PER IL GTNNASIO INFERIORE. oOi t8 DEL I)r. FRANCESCO MOČNIK, I. R. CONSIGLIERE SCOLASTICO. j^ARTE 3 eC°NDA. PER LA TERZA E QUARTA CLASSE. CON 118 FIGURE INTERCALATE NEL TESTO- EDIZIONE QUARTA iNVARIATA. VIENNA. PRESSO IL FIGLIO Dl CARLO GEROLD TIPOGR. EDIT. 1881. V/ S8rf ?>0£ 581306 INDICE DELL A 11“ PARTE. Pagiua Vlil. 11 cerchio. 1 1. Archi, angoli al centro e settori circolari. 1 2. Corde, angoli alla periferia e segmenti. 3 3. Secanti e tangenti.. 10 4. Giacitura reciproca dei cerchi.. 15 5. Partizione della circonferenza... 20 6. Figure rettilinee inscritte nel cerchio. 22 7. Figure rettilinee circoscritte al cerchio. 28 8. Misurazione della circonferenza. 32 9. Misurazione della superficie del cerchio. 36 IX. Curve diverse.... .< . 44 1. L' ellisse. 44 2. L’ iperbola. 49 3. La parabola. 51 4. La cicloide.. ■ • • 56 5. Linea spirale.... .. 58 6. Linea ovale.... 60 La Stereometria. I. Linee rette nello spazio. 61 1. Giacitura reciproca delle rette. 61 2. Giacitura delle rette rispetto ad un piano. 63 II. Piani nello spazio. 69 1. Giacitura reciproca dei piani. 69 2. Angoli solidi. 73 III. Pristni. 76 1. Origine e definizioni. 76 2. Specie di pristni. 77 3. Sezione e rete di un prisma. 78 IV Pagina IV. Piramidi. 80 1. Origine e definizioni. 80 2. Specie di piramidi. 81 3. Sezioni e reti. 81 V. Poliedri. 84 1. Specie e proprieta. 84 2. Poliedri regolari. 85 3. Reti dei poliedri regolari. 87 VI. II eilindro. 89 1. Origine e specie. 89 2. Sezione e rete. 91 VII. II cono. 92 1. Origine e specie. 92 2. Sezione e rete. 94 VIII. La sfera. 97 1. Origine e definizione. 97 2. Sezione e rete. 98 IX. Superficie dei solidi. 99 1. Solidi a spigoli. 99 2. Solidi rotondi. 101 3. Problemi sul calcolo delle superficie dei solidi. 105 X. Volume o solidita dei corpi. 110 1. Definizioni. 110 2. Soliditk o volume di un prisma. 111 3. Volume di una piramide e di un tronco piramidale. 115 4. Volume di un poliedro regolare. 117 5. Volume di un eilindro. 117 6. Volume di un cono e di un tronco di cono. 119 7. Volume di una sfera. 119 8. Metodi diversi per calcolare i volumi. 121 9. Problemi sul calcolo del volume dei corpi. 123 VIII. II cerchio. 1. Archi, angoli al centro e settori circolari. §. 182. Se il punto A (fig. 159) si muove intorno ad un punto fisso 0 in guisa che la sua distanza da questo punto Fig. 159. rimanga sempre co- stante, esso descrive un cerchio. II punto 0 & il centro, la distanza A O h il raggio del cerchio. Ogni punto la cui di¬ stanza dal centro e maggiore del raggio, trovasi fuori del cer¬ chio ; se ali’ ihcontro quella distanza fosse minore del raggio, il punto sarebbe situato entro il cerchio. Una porzione qualunque della linea circolare, p. e. AB e un arco di cerchio. Conducendo alle due estremita di un arco A B i raggi, 1’angolo A OB da essi compreso dicesi angolo al centro. Una porzione della superficie del cerchio terminata da due raggi e dali’arco ad essi interposto, come p. e. .<4 0.5.4 si chiama settore circolare. §. 183. Ammettiamo che gli angoli AOB e C OB al centro 0 (fig. 160) siano uguali. Se ora si sovrappone il settore COD al settore AOB, in modo che gli angoli al centro si confon- dano esattamente in un solo, per 1’ uguaglianza dei lati, i punti C e B vengono a coprire i punti A e B, e V arco C B copre 1’arco AB; i due settori dunque coincidono perfettamente. Močnik, geometria intuitiva. II. 1 2 Fig. 160. Laonde segue, che ad angoli uguali al centro corri- fpondono nel m e- desimo cerchio ar chi e • i-e t-t o r i uguali. Nello stesso modo si possono dimostrare anche le due proposi- zioni seguenti: Ad archi ugua¬ li corri spondono egu ali angoli al centro e settori uguali. A settori uguali corrispondono archi ed angoli al centro parimente uguali. §. 184. Se gli angoli A O M, M ON, N O P, POB, C O Q, Q O JR, BO D (fig. 161) sono uguali, gli archi A M, MN, NP, PB e C Q, come pure i settori corrispondenti a questi archi, devono essere parimente uguali. Dunque non solo l’angolo A O M & con- tenuto 4 volte nell’ an- golo AOB, e 3 volte nell’ angolo C O D, ma anche 1’ arco A M pub ripetersi 4 volte sopra 1’ arco 15 e 3 volte sopra l’arco CD, come pure il settore A O M e compreso 4 volte nel settore AOB e S volte nel settore COD-, per modo che hanno luogo i rapporti seguenti: 3 Angolo al centro AOB : C O D = 4 : 3. Arco AB-.CD =4:3. Settore AOB : COD = 4:3. Ne segue che: Gli archi stanno fra loro come i rispettivi angoli al centro e questo e appunto il rapporto che hanno fra loro anche i settori corrispondenti. 2. Corde, angoli alla periferia e segmenti. §. 185. Dicesi corda qualsiasi retta AB (fig. 162) i cul estremi si trovano sulla circonferenza di un cerchio. Sara facile per ogni principiante di risol- vere il problema di condurre per un punto della circonferenza una corda uguale in lunghezza ad una retta data. Upa corda, come p. e. la A C , che passa pel centro del cerchio, dicesi diametro del cerchio. Essendo ogni diametro il doppio del raggio, tutti i diametri La porzione di superficie circolare compresa fra una corda e 1’arco ad essa corrispondente, come p. e. ABMA dicesi segmento circolare. Ogni corda partisce la superficie del cerchio in due seg¬ menti ordinariamente disuguali. Solo nel caso in cui la corda & ad un tempo un diametro, i due segmenti riescono uguali e sono šemi cer c hi. §. 186. a) Ammettiamo che le due corde AB e OD (fig. 163) siano uguali. A tenore di questa supposizione i triangoli AB O 1 * Fig. 162. B di un cerchio sono fra loro uguali. 4 e C D O sono uguali e percio devono esserlo pure gli angoli A OB e C O D; laonde segue che: a corde uguali corri- 163. spondono nello stessocerchio an¬ goli uguali al cen- tro e quindi anche archi uguali. In modo affatto si- mile si dimostra che: ad angoli uguali al centro, ovvero ad archi uguali de¬ vono corrispon- dere corde uguali. b) Se i triangoli AB O e CD O sono uguali, devono esserlo pure le loro altezze 0 G ed O H\ ma queste altezze rappresentano le distanze delle corde uguali A B e C D dal centro; si pub quindi concbiudere che: Le corde uguali sono equidistanti dal centro del cerchio cui appartengono e viceversa, le corde equidistanti dal centro di un cerchio debbono essere di uguale lunghezza. Fig. 164. §.187. Seunraggio, partendo dalla fissa posizione A O (fig. 164) gira intorno al punto O, in guisa da pren- dere successivamente le posizioni C O, D O, E O ... le estremita di questi raggi saranno tanto piu lontane 1’una dali’ altra quanto mag- giore e il rispettivo angoloal centro; ognu- na delle corde A C, 5 AD, A E,..., šara dunque maggiore della sua precedente. Inoltre si vede che queste corde si avvicinano sempre piu al centro coli’ aumentare in lunghezza. Quando poi il raggio mobile e arrivato nella posizione O B, la corda B A passa pel centro, diviene diametro e raggiunge la massima lunghezza. Da queste considerazioni scaturiscono i teoremi seguenti: a) II diametro e la massima fra tutte le corde; Z>) di due corde disuguali, quella e la maggiore cui corrisponde 1’angolo maggiore al centro o 1’ arco maggi ore. Le corde non aumentano pero proporzionalmente agli angoli al centro, cosi la corda deli’ angolo doppio b bensi maggiore, ma non b gia il doppio della corda deli’ angolo semplice. c) Le corde non equidistanti dal centro sono dis¬ uguali e quella e la maggiore che b piu pros- sima al centro e viceversa. Ogni corda che non passa pel centro forma coi raggi condotti per i suoi estremi un triangolo. Non risulterebbe gia da questa circostanza la conseguenza che ogni corda dev’ §. 188. Sia C (fig. 165) il centro della corda A B, dunque A C= B C. Condu- cendo ora O A, OB ed O C, che incontra 1’ arco AB in D, il triangolo AOCb^BOC, quindi 1’angolo ACO — BCO (O C J_ A B) ed A O C = BOC. Ne segue adunque che la retta che unisce il centro di un cerchio col centro di una sua corda eperpendicolare a quest’ ultima e divide per meth 1’angolo al essere minore del diametro ? Fig. 165. 6 centro, come pure l’arco ad essa corrispondente. In guisa affatto simile si pui> dimostrare che: Conducendo dal centro di un cerchio la perpen- dicolare ad una cord'a, essa divide per meth la corda, 1’angolo al centro e 1’ arco corrispondente alla corda medesima. §. 189. Siccome la retta che unisce il centro di un cer¬ chio col centro di una corda e perpendicolare a quest’ ultima e siccome nel centro di una corda non si puo innalzare che una sola perpendicolare alla medesima, cosi possiamo asserire che la perpendicolare innalzata nel centro di una corda deve passare pel centro del cerchio. §. 190. S’ abbia a trovare il centro di un dato cerchio. a) Supposta data 1’intera circonferenza. Si conduca una corda qualunque A B (fig. 166), e divisa per metk, s’ innalzi nel suo - *-, r V-; j centro C, la retta ad essa perpendicolare. Dovendo questa retta passare pel centro del cerchio, essa e un dia- E metro del cerchio purche venga prolungata da ambe le parti fino alla cir¬ conferenza. Dimezzato questo diametro DE in O , šara questo punto il centro richiesto. b) Se non fosse dato 1’intero cerchio ma soltanto un arco. Si conducano due corde non parallele A B e B C (fig. 167) e divise per metk, si conducano nei loro centri le rispettive perpendicolari. Dovendo ciascheduna di queste per- pendicolari DE ed F G passare pel centro del cerchio, esso non pub trovarsi che nel loro punto d’ incontro O. 7 §. 191. S’abbia a descrivere un cerchio il quale passi per tre punti A, B, C (fig. 167) non situati in linea retta. Condotte per i punti dati le rette AB e B C e consi- derate queste rette come corde del cerchio da co- struirsi, se ne pub trovare il centro O dietro il metodo ' accennato nel §. precedente alla lettera i). Il raggio di questo cerebio h O A f OB od 0(7; h quindi cosa age- vole il descriverlo. Fig. 167. E Un cerchio b dunque completamente determi- nato dati che siano tre punti non situati in linea retta. §. 192. Se da un punto della periferia si conducono due corde, 1’angolo da esse compreso si dice angolo alla cir- conferenza. Fl S' 168, Si leggano tutti gli angoli alla cireonfe- renza descritti nella (fig. 168). Possiamo dire degli angoli al centro, come di quelli alla circon- ferenza che essi in- sistono sopra 1’ arco interposto ai loro lati. Sopra qual arcoinsiste ognu- no degli angoli alla circonferenza che si veggono nella figura posta qui dappresšo? 8 Un angolo che come ABC insiste sulla semioirconferenza i cui lati dunque passano per le estremitk di un diametro, di-, cesi angolo inscritto nel semicerchio, o semplicemente angolo nel semicerchio. §. 193. Se un angolo al centro ed uno alla circonferenza insistono sull’ arco medesimo: a) il vertice deli’ angolo al centro puo ritrovarsi in un lato deli’ angolo alla circonferenza (fig. 169), b) oppure il vertice deli’ angolo al centro trovasi fra i due lati deli’ angolo alla circonferenza (fig. 170), c) ovvero finalmente esso cade al di fuori deli’ angolo alla circonferenza (fig. 171). Fig. 169. Fig. 170. Fig. 171. Ora si puo dimostrare che in qualunque di questi tre časi 1’ angolo alla circonferenza e la metk deli’ angolo al centro. a) L’angolo m (fig. 169) k un esterno del triangolo BOC, e percio uguale alla somma dei due interni opposti a e b; na a e b sono uguali perch& angoli alla base di un triangolo isoscele, quindi ognuno di essi equivale alla meta di m, vale a dire a — m. b) Il secondo caso (fig. 170) puo ricondursi al primo. Ed infatti condotto il diametro CD, a k la meta di m, e b la meta di n; quindi anche la somma di a e b, vale a dire 1’ angolo A CB alla circonferenza k la metk della somma di rn ed n ossia deli’ angolo A OB al centro. c) Se si conduce similmente nella (fig. 171) il diametro CD, 1’angolo B CD e la metk di B O D, ed A CD la meta 9 di AOD\ quindi anche la differenza di BCD ed ACD, ciob 1’ angolo A C B alla circonferenza dev’ essere la meta della differenza fra B O D ed A O D, vale a dire deli’ angolo al centro A O B. Se dunque un angolo alla circonferenza ed uno al centro insistono sopra lo stesso arco, quello alla circonferenza b la meta deli’ angolo al centro. §. 194. Da quest’ ultima proposizione si deduce che: a) Gli angoli alla circonferenza insistenti sopra lo stesso arco sono uguali, poichb ognuno di essi e la meta del medesimo angolo al centro. b ) Ogni angolo nel semicerchio e retto poiche l’angolo corrispondente al centro essendo di- ritto, la sua meta e precisamente un retto. Come si pub costruire un triangolo rettangolo sopra una retta data per modo che questa divenga 1’ ipotenusa? A norma del §. 169 c) possiamo stabilire anche il teorema seguente: c) Se si abbassa da un punto della periferia la perpendicolare ad un diametro, essa e la media proporzionale fra i due segmenti del diametro. Come si trova la media proporzionale fra due rette date? Si rappresentino le tre proposizioni qui accen- nate mediante opportuni disegni. §. 195. Due corde che s’ intersecano, possono esse tagliarsi recipro- camente per meta? Onde esaminare piii da vicino il rapporto che sussiste fra i segmenti delle corde ABeCD che s’ intersecano (fig. 172), si conducano anche le Fig. 172. corde AC e BD. I triangoli ACE e BDE hanno uguali gli angoli ra ed n perche opposti al verticd, inoltre anche a e b come angoli alla cireonferenza insistenti sopra lo stesso arco; quindi quei triangoli sono simili ed lia luogo la proporzione AE:DE=CE-:BEorrero AE: CE — DE' BE, vale a diret Se due corde di un cere. hi o s’intersecano, i loro segmenti sono inversamente prop orzionali. 3. Secanti e tangenti. §. 196. Una retta ed un cerchio non possono intersecarsi in piu che in due punti. Eiig, 173. Dicesi secante quella retta che taglia la cireonferenza di un cerchio in due punti; p. e la retta CD (fig. 173) che taglia la periferia nei due punti Ae B, h una secante. Se si gira la secante intorno al punto A in guisa, che 1’ altro punto d’ intersezione B si avvicini sempre piu al punto A fino a tanto che si confonda con esso, la secante prende allora la posizione della retta AE che incontra la periferia soltanto n el punto A. 11 Fig. 174. Una retta che ha un solo punto comune col cerchio si che tutti gli altri suoi punti si riti 6 vino aldi fuori del cerchio inedesimo, si chiama linea di contatto ossia tangente al cerchio. §. 197.: Se Z? C (fig. 174) ha da esšere tangente al cerchio, tutti i suoi punti meno A debbono trovarsi al di fuori del cerchio stesso. Condotta dunque da O una retta ad uno de’ suoi punti p. e. a D, questa retta deve essere maggiore del raggio e percio piii lunga di. A O. Quest’ ultima e quindi la piu breve fra tutte le rette che si possono con¬ durre da O verso B C donde segue che 40 e perpendicolare a B C e viceversa SCJ_ 40. La tangente e dunque perpendicolare al raggio che passa pel suo punto di contatto. Come si pub condurre una tangente ad un cerchio, dato essendo il punto di contatto. §.198. Dal punto A (fig.175) situato fuori del cer¬ chio si debba condurre a questo una tangente. Fig. 175. 12 Qui trattasi di trovare il punto di contatto M. Riflettendo che la tangente ed il raggio corrispondente al punto di con¬ tatto devono essere i cateti di un triangolo rettangolo di cui F ipotenusa e la retta che unisce il punto dato col centro del cerchio, non s’ ha che a costruire sopra A O, preša qual ipo¬ tenusa, un triangolo rettangolo che abbia il vertice deli’ angolo retto sulla circonferenza data, ed il problema šara risolto. A tal fine si deseriva sopra il diametro 40 un cerchio che tagli in M ed M‘ il cerchio primitivo. L’angolo AMO e retto essendo angolo nel semicerchio e cosi AM e una tangente al cerchio dato. Siccome poi anche 1’ angolo AM' O e retto, cosi A M' e un altra tangente al cerchio medesimo. Da un punto esterno si possono dunque condurre due tangenti allo stesso cerchio. Dalla soluzione di questo pro¬ blema consegue che: a) Le due tangenti AM e d AM‘, sono uguali. b ) Quando due tangenti ad un cerchio s’ intersecano e si congiunge il loro punto d’ incontro col centro mediante una retta, questa divide per inetk 1’ angolo compreso dalle due tangenti nonchfe 1’ arco da esse intercetto ed il rispettivo angolo al centro. §. 199. S’abbia a condurre una tangente comune a due cerchi dati. Siano A e B (fig. 176) i centri, 4C e BD i loro raggi. Siccome la tangente ad essi comune h perpendicolare ai raggi che passano pei rispettivi punti di contatto, cosi quei due raggi devono essere paralleli, e la distanza della tangente cercata da ognuno dei centri e uguale al raggio corrispondente. Fatto ora C E = BD e condotto dal centro A col raggio AE un cerchio, la tangente comune dista dalla circonferenza di questo cerchio quanto dal centro B del cerchio minore. Per trovare poi questa tangente, giova condurne prima una da B al cerchio descritto per ultimo, e cio costruendo sul diametro A B un nuovo cerchio il quale tagli il precedente nei punti Fe čr; le rette BF e BG sono per conseguenza tangenti al cerchio di raggio AE. Prolungato ora il raggio AFfino in H, condotta 13 Fig. 176. F h retto. IIK e dunque perpeindicolare ai raggi AH e BK, quindi b una tangente comune ai due cerchi proposti. Pro- lungando similmente il raggio A G fino in L e conducendo BM || AL, si pub tirare la retta LM che e pure tangente ai due cerchi dati. Oltre a queste due tangenti comuni, ve ne sono altre due; rimettiamo la loro ricerca ali’ intelligenza dei studiosi. §. 200. Si risolvano i seguenti problemi: d) Descrivere da un dato centro un cerchio che tocchi una retta in un punto dato. b) Condurre una tangente ad un dato cerchio parallelamente ad una retta data. c) Construire un cerchio che tocchi due rette che s’ inter- secano. (Problema indeterminato.) d) Condurre per un punto della periferia una corda di lun- ghezza determinata. e) Condurre una corda di data lunghezza per un punto dato nell’ interno di un cerchio (§. 186, b). 14 §. 201. Se AB (fig. 177) e una tangente ed A D il dia- metro di un circolo, 1’ angolo B A D e retto. Conducendo per A una corda qualunque 4C e nello stesso tempo anche la Fig. 177. z> retta CD, 1’angolo A CD e pure retto; quindi gli angoli ADC e CAD sommati insieme devono importare parimente un retto. Si ottiene adunque sempre un angolo retto, sia che si aggiunga a CAD 1’angolo BAC o 1’angolo ADC; quindi dev’ essere CD A — BAC, vale a dire: L’angolo formato dalla tangente colla corda che passa pel punto di contatto e uguale ali’ angolo alia circonfer enza cheinsiste sull’ arco sotteso alla corda medesima. §., 202. Si conducano dal punto A (fig. 178) prešo fuori del cerchio le due secanti AB edjdC 1 ; sono allora AD ed AE i 15 loro segmenti esterni. Per rivelare il rapporto di queste quattro quantita lineari, si conducano le corde BEe CD. I due trian- goli ABE ed A CD sono simili (perche?) e ci danno quindi la proporzione: AB : A C = AE : AD, vale a dire: Condu- cendo da unpunto esterno due secanti adun cerchio, esse sono inversamente proporzionali ai loro seg- m e n t i. §. 203. Se si Conduce da un punto esterno A (fig. 179) una tangente AB e ad un tempo una secante A C, tirando Fig. 179. altresi la corda BE, i triangoli ABC ed AEB sono simili, poich& P angolo A h loro comune e P angolo ACB h = ABE (§. 201); quindi si ottiene la proporzione: A C: AB = AB: AE vale a dire: La tangente h la media proporzionale fra Pintera secante ed il suo segmento esterno. Come si trova la media proporzionale fra due rette date median te 1’applicazione di questo teorema? 4. Giacitura reciproca dei cerchl. §. 204. La giacitura reciproca di due cerchl dipende dalla posizione dei loro centri come pure dalla grandezza dei loro raggi. 16 Fig. 180. Due cerchi i quali hanno il centro comune, corae nella (fig. 180), si dicono concentrici e la superficie compresa fra le due circonferenze si chiama anello. Diconsi eccentrici due cerchi quando non hanno comune il centro; la retta che li unisce chiamasi lin e a de’ centri o cen¬ trale. §. 205. Onde meglio distinguere i časi che si presentano nella gia- citura di due cerchi, manterremo costante- mente gli stessi cerchi e non faremo che allontanare 1’ uno dali’ altro i centri. a ) Fintantoche la linea centrale rimane minore della diffe- renza dei due raggi che nella figura 181 & AB -j- D C, le circonferenze non hanno alcun punto comune e 1’ una cade per intero dentro deli’ altra. Fig. 181. 17 b) Nella figura 182 la distanza dei due centri eguaglia la diffe- renza dei due raggi; in tal caso i due cerchi non hanno comune che un solo punto C, mentre ogni altro punto di una delle periferie si ritrova dentro deli’ altra. I due cerchi si toccano internamente. Fig. 182. c) Se la linea centrale AB b maggiore della differenza ma minore della somma dei due raggi, come apparisce Fig. 183. nella figura 183, allora le circonferenze s’ intersecano nei due punti E ed F. La porzione di superficie comune ad Močnik, goometria intuitiva. U. * 2 18 ambidue i cerchi cio hEDFC, si chiama lente, ed ognuna delle porzioni di superficie non comuni ai due cerchi, ciofe EMFD o ENFC, prende il nome di luna. d) Neli a figura 184 la linea centrale e uguale alla somma dei raggi; le due periferie hanno comune soltanto il punto Fig. 184. C, ed ogni altro punto di uno dei cerchi si trova al di fuori deli’ altro. In questo caso si diee che i cerchi si toccano esternamente. e) Q,uando finalmente la distanza dei due centri e maggiore della somma dei raggi come nella figura 185, i due cerchi Fig. 185, 19 non hanno alcun punto comune ed ogni punto di una delle periferie giace fuori della, periferia deli’ altro cerchio. Nelle indagini teste esposte furono supposti cerchi disu- guali. Quali risultamenti sono peranco valevoli trattandosi di cerchi fra loro uguali? §. 206. Problemi: 1) Si descrivano con raggio dato due cerchi i quali si toc- chino internamente. 2) Si desegni.no due cerchi di raggio stabilito i quali si toc- chino esternamente. 1 Fig. 186. 3) Si descrivano coi raggi m, n, p tre cerchi per modo che ciascuno tocchi gli altri due esternamente (fig. 186). Si construisca a tal fine un ttiangolo 4BC i di cui lati sieno A B — m n , A C — m -\- p e B C = n p , indi si descrivano dal centro A col raggio m, da B col raggio n e da C col raggio p tre cerchi; questi hanno la pro- prieta richiesta. Come si puo risolvere il problema nel caso che tutti e tre i cerchi abbiano ugual raggio? Si risolvano i problemi seguenti: 2 * 20 4) Descrivere due cerchi entro ad un terzo cerchio dato in modo che i due primi tocchino il terzo internamente e si tocchino fra di loro esternamente. 5) Si disegnino tre cerchi uguali i quali si tocchino 1’ un 1’ altro esternamente, indi si circoscriva a quelli un quarto cerchio che tocchi tutti gli altri. 6) Dati due cerchi concentrici ed un punto sopra il minore di essi, si costruisca un cerchio che, passando per quel punto, tocchi ambidue i cerchi proposti. Questo problema ammette due soluzioni, poiche la circonferenza del circolo minore pub toccare il cerchio richiesto esternamente, o internamente. 5. Partizione »lella circonferenza. §. 207. Partizoni per via di costruzioni geome- triche : 1) S’ahbia a dividere un arco per meti Si divide per meth 1’ angolo al centro corrispondente ali’ arco medesimo. 2) Sia da dividere la circonferenza in due por- Dividendo per meta cias- cuna semicirconferenza cosi ottenuta, 1’ intera periferia riesce partita in 4 parti uguali. Come si partisce la circon¬ ferenza di un cerchio in 8, 16, 32 parti uguali? 3)S’abbia a partire la circonferenza di un cerchio in 6 porzioni uguali. Si riporti il raggio A O (fig. 187) come corda intorno Si conduce un diametro. Fig. 187. 21 alla circonferenza e questa riuscira esattamente divisa in 6 parti uguali. Imperocche, essendo per costruzione il triangolo ABO equilatero, 1’ angolo A OB d e ve contare 60° e dovendo contenerne altrettanti anche 1’ arco A B, esso e infatti la sesta parte della circonferenza. Due di questi archi preši insieme formano la terza parte della periferia. Come si partisce la periferia di un cerchio in 12 e come in 24 porzioni uguali? Come si puo dividere un quadrante in 3, e come in 6 parti uguali? 4) S’abbia a partire la circonferenza d’un cerchio Si conducano (fig.188) due raggi O A ed OB per- pendicolari a vicenda; indi si divida in C la OB per meta e condotta la CA si prenda la porzione CD — OC. Preša ora la retta A D col compasso, essa si pub trasportare esatta¬ mente 10 volte come corda intorno alla periferia, per cui questa riesce divisa in 10 parti uguali. Prendendo due di questi archi insieme si divide la circonferenza in cinque parti eguali. Come si divide la circonferenza di un cerchio in 20 parti uguali ? §. 208. Partizione della periferia mediante il rapportatore. Se attorno al centro di un cerchio si trovano disposti degli angoli che abbiano tutti la medesima grandezza, la pe¬ riferia riesce partita dai loro lati in altrettante porzioni uguali in 10 porzioni uguali. Fig. 188. B 22 quanti sono gli angoli suddetti. Dunque, affine di dividere la circonferenza di un cercliio in un determinato numero di parti uguali, non si ha che a disegnare intorno al centro un egual numero di angoli che abbiano tutti la medisima grandezza. La grandezza di uno di essi si trova dividendo la somma di tutti gli angoli al centro, cioe 360°, pel numero degli angoli. Trovata che sia la gran¬ dezza deli’ angolo, lo si disegna e si porta poi sulla periferia 1’ arco com- preso fra i suoi lati. Volendo p. e. dividere la periferia in 9 parti uguali (fig. 189), si ottiene per uno degli angoli al centro 1’ apertura o grandezza di 360°: 9 = 40°. Disegnato dunque 1’ angolo J. 02? di 40°, mediante il rappor- tatore, si ottiene 1’ arco AB che e la 9" a parte deli’ intera periferia. In simil modo si puh partire la periferia di un cerchio in 3, 5, 8, 15 porzioni uguali. 6. Figure rettilinee inscritte nel cerchio. §. 209. Un poligono i di cui vertici si ritrovano tutti sulla periferia di un cerchio ed i di cui lati sono percio altrettante corde del cerchio medesimo si dice inscritto al cerchio, ovvero il cerchio circoscritto al poligono. Siccome per tre punti, non situati in linea retta, si puh sempre condurre un cerchio, cosi ad ogni triangolo e pos- sibile di circoscrivere un cerchio. Il metodo col quale si eseguisce questa costruzione riluce dal §. 191. Altrimenti si procede rispetto ai quadrilateri. Se A B CD (fig. 190) h un quadrilatero inscritto in un cerchio, conducendo in esso le diagonali AC e BD, si hanno gli angoli del triangolo Fig. 189. 33 AB D, 2R\ d’ altronde c ed e come pure de d / sono uguali come angoli alla periferia insistenti sopra Fig. 190. lo stesso arco, quindi avremo anche a b -J- e -f - f — 2 B, ossia A C — 2 R. Ora sic- come tutti gli angoli di un quadrilatero sommati insieme importano 4 retti, cosi anche la somma degli D e B deve uguagliare due retti. Ne segue adun- que che: In ogni quadrila- tero inscritto in un cerchio la somma di due angoli opposti h ug-uale a due retti. Egli non b possibile di circoscrivere un cerchio ad un quadrilatero che non abbia la suddetta proprieta. §. 210. Ad un polignono regolare si pub sempre circoscrivere un cerchio. Fig. 191. Onde circoscrivere un cerchio, p. e. al poligono A B C D E F si dividano per ' poligonali A e JO) il punto d’incon- tro O delle due rette che dimezzano quegli angoli b il centro del poligono ed b equidistante da tutti i suoi vertici. Se dunque dal centro O si descrive col raggio O A un cer¬ chio, esso deve passare per tutti i vertici del poligono e percih essergli circoscritto. 24 §. 211. Ad un cerchio e possibile d’ inscrivere qualunque poligono regolare. A tal fine si divide la circonferenza in altrettante parti uguali quanti sono i lati che deve ottenere il poligono, e si congiungono successivamente due e due punti di partizione mediante una corda. I lati del poligono cosi ottenuto riescono uguali, essendo corde del cerchio sottese ad archi uguali; similmente gli angoli poligonali sono pure uguali, perche insi- stenti sopra archi uguali. II poligono inscritto nel cerchio h dunque equilatero ed equiangolo e per cio regolare. Riuscira di utile esercizio il fare inscrivere dagli allievi diversi poligoni regolari al cerchio, combinando al disegno il calcolo dei lati e della superficie. §. 212. S’ inscriva al cerchio un triangolo equi- latero ABC (fig. 192). Sia il suo lato AB — 8"; quanto importera 1’ altezza CD e quanto 1’ area del triangolo ? CD e un lato del trian¬ golo rettangolo A D C, do ve 1’ ipotenusa A C h = 8" ed il lato A D — 4". Innalzando al quadrato 1’ ipotenusa ed il lato conosciuto e sot- traendo il secondo quadrato dal primo, il residuo ci rap- presenta il quadrato del lato ignoto, in virtu del teorema di Pitagora; quindi estraendo dal residuo cosi ottenuto la seconda radice si ottiene il lato incognito. — Si ha dunque: CD = j/8 a — 4" = 1/64 — 16 = 1/48 = 6,928". Conoscendo ora la base e 1’ altezza si trova immedia- tamente 1’ area = 27 , 712Q". §. 213. Sia da inscrivere al cerchio un quadrato (fig. 193). Fig. 192. C 25 del La diagonale A C del quadrato e ad un tempo il diametro cerchio. Perche? Fig. 193. D Sia ora, p. e. il lato AB =4°3'6"; quanto importera il diametro A C? — A C e 1’ ipo- tenusa di un triangolo rettangolo i cui lati AB e BC sono noti. S’ innalzino questi due lati al quadrato e dalla somma dei quadrati si estragga la seconda radice. In tal guisa si ottiene: A C 2 = 108900 X 2 AC — j/217800 = 446'7" — 6°2' 10'7". Sia da costruire un quadrato avente il lato di 2'5" e da calcolare il raggio del cerchio ad esso circoscrivibile. §. 214. S’ inscriva in un cerchio un esagono regolare (fig. 194). Fig. 194. Quale grandezza hanno il perimetro e 1’ area di questo esa¬ gono supponendo che il raggio A O del cer¬ chio sia lungo un piede. Secondo il §. 207, 3) il lato deli’ esagono regolare inscritto nel cerchio e uguale al suo raggio , dunque nel nostro caso ad 1', e 26 percib il perimetro b di 6'. II perimetro di un simile esagono e dunque il sestuplo del raggio, ovvero il triplo del diametro del cerchio circoscritto. L’area poi b uguale al semiperimetro moltiplicato per la lunghezza della perpendicolare O G abbassata dal centro sopra il lato AB. Ora OGb uno dei lati nel triangolo AGO di cui 1’ ipotenusa e A O = 1' e 1' altro lato A G — = 0 - 5. Si ottiene dunque: OG = l/l 2 — 05* = |/1 - 025 = l/(F75 = 0 866' donde 1’ area = B X 0 - 866 = 2‘598Q'. §.215. Conosciuto che sia il lato di un poligono regolare inscritto nel cerchio, si pub da esso dedurre il lato del poligono regolare inscritto che ha il doppio numero di lati del primo. Fig. 195. Se A B (fig. 195) b il lato di un poligono regolare qualunque in¬ scritto in un cerchio e si abbassa da 0 la per* pendicolare 0 C che prolungata incontra la periferia in D; A D e il lato di un poligono il quale ha il doppio numero di lati del poli¬ gono precedente e che e parimente regolare ed inscritto al cerchio. Conosciute, che siano AB ed A O , si pub primieramente determinare C 0 dal triangolo rettangolo A C 0 e sottraendo poscia CD da DO, si ottiene CD\ finalmente, dal triangolo rettangolo A CD dove i lati AC e CD sono noti, si ottiene anche il lato A D richiesto. P. e.: Essendo il raggio AO = D O = 1', il lato A B deli’ esagono regolare inscritto b uguale ad 1', quindi A C b = ^' = 05'. 27 Ora, affine di determinare il lato del dodecagono regolare inseritto si ha: C O — J/A O 2 — A C* — V l 2 — 0-5“ = 0-8660254' CD = DO — (70=1- 0-8660254 = 0-1339746' e AD = ]/A C 2 CD' 1 = J/0-5 2 + 0-1339746 2 = 0-51763818'. II perimetro di questo dodecagono b dunque: 0-51763818' X 12 = 6-211658'. Si calcolino il lato ed il perimetro del poligono regolare di 24 lati inseritto al cerchio. §.216. Abbiasi da costruire un poligono regolare sopra una retta data. a) Onde risolvere questo problema giova trovare il cerchio circonscrivibile al poligono. A questo fine si calcoli dap- prima la grandezza di un angolo poligonale, indi si con- duca una retta uguale alla data ed in ciascuna delle sue estremita si costruisca la meta deli’ angolo poligonale. Dal punto d’ intersezione dei due nuovi lati, prešo come centro, si deseriva un cerchio che passi per le estremita della retta e si porti ali’ intorno della circonferenza la retta proposta come corda. Si costruisca un pentagono, un esagono, un ottagono, un decagono, un dodecagono regolare insistente sopra una retta lunga 1". i ) La costruzione del pentagono regolare puo effettuarsi anche nel modo seguente. Sia A B (fig. 196) la retta data. S’ innalzi in JB la perpendicolare B F= AB, e dimezzata la AB in G, da questo punto prešo come centro si deseriva col raggio GF un arco il quale incontri in H la retta AB prolungata. Descritti ora da A & B degli archi col raggio AH, il loro punto d’ incontro Z) b il vertice del pentagono opposto al lato A B. Costruendo poi dai centri A q D, come pure da B e D degli altri archi col raggio AB, si ottengono gli altri vertici del pentagono richiesto ABC D E. 28 Fig. 196. Fig. 197. c) Se sulla retta data non sono da construire che esagoni, ettagoni,.o dodecagoni regolari, si puo eseguire la costruzione meccanicamente nel modo seguente. Se A B (fig. 197) b la retta data, s’ innalzi nel suo centro la perpendicolare, indi si descriva dal centro B e col raggio A B 1’ arco 1C e si divida questo arco prima in 2, ed ogni meta in 3 parti uguali; fatto poi centro nel punto 6, si con- ducano gli arehi c 7, d 8, e 9. .. ecc. Intorno al cerchio che ha il suo centro in 6 ed il raggio A C, la retta AB pub portarsi sei volte, intorno al cerchio di cen¬ tro 7 e di raggio A 7 essa pub portarsi 7 volte e cosi di seguito. 7 . Figure rettilinee circoscritte al cerchio. §. 217. Se un poligono ha i suoi lati tangenti un circolo esso dicesi circoscritto al cerchio, oppure il cerchio dicesi inscritto al poligono. 29 In un triangolo s’ inscrive un cerchio nel modo seguente: Si dividono per metk (fig. 198) gli angoli B ed A, indi dal punto O d’ intersezione delle due rette che dimezzano gli angoli, si abbassa la retta OD perpendicolare ad AB-, il Fig. 198. C nel triangolo proposto. Perochb condotte la retta O C e le perpendicolari O E ed O F alle rette A C e B C, il triangolo AOD e S AOE e BOD S BO F, quindi OD = O E ed OD = O F. I punti D, E, ed F sono dunque equidistanti da O ed il cerchio descritto da O col raggio OD tocca i lati del triangolo ABC\ esso gli b percib realmente inscritto. §. 218. In ogni poligono regolare si pub inscri- vere un cerchio. Onde inscrivere un cerchio nel poligono regolare ABCDEF (fig. 199) si cerca il centro O del poligono , si conduce O G perpendicolare ad AB e col raggio O G si descrive un cerchio dal centro O. Siccome il punto O e equidistante da tutti i lati, quel cerchio deve necessariamente passare per i piedi di tutte le altre perpendicolari abbassate da O sui lati medesimi e siccome questi riescono tangenti quel circolo, cosi esso b realmente inscritto nel poligono proposto. 30 Fig. 199. §.219. Ad un cerchio si puh circoscrivere qualun- que poligono regolare. Dividendo la sua cir- conferenza in altrettante porzioni uguali (fig. 200) quanti devono essere i lati del poligono richiesto ed innalzando nei punti di divisione A, B, C... le perpendicolari ai raggi che corrispondono ai detti punti, si ottiene il poligono G IIJ K . . . circoscritto al cerchio ed avente il numero presta- bilito di lati. E facile dimostrare mediante 1’ uguaglianza dei quadrilateri A O B H, BOC J, CO D K ... che il poligono cosl ottenuto e regolare, vale a dire che ha tutti i lati e gli angoli uguali. Fig. 200. 31 §. 220. Si circoscriva ad un cerchio dato : a) un triangolo equilatero; h) un quadrato; c) un pentagono regolare; d) un esagono regolare; e) un ottagono regolare; f) un decagono regolare. Qual e la lunghezza del lato di un quadrato circoscritto al cerchio? §. 221. Dato che sia il lato di un poligono rego¬ lare inscritto al cerchio, e facile determinare il lato del poligono regolare che ha lo stesso numero di lati e che b circoscritto al cerchio medesimo. Fig. 201. Sia AB (fig. 201) il lato di un poligono re¬ golare circoscritto al cerchio. Condotte le rette A O e B O che incon- trano la circonferenza in D ed in E, e congiunti questi punti mediante la corda DE, questo e il lato di un poligono rego¬ lare inscritto che ha un numero di lati uguale a quello del circoscritto il di cui lato h A B. Conosciute ora DE e DO — C O, e facile determinare anehe AB. I lati AB e DE sono paralleli, perche ambidue perpendicolari a CO, quindi b il triangolo ABO co DEO e le basi di questi triangoli devono stare fra loro come le, altezze, dunque AB:DE=CO:FO. Di queste quattro quantith DE e C O sono note, F O pub trovarsi facilmente dal trian¬ golo DFO e percib la quarta AB pub calcolarsi mediante la proporzione di sopra. 33 Se p. e. DE rappresenta il lato deli’ esagono regolare, ed il raggio DO h = 1' avremo anche DE = 1'; inoltre si ha: FO= j/DO 2 — D F* = 0 ■ 8660254' quindi AB: 1 = 1: 0-8660254, ossia AB — 1'1547005' e il valore che si ottiene per il lato del poligono regolare circoscritto. Il suo perimetro poi importa: 1-1547005 X 6 = 6-928203'. Al §. 215 ottennemmo la lunghezza del lato del dode- cagono regolare inscritto al cerchio eguale 0"517638'; si cal- colino ora il lato ed il perimetro del dodecagono regolare circoscritto. 8. Misurazione della circonferenza. §. 222. La corda nel cerchio h sempre minore deli’ arco cui e sottesa e per lo contrario le porzioni deli e tangenti che nel poligono circoscritto al cerchio abbracciano per cosi dire un arco, preše insieme, sono sempre maggiori deli’ arco mede- simo. Inscrivendo adunque e circoscrivendo ad un cerchio poligoni regolari di egual numero di lati, il perimetro del poligono iscritto riesce minore, e quello del poligono circo¬ scritto maggiore della periferia del cerchio, che percio e conte- nuta fra i due detti perimetri. Il perimetro deli’ esagono inscritto in un cerchio di raggio 1, importa 6 e quello deli’ esagono circoscritto 6 "928203; la periferia b dunque maggiore del raggio moltiplicato per 6 e minore del raggio moltiplicato per 6'928203. Prendendo due poligoni, che abbiano un numero di lati due volte maggiore del precedente, vale a dire due dodecagoni, uno dei quali sia inscritto e 1’ altro circoscritto al cerchio, i loro perimetri sono vieppiu prossimi alla periferia e la comprendono percib entro limiti piu ristretti. Calcolando ora a norma del §. 215 il lato del poligono regolare inscritto di 12, 24, 48 lati ecc. e da questi dietro il §. 221 il lato del poligono regolare circoscritto di 12, 24, 48 lati ecc., si otten- gono, calcolando i rispettivi perimetri fino alla sesta cifra decimale, i valori seguenti: 33 Siccome la periferia del cerchio si trova sempre com- presa fra il perimetro di un poligono inscritto e quello di uno circoscritto di ugual numero di lati e siccome i perimetri del poligono inscritto e del circoscritto di 3072 lati concordano nelle prime cinque cifre decimali, cosl il numero 6‘28318 rappre- senta esattamente anche la periferia del cerchio, il di cui raggio e 1’ unitti, fino alla quinta cifra decimale. Da cih segue che il rapporto della circonferenza di un cerchio qualunque al suo raggio viene espresso dal numero 6‘28318 e per conse- guenza al suo diametro dal numero 3‘14159. Il numero 3 ‘ 14159 che esprime il rapporto costante della periferia al diametro, dicesi sovente numero Ludolfiano e si esprime colla lettera n; sicchh tc & — 3'14159. .Nei calcoli che non richiedono molta esattezza si suole porre * = 3£ = 3‘14; trattandosi perh di maggiore esattezza h d’ uopo considerare un numero maggiore di cifre decimali. La frazione esprime il valore di n esattamente fino alla sesta cifra decimale. Močnik, geometria intuitiva, II. 3 34 §. 223. Dalle considerazioni precedenti scaturiscono i seguenti teoremi: 1) La periferia di un cerchio e uguale al diametro, ovvero al doppio raggio moltiplicato pel nu- mero n. Se p. e. il raggio di un cerchio e di 3' 4", il suo diametro h di 6' 8" — 80"; la periferia poi sarb: = 80 X 3-14159 = 251-3272" = 3° 2' 11 -3271". 2) Il diametro di un cerchio e uguale alla periferia divi s a pel numero n. Se p. e. la periferia di un cerchio e di 20", quale ne e il diametro? 20" : 31 = 6 t \" di diametro. 3) Le periferie di due cerchi stanno fra loro come i diametri, o come i raggi. Perocchb s e D e d sono i diametri, P e p le periferie di due cerchi, si avra: P=D X 3-14 e p = d X 3-14 quindi P : p — D : d. §. 224. Onde determinare la lunghezza di un arco cir- colare espresso in gradi, si applica il teorema dedotto al §. 184. Vale a dire: La lunghezza di un arco sta alFintera peri¬ feria, come 1’ angolo al centro corrispondente sta a 360°. P. e. Dovendosi determinare la lunghezza di un arco di 45° pel caso dove il raggio sia di 5', si ha: Periferia = 10 X 3-1416 == 31-416', quindi la proporzione: lunghezza deli’ arco : 3P416 = 45°: 360°, donde segue la lunghezza deli’ arco = 3*927'. A norma dello stesso teorema si pub inversamente deter¬ minare il numero dei gradi compresi nell' arco e nell’ angolo al centro corrispondente. P. e. un arco circolare b di 4' e 1’ intera periferia cui esso appartiene e lunga 20'; quanti gradi contiene 1’ arco proposto ? 4 : 20 = a: 9 : 360° quindi x = 72 9 . 35 §. 225. Problemi. 1) Qual b la lunghezza della periferia di un cerchio che ha 2' 8" di diametro? 2) II diametro di un cerchio importa 3°, 2° 4', 1° 5', 10", 3'92°, 3|'; quale ne e la periferia? 3) Si determini la periferia del cerchio, essendo il raggio di 3' 7", di 1° 1' 1", di 4 t V 0 , di 48 28'. 4) Quale b il diametro di un cerchio, se la sua periferia b di 25°. 5) La periferia e di 15° 3', di 12’2", di 1° 3' 5-5"; quale ne b il raggio? 6) Quale e la lunghezza di un arco di 20° se il diametro del cerchio cui esso appartiene e di 5' 11"? 7) Il raggio di un cerchio e lungo 2'; quale lunghezza avra un suo arco di 30°, di 125°, di 57° 30'? 8) L’arco di un cerchio che ha 22'5' di diametro & lungo 20'; quanti gradi comprende? 9) Il raggio di un cerchio e di 8'; quanti gradi contengono gli angoli al centro corrispondenti ad archi della lun¬ ghezza di 5', di 7 - 5' di 2' 7"? 10) Qual b il diametro alla base di un troneo d’ albero essendo la circonferenza di 7' 2"? 11) Quanti alberi equidistanti di 12' 1’ uno dal’ altro si pos- sono piantare intorno ad uno stagno circolare di 87' di diametro ? 12) Un pedone impiega 6 minuti per fare il giro di uno stagno circolare percorrendo 4' per minuto secondo; qual e il diametro dello stagno? 13) La ruota di una locomotiva ha 3' di diametro; quante volte dovra essa girarsi, percorrendo la rotaja di una lega tedesca? 14) Una palla di 3" e ^ di diametro si muove sopra una platea lunga 36'; quante volte compie essa il suo giro? 15) Un grado deli’ equatore terrestre viene calcolato di 15 miglia geografiche; quale b il raggio deli’ equatore ossia il raggio terrestre? 3 * 36 16) Quanti denti deve ottenere una ruota del diametro di 6' 3", onde le loro distanze da asse ad asse sieno di 4“ e ^? 17) Quale h il raggio di una mensa di forma circolare desti- nata per otto persone ciascuna delle quali occupi 2' 3" della circonferenza. 18) La ruota anteriore di una carrozza ha 3' di diametro, la posteriore 5'; quanti giri di pivi della posteriore farh la ruota anteriore in un tratto di 12000'? 19) Un mappamondo ha 16" di diametro; quale lunghezza ha in esso ciascun grado ali’ equatore? 20) Trattandosi di volgere una fune 18 volte intorno ad un ceppo rotondo del raggio di 10"; quale dovra essere la lunghezza della fune? 21) Quale h la grandezza della circonferenza interna e quale quella deli’ esterna di un tubo di ferro che ha 1' in luce e di spessore? 22) Una ruota idraulica ha 24 palete distanti 1’ una dali altra di 10‘5"; quale k il diametro della ruota? 23) Il vericello di un pozzo ha 1'2" di diametro; quale pro- fonditk ha il pozzo, se la corda che deve giungere a toccarne il fondo s’avvolge 18 volte attorno al vericello? 24) Volendo circondare un laghetto circolare con una siepe piantata alla distanza di 3' 6" dalla sponda; quale sark la circonferenza della siepe, se quella del laghetto k di 158'? 25) La periferia del fondo di una botte h di 12' 2"; quella al suo ventre e di 13' 6"; quali sono le lunghezze dei rispettivi diametri? 26) Una torre circolare ha internamente 75‘4' ed esternamente 120' di periferia, qual h la grossezza delle mura? 9. lUisura della superficie del cerchio. §. 226. Siccome la superficie di un cerchio k sempre maggiore di quella del poligono regolare inscritto e minore di quella del poligono regolare circoscritto di ugual numero di lati, e siccome queste ultime superficie si vanno avvicinando 37 sempre piu a quella del cerchio di mano in mano che si va raddoppiando il numero dei lati dei poligoni, cosi si potrebbe dedurre 1’ area del cerchio da quella dei poligoni regolari come di sopra abbiamo dedotta la lungbezza della periferia dai perimetri dei poligoni. Piu semplicemente pero si consegue lo scopo mediante le seguenti considerazioni. Quanto maggiore e il numero dei lati del poligono inscritto, altrettanto minori divengono i lati stessi, e tanto piu si avvicinano questi alla periferia, e con cio tanto minore riesce anche la differenza fra 1’ area del poligono e quella del cerchio. Immaginando pertanto il numero dei lati di un tal poligono accresciuto ali’ infinito, il poligono regolare si con- fonde finalmente col cerchio medesimo. Un cerchio puo dunque considerarsi qual poligono di un numero infinito di lati. Siccome poi in generale 1’ area di un poligono regolare h uguale al perimetro moltiplicato per la meth della perpendicolare abbassata dal centro sopra uno dei lati, la qual perpendicolare considerando il cerchio viene a confondersi col raggio, cosi ne segue che: L/areadiun cerchio h uguale alla circonferenza moltiplicata per la meta del raggio, ovvero per la quarta parte del diametro. Se per es. il raggio h di 8", la periferia šara di 16 X 3-14 = 50-24" e 1’ area = 50‘24 X 4 = 200-96n"- Si richiede la superficie di un cerchio, la cui periferia importi 44'. 44' : 3f = 14' di diametro, 44' X V = 154Q' d’ area. §. 227. La proposizione antecedente si puo esprimere anche nel modo seguente: Se r significa il raggio , p la periferia ed f 1’ area del cerchio proposto, si avra. f = p ■ j, ovvero essendojp = 2 itr, V / = = r 2 ir, vale a dire: 38 L’ area di un cerchio d uguale al quadrato del raggio moltiplicato pel numero n. Se il raggio h p. e. di 5', si ha: f = 5* X 3-1416 = 25 X 3-1416 = 78-54Q'. Dovendo ali’ incontro calcolare il raggio di un cerchio data la sua superficie, non s’ ha che a dividere quest’ ultima pel numero il quoziente che si ottiene e il quadrato del raggio. Estrattane la radice quadrata si ottiene il raggio medesimo. P. e. Qual e il raggio di un cerchio la cui super- ficie e di 200"? 2 : 3-14 = 6-37, j/6‘37 = 2'52" di raggio. §. 228. Se R ed r sono i raggi, F ed / le aree di due cerchi, si avra : F — iž fl % ed f — r 1 n quindi; F : / = iž 2 : r 2 , vale a dire : Le aree di due cerchi stanno fra loro come i quadrati dei loro raggi, ovvero come i quadrati dei loro diametri. Un cerchio dunque il quale abbia un diametro doppio, triplo, quadruplo, avra una superficie di 4, 9, 16 volte maggiore di quella corrispondente al cerchio che ha il raggio unitario. §.229. Se A B C (fig. 202) h un triangolo rettangolo in B e si descrivono sopra i tre lati preši come diametri dei cerchi, in virtu del teo¬ rema di Pitagora si avra: AC* = AB* + BC S , quindi moltiplicando le due espressioni pel numero ar, e dividendole poscia per 4 si ottiene: AC*7i _ AB-Tt BC*x " 4 4 " 4 Queste tre quantita esprimono nel loro ordine le aree dei cerchi descritti sull’ ipotenusa e sopra i due cateti. 39 L’area dunque del cerchio descritto sull’ ipo- tenusa equivale alla somma di quelle dei due cerchi descritti sopra i cateti del medesimo triangolo r ettangolo. Su questo teorema si fonda la soluzione dei due problemi seguenti: a) Descrivere un cerchio la di cui area sia uguale alla somma delle aree di due cerchi dati. b ) Descrivere un cerchio la di cui area sia equivalente alla differenza delle aree di due cerchi dati. §. 230. Onde calcolare la superficie di un anello cir- colare, si sottrae 1’ area del cerchio minore da quella del maggiore o piu brevemente: si sottrae il quadrato del raggio Fig. 203. Fig. 204. minore da quello del maggiore e si moltiplica il residuo cosi ottenuto pel numero it. Sia p. e. (fig. 203) OB Žfe' 5' ed OC — 3', si avr&: O B 2 = 25 O C 2 = 9 Anello = 16 X 3‘14. = 50-240'. §. 231. S’ abbia a determinare la su¬ perficie di un set- tore circolare. Se nel settore O A B (fig. 204) s’ immagina condotto un numero in- finito di raggi, i picco- lissimi settori che ne risultano possono ri- sguardarsi come triangoli le cui basi preše insieme costituiscono 1’ areo AB corrispondente al settore primitivo e la cui altezza comune e il raggio stesso. Onde ottenere la superficie del settore si calcoleranno le aree dei suddetti trian- goli, e si formerk la loro somma. A tal fine si sommano im- prima tutte le basi, indi si moltiplica la loro somma, cioe 1’ arco AB , per la meta della loro altezza comune ossia per la meta del raggio. La superficie di un settore circolare e dunque uguale al prodotto del suo arco per la meta del raggio. Se p. e. il raggio e di 7" e 1’ arco AB contiene 35°, si ottiene, rappresentando per p la periferia , per b la lunghezza deli’ arco AB, per s la superficie del settore: p = 14 X 3| = 44" b : 44 = 35° : 360° quindi b — f|"; ed « = H X \ = 14HD". In modo affatto simile a quello ora praticato onde deter- minare 1’ area di un settore, si avrebbe potuto anche stabilire il teorema accennato al §. 226, risguardante 1’ area deli’ intero cerchio. §. 232. Superficie di un segmento circolare. Se dagli estremi di una corda A B (fig. 205) cor¬ rispondente al segmento ASM si conducono i raggi, si ottiene il settore AOB il quale si compone del seg¬ mento dato e del triangolo A OB. Calcolando quindi la superficie del settore e sot traendo poscia da quella 1’ area del triangolo si ot- terrk 1’ area del segmento. Sia p. e. il raggio A O = 10", 1’ arco A B contenga 40° e la corda A B ad esso sottesa sia di 6’84"; volendo ottenere 1’ area del segmento, si ottiene in primo luogo per 1’ arco del Fig. 205. B 41 settore AOB la lunghezza di 6’98", quindi la superficie di quel settore = 6-98 X 5 = 34'900_ indi nel triangolo AOD 1’altezza O C=]/AO* — AC"= 9'39"; e percio 1’ area = 3-42 X 9-39 — 32'110". La superficie del settore ABM e dunque di 34-9 — 32-11 = 2*790". §. 233. Problemi. 1) Si determini 1’ area di un cerchio che ha 5° 4' di diametro. 2) Si determini l’area dei cerchi i cui diametri sono di 15', di 1° 2' 5", di 3-75'? 3) Quanto importa 1’ area di un cerchio, se la periferia cor- rispondente conta 26°? 4) Qual raggio corrisponde ad un cerchio che ha 50' 480" di superficie? 5) L’ area di un cerchio contiene 100°, qual e la lunghezza della periferia ? 6) Diversi cerchi hanno le aree di a) 1660' di b) 9-240°, di c) 170' 63Q"; quale e il raggio del primo, quale il diametro del secondo e quale la periferia del terzo cerchio? 7) Il raggio di un dato cerchio e di 5' 8"; voleudo costruire un secondo di 2 volte e mezzo maggiore del primo, quale lunghezza si dovra dare al diametro? 8) Il diametro di un cerchio e di 8" e quanto dovrk im- portare il diametro di un secondo cerchio la cui area stia a quella del primo come 3 sta a 4? 9) I raggi di due cerchi sono di 2' 4" e di 3" e quale šara il diametro di un terzo cerchio, la cui area sia equivalente alla somma delle aree dei due primi? 10) La periferia di un cerchio e di 27’35", quella di un se¬ condo h di 12’78"; quale dovra essere la circonferenza di un terzo cerchio la cui area sia equivalente alla diffe- renza delle aree dei due primi? 11) Siano dati due cerchi di 5' e di 4' di raggio, due altri di 2' 8" e di 2' 3" di diametro ed altri due di 57' 2" e di 93 - 25" di circonferenza. Si calcoli nel primo caso il 42 raggio , nel secondo il diametro e nel terzo la periferia del cerchio la cui superficie sia equivalente alla somma delle superficie dei due cerchi dati. 12) Un cerchio ha la periferia uguale al perimetro di un quadrato il cui lato h di 8"; in quale rapporto stanno fra loro le aree di queste due figure? 13) Due cerchi concentrici hanno i raggi di 3' 5" e di 2' 8"; quale superficie ha 1’ anello fra essi compreso? 14) Se le periferie di due cerchi concentrici hanno 137" e 152" in lunghezza, quale sark la grandezza deli’ anello da loro compreso? 15) Qual b il raggio maggiore di un anello circolare il quale conti 86'24Q' in superficie ed il cui raggio minore sia di 4-2'. 16) Il diametro di un cerchio h di 10'; quale grandezza deve avere il cerchio concentrico interno, se 1’ anello interposto ha la larghezza di 1' 7"? 17) Si determini 1’ area di un settore, dove il raggio sia di 3‘24' e la lunghezza deli’ arco di 4'5'. 18) La periferia di un cerchio ž di 249"; quanto importera la superficie di un settore se il suo angolo al centro con- tiene 50° ? 19) Quanti gradi deve contenere 1’ arco di un settore che abbia 28‘850" in superficie ed il cui raggio sia di 3' 5"? 20) Quale sark 1’ area di un segmento circolare dove tanto il raggio quanto la corda hanno la lunghezza di 3' 11"? 21) La circonferenza di un tronco d’ albero in una delle sue sezioni h di 7' 10"; quale area corrisponde alla detta sezione? 22) In un villaggio si trova un bacino circolare del diametro di 2° 3' che si vorrebbe ingrandire fino a che esso ottenga il diametro di 3° 4'; di quanto riuscirk aumentata 1’ area dello specchio deli’ acqua? 23) Ali’ intorno di un prato circolare del diametro di 18° 4' gira una strada larga 4'; quale b 1’ area occupata dalla detta strada? 43 24) La sezione di un tronco rotondo ha 80' 350" d’ area; si determini il lato deli’ esagono regolare che vuolsi otte- nere mediante squadratura? 25) Un tubo lia 4" in luce e di grossezza; quale e la grandezza della sezione trasversale? 26) In un bossolo rotondo del diametro di 1 - 1" sono con- tenuti 100 zolfanelli; quanti ne deve capire un altro del diametro di 2"? 27) Dal centro di un foglio di earta quadrato che ha 9" di lato, si descrive col raggio di 4" un cerchio; quale super- ficie ha la carta rimasta fuori del cerchio descritto? 28) Quale larghezza si deve assegnare allo spazio destinato per 500 persone ali’ ingiro di un anfiteatro circolare del diametro di 4°, supponendo che ogni persona occupi lo spazio di 40'? 29) Uno stagno circolare ed uno quadrato hanno il contorno di uguale lunghezza, cioh di 60°; ambidue sono circon- dati da un orlo d' erba largo 2°; quale delle due super- ficie h la minore e quale e la loro differenza? 30) Sopra un bersaglio vi sono tre anelli neri e due bianchi, ciascuno della larghezza di 2 pollici e mezzo, il centro poi del bersaglio e formato da un cerchio bianco del diametro di 2"; quanto grande e a) 1’ intero bersaglio, b ) 1’ area del circolo che ne costituisce il centro, c) cia¬ scuno degli anelli? 31) Il raggio di un cerchio e di 32"; quale h 1’ eccesso della sua area sopra quella del quadrato inscritto, e sopra quella deli’ esagono regolare parimente inscritto; ali’ incon- tro di quanto h essa minore deli’ area del quadrato cir- coscritto, e deli’ area deli’ esagono regolare pure circo- scritto. 44 IX. Curve diverse. I. L’ellisse. §. 234. Nella retta CD (fig. 206) siano i punti A e B equidistanti da C e D. Posti in A e B due aghi e fissate attorno a questi le estremitk di un filo uguale in lunghezza alla retta CD , si tenda il filo mediante la matita collocata in M e la si giri lungo tutto il filo medesimo tenendolo sempre esattauiente teso; la matita descrive nel suo movimento una curva rientrante in se medesima che chiamasi ellisse. La retta CD dicesi asse maggiore, le estremitk C e Z) di questa sono i vertici ed il punto O che la divide per metk il Fig. 206. centro deli’ ellisse; i punti A e B poi si dicono i fuochi e le rette B M e A M condotte dai fuochi ad un punto qualunque deli’ ellisse, chiamansi raggi vettori del punto medesimo. Dali a suddetta descrizione deli’ ellisse mediante un filo risulta che la lunghezza delle due porzioni di filo AM e BM , ciok che i due raggi vettori , si cambiano da punto a punto aumentando 1’ uno d’ essi col diminuire deli’ altro , ma che la loro somma rimane sempre uguale ali’ asse maggiore. Sicchk per ogni punto deli’ ellisse la somma dei raggi vettori k uguale ali’ asse maggiore. La retta E F che nel centro sta perpendicolare ali’ asse maggiore, dicesi asse minore deli’ ellisse. Nei punti E ed F 45 i due raggi vettori hanno la medesima lunghezza e percio ognuno d’ essi h uguale al semiasse maggiore. La distanza di un fuoco dal centro, corae A O e B O, chiamasi eccentricitk delFellisse. Quanto minore h 1’eccen- tricith, tanto piu 1’ ellisse si avvicina al cerchio. Nelle costruzioni grafiche e nel calcolo il triangolo AOE e di speciale importanza. Che cosa rappresenta ciascuno de’ suoi lati? §. 235. Si determini un numero qualunque di punti appartenenti ali’ ellisse, conoseiuti che siano 1’ asse maggiore ed i fuochi della medesima, Siano A e B (fig. 207) i due fuochi e CD Y asse mag¬ giore deli’ ellisse; se primieramente si descrivono dai centri Fig. 207. A e B e con raggio uguale al semiasse maggiore degli archi, i loro punti d’ intersezione E ed F danno le estremith deli’ asse minore. Prešo ora fra A ed O un punto qualunque m, descritti da ogni fuoco col raggio C m e sopra e sotto alla A B degli archi e tagliati questi archi con altri quattro che si descri¬ vono pure dai fuochi col raggio Dm, i quattro punti M di loro intersezione sono punti deli’ ellisse, essendo per ciascuno di loro uno dei raggi vettori uguale a Cm e 1’ altro a Dm ed impor- tando percih la loro .somma Cm 4~ Dm , ovvero 1’ asse maggiore CD. In modo affatto simile si possono ottenere mediante il 4« punto n i quattro punti N, mediante p i quattro punti P, e oosi di seguito si potranno determinare tanti punti deli’ ellisse quanti se ne desiderano. Determinando questi punti molto vicini gli uni agli altri, si potranno unire mediante una linea curva che šara F ellisse stessa. §.236. Data un’ ellisse cercare il centro e deter¬ minare la situazione degli assi e dei fuoclii. Si conducano in direzione arbitraria due corde parallele GH e K L (fig. 208), indi si conduea pei loro centri M ed N anche la corda PQ e la si divida in 0 per meta. Questo punto O e il centro deli’ ellisse. Fig. 208. hi fso ■ rr.b 'ujov' r- sw. 'jfeb ,ymn> /: u Descrivendo dal centro O un arco di cerchio che inter- sechi 1’ ellisse in P ed /S, e dividendo per meth in Tla corda RS, la corda CD condotta per T ed Ob 1’ asse maggiore deli’ ellisse, quindi la E F elevata perpendicolarmente sulla CD nel punto O sar& 1’ asse minore. Descritti finalmente dal centro E e con raggio uguale al semiasse maggiore C O degli archi che intersecano 1’ asse maggiore in A ed in B, si ottengono con questi punti i due fuochi deli’ ellisse proposta. §. 237. Sia da costruire una curva simile ali’ ellisse mediante la composizione -di diversi archi čircolari nei časi seguenti: 47 a) Lasciati i due assi ali’ arbitrio del disegnatore. Si trasportino (fig. 209) sopra una retta tre porzioni uguali AB — B C — CD, e col raggio B C si descrivano dai Fig. 209. centri B e C degli archi i quali s’ intersecbino nei punti E ed F. Per questi punti e per i due centri si facciano passare le quat- tro rette E G, EH, F J ed F K, e facendo centro in E ed F si descrivano finalmente col raggio E G gli archi G H ed J K. h) Dato 1’ asse maggiore. Fig. 210. 48 Si partisca 1’ asse maggiore AE (fig. 210) in quattro por- zioni uguali e fatto centro in B e D, si descrivano col raggio BC due cerchi i quali si tocchino in C. Indi si costruiscano sopra BD due triangoli equilateri B D F & B D G, in modo che i prolungamenti dei loro lati non comuni intersechino i due cerchi suddetti nei punti i?, J, K, L. Finalmente dai due centri F e G e col raggio FH si descrivano gli archi HJ e KL. c) Dati ambidue gli assi. Si dispougono i due assi AB e CD perpendicolari a vicenda nei loro centri (fig. 211) indi dal centro O e col raggio Fig. 211. A ---*a C' t —- D c O D si descrive un cerchio e dimezzata la A E si trasportano tre di queste metk da O in F e G, e quattro delle medesime pure da O fino in H ed J. Cio fatto si conducono pei punti H, F, G ed J le rette H L, K M, J N ed J P, e dai centri F e G si costruiscono gli archi L N e P M col raggio A F e gli archi L M ed N P dai centri H ed J e col raggio N J. §, 238. Superficie deli’ ellisse. Si descriva sull’ asse maggiore un cerchio ed un secondo si costruisca sull’ asse minore; 1’ area deli’ ellisse e minore di 49 quella del primo cerchio e maggiore di quella del secondo. Ora si e tro vato che 1’area deli’ ellisse equivale ali’ area di un cerchio il cui raggio & la media proporzionale fra i due semiassi di essa. Se c e questo raggio, a il semiasse maggiore, e & il minore, si ha a: r — r : b, quindi r 2 = ab. L’ area di questo cerchio e pero r 2 n, quindi anche quella deli’ ellisse šara r 2 jr, ovvero abn s ; vale a dire: L’ area di un’ ellisse si trova moltiplicando il prodotto dei due semiassi pel numero jr. Problemi. 1) I semiassi di una ellisse sono 8' e 5', quale ne dev’ essere la superficie? Prodotto dei semiassi = 8X5 = 40'. Area = 40 X 3* 1416 = 125’6640'. 2) Una prateria di forma elittica ha 26' in lunghezza e 16' in larghezza; quale šara 1’area da essa occupata? 3) L’ arena di Verona h un’ ellisse della lunghezza di 77° e della larghezza di 61°; quale ne e 1’ area interna? 4) L’ eccentricitk di un’ ellisse e di 5' 4", 1’ asse maggiore h di 17'8"; quale b la lunghezza deli’ asse minore e quale sark la superficie deli’ ellisse? 5) La superficie di un’ ellisse sia di 80Q' e 1’ asse maggiore sia lungo 12'; quale lunghezza spetta ali’ asse minore e quale sark la distanza fra i due fuochi? Z. L’ iperbola. §. 239. Si prendano sulla retta XX' (fig. 212) le porzioni O A — OB, O C — OD. Si ponga quindi 1’ estremitk dello spigolo del regolo A E nel punto A, e si assodino in E e B le due estremita di un filo il quale sia di CD maggiore dello spi¬ golo del regolo suddetto. Se ora si gira il regolo attorno ali’ angolo solido A, abbassando nello stesso tempo lungi lo spigolo E A una matita M posta uell’ interno del filo, in modo che quest’ ultimo riesca esattamente teso, la matita descrive durante il suo movimento una porzione di quella curva che cbiamasi iperbola. Capovolgendo il regolo A E tostoche la Močnik, geometria intuitiva. II. 4 50 Fig. 212. E matita sia giunta in C, e continuando poi 1’ operazione or ora descritta, si ottiene la parte inferiore C N deli’ iperbola, uguale alla superiore CM. Pošto poi il vertice deli’ angolo solido del regolo in B, e fissata in A la seconda estremita del filo che prima ritrovavasi in B, si pub analogamente descrivere col mezzo della matita il secondo ramo PDQ deli’ iperbola affatto uguale al primo M C N. La retta CD si chiama 1’ asse, il punto O, in cui essa e divisa per meta ; il centro, A e B si dicono i fuochi, C e D poi i vertici deli’ iperbola. Le rette A M e B M sono i raggi vettori di M. Ad ogni altro punto corrispondono altri due raggi vettori, fra i quali sussiste pero sempre una determinata e costante relazione. Dalla costruzione deli’iperbola ciob risulta, che la porzione di filoJ3Mohe rap- presenta uno dei raggi vettori h sempre uguale in lunghezza alla somma deli’ altro raggio vettore A M e deli’ asse CD ; ossia la differenza fra BM ed A M de ve uguagliare costante- mente 1’ asse CD. Vediamo adunque che nell’ iperbola la differenza dei due raggi vettori di ciascun punto b sempre uguale ali’ asse. 51 §. 240. Sieno da determinare col compasso di- versi punti deli’iperbola, dati che ne siano 1’asse ed i fuochi. Siano A e B (fig. 213) i fuochi, ed O il centro della distanza che li separa; inoltre siano C e D i vertici e quindi CD 1’ asse deli’ iperbola. Si prenda ora sulla retta AX un Fig. 213. punto qualunque m, e fatto centro in A e B si descrivano sotto e sopra degli archi tanto col raggio D m come col raggio Cm; i quattro punti M di loro intersezione sono altrettanti punti deli’ iperbola, essendo per ognuno d’ essi un raggio vettore = D m, e 1’ altro — Cm, quindi la loro differenza D m — Cm uguale ali’ asse. Similmente mediante il punto n si possono determinare i quattro punti N, mediante p i quattro punti P e cosi di seguito si possono determinare punti a piacere. Congiungendo i punti cosi ottenuti mediante una linea curva questa e un’ iperbola. 3. La parabola. §. 241. Si prendano sulla retta A X (fig. 214) le porzioni A O = O F e si conduca per A la A C AX. Prešo ora uno squadretto DE Gr ed un filo che abbia la lunghezza del suo 4 * 52 Fig. 214. cateto DE se ne fissi una estremita in £ e 1’ altra in F- la matita M, che tendendo esattamente il filo, si muove lungo il cateto ED dello squadretto, mentre questo partendo da A scorre coli’ altro cateto D G lungo AB, descrive una curva che dicesi parabola. Per ottenere il ramo inferiore ON della parabola non si ha che a girare 10 squadretto in guisa che il cateto D G venga a porsi nella direzione A C, indi si procede come sopra. La retta D C si chia- ma la direttrice, 11 punto F il fuoco, OX 1’ asse ed 0 il ver tiče della para¬ bola. La retta F M dicesi raggio vettore del punto M. In con- seguenza alla costru- zione, la lunghezza del filo F M rimane costantemente uguale alla porzione M D del cateto D E\ vale a dire: ogni punto della parabola dista ugualmente dal fuoco e dalla direttrice. La retta BS, che nel fuoco sta perpendicolare sull’ asse, chiamasi parametro della parabola. Essendo B poi un punto della parabola, la sua distanza FB dal fuoco deve essere uguale alla sua distanza dalla direttrice, ciob alla retta A F, quindi AF=FB. La distanza del fuoco dalla diret¬ trice e adunque uguale al semiparametro. §. 242. Sieno da determinare piii punti della parabola, essendo dati la direttrice ed il fuoco della medesima. 53 Sia F (fig. 215) il fuoco e B C la direttrice. Se si con- duce F A J ,BG il punto O che divide per meta questa per¬ pendicolare e il vertice e la O X, prolungata oltre F t h 1' asse della parabola. Se da un punto qualunque m deli’ asse s’ innalza una perpendicolare alla medesima e la si taglia dal punto F con degli archi il di cui raggio sia Am, i due punti di intersezione M appartengono alla parabola distando essi ugualmente dal fuoco e dalla direttrice. Similmente determina il punto n due punti N, il punto p due altri punti P\ che appartengono tutti alla stessa parabola. In questa guisa si possono ottenere tanti punti quanti sono necessari a disegnare la parabola colla dovuta esattezza. §. 243. La perpendicolare M P (fig. 216) abbassata dal punto M della parabola sull’asse, si chiama ordinata di quel punto e la porzione OP situata fra il vertice e la suddetta ordinata dicesi a s c i s s a. Queste due rette poi appajate si dicono le coordinate del punto considerato. 54 In conseguenza al teorema di Pitagora risulta dal triangolo rettangolo FPM che il quadrato MPCD sull’ ordinata M P equivale a quello costruito sul raggio vettore, ovvero sulla retta A Pad esso eguale, vale a dire ad APEG, meno il quadrato FPHJ eretto sull’ altro cateto EP] la differenza dei due ultimi quadrati e pero 1’area AP'JHEG, quindi il quadrato MPCD h equivalente alla figura AFJHEG. Prolungata la. H J e condotta nella distanza K L — A O la, L N parallela a, G K, gli elementi della figura AFJHEG si compongono dei rettangoli LE, K N ed A J, i quali si possono riunire in un solo rettangolo OPQR che ha per lati 1’ ascissa O P del punto M e la retta 0 E uguale al doppio di A F, ovvero al parametro della parabola. Il quadrato della ordinata dunque h, uguale al rettangolo, ovvero al prodotto, formato dal parametro e dali’ ascissa. Esprimendo il parametro, che nella stessa parabola ha una lunghezza costante, colla lettera p, si ha M P 2 = p .0 P. Similmente se M'P'ed OP' sono le coordinate di un secondo punto M' della parabola, avra luogo al tresi 1’ uguaglianza 55 M'P‘ 2 —j>.OP'. Da queste espressioni segue la proporzione M P 2 : M‘ P' 2 — OP: OP 1 vale a dire: nella parabola i quadrati deli e ordinate stanno fr a loro come le ascisse corrisp ondenti. Se si portano dal punto O le ascisse 1, 4, 9, 16, 25 che altro non sono se non che i quadrati dei numeri naturah, le ordinate corrispondenti aumentano in ragione dei numeri natu¬ rah 1, 2, 3, 4, 5. §. 244. L’ espressione M P 2 = p. 0 P si pub anche rap- presentare mediante la proporzione p : M P — MP\ OP, donde segue che la ordinata di ogni punto della parabola b la media proporzionale fra il parametro e 1’ascissa corrispondente. Scorfati da questo teorema, dato che sia il parametro, ci sarh facile di costruire la parabola nel modo seguente: Fig. 217. D 50 Sia O (fig. 217) il vertice della parabola, OX 1’ asse, O C la lunghezza del parametro, inoltre sia DE CX. Se si prendono sull’ asse O X i punti P, P', P“, P‘“ ... arbitra- riamente e si eostruiscono sopra C P, CP‘, CP“, CP‘“ ... dei cerchi, per quanto si e detto al §. 194 c), la perpendicolare O i? šara la media proporzionale fra CO ed OP, OR' la ruedia proporzionale fra C O ed OP‘ e cosi via. Costruiti ora i rettangoli OPMR, OP'MR*, OP“M“R"... i punti M, M 1 , ... saranno punti della parabola, perche per ciascuno 1' ordinata h la media proporzionale fra il parametro e la relativa ascissa. In modo affatto simile si ottengono punti della parabola al di sotto deli' asse. La linea che congiunge con un tratto continuo tutti i punti cosi determinati, h la parabola stessa. 4. La cicloide. §. 245. Se un cerchio si muove lungo una retta con un movimento progressivo e nello stesso tempo rotatorio, ogni punto della periferia descrive una curva che si chiama cicloide; qualunque punto prešo sopra il contorno di un disco o ruota descrive appunto una tal linea nel muoversi che fh la ruota o il disco suddetto. La retta sulla quale ha luogo il movimento si dice la base, il cerchio che progredisce girando e il cerchio generatore, ed un punto qualunque fissato sulla periferia e poi quello che descrive la cicloide. Si ottiene la cicloide mediante la costruzione seguente: Sia (fig. 218) il cerchio generatore quello descritto dal centro O col raggio OM ed M il punto che si considera; si conduca pel punto M la tangente MM' al cerchio generatore e le si dia una lunghezza uguale alla periferia di quel cerchio. Preša questa tangente come baše della cicloide da costruirsi, si partiscano in un numero arbitrario di porzioni uguali, p. es. in 12, la periferia del cerchio generatore e la base MM' suin- dicata, partendo dal punto di origine M. Se ora s’ immagina che il cerchio generatore si muova sulla base con un movi¬ mento progressivo e ad un tempo rotatorio, i punti di parti- 57 Fig. 218. zione a, b, c... della periferia, cadranno successivamente sui punti di divisione ab', c',... della base. II centro del cerchio percorre, durante questo movimento, una retta parallela alla base e viene a porsi successivamente nei punti 1, 2, 3, . . . i quali devono essere distanti 1’ uno dali’ altro tanto, quanto lo sono fra di loro i punti di partizione della base. Quando il cerchio generatore b avanzato di tanto che il punto a coincida con a 1 , il punto M si šara innalzato sopra la base di tanto da trovarsi sopra la retta condotta per a parallelamente ad MM‘. Il centro O poi šara giunto in 1; gli b percib che si ottiene una nuova situazione A del punto M, descrivendo dal centro 1 e col raggio del circolo generatore 1’ arco A a‘, il quale interseca in A la parallela ad MM' condotta pel punto a. Caduto che sia b in b 1 , M si sarh elevato fino alla retta che passando per b b parallela ad MM' ed il punto O si ritrovera in 2; descrivendo quindi dal centro 2 e col raggio anzidetto 1’ arco B b‘, il punto d’ intersezione B di quest’ arco colla parallela or ora condotta, sarh precisamente la nuova situazione del punto M. Similmente si trovano i punti C, D, E,. .. che il punto M va di mano in mano occupando e che congiunti insieme mediante un tratto continuo ci danno la cicloide. Gli e per se evidente che giunto il punto M in M\ qualora continui il suo movimento, esso descrive una seconda cicloide esattamente uguale alla prima. 58 5. Liiiea spirale. §. 246. Se una retta OB (fig. 219) di lunghezza indeter- minata gira intorno al pnnto O, e s’ immagina che un suo punto M si avanzi sopra di essa durante quel movimento rotatorio, questo punto descrive una curva a spire sempre maggiori la quale si chiama linea a spire o spirale, ovvero anche linea a chiocciola (voluta). Nella linea spirale ogni due spire successive possono essere ad uguale distanza 1’ una dali’ altra, ovvero lo spazio ad esse interposto puo aumentare progressivamente. Fig. 219. §. 247. Costruzione di una linea a spire ugual- mente distanti fra di loro. d) Mediante semicerchi. Si descriva dal centro O (fig. 219) un piccolo semicerchio rivolto ali’ insu, indi dal centro P se ne descriva un secondo col raggio PQ rivolto ali’ ingiu; da O poi se ne costruisca col raggio OS un altro rivolto ali’ insu, da P con PT uno ali’ ingiu, e cosi di seguito. b) Mediante quarti di circolo. Si conducano (fig. 220) due rette perpendicolari a vicenda e dal loro punto d’ intersezione, prešo come centro, si descriva 59 un piccolo cerchio; indi si partisca questo cerchio in quadranti mediante due diametri che si taglino ad angolo retto e si divi da ciascheduno di questi diametri in quattro parti uguali. Fig. 220. Descrivendo da a col raggio a e 1’ arco e/, indi da b 1’ arco gf, da c e d gli archi g h e hi e cosi via, si ottiene la linea spirale richiesta. §. 248. S’ abbia a cost ruire una linea a spire in modo che queste s’allontanino sempre pid 1' una dali’ altra. Fig.221. «0 Si portino sulla retta A B (fig. 221) da ambedue le parti del punto O piu parti fra di loro uguali p. e. tre; indi dal centro O si descriva col raggio O c un cerchio, e poi alter- nativamente al di sopra ed al di sotto della retta AB si costruiscano dai centri a, d, b, e, i semicerchi fD, DE, E F ed F G. 6. Linča ovale. §. 249. L’ orlo di un uovo tagliato nel senso della sua lunghezza ci rappresenta quella curva bislunga che dicesi ovale. Fig. 222. Per disegnare questa linea , si descriva (fig. 222) dal centro O un cercbio ed in esso si conducano i due diametri AB e CD che s’intersecano ad angolo retto, indi le rette A D E e B D F. Condotto 1’ arco B E dal centro A, 1’ arco A F dal centro B, e dal centro D 1’ arco E F, si ottiene 1’ ovale richiesta. La Stereometria §. 250. Nella s ter e ometria si considerano quelle gran- dezze estese nello spazio, i di cui punti e le di cui linee non possono immaginarsi tutte poste nello stesso piano. Simili gran- dezze estese si ottengono conducendo p. es. da un punto prešo al di fuori di un piano diverse rette al medesimo, ovvero Immaginando due piani dei quali 1’ uno insiste sull’ altro; queste grandezze estese sono corpi, poiche considerandole adagiate sopra un piano qualunque, i loro limiti non sono tutti situati nel detto piano, ma occupano bensi uno spazio al di fuori del medesimo. Siccome nella rappresentazione delle forme stereo- metriche sopra un piano, le linee e gli angoli generalmente non possono presentarsi nella loro reale grandezza e giacitura, cosi diviene specialmente necessario di esercitare l’immaginazione del principiante mediante 1’ esame di molti e diversi tali disegni e dei modi opportuni di rappresentazione, si che esso sia in grado di riconoscere immediatamente dal disegno la vera giacitura e grandezza delle rette e degli angoli. Onde raffi- gurare ali’ occhio le linee rette, servira ali’ uopo una verga sottile, oppure un filo teso; 1’ intuizione del piano si conseguira mediante un pezzo di cartone, oppure una tavoletta ben levigata od anche mediante la lavagna, il pavimento, od una parete; 1’ intuizione dei solidi poi si acquisterk per mezzo di modelli in legno, o cartone. I. Linee rette nello spazio. 1. Giacitura reciproca delle rette. §. 251. Conducendo per un punto O (fig. 223) e per una data retta AB un piano e girando in esso una retta indefinita 62 Fig. 223. OC intorno al punto fisso O, questa retta interseca in ogni sua posizione la retta data AB in diversi punti. La porzione della retta mobile posta fra O e la AB diviene ora maggiore ed ora minore. La perpendicolare OD e la piu breve di tutte; ciascheduna delle oblique OE, O F, ecc. b tanto piu lunga, ed incontra la AB a tanto maggiore distanza da D, quanto maggiore b 1’ angolo che essa forma colla per¬ pendicolare. Pervenuta che sia la retta indefinita nel suo movimento rotatorio nella situazione O M do ve 1’ angolo DOM b retto, essa non taglia piu la AB, ottenendo la medesima direzione, vale a dire divenendo O M parallela ad AB. Per il punto O si pub condurre poi un numero infinito di altre rette che non si trovano nel piano condotto per O ed AB, ma esse non intersecano la retta AB ne le sono parallele,. Quante e quali sono le posizioni che due rette possono prendere 1’ una rispetto ali’ altra? S’ indichino nello spazio della scuola delle rette, le quali a) si intersecano, b) che si sono parallele, c) che non sono nb parallele ne tra loro convergenti. §. 252. Siano ABC e DEF (fig. 224) due angoli nello spazio, e sia AB\\DF e BC\\EF. Se s’immagina che 1’ angolo ABC si avanzi per modo che il vertice B si inuova costantemente nella retta BE e che i lati rimangano sempre paralleli alla loro direzione primitiva, quando il punto B šara giunto in E, anche AB dovrk necessariamente coincidere con DE, e B C con E F, quindi 1’ angolo AB C si confondera coli’ angolo DEF. 63 Fig. 224. II teorema che gli angoli i cui lati si sono rispettivamente paralleli sono uguali, si trova dunque verificato anche per angoli situati in diversi piani. 2. Giacitura delle rette rispetto ad un piano. §. 253. Sia •MNPQ un piano qualunque ed O (fig. 225) un punto prešo fuori di esso. Da quel punto si possono Fig. 225. O condurre infinite rette piri o meno lunghe al piano suddetto M P, ed ognuna di queste rette lo interseca in un punto che dicesi il piede della retta. Fra queste lmee sia O A la piu breve. Se per il suo piede si conducono nel piano proposto le rette arbitrarie BC, DE, la O A deve essere ad un tempo 64 la retta la piu breve fra quante possono condursi da O alle rette medesime, ovvero la O A deve essere perpendicolare alle linee suddette. Gli e pereib che la O A dieesi la perpen¬ dicolare al piano M P, mentre ogni altra retta condotta da O, come O B, O C. .. h obbliqua al medesimo. Una retta h dunque perpendicolare ad un piano quando lo sia a tutte le rette che passano pel suo piede nel piano medesimo. Nella figura 225 si deve immaginare retto tanto 1’angolo O A B quanto O A C, abbenche il primo apparisca ottuso, ed acuto il secondo. Onde meglio comprendere questo disegno ed esercitare vieppiu 1’ ispezione oculare degli allievi, si rendera sensibile il piano MNPQ con una tavoletta, sopra cui si disegneranno le rette B C e D E\ si rappresenteranno inoltre la perpendicolore A O mediante un’ asticina di legno e le oblique C O, BO, DO ed E O con fili teši. Si porterk poscia questo modello cosi allestito talmente sott’ occliio ali’ allievo, che gli angoli gli appariscano tali, come si presentano nel disegno. Siccome la perpendicolare h la linea la piu breve fra quante possono condursi da un dato punto ad un piano, cosi essa ci rappresenta la distanza di quel punto dal piano medesimo. Fig. 226. D essa medesima lungi A C, fino a che CD, questa, riuscendo allora parallela ad AB, non pub giammai Eappresenti M N (fig. 226) un piano, AB una retta posta in questo piano e d A C un’ altra che se ne distacchi, insistendo comunque sopra il medesimo. Immaginando ora che la retta AB uscendo dal piano , si avanzi parallelamente a se giunga nella situazione 65 incontrarla e percio non pub incontrare neppure il piano MN. In tal caso si dice che CD b parallela al piano MN. Una retta b dunque parallela ad un piano, quandolosiaadunaretta posta n el piano medesimo, Quante posizioni diverse pub prendere una retta rispetto ad un piano? Si mostrino nello spazio della scuola delle rette a) inclinate rispetto ad un piano, b) parallele ad un piano. Come si pub condurre per un punto pošto al di fuori di un piano, una retta ad esso parallela? Fig. 227. A §. 254. Sia la retta A O (fig. 227) perpendicolare al piano MN, inoltre AB, A C ed AT) siano tre rette di lunghezza uguale condotte dal punto A al piano proposto. Se ora si guidano le rette OB, O C, OD, gli angoli AOB, AOC, A O D, sono retti ed i triangoli AOB, AOC, AOD uguali (perchb?); quindi anche OB e = O C = OD, quindi b 0 il centro del cerchio che passa per i punti B, C, D. Vediamo adunque che se da un punto situato fuori di piano si abbassa la perpendicolare a quest’ ultimo e si conducono nello stesso tempo tre rette Močnik, geometria intuitira. II. 5 66 di uguali lunghezze ed obblique al piano medesimo, il piede della perpendicolare" coincide col centro delcerchio che passa per i piedi delle tre obblique. Per abbassare una p erpendicolare ad un piano da un punto situato fuori di esso, non si ha che a condurre tre rette uguali (mediante un filo ben teso) ed obblicjue al piano proposto, indi a cercare il centro del cerchio che passa per i loro piedi; questo centro congiunto col punto dato, ci fornisce la perpendicolare richiesta. §. 255. Un esame piii attento della figura precedente conduce alla seguente argomentazione: Se 1’ angolo A OB h retto e si gira la retta OB attorno al punto O per modo che essa rimanga costantemente per¬ pendicolare ad A O, essa descrive durante questa rotazione un piano che nel punto O h perpendicolare ad A O. Gli h sopra questa proprieta che si appoggia un metodo semplicissimo onde far passare per un punto qualunque di una retta un piano perpendicolare alla medesima; basta innalzare in quel punto due perpendicolari alla retta data e condurre poi per esse un piano; questo piano sark il richiesto. Fig. 228. §. 256. Siano le rette AB e CD (fig.228) perpendicolari al piano MN. Se ora la AB si avanza parallelamente a se medesima lungi la retta A C, non si cambia gia la giacitura della AB rispetto a quel piano; essa rimane in ogni sua posi- 67 zione perpendicolare a quel piano e quando il punto A šara giunto in C, essa si confonde colla perpendicolare CD\ donde segue che CD e parallela ad AB. Se dunque due rette sono perpendicolari al medesimo piano, esse devono essere tra loro pa- rallele. Dalla precedente considerazione si deduee anche la veritk del teorema inverso, cio&: Se una retta h perpendicolare ad un piano, lo dovrk essere pure qualunque altra retta parallela alla prima. Colla scorta di questo teorema ci riesce faoile d’ innal- zare da un punto C situato nel piano MN su diesso una perpendicolare. Si abbassi a tal fine da un punto qualunque B, situato fuori di quel piano, una retta BA ad esso perpendicolare; indi si faccia passare per C e BA un secondo piano ed in questo si conduca pel punto C la CD parallela ad AB\ la retta CD e la perpendicolare richiesta. Fig. 229. §. 257. Sia AB (fig.229) una retta obbliqua rispetto al piano MN. Se dalla sua estremita B si abbassa la perpen¬ dicolare A C al piano e si congiungono i piedi A e C mediante la retta A C, questa h la projezione deli’ obbliqua AB sopra 5* il piano MN. La projezione di una retta e sempre minore della retta stessa. Per paragonare fra di loro gli angoli che forma 1’ obbliqua AB con altre rette condotte nel piano MN per il suo piede, s’ immagina la projezione A C alquanto girata intorno al punto A, p. e. fino alla posizione AD, rimanendo essa pero costantemente nel piano primitivo. Se si conduce la retta BD, questa & piu lunga della perpendicolare BC) i due angoli BAD e BAC hanno dnnque i lati uguali bensi, ma disuguali le loro aperture e sono percio disuguali, di modo ehe 1’ angolo BAB, do ve le estremitk dei lati sono piu distanti 1’una dali’ altra, k maggiore deli’ angolo BAC. Seguitando a girare la retta A C fino che sia giunta nella posizione A F, la retta BF diviene > BD', 1’ apertura dei lati nell’ angolo BAFe dunque maggiore che nell’ angolo BAD, avendo tuttavia questi angoli i lati uguali; quindi 1’ angolo BAF e > BAD. Gosi va aumentando, nella continuata rotazione della retta A C, sempre piu anche 1’ angolo che questa retta forma coli’ obbliqua AB, fino a tanto che, compiuto mezzo giro, raggiunga la sua massima grandezza; seguitando a girare la A C V angolo suddetto va vieppiu diminuendo e diviene minimo qualora la. A C raggiunga la sua primitiva posizione. Siccome I’ angolo, formato da una retta colla propria projezione sopra di un piano, k minore di quello che essa forma con qualsiasi altra retta condotta pel suo piede nello stesso piano, cosi quell’ angolo serve a determinare 1’ incli- nazione della retta rispetto a quel piano. BAC h dunque 1’ angolo d’ inclinazione deli’ obbliqua AB rispetto al piano MN. Se si tiene un’ asta in una delle sue estremita appo- giandola obbliquamente al suolo, 1’ angolo che essa descrive, lasciandola cadere, e quello di sua inclinazione rispetto al piano del pavimento. §. 258. Siano AB e CD (fig. 230) due rette parallele ed ambedue obblique rispetto al piano MN. Se dai punti B e D si abbassano le perpendieolari BF e D F a, questo piano e si conducono le rette A E e C F, B A E e D C F sono gli angoli 69 Fig. 230. d’ inclinazione delle due obblique rispetto al piano. Siccome nei triangoli ABE e CD F gli angoli in E ed in F sono uguali come retti e gli angoli in B ed in D lo sono pure, perche formati da lati rispettivamente paralleli, cosi devono essere uguali anche i terzi angoli BAE e D C F. Due rette parallele sono dunque ugualmente inclinate verso il medesimo piano. II. Piani nello spazio. 1. Giacitura reciproca dei piani. §. 259. Girando il piano MN P Q (fig. 231), in cui la retta A O b perpendicolare ad MN, attorno a quest’ ultima, finchb esso giunga nella posizione M N RS, il punto A descrive nel corso di questa rotazione 1’ arco A B, e la retta A O per- pendieolare ad MN descrive 1’angolo A OB. I due piani MNP Q ed M N RS si intersecano nella retta M N e le loro direzioni divergono tanto piu, quanto maggiore diviene 1’ angolo A OB, il quale rappresenta percib la loro reciproca inclinazione. Segue da cib che: 70 Fig. 231, formato da due rette condotte nei piani da un punto deli’intersezione perpendicolarmente a quest’ ultima. L’ angolo d’ inclinazione di due piani pub rendersi evi- dente mediante gli orli superiori od inferiori di un libro aperto. Se T angolo d’ inclinazione di due piani e retto, questi sono perpendicolari 1'uno ali’ altro; in ogni altro caso essi sono fra loro obbliqui. Se nella figura superiore si allontanano i due piani tanto che 1’angolo AOC da essi compreso divenga retto, il piano MN TV riesce perpendicolare ad MNPQ' y ali’ incontro i piani M N P Q ed M N BS sono reciprocamente obbliqui. §. 260. Sia (fig. 232) AB J_ al piano MN e si conduca per AB nn secondo piano AB C il quale intersecbi il primo M N nella retta A O. Onde determinare la giacitura reciproca di questi due piani si cereherk il loro angolo d’ inclinazione, 71 vale a dire, da un punto della linea A C di inter- sezione si condurranno due perpendieolari alla medesima, ognuna delle quali sia situata in uno dei due piani suddetti. Alla A C h gia per ipotesi la AB perpendicolare, se quindi si conduce ad essa la perpendicolare A D nel piano M N, BAB šara 1’angolo d’inclinazione dei due piani ABC e d MN. Ma questo aDgolo h retto, poichb essendo AB perpendicolare al piano MN lo h anche alla retta A D ; il piano ABC h dunque perpendicolare al piano MN. Ne segue che: Quando una retta h perpendicolare ad un piano, ogni altro piano condotto per quella retta deve essere perpendicolare al primo. Come si deve condurre un piano per un punto onde riesca perpendicolare ad un piano dato? §. 261. Sia AB (fig. 233) perpendicolare al piano MN e BC || al piano MN. Se per 1’ angolo ABC si fh passare un piano indefinito che intersecbi il piano MN nella retta A D, questi due piani riescono fra di loro perpendieolari. Se ora si gira il piano indefinito A B CD attorno alla retta B C preša come asse, esso sark in ogni successiva posizione obbliquo al piano MN, e lo intersecherk tanto piu lontano dalla A D quanto maggiore b 1’ angolo d’ inclinazione che esso forma col piano perpendicolare ABC D. Giunto finalmente il piano indefinito nella posizione BCEF f dove 1’angolo d’inclinazione ABFA a esso formato col piano AB CD diviene retto , esso non pub piu intersecare il piano MN ma deve essergli parallelo. Piani paralleli sono adunque quelli che pro- lungati i nd efini t a m e n t e non s’incontrano. 'Fig. 232. 72 Fig. 233. Quante posizioni diverse possono avere due piani 1’ uno rispetto ali’ altro ? Si mostrino nello spazio della scuola dei piani a) che si incontrano, b) di quelli che si sono paralleli. §. 262. Sia la retta AB (fig. 234) perpendicolare al piano MN. Se ora si fa avanzare il piano MN parallela- mente a se medesimo lungi la retta A B , senza che il punto A 1’ abbandoni, questa retta rim arr^ sempre perpendicolare al piano suddetto in ciascuna delle sue posizioni, sicche se PQ ci rap- presenta una delle dette posizioni del piano MN, il piano PQ šara parallelo al piano MN, ed AB šara perpendicolare anche al piano PQ. Da queste conside- razioni segue che: a) Se una retta & perpendicolare ad uno di due piani paralleli, essa lo deve essere anche al s e con do. Fig. 234. 73 b) Se due piani sono perpendicolari ad una stessa retta^ essi devono essere fra loro paralleli. Onde condurre per il punto B un piano parallelo ad un piano dato MN non si ha che ad abbassare da B la perpen- dieolare BA al piano MN, indi a condurre per B un piano perpendicolare ad AB (§. 255). §.263. Sia AB (fig. 235) una retta qualunque posta nel piano MN, ed A C una retta la quale si stacchi dal piano in- sistendo obbliquamente sopra il medesimo. Se s’ immagina che, muo- vendosi il punto A lungi la retta A C, il piano MN e la AB in esso situata, si avanzino parallela- mente fino a tanto che il piano .MiVgiunga nella situazione P Q , i punti A e B descrivono le rette A C e B D parallele ed uguali; la AB poi decrive un piano ABCD che inserseca i due piani paralleli MN e PQ nelle rette parallele AB e CD. Da queste considerazioni ci h dato di conchiudere che: a) Rette parallele interposte ad altre parallele sono uguali; b) Se due piani paralleli sono tagliati da un terzo, le linee d’intersezione riescono parallele. 2. Angoli solidi. §. 264. Se una retta indefinita O M (fig. 236) si gira intorno al punto O in guisa che essa di mano in mano passi per tutti i vertici del quadriIatero AB CD, essa descrive i piani indefiniti M O N, NO P, POQ..., i quali si intersecano tutti nel punto O ad essi comune. Lo spazio non determinato in un senso e terminato in tutti gli altri da questi piani, si chiama angolo solido. Fig. 235. 74 Figi 236. O a quello dei piani che concorrono solido. Questi piani diconsi fa Gli angoli solidi si distinguono spigoli, o delle loro facce in angoli sei . . . facce. i isoeaiaani a/b Si dice vertice del 1’angolo solido il punto O d’intersezione comuneatutti i piani, e spigoli o lati si chiamano le intersezioni O M, ON, OP... di due piani; finalmente agli angoli M ON, N O P..., compresi fra due spigoli contigui si dk il nome di angoli piani concorrenti. A formare un angolo solido sono necessari al meno tre piani. Il numero degli spigoli k sempre uguale alla formazione deli’ angolo ce deli’ angolo solido. secondo il numero dei loro di tre, quattro, cinque, Fig. 237. O 75 §. 265. Sia O MN P (fig. 237) un angolo solido a tre facce. Tagliando tutte le facee mediante un piano A B C ed abbassando da O la perpendicolare OS a questo piano, .<4 S, BS, CS sono le pr oj ez ioni delle rette A O, BO, C O sul piano ABC, & come tali minori delle obblique AO,BO q CO. Se ora si considerano gli angoli A 0 B ed A S B, essi hanno bensi 1’ apertura uguale, ma i lati A O e BO sono maggiori di AS e BS. Ma se due angoli di apertura uguale hanno disuguali i loro lati, quello cui corrispondono i lati piu Iunghi b il minore, e percib 1’ angolo AOB e C di ASB, e similmente h anche BOC < B S C e A O C < .<4 < 8 .= 200 , 96Q". §. 306. Significando o la superficie di una sfera ed r il suo raggio, quindi 2 r il diametro, abbiamo o — 2 r n X 2 r, ovvero eseguenda la moltiplicazione o = 4r q 7t. Eappresentando poi r q n 1’ area di un circolo massimo, si pub dire: La superficie di una sfera e uguale al qua- druplo deli’ area di un suo circolo massimo. Se O rappresenta la superficie di una seconda sfera ed iž ne k il raggio, si ha di bel nuovo: 0 = 4E q n. 105 Da queste due ultime espressioni segue la proporzione: o: O = r 1 : R vale a dire. Le superficie di due sfere stanno fra loro come i quadrati dei loro raggi. §. 307. Nota che si a la superficie di una sfera, si puo facilmente ottenere il raggio. Infatti la superficie altro non e se uon che il prodotto del numero n prešo quattro volte, pel quadrato del raggio. Se dunque si divide la superficie cono- sciuta pel quadruplo del numero n si ottiene il quadrato del raggio come quoto; onde trovare poi il raggio stesso non s’ ha che ad estrarre la radice quadrata da questo quoziente. P. e. Quale k> il raggio di una sfera che ha 10Q' di superficie? 4« = 12-566; 10 : 12-566 = 0 7951 ^/0-7951 = 0-892' = 10'704" raggio. 3. Problemi sul calcolo delle superficie dei solidi. §. 308. 1) L’ altezza di un prisma sia di 5', e la base un quadrato a 3' di lato; si determini la superficie. 2) Quale h la superficie di un prisma retto la cui base e un rettangolo lungo 2-4' e largo 1’2', essendo 1’altezza di 3-5? 3) La superficie laterale di un prisma retto triangolare e di 2 lD°! 140', 900"; i lati della base importano 2° 0' 2", 1° 4' 10" e 0° 1' 9"; quale e la lunghezza del lato laterale del prisma? 4) Si determini la superficie di un dado che ha lo spigolo di 2' 8". 5) lmportando la superficie di un dado 410° 120' 540", quale lunghezza deve avere il suo spigolo? 6) La base di un prisma retto alto 2' e ^ e un esagono regolare avente 1' e ^ di lato; qual’ & la sua superficie? 7) Si determini la superficie laterale di una piramide pen- tagona regolare, la cui base ha 2' 6" di perimetro, e ciascuna faccia triangolare 1’ altezza di 9". 106 8) Si calcoli la superficie di una piramide regolare di cui lo spigolo laterale e di 10'8", e la base im triangolo equi- latero che ha 4' 5" di lato. 9) Le basi di un tronco retto di piramide sono di forma quadrata ed hanno i perimetri di 5' 8" e di 3' 4"; 1’ altezza di ciascuno dei trapezi laterali e di 2' 3"; si calcoli la superficie del tronco? 10) In un tronco di piramide regolare la superficie laterale e di 3Q° 20Q' 600"; le due basi sono triangoli equilateri; 1’ inferiore ha il lato di 4' 2", ed il superiore di 3' 6"; quale e 1’ altezza di un trapezio laterale? 11) Si abbia a determinare la superficie di un ottaedro, dove la lunghezza dello spigolo sia di 1'. 12) Un dado ed un icosaedro hanno lo spigolo di 3'4"; in quale rapporto stanno fra di loro le due superficie? 13) Quale e la superficie di un cilindro retto alto 3' se il diametro della base e di 1' 4"? 14) Si determini la superficie di un cilindro retto la di cui altezza e di 7'5' e la di cui base ha 17•4" di periferia. 15) Il manto di un cilindro retto contiene 188'40'; il raggio della base e di 5'; quale ne e 1’ altezza? 16) Si trovi il raggio della base di un cilindro retto alto 1' 5", e la di cui superficie convessa e di 10' 138'60". 17) In un cilindro equilatero il diametro h di 2'2"; in quale rapporto sta il manto ali’ intera superficie? 18) Il lato di un cono retto importa 1' 8", il raggio della base O 1 72'; si determini la sua superficie. 19) Qual e la superficie di un cono retto alto 3', se la sua base ha 7' di periferia? 20) Qual e la superficie di un cono equilatero, se il suo lato e di 10"? 21) Il manto di un cono retto che ha per lato 8", contiene 2Q' 12 , 14"; si cerchi il diametro della sua base. 22) Le basi di un tronco di cono retto hanno i diametri di 12" e di 8"; quale ne dev’ essere la superficie, importando il lato 10"? 107 23) Si determini il manto di un tronco di cono retto le cui basi hanno le aree di 50' e di 40', ed il di cui lato e di 3'. 24) Il raggio di una sfera e di 2' 7"; quale ne e la superficie? 25) Si cerchi la superficie di una sfera, il cui circolo massimo ha 20" di circonferenza. 26) La superficie di una sfera iinporta 190' 900"; quale e il raggio? 27) Quale e la superficie di una sfera, se quella di un suo circolo massimo e di 12*560'? §. 309. 28) Un imbuto perfettamente appuntito ha alla base il diametro di 11" ed il lato di 1'2"; quanti 0' di latta furono necessari a costruirlo? 29) Quale e la supei*ficie totale di un tronco d’ albero lungo 14', largo 2' e grosso 1' e |? 30) Il tetto di una pagode e una piramide ottangolare cbe ha 1° 5' allo spigolo laterale, e la cui base ha 1° di lato; quanti piedi quadrati di lamiera di rame abbisogneranno per coprirlo? 31) Un recipiente parallelepipedo e alto 5' ed ha per base un rettangolo lungo 7' e largo 4'; quale grandezza deve avere il fondo, e quale la superficie laterale? 32) Quanti piedi quadrati di latta occorrono alla costruzione di un recipiente cilindrico di 10' 2" in lunghezza, e di 4' e j in luce? 33) Quanti piedi quadrati di latta sono necessari pella costru¬ zione di un recipiente conico alto 2', se il diametro del fondo dev’ essere di 2' 2“ e quello del coperchio di 3'? 34) La periferia deli’ equatore terrestre e di 5400 miglia geo- grafiche; quale dev’ essere la superficie del nostro globo, considerandolo perfettamente sferico, e rappresentando 1’ equatore un circolo massimo di questa sfera? 35) Il diametro di un mappamondo h di 1'; quale k il rapporto della sua superficie a quella del nostro globo? 108 36) Quanto deve importare il diametro di un mappamondo onde il rniglio geografico quadrato vi sia rappresentato da una linea quadrata? 37) In un fabbricato sono da applicarsi parechie grondaje cilindricbe cbe abbiano 5" e \ di diametro, e la lunghezza complessiva di 142'; quanti piedi quadrati di latta saranno neeessari alla loro costruzione? 38) Un trave quadrangolare lungo 18' va restringendosi pro- porzionalmente verso la cima; le due sezioni estreme sono quadrate ed hanno i lati 1' e }, e di 1' e quale e la superficie totale del trave suddetto? 39) Dovendosi dorare il bottone sferico di un campanile, quanti pollici quadrati importera la doratura, se il diametro del bottone e di 8'5"? 40) Volendo costruire un recipiente conico di rame del dia¬ metro di 2' 2 “ al fondo, e di 2' 10" alla boeca; quanti piedi quadrati di lamina di rame vi saranno neeessari se si da al lato del vašo la lunghezza di 2' 4"? 41) Quanti piedi quadrati di tavola abbisognano onde fare una cassa di legno a coperchio, di forma parallelepipeda, lunga 7', larga 4' ed alta 3' e ■£? 42) Volendo rivestire il tetto conico di un campanile con lamiera di rame; quanti piedi quadrati occorreranno se esso ha il diametro di 14' in base e 1’ altezza di 11'? 43) Una canna da stufa e lunga 13' ed ha il diametro di 5'; quanti piedi quadrati di latta convengono alla sua costruzione? §. 310. 44) il diametro di un mappamondo e di 16", quello di un altro e di 12"; quanta carta occorre per rivestire e P uno e P altro? 45) Un cilindro retto ha 10" di diametro alla base ed 8" in altezza; un secondo cilindro ha soltanto 5" d’ altezza, ma la sua superficie convessa e uguale a quella del primo; quale e il diametro della sua base? 46) Vuolsi rivestire con carta una scatola cubica che ha 1' 2" di lato; quanti fogli ne occorrono se ciascheduno d’ essi e lungo 1' 6" e largo 1' 4"? 109 47) II diametro di una sfera e di 8", ed altrettanto importa anche il lato di un dado; di quanto šara minore la superficie della sfera a confronto di quella del dado? 48) Quanto costa la fattura di una cassa a coperchio, lunga 8', larga 5' ed alta 3', calcolando il piede quadrato a 7 soldi? 49) Il tetto di un campanile ha la forma di una piramide quadrilatera regolare; il lato della base & di 13', lo spigolo laterale poi e di 15'; quale e il prezzo unitario per il piede quadrato di rivestimento, se si sborano 420 fiorini per tutto il lavoro? 50) In un tubo cilindrico dello spessore di 2“ il diametro interno h di 7" e 1’ altezza di 8"; quali devono essere le superficie dei due manti concentrici? 51) Il diametro di una palla importa 1' 4"; quale diametro si daril ad una seconda palla onde la sua superficie sia il doppio di quella della prima? 52) Un pozzo ha 5' in luce e 28' in profondith; quanti mattoni dovranno impiegarsi nel suo rivestimento, se ciascun mattone e lungo 1', largo 6“ e grosso 2"? 53) Di due palle 1’ una ha 8' e 1’ altra 5' di diametro; quale diametro si assegnerk ad una terza, onde la sua superficie equivalga alla somma delle superficie delle due prime? 54) Un cono retto ha il diametro di 5' alla base, e 4' piedi d’ altezza; qual diametro si deve dare ad una palla onde la sua superficie sia equivalente a quella del cono? 55) Una coppa d’argento profonda 5", larga alla bocca 4’2" e 2'6" al fondo, abbiasi d’ indorare internamente; quanto costera la doratura pagando 28 soldi pel pollice quadrato? 56) Quante lastre d’ ardesia abbisognano per coprire un tetto piramidale quadrilatero, se il lato inferiore & di 10' 8" e la lunghezza dello spigolo laterale di 18' 5", impiegan- dosi d’ altronde in tal lavoro delle lastre lunghe 1' 2" e larghe 8" e disposte in modo, che ognuna di esse ricopra la sottoposta alla lunghezza di 1" e ^? 110 57) Abbiasi d’ indorare una sfera del diametro di 2' 8"; quante foglie d’ oro lunghe 2" e larghe 1" e f sono necessarie per la doratura, calcolando il 6 per 100 in piii per sup- plire alla perdita? 58) Una nicchia murale e terminata superiormente da un quarto di sfera, ed b formata nel rimanente da un semicilindro retto alto 6' e del diametro di 2'; quale e la superficie di questa nicchia? X. Volume o solidita dei corpi. (Cubatura dei solidi.) 1. Deiinizioni. §.311. Lo spazio compreso fra le superficie che limitano un eorpo chiamasi il suo volume, o la sua solidita. Onde determinarla si assume un corpo gia noto come unita di misura e si ricerca quante volte esso sia eontenuto nel corpo da misurarsi. Il cubo o dado piu che ogni altro conviene quale unita nella misurazione delle solidita. Un dado che ha un pollice di lato si chiama pollice cubico. Che cosa significa dunque un piede cubico, una tesa cubica, un miglio cubico? Si rendano sensibili con opportuni modelli il piede cubico ed il pollice cubico. La cubatura dei solidi minori consiste nella ricerca del numere di teše, piedi, pollici cubici, e quella dei solidi molto grandi, nella ricerca del numero delle miglia cubiche in essi contenute. Grli e percio che la solidita di un corpo viene anche detta eontenuto cubico o cubatura del solido medesimo. Per misurare p. e. lo spazio di una scuola si porrebbero tante teše cubiche 1’ una vicino ali’ altra, e F una sopra ali’ altra, quante ne puo capire la scuola, ed avendosi un residuo 111 minore della tesa cubica si trasporterebbe in egual modo sopra di esso residuo il piede cubico; ottenendosi poi un nuovo residuo, anch’ esso si misurerebbe in guisa affatto simile mediante il pollice cubico. In questo modo ci diverrebbe noto il numero delle teše, dei piedi e pollici cubici contenuti nella scuola misurata. Ma una simile misurazione d ir e t ta dei volumi sarebbe ben faticosa e d’ altronde non eseguibile nella maggior parti dei časi. Gli e percio che ancbe qui, come nella quadratura delle superficie, si ricorre ad un metodo indiretto, deducendo per via di semplici argomentazioni dei teoremi, a norma dei quali si puo ottenere il vol ume di un corpo mediante il calcolo, dalla misura delle linee e delle super¬ ficie che determinano perfettamente la grandezza del solido. 2. Solidita o vohune di un prisnia. §. 312. Se si prendono 8 pollici cubici di legno o di cartone e se ne adattano quattro vicini fra loro ed in modo che essi coprano 1’area di un quadrato, se poi si sovrappongono esattamente a questi gli altri quattro, si ottiene un dado il cui lato importa 2". Questo dado contiene dunque 8" cubici, ed e questa appunto la sua solidit&. Quanti pollici cubici si possono disporre 1’ uno vicino ali’altro sopra la base di un dado che ha 3" di lato e quindi 3X3 = 9" quadrati di superficie? La soliditi di questo dado h di 27" cubici, poiche nel senso di sua altezza si possono sovrappore 1’ uno ali’ altro 3 strati ciascheduno formato da 9" cubici. Se il lato di un dado e di 4', si possono adattare sulla base 16' cubici, e quattro di questi strati, ciascuno formato di 16' cubici, si possono ripetere nel senso deli’ altezza. Il suo volume e dunque di 64' cubici. Quante volte e contenuta la tesa cubica in un dado il cui lato sia di 5°? Il numero che indica quante volte 1’unita solida di misura e contenuta in un dado si trova dunque; prendendo tre volte come fattore il numero otte- 112 nuto dalla misura del lato del dado, fatta eolTunita lineare. Gli h percib che dicesi innalzare al cubo un numero, cjuando si prende questo numero tre volte come fattore. Si suole enunciare il teorema suddetto piu brevemente cosi: La solidita di un dado si ottiene innalzando al cubo il suo lato. II numero ottenuto come misura della solidita significa pollici, piedi o teše cubiche, secondo che la lunghezza del lato che si innalzo al cubo & espressa in pollici, piedi, o teše. §. 313. Siccome il lato di ogni tesa cubica contiene 6', cosi: 1° cubica = 6X6X6 = 216' cubici. Similmente si trova essere: 1' cubico = 12 X 12 X 12 = 1728" cub. 1" cub = 12 X 12 X 12 = 1728'" cub. 1 miglio cubico = 4000 X 44)00 X 4000 = 64,000.000.000° cub. Se la lunghezza del lato e data in numeri complessi, essa si ridurra per intero ad unita di ordine massimo e minimo, indi se ne prendera il cubo. P. e. Quale e il volume di un dado che ha 1° 2' 2“ di lato ? 1° 2' 8" = 8' 8" = 104" 104 X 104 416 10816 X 104 43264 1124864" cub. : 1728 8806 650' cu b. : 216 1664 2' cub. 3° cub. Solidita = 3° cub. 2' cub. 1664" cub. §. 314. Se viceversa si ha a trovare la lunghezza del lato, conosciuto che sia il volume del dado, basta trovare il ijumero che prešo tre volte come fattore dia quel volume; vale a dire non si ha che ad estrarre da quest’ ultimo la radtce cubica. 113 Sia p. e. il volume di un dado di 2° cub. 45' cub.; quale ne dev’ essere il lato? 2° cub. 45' cub. = 477' cub. j/477 = 7-813' = 1° 1' 9-8" lunghezza del lato. §. 315. Se si dispongono sopra di un piano e vicini fra loro 4“ cubici di legno o di cartone, e si sovrappongono a questo altri due strati ciascuno di 4" cubici, questi 12" cubici rappresentano un parallelepipedo rettangolo la cui base h for¬ mata da 4" quadrati e la cui altezza & di 3". Avendosi dunque un parallelepipedo rettangolo di 4Q" in base e 3" di altezza, la sua soliditk o volume h di 12" cubici. Fi g- - 270 - Sia ora (fig. 270) da determinare la soli- dita di un parallele¬ pipedo rettangolo dove la lunghezza AB sia di 3', la larghezza A D di 1' e 1’ altezza A E di 4'. Siccome la base contiene 3X2 = 6Q' cosi im- mediatamente sovr’ essa si possono adattare 6' cubici; ed importando F altezza 4', quei 6' cubici possono ripetersi 4 volte lungi 1’ altezza; la solidata del parallele¬ pipedo h dunque di 6X4 = 3X2X4 = 24' cub. Si cerchi a questo modo il volume di un parallelepipedo rettangolo dove si abbia: a) la lunghezza di 4", la larghezza di 3", F altezza di 5"; b) la lunghezza di 7', la larghezza di 2', F altezza di 6'; c) la lunghezza di 3°, la larghezza di 5°, F altezza di 2°. Onde dunque determinare la solidith di un parallelepipedo rettangolo, si moltiplica la lun- Močnik, geometria intuitm. n. 8 114 ghezza per la larghezza ed altezza del medesimo, ovvero, cio che b lo stesso, la base per 1’altezza. Quale e il contenuto solido di un parallelepipedo rettan- golo che ha 1° 5' d" in lunghezza, 1° 1' 8" in larghezza, e 2° 3' 7" in altezza? Lunghezza = 1° 5' 3" =11' 3' 1 = 135" Larghezza = 1° 1' 8" = 7' 8" = 92" Altezza = 2° 3' 7" = 15' 7" = 187" 135 X 92 1080 12420 X 187 99360 86940 2322540" cub. : 1728 5945 1344' cub. : 216 7614 48' cub. 6°“cub. 7020 108" cub. Solidita = 6° cub. 48' cub. 108" cub. §. 316. Se si taglia un prisma con un piano parallelo alla base, la sezione che ne resulta šara sempre uguale alla base qualunque sia poi la sua distanza da questa. Se dunque due prismi hanno le loro basi equivalenti (se anche non uguali), ad ogni altezza dovrk loro corrispondere una sezione egual- mente ampia, ovvero equivalente; se questi prismi dunque hanno inoltre uguale altezza, occupano spazl equivalenti, ciob di eguale grandezza. Due prismi adunque che hanno uguali le al- tezze ed equivalenti le basi, hanno volumi equi- valenti. Ne segue che ogni prisma ha lo stesso volume del parallele¬ pipedo che, avendo la stessa altezza, ha anche la base equi- valente a quella del prisma. II volume del parallelepidedo h poi uguale al prodotto della base per 1’altezza, dunque anche quello di un prisma di forma qualunqueb uguale alla base moltiplicata per 1’ altezza. 115 Q,uale e il volume di un pristna se la base e di 25Q' 64Q" e 1’ altezza di 4' 8" ? 25Q' 64Q" = 36640"; 4' 8" = 56" 3664 X 56 = 205184" cub. = 118' cub. 1280" cub. 3. Volume di una piramide e di un tronco piramidale. §. 317. Se si tagliano due piramidi di uguale altezza ed insistenti sopra il piano medesimo con un piano parallelo a questo, le sezioni riescono simili alle basi e stanno fra di loro come il quadrato della distanza del piano secante dal vertice sta al quadrato del! altezza comune. Se ora le basi delle due piramidi sono equivalenti, lo sono pure le sezioni. Ne segue che due piramidi le quali abbiano le basi equivalenti ed eguale altezza, vanno restringendosi verso la cima per modo che ad uguali altezze corrispondono in esse delle ainpiezze uguali, e percio gli spazi da esse occupati sono uguali. Due piramidi a basi equivalenti e di uguali altezze, hanno dunque anche ugual volume. §. 318. Sia ABCDEF (fig. 271) un prisma trian- golare. Tagliandolo col piano A E C , esso riesce scomposto nella piramide triangolare E ABC e nella quadrangolare E A C F D. Quest’ ultima poi pub essere scomposta ulteriormente, mediante il piano C ED, in due piramidi triangolari E A CD ed E CD F si, cbe il prisma triangolare pro- posto ci si presenta costituito da 3 piramidi triangolari. E facile dimostrare che queste piramidi sono di ugual volume. Infatti le piramidi EACD cd ECDF hanno le basi ACD e CD F equivalenti e situate nel piano medesimo; inoltre avendo il vertice E comune hanno uguale 8 * Fig. 271. 16 anche 1’ altezza e sono percio di ugual volume. Similmente puossi supporre il vertice delle piramidi E A CD ed EAB C collocato in C; allora le basi EAB ed EAD si ritrovano nel piano medesimo e sono equivalenti; le due piramidi sono dunque di egual volume avendo le basi equivalenti e la stessa altezza. Le tre piramidi proposte sono dunque tutte di egual volume e la piramide triangolare E ABC e la terza parte del pr ism a AB CDEF che ha la base e l’altezza della piramide suddetta. Siccome poi la soliditd di un prisma h uguale al prodotto della base per 1’altezza, cosi: quella della piramide trian¬ golare h uguale al prodotto della base nella terza parte deli’ altezza. Potendosi trasformare ogni piramide poligonale in una triangolare di base equivalente e di altezza eguale alla sua, riesce provato in tutta la sua generalitk il teorema che: II volume di una piramide si trova: moltipli- cando la base per la terza parte deli’ altezza, Sia p. e. la base di una piramide di 3Q' 87Q" e 1’ altezza di 4' 9"; quale ne dev’ essere il volume? 30' 87" = 519Q"; 4' 9" = 57" 519 X ^ = 9861 = 5' cub. 1221" cub. O §. 319. Onde trovare il volume di un tronco di piramide, si determina prima quello delle due piramidi, la cui differenza costituisce il tronco proposto, indi si sottrae il volume della piramide minore da quello della maggiore. P. e. In un tronco piramidale a basi quadrate, il lato della base inferiore importi 2' 5", quello della superiore 1' 9"; 1’ altezza poi del tronco sia di 2'; quanto grande ne šara il volume ? Piramide maggiore. Base = 29 2 — 8410" Altezza = ^ X 29 = 87" Volume = 841 X y = 24389" cub. 117 Piramide minore. Base = 21® = 441D" Altezza = X 21 = 63" Volume = 441 = 9261" cub. Volume del troneo piramid. = 15128" cub. = 8' cub. 1304" cub. 4. Volume di un poliedro regolare. §. 320. Siccome 1’ esaedro non e che un dado, ed il tetraedro che una piramide, cosi non ci resta che di stabilire il modo di ottenere i volurni deli’ ottaedro, deli’ icosaedro e del dodecaedro. Ognuno di questi poliedri pub scom- porsi in altrettante piramidi uguali, le cui basi sono le facce del solido, ed il cui vertice eomune b equidistante da tutte le facce. L’ altezza di una di queste piramidi e uguale alla semi- distanza di due facce opposte del poliedro regolare. Sia p. e. il lato deli’ icosaedro di 4" e di 6‘04" la distanza di due facce opposte ; quale b la solidita deli’ icosaedro ? Una faccia = 6'8Q" Altezza di una piramide = 3'02" Volume della piramide medesima = 6'847" cub. Volume deli’ icosaedro = 137" cub. 5. Volume di un cilindro. §. 321. Potendosi risguardare il cilindro come un prisma le cui basi siano dei poligoni regolari a numero infinito di lati, varrh per esso a norma del §. 316 il teorema: La solidita dei cilindro e uguale alla base moltiplicata per 1’altezza. Se p. e. 1’altezza di un cilindro b di 7" ed il raggio della base di 6", si avra: Base = 6» X 3-1416 = 113-0976Q" Volume = 113-0976 X 7 = 791'6832" cub. §. 322. Onde determinare il volume di un tubo eilin- drico, si cercano i volurni dei due cilindri la cui differenza 118 stabilisce lo spessore; indi si sottrae il volume del cilindro rninore da quello del maggiore. P. e, Un tubo cilindrico e grosso 2 ", ed ha 8" in luce; quale h il suo volume importando la sua lunghezza 40" ? Cilindro maggiore. Base = 6 2 X 3-1416 = 113-0976D" Volume — 113‘0976 X 40 = 4523'904" cub. Cilindro minore. Base = 4 2 X 3 • 1416 = 50 • 2556Q " Volume = 50-2556 X 40 = 2010-224" cub. Volume del tubo = 2513 "68“ cub. = 1' cub. 786“ cub. §. 323. Forma simile alla cilindrica hanno le botti; sol- tanto e variabile in esse 1’ ampiezza perche, piu panciute verso il mezzo, vi hanno una sezione maggiore di quelle pra- ticate ai due fondi. Onde ottenere la capacita approssimativa di una botte, si cerca il volume di un cilindro che abbia la lunghezza della botte, e la cui base sia uguale alla semi- somma delle aree delle sezioni praticate nella botte al ventre ed al fondo. P. e. Quale e la capacita od il contenuto di una botte lunga 4', che abbia 2' 4" di diametro al fondo e 4' 10" al suo ventre? Sezione al fondo = 615’7536Q" Sezione al ventre = 1017-’8784Q" 1633-632 F Base del cil. medio — 816-8160" Contenuto della botte = 816-816 X 48 — 39207" cub. ==22' cub. 1191"cub. Per ottenere il contenuto di una botte espresso in secchie e boccali di Vienna, basterh dividere la capacith ottenuta in piedi cubici per 1 ■ 792, e quella ottenuta in pollici cubici per 77'414; e cio perche una secchia di Vienna equivale a 1'792' cubici ed un boccale a 77‘414" cubici. 119 0. Vohune di un cono e di un tronco di cono. §. 324. 11 metodo stabilito per trovare la soliditk di una piramide, vale anche per il cono, potendosi questo risguardare come una piramide che abbia per base un poligono a numero infinito di lati. La soliditk di un cono k dunque uguale alla base moltiplicata per la terza parte deli’altez za. Se p. e. il raggio della base e di 1“ e 1’ altezza del corio di 6", si ba: Base = X 3-14 = 153-86D" Soliditk del cono = 153 - 86 X 1 — 307 - 72" cub. §. 325. Si determina la soliditk di un tronco di cono, calcolando quella dei due coni di cui il tronco proposto ne b la differenza; indi sottraendo la minore dalla maggiore. Quale e p. e. il volume di un tronco di cono che ha 3' 6" d’ altezza e le cui basi hanno 5' e 4' di diametro ? Cono maggiore. Base = 2’5 1 2 X 3-14 = 19-625D' Altezze = X 2’5 = 17‘5' Volume = 19‘625 X — 114'479'cub. Cono minore. Base = 2 2 X 3-14 = 12-56D' Altezza == X 2 = 14' Volume = 12’56 X v = 58 - 613' cub. O Volume del tronco di cono = 55’866' cub. 1 . Volume di una sfera. §. 326. Condotto per il centro di una sfera un numero infinito di piani, essa ne risulta scomposta in un numero in¬ finito di solidi di forma pressoche piramidsile, i quali si vanno avvicinando tanto piu a questa forma, quanto minori sono le porzioni di superficie sferica che servono loro di base. Per ciascuna di queste piramidi a base infinitamente piccola, si pub supporre 1’ altezza uguale al raggio della sfera. Ora la solidita di tutte queste piramidi costituenti la sfera, si trova moltiplicando ogni singola base per il terzo deli’ altezza a tutte cornune, vale a dire per la terza parte del raggio, indi som- mando tutti i valori cosi ottenuti; ovvero piu brevemente som- mando a dirittura tutte le basi, con che si ottiene 1’ intera superficie sferica, indi moltiplicando questa somma per la terza parte del raggio. La solidita della sfera dunque h uguale al pro- dotto della sua superficie, per la terza parte del suo raggio. P, e. Per una sfera che ha 10" di diametro, la super- ficie h di 4 X X 3'14 = 3140", quindi il volume = 314 X f = 523-33" cub. §. 327. Significando con r il raggio, con k il volume di una sfera, la sua superficie e — 4 r 9 a, e quindi k — 4r 8 aE X ovvero: k = | n X r 3 . La solidita di una sfera si trova dunque molti¬ plicando il cubo del raggio per | del numero n. Similmente se E rappresenta il raggio e K la soliditž, di una seconda sfera, si avra: K — f ?r X E 3 , e ne segue: k: K=r 3 : E 3 vale a dire: i volumi di due sfere stanno fra loro corae le terze potenze dei loro raggi. §. 328. Se conoscendo la solidita di una sfera, si vuole trovare il raggio, non s’ ha che a dividere la solidith cono- sciuta per § del numero n, il quoziente rappresenta il cubo del raggio, quindi estraendo da questo quoziente la radice cubica si ottiene il raggio stesso. Quale e p. e. il raggio di una sfera il cui volume h di 5' cub.? 3-14X1 = 4-19; 5:4-19=1-193 j/l "193 = 1'04' di raggio. 121 8. Metodi diversi per calcolare i vohuni. §. 329. Onde determinare il volume di certi solidi, specialmente se sono affatto irregolari, fa d’ uopo ricorrere ad altri espedienti, divenendo isuffieiente il metodo puramente geometrico. Il volume di un corpo qualunque si determina in un modo affatto semplice col mezzo di un recipiente prisma- tico o cilindrico a base conosciuta, e sulla cui parete laterale si applica una scala verticale divisa in pollici e linee. Il corpo di cui si vuole trovare il volume si pone nel reci¬ piente, che si riempie d’ acqua fino a tanto che il corpo vi riesca per intero sommerso, indi si prende nota deli’ altezza a cui e giunto il livello deli’ acqua; estratto poi il corpo si legge 1’ altezza a cui il detto livello h disceso. Il volume del corpo h equivalente a quello di un prisma o cilindro che ha la base del recipiente, e per altezza la differenza dei due livelli osservati. Se il corpo da misurarsi e assorbente, in vece deli’ acqua, si fara uso di sabbia finissirna per riempiere il recipiente. Se p. e. il recipiente e di base quadrata avente nel suo interno il lato di 12" e se il livello deli’ aoqua dopo la som- mersione e alto 8" 10'", mentre che estrattone il corpo esso discende fino a 4" 4'", la differenza dei due levelli e di4"6'" = 4 - 5" quindi il volume del corpo = 12 X 12 X 4‘5 = 648" cub. Mediante un tal recipiente si puo anche determinare la capacitk di un secondo recipiente vuoto e comunque irregolare. Si riempie quest’ ultimo di acqua, e la si versa nel recipiente munito di scala, indi dalla base di questo e dali’ altezza a cui k salito in esso il livello deli’ acqua versata, si calcola la capacitk del recipiente suddetto. §. 330. Il volume di un corpo puo anche determinarsi mediante il suo peso. Un piede cubico d’ acqua distillata pesa 56 libbre e \ peso di Vienna; si ottiene dunque il volume di un corpo d’ acqua in piedi cubici, dividendo il suo peso per 563 . 122 P. e. II peso deli’ acqua contenuta in un dato recipiente h di 24 libbre, šara dunque: 24 : 56 — 0*4242' cub. = 733" cub. il volume deli’ acqua contenuta nel recipiente, ossia la capacita di quest’ ultimo. In modo affatto analogo, si trova il volume di un altro corpo qualunque dal suo peso, noto che sia quello di un piede cubico di quel corpo. Cio puossi facilmente dedurre dal suo peso specifico; vale a dire da quel numero che indica di quanto sia maggiore o minore il peso di un piede cubico di quella sostanza, a confronto di un piede cubico di acqua distillata; basta allora moltiplicare le 56 libbre e per il peso specifico della sostanza. P. e. Il peso specifico del marmo e di 2'7, vale a dire, un piede cubico di marmo pesa 2'7 volte di piu che un piede cubico d’acqua, dunque 56*5 X^'7 = 152*55 libbre. Se dunque un pezzo di marmo pesa libbre 248 esso ha: 248 : 152*55 = 1*6257' cub. di volume. Esponiamo qui i pesi specifici di alcuni corpi: I numeri qui esposti non sono se non che approssimativi, giacche i pesi specifici possono essere alcun poco maggiori o minori nei metalli, secondo le anomalie ed eterogeneit& degli 123 elementi che concorrono alla loro composizione; nei legni, secondo il grado di asciutezza e secondo il luogo in cui si trovano. Un pezzo di acoiajo pesa 35 libbre; quale ne e il volume ? 1' cub. di acciajo pesa 56’5 X 7’8 = 440’7 libbre. 35 : 440-7 = 0'0794' cub. = 137-2“ cub. Un dado di ferro fuso ha 1'2' di lato; quanto deve pesare ? Volume = 1-2 8 = 1-728' cub. Peso = 56-5 X 7-6 X 1-728 = 742 libbre. 9. Problemi sul calcolo del volume dei corpi. §. 331. 1) Quale e il volume di un dado che ha 5'4“ di lato? 2) Si calcoli il lato di un dado il di cui volume sia di 5' cub. e 59“ cub. 3) La superfieie di un dado importa 300'; quale ne h il volume? 4) Un parallelepipedo rettangolo e lungo 4' 5", largo 2' 8" ed alto 3' 10"; quale b il suo volume? 5) La base di un prisma ha 310' 780“ di superfieie, e 1° cub. 25' cub. 805" cub. di volume; quale h la sua altezza ? 6) Si determini la base di un prisma alto 4' 6“ che abbia per volume 124' cub. 260" cub.? 7) La base di un prisma alto 5' 2" h un triangolo equilatero avente 3' 4“ di lato; quale b il suo volume ? 8) Una piramide ha per base un quadrato di 4" di lato ed uno spigolo laterale di 1' 3"; quale h il suo volume? 9) In una piramide la base e un rettangolo lungo 3' 5" e largo 1' 10"; il suo volume e poi di 5'cub.; si determini 1’ altezza. 10) La base di una piramide alta 2' 9" e un esagono regolare avente 1' 2“ di lato; quale h il suo volume? 11) Un tronco di piramide ha 1’ altezza di 5' 10", le sue basi poi sono triangoli equilateri; quale šara il suo volume 124 supposto che il lato della base inferiore sia di 2' 6", e quello della superiore di 1' 2"? 12) Si determini il volume di un ottaedro il di cui spigolo e di 1' 8", distando due delle sue facce 1’ una dali’ altra di 1' 4-19". 13) Il diametro di un cilindro b di 4' e 1’ altezza di 5'; quanti piedi cubici contiene il cilindro suddetto? 14) La base di un cilindro ha 3' 8" in circonferenza, la sua altezza importa 7' 6"; si calcoli il volume del cilindro? 15) Un cilindro alto 5‘ 3" contiene 20' cubici; quale e il diametro della base? 16) Il volume di un cilindro h di 37'268' cub.; quale e la sua altezza se il diametro della base b di 3' 7" ? 17) Un tubo cilindrico e lungo 35' e largo in luce 1' 4"; quale e il suo volume, supposto che esso abbia la gros- sezza di 2" ? 18) Quanti pollici cubici contiene un cono alto 2' 9", se il diametro della base h di 8" ? 19) In un cono retto la periferia della base importa 25‘37" ed il lato e di 18'45'; quale ne h il volume? 20) Quale altezza avra un cono il di cui volume sia di 35' cub. 56" cub. e la di cui base abbia 2' 8" di diametro? 21) Il volume di un cono sia di 84'78" cub., e la sua altezza di 9"; si determini il diametro della base? 22) In un tronco di cono retto alto 10', sia il raggio del circolo maggiore di 6", e quello del minore di 2"; quale ne e il volume? 23) Un tronco di cono retto sia alto 2° 5' 8"; la base mag¬ giore abbia 1' area di 2[)3' 26‘16Q“ e la minore 1’ area di 1Q' 56‘96Q"; se ne determini il volume. 24) Si desidera conoscere il volume di una sfera avente 1' 8“ di diametro. 25) Quale dev’ essere il volume di una sfera la cui superficie importi 25[“)" ? 26) Si determini il raggio della sfera che lia il volume di 5' cub. e 712" cub. 125 27) II volume di una sfera sia di 15' cub,; se ne determini la superficie. 28) Quale e il raggio della sfera il di cui volume e due volte maggiore di quello di im altra, che ha 10Q' e 75Q" di superficie? 29) Il diametro di una sfera h di 1'; tale h anche il diametro di un cilindro equilatero; in quale rapporto stanno fra di loro i volumi di questi due solidi? 30) Una sfera ha 1' di diametro; uguale lunghezza hanno il raggio della base e 1’ altezza di un cono; in qual rapporto stanno fra di loro i volumi di questi due corpi? §. 332 31) Quanti piedi cubici contiene un muro lungo 34', alto 10' e grosso 2‘? 32) Una coppa formata da un emisfero vuoto ha 5“ di diametro; quale ne h la capacitk? 33) Una fossa da calce e lunga 9' e larga 4' e § e pro- fonda 5' e |, quanti piedi cubici di calce vi si conter- ranno riempiendo la fossa fino ali’ orlo? 34) Un recipiente cilindrico deve ottenere la capacita di 5' cubiei; quale altezza gli si assegnera, prendendo il diametro in luce di 2'? 35) Quale h il volume della nostra terra, se questa si con- sidera come sfera perfetta del diametro di 1719 miglia geografiche? 36) 11 diametro del sole e 111 volte maggiore di quello della nostra terra; in quale rapporto stanno fra di loro i volumi di questi due corpi? 37) Un tronco di abete, considerato come cono, ha inferior- mente 5' in circonferenza, ed h alto 5° 4'; quanti piedi cubici sono in esso contenuti ? 38) Volendo scavare una fossa che ottenga la capacita di 175' cubici, avente 10' in lunghezza e 4' e 6" di profondita; quale larghezza si dovra assegnare ali’ escavo? 39) Una botte ha 2' 3" di diametro al fondo e 3' al suo ve n tre; quante secchie con terra, avendo la lunghezza di 4' 7"? 126 40) Un dado di ottone ha lo spigolo di 3" e pesa libbre 7 e §; quale e il peso di 1" cub. di ottone? 41) II diametro interno di un tubo di ferro h di 8", la gros- sezza di f" e la lunghezza di 2° 4' 8"; quanti pollici cubici di ferro sono contenuti nel tubo suddetto? 42) Quanti piedi cubici contiene un tronco d’ albero rotondo lungo 22', se la sezione maggiore ha 3' e la minore 2' di diametro? Se si considera il ceppo suddetto come tronco di cono si ottengono 437' cub. di volume; in pratica pero, contentandosi con un valore approssimativo, si considera il ceppo come cilindro la cui altezza 6 uguale alla lunghezza e la base equivalente alla semisomma delle due sezioni estreme praticate nel tronco; in questa seconda maniera si ottengono pel volume del ceppo proposto 449' cubici. 43) A quanti piedi cubici ascenderk lo sterro, se si vuole avere una fossa lunga 188', profonda 5' 2" e larga superiormente 7' inferiormente 5'? 44) L’ altezza di un cono retto e di 5' 8" ed il suo lato di 6' 4"; se ne determini il volume. 45) Un trave di quercia e lungo 13' e largo 2 e | e grosso altrettanto; a quanto ascendera il suo valore, pagando il piede cubico a fiorini 1 e 46) Un secchione ha la forma di cono troncato; la sua circonferenza superiore e di 5', 1’ inferiore di 6' e 1’ altezza k di 5'; si determini la sua capaeita. 47) Un pezzo di piombo pesa 85 libbre, quale h il suo volume? 48) L’ altezza di una torre rotonda e di 20', la circonferenza esterna di 38', lo spessore del moro poi di 2' 10"; quanti piedi cubici di muratura contiene la torre suddetta? 49) Una catasta di legno e larga 6' ed alta altrettanto; la lunghezza poi dei pezzi che la compongono h di 24"; di quanti piedi cubici e maggiore la catasta, se i pezzi sono lunghi 32"? 137 50) Quanti boccali di Vienna contiene un recipiente cilindrico che abbia 1' di diametro e 10" di altezza? (§. 323.) 51) Un recipiente della forma di dado debba contenere 8 boccali; ,quale lunghezza dovrb avere il suo lato? 52) 11 truogolo di un pozzo e lungo 7' e -j? largo 1', e pro- fondo f'; quanti boccali d’ acqua pub esso capire? 53) Quante secchie contiene una botte lunga 5' 8", la quale abbia la circonferenza di 9' 2" al fondo, e quella di 10' 4" al coechiurae? 54) Un ceppo rotondo lungo 8' e grosso 2' costa fior. 58 e a quanto fu pagato il piede cubico ? 55) Un rullo di ottone deve pesare 42 libbre ed avere la lunghezza di 10"; qual diametro conviene dargli? 56) Una tinozza di birra ha superiormente il diametro di 5' 2" in luce, inferiormente quello di 7' 4", ed e alta 5'; quante secchie di liquido pub contenere? 57) Una palla d’ avorio ha 3" di diametro; quale b il suo peso? 58) Si determini il lato del dado che ha il suo vohune uguale a quello di una sfera del diametro di 4' 9". 59) Quale altezza si dara ad un piccolo cono di alabastro, onde esso pesi 10 once ed abbia la base di 1" in diametro. 60) La pressione atmosferica sopra di una superficie qualunque equivale a peso di una colonna di mercurio la quale ha per base la superficie proposta e 1’ altezza di 28". Quale b dunque la pressione esercitata dali' atmosfera sopra un piede quadrato di superficie? §. 333. 61) A quanto ascendera la spesa per 1’ erezione di un obelisco piramidale di granito alto 15', la cui base quadrata abbia 4' di lato , supponendo che pel piede quadrato si paghino fior. 4 e sol. 85? 62) Quante libbre pesa una piastra di ferro fuso lunga 6' 2", larga 1' 8" e grossa 7"? 63) Un cassone b lungo internamente 5', largo 3' ed alto 4', quante metadelle di frumento vi si possono conservare, se una di esse occupa 1'9471' cubici? 128 64) Abbiasi da fondere un tubo di rame della lunghezza di 10'S', avente il diametro esterno di O 1 8' e quello interno di 0'7'; quante libbre di rame oecorrono a tale scopo? 65) Quanto pesa una palla di cannone del diametro di 5", se ogni polliee cubico pesa once 8 e f? 66) Volendosi eostruire un recipiente cilindrieo alto 8" che contenga una metadella, qual diametro conviene dargli? 67) Qual raggio si dara ad una sfera onde essa ottenga un volume uguale a quello d) di un dado che abbia 6' 1" di lato, V) di un cilindro alto 5' e del diametro di 2'4', c) di un cono retto che abbia il diametro di 4' 7“ alla base e l’ altezza di 5' 5"? 68) Quanto pesera un pezzo di rame battuto che abbia la forma di un parallelepipedo rettangolo lungo 13', largo 5" e { e grosso 1" e ^? 69) Un trave lungo 16', largo 9' 1 ed alto 8" e scavato inter- namente lungi tutta la sua lunghezza a modo di cilindro; quale, e il suo volume se 1’ incavo cilindrieo ha il diametro di 5" ? 70) Quante cataste di legna lunga 36" si possono ricavare da un abete, che abbia ali’ estremita inferiore 2' 8" di diametro e 9° 5' di altezza, ammettendo che il volume del legno aumenti di \ collo stivarlo dopo la spaccatura? 71) Dovendo scavare una cantina lunga 7° 2', larga 4° 3' e profonda 2° 1' ; a quanti piedi cubici ascenderh lo sterro, e quante carra di terra si dovranno esportare, calcolando per ciascun carro 24' cubici? 72) Quale e il volume di una palla di ferro vuota, se il suo diametro interno e di 1' 6“ e lo spessore di 1" ed e quale b il suo peso? 73) La base di una piramide regolare alta 2' 9" e un esagono che ha 10" di lato; quale dev’ essere il lato del dado di ugual volume? 74) Quante palle del diametro di si possono fondere da 5 libbre di piombo? 129 75) Si hanno due palle del diametro di 3' e di 1' 8"; qual diarnetro si dark ad una terza, onde il suo volume sia uguale a quello delle altre due preše insieme? 76) Un cassone lungo 3' e largo 2' 8" era in parte riempito d’ acqua. Allorchb vi si sommerse una pietra il livello deli’ acqua si alzb di 10"; quale era il volume della pietra? 77) Un corpo affatto irregolare fu per intero sommerso in un cassone lungo 3' 6" e largo 3' che era in parte riempito d’ acqua; al momento della sommersione 1’ acqua si porto al livello di 1' 2"; estrattone poi il corpo il livello deli’ acqua discese fino a 9"; si desidera sapere il volume occupato dal corpo sommerso. 78) Quale lunghezza si dark ad un cilindro di ottone, se esso deve pesare esattamente una libbra ed avere 2" di diametro ? 79) Un tronco d’ albero lungo 4° 4' ha 8' 2" di circonfe- renza in una delle sue estremitk, e 5' 10" nell’ altra; quanto costerk il tronco, calcolando il piede cubico a flor. 1 e t 3 0 ? 80) Un muro deve ricevere la lunghezza di 15° 4', la gros- sezza di 1' e { e 1’ altezza di 8'; quanti mattoni lunghi 1', larghi 6" e grossi 1' e f vi si impiegeranne, calcolando il cemento a jj-" di spessore? 81) Una palla vuota di latta, che ha internamente 10" di diametro, pesa 12 libbre, quale grossezza ha la rispettiva lamiera di latta? 82) In un serbatojo lungo 1' e largo 8" si vuota 15 volte 1’ acqua di un recipiente della capacitk di 25' cubici; a quale altezza s’ innalzerk 1’ acqua nel detto serbatojo? 83) Un cilindro a vapore e largo 2' 10", lungo 5' ed ha alle estremitk due emisferi perfetti; quanti piedi cubici di vapore pub esso contenere? 84) Si hanno due pezzi di piombo de' quali 1’ uno pesa 5 e 1’ altro 3 libbre, quale diametro otterranno le due palle che si possono fondere con questi due pezzi separata- Močnik, geometria intuitiva. II. ^ 9 130 mente, quale diametro otterrebbe poi la palla ricavabile dalla fusione complessiva di tutti' e due i pezzi di piombo? 85) Da un cilindro di legno di quercia si debba tagliare, mediante una sezione parallela alle basi, poi-zione tale, che il peso del cilindro riesca diminuito di 100 libbre; a quale distanza da una delle basi deve eseguirsi il taglio, importando il diametro delle basi 2' 2"? 86) Una misura da biada del diametro di 1' 8" e della pro- fonditii di 8" dev’ essere riempita di frumento in modo che sopravanzi alla base superiore della misura un cilindro alto 4"; quante staja di frumento conterra la misura proposta talmente riempiuta? 87) Un tubo di ferro fuso che ha 3' 10" di circonferenza ali’ esterno e 10' di lunghezza, pesa 1842 libbre, quale h la grossezza del metallo? 88) Un tetto a padiglione ha al comignolo 8° 5' di lunghezza, alla grondaja poi 14° 5'; la sua altezza & di 3° e la larghezza del fabricato di 6 U : quanto grande e lo spazio sotfoposto al tetto ? 89) Un bicchiere cilindrico alto internamente 4" e del diametro di 5" e ^ e riempito d’ acqua. Se ora vi si immerge una palla del diametro di 3", una parte deli’ acqua tra- bocca; si domanda a quale altezza si ritrovera situato il livello deli’ acqua nel bicchiere, estratta che ne sia di bel nuovo la palla? 90) Una pompa d’ acqua ha due cilindri di cuojo, o maniche del diametro interno di 7"; in ognuno di essi la colonna d’ acqua si alza in ciascun minuto secondo di 240"; quante secchie verserh la pompa durante mezz’ ora? Narodna in univerzitetna knjižnica v Ljubljani