za katere je manjša. V morebitnih primerih, ko je K i <0, pa velja nasprotno. Pri tem se ne obremenjujmo z ekonomskim pomenom do- nosnosti na negativni kapital, ampak upoštevajmo le aritmetiko. ˇ Ce je D K >0, je poveˇ cevanje obsega poslovanja za dobiˇ ckonosne zavarovalne vrste z negativnim kapitalom vedno smiselno, za take, ki prinašajo izgubo, pa tudi,ˇ ce jer i > DK i Kπ(X i ) . Za razliˇ cne strategije prestrukturiranja portfelja glej še (Meyers, 2003), za analo- gen problem merjenja prispevka posamezne naložbe k skupnemu tveganju in s tem povezano donosnostjo na alocirani kapital pa (Tasche, 2000). Tasche (2008) poleg podrobne razlage Eulerjevega principa alokacije kapitala na- vaja precej razlogov za njegovo uporabo, navaja pa tudi druge avtorje in njihove argumente. Oglejmo si še štiri primere alokacije kapitala z Eulerjevim principom, v katerih za mere tveganja upoštevamo standardni odklon, tvegano vrednost, konˇ cno tvegano vrednost in distorzijsko mero tveganja H g za dano konkavno in odvedljivo distorzijsko funkcijo g(x). ˇ Ceprav prvi dve nista koherentni, iz- polnjujeta potrebni pogoj za alokacijo z Eulerjevim principom, ker sta pozitivno homogeni. Primer 8.1: Sluˇ cajni spremenljivkiS priredimo kapital K=ρ(S)=σ S . V tem pri- meru je K(w)= p var[S(w)]= √ w t Σw, kjer je Σ kovarianˇ cna matrika z elementi Σ ij =cov[X i ,X j ], i,j=1,...,n. Naj bodo e 1 ,...,e n enotni vektorji. Z upošteva- njem, da je kovarianˇ cna matrika simetriˇ cna, dobimo ∂K(w) ∂w i = ∂ √ w t Σw ∂w i = e t i Σw+w t Σe i 2 √ w t Σw = e t i Σw √ w t Σw = P n j=1 w j cov[X i ,X j ] K(w) . 203 Upoštevajmo, da jeK(1)=K=σ S , pa z enaˇ cbo (8.8) dobimo K i = P n j=1 cov[X i ,X j ] σ S = cov[X i ,S] σ S =K cov[X i ,S] var[S] (i=1,...,n), kar je že prej predstavljeni princip alokacije kapitala na podlagi kovariance.  Primer8.2: Pridanistopnjizaupanjaα∈(0,1)sluˇ cajnispremenljivkiS priredimo kapital K=VaR α (S). V tem primeru z alokacijo kapitala po Eulerjevem principu dobimoK i =E[X i |S=VaR α (S)], i= 1,...,n, kar pa je precej teže izpeljati kot v primeru 8.1 (glej Tasche, 2001, str. 5, in Tasche, 2004, str. 15, trditev 4, in str. 16, opomba 3).  Primer8.3: Pridanistopnjizaupanjaα∈(0,1)sluˇ cajnispremenljivkiS priredimo kapitalK=TVaR α (S). Vtemprimeru zalokacijo kapitala po Eulerjevem principu dobimo K i =E[X i |S≥VaR α (S)], i = 1,...,n, kar je že prej predstavljeni CTE princip alokacije kapitala (glej npr. McNeil et al., 2005, str. 260).  Primer8.4: Naj bog(x) odvedljiva konkavna distorzijska funkcija, tako da lahko uporabimoenaˇ cbo(4.10). Sluˇ cajnispremenljivkiS priredimokapitalK=H g [S]= E[Sg ′ (F S (S))]. Zaradi aditivnosti priˇ cakovane vrednosti dobimo popolno aloka- cijo kapitala s K i =E[X i g ′ (F S (S))], i= 1,...,n, kar je hkrati tudi alokacija ka- pitala po Eulerjevem principu (glej Tsanakas, 2007, str. 13, za podrobnosti pa Tsanakas, 2004, str. 228–229).  ˇ Ce mera tveganja ni pozitivno homogena, alokacija kapitala z Eulerjevim princi- pom v splošnem primeru ni popolna in zato ni primerna. Tudi za tak primer pa obstaja njena posplošitev, t. i. Aumann-Shapleyeva metoda (glej npr. Tsanakas, 2009, str. 269). Za veˇ c o tej metodi, ki temelji na kooperativni teoriji iger, glej (Denault, 2001). Poleg v tem in prejšnjem razdelku predstavljenih metod alokacije kapitala, ki te- meljijonamerahtveganja, obstajajotudialternativnemetode,kivsajneposredno ne temeljijo na merah tveganja. Zanimiv je pristop, ki temelji na vrednotenju menjalne opcije. Pri aktuarskem doloˇ canju višine zavarovalne premije obiˇ cajno upoštevamo,dabozavarovalnicavednovcelotiporavnalaobveznostizaradiprev- zetih tveganj. Dejansko pa je njena odgovornost omejena, saj za poravnavo ob- veznosti jamˇ ci le s kapitalom. Zato imajo lastniki zavarovalnice v bistvu v rokah menjalno opcijo, s katero lahko sredstva zavarovalnice zamenjajo za njene ob- veznosti. Seveda je to smiselnole, ko obveznostipresežejo sredstva, zaradiˇ cesar kapital v bilanci stanja postane negativen, zavarovalnica pa nesolventna, ˇ ce je nihˇ ce noˇ ce dokapitalizirati. 204 Myers in Read (2001) sta razvila metodo za popolno alokacijo kapitala na posa- mezne zavarovalne vrste, ki temelji na opisani opciji. Izhajala sta iz bilanˇ cne vi- šinesredstevA, ki za kapitalK presega bilanˇ cnovrednost obveznostiS= P n i=1 X i zaradi tveganj v razliˇ cnih zavarovalnih vrstah. Ker višina dejanskih obveznosti ni vnaprej znana, hkrati pa se s ˇ casom spreminja, kar velja tudi za sredstva, za- menjava postane smiselna, ko obveznostipresežejo sredstva. Zato sta izraˇ cunala vrednostD=E[(S−A) + ] menjalne opcije, ki je odvisna od danega kapitalaK, in ugotovila, da je P n i=1 X i ∂D ∂X i =D. Majhna sprememba obsega poslovanja v i-ti za- varovalni vrsti, ki obveznosti spremeni za δX i , S spremeni za δS=δX i , D pa za δD=δX i ∂D ∂X i . ˇ Ce želimo ohraniti izhodišˇ cno razmerje med vrednostjo menjalne opcije in obveznostmi, mora biti D S = δD δS = ∂D ∂X i , sicer pa moramo kapital spreme- niti zaδK, tako da zδD=δX i ∂D ∂X i +δK ∂D ∂K izpolnimo enaˇ cbo D S = δD δS . Pripredpostavkiokonkurenˇ cnemtrgu,nakateremsopremijekorektnodoloˇ cene, je zaradi stroškov kapitala logiˇ cna zahteva, da enake mejne spremembe obsega poslovanjavrazliˇ cnihzavarovalnihvrstahenakovplivajonaspremembokapitala. Iz tega sledi zahteva, da so vsi mejni prispevki posameznih zavarovalnih vrst k vrednosti menjalne opcije enaki. ˇ Ce izraˇ cunamo višine kapitala K 1 ,...,K n , s katerimi izpolnimo enaˇ cbo D S = ∂D ∂X 1 =···= ∂D ∂X n , se izkaže, da je P n i=1 K i =K. Opisana metoda je sicer splošno uporabna, konkretne formule za alokacijo kapi- tala pa sta Myers in Read izpeljala le pri predpostavki, da je dvorazsežna poraz- delitevvišinesredstevinobveznostinormalnaalilogaritemskonormalna,takoda sta vrednost menjalne opcije, ki je v tem primeru znana tudi kot prodajna opcija zaradi omejene odgovornosti, izraˇ cunala z Black-Sholesovo formulo. Venter (2004, str. 103–106) v svojem komentiranem pregledu metod za aloka- cijo kapitala analizira in pojasnjuje Myers-Readovo metodo na naˇ cin, ki ga je pri razvoju svoje metode uporabil Butsic (1999). Pri tem ugotavlja, da tudi Myers- Readova metoda sodi med metode, ki temeljijo na merah tveganja, kar sledi tudi iz predstavitve metode v (Dhaene et al., 2009, str. 8 in 9). O tu le na kratko po Venterjevem zgledu skicirani metodi in njenih kritikah glej še (Mildenhall, 2004; Gründl & Schmeiser, 2007), o razširitvi za uporabo v bankah pa (Erel, Myers & Read, 2009). Poleg predstavljenih metod za alokacijo kapitala obstaja še mnogo drugih. Ome- nimo le metodi, ki temeljita na Wangovi in Esscherjevi transformaciji (glej Wang, 2002b; Valdez & Chernih, 2003). Prva metoda funkcijo preživetja F X (x) preslika vΦ(Φ −1 (F X (x))+λ), druga pa gostoto verjetnostif X (x) v f X (x)e λx E[e λX ] . Soglasja o optimalni metodi alokacije kapitala na zavarovalne vrste ali druge alo- kacijske enote oˇ citno še ni. To je gotovo povezano tudi z razliˇ cnimi potrebami in 205 razliˇ cnimi kriteriji optimizacije, ki so pregledno obdelani v (Dhaene et al., 2009). Še vedno nastajajo nove metode alociranja kapitala. Nekatere temeljijo na že znanih principih, denimo za alokacijo na podlagi vrednotenja opcij (glej Sherris, 2006; Kim & Hardy, 2009), nekatere že znane metode spreminjajo v posebne pri- merenovih(glejFurman&Zitikis,2008b), nekaterestatiˇ cenpogledzamenjujejoz dinamiˇ cnim(glejTsanakas,2004), nekaterepasospecializirane zameretveganja, ki ne izpolnjujejo vseh strogih zahtev za koherentnost (glej Tsanakas, 2009). ˇ Ceprav se zahtevnejše metode alokacije kapitala med seboj razlikujejo, pa imajo nekaj bistvenega skupnega. Vse zahtevajo poznavanje porazdelitvene funkcije sluˇ cajne spremenljivke S= P n i=1 X i , kjer so X 1 ,...,X n odvisne sluˇ cajne spremen- ljivke. Za konec omenimo še dva zanimiva ˇ clanka, v katerih so pri izraˇ cunu kapitala uporabljene kopule. V (Bargès, Cossette & Marceau, 2009) so izpeljane eksaktne formule za alokacijo kapitala na podlagi tvegane vrednosti za poseben primer, ko so posamezna tveganja porazdeljena eksponentno ali mešano eksponentno, odvisnost med njimi pa doloˇ ca FGM kopula. V (Tang & Valdez, 2006) pa je na podlagi avstralskih statistiˇ cnih podatkov za razliˇ cne zavarovalne vrste primer- jalno za tvegano vrednost in CTE ter za štiri razliˇ cne kopule izraˇ cunan potrebni kapital in uˇ cinek razpršitve. 9 Praktiˇ cenprimerizraˇ cuna agregatnihodškodninza veˇ c portfeljev V tem poglavju si bomo ogledali praktiˇ cen primer, kako izraˇ cunati ekonomski kapital, potreben zaradi zavarovalnega tveganja, da bodo agregatne odškodnine prevelike. Ogledalisibomoštiriodvisnezavarovalneportfeljeinznjimipovezano izhodišˇ cnotveganjeintveganje,kiostanepoprimernempozavarovanju. Nazava- rovalna tveganja smo se omejili izkljuˇ cno zato, da lahko primerjamo ekonomska kapitala, ki se nanašata na izhodišˇ cno in preostalo tveganje. Skratka, ta omeji- tev ni bistvena, saj si namesto štirih zavarovalnih tveganj, povezanih s štirimi razliˇ cnimi portfelji, lahko zamislimo tudi zavarovalno tveganje premoženjskih zavarovanj, zavarovalno tveganje življenjskih zavarovanj ter tržno in kreditno tveganje. Seveda bibilevtakemprimeruporazdelitvene funkcije,izkaterihbomo z upoštevanjem korelacij sestavili agregatno porazdelitveno funkcijo, potrebno za doloˇ citev ekonomskega kapitala, drugaˇ cne. 206 9.1 Predpostavkeo posameznih portfeljih V praktiˇ cnem primeru si bomo ogledali štiri razliˇ cne izhodišˇ cne portfelje: A) Portfelj se nanaša na zavarovalno vrsto, za katero predpostavljamo Pois- sonovo porazdelitev števila odškodnin N ∼ Po(λ) in inverzno Gaussovo porazdelitev višine kosmatih odškodnin X∼ IG(µ,λ) z gostoto verjetnosti f(x)= q λ 2πx 3 e − λ(x−µ) 2 2µ 2 x zax>0. B) Portfelj se nanaša na zavarovalno vrsto, za katero predpostavljamo nega- tivno binomsko porazdelitev števila odškodnin N∼ NB(α,p) in logaritem- sko gama porazdelitev višine kosmatih odškodnin X ∼ LΓ(α,λ) z gostoto verjetnostif(x)= λ α (logx) α−1 x λ+1 Γ(α) zax>1. C) Portfelj se nanaša na zavarovalno vrsto, za katero predpostavljamo Pois- sonovo porazdelitev števila odškodnin N ∼ Po(λ) in Paretovo porazdeli- tev višine kosmatih odškodnin X∼ Pareto(α,λ), ki ima gostoto verjetnosti f(x)= αλ α (λ+x) α+1 zax>0. D) Portfelj se nanaša na zavarovalno vrsto, za katero predpostavljamo Poisso- novo porazdelitev števila odškodnin N ∼ Po(λ) in logaritemsko normalno porazdelitev za višino kosmatih odškodninX∼ LN(µ,σ 2 ) z gostoto verjet- nostif(x)= 1 xσ √ 2π e − 1 2 ( logx−µ σ ) 2 zax>0. Konkretni parametri izbranih porazdelitev so razvidni iz tabele 9.1 in so izmiš- ljeni, v praksi pa jih lahko ocenimo s statistiˇ cnimi metodami. Tabela 9.1: Osnovni podatki o izhodišˇ cnih portfeljih Portfelj A B C D Število odškodnin Porazdelitev Po(3.300) NB(5.600;0,8) Po(800) Po(330) E[N] 2.900 1.400 800 330 σ N 53,9 41,8 28,3 18,2 γ N 0,019 0,036 0,035 0,055 ̺ N 0,019 0,030 0,035 0,055 Kosmate odškodnine Porazdelitev IG(1.500;33,7) LΓ(17,4;2,7) Pareto(2,1;6.100) LN(7,3;2,1 2 ) E[X] 1.514 3.133 5.545 13.427 σ X 4.505 126.002 25.412 121.041 γ X 8,927 ∞ ∞ 759,686 ̺ X 2,976 40,222 4,583 9,015 ˇ Ciste odškodnine E[X] 1.512 2.546 5.306 8.453 σ X 4.456 8.276 9.592 19.032 γ X 8,303 8,131 5,358 3,549 ̺ X 2,947 3,251 1,808 2,251 207 V nadaljevanju nas bo zanimal vpliv pozavarovanja na višino ekonomskega kapi- tala. Zato predpostavimo, da ima zavarovalnica neomejeno škodno presežkovno pozavarovanje nad prioriteto 100.000 evrov za zavarovanja iz vseh štirih portfe- ljev. Zakaj smo se odloˇ cili za navedeno pozavarovalno obliko in izbrano priori- teto, tu ni pomembno. Škodno presežkovno pozavarovanje vpliva le na višino odškodnin, ki presegajo prioriteto. Priˇ cakovano letnoštevilotakih odškodninje0,26zaportfeljA,4,11za portfelj B, 1,99 za portfelj C in 7,40 za portfelj D. To sicer ni veliko, kot bomo vi- deli iz nadaljevanja, pa izbranopozavarovanje kljub temu zelo pomembnovpliva na porazdelitvene funkcije agregatnih odškodnin. Razlog je seveda v tem, da iz- brano pozavarovanje pomembno zmanjša standardne odklone in koeficiente va- riabilnosti, kot lahko ugotovimo iz tabele 9.1. Porazdelitvene in verjetnostne funkcije števila odškodnin za izhodišˇ cne portfelje so razvidne s slik 9.1 in 9.2, porazdelitvene funkcije in gostote verjetnosti višine kosmatihodškodninpasslik9.3in9.4,nakaterihjenax-osilogaritemskomerilo. Slika 9.1: Porazdelitvena funkcija števila odškodnin Število odškodnin Verjetnost 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 A B C D Slika 9.2: Verjetnostna funkcija števila odškodnin Število odškodnin Gostota verjetnosti 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 0,000 0,006 0,012 0,018 0,024 A B C D Slika 9.3: Porazdelitvena funkcija kosmatih odškodnin Kosmata odškodnina v EUR Verjetnost 1e−02 1e−01 1e+00 1e+01 1e+02 1e+03 1e+04 1e+05 1e+06 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 A B C D Slika 9.4: Gostota verjetnosti kosmatih odškodnin Kosmata odškodnina v EUR Gostota verjetnosti 1e−02 1e−01 1e+00 1e+01 1e+02 1e+03 1e+04 1e+05 1e+06 0,0000 0,0008 0,0016 0,0024 0,0032 A B C D Porazdelitvene funkcije in gostote verjetnosti višineˇ cistih odškodnin se od tistih na slikah 9.3 in 9.4 razlikujejo le za x≥M=100.000 EUR, zato niso posebej 208 prikazane. PriprioritetiM porazdelitvenafunkcijaF X (x)ˇ cistihodškodninX skoˇ ci na konˇ cno vrednost ena, gostota verjetnostif X (x) pa na 1−F X (M), nato pa je za x>M enaka niˇ c. IzznanihmomentovporazdelitveštevilaodškodninN invišinekosmatihaliˇ cistih odškodnin lahko izraˇ cunamo priˇ cakovano vrednostE[S], varianco var[S]in tretji centralnimomentµ 3 [S]kosmatihaliˇ cistihagregatnihodškodninS zaposamezne portfelje (glej npr. Komelj, 2004, str. 12), ˇ ce obstajajo, ter standardni odklon σ S , koeficientasimetrijeγ S inkoeficientvariacije̺ S = σ S µ S . Navedenekarakteristike za obravnavane portfelje so razvidne iz tabele 9.2. Tabela 9.2: Karakteristike agregatnih odškodnin – teoretiˇ cno Portfelj A B C D Kosmate odškodnine E[S] 4.390.600 4.385.775 4.436.364 4.430.809 σ S 255.933 4.716.386 735.688 2.212.307 γ S 0,158 ∞ ∞ 41,077 ̺ S 0,058 1,075 0,166 0,499 ˇ Ciste odškodnine E[S] 4.385.279 3.564.266 4.244.672 2.789.619 σ S 253.397 327.465 310.046 378.298 γ S 0,148 0,211 0,170 0,209 ̺ S 0,058 0,092 0,073 0,136 Kot smo že omenili, pozavarovanje pomembno vpliva na porazdelitvene funkcije agregatnih odškodnin, kar se lepo vidi s slik 9.5 do 9.8. Slika 9.5: Porazdelitvena funkcija kosmatih agregatnih odškodnin Kosmate agregatne odškodnine v mio EUR Verjetnost 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 A B C D Slika 9.6: Porazdelitvena funkcijaˇ cistih agregatnih odškodnin Čiste agregatne odškodnine v mio EUR Verjetnost 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 A B C D 209 Slika 9.7: Gostota verjetnosti kosmatih agregatnih odškodnin Kosmate agregatne odškodnine v mio EUR Gostota verjetnosti 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0,0e+00 6,0e−07 1,2e−06 1,8e−06 A B C D Slika 9.8: Gostota verjetnostiˇ cistih agregatnih odškodnin Čiste agregatne odškodnine v mio EUR Gostota verjetnosti 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0,0e+00 6,0e−07 1,2e−06 1,8e−06 A B C D Porazdelitvenefunkcijeingostoteverjetnostikosmatihagregatnihodškodninsmo izraˇ cunali s Panjerjevo rekurzijsko enaˇ cbo (6.5). Izraˇ cun s Panjerjevo rekurzijo zahteva ekvidistantno diskretizirano gostoto verjetnosti sluˇ cajne spremenljivke X na konˇ cnem intervalu. Upoštevali smo interval od 0 do 40 milijonov evrov, kar je veˇ c kot 2-kratnik priˇ cakovanih kosmatih agregatnih odškodnin za vse štiri portfelje skupaj in veˇ c kot VaR 0,9983 (S A+B+C+D ) za neodvisne portfelje oziroma veˇ c kot VaR 0,9967 (S A+B+C+D ) za odvisne portfelje, kot se je izkazalo po izraˇ cunu. Diskretizirali smo s korakom h=100 evrov z metodo, ki ohranja priˇ cakovano vrednost (glej npr. Komelj, 2004, str. 22), in dobili verjetnosti f i =P(X=ih) za i=0,1,...,400000. Zaizraˇ cunˇ cistihagregatnihodškodninsmonajprejkosmatediskretiziraneporaz- delitve spremenili tako, da smo verjetnostP(x>100.000)= P ∞ i=1001 f i prišteli k verjetnosti f 1000 =P(x=100.000), postavili f i =0 za i≥1001, nato pa ponovili izraˇ cun s Panjerjevo rekurzijo. Z diskretno sluˇ cajno spremenljivko X, ki lahko zavzame le konˇ cne vrednosti, ne moremodobitineskonˇ cnihmomentov,karvnašemprimeruveljatudizasluˇ cajno spremenljivkoN. Zato ni mogoˇ ce, da bi s Panjerjevo rekurzijo za portfelja B in C dobili neskonˇ cen koeficient asimetrije. Zato smo za kontrolo oziroma primerjavo raˇ cunali še s simulacijo, ˇ ceprav tudi zanjo velja enaka ugotovitev. Za vsako od 100.000 simuliranih let smo za vsak portfelj najprej nakljuˇ cno generirali število odškodnin,natopa ševišineposameznihodškodnin, kismojihsešteli. Tako smo za vsak portfelj dobili 100.000 kosmatih inˇ cistih vrednosti. Pripadajoˇ ce vzorˇ cne porazdelitvene funkcije se na pogled ne razlikujejo od porazdelitvenih funkcij, dobljenih z rekurzijo, podrobnejša analiza pa razkrije nekatere razlike. ˇ Ce zanemarimo napako zaradi diskretizacije in zaokrožitvene napake, Panjer- jeva rekurzija zagotavlja eksaktne rezultate, h katerim konvergirajo tudi rezul- tati, dobljenis simulacijo,ˇ ce število simuliranih let narašˇ ca proti neskonˇ cnosti. V 210 praksiseveˇ cinoma napaki nemoremoizogniti, zato izbira metodeza izraˇ cun po- razdelitvene funkcije agregatnih odškodnin lahko pomembno vpliva na momente iniznjihizhajajoˇ cevrednosti,karvnašemprimerulahkougotovimosprimerjavo tabele 9.2 s tabelama 9.3 in 9.4. Tabela 9.3: Karakteristike agregatnih odškodnin – rekurzija Portfelj A B C D Kosmate odškodnine E[S] 4.390.602 4.383.518 4.436.394 4.424.724 σ S 255.963 1.974.556 574.360 1.969.661 γ S 0,160 20,599 25,580 5,395 ̺ S 0,058 0,450 0,129 0,445 ˇ Ciste odškodnine E[S] 4.385.281 3.564.268 4.244.673 2.789.619 σ S 253.426 327.477 310.056 378.298 γ S 0,149 0,212 0,171 0,209 ̺ S 0,058 0,092 0,073 0,136 Tabela 9.4: Karakteristike agregatnih odškodnin – simulacija Portfelj A B C D Kosmate odškodnine E[S] 4.389.976 4.372.311 4.436.668 4.433.574 σ S 255.434 1.886.573 541.618 2.208.076 γ S 0,167 30,521 8,541 12,939 ̺ S 0,058 0,431 0,122 0,498 ˇ Ciste odškodnine E[S] 4.384.671 3.563.058 4.244.514 2.788.943 σ S 252.841 327.644 310.804 378.868 γ S 0,156 0,207 0,163 0,220 ̺ S 0,058 0,092 0,073 0,136 Predpostavimo, da smo v kosmato zavarovalno premijo za zavarovanja iz port- feljev od A do D vraˇ cunali ravno toliko stroškov, kot jih bo nastalo, kosmato tehniˇ cno premijo pa smo izraˇ cunali tako, da bo s 75-odstotno verjetnostjo zado- šˇ cala za kritje kosmatih odškodnin. Pri teh predpostavkah in kriterijih Solvent- nosti 2 ekonomski kapital za samostojno opazovani portfelj A izraˇ cunamo kot K[S A ]=VaR 0,995 (S A )−VaR 0,75 (S A ) in analogno za portfelje B, C in D. V praksi pri škodno presežkovnem pozavarovanju pozavarovalnica neodvisno od zavarovalnice doloˇ ci razmerje med pozavarovalno in kosmato zavarovalno pre- mijo, s tem pa doloˇ ci tudi razmerje medˇ cisto in kosmato zavarovalno premijo. V našemprimerubomotudiˇ cistotehniˇ cnopremijoizraˇ cunalikotrazlikomed99,5- odstotnim in 75-odstotnim kvantilom za ˇ ciste agregatne odškodnine. Razmerje med tako doloˇ ceno ˇ cisto tehniˇ cno premijo in kosmato tehniˇ cno premijo se le za 211 malenkost razlikuje od razmerja med povpreˇ cnoˇ cisto in povpreˇ cno kosmato od- škodnino, ki bi ga tudi lahko upoštevali pri doloˇ canju razmerja med premijama. Podrobnosti o tehniˇ cni premiji in ekonomskem kapitalu za rekurzijo so razvidne iz tabele 9.5, za simulacijo pa iz tabele 9.6. Pripomnimo le še to, da smo tu in kasneje vse vrednosti, ki se nanašajo na rekurzijo, zaokrožili na 100 evrov, saj veˇ cja natanˇ cnost pri diskretizacijskem koraku 100 evrov ni smiselna. Tabela 9.5: Ekonomski kapital za kosmate inˇ ciste portfelje – rekurzija Portfelj A B C D Kosmato Konˇ cna tveg. vr. (TVaR 0,995 ) 5.181.800 17.927.600 7.924.500 19.378.700 Tvegana vrednost (VaR 0,995 ) 5.088.100 12.181.100 6.417.700 14.140.400 Tehniˇ cna premija (VaR 0,75 ) 4.559.300 4.647.500 4.666.600 4.956.600 Ekonomski kapital 528.800 7.533.600 1.751.100 9.183.800 Kapital/tehniˇ cna premija 11,6 % 162,1 % 37,5 % 185,3 % ˇ Cisto Konˇ cna tveg. vr. (TVaR 0,995 ) 5.164.700 4.595.100 5.206.500 3.978.300 Tvegana vrednost (VaR 0,995 ) 5.073.100 4.471.200 5.092.500 3.836.000 Tehniˇ cna premija (VaR 0,75 ) 4.552.600 3.778.700 4.448.800 3.037.500 Ekonomski kapital 520.500 692.500 643.700 798.500 Kapital/tehniˇ cna premija 11,4 % 18,3 % 14,5 % 26,3 % ˇ Ce kosmato tehniˇ cno premijo primerjamo s kosmato nevarnostno premijo (s pri- ˇ cakovano vrednostjo kosmatih odškodnin iz tabele 9.3), ugotovimo, da smo za portfelj A vraˇ cunali 3,8 % varnostnega dodatka, za portfelj B 6,0 %, za portfelj C 5,2 % in za portfelj D 12,0 %. To ni veliko, zato ni nenavadno, da za portfelja B in D, ki imata velik koeficient variacije, potrebujemo razmeroma veliko kapitala, pozavarovanje pa kapitalske zahteve bistveno zmanjša. Tabela 9.6: Ekonomski kapital za kosmate inˇ ciste portfelje – simulacija Portfelj A B C D Kosmato Konˇ cna tveg. vr. (TVaR 0,995 ) 5.186.417 20.418.663 8.043.397 22.415.555 Tvegana vrednost (VaR 0,995 ) 5.089.021 12.098.924 6.416.543 14.650.001 Tehniˇ cna premija (VaR 0,75 ) 4.556.950 4.640.949 4.666.487 4.948.759 Ekonomski kapital 532.071 7.457.975 1.750.056 9.701.242 Kapital/tehniˇ cna premija 11,7 % 160,7 % 37,5 % 196,0 % ˇ Cisto Konˇ cna tveg. vr. (TVaR 0,995 ) 5.168.599 4.593.881 5.203.841 3.888.684 Tvegana vrednost (VaR 0,995 ) 5.075.304 4.472.318 5.094.369 3.843.260 Tehniˇ cna premija (VaR 0,75 ) 4.550.282 3.778.155 4.449.724 3.037.583 Ekonomski kapital 525.022 694.163 644.645 805.677 Kapital/tehniˇ cna premija 11,5 % 18,4 % 14,5 % 26,5 % 212 V tabelah 9.5 in 9.6 navajamo tudi konˇ cno tvegano vrednost TVaR 0,995 , pri tem pa se podatki, izraˇ cunani rekurzivno in s simulacijo, precej razlikujejo, zlasti še za kosmata portfelja B in D. Konˇ cna tvegana vrednost za kosmate portfelje je le informativne narave. Pri simulaciji TVaR 0,995 izraˇ cunamo kot povpreˇ cje vseh nakljuˇ cno generiranih vrednosti, ki presegajo VaR 0,995 . Pri 100.000 simulacijah je takih vrednosti 500, kar ne zagotavlja velike zanesljivosti. Pri raˇ cunanju z rekur- zijosmoizraˇ cunkonˇ caliprej,kotsejeporazdelitvena funkcija kosmatihodškod- nin dovolj približala konˇ cni vrednosti 1. Zato izraˇ cun konˇ cne tvegane vrednosti ni dovolj natanˇ cen. Še najmanj smo dosegli za portfelj B, kjer pa smo presegli 0,99965. Zrekurzijo izraˇ cunaneporazdelitvene funkcije za portfelje A, B,Cin D sovhodni podatki zadelno optimizirani algoritem 7.6 (varianta algoritma nibistvena, ker je n=4potencaštevila2). Znjimsmozarazliˇ cnekorelacijskekoeficienteizraˇ cunali porazdelitveno funkcijo portfelja A+B+C+D, kar je predstavljeno v nadaljevanju tega poglavja. S porazdelitveno funkcijo smo vedno presegli 0,9967. To je dovolj za izraˇ cun VaR 0,995 , ni pa dovolj za natanˇ cen izraˇ cun TVaR 0,995 . V vseh primerih smorazlikomed1inzrekurzijoalialgoritmom7.6doseženoverjetnostjoprišteli k verjetnosti za zadnjo upoštevano vrednost 40 milijonov evrov. Zato so v tabeli 9.5 in v vseh tabelah v nadaljevanju navedene kosmate konˇ cne tvegane vrednosti le njihove spodnje meje. ˇ Ciste konˇ cne tvegane vrednosti, izraˇ cunane z rekurzijo ali algoritmom 7.6, pa so pravilne, saj smo v okviru raˇ cunske natanˇ cnosti vedno dosegli1. Seveda pa tatrditev velja le,ˇ cezanemarimovpliv napake zaradidiskre- tizacije izhodišˇ cnih porazdelitvenih funkcij, upoštevanja konˇ cnega številaˇ clenov priizraˇ cununeskonˇ cnevrsteinkumulativnegavpliva vsehzaokrožitvenih napak. V nadaljevanju nas bo zanimala predvsem razlika med ekonomskim kapitalom za vsoto neodvisnih in vsoto odvisnih portfeljev, ne pa razlike, ki so posledica razliˇ cnih napak pri razliˇ cnih metodah. Zato bomo kot izhodišˇ cne vrednosti za posamezne portfelje od A do D upoštevali vrednosti iz tabele 9.5, dobljene z re- kurzijo, oziroma ekvidistantno diskretizirane sluˇ cajne spremenljivke, s katerimi modeliramo višine posameznih odškodnin. ˇ Ceprav se vsi izraˇ cuni nanašajo na diskretne sluˇ cajne spremenljivke, bomo uporabljali terminologijo za zvezne slu- ˇ cajne spremenljivke. Tako bomo uporabljali pojem gostota verjetnosti, ˇ ceprav bi bilo bolj natanˇ cno verjetnostna funkcija. 213 9.2 Izraˇ cun za neodvisne portfelje 9.2.1 Primer brez pozavarovanja Najprejsmoizraˇ cunalikarakteristiˇ cno funkcijosluˇ cajnespremenljivkeS A+B ,kije zaradi neodvisnostiportfeljev Ain Benaka produktu karakteristiˇ cnih funkcij slu- ˇ cajnih spremenljivk S A in S B . Analogno smo izraˇ cunali karakteristiˇ cno funkcijo sluˇ cajne spremenljivke S C+D , nato pa še karakteristiˇ cno funkcijo sluˇ cajne spre- menljivkeS A+B+C+D . Pripadajoˇ ce porazdelitvene funkcije ingostoteverjetnostiso razvidne s slik 9.9 in 9.10. Slika 9.9: Porazdelitvena funkcija kosmatih agregatnih odškodnin za vsoto neodvisnihportfeljev Kosmate agregatne odškodnine v mio EUR Verjetnost 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 A+B C+D A+B+C+D Slika 9.10: Gostota verjetnosti kosmatih agregatnih odškodnin za vsoto neodvisnih portfeljev Kosmate agregatne odškodnine v mio EUR Gostota verjetnosti 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 0e+00 2e−07 4e−07 6e−07 A+B C+D A+B+C+D Vtabeli9.7jeekonomskikapitalizraˇ cunanzupoštevanjemkosmatetehniˇ cnepre- mije,kijevsotakosmatihtehniˇ cnihpremijiztabele9.5zapripadajoˇ ceizhodišˇ cne portfelje. Tako izraˇ cunani ekonomski kapital je manjši od vsote ekonomskih ka- pitalov iz tabele 9.5 za pripadajoˇ ce izhodišˇ cne portfelje. Razlika je prikazana kot absolutniuˇ cinek razpršitve. Tabela 9.7: Ekonomski kapital za vsoto neodvisnihkosmatih portfeljev Portfelj A+B C+D A+B+C+D Konˇ cna tveg. vr. (TVaR 0,995 ) 23.352.900 24.841.600 35.937.600 Tvegana vrednost (VaR 0,995 ) 16.583.100 18.756.100 30.539.000 Tehniˇ cna premija 9.206.800 9.623.200 18.830.000 Ekonomski kapital 7.376.300 9.132.900 11.709.000 Kapital/tehniˇ cna premija 80,1 % 94,9 % 62,2 % Kapital, izraˇ cunan z enaˇ cbo (8.4) 7.552.100 9.349.300 12.018.500 Vsota posameznih kapitalov 8.062.400 10.934.900 18.997.300 Absolutni uˇ cinek razpršitve 686.100 1.802.000 7.288.300 Relativni uˇ cinek razpršitve 8,5 % 16,5 % 38,4 % Kot vidimo iz tabele 9.7, z uporabo enaˇ cbe (8.4), ki bo standard v Solventnosti 2, 214 v vseh treh primerih dobimo veˇ c, kot dobimo z natanˇ cnim izraˇ cunom. 9.2.2 Primer s pozavarovanjem Karakteristiˇ cne funkcije za sluˇ cajne spremenljivke S A+B , S C+D in S A+B+C+D , ki se nanašajo na neodvisne ˇ ciste portfelje, smo izraˇ cunali analogno kot za odvisne kosmate portfelje. Pripadajoˇ ce porazdelitvene funkcije in gostote verjetnosti so razvidne s slik 9.11 in 9.12. Slika 9.11: Porazdelitvena funkcijaˇ cistih agregatnih odškodnin za vsoto neodvisnih portfeljev Čiste agregatne odškodnine v mio EUR Verjetnost 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 A+B C+D A+B+C+D Slika 9.12: Gostota verjetnostiˇ cistih agregatnih odškodnin za vsoto neodvisnihportfeljev Čiste agregatne odškodnine v mio EUR Gostota verjetnosti 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 0,0e+00 4,0e−07 8,0e−07 1,2e−06 A+B C+D A+B+C+D V tabeli 9.8 je ekonomski kapital izraˇ cunan z upoštevanjem ˇ ciste tehniˇ cne pre- mije, ki je vsota ˇ cistih tehniˇ cnih premij iz tabele 9.5 za pripadajoˇ ce izhodišˇ cne portfelje. Tako izraˇ cunani ekonomski kapital je manjši od vsote ekonomskih ka- pitalov iz tabele 9.5 za pripadajoˇ ce izhodišˇ cne portfelje. Razlika je prikazana kot absolutniuˇ cinek razpršitve. Tabela 9.8: Ekonomski kapital za vsoto neodvisnihˇ cistih portfeljev Portfelj A+B C+D A+B+C+D Konˇ cna tveg. vr. (TVaR 0,995 ) 9.218.300 8.532.600 16.916.300 Tvegana vrednost (VaR 0,995 ) 9.069.400 8.357.400 16.694.000 Tehniˇ cna premija 8.331.300 7.486.300 15.817.600 Ekonomski kapital 738.100 871.100 876.400 Kapital/tehniˇ cna premija 8,9 % 11,6 % 5,5 % Kapital, izraˇ cunan z enaˇ cbo (8.4) 866.300 1.025.600 1.342.500 Vsota posameznih kapitalov 1.213.000 1.442.200 2.655.200 Absolutni uˇ cinek razpršitve 474.900 571.100 1.778.800 Relativni uˇ cinek razpršitve 39,2 % 39,6 % 67,0 % Kot vidimo iz tabele 9.8, z uporabo enaˇ cbe (8.4) v vseh treh primerih dobimo veˇ c, kot dobimo z natanˇ cnim izraˇ cunom. 215 9.3 Izraˇ cun za odvisne portfelje 9.3.1 Primer brez pozavarovanja Najprejsmopripredpostavki,daodvisnostmedportfeljidoloˇ canormalnakopula, z uporabo posledice 7.2 izraˇ cunali karakteristiˇ cni funkciji sluˇ cajnih spremenljivk S A+B inS C+D , nato pa še pripadajoˇ ci gostoti verjetnosti in porazdelitveni funkciji. Rezultati za razliˇ cne korelacijske matrike z zunajdiagonalnimi elementiρ ij , ki so vsi enaki ρ, so razvidni s slik 9.13 do 9.16. Pripomnimo še, da za ρ= −0,75 in ρ=−0,50nismoraˇ cunalilezato,kerpripadajoˇ camatrikanikorelacijskamatrika, saj ni pozitivno semidefinitna. Slika 9.13: Porazdelitvena funkcija kosmatih agregatnih odškodnin za vsoto odvisnihportfeljev Kosmate agregatne odškodnine v mio EUR Verjetnost 4 6 8 10 12 14 16 18 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 A+B (ρ = −0,25) A+B (ρ = 0,00) A+B (ρ = +0,25) A+B (ρ = +0,50) A+B (ρ = +0,75) Slika 9.14: Gostota verjetnosti kosmatih agregatnih odškodnin za vsoto odvisnih portfeljev Kosmate agregatne odškodnine v mio EUR Gostota verjetnosti 4 6 8 10 12 14 16 18 0e+00 2e−07 4e−07 6e−07 8e−07 A+B (ρ = −0,25) A+B (ρ = 0,00) A+B (ρ = +0,25) A+B (ρ = +0,50) A+B (ρ = +0,75) Slika 9.15: Porazdelitvena funkcija kosmatih agregatnih odškodnin za vsoto odvisnihportfeljev Kosmate agregatne odškodnine v mio EUR Verjetnost 4 6 8 10 12 14 16 18 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 C+D (ρ = −0,25) C+D (ρ = 0,00) C+D (ρ = +0,25) C+D (ρ = +0,50) C+D (ρ = +0,75) Slika 9.16: Gostota verjetnosti kosmatih agregatnih odškodnin za vsoto odvisnih portfeljev Kosmate agregatne odškodnine v mio EUR Gostota verjetnosti 4 6 8 10 12 14 16 18 0e+00 1e−07 2e−07 3e−07 4e−07 C+D (ρ = −0,25) C+D (ρ = 0,00) C+D (ρ = +0,25) C+D (ρ = +0,50) C+D (ρ = +0,75) Iz tabel 9.9 in 9.10 lahko razberemo ekonomski kapital za vsoto odvisnih kosma- tihportfeljevAinBterCinD.Uˇ cinekrazpršitvesespoveˇ cevanjemkorelacijskega koeficienta hitro zmanjšuje in je pri korelacijskem koeficientu ρ=0,75 relativno že zelo majhen. 216 Tabela 9.9: Ekonomski kapital za vsoto odvisnih kosmatih portfeljev A+B ρ= −0,25 ρ= 0 ρ=0,25 ρ=0,50 ρ=0,75 Konˇ cnatveg. vr. (TVaR 0,995 ) 23.188.900 23.352.900 23.520.900 23.692.200 23.866.000 Tvegana vrednost (VaR 0,995 ) 16.418.800 16.583.100 16.750.500 16.920.900 17.094.100 Tehniˇ cnapremija 9.206.800 9.206.800 9.206.800 9.206.800 9.206.800 Ekonomski kapital 7.212.000 7.376.300 7.543.700 7.714.100 7.887.300 Kapital/tehniˇ cna premija 78,3 % 80,1 % 81,9 % 83,8 % 85,7 % Kapital, izraˇ cunan z enaˇ cbo (8.4) 7.419.100 7.552.100 7.682.900 7.811.400 7.937.900 Vsota posameznih kapitalov 8.062.400 8.062.400 8.062.400 8.062.400 8.062.400 Absolutni uˇ cinekrazpršitve 850.400 686.100 518.700 348.300 175.100 Relativni uˇ cinek razpršitve 10,5 % 8,5 % 6,4 % 4,3 % 2,2 % Tabela 9.10: Ekonomski kapital za vsoto odvisnih kosmatih portfeljev C+D ρ= −0,25 ρ= 0 ρ=0,25 ρ=0,50 ρ=0,75 Konˇ cnatveg. vr. (TVaR 0,995 ) 24.529.600 24.841.600 25.255.700 25.803.100 26.478.100 Tvegana vrednost (VaR 0,995 ) 18.444.300 18.756.100 19.140.900 19.593.100 20.084.700 Tehniˇ cnapremija 9.623.200 9.623.200 9.623.200 9.623.200 9.623.200 Ekonomski kapital 8.821.100 9.132.900 9.517.700 9.969.900 10.461.500 Kapital/tehniˇ cna premija 91,7 % 94,9 % 98,9 % 103,6 % 108,7 % Kapital, izraˇ cunan z enaˇ cbo (8.4) 8.908.900 9.349.300 9.769.800 10.173.000 10.560.800 Vsota posameznih kapitalov 10.934.900 10.934.900 10.934.900 10.934.900 10.934.900 Absolutni uˇ cinekrazpršitve 2.113.800 1.802.000 1.417.200 965.000 473.400 Relativni uˇ cinek razpršitve 19,3 % 16,5 % 13,0 % 8,8 % 4,3 % Z znanimi karakteristiˇ cnimi funkcijami za sluˇ cajni spremenljivki S A+B in S C+D smo z uporabo posledice 7.2 izraˇ cunali še karakteristiˇ cno funkcijo sluˇ cajne spre- menljivkeS A+B+C+D , nato pa še pripadajoˇ co gostoto verjetnosti in porazdelitveno funkcijo. Na podlagi primerjave z rezultati, dobljenimi s simulacijo, pa verja- memo, da so porazdelitvene funkcije in gostote verjetnosti, razvidne s slik 9.17 in 9.18, pravilne. Slika 9.17: Porazdelitvena funkcija kosmatih agregatnih odškodnin za vsoto odvisnih portfeljev Kosmate agregatne odškodnine v mio EUR Verjetnost 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 A+B+C+D (ρ = −0,25) A+B+C+D (ρ = 0,00) A+B+C+D (ρ = +0,25) A+B+C+D (ρ = +0,50) A+B+C+D (ρ = +0,75) Slika 9.18: Gostota verjetnosti kosmatih agregatnih odškodnin za vsoto odvisnihportfeljev Kosmate agregatne odškodnine v mio EUR Gostota verjetnosti 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 0e+00 1e−07 2e−07 3e−07 4e−07 A+B+C+D (ρ = −0,25) A+B+C+D (ρ = 0,00) A+B+C+D (ρ = +0,25) A+B+C+D (ρ = +0,50) A+B+C+D (ρ = +0,75) Iz tabele 9.11 je razvidno, da se ekonomski kapital s poveˇ cevanjem korelacij- skega koeficienta opazno poveˇ cuje, vendar pa je tudi pri korelacijskem koefici- entu ρ=0,75 še vedno za skoraj 10 % manjši od vsote ekonomskih kapitalov za 217 izhodišˇ cne portfelje. Tabela 9.11: Ekonomski kapital za vsoto odvisnih kosmatih portfeljev A+B+C+D ρ= −0,25 ρ=0 ρ=0,25 ρ=0,50 ρ=0,75 Konˇ cnatveg. vr. (TVaR 0,995 ) 34.955.400 35.937.600 37.163.600 38.338.700 39.245.400 Tvegana vrednost (VaR 0,995 ) 29.197.500 30.539.000 32.232.400 34.084.900 35.985.900 Tehniˇ cnapremija 18.830.000 18.830.000 18.830.000 18.830.000 18.830.000 Ekonomski kapital 10.367.500 11.709.000 13.402.400 15.254.900 17.155.900 Kapital/tehniˇ cna premija 55,1 % 62,2 % 71,2 % 81,0 % 91,1 % Kapital, izraˇ cunan z enaˇ cbo (8.4) 9.504.200 12.018.500 14.091.000 15.895.600 17.515.200 Vsota posameznih kapitalov 18.997.300 18.997.300 18.997.300 18.997.300 18.997.300 Absolutni uˇ cinekrazpršitve 8.629.800 7.288.300 5.594.900 3.742.400 1.841.400 Relativni uˇ cinek razpršitve 45,4 % 38,4 % 29,5 % 19,7 % 9,7 % Zanimivo je, da je tokrat rezultat, dobljen z enaˇ cbo (8.4), za ρ= −0,25 manjši odeksaktnega rezultata. To pa nepomeni, da je enaˇ cba (8.4) neprimerna,saj sov Solventnosti 2 korelacijski koeficienti navzdol omejeni z niˇ c. Za konec si oglejmo še porazdelitvene funkcije in gostote verjetnosti kosmatega tehniˇ cnega izida, merjenega z razliko med kosmato tehniˇ cno premijo in kosma- timi agregatnimi odškodninami. Slika 9.19: Porazdelitvena funkcija kosmatega tehniˇ cnega izida za vsoto odvisnihportfeljev Kosmati tehnični izid v mio EUR Verjetnost −16 −14 −12 −10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 A+B+C+D (ρ = −0,25) A+B+C+D (ρ = 0,00) A+B+C+D (ρ = +0,25) A+B+C+D (ρ = +0,50) A+B+C+D (ρ = +0,75) Slika 9.20: Gostota verjetnosti kosmatega tehniˇ cnega izidaza vsoto odvisnih portfeljev Kosmati tehnični izid v mio EUR Gostota verjetnosti −16 −14 −12 −10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 0e+00 1e−07 2e−07 3e−07 4e−07 A+B+C+D (ρ = −0,25) A+B+C+D (ρ = 0,00) A+B+C+D (ρ = +0,25) A+B+C+D (ρ = +0,50) A+B+C+D (ρ = +0,75) 9.3.2 Primer s pozavarovanjem Karakteristiˇ cne funkcije za sluˇ cajne spremenljivke S A+B , S C+D in S A+B+C+D , ki se nanašajo na odvisne ˇ ciste portfelje, smo izraˇ cunali analogno kot za odvisne kos- mate portfelje. Pripadajoˇ ce porazdelitvene funkcije in gostote verjetnosti so raz- vidne s slik 9.21 do 9.26. 218 Slika 9.21: Porazdelitvena funkcijaˇ cistih agregatnih odškodnin za vsoto odvisnih portfeljev Čiste agregatne odškodnine v mio EUR Verjetnost 4 6 8 10 12 14 16 18 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 A+B (ρ = −0,25) A+B (ρ = 0,00) A+B (ρ = +0,25) A+B (ρ = +0,50) A+B (ρ = +0,75) Slika 9.22: Gostota verjetnostiˇ cistih agregatnih odškodnin za vsoto odvisnihportfeljev Čiste agregatne odškodnine v mio EUR Gostota verjetnosti 4 6 8 10 12 14 16 18 0,0e+00 4,0e−07 8,0e−07 1,2e−06 A+B (ρ = −0,25) A+B (ρ = 0,00) A+B (ρ = +0,25) A+B (ρ = +0,50) A+B (ρ = +0,75) Slika 9.23: Porazdelitvena funkcijaˇ cistih agregatnih odškodnin za vsoto odvisnih portfeljev Čiste agregatne odškodnine v mio EUR Verjetnost 4 6 8 10 12 14 16 18 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 C+D (ρ = −0,25) C+D (ρ = 0,00) C+D (ρ = +0,25) C+D (ρ = +0,50) C+D (ρ = +0,75) Slika 9.24: Gostota verjetnostiˇ cistih agregatnih odškodnin za vsoto odvisnihportfeljev Čiste agregatne odškodnine v mio EUR Gostota verjetnosti 4 6 8 10 12 14 16 18 0,0e+00 4,0e−07 8,0e−07 1,2e−06 C+D (ρ = −0,25) C+D (ρ = 0,00) C+D (ρ = +0,25) C+D (ρ = +0,50) C+D (ρ = +0,75) Slika 9.25: Porazdelitvena funkcijaˇ cistih agregatnih odškodnin za vsoto odvisnih portfeljev Čiste agregatne odškodnine v mio EUR Verjetnost 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 A+B+C+D (ρ = −0,25) A+B+C+D (ρ = 0,00) A+B+C+D (ρ = +0,25) A+B+C+D (ρ = +0,50) A+B+C+D (ρ = +0,75) Slika 9.26: Gostota verjetnostiˇ cistih agregatnih odškodnin za vsoto odvisnihportfeljev Čiste agregatne odškodnine v mio EUR Gostota verjetnosti 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 0,0e+00 4,0e−07 8,0e−07 1,2e−06 A+B+C+D (ρ = −0,25) A+B+C+D (ρ = 0,00) A+B+C+D (ρ = +0,25) A+B+C+D (ρ = +0,50) A+B+C+D (ρ = +0,75) Iz tabel 9.12, 9.13 in 9.14 lahko razberemo ekonomski kapital za vsoto odvisnih ˇ cistih portfeljev A in B, C in D ter A, B, C in D. Uˇ cinek razpršitve se s poveˇ ceva- njem korelacijskega koeficienta hitro zmanjšuje, vendar pa je precej veˇ cji kot pri ustreznih vsotah odvisnih kosmatih portfeljev. 219 Tabela 9.12: Ekonomski kapital za vsoto odvisnihˇ cistih portfeljev A+B ρ= −0,25 ρ=0 ρ=0,25 ρ=0,50 ρ=0,75 Konˇ cnatveg. vr. (TVaR 0,995 ) 9.049.900 9.218.300 9.369.600 9.508.500 9.637.600 Tvegana vrednost (VaR 0,995 ) 8.921.100 9.069.400 9.202.400 9.324.300 9.437.700 Tehniˇ cnapremija 8.331.300 8.331.300 8.331.300 8.331.300 8.331.300 Ekonomski kapital 589.800 738.100 871.100 993.000 1.106.400 Kapital/tehniˇ cna premija 7,1 % 8,9 % 10,5 % 11,9 % 13,3 % Kapital, izraˇ cunan z enaˇ cbo (8.4) 755.200 866.300 964.700 1.054.000 1.136.300 Vsota posameznih kapitalov 1.213.000 1.213.000 1.213.000 1.213.000 1.213.000 Absolutni uˇ cinekrazpršitve 623.200 474.900 341.900 220.000 106.600 Relativni uˇ cinek razpršitve 51,4 % 39,2 % 28,2 % 18,1 % 8,8 % Tabela 9.13: Ekonomski kapital za vsoto odvisnihˇ cistih portfeljev C+D ρ= −0,25 ρ=0 ρ=0,25 ρ=0,50 ρ=0,75 Konˇ cnatveg. vr. (TVaR 0,995 ) 8.329.400 8.532.600 8.715.000 8.882.200 9.037.600 Tvegana vrednost (VaR 0,995 ) 8.178.700 8.357.400 8.517.500 8.664.100 8.800.400 Tehniˇ cnapremija 7.486.300 7.486.300 7.486.300 7.486.300 7.486.300 Ekonomski kapital 692.400 871.100 1.031.200 1.177.800 1.314.100 Kapital/tehniˇ cna premija 9,2 % 11,6 % 13,8 % 15,7 % 17,6 % Kapital, izraˇ cunan z enaˇ cbo (8.4) 891.600 1.025.600 1.144.100 1.251.400 1.350.200 Vsota posameznih kapitalov 1.442.200 1.442.200 1.442.200 1.442.200 1.442.200 Absolutni uˇ cinekrazpršitve 749.800 571.100 411.000 264.400 128.100 Relativni uˇ cinek razpršitve 52,0 % 39,6 % 28,5 % 18,3 % 8,9 % Tabela 9.14: Ekonomski kapital za vsoto odvisnihˇ cistih portfeljev A+B+C+D ρ= −0,25 ρ=0 ρ=0,25 ρ=0,50 ρ=0,75 Konˇ cnatveg. vr. (TVaR 0,995 ) 15.973.500 16.916.300 17.553.900 18.075.900 18.531.600 Tvegana vrednost (VaR 0,995 ) 15.861.200 16.694.000 17.254.900 17.713.000 18.111.800 Tehniˇ cnapremija 15.817.600 15.817.600 15.817.600 15.817.600 15.817.600 Ekonomski kapital 43.600 876.400 1.437.300 1.895.400 2.294.200 Kapital/tehniˇ cna premija 0,3 % 5,5 % 9,1 % 12,0 % 14,5 % Kapital, izraˇ cunan z enaˇ cbo (8.4) 700.400 1.342.500 1.764.800 2.103.900 2.395.400 Vsota posameznih kapitalov 2.655.200 2.655.200 2.655.200 2.655.200 2.655.200 Absolutni uˇ cinekrazpršitve 2.611.600 1.778.800 1.217.900 759.800 361.000 Relativni uˇ cinek razpršitve 98,4 % 67,0 % 45,9 % 28,6 % 13,6 % S primerjavo tabel 9.11 in 9.14 lahko ugotovimo, da škodno presežkovno pozava- rovanjepomembnovpliva navišino ekonomskegakapitala. Zaradipozavarovanja se je tehniˇ cna premija, ki ostane zavarovalnici, zmanjšala za 16,0 %, hkrati pa se je ekonomski kapital za neodvisne portfelje zmanjšal za 92,5 %. Za odvisne portfelje in korelacijski koeficient ρ=0,25 se je ekonomski kapital zmanjšal za 89,3 %,zaρ=0,50 se je zmanjšal za 87,6 %,zaρ=0,75 pa za 86,6 %. To pa je še vedno 5,4-krat veˇ c kot zmanjšanje tehniˇ cne premije. Konˇ cnosioglejmošeporazdelitvenefunkcijeingostoteverjetnostiˇ cistegatehniˇ c- negaizida, merjenegazrazliko medˇ cistotehniˇ cnopremijoinˇ cistimiagregatnimi odškodninami. 220 Slika 9.27: Porazdelitvena funkcijaˇ cistega tehniˇ cnega izida za vsoto odvisnih portfeljev Čisti tehnični izid v mio EUR Verjetnost −16 −14 −12 −10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 A+B+C+D (ρ = −0,25) A+B+C+D (ρ = 0,00) A+B+C+D (ρ = +0,25) A+B+C+D (ρ = +0,50) A+B+C+D (ρ = +0,75) Slika 9.28: Gostota verjetnostiˇ cistega tehniˇ cnega izidaza vsoto odvisnihportfeljev Čisti tehnični izid v mio EUR Gostota verjetnosti −16 −14 −12 −10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 0,0e+00 4,0e−07 8,0e−07 1,2e−06 A+B+C+D (ρ = −0,25) A+B+C+D (ρ = 0,00) A+B+C+D (ρ = +0,25) A+B+C+D (ρ = +0,50) A+B+C+D (ρ = +0,75) Sklep Osrednji problem, ki smo ga obravnavali v doktorski disertaciji, je vprašanje, kako izraˇ cunati skupno tveganje, ˇ ce poznamo posamezna tveganja, ki so med seboj odvisna oziroma korelirana. Glavna praktiˇ cna uporaba rešitve tega prob- lema je natanˇ cen izraˇ cun ekonomskega kapitala pri predpisani stopnji tveganja in predpisanem ˇ casovnem okviru. Seveda pa lahko gledamo tudi z drugega zor- nega kota. Odloˇ canje na podlagi rešitve problema vodstvu zavarovalnice oziroma njenim lastnikom omogoˇ ca prevzeti oziroma obdržati le toliko tveganja, da pri zanje sprejemljivi stopnji tveganja in danem ˇ casovnem okviru ne bodo izgubili veˇ c kapitala, kot so ga dejansko pripravljeni tvegati. Iz rezultatov izraˇ cunov, predstavljenih v prejšnjem poglavju v tabelah od 9.9 do 9.14, je vsaj za tam obravnavana tveganja oˇ citno, da so natanˇ cno izraˇ cunane ka- pitalske zahteve manjše od tistih, ki so izraˇ cunane po standardni formuli Sol- ventnosti 2. Razlike med ekonomskim kapitalom, izraˇ cunanim z enaˇ cbo (8.4), in natanˇ cnoizraˇ cunanimekonomskimkapitalom sonamreˇ cpozitivne vvseh24 pri- merih s pozitivnimi korelacijskimi koeficienti. Le v enem od šestih primerov z negativnimi korelacijskimi koeficienti je razlika negativna, kar pa ni relevantno, saj bo treba morebitne negativne korelacijske koeficiente postaviti na niˇ c. V disertaciji predstavljene metode za izraˇ cun porazdelitvenih funkcij vsot koreli- ranihtveganjsicernisopreproste,vendarsouporabneinizvedljivetudivmanjših zavarovalnicah,ˇ cesolenavoljoustreznipodatki. ˇ Ceposplošimovprejšnjemod- stavkunavedeneugotovitveizraˇ cunov,lahkopotrdimotemeljnohipotezodoktor- ske disertacije, da je tudi v majhnih zavarovalnicah in pozavarovalnicah, ki bodo vrežimuSolventnosti2uporabljalestandardnimodelzaizraˇ cunsolventnostnega 221 kapitala, smiselnoin uresniˇ cljivo razvijati interne modele merjenjain upravljanja tveganj, oziroma je smiselno in uresniˇ cljivo dopolnjevati modele, ki bodo predpi- sani. S tem bi namreˇ c majhne zavarovalnice vsaj delno lahko zmanjšale konku- renˇ cnoprednostvelikihzavarovalniczaradiekonomijeobsegaindejstva,dabodo vrežimuSolventnost2zaradirazmeromamanjšihkapitalskih zahtevpridobileše dodatno prednost. V disertaciji je potrjena tudi glavna teza, da je mogoˇ ce porazdelitveno funkcijo vsote šibko do srednje moˇ cnokoreliranih sluˇ cajnih spremenljivk, odvisno od šte- vilale-teh,izraˇ cunatispomoˇ cjoformulezaveˇ crazsežnokarakteristiˇ cno funkcijo. Seveda pa tu nastane praktiˇ cno vprašanje, ali kopule, za katere je v disertaciji razvitametoda,kiomogoˇ caizraˇ cunveˇ crazsežnekarakteristiˇ cnefunkcijeinposle- diˇ cnoveˇ crazsežneporazdelitvenefunkcije,realnoodražajoodvisnostmedsluˇ caj- nimi spremenljivkami. V ta del problematike, ki je povezana z iskanjem kopule, ki se najbolj prilega danim podatkom, disertacija ne posega. Sicer pa omenjeni pomislek še mnogo bolj velja za standardni model Solventnosti 2. Enaˇ cba (8.4) namreˇ c ne predpostavlja le normalnekopule, temveˇ c tudi normalne robneporaz- delitve. Skratka, predpostavlja veˇ crazsežno normalno porazdelitev, ne glede na to, kako se prilega dejanskim podatkom. V disertaciji je za dvorazsežni primer razvita metoda, ki za normalno kopulo in poljubni robni porazdelitvi omogoˇ ca natanˇ cen izraˇ cun dvorazsežne porazde- litvene funkcije. Zaporedna uporaba iste metode omogoˇ ca izraˇ cun n-razsežne porazdelitvene funkcije za normalno kopulo tudi za n>2 in za poljubne robne porazdelitve. Ta metoda presega glavno tezo, saj ni omejena na šibko do srednje moˇ cno korelirane sluˇ cajne spremenljivke, vendar pa zan>2 zaenkrat ostaja na ravni domneve, ker še ni matematiˇ cno korektno dokazana. Seveda pa je mogoˇ ce, da metoda zan>2 ni korektna,ˇ ce domneva ne velja. Disertacija potrjuje tudi teze, ki so podrejene glavni tezi. Prva teza, da vsak mo- del merjenja in upravljanja tveganj,ˇ cetudi preprost, lahko prispeva k izboljšanju poslovanja zavarovalnice, je skoraj samoumevna. Dodatno potrditev lahko argu- mentiramo s tem, da tudi najbolj preprost model merjenja in upravljanja tveganj kot prvo fazo zahteva identifikacijo tveganj. V procesu identifikacije pa se pogo- stopojavijo tuditveganja, nakatera prejnihˇ cenibildovolj pozoren. Takiprimeri so se pokazali med pripravami na Solventnost 2 pri sodelovanju v kvantitativnih študijah. Nekateri predpisani scenariji, denimo slovenski v študijah QIS3 in QIS4 okatastrofalnihškodahzaradifinanˇ cnekrizesposlediˇ cnimimnožiˇ cnimiškodami iz kreditnega zavarovanja v skupni višini 5 % od stanja neodplaˇ canih glavnic, so nekatera tveganja prikazali precej drugaˇ ce od percepcije do istih tveganj pred 222 študijo, kar je vplivalo tudi na spremembo poslovne politike do sprejemanja to- vrstnih tveganj v pozavarovanje. Drugo tezo, da bi pozitivni uˇ cinki merjenja tveganj lahko nastali predvsem za- radi natanˇ cnejšega doloˇ canja višine zavarovalne premije, natanˇ cnejšega doloˇ ca- nja zavarovalno-tehniˇ cnih rezervacij in lažjega doloˇ canja primernega pozavaro- vanja, potrjujejo nove možnosti, ki jih prinaša merjenje tveganj. Nova naˇ cela pri oblikovanjuškodnihrezervacij,kijihprinašaSolventnost2,težišˇ cevarnostizava- rovalnic z zavarovalno-tehniˇ cnih rezervacij prenašajo na kapital. Tako v škodnih rezervacijah,oblikovanihkotnajboljšaocenaobveznosti,poveˇ canazapribitekna negotovost,vsajnaˇ celomaneboveˇ cskritihrezerv,sevedapatudiskritihprimanj- kljajev ne bi smelo biti. Merjenje tveganj in z njimi povezana višina potrebnega kapitala omogoˇ capreskokzalokacije kapitala nazavarovalne vrste, kijelinearno odvisna od ustreznega deleža zavarovalne premije, na alokacijo kapitala, ki je prilagojena tveganju. Z obojim zavarovalnica pridobi realnejšo sliko o uspešno- sti posameznih zavarovalnih vrst ali produktov, predvsem pa realnejšo sliko o potrebni višini zavarovalne premije in pozavarovanja, s katerima lahko uravnava višino potrebnega kapitala. Tretja teza pravi, da med agregatnimi odškodninami za posamezne zavarovalne vrste veˇ cinoma ni prevelike korelacije, vsaj majhna korelacija pa je gotovo že zaradi odvisnostiodskupnih faktorjev, denimo inflacije alivremena,zaradiˇ cesar so za izraˇ cune skupnih agregatnih odškodnin primerne tudi metode, ki za veˇ cje korelacije niso uporabne. Disertacija prvega dela teze ne more ne potrditi ne ovreˇ ci, saj v njej dejansko nismo merili korelacij med agregatnimi odškodninami za posamezne zavarovalne vrste. ˇ Ce pa so korelacije majhne, so uporabne tudi metode, ki za veˇ cje korelacije niso primerne. Podroˇ cje, ki se ga dotika ta teza, ni dovolj raziskano. To je oˇ citno tudi iz kore- lacij med dvanajstimi skupinami zavarovanj, ki so bile predvidene v kvantitativni študiji QIS5. Za vseh 66 možnih parov razliˇ cnih zavarovalnih skupin sta namreˇ c predvidena le korelacijska koeficienta 0,25 in 0,50 (glej QIS5 Technical Specifica- tions, 2010, str. 203), ki ju verjetno lahko grobo interpretiramo kot majhna in srednjakorelacija. Zakorelacijskomatriko,predvideno vnavedenemdokumentu, je od v disertaciji predstavljenih dveh originalnih metod za izraˇ cun 12-razsežne karakteristiˇ cne funkcije primerna le tista z normalnokopulo. ˇ Cetrtatezapravi,damedbistvenorazliˇ cnimitveganji,denimozavarovalnimi,kre- ditnimi, tržnimi in operativnimi, obstajajo majhne do zmerno velike korelacije, ki pa jih je težko meriti. Zato se bodo v praksi verjetno uveljavile dogovorjene vrednosti. Disertacija te teze neposredno ne more ne potrditi ne ovreˇ ci, saj v 223 njej nismo merili korelacij med razliˇ cnimi tveganji. Tezo pa potrjuje korelacij- ska matrika, razvidna iz tabele 8.1, ki jo predpisuje Direktiva Solventnost 2. Za pet razliˇ cnih tveganj je med desetimi možnimi razliˇ cnimi pari dvakrat predviden korelacijski koeficient 0, sedemkrat 0,25 in enkrat 0,50. Peta teza pravi, da so v praksi pogojno uporabne tudi razliˇ cne ne dovolj teore- tiˇ cnoutemeljenemetodeizraˇ cunaporazdelitvenih funkcijvsotkoreliranihsluˇ caj- nih spremenljivk, ˇ ce le dajo rezultate, katerih uporabo lahko utemeljimo z naˇ ce- lom previdnosti. Primerni primerjalni rezultati so rezultati, ki jih dobimo za iste sluˇ cajne spremenljivke ob predpostavki, da so med seboj neodvisne. Teza je preprosta posledica dejstva, da še ne obstaja splošno uporabna metoda za izraˇ cun porazdelitvene funkcije vsote koreliranih sluˇ cajnih spremenljivk. To velja tudi za metodo simulacije in tiste kopule, za katere še ne znamo uˇ cinkovito nakljuˇ cno generirati ustrezno porazdeljenih vrednosti. Zato se dejanskim mož- nostim prilagajamo tako, da uporabljamo kopule, ki morda ne odražajo dovolj dobro dejanskih odvisnosti, ali pa uporabljamo metode, ki nimajo trdnega teme- lja, denimo metodo šuma, Wangovo metodo ali metodo za normalno kopulo, ki je kot domnevno pravilna razvita v tej disertaciji. V vseh takih primerih pa je pomembno, da testiramo, ˇ ce smo na varni strani, vsaj s primerjavo s primerom, ko so sluˇ cajne spremenljivke neodvisne. Menimo, da so v doktorski disertaciji pripravljena orodja, ki so potrebna za iz- gradnjo internega modela za izraˇ cun kapitala, kot ga predvideva projekt Solvent- nost2,oziromaorodjazaboljšeupravljanjetveganj,karjebiltudiedenodnjenih namenov. Seveda somišljenalenekaterateoretiˇ cna orodjainšezdaleˇ c nevsa. Iz- gradnja internega modela zahteva veliko veˇ c, predvsem pa kvalitetne podatke, s katerimi bodo teoretiˇ cni modeli lahko prestali teste, ki so potrebni za odobritev uporabe v praksi. Predvsem pa zahteva dobro razumevanje problema, sicer me- haniˇ cna uporaba zahtevnih in sicer ustreznih programskih orodij lahko vodi do napaˇ cnih zakljuˇ ckov. 224 Literatura 1. Acerbi, C. (2002). Spectral Measures of Risk: A Coherent Representation of SubjectiveRiskAversion. JournalofBankingandFinance,26(7),1505–1518. 2. Acerbi, C., & Tasche, D. (2002a). Expected Shortfall: A Natural Coherent Alternative to Value at Risk. Economic notes, 31(2), 379–388. 3. Acerbi, C., & Tasche, D. (2002b). On the coherence of Expected Shortfall. Journal of Banking and Finance, 26(7), 1487–1503. 4. Ahˇ can, A. (2005). Optimal investment strategies in long-term asset alloca- tion: applicationsininsurance andfinance (doktorskadisertacija). Ljubljana: Univerza v Ljubljani, Ekonomska fakulteta. 5. Angus, J. E. (1994). The probability integral transform and related results. SIAM Review,36(4), 652–654. 6. Antal,P. (2003). QuantitativeMethodsinReinsurance(Lecturenotes). Zürich: ETH,DepartmentofMathematics. Najdeno2.12.2011nahttp://www.math .ethz.ch/finance/misc/MathMethodsReinsurance.pdf 7. Antal, P. (2009). Mathematical Methods in Reinsurance (Lecture notes). Zürich: ETH, Department of Mathematics. Najdeno 2. 12. 2011 na http://www.actuaries.ch/images/getFile?t=downloadfiles&f= datei&id=55 8. Archer-Lock, P. R., Czernuszewicz, A. J., Gillott, N. R., Hinton, P. H., Ibeson, D.,Malde, S.A.,etal. (2002). Financial Condition Assesment. Proceedingsof the 12 th AFIR Colloquium. Cancun: International Actuarial Association. 9. Artzner, P., Delbaen, F., Eber, J.-M., & Heath, D. (1999). Coherent measures of risk. Mathematical Finance, 9(3), 203–228. 10. Bairamov, I., & Eryilmaz, S. (2004). Characterization of symmetry and ex- ceedance models in multivariate FGM distributions. Journal of Applied Sta- tistical Science, 13(2), 87–99. 11. Bairamov, I., & Kotz, S. (2002). Dependence structure and symmetry of Huang-Kotz FGM distributions and their extensions. Metrika, 56(1), 55–72. 12. Bairamov, I., & Kotz, S. (2003). On a new family of positive quadrant de- pendent bivariate distributions. International Mathematical Journal, 3(11), 1247–1254. 13. Bairamov, I., Kotz, S., & Bekçi, M. (2001). New generalized Farlie-Gumbel- Morgenstern distributions and concomitants of order statistics. Journal of Applied Statistics, 28(5), 521–536. 14. Balbás, A., Garrido, J., & Mayoral, S. (2002). Coherent risk measures in a dynamic framework. Proceedings of the 6 th international congress on insur- 225 ance: Mathematics and economics. Lisbon: Elsevier. 15. Bargès, M., Cossette, H., & Marceau, É. (2009). TVaR-based capital allocation with copulas. Insurance: Mathematics and Economics, 45(3), 348–361. 16. Bäuerle,N.,&Müller,A. (2006). Stochasticordersandriskmeasures: Consis- tency and bounds. Insurance: Mathematics and Economics, 38(1), 132–148. 17. Besson, J.-L., Dacorogna, M. M., de Martin, P., Kastenholz, M., & Moller, M. (2009). How Much Capital Does a Reinsurance Need? The Geneva Papers on Insurance and Risk Issues and Practice, 34(2), 159–174. 18. Bohte, Z. (1994). Numeriˇ cno reševanje sistemov linearnih enaˇ cb. Ljubljana: Društvo matematikov, fizikov in astronomovSlovenije. 19. Boncelj, J. (1983). Zavarovalna ekonomika. Maribor: Založba Obzorja. 20. Borch,K. (1961). TheutilityconceptappliedtothetheoryofInsurance. Astin Bulletin, 1(5), 245–255. 21. Bühlmann,H. (1970). MathematicalMethodsinRiskTheory. Berlin: Springer- Verlag. 22. Bühlmann, H. (1980). An economic premium principle. Astin Bulletin, 11(1), 52–60. 23. Bühlmann, H. (1985a). The general economic premium principle. Astin Bul- letin, 14(1), 13–21. 24. Bühlmann, H. (1985b). Premium calculation from top down. Astin Bulletin, 15(2), 89–101. 25. Bühlmann,H., Gagliardi, G., Gerber,H. U., & Straub, E. (1977). Some inequal- ities for stop-loss premiums. Astin Bulletin, 9(1), 75–83. 26. Butsic, R. P. (1999). Capital Allocation for Property-Liability Insurers: A Catastrophe Reinsurance Application. Casualty Actuarial Society Spring Fo- rum (str. 1–70). Arlington: Casualty Actuarial Society. 27. COSO. (2004). Enterprise Risk Management – Integrated Framework: Aplica- tion Techniques. Committee of Sponsoring Organizations of the Treadway Commission. 28. Daníelsson, J., Jorgensen, B. N., Sarma, M., Samorodnitsky, G., & de Vries, C. G. (2005). Subadditivity Re-Examined: the Case for Value-at-Risk (Tech- nical report). Ithaca: Cornell University Operations Research and Indus- trial Engineering. Najdeno2.12.2011 nahttp://ecommons.cornell.edu/ bitstream/1813/9310/1/TR001437.pdf 29. Daykin, C.D.,Pentikäinen, T.,&Pesonen,M. (1994). PracticalRiskTheoryfor Actuaries. London: Chapman & Hall. 30. De la Peña, V. H., Ibragimov, R., & Sharakhmetov, S. (2006). Characteri- zations of joint distributions, copulas, information, dependence and decou- 226 pling,withapplicationstotimeseries. IMSLectureNotes–MonographSeries, 49, 183–209. 31. De Matteis, R. (2001). Fitting Copulas to Data (diplomsko delo). Zurich: University of Zurich, Institute of Mathematics. 32. De Mori, B. (1965). Possibilité d’établir des bases techniques accepta- bles pour le calcul d’une marge minimum de solvabilité des enterprises d’assurances contre les dommages. Astin Bulletin, 3(3), 286–313. 33. Demarta, S., & McNeil, A. J. (2005). The t Copula and Related Copulas. International Statistical Review, 73(1), 111–129. 34. Denault, M. (2001). Coherent allocation of risk capital. Journal of Risk, 4(1), 1–34. 35. Denneberg, D. (1990). Premium calculation: Why standard deviation should be replaced by absolute deviation. Astin Bulletin, 20(2), 181–190. 36. Denuit, M., Dhaene, J., Goovaerts, M., & Kaas, R. (2005). Actuarial Theory for Dependent Risks: Measures, Orders and Models. Chicester: John Wiley & Sons. 37. Desmedt,S.,&Walhin,J.F. (2008). OntheSubadditivity ofTailValueatRisk: An Investigation with Copulas. Variance, 2(2), 231–252. 38. Dhaene, J., Denuit, M., Goovaerts, M. J., Kaas, R., & Vyncke, D. (2002a). The concept of comonotonicity in actuarial science and finance: applications. Insurance: Mathematics and Economics, 31(2), 133–161. 39. Dhaene, J., Denuit, M., Goovaerts, M. J., Kaas, R., & Vyncke, D. (2002b). The concept of comonotonicity in actuarial science and finance: theory. Insur- ance: Mathematics and Economics, 31(1), 3–33. 40. Dhaene, J., Goovaerts, M., Lundin, M., & Vanduffel, S. (2005). Aggregating Economic Capital. Belgian Actuarial Bulletin, 5(1), 14–25. 41. Dhaene, J., & Goovaerts, M. J. (1996). Dependency of risks and stop-loss order. Astin Bulletin, 26(2), 201–212. 42. Dhaene, J., Goovaerts, M. J., & Kaas, R. (2003). Economic Capital Allocation Derived from Risk Measures, with Disscusion. North American Actuarial Journal, 7(2), 44–59. 43. Dhaene, J., Laeven, R. J. A., Vanduffel, S., Darkiewicz, G., & Goovaerts, M. J. (2006). Can a coherent risk measure be too subadditive? (Discussion Paper No. PI-0608). London: City University, Cass Business School, The Pensions Institute. Najdeno 2. 12. 2011 na http://www.pensions-institute.org/ workingpapers/wp0608.pdf 44. Dhaene, J., Tsanakas, A., Valdez, E., & Vanduffel, S. (2009). Optimal capital allocation principles (FBE Research Report No. AFI_0936). Leuven: Catholic 227 University Leuven, Faculty of Business and Economics. Najdeno 2. 12. 2011 na https://lirias.kuleuven.be/bitstream/123456789/253127/ 1/AFI_0936.pdf 45. Dhaene, J., Vanduffel, S., Goovaerts, M. J., Kaas, R., Tang, Q., & Vyncke, D. (2006). Risk measures and comonotonicity: a review. Stochastic Models, 22(4), 573–606. 46. Dhaene, J., Vanduffel, S., Tang, Q., Goovaerts, M., Kaas, R., & Vyncke, D. (2004a). Capital requirements, risk measures and comonotonicity. Belgian Actuarial Bulletin, 4(1), 53–61. 47. Dhaene, J., Vanduffel, S., Tang, Q., Goovaerts, M. J., Kaas, R., & Vyncke, D. (2004b). Solvency capital, risk measures and comonotonicity: a re- view (Research Report No. OR 0416). Leuven: Catholic University Leu- ven, Department of Applied Economics. Najdeno 2. 12. 2011 na http:// www.econ.kuleuven.be/insurance/pdfs/Riskmeasures.pdf 48. Dickson, D. C. M., & Waters, H. R. (1997). Relative reinsurance retention levels. Astin Bulletin, 27(2), 207–227. 49. Dutang,C.,Goulet,V.,&Pigeon,M. (2008). actuar: AnRPackageforActuarial Science. Journal of Statistical Software, 25(7), 1–37. 50. DvoršakBugarija,J. (2005). Obvladovanjetveganjavzavarovalnihfinanˇ cnih institucijah. Ljubljana: Pegaz international. 51. Embrechts, P., Lindskog, F., & McNeil, A. (2003). Modelling De- pendence with Copulas and Applications to Risk Management. V S. T. Rachev (ur.), Handbook of heavy tailed distributions in finance (str. 329–384). Amsterdam: Elsevier Science. (Preprint, najden 2. 12. 2011 na http://www.risklab.ch/ftp/papers/DependenceWithCopulas.pdf) 52. Embrechts, P., McNeil, A., & Straumann, D. (1999). Correlation and Depen- dency in Risk Management. Proceedings of the 30 th ASTIN Colloquium (str. 227–250). Tokyo: International Actuarial Association. 53. Embrechts, P., McNeil, A., & Straumann, D. (1999). Correlation: Pitfalls and Alternatives. Risk, 12(5), 69–71. 54. Embrechts, P., McNeil, A., & Straumann, D. (2002). Correlation and Depen- dence in Risk Management: Properties and Pitfalls. V M. A. H. Dempster (ur.), Risk management: Value at risk and beyond (str. 176–232). Cam- bridge: Cambridge University Press. (Preprint, najden 2. 12. 2011 na www.math.ethz.ch/~embrechts/ftp/pitfalls.pdf) 55. Erel, I., Myers, S. C., & Read, J. A., Jr. (2009). Capital Allocation (Dice Center WP No. 2009-10). Columbus: Ohio State University, Fisher Col- lege of Business. Najdeno 2. 12. 2011 na http://papers.ssrn.com/ 228 sol3/Delivery.cfm/SSRN_ID1498737_code357812.pdf?abstractid= 1411190&mirid=1 56. Fackler, M. (2009). Panjer class united – one formula for the Poisson, Bi- nomial, and Negative Binomial distribution. Proceedings of the 39 th ASTIN Colloquium. Helsinki: International Actuarial Association. 57. Faivre, F. (2003). Copula: A New Vision for Economic Capital and Applica- tion to a Four Line of Business Company. Proceedings of the 34 th ASTIN Colloquium. Berlin: International Actuarial Association. 58. Feller, W. (1971). An Introduction to Probability Theory and Its Application (2 nd ed., Vol. 2). New York: John Wiley & Sons. 59. Fischer, T. (2002). Risk Capital Allocation by Coherent Risk Measures Based on One-Sided Moments. Proceedings of the 6 th international congress on insurance: Mathematics and economics. Lisbon: Elsevier. 60. Frees, E. W., & Valdez, E. A. (1998). Understanding Relationships Using Cop- ulas. North American Actuarial Journal, 2(1), 1–25. 61. Furman, E., & Zitikis, R. (2008a). Weighted premium calculation principles. Insurance: Mathematics and Economics, 42(1), 459—465. 62. Furman,E.,&Zitikis,R. (2008b). Weightedriskcapitalallocations. Insurance: Mathematics and Economics, 43(2), 263–269. 63. Gai, J. (2001). A Computational Study of the Bivariate Normal Probability Function (magistrsko delo). Kingston: Queen’s University. 64. Genest, C., & Favre, A.-C. (2007). Everything You Always Wanted to Know about Copula Modeling but Were Afraid to Ask. Journal of Hydrologic Engi- neering, 12(4), 347–368. 65. Genest,C., & Nešlehová, J. (2007). A primer on copulas for count data. Astin Bulletin, 37(2), 475–515. 66. Genz, A. (2004). Numerical Computation of Rectangular Bivariate and Trivariate Normal and t Probabilities. Statistics and Computing, 14(3), 251– 260. 67. Gerber, H. U. (1974). On additive premium calculation principles. Astin Bulletin, 7(3), 215–222. 68. Gerber, H. U., & Jones, D. A. (1976). Some practical considerations in con- nection with the calculation of stop-loss premiums, with discussion. Trans- actions of the SOA, 28, 215–235. 69. Gerber, H. U., & Pafumi, G. (1998). Utility Functions: From Risk Theory to Finance. North American Actuarial Journal, 2(3), 74–91. 70. Gerber, H. U., & Shiu, S. W. (2006). On the Merger of Two Companies. North American Actuarial Journal, 10(3), 60–67. 229 71. Gnedenko, B. V. (1976). The Theory of Probability. Moscow: Mir Publishers. 72. Goovaerts,M.J.,Kaas,R.,Dhaene,J.,&Tang,Q.(2003a). SomeNewClassesof Consistent Risk Measures. Proceedings of the 13 th AFIR Colloquium. Maas- tricht: International Actuarial Association. 73. Goovaerts, M.J., Kaas, R.,Dhaene, J.,& Tang, Q. (2003b). A unifiedapproach to generate risk measures. Astin Bulletin, 33(2), 173–191. 74. Grossi, P., & Kunreuther, H. (ur.). (2005). Catastrophe Modeling: A New Approach to Managing Risk. New York: Springer Science+Business Media. 75. Gründl, H., & Schmeiser, H. (2007). Capital Allocation for Insurance Compa- nies – What Good is It? The Journal of Risk and Insurance, 74(2), 301–317. 76. Heckman,P.E.,&Meyers,G.G.(1983). TheCalculationofAggregateLossDis- tributions from Claim Severity and Claim Count Distributions, with Discus- sion by Gary Venter. Proceedings of the Casualty Actuarial Society (Vol. 70, str. 22–73). Arlington: Casualty Actuarial Society. 77. Heckman,P.E.,&Meyers,G.G.(1984). TheCalculationofAggregateLossDis- tributions from Claim Severity and Claim Count Distributions, Addendum. Proceedingsof the Casualty Actuarial Society (Vol. 71, str.49–66). Arlington: Casualty Actuarial Society. 78. Hesselager, O. (1994). A recursive procedure for calculation of some com- pound distributions. Astin Bulletin, 24(1), 19–32. 79. Hesselager, O. (1995). Order relations for some distributions. Insurance: Mathematics and Economics, 16(2), 129–134. 80. Hesselager, O., & Anderssen, U. (2002). Risk Sharing and Capital Alloca- tion (Working paper). Ballerup, Denmark: Tryg Insurance. Najdeno 2. 12. 2011 na http://www.soa.org/library/research/actuarial-research -clearing-house/2000-09/2003/arch-1/arch03v37n1-16.pdf 81. Hogg, R. V., & Klugman, S. A. (1984). Loss Distributions. New York: John Wiley & Sons. 82. Homer, D. L. (2006). The Report of the Research Working Party on Cor- relations and Dependencies Among All Risk Sources – Part 2: Aggregating Bivariate Claim Severities With Numerical Fourier Inversion. Casualty Ac- tuarial Society Winter Forum (str. 205–230). Arlington: Casualty Actuarial Society. 83. Homer, D. L., & Clark, D. R. (2003). Insurance Applications of Bivariate distributions. Proceedings of the Casualty Actuarial Society (Vol. 90, str. 274–307). Arlington: Casualty Actuarial Society. 84. Huang, J. S., & Kotz, S. (1999). Modifications of the Farlie-Gumbel- Morgenstern distributions. A tough hill to climb. Metrika, 49(2), 135–145. 230 85. Ibragimov, R. (2005). Copula-Based Dependence Characterizations And Modeling For Time Series (Disscusion Paper No. 2094). Cambridge: Har- vard Institute of Economic Research. Najdeno 2. 12. 2011 na http:// www.economics.harvard.edu/pub/hier/2005/HIER2094.pdf 86. Iman, R. W., & Conover, W. J. (1982). A distribution-free approach to induc- ing rank correlation among input variables. Communications in Statistics – Simulation and Computation, 11(3), 311–334. 87. Jamnik, R. (1971). Verjetnostni raˇ cun. Ljubljana: Mladinska knjiga. 88. Kaas, R., Dhaene, J., & Goovaerts, M. J. (2000). Upper and lower bounds for sums of random variables. Insurance: Mathematics and Economics, 27(2), 151–168. 89. Kaas, R., Goovaerts, M., Dhaene, J., & Denuit, M. (2008). Modern Actuarial Risk Theory Using R (2 nd ed.). Berlin: Springer-Verlag. 90. Kalkbrener, M. (2005). An axiomatic approach to capital allocation. Mathe- matical Finance, 15(3), 425–437. 91. Kastelijn, W. M., & Remmerswaal, J. C. M. (1986). Solvency. Rotterdam: Nationale-Nederlanden N.V. 92. Kim, J. H. T., & Hardy, M. R. (2009). A capital allocation based on a solvency exchange option. Insurance: Mathematics and Economics, 44(3), 357–366. 93. Klugman,S.A.,Panjer, H.H.,&Willmot,G.E. (1998). LossModels: FromData to Decisions. New York: John Wiley & Sons. 94. Klugman,S.A.,Panjer, H.H.,&Willmot,G.E. (2004). LossModels: FromData to Decisions (2 nd ed.). Hoboken: John Wiley & Sons. 95. Klugman, S. A., & Parsa, R. (1999). Fitting bivariate loss distributions with copulas. Insurance: Mathematics and Economics, 24(1-2), 139–148. 96. Knuth, D. E. (1981). The Art of Computer Programming, Vol. 2, Seminumeri- cal Algorithms (2 nd ed.). Reading: Addison-Wesley. 97. Komelj, J. (2004). Aktuarsko raˇ cunanje agregatnih odškodnin in optimalnih parametrov pozavarovanja (magistrsko delo). Ljubljana: Univerza v Ljub- ljani, Ekonomska fakulteta. 98. Komelj, J. (2005). Aktuarski pogled na obvladovanje tveganj pri potresnem zavarovanju. 12. dnevi slovenskega zavarovalništva (str. 353–370). Ljub- ljana: Slovensko zavarovalno združenje. 99. Komelj, J. (2011a). Enterprise risk management in insurance companies. The ninth international symposium on insurance: Supervision and control of insurance companies’ operations (str. 48–67). Zlatibor: Faculty ofEconomics Belgrade. 100. Komelj, J. (2011b). Solventnost II – izraˇ cun kapitala za avtomobilska 231 zavarovanja. XVII. seminar s podroˇ cjaavtomobilskegazavarovanja (str. 15– 27). Ljubljana: Slovensko zavarovalno združenje. 101. Komelj, J., & Perman, M. (2010). Joint characteristic functions construction via copulas. Insurance: Mathematics and Economics, 47(2), 137–143. 102. Krvavych, Y. (2005). Insurer Risk Management and Optimal Reinsurance (doktorska disertacija). Sydney: The University of New South Wales, Faculty of Commerce and Economics. 103. Landsman, Z., & Sherris, M. (2007). An Actuarial Premium Pricing Model for Nonnormal Insurance and Financial Risks in Incomplete Markets. North American Actuarial Journal, 11(1), 119–135. 104. Landsman,Z., & Valdez, E. A. (2003). Tail Conditional Expectations for Ellip- tical Distributions. NorthAmerican Actuarial Journal, 7(4), 55–71. 105. Leipnik, R. B. (1991). On lognormal random variables: I – the characteris- tic function. The Journal of the Australian Mathematical Society. Series B. Applied Mathematics, 32(3), 327–347. 106. Lindskog, F. (2000). Modelling Dependence with Copulas and Applications to Risk Management (magistrsko delo). Zürich: Eidgenössische Technische Hochschule. 107. Lindskog,F.,McNeil,A.,&Schmock,U. (2003). Kendall’stauforelliptical dis- tributions. VG.Bol,G.Nakhaeizadeh,S.T.Rachev,T.Ridder,&K.-H.Vollmer (ur.), Credit risk: Measurement, evaluation and management (str. 149–156). Heidelberg: Physica-Verlag, ASpringer-Verlag Company. (Preprint, najden 2. 12. 2011 na http://www.risklab.ch/ftp/papers/KendallsTau.pdf) 108. Long, D., & Krzysztofowicz, R. (1995). A Family of Bivariate Densities Con- structed from Marginals. Journal of the American Statistical Association, 90(430), 739–746. 109. Maccheroni, F. (2004). Yaari’s dual theory without the completeness axiom. Economic Theory, 23(3), 701–714. 110. McNeil,A.J.,Frey,R.,&Embrechts,P. (2005). QuantitativeRiskManagement: Concepts, Techniques and Tools. Princeton: Princeton University Press. 111. Meyers,G.G. (2003). The Economics ofCapital Allocation. CasualtyActuar- ial Society Fall Forum (str. 391–418). Arlington: Casualty Actuarial Society. 112. Mildenhall, S. J. (2004). A Note on the Myers and Read Capital Allocation Formula. North American Actuarial Journal, 8(2), 32–44. 113. Mildenhall, S. J. (2006). The Report of the Research Working Party on Cor- relations and Dependencies Among All Risk Sources – Part 1: Correlation and Aggregate Loss Distributions with an Emphasis on the Iman-Conover Method. Casualty Actuarial Society Winter Forum (str. 103–203). Arlington: 232 Casualty Actuarial Society. 114. Møller,T. (2004). Stochasticordersindynamicreinsurancemarkets. Finance and Stochastic, 8(4), 479–499. 115. Müller, A. (1996). Orderings of risks: A comparative study via stop-loss transforms. Insurance: Mathematics and Economics, 17(3), 215–222. 116. Myers,S.J.,&Read, J.A.,Jr. (2001). Capital Allocation for InsuranceCompa- nies. The Journal of Risk and Insurance, 68(4), 545–580. 117. Nelsen,R.B. (2006). AnIntroductiontoCopulas (2 nd ed.). NewYork: Springer Science+Business Media. 118. Panjer, H. H. (1980). The aggregate claims distribution and stop-loss rein- surance, with discussion. Transactions of the SOA, 32, 523–545. 119. Panjer, H. H. (1981). Recursive evaluation of a family of compound distribu- tions. Astin Bulletin, 12(1), 22–26. 120. Panjer, H. H. (2002). Measurement of Risk, Solvency Requirements and Allocation of Capital within Financial Conglomerates (Research Report No. 01-15, Amended Sept. 30, 2002). Waterloo: University of Waterloo, Insti- tute of Insurance and Pension Research. Najdeno 2. 12. 2011 na http:// www.soa.org/files/pdf/measurement_risk.pdf 121. Papush, D. E., Patrik, G. S., & Podgaits, F. (2001). Approximations of the Aggregate Loss Distribution. Casualty Actuarial Society Winter Forum (str. 175–186). Arlington: Casualty Actuarial Society. 122. Patrik, G., Bernegger, S., & Rüegg, M. B. (1999). The Use of Risk Adjusted Capital to Support Business Decision-Making. Casualty Actuarial Society Spring Forum (str. 1–92). Arlington: Casualty Actuarial Society. 123. Pedersen, C. S.,& Satchell, S. E. (1998). AnExtended Family of Financial-Risk Measures. The Geneva Papers on Risk and Insurance Theory, 23(2), 89–117. 124. Press, W. H., Flannery, B. P., Teukolsky, S. A., & Vetterling, W. T. (1992). Numerical Recipes in Pascal. Cambridge: Cambridge University Press. 125. Ramsay, C. M. (1993). Loading grosspremiums for risk without using utility theory, with discussion. Transactions of the SOA, 45, 305–349. 126. Reuter, G. H. E. (1949). On the Boundedness of the Hermite Orthogonal System. Journal of the London Mathematical Society, s1-24(2), 159–160. 127. Robertson, J. P. (1992). The Computation of Aggregate Loss Distributions. ProceedingsoftheCasualtyActuarialSociety (Vol.79,str.57–133). Arlington: Casualty Actuarial Society. 128. Rockmore, D. N. (2000). The FFT: An Algorithm the Whole Family Can Use. Computing in Science and Engineering, 2(1), 60–64. 129. Rodríguez-Lallena, J. A., & Úbeda-Flores, M. (2004). A new class of bivariate 233 copulas. Statistics & Probability Letters, 66(3), 315–325. 130. Rudin, W. (1970). Real and Complex Analysis. London: McGraw-Hill. 131. Rüschendorf,L. (1985). Constructionofmultivariatedistributionswithgiven marginals. Annals ofthe Instituteof StatisticalMathematics, 37(2), 225–233. 132. Sandström, A. (2006). Solvency: Models, Assessment and Regulation. Boca Raton: Chapman & Hall/CRC. 133. Scarsini,M. (1984). Onmeasuresofconcordance. Stochastica,8(3),201–218. 134. Shaked, M., & Shanthikumar, J. G. (2007). Stochastic Orders. New York: Springer Science+Business Media. 135. Sherris, M. (2006). Solvency, Capital Allocation, and Fair Rate of Return in Insurance. The Journal of Risk and Insurance, 73(1), 71–96. 136. Sklar, A. (1959). Fonctions de répartition à n dimensions et leurs marges. Publications de l’Institut Statistique de l’Université de Paris, 8, 229–231. 137. Sklar, A. (1996). Random Variables, Distibution Functions, and Copulas – A Personal Look Backward and Forward. V L. Rüschendorf, B. Schweizer, & M.D.Taylor(ur.),Distributionswithfixedmarginalsandrelatedtopic(Vol.28, str. 1–14). Hayward: Institute of Mathematical Statistics. 138. Solvencyofnonlifeinsurers: Balancing securityandprofitabilityexpectations (Sigma No. 1). (2000). Zürich: Swiss Reinsurance Company. 139. Sundt, B. (1992). On some extensions of Panjer’s class of counting distribu- tions. Astin Bulletin, 22(1), 61–80. 140. Sundt, B. (1999). On multivariate Panjer recursion. Astin Bulletin, 29(1), 29–45. 141. Sundt, B., & Jewell, W. S. (1981). Further results on recursive evaluation of compound distributions. Astin Bulletin, 12(1), 27–39. 142. Tang, A., & Valdez, E. A. (2006). Economic Capital and the Aggregation of Risks using Copulas. Proceedings of the 16 th AFIR Colloquium. Paris: International Actuarial Association. 143. Tasche, D. (2000). Risk contributions and performance measurement (Work- ingpaper). München: TechnischeUniversitätMünchen,ZentrumMathematik (SCA). Najdeno2.12.2011 nahttp://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/ download?doi=10.1.1.44.3268&rep=rep1&type=pdf 144. Tasche, D. (2001). Conditional Expectation as Quantile Derivative (Quantita- tive Finance Papers No. math/0104190). arXiv.org. Najdeno 2. 12. 2011 na http://arxiv.org/pdf/math/0104190v1 145. Tasche, D. (2002). Expected Shortfall and Beyond. Journal of Banking and Finance, 26(7), 1519–1533. 146. Tasche, D. (2004). Allocating Portfolio Economic Capital to Sub-Portfolios. 234 V A. Dev (ur.), Economic capital: A practitioner guide (str. 275–302). London: Risk Books. 147. Tasche, D. (2008). Capital Allocation to Business Units and Sub-Portfolios: the Euler Principle. V A. Resti (ur.), Pillar II in the New Basel Accord: The Challenge of Economic Capital (str. 423–453). London: Risk Books. 148. Teugels,J.,&Sundt,B.(ur.). (2004). EncyclopediaofActuarialScience(Vol.2). Chichester: John Wiley & Sons. 149. Tsanakas, A. (2004). Dynamic capital allocation with distortion risk mea- sures. Insurance: Mathematics and Economics, 35(2), 223–243. 150. Tsanakas, A. (2007). Capital allocation with risk measures. M. Vanmaele et al. (ur.), 5 th Actuarial and Financial Mathematics Day (str. 3–17). Brussel: Koninklijke Vlaamse Academie van Belgié voorWetenschappen enKunsten. 151. Tsanakas, A. (2009). To split or not to split: Capital allocation with convex risk measures. Insurance: Mathematics and Economics, 44(2), 268–277. 152. Turk, I. (2004). Pojmovnik raˇ cunovodstva, financ in revizije. Ljubljana: Slovenski inštitut za revizijo. 153. Valdez, E. A., & Chernih, A. (2003). Wang’s capital allocation formula for elliptically contoured distributions. Insurance: Mathematics and Economics, 33(3), 517–532. 154. Valdez, E. A.,Dhaene, J.,Maj, M.,& Vanduffel,S. (2009). Boundsand approx- imations for sums of dependent log-elliptical random variables. Insurance: Mathematics and Economics, 44(3), 385–397. 155. Vanduffel, S. (2005). Comonotonicity: From Risk Measurement to Risk Man- agement (doktorskadisertacija). Amsterdam: UniversityofAmsterdam,Fac- ulty of Economics and Econometrics. 156. Vanduffel, S., Hoedemakers, T., & Dhaene, J. (2005). Comparing Approxi- mations for Risk Measures of Sums of Nonindependent Lognormal Random Variables. North American Actuarial Journal, 9(4), 71–82. 157. Vasicek, O. A. (1998). A Series Expansion for the Bivariate Nor- mal Integral. San Francisco: KMV Corporation. Najdeno 2. 12. 2011 na http://janroman.dhis.org/finance/Numerical%20Methods/A _Series_Expansion_for_the_Bivariate_Normal_Integral.pdf 158. Venter, G. G. (2004). Capital Allocation Survey with Commentary. North American Actuarial Journal, 8(2), 96–107. 159. Vidav, I. (1973). Višja matematika I (4. izd.). Ljubljana: Državna založba Slovenije. 160. Vitale, R. A. (1990). On Stochastic Dependence and a Class of Degenerate Distributions. V H. W. Block, A. R. Sampson, & T. H. Savits (ur.), Topics in 235 statistical dependence (Vol. 16, str. 459–469). Hayward: Institute of Mathe- matical Statistics. 161. Von Neumann, J., & Morgenstern, O. (1953). Theory of Games and Economic Behavior (3 rd ed.). Princeton: Princeton University Press. 162. Waldmann,K.-H. (1996). Modifiedrecursionsfora classofcompounddistri- butions. Astin Bulletin, 26(2), 213–224. 163. Walhin, J.-F. (2003). On the Optimality of Multiline Excess of Loss Covers. Casualty Actuarial Society Spring Forum (str. 231–243). Arlington: Casualty Actuarial Society. 164. Walhin, J. F., & Paris, J. (1998). On the use of equispaced discrete distribu- tions. Astin Bulletin, 28(2), 241–255. 165. Wang, S. (1995). Insurance pricing and increased limits ratemaking by pro- portionalhazardstransforms.Insurance: MathematicsandEconomics,17(1), 43–54. 166. Wang, S. (1996). Premium calculation by transforming the layer premium density. Astin Bulletin, 26(1), 71–92. 167. Wang, S. (1998a). An Actuarial Index of the Right-Tail Risk. North American Actuarial Journal, 2(2), 88–101. 168. Wang, S. (1998b). Aggregation of Correlated Risk Portfolios: Models & Al- gorithms. Casualty Actuarial Society. Najdeno 2. 12. 2011 na http:// www.casact.org/library/wang.pdf 169. Wang, S. (1998c). Aggregation of Correlated Risk Portfolios: Models and Algorithms. Proceedings of the Casualty Actuarial Society (Vol. 85, str. 849– 939). Arlington: Casualty Actuarial Society. 170. Wang, S. (1998d). Implementation of Proportional Hazards Transforms in Ratemaking, with Discussion. Proceedings of the Casualty Actuarial Society (Vol. 85, str. 940–990). Arlington: Casualty Actuarial Society. 171. Wang,S. (2002a). ARiskMeasureThatGoesBeyondCoherence. Proceedings of the 12 th AFIR Colloquium. Cancun: International Actuarial Association. 172. Wang,S. (2002b). ASetofNewMethodsandToolsforEnterpriseRiskCapital ManagementandPortfolioOptimization. CasualtyActuarialSocietySummer Forum (str. 43–77). Arlington: Casualty Actuarial Society. 173. Wang, S., & Dhaene, J. (1998). Comonotonicity, correlation order and pre- mium principles. Insurance: Mathematics and Economics, 22(3), 235–242. 174. Wang, S., & Sobrero, M. (1994). Further results on Hesselager’s recursive procedure for calculation of some compound distributions. Astin Bulletin, 24(2), 161–166. 175. Wang, S., & Young, V. R. (1998). Ordering risks: Expected utility theory 236 versus Yaari’s dual theory of risk. Insurance: Mathematics and Economics, 22(2), 145–161. 176. Wason, S. (2004). Insurer Solvency Assessment: Towards a Global Frame- work. Najdeno 2. 12. 2011 na http://www.actuaries.org/LIBRARY/ Other/IAIS_Lisbon_Wason.pdf 177. Willmot,G. (1988). SundtandJeweel’sfamily ofdiscrete distributions. Astin Bulletin, 18(1), 17–29. 178. Wirch, J. L., & Hardy, M. R. (1999). A synthesis of risk measures for capital adequacy. Insurance: Mathematics and Economics, 25(3), 337–347. 179. Yaari, M. E. (1987). The Dual Theory of Choice Under Risk. Econometrica, 55(1), 95–115. Viri 1. AS/NZS 4360:2004, Risk management (Australian/New Zealand standard). (2004). Sydney/Wellington: Standards Australia/Standards New Zealand. 2. AS/NZS ISO 31000:2009, Risk management – Principles and guidelines (Aus- tralian/New Zealand standard). (2009). Sydney/Wellington: Standards Aus- tralia/Standards New Zealand. Najdeno 2. 12. 2011 nahttps://infostore .saiglobal.com/store/PreviewDoc.aspx?saleItemID=2056247 3. Basel Committee on Banking Supervision. (2004). International Conver- gence of Capital Measurement and Capital Standards: A Revised Frame- work. Basel: Basel Committee on Banking Supervision, Bank for Interna- tional Settlements. Najdeno 2. 12. 2011 na http://www.bis.org/publ/ bcbs107.pdf?noframes=1 4. Basel Committee onBanking Supervision. (2006). International Convergence of Capital Measurement and Capital Standards: A Revised Framework, Com- prehensiveVersion.Basel: BaselCommitteeonBankingSupervision,Bankfor International Settlements. Najdeno 2. 12. 2011 na http://www.bis.org/ publ/bcbs128.pdf 5. CEIOPS. (2005). Answers to the European Commission on the second wave of Calls for Advice in the framework of the Solvency II project. Frankfurt: Committee of European Insurance and Occupational Pensions Supervisors. Najdeno 2. 12. 2011 na https://eiopa.europa.eu/fileadmin/tx_dam/ files/consultations/consultationpapers/DOC07_05.pdf 6. CEIOPS. (2006a). QIS1 – Summary report. Frankfurt: Committee of European Insurance and Occupational Pensions Supervisors. Najdeno 237 2. 12. 2011 na https://eiopa.europa.eu/fileadmin/tx_dam/files/ consultations/QIS/CEIOPS-FS-0106Rev32006-03-17PA.pdf 7. CEIOPS. (2006b). QIS2 – Summary Report. Frankfurt: Committee of European Insurance and Occupational Pensions Supervisors. Najdeno 2. 12. 2011 na https://eiopa.europa.eu/fileadmin/tx_dam/files/ consultations/QIS/QIS2/QIS2-SummaryReport.pdf 8. CEIOPS. (2007). CEIOPS’s Report on its third Quantitative Impact Study (QIS3) for Solvency II. Frankfurt: Committee of European Insur- ance and Occupational Pensions Supervisors. Najdeno 2. 12. 2011 na https://eiopa.europa.eu/fileadmin/tx_dam/files/publications/ submissionstotheec/CEIOPS-DOC-19-07%20QIS3%20Report.pdf 9. CEIOPS. (2008). CEIOPS’ Report on its fourth Quantitative Im- pact Study (QIS4) for Solvency II. Frankfurt: Committee of Eu- ropean Insurance and Occupational Pensions Supervisors. Najdeno 2. 12. 2011 na https://eiopa.europa.eu/fileadmin/tx_dam/files/ consultations/QIS/CEIOPS-SEC-82-08%20QIS4%20Report.pdf 10. COSO. (2004). Enterprise Risk Management – Integrated Framework: Execu- tive Summary and Framework. Committee of Sponsoring Organizations of the Treadway Commission. 11. Council Directive 90/619/EEC of 8 November 1990 on the coordination of laws, regulations and administrative provisions relating to direct life assur- ance, laying down provisions to facilitate the effective exercise of freedom to provide services and amending Directive 79/267/EEC. (1990). Official Journal of the European Communities, št. L 330. 12. Council Directive 92/96/EEC of 10 November 1992 on the coordination of laws, regulations and administrative provisions relating to direct life assur- anceandamendingDirectives79/267/EEC and90/619/EEC (thirdlifeassur- ance Directive). (1992). Official Journal of the European Communities, št. L 360. 13. Directive 2002/12/EC of the European Parliament and of the Council of 5 March2002amendingCouncilDirective79/267/EECasregardsthesolvency marginrequirementsforlifeassuranceundertakings. (2002). OfficialJournal of the European Communities, št. L 77/11. 14. Direktiva 2002/13/ES Evropskega parlamenta in Sveta z dne 5. marca 2002 o spremembiDirektive Sveta 73/239/EGS o zahtevani kapitalski ustreznosti zavarovalnic,kiopravljajoposleneživljenjskegazavarovanja. (2002). Uradni list Evropske unije, št. L 77/17. 15. Direktiva 2002/83/ES Evropskega parlamenta in Sveta z dne 5. novembra 238 2002 o življenjskem zavarovanju. (2002). Uradni list Evropske unije, št. L 345/1. 16. Direktiva 2009/138/ES Evropskega parlamenta in Sveta z dne 25. novem- bra 2009 o zaˇ cetku opravljanja in opravljanju dejavnosti zavarovanja in pozavarovanja(SolventnostII). (2009). UradnilistEvropskeunije,št.L335/1. 17. Direktiva Sveta 92/49/EGS z dne 18. junija 1992 o spremembah direktiv 73/239/EGS in 88/357/EGS in o uskladitvi zakonov in drugih predpisov o neposrednem zavarovanju razen življenjskega zavarovanja (tretja direktiva o premoženjskem zavarovanju). (1992). Uradni list Evropskih skupnosti, št. L 228/1. 18. Direktiva Sveta z dne 22. junija 1987 o spremembi Prve direktive 73/239/EGS o usklajevanju zakonov in drugih predpisov o zaˇ cetku op- ravljanja in opravljanju dejavnosti neposrednega zavarovanja razen živ- ljenjskega zavarovanja, zlasti glede kreditnega in kavcijskega zavarovanja (87/343/EGS). (1987). Uradni list Evropskihskupnosti, št. L 185. 19. DrugadirektivaSvetazdne22.junija1988ousklajevanjuzakonovindrugih predpisov o neposrednem zavarovanju razen življenjskega zavarovanja, ki opredeljuje doloˇ cbe za uˇ cinkovito uresniˇ cevanje svobode opravljanja storitev in o spremembah Direktive 73/239/EGS (88/357/EGS). (1988). Uradni list Evropskihskupnosti, št. L 172/1. 20. EIOPA. (2011). EIOPA Report on the fifth Quantitative Impact Study (QIS5) for Solvency II. Frankfurt: European Insurance and Occupational Pensions Authority.Najdeno2.12.2011nahttps://eiopa.europa.eu/fileadmin/ tx_dam/files/publications/reports/QIS5_Report_Final.pdf 21. Evropskakomisija. (1997). ReporttotheInsuranceCommitteeontheneedfor further harmonisation of the solvency margin. Bruselj: Evropska komisija. Najdeno 2. 12. 2011 nahttp://aei.pitt.edu/6977/01/003402_1.pdf 22. Evropska komisija. (2001a). Note to the Solvency Subcommittee – Banking rules: relevance for the insurance sector? Bruselj: Evrop- ska komisija. Najdeno 2. 12. 2011 na http://ec.europa.eu/internal _market/insurance/docs/markt-2056/markt-2056-01_en.pdf 23. Evropska komisija. (2001b). Note to the Solvency Subcommittee: Risk-based capital systems. Bruselj: Evropska komisija. Najdeno 2. 12. 2011 na http://ec.europa.eu/internal_market/insurance/docs/ markt-2085/markt-2085-01_en.pdf 24. Evropska komisija. (2002a). Discussion Note to the Members of the IC Solvency Subcommittee: Current and future solvency work in the IAIS and within the actuarial profession from a Solvency 239 II point of view. Bruselj: Evropska komisija. Najdeno 2. 12. 2011 na http://ec.europa.eu/internal_market/insurance/docs/mar kt-2520/markt-2520-02-iais-iaa_en.pdf 25. Evropska komisija. (2002b). Report of the working group on life assurance to the IC Solvency Subcommittee. Bruselj: Evropska komisija. Najdeno 2. 12. 2011 na http://ec.europa.eu/internal_market/insurance/docs/ markt-2528/markt-2528-life-report_en.pdf 26. Evropska komisija. (2002c). Report of the working group on non-life techni- cal provisions to the IC Solvency Subcommittee. Bruselj: Evropska komisija. Najdeno 2. 12. 2011 na http://ec.europa.eu/internal_market/ insurance/docs/markt-2529/markt-2529-non-life-report_en.pdf 27. Evropska komisija. (2002d). Report of the working group on non- life technical provisions to the IC Solvency Subcommittee – Annexes. Bruselj: Evropska komisija. Najdeno 2. 12. 2011 na http:// ec.europa.eu/internal_market/insurance/docs/markt-2529/ markt-2529-non-life-report-annexes_en.zip 28. Evropska komisija. (2010). QIS5 Technical Specifications. Bruselj: Evrop- ska komisija. Najdeno 2. 12. 2011 na https://eiopa.europa.eu/ fileadmin/tx_dam/files/consultations/QIS/QIS5/QIS5-technical _specifications_20100706.pdf 29. First Council Directive of 5 March 1979 on the coordination of laws, regula- tions and administrative provisions relating to the taking up and pursuit of the business of direct life assurance (79/267/EEC). (1979). Official Journal of the European Communities, št. L 63. 30. IEC/ISO 31010:2009, Risk management – Risk assessment techniques (Inter- national standard). (2009). Geneva: International Electrotechnical Commis- sion. 31. InternationalActuarialAssociation. (2002). ReportofSolvencyWorkingParty Prepared for IAA Insurance Regulation Committee. International Actuarial Association. Najdeno 2. 12. 2011 na http://www.actuaries.org/CTTEES _INSREG/Documents/Solvency_Report_EN.pdf 32. International Actuarial Association. (2004). A Global Framework for In- surer Solvency Assessment (Research Report of the Insurer Solvency As- sessment Working Party). International Actuarial Association. Najdeno 2. 12. 2011 na http://www.actuaries.org/LIBRARY/Papers/Global _Framework_Insurer_Solvency_Assessment-public.pdf 33. International Association of Insurance Supervisors. (2000). On Solvency, Solvency Assessments and Actuarial Issues. International Association of In- 240 surance Supervisors. Najdeno 2. 12. 2011 na http://www.iaisweb.org/ __temp/Solvency_assessments_and_actuarial_issues.pdf 34. International Association of Insurance Supervisors. (2002). Principles on Capital Adequacy and Solvency. International Association of Insurance Supervisors. Najdeno 2. 12. 2011 na http://www.iaisweb.org/__temp/ Principles_on_capital_adequacy_and_solvency.pdf 35. ISO 31000:2009, Risk management – Principles and guidelines (International standard). (2009). Geneva: International Organization for Standardization. 36. KPMG. (2002a). Study into the methodologies to assess the overall financial position of an insurance undertaking from the perspective of prudential su- pervision. KPMG. Najdeno2.12.2011nahttp://ec.europa.eu/internal _market/insurance/docs/solvency/solvency2-study-kpmg_en.pdf 37. KPMG. (2002b). Study into the methodologies to assess the over- all financial position of an insurance undertaking from the perspec- tive of prudential supervision – appendices. KPMG. Najdeno 2. 12. 2011 na http://ec.europa.eu/internal_market/insurance/docs/ solvency/solvency2-study-kpmg-annexes_en.pdf 38. Manghetti, G. (2000). Technical Provisions in Non-life Insurance (Report). Frankfurt: Committee of European Insurance and Occu- pational Pensions Supervisors. Najdeno 2. 12. 2011 na https:// eiopa.europa.eu/fileadmin/tx_dam/files/publications/reports/ report_dt_i_223_00_rev2.pdf 39. Müller, H. (1997). Solvency of Insurance Undertakings (Report). Frankfurt: Committee of European Insurance and Occupational Pensions Supervisors. Najdeno 2. 12. 2011 na https://eiopa.europa.eu/fileadmin/tx_dam/ files/publications/reports/report_dt_9704.pdf 40. Obligacijski zakonik. Uradni list RS, št. 97/2007-UPB1. 41. Protiviti. (2006). Guide to Enterprise Risk Management: Frequently Asked Questions. Protiviti. Najdeno2.12.2011nahttp://www.knowledgeleader .com/KnowledgeLeader/content.nsf/dce93ca8c1f384d6862571420036 f06c/87e5c452010aadc9882571c00081a23c/$FILE/ERM%20FAQ%20Guide .pdf 42. Prva direktiva Sveta z dne 24. junija 1973 o usklajevanju zakonov in drugih predpisov o zaˇ cetku opravljanja in opravljanju dejavnosti neposrednega zavarovanja razen življenjskega zavarovanja (73/239/EGS). (1973). Uradni list Evropskihskupnosti, št. L 228/3. 43. R Development Core Team. (2011). R: A Language and Environment for Sta- tistical Computing. Vienna, Austria: R Foundation for Statistical Computing, 241 http://www.R-project.org/(ISBN 3-900051-07-0). 44. Sharma, P. (2002). Prudential Supervision of Insurance Under- takings (Report). Frankfurt: Committee of European Insurance and Occupational Pensions Supervisors. Najdeno 2. 12. 2011 na https://eiopa.europa.eu/fileadmin/tx_dam/files/publications/ reports/report_dt_uk_232_02_rev6.pdf 45. Society of Actuaries. (2004). Specialty Guide on Economic Capital, Version 1.5. Society of Actuaries. Najdeno 2. 12. 2011 na http://rmtf.soa.org/ specialty-guide-ecv1.5.pdf 46. Zakon o spremembah in dopolnitvah Zakona o zavarovalništvu. Uradni list RS, št. 79/2006–ZZavar-C. 47. Zakon o temeljih sistema premoženjskega in osebnega zavarovanja. Uradni list SFRJ, št. 24/1976. 48. Zakon o temeljih sistema premoženjskega in osebnega zavarovanja. Uradni list SFRJ, št. 17/1990, 82/1990. 49. Zakon o zavarovalnicah. Uradni list RS, št. 64/1994 in 35/1995. 50. Zakon o zavarovalništvu. Uradni list RS, št. 13/2000. 51. Zakon o zavarovalništvu. Uradni list RS, št. 99/2010-UPB7. 242 Priloge Priloga1: Seznam uporabljenihkratic BSCR Osnovni zahtevani solventnostni kapital (angl. Basic Solvency Capital Requirement) CEA Evropski zavarovalni komite (fr. Comité Européen des Assurances) CEIOPS Odborevropskihnadzornikovzazavarovalništvo inpoklicne pokojnine (angl. Committee of European Insurance and Occupational Pensions Su- pervisors) COSO Odbor podpornih organizacij komisije za ceste (angl. Committee of Sponsoring Organizations of the Treadway Commission) CTE Pogojna konˇ cna tvegana vrednost (angl. Conditional Tail Expectation) CVaR Pogojna tvegana vrednost (angl. Conditional Value at Risk) DFT Diskretna Fourierova transformacija (angl. Discrete Fourier Transform) EGS Evropska gospodarska skupnost EIOPA Evropski organ za zavarovanja in poklicne pokojnine (angl. European Insurance and Occupational Pensions Authority) EIOPC Evropski odbor za zavarovalništvo in poklicne pokojnine (angl. Euro- pean Insurance and Occupational Pensions Committee) EML Maksimalna priˇ cakovana škoda (angl. Expected Maximum Loss) ali oce- njena maksimalna škoda (angl. Estimated Maximum Loss) ERM Upravljanje tveganj v podjetjih (angl. Enterprise Risk Management) ESF Priˇ cakovani primanjkljaj (angl. Expected Shortfall) EU Evropska unija FFT Hitra Fourierova transformacija (angl. Fast Fourier Transform) IAA Mednarodno aktuarsko združenje (angl. International Actuarial Associ- ation) IAIS Mednarodno združenje zavarovalnih nadzornikov (angl. International Association of Insurance Supervisors) IASB Odbor za mednarodne raˇ cunovodske standarde (angl. International Ac- counting Standards Board) KPMG Mreža revizijskih in svetovalnih družb, poimenovana z zaˇ cetnicami us- tanoviteljev družb (Klynveld, Peat, Marwick, Goerdeler), iz katerih je nastala z veˇ c združitvami MCR Minimalni kapital (angl. Minimal Capital Requirement) MSRP Mednarodni standardi raˇ cunovodskega poroˇ canja OECD Organizacija za gospodarsko sodelovanje in razvoj (angl. Organisation 1 for Economic Co-operation and Development) PML Maksimalna verjetna škoda (angl. Probable Maximum Loss) ali maksi- malna mogoˇ ca škoda (angl. Possible Maximum Loss) RAC Tveganju prilagojeni kapital (angl. Risk Adjusted Capital) RAROC Donosnost na tveganju prilagojeni kapital (angl. Risk Adjusted Return On Capital) RBC Na tveganju temeljeˇ ci kapital (angl. Risk Based Capital) ROC Donosnost na kapital (angl. Return On Capital) RORAC Donosnost na tveganju prilagojeni kapital (angl. Return On Risk Ad- justed Capital) SCR Solventnostni kapital (angl. Solvency Capital Requirement) TailVaR Konˇ cna tvegana vrednost (angl. Tail Value at Risk) – sinonim za TVaR TVaR Konˇ cnatvegana vrednost (angl. TailValue atRisk)– sinonimza TailVaR VaR Tvegana vrednost (angl. Value at Risk) 2