i i “Kovic” — 2019/6/26 — 8:24 — page 33 — #4 i i i i i i Euler’s Pioneering equation zajeti vse njegove različne pojavne oblike v naravi, umetnosti in matematiki. Tako na primer v knjigi ni omenjena slavna Heronova formula za ploščino trikotnika, v kateri stranice a, b, c, nastopajo »simetrično«. Podobno vrsto simetrije najdemo tudi pri formuli x1,2 = −b± √ b2−4ac 2a za rešitev kvadratne enačbe ax2 + bx+ c = 0; to formulo lahko izrazimo kot simetrično funkcijo vsote x1+x2 in produkta x1x2 rešitev x1 in x2, in sicer takole: 1 2 [(x1 + x2)±√ (x1 + x2)2 − 4x1x2 ] . Francoz Alexandre-Théophile Vandermonde (1733– 96) in Anglež Edward Waring (1736–98) sta se prva domislila vprašanja, ali je tudi enačbe pete stopnje in na splošno vseh stopenj mogoče izraziti s podobnimi simetričnimi izrazi, o tej ideji pa je razmǐsljal tudi Joseph-Louis Lagrange (1736–1813), ki ga je Napoleon Bonaparte imenoval »vzvǐsena piramida matematičnih znanosti« (str. 83). Potreben pa je bil genij Ga- loisovega kova, ki je od tega preprostega uvida zmogel storiti velikanski korak naprej v neznano. Čeprav je knjiga slogovno nekoliko heterogena – vsa poglavja niso napisa- na v enotnem stilu – se jo vsekakor splača prebrati, saj lepo predstavi za- četke razvoja teorije grup. Ta prikaz je lahko vsakemu dijaku ali študentu matematike dobra začetna motivacija, da se resneje posveti temu pomem- bnemu področju matematike. Dostopna bo tudi humanistično usmerjenemu bralcu, ki bolj matematično zahtevnega dela ne bi mogel razumeti. Učitelj matematike pa bo ob njenem prebiranju dobil bolǰso predstavo o tem, kje utegnejo dijaki ali študenti imeti težave z določenimi matematičnimi kon- cepti – te so po navadi podobne, kot so jih imeli matematiki v zgodovini, ko so te koncepte šele uvajali. Jurij Kovič Robin Wilson, Euler’s Pioneering Equation, Oxford University Press, Oxford, 2018, 162 str. »Eulerjeva pionirska enačba« eiπ + 1 = 0 je zaradi svoje lepote in uporabnosti na številnih področjih matematike u- pravičeno deležna velike pozornosti matematikov vseh profilov, tako zgodovi- narjev in popularizatorjev matematike kot tudi učiteljev in raziskovalcev. Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 1 33 i i “Kovic” — 2019/6/26 — 8:24 — page 34 — #5 i i i i i i Nove knjige Ker je o njej težko povedati kaj novega, mora vsakdo, ki želi danes pritegniti bralce s pisanjem o njej, toliko več po- zornosti posvetiti izvirni kompoziciji knjige in zanimivemu slogu pisanja ter pregledni sintezi znanih dejstev. To je avtorju odlično uspelo. Odločil se je za bolj poljudno predstavitev Eulerjeve enačbe, v kateri je vsakemu od njenih »elementov« 1, 0, π, e in i namenjeno posebno poglavje. Ker so bili ti »ele- menti« deležni posebne pozornosti v ra- zličnih obdobjih, je knjiga, ki jih bralcu predstavi v širšem matematičnem in kul- turno-zgodovinskem kontekstu, privlač- na tudi kot kratek pregled izbranih tem iz zgodovine matematike. Zadnje, matematično najzanimiveǰse poglavje v knjigi je posvečeno sami Eulerjevi enačbi. Začne se z Eulerjevo identiteto eix = cosx+ i sinx iz leta 1748, ki povezuje eksponentno funkcijo in trigonometrijske funkcije. Ta identiteta je v knjigi izpeljana iz De Moivrovega izreka o potenciranju kompleksnih števil, ki pove, da je za vsak n ∈ N (cosϕ+ i sinϕ)n = cosnϕ+ i sinnϕ. Iz Eulerjeve enačbe hitro sledi, da je vsota korenov enote, tj. rešitev enačbe zn = 1, enaka nič za vsako naravno število n ≥ 2. Poglavje se konča z razlago, kaj sploh pomeni, da imajo ln i, ii in i √ i »neskončno mnogo vrednosti«. Avtor pojasni tudi, zakaj je za Eulerja primerno ime pionir (angl. »pioneer«) – ker se v črkah te besede skrivajo vse konstante iz Eulerjeve enačbe! Jurij Kovič 34 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 1