Elektrotehniški vestnik 76(4): 235-239, 2009 Electrotechnical Review, Ljubljana, Slovenija Isingov model feromagnetizma Janez Ivan Pavlica,b, Aleš Iglicb a Zdravstvena fakulteta, Poljanska cesta 26a, 1000 Ljubljana, Slovenija b Fakulteta za elektrotehniko, Tržaška 25, 1000 Ljubljana, Slovenija e-mail: ales.iglic@fe. uni-lj.si Povzetek. Obravnavamo posplošen Isingov mrežni model feromagnetizma; posplošen tako, da lahko model uporabimo za 1-D, 2-D in 3-D problem. Za izračun temperature nad kriticno temperaturo TC smo uporabili približek za razvoj v vrsto. Pri notranji energiji obravnavanega sistema (interakcije med spini) smo za povprečno orientacijo sosednjih spinov uporabili model povprečnega polja. Ključne besede: Isingov model, feromagnetizem, teorija povprečnega polja The Ising model of ferromagnetism Extended abstract. The paper deals with the generalized Ising model of ferromagnetism. Being generalized means that the model can be used for solving the 1D, 2D and 3D problems. The spins were divided into a mesh-lattice model. To calculate the temperature above transition temperature Tc , we used series expansion approximation, for spin-to-spin interaction the mean field theory, enabeling us to calculate the average orientation of neighboring spins, and to calculate for high temperatures approximation. Key words: Ising mesh lattice model, ferromagnatism, mean field theory gnetnega polja H: M = xH, kjer je x susceptibilnost. Torej: Btot = b + Bm = B + p0 xH = p0 H + p0xH = = p0 (1 + x) H = p0pH, (1) kjer je permeabilnost p enaka p = 1 + x . V nadaljevanju se omejimo na obravnavo 3 dimen-zionalnega (3-D) Isingovega modela feromagnetizma v okviru mreZnega modela, ki je shematsko prikazan na sliki 1. 1 Uvod Isingov model je dobil ime po fiziku Ernstu Isingu, ki seje rodil leta 1900 v Nemčiji in umrl leta 1998 v ZDA. Je osnova nekaterih statistično-mehanskih teoretičnih modelov, ki se uporabljajo za opis feromagnetizma. Med fero-magnete uvrščamo zelezo (Fe), kobalt (Co), nikelj (Ni), magnetit (Fe3O4) in druge. Na kratko ponovimo, kar smo se naučili o magnetnem polju [1]. K čelotnemu magnetnemu polju v snovi Btot pripomore zunanje magnetno polje (B) in magnetno polje, ki ga povzročajo gradniki snovi, atomi (molekule) (Bm): Btot = B + Bm. Magnetno polje v snovi Bm je sorazmerno magnetizačiji: Bm = p0M, kije definirana kot M = n(pm) = V (pm), kjer je (pm) povprečna vrednost komponente magnetnega dipolnega momenta molekule v smeri magnetnega polja, n = N/V označuje stevilo molekul na enoto volumna in p0 indukčijska konstanta vakuuma. Magnetizačija je sorazmerna jakosti ma- Slika 1. Prikazan je presek usmeritve magnetnih dipolnih momentov molekul v 3-D Isingovem modelu. Magnetni dipolni momenti so razporejeni v kvadratni mrezši in imajo lahko samo dve orientaciji; gor jj) in dol (j). Figure 1. Magnetic dipole moments placed in a square mesh lattice block and having two orientations, i. e. pointing up (|) or down (j). The figure shows just a cut through the 3D mesh block. 2 Model Prosto energijo (F) modelnega sistema, kije prikazan na sliki 1, zapišemo v obliki: F E — TS (2) kjer je E notranja energija sistema, ki zajema povprečno energijo lastnih in medsebojnih interakcijskih energij vseh molekul v sistemu, S je entropija sistema, T pa absolutna temperatura. V modelu smo uporabili teorijo povprečnega polja (mean field theory), kar je pozneje razvidno iz enačb (8 -13). Ko imamo sistem z veliko delci, ki interagirajo med seboj, seje smiselno zateči k teoriji povprečnega polja in si tako olajšati delo pri iskanju rešitve sistema. Tako sistem z N delči prevedemo v sistem interakčije enega delča s povrečnim, efektivnim (zunanjim) poljem. Povprečno polje je zamenjava interakčij med izbranim delčem v sistemu in drugimi delči tega sistema. Tako nam povprečšno polje odraza efektivno interakčijo med delči v sistemu. To je razvidno iz enačbe (8), ko izračunamo povprečno ori-entačijo sosedov in ne računamo orientačije sosedov za vsak deleč posebaj. Najprej bomo izračunali entropijo sistema (S), ki nastopa v enačbi (2). V našem primeru 3-D Isingovega modela feromagnetizma obravnavamo N molekul v mrezšni kočki z N mesti. Posamezna molekula je lahko v dveh stanjih glede na usmeritev njenega magnetnega dipolnega momenta, ki lahko kaze samo gor (+) (tj. v smeri magnetnega polja) ali dol (—); slika 1. Izračunajmo konfiguračijsko entropijo sistema. Stevilo mogočih prostorskih razporeditev za prvo molekulo, ki jo postavimo v prazno 3-D mrezšo z N mesti, je N, za drugo molekulo (N — 1), za tretjo molekulo (N — 2) in tako naprej. Vseh mogočih razporeditev je tako N (N — 1)(N — 2) • • • 1 = N! . Pri tem smo upoštevali, da so vse molekule med seboj razločljive. V resniči pa molekul, ki imajo magnetni dipolni moment obrnjen navzgor (označimo njihovo število z N+), med seboj ne moremo razločevati. Prav tako ne moremo razločevati med molekulami, ki imajo magnetne dipolne momente obrnjene navzdol (označimo njihovo število z N_). Tako, da čelotno število moznih razporeditev N molekul na N mreznih mest ni N! , temveč W: W = N! N+!N_! (3) Za sistem, kije v termičnem ravnovesju, zapišemo konfiguračijsko entropijo v 3-D Isingovem mreZnem modelu [2], [3] kot: S = k ln W = k ln N! N+!N_! k [lnN! — lnN+! — lnN_!] , (4) kjer predpostavimo samo dve mogočši orientačiji magnetnih dipolnih momentov (j in j) posamezne molekule v sistemu. Pri računanju konfiguracijske entropije (S) pri-vzamemo, da je verjetnost za orientacijo posameznega spina neodvisna od orientacij sosednjih spinov. Za veliki N uporabimo Stirlingovo aproksimacijo: ln N! « N ln N — N ter tako iz enacbe (4) dobimo naslednje: S = k[N (ln N — 1) — N+ (ln N+ — 1) — — N_ (ln N_ — 1)] = = k[(N+ + N_) ln N — — N+ ln N+ — N_ ln N_] = = k[N+ ln N + N_ ln N — — N+ ln N+ — N_ ln N_] S=k N N N+ ln — + N_ ln — N + N_ —kN N+ N+ N_ N_ wln w + wln w = —kN [c+ ln c+ + c_ ln c_] (5) kjer je c+ = N verjetnost, daje magnetni dipolni moment molekule obrnjen navzgor, c_ = ^r pa verjetnost, daje obrnjen navzdol [4]. Tako sledi, daje c+ + c_ = 1. V nadaljevanju izpeljemo izraz za notranjo energijo sistema, ki jo sestavlja vsota lastnih energij magnetnih dipolnih momentov molekul (2. clen) ter njihove medsebojne interakcijske energije (1. clen) [5, 6]: E = — Jik^i^k — PmB < i,k i (6) kjer je pm velikost magnetnega dipolnega momenta ene molekule, B gostota zunanjega magetnega polja, Jik moc interakcijske energije (tj. moc sklopitve) med i-tim in k-tim sosednjim magnetnim dipolom (pri cšemer upostevamo samo najblizje sosede), spremenljivka a doloca orientacijo posameznega magnetnega dipola (j pomeni usmeritev v smeri magnetnega polja (a^), j pa usmeritev v nasprotni smeri (ctj,)). Poljubno orientacijo magnetnih dipolnih momentov atomov (molekul) smo, tako kot ze prej pri izpeljavi entropije sistema, nadomestili z dvema orientacijama j in j (slika 1). Pravimo, da obravnavamo orientacijo magnetnega dipolnega momenta molekule v okviru dvostanjskega modela. V prvem clenu enacbe (6), to je v izrazu za interak-cijsko energijo magnetnih dipolnih momentov molekul v sistemu, upoštevamo le interakcijske energije najblizjih sosedov, kjer upoštevamo Jik = J. Ker pa interakcije med sosednjimi magnetnimi dipolnimi momenti (spini) štejemo dvakrat, moramo dodati faktor 1/2 (glej enacbo (12)). Tako lahko prvi clen v enacbi (6) zapišemo v obliki: — Jy^i^k i,k J. I. Pavlic, A. Iglic: Isingovmodel feromagnetizma 237 Energijo sklopitve magnetnih dipolnih momentov k JiJk zapišemo v dveh korakih. Najprej izračunamo povprečno energijo magnetnih dipolov, ki so usmerjeni navzgor (j); - J (Nc+) Jf & sosed z, (8) kjer je Nc+ povprečno število magnetnih dipolov v sistemu, ki so usmerjeni navzgor (j), N je število vseh magnetnih dipolov v sistemu, črsosed je povprečna vrednost j najblizjih sosedov, ki jih je z; Jsosed = (c+ - C_) . Kombinacija enačb (8) in (9) nam da; (9) - JNC+Jf Jsosed Z = — JNc+ (c+ - C_ ) Z , (10) kjer smo upoštevali jf = 1. Podobno izračunamo še povprečno energijo magnetnih dipolov v sistemu, ki so usmerjeni navzdol (j); - JNc-a^aSosed z -JNc_ (-1)(c+ - c_) z = -JNc_ (c_ - c+) z, (11) kjer je Nc_ povprečno število magnetnih dipolov v sistemu, ki so usmerjni navzdol (j), in upoštevali smo, daje j I = - 1. Povprečno interakčijsko energijo vseh magnetnih dipolov v sistemu dobimo tako, da seštejemo enačbi (10) in (11); -j^^jijk = -—zNJ [c+ c+ + c_ c_ - 2c+ c_] . i, k (12) Stevilo najbliznjih sosedov (z) okoli izbranega atoma je v našem primeru v 3-D mrezni kočki enako 6, v 1-D mreznem modelu je z = 2, v 2-D mreznem modelu pa je z = 4). Drugi člen iz enačbe (6), to je pmB^i Ji, ki opisuje energijo magnetnih dipolov v povprečnem magnetnem polju B, izrazimo kot; -Pm-B^Vi = -PmBN (c+ - c_) . (13) Celotno povprečno energijo sistema E ob upoštevanju enačb (6), (12) in (13) zapišemo v obliki; E = - — zNJ [c+ + c_ - 2c+ c_] -pmBN (c+ - c_) . (14) Vpeljemo novo spremenljivko x = c+ - c_ , od koder sledi; c+ = —(1+ x) in c_ = —(1 - x) . (15) Ob upoštevanju izrazov v (15) lahko izraz za energijo E (enačba (14)) zapisemo v obliki; E = N^ - — zJx - pmBx (16) izraz za entropijo sistema S (enacba (5)) pa kot: S = -kN^ 2(1 + x)ln(1 + x) + + 2(1 - x)ln(1 - x) - ln2j . (17) Prosta energija sistema F = E - TS ima zdaj obliko; F 12 = N| - 2 zJx - PmBx + kT + -y(1 + x)ln(1 + x) + kT + — (1 - x) ln (1 - x) (18) kjer smo izpustili člen -kTN ln 2, ki ni odvisen od x. V nadaljevanju poiščemo minimum proste energije sistema F tako, da odvajamo enačbo (18) po spremenljivki x ; dF T „ kT —— = -zJx - pmB +-- dx Pm + 2 ln (1 + x) + (1+ x) (1+ x)_ + kT + kT - ln (1 - x) - (1 - x) (1 - x)J kT -zJx - PmB + — ln 1+x Uvedemo oznako; a = ln od koder sledi; 1 + x 1 - x 1 - x 1 + x 1 - x 0 . (19) ea - 1 , a -= tanh — . ea + 1 2 (20) (21) Ob upostevanju definičije a lahko enačbo (19) zapisemo takole; a = pmB + z Jx (22) 2 = kT . (22) Iz enacb (21) in (22) pa sledi : PmB + zJx = tanh kT (23) V okviru obravnavanega Isingovega modela lahko ma-gnetizačijo sistema M zapišemo takole; N M = n (pm) = n (c+ - c_) pm = nxpm = — xpm . (24) V 3 Napovedi modela V nadaljevanju se lotimo reševanja enačbe (23) za več posebnih primerov. a e x= 1. Najprej obravnavamo sistem, kjer ni zunanjega magnetnega polja (B = 0). Enacba (23) se v tem primeru poenostavi takole: x = tanh zJx kT (25) Vpeljemo novo spremenljivko y = J x in enacbo (25) zapišemo takole: kT — y = tanh (y). zJ (26) 1.5 1 0.5 , kT / / y = 7iy> w —= y ■ V / W j l#»1 * \ M f ^ M w V y ' = tanh(y) /X' , kT ■ —y = zjyTC) je argument v enacbi (23) majhen. Tako uporabimo samo prvi clen razvoja funkcije tanh(x) « x v vrsto in enacbo (23) zapišemo v obliki: T - Tc kjer je konstanta C definirana kot: N P^Mo H = xH C Vk (31) (32) (33) Slika 4 shematsko prikazuje temperaturno odvisnost spontane magnetizacije M in magnetne susceptibilnosti X. Kriticne temperature TC (Curiejeve temperature) nekaterih feromagnetnih materialov so: za kobalt je TC = 1400 K, za zelezo je TC = 1043 K, za nikelj je TC = 631 K. 4 Sklep Isingov model se med drugim uporablja za opis fizikalnih lastnosti dvokomponentnih zlitin, nevronskih mrezš in feromagnetnih materialov in njihovih faznih prehodov. 0 0 2 3 N Pm x MA T Slika 4. Shematski prikaz magnetizacije M in susceptibilnosti X v odvisnosti od temperature T. Pod temperaturo TC ima snov feromagnetne lastnosti, nad temperaturo TC, pa paramagnetne lastnosti. Figure 4. Temperature dependence of magnetization M and susceptibility x. Properties of the matter below critical temperature TC are ferromagnetic and above TC they are paramagnetic. Najpreprostejši je 1-D Isingov model, ki gaje Ising analitično rešil ze leta 1925 [6]. 1-D Isingov model ne napove faznega prehoda v urejeno (feromagnetno) stanje pri končni temperaturi [5]. 2-D Isingov model je eksaktno ze leta 1944 rešil Onsager (npr. glej pod [7]). Posebne, praktične uporabe nima, saj smo omejeni samo na dve dimenziji. Uporaben bi bil na primer za zelo tanke plasti, pri dopiranju materialov, kjer bi obravnavali zasedenost mest v mrezši dopiranega materiala. V članku smo obravnavali 3-D Isingov mrezni model, ki se lahko uporablja za opis volumskih (bulk) permanentnih feromagnetnih materialov in njihovih kritičnih temperatur. 3D Isingov model nima eksaktne rešitve, dobimo le priblizek le-te. Mi smo 3-D Isingov model obravnavali s priblizkom povprečnega polja in ob upoštevanju apro-ksimačije za razvoj v vrsto za visoke temperature, dobili rešitev za izraz za kritično temperaturo TC [7], pri kateri se zgodi fazni prehod in s tem prehod iz urejenosti v neurejenost spinov (spontana magnetizačija izgine). Kot rečeno, feromagnetni materiali se uporabljajo za izdelavo permanentnih magnetov. Feromagnetni materiali (npr. Fe, Co, Ni) imajo visoko remanentno (pre-ostalo) magnetizačijo, tudi ko ni več prisotno zunanje magnetno polje. Ferimagnetni materiali (npr. kombinačija Fe2+ in Fe3+ ionov) pa imajo le delno urejene spine (magnetizačija je še vedno večja od nič, ko ni zunanjega magnetnega polja). Pri antiferomagnetnih materialih (npr. NiO, FeMn) so si sosednji spini nasprotno obrnjenih (TITIH itd.; pri tem je ^ i Ti= 2 j I j in i = j), pri tem je magnetizačija nič, ko ni zunanjega magnetnega polja. [2] Iglic A., Kralj-Iglic V., Izbrana poglavja iz fizike mehke snovi, Zalozba FE in FRI, 2006 [3] Dill K., Molecular driving forces, Garland Science, 2003. [4] Wannier G. H., Statistical physics, Dover, 1987. [5] Vilfan I., Isingov model, Obzornik za matematiko in fiziko, letnik 44, številka 4, str. 105, jul. 1997. [6] Hladnik M., Binarna zaporedja, prepogibanje papirja in statisticna fizika, Obzornik za matematiko in fiziko, letnik 44, številka 2, str. 40, mar. 1997. [7] Cipra B., An introduction to the Ising model, American Mathematical Monthly, vol. 94, iss. 10, p. 937, dec. 1987. Prof. Aleš Iglic je doktoriral s področja fizike in elektrotehnike, Univerza v Ljubljani. Od leta 2007 je zaposlen kot redni profesor na Fakulteti za elektrotehniko, Univerza v Ljubljani in je vodja Laboratorija za biofiziko. Njegovi področji raziskovanja sta elektrostatika in biomehanika bioloških nanostruktur. Janez Ivan Pavlic je leta 2005 diplomiral na Fakulteti za elektrotehniko, Univerza v Ljubljani. Trenutno je mladi raziskovaleč na Zdravstveni fakulteti, Univerza v Ljubljani. Eksperimentalno delo opravlja v Laboratoriju za fiziko. Njegovo področje dela so biofizika lipidnih membranskih sistemov in njihove interakčije. C 5 Literatura [1] Mattis D. C., The theory of magnetism made simple, World scientific, 2006.