α Matematika v šoli ∞ XXI. [2015] ∞ 31-41 Metoda reševanja nazaj Backward Chaining Method Sonja Rajh Zavod RS za šolstvo Σ Povzetek V prispevku je predstavljeno reševanje besedilnih nalog po metodi reševanja nazaj. Na začetku je metoda reševanja nazaj predstavljena na primeru reševanja ene izmed nalog. V nadal- jevanju je nekaj primerov reševanja iste naloge, pa tudi nekate- rih drugih, ki so jih učenci reševali po metodi nazaj. Ključne besede: besedilne naloge, metode reševanja, reševanje nazaj Σ Abstract The paper presents the solving of textual tasks through the use of the backward chaining method. At first, the method of back- ward chaining is presented on an example of solving one of the tasks. Furthermore, alternate examples of solving the same tasks are given as well as other tasks which pupils managed to solve with help of the backward chaining method. Keywords: textual tasks, methods for problem solving, back- ward chaining 032 Metoda reševanja nazaj α Predstavitev metode reševanja nazaj Po tej metodi začnemo nalogo reševati pri zadnjem podatku in po sosledju dogodkov s konca proti začetku. Metodo reševanja nazaj si oglejmo ob primeru reševanja naslednje naloge: Naloga 1 – Košara sliv Zjutraj je mama pripravila košaro s sli- vami za tri hčere. Najstarejša hči je prva opazila košaro s slivami in pojedla tretji- no sliv. Ko je srednja hči opazila košaro s slivami, je pojedla tretjino preostalih sliv. Najmlajša hči je zadnja opazila košaro s slivami in pojedla tretjino sliv, ki so ostale v košari. V košari je na koncu ostalo 8 sliv. Koliko sliv je mama pripravila v košaro? Rešitev: Mama je v košaro položila 27 sliv. Opis načina reševanja Začnimo nalogo reševati pri dogodku, ki se je zgodil zadnji: Najmlajša hči je vzela iz košare tretjino sliv in ostalo jih je osem. To pomeni, da je osem sliv enako dvema tretji- nama sliv, ki so bile v košari, preden si je pos- tregla najmlajša hči. Od tod sklepamo, da je tretjina sliv enaka 4 (kar je dobila najmlaj- ša hči) in da je bilo v košari 12 sliv (3 ∙ 4 ali 8 + 4), preden si je postregla najmlajša hči. Naredimo naslednji korak. Najmlajša hči je torej našla košaro z dvanajstimi slivami. Teh 12 sliv ji je pustila srednja hči, potem ko je pojedla eno tretjino od sliv, ki jih je sama našla v košari. Dve tretjini sliv, ki jih je našla srednja hči, je torej 12, ena tretjina pa 6. To pomeni, da je srednja hči v košari našla 18 sliv. Na enak način sklepamo pri najstarejši hčeri. Ko je iz košare pojedla tretjino sliv, jih je ostalo 18. To pomeni, da je 18 sliv enako dvema tretjinama vseh sliv na začetku. Devet sliv je enako eni tretjini, sedemindvajset sliv pa trem tretjinam. Torej je mama v košaro pripravila 27 sliv. S tem smo nalogo rešili po metodi reše- vanja nazaj. Najprej smo reševali dogodek, ki se je zgodil zadnji in se korak za kora- kom približevali prvemu dogodku. Učenec, ki že obvlada tehniko reševanja enačb, lahko nalogo reši na naslednji način: Označimo z skupno število sliv, ki jih je mama pripravila v košaro. Najstarejša hči je pojedla sliv, zato je ostalo v košari sliv. Srednja hči je pojedla tretjino preostalih sliv, to je = . V košari je ostalo = = sliv. Najmlajša hči je pojedla tretjino preostalih sliv, to je = , ostalo pa jih je = oziroma 8 sliv. Zapišemo enačbo: = 8. Rešitev enačbe je x = 27. Torej je mama dala v košaro 27 sliv. In še preizkus: Najstarejša je pojedla od 27 sliv = 9 sliv. Ostalo je 27 – 9 = 18 sliv. Srednja hči je pojedla od 18 sliv = 6 sliv. V košari je ostalo 18 – 6 = 12 sliv. Najmlajša je pojedla od 12 sliv = 4 slive. V košari je ostalo 12 – 4 = 8 sliv. Hčerke so pojedle 9 + 6 + 4 = 19 sliv. Mama je pripravila 27 sliv, hčerke so jih po- jedle 19, torej jih je ostalo 27 – 19 = 8 sliv. 033 β Reševanje naloge Košara sliv Načini reševanja 1. način reševanja Učenec je nalogo sistematično, v treh kora- kih, reševal po metodi reševanja nazaj. Nare- dil je 3 sklepne račune, v katerih je izračunal število sliv, ki jih je v košari našla posamezna hči. Ta podatek je potem uporabil v nasle- dnjem koraku (za naslednjo hčer). Tako so razmišljali tudi drugi učenci in nalogo reševali zelo podobno. Le da so bili zapisi pri nekaterih učencih matematično nekorektni. Npr.: Napačen zapis enakosti . Na sliki 2 je prikazano, kako je učenec 8. razreda reševal nalogo v treh korakih od zadnjega dogodka proti prvemu. Spremen- ljivko je v vsakem koraku označil z x, kjer predstavlja celoto, torej število sliv, ki jih je v košari našla posamezna hči. [ S l i k a 1] Pretipkano reševanje učenca [ S l i k a 2] Reševanje naloge s slivami v treh korakih 034 Metoda reševanja nazaj Njegova učiteljica je zapisala: »Naloga je učencem povzročala kar pre- cej težav, večina jih je dobila rezultat 216 sliv, kar pa žal ni bilo pravilno. Učenec, ki je nalogo rešil pravilno, je svoje razmišl- janje sošolcem še podrobneje razložil, jaz pa sem jim predstavila metodo reševanja nazaj.« Oglejmo si še krajši zapis reševanja nalo- ge (slika 3), v katerem so zapisani le bistveni podatki: Na sliki 3 je ponazorjeno reševanje učen- ca v treh korakih po metodi reševanja nazaj. Ugotavljamo, da je učenec problem razumel in ga ustrezno reševal. Zapisi enakosti so si- cer nepravilni, kot pri večini poslanih izdel- kov učencev, kar pa reševalcev očitno ne za- vaja pri sklepanju. 2. način reševanja Naslednji način razmišljanja je zelo podo- ben prvemu, le zapis je drugačen. Učenec 8. razreda je nalogo reševal v treh korakih, od zadnjega dogodka proti prvemu. Učenec je najprej zapisal ugotovitev za vsako hčer in potem utemeljil, kako je to iz- računal. Zapisi so enostavni in pravilni. 3. način reševanja Učenci so si bistvene podatke iz naloge za- pisovali in ponazarjali na različne načine. Eden od njih je predstavljen na spodnji she- mi (slika 5). [ S l i k a 3] Reševanje naloge s slivami po metodi nazaj [ S l i k a 4] Pretipkano reševanje učenca 035 Učenec je kratko, jedrnato in sistematično predstavil svoj način razmišljanja. Nalogo je začel reševati pri najmlajši hčerki, ki je v ko- šari pustila 8 sliv ( od tistih, ki jih je našla v košari), pojedla pa 4 slive ( od tistih, ki jih je našla v košari). To pomeni, da je naj- mlajša hči našla v košari 12 sliv (8 + 4), kar ustreza količini sliv, ki jo je v košari pustila srednja hči. Na podoben način je razmišljal in zapisoval za srednjo in najstarejšo hčer ter na koncu ugotovil, da je bilo v začetku doga- janja v košari 27 sliv. [ S l i k a 6] Reševanje z drevesnim prikazom Podobno je učenec 7. razreda na »ele- ganten« način z drevesnim prikazom (slika 6) ilustriral uvodno opisovanje reševanja te naloge z metodo nazaj. Izognil se je uvajanju spremenljivk in zapisovanju enačb oziroma enakosti. Zapisoval je od spodaj navzgor, torej po besedilu naloge od konca proti začetku. S pomočjo preglednega zapisa lahko v vsakem koraku sproti naredimo miselni preizkus pravilnosti reševanja. 4. način reševanja Učenka 9. razreda je nalogo, ki poteka v treh korakih, reševala z uporabo treh enačb in treh neznank. V vsaki enačbi je neznanko označila z drugim indeksom. Iz grafičnega ponazoritve pa sklepamo o njenem razmiš- ljanju: zelo spretno uporablja ne le meto- do reševanja nazaj (začela je spodaj desno z osmimi slivami, ki so ostale, in reševala nalogo nazaj proti vrhu sheme), ampak tudi grafično-aritmetično metodo reševanja be- sedilnih nalog (saj si je količino sliv pona- zorila z različno visokimi pravokotniki pri količini sliv, ki jih je v košari našla najmlajša hči, kjer je lepo razvidno razmerje med in sliv v košari). Iz sheme lahko preberemo število sliv, ki jih je dobila posamezna hči, in preverimo re- šitev, saj je 9 + 6 + 4 + 8 = 27. Njena učiteljica je zapisala: »Kot vidimo, je učenka 9. razreda uporabila enačbe. Seveda je to smiselno, saj so se naučili uporabljati enačbe v besedilnih nalogah. Pozna se tudi večja sistematičnost reševanja kot pri učencih 8. razreda. Učenka pri vsaki nalogi tudi gra- fično upodobi potek reševanja.« [ S l i k a 5] Pretipkano reševanje učenca 036 Metoda reševanja nazaj 5. način reševanja Nekateri učenci, ki niso poznali metode re- ševanja nazaj, so nalogo uspešno rešili tudi tako, da so začeli reševati pri prvem dogod- ku, postopoma računali deleže sliv za posa- mezno hčer, in na koncu s sklepanjem rešili enostavno enačbo. [ S l i k a 8] Sklepanje učenca je zelo podobno sestav- ljanju enačbe Na sliki 8 je prikazano, kako je učenec 8. raz- reda, ki še ne zna reševati enačb z ekvivalent- nim preoblikovanjem, uspešno izpeljal celo- ten postopek reševanja z enačbo, ki je opisan v uvodu. Z risanjem košar in s stranskimi ra- čuni si je ponazoril postopek. Njegova učiteljica je povzela postopek re- ševanja: »Razmišljal je tako: Če je prva pojedla eno tretjino, jih ostane še dve tretjini. Druga je torej od teh dveh tretjin pojedla tretjino. Torej moramo deliti s tri. Dobil je dve devetini. Podobno tudi za zadnjo hčer. Ko je prišel do ulomka z imenovalcem 27, je ugotovil, da je v košari 27 sliv. Ko je naredil preizkus, je videl, da je razmišljal pravilno.« Učenec je dejansko sklepal od začetka, in ne s konca naloge. Tako je povezal podatek 8 z odnosi na podlagi dejanj in ugotovil, da preostalih 8 sliv v košari predstavlja vseh sliv, ki jih je v začetku položila mama v koša- ro. Iz tega pa je izračunal (s sklepanjem ali z enačbo), da je mati dala v košaro 27 sliv. [ S l i k a 7] Pretipkano reševanje učenca 037 γ Reševanje Naloge s števili Naloga 2 – Naloga s števili Če neko število delimo z 20, dobljenemu količniku prištejemo 175, vsoto pomno- žimo s 4, dobimo število 1340. Poišči nez- nano število. Rešitev: Začetno neznano število je 3200. Načini reševanja Načini reševanja naloge s števili so bili zelo različni. Ena izmed učiteljic, ki nam je posla- la rešene naloge svojih učencev, je zapisala: »Nalogo sem dala učencem pri dodat- nem pouku v 7., 8. in 9. razredu. Zani- malo me je, kako se bodo istega problema lotili učenci z različnim predznanjem. V sedmem razredu se jih je nekaj lotilo re- ševati s pomočjo diagrama. Ko sem jih vprašala zakaj, so rekli, da se tega pos- topka spomnijo še iz nižjih razredov. V osmem razredu so se je v večini lotili re- ševati z metodo reševanja nazaj, nekateri tudi z diagramom. V devetem pa so bolj ali manj uspešno sestavili enačbo in jo rešili.« 1. način reševanja Nalogo s števili so učenci najpogosteje reše- vali s pomočjo diagramov oziroma načinov reševanja s pomočjo različnih diagramov smo od učiteljev prejeli največ. [ S l i k a 9] Reševanje Naloge s števili Učenec 6. razreda je nalogo na sliki 9 re- ševal z dvema diagramoma. V prvi vrstici si je ustvaril diagram po besedilu »naprej«, ra- čunanje v spodnji vrstici pa je izvajal po me- todi reševanja nazaj, tako da je uporabil nas- protno/inverzno računsko operacijo. Tako učenci pogosto rešujejo enačbe, predenj spoz- najo postopek z ekvivalentnim preoblikovan- jem enačb. [ S l i k a 10] Reševanje z diagramom Tudi ta učenec je nalogo na sliki 10 reše- val s pomočjo diagrama, v katerem zgornji del ponazarja besedilo naloge, spodnji del pa postopek računanja nazaj z uporabo nasprot- ne/inverzne računska operacije. Kar nekaj učencev je nalogo rešilo na po- doben način. Ena izmed učiteljic je zapisala: »Učenci so nalogo reševali samostojno. Pri nekaterih učencih so vidni pomožni računi, nekateri učenci so zapisali izraz, nekateri so delali z diagramom, spet drugi pa so matematični izraz zapisali nepravilno, in sicer tako, kot so razmišljali.« 2. način reševanja [ S l i k a 11] Reševanje naloge po metodi reševanja nazaj s pomočjo treh neznank 038 Metoda reševanja nazaj Učenec 8. razreda je pri reševanju naloge na sliki 11 uvedel 3 neznanke in računal nji- hove vrednosti. Razvidno je, da učenec razu- me nalogo in sistematično zapisuje postopek reševanja, ki ga pripelje do pravilne rešitve. Pravilnost dobljene rešitve tudi preizkusi. Svoje sklepe pa matematično napačno za- pisuje, saj zapisane enakosti (v prvi in zadnji vrstici) ne veljajo. Njegova učiteljica je zapisala: »Preizkus sem izvedla v 8. razredu z učenci 3. nivoja pri redni uri pouka ma- tematike. Samo izvedbo sem si za-mislila takole: 1. ura – predstavitev metod (katerih sem si sama naredila pred tem povzetek (METODA NAPAČNE PREDPOSTA VKE, METODA REŠEVANJA NAZAJ in GRA- FIČNO-ARITMERIČNA METODA) in prikazati primere reševanja nalog z upora- bo ene izmed metod. Ta ura se je razvlekla še na drugo šolsko uro. 2. ura oz. 3. ura – individualno reševan- je nalog. Učenci si sami izberejo iz nabora nalog vsaj 3 naloge, ki jih poizkusijo rešiti. Zaželeno je, da uporabijo za reševanje ka- tero izmed predstavljenih metod. Že pri predstavitvi metod so učenci povedali, da so že v preteklosti sami prišli do katere izmed predstavljenih metod reševanja, vendar niso vedeli, da ima ta način reševanja naloge ime. Pri samem reševanju primerov naloge so pri vsaki metodi veliko komentirali in spraševali. Predstavitev teh metod se jim je zdela zelo zanimiva in uporabna tudi v prihod- nje. Učenci so bili mnenja, da bi jih morali učitelji s temi metodami spoznati že v niž- jih razredih, saj bi jim bilo precej lažje pri pouku matematike.« 3. način reševanja Učenci 9. razreda so nalogo večinoma reše- vali z enačbo. Neznano število so označili z x. [ S l i k a 12] Pretipkano reševanje učenca δ Reševanje naloge Mesečni stroški Naloga 3 – Mesečni stroški Družina mesečno potroši za hrano skupnih prihodkov, za stanarino pre- ostanka in za plačilo elektrike končnega ostanka. Ko poravna vse omenjene stroš- ke, ji ostane 384 €. Koliko je mesečni pri- hodek družine? Odgovor: Mesečni prihodek družine je 1920 €. Načini reševanja Nalogo Mesečni stroški so učenci reševali zelo podobno kot uvodno Nalogo s slivami. Presenetljivo je, da so vsi učenci v vsakem koraku dosledno zapisovali denarne enote. Res pa je, da so zapisi nekaterih enakosti ma- tematično napačni. 039 1. način reševanja [ S l i k a 13] Pretipkano reševanje učenca Učenec 8. razreda je sam odkril metodo reševanja nazaj in z njeno pomočjo siste- matično rešil nalogo, kot je lepo razvidno iz slike 13. Zapisal je odgovor, ni pa naredil preizkusa. Tudi v tem primeru reševanja vidimo te- žave učencev pri pravilnem matematičnem sporočanju, torej zapisovanja enakosti. Vi- dimo pa, da sistematično zapisuje denarne enote. Njegova učiteljica je zapisala: »Učencem pred reševanjem nisem razložila metode, saj sem želela videti, ali bodo sami prišli do zastavljenega cilja.« 2. način reševanja Devetošolec je nalogo na sliki 14 reševal z enačbo. Mesečni prihodek družine je označil z x. 040 Metoda reševanja nazaj [ S l i k a 14] Pretipkano reševanje učenca [ S l i k a 15] Pretipkano reševanje učenca 3. način reševanja Učenec 9. razreda je na sliki 15 uporabil »di- agram poteka«, v katerega je vpisoval tudi stranske račune. Nekateri zapisi so matema- tično nepravilni, a učenec v tem (za nas ne- preglednem) zapisu sledi rdeči niti in tako pripelje nalogo do pravilne rešitve. Računal je po metodi reševanja nazaj in izhajal iz zneska, ki je ostal na koncu, ter se postopoma pribli- ževal znesku, ki ga je družina imela na začet- ku, predenj so poravnali omenjene stroške. ε Reševanje naloge Nakup knjig Naloga 4 – Nakup knjig Marko je kupil tri knjige. Za plačilo prve knjige je porabil celotnega zneska, za drugo preostalega denarja in za tretjo denarja preostalega po nakupu prvih dveh knjig. Domov je prišel s tremi knji- gami in 16 €. Koliko denarja je imel pred nakupom knjig? Odgovor: Pred nakupom knjig je imel 87,50 €. Načini reševanja 1. način reševanja Učenec 9. razreda je nalogo razumel in su- vereno izpeljal postopek po metodi reševan- ja nazaj v treh korakih, kot je prikazano na sliki 16. V vsakem koraku je izračunal ceno knjige in ostanek denarja ter ta dva zneska seštel, da je dobil ostanek po nakupu prejš- nje knjige. Manjka preizkus. Tako kot pri večini izdelkov učencev je neustrezen tudi zapis enakosti, npr. . Zanimivo pa je, da večina učencev pri reševanju te naloge dos- ledno zapisuje enoto za €. Morda bi jih mo- rali opozoriti le še na to, da zapišejo znesek na dve decimalni mesti (centi so stotine). η Za konec Žal nimamo izdelkov učencev, ki so ubrali napačno pot reševanja, ali pa so pravilno raz- mišljali, a naredili računsko napako in tako prišli do napačne rešitve, ali pa so celo obti- čali v postopku in niso znali naprej. Zanimi- vo bi bilo analizirati njihove poti reševanja. 041 Opažamo, da učenci niso delali preizkusov, pa tudi odgovori na vprašanja so redki. Mor- da so jih učenci naredili, a jih učitelji reše- vanjem niso priložili, saj so mislili, da nas zanima samo pristop k reševanju problema. Naloge so pri rednem pouku ali pa pri dodatnem pouku reševali učenci od 6. do 9. razreda. V večini primerov so učenci naj- prej sami reševali ponujene naloge na polju- ben način. Šele potem so učitelji s pomočjo učenca, ki je nalogo uspešno rešil po metodi reševanja nazaj, predstavili to metodo. Učitelji so pri pouku z učenci reševali še druge naloge z metodo reševanja nazaj. Nekatere naloge so oddali v spletno učilni- co. Učenci so pri tej metodi pokazali zelo inovativne pristope k reševanju problemov, večina jih je znala tudi sistematično zapisati postopek reševanja. Zanimivo je, da so učen- ci intuitivno uporabljali navedene metode [ S l i k a 16] Pretipkano reševanje učenca reševanja, na ta način razmišljali, čeprav jih učitelji pred reševanjem teh nalog z na- vedenimi metodami niso seznanili. Nekate- ri učenci so za reševanje uporabili celo več navedenih metod hkrati. Ob zapisih ugotav- ljamo pogosto napačne matematične zapise, predvsem pri rabi znaka za enakost. Ugotav- ljamo, da bo treba izdelati različne aktivnos- ti za razvijanje zmožnosti pravilnega mate- matičnega sporočanja, v kar je vključen tudi simbol =. Dopis uredništva: Zahvaljujemo se učiteljem: Aniti Nemec, Virág Tadina Bence, Jožici Knez, Sonji Str- gar, Simoni Sobotič, Mileni Čakš Karpov, Petri Šuman, Patriciji Kramberger Rom, Vinku Zobec, Leu Čelofiga, ki so v šolskem letu 2010/11 delili svoja razmišljanja in izdelke učencev v spletni učilnici študijskih skupin za matematiko. θ Vir 1. Sanja Varošanec: Neke metode reševanja problemskih zadataka. Poučak, letnik 4, št. 13, 2003.