UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA GRADBENIŠTVO STANISLAV ŠKRABL, BORUT MACUH STATIKA I ZBIRKA NALOG Maribor, 2012 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Univerzitetna knjižnica Maribor 624.131(075.8) ŠKRABL, Stanislav Statika I [Elektronski vir] / Stanislav Škrabl, Borut Macuh. - 1. izd. - El. učbenik. - Maribor : Fakulteta za gradbeništvo, 2012 Način dostopa (URL): http://dkum.uni-mb.si ISBN 978-961-248-367-8 1. Macuh, Borut COBISS.SI-ID 72597505 Naslov: Statika I Avtorja: Stanislav Škrabl, Borut Macuh Oblikovanje slik: Edi Šketelj, Borut Macuh Tipologija publikacije: 2.05 – Drugo učno gradivo Vrsta publikacije: Zapiski predavanj Različica (e-izdaja): [26.12.2012] URL (e-izdaja): http://dkum.uni-mb.si Sistemske zahteve (e-izdaja): MS Windows, Mac OSX, Linux, internetni dostop Programske zahteve (e-izdaja): Čitalec za PDF Založnik: Univerza v Mariboru, Fakulteta za gradbeništvo, Maribor, 2012 PREDGOVOR Pred Vami so zapiski predavanj pri predmetu Statika I na prvi Bolonjski stopnji univerzitetnega študija Gradbeništva in Gospodarskega inženirstva na Fakulteti za gradbeništvo Univerze v Mariboru. Avtorja zapiskov predavanj sva skušala zahtevnost vsebine prilagoditi pričakovanemu nivoju znanja matematike in fizike slušateljev drugega semestra prvega letnika univerzitetnega študija na FG, kjer sva predpostavila poznavanje osnov diferencialnega in integralskega računa ter osnovnih zakonitosti Newton-ove mehanike. V kakšni meri nama je to uspelo naj presodi bralec. Zapiski predavanj ob predstavitvi teoretičnih osnov obsegajo še številne rešene praktične primere katerih zahtevnost je podobna zahtevnosti nalog pri pisnem delu izpita pri predmetu Statika I. V prvem poglavju so obravnavani osnovni Newton-ovi zakoni ter pojmi: koordinatni sistem, sile in navori v ravnini in prostoru, model togega telesa ter njegove značilnosti. Drugo poglavje obravnava sisteme sil v ravnini in prostoru, ravnotežne pogoje ter sestavljanje, razstavljanje in uravnoteženje poljubnih sistemov sil. Tretje poglavje je namenjeno spoznavanju pojma vezanega in prostega telesa, spoznavanju tipov podpor in vezi v statiki, podpornih in veznih sil ter statične določenosti in kinematične stabilnosti sistemov togih teles. Četrto poglavje obravnava notranje statične količine, diferencialne zveze med obtežbami in notranjimi statičnimi količinami ter določanje poteka notranjih statičnih količin po metodi prereza za ravne in ukrivljene statično določene linijske konstrukcije v ravnini in prostoru. V petem poglavju so prikazane osnovne zakonitosti najenostavnejših vrvnih in ločnih konstrukcij v ravnini. Šesto poglavje obravnava statične metode izvrednotenja vplivnic za ravninske statično določene linijske konstrukcije. Sedmo poglavje obravnava primere trenja in lepenja v statiki. V osmem poglavju pa so podane osnove statike površin. Vsebina predmeta Statika I predstavlja le osnovna znanja iz gradbene mehanike, ki so nujna za uspešno nadaljevanje študija gradbene mehanike pri predmetih v višjih letnikih univerzitetnega študija na Fakulteti za gradbeništvo Univerze v Mariboru. Avtorja želiva slušateljem obilo zadovoljstva in uspehov pri študiju. VSEBINA 1 OSNOVNI POJMI ............................................................................................................... 1 1.1 Newton-ova mehanika ................................................................................................... 1 1.2 Mehanske količine ......................................................................................................... 3 1.3 Koordinatni sistem ......................................................................................................... 4 1.4 Navor – vrtilni moment sile ........................................................................................... 7 1.5 Sistem delcev, notranje in zunanje sile, trdno in togo telo .......................................... 11 1.6 Inženirsko modeliranje................................................................................................. 12 1.7 Značilnosti modela togih teles ..................................................................................... 15 1.8 Nosilne konstrukcije .................................................................................................... 18 1.8.1 Prostorske konstrukcije .................................................................................................... 19 1.8.2 Ploskovne konstrukcije .................................................................................................... 19 1.8.3 Linijske konstrukcije ........................................................................................................ 22 2 SISTEMI SIL V RAVNINI IN PROSTORU ..................................................................... 25 2.1 Splošni sistem sil.......................................................................................................... 25 2.2 Sestavljanje sil in momentov ....................................................................................... 26 2.2.1 Vpliv translatornega premika (redukcije) sile ................................................................... 28 2.2.2 Sistemi sil v ravnini .......................................................................................................... 29 2.2.3 Sistemi vzporednih sil ...................................................................................................... 33 2.3 Ravnotežje sil in momentov......................................................................................... 34 2.3.1 Ravnotežje realnih teles v mehaniki ................................................................................. 34 2.3.2 Alternativne oblike ravnotežnih enačb ............................................................................. 36 2.3.3 Ravnotežni pogoji za različne sisteme sil v ravnini in prostoru ........................................ 39 2.4 Uravnoteženje sistemov sil .......................................................................................... 42 2.4.1 Sistemi sil v prostoru ........................................................................................................ 42 3 VEZANO IN PROSTO TOGO TELO .............................................................................. 49 3.1 Pomiki togih teles v ravnini ......................................................................................... 50 3.2 Podpore togih teles v ravnini ....................................................................................... 51 3.3 Dejansko število prostostnih stopenj in kinematična stabilnost .................................. 52 3.4 Statična določenost in prosto telo v ravnini ................................................................. 54 3.5 Sistemi togih teles v ravnini ......................................................................................... 56 3.5.1 Relativni premiki in kinematična stabilnost ...................................................................... 57 3.5.2 Vezne sile in statična določenost sistemov togih teles ...................................................... 60 3.6 Sistemi togih teles v prostoru ....................................................................................... 67 3.6.1 Pomiki togih teles v prostoru ........................................................................................... 67 3.6.2 Podpore togih teles v prostoru in kinematična stabilnost .................................................. 69 3.6.3 Statična določenost in prosto telo v prostoru .................................................................... 71 3.6.4 Vezi in kinematična stabilnost sistemov teles v prostoru .................................................. 74 3.6.5 Vezne sile in statična določenost prostorskih sistemov .................................................... 77 4 NOTRANJE STATIČNE KOLIČINE ............................................................................... 80 4.1 Naravni lokalni koordinatni sistem in prerezne sile .................................................... 80 4.2 Ekvivalentne notranje sile ............................................................................................ 83 4.3 Metoda prereza in notranja statična nedoločenost ....................................................... 84 4.4 Palične konstrukcije ..................................................................................................... 93 4.4.1 Statična določenost in kinematična stabilnost ................................................................... 94 4.4.2 Statična analiza paličnih konstrukcij ................................................................................. 95 4.4.3 Metoda vozliščnega ravnotežja ........................................................................................ 95 4.4.4 Reševanje ravninskih primerov po grafostatični metodi ................................................... 99 4.4.5 Metoda prereza (Ritterjev postopek) .............................................................................. 101 4.5 Diferencialne zveze med notranjimi statičnimi in zunanjimi obtežbami .................. 102 4.6 Integracija diferencialnih enačb notranjih statičnih količin ...................................... 107 4.7 Sistemi linijskih konstrukcij ...................................................................................... 112 4.7.1 Gerber-jeve konstrukcije ................................................................................................ 112 4.7.2 Okvirne konstrukcije ...................................................................................................... 113 4.7.3 Branaste konstrukcije ..................................................................................................... 117 4.7.4 Sestavljene konstrukcije ................................................................................................. 120 5 VRVNE KONSTRUKCIJE ............................................................................................. 131 5.1 Analiza vrvi po metodi vrvnega poligona .................................................................. 131 5.2 Aanaliza vrvi obteženih z lastno težo ........................................................................ 134 5.3 Analiza vrvi z majhnim povesom .............................................................................. 140 6 VPLIVNICE .................................................................................................................... 145 6.1 Lastnosti vplivnic (vplivnih črt) pri statično določenih konstrukcijah ...................... 145 6.2 Statična metoda določanja vplivnic ........................................................................... 148 6.2.1 Konzolni nosilec ............................................................................................................ 148 6.2.2 Prostoležeči nosilec ........................................................................................................ 149 6.2.3 Previsni nosilec .............................................................................................................. 151 6.2.4 Gerberjev nosilec ........................................................................................................... 152 6.2.5 Predalčni nosilci ............................................................................................................. 153 7 TRENJE IN LEPENJE .................................................................................................... 162 7.1 Coulombovo trenje..................................................................................................... 162 8 STATIKA POVRŠIN ...................................................................................................... 170 8.1 Težišče in statični momenti ....................................................................................... 170 8.2 Vrtenje in vstrajnostni momenti togih teles ............................................................... 174 8.3 Vztrajnostni momenti ravnih površin ........................................................................ 177 8.4 Glavni vztrajnostni momenti in glavne vztrajnostne osi ............................................ 180 9 Literatura ......................................................................................................................... 186 Seznam slik Slika 1.1: Akcijske in reakcijske sile .................................................................................................. 2 Slika 1.2: Medsebojna privlačnost mas (Newton-ov zakon gravitacije) ............................................. 2 Slika 1.3: Desnosučni koordinatni sistem ........................................................................................... 5      Slika 1.4: (a) Krajevni vektor r in (b) Sila F v koordinatnem sistemu e , e in e ....................... 5 i x y z Slika 1.5: (a) Načrt sil s silnim paralelogramom in (b) Trikotnik sil ................................................... 6 Slika 1.6: Definicija momenta sile s prijemališčem v točki A na izbrano točko B v prostoru ............. 7  Slika 1.7: (a) Moment sile F na točko B, ki se nahaja na učinkovalnici sile; (b) Moment sile F na točki A in B, ki se nahajata na skupni premici, ki je vzporedna učinkovalnici   sile in (c) Moment dveh vzporednih sil F in F , ki se nahajata na skupni 1 2 učinkovalnici na poljubno točko B v prostoru .................................................................... 8 Slika 1.8: Moment sile na poljubno os (t) v prostoru ......................................................................... 8 Slika 1.9: Sile in momenti v prostoru; (a) Moment na izbrano os t, ki sovpada s koordinatno   osjo e  e , (b) Moment na koordinatne osi x, y in z ter (c) Moment sile na t z poljubno os t v prostoru ..................................................................................................... 9  Slika 1.10: Sistem masnih točk (delcev) ter pripadajoče zunanje sile F ter pari notranjih sil i   sistema S  S  ............................................................................................................ 11 ij ji Slika 1.11: (a) AB prekladni 3D nosilec, ki prenaša obtežbo z AB stebrom preko preklade na obe podpori – opečna zidova; (b) 3D model prekladnega nosilca ter model obtežbe (stebra) in reakcijskih si v podporah (opečna zidova) v obliki enakomernih površinskih obremenitev ter (c) različna modela linijskega prekladnega nosilca (togo in deformabilno telo) z računskima modeloma obtežbe in podpor v obliki koncentriranih sil .............................................................................................................. 14 Slika 1.12: (a) Mehanski model in (b) Računski model prostoležečega nosilca ................................. 14 Slika 1.13: Vzdolžni prerez kompleksnega premostitvenega objekta; (a) Prerez realnega objekta in (b) Mehanski model za analizo konstrukcije .................................................... 15 Slika 1.14: Sistem dveh členkasto povezanih togih teles (tričlenska ločna konstrukcija) .................... 15 Slika 1.15: Neodvisni načini gibanja togega telesa v ravnini x-y ........................................................ 16 Slika 1.16: Lega masne točke; (a) v prostoru, (b) v ravnini in (c) na premici t ................................... 17 Slika 1.17: (a) Togo telo v ravnini in (b) Togo telo v prostoru ........................................................... 18 Slika 1.18: Število neodvisnih načinov gibanja togega telesa; (a) Preprečeno gibanje točke A (preprečene tri prostostne stopnje, omogočen poljubni zasuk okrog pola A); (b) Preprečeno gibanje točk A in B (preprečenih pet prostostnih stopenj, omogočen je le še zasuk okrog premice AB) in (c) Preprečeno gibanje v treh nekolinearnih točkah A, B in C (preprečenih je vseh šest neodvisnih načinov gibanja togega telesa) ............................................................................................................................... 18 Slika 1.19: Primer 3D konstrukcije podpore viadukta Rebernice pri Vipavi ...................................... 19 Slika 1.20: Lupine in mehanska modela; (a) Primer tunelske cevi in (b) Primer AB konstrukcije krajne podpore viadukta ................................................................................................... 20 Slika 1.21: Lupinasta konstrukcija dvopasovnega pokritega vkopa Rebernice 1 ................................ 20 Slika 1.22: Plošče in stene; (a) Primer AB plošče na prepustu in (b) Primer stene pri objektih visokih gradenj ................................................................................................................. 21 Slika 1.23: Prekladna konstrukcija (plošča spremenljive debeline) viadukta Šumljak ........................ 21 Slika 1.24: Elementi linijskih konstrukcij; (a) Idealna vrv – natezni element (b) Palica – tlačno natezni element, (c) Gredni element – natezno tlačni in upogibni element ter (d) Ločni – tlačni element ...................................................................................................... 22 Slika 1.25: Primer prostorskega paličja, ki je predstavljalo nosilno konstrukcijo opaža pri gradnji viadukta Boršt 1 pri Vipavi .................................................................................. 23 Slika 1.26: Realna konstrukcija sestavljena iz linijskih elementov – pilotna stena OZ 10 na AC Razdrto - Vipava .............................................................................................................. 24 Slika 2.1: Sistemi sil: (a) Poljubni sistem sil, ki deluje na telo in (b) Dvojica sil .............................. 25 Slika 2.2: Rezultantna sila in rezultantni moment; (a) Rezultanta poljubnega sistema sil na točko 0 in (b) Rezultanta poljubnega sistema sil na poljubno točko A v prostoru ............ 26  Slika 2.3: Vzporedna premaknitev sile: (a) Redukcija sile F iz točke A v točko B telesa in (b) Redukcija (nadomestitev) sistema sil v eno samo silo ...................................................... 28  Slika 2.4: Sistemi sil: (a) Sistemi sil v ravnini x-y ter (b) Generalizirana sila A F , ki R   nadomešča obe komponenti glavne sile F in 0 M ......................................................... 29 R R   Slika 2.5: Rezultantna sila F in moment 0 M ter pripadajoča prijemališča A, pri redukciji R R   sistema sil v eno samo silo A F  F ............................................................................... 30 R R Slika 2.6: Seštevanje sil s skupnim prijemališčem; (a) Načrt sil in (b) Mnogokotnik sil ................... 31 Slika 2.7: Seštevanje poljubnega sistema sil v ravnini; (a) Načrt sil in (b) Mnogokotnik sil ............. 32 Slika 2.8: Sistem vzporednih sil ....................................................................................................... 33   Slika 2.9: Sistem masnih točk z notranjimi S in zunanjimi silami F .............................................. 34 i i Slika 2.10: Nadomestitev osnovnih ravnotežnih pogojev z momentnimi na izbrani točki A in B togega telesa ..................................................................................................................... 37 Slika 2.11: Točke A, B in C, ki ne ležijo na isti premici..................................................................... 38 Slika 2.12: Posebni sistemi sil; (a) Sistem sil s skupnim prijemališčem v prostoru; (b) Sistem sil, ki sekajo skupno premico v prostoru in (c) Sistem vzporednih sil v prostoru ............. 39 Slika 2.13: Poljubni sistem sil v ravnini x-y ....................................................................................... 40 Slika 2.14: (a) Kolinearni sistem sil, (b) Sistem sil s skupnim prijemališčem v ravnini x-y in (c) Sistem vzporednih sil v ravnini ........................................................................................ 41   Slika 2.15: Uravnoteženje sistema sil, kjer sta glavni sili med sabo pravokotni ( MA  F  0 ) ....... 43 R R Slika 2.16: Nadomestitev sistema sil z dinamom ............................................................................... 44 Slika 2.17: Nadomestitev vplivov poljubnega sistema sil v prostoru z dvema silama ........................ 46 Slika 2.18: Uravnoteženje sistema sil v prostoru z dvema silama ....................................................... 47 Slika 2.19: Grafično uravnoteženje sistema sil v ravnini s tremi silami .............................................. 47 Slika 3.1: Stabilno podprto togo telo v ravnini (podpori preprečujeta premike telesa v točkah, kjer prekladna konstrukcija nalega na krajni podpori objekta).......................................... 49 Slika 3.2: Sistem dveh povezanih togih teles (podpori preprečujeta relativne premike med temeljema in togimi telesi 1 in 2, vez v kroni konstrukcije preprečuje relativne premike obeh togih teles v skupni točki) .......................................................................... 49 Slika 3.3: Pomik togega telesa v ravnini x-y .................................................................................... 50 Slika 3.4: Togo telo podprto s tremi podporami............................................................................... 52 Slika 3.5: Togo telo v ravnini x - y podprto z dvema podporama; (a) kinematično stabilno (      k ) in (b) kinematično nestabilno (      k ) ......................................... 53 Slika 3.6: Prostoležeči nosilec v ravnini: (a) podprto (vezano) telo in (b) pripadajoče prosto telo obremenjeno z zunanjo obtežbo ................................................................................ 55 Slika 3.7: Sistem povezanih togih teles; (a) tri telesa v ravnini, (b) premična in nevrtljiva zveza dveh teles v ravnini in (c) členkasta (vrtljiva) zveza treh togih teles ....................... 57 Slika 3.8: Sistem dveh podprtih togih teles (1) in (2), ki sta med sabo členkasto povezani; (a) kinematično stabilni sistem (b) kinematično nestabilni sistem (točke A, B in C so kolinearne) ....................................................................................................................... 58 Slika 3.9: Sistem štirih podprtih togih teles (1), (2), (3) in (4), ki so med sabo členkasto povezana; (a) kinematično stabilni sistem ( h  h ) in (b) kinematično nestabilni 2 1 sistem ( h  h ).............................................................................................................. 59 2 1 Slika 3.10: Tročlenska okvirna konstrukcija: (a) vezani sistem togih teles in (b) sistem prostih togih teles ......................................................................................................................... 62 Slika 3.11: (a) Sproščeni sistem togih teles in (b) sovisnost vrednosti vezne sile X in C razmerja ( h /  ) ............................................................................................................... 63 Slika 3.12: Sistem dveh členkasto povezanih togih teles; (a) Sistem podprtih in povezanih teles ter (b) Pripadajoči sistem prostih teles s podpornimi in veznimi silami ............................ 64 Slika 3.13: (a) Načrt sil in (b) Mnogokotnik sil .................................................................................. 65 Slika 3.14: Sistem štirih podprtih togih teles (1), (2), (3) in (4), ki so med sabo členkasto povezana; (a) sistem členkasto povezanih teles in (b) Prosta toga telesa s podpornimi in veznimi silami .......................................................................................... 66 Slika 3.15: Pomik togega telesa v prostoru x-y-z ............................................................................... 68 Slika 3.16: Toga plošča podprta s šestimi nihajnimi palicami: (a) Shema konstrukcije in podpor in (b) Računski model prostega togega telesa v prostoru .................................................. 70 Slika 3.17: Toga plošča podprta s šestimi nihajnimi palicami; (a) podprto telo in (b) prosto telo v prostoru ......................................................................................................................... 73 Slika 3.18: Deformirano ležišče tipa ‘’Mageba’’ na viaduktu Barnica, HC, Razdrto – Vipava .......... 75 Slika 3.19: V vzdolžni smeri premično ležišče ‘’Mageba’’ na viaduktu Rebernice, HC Razdrto - Vipava ........................................................................................................................... 76 Slika 3.20: Montaža ležišča ................................................................................................................ 76 Slika 3.21: Sistem dveh podprtih in povezanih togih teles v prostoru Sistem dveh podprtih togih teles (1) in (2), ki sta med sabo členkasto povezani; (a) kinematično stabilni sistem (b) kinematično nestabilni sistem (točke A, B in C so kolinearne) ........................ 77 Slika 3.22: Primer branaste konstrukcije: (a) Sistem dveh povezanih togih teles v prostoru in (b) Računski model s pripadajočimi podpornimi in veznimi silami ................................. 79 Slika 4.1: Togo telo v prostoru; (a) Podprto telo A obteženo z zunanjimi obtežbami in (b) Podprti telesi A1 in A2 z zunanjimi obtežbami ter povezani z veznimi silami ................... 80    Slika 4.2: Prerez telesa z naravnim lokalnim koordinatnim sistemom ( e , e , e )........................ 82 T N B Slika 4.3: Napetosti in notranje sile v analiziranem prerezu obremenjene konstrukcije .................... 84 Slika 4.4: Model prostoležečega nosilca v ravnini x-y; (a) Stabilno podprto togo telo, ki ga z r prerezi razdelimo v (r+1) togo telo ter (b) Prerezne sile na i tem elementu nosilca .......... 85 Slika 4.5: Določanje notranjih statičnih količin po metodi prereza ................................................... 86 Slika 4.6: Ločni nosilec v prostoru; (a) Podprto telo, (b) Uravnoteženo prosto telo in (c) Prerezani telesi z notranjimi in zunanjimi silami .............................................................. 87 Slika 4.7: Prostoležeči nosilec v ravnini x-y, podporne sile, lokalni koordinatni sistem in diagrami notranjih statičnih količin .................................................................................. 90 Slika 4.8: Dispozicija prostoležečega nosilca s podporami in podpornimi silami, mnogokotnik (poligon) sil, reducirani diagram upogibnih momentov ter pripadajoči diagram prečnih sil ......................................................................................................................... 92 Slika 4.9: Zunanje in notranje sile v ravnih paličnih elementih ......................................................... 94 Slika 4.10: Primer ravninske palične konstrukcije .............................................................................. 94 Slika 4.11: Osnovna stabilna oblika paličja; (a) Štiri in večkotne oblike (celice) predalčja so praviloma nestabilne in (b) Trikotna šipa (tri členkasto povezane palice) predstavlja osnovno stabilno obliko paličja v ravnini ......................................................................... 95 Slika 4.12: 2D primer palične konstrukcije; (a) Palična konstrukcija s podporami in zunanjimi silami in (b) Vozlišča konstrukcije s pripadajočimi zunanjimi in notranjimi silami.......... 96 Slika 4.13: Prostorsko paličje: (a) Skica prostorske konstrukcije in (b) Izrez vozlišča D s pripadajočimi zunanjimi in notranjimi silami ................................................................... 98 Slika 4.14: Prerez palične konstrukcije, poligoni sil in rezultati statične analize paličja po grafostatični metodi po Cremoni .................................................................................... 100 Slika 4.15: Palična konstrukcija: (a) Zunanje in notranje statično določena konstrukcija ter (b) Levi in desni del uravnotežene palične konstrukcije ter sile v prerezanih palicah ........... 101 Slika 4.16: Infinitezimalno majhen del konstrukcije: (a) Zunanje obtežbe ter (b) Notranje sile in enotni vektorji lokalnega koordinatnega sistema na delcu konstrukcije dolžine s  ....... 102 Slika 4.17: Fleksijska in torzijska ukrivljenost osi nosilca; (a) Fleksijsko ukrivljenost ponazarja rotacija koordinatnega sistema okrog binormale in parcialno (b) Torzijska ukrivljenost prikazana kot rotacija koordinatnega sistema okrog tangente na težiščno os nosilca .......................................................................................................... 104 Slika 4.18: Ukrivljeni nosilec v ravnini x-y ...................................................................................... 105 Slika 4.19: Nosilec z ravno osjo v ravnini x-y .................................................................................. 105 Slika 4.20: Izsek ravnega nosilca na odseku med x  x0 ................................................................. 107 Slika 4.21: Prerezana dela konstrukcije in delovna shema (pozitivni predznak) za določanje notranjih statičnih količin na osnovi integracije diferencialnih enačb notranjih statičnih količin .............................................................................................................. 108 Slika 4.22: Dispozicija prostoležečega nosilca obteženega s trikotno zvezno obtežbo, uravnoteženo prosto telo ter pripadajoča diagrama notranjih sil ..................................... 110 Slika 4.23: Gerber-jev nosilec sestavljen iz treh členkasto povezanih elementov; (a) Gerber- jeva konstrukcija, (b) Primarni nosilec AE , (c) Sekundarni nosilec FD in (d) Sekundarni nosilec EF ............................................................................................ 113 Slika 4.24: Enoetažne ravninske okvirne konstrukcije; (a) Obojestransko vpeta, (b) Obojestransko nepremično podprta in (c) Prostoležeča enoetažna okvirna konstrukcija .................................................................................................................... 114 Slika 4.25: Enoetažni ravninski prostoležeči okvir obtežen z enakomerno zvezno obtežbo; (a) Dispozicija podpor, obtežbe in konstrukcije s pozitivnimi predznaki notranjih statičnih količin, (b) Uravnoteženo prosto telo, (c) Diagram upogibnih momentov, (d) Prečne in (e) Osne sile na konstrukciji ...................................................................... 114 Slika 4.26: Branasta konstrukcija v ravnini x-y; (a) Dispozicija konstrukcijskih elementov, podpore, obtežba in podporne sile, (b) Prerez 1-1 na vzdolžnem nosilcu z enotnimi vektorji in prereznimi silami za levi del konstrukcije, (c) Prerez 2-2 na vertikalnem nosilcu za desni (zgornji) del konstrukcije, (d) Diagram poteka upogibnih in (e) Torzijskih momentov ter (f) Diagram poteka prečnih sil ................................................ 118 Slika 4.27: Sestavljeni konstrukcijski sistemi; (a) Tročlenski lok, (b Upogibni nosilec podprt s tlačno palico, (c) Mostni nosilec ojačan z nateznimi kabli zgoraj (harfa) ter (d Upogibni nosilec ojačan z nateznimi kabli spodaj (zatega) ........................................ 120 Slika 4.28: Tročlenski okvir; (a) Dispozicija konstrukcije s podporami in obtežbo, (b) Uravnoteženi togi telesi z reakcijskimi in veznimi silami, (c) Diagram upogibnih momentov, (d) Prečne in (e) Osne sile na konstrukciji ................................................... 121 Slika 4.29: Gerber-jev nosilec; (a) Sistem treh togih nosilcev, (b) Primarni nosilec AE , (c) Sekundarni nosilec FD , (d) Pozitivni predznak za določanje notranjih statičnih količin, (e) Sekundarni nosilec EF , (f) Diagram upogibnih momentov in (g) Diagram prečnih sil ........................................................................................................ 124 Slika 4.30: Tročlenski okvir; (a) Obtežbe in reakcijske sile; (b) Levi del okvirja z veznima silama; (c) Diagram osnih sil; (d) Prerez polkrožnega loka z notranjimi silami (    45 ) ; (e) Prečne sile na konstrukciji; (f) Prerez polkrožnega loka z notranjimi silami (    45 ) in (g) Diagram upogibnih momentov ................................................. 127 Slika 4.31: Diagrami poteka prečnih sil, upogibnih momentov in prečne obtežbe ........................... 129 Slika 5.1: Breztežna in neraztegljiva vrvna konstrukcija obtežena z dvema koncentriranima silama ............................................................................................................................. 131 Slika 5.2: Levi del vrvne konstrukcije po prerezu v polju na razdalji  ....................................... 132 2 Slika 5.3: Izrez vozlišča ob vertikalni koncentrirani sili F ............................................................ 132 i Slika 5.4: Vrvna konstrukcija obtežena z eno samo koncentrirano silo .......................................... 133 Slika 5.5: Vrvna konstrukcija za prečkanje reke širine   m 200 ................................................. 134 Slika 5.6: Model idealne vrvi obtežene z lastno težo med dvema podporama ................................ 135 Slika 5.7: Splošni primer idealne vrvi obtežene z lastno težo ......................................................... 136 Slika 5.8: Verižnica z razpetino   m 100 ................................................................................... 138 Slika 5.9: Vrvna konstrukcija obremenjena z lastno težo in koncentrirano silo .............................. 139 Slika 5.10: Zveza med vertikalno obtežbo na enoto dolžine vrvi q in pripadajočo obtežbo na (s) enoto horizontalne projekcije vrvi na x os .................................................................... 140 Slika 5.11: Vrvna konstrukcija obremenjena z enakomerno zvezno obtežbo q na enoto 0 pripadajoče dolžine x osi .............................................................................................. 140 Slika 5.12: Ločni nosilec obtežen s trikotno zvezno obtežbo ........................................................... 142 Slika 5.13: Ločni nosilec obtežen z zvezno obtežbo in s koncentrirano silo ..................................... 144 Slika 6.1: Vplivnice za vplive vertikalne obtežbe na prostoležečem nosilcu: (a) Vplivnici za reakciji Y Y Y A in B in (b) Skupni vpliv skupine vertikalnih sil na podporno silo B ..... 146 Slika 6.2: Vplivi sestavljenih obtežb na vertikalno reakcijo YB : (a) Enakomerne zvezne obtežbe in (b) Koncentriranega momenta (dvojice sil) ................................................... 147 Slika 6.3: Vpliv statično enakovredne obtežbe na podporno silo YB ............................................ 148 Slika 6.4: Konzolni nosilec; (a) Vplivnici za reakciji YA in M ter (b) Vplivnici za prečno A silo Va in upogibni moment M v prerezu a-a konzolnega nosilca .............................. 149 a Slika 6.5: Prosto ležeči nosilec: (a) vplivnici za reakciji Y Y A in B ter (b) Vplivnici za prečno silo Va in upogibni moment M v prerezu a-a nosilca ................................................. 150 a Slika 6.6: Vplivnice za podporne sile ter za notranje statične količine za previsni nosilec v ravnini ............................................................................................................................ 151 Slika 6.7: Gerber-jeva konstrukcija preko treh polj z obojestranskima previsoma.......................... 153 Slika 6.8: Vplivnice za reakciji in za osne sile v treh izbranih palicah ............................................ 155 Slika 6.9: Palična mostna konstrukcija, projektna premična prometna obtežba na železnicah ter vplivnici za podporno silo Y ter osno silo S v palici 1 ......................................... 157 A 1 Slika 6.10: Vplivnici za osni sili S in S na palični konstrukciji ................................................... 160 2 3 Slika 7.1: Sila lepenja in sila trenja................................................................................................. 162 Slika 7.2: Sile trenja in lepenja: (a) Tangencialna sila pri mirovanju in premikanju telesa ter (b) Stožca trenja in lepenja v prostoru ............................................................................ 163 Slika 7.3: Lestev oprta v tla ter naslonjena na zid po kateri se bo povzpel krovec .......................... 165 Slika 7.4: Trenje in lepenje pri vijakih............................................................................................ 166 Slika 7.5: Trenje in lepenje na stabilnih kolutih .............................................................................. 167 Slika 7.6: Kotalno trenje ................................................................................................................ 168 Slika 7.7: Kotalno trenje pri valjanju igrišča .................................................................................. 168 Slika 8.1: Težiščna točka C in težiščne osi x', y' in z' telesa ...................................................... 170 Slika 8.2: (a) Ravna površina s ploščino A ; (b) Ravnine simetrije pri ravnem prerezu ter (c) Primer enodimenzionalnega telesa (žice oz. črte) v statiki površin ................................. 172 Slika 8.3: Vrtenje telesa mase m s kotno hitrostjo   okrog stalne osi AA ............................. 174 Slika 8.4: Homogeni kvader ........................................................................................................... 176 Slika 8.5: Homogeni valj................................................................................................................ 177 Slika 8.6: Ravna površina A v ravnini x-y ...................................................................................... 178 Slika 8.7: Trikotna površina A s pripadajočimi koordinatnimi osmi ............................................ 178 Slika 8.8: Rotacija koordinatnega sistema ...................................................................................... 181 Slika 8.9: Mohrov-a vztrajnostna krožnica in kot rotacije  ......................................................... 184 Slika 8.10: Trikotni prerez telesa in glavne vztrajnostne osi ............................................................. 184 Seznam preglednic Preglednica 1.1: Delitev Newton-ove mehanike ..................................................................................... 3 Preglednica 1.2: Nekatere pomembnejše mehanske količine .................................................................. 3 Preglednica 1.3: Nekatere izpeljane mehanske enote .............................................................................. 4 Preglednica 1.4: Nekatere predpone za številčno izvrednotenje.............................................................. 4 Preglednica 3.1: 2D podpore v inženirski praksi .................................................................................. 51 Preglednica 3.2: 2D podpore s podpornimi silami ............................................................................... 54 Preglednica 3.3: 2D vezi v inženirski praksi ......................................................................................... 57 Preglednica 3.4: 2D vezi in pripadajoče vezne sile ............................................................................... 61 Preglednica 3.5: 3D podpore v inženirski praksi .................................................................................. 69 Preglednica 3.6: 3D podpore s podpornimi silami ............................................................................... 71 Preglednica 3.7: Nekatere 3D vezi v inženirski praksi .......................................................................... 74 Preglednica 3.8: 3D vezi in pripadajoče vezne sile ............................................................................... 78 1 OSNOVNI POJMI 1.1 Newton-ova mehanika Sir Isaac Newton je v svojem zgodovinskem delu (Sir Isaac Newton, Philosophiae naturalis principia mathematica, »The Principia«, 1687) prikazal osnovne zakone mehanike, ki predstavljajo temelje mehanski analizi inženirskih problemov in jo zato imenujemo inženirska mehanika. Osnovni mehanski zakoni (Newton-ovi zakoni) opisujejo gibanje idealiziranega telesa (materialnega delca oz. masne točke), ki v nekaterih primerih lahko ponazarja gibanje togega telesa. Pojem delec označuje idealizirano telo neskončno majhne prostornine s končno veliko maso m ter ga imenujemo tudi točkasto telo. Pri reševanju nekaterih problemov mehanike večkrat uporabljamo približni mehanski model, kjer maso končno velikega realnega telesa združimo v značilno točko telesa (največkrat v težiščno točko) in nato pri mehanskih analizah telo obravnavamo kot brezdimenzijski delec – točkasto telo, ki mu pravimo tudi masna točka. 1. Newton-ov zakon V kolikor na masno točko ne delujejo zunanje sile ali kadar so sile, ki nanjo delujejo v ravnotežju, se lahko masna točka giblje le premočrtno s konstantno hitrostjo ali pa miruje. 1. Newtonov zakon velja tudi v obratni smeri: kadar delec miruje ali se giblje premočrtno s konstantno hitrostjo, je vsota vseh zunanjih sil, ki nanj delujejo enaka 0. Ta zakon mehanike izraža pogoj ravnotežja sil, ki predstavlja osnovo statike, ki ga zapišemo v matematični obliki: n      F  F  F  .....  F  F 0 (1.1) 1 2 3 n   i i1 n  kjer  F označuje vsoto n zunanjih sil, ki na obravnavani materialni delec delujejo. i i1 2. Newton-ov zakon Kadar na delec (masno točko) delujejo zunanje sile, ki niso v ravnotežju, se delec giblje s pospeškom, ki je po velikosti sorazmeren z velikostjo vsote (rezultante) sil in ima smer rezultante vseh sil. Zakon zapišemo z vektorsko enačbo: n   m a  F N  kgm / s (1.2) i  2  i 1   Vektor a označuje pospešek masne točke in m maso delca. 2. Newton-ov zakon lahko uporabimo tudi pri sklepanju v obratni smeri: kadar se delec giblje s pospeškom delujejo nanj sile, katerih vsota je po velikosti premo sorazmerna pospešku ter deluje v njegovi smeri. 3. Newton-ov zakon Sila s katero deluje delec na sosednjega, je nasprotno enaka sili s katero drugi delec deluje na prvega. Statika 1 1 To pomeni, da se pri vsaki sili, ki na prvo telo deluje, pojavi enaka in nasprotno usmerjena reakcijska sila, ki deluje na drugo telo (Slika 1.1). Ta mehanski zakon je osnova za analizo prenašanja vplivov med posameznimi konstrukcijskimi elementi. Slika 1.1: Akcijske in reakcijske sile Medsebojno delovanje dveh teles se odraža z delovanjem dveh sil enakih po velikosti, delujočih na isti učinkovalnici ter nasprotno usmerjenih.   F  F (1.3) II / I I / II Newton je utemeljil tudi zakon o gravitacijski sili (Newton-ov zakon gravitacije). Po tem mehanskem zakonu se dve materialni točki privlačita ena proti drugi, v smeri premice na kateri se nahajata, s silo, ki je proporcionalna produktu obeh mas in obratno sorazmerna kvadratu njune medsebojna razdalje (Slika 1.2). Slika 1.2: Medsebojna privlačnost mas (Newton-ov zakon gravitacije)  2 F   (m m ) / r (1.4) 1 2 kjer je  gravitacijska konstanta in r razdalja med delcema. Gravitacijska konstanta je neodvisna od mase delcev, lege delcev v vesolju in razdalje med njimi. Določena je z rezultati natančnih meritev ter približno znaša  67 . 6 *10 11   (m3 / kgs 2 ) . Če upoštevamo maso Zemlje M 976 . 5 *1024  kg in njen polmer r  6 371 106 . * m, znaša teža mase 1 kg na njeni površini: F   11Nkg 6 67 10 2 m2  976 1024 kg kg 1 6 37121012 m2 . (5. ) / ( . )  9 82 . N Kasneje je bilo ugotovljeno, da pri mehaniki gibanja zelo majhnih delcev (atomi, elektroni itd.) oz. tudi pri zelo velikih hitrostih gibanja (primerljivih s svetlobno hitrostjo), Newton-ove rešitve ne dajejo povsem natančnih rezultatov. Zato gibanja zelo majhnih delcev natančnejše obravnava KVANTNA ter gibanja z zelo velikimi (svetlobnimi) hitrostmi RELATIVISTIČNA mehanika. V okviru realnih razmer ločimo različna področja Newton-ove mehanike (Preglednica 1.1). Statika 1 2 Preglednica 1.1: Delitev Newton-ove mehanike MEHANIKA TRDNIH TELES FLUIDOV Toga telesa Deformabilna telesa Tekočine Pline Statika Trdnost Hidrostatika Aerostatika Kinematika Teorija elastičnosti Hidrodinamika Aerodinamika Dinamika Mehanika kontinuumov 1.2 Mehanske količine Količine v mehaniki delimo z ozirom na njihove lastnosti v VEKTORSKE in SKALARNE. Skalarne količine so določene le z numerično vrednostjo (dolžina, površina, prostornina, masa itd.). Vektorske količine določa numerična vrednost (velikost), smer delovanja (učinkovalnica) in prijemališče (točka na učinkovalnici). V mehaniki so najpomembnejše vektorske količine sile, momenti, premiki, hitrosti itd. Pri mehanskih analizah smemo uporabljati le dogovorjene enote posameznih mehanskih količin. V Republiki Sloveniji se obvezno uporablja Mednarodni sistem enot (SI) že od 1. januarja 1980. Enote osnovnih mehanskih količin so: dolžina L (m), masa M (kg) in čas T (s). DOLŽINA: je merilo oddaljenosti dveh točk. Enota je meter (m). MASA: je kvantitativna mera količine materije. Enota je kilogram (kg). Po definiciji je 1 kg mase tista količina materije, ki jo sila 1 N pospeši s pospeškom 1 m/s2. ČAS: je merilo časovnega poteka posameznih procesov. Enota je sekunda (s). Čas je vedno pozitivna in enakomerno naraščajoča količina. SILA: je merilo delovanja (učinka) enega telesa na drugo telo. Prenaša se z direktnim kontaktom dveh teles ali na večjo medsebojno razdaljo (gravitacija, magnetne sile itd.). Sila je povsem določena kadar poznamo njeno velikost, smer in prijemališče. Merska enota je NEWTON (N). Po definiciji je 1N sila, ki pospeši telo mase 1 kg s pospeškom 1 m/s2. Nekatere pomembnejše mehanske količine prikazuje Preglednica 1.2. Preglednica 1.2: Nekatere pomembnejše mehanske količine Mehanska količina Definicija Enota    MOMENT M  r  F (Nm) HITROST v   dr dt / (ms-1) POSPEŠEK  2  2 a  d r dt / (ms-2)  GIBALNA KOLIČINA  (Ns) (masna točka) B  mv   B   vdm (Ns) (porazdeljena masa) v   B  Mv c (Ns) (togo telo) IMPULZ SILE  2  S   Fdt (Ns) 12 1 Statika 1 3  VRTILNA KOLIČINA   b  r  mv (Nms) (masna točka)    b   r  vdm (Nms) (porazdeljena masa) v    b  r  Mv (Nms) (togo telo) c c DELO 2   W   Fdr (Nm) 12 1 MOČ P  dW dt / (Nms-1) KINETIČNA ENERGIJA 2 E  mv / 2 (Nm) k POTENCIALNA ENERGIJA E  Gy (Nm) p PROŽNOSTNA ENERGIJA 2 E  kx 2 / (Nm) e Nekatere pomembnejše izpeljane mehanske enote prikazuje Preglednica 1.3 ter dopustne predpone za okrajšano izražanje vrednosti Preglednica 1.4. Preglednica 1.3: Nekatere izpeljane mehanske enote  SILA F (kgms 2 )  N 1 ( Newto ) n DELO W ( ) Nm  J 1 (Joul ) e ENERGIJA E ( ) Nm  J 1 MOČ P (Nms 1  )  W 1 (Wat) PRITISK p (Nm 2  )  Pa 1 (Pascal) FREKVENCA f s ( 1  )  Hz 1 (Hert ) z Preglednica 1.4: Nekatere predpone za številčno izvrednotenje deka da 101 deci d 101 hekto h 102 centi c 102 kilo k 103 mili m 103 mega M 106 mikro u 106 giga G 109 nano n 109 tera T 1012 piko p 1012 peta P 1015 femto f 1015 eksa E 1018 ato a 1018 1.3 Koordinatni sistem Za zapis vektorskih količin uporabljamo kartezični desnosučni koordinatni sistem. Določen je s koordinatnim izhodiščem (0) in s tremi med sabo pravokotnimi koordinatnimi osmi (x, y, z). Smeri izbranih koordinatnih osi so določene z enotskimi    vektorji ( e , e in e ), ki predstavljajo ortonormirano bazo. x y z   Izbrani koordinatni sistem je desnosučni, ker pri rotaciji vektorja e proti vektorju e v x y  smeri štirih prstov desne roke kaže palec smer enotskega vektorja e (Slika 1.3). z Statika 1 4 z y 1 ey e 1 z ex x 0 1 Slika 1.3: Desnosučni koordinatni sistem  Krajevni vektor r je vektor, ki povezuje izhodišče koordinatnega sistema 0 s poljubno i       točko T    i v prostoru. Razstavimo, ga lahko na vektorje r x e , r y e in r z e ix i x iy i y iz i z vzdolž posameznih koordinatnih osi. Koordinate xi, yi in zi določajo lego točke Ti v prostoru (Slika 1.4):     r  x e  y e  z e (1.5) i i x i y i z Ti z z y y r i z F i  x  i e e e z e y  y y z i x eF x 0 0 e e x x (a) (b)      Slika 1.4: (a) Krajevni vektor r in (b) Sila F v koordinatnem sistemu e , e in e i x y z kjer α, β in  označujejo pripadajoče kote med koordinatnimi osmi x, y in z ter smerjo      sile F oz. kote med enotnimi baznimi vektorji e , e in e ter enotnim vektorjem e , ki x y z F  ima smer delovanja sile F .      Tudi poljubno silo F lahko vedno razstavimo na komponente F  F e , F  F e in x x x y y y      F  F e v smereh baznih vektorjev e , e in e . z z z x y z      F  F e  F e  F e  e F (1.6) x x y y z z F   kjer F označuje velikost oz. jakost sile ter e enotni vektor v smeri delovanja sile F . F  Komponente Fx, Fy in Fz ter jakost oz. intenziteto sile F določimo:    2 2 2             x F Fcos , y F Fcos , z F Fcos , F F F F x F y F z F (1.7) Kosinusom kotov α, β in  pravimo tudi smerni kosinusi, ki jih določimo:       cos   e  e cos   e  e cos   e  e (1.8) x F y F z F Statika 1 5  Ker so posamezne komponente sile F med sabo pravokotne velja:    2 2 2 F  F  F  F  F  F = F2 (cos2   cos 2   cos 2 )  F (1.9) x y z  Poljubna sila F je v prostoru enolično določena kadar poznamo:  1.) Smer e , jakost sile F in prijemališče sile s koordinatami x, y in z; F 2.) Dva smerna kosinusa npr. cos  in cos  ter predznak preostalega smernega kosinusa npr. cos  (pri določanju tretjega smernega kosinusa upoštevamo še znano zvezo cos2   cos2   cos2   1), jakost sile F in prijemališče sile x, y in z; 3.) Dve komponenti sile npr. F in F ter predznak preostale npr. F (upoštevamo x y z  znano zvezo F  F2  F2  F2  F ), jakost sile F ter prijemališče podano s x y z koordinatami x, y in z. Primer 1.1   Določi vsoto sil F      , ki delujeta v točki T  1  ,1 ,2  2 1  ,5 ,1  1 in F2  , 1 , 3  2 . Sile so vektorske količine ter jih lahko seštevamo po pravilih vektorskega računa (zaviti oklepaj označuje vektorsko količino).            F  F  F  F e  F e  F e  F e  F e  F e  (F  F )e  (F  F )e R 1 2 x 1 x y 1 y z 1 z 2x x 2y y 2z z x 1 2x x y 1 2y y      (F  F )e  F e  F e  F e  z 1 2z z Rx x Ry y Rz z  ,4  1 , 2    Nedvomno se rezultantna sila F nahaja v ravnini  v kateri se nahajata tudi sili F in F ter R 1 2 ima prijemališče v točki T1. F z 2 F2z y F F R F R z F 2 2y F2 Fy T F F 1 x 1x 1 F2x F1y z1 F1z x1 F F 1 1 e e y y1 z ex x (a) (b) Slika 1.5: (a) Načrt sil s silnim paralelogramom in (b) Trikotnik sil   Vsoto oz. rezultanto dveh sil F in F , ki imata skupno prijemališče v točki T 1 2 1 lahko   prikažemo grafično kot diagonalo paralelograma (Slika 1.5a), ki ga določata sili F in F ter se 1 2 nahaja v ravnini , ki jo določata učinkovalnici obeh sil. Paralelogram lahko nadomestimo Statika 1 6 tudi z ekvivalentnim trikotnikom sil (Slika 1.5b), ki se prav tako nahaja v ravnini . Velikost rezultante lahko določimo z uporabo kosinusovega ali sinusnega izreka: F 2  F2  F2  F 2 F cos , F / sin   F / sin   F / sin  R 1 2 1 2 1 2 2 1 R 1.4 Navor – vrtilni moment sile Ločimo pojem vrtilnega momenta na izbrano točko B ter pojem momenta okrog  poljubno izbrane osi npr. t v prostoru, ki jo določa enotni vektor e . t  Sila F deluje na telo v točki A, radij vektor med izbrano točko B ter prijemališčem sile    A označimo z r  r  r (Slika 1.6). B / A A B Moment sile na izbrano točko je vektorska količina, ki jo določa vektorski produkt radij   vektorja r in sile F :    e e e (y  y )F  (z  z )F  x y z    B  A B z A B y  M  r  F  r  r r  r r  r  (z z )F (x x )F (1.10) B / A Ax Bx Ay By Az Bz     A B x A B z    F F F (x x )F (y y )F x y z     A B y A B x   A r MB F r B/A A = r A - r d B  z B rB y e e y z e x x Slika 1.6: Definicija momenta sile s prijemališčem v točki A na izbrano točko B v prostoru Z ozirom na lastnosti vektorskega produkta lahko zaključimo, da je momentni vektor   pravokoten na ravnino, ki jo določata vektorja r in F . B / A Velikost momentnega vektorja lahko določimo:      MB  MB  F r sin(r , ) F  F r sin   F d (1.11) B / A B / A B / A   Absolutna velikost vektorja B M je enaka produktu velikosti sile F in pravokotne oddaljenosti med točko B in učinkovalnico sile (produkt sile in ročice).   Kadar se točka B nahaja na učinkovalnici sile F (Slika 1.7a) je moment te sile B M enak 0. Statika 1 7 F2 F C A A r r A/C F r r F B B/C /A B/A r 1 B A C d /A rB/A B r B B/C C (a) (b) (c)   Slika 1.7: (a) Moment sile F na točko B, ki se nahaja na učinkovalnici sile; (b) Moment sile F na točki A in B, ki se nahajata na skupni premici, ki je vzporedna učinkovalnici sile in   (c) Moment dveh vzporednih sil F in F , ki se nahajata na skupni učinkovalnici na 1 2 poljubno točko B v prostoru  Momenta sile F na dve poljubni točki B in C (Slika 1.7b), ki se nahajata na premici vzporedni učinkovalnici sile sta enaka.             MB  r  F  (r  r )  F  r  F  r  F  r  F (1.12) B / A B / C C / A B / C C / A C / A V zgornjem izrazu smo upoštevali, da je vektorski produkt dveh vzporednih vektorjev enak 0.   Dve sili F oz. F delujeta na skupni učinkovalnici s prijemališčem v točki A oz. C 1 2 (Slika 1.7c), njun navor na točko B je neodvisen od prijemališča posamezne sile na skupni učinkovalnici.              MB  r  F  r  F  r  F  (r  r )  F  r  (F  F ) (1.13) B / A 1 B / C 2 B / A 1 B / A A / C 2 B / A 1 2  Moment poljubnega števila sil F , i  ,..., 1 n na izbrano točko 0 je nedvomno enak i vektorski vsoti momentov posameznih sil na to točko ter jo imenujemo rezultanta  momentov ali tudi rezultantni moment 0 M na izbrano točko 0. R n n     0 M  M r F (1.14) R  0  i   i i i1 i1  Na telo deluje sila F v točki A, hkrati pa je na telesu podana še os t, ki poteka skozi  točko 0 ter je določena z enotskim vektorjem tudi e (Slika 1.8). t et B rB A r B/A rA F 0 t Slika 1.8: Moment sile na poljubno os (t) v prostoru Položaj izbrane osi oz. premice (t) v prostoru določa točka 0 oz. B ter izbrana smer, ki     jo določa enotski vektor e  e e  e e  e e . Moment sile glede na točko 0 je t tx x ty y tz z   pravokoten na ravnino, ki jo določata vektorja r in F ter ga lahko izvrednotimo: A Statika 1 8    M0  r  F (1.15) A Moment, ki vrti okrog izbrane osi (t) ima vektorsko smer izbrane osi ter ga predstavlja   skalarni produkt momenta 0 M in enotskega vektorja e : t e e e tx ty tz        M0  e  M0  e  (r  ) F  x y z  M0 cos(e ,M0 ) t t t A A A A t (1.16) F F F x y z Zgoraj prikazani skalarni produkt predstavlja pravokotno projekcijo momentnega   vektorja 0 M na učinkovalnico enotnega vektorja e . Enaki rezultat lahko dobimo z t izračunom momenta na točko B (Slika 1.8).          MB  e  MB  e  (r  ) F  e  ((r  r )  ) F t t t B/ A t A B (1.17)    Moment r  F je pravokoten na enotski vektor e in zato je njegova pravokotna B t    projekcija na os t enaka 0. Izraz e  (r  ) F predstavlja mešani produkt treh t A vektorjev. Zato je moment sile na izbrano os zagotovo neodvisen od izbire točke na osi na katero ga računamo.    MB  M0  M  e  (r  ) F (1.18) t t t t A  V kolikor os t sovpada s koordinatno osjo z (Slika 1.9a) in sila F deluje v točki A na osi x, ki je za razdaljo d odmaknjena od koordinatnega izhodišča lahko navor na točko 0 izvrednotimo:      M0  r  F  d e  F (1.19) A x 0 0 1       M  e  (d e  ) F  e  (d e  ) F  d 0 0  d F (1.20) t t x z x y F F F x y z Fz z y Fy o Fx M t F z z z y F ey y F e y M z F t T z o r 0 e M x z z x et  rA M oy e  x d y y A e t x y z ex x  x F 0 0 x M ox (a) (b) (c) Slika 1.9: Sile in momenti v prostoru; (a) Moment na izbrano os t, ki sovpada s koordinatno osjo   e  e , (b) Moment na koordinatne osi x, y in z ter (c) Moment sile na poljubno os t v t z prostoru Statika 1 9 Ugotovimo lahko, da je moment na izbrano os t v prostoru enak produktu razdalje od  prijemališča sile od osi t ter velikosti projekcije sile F v normalo na ravnino, ki jo določata os t ter prijemališče sile oz. tč. A (Slika 1.9a ). Prav tako lahko ugotovimo, da je moment sile na poljubno os v prostoru, ki je vzporedna sili enak 0 .    Moment na poljubno os je definiran z mešanim produktom e  (r  ) F ter zato lahko t za osi t izberemo tudi posamezne koordinatne osi (Slika 1.9b) ter momente na tri med sabo pravokotne koordinatne osi izvrednotimo: 1 0 0    M  e  (r  ) F  x y z  yF  zF (1.21) x x z y F F F x y z 0 1 0    M  e  (r  ) F  x y z  zF  xF (1.22) y y x z F F F x y z 0 0 1    M  e  (r  ) F  x y z  xF  yF (1.23) z x y x F F F x y z Slika 1.9c prikazuje poljubno smer osi t v prostoru, ki poteka skozi koordinatno   izhodišče 0, smer premice določa enotski vektor e , določamo moment sile F s t prijemališčem v točki T s koordinatami (x ,y ,z) na os t oz. moment, ki vrti okrog izbrane osi. cos  cos  cos     M  e  (r  ) F  x y z  cos (yF  zF )  cos (  zF  xF )  cos (xF  yF ) t t z y x z y x F F F x y z (1.24)  Moment sile F na koordinatno izhodišče (Slika 1.9b) izvrednotimo:    e e e x y z       0 M  (r  ) F  x y z  e (yF  zF )  e (zF  xF )  e (xF  yF )  x z y y x z z y x F F F x y z (1.25)  0 M     0 0 0  x0  M e  M e  M e  M x x y y z z  y   0  Mz  Vidimo, da lahko moment sile na poljubno os t določimo tudi z izrazom: M  M0 cos   M0 cos   M0 cos  (1.26) t x y z Predznaki momentov na poljubne osi v prostoru so po definiciji pozitivni v kolikor so usmerjeni v smereh pozitivnih enotskih vektorjev na izbrane osi. Statika 1 10 1.5 Sistem delcev, notranje in zunanje sile, trdno in togo telo Pojem sistem masnih točk (delcev) označuje množico gibajočih se ali mirujočih delcev z masami m1, m2,.....,mn. Delci so lahko prosti ali pa so med sabo povezani z breztežnimi vezmi [2]. Med posameznimi delci sistema lahko delujejo le pari enako velikih in nasproti usmerjenih sil (Slika 1.10).   S  S  , i ( j  , 1 ,....., 2 n) (1.27) ij ji ki jih imenujemo notranje sile sistema. Notranje sile sistema lahko predstavljajo privlačne sile med posameznimi masnimi točkami (3. Newton-ov zakon) ter tudi notranje obremenitve elementov nosilnih konstrukcij, ki jih povzročajo zunanje obtežbe (sile teže – gravitacijska sila Zemlje, koristne obtežbe, potresne sile itd.).  Notranja sila obravnavanega sistema S je sila s katero delec z maso m ki k deluje na delec z maso mi. Posamezni delci (npr. delec mi) sam nase ne deluje in zato velja S  0, i(  ,1 ,...., 2 n) . (1.28) ii Hkrati z notranjimi silami lahko na posamezne delce sistema delujejo tudi zunanje sile F , i(  ,1 ,....., 2 n) . To so rezultantne sile vseh zunanjih vplivov na posamezne delce, ki i so lahko posledica vplivov neposrednega kontakta delcev iz okolice ter tudi posledice vpliva drugih sistemov na daljavo iz soseščine. m m k j Fk Sik -Fk mi m Ski n Fi F1 m m 1 2  Slika 1.10: Sistem masnih točk (delcev) ter pripadajoče zunanje sile F ter pari notranjih sil sistema i   S  S  ij ji Kadar ima sistem masnih točk (Slika 1.10) neskončno število delcev in med dvema poljubnima delcema vedno obstaja še vsaj eden dodatni delec lahko sklepamo, da so masni delci v sistemu zvezno porazdeljeni [2]. V takšnem primeru je masa posameznega delca zagotovo neskončno majhna. Sistem z zvezno porazdeljenimi masnimi delci je računski model telesa, ki mu pravimo kontinuum. Gradbene konstrukcije praviloma obravnavamo kot trdna telesa z zvezno (kontinuirano) porazdeljeno maso oz. materijo. Kadar se v trdnem telesu razdalje med posameznimi delci pri delovanju obtežb spreminjajo, govorimo o modelu deformabilnega telesa. Statika 1 11 Model nedeformabilnega ali togega telesa je model pri katerem so vezi med poljubnima delcema telesa povsem toge. Zato model togega telesa ne dovoljuje sprememb oblike in velikosti telesa. Oddaljenosti med poljubnimi (vsemi) delci togega telesa ostanejo pri delovanju poljubnih obremenitev sistema stalne oz. nespremenjene. V statiki preučujemo pogoje ravnotežja ter medsebojne vplive posameznih teles, ki se odražajo s kontaktnimi silami ali pa z učinki, ki se prenašajo na telesa na daljavo. Primer takšnih sil so gravitacijske in seizmične sile. Ker so notranje sile v telesih med sabo v ravnotežju zagotovo ne morejo vplivati na ravnotežje telesa oz. sistema teles. Delovanje nekega telesa na drugo telo se odraža z različnimi silami, ki so lahko:  - Točkovni vpliv oz. koncentrirana obtežba F , ki nastane kadar se dve telesi dotikata v eni sami točki. Takemu vplivu pravimo sila, njena merska enota je Newton (N).  - Linijska obtežba q nastane kadar se dve telesi dotikata vzdolž neke krivulje. Intenziteto takšno zvezne obtežbe izražamo z enoto Newton na meter dolžine kontaktne krivulje (N/m).  - Površinska obtežba p , ki lahko nastane kadar se dve telesi stikata vzdolž dela svojih zunanjih površin. Merska enota takšne obtežbe je Newton na kvadratni meter kontaktne površine (N/m2). - Prostorninska oz. volumenska obtežba   označuje silo, ki pripada enoti prostornine telesa ter deluje v težišču obravnavanega dela prostornine V telesa z mersko enoto Newton na kubični meter (N/m3). Točkovne, linijske, površinske in prostorninske obtežbe so namreč samo računski modeli za opisovanje medsebojnih vplivov posameznih teles. Točko v kateri sila deluje na telo imenujemo prijemališče sile. Smernica sile je premica, ki poteka skozi prijemališče sile in vzdolž katere sila deluje na telo. Sistem sil je množica vseh sil, ki delujejo na telo. Kadar imata dva sistema sil enaki vpliv na gibanje togega telesa pravimo, da sta mehansko oz. statično enakovredna. Rezultanto sistema sil predstavlja novi sistem sil z rezultantno silo in rezultantnim momentom, ki je statično enakovreden celotnemu sistemu sil, ki dejansko deluje na obravnavano telo. Določanju rezultantnega sistema sil pravimo sestavljanje sil. Razstavljanje sile pomeni določanje novega sistema sil, ki je statično enakovreden prvotni sili. 1.6 Inženirsko modeliranje Standardni postopek pri analizi inženirskih problemov vključuje naslednje faze: a) Vsaki problem skušamo idealizirati s pripadajočim enostavnim mehanskim in pripadajočim računskim modelom. V modelu skušamo upoštevati le tiste parametre, ki pomembno vplivajo na rezultate mehanskih izračunov (za obravnavani primer upoštevamo le najpomembnejše parametre realnega problema). b) Na osnovi sistemov enačb ali poznanih analitičnih rešitev opišemo zveze med najpomembnejšimi parametri problema. Tako mehanski problem prevedemo v matematičnega. Statika 1 12 c) Z upoštevanjem robnih in začetnih pogojev z matematičnimi sredstvi določimo rešitve problema z določitvijo neznanih parametrov bodisi v analitični ali v numerični obliki. d) Dobljene rešitve je nato potrebno kritično preveriti in oceniti predvsem z vidika ali smo v izbranem računskem modelu upoštevali vse bistvene prvine obravnavanega mehanskega problema kot tudi iz vidika pravilnosti matematičnih rešitev ter natančnosti dobljenih rezultatov. Zavedati se moramo, da je pomembna le tolikšna natančnost numeričnih rešitev kot so natančni podatki, ki jih v izračunih upoštevamo. Z vidika potrjevanja ustreznosti uporabljenega modela je potrebno pridobljene rezultate primerjati z rezultati eksperimentalnih raziskav in preizkusov ali z rezultati pridobljenimi z izračuni na drugih že uveljavljenih računskih modelih oz. tudi z različnimi računalniškimi programi. Pri izbiri računskih modelov so zlasti pri kompleksnih objektih potrebne bogate izkušnje projektantov ter upoštevanje znanstvenih spoznanj in izkušenj pridobljenih pri načrtovanju podobnih objektov. Tako v praksi realno deformabilno telo v nekaterih primerih obravnavamo kot sistem masnih točk, lahko tudi z modelom togega telesa, čeprav je še najustreznejši realni prostorski model deformabilnih teles. Slika 1.11 prikazuje primer AB stebra vpetega v AB preklado nad odprtino v opečnem zidu. Nedvoumno je v tem primeru najbolj realni 3D model deformabilnega telesa, kjer lahko upoštevamo triosni sistem morebitnih obtežb ter napetosti in deformacij v konstrukciji in podporah. Prav tako je zlasti v primerih h>>d2 in/ali d3>>d2 prej navedeni 3D model najbolj sprejemljiv oz. mehansko najustreznejši. b h d d d d d 1 2 3 2 1 (a) Statika 1 13 F togi nosilec F elastični nosilec deformirana os nosilca (b) (c) Slika 1.11: (a) AB prekladni 3D nosilec, ki prenaša obtežbo z AB stebrom preko preklade na obe podpori – opečna zidova; (b) 3D model prekladnega nosilca ter model obtežbe (stebra) in reakcijskih si v podporah (opečna zidova) v obliki enakomernih površinskih obremenitev ter (c) različna modela linijskega prekladnega nosilca (togo in deformabilno telo) z računskima modeloma obtežbe in podpor v obliki koncentriranih sil Slika 1.11b prikazuje 3D model AB prekladnega nosilca, vpliv vertikalnega stebra in vpliv podpor je v računskem modelu upoštevan s pripadajočimi gibkimi površinskimi obtežbami. Takšen model je vsekakor precej približen vendar sprejemljiv, saj so tako določene obremenitve 3D nosilca približno realne oz. celo večje od realnih oz. določenih na 3D modelu deformabilnega telesa. Slika 1.11c prikazuje še bolj poenostavljena računska modela prekladnega nosilca s togim in elastičnim modelom linijskega nosilca ter s poenostavitvijo računskega modela obtežbe in obeh podpor s koncentriranimi silami. Takšna poenostavitev je realna v kolikor je h<