IZ RAZREDA 36 Matematika v šoli, št. 1., letnik 25, 2019 Uporaba žepnega računala pri preiskovanju številskih vzorcev Mag. Sonja Rajh Zavod RS za šolstvo Izvleček Premišljena uporaba numeričnega žepnega računala pripomore k boljšemu razumevanju matematičnih vse- bin, pomaga pri reševanju problemov, učence motivira, spodbuja njihovo ustvarjalnost in vedoželjnost, pove- ča njihovo samozavest in samozaupanje v lastno matematično znanje ter pozitivno vpliva na njihov odnos do matematike. V tem prispevku, ki je nadaljevanje prispevka Z žepnim računalom usvajamo nove vsebine pri pouku ma- tematike v osnovni šoli, objavljenim v prejšnji številki revije, so predstavljeni primeri aktivnosti, pri katerih učenci uporabijo numerično računalo za preiskovanje različnih zakonitosti v številskih vzorcih. Ključne besede: preiskovanje, številski vzorci, numerično računalo, pouk matematike Use of Calculator in Researching Numerical Patterns Abstract A deliberate use of a calculator contributes to a better understanding of mathematical contents, facilitates problem solving, motivates students, encourages their creativity and curiosity, improves their self-esteem and confidence in their mathematical skills, and positively affects their approach to mathematics. The article is a continuation of the article entitled Learning New Content in Primary School Mathematics Class Using a Calculator, published in the previous issue of the magazine, and describes examples of activities where students use a calculator to study the laws behind various numerical patterns. Keywords: research, numerical patterns, numeric calculator, mathematics class Uvod V različnih virih pogosto zasledimo naloge s številskimi izrazi, pri katerih učenci preiskujejo, katero računsko operacijo upora- biti, da bo veljala enakost (npr. 78 95 123 = 11763), ali katero število oziroma števko vstaviti v številski izraz, da dobi- jo dano vrednost (4 ∙ 1 = 3408), ali pa v izraz postavijo oklepaje, da s tem določijo vrstni red računskih operacij (Glejte nalogo iz NPZ, ki je na Sliki 1). Učenci lahko preiskujejo, kaj se zgodi z vsoto/razliko/zmnož- kom/količnikom/kvadratom … dveh/treh … števil, če enega od členov množijo/delijo z danim številom ali pa mu poljubno šte- vilo prištejejo/odštejejo. Pri takih in podobnih primerih si lahko učenci pri računanju po- magajo tudi z numeričnimi računali. S sistematičnim poskuša- njem vstavljajo posamezni znak v izraz, ki je zapisan na zaslonu računala, ter nato računajo ustrezno vrednost številskega izraza. Ob tem se naučijo, da ni treba ponovno vpisovati celotnega izra- za v računalo, če smo se pri tipkanju zmotili, ampak se s smer- nim kazalcem premaknemo na mesto v izrazu, ki ga želimo spre- meniti, brišemo znak in vpišemo novega, ter nato izračunamo vrednost spremenjenega izraza. Podobno strategijo reševanja učenci usvojijo tudi pri preiskovanju vzorcev števil, ki so opisani v nadaljevanju. Delovni list s številskimi vzorci za spodbujanje uporabe numeričnega računala pri pouku matematike v osnovni šoli Na delovnem listu Številski vzorci (Priloga) je zbranih 10 pri- merov različnih preiskovalnih dejavnosti s številskimi vzorci. Seveda ni mišljeno, da bi učenci vse primere rešili hkrati. Uči- telj jih glede na njihov namen učenja razporedi v pouk mate- matike. IZ RAZREDA 37 Matematika v šoli, št. 1., letnik 25, 2019 Pri prvih štirih primerih je na dnu strani v pravokotniku z zeleno barvo zapisan namig za učence, če nikakor ne ugotovijo pravila v vzorcu in ne najdejo posplošitve. Predlagamo, da ta namig učitelj izreže iz učnega lista in ga učencem ponudi le, če ga potrebujejo. V 5., 6., 7. in 8. primeru ima učenec na voljo več številskih vzor- cev. Predlagamo, da učitelj ponudi le enega od njih, ali pa si uče- nec za preiskovanje sam izbere primer vzorca, ki ga je pritegnil. V teh primerih smo namenoma zbrali več vzorcev, ker smo želeli učiteljem ponuditi večji nabor primerov. Pred prvim primerom številskih vzorcev je na delovnem listu za učenca zapisano: »Z žepnim računalom lahko računaš vrednosti podobnih izrazov tudi tako, da ne brišeš celotnega izraza, ko si izračunal njegovo vrednost. V zapisanem izrazu samo spremi- njaš ali brišeš/vstavljaš nova števila.« Predlagamo, da učitelj z uporabo demonstracijskega pripomočka za delo z numeričnimi računali (emulatorja) vsem učencem hkrati pokaže, kako lahko to storijo, ali pa vsakemu posebej to ponazori na njegovem nu- meričnem računalu. (Slike 2−4). Slika 2: Številski izraz, ki ga želimo dopolniti. Slika 3: Znotraj oklepaja zapišemo, naj prišteje še 5. Slika 4: Izračunana vrednost dopolnjenega številskega izraza. Predvidevamo, da učenci uporabljajo numerično računalo, kate- rega zaslon prikazuje 10 števk. Predlagamo, da učenci za preisko- vanje vzorca števil, ki imajo več kot 10 števk, uporabljajo katero od aplikacij za računanje na računalniku (Slika 5). Delovni list Številski vzorci lahko uporabljamo v različnih razre- dih osnovne šole. Odvisno od matematičnega predznanja učen- cev (npr. ali že poznajo potence, korene, racionalna števila). Namen in cilj tega delovnega lista je, da učenci opazujejo in pre- poznajo pravilo v številskem vzorcu, pravilo ubesedijo, vzorec nadaljujejo, znajo poiskati posplošitve ter ubesediti ugotovitve v korektnem matematičnem jeziku. Pri računanju vrednosti števils- kih izrazov si pomagajo z numeričnim računalom, saj v teh pri- merih spretnosti računanja ne smejo biti v ospredju, če se želijo učenci osredotočiti na višje miselne procese. Viri in literatura Žakelj, A. idr. (2011). Učni načrt. Program osnovna šola. Matematika. Ljubljana: Zavod RS za šolstvo, http://www.mizs.gov.si/fileadmin/mizs.gov.si/ pageuploads/podrocje/os/prenovljeni_UN/ UN_matematika.pdf MATEMATIKA preizkus znanja, Redni rok, 2. obdobje, torek, 10. maj 2010, RIC. Dostopno na povezavi: https://www.ric.si/mma/N101- 401MAT-2-1/2010061813142869/ a) V danem izrazu postavi oklepaje tako, da bo vrednost izraza manjša od 43. Vrednost izraza z oklepaji tudi izračunaj. 4 + 6 ∙ 7 – 3 = b) V danem izrazu postavi oklepaje tako, da bo vrednost izraza večja od 43. Vrednost izraza z oklepaji tudi izračunaj. 4 + 6 ∙ 7 – 3 = c) V danem izrazu postavi oklepaje tako, da bo vrednost izraza enaka 0. 7 + 3 ∙ 7 – 7 – 7 = Slika 1: Naloga iz NPZ, ki so jo učenci reševali leta 2010 v 6. razredu in nato ponovno leta 2013 v 9. razredu. Vir: RIC Slika 5: Uporaba aplikacije Kalkula- tor na računalniku. PRILOGA 38 Matematika v šoli, št. 1., letnik 25, 2019 Številski vzorci Z žepnim računalom lahko računaš vrednosti podobnih številskih izrazov tudi tako, da ne brišeš celotnega izraza, ko si izračunal njegovo vrednost. V zapisanem izrazu samo spreminjaš ali brišeš/vstavljaš nova števila. Uporabi pri svojem žepnem računalu. 1. primer Z uporabo žepnega računala izračunaj vrednosti naslednjih številskih izrazov. 1 3 = 1 2 = 1 3 + 2 3 = (1 + 2) 2 = 1 3 + 2 3 + 3 3 = (1 + 2 + 3) 2 = 1 3 + 2 3 + 3 3 + 4 3 = (1 + 2 + 3 + 4) 2 = 1 3 + 2 3 + 3 3 + 4 3 + 5 3 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5) 2 = Nadaljuj oba vzorca. Zapiši naslednjih pet primerov obeh številskih vzorcev. Kaj ugotoviš? Zapiši vse ugotovitve. Oblikuj splošni algebrski zapis.  Namig Primerjaj vrednosti izrazov v levem in desnem stolpcu. Ali velja: 1 3 + 2 3 + 3 3 = (1 + 2 + 3) 2 … 1 3 + 2 3 + 3 3 + 4 3 + 5 3 + 6 3 + 7 3 + 8 3 + 9 3 + 10 3 + 11 3 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11) 2 Zapiši manjkajoče eksponente potenc v splošnem algebrskem zapisu: 1 + 2 + 3 + … + n = (1 + 2 + 3 +…+ n) PRIL OGA 39 Matematika v šoli, št. 1., letnik 25, 2019 2. primer Z uporabo žepnega računala izračunaj vrednosti naslednjih številskih izrazov. 0 3 + 1 3 = 1 = 1 3 + 2 3 = 2 + 3 + 4 = 2 3 + 3 3 = 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 3 3 + 4 3 = 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 = Nadaljuj vzorca. Zapiši naslednje tri primere obeh številskih vzorcev. Kaj ugotoviš? Zapiši vse ugotovitve.  Namigi • Koliko zaporednih naravnih števil sešteješ v vsaki posamezni vrstici desnega vzorca? Ali je število teh seštevancev desnega stolpca v povezavi z osnovami potenc levega stolpca? • Opazuj zadnji seštevanec desnega vzorca. V kakšni povezavi je z osnovo druge potence levega vzorca? • Primerjaj vrednosti izrazov v levem in desnem stolpcu. Ali velja enakost: 2 3 + 3 3 = 5 + 6 + 7 + 8 + 9 PRILOGA 40 Matematika v šoli, št. 1., letnik 25, 2019 3. primer Z uporabo žepnega računala izračunaj vrednosti naslednjih številskih izrazov. 1 = 1 2 = 1 + 3 = 2 2 = 1 + 3 + 5 = 3 2 = 1 + 3 + 5 + 7 = 4 2 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5 2 = Nadaljuj oba vzorca. Zapiši naslednjih pet primerov obeh številskih vzorcev. Kaj ugotoviš? Zapiši vse ugotovitve. Oblikuj splošni algebrski zapis.  Namigi • Koliko seštevancev je v levem vzorcu? Katera števila seštevaš? • Katero število kvadriraš v desnem stolpcu? • Ali opaziš kakšno povezavo med številom seštevancev levega vzorca in osnovo potence desnega vzorca? • Ali v levem vzorcu seštevamo vsa zaporedna naravna števila? • Ali sta vrednosti izrazov v levem in desnem stolpcu enaki? Pomoč Izberi vsaj pet naravnih števil. Vstavi jih v enakost: 1 + 3 + … + (2n − 1) = n 2 Primerjaj z zgornjimi izračuni. PRIL OGA Matematika v šoli, št. 1., letnik 25, 2019 41 4. primer Z uporabo žepnega računala izračunaj vrednosti naslednjih številskih izrazov. 1 = 1 3 = 3 + 5 = 2 3 = 7 + 9 + 11 = 3 3 = 13 + 15 + 17 + 19 = 4 3 = 21 + 23 + 25 + 27 + 29 = 5 3 = 31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 = 6 3 = 43 + 45 + 47 + 49 + 51 + 53 + 55 = 7 3 = Nadaljuj oba vzorca. Zapiši naslednje tri primere obeh številskih vzorcev. Kaj ugotoviš? Zapiši vse ugotovitve.  Namigi • Koliko seštevancev je v levem vzorcu? Katera števila seštevaš? • Kateri vzorec opaziš v desnem stolpcu? • Ali opaziš kakšno povezavo med številom seštevancev levega vzorca in osnovo potence desnega vzorca? • Ali v levem vzorcu seštevamo vsa zaporedna naravna števila? • Ali sta vrednosti izrazov v levem in desnem stolpcu enaki? PRILOGA 42 Matematika v šoli, št. 1., letnik 25, 2019 5. primer Z uporabo žepnega računala izračunaj vrednosti naslednjih številskih izrazov. Opazuj številske vzorce in zapiši vse ugotovitve. Utemelji svoje ugotovitve. PRIL OGA 43 Matematika v šoli, št. 1., letnik 25, 2019 6. primer Preiskuj številske vzorce. Zapiši vse ugotovitve. Napovej in zapiši še nekaj nadaljnjih primerov posameznega vzorca. Nato vrednosti preveri z žepnim računalom. Vrednost številskih izrazov lahko izračunaš tudi z uporabo aplikacij za računanje na računalniku. Tam lahko zapisuješ števila, ki imajo več kot 10 števk. Uporabi eno od aplikacij za računanje na računalniku in zapiši še nekaj nadaljevanj številskih vzorcev. Še sam poišči zanimiv številski vzorec. PRILOGA 44 Matematika v šoli, št. 1., letnik 25, 2019 7. primer Preiskuj naslednje številske vzorce. Napovej in zapiši še naslednjih šest primerov izbranih vzorcev. Nato preveri vrednosti z žepnim računalom ali eno od aplikacij za računanje na računalniku. Zapiši vse ugotovitve. PRIL OGA 45 Matematika v šoli, št. 1., letnik 25, 2019 8. primer Z uporabo ene od aplikacij za računanje na računalniku (ki izpisuje več kot 10 števk), izračunaj naslednje količnike. Opazuj nastali številski vzorec. Zapiši ugotovitve. 1 : 7 = 3 : 7 = 2 : 7 = 6 : 7 = 4 : 7 = 5 : 7 = 1 : 17 = 10 : 17 = 15 : 17 = 14 : 17 = 4 : 17 = 6 : 17 = 9 : 17 = 5 : 17 = 16 : 17 = 7 : 17 = 2 : 17 = 3 : 17 = 13 : 17 = 11 : 17 = 8 : 17 = 12 : 17 = 1 : 11 = 2 : 11 = 3 : 11 = 4 : 11 = 5 : 11 = 6 : 11 = 7 : 11 = 8 : 11 = 9 : 11 = 10 : 11 = Razišči še količnike z deliteljem 13 (oziroma 18, 19, 23, 3, 6, 9 …). PRILOGA 46 Matematika v šoli, št. 1., letnik 25, 2019 9. primer Z uporabo žepnega računala preveri, da velja: 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 + 1 = 5 2 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 + 1 = 19 2 Poišči nekaj podobnih primerov. 10. primer Oglej si zapisana primera. Kaj imata skupnega? 21 2 – 12 2 = 441 – 144 = 297 31 2 – 13 2 = 961 – 169 = 792 Zapiši še sam nekaj podobnih primerov. Preiskuj. Zapiši ugotovitve.