i
i
“1478-Strnad-Tlak” — 2010/8/25 — 8:18 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 29 (2001/2002)
Številka 3
Strani 162–167
Janez Strnad:
TLAK POJEMA Z VIŠINO
Ključne besede: fizika, tlak v mirujoči tekočini, zračni tlak, sedimen-
tacijsko ravnovesje.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/29/1478-Strnad-tlak.pdf
c© 2001 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
Fizika I
TLAK POJEMA Z V IŠIN O
Vprašanje, kako v kap ljevini in v plinu tlak pojema z višino , pripelje do za-
nim ivih sklepov, če smo pr ipravljeni malo računati . Pri tem si pomagamo
z žepnim računalom . Rezult ati , dobljeni za molekule v plinu , veljajo
tudi za velike delce , ki lebdijo v kaplj evini in ki jih je mogoče videti z
mikroskopom. T i rezultat i so imeli pomembno vlogo v ra zpravi o obstoju
atomov in molekul pred devetdeset imi let i.
V miru joči tekočini tl ak pojema z naraščajočo višino ali narašča z
naraščajočo globino. Tega se dobro zavedajo tudi potapljači . T lak naraste
za 1 bar, ko se potopijo za 10 m (1 bar = 105 N/m2 je približno enak
zračnemu tl aku na morsko gladino; enota za tl ak v mednarodnem sistemu
je N/ m2 ali pascal) . Da po jasn imo to , si v vodi pr edstavljajmo navpično
pr izmo s spo dnjo osnovno ploskvijo S v višini Zo in zgornjo v višini z. Na
spodnjo osnovno ploskev deluje sila vode Sp( zo) navpično navzgo r in na
zgornjo sila vode Sp( z) navpično navzdol. Prizma miru je, zato je vsota
teh dve h sil in teže prizme mg = pSzg , ki deluje navpično navzdol, enaka
nič . 9 = 10 m/ s2 je težni pospešek in p = 103 kg/m3 gostota vod e. Iz
tega izhaja razlika t lakov
p(z) - p(zo) = -pg(z - zo) , (1)
če višino z šte jemo poz it ivno navpično navzgor. V globini Zo = - 10 m
je tlak za 103 kg m" :' · 10 m s- 2 ·10 m = 105 N/m2 = 1 bar večji kot na
gladini pr i z = O. Vselej , ko se spustimo za 10 m , se t lak poveča za 1
bar . Voda se namreč zaradi povišanega t laka le neznatno zgost i. Privzeti
smemo, da se gostota z globino ne sprem inja .
V zraku lahko računamo tako le pr i majhni višinski ra zliki . Pri
navadnem zračnem t laku Po = 1 bar meri gostota zraka PO = 1,2 kg/m3 .
Zračni t lak se zmanjša za 1,2 kg m-3 . 10 m s- 2 . 10 m = 120 N/m2 od
1 bara na 0,9988 bara, ko se od višine O dvignemo za 10 m .
Kako visoko (zr) bi bilo ozračje , če bi po vsej višini imelo gostoto, ki
jo ima pri t leh? Iz enačbe (1) sledi Zr = Po/pOg = 105 N m-2/ 1,2 kg m - 3 .
· 10 m s- 2 = 8330 m .
Gostota plina se zmanjša , ko se zniža t lak, in je pri konstantni tem-
peraturi sorazme rna s t lakom. Pri t laku 0,9988 bara v višin i 10 m meri
gostota zraka 1,2 ·0,9988 kg/m3 = 1,1986 kg/m3 . Sprememba gostote je
maj hna, a jo moramo upoštevati , če sprememba višine ni majhna v pr imeri
z Zr ' Gosto ta je od visna od tl aka in tl ak od gostot e. Pomagamo si tudi
I Fizika
z omenjenim spoznanjem o gostoti plina pri konstantni temperaturi. Iz
P/ PO = pIpo izhaja
p(z) = PO p(z) .
Po
Zvezo vstavimo v enačbo (1) in upoštevamo, da se sme višina samo malo
spremeniti. Za z vstavimo z + ,6.z, za za pa z:
p(z + ,6.z) - p(z) = _ Pog ,6.z = _ ,6.z
p(z) Po Zr .
(2)
Višino večajmo v enakih korakih po ,6.z = 10 m: v prvem od Ona ,6.z ,
v drugem od ,6.z na 2,6. z, v tretjem od 2,6.z na 3,6.z, . .. v koraku N od
(N - l ),6. z na N ,6.z . Lahko si mislimo, da se dv igamo po stopnišču z vi-
sokimi stopnicami. Desna stran enačbe (2) ostane nespremenjena, na lev i
strani pa dobimo po vrsti p(,6.z) - Po, p(2,6.z) - p(,6.z) , p(3,6.z) - p(2,6.z),
p(N,6.z ) - p((N - l),6.z) . Nato zidamo:
p(,6.z) = Po(1 - ,6.z /zr) ,
p(2,6.z) = p(,6.z)(l- ,6.z/zr) = Po(1- ,6.z/zr)2,
p(3,6.z) = p(2,6.z)(1- ,6.Z/ Z1') = Po(l - ,6.z/ z1')3,
Z zadnjo enačbo lahko izračunamo tlak po poljubnem koraku N v višini
z = N,6.z (slika 1) . Naraščanju tlaka ustreza geometrijsko zaporedje, če
naraščanju višine ustreza aritmetično. Lahko bi vze li manjši korak kot
,6.z = 10 m . Precej večj i korak pa ne bi dal uporabnega izida. P ribližek
je tem bo ljši , čim manjši je korak. Tako smo t lak izračunali po korakih .
Kako se spreminja tlak, ko se dv igamo po gladkem klancu brez sto-
pnic, ugotovimo, ko si predstavljamo, ela postajajo stopnice vse nižje. Iz
matematike si sposoelimo enačbo lim x --+ CXl (l - l / x)X= l/e = e- 1 . Indeks
x -+ oo pomeni , da x naraste čez vsako mejo. Z e smo zaznamovali osnovo
naravnih logaritmov e = 2,71828 . . . Zares z računalom za (1 - l / x )X z
x = 10, 104 in 107 po vrsti dobimo 1/2,86797, 1/2,71842 in 1/ 2,71828.
Vstavimo N,6. z = z in N zrlz = x, pa imamo
p(z) = Po [ (1 _~) X] z/zr = Poe-z/zr . (3)
Fizika I
N z p
o O 1,0000 bar
200 2 km 0,7869
400 4 0,6185
577 5,77 0,5002 Z 2
600 6 0,4864
800 8 0,3825
833 8,33 0,3678 Z r
915 9,15 0,3333 Z3
1000 10 0,3008
1200 12 0,2366
1400 14 0,1862
1600 16 0,1464
1800 18 0,1152
2000 20 0,0906
2200 22 0,0712
0 .8
0 .6
0 .4
0 . 2
'\
\
\
\
\
\
\ ,
0 . 5 1 1. 5
In2 In3
2 .5 3 Z/Z,.
Slika 1. Odvisnost razmerj a pI po, p]PO a li n ino od razmerja z i Z r V ozračju pri
t emper aturi oko li 20° C za korak /),.Z = 10 m .
Enakovreden je zapis p(z ) = Po . 2- Z / Z 2 , na katerega nalet imo včasih .
Lahko bi zapisali t udi p(z ) = Po · 3- Z / Z 3 in tako dalje s poljubno osnovo .
Na relaksacijski višini Zr = 8330 m se zmanjša t lak na l / e = 0,3679
vrednosti, ki jo ima pri t leh . To je t udi povprečna višina ozračja. Na
razp olovni višini Z2 = 5770 m se zmanjša tl ak na polovico in na višini
Z3 = 9150 m na tretjino vr ednosti pri t leh.
Eksponentna funkcija (3) , do kat ere smo se nekoliko okorn o doko pali,
je ena od najpomemb nejših elementarnih funkcij v fiziki. Nanjo nalet imo
med drugim še pri radioakt ivnem razpadanju, absorpcij i svetlo be, pr e-
hodnih po javih v električnih vezj ih. Njena inverzna funkcija je naravni
logaritem . (Mimogrede: velja e- x = 2- x / ln 2 in Z2 = Zr ln 2 ter e-x =
= 3- x / 1n 3 in Z3 = zr· ln 3.)
Pri dani temp eraturi sta tlak in gostota p sorazmern a in gostota p je
sorazmerna z gostoto molekul n = p/m l , če je m l masa ene molekule.
Zato tudi gostota in gostota molekul z višino eksponentno pojemata:
p = poe- z/ zr in n = noe- z/ zr. P ri tem sta po in no gost ota in gostota
molekul v višini z = o.
Izraz za relaksacijsko višino lah ko nekoliko pr euredimo, če s plin-
sko enačbo nekoliko bolj splošno zapišemo zvezo med t lakom in gostoto:
p = pRT / M . Pri tem je R = 8313 J /K splošna plinska konstanta in
I Fizika
lv! = m INA masa kilomola . Avogadrovo število NA pove število molekul
v kilomolu. Z vsem tem dobimo
_ Po _ kT z
zr - - - - lil
Pog mIg Zr
(4)
Pri te m smo vp eljali Boltzm annovo kon stanta k = RINA . V zadnjem
razmerju je mIgz potencialna energ ija molekule, kT za termično gibanje
pr i temperaturi T tipična energija . Relaksacijska višina dosež e 124 km
za vod ik, 8,91 km za dušik in 7,79 km za kisik. V ravnovesju bi se t i
plini po višin i v ozračj u porazdelili skladno s temi podatki, če bi bila
temperatura konstantna. Temperatura v ozračju po jema z naraščajočo
višino , zato račun odpove. Vseeno pa po jasni, da je Zemlja izgubila vodik
zara di razmeroma šibke gravitacije.
p
c
o
-
Slika 2. Velj avnost enačbe p = pRTI M v
razt op in i je mogoče neposredno presk usiti .
Sp odnje kraj išče odebeljene cev i C je za prt o
s polprepus t no op no O . V cevi je v prostor-
nin i vode V raztopljen a snov z maso m -
pri te m velja p = m iV - in mas o kilomola
M . Cev je potopljen a v posodo s čisto
vodo P. Voda skoz i opno preh a ja v cev,
raztopljen a snov pa ne more uh aja ti iz cevi.
V ravnovesju je gladina raztopine v cevi
višja kot gladin a vode v posodi . Višinsk i
razlik i ust reza osmozni t lak, ki la hko doseže
znat ne vrednosti. V raztopini sladkorja, ki
vseb uje na primer 0,3 mo la v lit ru vode,
doseže 7 ba rov. Pojav je ze lo pomemben v
biologiji , sa j npr. po ganja vodo po rastlinah
nav zgor. Odkrili so ga sred i 18. stoletja in
ga kmalu podrobneje raziskali . Leta 1886
je Jacobus van't Hoff ugotovi l, da za razto-
p ljeno snov v kapljevini ve lj a enaka enačba
kot za p lin . To je mogoče na hit ro utemeljiti , češ da je raztop lje na snov v ravnovesju s
svojo paro , za katero ve lja p lin ska enačba. Učeno rečemo, da se ujema ta nj una kemijska
potencial a . Izvor tlaka v kapljevini pa je drugačen kot v plin u , O čemer priča to, da
velja enačba v kapljevini le pri majhni kon cen traciji ra ztopljen e snovi.
Pomembno je, da enačbi (3) in (4) ne veljata samo za plin in za
molekule v njem, ampak t udi za snov, ki je raztopljena v kaplj evini , in
njene molekule, dokl er je ra ztopina razredčena. Molekule lahko vsebujejo
malo ali veliko atomov in imajo majhno ali veliko maso. Ne samo to ,
enačbi veljata t ud i za večj e , z mik roskopom vidne delce, ki lebdijo v
kap ljevini . Za molekule z relativno molekulsko maso 250 meri relaksacijska
višina vraztopini 1 km , za delce, ki jih vidimo pod mikroskopom in ki
Fizika I
imaj o milijardokrat večjo maso, pa meri samo mikrometer , 11m, milijonino
metra ali tisočino milimetra.
Sedimentacijsko ravnovesje, to je ravnovesje vidnih delcev , ki lebdijo
v kap ljevini, je temeljito ra ziska l francoski fizik Jean -Baptiste Perrin s
svojo skup ino. Podrobno je izmeri l, kako se z višino spreminja gostota
kroglastih delcev , ki lebdijo v kapljevini , in določil Avogadrovo število.
Čeprav so ga že prej določi li nekateri drugi, je bil to okoli leta 1911
pommeben uspeh. Najprej je dolgo časa iskal snov, ki bi jo bilo mogoče
oblikovati v zelo majhn e kroglice. Koloidne raztopine se niso obnesle, ker
so bili delci premajhni in preveč neenakomerni. Nazadnje sta se najbolje
izkazali rastlinski smoli gumi -gut , ki jo pridobivajo v Kambodži in na
Sri Lanki , in mastiks z nekateri h grških otokov. Perrin je smolo najprej
raztopil v alkoholu in nato dobljena ru meno raztopino močno razredčil
z vodo. S cent rifugiranjem je ločil delce od kap ljevine. To je večkrat
ponovil , dokl er voda v okolici delcev ni bila popolnoma bistra. Delci
so bili sicer kroglasti, a niso imeli enakega po lmera. Zato je kap ljevino
večkrat za kratek čas centrifugiral in odbral delce , ki so se nakopičili daleč
od osi in med kateri mi so prevladovali delci z večjo maso. Z odbiranjem je
po večmesečnem delu iz kilograma gumi-guta dobil nekaj desetin grama
kroglic želene velikosti .
, .,
~ ............"
•.. c:::=
,..
••
••...
•••
Slika 3 . Lega mikroskop a in stolpca kapljevine pri opazovanju z navpično (a) in vodo-
ravno osjo mikroskopa (b) t er delci smole v kapljevini v sed imentacijs kem rav nov esj u
(c) . Fotografijo j e Perrin dobil z mikroskopom z vo do rav no osjo (b) .
Skrbno je pr emeril gost oto smole p in dobil, npr. 1,194 gjcm3 . Na
več načinov je izmeril polmer kro glic r in zanj , npr. dobil 0,367 11m.
Neposredno merjenje zaradi uklona ni bilo natančno. Natančnej e je bilo
mogoče izmerit i dolžino niza dotikajočih se kroglic in izračunati polmer.
Z izmerjenim polmerom in gostoto je izračunal efekt ivna težo kro glice
~71T3(p - p' )g, to je težo, zmanjšano za vzgon v kaplj evini z gostoto p'.
I Fizika
Opazoval je z mikroskopom z navpicno ali z vodoravno osjo. V prvem
primeru je desetino milimetra globoko vdolbino v mikroskopskem stekelcu
napolnil s kapljevino, v kateri so lebdeli kroglasti delci. S t em, d a je
mikroskop naravnal na določeno globino, je lahko opazoval delce v t ej
globini. Gostoto delcev je določil t ako, da je delce v vidnem polju v
določeni globini fotografiral in jih na fotografiji preštel. To je bilo mogoče
le, če so bili delci dovolj veliki . Pri drugem načinu pa je z dodatno zas lonko
močno zožil vidno polje, da je maloštevilne delce lahko za jel in preštel z
en im pogledom.
Pri m erj enju s kroglicami iz gumi-gut a s polm erorn 0,212 JLm je v
višini 5 JLm , 35 JLm, 65 JLm in 95 JLm v povprečju naštel po vrsti 100 ,
47, 22,6 in 12 delcev . Niz števil se približno uj ema z geometrijskim
za poredjem : 100 , 48 , 23, 11,1. Iz teh podatkov je izračunal relaksacijsko
višino 42, 4 JLm . Z znano efektivno t ežo je iz prve enačbe (4) izračunal
Bo ltzmannovo konstanto k in nazadnje iz nje s plinsko konstanto še Avo-
gadrovo število N A = Rlk . Pri nizu zelo skrb nih merjenj , v katerem
je v celoti opazoval 17 tisoč delcev s polmerom 0,367 JLm, j e dobil za
Avogadrovo število 6,8 . 1026 . Merili so z različno velikimi kroglicami , pri
različnih t emperaturah in z različnimi kapljevinami , vodo in bolj ali manj
razredčenim glicerino m . Pri vseh merjenjih so dobili malo večji ali malo
m anj ši rezultat . Danes Avogadrovo število 6,02 . 1026 poznamo precej
natančnej e, tako da se utegn e P errinov rezultat zde t i dokaj nenatančen.
Ob svojem času pa je bi l zelo dragocen. J ean P errin je leta 1926 za
merjenja, ki jih je izvedel med letoma 1908 in 1911 , dobil Nob elovo
nagrado. V nadaljevanju bomo opisa li še drugi del nj egovih raziskovanj
in pojasnili, zakaj so bi la t a raziskovanja t ako pomebna.
N e čisto resno. Poučevalska fizikalna revija je obj avila zgodbo o komisijskem
izpitu iz fizike, na kat erem je št udent dobil vprašanj e, kako bi določil višino
stavbe, če ima občutljiv merilnik tlaka. Študent je naved el nekaj zanimivih
predlogov. Merilnik bi obesil na vrvi co, ga počasi spust il do tal in izmeril
dolžino vrvice. Meriln ik bi spustil, s st oparico izmeril čas, ko bi udaril po
tleh , in iz časa izračunal višino padanja. Navsezadnje bi merilnik, ki najbrž
ni poc eni , dal hišniku v zameno za podatek o višini st avb e. Izpit je zdelal ,
češ da se bo v življenju dobro znašel. Pač ni bil študent fizike, ker se zadnja
dva predloga ne skladata z zahtevo, da je t reba po vaji vse naprave vrniti na
staro mesto. Bralci pa bodo na vprašanje odgovorili t ako, kot je spraševalec
pričakoval. Na višino stavbe sklepamo po zmanjšanju zračnega tlaka, ko
prenesemo merilnik od tal do vrha. Blizu nadmorske višine Ose na 10 metrov
višinske razlike t lak zmanjša za 120 N/ m2 .
Jan ez Strnad