ERK'2020, Portorož, 235-238 235 Valovitost toka v 3-faznem 2-nivojskem razsmerniku David Kovačič, Rastko Fišer, Klemen Drobnič Univerza v Ljubljani, Fakulteta za elektrotehniko, Tržaška cesta 25, 1000 Ljubljana, Slovenija E-pošta: dk1550@student.uni-lj.si Current ripple in 3-phase 2-level inverter Abstract. 3-phase 2-level voltage-source inverters are a standard choice for generating three-phase voltage from a DC voltage source. Because energy conversion should be as efficient as possible, a modulation technique known as Pulse Width Modulation (PWM) is employed, which generates a switching voltage waveform. However, the switching mode of operation inevitably produces the current ripple, which depends on a load type, switching frequency, and modulation technique and manifests itself in a higher part of the spectra. In this paper, we analyzed the instantaneous current ripple during one fundamental period. Using simulation we determined a relation between the amplitudes and angles of voltage vectors and current ripple in the complex plane. We found that operation with high modulation indices experiences six distinct areas with high current ripple per period. 1 Uvod 3-fazni 2-nivojski razsmernik je topologija močnostnega pretvornika, ki jo najdemo v številnih aplikacijah močnostne elektrotehnike, predvsem v električnih pogonih in omrežno povezanih pretvornikih električne energije. V večini tovrstnih pretvornikov vodenje temelji na pulzno-širinski modulaciji (PŠM) z nosilnim signalom, kar zagotavlja enostavno implementacijo, konstantno stikalno frekvenco in dobro definiran frekvenčni spekter. Neizogibna posledica stikalnega načina delovanja je valovitost izhodnega toka, ki naj bo kar najmanjša, saj je prav to neposreden vzrok za nastanek višjeharmonskih izgub na bremenu. S prilagajanjem oblike nosilnega signala lahko vsaj delno vplivamo na velikost tovrstnih izgub, npr. z uporabo nezvezne PŠM pri relativno visokih modulacijskih indeksih [1]. V nadaljevanju privzamemo, da je močnostni pretvornik voden s PŠM s sinusno suboscilacijo, ki ima identični frekvenčni spekter kot sicer dobro znana modulacija s prostorskim vektorjem. 2 Močnostni pretvornik z bremenom 2.1 Generiranje napetosti Na sliki 1 je prikazana konceptualna shema simetrično obremenjenega 3-faznega 2-nivojskega razsmernika vodenega s PŠM. Močnostni pretvornik, napajan iz enosmernega vira napetosti, služi za generiranje trifazne izhodne napetosti U abc. Z modulacijskim indeksom, ki je omejen na vrednosti med 0 in 1, izberemo amplitudo krmilne reference, katera se nato primerja s visoko frekvenčnim trikotnim signalom. Ohmsko-induktivno breme je simetrično, nespremenljivo z upornostjo 20 Ω in induktivnostjo 0,15 H na vsaki veji in vezano v zvezdo. Slika 1. Shema simetrično obremenjenega 3-faznega 2-nivojskega razsmernika 2.2 Analiza valovitosti toka Zaradi nezveznega poteka napajalne napetosti u a se v časovnem poteku toka i a pojavi valovitost i va (slika 2). Največja valovitost toka sovpada z najstrmejšim delom časovnega poteka želene napetosti (tam, kjer krmilni signal prečka ničlo – označeno s kazalcema). Zaradi simetrije faz a, b in c bomo od sedaj naprej obravnavali zgolj fazo a. Slika 2. Primerjava valovitosti toka s potekom napetosti v eni periodi osnovnega harmonika Iz poteka toka i a in njegove valovitosti i va (slika 2) vidimo, da tok vsebuje poleg osnovne harmonske 236 komponente tudi višje harmonike [2]. Frekvenčni spekter na sliki 3 nazorno pokaže frekvenčno vsebino faznega toka – njegov idealni potek bi vseboval zgolj osnovni harmonik, ki zaradi preglednosti ni izrisan. Iz spektra je razvidno, da se najbolj zastopani harmoniki pojavijo v okolici stikalne frekvence (5 kHz) in njenih celoštevilskih večkratnikov. 2.3 Ovrednotenje valovitosti toka Časovni potek valovitosti i va izločimo iz skupnega toka i a z 𝑖 𝑣𝑎 = 𝑖 𝑎 − 𝑖 𝑎 1 , (1) kjer je i a1 osnovni harmonik faznega toka. Največjo razliko v vršni-vršni vrednosti valovitosti v eni stikalni periodi definiramo kot 𝐼 𝑣𝑎𝑝𝑝 = max (𝑖 𝑣𝑎 ) − min (𝑖 𝑣𝑎 ). (2) Valovitost i va (slika 2) nato delimo s pravkar definirano vršno-vršno vrednostjo in dobimo normalizirano valovitost 𝑖 𝑣 𝑎𝑛 = |𝑖 𝑣𝑎 | 𝐼 𝑣𝑎𝑝𝑝 . (3) Slika 3. Frekvenčni spekter višjih harmonikov toka ia 3 Analiza prostorskega vektorja 3.1 Analiza ovojnice prostorskega vektorja v kompleksni ravnini Trifazni bremenski tok lahko v sistemih brez izvedenega ničelnega vodnika zapišemo s prostorskim vektorjem 𝒊 𝑝𝑣 = 2 3 (𝑖 𝑎 + 𝒂 𝑖 𝑏 + 𝒂 2 𝑖 𝑐 ) = 𝑖 𝑝𝑣𝑟 + j𝑖 𝑝𝑣𝑖 , (4) kjer je a = exp(j·2π/3). Časovni potek prostorskega vektorja pri posameznem modulacijskem indeksu m razkrije njegovo odvisnost od električnega kota. Na sliki 4 lahko vidimo, kako skupna valovitost faznih tokov vpliva na ovojnico prostorskega vektorja pri različnih vrednostih m. Idealne ovojnice, brez valovitosti toka, bi bile seveda krožnice. Razberemo lahko, da se valovitost spreminja z električnim kotom, in sicer šestkrat v eni osnovni periodi. V področju nadmodulacije (m > 1) se dodatno popači osnovna krožna oblika toka, saj se v toku takrat pojavijo harmonske komponente tudi v spodnjem delu spektra (5., 7., 11., 13.,…). Slika 4. Potek ovojnic prostorskega vektorja toka z valovitostjo pri različnih modulacijskih indeksih Iz faznih valovitosti sestavimo ovojnico prostorskega vektorja valovitosti 𝒊 𝑣𝑝𝑣 = 2 3 (𝑖 𝑣𝑎 + 𝒂 𝑖 𝑣𝑏 + 𝒂 2 𝑖 𝑣𝑐 ) = 𝑖 𝑣𝑝𝑣𝑟 + j𝑖 𝑣𝑝𝑣𝑖 , (5) ki jo prikazuje slika 5. Slika 5. Projekcija valovitosti pri različnih modulacijskih indeksih Razvidno je, da je valovitost odvisna od električnega kota. Največje izraženosti valovitosti sovpadajo z električnimi koti posameznih stikalnih 237 vektorjev. Opazimo tudi, da je prisotna podvojenost teh izraženosti ter da valovitosti ovojnice prostorskega vektorja s slike 4 ne sovpadajo z vrhovi stikalnih vektorjev. 3.2 Analiza ovojnice prostorskega vektorja v kompleksno-časovnem prostoru V kompleksno-časovnem prostoru obravnavamo imaginarni in realni del signala ločeno. Na sliki 6 lahko opazimo, da je izraženosti toliko, kot je stikalnih vektorjev (šest), in da je prisoten rahel odmik od abscisne osi. Slika 6. Realna komponenta prostorskega vektorja, njena valovitost, in njena vršno-vršno ovrednotena valovitost Tudi na sliki 7 lahko iz časovnega poteka valovitosti vidimo manjši odmik valovitosti od abscise, le da je tokrat prisoten pri okoli 50 ms in 60 ms. Zaradi projekcije na imaginarno ravnino so sedaj vidna štiri izražena področja. Preostali dve sta prikriti, ker sta pravokotni na imaginarno ravnino. Slika 7. Imaginarna komponenta prostorskega vektorja, njena valovitost in njena vršno-vršno ovrednotena valovitost 3.3 Predstavitev ovojnice prostorskega vektorja v kompleksno-časovnem prostoru Za boljšo predstavo vpliva enosmernih odmikov, kakor tudi šestih področij izraženosti valovitosti, lahko časovni potek ovojnice prostorskega vektorja i pv in njegove valovitosti i vpv prikažemo v kompleksno- časovnem prostoru (slika 8). S slike 9 lahko razberemo, da bi bile izraženosti na sliki 5 popolnoma poravnane s stikalnimi vektorji, če časovni potek valovitosti ne bi imel odmikov od središčnice. Tako pa pride do podvojenosti. Slika 8. Časovni potek prostorskega vektorja z valovitostjo za eno periodo Slika 9. Časovni potek valovitosti v periodi prostorskega vektorja 4 Prikaz odvisnosti valovitosti od modulacijskega indeksa in kota 4.1 Prikaz valovitosti od kota pri posameznih modulacijskih indeksih Pri spreminjanju modulacijskega indeksa v območju linearne modulacije (m < 1) je najopaznejša sprememba v amplitudah toka, kot prikazuje potek i a na sliki 10 [2]. Slika 10. Časovni potek toka ia, valovitosti iva in njene normirane vrednosti ivan pri različnih modulacijskih indeksih 238 S slike 10 lahko razberemo, da amplitude valovitosti toka i a (i va) niso linearno odvisne od modulacijskega indeksa. Prav tako je z manjšanjem modulacijskega indeksa šest »izraženosti« vse manj izrazitih. Vpliv spreminjanja modulacijskega indeksa na prostorski vektor prikazuje slika 5, kjer vidimo, da se poveča »izraženost« valovitosti pri linearni modulaciji predvsem izven področja usmeritve stikalnih vektorjev. 4.2 Prikaz odvisnosti valovitosti od modulacijskega indeksa in kota Z uporabo barvne lestvice (rdeča barva predstavlja največjo valovitost, medtem ko modra predstavlja najmanjšo valovitost) za velikost valovitosti omogočimo »zvezen« prikaz njene odvisnosti od modulacijskega indeksa in kota na sliki 11, ne da bi izgubili informacijo o njeni »izraženosti«. Slika 11. Barvni prikaz odvisnosti valovitosti od modulacijskega indeksa in kota prostorskega vektorja v linearnem področju modulacije Iz razporeditve barv opazimo, da največja valovitost pri posameznih modulacijskih indeksih sovpada s sečišči »izraženosti« valovitosti med sabo. Ta sečišča so med seboj zamaknjena za 60° in so pri kotih 30°, 90°, 150°, 210°, 270°, 330° [2]. 4.3 Nadmodulacija Pri nadmodulaciji ostane izhod močnostnega pretvornika dlje časa odprt. Posledično pride do nesorazmerno večjih valovitosti v primerjavi z linearno modulacijo. Vpliv nadmodulacije na fazni tok i a prikazuje slika 12, kjer ima valovitost sedaj prisoten izrazit peti harmonik, okrog katerega oscilirajo preostale komponente valovitosti. Njegova posledica je pretirana »izraženost« valovitosti pri nadmodulaciji, ki močno vpliva na obliko ovojnice prostorskega vektorja, kot je razvidno s slike 4. S slike 13 lahko razberemo, da je vpliv petega harmonika na valovitost pri modulacijskem indeksu 1,2 bistveno bolj izrazit od vseh ostalih komponent skupaj. Slika 12. Časovni potek toka ia, valovitosti iva in njene normirane vrednosti ivan pri modulacijskih indeksih 1 in 1,2 Slika 13. Projekciji valovitosti na kompleksno ravnino pri modulacijskih indeksih 1 (zelena) in 1,2 (rdeča) 5 Zaključek Ugotovili smo, da se valovitost toka ne spreminja zvezno z modulacijskim indeksom, kakor tudi ne zvezno s kotom prostorskega vektorja. Pri nadmodulaciji je to nadvse očitno. Vendar se moramo tudi v področju linearne modulacije zavedati, da navkljub nekolikšnemu zmanjšanju valovitosti v smeri stikalnih vektorjev, pridelamo povečano valovitost na drugih območjih. Problemu pojava valovitosti se s spreminjanjem modulacijskega indeksa torej ne moremo izogniti. Literatura [1] Holmes D. G., Lipo T. A., Pulse Width Modulation for Power Converters, Wiley-IEEE Press, Hoboken, ZDA, 2003. [2] Grandi G., Loncarski J., Dordevic O., “Analysis and Comparison of Peak-to-Peak Current Ripple in Two-Level and Multilevel PWM Inverters”, IEEE Trans. Industrial Electronics, vol. 62, no. 5, May 2015, pp. 2721-2730.