Geometrija za nižje gimnazije Spisal BI. Matek, c. ter. gimnazijski profesor v Mariboru. Prvi del. V Ljubljani. Natisnila in založila Ig. pl. Kleinmayr & Fed. Bamberg. 1896 . '0 03CCO&ZZ& Vsebina Uvod. § 1. Geometrijski stvori. Telesa v naravi imajo različne lastnosti in znamenja, po katerih jih spoznavamo in razvrščujemo. Tako n. pr. zavzima vsako telo določen prostor, ima določeno podobo in lego, je iz neke posebne snovi, ki je težka, bolj ali manj trda in te ali druge barve i. t. d. Na vse to raznovrstne lastnosti istinitih teles se tukaj ne bomo ozirali, temveč ogledovati in preiskovati hočemo telesa le z ozirom na njihovo obliko, velikost in lego. Ce si mislimo telo, ki ima le to jedno lastnost, da zavzima določen prostor, dobimo pojem o geometrijskem telesu. Geometrijsko telo je na vse strani omejen prostor. Kocka je telo; razprostira se: 1.) od desne na levo (na dolžino), 2.) od spredaj navzad (na širino), 3.) od spodaj na¬ vzgor (na višino). Kakor kocka ima tudi valj, krogla in vsako drugo telo trojno glavno razsežnost: dolžino, širino in višino. Namesto besede «višina» rabimo pri nekaterih telesih besedo «globočina*, pri drugih pa besedo »debelina*. Meje telesu so ploskve. Kocko n. pr. omejuje šestero ravnih ploskev, valj dve ravni in jedna kriva, kroglo pa le jedna kriva ploskev. Vsaka ploskev se razprostira v dvojno glavno mer: od desne na levo (na dolžino) in od spredaj navzad (na širino), ali pa: od desne na levo V od spodaj navzgor (na višino). Oglej in primerjaj zgornjo in sprednjo ploskev na kocki! Da uvidimo dvojno glavno razsežnost krivih ploskev, treba je vsako tako ploskev v mislih primerno prerezati, jo raztegniti in zravnati. Primerjaj krivo ploskev na valji! Istinito in geo¬ metrijsko telo = der wirkliche und der geometrische Korper. Kocka = der Wiirfel. Dolžina = die Lange. Ši¬ rina = die Breite. Višina = die Hohe. Valj = der Cylinder. Krogla = die Kugel. Razsežnost = die Ausdehnung. Globočina = die Tiefe. Debelina = die Dicke. Ravna in kriva ploskev = die ebene und die krumme Flache. Razsežnost ravne in krive ploskve. Matek, Geom etrij a. 2 Črta = die Linie. Prema črta = die gerade Linie oder die Gerade. Rob = die Kante. Razsežnost preme in krive črte. Točka = der Punkt. Oglišče = der Eckpunkt. Razsežnost točke. Geometrijski stvor = das geo- metrische Ge- bilde. Geometrija = die Geometrie. Telesni vzorec = das Modeli. Slika = die Figur. Premikanje točke. Prema in kriva črta. Premikanje črte. Meje ploskvi so črte. Vsako kockino ploskev omejujejo štirje robi ali štiri robovne črte. Kockini robi so ravne ali preme črte. Valj ima dva kriva roba, to ste dve krivi črti. Krogla nima nobednega roba. V robovnih črtah stikate se po dve ploskvi. Kockin rob se razteza le v jedno mer, na dolžino. Tudi valjev rob ima le jedno razsežnost; da to uvidimo, treba je prerezati rob, raztegniti ga in zravnati. Meji črte ste točki. Vsak kockin rob omejuje dvoje oglišč, in to ste dve točki. V ogliščih se stikajo najmanj po tri ploskve. Oglej oglišča na kocki in na kakem drugem telesu! Kockina oglišča se ne raztezajo v nobedno mer: niso niti dolga, niti široka, niti debela. Točka nima nikttkoršne razsežnosti. Točke, črte, ploskve in telesa imenujemo geometrijske stvore. Kako geometrijski stvori nastanejo in katere lastnosti imajo, to nas uči geometrija. Geometrijski stvori so sami po sebi nevidljivi. Da si jib moremo predstavljati, v to nam služijo istinita telesa, ki se zovejo telesni vzorci, in pa slike. Telesni vzorci in slike niso geometrijski stvori, temveč so le njih znamenja ali podobe. Če pravimo, da rišemo ali načrtavamo geometrijske stvore, misliti si moramo, da načrtavamo prav za prav le znamenja ali podobe geometrijskih stvorov. § 2. Stvarjanje geometrijskih stvorov po premikanji. Ako se točka premika po prostoru, nariše črto. Črta je torej pot, katero pušča za seboj premikajoča se točka. Črte so preme in krive. Ako nariše premikajoča se točka premo črto, pravimo, da se točka premika vedno v isto mer; če pa nariše premikajoča se točka krivo črto, pravimo, da točka vedno izpreminja mer svojega premikanja. Ta dva izreka veljata tudi obratno, t. j. ako se točka premika vedno v isto mer, nariše premo črto; če pa točka vedno izpreminja mer svojega premikanja, nariše krivo črto. Ako se črta premika po prostoru, nariše ploskev. To premikanje se pa ne sme ujemati z ono m e rjo, v katero se razteza črta. 3 Ploskve so ravne in krive. Ravna ploskev se imenuje ravnina; v njej se dado na vse strani risati preme črte. Na krivi ploskvi ne moremo tega storiti. Tako n. pr. se dado na krivi ploskvi, ki se nahaja na valji, preme črte risati le v jedno mer; na krivi ploskvi pa, ki omejuje kroglo, ne moremo risati premih črt v nobedno mer. Ako se ploskev premika po prostoru, nariše telo. To premikanje se pa ne sme ujemati z nobedno onih merij, v katere se razprostira ploskev. Telesa so oglata in okrogla. Oglato telo omejujejo le ravne ploskve, okroglo telo pa ravne in krive, ali pa le krive ploskve. Primerjaj kocko, valj in kroglo! § 3. Deli geometrije. Geometrijske stvore je treba ločiti v ravninske in prostorske stvore. Ravninski stvori so tisti, ki ležijo po¬ polnoma v jedni ravnini; prostorskih stvorov si ne moremo misliti ležečih v jedni ravnini. Primerjaj črte in telesa! Nauk v ravninskih stvorih se imenuje ravninomerstvo ali planimetrija, nauk o prostorskih stvorih pa teleso- merstvo ali stereometrija. Planimetrija, § 4. Točka in prema črta. Točko predočujento z majhno piko, katero napravimo n. pr. s svinčnikom na papir ali s kredo na desko (tablo). Da zaznamujemo točko, zapisujemo zraven pike, ki jo predočuje, veliko latinsko črko ali arabsko številko. Primerjaj A t B 2 sliko 1.! Citaj: točka A , točka 1 i. t. d. Ravnina = die Ebene. Kriva ploskev. Premikanje ploskve. Oglato in okroglo telo = der eckige und der runde Korper. Ravninski in prostorski stvor = das ebene und das raumliche Gebilde. Ravninomerstvo = die Planimetrie. Telesomerstvo = die Stereometrie. Kako se točka predočuje in zaznamuje. 1 * 4 Presečišče = der Durchschnitts- punkt oder Schnittpunkt. Slika 3. Lega Skoz točko A (slika 2.) moremo narisati brez števila preme ute. p rem ih črt, in sicer v vse mogoče meri. Jedna točka torej premi črti ne določuje lege. Slika 2. . Skoz dve določeni točki A m B (slika 3.) da se narisati le jedna prema črta. Dve točki torej določujete premi črti lego popolnoma. Kadar imate dve premi črti jedno skupno točko, pravimo, da se sečete v tej točki; skupna točka se imenuje njiju presečišče. Primerjaj sliko 2.! Kadar imate dve premi črti dve skupni točki, pokrivate druga drugo; v tem slučaji smemo reči, da imamo prav za prav le jedno premo črto. Navpičen = ver- Ako primerjamo lego preme črte z ozirom na našo zemljo, tI “ 1, b^ontai™ raz l°čujemo na njej trojno mer, in sicer navpično ali verti- Poševen=schief. k a 1 n o, vodoravno ali horizontalno in poševno. Na¬ vpična prema črta ima mer niti, katero napenja na njej viseča kroglica. Vodoravna prema črta ima mer palčice, ki plava na mirni vodi. Vsaka prema črta, ki ni niti navpična niti vodo¬ ravna, je poševna (slika 4.). B Slika 4. vodoravna A C - E Slika 5. premica ali trak polu trak .daljica + B hF Premica ali trak = die Gerade oder der Strahi. Polutrak = der Halbstrahl. Daljica = die Strecke. Krajišče = der Endpunkt. Ako se pri premih črtah oziramo na omejitev v njihovi razsežnosti, delimo jih na premice ali trake, napolutrake in daljice. Premica ali trak je neomejena prema črta, ki nima niti začetka niti konca. Polutrak je na pol omejena prema črta, ki ima začetek, toda ne konca. Daljica je popolnoma omejena prema črta, ima začetek in konec. Točki, ki mejite daljico, imenujete se daljičini mej išči ali kraj išči. Polutrak ima le jedno krajišče; premica ali trak nima nobednega krajišča (slika 5.). 5 Da zaznamujemo premico, izberemo v njej dve katerikoli točki ter ju zaznamujemo s črkama ali številkama. Istotako zaznamujemo pri polutraku krajišče in katerokoli točko v njem, pri daljici pa obe krajišči. Stvore v sliki 5. čitamo tako le: premica ali trak AB, polutrak CD, daljica EF. Daljica, ki veže ali spaja dve določeni točki, imenuje se razdalja ali r a z s t o j tek dveh točk • v -i , -j , Slika 6. ter se zaznamuje včasih le z jedno malo latinsko črko, katero zapišemo zraven ,_£_ H daljice. N. pr. daljica r v sliki 6. Za risanje premih črt služi nam ravnilo. § 5. Primerjanje daljic. Ako položimo daljico AB (slika 7.) na daljico CD in vidimo, da krajišči A in B prve daljice pokrivate krajišči C in D druge daljice, pravimo: daljica AB je jednaka daljici CD, in pišemo: AB = CD (čitaj: daljica AB je jednaka CD). Znak = imenuje se j e dna čaj. Slika 7. Slika 8. Ako pa položimo daljico EF (slika 8.) na daljico GH in vidimo, da krajišče E pokriva krajišče G, krajišče F pa leži na neki točki daljice GH, ne pa na krajišče H te daljice, v tem slučaji pravimo : daljica GH je daljša ali večja nego daljica EF, in pišemo GH £> EF (čitaj : daljica GH je večja nego EF). Obratno je E F krajša ali manjša nego GH. v znakih: EF <£ GH (čitaj: daljica EF je manjša nego GH). Znak ali se imenuje nejednačaj. V votlino nejednačaja za¬ pišemo večjo daljico, pred vrh nejednačaja pa manjšo daljico. Da moremo daljice primerjati z ozirom na njih dolžino, v to nam služi šestilo, t. j. orodje, ki je sestavljeno iz dveh lesenih ali kovinskih palčic. Vsaka palčica se da vrteti okoli druge. Osti, v kateri se končujete palčici, ste dve točki, med katerima leži daljica določene dolžine. Zaznamovanje premih črt. Razdalja ali raz- stoj = die Ent- fernung oder der Abstand. Ravnilo = das Lineal. Jednake daljice. Jednačaj = das Gleichheits- zeichen. Nejednake daljice. Nejednačaj = das Ungleich- heitszeichen. Šestilo = der Zirkel. 6 § 6. Računanje z daljicami. Seštevanje in odštevanje dveh daljic. Množenje daljic. Ako podaljšamo daljico AB (slika 9.) za BC, dobimo novo daljico AC, ki je tolika, kolikoršni ste daljici AB in BC skupaj, ali daljica Al C je vsota Slika 9. daljic AB in BC, v znakih: AC — AB -j- BC (čitaj: A i- 1 - 1 C daljica AC je jednaka AB plus BC). Ako odvzamemo od daljice AC (slika 9.) daljico AB, ostane nam še daljica BC; BC je torej razlika daljic AC in AB, v znakih: BC ~ AC — AB (čitaj : daljica BC je jednaka AC minus AB). AC — BC — ? (slika 9.). Dve določeni daljici sešteješ, ako ju narišeš n. pr. na polu- trak tako, da se dotikate druga druge. Od daljice odšteješ daljico, ako načrtaš obe daljici na polutrak tako, da leži jedna na drugi; za kolikor gleda jedna izpod druge, to je razlika obeh daljic. Daljico AB (slika 10.) pomnožiš n. pr. s številom 6, ako načrtaš na polutraku šest jednakih daljic, ki so posamič jed- Slika 10. A r-' B D E F G H J C ,--1-1-1--1-1--> nalce AB. Tako je v sliki 10. AB = CD — DE = EF = FG — G H = HI, in daljica CI je šestkrat tolika kakor daljica AB, v znakih: CI= 6 AB (čitaj: daljica C/je jednaka 6krat AB). Ako primerjamo daljico CE daljici CI, uvidimo takoj, da je CI= 3 CE. Deljenje daljic. Obratno je n. pr. daljica AB četrti del (ali jedna četrtina) CGr daljice CG, v znakih: AB — —, ali: AB = \CG (čitaj : daljica AB je jednaka četrtemu delu ali jedni četrtini daljice CG). Daljica CE je polovica daljice CG, v znakih: CE = \CG. Razdeiišče = der Določeno daljico delimo s številom, ako jo razdelimo na Theiiungspunkt. t 0 ]ik 0 j e dnakih delov, kolikor jih kaže število. Točke, ki mejijo posamezne dele, imenujemo razdelišča. 7 Daljico razpoloviti se pravi, razdeliti jo na dva jednaka Razpoloviti, raz¬ dela. Razdelišče se v tem slučaji imenuje razpolovišče. bieren^Ražpoto- Tako je točka E razpolovišče daljice C G. A ko preiskujemo, kolikokrat se neka znana daljica da Merjenje daljic, načrtati na drugi določeni daljici, pravimo, da merimo zadnjo daljico s prvo. Tako se n. pr. nahaja daljica AB (slika 10.) v CH petkrat, v znakih: CH: AB - 5 (čitaj : v daljici CH se nahaja AB petkrat, ali obratno: AB se nahaja v CH petkrat). Daljica AB, s katero smo merili daljico CH, imenuje se Jednota doi- jednota dolgostne mere, in število 5, ki pove, kolikokrat * ostne ™ ere — se nahaja jednota dolgostne mere v daljici CH, zove se mersko Langeneinheit. število'daljice CH. M ), r “ vi ‘° = •> die Mafizahl. V javnem življenji služi nam za jednoto dolgostne mere Meter = das . IMctcr dolžina neke palice, ki se hrani na pariški zvezdami. Ta palica Decimeter = das Decimeter. Centimeter = das Meter (m) se deli na 10 decimetrov (dm) po 10 centi- Centimeter, metrov (cm) po 10 milimetrov (mm). ^Minimeter^ 8 1000 m je 1 kilometer (km), 10 km ali 10.000 m je Kilometer = das 1 minameter (um). Miriameter = Palice iz lesa ali kovine, na katerih je zaznamovana das * My j lameter ' dolžina jedne ali več dolgostnih jednot in pa nižji razdelki, der MaCstab. imenujejo se merila. se imenuje meter. Slika 11. o _i_2_3_a_s_ c 7 _8_9_10 Slika 11. predočuje merilo, na katerem je načrtana dolžina decimetra in njega razdelitev na centimetre in milimetre. Daljic, katere izmerimo v naravi, navadno ne načrtavamo na papir v njih pravi velikosti, nego v pomanjšanem merilu. Tako si lahko n. pr. mislimo, da nam predočuje daljica na papirji, ki je 1 cm dolga, daljico v naravi, ki je ali 1 m, ali 10 m, ali 50 m, ali 100 m, i. t. d. dolga. 8 Pomanjšano merilo = der verjtingte MaCstab. Krožnica = die Kreislinie. Krožnina = die Kreisflache. Krog = der Kreis. Obod = die Peripherie. Krogovo središče = der Kreis- mittelpunkt oder das Centrum. Polumer = der Halbmesser oder Radius. Središčna razdalja = der Gentralabstand. Tetiva = die Sehne. Slika 12. 2 3 i± 5 6 7 8 9 lOm Merila, na katerih so resnične dolgostne jednote zmanjšane, imenujejo se pomanjšana merila. Slika 12. kaže pomanj¬ šano merilo, na katerem pomenja dolgostna jednota 1 m , v resnici pa je le 1 cm dolga. § 7. Krog 1 . Ako se zavrti daljica AB (slika 13.) v ravnini okoli jednega svojih krajišč, n. pr. okoli A, tako daleč, da se povrne v svojo prvotno lego, nariše drugo krajišče B krivo črto, krožnico, daljica AB pa načrta ravno ploskev, ki se imenuje krožna ploskev ali krož¬ nina. Za besedi «krožnica® in «krožnina® rabimo pogo- stoma tudi besedo «krog®. Kedaj pomenja krog krožnico in kedaj krožnino, to določi v vsakem posebnem slučaji zveza, v kateri se nahaja beseda. Ker omejuje krožnica krožno ploskev, pravimo ji tudi obod ali periferija krožne ploskve. Vse točke, ki ležijo v krožnici, so jednako odda¬ ljene od točke A, okoli katere seje vrtela daljica AB. Ta točka se imenuje krogovo središče. Daljica, ki spaja krogovo središče s točko na obodu, zove se polumer. Vsi polumeri jednega in istega kroga so jednaki. Ako leži točka znotraj krožnice, je njena razdalja od krogovega središča (središčna razdalja) manjša od polu- mera; če pa leži točka zunaj kroga, je njena središčna razdalja večja od polumera. Daljica, ki spaja dve točki krogovega oboda, zove se tetiva. Vsaka tetiva, ki gre skoz krogovo središče, imenuje 9 Slika 14. se premer. Premer je dvakrat tolik kakor polumer. Vsi pre¬ meri jednega in istega kroga so jednaki. Dva kroga, ki imata jednaka polumera, sta jednaka; kajti ako položimo jednega na drugega tako, da središče pokriva središče, pokrivata tudi oboda drugi drugega. Dva kroga, ki imata različna polumera, imenujeta se nejednaka. Dveh nejed- nakih krogov ne moremo tako položiti drugega na drugega, da bi krog pokrival krog popolnoma. Premica, ki ima s krogom dve točki skupni, zove se sečnica ali se kanta; ona seče krog. Premica, ki ima s krogom le jedno točko skupno, imenuje se dotikalnica ali tangenta; skupni točki se pravi dotikališče (slika 13.). Vsak del krogovega oboda se imenuje lok. Dva loka istega kroga (ali jednakih krogov) moremo jednega drugemu primerjati kakor dve daljici. Ako položimo dva loka jednakih krogov drugega na drugega in vidimo, da se stikate kra- jišči jednega loka s kraj išči drugega loka, pravimo, da sta loka jednaka; če pa dveh lokov, ki imata jednaka polu¬ mera, ne moremo tako položiti jednega na drugega, da bi lok pokrival popolnoma lok, pravimo: loka sta nejednaka. Tako sta n. pr. loka AB in DE v sliki 14. jednaka, loka AB in CE pa nejednaka. Vsak premer deli krož- F nico in krožnino na dva jed¬ naka dela, ki se imenujeta polu kroga; kajti ako zavrtimo v sliki 14. spodnji polukrog AFE okoli premera AE, pokrije ta polukrog zgornji polukrog ACE. Vsaka tetiva, ki ni premer, deli krožnico na dva nejednaka loka in krožnino na dva nejednaka dela, ki se zoveta k rogova odseka ali segmenta. O manjšem loku in o manjšem od¬ seku pravimo, da pripadata tej tetivi. Obratno pripada tetiva loku in odseku, ki sto manjša od polukroga (slika 13.). Premer = der Durchmesser. Jednaki in nejed- naki krogi. Sečnica = die Secante. Doti¬ kalnica = die Tangente. Doti¬ kališče = der Be- ruhrungspunkt. Lok = derBogen. Jednaki in nejednaki loki. Polukrog = der Halbkreis. Krogov odsek = der Kreis- abschnitt oder das Segment. 10 Krogov izsek = der Kreis- ausschnitt oder Sector. Tetive in pripadajoči loki. Krogov odsek je krožninin del, katerega omejujeta tetiva in njej pripadajoči lok. Ako narišemo v krogu dva kakoršnakoli polumera, raz¬ delimo krožnico na dva nejednaka loka in krožnino na dva nejednaka dela, ki se imenujeta krogova izseka ali sek¬ torja. Manjši lok pripada manjšemu izseku, večji lok večjemu izseku, in obratno (slika 13.). Krogov izsek je krožninin del, katerega omejujeta dva polumera in med njima ležeči lok. Tetiva, ki pripada loku, spaja krajišči tega loka. Ako položimo dva jednaka loka drugega na drugega tako, da se stikate krajišči jednega loka s krajišči drugega loka (in to je pri jednakih lokih mogoče), potem pokrivate tudi lokoma pri¬ padajoči tetivi druga drugo. Primerjaj loka AB in DE v sliki 14.1 Jednakim lokom pripadajo jednake tetive. Obratno mora lok pokrivati lok jednakega polumera po¬ polnoma, ako pokrivate pripadajoči tetivi druga drugo; kajti če bi se to ne zgodilo, ne imele bi točke obeh lokov iste sre¬ diščne razdalje (slika 14.). Jednakim tetivam pripadajo v istem ali v jednakih krogih jednaki loki. § 8. Naloge. 1.) Poišči točko, ki ima od določene točke A znano razdaljo r (slika 15.)! Slika 15. Ako narišeš iz točke A več polutrakov ter preneseš na vsa¬ kega znano daljico r, določil si več točk B, C, D, i. t. d., ki imajo od A razdaljo r. Ker pa zamoreš iz točke A brez števila polutrakov narisati, dobiš tako po¬ stopajoč brez števila točk, ki zado¬ stujejo nalogi. Vse te točke ležijo v krogu, katerega načrtaš iz točke A s polumerom r. 11 Vsaka naloga, katera ima brez števila razrešitev, imenuje se nedoločena naloga. V to vrsto je postaviti tudi našo nalogo. Vsaka prema ali kriva črta, na kateri ležijo točke, ki za¬ dostujejo določenim pogojem, zove se geometrijsko mesto. Krog je torej geometrijsko mesto tistih točk, ki imajo od do¬ ločene točke A znano razdaljo r. 2. ) Poišči točko, ki ima od dveh določenih točk A in B znano razdaljo r (slika 16.)! Nariši iz točke A krog s polumerom r in iz točke B drugi krog z istim polu¬ merom ! Točki C in I), v katerih se sečeta kroga, imate od točk A in B razdaljo r ter zadostu¬ jete naši nalogi. Ako je razdalja točk A m B dvakrat tolika kakor daljica r , imata načrtana kroga le j e d n o skupno točko, in naloga se da rešiti le na j e d e n način. Ge je pa razdalja točk A in B večja od 2 r, nimata kroga nobedne skupne točke, in naloga se ne da rešiti na nobeden način. Vsaka naloga, katera ima določeno število razrešitev, imenuje se določena naloga. 3. ) Poišči točko, ki ima o d točke A razda 1 j o r in od točke B razdaljo pl Kje ležijo točke, ki imajo od A razdaljo r ? in kje tiste točke, ki imajo od B razdaljo p ? Katere točke zadostujejo naši nalogi? Je-li naloga določena ali nedoločena ? Kedaj ima naloga dve, in kedaj le jedno razrešitev? Kedaj je naloga nemogoča? 4. ) Načrtaj lok, ki je j e dna k določenemu loku AB (slika 17.)! Slika 16. r Nedoločena naloga = die unbestimmte Aufgabe. Geometrijsko mesto = der geo- metrische Ort. Določena naloga = die bestimmte Aufgabe. 12 Izmeri s šestilom polumer določenega loka AB ter načrtaj s tem polumerom lok CE\ Izmeri nadalje tetivo, ki pripada loku AB ter jo prenesi kot tetivo na lok CE od točke C do točke D ! Lok CD je potem jednak loku AB, v znakih: CD = AB (čitaj: lok CD je jednak AB)\ kajti jednakim tetivam pripadajo v jednakih krogih jednaki loki. Ločna stopinja = der Bogengrad. Merjenje loka z ločno mero. Ločna minuta = dieBogenminute. Ločna sekunda = die Bogen- secunde. Kvadrant = der Quadrant. Sekstant = der Sextant. Oktant = der Octant. Merjenje loka z dolgostno mero. Računanje z loki. § 9. Locna mera. Ako si mislimo krogov obod razdeljen na 360 jednakih delov, smatramo vsak tak del za jednoto ločne mere ter ga imenujemo ločno stopinjo (°). Da izmerimo določen lok, treba nam je preiskati, koliko¬ krat se nahaja ločna stopinja istega ali jednakega kroga v določenem loku. Število, katero to pove, imenuje se mersko število loka v ločni meri. Da moremo meriti tudi loke, manjše od ločne stopinje, razdelimo ločno stopinjo na 60 jednakih delov, t. j. na 60 ločnih minut ('), in 1' zopet na 60 jednakih delov, izmed katerih se vsak imenuje ločna sekunda (''). Z ločnimi stopinjami, minutami in sekundami merimo torej loke. Beseda «ločna» se dostikrat izpušča pri navedenih ločnih jednotah. Četrti del krogovega oboda se imenuje kvadrant, šesti del sekstant, osmi del pa oktant. Polukrog meri 180°, kvadrant 90°, sekstant 60° in oktant 45°. Lok si tudi lahko mislimo iztegnen in zravnan tako, da dobimo iz njega daljico. Če to storimo, merimo lok z dolgostno mero, t. j. z metri, decimetri, i. t. d. Število, katero pove, koli¬ kokrat se nahaja dolgostna jednota v določenem loku, imenuje se mersko število loka v dolgostni meri. Krogi različnih polumerov imajo v ločni meri isto mersko število, v dolgostni meri pa različna merska števila. Ravno tako, kakor računaš z daljicami, računaš tudi z loki jednakih polumerov. Ce ti je treba n. pr. dva loka jednakih polumerov sešteti, načrtaš krog istotolikega polumera ter pre¬ neseš določena loka na ta krog tako, da se dotikata drugi drugega. 13 § 10. Kot. Slika 18. Ako se polutrak AB (slika 18 .) vrti v ravnini okoli svojega krajišča A, nastane kot. Kot je velikost vrteža, ka¬ terega je treba, da pride polutrak iz svoje prvotne lege AB v kako drugo lego AC. Polu- traka AB in AC, katera tvo¬ rita kot, imenujemo kraka, njuno skupno krajišče AL vrh kota in ploskev med krakoma kotno ploskev ali k o t - nino. Kot zaznamujemo z majhno črko, katero zapišemo v kotnino blizu vrha, ali z d veliko črko ob vrhu, ali s tremi črkami, izmed katerih postavimo prvo in zadnjo h katerimakoli točkama v krakih, srednjo pa na vrh. Kotovo znamenje je <£. Kot v sliki 18 . imenujemo torej: kot m, ali: kot pri A, ali: kot BAC, ali: kot CAB, in pišemo: -^C ni, A, BAC ali CAB. Velikost kota sodimo po velikosti vrteža dotičnega polu- traka; čim dalje se vrti polutrak, tem večji je kot, ki je nastal. Dva kota, ki potrebujeta istotoliko vrteža, da nastaneta, ime¬ nujemo jednaka. Dva jednaka kota moremo zmerom tako jed- nega na drugega položiti, da pokrivata drugi drugega popolnoma. Izmed dveh nejednakih kotov je tisti večji, kateremu je treba več vrteža, da nastane. Polutrak se da v ravnini vrteti na dve nasprotni strani, ali na levo, ali na desno, t. j. v sliki 18 . proti l ali proti d. Vrtenje na levo (pozitivno vrtenje) in vrtenje na desno (nega¬ tivno vrtenje) pojasnjujemo si na ta-le način. Ako stopimo v mislih na ravnino, v kateri se vrti polutrak, in sicer tako, da gledamo v tisto mer, v katero se razteza polutrak, imamo vrtenje proti l na levi in vrtenje proti d na desni. Dva polutraka s skupnim krajiščem tvorita dva kota (slika 18 .); kajti polutrak AB spravimo v lego AC, ako ga zavrtimo prvokrat na levo in drugokrat na desno. Velikost vrteža na levo določuje jeden kot in velikost vrteža na desno drugi kot. Izmed teh dveh kotov mislimo zmerom na manjšega, Kot = der Winkel. Krak = der Schenkel. Vrh = der Scheitel. Kotnina = die Winkelflache. Zaznamovanje kota. Velikost kota. Jednaki in nejed- naki koti. Vrtenje na desno in na levo. Kota dveh polu- trakov. 14 kadar govorimo o kotu dveh polutrakov; večjega razumevamo le tedaj, kadar omenjamo to izrecno. Polni kot = (ter Kot, kateri nastane, ako se zavrti polutrak popolnoma iJegneiifTot 6 — °k°li svo jega krajišča, imenujemo polni kot; njegova kraka der gestreckte pokrivata drugi drugega. Kot, kateremu je treba le polovice otii^ko" 15 —der vl ’t e ^ a dotičnega polutraka, imenujemo iztegneni kot; nje- hohie Winkei. gova kraka ležita z ozirom na vrh v nasprotno mer. Vsak kot, 'deTerhabenr ki j e man J^ 0< i iztegnenega, imenuje se otel, vsak kot pa, winkei. ki je večji od iztegnenega, zove se izbočen. Otlemu kotu je treba manj, izbočenemu kotu več nego polovice vrteža do¬ tičnega polutraka (slika 19.). Slika 19. polni ko t •e iztegneni kot ■> o tli koti poševna kota Pravi kot = der Otle kote delimo na prave, ostre in tope. Pravi kot je OstrMcoT—-^er P°l oy i ca iztegnenega; da nastane, treba je četrtine vrteža dotič- spitze winkei. nega polutraka. Kot, ki je manjši od pravega, zove se oster, in kot, Jtumpfe^vnnkeT ki j e ve ^j' 0( 1 pravega, toda manjši od iztegnenega, imenuje se Poševni koti = topi kot. Ostremu kotu je treba manj ko četrtine, topemu kotu schiefe Wmkei. ye g toda man j k 0 polovice vrteža dotičnega polutraka. Ostri in topi koti imajo skupno ime «poševni koti* (slika 19.). Pravi kot zaznamujemo dostikrat s črko B; iztegneni kot je potem — 2 R, in polni kot = 4 B. 15 11. Kotna mera. Ako hočemo določen kot izmeriti, izberemo neki znani kot za jed n o to kotne mere ter preiskujemo, kolikokrat se jednota kotne mere na¬ haja v določenem kotu. Število, katero to pove, imenuj e se mersko število dotičnega k o t a. Jednoto kotne mere dobimo, ako raz¬ delimo pravi kot na 90 jednakih delov (slik.20.); vsak tak del je jednota kotne mere ter se zove kotna stopinja (°). Da moremo izmeriti tudi kote, ki so manjši od kotne stopinje, razde¬ limo 1° na 60 jednakih delov, to je na 60 kotnih minut ('), in 1' na 60 jednakih delov, katerim pravimo kotne sekunde (”). Beseda «kotna» se pogostoma izpušča pri navedenih kot¬ nih jednotah. Iztegneni kot meri 180°, polni kot 360°, ostri kot manj ko 90°, topi kot več ko 90° in manj ko 180°, izbočeni kot pa več ko 180°. Jednota in mersko število kotne mere. Kotna stopinja = der Winkelgrad. Kotna minuta = die Winkelminute. Kotna sekunda =7die Winkelsecunde. Merjenje kotov po navedenem načinu je neposredno in se rabi le redkokedaj. Kote merimo navadno posredno, t. j. s pomočjo lokov, ki ležijo med njih kraki. Kako se zvršuje to merjenje, spoznali bomo iz naslednjega. Kot, katerega vrh leži v središči kroga, imenuje se o b - Obsrediščni kot središčni kot, n. pr. kot AOB v sliki 21. Ker utegnemo = ^ nl C j nt "' vrh vsakega kota smatrati za središče nekega kroga, zato se da vsak kot misliti kakor obsrediščni kot. V to svrho treba je le iz vrha dotičnega kota načrtati krog s kakoršnimkoli polu- merom. O loku, ležečem med krakoma obsrediščnega kota, pravimo, da pripada kotu. 16 Jednaki obsre¬ diščni koti in njim pripadajoči loki. Meijenje kotov s pomočjo pripada¬ jočih lokov. Slika 21. Ako sta dva obsrediščna kota m in n jednaka (slika 21.) in ako zavrtimo kot m okoli kraka OB, pokrili bomo s kotom m kot n popolnoma; kajti če bi se to ne zgodilo, ne mogla bi biti kota m in n jednaka. Ce pa kot m pokriva kot n, mora tudi lok AB pokrivati lok BC; kajti vse točke lokov AB in BC so od središča O jednako oddaljene. — Ako sta obratno loka AB in BC, ki pripadata obsre- diščnima kotoma m in n, jednaka, in ako zavrtimo kot m okoli kraka OB, pokrili bomo z lokom AB lok BC, in sicer zato, ker sta ta dva loka jednaka. Če pa loka pokrivata drugi drugega, pokriva točka A točko C, in krak O A pokriva krak OC, t. j. kot m pokriva kot n. Iz navedenega umovanja smemo sklepati: J e d n a k i m obsrediščnim kotom p r i p a d a j o v istem ali v jednakih krogi h .j ednaki loki; obratno p r i p a d a j o j e d n a k i m lokom v istem ali v jednakih krogih jednaki obsrediščni koti. Ako vrtimo daljico OA (slika 21.) v ravnini okoli kra- jišča O tako, da pride s časoma v lege OB, OC, OD, i. t. d., načrtuje krajišče A med tem vrtenjem lok, vrteča se daljica pa tvori v svoji vsakratni legi s prvotno lego obsrediščni kot; lok in kot pripadata drugi drugemu in sta tem večja, za čim več smo zavrteli daljico. Ako zavrtimo daljico do njene prvotne lege, dobimo največji lok, t. j. obod, in največji kot, ki je ob središči mogoč, t. j. polni kot. Ako razdelimo potem v mislih krogov obod na 360 jednakih delov in spojimo ta razdelišča s krogovim središčem, dobimo na obodu 360 ločnih stopinj in okoli krogovega središča 360 obsrediščnih kotov. Ti koti tvorijo skupaj polni kot in so med seboj jednaki, ker pripadajo jednakim lokom; vsak izmed njih je torej jednak kotni stopinji. Ker torej pripada vsaki ločni stopinji kotna stopinja, smemo trditi, da meri n. pr. obsrediščni kot AOB (slika 21.) ravno toliko kotnih stopinj, kolikor meri pripadajoči lok AB ločnih stopinj. Kar velja o ločnih in kotnih stopinjah, velja tudi o ločnih in kotnih minutah in sekundah. Mersko število določenega kota je torej vedno jed¬ nako merskemu številu pripadajočega loka, in v tem smislu pra¬ vimo : lok je mera pripada j očega obsrediščnega kota. 17 Slika 22. Kadar ni treba posebne natančnosti, merimo kote, oziroma njim pripadajoče loke, s kotomerom ali transporterjem. Kotomer je polukrog (napravljen iz lepenke ali kake kovine), ki je razdeljen na stopinje (slika 22.). Rob AB je polukrogov premer, in točka O v njem (namesto točke O včasih tudi za¬ reza) je polukrogovo središče. Ce hočemo izmeriti določen kot, položimo na njega kotomer tako, da se točka O stika z vrhom dotičnega kota in da pokriva rob AB jeden krak. Mersko število loka, ležečega med krakoma dotičnega kota, je tudi mersko število pripadajočega kota. § 12. Računanje s koti. Slika 23. 1.) Prenesi določeni kot m (slika 23.)! Načrtaj s katerimkoli polumerom kotu m pripadajoči lok AB ter nariši z istim polumerom drug [lok! Na ta lok prenesi lok AB od točke C ,do točke D in spoji točki C in Z) s sre¬ diščem loka CD ! Kot COD je potem jednak kotu m ; kajti jednakim lokom pripadajo v jednakih krogih jednaki obsrediščni koti. Kotomer = der Transporteur. Matek, Geometrija. 2 18 Slika 24. A C 2.) Seštej določena kota m in n (slika 24.)! Načrtaj kotoma m in n pripadajoča loka AB in CD jed- nakih polumerov ter prenesi ta dva loka na drug lok nedoločene dolgosti in istega polumera tako, da se dotikata drugi drugega! V sliki 24. je EF — AB, FG — CD\ torej -$C EOF = m, FOG = n in EOG = m -j- n. 3.) Odštej kot n od kota m (slika 25.)! To nalogo razrešiš, ako odšteješ določenima kotoma pri¬ padajoča loka. V sliki 25. je EF = AB, EG = CD- torej <£ EOF = m, EOG = m in GOF — m — n. 4.) Pomnoži določeni kot m s številom 5 (slika 26.)! Načrtaj kotu m pripadajoči lok ter ga prenesi na drug lok istega polumera 5 krat! V sliki 26. je CD — DE = EF — FG = GH — AB ; torej <£ COH = 5 m. Slika 25. Slika 26. 19 Slika 27. 5.) Izmeri kot m s kotom n (slika 27.)! Načrtaj kotoma n in m pripadajoča loka AB in CD ter poišči, kolikokrat se lok AB nahaja na loku CDl V sliki 27. je CE — EF — FD = AB] torej ^ m: n — 3. 6.) Razdeli kot m na 4 jednake dele (slika 28.)! Izmeri s kotomerom lok AB, ki pripada kotu m, raz¬ deli dobljeno mersko število loka AB na 4 jednake dele, potem načrtaj s pomočjo ko- tomera te dele na lok AB ter spoji dobljena razdelišča z vrhom 0 ! V sliki 28. je AOC = i 3C AOB. Slika 28. § 13. Sokoti in sovršni koti. Ako podaljšamo kotu AOB (slika 29.) jeden krak čez vrb, n. pr. O A, dobimo nov kot BOC, ki se imenuje sokot kota AOB. Obratno je kot AOB sokot kota COB. Sokota imata isti vrh in jeden skupen krak, druga kraka pa ležita v nasprotno mer in tvorita premico. Kakšen kot tvorita dva sokota skupaj? Vsota dveh sokotovje jednaka dvema pravima ko torna ali 180°, v znakih: ^ AOB -j- BOC — 2 R — 180°. Sokot pravemu kotu je prav, ostremu top in topemu oster. 2 * Sokot = derNebenwinkel. Pojasnilo. Lastnost dveh sokotov. 20 Sovršni kot = der Scheitel- winkel. Pojasnilo. Lastnost dveh so vršnih kotov. Komplementarni koti = comple- mentare Winkel. Suplementarni koti = supple- mentare Winkel. Vzporedne premice = paral- lele Geraden. Vzporednica = die Parallele. Vzporedne daljice in vzpo¬ redni polutraki. .Tednaki koti imajo jednake sokote. Ako podaljšamo kotu a (slika 30.) oba kraka čez vrh, dobimo nov kot c, ki se z ozirom na kot a imenuje sovršni kot. Obratno je kot a sovršen z ozirom na kot c. Dva sovršna kota imata isti Slika 30. vrb, kraka jednega kota pa sta ^ podaljška krakov drugega kota. y Sovršna kota a in c sta jed- c '_v/a naka, ker je vsakemu izmed njiju kot b (ali d) sokot. *■'' Koliko dvojic sokotov, in koliko dvojic sovršnih kotov se nahaja v sliki 30.? Kakšen kot tvorijo koti a, b, c, d (slika 30.) skupaj? Po dva sovršna kota sta drugi drugemu jednaka. Vsota vseh kotov, ki ležijo v ravnini okoli iste točke, jednaka je štirim pravim kotom ali 360°. Po dva kota, katerih vsota znaša 90°, imenujeta se komplementarna kota. Tako sta kota 30° in 60° komple¬ mentarna kota; kot 20° je komplementaren kotu 70° in obratno. Po dva kota, katerih vsota znaša 180°, imenujeta se suplementarna kota. Tako sta kota 45° in 135° suple- mentarna kota; kot 60° je suplementaren kotu 120° in obratno. Po dva sokota sta vedno suplementarna, dva suplementarna kota pa nista vsigdar sokota. Zakaj ne? Jednaki koti imajo jednake komplementarne in jednake suplementarne kote. § 14. Medsebojna lega premih črt. Ako se dve premici v ravnini nikjer ne snidete, pravimo: premici imate isto mer, ali: premici ste vzporedni (vzpo¬ rednici). Da ste premici AB in CD v sliki 31. vzporedni, za¬ pišemo tako-le: AB \ CD (čitaj: AB je vzporedna s CD). Dve daljici imenujemo vzpo¬ redni, ako se podaljšani nikjer ne snidete. Tudi dva polutraka utegneta biti vzporedna, in sicer v isto mer, ali v nasprotno mer. Tako sta polutraka EF in GH Slika 31. A <-> B C < -► D 21 Slika 32. (slika 32.) vzporedna v isto mer, IK in L M pa vzporedna v nasprotno mer. Ako se snidete dve premici v ravnini, pravimo: premici imate različno mer, ali: premici ste nevzporedni (nevzpo- rednici), ali: premici se sečete. Točka, v kateri se premici stikate, imenuje se njiju presečišče. Dve ne- vzporednici se na jedni strani druga drugi bli¬ žate (ste primični), na nasprotni strani pa se druga od druge od¬ daljujete (ste odmični). Primerjaj sliko 33.! Kar velja o ne- vzporednih premicah, velja tudi o nevzporednih daljicah in polutrakih. Dve sekajoči se premici tvorite štiri kote (slika 34.). Ako poznamo jednega izmed teh kotov, n. pr. kot a, izračunamo prav lahko vse druge kote; kajti kotu a sta b in d sokota, c pa mu je sovršni kot. če kot a izpremeni svojo velikost (da postane večj i ali manjši), izpremenijo tudi ostali koti b, c in d svoje velikosti, toda njih lega z ozirom na kot a ostane ista, t. j. b in d ostaneta kotu a sokota in c sovršni kot. Medsebojna lega dveh nevzporednih premic je torej zavisna le od jednega izmed navedenih štirih kotov. Ta kot se imenuje naklonski kot dveh premic; on določa, za koliko ste premici nagneni ali naklonjeni druga proti drugi. Naklonski kot dveh premic Slika 34. Slika 33. Nevzporedne premice = nichtparallele Geraden. Nevzporednica = die Nichtparallele. Primičen = con- vergierend. Odmičen = divergierend. Koti dveh sekajočih se premic. Naklonski kot = der Neigungsvvinkel. 22 Pravokoten = senkrecht oder normal. Pravokotnica = die Senkrechte oder Normale. Pojasnilo. Lastnosti vzpo¬ rednih premic. je manjši izmed nejednakih kotov; v sliki 34. je torej kot a ali c naklonski kot načrtanih dveh premic. Ako je naklonski kot dveh premic pravi kot, pravimo, da stojite premici druga na drugi pravokotno; vsako izmed njiju imenujemo pravokotnico Slika 35. z ozirom na drugo. V sliki 35. C stoji CD pravokotno na AB in obratno, v znakih: CD A AB (čitaj: CD stoji pravokotno na AB). Ce pa je naklonski kot dveh premic oster, pravimo: D premici stojite poševno druga na drugi. Tudi dve daljici (ali dva polutraka) utegnete stati druga na drugi pravokotno ali poševno. Ako se porniče jedna izmed dveh sekajočih se premic, n. pr. AB v sliki 36., iz svoje prvotne lege AB tako, da drči po drugi premici CD in da med Slika. 36 tem pomikanjem ne izpreminja svoje prvotne meri, pravimo: premica AB se porniče vzpo¬ redno sama s seboj. V vsaki novi legi, kakor n. pr. v legi EF ali GH, je premikajoča se pre¬ mica vzporedna s svojo prvotno lego AB , in vse posamezne lege premice AB so vzporedne med seboj. Tako je EF || AB, GH \| AB in EF || GH. Ako ste dve premici ® vzporedni s tretjo, vzpo¬ redni ste tudi med seboj. Skoz točko J, ki leži zunaj premice AB (slika 36.), da se misliti le jedna vzporednica z AB\ kajti vsaka premica, ki gre skoz J in ne pokriva premice EF\ ima različno lego in mer od EF, torej tudi različno mer od AB, in ne more biti vzporedna z AB. Skoz točko, ki leži zunaj določene premice AB, da se misliti le jedna vzporednica z AB. 23 Ker premica AB (slika 36.) ne izpreminja svoje meri, če se porniče vzporedno navzgor, zato tudi koti, katere tvorite premici AB in CD, ne izpreminjajo med tem pomikanjem svoje velikosti. Torej je a — e = i, b = f — k, i. t. d. Koti, katere tvorite dve sekajoči se premici, ne izpreminjajo svoje velikosti, ako se jedna izmed teh premic porniče vzporedno po drugi. § 15. Protikoti, izmenični koti in prikoti. Ob vsaki premici ločimo dvojno stran, zgornjo in spodnjo, Pojasnilo, ali levo in desno stran. Primerjaj sliko 37.! Vsaka premica, ki seče dve ali več premih črt, imenuje Prečnica = die se njih prečnica, n. pr . EF v sliki 38.; premice, katere Transversale seče prečnica, zovejo se presekane premice, kakor AB in CD v sliki 38. Slika 37. Slika 38. Ako seče premica EF dve drugi premici AB in CD (slika 38.), nastane okoli obeh presečišč osem kotov. Med njimi ločimo kote z istim vrhom od kotov z različnimi vrhi. Med koti z istim vrhom se nahajajo sokoti in sovršni koti; njih lastnosti že poznamo. Izmed kotov z različnimi vrhi imajo nekatere dvojice posebna imena in v določenih slučajih po¬ sebne lastnosti. 1. ) Kota a in e ležita na isti strani prečnice in na istih Protikot = der straneh presekanih premic. Taka dva kota imenujemo protikota. Ge = emv,nkel - 2. ) Kota a in h (ali c in /) ležita na različnih straneh izmenični kot = prečnice in na različnih straneh presekanih premic. Taka dva WechBe iwinkei. kota se zoveta izmenična kota. 24 Prikot = 3.) Kota a in g (ali c in e) ležita na isti strani prečnice dei • Anwmkei. j n na raz iig n jp straneh presekanih premic. Taka dva kota imenujemo prikota. Koliko dvojic protikotov, izmeničnih kotov in prikotov se nahaja v sliki 38. ? Imenuj te dvojice! Ako ste presekani premici AB in CD (slika 38.) vzpo¬ redni, in ako si mislimo, da drči AB vzporedno po EF proti CD, pokriti mora konečno premica AB premico CD. Ker med tem pomikanjem ne izpreminjajo na AB ležeči koti svoje velikosti, pokrijejo torej protikoti drugi drugega, izmenični koti preidejo v sovršne kote in iz prikotov postanejo sokoti. Zato smemo reči: Lastnosti proti- Po dva protikota, ležeča na vzporednicah, sta izmen^hkotov J ednaka ' in prikotov na p 0 dva izmenična kota, ležeča na vzpored- vzporednicah. . , . , , nicah, stajednaka. Po dva prikota, ležeča na vzporednicah, sta suplementarna. Protikoti, izmenični koti in prikoti, ki ležijo na nevzpo- rednicah, nimajo navedenih lastnostij. Kedaj Ako drči jedna izmed dveh sekajočih se premic tako po St ° d premid kam drugi ( AB po EF v sliki 38.), da ne izpreminjajo koti, katere vzporednici, tvorite premici, svoje velikosti, mora premikajoča se premica ostati vzporedna s svojo prvotno lego; kajti če bi se to ne zgodilo, ne mogli bi koti ohraniti svoje prvotne velikosti. Med navedenim pomikanjem pa preidejo prvotni sovršni koti v jednake izmenične kote, nekatere dvojice sokotov v suplemen- tarne prikote, in vsakemu prvotnemu kotu nastane jednak protikot. Pimerjaj sliko 38.! Iz navedenega sklepamo: Dve premici ste vzporedni, ako tvorite s svojo prečnico jednake protikote ali jednake izmenične kote ali suplemen- tarne prik ote. Opiraje se na ta izrek, načrtaš skoz točko N, ki leži zunaj določene pre¬ mice LM (slika 39.), vzporednico z LM tako¬ le. Načrtaj skoz N pre¬ mico, ki seče LM v točki 0, ter nariši v točki N kot ONP — NOL\ Ker sta navedena kota izmenična in jednaka, mora biti NP || LM. Slika 39. Kako načrtaš vzporednico skoz določeno točko. > P * M 25 Mislimo si dve premici AB in CD, ki stojita na tretji premici EF pravokotno (slika 40.)! Kota a in b sta potem prava kota in zato jednaka. Kota a in b sta pa tudi proti- kota in ker sta jednaka, morate premici AB in CD po prejšnjem izreku biti vzpo¬ redni. Dve premici, ki stojite na tretji pravo¬ kotno, ste vzporedni. Ako ste dve premici AB in CD (slika 40.) vzpo¬ redni, sta protikota a in & jednaka. Ce stoji nadalje AB pravokotno na EF, je kot a pravi kot; potem je pa tudi b pravi kot, in premica CD stoji pravokotno na EF. Ako stoji j e d n a izmed teh vzporednic pravo¬ kotno na kaki premici, stoji tudi druga na nji pravokotno. Slika 40. A C -> F § 16 . Koti z vzporednimi kraki. Načrtujmo dva kota m in n, ki imata vzporedne krake v isto mer! V sliki 41. je krak AB vzporeden z DE v isto mer in is to tako AC\\ D F. Ako podaljšamo nevzporedna kraka AB in D F tako daleč, da se torna m in n protikot. Proti¬ kota m in z ležita na vzpo¬ rednicah in sta zato jednaka; iz istega razloga sta tudi kota n in z jednaka. Ce sta pa kota m in n posamič jednaka kotu z, morata tudi med seboj biti jednaka. Dva kota, kiimata vzporedne krake v isto mer, sta jednaka. Ako podaljšamo kotu m dobimo kot p, ki je kotu m sečeta, dobimo kot z, ki je ko- Slika 41. C / n „ j)L --»E (slika 41.) oba kraka čez vrh, so vršen. Ker sta so vršna kota Lastnosti pravokotnic in vzporednic. 26 Lastnosti dveh kotov z vzpored¬ nimi kraki. Trikotnik = das Dreieck. Lik — die Figur. Stranica = die Seite. Oglišče = der Eckpunkt. Obseg = der Umfang. Ploščina = der Flacheninhalt. Notranji kot = der Innenvvinkel. m in p drugi drugemu jednaka, in ker je po prejšnjem izreku kot m jednak kotu n, morata torej tudi kota p in n biti jednaka. Ta dva kota pa imata vzporedne krake v nasprotno mer. Zato smemo reči: Dva kota, ki imata vzporedne krake v na¬ sprotno mer, sta jednaka. Načrtajmo dva kota a in b, pri katerih je jedna dvojica krakov vzporedna v isto mer, druga dvojica krakov pa vzpo¬ redna v nasprotno mer! V sliki 42. sta kraka LN in OR vzporedna v isto mer, kraka LM in OP pa vzporedna v nasprotno mer. Ako podaljšamo nevzpo- redna kraka LM in OR, nastane kot c, kije kotu b protikot in kotu a prikot. Protikota b in c sta jed¬ naka, ker ležita na vzpo¬ rednicah ; iz istega razloga sta prikota a in c suplementarna. Ker se da kot c zameniti s kotom b , smemo torej trditi, da sta kota a in b suplementarna. Dva kota, katerima je jedna dvojica krakov vzporedna v isto mer, druga dvojica krakov pa vzporedna v nasprotno mer, sta suplementarna. Slika 42. 17. Trikotnik v obče. Slika 43. C Ako spojimo tri točke v ravnini, ki ne ležijo v jedni in isti premici, stvorimo raven lik, ki mu je ime trikotnik (slika 43.). Daljice AB, BC in CA se zovejo stra¬ nice, točke A, B in C oglišča, vsota vseh stranic se zove obseg, in ravna ploskev, katero meje stra¬ nice, ploščina trikotni¬ kova. V vsakem oglišči se stikate po dve stranici in tvorite kot, ki se imenuje notranji trikotnikov kot. J 27 Trikotnik ima šestero sestavin, tri stranice in tri notranje kote. Oglejmo si medsebojno lego teh sestavin! N. pr. Na stranici AB ležita kota a in b, tretji kot c pa leži stranici AB nasproti. Kot a oklepate stranici AB in AC, tretja stranica BC pa leži kotu a nasproti i. t. d. Vsaki trikotnikovi stranici sta dva kota priležna, tretji kot pa ji leži nasproti; vsak kot oklepate dve stranici, tretja stranica pa mu leži nasproti. Stranica in njej nasprotni kot se imenujeta nasprotni trikotnikovi sestavini. Imenuj vse nasprotne sestavine v sliki 43.! Trikotnik si utegnemo v mislili postaviti na vsako stra¬ nico; to stranico zovemo potem osnovnico. Osnovnici na¬ sprotno oglišče imenujemo vrh in pravokotnico, spuščeno z vrha na osnovnico (včasih na podaljšano osnovnico), višino trikotnikovo. Ako si mislimo trikotnik ABC (slika 43.) po¬ stavljen na AB, je AB osnovnica, C vrh in CD višina. Ako podaljšamo v trikotniku katerokoli stranico, n. pr. AB, čez oglišče (slika 43.), nastane nov kot d, ki se zove vnanji trikotnikov kot. Notranji kot b mu je priležen in sokot, notranja kota a in c pa sta mu nepriležna ali nasprotna. Vnanji trikotnikovi koti so sokoti notranjih kotov. § 18. Razmere med trikotnikovimi stranicami. Ravna ali prema pot med dvema točkama je krajša ko katerakoli druga pot. Tako je n. pr. v trikotniku ABC (slika 44.) prema pot med A in B krajša, ko pa pot na ovinek od A čez C do B. V prvem slučaji pre- korakamo stranico AB, v drugem pa stranici A C in CB. Iz tega iz¬ vajamo izrek: V vsakem tri¬ kotniku je jedna stranica manjša od vsote drugih dveh stranic, v znakih: AB AB — BC. V vsakem trikotniku je j e d n a stranica večja od razlike drugih dveh stranic. Z ozirom na dolgost stranic razvrščamo trikotnike: 1. ) na j ednakostranične, katerih stranice so vse jednake; 2. ) na jednakokrake, v katerih ste le dve stranici jednaki; 3. ) na raznostranične, katerih nobedna stranica ni drugi jednaka. V jednakokiukem trikotniku imenujemo obe jednaki stra¬ nici navadno kraka, nejednako stranico pa osnovnico. Slika 45. C F j V sliki 45. predočuje lik I. jednakostranični, lik II. jednako¬ kraki in lik III. raznostranični trikotnik. Imenuj osnovnico in vrh vsakega teh trikotnikov! Imenuj kraka trikotnika II.! Jednakostranični trikotnik ABC (slika 45. I.) načrtaš, ako narišeš iz točk A in B s polumerom, ki je jednak osnovnici AB, dva loka ter spojiš presečišče C teh lokov s točkama A in B. Jednakokraki trikotnik DEF (slika 45. II.) načrtaš, ako narišeš iz točk D in E s polumerom, ki je različen od osnovnice DE (toda večji ko polovica od DE), dva loka ter spojiš pre¬ sečišče F teh lokov s točkama D in E. I 29 § 19. Razmere med trikotnikovimi koti. Ako podaljšamo v trikotniku ABC (slika 46.) stranico AB čez oglišče B in načrtamo BE AC, razdelimo vnanji trikot¬ nikov kot d na dva dela m in n, katera hočemo primerjati notranjima kotoma a in c. Kota a in m sta protikota, ležeča na vzporednicah AC in BE in zato jednaka; kota c in » sta izmenična kota, ležeča na istih dveh vzpored- Slika 46. nicah in zato tudi jed¬ naka. Imenuj prečnico za kota a in m, potem za kota c in n ! Koti m, n in b tvorijo skupaj iztegneni kot. Primerjaj sliko! Ker je kot m jednak a, in kot n jednak c, znaša torej vsota kotov m, n in b ravno toliko, kolikor vsota kotov n, c in b, t. j. 180° ali dva prava kota, v znakih: a -\- c b = 180° = 2 B. V vsakem trikotniku znaša vsota notranjih Lastnost treh kotov 180° ali dva prava kota. Ker je kot m — a in kot n — c (slika 46.), znaša vsota kotov m in n istotoliko, kolikor vsota kotov a in c, t. j. v znakih: d = m -j- n — a -j- c. Vnanji trikotnikov kot je jednak vsoti notra¬ njih njemu nepriležnih kotov. Ako podaljšamo v trikotniku vse stranice v istem smislu čez oglišča (slika 47.), dobimo tri vnanje kote d, e in f. Ti koti tvorijo z notra¬ njimi koti b, c in a tri dvojice sokotov, t. j. šest pravih kotov. Ker notranji koti znašajo za se dva prava kota, ostanejo še štirje pravi koti za vse vnanje kote. Vsota vseh vnanjih trikotnikovih kotov znaša Lastnost vseh štiri prave kote ali 3 60°. ToTih kotv”’ notranjih trikot¬ nikovih kotov. Lastnost vnanjega trikot¬ nikovega kota. Slika 47. so Ostrokotni tri¬ kotnik = das spitzwinklige Dreieck. Pravokotni tri¬ kotnik = das rechtwinklige Dreieck. Topokotni tri¬ kotnik = das stumpfwinklige Dreieck. A Hipotenuza = die Hypotenuse. Kateta = die Kathete. Poševnokotni trikotnik = das schiefwinklige Dreieck. Lastnost pravo¬ kotnega trikot¬ nika glede kotov. Ker znaša vsota vseh notranjih trikotnikovih kotov 180°, zato ni mogoče, da bi v trikotniku bila dva topa, ali dva prava kota, ali jeden topi in jeden pravi kot. Dva notranja kota morata torej biti vedno ostra, tretji pa utegne biti oster, prav ali top. V tem oziru razvrščamo trikotnike: 1.) na ostro- kotne, 2.) na pravokotne, 3.) na topokotne. V ostro- kotnem trikotniku so vsi koti ostri; v pravokotnem sta dva ostra, jeden pa je prav; v topokotnem sta dva ostra, jeden pa je topi kot. V sliki 48. predočuje lik I. ostrokotni, lik II. pravokotni in lik III. topokotni trikotnik. Slika 48. V pravokotnem trikotniku imenujemo stranico, ki leži pravemu kotu nasproti, hipotenuzo, stranici pa, ki oklepate pravi kot, kateti. Imenuj hipotenuzo in kateti trikotnika II.! Vsak trikotnik, v katerem ni nobednega pravega kota, imenuje se poševnokotni trikotnik. Katere trikotnike pri¬ števamo torej poševnokotnim? Ostra kota pravokotnega trikotnika sta kom¬ plementarna. Zakaj ? Ako je v trikotniku jeden notranji kot jednak vsoti drugih dveh notranjih kotov, je trikotnik pravokoten. Zakaj? § 20. Razmere med trikotnikovimi stranicami in koti. Načrtajmo jednakokraki trikotnik ABC (slika 49.) in pri¬ merjajmo kota a in b, ki ležita jednakima stranicama CB in CA nasproti! V ta namen vzdignimo v mislih jednakokraki tri¬ kotnik ABC ter ga obrnimo in položimo na prvotni trikotnik tako, da pokriva kot c obrnenega trikotnika kot c v prvotnem 31 trikotniku. Potem leži krak CB na kraku CA in krak CA na kraku CB. Ker sta kraka CB in CA jednaka, pokriva točka B točko A in točka A točko B; osnovnica BA obrnenega trikot¬ nika leži torej na osnovnici AB prvotnega trikotnika, in kota a in b pokrivata drugi drugega ter sta zato jednaka. V vsakem trikotniku ležijo jednakim stranicam jednaki koti nasproti. Vjednakokrakem trikotniku sta kota na osnov¬ nici jednaka. Kota na osnovnici jednakokrakega trikotnika sta vsigdar ostra. Zakaj ne moreta biti prava ? zakaj ne topa ? Kot ob vrhu jednakokrakega trikotnika je različen od kotov na osnovnici ter utegne biti oster, prav ali top. Primerjaj sliko 45. II. in 49.! Kolik je vsak kot na osnovnici, če je kot ob vrhu prav ? V jednakostraničnem trikotniku so vsi koti jednaki, ker ležijo jednakim stranicam nasproti. Koliko meri vsak izmed njih? Načrtajmo jednakokraki trikotnik ABC (slika 50.) ter zavrtimo osnovnico AB okoli oglišča A na desno ! Očividno je, da postaja med tem vrtenjem kot pri A vedno večji in isto- tako tudi nasprotna stranica CB. Ker ostane kot pri C med ome¬ njenim vrtenjem neizpremenjen in ker se kot pri A vedno veča, mora se tretji notranji trikot¬ nikov kot, ki leži prvotno pri B, vedno manjšati; kajti drugače bi ne bilo mogoče, da bi zna¬ šala vsota vseh treh notranjih kotov 180°. Ce pride konečno stranica AB v lego AB' (čitaj: AB s črto), dobimo razno- stranični trikotnik AB'C, v katerem leži večji stranici B 'C večji kot B'AC in manjši stranici AC manjši kot AB'C nasproti. Slika 50. C Slika 49. C Lastnosti jednakokrakega in jednako- straničnega tri¬ kotnika glede nasprotnih se¬ stavin. 32 Lastnost V vsakem trikotniku leži večji stranici večji raznostranicnega J. Q j. nas p ro ti in obratno, trikotnika r glede nasprotnih Ako s ^ a v trikotniku dva kota jednaka, morate nasprotni sestavin. . . ... . . . . . stranici tudi biti jednaki; kajti če bi nasprotni stranici bili nejednaki, ne mogla bi zaradi poprejšnjega izreka nasprotna kota biti jednaka. V pravokotnem trikotniku je hipotenuza največja stranica, ker leži največjemu kotu nasproti. V topokotnem trikotniku je stranica, ki leži topemu kotu nasproti, največja. V jednakokrakem trikotniku je kot ob vrhu večji od kota na osnovnici, če je osnovnica večja od kraka, in obratno. § 21. Pravokotnica. Razdalja med določeno točko in določeno premico. Načrtajmo premico L M in zunaj te premice točko A (slika 51.)! Od A se da narisati na LM le jedna pravokotnica; kajti če bi mogli spustiti od A na LM še katero drugo pravo- kotnico, n. pr. A C, imel bi trikotnik ABC dva prava kota, in sicer pri B in C, kar pa je nemogoče. Da¬ ljica AC stoji torej na LM poševno. Ker je nadalje v vsakem pravokotnem tri¬ kotniku hipotenuza naj- L * ■ M večja stranica, mora v B C našem slučaji daljica AC biti večja ko pravokotnica AB. Kar smo dokazali za daljico AC, velja razun AB za vsako drugo daljico, katero narišemo od točke A do premice LM. Od točke, ležeče zunaj določene premice, d& se na to premico načrtati le jedna pravokotnica. Pravokotnica je najkrajša med vsemi dalji¬ cami, katere narišemo od kake točke do določene premice, in obratno. O pravokotnici pravimo, da določuje raz stoj ali raz¬ daljo točke od premice. 33 Ako narišemo v krogu polumer O A (slika 52.) in na- črtamo skoz njegovo krajišče A premico NP, ki stoji pravo¬ kotno na OA, je daljica O A naj¬ krajša med vsemi daljicami, katere moremo narisati med točko O in premico NP. Premica NP ima s krogom točko A skupno, vse druge točke te premice pa imajo od O večjo razdaljo ko točka A, ležijo torej zunaj kroga. Premica NP je zato krogova tangenta. Pravokotnica, ki gre skoz polumerovo krajišče, je krogova tangenta. Kot, katerega vrh leži na krogovem obodu in katerega kraka gresta skoz premerovi krajišči, imenujemo kot v polu- krogu, n. pr. BAC v sliki 53. Ako spojimo točko A (slika 53.) s krogovim središčem O, dobimo dva jednakokraka trikotnika AOB in AOC. Katera stranica je osnov¬ nica prvemu trikotniku, katera drugemu? Kota na osnovnici jed- nakokrakega trikotnika sta jednaka; v sliki 53. so jednaki koti zazna¬ movani z isto črko. Iz slike spo¬ znamo, da je kot BAC tolik, koli- koršna je vsota kotov pri B in C. Ker so ti trije omenjeni koti trikotnikovi koti, in ker njih vsota znaša 180°, meri kot BAC 90° in kota pri B in C skupaj istotoliko. Kot v polukrogu je pravi kot. § 22. Naloge. 1. Načrtaj kot 60°! To nalogo razrešiš, ako narišeš jednakostranični trikotnik. 2. Načrtaj kot 120°! To nalogo razrešiš, ako narišeš kotu 60° sokot. Slika 53. Slika 52. P Kako se krogu načrta tangenta. Kot v polukrogu = der Winkel im Halbkreise. Matek, Geometrija. 3 34 3.) Razdeli iztegncni kot na tri jednake dele (slika 54.)! Tretji del iztegnenega kota znaša 60°. Nalogo razrešiš, ako postaviš na vsak krak iztegnenega kota jednakostranični tri¬ kotnik tako, da imata oba tri- Slika 54. kotnika v vrhu iztegnenega kota skupno oglišče. Primerjaj sliko 54.! 4.) Načrt a j pravi kot! Nariši krog, načrtaj v njem <—'-“-|-^—> premer BC ter spoji katerokoli točko A krogovega oboda s premerovima krajiščema B in C\ Kot BAC, ki ga na ta način dobiš, je kot v polukrogu in zato pravi kot. Primerjaj sliko 53.! 5.) Postavi v krajišči A določene daljice AB pravo- kotnico (slika 55.)! Izberi točko O, ležečo zunaj daljice AB, ter nariši iz 0 krog s polumerom A0 (slika 55. L)! Ta krog seče daljico AB Slika 55. (ali podaljšano AB) v neki točki C. Ako načrtaš skoz točki C in 0 premer, dobiš na obodu točko D, katero je treba spojiti z A. Daljica AB je pravokotnica na AB\ kajti kot pri A je kot v polukrogu in zato pravi kot. Druga razrešitev. Nariši z določeno daljico AB ali z delom te daljice, n. pr. z AE, jednakostranični trikotnik AEF (slika 55. II.), podaljšaj EF za FG = EF = FA in spoji točko G s točko A. Daljica A G je pravokotnica na AB. Da je to res, prepričaš se tako-le. V jednakostraničnein trikotniku AEF znaša vsak kot 60°. Trikotnik AGF je jednakokrak, ker sta 35 stranici FA in FG jednaki. Kot ob vrhu F tega trikotnika je sokot kota 60° in zato = 120°; kota na osnovnici A G sta jednaka, merita skupaj 60°, torej znaša vsak izmed njiju 30°. Daljica AF tvori torej z AB kot 60° in z A G kot 30°; ker znašata ta dva kota skupaj 90°, stoji AG pravokotno na AB. Slika 56. § 23. Somerna lega. Ako načrtamo iz točke A, ki leži zunaj premice MN (slika 56.), pravokotnico na MN, in ako podaljšamo to pravo- kotnico za GB = CA, dobimo točko B, ki leži s točko A v jedni in isti daljici AB in ima od premice MN jednako razdaljo kakor točka A. O točkah A in B pravimo, da ležite somerno ali simetrično z ozirom na premico MN', premico MN imenujemo somernico ali si¬ ni e t r a 1 o. Dve točki ležite, somerno z ozirom na premico, ako stoji premica pravo¬ kotno na daljici, ki veže določeni točki, ter jo razpolavlja. Ako spojimo katerokoli točko D v premici MN (slika 56.) s somerno ležečima točkama A in B, stvorimo dva trikotnika ACjD in BCB, ki pokrijeta drugi drugega, če zavrtimo jednega teh trikotnikov okoli MN. Kajti kota d in e sta prava kota, zato jednaka in morata pri omenjenem vrtenji pokriti drugi drugega; Somerno ležeč = symmetrisch liegend. Somernica = die Symmetrale. potem pa leži str£ Somerno ležeči točki. CB na stranici CA, in ker ste te dve stranici jednaki, pokriva točka B točko A in stranica DB stra¬ nico DA. Taka dva trikotnika, kakor ACD in BCD, imenujemo somerno ležeča; premica MN se zove njiju somernica. Dva trikotnika ležita somerno z ozirom na premico, ako pokrijeta drugi drugega, če zavrtimo jednega izmed njiju okoli dotične premice. Premica MN razdeli trikotnik ABD (slika 56.) na dva so¬ merno ležeča trikotnika ACD \ r\BCD. O trikotniku ABD pravimo, da je someren, in premico MN imenujemo njegovo somernico. Trikotnik imenujemo someren, ako se da v njem načrtati premica, katera ga razdeli na dva somerno ležeča trikotnika. 3 * Somerno ležeča trikotnika. Someren = symmetrisch. Somerni trikotnik. 36 Daljičina somernica = die Strecken- symmetrale. Pojasnilo. Lastnosti dalji- čine. somernice. § 24. Daljičina somernica. Ako razpolovimo daljico AB (slika 57.) in narišemo skoz razpolovišče C pravokotnico MN na AB, imenujemo to pravo- kotnico daljici n o somernico; kajti premica MN razdeli daljico AB na dva dela CA in CB, ki pokrijeta drugi drugega, če zavrtimo jednega teh delov okoli premice MN. Vsaka daljica je someren stvor; njena somernica je pravo- kotnica, katero načrtamo skoz dalji- čino razpolovišče. Ako spojimo katerokoli točko D, ki leži v daljičini somernici MN (slika 57.) z daljičinima krajiščema A in B, stvorimo dva trikotnika ACD in BCD, ki pokrijeta drugi drugega, če zavrtimo jednega teh trikotnikov okoli somernice MN. Ako pa trikotnika ACD in BCD pokrivata drugi drugega, morate stranici DA in DB biti jednaki, t. j. točka D je od dalji- činih krajišč jednako oddaljena. Kar velja o točki D, velja tudi o vsaki drugi točki, ki leži v somernici MN. Vsaka točka daljičine somernice je od obeh dalji čin ih krajišč'jednako oddaljena. Ako podaljšamo stranico A D (slika 57.) čez krajišče D, dobimo točko E, ki leži zunaj daljičine somernice MN. Da ima točka E različni razdalji od daljičinih krajišč A in B , uvidimo tako-le. Jasno je, da je ravna pot od B do E krajša ko pot na ovinek od B čez D do E. V prvem slučaji prehodimo daljico BE, v drugem pa daljici BD in DE, t. j. pot, ki je ravno tako dolga kakor prema pot od A do E, ker je namreč po poprejšnjem izreku pot od B do D jednaka poti od A do D. Kar pa velja o točki E, velja tudi o vsaki drugi točki, ki leži zunaj somernice MN. Iz navedenega se torej vidi, da so od daljičinih krajišč A in B jednako oddaljene le tiste točke, ki ležijo v somernici MN. Vsaka točka, ki leži zunaj daljičine somernice, ima različni razdalji od daljičinih krajišč. Vsaka točka, ki ima jednaki razdalji od da¬ ljičinih krajišč, leži v daljičini somernici. Slika 57. 37 § 25. Kotova somerniea. Ako razdelimo kot BAC (slika 58.) na dva jednaka dela BAB in CAD, imenujemo polutrak AD raz polo v ni eo ali somernico prvotnega kota BAC. Kota BAD in CAD ležita somerno z ozirom na njiju skupni krak AD, ker pokrijeta drugi drugega, če zavrtimo jednega teh kotov okoli skupnega kraka AD. Vsak kot je someren stvor; njegova somerniea je polutrak, ki ga razpo¬ lavlja. Ako načrtamo iz točke E, ki leži v kotovi somer- nici AD (slika 58.), pravo- kotnici EF in EG na kraka AB in A C, stvori mo dva pravokotna trikotnika EAF in E A G, ki pokrijeta drugi drugega, če zavrtimo jednega teh trikotnikov okoli njiju skupne stranice AE. Kajti pri tem vrtenji mora kot EAF pokriti kot EAG, ker sta ta dva kota jednaka; potem pa leži stranica AF na stranici A G. in pravokotnica EF mora pokrivati pravo- kotnico EG, ker je iz točke, ležeče zunaj določene premice, na to premico mogoča le jedna pravokotnica. Pravokotnici EF in EG ste torej jednaki, t. j. točka E je od krakov AB in AC jednako oddaljena. Kar velja o točki E, velja tudi o vsaki drugi točki, ki leži v kotovi somernici AD. Vsaka točka kotove somernice je od obeh kra¬ kov jednako oddaljena. Ako podaljšamo pravokotnico EG (slika 58.) čez krajišče E, dobimo točko H, ki leži zunaj kotove somernice AD. Da ima točka H od krakov AB in AC različni razdalji, uvidimo tako-le. Najkrajša pot od točke H do kraka AB je pot po pravokotnici HI\ torej je pravokotnica HI krajša od daljice ATA 1 . Ravna pot od točke H &o F je zopet krajša ko pot na ovinek od H čez E do A; zadnja pot pa je jednaka poti od H do G, ker je namreč po poprejšnjem izreku pot od A? do A 1 jednaka poti od E do G. Točka H ima torej različni razdalji od krakov Slika 58. Razpolovnica = die Halbierungs- linie. Kotova somer- nica = die Winkel- symmetrale. Pojasnilo. Lastnosti kotove somernice. 38 Somernice trikotnikovih stranic. Somernice trikotnikovih kotov. AB in AC. Kar pa velja o točki H, velja tudi o vsaki drugi točki, ki leži zunaj kotove somernice AD. Iz navedenega je torej jasno, da so od krakov AB in AC jednako oddaljene le tiste točke, ki ležijo v kotovi somernici AD. Vsaka točka, ki leži zunaj kotove somernice," ima različni razdalji od obeh krakov. Vsaka točka, ki ima jednaki razdalji od obeh krakov določenega kota, leži v somernici tega kota. § 26. Somernice trikotnikovih sestavin. Vsak trikotnik meje tri stranice, to so tri daljice. Vsaka stranica ima svojo somernico. Ako narišemo v trikotniku ABC (slika 59.) dvema stranicama, n. pr. AB in BC, somernici in te somernici podaljšamo, da se sečete, dobimo točko 0, ki je obema somernicama skupna. Ker točka O leži v somernici stranice AB, mora od krajišč te stranice, t. j. od trikotnikovih oglišč A in B, biti jednako oddaljena. Ker točka 0 leži nadalje v somernici stranice BC, mora tudi od krajišč te stranice, t. j. od trikotnikovih oglišč B in C, biti jednako oddaljena. Točka 0 je torej od vseh treh trikotnikovih oglišč jednako oddaljena, in sma¬ trati jo smemo za središče kroga, ki gre skoz trikotnikova oglišča A, B in C. Ta krog imenujemo trikotniku očrtan, in trikotnik je krogu v črtan. Točka O leži pa tudi v somer¬ nici tretje stranice AC, ker je namreč od krajišč te stranice jednako oddaljena. Somernice trikotnikovih stranic se sečejo v jedni in isti točki, ki je od vseh oglišč jednako oddaljena. Vsak trikotnik ima tri notranje kote in vsak teh kotov svojo somernico. Ako narišemo v trikotniku ABC (slika 60.) dvema kotoma, n. pr. kotoma pri A in B, somernici in te somernici podaljšamo, da se sečete, dobimo točko O, ki je obema somernicama skupna. Ker točka O leži v somernici kota Slika 59. 39 pri A, mora od krakov tega kota, t. j. od trikotnikovih stranic AB in AC, biti jednako oddaljena. Ker točka 0 leži nadalje v somernici kota pri B, mora t. j. od trikotnikovih stranic BA in BC, biti jednako oddaljena. Točka O je torej od vseh treh trikotnikovih stranic jednako od¬ daljena, in smatrati jo smemo za središče kroga, ki se dotika vseh treh stranic. Ta krog imenujemo trikotniku včrtan, in trikot¬ nik je krogu očrtan. Točka O leži pa tudi v somernici tretjega kota pri C, ker je namreč od kra¬ kov tega kota jednako oddaljena. Somernice trikotnike jedni in isti točki, ki je c oddalj ena. § 27. Somerni tudi od krakov tega kota, Slika 60. C vi h kotov se sečejo v d vseh stranic jednako trikotniki. Načrtajmo daljico AB (slika 61.)! Na to daljico hočemo postaviti jednakokraki trikotnik tako, da mu bo AB osnovnica. Vrh tega trikotnika bo od osnovničnih krajišč A in B jednako oddaljen, in mora zato ležati v somernici daljice AB. Ako spo¬ jimo točko C, ki leži v somernici daljice AB, s krajiščema A in B, stvorimo jednakokraki trikotnik ABC, katerega višina CD leži na daljičini somernici MN; kajti somernica MN gre skoz vrh C in stoji pravokotno na osnovnici AB. Višina CD deli jednako¬ kraki trikotnik ABC na dva pravokotna trikotnika ADC in BCD, ki ležita somerno z ozirom na višino CD; kajti vsak izmed teh dveh trikotnikov pokrije drugega, ako ga zavrtimo okoli CD. Če pa trikotnika ADC in BDC pokrivata drugi Somernica jednakokrakega trikotnika. 40 Somernice jednakostranič- nega trikotnika. drugega, mora višina CD biti tudi somernica kota ob vrhu C (t. j. ACB) jednakokrakega trikotnika ABC. Kar velja o jednakokrakem trikotniku ABC, velja tudi o vsakem drugem jednakokrakem trikotniku, ki stoji na isti osnovnici AB; višina vsakega teh jednakokrakili trikotnikov leži torej na daljičini somernici MN Vsak j ednakokraki trikotnikje someren stvor; višina mu je somernica. Višina jednakokrakega trikotnika razpolavlja osnovnico in kot ob vrhu. Premica, ki spaja vrhe dveh ali večjednako- krakih trikotnikov, ki stoje na isti osnovnici, je somernica vsakega teh trikotnikov. Ta premica je tudi somernica skupne osnovnice in vseh tistih kotov, ki ležijo ob vrhih jednakokrakih trikot¬ nikov. Ako postavimo na določeno daljico AB jednakostranični trikotnik ABC (slika 62 .), spoznamo na isti način kakor v poprejšnjem, da je višina CD trikotnikova somernica. Kar velja o višini CD, velja tudi o višinah, ki pripadate stranicama BC in AC. Jednakostranični trikotnik ABC ima torej tri somernice. Vsak jednakostranični tri¬ kotnikje someren stvor; vsaka višina mu je somernica. Višina jednakostraničnega trikotnika razpolavlja osnovnico in kot ob vrhu. Višine jednakostraničnega trikotnika so ob jed nem somernice trikotnikovih stranic in trikot¬ nikovih notranjih kotov. Višine jednakostraničnega trikotnika sečejo se v jedni in isti točki, ki ima jednake razdalje od vseh oglišč in jednake razdalje od vseh stranic. Slika 62. M 41 Mislimo si pravokotni trikotnik ABC (slika 63.), v ka¬ terem meri ostri kot ACB 30 °! V tem trikotniku znaša drugi ostri kot 60°. Ako zavrtimo trikotnik ABC okoli daljše katete BC tako daleč, da pride v nasprotno lego A'BC, stvo- rimo nov trikotnik AA'C, v katerem meri vsak kot 60°. Trikotnik AA'C je zato jednakostraničen, in daljica AB je jednaka polovici stranice AA' ali AC, t. j. manjša kateta AB prvotnega tri¬ kotnika ABC je jednaka polovici hipo- tenuze A C. Ako znaša v pravokotnem trikotniku jeden izmed ostrili kotov 30°, je nasprotna kateta jed¬ naka polovici liipotenuze. Slika 63. C § 28. Naloge. 1.) Načrtaj določeni daljici AB (slika 64.) somernico! Ako narišeš iz daljičinih krajišč A in B dva loka z istim polumerom, dobiš v presečiščih teh lokov dve točki C in D, Slika 65. kateri ste od A in B jednako oddaljeni. Kje ležijo take točke? Premica, ki gre skoz točki C in D, je somernica daljice AB. 2. ) Razpolovi določeno daljico AB\ Daljico AB razpoloviš, ako ji narišeš somernico. 3. ) Poišči točko, ki leži somerno z določeno točko A z ozirom na določeno premico MN (slika 65.)! 42 Iskana točka in točka A morate od vsake točke, ki leži v somernici MN, biti jednako oddaljeni. Ako torej narišeš iz dveh točk C in D, ležečih v somernici MN, dva loka, ki gresta skoz točko A, dobiš v drugem presečišči B teh lokov točko, ki leži s točko A somerno z ozirom na premico MN. 4.) Postavi v določeni točki A določene pre¬ mice EF (slika 66.) pravokotnico na to premico! To nalogo razrešiš, ako določiš v premici EP dve točki B in C, ki ste od A jednako oddaljeni, in potem poiščeš daljici BC somernico. E *- Slika 66. A Xu Slika 67. A 5. ) Načrtaj iz določene točke A, ki leži zunaj dolo¬ čene premice EF (slika 67.), pravokotnico na to premico! Nariši iz točke A lok, ki seče premico EF v točkah B in C, ter poišči daljici BC somernico! 6. ) Načrtaj določenemu kotu BAC (slika 68.) Ako narišeš iz vrha A s katerimkoli polumerom lok, ki seče oba kraka v točkah D in E, in ako načrtaš iz točk D'm E dva loka z jedna- kim polumerom, dobiš v prese¬ čišči ihteli lokov točko, katero je treba spojiti z vrhom A. Premica, ki gre skoz točki A in F, je somernica kota BAC ; kajti če spojiš v mislih točke D, E in F z daljicami, dobiš dva jednakokraka trikotnika DEA in DEF, ki stojita na isti osnovnici DE, in premica, ki spaja vrha dvema jednakokrakima 43 Slika 69. trikotnikoma nad isto osnovnico, je somernica kotov ob vrhih teh trikotnikov. 7. ) Razpolovi določeni kot BAČI Kot BAC razpoloviš, ako mu narišeš somernico. 8. ) Načrtaj pravokotni trikotnik, kateremu je določena daljica AB hipotenuza (slika 69.)! Ako narišeš iz razpolovišča C daljice AB polukrog s polu- merom AC, in ako spojiš katerokoli točko D tega polu- kroga s krajiščema A in B, stvoriš pravokotni trikotnik ADB\ kajti kot pri Z) je kot v polukrogu in zato pravi kot. Ali je ta naloga dolo¬ čena ali nedoločena? 9. ) Načrtaj trikotnik, ki je somerno ležeč določenemu trikotniku ABC z ozirom na določeno premico MN (slika 70.)! Nariši vsakemu trikotnikovih oglišč A, B \n C somerno ležečo točko z ozirom na premico MN ter spoji te točke z daljicami! Primerjaj sliko 70.! Trikotnik A'B'C' leži potem somerno s trikotnikom ABC z ozirom na premico MN ; kajti če zavrtimo trikotnik ABC okoli premice MN, po¬ krijete jednaki daljici DB in DB' druga drugo, torej tudi točka B točko B' . Iz istega razloga se stika tudi točka A s točko A' in točka C s točko C". Ako se pa stikajo oglišča trikotnikov ABC in A'B'C', morata trikotnika pokrivati drugi drugega popolnoma. Slika 70. M A' § 29. Skladni trikotniki. Ako položimo trikotnik ABC na trikotnik A'B'C’ (slika 7 1.) in ako najdemo, da se oglišča A, B in C prvega trikotnika stikajo z oglišči A', B' in C' drugega trikotnika, potem je Skladen = con- gruent. 44 Pojasnilo. Pogoj skladnosti dveh trikotnikov. Jednake sesta¬ vine skladnih tri¬ kotnikov. Istoležen = gleichliegepd, entsprechend oder homolog. jasno, da trikotnik ABC pokriva trikotnik A'B'C' popolnoma. Taka dva trikotnika imenujemo skladna; v znakih zapišemo to lastnost tako-le: A ABC S A'B'C' (čitaj: trikotnik ABC je skladen s trikotnikom A'B'C'). Slika 71. C c Dva trikotnika sta skladna, ako se, drugi na drugega položena, pokrivata popolnoma. Da je pa to mogoče, morajo stranice AB, BC in CA prvega trikotnika biti zaporedoma jednake stranicam A'B’, B'C' in CA' drugega trikotnika in notranji koti pri A, B in C prvega trikotnika zaporedoma jednaki notranjim kotom pri A', B' in C' drugega trikotnika. Dva trikotnika sta torej skladna, ako se uje¬ mata v vseh šesterih sestavinah. Znak skladnosti je ež. V sliki 71. so jednake sestavine trikotnikov ABC in AB'C' zaznamovane na isti način. Iz te slike spoznamo takoj, da ležita jednakima stranicama AB in A'B' nasproti jednaka kota pri C in C', jednakima kotoma pri A in A' pa ste nasprotni jednaki stranici BC in B'C', i. t. d. V skladnih trikotnikih ležijo jednakim stra¬ nicam jednaki koti nasproti, jednakim kotom pa so jednake stranice nasprotne. Tiste sestavine dveh skladnih trikotnikov, katere pokri¬ vajo druga drugo, če položimo jeden trikotnik na drugega, imenujejo se i sto le ž n e. Tako ste n. pr. v sliki 71. stranici AB in A'B' istoležni, kota pri A in A’ sta istoležna, i. t. d. Istoležne sestavine skladnih trikotnikov so jednake. 45 Skladni trikotniki utegnejo imeti različno lego. Tako Lega skladnih nam predočuje slika 72. štiri skladne trikotnike v štirih različnih tnkotmkov ' legah. Imenuj istoležne sestavine teh trikotnikov! Ce hočemo n. pr. trikotnik I. položiti na trikotnik II. tako, da pokrije prvi trikotnik drugega, treba je najprej trikotnik I. obrniti. Kaj je treba storiti s trikotnikom I., da pokrijemo ž njim trikotnik III., ali trikotnik IV. ? Slika 72. Ker so trikotnikove sestavine odvisne med seboj, moremo izrek o dostikrat sklepati iz manj nego iz vseh šesterih sestavin, da sklad ^ stI - sta dva trikotnika skladna. V katerih sestavinah se morata Congruenzsatz. dva trikotnika ujemati, da sta skladna, to hočemo v naslednjem preiskavati. Ti slučaji se imenujejo izreki o skladnosti dveh trikotnikov. § 30. Izreki o skladnosti dveh trikotnikov. 1.) Načrt a j trikotnik, v katerem je jedna stra¬ nica jednaka določeni daljici a in dva notranja kota jednaka določenima kotoma m in n\ Ako narišeš daljico AB == a (slika 73.) in v krajiščih A in B te daljice načrtaš kota, ki sta jednaka določenima kotoma m 46 in n, dobiS v presečišči C neskupnih krakov AC in BC tretje trikotnikovo oglišče. Ce načrtaš z istimi tremi sestavinami na isti način drugi trikotnik A'B'C', mora ta trikotnik biti skladen s prvim. Kajti če položiš trikotnik ABC na trikotnik A'B'C' tako, da pokriva stranica AB stranico A'B', morata kota pri A in A', oziroma kota pri B in B', pokrivati drugi dru¬ gega, ker sta jednaka; potem pa leži stranica AC na stranici A'C', stranica BC na stranici B'C', in ker imate dve daljici le jedno presečišče, mora točka C pokrivati točko C'. Slika 73. A V sliki 73. načrtali smo trikotnik ABC tako, da sta bila določena kota m m n priležna določeni stranici AB = a. Ce se pa zahteva, da se mora trikotnik ABC tako načrtati, da je jeden izmed določenih kotov, n. pr. <£ m, stranici a priležen, drugi pa nasproten, razrešiš nalogo tako-le. Nariši daljico AB—ci, prenesi določeni kot m na daljico AB, načrtaj poleg kota m kot n (slika 74.) ter nariši skoz krajišče B vzporednico z AD ! Ta vzporednica določi v nevzporednem kraku AC tretje tri¬ kotnikovo oglišče. Kot pri C, ki je določeni stranici AB nasproten, je jednak kotu n; kajti ta dva kota sta izmenična in ležita na vzporednicah AD in BC. Ako načrtaš z istimi tremi sesta¬ vinami na isti način drugi trikotnik A'B'C', mora ta trikotnik i 47 biti skladen s prvim. Kajti če položiš trikotnik ABC na tri¬ kotnik A’B'C' tako, da pokriva stranica AB stranico A' B’, potem leži tudi stranica AC na stranici A’C', polutrak AD na polutraku A'D' in stranica BO na stranici B'C', ker je skoz točko, ležečo zunaj določene premice, mogoča le jedna vzpo¬ rednica. Jasno je torej, da pokriva v tem slučaji točka C točko C'. Slika 74. Iz navedenega spoznamo, da dobimo v naši nalogi le skladne trikotnike, če jih načrtujemo ali po prvem ali po drugem načinu. Zato smemo sklepati: Jedna stranica in dva notranja kota določujejo trikotnik popolnoma. Dva trikotnika sta skladna, če se ujemata v jedni stranici in v dveh notranjih kotih. 2.) Načrt a j trikotnik, v katerem ste dve stra¬ nici jednaki določenima daljicama a in b, in kot, katerega te dve stranici oklepate, jedna k dolo¬ čenemu kotu m\ Nariši kot BAC — m (slika 75.), prenesi na jeden krak tega kota daljico a, na drugi krak pa daljico b ter spoji dobljeni točki B in C\ Ako načrtaš z istimi tremi sestavinami na isti način drugi trikotnik A’B’C', mora ta trikotnik biti I. izrek. 48 II. izrek. skladen s prvim. Kajti če položiš trikotnik ABC na trikot¬ nik A'B'C' tako, da kot pri A pokriva kot pri A', stikajo se oglišča trikotnika ABC z oglišči trikotnika A'B'C', ker je stranica AB = A'B' in A C = A'C'. Slika 75. Dve stranici in kot, katerega te dve stranici oklepate, določujejo trikotnik popolnoma. Dva trikotnika sta skladna, ako se ujemata v dveh stranicah in v kotu, katerega oklepate te dve stranici. 3.) Načrtaj trikotnik, v katerem sta dve stra¬ nici jednaki določenima daljicama a in b, in kot, ki leži večji izmed teh dveh stranic nasproti, jednak določenemu kotu m\ Slika 76. Nariši kot BAC — m (slika 76.), prenesi na jeden krak tega kota, n. pr. na AB, manjšo daljico a od točke A do točke B ter načrtaj iz točke B lok s polumerom, ki je jednak daljši določeni daljici b ! Ta lok seče krak A C le v jedni 49 točki C, ki je tretje trikotnikovo oglišče. Ako narišeš z istimi tremi sestavinami na isti način drugi trikotnik A'B'C' , mora ta trikotnik biti skladen s prvim. Kajti če položiš trikotnik ABC na trikotnik A'B'C' tako, da kot pri A pokriva kot pri A', potem leži stranica AC na stranici A'C, stranica AB na stra¬ nici A B' , in ker sta zadnji dve stranici jednaki, pokriva točka B točko B . Ker pokrivata tudi loka, katera si načrtal iz točk B in B' , drugi drugega, je torej jasno, da mora točka C pokrivati točko C". Dve stranici in kot, ki leži večji izmed teh stranic nasproti, določujejo trikotnik popolnoma. Dva trikotnika sta skladna, ako se ujemata v dveh stranicah in v kotu, ki leži večji izmed teh stranic nasproti. 4.) Načrtaj trikotnik, v katerem so vse tri stranice jednake določenim daljicam a, b in c! Slika 77. Nariši daljico AB — a (slika 77.), načrtaj iz krajišča A te daljice lok s polumerom b in iz krajišča B lok s polu- merom c ! Presečišče C teh lokov določi tretje trikotnikovo oglišče. Ako načrtaš z istimi tremi sestavinami na isti način drugi trikotnik A'B'C' , mora ta trikotnik biti skladen s prvim. Kajti če položiš trikotnik ABC na trikotnik A'B’C' tako, da stranica AB pokriva stranico A'B’ , ležita loka, katera si načrtal iz točk A in A' , oziroma iz točk B in B' , drugi na drugem, torej pokrivate presečišči teh lokov, to ste točki C in C’, druga drugo. Tri stranice določujejo trikotnik popolnoma. Dva trikotnika sta skladna, ako se ujemata v vseh treh stranicah. III. izrek. IV. izrek. Matek, Geometrija. 50 Iz navedenih štirih nalog in iz njih razrešitve uvidimo, da tri trikotnikove sestavine, med katerimi je vsaj jedna stranica, določujejo trikotnik popolnoma. Ce torej hočeš načrtati trikotnik določene velikosti, treba ti je poznati tri njegove sestavine in med temi vsaj jedno stranico, ni pa ti treba poznati štirih ali petih ali vseh šestih sestavin. Manj ko tri sestavine ne določajo trikotnika popolnoma. Kajti če hočeš n. pr. z dvema notranjima kotoma načrtati tri¬ kotnik, smeš kakoršnokoli daljico izbrati za stranico in trikotnik načrtati po navodilu naloge 1. Ker si izbereš daljico za stranico, zato je ta naloga nedoločena in pripušča brez števila razrešitev. Ali če izpustiš pri zgoraj navedenih štirih nalogah tretjo določeno sestavino, postane takoj vsaka teh nalog nedoločena, ker se da potem razrešiti na nepreštete načine. Konečno nam je še omeniti neke naloge, ki je nekoliko podobna naši zgoraj navedeni tretji nalogi. Zanimiva je ta naloga zato, ker se da razrešiti včasih na dva, včasih le na jeden način, včasih pa je sploh ne moremo razrešiti. Ta naloga je: 5.) Načrtaj trikotnik, v katerem ste dve stranici jednaki določenima daljicama a in b, in kot, ki leži manjši teh stranic nasproti, jednak določenemu kotu m ! Slika 78. Nariši kot BAC = m (slika 78.), prenesi večjo določeno daljico b na krak AB od točke A do točke B ter načrtaj iz točke B lok s polumerom manjše določene daljice a! Ta lok seče krak AC v točkah C in D. če spojiš točki C in Z) s točko B, dobiš dva trikotnika ABC in ABD, ki zadoščata naši nalogi. V tem slučaji se da navedena naloga razrešiti na dva načina. 51 Ako bi daljica a bila za toliko manjša, da bi se lok, ki ga načrtaš iz točke B, dotikal kraka AC v točki E, dobili bi le jeden trikotnik ABE. V tem slučaji bi se dala navedena naloga razrešiti le na jeden način. Primerjaj sliko! Ce bi pa daljica a postala še manjša, ne imel bi lok, ki ga načrtaš iz točke B, nobedne skupne točke s krakom A.C, in navedena naloga bi se ne dala razrešiti na nobeden način. Primerjaj sliko! § 31. Lega premice z ozirom na krog. Načrtujmo krog in skoz dve točki njegovega oboda pre¬ mico GH (slika 79.)! Ta premica ima s krožnico dve skupni točki A in B ter se zove sečnica ali sekanta. Pravokotnica OC, katero spustimo iz krogovega središča 0 na premico Gli, določa razdaljo središča od premice in se imenuje sre¬ diščna razdalja. Točka C (podnožišče pravokotnice OC) je med vsemi točkami, ki ležijo v premici GH, krogo- vemu središču najbližja. Oči- vidno je, da je središčna raz¬ dalja premice GH manjša od polumera. — Ce si mislimo, da se premica GH porniče vzporedno navzdol (od krogovega središča proč), postaja njena središčna razdalja vedno večja, in točki A 'm B, v katerih seče premica GH krožnico, bližate se druga drugi. Ko se te točki stikate, preide sečnica v dotikalnico ali tangento JK, ki ima s krožnico le jedno skupno točko D (dotikališče). Središčna raz¬ dalja je v tem slučaji jednaka polumeru. Ce se omenjena premica porniče še dalje vzporedno navzdol, nima s krogom nobedne skupne točke več, in središčna razdalja ji je večja od polumera. Premica, katere središčna razdalja je manjša od polumera, seče krožnico v dveh točkah. Premica, katere središčna razdalja je jednaka polumeru, ima s krožnico jedno skupno točko. Premica, katere središčna razdalja je večja od polumera, nima s krogom nobedne skupne točke; ona leži popolnoma zunaj kroga. Slika 79. Sečnica in njena središčna razdalja. Podnožišče = der FuCpunkt. Dotikalnica in njena središčna razdalja. Premica in njena središčna razdalja. 4 * 52 Krogova somernica. Tetiva in njena središčna razdalja. Jednake in nejednake tetive. Tetivina somer- nica=dieSehnen- symmetrale. § 32. Tetive v krogu. Ako načrta m o v določenem krogu premer AB (slika 80.), razdelimo krožnico in krožnino na dva jednaka dela (polukroga), ki pokrijeta drugi drugega, če zavrtimo jednega izmed njiju okoli premera AB. Krog je someren stvor; vsak premer mu je somernica. Slika 80. Ako si mislimo, da se premer AB (slika 80.) porniče vzporedno navzdol, nastajajo iz premera AB tetive različnih dolgostij. Med tem pomikanjem se tetive vedno manjšajo, njih središčne razdalje pa večajo. Na konec preide premikajoča se tetiva v točko E, in središčna razdalja po¬ stane jednaka polumeru. Primerjaj sliko! —■ Ce si pa mislimo, da se premer AB porniče vzporedno v na¬ sprotno mer, t. j. navzgor, ujemajo se zaporedoma vse tetive, ki na¬ stanejo v zgornjem polukrogu, s tetivami spodnjega polukroga; isto- tako je tudi s središčnimi razdaljami teh tetiv. Kajti spodnji in zgornji polukrog ležita somerno z ozirom na premer AB. Kar velja o tetivah, ki so nastale iz premera AB, velja tudi o tetivah, ki nastanejo iz kateregakoli drugega premera v istem krogu ali v jednakih krogih. Iz navedenega smemo torej sklepati: Nejednake tetive istega kroga ali jednakih k r o g o v i m a j o različne središčne razdalj e: čim večja je tetiva, tem manjša je njena središčna razdalja, in obratno. Jednake tetive istega kroga ali jednakih kro¬ gov i m a j o jednake središčne r a z d a 1 j e. N a j v e č j a t e t i v a j e premer. Ker ste krajišči tetive CD (slika 80.) od krogovega sre¬ dišča O jednako oddaljeni, leži točka O v somernici tetive CD. Tetivina somernica gre skoz k r o g o v o s r e - d i š č e. 53 Pravokotnica, katero spustimo iz krogovega središča na tetivo, je somernica tej tetivi. Vzporedne tetive imajo isto somernico. Tetivi pripada lok, obsrediščni kot, krogov izsek in odsek. Ge se manjša tetiva določenega kroga, manjšajo se tudi pri¬ padajoči lok, pripadajoči obsrediščni kot, pripadajoči krogov izsek in odsek. Primerjaj sliko 80.! — Ako spojimo krajišči tetive CD s krogovim središčem O, stvorimo jednakokraki tri¬ kotnik CDO. Ker je višina vsakega jednakokrakega trikotnika somernica osnovnici in kotu ob vrhu, je v sliki 80. središčna razdalja tetive CD somernica tej tetivi in njej pripadajočemu obsrediščnemu kotu COD. Ge podaljšamo ravno omenjeno sre¬ diščno razdaljo do krožnice, dobimo polumer OE, in ta razdeli krogov izsek in odsek, ki pripadata tetivi CD, na dva dela, ki pokrijeta drugi drugega, če zavrtimo jednega teh delov okoli OE. Tetivina somernica je ob jednem somernica pripadajočega ob sr e d iš čn ega kota, pripadajočega loka, pripadajočega krogovega izseka in odseka. Sekstant meri 60°; istotoliko znaša pripadajoči obsrediščni kot. Ge načrtamo sekstantu tetivo in spojimo njeni krajišči A in B (slika 81.) s središčem O, stvo¬ rimo jednakokraki trikotnik ABO, v katerem meri kot ob vrhu 60°. Ker sta kota na osnovnici AB jednaka in merita skupaj 120°, znaša vsak izmed njiju 60°. Trikotnik ABO ima torej jednake kote in je zato jednakostraničen. Sekstantova tetiva je jednaka polumeru. Ako zavrtimo premer AB določenega kroga (slika 82.) okoli točke C, ki leži v premeru, pa se ne stika s krogovim središčem O, in ako si mislimo, da premerova dela CB in CA izpreminjata med omenjenim vrtenjem svoji dolgosti tako, da se krajišči B in A pomikate po krogovem obodu, nastajajo iz vrteče se daljice tetive različnih dolgostij, n. pr. DE, EG, i. t. d. Vse te tetive gredo skoz isto točko C. V prvi četrtini omenje¬ nega vrteža oddaljuje se vrteča se tetiva od krogovega središča; nastalim tetivam večajo se torej središčne razdalje, tetive pa se Slika 81. Lastnosti tetivine somernice. Sekstantova tetiva. Naj večja in najmanjša tetiva skoz določeno točko znotraj krožnice. 54 Naobodni kot = der Peripherie- winkel. manjšajo. Primerjaj sliko! Vrteči se tetivi postane središčna razdalja največja tedaj, ko se stika z daljico OC, t.j. s središčno razdaljo točke C. Najmanjša med vsemi tetivami, ki nastanejo v prvi četrtini vrteža, je torej tista, ki stoji pravokotno na OC. Primerjaj sliko! —V drugi četrtini vrteža bliža se vrteča se tetiva krogovemu središču; nastalim tetivam se torej manjšajo sre¬ diščne razdalje, tetive pa posta¬ jajo vedno večje, in sicer tako dolgo, dokler ne preide vrteča se tetiva v premer BA, ki ima prvotnemu premeru AB na¬ sprotno lego. Ce se tetiva vrti še dalje v istem smislu okoli točke C, ponavljajo se vse tetive, ki smo jih dobili med prvo polovico vrteža. Med vsemi tetivami, katere moremo narisati skoz določeno točko znotraj krožnice, je tista na j ve čj a, ki gre skoz k rogovo središče; najmanjša pa je tista, ki stoji pravokotno na središčni raz¬ dalji dotične točke. § 33. Naobodni koti. Slika 83. Ako narišemo skoz jedno in isto točko A krogovega oboda (slika 83.) dve tetivi AB in A C, stvorimo otli kot BAC, ki se imenuje naobodni kot. Vrh naobodnega kota leži v krož¬ nici, in kraka sta mu tetivi. O loku, ležečem med krakoma naobodnega kota, pravimo, da pripada temu kotu. Jeden in isti lok utegne pripadati brezštevilno mnogim naobodnim kotom ; kajti če spojiš krajišči loka BC s točkami D, E i. t. d. krogovega oboda, stvoriš naobodne kote, katerim pripada isti lok BC. Istemu loku BC pripada pa samo jeden obsrediščni kot BOC. 55 Ako narišemo Slika 84. O naobodnih in obsrediščnih kotih pravimo, da stoje na njim pripadajočih lokih. V kaki zvezi sta naobodni in obsrediščni kot, ki stojita na istem loku, to hočemo v naslednjem preiskavah. 1. ) Načrtajmo naobodni kot BAC (slika 84.) tako, da leži krogovo središče 0 v jednem kraku! loku BC, na katerem stoji naobodni kot BAC = e, pripadajoči obsrediščni kot BOC — d, stvorimo jednakokraki trikotnik ABO, v katerem sta kota na osnovnici AB jednaka, t. j. e = f Če narišemo skoz središče O vzpored¬ nico s tetivo AB, razdelimo obsrediščni kot d na dva jednaka dela g in h ; kajti kot h je jednak kotu e, ker je protikot, kot g pa je jednak kotu f, ker je izmenični kot. Naobodni kot e je torej jednak polovici obsrediščnega kota d, ali obsrediščni kot d je dvakrat tolik kakor naobodni kot e. Ker je mera obsrediščnemu kotu d pripadajoči lok BC, smemo torej reči, da je mera naobodnemu kotu e polovica pripadajočega loka BC, t. j. naobodni kot e meri polovico toliko kotnih stopinj, minut in sekund, kolikor ločnih stopinj, minut in sekund meri pri¬ padajoči lok BC. 2. ) Načrtajmo naobodni kot BAC (slika 85.) tako, da leži krogovo središče O med krakoma naobodnega kota! Ako narišemo skoz vrh A naobodnega kota premer Al), razdelimo naobodni kot BAC na dva dela BAD in DAC, ki se glede lege z ozirom na središče O popolnoma ujemata z naobodnim ko¬ tom e v sliki 84. Mera naobodnim kotom BAT) in DAC je torej polovica pripadajočih lokov BI) in D C. Ker tvorita kota BAD in DAC skupaj naobodni kot BAC, in ker je vsota iz polovic lokov BD in D C jednaka polovici loka BC, mora torej naobodni kot BAC meriti le polo¬ vico toliko kotnih stopinj, minut in sekund, kolikor ločnih stopinj, minut in sekund meri pripadajoči lok BC. Slika 85. A Naobodni in obsrediščni kot na istem loku. 56 Lastnosti naobodnih kotov. Istosrediščna kroga = concen- trische Kreise. Kolobar = der Kreisring. 3.) Načrtajmo naobodni kot BAC (slika 86.) tako, da leži k rogov o središče O na isti strani obeh krakov naobodnega kota! Ako narišemo skoz vrh A naobodnega kota premer AD, dobimo naobodna kota BAC in BAB , ki se glede lege z ozirom na središče O popolnoma ujemata z naobodnim kotom e v sliki 84. Mera tema naobodnima kotoma je torej C polovica pripadajočih lokov BC in BB. Ker je razlika naobodnih kotov BAC in BAB jednaka naobodnemu kotu BAC, in razlika iz polovic pripada¬ jočih lokov BC in BB jednaka polovici loka BC, meri torej naobodni kot BAC le polovico toliko kotnih stopinj, minut in sekund, kolikor ločnih stopinj, minut in sekund znaša pripada¬ joči lok BC. Iz navedenega sklepamo torej: Mera vsakemu naobodnemu kotu je polovica pripadajočega loka, ali: vsak naobodni kot j e j e d n a k polovici obsrediščnega kota, ki stoji na istem loku kakor naobodni kot. Naobodni koti, stoječi na istem loku ali na jednakih lokih, so med seboj jednaki. Kaj je mera vsem tem kotom? Naobodni kot, ki stoji na manjšem loku od polukroga, je oster; naobodni kot pa, ki stoji na večjem loku od polukroga, je top. Zakaj? Naobodni kot, stoječ na polu k rogu, je pravi kot in se imenuje kot v polukrogu. Primerjaj § 21.! § 34. Medsebojna lega dveh krogov. Ako imata dva kroga isto središče O (slika 87.), imenujeta se istosrediščna ali koncentrična kroga. Ploskev, ležeča med obodoma takih dveh krogov, zove se kolobar. Slika 86. B 57 Daljici AB, ki je jednaka razliki polumefov OB in O A, pra¬ vimo kolobarjeva širina. Slika 87. Slika 88. Kroga, ki imata različni središči O in S (slika 88.), imenujeta se raznosrediščna ali ekscentrična kroga. Daljica OS, ki spaja središči obeh krogov, zove se središčna razdalja teh krogov ali središčni ca. Kakšne lege uteg¬ neta imeti dva raznosrediščna kroga, spoznali bomo iz na¬ slednjega. 1. ) Načrtajmo daljico OS in iz njenih krajišč kroga, ka- koršna kaže slika 88.! Ta dva kroga imata dve skupni točki A in B; ona sečeta drugi drugega. Tetiva AB je skupna obema krogoma; njena somernica je središčnica OS. Zakaj? (Kakšni ste razdalji točke O, oziroma točke S, od krajišč daljice AB?) Ce spojimo skupno točko A s središčema O in S, stvorimo trikotnik OSA, v katerem je stranica OS večja nego razlika stranic (polumerov) OA in SA, toda manjša nego vsota istih dveh stranic. Ako kroga sečeta drugi drugega, je središčnica večja nego razlika, toda manjša nego vsota obeh polumerov. 2. ) Načrtajmo daljico OS (slika 89. I.), iz krajišča O krog s polumerom O A in iz krajišča S krog s polumerom S A ! Ta kroga imata le jedno skupno točko A, sicer pa leži jeden krog popol¬ noma zunaj drugega. V tem slu¬ čaju pravimo: kroga se dotikata drugi drugega od zunaj. Točka A se zove doti kal išče. Sre¬ diščnica OS je jednaka vsoti polumerov OA in SA. Slika 89. I. Raznosrediščna kroga = excen- trische Kreise. Središčnica = die Centrale. Kroga sečeta drugi drugega. Kroga se dotikata drugi drugega od zunaj, oziroma od znotraj. 58 Krog leži popolnoma zunaj kroga, oziroma znotraj kroga. Načrtajmo daljico OS (slika 89. II.), iz krajišča O krog s polumerom O A in iz krajišča S krog s poluinerom S A ! Ta kroga imata le jedno skupno točko A, sicer pa leži jeden krog popolnoma znotraj drugega. V tem slučaji pra¬ vimo : kroga se dotikata drugi drugega od znotraj. Točka A se zove dotika- lišče. Središčnica OS je jednaka raz¬ liki polumerov OA in *S1A. Ako se kroga dotikata drugi drugega od zunaj, jo središčnicajednaka vsoti obeh polumerov. Ako se kroga dotikata drugi drugega od zno¬ traj, je središčnicajednaka razliki obeh polumerov. 3.) Načrtajmo daljico OS (slika 90. L), iz krajišča O krog s polumerom O A in iz krajišča S krog s polumerom SBI Ta kroga nimata nobedne skupne točke; jeden leži popolnoma zunaj drugega. Središčnica OS je večja nego vsota polumerov OA in SB. Za koliko? Slika 89. II. Načrtajmo daljico OS (slika 90, II.), iz krajišča O krog s polumerom O A in iz krajišča »S* krog s polumerom SB\ Ta Slika 90. I. Slika 90. II. kroga nimata nobedne skupne točke; jeden leži popolnoma znotraj drugega. Središčnica OS je manjša nego razlika polu¬ merov O A in SB. Za koliko? Ako leži jeden krog popolnoma zunaj drugega, je središčnica večja nego vsota obeh polumerov. Ako leži jeden krog popolnoma znotraj drugega, je središčnica manjša nego razlika obeh polumerov. 59 § 35. Naloge. 1. ) Nariši krog, ki gre skoz tri določene točke A, B in C, ki ne ležijo v jedni in isti premici! Daljica, ki spaja n. pr. točki A in B , bode iskanemu krogu tetiva. V somernici te tetive leži krogovo središče. Ce spojiš drugi dve točki, n. pr. B in C, dobiš drugo tetivo, in v njeni somernici leži tudi krogovo središče. Presečišče obeh somernic določuje torej iskanemu krogu središče. Napravi sliko! 2. ) Poišči središče določenemu krogu, oziroma določenemu loku! Ako načrtaš dve nevzporedni tetivi ter jima poiščeš so¬ mernici, dobiš v presečišči teh somernic središče določenega kroga, oziroma določenega loka. Slika! 3. ) Razpolovi določeni lok! To nalogo razrešiš, ako načrtaš pripadajoči tetivi somer- nico. Slika! 4. ) Razdeli določeno krožnico na 3, 4, 5 jed- nakih delov! Sekstant določene krožnice najdeš, ako načrtaš tetivo, ki je jednaka polumeru. Dva sekstanta stvorita tretji del krogo- vega oboda. Določeno krožnico razdeliš na 4 jednake dele, ako narišeš dva premera, ki stojita drugi na drugem pravokotno. Peti del krogovega oboda meri 72°; istotoliko znaša pri¬ padajoči obsrediščni kot. Ce torej narišeš s pomočjo kotomera v krogovem središči kot 72°, dobiš med krakoma tega kota lok, ki je jednak petemu delu določene krožnice. Slika! 5. ) Načrt a j iz določene točke A krog, ki se dotika določene premice CD\ Polumer iskanega kroga je jednak pravokotnici, katero spustiš iz določene točke A na določeno premico CD. Slika! 6. ) Načrtaj z določenim polu mero m r krog, ki se dotika določene premice AB v določeni točki C\ Središče iskanemu krogu najdeš, ako postaviš v točki C pravokotnico na AB ter jo napraviš jednako daljici r. Slikal 7. ) Načrtaj z določenim polumer o m r krog, ki gre skoz dve določeni točki A in B\ Ako narišeš iz točk A in B loka s polumerom r, najdeš v presečišči teh lokov krogovo središče. Slika! 60 8. ) Načrtaj krog, ki gre skoz dve določeni točki A in B, in katerega središče leži v določeni premici CD\ Spoji točki A m B ter poišči tej daljici somernico! Točka O, v kateri seče ta somernica premico CD, je krogovo središče; razdalja točke O od točke A je polumer. Slika! 9. ) Načrtaj krog, ki se dotika določene pre¬ mice AB v določeni točki C in gre skoz določeno točko D zunaj te premice! Postavi v točki C pravokotnico na AB, spoji točki C in D ter poišči tej daljici somernico! Točka O, v kateri seče pravo- kotnica somernico, je središče iskanemu krogu. Slika! 10. ) Načrtaj določenemu krogu tangento, kije vzporedna z določeno premico AB\ Nariši iz krogovega središča pravokotnico na premico AB\ Točka, v kateri seče ta pravokotnica krožnico, je dotikališče iskani tangenti. Slika! Koliko tangent najdeš? 11. ) Nariši tangento na določeni krog iz dolo¬ čene točke A, ležeče zunaj tega kroga! Spoji določeno točko A (slika 91.) s središčem O določe¬ nega kroga ter načrtaj nov krog tako, da mu bo daljica A O premer! Ta krog seče dolo¬ čeni krog v točkah B in C. Ge spojiš točko B s točko A, dobiš daljico AB, ki ima z določenim krogom skupno točko B, in polumer OB tega kroga stoji pravokotno na AB; kajti kot OBA je z ozirom na drugi (desni) krog kot v polukrogu in zato pravi kot. Daljica AB je torej tangenta krogu s središčem O. Iz istega razloga je tudi daljica AC tangenta krogu s središčem O. Ker sta trikotnika AOB in AOC skladna po tretjem izreku o sklad¬ nosti (v katerih sestavinah se ujemata?), morajo vse istoležne sestavine teh dveh trikotnikov biti jednake, t. j. tangenti AB in AC ste jednaki, kota pri A sta jednaka, in kota pri O istotako. Daljica AO je torej kotoma BAC in BOC somernica. Slika 91. t 61 Slika 92. § 36. Četverokotnik v obče. Ako spojimo štiri v ravnini ležeče točke A, B, C, D (slika 92.) zaporedoma z daljicami, stvorimo raven lik, ki se imenuje četverokotnik. Da pa četverokotnik nastane na ta način, ne smejo tri izmed določenih točk ležati v jedni in isti premici. Četverokotnik je raven lik, katerega meje štiri daljice. Daljice AB, BC, CD in DA imenujemo stranice, točke A, B, C in D oglišča, kote a, b, c in d, katere tvorijo stranice, no¬ tranje četvero kotnikove kote. Vsoti vseh stranic pravimo četverokotnikov obseg. Osmero sestavin, štiri stranice in štirje koti, sestavljajo četverokotnik. Oglejmo si medsebojno lego teh sestavin! Stra¬ nici AB leži nasproti stranica CD, kotu a je nasproten kot c. Stranici AB sta kota a in b priležna, kota c in d pa nasprotna. Kot a oklepate stranici AB in AD, stranici BC in CD pa mu ležite nasproti, i. t. d. Oglišče nastane tam, kjer se stikate dve stranici. Oglišči A in B ležite v jedni in isti stranici in se imenujete priležni oglišči; oglišči Al in C pa ne ležite v jedni in isti stranici in se zovete nasprotni oglišči. Daljica AC, ki spaja dvoje nasprotnih oglišč, imenuje se diagonala ali prekotnica. Koliko diagonal ima četverokotnik? Vsaka diagonala deli četverokotnik na dva trikotnika. Notranji koti teh dveh trikotnikov tvorijo skupaj notranje četverokotnikove kote. Primerjaj sliko 92.! Kolika je vsota notranjih trikotnikovih kotov? Koliko znašajo torej notranji četverokotnikovi koti skupaj ? V četverokotniku znaša vsota vseh notranjih kotov štiri prave kote ali 360°. Jeden izmed notranjih četvei - okotnikovih kotov utegne biti izbočen. Na četverokotnike z izbočenim notranjim kotom se ne bomo ozirali, temveč spoznavati hočemo lastnosti le takšnih četverokotnikov, ki imajo le otle kote. Četverokotnik = das Viereck. Pojasnilo. Stranice. Oglišča. Notranji koti. Obseg. Četverokotni¬ kove sestavine in njih medsebojna lega. Priležna in nasprotna oglišča. Prekotnica = die Diagonale. Lastnost notra¬ njih četverokot- nikovih kotov. 62 Koliko sestavin določuje četverokotnik. Lastnost vnanjih četverokotni- kovih kotov. Četverokotnik načrtamo in določimo popolnoma, ako določimo in narišemo oba trikotnika, ki sestavljata četverokotnik. Trikotnik ABC (slika 92.) določujejo tri sestavine popolnoma, n. pr. dve stranici in jeden kot. Da določimo tudi trikotnik ACD popolnoma, treba je razun stranice AC, katero že določuje tri¬ kotnik ABC, še dveh sestavin. Pet sestavin torej določuje četverokotnik ABCD popolnoma. Ako podaljšamo v četverokotniku ABCD (slika 92.) vse stranice v istem smislu, dobimo štiri vnanje kote e, f, g in h, ki so notranjim kotom sokoti. Koliko dvojic sokotov je v sliki 92. ? Koliko pravili kotov tvorijo te dvojice skupaj ? Koliko znaša vsota vseh notranjih kotov? Koliko ostane torej za vse vnanje četverokotnikove kote? V četverokotniku znaša vsota vseh kotov štiri prave kote ali 360°. vnanjih Slika 93. Paralelogram = das Parallelogramm. Trapez = das Trapez. Trapezoid = das Trapezoid. Z ozirom na lego nasprotnih stranic razvrščujemo četvero¬ kotnike: 1.) na paralelograme ali vzporednike, v katerih ste po dve nasprotni stranici vzporedni; 2.) na trapeze, v katerih ste dve nasprotni stranici vzporedni, drugi dve pa nevzporedni; 3.) na trapezoide, v katerih ni nobedne stra¬ nice s katero drugo vzporedne. Primerjaj sliko 93.1 Povej in zapiši, katere stranice so vzporedne v sliki 93. I., oziroma v sliki 93. II.! § 37. Paralelogram v obče. Oglejmo si notranje kote v paralelogramu ABCD (slika 94.)! Priležna kota a in b sta prikota, ležeča na vzporednicah AD in BC, in zato suplementarna. Iz istega razloga so suplemen- tarni tudi vsi drugi priležni koti, kakor b in c, c in d, d in a. 63 Imenuj vzporednice in prednice za navedene dvojice priležnih kotov! — Nasprotna kota a in c imata isti suplementarni prikot b (ali d), in sta zato jednaka. Iz istega razloga sta jednaka tudi nasprotna kota b in d. V vsakem paralelogramu sta p‘o dva priležna kota suplemen tarna, po dva nasprotna kota pa jednaka. Ako je v določenem paralelogramu jeden izmed notranjih kotov poševen, morajo po navedenem izreku biti poševni tudi vsi drugi notranji koti; če pa je jeden notranjih kotov prav, so pravi tudi vsi drugi notranji koti. Paralelogram, v katerem so vsi koti poševni, imenuje se poševno koten; paralelogram pa, v katerem se nahajajo le pravi koti, zove se pravokoten. Slika 94. Slika 95. Ako spojimo v paralelogramu ABCD (slika 95.) nasprotni oglišči A in C, razdelimo paralelogram na trikotnika ABC in ACD, ki sta skladna po prvem izreku s> skladnosti. Kajti ta dva trikotnika imata stranico AC skupno, kota m in p sta izmenična kota, ležeča na vzporednicah AD in BC, in zato jednaka; iz istega razloga sta tudi kota n in o jednaka. Ker ležijo v skladnih trikotnikih jednakim kotom nasproti jednake stranice, morate v našem slučaji vzporednici AB in CD biti jednaki; isto velja tudi o vzporednicah AD in BC. Vsaka diagonala deli paralelogram na dva skladna trikotnika. V vsakem paralelogramu ste po dve nasprotni stranici jednaki. Zadnjo lastnost izražamo tudi tako-le: Vzporednice med vzporednicama so jednake. Ako ste v določenem paralelogramu dve stikajoči se stranici jednaki, morajo po navedenem izreku biti vse stranice Lastnost notranjih parale¬ logram o vi h kotov. Poševnokotni paralelogram = das schiefvvink- lige Parallelo- gramm. Pravokotni para¬ lelogram = das rechtwinklige Parallelogramm. C Lastnost paralelogramo- vih stranic. 64 Jednakostranični paralelogram = das gleichseitige Parallelogramm. Raznostranični paralelogram = das ungleich- seitige Parallelogramm. Razdalja dveh vzporednih premic. Paralelogramova osnovnica in višina. Lastnost para- lelogramovih diagonal. jednake. Tak paralelogram se imenuje j e d na k o s tr aničen ; paralelogram pa, v katerem ste dve stikajoči se stranici nejed- naki, zove se raznostrani čen. Načrtujmo dve vzporedni premici LM in NO (slika 96.) ter spustimo iz točk A-in B, ki ležite v vzporednici LM, pravokotnici A C in BD na vzporednico NO ! Kota a in b sta protikota in sta jednaka, ker sta prava; pravo¬ kotnici A C in BD ste torej vzporedni, in- četverokotnik CDBA j e potem paralelogram. V paralelogramih so nasprotne stranice jednake. Ali stojite daljici A C in BD tudi na vzporednici LM pravokotno? Zakaj? Vse točke, ki ležijo v jedni izmed dveh vzpo¬ rednih p'remic, so jednako oddaljene od druge vzporedne premice. To lastnost izražamo tudi tako - le: Pravokotnice med vzporednicama so jednake. Eazdaljo dveh vzporednih premic določuje pravokotnica, katero narišemo med dotičnima vzporednicama. Stranico, na ka¬ tero si mislimo paralelogram postavljen, imenujemo osnovnico, in pravokotnico od nasprotne stranice na osnovnico zovemo višino. Ako načrtamo v dolo¬ čenem paralelogramu ABCD (slika 97.) obe diagonali, raz¬ delimo paralelogram na štiri trikotnike, izmed katerih sta po dva, ležeča na nasprotnih stranicah, skladna. Tako sta n. pr. v sliki 97. trikotnika ABO in CD O skladna po prvem izreku o skladnosti; kajti ta dva trikotnika se ujemata v stranicah AB in CD in v kotih, ki so tema stranicama priležni. Zakaj sta kota m in p, oziroma kota n in o, jednaka? Ce sta pa trikotnika ABO in CD O skladna, morajo jednakim kotom nasprotne stranice BO in DO, oziroma AO in CO, biti jednake, t. j. diago- nalino presečišče 0 deli vsako diagonalo na dva jednaka dela. V vsakem paralelogramu razpolavljate diago¬ nali druga drugo. Slika 96. L< -T - T -> M N "r- O 65 Paralelograme razvrščujemo: 1.) na romboide, 2.) na rombe, 3.) na pravokotnike, 4.) na kvadrate. Pri¬ merjaj sliko 98.! Romboidovi koti so poševni, in stikajoče se stranice so nejednake. Rombovi koti so poševni, in vse stranice so jed- nake. Pravokotni ko vi koti so pravi, in stikajoče se stranice so nejednake. Kvadratovi koti so pravi, in vse stranice so jednake. § 38. Romb. Načrtajmo v določenem rombu ABCD (slika 99.) diagonali! Nasprotni oglišči B in D ste od krajišč diagonale A C jednako oddaljeni in zato morate ležati v somernici diagonale AC. Diagonala BD je torej somernica diagonale A C. Ker je pa potem diagonala BD tudi somernica jednakokrakih trikotni¬ kov ACB in ACD, in ker ta tri¬ kotnika tvorita romb, mora torej diagonala BD biti tudi rombova so¬ mernica. Isto velja o diagonali AC. V rombu stojite diagonali pravokotno druga na drugi. Romb je someren stvor; vsaka diagonala mu je somernica. Matek, Geometrij a. 5 Slika 99. Romboid = das Rhomboid. Romb = der Rhombus. Pravokotnik = das Rechteck. Kvadrat = das Quadrat. Rombove lastnosti. 66 Pravokotnikove lastnosti. •Ker je diagonala AC somernica rombovih kotov pri A in C, mora vsaka njenih točk biti jednako oddaljena od krakov kota pri A, oziroma od krakov kota pri C. Iz istega razloga je pa tudi vsaka točka diagonale BD jednako oddaljena od krakov kota pri B, oziroma od krakov kota pri D. Presečišče O obeh diagonal mora torej biti jednako oddaljeno od vseh štirih rom¬ bovih stranic, in smatrati ga smemo za središče kroga, ki se dotika vseh teh stranic. Ta krog je rombu včrtan, romb pa je krogu očrtan. Vsakemu rombu se da krog včrtati. § 39. Pravokotnik. Načrtajmo v pravokotniku ABCD (slika 100.) diagonali! Trikotnika ABC in ABD sta skladna po drugem izreku o sklad¬ nosti. V katerih sestavinah se uje¬ mata? Ker ležijo v skladnih tri¬ kotnikih jednakim kotom nasproti jednake stranice, morate v našem slučaji biti diagonali A C in BD jednaki. V pravokotniku ste dia¬ gonali jednaki. Ker diagonali vsakega pa¬ ralelograma razpolavljate druga drugo, in ker ste pravokotnikovi diagonali jednaki, mora torej njuno presečišče O biti jednako oddaljeno od vseh pravokotnikovih oglišč, in smatrati ga smemo za središče kroga, ki gre skoz točke A, B , C in D. Ta krog je pravokotniku očrtan, pravokotnik pa je krogu včrtan. Vsakemu pravokotniku se da krog očrtati. Ako narišemo pravokotnikovi stranici AH somernico MN, razdelimo pravokotnik ABCD (slika 100.) na dva dela (manjša pravokotnika), ki pokrijeta drugi drugega, če zavrtimo jednega teh delov okoli MN. Premica MN je torej pravokotnikova somernica. Pravokotnik j e someren stvor; some r niče pravo¬ kotnikovih stranic so tudi pravokotnikove somer- nice. Koliko somernic ima pravokotnik? Primerjaj sliko! Slika 100. 67 § 40. Kvadrat. Na isti način kakor pri rombu in pravokotniku najdemo na kvadratu te-le lastnosti: Kvadratovi diagonali ste jednaki in stojite pravokotno druga na drugi. Vsakemu kvadratu se da krog včrtati in očrtati. Kvadrat je someren stvor; vsaka diagonala in vsaka so m er niča njegovih stranic mu je somernica. Koliko somernic ima kvadrat? Presečišče kvadra- tovih diagonal je od vseh oglišč in od vseh stranic j e d n a k o oddaljeno; ime¬ nujemo ga kvadratovo središče. Primerjaj sliko 101.! § 41. Trapez v obče. Načrtajmo trapez in oglejmo si njegove notranje kote (slika 102.)! Kota a m d sta nevzporednici AD priležna, sta prikota in suplementarna, ker ste presekani premici AB in CD vzporedni. Iz istega razloga sta tudi kota b in c suplementarna. V vsakem trapezu so koti, ki ležijo na nevzpo- rednicah, suplementarni. Vsaka izmed vzporednih stranic AB in CD (slika 102.) utegne biti trapezu osnovnica. Razdalja med vzporednima stranicama se zove trapezova višina. Ako načrtamo skoz oglišče C premico, ki je vzporedna s tra- pezovo nevzporednico AD, razdelimo določeni trapez na para¬ lelogram AECD in na trikotnik EBC. Primerjaj sliko! V paralelogramu AECD je osnovnica AE jednaka krajši trapezovi vzporednici CD, in stikajoča se stranica AD je jedna trapezovih nevzporednic. V trikotniku EBC je osnovnica EB jednaka razliki trapezovih vzporednic, drugi dve trikotnikovi stranici pa ste trapezovi nevzporednici. Kota a in b, ki ležita na daljši trapezovi 5 » Slika 102. Slika 101. A Kvadratove lastnosti. Kvadratovo središče = der Mittelpunkt des Quadrates. Lastnost notra¬ njih trapezovih kotov. Trapezova osnovnica in višina. 68 Trapezova srednica = die Mittellinie des Trapezes. vzporednici, nahajata se tudi v trikotniku EBC\ ta dva kota sta osnovnici EB priležna. Zakaj je <£ BEC — «'? Razpolovimo v določenem trapezu ABCD (slika 103.) jedno izmed nevzporednic, n. pr. AD, ter načrtajmo skoz razpolovišče E daljico EF tako, da je vzporedna s stranico AB\ Daljico EF imenujemo trapezovo srednico, in nje lastnosti hočemo v naslednjem spoznavati. V ta namen podaljšajmo krajšo trape¬ zovo vzporednico CD ter narišimo skoz točko E premico, ki je vzporedna s stranico BC\ Ta premica seče vzporednico AB v točki H in podaljšano vzporednico CD v točki G. V sliki dobimo potem tri paralelograme in dva trikotnika. Imenuj vse tri paralelograme! Povej stra¬ nico, ki je vzporedna in jed¬ naka BF, oziroma FC\ Tri¬ kotnika AEH in ED G sta skladna po prvem izreku o skladnosti. V kateri stranici in v katerih kotih se ujemata? (Zakaj je stranica AE — ED ? Zakaj sta kota a in b, oziroma kota c in d , jednaka?) Iz skladnosti navedenih trikotnikov izvajamo, da je HE = EG in AH = D G. Če ste pa stranici HE in EG jednaki, morate biti jednaki tudi stranici BF in FC, ker je HE = BF in EG == FC (zakaj ?), t. j. trapezova sred¬ nica razpolavlja trapezovo ne vzporednico BC. — Vzporednice med vzporednicama so jednake; zato je trapezova srednica EF = IiB = CG. Stranica HB je za AH manjša nego trape¬ zova vzporednica AB, stranica CG pa je za D G večja nego trapezova vzporednica CD. Ker ste daljici AH in D G po po¬ prejšnjem jednaki, mora torej vsota obeh trapezovih vzporednic znašati istotoliko, kolikor znašate stranici HB in CG skupaj, ali vsaka izmed stranic HB in CG je jednaka polovici vsote trapezovih vzporednic AB in CD. Primerjaj sliko! Trapezova srednica razpolavlja obe trapezovi nevzporednici. Trapezova srednica je jednaka polovici vsote obeh vzporednih stranic, v znakih: Slika 103. EF— AB+CD 7 ali: EF — \ (AB -f- CD). 2 69 § 42. Jednakokraki trapez. Slika 104. Trapez, v katerem ste nevzporedni stranici AJD in BC (slika 104.) jednaki, imenuje se jednakokraki trapez ali antiparalelogram; nevzporedni stranici se zovete kraka. Ako načrtamo skoz oglišče C vzpored¬ nico s krakom AD, razpade trapez na paralelogram AECD in na jed¬ nakokraki trikotnik EBC. Zakaj je ta trikotnik jednakokrak? Kota a in b, ležeča na trikotnikovi osnov¬ nici EB, sta torej jednaka. Ker sta kota c in d suplementarna s kotoma a in b, morata biti v našem slučaji tudi jednaka. V j ednakokrakem trapezu sta kota na vsaki vzporednici jednaka. Ako načrtamo vzporedni stranici AB jednakokrakega tra¬ peza ABCD (slika' 105.) somernico MN, razdelimo trapez na dva dela (manjša trapeza), ki pokrijeta drugi drugega, če zavrtimo jednega tek delov okoli MN. Ker je potem premica MN tudi somer- nica trapezove vzporednice CD, je vsaka točka somernice JflVjednako oddaljena od oglišč A in B, oziroma od oglišč C m D. V premici MN mora se torej nahajati tudi točka O, ki je od vseh štirih trapezovih oglišč jednako oddaljena. Ta točka mora zato ležati tudi v somernicah trapezovih nevzporednic. Točka O je središče kroga, ki je trapezu očrtan. Slika 105. JV A Jednakokraki trapez je someren stvor; somer- nica trapezovih vzporednic je tudi trapezova so¬ me r n i c a. Vsakemu jednalcokrakemu trapezu se da krog očrtati. Središče očrtanega kroga najdeš, ako na¬ vrtaš dvema stikajočima se stranicama somernici. Jednakokraki trapez = das gleichschenklige Trapez oder Anti- parallelogramm. Lastnosti jednakokrakega trapeza. 70 Deltoid = das Deltoid. Deltoidove lastnosti. § 43. Deltoid. Deltoid je trapezoid, v katerem ste dve stikajoči se stranici jednaki, drugi dve stranici tudi jednaki, toda od prvih dveh različni. Tako je v deltoidu ABCD (slika 106.) stranica AB — AD in CB — CD. Oglišči 4 in C, v katerih se sti¬ kate po dve jednaki stranici, imenujemo oglišči jednaki h stranic, oglišči B in D pa, v katerih se stikate po dve ne- jednaki stranici, zovemo Slika 106. oglišči nejednakih stranic. Diagonala A C je somernica diagonale BD ; kajti vsaka izmed točk A in Cje od krajišč diagonale BD jednako oddaljena. Diagonala AC je tudi deltoidova somernica; kajti trikot¬ nika ACB in ACD sta skladna po četrtem izreku o skladnosti in pokrijeta drugi drugega, če zavrtimo jednega teh trikotnikov okoli deltoidove diagonale AC. Ker sta navedena trikotnika skladna, morata deltoidova kota pri B in D biti jednaka. Z ozirom na diagonalo BD je deltoid sestavljen iz dveh jednako- krakih trikotnikov, ki stojita na isti osnovnici BD. Primerjaj sliko! V deltoidu stojite diagonali pravokotno druga na drugi. Deltoidova diagonala, ki spaja oglišči jedna- kih stranic, je somernica druge diagonale. Deltoid je someren stvor; diagonala, ki spaja oglišči jednakih stranic, mu je somernica. V deltoidu sta kota, ležeča ob ogliščih nejed¬ nakih stranic, jednaka. Ker je diagonala AC somernica deltoidovih kotov pri A in C, je vsaka njenih točk jednako oddaljena od krakov kota pri A, oziroma od krakov kota pri C. V diagonali AC mora se torej nahajati tudi točka O, ki je od vseh štirih deltoidovih stranic jednako oddaljena. Ta točka mora zato ležati tudi v somernicah deltoidovih kotov pri B in D. Točka O je središče kroga, ki je deltoidu včrtan. 71 Vsakemu deltoidu se d4 krog včrtati. Središče včrtanega kroga najdeš, ako narišeš dvema p r i - ležnima kotoma somernici. § 44. Naloge. 1.) Načrt a j kot, katerega kraka stojita pravo¬ kotno na krakih določenega kota BAC, ter mu do¬ loči velikost z ozirom na kot BAC\ a) Ako si izberemo za vrh iskanega kota točko D (slika 107.), ki leži zunaj kotnine določenega kota BAC, ter načrtamo na kraka AB in A C pravokotnici DE in D F, stvorimo trikotnika AEH in DFH , ki se ujemata v kotih b in e (prava kota) in v kotih c in f (sovršna kota); navedena trikotnika morata se torej tudi ujemati v kotih a in d. Dva kota, katerih kraki stoje pravokotno drugi na drugem, sta jednaka, ako leži vrh j e d - nega teh kotov zunaj kotnine drugega kota. Slika 107. Slika 108. b) Ako si izberemo za vrh iskanega kota točko L (slika 108.), ki leži v kotnini določenega kota BAC, ter načrtamo na kraka AB in A C pravokotnici LM in LN, stvorimo četverokotnik AMLN, v katerem sta kota pri M 'm N prava; kota pri A in L morata torej biti suplementarna. Dva kota, katerih kraki stoje pravokotno drugi na drugem, sta suplementarna, ako leži vrh jednega teh kotov v kotnini drugega kota. 2.) Razdeli določeno daljico ABna, 5 jednakih delov! Načrtajmo skoz krajišče A (slika 109.) določene daljice polutrak AC, narišimo na njem 5 jednakih daljic AD = DE — EF — FG = GH, spojimo zadnje razdelišče H z daljičinim 72 Slika 109. krajiščem B ter načrtajmo skoz razdelišča D. E , F, G vzpo¬ rednice z daljico HB\ Te vzporednice razdelijo daljico AB na 5 jednakih delov. Da je res n. pr. LM = AJ, prepričaš se, ako narišeš skoz točko F daljico FN vzporedno z AB\ kajti trikotnika ADJ in FGN sta skladna po prvem izreku o skladnosti. V kateri stranici in v katerih kotih se ujemata? Iz skladnosti navedenih tri¬ kotnikov izvajamo, da je AJ — FN. Iz slike spoznamo takoj, da je FN — LM\ torej mora daljica AJ biti jednaka daljici LM. Na isti način do¬ kažemo tudi, da so daljice JK, KL in MB posamič jednake AJ. Oglej si trikotnik AHB (slika 109.)! Stranico AH smo razdelili na 5 jednakih delov, skoz razdelišča smo načrtali vzporednice s stranico HB, in na stranici AB smo dobili 5 jednakih daljic. Poskusi to lastnost izreči v ličnem stavku! Oglej si trapez EHBK (slika 109.)! Trapezovo nevzpo- rednico EH smo razdelili na 3 jednake dele, skoz razdelišča smo načrtali vzporednice s trapezovima vzporednicama, in na trapezovi nevzporednici BK smo dobili 3 jednake dele. Povej to lastnost v ličnem stavku! Slika 110. a * C a > A 3.) Načrtaj pravokotni trikotnik, kateremu je jedna kateta jednaka določeni daljici a in kot, ki leži tej kateti nasproti, jed n ak določene mu kotu ml Načrtaj pravi kot BAC (slika 110.), prenesi določeno daljico a na j eden krak tega kota od točke A do točke C, 73 nariši skoz točko C vzporednico s krakom AB ter načrtaj na vzporednici CD določeni kot m ! V trikotniku, ki ga na ta način stvoriš, je kot pri B jednak kotu m ; kajti kota DCB in CBA sta izmenična kota, ležeča na vzporednicah, in zato jednaka. a b e Slika 111. 4.) Načrtaj trikotnik, kateremu ste določeni daljici a in b stranici in določena daljica e višina, ki pripada stranici a\ Daljica a bode iskanemu trikotniku osnovnica in daljica e višina. Načrtaj daljico AB — a (slika 111.), postavi na AB pravokotnico AD — e ter nariši skoz točko D vzporednico z AB\ V tej vzporednici mora ležati vrh iskanega trikotnika. Ako načrtaš potem iz točke B lok s polumerom daljice h, določil si v presečišči C tretje oglišče iskanega trikotnika ABC. Slika 112. a 'c 5.) Načrtaj trikotnik, kateremu ste določeni daljici a in b stranici in določena daljica e višina, ki pripada tre tj i (neznani) trikotnikovi stranici! V tej nalogi treba je iskanemu trikotniku določiti osnov¬ nico. V to svrho načrtaj premico MN (slika 112.), postavi na MN pravokotnico DC = e ter nariši iz točke C n. pr. na desno stran lok s polumerom a, na levo stran pa lok s polu¬ merom b\ Ta dva loka določita v premici MN drugo in tretje oglišče iskanega trikotnika ABC. 74 6.) Načrtaj pravokotni trikotnik, kateremu je določena daljica« hipotenuza in določena daljicae višina, ki pripada hipotenuzi a! Slika 113. Načrtaj nad daljico AB — a (slika 113.) polukrog, postavi na AB pravokotnico AD = e ter nariši skoz točko D vzpo¬ rednico z AB\ Presečišče C te vzporednice s polukrogom je tretje oglišče iskanega trikotnika ABC. Zakaj je ACB pravi kot? Ali se da ta naloga razrešiti samo na jeden način? Kedaj ne moreš razrešiti te naloge? Slika 114. 7.) Načrtaj z določenim polumerom r krog, ki se dotika dveh določenih nevzporednic AB in CD ! Postavi na premico AB (slika 114.) pravokotnico EF = r ter načrtaj skoz točko F vzporednico z AB ; potem postavi na premico CD pravokotnico GH — r ter nariši skoz točko H vzporednico z CD ! Navedeni vzporednici se sečete v točki O, ki ima od določenih premic AB in CD razdaljo r. Točka O je torej iskanemu krogu središče. ! 75 § 45. Mnogokotnik v obče. Ako spojimo pet, šest ali več v ravnini določenih točk zaporedoma z daljicami, stvorimo raven lik, ki se imenuje mnogokotnik (slika 115.). Daljice, ki meje mnogokotnik, zovejo se stranice, točke, v katerih se stranice stikajo, oglišča, in koti, katere tvorijo stranice, notranji mnogo- kotnikovi koti. V vsakem mnogokotniku je ravno toliko stranic, kolikor je oglišč, in ravno toliko oglišč, kolikor slika H5. je notranjih kotov. Stranice E in notranji koti se imenujejo mnogokotnikove sesta¬ vine. Vsaki stranici sta dva notranja kota priležna; vsak kot oklepate dve stranici. ** \ \ ; / ,) C Oglišča, ki ne ležijo v jedni in isti stranici, zovejo se na¬ sprotna oglišča. Daljica, ki spaja dvoje nasprotnih oglišč, imenuje se diagonala. Po številu stranic (ali notranjih kotov) razvrščujemo mnogokotnike na petero-, šestero-, sedmero- kotnike, i. t. d. Ako načrtamo iz jednega in istega oglišča vse mogoče diagonale, razdelimo mnogokotnik na trikotnike. Iz vsakega oglišča moremo načrtati tri diagonale manj, kakor ima mnogo¬ kotnik stranic; kajti vsakemu mnogokotnikovemu oglišču je dvoje oglišč priležnih, to so skupaj tri oglišča, h katerim ne moremo načrtati diagonal. Primerjaj oglišča A, B m G v sliki 115.! Število trikotnikov, na katere razpade mnogokotnik, je za dve manjše ko število mnogokotnikovih stranic: kajti v vsakem trikotniku se nahaja po jedna mnogokotnikova stranica, le v prvem in zadnjem trikotniku se nahajate po dve mnogo- kotnikovi stranici, t. j. v dveh trikotnikih na krajih se nahaja po jedna mnogokotnikova stranica več ko v srednjih trikotnikih. Primerjaj sliko 115.! Ako spojimo točko O (slika 116.), ki leži znotraj do¬ ločenega mnogokotnika, z vsemi oglišči, razdelimo mnogokotnik na toliko trikotnikov, kolikor je stranic. Notranji koti teh Mnogokotnik = das Vieleck oder Polygon. Stranice. Oglišča. Notranji koti. Mnogokotnikove sestavine. Nasprotna oglišča. Diagonala. Diagonale iz jednega in istega oglišča. 76 Lastnost notranjih mnogo- kotnikovih kotov. Vnanji mnogo- kotnikovi koti in njih lastnost. Skladni mnogokotniki. trikotnikov tvorijo skupaj mnogokotnikove kote in jeden polni kot (t. j. 4 prave kote), ki leži okoli točke O. Primerjaj sliko 116.! Kolika je vsota notranjih kotov vsakega tri¬ kotnika? V vsakem mnogokotniku znaša to rej vsota vseh notranjih kotov tolikokrat dva prava kota, kolikor ima mnogokotnik stranic, manj štiri prave kote. N. pr. Peterokotnikovi koti znašajo 5 krat po 2R, manj 4iž= 6iž, t. j. 6krat 90° = 540°; šesterokotnikovi koti znašajo 6krat po 2R, manj 4 R = 8R, t. j. 8krat 90° — 720°; i. t. d. V mnogokotniku uteg¬ nejo notranji koti biti ostri, pravi, topi in nekateri tudi izbočeni. Na mnogokotnike z izbočenimi notranjimi koti se ne bomo ozirali. Ako podaljšamo vse mnogokotnikove stranice v istem smislu, dobimo vnanje mnogokotnikove kote, ki so sokoti priležnim notranjim kotom. Primerjaj sliko 116.! V peterokotniku n. pr. tvorijo notranji in vnanji koti skupaj 5 dvojic sokotov, t. j. 10A. Ako odštejemo od te vsote notranje kote, t. j. 6 R, ostanejo za vse vnanje kote še 4 R. Na isti način izračunamo vsoto vnanjih kotov pri vsakem mnogokotniku; znesek je vedno isti, namreč 4 R. Vsota vseh vnanjih mnogokotnikovih kotov znaša 4 R ali 360°. Ako položimo dva mnogokotnika drugega na drugega, in ako najdemo, da se pokrivata popolnoma, pravimo: mnogo- kotnika sta skladna. Dva mnogokotnika pokrivata tudi drugi drugega popolnoma, ako sta v istem smislu sestavljena iz skladnih trikotnikov. Mnogokotnik določimo popolnoma, ako določimo trikotnike, ki sestavljajo mnogokotnik. Slika 116. 77 § 46. Pravilni mnogokotnik. Vsak mnogokotnik, ki ima jednake stranice in jednake Pravilni mnogo- notranje kote, imenuje se pravilni mnogokotnik. regeimafiige oder Ako razpolovimo v pravilnem mnogokotniku ABCDEF re s ulare Vieieck. (slika 117.) priležna kota pri A in B ter podaljšamo razpolov- nici, da se sežete v točki O, stvorimo jednakokraki trikotnik ABO. Zakaj je ta trikotnik jednakokrak? Ce spojimo potem točko O z vsemi drugimi oglišči, nastane iz določenega mnogo- kotnika toliko skladnih trikotnikov, kolikor stranic ima mnogo¬ kotnik. Da so trikotniki ABO, BCO, CD O, i. t. d. res skladni, uvidimo tako-le. Trikotnika ABO in BCO sta skladna po drugem izreku o skladnosti. Ce zavrtimo trikotnik ABO okoli stranice BO, pokrije ta trikotnik popolnoma tri¬ kotnik BCO ; kot OCB mora torej biti polovica mnogokotnikovega kota pri C, kakor je kot OAB polovica mnogokotnikovega kota pri A. Potem sta pa tudi trikotnika Slika 117 BCO in CD O skladna po drugem izreku o skladnosti, in iz Vieleckes. Središče pravilnega mnogokotnika = te skladnosti izvajamo na isti način kakor poprej, da jc kot ODC der Mitteipunkt polovica mnogokotnikovega kota pri D, i. t. d. Ker je trikotnik cies lcgularen ABO jednakokrak, morajo zaradi skladnosti tudi trikotniki BCO, CDO, i. t. d. biti jednakokraki, t. j. točka O je od vseh mnogokotnikovih oglišč jednako oddaljena. Ker so v skladnih trikotnikih istoležne višine jednake, je v našem slučaji višina OG = OH = OJ, i. t. d., to je, točka O je od vseh mnogo¬ kotnikovih stranic jednako oddaljena. Zaradi navedenih lastnosti) imenujemo točko O mnogokotnikovo središče. V vsakem pravilnem mnogokotniku se nahaja točka, ki ima jednake razdalje od vseh oglišč in jednake razdalje od vseh stranic. Mnogokotnikovo središče najdeš, ako razpoloviš dva priležna mnogokotnikova kota. Vsakemu pravilnemu mnogokotniku se da krog očrtati, oziroma včrtati. Lastnosti pravilnega mnogokotnika. 78 Somernice pravilnega mnogokotnika. Ako načrtamo stranici AB pravilnega mnogokotnika ABCDE (slika 118.) somernico, razdelimo mnogokotnik na dva dela, ki pokrijeta drugi drugega popolnoma, če zavrtimo n. pr. desni del okoli somernice AID. Kajti pri tem vrtenji pokrije daljica MB daljico MA, kot pri B pokrije kot pri A, stra¬ nica BC pokrije stranico AE, i. t. d. Kar velja o somernici stranice AB, velja tudi o somernici vsake druge mnogokotnikove stranice. Somernice mnogokotnikovih stranic so torej tudi mnogokotnikove somernice. Ako načrtamo mnogokotni- kovemu kotu pri A (slika 118.) somernico, razdelimo mnogokotnik ABCDE na dva somerno ležeča dela. Kajti ako zavrtimo desni del okoli kotove somernice AN, pokrije stranica AB stranico AE, kot pri B pokrije kot pri E, i. t. d. Kar velja o somernici kota pri A, velja tudi o somernici vsakega drugega mnogokotnikovega kota. Somernice mnogo¬ kotnikovih kotov so torej tudi mnogokotnikove somernice. Ponovi navedeno umovanje o somernicah tudi pri mnogo- kotniku v sliki 119.! Ako je število mnogokotnikovih stranic liho, kakor v sliki 118., stika se somernica vsake stranice s somernico na¬ sprotnega kota. Ce je pa število mnogokotnikovih stranic sodo, kakor v sliki 119., stikajo se somernice po dveh nasprotnih stranic in isto- tako tudi somernice po dveh na¬ sprotnih kotov. Vsak pravilni mnogo¬ kotnik je someren stvor; “ somernice njegovih st ranic in somernice njegovih no¬ tranjih kotov so ob jednem mnogokotnikove somernice. Pravilni mnogokotnik ima toliko somernic, kolikor ima stranic. Slika 119, N 79 Razdelimo obod določenega kroga na 'več jednakih delov ter spojimo ta razdelišča zaporedoma z daljicami (slika 120.)! Mnogokotnik ABCDEF, ki smo ga na ta način stvorih, ima jednake stranice'; kajti jednakim lokom pripadajo jednake tetive, in te tetive so v našem slučaji mnogokotnikove stranice. Da uvidimo, ali so koti našega mnogokotnika jednaki ali nejednaki, zavrtimo ga v mislih okoli krogovega središča 0 za toliko, da lok AB pokrije lok BC. Potem leži stranica AB na stranici BC, stranica BC na stranici CB, mnogo- kotnikov kot pri B pokriva mnogo- kotnikov kot pri C, i. t. d. Mnogo¬ kotnik ABCDEF ima torej jednake stranice in jednake kote ter je zato pravilen. Ako načrtamo skoz razde¬ lišča A, B, C, D , E, F krogovega oboda (slika 120.) tangente, stvo- rimo mnogokotnik GHJKLM, ki je tudi pravilen. Kajti ako zavrtimo v mislih ta mnogokotnik okoli krogovega središča O tako daleč, da dotikališče A pokrije dotikališče B, potem leži polumer OA na polumeru OB, in tangenta MG pokriva tangento GH, i. t. d. Ker druga lega našega mnogokotnika pokriva popolnoma prvo lego, mora torej mnogokotnik GHJKLM imeti jednake stranice in jednake kote ter je zato pravilen. Ako razdelimo krogov obod na več jednakih' delov, sotarazdeliščaobjednem ogliščavčrtanega in dotikališča očrtanega pravilnega mnogokotnika. Slika 120. Načrtavanje pravilnega mnogokotnika. Vadbe in naloge. § i. Kaj je geometrijsko telo? Po čem se razločuje geometrijsko telo od istinitega ? Imenuj nekatera telesa! V kolikero mer se razteza kocka (valj, krogla)? Imenuj te meri! Katera razsežnost se imenuje dolžina, katera širina, katera višina? — Kaj so ploskve? Kakšne ploskve se nahajajo na kocki, kakšne na valji, kakšne na krogli? V kolikero mer se razprostira ploskev ? Imenuj te meri! — Kaj so črte? Kakšne črte se nahajajo na kocki, kakšne na valji? Kje na¬ stanejo na telesu črte? V kolikero mer se razteza črta? Imenuj to mer! — Kaj so točke? Kje nastanejo na telesu točke? V kolikero mer se razteza točka? — Kateri so geometrijski stvori? Kaj uči geometrija? Kaj in čemu so telesni vzorci in slike? § 2 . Kako nastane črta, kako ploskev, kako telo? Ali nariše pre¬ mikajoča se črta vsigdar ploskev in premikajoča se ploskev vsigdar telo? Kako se mora črta premikati, da nastane ploskev, in kako ploskev, da nastane telo? Kakšne črte, ploskve in telesa razločujemo? Katera črta je prema, katera kriva? Kako spoznamo ravnino, kako krivo ploskev? Katero telo je oglato, katero okroglo? Imenuj oglato (okroglo) telo! § 3 . Kako delimo geometrijske stvore ? Kateri stvori so ravninski, kateri prostorski? Kaj je ravninomerstvo, kaj telesomerstvo? § 4 . Kako predočujemo, kako zaznamujemo točko? Koliko premih črt se da narisati skoz jedno, koliko skoz dve določeni točki? Kaj 81 določuje premi črti lego popolnoma? Kedaj se sečete dve premi črti? Kaj je presečišče? Kedaj pokrivate dve premi črti draga drugo? Kolikero lego utegne imeti prema črta z ozirom na našo zemljo? Katera prema črta je navpična, katera vodoravna, katera poševna? Kaj je premica ali trak, kaj polutrak, kaj daljica? Kaj je krajišče, in kje se nahaja? Koliko krajišč ima premica ali trak, koliko polu¬ trak, koliko daljica? Kako zaznamujemo daljico, kako polutrak, kako premico? Kaj je razdalja ali razstoj dveh točk, in na koliko načinov se zaznamuje? Čemu je ravnilo? Naloge. 1. ) Imenuj telesa, na katerih so a) navpične, b) vodoravne, c) poševne preme črte! 2. ) Načrtaj štiri točke v a) navpični, b) vodoravni, c) poševni meri! 3. ) Načrtaj a) tri navpične, b) tri vodoravne, c) tri poševne premice! 4. ) Načrtaj istotako tri polutrake in tri daljice! B.) Načrtaj štiri poševne daljice, in sicer a) od leve spodaj proti desni navzgor, b) od leve zgoraj proti desni navzdol! § 5 . Kako določimo, da ste dve daljici jednaki, in kako, da ste nejednaki? Katero orodje rabimo v to svrho? Opiši šestilo! Kako zaznamujemo jednakost in kako nejednakost dveh daljic? Kaj in kakšen je jednačaj, oziroma nejednačaj, in kedaj ju rabimo? Kaj pišemo v votlino, kaj pred vrh nejednačaja? ' Naloge. 1. ) Načrtaj dve jednaki daljici, ki ste a) vodoravni, b) navpični, c) poševni! 2. ) Načrtaj istotako dve nejednaki daljici! 3. ) Načrtaj istotako tri (štiri) jednake (nejednake) daljice! § 6 - Kako sešteješ dve določeni daljici, kako odšteješ manjšo od večje? Kako množiš, oziroma deliš določeno daljico s številom? Kaj so razdelišča? Kaj se pravi, daljico razpoloviti? Kaj je razpolovišče? Kako meriš daljice? Kaj je jednota dolgostne mere, in kako se imenuje ta jednota v javnem življenji? Imenuj nižje razdelke metra! Kaj je kilometer, kaj miriameter? Katera znamenja rabimo za dol¬ gostne jednote? Kaj je mersko število? Kaj je merilo, in kaj po¬ manjšano merilo? Matek, Geometrija. 6 82 Naloge. 1. ) Načrtaj dve nejednaki daljici AB in CD ter določi njiju vsoto in razliko! 2. ) Načrtaj tri (štiri) daljice ter določi njih vsoto! 3. ) Načrtaj daljico, ki je 2-, 3-, 4krat tolika kakor določena daljica ABl 4. ) Načrtaj daljico ter jo razpolovi a) na oko mereč, h) s pomočjo merila! 5. ) Načrtaj daljico ter jo razdeli na 3, 4 jednake dele a) na oko mereč b) s po¬ močjo merila! 6. ) Načrtaj dve nejednaki daljici ter izmeri daljšo s krajšo! Povej in zapiši, kolikokrat se nahaja krajša v daljši, in sicer ali brez ostanka, ali z ostankom! 7. ) Načrtaj s pomočjo pomanjšanega merila v sliki 12. daljice 7 • 3 m, 65 dm, 240 cm ! § 7 . Kaj je krožnica, kako nastane? (Krožnica je kriva črta; ona nastane i. t. d.). Kaj je krožnina, kako nastane? Kaj pomeni beseda krog? Kaj je obod, kaj krogovo središče, kaj polumer? Katero lastnost imajo polumeri istega kroga? Kaj je središčna razdalja kake točke? (Daljica, ki spaja dotično točko in krogovo središče.) Kolikero lego utegne točka imeti z ozirom na krog? Kedaj leži točka v krogu, kedaj znotraj kroga, kedaj zunaj kroga? Kaj je tetiva, kaj premer? Katero lastnost imajo premeri istega kroga? Kolik je premer z ozirom na polumer? Kolikero lego utegne premica imeti z ozirom na krog? Katera premica je sečnica, katera dotikalniea? Po čem se razlikuje sečnica od tetive? Kaj je dotikališče? Kaj je lok? Kateri loki se dado primerjati drugi drugim glede na svojo dolžino? Katere loke imenujemo jednake, katere nejednake? Kaj je polukrog, kako ga stvorimo? Kaj je krogov odsek, kaj izsek? Po čem se razlikujeta odsek in izsek? Kaj omejuje odsek, kaj izsek? Na kaj razdeli tetiva krožnico, na kaj krožnino? Kaj pripada tetivi? (Kateri lok, kateri odsek?) Kaj pripada loku? Katero lastnost imajo tetive, ki pripadajo jednakim lokom? Kakšni so loki, ki pripadajo jednakim tetivam istega kroga ali jednakib krogov? § 8 . Kakšna naloga se imenuje nedoločena, kakšna pa določena? Kaj je geometrijsko mesto? Ali je krog geometrijsko mesto, in ka¬ terih točk? Naloge. 1. ) Načrtaj krog, ki ima določeno točko A za središče in gre skoz določeno točko B\ 2. ) Načrtaj iz določene točke A krog s polumerom 1*5 cm\ 3. ) Načrtaj krog in prenesi ga, t. j. načrtaj krog, ki je prvemu jednak! 83 4. ) Poišči točko, ki ima od določene točke A razdaljo 1 • 6 cm ! (Na koliko načinov se da razrešiti naloga? Je-li naloga določena ali nedoločena?). 5. ) Načrtaj dve točki A in B, ki imate razdaljo 3 cm, in poišči drugo točko, ki ima od A in B razdaljo a) 2 cm, b) I b cm, c) l'2e/«! (Koliko razrešitev?) 6. ) Načrtaj dve točki A in B, ki ste 4 cm druga od druge oddaljeni, jin poišči drugo točko, ki je aj od A 2 • 5 cm in od B 1 ■ 5 cm, bj od A 2 cm in od B 3 cm, cj od A 1 cm in od B 2 cm oddaljena! (Koliko razrešitev?) 7. ) Načrtaj krog s pplumerom 2 cm in včrtaj mu tetivo, ki meri a) 15 cm, bi 3 cm, c) 4 cm ! (Koliko razrešitev ?) 8. ) Načrtaj krog s polumerom 1*8 cm in določi na njem 2, 3, 4 jednake loke! 9. ) Načrtaj lok s polumerom 1 • 5 cm in prenesi ga! § 9- Katere so jednote ločne mere ? Kako dobimo ločno stopinjo, ločno minuto in ločno sekundo ? Kaj je ločna stopinja, ločna minuta in ločna sekunda? Cernu so te jednote? Kaj je kvadrant, sekstant, oktant? Koliko stopinj meri krog, polukrog, kvadrant, sekstant, oktant? Ali moreš loke meriti tudi z dolgostno mero, in kako se godi to? V kateri meri imata dva nejednaka kroga jednaki merski števili, in v kateri meri ste njiju merski števili različni? Kakšni morajo biti loki, da se dado sešteti, odšteti i. t. d.? Naloge. 1. ) Načrtaj s polumerom 2 cm dva nejednaka loka ter določi njiju vsoto in razliko! 2. ) Načrtaj lok, ki je 2-, 3-, 4krat tolik kakor določeni lok s polumerom 2 5 cm! 3. ) Načrtaj s polumerom 2 3 cm lok ter ga razdeli na 2, 3, 4 jednake dele a) na oko mereč, b) poskušaje s šestilom! 4. ) Načrtaj s polumerom 2'6 cm dva nejednaka loka, določi s pomočjo šestila in zapiši, kolikokrat se nahaja manjši v večjem, in sicer ali brez ostanka, ali z ostankom! 5. ) Določi vsoto štirih lokov, ki merijo posamič 63° 15' o", 31° 48', 110° 52' 36", 98» 35' 44"! 6. ) Kolika je razlika lokov 124° 31' 25" in 89» 44' 36"? 7. ) Krogov obod se je razdelil na dva nejednaka dela; ako meri jeden 153» 43' 19", kolik je drugi? 8. ) Izračunaj, koliko meri lok a/ 37», bj 42° 35' cj 68° 39' 45" v sekundah! 9. ) Pomnoži lok: a) 5° 48', b) 8° 26' 35" z 9, 25, 37! 10. ) Koliko stopinj meri tretji, peti, deveti, deseti in dvanajsti del krogovega oboda ? 11. ) Določi polovico, tretji, četrti in peti del loka: a) 22°, b) 43° 51', c) 79» 35' 20"! 12. ) Razdeli lok: a) 13°, b) 28° 24', c) 67° 25' 30" na 6, 9, 15 jednakih delov! 13. ) Koliki del, krogovega oboda je lok, ki meri 10», 20°, 30°, 36°, 40°, 60», 120»? 14. ) Koliki del krogovega oboda je lok 2° 52' 48"? 15. ) Kolikokrat se nahaja 2° 1' 45" v 105» 32' 40"? B* 84 § io. Kaj je kot, kako nastane? Kako se imenujeta polutraka, ki tvorita kot? Kako se zove njiju skupno krajišče? Kako imenujemo med krakoma ležečo ploskev? Katero znamenje dajemo kotu? Kako zaznamujemo kot? Kaj določuje velikost kota? Kateri koti so jednaki, kateri pa nejednaki? Kako se prepričamo o jednakosti, oziroma o nejednakosti dveh kotov? Katero vrtenje imenujemo vrtenje na levo (na desno)? Kakšno vrtenje imata kazalca na uri? Koliko kotov tvorita dva polutraka s skupnim krajiščem, in katerega teh kotov razumevamo, kadar govorimo o kotu dveh polutrakov? Kako vi so koti po svoji velikosti? Kateri kot je polen, kateri iztegnen, kateri otel, kateri izbočen? Kakšne kote razločujemo med otlimi koti? Kateri kot je prav, kateri oster, in kateri top? Kateri koti so poševni? S katero črko zaznamujemo pravi kot? § H- Kako izmerimo določen kot? Katere so jednote kotne mere? Kako dobimo kotno stopinjo, kako kotno minuto, kako kotno sekundo? Koliko stopinj meri polni, koliko iztegnem, koliko izbočeni, koliko pravi, koliko ostri, koliko topi kot? Katero merjenje kotov se imenuje neposredno? Kateri kot se zove obsrediščni? Kaj sta kraka obsrediščnega kota z ozirom na krog? Ali se da vsak kot misliti kakor obsrediščni kot? Kaj je treba v to svrho storiti? Kaj pripada obsrediščnemu kotu? Kedaj so loki, ki pripadajo jednakim obsrediščnim kotom, jednaki, in kedaj nejednaki? Ali utegneta dva loka, ki pri¬ padata jednakima obsrediščnima kotoma, biti nejednaka? Ali pripa¬ dajo jednakim lokom vsikdar jednaki obsrediščni koti? Kaj pripada ločni stopinji, kaj ločni minuti, kaj ločni sekundi? Kako merimo kote posredno (s pomočjo pripadajočih lokov)? Kako si je treba tolmačiti izrek: lok je mera pripadajočega obsrediščnega kota? Kaj in čemu je kotomer? Opiši kotomer! Kako izmerimo določen kot s pomočjo kotomera? § 12 - Naloge. 1. ) Načrtaj s pomočjo kotomera kot, ki šteje 20°, 30°, 50°, 70°, 80°, 100°, 130°, 150°, 15°, 24", 45°, 63°, 84°, 143°! 2. ) Načrtaj več kotov, presodi njih velikost na oko mereč in izmeri jih potem s kotomerom! 3. ) Načrtaj kote, ki merijo -j H, |- R, (j R, | li t 1| E! 85 4. ) Načrtaj dva nejednaka kota ter določi njiju vsoto in razliko! 5. ) Načrtaj 3, 4 ostre kote in določi njih vsoto! 6. ) Načrtaj ostri kot ter ga pomnoži z 2, 3, 4! 7. ) Načrtaj topi kot ter ga razdeli na 2, 3, 4 jednake dele. 8. ) Načrtaj jeden ostri in jeden topi kot ter izmeri topega z ostrim! Zapiši, kolikokrat se nahaja ostri kot v topem, in sicer ali brez ostanka, ali z ostankom! 9. ) Izračunaj, koliko stopinj, minut in sekund meri kot: a) 1000", b) 2420", c) 58.284", d) 201.600"! 10. ) Izračunaj, koliko stopinj in desetink jedne stopinje meri kot: a) 12° 45', b) 48° 7' 30", e) 61° 52" 30', d) 106» 13' 12" 11. ) Izračunaj, koliko meri kot: a) 48°, b) 64° 49', e) 57° 17' 45" d) 12° 38' 54" v sekundah! 12. ) Izračunaj, koliko meri kot: aj 7'36°, b) 18'49°, c) 36'45°, d) 72'96° v stopinjah, minutah in sekundah’ 13. ) Poišči vsoto tem-le kotom: a) 37° 48' 45", 28» 39' in 78° 8' 55", bj 78° 5' 54", 56° 41' 19' in 45° 12' 47"! 14. ) Kolika je razlika kotov: aj 128° 15' 31" in 69° 42' 18", b) 110° 32' 16" in 56» 48' 30"? 15. ) Pomnoži kot; a) 18» 32', b) 9» 12' 48", c) 22» 36' 50" z 2, 3, 4, 5! 16. ) Določi polovico, tretji, četrti in peti del kota: a) 72» 27', b) 58» 43' 30"! 17. ) Izmeri: a) kot 180» s kotom 22» 30', b) kot 140» 21'48" s kotom 8» 15' 24"- 18. ) Kolik kot nariše urini kazalec v 12 urah? Kolik je kot, ki ga nariše isti kazalec: a) v 1, 2, 5, 9 urah, b) v 1, 4, 6, 15 časovnih minutah? 19. ) Kolik kot nariše minutni kazalec v 1 uri? Kolik je kot, ki ga nariše isti kazalec v 1, 5, 8, 10, 25 časovnih minutah? 20. ) Kolik kot oklepata kazalca na uri ob sedmi uri petindvajseti minuti? § 13 - Kako nastane določenemu kotu sokot, kako so vršni kot? Kaj imata skupnega dva sokota, kaj dva sovršna kota? Kako ležita neskupna kraka dveh sokotov? Kaj sta kraka jednega izmed dveh sovršnih kotov z ozirom na drugega? Katera dva kota se imenujeta sokota, katera sovršna? Katero lastnost imata dva sokota, katero dva sovršna kota? Kakšen sokot ima pravi (ostri, topi) kot? Kako izračunaš določenemu kotu sokot? Zakaj sta dva sovršna kota jednaka? Koliko znaša vsota vseh kotov, ki ležijo v ravnini okoli jedne točke? Kakšna kota se imenujeta komplementarna, kakšna suplementarna? Kako izračunaš določenemu kotu komplementarni, kako suplementarni kot? Ali sta dva sokota suplementarna? Naloge. 1.) Načrtaj kot, izmeri ga s kotomerom in izračunaj mu sokot! 2) Kolik je sokot kotu: a) 47», b) 65» 38', c) 112» 46' 27"? 86 3. ) Načrtaj približno kot: a) 75° 43', bj 125° 16' 25", podaljšaj mu oba kraka in izračunaj vse nove kote! 4. ) Okoli točke v ravnini leži pet kotov; kolik je peti, ako merijo štirje 68 ° 17' 32", 73« 45 ' 37", 86 o 54 ' 43 " i n 99« 8 ' 16"? 5. ) Izračunaj vsakemu izmed kotov: aj 37°, bj 42° 36', cj 57° 18' 44" komple¬ mentarni kot! 6 . ) Izračunaj vsakemu izmed kotov: a) 59°, bj 89° 41', cj 111° 26' 14" suple- mentami kot! 7. ) Izračunaj kotoma 23° 46' in 77° 33' 22" komplementarni in suplementarni kot! § 14 . Kolikero lego utegnete imeti dve premici (dva polutraka, dve daljici) druga proti drugi? Kedaj ste dve premici (dva polutraka, dve daljici) vzporedni, kedaj nevzporedni? Na katero stran ste dve nevzporednici primični, na katero stran pa odmični? Koliko kotov tvorite dve sekajoči se premici? Ali so ti koti odvisni drugi od drugega ali ne? Kakšna je ta odvisnost? Kaj je naklonski kot dveh premic? Kateri kot izberemo za naklonski kot dveh premic? Kedaj stojite dve premici (dva polutraka, dve daljici) pravokotno druga na drugi, kedaj poševno? Katera premica se imenuje pravokotnica? Kedaj pravimo, da se porniče premica vzporedno sama s seboj? Kako ležite dve premici druga proti drugi, če je vsaka vzporedna z neko tretjo premico? Koliko vzporednic moreš načrtati skoz točko, ki leži zunaj določene premice, z ozirom na to premico? Kedaj ne izpreminjajo koti, katere tvorite dve premici, svoje velikosti? Kako si pojasnjujemo te lastnosti? § 15 . Kolikero stran ločimo ob vsaki premici? Kako imenujemo te strani? Katera premica se zove prečnica? Kako imenujemo premice, katere seče prečnica? Koliko kotov nastane, ako prečnica preseče dve premici? Kakšni koti se nahajajo med njimi? Kako ležita dva protikota (dva izmenična kota, dva prikota) z ozirom na prečnico, kako z ozirom na presekani premici? Katera kota se imenujeta protikota, katera izmenična kota, katera prikota? Katero lastnost imata dva protikota (dva izmenična kota, dva prikota) ležeča na vzporednicah? Kako se prepričamo o teli lastnostih? Ali sta dva protikota (dva izmenična kota) vsigdar jednaka? Ali sta dva prikota vsigdar suplementarna? Ali smemo iz protikotov (iz izmeničnih kotov, iz prikotov) sklepati, da ste presekani premici vzporedni, in kedaj? 87 Na koliko načinov se da določiti vzporednost dveh premic? Kakšno lego imate dve pravokotnici druga pi’oti drugi? Ali ste dve pravo- kotnici vsigdar vzporedni? Kedaj stojite dve vzporednici pravokotno na premici? Kako se prepričamo o navedenih lastnostih? Naloge. 1. ) Načrtaj dve premici, kateri seče tretja premica, in naštej vse dvojice sokotov, sovršnih kotov, protikotov, izmeničnih kotov inprikotov! Poišči kateremukoli kotu sokot, sovršni kot, protikot, izmenični kot in prikot! 2. ) Načrtaj premico AB (polutrak, daljico) in skoz točko C, ležečo zunaj te pre¬ mice, vzporednico z AB\ 3. ) Izračunaj vse kote v sliki 38., ako je: a) ^ a = 114° 17' 30", b) ^b = 76° 24' 24", c) < /* = 103° 42' 37"! § 16 . Katero lastnost utegneta imeti dva kota z vzporednimi kraki? Kedaj sta taka dva kota jednaka, kedaj suplementarna? Kako se prepričamo o teh lastnostih? Naloga. Načrtaj dve sekajoči se premici, ki ste vzporedni s krakoma določenega kota BAC, in povej razmere med kotom BAC in nastalimi novimi koti! Izračunaj vse nastale nove kote, ako meri kot BA C 36 0 47' 25"! § 17 . Kako nastane trikotnik? Kaj omejuje trikotnik? Kaj so stranice kaj oglišča, kaj obseg, kaj ploščina? Kaj je trikotnik? (Raven lik ali ravna ploskev, katero meje tri daljice.) Kakšne kote imamo v trikotniku? Kaj oklepa notranji kot? Kako nastane vnanji kot, kaj ga oklepa? Po čem ločimo vnanji kot od notranjega? Kakšno lego imajo notranji koti z ozirom na vnanjega? Koliko sestavin sestavlja trikotnik, katere so? Kakšna je lega trikotnikovih sestavin med seboj? Katere sestavine se imenujejo nasprotne? Kaj je v trikotniku osnov¬ nica, kaj vrh, kaj višina? § 18 . V kakšni zvezi so trikotnikove stranice med seboj ? (Kolika je jedna stranica z ozirom na vsoto in na razliko drugih dveh stranic?) Kako se prepričaš o teh lastnostih? Nareži si več ravnih šibic in poskusi s tremi takimi šibicami sestaviti na mizi trikotnik! Ali se da sestaviti trikotnik, če ste dve šibici skupaj tako dolgi, kakor je 88 tretja šibica, ali če ste krajši od tretje? Ali sestaviš trikotnik, če je razlika dolgostij dveh šibic jednaka tretji šibici, ali daljša od tretje šibice? Kedaj le moreš s tremi šibicami sestaviti trikotnik? Kako določiš trikotniku obseg? Kakšne trikotnike razločujemo z ozirom na dolgost stranic ? Kateri trikotnik je jednakostraničen, kateri jednako- krak, kateri raznostraničen ? Kako se imenujejo stranice jednako- krakega trikotnika? Kateri stranici se zovete kraka, katera se zove osnovnica ? Naloge. 1. ) Načrtaj trikotnik in zapiši v znakiii, v kakšni zvezi so stranice med seboj! 2. ) Načrtaj trikotnik in določi mu obseg! Določi, za koliko je vsota (razlika) dveh stranic večja (manjša) od tretje! 3. ) Načrtaj dva različna trikotnika in določi, kolika je vsota in kolika razlika obsegov teh dveh trikotnikov! 4. ) Načrtaj jednakostranični trikotnik, v katerem je stranica jednaka določeni stranici s (2 cm )! 5. ) Načrtaj jednakokraki trikotnik, v katerem je osnovnica jednaka določeni daljici o (2'4 cm, l - 5 cm) in krak jednak določeni daljici k (1'8 cm, 2’6 cm)\ (Ta naloga je le tedaj mogoča, kadar je daljica k večja ko polovica daljice o.) 6. ) Izračunaj obseg, ako merijo stranice 8’7 cm, 6'5 cm in 4'8 cm! 7. ) Izračunaj tretjo trikotnikovo stranico, ako meri obseg 38 cm in ako merite dve stranici 15'6 cm in 10• 4 cm\ 8. ) V trikotniku merite dve stranici 16 cm (1 cm) in 9 cm (1 cm ); med katerima vrednostima leži tretja stranica? § 19. V kateri zvezi so notranji trikotnikovi koti med seboj ? (Kolika je njih vsota?) Kako se prepričaš o tej lastnosti? Kako izračunaš tretji notranji kot, če sta znana dva? Koliko ostrih, koliko pravih, koliko topih kotov utegne biti v trikotniku? Kakšne trikotnike razločujemo z ozirom na velikost notranjih kotov? Kateri trikotnik se zove ostrokoten, kateri pravokoten, kateri topokoten, kateri poševno- koten? Kako se imenujejo stranice pravokotnega trikotnika? Kateri stranici imenujemo kateti, kateri pravimo hipotenuza? Katero lastnost imata ostra kota pravokotnega trikotnika? Koliko znaša vsota ostrih kotov topokotnega trikotnika? (Ali več, ali manj ko 90°?) V katerem trikotniku je vsota dveh notranjih kotov jednaka tretjemu kotu? Koliko vnanjih kotov ima trikotnik? Kako jih dobimo? V kateri zvezi so vnanji koti z notranjimi? (V kateri zvezi je vsak vnanji kot s priležnim notranjim, v kateri z nepriležnima notranjima?) Kako 89 se prepričaš o tej lastnosti? Kedaj je vnanji kot oster, kedaj prav, kedaj top? Koliko znaša vsota vseh vnanjih trikotnikovih kotov? Kako se prepričaš o tej lastnosti ? Naloge. 1. ) Načrtaj ostrokotni trikotnik, podaljšaj mu vse stranice v istem smislu, za¬ znamuj vse notranje in vnanje kote z malimi latinskimi črkami ter zapiši v znakih, v kateri zvezi se nahajajo notranji koti med seboj, v kateri vnanji med seboj, v kateri vnanji z notranjimi! 2. ) Načrtaj pravokotni in topokotni trikotnik ter stori isto, kar se zahteva v nalogi 1.! 3. ) Načrtaj v ostrokotnem, pravokotnem in topokotnem trikotniku višino za vsako stranico kot osnovnico! Kaj najdeš posebnega? 4. ) V trikotniku sta dva notranja kota a) 82° in 47°, b) 50° 48' in 17° 39', c) 44° 57' 32" in 105° 6' 29"; kolik je tretji notranji kot? 5. ) V pravokotnem trikotniku je jeden izmed ostrih kotov a) 36°, b) 27° 15', c) 58° 12' 46"; kolik je drugi? 6. ) V trikotniku sta dva notranja kota 38° 45' 29" in 69° 18' 44"; kolik je nasprotni vnanji kot? Kolik je tretji notranji? 7. ) V trikotniku sta dva notranja kota 64° 36' 18" in 77° 41' 53"; izračunaj vse vnanje kote! 8. ) V pravokotnem trikotniku meri jeden izmed ostrih kotov 52° 43' 16"; • izračunaj vse vnanje kote! 9. ) V trikotniku znaša jeden izmed vnanjih kotov 86° 17' 40" in jeden izmed notranjih njemu nepriležnih kotov 57° 38' 26"; kolik je vsak izmed drugih dveh notranjih kotov? 10. ) V pravokotnem trikotniku meri jeden izmed vnanjih kotov na hipotenuzi 108° 33' 24"; izračunaj notranja ostra kota! 11. ) V pravokotnem trikotniku znaša jeden izmed vnanjih kotov na hipotenuzi 131° 22' 55"; kolik je drugi vnanji kot na hipotenuzi? § 20 . Ali so nasprotne trikotnikove sestavine odvisne druga od druge, ali ne? Kakšni koti ležijo v jednem in istem trikotniku jednakim stranicam nasproti, kakšni nejednakim? Kakšen kot leži večji stranici nasproti, kakšen manjši? Kako se prepričaš o teh lastnostih? V katerem trikotniku so vsi notranji koti jednaki ? V katerem trikotniku sta le dva notranja kota jednaka? Katera kota sta v jednakokrakem trikotniku jednaka? Ali sta jednaka kota ostra, ali prava, ali topa? Kedaj je kot ob vrhu jednakokrakega trikotnika prav, kedaj oster, kedaj top? V katerem trikotniku so vsi notranji koti nejednaki? Kateri kot je v raznostraničnem trikotniku največji, kateri najmanjši? Katera stranica je v pravokotnem (topokotnem) trikotniku največja, 90 katera najmanjša? Ali smemo iz velikosti notranjih kotov sklepati, daje trikotnik jednakostraničen (jednakokrak, raznostraničen)? Kakšni morajo biti notranji koti, da je trikotnik jednakostraničen; kakšni, da je jednakokrak? Kolik je vsak vnanji kot jednakostraničnega trikotnika? Kolik je vnanji kot ob vrhu jednakokrakega trikotnika, če ga primerjamo notranjemu kotu na osnovnici ? Naloge. 1. ) Načrtaj jednakostranični, jednakokraki in raznostranični trikotnik ter zapiši v znakih vse lastnosti vsakega izmed teh trikotnikov! 2. ) Načrtaj ostrokotni, pravokotni in topokotni trikotnik ter zapiši v znakih vse lastnosti vsakega izmed teh trikotnikov! 3. ) V jednakokrakem trikotniku znaša kot na osnovnici a) 43°, b) 52° 7', c) 68° 41' 35"; kolik je kot ob vrhu? 4. ) Kolik je kot na osnovnici jednakokrakega trikotnika, če meri kot ob vrhu a) 79», b) 66° 23', c) 113« 51' 42"? 5. ) Vnanji kot na osnovnici jednakokrakega trikotnika znaša a) 104°, b) 115° 18', c) 131° 53' 46"; koliki so notranji koti? 6. ) Vnanji kot ob vrhu jednakokrakega trikotnika meri a) 87°, V) 99° 13', c) 124° 39' 44"; koliki so notranji koti? 7. ) Kolik je vnanji kot ob vrhu jednakokrakega trikotnika, ako meri vnanji kot na osnovnici 111° 27' 34"? 8. ) Kolik je vnanji kot na osnovnici jednakokrakega trikotnika, ako znaša vnanji kot ob vrhu 123° 45' 36"? § 21 . Kaj določuje razdaljo točke od določene premice? Koliko pravo- kotnic moreš načrtati iz določene točke na določeno premico ? Koliko daljic se da narisati med določeno točko in določeno premico? Katero lastnost ima pravokotnica med določeno točko in določeno premico? Kako se prepričaš o tej lastnosti? Kako načrtaš skoz katerokoli točko krogovega oboda tangento? Kaj je tangenta? Kateri kot se imenuje kot v polukrogu? Kolik je kot v polukrogu? Kako se prepričaš o tej lastnosti? § 22 . Naloge. 1. ) Načrtaj trikotnik, v katerem meri jeden kot 60°! 2. ) Načrtaj trikotnik, v katerefti meri jeden kot 120°! 3. ) Načrtaj pravokotni trikotnik, v katerem meri jeden ostrih kotov 60° j 4. ) Načrtaj daljico in postavi v vsakem krajišči pravokotnico na daljico! 5. ) Načrtaj krog in nariši skoz nekatere točke na obodu tangente! 91 § 23 . Kako najdeš določeni točki somerno ležečo točko z ozirom na določeno premico? Kedaj imenujemo dve točki somerno ležeči z ozirom na določeno premico? Kako se zove ta premica? Kedaj pra¬ vimo, da ležita dva trikotnika somerno z ozirom na določeno premico? > Kako stvoriš dva somerno ležeča trikotnika? Kedaj imenujemo tri¬ kotnik someren? Kaj je njegova somernica? § 24 . Ali je vsaka daljica someren stvor, in zakaj? Katera premica se zove daljičina somernica? Kako leži daljičina somernica z ozirom na dotično daljico? Kaj je razdalja dveh določenih točk? Katero lastnost imajo točke, ležeče v daljičini somernici? Kako se prepričaš o tej lastnosti? Katero lastnost imajo točke, ležeče zunaj daljičine somernice? Kako se prepričaš o tej lastnosti? Kje leži vsaka taka točka, ki je od krajišč določene daljice jednako oddaljena? Naloga. Načrtaj daljico in njeno somernieo, na oko mereč, ter zapiši y znakih vse lastnosti daljičine somernice! § 25 . Ali je vsak kot someren stvor, in zakaj? Katera premica se zove kotova somernica? Kaj določuje razdaljo določene točke od določene premice? Katero lastnost imajo točke, ležeče v kotovi so¬ mernici? Kako se prepričaš o tej lastnosti? Katero lastnost imajo točke, ležeče zunaj koto ve somernice? Kako se prepričaš o tej last¬ nosti? Kje leži vsaka taka točka, ki je od obeh krakov določenega kota jednako oddaljena? Naloga. Načrtaj kot in njegovo somernieo, na oko mereč, ter zapiši v znakih vse lastnosti kotove somernice! § 26 . Katero lastnost imajo somernice trikotnikovih stranic? Kako se prepričaš o tej lastnosti? Ali se nahaja v trikotnikovi ravnini točka, ki je od vseh oglišč jednako oddaljena? Kako najdeš to točko? Kedaj pravimo krogu, da je trikotniku očrtan? Kedaj je trikotnik krogu včrtan? Kaj so stranice včrtanega trikotnika z ozirom na 92 krog? Kaj določuje polumer očrtanemu krogu? — Katero lastnost imajo somernice notranjih trikotnikovih kotov? Kako se prepričaš o tej lastnosti? Ali se nahaja v trikotnikovi ravnini točka, ki je od vseh stranic jednako oddaljena? Kako najdeš to točko? Kedaj pra¬ vimo krogu, daje trikotniku včrtan? Kedaj je trikotnik krogu očrtan? Kaj so stranice očrtanega trikotnika z ozirom na krog? Kaj določuje polumer včrtanega kroga? § 27. Kateri trikotnik se imenuje someren? Ali je vsak trikotnik someren stvor? Ali je vsak jednakokraki trikotnik someren? Katera premica (daljica) je njegova somernica? Koliko somernic ima jednako¬ kraki trikotnik? Kako se prepričaš o lastnosti, da je višina jednako- krakega trikotnika njegova somernica? Katere sestavine jednako- krakega trikotnika imajo isto somernico, kojo ima trikotnik? Katera premica (daljica) je somernica dvema jednakokrakima trikotnikoma, ki imata isto osnovnico? Katere sestavine dveh jednakokrakih tri¬ kotnikov nad isto osnovnico imajo isto somernico kakor trikotnik? — Koliko somernic ima jednakostranični trikotnik, in katere so? Katere sestavine jednakostraničnega trikotnika imajo isto somernico kakor trikotnik? Katero lastnost ima presečišče dveh višin jednako¬ straničnega trikotnika? 'Kje leži središče kroga, ki je jednakostra- ničnemu trikotniku očrtan, oziroma včrtan? Ali je središče obeh teh krogov isto, ali ne? — V katerem pravokotnem trikotniku je jedna kateta jednaka polovici hipotenuze? Kateremu kotu leži ta kateta nasproti ? § 28. Naloge. 1. ) Poišči vse tiste točke, ki so od krajišč določene daljice jednako oddaljene! 2. ) Načrtaj daljico ter jo razpolovi! 3. ) Razdeli določeno daljico na 4, 8, 16 jednakih delov! 4. ) Poišči vse tiste točke, ki so od obeh krakov določenega kota jednako oddaljene! 5. ) Načrtaj kot a) 60°, b) 90° ter ga razpolovi! 6. ) Razdeli določeni kot na 4, 8 jednakih delov ! 7. ) Razdeli iztegneni kot na 3, 4, 6, 8 jednakih delov! 8. ) Načrtaj kot a) 30°, b) 15°, c) 45°, d) 22° 30'! Primerjaj nalogo 5.! 9. ) Načrtaj kot a) 150°, b) 166°, c) 135°, d) 157 0 30'! Ti koti so sokoti kotov v nalogi 8. 10.) Načrtaj kot a) 75°, b) 82° 30', c) 67° 30', d) 78 0 45'! Primerjaj te kote kotom v nalogi 9.! 93 11. ) Načrtaj krog, kateremu je določena daljica premer! 12. ) Poišči vse tiste točke, ki so od dveh nevzporednih premic jednako oddaljene! 13. ) Poišči somernico a) vsaki stranici, b) vsakemu notranjemu kotu določenega trikotnika! 14. ) Očrtaj in včrtaj krog določenemu a) jednakostraničnemu, b) jednakokrakemu, c) raznostraničnemu trikotniku! 15. ) Očrtaj in včrtaj krog določenemu a) ostrokotnemu, b) pravokotnemu, c) topo- kotnemu trikotniku! 16. ) Načrtaj tri točke A, B in (7, ki ne ležijo v jedni in isti premici, ter poišči točko O, ki je od vseh treh določenih točk jednako oddaljena! 17. ) Načrtaj trikotnik ter nariši iz vsakega oglišča pravokotnico na nasprotno stranico! 18. ) Načrtaj premico MN in na jedni strani te premice daljico AB ter poišči daljico, ki leži somerno z AB z ozirom na MNl 19. ) Načrtaj premico MN in na jedni strani te premice kot BAC ter poišči kot, ki leži somerno s kotom BAC z ozirom na premico MNl 20. ) Načrtaj na jedni strani določene premice MN a) pravokotni, b) topokotni trikotnik ter poišči mu somerno ležeči trikotnik! § 29. Kedaj pravimo o dveh trikotnikih, da sta skladna? Kako spo¬ znamo to lastnost ? S katerim znakom zaznamujemo skladnost dveh trikotnikov? V čem se ujemata dva skladna trikotnika? Kakšni so koti, ki ležijo v skladnih trikotnikih jednakim stranicam nasproti? Kakšne stranice ležijo v skladnih trikotnikih jednakim kotom na¬ sproti? Katere sestavine skladnih trikotnikov se imenujejo istoležne? Katero lastnost imajo istoležne sestavine skladnih trikotnikov? V čem se razločujejo skladni trikotniki med seboj ? Ali se da iz manj nego iz vseh šesterih sestavin sklepati, da sta dva trikotnika skladna? Zakaj je to mogoče? Povej, kako so trikotnikove sestavine odvisne med seboj? Kaj so izreki o skladnosti dveh trikotnikov? Kaj dolo¬ čujejo ti izreki? § 30. Naloge. 1. ) Načrtaj trikotnik, v katerem meri jedna stranica 3 cm in njej priležna kota 60 0 in 50 0 ! . 2. ) Načrtaj trikotnik, v katerem meri jedna stranica 4 cm, jdden izmed priležnih kotov 40° in nasprotni kot 80 °! 3. ) Prenesi določeni trikotnik po prvem izreku o skladnosti! 4. ) Poišči dverna določenima trikotnikovima kotoma tretji trikotnikov kot! o.) Poišči določenemu kotu ob vrhu jednakokrakega trikotnika kot na osnovnici! 94 6. ) Načrtaj pravokotni trikotnik, v katerem meri: a) j e d na kateta 2'5 cm in njej priležni ostri kot 55°, b) jedna kateta 3'2 cm in njej nasprotni kot 48°, c) hipotenuza 4'3 cm in jeden izmed priležnih kotov 44°! 7. ) Načrtaj jednakokraki trikotnik, v katerem znaša: a) osnovnica 35 cm in njej priležni kot 45°, b) osnovnica 4 cm in njej nasprotni kot 70°, c) krak 4’8 cm in kot na osnovnici 52"! 8. ) Načrtaj pravokotni jednakokraki trikotnik, ako meri a) kateta 2'8 cm, b) hipotenuza 4 2 cm! 9. ) Načrtaj trikotnik, v katerem merite dve stranici 3 cm in 4 cm in kot, ki ga oklepate, 105°! 10) Načrtaj pravokotni trikotnik, v katerem merite kateti 3'5 cm in 2'5 cm! 11. ) Načrtaj jednakokraki trikotnik, ako znaša krak 3 2 cm in kot ob vrhu 75°! 12. ) Načrtaj pravokotni jednakokraki trikotnik, v katerem meri kateta 2'4 cm! 13. ) Prenesi določeni trikotnik po drugem izreku o skladnosti! 14. ) Načrtaj trikotnik, v katerem merite dve stranici 2'8 cm in 3'9 cm in kot, ki leži večji teh stranic nasproti, 120°! 15. ) Načrtaj pravokotni trikotnik, v katerem meri jedna kateta 3'2 cm in hipo¬ tenuza 4'3 cm! 16. ) Prenesi določeni trikotnik po tretjem izreku o skladnosti! 17. ) Načrtaj trikotnik, v katerem merijo stranice 2'5 cm, 3'2 cm in 4 cm! 18. ) Načrtaj jednakokraki trikotnik, v katerem meri osnovnica 4'5 cm in krak 3‘3 cm! 19. ) Načrtaj jednakostranični trikotnik, čegar stranica znaša 2'4 cm! 20. ) Prenesi določeni trikotnik po četrtem izreku o skladnosti! 21. ) Poskusi načrtati trikotnik z daljicami a) 21 mm, 9 mm in 30 mm, b) 20 mm, 15 mm in 40 mm ! 22. ) Načrtaj trikotnik, v katerem merite dve stranici 55 mm (6 cm, 4 cm, 4 cm) in 35 mm (4 cm, 4 cm, 1'5 cm) in zadnji teh stranic nasprotni kot 60° (40°, 30°, 30")! 23. ) Načrtaj dva skladna trikotnika ter zapiši v znakih pogoje za prvi, drugi, tretji in četrti izrek o skladnosti! Povej vse izreke o skladnosti dveh trikot¬ nikov! Katere sestavine določujejo trikotnik popolnoma? § 31. Kolikero lego utegne imeti točka z ozirom na določeni krog? kolikero premica? Kaj je središčna razdalja določene točke z ozirom na določeni krog? kaj središčna razdalja določene premice? Katera premica se zove sečnica, katera dotikalnica? Kaj je dotikališče? Kedaj pravimo: premica seče krožnico? kedaj seje dotika? kedaj leži popol¬ noma zunaj kroga? Od česa je to odvisno? Kolika je središčna razdalja v prvem slučaji, kolika v drugem, kolika v tretjem ? Kaj je podnožišče? Vsaka daljica, ki stoji na kaki drugi daljici pravokotno ali poševno, ima podnožišče; istotako je tudi pri premicah. 95 § 32 . Ali je krog someren stvor? Kaj je njegova somernica? Ali je premer tetiva, in katera? Kedaj je tetiva določenega kroga večja, kedaj manjša? Od česa je to odvisno? Kedaj so tetive istega kroga jednake, kedaj nejednake? Kako si pojasnimo to lastnost? Katera krogova točka leži v somernici vsake tetive? Zakaj gre tetivina so¬ mernica skoz krogovo središče? Katere tetive imaja isto somernico? Kako načrtaš določeni tetivi somernico? Kaj pripada vsaki tetivi? Kateri krogovi deli imajo isto somernico kakor tetiva? Kako si pojasniš to lastnost? Kolika je sekstantova tetiva? Kako se prepričaš o tej lastnosti? Koliko tetiv moreš narisati skoz določeno točko znotraj krožnice? Katera izmed teh tetiv je najmanjša, katera največja? Kako se prepričaš o tej lastnosti? § 33 . Kateri kot se imenuje obsrediščni, kateri naobodni? Kje leži vrh obsrediščnega, kje vrh naobodnega kota? Kaj sta kraka obsre- diščnega, kaj naobodnega kota z ozirom na krog? Kateri lok pri¬ pada obsrediščnemu, kateri naobodnemu kotu? Na čem stoji vsak teh kotov? Koliko obsrediščnih kotov pripada določenemu loku? ko¬ liko naobodnih? Kaj je mera obsrediščnemu kotu? Kako si je treba tolmačiti izrek: mera obsrediščnega kota je pripadajoči lok? Koli- kero lego utegne imeti naobodni kot z ozirom na krogovo središče? Kaj je mera naobodnega kota? Kako si je treba tolmačiti izrek: mera naobodnega kota je polovica pripadajočega loka? Kako se pre¬ pričaš o tej lastnosti v vsakem slučaji? Kateri naobodni koti so jednaki? Kedaj je naobodni kot oster, kedaj prav, kedaj top? Kaj je kot v polukrogu? § 34 . Kolikero glavnih leg utegneta imeti dva kroga? Kedaj se kroga imenujeta istosrediščna, kedaj raznosrediščna? Kaj je kolobar? kaj kolobarjeva širina? Kaj je središčna razdalja dveh raznosrediščnih krogov? kako se še imenuje? Kedaj pravimo: kroga sečeta drugi drugega? Kolika je središčnica v tem slučaji? Kedaj se kroga do¬ tikata drugi drugega od zunaj, kedaj od znotraj? Kolika je središč¬ nica v vsakem teh slučajev? Kedaj leži jeden krog popolnoma zunaj drugega, kedaj popolnoma znotraj drugega? Kolika je središčnica v prvem, kolika v drugem slučaji? 96 § fi5. Naloge. 1. ) Načrtaj krog s polumerom 12 mm ter določi tri točke, katerih središčne razdalje znašajo 8 mm, 16 mm in'12 mm\ Kje ležijo te točke z ozirom na krožnico ? 2. ) Načrtaj krog s polumerom 15 mm in tri premice, katerih središčne razdalje znašajo 12 mm, 18 mm in 15 mm ! Kako ležijo te premice z ozirom na krog ? 3. ) Načrtaj krog s polumerom 16 mm ter nariši iz določene točke krogovega oboda tetivo 11 mm\ Koliko takih tetiv moreš narisati? Kedaj bi se dala naloga razrešiti samo na jeden način? Kedaj je ne moreš razrešiti? 4. ) Načrtaj krog, v katerem meri tetiva 12 mm in polumer 10 mm! Kedaj bi bila naloga nemogoča? 5. ) Načrtaj krog, v katerem meri tetiva 15 mm in njena središčna razdalja 8 mm\ 6. ) Koliko krogov moreš narisati skoi dve določeni točki A in B ? Kje ležijo središča teh krogov? Kateri izmed teh krogov ima najmanjši polumer? 7. ) Načrtaj lok ter ga razdeli na 2, 4, 8, 16 jednakih delov! 8. ) Načrtaj krog ter ga razdeli a) n: 2, 4, 8, 16; b) na 3, 6, 12, 24; c) na 5, 10, 20 jednakih delov! 9. ) Nariši skoz določeno točko, ki je znotraj določenega kroga, največjo in naj¬ manjšo tetivo! Načrtaj tangente, ki so tema tetivama vzporedne! 10. ) Načrtaj skoz določeno točko znotraj določenega kroga dve tetivi, ki stojite poševno druga na drugi, ter nariši tangente, ki so tema tetivama vzporedne! 11. ) Načrtaj krog s polumerom 21 mm in nariši na krog dve tangenti iz točke, ki ima središčno razdaljo 31'5 (42) mm\ 12. ) Koliko merijo naobodni koti, ki stoje na lokih 30°, 60°, 90°, 105° 17', 201» 15' 38"? 13. ) Obsrediščni kot meri a) 64°, b) 87 ’ 45', c) 125° 13' 18"; kolik je naobodni kot na istem loku? 14. ) Naobodni kot znaša a) 56», b) 41» 37', c) 108» 37' 44"; kolik je obsrediščni kot na istem loku ? 16.) Koliko merijo loki, na katerih stoji naobodni koti 37», 65° 38', 98° 52' 46"? 16. ) Kolik kot tvorite tetivi, kateri narišeš iz iste točke krogovega oboda, ako merita pripadajoča loka 120° in 80» (135‘/ 2 ° ' n 70 3 / 4 »)? Določi lok, na katerem stoji iskani kot! Koliko razrešitev? 17. ) Določi medsebojno lego dvema krogoma, ki imata polumera R in r in sre- diščnico c! a) R — 15 mm, r = 6 mm, c = 9 (21) mm ; b) R — 18 mm, r = 10 mm, c = 6 (32) mm ; c) R = 20 mm, r = 15 mm, c = 25 mm. 18. ) Načrtaj kroge v nalogi 17.! 19. ) Določi središčno razdaljo dvema krogoma, ki imata polumera R in r in se dotikata drugi drugega a) od znotraj, b) od zunaj! 1. ) R — 27 cm, r = 14 cm ; 2. ) R — 0 45 din, r — 0 35 dm ; 3. ) R = 3 78 dm, r — 2'52 dm. 97 20.) Dva raznosrediščna kroga se dotikata drugi drugega a) od znotraj, b) od zunaj; koliko znaša polumer večjega kroga, ako je polumer manjšega kroga r in središčnica c? 1. ) r — 10 cm, c = 28 cm-, 2. ) r = 0'42 cm, c = 0 87 cm; 3. ) r = 102 mm, c = 215 mm. § 36. Kako nastane četverokotnik? Ali stvoriš vsigdar četverokotnik, če spojiš štiri v ravnini ležeče točke z daljicami? Kaj je četvero¬ kotnik? Kaj so stranice, kaj obseg? Kateri četverokotnikovi koti so notranji, kateri vnanji? Kaj je vsak izmed vnanjih kotov z ozi¬ rom na priležnega notranjega? Koliko znaša vsota vseh notranjih, koliko vsota vseh vnanjih kotov? Kako se prepričaš o teh lastnostih? Koliko sestavin sestavlja četverokotnik, in katere so? Kakšno lego imajo četverokotnikove sestavine druga proti drugi? Kaj leži stranici, kaj kotu nasproti? Koliko kotov je stranici priležnih, koliko nasprot¬ nih? Koliko stranic leži kotu nasproti? Kaj so oglišča? Kje nastanejo? Katera oglišča imenujemo priležna, katera nasprotna? Kaj je dia¬ gonala? Na kaj razdeli vsaka diagonala četverokotnik? Na kaj raz¬ pade četverokotnik, ako mu načrtaš obe diagonali? Koliko sestavin določuje četverokotnik popolnoma? Kako se prepričaš o tej lastnosti? Koliko vrst četverokotnikov razločujemo z ozirom na lego nasprotnih stranic? Kateri četverokotnik je paralelogram, kateri trapez, kateri trapezoid ? Naloge. 1. ) Izračunaj iz treh določenih četverokotnikovih kotov četrtega : a) <.4 = 65o 28', 5 = 73» 45', C = 95» 36'; b) < A = 107» 26' 35", B = 86° 26' 56", C = 67» 47' 17"; c)