i
i
“Lokar-racunanje” — 2010/6/1 — 11:44 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 15 (1987/1988)
Številka 6
Strani 322–325
Matija Lokar:
RAČUNANJE KVADRATNEGA KORENA
Ključne besede: matematika, numerǐcne metode, kvadratni koren, He-
ronov obrazec.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/15/915-Lokar.pdf
c© 1988 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
OQ('L l"\IOI N'I':Tl'll'" , __ 111 IL 1_' I ~_
RACUNANJEKVADRATNEGAKORENA
Z ra čunanjem osnovnih matematičnih funkcij smo se v Preseku že
srečali (Presek Z, 1986). Ker so uporabljeni algoritmi dokaj zapleteni, si
oglejmc, kako bi kvadratni koren izračunali enostavneje. Uporabili bomo
postopek, katerega izvor pripisujejo starogrškemu matematiku Heronu.
Razmlsljarno lahko nekako takole. Poskusimo najprej ugotoviti, na
katerem intervalu leži iskani koren. Določiti moramotorej dveštevili, prvo
manj še od /X, drugo večje . Naj bo al približna vrednost kvadratnega
korena danega števila x (x > O). Ker vemo, da je Ji pozitivno število
(no, razen za. x = O), si tudi približek izberimo pozitiven. Ce je al < /X,
pomnožimo obe strani neneačbe s .fi:
al < Ji
aljX < jXjX
alJi< x
r;; xvx < -al
Podobno lahko iz al > "fi ugotovimo, da velja"fi > :1' Iskani kvadratni
koren .fi leži med steviloma al in u.:r.. Zato kot naslednji približek
vzemimo aritrnetično sredino števil al in a::1 ' tj.
Ce nadaljujemo s tem postopkom, po n korakih dobimo zaporedje pri-
bližnih vrednosti:
1( x )an = i) an-l +--... an-l n = 2,3, ... (1)
Pokazimo nekaj lastnosti zaporedja (an).
Za zaporedje (1) velja, da so vsi njegovi členi večji ali enaki pravi
vrednosti
(2)
322
Pokazimo, da je trditev resnična. Vzemimo noti člen zaporedja, določen
z (1). Zapi šimo ga nekoliko drugače:
an = !(JXan- 1+~)
2 fi an-l
Vidimo, da ,fi lahko izpostavimo:
an = fi (~(an-l +~)).. fi an-l
1 1
= Ji -2(tn - 1 + -t-)
n-l
kjer je
t an-ln-l = fi
za pozitivne t velja:
Ce pokažemo, da je t(tn-l + /}-I ) vedno večje ali enako 1, smo prvo
lastnost dokazali. In res! Ker velja
(t-1)~O
tZ - 2t+1 ~ O
tZ + 1 ~ 2t
1 1
-(t + -) > 12 t-
Namesto t si mislimo v zadnji neenačbi tn-l in dokaz prve lastnosti je tu.
Druga lastnost zaporedja (an) je ta, da je vsak naslednji člen za-
poredja manjši ali kvečjemo enak prejšnjemu. Takemuzaporedju rečemo
monotono padajoče zaporedje. Ker so vsi členi zaporedja pozitivni, je
trditev
enakovredna trditvi
an+l < 1
an -
Upoštevajmo, kako je (n + I)-t i člen zaporedja določen
323
Pokazlmo, da je zadnji člen manjši od 1. Ce kvadrlrarno neenačbo (2) in
jo preuredimo, dobimo, da je -!r' ~ 1. Torej je izraz v oklepaju manjši ali
enak 2 in n
a"+l < 1
all -
Iz prejšnjih dveh lastnosti lahko zaključimo , da za zaporedje (1) velja
..fi ~ an ~ a ll-l ~ ... ~ a2
Torej so približki čedalje boljši. Ce ugotovimo, da sta dva zaporedna pri-
bližkaenaka, so enaki tudi vsi nadaljnji. Naj bo vrednost tega približka c.
Potem je ta c že enak iskanemu kvadratnem u korenu. Res, če upoštevamo
ena čb o (1), s kater o generiramo zaporedje, dobimo:
1 x
c = 2(c+c)
x
2c = c+-c
Takosmo dobili iterativni postopek za računanje kvadratnega korena.
Povejmoše to, da je to le posebni primer splošnejšega postopka za iskanje
ničel funkcij , ki ga imenujemo Newtonov postopek. Kako, mi vendar
računamo kvadratni koren, ne pa. iščem o ničle? Pa vendar:
c= ..fi
"c- =x
c2-x=o
Ce želimo torej določiti koren iz števila x, je to isto, kot če poiščemo ničlo
funkcije f( t) = t2 - x.
Koliko prlbližkovpa moramo izračunat i ? Število je odvisno od natan-
čnosti, na katero želimo določiti kvadratn i koren, in seveda od natančn osti,
s katero računa računalnik. Ker le-ta računa na končno mnogo mest, se po
324