i
i
“Kovic” — 2019/9/18 — 8:08 — page 75 — #9 i
i
i
i
i
i
The Rules of Algebra (Ars Magna)
G. Cardano, The Rules of Algebra (Ars Magna), Dover Publica-
tions INC., Mineola, New York 2007, 267 strani.
Knjiga Artis Magnae Sive de Regulis Algebraicis (na kratko »Ars Magna«,
prva izdaja 1545, druga izdaja 1570, tretja izdaja 1663) velja poleg Ko-
pernikove De Revolutionibus Orbium Coelestium (1543) in Vesaliusove De
Fabrica Humani Corporis (1543) za eno izmed treh najpomembneǰsih znan-
stvenih del v renesansi. V njej je Girolamo Cardano (1501–1576), eden
izmed najvplivneǰsih renesančnih matematikov, polihistor in avtor več kot
200 znanstvenih del z različnih področij (medicina, astronomija, astrologija,
filozofija, matematika idr.), klasificiral enačbe 3. in 4. stopnje in ne samo
prvi objavil, temveč tudi dokazal ter s konkretnimi zgledi ilustriral pravila
(postopke reševanja) za vsak razred enačb iz te klasifikacije. Delo, ki velja za
enega izmed mejnikov v razvoju matematike, so vedno visoko cenili, vendar
je postajalo vse teže dostopno, saj se je skozi stoletja ohranilo le v redkih
izvodih zgodnjih izdaj, pa tudi znanje latinščine se je izgubljalo1. Prevod v
angleščino je izšel šele leta 1967 (ponatisa pa 1993 in 2007). Od takrat se
lahko z njim seznanijo tudi sodobni matematiki.2 Danes bi ga karakterizi-
rali kot »elementaren« tekst s področja teorije enačb, ki velja za »izčrpano«
področje, za Cardanove sodobnike pa je pomenilo pomemben prodor, saj so
pravila za reševanje enačb 3. in 4. stopnje matematiki zavzeto iskali kar ne-
kaj stoletij. Danes za reševanje kubične enačbe x3+px+q = 0 uporabljamo
t. i. Cardanove formule:
x =
3
√
−q
2
+
√(q
2
)2
+
(p
3
)3
+
3
√
−q
2
−
√(q
2
)2
+
(p
3
)3
Enačbo ax3 + bx2 + cx + d = 0 lahko s substitucijo z = x + b3a prevedemo
v obliko x3 + px + q = 0. V resnici je Cardano namesto ene same formule,
1Latinščina je – po Gutenbergovem izumu tiska s premičnimi črkami (1439), ki je v
Evropi omogočil masovno produkcijo knjig in širjenje znanja zunaj ozkega kroga elite ter
spodbudil pisanje knjig v nacionalnih jezikih, postopoma začela izgubljati svoj privilegi-
rani status, ki ga je imela ves srednji vek.
2Kogar zanimajo stare knjige, lahko latinski izvirnik iz 1545 – stavljen v dveh vzpo-
rednih stolpcih, z bogato okrašeno naslovnico in inicialkami ter kar brez ravnila na-
risanimi diagrami – najde na spletni strani www.filosofia.unimi.it/cardano/testi/
operaomnia/vol_4_s_4.pdf, ogled 19. 1. 2019.
Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 2 75
i
i
“Kovic” — 2019/9/18 — 8:08 — page 76 — #10 i
i
i
i
i
i
Iz zgodovine
veljavne za vse kubične enačbe, v svoji knjigi podal in dokazal pravila za
reševanje vseh 13 različnih tipov kubičnih enačb (po tedanji klasifikaciji, ki
ni dopuščala negativnih koeficientov). Izhajajoč iz opažanja, da so rešitve
nekaterih enačb oblike x = a+
√
b, je s primerjavo iracionalnih delov njihovih
kvadratov in kubov znal pokazati, kateri enačbi tipa Mx2 = x3 + N tak x
zadošča. Tako je npr. za rešitev x = 2+
√
3 dobil enačbo 334x
2 = x3+ 14 (str.
49). S tem je močno presegel dosežke svojih predhodnikov in sodobnikov
na tem področju, katerih prispevke je sicer korektno navajal in priznaval.
Velik korak naprej so pomenile tudi njegove metode, ki jih je sistematično
razvijal in uporabljal tudi pri reševanju enačb vǐsjih stopenj. Tudi v tem
pogledu – da ni skrival ne svojih odkritij ne poti do njih – je bil veliko
pred svojim časom; tedaj so namreč matematiki pogosto ljubosumno skrivali
svoja odkritja, da ne bi izgubili prednosti na matematičnih tekmovanjih, od
izida katerih so bile usodno odvisne njihove kariere. V tem smislu je Cardano
predhodnik Eulerja, ki je prav tako veliko pozornosti namenjal opisom, kako
je prǐsel do svojih rezultatov.
Za bolǰse razumevanje in vrednotenje Cardanovega prispevka je dobro
poznati širši kontekst, zato na kratko preglejmo nekaj mejnikov v zgodovini
algebre pred Cardanom.
Omar Hajam, perzijski pesnik, filozof, matematik in astronom iz druge
polovice 11. stoletja, je v knjigi O dokazih problemov algebre in muqabale
klasificiral tipe kubičnih enačb, v katerih nastopata monom in binom:
x3+ax = b, x3+b = ax, x3 = ax+b, x3+ax2 = b, x3+b = ax2, x3 = ax2+b,
in jih reševal z geometrijsko metodo, kot presečǐsča dveh stožnic (npr. para-
bole in kroga).3 Metodi al-jabr in al-muqabala sta v Italiji najprej postali
poznani po latinskih prevodih al-Khowarizmijeve Algebre, ki jih je priskr-
bel Gerard iz Cremone, ter po delu Leonarda iz Pise (Fibonaccija). Med
3V gornjih enačbah sta a in b vselej pozitivni števili (sicer bi imeli le dva tipa: brez
kvadratnega člena, in brez linearnega člena). Vsak tip enačbe zahteva nekoliko drugačno
geometrijsko metodo (konstrukcijo). Tako npr. rešitve enačbe x3+px = q oz. x
4
p
+x2 = q
p
x
ǐsčemo kot presečǐsče parabole y = x
2
√
p
in krožnice y2 + x2 = q
p
x.
76 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 2
i
i
“Kovic” — 2019/9/18 — 8:08 — page 77 — #11 i
i
i
i
i
i
The Rules of Algebra (Ars Magna)
njunimi nasledniki je najbolj znan pisec aritmetičnih učbenikov Luca Pa-
cioli, čigar knjigo »De divina proportione« (napisano 1496–98 v Milanu,
objavljeno 1509 v Benetkah) je ilustriral Leonardo da Vinci.
V 13. stoletju je razvoj matematike v Italiji močno pospešil prehod iz
blagovne v monetarno trgovino. Razvilo se je bančnǐstvo, potreba po raču-
nanju obresti in dolgov. Namesto rimskih številk, ki so bile za računanje
prenerodne, so začeli uporabljati arabske.
V Italiji, nekje od 13. do 16. stoletja, pred pojavom analitične geometrije,
so matematiki iskali eksplicitne rešitve enačb tretje in četrte stopnje. Svoje
rešitve so zapisovali verbalno, brez algebrajskega simbolizma, ki se pojavi
šele kasneje.4 Poznali so že recept za reševanje kvadratne enačbe (Al Kho-
warizmi, Omar Hajam), po analogiji so iskali podobno metodo (formulo) za
reševanje enačb tretje in četrte stopnje.
S kubičnimi in bikvadratnimi enačbami so se v Italiji ukvarjali: mojster
Benedetto iz Firenc, mojster Biaggio iz Firenc, Attonio Mazzinghi, Luca Pa-
cioli, mojster Dardi iz Pise, Scipione del Ferro, Niccolo Tartaglia, Girolamo
Cardano, Lodovico Ferrari, Rafael Bombelli idr.
Ker še ni bilo razvitega matematičnega simbolizma, so uporabljali ne-
kakšno »retorično algebro«. Vsak matematik je uporabljal svoje izraze ali
oznake za x, x2, x3, x4 itd. Namesto formul, kot jih poznamo danes, so upo-
rabljali besedne opise postopkov, ki pripeljejo do rešitev. Dostikrat so bili
razloženi le na konkretnih številskih primerih.
Scipione del Ferro (1465–1526) iz Bologne je leta 1515 odkril rešitev za
»reducirano kubično enačbo« x3 = px+q oziroma enačbo tretje stopnje brez
kvadratnega člena. Ključni korak te metode je zelo domiseln trik: neznanko
nadomestimo z dvema parametroma, x = u + v, kjer u in v pametno izbe-
remo tako, da dobimo zanju sistem dveh enačb. Takrat so razlikovali med
tremi tipi reduciranih kubičnih enačb, ker so dopuščali le pozitivne koefici-
ente in pozitivne x: x3 + px = q, x3 = px+ q, x3 + q = px. Rešitvi za druga
dva tipa reduciranih kubičnih enačb je našel Niccolo Tartaglia.
4François Viète je v svojem delu In artem analyticem isagoge, 1591, prvi uporabil črke
za označevanje neznank in konstant v algebrskih enačbah.
Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 2 77
i
i
“Kovic” — 2019/9/18 — 8:08 — page 78 — #12 i
i
i
i
i
i
Iz zgodovine
Rešitve kubičnih enačb Scipiona del Ferra in Tartaglie je objavil Cardano
1545 v knjigi Ars Magna. Njune rešitve je razširil tudi na enačbe »brez
manjkajočih členov« (kot so npr. x3 + 6x2 = 20x + 112, glej str. 141) in
objavil pravila za vseh 13 tipov kubičnih enačb z različnimi kombinacijami
členov različnih stopenj s samimi pozitivnimi koeficienti na obeh straneh
enačbe. Te enačbe so takrat obravnavali kot različne, ker se še niso naučili
trika, vse člene prestaviti na eno stran enačbe in na drugo stran zapisati
število nič, in ker niso uvideli, da »manjkajoči« členi v resnici ne manjkajo,
ampak imajo koeficient nič. V isti knjigi je objavil tudi rešitve za enačbe
4. stopnje svojega učenca Lodovica Ferrarija (1522–1565). Vendar to ne
izčrpa vsebine Cardanove knjige, v kateri je objavil tudi druge formule oz.
pravila. Tako npr. problem najti število, enako vsoti svojega kvadratnega
korena in dvakratnika svojega kubičnega korena, reši prek rešitve x enačbe
x6 = x3+2x2, za katero izpelje izraz x = 13 +
3
√√
2241
2916 +
47
56−
3
√√
2241
2916 −
47
54 ;
iskano število je potem x6 (str. 243).
Cardano, ki mu je njegov sodobnik Niccolo Tartaglia očital, da je v tej
knjigi objavil formule, za katere mu je moral priseči, da jih nikoli ne bo, v
uvodu odkrito in korektno navede in priznava prispevke drugih matematikov
pri iskanju teh formul. Razloži tudi, v čem je šel dlje od svojih predhodnikov,
pojasni pa tudi metode, po katerih je prǐsel do svojih odkritij. V geometrijski
metodi dokazovanja, ki jo je, kot sam pravi, prejel od Tartaglie, je prepoznal
»kraljevsko pot, ki ji velja slediti v vseh drugih primerih« (glej str. 52). V
dokazih pravil se sklicuje tudi na izreke iz Evklidovih Elementov, predstavil
pa je tudi metode za odkrivanje novih pravil in metod reševanja enačb (glej
npr. VI. poglavje: str. 48–55, in XIX. poglavje: str. 180–181).
Tartaglia je močno zameril Cardanu, da je objavil formule, ki mu jih je
zaupal. Zaradi tega ga je tudi javno napadel, češ da mu je skrivnost zaupal
pod pogojem, da je nikoli ne izda. Stvar je šla tako daleč, da je prǐslo do
javnega intelektualnega dvoboja med Tartaglio in Ferrarijem, ki pa se za
prvega ni iztekel najbolje. Cardano je, po današnjih merilih, pošteno in
korektno citiral in priznal vsakomur, kar je odkril (glej npr. Poglavje I, str.
78 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 2
i
i
“Kovic” — 2019/9/18 — 8:08 — page 79 — #13 i
i
i
i
i
i
The Rules of Algebra (Ars Magna)
7–9). Vendar je Cardano storil veliko več kot samo objavil neko formulo,
ki jo je našel nekdo drug. Sam je našel pravila za rešitve vseh tistih tipov
enačb 3. stopnje, ki jih drugi niso rešili. O vsem tem je napisal tudi zelo
sistematično in lepo strukturirano knjigo.
Cardanov prispevek je, poleg redukcije zapleteneǰsih tipov enačb na pre-
prosteǰse – ki sta jih znala rešiti že Scipione del Ferro in Tartaglia – obsegal
tudi naslednje dosežke (glej Predgovor, str. xvi): i) Odkril in dokazal je
obstoj večkratnih korenov za različne vrste kubičnih in bikvadratnih enačb.
ii) Raziskal je relacije med rešitvami različnih enačb. Tako je npr. pokazal,
kako iz rešitev enačbe x2 = 6x+16 dobimo rešitve enačbe x2+6x = 16 (tako
da rešitvi prve enačbe prǐstejemo koeficient pri linearnem členu, torej 6, str.
56). iii) Pokazal je, da imajo določeni pari enačb korena, ki se razlikujeta
le v predznaku. Tako je npr. 4 koren enačbe x3 = 12x + 16, −4 pa koren
od x3 + 16 = 12x (str. 12). iv). Prepoznal je pomen in neizogibnost nega-
tivnih, pa tudi iracionalnih rešitev. v) Obravnaval je tudi rešitve, v katerih
so nastopali kvadratni koreni iz negativnih števil, čeprav se mu je njihova
narava zdela »sofisticirana«. Tako je npr. kot rešitev problema, razdeliti 10
na dva sumanda, katerih produkt je 40, dobil 5 +
√
−15 in 5 −
√
−15 (str.
219–220).5 Z vsem tem je Cardano prispeval močan pospešek k neslutenemu
razvoju algebre v kasneǰsih stoletjih.
Cardanovo izvirno besedilo je sodobnemu matematiku razmeroma težko
razumljivo, iz več razlogov: 1. Napisano je v latinščini, ki jo danes znajo le
redki, potem ko so jo, po izumu tiska, postopoma začeli izpodrivati nacio-
nalni jeziki. 2. Namesto nam domačih modernih matematičnih izrazov in
simbolov uporablja terminologijo in oznake tistega časa, dostikrat pa tudi
dolgovezne besedne formulacije, značilne za obdobje »retorične algebre«. 3.
Sama tematika reševanja enačb (z algebraičnimi formulami), ki je bila ta-
krat na samem robu raziskovalnega horizonta in eden pomembnih nerešenih
problemov matematike, danes ne velja več za zelo zanimivo in zato tudi
5K odpravi predsodkov proti kompleksnih številom je odločilno prispeval švicarski ma-
tematik, fizik in astronom Leonhard Euler (1707–1783), ki je prikazal njihovo večstransko
uporabnost.
Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 2 79
i
i
“Kovic” — 2019/9/18 — 8:08 — page 80 — #14 i
i
i
i
i
i
Iz zgodovine
metode reševanja enačb, ki so privedle do teh formul, večini matematikov
niso poznane. 4. Pri klasificiranju enačb (podobno kot pred njim npr. Omar
Hajam) upošteva predznake koeficientov (kar se z današnjega zornega kota
zdi nepotrebno kompliciranje). 5. Dokaze pravil za reševanje enačb različnih
tipov podaja z referencami na Evklidove Elemente, ki jih danes matematiki
ne poznamo tako dobro, kot so jih nekoč, formule, relacije in razmerja med
količinami pa ilustrira z nekakšnimi diagrami, npr. pravokotniki, razdelje-
nimi na manǰse pravokotnike (po vzoru »geometrijske algebre« islamskih
matematikov). 6. Dostikrat pove pravilo šele potem, ko ga opǐse ob poseb-
nem številskem primeru (kar se lahko zdi nenavadno, čeprav je pedagoško
po svoje utemeljeno). 7. Nekatera pravila poda brez dokaza. 8. Nekatera
mesta v besedilu so nejasna ali netočna (toda ustrezna pravila se na srečo
dajo rekonstruirati iz posameznih številskih zgledov).
In še nekaj besed o strukturi in vsebini dela.
Knjiga obsega 40 poglavij. V vsakem poglavju je obravnavan drugačen
tip enačb. Te so dostikrat izpeljane iz problemov, npr. iskanja števila ali
para števil, ki ustreza določenim pogojem. Nekatera pravila so splošna,
nekatera pa partikularna, namenjena reševanju posameznih problemov.
Iz nekaterih osnovneǰsih pravil izpeljuje druga pravila. Pri dokazih se
dostikrat nasloni na diagrame in sklicuje na izreke iz Evklidovih Elementov.
Pove, zakaj se večinoma ne bo ukvarjal z enačbami, ki imajo stopnje vǐsje od
3: »Narava tega ne dopušča.« (str. 9). V knjigi ne podaja samo eksaktnih
formul, s katerimi dobimo eksaktne rešitve. Tako nam npr. eno od njegovih
pravil (str. 182–185) omogoča najti zaporedje vse natančneǰsih približkov k
rešitvam. Vsako pravilo oziroma postopek ponazori s primeri. Pravi, da se
teh pravil najlažje naučimo ob reševanju problemov. Knjiga v tem pogledu
spominja na zbirke nalog za tekmovalce na matematičnih tekmovanjih. De-
jansko so se v renesansi matematiki pogosto pomerili med seboj v reševanju
problemov oziroma enačb. Od izidov takih soočenj so bile pogosto odvisne
njihove kariere in ugled.
Zelo zanimivo je Cardanovo primerjanje rešitev različnih enačb. Tako
npr. dokaže: če x3 = ax2+b in y = x−a, potem je y3+ay2 = c, kjer je cb =
y
x .
80 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 2
i
i
“Kovic” — 2019/9/18 — 8:08 — page 81 — #15 i
i
i
i
i
i
The Rules of Algebra (Ars Magna)
To pravilo ponazori s primerom: če rešitvi x = 214 enačbe x
3 = 2x2 + 11764
odštejemo a = 2, dobimo y = 14 , ki ustreza enačbi y
3 + 2x2 = 964 , katere
konstantni člen c = 964 je v enakem razmerju do konstantnega člena b = 1
17
64
prve enačbe, kot je razmerje y = 14 do x = 2
1
4 (str. 254–255).
Stvaritev moderne verzije starega znanstvenega besedila postavlja pre-
vajalcu zahtevne probleme (odločati se je treba med novo in staro termi-
nologijo, treba se je odločiti, kako interpretirati nejasne dele besedila in
v kolikšni meri uporabljati moderne matematične simbole ipd.). Angleški
prevod uporablja (namesto stare matematične terminologije Cardanovega
časa) moderne izraze ter (namesto Cardanovih oznak in dolgih besednih
opisov) moderno algebraično pisavo, ki naredi besedilo veliko razumljiveǰse
sodobnemu matematiku. Branje angleškega prevoda olaǰsa seznam citatov
iz Evklidovih Elementov, na katere se Cardano v svojih dokazih sklicuje.
Cardanova knjiga se konča z naslednjim citatom:
NAPISANO V PETIH LETIH. NAJ TRAJA
TOLIKO TISOČ.
KONEC VELIKE UMETNOSTI
PRAVIL ALGEBRE
GIROLAMA CARDANA.
To Cardanovo plemenito upanje se bo uresničilo le v primeru, da bodo
ljudje ohranili spoštovanje do dragocenih starih knjig in revij in da jih bomo
kot dragoceno kulturno dedǐsčino ohranjali tudi v tiskani, ne le v elektronski
obliki. Naj nas naše spoštovanje do Cardanove »Velike umetnosti« spomni,
da so tudi v starih knjigah shranjeni zakladi in skrivnosti, ki jih ne gre
omalovaževati, temveč jih je treba na novo odkriti in prinesti na svetlobo.
LITERATURA
[1] G. Cardano, The Rules of Algebra (Ars Magna), Dover Publications INC., Mineaola,
New York, 2007.
[2] I. Vidav, Algebra, Mladinska knjiga, Ljubljana 1972, str. 189.
Jurij Kovič
Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 2 III