IZ TEORIJE ZA PRAKSO 9 Matematika v šoli, št. 1., letnik 25, 2019 Uporaba in osmišljanje matematičnih vsebin v luči kompleksnosti: trije primeri prepogibanja papirja mag. Mojca Suban Zavod RS za šolstvo Izvleček Učenje in poučevanje matematike v velikem delu temelji na razumevanju in osmišljanju matematičnih vsebin, ki se jih učenci in dijaki učijo. Proces izgrajevanja razumevanja je dolgoročen in kompleksen, učinkovito pa ga lahko regulira učitelj s premišljeno pripravo nalog in dejavnosti v podporo izgradnji in uporabi matematičnih pojmov in konceptov. Rutar Ilc (Rutar Ilc v Suban Ambrož 2012) navaja, da učenje z razumevanjem »poteka s pomočjo miselnih aktivnosti, s katerimi gradimo odnos in povezave med dejstvom in idejami ter ustvarjamo mentalne modele«. Za matematiko je vzpostavljanje odnosov in povezav med matematičnimi pojmi in kon- cepti zelo pomembno, saj je narava matematičnega znanja kumulativna. Z uporabo različnih reprezentacij, aktivacijo notranjih povezav med pojmi, povezovanju z drugimi področji, aktivnostjo dijakov lahko vzpodbu- jamo razumevanje in omogočimo osmišljeno uporabo matematičnega znanja. Reševanje problemskih nalog, ki jih dijak rešuje na različne načine (npr. s konkretnimi pripomočki, s tehnologijo, analitično), je lahko učin- kovit način za razvijanje razumevanja matematičnih vsebin in njihovo uporabo. Predstavljamo tri primere nalog s prepogibanjem papirja, ki omogočajo uporabo matematičnega znanja in preverjanje ter razvijanje razumevanja nekaterih pojmov iz geometrije. Ključne besede: razumevanje matematičnih pojmov in konceptov, uporaba matematičnega znanja, različne reprezentacije Using and Making Sense of Mathematical Content in the Light of Complexity: Three Paper Folding Examples Abstract Learning and teaching mathematics is based to a large extent on the understanding and making sense of mathematical content taught to primary and secondary school students. The process of developing this under- standing is complex and takes time, while it can be effectively regulated by the teacher with a well-thought-out preparation of tasks and activities that supports the building and use of mathematical notions and concepts. Rutar Ilc (Rutar Ilc in Suban Ambrož 2012) states that learning by understanding is a process that »uses mental activities that help build the relationships and connections between facts and ideas, creating mental models.« Establishing relationships and connections between mathematical notions and concepts is very important in mathematics due to the cumulative nature of mathematical knowledge. Using various representations, acti- vating inner connections between the concepts, linking other areas and engaging students can contribute to the understanding and logical use of mathematical knowledge. Various ways of problem solving (e.g. using practical tools, technology or analytics) can be an effective method to develop the understanding and use of mathematical content. The article introduces three paper folding examples as ways of using mathematical knowledge as well as testing and developing the understanding of certain geometric concepts. Keywords: understanding mathematical notions and concepts, use of mathematical knowledge, various re- presentations IZ TEORIJE ZA PRAKSO 10 Matematika v šoli, št. 1., letnik 25, 2019 Učenje in poučevanje matematike je tesno povezano s pojmi, kot so razumevanje, uporaba in osmišljanje matematičnih vsebin. Eden izmed ciljev pouka matematike, ki ga zasledujejo učitelji matematike (če ne kar osrednji), je, da bi dijaki razumeli, kaj se učijo in tudi zakaj se to učijo. Šolska praksa kaže, da vzročno-posledične zveze med »Razu- mem/Ne razumem«, »Uporabljam/Ne uporabljam« in »Vidim smisel/Ne vidim smisla« optimalno delujejo v situaciji Razumem → Uporabljam → Vidim smisel. V fazi uporabe gre pričakovati, da dijak usvojene koncepte uporablja učinkovito in kritično. Shema 1 ponuja še druge situacije, od katerih šolska praksa zaznava tudi Ne razumem → Uporabljam → ?. Shema 1: Vzročno-posledične zveze pri učenju matematike Poenostavljeno rečeno gre v takih primerih lahko za uporabo rutinskih postopkov, ki jih dijak ne razume, pa vendarle izvaja, njegovo izvajanje pa je nekritično. Uporaba je tako dostikrat ne- učinkovita in je povezana tudi z vidikom motivacije za učenje. Oglejmo si naslednji primer. Primer Število 1008 zapiši kot produkt praštevil. Razcep na prafaktorje števila 1008 je dijak izvedel po znanem in precej razširjenem postopku z navpično črto (Slika 1), vendar pa se je pri zapisu števila 1008 pokaza- lo, da postopka najverjetneje ne ra- zume dobro, saj je potence praštevil seštel, kljub eksplicitnemu navodilu zapiši kot produkt praštevil. Lahko bi sklepali, da dijak ne razume, da je končni zapis števila kot produkta praštevil le uporaba dejstva, da sta množenje in deljenje nasprotni ope- raciji in da po izvedenih zaporednih deljenjih v shemi to uporabimo za zapis števila. Slika 1: Reševanje dijaka. Za poučevanje in učenje matematike je tako pomembno, da se fokus na razumevanju ohranja v vseh fazah učnega procesa in da se stopnja razumevanja pri dijakih tudi spremlja in preverja. Rutar Ilc (Rutar Ilc v Suban Ambrož, 2012) učenje z razumevan- jem opredeli kot »izgrajevanje znanja s podeljevanjem pomena: poteka s pomočjo miselnih aktivnosti, s katerimi gradimo od- nos in povezave med dejstvi in idejami ter ustvarjamo mentalne modele.« Z vidika izvedbene perspektive razumevanja »pomeni neko temo razumeti, ko znaš to izkazati na različne, miselno zahtevne načine, kot denimo, da znaš razložiti, zbrati dokaze, se domisliti primerov, posplošiti, koncepte uporabiti v praksi, predočiti nove načine in podobno« (Perkins, 1993). K razvijanju in izkazova- nju razumevanja pozitivno prispeva raba različnih reprezenta- cij, aktivacija notranjih povezav pri matematiki, povezovanje z drugimi področji in vzpodbujanje aktivnosti dijakov. Proces iz- grajevanja razumevanja, ki je predpogoj za učinkovito uporabo matematičnega znanja in osmišljanja naučenega, je dolgoročen. S premišljeno pripravo nalog in dejavnosti ga regulira učitelj, skupaj z dijaki pa dopolnjuje, nadgrajuje in spremlja. V nadaljevanju so predstavljeni trije primeri problemskih nalog prepogibanja papirja, kjer imajo dijaki možnost, da uporabijo svoje matematično znanje, prav tako pa lahko sami in njihov učitelj preverijo stopnjo razumevanja že obravnavanih vsebin. 1. Prepogibanje papirnatega modela kvadrata Navodilo Kvadraten list papirja prepogni po diagonali in ga razgrni v ravnino. Eno od stranic kvadrata prepogni do diagonale in papir spet razgrni v ravnino. Kolikšen del lista predstavlja pravokotni trikotnik, ki nastane na ta način? Faze pred reševanjem • Dijak izvede konkretno dejavnost prepogibanja papirja. Pa- pir razgrne v ravnino, opazuje nastale pregibe ter ugotavlja odnose med nastalimi liki in koti: katere dolžine so enake, kateri koti so skladni, koliko merijo posamezni koti. • V zvezek nariše skico kvadratnega kosa papirja s pregibi (po razgrnitvi v ravnino). • Dijak nariše sliko kvadratnega kosa papirja s podporo pro- gramov dinamične geometrije. Dijaki naj najprej pridobijo konkretno izkušnjo s prepogibanjem papirja. Vnaprej naj ocenijo, kolikšen je delež papirja, ki ga za- vzema trikotnik. Nalogo je glede na predznanje dijakov možno rešiti na več načinov. Reševanje s tehnologijo S programom GeoGebra izdelamo predlogo, kjer spreminjamo dolžino stranice kvadrata in opazujemo količnik med ploščina- ma trikotnika in kvadrata. Predloga Kvadrat v GeoGebri je na spletni strani revije: https://www.zrss.si/strokovne-resitve/revi- je/matematika-v-soli. IZ TEORIJE ZA PRAKSO 11 Matematika v šoli, št. 1., letnik 25, 2019 Reševanje brez uporabe kotnih funkcij Zaradi načina konstruiranja je: . Trikotnik je enakokrak, saj je: . Od tod: . Naj bo S ploščina kvadrata ABCD, S 1 pa ploščina trikotnika CDF. Dobljeni rezultat naj dijaki primerjajo s svojo napovedjo in ugo- tavljajo vzroke za morebitna odstopanja. Reševanje z uporabo kotnih funkcij Naj bo S ploščina kvadrata ABCD, S 1 pa ploščina trikotnika ABE. 2. Prepogibanje papirnatega modela enakostraničnega trikotnika Navodilo Papirnati enakostranični trikotnik prepogni tako, da točka C 'pade' na daljico AB in dobljeno točko imenuj C'. Postopek ponovi. Razišči, kaj se spreminja pri različnih legah točke C'. Eno izmed količin, ki se spreminjajo, podrobneje razišči. Predloga Enakostranični trikotnik v GeoGebri je na spletni strani revije: https://www.zrss.si/strokovne-resitve/ revije/matematika-v-soli. IZ TEORIJE ZA PRAKSO 12 Matematika v šoli, št. 1., letnik 25, 2019 Pri različnih položajih točke C' na daljici AB se spreminjajo plo- ščine trikotnikov EDC', AC'E, C'BD, EDC, obsegi teh trikotni- kov, dolžine daljic AC', C'B, BD, DC, AE, EC, ED, C'D, C'E. Raziščimo, kako se spreminja dolžina daljice AE, ko točka C' po- tuje po daljici AB. Dolžino daljice AC' označimo z x, pri čemer je . V trikotniku AC'C zapišemo kosinusni izrek za izračun dolžine CC': Trikotnik ETC je pravokoten, uporabimo kotno funkcijo kosinus za kot φ = ECT: V trikotniku AC'C zapišemo kosinusni izrek za kot φ in poeno- stavimo: Po izenačitvi izrazov na desni strani dobimo: Oziroma Za a = 1 dobimo: 3. Prepogibanje papirnatega modela pravokotnika Navodilo Pravokoten list papirja prepogni, kot kaže slika. Razišči, kako se spreminja ploščina osenčenega pravokotnega trikotnika, ko točka T potuje po stranici a. Ideja primera je v Zbirki situacij za ustni del poklicne mature iz matematike (2011) razdelana kot situacija za ustni del poklicne mature. Predloga Pravokotnik v GeoGebri je na spletni strani revije: https://www.zrss.si/strokovne-resitve/ revije/matematika-v-soli. Velja, da je in . V osenčenem trikotniku za- pišemo Pitagorov izrek: Pri kateri vrednosti spremenljivke je ploščina največja? T IZ TEORIJE ZA PRAKSO 13 Matematika v šoli, št. 1., letnik 25, 2019 Zaključek Pri uspešnem učenju matematike je nujno razumevanje matematičnih pojmov, konceptov in postopkov. Uči- telj lahko ustvarja primerno okolje za razvijanje in izkazovanje razumevanja s sistematično in premišljeno izbiro različnih dejavnosti, ki omogočajo, da dijak razmišlja v sebi ustreznem učnem okolju. Prikazani primeri s prepogibanjem papirja omogočajo dijakom izbiro med reprezentacijami, od konkretnih preko dinamičnih do formalno analitičnih, kar lahko pripomore k boljšemu razumevanju z vidika njihovega predznanja in mo- tivacije. K temu prispeva tudi aktivacija notranjih povezav pri matematiki oz. povezovanje različnih matema- tičnih vsebin (npr. geometrije in algebre). Poudariti pa je treba še aktivno vlogo dijaka, ki z lastno konkretno in miselno dejavnostjo tke svojo mrežo znanja. Viri Perkins, D. (2012). Poučevanje za razumevanje. Vzgoja in izobraževanje, 18(5), 15−23. Prevedla dr. Sonja Sentočnik. Prevod prispevka: Perkins, D. (1993). Teaching for understanding. V American Educator: The professional Journal of the American Federation of Teachers, 17(3), 28−35. Suban Ambrož, M. (2011). Spremembe in novosti na poklicni maturi iz matematike. V Matematika v šoli, XVII(1-2). Suban Ambrož, M. (2012). Razumevanje pri poučevanju in učenju matematičnih vsebin. V A. Žakelj in M. Borstner (ur.) Zbornik posveta Razvijanje in vrednotenje znanja. Ljubljana: Zavod RS za šolstvo. Pridobljeno s http://www.zrss.si/pdf/razvijanje-vrednotenje- znanja-2012.pdf Naložbo sofinancirata Republika Slovenija in Evropska unija iz Evropskega socialnega sklada Konferenca NAK – za učitelje naravoslovnih predmetov Plakat A2 Zvonka Kos 23. oktober 2017 13:38:27 5. konferenco učiteljev naravoslovnih predmetov – NAK 2019 Laško, 23. in 24. oktober 2019 NApovedujemo