Ugotavljanje matematičnega znanja Priročnik za učitelje Strokovne urednice: mag. Mojca Suban, Jerneja Bone, mag. Valentina Herbaj, mag. Apolonija Jerko, mag. Mateja Sirnik, mag. Sonja Rajh, Lidija Pulko, mag. Melita Gorše Pihler Avtorji: mag. Mojca Suban, Jerneja Bone, mag. Valentina Herbaj, mag. Apolonija Jerko, mag. Mateja Sirnik, mag. Sonja Rajh, Lidija Pulko, mag. Melita Gorše Pihler, Loreta Hebar, Urška Rihtaršič, Ana Canzutti, Karmen Škafar, mag. Mojca Novoselec, Mojca Plut, Andreja Verbinc, mag. Andreja Oder Grabner, Katarina Udovč, Rok Lipnik, Lidija Jug, Andreja Potočnik, Tatjana Kerin, Andrejka Kramar Predstavljeni primeri iz prakse so plod sodelovanja učiteljev in članic Predmetne skupine za matematiko v okviru razvojne naloge Uvajanje formativnega spremljanja in inkluzivne paradigme. Strokovni pregled: dr. Adrijana Mastnak, dr. Andreja Klančar, dr. Ada Holcar Brunauer Jezikovni pregled: Vanja Kavčnik Kolar Grafična priprava: Lidija Pulko Izdal in založil: Zavod Republike Slovenije za šolstvo Predstavnik: dr. Vinko Logaj Urednica založbe: Zvonka Kos Spletna izdaja Ljubljana, 2020 Publikacija je brezplačna Publikacija je dosegljiva na: www.zrss.si/pdf/ugotavljanje_matematicnega_znanja.pdf ----------------------------------- Kataložni zapis o publikaciji (CIP) pripravili v Narodni in univerzitetni knjižnici v Ljubljani COBISS.SI-ID=29585155 ISBN 978-961-03-0527-9 (pdf) ----------------------------------- 2 Kazalo vsebine: 1 Predgovor (dr. Andreja Klančar) ............................................................................................................... 6 2 K manj uveljavljenim oblikam matematičnega znanja (mag. Mojca Suban, Jerneja Bone) .......................... 7 3 Preiskovalne naloge ............................................................................................................................... 12 Preiskovalne naloge pri matematiki (mag. Mojca Suban) .................................................................... 12 Primeri iz prakse (Loreta Hebar, Urška Rihtaršič) ................................................................................ 16 3.2.1 Preiskovalna naloga o množenju z decimalnimi števili v 6. razredu (Loreta Hebar) .............................................. 17 3.2.2 Preiskovalna naloga v podporo razvoju procesnih znanj v 2. letniku gimnazijskega programa (Urška Rihtaršič).. 25 Nabor nalog za preiskovanje pri matematiki (mag. Mojca Suban) ....................................................... 29 4 Tvorjenje pisnih besedil .......................................................................................................................... 34 Pisanje kot ena izmed štirih sporazumevalnih zmožnosti (Jerneja Bone) ............................................. 34 Tvorjenje pisnih besedil z vidika formativnega spremljanja (Jerneja Bone) .......................................... 39 Primeri iz prakse (Ana Canzutti, Karmen Škafar, mag. Mojca Novoselec, Mojca Plut) ........................... 43 4.3.1 Pisno besedilo o decimalnih številih ter obsegu in ploščini pravokotnika in kvadrata v 6. razredu (Ana Canzutti)44 4.3.2 Pisno besedilo o zrcaljenju čez premico in točko v 7. razredu (Ana Canzutti)........................................................ 50 4.3.3 Pisno besedilo o štirikotnikih v 7. razredu (Karmen Škafar) ................................................................................... 57 4.3.4 Pisno besedilo o kotnih funkcijah v 3. letniku (mag. Mojca Novoselec) ................................................................. 65 4.3.5 Primeri navodil za tvorjenje pisnih besedil pri matematiki (Mojca Plut)................................................................ 71 5 Govorni nastopi ...................................................................................................................................... 73 Govorni nastop kot oblika sporočanja pri matematiki (mag. Mojca Suban, mag. Valentina Herbaj)...... 73 Primeri iz prakse (Andreja Verbinc, mag. Andreja Oder Grabner, Urška Rihtaršič) ............................... 75 5.2.1 Govorni nastop o potencah v 8. razredu (Andreja Verbinc) ................................................................................... 76 5.2.2 Matematično preiskovanje skozi govorni nastop (mag. Andreja Oder Grabner) ................................................... 81 5.2.3 Predstavitev uporabe eksponentne in logaritemske funkcije z govornim nastopom (Urška Rihtaršič) ................. 85 6 Vizualne predstavitve ............................................................................................................................. 88 Matematika skozi vizualne predstavitve (mag. Apolonija Jerko) ......................................................... 88 Primeri rabe vizualnih predstavitev pri matematiki (mag. Apolonija Jerko) ......................................... 91 Primeri iz prakse (Katarina Udovč, Rok Lipnik) .................................................................................... 92 6.3.1 Videoposnetki pri metrični geometriji v osnovni šoli (Katarina Udovč) ................................................................. 93 6.3.2 Vizualna predstavitev pri matematiki kot priložnost razvijanja ustvarjalnosti (Rok Lipnik) ................................... 98 7 Didaktične igre ..................................................................................................................................... 104 Didaktične igre pri matematiki (mag. Mateja Sirnik) ......................................................................... 104 Primeri iz prakse (Lidija Jug, Loreta Hebar, Andreja Potočnik) ........................................................... 109 7.2.1 Didaktične igre v 7. in 8. razredu pri pouku matematike (Lidija Jug) ................................................................... 110 7.2.2 Primeri izdelanih didaktičnih iger s kriteriji uspešnosti in povratnimi informacijami učencev (Loreta Hebar) .... 117 7.2.3 Primeri izdelanih didaktičnih iger s povratnimi informacijami učencev (Andreja Potočnik) ................................ 120 8 Izdelki .................................................................................................................................................. 122 Izdelki pri matematiki (mag. Mateja Sirnik, mag. Sonja Rajh) ............................................................ 122 3 Primeri iz prakse (Lidija Jug, Tatjana Kerin, Andrejka Kramar) ........................................................... 124 8.2.1 Navodila za izdelavo: Sestavljeno geometrijsko telo (Lidija Jug) .......................................................................... 125 8.2.2 Izdelava sestavljenega geometrijskega telesa (Tatjana Kerin) ............................................................................. 126 8.2.3 Prostornina in površina teles, sestavljenih z link kockami (Andrejka Kramar) ..................................................... 131 Primeri dejavnosti (mag. Mateja Sirnik, mag. Sonja Rajh) ................................................................. 141 9 Zaključek (mag. Melita Gorše Pihler, Lidija Pulko) ................................................................................. 142 10 Viri in literatura.................................................................................................................................... 147 Viri .................................................................................................................................................. 147 Literatura ........................................................................................................................................ 148 Kazalo slik: Slika 1: Naslovnica priročnika za učitelje Formativno spremljanje pri matematiki ............................................................................. 7 Slika 2: Dejavnosti učenca v procesu preiskovanja ......................................................................................................................... 12 Slika 3: Stopnja odprtosti preiskovalnega procesa .......................................................................................................................... 13 Slika 4: Vprašanja v podporo procesu preiskovanja ........................................................................................................................ 14 Slika 5: Možni koraki za izvedbo preiskovanja pri pouku matematike ............................................................................................. 15 Slika 6: Primer izdelka učenke 8. razreda OŠ Leskovec pri Krškem (Mentorica: Tatjana Kerin) ..................................................... 29 Slika 7: Primer izdelka učenke 8. razreda OŠ Leskovec pri Krškem (Mentorica: Tatjana Kerin) ..................................................... 30 Slika 8: Primer izdelka učenca 7. razreda OŠ Sladki Vrh (Mentorica: Lidija Jug). Učenec s sistematičnim zapisovanjem razišče možnosti za menjavo sličic. ............................................................................................................................................................. 32 Slika 9: Primer izdelka dijakinje Ekonomske šole Novo mesto (Mentorica: Mojca Plut) .................................................................. 33 Slika 10: Primer izdelka dijaka Ekonomske šole Novo mesto (Mentorica: Mojca Plut) .................................................................... 33 Slika 11: Povezanost vseh štirih sporazumevalnih zmožnosti ......................................................................................................... 34 Slika 12: Učenka med načrtovanjem vizualne predstavitve (Mentor: Rok Lipnik) ........................................................................... 88 Slika 13: Primer vizualne predstavitve (Mentorica: Katarina Udovč) ............................................................................................... 89 Slika 14: Primer vizualne predstavitve (Mentorica: Katarina Udovč) ............................................................................................... 89 Slika 15: Metode učenja glede na aktivnost učencev .................................................................................................................... 105 Slika 16: Vtisi učencev (Mentorica: Ana Canzutti) ......................................................................................................................... 142 Slika 17: Skrivnostna vrata (Avtorica: mag. Melita Gorše Pihler) .................................................................................................. 143 Slika 18: Navodilo za pesem o štirikotnikih .................................................................................................................................... 145 Kazalo preglednic: Preglednica 1: Splošni kriteriji za vrednotenje preiskovalnih nalog z opisniki na treh ravneh znanja .............................................. 16 Preglednica 2: Kriteriji uspešnosti za zapis pisnega besedila pri matematiki .................................................................................. 36 Preglednica 3: Dopolnitev kriterijev uspešnosti za zapis pisnega besedila pri matematiki .............................................................. 36 Preglednica 4: Primer slovarja pri matematiki (vir: Študijsko srečanje za učitelje matematike, avgust 2020) ................................. 38 Preglednica 5: Oblikovanje kriterijev uspešnosti ............................................................................................................................. 41 Preglednica 6: Splošni kriteriji za govorni nastop pri matematiki z opisniki na dveh ravneh znanja ................................................ 74 Preglednica 7: Primer kriterijev uspešnosti za vizualni (digitalni) izdelek ........................................................................................ 90 Preglednica 8: Vizualna predstavitev kot podpora učenju ............................................................................................................... 91 Preglednica 9: Vizualna predstavitev kot podpora govornemu nastopu .......................................................................................... 91 Preglednica 10: Kriteriji za izdelavo in igranje didaktičnih iger ...................................................................................................... 108 Preglednica 11: Kriteriji z opisniki za izdelavo sestavljenega geometrijskega telesa .................................................................... 124 Preglednica 12: Še nekaj oblik ugotavljanja matematičnega znanja ............................................................................................. 143 Kazalo zgledov: Zgled 1: Preverjanje predznanja, ko učenci še nimajo izkušenj s tvorjenjem pisnega besedila pri matematiki ............................... 39 Zgled 2: Preverjanje predznanja, ko učenci že imajo izkušnjo s tvorjenjem pisnih besedil pri matematiki ...................................... 40 Zgled 3: Nameni učenja za pisanje besedil z matematično vsebino ................................................................................................ 40 Zgled 4: Zapis oblikovanja kriterijev uspešnosti za 1. pristop .......................................................................................................... 40 4 Zgled 5: Primeri oblikovanja kriterijev uspešnosti v pripravah učiteljev ........................................................................................... 41 Zgled 6: Primeri načrtovanja dokazov o učenju ............................................................................................................................... 41 Zgled 7: Medvrstniška povratna informacija .................................................................................................................................... 42 Zgled 8: Navodilo za podajanje medvrstniške povratne informacije ................................................................................................ 42 Zgled 9: Skupinsko podajanje povratne informacije ........................................................................................................................ 43 5 1 Predgovor (dr. Andreja Klančar) Priročnik za učitelje »Ugotavljanje matematičnega znanja« zajema obravnavo različnih dokazov o učenju pri pouku matematike, s katerimi se odmakne od klasičnih oblik izkazovanja in vrednotenja znanja (med le-te uvrščamo predvsem pisne preizkuse znanja ter ustno spraševanje). V priročniku so podrobneje predstavljeni naslednji dokazi o učenju: preiskovalne naloge, pisna besedila, govorni nastopi, vizualne predstavitve, didaktične igre in izdelki. Avtorice izhajajo iz izzivov iz prakse in predlagajo teoretsko utemeljene rešitve, ki so bile v sodelovanju z učitelji razvojniki preizkušene tudi v praksi. Uvodno poglavje je namenjeno splošni predstavitvi manj uveljavljenih oblik za ugotavljanje, izkazovanje in vrednotenje matematičnega znanja ter utemeljitvi (upo)rabe le-teh, pri čemer izhajajo avtorice iz učnega načrta in iz katalogov znanja. V poglavjih, ki sledijo, avtorice predstavijo vsako posamezno obliko ugotavljanja matematičnega znanja posebej. V uvodu vsakega poglavja jo najprej teoretsko utemeljijo, v nadaljevanju pa podkrepijo s konkretnimi primeri iz prakse, ki so jih prispevali učitelji razvojniki. V gradivu so natančno opisani scenariji izvedbe učnih ur, nameni učenja, oblikovani so kriteriji uspešnosti in dodane so priloge – vsa potrebna podporna gradiva za uspešno izvedbo dejavnosti. Predstavljene dejavnosti spodbujajo uporabo konkretnih didaktičnih pripomočkov in sodobnih tehnologij ter s tem omogočajo razvijanje digitalnih kompetenc pri učencih. Poleg opisa vsebujejo tudi povezavo z učnim načrtom (cilji, standardi znanja). Predstavitve izvedb dejavnosti so podkrepljene s posnetki izdelkov, govornih nastopov ter drugih gradiv, ki so jih izdelali učenci. Gre za dragoceno zakladnico idej, s katero si lahko učitelj pomaga tako pri izbiri dejavnosti in njeni izvedbi kot tudi pri pripravi gradiv za izbrane dejavnosti. Pomembno dopolnitev priročnika predstavljajo tudi povezave do gradiv in posnetkov. Priročnik predstavlja pomemben prispevek na področju didaktike matematike, predvsem pri razvoju novih, drugačnih didaktičnih pristopov in procesov v vzgojno-izobraževalni praksi. Priročnik je pregleden in podaja učiteljem matematike jasne smernice za uporabo različnih oblik izkazovanja in vrednotenja znanja učencev. S tem nudi učitelju dobrodošlo podporo tako pri poučevanju kot pri ugotavljanju matematičnega znanja učencev v razredu in na daljavo. Skrbno premišljena sestava priročnika spodbudi učitelja tudi k razmišljanju o lastni poučevalni praksi ter o smislu in bistvu poučevanja za delo in življenje v 21. stoletju. 6 2 K manj uveljavljenim oblikam matematičnega znanja (mag. Mojca Suban, Jerneja Bone) Učitelji matematike se pogosto sprašujejo, kako bi ugotovili, koliko matematike znajo njihovi učenci. V praksi zelo pogosto srečamo različne pisne naloge, s katerimi učitelji ugotavljajo raven usvojenega znanja, ali pa učenci ustno odgovarjajo in na ta način pokažejo, koliko znajo. Iz rešenih nalog in ustnih odgovorov učencev lahko učitelj dobi vpogled v to, kako so učenci razumeli obravnavan matematični pojem in v skladu z ugotovitvami načrtuje nadaljnje korake pri svojem poučevanju. Raznolikost nalog z vidika tipov in taksonomskih ravni težavnosti lahko v veliki meri pripomore k dvigu kakovosti vpogleda v znanje učenca, vendar zgolj skozi pisno nalogo iz določene matematične vsebine učenec ne more v celoti izkazati svojega znanja, ki ga predpisujejo učni načrti in katalogi znanja. Prav tako je ustno spraševanje ena od možnosti, ki prispeva k večji raznolikosti oblik izkazovanja znanja, pri čemer je posebno pozornost treba nameniti strategiji spraševanja in tipom vprašanj. Širjenje nabora oblik za ugotavljanje matematičnega znanja omogoča različnim skupinam učencem, da lažje pokažejo, koliko znajo, saj izkazovanje znanja skozi pisno nalogo ni nujno močno področje pri vseh učencih. K izražanju v matematičnem jeziku ustno, pisno in v drugih izraznih oblikah vabi tudi učni načrt za matematiko v osnovni šoli in gimnaziji. Pri ugotavljanju znanja naj zato učitelj izbere obliko, s katero skuša celovito zaobjeti cilje in standarde, vezane na določeno vsebino, ali pa kombinira več različnih oblik. Z vprašanji, kako omogočiti učencem, da na raznolike načine izkažejo svoje znanje, so se ukvarjali učitelji v razvojni nalogi Uvajanje formativnega spremljanja in inkluzivne paradigme (2018—2020). Naloga je predstavljala smiselno nadaljevanje in nadgradnjo razvojne naloge Formativno spremljanje (2015—2018), kjer je bil osrednji namen razvijanje strategij formativnega spremljanja in njihovo uvajanje v šolsko prakso. V sklopu prve razvojne naloge smo z učitelji pripravili priročnik Formativno spremljanje pri matematiki — priročnik za učitelje (Slika 1). V pričujoči publikaciji pa predstavljamo nadaljnje izsledke in izkušnje na področju formativnega spremljanja pri matematiki s poudarkom na različnih oblikah izkazovanja in ugotavljanja matematičnega znanja. Slika 1: Naslovnica priročnika za učitelje Formativno spremljanje pri matematiki 7 Navedene oblike se lahko uporabi kot samostojen dokaz o učenju ali pa se jih med seboj smiselno povezuje, npr. govorni nastop in vizualne predstavitve, govorni nastop in izdelek itn. V nadaljevanju bomo predstavili različne možnosti, ki so jih učitelji testirali in razvijali v svoji praksi v obdobju dveh let. Ob tem bi radi poudarili, da so v veliki večini primerov učencem navedeni dokazi o učenju predstavljali odmik od običajnih oblik ugotavljanja znanja, ki so jih bili vajeni pri pouku matematike. Proces uvajanja in preizkušanja teh oblik je bil zato dolgotrajen, pri čemer je predstavljal izziv tako učiteljem kot učencem. Dovolj časa je bilo potrebno nameniti temu, da so se učenci z novo obliko dobro seznanili, jo razumeli in temeljito preizkusili. Skupaj so razmišljali o kriterijih uspešnosti, jih razvijali in dopolnjevali. V publikaciji objavljamo primere kriterijev uspešnosti za posamezne oblike in dodajamo, da jih lahko učitelji uporabijo v taki obliki ali pa jih modificirajo glede na potrebe in poudarke svojega pouka. Primere učiteljev predstavljamo v obliki priprav na pouk in dokazov o učenju, ki so nastali v procesu uvajanja in preizkušanja različnih oblik ugotavljanja matematičnega znanja. Nekatere priprave na pouk zato obsegajo več ur oz. navajajo število ur, pri katerih se je določena oblika razvijala. To velja predvsem za tiste primere, kjer se je določena oblika pojavila le v delu šolske ure in so jo razvijali skozi daljše časovno obdobje. Po dvoletnem preizkušanju drugačnih oblik ugotavljanja matematičnega znanja so učitelji poročali, da so se uspeli bolj približati različnim sposobnostim, afinitetam in potrebam različnih skupin učencev in so zato ti lahko bolj učinkovito izkazali, koliko matematike znajo. Po širšem vpogledu v razumevanje matematičnih pojmov so učitelji še bolj učinkovito načrtovali nadaljnje korake in dejavnosti pri pouku. Opogumljeni z dosežki in ugotovitvami dosedanjega dela bodo učitelji v svoji praksi še naprej preizkušali drugačne oblike ugotavljanja matematičnega znanja in bogatili svojo pedagoško prakso. Učni načrti in katalogi znanja za matematiko podpirajo druge oblike izkazovanja in vrednotenja matematičnega znanja Učenci lahko svoje matematično znanje izkažejo na različne načine. Najbolj uveljavljena načina izkazovanja in vrednotenja znanja sta pisni preizkus in ustno ocenjevanje znanja. Učenci lahko svoje matematično znanje izkažejo tudi z reševanjem preiskovalnih nalog, pisnimi besedili z matematično vsebino, govornimi nastopi, vizualnimi predstavitvami (filmi …), izdelavo didaktičnih iger in izdelkov. Vse našteto bomo v nadaljevanju poimenovali kot druge oblike izkazovanja matematičnega znanja. Kako učni načrti in katalogi znanj podpirajo druge oblike izkazovanja znanja? Kje v učnih načrtih in katalogih znanj za matematiko najdemo oporo? V nadaljevanju odgovorimo na ta vprašanja. Dobesedni zapisi iz učnih načrtov so napisani v ležeči pisavi. 8 V učnem načrtu za gimnazijo je posebej izpostavljena še skrb za razvijanje strokovne terminologije. 9 V učnem načrtu za osnovno šolo so nekateri standardi triletja povezani z drugimi oblikami izkazovanja znanja, predvsem s poudarkom na uporabi matematične terminologije in matematičnega jezika. Pri oblikovanju kriterijev uspešnosti smo izhajali iz njihovih zapisov. V nadaljevanju izpostavljamo nekatere standarde 2. in 3. triletja. Učni načrt za matematiko v osnovni šoli podpira razvoj procesnih znanj pri učenju in poučevanju. Pri uporabi drugih oblik izkazovanja in vrednotenja znanja razvoj procesnih znanj pride še posebej do izraza. V nadaljevanju izpostavljamo procesna znanja v povezavi z drugimi oblikami izkazovanja in vrednotenja znanja. Načrtovanje dela ter strategija izboljševanja rešitve oz. postopka sta pomembni pri vseh drugih oblikah ugotavljanja znanja. Predvidevanje, preverjanje in spreminjanje podatkov naloge se posebej izraža pri zasnovi didaktične igre, izbira ustreznega orodja/tehnologije se izkaže kot pomembna pri vizualnih predstavitvah. Pri pisni predstavitvi obravnave matematičnega problema učitelj predlaga, da s kombiniranjem različnih (grafičnih in pisnih) oblik učenci 10 predstavijo svojo obravnavo matematičnega problema. Posebno pozornost namenjamo tudi kritičnemu odnosu do rešitev in kritičnemu odnosu do interpretacije rezultatov. 11 3 Preiskovalne naloge Preiskovalne naloge pri matematiki (mag. Mojca Suban) V matematiki se kot prevod termina Inquiry Based Learning (IBL) uveljavlja učenje s preiskovanjem (Suban M. , 2017). Magajna in Žakelj (Magajna Z. Ž., 2000) v kontekstu obdelave podatkov navajata, da s preiskovanjem označujemo osnovnošolsko obravnavo problemskih situacij z nejasnimi cilji. Postopoma je učenje s preiskovanjem preseglo omejitev na določeno matematično vsebino ali nivo izobraževanja ter se uporablja kot pristop k učenju in poučevanju matematike s poudarjeno aktivno vlogo učenca. Preiskovalni pristop je našel pot tudi v učne načrte in kataloge znanj, kjer se pojavi na ravni didaktičnih priporočil kot priporočeni način obravnave posameznih matematičnih vsebin. Navajamo zapis iz učnega načrta v osnovni šoli: branje z razumevanjem, samostojno oblikovanje vprašanj in ciljev raziskovanja, izpisovanje bistvenih trditev in podatkov, razprave o potrebnih in zadostnih podatkih v nalogi, prevajanje besedilnih nalog v različne sheme (enačbe, diagrame, formule, algebrske izraze, geometrijske konstrukcije itd.) ter podobni preiskovalni pristopi omogočajo učencem uspešnejše reševanje besedilnih nalog. Poleg tega, da je preiskovanje prisotno v didaktičnih priporočilih, ga v obliki dokaza o učenju najdemo tudi med operativnimi cilji, npr. v učnem načrtu je med cilji v 3. vzgojno-izobraževalnem obdobju navedeno, da učenci izdelajo empirično preiskavo. Preiskovanje se prične z odprtim problemom ali vprašanjem, v nadaljevanju procesa pa učenec lahko oblikuje dodatna vprašanja (za razjasnitev izhodiščne situacije ali za določanje cilja), opazuje, prepoznava vzorce, rešuje problem, modelira, matematizira, išče vire in ideje, raziskuje, analizira odnose med spremenljivkami, eksperimentira, postavlja domneve, preizkuša domene, razlaga in utemeljuje svoje ugotovitve, predstavlja svojo preiskovalno pot in sporoča dokončne ugotovitve (Slika 2). Slika 2: Dejavnosti učenca v procesu preiskovanja 12 Preiskovanje lahko pri pouku matematike poteka v različnih oblikah in v različnih časovnih obsegih: kot krajša nekajminutna dejavnost do daljše (lahko skozi daljše časovno obdobje) dejavnosti, ki se lahko zaključi z oblikovanjem izdelka v obliki matematične ali empirične preiskave. Z vidika odprtosti procesa preiskovanja oziroma količine navodil, ki jih učenci dobijo za svoje delo, ločimo več možnosti. Učitelj prilagodi stopnjo odprtosti za različne skupine učencev na način, da ohrani didaktični potencial naloge in motivacijo učencev (Slika 3). Slika 3: Stopnja odprtosti preiskovalnega procesa V razvojni nalogi so učitelji z učenci preizkušali različne preiskovalne naloge in poročali o svojih izkušnjah. Poročali so, da so bili nekateri učenci ob prvem srečanju s preiskovalnimi nalogami precej zmedeni in negotovi. Niso vedeli, kaj se od njih pričakuje in kaj morajo izračunati. Zastavljali so vprašanja, kot npr. kaj moram narediti, kaj naj napišem, kaj naj izračunam, kaj je rezultat. Ko so pristop s preiskovanjem pri pouku večkrat uporabili, so postopoma prepoznali njegov namen in učitelji so ugotavljali, da so se nekateri učenci izkazali nad pričakovanji. Pri podpiranju učencev pri preiskovanju je pomembno, da učitelj s premišljenimi vprašanji usmerja miselne procese učenca, pri tem pa mu ne razkrije strategije reševanja ali rešitve. Učitelju in učencu so lahko v pomoč nekatera vprašanja v nadaljevanju. Vprašanja so lahko na plakatu pripeta na vidno mesto v učilnici in jih učenec uporabi, ko pri preiskovanju obtiči ali zaide (Slika 4). Scenariji izvedbe učne ure, pri kateri učenci izvajajo preiskovalne dejavnosti, so lahko precej različni. Razlikujejo se lahko v deležu časa, ki je znotraj učne ure namenjen preiskovanju, obliki dela (individualno, v paru, skupinsko), stopnji odprtosti problema in s tem povezane podporne vloge učitelja, namenu in ciljih preiskovalnih dejavnosti (npr. obravnavanje procesnih ciljev skozi preiskovalne dejavnosti, ugotavljanje matematičnih zakonitosti, pravil, formul, uvod v novo vsebino …). 13 Slika 4: Vprašanja v podporo procesu preiskovanja 14 Slika 5: Možni koraki za izvedbo preiskovanja pri pouku matematike 15 V primeru, ko se raziskovalnim dejavnostim posveti (vsaj) ena učna ura v celoti, proces preiskovanja lahko v razredu teče po korakih, ki jih prikazuje Slika 5. Koraki so sestavljeni iz uvodnega seznanjanja s problemom in razjasnjevanja konteksta, iz samostojnega preiskovanja v paru ali skupini, predstavitev rešitev parov ali skupin ter iz povzetka ugotovitev v formalni obliki. Slednje opravi učitelj, pri čemer obvezno izhaja iz ugotovitev, ki so jih predstavile posamezne skupine. Znanje v institucionalizirani obliki učitelj navadno zapiše na tablo, učenci pa zapišejo v svoje zapiske. Koraki so povzeti iz projekta MERIA, kjer je bilo teoretično izhodišče Teorija didaktičnih situacij (Winsløw, 2017). Ko so se učenci navadili na način dela s preiskovanjem, so lahko pričeli z vrednotenjem kakovosti svojega preiskovalnega procesa in izdelka, ki je ob tem nastal. V ta namen je v razvojni skupini nastal predlog splošnih kriterijev za vrednotenje preiskovalnih nalog z opisniki na treh ravneh (Preglednica 1). Splošni kriteriji se lahko prilagodijo ali razširijo glede na vsebinska in procesna znanja, ki jih pri preiskovanju razvijamo, in glede na obseg preiskovanja. Preglednica 1: Splošni kriteriji za vrednotenje preiskovalnih nalog z opisniki na treh ravneh znanja Kriterij Opisnik za minimalni dosežek Opisnik za optimalni dosežek Učenec razume problem; zapiše nekaj primerov (lahko s pomočjo Učenec razume problem; Učenec razume problem; Razumevanje učitelja), lahko so prisotne zapiše nekaj primerov (s zapiše nekaj primerov, iz problema napake (računske, napake v pomočjo/z namigom). katerih razvije strategijo. zapisu …). Učenec izbere in uporabi Učenec izbere ali uporabi strategijo, ki je napačna ali strategijo, ki je pravilna, Učenec izbere in uporabi pravilna le za nekaj primerov. vendar uporabljena napačno pravilno strategijo. Strategija reševanja Sistematičnost je vidna le v ali pa je strategija manj Sistematično (na različne posameznih primerih, ob oporah primerna za dani primer. učitelja. Lahko so prisotne Sistematičnost je vidna v načine) razišče različne primere napake (računske, napake v večini primerov (lahko s glede na določene kriterije. zapisu …). pomočjo učitelja). Pri reševanju učenec opazi Zapisane ugotovitve so neke zakonitosti, pravila, jasne in pravilne. Nekatere Vse pričakovane ugotovitve so Zapis ugotovitev vzorce, posplošitve pričakovane ugotovitve so jasno zapisane in so pravilne. ubesedi in zapiše delne ugotovitve. izpuščene. V nadaljevanju navajamo primere priprav na pouk učiteljev, v katerih so uporabili pristop s preiskovanjem. Primeri iz prakse (Loreta Hebar, Urška Rihtaršič) Učitelji v razvojni nalogi so pri svojem pouku uvajali in preizkušali pristop s preiskovanjem v različnih razredih. V poglavju o govornem nastopu pri matematiki predstavljamo primer preiskovanja in govornega nastopa. 16 3.2.1 Preiskovalna naloga o množenju z decimalnimi števili v 6. razredu (Loreta Hebar) Učiteljica: Loreta Hebar Šola: OŠ Jarenina Predmet: matematika Razred: 6. UČNI/TEMATSKI SKLOP: Računske operacije in njihove lastnosti/Množenje z decimalnimi števili Število ur: 2 UČNI NAČRT OBLIKOVANO/NAČRTOVANO SKUPAJ Z UČENCI Učni cilji: Nameni učenja: Učne dejavnosti, metode: Učenčevi izdelki oz. dokazi, ki izhajajo iz pogovorov ali opazovanj pri pouku: Učenci/učenke:  množim decimalno število s številom Aktivacija predznanja:  decimalna števila množijo in delijo s 10, s 100, s 1000 …; Učenci/učenke samovrednotijo svoje  izpolnjeni vstopni lističi s semaforjem potenco števila 10;  delim decimalno število z 10, s 100, s dosedanje znanje množenja naravnega števila (Priloga 2)  množijo dve decimalni števili. 1000 …; s potencami števila 10 z metodo semaforja na  vem, koliko decimalk ima zmnožek vstopnem lističu in predvidijo temo. dveh decimalnih števil;  množim dve decimalni števili. Učenci/učenke:  aktivno raziskujejo v parih s pomočjo prve  izpolnjeni učni listi (Prilogi 4 in 5) strani učnega lista, beležijo rezultate, Standardi znanja/učni dosežki: Kriteriji uspešnosti: opazujejo vzorec in ubesedijo pravilo, kako množimo in delimo decimalno število s Učenec/učenka: Priloga 1 potenco št. 10 (pri tem uporabljajo žepno  zanesljivo uporablja računske operacije s računalo); števili v decimalnem zapisu;  razvija natančnost in spretnost pri  preberejo svoje ugotovitve, si dopolnijo računanju; besedilo, če je potrebno, in preverijo svoje  napove rezultate računskih operacij; razumevanje z danimi nalogami na učnem  uporablja žepno računalo; listu;  pozna in uporablja matematično terminologijo.  nadaljujejo delo in aktivno raziskujejo, beležijo rezultate, opazujejo vzorec in ubesedijo pravilo, kako množimo decimalno število z naravnim številom in še z decimalnim številom; 17  preberejo svoje ugotovitve, si dopolnijo besedilo, če je potrebno, in preverijo svoje razumevanje z danimi nalogami na učnem listu;  po dejavnostih sooblikujemo namene  nameni učenja in kriteriji uspešnosti, ki učenja in kriterije uspešnosti; jih zapišem v tabelo in jo nato natisnem učencem (Priloga 1)  zapišejo povzetek teme – množenje  zapisan povzetek pravil z decimalnega števila s potencami števila množenje in njihovih ugotovitev 10 in z decimalnim številom; v zvezku  sestavijo nalogo ali jo poiščejo v literaturi  zapisana in popravljena naloga za svojega sošolca oz. svojo sošolko, s povratno informacijo sošolcu nato nalogo pregledajo in zapišejo povratno informacijo (tako izkažejo svoje znanje);  učenci/učenke, ki še niso usvojili/e pravil,  rešena naloga naloge rešujejo v paru in se pri reševanju posvetujejo s sošolci/sošolkami, primerjajo rezultate in si tako pregledajo naloge;  z izstopnim lističem 3-2-1 mi dajo  izpolnjen izstopni listič 3-2-1 (Priloga povratno informacijo o razumevanju 3) današnje teme. 18 Priloga 1: Nameni učenja in kriteriji uspešnosti Decimalna števila: množenje Nameni učenja 👍 Uspešen/a sem, ko vem, da: ☝ 👎 Množim decimalno število:  s številom 10,  v rezultatu decimalno vejico premaknem za eno mesto v desno;  s 100,  v rezultatu decimalno vejico premaknem za dve mesti v desno;  s 1000.  v rezultatu decimalno vejico premaknem za tri mesta v desno; Delim decimalno število:  z 10,  v rezultatu decimalno vejico premaknem za eno mesto v levo;  s 100,  v rezultatu decimalno vejico premaknem za dve mesti v levo;  s 1000.  v rezultatu decimalno vejico premaknem za tri mesta v levo; Vem, koliko decimalk ima zmnožek dveh decimalnih  mora imeti rezultat toliko decimalk, kot jih imata oba faktorja skupaj; števil.  Množim dve decimalni števili. množim tako kot naravna števila in na koncu v rezultat vstavim decimalno vejico tako, da ima rezultat toliko decimalk, kot jih imata oba faktorja skupaj. 19 Priloga 2: Vstopni listič Kako dobro znam množiti naravna števila s potencami števila 10 na pamet? Množenje s Dobro Nekaj Še ne že Zapiši vsaj dva primera in zapiši pravilo z besedo. potencami števila 10 znam. znam. znam. Množenje z 10 Množenje s 100 Množenje z 10 000 Priloga 3: Izstopni listič 3 Stvari, ki sem se jih naučil/a: Stvari, ki sta se mi zdeli zanimivi: 2 Vprašanje, ki ga še vedno imam: 1 20 Priloga 4: Učni list Množenje z decimalnimi števili Izračunaj z žepnim računalom. Opazuj rezultate in zapiši ugotovitve. 1. Množenje decimalnih števil z 10, s 100, s 1000 ... 382,341 · 10 = 382,341 · 100 = 382,341 · 1000 = 382,341 · 10000 = 2. Deljenje decimalnih števil z 10, s 100, s 1000 ... 382,341 : 10 = 382,341 : 100 = 382,341 : 1000 = 382,341 : 10000 = Ali znam? Reši brez žepnega računala. 21 3. Množenje decimalnih števil z naravnim številom 1823,4 · 3 = 182,34 · 3 = 18,234 · 3 = 1,8234 · 3 = Koliko decimalk ima prvi faktor in koliko produkt? 4. Množenje decimalnega števila z decimalnim številom 1823,4 · 3 = 1823,4 · 0,3 = 1823,4 · 0,03 = 182,34 · 0,03 = Koliko decimalk ima prvi faktor, koliko drugi faktor in koliko produkt? Beleži v tabeli: Število decimalk 1. faktorja Število decimalk 2. faktorja Število decimalk produkta Kaj ugotoviš? ________________________________________________________ 22 Priloga 5: Izdelek učenca 23 24 3.2.2 Preiskovalna naloga v podporo razvoju procesnih znanj v 2. letniku gimnazijskega programa (Urška Rihtaršič) Učiteljica: Urška Rihtaršič Šola: Gimnazija Bežigrad Predmet: matematika Letnik: 2. Svetovalka: mag. Mojca Suban UČNI/TEMATSKI SKLOP: Preiskovanje v podporo razvoju procesnih znanj Število ur: 3 UČNI NAČRT OBLIKOVANO/NAČRTOVANO SKUPAJ Z UČENCI Učni cilji: Nameni učenja: Učne dejavnosti, metode: Učenčevi izdelki oz. dokazi, ki izhajajo iz  dijake vpeljati v preiskovanje; Učim se preiskovanja s poskusi in pogovorov ali opazovanj pri pouku:  jim pomagati, da razvijejo učinkovite napakami ter na podlagi povratne 1. Seznanitev dijakov z njihovo nalogo strategije za prepoznavanje in informacije s strani učitelja in sošolcev opisovanje vzorcev; kasneje svoje pristope izboljšam in Navodilo: Razišči, na koliko delov lahko  izdelki dijakov (Priloga 1)  pri dijakih spodbujati in razvijati izpopolnim. razdelimo krog s premicami, ki dvakrat sekajo sposobnost prehajanja od konkretnega krožnico. k splošnemu (posploševanje na podlagi vzorcev, ki jih opazijo na konkretnih Dijaki se prvič srečajo z nalogo takega tipa. primerih). Pred tem se ne pogovarjamo o kriterijih uspešnosti niti o tem, kako se takih nalog lotiti Standardi znanja/učni dosežki: Kriteriji uspešnosti: - vsak se je loti, kakor najbolje ve in zna. Dijak: Dijak: 2. Samostojno preiskovanje  učinkovito pristopi k preiskovalni nalogi;  razume problem (svoje razumevanje  preiskovanja se loti sistematično; pokaže z nekaj konkretnimi primeri); Dijaki imajo eno šolsko uro časa, da  svoje ugotovitve zapiše jasno,  izbere in uporabi pravilno strategijo, ki preiskovalno nalogo dokončajo. razumljivo in matematično pravilno. vodi do rezultata;  sistematično razišče različne primere; 3. Medsebojno deljenje izkušenj, refleksija  pričakovane ugotovitve zapiše jasno, razumljivo in pravilno; Naslednja šolska ura je namenjena pogovoru  ugotovitve, do katerih je prišel iz o dani nalogi. Po skupinah se dijaki konkretnih primerov, posploši. pogovarjajo o tem, kaj jim je povzročalo največje težave, ter iščejo rešitve in načine,  nabor različnih načinov reševanja kako se take naloge lotiti čim bolj učinkovito. Svoj način reševanja delijo z drugimi tudi tisti dijaki, ki nalogo opravijo dobro (že v začetku 25 pridejo do nekih ugotovitev, zaključkov, posplošitev). Skupaj na tablo napišemo pravila, korake, po  pravila in koraki, po katerih je smiselno katerih je smiselno pristopiti k preiskovalni pristopiti k preiskovalni nalogi nalogi:  naloge se poskusi lotiti čim bolj sistematično;  začni z majhnimi števili in potem postopoma nadaljuj z večjimi;  poišči in preglej vse različne možnosti;  bodi pozoren na vzorce, ki jih opaziš;  ves čas razmišljaj in poskusi ugotoviti, zakaj je tako;  svoje ugotovitve zapiši jasno, razumljivo in matematično pravilno. Vsak dijak dobi povratno informacijo o svojem  izdelku tudi s strani učitelja. Njegov izdelek je povratne informacije o izdelkih s strani učitelja glede na kriterije uspešnosti ovrednoten glede na kriterije, ki smo jih učitelji oblikovali na skupnih srečanjih. 4. Oblikovanje kriterijev uspešnosti Kriterijev uspešnosti tokrat ne oblikujemo skupaj z dijaki, ampak jih seznanim s tistimi, ki smo jih že prej oblikovali učitelji. 26 Priloga 1: Izdelka dijakov 2. letnika 27 28 Nabor nalog za preiskovanje pri matematiki (mag. Mojca Suban) V nadaljevanju navajamo nekatere primere preiskovalnih nalog, ki jih lahko učitelj uporabi po lastni presoji glede na razred, v katerega bo nalogo smiselno vključil, namena, ki ga želi z uporabo naloge doseči, ter ciljev in standardov, ki jih skozi nalogo dosegajo učenci. Nekatere naloge obravnavajo matematični kontekst, nekatere pa so iz konteksta vsakdanjega življenja. Razlikujejo se tudi po obsežnosti in vključujejo primere, ki jih lahko učenci rešijo v krajšem času, in primere, ki zahtevajo bolj poglobljeno obravnavo, v katero je lahko zajeto tudi pridobivanje relevantnih podatkov in jih lahko učenci na koncu oblikujejo v bolj formalni zapis kot matematično ali empirično preiskavo. Opozorili bi še, da se lahko nekatere naloge uporabijo v različnih razredih, pri čemer pri pričakovanih ugotovitvah učencev in stopnji formalnosti zapisov učitelj upošteva starost učencev in njihovo znanje matematike. Pozornost je treba nameniti tudi morebitnim pastem preiskovanja, kot so: rutinsko ugotavljanje pravil, pretirana usmerjenost na manj pomembne nematematične vidike problema in neprepoznavanje povezanosti preiskovanja z obravnavanimi matematičnimi vsebinami. 1. Razišči, koliko kvadratov se nahaja v šahovnici. (Primer reševanja učencev je prikazan na Sliki 6 in Sliki 7.) Slika 6: Primer izdelka učenke 8. razreda OŠ Leskovec pri Krškem (Mentorica: Tatjana Kerin) 29 Slika 7: Primer izdelka učenke 8. razreda OŠ Leskovec pri Krškem (Mentorica: Tatjana Kerin) 2. Razišči, koliko pravokotnikov se nahaja v šahovnici. 3. Razišči, na koliko delov lahko razdelimo krog s premicami, ki dvakrat sekajo krožnico. 4. Razišči, koliko skupnih točk lahko ima premica s stranicami 7-kotnika. 5. Razišči, koliko skupnih točk lahko imajo stranice dveh 6-kotnikov. 6. Razišči, s katerimi števkami se končujejo kvadrati števil. 7. Razišči, s katerimi števkami se končujejo kubi števil. 8. Razišči, kaj se dogaja na naslednji sliki, ko točka M potuje po diagonali danega pravokotnika. Kaj bi lahko raziskoval? Zapiši nekaj svojih predlogov. Izberi si eno od možnosti in jo razišči. 30 9. Najdi podatek, kaj je to palindromsko število. Nato razišči, kako pogosta so palindromska števila. Svoje ugotovitve prikaži na čim bolj jasen in zanimiv način. 10. Razišči palindromska praštevila. Razišči, katero je najmanjše trimestno praštevilo. Katero je najmanjše (največje) štirimestno praštevilo? 11. Obravnavaj enakokrake trapeze s ploščino 24 cm2. 12. Razišči količnike, ki nastanejo pri deljenju števila 1 z naravnim številom. (Calder, 2011) 13. Razišči like, ki nastanejo kot presečišče dveh (enakostraničnih) trikotnikov. 14. Na geoplošči razišči pravokotnike s ploščino 6 kvadratnih enot in ugotovi, kolikšen je njihov obseg. 15. Kvadrat lahko razdelimo na manjše kvadrate. Razišči, na koliko manjših kvadratov ga lahko razdelimo. Če obstaja več rešitev, zapiši vse. Ali obstaja tako število n, da je razdelitev kvadrata na n manjših kvadratov nemogoča? Zapiši vse rešitve. (Fisch, 2018) 16. Kateri jogurti so bolj zdravi: sadni ali navadni jogurti? Utemelji svoj odgovor. 17. Za kakšen namen tvoji sošolci največ uporabljajo mobitel (razgovor, SMS, brskanje po internetu …)? 18. Kako vplivajo temperature zraka na obisk lokalnega kopališča? 19. Katera imena so najbolj priljubljena v tvojem razredu, na tvoji šoli, v državi? Pomagaj si z virom na spletni strani Statističnega urada RS http://www.stat.si/imena.asp. 20. Nejc je opazil plakat, ki vabi na otroško igrišče na menjavo sličic. Ker je vedel, da njegova mlajša sestra zbira sličice, si je plakat pozorno ogledal. Ugotovil je, da bo menjava potekala čez tri ure. S telefonom je fotografiral del plakata, kjer sta zapisani pravili menjave. Ko je prišel domov, je fotografijo pokazal Petri, ki se je odločila, da bo šla na otroško igrišče. Nejcu je povedala, da ima 30 živalskih sličic za menjavo na stojnici. Katere sličice ima lahko Petra po menjavi? Razišči vse možnosti. (Nalogo je po TIMSS 2011 (Japelj Pavešić, 2012) priredila mag. Valentina Herbaj. Primer reševanja učenca je prikazan na sliki 8.) 31 Slika 8: Primer izdelka učenca 7. razreda OŠ Sladki Vrh (Mentorica: Lidija Jug). Učenec s sistematičnim zapisovanjem razišče možnosti za menjavo sličic. 32 21. Razišči lastnosti družine funkcij {𝑓𝑎(x) = ax − 2a + 1; aϵℝ}. Če si uporabil tehnologijo, napiši, kje in kako. (Avtorica naloge je Mojca Plut. Primera izdelkov dijakov sta na Sliki 9 in Sliki 10.) Slika 9: Primer izdelka dijakinje Ekonomske šole Novo mesto (Mentorica: Mojca Plut) Slika 10: Primer izdelka dijaka Ekonomske šole Novo mesto (Mentorica: Mojca Plut) 33 4 Tvorjenje pisnih besedil Pisanje kot ena izmed štirih sporazumevalnih zmožnosti (Jerneja Bone) Pri vseh predmetih spodbujamo razvijanje vseh štirih sporazumevalnih zmožnosti: poslušanje, govorjenje, branje in pisanje (Slika 11). Te spretnosti učenec pridobiva le, če so mu ponujene dejavnosti, pri katerih jih lahko sistematično razvija. Slika 11: Povezanost vseh štirih sporazumevalnih zmožnosti Tvorjenje pisnih besedil pri matematiki vključuje smiselno kombinacijo uporabe besedila, simbolov (oznak) in slikovnih reprezentacij (slik, fotografij). Učence navajamo k postopnemu zapisovanju, od krajših do daljših besedil, od preprostejših do kompleksnejših zapisov. Učitelji v razvojni nalogi ugotavljajo, da je pisno izražanje oz. tvorjenje pisnih besedil za učence (in tudi za učitelje) mnogo težje kot ustno sporočanje (govorjenje). 34 Omenimo še razliko med zapisovanjem in tvorjenjem besedila. Pišemo oz. zapisujemo tudi takrat, ko prepisujemo ali pišemo po nareku. O samostojnem tvorjenju pisnih besedil govorimo takrat, ko ustvarimo in zapišemo novo (daljše) besedilo. Tvorjenje in zapis besedil je eno od mnogih procesnih znanj, ki jih razvijamo pri vseh predmetih. Procesna znanja po Marzanu posredno vključujejo pisanje besedil. V nadaljevanju izpostavimo nekatera po Marzanu zapisana (Rutar, 2004) procesna znanja in jih povežemo s tvorjenjem pisnih besedil pri matematiki. Med procesi kompleksnega mišljenja Marzano navaja: opazovanje, primerjanje, razvrščanje, abstrahiranje, sklepanje — dokazovanje z indukcijo in dedukcijo, sklepanje po analogiji, utemeljevanje, posploševanje, analiziranje perspektiv, odločanje, preiskovanje, reševanje problemov, eksperimentalno raziskovanje, analiza napak ... Z opisovanjem procesov kompleksnega mišljenja razvija učenec ob primerno izbranih dejavnostih oz. nalogah veščino tvorjenja matematičnega besedila, v katerem razloži oz. opiše posamezne postopke in uporabi matematični jezik. K delu z viri Marzano uvršča: zbiranje, analiziranje, interpretiranje, povzemanje, presojanje uporabnosti in vrednosti podatkov … Zapis interpretacije in povzetka (sinteze) kompleksnejših preiskovalnih nalog ali empiričnih preiskav je dejavnost, pri katerem učenci urijo spretnost tvorjenja in zapisa tovrstnih besedil. Predstavljanje idej je naslednja kategorija, ki jo Marzano izpostavlja in v katero umešča: jasnost izražanja, učinkovitost komuniciranja, ustvarjanje kakovostnih izdelkov. Vse našteto je zaobjeto v oblikovanju matematičnih zapisov, pri katerih poudarjamo jasnost izražanja ob korektni uporabi matematičnega jezika. Vse pripomore k učinkovitosti komuniciranja. Sodelovanje kot veščino, ki jo spodbujamo pri delu z učenci, je izpostavil tudi Marzano: prizadevanje za skupne cilje, uporaba medosebnih veščin, prevzemanje različnih vlog v skupini … Učenci v skupini oblikujejo zapise, se vrstniško vrednotijo in na podlagi prejetih medvrstniških povratnih informacij izboljšujejo svoje zapise ter se posledično urijo v tvorjenju kakovostnejših zapisov. Pisno sporočanje je posredno in neposredno omenjeno v učnih načrtih in katalogih znanja za matematiko. Izpostavimo omembo tvorjenja matematičnih besedil kot eno od veščin, ki jo razvijamo v okviru matematične kompetence. V 1. vzgojno izobraževalnem obdobju so v učnem načrtu zapisani cilji, ki nagovarjajo k ubeseditvi lastnosti in kriterijev, npr. » Odkrijejo in ubesedijo lastnost oziroma lastnosti, po katerih so bili predmeti, telesa, liki, števila razporejeni«, »Odkrivajo in ubesedijo kriterij, po katerem so bili elementi urejeni«, kar lahko učitelji nadgradijo z zapisom v 2. in 3. izobraževalnem obdobju, ko učenci že usvojijo tehniko pisanja. V 2. vzgojno izobraževalnem obdobju je zapisan cilj » Matematična pravila, obrazce, definicije ubesedijo in jih uporabijo pri reševanju problemov«, kar jasno nakazuje na ubesedenje, ki je tako ustno kot pisno. Kot ideja za tvorjenje matematičnega besedila je v učnem načrtu za osnovno šolo zapisano » Samostojno oblikujejo besedilno nalogo ali sestavljajo besedilni problem«. V učnih načrtih in katalogih znanja najdemo veliko ciljev, kjer so uporabljeni glagoli: utemelji, opiši, razloži, pojasni. Ustno sporočanje pri pouku matematike je pri uresničevanju tako zapisanih ciljev v ospredju, pisno sporočanje pa je zanemarjeno. Pri učiteljih želimo vzpodbuditi razvijanje tvorjenja pisnih besedil pri matematiki. Kriteriji uspešnosti za tvorjenje pisnih besedil Pri oblikovanju kriterijev uspešnosti smo izhajali iz zapisanih standardov triletja v učnem načrtu za matematiko za osnovno šolo. V ospredje smo postavili matematično znanje. Postavili smo štiri kriterije uspešnosti, ki so pokazatelj kakovosti besedila, in pri vsakem zapisali opisnik za najvišji oz. optimalni dosežek ter opisnik za nižji oz. minimalni dosežek. Pri zapisu smo izhajali iz predpostavke, da so to kriteriji za zapis daljšega besedila z matematično vsebino. Vsekakor pa se lahko opisnike ustrezno prilagodi za krajše zapise, kot so opisovanje, utemeljevanje, razlaganje, refleksijo in druge. Spodaj zapisani kriteriji (Preglednica 2) so v prvi vrsti namenjeni učitelju. Učitelj ob ustrezni strokovno vodeni diskusiji poskuša oblikovati kriterije uspešnosti skupaj z učenci. 35 Preglednica 2: Kriteriji uspešnosti za zapis pisnega besedila pri matematiki Kriterij Opisnik za minimalni dosežek Opisnik za optimalni dosežek Besedilo ustreza naslovu. Besedilo ustreza naslovu. V besedilu je vsebina nejasna in pomanjkljiva. (Vsebina besedila le na redkih mestih ustreza Vsebina je jasno posredovana. zapisom v navodilih: opisi postopkov so (Vsebina besedila popolnoma ustreza zapisom v Ustreznost pomanjkljivi, uporabljene strategije so navodilih: opisi postopkov, uporabljene strategije, vsebine in nepopolne, podatki so nepopolni …). podatki …). zgradbe Besedilo je niz podatkov in dejstev s Besedilo je zapisano v logičnem zaporedju. Poudarjeni besedila pomanjkljivimi logičnimi so medsebojni odnosi matematičnih pojmov in povezavami. Medsebojni odnosi matematičnih postopkov. pojmov in postopkov so pomanjkljivo predstavljeni ali niso zapisani. Matematične pojme učenec ustrezno uporablja pri Učenec tvori besedilo z matematičnimi in tvorjenju besedila z matematično vsebino. nematematičnimi pojmi. Učenec našteje in poimenuje le nekatere matematične pojme, simbole in formule ali pa Učenec smiselno/ustrezno uporablja in poimenuje Pravilnost so v zapisu nepravilnosti. matematične pojme, simbole in formule. matematične terminologije in simbolike Uporaba matematičnega jezika pri tvorjenju Pri tvorjenju besedila z matematično vsebino učenec besedila z matematično vsebino je uporablja matematični jezik. pomanjkljiva. Uporabnost — Učenec našteje že poznane primere (iz pouka, Učenec zapiše izvirne primere iz svojega primeri iz učbenika …) iz okolja/življenja, kjer nakaže okolja/življenja, kjer uporabi matematične pojme in življenja uporabo matematičnih postopkov. postopke ter opiše njihovo uporabo. Čeprav kriterij pravopisna pravilnost in jasnost zapisa (Preglednica 3) ne izhaja iz standardov znanja, zapisanih v učnem načrtu za matematiko, ga najdemo v učnem načrtu za slovenščino. Učitelji ga uporabljajo za spremljanje in dajanje povratnih informacij učencem. Preglednica 3: Dopolnitev kriterijev uspešnosti za zapis pisnega besedila pri matematiki Kriterij Opisnik za minimalni dosežek Opisnik za optimalni dosežek Pravopisna Slovnične in pravopisne napake bralcu Slovnične in pravopisne napake ne ovirajo razumevanja pravilnost in povzročajo težave pri razumevanju (in (in interpretacije) besedila. jasnost zapisa interpretaciji) besedila. Pisanje pri matematiki V procesu pouka matematike posvečamo tvorjenju pisnih besedil premalo pozornosti. Učence na zapise krajših besedil navajamo postopoma in nato nadaljujemo z zapisi kompleksnejših besedil. 36 Ključno vprašanje, ki si ga pri tem zastavimo, je: Kaj pridobi učenec s pisanjem v procesu učenja matematike? Tvorjenje pisnih besedil pomaga učencem bolj poglobljeno in jasneje razmišljati o matematiki, prispeva k poglobljenemu razumevanju matematičnih pojmov in konceptov in posledično nudi možnost odpravljanja napačnih predstav. Tvorjenje pisnih besedil močno podpira učenje, ker od učencev zahteva, da organizirajo svoje ideje, jih razjasnijo in razmislijo o njih. Drugo pomembno vprašanje, ki se pri tem zastavi, je, kaj pridobi učitelj. Zapisi učencev so neprecenljivo orodje, ki pomaga učitelju pri vrednotenju učenčevega napredka, učitelj lahko zazna vrzeli v znanju in razmišljanju, kar mu omogoča, da sistematično in načrtno pomaga pri odpravljanju nevralgičnih točk, ki jih zazna pri učencu. Učitelji se moramo zavedati, da tvorjenje pisnih besedil pri matematiki ni enako tvorjenju pisnih besedil pri slovenščini in drugih predmetih. Tvorjenje pisnih besedil zagotavlja učencu, da razmisli o svojem lastnem učenju in raziskuje, razširi in utrdi svoje mišljenje o vsebinah iz matematike, ki se jih uči. Predvsem pa pisanje največkrat ni namenjeno ustvarjanju izdelka, primernega za objavo. 37 Preglednica 4: Primer slovarja pri matematiki (vir: Študijsko srečanje za učitelje matematike, avgust 2020) Opis pojma Primer Številski izraz Algebrski izraz Spremenljivka Enačba (leva stran enačbe, desna stran enačbe) Neznanka Rešitev enačbe Osnovna množica/univerzalna množica Ekvivalentna enačba Identična enačba/identiteta Enačba brez rešitve 38 Naj zaključimo z mislijo, da omogoča vključevanje raznolikih dejavnosti tvorjenja pisnih besedil učitelju širši vpogled v matematične izkušnje učencev. Tvorjenje pisnih besedil z vidika formativnega spremljanja (Jerneja Bone) Učitelji v razvojni nalogi so povedali, da večina učencev nima izkušenj s tvorjenjem daljših pisnih besedil z matematično vsebino, zato je preverjanje (pred)znanja tako z vidika vsebine, ki jo bodo pisali, kot z vidika procesa tvorjenja pisnih besedil zelo pomembno. Učenci naj pomislijo, kako so se lotili tvorjenja pisnega besedila pri drugih predmetih. Ko z učenci ponovimo tvorjenje pisnega besedila pri matematiki, jih spomnimo na to, kaj vse so upoštevali pri tvorjenju, na kaj so bili pozorni (Zgled 1 in 2). Zgled 1: Preverjanje predznanja, ko učenci še nimajo izkušenj s tvorjenjem pisnega besedila pri matematiki 39 Zgled 2: Preverjanje predznanja, ko učenci že imajo izkušnjo s tvorjenjem pisnih besedil pri matematiki Pri pouku matematike učenci redko tvorijo krajša oz. daljša pisna besedila, zato je treba z njimi osmisliti namene učenja (Zgled 3) in se o njih pogovoriti. Ne zamudimo priložnosti, da jim osmislimo učenje procesnih znanj, skupaj z učenci spoznavajmo razliko med procesnimi in vsebinskimi znanji ter razjasnimo, da so v življenju in nadaljnjem šolanju pomembna tako ena kot druga znanja. Zgled 3: Nameni učenja za pisanje besedil z matematično vsebino Priporočamo, da skupaj z učenci oblikujete kriterije uspešnosti. Učitelji so ubrali različne pristope. 1. pristop: Uporaba vzorčnih besedil Učitelj pripravi dve pisni besedili, ki ju sam sestavi. Eno od teh je oblikovno in vsebinsko pomanjkljivo, drugo upošteva vse kriterije uspešnosti, za katere učitelj predvideva, da jih bodo učenci prepoznali. Ker želimo upoštevati tako vidne kot slušne tipe učencev, pripravimo tudi zapise, ki jih imajo učenci pred seboj. Besedilo, ki ga imajo učenci pred seboj, lažje analizirajo kot besedilo, ki bi ga le poslušali. Po prebranih pisnih besedilih učenci v vodeni diskusiji iščejo razlike, skupne točke, prednosti in slabosti pri obeh pisnih besedilih (Zgled 4). Učenci v vodeni diskusiji ob podpori učitelja oblikujejo kriterije uspešnosti (kaj mora vsebovati dobro pisno besedilo, katerim pogojem mora zadoščati). Zgled 4: Zapis oblikovanja kriterijev uspešnosti za 1. pristop 40 2. pristop: Primerjava pisnih besedil Če učenci še nikoli niso tvorili pisnega besedila z matematično vsebino, jim ponudimo, da le-tega najprej zapišejo. V skupinah izpolnijo preglednico (Preglednica 5) in v vsakem pisnem besedilu izpostavijo, kaj je bilo dobro. Preglednica 5: Oblikovanje kriterijev uspešnosti Pozitivno pri tem besedilu je … V tem besedilu je treba izboljšati … Besedilo A Besedilo B Besedilo C Na podlagi vseh zapisov z vodeno diskusijo oblikujejo kriterije uspešnosti. Nato učenci svoje pisno besedilo dopolnijo (popravijo) glede na skupaj določene in zapisane kriterije uspešnosti. 3. pristop: Oblikovanje kriterijev uspešnosti Učitelj učencem razloži pomen kriterijev uspešnosti in jih z njimi tudi seznani. Vsak učenec napiše pisno besedilo in nato kriterije uspešnosti skupaj ponovno pregledajo in dopolnijo (Zgled 5). Zgled 5: Primeri oblikovanja kriterijev uspešnosti v pripravah učiteljev Učenčev dokaz o učenju je napisano pisno besedilo, ki ga učenec napiše samostojno pri pouku in ga dokonča ali dopolni doma, lahko pa učenec v celoti napiše pisno besedilo kot domačo nalogo. Učence seznanimo o zgradbi besedila, o smiselnih zapisih v vsakem delu oz. jim pojasnimo navodila za tvorjenje pisnih besedil (Zgled 6). Spodbudimo jih, da ohranijo enak način pri tvorjenju pisnih besedil, kot ga imajo pri pouku slovenščine (npr. da si pripravijo pisne in slikovne opore za pisanje spisa). Zgled 6: Primeri načrtovanja dokazov o učenju 41 Povratna informacija učencu o njegovem izdelku (npr. za pisno besedilo) je ključna za izboljšanje in nadgradnjo usvojenega znanja. Učitelji so uporabili medvrstniško povratno informacijo, ki je potekala v skupini ali v paru (Zgled 7). Zgled 7: Medvrstniška povratna informacija Učitelji na isti šoli, ki uvajajo formativno spremljanje, se medsebojno dopolnjujejo in učence pri različnih predmetih navajajo na iste postopke. Za namen podajanja povratne informacije pri pisnem besedilu so uporabili navodila učiteljice slovenščine (Zgled 8), ki je uporabila navodilo in nedokončane povedi. Iz spodnjih zgledov (Zgled 8 in Zgled 9) je vidno usklajevanje in povezovanje z učitelji drugih predmetov (npr. s slovenščino). Zgled 8: Navodilo za podajanje medvrstniške povratne informacije 42 Skupinsko podajanje povratne informacije je pri eni od učiteljic potekalo po principu PVP: Pohvalim, vprašam, predlagam (Zgled 9). Zgled 9: Skupinsko podajanje povratne informacije Primeri iz prakse (Ana Canzutti, Karmen Škafar, mag. Mojca Novoselec, Mojca Plut) V nadaljevanju so predstavljeni celotni zapisi priprav na pouk, kjer so učenci tvorili daljša pisna besedila z matematično vsebino. V primerih boste zasledili korake formativnega spremljanja, ki smo jih predhodno opisali. Ob koncu je predstavljen primer navodil za tvorjenje besedil, ki se ne navezuje na konkretno matematično vsebino in ga lahko razumemo kot neke vrste refleksijo. V besedilu učenec opiše svoje doživljanje matematike, odnos do matematike, motivacijo, ki jo ima za učenje matematike, in vrednote, ki jih ob tem razvija in postavlja v ospredje. Za tovrstna besedila kriterijev uspešnosti nismo posebej oblikovali. 43 4.3.1 Pisno besedilo o decimalnih številih ter obsegu in ploščini pravokotnika in kvadrata v 6. razredu (Ana Canzutti) Učiteljica: Ana Canzutti Šola: OŠ Dornberk Predmet: matematika Razred: 6. Svetovalka: Jerneja Bone UČNI/TEMATSKI SKLOP: Sestavek z matematično vsebino: decimalna števila ter obseg in ploščina pravokotnika in kvadrata Število ur: 3 UČNI NAČRT OBLIKOVANO/NAČRTOVANO SKUPAJ Z UČENCI Učni cilji (splošni cilji): Nameni učenja: Učne dejavnosti, metode: Učenčevi izdelki oz. dokazi, ki izhajajo iz pogovorov ali opazovanj pri pouku: Učenci/učenke:  Razvijam veščine pisanja besedil z V prvi uri, 15 minut:  razvijajo matematično mišljenje: matematično vsebino.  Z učenci izvedem diagnostiko predznanja  Zapis idej, kaj je spis z matematično abstraktno-logično mišljenje in  Podajam učinkovite in konstruktivne na temo Pisanje spisa pri matematiki. vsebino. geometrijske predstave; povratne informacije sošolcem. Ugotovimo, da tega še niso počeli. Učenci  oblikujejo matematične pojme, strukture,  Ozaveščam pomen matematike v podajo ideje, kaj bi po njihovem mnenju veščine in procese ter povezujejo naravi, okolju. bil spis z matematično vsebino. znanje znotraj matematike in tudi širše;  Osmišljam matematiko: uporabljam jo  spoznavajo uporabnost matematike v v vsakdanjih življenjskih situacijah.  Učenci (samostojno, za domačo nalogo)  Učenci (samostojno) napišejo vsakdanjem življenju;  Uporabljam matematično napišejo matematični sestavek (spis) z sestavek, spis z matematično vsebino  spoznavajo matematiko kot proces ter terminologijo. matematično vsebino na temo decimalna – decimalna števila se učijo ustvarjalnosti in natančnosti;  Izkazujem znanje na drug način. števila (Priloga 1: Navodilo za pisanje (Primer 1).  razvijajo zaupanje v lastne  Izmerim dolžino in širino pravokotnika sestavka pri matematiki). (matematične) sposobnosti, in kvadrata. odgovornost in pozitiven odnos do dela  Izračunam obseg in ploščino V drugi uri: in matematike; pravokotnika in kvadrata.  Učenci na glas (eden po eden) preberejo  spoznavajo pomen matematike kot  Uporabim znanje o obsegu in ploščini sestavke. Učenec individualno za vsak univerzalnega jezika; pravokotnika in kvadrata v resničnem sestavek napiše, kaj je pozitivno pri tem  sprejemajo in doživljajo matematiko kot življenju (npr. tloris sobe …). sestavku, kaj je v sestavku dobro kulturno vrednoto.  Obrazložim pomen obrazca za obseg (Priloga 2: Instrumentarij za spremljanje pravokotnika in kvadrata. branja sestavkov). Vsi cilji iz sklopa decimalna števila (6. r.):  Obrazložim pomen obrazca za  opredeliti pojem obseg in zanj sprejeti ploščino pravokotnika in kvadrata.  Skupaj oblikujemo kriterije uspešnosti  Oblikovani kriteriji uspešnosti spisa z oznako o;  Učinkovito pretvarjam v večjo in v dobrega spisa z matematično vsebino. matematično vsebino (Primer 2). manjšo ploščinsko enoto. 44  oceniti in izmeriti obseg preprostih likov  Izračunam stranico kvadrata, če je  Učitelj poda povratno informacijo  Učiteljevi zapisi povratnih informacij z nestandardnimi in standardnimi podan obseg ali ploščina. učencem. (Primer 3). dolžinskimi enotami;  Izračunam drugo stranico  izračunati obseg preprostih likov po pravokotnika, če je podana stranica in  Učenci (po skupinah) napišejo sestavek  Učenci (po skupinah) napišejo razmisleku in ne po obrazcu; obseg ali ploščina. (spis) z matematično vsebino na temo sestavek, spis z matematično vsebino  primerjati dolžine s šestilom; obseg in ploščina pravokotnika in (Primer 4).  izmeriti dolžine stranic pravokotnika in kvadrata. Navodilo je v prilogi. Naslov kvadrata ter izračunati obseg; izberejo sami. Lahko gre za goli  smiselno zaokrožiti rezultat merjenja in matematični opis postopkov z navedenimi rezultat računa; praktičnimi primeri uporabe ali pa za  ugotoviti, da lahko imajo neskladni zgodbo, v kateri je razvidna in opisana pravokotniki enake obsege; praktična uporaba znanja, povezana z  samostojno sestaviti izraz (obrazec ali računanjem obsega in ploščine formulo) za obseg pravokotnika ali pravokotnika in kvadrata (Priloga 3: kvadrata; Navodilo za pisanje sestavka pri  izračunati obseg pravokotnika ali matematiki). kvadrata z uporabo obrazcev;  s premislekom (ne s preoblikovanjem V tretji uri: obrazca) izračunati dolžino stranice   Medvrstniško podajanje povratne Skupina prebere besedilo, ostale skupine kvadrata iz znanega obsega; pa podajo povratno informacijo PVP po informacije (Primer 5).  s premislekom izračunati dolžino principu pohvalim, predlagam, vprašam. stranice pravokotnika, če sta znana obseg in druga stranica;  Ob zaključku ponovno pregledamo  Dopolnjeni kriteriji uspešnosti spisa z  uporabljati merske enote m2, dm2, cm2, kriterije uspešnosti in jih po potrebi matematično vsebino. mm2, km2 , a in ha; dopolnimo ali prilagodimo.  pretvarjati ploščinske enote. Standardi znanja/učni dosežki: Kriteriji uspešnosti: Učenec/učenka: Učenci so povedali naslednje:  pri reševanju (besedilnih) problemov  Vsebuje naj konkretne primere iz uporablja različne bralne strategije ter življenja (vsaj 5); kritično razmišlja o potrebnih in  dobrodošla je uporaba slikovnega zadostnih podatkih; materiala, ki naj bo smiselna glede na besedilo; 45  opiše problemsko situacijo z  vsebuje naj opise matematičnih matematičnim jezikom; postopkov povezanih s temo (le-ti  pozna in uporablja matematično morajo biti natančni in razumljivi tudi terminologijo; nepoznavalcem);  v skladu z vsebinami osnovnošolske  opisana mora biti uporaba teh matematike razvije matematično in matematičnih postopkov v resničnih nematematično terminologijo življenjskih situacijah; (sporazumevanje v maternem jeziku);  potrebno je paziti na pravopis in  matematični jezik uporablja pri slovnično pravilnost. sporazumevanju. Priloga 1: Navodilo za pisanje sestavka pri matematiki – decimalna števila Naloga ni obvezna in jo naredi, kdor jo želi. Nalogo naredi samostojno. Namen:  ozaveščanje pomena matematike v naravi, okolju,  osmišljanje matematike in  izkazovanje znanja na nek drug način. Navodilo: Pripravi sestavek (odlomek ali spis) na temo decimalnih števil. Dolžina sestavka ni predpisana, določiš si jo lahko sam. V svoj sestavek lahko vključiš tudi slike (iz reklam, časopisa) ali fotografije (ki jih narediš sam), ki bodo pojasnjevale tvoj zapis. Pri pisanju uporabljaj matematično besedišče, spomni se vsega, kar si se učil o decimalnih številih. Poskusi uporabiti in poiskati matematiko v vsakdanjem življenju oz. jo povezati z vsakdanjim življenjem. Izbiraš lahko med spodnjimi naslovi ali si izmisliš svojega:  Jaz sem decimalno število  Sem 3,5 (lahko zamenjaš decimalno število)  Na vsakem koraku decimalna števila  Decimalna števila v trgovini  … Pišeš na list papirja ali pa pri pisanju uporabiš računalnik. 46 Priloga 2: Pozitivno pri tem sestavku je … V tem sestavku je dobro …. Sestavek A Sestavek B Sestavek C Priloga 3: Navodilo za pisanje sestavka pri matematiki – kvadrat in pravokotnik Nalogo učenci izdelajo po skupinah v času pouka. Namen:  ozaveščanje pomena matematike v naravi, okolju,  osmišljanje matematike in  izkazovanje znanja na nek drug način. Navodilo: Pripravi sestavek (odlomek ali spis) na temo pravokotnik in kvadrat. Dolžina sestavka ni predpisana, določiš si jo lahko sam. V svoj sestavek lahko vključiš tudi slike (iz reklam, časopisa) ali fotografije (ki jih narediš sam), ki bodo pojasnjevale tvoj zapis. Pri pisanju uporabljaj matematično besedišče, spomni se vsega, kar smo se učili o pravokotniku in kvadratu. Poskusi uporabiti in poiskati matematiko v vsakdanjem življenju oz. jo povezati z vsakdanjim življenjem. Naslov si izmisli sam. Pišeš na list papirja ali pa pri pisanju uporabiš računalnik. 47 Primer 1 Primer 2 Vsebuje naj konkretne primere iz življenja (vsaj 5). Dobrodošla je uporaba slikovnega materiala, ki naj bo smiselna glede na besedilo. Vsebuje naj opise matematičnih postopkov povezanih s temo. Ti morajo biti natančni in razumljivi tudi nepoznavalcem. Opisana mora biti uporaba teh matematičnih postopkov v resničnih življenjskih situacijah. Potrebno je paziti na pravopis in slovnično pravilnost. Primer 3 Razmišljala si, kje vse srečaš decimalna števila. Poudarila si, da moraš biti pri zaokroževanju še posebej pazljiva. Naslednjič svojo misel razvij naprej, opiši, zakaj, kako moraš postopati in kje bi ti zaokroževanje prišlo prav v življenjskih situacijah. Naslednjič bodi pogumna in opiši, zakaj so decimalna števila zabavna, posebna in zanimiva – kje vidiš ti to zanimivost, posebnost, kaj bi še rada odkrila o decimalnih številih. Sestavila si tudi besedilno nalogo in jo rešila. 48 Primer 4: Kvadrat in pravokotnik in povratna informacija po principu PVP Primer 5 49 4.3.2 Pisno besedilo o zrcaljenju čez premico in točko v 7. razredu (Ana Canzutti) Učiteljica: Ana Canzutti Šola: OŠ Dornberk Predmet: matematika Razred: 7. Svetovalka: Jerneja Bone UČNI/TEMATSKI SKLOP: Sestavek z matematično vsebino zrcaljenje čez premico in točko Število ur: 3 UČNI NAČRT OBLIKOVANO/NAČRTOVANO SKUPAJ Z UČENCI Učni cilji (splošni cilji): Nameni učenja: Učne dejavnosti, metode: Učenčevi izdelki oz. dokazi, ki izhajajo iz pogovorov ali opazovanj pri pouku: Učenci/učenke:  Razvijam veščine pisanja besedil z V prvi uri, 15 minut:  razvijajo matematično mišljenje matematično vsebino.  Z učenci izvedem diagnostiko predznanja  ustni odgovori učencev (abstraktno-logično mišljenje in  Podajam učinkovite in konstruktivne na temo Pisanje spisa pri matematiki. geometrijske predstave); povratne informacije sošolcem. Učenci se spomnijo, kako so v prejšnjem  oblikujejo matematične pojme, strukture,  Uporabljam matematično šolskem letu pisali spis z matematično veščine in procese ter povezujejo terminologijo. vsebino. znanje znotraj matematike in tudi širše;  Izkazujem znanje na drug način.  spoznavajo matematiko kot proces ter  Zrcalim točko, daljico, premico, kot in  Učenci poslušajo branje dveh spisov. se učijo ustvarjalnosti in natančnosti; lik čez izbrano premico. Eden je oblikovno in vsebinsko  razvijajo zaupanje v lastne  Zrcalim točko, daljico, premico, kot in pomanjkljiv, drugi pa je vzoren. Tema je (matematične) sposobnosti, lik čez izbrano točko. seštevanje in odštevanje ulomkov (Priloga odgovornost in pozitiven odnos do dela 1 in Priloga 2). in matematike;  spoznavajo pomen matematike kot  Po prebranih primerih učenci v vodeni univerzalnega jezika; diskusiji iščejo razlike, skupne točke,  sprejemajo in doživljajo matematiko kot prednosti in slabosti enega in drugega kulturno vrednoto. spisa. Cilji iz sklopa Transformacije, ki zajemajo   Učenci ob pomoči učitelja v vodeni na osnovi diskusije (o prebranih dveh zrcaljenje čez premico in točko (7. r.): diskusiji določijo, katere komponente spisih) sestavljeni kriteriji uspešnega mora imeti dober matematični spis. spisa  zrcaliti točko, daljico, premico, kot in lik Skupaj oblikujemo kriterije uspešnosti  čez izbrano premico, oblikovani kriteriji uspešnosti spisa z dobrega spisa z matematično vsebino. matematično vsebino (Primer 1 in  zrcaliti točko, daljico, premico, kot in lik Primer 2) čez izbrano točko. 50 Standardi znanja/učni dosežki: Kriteriji uspešnosti:  Učenci (samostojno pri pouku, po potrebi  napisan sestavek, spis z matematično dokončajo doma) napišejo spis z vsebino – zrcaljenje čez premico in Učenec/učenka: Učenci so povedali naslednje: matematično vsebino na temo Zrcaljenje točko (Primer 3)  nariše zrcalno sliko točke, daljice,  Vsebuje naj opise matematičnih čez premico in točko (Priloga 3). trikotnika glede na premico oziroma postopkov povezanih s temo (le-ti točko; morajo biti natančni in razumljivi tudi V drugi uri:  podana povratna informacija –  nariše zrcalno sliko premice, kota in nepoznavalcem);  Po dva učenca si izmenjata spis in podata medvrstniško podana povratna večkotnika glede na premico oziroma drug drugemu povratno informacijo. informacija (Primer 4) točko.  opisana mora biti uporaba teh Sledijo kriterijem uspešnosti, ki smo jih matematičnih postopkov v resničnih določili prejšnjo uro, ter navodilom za življenjskih situacijah; podajanje medvrstniške povratne  potrebno je paziti na pravopis, informacije (Priloga 4). slovnično pravilnost, čitljivost zapisa ter obliko (uvod, jedro, zaključek). V tretji uri:  napisan drugi spis, ki je glede na  Glede na medvrstniško povratno podano medvrstniško povratno informacijo vsak posameznik napiše informacijo, izboljšan (Primer 5) dopolnjen, izboljšan spis. (Če je potrebno, dokončajo doma.) Priloga 1: Seštevanje in odštevanje ulomkom (spis) V tem zapisu bom opisala postopek seštevanja in odštevanja dveh ulomkov. Ulomka seštevamo tako, da imenovalec prepišemo, števca pa seštejemo. Če ima ulomek celote, le-te tudi seštejemo. Če imata ulomka različna imenovalca, moramo le-ta najprej razširiti, šele nato lahko seštevamo. Podobno velja tudi za odštevanje ulomkov. Odštevamo lahko le ulomke, ki imajo enake imenovalce. Če ulomka nimata enakih imenovalcev, ju moramo razširiti na skupni imenovalec. Najbolje je, da poiščemo najmanjši skupni imenovalec. Postopek je podoben tistemu za seštevanje. Imenovalec prepišemo, števca pa odštejemo. Če imata ulomka tudi celi del, le-ta tudi odštejemo. V obeh primerih, tako pri seštevanju kot odštevanju ulomkov, moramo rezultat urediti in če se da, ulomek okrajšati. 51 Priloga 2: Seštevanje in odštevanje ulomkov (spis) Seštevanje in odštevanje sta dve izmed štirih osnovnih računskih operacij. Tako kot za naravna števila veljajo podobne zakonitosti tudi pri računanju z ulomki. Ker se množenja in deljenja ulomkov še nismo učili, bom v tem razlagalnem spisu opisala postopek seštevanja in odštevanja dveh ulomkov. Seštevamo in odštevamo lahko ulomke z enakimi in različnimi imenovalci. Pravzaprav lahko uporabimo ti dve računski operaciji samo pri ulomkih, ki imajo enake imenovalce. Če v izrazu seštevanja ali odštevanja nastopajo ulomki z različnimi imenovalci, moramo le-te najprej razširiti na skupni imenovalec. Še najbolje je, da jih razširimo na najmanjši skupni imenovalec. Posvetila se bom najprej opisu seštevanja dveh ulomkov. Kot že zgoraj omenjeno, lahko seštevamo samo ulomka z enakima imenovalcema. Ta pa seštejemo tako, da zapišemo ulomkovo črto, imenovalec prepišemo, števca pa seštejemo. Če je dobljeni ulomek večji od ena, moramo le-tega zapisati s celim delom in ulomkom, ki je manjši od ena. V primeru, da imata ulomka tudi celi del, le-ta seštejmo. Dobljeni rezultat uredimo in če se da, dobljeni ulomek okrajšamo. Tudi pri odštevanju ulomkov moramo najprej poskrbeti, da sta ulomka razširjena na skupni imenovalec. Nato je postopek podoben seštevanju. Zapišemo ulomkovo črto, imenovalec prepišemo, števca pa odštejemo. V primeru da imata ulomka tudi celi del, tudi ta dva odštejemo. Ampak odštevanje je po svoje tudi posebnost, saj ni nujno, da se bo v vsakem primeru dalo odštevati. Zgodi se, da je števec prvega ulomka manjši od števca drugega ulomka. V takem primeru odštevanje še ni mogoče, zato moramo prvi ulomek urediti tako, da bo odštevanje mogoče, to pomeni, da bo števec prvega ulomka večji od števca drugega ulomka. Da to dosežemo, moramo od celega dela prvega ulomka odvzeti eno celoto in jo pretvoriti na ulomek. Tako dobimo ulomek, ki je večji od ena. V takem primeru je števec prvega ulomka večji od števca drugega ulomka in s tem je odštevanje izvedljivo. Lahko pa bi se poslužili drugega načina. Po tem ko smo razširili na skupni imenovalec, bi celi del in ulomek, manjši od ena, pretvorili na ulomek, večji od ena. To bi naredili za oba ulomka. Postopek bi bil sledeči: zapisali bi ulomkovo črto, imenovalec bi prepisali, števca pa odšteli. Dobljeni ulomek bi uredili tako, da bi ga zapisali s celim delom in ulomkom, manjšim od ena. Če bi se dalo, bi ulomek tudi okrajšali. Postopka sta enakovredna, kar pomeni, da lahko poljubno izberemo enega ali drugega. Kot sem opisala v glavnem delu, je postopek seštevanja in odštevanja precej enostaven. Spomniti se moramo le na dejstvo, da lahko seštevamo in odštevamo le ulomke z enakimi imenovalci, nato pa slediti določenim pravilom. Priloga 3: Navodilo za pisanje sestavka pri matematiki – Zrcaljenje čez premico in točko Nalogo učenci izdelajo samostojno v času pouka. Namen:  ubeseditev postopkov in  izkazovanje znanja na nek drug način. Navodilo: Pripravi spis o zrcaljenju čez premico in točko. Pri pisanju uporabljaj matematično besedišče, spomni se postopkov, ki smo se jih učili pri zrcaljenju čez premico in točko. Naslov je Zrcaljenje čez premico in točko. Spis napiši na list, ne v zvezek. 52 Priloga 4: Vir: Medvrstniška povratna informacija Po lestvi navzgor, Irena Humar Kobal, OŠ Dornberk (Humar Kobal, 2020) 53 Primer 1: Kriteriji uspešnosti Primer 2: Kriteriji uspešnosti Vsebuje naj opise matematičnih postopkov, povezanih s temo. Ti morajo biti natančni in razumljivi tudi nepoznavalcem. Opisana mora biti uporaba teh matematičnih postopkov v resničnih življenjskih situacijah. Potrebno je paziti na pravopis, slovnično pravilnost, čitljivost zapisa ter obliko (uvod, jedro, zaključek). Primer 3: Zrcaljenje čez premico in točko (prvi zapis spisa) 54 Primer 4: Povratna inforamcija sošolca sošolcu Primer 5: Zrcaljenje čez premico in točko (izboljšan spis) 55 56 4.3.3 Pisno besedilo o štirikotnikih v 7. razredu (Karmen Škafar) Učiteljica: Karmen Škafar Šola: OŠ Franceta Prešerna Črenšovci Predmet: matematika Razred: 7. Svetovalka: Jerneja Bone UČNI/TEMATSKI SKLOP: Pisanje pisnega sestavka na temo štirikotnikov Število ur: 3 UČNI NAČRT OBLIKOVANO/NAČRTOVANO SKUPAJ Z UČENCI Splošni cilji: Nameni učenja: Učne dejavnosti, metode: Učenčevi izdelki oz. dokazi, ki izhajajo iz pogovorov ali opazovanj pri pouku: Učenci/učenke:  Razvijam veščine pisanja besedil z 1. ura:  razvijajo matematično mišljenje; matematično vsebino. Učenci/učenke:  oblikujejo matematične pojme, strukture,  Podajam učinkovite in konstruktivne  po predelani snovi o štirikotnikih v zvezke  kriteriji uspešnosti za zapis spisa veščine in procese ter povezujejo povratne informacije sošolcem. zapišejo kriterije uspešnosti za zapis spisa znanje znotraj matematike in tudi širše;  Ozaveščam pomen matematike v  razvijajo uporabo različnih matematičnih naravi, okolju.  kriterije uspešnosti za zapis spisa skupaj postopkov in tehnologij;  Osmišljam matematiko: uporabljam jo pregledajo in jih dopolnijo;  spoznavajo uporabnost matematike v v vsakdanjih življenjskih situacijah. vsakdanjem življenju;  Uporabljam matematično  si pripravijo pisne in slikovne opore za  pisne in slikovne opore za pisanje  spoznavajo matematiko kot proces ter terminologijo. pisanje spisa (Priloga 1: Navodilo za spisa (Priloga 2) se učijo ustvarjalnosti in natančnosti;  Izkazujem znanje na drug način. pisanje spisa).  razvijajo zaupanje v lastne (matematične) sposobnosti, 2. ura: odgovornost in pozitiven odnos do dela Učenci/učenke: in matematike;  napišejo spis na temo štirikotnika.  pisni sestavki učencev o štirikotnikih  spoznavajo pomen matematike kot (Priloga 3) univerzalnega jezika; 3. ura:  Učenci/učenke: sprejemajo in doživljajo matematiko kot  kulturno vrednoto.  preberejo nekaj spisov in po potrebi dopolnjeni kriteriji uspešnosti dopolnijo kriterije uspešnosti za zapis Učni cilji (iz sklopa Štirikotniki): spisa;  povratna informacija sošolcu – Učenci/učenke:  podajo povratno informacijo primeri kriterijev, po katerih bi skupina  sošolcu/sošolki. opišejo in opredelijo štirikotnik; učencev vrednotila spis (Priloga 4)  označijo oglišča, stranice, diagonali, kote štirikotnika; 57  opišejo sosednji stranici, nasprotni stranici, nosilko stranice in diagonalo štirikotnika;  poznajo delitev štirikotnikov glede na velikost notranjih kotov na izbočene in vdrte štirikotnike;  poznajo delitev izbočenih štirikotnikov: ∙ glede na kote, ∙ glede na stranice in kote, ∙ glede na pravokotnost diagonal;  opredelijo paralelogram, romb, pravokotnik, kvadrat, trapez in deltoid in poznajo njihove lastnosti. Standardi znanja/učni dosežki: Kriteriji uspešnosti: Minimalni standardi:  Poznam štirikotnike.  Razumem in znam našteti lastnosti Učenec/učenka: posameznega štirikotnika.  poimenuje, označi in načrta štirikotnike  Znam primerjati dva ali tri štirikotnike (paralelogram, romb) in pozna njihove med seboj in poiskati enakosti in lastnosti; razlike med njimi.  izračuna obseg in ploščino štirikotnikov  (paralelograma in romba). Znam samostojno pripraviti miselni vzorec o štirikotnikih. Standardi triletja: Ob zapisu spisa: Učenec/učenka:   izberem štirikotnike, o katerih bom pozna in uporablja pojme in postopke s pojmi ravninske geometrije; pisal;   izberem ustrezno strategijo opiše in utemelji postopke geometrijske konstrukcije; primerjanja;   ugotovitve smiselno predstavim in razvije učinkovite bralne strategije za nadaljnje učenje in izobraževanje zapišem; (sporazumevanje v maternem jeziku);  zapis je jasen; 58  v skladu z vsebinami osnovnošolske  pravilno uporabljam matematični jezik. matematike razvije matematično in nematematično terminologijo (sporazumevanje v maternem jeziku);  matematični jezik uporablja pri sporazumevanju;  življenjske situacije prikaže z modeli;  uporablja matematiko pri reševanju problemov iz vsakdanjega življenja. 59 Priloga 1: PISNA NALOGA Štirikotniki so se zadovoljno smehljali. Razmišljali so o svojih prijateljih, se spominjali svojih dogodivščin, drobnih laži in nezgod. Sredi razmišljanja … Navodilo za pisanje razlagalnega spisa: V uvodnem delu pripoveduj o svojem srečanju s tematiko štirikotnikov (splošne lastnosti). V osrednjem delu vključi:  povzetek vsaj dveh opisov, ki naj vključujeta splošne lastnosti štirikotnikov in splošne lastnosti izbranega štirikotnika (kvadrat, pravokotnik, romb, paralelogram, štirikotnik, trapez, enakokraki trapez, deltoid);  primerjaj prvi izbran štirikotnik z drugim izbranim štirikotnikom in razloži, v čem se kažeta njuna posebnost in izvirnost;  v nalogo ne pozabi vključiti razmišljanja o tem, kako doživljaš raznolikost štirikotnikov, kje jih v naravi najdemo, zakaj se uporabljajo, kakšne izkušnje imaš z izbranimi štirikotniki (anekdota). V zaključnem delu pojasni in utemelji uporabnost štirikotnikov in razloži, kje bi še lahko uporabili znanje o štirikotnikih. Ne pozabi pripisati izvirnega naslova. Upoštevaj spodnja navodila.  Piši v prvi osebi in preteklem času.  Členi besedilo tako, da narediš nov odstavek, ko nadgrajuješ temo pripovedovanja.  V besedilo vključuj različne slogovne postopke, npr. pripoved, opis, razmišljanje, dialog …  Uporabi kakšen okrasni pridevek, pregovor, poosebitev, primero …  Besedišče naj bo primerno, razumljivo, izvirno, jedrnato …  Naloga mora biti pravopisno in jezikovno pravilna. Želim ti veliko uspeha in izvirnosti. Tvoja učiteljica 60 Priloga 2: 61 Priloga 3: 62 63 Priloga 4: 64 4.3.4 Pisno besedilo o kotnih funkcijah v 3. letniku (mag. Mojca Novoselec) Učiteljica: mag. Mojca Novoselec Šola: SŠFKZ, Ljubljana Predmet: matematika Letnik: 3. UČNI/TEMATSKI SKLOP: Kotne funkcije (razširitev pojma kota, definicija in lastnosti kotnih funkcij, enotska krožnica, adicijski izreki in dvojni koti, grafi) Število ur: 14 UČNI NAČRT OBLIKOVANO/NAČRTOVANO SKUPAJ Z UČENCI Učni cilji (splošni cilji): Nameni učenja: Učne dejavnosti, metode: Učenčevi izdelki oz. dokazi, ki izhajajo iz pogovorov ali opazovanj pri pouku:  spoznavati pomen matematike kot  Utrdim osnovne pojme o kotnih Dijaki so ob začetku obravnave tematskega univerzalnega jezika in orodja; funkcijah s poudarkom na utrjevanju sklopa seznanjeni z načrtovanimi načini  izražati se v matematičnem jeziku, računskih spretnosti. preverjanja znanja in načrtovanimi končnimi ustno, pisno ali v drugih izraznih oblikah;  Krepim spominske in vizualne izdelki, ki so:  uporabiti matematiko v kontekstih in povezave (enotska krožnica, predznak 1. zbiranje zapiskov v zvezku in rešenih nalog  slike zapiskov v zvezku po razlagi na povezovati znanje znotraj matematike in kotnih funkcij, uporaba zvez med pri delu na daljavo po sprotnih navodilih videokonferenci in po reševanju nalog tudi širše (medpredmetno); kotnimi funkcijami). učitelja; doma  postavljati ključna vprašanja, ki izhajajo  Krepim povezavo med vedenjem grafa 2. pošiljanje dokazov učenja v vpogled po e- iz življenjskih situacij ali pa so vezana funkcije in grafičnim prikazom. pošti; na raziskovanje matematičnih  Opazujem in iščem primere v okolici. 3. pisni sestavek/spis. problemov;  spoznavati matematiko kot proces, Delo, ki poteka 12 ur (frontalna oblika in razvijati kreativnost in ustvarjalnost ter pogovor preko videokonferenc, samostojno zaupati v lastne matematične delo doma, delo v paru ali skupinah preko sposobnosti. socialnih omrežij):  razširitev pojma kota in spoznavanje Cilji iz sklopa kotne funkcije: enotske krožnice,  Dijak pozna razširitev kota in oznake  definicija in oznake kotnih funkcij v enotski kotnih funkcij za poljuben kot v enotski krožnici in predznak kotne funkcije krožnici. poljubnega kota,  Dijak pozna osnovne enote pri  zveze med kotnimi funkcijami istega kota, zapisovanju kota (stopinja, radian).  adicijski izreki in dvojni kot,  Dijak pozna osnovne zveze med kotnimi  uporaba lastnosti kotnih funkcij funkcijami istega kota, adicijske izreke, (periodičnost, sodost, lihost) pri določanju formule za dvojni kot. kotne funkcije poljubnega kota, 65  Dijak pozna postopke za risanje  risanje osnovnih grafov in zapis lastnosti s osnovnega grafa kotnih funkcij. pomočjo grafa,  Dijak zna iz naloge s pomočjo podatkov  sestavljanje navodil za spis z izračunati zahtevane količine. upoštevanjem osnovne zgradbe sestavka in dogovor o smiselnih zapisih v vsakem delu (uvodu, jedru, zaključku) – nastalo po zapisih navodil v preteklosti (Priloga 1),  zapis kriterijev uspešnosti, Standardi znanja/učni dosežki: Kriteriji uspešnosti:  pisanje spisa (dijaki samostojno napišejo  kriteriji uspešnosti spis o kotnih funkcijah). Dijak/dijakinja:  ustreznost vsebine in zgradbe  sestavek/spis z matematično vsebino  pozna in uporablja oznake kotnih funkcij besedila; kotne funkcije (delo na daljavo doma) v enotski krožnici;  pravilnost matematične terminologije (Priloga 2)  pozna in uporablja označevanje kotov v in simbolike; stopinjah in radianih;  uporabnost - primeri iz življenja;  pozna in uporablja zveze med kotnimi  pravopisna pravilnost in jasnost funkcijami istega kota; zapisa.  pozna in uporablja adicijske izreke in formule za dvojne kote;  pozna in uporablja periodičnost in sodost/lihost kotnih funkcij pri poenostavljanju kotnih funkcij poljubnega kota;  pozna grafe kotnih funkcij in zna izpisati osnovne lastnosti (definicijsko območje, zalogo vrednosti, ničle, ekstreme, pole, amplitudo, periodo);  uporablja različne strategije reševanja (računanje s koreni, računanje z dvojnimi ulomki);  uporablja matematični jezik;  kritično razmišlja o potrebnih in zadostnih podatkih;  prepozna matematično teorijo v vsakdanjem življenju. 66 Priloga 1: Navodilo za pisanje sestavka pri matematiki UVOD  Kdaj si se prvič spoznala s kotnimi funkcijami?  Kakšni so bili prvi vtisi o kotnih funkcijah?  Katere kotne funkcije poznaš? JEDRO V jedru lahko opisujete vsako kotno funkcijo zase, lahko jih pa primerjate med seboj (npr: funkciji sinus in cosinus se obe ponavljata na 360 stopinj …). Omenite, da obstajajo formule, tabela, adicijski izreki, enotska krožnica, sodost in lihost (kaj to pomeni v nalogah), periodičnost (kaj to pomeni v nalogah). Kakšno besedo namenite grafom (lahko tudi posebnim enotam v koordinatnem sistemu). Same se odločite, kako boste sestavile besedilo. ZAKLJUČEK Napišeš svoje mnenje:  kdo uporablja računanje s kotnimi funkcijami (lahko napišeš svoje mnenje ali kak znan primer …) oziroma  kaj meniš o koristnosti tega znanja v znanosti (ne nujno v tvojem življenju) oziroma  kaj meniš o težavnosti pri učenju tega poglavja … Napišeš lahko tudi svoj zaključek. 67 Priloga 2: Primer 1 Kotne funkcije S kotnimi funkcijami sem se prvič spoznala v srednji šoli. Konec drugega letnika smo na kratko spoznali osnove, znanje o kotnih funkcijah pa nadgradili še v tretjem letniku. Na začetku sem bila čisto zmedena, saj nisem razumela načina reševanja nalog, a z razlago profesorice in vaj mi je snov postajala vse bolj jasna. Poznam kotne funkcije: sinus, cosinus, kotangens in tangens. Sinus je v pravokotnem trikotniku razmerje med kotu nasprotno kateto in hipotenuzo, cosinus med kotu priležno kateto in hipotenuzo, tangens med nasprotno kateto in priležno, pri kotangensu pa je ravno obratno kot pri tangensu. Pri računanju si lahko pomagamo s tabelo, iz katere preberemo vrednost nekega kota za določeno kotno funkcijo, v pomoč pa nam je lahko tudi enotska krožnica. V enotski krožnici delimo kote manjše od 90°, med 90° in 180°, od 180° do 270° in 270° do 360°. Povejo nam, ali je rezultat pozitiven ali negativen. Za sinus, tangens in kotangens pravimo, da so liha funkcija, cosinus pa je soda funkcija. Periodičnost predstavlja ponavljanje. Na primer: pri sinusu se izkaže, da se številke začnejo ponavljati na 360°. Adicijski izreki nam povejo, kako se izrazi za sinus in cosinus izrazijo z vrednostmi kotnih funkcij za posamezni kot. Uporabljamo jih pri poenostavljanju izrazov, enačbah, računanju natančnih vrednosti nekaterih kotov itd. Osnovni formuli, ki se pri tem uporabljata, sta: -sin(alfa +/- beta)=sinusalfa x cosbeta +/- sinbeta x cosalfa -cos(alfa +/- beta)=cosalfa x cosbeta +/- sinalfa x sinbeta Ko rešimo graf, pri kotnih funkcijah vedno vzamemo, da je x kot v radikalih. Sinus je liha funkcija, saj je graf zrcalen na izhodišče. Cosinus pa je soda, ker je graf zrcalen na os y. Tangens in kotangens sta navpična. Kotne funkcije mi niso ena ljubših tem pri matematiki, saj imam raje navadno računanje zapletenih računov kot pa risanje tabel in računanje z enačbami. Pri tej snovi vidim velik potencial za delanje napak, kar mi pa ni ravno všeč, saj imam rada lepe številke, ki pa so pri kotnih funkcijah redke. Snov je verjetno zanimiva ljudem, ki imajo v svojem poklicu veliko opravkov z računanjem kotov, a mislim, da meni to ne bo veliko pomagalo pri opravljanju mojega poklica. Povratna informacija: Pri uvodu in zaključku sem bila zadovoljna, ker si jasno in natančno vse umestila v besede. V jedru sem pogrešala besedo več o periodičnosti, tudi za tan in cot ter kako lahko s tem poljuben kot zmanjšamo. Tam imaš besedo radikali - radiani (to samo vmes). Pri številkah pogrešam tudi besedo o sodosti, lihosti in minusih. Za grafa tan in cot bi bolje napisala, da sta strma … Ampak sicer si dobro povzela. 68 Primer 2 Kotne funkcije poljubnih kotov Jaz osebno sem se v svojem življenju spoznala s kotnimi funkcijami takrat, ko je moj starejši bratranec pisal domačo nalogo iz matematike. Na prvi pogled so se mi naloge, ki jih je reševal, zazdele zelo težke in zakomplicirane, ampak ko sem začela slediti njegovemu reševanju, mi je snov postala zanimiva. Bila sem prepričana, da bom snov kmalu spoznala tudi jaz in zanimalo me je, kako se bom sama spopadla z reševanjem kotnih funkcij, ki so: sinus, kosinus, tangens in kotangens. Za vsako kotno fuknkcijo obstaja svoja formula. Da računamo kotne funkcije, moramo najprej dobro poznati pravokotni trikotnik. Tako lahko izračunamo sinus alfa: dolžino alfi nasprotne katete delimo z dolžino hipotenuze. Pri kosinusu je postopek enak, le da dolžino nasprotne katete nadomesti dolžina priležne katete. Tangens se izračuna takole: nasprotna deljeno z priležno, kotangens pa ravno obratno. Obstajajo zveze med kotnimi funkcijami istega kota. Te so: tangens alfa je enak količniku sinusa alfa in kosinusa alfa. Prav tako je kotangens alfa enak količniku kosinusa alfa in sinusa alfa. Če seštejemo sinus kvadrat alfa in kosinus kvadrat alfa, pa je rezultat enak ena. Če število ena prištejemo tangensu kvadrat alfa, bo rezultat količnik števila ena in kosinusa kvadrat alfa. Podobno je tudi pri kotangensu kvadrat alfa. Prištejemo ena; rezultat je količnik števila ena in sinusa kvadrat alfa. Za računanje osnovnih kotov, kot so 0°, 30°, 45°, 60° in 90°, si pomagamo z tabelo, v kateri so rezultati. Eden od načinov reševanja kotnih fuknkcij je s pomočjo adicijskega izreka, kjer lahko izračunamo sin(alfa ± beta), kosinus(alfa ± beta), tan(alfa - beta) in tan(alfa + beta). Pri kotnih funkcijah nam lahko močno v pomoč pride enotska krožnica. Z njo si lahko pomagamo razbrati predznak kota, velikost kota in tako naprej. Kot sestavljata nepremični krak, ta je vedno na 0°. Drugi, premični krak, pa določi velikost kota. V tej smeri matematike lahko zasledimo tudi temo periodičnost. To pomeni ponavljanje – izkaže se, da se številke pri sinusu začnejo ponavljati čez 360°; na primer: sin30° je sin(390°), ker je 30° + 360° enako 390°. Nato s pomočjo tabele do konca izračunamo rezultat. Podobno je pri kosinusu, drugače je pa pri tangensu in kotangensu – tangens se ponovi že prej. Zadnja stvar, ki jo je potrebno omeniti, pa je lihost in sodost funkcij. Kosinus je soda funkcija, medtem ko so ostale tri lihe funkcije; to so sinus, tangens in kotangens. Grafi kotnih funkcij se izračunajo po naslednji enačbi: f(x) = sin x. Grafi so periodični, njihova oblika pa se imenuje sinusoida. Če je graf zrcalen na izhodišče, je to torej sinus in je funkcija liha. Če pa je zrcalen na y-os, je to kosinus – soda funkcija. Snov o kotnih funkcijah in trigonometriji se mi zdi zanimiva, malce drugačna, vendar vseeno malo zapletena – potrebno jo je dobro razumeti. Kotne funkcije se v vsakdanjem življenju pojavljajo takrat, ko moramo izračunati kak kot. Primer poklica, ki pogosto uporablja kotne funkcije, pa je najverjetneje kakšen arhitekt. Če ne zna izračunati kotov, ne bo narisal korektnega načrta za hišo; torej – kotne funkcije so zelo pomembne. Vendar gotovo bo marsikdo izmed nas zopet ponovil kotne funkcije takrat, ko bomo pomagali razložiti snov matematike našim otrokom. ☺ Povratna informacija: V bistvu si zelo dobro prepletla vse lastnosti. Ko sem že pomislila, da ne boš omenila, pa se je pojavil naslednji stavek in si zapisala. Pogrešam, kako se sodost in lihost pozna pri številkah in ker si grafe prehitro odpravila (predvsem za tan in cot). Tam vmes pa ni ok, če napišeš, da je vedno zapis sinx, ampak potem si grafa lepo opisala. Pogrešam omembo, da se val pri grafu ponavlja. Sicer zelo v redu. 69 Primer 3 Kotne funkcije poljubnih kotov Prvič sem se spoznala s kotnimi funkcijami v prvem letniku, ko sem pomagala starejši sestri pri učenju. Bolj kot sem gledala v njen zvezek, manj mi je bilo jasno, kako je rešila te naloge. Poznam kotne funkcije sinus (sin), kosinus (cos), tanges (tan) in kotanges (cot). Vsaka kotna funkcija ima svoje lastnosti. Da bi izračunali kotno funkcijo poljubnega kota, si pomagamo s formulami. Če je rezultat 30, 45 ali 60 stopinj, si pomagamo s tabelo (slika 1), da ne zapravljamo veliko časa. Če se v nalogi pojavita dva kota, pa uporabimo adicijski izrek (slika 2) za računanje kotnih funkcij. Enotska krožnica (slika 3) nam pomaga, da kotne funkcije določimo na poljubno velik kot. Pomaga nam tudi določiti sodost ali lihost kotne funkcije. To nam pomaga v nalogah, da vemo, ali je rešitev pozitivna ali negativna, saj so koti lahko tudi negativni. Periodičnost ali ponavljanje pa nam pove, kdaj se začne kotna funkcija ponavljati. Sin in cos se ponavljata na 360 stopinj, tan in cos pa na 180 stopinj. Vsaka kotna funkcija ima svoj graf, risanje koordinatnega sistema je enako. Koordinatni sistem je na x osi označen s oznako pi =180 stopinj na vsake tri črtice, na y-osi je označen s številkam (1, 2, 3 …). Če je graf y=sinx, je graf sinusoida. Graf se ponavlja na 360 stopinj in je liha funkcija, ker je graf zrcalen na izhodišče. Graf y=cosx je tudi sinusoida in se ponavlja na 360 stopinj, vendar je cos soda funkcija, ker je graf zrcalen na y-os. Grafa tan in cot se ponavljata na 180 stopinj. Graf tan narašča, cot pa pada. Oba sta razdeljena na periode, ki jih ločuje pol (nav. as.). To poglavje pri matematiki mi je zelo všeč, saj zelo rada računam in rišem grafe. Ne zdi se mi težka snov, moraš pa vedeti, kdaj in kje uporabiti kakšno formulo. Zelo mi je zanimivo, kako se lahko spremeni val grafa, ko ga daš v enačbo. Ne vem, ali mi bo to kdaj prišlo prav v življenju, se mi pa zdi zanimiva snov za učenje. Povratna informacija: Všeč mi je bilo, ker si povsod natančno povedala in nisi nikjer na polovici končala misli. Primerno si tudi uporabila slike, ker bi sicer z besedami težko prišla do konca. In še ena med redkimi si, ki je omenila grafa za tangens in kotangens. V enem zamahu sem prebrala tvoj spis. 70 4.3.5 Primeri navodil za tvorjenje pisnih besedil pri matematiki (Mojca Plut) Primer 1: Navodilo za pisanje eseja oz. poezije 71 72 5 Govorni nastopi Govorni nastop kot oblika sporočanja pri matematiki (mag. Mojca Suban, mag. Valentina Herbaj) Govorjenju kot eni od štirih sporazumevalnih zmožnosti bi lahko pri pouku matematike namenili še več časa in prostora. Pogosto se pouk matematike naslanja bolj na sporazumevalno zmožnost pisanje, pri čemer ni enakovredno zastopano zapisovanje in tvorjenje besedil, in ne izkoristi v dovolj veliki meri priložnosti, ki jih prinaša govorjenje o matematiki. Pisno reševanje nalog tradicionalno predstavlja način ugotavljanja in izkazovanja matematičnega znanja, pri čemer so lahko učenci različno uspešni. Nerazumevanje, neznanje, nepripravljenost so lahko vzroki za manj uspešno reševanje matematičnih nalog, vzroke pa lahko iščemo tudi v različnih zmožnostih učencev za pisno izražanje. Zato je pri načrtovanju pouka treba upoštevati različne sposobnosti in veščine učencev ter uravnotežiti dejavnosti pri pouku matematike na način, da bodo podprte vse štiri sporazumevalne zmožnosti. Kot je bilo navedeno v uvodnem poglavju tega priročnika, učni načrti in katalogi znanja za matematiko skozi splošne cilje poudarjajo vlogo izražanja v matematičnem jeziku, ustno, pisno ali v drugih izraznih oblikah. Govorno sporočanje podpira kompetenco razumevanja in uporabo matematičnega jezika skozi dejavnosti učenca, ki vključujejo razlago, utemeljevanje, dokazovanje, pojasnjevanje, opisovanje, podajanje primerov ali protiprimerov, zastavljanje vprašanj ipd. Kdaj in koliko pri matematiki govorimo? Govori učitelj in govori učenec. Raziskave kažejo, da delež časa, ki ga za govorjenje porabi učitelj, presega delež časa, namenjen govorjenju učencev. Flandersova analiza razredne interakcije ugotavlja, da učitelj ponavadi govori dve tretjini časa, vsi učenci skupaj pa eno tretjino (Tomič, 2002). V raziskavi, ki so jo opravili na treh srednjih šolah v Mariboru, se je delež govora učitelja gibal od 56,6 % do 88,4 % glede na število besed (Kokol, 2012). Delež časa, namenjen govoru učencev, je gotovo odvisen od tipa ure, vendar s sistematičnim in načrtnim uvajanjem dejavnosti, pri katerih bodo imeli učenci priložnost govoriti, se bo ta delež povečal. Učitelj naj z učenci ustvarja priložnosti za ustno sporočanje o matematiki, kar bo učitelju omogočilo boljši vpogled v miselne procese učenca, učencu pa bo omogočilo bolj raznoliko izkazovanje lastnega znanja. Kadar učenec razloži svoj potek reševanja naloge učitelju ali sošolcem, lahko učitelj dobi poglobljen vpogled v njegov miselni proces in presodi, kako dobro učenec razume obravnavano vsebino. Učenec pa s svojo razlago sošolcem preverja svoje razumevanje nekega matematičnega pojma in prečiščuje koncepte. Vpogled v znanje učenca je za učitelja zelo pomemben, saj lahko na osnovi tega podatka načrtuje ustrezne učne dejavnosti. V razvojni nalogi so učitelji ugotavljali, da je predvsem razlaga učenca učencu dragocena dejavnost, ki pripomore k boljšemu razumevanju pojmov. Učenci pri svoji razlagi uporabijo jezik, ki je bližje jeziku sošolcev in se lahko razlikuje od strokovnega in formalnega jezika učitelja. Na tak način lahko sošolec hitreje razume pojem, izboljša delno napačne ali nepopolne predstave ali pa v celoti na novo začne graditi pojem. Ob tem je nujno opozoriti na to, da je vloga učitelja pri vrstniški razlagi zelo pomembna, da opazi in opozori na morebitne neustrezne pretirane poenostavitve in nedoslednosti pri rabi matematičnega jezika. 73 Vsako govorjenje pri pouku matematike ni nujno govorjenje o matematiki in ni nujno dokaz o dobrem znanju matematike. Uzaveščeno in načrtno naslavljanje te teme pa lahko pripomore k izboljšanju matematičnega znanja učencev in njihovih dosežkov. Učitelj naj z učenci sistematično dela na razvoju govorne zmožnosti na način, da se pogovarjajo o različnih možnostih izvedbe in pripadajočih kriterijih uspešnosti. V razvojni nalogi smo se dogovorili, da bomo govorno zmožnost pri matematiki razvijali skozi govorni nastop. Kot govorni nastop smo razumeli ustno predstavitev učenca o vnaprej dogovorjeni matematični temi v omejenem času ob ali brez dodatne opore (npr. list z besedilom, PPT-predstavitev, izdelek, plakat …). Učenec se na govorni nastop pripravi in ga predstavi v naprej dogovorjenem terminu pri pouku matematike. Učitelji razvojniki so načrtno vzpodbujali in razvijali govorjenje pri matematiki na način govornega nastopa in v nekaterih primerih vezali govorni nastop z drugimi oblikami. V daljšem časovnem obdobju so z učenci ozaveščali pomen govorjenja pri matematiki, usklajevali predstave o tem, kaj je govorni nastop in gradili kriterije dobrega govornega nastopa. V začetnih korakih, ko so se v razredu prvič izvajali govorni nastopi, so se vključevali učenci po lastni izbiri. Kasneje so se postopoma vključevali še ostali učenci, ki so se opogumili po tem, ko so opazovali svoje sošolce pri uspešnem nastopu. V skupini razvojnih učiteljev smo veliko govorili o kriterijih uspešnosti za govorni nastop pri matematiki. Učitelji so s svojimi učenci oblikovali kriterije uspešnosti skupaj v šoli, nato pa smo jih na skupnih srečanjih soočili in iskali skupni imenovalec. V primerih kriterijev uspešnosti, ki so jih učitelji oblikovali z učenci, so se omenjene kategorije kazale na različne načine in so bile različno upoštevane. Po daljšem usklajevanju in preverjanju v praksi je nastala skupna preglednica s kriteriji uspešnosti, ki je predstavljena v nadaljevanju (Preglednica 6). Opisniki znanja za posamezen kriterij so razdelani na dveh nivojih z izjemo kategorije Nastop. Pri kategoriji podporni elementi/pripomočki lahko učenec uporabi PPT, videoposnetek, plakat, wordov dokument, zapise na tabli, model, strip, plakat, izdelek, didaktično igro … Preglednica 6: Splošni kriteriji za govorni nastop pri matematiki z opisniki na dveh ravneh znanja Kriterij Opisnik za minimalni dosežek Opisnik za optimalni dosežek Raba matematične Večina uporabljenih matematičnih Uporabljeni matematični izrazi so terminologije izrazov je uporabljena pravilno. uporabljeni pravilno. Matematična vsebina govornega nastopa vsebuje manjše napake Matematična vsebina govornega Matematična pravilnost (npr. računske), ki ne vplivajo nastopa je v celoti pravilna (opisi postopkov, uporabljene bistveno na razumevanje Matematično znanje strategije, podatki …). slišanega. Povezava med vsebino Vsebina govornega nastopa je Uporabnost govornega nastopa in jasno povezana z uporabnostjo uporabnostjo matematike v matematike v vsakdanjem vsakdanjem življenju je nakazana. življenju. 74 Vsebina, podatki, formule so Vsebina, podatki, formule so predstavljeni na način, da Pokritost in skladnost predstavljeni pomanjkljivo in le v obravnavano tematiko zajamejo vsebine z naslovom nekaterih vidikih podpirajo naslov ali pa del vsebine manjka. celostno in v vseh pomembnih vidikih podpirajo naslov. Odgovori so deloma jasni, Odgovori so suvereni, prepričljivi, Pojasnjevanje (odgovori izkazujejo delno razumevanje izkazujejo popolno razumevanje na vprašanja predstavljene matematične predstavljene matematične poslušalcev) vsebine. vsebine. Glasnost in razločnost Govorni nastop je primerne glasnosti. Govor je razločen. Nastop Nebesedna govorica in Vzpostavljen je dober stik s poslušalci. Izkazan je spoštljiv odnos. stik s poslušalci Pripomoček delno podpira in Pripomoček smiselno in v celoti Podpiranje govornega nastopa dopolnjuje govorni nastop (le v podpira in dopolnjuje govorni nekaterih vidikih). nastop. Podporni Pripomoček vsebuje manjše elementi/pripomočki matematične nekorektnosti (npr. Pripomoček je izdelan Pravilnost zapisov na računske napake, ki ne vplivajo matematično korektno glede na podpornem elementu bistveno na vsebino) glede na predstavljeno vsebino. predstavljeno vsebino. Preglednico s kriteriji uspešnosti lahko učitelj uporabi v celoti ali pa uporabi le nekatere kriterije, za katere skupaj z učenci presodi, da ustrezajo namenu in cilju njihovega govornega nastopa. Prav tako je zaželeno, da se učitelj matematike poveže z učiteljem slovenščine in da primerjata kriterije uspešnosti za govorni nastop pri obeh predmetnih. Govorni nastop se lahko veže z drugimi oblikami ugotavljanja in izkazovanja matematičnega znanja, ki jih predstavljamo v tem priročniku. Učitelji v razvojni nalogi so preizkušali kombinacijo govornega nastopa s preiskovalno nalogo, govornega nastopa z didaktično igro in govornega nastopa z vizualno podporo. Kriterije uspešnosti za preiskovalno nalogo, vizualne predstavitve ali didaktično igro se lahko upošteva samostojno (če jih učenec ne predstavi skozi govorni nastop ali jih v govornem nastopu ne uporabi kot podporni element) ali se smiselno zvežejo s kriteriji govornega nastopa. V primerih učiteljev v naslednjem poglavju so predstavljene različne možnosti vključevanja govornih nastopov v pouk, ki so jih učitelji uporabili v svoji pedagoški praksi. Primeri iz prakse (Andreja Verbinc, mag. Andreja Oder Grabner, Urška Rihtaršič) 75 5.2.1 Govorni nastop o potencah v 8. razredu (Andreja Verbinc) Učiteljica: Andreja Verbinc Šola: OŠ Oskarja Kovačiča Predmet: matematika Razred: 8. Svetovalki: mag. Mojca Suban in mag. Valentina Herbaj UČNI/TEMATSKI SKLOP: Govorni nastop o potencah Število ur: 5 UČNI NAČRT OBLIKOVANO/NAČRTOVANO SKUPAJ Z UČENCI Učni cilji: Nameni učenja: Učne dejavnosti, metode: Učenčevi izdelki oz. dokazi, ki izhajajo iz pogovorov ali opazovanj pri pouku: Učenci/učenke:  Spoznam, kaj vsebuje dober govorni 1. ura:  razvijajo matematično mišljenje; nastop. Namene učenja oblikujemo na začetku ure  Zametki kriterijev uspešnosti za govorni  sprejemajo in doživljajo matematiko kot  S pomočjo interneta in literature skupaj z učenci. Nato sledi pogovor z učenci nastop: kulturno (zgodovinsko) vrednoto; poiščem informacije o potencah. o tem, kdaj je govorni nastop dober. - pripravljena vsebina,  razvijajo pozitiven odnos do  Pripravim povzetek snovi na plakatu in - izdelane grafične opore, matematike; ga predstavim. Učenci v skupinah iščejo po internetu in po - dobra izvedba.  razumejo in uporabljajo matematični  Pripravim govorni nastop o potencah. učbeniku ter samostojnem delovnem zvezku jezik;  Pripravim vizualne opore za govorno znanja o potencah.  spoznavajo uporabnost matematike v predstavitev. vsakdanjem življenju;  2. ura: Izvedem govorni nastop.  iščejo matematične vire, podatke v virih Vsaka skupina predstavi svoj zapis na  Učenci v skupinah izdelajo zapise na in jih smiselno uporabljajo; plakatih. Sproti se pogovarjamo, ali so plakat o potencah in o računanju s  zbirajo, urejajo, strukturirajo, analizirajo, zapisali vse matematično pravilno. Ob teh potencami (Priloga 2). predstavljajo in interpretirajo podatke pogovorih učenci dopolnjujejo svoje zapise. oz. rezultate …  Dopolnjeni zapisi na plakatih o tem, kaj Individualno delo doma je pomembno predstaviti v govornem Standardi znanja/učni dosežki: Kriteriji uspešnosti: nastopu o potencah. 3. ura: Učenec/učenka: Priloga 1 Pogovor z učenci o tem, kje uporabiti  Izdelane vizualne opore (na večjih listih  pozna in uporablja pojme in postopke vizualne opore, zakaj so učinkovite, kako naj ali na računalniških prosojnicah) vezane na izbrano področje; jih izdelajo in uporabijo pri predstavitvi. (Priloga 3).  uporablja matematiko in različne Pokažem jim različno primerne vizualne strategije reševanja problemov iz opore, tudi slabo izdelane (premajhna vsakdanjega življenja; pisava, preveč besedila …).  uporablja matematični jezik; 76  kritično razmišlja o potrebnih in 4. ura:  Zapisani kriteriji uspešnosti. zadostnih podatkih; Nekateri učenci izvedejo govorne nastope.  življenjske situacije prikaže z modeli; Pogovarjamo se o tem, kaj je bilo dobro, kaj  razvije učinkovite bralne strategije. bi lahko še izboljšali. Ob tem pogovoru nastajajo kriteriji uspešnosti. 5. ura:  Izdelan in predstavljen govorni nastop. Vsi učenci izvedejo govorni nastop. Učenec po svojem govornem nastopu pove,  Ustne povratne informacije učencu, ki je kaj mu je dobro uspelo in ali bi kaj spremenil. imel govorni nastop. Nato ostali učenci in učiteljica podamo povratne informacije o nastopu glede na zapisane kriterije uspešnosti. Najprej pohvalimo tiste vidike govornega nastopa, ki so bili dobro izpeljani in nato izpostavimo še tiste, kjer bi bila potrebna izboljšava. 77 Priloga 1: Kriteriji uspešnosti govornega nastopa pri matematiki Matematično znanje Delno doseženo Doseženo Matematična vsebina Večji del matematične vsebine je pravilen. Vsa matematična vsebina je uporabljena pravilno. Uporabnost v vsakdanjem življenju Prikazan je primer uporabe iz vsakdanjega življenja. Prikazanih je več smiselnih primerov iz vsakdanjega življenja. Vsebina, podatki, formule so predstavljeni na način, da ustrezno pokrijejo celotno Pokritost/ustreznost vsebine Del matematične vsebine manjka. vsebino. Vizualna opora Delno doseženo Doseženo Vizualna opora Nekateri pojmi imajo vizualno oporo (plakat, slike …). Vsi pojmi imajo vizualno oporo (plakat, slike …). Pravilnost zapisov Matematični zapisi so delno pravilni. Vsi matematični zapisi so pravilni. Nastop Doseženo Govor in nastop Govorni nastop je razločen, je primerne glasnosti. Vzpostavljen je spoštljiv in dober stik s poslušalci. Učenec prosto govori. 78 Priloga 2: Plakat, izdelek učenke 8. razreda (Avtorica fotografije: Andreja Verbinc) 79 Priloga 3: Vizualne opore, izdelek učenke 8. razreda (Avtorica fotografije: Andreja Verbinc) 80 5.2.2 Matematično preiskovanje skozi govorni nastop (mag. Andreja Oder Grabner) Učiteljica: mag. Andreja Oder Grabner Šola: OŠ Gustava Šiliha Velenje Predmet: matematika Razred: 8. Svetovalki: mag. Mojca Suban in mag. Valentina Herbaj UČNI/TEMATSKI SKLOP: Matematični problemi in problemi z življenjskimi situacijami skozi preiskovalni pristop Število ur: 4–6 UČNI NAČRT OBLIKOVANO/NAČRTOVANO SKUPAJ Z UČENCI Učni cilji: Nameni učenja: Učne dejavnosti, metode: Učenčevi izdelki oz. dokazi, ki izhajajo iz pogovorov ali opazovanj pri pouku: Učenci/učenke:  Prepoznam matematiko v svoji okolici. 1. ura  razvijajo matematično mišljenje;  Uporabljam matematična znanja za Učenci v skupinah razmišljajo o uporabi  sprejemajo in doživljajo matematiko kot reševanje vsakdanjih problemov, pridobljenih znanj v vsakdanjem življenju. V kulturno (zgodovinsko) vrednoto; situacij. pomoč jim je lahko učbenik, plakati v učilnici,  plakat z idejami  razvijajo pozitiven odnos do  Poiščem/pridobim potrebne podatke. modeli … Po potrebi jih usmerjam s matematike;  Prikažem rešitve problema ter jih vprašanji: Kje bi lahko pridobljena znanja  razumejo in uporabljajo matematični kritično ovrednotim. uporabil/a? Katere vsakdanje oz. življenjske jezik;  Svoje delo predstavim sošolcem. probleme lahko rešim z uporabo  spoznavajo uporabnost matematike v matematičnih znanj? Kaj me zanima/kaj si vsakdanjem življenju; želim? Pri katerem področju bi razširil/a svoje  iščejo matematične vire, podatke v virih znanje? Kdo je razvil matematiko do te mere, in jih smiselno uporabljajo; kar se danes učimo? ipd.Učenci iščejo teme  zbirajo, urejajo, strukturirajo, analizirajo, iz področja matematike, ki se jim zdijo predstavljajo in interpretirajo podatke zanimive. oz. rezultate … Predstavijo svoje ideje in se skupaj Opomba: Posamezni cilji so pri posamezniku pogovorimo o načinu raziskovanja, vezani še ožje na izbrano vsebinsko preiskovanja, reševanja ter načinu področje. predstavljanja. Oblikujemo namene učenja in kriterije  zapisani kriteriji uspešnosti uspešnosti. 81 Standardi znanja/učni dosežki: Kriteriji uspešnosti: Vsak posameznik si izbere temo, področje  načrt naloge ter si izdela načrt raziskovanja in osnutek Učenec/učenka:  Izbrani problem, cilj raziskovanja. govorne predstavitve.  pozna in uporablja pojme in postopke  Izberem ustrezno strategijo reševanja vezane na izbrano področje; (uporaba literature, merjenje, zbiranje 2. ura  uporablja matematiko in različne podatkov, računanje …). Učenci s pomočjo literature, učbenika in strategije reševanja problemov iz  Ugotovitve smiselno (pisno) drugih pripomočkov raziskujejo, preiskujejo, vsakdanjega življenja; predstavim (preglednice, grafi, skice, rešujejo …  uporablja matematični jezik; slike, miselni vzorci …).  kritično razmišlja o potrebnih in  Ob govorni predstavitvi: 3. ura zadostnih podatkih; o govorim jasno in razločno; Učenci v parih razložijo svojo zastavljeno  življenjske situacije prikaže z modeli … o pravilno uporabljam nalogo in predstavijo dosedanje delo in matematični jezik; ugotovitve. Medsebojno si podajo ustno Opomba: Posamezni standardi znanja so pri o smiselno uporabljam povratno informacijo (kaj je dobro in kje posamezniku vezani še ožje na izbrano ponazorila (plakat, modeli, predlagajo izboljšave), drug drugemu vsebinsko področje. tabla …); zastavljajo dodatna vprašanja. o sošolci razumejo, o čem govorim; Nadaljujejo z delom, izdelavo svoje naloge o odgovorim na vprašanja (po potrebi temu delu namenimo še eno uro). sošolcev, podam dodatna pojasnila; 4. ura (ali 5. ura)  o izdelana in predstavljena naloga predstavitev traja med 5 in 8 Učenci izvedejo govorne predstavitve svojih minut. nalog. Učenci predstavitve aktivno spremljajo, ustvarjajo lastne zapiske, o vsebini kritično razpravljamo. Skupaj vrednotimo posamezno predstavitev  ustna ali pisna povratna informacija glede na zastavljene kriterije uspešnosti. učencev Pohvalimo dobre elemente naloge, predlagamo izboljšave. Učenci lahko na  pisna povratna informacija učiteljice samolepilne lističe ali na vnaprej pripravljene obrazce zapišejo, kaj se jim je najbolj vtisnilo v spomin, lahko uporabimo tudi izhodne  izhodni lističi lističe. 82 Izhodna kartica učenca (poslušalca): Povratna informacija učiteljice: Pri govorni predstavitvi si uporabljala vse izraze matematično korektno, prav tako so bili zapisi korektni in pravilni. Pri zapisu na tabli si pri zapisu, ki je povezoval polje in število zrn na njem, uporabila enačaj, a kasneje opazila napako v zapisu in jo popravila. Zelo dobro si izpeljala tudi zapise in izračune na PPT-predstavitvi. Pri velikih številih si ob govoru uporabljala smiselne približke, kar je pripomoglo k boljšim številskim predstavam poslušalcev. Za boljšo predstavo in razumevanje izpeljave obrazca si uporabila tablo in dialog s sošolci. Zelo dobro si razmišljala ob dolžini vlaka z vagoni, da tako dolg vlak ne bi mogel imeti le ene lokomotive in s tem nakazala že življenjsko situacijo. Izhajala si iz zgodovinske zgodbe, ki je za poslušalce in raziskovalce zelo zanimiva. Menim, da si jo bolj slabo izkoristila, saj si jo zelo na hitro in površno razložila. Z dramatičnim pripovedovanjem zgodbe bi še bolj pritegnila sošolce k poslušanju. Na koncu bi bilo dobro še odpreti razpravo o zaključku zgodbe s plačilom. Tvoja govorna predstavitev je bila zanimiva in nazorna. Zlahka smo razumeli njeno bistvo – spoznali smo bistroumnost indijskega misleca in razsežnost njegove ideje, hkrati oblikovali zaporedje, zapisali splošni člen zaporedja in si količino tako pridobljenega riža skušali predstavljati v realnosti. Refleksija učenke (avtorice govorne predstavitve): Kaj mi je dobro uspelo? Kaj bi lahko naredila drugače? V čem vidim prednost govornega nastopa pred drugimi oblikami izkazovanja znanja? Prednosti govornega nastopa se mi zdijo v tem, da ko snov predstavim, jo bolje razumem. Prednost je tudi v tem, da se več naučim, ko do formule, ugotovitve, zaključka pridem sama. Z govornim nastopom mi je lažje pridobiti ocene. Mislim, da sem dobro prikazala postopek reševanja naloge. V prihodnje ne bi spremenila veliko, mogoče samo to, da bi predstavila snov iz učnega načrta oz. kar bi obravnavali tudi sicer pri pouku. 83 Nekaj predlogov za raziskovanje, preiskovanje: 1. Pitagora in Pitagorov izrek 2. Jurij Vega 3. Egipčanski ulomki 4. Riž in šahovska plošča (potence) 5. Popolno število, prijateljska števila 6. Matematični pogled na nogometno igrišče 7. Je akcijska cena res najbolj ugodna? 8. Prenova matematične učilnice/moje sobe 9. Geometrija v našem mestu 10. Sestavljamo številske uganke (ugani število …) 11. Gibanje temperatur v mesecu januarju in primerjava povprečnih temperatur več let 12. Razpon rok in telesna višina 13. Dolžina podlakti in dolžina stopala 14. Razišči odvisnost porabe vode glede na število oseb./Razišči odvisnost porabe vode glede na letni čas. 15. Svoj najljubši recept bi rad/a podarila slaščičarni, ki dnevno potrebuje 50 porcij in oddaji Masterchef, kjer kuhajo in pečejo za 3 člane žirije. Pri govornih nastopih so se učenci posneli. Poudarjamo, da gre za avtentične in neprirejene posnetke, ki so predstavljali delovno gradivo za učenje o govornih nastopih in so bili v funkciji podajanja povratne informacije in izboljševanja govornega nastopa. Povezava do govornega nastopa o egipčanskih ulomkih se nahaja na povezavi https://cutt.ly/posnetki. Učenka je pri govornem nastopu izdelala zapis na tabli. Povezava do govornega nastopa o nalogi z rižem in šahovsko ploščo se nahaja na povezavi https://cutt.ly/posnetki. Učenka je pri govornem nastopu uporabila kot podporo predstavitev PPT. Dosegljiva je na povezavi https://cutt.ly/posnetki. 84 5.2.3 Predstavitev uporabe eksponentne in logaritemske funkcije z govornim nastopom (Urška Rihtaršič) Učiteljica: Urška Rihtaršič Šola: Gimnazija Bežigrad Predmet: matematika Letnik: 3. Svetovalki: mag. Mojca Suban in mag. Valentina Herbaj UČNI/TEMATSKI SKLOP: Predstavitev uporabe eksponentne in logaritemske funkcije z govornim nastopom Število ur: 15 UČNI NAČRT OBLIKOVANO/NAČRTOVANO SKUPAJ Z UČENCI Učni cilji: Nameni učenja: Učne dejavnosti, metode: Učenčevi izdelki oz. dokazi, ki izhajajo iz pogovorov ali opazovanj pri pouku: Dijaki/dijakinje:  Spoznam pomen in uporabnost  Ugotavljanje predznanja  zapisi iz sklopa ugotavljanja  poznajo primere iz vsakdanjega logaritemske in eksponentne funkcije Vsak dijak razmisli, kaj že ve o obravnavani predznanja življenja, kjer se uporabljata ter znam svoje teoretično znanje, ki vsebini (eksponentna in logaritemska funkcija), eksponentna in logaritemska funkcija; sem ga pridobil pri pouku, uporabiti na to napiše na list papirja in kasneje deli s  znajo uporabiti svoje znanje konkretnih primerih iz vsakdanjega sošolci. eksponentne in logaritemske funkcije na življenja.  Seznanitev dijakov z njihovo nalogo in cilji primerih iz vsakdanjega življenja;  Do tega bom prišel s samostojnim  Dijaki bodo s pomočjo virov (internet, jasno, razumljivo in nazorno predstavijo raziskovanjem, nato pa svoje svoj primer uporabe teh dveh funkcij ugotovitve predstavil sošolcem, ki literatura) samostojno raziskali primere (ustno ali pisno); bodo moje delo kritično ocenili, jaz pa uporabe eksponentne funkcije in logaritma.  Vsak od njih si bo izbral enega, ki ga bo bolj znajo jasno izraziti svoje mnenje in ga njihovo.  pisne predstavitve argumentirati.  podrobno preučil. Svoje izdelke (pisne) bodo Tako bom razvijal tudi svojo naložili v spletno učilnico. Nekateri med njimi samostojnost, odgovornost in (po izboru učitelja) jih bodo nato predstavili (konstruktivno) kritičnost. tudi ustno. Standardi znanja/učni dosežki: Kriteriji uspešnosti:  Navodila, ki so jih dobili dijaki: Poišči primer uporabe eksponentne ali Dijak/dijakinja: Vsebina: logaritemske funkcije in ga predstavi (1—2  pozna, razume in zna razložiti različne  Vsebino predstavim pravilno in strani A4). Pri tem bodi pozoren na to, da je primere uporabe eksponentne in matematično korektno. tema predstavljena razumljivo in nazorno, logaritemske funkcije v vsakdanjem  Uporabljam pravilno terminologijo in opremljena s formulami, slikami, diagrami ... in življenju (pri tem zna jasno, nazorno in oznake. na nivoju, ki ga lahko razumejo tvoji sošolci. razumljivo predstaviti svoj primer);  Dobro organiziram vsebino, Pazi na matematično pravilnost zapisanega ter predstavitev ima rdečo nit. navedi vire, ki si jih uporabil. 85  zna uporabiti ustrezno tehnologijo za  Na vprašanja poslušalcev odgovarjam  Oblikovanje kriterijev uspešnosti  zapisani kriteriji uspešnosti (glej svojo predstavitev; jasno in samozavestno, tako da je Vsak dijak najprej sam razmisli, kakšna bi po razdelek Kriteriji uspešnosti)  obvlada besedno in nebesedno razvidno, da razumem to, o čemer njegovem mnenju morala biti dobra govorico pri govornem nastopu; govorim. predstavitev, tako z vsebinskega kot tudi z  pri svojem nastopu uporablja ustrezno  Navedem vire in jih ustrezno citiram. oblikovnega (vizualnega) vidika. Nato se dijaki in pravilno terminologijo in oznake. zberejo v skupine po štiri in sestavijo svoj Govorni nastop: seznam kriterijev uspešnosti. Skupine nato  Govorim zanimivo in tako, da poročajo, kriterije sproti zapisujemo v tabelo in pritegnem poslušalce. dopolnjujemo. Ta tabela bo na koncu služila  Govorim razločno. za dajanje povratne informacije dijakom, ki  Moja predstavitev je razumljiva. bodo imeli ustne predstavitve. Povratno  Moja predstavitev je jedrnata. informacijo dijakom, ki bodo oddali le pisne  Govorni nastop smiselno podprem s predstavitve, bo podal učitelj. pripomočki.   Raziskovanje, zbiranje informacij, Upoštevam časovno omejitev. oblikovanje predstavitve Dijaki delajo samostojno doma.  videoposnetki nastopov dijakov  Ustne predstavitve Nekaj dijakov ustno predstavi svoje primere. Ostali dijaki poslušajo in sproti izpolnjujejo tabelo s kriteriji uspešnosti. Če je možno uro izvesti v računalniški učilnici, bi dijaki lahko povratno informacijo podajali tudi elektronsko s pomočjo orodij GoogleDocs. Taka povratna informacija bi bila anonimna in zato mogoče  vrstniška povratna informacija (tabela, bolj iskrena, hkrati pa se nikomur ne bi bilo v kateri je označeno, v kolikšni meri je treba izpostavljati. Seveda pa bi jih bilo treba posamezen dijak dosegel posamezen opozoriti na primerno (nežaljivo) komunikacijo kriterij uspešnosti) (Priloga 1) in izrazoslovje. Sicer bi dijaki drug drugemu povratno informacijo podajali ustno. Ob koncu vsake predstavitve je tudi čas za vprašanja dijakov. 86 Priloga 1: Primer povratne informacije dijaka na govorni nastop o uporabi eksponentne funkcije 87 6 Vizualne predstavitve Matematika skozi vizualne predstavitve (mag. Apolonija Jerko) Učenci pridobivajo nova znanja po različnih poteh in v različnih situacijah. Vloga učitelja je, da poišče te poti in ustvari čim več ustreznih situacij, pri čemer učenje olajša z uporabo več različnih načinov reprezentiranja, vrednotenja in spodbujanja zavzetosti za učenje in tako upošteva širok nabor individualnih razlik (Rose, 2002). Učne vsebine so tako predstavljene na mnogo različnih načinov z namenom, da učencem odprejo različne »vstope« v razumevanje pojmov in pojavov (Gardner, 1983). Na primer, ko se učenci učijo o ulomkih, lahko lomijo čokoladno ploščico, režejo papir, ustvarijo trgovino, rišejo dele celote, ki jih prikazujejo z uporabo modelov, uporabljajo digitalne prezentacije ... Raznovrstne dejavnosti spodbudijo učenca, da konstruira osebni pomen matematičnih pojmov, kar mnogim pomaga pri boljšem razumevanju matematičnih vsebin. Učitelj v procesu načrtovanja pouka razmišlja o individualiziranem pristopu učenja in upoštevanju različnih učnih stilov. Učenec tako dobi priložnost usvojiti nova znanja na način, ki mu je bolj naraven in ustreznejši. Ne smemo pozabiti, da učenci potrebujejo tako različne poti pridobivanja znanja kot tudi priložnosti pridobljena znanja izkazati na različne načine. K temu nas usmerjajo tudi učni načrti za osnovne in srednje šole, kjer je zapisano, naj bodo oblike ugotavljanja znanja raznolike, s čimer učencem ponudimo dovolj priložnosti izkazati kar največ znanja. Učenci predstavijo svoje znanje preko dokazov. V priročniku smo kot dokaze o znanju že predstavili preiskovalne naloge, pisna besedila in govorne nastope. Na tem mestu bomo prikazali, kako lahko učitelj prepoznava pridobljena znanja učenca, če je kot dokaz o znanju uporabljena vizualna predstavitev. Termin vizualne predstavitve se v tem priročniku nanaša na širok spekter načinov prikaza znanja, ki vključuje skice, ilustracije, diagrame, fotografije, digitalne vsebine, videoposnetke. Vizualna predstavitev je lahko samostojen dokaz o znanju, podpora govornemu nastopu ali podpora učenju. Slika 12: Učenka med načrtovanjem vizualne predstavitve (Mentor: Rok Lipnik) Med vizualnimi predstavitvami, ki jih učenci uporabijo kot dokaz o znanju, se v praksi najpogosteje pojavijo plakati, digitalne prosojnice, videoposnetki … Za izdelavo vizualne predstavitve učenec potrebuje različna vsebinska znanja in spretnosti. Pri tovrstnih dokazih se namreč prepletajo različne kategorije, kot je videz izdelka (ki je lahko estetski ali preprosto pregleden), notranja struktura, vsebina, prepričljivost, sporočilnost (Rutar Ilc, 2012). Na primer: če je izdelek učenca estetski, urejen in nazoren, rečemo, da je dodelan. A če pri takem izdelku vsebina ni ustrezna, je sporočilnost o znanju zanemarljiva. Z namenom, da od učencev pridobimo vizualne predstavitve, preko katerih bodo uspešno predstavili svoja znanja, se mora učitelj zavedati, v kakšnih medsebojnih razmerjih so naštete kategorije in to tudi predhodno predstaviti učencem. 88 Slika 13: Primer vizualne predstavitve (Mentorica: Katarina Udovč) Slika 14: Primer vizualne predstavitve (Mentorica: Katarina Udovč) 89 Z učitelji, ki so sodelovali v razvojni nalogi in so se ukvarjali z oblikovanjem kriterijev za ugotavljanje znanja učencev preko vizualnih predstavitev, smo spoznali, da moramo biti pozorni, da ne vrednotimo izdelka, ampak cilje, povezane s predstavitvijo znanja ob pomoči tega izdelka. Izdelek ocenjujemo sam po sebi le v primeru, če gre za samostojen cilj, ki je predviden v učnem načrtu. Pri vizualnih predstavitvah praviloma vrednotimo na izdelku predstavljena znanja in veščine, če so bili predvideni kot cilji v učnem načrtu. Ker lahko z vizualno predstavitvijo učenci usvojenemu znanju dodajo drugačno vrednost, smo v sodelovanju z učitelji ugotovili, da je prepoznavanje znanja, ki ga učenec prikaže z vizualnim izdelkom, uspešnejše, če so predhodno dobro zastavljeni kriteriji uspešnosti. Po temeljitem premisleku o odgovorih na zgornja vprašanja in pregledovanju vizualnih izdelkov učencev smo oblikovali primer kriterijev uspešnosti. Izbrali smo šest kategorij in dve stopnji opisnikov. Med kategorijami smo izpostavili rabo matematične terminologije, prepoznavanje uporabnosti matematičnih znanj, ustreznost vsebine, matematično korektnost, smiselno rabo digitalnih tehnologij in vidik ustvarjalnosti. Preglednica 7: Primer kriterijev uspešnosti za vizualni (digitalni) izdelek Kriterij Opisnik za minimalni dosežek Opisnik za optimalni dosežek Iz predstavitve je razvidno, da učenec Terminologija je ustrezno uporabljena v Terminologija razume uporabljeno strokovno predstavitvi. terminologijo, pri čemer dela napake. Vsebina izdelka se jasno povezuje z Uporabnost (medpredmetno, Vsebina izdelka nakazuje življenjske življenjskimi situacijami in izkazuje življenjski kontekst) situacije in medpredmetnost. medpredmetnost . Vsebina je jasno posredovana z Vsebina Vsebina ustreza naslovu oz. temi nadgradnjo zastavljene naloge. Išče nove predstavitve. povezave med matematičnimi pojmi. Izdelek vsebuje manjše matematične Matematična korektnost Izdelek je matematično korekten. napake. Digitalna tehnologija služi le kot orodje za Način predstavitve nadgradi vsebino. Smiselna raba digitalne predstavitev. Slikovno in grafično gradivo Izbrano slikovno in grafično gradivo je tehnologije podpira predstavitev v najbolj osnovnih elementih. ustrezno in nadgrajuje izdelek. Ustvarjalnost Izdelek je v okviru pričakovanega. Izdelek vsebuje inovativen pristop. 90 Učenci izdelujejo vizualne predstavitve tudi z namenom podpore učenju. V tem primeru se kriteriji uspešnosti, ki so zapisani v Preglednici 7, dopolnijo s kategorijo, ki smo jo poimenovali podpora učenju. Preglednica 8: Vizualna predstavitev kot podpora učenju Kriterij Opisnik za minimalni dosežek Opisnik za optimalni dosežek Uporaba digitalne tehnologije nakazuje Digitalna tehnologija podpira učenje in Podpora učenju podporo pri učenju. omogoča nadgradnjo učenja. Če učenec vizualno predstavitev uporabi kot podporo ustni predstavitvi oz. govornemu nastopu, h kriterijem uspešnosti, ki smo jih zapisali v Preglednici 7, dodamo kategorijo vizualna podpora. Preglednica 9: Vizualna predstavitev kot podpora govornemu nastopu Kriterij Opisnik za minimalni dosežek Opisnik za optimalni dosežek Vizualna predstavitev prispeva k posredovanju Vizualna predstavitev celovito podpira Vizualna podpora bistva sporočila. sporočilo v vseh njegovih razsežnostih. Kot eno izmed kategorij med kriteriji uspešnosti smo zapisali ustvarjalnost. Ustvarjalnost je samo ena izmed kompetenc, ki so zapisane v učnem načrtu in jih razvijamo pri pouku matematike. Učenci bodo v širši družbi uspešnejši, če bodo usvojili tako znanja posameznih predmetnih področij kot tudi splošnejše spretnosti oz. kompetence. Učenci kompetence pridobivajo in razvijajo. Izdelava vizualnih predstavitev je za učenca priložnost razvijati digitalne in medijske kompetence, ustvarjalnost, matematične zmožnosti, fleksibilnost, reševanje problemov, uporabo digitalnih tehnologij, inovativnost, sodelovanje, načrtovanje, vztrajnost, vključevanje virov in še mnoge druge. Po izkušnjah sodelujočih učiteljev so učenci pri pripravi vizualnih predstavitev pogostokrat uporabljali digitalne tehnologije. To je povsem razumljivo, če vemo, da zahteve sodobnega časa in vzpon tehnologije kažejo, da morajo biti v kontekst izobraževanja vključene priložnosti za vizualno interakcijo. Zato med zgoraj naštetimi kompetencami posebej izpostavljamo digitalne kompetence, ki so ena od transverzalnih kompetenc, ki jih mora učitelj prenesti učencem. Učitelj pri načrtovanju učnega procesa vključuje dejavnosti, ki od učenca zahtevajo, da se izrazi preko digitalnih sredstev ter poustvarja in izdeluje digitalne vsebine. Učenci tako uporabljajo digitalne tehnologije za podporo samouravnavanja učenja, kar omogoča načrtovanje, spremljanje in razmišljanje o lastnem procesu učenja, dokaz o napredku, izmenjavo vpogledov ter iskanje ustvarjalnejših rešitev (Carretero, 2017). Primeri rabe vizualnih predstavitev pri matematiki (mag. Apolonija Jerko) Vizualne predstavitve so dokazi o znanju učenca. Vključujejo lahko katerokoli matematično vsebino. 91 V prispevku smo že predstavili primere, ko se vizualna predstavitev uporabi kot dokaz o učenčevem znanju in kot podpora govornemu nastopu. Vizualna predstavitev pa se lahko uporabi tudi kot podpora pri učenju. Kot predlog uporabe vizualne predstavitve v podporo učenju navajamo primer: Učenci pripravijo vizualno predstavitev (npr. videoposnetek, plakat …). Predstavitve si med seboj izmenjajo, ogledajo in nanje zapišejo svoja opažanja. Pri tem jih usmerimo, da so pozorni na kriterije uspešnosti, ki smo jih z učenci skupaj predhodno pripravili, in na matematično vsebino. Primeri iz prakse (Katarina Udovč, Rok Lipnik) Učitelji, ki so sodelovali v razvojni nalogi, so se za vizualne predstavitve v največji meri odločali pri ugotavljanju znanja učencev o učnem sklopu geometrija. 92 6.3.1 Videoposnetki pri metrični geometriji v osnovni šoli (Katarina Udovč) Učiteljica: Katarina Udovč Šola: Ekonomska šola Novo mesto Predmet: Matematika Letnik: 3. Svetovalka: mag. Apolonija Jerko UČNI/TEMATSKI SKLOP: Metrična geometrija v prostoru Število ur: 25 Dejavnost: VIZUALNI IZDELKI UČNI NAČRT OBLIKOVANO/NAČRTOVANO SKUPAJ Z UČENCI Učni cilji: Nameni učenja: Učne dejavnosti, metode: Učenčevi izdelki oz. dokazi, ki izhajajo iz 1. dejavnost: Preverjanje predznanja pogovorov ali opazovanj pri pouku:  Dijaki vizualno predstavijo geometrijska  Predstavim geometrijsko telo ali telesa. geometrijska telesa. Ponovimo znanje o geometrijskih likih. Dijaki  zapiski o geometrijskih likih pripravijo izpiske s formulami in skicami  Dijaki najde avtentično situacijo, ki  Najdem avtentične situacije o telesih. geometrijskih likov. Pri tem kot vir uporabijo vključuje geometrijsko telo. znanje in zapiske prejšnjih let in internet. Metoda: individualno delo  Dijaki razvijajo svojo kreativnost. 2. dejavnost: Spoznavanje geometrijskih teles  Dijaki z uporabo i-učbenika Vega 3 spoznajo Dijaki razvija odgovornost. telesa in njihove lastnosti.  Metodi: individualno delo, frontalno delo (samo Dijaki se znajde v dani situaciji. piramida).  Dijaki krepi svoje organizacijske 3. dejavnost: Samovrednotenje in povratna sposobnosti. informacija Dijaki ob obdelavi vsebin ob interaktivnih vajah  Dijaki uporablja IKT. med razlago dobijo takojšnjo povratno informacijo o razumevanju pojmov.  Dijaki kritično vrednoti izdelke. Pri nalogah iz i-učbenika, ki so na koncu  poglavja in mi jih oddajajo, pa jim podam Dijaki razvijajo sodelovalno učenje. povratno informacijo preko odziva v okolju  Moodle, kamor oddajajo naloge. Na začetku oddaja nalog in povratne informacije vsake ure odgovarjam na vprašanja dijakov in 93 Standardi znanja/učni dosežki: Kriteriji uspešnosti: povzamem pomanjkljivosti v razumevanju in znanju, ki jih opazim pri večih dijakih.  Dijaki predstavi svoje znanje o  Ustreznost vsebine. Spodbudim dijake, da napake popravijo. geometrijskem telesu ali telesih. Metoda: individualno delo  Matematična korektnost izračunov in 4. dejavnost: Izkazovanje znanja z izdelkom predstav. Izziv za dijake je, da uporabijo znanje o  Uporaba pravilne terminologije in geometrijskih telesih in svoje znanje zapisov. predstavijo z videoposnetkom. Metode: dijakom dam na izbiro, da izdelek  naredijo samostojno, v parih ali v trojicah. Eno Povezovanje matematike z avtentičnimi situacijami. uro se posvetimo pripravi kriterijev uspešnosti. 1. faza: Predstavitev osnutka  predstavitev osnutka  Smiselna raba digitalne tehnologije. V prvi fazi dijaki predstavijo svoj osnutek, pripravijo izračune. Dogovorimo se za  Ideja in ustvarjalnost. individualne konzultacije, kjer predebatiramo osnutek in jih opozorim na morebitne napake, možne izboljšave … 2. faza: dokončna izdelava  končni izdelki, filmčki 5. dejavnost: Predstavitev izdelka in povratna informacija Svoj izdelek predstavijo sošolcem, ki jim pri tem podajo tudi kritično povratno informacijo glede na kriterije uspešnosti. 94 Refleksija učiteljice: Učni sklop geometrijska telesa smo predelali v času dela na daljavo. Za komunikacijo smo uporabljali videokonferenčno srečanje. Dobivali smo se po dogovorjenem urniku 3-krat na teden in na individualnih konzultacijah. Pri izdelavi učnega lista o geometrijskih likih sem opazila, da je veliko dijakov opravilo nalogo po liniji najmanjšega napora. List je bil sicer estetsko lepo narejen, vendar so bile na njem formule, ki jih sami pri pouku nismo uporabljali. Prepisane so bile z internetnih strani. Npr. ploščina pravilnega šestkotnika 3a2 S = √3. Prav tako so bile iz interneta prepisane tudi oznake za 2 ploščino P. Pri pregledovanju nalog sem že kmalu opazila, da se pri istih skupinah dijakov pojavljajo vedno enake napake. Po tej ugotovitvi sem dijake spodbujala, da se povežejo v skupine preko različnih aplikacij (Skype, Messenger …) v smislu »več glav več ve« oz. če delajo v skupini, naj vsi prispevajo k večji korektnosti in naj ne prepisujejo od enega. Dijaki so učnim vsebinam v i-učbeniku uspešno sledili. Težave so se pojavile pri obravnavi piramid. Sami niso bili zmožni predelati vsebine, zato smo vsebino po prvi uri neuspešnega samostojnega dela predelali na skupnem videokonferenčnem srečanju. Velika večina dijakov je komentarje o potrebnih izboljšavah in napakah pri reševanju nalog, ki sem jih zapisala v spletno učilnico, spregledala oz. jih niso upoštevali. Izdelka so se dijaki lotili resno. Večina se je odločila za delo v dvojicah. Imeli so zanimive ideje. Kriterije uspešnosti smo sestavljali skupaj. Po njihovih idejah sem kriterije na koncu oblikovala sama in jim jih poslala. Imeli so možnost še kaj dodati, spremeniti, dopolniti vendar ni bilo nobenih pripomb. Izdelek so dijaki predstavljali na videokonferenčnem srečanju. Na predstavitev so se pripravili. Potek predstavitve: - na začetku so opisali, kaj bodo predstavili; - sledil je prikaz videoposnetka; - povedali so, s katerimi težavami so se pri načrtovanju in izdelovanju izdelka soočili, kako so težave odpravili, s čim so bili na koncu zadovoljni in s čim ne, kaj in kako bi še kaj popravili; - sledili so komentarji sošolcev. Komentarji sošolcev so bili zelo splošni, npr.: - zelo lepo, - "uredu", - zelo se je potrudil, - lepo je predstavil, - zanimiva ideja. 95 Na tem področju bom morala veliko delati že od prvega letnika dalje. Med dijaki so bili posamezniki, ki so na glas opomnili na grobo napako, ki se je pojavila v predstavitvi. V ocenjevalnem obrazcu, ki so ga morali sošolci oddati v spletni učilnici, pa so dijaki ocenjevali bolj realno. Veliko lažje jim je ocenjevati po točkah kot opisno. S čim so bili dijaki zadovoljni: - boljše jim je bilo pridobiti oceno z izdelkom, kot pa da bi pisali kontrolno nalogo; - zadovoljni so bili s tempom obravnave snovi; - zelo so bili zadovoljni z delom preko Zooma; - nekatera poglavja v i-učbeniku so lepo razložena. S čim dijaki niso bili zadovoljni: - da sem zahtevala, da morajo biti oddane vse naloge (v šoli včasih ne naredijo vseh nalog); - nekatere naloge so bile pretežke; - da jim je nagajala tehnologija; - da doma niso imeli opreme, s katero bi lahko naredili boljše izdelke. Meni se je zdelo tako ocenjevanje, kjer so morali biti dijaki izvirni, bolj realno kot pa pisanje kontrolne naloge. Pri drugih razredih sem pri pisnih nalogah opazila veliko goljufanja. 96 Preverjanje predznanja: Učni listi s predstavitvijo likov in ponovitev o trikotnikih Dokazi o znanju: Primera vizualnih predstavitev, ki so ju izdelali dijaki, sta dostopna na povezavah https://cutt.ly/videopredstavitev_1 in https://cutt.ly/videopredstavitev_2. 97 6.3.2 Vizualna predstavitev pri matematiki kot priložnost razvijanja ustvarjalnosti (Rok Lipnik) Učitelj: Rok Lipnik Šola: Gimnazija Celje – Center Predmet: Matematika Letnik: 4. Svetovalka: mag. Apolonija Jerko UČNI/TEMATSKI SKLOP: Metrična geometrija v prostoru Število ur: 5 Dejavnost: VIZUALNI IZDELEK UČNI NAČRT OBLIKOVANO/NAČRTOVANO SKUPAJ Z UČENCI Učni cilji: Nameni učenja: Učne dejavnosti, metode: Učenčevi izdelki oz. dokazi, ki izhajajo iz pogovorov ali opazovanj pri pouku:  Dijaki vizualno predstavijo geometrijska  Predstavim geometrijsko telo. Dijaki pri sklopu metrična geometrija v telesa. prostoru spoznajo geometrijska telesa, njihove  izdelki in postopek nastajanja  Sodelujem v skupini. lastnosti, značilnosti, definicije.  Dijaki uporabijo lastne ideje in načine predstavitve.  Razmišljam kreativno. Hkrati spoznajo realne primere z geometrijskimi telesi in razmišljajo zakaj, kako  Dijaki kreativno in s skupinskim delom in kdaj uporabljamo znanja metrične raziskujejo ter rešujejo problem. geometrije. Ob zaključku poglavja se dijaki seznanijo z Standardi znanja/učni dosežki: Kriteriji uspešnosti: izzivom. Dijaki morajo svoje znanje predstaviti Dijak predstavi geometrijsko telo ali telesa na na lasten način. Pri pripravi predstavitve so  Uspešen sem, ko na svoj način svoj način. omejeni s tremi slikami (Priloga 1). Dijaki v predstavim geometrijsko telo. skupinah po 5 v času treh šolskih ur izdelajo predstavitev.  Predstavim, kako sem izdelek naredil. Prvo šolsko uro oblikujemo skupine.  V svoj izdelek smiselno vključim znanje matematike. Z dijaki začnemo oblikovati kriterije uspešnosti. Vsaka skupina prejme tri slike, izmed katerih izberejo eno. Izbrana slika je iztočnica za predstavitev. Če dijaki pri sebi nimajo 98 ustreznih pripomočkov za pripravo predstavitev (škarje, lepilo, lepilni trak, sponke, papir, karton, računalnik), jih dobijo pri učitelju. Od načrtovanih petih ur zadnji dve uri dijaki predstavijo izdelke in si podajo medvrstniško povratno informacijo. Refleksija učitelja: Dijaki so v dejavnosti neizmerno uživali in so v vseh izdelkih prikazali svoje znanje o telesih. Morda ne tako poglobljeno, kot je na gimnazijskem nivoju (prisekana, poševna telesa, razmerja, koti v telesih ipd.), vendar so osmislili osnove. Kako zelo zadovoljni so bili, kaže dejstvo, da so o tem poročali tudi starši na govorilnih urah – kako so si zapomnili te ure, koliko so pridobili na sodelovanju, kreativnem razmišljanju in se jim nikakor ni zdelo odveč. Razmišljali smo, da bi morali kot kriterij uspešnosti dodati tudi kreativnost, saj sicer težko ločimo res inovativne in drugačne izdelke od klasičnih. 99 Priloga 1: Slike, ki so jih dijaki prejeli kot izziv 100 Skupina 1: Pac-man v nastajanju Vrstniška povratna informacija: Izdelek je zanimiv in predstavlja nepričakovano obliko predstavitve. Dijaki ocenjujejo, da je skupina dijakov, ki je pripravila predstavitev, uspešno predstavila geometrijsko telo. Uspešno so predstavili postopek izdelave izdelka. V medvrstniški povratni informaciji so dijaki še zapisali, da v izdelku ni bilo veliko vsebinskega matematičnega znanja. Izdelek je bil ovrednoten na nivoju pričakovanega. Skupina 2: Naloge iz vsakdanjega življenja Vrstniška povratna informacija: Skupina dijakov je pripravila nabor matematičnih nalog. Naloge so izkazovale znanje matematike: od osnovnih formul za površino in prostornino do poševnih in prisekanih teles in problemskih nalog. Dijaki so v medvrstniški povratni informaciji zapisali še, da predstavitev ni bila izvirna, je pa smiselno vključevala matematična znanja. 101 Skupina 3: Alternativni viri energije Vrstniška povratna informacija: Med predstavitvijo tretje skupine so dijaki zapisali naslednjo povratno informacijo: Izdelek predstavlja drugačno obliko predstavitve, kot bi pričakovali. Presenetilo nas je, koliko različnih virov energije so opazili v eni sami obliki. Prepoznano je bilo znanje prostornine in površine valja, piramide in stožca. Izdelek in predstavitev sta bila nad pričakovanjem, saj je bilo na poseben, inovativen način predstavljeno geometrijsko telo, uspešno je bil predstavljen tudi proces izdelave. Izdelek je smiselno vključeval znanje matematike. Skupina 4: Model lastnega telesa Vrstniška povratna informacija: Izdelek je zanimiv in predstavlja telo, ki je kompleksno sestavljeno. Dijaki so za izdelan model telesa predstavili, kako bi se izračunala površina in prostornina. S tem so izkazali znanje površine in prostornine piramide in krogle. Izdelek je bil v skladu s pričakovanji. 102 Skupina 5: Franz Kafka Vrstniška povratna informacija: Dijaki so v medvrstniški povratni informaciji sporočili, da jih je izdelek presenetil, saj niso pričakovali povezave matematike z literarnim delom. Sporočili so tudi, da so bila geometrijska telesa predstavljen na izviren način. Pri tem je bilo smiselno vključeno znanje matematike. Izdelek je bil ovrednoten kot izdelek nad pričakovanji. Predstavljen primer je zanimiv z vidika medkurikularne povezave, ki so jo naredili dijaki sami. Sliko, ki so jo dijaki prejeli od učitelja, so povezali z novelo Franza Kafke z naslovom Preobrazba. 103 7 Didaktične igre Didaktične igre pri matematiki (mag. Mateja Sirnik) Po Slovarju slovenskega knjižnega jezika je igra (otroška) dejavnost, navadno skupinska, za razvedrilo, zabavo (igra s kartami, kockami/dobiti, izgubiti igro/družabne igre). Že grški misleci, zlasti Platon, so spoznali možnosti za uporabo igre pri vzgoji otrok. Tako navaja Platon primer iz Egipta, kjer so pri pouku uporabljali različne matematične igre, in predlaga, da bi tako naredili tudi za grške otroke. Kvintilian se je zavzemal za to, da bi učenje organizirali tako, da bi ga otroci vzljubili in bi jim pomenilo radost – pri tem bi si lahko pomagali z igro. Predlagal je, da bi dali otrokom iz slonovine izrezljane črke, da se bodo z njimi igrali in jih med igro spoznavali (Bognar, 1987). V zgodovini so nekateri psihologi ločevali igro in delo – učenje ter nasprotovali mešanju igre in učenja pri pouku. Drugačne temelje pedagoškemu delu je med drugim postavljala Maria Montessori, ki je otrokom omogočila aktivnosti, za katere je izdelala posebne pripomočke, s katerimi se otroci ukvarjajo na poseben način, ob tem pa razvijajo čutila, sposobnosti in mišljenje. Čeprav ni uporabljala svobodne igre, je bogato gradivo, ki so ga otroci imeli na razpolago, imelo smisel igračk, dejavnosti, ki so jih opravljali, pa značaj igre. Igra je tako dobila funkcijo uresničevanja vzgojno-izobraževalnih nalog. V prejšnjem stoletju je sovjetski pedagog A. S. Makarenko spoznal pomen igre in je bil prepričan, da igra mora biti v otroškem kolektivu, vendar ne kot dodatek, pa tudi učitelj mora sodelovati v njej. Če učitelj le poučuje, zahteva in nekaj pričakuje, bo učencem ostal tujec. Makarenko pravi o igri, da je metoda dela. Igra je po njegovem enako pomembna za otroke kot delo za odrasle. Kakršen je otrok pri igri, takšen bo pri delu, ko odraste. Otroška igra tako postopno prehaja v delo (Bognar, 1987, str. 24). Furlan poudarja, da se igra in učenje ne izključujeta, pač pa ravno obratno. Pravi, da je lahko učenje z igro, zlasti za mlajšega otroka, najbolj uspešno (Pečjak, 2009). Pasivne in aktivne metode učenja Metode učenja lahko razvrščamo glede na aktivnost udeležbe (Slika 15), ki pripomore k boljšemu pomnjenju učne snovi. Tudi Kolb in Milter trdita, da si zapomnimo kar 90 % tistega, kar sami počnemo. Znanja, pridobljena na aktiven način, so trajnejša, lažje jih uporabimo v praksi, saj eno praktično izkušnjo že imamo. Pri pasivnih metodah so učenci pasivni in večinoma opazujejo dogajanje kot zunanji opazovalci, učitelj pa je aktiven. Pri aktivnih metodah so učenci aktivni in sodelujejo z učiteljem, skupaj z vodjo ustvarjajo proces in odkrivajo novo znanje. Primer pasivne metode je predavanje, saj je učitelj s svojo predstavitvijo večino časa aktiven, učenci ga le poslušajo. Kljub vprašanjem in drugim odzivom učencev metoda predavanja ni aktivna metoda. Po drugi strani pa je igra tipična aktivna metoda učenja, saj so učenci večino časa aktivni. Kljub začetnemu podajanju navodil s strani učitelja, ki so za samo izvedbo nujna, metoda ni statična. Aktivne metode učenja omogočajo izkušnjo. Vsako učenje bo imelo večji učinek, če bo učenec nekaj preizkusil, se v določeno situacijo vživel, jo raziskal in sam poiskal zakonitosti, načine reševanja. Tako učenje po Davidu A. Kolbu imenujemo tudi izkustveno učenje. Aktivne metode omogočajo celostno učenje, saj spodbudijo tako kognitivno raven (povezovanje predznanja – že znanih pojmov z novimi) kot tudi afektivno (aktivna vloga zahteva tudi vpetost čustev in etičnih načel) in psihomotorično raven. Z aktivno vlogo učenec pride na stopnjo uporabe že pridobljenega znanja ter preizkušanja novo pridobljenih znanj. Pri uporabi novo pridobljeno znanje lahko analizira, povezuje z drugimi znanji. Če nove izkušnje, pridobljene preko aktivnih metod učenja, ustrezno vrednotimo, dosežemo najvišjo kognitivno stopnjo po Bloomu. Tako lahko z dobro načrtovano didaktično igro dosežemo učne cilje, pridobljena znanja pa bodo trajnejša. 104 Slika 15: Metode učenja glede na aktivnost učencev Učna igra je primer aktivne metode učenja. Od učencev pričakuje vključevanje preteklih znanj in izkušenj, istočasno pa refleksija in vrednotenje učne igre spodbujata učence k razmišljanju, kaj novega so se naučili. Učna igra se razlikuje od navadne (otroške) igre v tem, da zanjo potrebujemo konkretne učne cilje, ki jih lahko delimo na izobraževalne in vzgojne. Vzgojna igra v ospredje postavlja predvsem vzgojne cilje, v manjši meri pa se dotakne izobraževalne vloge. To so igre, ki posegajo bolj na odnosno raven (socialne igre, igre za gradnjo skupnosti …). Didaktična igra v ospredje postavlja kognitivno spoznanje oz. učne cilje učnih načrtov. Didaktična igra je torej igra, ki odgovarja vnaprej načrtovanim učnim ciljem, ki jih dosežemo z aktivno vlogo učencev. Ime nosijo po didaktiki, ki je v Slovarju slovenskega knjižnega jezika razložena kot veda o poučevanju. Zavedati se moramo, da vzgoje in izobraževanja med seboj ne moremo ločiti, vzgojne in didaktične igre imajo zato vedno vzgojni in izobraževalni vpliv, delimo jih glede na to, ali v ospredje postavljajo vzgojo ali izobraževanje. Pri vseh igrah je pomembno vrednotenje znanj, pri didaktičnih igrah lahko na koncu povzamemo, katera znanja smo spoznali oziroma utrjevali ter kvalitativno preverimo in ocenimo izobraževalne cilje. Pomembna dejavnika sta tudi samovrednotenje in povratna informacija drugih učencev. Podobno opredeli igro Pečjak (Pečjak, 2009), ki pravi, da je igra razvojna in vzgojna dejavnost, pri kateri je otrok samostojen, svoboden, ustvarjalen, pri kateri raziskuje in išče nove možnosti, tekmuje s seboj, z drugimi, s časom, s cilji, ti pa so lahko tudi učni. Igra je način, kako se otrok uči tisto, česar ga nihče ne more naučiti. Didaktična igra je torej igra z določeno nalogo ali ciljem. Otroci se teh ciljev večkrat niti ne zavedajo. Poleg izobraževalnih vidikov so posledica uporabe didaktičnih iger tudi boljši medsebojni odnosi med učenci in v razredu nasploh. Klima v razredu je bolj sproščena in učenje postane bolj zanimivo. Didaktične igre pa imajo prednosti tudi za učitelje. Z učenci vzpostavijo sproščen in odprt odnos ter z njihovo pomočjo pomagajo učencem priti do novega znanja. Veliko vlogo imajo pri motivaciji učencev za nadaljnje delo. Z njimi jih tudi umirijo, če je v razredu nemir. Torej, v razredu so zaznani pozitivni učinki, kadar učitelji didaktične igre vključujejo v pouk pri vseh učnih predmetih in v različnih fazah učnih ur (Zupančič, 2013). 105 Avtorji različno delijo didaktične igre. Kamenov v (Bognar, 1987) deli didaktične igre na funkcionalne igre, igre vlog, igre s pravili in konstruktorske igre. Ker so vse didaktične igre na neki način funkcionalne, ker razvijajo posamezne sposobnosti, jih delimo na didaktične igre vlog, igre s pravili in konstruktorske igre (Bognar, 1987, str. 89). Pri igrah vlog se učenci najpogosteje igrajo medčloveške odnose in se tako usposabljajo za sodelovanje pri podobnih življenjskih situacijah. Pri takih igrah veliko govorijo, zato so primerne za razvoj govora. Lahko tudi pišejo, berejo, računajo, pojejo, plešejo, slikajo in delajo, kar pomeni, da spodbujajo učence k različnim dejavnostim. Zato imajo igre vlog široke možnosti za uporabo pri pouku. Igre s pravili ponujajo neizčrpne možnosti za uporabo pri pouku, ker so primerne za doseganje konkretnih ciljev in nalog. To so pri pouku matematike lahko različne izpeljanke iz domin, kart, lota, tombole, spomina, igre monopoli, igre človek ne jezi se, različnih namiznih iger, pri katerih uporabljamo ploščo za igranje, različne figure, kocke … Osnovna značilnost teh iger so pravila, s katerimi določamo potek igre. Pravil ni potrebno jemati dobesedno in jih lahko spreminjamo, prilagajamo starosti učencev in potrebam pouka. Pravila lahko sestavijo in zapišejo učenci sami, kar je dragocena oblika ustvarjalnega dela. Igre po načinu odločanja lahko razdelimo na dve veliki skupini: v strateške igre in v igre na srečo. Strateške igre omogočajo, da igralci izrazijo določene sposobnosti, npr. spretnost, hitrost, kombinatoriko, reševanje problemov, znanje, medtem ko pri igrah na srečo potek igre določamo s kocko, z vrtavko ali z žrebom. Konstruktorske igre (Bognar, 1987, str. 102) so pomemben dejavnik pri pouku, ker poleg motorike rok razvijajo tudi domišljijo, kombinatoriko in ustvarjalne sposobnosti. Te igre imajo vedno konkretno gradivo, ki ga otrok oblikuje po svoje. Gradivo so lahko različne kocke, škatle in naravne snovi, npr. pesek, kamen, plodovi in podobno. Imamo tudi posebno, že oblikovano gradivo, primerno za različne konstrukcije in gradnje. Te igre so v pravem pomenu besede predhodniki dela in prav zaradi tega posebno pomembne. Ker je šola usmerjena k intelektualnemu delu, je ta oblika dela večkrat prezrta. Takšne igre velikokrat pojmujejo v šolah kot izgubo časa, vendar bi prav v šolah morali vključevati situacije, ki bi otroke spodbujale h konstruktorskim igram. Konstruktorske igre imajo vedno končni izdelek. V primerjavi z igrami s pravili, kjer je namen igre tekmovanje in zmaga, je tukaj končni izdelek, ki ima tudi uporabno vrednost, pri mlajših učencih najpogosteje kot pripomoček v igri (Bognar, 1987, str. 102). 106 Didaktične igre v učnem načrtu za matematiko v osnovni šoli . . . Didaktične igre pri pouku matematike na predmetni stopnji Veliko je zapisanega o igrah pri pouku na razredni stopnji, manj pa pri starejših učencih. V razvojni skupini smo se lotili uporabe iger po pravilih in konstruktorskih iger pri pouku matematike. K igram po pravilih smo pristopili na ta način, da so jih učenci sami izdelovali. Lotili smo se izdelave za posamezne tematske sklope. Pri prvi izvedbi take dejavnosti smo se najprej z učenci pogovorili, kakšna je ustrezna didaktična igra. Oblikovali smo zapis kriterijev uspešnosti za izdelavo iger. Po potrebi smo ob igranju iger zapis kriterijev popravili oziroma dopolnili. Na koncu smo na posamezne igre tudi podali povratno informacijo in jih po potrebi izboljšali oziroma nadgradili. Kriteriji uspešnosti za izdelavo didaktičnih iger V razvojni skupini smo se v prvi vrsti lotili izdelave didaktičnih iger, ki smo jih v nadaljevanju preigrali pri pouku, in ne samo aktivne rabe didaktičnih iger. V ta namen smo se najprej vprašali, kakšna je primerna didaktična igra za učence na predmetni stopnji in v srednji šoli. 107 Preglednica 10: Kriteriji za izdelavo in igranje didaktičnih iger Kriterij Opisnik za minimalni dosežek Opisnik za optimalni dosežek Navodila za igranje so razumljiva, sistematična in Pravila so napisana, na posameznih v pravilnem zaporedju, matematični jezik je mestih nerazumljiva, zaporedja korakov so neustrezna, pomešan je vrstni red rabljen korektno. Navodila so zapisana slovnično korakov. pravilno. Jasno in nedvoumno opredelijo Navodila igre so zmagovalca. razumljivo zapisana. Zaključek igre ni jasen. Zapisan je potreben material za igro. Igra je vsem poznana, nima elementov kreativnosti/ustvarjalnosti pri ideji. Igra je izvirna, kreativna, inovativna (avtorsko delo sestavljalcev). Pojavljajo se napake, pomanjkljivosti pri Zapisi so matematično simbolnih zapisih, matematični Pravilno so uporabljeni simbolni zapisi in matematična terminologija. pravilni in čitljivo terminologiji. zapisani. Rokopis je čitljiv. Zapis je nečitljiv, kar ovira potek igre. Primeri pokrijejo dogovorjeno vsebino, vključen je tudi kakšen primer povezovanja z drugimi Primeri so rešljivi, Primeri ne pokrijejo vse dogovorjene pokrijejo izbrano vsebine, primeri niso rešljivi, rešitve vsebinami. vsebino. vsebujejo napake, rešitve niso priložene. Igri so priložene rešitve, ki so pravilne, brez napak. Primeri so preenostavni ali prezahtevni Primeri so različno zahtevni: primeri različnih Igra nam omogoča za avtorja (jih ne zna rešiti.) Stopnjevanja težavnosti so enakomerno zastopani. različne stopnje težavnosti oziroma je ni, težavnostnih stopenj ni opaziti. Zmagovalca ne določa samo sreča, ampak je primerna glede na naše zmaga odvisna tudi od matematičnega znanja. znanje. Zmagovalca igre določa sreča in ne Igra omogoča izbiro težavnosti (glede na matematično znanje. matematično znanje). 108 Primeri (vprašanja, Reševanje nekaterih primerov zahteva Primeri se rešijo v kratkem času in igra teče, naloge) so kratki in preveč časa, primeri so preveč omogočajo tekočnost kompleksni in onemogočajo tekočnost primeri so rešljivi na pamet (oz. v kratkem času z igre. igre. uporabo računala). Igra je rešljiva in se Igra nima konca (ni rešitve), nima Igra se glede na navodila in primere zaključi v zaključi v predvidenem zmagovalca, časovno se ne zaključi v načrtovanem času. času. predvidenem času. Zmagovalec izkazuje matematično znanje. Sodelovanje v skupini Vloge niso jasne, vsi ne upoštevajo Vloge v skupini so jasno razdeljene, vsak navodil, vsi ne opravijo vseh zadolžitev, (pri izdelavi igre) sodelovanja v skupini ni. upošteva navodila in opravi svoje zadolžitve. Pri igranju nismo vedno pošteni. Igramo pošteno po zapisanih navodilih. Ne preverjamo vseh rezultatov (svojih in IGRANJE IGRE: Preverjamo matematično pravilnost svojih in Pri igranju pravilno soigralčevih). soigralčevih primerov, spremljamo potek igre in upoštevamo navodila za skrbimo za tekočnost igre. Igra se včasih ustavi, ne vemo, kdo je na igranje vrsti. Sprejmemo poraz (dostojno) in zmago Igralci se sprejo, ne sprejmejo poraza. (konstruktivno kritiko, ni izbruhov jeze). Primeri iz prakse (Lidija Jug, Loreta Hebar, Andreja Potočnik) Učitelji v razvojni nalogi so pri svojem pouku matematike z učenci izdelovali in preizkušali nekatere didaktične igre. 109 7.2.1 Didaktične igre v 7. in 8. razredu pri pouku matematike (Lidija Jug) Učiteljica: Lidija Jug Šola: OŠ Sladki Vrh Predmet: matematika Razred: 7. in 8. Svetovalka: mag. Mateja Sirnik UČNI/TEMATSKI SKLOP: Število ur: 4 7. razred: Računske operacije z ulomki 8. razred: Potence, Izrazi s spremenljivkami Dejavnost: MATEMATIČNE IGRE UČNI NAČRT OBLIKOVANO/NAČRTOVANO SKUPAJ Z UČENCI Učni cilji: Nameni učenja: Učne dejavnosti, metode: Učenčevi izdelki oz. dokazi, ki izhajajo iz pogovorov ali opazovanj pri pouku: Učenci/učenke:  Uporabimo matematično znanje za Pred izvedbo teh aktivnosti je potrebno  poznajo in uporabljajo vsebinske cilje izdelavo didaktičnega pripomočka pri obdelati poglavja Potence in Izrazi s tematskega sklopa Izrazi s matematiki v obliki matematične igre. spremenljivkami (8. razred) ter Ulomki in spremenljivkami, Potence in Računske  Preigramo igro in jo po potrebi Računske operacije z ulomki (7. razred). Proti operacije z ulomki; popravimo. koncu obravnave učne snovi učencem dam za domačo nalogo, naj razmislijo o izdelavi  samostojno oblikujejo matematično igro matematične igre, s katero bodo izkazali svoje (razpravljajo o potrebnih in zadostnih znanje o izrazih in preverili znanje sošolca. podatkih, pripravijo rešitve, zapišejo 1. ura navodila za igro);  Usmeritve za delo in skupen zapis  Usmeritve, ki predstavljajo osnovo za kriterijev uspešnosti kriterije uspešnosti (Priloga 1)  razvijajo kritični odnos do izdelkov – Z učenci se pogovorimo o znanih družabnih iger. igrah (njim poznanih) in o tem, kaj bi bila matematična družabna igra. Predstavijo mi svoje ideje, kakšno igro bi lahko sami naredili, kaj bi preverjala … Pogovorimo se o kriterijih in jih z učenci sooblikujemo; ti jim služijo za povratno informacijo. Zapis uredimo na plakat, ki ga izobesimo v učilnici (Priloga 1).  Izdelava matematične igre  Načrtovanje in izdelava igre (Priloga 2) 110 Standardi znanja/učni dosežki: Kriteriji uspešnosti: Učenci sestavljajo matematično družabno igro in zanjo napišejo pravila in tudi rešitve. Pri tem Učenec/učenka: Kriterije uspešnosti oblikujemo skupaj z si lahko pomagajo z učbenikom (z znanimi  dosega standarde znanja glede na učenci pri sestavljanju iger. Primer je primeri) in z žepnim računalom. Ob koncu ure matematično vsebino izbranega podan v Prilogi 1. predstavijo izbrano igro in njene osnovne tematskega sklopa značilnosti. Igra je individualno delo Pri igranju iger jih po potrebi dopolnimo. posameznika.  uporablja matematiko pri reševanju problemov (sestavljanje matematičnih 2. ura: Pri ponovnem izvajanju dejavnosti jih iger) iz vsakdanjega življenja dokončno oblikujemo.  Izdelava matematične igre  Učenci nadaljujejo z izdelavo igre, lahko jo že v skladu z vsebinami osnovnošolske matematike uporablja matematično in tudi zaključijo. Vsebovati mora navodila nematematično terminologijo (pravila) in rešitve. Učenci začnejo s preizkušanjem svoje igre in  kritično reflektira lastno znanje (izdelek – preverjajo rešitve ter tekočnost igranja. igro in proces, ki je privedel do izdelka) (Opomba: V kolikor jim ni uspelo vsega narediti pri pouku, igro dokončajo doma.) 3. in 4. ura (Uri sta izvedeni v manjših delih po 10 do 15 minut v naslednjih urah. Ne nujno zaporednih, saj igre služijo kot odlično didaktično sredstvo za ponavljanje učne snovi.):  Preizkušanje matematičnih iger s sošolci  Preizkušanje iger in pisanje povratnih in pisanje povratne informacije sošolcem informacij (Priloga 3) Učenci preizkušajo igre v skupinah, parih,  običajno ne svoje. Preverjajo navodila, Primeri iger, ki so jih izdelali učenci (Priloga 4) tekočnost igranja ter rešitve. Avtorju igre zapišejo povratno informacijo glede na dogovorjene kriterije. Ob koncu igranja posamezne igre se na glas poda povratna informacija in predlog izboljšave. Učenci preizkušajo igre v skupinah, parih, običa 111 Priloga 1: 112 Priloga 2: Igre v izdelavi, osnutki (nekatere izmed njih kasneje niso bile izdelane) 113 Priloga 3: Preizkušanje iger 114 115 Priloga 4: Izdelane igre El ane i 116 7.2.2 Primeri izdelanih didaktičnih iger s kriteriji uspešnosti in povratnimi informacijami učencev (Loreta Hebar) Soustvarjanje kriterijev uspešnosti pri pouku Kriteriji uspešnosti, zapisani na tablo. Dopolnjeni kriteriji uspešnosti. 117 Primeri izdelanih iger Igra A: Nepravilen matematični zapis, nerešljivo. Igra B: Zmagovalca določa sreča. Igra C: Kreativna, omogoča izbiro težavnosti zmagovalec ni odvisen le od sreče, priložene rešitve in navodila. 118 Povratne informacije Vrednotenje igre A: Vrednotenje igre B: Vrednotenje igre C: 119 7.2.3 Primeri izdelanih didaktičnih iger s povratnimi informacijami učencev (Andreja Potočnik) 120 121 8 Izdelki Izdelki pri matematiki (mag. Mateja Sirnik, mag. Sonja Rajh) Vam je znan naslednji primer? Učitelj pri pouku matematike z velikim modelom štirikotnika (npr. paralelograma, trapeza, deltoida, romba ...) demonstrira preoblikovanje do pravokotnika, ki mu učenci že znajo izračunati ploščino. Ali pa jim pokaže računalniško simulacijo takega preoblikovanja. Na vprašanje, zakaj tega učenci ne naredijo sami, pogosto odgovori: »Ne znajo rezati s škarjami.« Vprašam: »Zakaj pa ne?« Učitelj odgovori: »Ker še nikoli niso.« Tak odgovor ni odraz realnega stanja, kajti učenci so v procesu predhodnega izobraževanja deležni veliko dejavnosti s konkretnim materialom, kar bi morali nadgrajevati tudi v tretjem vzgojno-izobraževalnem obdobju in v srednji šoli. Seveda si vsi želimo, da bi učenci vse razumeli in ogromno znali. Toda odrasli v preveliki vnemi in v dobri veri, z veliko mero ljubezni vse naredimo namesto njih in jim niti ne nudimo priložnosti, da bi nekaj naredili sami, pa čeprav bi bilo to prvič pomanjkljivo ali celo napačno, vendar bi se s tem na napakah učili, zato bi bil naslednji izdelek že boljši. Poleg tega se ne bi več dolgočasili pri pouku ali se celo miselno odklopili od dogajanja v razredu. Harari (Harari, 2019) v nasvetih za 21. stoletje pravi, da se v šolah preveč posvečamo podajanju čim večje količine podatkov, kar je bilo v preteklosti smiselno, saj je bilo malo znanega. Toda v 21. stoletju smo preplavljeni z ogromno količino informacij, ki so samo en klik vstran. V šolah še zmeraj poučujemo matematične algoritme, čeprav jih obvlada tudi stroj in jih lahko v krajšem času opravi namesto nas. Kaj bi torej morali poučevati v 21. stoletju, ko učence izobražujemo za poklice, ki še ne obstajajo? Številni pedagoški strokovnjaki pravijo, da bi se morali posvetiti poučevanju t. i. 'štirih K-jev': kritičnega mišljenja, komuniciranja, kooperativnosti in kreativnosti (Davison, 2017). »Če boste leta 2050 hoteli dohajati svet, boste morali razvijati nove ideje in izdelke, predvsem pa se boste morali znova in znova prilagajati.« (Harari, 2019) Zato našim učencem ponudimo možnost, da v šoli razvijajo nove ideje, načrtujejo, oblikujejo, konstruirajo nek izdelek, ali pa prilagodijo in izboljšajo že narejenega ter pri tem uporabijo vso usvojeno znanje, veščine in spretnosti. Naj ustvarjajo, saj je to najvišja stopnja Bloomove taksonomije spoznavnih procesov. V začetku naj izdelujejo že znane stvari in ob tem dobivajo ideje za izboljšave. Samo pričeti je potrebno z izdelovanjem. Pri izdelovanju se medpredmetno povežemo z likovno umetnostjo, tehniko in tehnologijo, fiziko … V SSKJ je razloženo, da je izdelek nekaj, kar je izdelano, narejeno. Lahko je narejeno z ročnim, strojnim delom ali pa z umskim delom. Učni načrt (Žakelj A. e., Učni načrt. Program osnovna šola. Matematika., 2011) za matematiko v OŠ spodbuja različne oblike preverjanja in ocenjevanja znanja. Tako so med načini ocenjevanja izrecno navedeni praktični izdelki, npr. izdelava dodekaedra. Med cilji v učnem načrtu je navedeno tudi, da učenci izdelujejo mreže teles, modele teles in likov, modelirajo fizične objekte z geometrijskimi modeli (npr. fizični model strehe modeliramo z geometrijskim modelom piramide). Ob modeliranju s konkretnimi materiali (npr. pri oblikovanju sestavljenih teles, modeliranju hiše, strehe, vrta, poljubne zgradbe …) učenci prevzamejo aktivno vlogo pri učenju, ob tem razvijajo geometrijske predstave in abstraktno matematično mišljenje. 122 Že Piaget (Labinowicz, 2010) je poudarjal, da se matematika začenja z ukvarjanjem s predmeti, saj tako fizično (dotikanje, dviganje, stiskanje …) kot matematično logično spoznanje (usklajevanje mentalnih in fizičnih dejavnosti) vključujeta ukvarjanje s predmeti. Otroci so radovedni, radi vstopajo v interakcije s predmeti in ljudmi, saj preko njih osmišljajo svet okoli sebe. V šoli bi morali učencem zagotoviti okolje, ki bi vzpodbujalo prehod na višje ravni intelektualnega razvoja. V nižjih razredih naj učitelj premišljeno izbira pripomočke, s pomočjo katerih se bodo učenci učili, starejši učenci pa naj take pripomočke za učenje izdelujejo sami. »Učence spodbujamo k načrtovanju in izdelovanju različnih modelov, npr. teles, likov, številskih premic, ulomkov idr., ob čemer se jim lahko porajajo zanimiva raziskovalna vprašanja, ki vnašajo v pouk življenjskost, problemskost in zanimivost.« (Mešinovič, 2017) Tudi na predmetni stopnji osnovne šole in v srednji šoli je pomembno, da imajo učenci možnost manipulirati s konkretnim materialom, saj na ta način konkretizirajo abstraktne pojme, na podlagi katerih razvijajo abstraktno mišljenje. Pomembno je tudi, da imajo možnost, da pripomočke, makete in modele izdelujejo sami, saj se na ta način največ naučijo. Ogromno se naučijo tudi tako, da sošolcu z lastnim besedami, prikazi ali modeli pomagajo pri razumevanju zahtevnejših pojmov. Na ta način tudi sami poglobijo razumevanje. Po raziskavah v spominu ohranimo približno 20 % tega, kar slišimo, 30 % tega, kar vidimo, 50 % tega, kar slišimo in vidimo hkrati, ter 90 % tega, kar naredimo (Markovac, 1992 v (Mešinovič, 2017)). Učenci se med seboj ne razlikujejo le v umskih sposobnostih, ampak tudi v stilih zaznavanja, spoznavanja in učenja. Stil zaznavanja opredeljuje zaznavni kanal — čutilo (vid, sluh, tip …), ki mu posameznik daje prednost pri sprejemanju in notranji predstavitvi čutnih vtisov iz okolja. Ločimo se namreč po tem, katerim čutnim vtisom dajemo prednost pri zaznavanju, predstavljanju, učenju in sporočanju. Tako poznamo vizualni (oz. vidni), avditivni (slušni) in kinestetično-čustveni stil zaznavanja (Marentič-Požarnik B. , 2014). Z izdelovanjem različnih predmetov (modeli teles, makete …) pridobivanje in izkazovanje znanja približamo tudi in predvsem učencem, pri katerih prevladuje kinestetično-čustveni stil zaznavanja. Taki učenci so fizično naravnani, ljudi in stvari se radi dotikajo, se jim približajo, da jih podrobneje proučijo iz vseh strani in iz vseh vidikov. Učijo se s preizkušanjem in z dejavnostjo oz. delom tako, da rokujejo z različnimi predmeti in jih izdelujejo, se ogromno gibljejo in si stvari ogledujejo, saj si tako več zapomnijo. Učitelji matematike se pogosto pri poučevanju preveč osredotočamo na posredovanje znanja na načine, s katerimi se sami najlažje učimo in ne pomislimo na to, da so učenci drugačni. Izdelki – igre pri matematiki V razvojni skupini so se učiteljice pri pouku matematike v osnovni šoli osredotočile na izdelavo konstruktorskih izdelkov pri geometrijskih vsebinah po zaključku obravnavanih sklopov. Za naše konstruktorske izdelke lahko rečemo, da jih uvrščamo v kategorijo konstruktorskih iger, kjer smo uporabljali delno oblikovan material in tudi specialno narejene elemente za gradnjo (link kocke). Za primer dejavnosti Sestavljeno geometrijsko telo, ki je opisana v nadaljevanju, smo oblikovali podrobnejši predlog kriterijev uspešnosti s pripadajočimi opisniki na dveh ravneh. Ti kriteriji so bili vodilo in v pomoč učiteljem, ko so z učenci sooblikovali kriterije uspešnosti. 123 Preglednica 11: Kriteriji z opisniki za izdelavo sestavljenega geometrijskega telesa Kriterij Opisnik za minimalni dosežek Opisnik za optimalni dosežek Izdelana so različna, zahtevnejša (za izdelavo Upoštevano število različnih Upoštevana je spodnja meja v in računanje) telesa, tudi neenostavnih in geometrijskih teles navodilih. Telesa so preprosta. nepravilnih oblik (vključeno je dodajanje in odvzemanje). Večina (vsi) opisov ima veliko Opis je matematično popoln, skica je matematičnih napak ali so pregledna, z vsemi pomembnimi podatki. Opisana telesa, narisana skica, pomanjkljivi. označene mere Mere so pravilne. Skice so nepregledne in pomanjkljive. Skica je skladna z izdelkom. Modeli so nepopolni (nenatančno izdelani pregibi – robovi, neustrezni Glede na mere so telesa (mreže) koti) oziroma se ne ujemajo z pravilno (natančno) izdelana ali merami. Modeli teles so pravilno in natančno izdelani, obratno (iz obstoječih teles so sestavljeno telo je natančno sestavljeno. pravilno izpisani podatki) Sestavljeno telo gradijo preprosta telesa. Izračuni so pomanjkljivi, delno Uporabljene formule so pravilne za posamezno napačni, enote niso vedno ustrezne. telo, izračuni so pravilni s pravilnimi merskimi Zapisani postopki za površino sestavljenega telesa enotami. Upoštevane so stične ploskve pri Stične ploskve niso upoštevane, računanju glede na izdelek, strategija je končna rešitev je napačna. pravilna, končna rešitev je pravilna. Uporabljene formule so pravilne za posamezno Zapisani postopki za Izračuni so pomanjkljivi, delno telo, izračuni so pravilni s pravilnimi merskimi prostornino sestavljenega napačni, enote niso vedno ustrezne, enotami. telesa strategija je delno pravilna. Strategija je pravilna, končna rešitev je pravilna. Življenjska situacija je pomanjkljiva oz. nesmiselna. Izdelek je postavljen v življenjsko situacijo, ki je Izdelek, postavljen v življenjsko pravilno rešena (realen objekt je narejen v situacijo ustreznim merilu, količina barve, število opek, Rešitev ni popolna, izračuni so delno masa telesa, ometa, število ploščic …). pravilni. Predstavitev je delno razumljiva, vsebuje matematične napake, Predstavitev izdelka je jasna, matematično Predstavitev izdelka in izkazuje pomanjkljivosti v pravilna, razvidno je razumevanje matematične postopka izdelave matematičnem razumevanju vsebine vsebine in uporaba ustrezne terminologije. in terminologije. Primeri iz prakse (Lidija Jug, Tatjana Kerin, Andrejka Kramar) 124 8.2.1 Navodila za izdelavo: Sestavljeno geometrijsko telo (Lidija Jug) 1. Izdelava telesa Iz poljubnega materiala izdelaj sestavljeno geometrijsko telo. Izdelek naj bo iz minimalno treh različnih geometrijskih teles (zgornje omejitve ni). Nastane lahko tudi z dodajanjem ali odvzemanjem različnih teles ali njihovih delov nekemu drugemu telesu. Bodi izviren. Uporabiš lahko prazne embalažne škatle, ki jih zlepiš skupaj. Telesa lahko seveda tudi izdelaš sam iz kartona, lesa … Seveda ves čas pazi na videz izdelka. 2. Merjenje in skica Na list nariši skico (pazi na vse lastnosti) sestavljenega telesa. Skiciraj tudi posamezna geometrijska telesa, ki sestavljajo celotno telo. Posamezna telesa označi in zapiši njihove mere. Bodi natančen. 3. Površina in prostornina Sledi računski del, kjer boš izračunal površino in prostornino sestavljenega telesa. Uporabi ustrezne obrazce in zapiši celoten postopek reševanja. Pomagaj si z vsem, kar si se naučil pri pouku. Nalogo lahko popestriš in nadgradiš, tako da telo postaviš v življenjsko situacijo – mogoče ga prebarvaš (količina barve …), izračunaš maso telesa (les) … Zaradi težjega zapisovanja matematičnih simbolov z računalnikom lahko zapisuješ v zvezek. Pri delu ti želiva veliko ustvarjalnosti in zadovoljstva. 125 8.2.2 Izdelava sestavljenega geometrijskega telesa (Tatjana Kerin) Učiteljica: Tatjana Kerin Šola: OŠ Leskovec pri Krškem Predmet: matematika Razred: 9. UČNI/TEMATSKI SKLOP: Geometrija in merjenje, geometrijska telesa Število ur: 2 Dejavnost: IZDELEK – Sestavljena geometrijska telesa UČNI NAČRT OBLIKOVANO/NAČRTOVANO SKUPAJ Z UČENCI Učni cilji: Nameni učenja: Učne dejavnosti, metode: Učenčevi izdelki oz. dokazi, ki izhajajo iz Učenci/učenke: pogovorov ali opazovanj pri pouku:   Aktivnosti se izvajajo po obravnavi učnega poznajo in uporabljajo vsebinske cilje Uporabimo matematično znanje za sklopa Geometrija in merjenje; izdelavo izdelka pri matematiki. sklopa Geometrijska telesa.   samostojno oblikujejo izdelek – Izdelek postavimo v realno situacijo iz 1. Izdelava izdelka – sestavljenega  izdelki učencev (Priloga 2) sestavljeno geometrijsko telo tako, da vsakdanjega življenja. geometrijskega telesa razpravljajo o potrebnih in zadostnih podatkih, pripravijo rešitve, izdelajo Učenci samostojno ali v manjši skupini na poročilo oz. predstavijo izdelek; osnovi navodil (Priloga 1) izdelajo sestavljeno  razvijajo kritični odnos do izdelkov. geometrijsko telo in rešijo zastavljene naloge po danih navodilih. Standardi znanja/učni dosežki: Kriteriji uspešnosti: Učenec/učenka: 2. Sooblikovanje kriterijev uspešnosti na  Za sooblikovanje uporabimo predstavljene dosega standarde znanja glede na osnovi navodil matematično vsebino izbranega kriterije za vrednotenje izdelka – tematskega sklopa; sestavljeno geometrijsko telo (Priloga 3). 3. Vrednotenje izdelkov  uporablja matematiko pri reševanju Vrednotenje izdelkov in opravljenih nalog na problemov (izdelavi izdelka) iz osnovi kriterijev uspešnosti. vsakdanjega življenja;  v skladu z vsebinami osnovnošolske matematike uporablja matematično in nematematično terminologijo;  kritično reflektira lastno znanje (izdelek – igro in proces, ki je privedel do izdelka). 126 Priloga 1: Navodila (povzeto po Lidiji Jug) Navodila za izdelek: Sestavljeno geometrijsko telo 1. Izdelava telesa Iz poljubnega materiala izdelaj sestavljeno geometrijsko telo. Izdelek naj bo iz minimalno treh različnih geometrijskih teles (zgornje omejitve ni). Nastane lahko tudi z dodajanjem ali odvzemanjem različnih teles ali njihovih delov nekemu drugemu telesu. Bodi izviren. Telesa izdelaš sam iz kartona, lesa … Seveda ves čas pazi na izgled izdelka. 2. Merjenje in skica Na list nariši skico (pazi na vse lastnosti) sestavljenega telesa. Skiciraj tudi posamezna geometrijska telesa, ki sestavljajo celotno telo. Posamezna telesa označi in zapiši njihove mere. Bodi natančen. 3. Površina in prostornina Sledi računski del, kjer boš izračunal površino in prostornino sestavljenega telesa. Uporabi ustrezne obrazce in zapiši celoten postopek reševanja. 4. Postavitev v življenjsko situacijo Nalogo nadgradiš tako, da telo postaviš v življenjsko situacijo – mogoče ga prebarvaš in izračunaš količino barve, izračunaš maso telesa (les), prikažeš realni življenjski problem, npr. izračuna stroškov za pleskanje sten, prekrivanje strehe, prostornina prostorov in izračun stroškov kurjave … Nalogi dodaj tudi fotografije vmesnih faz izdelave naloge – izdelka. Zaradi težjega zapisovanja matematičnih simbolov z računalnikom lahko oblikuješ rokopis. 127 Prloga 2: Primeri izdelkov učencev 128 129 Priloga 3: Kriteriji uspešnosti Kriterij Opisnik za minimalni dosežek Opisnik za optimalni dosežek Izdelana so različna, zahtevnejša (za izdelavo in računanje) telesa, tudi Upoštevano število različnih geometrijskih Upoštevana je spodnja meja v navodilih in telesa so teles preprosta. neenostavnih in nepravilnih oblik (vključeno je dodajanje in odvzemanje). Opis ima veliko matematičnih napak ali je pomanjkljiv (večina ali vsi). Opis je matematično popoln, skica je pregledna in z vsemi pomembnimi Telesa so opisana, narisana je skica, podatki. označene so mere Skice so nepregledne in pomanjkljive. Skica je skladna z Mere so pravilne. izdelkom. Modeli so nepopolni (nenatančno izdelani pregibi – robovi, Glede na mere so telesa (mreže) pravilno (natančno) izdelana ali obratno (iz obstoječih neustrezni koti) oziroma se ne ujemajo z merami. Modeli teles so pravilno in natančno izdelani, sestavljeno telo je teles so pravilno izpisani podatki) natančno sestavljeno. Sestavljeno telo gradijo preprosta telesa. Izračuni so pomanjkljivi, delno napačni, enote niso vedno Uporabljene formule so pravilne za posamezno telo, izračuni so pravilni Zapisani postopki za površino sestavljenega ustrezne. s pravilnimi merskimi enotami. Upoštevane so stične ploskve pri telesa računanju glede na izdelek. Strategija je pravilna, končna rešitev je Stične ploskve niso upoštevane, končna rešitev je napačna. pravilna. Uporabljene formule so pravilne za posamezno telo, izračuni so pravilni Zapisani postopki za prostornino Izračuni so pomanjkljivi, delno napačni, enote niso vedno s pravilnimi merskimi enotami. sestavljenega telesa ustrezne, strategija je delno pravilna. Strategija je pravilna. Končna rešitev je pravilna. Življenjska situacija je pomanjkljiva/nesmiselna. Izdelek je postavljen v življenjsko situacijo, ki je pravilno rešena (realen Izdelek, postavljen v življenjsko situacijo objekt je narejen v ustreznim merilu, količina barve, opeke, masa telesa, Rešitev ni popolna, izračuni so delno pravilni. ometa, število ploščic …). Predstavitev je delno razumljiva, vsebuje matematične Predstavitev izdelka je jasna, matematično pravilna, vidi se razumevanje Predstavitev izdelka in postopka izdelave napake, izkazuje pomanjkljivosti v matematičnem matematične vsebine in terminologije. razumevanju vsebine in terminologije. 130 8.2.3 Prostornina in površina teles, sestavljenih z link kockami (Andrejka Kramar) Učiteljica: Andrejka Kramar Šola: OŠ Žirovnica Predmet: matematika Razred: 6. Učni/tematski sklop: Prostornina in površina Število ur: 3 UČNI NAČRT OBLIKOVANO/NAČRTOVANO SKUPAJ Z UČENCI Učni cilji: Nameni učenja: Učne dejavnosti, metode: Učenčevi izdelki oz. dokazi, ki izhajajo iz GEOMETRIJA IN MERJENJE  pogovorov ali opazovanj pri pouku: Preverjanje predznanja Učenci/učenke:  Spoznam površino in prostornino Ponovimo vse, kar smo se naučili o kocki.  Narejen “post plonkec” listek.  sestavljenih geometrijskih teles. spoznavajo površino in prostornino Metoda: Samostojno reševanje “post listka – geometrijskih teles;  Razvijam geometrijske predstave in plonkca”, usklajevanja napisanega v skupini,  natančnost. razvijajo geometrijske predstave; kjer si izmenjajo mnenja in uskladijo stališče.   Izračunam površino in prostornino razvijajo natančnost; Naloga: Naredi “post plonkec” – listek, na  kocke. skicirajo kocko (poševno projekcijo); katerem bo vse, kar veš o kocki.   izračunajo ploščino kvadrata z uporabo Razlikujem površino in prostornino. obrazcev in ju uporabljajo pri izračunu  Poiščem vzorec in ga nadaljujem.  Učenje s preiskovanjem in izdelava površine kocke;  Rešujem odprte problemske situacije izdelkov po navodilu  in postavljam raziskovalna vprašanja. spoznavajo pojem površina in Metoda: Učenci v skupini s pomočjo učnega prostornina geometrijskih teles ob  Na konkretnih modelih sistematično lista ugotavljajo vzorec in zapisujejo različnih aktivnostih; zapišem štetje in to smiselno vpišem v prostornino in površino sestavljenega telesa.  Izpolnjen učni list (Učni list 1), v  preglednico. izračunajo površino kocke (brez Pri tem si lahko pomagajo s sestavljanjem katerega učenci vpišejo število kock in obrazcev); enotskih kock. prostornino telesa, število ploskev, ki  opredelijo pojem prostornina in Naloga: Sestaviti narisano geometrijsko telo, omejujejo telo in površino telesa. primerjajo prostornini dveh teles; ugotoviti vzorec in prostornino ter površino Učenci geometrijsko telo sestavijo in  razlikujejo med prostornino in površino sestavljenega telesa (Učni list 1). poskušajo ugotoviti vzorec in napisati (posebej na preprostih telesih).  Učenje s preiskovanjem in izdelava rešitev za n-to telo. izdelkov po navodilu ter samostojno DRUGE VSEBINE oblikovanje izdelka Učenci/učenke: Metoda: Učenci v skupini sestavijo dve  sistematično zapišejo štetje in meritve narisani geometrijski telesi in zanju zapišejo ter jih smiselno vpišejo v preglednico; prostornino in površino. Narisani telesi  razporedijo izide meritev v smiselne poskušajo nadgraditi s svojo dopolnitvijo skupine. naloge (npr. poiščejo in nakažejo kak vzorec). 131 MATEMATIČNI PROBLEMI IN PROBLEMI Nato še sami sestavijo svoje geometrijsko telo, Z ŽIVLJENJSKIMI SITUACIJAMI za katerega izračunajo prostornino in površino. Učenci/učenke: Svoj izdelek zamenjajo z izdelkom učencev  druge skupine ter napišejo rešitev. rešijo odprte probleme, razčlenijo problemsko situacijo in postavljajo Naloga: Sestaviti narisano geometrijsko telo, raziskovalna vprašanja; ugotoviti vzorec ter dopolniti nalogo. Narediti  Izpolnjen učni list (Učni list 2), v  svoj izdelek in zapisati prostornino ter površino katerega učenci vpišejo zahtevano. uporabljajo različne oblike predstavljanja problemske situacije setavljenega telesa. Izdelek zamenjati s (fizični ali abstraktni modeli, sošolci (Učni list 2). geometrijske konstrukcije, vzorci ...);  Nameni učenja in kriteriji uspešnosti  pri reševanju problemov uporabljajo  Izpolnjen učni list (Učni list 3) s kriteriji Učitelj skupaj z učenci oblikuje namene učenja matematična pravila, formule, definicije; uspešnosti. in kriterije uspešnosti. Učenci sproti vnašajo  prepoznajo pravilo v vzorcu in ga zapise v preglednico (Učni list 3: Kriteriji nadaljujejo; uspešnosti).  oblikujejo vzorce. Standardi znanja/učni dosežki: Kriteriji uspešnosti:  Kako bom preveril in pokazal, da znam?  Samostojno preverjanje rešitev druge Učenec/učenka: Ko skupina za izdelek druge skupine zapiše skupine in pisanje povratne  Kriteriji uspešnosti za prostornino in rešitev, rešitev vrne skupini, ki je telo sestavila. razlikuje med površino in prostornino; informacije.  površino kocke (Učni list 3) Učenci te skupine rešitev pregledajo in v oblikuje modele kocke/kvadra ter računa površino in prostornino; primeru neuspeha naredijo načrt izboljšave in  Z učenci kriterije uspešnosti sproti učence z vprašanji in napotki usmerijo v oblikuje vzorce in jih nadaljuje;  dopolnjujemo. rešitev. Učenci sami drug drugemu napišejo reši matematične probleme in probleme iz vsakdanjega življenja; povratno informacijo.  opiše problemsko situacijo z Preverjanje naučenega za posameznega matematičnim jezikom. učenca: vsak učenec sam naredi izdelek, zanj napiše tudi rešitev. Učenci si izdelke izmenjajo MINIMALNI STANDARDI ZNANJA: med seboj in opravijo vrstniško vrednotenje. Učenec/učenka:  izmeri površino in prostornino kocke in kvadra;  reši matematični problem in problem z življenjsko situacijo. 132 Učni list 1: Površina in prostornina kocke – 6. razred (1. del) Poskušajte poiskati vzorec in zapisati splošno formulo za n-to telo. Rob kocke je dolg a. …. 10. 100. n-to 1. telo 2. telo 3. telo 4. telo telo telo telo Slika Število kock Prostornina telesa Število ploskev, ki omejujejo telo Površina telesa Zapišite, če vam je tak način dela – raziskovanje všeč. Zakaj da oziroma ne? Na katere težave ste pri reševanju naleteli? ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 133 Izdelka učencev: 134 135 Učni list 2: Površina in prostornina kocke - 6. razred (2. del) Iz enotskih kock sta sestavljeni dve geometrijski telesi. Kako bi izračunal površino in prostornino teh dveh teles? Lahko ju sestavite tudi sami. Sestavljeno telo Sestavljeno telo Slika Prostornina telesa Površina telesa Bi pri tej nalogi lahko še kaj raziskal in nalogo nadgradil? Kako? Zapiši svojo nadgradnjo in nakaži rešitev. Je nakazan kakšen vzorec? ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Iz enotskih kock še sami sestavite poljubno geometrijsko telo. S sošolci iz druge skupine sestavljeni telesi izmenjajte in izračunajte njuno površino in prostornino. Narišite tudi sliko sestavljenega telesa. Pri sestavljanju bodite izvirni. NAŠ IZDELEK IZDELEK DRUGE SKUPINE Prostornina telesa: Prostornina telesa: Površina telesa: Površina telesa: 136 Izdelka učencev: 137 138 Izdelana geometrijska telesa: 139 Učni list 3: Prostornina in površina kocke Kriteriji uspešnosti: USPEŠEN BOM, KO BOM: Sem dosegel. Sem delno dosegel. Nisem še dosegel. Poznal kocko in njene značilnosti. Poznal obrazec za površino kocke in jo znal izračunati. Razumel površino kocke, tudi sestavljenih teles. Poznal obrazec za prostornino kocke in jo znal izračunati. Razumel prostornino kocke, tudi sestavljenih teles. Razlikoval med prostornino in površino (posebej na preprostih telesih). Znal poiskati vzorec in ga nadaljevati. 140 Primeri dejavnosti (mag. Mateja Sirnik, mag. Sonja Rajh) Naštetih je še nekaj primerov dejavnosti izdelovanja modelov pri pouku matematike.  izdelava modelov več različnih neskladnih pravokotnikov z enako ploščino ali z enakim obsegom,  izdelava modelov več različnih neskladnih trikotnikov/paralelogramov/trapezov/deltoidov z enako ploščino.  izdelava statičnih modelov geometrijskih teles Statični modeli Enostavna telesa Sestavljena telesa Platonska telesa “Žični” model (oglišča in robovi) Mreža telesa (mejne ploskve) Votla telesa (za ponazoritev prostornine) Polna telesa iz različnih materialov  izdelava dinamičnih modelov geometrijskih teles, ki so narejeni tako, da s potegom vrvice iz mreže sestavimo telo: 141 9 Zaključek (mag. Melita Gorše Pihler, Lidija Pulko) V priročniku smo predstavili nekaj manj uveljavljenih oblik ugotavljanja matematičnega znanja, in sicer:  preiskovalno nalogo,  pisno besedilo,  govorni nastop,  vizualno predstavitev,  didaktično igro,  izdelek. Teoretični uvodi v posamezna poglavja so zapisani z namenom, da predstavijo izbrane oblike za ugotavljanje matematičnega znanja, jih osmislijo in izpostavijo pomen, ki ga ima vsaka od teh pri pouku. Sledijo predstavitve izvedb, ki so obogatene s pripravami na aktivnosti, z evalvacijami učiteljev in z dokazi učencev. Predstavljeno gradivo je rezultat uvajanja in preizkušanja navedenih oblik ugotavljanja matematičnega znanja. Nekateri učitelji so svoje refleksije zapisali; le-te smo umestili ob njihove priprave na pouk. Tudi učenci so se odzvali na zanje nov način izkazovanja matematičnega znanja. Nekaj njihovih vtisov prikazuje Slika 16. Slika 16: Vtisi učencev (Mentorica: Ana Canzutti) 142 Želimo vas spodbuditi, da tudi sami razširite nabor oblik ugotavljanja matematičnega znanja in učencem omogočite, da na raznolike načine izkažejo svoje znanje. Razmislite, katere izmed naštetih oblik bi vaše učence dodatno motivirale, jih izzvale, morda tudi odpravile katero izmed stigmatizacij matematike. Le-te velikokrat učence ohromijo že ob sami omembi matematike in niso nujno posledica slabih izkušenj učencev. Le povzamejo jih, izvorov v okolju je veliko. Tako kot navajata Hersh in John-Steiner, imamo učitelji matematike matematiko radi, zato želimo zmanjšati število tistih, ki jo sovražijo (Hersh, 2011). Predlagamo, da najprej izberete učno vsebino, pri kateri bi želeli vpeljati in preizkusti novo obliko ugotavljanja matematičnega znanja učencev. Skrbno premislite, katero obliko boste preizkusili, prilagodite jo skupini učencev, ki jo poučujete, njihovemu matematičnemu predznanju in izkušnjam z drugačnimi načini dela. Premislek je potreben tudi, če poteka izobraževanje na daljavo. Nove oblike izkazovanja znanja bodo v tem primeru, morda še bolj kakor sicer, motivirale učence in jim omogočale, da izkažejo svoje znanje na način, ki je zanje zanimiv in primeren. Nadomestile bodo ustaljene oblike ugotavljanja znanja, ki so na daljavo težje izvedljive. Individualne razlike med učenci lahko upoštevamo tako, da izberemo učno vsebino in posameznim učencem ali skupinam učencev omogočimo izbiro med predstavljenimi oblikami ugotavljanja znanja. Tako bodo lahko izbrali obliko izkazovanja znanja glede na svoj učni stil, znanje pa bodo na ta način lažje izkazali tudi učenci z učnimi in drugimi težavami in nadarjeni učenci. Učni stil je za posameznika značilna kombinacija učnih strategij, ki jih običajno uporablja v večini situacij (Marentič-Požarnik B. M., 1995, str. 76), torej tudi pri izkazovanju matematičnega znanja. V Navodilih za izobraževalne programe s prilagojenim izvajanjem in dodatno strokovno pomočjo za devetletno osnovno šolo je med načeli navedeno tudi načelo individualiziranega pristopa z diferenciranimi in individualiziranimi programi, ki upoštevajo otrokove oz. mladostnikove sposobnosti, pa tudi primanjkljaje in možnosti za doseganje standardov znanja (Kavkler, 2020). V priročniku Vzgojno-izobraževalno delo z nadarjenimi učenci avtorica (Bezić, 2012) opomni, da so razlike med učenci lahko tudi vir učenja. Radi bi izpostavili še nekaj oblik ugotavljanja matematičnega znanja, ki se jih v tem priročniku nismo dotaknili. Navajamo jih v Preglednici 12. Aktivnosti lahko izvedete tudi v okviru naravoslovnih, projektnih in tehniških dni ter drugih šolskih dejavnostih. Učenci bodo tako oblikovali različne dokaze svojega znanja ter hkrati dosegali cilje in izvajali dejavnosti medpredmetnih povezav, ki so navedene v učnih načrtih (Žakelj A. e., Učni načrt. Program osnovna šola. Matematika., 2011, str. 77), (Žakelj A. e., 2008, str. 40):  Na ravni vsebin: Obravnava interdisciplinarnih problemov.  Na ravni procesnih znanj: Učenje in uporaba procesnih znanj.  Na konceptualnem nivoju: Pri pouku matematike učenci tudi na osnovi izkušenj in spoznanj iz drugih predmetov obravnavajo ključne pojme z različnih predmetnih perspektiv, z namenom poglabljanja in razumevanja pojmov. Tako bodo učenci pri pouku matematike tudi na osnovi izkušenj in spoznanj, pridobljenih pri drugih predmetih, obravnavali ključne pojme z različnih vidikov z namenom poglabljanja in razumevanja znanja. Preglednica 12: Še nekaj oblik ugotavljanja matematičnega znanja Oblika ugotavljanja znanja Opis Ali bi lahko učenci izkazali svoje znanje z analizo fotografije? Kakšno fotografijo izbrati? Katera znanja lahko učenec izkaže z analizo fotografije? Ali bi lahko učenci poiskali primeren motiv za tako dejavnost, ga fotografirali in nato analizirali fotografije sošolcev? Ali bi lahko učenci na osnovi fotografije sestavili matematične naloge? To so nekatera vprašanja, ki si jih lahko zastavi učitelj, če se loti ugotavljanja znanja učencev na tak način. Kako je fotografijo analiziral učitelj, lahko preberemo v reviji Analiza fotografije Matematika v šoli, kjer je objavljen članek učitelja Tineta Goleža (Golež, 2014). Primer fotografije, ki bi jo lahko analizirali učenci, je na Sliki 17. Več idej za izvedbo dejavnosti ob tej fotografiji najdemo na zadnji platnici zbornika povzetkov KUPM 2012 (Kmetič, Slika 17: Skrivnostna vrata (Avtorica: mag. Melita Gorše Pihler) 2012). 143 Nekateri učitelji pri ugotavljanju matematičnega znanja uporabljajo asociacije. Asociacija je v SSKJ (Slovar slovenskega knjižnega jezika, 2020) opredeljena kot » zveza, povezava med posameznimi pojmi, predstavami, tako da ena izzove drugo«. Nekaj primerov uporabe asociacij najdemo v članku učitelja Ivana Baumana. Članek je objavljen v reviji Matematika v šoli (Bauman, 2001). Avtor opisuje primere, kako z Asociacija asociacijami obogati pouk in s tem motivira učence, da aktivneje sledijo in sodelujejo pri pouku. Kaj pa, če bi učenci pripravili asociacije za različne matematične pojme? Lahko učenec z zapisom asociacij izkaže svoje znanje? V nadaljevanju bi učenci svoje zapise predstavili sošolcem, le-ti pa bi na osnovi asociacij ugotavljali, kateri pojem je avtor imel v mislih. Nekatera matematična znanja lahko učenci izkažejo z gibanjem telesa, npr. velikost kotov, Gesta, gib osnovne geometrijske elemente, orientacijo v trikotniku, naklon premice … Gesta je v SSKJ (Slovar slovenskega knjižnega jezika, 2020) opredeljena kot » gib, navadno z rokami, s katerim se kaj izraža ali poudarja, kretnja« . Pri pouku matematike pogosto uporabljamo grafične organizatorje, npr.: pojmovno mrežo, miselni vzorec, Vennov diagram, primerjalno matriko … Nekaj primerov grafičnih organizatorjev najdemo v priročniku Formativno spremljanje pri matematiki (Suban M. e., 2018). To so: slovar, predstavitev pojma na različne načine, Grafični organizator skupne značilnosti in razlike idr. Slovar lahko uporabimo za ugotavljanje predznanja učencev pred začetkom obravnave neke vsebine ali za ugotavljanje znanja ob koncu sklopa. S predstavitvijo pojma na različne načine ugotavljamo učenčevo razumevanje izbranega pojma. Razumevanje matematičnih pojmov lahko ugotavljamo tudi z uporabo predloge za ugotavljanje skupnih značilnosti in razlik med pojmoma. Za ugotavljanje razumevanja pojma število je pripravljena posebna predloga. Znanje učencev lahko ugotavljamo z igro vlog, na primer tako, da učence postavimo v vlogo prodajalcev in kupcev (primeri situacij: računanje z decimalnimi števili, sklepanje iz Igra vlog, dramatizacija enote na množino, odstotki ...). Morda učencem postavimo izziv, naj matematično znanje izkažejo z dramatizacijo (medpredmetna povezava s slovenščino ali tujim jezikom). Ali lahko ugotavljamo matematično znanje z ustvarjanjem likovnega izdelka Likovni izdelek (medpredmetna povezava z likovno umetnostjo)? Katere matematične vsebine so primerne za tako dejavnost? Npr. simetrija v naravi, zlati rez ... Poznamo različne učne poti (npr. naravoslovna, gozdna, čebelarska ...), redko kdo pa je že slišal za matematično učno pot. Navadno učno pot pripravi strokovnjak na nekem Matematična učna pot področju, učenci pa se na tej poti učijo. Ali bi matematično znanje lahko ugotavljali tudi tako, da bi učence postavili pred izziv, npr. da pripravijo matematično učno pot? Bi lahko znanje učencev ugotavljali z metodo okrogle mize oz. z diskusijo o izbrani temi, npr. kje vse se skriva matematika? Bi lahko učenci izkazali svoje znanje z debato (za ali proti), npr. ob trditvi, ki se glasi: Lika z enako ploščino imata enak obseg? Okrogla miza/diskusija, debata Primer ugotavljanja znanja na osnovi diskusije najdemo v prispevku Vodena razprava pri matematiki (Škrinar Majdič, 2020). Učiteljici Majda Škinar Majdič in Irena Kovač opisujeta prednosti in izzive ocenjevanja znanja na osnovi vodene razprave. Podajamo primera, v katerih lahko učenci znanje matematike izkažejo tudi z vpletanjem matematičnih vsebin v pesem ali v skladbo. Na tak način učenci osmislijo projektno delo, izvedeno na medpredmetni ravni. Pesem, skladba Za učence, ki to zmorejo samostojno, nam primer predstavljata učiteljici Karmen Udovč in Andreje Perovič v prispevku Izdelava multimedijskih gradiv za matematiko, ki je bil predstavljen na konferenci KUPM 2014 (Udovč, 2020). 144 Kadar so učenci manj izkušeni, potrebujejo več vodenja. Po vsebini v priročniku Formativno spremljanje na razredni stopnji (Novak L. e., 2018, str. 72) smo priredili navodilo za pesem. Prirejeno navodilo je prikazano na Sliki 18. Slika 18: Navodilo za pesem o štirikotnikih Izvedbo in predstavitev projektne naloge najdemo kot eno od možnih oblik ugotavljanja znanja v učnih načrtih in katalogih znanja za matematiko. Ob tem so poudarjeni interdisciplinarnost, sodelovanje in delo v timu ter uporaba tehnologije. V nadaljevanju navajamo primera iz prakse. Učiteljica Andreja Verbinc je z učenci izvedla projektno nalogo z naslovom Organizacija izleta. Učenci šestega razreda so načrtovali izlet za prijatelje: določili so kraj izleta v Sloveniji, opisali pot, izračunali stroške in čas, ki ga bodo potrebovali za izlet. Pri tem so uporabili svetovni splet. V članku so opisani priprava, potek, ocenjevanje in analiza projektne naloge (Verbinc, 2010). Projektna naloga Učiteljici Vladka Gosak in Jolanda Orgl sta s skupino učencev petega, šestega in sedmega razreda izvedli projektno nalogo z naslovom Jesenska matematika. Glede na interese in sposobnosti učencev sta oblikovali pet skupin: A prostornina in masa, B obseg drevesnega debla, C ploščina drevesnega lista, ponazoritev 1m2, Č matematične oblike v naravi, matematično drevo, D simetrija v naravi, matematično drevo. V članku so zapisani cilji, ki sta jih učiteljici zastavili, dejavnosti za učence in analiza opravljenega dela (Gosak, 2003). Ali lahko učenec izkaže svoje znanje z risanjem po navodilih? Navodila po navadi pripravi učitelj. Bi lahko učence postavili pred izziv, naj pripravijo navodila za risanje? Ob tem bi jim Risanje po navodilih povedali, katera matematična vsebina naj bo zajeta v navodilih, ki jih bodo pripravili. Katera znanja lahko učitelj ugotavlja na tak način? V nadaljevanju bi učenci risali po navodilih sošolcev. Vsak učenec bi sošolcu lahko napisal povratno informacijo o zapisanih navodilih, na osnovi katere bi avtor navodil le-ta izboljšal. V skladu z navedbami učnih načrtov in katalogov znanja za matematiko učenci pri pouku matematike načrtujejo in izvedejo statistično raziskavo, rezultate kritično analizirajo in jih predstavijo na najustreznejši način. Ob tem sta poudarjeni interdisciplinarnost in uporaba tehnologije. Statistična raziskava, Splošna znanja o preiskavi in napotke, kako napisati empirično preiskavo, najdemo v i- empirična preiskava učbeniku Matematika 8 (Pev, 2020, str. 372-379). O izvedbi empirične preiskave pri pouku matematike lahko preberemo v priročniku Posodobitve pouka v gimnazijski praksi ꟷ Matematika (Žakelj A. e., Posodobitve pouka v gimnazijski praksi. Matematika, 2010). V prispevku Od obdelave podatkov v osnovni šoli 145 do statistike v gimnaziji avtorica prof. dr. Amalija Žakelj navaja teoretična izhodišča, faze preiskovanj, cilje in katere elemente pri preiskavi bi bilo smiselno spremljati oz. ocenjevati. Prispevek vključuje primera empiričnih preiskav. V priročniku najdemo tudi prispevek Primer statistične naloge učiteljice Simone Pustavrh. Svoje izkušnje o napakah in nerodnostih v posameznih korakih empiričnih preiskav, ki jih je zasledil v izdelkih učencev in študentov, predstavlja dr. Zlatan Magajna v članku, ki ga lahko preberemo v reviji Matematika v šoli (Magajna Z. , 2008). Učenci se srečajo s stripi z matematično vsebino v nekaterih učbenikih. Ti stripi so namenjeni predvsem motivaciji učencev pred začetkom obravnave matematične vsebine. Ali bi lahko učenci pripravili strip o kateri matematični vsebini? Ali bi lahko izdelali animirani film? Katera znanja bi s tem izkazali? Primer, kako s stripom in/ali animacijo nadomestiti besedilo, je opisan v članku Andreje Strip, animirani film Novak Animirana vizualizacija besedilnih nalog (Novak A. , 2020). Učenci lahko pri ustvarjanju stripa ali animiranega filma z matematiko povezujejo različna predmetna področja, od pisanja scenarija (slovenščina) do zasnove likov in ozadja (likovna umetnost), pri animiranem filmu lahko vključimo tudi zvočno opremljanje (glasbena umetnost). Če se lotimo takega načina ugotavljanja znanja, nam je lahko v pomoč priročnik z naslovom Animirajmo! (Goetz, 2020). Ko slišimo besedo zloženka, najpogosteje pomislimo na informativno ali reklamno zloženko. Poznamo tudi zloženke z matematično vsebino. To so povzetki vsebin z definicijami, formulami, tabelami ..., ki jih ponujajo različne založbe. Od teh bolj domiselne in uporabne so zloženke, ki jih izdelajo učenci sami. Zgibanka/zloženka Nekaj primerov zloženk, ki so jih izdelali učenci pri pouku matematike, najdemo v predstavitvi učiteljice Lorete Hebar iz OŠ Jarenina (Hebar, 2020). Zloženke lahko uporabljamo v različne namene, eden od njih je tudi ugotavljanje matematičnega znanja učencev. Nabor oblik za ugotavljanje matematičnega znanja se na tem mestu ne konča. Ob preizkušanju predstavljenih dejavnosti si po lastni strokovno avtonomni presoji le-te prilagodimo, pri čemer upoštevamo tudi zmožnosti in individualne posebnosti učencev. Domislimo se lahko še kakšne nove oblike, ki bo našla mesto pri usmerjanju in podpiranju učencev na poti do znanja. Odprimo pot ustvarjalnosti pri učitelju in pri učencih. Naj bo ta priročnik korak k intelektualni svobodi učitelja. Če osvobodimo tudi učence, navaja Jo Boaler (Boaler, 2016), se lepota matematike pokaže v vsej svoji razsežnosti. 146 10 Viri in literatura Viri Bauman, I. (2001). Asociacije pri pouku matematike. Matematika v šoli, let. IX, 50-54. Bezić, T. (2012). Vzgojno-izobraževalno delo z nadarjenimi učenci. Ljubljana: Zavod Republike Slovenije za šolstvo. Boaler, J. (2016). Mathematical mindsets: Unleashing students' potential through creative math, inspiring messages and innovative teaching. New York: John Wiley and Sons. Bognar, L. (1987). Igra pri pouku na začetku šolanja. Ljubljana: DZS. Burns, M. (2004). Writing in math. Educational Leadership 62 (2), 30-33. Calder, N. (2011). Processing Mathematics Through Digital Technologies. The Primary Years. Sense Publishers. Carretero, V. P. (2017). Okvir digitalnih kompetenc za državljane: osem ravni doseganja kompetenc in primeri rabe: DigComp 2.1. Ljubljana: Zavod Republike Slovenije za šolstvo. Davison, C. N. (2017). The New Education: How to Revolutionize the University to Prepare Students for a World in Flux. New York: Basic Books. Fisch, B. S. (2018). Informatics and Communication Section - Section I ESC - Luxembourg. V International Approaches to STEM Education. CIDREE Yearbook 2018. Luxembourg: Service de Coordination de la Recherche et de l'Innovation pédagogiques et technologiques, ur. Mysore, S. Gardner, H. (1983). Frames of Mind: The Theory of Multiple Intelligences. New York: Basic Books. Goetz, A. e. (2020, oktober, 12.). Digitalna bralnica. From ZRSŠ: https://www.zrss.si/digitalnaknjiznica/animirajmo/files/assets/basic-html/index.html#1 Golež, T. (2014). Analiza fotografije kot primer realistične matematike. Matematika v šoli, let. XX, 70-72. Gosak, V. O. (2003). Jesenska matematika. Matematika v šoli, let. X, 34-40. Harari, Y. N. (2019). 21 nasvetov za 21. stoletje. Ljubljana: Mladinska knjiga. Hebar, L. (2020, oktober 11). KUPM 2018. From ZRSŠ: https://www.zrss.si/kupm2018/wp-content/uploads/2018/07/kupm-zlozenke-loreta-hebar.pdf Hersh, R. J.-S. (2011). Loving and Hating Mathematics Challenging the Myths of Mathematical Life. Princeton, New Jersey: Princeton University Press. Humar Kobal, I. (2020). Moč vrstniške povratne informacije. Didakta 208, 44-49. Japelj Pavešić, B. (2012). Matematične naloge raziskave TIMSS. Mednarodna raziskava trendov znanja matematike in naravoslovja. Ljubljana: Pedagoški inštitut Ljubljana. Kavkler, M. e. (2020, oktober 16). Izobraževanje otrok s posebnimi potrebami. From MIZŠ: https://www.gov.si/assets/ministrstva/MIZS/Dokumenti/Izobrazevanje-otrok-s-posebnimi-potrebami/OS/Navodila_9-letna_OS.pdf Kmetič, S. e. (2012). Mednarodna konferenca o učenju in poučevanju matematike KUPM 2012. Zbornik povzetkov. Ljubljana: Zavod Republike Slovenije za šolstvo. Kokol, A. (2012). Učni pogovor med učiteljem in učenci pri pouku matematike. Diplomsko delo. Maribor: Univerza v Mariboru. Filozofska fakulteta. Oddelek za pedagogiko. Labinowicz, E. (2010). Izvirni Piaget, Mišljenje - Učenje - Poučevanje. Ljubljana: DZS. Magajna, Z. (2008). Pasti empiričnih preiskav. Matematika v šoli, let. XIV, 176-187. Magajna, Z. Ž. (2000). Obdelava podatkov pri pouku matematike 6-9. Ljubljana: Zavod Republike Slovenije za šolstvo. Marentič-Požarnik, B. (2014). Psiholgija učenja in pouka. Ljubljana: DZS. Marentič-Požarnik, B. M. (1995). Izziv raznolikosti: stili spoznanja, učenja, mišljenja. Nova Gorica: Educa. Mešinovič, S. C. (2017). Učenje in poučevanje geometrije v osnovni šoli. Koper: UP Koper. Novak, A. (2020, oktober 15). KUPM 2012. From ZRSŠ: https://www.zrss.si/pdf/zbornikprispevkovkupm2012.pdf Novak, L. e. (2018). Formativno spremljanje na razredni stopnji. Ljubljana: Zavod Republike Slovenije za šolstvo. Pečjak, S. (2009). Z igro razvijamo komunikacijske sposobnosti učencev. Ljubljana: Zavod Republike Slovenije za šolstvo. Pev, M. e. (2020, oktober 18). e-učbeniki. From portal SIO: https://eucbeniki.sio.si/mat8/837/index1.html Rojko, C. e. (2007). Katalog znanja. Matematika. (SSI). Ljubljana: Zavod Republike Slovenije za šolstvo. Rose, D. M. (2002). Teaching Every Student in the Digital Age: Universal Design for Learning. Massachusetts: Cast. Rutar Ilc, Z. (2012). Ugotavljanje kompleksnih dosežkov: preverjanje in ocenjevanje v medpredmetnih in kurikularnih povezavah. Ljubljana: Zavod Republike Slovenije za šolstvo. 147 Rutar, I. Z. (2004). Pristopi k poučevanju, preverjanju in ocenjevanju. Ljubljana: Zavod Republike Slovenije za šolstvo. Slovar slovenskega knjižnega jezika. (2020, oktober 13). www.fran.si, Maribor, Slovenija. Suban, M. (2017). Učenje matematike s preiskovanjem. Vzgoja in izobraževanje, št. 4, let. XLVIII, Zavod Republike Slovenije za šolstvo. Suban, M. e. (2018). Formativno spremljanje pri matematiki. Priročnik za učitelje. Ljubljana: Zavod Republike Slovenije za šolstvo. Škrinar Majdič, M. K. (2020, oktober 15). KUPM 2016. From ZRSŠ: https://www.zrss.si/digitalnaknjiznica/zbornik-prispevkov-kupm2016/files/assets/basic-html/index.html#200 Tomič, A. (2002). Spremljanje pouka. Ljubljana: Zavod Republike Slovenije za šolstvo. Udovč, K. P. (2020, okrober 15). KUPM 2014. From ZRSŠ: https://www.zrss.si/pdf/zbornik-prispevkov-kupm2014.pdf Verbinc, A. (2010). Organizacija izleta. Matematika v šoli, let. XVI, 29-37. Winsløw, C. a. (2017). Priročnik MERIA za poučevanje matematike s preiskovanjem. Ljubljana: Zavod Republike Slovenije za šolstvo. Zupančič, K. (2013). Vloga didaktičnih iger pri pouku. Maribor: Pedagoška fakulteta Maribor. Žakelj, A. e. (2008). Učni načrt. Matematika. Gimnazija: splošna, klasična in strokovna. Ljubljana: Ministrstvo za šolstvo in šport. Zavod Republike Slovenije za šolstvo. Žakelj, A. e. (2010). Posodobitve pouka v gimnazijski praksi. Matematika. Ljubljana: Zavod Republike Slovenije za šolstvo. Žakelj, A. e. (2011). Učni načrt. Program osnovna šola. Matematika. Ljubljana: Zavod Republike Slovenije za šolstvo. Literatura Mrak Merlak, I., Umek, L., Jemec, J., Repnik, P. (2013). Didaktične igre in druge dinamične metode. Ljubljana: Salve. 148