9 770351 665869 6 M A T E M A T IK A +F IZ IK A +A S T R O N O M IJ A +R A ČU N A LN IŠ T V O # ISSN 0351-6652 9 7 7 0 3 5 1 6 6 5 8 6 9 PR E S E K L E T N I K 4 8 ( 2 0 2 0 / 2 0 2 1 ) Š T E V I L K A 6    ̌                                P                     Presek list za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje letnik 48, šolsko leto 2020/2021, številka 6 Uredniški odbor: Vladimir Batagelj, Tanja Bečan (jezikovni pregled), Mojca Čepič, Mirko Dobovišek, Vilko Domajnko, Bojan Golli, Andrej Guštin (astronomija), Martin Juvan, Maja Klavžar, Damjan Kobal, Lucijana Kračun Berc (tekmovanja), Boštjan Kuzman (matematika), Peter Legiša (glavni urednik), Andrej Likar (fizika), Matija Lokar, Aleš Mohorič (odgovorni urednik), Marko Razpet, Jure Slak (računalništvo), Matjaž Vencelj, Matjaž Zaveršnik (tehnični urednik). Dopisi in naročnine: DMFA–založništvo, Presek, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana, telefon (01) 4766 633, telefaks (01) 4232 460, 2517 281. Internet: www.presek.si Elektronska pošta: info@dmfa-zaloznistvo.si Naročnina za šolsko leto 2020/2021 je za posamezne naročnike 22,40 eur – posamezno naročilo velja do preklica, za skupinska naročila učencev šol 19,60 eur, posamezna številka 6,00 eur, stara številka 4,00 eur, letna naročnina za tujino pa znaša 30 eur. Transakcijski račun: 03100–1000018787. List sofinancira Javna agencija za raziskovalno dejavnost Republike Slovenije iz sredstev državnega proračuna iz naslova razpisa za sofinanciranje domačih poljudno-znanstvenih periodičnih publikacij. Založilo DMFA–založništvo Oblikovanje Tadeja Šekoranja Tisk Collegium Graphicum, Ljubljana Naklada 1100 izvodov © 2021 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije – 2135 ISSN 2630-4317 (Online) ISSN 0351-6652 (Tiskana izd.) Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovoljeno. Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana. Presek objavlja poljudne in strokovne članke iz matematike, fizike, astronomije in računalništva. Poleg člankov objavlja Pri- kaze novih knjig s teh področij in poročila z osnovnošolskih in srednješolskih tekmovanj v matematiki in fiziki. Prispevki naj bodo zanimivi in razumljivi širšemu krogu bralcev, učencem viš- jih razredov osnovnih šol in srednješolcem. Članek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev) in sedež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo). Slike in tabele, ki naj bodo ošte- vilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih lahko večinoma razumemo ločeno od besedila. Slike v elektronski obliki morajo biti visoke kakovosti (jpeg, tiff, eps . . . ), velikosti vsaj 8 cm pri ločljivosti 300 dpi. V primeru slabše kakovosti se slika primerno pomanjša ali ne objavi. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (copyri- ght). Zaželena velikost črk je vsaj 12 pt, razmak med vrsticami pa vsaj 18 pt. Prispevke pošljite odgovornemu uredniku na naslov uredni- štva DMFA–založništvo, Presek, p. p. 2964, 1001 Ljubljana ali na naslov elektronske pošte info@dmfa-zaloznistvo.si. Vsak članek se praviloma pošlje vsaj enemu anonimnemu re- cenzentu, ki oceni primernost članka za objavo. Če je prispevek sprejet v objavo in če je besedilo napisano z računalnikom, po- tem uredništvo prosi avtorja za izvorne datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane v eni od standardnih različic urejevalnikov TeX oziroma LaTeX, kar bo olajšalo uredniški postopek. Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo ob- javo v elektronski obliki na internetu.         ̌           b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b     ̌         P 48 (2020/2021) 62 Vzorci vegetacije na sušnih območjih Matematiko pogosto opisujemo kot znanost o vzorcih. Številne vzorce najdemo tudi v naravi okrog nas, denimo pasove vegetacije, ki se pogosto razra- stejo na položnih območjih v skoraj puščavskih eko- sistemih. S pomočjo podatkov o padavinah in obliki terena so raziskovalci z uporabo parcialnih diferen- cialnih enačb sestavili matematični model, ki je po- jasnil, zakaj taki pasovi večinoma rastejo konkavno v smeri vzpona terena. To razumevanje nam lahko pomaga vegetacijo zaščititi pred uničenjem. Ekipe ekologov, hidrologov in matematikov pa so model nedavno še izboljšale in prilagodile različnim časovnim razponom. Novi model omogoča upošte- vanje hitrih sprememb, kot je, denimo, pretok vode med neurji, pa tudi počasnejših sprememb, kot je, denimo, rast rastlinstva. Iz novega modela sledi tudi to, da se pasovi vegetacije zelo počasi pomikajo vzdolž terena navzgor. To je mogoče potrditi z opa- zovanji in pojasniti z razlago, da pas ujame nekaj vode in hranil, kar spodbuja rast na zgornji strani pasu. Več o tem najdete v članku Vegetation pattern for- mation in drylands, Gandhi, Iams, Bonetti, in Silber, Dryland Ecohydrology, str. 469-509 (2019). SLIKA. »A slow march through the desert«, K. Gowda, Iams, Silber (2018), Scientific Reports. Izvirno besedilo: Describing Drylands Vegetation Patterns, Ma- thematical moments from the AMS. Prevod in priredba: Boštjan Kuzman. ˆ ˆ ˆ S  : Severni nebesni pol in navidezno vrte- nje neba. Fotografija: Andrej Guštin ̌  2 Vzorci vegetacije na sušnih območjih  4–6 Igra treh barv (Matevž Črepnjak, Tina Sovič) 7–9 Parabola na zaključnem izpitu Jurija Vege (Marko Razpet)  10–13 Elastični trki in prevajanje toplote (Andrej Likar)  14–15, 18–22 Astronomska fotografija za butalce (Andrej Kregar) ̌̌ 23–26 Brez gesla in brez omejitev s prelivom spomina (Maks Kolman)  9 10. evropska dekliška matematična olimpijada (Boštjan Kuzman) 16–17 Nagradna križanka (Marko Bokalič) 26 Križne vsote 27 Rešitev nagradne križanke Presek 48/5 (Marko Bokalič) 28–30 Maturantski matematični geolov v okolici Postojne (Miha Šušteršič) 31 Naravoslovna fotografija – Dvignjene stopinje (Nada Razpet)  priloga 30. tekmovanje iz razvedrilne matematike – državno tekmovanje priloga Tekmovanje iz fizike za bronasto Stefanovo priznanje – šolsko tekmovanje priloga Tekmovanje srednješolcev v znanju fizike – šolsko tekmovanje Čmrlj      P 48 (2020/2021) 6 3 Kazalo       P 48 (2020/2021) 64 Igra treh barv M̌ Č, T S̌ Predstavili bomo Igro treh barv, ki sta jo prva opisala matematika Ehrhard Behrends in Steve Humble v članku Triangle Mysteries, Mathematical Gems and Curiosities, leta 2013 in je dostopen na www.ehrhard-behrends.de/pdf_zaubern/behre- nds_humble.pdf. Igra je precej preprosta, v ozad- ju pa se skriva zanimiva matematika. Konfiguracijo enakostraničnega trikotnika bomo sestavili iz pravilnih šestkotnikov tako, da bo vsaka od stranic sestavljena iz štirih pravilnih šestkotnikov (glej sliko 1). Predpostavimo, da je konfiguracija ve- dno orientirana tako, da ena izmed njenih stranic leži vodoravno zgoraj, posledično je nasprotno ogli- šče spodaj. Pri takšni orientaciji bomo zgornjo stra- nico, torej prvo vrsto šestkotnikov, imenovali prva vrstica, tri šestkotnike, ki ležijo tik pod njo, bomo imenovali druga vrstica, preostali dve pa tretja in če- trta vrstica, kjer je slednja zgolj oglišče. Opisano konfiguracijo bomo v nadaljevanju imenovali triko- tnik reda 4. Za poljubno naravno število n ě 2 na podoben način definiramo trikotnik reda n. Na voljo imamo tri različne barve, denimo rumeno, modro in rdečo. Trikotnik z njimi pobarvamo tako, da vsakemu šestkotniku priredimo natanko eno iz- med barv na način, opisan spodaj. Prvo vrstico šestkotnikov pobarvamo poljubno. Ena od možnosti je predstavljena na sliki 1. Barva vsakega nadaljnjega šestkotnika je določena z barvo tistih dveh šestkotnikov, ki ležita v vrstici neposredno nad njim in se ga dotikata. Pravili sta sledeči: če sta šestkotnika iste barve, je takšne barve tudi spodnji šestkotnik; če sta šestkotnika različnih barv, potem je spo- dnji šestkotnik tiste barve, ki ne nastopa kot barva šestkotnikov nad njim. Sedaj si zastavimo naslednji vprašanji: Ali lahko na podlagi barv prve vrstice v enem koraku (tj. še SLIKA 1. Primer barvanja prve vrstice trikotnika reda 4 pred barvanjem preostalih šestkotnikov danega triko- tnika) določimo barvo šestkotnika v zadnji vrstici? Ali je barva šestkotnika v zadnji vrstici odvisna od vseh barv prve vrstice ali zgolj od nekaterih izmed njih? Preden odgovorimo na zgornji vprašanji, pobar- vajmo trikotnik s slike 1 v celoti. Ugotovimo, da je šestkotnik na dnu trikotnika rde- če barve. Oglejmo si barve oglišč dotičnega triko- tnika. Prvi in zadnji šestkotnik prve vrstice smo po- barvali z modro in rumeno barvo. Skupaj določata rdečo barvo, kar je natanko barva šestkotnika v za- dnji vrstici. Gre za naključje? Poskusimo prvo vr- stico pobarvati drugače. Hitro ugotovimo, da je bar- va oglišča v zadnji vrstici spet barva, ki jo določata preostali dve oglišči trikotnika. Izkaže se, da je od- govor na obe zastavljeni vprašanji pritrdilen in velja naslednje: Barvo nepobarvanega oglišča na dnu tri- kotnika lahko v enem koraku določimo že na podlagi barv preostalih dveh oglišč. Trditev lahko dokažemo s seznamom vseh možnih barvnih kombinacij prve vrstice. Mi bomo trditev dokazali s pomočjo aritme- tike. Tak dokaz je za nas bolj zanimiv, saj ga lahko posplošimo tudi na trikotnike višjega reda. Najprej vsaki izmed barv priredimo natanko eno od števil 0, 1 in 2 tako, da je vsaka barva na enoličen način opredeljena s številom. Predpostavimo, da ru- meni barvi priredimo število 0, modri barvi število 1 in rdeči barvi število 2. Barvanje bomo sedaj lahko predstavili v obliki računske operacije. Ker s kombinacijo dveh barv s seznama spet do- bimo barvo z istega seznama, bomo množico prireje-       P 48 (2020/2021) 6 5 SLIKA 2. Barvanje z uporabo zgoraj zapisanih pravil SLIKA 3. Trikotnik s slike 1 pobarvan v celoti nih števil t0,1,2u opremili s t. i. seštevanjem po mo- dulu 3. Gre za sistem aritmetike celih števil, kjer se števila ponovno vrtijo v krogu, ko dosežejo določeno vrednost, ki se imenuje modul. Števili sta kongruen- tni po modulu n, kar zapišemo a ” b (mod n), če je a ´ b “ nk za neko celo število k. Tako je npr. 2 ` 2 ” 1 (mod 3), saj je 4 ´ 1 “ 3 ¨ 1. Vrnimo se k barvam, ki smo jim na enoličen način priredili šte- vila. Opazimo, da barvi a in b določata barvo, ki ji pripada število ´pa ` bq (mod 3). Bralec lahko zapi- sano enostavno preveri s pomočjo slike 2. Dokažimo torej, da barvi prvega in zadnjega šest- kotnika v trikotniku reda 4 vedno določata barvo šestkotnika v zadnji vrstici. Predpostavimo, da smo prvo vrstico trikotnika pobarvali z barvami a, b, c in d ter izračunajmo barvo šestkotnika v zadnji vrstici. Kot rezultat (glej sliko 5) dobimo število ´pa ` 3b ` 3c ` dq, ki je kongruentno številu ´pa ` dq po modulu 3. Pri tem smo, med drugim, upoštevali dej- SLIKA 4. Barvanje kot računska operacija SLIKA 5. Izračun barve šestkotnika v zadnji vrstici trikotnika reda 4       P 48 (2020/2021) 66 SLIKA 6. Trikotniki reda 3n ` 1 v trikotniku reda 3n`1 ` 1 z opazovanimi oglišči stvo, da za poljubna cela števila x, y , x1 in y 1 velja: če je x ” x1 (mod 3) in y ” y 1 (mod 3), tedaj je x`y ” x1 `y 1 (mod 3). Izračunano število torej pri- pada barvi, ki jo določata a in d, le-ta pa je neodvisna od preostalih barv v trikotniku. S tem smo dokazali, da je v igri treh barv barva oglišča na dnu trikotnika reda 4 res določena le z barvo oglišč iz prve vrstice in jo lahko določimo še preden prepoznamo barve preostalih šestkotnikov. Na tem mestu se pojavi vprašanje, ali zapisano velja le za trikotnike reda 4. Seveda velja za triko- tnike reda 2, saj smo seštevanje barv tam vpeljali (glej sliko 2), vendar s poskušanjem lahko pridemo do sklepa, da za trikotnike reda 3, 5, 6, 7, 8 in 9 to ne velja. Izkaže se, da trditev velja za vse trikotnike reda 3n ` 1, kjer je n poljubno naravno število. Zapisano dokažimo s pomočjo matematične indukcije. Pred tem se spomnimo, da gre za metodo dokaza, ki po- teka v dveh korakih in se običajno uporablja pri do- kazovanju dane trditve za vsa naravna števila. Prvi korak, imenovan baza indukcije, je dokaz trditve za prvo naravno število, ki naj bi trditvi zadoščalo. Sledi indukcijski korak, v katerem predpostavimo, da trdi- tev velja za poljubno izbrano naravno število n in jo dokažemo za n` 1. Da je baza indukcije izpolnjena, smo razmislili zgoraj. Za indukcijski korak izberimo poljubno na- ravno število n in predpostavimo, da za trikotnik reda 3n ` 1 trditev velja, tj. barva oglišča v vrstici 3n ` 1 je natanko določena z barvo oglišč iz prve vr- stice. Dokažimo, da ta trditev velja tudi za trikotnik reda 3n`1 ` 1. Trikotnik reda 3n`1 ` 1 je sestavljen iz trikotni- kov reda 3n ` 1 na način, kot kaže slika 6, kjer so narisana le oglišča teh trikotnikov. Zanimajo nas samo trikotniki, ki so orientirani na način, zapisan zgoraj. Poljubno pobarvajmo prvo vrstico trikotnika reda 3n`1 ` 1. Denimo, da smo oglišča trikotnikov reda 3n ` 1, ki ležijo v prvi vrstici trikotnika reda 3n`1 ` 1, pobarvali z barvami a, b, c in d, kot prika- zuje slika 6. Ker je v vsakem izmed trikotnikov reda 3n ` 1 po indukcijski predpostavki barva oglišča na dnu triko- tnika določena z barvo preostlih dveh oglišč, lahko izračunamo barvo šestkotnika, ki leži v zadnji vrstici trikotnika reda 3n`1 `1. Analogno, kot smo to storili v trikotniku reda 4, tudi tukaj pridemo do rezultata ´pa`3b`3c`dq, kar je kongruentno številu ´pa`dq po modulu 3. S tem je trditev dokazana. Ob koncu dodajmo, da lahko podobno, kot smo vpeljali pravila v igri treh barv, vpeljemo pravila za barvanje trikotnikov z uporabo dveh barv. Razmisli, kakšna pravila bi bila smiselna v tem primeru in ka- teri trikotniki bi s tem postali zanimivi. ˆ ˆ ˆ       P 48 (2020/2021) 6 7 Parabola na zaključnem izpitu Jurija Vege M R Jurij Vega (1754–1802) je moral leta 1775 za do- končanje dveletnega študija na ljubljanskem liceju opraviti obširen izpit Tentamen philosophicum. Iz- pitne teme so bile natisnjene v latinščini na 52-ih straneh, od katerih je bilo 26 strani posvečenih ma- tematiki, 20 strani fiziki in štiri strani logiki ter me- tafiziki. Vega je zaključni izpit opravil z odliko. O svojem študiju na ljubljanskem liceju pa je kasneje zapisal, da vstop v to učilišče spada med najsreč- nejše dogodke njegovega življenja. Ogledali si bomo dve trditvi o paraboli iz poglavja o stožnicah v Tentamenu. Domnevamo lahko, da je izpitna komisija od kandidatov pričakovala natanč- no poznavanje trditev, njihovo razlago in morda tudi dokaz. Ker tedanjih postopkov reševanja natanko ne poznamo, bomo najprej ponovili nekaj osnovnih pojmov in trditvi predstavili v današnjem jeziku. Pri stožnici so nam znani pojmi: teme, gorišče, vo- dnica, tetiva, tangenta in simetrala. V Vegovem času so parameter parabole imenovali dolžino tiste tetive, ki poteka skozi gorišče, pravokotno na simetralo pa- rabole. Danes imenujemo parameter parabole polo- vico te dolžine in jo označujemo s p. Poznali so tudi pojem premera ali diametra para- bole. To je vsak poltrak, ki ima krajišče na para- boli in poteka vzporedno z njeno simetralo po no- tranjosti parabole. Izraz premer parabole je smiseln, če imamo parabolo za v neskončnost razpotegnjeno elipso, pri čemer premer elipse preide v premer para- bole. Vsako tetivo skozi središče elipse imenujemo premer ali diameter elipse. Parabolo najlaže obravnavamo v analitični obliki. V pravokotnem kartezičnem koordinatnem sistemu Oxy postavimo njeno teme v koordinatno izhodišče O, gorišče pa v točko Fpp{2,0q. Vodnica parabole je premica x “ ´p{2, enačba parabole pa se glasi y2 “ 2px. Vedeti pa je treba tudi, da ima tangenta na para- bolo y2 “ 2px v točki T pξ, ηq enačbo ηy “ px`pξ. Pri tem je seveda η2 “ 2pξ. Kako pridemo do enačbe tangente? Poljubna premica, ki poteka skozi točko T pξ, ηq, ima enačbo x´ξ “ kpy´ηq, kjer je k realno število, ki ga je treba določiti tako, da bo ta premica imela s parabolo eno samo skupno točko, in sicer T pξ, ηq. Iz enačbe premice izrazimo x “ kpy´ηq`ξ, kar vstavimo v enačbo parabole in dobimo kvadratno enačbo za y : y2 “ 2pkpy ´ ηq ` 2pξ “ 2pky ´ 2pkη` η2. Preuredimo in razstavimo: y2 ´2pky`2pkη´η2 “ py´ηqpy`η´2pkq “ 0. Enačba ima rešitvi y1 “ η in y2 “ 2pk´η. Iz zahteve y1 “ y2 “ η dobimo k “ η{p. Iskana tangenta ima torej enačbo x´ξ “ py´ηqη{p oziroma ηy “ px` pξ. Zdaj se lahko lotimo naših nalog. Tentamen, Naloga CLXII. Naj bo t tangenta v temenu parabole, d pa tangenta v presečišču parabole s poljubno vzporednico s1 si- metrale s parabole. Če se premica t1, ki je vzporedna t, in premica d1, ki je vzporedna d, sekata v točki na paraboli, potem je ploščina trikotnika, omejenega s t1, d1 in s, enaka ploščini pravokotnika, omejenega s t, t1, s in s1 (slika 2). Dokaz. Zapišimo točke s koordinatami T pξ, ηq, T 1pξ1, η1q. Pri tem je ξ ě 0 in ξ1 ě 0. Upoštevati je treba tudi,       P 48 (2020/2021) 68 SLIKA 1. Naslovnica zbirke izpitnih vprašanj z imeni članov komisije in kandidatov, med katerimi je tudi Jurij Vega (Georgius Veha). Naslovnica ni brez tiskarskih napak. da veljata relaciji η2 “ 2pξ in η12 “ 2pξ1. Enačbe sodelujočih premic so: ptq x “ 0, pt1q x “ ξ1, psq y “ 0, ps1q y “ η, pdq ηy “ px ` pξ, pd1q ηpy ´ η1q “ ppx ´ ξ1q. Naj bo B presečišče premic t1 in s, C pa presečišče premis s in d1. Potem je razlika abscis točk C in B SLIKA 2. Trikotnik in pravokotnik sta ploščinsko enaka. enaka ´ηη1{p. Trikotnik BCT 1 je pravokotni s kate- tama |BC| “ |ηη1|{p in |BT 1| “ |η1|. Njegova ploščina je SpBCT 1q “ 1 2 |BC| ¨ |BT 1| “ 1 2p |ηη12| “ ξ1|η|. Pravokotnik DABO pa ima stranici |OB| “ ξ1 in |AB| “ |η| in ploščino SpDABOq “ |OB| ¨ |AB| “ ξ1|η|. Torej je res SpBCT 1q “ SpDABOq, kar je bilo treba dokazati. Tentamen, Naloga CLXV. Naj bo t tangenta v temenu parabole, d pa tangenta v presečišču parabole s poljubno vzporednico s1 si- metrale s parabole. Če se premica t1, ki je vzporedna t, in premica d1, ki je vzporedna d, sekata v točki na paraboli, potem je ploščina trikotnika, omejenega s t1, d1 in s1, enaka ploščini paralelograma, omejenega z d, d1, s in s1 (slika 3). Dokaz. Ohranimo oznake premic prve trditve. Sedaj je točka B presečišče premice s1 in d1, C pa presečišče premic s1 in t1. Razlika abscis točk C in B je |ηpη ´ η1q{p|, razlika ordinat točk T 1 in c pa |η ´ η1|. Trikotnik BCT 1 je pravokotni s katetama |BC| in |CT 1|, njegova ploščina je SpBCT 1q “ 1 2 |BC| ¨ |BT 1| “ 1 2p |η|pη´ η1q2.       P 48 (2020/2021) 6 9 SLIKA 3. Trikotnik in paralelogram sta ploščinsko enaka. Stranica paralelogramaDABT je |TB| “ |ξ´ξ1´ηpη´ η1q{p|, višina nanjo pa |η|. Ploščina paralelograma je torej SpDABT q “ ˇ ˇ ˇ ˇ pξ ´ ξ1q ´ ηpη´ η1q p ˇ ˇ ˇ ˇ ¨ |η| “ 1 2p |η|pη´ η1q2. Pri tem smo upoštevali relaciji η2 “ 2pξ in η12 “ 2pξ1. Torej je res SpBCT 1q “ SpDABT q, kar je bilo treba dokazati. Radovedni bralec z znanjem latinščine bo v Ten- tamenu našel še več zanimivih trditev o parabolah. Ena izmed njih je tudi naslednja. Njen dokaz prepu- ščamo bralcem. Tentamen, Naloga CLXVI. Tangenta na parabolo v krajišču premera, ki poteka skozi središče katerekoli njene tetive, je vzporedna tej tetivi. Ta premer razpolavlja vse tetive, ki so tej tetivi vzporedne. Tentamen je dosegljiv na spletni povezavi www. dlib.si/details/URN:NBN:SI:DOC-TQDP2BPU. ˆ ˆ ˆ www.dmfa-zaloznistvo.si 10. evropska dekliškamatema- tična olimpijada B̌ K Med 9. in 15. aprilom 2021 je, zaradi pandemije, na daljavo v organizaciji Gruzije potekala Deseta evropska dekliška matematična olimpijada (EGMO). Sodelovalo je 213 tekmovalk iz 54 držav. Slovenijo so zastopale Katarina Grilj (SŠ Slovenska Bistrica, Gi- mnazija), ki je osvojila bronasto medaljo, in Lana Pri- jon (Gimnazija Bežigrad), Kaja Rajter (II. gimnazija Maribor) ter Tjaša Sušnik (Gimnazija Kranj). Dijaki- nje so se na tekmovanje pripravljale tudi na celole- tnih pripravah, ki jih pod okriljem DMFA Slovenije iz- vajajo bivši tekmovalci, med njimi Ana Meta Dolinar in Luka Horjak, ki sta tokrat poskrbela tudi za brez- hibno izvedbo tekmovanja v Plemljevi vili na Bledu. V uredništvu vsem čestitamo in dodajamo dve nalogi iz tekmovanja. Ostale naloge in rešitve najdete na spletni strani EGMO, www.egmo.org. Naloga 1. Število 2021 je čudovito. Če je katerikoli element množice tm,2m ` 1,3mu čudovit za neko pozitivno celo število m, potem sta tudi ostala dva elementa čudovita. Ali je število 20212021 čudovito? (Angelo Di Pasquale, Avstralija) Naloga 5. V ravnini leži točka O, ki jo imenujemo izhodišče, in naj bo P neka množica 2021 točk v rav- nini, za katero velja: poljubne tri različne točke iz P ne ležijo na skupni premici; poljubni dve različni točki iz P ne ležita na skupni premici skozi O. Trikotnik z oglišči v P imenujemo debel, če leži točka O strogo znotraj trikotnika. Določite največje mo- žno število debelih trikotnikov. (Veronika Schreitter, Avstrija) ˆ ˆ ˆ       P 48 (2020/2021) 610 Elastični trki in prevajanje toplote A L V enem prejšnjih prispevkov [1] smo se prepri- čali, da dobimo smiselne rezultate pri opisu dvo- razsežnega toka tekočin, če se opremo le na ela- stične trke med molekulami, okroglimi ploščicami. Hitrosti ploščic smo na danem mestu povprečevali, povprečna hitrost pa je dobro sovpadala s hitro- stjo pri gibanju tekočine, če smo le poskrbeli za smiselne hitrosti na njenem robu. Pri zaprti posodi z mirujočimi stenami se povpreč- ne hitrosti ploščic povsod hitro bližajo ničli. Ploščice pa se kljub temu ves čas neurejeno gibljejo sem in tja, se odbijajo od sten in trkajo med seboj. Tudi pri tekočini je tako, saj se pri dani temperaturi molekule ves čas neurejeno gibljejo. Povprečna kinetična ener- gija molekule je sorazmerna z absolutno tempera- turo tekočine. Ali lahko z elastičnimi trki med plošči- cami opišemo tudi prevajanje tolpote od toplejšega dela stene proti hladnejšemu tako, da na danem me- stu povprečimo kinetično energijo ploščic? Pri pre- vajanju toplote se v tekočini po daljšem času vzpo- stavi, kot pravimo, časovno neodvisno temperaturno polje – na izbranem mestu je temperatura tekočine konstantna, od mesta do mesta pa se spreminja. Pod vplivom teže se toplota prevaja tudi s konvekcijo. To- rej zaradi vzgona segrete tekočine. Vpliva teže tu ne bomo upoštevali; denimo, da smo v breztežnem prostoru. Do časovno nespremenljivih polj pridemo računsko z reševanjem posebne enačbe, imenujemo jo difuzijska enačba, za katero vemo, da pravilno napove potek temperature v posodi, če le poznamo temperaturo na njenem robu. Teh računov se tu ne bomo lotili, uporabili pa bomo njihove rezultate, da jih bomo primerjali z izidi pri elastičnih trkih plo- ščic. Preizkusili bomo torej možnost, da s sledenjem ploščic pridemo do temperatur znotraj posode na podlagi znanih temperatur na robu. S tem bi prispe- vali nov način reševanja difuzijske enačbe, ki ji za časovno nespremenljive primere rečemo Laplaceova enačba. Ta metoda ne bo posebno uporabna, je pa zanimiva, ker razkrije osnovne pojave pri prevajanju toplote. Ukvarjali se bomo z dvorazsežnimi primeri, ker so le-ti pregledni. Tu gre za toplotno prevajanje v dol- gih ceveh, kjer so po vsej dolžini cevi razmere enake. Presek cevi bo pri vseh primerih kvadraten. Izbrali bomo tri primere časovno nespremenljivih polj, ki jih narekuje difuzijska enačba. Pri vseh treh je torej temperaturno polje vnaprej znano, ploščice pa bodo seznanjene le s temperaturo polja na robu kvadrata. Zanima nas, če bomo s povprečevanjem njihove ki- netične energije znotraj kvadrata prišli do polja, kot ga tam napove Laplaceova enačba. Da bi zgornjo idejo preverili, naredimo načrt. Okrogle ploščice naj drsijo po ravnini xy in naj pred- stavljajo molekule tekočine. Zvezo med absolutno temperaturo (merjeno v Kelvinih) tekočine na danem mestu in kinetično energijo molekul prav tam po- znamo: m 2 v2 “ 2 kT 2 . Vsaka komponenta hitrosti, torej vx in vy , kjer je v2 “ v2x ` v 2 y , prinese molekuli v povprečju kine- tično energijo kT2 . Povprečna kinetična energija mo- lekule je torej kar enaka kT , kjer je k Boltzmannova konstanta. Ker sta povprečna kinetična energija mo- lekule in absolutna temperatura sorazmerni, lahko odslej temperaturo predstavimo kar s povprečno ki- netično energijo. Bomo pač namesto kelvinov upora- bili joule. S sledenjem ploščic in računanjem njihove povprečne kinetične energije na danem mestu bomo ocenjevali temperaturo in jo primerjali s pravo vre- dnostjo, ki jo napove difuzijska enačba. Vse to bomo opravili z računalnikom in se tako izognili zaplete- nem eksperimentiranju. Ker bo glavno vlogo igral elastični trk, povzemimo, kar smo že dognali o njem. Na sliki 1 sta ploščici ravno v stiku. Po trku se obema spremeni gibalna količina. Zaradi tretjega       P 48 (2020/2021) 6 11 SLIKA 1. Ploščici med trkom – izmenjana gibalna kolǐcina G~e je v smeri veznice obeh središč. Enotski vektor ~e kaže od enega sredi- šča do drugega, vektor, ki ju povezuje, je torej 2r ~e, kjer je r polmer ploščice Newtonovega zakona, ki pravi, da je sila ene ploščice na drugo nasprotno enaka sili druge na prvo, in ena- kega časa delovanja obeh sil sta spremembi gibalnih količin nasprotni, po velikosti pa enaki. Sili delujeta le vzdolž enotskega vektorja ~e, ki povezuje središči obeh ploščic in kaže od ploščice 1 k ploščici 2 zato, ker se ploščici pri trku vdata le pravokotno na obod, sicer pa ob stiku le zdrsneta. Sprememba gibalne količine druge ploščice je potem ∆ ~G2 “ G~e, prve pa ´G~e. Da določimo velikost G, upoštevamo, da se skupna kinetična energija pri trku ohrani, torej 1 2 mv21 ` 1 2 mv22 “ 1 2 mp~v1´ G m ~eq2` 1 2 mp~v2` G m ~eq2 . Na levi strani smo zapisali kinetično energijo ploščic pred trkom, na desni pa po njem. Ko maso ploščice m pokrajšamo, sledi po krajšem računu G m “ ~e ¨ p~v1 ´ ~v2q , od tod pa takoj dobimo hitrosti ploščic po trku ~v po 1 “ ~v1´ G m ~e in ~v po 2 “ ~v2` G m ~e. Enotski vektor ~emo- ramo določiti za vsak trk posebej. Pri sledenju plo- ščic zaznamo trk, ko se središči približata bolj kot na razdaljo premera. Vmes ploščice premikamo glede na njihove hitrosti in čas med zaporednimi koraki. Na robu posode se ploščice odbijajo v posodo enako- merno na vse strani s povprečno kinetično energijo, ki je skladna s tamkajšnjo temperaturo. Pri vsako- kratnem trku na robu določimo hitrosti po odboju naključno, da dobijo ploščice v povprečju kinetično energijo, ki ustreza temperaturi roba. Na tak način se najbolj približamo pravim razmeram pri trku mo- lekul s steno. Izidi računov pa se ne bi kaj dosti spre- menili, če bi ob trku ploščici podelili kar povprečno energijo pri znani temperaturi na mestu odboja. Z nekaj preprostega računanja pridemo do kine- tične energije ploščice po trku: E po 1 “ E1 ´ m 2 p~v1 ¨ ~eq 2 ` m 2 p~v2 ¨ ~eq 2 , pri čemer je E1 kinetična energija pred trkom. Pri povprečnem trku je pri danih hitrostih pred trkom ~v1 in ~v2 p ~v1 ¨ ~eq2 “ 1 2v 2 1 in p ~v2 ¨ ~eq2 “ 1 2v 2 2 , zato sledi E po 1 “ E1 ` 1 2 pE2 ´ E1q . Kinetična energija se v povprečju torej spremeni prav za razliko kinetičnih energij E1 in E2 ploščic pred trkom. To je v skladu s toplotno prevodnostjo, kjer teče toplota od mesta z višjo temperaturo na mesto z nižjo temperaturo. Hladna ploščica, torej taka z manjšo kinetično energijo, se segreje na ra- čun toplejše. Pri ploščicah, ki se povsod od roba ela- stično odbijajo ali kjer je robna temperatura povsod enaka, se torej hočeš nočeš vzpostavi ravnovesje; ta- krat imajo vse v povprečju enako kinetično energijo, torej enako temperaturo. To je v skladu s spozna- njem, da se v toplotno izoliranem delu narave vzpo- stavi ravnovesno stanje s povsod konstantno tempe- raturo. Sedaj pa poglejmo, kako se trkajoče ploščice od- režejo pri nalogah o prevajanju toplote. Ker bomo zaradi nazornosti obravnavali dvorazsežne primere, bomo postavili koordinatni sistem tako, kot kaže slika 2. Presek cevi je pri vseh obravnavanih prime- rih kvadraten z dolžino stranice 2a. Temperaturo v točki s koordinatama xp in yp prikažemo kot da- ljico, pravokotno na ravnino xy z enim krajiščem v tej točki in z dolžino T pxp, ypq. V prvem primeru izberemo temperaturo znotraj preseka in na robu cevi takole: T px,yq “ Tc 2a´y 2a ` T0 . S T0 smo označili absolutno temperaturo na stranici CD, stranica AB pa je pri temperaturi Tc `T0. Ostali       P 48 (2020/2021) 612 SLIKA 2. Postavitev koordinatnega sistema pri slikah temperaturnih polj. V navpǐcni smeri, torej pravokotni na ravnino xy, nanašamo temperaturo T pxp , ypq pri točki s koordinatama xp in yp. Rob kvadrata tvorijo stranice AB, BC, CD in DA. SLIKA 3. Slika temperaturnega polja pri prevajanju toplote v prvem primeru dve stranici sta toplotno izolirani. Ploščice se na njima le elastično odbijajo. Difuzijska enačba pove, da se takšno temperaturno polje s časom ne spremi- nja. Pri tako preprostem polju bi to lahko tudi uga- nili. V poljubno področje znotraj cevi priteče prav toliko toplote, kot je iz njega odteče, zato se podro- čje niti ne segreva niti ohlaja. Tolpotni tok je pri zgoraj omenjenem polju povsod enak, v tenko plast z debelino 2δy pri konstantnem y`δy priteče prav toliko toplote, kot je pri y´δy odteče. Vsa plast ima tako ves čas enako temperaturo. Pri obravnavi toplo- tnega toka se že v osnovni šoli seznanimo s takim potekom temperature v prevodni plasti. Prepustimo sedaj ploščicam, da same zgradijo temperaturno polje znotraj kvadrata le na podlagi odbojev na robu. Na začetku imajo ploščice sicer poljubne, od nič različne hitrosti, ki jih izberemo na- ključno. V izbranih točkah čakamo na ploščice in tam ves čas računamo povprečno kinetično energijo. Po daljšem času, ko se temperaturno polje dovolj zgladi, ga primerjamo s pravim, ki ga podaja zgor- nja enačba za T px,yq. Pogled na sliki 3 pove, da so se ploščice tu dobro izkazale, slika temperaturnega polja je res ravnina, čeprav smo pri zgledu uporabili le kakih sto ploščic. V drugem primeru si izberemo nekoliko bolj za- pleteno polje, podano takole: T px,yq “ Tc cos ` πx a ˘ sinh ´ π 2a´y a ¯ sinh p2πq ` T0 . Funkcija sinh je definirana takole: sinhpxq “ ex ´ e´x 2 in jo imenujemo hiperbolični sinus. Zaradi pregle- dnosti smo izbrali Tc ă 0; kjub temu je temperatura povsod večja od nič. Spet ploščice vedo le za tempe- raturo na robu kvadrata. Slika 4 pokaže primerjavo temperaturnega polja, ki ga dobimo s trki, s privze- tim poljem pri enakem poteku temperature po robu. Primerjava je kar dobra. Upoštevati moramo, da se povprečje kinetične energije ploščic na danem me- stu le počasi bliža končni vrednosti. K temu precej prispeva vnašanje negotovosti z roba cevi, kjer po odboju naključno spreminjamo kinetično energijo in smer odbite ploščice, a v skladu s predpisano tempe- raturo roba na mestu odboja. Za primerjavo si po- glejmo še potek temperatur pri zasukani sliki 4, kjer kaže os x proti nam (slika 5). Tudi tu je primerjava prav dobra. Podobno ujemanje opazimo za temperaturo točk znotraj kvadrata v tretjem primeru: T px,yq “ Tc cos ` πx 2a ˘ sinh ´ π 2a´y 2a ¯ sinh pπq ` T0.       P 48 (2020/2021) 6 13 SLIKA 4. Temperaturni polji, kot ju dobimo s trki ploščic (leva slika), in z računom (desna slika) za polje T px,yq “ Tc cosp πx a q sinhpπ 2a´y a q{ sinh p2πq ` T0. SLIKA 5. Sliki temperaturnih polj, ko sliko 4 zasučemo tako, da os x kaže proti nam. SLIKA 6. Temperaturni polji, kot ju dobimo s trki ploščic (leva slika), in z računom (desna slika) za polje T px,yq “ Tc cosp πx 2a q sinh pπ 2a´y 2a q{ sinh pπq ` T0 . Spet smo odvisnost T px,yqizbrali tako, da se s ča- som ne spreminja, kar potrdi difuzijska enačba. Le- ta se po preseku cevi nekoliko počasneje spreminja v primeri s prejšnjo. Tudi tu so ploščice dobro našle temperature znotraj kvadrata. SLIKA 7. Pogled na temperaturno polje v tretjem primeru pri zasukani sliki 6. Doslej smo obravnavali dvodimenzionalne prime- re. Ploščice so se gibale po gladki plošči z robom. Ne dvomimo, da bi pri trorazsežnih primerih prav tako dobili dobro ujemanje med pravim in temperaturnim poljem, dobljenim s trki. Kaj pa v enorazsežnem pri- meru, ko ploščicam dovolimo le gibanje po daljici? Ploščice tedaj le čelno trkajo med seboj, pri takih tr- kih pa velja E po 1 “ E2 . Po trku dobi prva ploščica kinetično energijo E2 druge. Ploščici le izmenjata energiji, pri taki dina- miki pa ne moremo pričakovati kaj drugega kot kon- stantno temperaturno polje ne glede na temperaturo na konceh. Na izbranem mestu namreč lahko priča- kamo le ploščico z energijo enega ali drugega konca. Na počasnejše ploščice naletimo pogosteje kot na hi- trejše. Konstantna temperatura po celi dolžini da- ljice je zato nekoliko nižja kot povprečna tempera- tura na konceh. Tudi porazdelitev ploščic po hitrosti ni taka kot v dvo ali trorazsežnih primerih. Podob- nosti trkajočih ploščic s primeri prevajanja toplote je v tem primeru konec. Seveda tako tanke palice, po kateri bi se pretakala toplota iz enega konca na drugi le s centralnimi trki med molekulami, pač ni. Primer pa pokaže, da ploščic ne gre preveč utesnje- vati, če želimo z njimi rešiti kako zapleteno nalogo o prevajanju toplote. Literatura [1] A. Likar, Vrtinci v toku kapljevin in plinov, Presek 48 (20020/2021) 3, 15, 18–20. ˆ ˆ ˆ         P 48 (2020/2021) 614 Astronomska fotografija za butalce A K Začnimo zgodbo o astronomskem fotografiranju tako, kot se za zgodbe spodobi. Nekoč, v davnih časih, se je fotografiralo s fo- toaparati in pogovarjalo po telefonih. Če si kupil motor, si dobil tudi navodila za uporabo. V njih je pisalo, kakšna mora biti in kako se nastavi zrač- nost ventilov. Potem se je zgodil napredek. Zdaj fotografiramo s telefoni in se pogovarjamo po fotoaparatih. Če ku- pimo motor, dobimo tudi navodila za uporabo. V njih pa piše, da tekočina v akumulatorjih ni primerna za pitje. Napredek je koristna zadeva. Če ga imajo Tepanjčani, dajmo, imejmo ga še mi!, so bili navdu- šeni Butalci. In so namesto tablic čokolade začeli s seboj nositi pametne telefone. Ali so to morda pame- tni fotoaparati, ki mislijo in odločajo namesto njih? Butalcem so v veliko korist. Recimo fotografirajo Luno! Le kako jim to uspe? To vam bo povedala ta zgodba, ampak prej po- glejmo še nekaj stvari. Luna je daleč, majhna je, pla- neti so še manjši, imeti moramo torej lečje, ki nam bo Luno približalo in ki ima dobro kotno ločljivost. Ločljivost optičnega sistema je omejena z abera- cijo in difrakcijo. Oba pojava sta med seboj nepove- zana, aberacijo povzroči slabo načrtovanje in/ali iz- delava optičnega elementa. Aberacij je več: krogelna aberacija, barvna aberacija, astigmatizem, popačenje. Do difrakcije pride zaradi valovne narave svetlobe in jo lahko razložimo z valovno optiko. Na aberacijo lahko vplivamo z globino svojega žepa – dražje le- čje bo verjetno imelo manj napak. Na difrakcijo pa lahko vplivamo z izbiro ustreznega, to je čim večjega premera leče. Kotno ločljivost lahko izračunamo po naslednji formuli: Kotna ločljivost sinΘ “ 1,22λ Dob , Θ “ v radianih. Kotno ločljivost običajno podamo v kotnih sekundah. Formula nam kotno ločljivost poda v radianih, za preračun moramo vedeti, da ima 1 radian 206265 kotnih sekund. Za valovno dolžino λ običajno vza- memo valovno dolžino rumene svetlobe, to je 580 nm. Faktor 1,22 je vrednost prve ničle Besslove funk- cije prve vrste reda 1, deljene s π . Če bi imeli oprav- ka z režo z vzporednima robovoma in ne okroglo lečo, bi bil ta faktor 1. Ker so koti majhni, lahko mirno rečemo, da je sinΘ “ Θ. Kotna ločljivost, ki smo jo tako izračunali, ustreza Rayleighovemu kriteriju. John William Strutt, tretji Baron Rayleigh (1842–1919), je bil vsestranski angle- ški znanstvenik, fizik. Za odkritje argona je leta 1904 dobil Nobelovo nagrado za fiziko. Predvsem proizvajalci optičnih sredstev pogosto navajajo ločljivost po Dawesovem kriteriju, ker da ta nekaj boljše rezultate. William Rutter Dawes je bil angleški astronom (1799–1868), ki je to mejo posta- vil povsem izkustveno. Njegova formula je Θ “ 4,56 Dob , Dob “ premer leče v colah. Kotno ločljivost po Dawesu lahko izračunamo tudi po Rayleighovi formuli, vendar moramo za valovno dolžino svetlobe vzeti 562 nm. Poglejmo še pod kakšnimi zornimi koti vidimo po- samezna nebesna telesa (tabela 1). Zvezde so vedno točkaste, le ozračje, optične abe- racije in difrakcija jih razmažejo v večje pike. Oko z zenico premera 5 mm ima kotno ločljivost okoli 30”. Ta je premajhna, da bi lahko s prostim oče- som na Luni videli kakšne podrobnosti. Daljnogled s premerom objektiva 50 mm ima kotno ločljivost 3”, kar že zadostuje za opazovanje kraterjev na Lu- ninem površju. V primeru dobre vidljivosti bomo s takim daljnogledom zaslutili tudi Saturnov kolobar, opazili štiri velike Jupitrove satelite, Sončeve pege in         n a d a lje va n je n a st ra n i 18 P 48 (2020/2021) 6 15 SLIKA 1. Airyjev vzorec, kot bi ga povzročili dve enobarvni točkasti sve- tili, gledani skozi okroglo odprtino. Gornji dve točki še jasno ločimo, srednji dve točki pa sta na kotni razdalji, ki ustreza Ray- leighovemu kriteriju. Na spodnji sliki sta dve točki že združeni v eno in ju med seboj le še težko ločimo. videli bomo, da je Rimska cesta sestavljena iz mno- žice zvezdic. Z daljnogledom, teleskopom ali spek- tivom s premerom objektiva 100 mm, ki ima kotno ločljivost 1,3”, bomo v dobrih pogojih v Saturnovem kolobarju že opazili Cassinijevo ločnico, seveda ob ustrezni izbiri povečave. Omejena kotna ločljivost optike povzroči še ne- kaj: omejeno povečavo. Največjo smiselno povečavo lahko ocenimo po preprosti formuli Povečava m « 2Dob, Dob “ premer leče v mm. Neptun 2,2” 2,4” Uran 3,3” 4,1” Merkur 4,5” 13,0” Saturn 14,5” 20,1” (planet), 34” 45” (obroči) Mars 3,5” 25,1” Jupiter 29,8” 50,1” Venera 9,7” 66,0” Luna 29,43’ 33,5’ Sonce 31,6’ 32,7’ min max TABELA 1. Ker leče nimajo omejene ločljivosti samo zaradi di- frakcije, ampak tudi zaradi aberacij, se v praksi še ta povečava pokaže za preveliko. Realno je pričakovati največjo povečavo, ki je enaka premeru objektiva v mm. Seveda lahko določimo tudi najmanjšo, še smisel- no povečavo za določen premer objektiva. Izhodna zenica daljnogleda (premer svetlobnega snopa, ki iz- haja iz okularja) je Izhodna zenica Φ “ Dob m . Če je premer izhodne zenice daljnogleda večji od pre- mera zenice očesa, del svetlobe ne bo prišel v naše oko. Prav majhne povečave torej niso smiselne. Do sedaj smo našli dve prednosti velikega preme- ra objektiva: dobra kotna ločljivost in možnost ve- like povečave. Zlahka pa najdemo še tretjo. Velika površina objektiva pomeni, da bo v naše oko prišlo več svetlobe. Površina zenice premera 5 mm je malo manj kot 20 mm2, površina objektiva s premerom 50 mm pa malo manj kot 2000 mm2. V naše oko bo ob pogledu skozi daljnogled prišlo 100 krat več svetlobe. S prostim očesom v idealnih pogojih še vi- dimo zvezde z magnitudo +6, z daljnogledom pa že zvezde z magnitudo +11. Mimogrede smo ugotovili tudi, da je zvezda magnitude +6 kar 100 krat sve- tlejša od zvezde z magnitudo +11.           P 48 (2020/2021) 616 Nagradna križanka ˆ ˆ ˆ      Črke iz oštevilčenih polj vpišite skupaj z osebnimi podatki v obrazec na spletni strani www.presek.si/krizanka ter ga oddajte do 1. avgusta 2021, ko bomo izžrebali tri nagrajence, ki bodo prejeli knji- žno nagrado.           P 48 (2020/2021) 6 17         n a d a lje va n je s st ra n i 15 P 48 (2020/2021) 618 Fef = Fte Fte objektiv v primarnem žarišču fotoaparat tipalo ali film SLIKA 2. Seveda tudi s premerom objektiva nima smisla pretiravati. Zaradi turbulenc ozračja so slike zvezd, ki so sicer vedno točkaste, pri najboljših opazoval- nih pogojih razmazane na približno 1”. Za optično opazovanje torej zadostuje od 125 mm do 150 mm velik premer objektiva. Seveda se stvari spremene, če nameravamo postaviti opazovalnico nekje visoko v hribih in daleč od vsakih motenj in/ali se resno ukvarjati z astronomsko fotografijo. Za fotografira- nje Lune imamo tri možnosti. Fotografiranje v primarnem žarišču Če imamo fotoaparat s snemljivim objektivom, tega odstranimo in namesto njega uporabimo objektiv te- leskopa. Vpliva na goriščnico Fef nimamo nobenega, velja Fef “ Fte. Kakovost slike bo zelo dobra. Teleskopi in spektivi so običajno opremljeni s T2 (M42 ˆ 0,75) navojem. Z le malo truda bomo na spletu našli adapter, ki bo ustrezal našemu fotoa- paratu. Če fotoaparata s snemljivim objektivom ni- mamo, lahko namesto njega uporabimo (poceni) elektronski okular oziroma (drago) astronomsko ka- mero. Ti imajo običajni 114 colski nastavek, torej mo- ramo poiskati ustrezen adapter. Tak okular ali ka- mero na računalnik priklopimo preko USB vmesnika, sliko opazujemo na zaslonu. Kako velika bo ta slika? Velikost izračunamo po formuli d “ Fte tgϕ,Fte “ goriščna razdalja objektiva, ϕ “ zorni kot opazovanega objekta. Pri goriščni razdalji objektiva Fte “ 500 mm in zor- nem kotu 0,5° (Sonce ali Luno vidimo pod takim zor- nim kotom) bo slika objekta v gorišču velika 4,4 mm. SLIKA 3. Sončev mrk, fotografiran 11. avgusta 1999 v Siofoku na Ma- džarskem. Takrat še klasǐcni film je bil postavljen v primarno žarišče objektiva tipa Maksutov z goriščno razdaljo 1000 mm in premerom 100 mm. Če ima naša astro kamera tipalo IMX179, ki je ve- liko 6,18 mmˆ5,85 mm, bo slika Sonca ali Lune zase- dla skoraj vse tipalo, 75 % njegove višine, slika bo velika 1840 točk. Priljubljena astro kamera ASI071MC ima vgrajeno tipalo IMX071 velikosti 23,6 mm ˆ 16,6 mm in slika bo zasedla le še 28 % višine tipala, velika pa bo 670 točk. Na velikost slike objekta torej težko vplivamo, odvisna je od velikosti tipala in goriščne razdalje objektiva. Goriščno raz- daljo objektiva lahko spreminjamo z Barlowovo lečo, ki goriščno razdaljo poveča, ali Shapleyevo lečo (fo- cal reducer), ki goriščno razdaljo zmanjša.         P 48 (2020/2021) 6 19 Fef = ((a / F ) - 1)Fte × ok Fte Fok objektiv okular okularna projekcija a fotoaparat tipalo ali film SLIKA 4. Postavitev optike pri okularni projekciji Okularna projekcija Zanjo potrebujemo fotoaparat s snemljivim objek- tivom ali elektronski okular oziroma astronomsko kamero. Običajni digitalni in telefonski fotoaparati torej ne pridejo v poštev. Postavitev je razvidna s slike 4. Fotoaparatu odstranimo objektiv in ga postavimo v optično os teleskopa. Ostrino na tipalu (ali filmu) bomo dosegli s premikanjem okularja in/ali fotoapa- rata. Z izbiro goriščne razdalje okularja in s spremi- njanjem razdalje a bomo dosegli različne Fef in s tem različne povečave. Te so seveda odvisne od velikosti tipala. Efektivno goriščno razdaljo izračunamo Fef “ Fte ˆˆ a Fok ˙ ´ 1 ˙ . Primer. Pri teleskopu z goriščno razdaljo objektiva Fte “ 500 mm in goriščno razdaljo okularja Fok “ 20 mm ter razdaljo a “ 100 mm bomo dosegli efek- tivno goriščno razdaljo Fef “ 2000 mm. Pri Fok “ 10 mm bo Fef že 4500 mm. Z uporabo dobrega okularja bo tudi kakovost slike dobra. Če bo imel okular široko zorno polje, tudi vinjetiranja ni pričakovati. Filtre lahko privijemo seveda kar pred okular. Kak filter ne bo škodil v nobenem primeru. Ne smemo pozabiti tistega, česar smo se naučili na začetku. Največja uporabna povečava je približno enaka premeru objektiva v mm. Z uporabo različnih okularjev in izbiro razdalje a smo sicer povečali go- riščno razdaljo, premera objektiva pa žal ne. S pove- čavami zato ne pretiravajmo. Afokalna projekcija Ta pristop je danes znan tudi pod imenom digisko- pija. S fotoaparatom fotografiramo sliko, ki bi jo vi- deli ob pogledu skozi okular. Za digiskopijo je dober prav vsak daljnogled ali spektiv, prav tako lahko za fotografiranje uporabimo vsak fotoaparat in celo te- lefon, če le ni Ericsson GA 628 ali Nokia 3110. Foto- SLIKA 5. Luna, slikana v okularni projekciji. Navidezno brezhibna slika pri večji povečavi pokaže neostrost zaradi turbulenc v Zemlji- nem ozračju.         P 48 (2020/2021) 620 F = (F F ) / Fef te × ob ok Fte Fok objektiv okular afokalna projekcija Fob fotoaparat tipalo ali film SLIKA 6. aparati so primernejši, ker imajo na sprednji strani objektiva navoj za filtre. Ta navoj nam lahko pride prav za pritrditev fotoaparata na okular teleskopa. Če ima fotoaparat zoom, boste lahko z njim določali efektivno goriščno razdaljo Fef. Postavitev je razvidna s slike 6. Najprej moramo pripraviti daljnogled ali teleskop. Zostrimo ga na objekt, ki ga nameravamo slikati. Če nosimo očala, ostrimo z očali. Svetlobni žarki, ki izhajajo iz objektiva, morajo biti vzporedni. Tudi fotoaparatu nastavimo ostrino na neskončno in ga postavimo pred okular. Razdalja med okularjem in fotoaparatom ali telefonom ne vpliva na efektivno goriščno razdaljo, lahko pa zelo vpliva na vinjetira- nje. Najboljšo določimo s poskušanjem, naj pa bo čim krajša. Recepta ni, pojav je odvisen od konstruk- cije in zornega kota okularja. Okular naj bo torej do- ber, s širokim zornim poljem (> 47 stopinj) in očesno razdaljo (eye relief), ki naj bo večja od 15 mm. Zoom fotoaparata nastavimo na najdaljšo goriščnico. Lepo je, če je goriščna razdalja objektiva fotoaparata večja od goriščne razdalje okularja. Poskusimo fotoaparat ali telefon nastaviti na ma- kro. Digitalni zoom, ki ga ima večina telefonov, nikakor ni enakovreden pravemu, optičnemu zoomu. Efektivno goriščno razdaljo Fef določimo z izbiro goriščne razdalje okularja Fok in goriščne razdalje fotoaparata Fob. Izračunamo jo po formuli Fef “ FteFob Fok . Primer. Pri teleskopu z goriščno razdaljo objektiva Fte “ 500 mm in goriščno razdaljo okularja Fok “ 20 mm ter goriščno razdaljo objektiva Fob “ 100 mm bomo dosegli efektivno goriščno razdaljo Fef “ 2500 mm. Pri Fok “ 10 mm bo Fef že 5000 mm. Kakovost slike je seveda odvisna od kakovosti uporabljenih optičnih sistemov, bo pa verjetno slab- ša kot pri prejšnjih dveh načinih. Filter pred okular- jem bo zelo koristen. Problem zna biti vinjetiranje, vendar to načeloma pri slikanju Lune in planetov ni zelo pomembno. Ne pozabimo na to, da smo pri povečavi omejeni s premerom objektiva. V nobenem primeru ne pričakujmo odličnih rezul- tatov, če bomo fotoaparat ali telefon držali v roki in z njim slikali v objektiv. Vsi optični elementi morajo biti čim bolj natančno poravnani v optični osi. SLIKA 7. Precej neuspela afokalna fotografija prehoda Venere čez Son- čevo ploskev 8. 6. 2004. Kljub redkosti dogodka, se na foto- grafiranje z afokalno projekcijo nisem ustrezno pripravil.         P 48 (2020/2021) 6 21 Raznih adapterjev in pripomočkov za pritrditev fo- toaparata ali telefona na objektiv daljnogleda, spek- tiva ali teleskopa je na spletu poljubno mnogo. Za silo gre tudi z izolirnim trakom in s črnimi pla- stičnimi cevmi ali kartonastimi tulci WC papirja, pla- stičnimi škatlicami starih, dobrih filmov. Z zasilnimi rešitvami si lahko pomagamo vsaj pri določitvi naj- boljše razdalje med objektivom fotoaparata in oku- larjem, tako da lahko potem na spletu poiščemo naj- ustreznejši adapter. Objektivi telefonov imajo obi- čajno tako kratko goriščno razdaljo, da jih moramo prisloniti praktično na okular. O povečavi pri afokalnem fotografiranju težko go- vorimo. Velikost slike v goriščni ravnini smo se na- učili izračunati pri fotografiranju v primarnem žari- šču. Približno velikost slike Sonca ali Lune lahko iz- računamo tudi po formuli, ki si jo lahko zapomnimo: d « Fef 111 velikost slike d v mm. Potem pa je vse odvisno od velikosti našega tipala. Ekspozicija – čas osvetlitve Zavedati se moramo, da smo s podaljševanjem Fef go- riščno razdaljo objektiva povečali, premera njegove leče pa žal ne. Največja koristna povečava se torej ni povečala. Še vedno velja največja povečava = premer objektiva (v mm). Zmanjšalo se je tudi f razmerje teleskopa: f “ Fef Dob , Dob je premer objektiva teleskopa v mm. Časi ekspozicije znajo biti torej dolgi. Izračunamo jih lahko še vedno po stari formuli, le nov f moramo vzeti. Ekspozicija (sec) = f 2{pkISOq. Faktor k je za različne objekte različen (tabela 2). Primer. Dob “ 120 mm Fef “ 2500 mm k “ 40 (prvi krajec) ISO “ 100 f razmerje “ 25,5, ekspozicija 0,15 sec Faktorje k smo našli v knjigi Thomasa Rackhama Astronomical Photography at the Telescope. Knjiga je izšla davnega leta 1959; vmes se je sicer zgodil napredek, faktorji pa so ostali enaki. SLIKA 8. Univerzalni adapter, s katerim pritrdimo telefon na okular dalj- nogleda ali teleskopa. SLIKA 9. Adapter za pritrditev fotoaparata na teleskop s priključkom T2         P 48 (2020/2021) 622 1310 Venera 32,5 Jupiter in Mars 13,6 Saturn 200 polna Luna 40 prvi/zadnji krajec 20 mlada/stara Luna TABELA 2. Da se teleskop s fotoaparatom ali telefonom ne trese, je stabilno stojalo obvezno. Tresenju pri pro- ženju se lahko izognemo s uporabo samosprožilca ali daljinskega proženja. Samodejno določanje faktorja ISO in/ali časa osve- tlitve se pri fotografiranju nočnega neba praviloma ne bo obneslo, pametni fotoaparati in telefoni bodo težili k temu, da bo objekt preveč osvetljen. Nočno nebo je pač črno in tej črnini se hoče av- tomatika prilagoditi. Prisilimo torej napravo, ki jo uporabljano za fotografiranje, naj se odpove svoji pa- meti, mi pa, vsaj ta čas, uporabljajmo lastno. Če so objekti zadosti svetli (polna Luna, Venera), posnemimo kratek filmček, dolg sekundo ali dve. Zakaj? Na spletu najdemo kup programov, ki zna- jo posamezne sličice filmčka zložiti v eno sliko. Iz- ginilo bo precej napak in kakovost slike se bo zelo povečala, šuma bo manj in kontrasti bodo boljši. Večino teh programov dobimo na spletu zastonj, vsaj njihovo osnovno različico, ki običajno zadostuje. Najbolj znani so Sequator, RegiStax, Planetary Ima- ging PreProcessor, SharpCap, AutoStakkert!, DeepSkyStacker. Pri fotografiranju objektov globokega vesolja brez take obdelave posnetkov sploh ne gre. Filtri Če imamo sistem zastavljen tako, da lahko vanj vgra- dimo filtre, potem to možnost uporabimo. Običajno se filtri privijejo v navoj okularja, obstajajo pa tudi druge možnosti. Pri 114 colskih okularjih ima navoj filtra mere M28 ˆ 0,6 mm. Univerzalno uporaben je filter za povečavo kontrasta (Contrast Booster). Fo- tografije Lune bodo mnogo lepše, če jih bomo foto- SLIKA 10. Saturn, posnet skozi objektiv refraktorja premera 102 mm in goriščno razdaljo 500 mm. Kratek filmček je bil zajet s po- močjo poceni elektronskega okularja v primarnem gorišču in obdelan v Registaxu. grafirali skozi ustrezen zelen filter. Za fotografira- nje Jupitra in Saturna uporabimo svetlo rumen ali temno rumen filter, če hočemo poudariti Cassinijevo ločnico. Lepa Venera bo še lepša, če jo bomo gledali skozi moder filter . . . Pri uporabi filtrov vsekakor ve- lja, da imajo vsake oči svojega malarja, a edino ve- ljavno pravilo je: poskušajmo, poskušajmo. Nikoli, ampak prav nikoli pa ne usmerimo no- bene optične naprave proti Soncu, če na napravi nimamo nameščenega ustreznega filtra! Ta mora nujno zadržati tudi in predvsem infrardečo svetlobo. Večina ustreznih filtrov ima na površini naneseno tanko plast kroma, srebra ali aluminija, ki slabi tako vidno kot infrardečo svetlobo. Da bo sončni filter va- ren, sme prepuščati manj kot 0,0003 % vidne in manj kot 0,5 % infrardeče svetlobe. Najprimernejša je alu- minizirana Mylar folija, narejena posebej za opazo- vanje Sonca. Mylar folijo lahko režemo v poljubne oblike in se ne razbije, če nam po nesreči pade na tla. Na objektiv jo lahko enostavno namestimo s po- močjo elastike, enakomerno napnemo in potem še zavarujemo z lepilnim trakom, da nam je med opa- zovanjem ali fotografiranjem po nesreči ne izstreli z objektiva. Nikoli ne uporabljajmo poceni sončnih filtrov, ki se privijejo na okular. Zaradi pregrevanja lahko počijo in do poškodbe mrežnice bo prišlo prej, preden bomo lahko reagirali. ˆ ˆ ˆ   ̌      ̌    P 48 (2020/2021) 6 23 Brez gesla in brez omejitev s prelivom spomina M K Uvod Ko se poglobimo v računalništvo, spoznamo, da težo modernega sveta držijo le desetletja stara koda, le- pilni trak in upanje. To negotovost najbolje prika- žejo varnostne luknje v sistemih, ki so razširjeni po celem svetu. Primer take ranljivosti je Heartbleed, ki je bil zaznan leta 2014. Heartbleed je omogočal javen vpogled v sisteme z ranljivo verzijo knjižnice OpenSSL, ki jo uporabljamo za vzpostavljanje varne povezave do strežnikov. Prvo ranljivo verzijo so iz- dali leta 2012, do odkritja napake pa je bila ta priso- tna že v več kot dveh tretjinah vseh spletnih strežni- kov. V tem članku se bomo poglobili v napako (poime- novano Baron Samedit), ki so jo januarja letos odkrili na sistemih Linux in macOS. Ranljivost so našli v pro- gramu sudo in pokazali, da lahko dobi vsak uporab- nik administratorske (root) pravice na sistemu, ne da bi imel za to pravice in brez poznavanja kakršnih koli gesel. Tako Heartbleed kot Baron Sameedit sta ranljivo- sti, povzročeni s prekomernim in neželenim dosto- pom do pomnilnika. Takšne vrste napak so med najbolj pogostimi in so tipične za programe, napi- sane v jezikih C/C++. Da bomo lahko razumeli, za- kaj pride do takih ranljivost in zakaj lahko ostanejo tako dolgo skrite, moramo najprej razumeti, kako programi uporabljajo spomin. Model računalniškega pomnilnika Računalniški pomnilnik (angl. Random Access Me- mory – RAM) opravlja pomembno vlogo pri delova- nju računalnika. Vsakič, ko zaženemo katerikoli pro- gram, mu operacijski sistem dodeli del pomnilnika in vsak bajt spomina označi z unikatnim naslovom. Na 32-bitnih sistemih je vsak naslov sestavljen iz 32 bitov. Ko jih zapišemo v šestnajstiškem sistemu, se- gajo od 0x00000000 do 0xFFFFFFFF. Pomnilnik je razdeljen na predele, ki opravljajo različne naloge (slika 1). Ob zagonu programa se v najmanjše naslove pomnilnika naloži koda zagna- nega programa. Poleg je prostor za vse statično defi- nirane spremenljivke v našem programu. Na drugem koncu pomnilnika so programu na voljo knjižnice operacijskega sistema, ki jih uporablja za dostop do povezanih naprav, kot so ekran, miška, tiskalnik ali trdi disk. Med dvema skrajnostma pomnilnika se nahajata dve vrsti dinamičnega spomina: kopica in sklad. Program Statine sprem. Kopica Sklad Oper. sistem 0x00000000 0xFFFFFFFF SLIKA 1. Model računalniškega pomnilnika ob delovanju programa Sklad se nahaja pri višjih naslovih pomnilnika. V njem so shranjeni trenutno aktivni klici funkcij ter lokalne spremenljivke. Sklad deluje hitro, vendar je njegova velikost omejena na nekaj megabajtov (točna omejitev je odvisna od operacijskega sistema). Vse večje objekte mora program posledično shraniti v kopico. Kopica se nahaja pri manjših naslovih in raste proti večjim. Velikost mu omejuje le skupno število naslovov, ki jih ima program na voljo, ter ko- ličina prostega spomina v računalniku.   ̌      ̌    P 48 (2020/2021) 624 Preprost primer ranljivosti Kako zgleda ranljiv program v praksi? V tem delu bomo pregledali konkretni primer napake. Spodaj je program, napisan v jeziku C++ in skriva kritično napako. Jo opazimo? #include #include const char* const GESLO = "geslo123"; int main() { int geslo_je_pravilno = 0; char prebrano_geslo[100]; printf("Vpiši geslo: "); gets(prebrano_geslo); if (strcmp(prebrano_geslo, GESLO)) { printf("Napačno geslo.\n"); } else { printf("Pravilno geslo.\n"); geslo_je_pravilno = 1; } if (geslo_je_pravilno) { // Uporabnik se je uspešno prijavil printf("Dobrodošli v vaš račun.\n"); } return 0; } Preden poskušamo razumeti napako, se posvetimo delovanju programa. V prvih dveh vrsticah z uvo- zom knjižnic poskrbimo, da bomo lahko brali iz stan- dardnega vhoda, pisali na standardni izhod in pri- merjali nize znakov. Naša prva spremenljivka, GESLO, je enaka »geslo123« in predstavlja skrivno ge- slo, ki ga uporabnik potrebuje za vstop v svoj račun. Program se začne izvajati na peti vrstici s funkcijo main(). Najprej si pripravimo spremenljivko, ki nam bo povedala, ali je to geslo pravilno, in jo nastavimo na ničelno vrednost. Potem rezerviramo 100 bajtov prostora za geslo, ki ga bo vpisal uporabnik. Obe spremenljivki se nahajata na skladu ena za drugo. Uporabnika prosimo, da vnese geslo, ga prebere- mo in shranimo v prebrano_geslo. Naslednji blok kode primerja prebrano geslo in GESLO ter obvesti uporabnika, ali je vneseno geslo pravilno. Če je ge- slo pravilno, si to zabeležimo v geslo_je_pravilno. Če se je uporabnik uspešno vpisal, ga na koncu poz- dravimo v njegovem računu. V primeru resničnega programa bi imeli uporabniki tu dostop do podatkov ali funkcionalnosti, ki je namenjena le njim. Kako izvedba programa zgleda v praksi? Poglejmo si dva primera: Vpiši geslo: geslo123 Vpiši geslo: 123456 Pravilno geslo. Napačno geslo. Dobrodošli v vaš račun. PRIMER. Levo: uspešen vpis v sistem. Desno: neuspešen vpis v sistem. Vidimo, da program očitno deluje. Kje je torej te- žava? Poglejmo, kaj se zgodi, če poskusimo vnesti daljše geslo: Vpiši geslo: iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii Napačno geslo. Dobrodošli v vaš račun. [1] 692249 segmentation fault Zanimivo. Program zazna, da je geslo napačno, vendar nas na koncu vseeno spusti v račun, preden se sesuje z napako segmentation fault. Kako je to mogoče? Kaj se je zgodilo? Problem je v delovanju funkcije gets. Ta se na- mreč ne meni za to, koliko spomina ima na voljo, ampak veselo napiše vse dobljene znake v spomin, četudi to pomeni, da ob tem prepiše druge spremen- ljivke. Kot smo že omenili, je spremenljivka prebrano_geslo shranjena na skladu. Tabela 1 pri- kazuje strukturo spomina v treh primerih. Zanima nas predvsem tretji primer, kjer smo z be- sedilom prepisali število geslo_je_pravilno. Pona- vljajoče zapisan bajt je 011010012. Kot znak se to prevede v ‘i’, kot število pa v 105. Vrednost spremen- ljivke geslo_je_pravilno je tako neničelna, kar nam dovoli vstop v račun. Bolj natančno je vrednost štirikrat ponovljena vrednost 105 v binarnem siste-   ̌      ̌    P 48 (2020/2021) 6 25 prebrano_geslo geslo_je_pravilno ... ‘1’ ‘2’ ‘3’ ‘4’ ‘5’ ‘6’ ... 0 0 0 0 ... ... ‘g’ ‘e’ ‘s’ ‘l’ ‘o’ ‘1’ ‘2’ ‘3’ ... 1 0 0 0 ... ... ‘i’ ‘i’ ‘i’ ‘i’ ‘i’ ‘i’ ‘i’ ‘i’ ‘i’ ‘i’ ... ‘i’ 105 105 105 105 ... TABELA 1. Vsaka celica tabele predstavlja en bajt spomina v skladu. Na levi je spomin z manjšim naslovom, na desni pa z večjim. Tri vrstice ponazarjajo tri razlǐcne primere, ki smo jih poizkusili. Vidimo, da je v tretjem primeru vneseno besedilo preseglo 100 bajtov, dodeljenih spremenljivki prebrano_geslo, in se prelilo v naslednje celice spomina. mu, kar je enako 01101001 01101001 01101001 011010012 “ 105`105¨28`105¨216`105¨224 “ 1768515945 . Zaradi prekomerne količine i-jev se ti nadaljujejo še naprej po spominu. Za potrebe našega razumevanja je pomembno, da nekoč naletijo na vrnitveni naslov funkcije (return address). To je spremenljivka, v ka- teri je shranjen naslov spomina, kjer bo program na- daljeval izvajanje, ko se trenutna funkcija zaključi. Ker smo ta naslov prepisali z 0x69696969 (105 v šestnajstiškem sistemu je 6916), je program poskusil dostopati do neveljavnega spomina, kar je povzro- čilo napako segmentation fault. Iz tega smo se naučili, da ni potrebno pretiravati z dolžino gesla, ki ga vpišemo. Če je geslo daljše od 100 znakov, vendar ne predolgo, lahko dobimo dostop do sistema, ne da bi se ta sesul. Takšna previdnost podcenjuje dejstvo, da imamo dostop do vrnitvenega naslova in do razmeroma ve- likega dela spomina, ki ga lahko prepišemo po svoji volji. Vrnitveni naslov bi lahko spremenili tako, da bi bil usmerjen v spomin znotraj spremenljivke prebrano_geslo. To pomeni, da bi računalnik za- čel interpretirati bajte kot ukaze programa. V našem primeru bi ponavljal ukaz 0x69, kar je na 32-bitnih Intel procesorjih ukaz za množenje. V principu lahko v ta del spomina napišemo, kakr- šenkoli program si zaželimo. Potrebno je samo, da je program manjši od 100 bajtov in da se lahko izvede v takih okoliščinah. Najbolj zanimiv program, ki ga lahko zaženemo, je ukazna vrstica (shell), saj lahko z njeno pomočjo zaženemo poljubne druge programe. Točna priprava in umestitev programa presega na- men tega članka. Več učnih virov na to temo pa lahko najdete na spletu. Ranljivi Baron Samedit Ukaz sudo (angl. SuperUser DO) dovoli izbranim upo- rabnikom sistema, da zaženejo druge programe s pravicami superuporabnika. Podobno kot administ- rator na sistemu Windows ima superuporabnik ne- omejeno moč na sistemu. Namesti lahko nove pro- grame, prebere vse datoteke na sistemu, tudi tiste, ki so last drugih uporabnikov. Če želi, lahko iz računal- nika celo izbriše operacijski sistem. Superuporabnik je vsemogočen. Torej si lahko mislite, kako nevarno bi bilo, če bi imeli do tega ukaza nenadzorovan dostop vsi upo- rabniki. Prav takšno ranljivost so letos odkrili razi- skovalci pri Qualys Research Labs. Vsak z dostopom do uporabniškega računa na sistemu lahko dobi pra- vice superuporabnika. Tudi če ta račun sicer nima dovoljenja za uporabo sudo, ali če uporabnik ne po- zna gesla računa, ki ga upravlja. Najbolj presene- tljivo je, da je ta napaka v sudo prisotna že od julija 2011. Dejansko napako so našli pri uporabi ukaza sudo- edit, ki je točna kopija ali celo povezava programa sudo. Ukaz je namenjen urejanju tekstovnih dato- tek s pravicami superuporabnika. Sudoedit avtoma- tično odpre urejevalnik besedila in v njem datoteko, ki jo hoče uporabnik urediti. Pred tem program pre- veri, da ima uporabniški račun dovoljenje za upo- rabo sudo, in zahteva, da vnese uporabnik geslo ra- čuna, ki ga uporablja. Ranljivost je prisotna pri uporabi argumenta -s. V primeru, da se njegov argument konča s poševnico (\), bo prekoračil meje svoje spremenljivke in začel nenadzorovano pisati po spominu. Za razliko od na- šega primera v prejšnjem odseku se vse to dogaja v kopici, ne v skladu. Če vas zanima, ali je vaš sistem ranljiv, lahko poizkusite pognati spodnji ukaz           P 48 (2020/2021) 626 sudoedit -s ‘\’ ‘To besedilo se bo prelilo po spominu’ Če dobite napako Segmentation Fault, je vaš sis- tem še vedno ranljiv in ga morate posodobiti. V na- sprotnem primeru bi se vam morala na zaslon izpisati navodila za uporabo, začenši z »usage: sudoedit«. Ker je napaka prisotna v ko- pici in ne v skladu, nam izkoriščanje te ranljivosti preprečuje še randomizacija spomina (angl. Address space layout randomization – ASLR). Naloga ASLR je, da naključno spreminja, na katerem naslovu pomnil- nika se nahaja kakšna spremenljivka. S tem zašči- timo programe pred napadi, za katere je potreben natančen dostop do spremenljivk. V tem primeru so problem rešili tako, da so na- pad pognali 128 tisočkrat na različnih naslovih. Ker ranljivost preverijo hitro in je možnosti razmeroma malo, lahko raziskovalci dobijo neomejen dostop do sistema v manj kot 20-ih sekundah. Po tem, ko so raziskovalci našli ranljivost, so 13. januarja o tem skrivaj obvestili razvijalce programa sudo. Nato so 19. januarja poslali popravek vzdrževalcem vseh ve- čjih distribucij Linuxa, ki so teden dni kasneje istoča- sno izdali popravljene verzije. Pri takšni ranljivosti je zelo pomembno, da ni prehitro javno razkrita. Z etičnim razkritjem kritičnih napak raziskovalci po- skrbijo, da lahko vsak zaščiti svoje naprave, preden navodila za napad pristanejo v rokah javnosti. Več podrobnosti o raziskavi in ranljivosti si lahko preberete na njihovi spletni strani blog.qualys.com. Zaključek Naslednjič, ko boste programirali, raje dvakrat pre- verite, ali ima vaš sistem trdne temelje in ali upora- bljate ranljive funkcije. Uporaba funkcije gets nam na primer v novejših prevajalnikih kode prikaže opo- zorilo, da njena uporaba ni varna. Od verzije C++14 naprej pa gets sploh ni več na voljo. Varnost progra- mov in programskih jezikov se izboljšuje, vendar so jim varnostni raziskovalci vselej za petami, da naj- dejo vse, še tako skrite, napake. Če vas ta članek nauči le eno stvar, naj bo to: re- dno in skrbno posodabljajte svoje računalnike, še po- sebej sisteme, do katerih ima dostop veliko ljudi. ˆ ˆ ˆ Križne vsote Naloga reševalca je, da izpolni bele kvadratke s števkami od 1 do 9 tako, da bo vsota števk v za- porednih belih kvadratkih po vrsticah in po stolpcih enaka številu, ki je zapisano v sivem kvadratku na za- četku vrstice (stolpca) nad (pod) diagonalo. Pri tem morajo biti vse števke v posamezni vrstici (stolpcu) različne. 9 17 8 3 14 13 9 21 8 12 11 14 12 17 ̌ ̌  917 8 53 314 13 49 921 8 26 12 57 11 14 518 12 237 17 89 ˆ ˆ ˆ           P 48 (2020/2021) 6 27 Astronomska literatura Astronomske efemeride 2021 NAŠE NEBO letnik 74 82 strani format 16 ˆ 23 cm speto, barvni tisk 10,00 EUR Guillaume Cannat GLEJ JIH, ZVEZDE Najlepši prizori na nebu v letu 2021 format 16,5 ˆ 23,5 cm mehka vezava 23,90 EUR Ponujamo še veliko drugih astronomskih del. Podrobnejše predstavitve so na naslovu: http://www.dmfa-zaloznistvo.si/astro/ Individualni naročniki revije Presek imate ob naročilu pri DMFA–založništvo 20 % popusta na zgornje cene. Dodatne informacije lahko dobite v uredništvu Preseka po telefonu (01) 4766 633. ̌  ̌  48/5 Pravilna rešitev nagra- dne križanke iz četrte številke Preseka je Na- hrbtnik. Izmed pravil- nih rešitev so bili iz- žrebani Marko Kubale iz Rogaške Slatine, Ka- rel Rankel iz Kranja in Anka Ðudarić iz Ce- lja, ki bodo razpisane na- grade prejeli po pošti. ˆ ˆ ˆ       P 48 (2020/2021) 628 Maturantski matematični geolov v okolici Postojne M Š̌̌̌ Geolov je pustolovska igra, ki združuje reševa- nje ugank in rekreacijo z GPS orientacijo. Posta- vljavec ob znamenitostih v naravi ali mestu skrije škatlico, ki mora vsebovati vpisno knjigo, v katero najditelji vpišejo svoj vzdevek in datum najdbe. Na spletnem portalu [1] avtor objavi zemljepisno širino in dolžino lokacije, zahtevnost naloge in te- rena, opis znamenitosti, velikost zaklada ter mo- rebitni namig o skrivni lokaciji. Iskalci oziroma igralci geolova na spletu poiščejo zemljevid, na ka- terem so vrisane lokacije skritih zakladov. S po- močjo GPS naprave oziroma aplikacije na telefonu se nato podajo na teren in poiščejo izbrano skrito škatlico. Svoja doživetja ob iskanju nato opišejo na portalu, kjer jih lahko vidijo naslednji iskalci. Končna lokacija in oblika zaklada je seveda skriv- nost, ki je iskalci po pravilih igre ne smejo izdati v svojih zapisih. Od postavljavca zakladov se pri- čakuje, da bo svoje zaklade tudi vzdrževal: od- pravljal morebitne poškodbe, zamenjal premočene vpisne dnevnike, dopolnjeval vsebino škatlic. Igra izvira iz ZDA, začetki pa segajo v leto 2000, ko je bil GPS signal prvič dovoljen tudi v civilne na- mene. V Sloveniji je bil prvi zakladek postavljen že junija 2001 na obali (pri Luciji), konec marca 2021 pa je bilo pri nas nekaj manj kot 5500 skrivališč [2]. Obstaja več vrst zakladov, tri najpogostejše so: Tradicionalni zakladi, ki jih iščemo samo s po- močjo koordinat, ki predstavljajo točno lokacijo za- klada; Večstopenjski zakladi, ki vsebujejo dve ali več lokacij, ki jih je potrebno obiskati, če želimo prido- biti informacije glede končne lokacije zaklada; Ugankarski zakladi, pri katerih moramo naj- prej rešiti uganko, s pomočjo katere pridobimo konč- ne koordinate. Nekateri postavljavci zakladov se odločijo za po- stavitev serije oziroma t. i. traila – poti v naravi, na kateri je skritih več zakladov. Pri tem se morajo dr- žati pravila, da je medsebojna razdalja dveh zakla- dov vsaj 161 metrov (0,1 milje). Serije se običajno zaključijo z bonus zakladom, ki ga iskalec najde s pomočjo podatkov iz skrivališč obiskane poti. Serija zakladov MM –matura iz matematike Avtor članka se z geolovom ljubiteljsko ukvarja že nekaj let; poleg iskanja zakladov na družinskih izle- tih mu poseben izziv predstavlja skrivanje zakladov. Med njimi je tudi serija petnajstih ugankarskih za- kladov z imenom MM – matura iz matematike, kate- rih koordinate iskalec pridobi z reševanjem matema- tičnih nalog. Serijo po vzoru maturitetne pole osnov- nega nivoja sestavlja osem zakladkov tipa A (kratke naloge) in šest zakladov tipa B (krajše strukturirane naloge). Štirinajstim nalogam je dodan še bonus za- kladek, za katerega je potrebno uporabiti podatke iz obiskanih zakladov in rešiti strukturirano nalogo višje ravni mature, prav tako je potrebno v iskanje vložiti še približno uro dodatnega časa.       P 48 (2020/2021) 6 29 SLIKA 1. Zakladi so obǐcajno skriti tako, da jih naključni mimoidoči ne opazijo. SLIKA 2. Približne lokacije 15-ih zakladov serije MM oblikujejo črko M, natančne koordinate se pridobimo s pomočjo rešenih nalog. Trasa serije poteka po kraški pokrajini severno od Postojne, nekje nad Postojnsko jamo. Pot je skrivna, saj se natančne lokacije zakladov razkrijejo šele po- tem, ko iskalec uspešno reši vse naloge. Skoraj kro- žna pot meri približno sedem kilometrov, je nezah- tevna in primerna tudi za otroke (vendar ne z otro- škim vozičkom), zakladi pa so postavljeni ob nekate- rih markantnih objektih v naravi. Razdalje med po- sameznimi škatlicami so med 200 in 500 metri, sku- pne hoje je za tri do štiri ure – odvisno, koliko časa iskalci porabijo za iskanje posameznega zaklada. Na- tančnejše informacije o posameznih zakladkih (kon- kretna naloga, dodatni namigi o skrivališčih, napotki za pretvorbo koordinat, priporočeno parkirišče) naj- dete tako, da poiščete naloge MM na že omenjenem portalu [1] (potrebna je brezplačna registracija). Serijo zakladov MM je od postavitve sredi febru- arja do konca marca 2021 obiskalo približno 20 geo- lovskih ekip. Nekajmesečni trud postavljavca je po- plačan z zadovoljstvom iskalcev, izraženim v njiho- vih zapisih, Slovenski Geocaching klub pa je zakladu MM – Bonus podelil tudi naziv Zakladek meseca marca 2021 [3]. Opisana serija pa ni edini primer matematike v slovenskem geolovstvu. Omenimo le nekaj v zadnjem času objavljenih: v bližini Vipave je isti avtor zlahka skril pet večstopenjskih zakla- dov z imenom Mostovi Vipave s krajšimi matematič- nimi ugankami; v Dobovi pri Brežicah najdemo se- rijo osmih zakladov z naslovom Sprehod z nalogo avtorja »fpetel1«, ki je del nalog priredil iz objav v re- viji Presek, geolovec »bojank« pa je objavil zakladek Mathematicians, pri katerem je za pridobitev koordi- nat potrebno najprej določena področja matematike povezati z matematiki, nato pa še rešiti nalogo iz ge- ometrije. Kot vabilo bralcem na naš geolov v okolico Postoj- ne si oglejmo dva primera nalog iz opisane serije. Prvo nalogo predstavlja elementaren račun, kakršne- ga je potrebno na maturi rešiti brez računala, pri drugi je potrebnega nekaj znanja o elipsi.       P 48 (2020/2021) 630 Zaklad MM – A1 Uganka. Izračunajte vsoto A “ 0,83`i1000` `4 3 ˘ `log2 8` e0 ` 16 ` 83. Lokacija zaklada: N 45°47.A´91, E 14°12.2˚A`16 (Primer. Za vre- dnost A “ 93 bi po vstavljanju v formulo dobili GPS koordinate N 45° 47.002, E 14° 12.202.) Velikost zaklada: mikro (do 10 cm), Zahtevnost iskanja: 3 / 5, Zahtevnost terena: 2 / 5, Dodaten namig: V mednožju. Zaklad MM – A5 Uganka. Enačba elipse na sliki je x 2 a2 ` y2 b2 “ 1. Izračunaj vrednost E “ pa` b` e2q2, kjer je e linearna ek- scentričnost elipse. Lokacija zaklada: N 45°47.3˚E`334, E 14°12.E´13 Velikost zaklada: mikro (do 10 cm) Zahtevnost iskanja: 2.5 / 5 Zahtevnost terena: 2 / 5 Dodaten namig: Pri tleh enega od dvojčkov. Vtisi obiskovalcev »Z matematiko se je poigrala naša bodoča maturant- ka, zato je večina nalog imela hitro pravo rešitev. Lahko bi rekli, da je bila za nas cela serija objavljena ravno pravi trenutek, nekakšna predpriprava na leto- šnjo prav posebno covid-19 maturo.« »Vsi zakladi v trailu so ODLIČNO pripravljeni in na super lokacijah. Lahko rečem, da je to eden najbolj- ših trailov v Sloveniji! Preživel sem nepozaben dan v Postojni!« »Junija bo minilo 50 let, ko sem pisal gimnazijsko maturo. Rešitvi zanimivih nalog iz metanja ikoza- edra, upoštevanje med potjo nabranih vrednosti iz A in B zakladov, oboje nas je pripeljalo na končno točko. Bilo nas je dovolj, da je vsak imel svojo funk- cijo, eden na drevesu, eden ob kamnih, eden na ska- lah, eden je računal in odklepal.« »Ob 8h zjutraj se nas je na parkirišču nabrala sku- pina »sivih eminenc« s povprečjem kar veliko preko 3e3 let. Začeli z A-ji in nadaljevali z B-ji, končali pa seveda z bonusom. Brez dvoma je tole finale nad finali vseh trailov v Sloveniji.« Literatura [1] Geocaching, dostopno na www.geocaching. com/play, ogled 8. 4. 2021. [2] Statistics, dostopno na project-gc.com/ Statistics/Overview, ogled 8. 4. 2021. [3] Zaklad meseca – MM, dostopno na www.geocacher.si/zaklad-meseca-mm- bonus-by-susterji/, ogled 11. 4. 2021. ˆ ˆ ˆ www.obzornik.si www.presek.si                                  P 48 (2020/2021) 6 31 Dvignjene stopinje N R Ne le otroci, tudi odrasli radi hodimo po sveže zapadlem snegu in opazujemo sledi, ki jih pušča- mo za seboj. Pri hoji se sneg pod nogami stisne, zato se pogrezamo. Globina ugreza je odvisna od vrste snega in pod- lage, na katero je zapadel sneg, in seveda tudi od po- hodnikove mase ter velikosti podplatov. Pohodnik s svojo težo pritiska na podlago. Teža se porazdeli po stičnih ploskvah podplatov s snežno površino. Čim manjša je stična površina, tem večja sila deluje na ploščinsko enoto, zato se pohodnik globlje ugreza. Manj se vdira, če je stična površina večja, to je ta- krat, ko smo na smučeh ali pa si nataknemo krplje. To lahko opazimo na fotografiji (slika 1). Krplje so pustile plitek odtis, medtem ko so pohodnikove sto- pinje ugreznjene za nekaj centimetrov. SLIKA 1. Odtisi pohodnikov s krpljami in brez njih Če je področje vetrovno, veter spiha nesprijet sneg in ostanejo dvignjene stopinje. Višina dvignjenih sto- pinj je odvisna od višine stisnjenega svežega snega nad sprijeto podlago. Enega takih pojavov opazimo tudi na fotografiji (slika 2), ki je bila posneta konec letošnjega januarja malo pred poldnevom nekaj me- trov stran od Roblekovega doma. SLIKA 2. Dvignjene stopinje Fotografiji je posnel Andrej Razpet. ˆ ˆ ˆ www.dmfa-zaloznistvo.si www.presek.si Matematični kenguru Osnovna naloga tekmovanja Kenguru je popularizacija matematike. Zanimiv, zabaven in igriv način za- stavljanja matematičnih problemov je pripomogel, da se je tekmovanje kmalu razširilo po vsej Evropi, hkrati pa so se v tekmovanje vključevali tudi otroci in mladostniki iz drugih držav sveta. Tekmovanje je preseglo evropske okvire in postalo Mednarodni matematični kenguru. V Sloveniji Društvo mate- matikov, fizikov in astronomov Slovenije organizira tekmovanje za učence od prvega razreda osnovne šole do četrtega letnika srednje šole. Poseben izbor je pripravljen za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol, za dijake srednjih poklicnih šol ter za študente. Naloge, zbrane v teh knjigah, so najboljše možno gradivo za pripravo na prihodnja tekmovanja. Pred- vsem zato, ker je vsaki nalogi dodana podrobno razložena rešitev, ki bralca vodi v logično mišljenje in spoznavanje novih strategij reševanja. Marsikatera naloga, ki je sprva na videz nerešljiva, postane tako dosegljiv iskriv matematični izziv. 18,74 EUR 14,50 EUR 23,00 EUR v pripravi Pri DMFA – založništvo je izšlo že pet knjig Matematičnega kenguruja. Na zalogi so še: ‚ Mednarodni matematični kenguru 2005–2008, ‚ Mednarodni matematični kenguru 2009–2011, ‚ Mednarodni matematični kenguru 2012–2016. V pripravi na tisk pa je že šesta knjiga Matematičnega kenguruja. Izšla bo v juniju. Poleg omenjenih ponujamo tudi druga matematična, fizikalna in astronomska dela. Podrobnejše pred- stavitve so na spodnjem naslovu, kjer lahko vse publikacije tudi naročite: http://www.dmfa-zaloznistvo.si/ Individualni naročniki revije Presek, člani DMFA Slovenije, dijaki in študentje imate ob naročilu starej- ših zbirk nalog pri DMFA – založništvo 20 % popusta na zgornje cene – izkoristite ga!