ISSN 0351-6652M A TE M A TI K A +F IZ IK A +A ST R O N O M IJ A +R A ČU N A LN IŠ TV O #1 ������ ������ � � ( 2 0 1 0/ 2 0 1 1 ) � � � � �� � � � • mavrica • galilei in pospešek • digitalni podpis • nagradna križanka Ustvarjanje povezav Presek list za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje letnik 38, šolsko leto 2010/2011, številka 1 Uredniški odbor: Vladimir Batagelj, Tanja Bečan (jezikovni pregled), Vladimir Bensa, Mojca Čepič, Mirko Dobovišek, Vilko Domajnko, Darjo Felda (tekmovanja), Bojan Golli, Andrej Guštin (astronomija), Marjan Jerman (matematika), Martin Juvan, Maja Klavžar, Damjan Kobal, Andrej Likar (fizika), Matija Lokar, Aleš Mohorič (odgovorni urednik), Marko Petkovšek (glavni urednik), Marko Razpet, Andrej Taranenko (računalništvo), Marija Vencelj, Matjaž Vencelj. Dopisi in naročnine: DMFA–založništvo, Presek, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana, telefon (01) 4766 553, 4232 460, telefaks (01) 4232 460, 2517 281. Internet: www.presek.si Elektronska pošta: presek@dmfa.si Naročnina za šolsko leto 2010/2011 je za posamezne naročnike 16,69 eur – posamezno naročilo velja do preklica, za skupinska naročila učencev šol 14,61 eur, posamezna številka 3,76 eur, dvojna številka 6,89 eur, stara številka 2,71 eur, letna naročnina za tujino pa znaša 25 eur. Transakcijski račun: 03100–1000018787. Devizna nakazila: SKB banka d.d. Ljubljana, Ajdovščina 4, 1513 Ljubljana, swift (bic): SKBASI2X, iban: SI56 0310 0100 0018 787. List sofinancirata Javna agencija za raziskovalno dejavnost Republike Slovenije ter Ministrstvo za šolstvo in šport Založilo DMFA–založništvo Tehnična urednica Tadeja Šekoranja Oblikovanje in ilustracija Polona Šterk in Ines Kristan Tisk Tiskarna Pleško, Ljubljana Naklada 1700 izvodov © 2010 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije – 1787 Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez poprej šnjega dovoljenja založnika ni dovoljeno. Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana • Skupnost ljudi, nevroni v možganih in spletne strani, skupaj z njihovimi povezavami, so primeri omrežij. Ma- tematiki proučujejo lastnosti omrežij, na primer števi- lo in porazdelitev povezav, da bi odkrili, kaj lahko te la- stnosti razkrijejo o notranji naravi omrežja. Na primer, barve na spodnji sliki nakazujejo, kako razdiralna je lah- ko odstranitev vozlišča za omrežje v primeru žive celice. Odkritje in potrditev omrežnih lastnosti, kot je omenje- na, je pomembno za uporabo pri zelo majhnih in ogro- mnih omrežjih, kot tudi pri zaščiti računalnikov in ljudi pred virusi. Zarodek študija omrežij je fraza „šest sto- penj ločenosti“, ki izvira iz študije povezanosti igralcev preko skupnega nastopanja v filmih. V poskusu, ki so ga izvedli v 1960-ih, je bilo 100 slučajno izbranih ljudi iz Srednjega zahoda v ZDA (the Midwest) povezanih z bor- znim posrednikom iz Massachusettsa (preko prijatelja od prijatelja od prijatelja ...) v povprečju v šestih kora- kih. Da so bili ljudje na pol poti preko države tako tesno povezani, je bilo presenetljivo odkritje, ki je pokazalo, da lahko celo veliko omrežje predstavlja „majhen svet“ („small world“). Danes raziskovalci za analizo omrežij uporabljajo parametre iz teorije grafov in teorije verje- tnosti, da bi ugotovili, ali je zamotano omrežje, najsi bo to omrežje političnega vpliva ali pa igralci povezani s Ke- vinom Baconom, res majhen svet. Presek objavlja poljudne in strokovne članke iz matemati- ke, fizike, astronomije in računalništva. Poleg člankov objavlja prikaze novih knjig s teh področij in poročila z osnovnošolskih in srednješolskih tekmovanj v matematiki in fiziki. Prispevki naj bodo zanimivi in razumljivi širšemu krogu bralcev, učen- cem višjih razredov osnovnih šol in srednješolcem. Članek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev) in se- dež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo). Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih lahko veči- noma razumemo ločeno od besedila. Slike v elektronski obliki morajo biti visoke kakovosti (jpeg, tiff, eps, ...), velikosti vsaj 8 cm pri ločljivosti 300 dpi. V primeru slabše kakovosti se slika primerno pomanjša ali ne objavi. Avtorji člankov, ki želijo ob- javiti slike iz drugih virov, si morajo za to sami priskrbeti do- voljenje (copyright). Zaželena velikost črk je vsaj 12 pt, razmak med vrsticami pa vsaj 18 pt. Prispevke pošljite odgovornemu uredniku na naslov uredni- štva DMFA–založništvo, Uredništvo revije Presek, p. p. 2964, 1001 Ljubljana ali na naslov elektronske pošte presek@dmfa.si. Vsak članek se praviloma pošlje vsaj enemu anonimnemu re- cenzentu, ki oceni primernost članka za objavo. Če je prispevek sprejet v objavo in če je besedilo napisano z računalnikom, po- tem uredništvo prosi avtorja za izvorno datoteko. Le-te naj bodo praviloma napisane v eni od standardnih različic urejevalnikov TeX oziroma LaTeX, kar bo olajšalo uredniški postopek. Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo ob- javo v elektronski obliki na internetu. k o l o f o n n a v o d i l a s o d e l a v c e m P r e s e k a z a o d d a j o p r i s p e v k o v Pojasnilo: Gornji prispevek je prevod iz rubrike „The Mathe- matical Moments“, ki jo objavlja Ameriško matematično društvo AMS na spletni strani www.ams.org/mathmoments. • m a t e m a t ič n i t r e n u t k i m a t e m a t i č n i t r e n u t k i 2 Presek 38 (2010/2011) 1 razvedrilo Nagradna križanka (Marko Bokalič) Rešitev nagradne križanke Presek 37/6 (Marko Bokalič) Sudoku računalništvo Zaupati ali ne zaupati – Digitalni podpis v kriptografiji, 4. del (Aleksandar Jurišić in Jasmina Veselinović)matematika Mavrica (Marija Vencelj) fizika Galilei in pospešek (Janez Strnad) Kaj se hitreje kotali? – Poizkuševalnica v kuhinji – odgovor naloge (Mojca Čepič) Opazuj svoje drevo, kako spreminja barve – Poizkuševalnica v naravi (Mojca Čepič) Razmisli in poskusi (Mitja Rosina) matematični trenutki Ustvarjanje povezav astronomija Tekmovanje iz znanja astronomije – drugič (Andrej Guštin) tekmovanja 46. tekmovanje iz matematike za Vegovo priznanje – področno tekmovanje 46. tekmovanje iz matematike za Vegovo priznanje – državno tekmovanje 2 4–12 12–15,18 18–20 21 21–22 23–24 25–29 16–17 30 20, 29 priloga priloga k a z a l o Kazalo Slika na naslovnici: Če se boste med poletnimi počitnicami kdaj dolgočasili, vas vabimo, da preverite izsledke kakšnega od člankov iz te številke. Fotografija na naslovnici se tokrat navezu- je na članek iz fizike. 3Presek 38 (2010/2011) 1 Obvestilo: Bralce vabimo, da nam na naslov presek@dmfa.si po- šljejo slike svojih, doma narejenih mavric. Najboljšo sliko bomo objavili v naslednji številki, pripravili pa smo tudi lepe nagrade. Navodila za „izdelavo“ mavrice so na koncu članka o mavrici. 4 m a t e m a t i k a Vsi jo poznamo. Prelep naravni pojav, katerega tisočletne sledi najdemo v religijah, likovni ume- tnosti, poeziji, razni simboliki. Pradaven je tudi trud naravoslovcev, da bi jo primerno opisali in ra- zložili. Poenostavljeno jo na kratko lahko opišemo takole: Mavrica je svetlobni pojav v ozračju, ki ga opa- zovalec dojema kot del svetlobnega kolobarja, v katerem si sledijo barve v značilnem spektralnem zaporedju. Nastane kot posledica loma in odboja sončne svetlobe na kapljicah vode v Zemljini at- mosferi. Mavrica Mavrico lahko opazujemo, kadar je pred nami dežna zavesa ali oblak in prihaja sončna svetloba izza na- šega hrbta pod nizkim kotom nad obzorjem. Najbolj spektakularna je, kadar je nebo pred nami temno, zakrito z dežnimi oblaki, za nami pa je v smeri sonca jasno nebo. Rezultat je bleščeča glavna mavrica na kontrastnem temnem ozadju. Ima obliko večjega ali manjšega dela večbarvnega kolobarja, ki je na zuna- nji strani rdeč in na notranji vijolǐcen (slika na na- slovnici). Slika na naslovnici Drugi mavrični pojavi so šibkejši in jih ne opazimo vedno. Nad glavno mavrico vidimo včasih še stran- sko mavrico, v kateri se vrste barve v obratnem vr- stnem redu kot v glavni mavrici – od rdeče na notra- njem do vijolične na zunanjem robu. Če je v ozadju modro nebo, jo vidimo slabo ali sploh ne. Zlahka opazimo, da je področje med obema ma- vričnima lokoma nekoliko temnejše kot okoliško ne- bo. Ta pojav je opazen celo, če stranska mavrica ni vidna. Glavna mavrica ima tedaj temnejšo in sve- tlejšo stran (slika 1). Temno področje nad lokom glavne mavrice se imenuje Aleksandrov temni pas po grškem filozofu Aleksandru iz Afrodisia, ki je po- jav opisal pred več kot dva tisoč leti. Slika 1 Redkeje kot stransko mavrico opazimo dodatno za- poredje nejasnih lokov, ki leže na notranji strani glavne mavrice in so izmenično rožnati in zeleni. Še redkeje se taki loki pojavijo na zunanji strani stran- ske mavrice. Oboji so vidnejši v bližini mavričnega vrha. Pozornost, ki so jo zbudili, je imela velik vpliv na razvoj teorije mavrice. Na sliki na naslovnici jih vidimo na notranji strani glavne mavrice. 2 i j . l i j , i l l i j li ij , li i - i, iji, i i li i. j i l , i j i i li i - l ili. lj j l i l : i j l i j j , i - l j l l l j , i l ij il l j . l i l i j l lji lji i - i. i i l j , j i li l i i j l i - i i j . j lj l j , j i , i i i l i, i j i j . l j l l i j . I li j li j l l j , i j - ji i i ji ij li ( li - l i i). li l i i i i i j i i j i i ji i . l i i i i - i , i - l i i i - j ij li j . j j , j i i l li l . l i , j j - i i l li j li - . j j l , i i i . l i i j j i - l j ( li ). j l l i i j l i l l i i i , i j - j i l i l i. li j i i - j j i l , i l ji i l i i i i i i l i. j i l i j ij ji i - i . ji i j i li i i i . , i j ili, j i l li li j ij i . li i l i i ji i i ji i l i . r r t r t t r t t r r t tr r r r r t r t t r t r t t r t r r tr r t t t t f r r r r r t r t t r t r r r t r t r t t r tr t t r r tr r tr r r r tr r t r r t r r t r t r t r r tr r r r r t t tr r r t t t tr r r r t r f r fr r t t t t tr r t r tr tr r r t r t tr tr r r r r t r t r r tr tr r Vsi jo poznamo. Prelep naravni pojav, katerega tisočletne sledi najdemo v religijah, likovni ume- tnosti, poeziji, razni simboliki. Pradaven je tudi trud naravoslovcev, da bi jo primerno opisali in ra- zložili. Poenostavljeno jo na kratko lahko opišemo takole: Mavrica je svetlobni pojav v ozračju, ki ga opa- zovalec dojema kot del svetlobnega kolobarja, v katerem si sledijo barve v značilnem spektralnem zaporedju. Nastane kot posledica loma in odboja sončne svetlobe na kapljicah vode v Zemljini at- mosferi. Mavrica Mavrico lahko opazujemo, kadar je pred nami dežna zavesa ali oblak in prihaja sončna svetloba izza na- šega hrbta pod nizkim kotom nad obzorjem. Najbolj spektakularna je, kadar je nebo pred nami temno, zakrito z dežnimi oblaki, za nami pa je v smeri sonca jasno nebo. Rezultat je bleščeča glavna mavrica na kontrastnem temnem ozadju. Ima obliko večjega ali manjšega dela večbarvnega kolobarja, ki je na zuna- nji strani rdeč in na notranji vijolǐcen (slika na na- slovnici). Slika na naslovnici Drugi mavrični pojavi so šibkejši in jih ne opazimo vedno. Nad glavno mavrico vidimo včasih še stran- sko mavrico, v kateri se vrste barve v obratnem vr- stnem redu kot v glavni mavrici – od rdeče na notra- njem do vijolične na zunanjem robu. Če je v ozadju modro nebo, jo vidimo slabo ali sploh ne. Zlahka opazimo, da je področje med obema ma- vričnima lokoma nekoliko temnejše kot okoliško ne- bo. Ta pojav je opazen celo, če stranska mavrica ni vidna. Glavna mavrica ima tedaj temnejšo in sve- tlejšo stran (slika 1). Temno področje nad lokom glavne mavrice se imenuje Aleksandrov temni pas po grškem filozofu Aleksandru iz Afrodisia, ki je po- jav opisal pred več kot dva tisoč leti. Slika 1 Redkeje kot stransko mavrico opazimo dodatno za- poredje nejasnih lokov, ki leže na notranji strani glavne mavrice in so izmenično rožnati in zeleni. Še redkeje se taki loki pojavijo na zunanji strani stran- ske mavrice. Oboji so vidnejši v bližini mavričnega vrha. Pozornost, ki so jo zbudili, je imela velik vpliv na razvoj teorije mavrice. Na sliki na naslovnici jih vidimo na notranji strani glavne mavrice. 2 . , , , , . , . : , , . . , . , , , . . , . . , . , . , . , . . , . , . . . , , . . Vsi jo poznamo. Prelep naravni pojav, katerega tisočletne sledi najdemo v religijah, likovni ume- tnosti, poeziji, razni simboliki. Pradaven je tudi trud naravoslovcev, da bi jo primerno opisali in ra- zložili. Poenostavljeno jo na kratko lahko opišemo takole: Mavrica je svetlobni pojav v ozračju, ki ga opa- zovalec dojema kot del svetlobnega kolobarja, v katerem si sledijo barve v značilnem spektralnem zaporedju. Nastane kot posledica loma in odboja sončne svetlobe na kapljicah vode v Zemljini at- mosferi. Mav ica Mavrico lahko opazujemo, kadar je pred nami dežna zavesa ali oblak in prihaja sončna svetloba izza na- šega hrbta pod nizkim kotom nad obzorjem. Najbolj spektakularna je, kadar je nebo pred nami temno, zakrito z dežnimi oblaki, za nami pa je v smeri sonca jasno nebo. Rezultat je bleščeča glavna mavrica kontr stnem tem em ozadju. Im oblik večjega ali manjšega dela večbarvnega kolobarja, ki je na zuna- nji s rani rdeč in n notranji vijolǐcen (slika na a- slovnici). Slika na nas ovnici Drugi mavrični pojavi so šibkejši in jih ne opazimo vedno. Nad glavno mavrico vidimo včasih še stran- sko mavrico, kateri se vrste barve v obratnem vr- stnem redu kot v glavni mavrici – od rdeče na notra- njem do vijolične na zunanjem robu. Če je v ozadju modro nebo, jo vidimo slabo ali sploh ne. Zlahka opazimo, da je področje med obema ma vričnima lokoma nekoliko temnejše kot okoliško ne bo. Ta pojav je opazen celo, če stranska mavrica ni vidna. Glavna mavrica ima tedaj temnejšo in sve- tlejšo stran (slika 1). Temno področje nad lokom glavne mavrice se imenuje Aleksandrov temni p s po grškem filozofu Aleksandru iz Afr disia, ki je po jav opisal pred več kot dva tisoč leti. S ika 1 Redkeje kot stransko mavrico opazimo dodatno za- poredje nejasnih lokov, ki leže na notranji strani g avne mavrice in so izmenično rožnati in zeleni. Še redkeje se taki loki pojavijo na zunanji strani stran- ske mavrice. Oboji so vidnejši v bližini mavričnega vrha. Poz rnost, ki so jo zbudili, je i ela velik vpliv na razvoj teorije mavrice. Na sliki na naslovnici jih vidimo n notra ji strani glavne mavrice. 2 Vsi jo poznamo. Prelep naravni pojav, katerega tisočletne sledi najdemo v religijah, likovni ume- tnosti, poeziji, razni simboliki. Pradaven je tudi trud naravoslovcev, da bi jo primerno opisali in ra- zložili. Poenostavljeno jo na kratko lahko opišemo takole: Mavrica je svetlobni pojav v ozračju, ki ga opa- zovalec d jema kot del svetlob ega kolobarja, v kater m si sledijo barve v značilnem spektralnem zaporedju. Nast ne kot p sledica loma i odboja sonč e s etlobe na k pljicah vode v Zemljini at- m sferi. Mavrica Mavrico lahko opazujemo, kadar je pred nami dežna zavesa ali oblak in prihaja sončna svetloba izza na- šega hrbta pod nizkim kotom nad obzorjem. Najbolj spektakularna je, kadar je nebo pred n mi temno, zakrito z dežnimi oblaki, za nami pa je v smeri sonca jasno nebo. Rezultat je bleščeča glavna mavrica kontr stnem tem em ozadju. Im oblik večjega ali manjšega dela večbarvnega kolobarja, ki je na zuna- nji s rani rdeč in n notranji vijolǐc n (slika na a- slovnici). Slika na naslov i i Drugi mavrični poj vi so šibkejši in jih ne opazimo vedno. Nad glavno avrico vidimo včasih še stran- sko mavrico, kate i s vrste barve v obratnem vr stnem redu kot v gl v i mavrici – od rdeče na otr njem do vijolične na zunanjem robu. Če je v ozadju modro nebo, jo vidimo slabo ali sploh ne. Zlahka opazimo, da je področje med obema ma vričnima lokoma nekoliko temnejše kot okoliško ne bo. Ta pojav je opaze celo, če stranska mavrica ni vidna. Glavna mavrica ima tedaj temnejšo in sve- tlejšo stran (slika 1). Temno področje nad lokom glavne m vrice se i enuje Aleksandrov temni pas po grškem filozofu Aleksandru iz Afr disia, ki je po jav opisal pred več kot dva tisoč leti. S ika 1 Redkeje kot stransko mavrico opazimo dodat o za poredje neja nih lokov, ki leže na notranji strani in so izmenično rožnati in zeleni. Še redkeje se taki loki pojavijo na unanji strani stran ske mavrice. Oboji so vidnejši v bližini mavričnega vrha. Pozornost, ki so jo zbudili, je i ela velik vpliv na razvoj teorije mavrice. Na sliki na naslovnici jih vidimo n notra ji strani glavne mavrice. 2 presek 38 (2010/2011) 1 • marija vencelj Mavrica i 5 m a t e m a t i k a Vsi jo poznamo. Prelep naravni pojav, katerega tisočletne sledi najdemo v religijah, likovni ume- tnosti, poeziji, razni simboliki. Pradaven je tudi trud naravoslovcev, da bi jo primerno opisali in ra- zložili. Poenostavljeno jo na kratko lahko opišemo takole: Mavrica je svetlobni pojav v ozračju, ki ga opa- zovalec dojema kot del svetlobnega kolobarja, v katerem si sledijo barve v značilnem spektralnem zaporedju. Nastane kot posledica loma in odboja sončne svetlobe na kapljicah vode v Zemljini at- mosferi. Mavrica Mavrico lahko opazujemo, kadar je pred nami dežna zavesa ali oblak in prihaja sončna svetloba izza na- šega hrbta pod nizkim kotom nad obzorjem. Najbolj spektakularna je, kadar je nebo pred nami temno, zakrito z dežnimi oblaki, za nami pa je v smeri sonca jasno nebo. Rezultat je bleščeča glavna mavrica na kontrastnem temnem ozadju. Ima obliko večjega ali manjšega dela večbarvnega kolobarja, ki je na zuna- nji strani rdeč in na notranji vijolǐcen (slika na na- slovnici). Slika na naslovnici Drugi mavrični pojavi so šibkejši in jih ne opazimo vedno. Nad glavno mavrico vidimo včasih še stran- sko mavrico, v kateri se vrste barve v obratnem vr- stnem redu kot v glavni mavrici – od rdeče na notra- njem do vijolične na zunanjem robu. Če je v ozadju modro nebo, jo vidimo slabo ali sploh ne. Zlahka opazimo, da je področje med obema ma- vričnima lokoma nekoliko temnejše kot okoliško ne- bo. Ta pojav je opazen celo, če stranska mavrica ni vidna. Glavna mavrica ima tedaj temnejšo in sve- tlejšo stran (slika 1). Temno področje nad lokom glavne mavrice se imenuje Aleksandrov temni pas po grškem filozofu Aleksandru iz Afrodisia, ki je po- jav opisal pred več kot dva tisoč leti. Slika 1 Redkeje kot stransko mavrico opazimo dodatno za- poredje nejasnih lokov, ki leže na notranji strani glavne mavrice in so izmenično rožnati in zeleni. Še redkeje se taki loki pojavijo na zunanji strani stran- ske mavrice. Oboji so vidnejši v bližini mavričnega vrha. Pozornost, ki so jo zbudili, je imela velik vpliv na razvoj teorije mavrice. Na sliki na naslovnici jih vidimo na notranji strani glavne mavrice. 2 Z letala imamo včasih priložnost videti popoln ma- vrični kolobar s senco letala v središču (slika 2). Tega pojava ne smemo zamenjati s precej manjšo glorijo, ki ni dosti večja od opazovalčeve sence, ki jo obdaja (slika 3). Slika 2 Slika 3 Včasih lahko pri močni mesečini vidimo lunino ali nočno mavrico. Ker človeško oko pri šibki svetlobi slabo loči barve, jo dojemamo kot bel lok. Kaj je mavrica? Naše fizikalno in matematično znanje je preskromno, da bi lahko povzeli vso znano teorijo mavrice. Zato se bomo omejili na njeno osnovno analizo, ki temelji na odboju in lomu sončnega žarka na dežni kapljici. Mavrica ni svetlobni efekt na določenem mestu na nebu. Njena navidezna lega je odvisna od opazo- valčevega položaja in smeri sončnih žarkov. Če med dežjem ali kmalu po njem posije sonce na steno iz dežnih kapljic, se svetloba na njih lomi in odbija. Vendar doseže opazovaľceve oči samo svetloba iz ne- katerih žarkov, ki zadenejo kapljico. In ta svetloba daje mavrico za tega opazovalca. Opazovalec vidi mavrico vedno na strani, naspro- tni od sonca. Mavrična loka sta dela dveh večbarvnih krožnih kolobarjev, ki imata skupno središče na po- daljšku zveznice med opazovalčevo glavo in njeno senco. To lepo prikazuje slika na naslovnici, na ka- teri ob sredini spodnjega roba vidimo senco foto- grafove glave. Poltrak od opazovalčeve glave skozi njeno senco ima smer sončnih žarkov. Vrh glavne mavrice se boči približno 40◦–42◦ nad tem poltra- kom, vrh stranske pa je okrog 50◦–53◦ nad njim. Če je sonce več kot 42◦ nad obzorjem, je torej glavna mavrica pod obzorjem in je navadno ne vidimo. Iz- jema je, če je opazovalec visoko nad tlemi, npr. v letalu ali na visoki gori. V podobno izjemnih razme- rah je bila posneta tudi slika 4. Slika 4 Razloge za tako natančno določeno lego mavrice gle- de na opazovalca in smer sončnih žarkov si bomo ogledali v nadaljevanju. Razložili bomo tudi njene barve. Pot in razklon sončnega žarka v dežni ka- pljici Za začetek poglejmo, kako se odbija in lomi svetloba, ki v zraku naleti na dežno kapljico. Predpostavili bomo, da ima kapljica obliko majhne krogle. Ža- 3 Z letala imamo včasih priložn st videti popoln ma- vrični kolobar s senco letala v središču (slika 2). Tega po ava ne smemo zamenjati s precej manjšo glorijo, ki ni dosti večja od opazovalčeve sence, ki jo obdaja (slika 3). Slika 2 Slika 3 časih lahko pri m čni mese ni vidimo lunino ali nočno m vrico. Ker človeško oko pri šibki svetlobi slabo loči barve, jo dojemamo kot bel lok. Kaj je mavric ? Naše fizikalno in matematično znanje je preskrom , da bi lahko vzeli vso znano teorijo mavrice. Zato se b mo omejili na njeno osnovno analizo, ki temelji na odboju in lomu sončnega žarka na dežni kapljici. Mavrica ni svetlobni efekt na določenem mestu a nebu. Njena navidezna lega je odvisna od opazo- valče ega položaja in smeri sončnih žarkov. med dežjem ali kmalu po njem posije sonce na ste o iz dežnih kapljic, se svetloba na njih lomi in odbija. Vendar doseže opazovaľceve oči samo sv tloba iz ne- katerih žarkov, zadenejo kapljico. In ta svetloba daje mavric za ega opazovalca. Opazovalec vidi mavrico vedno na strani, naspro- tni od sonca. Mavrična loka sta dela dveh večbarvnih krožnih kolobarjev, ki imata skupno središče na po- daljšku zveznice med opazovalčevo glavo in njeno senco. To lepo prikazuje slika na naslovnici, na ka- teri b sredini spodnjega roba vidim senco foto grafove glave. Poltrak od opazovalčeve glave skozi njeno senco ima smer sončnih žarkov. Vrh glav ma rice se boči približno 40◦–42◦ nad tem poltra- kom, vrh stranske pa je okrog 50◦–53◦ nad njim. Če je sonce več kot 42◦ nad obzorjem, je torej glavna mavrica pod obzorjem in je navadno ne vidimo. Iz- jema je, če je opazovalec visoko nad tlemi, npr. v letalu ali na visoki gori. V podo no zjemnih razme- rah je bila posneta tu i slika 4. Slika 4 Razloge za tako natančno določeno lego mavrice gle- de na opazovalca in smer sončnih žarkov si bomo ogledali v nadaljevanju. Razložili bomo tudi njene barve. Pot in razklon sončnega žarka v dežni ka- pljici Za začetek poglejmo, kako se odbija in lomi svetloba, ki v zraku naleti na dežno kapljico. Predpostavili bomo, da ima kapljica obliko majhne krogle. Ža- 3 Z letala imamo včasih priložnost videti popoln ma- vrični kolobar s senco letala v središču (slika 2). Tega pojava ne smemo zamenjati s precej manjšo glorijo, ki ni dosti večja od opazovalčeve sence, ki jo obdaja (slika 3). Slika 2 Slika 3 Včasih lahko pri močni mesečini vidimo lunino ali nočno mavrico. Ker človeško oko pri šibki svetlobi slabo loči barve, jo dojemamo kot bel lok. Kaj je mavrica? Naše fizikalno in matematično znanje je preskromno, da bi lahko povzeli vso znano teorijo mavrice. Zato se bomo omejili na njeno osnovno analizo, ki temelji na odboju in lomu sončnega žarka na dežni kapljici. Mavrica ni svetlobni efekt na določenem mestu na nebu. Njena navidezna lega je odvisna od opazo- valčevega položaja in smeri sončnih žarkov. Če med dežjem ali kmalu po njem posije sonce na steno iz dežnih kapljic, se svetloba na njih lomi in odbija. Vendar doseže opazovaľceve oči samo svetloba iz ne- katerih žarkov, ki zadenejo kapljico. In ta svetloba daje mavrico za tega opazovalca. Opazovalec vidi mavrico vedno na strani, naspro- tni od sonca. Mavrična loka sta dela dveh večbarvnih krožnih kolobarjev, ki imata skupno središče na po- daljšku zveznice med opazovalčevo glavo in njeno senco. To lepo prikazuje slika na naslovnici, na ka- teri ob sredini spodnjega roba vidimo senco foto- grafove glave. Poltrak od opazovalčeve glave skozi njeno senco ima smer sončnih žarkov. Vrh glavne mavrice se boči približno 40◦–42◦ nad tem poltra- kom, vrh stranske pa je okrog 50◦–53◦ nad njim. Če je sonce več kot 42◦ nad obzorjem, je torej glavna mavrica pod obzorjem in je navadno ne vidimo. Iz- jema je, če je opazovalec visoko nad tlemi, npr. v letalu ali na visoki gori. V podobno izjemnih razme- rah je bila posneta tudi slika 4. Slika 4 Razloge za tako natančno določeno lego mavrice gle- de na opazovalca in smer sončnih žarkov si bomo ogledali v nadaljevanju. Razložili bomo tudi njene barve. Pot in razklon sončnega žarka v dežni ka- pljici Za začetek poglejmo, kako se odbija in lomi svetloba, ki v zraku naleti na dežno kapljico. Predpostavili bomo, da ima kapljica obliko majhne krogle. Ža- 3 • Pre ek 38 (2010/2011) 1 slika 1. Izrazit Aleksandrov temni pas mavrice s Storž čem v ozadju (foto Agata Tiegl). slik 4. Ma rica globoko v dolini Pišnice, fotografirana s ceste, ki pe- lje z Vršič v Kranjsko Goro. Slika je bila posneta julijskega dne zgodaj popoldne, ko je visoko poletno sonce sijalo čez gorske robove za hrbti opazovalcev (foto Agata Tiegl). slika 2. Iz letala posneta mavrica nad Melbournom v Avstra- liji. Višje je opazovalec, več spodnjega dela ima „njego- va mavrica“ (vir Wikipedia, AlterVista). slika 3. Glorija, posnet z Mizaste g - re nad Cape Townom v Južni Afriki. Opazovalčev (foto- grafova) senca je obdana z majhnim mavričnim krogom (foto Matjaž Vencelj). 6 m a t e m a t i k a • rek, ki zadene njeno površino, se delno odbije, delno lomi. Lomljeni žarek potuje skozi kapljico do na- sprotne stene, kjer se spet delno odbije, del pa lo- mljen zapusti kapljico (slika 5). Slika 5 Prvi odbiti žarek imenujemo žarek prvega reda. Pre- ostala svetloba lomljena prodre v kapljico. Na na- sprotni steni je del izstopi kot žarek drugega reda, del se je odbije nazaj v kapljico. Ko ta del spet za- dene steno kapljice, prodre delno ven kot žarek tre- tjega reda, delno pa nadaljuje pot znotraj kapljice kot odbiti žarek. Tako se proces nadaljuje. Iz ka- pljice torej izvirajo žarki različnih redov. Za mavrico so pomembni žarki tretjega in četrtega reda. Žarki tretjega reda zapustijo kapljico po enem notranjem odboju in nam dajejo glavno mavrico. Žarki četr- tega reda opravijo dva notranja odboja in so izvor stranske mavrice. Naravna bela svetloba, ki prihaja od Sonca, je me- šanica vijolične, modre, zelene, rumene, oranžne in rdeče svetlobe. Vsaka od teh barv se nekoliko dru- gače lomi; pri enakem vpadnem kotu imajo rahlo različne lomne kote. Posledica tega je, da se žarek bele svetlobe razkloni na barvne komponente. Pri tem je od prvotne smeri najmanj odklonjena rdeča, najbolj vijolična sestavina. Pri dežni kapljici se žarki vseh redov, od drugega dalje lomijo dvakrat: enkrat ob vstopu v kapljico, drugič pri izstopu iz nje. Razen pri žarku, ki gre skozi središče kapljice, pride zaradi dvojnega loma do povečanega razklona svetlobe (slika 6). Opazova- lec, ki gleda v dežno zaveso ali oblak, vidi večbarvne vse tiste kapljice, skozi katere vodi opisana pot sve- tlobe natanko v njegovo oko. Žarki drugega reda niso zanimivi, ker gledamo pri njih skoraj natanko v sonce. Povedali smo že, da dajejo žarki tretjega in četrtega reda glavno in stransko mavrico. Pri več ka- kor treh notranjih odbojih pa je izguba svetlobe že prevelika, da bi kaj videli. Slika 6 Mavrǐcni kot Po odbojnem zakonu leži odbiti žarek v ravnini, ki jo določata vpadni žarek in pravokotnica na odbojno ploskev v vpadni točki. Podobno sledi iz lomnega zakona, da leže vpadni in lomljeni žarek ter pravo- kotnica na mejno ploskev v isti ravnini. Ker potekajo vse pravokotnice na krogelno povr- šino skozi središče krogle, leži prvi par lomljenega in odbitega žarka v ravnini, ki jo določata vpadni ža- rek in središče krogle. Drugi par takih žarkov leži v ravnini prvega lomljenega žarka in središča krogle. Ta ravnina seveda sovpada s prvo. Podobno sovpada z njo ravnina tretjega para ustreznih žarkov. To po- 4 rek, ki zaden jeno površino, se delno odbije, delno lomi. Lomljeni žare potuje skozi kapljico do n sprotne stene, kjer se spet delno o bije, del pa lo- mljen zapust k pljico (slik 5). Slika 5 Prvi odb ti žar k imenujemo žarek prv ga eda. Pre- ostala svetloba lomljena prodre v kapljic . Na na sprotni steni je del izstopi kot žarek drugega eda, del se je dbije nazaj v kapljico. Ko ta el spet za- d ne st n kapljice, prodre del o ven kot žarek tre- jega reda, delno pa nadaljuje pot zn traj kapljice kot dbiti žarek. Tako se proces nadaljuje. Iz ka- pljice torej izvirajo žarki azličnih r . Za mavrico so pomembni ž rki tretjega in četrtega reda. Žarki tretjega eda za stijo kapljico po enem notranjem odboju in nam dajejo glavno mavrico. Žarki četr- tega reda opr vijo dva notranja odboja in so izvor stranske ma rice. Naravna bela svetloba, ki prihaja d So ca, je m šanica vijolične, modre, zelene, rumene, oranžn in rdeče svetlobe. Vsaka od teh barv se nekoliko dru- gače lomi; pri enakem vpadnem kotu imajo rahlo različne lomne kote. Posledica tega je, da se žarek bele svetlobe razkl ni na barvne kompon nte. Pri tem je od prvotne smeri najmanj odklonjena rdeča, najbolj vijolična sestavina. Pri dežni kapljici se žarki vseh redov, od drugega dalje lomijo dvakrat: enkrat ob vstopu v kapljico, drugič pri izstopu iz nje. Razen pri žarku, ki gre skozi središče kapljice, pride zaradi dvojnega loma do povečanega razklona svetlobe (slika 6). Opazova- lec, ki gleda v dežno zaveso ali oblak, vidi večbarvne vse tiste kapljice, skozi katere vodi opisana pot sve- tlobe natanko v njegovo oko. Žarki drugega reda niso zanimivi, ker gledam pri njih skoraj natanko v sonce. Pov dali smo že, da daj jo ki tretjega in četrtega reda glavno in stran ko mavrico. Pri več ka- kor t eh notranjih odbojih pa je izguba svetlobe že prevelika, da bi kaj videli. Slika 6 Mavrǐcni kot Po odbojnem zakonu leži odbiti žarek v ravnini, ki jo določata vpadni žarek in pravokotnica na odbojno ploskev v vpadni točki. Podobno sledi iz lomnega zakona, da leže vpadni in lomljeni žarek ter pravo- kotnica na mejno ploskev v isti ravnini. Ker potekajo vse pravokotnice na krogelno povr- šino skozi središče krogle, leži prvi par lomljenega in odbitega žarka v ravnini, ki jo določata vpadni ža- rek in središče krogle. Drugi par takih žarkov leži v ravnini prvega lomljenega žarka in središča krogle. Ta ravnina seveda sovpada s prvo. Podobno sovpada z njo ravnina tretjega para ustreznih žarkov. To po- 4 rek, ki zadene njeno površino, se delno odbije, delno lomi. Lomljeni žarek potuje skozi kapljico do na- sprotne stene, kjer se spet delno odbije, del pa lo- mljen zapusti kapljico (slika 5). Slika 5 Prvi odbiti žarek imenujemo žarek prvega reda. Pre- ostala svetloba lomljena prodre v kapljico. Na na- sprotni steni je del izstopi kot žarek drugega reda, del se je odbije nazaj v kapljico. Ko ta del spet za- dene steno kapljice, prodre delno ven kot žarek tre- tjega reda, delno pa nadaljuje pot znotraj kapljice kot odbiti žarek. Tako se proces nadaljuje. Iz ka- pljice torej izvirajo žarki različnih redov. Za mavrico so pomembni žarki tretjega in četrtega reda. Žarki tretjega reda zapustijo kapljico po enem notranjem odboju in nam dajejo glavno mavrico. Žarki četr- tega reda opravijo dva notranja odboja in so izvor stranske mavrice. Naravna bela svetloba, ki prihaja od Sonca, je me- šanica vijolične, modre, zelene, rumene, oranžne in rdeče svetlobe. Vsaka od teh barv se nekoliko dru- gače lomi; pri enakem vpadnem kotu imajo rahlo različne lomne kote. Posledica tega je, da se žarek bele svetlobe razkloni na barvne komponente. Pri tem je od prvotne smeri najmanj odklonjena rdeča, najbolj vijolična sestavina. Pri dežni kapljici se žarki vseh redov, od drugega dalje lomijo dvakrat: enkrat ob vstopu v kapljico, drugič pri izstopu iz nje. Razen pri žarku, ki gre skozi središče kapljice, pride zaradi dvojnega loma do povečanega razklona svetlobe (slika 6). Opazova- lec, ki gleda v dežno zaveso ali oblak, vidi večbarvne vse tiste kapljice, skozi katere vodi opisana pot sve- tlobe natanko v njegovo oko. Žarki drugega reda niso zanimivi, ker gledamo pri njih skoraj natanko v sonce. Povedali smo že, da dajejo žarki tretjega in četrtega reda glavno in stransko mavrico. Pri več ka- kor treh notranjih odbojih pa je izguba svetlobe že prevelika, da bi kaj videli. Slika 6 Mavrǐcni kot Po odbojnem zakonu leži odbiti žarek v ravnini, ki jo določata vpadni žarek in pravokotnica na odbojno ploskev v vpadni točki. Podobno sledi iz lomnega zakona, da leže vpadni in lomljeni žarek ter pravo- kotnica na mejno ploskev v isti ravnini. Ker potekajo vse pravokotnice na krogelno povr- šino skozi središče krogle, leži prvi par lomljenega in odbitega žarka v ravnini, ki jo določata vpadni ža- rek in središče krogle. Drugi par takih žarkov leži v ravnini prvega lomljenega žarka in središča krogle. Ta ravnina seveda sovpada s prvo. Podobno sovpada z njo ravnina tretjega para ustreznih žarkov. To po- 4 rek, ki zaden njeno površino, se delno odbije, delno lomi. Lomljeni žare potuje skozi kapljico do n sprotne stene, kjer se spet delno o bije, del pa lo- mljen zapust k pljico (slik 5). Slika 5 Prvi odb ti žar k imenujemo žarek prv ga eda. Pre- ostala svetloba lomljena prodre v kapljic . Na na sprotni steni je del izstopi kot žarek drugega eda, del se je dbije nazaj v kapljico. Ko ta el spet za- d ne st n kapljice, prodre del o ven kot žarek tre- jega reda, delno pa nadaljuje pot zn traj kapljice kot dbiti žarek. Tako se proces nadaljuje. Iz ka- pljice torej izvirajo žarki azličnih r . Za mavrico so pomembni ž rki tretjega in četrtega reda. Žarki tretjega eda za stijo kapljico po enem notranjem odboju in nam dajejo glavno mavrico. Žarki četr- tega reda opr vijo dva notranja odboja in so izvor stranske ma rice. Naravna bela svetloba, ki prihaja d So ca, je m šanica vijolične, modre, zelene, rumene, oranžn in rdeče svetlobe. Vsaka od teh barv se nekoliko dru- gače lomi; pri enakem vpadnem kotu imajo rahlo različne lomne kote. Posledica tega je, da se žarek bele svetlobe razkl ni na barvne kompon nte. Pri tem je od prvotne smeri najmanj odklonjena rdeča, najbolj vijolična sestavina. Pri dežni kapljici se žarki vseh redov, od drugega dalje lomijo dvakrat: enkrat ob vstopu v kapljico, drugič pri izstopu iz nje. Razen pri žarku, ki gre skozi središče kapljice, pride zaradi dvojnega loma do povečanega razklona svetlobe (slika 6). Opazova- lec, ki gleda v dežno zaveso ali oblak, vidi večbarvne vse tiste kapljice, skozi katere vodi opisana pot sve- tlobe natanko v njegovo oko. Žarki drugega reda niso zanimivi, ker gledam pri njih skoraj natanko v sonce. Pov dali smo že, da daj jo ki tretjega in četrtega reda glavno in stran ko mavrico. Pri več ka- kor t eh notranjih odbojih pa je izguba svetlobe že prevelika, da bi kaj videli. Slika 6 Mavrǐcni kot Po odbojnem zakonu leži odbiti žarek v ravnini, ki jo določata vpadni žarek in pravokotnica na odbojno ploskev v vpadni točki. Podobno sledi iz lomnega zakona, da leže vpadni in lomljeni žarek ter pravo- kotnica na mejno ploskev v isti ravnini. Ker potekajo vse pravokotnice na krogelno povr- šino skozi središče krogle, leži prvi par lomljenega in odbitega žarka v ravnini, ki jo določata vpadni ža- rek in središče krogle. Drugi par takih žarkov leži v ravnini prvega lomljenega žarka in središča krogle. Ta ravnina seveda sovpada s prvo. Podobno sovpada z njo ravnina tretjega para ustreznih žarkov. To po- 4 Z letala imamo včasih priložnost videti popoln ma- vrični kolobar s senco letala v središču (slika 2). Tega pojava ne smemo zamenjati s precej manjšo glorijo, ki ni dosti večja od opazovalčeve sence, ki jo obdaja (slika 3). Slika 2 Slika 3 Včasih lahko pri močni mesečini vidimo lunino ali nočno mavrico. Ker človeško oko pri šibki svetlobi slabo loči barve, jo dojemamo kot bel lok. Kaj je mavrica? Naše fizikalno in matematično znanje je preskromno, da bi lahko povzeli vso znano teorijo mavrice. Zato se bomo omejili na njeno osnovno analizo, ki temelji na odboju in lomu sončnega žarka na dežni kapljici. Mavrica ni svetlobni efekt na določenem mestu na nebu. Njena navidezna lega je odvisna od opazo- valčevega položaja in smeri sončnih žarkov. Če med dežjem ali kmalu po njem posije sonce na steno iz dežnih kapljic, se svetloba na njih lomi in odbija. Vendar doseže opazovaľceve oči samo svetloba iz ne- katerih žarkov, ki zadenejo kapljico. In ta svetloba daje mavrico za tega opazovalca. Opazovalec vidi mavrico vedno na strani, naspro- tni od sonca. Mavrična loka sta dela dveh večbarvnih krožnih kolobarjev, ki imata skupno središče na po- daljšku zveznice med opazovalčevo glavo in njeno senco. To lepo prikazuje slika na naslovnici, na ka- teri ob sredini spodnjega roba vidimo senco foto- grafove glave. Poltrak od opazovalčeve glave skozi njeno senco ima smer sončnih žarkov. Vrh glavne mavrice se boči približno 40◦–42◦ nad tem poltra- kom, vrh stranske pa je okrog 50◦–53◦ nad njim. Če je sonce več kot 42◦ nad obzorjem, je torej glavna mavrica pod obzorjem in je navadno ne vidimo. Iz- jema je, če je opazovalec visoko nad tlemi, npr. v letalu ali na visoki gori. V podobno izjemnih razme- rah je bila posneta tudi slika 4. Slika 4 Razloge za tako natančno določeno lego mavrice gle- de na opazovalca in smer sončnih žarkov si bomo ogledali v nadaljevanju. Razložili bomo tudi njene barve. Pot in razklon sončnega žarka v dežni ka- pljici Za začetek poglejmo, kako se odbija in lomi svetloba, ki v zraku naleti na dežno kapljico. Predpostavili bomo, da ima kapljica obliko majhne krogle. Ža- 3 Z letala imamo včasih priložnost videti popoln ma- vrični kolobar s senco letala v središču (slika 2). Tega pojava ne smemo zamenjati s precej manjšo glorijo, ki ni dosti večja d opazovalčeve s nce, ki jo obdaja (slika 3). Slika 2 Slika 3 Včasih lahko pri močni mesečini vidimo lunino ali nočno mavrico. Ker človeško oko pr šibki svetlob slabo loči barve, jo dojemam kot bel lok. Kaj je mavrica? Naše fizikalno in matematično znanje je preskromno, d bi lah o povzeli vso zna teorijo mavrice. Zat se bomo omejili na njeno os vn analizo, ki temelji na odb ju in lomu sončnega žarka na dežni kapljici. Mavrica ni svetlobni ef kt n določen m mestu na nebu. Njena navidezna lega je dvisna od opazo- valčevega položaja i smeri sončn h žarkov. Če med dežjem a i km lu po njem p sije sonce na steno iz dežnih kap jic, se svetloba na njih l mi i odbija. Vendar doseže opazovaľceve oči samo svetloba iz ne- katerih žarkov, ki aden jo kapljico. In a svetloba d j mavrico za tega opazovalca. Opazovalec vidi mavric vedno na strani, naspro- tni od s nca. Mavričn loka sta dela dveh večb rvnih krožnih kolobarjev, ki imata skupno središče na po- daljšku zveznice med op zovalčev glavo in njeno senco. To lepo prikazuje slika na naslovnici, na ka- t ri b sredini spodnjega roba vidim senco foto grafove glave. Poltrak od opazo alčeve glave skozi njen senco ima smer sončnih žarko . Vrh glavne mavrice se boči približn 40◦–42◦ nad tem poltra- kom, vrh stranske pa je okrog 50◦–53◦ nad njim. Če je sonce več kot 42◦ nad obzorjem, je torej glavna mavrica pod obzorjem in je navadno ne vidimo. Iz- jema je, če je opazovalec visoko nad tlemi, npr. v l talu ali na vis ki g ri. V podobno izjemnih razme- rah je bila posneta tudi slika 4. Slika 4 Razloge za tako natančno določeno lego mavrice gle- de na opazovalca in smer sončnih žarkov si bomo ogledali v nadaljevanju. Razložili bomo tudi njene barve. Pot in razklon sončnega žarka v dežni ka- pljic Za začetek poglejmo, kako se odbija in lomi svetloba, ki v zraku naleti na dežno kapljico. Predpostavili bomo, da ima kapljica obliko majhne krogle. Ža- 3 i razklon sončnega žarka v dežni kapljici lika 5. Vpadni ža ek in ž rki vseh redov, ki izvirajo iz njega, ležijo v isti ravnini. To je ravnina glavnega krogelnega kroga kaplji c , n katero je žarek padel. slika 6. Skica poti in razklona enega od žarkov tretjega eda. Zaradi preglednosti so vrisane le tri barvne komponente. č presek 38 (2010/2011) 1 4. red vpadni žarek 2. red 42° 3. red 1. red 7 m a t e m a t i k a slika 8. Natančna skica poti enobarvnega žarka tretjega reda skozi dežno kapljico. slika 7. Skica poti žarkov tretjega reda v eni od ravnin skozi središče kapljice. Žarki, ki padejo na spodnjo polovico kapljice, zaradi preglednosti niso narisani. Iz kapljice izstopajo v smereh nav- zgor in ustvarjajo spodnji mavrični kolobar za dvignjenega opazovalca (kot na sliki 2). rek, ki zadene njeno površino, se delno odbije, delno lomi. Lomljeni žarek potuje skozi kapljico do na- sprotne stene, kjer se spet delno odbije, del pa lo- mljen zapusti kapljico (slika 5). Slika 5 Prvi odbiti žarek imenujemo žarek prvega reda. Pre- ostala svetloba lomljena prodre v kapljico. Na na- sprotni steni je del izstopi kot žarek drugega reda, del se je odbije nazaj v kapljico. Ko ta del spet za- dene steno kapljice, prodre delno ven kot žarek tre- tjega reda, delno pa nadaljuje pot znotraj kapljice kot odbiti žarek. Tako se proces nadaljuje. Iz ka- pljice torej izvirajo žarki različnih redov. Za mavrico so pomembni žarki tretjega in četrtega reda. Žarki tretjega reda zapustijo kapljico po enem notranjem odboju in nam dajejo glavno mavrico. Žarki četr- tega reda opravijo dva notranja odboja in so izvor stranske mavrice. Naravna bela svetloba, ki prihaja od Sonca, je me- šanica vijolične, modre, zelene, rumene, oranžne in rdeče svetlobe. Vsaka od teh barv se nekoliko dru- gače lomi; pri enakem vpadnem kotu imajo rahlo različne lomne kote. Posledica tega je, da se žarek bele svetlobe razkloni na barvne komponente. Pri tem je od prvotne smeri najmanj odklonjena rdeča, najbolj vijolična sestavina. Pri dežni kapljici se žarki vseh redov, od drugega dalje lomijo dvakrat: enkrat ob vstopu v kapljico, drugič pri izstopu iz nje. Razen pri žarku, ki gre skozi središče kapljice, pride zaradi dvojnega loma do povečanega razklona svetlobe (slika 6). Opazova- lec, ki gleda v dežno zaveso ali oblak, vidi večbarvne vse tiste kapljice, skozi katere vodi opisana pot sve- tlobe natanko v njegovo oko. Žarki drugega reda niso zanimivi, ker gledamo pri njih skoraj natanko v sonce. Povedali smo že, da dajejo žarki tretjega in četrtega reda glavno in stransko mavrico. Pri več ka- kor treh notranjih odbojih pa je izguba svetlobe že prevelika, da bi kaj videli. Slika 6 Mavrǐcni kot Po odbojnem zakonu leži odbiti žarek v ravnini, ki jo določata vpadni žarek in pravokotnica na odbojno ploskev v vpadni točki. Podobno sledi iz lomnega zakona, da leže vpadni in lomljeni žarek ter pravo- kotnica na mejno ploskev v isti ravnini. Ker potekajo vse pravokotnice na krogelno povr- šino skozi središče krogle, leži prvi par lomljenega in odbitega žarka v ravnini, ki jo določata vpadni ža- rek in središče krogle. Drugi par takih žarkov leži v ravnini prvega lomljenega žarka in središča krogle. Ta ravnina seveda sovpada s prvo. Podobno sovpada z njo ravnina tretjega para ustreznih žarkov. To po- 4 meni, da leže poti vseh žarkov, ki izvirajo iz istega vpadnega žarka, v isti ravnini. Zasledovanje svetlobe skozi kapljico je zato ravninski problem, kar precej poenostavi obravnavo mavrice. V nadaljevanju bomo začasno privzeli, da je sve- tloba, ki zadene kapljico, enobarvna, torej bomo za- nemarili razklon. Na sliki 7 je skica žarkov tretjega reda iz skupne ravnine, ki poteka skozi središče ka- pljice. Žarek, ki pade na kapljico pravokotno, gre skozi središče kapljice, se na notranji steni odbije nazaj proti soncu in izhaja kot žarek tretjega reda za 180◦ odklonjen od prvotne smeri. Z oddaljevanjem od tega žarka se odklon žarkov tretjega reda od pr- votne smeri najprej manjša do nekega najmanjšega odklona (ta žarek je na sliki narisan poudarjeno), nato pa spet raste. Črtkano so narisane navidezne poti žarkov, kot jih dojema naše oko. S slike raz- beremo marsikaj. Če naj žarek tretjega reda zadene naše oko, se moramo nahajati na isti strani kapljice kot sonce. To pomeni, da moramo biti obrnjeni tako, da imamo sonce za hrbtom. Poleg tega mavrice ne bomo našli prav visoko na nebu. Najvišja možna smer je določena s smerjo najmanjšega odklona žarkov tretjega reda od prvotne smeri. Na sliki 7 je označena s poudarjeno črtkano črto. Kot, ki ga ta smer oklepa s smerjo sončnih žarkov, imenujemo mavrični kot glavne mavrice. Slika 7 Izračun mavrǐcnega kota1 1Komur je račun pretežek, naj ga izpusti in upošteva samo rezultat. 5 meni, da leže poti vseh žarkov, ki izvirajo iz istega vpadnega žarka, v isti ravnini. Zasledovanje svetlobe skozi kapljico je zato ravninski problem, kar precej poenostavi obravnavo mavrice. V nadaljevanju bomo začasno privzeli, da je sve- tloba, ki zadene kapljico, enobarvna, torej bomo za- nemarili razklon. Na sliki 7 je skica žarkov tretjega reda iz skupne ravnine, ki poteka skozi središče ka- pljice. Žarek, ki pade na kapljico pravokotno, gre skozi središče kapljice, se na notranji steni odbije nazaj proti soncu in izhaja kot žarek tretjega reda za 180◦ odklonjen od prvotne smeri. Z oddaljevanjem od tega žarka se odklon žarkov tretjega reda od pr- votne smeri najprej manjša do nekega najmanjšega odklona (ta žarek je na sliki narisan poudarjeno), nato pa spet raste. Črtkano so narisane navidezne poti žarkov, kot jih dojema naše oko. S slike raz- beremo marsikaj. Če naj žarek tretjega reda zadene naše oko, se moramo nahajati na isti strani kapljice kot sonce. To pomeni, da moramo biti obrnjeni tako, da imamo sonce za hrbtom. Poleg tega mavrice ne bomo našli prav visoko na nebu. Najvišja možna smer je določena s smerjo najmanjšega odklona žarkov tretjega reda od prvotne smeri. Na sliki 7 je označena s poudarjeno črtkano črto. Kot, ki ga ta smer oklepa s smerjo sončnih žarkov, imenujemo mavrični kot glavne mavrice. Slika 7 Izračun mavrǐcnega kota1 1Komur je račun pretežek, naj ga izpusti in upošteva samo rezultat. 5 eni, da leže poti vseh žarkov, ki izvirajo iz istega vpadnega žarka, v isti ravnini. Zasledovanje svetlobe skozi kapljico je zato ravninski proble , kar precej poenostavi obravnavo avrice. V nadaljevanju bo o začasno privzeli, da je sve- tloba, ki zadene kapljico, enobarvna, torej bo o za- ne arili razklon. a sliki 7 je skica žarkov tretjega reda iz skupne ravnine, ki poteka skozi središče ka- pljice. Žarek, ki pade na kapljico pravokotno, gre skozi središče kapljice, se na notranji steni odbije nazaj proti soncu in izhaja kot žarek tretjega reda za 180◦ odklonjen od prvotne s eri. Z oddaljevanje od tega žarka se odklon žarkov tretjega reda od pr- votne s eri najprej anjša do nekega naj anjšega odklona (ta žarek je na sliki narisan poudarjeno), nato pa spet raste. Črtkano so narisane navidezne poti žarkov, kot jih doje a naše oko. S slike raz- bere o arsikaj. Če naj žarek tretjega reda zadene naše oko, se ora o nahajati na isti strani kapljice kot sonce. To po eni, da ora o biti obrnjeni tako, da i a o sonce za hrbto . Poleg tega avrice ne bo o našli prav visoko na nebu. ajvišja ožna s er je določena s s erjo naj anjšega odklona žarkov tretjega reda od prvotne s eri. a sliki 7 je označena s poudarjeno črtkano črto. Kot, ki ga ta s er oklepa s s erjo sončnih žarkov, i enuje o avrični kot glavne avrice. Slika 7 Izrac avric e a k ta1 1Ko ur je račun pretežek, naj ga izpusti in upošteva sa o rezultat. 5 Če je mavrica vidna, mavrični kot lahko iz- merimo. Poiskali ga bomo tudi po matema- tični poti. Na sliki 8 je narisana pot enega samega žarka tretjega reda skozi dežno kapljico. Naj bosta α in β njegov vpadni in lomni kot v točki A. Zaradi odboja v točki B in ponovnega loma v točki C ter lastnosti kro- žnice se kota ponovita v točkah B in C , kot je vrisano. Nadalje smo s ϕ označili kot, suplementaren odklonu žarka od prvotne smeri. Poiščimo njegovo odvisnost od vpa- dnega kota α. Slika 8 Pomožna kota pri P in R, ki smo ju označili z δ, sta enaka, ker sta izmenična ob vzpo- rednicah. Trikotnik ASP ima pri S zunanji kot 4β in nepriležna notranja kota α in δ, trikotnik QRC pa pri R zunanji kot δ in ne- priležna notranja kota ϕ in α. To pomeni δ =ϕ +α = 4β−α , kar da ϕ = 4β− 2α . Po lomnem zakonu je sinα sinβ = n oziroma β = arcsin( 1n sinα) , kjer je lomni količ ik za prehod iz zraka v vodo. Sledi ϕ = 4 arcsin( 1n sinα)− 2α . (1) Če v (1) vstavimo vrednost n = 43 , kar je približna povprečna vrednost lomnega ko- ličnika svetlobe za tak prehod, dobimo ϕ = 4 arcsin(34 sinα)− 2α, 0◦ ≤ α ≤ 90◦ . (2) Funkcija (2) je narisana na sliki 9. Ustreza opazovanjem, do katerih smo prišli pri risa- nju žarkov na sliki 7. Vidimo, da zavzame kot ϕ vrednosti od 0◦ do približno 42◦. Pri tem ne prezrimo, da je ϕ odvisen le od ve- likosti vpadnega kota in nǐc od premera ka- pljice. Torej je tudi največja možna vre- dnost kota ϕ za vse dežne kapljice enaka. Slika 9 Z nekaj več matematičnega znanja lahko to vrednost izračunamo. V ta namen poiščemo ničle prvega odvoda funkcije (2) na intervalu [0◦, 90◦]. Imamo ϕ = 4 cosα ( 43 )2−sin 2 α − 2 = 0 , kar da sinαmax = 23  5 3 in αmax = 59,4◦, ϕmax = 42,03◦ . 6 n n Če je mavrica vidna, mavrični kot lahko iz- merimo. Poiskali ga bomo tudi po matema- tični poti. Na sliki 8 je narisana pot enega samega žarka tretjega reda skozi dežno kapljico. Naj bosta α in β njego vpadni in lomni kot v točki A. Zaradi odboja v točki B in po ovnega loma v točki C ter lastnosti kro- žnice se kota ponovita v t čkah B in C , kot je vrisano. Nadalje m s ϕ označili kot, suplementaren odklonu žarka od prvotne smeri. Poiščimo njegov odvisnost od vpa- dnega kot α. Slika 8 Pomožna kota pri P in R, ki smo ju označili z δ, sta enaka, ker sta izmenična ob vzpo- rednicah. Trikotnik ASP ima pri S zunanji kot 4β in nepriležna notranja kota α in δ, trikotnik QRC pa pri R zunanji kot δ in ne- priležna notr nja kota ϕ in α. To p meni δ =ϕ +α = 4β−α , kar da ϕ = 4β− 2α . Po lomnem zakonu je sinα sinβ = n oziroma β = arcsin( 1n sinα) , kjer je n lomni količnik za prehod iz zraka v vodo. Sledi ϕ = 4 arcsin( 1n sinα)− 2α . (1) Če v (1) vstavimo vrednost n = 43 , kar je približna povprečna vrednost lomnega ko- ličnika svetlobe za tak prehod, dobimo ϕ = 4 arcsin(34 sinα)− 2α, 0◦ ≤ α ≤ 90◦ . (2) Fu kcija (2) je narisana na sliki 9. Ustreza opazovanjem, do katerih smo prišli pri risa- nju žarkov na sliki 7. Vidimo, da zavzame kot ϕ vrednosti od 0◦ do približno 42◦. Pri tem ne prezrimo, da je ϕ odvisen le od ve- likosti vpadn ga kot in ǐc od premera ka- pljice. Torej je tudi največja možna vre- dnost kota ϕ za vse dežne kapljice en ka. Slika 9 Z nekaj več matematičnega znanja lahko to vrednost izračunamo. V ta namen poiščemo ničle prvega odvoda funkcije (2) na intervalu [0◦, 90◦]. Imamo ϕ = 4 cosα ( 43 )2−sin 2 α − 2 = 0 , kar da sinαmax = 23  5 3 in αmax = 59,4◦, ϕmax = 42,03◦ . 6 , . . . v . n o , . s o , . o a . , , , . , a . o i i . , , n . , . , . , e a n . a . . . i Izračun mavričnega kota1• • • Presek 38 (2010/2011) 1 so nc e 4β A P B S C RQ α α φ β β β β δ δ 8 m a t e m a t i k a slika 10. Žarek tretjega reda po prehodu skozi kapljico zadene naše oko, če je kot med smerjo sončnih žarkov in smerjo proti kapljici enak kotu φ s slike 8. Če je mavrica vidna, mavrični kot lahko iz- merimo. Poiskali ga bomo tudi po matema- tični poti. Na sliki 8 je narisana pot enega samega žarka tretjega reda skozi dežno kapljico. Naj bosta α in β njegov vpadni in lomni kot v točki A. Zaradi odboja v točki B in ponovnega loma v točki C ter lastnosti kro- žnice se kota ponovita v točkah B in C , kot je vrisano. Nadalje smo s ϕ označili kot, suplementaren odklonu žarka od prvotne smeri. Poiščimo njegovo odvisnost od vpa- dnega kota α. Slika 8 Pomožna kota pri P in R, ki smo ju označili z δ, sta enaka, ker sta izmenična ob vzpo- rednicah. Trikotnik ASP ima pri S zunanji kot 4β in nepriležna notranja kota α in δ, trikotnik QRC pa pri R zunanji kot δ in ne- priležna notranja kota ϕ in α. To pomeni δ =ϕ +α = 4β−α , kar da ϕ = 4β− 2α . Po lomnem zakonu je sinα sinβ = n oziroma β = arcsin( 1n sinα) , kjer je n lomni količnik za prehod iz zraka v vodo. Sledi ϕ = 4 arcsin( 1n sinα)− 2α . (1) Če v (1) vstavimo vrednost n = 43 , kar je približna povprečna vrednost lomnega ko- ličnika svetlobe za tak prehod, dobimo ϕ = 4 arcsin(34 sinα)− 2α, 0◦ ≤ α ≤ 90◦ . (2) Funkcija (2) je narisana na sliki 9. Ustreza opazovanjem, do katerih smo prišli pri risa- nju žarkov na sliki 7. Vidimo, da zavzame kot ϕ vrednosti od 0◦ do približno 42◦. Pri tem ne prezrimo, da je ϕ odvisen le od ve- likosti vpadnega kota in nǐc od premera ka- pljice. Torej je tudi največja možna vre- dnost kota ϕ za vse dežne kapljice enaka. Slika 9 Z nekaj več matematičnega znanja lahko to vrednost izračunamo. V ta namen poiščemo ničle prvega odvoda funkcije (2) na intervalu [0◦, 90◦]. Imamo ϕ = 4 cosα ( 43 )2−sin 2 α − 2 = 0 , kar da sinαmax = 23  5 3 in αmax = 59,4◦, ϕmax = 42,03◦ . 6 Z nekaj več matematičnega znanja lahko to vrednost izračunamo. V ta namen poiščemo ničle prvega odvoda funkcije (2) na intervalu [0◦, 90◦]. Imamo ϕ = 4 cosα ( 43 )2−sin 2 α − 2 = 0 , kar da sinαmax = 23  5 3 in αmax = 59,4◦, ϕmax = 42,03◦ . 2 Z nekaj več matematičnega znanja lahko to vrednost izračunamo. V ta namen poiščemo ničle prvega odvoda funkcije (2) na intervalu [0◦, 90◦]. Imamo ϕ = 4 cosα ( 43 )2−sin 2 α − 2 = 0 , kar da sinαmax = 23  5 3 in αmax = 59,4◦, ϕmax = 42,03◦ . 2 Z nekaj več matematičnega znanja lahko to vrednost izračunamo. V ta namen poiščemo ničle prvega odvoda funkcije (2) na intervalu [0◦, 90◦]. Imamo ϕ = 4 cosα ( 43 )2−sin 2 α − 2 = 0 , kar da sinαmax = 23  5 3 in αmax = 59,4◦, ϕmax = 42,03◦ . 2 Pomen mavrǐcnega kota Poglejmo ponovno sliko 8. Denimo, da narisani ža- rek zadene naše oko. Potem je kot ϕ enak kotu z vrhom v našem očesu, enim krakom v smeri sončnih žarkov (stran od sonca) in drugim krakom v smeri kapljice, iz katere žarek izhaja (slika 10). Ta kot lahko zavzame vrednosti od 0◦ doϕmax. Ker jeϕmax enak za vse kapljice, ustreza v prostoru temu pogoju notranjost stožca z vrhom v našem očesu, osjo v smeri sončnih žarkov in kotom ϕmax med osjo in stranico stožca. V idealnem primeru, ko je opazova- lec dovolj visoko in ves dopustni prostor zastira de- žna zavesa, daje pojav vtis osvetljene krožne plošče v daljavi. V običajnih razmerah pa je več kot polovica tega stožca pod obzorjem. V zgornjem delu priha- jajo do nas žarki tretjega reda, ki jih dojemamo kot kos osvetljene polkrožne plošče. Kolikšen je ta kos, je odvisno od višine sonca, konfiguracije obzorja in od obsega dežne zavese. Slika 10 Porazdelitev svetlobe na mavrǐcni plošči Poglejmo, kako je s porazdelitvijo svetlobe na opi- sani navidezni plošči. Ker pripada dani kapljici ena am ravnina, v kateri potuje žarek tretjega reda pro- ti opazovalčevemu očesu, je tudi ta roblem rav in- s i. Sončna sve loba je v prostoru enakomerno poraz- deljena. Za ravninski primer lahko to lastnost prika- žemo s snopom med seboj enakomerno oddaljenih žarkov (slika 11). S slike vidimo, da temu ne ustreza enakomerna porazdelitev vpadnih kotov. Pod manj- šimi vpadnimi koti zadene kapljico več žarkov kot pod velikimi. Enakomerna pa je porazdelitev odda- ljenosti vpadnih žarkov od središča kapljice. Na sliki 11 je ta razdalja označena z d. Zavzame lahko vrednosti z intervala [0, r ], kjer je r polmer opa- zovane kapljice. Enako velikim intervalom spremen- ljivke d pripadajo enake količine vpadle svetlobe. Slika 11 Za opis svetlobe na navidezni svetli plošči v daljavi je zato primerneje v funkciji (2) zamenjati spremen- ljivko α s spremenljivko d. Opustimo analitičen za- pis funkcije ϕ(d), d ∈ [0, r ], pač pa si oglejmo njen graf na sliki 12. Na isti sliki je narisan tudi graf ustre- zne funkcije za stransko mavrico. Večjo koncentracijo svetlobe lahko pričakujemo v taki smeri ϕ, v kateri se združujejo žarki s šir- šega območja spremenljivke d. To je področje po- časnega spreminjanja funkcije ϕ(d), torej okolica maksimuma. S slike 12 razberemo, da za zelo širok interval spremenljivke d izhajajo žarki tretjega reda pod koti med 40◦ in 42◦. Pri manjših vrednostih kota 7 , . . . . , . , . . , , , . , . i i . , , . , . , . , . . . . i j i i i i l i - i i li i - i i i li i j i j i lji j i j i i l i i i j i i l i l i - i i i j i lj ili l l i i i j i - li i i i j ili i i - i i i i i ji i il j i i i i ji i - il j i i , . l j i i i , j j l i li i i l i i i . ( ) ( ) i j i li l - li i l i i i , . ( ) ij ( ) j i li i j i i li i i - j li i i i i i li i i j i l - li i i i - lji j j i j j - lji li j i j l i i i l ij ( ) i l , I  ( 43 )2 2 , i i , , , . e e r c , r c t er . s t te t c t . s e r s t e e s e r tret e re s e c . st e t t c . r t c e t c ter st st r ce se t t t c , t e r s . e s s c t, s e e t re r r t e s er . šc e s st e t . t r , s c , st e , er st e c re c . r t r t e r e tr t , tr t r t e r e tr t . e r e e sin sinβ r rcs ( 1 s ) er e c re r . e rcs ( 1 s ) e st re st 43 , r e r rec re st e c s et e t re , rcs (34 s ) ◦ ◦ c e r s s . stre e , ter s r š r r s r s . , e t re st ◦ r ◦. r te e re r , e se e e st e t c re er ce. re e t r st t s . e ec te t c e t re st r c . t e šce c e r e f c e ter [ ◦ ◦]. 4 cos sin r s ax 2 3 5 3 ax ◦ ax ◦ Če je mavrica vidna, mavrični kot lahko iz- merimo. Poiskali ga bomo tudi po matema- tični poti. Na sliki 8 je narisana pot enega samega žarka tretjega reda skozi dežno kapljico. Naj bosta α in β njegov vpadni in lomni kot v točki A. Zaradi odboja v točki B in ponovnega loma v točki C ter lastnosti kro- žnice se kota ponovita v točkah B in C , kot je vrisano. Nadalje smo s ϕ označili kot, suplementaren odklonu žarka od prvotne smeri. Poiščimo njegovo odvisnost od vpa- dnega kota α. Slika 8 Pomožna kota pri P in R, ki smo ju označili z δ, sta enaka, ker sta izmenična ob vzpo- rednicah. Trikotnik ASP ima pri S zunanji kot 4β in nepriležna notranja kota α in δ, trikotnik QRC pa pri R zunanji kot δ in ne- priležna notranja kota ϕ in α. To pomeni δ =ϕ +α = 4β−α , kar da ϕ = 4β− 2α . Po lomnem zakonu je sinα sinβ = n oziroma β = arcsin( 1n sinα) , kjer je n lomni količnik za prehod iz zraka v vodo. Sledi ϕ = 4 arcsin( 1n sinα)− 2α . (1) Če v (1) vstavimo vrednost n = 43 , kar je približna povprečna vrednost lomnega ko- ličnika svetlobe za tak prehod, dobimo ϕ = 4 arcsin(34 sinα)− 2α, 0◦ ≤ α ≤ 90◦ . (2) Funkcija (2) je narisana na sliki 9. Ustreza opazovanjem, do katerih smo prišli pri risa- nju žarkov na sliki 7. Vidimo, da zavzame kot ϕ vrednosti od 0◦ do približno 42◦. Pri tem ne prezrimo, da je ϕ odvisen le od ve- likosti vpadnega kota in nǐc od premera ka- pljice. Torej je tudi največja možna vre- dnost kota ϕ za vse dežne kapljice enaka. Slika 9 Z nekaj več matematičnega znanja lahko to vrednost izračunamo. V ta namen poiščemo ničle prvega odvoda funkcije (2) na intervalu [0◦, 90◦]. Imamo ϕ = 4 cosα ( 43 )2−sin 2 α − 2 = 0 , kar da sinαmax = 23  5 3 in αmax = 59,4◦, ϕmax = 42,03◦ . 6 Če je mavrica vidna, mavrični kot lahko iz- merimo. Poiskali ga bomo tudi po matema- tični poti. Na sliki 8 je narisana pot enega samega žarka tretjega reda skozi dežno kapljico. Naj bosta α in β njegov vpadni in lomni kot v točki A. Zaradi odboja v točki B in ponovnega loma v točki C ter lastnosti kro- žnice se kota ponovita v točkah B in C , kot je vrisano. Nadalje smo s ϕ označili kot, suplementaren odklonu žarka od prvotne smeri. Poiščimo njegovo odvisnost od vpa- dnega kota α. Slika 8 Pomožna kota pri P in R, ki smo ju označili z δ, sta enaka, ker sta izmenična ob vzpo- rednicah. Trikotnik ASP ima pri S zunanji kot 4β in nepriležna notranja kota α in δ, trikotnik QRC pa pri R zunanji kot δ in ne- priležna notranja kota ϕ in α. To pomeni δ =ϕ +α = 4β−α , kar da ϕ = 4β− 2α . Po lomnem zakonu je sinα sinβ = n oziroma β = arcsin( 1n sinα) , kjer je n lomni količnik za prehod iz zraka v vodo. Sledi ϕ = 4 arcsin( 1n sinα)− 2α . (1) Če v (1) vstavimo vrednost n = 43 , kar je približna povprečna vrednost lomnega ko- ličnika svetlobe za tak prehod, dobimo ϕ = 4 arcsin(34 sinα)− 2α, 0◦ ≤ α ≤ 90◦ . (2) Funkcija (2) je narisana na sliki 9. Ustreza opazovanjem, do katerih smo prišli pri risa- nju žarkov na sliki 7. Vidimo, da zavzame kot ϕ vrednosti od 0◦ do približno 42◦. Pri tem ne prezrimo, da je ϕ odvisen le od ve- likosti vpadnega kota in nǐc od premera ka- pljice. Torej je tudi največja možna vre- dnost kota ϕ za vse dežne kapljice enaka. Slika 9 Z nekaj več matematičnega znanja lahko to vrednost izračunamo. V ta namen poiščemo ničle prvega odvoda funkcije (2) na intervalu [0◦, 90◦]. Imamo ϕ = 4 cosα ( 43 )2−sin 2 α − 2 = 0 , kar da sinαmax = 23  5 3 in αmax = 59,4◦, ϕmax = 42,03◦ . 6 j ri i , ri i t l i - ri . i li t i t - ti i ti. li i j ri t r tr tj r i lji . j t i j i i l i t t i . r i j t i i l t i t r l t ti r - i t it t i , t j ri . lj ili t, l t r l r r t ri. i i j i t - t . li t ri i , i j ili , t , r t i i - r i . ri t i i ri ji t i ril tr j t i , tri t i ri ji t i - ril tr j t i . i , r . l j si si ir r i 1 i , j r j l i li i r i r . l i r i 1 i . ( ) ( ) t i r t 43 , r j ri li r r t l - li i tl t r , i r i 34 i , ◦ ◦ . ( ) ij ( ) j ri li i . tr j , t ri ri li ri ri - j r li i . i i , t r ti ◦ ri li ◦. ri t r ri , j i l - li ti t i i r r - lji . r j j t i j j - t t lji . li j t ti j l t r t i r . t i i l r f ij ( ) i t r l ◦, ◦ . I  4 cos ( 43 )2 si 2 , r i a 2 3 5 3 i a , ◦, a , ◦ . Če je av ica vidna, av ični ko lahko iz- e i o. Poiskali ga bo o udi po a e a- ični po i. Na sliki 8 je na isana po enega sa ega ža ka e jega eda skozi dežno kapljico. Naj bos a α in β njegov vpadni in lo ni ko v očki A. Za adi odboja v očki B in ponovnega lo a v očki C e las nos i k o- žnice se ko a ponovi a v očkah B in C , ko je v isano. Nadalje s o s označil ko , suple en a en odklonu ža ka od p vo ne s e i. Poišči o njegovo odvisnos od vpa- dnega ko a α. Slika 8 Po ožna ko a p i P in R, ki s o ju označil z δ, s a enaka, ke s a iz enična ob vzpo- ednicah. T iko nik ASP i a p i S zunanji ko 4β in nep iležna no anja ko a α in δ, iko nik RC pa p i R zunanji ko δ in ne- p iležna no anja ko a in α. To po eni δ = +α = 4β−α , ka da = 4β− 2α . Po lo ne zakonu je inα inβ = n ozi o a β = a csin(n sinα) , kje je n lo ni količnik za p ehod iz z aka v vodo. Sledi = 4 a csin(n sinα)− 2α . (1) Če v (1) vs avi o v ednos n = , ka je p ibližna povp ečna v ednos lo nega ko- ličnika sve lobe za ak p ehod, dobi o = 4 a csin( sinα)− 2α, 0 ≤ α ≤ 90 . (2) Funkcija (2) je na isana na sliki 9. Us eza opazovanje , do ka e ih s o p išli p i isa- nju ža kov na sliki 7. Vidi o, da zavza e ko v ednos i od 0 do p ibližno 42 . P i e ne p ez i o, da je odvisen le od ve- likos i vpadnega ko a in nǐc od p e e a ka- pljice. To ej je udi največja ožna vre- dnos ko a za vse dežne kapljice enaka. Slika 9 Z nekaj več a e a ičnega znanja lahko o v ednos iz ačuna o. V a na en poišče o ničle p vega odvoda unkcije (2) na in e valu [0 , 90 ]. I a o  = α ( 43 )2− in 2 α − 2 = 0 , ka da sinαm x =  in αm x = 59,4 , m x = 42,03 . 6 j m ri i , m ri i t l i - m rim . i li m t i m t m - ti i ti. li i j ri t m r tr tj r i lji . j t i j i l m i t t i . r i j t i i l m t i t r l t ti r - i t it t i , t j ri . lj m ϕ ili t, l m t r l r r t m ri. i im j i t - t . li m t ri i , i m j ili , t , r t i m i - r i . ri t i im ri ji t i ril tr j t i , tri t i Q ri ji t i - ril tr j t ϕ i . m i ϕ , r ϕ . l m m j si si ir m r i 1 i , j r j l m i li i r i r . l i ϕ r i 1 i . ( ) ( ) t im r t 43 , r j ri li r r t l m - li i tl t r , im ϕ r i 34 i , ◦ ◦ . ( ) ij ( ) j ri li i . tr j m, t ri m ri li ri ri - j r li i . i im , m t ϕ r ti ◦ ri li ◦. ri t m r rim , j ϕ i l - li ti t i i r m r - lji . r j t i j j m - t t ϕ lji . li j m t m ti j l t r t i r m . t m i m i l r f ij ( ) i t r l ◦, ◦ . Im m ϕ 4 cos ( 43 )2 si 2 , r i a 2 3 5 3 i a , ◦, ϕ a , ◦ . Če je avrica vidna, avrični kot lahko iz- eri o. Poiskali ga bo o tudi po ate a- tični poti. Na slik 8 je narisana pot enega sa ega žarka tretjega reda skozi dežno kapljico. Naj bosta α in β njegov padni in lo ni kot v točki A. Zar di odboja v točki B in ponovnega lo a v točki C ter lastnosti kro- žnice se kota ponovita v točkah B in C , kot je vrisano. Nadalje s o s označil kot, suple entaren odklonu žarka od prvotne s eri. Poišči o njegov dvisnost od vpa- dnega kota α. Slika 8 Po ožna kota pri P in R, ki s o ju označil z δ, sta enaka, ker sta iz enična ob vzpo- rednicah. Trikotnik ASP i a pri S zunanji kot 4β in epriležna notranja kota α in δ, trikotnik RC pa pri R zunanji kot δ in e- priležna notranja kota in α. To po eni δ = +α = 4β−α , kar da = 4β− 2α . Po lo ne zakonu je sinα sinβ = n oziro a β = arcsin( 1n sinα) , kjer je n lo ni količnik za prehod iz raka v odo. Sledi = 4 arcsin( 1n sinα)− 2α . (1) Če v (1) vstavi o vrednost n = 43 , kar je približna povprečna vrednost lo nega ko- ličnika svetlobe za tak prehod, dobi o = 4 arcsin(34 sinα)− 2α, 0◦ ≤ α ≤ 90◦ . (2) Funkcija (2) je narisana na slik 9. Ustreza opazovanje , do katerih s o prišli pri sa- nju žarkov na slik 7. Vid o, da zavza e kot vrednosti od 0◦ do približno 42◦. Pri te ne prezri o, da je odvisen le od ve- likosti vpadnega kota in ǐc od pre era ka- pljice. Torej je tudi največja ožna vre- dnost kota za vse dežne kapljice naka. Slika 9 Z nekaj več ate atičnega znanja lahko to vrednost izračuna o. V ta na en poišče o ničle prvega odvoda funkcije (2) na intervalu [0◦, 90◦]. I a o  = 4 cosα ( 43 )2−sin 2 α − 2 = 0 , kar da sinαmax = 23  5 3 in αmax = 59,4◦, max = 42,03◦ . 6 Če j mavrica vidna, mavrični kot lahko iz- merimo. Poiskali ga bomo tudi po matema- tični poti. Na slik 8 je narisan pot en ga samega žarka tretj ga reda skozi dežno kapljico. Naj bosta α in β njegov padni n lomni kot v točki A. Zar di odboja v točki B in pon vnega loma v točki C ter lastnosti kro- žnice s kota pon vita v točkah B in C , kot je vrisano. Nad lje smo s ϕ označil kot, suplementaren odklonu žarka od prvotne smeri. Poišč mo njegov dvisnost od vpa- dnega kota α. Slika 8 Pomožna kota pri P in R, ki smo ju označil z δ, sta enak , ker sta izmenična ob vzpo- rednicah. Trikotnik ASP ima pri S zuna ji kot 4β in epriležna notranja kota α in δ, trikotnik QRC pa pri R zuna ji kot δ in e- priležna notranja kota ϕ in α. To pomeni δ =ϕ +α = 4β−α , kar da ϕ = 4β− 2α . Po l mnem zakonu je sinα sinβ = n oziroma β = arcsin( 1 sinα) , kjer je n lomni količnik za prehod iz rak v od . Sledi ϕ = 4 arcsin( 1 sinα)− 2α . (1) Če v (1) vstavimo vrednost n = 43 , kar je pribl žna povprečna vrednost lomnega ko- ličnika svetlobe za t k prehod, obimo ϕ = 4 arcsin(34 sinα)− 2α, 0◦ ≤ α ≤ 90◦ . (2) Funkcija (2) je narisan na slik 9. Ustreza opazovanjem, do katerih smo prišli pri risa- nju žarkov na slik 7. Vid mo, da zavzame kot ϕ vrednosti od 0◦ do pribl žno 42◦. Pri tem ne prezrimo, da je ϕ odvisen le od ve- likosti vpadnega kota in ǐc od premera ka- pljice. Torej e tudi največja možna vre- dnost kota ϕ za vse dežne kapljice nak . Slika 9 Z nekaj več matematičnega zna ja l hko t vrednost izračunamo. V ta namen poiščemo ničle prvega odvoda funkcije (2) na intervalu [0◦, 90◦]. Ima o ϕ = 4 cosα ( 43 )2−sin 2 α − 2 = 0 , kar da sinαmax = 23  5 3 in αmax = 59,4◦, ϕmax = 42,03◦ . 6 j ri i , ri t l i - ri . i li t i t - ti ti. li j ri t r tr j r i lji . j t i j i l i t t i . r i j t i i l t i t r l t ti r - i t it t i , t j ri . lj il t, l t r l r r t ri. i j i t - t . li t ri i , i j il , t , r t i i - r i . ri t i i ri ji t i ril tr j t i , tri t i ri ji t i - ril tr j t i . i , r . l j si si ir r i 1 i , j r j l i li r i r . l i r i 1 i . ( ) ( ) t i r t 43 , r j ri li r r t l - li tl t r , i r i 34 i , ◦ ◦ . ( ) ij ( ) j ri li . tr j , t ri ri li ri - j r li . i , t r ti ◦ ri li ◦. ri t r ri , j i l - li ti t i i r r - lji . r j t i j j - t t lji . li j t ti j l t r t i r . t i i l r f ij ( ) i t r l ◦, ◦ . I  4 cos ( 43 )2 si 2 , r i a 2 3 5 i a , ◦, a , ◦ . Če av ca v dna, av čn ko ahko z e o. Po ska ga bo ud po a e a čn po . a s k 8 e na san po en ga sa ega ža k e ga eda skoz dežno kap co. a bos a n β n egov padn n o n ko v očk . Za d odbo a v očk B n pon vnega o a v očk C e as nos k o žn ce s ko a pon v a v očkah B n C , ko e v sano. ad e s o s označ ko , sup e n a en odk onu ža k od p vo ne s e . Po šči o n egov dv snos od vpa dnega ko a . S ka 8 Po žna ko a p P n , k s o u označ z δ, s a enak , ke s a z en č a ob vzpo edn cah. T ko n k SP a p S zuna ko 4β n ep ežna o an ko a n δ, ko n k C pa zuna ko δ n e p ežna o an ko a n . To p en δ 4β ka da 4β 2 Po ne zakonu e inα inβ oz o a β a cs n(n s n ) k e e o n ko čn k za p ehod z ak v od . S ed 4 a cs n(n s n ) 2 1 Če v 1 vs av o v ednos , ka e p b žna povp ečna v ednos o nega ko čn ka sve obe za k p ehod, ob o 4 a cs n( s n ) 2 0 90 2 Funkc a 2 e na san s k 9. s eza opazovan e , do ka e h s o p š p sa n u ža kov na s k 7. V d o, da z vza e ko v ednos od 0 do p b žno 42 . P e ne p ez o, da e odv sen e od ve kos vpadnega ko a n č od p e a k p ce. To e e ud na več a ožna vre dnos ko a za vse d žne kap ce nak . S ka 9 Z neka več a e a čnega zna hko v ednos z ačuna o. V a n en po šče o n č e p vega odvoda unkc e 2 na n e va u [0 90 ]. a o α − in α 2 0 ka da s n x  n x 59 4 x 42 03 6 Če je mavrica vidna, mavrični kot lahko iz- m ri o. Poiskali g bomo tudi po matema tičn p ti. Na sl k 8 je narisana pot enega samega ž r a tret g ed sk zi d žno k pljico. N j bos a α in β njeg v vpad i in mni kot v očki A. Zaradi dboj v točki B n p n vnega lom v točki C ter lastnosti kro- ž ic s k t pon vita v očk h B in C , k t je vri an . Nadalje sm s ϕ oz ačili , suplementaren odklonu žarka od prv ne m ri. Poiščim njegovo odvisn st d vpa- dn ga k ta α. Slika 8 Pomožna kota pri P in R, ki smo ju označili z δ, st en k , ker sta izmenična b vzpo- rednic h. Tri otnik ASP ima pri S unanji kot 4β in nepr ležna notr nja kota α i δ, rikot k QRC pa pri R zu nji kot δ ne- prilež a notr nj kota ϕ i α. T pom i δ =ϕ +α = 4β−α , kar da ϕ = 4β− 2α . Po lomnem zakonu je sinα sinβ = n oziroma β = arcsin( 1n sinα) , kjer je n lomni količnik za prehod iz zraka v vodo. Sle i ϕ = 4 arcsin( 1n sinα)− 2α . (1) Če v (1) vstavimo vrednost n = 43 , kar je približna po prečna vrednost lomneg ko- l čn k svetlob z tak preh d, dobimo ϕ = 4 arcsin(34 sinα)− 2α, 0◦ ≤ α ≤ 90◦ . (2) Funkcija (2) je narisana na sliki 9. Ustreza opazov n m, do k terih mo prišli p i is - nju ž rkov na sli i 7. Vidi o, da zavz me kot ϕ red o t od 0◦ o približno 42◦. Pri em n prezr m , a je ϕ odv se le od ve- likosti v adnega kota in nǐc od pr mera ka plj ce. Tor j je ud ajvečja možn vre dnost k ta ϕ za vse dežn k pljice enaka. Slika 9 Z nekaj več matematičnega znanja lahko to vr dnost izr čun mo. V t men poiščem ničle prveg odvoda funkcije (2) a nt rvalu [0◦, 90◦]. Imam ϕ = 4 cosα ( 43 )2−sin 2 α − 2 = 0 , kar da sinαmax = 23  5 3 in αmax = 59,4◦, ϕmax = 42,03◦ . 6 Če j mavrica vidna, mavričn kot lahko iz- merimo. P iskali ga bom tudi po matema- tičn poti. Na slik 8 je naris n pot en ga s mega žark tre j ga reda skozi dežno kapljico. Naj bosta α in β njegov padni lomni kot v očki A. Zar di db ja v točki B in pon v ega loma v točki C ter lastnost kro- žnic s kota pon vita v točkah B in C , kot je vrisano. N d lje sm s ϕ označil kot, suplem ntaren odklonu žark od prvotne smeri. Poišč mo njegov dvisno t d vpa- dnega kota α. Slika 8 Pom žna kota pri P in R, ki s o ju označil z δ, sta enak , er sta izmenič a ob vzpo- rednicah. Trikotnik ASP ima pri S zuna ji kot 4β in epriležn otranj kota α in δ, trikotnik QRC pa ri R zuna ji kot δ in e- priležna otranj kota ϕ in α. To p meni δ =ϕ +α = 4β−α , kar d ϕ = 4β− 2α . Po l mne zakonu je sinα sinβ = n ozir ma β = arcsin( 1n sinα) , kjer j n lomni količn k za prehod iz rak v od . Sledi ϕ = 4 arcsin( 1n sinα)− 2α . (1) Če v (1) vstavimo vrednost = 43 , kar je pribl žna pov rečna vrednost lomnega ko- ličn ka svetlobe za t k prehod, obimo ϕ = 4 arcsin(34 sinα)− 2α, 0◦ ≤ α ≤ 90◦ . (2) Funkcija (2) je naris n slik 9. Ustreza opazovanjem, do katerih smo prišl pri sa- nju žarkov na slik 7. Vid mo, da z v me kot ϕ vrednosti od 0◦ do pribl žno 42◦. Pri tem ne pr z imo, da je ϕ odvisen l od ve- likosti vpadnega kota in ǐc od pre ra k - pljice. Torej tudi najv čja možna vre- dnost kota ϕ za vse d žn kapljice nak . Slika 9 Z nekaj več matematičnega zna j l hko t vrednost izračunam . V ta n m n poiščemo ničle prvega odv a funkcije (2) na i tervalu [0◦, 90◦]. Ima o ϕ = 4 cosα ( 43 )2−sin 2 α − 2 = 0 , kar d sinαmax = 23  5 in αmax = 59,4◦ ϕmax = 42,03◦ . 6 i i i m i - i slika 9. Odvisnost kota φ s slike 8 od vpadnega kota α. • • ič presek 38 (2010/2011) 1 50° 40° 45° so nc e 90° oko dežna kapljica O 30° 20° 10° φ φ max φ α max α • 9 m a t e m a t i k a slika 11. Pod manjšimi vpa- dnimi koti zadene kapljico več sve- tlobe kot pod ve- likimi. slika 12. Odvisnost smeri žarkov glavne in stranske mavrice od odalje- nosti žarka do središča kapljice s polmerom r. Pomen mavrǐcnega kota Poglejmo ponovno sliko 8. Denimo, da narisani ža- rek zadene naše oko. Potem je kot ϕ enak kotu z vrhom v našem očesu, enim krakom v smeri sončnih žarkov (stran od sonca) in drugim krakom v smeri kapljice, iz katere žarek izhaja (slika 10). Ta kot lahko zavzame vrednosti od 0◦ doϕmax. Ker jeϕmax enak za vse kapljice, ustreza v prostoru temu pogoju notranjost stožca z vrhom v našem očesu, osjo v smeri sončnih žarkov in kotom ϕmax med osjo in stranico stožca. V idealnem primeru, ko je opazova- lec dovolj visoko in ves dopustni prostor zastira de- žna zavesa, daje pojav vtis osvetljene krožne plošče v daljavi. V običajnih razmerah pa je več kot polovica tega stožca pod obzorjem. V zgornjem delu priha- jajo do nas žarki tretjega reda, ki jih dojemamo kot kos osvetljene polkrožne plošče. Kolikšen je ta kos, je odvisno od višine sonca, konfiguracije obzorja in od obsega dežne zavese. Slika 10 Porazdelitev svetlobe na mavrǐcni plošči Poglejmo, kako je s porazdelitvijo svetlobe na opi- sani navidezni plošči. Ker pripada dani kapljici ena sama ravnina, v kateri potuje žarek tretjega reda pro- ti opazovalčevemu očesu, je tudi ta problem ravnin- ski. Sončna svetloba je v prostoru enakomerno poraz- deljena. Za ravninski primer lahko to lastnost prika- žemo s snopom med seboj enakomerno oddaljenih žarkov (slika 11). S slike vidimo, da temu ne ustreza enakomerna porazdelitev vpadnih kotov. Pod manj- šimi vpadnimi koti zadene kapljico več žarkov kot pod velikimi. Enakomerna pa je porazdelitev odda- ljenosti vpadnih žarkov od središča kapljice. Na sliki 11 je ta razdalja označena z d. Zavzame lahko vrednosti z intervala [0, r ], kjer je r polmer opa- zovane kapljice. Enako velikim intervalom spremen- ljivke d pripadajo enake količine vpadle svetlobe. Slika 11 Za opis svetlobe na navidezni svetli plošči v daljavi je z to primerneje v funkciji (2) zamenjati spremen- ljivko α s spremenljivko d. Opustimo analitičen za- pis funkcije ϕ(d), d ∈ [0, r ], pač pa si oglejmo njen graf na sliki 12. Na isti sliki je narisan tudi graf ustre- zne funkcije za stransko mavrico. Večjo koncentracijo svetlobe lahko pričakujemo v taki smeri ϕ, v kateri se združujejo žarki s šir- šega območja spremenljivke d. To je področje po- časnega spreminjanja funkcije ϕ(d), torej okolica maksimuma. S slike 12 razberemo, da za zelo širok interval spremenljivke d izhajajo žarki tretjega reda pod koti med 40◦ in 42◦. Pri manjših vrednostih kota 7 ϕ je svetlobe manj in je enakomerneje porazdeljena. Slika 12 Zato ima navidezna svetlobna plošča v bližiniϕmax, to je ob zunanjem robu, svetel lok, ki bledi posto- poma proti notranjosti in ostreje proti temni zuna- nji strani. Zaradi tega dodatnega pomena kot ϕmax res zasluži ime mavrični kot. Kaj pa barve? Pri izračunu mavričnega kota nismo upoštevali, da sestoji naravna bela svetloba iz barvnih komponent, saj smo funkcijo (2) dobili iz (1) z vstavljanjem n = = 43 , približne povprečne vrednosti lomnega količ- nika za prehod svetlobe iz zraka v vodo. Dejan- sko pa bi morali vstaviti za vsako posamezno barvo njeno povprečno vrednost za n. Da ne bo preveč podatkov, navedimo le vrednosti za mejni barvi in pripadajoča mavrična kota: Tabela 1 Vidimo, da je mavrični kot pri rdeči komponenti za dobri dve stopinji večji kot pri vijolični. Ko gremo v osnovnem spektru vidne svetlobe od vijolične preko modre, zelene, rumene in oranžne barve do rdeče, lomni količnik monotono pada. Pri tem mavrični kot monotono narašča od 40,3◦ do 42,6◦ glede na barve v istem vrstnem redu, kot si slede v osnovnem spek- tru. Mavrica sestoji torej iz svetlobnih plošč različ- nih barv. Ker imajo skupno središče (na poltraku iz našega očesa v smeri sončnih žarkov), se v sredini prekrivajo in dajejo belo ali svetlo sivo notranjost glavnega mavričnega loka. Posamezne barvne plo- šče so zaradi različnih mavričnih kotov različno ve- like. Največja je rdeča, najmanjša vijolična plošča. Zato rdeča plošča na zunanjem robu ni prekrita z drugimi barvami. To pojasnjuje, zakaj je rdeča barva v mavrici najčistejša. Ostale barve se bolj ali manj prekrivajo. Ker pa so njihovi močneje obarvani zuna- nji robovi medsebojno rahlo premaknjeni, prevlada v mešanici na posameznem mestu ustrezna najmoč- nejša barva. Lep lok glavne mavrice torej sestavljajo drug ob drugem nanizani barvni loki s skupno navide- zno širino nekaj nad dvema stopinjama. V njem je vijolična barva najmanj izrazita, ker je prekrita z vsemi drugimi barvami. Včasih celo čisto zbledi. Ostale barve postajajo proti zunanjemu robu vse iz- razitejše. Stranska mavrica Stransko mavrico obravnavamo podobno kot glavno, le da namesto žarkov tretjega reda analiziramo žarke 8 ϕ je svetlobe manj in je enakomerneje porazdeljena. Slika 12 Zato ima navidezna svetlobna plošča v bližiniϕmax, to e ob zunanjem robu, svetel lok, ki bledi posto- poma proti notranjosti in ostreje proti temni zuna- nj st ni. Zaradi tega doda nega p mena kot ϕmax r zasluži ime mavrični kot. Kaj pa arv ? Pri izračunu mavričnega kota nism upoštevali, da sest ji naravna bela svetloba iz barvnih komponent, saj smo fu kcijo (2) dobili iz (1) z vstavlja jem n = = 43 , približne povprečne vrednosti lomnega količ- nika za prehod svetlobe iz zraka v vodo. Dejan- sko pa bi morali vstaviti za vsako posamezno barvo njeno povprečno vrednost za n. Da ne bo preveč podatkov, navedimo le vrednosti za mejni barvi in pripadajoča mavrična kota: Tabela 1 Vidimo, da je mavrični kot pri rdeči kompo enti za dobri dve stopinji večji kot pri vijolični. Ko gremo v osnovnem spektru vidne svetlobe od vijolične preko modre, zelene, rumen in oranžne barve do rdeče, lomni količnik onotono pada. Pri tem mavrični kot monotono n rašča od 40,3◦ do 42,6◦ glede na barve v istem vrst em redu, k t si slede v osn vnem spek- tru. Mavrica sestoj torej iz svetlobnih plošč različ nih barv. Ker imajo skupno središče (na poltraku iz n šega o esa v smeri so č ih ža kov), se v s edini p ekrivajo in dajej belo ali svetlo sivo notranjost glavnega mavričnega lok . Posamezne barvne plo- šč so zaradi azličnih ma ričnih kot v različno ve like. Največja j rdeča, najmanjša vijolična plošča. Zato rdeˇa plošča na zunanjem robu ni prekrita z drugimi barvami. To pojasnjuje, zakaj je rdeča barva v mavrici najčistejša. Ostale barve se bo ali manj prek ivajo. Ker pa so njihovi močneje obarva i zuna nji robovi medsebojno rahlo premaknjeni, prevlada v mešanici na posameznem mestu ustrezna najmoč- nejša barva. Lep lok glavne mav ice torej sestavljajo drug ob drugem nanizani barvni loki s skupno navide- zno širino nekaj nad dvema stopinjama. V njem je vijolična barva najmanj izrazita, ker je prekrita z vsemi drugimi barvami. Včasih celo čisto zbledi. Ostale barve postajajo proti zunanjemu robu vse iz- razitejše. Stranska mavrica Stransko mavrico obravnavamo podobno kot glavno, le da namesto žarkov tretjega reda analiziramo žarke 8 ϕ je svetlobe manj in je enakomerneje porazdeljena. Slika 12 Zato ima navidezna svetlobna pl šča v ižiniϕmax, to je ob zunanjem robu, svetel lok, k bledi posto poma proti notranjosti in ostreje roti temni zuna- nji strani. Zaradi tega doda nega pomena kot ϕmax res zasluži ime mavrični kot. Kaj pa barve? Pri izračunu mavričnega a nismo upoštevali, da estoji naravna bela svet oba iz barvnih kompo ent, saj smo funkcijo (2) dobili iz (1) z vstavljanjem n = = 43 , približne po prečne vrednosti lomnega količ nika z prehod svetlobe iz zraka v vodo. Dejan- ko pa bi mor li vstaviti za vsako posamezno barvo njeno povprečno vrednost za n. Da ne bo preveč od tkov, navedimo le vrednosti za mej i barvi in pripad joča mavrična kota: Tabela 1 Vidimo, da je mavričn rdeč komponenti za do ri dve stopinji večji kot pri vij ličn . Ko gremo v osnovnem sp ktru vidne svetlobe od vijolične pr ko modre, zelene, rumene in or nžne barve do rdeče, lomni količ ik on tono pa a. Pri tem avrič i kot monotono narašča od 40,3◦ do 42,6◦ glede na barve v istem vrstn m edu, kot si s ed v osn vnem spek- tru. Mavrica sestoji torej iz svetlobnih plošč različ- ih b rv. Ker imajo skupno središče (na poltraku iz našega očesa v smeri s nčnih žark v), se v sredini prekrivajo in dajejo belo li svetlo sivo notranjost glavneg mavričnega loka. Posamezne barvne plo šč so zaradi različnih mavričnih kotov raz ičn ve- like. Najv čja je rdeča, jmanjša vijol čna plošča. Zato rdeč plošča na zunanjem r bu ni prekrita z drugimi barvami. To pojasnjuje, zakaj j rdeča barva v mavrici najčistejša. Ostale barv se bolj ali manj pr kriv o. Ker pa so njihovi močneje obarv ni zun - nji robovi medsebojno rahlo premaknjeni, prevl da v mešanici na posameznem m stu ustr zna najmoč- nejš barva. Lep lok gl vne mav ice t rej s stavlj jo drug ob drugem nanizani barvni loki s skupno na ide- zno irino nekaj d dvema opinjama. V njem je vijol čn barva najmanj izrazita, ker je prekrita z vsemi drugimi barv m . Včasih c lo čisto zbledi. Ostale barve postajajo p oti zunanjem robu vse iz razitejše. Stranska mavric Stransko mavrico obravnavamo podobno kot glavno, le da namesto žarkov tretjega reda analiziramo žarke 8 tlobe rič i lošči j barva n φ max rdeča 1,329 42,6° vijolična 1,345 40,3° tabel 1. Presek 38 (2010/2011) 1 20° O r d 40° 60° 80° 100° 120° 140° 160° 180° Aleksandrov temni pas žarki 4. reda žarki 3. reda φ max φ min φ α α r dd Pomen mavrǐcnega kota Poglejmo ponovno sliko 8. Denimo, da narisani ža- rek zadene naše oko. Potem je kot ϕ enak kotu z vrhom v našem očesu, enim krakom v smeri sončnih žarkov (stran od sonca) in drugim krakom v smeri kapljice, iz katere žarek izhaja (slika 10). Ta kot lahko zavzame vrednosti od 0◦ doϕmax. Ker jeϕmax enak za vse kapljice, ustreza v prostoru temu pogoju notranjost stožca z vrhom v našem očesu, osjo v smeri sončnih žarkov in kotom ϕmax med osjo in stranico stožca. V idealnem primeru, ko je opazova- lec dovolj visoko in ves dopustni prostor zastira de- žna zavesa, daje pojav vtis osvetljene krožne plošče v daljavi. V običajnih razmerah pa je več kot polovica tega stožca pod obzorjem. V zgornjem delu priha- jajo do nas žarki tretjega reda, ki jih dojemamo kot kos osvetljene polkrožne plošče. Kolikšen je ta kos, je odvisno od višine sonca, konfiguracije obzorja in od obsega dežne zavese. Slika 10 Porazdelitev svetlobe na mavrǐcni plošči Poglejmo, kako je s porazdelitvijo svetlobe na opi- sani navidezni plošči. Ker pripada dani kapljici ena sama ravnina, v kateri potuje žarek tretjega reda pro- ti opazovalčevemu očesu, je tudi ta problem ravnin- ski. Sončna svetloba je v prostoru enakomerno poraz- deljena. Za ravninski primer lahko to lastnost prika- žemo s snopom med seboj enakomerno oddaljenih žarkov (slika 11). S slike vidimo, da temu ne ustreza enakomerna porazdelitev vpadnih kotov. Pod manj- šimi vpadnimi koti zadene kapljico več žarkov kot pod velikimi. Enakomerna pa je porazdelitev odda- ljenosti vpadnih žarkov od središča kapljice. Na sliki 11 je ta razdalja označena z d. Zavzame lahko vrednosti z intervala [0, r ], kjer je r polmer opa- zovane kapljice. Enako velikim intervalom spremen- ljivke d pripadajo enake količine vpadle svetlobe. Slika 11 Za opis svetlobe na navidezni svetli plošči v daljavi je zato primerneje v funkciji (2) zamenjati spremen- ljivko α s spremenljivko d. Opustimo analitičen za- pis funkcije ϕ(d), d ∈ [0, r ], pač pa si oglejmo njen graf na sliki 12. Na isti sliki je narisan tudi graf ustre- zne funkcije za stransko mavrico. Večjo koncentracijo svetlobe lahko pričakujemo v taki smeri ϕ, v kateri se združujejo žarki s šir- šega obm čja spremenljivke d. To j področje po- časnega spr injanja fu kcije ϕ(d), t ej okolica maksimuma. S slike 12 razberemo, da za zelo širok interval spremenljivke d izhajajo žarki tretjega reda pod koti med 40◦ in 42◦. Pri manjših vrednostih kota 7 • 10 m a t e m a t i k a četrtega reda. Odvisnost kota ϕ, ki ga merimo od istega poltraka kot pri žarkih tretjega reda, prika- zuje zgornja krivulja na sliki 12. Vidimo, da stranska mavrica ne oddaja nobene svetlobe v notranjost stožca, določenega s kotom ϕmin, ki meri približno 50◦. To je mavrični kot stranske mavrice. Med posameznimi barvami ima najmanjši mavrični kot rdeča komponenta stranske mavrice, največjega vijolična. Zato si barve stran- ske mavrice slede od znotraj navzven v obratnem vrstnem redu kot pri glavni mavrici. Poleg tega so razlike med mavričnimi koti posameznih barv večje. Zato je stranska mavrica širša od glavne, je pa tudi bolj medla oziroma bleda. To lahko razložimo z ve- čjo izgubo svetlobe pri žarkih četrtega reda v pri- merjavi z žarki tretjega reda. Delno pa pojasnjuje medlost tudi manj sploščeno teme zgornje krivulje na sliki 12. Slika 12 pojasnjuje tudi Aleksandrov temni pas, temnejše področje med obema mavričnima lokoma. Vidimo, da žarki tretjega in četrtega reda ne prispe- vajo nič svetlobe v kote med 42◦ in 50◦. Če ne bi bilo drugih žarkov, bi bilo to področje povsem črno. Navidezna oddaljenost mavrice Dejstvo, da človek gleda z dvema očesoma, ima za posledico globinski vid. To je sposobnost razločiti, da so predmeti od nas različno oddaljeni. Ker sta očesi postavljeni narazen, vidita isti predmet pod nekoliko različnima zornima kotoma. Bližje nas je predmet, večja je razlika med kotoma. Pri tem dobi vsako oko drugačno polpodobo predmeta. Možgani združijo obe polpodobi v eno samo in tako ustva- rijo globinski vtis. Ta sega približno 1300 m daleč, nato pa se izgubi, ker postane razlika med zornima kotoma premajhna. Mavrico zaznavata obe očesi pod mavričnim ko- tom, torej sta oba zorna kota enaka. Zato dojemamo mavrico kot zelo oddaljen predmet, četudi morda dežna zavesa, na kateri je mavrica nastala, blizu. Ta optična prevara je lahko moteča, kadar izza neda- leč nastale mavrice vidimo predmete, ki jih naš glo- binski občutek postavlja pred mavrico. Nenavaden občutek ustvarja tudi dejstvo, da se mavrica z opa- zovalcem premika glede na okolico. Zato je nikoli ne moremo doseči. Pojavnost mavrice Naravna mavrica se rada prikaže, če se po plohi hi- tro razjasni in nizko ležeče sonce obsije odhajajoče nevihtne oblake. V osrednji Sloveniji so zaradi pre- vladujočih zahodnih in jugozahodnih smeri vetra ti pogoji izpolnjeni najpogosteje pozno popoldne ob koncu vročinskih neviht. Večji verjetnosti za popol- dansko kot dopoldansko mavrico botruje tudi dej- stvo, da pade dopoldne navadno manj dežja kot po- poldne. Izključena pa možnost dopoldanske mavrice seveda ni (slika 13). 9 ϕ je svetlobe manj in je enakomerneje porazdeljena. Slika 12 Zato ima navidezna svetlobna plošča v bližiniϕmax, to je ob zunanjem robu, svetel lok, ki bledi posto- poma proti notranjosti in ostreje proti temni zuna- nji strani. Zaradi tega dodatnega pomena kot ϕmax res zasluži ime mavrični kot. Kaj pa barve? Pri izračunu mavričnega kota nismo upoštevali, da sestoji naravna bela svetloba iz barvnih komponent, saj smo funkcijo (2) dobili iz (1) z vstavljanjem n = = 43 , približne povprečne vrednosti lomnega količ- nika za prehod svetlobe iz zraka v vodo. Dejan- sko pa bi morali vstaviti za vsako posamezno barvo njeno povprečno vrednost za n. Da ne bo preveč podatkov, navedimo le vrednosti za mejni barvi in pripadajoča mavrična kota: Tabela 1 Vidimo, da je mavrični kot pri rdeči komponenti za dobri dve stopinji večji kot pri vijolični. Ko gremo v osnovnem spektru vidne svetlobe od vijolične preko modre, zelene, rumene in oranžne barve do rdeče, lomni količnik monotono pada. Pri tem mavrični kot monotono narašča od 40,3◦ do 42,6◦ glede na barve v istem vrstnem redu, kot si slede v osnovnem spek- tru. Mavrica sestoji torej iz svetlobnih plošč različ- nih barv. Ker imajo skupno središče (na poltraku iz našega očesa v smeri sončnih žarkov), se v sredini prekrivajo in dajejo belo ali svetlo sivo notranjost glavnega mavričnega loka. Posamezne barvne plo- šče so zaradi različnih mavričnih kotov različno ve- like. Največja je rdeča, najmanjša vijolična plošča. Zato rdeča plošča na zunanjem robu ni prekrita z drugimi barvami. To pojasnjuje, zakaj je rdeča barva v mavrici najčistejša. Ostale barve se bolj ali manj prekrivajo. Ker pa so njihovi močneje obarvani zuna- nji robovi medsebojno rahlo premaknjeni, prevlada v mešanici na posameznem mestu ustrezna najmoč- nejša barva. Lep lok glavne mavrice torej sestavljajo drug ob drugem nanizani barvni loki s skupno navide- zno širino nekaj nad dvema stopinjama. V njem je vijolična barva najmanj izrazita, ker je prekrita z vsemi drugimi barvami. Včasih celo čisto zbledi. Ostale barve postajajo proti zunanjemu robu vse iz- razitejše. Stranska mavrica Stransko mavrico obravnavamo podobno kot glavno, le da namesto žarkov tretjega reda analiziramo žarke 8 ric ost rice četrtega reda. Odvisnost kota ϕ, ki ga merimo od istega poltraka kot pri žarkih tretjega reda, prika- zuje zgornja krivulja na sliki 12. Vidimo, da stranska mavrica ne oddaja nobene svetlobe v notranjost stožca, določenega s kotom ϕmin, ki meri približno 50◦. To je mavrični kot stranske mavrice. Med posameznimi barvami ima najmanjši mavrični kot rdeča komponenta stranske mavrice, največjega vijolična. Zato si barve stran- ske mavrice slede od znotraj navzven v obratnem vrstnem redu kot pri glavni mavrici. Poleg tega so razlike med mavričnimi koti posameznih barv večje. Zato je stranska mavrica širša od glavne, je pa tudi bolj medla oziroma bleda. To lahko razložimo z ve- čjo izgubo svetlobe pri žarkih četrtega reda v pri- merjavi z žarki tretjega reda. Delno pa pojasnjuje medlost tudi manj sploščeno teme zgornje krivulje na sliki 12. Slika 12 pojasnjuje tudi Aleksandrov temni pas, temnejše področje med obema mavričnima lokoma. Vidimo, da žarki tretjega in četrtega reda ne prispe- vajo nič svetlobe v kote med 42◦ in 50◦. Če ne bi bilo drugih žarkov, bi bilo to področje povsem črno. Navidezna oddaljenost mavrice Dejstvo, da človek gleda z dvema očesoma, ima za posledico globinski vid. To je sposobnost razločiti, da so predmeti od nas različno oddaljeni. Ker sta očesi postavljeni narazen, vidita isti predmet pod nekoliko različnima zornima kotoma. Bližje nas je predmet, večja je razlika med kotoma. Pri tem dobi vsako oko drugačno polpodobo predmeta. Možgani združijo obe polpodobi v eno samo in tako ustva- rijo globinski vtis. Ta sega približno 1300 m daleč, nato pa se izgubi, ker postane razlika med zornima kotoma premajhna. Mavrico zaznavata obe očesi pod mavričnim ko- tom, torej sta oba zorna kota enaka. Zato dojemamo mavrico kot zelo oddaljen predmet, četudi morda dežna zavesa, na kateri je mavrica nastala, blizu. Ta optična prevara je lahko moteča, kadar izza neda- leč nastale mavrice vidimo predmete, ki jih naš glo- binski občutek postavlja pred mavrico. Nenavaden občutek ustvarja tudi dejstvo, da se mavrica z opa- zovalcem premika glede na okolico. Zato je nikoli ne moremo doseči. Pojavnost mavrice Naravna mavrica se rada prikaže, če se po plohi hi- tro razjasni in nizko ležeče sonce obsije odhajajoče nevihtne oblake. V osrednji Sloveniji so zaradi pre- vladujočih zahodnih in jugozahodnih smeri vetra ti pogoji izpolnjeni najpogosteje pozno popoldne ob koncu vročinskih neviht. Večji verjetnosti za popol- dansko kot dopoldansko mavrico botruje tudi dej- stvo, da pade dopoldne navadno manj dežja kot po- poldne. Izključena pa možnost dopoldanske mavrice seveda ni (slika 13). 9 i slika 13. Jutranja mavrica na zahodnem nebu v okolici Ljubljane (foto Marija Vencelj). presek 38 (2010/2011) 1 Vidimo, da stranska mavrica ja nobene l e jost stožca, določenega s kotom • 11 m a t e m a t i k a slika 14. Mavrica, narejena na do- mačem vrtu (foto Marija Vencelj). slika 15. Descartesova skica razlage mavrice iz leta 1637. Žarek ABCDE prikazuje pot žarkov glavne mavrice, žarek FGHIKE pot žarkov stranske mavrice. Slika 13 Poleti okrog poldne v naših krajih naravna mavrica ni vidna, ker je sonce previsoko na nebu. Pa vendar se tudi to - sicer redko - lahko zgodi (slika 4). Nedvisno od letnega časa in vremenskih razmer lahko mavrico opazimo v pršici fontan, škropilnikov ali slapov. Ker taka mavrica ni vezana na nevihte, jo veliko laže in natančneje predvidimo. V lepem vremenu si mavrico lahko napravimo sa- mi, tako da s škropilko za zalivanje vrta ali pranje avtomobila naredimo zaveso iz vodnih kapljic. Do- bljena mavrica je povsem enaka naravni. Le veli- kost mavričnega kolobarja je manjša, ker smo bliže odbojni steni iz vodnih kapljic (slika 14). Središče mavrice najdemo tako, da pogledamo v smeri svoje sence. Pri taki mavrici lahko tudi opazujemo, kako se premika glede na okoliške predmete, ko spremi- njamo svoj položaj. Pojav je veliko izrazitejši kot pri naravni mavrici, saj se koti, odgovorni za mavrico, že pri majhnih premikih hitro spreminjajo. Poskusite! Slika 14 Zgodovina razlage mavrice Prvi poskus znanstvene razlage mavrice zasledimo že okrog leta 1000. Veliki islamski učenjak Alhazen je domneval, da nastane mavrica pri odboju sončnih ž rkov na oblaku z obliko vbočenega zrcala. Čeprav napačna, je bila ta domneva osnova kasnejšim pra- vilnim razlagam nastanka mavrice. Da je mavrica posledica odboja in loma svetlobe, je že v 13. stoletju domneval poljski menih Witelo. Vendar je menil, da gre za lom in odboj na oblaku kot celoti. Pomemben napredek pomeni trditev nemškega meniha Teodorica iz Freiberga v začetku 14. stole- tja, da nastane mavrica zaradi loma in odboja sve- tlobe na posameznih vodnih kapljicah. Opisal je lego glavne in stranske mavrice in razložil, zakaj je vrstni red barv v obeh mavricah medsebojno naspro- ten. Ker v njegovem času lomni zakon še ni bil znan, ni mogel razložiti, zakaj vidimo mavrico vedno pod istim kotom glede na smer sončnih žarkov. Do ena- kih zaključkov kot on je neodvisno prišel njegov so- dobnik, perzijski astronom al-Farisi. Skupno jima je, da sta osnove črpala iz Alhazenove knjige Optika. Njuno razlago je tristo let kasneje, kmalu po od- kritju lomnega zakona, nadgradil francoski filozof, matematik in fizik René Descartes (slika 15). Na- tančno je opisal pot vzporednih sončnih žarkov, ki zadenejo kapljico pod različnimi vpadnimi koti, in razložil mavrični kot glavne in stranske mavrice. Slika 15 10 Slika 13 Poleti okrog poldne v naših krajih naravna mavrica ni vidn , ker je sonce previsoko a nebu. Pa vendar se tudi to - sicer redko - lahko zgodi (slika 4). Nedvisno od le nega č sa in vremenskih razmer lahko mavrico op zimo v pršici fontan, škropilnikov ali slapov. Ker taka mavrica ni vezana na neviht , jo velik laže in nat nčne e predvidimo. V lepem remenu si mavrico lahko n pr im sa- mi, tako da s škropilko za zalivanje vrta ali pranje avtomobila naredimo zaveso iz vodnih kapljic. Do- bljena mavrica je povsem enaka naravni. Le veli- kost mavričnega kolobarja je manjša, ker smo bliže odbojni steni iz vodnih kapljic (slika 14). Središče mavrice najdemo tako, da pogledamo v smeri svoje sence. Pri taki m vrici l hko tudi opazujemo, kako se premika glede na okoliške predmete, ko spremi- njamo svoj položaj. Pojav je veliko izrazitejši kot pri naravni mavrici, saj se koti, odgovorni za mavrico, že pri m jhnih premikih hitro spreminjajo. Poskusite! Slika 14 Zgodovina razlage mavrice Prvi poskus znanstvene razlage mavrice zasledimo že okrog leta 1000. Veliki islamski učenjak Alhazen je domneval, da nastane mavrica pri odb ju sončnih žarkov na blaku z obliko vbočenega zrcala. Čeprav napačna, j bila t domneva osnova kasnejšim pra- ilnim razlagam nastanka mavrice. Da je mavrica posledica odboj in loma svetlobe je že v 13. st le ju domneval poljski menih Witelo. Vendar je enil, da gre za l m in odboj na oblaku ot celoti. Pomemben napredek pomeni trditev nemškega meniha Teodorica iz Freiberga v začetku 14. stole- tja, da nastane mavrica zaradi loma in odboja sve tlobe na posameznih vodnih kapljicah. Opisal je lego gl vne i stranske mavri e in raz ožil, zakaj je vrst i red barv v obeh mav icah medsebojno naspro- ten. K r v njegovem času lom zakon še ni bil znan, ni mogel r zložiti, zakaj idimo m vrico vedno pod istim kotom glede na smer sončnih žarkov. Do ena- kih zaključkov kot on je neodvisno prišel njegov so- dobnik, perzijski astronom al-Farisi. Skupno jima je, da sta osnove črpala iz Alhazenove knjige Optika. Njuno razlago je tristo let kasneje, kmalu po od- kritju lomnega zakona, nadgradil francoski filozof, matematik in fizik René Descartes (slika 15). Na- tančno je opisal pot vzporednih sončnih žarkov, ki zadenejo kapljico pod različnimi vpadnimi koti, in razložil mavrični kot glavne in stranske mavrice. Slika 15 10 Slika 13 Poleti okrog poldne v naših krajih naravna mavrica ni vidna, ker je sonce previsoko na nebu. Pa vendar se tudi to - sicer redko - lahko zgodi (slika 4). Nedvisno od letnega časa in vremenskih razmer lahko mavrico opazimo v pršici fontan, škropilnikov ali slapov. Ker taka mavrica ni vezana na nevihte, jo veliko laže in natančneje predvidimo. V lepem vremenu si mavrico lahko napravimo sa- mi, tako da s škropilko za zalivanje vrta ali pranje avtomobila naredimo zaveso iz vodnih kapljic. Do- bljena mavrica je povsem enaka naravni. Le veli- kost mavričnega kolobarja je manjša, ker smo bliže odbojni steni iz vodnih kapljic (slika 14). Središče mavrice najdemo tako, da pogledamo v smeri svoje sence. Pri taki mavrici lahko tudi opazujemo, kako se premika glede na okoliške predmete, ko spremi- njamo svoj položaj. Pojav je veliko izrazitejši kot pri naravni mavrici, saj se koti, odgovorni za mavrico, že pri majhnih premikih hitro spreminjajo. Poskusite! Slika 14 Zgodovina razlage mavrice Prvi poskus znanstvene razlage mavrice zasledimo že okrog leta 1000. Veliki islamski učenjak Alhazen je domneval, da nastane mavrica pri odboju sončnih žarkov na oblaku z obliko vbočenega zrcala. Čeprav napačna, je bila ta domneva osnova kasnejšim pra- vilnim razlagam nastanka mavrice. Da je mavrica posledica odboja in loma svetlobe, je že v 13. stoletju domneval poljski menih Witelo. Vendar je menil, da gre za lom in odboj na oblaku kot celoti. Pomemben napredek pomeni trditev nemškega meniha Teodorica iz Freiberga v začetku 14. stole- tja, da nastane mavrica zaradi loma in odboja sve- tlobe na posameznih vodnih kapljicah. Opisal je lego glavne in stranske mavrice in razložil, zakaj je vrstni red barv v obeh mavricah medsebojno naspro- ten. Ker v njegovem času lomni zakon še ni bil znan, ni mogel razložiti, zakaj vidimo mavrico vedno pod istim kotom glede na smer sončnih žarkov. Do ena- kih zaključkov kot on je neodvisno prišel njegov so- dobnik, perzijski astronom al-Farisi. Skupno jima je, da sta osnove črpala iz Alhazenove knjige Optika. Njuno razlago je tristo let kasneje, kmalu po od- kritju lomnega zakona, nadgradil francoski filozof, matematik in fizik René Descartes (slika 15). Na- tančno je opisal pot vzporednih sončnih žarkov, ki zadenejo kapljico pod različnimi vpadnimi koti, in razložil mavrični kot glavne in stranske mavrice. Slika 15 10 Barvitost mavrice je postala razumljiva šele po letu 1666. Tedaj je angleški matematik, fizik in astronom Isaac Newton s svojim slavnim poskusom prehoda svetlobe skozi tristrano prizmo pokazal, da je bela svetloba mešanica vijolične, modre, zelene, rumene, oranžne in rdeče barve in da se vsaka teh barv neko- liko drugače lomi. Tako so bili z metodo geometrijske optike, na ka- tero smo se v tem prispevku omejili tudi mi, poja- snjeni najbolj opazni mavrični pojavi. Ni pa moč z njo pojasniti navidezno manj pomembnih pojavov. Za njihovo razumevanje je treba upoštevati valovno naravo svetlobe. Angleški učenjak Thomas Young je leta 1804 z interferenco pojasnil pojav dodatnih lokov, ki leže na notranji strani glavne mavrice. Nje- govo delo je kasneje dopolnil George B. Airy, ki je pokazal, da je jakost dodatnih lokov odvisna od ve- likosti dežnih kapljic. Čim manjše so kapljice, tem redkejši in zato jasneje vidni so dodatni loki. Ko kapljice dežja padajo, se večajo, zato dodatne loke lažje opazimo blizu vrha mavrice. Moderni fizikalni opisi mavrice in sorodnih po- javov, npr. glorije, temeljijo na Mievem sipanju. To nastaja na zelo majhnih okroglih kapljicah, katerih velikost je približno enaka valovni dolžini vidne sve- tlobe, to je nekaj sto nanometrov. 11 Presek 38 (2010/2011) 1 • Barvitost mavrice je postala razumljiva šele po letu 1666. Tedaj je angleški matematik, fizik in astronom Isaac Newton s svojim slavnim poskusom prehoda svetlobe skozi tristrano prizmo pokazal, da je bela svetloba mešanica vijolične, modre, zelene, rumene, oranžne in rdeče barve in da se vsaka teh barv neko- liko drugače lomi. Tako so bili z metodo geometrijske optike, na ka- tero smo se v tem prispevku omejili tudi mi, poja- snjeni najbolj opazni mavrični pojavi. Ni pa moč z njo pojasniti navidezno manj pomembnih pojavov. Za njihovo razumevanje je treba upoštevati valovno naravo svetlobe. Angleški učenjak Thomas Young je leta 1804 z interferenco pojasnil pojav dodatnih lokov, ki leže na notranji strani glavne mavrice. Nje- govo delo je kasneje dopolnil George B. Airy, ki je pokazal, da je jakost dodatnih lokov odvisna od ve- likosti dežnih kapljic. Čim manjše so kapljice, tem redkejši in zato jasneje vidni so dodatni loki. Ko kapljice dežja padajo, se večajo, zato dodatne loke lažje opazimo blizu vrha mavrice. Moderni fizikalni opisi mavrice in sorodnih po- javov, npr. glorije, temeljijo na Mievem sipanju. To nastaja na zelo majhnih okroglih kapljicah, katerih velikost je približno enaka valovni dolžini vidne sve- tlobe, to je nekaj sto nanometrov. 11 Mednarodno leto astronomije 2009 so razglasili v spomin na leto 1609. Tedaj je Galileo Galilei med prvimi usmeril daljnogled v nebo in nebo prvi na- črtno raziskal. Odkril je gore na Luni, zvezde v Rimski cesti, štiri Jupitrove Lune, pa še Saturnov obroč, ki ga s svojim daljnogledom ni mogel raz- ločiti od planeta, Venerine mene in Sončeve pege. Leta 1609 je Johannes Kepler odkril prva dva za- kona o gibanju planeta po elipsi. Galilei je dosegel veliko tudi v fiziki, tako da nekateri v njem ne vi- dijo samo „očeta opazovalne astronomije“, ampak tudi „očeta fizike“. Med drugim je odkril zakon o padanju in z njim zajel gibanje izstrelkov. Po- vejmo nekaj o tem. Padanje kamna in kotaljenje kroglice po blagem klan- cu je enakomerno pospešeno gibanje. Galilei je tako gibanje prištel k „lokalnim gibanjem“, to je gibanjem na Zemlji, da ga je razlikoval od gibanja planetov. Lokalnim gibanjem je leta 1638 posvetil tretje in če- trto poglavje, to je zadnji poglavji, v knjigi Razprave in matematični dokazi o dveh novih znanostih, ki za- devata mehaniko in lokalna gibanja. Po Evklidovem in Arhimedovem zgledu je svoje ugotovitve oblikoval kot izreke. Kot prve tri izreke je v tretjem poglavju navedel: 1. Čas, v katerem telo iz mirovanja z enakomernim pospešenim gibanjem preide določeno razdaljo, je enak času, v katerem bi telo prešlo to razdaljo z ena- komerno hitrostjo, katere vrednost je enaka povpre- čju največje hitrosti in hitrosti, tik preden se je po- speševanje začelo. 2. Razdalje, ki jih preleti telo, padajoče iz mirovanja, so v razmerju kvadratov časov, v katerih preleti te razdalje. 3. Če se telo iz mirovanja giblje po klancu in pada navpično iz enake višine, sta časa v razmerju dolžine klanca in navpičnice. Prvi izrek iz četrtega poglavja se je glasil: 1’. Izstrelek, ki se giblje enakomerno v vodoravni smeri in hkrati enakomerno pospešeno v navpični smeri, opiše tirnico, ki je polovica parabole. Dandanes te ugotovitve v nekaj vrsticah izpeljemo iz Newtonega zakona, potem ko na klancu razstavimo težo na komponenti v smeri klanca in pravokotno na klanec. V prevodih Galilejeve knjige zaman iščemo en sam podatek o pospešku. V prvi izdaji iz leta 1638 pa sta dva podatka, iz katerih je mogoče izračunati pospe- šek prostega padanja. Po prvem podatku pade telo iz višine 200 vatlov v manj kot desetih srčnih utripih 2 . . , , , , , . . , , . . . . , , . , , , . . : . , , , , , . . , , , , . . , . : ’. , , , . , . . , . l t t ij l ili i l t j j lil lil i i i il lj l i i - t i l il j i i i ti ti i it t i ji lj l i l - l iti l t i i t j l il - i j l t li i lil i j l li t i i i t t i j i- ij t l t ij t i t i i j il j i ji j l i j i t l - j j t j i t lj j r li l l - j r i j lil i j t i j ri t l l l i i j t j i j lji j r li l i j l t l i i j j l t til tr tj i - trt l j t j ji l ji ji i i t ti i i i sti i - t i i l l i j li i r i l j j t it li l t i t r tri i r j tr tj l j l t r t l i ir j r i i i j r i l r lj j t r i t l r l t r lj - r itr tj t r r t j r - j j j itr ti i itr ti ti r j - j l lj i ji r l ti t l j i ir j r rj r t t ri r l ti t r lj t l i ir j i lj l i i i i i t r rj l i l i i i r i i r i trt l j j l il I tr l i i lj r r i ri i r ti r i i ri i tir i i j l i r l t t it j r ti i lj i t t l r t i t ti ri l i r t l r i lil j ji i t r i i ji i l t t t i t ri j i r ti - r t j r t t l i i i tl j t ti r i tri i e aro o e o as ro o e 2009 so razg as s o a e o 1609. e a e a eo a e e r s er a og e e o e o r a čr o raz s a . r e gore a L , z ez e s ces , š r J ro e L e, a še Sa r o o roč, ga s s o a og e o oge raz oč o a e a, e er e e e So če e ege. Le a 1609 e Jo a es e er o r r a a za o a o g a a e a o e s . a e e osege e o z , a o a e a er e e o sa o „oče a o azo a e as ro o e“, a a „oče a z e“. e r g e o r za o o a a z za e g a e zs re o . Po e o e a o e . Pa a e ka a ko a e e k og ce o b age k a c e e ako e o os eše o g ba e. a e e ako g ba e š e k „ oka g ba e “, o e g ba e a e , a ga e az kova o g ba a a e ov. Loka g ba e e e a 1638 osve e e če o og av e, o e za og av , v k g azprave a e a č dokaz o dve ov z a o , k za deva a e a ko oka a g ba a. Po Evk ove e ove zg e e svo e go ov ve ob kova ko zreke. o ve z eke e v e e og av ave e : 1. ˇas, v ka e e e o z ova a z e ako e os eše g ba e e e o oče o az a o, e e ak čas , v ka e e b e o eš o o az a o z e a ko e o os o, ka e e v e os e e aka ov e č a več e os os , k e e se e o s eševa e zače o. 2. az a e, k e e e o, a a oče z ova a, so v az e kva a ov časov, v ka e e e e az a e. 3. ˇe se e o z ova a g b e o k a c a a av č o z e ake v š e, s a časa v az e o ž e k a ca av č ce. P v z ek z če ega og av a se e g as : 1’. zs e ek, k se g b e e ako e o v vo o av s e k a e ako e o os eše o v av č s e , o še co, k e o ov ca a abo e. a a es e go ov ve v eka v s ca z e e o z e o ega zako a, o e ko a k a c azs av o ežo a ko o e v s e k a ca avoko o a k a ec. evo a e eve k ge za a šče o e sa o a ek o os ešk . v z a z e a 1638 a s a va o a ka, z ka e e ogoče z ač a os e šek os ega a a a. Po ve o a k a e e o z v š e 200 va ov v a ko ese s č 2 dn dn l n ij l ili v p in n l T d j j G lil G lil i d p vi i u il d ljn l d v n b in n b p vi n - n i k l dk il j n uni v d v Ri ki i i i upi v un p u n v b ki v ji d ljn l d ni l - l i i d pl n V n in n in n v p j h nn K pl dk il p v dv - k n ib nju pl n p lip i G lil i j d l v lik udi v fi iki k d n k i v nj n vi- dij p v ln n ij p k udi fi ik d d u i j dk il k n p d nju in nji j l ib nj i lk v - v j n k j d nj n in lj nj li p l l n- u j n n p p n i nj G lil i j i nj p i l l lni i nj j i nj n Z lji d j li l d i nj pl n lni i nj j l p il j in - p l j j dnji p l ji nji i R in t ti ni i h n ih n n tih i - t h ni in l ln i nj lid in A hi d l du j j u i li l i K p i i j j p l ju n d l C l i i nj n ni p p ni i nj p id d l n d lj j n u i l p l d lj n - n hi j dn j n p p - ju n j j hi i in hi i i p d n j p - p nj l R d lj i jih p l i l p d j i i nj ju d ih p l i d lj C l i i nj i lj p l n u in p d n pi n i n i in ju d l in l n in n pi ni i i i p l j j l il I l i i lj n n d ni i in h i n n p p n n pi ni i pi i ni i j p l i p l D nd n u i n j i h i p lj i N w n n p n l n u i n p n n i i l n in p n n l n V p dih G lil j nji n i n p d p p u V p i i d ji i l p d p d i ih j i un i p p - p p d nj p p d u p d l i i in l nj d ih nih u ipih M t t m m t . m m m t . O , m t , t t , t , m m m t t , m . t t . t , t t m m t t m , m t t . M m m t . m t m. m t r m m r . t r t m m , t m m , r t . m m t t tr t trt , t , m m s , m . m r m m t t t . t r tr r tr t m : . , t r m t m r m r m m m r r , , t r m t r t r m r tr t , t r r t r tr t tr t , t r . . , r t t , m r , r m r r t , t r r t t r . . t m r , t r m r . r r trt : ’. tr , m r r m r r t m r m r , t r , r . t t t r t m t , t m r t m t m t m r r t . r m m m t . r t t t , t r m r t r t . r m t t t m t t r tr e aro o le o as ro o ije 2009 so razglasili s o i a le o 1609 e aj je alileo alilei e r i i s eril alj ogle e o i e o r i a- čr o razis al ril je gore a L i z ez e i s i ces i š iri J i ro e L e a še Sa r o o roč i ga s s oji alj ogle o i ogel raz- loči i o la e a e eri e e e i So če e ege Le a 1609 je Jo a es e ler o ril r a a za- o a o gi a j la e a o eli si alilei je osegel eli o i zi i a o a e a eri je e i- ijo sa o „oče a o azo al e as ro o ije“ a a i „oče a zi e“ e r gi je o ril za o o a a j i z ji zajel gi a je izs rel o Po- ej o e aj o e Pa a je ka a i ko alje je k oglice o blage kla - c je e ako e o os eše o giba je alilei je ako giba je iš el k „lokal i giba je “ o je giba je a e lji a ga je azlikoval o giba ja la e ov Lokal i giba je je le a 1638 osve il e je i če- o oglavje o je za ji oglavji v k jigi azprave i ate atič i dokazi o dve ovi z a o ti ki za- devata e a iko i lokal a giba ja Po Evkli ove i i e ove zgle je svoje go ovi ve oblikoval ko izreke o ve i iz eke je v e je oglavj ave el 1 ˇas v ka e e elo iz i ova ja z e ako e i os eše i giba je ei e oloče o az aljo je e ak čas v ka e e bi elo ešlo o az aljo z e a- ko e o i os jo ka e e v e os je e aka ov e- čj ajvečje i os i i i os i ik e e se je o- s eševa je začelo 2 az alje ki ji ele i elo a ajoče iz i ova ja so v az e j kva a ov časov v ka e i ele i e az alje 3 ˇe se elo iz i ova ja giblje o kla c i a a av ič o iz e ake viši e s a časa v az e j olži e kla ca i av ič ice P vi iz ek iz če ega oglavja se je glasil 1 Izs elek ki se giblje e ako e o v vo o av i s e i i k a i e ako e o os eše o v av ič i s e i o iše i ico ki je olovica a abole a a es e go ovi ve v ekaj v s ica iz elje o iz e o ega zako a o e ko a kla c azs avi o ežo a ko o e i v s e i kla ca i avoko o a kla ec evo i alilejeve k jige za a išče o e sa o a ek o os ešk vi iz aji iz le a 1638 a s a va o a ka iz ka e i je ogoče iz ač a i os e- šek os ega a a ja Po ve o a k a e elo iz viši e 200 va lov v a j ko ese i s č i i i 2 . . , , , , , . . , , . . . . , , . , , , . . : . , , , , , . . , , , , . . , . : ’. , , , . , . . , . dn dn l t t n ij l ili v p in n l t T d j j G lil G lil i d p vi i u il d ljn l d v n b in n b p vi n - tn i k l dk il j n uni v d v Ri ki ti ti i upit v un p tu n v b ki v ji d ljn l d ni l - l iti d pl n t V n in n in n v p t j h nn K pl dk il p v dv - k n ib nju pl n t p lip i G lil i j d l v lik tudi v fi iki t k d n k t i v nj n vi- dij t p v ln t n ij p k tudi t fi ik d d u i j dk il k n p d nju in nji j l ib nj i t lk v - v j n k j t d nj n in t lj nj r li p l l n- u j n rn p p n i nj G lil i j t i nj pri t l l lni i nj t j i nj n Z lji d j r li l d i nj pl n t lni i nj j l t p til tr tj in - trt p l j t j dnji p l ji nji i R in t ti ni i h n ih n n stih i - t h ni in l ln i nj lid in Arhi d l du j j u t it li l t i K t pr tri i r j tr tj p l ju n d l C t r t l i ir nj n rni p p ni i nj pr id d l n r d lj j n u t r i t l pr l t r d lj n - rn hitr tj t r r dn t j n p pr - ju n j j hitr ti in hitr ti ti pr d n j p - p nj l R d lj i jih pr l ti t l p d j i ir nj r rju dr t t rih pr l ti t r d lj C t l i ir nj i lj p l n u in p d n pi n i n i in t r rju d l in l n in n pi ni r i i r i trt p l j j l il I tr l i i lj n rn d r ni ri in h r ti n rn p p n n pi ni ri pi tirni i j p l i p r l D nd n t u t it n j r ti h i p lj i N wt n n p t n l n u r t i t n p n nti ri l n in pr tn n l n V pr dih G lil j nji n i n p d t p p u V pr i i d ji i l t p t d p d t i t rih j i r un ti p p - pr t p d nj pr p d t u p d t l i i in tl nj t d tih r nih utripih r s r s r s s . r s r r r r s . r r , s s , š r J r , š r r , s s r , r . J s r r r s . s , r s „ s r “, „ “. r r s r . . e e e ce e c e e e s eše e. e e e š e „ e “, e e e , e e . e e e s e e e ce e, e , z r e e c z e z , z e e . e e e e e s e e zre e. e e e e e e e e : . s, e e e e e s eše e e e ce , e e c s , e e e eš e e s , e e e s e e e c ec e s s , e e se e s eše e ce . . e, e e e , ce , s e c s , e e e e e. . e se e e c c e e š e, s c s e e c c ce. e ce e se e s : ’. s e e , se e e e s e e e s eše c s e , še c , e c e. es e e e s c e e e e , e c s e e s e c ec. e e e e e šce e s e s eš . e s , e e ce c s e še s e . e e e š e ese s c e a o o le o a o o ije 2009 o azgla ili o i a le o 1609 e aj je alileo alilei e i i e il alj ogle e o i e o i a- č o azi al O il je go e a L i z ez e i i ce i i i i o e L e a e Sa o o oč i ga oji alj ogle o i ogel az- loči i o la e a e e i e e e i So če e ege Le a 1609 je o a e e le o il a a za- o a o gi a j la e a o eli i alilei je o egel eli o i zi i a o a e a e i je e i- ijo a o oče a o azo al e a o o ije a a i oče a zi e e gi je o il za o o a a j i z ji zajel gi a je iz el o Po- ej o e aj o e Pa a j ka a i ko alj j k ogli o blag kla - j ako o o o giba j alil i j ako giba j i l k lokal i giba j o j giba j a lji a ga j azlikoval o giba ja la ov Lokal i giba j j l a 1638 o v il j i ˇ - o oglavj o j za ji oglavji v k jigi a p av i at atiˇ i doka i o dv ovi a o ti ki a- d vata a iko i lokal a giba ja Po Evkli ov i i ov zgl j voj go ovi v oblikoval ko i k o v i iz k j v j oglavj av l 1 ˇa v ka lo iz i ova ja z ako i o i giba j i oloˇ o az aljo j ak ˇa v ka bi lo lo o az aljo z a- ko o i o jo ka v o j aka ov - ˇj ajv ˇj i o i i i o i ik j o- va j zaˇ lo 2 az alj ki ji l i lo a ajoˇ iz i ova ja o v az j kva a ov ˇa ov v ka i l i az alj 3 ˇ lo iz i ova ja giblj o kla i a a av iˇ o iz ak vi i a ˇa a v az j olži kla a i av iˇ i P vi iz k iz ˇ ga oglavja j gla il 1 Iz l k ki giblj ako o v vo o av i i i k a i ako o o o v av iˇ i i o i i i o ki j olovi a a abol a a go ovi v v kaj v i a iz lj o iz o ga zako a o ko a kla az avi o žo a ko o i v i kla a i avoko o a kla vo i alil j v k jig za a i ˇ o a o a k o o k vi iz aji iz l a 1638 a a va o a ka iz ka i j ogoˇ iz aˇ a i o - k o ga a a ja Po v o a k a lo iz vi i 200 va lov v a j ko i ˇ i i i 2 M t t m m t . m m m t . , m t , t t , t , m m m t t , m . t t . t , t t m m t t m , m t t . M m m t . m t m. m t r m m r . t r t m m , t m m , r t . m m t t tr t trt , t , m m s , m . m r m m t t t . t r tr r tr t m : . , t r m t m r m r m m m r r , , t r m t r t r m r tr t , t r r t r tr t tr t , t r . . , r t t , m r , r m r r t , t r r t t r . . t m r , t r m r . r r trt : ’. tr , m r r m r r t m r m r , t r , r . t t t r t m t , t m r t m t m t m r r t . r m m m t . r t t t , t r m r t r t . r m t t t m t t r tr dn r dn l s r n ij s r l sili v sp in n l T d j j G lil G lil i d prvi i us ril d ljn l d v n b in n b prvi n - r n r isk l dkril j r n uni v d v Ri ski s i š iri Jupi r v un p š urn v br ki s sv ji d ljn l d ni l r - l i i d pl n V n rin n in n v p j J h nn s K pl r dkril prv dv - k n ib nju pl n p lipsi G lil i j d s l v lik udi v fi iki k d n k ri v nj n vi- dij s „ p v ln s r n ij “ p k udi „ fi ik “ d dru i j dkril k n p d nju in nji j l ib nj i s r lk v - v j n k j d nje n in ljenje lice p l e l n- cu je en e n p spešen i nje G lilei je i nje p iš el „l lni i nje “ je i nje n Ze lji d je li l d i nj pl ne lni i nje je le p s e il e je in ce- p l je je dnji p l ji nji i R z r e in te ticni zi eh n ih zn n tih i z - e t eh ni in l ln i nj lid e in A hi ed e ledu je s je u i e li l izre e K p e i i e e je e je p l ju n edel C s e e el i i nj en e ni p spešeni i nje p eide d l cen d lj je en c su e e i el p ešl d lj en - e n hi s j e e edn s je en p p e- cju n j ecje hi s i in hi s i i p eden se je p - speše nje cel R d lje i jih p ele i el p d j ce i i nj s e ju d c s e ih p ele i e d lje Ce se el i i nj i lje p l ncu in p d n picn i en e išine s c s e ju d l ine l nc in n picnice i i e i ce e p l j se je l sil I s ele i se i lje en e n d ni s e i in h i en e n p spešen n picni s e i piše i nic i je p l ic p le D nd nes e u i e ne j s ic h i pelje i New ne n p e n l ncu s i e n p nen i s e i l nc in p n n l nec V p e dih G lileje e nji e n išce en s p d e p speš u V p i i d ji i le p s d p d i e ih je ce i cun i p spe- še p s e p d nj p e p d u p de el i išine l nj dese ih s cnih u ipih janez strnad Galilei in pospešek • presek 38 (2010/2011) 1 • 12 m a t e m a t i k a + f i z i k a 13 f i z i k a • Galilei in pospešek in po drugem iz višine 100 vatlov v petih sekundah. Prvi podatek da za pospešek prostega padanja več kot 4,0 m/s2 in drugi 5,6 m/s2. To je precej manj od pravega pospeška g = 9,807 m/s2 v Padovi, kjer je Galilei izvedel večino poskusov. Najbrž so zato v prevodih podatka izpustili. Iz enačbe y = 12gt2, v kateri so y višina in t čas ter g pospešek prostega padanja, izra- čunamo pospešek g = 2y/t2. Če računamo z 72 utripi v minuti, to je 60-ih sekundah, desetim utripom ustreza čas 10 · 60 s/72 = 8,3 s. Vatel (braccio) so uporabljali za mer- jenje dolžine blaga. Zanj danes navedejo 0,7 m, nekdaj pa je meril lahko tudi manj. Prvi podatek da za pospešek g = 4,0 m/s2. Če bi upoštevali krajši vatel, bi bil pospešek še manjši. Ker je navedeno, da je čas krajši od desetih utripov, je pospešek večji od 4,0 m/s2. Z drugim podatkom dobimo pospe- šek 5,6 m/s2. Galilei se je lahko oprl le na geometrijo in soraz- merje. Tedaj niso poznali pojma funkcije in niso pi- sali enačb s simboli za količine. Obstajale so že me- hanične ure, večinoma na cerkvenih stolpih, z enim samim kazalcem. Na dan so zaostale ali prehitele do četrt ure. S tako uro ni bilo mogoče meriti se- kund, čeprav so enoto že poznali. Galilei ni mogel meriti kratkih časov pri prostem padanju. Pomagal si je tako, da je „razredčil“ težni pospešek. Name- sto prostega padanja je opazoval kotaljenje kroglic po blago nagnjenem klancu. Po izreku 3 je s tem po- spešek zmanjšal v razmerju med višino in dolžino klanca. Galilei še ni imel izdelanega pojma sile in ni poznal zakona gibanja. Zato po podatkih pri kota- ljenju kroglic po klancu in nihanju nitnega nihala ni mogel izračunati pospeška prostega padanja. Galilei se je prepričal, da je kotaljenje kroglice po klancu enakomerno pospešeno gibanje s sorazmer- nostjo med potjo in kvadratom časa: s/s1 = t2/t21. Čase je primerjal z opazovanjem srčnega utripa ali razmikov med poki, ko je kroglica preskakovala vr- vice, s katerimi je ovil klanec. Vrvice je premikal, do- kler si poki niso sledili v enakih časovnih razmikih. Pri tem si je pomagal s petjem, ki mu ni bilo tuje, saj sta bila oče in brat glasbenika. Z ritmičnim petjem je mogoče držati takt na desetino sekunde natančno. Natančneje je primerjal čase tako, da je pustil vodo teči iz posodice skozi slamico na dnu v spodnjo po- sodo. Slamico je odprl, ko se je gibanje začelo, in zaprl, ko se je končalo. Razmerje časov je bilo enako razmerju tež vode, ki se je natekla iz posodice v po- sodo in ki jih je stehtal z natančno tehtnico. Poskus je ponavljal, da je izboljšal natančnost. V novejšem času so poskus večkrat izvedli z napravami, ki jih je imel na voljo Galilei, in podprli njegove ugotovitve. Zaradi težav pri merjenju časa se Galilei ni izogi- bal samo podatkom za pospešek, ampak tudi podat- kom za čas in hitrost. Polovico parabole pri vodo- ravnem metu je označil z dolžino (amplitudo) x, vi- šino y in vzvišenostjo (sublimnostjo) Y . Pri paraboli 3 in po drugem iz višine 100 vatlov v petih sekundah. Prvi podatek da za pospešek pros ega padanja več kot 4,0 m/s2 in drugi 5,6 m/s2. To je precej manj od pravega pospeška g = 9,807 m/s2 v Padovi, kjer je Galilei izvedel večino poskusov. Najbrž so zato v prevodih podatka izpustili. Iz enačbe y = 12gt2, v kateri so y višina in t čas ter g pospešek prostega pada ja, izra- čunamo pospešek g = 2y/t2. Če računamo z 72 utripi v minuti, to je 60-ih sekundah, desetim utripom ustreza čas 10 · 60 s/72 = 8,3 s. Vatel (braccio) so uporabljali za mer- jenje dolžine blaga. Zanj d nes navedejo 0,7 m, kd j pa je meril lahko tu i manj. Prvi podatek da za pospešek g = 4,0 m/s2. Če bi upoštevali krajši vatel, bi bil pospešek še manjši. Ker je navedeno, da je čas krajši od desetih utripov, j pospešek večji od 4,0 m/s2. Z drugim podatkom dobimo pospe- šek 5,6 m/s2. Galilei se je lahko oprl le na geometrijo in soraz- merje. Tedaj niso poznali pojma funkcije in niso pi- sali enačb s simboli za k ličine. Obstajale so že me- hani ne ure, večinoma na cerkvenih stolpih, z nim samim kazalcem. N dan so zaostale ali prehitele do četrt ure. S t ko uro ni bilo mogoče meriti se- kund, č prav so enoto že p znali. Galil i ni mogel meriti kratkih čas v pri prostem padanju. Pomagal si je ta o, d je „razredčil“ težni pospešek. Name- sto prostega padanja je opazoval kotaljenje kroglic o blago nagnjenem klancu. Po izreku 3 je s tem po- spešek zma jšal v razmerju med višino in dolžino klanca. Galilei še ni imel izd lanega pojma sile in ni poznal zakona g banja. Z to po podatkih pri kota- ljenju roglic po klancu in nihanju nitnega nih la ni mogel izračunati pospeška prostega p danj . Galilei se je preprič l, da je kotaljenje kroglice po klancu enakomerno pospešeno gibanje s sorazmer- nostjo med potjo in kvadratom časa: s/s1 = t2/t21. Čase je primerjal z opaz vanjem srčnega utripa ali razmikov med p ki, ko je krogli a preskakovala vr- vice, s katerimi je ovil klanec. Vrvice je premikal, do- kler si pok niso sledili v enakih časovnih razmikih. Pr tem si je pomagal s petjem, ki mu ni bilo tuje, saj sta bila oče in brat glasbenika. Z ritmičnim petjem je mog držati takt na desetino sekund natančno. Natančneje je primerjal čase tako, da je pustil vodo teči iz posod ce skozi slamic na dnu v podnj po- sodo. Slamico je odprl, ko se je gibanje začelo, in zapr , ko se končalo. Razmerje časov je bilo e ako azmerju tež vode, ki se j natekla iz pos dice v po- sodo in ki jih je stehtal z natančno tehtnico. P skus je ponavljal, da je izboljš l natančnost. V novejšem času so poskus večkrat izvedli z napravami, ki jih je imel na voljo Galilei, in podprli njegove ugotovitve. Zaradi težav pri merjenju časa se Galilei ni izogi- bal samo podatkom za pospešek, ampak tudi podat- ko za č s in hitrost. Polovico rabole pri vodo- ravnem metu je označi z d lžino (amplitud ) x, vi- šino y in vzviše ostjo (subl mnostjo) Y . Pri paraboli 3 i i i i l j l i i i i i l i . i t , i i , . , i, lil i i l i . i i ili. I , i i i i , i - . i i i i, -i , i i , . l ( i ) l li - l i l . , , e il l i . i , . i li i l, i il i. , i i i , e i , . i i - , . lil i l l l i i - . i li i i i i- li i li li i . l - ic , i i l i , e i i l . a l li i l . a i il i i - , e li. lilei i l i i i i . l i , a il i . - l l li l l . i - l i i i l i l . lil i i i l i el il i i l . a i i - l li l i i i i al i l i i a a. lil i i al, l li l i - i : . i l i li i i, lic l - i , i i il l . i i l, - l i i l ili i i i i . i l , i i il , il i l i . i i i ce i i e . i l , il i i i l i s - . l i l, i l , i , e l . il r , i e l i i - i i i l i . l l, i l al . i li i, i i i l l lil i, i li i . i i lil i i i i- l , i - a i i . l i a l i - i ol i ( li ) , i- i i i ( l ) . i li in po drugem iz višine 100 vatlov v petih sekundah. Prvi podatek da za posp šek prostega adanja več kot 4,0 m/s2 in drugi 5,6 m/s2. To je precej m nj od pravega pospeška g = 9,807 m/s2 v P ovi, kj r je Galilei izvedel večino poskusov. Najbrž so zato v prevodih podatka izpustili. Iz enačbe y = 12gt2, v kateri so y višina in t čas t r g pospešek prosteg padanja, izra- čunamo pospešek g = 2y/t2. Če r čunamo z 72 ut ipi v minuti, t je 60-ih sekundah, desetim utri om ustreza čas 10 · 60 /72 = 8,3 s. Vatel (b accio) s uporabljali za mer- jenj dolžine blag . Z nj danes navedejo 0 7 m, nekdaj pa je meril l hko tudi manj. Prvi podatek da za pospeš k g = 4,0 m/s2. Če bi upoštevali krajši vate , bi bil pospešek še manjši. Ker je navedeno, da je čas krajši od d setih utripov, e posp šek več i od 4,0 m/s2. Z drugim podatkom obimo pospe- šek 5,6 m/s2. Galilei se je lahko oprl le na geometrijo in soraz- merje. Tedaj niso poznali ojma funkcije in niso pi- sali enačb s simboli za količi e. Obstajale so že me hanične ure, večinoma na cerkvenih stolp h, z enim mim kazalcem. Na dan so zaostale ali pre itel do četrt ure. S tako uro ni bilo mogoče meriti se- kun , čep v so enoto že p zn li. Galile ni ogel meriti kratkih časov pri prostem p danju. Pomagal si je tako, d je „razredčil“ težni pospešek. Nam - sto prostega padanja je opazoval kot ljenje kroglic po blago nagnj nem klancu. Po i reku 3 j s tem po pešek zmanjš l v r zmerju med višino in dolžino klanc . Galilei še ni imel izd lanega pojma sile in ni poznal kona gibanja. Zato po podatkih pri kota- ljenju kroglic po klancu in nih ju nitneg n hala mogel i raču ati speška prostega p da ja. Galilei se je prepričal, da je kotalj nj kroglice po klancu en komern ospešeno gib nje s sorazmer- nostjo med potjo in kva ratom č sa: s/s1 = t2/t21. Čase je pri rjal z pazo jem sr n ga utripa ali razmikov med p ki, o je kr gli pre kakovala vr- vice, s katerimi je ovil klanec. Vrvice je mikal, do- kler si poki niso sledili v enakih časovnih raz ih. Pri tem si je pomagal s petjem, ki mu ni bilo tuje, saj sta bila oče i brat gl sbenik . Z ritmič im petjem je mogoče držati takt na des tino seku de atančno. N tančnej je p imerjal č se tako, da je pustil vodo teči iz posodice s ozi slami o na dn v spodnjo p - sodo. Slamico je odpr , ko se je giba je začelo, in zaprl, k e je končalo. Razmerje časov je bilo enak razmerju tež vode, ki se je n tekla iz posodice v po- sodo in ki ih je stehtal z natančno tehtnic . Poskus je ponavljal, da je izboljšal natančnost. V novejšem času so poskus večkr t izvedli z napravami, ki jih je imel voljo Galilei, in podprli njeg ve ugot tv . Zaradi težav pri merje ju časa se Galil i ni izogi- bal samo podatkom za spešek, mpak tudi podat- kom za čas in hitrost. Polovico parabole pr vod ravne metu je značil z dolžino (amplit o) x, vi šino y in vzvišenostj (sub imn stjo) Y . Pri paraboli 3 in po drugem iz višine 100 vatlov v petih sekundah. Prvi podatek da za pospešek prostega padanja več kot 4,0 m/s2 in drugi 5,6 m/s2. To je precej manj od pravega pospeška g = 9,807 m/s2 v Padovi, kjer je Galilei izvedel večino poskusov. Najbrž so zato v prevodih podatka izpustili. Iz enačbe y = 12gt2, v kateri so y višina in t čas ter g pospešek prostega padanja, izra- čunamo pospešek g = 2y/t2. Če računamo z 72 utripi v minuti, to je 60-ih sekundah, desetim utripom ustreza čas 10 · 60 s/72 = 8,3 s. Vatel (braccio) so uporabljali za mer- jenje dolžine blaga. Zanj danes navedejo 0,7 m, nekdaj pa je meril lahko tudi manj. Prvi podatek da za pospešek g = 4,0 m/s2. Če bi upoštevali krajši vatel, bi bil pospešek še manjši. Ker je navedeno, da je čas krajši od desetih utripov, je pospešek večji od 4,0 m/s2. Z drugim podatkom dobimo pospe- šek 5,6 m/s2. Galilei se je lahko oprl le na geometrijo in soraz- merje. Tedaj niso poznali pojma funkcije in niso pi- sali enačb s simboli za količine. Obstajale so že me- hanične ure, večinoma na cerkvenih stolpih, z enim samim kazalcem. Na dan so zaostale ali prehitele do četrt ure. S tako uro ni bilo mogoče meriti se- kund, čeprav so enoto že poznali. Galilei ni mogel meriti kratkih časov pri prostem padanju. Pomagal si je tako, da je „razredčil“ težni pospešek. Name- sto prostega padanja je opazoval kotaljenje kroglic po blago nagnjenem klancu. Po izreku 3 je s tem po- spešek zmanjšal v razmerju med višino in dolžino klanca. Galilei še ni imel izdelanega pojma sile in ni poznal zakona gibanja. Zato po podatkih pri kota- ljenju kroglic po klancu in nihanju nitnega nihala ni mogel izračunati pospeška prostega padanja. Galilei se je prepričal, da je kotaljenje kroglice po klancu enakomerno pospešeno gibanje s sorazmer- nostjo med potjo in kvadratom časa: s/s1 = t2/t21. Čase je primerjal z opazovanjem srčnega utripa ali razmikov med poki, ko je kroglica preskakovala vr- vice, s katerimi je ovil klanec. Vrvice je premikal, do- kler si poki niso sledili v enakih časovnih razmikih. Pri tem si je pomagal s petjem, ki mu ni bilo tuje, saj sta bila oče in brat glasbenika. Z ritmičnim petjem je mogoče držati takt na desetino sekunde natančno. Natančneje je primerjal čase tako, da je pustil vodo teči iz posodice skozi slamico na dnu v spodnjo po- sodo. Slamico je odprl, ko se je gibanje začelo, in zaprl, ko se je končalo. Razmerje časov je bilo enako razmerju tež vode, ki se je natekla iz posodice v po- sodo in ki jih je stehtal z natančno tehtnico. Poskus je ponavljal, da je izboljšal natančnost. V novejšem času so poskus večkrat izvedli z napravami, ki jih je imel na voljo Galilei, in podprli njegove ugotovitve. Zaradi težav pri merjenju časa se Galilei ni izogi- bal samo podatkom za pospešek, ampak tudi podat- kom za čas in hitrost. Polovico parabole pri vodo- ravnem metu je označil z dolžino (amplitudo) x, vi- šino y in vzvišenostjo (sublimnostjo) Y . Pri paraboli 3 Mednarodno leto astronomije 2009 so razglasili v spomin na leto 1609. Tedaj je Galileo Galilei med prvimi usmeril daljnogled v nebo in nebo prvi na- črtno raziskal. Odkril je gore na Luni, zvezde v Rimski cesti, štiri Jupitrove Lune, pa še Saturnov obroč, ki ga s svojim daljnogledom ni mogel raz- ločiti od planeta, Venerine mene in Sončeve pege. Leta 1609 je Johannes Kepler odkril prva dva za- kona o gibanju planeta po elipsi. Galilei je dosegel veliko tudi v fiziki, tako da nekateri v njem ne vi- dijo samo „očeta opazovalne astronomije“, ampak tudi „očeta fizike“. Med drugim je odkril zakon o padanju in z njim zajel gibanje izstrelkov. Po- vejmo nekaj o tem. Padanje kamna in kotaljenje kroglice po blagem klan- cu je enakomerno pospešeno gibanje. Galilei je tako gibanje prištel k „lokalnim gibanjem“, to je gibanjem na Zemlji, da ga je razlikoval od gibanja planetov. Lokalnim gibanjem je leta 1638 posvetil tretje in če- trto poglavje, to je zadnji poglavji, v knjigi Razprave in matematični dokazi o dveh novih znanostih, ki za- devata mehaniko in lokalna gibanja. Po Evklidovem in Arhimedovem zgledu je svoje ugotovitve oblikoval kot izreke. Kot prve tri izreke je v tretjem poglavju navedel: 1. Čas, v katerem telo iz mirovanja z enakomernim pospešenim gibanjem preide določeno razdaljo, je enak času, v katerem bi telo prešlo to razdaljo z ena- komerno hitrostjo, katere vrednost je enaka povpre- čju največje hitrosti in hitrosti, tik preden se je po- speševanje začelo. 2. Razdalje, ki jih preleti telo, padajoče iz mirovanja, so v razmerju kvadratov časov, v katerih preleti te razdalje. 3. Če se telo iz mirovanja giblje po klancu in pada navpično iz enake višine, sta časa v razmerju dolžine klanca in navpičnice. Prvi izrek iz četrtega poglavja se je glasil: 1’. Izstrelek, ki se giblje enakomerno v vodoravni smeri in hkrati enakomerno pospešeno v navpični smeri, opiše tirnico, ki je polovica parabole. Dandanes te ugotovitve v nekaj vrsticah izpeljemo iz Newtonega zakona, potem ko na klancu razstavimo težo na komponenti v smeri klanca in pravokotno na klanec. V prevodih Galilejeve knjige zaman iščemo en sam podatek o pospešku. V prvi izdaji iz leta 1638 pa sta dva podatka, iz katerih je mogoče izračunati pospe- šek prostega padanja. Po prvem podatku pade telo iz višine 200 vatlov v manj kot desetih srčnih utripih 2 slika 1. V Galilejevem času še ni bilo pojma funkcije. Z risbo, v kateri še ni koordina- tnih osi, je Galilei utemeljil trditev, da je pri nakomernem pospešenem gibanju povprečna hitrost enaka olovici vsote začetne in končne hitrosti. slika 2. Tako je Galilei izr čunal tirnico te- lesa pri vodoravn m metu (a) in za- znamoval polovico arabole ab, bc je dolžina, ac višina, ae vzvišenost, vodoravna črta ad pa kaže smer začetne hitrosti (b). Ta in prej- šnja slika sta iz angleškega prevoda Galilejevih Razprav in matematičnih dok zov o dveh novih znanostih. (a) (b) Presek 38 (2010/2011) 1 C G E e ed c b b c a ad o i gf lh n F B I A D • 14 f i z i k a s temenom v izhodišču je x abscisa in y ordinata točke na paraboli, Y pa višina, iz katere bi moralo telo navpično pasti, da bi doseglo začetno hitrost v vodoravni smeri. Abscisa je x = vxt s konstantno komponento hitrosti vx v vodoravni smeri, ordinata pa y = 12gt2 s spremenljivo navpično komponento hitrosti vy = gt. Os y usmerimo navpično navzdol. Vzvišenost je Y = 12v2x/g. Vsota ordinate in vzviše- nosti y +Y = 12(v2y +v2y)/g določa kvadrat velikosti hitrosti telesa v2 = v2x + v2y v končni točki. Iz enačbe za absciso izračunamo čas t = x/vx , vstavimo v enačbo za ordinato in dobimo enačbo pa- rabole y = 12gx2/v2x . Za nagib γ tirnice v končni točki velja tanγ = vy/vx = gt/vx = gx/v2x , tako da je Y = 12x/ tanγ. Z nekaj računanja ugotovimo, da je y + Y = x/ sin 2γ = y/ sin2 γ. Galilei ni upora- bljal razmerij stranic v pravokotnem trikotniku, da- našnjih kotnih funkcij, ki so jih tedaj že uvajali astro- nomi. Vseeno je sestavil obsežne tablice za dolžino x in višino y v odvisnosti od nagiba γ pri konstantni velikosti končne hitrosti ter višine y in vzvišenosti Y v odvisnosti od nagiba pri konstantni dolžini x. Pri tem je nagib spreminjal v korakih po 1◦. Lahko si mislimo, koliko truda ga je to stalo, ker ni uporabljal enačb s simboli za količine, ampak le sorazmerje in lastnosti parabole, ki jih je dobro poznal. Zaradi tega toliko više cenimo Galilejeve dosežke. Pisanje enačb s simboli in znanje o funkcijah danes močno olajšata delo. Galilei bi mogel natančneje ugotoviti pospešek pro- stega padanja. Opišimo, kako bi to lahko naredil. Iz šobe na cevi brizga curek vode. Najprej izmerimo prostornino vode V , ki se nateče v posodo v t = 60 s. Hitrost vode v šobi je vx = V/(tS), če je S = πR2 presek šobe s premerom 2R. Cev postavimo tako, da curek iz nje izteka v vodoravni smeri. Izmerimo vo- doravno razdaljo x od šobe do točke, v kateri curek zadene vodoravno podlago v višini y pod šobo. To vstavimo v enačbo za tirnico in izračunamo pospe- šek: g = 2yv 2 x2 . Poskus naredimo na vrtu. Zalivanju namenjeno cev pritrdimo na lestev s šobo v višini y = 1,12 m. Cu- rek naravnamo tako, da zadene tla v enaki vodoravni razdalji x = 1,12 m. V minuti se je z njim v po- sodo nateklo 2,5 l vode. Premer curka je bil malo manjši od 5 mm. Upoštevamo 4,8 mm, kar je lahko nenatančno za enoto na zadnjem mestu. Za hitrost curka da to v = V/(tπr2) = 2,5 · 10−3 m3/[60 s · π · (2,4 · 10−3 m)2] = 2,3 m/s. Za x = y sledi iz zapisane enačbe pospešek prostega padanja g = 2v2/x = 2 · (2,3 m/s)2/(1,12 m) = 9,4 m/s2. S pre- merom curka 4,7 mm bi dobili pospešek 10,3 m/s2, s premerom 4,9 mm pa 8,7 m/s2. Dobljeni pospe- šek je manjši od pravega 9,8 m/s2. Izid je nenatan- čen predvsem zaradi tega, ker premera curka pri po- skusu nismo mogli izmeriti natančneje. Vseeno pa je izid precej natančnejši od Galielejeve ocene. Podobno bi lahko ravnal Galilei. Že Leonardo da 4 • s temenom v izhodišču je x abscisa in y ordinata točke na paraboli, Y pa višina, iz katere bi moralo telo navpično pasti, da bi doseglo začetno hitrost v vodoravni smeri. Abscisa je x = vxt s konstantno komponento hitrosti vx v vodoravni smeri, ordinata pa y = 12gt2 s spremenljivo navpično komponento hitrosti vy = gt. Os y usmerimo navpično navzdol. Vzvišenost je Y = 12v2x/g. Vsota ordinate in vzviše- nosti y +Y = 12(v2y +v2y)/g določa kvadrat velikosti hitrosti telesa v2 = v2x + v2y v končni točki. Iz enačbe za absciso izračunamo čas t = x/vx , vstavimo v enačbo za ordinato in dobimo enačbo pa- rabole y = 12gx2/v2x . Za nagib γ tirnice v končni točki velja tanγ = vy/vx = gt/vx = gx/v2x , tako da je Y = 12x/ tanγ. Z nekaj računanja ugotovimo, da je y + Y = x/ sin 2γ = y/ sin2 γ. Galilei ni upora- bljal razmerij stranic v pravokotnem trikotniku, da- našnjih kotnih funkcij, ki so jih tedaj že uvajali astro- nomi. Vseeno je sestavil obsežne tablice za dolžino x in višino y v odvisnosti od nagiba γ pri konstantni velikosti končne hitrosti ter višine y in vzvišenosti Y v odvisnosti od nagiba pri konstantni dolžini x. Pri tem je nagib spreminjal v korakih po 1◦. Lahko si mislimo, koliko truda ga je to stalo, ker ni uporabljal enačb s simboli za količine, ampak le sorazmerje in lastnosti parabole, ki jih je dobro poznal. Zaradi tega toliko više cenimo Galilejeve dosežke. Pisanje enačb s simboli in znanje o funkcijah danes močno olajšata delo. Galilei bi mogel natančneje ugotoviti pospešek pro- stega padanja. Opišimo, kako bi to lahko naredil. Iz šobe na cevi brizga curek vode. Najprej izmerimo prostornino vode V , ki se nateče v posodo v t = 60 s. Hitrost vode v šobi je vx = V/(tS), če je S = πR2 presek šobe s premerom 2R. Cev postavimo tako, da curek iz nje izteka v vodoravni smeri. Izmerimo vo- doravno razdaljo x od šobe do točke, v kateri curek zadene vodoravno podlago v višini y pod šobo. To vstavimo v enačbo za tirnico in izračunamo pospe- šek: g = 2yv 2 x2 . Poskus naredimo na vrtu. Zalivanju namenjeno cev pritrdimo na lestev s šobo v višini y = 1,12 m. Cu- rek naravnamo tako, da zadene tla v enaki vodoravni razdalji x = 1,12 m. V minuti se je z njim v po- sodo nateklo 2,5 l vode. Premer curka je bil malo manjši od 5 mm. Upoštevamo 4,8 mm, kar je lahko nenatančno za enoto na zadnjem mestu. Za hitrost curka da to v = V/(tπr2) = 2,5 · 10−3 m3/[60 s · π · (2,4 · 10−3 m)2] = 2,3 m/s. Za x = y sledi iz zapisane enačbe pospešek prostega padanja g = 2v2/x = 2 · (2,3 m/s)2/(1,12 m) = 9,4 m/s2. S pre- merom curka 4,7 mm bi dobili pospešek 10,3 m/s2, s premerom 4,9 mm pa 8,7 m/s2. Dobljeni pospe- šek je manjši od pravega 9,8 m/s2. Izid je nenatan- čen predvsem zaradi tega, ker premera curka pri po- skusu nismo mogli izmeriti natančneje. Vseeno pa je izid precej natančnejši od Galielejeve ocene. Podobno bi lahko ravnal Galilei. Že Leonardo da 4 s te eno v izhodišču je x abscisa in ordinata točke na paraboli, Y pa višina, iz katere bi oralo telo navpično pasti, da bi doseglo začetno hitrost v vodoravni s eri. bscisa je x vxt s konstantno ko ponento hitrosti vx v vodoravni s eri, ordinata pa 12gt 2 s spre enljivo navpično ko ponento hitrosti vy gt. s us eri o navpično navzdol. Vzvišenost je Y 12v 2 x/g. Vsota ordinate in vzviše- nosti Y 12(v 2 y v2y)/g določa kvadrat velikosti hitrosti telesa v2 v2x v2y v končni točki. Iz enačbe za absciso izračuna o čas t x/vx , vstavi o v enačbo za ordinato in dobi o enačbo pa- rabole 12gx 2/v2x . Za nagib γ tirnice v končni točki velja tanγ vy/vx gt/vx gx/v2x , tako da je Y 12x/ tanγ. Z nekaj računanja ugotovi o, da je Y x/ sin 2γ / sin2 γ. alilei ni upora- bljal raz erij stranic v pravokotne trikotniku, da- našnjih kotnih funkcij, ki so jih tedaj že uvajali astro- no i. Vseeno je sestavil obsežne tablice za dolžino x in višino v odvisnosti od nagiba γ pri konstantni velikosti končne hitrosti ter višine in vzvišenosti Y v odvisnosti od nagiba pri konstantni dolžini x. Pri te je nagib spre injal v korakih po 1◦. Lahko si isli o, koliko truda ga je to stalo, ker ni uporabljal enačb s si boli za količine, a pak le soraz erje in lastnosti parabole, ki jih je dobro poznal. Zaradi tega toliko više ceni o alilejeve dosežke. Pisanje enačb s si boli in znanje o funkcijah danes očno olajšata delo. alilei bi ogel natančneje ugotoviti pospešek pro- stega padanja. piši o, kako bi to lahko naredil. Iz šobe na cevi brizga curek vode. ajprej iz eri o prostornino vode V , ki se nateče v posodo v t 60 s. itrost vode v šobi je vx V/(tS), če je S 2 presek šobe s pre ero 2 . Cev postavi o tako, da curek iz nje izteka v vodoravni s eri. Iz eri o vo- doravno razdaljo x od šobe do točke, v kateri curek zadene vodoravno podlago v višini pod šobo. To vstavi o v enačbo za tirnico in izračuna o pospe- šek: g 2yv 2 x2 . Poskus naredi o na vrtu. Zalivanju na enjeno cev pritrdi o na lestev s šobo v višini 1,12 . Cu- rek naravna o tako, da zadene tla v enaki vodoravni razdalji x 1,12 . V inuti se je z nji v po- sodo nateklo 2,5 l vode. Pre er curka je bil alo anjši od 5 . pošteva o 4,8 , kar je lahko nenatančno za enoto na zadnje estu. Za hitrost curka da to v V/(t r2) 2,5 · 10−3 3/[60 s · · (2,4 · 10−3 )2] 2,3 /s. Za x sledi iz zapisane enačbe pospešek prostega padanja g 2v2/x 2 · (2,3 /s)2/(1,12 ) 9,4 /s2. S pre- ero curka 4,7 bi dobili pospešek 10,3 /s2, s pre ero 4,9 pa 8,7 /s2. obljeni pospe- šek je anjši od pravega 9,8 /s2. Izid je nenatan- čen predvse zaradi tega, ker pre era curka pri po- skusu nis o ogli iz eriti natančneje. Vseeno pa je izid precej natančnejši od alielejeve ocene. Podobno bi lahko ravnal alilei. Že Leonardo da 4 s temenom v izhodišču je x abscisa in y ordinata točke na paraboli, Y pa višina, iz katere bi moralo telo navpično pasti, da bi doseglo začetno hitrost v vodoravni smeri. Abscisa je x = vxt s konstantno komponento hitrosti vx v vodoravni smeri, ordinata pa y = 12gt2 s spremenljivo navpično komponento hitrosti vy = gt. Os y usmerimo navpično navzdol. Vzvišenost je Y = 12v2x/g. Vsota ordinate in vzviše- nosti y +Y = 12(v2y +v2y)/g določa kvadrat velikosti hitrosti telesa v2 = v2x + v2y v končni točki. Iz enačbe za absciso izračunamo čas t = x/vx , vstavimo v enačbo za ordinato in dobimo enačbo pa- rabole y = 12gx2/v2x . Za nagib γ tirnice v končni točki velja tanγ = vy/vx = gt/vx = gx/v2x , tako da je Y = 12x/ tanγ. Z nekaj računanja ugotovimo, da je y + Y = x/ sin 2γ = y/ sin2 γ. Galilei ni upora- bljal razmerij stranic v pravokotnem trikotniku, da- našnjih kotnih funkcij, ki so jih tedaj že uvajali astro- nomi. Vseeno je sestavil obsežne tablice za dolžino x in višino y v odvisnosti od nagiba γ pri konstantni velikosti končne hitrosti ter višine y in vzvišenosti Y v odvisnosti od nagiba pri konstantni dolžini x. Pri tem je nagib spreminjal v korakih po 1◦. Lahko si mislimo, koliko truda ga je to stalo, ker ni uporabljal enačb s simboli za količine, ampak le sorazmerje in lastnosti parabole, ki jih je dobro poznal. Zaradi tega toliko više cenimo Galilejeve dosežke. Pisanje enačb s simboli in znanje o funkcijah danes močno olajšata delo. Galilei bi mogel natančneje ugotoviti pospešek pro- stega padanja. Opišimo, kako bi to lahko naredil. Iz šobe na cevi brizga curek vode. Najprej izmerimo prostornino vode V , ki se nateče v posodo v t = 60 s. Hitrost vode v šobi je vx = V/(tS), če je S = πR2 presek šobe s premerom 2R. Cev postavimo tako, da curek iz nje izteka v vodoravni smeri. Izmerimo vo- doravno razdaljo x od šobe do točke, v kateri curek zadene vodoravno podlago v višini y pod šobo. To vstavimo v enačbo za tirnico in izračunamo pospe- šek: g = 2yv 2 x2 . Poskus naredimo na vrtu. Zalivanju namenjeno cev pritrdimo na lestev s šobo v višini y = 1,12 m. Cu- rek naravnamo tako, da zadene tla v enaki vodoravni razdalji x = 1,12 m. V minuti se je z njim v po- sodo nateklo 2,5 l vode. Premer curka je bil malo manjši od 5 mm. Upoštevamo 4,8 mm, kar je lahko nenatančno za enoto na zadnjem mestu. Za hitrost curka da to v = V/(tπr2) = 2,5 · 10−3 m3/[60 s · π · (2,4 · 10−3 m)2] = 2,3 m/s. Za x = y sledi iz zapisane enačbe pospešek prostega padanja g = 2v2/x = 2 · (2,3 m/s)2/(1,12 m) = 9,4 m/s2. S pre- merom curka 4,7 mm bi dobili pospešek 10,3 m/s2, s premerom 4,9 mm pa 8,7 m/s2. Dobljeni pospe- šek je manjši od pravega 9,8 m/s2. Izid je nenatan- čen predvsem zaradi tega, ker premera curka pri po- skusu nismo mogli izmeriti natančneje. Vseeno pa je izid precej natančnejši od Galielejeve ocene. Podobno bi lahko ravnal Galilei. Že Leonardo da 4 t i i j i i r i t t r li, i i , i t r i r l t l i ti, i l t itr t r i ri. i j t t t t itr ti r i ri, r i t 1 2 t 2 r lji i t itr ti t. ri i l. i t j 12 2 . t r i t i i - ti 12( 2 2 ) l r t li ti itr ti t l 2 2 2 i t i. I i i r t , t i r i t i i - r l 12 2 2. i tir i i t i lj t t 2, t j 12 t . j r j t i , j i i 2 . lil i i r - lj l r rij tr i r t tri t i , - ji t i f ij, i ji t j j li tr - i. j t il t li l i i i i i ti i ri t t i li ti itr ti t r i i i i ti i ti i ri t t i l i i . ri t j i r i j l r i ◦. i i li , li tr j t t l , r i r lj l i li li i , l r rj i l t ti r l , i ji j r l. r i t t li i i lil j . i j i li i j f ij l j t l . lil i i l t j t iti r - t j . i i , i t l r il. I i ri r . j r j i ri r t r i , i t t . itr t i j (t ), j 2 r r r . t i t , r i j i t r i ri. I ri - r r lj t , t ri r r l i i i . t i tir i i i r - : 2 2 2 . r i rt . li j j ritr i l t i i i , . - r r t , tl i r i r lji , . i ti j ji - t l , l . r r r j il l j i . t , , r j l t t j t . itr t r t (t 2) , · 3 3 [ · · ( , · 3 )2] , . l i i i r t j 2 · ( , )2 ( , ) , 2. r - r r , i ili , 2, r r , , 2. lj i - j j i r , 2. I i j t - r r i t , r r r r ri - i li i riti t j . j i i r j t j i li l j . i l r l lil i. r s e eno v izhodišču je x abscisa in y o dina a očke na pa aboli, Y pa višina, iz ka e e bi o alo elo navpično pas i, da bi doseglo zače no hi os v vodo avni s e i. Abscisa je x = vx s kons an no ko ponen o hi os i vx v vodo avni s e i, o dina a pa y = g s sp e enljivo navpično ko ponen o hi os i vy = g . Os y us e i o navpično navzdol. Vzvišenos je Y = vx/g. Vso a o dina e in vzviše- nos i y +Y = vy +vy /g določa kvad a velikos i hi os i elesa v = vx + vy v končni očki. Iz enačbe za absciso iz ačuna o čas = x/vx , vs avi o v enačbo za o dina o in dobi o enačbo pa- abole y = gx /vx . Za nagib γ i nice v končni očki velja anγ = vy/vx = g /vx = gx/vx , ako da je Y = x/ anγ. Z nekaj ačunanja ugo ovi o, da je y + Y = x/ sin 2γ = y/ sin γ. Galilei ni upo a- bljal az e ij s anic v p avoko ne iko niku, da- našnjih ko nih unkcij, ki so jih edaj že uvajali as o- no i. Vseeno je ses avil obsežne ablice za dolžino x in višino y v odvisnos i od nagiba γ p i kons an ni velikos i končne hi os i e višine y in vzvišenos i Y v odvisnos i od nagiba p i kons an ni dolžini x. P i e je nagib sp e injal v ko akih po 1 . Lahko si isli o, koliko uda ga je o s alo, ke ni upo abljal enačb s si boli za količine, a pak le so az e je in las nos i pa abole, ki jih je dob o poznal. Za adi ega oliko više ceni o Galilejeve dosežke. Pisanje enačb s si boli in znanje o unkcijah danes očno olajša a delo. Galilei bi ogel na ančneje ugo ovi i pospešek p o- s ega padanja. Opiši o, kako bi o lahko na edil. Iz šobe na cevi b izga cu ek vode. Najp ej iz e i o p os o nino vode V , ki se na eče v posodo v = 60 s. Hi os vode v šobi je vx = V/ S , če je S = πR p esek šobe s p e e o 2R. Cev pos avi o ako, da cu ek iz nje iz eka v vodo avni s e i. Iz e i o vo- do avno azdaljo x od šobe do očke, v ka e i cu ek zadene vodo avno podlago v višini y pod šobo. To vs avi o v enačbo za i nico in iz ačuna o pospe- šek: g = yv 2 x2 . Poskus na edi o na v u. Zalivanju na enjeno cev p i di o na les ev s šobo v višini y = 1,12 . Cu- ek na avna o ako, da zadene la v enaki vodo avni azdalji x = 1,12 . V inu i se je z nji v po- sodo na eklo 2,5 l vode. P e e cu ka je bil alo anjši od 5 . Upoš eva o 4,8 , ka je lahko nena ančno za eno o na zadnje es u. Za hi os cu ka da o v = V/ πr = 2,5 10− / 60 s π 2,4 10− = 2,3 /s. Za x = y sledi iz zapisane enačbe pospešek p os ega padanja g = 2v /x = 2 2,3 /s / 1,12 = 9,4 /s . S p e- e o cu ka 4,7 bi dobili pospešek 10,3 /s , s p e e o 4,9 pa 8,7 /s . Dobljeni pospe- šek je anjši od p avega 9,8 /s . Izid je nena an- čen p edvse za adi ega, ke p e e a cu ka p i po- skusu nis o ogli iz e i i na ančneje. Vseeno pa je izid p ecej na ančnejši od Galielejeve ocene. Podobno bi lahko avnal Galilei. Že Leona do da 4 s temenom v izhodišču je x abscisa in y ordinata točke na paraboli, Y pa višina, iz katere bi moralo telo navpično pasti, da bi doseglo začetno hitrost v vodoravni smeri. Abscisa je x = vxt s konstantno komponento hitrosti vx v vodoravni smeri, ordinata pa y = 12gt2 s spremenljivo navpično komponento hitrosti vy = gt. Os y usmerimo navpično navzdol. Vzvišenost je Y = 12v2x/g. Vsota ordinate in vzviše- nosti y +Y = 12(v2y +v2y)/g določa kvadrat velikosti hitrosti telesa v2 = v2x + v2y v končni točki. Iz enačbe za absciso izračunamo čas t = x/vx , vstavimo v enačbo za ordinato in dobimo enačbo pa- rabole y = 12gx2/v2x . Za nagib γ tirnice v končni točki velja tanγ = vy/vx = gt/vx = gx/v2x , tako da je Y = 12x/ tanγ. Z nekaj računanja ugotovimo, da je y + Y = x/ sin 2γ = y/ sin2 γ. Galilei ni upora- bljal razmerij stranic v pravokotnem trikotniku, da- našnjih kotnih funkcij, ki so jih tedaj že uvajali astro- nomi. Vseeno je sestavil obsežne tablice za dolžino x in višino y v odvisnosti od nagiba γ pri konstantni velikosti končne hitrosti ter višine y in vzvišenosti Y v odvisnosti od nagiba pri konstantni dolžini x. Pri tem je nagib spreminjal v korakih po 1◦. Lahko si mislimo, koliko truda ga je to stalo, ker ni uporabljal enačb s simboli za količine, ampak le sorazmerje in lastnosti parabole, ki jih je dobro poznal. Zaradi tega toliko više cenimo Galilejeve dosežke. Pisanje enačb s simboli in znanje o funkcijah danes močno olajšata delo. Galilei bi mogel natančneje ugotoviti pospešek pro- stega padanja. Opišimo, kako bi to lahko naredil. Iz šobe na cevi brizga curek vode. Najprej izmerimo prostornino vode V , ki se nateče v posodo v t = 60 s. Hitrost vode v šobi je vx = V/(tS), če je S = πR2 presek šobe s premerom 2R. Cev postavimo tako, da curek iz nje izteka v vodoravni smeri. Izmerimo vo- doravno razdaljo x od šobe do točke, v kateri curek zadene vodoravno podlago v višini y pod šobo. To vstavimo v enačbo za tirnico in izračunamo pospe- šek: g = 2yv 2 x2 . Poskus naredimo na vrtu. Zalivanju namenjeno cev pritrdimo na lestev s šobo v višini y = 1,12 m. Cu- rek naravnamo tako, da zadene tla v enaki vodoravni razdalji x = 1,12 m. V minuti se je z njim v po- sodo nateklo 2,5 l vode. Premer curka je bil malo manjši od 5 mm. Upoštevamo 4,8 mm, kar je lahko nenatančno za enoto na zadnjem mestu. Za hitrost curka da to v = V/(tπr2) = 2,5 · 10−3 m3/[60 s · π · (2,4 · 10−3 m)2] = 2,3 m/s. Za x = y sledi iz zapisane enačbe pospešek prostega padanja g = 2v2/x = 2 · (2,3 m/s)2/(1,12 m) = 9,4 m/s2. S pre- merom curka 4,7 mm bi dobili pospešek 10,3 m/s2, s premerom 4,9 m pa 8,7 m/s2. Dobljeni pospe- šek je manjši od pravega 9,8 m/s2. Izid je nenatan- čen predvsem zaradi tega, ker premera curka pri po- skusu nismo mogli izmeriti natančneje. Vseeno pa je izid precej natančnejši od Galielejeve ocene. Podobno bi lahko ravnal Galilei. Že Leonardo da 4 s te e o v iz o išč je abscisa i or i ata točke a araboli, a viši a, iz katere bi oralo telo av ič o asti, a bi oseglo z čet o itrost v v orav i s eri. bscisa je xt s ko sta t ko o e to itrosti x v v orav i s eri, or i ata a 12 t 2 s s re e ljivo av ič o ko o e t itrosti y . s s eri o av ič o avz ol. zviše ost je 12 2 x/ . sota or i ate i vzviše- osti 12( 2 y 2 y)/ oloča kva rat velikosti itrosti telesa 2 2x 2 y v ko č i točki. Iz e ačbe za absciso izrač a o čas t / x , vs avi o v e ačbo za or i ato i obi o e ačbo a- rabol 12 2/ 2x . a agib tir ice v ko č i točki velja ta y/ x t/ x / 2x , tako a je 12 / ta . ekaj rač a ja gotovi o, a je / si 2 / si 2 . alilei i ora- bljal raz erij stra ic v ravokot e trikot ik , a- aš ji kot i f kcij, ki so ji te aj že vajali ast o o i. se o je sesta il obsež e tablice za olži o i viši v o vis osti agib ri ko sta t i velikosti ko č itrost ter viši i vzviše sti v o s osti o agiba ri ko sta t i olži i . Pr t je agib s re i jal v koraki o 1◦. La ko si isli o, koliko tr a ga je t stalo, ker i orabljal e ačb s si oli za količi e, a ak le soraz erje i last osti arabole, ki ji je bro oz al. ara i tega toliko više ce i o alilejeve osežk . Pis je e ačb s i boli i z a je o f kcija a es oč o olajšat elo. alile bi ogel ata č e e gotoviti os ešek ro- stega a a ja. iši o, kako bi to la ko are il. Iz šobe a cevi brizga c rek vo e. aj rej iz eri rostor i o vo e , ki se ateče v oso o v t 60 s. itrost vo e v šobi je x /(tS), če e S 2 e ek šobe s r ero 2 . ev ostavi o tako, a c rek iz je izteka v vo orav i s eri. Iz eri o vo- orav o raz aljo o šobe o točke, kateri c rek za e e vo orav o o lago viši i o šobo. o vstavi o v e ačbo za tir ico i izrač a o os e- šek: 2yv2 x2 . Posk s are i o a vrt . aliva j a e je o cev ritr i o a lestev s šobo v viši i 1,12 . - rek arav a o tako, a za e e tla v e ki vo orav i raz alji 1,12 . i t se je z ji v o so o teklo 2,5 l vo e. Pre er c rk je bil alo a jši o 5 . ošteva o 4,8 , kar je la ko e ata č o za e oto a za je est . a itrost c rka a to /(t r2) 2,5 · 10−3 3/[60 s · · (2,4 · 10−3 )2] 2,3 /s. a sle i iz za isa e e ačbe os ešek rostega a a ja 2 2/ 2 · (2,3 /s)2/(1,12 ) 9,4 /s2. S re- ero c rka 4,7 bi obili os ešek 10,3 /s2, s re ero 4 9 a 8 7 /s2. oblje i os šek je a jši o ravega 9,8 /s2. Izi je e ata - če re vse zara i tega, ker re era c rka ri o sk s is o ogli iz eriti ata č eje. see o a j izi recej ata č ejši o ali lejeve oce e. Po ob o bi la ko rav al alilei. e Leo ar 4 slika 3. Risba parabole vodnega cur- ka pri preprostem poskusu. Os x smo obrnili v levo, da parabola ustreza paraboli na Galilejevi sliki. slika 4. Risba iz Galilejeve neobjavljene zapuščine opiše vodoravni met kroglic. Vzeta je iz članka Draka in MacLachlana Galileo’s discovery of the parabolic tra- jectory v Scientific American 323 (1975) 102 (3). presek 38 (2010/2011) 1 x m m y -1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 -0,2 -0,4 -0,6 -0,8 -1 in po drugem iz višine 100 vatlov v petih sekundah. Prvi podatek da za pospešek prostega padanja več kot 4,0 m/s2 in drugi 5,6 m/s2. To je precej manj od pravega pospeška g = 9,807 m/s2 v Padovi, kjer je Galilei izvedel večino poskusov. Najbrž so zato v prevodih podatka izpustili. Iz enačbe y = 12gt2, v kateri so y višina in t čas ter g pospešek prostega padanja, izra- čunamo pospešek g = 2y/t2. Če računamo z 72 utripi v minuti, to je 60-ih sekundah, desetim utripom ustreza čas 10 · 60 s/72 = 8,3 s. Vatel (braccio) so uporabljali za mer- jenje dolžine blaga. Zanj danes navedejo 0,7 m, nekdaj pa je meril lahko tudi manj. Prvi podatek da za pospešek g = 4,0 m/s2. Če bi upoštevali krajši vatel, bi bil pospešek še manjši. Ker je navedeno, da je čas krajši od desetih utripov, je pospešek večji od 4,0 m/s2. Z drugim podatkom dobimo pospe- šek 5,6 m/s2. Galilei se je lahko oprl le na geometrijo in soraz- merje. Tedaj niso poznali pojma funkcije in niso pi- sali enačb s simboli za količine. Obstajale so že me- hanične ure, večinoma na cerkvenih stolpih, z enim samim kazalcem. Na dan so zaostale ali prehitele do četrt ure. S tako uro ni bilo mogoče meriti se- kund, čeprav so enoto že poznali. Galilei ni mogel meriti kratkih časov pri prostem padanju. Pomagal si je tako, da je „razredčil“ težni pospešek. Name- sto prostega padanja je opazoval kotaljenje kroglic po blago nagnjenem klancu. Po izreku 3 je s tem po- spešek zmanjšal v razmerju med višino in dolžino lanca. Galilei še ni imel izdelanega pojma sile in ni poznal zako a gibanja. Zato po podatkih pri kota- ljenju kroglic po klancu in nihanju nitnega nihala ni mogel izračunati pospeška prostega padanja. Galilei se je prepričal, da je kotaljenje kroglice po klancu enakomerno pospešeno gibanje s sorazmer- nostjo med potjo in kvadratom časa: s/s1 = t2/t21. Čase je primerjal z opazovanjem srčnega utripa ali razmikov med poki, ko je kroglica preskakovala vr- vice, s katerimi je ovil klanec. Vrvice je premikal, do- kler si poki niso sledili v enakih časovnih razmikih. Pri tem si je pomagal s petjem, ki mu ni bilo tuje, saj sta bila oče in brat glasbenika. Z ritmičnim petjem je mogoče držati takt na desetino sekunde natančno. Natančneje je primerjal čase tako, da je pustil vodo teči iz posodice skozi slamico na dnu v spodnjo po- sodo. Slamico je odprl, ko se je gibanje začelo, in zaprl, ko se je končalo. Razmerje časov je bilo enako razmerju tež vode, ki se je natekla iz posodice v po- sodo in ki jih je stehtal z natančno tehtnico. Poskus je ponavljal, da je izboljšal natančnost. V novejšem času so poskus večkrat izvedli z napravami, ki jih je imel na voljo Galilei, in podprli njegove ugotovitve. Zaradi težav pri merjenju časa se Galilei ni izogi- bal samo podatkom za pospešek, ampak tudi podat- kom za čas in hitrost. Polovico parabole pri vodo- ravnem metu je označil z dolžino (amplitudo) x, vi- šino y in vzvišenostjo (sublimnostjo) Y . Pri paraboli 3 in po drugem z višine 100 vatlov v petih sekund h. Prvi podatek da za pospešek prostega p anja v č kot 4,0 m/s2 in drugi 5,6 m/s2. To je precej manj od pravega pospeška g = 9,807 m/s2 v Padovi, kjer je Galilei izvedel večino poskusov. Najbrž so zato v prevodih podatka izpustili. Iz enačbe y = 12gt2, v kateri so y višina in t čas ter g pospešek pr stega padanja, izra- čunamo pos ešek g = 2y/t2. Če računamo z 72 utripi v minuti, t je 60-ih sekundah, desetim utripom ustrez čas 10 · 60 s/72 = 8 3 s. Vatel (braccio) so uporabljali za mer- jenje dolžine blaga. Zanj danes navedejo 0,7 m, nekdaj pa je meril ahko tudi manj. Prvi podatek da za pospešek g = 4,0 m/s2. Če bi upoštevali kra ši vatel, bi bil pospešek še manjši. Ker je navedeno, a je čas krajši od desetih utripov, je pospešek večji od 4,0 m/s2. Z drugim podatkom dobimo pospe- šek 5,6 m/s2. Galilei se je lahko oprl le a geometrijo in soraz merje. Tedaj niso poznali pojma funkcije n niso pi- li enačb s simboli za količine. Obstajale so že me- hanične ure, večinoma na cerkvenih stolpih, z enim samim kaz lcem. Na dan so z ostale al prehitele do četrt ure. S tako uro ni bilo mogoče meriti se- kund, čeprav so enoto že poznali. Galilei ni mog l meriti kratkih časov pri prostem pad nju. Pomagal i je tako, da „razredčil“ težni pospeš k. Name to prostega p anja je opazoval kotaljenje kroglic po bl go nagnjenem klancu. Po izreku 3 je s tem po- spešek ma jšal v razmerju med višino in dolžino klanca. Galilei še ni imel izdel ega pojm sile in poznal a ona gibanja. Zato po podatkih pri kota- ljenju kroglic po klancu in nihanju nitn ga nihala ni mogel izračunati p s eška prosteg padanja. Galilei se je prepričal, a je kot ljenje kroglice po klancu enakomerno pospeše o gibanje s sorazmer- nostjo med potj in vadrat m ˇ sa: /s1 = t2/t21. Čase je primerjal z opazovanjem srčnega utripa ali razmikov med poki, ko je kroglica preskakovala vr- vice, s katerimi je ovil klanec. Vrvice je premikal, do- kler si poki iso sledili v en kih časov h razmikih. Pri tem si je pomagal s petj m, ki mu ni bilo tuje, saj st bila oč in brat glasbenika. Z ritmičnim petjem je mogoče držati ta t na desetino sek nde natančn . Natančneje je primerja čase tako, da je pustil vodo teči iz po odice skozi slamico na dnu v spodnjo po- sodo. Slamico je odprl, ko se je g banje zaˇ lo, in zaprl, ko se je končalo. Razmerje časov je bilo enako razmerju tež vod , ki se je natekla iz posodice v po- sodo in ki jih je steht l z natančno tehtnico. Poskus je po vljal, da je izboljšal natančn st. V n ejš m času so poskus večkrat izvedli z napravam , ki jih je imel na voljo Galilei, in d rli njegove ugotovitve. Zaradi težav pri merjenju časa se Galilei n izogi b l sa o podatk m za pospešek, ampak i podat kom za čas in hitrost. Po ovic parabole pri vodo- ravnem metu je označil z dolžino (amplitudo) x, vi- šino y in vzvišenostjo (sublimnostjo) Y . Pri paraboli 3 15 f i z i k a s temenom v izhodišču je x abscisa in y ordinata točke na paraboli, Y pa višina, iz katere bi moralo telo navpično pasti, da bi doseglo začetno hitrost v vodoravni smeri. Abscisa je x = vxt s konstantno komponento hitrosti vx v vodoravni smeri, ordinata pa y = 12gt2 s spremenljivo navpično komponento hitrosti vy = gt. Os y usmerimo navpično navzdol. Vzvišenost je Y = 12v2x/g. Vsota ordinate in vzviše- nosti y +Y = 12(v2y +v2y)/g določa kvadrat velikosti hitrosti telesa v2 = v2x + v2y v končni točki. Iz enačbe za absciso izračunamo čas t = x/vx , vstavimo v enačbo za ordinato in dobimo enačbo pa- rabole y = 12gx2/v2x . Za nagib γ tirnice v končni točki velja tanγ = vy/vx = gt/vx = gx/v2x , tako da je Y = 12x/ tanγ. Z nekaj računanja ugotovimo, da je y + Y = x/ sin 2γ = y/ sin2 γ. Galilei ni upora- bljal razmerij stranic v pravokotnem trikotniku, da- našnjih kotnih funkcij, ki so jih tedaj že uvajali astro- nomi. Vseeno je sestavil obsežne tablice za dolžino x in višino y v odvisnosti od nagiba γ pri konstantni velikosti končne hitrosti ter višine y in vzvišenosti Y v odvisnosti od nagiba pri konstantni dolžini x. Pri tem je nagib spreminjal v korakih po 1◦. Lahko si mislimo, koliko truda ga je to stalo, ker ni uporabljal enačb s simboli za količine, ampak le sorazmerje in lastnosti parabole, ki jih je dobro poznal. Zaradi tega toliko više cenimo Galilejeve dosežke. Pisanje enačb s simboli in znanje o funkcijah danes močno olajšata delo. Galilei bi mogel natančneje ugotoviti pospešek pro- stega padanja. Opišimo, kako bi to lahko naredil. Iz šobe na cevi brizga curek vode. Najprej izmerimo prostornino vode V , ki se nateče v posodo v t = 60 s. Hitrost vode v šobi je vx = V/(tS), če je S = πR2 presek šobe s premerom 2R. Cev postavimo tako, da curek iz nje izteka v vodoravni smeri. Izmerimo vo- doravno razdaljo x od šobe do točke, v kateri curek zadene vodoravno podlago v višini y pod šobo. To vstavimo v enačbo za tirnico in izračunamo pospe- šek: g = 2yv 2 x2 . Poskus naredimo na vrtu. Zalivanju namenjeno cev pritrdimo na lestev s šobo v višini y = 1,12 m. Cu- rek naravnamo tako, da zadene tla v enaki vodoravni razdalji x = 1,12 m. V minuti se je z njim v po- sodo nateklo 2,5 l vode. Premer curka je bil malo manjši od 5 mm. Upoštevamo 4,8 mm, kar je lahko nenatančno za enoto na zadnjem mestu. Za hitrost curka da to v = V/(tπr2) = 2,5 · 10−3 m3/[60 s · π · (2,4 · 10−3 m)2] = 2,3 m/s. Za x = y sledi iz zapisane enačbe pospešek prostega padanja g = 2v2/x = 2 · (2,3 m/s)2/(1,12 m) = 9,4 m/s2. S pre- merom curka 4,7 mm bi dobili pospešek 10,3 m/s2, s premerom 4,9 mm pa 8,7 m/s2. Dobljeni pospe- šek je manjši od pravega 9,8 m/s2. Izid je nenatan- čen predvsem zaradi tega, ker premera curka pri po- skusu nismo mogli izmeriti natančneje. Vseeno pa je izid precej natančnejši od Galielejeve ocene. Podobno bi lahko ravnal Galilei. Že Leonardo da 4 t i i j i i r i t t r li, i i , i t r i r l t l i ti, i l t itr t r i ri. i j t t t t itr ti r i ri, r i t 1 2 t 2 r lji i t itr ti t. ri i l. i t j 12 2 . t r i t i i - ti 12 2 2 l r t li ti itr ti t l 2 2 2 i t i. I i i r t , t i r i t i i - r l 12 2 2. i tir i i t i lj t t 2, t j 12 t . j r j t i , j i i 2 . lil i i r - lj l r rij tr i r t tri t i , - ji t i f ij, i ji t j j li tr - i. j t il t li l i i i i i ti i ri t t i li ti itr ti t r i i i i ti i ti i ri t t i l i i . ri t j i r i j l r i ◦. i i li , li tr j t t l , r i r lj l i li li i , l r rj i l t ti r l , i ji j r l. r i t t li i i lil j . i j i li i j f ij l j t l . lil i i l t j t iti r - t j . i i , i t l r il. I i ri r . j r j i ri r t r i , i t t . itr t i j t , j 2 r r r . t i t , r i j i t r i ri. I ri - r r lj t , t ri r r l i i i . t i tir i i i r - : 2 2 2 . r i rt . li j j ritr i l t i i i , . - r r t , tl i r i r lji , . i ti j ji - t l , l . r r r j il l j i . t , , r j l t t j t . itr t r t t 2 , · 3 3 · · , · 3 2 , . l i i i r t j 2 · , 2 , , 2. r - r r , i ili , 2, r r , , 2. lj i - j j i r , 2. I i j t - r r i t , r r r r ri - i li i riti t j . j i i r j t j i li l j . i l r l lil i. r Vinci je opazoval vodne curke v obliki parabole. Ga- lilei pa ne bi mogel izmeriti časa v sekundah. Za po- spešek bi navedel 9,3 vatla/utrip2. Sekunde so začeli meriti proti koncu 17. stoletja po zaslugi angleških urarjev potem, ko je Christiaan Huygens leta 1657 patentiral uro na nihalo. R. G. Mentzer je v članku Measuring the accelera- tion due to gravity. An experiment Galileo could have run, The Physics Teacher 22 (1984) 580–581 opisal poskus, ki bi ga tudi lahko izvedel Galilei. Kroglico so spustili po klancu, na 2 m dolgi vodoravni poti iz- merili hitrost njenega težišča in jo nato pustili, da je padla. Višino kroglice so v razlǐcnih razdaljah ugo- tavljali tako, da so pri različnih razdaljah postavili navpično merilno palico s papirjem in kopirnim pa- pirjem. Na mestu, na katerem je kroglica zadela pa- lico, je nastala sled. Merjenje s curkom je prepro- stejše. Za kotaljenje kroglic dobimo iz zakona o vrtenju, ki ga Galilei tudi še ni poznal: M = Jα , mgr sinβ = (25mr 2 +mr 2)α , a = αr = 57g sinβ Pri tem je M navor teže glede na trenutno mirujočo os v točki, v kateri se kroglica dotika tal in okoli ka- tere se v trenutku vrti, β pa je nagib klanca. Teža pri- jemlje v središču kroglice. J je vztrajnostni moment kroglice s polmerom r okoli te osi, α kotni pospešek pri vrtenju okoli te osi in a = αr pospešek težišča kroglice. Nihajni čas nitnega nihala z dolžino l pri majhnih amlitudah je t0 = (2π)  l/g. Galilei je vedel za so- razmernost nihajnega časa s √ l, a ni poznal enačbe, ker ni poznal zakona gibanja. Stillman Drake in James MacLachlan sta v Državni centralni knjižnici v Firencah raziskovala neobjavlje- ne Galilejeve zapiske. Pri tem sta naletala na po- drobna opisa dveh zanimivih poskusov. Pri prvem je Galilei spuščal bronaste kroglice po nagnjeni deski z žlebom, ki je bil na koncu ukrivljen, da je kroglica odletela v vodoravni smeri. Meril je vodoravno raz- daljo x, v kateri so kroglice udarile na tla po padcu za višino y1 = 77,7 cm. Kroglica je bila namazana s črnilom, tako da je bilo mogoče ugotoviti, kje je za- dela tla. Pri tem je večal dolžino klanca in ugotavljal, kako se je večala dolžina x. Za dolžino klanca si je po vrsti izbiral podatke z okroglim številom puntov. 1 punto ustreza 0,938 mm (slika 4). Drake in MacLachlan sta ponovila poskus in dobila Galilejeve izide z nagibom klanca β = 30◦. Namesto pospeška težišča kotaleče se kroglice a = 57g sinβ = 3,5 m/s2 sta najboljše ujemanje dobila s pospeškom a = 3,2 m/s2. Morda je bil žleb tako širok, da se je kroglica vanj malo ugreznila in je bil polmer trenu- tno mirujoče točke manjši od polmera kroglice r . Z enačbami t =  2s/a in s = 12v 2 0/a je sledilo x =  2v20y1/g =  4asy1/g . Po tej enačbi izračunani podatki so se od štirih Gali- 5 Vinci je op zoval vodne curke v obliki parab le. Ga- lil i pa ne bi mogel izmeriti č sa v sekundah. Za po- spešek bi navedel 9,3 vatla/utrip2. Seku de so začeli meriti proti koncu 17. stoletja po zaslugi angleških urarjev potem, ko je Christiaan Huygens leta 1657 patentiral uro na nihalo. R. G. Mentzer je v ľanku Measuring the acceler - ti n due to gravity. An exper m nt Galileo could have run, The Physics Teacher 22 (1984) 580–581 pisal poskus, ki bi ga tudi lahko izvedel Galilei. Kroglico so spustili p klancu, na 2 m dolgi vodoravni poti iz merili hitrost njenega težišča in jo nato pustili, da je p dla. Višino kr glice so v razlǐcnih razdaljah ugo tavljali tako, da so pri različnih razdalj h postavili navpično merilno palico s papirjem in kopirnim pa pir em. Na mestu, na katerem je kroglica zadela pa- lico, je n stala sled. Merjenje s cur m je pr pro- stejše. Za kotaljenje kroglic dobimo iz zakona o vrtenju, ki ga Galilei tudi še ni poznal: M = Jα , mgr sinβ = (25mr 2 +mr 2)α , a = αr = 57g sinβ Pri tem je M navor teže glede na trenutno mirujočo os v točki, v kateri se kroglica do ika tal i ok li ka- tere se v trenutku vrti, β pa je nag b klanca. Teža pri- jemlje v središču kroglice. J je vztrajnostni moment s polmerom r okoli te osi, α kotni pospešek pri vrte ju okoli t osi in a = αr pospešek težišča kroglice. Nihajni čas nit e a nih la z dolžino l pri majhnih amlitudah je t0 = (2π)  l/g. Galilei je vedel za so- razmernost nihajneg časa s √ l, a ni poznal enačbe, k r ni poznal zakona gibanja. Stillman Drake n James MacLachlan sta v Državni centralni knjižnici v Firenca raziskovala neobjavlje- ne Galilejeve zapiske. P i tem sta naletala na po- drobna op sa dveh zanimivih poskusov. Pri prvem je Ga ilei spuščal bro aste k oglice po nagnjeni deski z žlebom ki je b l na k ncu ukrivlj n, da je krogli a odletela v vodoravni smeri. Meril je vodoravno r z- daljo x, v kateri so kr glice udarile na tla po padcu za višino y1 = 77,7 cm. Kroglica je bila amazana s črnilom, tako da je bilo mogoče ugotoviti, kje je za- dela tla. Pri tem je večal dolžino klanca in ugotavljal, kako se je večala dolžina x. Za dolžino klanca si je po v sti izbir l podatke z okroglim številom puntov. 1 punto ustreza 0,938 m (slika 4). Drake in MacLachlan sta ponovi a poskus in dobila Galilejeve izide z nagibom klanca β = 30◦. Namesto pospeška težišča kot leče se kroglice a = 57g sinβ = 3,5 m/s2 sta najb ljše ujem nje do a s pospeškom a = 3,2 m/s2. Morda je bil žleb tako širok, da se je kroglica vanj malo ugreznila in je bil polmer trenu- tno mirujoče točke manjši od polmera kroglice r . Z enačbami t =  2s/a in s = 12v 2 0/a je sledilo x =  2v20y1/g =  4asy1/g . Po tej enačbi izračunani podatki so se od štirih Gali- 5 Vinci je opazoval vodne curke v obliki parabole. Ga- lilei pa ne bi ogel iz eriti časa v sekundah. Za po- spešek bi navedel 9,3 vatla/utrip2. Sekunde so začeli eriti proti koncu 17. stoletja po zaslugi angleških urarjev pote , ko je Christiaan Huygens leta 1657 patentiral uro na nihalo. R. G. entzer je v članku easuring the accelera- tion due to gravity. An experi ent Galileo could have run, The Physics Teacher 22 (1984) 580–581 opisal poskus, ki bi ga tudi lahko izvedel Galilei. Kroglico so spustili po klancu, na 2 dolgi vodoravni poti iz- erili hitrost njenega težišča in jo nato pustili, da je padla. Višino kroglice so v razlǐcnih razdaljah ugo- tavljali tako, da so pri različnih razdaljah postavili navpično erilno palico s papirje in kopirni pa- pirje . Na estu, na katere je kroglica zadela pa- lico, je nastala sled. erjenje s curko je prepro- stejše. Za kotaljenje kroglic dobi o iz zakona o vrtenju, ki ga Galilei tudi še ni poznal: Jα , gr sinβ (25 r 2 + r 2)α , a = αr = 57g sinβ Pri te je navor teže glede na trenutno irujočo os v točki, v kateri se kroglica dotika tal in okoli ka- tere se v trenutku vrti, β pa je nagib klanca. Teža pri- je lje v središču kroglice. J je vztrajnostni o ent kroglice s pol ero r okoli te osi, α kotni pospešek pri vrtenju okoli te osi in a = αr pospešek težišča kroglice. Nihajni čas nitnega nihala z dolžino l pri ajhnih a litudah je t0 = (2π)  l/g. Galilei je vedel za so- raz ernost nihajnega časa s √ l, a ni poznal enačbe, ker ni poznal zakona gibanja. Still an Drake in Ja es acLachlan sta v Državni centralni knjižnici v Firencah raziskovala neobjavlje- ne Galilejeve zapiske. Pri te sta naletala na po- drobna opisa dveh zani ivih poskusov. Pri prve je Galilei spuščal bronaste kroglice po nagnjeni deski z žlebo , ki je bil na koncu ukrivljen, da je kroglica odletela v vodoravni s eri. eril je vodoravno raz- daljo x, v kateri so kroglice udarile na tla po padcu za višino y1 = 77,7 c . Kroglica je bila na azana s črnilo , tako da je bilo ogoče ugotoviti, kje je za- dela tla. Pri te je večal dolžino klanca in ugotavljal, kako se je večala dolžina x. Za dolžino klanca si je po vrsti izbiral podatke z okrogli število puntov. 1 punto ustreza 0,938 (slika 4). Drake in acLachlan sta ponovila poskus in dobila Galilejeve izide z nagibo klanca β = 30◦. Na esto pospeška težišča kotaleče se kroglice a = 57g sinβ = 3,5 /s2 sta najboljše uje anje dobila s pospeško a = 3,2 /s2. orda je bil žleb tako širok, da se je kroglica vanj alo ugreznila in je bil pol er trenu- tno irujoče točke anjši od pol era kroglice r . Z enačba i t =  2s/a in s = 12v 2 0/a je sledilo x =  2v20y1/g =  4asy1/g . Po tej enačbi izračunani podatki so se od štirih Gali- 5 Vinci je opazoval vodne curke v obliki parabole. Ga- lilei pa ne bi mogel izmeriti časa v sekundah. Za po- spešek bi navedel 9,3 vatla/utrip2. Sekunde so začeli meriti proti koncu 17. stoletja po zaslugi angleških urarjev potem, ko je Christiaan Huygens leta 1657 patentiral uro na nihalo. R. G. Mentzer je v članku Measuring the accelera- tion due to gravity. An experiment Galileo could have run, The Physics Teacher 22 (1984) 580–581 opisal poskus, ki bi ga tudi lahko izvedel Galilei. Kroglico so spustili po klancu, na 2 m dolgi vodoravni poti iz- merili hitrost njenega težišča in jo nato pustili, da je padla. Višino kroglice so v razlǐcnih razdaljah ugo- tavljali tako, da so pri različnih razdaljah postavili navpično merilno palico s papirjem in kopirnim pa- pirjem. Na mestu, na katerem je kroglica zadela pa- lico, je nastala sled. Merjenje s curkom je prepro- stejše. Za kotaljenje kroglic dobimo iz zakona o vrtenju, ki ga Galilei tudi še ni poznal: M = Jα , mgr sinβ = (25mr 2 +mr 2)α , a = αr = 57g sinβ Pri tem je M navor teže glede na trenutno mirujočo os v točki, v kateri se kroglica dotika tal in okoli ka- tere se v trenutku vrti, β pa je nagib klanca. Teža pri- jemlje v središču kroglice. J je vztrajnostni moment kroglice s polmerom r okoli te osi, α kotni pospešek pri vrtenju okoli te osi in a = αr pospešek težišča kroglice. Nihajni čas nitnega nihala z dolžino l pri majhnih amlitudah je t0 = (2π)  l/g. Galilei je vedel za so- razmernost nihajnega časa s √ l, a ni poznal enačbe, ker ni poznal zakona gibanja. Stillman Drake in James MacLachlan sta v Državni centralni knjižnici v Firencah raziskovala neobjavlje- ne Galilejeve zapiske. Pri tem sta naletala na po- drobna opisa dveh zanimivih poskusov. Pri prvem je Galilei spuščal bronaste kroglice po nagnjeni deski z žlebom, ki je bil na koncu ukrivljen, da je kroglica odletela v vodoravni smeri. Meril je vodoravno raz- daljo x, v kateri so kroglice udarile na tla po padcu za višino y1 = 77,7 cm. Kroglica je bila namazana s črnilom, tako da je bilo mogoče ugotoviti, kje je za- dela tla. Pri tem je večal dolžino klanca in ugotavljal, kako se je večala dolžina x. Za dolžino klanca si je po vrsti izbiral podatke z okroglim številom puntov. 1 punto ustreza 0,938 mm (slika 4). Drake in MacLachlan sta ponovila poskus in dobila Galilejeve izide z nagibom klanca β = 30◦. Namesto pospeška težišča kotaleče se kroglice a = 57g sinβ = 3,5 m/s2 sta najboljše ujemanje dobila s pospeškom a = 3,2 m/s2. Morda je bil žleb tako širok, da se je kroglica vanj malo ugreznila in je bil polmer trenu- tno mirujoče točke manjši od polmera kroglice r . Z enačbami t =  2s/a in s = 12v 2 0/a je sledilo x =  2v20y1/g =  4asy1/g . Po tej enačbi izračunani podatki so se od štirih Gali- 5 i i j l li i l . - lil i i l i iti . - i l , tl t i . li iti ti . t l tj l i l i j t , j i ti l t t ti l i l . . . t j l i t l - ti t it . i t lil l , i ( ) i l , i i t i l i l lil i. li tili l , l i i ti i - ili it t j t i i j t tili, j l . i i li li i lj - t lj li t , i li i lj t ili i il li i j i i i - i j . t , t j li l - li , j t l l . j j j - t j . t lj j li i i t j , i lil i t i i l: , i , i i t j t l t t i j t i, t i li ti t l i li - t t t ti, j i l . i- j lj i li . j t j t i t li l li t i, t i i t j li t i i t i li . i j i it i l l i l i j i lit j l . lil i j l - t i j l, i l , i l i j . till i l t i t l i ji i i i i l j lj - lil j i . i t t l t l - i i i i . i j lil i l t li j i i l , i j il i lj , j li l t l i i. il j - lj , t i li il tl i i , . li j il il , t j il t iti, j j - l tl . i t j l l i l i t lj l, j l l i . l i l i j ti i i l t li t il t . t t , ( li ). i l t il i il lil j i i i l ◦. t t i t l li i , t j lj j j il , . j il l t i , j li j l il i j il l t - t i j t j i l li . i i j l il . t j i i i t i ti i li- Vinci je opazoval vodne curke v obliki parabole. Ga- lilei pa ne bi mogel izmeriti časa v sekundah. Za po- spešek bi navedel 9,3 vatla/utrip2. Sekunde so začeli meriti proti koncu 17. stoletja po zaslugi angleških urarjev potem, ko je Christiaan Huygens leta 1657 patentiral uro na nihalo. R. G. Mentzer je v članku Measuring the accelera- tion due to gravity. An experiment Galileo could have run, The Physics Teacher 22 (1984) 580–581 opisal poskus, ki bi ga tudi lahko izvedel Galilei. Kroglico so spustili po klancu, na 2 m dolgi vodoravni poti iz- merili hitrost njenega težišča in jo nato pustili, da je padla. Višino kroglice so v razlǐcnih razdaljah ugo- tavljali tako, da so pri različnih razdaljah postavili navpično merilno palico s papirjem in kopirnim pa- pirjem. Na mestu, na katerem je kroglica zadela pa- lico, je nastala sled. Merjenje s curkom je prepro- stejše. Za kotaljenje kroglic dobimo iz zakona o vrtenju, ki ga Galilei tudi še ni poznal: M = Jα , mgr sinβ = (25mr 2 +mr 2)α , a = αr = 57g sinβ Pri tem je M navor teže glede na trenutno mirujočo os v točki, v kateri se kroglica dotika tal in okoli ka- tere se v trenutku vrti, β pa je nagib klanca. Teža pri- jemlje v središču kroglice. J je vztrajnostni moment kroglice s polmerom r okoli te osi, α kotni pospešek pri vrtenju okoli te osi in a = αr pospešek težišča kroglice. Nihajni čas nitnega nihala z dolžino l pri majhnih amlitudah je t0 = (2π)  l/g. Galilei je vedel za so- razmernost nihajnega časa s √ l, a ni poznal enačbe, ker ni poznal zakona gibanja. Stillman Drake in James MacLachlan sta v Državni centralni knjižnici v Firencah raziskovala neobjavlje- ne Galilejeve zapiske. Pri tem sta naletala na po- drobna opisa dveh zanimivih poskusov. Pri prvem je Galilei spuščal bronaste kroglice po nagnjeni deski z žlebom, ki je bil na koncu ukrivljen, da je kroglica odletela v vodoravni smeri. Meril je vodoravno raz- daljo x, v kateri so kroglice udarile na tla po padcu za višino y1 = 77,7 cm. Kroglica je bila namazana s črnilom, tako da je bilo mogoče ugotoviti, kje je za- dela tla. Pri tem je večal dolžino klanca in ugotavljal, kako se je večala dolžina x. Za dolžino klanca si je po vrsti izbiral podatke z okroglim številom puntov. 1 punto ustreza 0,938 mm (slika 4). Drake in MacLachlan sta ponovila poskus in dobila Galilejeve izide z nagibom klanca β = 30◦. Namesto pospeška težišča kotaleče se kroglice a = 57g sinβ = 3,5 m/s2 sta najboljše ujemanje dobila s pospeškom a = 3,2 m/s2. Morda je bil žleb tako širok, da se je kroglica vanj malo ugreznila in je bil polmer trenu- tno mirujoče točke manjši od polmera kroglice r . Z enačbami t =  2s/a in s = 12v 2 0/a je sledilo x =  2v20y1/g =  4asy1/g . Po tej enačbi izračunani podatki so se od štirih Gali- 5 lejevih izmerkov razlikovali za največ 2,8 %. Na mestu, kjer je bil žleb ukrivljen, je kroglica po- skočila. Morda je to Galileja napeljalo na drug po- skus, pri katerem je pustil žleb raven, tako da je kroglica odletela z začetno hitrostjo v0 poševno nav- zdol. Poskusa sta pomembna. Nedvoumno sta poka- zala, da je Galilei izvajal podrobne poskuse in pri njih meril razdalje na milimeter natančno. Ni obrav- naval samo vodoravnega meta, ampak tudi poševni met. Zgodovinarji so večkrat menili, da je Galilei svoje „izmerke“ pravzaprav dobil z računom, češ da nekaterih sploh ne bi mogel tako natančno izmeriti. V opisanih poskusih Galilei ni mogel ničesar izraču- nati, zato je zagotovo zares izmeril. Pri tem ni mo- gel vedeti, koliko je pri gibanju po klancu pospešek a manjši od pospeška g pri padanju. Pri kotaljenju kroglice po klancu je odpovedal izrek 3. Morda je bil to razlog, da Galilei o opisanih poskusih ni poročal v Dveh novih znanostih. 6 lejevih zmerkov razlikovali za največ 2,8 %. Na mestu, kjer je bil ž eb ukrivljen, je kroglica po- skočila. Morda je to Galileja napelja o na drug po- skus, pri katerem je pustil žleb raven, tako da je kroglica odletela z začetno hitrostjo v0 poševno nav- zdol. Poskusa sta pome bna. Nedvoumno sta poka- zala, da je Galilei izvajal podrobne poskuse in pri njih meril azdalje na milimeter natanč o. Ni obrav- nav l samo vod ravnega meta, mpak tudi poševni met. Zgod vinarji so večkrat menili, da je Galilei svoje „izmerke“ pravzaprav dobil z računom, češ da nekaterih sploh ne bi mogel tako natanč o izmeriti. V opisanih poskusih Galilei n mogel ničesar izraču- nati, zato je zagotov zares izmeril. Pri tem ni mo- gel ved ti, koliko je pri g banju po klancu pospešek a manjši od pospeška g pri pad nju. Pri kotaljenju kroglice po klancu je odpovedal izrek 3. Morda je bil to razlog, da Galilei o opisanih poskusih ni poročal v Dveh novih zna ostih. 6 lejevih izmerkov razlikovali za največ 2,8 %. Na mestu, jer je b l žleb ukri l en je kroglica po- skočila. Morda je to Ga ileja napel alo na drug us, pri k terem je pustil žleb raven, tako da je kroglica odle la z zače no hitrostjo 0 poševno nav- zd l. Poskusa sta pomembna. Nedvoumno sta poka- zala, d je G lilei izvajal po robne po kuse in pri njih meril razdalje na mi imeter natančno. Ni obrav- aval samo vodor vnega ta, ampak tudi p ševni met. Zgodovin rji so večkrat menili, da je Galile svoje „izmerke“ pravzaprav dobil z računom, češ da n katerih sploh ne bi mogel tako nat nč izmeriti. V opisanih oskusih Gali ei ni mogel ni esar izraču- nati, z to je zagotovo zar s iz ril. Pri tem ni mo gel vedeti, kolik je pri gibanju po klancu pospešek a manjši d pospeška g pri padanju. Pri kotalj nju kroglice p klancu je odpove l izrek 3. Mord bil to razlog, da Galilei o opisanih poskusih ni poročal v Dveh novih zn nostih. 6 Presek 38 (2010/2011) 1 lica odl tela z ačetno hitr ševno avzdol. r a z v e d r i l o 16 Nagradna kr ižanka presek 38 (2010/2011) 1 r a z v e d r i l o 17 • Črke iz označenih polj po vrsti zapišite na Preseku priloženo dopisnico, dodajte tudi svoje ime, priimek in naslov. Dopi- snice pošljite na Presekov naslov (poštni- na je že plačana) do 3. oktobra 2010, ko bomo izžrebali tri nagrajence, ki bodo za nagrado prejeli Presekov paket. n a g r a d n i r a z p i s Presek 38 (2010/2011) 1 slika 2. Kozarec za kotaljenje (levo), zaloga leče (sredina) in merica (desno). Pri iskanju odgovora na nalogo, je bilo treba na- rediti nekaj meritev. Lahko pa ste seveda dogaja- nje le opazovali in samo primerjali, tako, bolj na oko. Mi smo se igrali z manjšim kozarcem za vlaganje, v katerem so bile predhodno kapre. Postopoma smo ga polnili z lečo. Pravzaprav ni pomembno, katero vrsto semen vzamemo, le rezultati se bodo morda nekoliko razlikovali. Za enoto polnjenja smo izbrali manjši kozarček za žgane pijače, ki ne služi prav po- gosto svojemu osnovnemu namenu. Kozarec smo kotalili po jedilni mizi, čas pa smo merili z mobi- telom, saj imajo možnost štoparice danes že naje- nostavnejši modeli. Mizo smo podložili z revijami Monitor, katerih stari letniki so prav v teh dneh na poti v zbiralnik papirja. Stare revije so še posebej primerne, ker so približno enako debele in je z njimi mogoče precej natančno nagniti mizo na naklon, ki ga želimo. Postavitev poskusa in pripomočke si la- hko ogledate na slikah 1 in 2. Revije pod mizo so bile pripravljene za meritev pri največjem naklonu. Kotalili smo manjši stekleni kozarec, večji stekleni kozarec je samo „zaloga“ leče, merili smo pa z majh- nim kozarčkom na desni. Kozarec, ki smo ga kotalili, smo do vrha napolnili s sedmimi kozarčki leče. Stoli na koncu mize skrbijo le zato, da kozarec ni padal na tla. Slika 1 Slika 2 Naloge smo se lotili po znanstveno. Izbrali smo ne- odvisno spremenljivko pri poskusu, torej fizikalno količino, katere vpliv na izid poskusa smo želeli raz- iskati. To je seveda bila količina leče v kozarcu, ki smo jo merili v številu „kozarčkov“. Izbrali smo tudi spremenljivko, na katero je vsebina kozarca vplivala in jo je bilo najenostavneje meriti – čas kotaljenja po mizi. Seveda je vsebina kozarca vplivala tudi na druge spremenljivke, npr. na povprečno hitrost, ven- dar teh nismo neposredno merili. Zavedali smo se tudi kontrolnih spremenljivk, torej okoliščin, ki jih je bilo potrebno nadzorovati. Za vse poskuse je bila enako dolga pot kotaljenja in vsakič smo kozarec le spustili, da je bila njena začetna hitrost enaka nič. Naklon mize smo spremenili le za vsako serijo po- skusov. Naklon je torej imel vlogo kontrolnega para- metra. Spodnja tabela kaže kar nekaj podatkov. Izme- rili smo čas, ki ga je kozarec potrebovala za kota- ljenje preko mize, izračunali pa smo tudi povprečno hitrost kozarca. Ker je na kotaljenje kozarca močno vplival naklon mize, smo poskuse ponovili pri nekaj različnih naklonih mize. Pot, po kateri se je kotalil kozarec, je bila dolga 2 Pri iskanju odgovora na nalogo, je bilo treba na- rediti nekaj meritev. Lahko pa ste seveda dogaja- nje le opazovali in samo primerjali, tako, bolj na oko. Mi smo se igrali z manjšim kozarcem za vlaganje, v katerem so bile predhodno kapre. Postopoma smo ga polnili z lečo. Pravzaprav ni pomembno, katero vrsto semen vzamemo, le rezultati bodo morda nekoliko razlikovali. Za enoto polnjenja smo izbrali manjši kozarček za žgane pijače, ki ne služi prav po- gosto svojemu osnovnemu namenu. Kozarec smo kotalili po jedilni mizi, čas pa smo merili z mobi- telo , saj m jo mož ost št p ice danes že naje- nostavnejši modeli. Mizo smo podložili z revija i Monitor, katerih stari letniki so rav v teh dneh na poti v zbiralnik papirja. Stare rev je so še posebej primerne, ker s pr bližno enako debele in je z njim ogoče precej natančno nagniti mizo na naklon, ki a želim . Postavite poskus in pripomočke si la- hko ogledat na slikah 1 in 2. Revije pod mizo so bi e pripravljene za meritev pri največjem naklonu. K talili smo manjši stekleni kozarec, večji steklen kozarec je samo „z loga“ leče, merili smo pa z majh- nim ko arčkom na desni. Kozarec, ki smo ga k talili, smo do vrha napolnili s sedmimi kozarčki l če. Stol na k ncu mize skrbijo le zato, da kozarec ni padal n tla. Slik 1 Slika 2 Naloge smo se lotili po znanstveno. Izbrali smo ne- odvisno spremenljivko pri poskusu, torej fizikalno količino, katere vpliv na izid poskusa smo želeli raz- iskati. To je seveda bila količina leče v kozarcu, ki smo jo merili v številu „kozarčkov“. Izbrali smo tudi spremenljivko, na katero je vsebina kozarca vplivala in jo je bilo najenostavneje meriti – čas kotaljenja po mizi. Seveda je vsebina kozarca vplivala tudi na druge spremenljivke, npr. na povprečno hitrost, ven dar teh nismo neposredno merili. Zavedali smo se tudi kontrolnih s remenlj vk, torej okoliščin, ki jih je bilo potrebno nadzorovati. Za vse pos use je bila enako dolga pot kotaljenja in vsakič smo kozarec le ustili, da je bila nj na začetna hitrost enaka nič. Naklon m ze smo sprem nili l za vsako serijo po- skusov. Naklon je torej imel vlogo kontrolnega para- metra. Spodnja tabela kaž kar n kaj podatkov. Izme- rili smo čas, ki ga je kozarec potrebovala za ota- ljenje preko mize, izračun li pa smo tudi povprečno hitrost koz rca. Ker je na kotaljenje kozarca moˇno v liva naklon mize, smo poskuse pon vili pri nekaj različ ih naklonih mize. Pot, po ateri se j kota il kozarec, je bila dolga 2 Pri iskanju odgovora na nalogo, je bilo treba na- rediti nekaj meritev. Lahko pa ste seveda dogaja- nje le opazovali in samo primerjali, tako, bolj na oko. Mi smo se igrali z manjšim kozarcem za vlaganje, v katerem so bile predhodno kapre. Postopoma smo ga polnili z lečo. Pravzaprav ni pomembno, katero vrsto semen vzamemo, le rezultati se bodo morda nekoliko razlikovali. Za enoto polnjenja smo izbrali manjši kozarček za žgane pijače, ki ne služi prav po- gosto svojemu osnovnemu namenu. Kozarec smo kotalili po jedilni mizi, čas pa smo merili z mobi- telom, saj imajo možnost štoparice danes že naje- nostavnejši modeli. Mizo smo podložili z revijami Monitor, katerih stari letniki so prav v teh dneh na poti v zbiralnik papirja. Stare revije so še posebej primerne, ker so približno enako debele in je z njimi mogoče precej natančno nagniti mizo na naklon, ki ga želimo. Postavitev poskusa in pripomočke si la- hko ogledate na slikah 1 in 2. Revije pod mizo so bile pripravljene za meritev pri največjem naklonu. Kotalili smo manjši stekleni kozarec, večji stekleni kozarec je samo „zaloga“ leče, merili smo pa z majh- nim kozarčkom na desni. Kozarec, ki smo ga kotalili, smo do vrha napolnili s sedmimi kozarčki leče. Stoli na koncu mize skrbijo le zato, da kozarec ni padal na tla. Slika 1 Slika 2 Naloge smo se lotili po znanstveno. Izbrali smo ne- odvisno spremenljivko pri poskusu, torej fizikalno k ličino, katere vpliv na i id poskusa smo želeli raz- iskati. To je seveda bila količina leče v kozarcu, ki smo jo merili v številu „kozarčkov“. Izbrali smo tudi spremenljivko, na katero je vsebina kozarca vplivala in jo je bilo najenostavneje meriti – čas kotaljenja po mizi. Seveda je vsebina kozarca vplivala tudi na druge spremenljivke, npr. na povprečno hitrost, ven- dar teh nismo neposredno merili. Zavedali smo se tudi kontrolnih spremenljivk, torej okoliščin, ki jih je bilo potrebno nadzorovati. Za vse poskuse je bila enako dolga pot kotaljenja in vsakič smo kozarec le spustili, da je bila njena začetna hitrost enaka nič. Naklon mize smo spremenili le za vsako serijo po- skusov. Naklon je torej imel vlogo kontrolnega para- metra. Spodnja tabela kaže kar nekaj podatkov. Izme- rili smo čas, ki ga je kozarec potrebovala za kota- ljenje preko mize, izračunali pa smo tudi povprečno hitrost kozarca. Ker je na kotaljenje kozarca močno vplival naklon mize, smo poskuse ponovili pri nekaj različnih naklonih mize. Pot, po kateri se je kotalil kozarec, je bila dolga 2 ri is j r l , j il tr - r iti j rit . st s j - j l li i s ri rj li, t , lj . i s se i r li jši rce l je, tere s ile re re. st s l ili lec . r r i e , ter rst se e e , le re lt ti se r e li r li li. e t l je j s i r li jši rce e ij ce, i e sl i r - st s je s e e . rec s t lili je il i i i, c s s erili i- tel , s j i j st št rice es e je- st ejši eli. i s l ili re ij i it r, teri st ri let i i s r te e ti ir l i irj . t re re ije s še se ej ri er e, er s ri li e e ele i je ji i ce recej t c iti i l , i eli . st ite s s i ri c e si l - le te sli i . e ije i s ile ri r lje e erite ri j ecje l . t lili s jši ste le i rec, ecji ste le i rec je s „ l “ lece, erili s j - i rc es i. rec, i s t lili, s r l ili s se i i rc i lece. t li c i e s r ij le t , rec i l tl . li li l e s se l tili st e . I r li s e- is s re e lji ri s s , t rej i l lici , tere li i i s s s eleli r - is ti. je se e il lici lece rc , i s j erili šte il „ rc “. I r li s t i s re e lji , ter je se i rc li l i j je il je st eje eriti – c s t lje j i i. e e je se i rc li l t i r e s re e lji e, r. rec itr st, e - r te is e sre erili. e li s se t i tr l i s re e lji , t rej lišci , i ji je il tre r ti. se s se je il e l t t lje j i s ic s rec le s stili, je il je cet itr st e ic. l i e s s re e ili le s serij - s s . l je t rej i el l tr l e r - etr . j t el e r e j t . I e- rili s c s, i je rec tre l t - lje je re i e, i r c li s t i rec itr st rc . er je t lje je rc c li l l i e, s s se ili ri e j r lic i l i i e. t, teri se je t lil rec, je il l mojca čepič p o iz k u š e v a l n ic a v k u h in ji slika 1. Postavit v poskusa. Kup revij je b l visok 10,5 cm pri naj- višjem podlaganju. Kateri se hitreje kotali? o d g o v o r n a l o g e 18 • , . , , . , . . , , . , . , , . , . , , . . . , , . , , . , . . , , . , . , . , . , . , , . , . . . . , , . , . , , presek 38 (2010/2011) 1 f i z i k a 19 f i z i k a • l = 148 cm. Naklonski kot, izražen v stopinjah, smo izračunali kot arcsin(h/l). Tabela 1 Na slikah 3 in 4 si lahko ogledamo tudi grafični pred- stavitvi časov, ki jih je potreboval kozarec pri različ- nih meritvah, ter povprečnih hitrosti kozarcev, izra- čunanih iz časov. Slika 3 Slika 4 Iz rezultatov lahko takoj razberemo nekaj zanimivih spoznanj: Prazen in polni kozarec sta najhitrejši, še več, sta približno enako hitri; govorimo o povprečni hitrosti. Ko plastenko polnimo, povprečna hitrost nekaj ča- sa upada, nato začne ponovno naraščati. Če je naklon mize premajhen, se kozarec, napol- njena z lečo, sploh ne zakotali. Najprej razmislimo, kako smo zapolnili tabele s podatki, nato pa še, zakaj je obnašanje pravzaprav takšno. Običajno nismo navajeni, da bi okrogle za- deve kar mirovale na nagnjenih površinah. Izračun povprečne hitrosti je enostaven. Povpre- čna hitrost je definirana kot razmerje v = razdaljačas za razdaljo = l t . Gibanja kozarca ne moremo uvrstiti v eno od kate- gorij preprostih načinov gibanja, npr. enakomerno ali enakomerno pospešeno. Natančne analize kažejo, da je kotaljenje polnega in praznega kozarca enako- merno pospešeno, vidimo tudi, da se poln in prazen kozarec kotalita približno z enako povprečno hitro- stjo. Za vse kozarce, v katerih se leča presipava, pa preprosti opisi gibanj ne veljajo. Včasih se gibljejo pospešeno, še večkrat pa se po začetnem pospeševa- nju gibljejo enakomerno. Vidimo tudi, da presipava- nje leče upočasni gibanje kozarca, saj so časi kotalje- nja na pol polnih kozarcev najdaljši ali pa se kozarec sploh ne kotali. Zakaj tako? Dokler je kozarec prazen, ga lahko obravnavamo kot kotaljenje praznega valja z dvema tankima valjema ob robovih. Ko je popolnoma poln in se leča v njem ne presipa, ga lahko obravnavamo kot valj z vstavkom polnega valja z manjšo gostoto od stekla. Natančnejši račun bi pokazal, da lahko pričakujemo za poln kozarec nekoliko večji pospe- šek kot za praznega. Da je to res, odražajo tudi me- ritve, saj so časi kotaljenja polnega kozarca nekoliko krajši od časov kotaljenja praznega kozarca. Bolj zapletena je zadeva z deloma napolnjenim 3 l = 148 cm. Naklonski kot, izražen v stopinjah, smo i računali kot arcsin(h/l). Tabela 1 Na slikah 3 in 4 si lahko ogledamo tudi grafični pred- stavitvi časov, ki j h je potreboval kozarec pri različ ih meritvah, ter povprečnih hitrosti kozarcev, izra- čunanih iz časov. Slika 3 Slika 4 Iz rezultatov lahko takoj razberemo nekaj zanimivih spoznanj: Prazen in polni kozarec sta najhitrejši, še več, sta približno enako hitri; govorimo o povprečni hitrosti. Ko plastenko polnimo, povprečna hitrost nekaj ča- sa upada, nato začne ponovno naraščati. Če je naklon mize premajhen, se kozarec, napol- njena z lečo, sploh ne zakotali. Najprej razmislimo, kako smo zapolnili tabele s podatki, nato pa še, zakaj je obnašanje pravzaprav takšno. Običajno nismo navajeni, da bi okrogle za- deve kar mirovale na nagnjenih površinah. Izračun povprečne hitrosti je enostaven. Povpre- čna hitrost je definirana kot razmerje v = razdaljačas za razdaljo = l t . Gibanja kozarc ne moremo uvrstiti v eno od kate- gorij prepr stih načinov gibanja, npr. enakomerno ali enakomerno pospešeno. Natančne n lize kažejo, da j kotaljenje p lnega in raznega kozarca enako- merno pospešen , vidimo tudi, da se poln in prazen kozarec kotalita približno z enako povprečno hitro- stjo. Za vse kozarce, v katerih se leča presipava, pa preprosti opisi gibanj ne veljajo. Včasih se gibljejo pospešeno, še večkrat pa se po začetnem pospeševa- nju gibljejo enakomerno. Vidimo tudi, da presipava- nje leče upočasni gibanje kozarca, saj so časi kotalje- nja na pol polnih kozarcev najdaljši ali pa se kozarec sploh ne kotali. Zakaj tako? Dokler je kozarec prazen, ga lahko obravnavamo kot kotaljenje praznega valja z dvema tankima valjema ob robovih. Ko je popolnoma poln in se leča v njem ne presipa, ga lahko obravnavamo kot valj z vstavkom polnega valja z manjšo gostoto od stekla. Natančnejši račun bi pokazal, da lahko pričakujemo za poln kozarec nekoliko večji pospe- šek kot za praznega. Da je to res, odražajo tudi me- ritve, saj so časi kotaljenja polnega kozarca nekoliko krajši od časov kotaljenja praznega kozarca. Bolj zapletena je zadeva z deloma napolnjenim 3 l = 148 cm. Naklonski kot, izražen v stopinjah, smo izračunali kot arcsin(h/l). Tabela 1 Na slikah 3 in 4 si lahko ogledamo tudi grafični pred- stavitvi ˇasov, ki jih je p treboval kozarec pri različ- nih meritvah, te povprečnih hitrosti kozarcev, izra- čuna ih iz časov. Slika 3 Slika 4 Iz rezultatov lahko takoj razberemo nekaj zanimivih spoznanj: Prazen in polni kozarec sta najhitrejši, še več, sta približno enako hitri; govorimo o p vpreč i hitrosti. Ko plastenko polnimo, povprečna hitrost nekaj ča- sa upada, nato začne ponovno naraščati. Če je naklon mize premajhen, se kozarec, napol- njena z leč , sploh ne zakotali. Najprej razmislimo, kako smo zapolnili tabele s podatki, nato pa še, kaj je obnašan e pravzaprav takšno. Običajno nism navajeni, da bi okrogle za- deve kar mirovale na nagnjenih površ nah. Izr čun povpre hitr sti je enostaven. Povpre- čna hitrost je definirana kot razmerje v = razdaljačas za razdaljo = l t . Gibanja kozarca ne moremo uvrstiti v eno od kat gorij preprostih načinov gibanja, npr. enakomerno ali enako erno pospešeno. Natančne analize kažejo, da je kotaljenje p ln ga in praznega kozarca enako- merno pospešeno, vidimo tudi, da se poln in prazen kozarec kotalita približno z enako povprečno hitro- stjo. Za vse kozarc , v katerih se leča presipava, pa preprosti opisi gibanj ne veljajo. Včasih se ibljej pospešen , še večkrat pa se po zače nem pospeševa nju gibl jo enakomern . V dimo tudi, da presipava nje leče upočasni gibanje koza ca saj so časi kotal nja na pol polnih kozarcev najdaljši ali pa se koz rec sploh ne kotali. Z kaj tako? Dokler je kozarec prazen, ga lahko obravn vamo kot kotaljenj praznega valja z dvem tankima valjema ob robovih. K je popolnoma poln in e leča v njem ne presipa, ga lahko obravnavamo kot valj z vstav polnega valja z manjšo gostoto od stekla. N tančnejši račun bi pokazal, da lahko pričakujemo za poln kozarec nekoliko večji posp - šek kot za praznega. Da je to res, odražajo tudi me- ritve, saj so časi k taljenja polnega kozarca nekoli krajši od čas v kotaljenja praznega koz rca. Bolj zap eten je zadeva z deloma napolnjenim 3 l = 148 cm. Naklonski kot, izražen v stopinjah, smo izračunali kot arcsin(h/l). Tabela 1 Na slikah 3 in 4 si lahko ogledamo tudi grafični pred- stavitvi časov, ki jih je potreboval kozarec pri različ- nih meritvah, ter povprečnih hitrosti kozarcev, izra- čunanih iz časov. Slika 3 Slika 4 Iz rezultatov lahko takoj razberemo nekaj zanimivih spoznanj: Prazen in polni kozarec sta najhitrejši, še več, sta približno enako hitri; govorimo o povprečni hitrosti. Ko plastenko polnimo, povprečna hitrost nekaj ča- sa upada, nato začne ponovno naraščati. Če je naklon mize premajhen, se kozarec, napol- njena z lečo, sploh ne zakotali. Najprej razmislimo, kako smo zapolnili tabele s podatki, nato pa še, zakaj je obnašanje pravzaprav takšno. Običajno nismo navajeni, da bi okrogle za- deve kar mirovale na nagnjenih površinah. Izračun povprečne hitrosti je enostaven. Povpre- čna hitrost je definirana kot razmerje v = razdaljačas za razdaljo = l t . Gibanja kozarca ne moremo uvrstiti v eno od kate- gorij preprostih načinov gibanja, npr. enakomerno ali enakomerno pospešeno. Natančne analize kažejo, da je kotaljenje polnega in praznega kozarca enako- merno pospešeno, vidimo tudi, da se poln in prazen kozarec kotalita približno z enako povprečno hitro- stjo. Za vse kozarce, v katerih se leča presipava, pa preprosti opisi gibanj ne veljajo. Včasih se gibljejo pospešeno, še večkrat pa se po začetnem pospeševa- nju gibljejo enakomerno. Vidimo tudi, da presipava- nje leče upočasni gibanje kozarca, saj so časi kotalje- nja na pol polnih kozarcev najdaljši ali pa se kozarec sploh ne kotali. Zakaj tako? Dokler je kozarec prazen, ga lahko obravnavamo kot kotaljenje praznega valja z dvema tankima valjema ob robovih. Ko je popolnoma poln in se leča v njem ne presipa, ga lahko obravnavamo kot valj z vstavkom polnega valja z manjšo gostoto od stekla. Natančnejši račun bi pokazal, da lahko pričakujemo za poln kozarec nekoliko večji pospe- šek kot za praznega. Da je to res, odražajo tudi me- ritve, saj so časi kotaljenja polnega kozarca nekoliko krajši od časov kotaljenja praznega kozarca. Bolj zapletena je zadeva z deloma napolnjenim 3 l . l i t, i r t i j , i r li t r i l . l li i i l l t i r i r - t it i , i ji j tr l r ri r li - i rit , t r r i itr ti r , i r - i i . li li I r lt t l t j r r j i i i j: r i l i r t j itr j i, , t ri li itri; ri r i itr ti. l t l i , r itr t j - , t r ti. j l i r j , r , l- j l , l t li. j r j r i li , l ili t l t i, t , j j j r r t . i j i j i, i r l - r ir l j i r i . I r r itr ti j t . r - itr t j ir t r rj raz alja čas za raz aljo l t . i j r r r titi t - rij r r ti i i j , r. r li r . t li j , j t lj j l i r r - r , i i t i, l i r r t lit ri li r itr - tj . r , t ri l r i , r r ti i i i j lj j . i i lj j , r t t - j i lj j r . i i t i, r i - j l i i j r , j i t lj - j l l i r j lj i li r l t li. j t l r j r r , l r t t lj j r lj t i lj r i . j l l i l j r i , l r t lj t l lj j t t t l . t j i r i l, l ri j l r li ji - t r . j t r , r j t i - rit , j i t lj j l r li r j i t lj j r r . lj l t j l l j i l = 148 c . Naklonski kot, izražen v stopinjah, s o izračunali kot arcsin(h/l). Tabela 1 Na slikah 3 in 4 si lahko ogleda o tudi grafični pred- stavitvi časov, ki jih je potreboval kozarec pri različ- nih eritvah, ter povprečnih hitrosti kozarcev, izra- čunanih iz časov. Slika 3 Slika 4 Iz rezultatov lahko takoj razbere o nekaj zani ivih spoznanj: Prazen in polni kozarec sta najhitrejši, še več, sta približno enako hitri; govori o o povprečni hitrosti. Ko plastenko polni o, povprečna hitrost nekaj ča- sa upada, nato začne ponovno naraščati. Če je naklon ize pre ajhen, se kozarec, napol- njena z lečo, sploh ne zakotali. Najprej raz isli o, kako s o zapolnili tabele s podatki, nato pa še, zakaj je obnašanje pravzaprav takšno. Običajno nis o navajeni, da bi okrogle za- deve kar irovale na nagnjenih površinah. Izračun povprečne hitrosti je enostaven. Povpre- čna hitrost je definirana kot raz erje v = razdaljačas za razdaljo = l t . Gibanja kozarca ne ore o uvrstiti v eno od kate- gorij preprostih načinov gibanja, npr. enako erno ali enako erno pospešeno. Natančne analize kažejo, da je kotaljenje polnega in praznega kozarca enako- erno pospešeno, vidi o tudi, da se poln in prazen kozarec kotalita približno z enako povprečno hitro- stjo. Za vse kozarce, v katerih se leča presipava, pa preprosti opisi gibanj ne veljajo. Včasih se gibljejo pospešeno, še večkrat pa se po začetne pospeševa- nju gibljejo enako erno. Vidi o tudi, da presipava- nje leče upočasni gibanje kozarca, saj so časi kotalje- nja na pol polnih kozarcev najdaljši ali pa se kozarec sploh ne kotali. Zakaj tako? Dokler je kozarec prazen, ga lahko obravnava o kot kotaljenje praznega valja z dve a tanki a valje a ob robovih. Ko je popolno a poln in se leča v nje ne presipa, ga lahko obravnava o kot valj z vstavko polnega valja z anjšo gostoto od stekla. Natančnejši račun bi pokazal, da lahko pričakuje o za poln kozarec nekoliko večji pospe- šek kot za praznega. Da je to res, odražajo tudi e- ritve, saj so časi kotaljenja polnega kozarca nekoliko krajši od časov kotaljenja praznega kozarca. Bolj zapletena je zadeva z delo a napolnjeni 3 Pri iskanju odgovora na nalogo, je bilo treba na- rediti nekaj meritev. Lahko pa ste seveda dogaja- nje le opazovali in samo primerjali, tako, bolj na oko. Mi smo se igrali z manjšim kozarcem za vlaganje, v katerem so bile predhodno kapre. Postopoma smo ga polnili z lečo. Pravzaprav ni pomembno, katero vrsto semen vzamemo, le rezultati se bodo morda nekoliko razlikovali. Za enoto polnjenja smo izbrali manjši kozarček za žgane pijače, ki ne služi prav po- gosto svojemu osnovnemu namenu. Kozarec smo kotalili po jedilni mizi, čas pa smo merili z mobi- telom, saj imajo možnost štoparice danes že naje- nostavnejši modeli. Mizo smo podložili z revijami Monitor, katerih stari letniki so prav v teh dneh na poti v zbiralnik papirja. Stare revije so še posebej primerne, ker so približno enako debele in je z njimi mogoče precej natančno nagniti mizo na naklon, ki ga želimo. Postavitev poskusa in pripomočke si la- hko ogledate na slikah 1 in 2. Revije pod mizo so bile pripravljene za meritev pri največjem naklonu. Kotalili smo manjši stekleni kozarec, večji stekleni kozarec je samo „zaloga“ leče, merili smo pa z majh- nim kozarčkom na desni. Kozarec, ki smo ga kotalili, smo do vrha napolnili s sedmimi kozarčki leče. Stoli na koncu mize skrbijo le zato, da kozarec ni padal na tla. Slika 1 Slika 2 Naloge smo se lotili po znanstveno. Izbrali smo ne- odvisno spremenljivko pri poskusu, torej fizikalno količino, katere vpliv na izid poskusa smo želeli raz- iskati. To je seveda bila količina leče v kozarcu, ki smo jo merili v številu „kozarčkov“. Izbrali smo tudi spremenljivko, na katero je vsebina kozarca vplivala in jo je bilo najenostavneje meriti – čas kotaljenja po mizi. Seveda je vsebina kozarca vplivala tudi na druge spremenljivke, npr. na povprečno hitrost, ven- dar teh nismo neposredno merili. Zavedali smo se tudi kontrolnih spremenljivk, torej okoliščin, ki jih je bilo potrebno nadzorovati. Za vse poskuse je bila enako dolga pot kotaljenja in vsakič smo kozarec le spustili, da je bila njena začetna hitrost enaka nič. Naklon mize smo spremenili le za vsako serijo po- skusov. Naklon je torej imel vlogo kontrolnega para- metra. Spodnja tabela kaže kar nekaj podatkov. Izme- rili smo čas, ki ga je kozarec potrebovala za kota- ljenje preko mize, izračunali pa smo tudi povprečno hitrost kozarca. Ker je na kotaljenje kozarca močno vplival naklon mize, smo poskuse ponovili pri nekaj različnih naklonih mize. Pot, po kateri se je kotalil kozarec, je bila dolga 2 tabela. h = 5,5 cm; φ = 2,1° h = 7 cm; φ = 2,7° h = 10,5 cm; φ = 4° št. meric čas kotaljenja [s] povpr. hitrost [cm/s] čas kotaljenja [s] povpr. hitrost [cm/s] čas kotaljenja [s] povpr. hitrost [cm/s] 0 3,9 37,9 3,2 46,7 2,7 54,4 1 9,0 16,5 4,5 33,0 3,3 44,6 2 ∞ 0 ∞ 0 5,5 27,1 3 ∞ 0 ∞ 0 10,5 14,1 4 ∞ 0 ∞ 0 7,7 19,8 5 ∞ 0 7,6 19,4 4,7 31,6 6 5,5 26,8 4,4 34,0 3,1 47,9 7 3,5 42,3 3,1 46,3 2,5 58,3 slika 3. Odvisnost časa kotaljenja kozarca od števila meric leče v kozarcu. Različne barve podajajo različne višine podlaganja. slik 4. Odvisnost povprečne hitrosti kotaljenja kozarca od števila meric le- če v kozarcu. Ra lične barve podajajo različne višine podlaganja. Pr sek 38 (2010/2011) 1 10,5 cm 10,5 cm Merice t ko ta lje nj e [s ] 0 0 2 4 6 8 2 4 6 8 10 12 5,5 cm 5,5 cm 7 cm 7 cm Merice po vp r. hi tr os t [c m /s ] 0,0 0 2 4 6 8 10,0 20,0 30,0 40,0 50,0 60,0 70,0 l = 148 cm. Naklonski kot, izražen v stopinjah, smo izračunali kot arcsin(h/l). Tabela 1 Na slikah 3 in 4 si lahko ogledamo tudi grafični pred- stavitvi časov, ki jih je potreboval kozarec pri različ- nih meritvah, ter povprečnih hitrosti kozarcev, izra- čunanih iz časov. Slika 3 Slika 4 Iz rezultatov lahko takoj razberemo nekaj zanimivih spoznanj: Prazen in polni kozarec sta najhitrejši, še več, sta približno enako hitri; govorimo o povprečni hitrosti. Ko plastenko polnimo, povprečna hitrost nekaj ča- sa upada, nato začne ponovno naraščati. Če je naklon mize premajhen, se kozarec, napol- njena z lečo, sploh ne zakotali. Najprej razmislimo, kako smo zapolnili tabele s podatki, nato pa še, zakaj je obnašanje pravzaprav takšno. Običajno nismo navajeni, da bi okrogle za- deve kar mirovale na nagnjenih površinah. Izračun povprečne hitrosti je enostaven. Povpre- čna hitrost je definirana kot razmerje v = razdaljačas za razdaljo = l t . Gibanja kozarca ne moremo uvrstiti v eno od kate- gorij preprostih načinov gibanja, npr. enakomerno ali enakomerno pospešeno. Natančne analize kažejo, da je kotaljenje polnega in praznega kozarca enako- merno pospešeno, vidimo tudi, da se poln in prazen kozarec kotalita približno z enako povprečno hitro- stjo. Za vse kozarce, v katerih se leča presipava, pa preprosti opisi gibanj ne veljajo. Včasih se gibljejo pospešeno, še večkrat pa se po začetnem pospeševa- nju gibljejo enakomerno. Vidimo tudi, da presipava- nje leče upočasni gibanje kozarca, saj so časi kotalje- nja na pol polnih kozarcev najdaljši ali pa se kozarec sploh ne kotali. Zakaj tako? Dokler je kozarec prazen, ga lahko obravnavamo kot kotaljenje praznega valja z dvema tankima valjema ob robovih. Ko je popolnoma poln in se leča v njem ne presipa, ga lahko obravnavamo kot valj z vstavkom polnega valja z manjšo gostoto od stekla. Natančnejši račun bi pokazal, da lahko pričakujemo za poln kozarec nekoliko večji pospe- šek kot za praznega. Da je to res, odražajo tudi me- ritve, saj so časi kotaljenja polnega kozarca nekoliko krajši od časov kotaljenja praznega kozarca. Bolj zapletena je zadeva z deloma napolnjenim 3 20 f i z i k a slika 5. Na ravnini je leča razporejena pod težiščem kozarca, na klan- cu pa sile lepenja med zrni leče ter zrni leče in stenami kozar- ca preprečijo premikanje zrn in prerazporejanje v nižje lege. S T je na sliki izenačeno težišče, s sivo puščico pa teža kozarca ter s črno teža leče. Slika je shematska. kozarcem. Vidimo dva pojava, ali zrna leče ob steni kozarca kar drsijo, kar je značilno za manjše količine leče v kozarcu, ali pa del zrn drsi, gornja plast zrn pa se presiplje. V obeh primerih prihaja med zrni leče do trenja, zato se del mehanske energije, ki je bila na začetku poskusa v obliki potencialne energije, pre- tvarja namesto v kinetično energijo kotaljenja tudi v notranjo. Če bi lahko temperature zrn natančno me- rili, bi se le-tem temperatura nekoliko zvišala. Žal so take naprave precej zahtevne. Energija se iz ene oblike mehanske energije (po- tencialne, kinetične ali prožnostne) lahko spreminja v drugo le, kadar ni trenja in je telo brez notranje strukture. Kadar pa so telesa sestavljena iz mnogih komponent, kot naš kozarec z lečo, navaden bicikel ali mi sami, lahko notranje gibanje komponent vpliva na zunanje sile, ki telesa pospešujejo ali zavirajo, pri tem pa del lastne energije pretvarja tudi v notranjo ali iz nje v mehansko, če k notranji energiji štejemo tudi kemijsko. Podobno dogajanje izkoristimo pri vožnji po klancu navzdol, ko kolo zaviramo s tre- njem zavor ob obroče ali diske. Obratno pa lahko pretvorimo svojo notranjo energijo (npr. zajtrka) v svojo potencialno energijo pri hoji po stopnicah nav- zgor. Še besedo o mirovanju na nagnjeni površini. Če je lepenje med koščki leče večje, kot so sile teže, ki poskušajo lečo premakniti drugo ob drugo ali ob ste- klu, prevelike, se leča v kozarcu ne premakne. Koza- rec se nekoliko zakotali, a le toliko, da težišče leče ni več neposredno pod središčem kozarca, ampak se nekoliko premakne nazaj nad gornji del kozarca (kot kaže slika 5). Tako se navora, ki ju povzroča teža ko- zarca in teža leče, med seboj uravnovesita in kozarec ne zdrsne. Slika 5 4 presek 38 (2010/2011) 1 T T www.presek.si a b c d e f g h i a 3 4 2 7 b 1 9 2 4 c 2 8 3 5 d 1 5 7 3 e 3 8 2 1 f 9 8 6 5 g 7 6 5 8 h 3 6 9 4 i 1 9 7 2 Sudoku • f i z i k a 21 V prejšnji nalogi smo se ukvarjali z resnimi mer- jenji, v tej nalogi pa bomo izvedli opazovanje. Uči- telji fizike pravimo temu „dolgotrajno opazovanje“ in s tem mislimo, da bomo določeno dogajanje opa- zovali dalj časa, vsaj nekaj dni, včasih tudi tednov, mesecev ali celo let. Ko govorimo o dolgotrajnih opazovanjih, navadno opazujemo, pogosto pa tudi merimo, lastnost ali več njih pri določenem pojavu v naravi. Tokrat bi se radi osredotočili na barvo jesenskega listja. Ker pri tem opazovanju ne moremo ravno poskušati, bomo po- skusili razloge za rezultate opazovanja pojasniti v odgovoru naloge. Z opazovanjem pa bi radi poiskali tudi morebitne namige, kaj na barvo drevesnega li- stja oziroma njen razvoj pravzaprav vpliva. Za izvedbo naloge potrebujete digitalni fotoapa- rat. Seveda bi zadoščal tudi klasični aparat, a danes ga nima skoraj nihče več. V bližini svojega doma si izberite eno, dve ali več posameznih dreves in jih vsako zase slikajte vsak teden enkrat, najbolje na isti dan v tednu ob približno isti uri dneva. Za pri- merjavo, torej za študij vplivov na barve, lahko izbe- rete drevo blizu cestne svetilke in enako drevo od- daljeno od svetlobe. Lahko preprosto izberete ne- kaj različnih vrst dreves, ki rastejo v enakih okoli- ščinah. Lahko primerjate drevesi enake vrste, ki ra- steta na različnih nadmorskih višinah, če vključite v opazovanje katerega od prijateljev iz drugih krajev. Skratka, možnih primerjav ne manjka. Primerjave so tiste, ki v znanosti pripeljejo do mnogih novih spo- znanj. Pošljite nam svoje serije fotografij z opisom vrste drevesa, okoliščin, v katerih je drevo rastlo, in datumi slik. Opišite nam (na naslov presek@dmfa.si) tudi svoja opažanja, morda v povezavi z vremenom ali temperaturami. 2 , . , , , , . , , , . . , . , . . , . , , . , , . , . , , . , . , . , , , . j ji l i j li i i - j ji t j l i i li j i- t lji i i t l t j j i t i li l j j - li lj j j i i t i t li l l t ri l tr j i ji j t t i ri l t t li ji ri l j r i r t i r i r t ili r j li tj r ri t j r r ti - ili r l r lt t j j iti r l j i r i i li t i r it i j r r li- tj ir j r j r r li i l tr j t i it l i f t - r t i l t i l i i r t i r j i li i i j i i rit li i r i ji li jt t r t j lj i ti t ri li i ti ri ri- rj t r j t ij li r l i - r t r li t til i r - lj tl r r t i r t - j r li i r t r i r t j i li- i ri rj t r i r t i r - t t r li i r i i i lj it j t r rij t lj i r i r j r t i ri rj j ri rj ti t i ti ri lj j i i - j ljit j rij f t r j i r t r li i t ri j r r tl i t i li i it ( l r f . i) t i j j , r i r li t r t r i. re š a og s o se ar a z res er e , e a og a o o z e o azo a e. č e z e ra o e „ o go ra o o azo a e“ s e s o, a o o o oče o oga a e o a zo a a časa, sa e a , čas e o , esece a ce o e . o govo o o o go a o azova , ava o o az e o, ogos o a e o, as os a več o oče e o av v a av . ok a b se a os e o oč a ba vo ese skega s a. e e o azova e o e o av o osk ša , bo o o sk s az oge za ez a e o azova a o as v o govo a oge. o azova e a b a o ska o eb e a ge, ka a ba vo eves ega s a oz o a e azvo avza av v va. a zve bo a oge o eb e e g a o oa a a . Seve a b za ošča k as č a a a , a a es ga a sko a če več. b ž svo ega o a s zbe e e o, ve a več osa ez eves vsako zase s ka e vsak e e e k a , a bo e a s a v e ob b ž o s eva. a e avo, o e za š v vov a ba ve, a ko zbe e e evo b z ces e sve ke e ako evo o a e o o sve obe. La ko e os o zbe e e e ka az č v s eves, k as e o v e ak oko šč a . La ko e a e eves e ake v s e, k a s e a a az č a o sk v š a , če vk č e v o azova e ka e ega o a e ev z g k a ev. Sk a ka, ož e av e a ka. P e ave so s e, k v z a os e e o o og ov s o z a . Poš e a svo e se e o og a z o so v s e evesa, oko šč , v ka e e evo as o, a s k. š e a a as ov esek a s u svo a o ažan a o a v ovezav z v e eno a e e a u a 2 V p j nji n l i ukv j li ni i - j nji, v t j n l i p b i v dli p v nj . U i- t lji fi ik p vi t u d l t jn p v nj in t i li , d b d l n d j nj p - v li d lj , v j n k j dni, v ih tudi t dn v, v li l l t. K ri d l tr jnih p njih, n dn p uj , p t p tudi ri , l tn t li njih pri d l n p j u n r i. T r t i r di r d t ili n r j n li tj . K r pri t p nju n r r n p u ti, p - u ili r l r ult t p nj p j niti d ru n l . Z p nj p i r di p i li tudi r itn n i , j n r dr n li- tj ir nj n r j pr pr pli . Z i d n l p tr uj t di it lni f t p - r t. d i d l tudi l i ni p r t, d n ni r j nih . V li ini j d i i rit n , d li p nih dr in jih li jt t d n n r t, n j lj n i ti d n t dnu pri li n i ti uri dn . Z pri- rj , t r j tudij pli n r , l h i - r t dr li u tn til in n dr d- d lj n d tl . h pr pr t i r t n - j r li nih r t dr , i r t j n ih li- in h. h pri rj t dr i n r t , i r - t t n r li nih n d r ih i in h, lju it p nj t r d prij t lj i dru ih r j . r t , nih pri rj n nj . ri rj ti t , i n n ti prip lj j d n ih n ih p - n nj. ljit n j rij f t r fij pi r t dr , li in, t rih j dr r tl , in d tu i li . Opi it n (n n l pr @d f . i) t di j p j , rd p i r li t p r t r i. V prejšnji nalogi smo se ukvarjali z resnimi mer- jenji, v tej nalogi pa bomo izvedli opazovanje. Uči- telji fizike pravimo temu „dolgotrajno opazovanje“ in s tem mislimo, da bomo določeno dogajanje opa- zovali dalj časa, vsaj nekaj dni, včasih tudi tednov, mesecev ali celo let. Ko govorimo o dolgotrajnih opazovanjih, navadno opazujemo, pogosto pa tudi merimo, lastnost ali več njih pri določenem pojavu v naravi. Tokrat bi se radi osredotočili na barvo jesenskega listja. Ker pri tem opazovanju ne moremo ravno poskušati, bomo po- skusili razloge za rezultate opazovanja pojasniti v odgovoru naloge. Z opazovanjem pa bi radi poiskali tudi morebitne namige, kaj na barvo drevesnega li- stja oziroma njen razvoj pravzaprav vpliva. Za izvedbo naloge potrebujete digitalni fotoapa- rat. Seveda bi zadoščal tudi klasični aparat, a danes ga nima skoraj nihče več. V bližini svojega doma si izberite eno, dve ali več posameznih dreves in jih vsako zase slikajte vsak teden enkrat, najbolje na isti dan v tednu ob približno isti uri dneva. Za pri- merjavo, torej za študij vplivov na barve, lahko izbe- rete drevo blizu cestne svetilke in enako drevo od- daljeno od svetlobe. Lahko preprosto izberete ne- kaj različnih vrst dreves, ki rastejo v enakih okoli- ščinah. Lahko primerjate drevesi enake vrste, ki ra- steta na različnih nadmorskih višinah, če vključite v opazovanje katerega od prijateljev iz drugih krajev. Skratka, možnih primerjav ne manjka. Primerjave so tiste, ki v znanosti pripeljejo do mnogih novih spo- znanj. Pošljite nam svoje serije fotografij z opisom vrste drevesa, okoliščin, v katerih je drevo rastlo, in datumi slik. Opišite nam (na naslov presek@dmfa.si) tudi svoja opažanja, morda v povezavi z vremenom ali temperaturami. 2 mojca čepič Opazuj svoje drevo, kako spreminja barve jeseni • Razmisli in poskusi mitja rosina 39. Lok in frača. Na jesenskih izletih si boste go- tovo kdaj napravili lok s puščicami ali fračo. Poleg športnega užitka boste lahko tekmovali s prijatelji, naučili pa se boste tudi nekaj fizike. Na tetivo loka obesite tolikšno utež, da se bo lok napel toliko kot pri streljanju. S tem ocenite maksi- malno silo, povprečna sila pri napenjanju F̄ je pribli- žno polovica tega. Opravljeno delo je torej A = F̄ ·d, kjer je d premik središča tetive. To delo prejme pu- ščica, njena potencialna energija v najvišji točki je mgh. Stehtajte maso puščice m in ocenite višino strela h. Pri meritvi višine naj vam pomaga prijatelj, ki opazuje pod kakšnim kotom vidi vrhnjo lego pu- ščice. Izmerite, na kateri višini se ustrezna točka na palici navidezno prekriva s puščico, in uporabite so- razmerje pri podobnih trikotnikih (slika 1). Lahko pa streljate ob drevesu, si zapomnite, do katere veje je priletela puščica in naknadno izmerite višino te veje po opisani metodi ali kako drugače. Preverite, ali se je vse delo izkoristilo za dvig pu- ščice. Kaj mislite, kdo je „poneveril“ preostalo delo? Priporočamo streljanje navzgor, ker je tako naj- laže določiti energijo puščice, pa tudi najbolj varno je. Podobne meritve in študijo lahko napravite tudi s fračo. Slika 1 Slika 2 Slika 3 Odgovor na vprašanje iz prejšnje številke Preseka bo objavljen v naslednji številki, da boste imeli še nekaj časa za poskuse in razmislek. 2 • 39. Lok in frača. Na jesenskih izletih si boste go- tovo kdaj napravili lok s puščicami ali fračo. Poleg športnega užitka boste lahko tekmovali s prijatelji, naučili pa se boste tudi nekaj fizike. Na tetivo loka obesite tolikšno utež, da se bo lok napel toliko kot pri streljanju. S tem ocenite maksi- malno silo, povprečna sila pri napenjanju F̄ je pribli- žno polovica tega. Opravljeno delo je torej A = F̄ ·d, kjer je d premik središča tetive. To delo prejme pu- ščica, njena potencialna energija v najvišji točki je mgh. Stehtajte maso puščice m in ocenite višino strela h. Pri meritvi višine naj vam pomaga prijatelj, ki opazuje pod kakšnim kotom vidi vrhnjo lego pu- ščice. Izmerite, na kateri višini se ustrezna točka na palici navidezno prekriva s puščico, in uporabit s razmerje pri odobnih trikotnikih (slika 1). Lahk pa streljate ob drevesu, si z pomnite, do katere vej e priletela puščica in naknadno izmerite višino te veje po opisani metodi ali kako drugače. Prever te, ali se je vs delo izkoristilo za dvig pu ščice. Kaj mislite, kdo je „poneveril“ preostalo delo? Priporočamo streljanje navzgor, ker je tako naj- laže določiti energijo puščice, pa tu i najbolj varno je. Podobne meritve in študijo lahko napravite tudi s fračo. Slika 1 Slika 2 Slika 3 Odgovor na vprašanje iz prejšnje številke Preseka bo objavljen v naslednji številki, da boste imeli še nekaj časa za poskuse in razmislek. 2 p o iz k u š e v a l n ic a v n a r a v i Pres k 38 (2010/2011) 1 • 22 f i z i k a slika 1. Določanje višine s podobnimi trikotniki. slika 2. Lokostrelec, ki strelja navzgor. slika 3. Otrok, ki strelja s fračo navzgor. presek 38 (2010/2011) 1 h o : l o h : l = h l o h o oO l polica • a s t r o n o m i j a 23 Lani, v mednarodnem letu astronomije, smo pri DMFA uspešno začeli tekmovanje iz znanja astro- nomije za osnovne in srednje šole. Učence in dijake, ki želijo pokazati svoje astronomsko zna- nje, decembra ponovno čaka ta izziv. Zanje smo pripravili nekaj vprašanj, kakršna bodo na tekmo- vanju. Mentorji, učenci in dijaki lahko obiščete tudi sple- tno stran www.astronomija2009.si, kjer je na pod- strani Tekmovanje iz astronomije objavljenih še več astronomskih nalog z rešitvami, na Forumu pa lahko zastavljate vprašanja v zvezi s tekmovanjem, nalo- gami, načinom reševanja nalog, literaturo. Uradni kontakt s tajnico tekmovanja iz znanja astro- nomije je astronom.tek@gmail.com. 1. Na koliko ozvezdij je razdeljeno nebo? 2. V katerem ozvezdju je zvezda Sirij? a) Orion b) Veliki pes c) Mali pes d) Veliki medved 3. Severnica je najsvetlejša zvezda: a) v ozvezdju Veliki medved b) na nebu c) v ozvezdju Mali medved d) v ozvezdju Kasiopeja 4. Ozvezdje Orion leži na nebesnem ekvatorju. Ali je v naših krajih to ozvezdje lahko kdaj v zenitu? 5. Katere zvezde tvorijo tako imenovani Poletni tri- kotnik? 6. Kako se imenuje točka na nebesni krogli, ki leži nasproti zenita? 7. Janezek nebo opazuje na zemljepisni širini 46 sto- pinj. Koliko stopinj je tam zenit oddaljen od sever- nega nebesnega pola? Kam bi moral Janezek odpoto- vati, da bi zenit sovpadal z južnim nebesnim polom? 8. Kdaj v naših krajih Sonce zahaja točno na zahodu? a) vedno b) ob poletnem solsticiju c) ob jesenskem enakonočju d) ob zimskem solsticiju 9. Ali je lahko na severnem polu višina Sonca nad obzorjem 45 stopinj? Pojasni. 10. Katera izjava drži? a) Sonce je vedno na nebesnem ekvatorju. b) Sonce nikoli ni na nebesnem ekvatorju. 2 i, l ij , i li j i j - ij i j l . i ij , i lij i j - j , i i . j i ili j j, - j . ji, i i ij i l i i l - . ij . i, j j - i j i t ij j lj i i l i i, l lj j i j , l - i, i j l , li . i j i j i j - ij j . il. . . li ij j lj . j j i ij ) i ) li i ) li ) li i . i j j l j : ) j li i ) ) j li ) j i j . j i l i j . li j i ji j l j i . ij i i l i i- i . i j i li, i l i i i . j lj i i i i i - i j. li i j j i lj - l i l - i, i i l j i i l . j i ji j ) ) l l i ij ) j j ) i l i ij . li j l l i i j i j j i. . i j i ) j j . ) i li i j . r t str s r s š t str s sr š t s str s r t s r r r š rš t e t r ce c šcete t s e t str str s er e str e e z s r e e še ec str s reš t r st te r š e s te e c reše ter t r r t t s t c te str e e str t c e e r e e e ? tere e e e r ? r e es c es e e e e er c e s et e š e e e e e e c e e e e s e e e r e e es e e t r e š r t e e e t ? tere e e t r t e et tr t ? se e e t c e es r e s r t e t ? J e e e e e e s š r st st e t e t e se er e e es e ? r J e e t t e t s e es ? š r ce t c ? e et e s st c c ese s e e c s e s st c e se er e š c r e st ? s ter r ? ce e e e es e e t r ce e es e e t r Lani, v edna odne le u a ono ije, o p i F u pe no začeli ek ovanje iz znanja a o- no ije za o novne in ednje ole. čence in dijake, ki želijo pokaza i voje a ono ko zna- nje, dece b a ponovno čaka a izziv. Zanje o p ip avili nekaj vp a anj, kak na bodo na ek o- vanju. n o ji, uˇ n i in dijaki lahko obi ˇ udi pl - no an .a ono ija2009. i, kj j na pod- ani T k ovanj i a t ono ij objavlj nih v ˇ a ono kih nalog z i va i, na Fo u u pa lahko za avlja vp a anja v zv zi k ovanj , nalo- ga i, na ǐno vanja nalog, li a u o. adni kon ak ajni o k ovanja iz znanja a o- no ij j a ono . ek g ail. o . 1. a koliko ozv zdij j azd lj no n bo 2. V ka ozv zdju j zv zda Si ij a) ion b) V liki p ) ali p d) V liki dv d 3. S v ni a j naj v l j a zv zda: a) v ozv zdju V liki dv d b) na n bu ) v ozv zdju ali dv d d) v ozv zdju Ka iop ja 4. zv zdj ion l ži na n b n kva o ju. li j v na ih k ajih o ozv zdj lahko kdaj v z ni u 5. Ka zv zd vo ijo ako i novani Pol ni i- ko nik 6. Kako i nuj oˇka na n b ni k ogli, ki l ži na p o i z ni a 7. an z k n bo opazuj na z lj pi ni i ini 46 o- pinj. Koliko opinj j a z ni oddalj n od v - n ga n b n ga pola Ka bi o al an z k odpo o- va i, da bi z ni ovpadal z južni n b ni polo 8. Kdaj v na ih k ajih Son zahaja oˇno na zahodu a) v dno b) ob pol n ol i iju ) ob j n k nakonoˇju d) ob zi k ol i iju 9. li j lahko na v n polu vi ina Son a nad obzo j 45 opinj Poja ni. 10. Ka a izjava d ži a) Son j v dno na n b n kva o ju. b) Son nikoli ni na n b n kva o ju. 2 D A U M www U @ N O M M O O A A i, m r m l t str mij , sm ri M s š li t m j i j str - mij s i sr j š l . i ij , i lij ti s j str ms - j , m r t i i . j sm ri r ili j r š j, rš t m - j . e t rji, ce ci i ij i l išcete t i s le- t str . str mij .si, jer je - str i e m je iz str mije j lje i še ec str ms i l rešit mi, r m l st lj te r š j e i s te m jem, l - mi, ci m reše j l , liter t r . r i t t s t j ic te m j i j str - mije je str m.t m il.c m. . li e ij je r elje e ? . terem e j je e irij? ) ri ) eli i es c) li es ) eli i me e . e er ic je js etlejš e : ) e j eli i me e ) e c) e j li me e ) e j si ej . e je ri le i e es em e t rj . li je ši r ji t e je l j e it ? . tere e e t rij t ime i let i tri- t i ? . se ime je t c e es i r li, i le i s r ti e it ? . J e e e je emlje is i širi i st - i j. li st i j je t m e it lje se er- e e es e l ? m i m r l J e e t - ti, i e it s l j im e es im l m? . j ši r ji ce j t c ? ) e ) let em s lsticij c) jese s em e cj ) ims em s lsticij . li je l se er em l iši c rjem st i j? j s i. . ter i j r i? ) ce je e e es em e t rj . ) ce i li i e es em e t rj . c) Sonce je vedno na ekliptiki. d) Sonce je vedno na nebesnem ekvatorju in eklip- tiki. 11. Skiciraj razporeditev Sonca, Zemlje in Jupitra, ko je Jupiter v opoziciji. 12. Kateri planet ima največjo tirno hitrost? a) Merkur b) Jupiter c) Zemlja d) Mars 13. Kaj pomeni, da je planet v periheliju? a) Da je najbližje Zemlji. b) Da je najdlje od Sonca. c) Da je najbližje Soncu. d) Da je med Soncem in Zemljo. 14. Luna na Zemlji ustvarja plimo in oseko. Zaradi tega se Luna a) približuje Zemlji in okoli nje kroži vse poča- sneje; b) približuje Zemlji in okoli nje kroži vse hitreje; c) oddaljuje od Zemlje in okoli nje kroži vse hi- treje; d) oddaljuje od Zemlje in kroži vse počasneje. 15. Kateri planet se na svoji poti okoli Sonca Zemlji najbolj približa? 16. Kaj ne sodi zraven? a) Vesta b) Slovenija c) Halley d) Jurijvega 17. Kaj ne sodi zraven? a) Perzeidi b) Atenci c) Leonidi d) Liridi 18. Kaj je na sliki? (Foto: N. A. Sharp, REU program/NOAO/AURA/NSF) a) kroglasta kopica b) planetarna meglica c) galaksija d) ostanek supernove 19. Katero telo je najbolj oddaljeno? a) Andromedina galaksija b) Pluton c) Orionova meglica d) kroglasta kopica M 13 20. Najboljša ocena starosti vesolja je: a) 5,7 milijarde let b) 20,7 milijarde let c) 10,7 milijarde let 3 c) Sonce je vedno na ekliptiki. d) Sonce je vedno na nebesnem ekvatorju in eklip- tiki. 11. Skiciraj razporeditev Sonca, Zemlje in Jupitra, ko je Jupiter v opoziciji. 12. Kateri planet ima največjo tirno hitrost? a) Merkur b) Jupiter c) Zemlja d) Mars 13. Kaj pomeni, da je planet v periheliju? a) Da je najbližje Zemlji. b) Da je najdlje od Sonca. c) Da je najbližje Soncu. d) Da je med Soncem in Zemljo. 14. Luna na Zemlji ustvarja plimo in oseko. Zaradi tega se Luna a) približuje Zemlji in okoli nje kroži vse poča- sneje; b) približuje Zemlji in okoli nje kroži vse hitreje; c) oddaljuje od Zemlje in okoli nje kroži vse hi- treje; d) oddaljuje od Zemlje in kroži vse počasneje. 15. Kateri planet se na svoji poti okoli Sonca Zemlji najbolj približa? 16. Kaj ne sodi zraven? a) Vesta b) Slovenija c) Halley d) Jurijvega 17. Kaj ne sodi zraven? a) Perzeidi b) Atenci c) Leonidi d) Liridi 18. Kaj je na sliki? (Foto: N. A. Sharp, REU program/NOAO/AURA/NSF) a) kroglasta kopica b) planetarna meglica c) galaksija d) ostanek supernove 19. Katero telo je najbolj oddaljeno? a) Andromedina galaksija b) Pluton c) Orionova meglica d) kroglasta kopica M 13 20. Najboljša ocena starosti vesolja je: a) 5,7 milijarde let b) 20,7 milijarde let c) 10,7 milijarde let 3 c) Sonce je vedno na ekliptiki. d) c j nebesnem ekvatorju in eklip- tiki. 11. Skiciraj razporeditev Sonca, Zemlje in Jupitra, ko je Jupite v opoziciji. 12. Kateri planet ima največjo tirno hitrost? a) Merkur b) Jupite c) Zemlja d) Mars 13. Kaj pomeni, da je planet v periheliju? a) Da je najbližje Zemlji. b) j jdlje od Sonca. c) j jbližje Soncu. d) a je med Soncem in Zemljo. 14. Luna na Zemlji ustvarja plimo in oseko. Zaradi tega se Lu a) približuje Zemlji in okoli nje kroži vse poča- sneje; b) približuje Zemlji in okoli nje kroži vse hitreje; c) oddalj j od Zemlje in okoli nje kroži vs hi- treje; d) oddaljuje od Zemlje in kroži vse počasneje. 15. Kateri planet se na svoji poti okoli Sonca Zemlji najbolj približa? 16. Kaj ne sodi zraven? a) Vesta b) Slovenija c) Hall y d) Jurijvega 17. Kaj ne sodi zraven? a) Perz idi b) Atenci c) Leo idi d) Liridi 18. Kaj je na sliki? (Foto: N. A. Sharp, REU program/NOAO/AURA/NSF) a) kroglasta ko ica b) planetarna meglica c) galaksija d) ostanek supernove 19. Katero telo je najbolj oddaljeno? a) Andromedina galaksija b) Pluton c) Orionova meglica d) k oglasta kopica M 13 20. Najboljša ocena starosti vesolja je: a) 5,7 milijarde let b) 20,7 milijarde let c) 1 , ilij l 3 Lani, v mednarodnem letu astronomije, smo pri DMFA uspešno začeli tekmovanje iz znanja astro- nomije za osnovne in srednje šole. Učence in dijake, ki želijo pokazati svoje astronomsko zna- nje, decembra ponovno čaka ta izziv. Zanje smo pripravili nekaj vprašanj, kakršna bodo na tekmo- vanju. Mentorji, učenci in dijaki lahko obiščete tudi sple- tno stran www.astronomija2009.si, kjer je na pod- strani Tekmovanje iz astronomije objavljenih še več astronomskih nalog z rešitvami, na Forumu pa lahko zastavljate vprašanja v zvezi s tekmovanjem, nalo- gami, načinom reševanja nalog, literaturo. Uradni kontakt s tajnico tekmovanja iz znanja astro- nomije je astronom.tek@gmail.com. 1. Na koliko ozvezdij je razdeljeno nebo? 2. V katerem ozvezdju je zvezda Sirij? a) Orion b) Veliki pes c) Mali pes d) Veliki medved 3. Severnica je najsvetlejša zvezda: a) v ozvezdju Veliki medved b) na nebu c) v ozvezdju Mali medved d) v ozvezdju Kasiopeja 4. Ozvezdje Orion leži na nebesnem ekvatorju. Ali je v naših krajih to ozvezdje lahko kdaj v zenitu? 5. Katere zvezde tvorijo tako imenovani Poletni tri- kotnik? 6. Kako se imenuje točka na nebesni krogli, ki leži nasproti zenita? 7. Janezek nebo opazuje na zemljepisni širini 46 sto- pinj. Koliko stopinj je tam zenit oddaljen od sever- nega nebesnega pola? Kam bi moral Janezek odpoto- vati, da bi zenit sovpadal z južnim nebesnim polom? 8. Kdaj v naših krajih Sonce zahaja točno na zahodu? a) vedno b) ob poletnem solsticiju c) ob jesenskem enakonočju d) ob zimskem solsticiju 9. Ali je lahko na severnem polu višina Sonca nad obzorjem 45 stopinj? Pojasni. 10. Katera izjava drži? a) Sonce je vedno na nebesnem ekvatorju. b) Sonce nikoli ni na nebesnem ekvatorju. 2 andrej guštin Tekmovanje iz znanja astronomije – drugič • približuje Zemlji in ok li nje kroži vse počasneje; Presek 38 (2010/2011) 1 • a s t r o n o m i j a 24 c) Sonce je vedno na ekliptiki. d) Sonce je vedno na nebesnem ekvatorju in eklip- tiki. 11. Skiciraj razporeditev Sonca, Zemlje in Jupitra, ko je Jupiter v opoziciji. 12. Kateri planet ima največjo tirno hitrost? a) Merkur b) Jupiter c) Zemlja d) Mars 13. Kaj pomeni, da je planet v periheliju? a) Da je najbližje Zemlji. b) Da je najdlje od Sonca. c) Da je najbližje Soncu. d) Da je med Soncem in Zemljo. 14. Luna na Zemlji ustvarja plimo in oseko. Zaradi tega se Luna a) približuje Zemlji in okoli nje kroži vse poča- sneje; b) približuje Zemlji in okoli nje kroži vse hitreje; c) oddaljuje od Zemlje in okoli nje kroži vse hi- treje; d) oddaljuje od Zemlje in kroži vse počasneje. 15. Kateri planet se na svoji poti okoli Sonca Zemlji najbolj približa? 16. Kaj ne sodi zraven? a) Vesta b) Slovenija c) Halley d) Jurijvega 17. Kaj ne sodi zraven? a) Perzeidi b) Atenci c) Leonidi d) Liridi 18. Kaj je na sliki? (Foto: N. A. Sharp, REU program/NOAO/AURA/NSF) a) kroglasta kopica b) planetarna meglica c) galaksija d) ostanek supernove 19. Katero telo je najbolj oddaljeno? a) Andromedina galaksija b) Pluton c) Orionova meglica d) kroglasta kopica M 13 20. Najboljša ocena starosti vesolja je: a) 5,7 milijarde let b) 20,7 milijarde let c) 10,7 milijarde let 3 c) Sonce je vedno na ekliptiki. d) Sonce je vedno na nebesnem ekvatorju in eklip- tiki. 11. Skiciraj razporeditev Sonca, Zemlje in Jup a, ko je Jupiter v opoziciji. 12. Kateri planet ima največjo tirno hitr st? a) Merkur b) Jupiter c) Zemlja d) Mars 13. Kaj pomeni, da je planet v periheliju? a) Da je ajbližje Zemlji. b) D je najdlje od Sonca. c) Da je najbližje Soncu. d) Da je med Soncem in Zemljo. 14. Luna na Zemlji ustvarja plimo in oseko. Zaradi tega se Luna a) približuje Zemlji in okoli nje kroži vse poča- sneje; b) približuje Zemlji in okoli nje kroži vse hitreje; c) oddaljuje od Zemlje in okoli nje kroži vse hi- treje; d) oddaljuje od Zemlje in kroži vse počasneje. 15. Kateri pl net se na svoji poti okoli Sonca Zemlji najbolj približa? 6. j ne sodi zraven? ) Vesta ) Slove ija ) Halley ) Jurijvega 17. K j ne sodi zraven? ) Perzeidi ) Atenci ) Leonidi d) Liridi 18. Kaj je na sliki? (Foto: N. A. Sharp, REU program/NOAO/AURA/NSF) a) kroglasta kopica b) planetarna meglica c) galaksija d) ostanek supernove 19. Katero telo je najbolj oddaljeno? a) Andromedina galaksija b) Pluton c) Orionova meglica d) kroglasta kopica M 13 20. Najboljša ocena starosti vesolja je: a) 5,7 milijarde let b) 20,7 milijarde let c) 10,7 milijarde let 3 c) Sonce je vedno na ekliptiki. d) Sonce je vedno na nebesnem ekvatorju in eklip- tiki. 11. Skiciraj razporeditev Sonca, Zemlje in Jupitra, ko je Jupiter v opoziciji. 12. Kateri planet ima največjo tirno hitrost? a) Merkur b) Jupiter c) Zemlja d) Mars 13. Kaj pomeni, da je planet v periheliju? a) Da je najbližje Zemlji. b) Da je najdlje od Sonca. c) Da je najbližje Soncu. d) Da je med Soncem in Zemljo. 14. Luna na Zemlji ustvarja plimo in oseko. Zaradi tega se Luna a) približuje Zemlji in okoli nje kroži vse poča- sneje; b) približuje Zemlji in okoli nje kroži vse hitreje; c) oddaljuje od Zemlje in okoli nje kroži vse hi- treje; d) oddaljuje od Zemlje in kroži vse počasneje. 15. Kateri planet se na svoji poti okoli Sonca Zemlji najbolj približa? 16. Kaj ne sodi zraven? a) Vesta b) Slovenija c) Halley d) Jurijvega 17. Kaj ne sodi zraven? a) Perzeidi b) Atenci c) Leonidi d) Liridi 18. Kaj je na sliki? (Foto: N. A. Sharp, REU program/NOAO/AURA/NSF) a) kroglasta kopica b) planetarna meglica c) galaksija d) ostanek supernove 19. Katero telo je najbolj oddaljeno? a) Andromedina galaksija b) Pluton c) Orionova meglica d) kroglasta kopica M 13 20. Najboljša ocena starosti vesolja je: a) 5,7 milijarde let b) 20,7 milijarde let c) 10,7 milijarde let 3 d) 13,7 milijarde let 4 c) oddaljuje od Zemlje in okoli nje kroži vse hitreje; slika. presek 38 (2010/2011) 1 • 25 r a č u n a l n i š t v o Pred petdesetimi leti je imel malokdo doma tele- fon, danes pa le redkokateri učenec med poukom s svojim mobilcem ne pogleda na svetovni splet (npr. Facebook). Tako se nam vsaj navidezno zdi, da smo obkroženi s številnimi prijatelji. Pa ven- dar so ljudje že davno spoznali, da so človeški možgani sposobni res dobro razumeti največ 150 posameznikov in odnosov med njimi (npr. Robin Dunbar iz univerze v Liverpoolu). Tudi v podjetjih in vojski se število 150 izkaže za kritično, kadar obravnavamo najmanjšo neodvisno enoto. Ko se npr. z določeno znanstveno disciplino ukvarja več kot 200 raziskovalcev, se pogosto le-ta razcepi na dve ali več podpodročij. V vaseh, ki štejejo več kot 500 prebivalcev, se že pojavlja anonimnost, da o večjih mestih niti ne govorimo. V današnjem času medmrežja in potrošniške družbe bo zato vse pogosteje prihajalo do komuniciranja med ljudmi (celo med napravami), ki se ne poznajo. Kako si to- rej lahko zaupata dva, ki sta se začela pogovarjati preko mreže? V tretjem delu [3] smo predstavili koncept kriptosi- stemov z javnimi ključi, ki so ga leta 1976 odkrili W. Diffie, M. Hellman in R. Merkle (zadnji je bil ta- krat še študent), in tudi idejo digitalnega podpisa. V tem sestavku bomo predstavili konkreten kriptograf- ski protokol, ki omenjeno idejo uvaja v prakso. Po razmisleku o lastnostih lastnoročnega in digitalnega podpisa bomo opisali Elgamalovo shemo za digitalni podpis, ki je poleg RSA sheme [5] v praksi najbolj razširjena. Bistveno se način zapisovanja informacij ni dra- stično spremenil. Medtem ko smo prej shranjevali in prenašali informacije na papirju, jih sedaj hranimo na diskih in v drugih elektronskih/magnetnih me- dijih ter jih prenašamo preko omrežij. Bistveno pa se je spremenila možnost kopiranja, prenašanja in spreminjanja informacij. Danes zlahka naredimo na tisoče kopij določene digitalne informacije in jih v trenutku prenesemo na različne konce sveta, pri tem pa se nobena kopija prav nič ne razlikuje od origi- nala. Z informacijo na papirju je bilo vse to precej težje, če že ne nemogoče. Moramo pa danes poskr- beti, da bo varnost informacij neodvisna od fizičnega medija, ki jih je zapisal ali prenesel. Temeljiti mora izključno na digitalni vsebini, t. j. na številkah. Zato zna biti današnja tema zanimiva tudi za nas, Prese- kovce. Slika 1 2 Zaupati ali ne zaupati – Digitalni podpis v kriptografiji, 4.del Pred petdesetimi leti je imel malokdo doma tele- fon, danes pa le redkokateri učenec med poukom s svojim mobilcem ne pogleda na svetovni splet (npr. Facebook). Tako se nam vsaj navidezno zdi, da smo obkroženi s številnimi prijatelji. Pa ven- dar so ljudje že davno spoznali, da so človeški možgani sposobni res dobro razumeti največ 150 posameznikov in odnosov med njimi (npr. Robin Dunbar iz univerze v Liverpoolu). Tudi v podjetjih in vojski se število 150 izkaže za kritično, kadar obravnavamo najmanjšo neodvisno enoto. Ko se npr. z določeno znanstveno disciplino ukvarja več kot 200 raziskovalcev, se pogosto le-ta razcepi na dve ali več podpodročij. V vaseh, ki štejejo več kot 500 prebivalcev, se že pojavlja anonimnost, da o večjih mestih niti ne govorimo. V današnjem času medmrežja in potrošniške družbe bo zato vse pogosteje prihajalo do komuniciranja med ljudmi (celo med napravami), ki se ne poznajo. Kako si to- rej lahko zaupata dva, ki sta se začela pogovarjati preko mreže? V tretjem delu [3] smo pred tavili koncept kriptosi- stemov z javnimi ključi, ki so ga let 1976 odkrili W. Diffie, M. Hellman in R. Merkle (zadnji je bil ta- krat še študent), in tudi idejo digitalnega podpisa. V tem sestavku bomo predstavili konkreten k ipt graf- ski protokol, ki omenjeno idej uvaj v prakso. Po razm leku o lastnostih l stnoročnega in digitalnega a bomo opisali Elgamalovo shemo za digitalni podpis, ki je poleg RSA sheme [5] v praksi najbolj razširjena. Bistveno s način zapisovanja informacij ni dra- stič o spremenil. Medtem ko smo prej shranjevali in prenašali informacije na papirju, jih sedaj hrani o na diskih in v drugih elektr nskih/magne nih me- dijih ter jih prenašamo pre omrežij. Bistve o pa e je spremenila možnost kopiranja, prenašanja in spreminjan a informacij. D nes zlahka nar dimo na isoče ko ij določene digital informacije in jih v trenutku prenesemo na različne konce sveta, pri tem p se nobena kopija prav nič ne razlikuj od origi- nala. Z informacijo na papirju je bilo vse to recej težje, če že ne nemogoče. Moramo pa danes poskr- beti, da bo varnost informacij neodvisna od fiz čneg medija, ki jih je z pisal ali prenesel. Temeljiti mora izključno na digitalni vsebini, t. j. na številkah. Zato zna biti današnja tema zanimiva tudi za nas, Prese- kovce. Slika 1 2 , . . , . , . . , . . , . , , , . , . , , . , . . , . , . , . . , . , . , . , . , , . , . . . , . t ti i l ti j i l l t l - f l t i ji il l t i l t ( ) j i i i t il i i ij t lji - lj j li l i i i ti j i i ji i ( i i i i l ) i j tji i j i t il i iti j j i t l t i i li j t i l t l -t i li ij i t j j t i l j lj i t ji ti iti i j j i t i t t j i j l i i j lj i ( l i) i j i t - j l t i t l j ti tr tj l [ ] r t ili t i t si- st j i i lj i i l t rili i ll i r l ( ji j il t - r t t t) i t i i j i it l is t t r t ili r t i t r f- i r t l i j i j j r r i l l t ti l t r i i it l i i li l l i it l i i i j l [ ] r i j lj r irj i t i i j i f r ij i r - ti r il t r j r j li i r li i f r ij irj ji j r i i i i r i l tr i i - iji t r ji r r r ij i t j r il t ir j r j i r i j j i f r ij l r i i ij l i it l i f r ij i ji tr t r r li t ri t ij r i r li j ri i- l i f r ij irj j il t r j t j r r- ti r t i f r ij i i ij i ji j i l li r l ljiti r i lj i it l i i i t j t il t iti j t i i t i r - li Pre e ese e e e a o o o a e e o , a es a e re o a er če ec e o o s s o o ce e og e a a s e o s e r. Face oo . a o se a sa a ez o z , a s o o rože s š e r a e . Pa e ar so e že a o s oz a , a so č o eš ožga s oso res o ro raz e a eč 150 osa ez o o oso e r. o ar z erze L er oo . o e o s se š e o 150 z aže za r č o, a ar o ra a a o a a šo eo s o e o o. o se r. z o oče o z a s e o sc o ar a eč o 200 raz s o a ce , se ogos o e a razce a e a eč o o roč . ase , š e e o eč o 500 re a ce , se že o a a a o os , a o eč es e go or o. a aš e čas e rež a o roš š e r ž e o za o se ogos e e r a a o o o c ra a e ce o e a ra a , se e oz a o. a o s o re a o za a a a, s a se zače a ogo ar a re o reže? e e e 3 s o e s av ko ce kr p o e ov z av k č , k so ga e a 1976 o k . e, . e a . e k e za e b a k a še š e , e o d g a ega podp a. e ses avk bo o e s av ko k e e kr g a sk o oko , k o e e o e va a v akso. Po az s ek o as os as o oč ega g a ega sa bo o o sa E ga a ovo s e o za g a o s, k e o eg S s e e 5 v aks a bo azš e a. B s ve o se ač za sova a o ac a s č o s e e . e e ko s o e s a eva e aša o ac e a a , se a a o a sk v g e ek sk / ag et e e e aša o e o ež . B s ve o a se e s e e a ož os ko a a, e aša a s e a a o ac . a es z a ka a e o a t soče ko o oče e g a e o ac e v e k e ese o a az č e ko ce sve a, e a se obe a ko a av č e az k e o o g a a. o ac o a a e b o vse o ece ež e, če že e e ogoče. o a o a a es osk be , a bo va os o ac eo v s a o z č ega e a, k e za sa a e ese . e e o a zk č o a g a vseb , . . a š ev ka . a o z a b a aš a e a za va za as, P ese kovce. S a 1 2 d p td ti i l ti j i l l kd d t l - f n, d n p l dk k t i u n d p uk v ji bil n p l d n v t vni pl t (np . b k). T k n v j n vid n di, d bk ni t vilni i p ij t lji. v n- d ljudj d vn p n li, d l v ki ni p bni d b u ti n jv p nik v in dn v d nji i (np . R bin Dunb i univ v iv p lu). Tudi v p dj tjih in v j ki t vil i k k iti n , k d b vn v n j nj n dvi n n t . K np . d l n n n tv n di iplin ukv j v k t i k v l v, p t l -t pi n dv li v p dp d ij. V v h, ki t j j v k t p biv l v, p j vlj n ni n t, d v jih tih niti n v i . V d n nj u d j in p t ni k d u b b t v p t j p ih j l d k uni i nj d ljud i ( l d n p v i), ki n p n j . K k i t - j l hk up t dv , ki t l p v j ti p k V tr tj d lu [ ] pr d t ili n pt i t si- st j ni i lju i, i l t d rili . Di , M. H ll n in R. M r l ( dnji j il t - r t tud nt), in tudi id j i it ln is . V t t u pr d t ili n r t n ipto r f- i pr t l, i nj n id jo u j pr . r i l u l tn tih l tn r n in di it ln podpi pi li l l h di it lni p dpi , i j p l R A h [ ] pr i n j lj r irj n . i t n n in pi nj inf r ij ni dr - ti n pr nil. M dt pr j hr nj li in pr n li inf r ij n p pirju, jih d j hr ni n di ih in dru ih l tron ih n nih - dijih t r jih pr n pr ko r ij. i t n p j pr nil n t pir nj , pr n nj in pr inj nj inf r ij. D n l h n r di n i pij d l n di it ln inf r ij in jih tr nut u pr n n r li n n t , pri t p n n pij pr ni n r li uj d ri i- n l . Z inf r ij n p pirju j il t pr j t j , n n . M r p d n p r- ti, d rn t inf r ij n d i n d fi i n dij , i jih j pi l li pr n l. T ljiti r i lju n n di it lni ini, t. j. n t il h. Z t n iti d n nj t ni i tudi n , r - . lik m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m W ffi m m m r m m m m m m m m m m m m m t m m m m m m m m t m m m m m m m m m m m m Pre e ese i i le i je i el alo o o a ele- o , a es a le re o a eri če ec e o o s s oji o ilce e ogle a a s e o i s le ( r. Face oo ). a o se a saj a i ez o z i, a s o o rože i s š e il i i rija elji. Pa e - ar so lj je že a o s oz ali, a so člo eš i ožga i s oso i res o ro raz e i aj eč 150 osa ez i o i o oso e ji i ( r. o i ar iz i erze Li er ool ). i o je ji i ojs i se š e ilo 150 iz aže za ri ič o, a ar o ra a a o aj a jšo eo is o e o o. o se r. z oloče o z a s e o isci li o arja eč o 200 razis o alce , se ogos o le- a razce i a e ali eč o o ročij. ase , i š ejejo eč o 500 re i alce , se že oja lja a o i os , a o ečji es i i i e go ori o. a aš je čas e režja i o roš iš e r ž e o za o se ogos eje ri ajalo o o icira ja e lj i (celo e a ra a i), i se e oz ajo. a o si o- rej la o za a a a, i s a se začela ogo arja i re o reže? e je el [3] s o e s avili ko ce kripto i- te ov z jav i i klj či, ki so ga le a 1976 o k ili . i e, . ell a i . e kle (za ji je bil a- k a še š e ), i i i ejo digital ega podpi a. e ses avk bo o e s avili ko k e e k i g a - ski o okol, ki o e je o i ej vaja v akso. Po az islek o las os i las o oč ega i igi al ega isa bo o o isali Elga alovo s e o za igi al i o is, ki je oleg S s e e [5] v aksi ajbolj azši je a. Bis ve o se ači za isova ja i o acij i a- s ič o s e e il. e e ko s o ej s a jevali i e ašali i o acije a a i j , ji se aj a i o a iski i v gi elek ski / ag e i e- iji e ji e aša o e o ežij. Bis ve o a se je s e e ila ož os ko i a ja, e aša ja i s e i ja ja i o acij. a es zla ka a e i o a isoče ko ij oloče e igi al e i o acije i ji v e k e ese o a azlič e ko ce sve a, i e a se obe a ko ija av ič e azlik je o o igi- ala. i o acijo a a i j je bilo vse o ecej ežje, če že e e ogoče. o a o a a es osk - be i, a bo va os i o acij eo vis a o zič ega e ija, ki ji je za isal ali e esel. e elji i o a izklj č o a igi al i vsebi i, . j. a š evilka . a o z a bi i a aš ja e a za i iva i za as, P ese- kovce. Sli a 1 2 t t t t f t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t tr t r t t s s t r r t r t t t t s t t r t r t t r f r t r r t t t r t t r r r t f r r t r t r r r f r r r r tr t r r r r t r t r r r f r r t f r tr t r r t r t r r r f r r t r t r r t r t f r r t r t t t t t t t r d p d i i l i j i l l kd d l - n, d n p l dk k i u n d p uk v ji bil n p l d n v vni pl (np . b k). T k n v j n vid n di, d bk ni vilni i p ij lji. v n- d ljudj d vn p n li, d l v ki ni p bni d b u i n jv p nik v in dn v d nji i (np . R bin Dunb i univ v iv p lu). Tudi v p dj jih in v j ki vil i k k i i n , k d b vn v n j nj n dvi n n . K np . d l n n n v n di iplin ukv j v k i k v l v, p l - pi n dv li v p dp d ij. V v h, ki j j v k p biv l v, p j vlj n ni n , d v jih ih ni i n v i . V d n nj u d j in p ni k d u b b v p j p ih j l d k uni i nj d ljud i ( l d n p v i), ki n p n j . K k i - j l hk up dv , ki l p v j i p k V j d lu [ ] p d ili n p i t i- t j ni i lju i, i l d ili . Di , . H ll n in R. l ( dnji j il - ud n ), in udi id j i it ln i . V u p d ili n n rip o - i p l, i nj n id jo u j p . i l u l n ih l n n in di i ln podpi pi li l l h di i lni p dpi , i j p l R A h [ ] p i n j lj i j n . i n n in pi nj in ij ni d - i n p nil. d p j h nj li in p n li in ij n p pi ju, jih d j h ni n di ih in d u ih l on ih n tnih - dijih jih p n p ko ij. i n p j p nil n pi nj , p n nj in p inj nj in ij. D n l h n di n ti pij d l n di i ln in ij in jih nu u p n n li n n , p i p n n pij p ni n li uj d i i- n l . Z in ij n p pi ju j il p j j , n n . p d n p - i, d n in ij n d i n d fi i n dij , i jih j pi l li p n l. T lji i i lju n n di i lni ini, . j. n il h. Z n i i d n nj ni i udi n , - . lik Pre et eset et e e a o o o a te e fo a es a e re o ater če ec e o o s s o o ce e og e a a s eto s et r Face oo a o se a sa a ez o z a s o o rože s šte r ate Pa e ar so e že a o s oz a a so č o eš ožga s oso res o ro raz et a eč 150 osa ez o o oso e r o ar z erze L er oo o et o s se šte o 150 z aže za r t č o a ar o ra a a o a a šo eo s o e oto o se r z o oče o z a st e o sc o ar a eč ot 200 raz s o a ce se ogosto e ta razce a e a eč o o roč ase šte e o eč ot 500 re a ce se že o a a a o ost a o eč est t e go or o a aš e čas e rež a otroš š e r ž e o zato se ogoste e r a a o o o c ra a e ce o e a ra a se e oz a o a o s to re a o za ata a sta se zače a ogo ar at re o reže? tret e e 3 s o re stav ko ce t kr p os s e ov z av k č k so ga eta 1976 o kr e M e a Merk e za e b ta krat še št e t t e o d g a ega podp sa te sestavk bo o re stav ko krete k t graf sk rotoko k o e e o e va a v rakso Po raz s ek o ast ost ast oroč ega g ta ega sa bo o o sa E ga a ovo s e o za g ta o s k e o eg S s e e 5 v raks a bo razš r e a B stve o se ač za sova a for ac ra st č o s re e Me te ko s o re s ra eva re aša for ac e a a r se a ra o a sk v r g e ektr sk / ag e e ter re aša o re o rež B stve o a se e s re e a ož ost ko ra a re aša a s re a a for ac a es z a ka are o a soče ko o oče e g ta e for ac e v tre tk re ese o a raz č e ko ce sveta r te a se obe a ko a rav č e raz k e o or g a a for ac o a a r e b o vse to rece tež e če že e e ogoče Mora o a a es oskr bet a bo var ost for ac eo v s a o z č ega e a k e za sa a re ese e e t ora zk č o a g ta vseb t a štev ka ato z a b t a aš a te a za va t za as Prese kovce S a 1 2 , . . , . , . . , . . , . , , , . , . , , . , . . , . , . , . . , . , . , . , . , , . , . . . , . imi l i j im l m l m l - , l i m m jim m il m l i l ( . ). m j i i, m i il imi ij lji. - lj j li, l i m i i m i j m i i m jimi ( . i i i i l ). i j ji i j i il i i i , m jm j i . . l i i li j i l , l - i li ij. , i j j i l , j lj im , ji m i i i im . j m m m j i i j i j l m i i j m lj mi ( l m mi), i j . i - j l , i l j i m j m l [ ] m ili i t i- t m j imi lj i, i l ili W. iffi , . llm i . l ( ji j il - ), i i i j i it l i . m m ili ri - i l, i m j i j j . mi l l i l i i i l i m i li l m l m i i l i i , i j l m [ ] i j lj i j . i i i j i m ij i - i m il. m m j j li i li i m ij i j , ji j im i i i i l i m t i m - iji ji m m ij. i j m il m i j , j i mi j j i m ij. l im ti ij l i i l i m ij i ji m li , i m ij i li j i i- l . i m ij i j j il j j , m . m - i, i m ij i i m ij , i ji j i l li l. m lji i m i lj i i l i i i, . j. il . i i j m imi i , - . li Pred petdeset et e e a okdo do a te e fon, danes pa e redkokater učenec ed pouko s svo ob ce ne pog eda na svetovn sp et npr. Facebook . Tako se na vsa nav dezno zd , da s o obkrožen s štev n pr ate . Pa ven dar so ud e že davno spozna , da so č ovešk ožgan sposobn res dobro razu et na več 150 posa ezn kov n odnosov ed n npr. Rob n Dunbar z un verze v L verpoo u . Tud v pod et h n vo sk se štev o 150 zkaže za kr t čno, kadar obravnava o na an šo neodv sno enoto. Ko se npr. z do očeno znanstveno d sc p no ukvar a več kot 200 raz skova cev, se pogosto e ta razcep na dve a več podpodroč . V vaseh, k šte e o več kot 500 preb va cev, se že po av a anon nost, da o več h est h n t ne govor o. V današn e času ed rež a n potrošn ške družbe bo zato vse pogoste e pr ha a o do ko un c ran a ed ud ce o ed naprava , k se ne pozna o. Kako s to re ahko zaupata dva, k sta se zače a pogovar at preko reže? V tret e de u 3 s o predstav koncept kr p os s e ov z avn k uč , k so ga eta 1976 odkr . D e, . He an n R. erk e zadn e b ta krat še študent , n tud de o d g a nega podp sa. V te sestavku bo o predstav konkreten k ptograf sk protoko , k o en eno de o uva a v prakso. Po raz s eku o astnost h astnoročnega n d g ta nega podp sa bo o op sa E ga a ovo she o za d g ta n podp s, k e po eg RSA she e 5 v praks na bo razš r ena. B stveno se nač n zap sovan a nfor ac n dra st čno spre en . edte ko s o pre shran eva n prenaša nfor ac e na pap r u, h seda hran o na d sk h n v drug h e ektronsk h/ agne n h e d h ter h prenaša o preko o rež . B stveno pa se e spre en a ožnost kop ran a, prenašan a n spre n an a nfor ac . Danes z ahka nared o na soče kop do očene d g ta ne nfor ac e n h v trenutku prenese o na raz čne konce sveta, pr te pa se nobena kop a prav n č ne raz ku e od or g na a. Z nfor ac o na pap r u e b o vse to prece tež e, če že ne ne ogoče. ora o pa danes poskr bet , da bo varnost nfor ac neodv sna od fiz čnega ed a, k h e zap sa a prenese . Te e t ora zk učno na d g ta n vseb n , t. . na štev kah. Zato zna b t današn a te a zan va tud za nas, Prese kovce. S ka 1 2 i i l i j i l l l - l i ji il l i l ( ) j i i i il i i ij lji - lj j li l i i i i j i i ji i ( i i i i l ) i j ji i j i il i i i j j i l i i li j i l l - i li ij i j j i l j lj i ji i i i i j j i i j i j l i i j lj i ( l i) i j i - j l i l j i j l [ ] ili i t i- t j i i lj i i l ili i ll i l ( ji j il - ) i i i j i it l i ili i - i l i j i j j i l l i l i i i l i i li l l i i l i i i j l [ ] i j lj i j i i i j i ij i - i il j j li i li i ij i j ji j i i i i i l i i - iji ji ij i j il i j j i i j j i ij l i i ij l i i l i ij i ji li i ij i li j i i- l i ij i j j il j j - i i ij i i ij i ji j i l li l lji i i lj i i l i i i j il i i j i i i - li , . . , . , . . , . . , . , , , . , . , , . , M. . M , . r , . , . . M , t . , . t , . , . M , , . , . . . , . t ti i l ti j i l l t l - f l t i ji il l t i l t ( ) j i i i t il i i ij t lji - lj j li l i i i ti j i i ji i ( i i i i l ) i j tji i j i t il i iti j j i t l t i i li j t i l t l -t i li ij i t j j t i l j lj i t ji ti iti i j j i t i t t j i j l i i j lj i ( l i) i j i t - j l t i t l j ti tr tj l [ ] r t ili t i t si- st j i i lj i i l t rili i ll i r l ( ji j il t - r t t t) i t i i j i it l is t t r t ili r t i t r f- i r t l i j i j j r r i l l t ti l t r i i it l i i li l l i it l i i i j l [ ] r i j lj r irj i t i i j i f r ij i r - ti r il t r j r j li i r li i f r ij irj ji j r i i i i r i l tr i i - iji t r ji r r r ij i t j r il t ir j r j i r i j j i f r ij l r i i ij l i it l i f r ij i ji tr t r r li t ri t ij r i r li j ri i- l i f r ij irj j il t r j t j r r- ti r t i f r ij i i ij i ji j i l li r l ljiti r i lj i it l i i i t j t il t iti j t i i t i r - li Pre e ese e e e a o o o a e e o , a es a e re o a er če ec e o o s s o o ce e og e a a s e o s e r. Face oo . a o se a sa a ez o z , a s o o rože s š e r a e . Pa e ar so e že a o s oz a , a so č o eš ožga s oso res o ro raz e a eč 150 osa ez o o oso e r. o ar z erze L er oo . o e o s se š e o 150 z aže za r č o, a ar o ra a a o a a šo eo s o e o o. o se r. z o oče o z a s e o sc o ar a eč o 200 raz s o a ce , se ogos o e a razce a e a eč o o roč . ase , š e e o eč o 500 re a ce , se že o a a a o os , a o eč es e go or o. a aš e čas e rež a o roš š e r ž e o za o se ogos e e r a a o o o c ra a e ce o e a ra a , se e oz a o. a o s o re a o za a a a, s a se zače a ogo ar a re o reže? e e e 3 s o e s av ko ce kr p o e ov z av k č , k so ga e a 1976 o k . e, . e a . e k e za e b a k a še š e , e o d g a ega podp a. e ses avk bo o e s av ko k e e k og a sk o oko , k o e e o e o va a v akso. Po az s ek o as os as o oč ega g a ega o sa bo o o sa E ga a ovo s e o za g a o s, k e o eg S s e e 5 v aks a bo azš e a. B s ve o se ač za sova a o ac a s č o s e e . e e ko s o e s a eva e aša o ac e a a , se a a o a sk v g e ek o sk / ag e e e e aša o eko o ež . B s ve o a se e s e e a ož os ko a a, e aša a s e a a o ac . a es z a ka a e o a soče ko o oče e g a e o ac e v e k e ese o a az č e ko ce sve a, e a se obe a ko a av č e az k e o o g a a. o ac o a a e b o vse o ece ež e, če že e e ogoče. o a o a a es osk be , a bo va os o ac eo v s a o z č ega e a, k e za sa a e ese . e e o a zk č o a g a vseb , . . a š ev ka . a o z a b a aš a e a za va za as, P ese kovce. S a 1 2 i i l i j i l l l - , l i ji il l i l ( . ). j i i, i il i i ij lji. - lj j li, l i i i i j i i ji i ( . i i i i l ). i j ji i j i il i i i , j j i . . l i i li j i l , l - i li ij. , i j j i l , j lj i , ji i i i i . j j i i j i j l i i j lj i ( l i), i j . i - j l , i l j i j l [ ] ili i t i- t j i i lj i, i l ili . i , . ll i . l ( ji j il - ), i i i j i it l i . ili i - i l, i j i j j . i l l i l i i i l i i li l l i i l i i , i j l [ ] i j lj i j . i i i j i ij i - i il. j j li i li i ij i j , ji j i i i i i l i i - iji ji ij. i j il i j , j i i j j i ij. l i i ij l i i l i ij i ji li , i ij i li j i i- l . i ij i j j il j j , . - i, i ij i i ij , i ji j i l li l. lji i i lj i i l i i i, . j. il . i i j i i i , - . li aleksandar jurišić in jasmina veselinović • Pred petdesetimi leti je imel malokdo doma tele- fon, danes pa le redkokateri učenec med poukom s svojim mobilcem ne pogleda na svetovni splet (npr. Facebook). Tako se nam vsaj navidezno zdi, da smo obkroženi s številnimi prijatelji. Pa ven- dar so ljudje že davno spoznali, da so človeški možgani sposobni res dobro razumeti največ 150 posameznikov in odnosov med njimi (npr. Robin Dunbar iz univerze v Liverpoolu). Tudi v podjetjih in vojski se število 150 izkaže za kritično, kadar obravnavamo najmanjšo neodvisno enoto. Ko se npr. z določeno znanstveno disciplino ukvarja več kot 200 raziskovalcev, se pogosto le-ta razcepi na dve ali več podpodročij. V vaseh, ki štejejo več kot 500 prebivalcev, se že pojavlja anonimnost, da o večjih mestih niti ne govorimo. V današnjem času medmrežja in potrošniške družbe bo zato vse pogosteje prihajalo do komuniciranja med ljudmi (celo med napravami), ki se ne poznajo. Kako si to- rej lahko zaupata dva, ki sta se začela pogovarjati preko mreže? V tretjem delu [3] smo predstavili koncept kriptosi- stemov z javnimi ključi, ki so ga leta 1976 odkrili W. Diffie, M. Hellman in R. Merkle (zadnji je bil ta- krat še študent), in tudi idejo digitalnega podpisa. V tem sestavku bomo predstavili konkreten kriptograf- ski protokol, ki omenjeno idejo uvaja v prakso. Po razmisleku o lastnostih lastnoročnega in digitalnega podpisa bomo opisali Elgamalovo shemo za digitalni podpis, ki je poleg RSA sheme [5] v praksi najbolj razširjena. Bistveno se način zapisovanja informacij ni dra- stično spremenil. Medtem ko smo prej shranjevali in prenašali informacije na papirju, jih sedaj hranimo na diskih in v drugih elektronskih/magnetnih me- dijih ter jih prenašamo preko omrežij. Bistveno pa se je spremenila možnost kopiranja, prenašanja in spreminjanja informacij. Danes zlahka naredimo na tisoče kopij določene digitalne informacije in jih v trenutku prenesemo na različne konce sveta, pri tem pa se nobena kopija prav nič ne razlikuje od origi- nala. Z informacijo na papirju je bilo vse to precej težje, če že ne nemogoče. Moramo pa danes poskr- beti, da bo varnost informacij neodvisna od fizičnega medija, ki jih je zapisal ali prenesel. Temeljiti mora izključno na digitalni vsebini, t. j. na številkah. Zato zna biti današnja tema zanimiva tudi za nas, Prese- kovce. Slika 1 2 Eno izmed osrednjih orodij za zaščito informacij je podpis. Le-ta preprečuje poneverjanje in je dokaz o izvoru, identifikaciji, pričanju. Podpis naj bi bil unikat vsakega posameznika, saj se z njim predsta- vljamo, nekaj potrjujemo, nekoga pooblaščamo. Z digitalnim podpisom potrjujemo izvor podatkov ali pa nekoga prepričamo, da je podpis opravil la- stnik ustreznega zasebnega ključa. Z razvojem digitalne informacije moramo ponovno obdelati bistvo podpisa. S pravo idejo lahko vpli- vamo na tok zgodovine, saj ni rečeno, da ne bi mogli dodati še kakšne nove lastnosti, na katero doslej še nihče ni pomislil, le-ta pa bi lahko vsem nam spre- menila življenja oziroma vsaj navade. (Stari) lastnoročni podpis Na podiplomskem študiju mi je moral mentor na za- četku vsakega semestra podpisati obrazec, na kate- rem so bili vpisani predmeti, ki sem si jih izbral za tisti semester. Ko sem že dobil podpis, sem na se- znamu sosednjega oddelka za računalništvo opazil še dva zanimiva predmeta. Vpisal sem ju, saj je bil na obrazcu prostor ravno še zanju. Pa vendar sem pomislil tudi na to, da tak način morda ni ustrezen in sem mentorja obvestil o spremembi. Izkazalo se je, da bi moral mentorja v resnici še enkrat prositi za odobritev, ne pa samo obvestiti. Prav nič ni bil za- dovoljen, da sploh lahko pride do takšnih zapletov. Kakšno leto kasneje sem izvedel, da mentorji dobijo kopije omenjenih obrazcev neposredno iz pisarne, kamor smo jih oddajali. Pogled v bližnjo prihodnjost nam razkrije še nekaj pomanjkljivosti lastnoročnega podpisovanja: J: "Danes sem dobil podpis v šoli," pove Janezek sestri. S: "Kakšno neumnost si pa zopet naredil?" J: "Te nič ne briga, raje mi svetuj, kako naj prelisičim mamo." S: "Nad učiteljev podpis skopiraj obvestilo o športnem dnevu." J: "Odlična ideja, na ta način se bom zlahka rešil zagate, pa se smučat grem, namesto da bi šel v šolo." Slika 2 Janezek to naredi in mama pod digitalno obvestilo o smučarskem dnevu pripne svoj „digitalni“ podpis. Preden pa ga Janezek na ključku odnese v šolo, zo- pet zamenja obvestilo o športnem dnevu s prejšnjim besedilom. V resnici je škoda za starše še večja, saj ima sedaj Janezek mamin „digitalni“ podpis in ga bo odslej lahko izrabljal po mili volji. V času elektron- skih medijev je zato izredno nevarno podpis skeni- rati (posneti) oziroma sprejemati skenirane podpise, 3 Eno izmed osrednjih orod j za zaščito informacij je podpis. Le-ta preprečuje poneverjanje in je dokaz o izv ru, identifikaciji, pričanju. Podpis naj bi bil unikat vsakega posameznika, saj se z njim predsta- vljamo, nekaj potrjuje o, nekoga pooblaščamo. Z digitalnim podpi om potrjujemo izvor podatkov ali pa nekoga prepričamo, da je podpis opravil la- stnik ustrezne a zasebnega ključa. Z razvojem di italne informacije moramo ponovno ob elati bistvo podpisa. S pravo idejo lahko vpli- vamo a t k zgodovine, saj ni rečeno, da ne bi mogli dodati še kakšne nove l stnosti, na katero doslej še nihče ni pomislil, le-ta pa bi lahko vsem nam spre- menila življenja oziroma vsaj navade. (Stari) lastnoročni podpis Na podiplomskem študiju mi je moral mentor n za- če ku vsakega semestra po pisati obrazec, na kat rem so bili vpisani predmeti, ki sem si jih izbral a tisti semester. Ko se že dob l podpis, sem na se- znamu sosednjega oddelka za računalništvo opazil še dva zanimiv pre meta. Vpisal sem ju, saj je bil na obrazcu prost r ravno še zanju. Pa vendar sem pomislil tudi na to, da t k način morda ni ust ezen in sem mentorja obvestil o spremembi. Izkazalo se je, da bi moral mentorja v resnici še e krat rositi z odobri ev, ne pa samo obvestiti. Prav nič ni bil za- d voljen, da sploh lahko prid do takšnih zapletov. K kšno leto kasneje sem izv el, da mentorji obijo kopije omenjenih obrazcev neposredno iz pisarne, kamor smo ih oddajali. Pogled v bližnjo prihodnjost nam razkrije še nekaj pomanjkljivosti lastnoročnega podpisovanja: J D nes sem dobil pod is v šoli," pove Janezek s st . S: "Kakšno neu nost si pa zopet naredil?" J Te ni n briga, raje mi svetuj, kako naj prelisičim mamo." S Nad učiteljev podpis skopiraj obvestilo o športnem dn vu." J: "Odlična ideja, na ta način se bom zlahka rešil zagate, pa se smučat grem, namesto da bi šel v šolo." Slika 2 Janezek to naredi in m ma pod digitalno obvestilo o smučarskem dnevu pri ne svoj „digitalni“ podpis. Preden pa ga Janezek na ključku odnese v šolo, zo- pet zamenj obvestilo o športnem dnevu s prejšnjim be edilom. V resnici je škoda za starše še večja, saj ima sedaj Janezek mamin „digitalni“ podpis in ga bo odslej lahko izrabljal po mili volji. V času elektron- skih medijev je zato izredno nevarno podpis skeni- rati (posneti) oziroma sprejemati skenirane podpise, 3 slika 1. Z digitalnim podpisom potrjujemo izvor podatkov ali pa nekog prepričam , d je podpis opravil lastnik ustreznega zasebne- ga ključa. • Presek 38 (2010/2011) 1 • 26 r a č u n a l n i š t v o Eno izmed osrednjih orodij za zaščito informacij je podpis. Le-ta preprečuje poneverjanje in je dokaz o izvoru, identifikaciji, pričanju. Podpis naj bi bil unikat vsakega posameznika, saj se z njim predsta- vljamo, nekaj potrjujemo, nekoga pooblaščamo. Z digitalnim podpisom potrjujemo izvor podatkov ali pa nekoga prepričamo, da je podpis opravil la- stnik ustreznega zasebnega ključa. Z razvojem digitalne informacije moramo ponovno obdelati bistvo podpisa. S pravo idejo lahko vpli- vamo na tok zgodovine, saj ni rečeno, da ne bi mogli dodati še kakšne nove lastnosti, na katero doslej še nihče ni pomislil, le-ta pa bi lahko vsem nam spre- menila življenja oziroma vsaj navade. (Stari) lastnoročni podpis Na podiplomskem študiju mi je moral mentor na za- četku vsakega semestra podpisati obrazec, na kate- rem so bili vpisani predmeti, ki sem si jih izbral za tisti semester. Ko sem že dobil podpis, sem na se- znamu sosednjega oddelka za računalništvo opazil še dva zanimiva predmeta. Vpisal sem ju, saj je bil na obrazcu prostor ravno še zanju. Pa vendar sem pomislil tudi na to, da tak način morda ni ustrezen in sem mentorja obvestil o spremembi. Izkazalo se je, da bi moral mentorja v resnici še enkrat prositi za odobritev, ne pa samo obvestiti. Prav nič ni bil za- dovoljen, da sploh lahko pride do takšnih zapletov. Kakšno leto kasneje sem izvedel, da mentorji dobijo kopije omenjenih obrazcev neposredno iz pisarne, kamor smo jih oddajali. Pogled v bližnjo prihodnjost nam razkrije še nekaj pomanjkljivosti lastnoročnega podpisovanja: J: "Danes sem dobil podpis v šoli," pove Janezek sestri. S: "Kakšno neumnost si pa zopet naredil?" J: "Te nič ne briga, raje mi svetuj, kako naj prelisičim mamo." S: "Nad učiteljev podpis skopiraj obvestilo o športnem dnevu." J: "Odlična ideja, na ta način se bom zlahka rešil zagate, pa se smučat grem, namesto da bi šel v šolo." Slika 2 Janezek to naredi in mama pod digitalno obvestilo o smučarskem dnevu pripne svoj „digitalni“ podpis. Preden pa ga Janezek na ključku odnese v šolo, zo- pet zamenja obvestilo o športnem dnevu s prejšnjim besedilom. V resnici je škoda za starše še večja, saj ima sedaj Janezek mamin „digitalni“ podpis in ga bo odslej lahko izrabljal po mili volji. V času elektron- skih medijev je zato izredno nevarno podpis skeni- rati (posneti) oziroma sprejemati skenirane podpise, 3 Eno izmed osrednjih orodij za zaščito informacij je podpis. Le-ta preprečuje poneverjanje in je dokaz o izvoru, identifikaciji, pričanju. Podpis naj bi bil unikat vsakega posameznika, saj se z njim predsta- vljamo, nekaj potrjujemo, nekoga pooblaščamo. Z digitalnim podpisom potrjujemo izvor podatkov ali pa nekoga prepričamo, da je podpis opravil la- stnik ustreznega zasebnega ključa. Z razvojem digitalne informacije moramo ponovno obdelati bistvo podpisa. S pravo idejo lahko vpli- vamo na tok zgodovine, saj ni rečeno, da ne bi mogli dodati še kakšne nove lastnosti, na katero doslej še nihče ni pomislil, le-ta pa bi lahko vsem nam spre- menila življenja oziroma vsaj navade. (Stari) lastnoročni podpis Na podiplomskem študiju mi je moral mentor na za- četku vsakega semestra podpisati obrazec, na kate- rem so bili vpisani predmeti, ki sem si jih izbral za tisti semester. Ko sem že dobil podpis, sem na se- znamu sosednjega oddelka za računalništvo opazil še dva zanimiva predmeta. Vpisal sem ju, saj je bil na obrazcu prostor ravno še zanju. Pa vendar sem pomislil tudi na to, da tak način morda ni ustrezen in sem mentorja obvestil o spremembi. Izkazalo se je, da bi moral mentorja v resnici še enkrat prositi za odobritev, ne pa samo obvestiti. Prav nič ni bil za- dovoljen, da sploh lahko pride do takšnih zapletov. Kakšno leto kasneje sem izvedel, da mentorji dobijo kopije omenjenih obrazcev neposredno iz pisarne, kamor smo jih oddajali. Pogled v bližnjo prihodnjost nam razkrije še nekaj pomanjkljivosti lastnoročnega podpisovanja: J: "Danes sem dobil podpis v šoli," pove Janezek sestri. S: "Kakšno neumnost si pa zopet naredil?" J: "Te nič ne briga, raje mi svetuj, kako naj prelisičim mamo." S: "Nad učiteljev podpis skopiraj obvestilo o športnem dnevu." J: "Odlična ideja, na ta način se bom zlahka rešil zagate, pa se smučat grem, namesto da bi šel v šolo." Slika 2 Janezek to naredi in mama pod digitalno obvestilo o smučarskem dnevu pripne svoj „digitalni“ podpis. Preden pa ga Janezek na ključku odnese v šolo, zo- pet zamenja obvestilo o športnem dnevu s prejšnjim besedilom. V resnici je škoda za starše še večja, saj ima sedaj Janezek mamin „digitalni“ podpis in ga bo odslej lahko izrabljal po mili volji. V času elektron- skih medijev je zato izredno nevarno podpis skeni- rati (posneti) oziroma sprejemati skenirane podpise, 3 i ji ij i i ij j i . - j j j i j i , i i iji, i j . i j i il i i , j ji - lj , j j j , l . i i l i i j j i li i , j i il l - i lj . j i i l i ij l i i i . i j l li- i , j i , i li i l i, l j i i i lil, l - i l - il i lj j i j . i l i i i l ij i j l - i i , - ili i i i, i i ji i l i i . il i , - j l l i il i i . i l j , j j il j . i lil i , i i i j il i. I l j , i l j i i i i i , i i. i i il - lj , l l i i l . l j i l, ji ij ij j i i i , ji j li. l li j i j ij j j lji i l i j : li i i i i l il i j i i l i i . lj l , - j il j ji il . i i j j , j i j i i i l i i i l j l i lj l ili lji. l - i ij j i i i- i ( i) i j i i i , E o z e osre oro za zašč to for ac e podp s. Le ta re reč e o ever a e e okaz o zvor , e t kac , r ča . Po s a b b kat vsakega osa ez ka, sa se z re sta v a o, eka otr e o, ekoga oob ašča o. g ta o so otr e o zvor o atkov a a ekoga re r ča o, a e o s o rav a st k strez ega zaseb ega k ča. razvo e g ta e for ac e ora o o ov o ob e at b stvo o sa. S ravo e o a ko v va o a tok zgo ov e, sa reče o, a e b og o at še kakš e ove ast ost , a katero os e še če o s , e ta a b a ko vse a s re e a ž v e a oz ro a vsa ava e. ( t r ) st r c s a o o ske št e ora e tor a za četk vsakega se estra o sat obrazec, a kate re so b v sa re et , k se s zbra za t st se ester. o se že ob o s, se a se z a sose ega o e ka za rač a štvo o az še va za va re eta. sa se , sa e b a obrazc rostor rav o še za . Pa ve ar se o s t a to, a tak ač or a streze se e tor a obvest o s re e b . zkaza o se e, a b ora e tor a v res c še e krat ros t za o obr tev, e a sa o obvest t . Prav č b za ovo e , a s o a ko r e o takš za etov. akš o eto kas e e se zve e , a e tor ob o ko e o e e obrazcev e osre o z sar e, ka or s o o a a . Pog e v b ž o r o ost a razkr e še eka o a k vost ast oroč ega o sova a: J: "Danes sem dobil podpis v šoli," pove Janezek sestri. S: "Kakšno neumnost si pa zopet naredil?" J: "Te nič ne briga, raje mi svetuj, kako naj prelisičim mamo." S: "Nad učiteljev podpis skopiraj obvestilo o športnem dnevu." J: "Odlična ideja, na ta način se bom zlahka rešil zagate, pa se smučat grem, namesto da bi šel v šolo." S a 2 Ja ezek to are a a o g ta o obvest o o s čarske ev r e svo „ g ta “ o s. Pre e a ga Ja ezek a k čk o ese v šo o, zo et za e a obvest o o š ort e ev s re š bese o . res c e ško a za starše še več a, sa a se a Ja ezek a „ g ta “ o s ga bo o s e a ko zrab a o vo . čas e ektro sk e ev e zato zre o evar o o s ske rat os et oz ro a s re e at ske ra e o se, 3 n i d dnjih dij i in ij j i . - p p uj p n j nj in j d i u, id n ifi iji, p i nju. dpi n j i il uni p ni , j nji p d - lj , n j p juj , n p l . Z di i lni p dpi p juj i p d li p n p p i , d j p dpi p il l - ni u n n lju . Z j di i ln in ij p n n d l i i p dpi . p id j l h pli- n d in , j ni n , d n i li d d i n n l n i, n d l j nih ni p i lil, l - p i l h n p - nil i lj nj i j n d . S a i la no oˇni podpi N p dipl udiju i j l n n - u p dpi i , n - ili pi ni p d i, i i jih i l i i . K d il p dpi , n - n u dnj dd l un lni p il d ni i p d . Vpi l ju, j j il n u p n nju. nd p i lil udi n , d n in d ni u n in n j il p i. I l j , d i l n j ni i n p i i d i , n p i i. ni ni il - d lj n, d pl h l h p id d nih pl . K n l n j i d l, d n ji d ij pij nj nih n p dn i pi n , jih dd j li. l d li nj p ih dnj n ij n j p nj lji i l n n p dpi nj : lik n n di in p d di i ln il u dn u p ipn j di i lni p dpi . d n p n n lju u dn l , - p nj il p n dn u p j nji dil . V ni i j d j , j i d j n in di i lni p dpi in d l j l h i lj l p ili lji. V u l n- ih dij j i dn n n p dpi ni- i (p n i) i p j i ni n p dpi , E o izme osre ji oro ij za zaščito i formacij je podpis. Le-ta re reč je o everja je i je okaz o izvor , i e ti kaciji, riča j . Po is aj bi bil ikat vsakega osamez ika, saj se z jim re sta- vljamo, ekaj otrj jemo, ekoga ooblaščamo. igital im o isom otrj jemo izvor o atkov ali a ekoga re ričamo, a je o is o ravil la- st ik strez ega zaseb ega klj ča. razvojem igital e i formacije moramo o ov o ob elati bistvo o isa. S ravo i ejo la ko v li- vamo a tok zgo ovi e, saj i reče o, a e bi mogli o ati še kakš e ove last osti, a katero oslej še i če i omislil, le-ta a bi la ko vsem am s re- me ila življe ja oziroma vsaj ava e. ( t ri) l st r c i is a o i lomskem št ij mi je moral me tor a za- četk vsakega semestra o isati obrazec, a kate- rem so bili v isa i re meti, ki sem si ji izbral za tisti semester. o sem že obil o is, sem a se- z am sose jega o elka za rač al ištvo o azil še va za imiva re meta. isal sem j , saj je bil a obrazc rostor rav o še za j . Pa ve ar sem omislil t i a to, a tak ači mor a i streze i sem me torja obvestil o s remembi. Izkazalo se je, a bi moral me torja v res ici še e krat rositi za o obritev, e a samo obvestiti. Prav ič i bil za- ovolje , a s lo la ko ri e o takš i za letov. akš o leto kas eje sem izve el, a me torji obijo ko ije ome je i obrazcev e osre o iz isar e, kamor smo ji o ajali. Pogle v bliž jo ri o jost am razkrije še ekaj oma jkljivosti last oroč ega o isova ja: J: "Danes sem dobil podpis v šoli," pove Janezek sestri. S: "Kakšno neumnost si pa zopet naredil?" J: "Te nič ne briga, raje mi svetuj, kako naj prelisičim mamo." S: "Nad učiteljev podpis skopiraj obvestilo o športnem dnevu." J: "Odlična ideja, na ta način se bom zlahka rešil zagate, pa se smučat grem, namesto da bi šel v šolo." Sli a 2 Ja ezek to are i i mama o igital o obvestilo o sm čarskem ev ri e svoj „ igital i“ o is. Pre e a ga Ja ezek a klj čk o ese v šolo, zo- et zame ja obvestilo o š ort em ev s rejš jim bese ilom. res ici je ško a za starše še večja, saj ima se aj Ja ezek mami „ igital i“ o is i ga bo o slej la ko izrabljal o mili volji. čas elektro - ski me ijev je zato izre o evar o o is ske i- rati ( os eti) oziroma s rejemati ske ira e o ise, 3 Eno iz ed osrednjih orodij za zaščito infor acij je podpis. Le-ta preprečuje poneverjanje in je dokaz o izvoru, identifikaciji, pričanju. Podpis naj bi bil unikat vsakega posa eznika, saj se z nji predsta- vlja o, nekaj potrjuje o, nekoga pooblašča o. Z digitalni podpiso potrjuje o izvor podatkov ali pa nekoga prepriča o, da je podpis opravil la- stnik ustreznega zasebnega ključa. Z razvoje digitalne infor acije ora o ponovno obdelati bistvo podpisa. S pravo idejo lahko vpli- va o na tok zgodovine, saj ni rečeno, da ne bi ogli dodati še kakšne nove lastnosti, na katero doslej še nihče ni po islil, le-ta pa bi lahko vse na spre- enila življenja oziro a vsaj navade. (Stari) lastnoročni podpis Na podiplo ske študiju i je oral entor na za- četku vsakega se estra podpisati obrazec, na kate- re so bili vpisani pred eti, ki se si jih izbral za tisti se ester. Ko se že dobil podpis, se na se- zna u sosednjega oddelka za računalništvo opazil še dva zani iva pred eta. Vpisal se ju, saj je bil na obrazcu prostor ravno še zanju. Pa vendar se po islil tudi na to, da tak način orda ni ustrezen in se entorja obvestil o spre e bi. Izkazalo se je, da bi oral entorja v resnici še enkrat prositi za odobritev, ne pa sa o obvestiti. Prav nič ni bil za- dovoljen, da sploh lahko pride do takšnih zapletov. Kakšno leto kasneje se izvedel, da entorji dobijo kopije o enjenih obrazcev neposredno iz pisarne, ka or s o jih oddajali. Pogled v bližnjo prihodnjost na razkrije še nekaj po anjkljivosti lastnoročnega podpisovanja: J: "Danes sem dobil podpis v šoli," pove Janezek sestri. S: "Kakšno neumnost si pa zopet naredil?" J: "Te nič ne briga, raje mi svetuj, kako naj prelisičim mamo." S: "Nad učiteljev podpis skopiraj obvestilo o športnem dnevu." J: "Odlična ideja, na ta način se bom zlahka rešil zagate, pa se smučat grem, namesto da bi šel v šolo." Slika 2 Janezek to naredi in a a pod digitalno obvestilo o s učarske dnevu pripne svoj „digitalni“ podpis. Preden pa ga Janezek na ključku odnese v šolo, zo- pet za enja obvestilo o športne dnevu s prejšnji besedilo . V resnici je škoda za starše še večja, saj i a sedaj Janezek a in „digitalni“ podpis in ga bo odslej lahko izrabljal po ili volji. V času elektron- skih edijev je zato izredno nevarno podpis skeni- rati (posneti) oziro a spreje ati skenirane podpise, 3 i ji ij i i ij j i . - j j j i j i , i i iji, i j . i j i il i i , j ji - lj , j j j , l . i i l i i j j i li i , j i il l - i lj . j i i l i ij l i i i . i j l li- i , j i , i li i l i, l j i i i lil, l - i l - il i lj j i j . i l i i i l ij i j l - i i , - ili i i i, i i ji i l i i . il i , - j l l i il i i . i l j , j j il j . i lil i , i i i j il i. I l j , i l j i i i i i , i i. i i il - lj , l l i i l . l j i l, ji ij ij j i i i , ji j li. l li j i j ij j j lji i l i j : li i i i i l il i j i i l i i . lj l , - j il j ji il . i i j j , j i j i i i l i i i l j l i lj l ili lji. l - i ij j i i i- i ( i) i j i i i , Eno iz ed osrednjih orodij za zaščito infor acij je podpis. Le-ta preprečuje poneverjanje in je dokaz o izvoru, identifikaciji, priča ju. Podpis naj bi bil unikat vsakega posa eznik , saj se z nji predsta- vlja o, ne aj potrjuje o, nekoga pooblašča o. Z digitalni podpiso potrjuje o izvor podatkov ali pa nekoga prepriča o, da je podpis o ravil la- stnik ustreznega zasebnega ključa. Z razvoje digitalne infor acije ora o ponovno obdelati bistvo podpisa. S pravo idejo lahko vpli- va o na tok zgodovine, saj ni rečeno, da ne bi ogli dodati še kakšne nove lastnosti, na katero doslej še nihče ni po islil, le-ta pa bi lahko vse na spre- enila življenja oziro a vsaj navade. (Stari) lastnoročni podpis Na podiplo ske študiju i je oral entor na za- četku vsakega se estra podpisati obraz c, na kate r so bili vpi ani pred eti, ki se si jih izbral za tisti e ester. Ko se že dobil podpis, se n se- zna u so ednjega oddelka za računalništvo opazil še dva zani iva pred ta. Vpis l se ju, saj je b na obrazcu prostor ravno še zanju. Pa vendar se po islil t di na t , d tak način orda ni ust ezen in se entorja bves il o spre e bi. Izkazalo se je, da bi oral entorja v resnici še enkrat pr siti za odo ritev, ne pa sa o obv titi. Prav nič ni bil za- dovoljen, da sploh lahk pride do takšnih zapletov. Kakšno leto kasneje se izvedel, da entorji dobijo kopije o enjenih obrazcev neposredno iz pisarne, a or s o jih oddajali. Pogled v bližnjo prihodnjost n razkrije še nekaj po anjkljivosti lastnoročnega podpisovanja: J: "Danes sem dobil podpis v šoli," pove Janezek sestri. S: "Kakšno n umnost si pa zopet naredil?" J Te nič briga, raje mi svetuj, kako naj pr lisičim mamo." S: "Nad učiteljev podpis skopiraj obvestilo o športnem dnevu." J: "Odlična id ja, na ta način se bom zlahka rešil z gat , pa se smučat gr m, namesto da bi šel v šolo." Slika 2 Janezek to naredi in a a pod digitalno obvestilo o s učarske dnevu pripne svoj „digitalni“ podpis. Preden pa ga Janezek na ključku o nese v šolo, zo- pet za enja obvestilo o športne dnevu s prejšnji b sedilo . V resnici je k da za starše še večja, saj i a sedaj Janezek a in „ igit lni“ podpis in ga bo odslej l hko izrabljal po il volji. V času elektron- skih edijev je zato izredno nevarno podpis skeni rati (posneti) oziro a spreje ati skenirane podpise, 3 slika 2. ri) lastnoročni pod is ki so v resn ci le posnetki. Postope digitalnega od- pisa mora biti dobro premišljen, saj moramo prepre- čiti spreminjanje vsebine podpisanega sporočila in ponarejanje oziroma kopiranje podpisa. Zgoraj opi- sani digitalni podpis ni več unikat, ki enolično določa podpisnika. Z lahkoto ga kopiramo oziroma dodamo na poljubni dokument. Potrebujemo protokole, ki imajo podobne lastnosti kot trenutni „papirni proto- koli“. Današnja družba ima enkratno priložnost, da vpelje nove in še učinkovitejše načine, ki nam bodo zagotovili boljšo varnost informacij. Digitalni podpis naj bi bil nadomestek za lastnoročni podpis pri elektronski izmenjavi in digitalnemu hra- njenju podatkov. Nastopa kot število oziroma, še bolj splošno, kot zaporedje bitov. Digitalni podpis mora imeti vse tiste dobre lastnosti, ki veljajo za lastnoročni podpis, poleg tega pa mora veljati, da vsebine digitalno podpisanega dokumenta ni mogoče spreminjati in podpisa ni mogoče kopirati in ne ponarejati. Obe obliki podpisovanja pa imata še nekaj pomembnih lastnosti: Lastnoročni podpis je fizično del podpisanega do- kumenta. Lastnoročni podpis preverjamo s primerjanjem, di- gitalnega pa z algoritmom, ki ga izvaja računalnik. Rezultat tega preverjanja je odvisen od ključa ter do- kumenta, ki smo ga podpisali. Digitalnega podpisa ne moremo razlikovati od nje- gove kopije, zato si želimo podpis, ki bo vedno dru- gačen (četudi podpišemo isto stvar). Slika 3 Povedali smo že, da je digitalni podpis odvisen od dokumenta, ki ga podpisujemo. Ker pa so doku- menti poljubno veliki, običajno iz dokumenta skon- struiramo izvleček fiksne dolžine (lahko bi mu rekli tudi prstni odtis) in nato podpišemo le-tega. Tokrat se ne bomo spuščali v podrobnosti teh postopkov, ki jim rečemo zgoščevalne funkcije, pač pa omenimo le, da je mogoče priti do izvlečka z bločnimi sime- tričnimi šiframi, ki smo jih spoznali v prvem delu [1] (glej 2. in 3. nalogo). (Novi) digitalni podpis Shema za digitalni podpis je sestavljena iz treh de- lov: iz algoritma za generiranje ključa, algoritma za generiranje digitalnega podpisa in algoritma za preverjanje digitalnega podpisa. Slika 4 4 ki so v resnici le posnetki. Postopek digitalnega pod- pisa mora biti dobro premišljen, saj moramo prepre- čiti spreminjanje vsebine podpisanega sporočila in ponarejanje oziroma kopiranje podpisa. Zgoraj opi- sani digitalni podpis ni več unikat, ki enolično določa podpisnika. Z lahkoto ga kopiramo oziroma dodamo na poljubni dokument. Potrebujemo protokole, ki imajo podobne lastnosti kot trenutni „papirni proto- koli“. Današnja družba ima enkratno priložnost, da vpelje nove in še učinkovitejše načine, ki nam bodo zagotovili boljšo varnost informacij. Digitalni podpis naj bi bil nadomestek za lastnoročni podpis pri elektronski izmenjavi in digitalnemu hra- njenju podatkov. Nastopa kot število oziroma, še bolj splošno, kot zaporedje bitov. Digitalni podpis mora imeti vse tiste dobre lastnosti, ki veljajo za lastnoročni podpis, poleg tega pa mora veljati, da vsebine digitalno podpisanega dokumenta ni mogoče spreminjati in podpisa ni mogoče kopirati in ne ponarejati. Obe obliki podpisovanja pa imata še nekaj pomembnih lastnosti: Lastnoročni podpis je fizično del podpisanega do- kumenta. Lastnoročni podpis preverjamo s primerjanjem, di- gitalnega pa z algoritmom, ki ga izvaja računalnik. Rezultat tega preverjanja je odvisen od ključa ter do- kumenta, ki smo ga podpisali. Digitalnega podpisa ne moremo razlikovati od nje- gove kopije, zato si želimo podpis, ki bo vedno dru- gačen (četudi podpišemo isto stvar). Slika 3 Povedali smo že, da je digitalni podpis odvisen od dokumenta, ki ga podpisujemo. Ker pa so doku- menti poljubno veliki, običajno iz dokumenta skon- struiramo izvleček fiksne dolžine (lahko bi mu rekli tudi prstni odtis) in nato podpišemo le-tega. Tokrat se ne bomo spuščali v podrobnosti teh postopkov, ki jim rečemo zgoščevalne funkcije, pač pa omenimo le, da je mogoče priti do izvlečka z bločnimi sime- tričnimi šiframi, ki smo jih spoznali v prvem delu [1] (glej 2. in 3. nalogo). (Novi) digitalni podpis Shema za digitalni podpis je sestavljena iz treh de- lov: iz algoritma za generiranje ključa, algoritma za generiranje digitalnega podpisa in algoritma za preverjanje digitalnega podpisa. Slika 4 4 k so v resnici le po netki. P stopek digitalnega pod- isa mora biti dobro premišljen, saj moramo prepre čiti spremi janje v ebin podpisanega sporočila in narejanje oziroma kopiranje podpisa. Zgoraj opi- s ni digitalni podpis i več unikat, ki enolično določa podpisnika. Z lahkot ga pi amo oziroma dodamo na poljubni dokument. Potrebujemo protok le, ki imajo podob e lastnosti kot tre utni „papirni pr to- koli“. Današn a družba ima enkratno priložnost, da vpelje nove in še učinkovitejše načine, ki nam bodo za otov li boljšo varnost i for acij. Digitalni podpis naj bi bil nadomestek za lastnoročni p dpis pri ele tronski izm njavi in digitalnemu hra- njenju podatkov. Nastopa kot število oziroma, še bolj splošno, kot zaporedje bitov. Digitalni podpis mora imeti vse tiste dobre lastnos i, k veljajo za lastnoročni o is, poleg tega pa mora veljati, da vsebine digitalno podpisanega dokumen ni mogoče spre i jati in p dpisa ni mogoče kopirati in ne ponarejati. Obe obliki podpisovanja pa imata še nekaj p membnih lastnosti: je fizično del odpis ega do- kument . Las noročni podpis prev rjamo s primerjanjem, di- gitalneg pa z al oritmom, ki ga izvaja računalnik. Rezultat tega preverj nja je dvisen od ljuča ter do kumenta, ki smo ga podpisali. Digitalnega isa ne moremo razlikovati od nje- gove kopije, zato si želimo podpis, ki bo vedno dru- gačen (četudi podpišemo isto stvar). Slika 3 Povedali smo že, da je d gitalni podpis odvisen od dokumenta, ki ga podpisujemo. Ker pa so doku- menti poljubno veliki, običajno iz dokumenta skon- truiramo izvleček fiksne olži e (lahko bi mu rekli tud prstni odtis) in n to podpišemo le-tega. Tokrat s ne bo o spuščali v podrobnosti teh postopkov, ki jim rečemo zgoščevalne funkcije, pač pa om nimo le, da je mogoče priti do izvlečka z bločnimi sime- tričnimi šiframi, ki smo jih spoznali v prvem delu [1] glej 2. in 3. nalogo). (Novi) digitalni podpis Shema za digitalni podpis je sestavljena iz treh de- lov: iz algoritma za generiranje ključa, algoritma za generiranje digitalnega podpisa in algoritma za preverjanje digitalnega podpisa. Slika 4 4 ki so v res ci le po ne ki. Postope digital ega p d- is mora biti dobro premišljen, saj moramo prepre čiti spreminjanje vse ine podpisa ega sporočila in ponarejanje oziroma kopiranj podpisa. Zgoraj pi s ni digitalni po pis i več unikat, ki enolično določ podpis ika. Z lahkoto ga kopiramo oziroma dodam n po jubni dokument. Potrebujemo protok le, k imajo podobne lastnosti kot trenutni „papirni proto koli“. Današnja družba im enkratno pri ožnost da vpelje nove in še učinkovitejše načine, ki a bodo zagotovili boljšo varnost informacij. Digitalni podpi aj bi b l nadomestek za lastnoročni podpis pri el ktronsk izmenjavi n digitalnemu hra- jenju pod tkov. Nasto a kot števil ziroma, še bolj spl šno, kot zaporedje bit v. Digitalni podpis mora imeti vse tiste dobre lastnos i, ki velj j za lastnoročni p dpis, poleg tega pa mora veljati, da vsebine digitalno podpisanega dokumenta ni mogoče spreminjati in podpisa ni mogoče kopirat in ne ponarejati. Obe obliki podp sovanja pa imata še nek j p membnih lastnosti: Las noročni podpis je fizično d l podpis nega . Lastnoročni podpis pr verja o s primerjanjem, di- italnega pa z algoritmom, ki ga izvaja računalnik. Rezultat ega reverjanja je dvisen od ključa ter do- kumenta, ki smo ga podpisali. Digitalnega podpisa ne moremo razlikovati od nje- gove kopije, zato si želimo podpis, ki bo vedno dru- gač n (četudi podpišemo sto stvar). Sli a 3 Povedali s že, da je digitalni podpis odvis od dokum nta, ki ga podpisujemo. Ker pa so doku me ti poljubno veliki, običaj o z dokumenta skon- struiramo izvleček fiksne dolžine (lahk bi u rekli udi prstni odt s) n nato podpišemo le-tega. Tokrat se ne bomo spuščali v podrobnosti teh postopkov, ki jim rečemo zgoščevalne funkcije, pač pa omenimo le, da je mo oče riti do izvlečka z bločnimi sim tričnimi šiframi, ki smo jih spoznali v prvem delu [1] (gl j 2. in 3. nalogo). (Novi) digitalni podpis Shema za digitalni podpis je sestavljena iz treh de- lov: iz algoritma za generiranje ključa, algoritma za generiranje digitalnega podpisa in algoritma za preverjanje digitalnega podpisa. Slika 4 4 Digitalni podpis naj bi bil nadomestek za a- stnoročni podpi pri elektro ski izm njavi in digitalnem hranjenju podat v. Nast pa kot št vil zir ma, š b lj splošno, kot za- pore je bitov. • sli a 3. presek 38 (2010/2011) 1 • 27 r a č u n a l n i š t v o • Slika 5 Za lažje razumevanje definirajmo nekaj osnovnih poj- mov: Pravilo sgnZ(A), ki sporočilo podpiše (angl. sign), imenujemo funkcija za podpis osebeA. Zasebni ključ Z(A) varuje oseba A in ga uporablja le za podpiso- vanje dokumentov. Pravilu verJ(A), ki za dokument in njegov podpis preveri oz. verificira (angl. verify), t. j. priredi vre- dnost „veljaven“ oziroma „neveljaven“, rečemo funk- cija za preverjanje podpisov osebe A. Javni ključ J(A) pripada osebi A, a je vseeno javno znan. „Tre- tja“ oseba uporablja verJ(A) za preverjanje podpisov, ki jih je opravila oseba A. Postopek pošiljanja digitalno podpisanega sporo- čila med Anito in Bojanom je naslednji: 1. Najprej si Bojan izbere svoj zasebni ključ Z(B) ter sporoči Aniti ustrezni javni ključ J(B). 2. Za podpis sporočila x, Bojan uporabi algoritem za generiranje digitalnega podpisa s svojim zasebnim ključem Z(B) in izračuna podpis sgnZ(B)(x). Nato ga skupaj s sporočilom pošlje Aniti. 3. Če Anita pozna Bojanov javni ključ J(B), lahko uporabi algoritem za preverjanje digitalnega podpisa verJ(B) ter tako preveri pristnost podpisa. Vrstni red šifriranja in digitalnega podpisovanja je pomemben. (a) Če hoče Anita poslati Bojanu podpisano, zašifri- rano sporočilo, potem danemu čistopisu x najprej izračuna svoj podpis y = sgnZ(A)(x), nato zašifrira x in y z Bojanovo javno šifrirno funkcijo eJ(B) in dobi z = eJ(B)(x,y). Tajnopis z pošlje Bojanu. Ta ga odšifrira s svojo zasebno odšifrirno funkcijo dZ(B) in dobi par (x,y). Potem uporabi Anitino javno funk- cijo verJ(A), da preveri, ali je verJ(A)(x,y) = velja- ven. (b) Če pa bi Anita najprej zašifrirala sporočilo x in potem podpisala rezultat, bi izračunala z = eJ(B)(x) in y = sgnZ(A)(z) ter par (z,y) poslala Bojanu. Bo- jan bi z odšifriranjem tajnopisa z dobil x = dZ(B)(y), nato bi preveril podpis y na x z uporabo funkcije verJ(A). Če prestreže takšen par (z,y) Oskar, na- stane problem, saj lahko zamenja Anitin podpis s svojim y  = sgnZ(O)(z), čeprav ne pozna čistopisa x. Ko pošlje par (z,y ) Bojanu, bi ta lahko mislil, da mu je sporočilo x poslal Oskar. Zato priporočamo najprej podpisovanje in nato šifri- ranje sporočil (glej 4. nalogo). Če veljata naslednji dve lastnosti: Anita je edina, ki lahko podpiše sporočilo, torej edina, ki zna pri danem x izračunati y , tako da je 5 verZ(A)(x,y) = veljaven, Bojan se je sposoben prepričati, ali gre za Anitin podpis ali pa gre za ponaredek, potem rečemo, da je algoritem digitalnega podpisa varen. V naslednjem razdelku bomo predstavili kon- kretne opise funkcij sgn in ver, ki ju imamo za varne. Elgamalov digitalni podpis Opišimo Elgamalovo shemo za digitalni podpis (1985), ki temelji na težavnosti problema diskretnega logaritma (oznaka DLP) v grupi Z∗p in Diffie-Hellma- novega dogovora o ključu, ki smo ju opisali v dru- gem delu [2]. Spomnimo se, da smo za praštevilo p z Zp označili obseg z elementi 0,1, . . . , p − 1 in operacijama +p, ∗p, kjer oznaka p pri + in ∗ po- meni, da običajno vsoto oziroma produkt nadome- stimo z ustreznim ostankom pri deljenju s p. V Zp vedno obstaja tak element α, ki generira multipli- kativno grupo Z∗p = (1, . . . , p − 1,∗p), t. j. množica α0, α1, . . . , αp−2 pokrije vse elemente v Z∗p DLP v Z∗p je, da za dani generator α in β = αa, kjer je a neko naravno število, iščemo učinkovit način (algoritem) za izračun števila a. Tabela 1 Slika 6 Slika 7 Za pravilnost preverjanja glej 5. nalogo. Zgornji pod- pis je nedeterminističen (odvisen od naključnega šte- vila k), torej sploh ni natanko določen. Če torej isti dokument podpišemo vsaj dvakrat, bo z veliko ver- jetnostjo podpis vsakič drugačen. Poudarimo tudi, da podpisnik izračuna podpis z uporabo tako tajne vrednosti a, ki je del ključa, kot tajnega naključ- nega števila k, ki se sme uporabiti samo za podpis enega sporočila x (preverjanje pa je opravljeno samo z uporabo javnih informacij). Če namreč naključno število k ne ostane skrito, ali pa se isto število k upo- rabi v podpisih dveh različnih sporočil (v tem pri- meru ga je možno zlahka izračunati), lahko napada- lec iz druge enačbe algoritma za podpisovanje izra- čuna tajno vrednost a in ponaredi podpis (glej 6. in 7. nalogo). Elgamalovo shemo za podpis imamo za varno. Do danes namreč še nikomur ni uspelo učin- kovito izračunati par (γ, δ) brez računanja diskre- tnega logaritma. Lahko pa se zgodi, da bomo nekoč ugotovili, da se pri iskanju para (γ, δ) problemu dis- kretnega logaritma sploh ne moremo izogniti. Kako bi lahko ponaredili podpis, ne da bi vedeli za vrednost skritega števila a? (a) Za dano sporočilo x poišči tak par (γ, δ), da bo veljalo βγγδ ≡ αx (mod p): 6 erZ(A)( , ) veljaven, Bojan se je sposoben prepričati, ali gre za nitin podpis ali pa gre za ponaredek, pote reče o, da je algorite digitalnega podpisa varen. naslednje razdelku bo o predstavili kon- kretne opise funkcij sgn in er, ki ju i a o za varne. El a al v i ital i is piši o Elga alovo she o za digitalni podpis (1985), ki te elji na težavnosti proble a diskretnega logarit a (oznaka LP) v grupi Z∗p in i e- ell a- novega dogovora o ključu, ki s o ju opisali v dru- ge delu [2]. Spo ni o se, da s o za praštevilo z Zp označili obseg z ele enti 0,1, . . . , 1 in operacija a p, p, kjer oznaka pri in po- eni, da običajno vsoto oziro a produkt nado e- sti o z ustrezni ostanko pri deljenju s . Zp vedno obstaja tak ele ent , ki generira ultipli- kativno grupo Z∗p (1, . . . , 1, p), t. j. nožica 0, 1, . . . , p−2 pokrije vse ele ente v Z∗p LP v Z∗p je, da za dani generator in a, kjer je neko naravno število, išče o učinkovit način (algorite ) za izračun števila . abela 1 Slika 6 Slika 7 Za pravilnost preverjanja glej 5. nalogo. Zgornji pod- pis je nedeter inističen (odvisen od naključnega šte- vila k), torej sploh ni natanko določen. ˇe torej isti doku ent podpiše o vsaj dvakrat, bo z veliko ver- jetnostjo podpis vsakič drugačen. Poudari o tudi, da podpisnik izračuna podpis z uporabo tako tajne vrednosti , ki je del ključa, kot tajnega naključ- nega števila k, ki se s e uporabiti sa o za podpis enega sporočila (preverjanje pa je opravljeno sa o z uporabo javnih infor acij). ˇe na reč naključno število k ne ostane skrito, ali pa se isto število k upo- rabi v podpisih dveh različnih sporočil (v te pri- eru ga je ožno zlahka izračunati), lahko napada- lec iz druge enačbe algorit a za podpisovanje izra- čuna tajno vrednost in ponaredi podpis (glej 6. in 7. nalogo). Elga alovo she o za podpis i a o za varno. o danes na reč še niko ur ni uspelo učin- kovito izračunati par (γ, ) brez računanja diskre- tnega logarit a. Lahko pa se zgodi, da bo o nekoč ugotovili, da se pri iskanju para (γ, ) proble u dis- kretnega logarit a sploh ne ore o izogniti. ako bi lahko ponaredili podpis, ne da bi vedeli za vrednost skritega števila ? (a) Za dano sporočilo poišči tak par (γ, ), da bo veljalo γγδ x ( od ): 6 ki so v resnici le posnetki. Postopek digitalnega pod- pisa mora biti dobro premišljen, saj moramo prepre- čiti spreminjanje vsebine podpisanega sporočila in ponarejanje oziroma kopiranje podpisa. Zgoraj opi- sani digitalni podpis ni več unikat, ki enolično določa podpisnika. Z lahkoto ga kopiramo oziroma dodamo na poljubni dokument. Potrebujemo protokole, ki imajo podobne lastnosti kot trenutni „papirni proto- koli“. Današnja družba ima enkratno priložnost, da vpelje nove in še učinkovitejše načine, ki nam bodo zagotovili boljšo varnost informacij. Digitalni podpis naj bi bil nadomestek za lastnoročni podpis pri elektronski izmenjavi in digitalnemu hra- njenju podatkov. Nastopa kot število oziroma, še bolj splošno, kot zaporedje bitov. Digitalni podpis mora imeti vse tiste dobre lastnosti, ki veljajo za lastnoročni podpis, poleg tega pa mora veljati, da vsebine digitalno podpisanega dokumenta ni mogoče spreminjati in podpisa ni mogoče kopirati in ne ponarejati. Obe obliki podpisovanja pa imata še nekaj pomembnih lastnosti: Lastnoročni podpis je fizično del podpisanega do- kumenta. Lastnoročni podpis preverjamo s primerjanjem, di- gitalnega pa z algoritmom, ki ga izvaja računalnik. Rezultat tega preverjanja je odvisen od ključa ter do- kumenta, ki smo ga podpisali. Digitalnega podpisa ne moremo razlikovati od nje- gove kopije, zato si želimo podpis, ki bo vedno dru- gačen (četudi podpišemo isto stvar). Slika 3 Povedali smo že, da je digitalni podpis odvisen od dokumenta, ki ga podpisujemo. Ker pa so doku- menti poljubno veliki, običajno iz dokumenta skon- struiramo izvleček fiksne dolžine (lahko bi mu rekli tudi prstni odtis) in nato podpišemo le-tega. Tokrat se ne bomo spuščali v podrobnosti teh postopkov, ki jim rečemo zgoščevalne funkcije, pač pa omenimo le, da je mogoče priti do izvlečka z bločnimi sime- tričnimi šiframi, ki smo jih spoznali v prvem delu [1] (glej 2. in 3. nalogo). (Novi) digitalni podpis Shema za digitalni podpis je sestavljena iz treh de- lov: iz algoritma za generiranje ključa, algoritma za generiranje digitalnega podpisa in algoritma za preverjanje digitalnega podpisa. Slika 4 4 slika 4. slika 5. i) igitalni pod is l i i Za lažje razumevanje definirajmo nekaj osnovnih pojmov: Slika 5 Za lažje razumevanje definirajmo nekaj osnovnih poj- mov: Pravilo sgnZ(A), ki sporočilo podpiše (angl. sign), imenujemo funkcija za podpis osebeA. Zasebni ključ Z(A) varuje oseba A in ga uporablja le za podpiso- vanje dokumentov. Pravilu verJ(A), ki za dokument in njegov podpis preveri oz. verificira (angl. verify), t. j. priredi vre- dnost „veljaven“ oziroma „neveljaven“, rečemo funk- cija za preverjanje podpisov osebe A. Javni ključ J(A) pripada osebi A, a je vseeno javno znan. „Tre- tja“ oseba uporablja verJ(A) za preverjanje podpisov, ki jih je opravila oseba A. Postopek pošiljanja digitalno podpisanega sporo- čila med Anito in Bojanom je naslednji: 1. Najprej si Bojan izbere svoj zasebni ključ Z(B) ter sporoči Aniti ustrezni javni ključ J(B). 2. Za podpis sporočila x, Bojan uporabi algoritem za generiranje digitalnega podpisa s svojim zasebnim ključem Z(B) in izračuna podpis sgnZ(B)(x). Nato ga skupaj s sporočilom pošlje Aniti. 3. Če Anita pozna Bojanov javni ključ J(B), lahko uporabi algoritem za preverjanje digitalnega podpisa verJ(B) ter tako preveri pristnost podpisa. Vrstni red šifriranja in digitalnega podpisovanja je pomemben. (a) Če hoče Anita poslati Bojanu podpisano, zašifri- rano sporočilo, potem danemu čistopisu x najprej izračuna svoj podpis y = sgnZ(A)(x), nato zašifrira x in y z Bojanovo javno šifrirno funkcijo eJ(B) in dobi z = eJ(B)(x,y). Tajnopis z pošlje Bojanu. Ta ga odšifrira s svojo zasebno odšifrirno funkcijo dZ(B) in dobi par (x,y). Potem uporabi Anitino javno funk- cijo verJ(A), da preveri, ali je verJ(A)(x,y) = velja- ven. (b) Če pa bi Anita najprej zašifrirala sporočilo x in potem podpisala rezultat, bi izračunala z = eJ(B)(x) in y = sgnZ(A)(z) ter par (z,y) poslala Bojanu. Bo- jan bi z odšifriranjem tajnopisa z dobil x = dZ(B)(y), nato bi preveril podpis y na x z uporabo funkcije verJ(A). Če prestreže takšen par (z,y) Oskar, na- stane problem, saj lahko zamenja Anitin podpis s svojim y  = sgnZ(O)(z), čeprav ne pozna čistopisa x. Ko pošlje par (z,y ) Bojanu, bi ta lahko mislil, da mu je sporočilo x poslal Oskar. Zato priporočamo najprej podpisovanje in nato šifri- ranje sporočil (glej 4. nalogo). Če veljata naslednji dve lastnosti: Anita je edina, ki lahko podpiše sporočilo, torej edina, ki zna pri danem x izračunati y , tako da je 5 Presek 38 (2010/2011) 1 28 r a č u n a l n i š t v o •Tabela 1. Priprava Naj bo p tako praštevilo, da je v obsegu Zp težko rešiti DLP in α generator grupe Z∗p . Generiranje ključev Za (skriti) zasebni ključ α ∈ 0, . . . , p − 1 izračunaj javni ključ β = αa (mod p). Podpisovanje Za sporočilo x ∈ 0, . . . , p − 2 izberi na- ključno skrito naravno število k ≤ p − 2, tako da je D(k,p − 1) = 1, nato pa z zasebnim ključem a izraču- naj sgna(x, k) = (γ, δ), kjer je γ = αk (mod p) in δ = (x − aγ)k−1 (mod p − 1) . Preverjanje podpisa (γ, δ) sporočila x z javno trojico (p,α,β): verβ(x, γ, δ) = veljaven ⇐⇒ βγγδ ≡ αx (mod p) . 2 verZ(A)(x,y) = veljaven, Bojan se je sposoben prepričati, ali gre za Anitin podpis ali pa gre za ponaredek, potem rečemo, da je algoritem digitalnega podpisa varen. V naslednjem razdelku bomo predstavili kon- kretne opise funkcij sgn in ver, ki ju imamo za varne. Elgamalov digitalni podpis Opišimo Elgamalovo shemo za digitalni podpis (1985), ki temelji na težavnosti problema diskretnega logaritma (oznaka DLP) v grupi Z∗p in Diffie-Hellma- novega dogovora o ključu, ki smo ju opisali v dru- gem delu [2]. Spomnimo se, da smo za praštevilo p z Zp označili obseg z elementi 0,1, . . . , p − 1 in operacijama +p, ∗p, kjer oznaka p pri + in ∗ po- meni, da običajno vsoto oziroma produkt nadome- stimo z ustreznim ostankom pri deljenju s p. V Zp vedno obstaja tak element α, ki generira multipli- kativno grupo Z∗p = (1, . . . , p − 1,∗p), t. j. množica α0, α1, . . . , αp−2 pokrije vse elemente v Z∗p DLP v Z∗p je, da za dani generator α in β = αa, kjer je a neko naravno število, iščemo učinkovit način (algoritem) za izračun števila a. Tabela 1 Slika 6 Slika 7 Za pravilnost preverjanja glej 5. nalogo. Zgornji pod- pis je nedeterminističen (odvisen od naključnega šte- vila k), torej s loh ni natanko določen. Če torej isti dokument podpišemo vsaj dvakrat, bo z veliko ver- jetnostjo podpis vs kič drugačen. Poudarimo tudi, da podpisnik izračuna podpis z uporabo tako tajne vrednosti a, ki je del ključa, kot tajnega naključ- nega števila k, ki se sme uporabiti samo za podpis enega sporočila x (preverjanje pa je opravljeno samo z uporabo javnih informacij). Če namreč naključno število k ne ostane skrito, ali pa se isto število k upo- rabi v podpisih dveh različnih sporočil (v tem pri- meru ga je možno zlahka izračunati), lahko napada- lec iz druge enačbe algoritma za podpisovanje izra- čuna tajno vrednost a in ponaredi podpis (glej 6. in 7. nalogo). Elgamalovo shemo za podpis imamo za varno. Do danes namreč še nikomur ni uspelo učin- kovito izračunati par (γ, δ) brez računanja diskre- tnega logaritma. Lahko pa se zgodi, da bomo nekoč ugotovili, da se pri iskanju para (γ, δ) problemu dis- kretnega logaritma sploh ne moremo izogniti. Kako bi lahko ponaredili podpis, ne da bi vedeli za vrednost skritega števila a? (a) Za dano sporočilo x poišči tak par (γ, δ), da bo veljalo βγγδ ≡ αx (mod p): 6 verZ(A)(x,y) = veljaven, Bojan se je sposoben prepričati, li gre za Anitin podpis ali pa gre za ponaredek, potem rečemo, da je algoritem digitalnega podpisa va en. V naslednjem razdelku bomo predstavili kon- kretn opise fu kcij sgn in ver, ki ju imamo za varne. Elgamalov digitalni podpis Opišimo Elgamalovo shemo za digitalni podpis (1985), ki temelji na težavnosti problema diskretnega logaritma (oznaka DLP) v grupi Z∗p in Diffie-Hellma- novega dogovora o ključu, ki smo ju opisali v dru- gem delu [2]. Spomnimo se, da smo za praštevilo p z Zp označili obseg z elementi 0,1, . . . , p − 1 in operacijama +p, ∗p, kjer oznaka p pri + in ∗ po- meni, da običajno vsoto ozi m produkt nadome- stimo z ustreznim ostankom pri deljenju s p. V Zp vedno obstaja tak element α, ki generira ultipli- kativno grupo Z∗p = (1, . . . , p − 1,∗p), t. j. množica α0, α1, . . . , αp−2 pokrije vse elemente v Z∗p DLP v Z∗p je, da za d ni generator α in β = αa, kjer je a neko naravno štev o, iščemo učinkovit način (alg ritem) a izračun štev la a. Tabela 1 Slik 6 Slika 7 Za pravilnost preverjanja glej 5. nalogo. Zgornji pod- pis je nedeterminis ičen (odvisen od naključnega šte- vila k), torej sploh ni natanko določen. Če torej isti dokument podpišemo vsaj dvakrat, bo z veliko ver- j tnostjo podpis vsakič drugačen. Poudarimo tudi, da podpisnik izračuna podpis z uporabo tako tajne vrednosti a, ki je del ključa, kot tajnega naključ- nega števila k, ki se sme uporabiti samo za podpis enega sporočila x (preverjanje pa je opravljeno samo z uporabo javnih informacij). Če namreč naključno število k ne ostane skrito, ali pa se isto število k upo- rabi v podpisih dveh različnih sporočil (v tem pri- meru ga je možno zlahka izračunati), lahko napada- lec iz druge enačbe algoritma za podpisovanje izra- čuna tajno vrednost a in ponaredi podpis (glej 6. in 7. nalogo). Elgamalovo shemo za podpis imamo za varno. Do danes namreč še nikomur ni uspelo učin- kovito izračunati par (γ, δ) brez računanja diskre- tnega logaritma. Lahko pa se zgodi, da bomo nekoč ugotovili, da se pri iskanju para (γ, δ) problemu dis- kretnega logaritma sploh ne moremo izogniti. Kako bi lahko ponaredili podpis, ne da bi vedeli za vrednost skritega števila a? (a) Za dano sporočilo x poišči tak par (γ, δ), da bo veljalo βγγδ ≡ αx (mod p): 6 če izberemo γ, potrebujemo δ = logγ αxβ−γ (mod p) , če izberemo δ, je potrebno rešiti enačbo βγγδ ≡ αx (mod p) po γ, hkrati računamo γ in δ (zaenkrat ni še nihče odkril hitrega postopka za re- ševanje zgornje enačbe). (b) Za podpis (γ, δ) poišči ustrezno sporočilo x, t. j. izračunaj: x = logα βγγδ (mod p). Omenimo še, da so Elgamalov digitalni podpis teme- ljito preučili tudi v ZDA, kjer na državnem nivoju neradi plačujejo patente (RSA je bil namreč takrat še patentiran). Na njegovi osnovi so sestavili Digital Si- gnature Algorithm (DSA), ki ga je National Institute of Standards and Technology (NIST) sprejel za ameri- ški standard: Digital Signature Standard (DSS). Danes je vključen v večino varnostnih standardov. Naloge (1.) RSA-podpis, ki je opisan v [5], je za razliko od El- gamalovega determinističen. Kako bi ga lahko spre- menili v nedeterminističnega? Varnostno analiziraj svoj predlog. (2.) Kakšne lastnosti naj ima zgoščevalna funkcija, da ne bo ogrožena varnost podpisa? (3.) S prijateljem drug drugemu predlagajta način, s katerim bi iz dokumenta poljubne dolžine z bločno šifro skonstruirala izvleček fiksne dolžine, nato pa poskusita predloge analizirati. (4.) V razdelku o digitalnem podpisu smo omenili ši- frirno funkcijo eJ(B), ki jo uporabi Anita, in Bojanovo odšifrirno funkcijo dZ(B). Elgamal je predlagal taki funkciji na osnovi DLP. Če je sporočilom iz grupe G, ki je generirana z α, potem Anita izbere naključno naravno število k, ki je manjše od števila elementov v grupi G, ter z njim in Bojanovim javnim ključem β = αb izračuna par αk,mβk ter ga pošlje Bojanu. Opiši odšifrirno funkcijo. (5.) Prepričaj se, da je opisano preverjanje Elgama- lovega podpisa pravilno. (Namig: pomagaj si s Fer- matovim izrekom, da bo jasno, zakaj računamo δ po modulu p − 1.) (6.) Podpisovalec ni bil pazljiv in je ponesreči izgubil naključno število k, ki ga je uporabil pri Elgamalo- vem podpisu. Uporabi njegovo napako za izračun zasebnega ključa a. (7.) Generator naključnih števil je tako počasen, da se je podpisovalec odločil uporabiti število k dva- krat. Ali lahko uporabiš njegovo napako za izračun zasebnega ključa a? (8*.) Predlagaj novo različico Elgamalovega podpisa, kjer ne bomo več potrebovali računanja inverza 7 , , , , . , . . : . , , . , : . . . , , . . . , . , , . . , , . . , , , , . . . , . : , , . . , . . . , . . , verZ(A)(x,y) = veljaven, Bojan se je sposoben prepričati, ali gre za Anitin podpis ali pa gre za ponaredek, potem rečemo, da je algoritem digitalnega podpisa varen. V naslednjem razdelku bomo predstavili kon- kretne opise funkcij sgn in ver, ki ju imamo za varne. Elgamalov digitalni podpis Opišimo Elgamalovo shemo za digitalni podpis (1985), ki temelji na težavnosti problema diskretnega logaritma (oznaka DLP) v grupi Z∗p in Diffie-Hellma- novega dogovora o ključu, ki smo ju opisali v dru- gem delu [2]. Spomnimo se, da smo za praštevilo p z Zp označili obseg z elementi 0,1, . . . , p − 1 in operacijama +p, ∗p, kjer oznaka p pri + in ∗ po- meni, da običajno vsoto oziroma produkt nadome- stimo z ustreznim ostankom pri deljenju s p. V Zp vedno obstaja tak element α, ki generira multipli- kativno grupo Z∗p = (1, . . . , p − 1,∗p), t. j. množica α0, α1, . . . , αp−2 pokrije vse elemente v Z∗p DLP v Z∗p je, da za dani generator α in β = αa, kjer je a neko naravno število, iščemo učinkovit način (algoritem) za izračun števila a. Tabela 1 Slika 6 Slika 7 Za pravilnost preverjanja glej 5. nalogo. Zgornji pod- pis je nedeterminističen (odvisen od naključnega šte- vila k), torej sploh ni natanko določen. Če torej isti dokument podpišemo vsaj dvakrat, bo z veliko ver- jetnostjo podpis vsakič drugačen. Poudarimo tudi, da podpisnik izračuna podpis z uporabo tako tajne vrednosti a, ki je del ključa, kot tajnega naključ- nega števila k, ki se sme uporabiti samo za podpis enega sporočila x (preverjanje pa je opravljeno samo z uporabo javnih informacij). Če namreč naključno število k ne ostane skrito, ali pa se isto število k upo- rabi v podpisih dveh različnih sporočil (v tem pri- meru ga je možno zlahka izračunati), lahko napada- lec iz druge enačbe algoritma za podpisovanje izra- čuna tajno vrednost a in ponaredi podpis (glej 6. in 7. nalogo). Elgamalovo shemo za podpis imamo za varno. Do danes namreč še nikomur ni uspelo učin- kovito izračunati par (γ, δ) brez računanja diskre- tnega logaritma. Lahko pa se zgodi, da bomo nekoč ugotovili, da se pri iskanju para (γ, δ) problemu dis- kretnega logaritma sploh ne moremo izogniti. Kako bi lahko ponaredili podpis, ne da bi vedeli za vrednost skritega števila a? (a) Za dano sporočilo x poišči tak par (γ, δ), da bo veljalo βγγδ ≡ αx (mod p): 6 tabela. Elgamalo algorit m • slika 6. Taher Elge al (iz Egipta). slika 7. Pierre de Fer at je znan tudi po na slednjemu izreku [4]: Za praštevilo p in a ∈ Zp* velja a p–1 ≡1(mod p ). presek 38 (2010/2011) 1 29 r a č u n a l n i š t v o če izberemo γ, potrebujemo δ = logγ αxβ−γ (mod p) , če izberemo δ, je potrebno rešiti enačbo βγγδ ≡ αx (mod p) po γ, hkrati računamo γ in δ (zaenkrat ni še nihče odkril hitrega postopka za re- ševanje zgornje enačbe). (b) Za podpis (γ, δ) poišči ustrezno sporočilo x, t. j. izračunaj: x = logα βγγδ (mod p). Omenimo še, da so Elgamalov digitalni podpis teme- ljito preučili tudi v ZDA, kjer na državnem nivoju neradi plačujejo patente (RSA je bil namreč takrat še patentiran). Na njegovi osnovi so sestavili Digital Si- gnature Algorithm (DSA), ki ga je National Institute of Standards and Technology (NIST) sprejel za ameri- ški standard: Digital Signature Standard (DSS). Danes je vključen v večino varnostnih standardov. Naloge (1.) RSA-podpis, ki je opisan v [5], je za razliko od El- gamalovega determinističen. Kako bi ga lahko spre- menili v nedeterminističnega? Varnostno analiziraj svoj predlog. (2.) Kakšne lastnosti naj ima zgoščevalna funkcija, da ne bo ogrožena varnost podpisa? (3.) S prijateljem drug drugemu predlagajta način, s katerim bi iz dokumenta poljubne dolžine z bločno šifro skonstruirala izvleček fiksne dolžine, nato pa poskusita predloge analizirati. (4.) V razdelku o digitalnem podpisu smo omenili ši- frirno funkcijo eJ(B), ki jo uporabi Anita, in Bojanovo odšifrirno funkcijo dZ(B). Elgamal je predlagal taki funkciji na osnovi DLP. Če je sporočilom iz grupe G, ki je generirana z α, potem Anita izbere naključno naravno število k, ki je manjše od števila elementov v grupi G, ter z njim in Bojanovim javnim ključem β = αb izračuna par αk,mβk ter ga pošlje Bojanu. Opiši odšifrirno funkcijo. (5.) Prepričaj se, da je opisano preverjanje Elgama- lovega podpisa pravilno. (Namig: pomagaj si s Fer- matovim izrekom, da bo jasno, zakaj računamo δ po modulu p − 1.) (6.) Podpisovalec ni bil pazljiv in je ponesreči izgubil naključno število k, ki ga je uporabil pri Elgamalo- vem podpisu. Uporabi njegovo napako za izračun zasebnega ključa a. (7.) Generator naključnih števil je tako počasen, da se je podpisovalec odločil uporabiti število k dva- krat. Ali lahko uporabiš njegovo napako za izračun zasebnega ključa a? (8*.) Predlagaj novo različico Elgamalovega podpisa, kjer ne bomo več potrebovali računanja inverza 7 (k−1), ki ga ponavadi izračunamo z razširjenim Ev- klidovim algoritmom. (9.) Hkratno računanje vrednosti x,γ in δ: naj bosta i in j takšni števili, da velja 0 ≤ i, j ≤ p−2 in D(j,p− 1) = 1. Prepričaj se, da potem števila γ ≡ αiβj (mod p) , δ ≡ −γj−1 (mod p − 1) in x ≡ −γij−1 (mod p − 1) zadoščajo enačbi za preverjanje Elgamalovega pod- pisa: βγγδ ≡ αx (mod p). (10*.) Ali lahko pri veljavnem podpisu (γ, δ) za x najdemo še kakšen podpis za kakšno drugo sporo- čilo x? Odgovor je „DA“. Naj bodo h, i in j takšna števila, da velja 0 ≤ h, i, j ≤ p − 2 in D(hγ − jδ,p − 1) = 1. Potem se prepričaj, da je par (λ, µ) veljaven podpis za x, kjer je λ = γhαiβj (mod p), µ = δλ(hγ − jδ)−1 (mod p − 1) in x = λ(hx + iδ)(hγ − jδ)−1 (mod p − 1). V drugem razdelku je v tretji točki „ČE“, zaradi kate- rega še nismo povsem rešili problema identifikacije Bojana. Ta se je le prenesla na prepoznavanje Boja- novega javnega ključa. Če se morata Anita in Bojan prej sestati, da bi si izmenjala javna ključa, potem bi se lahko ob tej priložnosti dogovorila za skupen ključ za kakšno simetrično šifro. Več o tem, kako lahko s certifikati in z infrastrukturo javnih ključev rešimo ta problem, pa v zadnjem (5.) delu. 8 Literatura [1] A. Jurišić in U. Perko, Klasične šifre in zdra- vstvena kartica, prvi del, Presek 33/1 (2005–06), str. 22–24 [2] A. Jurišić, Diffie-Hellmanov dogovor o ključu, drugi del, Presek 34 (2006–07), str. 25–30. [3] A. Jurišić, Poštni nabiralnik in kriptografski proto- koli, kriptosistemi z javnimi ključi, tretji del, Pre- sek 36/2 (2008–09), 22–26. [4] D. Pagon, Kongruence in Eulerjev izrek, Presek 15/4 (1987/88), str. 194–196. [5] M. Vencelj, Šifriranje z javnim ključem, Presek 22/6 (1994/95), str. 354–357. 9 (k−1), ki ga ponavadi izračunamo z razširjenim Ev- klidovim algoritmom. (9.) Hkratno računanje vrednosti x,γ in δ: naj bosta i in j takšni števili, da velja 0 ≤ i, j ≤ p−2 in D(j,p− 1) = 1. Prepričaj se, da potem števila γ ≡ αiβj (mod p) , δ ≡ −γj−1 (mod p − 1) in x ≡ −γij−1 (mod p − 1) zadoščajo enačbi za preverjanje Elgamalovega pod- pisa: βγγδ ≡ αx (mod p). (10*.) Ali lahko pri veljavnem podpisu (γ, δ) za x najdemo še kakšen podpis za kakšno drugo sporo- čilo x? Odgovor je „DA“. Naj bodo h, i in j takšna števila, da velja 0 ≤ h, i, j ≤ p − 2 in D(hγ − jδ,p − 1) = 1. Potem se prepričaj, da je par (λ, µ) veljaven podpis za x, kjer je λ = γhαiβj (mod p), µ = δλ(hγ − jδ)−1 (mod p − 1) in x = λ(hx + iδ)(hγ − jδ)−1 (mod p − 1). V drugem razdelku je v tretji točki „ČE“, zaradi kate- rega še nismo povsem rešili problema identifikacije Bojana. Ta se je le prenesla na prepoznavanje Boja- novega javnega ključa. Če se morata Anita in Bojan prej sestati, da bi si izmenjala javna ključa, potem bi se lahko ob tej priložnosti dogovorila za skupen ključ za kakšno simetrično šifro. Več o tem, kako lahko s certifikati in z infrastrukturo javnih ključev rešimo ta problem, pa v zadnjem (5.) delu. 8 ratura Presek 38 (2010/2011) 1 r e š it e v s u d o k u a b c d e f g h i a 3 8 6 1 5 4 2 7 9 b 1 9 5 7 2 6 8 3 4 c 4 7 2 8 3 9 5 1 6 d 6 4 1 5 9 7 3 2 8 e 5 3 8 4 6 2 7 9 1 f 9 2 7 3 8 1 4 6 5 g 7 6 9 2 4 5 1 8 3 h 2 5 3 6 1 8 9 4 7 i 8 1 4 9 7 3 6 5 2 • • • r a z v e d r i l o 30 • Za nagradno križan- ko iz šeste številke 37. le- tnika Preseka smo prejeli 19 pravilnih rešitev. Na- gradno geslo se je glasi- lo Opazujmo nebo. Iz- žrebani reševalci, Ana Papa iz Ljubljane, Ma- rija Merc iz Ajdovščine in Eva Ferk iz Radelj so razpisane nagrade preje- li po pošti. r e š i t e v n a g r a d n e k r i ž a n k e p r e s e k 3 7 / 6 presek 38 (2010/2011) 1 namenom razširjanja lastnih idej pisal v toskanšči- ni, jeziku, ki ga je bolj kot latinščino razumela širša publika. V političnem smislu pa si je Galilej z „Dia- logom“ zabil avtogol, saj je služil kot kronski dokaz pri obtožbi cerkvenih oblasti, da razširja neresnice o ustroju sveta. Galilejevo zgodbo na kratko pov- zema Veselova knjižica, ki postreže tudi s kratkimi opombami k razpravam v „Dialogu“. V tej spremni knjigi bi si sicer želeli podrobnejših fizikalnih raz- lag pojavov, o katerih razpravljajo trije možakarji, saj bi tako sodobnemu bralcu besedilo postalo še bolj zanimivo. Galileo v slovenščini o b v e s t i l a 31Presek 38 (2010/2011) 1 • Pri Založbi ZRC SAZU je tik pred poletjem izšel prevod znamenitega Dialoga o dveh glavnih sistemih sveta, ki ga je leta 1632 izdal Galileo Galilei, poleg tega pa še delo Matjaža Vesela Kopernikanski Mani- fest Galilea Galileija, ki je pravzaprav spremna be- seda k Galilejevemu „Dialogu“. Znameniti Toskanec, ki je v začetku 17. stoletja odigral eno od osrednjih vlog znanstvene renesanse, spomnite se preteklega mednarodnega leta astronomije, ki je bilo razglaše- no v čast štiristoletnici prvih Galilejevih teleskop- skih opazovanj, je z „Dialogom“ poskušal dokaza- ti in javnosti predstaviti pravilnost Kopernikovega heliocentričnega sistema. Galilej je to dokazovanje spretno zavil v pogovor med tremi možakarji, Salvi- atijem, Galilejevim „alter egom“, ki podaja dokaze v prid Kopernikovi teoriji, Simplicijem, ki v sebi zdru- žuje vse Galilejeve nasprotnike, in bistrim beneškim gospodom Sagredom, ki naj bi bil nekakšen razso- dnik med njima, a skoraj vedno sprevidi pravilnost kopernikanske teorije in zmotnost aristotelizma. Galilej je bil izjemen retorik in pisec, ki je z očitnim andrej guštin ISSN 0351-6652M A TE M A TI K A +F IZ IK A +A ST R O N O M IJ A +R A ČU N A LN IŠ TV O #1 ������ ������ � � ( 2 0 1 0/ 2 0 1 1 ) � � � � �� � � �