i
i
“Strnad-mobiusov” — 2010/6/14 — 11:38 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 16 (1988/1989)
Številka 6
Strani 321–327, XXI
Milena Strnad:
MÖBIUSOV TRAK
Ključne besede: matematika.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/16/954-Strnad-Milena.pdf
c© 1989 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
/""-'-/"'' -''/'' .'" 1CI" 1"",
MOBI USOV TRAK
Samoumevno se nam zdi, da uporabljamo matematiko pr i reševanju števil nih
problemov z naravoslovnih in tehničn ih področij. Prav tako nam je domača
izjava številn ih umetnikov : "O , matemat ika, z njo sem v sporu že od šolskih
let !" Redkeje pomisl imo na možnost, da matematična spoznanja lahko upora-
bijo tudi umet niki, na primer slikarj i, kipa rj i, glasbeniki in celo pisatelji. Še
redkeje se primeri , da prideta do istega odkritja matematik in umetnik neodvi-
sno drug od drugega. Prav to se je dogodi lo z Mob lusovlrn trakom.
Švicarski kipa r Max Bill je leta 1935 v prizadevanju, da ustvari dovršeno
umetnino , naredil k ip z naslovom Enostanski trak (slika 1). Spoznanje, da je
njegovo " odkr it je" le umetniški pr ikaz matematikom že sto let znanega Mob i-
usovega t raku, je umetnika možno prizadelo . Za več kot štiri desetljetja je
opustil nadaljnja umetniška iskanja v tej smer i . Njegova vrnitev k proučevanju
Moblusoveqa traku po let u 1979 je bila sicer uspešna - ustvaril je več k ipov ve-
l ike umet niške vrednosti - vendar ni mogel prikriti razočaranja: "Čeprav nisem
iznašel Mobiusovega t raku, je bil študij tega matematičnega fenomena zame ve-
li kega pomena. V tej ploskv i sem našel svoj filozofski pogled na simbol ne-
skončnosti. "
Kaj je pravzaprav Mob iusov t rak?
To je zelo zanimiva ploskev, ki ima eno samo stran, njen rob pa je sklenje -
na krivul ja. Tri leta pred smrt jo, leta 1865, jo je našel nemški matematik in
astronom August Ferdinand Mobius . S proučevanjem njenih lastnosti se ukvar-
ja najmla jša veja geometrije - topologija. Topologija temelji na pojmu zvez-
nosti in gradi na abstraktnih matematičnih pojmih . Že po tem se razlikuje od
nazornih , starejših vej geometr ije.
Mobiusov trak dob imo, če daljši t rak pravokotne oblike z ogl išči A, B, C
in O najprej zvijemo, nato zlep imo oglišč i A in O ter B in C. Če traku ne bi zvi-
li, preden ga zlep imo, in bi zlepili kar oglišči A in B ter C in O, bi dobili krožn i
obroč (slika 2).
Premislimo trditev, da ima Mobiusov trak le eno stran . To pomeni, da s
poljubne točke Mobiusovega traku lahko pri vzdolžnem potovanju po njem
pr ispemo do točke na "drugi strani" traku , ne da bi prestopili njegov rob. Zato
Ml:ibiusovega t raku ne moremo obarvati z dvema barvama, kar lahko naredimo
Slika 1. Enostranski trak M . Billa (1947 /48) (glej prvo stran ovitka)
321
s krožnim obročem. Temu lahko obarvamo notranjost z eno barvo zunanjost
pa z drugo. Nasprotno pa Mbbiusov trak lahko obarvamo le z eno barvo, in to
pri dvakratnem obhodu č op i č a (sl ika 3) .
Mbbiusov trak z matematičnega stališča nima debeline, zato njegovo
lastnost, da ima eno samo stran, bolje kot z barvanjem pojasnimo z vektorji . V
vsaki točk i Mobiusovega traku si lahko predstavljamo dva nasprotno usmerjena
vektorja, ki sta pravokotna na trak in določata normali. Izberimo normal o v
neki točki, ki leži na sredini traku, in si mislimo, da segiblje po krožn ici, vzpo-
redni z robom. Ko naredi točka en obhod in se vrne v začetno lego, ima norma-
la nasprotno smer. Šele po drugem obhodu ima normala v začetni točk i tud i
začetno smer (slika 4). Tako ploskev, na kateri lahko najdemo zvezno pot z
začetkom in koncem v isti točki , vzdolž katere se smer norma le obrne, imenu-
jemo enostransko ploskev.
Rob Mbbiusovega traku zato lahko z zvezno elastično deformacijo preobli-
kujemo v krožnico. Če pa bi hoteli rob Mbbiusovega traku zalepiti na krožno
____-'--- 1
D
Ac=
C a )
bfif?-~
B
Slika 2. Z lepljenjem dobimo Moblusov trak (levo) ali krožni obroč (desno).
322
6
Slika 3. "Barvanje" Mčibiusovegatraku
odprtino ne neki ploskvi, bi na-
leteli na težave. Mobiusov trak
bi v ta namen morali deformi-
rati tako, da bi njegov rob ležal
v prostoru kot običajna krožni-
ca, ves trak pa bi bil pri tem na
eni strani ravnine te krožnice.
To pa v trirazsežnem prostoru
ni mogoče, če ne dopuščamo,
da ploskev seka samo sebe.
Slika 4. Spreminjanje orientacije
normalnega vektorja pri "potova-
nju" po Mi:ibiusovem traku.
~, " ," " ;al ' "'. ~.: o'
~ l Q· / .,f f
323
Posebnost Mbbiusovega traku vidimo tudi , če ga poskušamo prerezati po
njegovi dolžini na dva enaka dela. Če bi tako prerezali po sredini krožni obroč,
bi dobili dva enaka, ločena krožna obroča, podobna prvotnemu. Če bi poskus
ponovili z Mobiusovim trakom, bi po rezanju dobili le en povezan , dvakrat za-
sukan in daljši trak, ki bi imel dva robova in dve različni stran i: "notranjo" in
"zunanjo". Če pa bi Mbbiusov trak prerezali po dolžini na tretjin i širine, bi do-
bil i dva prepletajoča se trakova. Eden od njiju bi bil pravi M6biusov trak, drugi
pa dvostranski trak z dvema polovičnima zasukoma .
Posebnosti Mčbiusovega traku so navdihnile tudi več del nizozemskega
umetnika Mauritiusa C. Escherja. Rezanje je upodobil z dvema prepletajoč ima
se kačama, ki prehajata druga v drugo in izhajat a druga iz druge (slika 5), eno-
stranskost pa z 'neskončno četo konjenikov (slika 6) in z mravljami (slika 7).
Za razliko od M. Billa je Escher zvedel za Mobiusov trak od svojih matemat i-
čnih prijateljev. Sicer pa tega umetnika poznamo zlast i po njegovih študijah,
kako s podobnimi figurami popolnoma prekriti vso ploskev (slika 8) . Ali je
Slika 5 . Prepletajoči se kači M.e. Escherja z naslovom Miibiusov trak 1(1961)
324
Slika 6. Konjeniki M. C. Escherja (1964)
tokrat umetnik nakazal področje, s katerim naj bi se ukvarjali matematiki?
Ob koncu povejmo še, kako je posebnost Moblusoveqa traku uporab il pi-
satelj A.J. Duetsch v fantastični zgodbi Kam gremo od tod?, ki se dogaja v
mreži bostonske podzemske železnice. Vlak št. 86 s potniki odpelje s postaje
in izgine. Vsi ga zaman iščejo, čeprav ga posamezniki večkrat slišijo nad ali pod
seboj. Problem nenavadnega izginotja reši harvardski matematik Roger Tupelo,
ki obupan im vodjem želežniškega prometa razloži svojo teorijo. Ker je pod-
zemna železnica zelo kompleksna, je čisto mogoče, da je postala del enostan-
Slika 7. Mobiusov trak II M. C. Escherja (1963)
325