i
i
“1094-Domajnko-0” — 2010/7/13 — 10:08 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 19 (1991/1992)
Številka 4
Strani 220–222
Vilko Domajnko:
KONVEKSNI TANGRAMSKI LIKI
Ključne besede: razvedrilo, naloge.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/19/1094-Domajnko.pdf
c© 1992 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
220
KONVEKSNI TANGRAMSKI LIKI
Kcmb i n a to r i č n i pristop k igri tangram je lahko za matematika še posebej
zanimiv. Poglejmo.
Eno izmed najenostavnejših tovrstnih vprašanj se glasi :
Koliko je vseh konveksnih tangramskih likov?
Konveksen tangramski lik (recimo mu kar kotali) je večkotnik , ki ima
vse notranje kote manjše od 1800 . Med vsemi tangramskimi liki, kar smo jih
doslej objavili v Preseku , smo srečali le dva konveksna. To sta bila kvadrat
in paralelogram . (PoišCi ju !)
Na zgornje vprašanje sta prva odgovorila kitajska matematika Fu Tsiang
Wang in Chuan-Chih Hsiung. Leta 1942 sta objavila dokaz, da obstaja
natanko trinajst kotalfjev. Dvanajst jih lahko vidite na sliki 1, trinajstega pa
poskusite poiskati sami . Kdor bo pazljivo prebral č l a n e k , bo najbrž manjka-
joči lik hitro našel. Seveda pa poskusite objavljenih dvanajst kotalfjev tudi
sestaviti.
Oglejmo si vsaj košček poti , ki sta jo ubrala kitajska matematika pri
iskanj u vseh kotalijev .
Slika 2 prikazuje , kako lahko vseh sedem tangramskih ploščic razrežemo
tako, da dobimo 16 med seboj skladnih osnovnih trikotnikov. Naj bo dolžina
katete vsakega izmed teh trikotnikov 1. Dolžina njegove hipotenuze je potem
Slika 1
221
/2, torej iracionalno število . Le poskusimo sedaj teh 16 osnovnih trikotnikov
sestaviti v kotali, nam brž postane jasno, da hipotenuza kateregakoli izmed
osnovnih trikotnikov v nobenem primeru ne more ležati ob kateti nekega
drugega osnovnega trikotnika . V nasprotnem bi nastali lik namreč ne bil
konveksen, saj bi imel notranji kot velikosti 2250 (glej sliko 3).
Slika 2 Slika 3
Od tod sklepamo, da so tiste stranice kotalfja, ki imajo racionalno
dolžino, sestavljene zgolj iz katet osnovnih trikotnikov, stranice kotalfja, ki
imajo iracionalno dolžino, pa le iz hipotenuz osnovnih trikotnikov. Imenujmo
prve stranice v kotalIju racionalne stranice. druge pa iracionalne stranice.
3
,------_./'.-_---.......
2
Slika 4
l -------_..../V
5
222
l.e je kot med sosednjima stranicama kotalija 90 °, sta torej ali obe
racionalni ali pa obe iraciona lni. Podobno velja , da je ena rac iona ina , druga
pa iracionalna , če je kot med njima 45 ° ali 135 ° . Trd itev ilustrira kotal i na
sliki 4 .
Recimo sedaj , da ima nek i izbrani kotali n kotov, pri čemer je med njimi
p ostrih , q pravih in r topih . Potem velja
p + q + r = n.
Za konveksne poligone z n st ranicami vemo , da je vsota njihovih notranjih
kotov enaka (n - 2) ·180° . Torej velja za vsak kotali enačba
p .45° + q . 90 ° + r . 135° = (n - 2) . 180° .
l.e upoštevamo še prejšnjo enačbo, dobimo 2p + q = 8 - n. Sedaj vemo o
lastnostih kotalfjev že dovol j, da lahko sestavimo tabelo vseh možnih primerov
za parametre p , q , r in n.
p q r n
O O 8 8
O 1 6 7
O 2 4 6
1 O 5 6
O 3 2 5
1 1 3 5
O 4 O 4
2 O 2 4
1 2 1 4
2 1 O 3
Poskusite poiskati vsakemu izmed dvanajstih objavljenih kotaljjev mesto
v tej tabeli . Ugotovili boste , da nekatere izmed četveric p , q , r , n op isujejo
več različnih kotalfjev , nekatere pa sploh nobenega .
Mislim , da vam bo ta tabela precej olajšala tudi iskanje neobjavljenega
t rinajstega kotafja . V pomoč naj vam povem , da samo prva, druga in četrta
vrsti ca v tabeli ne opisujejo nobenega kotalfja .
Vilko Domajnko