Matematika v šol i 2018, letnik 24 IZ TEORIJE ZA PRAKSO Povratna informacija -pomemben element poučevanja IZ RAZREDA: O poštevanki MATEMATIKA SKOZI ZGODOVINO: O dr. Ivanu Vidavu NOVICE: Dogajalo se je v Hermanovem brlogu v Celju Zavod Republike Slovenije za šolstvo Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana Matematika v šoli 2018, letnik 24 VSEBINA mag. Mateja Sirnik Uvodnik IZ TEORIJE ZA PRAKSO Silva Kmetič Povratna informacija - pomemben element poučevanja.............................................................2 IZ RAZREDA Tomaž Miholič O poštevanki......................................................................................................................................................................14 Rok Lipnik Elementi formativnega spremljanja pri matematiki v srednji šoli.....................................21 Lidija Jug Nedokončani stavki za refleksijo.....................................................................................................................26 Katja Kmetec Formativno spremljanje pri vsebini Večkotniki..................................................................................28 Dr. Ada Holcar Brunauer in Urška Margan Protokol za (samo)vrednotenje elementov formativnega spremljanja pri pouku ............................................................................................................................................................................... 41 mag. Melita Gorše Pihler Iz priročnika Formativno spremljanje pri matematiki..................................................................42 dr. Marko Razpet Število 41 ..............................................................................................................................................................................46 Anja Vidmar, dr. Janez Jerman, Erna Žgur Strategije štetja in računanja pri učencih z gibalno oviranostjo.........................................47 Tanja Črnivec Nadarjeni otroci na matematičnem področju......................................................................................56 MATEMATIKA SKOZI ZGODOVINO Dijaki Srednje trgovske šole Ljubljana O dr. Ivanu Vidavu.........................................................................................................................................................60 NOVICE Vodniki po razstavi, dijaki Gimnazije Celje - Center Dogajalo se je v Hermanovem brlogu v Celju.......................................................................................62 dr. Peter Legiša Predstavitev knjige: MArTEMATIČNE PRIGODE..................................................................................64 Matematika v šoli, št. 1., letnik 24, 2018 PRILOGA 1: UGOTAVLJANJE PREDZNANJA Spoštovani bralci revije Matematika v šoli! V številki revije Matematika v šoli, ki je pred vami, lahko beremo o povratni informaciji, ki je eden od pomembnih dejavnikov uspešnega učenja in dobrega poučevanja. Kakšna je vloga in pomen povratne informacije za učenje in poučevanje matematike? O tem lahko beremo v uvodnem članku revije. Učenec s kakovostno povratno informacijo dobi sporočilo, do kod je prišel v procesu učenja, spodbudila naj bi ga k iskanju napak in ponudila možnosti za odpravljanje le-teh. Kako gledati na formativno spremljanje kot na model pomoči za ozaveščanje procesov učenja, nam pokažeta dva članka iz osnovnošolskih in srednješolskih klopi, kjer imamo predstavljenih več različnih orodij, ki jih uporabljajo učitelji pri poučevanju. Tudi Pika Nogavička se je odločila in šla z Anico in Tomažem v šolo. Pa ne zato, da bi se učila in naučila »upoštevanke«, ampak zato, da bi imela počitnice. Bilo ji je odveč učenje računstva. Učiteljici je na vprašanje: »No povej, ali mi lahko poveš, koliko je 7 in 5?« odgovorila: »Če pa tega sama ne veš, nikar ne misli, da ti bom jaz povedala.« Takega odgovora ne obravnava prispevek o poštevanki, zato ob njegovem branju lahko razmišljamo o samem procesu učenja razumevanja množenja in avtomatizacije poštevanke. Iz članka je razvidno, kako pomembna je kakovostna povratna informacija, kjer so učitelju v največjo pomoč pogoste učenčeve napake. Letošnje leto mineva 100 let rojstva dr. Ivana Vidava, ki je poleg svojega znanstvenoraziskovalnega dela pustil velik pečat tudi na pedagoškem področju. Napisal je večje število knjig in člankov za učitelje in študente matematike. V čast našemu matematiku smo na 4. mednarodni konferenci o učenju in poučevanju matematike v Laškem pripravili razstavo, na kateri so sodelovali učenci z izdelki, ki so jih pripravili ob podpori svojih učiteljev mentorjev. V uvodnem članku beremo, da je uspešnost izobraževanja odvisna od znanja učitelja, njegovih prepričanj o svoji stroki in poučevanju ter o njegovih šolskih izkušnjah. Zato ste povabljeni k branju in pisanju novih strokovnih člankov. mag. Mateja SIRNIK, odgovorna urednica ISSN 1318-010X MATEMATIKA V ŠOLI letnik XXIV, številka 1, 2018 Izdajatelj in založnik: Zavod RS za šolstvo Predstavnik: dr. Vinko Logaj Odgovorna urednica: mag. Mateja Sirnik, Zavod RS za šolstvo Uredniški odbor: dr. Darja Antolin Drešar, Univerza v Mariboru, Pedagoška fakulteta, Jerneja Bone, Zavod RS za šolstvo, mag. Melita Gorše Pihler, Zavod RS za šolstvo, dr. Marjan Jerman, Univerza v Ljubljani, Fakulteta za matematiko in fiziko, Silva Kmetič, Sabina Kumer, Šolski center Krško - Sevnica, dr. Zlatan Magajna, Univerza v Ljubljani, Pedagoška fakulteta, dr. Sandra Mršnik, Zavod RS za šolstvo, mag. Sonja Rajh, Zavod RS za šolstvo, Simona Vreš, Gimnazija Ravne na Koroškem, dr. Amalija Žakelj, Univerza na Primorskem, Pedagoška fakulteta, Dr. Lucija Željko, Osnovna šola Sostro, dr. Herremans Adriaan, Universiteit Antwerpen, Belgija, dr. Jasmina Milinkovič, Pedagoška fakulteta Beograd, Srbija, dr. Evgenia Sendova, Institute of Matematics and Informatics at the Bulgarian academy of Sciences, Bolgarija. Jezikovni pregled: Katja Križnik Jeraj Prevod povzetkov v angleščino: Ensitra prevajanje, Brigita Vogrinec, s. p. Urednica založbe: Andreja Nagode Oblikovanje: Simon Kajtna Fotografije: avtorji člankov in foto dokumentacija uredništva Računalniški prelom in tisk: Design Demšar, d. o. o., Present, d. o. o. Naklada: 520 izvodov Prispevke pošljite na naslov: Zavod RS za šolstvo, OE Kranj (za revijo Matematika v šoli), Stritarjeva 8, 4000 Kranj, e-naslov: mateja.sirnik@zrss.si Naročila: Zavod RS za šolstvo - založba, Poljanska cesta 28, 1000 Ljubljana, faks: 01/30 05 199, e-naslov: zalozba@zrss.si Letna naročnina (2 številki): 22,00 EUR za šole in ustanove, 16,50 € za fizične osebe. Cena posamezne številke v prosti prodaji je 13,00 EUR. Revija Matematika v šoli je vpisana v razvid medijev, ki ga vodi Ministrstvo za kulturo, pod zaporedno številko 568. Revija je indeksirana in vključena v mednarodne baze podatkov: MathEduc - Mathematics Education Database, Zentralblatt fur Didaktik der Mathematik (ZDM), Co-operative Online Bibliographic System and Services (COBISS) © Zavod Republike Slovenije za šolstvo, 2018 Vse pravice pridržane. Brez založnikovega pisnega dovoljenja ni dovoljeno nobenega dela te revije na kakršenkoli način reproducirati, kopirati ali kako drugače razširjati. Ta prepoved se nanaša tako na mehanske oblike reprodukcije (fotokopiranje) kot na elektronske (snemanje ali prepisovanje na kakršenkoli pomnilniški medij). Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana. 1 IZ TEORIJE ZA PRAKSO Matematika v šoli, št. 1., letnik 24, 2018 Povratna informacija -pomemben element poučevanja Silva Kmetič silva.kmetic@guest.arnes.si Povzetek Predstavljen je pomen povratne informacije za poučevanje in nekateri od številnih dejavnikov, ki vplivajo na učinke pouka. Osredotočimo se na kakovost povratne informacije, ki izhaja iz natančne analize rezultatov, ki razkrije stopnjo znanja, način razmišljanja in dejanske vzroke za morebitne napake. Zato lahko učitelj presoja o nadaljnjih korakih in izostri usmeritev učencu tako, da si ta lahko ustvari in izoblikuje lastno znanje in izkušnjo. Omenimo tudi učiteljev vpliv prepričanj in odnosa do matematike, poučevanja in učenja. Ključne besede: povratna informacija, učni trenutki, pojmovne zmote, analiza, prepričanja Feedback - an Important Teaching Element Abstract The article focuses on the importance of feedback in teaching and some of the many factors affecting performance in class. The quality of feedback is discussed that is the product of a precise results analysis revealing knowledge level, way of thinking and actual causes of potential errors. This allows teachers to decide on the next steps and enhance learner-centered focus in a way that allows learners to create and develop their own knowledge and experience. The influence of the teacher's beliefs and attitudes to mathematics, teaching and learning is also presented. Keywords: feedback, teachable moments, misconceptions, analysis, beliefs Uvod V preglednem prispevku o formativnem spremljanju pri matematiki (Sirnik, Suban, 2017) je predstavljena ideja poučevanja in učenja celostno ter po posameznih korakih. Ti naj bi pomagali učitelju pri načrtovanju učinkovite učne poti, ki se potrjuje s kakovostjo doseženega znanja. Ponovili bomo nekatere definicije didaktičnih pojmov, da lahko bralec razume osnovne ideje, če jih morda še ni srečal. Opišimo pojem formativno spremljanje (vrednotenje, preverjanje). Beseda formativen pomeni izgrajevalen pouk, ker v tem procesu učitelj usmerja učenje tako, da učenec1 oblikuje znanje, pridobiva izkušnje in napreduje. Učitelj in učenec sta partnersko in interaktivno povezana. Učenje vpliva na poučevanje in obratno, torej (pred)znanje in izkušnje učenca ciklično vplivajo na poučevanje, to pa znova na učenje ... Sprotna spremljava znanja, napredka, zmot in težav je povratna informacija učitelju in učencu. Učitelj kot strokovnjak krmari in usmerja s svojim poukom učenje razreda in posameznikov. Znak dobre interakcije je učiteljev odziv z drugačnim poukom in/ali ustrezno usmerjevalno povratno in- 1 Beseda opredeljuje učenca ali dijaka ne glede na spol. 2 Analogno velja za učenje. formacijo učencu. Osredotočeni bomo bolj na učitelja, na njegovo analizo znanja, odločanje ter krmarjenje pouka, z zavedanjem, da se učenje dogaja »v učencu«. Če pričnemo s krogom petih ključnih korakov formativnega spremljanja (1. namen, cilji in kriteriji, 2. priprava, načrtovanje in izvajanje dejavnosti, 3. zbiranje podatkov in dokazil za povratno informacijo in vzročno odločanje, 4. vrstniško učenje, 5. samouravnavanje učenja, samopreverjanje), povejmo, da so značilni za premišljen pouk in da je vsak od njih proces in ne le nekajkratno dejanje. Formativno spremljanje je model pomoči za uzaveščanje in sistematiziranje poučevanja in učenja, kar vidimo v sistematičnosti korakov, prepletanju opazovanja, analiziranja, refleksij, dokazil in v interaktivnosti med učencem in učiteljem. Ključna tema prispevka je povratna informacija kot pomemben parameter dobrega poučevanja in uspešnega učenja. Ker je poučevanje in učenje kompleksen proces, se bodo vpletali tudi nekateri drugi koraki »kroga formativno spremljanje«. Za uspešno poučevanje2 je pomemben tudi osebni odnos in osebno pojmovanje učitelja o matematiki, poučevanju in učenju, 2 Matematika v šoli, št. 1., letnik 24, 2018 PRILOGA 1: UGOTAVLJANJE PREDZNANJA zato bomo namenili nekaj besed tudi temu. Pojmovanja so običajno nezavedni vzvodi naših odločitev, zato je koristno, da se jih poskušamo zavedati ter jih obvladovati in presegati pri odločanju o izvajanju pouka. H • • • V • V« a I • Znanje in prepričanja učitelja Uspešnost izobraževanja je po izsledkih teoretikov odvisna od znanja učitelja, njegovih prepričanj o svoji stroki in poučevanju ter o njegovih šolskih izkušnjah (Askew in drugi, 1997: 22). Raziskovalki Lipovec in Antolin (Lipovec in Antolin, 2010) predstavita pojem matematične identitete kot vsoto posameznikovih prepričanj o svojih lastnostih/značilnostih (attributes) v povezavi z matematiko. Nadalje lahko preberemo, da je pomembno učiteljevo razumevanje vsebine njegovega predmeta in poznavanje pedagoške stroke. Razumevanje vsebine npr. vpliva na to, kaj poudarjamo pri pouku in katerim vsebinam posvetimo več časa in jih obravnavamo bolj poglobljeno. Ob ustreznem razumevanju pojmov učitelj lažje pripravi nabor dejavnosti, predvsem alternativnih, za učence, ki pojmov ali postopkov ne razumejo. Pedagoško znanje pa omogoča povezovanje strokovnih komponent, vsebine in didaktike, z vidika organizacije vsebin, s prilagajanjem potrebam in zmožnostim skupine ali posameznika. Na pedagoško prakso vplivajo tudi učiteljeva prepričanja (Ernest 1991, Askew 1997, Pehkonen in Furingheti 2002). Prepričanja so neke vrste nezavedno znanje posameznika in se nanašajo na vsebino, učenje in poučevanje. Torej vsak učitelj lahko gleda tudi na pomen matematike kot stroke drugače. Prepoznamo značilne pojmovne skupine, npr. platonisti, humanisti, formalisti ... (več v Ernest, 1991), podobno velja za učenje in poučevanje (Požar-nik, 2000). Učitelj je prepričan, da ve, kaj je najbolje za učenca, kako mu nekaj razložiti in kako naj se učenec uspešno uči. Na podlagi prepričanj lahko prevlada interpretacija napake učenca, npr. kot brezbrižnost, površnost, premalo dela ali pozornosti, zavzetosti za predmet ... Mesto vzroka, lokus, je zunaj učitelja, torej poučevanja (teorija pripisovanja vzrokov). Razen tega si učitelj ustvari splošno mnenje o učencu in njegovem znanju, zato lahko na presojo vpliva tudi pisava, oblika, učitelj je lahko pod učinkom kontrasta, včasih prevlada prvi vtis ... Če pa učitelj ravna sistematično in spremlja ter analizira dosežke otrok in zbira dokazila o znanju, bo morda spremenil ali dopolnil svoja prepričanja in odkril dejanske vzroke za neko stanje kot npr. napačne ali nepopolne pojmovne predstave ali celo za kognitivni konflikt, ki zavira pravilni nadaljnji razvoj pojma. Primer zapisane asociacije v zvezi z matematiko: Učenka je zapisala: rdeča barva. Možna interpretacija te nenavadne in nepričakovane asociacije je popravljanje napak z rdečo in sklep, da so izdelki učenke pogosto rdeči, torej polni napak ali pa asociacija signalizira strah pred napakami. Učenka je kasneje v pogovoru razložila, da je zapisala barvo zato, ker vsako novo temo pri matematiki zapiše z rdečo. Torej njena asociacija ni povezana s strahom in napakami, ampak je pozitivna ali vsaj nevtralna. Napačne oz. in nepreverjene interpretacije opaženega so lahko ovira pri učiteljevi podpori v procesu učenja. Primera pojmovnih napak in razkrivanje vzrokov za napačno usvojenost: Posamezni učenci presenetijo s konstrukcijo napačnih ali nepopolnih pojmovnih predstav (sliki 1 in 2). Ob takšni ugotovitvi se učitelj, ki napako pripiše premalo učenju, odziva drugače kot tisti, ki poskuša najti vzrok v učenčevi kognitivni strukturi znanja. V primeru na sliki 1 gre za popačen priklic, ki je posledica predelave pojma in zapomnitve mediane brez razumevanja. Morda manjka tudi korak presoje rezultata (Ali je lahko mediana manjša od vsakega števila v naboru podatkov?). Slika 1: Mediana (22,5) kot polovična razlika osrednjih dveh števil. (Naloga 8d, NPZ 2017 za 9. razred) V primeru na sliki 2 učenca nimata predstave o količinah 1 dm3 in 1 l, zato sta merski števili 1500 in 500 povsem nesmiselni. Morda je predstavo o merskih enotah porušil pojem ulomka ali instrumentalna zapomnitev »pretvarjanja« ali bolje izražanja količin z različnimi merskimi enotami. 4 d m3 = t Slika 2: Učenec nima predstave o količinah 1 dm3 in 1 l. (Naloga 2f, NPZ 2017 za 9. razred) Za opisane primere pojmovnih napak ne izhajajo vzroki iz ciljev ali kriterija, napačne predstave je ustvaril posamezni učenec v spletu učnih okoliščin. Novi in stari pojmi Novi pojmi naj bi izhajali iz predhodnih pojmov oz. se povezali s predhodnim znanjem in izkušnjami učenca, zato je pomembno sistematično preverjanje pojmovnih predstav pred nadaljnjim razvojem navezujočih se pojmov, posebej kompleksnejših, ki jih razvijamo daljše obdobje. Pri tem se ne sme pozabiti na intuitivne (neformalno ustvarjene) pojmovne predstave in intuitivne procedure, ki jih mora učenec povezati in nadgraditi v vse bolj abstrakten matematični pojem. Ko preverjamo usvojenost in razumevanje pojmov, dobimo v istem razredu različne razlage učencev, kljub temu da so vsi izvajali iste dejavnosti pod vodstvom svojega učitelja3. Ko učenci formirajo pojmovno predstavo, so nekatere ustrezne, nekateri učenci pa ustvarijo napačne ali nepopolne. Pojmovna predstava se lahko iz leta v leto razvija in bogati, lahko pa se tudi popači oz. neustrezno preoblikuje. Ne smemo tudi pozabiti, da se pojmi z istim imenom pojavljajo tudi v matematiki, pri drugih strokah in v realnem življenju. Izbrana beseda lahko opredeljuje isti pojem na različnih področjih in v j-drnt 5 3 Zgodi se, da se učitelji ukvarjajo z osebno odgovornostjo za različnost, napačnost ali nepopolnost pojmovnih shem, čeprav gre za povsem običajen individualni spoznavni pojav. 3 IZ TEORIJE ZA PRAKSO Matematika v šoli, št. 1., letnik 24, 2018 različnih kontekstih, nekatere pa določajo različne pojme. V preglednici 1 je zbranih nekaj primerov. Učencu se lahko zgodi, da ne bo ustrezno »pojmovno prehajal« med isto poimenovanimi pojmi glede na kontekst ali področje obravnave. Vrnimo se k predznanju, ki ga lahko delimo na formalno in neformalno. Formalno je pričakovano znanje po učnem načrtu in letni pripravi učitelja, neformalno pa je pridobljeno na osnovi izkušenj iz življenja izven šole. Nekateri ga imenujejo tudi intuitivno. Beseda za pojem obseg se pogosto uporablja v življenju in na drugih strokovnih področjih. V preglednici 1 se v nekaterih primerih izkušnja z obsegom dobro povezuje z matematičnim pojmom, v drugih pa ne. Zato je zelo pomembno vsaj za ključne pojme preverjati, kaj vse se skriva za določeno besedo v pojmovnih predstavah učencev. Za primer neformalno pridobljenega znanja navedimo npr. pojem črta, iz katerega v šolski matematiki izpeljemo pojem premica. Črta je po izkušnjah otrok rdeča ali zelena, debela, tanka, kratka, dolga, prekinjena, črtkana, pikčasta, ukrivljena4, ravna, lomljena ... v učbenikih za 5. razred pa npr. »neomejeno dolgo rastoča daljica«, neomejena ravna črta ... Za ilustracijo navedimo še besedo za geometrijski pojem kot, ki ga učenci poznajo kot kot v sobi, dosojeni kot pri nogometu, mrtvi kot pri upravljanju vozila in kot primerjalni veznik. Tudi kombinacija številk na ključavnici ni matematični pojem kombinacija. Torej novo naj bi izhajalo iz dejanskega formalnega in neformalnega znanja, kar preverimo v ustreznem učnem trenutku. Učni trenutki Učni trenutek (teachable moment) opredelimo kot istočasen ali takojšnji odziv na učenčev odgovor. Odziv je lahko komentar ali predlog, vprašanje ali dejavnost, ki se nanaša na učenčev odgovor, z namenom, da ga učenec dopolni, spremeni oz. izboljša razumevanje pojma, kar pomeni poveže s predhodnimi pojmi, primerja, enači, abstrahira in ločuje (Muir, 2008: 79). Primeren učni trenutek je trenutek, ko bo učenec pridobil za učenje največ. Učni trenutek5 je nenačrtovana učna situacija, v kateri lahko učenec izboljša razumevanje pojma. Torej so učni trenutki del učnega procesa, ki jih izkoristi učitelj v sprotni interakciji z učenci. Raziskave (Askew in drugi, 1997; Muir 2008) so pokazale viden napredek v kakovosti znanja pri učencih učiteljev, ki so zaznali učne trenutke in se odzvali z ustreznimi dejavnostmi, napotki in vprašanji za učenca(e). Lahko pa učitelj poskuša učne trenutke sprožiti načrtovano, predvsem v učnih situacijah, kjer lahko predvidevamo kognitivne konflikte (Kmetič, 2013). Nekatere že poznane učne trenutke lahko izzovemo z ustrezno učno situacijo za razred ali posameznega učenca. Kako lahko še ustvarimo učni trenutek? Preverjanje predznanja je situacija, v kateri bodo nastala različna izhodišča za učne trenutke v fazi, ko da učitelj učencu povratno informacijo takoj ali pa kasneje v ustrezni obliki. Ob tem razložimo še razliko med ugotavljanjem in aktiviranjem predznanja. V procesu učenja je pomembno ugotavljanja predznanja. To je ugotavljanje znanja (bistvenih pojmov in postopkov), torej pojmov, ki so potrebni za nadaljnjo izgradnjo pojmov. Ugotovljeno predznanje je namenjeno načrtovanju zapolnitve vrzeli v znanju razreda ali posameznih učencev. Aktiviranje predznanja pa je del motivacije ali mobilizacija pojmov in veščin, ki pomembno vpliva na dosegljivost morda 'oddaljenih' ali 'odloženih' pojmov. Aktiviranje predznanja se običajno izvede neposredno pred vpeljavo novega pojma, ugotavljanje predznanja pa mora biti časovno načrtovano tako, da učenci lahko zapolnijo vrzeli oz. rekonstruirajo napačne pojme sami ali z napotki učitelja. Povratna informacija in sporočanje Bistvo povratne informacije je vedenje o znanju učencev, predvsem za učitelja in nato za učenca. Povratna informacija razkrije učitelju in učencu, kaj zna in česa ne ter razkrije razloge, zakaj je učenec storil napako. Sporočilo ali bolje učni napotek pa učenca usmeri, da sam ali s podporo in usmerjanjem učitelja pravilno 'pregradi' ali 'dogradi' pojem oz. svoje veščine reševanja. Učitelj se na ugotovljeno znanje odzove s pripravo in organizacijo učnih dejavnosti za razred ali za posameznika, z vprašanji ali sporočili kot so napotki za učenje. Sporočanje učencem ima tudi motivacijsko vlogo. Če je učitelj ugotovil primanjkljaje v znanju večine učencev, se dejavnosti pripravijo za razred. To pomeni učne ure, v katerih se dopolnjujejo neustrezno ali pomanjkljivo usvojeni pojmi. Če pa gre za raznolike posamezne primanjkljaje, lahko učitelj vključi učence tako, da jim sporoča o doseženem znanju in/ali jih usmerja v nadaljnje učenje individualno. V primerih velikih pojmovnih primanjkljajev je treba organizirati individualne ali diferencirane dejavnosti. Usmeritve naj ne bi bile površinske, splošne ali receptualne (v obliki »recepta«), ampak naj Preglednica 1: Različni pomeni istih besed Matematika Življenje Obseg lika Obseg glave, pasu, dolžina ograje, dolžina meje ... Računamo v obsegu števil do 100 s pomenom 'računamo s števili do 100' Obseg učne snovi, knjige ... Območje obsega, npr. 2 ha gozda Obseg kot algebrska struktura (naravna in cela števila niso obseg, kar pomeni, da obstaja inverzni element) Ploščina Obseg parcele, zemljišča, gozda, občine ... Poltrak Trak, okrasni, zelen, dolg, kratek, širok . 4 Pogosteje kriva črta. Mlajši otroci, ki poosebljajo stvari in pojme lahko razumejo kot biti slab, napačen ... 5 Pojem učni trenutek se povezuje s fizikom Robertom Havighurstom (Human Development and Education, 1952), ki se je ukvarjal z izobraževanjem. 4 Matematika v šoli, št. 1., letnik 24, 2018 PRILOGA 1: UGOTAVLJANJE PREDZNANJA bi spodbujale razmišljanje (Wiliam, 2013). Nekateri pri povratni informaciji izhajajo iz ciljev in kriterijev (Primeri v preglednici 2). Takšna povratna informacija je površinska (instrumentalna), ker ne izhaja iz poglobljene analize znanja in se ne odziva na morebitne kognitivne primanjkljaje. Cilji in kriteriji so pomemben del za načrtovanje pouka in učenja matematike. Procesa poučevanja in predvsem učenja sta tako zapletena, da se znanja ne more evalvirati samo na osnovi seznama ciljev, včasih samo iz učnega načrta, in kriterijev, ki morda niti ne izhajajo iz premišljeno izbrane taksonomije (Marzan, Bloom, SOLO, van Hiele ...) in so konkretizirani na vsebinski sklop ter razvojno stopnjo učencev. Dosežene točke, ki so tradicionalna povratna informacija, lahko povedo stopnjo dosežka na neki merilni lestvici, analiza posameznih izdelkov pa razkrije več že v primeru, če samo ločimo izvedbene od strukturnih oz. pojmovnih napak. Problem povratne informacije je tudi lahko v učiteljevi predpostavki, da se učenec zaveda, da ne zna, predvsem pa, da ne razume. Ko gre za napačne ali nepopolne pojmovne predstave, se lahko zgodi, da povratna informacija ne bo učinkovita, ker v dani okoliščini učenec ni uzavestil pomanjkljivosti svojega razmišljanja. Drugače je v primeru 'površinskih', torej slučajnih ali izvedbenih napak. Primer: Izračunaj: 138°32' - 69°48' =_. Preverjani cilj po učnem načrtu: pretvarjajo večimenske kotne enote v istoimenske in obratno ter računajo z njimi (Naloga 2d, NPZ 2017, 9. razred, dosežek 15 %). Preverjani cilj glede na nalogo: Zna odštevati večimenske kotne meritve. Iz nedoseženega cilja izhaja naslednja povratna informacija: ne znaš računati z merami kotov, če so enote večimenske. Za primere napak v preglednici 2 je ta informacija presplošna in ne moremo pričakovati, da se bodo vsi neuspešni učenci na podlagi tega sporočila naučili računati z njimi, kaj šele, da jih takšno sporočilo motivira za učenje. Na primeru tridesetih učencev je bil prvi napačen rezultat v preglednici 2 najpogostejši. Izziv za učitelja (državo) je ugotoviti, zakaj so učenci v tako velikem odstotku 'pozabili', da je pretvornik med stopinjami in minutami 60. Ali je razlog časovni odmik uporabe pojma oz. postopka ali pa kognitivni konflikt, ker v primeru merjenja kotov ni pričakovanega 'desetiškega vzorca'? Ali morda ni splošnega razumevanja mestno vrednostnega zapisa števil, ki pa je v tem primeru specifičen6. Merjenje s kotnimi enotami lahko razumemo, lahko pa si zapomnimo pretvarjanje in računanje na instrumentalni ravni. O tem bo premislil učitelj in njegova odločitev je morda odvisna tudi od posameznega učenca. Učenec strategijo »večje minus manjše« lahko uporablja sistematično in ne samo v prikazanem primeru. Zato je za končno presojo potrebno nadaljnje diagnosticiranje. Zadnja napaka je slučajna, računska, torej ni povezana z deklariranim ciljem. Učenca pa lahko spodbudimo, da »pretvarja obratno«, število minut v število stopinj in število minut, torej nalogo Preglednica 2: Tri napake: pojmovna, proceduralna, nepopolna proceduralna, morda izvedbena napaka Primeri z napakami, 9. razred Opis napake 138°32'- 69^8'N1 138°3269°48' - ffi ^JilJ^^ N2 Učenca računata v desetiškem sistemu, v drugem primeru je prisotna še slučajna napaka pri prepisu. 138°32,-69c48'-iii!Ai^ N3 Uporabljena strategija odštevanja 'večje minus manjše'. * 3, ker je obseg krogu včrtanega pravilnega šestkotnika s stranico r enak: o = 6 • r = 3 • 2r = 3 • d. • n je konstanta (število) v formulah za obseg in ploščino kroga. • n je približno 3,14 ali 22/7. • n je razmerje med obsegom (o) in premerom kroga (d). • n je konstanta v premem sorazmerju o = n • d. S formulacijo ciljev in kriterijev izkazujemo, kako razumemo matematiko, ali kot nabor pravil in postopkov ali kot miselni proces, v katerem ustvarjamo nekaj novega. Za ustvarjanje in uporabo pojmov in postopkov v novih situacijah je poleg poznavanja dejstev in izvajalske rutine ter zanesljivosti pomembno tudi razumevanje pojmov in postopkov. Posledično so vprašanja, s katerimi preverjamo cilje, kriteriji in povratna informacija učitelja na različnih nivojih: prvi na instrumentalnem (preverja površinsko, prevladujejo dejstva in postopki), drugi na produktivnem (globinskem, povezovanje, miselni procesi) nivoju. Preglednica 4: Katera znanja vzpodbujajo sporočila? Sporočila Značilnosti sporočila Pravilno uporabljaš obrazec za računanje obsega kroga. Povratna informacija kot pohvala oz. pozitivna ugotovitev. Pri zapisu obrazca in enot si premalo natančen. Natančnost ali kaj drugega? Bodi natančnejši pri branju besedila. Ali je razlog za napako branje besedila? Morda vključeni pojmi? Pri reševanju besedilnih nalog si pomagaj s skico. Ali lahko skica pomaga pri vsaki besedilni nalogi? Dobro si usvojil postopke računanja ploščine in obsega kroga. Povratna informacija kot pohvala oz. pozitivna ugotovitev. Ali je nastala na podlagi raznolikih primerov? Vprašanja in napotki za učinkovito povratno informacijo Dobra povratna informacija izhaja tudi iz kakovosti vprašanj. Odgovori na vprašanja dajejo vpogled v znanje in razumevanje 9 Dejavnosti za razvoj ali preverjanje razumevanja postavljajo učenca v novo situacijo, ki spodbuja povezovanje pojmov, sklepanje, razmišljanje ... Vsaka ponovljena dejavnost ali vprašanje je že situacija reprodukcije znanja. 7 IZ TEORIJE ZA PRAKSO Matematika v šoli, št. 1., letnik 24, 2018 Lih : A Lil. B Lil. C Kaj lahko sklepaš o obsegih likov? Razloži! (Senekovič J. Interno gradivo ZRSŠ, 2015) Slika 5 učencev ter odkrivajo vzroke za ugotovljeno stanje. Nadaljujmo ob primerih povezanih s pojmom obseg. Omenili smo že, da smo ugotovili prototipe za lik in za ploščino ter obseg lika. Prototipa formula in računska operacija ne kažeta na razumevanje pojmov ploščina in obseg. V nadaljnji razpravi z učitelji smo predvidevali, da učenci bolje razumejo obseg kot ploščino. Pri analizi primera (Slika 5) se je pokazalo, da je bila naša predpostavka napačna. Nekaj primerov razlag pravilne ugotovitve10 o obsegih treh danih likov na sliki 5: Razlaga 1: Ker tako izgleda, ne glede na površino in ker je vsota dolžin stranic po mojem enaka. Preglednica 5: Napačne in pomanjkljive trditve Razlaga 2: ... ker jih črta obsega po isti dolžini in širini. Vendar so samo oblikovani drugače. Razlaga 3: Imajo enako dolge vse stranice (tako sem ocenil). Razlaga 4: ... ker imajo enako dolžino stranic. Razlaga 5: . ker je kot samo zamaknjen in obrnjen navznoter, tako ostane obseg enak. Razlaga 6: ... ker liki ne spreminjajo svoje lege levo ali desno. Razlaga 7: ... ker imajo vsi enaki vsaj dve stranici. Razlaga 8: ... ker imajo enake dolžine pri stranici A in B. Razlaga 9: ... ker je enaka razdalja stranic samo drugače razporejena. Kako so učenci utemeljevali svoje nepravilne ugotovitve: Transkripcija razlag Interpretacija napačnih in pomanjkljivih trditev Razlaga 1: ... ker ima vsak lik drugačne dolžine stranic. Ve, da je obseg vsota dolžin stranic, ne vidi pa, da transformacija likov ohranja skupno dolžino stranic. Razlaga 2: Obsegi se večajo. Lik C ima največji obseg. Razlaga 10: Obseg lika A je največji. Obseg lika C pa najmanjši. Razlaga 6: Vsak bo drugačni ker so različni liki. Ne vidimo, ali učenci vedo, kaj je obseg lika. Ne moremo sklepati, zakaj učenec tako sklepa. Učenec nima izkušnje, da imajo lahko različni liki enak obseg. Potrebno je dodatno vprašanje oz. ustrezna dejavnost. Razlaga 3: Večji kvadrat večji obseg. Ker je kvadrat večji in s tem posledično pokrije več kvadratkov ima večji obseg, ker so njegove stranice večje od stranic drugih, manjših kvadratov. Razlaga 4: Večji kot je lik večji obseg ima. Razlaga 7: Manj kvadratkov obsega ploščina lika, manjši je lik. Ne vidimo, ali učenec ve, kaj je obseg lika. Pogosta nepopolna povezava med pojmi velikost, ploščina, obseg, površina, prostornina. Kaj je 'velikost lika'? Velikost pravilnih likov je odvisna od enega podatka, zato je treba zgodnje primerjanje modelov likov dopolniti. Večji glede na ploščino ali obseg? Kaj je večji pravokotnik? Razlaga 7 ne odgovori na vprašanje. Ali učenec zamenjuje oz. enači pojma obseg in ploščina? Ne vemo, ali šteje kvadratke na 'meji' ali po notranjosti lika. 10 Transkripcija odgovorov je brez lekture. 8 Matematika v šoli, št. 1., letnik 24, 2018 PRILOGA 1: UGOTAVLJANJE PREDZNANJA Transkripcija razlag Interpretacija napačnih in pomanjkljivih trditev Razlaga 8: Lika A in B imata najdaljši obseg, ker obsegata največ kvadratkov. Lik C pa ima najmanjši obseg, ker obsega manj kvadratkov. Razlaga 9: Zato ker obsegi niso enaki zaradi površine, ki jo imajo. Verjetno šteje kvadratke po notranjosti lika. Obseg povezuje s ploščino/površino, torej območjem pokrivanja. Razlaga 5: Tretji lik ima največji obseg, ker ima največ stranic. Sklepamo, da večstranski kot je lik večji obseg ima. Razlaga 11: Da ima lik C največji obseg, lik A pa najmanjši. To mislim zato, ker ima lik C največ in najdaljše stranice, lik A pa ima najmanj stranic. Obseg lika je odvisen od števila stranic. Več kot je stranic, večji je obseg. Razlaga 11 vključi tudi dolžino stranic, vendar z nepravilno ugotovitvijo. Povzemimo karakteristike zmot in nepopolnih ter napačnih predstav. Najprej vidimo, da smo 11 izjav razporedili v 5 skupin (Preglednica 5). Iz zapisanih zmot izhajajo različne aktivnosti oziroma vprašanja za vsako skupino. Šele ustrezna učiteljeva povratna informacija (izbira vprašanja ali aktivnosti) zagotavlja, da bo učenec rekonstruiral svojo zmoto in ponovno pravilno pregradil pojem, ki ga bo lahko zanesljivo uporabljal in nadgrajeval. Prepričanje, da imajo učenci manj težav z obsegom kot s ploščino, smo ovrgli z numerično in predvsem s kvalitativno analizo11 odgovorov. Numerični rezultat je pomemben, ker kaže, da smo se v napovedi kljub izkušnjam zmotili. Od 23 odgovorov poljubno izbranega osmega razreda je bilo 10 pravilnih, torej manj kot polovica. Če proučujemo razlage učencev, ugotovimo podobno kot ugotavlja NPZ za utemeljevanje12. Analiza razlag pokaže, da je morda pravilnih odgovorov še manj. Povsem mogoče je, da je med pravilnimi odgovori kateri posledica napačnih sklepov, zato bi bilo potrebno nadaljnje preverjanje pojma obseg vsaj še v primerih razlag 6, 7, 8 in 9. Terminološko in pomensko nenatančne razlage, kot npr. 3, 4, 5 pa spodbudimo, da jih učenci spopolnijo. Zavedamo se, da bi drugačno vprašanje dalo celo v isti skupini učencev tudi drugačen numerični rezultat: Če pa gledamo kakovost pojmovnega vidika, je ugotovitve analize odgovorov treba upoštevati pri nadaljnji obravnavi obeh pojmov. Ker je v praksi težko povsem individualizirati pouk, je treba najti optimalen pristop k reševanju ugotovljene situacije. V prvem koraku13 ne opredelimo pravilnih odgovorov, torej tudi ignoriramo nepravilne in nadaljujemo s ciklom dejavnosti, ki dajo učencem možnost ponovnega premisleka. Tako lahko odgovore dopolnijo ali spremenijo. Primera možnosti: • Učenci naj se ponovno prepričajo o svojih stališčih ob isti sliki (Slika 5) z merjenjem in računanjem. • Ponudimo slike likov (Slika 5) na vidni mreži. Lahko tudi spremenimo ali dopolnimo vprašanje. Npr.: Najprej izračunaj (ali izmeri) obsege in nato odgovori na vprašanje. Kaj lahko sklepaš o obsegih likov. Razloži. Učitelj opazuje dejavnosti in beleži svoje ugotovitve. Opazovanje osredotoči glede na ugotovitve v 1. koraku. O nadaljnjih korakih se odloči po ponovnem pregledu rezultatov. Pomembno je, da učenci ubesedijo svoje sklepanje, saj je to poleg pravilnega rezultata morda edini14 način, ki nam kaže morebitne pojmovne zmote. Ker o povratni informaciji v prispevku razpravljamo na osnovi opazovanja pisnih izdelkov, se moramo zavedati, da so lahko učiteljeve povratne informacije, ki učence pozna, bolj izostrene. Po drugi strani pa lahko temeljijo na napačnih predpostavkah ali na privzetih nezavednih stališčih o znanju in zmožnostih učenca. V procesu pouka so številne možnosti, da učenca vprašamo, kako je razmišljal, tudi v primeru, ko smo prepričani, da vemo. V nadaljevanju bomo razpravljali o vplivu točkovnika na nume-rično povratno informacijo in sporočilo o vsebinskih dosežkih (znanju). Točkovanje korakov reševanja kot implicitna povratna informacija Po številnih evalvacijah navodil za vrednotenje (NPZ točkov-nikov in točkovanj pisnih preizkusov učiteljev) vidimo, da vsaj 11 Poenostavljeni model kognitivnega laboratorija, ki lahko ob skrbni izvedbi razkrije kvalitativni del problema v podporo empiričnim ugotovitvam. 12 O utemeljevanju učencev ne bomo podrobno razpravljali. Povejmo pa, da se v okviru NPZ vsako leto znova potrjuje, da izkazujejo učenci nizke rezultate. Tudi v primerih, ko se da slutiti pravilno sklepanje učenca, so odgovori pojmovno, semantično ali terminološko pomanjkljivi. V našem primeru naj bi učenci svoj odgovor razložili. 13 Izvorno vprašanje J. Senekoviča se nagiba k bolj odprtim vprašanjem, ker sklepanje ni usmerjeno. Zato je zahtevana razlaga. Glede na predlagano nadaljevanje aktivnosti pa gre za sondirno vprašanje, ki je ustvarilo pogoje za razredni učni trenutek. Zaprto vprašanje bi bilo, npr. Primerjaj obsege likov. Svojo ugotovitev razloži. 14 Pisanje razlag in utemeljitev pri matematiki daje učitelju vpogled v razmišljanje otrok. Ob pisanju, ki upočasni in poglobi razmišljanje, imajo učenci čas, da razmislijo in razvijejo ter nadgradijo svoja spoznanja. 9 IZ TEORIJE ZA PRAKSO Matematika v šoli, št. 1., letnik 24, 2018 toliko kot vpliva na kakovost in povednost povratne informacije vprašanje (naloga), vpliva tudi točkovnik (Senekovič, 2012). Primer Izračunaj ploščino lika, ki ga premici y = x + 2 in y = -x + 6 omejujeta s koordinatnima osema v I. kvadrantu. - X t 1 5 1 ; ; i —t Predstavimo tri točkovnike. Dva sta narejena po analitični poti in eden po holistični. Maksimalno število točk je 4. Analitična pot temelji na predvidenih poteh reševanja in rezultatih. Prvi točkovnik analitične poti točkovanja je namenoma podrobnejši, da se zavemo številnih možnosti razmišljanja in sklepanja. Ho-listična pot je celostno zasledovanje ciljev, ki jih naloga nedvoumno preverja. Varianta 1 (analitična metoda) 1. Nariše premici. (1 t) • Premici nariše »na pamet«. • Premici nariše na osnovi preglednice. 2. Osenči lik ali zapiše oglišča lika z imenovanjem oglišč na sliki ((0, 0), (6, 0), (2, 4), (0, 2)) ali posredno z računanjem ploščine sporoča poznavanje lika. (1 t) 3. Poišče presečno točko (2, 4). (1 t) • Pridobi grafično 1) Ne preverja s slike odčitane rešitve in pravilno uporabi podatke s slike. 2) S sklepom o lastnostih koordinat skupne točke premic preverja odčitani koordinati. Izračuna (2, y1) in (2, y} a) Sklep zapiše. b) Sklepa ne zapiše. • Z reševanjem sistema enačb 1) Sklep zapiše. 2) Sklepa ne zapiše. 4. Ploščino ugotovi z uporabo formul (vsaj 2 možnosti) ali s štetjem kvadratkov. (1 t) Varianta 2 (analitična metoda) 1. Nariše premici. (2 t) 2. Ploščino ugotovi z uporabo formul ali s štetjem kvadratkov. a) pravilen postopek (1 t) b) pravilen rezultat (1 t) Varianta 3 (holistična metoda) 1. Kompleksno nalogo razgradi. (3 t) • slika premic • označi lik • izračuna ploščino lika 2. Izvajanje načrtovanih korakov. (1 t) • brez napak • z napakami Rešitev in točkovanje Slika 6: Primer reševanja. Točke po varianti 1 1. Nariše premici. (1/1 t) 2. Osenči lik ali zapiše oglišča lika z imenovanjem oglišč na sliki ali posredno z računanjem ploščine sporoča poznavanje lika. (0/1 t) 10 Matematika v šoli, št. 1., letnik 24, 2018 PRILOGA 1: UGOTAVLJANJE PREDZNANJA 3. Poišče presečno točko. (1/1 t) 4. Ploščino ugotovi z uporabo formul ali s štetjem. (0/1 t) Opomba: Po tem točkovniku je učencu 2-krat odšteta 1 točka za isto napako, ker je pravilno računanje ploščine posledica pravilnega senčenja lika. Slednjega pa ne more izkazati, če ne najde ustreznega lika. Zaključek: Glede na točkovnik variante 1 ali 2 dobimo 2 točki. Kaj sporočata javnosti in kaj učencu? Javnost običajno ne vidi točkovnika, zato rezultat pokaže, da učenec tovrstnega problema ne zna rešiti oz. ga reši delno. Učenec je samo obveščen o načinu točkovanja, zato če ni usmerjen v popravo svoje naloge z izostritvijo napak, morda napake, ki jo je storil, sploh ne uzavesti.15 Opisno: Učenec zna nalogo razgraditi, ima razvito zmožnost samokontrole izvajanja (ugotovi napako pri branju podatkov ali pri risanju grafa ene od premic), razume problem, zna narisati premici, pozna pojem ploščine, pozna formulo za ploščino trikotnika, zna povezati pojma višina trikotnika in ordinata oglišča trikotnika, preveri, da je presečna točka skupna obema premicama. Pri reševanju te naloge učenec ne izkazuje, da zna izračunati ploščino sestavljenega lika, ker ga je v procesu reševanja nepravilno osenčil glede na dano besedilo. Zaključek: Glede na opisno holistično oceno bi dodelili reševani nalogi 3 točke ter ustrezno usmerili učenca pri ponovnem reševanju naloge. Točkepo varianti 3 1. Kompleksno nalogo razgradi. (2/3 t) • slika premic • označi lik po besedilu (delno) • izračuna ploščina lika (delno) 2. Izvajanje načrtovanih korakov. (1/1 t) • brez napak • z napakami Ležeče v točki 1 je posledica iste napake, vendar se ne da ugotoviti računanja ploščine sestavljenega lika. Pri zapisanem točkov-niku je treba paziti, da se točke za isti cilj ne podvajajo, tako dane kot nedane. Točko pod 2 učenec prejme, ker je glede na njegovo razumevanje naloge postopek reševanja pravilen. Iz zapisanega vidimo, da učenec zna več kot izkazujejo točke in da je verjetno neizkazano znanje posledica izvedbene napake. Za kompleksne naloge je primerna holistična metoda ocenjevanja, s katero smo osredotočeni na prioritetni cilj naloge: zna rešiti kompleksno nalogo. Učenec ga izkazuje z zmožnostjo razgradnje na sestavne dele, s poznavanjem potrebnih pojmov, s povezovanjem pojmov (sklepanjem), izvajalno spretnostjo in zanesljivostjo ... Podobno je z nalogo 7d (del strukturirane naloge 7, NPZ za 9. razred, 2015). Dana je dolžina roba kocke (d(AB) = 6 cm) in skica trikotnika ACH (Slika 7). Izračunaj ploščino trikotnika ACH. Slika 7: Učenec je dodal višino trikotnika ACH. Nalogo je v celotni slovenski populaciji devetošolcev rešilo zgolj 9 % učencev. Pričakovali bi malo višji odstotek. Kje je razlog? Premajhno število podobnih nalog - lik, ki ni v ravnini lista papirja, ali težave s prostorsko predstavo? Učenec (Slika 7) ni prepoznal trikotnika kot enakostraničnega, zato je imel več miselnega in računskega dela. Morda se ni spomnil formule za ploščino ena-kostraničnega trikotnika, ki pa je navedena na reševalni poti. Po proučevanju računskega postopka in dekodiranju uporabljenih oznak (Sliki 8, 9) spoznamo, da je postopek pravilen, narejeni sta S2 * — oz. O^J ^ s podatki ter nerealizirano korenjenje). Postopek reševanja res ni eleganten (enostaven in kratek), je pa po korakih pravilen. Učenec pri tej nalogi dosega zapisani cilj, česar točkovanje ne potrdi in niti ne predvideva, ker izhaja iz vmesnih in končnih rezultatov, ki pa so napačni. Učenec ne uporablja v procesu reševanja kontrolnih veščin. Na napako pri računanju kaže že prvi dobljeni rezultat (nalogo rešuje ,s konca', zato na videz zapisuje postopek z desne proti levi: a = 6V2. Rešitev: ^Uastifno. t> rwW Slika 8 Slika 9: Ob dopolnjeni skici z imeni lažje sledimo sklepanju učenca. 15 V tem primeru ne vidimo vzroka za napako, ki jo je učenec popravil sam. Morda je "končna" napaka nastala zaradi popravljanja prve napake, po kateri učenec ni ponovno bral besedila naloge ... 11 IZ TEORIJE ZA PRAKSO Matematika v šoli, št. 1., letnik 24, 2018 Pomembno je, da učitelj in učenec odkrijeta dejanski vzrok za izgubo točk in ga odpravita. Na podlagi navodil za vrednotenje NPZ16 je predvidena točka za ustrezno strategijo računanja ploščine in točka za pravilen rezultat s pripisom, da lahko sledi iz napačno izračunanega rezultata za dolžino AC. Glede na popravne znake in dosežek 0 točk je povratna informacija šibka. Če predelamo navodila v seznam dveh ciljev ali kriterijev, prav tako ne dobimo povratne informacije o dejanski težavi učenca, ki ni zanesljiv pri izvajanju računskih operacij s potencami ni koreni. Torej izvor obeh napak ni ne geometrijski, ne metrični, ampak specifično računski. Nekaj možnih učiteljevih odzivov. Prvi primer napotkov učencu: 1. Poišči napake in jih opiši ter odpravi. 2. Zakaj sta rezultata 36 cm in 108 cm2 nemogoča? Drugi primer napotkov učencu: 1. Poišči napake in jih opiši ter odpravi. 2. Na skici označi izračunane elemente. 3. Zakaj sta rezultata 36 cm in 108 cm2 nemogoča? /s\2 s2 4. Namig, če učenec ne najde napake: (-) * —. 5. Poenostavi postopek reševanja oz. izračunaj drugače. Primer simuliranega učnega trenutka za kritično presojo rezultatov: Stranica enakostraničnega trikotnika meri 5 cm. Sošolka Tina je izračunala višino tega trikotnika in dobila rezultat 5,25 cm, sošolec Aleš pa 6 cm. Ali je kateri od rezultatov pravilen? Odgovor utemelji s premislekom (brez računanja). Naloga z napačno rešitvijo je primer učnega trenutka za osmiš-ljanje vsaj dveh korakov v procesu reševanja: pred reševanjem razmisli, ali lahko oceniš rezultat, in ob vsakem rezultatu razmisli o njegovi smiselnosti. Ob reševanju te naloge lahko tudi utemeljimo priporočilo o dopolnjevanju elementov skice s smiselno vpeljanimi imeni. Tako lažje sledi reševanju učenca popravljalec, ki mu je izdelek namenjen, in tudi učenec, ko rešuje ali se čez čas vrne k svojemu postopku. V naslednjem primeru ilustriramo napačen rezultat naloge 7b, ki ga težko zaznamo z oceno. Kocka ima površino 216 cm2. Obseg osnovne ploskve kocke je enak obsegu osnovne ploskve pravilne enakorobe štiristrane piramide. a) Izračunaj dolžino roba pravilne enakorobe štiristrane piramide. b) Izračunaj prostornino pravilne enakorobe štiristrane piramide. (Naloga 7, NPZ 2017, 9. razred) Računska napaka (Slika 10) bistveno ne vpliva na sprejemljivost rezultata, zato učenec težko presoja pravilnost z oceno ali napovedjo rezultata. V tem primeru odpovedo tudi »kontrolne« strategije, ker je razlika med pravilnim in napačnim rezultatom na mestu desetin - torej majhna glede na enoto (v = 2V5 cm ~ 4,24 cm namesto v = 3V2 cm ~ 4,47 cm) v vmesnem rezultatu postopka. Končni rezultat se zaradi množenja razlikuje na mestu enic, napaka je za 3 cm3 pri rezultatu približno 50 cm3. Slika 10: Puščica nakazuje napako v množenju. Interpretacija dosežka učenca na osnovi cilja ali navodil za vrednotenje, ki je neke vrste kriterij, (izračunana višina piramide (3^ oziroma ustrezen približek)17 ali natančneje, izračuna višino piramide z uporabo Pitagorovega izreka) je napačna, saj s postopkom učenec izkazuje preverjano znanje, je pa storil slučajno, izvajalno napako, ki je tokrat ni mogel kontrolirati glede na predvideni rezultat. Še več, učenec je pokazal, da je sposoben »transformacije situacij« v kompleksni nalogi, saj je pravilno prehajal med podatki za kocko (površina) in pravilno enakorobo štiristrano piramido preko enakosti obsegov osnovne ploskve enega telesa na osnovno ploskev drugega telesa, za katerega tudi zna izračunati prostornino. Koraki točkovnika izhajajo samo iz rezultatov in ne iz procesa razmišljanja in dejanskega znanja povezanega z bistvenimi cilji naloge. Nabor točk se oblikuje na napakah vseh vrst, kar pa natančno ne opredeli ne znanja in ne težav, zato je vsaj na nivoju posameznega razreda treba ugotoviti dejanske težave in v primerih kompleksnih ali problemskih nalog preiti na holistični opis znanja. Zaključek V prispevku razpravljamo o poučevanju in učenju, osredinjeni na pomen povratne informacije učitelju in učencu. Predstavimo, kako pomembni sta za uspešno poučevanje in učenje natančna analiza rezultatov in strokovna presoja učitelja o nadaljnjih korakih učenja. Zbrane ugotovitve (dokazila) o znanju in težavah otrok po analizi so učitelju kažipot, po katerem lahko argumentirano načrtuje in hkrati tudi sledi napredku učenca. 16 https://www.ric.si/mma/N151-401-3-2/2015061611140453/ (29. 5. 2018) 17 https://www.ric.si/mma/N171-401-3-2/2017061613542119/ (29. 5. 2018) 12 Matematika v šoli, št. 1., letnik 24, 2018 PRILOGA 1: UGOTAVLJANJE PREDZNANJA Ob tem pa se je treba zavedati: • Napačne oz. in nepreverjene interpretacije opaženega so lahko ovira pri učiteljevi podpori v procesu učenja. • Kakovostna povratna informacija je koristna ne glede na to, ali je »pozitivna« ali »negativna«, in učinkovitejša, če ni osredotočena na osebo, ampak na nalogo oz. na vzrok, iz katerega izhaja težava. • Novo znanje mora izhajati iz dejanskega znanja in ne iz predpostavk o pričakovanem znanju. • Pričakovano znanje lahko temelji na nezavedno privzetih stališčih o znanju in zmožnostih učenca. • V procesu pouka so številne možnosti, da učenca vprašamo, kako je razmišljal, kar storimo tudi v primeru, ko smo prepričani, da vemo. • Izkazano znanje je odvisno od vrste in kakovosti vprašanj. • Vprašanja, naloge oz. učne situacije, cilji in kriteriji so odvisni od učiteljevih prepričanj, odnosa in pojmovanja, kaj je matematika, poučevanje in učenje. • Če povratna informacija poudarja instrumentalne cilje (dejstva in postopke), lahko ovira »globoko« učenje. • Analiza odgovorov in iskanje vzrokov za učne primanjkljaje so ključni za učne trenutke, načrtovane ali naključne, in so pomemben element procesa »povratne informacije«. • Preverjanje predznanja moramo opraviti pravočasno, da lahko načrtujemo dejavnosti za odpravo primanjkljajev. Ugotavljanja predznanja ne smemo zamenjati z aktiviranjem dosegljivosti potrebnih pojmov, kar običajno naredi učitelj v uri, ko pojem uvaja. • Povratno informacijo je treba izostriti, da bo učenec v svojih nadaljnjih prizadevanjih vlagal napore v pravi smeri. • Učitelj presodi, kdaj je mogoče, da je učenec ob usmeritvah učitelja samostojen, kdaj pa je potrebna njegova podpora. • Zavedati se je treba, da numerični podatek, točke ali odstotek, ne pomenijo vedno, da učenec ne zna, ampak da je na poti do rezultata naredil kakšno napako, ki je morda slučajna. • Na interpretacijo dosežkov iz točk vpliva tudi načrt vrednotenja in način točkovanja. • Za vsakega učitelja je izziv, da pri vrednotenju izdelkov učencev preide z analitične na holistično presojo znanja. ■ Viri Askew, M. idr. (1997). Effective teachers of numeracy. London: School of education. http://musicmathsmagic.com/page4/files/Effective-TeachersofNumeracy.pdf (22. 7. 2017). Ernest, P. (1991). The Philosophy of Mathematics Education. Routledge Palmer. Frobisher, L. (1999). Primary School Children's Knowledge of Odd and Even Numbers V Orton A. (ur.) Pattern in the Teaching and Learning of mathematicss, str. 31-48, Cassel London&New York. Furinghetti, F., Pehkonen, E. (2002). Rethinking Characterizations of Beliefs. V G. C. Leder, E. Pehkonen in G. Torner (ur.), Beliefs: A Hidden Variable in Mathematics Education? (str. 39-58). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. Kmetič, S. (2014). Predvidevanje in odkrivanje učnih težav pri matematiki. V: Žakelj, A. (ur.). Učne težave pri matematiki in slovenščini - izziv za učitelje in učence: zbornik prispevkov konference. Ljubljana: Zavod RS za šolstvo, str. 77-97, http://www.zrss.si/pdf/UTMIS-zbornik-prispevkov-2014.pdf. (18. 5. 2018). Lipovec, A., Antolin, D. (2013). Slovenian Pre-service Teachers' Prototype Biography, Journal Teaching Higher Education, 19(2), str. 183-193. Marentič Požarnik, B. (2000). Psihologija učenja in pouka. Ljubljana: DZS. Muir, T. (2008). Principles of Practice and Teacher Actions: Influences on Effective Teaching of Numeracy, Mathematics Education Research Journal 2008, 20(3), str. 78-101, http://files.eric.ed.gov/fulltext/EJ836443.pdf (22. 7. 2017). Miholič T. (2014). Evolucija neke metode, str. 141-150 V Kmetič, S. KUPM 2014: zbornik prispevkov Ljubljana: Zavod RS za šolstvo, 2015. http://www.zrss.si/pdf/zbornik-prispevkov-kupm2014.pdf. (18. 5. 2018). NPZ: Matematika Preizkus znanja za 9. razred (2015): https://www.ric.si/mma/N151-401-3-1/2015061611140169/ (2. 6. 2018). NPZ: Matematika Preizkus znanja za 9. razred (2017): https://www.ric.si/mma/N171-401-3-1/2017061613542079/ (2. 6. 2018). Senekovič, J. (2012). Točkovnik in dosežki merjenja znanja, str. 343-350, Zbornik prispevkov 1. mednarodna Konferenca o učenju in poučevanju matematike KUPM 2012, Maribor, dostop: http://www.zrss.si/pdf/zbornikprispevkovkupm2012.pdf (18. 5. 2018). Senekovič, J. (2016). Interno gradivo projektne skupine Formativno spremljanje. Sirnik, M., Suban, M. (2017): Pomen formativnega spremljanja pri učenju in poučevanju matematike, Matematika v šoli, 23(1), str. 2-10. Ljubljana: Zavor RS za šolstvo. Wiliam, D. (2013). Vloga formativnega vrednotenja v učinkovitih učnih okoljih, str. 123-142 V: Dumont, H., Istance, D., Benavides, F. (ur.). O naravi učenja, uporaba raziskav za navdih prakse. Ljubljana: Zavod RS za šolstvo. 13 IZ TEORIJE ZA PRAKSO Matematika v šoli, št. 1., letnik 24, 2018 O poštevanki Tomaž Miholič Osnovna šola Duplek Povzetek Težko je najti učitelja matematike, ki bi dvomil v pomembnost znanja poštevanke pri svojih učencih. Kaj o poštevanki veleva učni načrt in ali izkušnje temu pritrjujejo? Kako pomembna je avtomatizacija poštevanke? Kateri izrazi so učencem najtežji? Kaj lahko razberemo iz napačnih odgovorov? Kaj lahko razberemo iz hitrosti odgovorov? Kdaj je vaja poštevanke potrebna in kdaj je je dovolj? V prispevku so predstavljene nekatere ugotovitve, ki so nastale na podlagi testiranja osnovnošolcev. Ključne besede: poštevanka, osnovna šola On Multiplication Tables Abstract We would be hard-pressed to find a mathematics teacher who doubts the importance of multiplication tables for their students. How is this reflected in school curriculum and does experience confirm this fact? What is the importance of memorizing multiplication tables? Which concepts are most difficult for students to learn? What can we learn from incorrect answers? What can we learn from the speed of answers? When is it necessary to practice multiplication tables and when to stop? The article introduces some of the findings based on primary-school students' tests. Keywords: multiplication table, primary school Uvod Znanje poštevanke do števila 10 predstavlja enega izmed pomembnejših temeljev za doseganje ciljev v drugem in tretjem triletju osnovne šole (množenje in deljenje dvo- in večmestnih števil, večkratniki in delitelji, ulomki, sorazmerja, obsegi, ploščine, prostornine ...) in posledično tudi za doseganje ciljev pri pouku matematike po zaključeni osnovni šoli. Morda kot zanimivost: Nacionalni preizkus znanja matematike za devetošolce v šolskem letu 2016/17 vsebuje zgolj eno nalogo -od devetih, kjer ni bilo znanje poštevanke vsaj posredno preverjeno. Zaplet Učni načrt za matematiko v osnovni šoli med operativnimi cilji v tretjem razredu nalaga učencem (in seveda nam - uči- teljem), da »usvojijo do avtomatizma zmnožke (produkte) v obsegu 10 x 10« (Žakelj, 2011, str. 15). Z relativno preprostim kvizom1 v spletni učilnici (Slika 1) smo v šolskem letu 2015/16 ugotovili, da se ta cilj do avtomatizma v naši šoli ne usvoji v tretjem, ampak se usvaja vse do sedmega razreda, kar si razlagamo s primerjavo časovne odzivnosti (Slika 2). Ta ugotovitev izziva k spremembi načrtovanja učenja poštevanke, če vemo, da se poštevanka načrtovano, nadzorovano in strukturirano poučuje zgolj v tretjem razredu. Učenci četrtih in višjih razredov, ki predhodno še niso usvojili poštevanke do avtomatizma, lahko posvojijo neoptimal-ne ali celo napačne strategije za določanje produktov dveh enomestnih števil (poštevanke). Napačno izgrajene miselne sheme je bistveno težje popravljati, kot graditi nove - zato je smiselno znanje poštevan-ke spremljati eksplicitno skozi celotno osnovno šolo in tudi kasneje ter posredovati takoj, ko opazimo kakšno anomalijo. Učitelji v drugi in tretji triadi ter v srednji šoli upravičeno pričakujemo avtomatizirano znanje poštevanke in se z vzroki napak in napačno izgrajenimi miselnimi shemami običajno ne ukvarjamo - bodisi zaradi natrpanega učnega načrta bodisi zaradi prepričanja, da bo učencem ali dijakom samim uspelo odpraviti težave. Po trditev dolgoletne slutnje, da učenci v tretjem razredu v celoti ne avtomatizirajo poštevanke, nas je vzpodbudila, da to elementarno področje matematične veščine podrobneje analiziramo in poskušamo skrajšati čas usvajanja zmnožkov v obsegu 10 x 10 oziroma se opremiti z informacijami, s katerimi bomo lahko učencem višjih razredov pomagali pri izgradnji ali korekciji novih oziroma obstoječih miselnih shem. 1 Kviz v spletni učilnici Moodle, v katerega smo uvrstili 78 izrazov poštevanke. Testiranje celotnega oddelka hkrati je potekalo eno šolsko uro v računalniški učilnici z uporabo osebnih računalnikov. Vsak oddelek je v ta namen obiskal računalniško učilnico enkrat. 14 Matematika v šoli, št. 1., letnik 24, 2018 PRILOGA 1: UGOTAVLJANJE PREDZNANJA HAVfiACUA PO KVIZU □□□□H ■ T t i m ii 12 i? N ni 11 W ti 1* H It I! 53 ¡4 !i M 2J i« i? M 11 31 SJ U Si 3f iS S» K +1 *3 « 44 « 4t IT 1* II M it s: !J V J! H iT it i» 6C 91 (i *3 u ta tt *t •* n n 71 71 TJ 14 Ti Ti TI Tt HflniP; VfririMp 1 VUml^i OiliVf H PH 20- lnUrtiimmt Cwwi«' »t VM1ipi»4 Mf fl L H 4J- Nniicnjt Slika 1: Uporabniški vmesnik kviza v spletni učilnici (Moodle). Slika 2: Povprečen čas v sekundah (navpična os), ki ga potrebujejo učenci posameznih razredov (vodoravna os) za en izraz poštevanke. (n = 207, kviz v spletni učilnici) Štiri stopnje usvajanja nove veščine Pri usvajanju katerekoli nove veščine gredo učeči skozi štiri stopnje (Burch, 1974). Če se teh stopenj zavedamo, lahko učence učinkoviteje vodimo skozi običajno naporen proces usvajanja veščine. Nezavedno nekompetentni - »Ne vemo, da ne vemo«, na tej stopnji se učeči se ne zavedajo svojega neznanja. Prehod na naslednjo stopnjo je mogoč zgolj ob zunanji pomoči (učitelj, vrstnik, starši ...). Zavedno nekompetentni - »Vemo, da ne vemo«, na to stopnjo sodijo učeči se, ki spoznajo primanjkljaj pri svojem znanju oziroma veščini, vendar sami ne uspejo preiti na naslednjo stopnjo. Znova se pokaže pomembnost zunanje pomoči (učitelj, vrstnik ...). Zavedno kompetentni - »Vemo, da vemo«, sem sodijo učeči se, ki veščino oziroma znanje usvojijo, vendar ob tem porabljajo veliko energije, koncentracije in časa ter drobijo probleme na rešljive podprobleme. Prehod na naslednjo stopnjo lahko opravijo takrat, ko razvijejo ustrezne miselne sheme in znanje oziroma veščino avtomatizirajo. Nezavedno kompetentni - »Ne vemo, da vemo«, stopnja, kjer učeči se znanje oziroma veščino uporabljajo brez pretiranega napora in rutinsko ter so pri tem sposobni reševati druge naloge. Zgolj minimalno truda je potrebno, da učeči svojo veščino ohranjajo na tej stopnji - čisto brez redne vaje pa tudi ne gre. 4. Nezavedno kompetentni 3. Zavedno komponentni 2. Zavedno nekompententni 1. Nezavedno nekompetentni Slika 3: Stopnje usvajanja nove veščine. Pri tako osnovni veščini, kot je poznavanje zmnožkov (produktov) števil do 10, prehodi s prve na drugo stopnjo in z druge na tretjo stopnjo za učence niso zahtevni in jih opravi velika večina učencev v relativno kratkem času v tretjem razredu. Prehod na četrto stopnjo je težaven vendar potreben, saj le tam govorimo o avtomatizaciji veščine. »Avtomatizacija -osnova genija« Benjamin Bloom (1986) v članku »The Hands and Feet of Genius - Automati-city« ob bok vsakdanjih veščin, ki jih je treba avtomatizirati (hoja, govor, branje, vožnja kolesa, tek, plavanje .) v zgodnji čas šolanja postavlja tudi veščino rabe osnovnih računskih operacij, ki naj se do avtomatizma razvije tudi ob pogosti rabi izven učilnice. Avtomatizem Bloom opredeli kot sposobnost nezavednega, hitrega in zanesljivega izvajanja postopkov, med tem ko na zavedni ravni rešujemo drug problem. Na poti do avtomatizma Razkorak med dejanskim stanjem in pričakovanji učiteljev smo v šolskem letu 2016/17 podrobneje analizirali ponovno s pomočjo tehnologije. Za učence smo razvili aplikacijo za pametne telefone »Vadnica poštevanke«, s katero smo igri-ficirali2 poštevanko do števila 10. Učenci imajo eno minuto časa, da izračunajo čim več zmnožkov. Podatke o uspešnosti igralcev zbiramo na strežniku, kjer so s 2 Igrifikacija (angl. Gamification) je pojem, ki označuje uporabo izkušenj iz iger v kontekstu, ki z igro ni neposredno povezan - z namenom povečanja motivacije. 15 IZ TEORIJE ZA PRAKSO Matematika v šoli, št. 1., letnik 24, 2018 PMtarttnJiA Ntotoje r 4 =3 2 7 S 9 7 i | fl »tt h ti»HII>l>««littMltl Slika 14: Povprečen čas in zaporedna številka vaje - učenka 7. razreda. Zaključek Raziskovanja smo se lotili zaradi relativno pogostih zapletov pri reševanju algebrskih nalog v višjih razredih osnovne šole, katerih vzrok smo neposredno pripisali neznanju poštevanke. Začetna analiza testiranj pošte-vanke nam je ta sum potrdila, saj je kazala, da se ta cilj (avtomatizacija poštevanke) razvija dlje, kot to predvideva učni načrt. Podrobnejša analiza (s pomočjo aplikacije za mobilne telefone) pokaže velike razlike med učenci - so takšni, ki poštevanko avtomatizirajo že ob zaključku 3. razreda, so pa tudi takšni, ki imajo še v višjih razredih težave s hitrostjo in zanesljivostjo priklica vrednosti posameznih izrazov. Prav tako nimajo vsi učenci težav z istimi izrazi, pa tudi tisti, ki imajo težave z istimi izrazi, imajo lahko za to različne vzroke. Tako nehomogeni rezultati testiranj kličejo po individualizaciji, pri kateri nam je tehnologija v veliko pomoč. Učitelj lahko s pravočasnim vpogledom v rezultate in z oblikovanjem individualizirane povratne informacije učencu pomaga popraviti napačno izgrajene miselne sheme, kasneje pa spremlja učinkovitost svoje intervencije. Tudi tehnologija sama, brez posredovanje učitelja, lahko z enostavno povratno informacijo (prav/narobe) učenca vzpodbudi k oblikovanju pravilnih miselnih shem, predvsem pa zmanjša potreben čas, za priklic pravilne vrednosti izrazov poštevanke. Množica zbranih podatkov ima za učitelje velik pomen, saj nam omogoča vpogled v najbolj pogoste napake in posredno v način razmišljanja učencev ob določanju vrednosti produktov. Tako lahko vnaprej pripravimo kakovostne povratne informacije in pojasnila. ■ Viri Bloom, B. (1986). The Hands and Feet of Genius - Automaticity. Educational Leadership, februar. Stran 70-79. Burch, N. (1974). The Learning Stages. V Gordon T.: Teacher Effectiveness Trainingbook. ZDA: Gordon Training International. Repolusk, S. (2010). Primeri različnih pristopov pri matematičnem modeliranju, stran 81-89. V Žakelj, A. (2010): Posodobitev pouka v gimnazijski praksi, Matematika. Ljubljana: Zavod RS za šolstvo. Wells, K. (2015). Improving the Automaticity of Multiplication Facts with Four Grade Students. ZDA. Eastern Illinois University. Wong, M. (2007). Improving Basic Multiplication Fact Recall for Primary School Students, Mathematics Education Research Jurnal, 19(1), stran 89-106. Žakelj, A. (2011). Učni načrt za osnovno šolo, Matematika. Ljubljan: MIZŠ in ZRSŠ. 20 Matematika v šoli, št. 1., letnik 24, 2018 PRILOGA 1: UGOTAVLJANJE PREDZNANJA Elementi formativnega spremljanja pri matematiki v srednji šoli Rok Lipnik Gimnazija Celje - Center Povzetek Matematika in formativno spremljanje gresta z roko v roki - to je pokazala že vsebina prejšnjih revij Matematika v šoli in priročnika Formativno spremljanje pri matematiki. V prispevku predstavljamo usvajanje poglavja o deljivosti z uporabo elementov formativnega spremljanja in še ostala orodja, ki jih pri pouku pogosto uporabljamo. Ključne besede: poučevanje matematike, formativno spremljanje Formative Assessment Elements in High-School Mathematics Abstract Mathematics and formative assessment go hand-on-hand, as demonstrated in previous Matematika v šoli (Mathematics in School) editions and the manual Formativno spremljanje pri matematiki (Formative Assessment in Mathematics). The article focuses on the assimilation of the chapter on division using formative assessment elements and other tools frequently used in class. Keywords: teaching mathematics, formative assessment 1. faza: Priklic in preverjanje predznanja Dijaki marsikaj vedo in razumejo, včasih samo na intuitivni ravni, dostikrat pa znajo to tudi dobro ubesediti. Kako prikličemo znanje? Pomagam si s primeri in vprašanji, povezanimi z vsebino. Pri deljivosti dijake vprašam »Kako lahko na pamet vemo, ali bo število deljivo z dve?« ali recimo »Ali lahko rečemo, da je število 10 deljivo s 5? Kaj pa število 5 deljivo z 10?« Preverimo tudi na primerih deljenja, na primer 12 s 3 in 12 s 7. Ugotavljamo, v čem je razlika, kaj povezuje števili v prvem primeru (delitelj/ večkratnik) in ali ta povezava velja tudi v drugem primeru (ostanek pri deljenju). S takšnimi vprašanji dijake spodbujamo, da o problemu razmišljajo, hkrati pa usvajajo tudi izražanje v matematičnem jeziku. Kako vemo, kdaj so dijaki znanje priklicali? Tu si pomagam s semaforčki. Dijaki Slika 1: Primer uporabe semaforčkov. 21 IZ TEORIJE ZA PRAKSO Matematika v šoli, št. 1., letnik 24, 2018 Slika 2: Primer uporabe semaforčkov. imajo v peresnici ali zvezku pripravljene lističe zelene, rumene in rdeče barve. Z dvigom listka pokažejo svoje strinjanje, razumevanje ali sledenje pogovoru oz. primeru. Slika 1 prikazuje povratno informacijo dijakov - veliko je rdečih in rumenih lističev, kar pomeni, da trenutno stanje ni zadovoljivo in to je znak, da moramo poskušati še na drug način ali z novim primerom razložiti snov. Slika 2 prikazuje boljše stanje. Dijaki nakazujejo, da v večini sledijo in razumejo. Tu izkoristimo priložnost in dijake z zelenimi lističi presedemo k dijakom z rumenimi lističi. Tako bodo tisti, ki razumejo, pomagali sošolcem, ki morda še niso vsega razumeli, hkrati pa krepijo tudi socialne veščine in izražanje v matematičnem jeziku. V zaključku prve faze učnega procesa najavimo temo in osnovne namene učenj a, ki naj bi jih dijaki dosegli. Skupaj pa bomo po usvajanju znanja sestavili kriterije uspešnosti, ki bodo dijakom v pomoč pri samoocenjevanju in ocenjevanju napredka. 2. faza: Usvajanje novega znanja Usvajanje znanja je pri »utečenem« fron-talnem načinu poučevanja linearno - učitelj napiše ali narekuje definicije, izreke, lastnosti, pravila ... dijaki pa jih pridno zapišejo in se jih naučijo. Težko pa na tak način zagotovimo, da dijaki zapisano razumejo. Si želimo, da se vsega naučijo na pamet? Pri matematiki zagotovo ne. Kot pri priklicu znanja tudi tu dijake najraje vodimo k rezultatu skozi vprašanja. Tokrat bolj splošno, na primer: »Kdaj bo število a deljivo s številom b?« »Kako smo to videli na primeru števil 12 in 3?« Vprašanja kot ta, dijake vodijo k razmišljanju in hkrati k formuliranju definicije. Čas je, da usvojeno znanje preverimo s primeri. Matematiki imamo velik nabor možnosti, kako znanje preveriti. Sam dostikrat dijake spodbudim, da sošolcu sestavijo kratek primer. Sliši se enostavno, a da sestaviš primeren (in rešljiv) primer, moraš dovolj dobro poznati in razumeti pravila, lastnosti in definicije. Drugi način, ki ga pogosto uporabljam, vključuje interaktivno spremljanje znanja. Dijaki odgovarjajo na vprašanja, vidna na projekciji skozi aplikacijo Plickers (www. plickers.com) kot je prikazano na sliki 4. Vsak dobi svoj listič s kodo (podobno QR-kodi), ki služi kot listič za podajanje odgovorov. Slika 3: Listič za odgovarjanje. Vsak listič ima zaporedno številko (zgornji je številka 1) in štiri možne odgovore - A, B, C in D - vsak je zapisan na eni 22 Matematika v šoli, št. 1., letnik 24, 2018 PRILOGA 1: UGOTAVLJANJE PREDZNANJA Slika 4: zbiranje povratnih informacij z aplikacijo Plickers. stranici. Tisti odgovor, ki gleda navzgor, je preletimo razred in hitro poberemo po-odgovor, ki ga dijak sporoči. S tablico ali vratne informacije. telefonom (na sistemu Android ali iOS) Ct j| IZ lni|13. fcittrl otfgovorf wpr«vllitf a *i?i e *|» 5 C JIJ3 Ju« (x - 3)\2(x2 -5x + 6) A t» 0 A]|W(JJ .Id* EhpmkI (x2 -2x + 4)|(x3 -8) S Ja Slika 5: Prikaz vprašanj in možnih odgovorov. C^Mnd Vprašanja lahko vključujejo tudi fotografije, kar pomaga pri zapisu matematičnih simbolov in enačb, kot je vidno na sliki 5. Učitelj vidi porazdelitev odgovorov, preveri pa lahko tudi poimensko (Slika 6 in 7). Konec druge faze spremlja priprava kriterijev uspešnosti. Dijake ob koncu poglavja ali teme vprašamo, kako bodo vedeli, ali znajo. Prvih nekaj načrtovanj kriterijev uspešnosti je zagotovo težjih -dijaki dostikrat vidijo le končno sliko in predlagajo kriterije kot na primer: »Znam reševati naloge z deljivostjo.« Takrat se pogovorimo o poti, po kateri smo do pojma prišli in iščemo sestavne dele, ki so za razumevanje deljivosti pomembni. Tako smo pri uvodnem poglavju deljivosti nastavili kriterije: • Preverim, kdaj sta števili v relaciji deljivosti. • Pojasnim povezavo med večkratnikom, deliteljem in deljivostjo. Izogibam se glagolom znati in vedeti, saj sta preveč splošna, dijaki pa težko preverijo, ali so kriterij dosegli ali ne. 3. faza: Utrjevanje znanja Pri utrjevanju in preverjanju znanja je ključno, da dijaki in učitelj dobijo povratno informacijo. Dijaki tako ugotovijo, ali so dosegli zastavljene kriterije oz. kateremu področju se morajo bolj posvetiti. Učitelji pa ugotovimo, katere vsebine so pereče in bodo potrebne dodatnega utrjevanja ali celo ponovne razlage. To je idealna priložnost, da dijake razdelimo v skupine, kjer posamezna skupina utrjuje točno določen del snovi. Pri deljivosti naredimo skupino za utrjevanje deljivo-sti števil, skupino za utrjevanje deljivosti izrazov in skupino za utrjevanje dokazovanja deljivosti z lastnostmi relacije de-ljivosti. Slika 6 in 7: Prikaz odgovorov. ArtswFr a A A A A Cirdtf *Flrj[ name 35 Amadeja 15 Ana 1¥ eu 12 Eia 23 Eva 23 IZ TEORIJE ZA PRAKSO Matematika v šoli, št. 1., letnik 24, 2018 S križcem označi, ali kriterij po tvojem mnenju obvladaš ali ne. Pred uro v levi stolpec in po uri v desni stolpec. PRED URO Obvladovanje kriterijev PO URI DA NE Kriterij DA NE V Rešim enačbo z absolutno vrednostjo. X K Računam z absolutno vrednostjo. V Rešim neenačbo. X X Zapišem in narišem interval. X * Poištem presek in unijo intervalov. X Slika 8: Doseganje kriterijev uspešnosti. i. Odgovori: a. Ali w»ja ^{S1"-1 -2 5-« + S-"*1)? b PokJii, do voljo (n - l>|(a1 * bo; - a - 6). C. N j p r i f jVI or|t r jice p i 104 □©□©O® Slika 9: Preverjanje znanja s samovrednotenjem. Slika 8 predstavlja možen vprašalnik, z uporabo katerega dijaki označijo, kako obvladajo posamičen kriterij uspešnosti. Primer se sicer navezuje na absolutno vrednost, a je lahko kot oblika uporaben v vseh poglavjih. 4. faza: Preverjanje znanja Pri preverjanju znanja ponovno uporabim lističe Plickers, zaključne listke ali vprašalnik o doseganju kriterijev uspešnosti. Slika 9 prikazuje možno preverjanje znanja (le uvodno nalogo), kjer dijak naloge reši, nato pa označi, kako ocenjuje svoje znanje. Dijaki morajo vedeti, kaj še morajo vaditi oz. se naučiti, učitelj pa mora vedeti, ali so učenci pripravljeni na ocenjevanje. Slika 10 prikazuje izhodne lističe. Dijaki na listič zapišejo, kako presojajo svoje znanje. Zelen listič uporabijo, kadar menijo, da znajo; rumenega, kadar menijo, da vsega še ne obvladajo, in rdečega, če menijo, da njihovo znanje še ni zadovoljivo. Na tak način hitro vidim splošno stanje in preberem, kaj so napisali v komentar - tako lahko načrtujem naslednje šolske ure. Slika 10: Izhodna lističa. , ^ ' . . 'i. i, ' i - . 'j.jf _ - ■ i - ' -v TZT^ŠT^ Nologo 3 si rešila v celoti pravilno. Super! ¿r -ov ^ sSk* ' v ■IZ t _ ¿j+4 ti v.-.' t t* . * i ~ M _ i o. —?rr Pri nalogi l pazi na oklepaje In predznake -> pri -(a-2) (a+3J ostane na koncu a+6. _______4 . ¿Uci 4 u_s ^ r-._. - _ * --_ -- namesto-a-6 fn se ' potem števec še razstavi. i ^r *- ■ l ( ~3 i O. > Pri nalogi 1 predlagam, da izroze raje razstavi in nato krajšaj. x 4 K*Z ^ , ___ ~ f ' i 7 - / t Vi —^ Nalogo 4 Ji rešila v T * * ' celoti pravilno. Kar tako na preji Slika 11: Komentarji pri ocenjevanju. 24 Matematika v šoli, št. 1., letnik 24, 2018 PRILOGA 1: UGOTAVLJANJE PREDZNANJA 5. faza: Ocenjevanje znanja Pri ocenjevanju znanja formativno spremljanje na koncu trči v sumativno spremljanje - v šolah brez ocen ne gre zaradi pravilnika o preverjanju in ocenjevanju. Kljub raziskavam, ki kažejo, da ocene zmanjšujejo uspešnost in motivacijo za učenje, so žal pri nas še obvezne. Kljub vsemu poskušam omiliti vpliv ocen tudi s formativnim spremljanjem. Pri ocenjevanju tako pogosto dijakom k nalogi zapišem le komentar. Po načelih kakovostne povratne informacije ta najprej vedno vključuje pozitiven del, nato predlaga izboljšave in na koncu povzame dobro (A. Holcar Brunauer, 2016). Dijake na tak način ocenjevanja opozorim in jih tudi pozovem, da se na podlagi komentarjev in kriterijev uspešnosti ocenijo sami. Sicer težko trdim, da jim vedno uspe primerno oceniti svoje znanje, a vsekakor že razmišljanje o tem spodbuja k bolj realni presoji uspešnosti. Zaključek Formativno spremljanje opolnomoči učitelja z različnimi orodji skozi vse faze poučevanja, a pomembnejše je opolnomočenje dijakov za: • sodelovanje pri določanju namenov učenja in kriterijev uspešnosti, • razvijanje veščin dela v parih in skupinskega dela, • usmerjanje lastnega procesa učenja, • samovrednotenje lastnega znanja in procesa učenja. Učiteljem, ki razmišljajo, da bi se lotili poučevanja po načelih formativnega spremljanja, svetujem, naj se tega lotijo počasi, postopno in preudarno, vsekakor pa naj se ne bojijo neuspeha in težav - ravno skozi neuspele primere in težave se največ naučimo preko refleksije lastnega dela. ■ Viri Holcar Brunauer, A. idr. (2016). Formativno spremljanje v podporo učenju. Ljubljana: Zavod RS za šolstvo. Žakelj, A., Bon Klanjšček, M., Jerman, M., Kmetič, S., Repoluk, S., Ruter, A. (2008). Učni načrt. MATEMATIKA: Gimnazija. Ljubljana: Zavod RS za šolstvo. 25 IZ TEORIJE ZA PRAKSO Matematika v šoli, št. 1., letnik 24, 2018 Refleksija « Pogled nazaj Ta poskus mi je pokazal, da lahko ... www.discoversensors.ie Prevedla Leonida Novak in Radovan Krajnc Priredila: Lidija Jug 26 Matematika v šoli, št. 1., letnik 24, 2018 PRILOGA 1: UGOTAVLJANJE PREDZNANJA Refleksija Pogled naprej» Prevedla Leonida Novak in Radovan Krajnc Priredila: Lidija Jug 27 IZ TEORIJE ZA PRAKSO Matematika v šoli, št. 1., letnik 24, 2018 Formativno spremljanje pri vsebini VEČKOTNIKI Katja Kmetec Osnovna šola Brinje, Grosuplje Povzetek V članku avtorica predstavi obravnavo vsebine Večkotniki z elementi formativnega spremljanja. Predstavi konkretne primere za različne elemente formativnega spremljanja (od preverjanja predznanja, sooblikovanja namenov učenja, zbiranja dokazov o procesu učenja in znanja, do podajanja povratne informacije) in opiše izkušnje in poda refleksijo ob preizkušanju metode. Ključne besede: formativno spremljanje znanja, večkotniki Formative Assessment in POLYGONS Abstract The article introduces the content on polygons using formative assessment elements. The author gives specific examples for various formative assessment elements (from prior knowledge assessment, co-creating learning objectives, collecting evidence on learning process and knowledge to providing feedback), describes experiences and provides reflection on method testing. Keywords: formative knowledge assessment, polygons Uvod V zadnjem času je veliko govora o for-mativnem spremljanju znanja. Učitelji se zaradi številnih sprememb v šolstvu teh kar malce bojimo oz. smo do njih nestrpni; mnogokrat se zdi, da se pojavijo brez poglobljene analize in smiselnega namena. Kakor se hitro pojavijo, pogosto tudi hitro izginejo. Seveda pa so tudi izjeme, ki prinašajo napredek in nas vodijo do bolj kakovostnega poučevanja. Je formativno spremljanje ena izmed njih? Slišala sem več različnih predstavitev formativnega spremljanja. Nekatere so me navdušile, druge ne. Odločila sem se, da bom model poučevanja preizkusila tudi sama, vendar s previdnim, počasnim, predvsem pa smiselnim vnašanjem sprememb. Tako sem za začetek elemente formativnega spremljanja načrtovala pri obravnavi učnega sklopa Večkotniki v 8. razredu, kjer poučujem 3. nivo (torej učno boljše učence). Že pred pričetkom obravnave sem pripravila grob koncept, kako bo vse skupaj potekalo: od preverjanja predznanja, do obravnave, podajanja kakovostne povratne informacije ter zbiranja dokazov o procesu učenja in znanja. Bolj natančno načrtovanje je potekalo sproti, saj je logično sledilo različnim dokazom o procesu učenja ter znanju in situaciji v razredu. Našo dogodivščino, če lahko tako imenujem preizkušanje poučevanja z elementi formativnega spremljanja, smo skupaj z učenci poimenovali Sostanovalci. Zakaj takšno ime in kakšna je povezava z matematiko, večkotniki oz. formativnim spremljanjem? Vse to sledi v nadaljevanju, prav tako, s kakšnimi težavami, pozitivnimi in tudi negativnimi učinki sem se srečevala pri delu. Preverjanje predznanja Prepričana sem, da učitelji matematike vedno preverimo predznanje učencev, saj so matematični koncepti med seboj povezani. Če se izkaže, da učenci nečesa ne znajo, poskrbimo za to, da to znanje čim prej pridobijo. Za usvajanje novega znanja večkotnikov je nujno znanje o trikotnikih in štirikotnikih ter drugih likih. Preverila sem ga preko dveh različnih dejavnosti: • Preverjanje usvojenosti pojmov z uporabo igralnih kart Učenci so se razdelili v pare. Vsak par je prejel kup igralnih kart, na katerih so bili različni trikotniki in štirikotniki in opisi posameznih likov (priloga KARTE). Igralca sta karte najprej dobro premešala. Nato jih je vsak vzel osem. Ostale sta vrnila na kup in izmenično jemala po eno karto - bodisi s kupa kart bodisi z odlagalnega kupa. Vsakokrat ko sta karto vzela, sta hkrati izločila eno karto. Zmagovalec je bil igralec, ki je imel prvi v rokah dva para, pri čemer je par predstavljal opis pojma in ustrezna slika. Rešitve niso bile enolične. Med igro sta se učenca lahko pogovarjata in sodelovala, hkrati pa preverjala pravilnost rešitev drug drugega, podajala komentarje in usmeritve. Sama sem opazovala dogajanje. Ob koncu igre 28 Matematika v šoli, št. 1., letnik 24, 2018 PRILOGA 1: UGOTAVLJANJE PREDZNANJA je sledil pogovor o pojmih, ki so bili uporabljeni na kartah, in o tem, kaj so učenci ponovili in česa se spomnijo. Da so znanje dodatno utrdili, so morali za domačo nalogo napisati »plonk listič« o štirikotni-kih. Navodilo, ki so ga prejeli, je bilo, naj na listič zgoščeno zapišejo ključne informacije, ustrezne skice in naj bodo »plonk lističi« takšni, da jim bodo pomagali pri pisanju preverjanja znanja. • Preverjanje predznanja Učenci so pisali preverjanje znanja o šti-rikotnikih (priloga 1, str. 35), pri katerem so si lahko pomagali s svojimi »plonk listki«. Preverjanja znanja tokrat nisem pregledovala jaz, pač pa so si jih pregledali učenci sami. Po dva učenca sta drug drugemu pregledala rešitve in jih ustrezno komentirala. Preverjanje predznanja je potrdilo, da imajo učenci ustrezno predznanje (poznavanje pojmov, procedur, reševanje problemskih nalog) in da so pripravljeni na usvajanje novih učnih ciljev. Oblikovanje namenov učenja skupaj z učenci je bilo zame nekaj novega. Običajno jih namreč učencem sama (v grobem) predstavim pred obravnavo vsake nove učne snovi. Precej »umetno« in nesmiselno se mi je zdelo, da bi skupaj z učenci prebirali cilje učnega načrta in jih prevajali v njim razumljiv jezik. Proces sem želela narediti bolj naraven. Zato sem ustvarila umetno situacijo, s pomočjo katere so učenci sami prišli do tega, kaj želijo znati, razumeti, katera dodatna znanja želijo pridobiti. Razdelila sem jih v skupine. Vsaka skupina je prejela velik kartonast model večkotnika, ki je ponazarjal tloris sobe (modeli večkotnikov so se med seboj razlikovali). Zaradi lažje berljivosti v nadaljevanju model večkotnika, ki ponazarja tloris sobe, imenujem »soba«. Člani skupine so za čas obravnave tega učnega sklopa postali sostanovalci. Povedala sem jim, da bodo skupaj reševali različne izzive in usvajali znanje. Med drugim bodo morali: • izmeriti velikost svoje sobe, • ugotoviti, kolikšna je vsota notranjih kotov sobe, • narisati natančen tloris sobe in celo sprogramirati robota, ki bo to naredil namesto njih, • sobe tudi ustrezno opremiti. Na tla bodo polagali ploščice. Vprašala sem jih, če imajo dovolj matematičnega znanja, da bodo kos vsem izzivom. Če ne, česa bi se še radi naučili? Sooblikovanje namenov učenja Učenci so spontano navedli večino ciljev učnega načrta za sklop Večkotniki, seveda v svojem jeziku (tabela 1). Ker so bili motivirani, da bodo kos prihajajočim izzivom, so cilje učenja sprejeli kot svoje osebne cilje. Zapisali smo jih v skupno »hišo znanja«, plakat v obliki hiše, ki je ves čas obravnave visel v učilnici. Dogovorili smo se, da bo vsaka soba sama spremlja- la, kdaj doseže posamezni cilj in takrat na plakatu označila, da je cilj dosežen. Potem pa so sostanovalci komaj čakali, da začnemo z obravnavo večkotnikov. Obravnava učne snovi Obravnava je potekala preko številnih dejavnosti. Zastavljene so bile tako, da so bile učencem - sostanovalcem - izziv, hkrati pa je bilo z njimi mogoče pridobiti dokaze o procesu učenja in znanja. Učenci so se hitro vživeli v vlogo sostanovalcev. Pri obravnavi snovi so bili ves čas aktivni, drug drugega so spodbujali in si pomagali; drug drugemu so bili vir učenja, vseskozi so spontano drug drugemu podajali povratne informacije in vplivali na izboljšanje znanja ostalih članov skupine. Na tem mestu navajam le nekaj izzivov. Opis večkotnikov Najprej smo naredili razstavo vseh sob (slika 1). Učenci so jih natančno opazovali in povedali, v čem so si enake, podobne, v čem se razlikujejo. Nato se lotili izziva: Svojim prijateljem, ki vaše sobe niso nikoli videli, jo morate po mobilnem telefonu čim bolj natančno opisati. Celotna skupina je pripravila opis sobe. Eden od članov skupine je opis nato pre- Tabela 1: Cilji iz učnega načrta ter nameni učenja ' HIŠA ZNANJA ^ Cilj iz učnega načrta Namen učenja (moj osebni cilj) Opišejo večkotnik in ga označijo (oglišča, stranice, kote, diagonale). Opišem večkotnik in ga označim. Poznajo vsoto notranjih in zunanjih kotov večkotnika. Izračunam vsoto notranjih in zunanjih kotov. Usvojijo pojem pravilni večkotnik. Vem, kaj je pravilni večkotnik. Poznajo in uporabljajo strategije načrtovanja večkotnikov. Narišem večkotnik. Uporabljajo strategije za računanje obsega in ploščine večkotnika (npr. uporaba obrazca, merjenje, preoblikovanje na znane like). Izračunam ploščino in obseg večkotnika. / Izračunam, koliko diagonal ima večkotnik. 29 IZ TEORIJE ZA PRAKSO Matematika v šoli, št. 1., letnik 24, 2018 Slika 1: Tlorisi sob v obliki večkotnikov bral. Preko dejavnosti so učenci dosegli cilj »opišejo večkotnik«. Kako smo vedeli, da je cilj usvojen? Dokazi o procesu učenja in znanja so bili posnetki opisov, ki smo jih naredili s pomočjo diktafona na mobilnem telefonu. Učenci so jih poslušali in skladno z opisi risali skice sob (večkotnikov). Skupaj smo ugotavljali, kateri opis je najboljši, najbolj natančen. Pri risanju sobe skladno z navodili se je kakršnakoli površnost ali napaka pri opisu hitro pokazala. Posnetek skupine, ki je pripravila najboljši opis več-kotnika, je postal vzorčni model. Preko razgovora so skupine prejele kakovostno povratno informacijo o tem, kaj storiti, da bodo njihovi izdelki drugič še boljši. Pri tem so izhajali iz vzorčnega modela: zakaj je naš opis slabši kot vzorčni? V čem so njegove pomanjkljivosti? Kako bi jih izboljšali? Poskusimo. Sledila je frontalna obravnava, kako več-kotnik pravilno označimo. Od rokovanj do ugotovitve, koliko diagonal imajo večkotniki Izziv: Preden se vselite v skupno hišo, se spodobi, da se drug drugemu predstavite. Vsak naj se rokuje z vsakim. Vaša naloga pa je ugotoviti, koliko bo vseh rokovanj. Učenci so se sprva povsem nesistematično rokovali drug z drugim. Ob koncu vseh rokovanj (skupno je bilo 17 učencev) niso znali povedati števila vseh rokovanj, prav tako ne, kako bi to izračunali. Kako bi rokovanja prešteli bolj urejeno? Eden od učencev je dal predlog: najprej naj se eden rokuje z vsemi; nato naj se naslednji rokuje s tistimi učenci, s katerimi se še ni rokoval - in tako naprej do zadnjega učenca. Med rokovanjem so sproti na tablo zapisovali vsoto vseh rokovanj: 16 + 15 + 14 + 13 + ... + 2 + 1. Eden od učencev se je spomnil anekdote o tem, kako je mladi Gauss seštel vsa naravna števila od 1 do 100, in predlagal, da bi na enak način izračunali vsoto vseh rokovanj: (16 + 1) + (15 +2) + (14 + 3) + (13 + 4) + (12 + 5) + (11 + 6) + (10 + 7) + (9 + 8) = 8 • 17 = 136. Drug učenec pa je razmišljal drugače: Vsak od učencev se je rokoval s 16 ostalimi učenci. Torej je rokovanj 17 • 16. Vendar tako dobimo dvakratno število vseh rokovanj, saj sta se vedno hkrati rokovala po dva učenca. Za pravilno rešitev moramo torej dobljeno število deliti z 2. Sostanovalci so dobili dodatna vprašanja: Kaj bi se zgodilo, če bi prišel še en učenec? Kako bi to vplivalo na število vseh rokovanj? Od rokovanj smo prišli na naslednji izziv oz. problemsko situacijo: sostanovalci so morali najprej ugotoviti, koliko diagonal ima njihova soba. Nato so pri sosedih poizvedeli, koliko diagonal ima njihova soba, ki je v obliki drugega večkotnika. Na tabli so oblikovali skupno zbirno tabelo in nazadnje ugotovili, kako izračunamo število diagonal v poljubnem več-kotniku. Cilj »Učenci znajo izračunati število diagonal v poljubnem večkotniku« sicer ni zapisan v učnem načrtu, vendar pa je bil to eden od ciljev pouka, ki so ga predlagali učenci. Sama sem ga »opravičila« in povezala s ciljema »opazujejo in prepoznajo pravilo v vzorcu in vzorec nadaljujejo« ter »prepoznajo pravilo v vzorcu, poiščejo posplošitev in zapišejo algebrski izraz«. Učenci so preko opazovanja vzorcev (število diagonal se povečuje za 2, 3, 4, 5 .) prišli do rekurzivne formule za izračun števila diagonal. Nekateri so sami izpeljali algebrski izraz za izračun števila diagonal, drugi so ga ustrezno interpretirali, tretji pa so ga znali uporabiti pri izračunu števila diagonal v poljubnem večkotniku. Dokazi o procesu učenja in znanja so bili: pravilno določeno število diagonal, ki so ga učenci lahko sami preverili pri svojih večkotnikih; predstavitve problemske naloge; razlage in interpretacije formul; uporaba formule pri konkretnih nalogah. Povratno informacijo sem učencem tokrat podala ustno, ob predstavitvi rešitve problemske naloge. Učenci so predstavili svoj način razmišljanja, povratna informacija se je nanašala na vzrok morebitne napake. Npr.: • Učenec: Število diagonal dobimo tako, da število vseh oglišč pomnožimo z 1 manjšim številom. Dobljeno število delimo z 2. • Učiteljica: Pojasni, kako si razmišljal. • Učenec: Iz vsakega oglišča narišemo diagonale, zato vzamemo število n (toliko je vseh oglišč). Potem to pomnožimo s številom, ki je za 1 manjše. • Učiteljica: Zakaj pa to pomnožimo s številom, ki je za 1 manjše? • Učenec: Ker diagonala vedno povezuje dve različni oglišči. Se pravi, da je ne moremo narisati tako, da začnemo v oglišču A in v oglišču A tudi končamo. • Učiteljica. Pravilno razmišljaš. Kaj pa, če oglišče A povežeš z ogliščem B? Je to tudi diagonala? • Učenec: Aja, ne, ni. Pa to tudi ne (pokaže drugo sosednje oglišče oglišča A). • Učiteljica: Bi svojo formulo zdaj kako spremenil? Vsota notranjih in zunanjih kotov večkotnika Izziv: Dobro si oglejte notranje kote vaše sobe. Koliko jih je? Kako veliki so? Kolikšna je njihova vsota? Kaj pa velja za vsoto zunanjih kotov? Kakšne rezultate bodo dobili člani drugih skupin? Učenci so postavili domneve, kolikšna je vsota notranjih in zunanjih kotov njihovega večkotnika. Nato so morali domnevo na kakršenkoli način potrditi ali ovreči. V pomoč so dobili fotokopijo tlorisa svoje sobe. Zanimivo se mi zdi, koliko različnih načinov reševanja se je pojavilo: • Sostanovalci, katerih soba je bila v obliki pravilnega večkotnika, so izmerili velikost enega notranjega kota in jo pomnožili s številom vsem notranjih kotov. • Sostanovalci druge sobe (ki ni bila pravilni večkotnik) so izmerili velikosti vsakega notranjega kota ter izračunali vsoto. • Sostanovalci tretje sobe so uporabili raztrgalni poskus in tako dobili približno vsoto. 30 Matematika v šoli, št. 1., letnik 24, 2018 PRILOGA 1: UGOTAVLJANJE PREDZNANJA UČNI LIST 1. Z robotom narišite tloris svoje sobe. 2. Kolikšno pot je naredil robot pri načrtovanju vaše sobe? Kako uspešni ste bili pri svojem delu? Katera matematična znanja ste uporabili pri nalogi? Ste pri delu naredili kakšno napako? Kako ste jo popravili? Bi drugič kaj storili drugače - bi kaj izboljšali? • Le ena skupina je večkotnik razdelila na trikotnike in izpeljala formulo za izračun vsote notranjih kotov (n - 2) • 180°. Dokazi o procesu učenja in znanja za učni cilj »Poznajo vsoto notranjih in zunanjih kotov« so bili tudi v tem primeru izdelki učencev. Vsaka skupina je predstavila svoj način reševanja, ostali učenci pa so podali povratno informacijo v zvezi z načinom reševanja problemske situacije: kaj se jim zdi dobro, kaj bi lahko izboljšali. Tloris sob (načrtovanje večkotnikov) Naslednji izziv sostanovalcev je bil: natančno narišite tloris svoje sobe. Več-kotnika ne smete prekopirati. Izmerite lahko poljubne dolžine, kote... Učenci so se naloge lotili na različne načine. Sami so zlahka preverili pravilnost rešitve, saj so primerjali sliko z originalom in ugotovili, ali sta skladna ali ne. Slika tlorisa sobe je bila dokaz o procesu učenja in znanja. Sledil je pogovor o tem, katere podatke so izmerili, da so lahko narisali sliko. Kolikšno je najmanjše število podatkov, ki jih potrebujemo, če želimo natančno narisati večkotnik? Ali je odgovor odvisen od tega, koliko oglišč ima več-kotnik? Ali je odvisen še od česa drugega? Če da, od česa? Ali so imele vse skupine enako zahtevno nalogo? Glede na to, da gre za učno boljše učence, so povratno informacijo brez težav pridobili sami. Ugotovili so vzrok morebitne napake oz. uvideli možnost spretnejšega načina reševanja naloge. Frontalno smo nadaljevali s prikazom nekaterih strategij načrtovanja pravilnih večkotnikov. V eni kasnejših ur, pri kateri se nam je pridružil tudi učitelj tehnike, so morali učenci sprogramirati robota tako, da je narisal njihovo sobo. Izdelki sostanovalcev so bili dokaz o procesu učenja in znanja, obenem pa izhodišče za dobro refleksijo oz. samorefleksijo o znanju (Učni list). Velikosti sob (ploščine večkotnikov) Izziv: Sprehodite se po učilnici in ugotovite, kateri sostanovalci imajo največjo sobo. Ste prepričani? Kako bi to preverili? Kolikšna je ploščina tal vaše sobe? Učenci so brez težav prepoznali največjo sobo, saj je bila rešitev očitna. Težje pa je bilo določiti natančne ploščine večkotni-kov. Kljub temu so se dobro znašli in več-kotnik razdelili na like, katerih ploščine so že znali izračunati. Izračunali so vsoto teh ploščin ter tako dobili ploščino več-kotnika. Sostanovalci so predstavili svoje rešitve. Večkotnike so nato uredili po velikosti glede na dobljeno ploščino. Tudi v tem primeru so zlahka pridobivali različne dokaze o procesu učenja in znanja. Dokazi o procesu učenja in znanja in povratna informacija učencem Običajno znanje preverjam s pisnimi preverjanji znanja, pri katerih sem pozorna, da so naloge sestavljene tako, da preverjajo različne vidike znanja. Dodatno znanje vseskozi zasledujem preko razgovora in različnih dejavnosti, ki jih izvajamo med poukom. Mislim, da imam soliden pregled nad znanjem posameznih učencev. Pač pa to ne velja za moje učence, ki so običajno deležni le informacije o doseženem številu odstotkov pri vsakem preverjanju znanja, ki pa jih ne spodbuja k učenju v tolikšni meri, kot bi si želela. Dokaze o procesu učenja in znanja sem tokrat pridobivala bolj sistematično, predvsem pa sem bila pozorna na to, da so jih pridobivali tudi učenci. Saj so tudi oni soodgovorni za svoje znanje! Dokaze s(m)o pridobivali na različne načine: preko izvedenih načrtovanih učnih dejavnosti, rešenih nalog, izdelkov, predstavitve problemskih nalog, opazovanja, preverjanj znanja, ki smo jih izvajali na različne načine: klasično, s pomočjo programa Socrative, samopreverjanja znanja in nazadnje preverjanja znanja, ki so ga sestavili učenci sami. Preverjanje znanja s pomočjo programa Socrative je potekalo interaktivno. Učenci so imeli vsak svoj računalnik, na katerem so reševali naloge izbirnega tipa. Med ponujene napačne odgovore sem skušala vključiti predvidena napačna razumevanja in razmišljanja učencev. Tako sem na podlagi izbranega odgovora pogosto lahko sklepala o tem, kako učenec razmišlja. Med tem ko so učenci reševali naloge, sem na svojem računalniku spremljala njihovo reševanje. Po potrebi sem posameznikom sproti dala namig, kako naj se ponovno lotijo razmišljanja. Primer: Vsota notranjih kotov nekega večkotnika je 2340°. Katerega? Odgovor Vzrok napake A 11-kotnika 900 je delil s 180, nato je odštel (namesto prištel) 2. B 13-kotnika 900 je delil s 180. C 15-kotnika / Poseben primer preverjanja znanja je bilo preverjanje znanja s samovredno-tenjem. Učenci so sami morali oceniti uspešnost reševanja posamezne naloge, ob koncu preverjanja pa podati mnenje o tem, kakšno je njihovo znanje, kaj znajo najbolje, kaj najmanj, česa se morajo še naučiti, kako se bodo tega lotili. Menim, da so učno boljši učenci tudi bolj sposobni samorefleksije. Svoje znanje so ocenili precej realno. Pač pa so bili njihovi odgovori na vprašanje »Kako se bom to naučil/a?« zelo skopi. K temu najverjetneje pripomore tudi to, da takšnih vprašanj doslej niso bili vajeni. Ob koncu, ko so imeli že vsi cilji pouka v naši hiši znanja oznako, da jih sostano- 31 IZ TEORIJE ZA PRAKSO Matematika v šoli, št. 1., letnik 24, 2018 valci dosegajo, smo pisali še preverjanje znanja, ki so ga sestavili učenci sami. Na lističe sem izpisala namene učenja (vsak namen na svoj listič) in jih dala v škatlo. Učenci so izžrebali vsak svoj listič. K namenu učenja so dopisali nalogo, ki je namen učenja preverjala. Nalogo so morali tudi rešiti. Izdelke učencev sem nato zbrala in iz njih oblikovala skupno preverjanje znanja, ki so ga učenci pisali individualno. Pri vsaki nalogi je bil zapisan namen učenja, ki ga naloga preverja. Učenci so morali tudi tokrat oceniti, ali so zastavljeni cilj dosegli ali ne. Naloge, ki so jih sestavili učenci, so dejansko ustrezale zapisanim ciljem. Seveda pa preverjanje znanja ni vsebovalo različnih taksonomskih stopenj, naloge niso bile različnih tipov, razmerje med lahkimi, srednjimi in težkimi nalogami ni bilo ustrezno. Povratna informacija je bila tako bolj kot ne v smislu doseganja oz. nedoseganja posameznih ciljev. Poleg povratne informacije posameznikom sem tokrat podala tudi povratno informacijo o tem, kako dobro se je odrezala posamezna skupina (torej vsi sostanovalci iste sobe). Zanimivo, da je ta učence mnogo bolj zanimala kot individualna povratna informacija. Po preverjanju je sledilo še pisno ocenjevanje znanja. Učencem so bile naloge všeč. Njihova posebnost je bila, da so bile povezane z življenjem in delom sostanovalcev, kot npr.: Prijatelji Maj, Maxim, Zala, Gala, Lara, Živa, Jan, Pia, Matej, Maruša, Klemen, Gaja, Sara, Brin, Jakob, Aljaž in Juta so živeli v čudovitem stanovanju, katerega tloris je prikazan na priloženem listu. Vse naloge se nanašajo na to stanovanje. 1. a) Katere izmed sob so v obliki večkotnikov? Izpiši številke. b) Soba številka 2 ima vse stranice enako dolge in vse notranje kote skladne. Kako rečemo večkotniku z omenjenimi lastnostmi? 2. Brin trdi, da ima ena izmed sob vsoto notranjih kotov 560°. Juta trdi, da to gotovo ni res. Računsko pokaži, kdo ima prav. 3. Na sliki je soba številka 2. Vsaka njena stranica meri 4 m. a) Poimenuj narisani večkotnik. b) Večkotniku označi oglišča. c) Izpiši nesosednja oglišča oglišča B. č) Nariši vse diagonale iz oglišča E. d) Koliko diagonal ima prikazani lik? e) Označi notranji kot a, pripadajoči zunanji kot, središčni kot. f) Kolikšen je obseg tlorisa sobe? 32 Matematika v šoli, št. 1., letnik 24, 2018 PRILOGA 1: UGOTAVLJANJE PREDZNANJA g) V sobi številka 2 so stanovali Jakob, Aljaž in Brin. Razmišljali so, kako naj si sobo pravično razdelijo. Najprej so jo razdelili na dva skladna trapeza. Nato so jo razdelili na 3 skladne rombe. Nazadnje so jo razdelili na 6 skladnih trikotnikov. Skiciraj njihove delitve: h) 2 skladna trapeza 3 skladni rombi o o 6 skladnih trikotnikov O i) Natančno nariši pravilni šestkotnik s stranico 4 cm. j) Šestkotnik, ki si ga narisal, predstavlja tloris sobe številka 2. 1 cm na sliki pomeni 1 m v resnici. Tla sobe št. 2 nameravamo prekriti s talno oblogo. Koliko m2 talne obloge bo pokrivalo tla? 3. Na sliki je soba številka 6. a) Kolikšna je vsota vseh notranjih kotov prikazanega večkotnika? b) V tem večkotniku meri zunanji kot ¡3' = 22°. Koliko meri priležni notranji kot p ? c) Izračunaj, koliko meri kot a. 4. Obseg sobe številka 4 je 24 m. Kolikšen je obseg sobe številka 3? 5. Sostanovalci so primerjali svoje sobe in podatke vpisovali v spodnjo tabelo. E 112' Št. oglišč Št. stranic Število diagonal Vsota notranjih kotov (°) Vsota zunanjih kotov (°) 4 4 2 360 360 5 5 5 6 6 9 90° C Ugotovi pravilnost spodnjih ugotovitev. Če je ugotovitev pravilna, obkroži P, sicer obkroži N. Če se število oglišč večkotnika poveča za 1, se število vseh diagonal poveča za 3. P N Če se število oglišč poveča za 1, se vsota notranjih kotov poveča za 180°. P N Če se število oglišč poveča za 1, se vsota zunanjih kotov poveča za 360°. P N Če bi bilo število oglišč 100, bi bilo število diagonal 100 ■ 97. P N Če bi bilo število diagonal 170, bi bilo število oglišč 20. P N D F 33 IZ TEORIJE ZA PRAKSO Matematika v šoli, št. 1., letnik 24, 2018 Dosežki učencev pri pisnem ocenjevanju znanja so bili zelo dobri (vendar pa je za skupino 3. nivoja to nekaj običajnega). Za zaključek našega dela, našega prvega »spopada« z elementi formativnega spremljanja znanja, smo skupaj izdelali film z naslovom Sostanovalci, v katerega smo strnili vse izzive, ki so jih reševali sostano- valci, utrinke reševanja in ugotovitve. Ob ogledu se sostanovalci niso zgolj zabavali, pač pa so ponovili vse, kar so se pri tem učnem sklopu naučili. Zaključek Glede na to, da sem na področju formativnega spremljanja začetnica, težko podajam verodostojne ugotovitve in zaključke. Menim, da je ideja formativnega spremljanja ustrezna, rezultati pa se pokažejo čez nekaj časa in ne po zgolj enem poskusu. Običajno poučujem na podoben način, torej preko izzivov, ki učence usmerijo v lastno odkrivanje novih matematičnih znanj. Sproti nastajajo številni izdelki, ki bi jih lahko uporabila kot dokaze o procesu učenja in znanja. Novosti, ki sem jih poskusno izvedla, so bile: oblikovanje namenov učenja skupaj z učenci; sistematično zbiranje dokazov o procesu učenja in znanja in kvalitetna povratna informacija. Slednja mi je povzročala največ težav. Običajno jo podajam številčno, skopo. Razmislek o tem, kako naj jo oblikujem, da bo učencu res v pomoč, mi je vzel zelo veliko časa. Na tem področju me čaka še veliko dela, vendar pa sem skozi proces razmišljanja prišla do spoznanja, da je povratna informacija verjetno mišljena mnogo širše, kot sem jo doslej razumela sama. Ne morem reči, da so učenci prevzeli odgovornost za svoje učenje; dejansko sem jo še vedno (skladno z navado) čisto po nepotrebnem prevzela sama. Pač pa so bili učenci izredno motivirani za delo. Z velikim veseljem so odkrivali nova znanja. Njihovi dosežki pri pisnem ocenjevanju znanja so bili primerljivi z običajnimi dosežki, menim pa, da so precej napredovali na področju refleksije. Napredek je bil viden tudi v aktivnem poslušanju drug drugega. Prav je, da učitelji ves čas »rastemo«. To je mogoče le tako, da se tudi sami nenehno učimo, preizkušamo, odkrivamo; delamo iskreno samorefleksijo; si zastavljamo nove cilje, načrtujemo in izvajamo dejavnosti, s pomočjo katerih naj bi jih dosegli. Potem pa spremljamo povratne informacije in jim sledimo. Sliši se zelo podobno formativnemu spremljanju, mar ne? Kakorkoli že, mislim, da je prav, da vsak učitelj najde način poučevanja, ki mu ustreza, in gradi na njem. Le tako je lahko uspešen pri svojem poučevanju. ■ Viri Sirnik, M., Suban, M., Pomen formativnega spremljanja za učenje in poučevanje matematike, http://www.matematika.hr/ files/1814/6798/5265/Pomen_FS_za_učenje_matematike_Suban_Sirnik.pdf (pridobljeno 25. 8. 2017) Predmetna skupina za matematiko, Študijska srečanja v šolskem letu 2016/2017, Prvo študijsko srečanje -jesen 2016, https://skupnost. sio.si/mod/page/view.php?id=303937 (pridobljeno 25. 8. 2017) Žakelj, A. idr. (2011). Učni načrt. Program osnovna šola. Matematika. Ljubljana. ZRSŠ, http://www.mizs.gov.si/fileadmin/mizs.gov.si/ pageuploads/podrocje/os/prenovljeni_UN/UN_matematika.pdf (pridobljeno 30. 4. 2018) 34 Matematika v šoli, št. 1., letnik 24, 2018 PRILOGA 1: UGOTAVLJANJE PREDZNANJA 1. Štirikotnik deltoid predstavi na različne načine: Skiciraj ga: Opiši ga z besedami. Zapiši primer iz vsakdanjega življenja, ki te spominja na deltoid Skiciraj lik, ki NI deltoid 2. a) Liku označi oglišča, stranice, diagonali in kote. b) Natančno poimenuj spodnji štirikotnik. c) Oba lika na spodnji stranici imata enako dolgi stranici a in b. D C H i> A n O a Katera izjava je resnična? Obkroži P (pravilna izjava) oz. N (nepravilna izjava). Obsega obeh likov sta enaka. P N Ploščino obeh likov izračunamo po formuli p = a ■ b. P N 35 PRILOGA 1: UGOTAVLJANJE PREDZNANJA Matematika v šoli, št. 1., letnik 24, 2018 3. Dani so štirikotniki, označeni z A, B, C, D in E. Izpiši vse: A B C Va d S V a) osno somerne štirikotnike: b) središčno somerne štirikotnike: c) štirikotnike, ki imajo vsaj dve stranici vzporedni: č) štirikotnike, pri katerih se diagonali sekata pod pravim kotom: d) štirikotnike, pri katerih se diagonali razpolavljata: 4. Za kateri štirikotnik gre? Vse stranice ima enako dolge, a ni kvadrat. 5. Izračunaj velikost kota x. -J x 70° \ r 60° \ 6. V spodnji mreži nariši trapez, ki ima ploščino natanko 10 e2, ter pravokotnik, ki ima obseg natanko 10 e. D E c a a 36 Matematika v šoli, št. 1., letnik 24, 2018 PRILOGA 1: UGOTAVLJANJE PREDZNANJA S1 S ■S« o > -ž .E Jš >u "F >m c o O 73 'o CD "O u 'iT "O 'n O 'Ü C cd CT _o _cd (V fü >u o >cn _0 O ^ £ ro iZ o -t^ O ^ +J o Sg.S=jS C >m CU CT to O SE fO g f. C o ro _ ^ to ^ O O C H 37 tAl 00 ploščina paralelograma je središčno someren vsi notranji koti so pravi ploščina deltoida dva para vzporednih stranic diagonali sta skladni diagonali se sekata pod pravim kotom vsi notranji koti so skladni diagonali se razpolavljata je osno someren po dva para skladnih kotov vse stranice so skladne Matematika v šoli, št. 1., letnik 24, 2018 PRILOGA 1: UGOTAVLJANJE PREDZNANJA 39 PRILOGA: KARTE Matematika v šoli, št. 1., letnik 24, 2018 C C > o fU >U CD > C ro -t^ I § C 2 CD <3 rN Un VO ro S CZ — >u n O c ^ č ro O to O O CP C o N ^ ro <3 ro > __ i c ro .fa__ o_k= £^roc O C ■t^ cd QJ (N 40 Matematika v šoli, št. 1., letnik 24, 2018 PRILOGA 1: UGOTAVLJANJE PREDZNANJA Protokol za (samo)vrednotenje elementov formativnega spremljanja pri pouku dr. Ada Holcar Brunauer 1 in Urška Margan 1 Zavod RS za šolstvo Obrazec nam je v pomoč pri samovrednotenju lastnega poučevanja in učenja učencev, pri medsebojnih hospitacijah. ELEMENTI FORMATIVNEGA SPREMLJANJA DA/NE/NI RELEVANTNO KAKO SE JE TO VIDELO? 1. Učenci so aktivno vključeni v učni proces: • glede na predznanje in interes, ob povratni informaciji učitelja, znotraj določenega okvira postavijo svoje cilje, • sodelujejo pri načrtovanju dejavnosti in učnih korakov za doseganje ciljev, • sodelujejo pri oblikovanju kriterijev uspešnosti, • lahko predstavljajo znanje na način, ki ga izberejo sami, • vrednotijo svoje dosežke po izdelanih kriterijih/dajejo povratno informacijo učitelju, 2. Spodbujam razmišljanje učencev: • dejavnosti zahtevajo različne miselne procese (razumevanje, sklepanje, argumentiranje ... vprašanja so odprta, problemska ...), • moje povratne informacije izhajajo/temeljijo na opredeljenih kriterijih uspešnosti in učence vodijo k izboljševanju dela/doseganju ciljev, • dokazi učencev o procesu učenja in znanja so raznoliki 3. Učenci so drug drugemu vir učenja/ poučevanja: • vključeni so v skupne razprave, • učitelj v različnih učnih oblikah in metodah dela (npr. delo v dvojicah, recipročno in sodelovalno učenje ...) učencem omogoča učenje drug od drugega, • drug za drugega oblikujejo naloge in vprašanja, • presojajo dosežke drug drugega in si dajejo povratne informacije, Vir: Gradivo razvojne naloge Formativno spremljanje v podporo učenju (A. Holcar Brunauer). 41 IZ ZALOŽBE ZAVODA RS ZA SOLSTV O Formativno spremljanje pri MATEMATIKI Priročnik za učitelje mag. Mojca Suban, mag. Melita Gorše Pihler, Jerneja Bone, Karmen Debenjak, Loreta Hebar, Špela Jenko, Tatjana Kerin, Silva Kmetič, Rok Lipnik, Mojca Novoselec, Mateja Peršolja, mag. Sonja Rajh, Amela Sambolic Beganovic, mag. Mateja Sirnik, Karmen Škafar, Jana Šturm, Andreja Verbinc V priročniku so opisana različna preizkušena ORODJA V PODPORO UČENJU IN POUČEVANJU MATEMATIKE skupaj z naborom učnih ur, v katerih orodja zaživijo v vsej svoji funkcionalni vrednosti. V ospredje je postavljen učenec in njegova vloga pri oblikovanju lastne učne poti. 152 strani, A4 format, 11,90 € 8. razred Obseg kroga Ploščina kroga Zbiranje, urejanje in predstavitev podatkov Diagonale večkotnika I Diagonale večkotnika II Nabor učnih ur 1.letnik Linearna funkcija I (gimnazija) Linearna funkcija II (program srednjega strokovnega izobraževanja) Naročila: P Zavod RS za šolstvo, Poljanska c. 28,1000 Ljubljana T 01 300 51 00 F 01 300 51 99 E zalozba@zrss.si S www.zrss.si Matematika v šoli, št. 1., letnik 24, 2018 PRILOGA 1: UGOTAVLJANJE PREDZNANJA Iz priročnika Formativno spremljanje pri matematiki mag. Melita Gorše Pihler Zavod RS za šolstvo Primeriorodijvpodporoučenjuinpoučevanjumatematike Obseg Kaj se spomnim o obsegu lika? Ploščina Kaj se spomnim o ploščini lika? Kaj imata skupnega obseg in ploščina? V čem se razlikujeta obseg in ploščina? Slika 10: Skupne značilnosti in razlike med pojmoma obseg in ploščina Vir: Gradivo iz študijskega srečanja za učitelje matematike v osnovni šoli, 2015. Dve stvari, kjer sem imel/-a težave. Ena stvar, ki je nisem znal/-a. Slika 47: Izhodni listič 43 IZ TEORIJE ZA PRAKSO Matematika v šoli, št. 1., letnik 24, 2018 ' Dve zvezdi in ena želja " X Izpostavi dve odlični stvari, ki sta bili prikazani: X • Izpostavi področje, ki bi ga sošolec/-ka še lahko izboljšal/-a: _J Slika 65: Vrstniško vrednotenje za vsebino oglata telesa s povratno informacijo Vir: Gradivo iz študijskega srečanja za učitelje matematike v osnovni šoli, oktober, november 2016. (ime prijatelja/-ice) Sem tvoj/-a kritični/a prijatelj/-ica in želim vrednotiti tvoje naloge in znanje. , odlično si opravil/-a, posebej želim POHVALITI ... ni PREDLAGAM ti, da pri svojih naslednjih aktivnostih skušaš Obenem POVZEMAM POZITIVNO pri tvojem delu Tvoj/-a prijatelj/-ica Slika 30: Povratna informacija učenca učencu Avtorici: Andreja Sever in Karmen Škafar (2017). 44 Matematika v šoli, št. 1., letnik 24, 2018 PRILOGA 1: UGOTAVLJANJE PREDZNANJA Primerjava izdelkov Učencem predložimo primere reševanj posameznih nalog (stare naloge, naloge učencev ...), primere preiskovanj, empiričnih ali matematičnih raziskav, primere modeliranj ... Opazujemo lahko samo en izdelek ali več izdelkov. Število izdelkov prilagodimo glede na vrsto nalog in vsebino, ki jo obravnavamo. Ob opazovanju rešenih oz. izpolnjenih reševanj učenci individualno ali v paru ali v skupini ugotavljajo, kaj so prednosti oz. pomanjkljivosti posameznega izdelka. Iz zapisov izpeljejo kriterije uspešnosti oz. merila uspešnosti. Učni list lahko uporabimo tudi za podajanje povratne informacije, samovrednotenje oz. za vrstniško vrednotenje. Primerjaj(te) primere reševanj (učenca A in učenca B) s tvojim reševanjem. Razmišljaj(te) o prednostih in pomanjkljivostih posameznega reševanja in jih zapiši(te) v preglednico. Vsebina: Prednosti Pomanjkljivosti Reševanje učenca A Reševanje učenca B Tvoje reševanje Iz ugotovljenih prednosti in pomanjkljivosti (zapisanih v zgornji preglednici) izpelji(te)/zapiši(te) kriterije uspešnosti. Slika 24: Primerjava različnih primerov reševanja Avtorica: Jerneja Bone. 45 IZ TEORIJE ZA PRAKSO Matematika v šoli, št. 1., letnik 24, 2018 Število 41 dr. Marko Razpet Posamezna naravna števila imajo lahko prav zanimive lastnosti. Dobro znana so nam soda in liha števila, praštevila, sestavljena števila, večkotniška (trikotniška, kvadratna, petkotniška ...) števila, središčna večkotniška števila, podolžna števila, uglajena števila itd. Lahko pa imajo zanimive lastnosti tudi števke števila v izbranem številskem sistemu mestnih vrednosti. Oglejmo si nekaj primerov, v katerih sodeluje praštevilo 41, ki s praštevilom 43 sestavlja praštevilski dvojček. 1. Leonhard Euler (1707-1783) je leta 1772 našel trinom P(n) = n2 + n + 41, ki nam da veliko praštevil, ko vanj vstavljamo po vrsti n = 0, 1, 2, ..., 39: 41, 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151, 173, 197, 223, 251, 281, 313, 347, 383, 421, 461, 503, 547, 593, 641, 691, 743, 797, 853, 911, 971, 1 033, 1 097, 1 163, 1 231, 1 301, 1 373, 1 447, 1 523, 1 601. To je seznam 40 praštevil, ki je prekinjen s P(40) = 1 681 = 412. Na seznamu ni vseh praštevil med 40 in 1 602. Teh je 240. Manjka jih kar 200, na primer 59, 67, 73, 79, 89, 101. Preproste polinomske formule za n-to praštevilo ni, je pa Euler vzpodbudil druge matematike, da so začeli resno študirati praštevila. Opomba. Za naravno število n izraz n2 +n = n(n + 1) v P(n) definira tako imenovano n-to podolžno število. Polovica n-tega podolžnega števila je n-to trikotniško število Tn = n(n + 1)/2. 2. Število 41 lahko, če se ne oziramo na vrstni red sumandov, na en sam način zapišemo kot vsoto dveh in treh kvadratov, to je 41 = 42 + 52, 41 = 12 + 22 + 62; z uporabo treh zaporednih faktoriel pa tudi v obliki 41 = 1!2 + 2!2 + 3!2. Število 41 je hipotenuza primitivnega pitagorejskega trikotnika s katetama 9 in 40, ker je 92 + 402 = 412. To sledi iz splošnih formul a = m2 - n2, b = 2mn, c = m2 + n2, s katerimi s primerno izbiro naravnih števil m in n dobimo stranice pitagorejskega trikotnika. Za m = 5 in n = 4 res dobimo a = 9, b = 40 in c = 41. 3. Število 41 lahko, če se ne oziramo na vrstni red sumandov, na en sam način izrazimo kot vsoto dveh zaporednih naravnih števil: 41 = 20 + 21. Naravnim številom, ki se dajo izraziti kot vsota dveh ali več zaporednih naravnih števil, pravimo uglajena števila. Število načinov zapisa vsote, pri čemer se ne oziramo na vrstni red sumandov, meri uglajenost števila. Število 41 je uglajeno število z uglajenostjo 1. Vsa naravna števila razen potenc števila 2 so uglajena. Zaradi tega so najbolj zanimive njihove uglajenosti in postopek, kako dano število zapisati kot vsoto zaporednih naravnih števil. 4. Število 41 lahko na dva načina izrazimo kot vsoto zaporednih praštevil: 41 = 11 + 13 + 17, 41 = 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13. 5. Kub števila 41 se da zapisati kot vsoto treh kubov na dva načina: 413 = 403 + 173 + 23, 413 = 333 + 323 + 63. 6. Število 41 je vsota treh sumandov oblike n! + nn: 41 = (1! + 11) + (2! + 22) + (3! + 33). 7. Števki 4 in 1 v desetiškem zapisu imata nekaj zanimivih lastnosti: 4! + 1! = 52, 42 + 12 = 17 (praštevilo). Število 41 v petiškem sistemu zapišemo kot 131, kar pomeni 1 • 52 + 3 • 5 + 1, kar je res 41. Ker se 131 prebere naprej in nazaj enako, je v petiškem sistemu 41 palindromno število. 8. Število 41 je za 1 povečan štirikratnik četrtega trikotniškega števila: 41 = 4 • T + 1 = 4 • 4 • 5/2 + 1. 4 Ker trikotniška števila ponazorimo s številom enakih krožcev, zloženih v trikotnik, lahko 4 take trikotnike z 10 krožci zložimo v kvadrat, ki mu na sredini dodamo še en krožec. Zato je 41 peto središčno kvadratno število. Lahko pa si mislimo tudi pet koncentričnih kvadratnih okvirov z 1, 4, 8, 12 in 16 krožci (slika 1). Vseh krožcev je 1 + 4 + 8 + 12 + 16 = 41 Slika 1: Peto središčno kvadratno število. 9. Število 41 je kongruentno. Po definiciji je naravno število k kongruentno, če obstaja pravokotni trikotnik z racionalnimi stranicami a, b, c (a2 + b2 = c2), ki ima ploščino enako k (k = ab/2). Števila a, b, c s k niso natančno določena, celo nešteto jih je. Najmanjše kongruentno število je 5. Pitagorej-ski trikotnik iz točke 2 ima ploščino 180 = 62 • 5. Če njegove stranice delimo s 6, dobimo pravokotni trikotnik s stranicami a = 3/2, b = 20/3, c = 41/6, za katere je a2 + b2 = c2 in ab/2 = 5. Zato je 5 kongruentno število. Odgovor, kdaj je k kongruentno število, ni preprost. Z veliko truda ugotovimo, da za a = 40/3, b = 123/20, c = 881/60 velja a2 + b2 = c2 in ab/2 = 41. Torej je 41 tudi kongruentno število. Zgodi se lahko, da kongruentnemu številu k ustreza pravokotni trikotnik, katerega stranice se izražajo z okrajšanimi ulom-ki, ki imajo ogromne števce in imenovalce. ■ 46 Matematika v šoli, št. 1., letnik 24, 2018 PRILOGA 1: UGOTAVLJANJE PREDZNANJA Strategije štetja in računanja pri učencih z gibalno oviranostjo Anja Vidmar, dr. Janez Jerman1 in Erna Žgur 1 Pedagoška fakulteta, Univerza v Ljubljani Povzetek Matematika pomembno vpliva na posameznikovo uspešnost in zadovoljstvo na šolskem in življenjskem področju. Številske predstave so ključnega pomena za uspešno obvladovanje matematike. Učenci z lažjimi motnjami v duševnem razvoju imajo pri razvoju številskih predstav več težav, saj počasneje usvajajo šolska znanja in potrebujejo za pridobivanje teh predstav bistveno več časa. Kognitivni in motorični razvoj potekata vzporedno in povezovalno, zato lahko sopojavljanje gibalne oviranosti ob prisotni motnji v duševnem razvoju predstavlja dodatno oviro pri razvoju številskih predstav. Strategije štetja in računanja so temelj, na katerem učenci gradijo in rešujejo številske in aritmetične probleme. V raziskavi se je potrdilo, da imajo učenci z gibalno oviranostjo pomanjkljivo razvite številske predstave ter strategije štetja in računanja v primerjavi z učenci brez gibalne oviranosti. Zato posledično potrebujejo bistveno več prilagojenih in specifičnih osebnih izkušenj, strategij in aktivnosti. Ključne besede: številske predstave, strategije, gibalna oviranost, lažje motnje v duševnem razvoju Counting and Calculation Strategies in Children with Impairment in Movement Abstract Mathematics has an important effect on learners' performance and satisfaction in school as well as life in general. The concept of numbers is crucial for successful mastering of mathematics. Students with mild intellectual disabilities have more difficulty in understanding numbers due to their slower assimilation of school material, therefore they need much more time to grasp these concepts. Cognitive and motor development are parallel and connected, which means that impairment in movement with a simultaneous intellectual disability represent an additional obstacle in the understanding of numbers. Counting and calculation strategies are the foundation upon which students build and solve numerical and arithmetic problems. The research confirmed insufficiently developed understanding of numbers and counting and calculation strategies in students with impairment in movement compared to those not impaired in movement. Consequently, their learning process requires substantially more personalized and specific individual experiences, strategies and activities. Keywords: concept of numbers, strategies, impairment in movement, mild intellectual disabilities Uvod Matematika je »univerzalen jezik, ki presega kulturne, socialne in civilizacijske razlike« (J. Vipavc in M. Kavkler, 2015, str. 9). Dobro razvite matematične spretnosti in sposobnosti pripomorejo k uspešnemu delovanju posameznika v družbi, saj se z matematiko srečujemo na vsakem koraku - vsakič, ko pogledamo na uro, na koledar, iščemo pravo številko avtobusa, plačujemo položnice ali kupujemo, se soočamo s količinami, števili, štetjem, raču- nanjem (Van Rooijen, Verhoeven in Stee-nbergen, 2010; Vipavc in Kavkler, 2015). Vsak dan torej matematiko uporablja večina ljudi, ne glede na okoliščine, možnosti, sposobnosti, ki jih posameznik ima, in ne glede na to, ali se prisotnosti matematike v svojih početjih zaveda ali ne (Tomšič idr., b.d.). Slabše razvite matematične sposobnosti in spretnosti lahko pomembno vplivajo na poznejše matematične dosežke, šolsko in delovno uspešnost posameznika ter tudi na posameznikov standard življenja (Geary, 1994; Bymes in Wasik, 2009; Van Rooijen idr. 2010). M. Kavkler (2007) opozarja, da je za uspešno obvladovanje aritmetike treba učencu v prvih letih šolanja razviti osnovne predpogoje, kot so: sposobnost primerjanja količin, velikostnih odnosov, razumevanje pojma števila, obvladovanje različnih vrst štetja, razvoj potrebnega matematičnega pojmovnega in pro ceduralnega znanja itd. Usvajanje teh znanj in spretnosti je dolgotrajen proces in se zdi marsikateremu učencu abstrakten in težak, kar je po mnenju strokovnih delavcev eden glavnih razlogov, zaradi katerega imajo številni učenci težave pri matematiki in doživljajo 47 IZ TEORIJE ZA PRAKSO Matematika v šoli, št. 1., letnik 24, 2018 ob učenju matematike hude stiske (Vi-pavc in Kavkler, 2015). Matematika mnogo pogosteje kot drugi predmeti učencem povzroča težave in čutijo do nje strah in odpor. Slabše številske predstave so ena izmed najpogostejših ovir, ki otežujejo učenje matematike (Žakelj in Valenčič Zuljan, 2014). Prisotnost lažje motnje v duševnem razvoju (LMDR) lahko predstavlja dejavnik neuspeha pri ustreznem razvoju številskih predstav. Učenci, ki imajo LMDR, imajo pomembno znižane intelektualne sposobnosti ter znižane sposobnosti za učenje in usvajanje splošnih znanj. Pri njih se kažejo odstopanja na področju konceptualnih, socialnih in praktičnih veščin (Colnerič in Zupančič, 2005; Vovk-Ornik, 2015). Matematika ima v prilagojenem programu vzgoje in izobraževanja z nižjim izobrazbenim standardom (NIS), kamor se vključujejo učenci z LMDR, pomembno mesto, saj je na urniku od 4 do 5 ur na teden. V skladu s predpisanim kurikulum je tako potrebno, da se v tem obdobju posveti dovolj pozornosti razvoju številskih predstav tudi učencem z LMDR, saj ima pojav zadostne razvitosti zgodnjih številskih spretnosti pomemben vpliv na poznejše akademske in tudi druge vseživ-ljenjske dosežke posameznika. Vpliv gibalne oviranosti na področje številskih predstav Učenci z gibalno oviranostjo (GO) se lahko zaradi posledic specifičnega gibalnega razvoja srečujejo s številnimi težavami na različnih področjih kognitivnega in kona-tivnega razvoja. Pojavljajo se lahko težave pri branju, pisanju, govoru ter pri matematiki (Haskell in Barrett, 1993; Vrlič Danko, 2005). Od vseh naštetih področij je po mnenju različnih avtorjev (Haskell in Barrett, 1993; Van Rooijen idr., 2010; Erko^ Gecu in Erko^, 2013) najmanj raziskan vpliv posledic GO na matematičnem področju. Učne težave pri matematiki so pogosto povezane s slabo razvitimi številskimi predstavami in pojmi ter primanjkljaji na področju štetja (Kalan, 2015). Jean Piaget je menil, da so dejavnosti, kot so razvrščanje, manipuliranje, urejanje in prirejanje, predpogoj za usvajanje koncepta števila (Labi-nowicz, 2010). Pri otrocih z GO so lahko zaradi omejitev v gibanju (orientaciji) omenjene spretnosti zmanjšane ali odsotne (Haskell in Barrett, 1993). Od najzgodnejših razvojnih obdobij dalje otrok z raziskovanjem fizičnih karakteristik objektov pridobiva osnovne predstave o teži, obliki, velikosti, hitrosti in prostorskih odnosih (prav tam, 1993). Preko razvrščanja, urejanja, prirejanja in manipuliranja s predmeti otrok razvija pojem števila. Če je gibalni razvoj moten in otrok nima dovolj priložnosti in izkušenj za raziskovanje, lahko prihaja do pomanjkljivih, nepopolnih, napačnih ali neustreznih predstav. Da otrok razvije abstraktne koncepte, kot je npr. sposobnost konzervacije števila, potrebuje veliko praktičnih vaj preurejanja, opazovanja, preiskovanja in preverjanja značilnosti in posledic spremenjenega vzorca, ki je nastal kot posledica preurejanja določenih predmetov v prostoru. Otroci z GO imajo bistveno zmanjšane zmožnosti samostojnega manipuliranja s predmeti (Haskell in Barret, 1993). Na težave pri aritmetiki lahko vplivajo različne oblike GO, ki jih spremlja različna stopnja motene senzorične integracije: razne oblike cerebralne paralize, spina bi-fida, mišične distrofije, kongenitalne deformacije udov ... Raziskovalci (Arp, Taranne in J. Fagard, 2006; Dellatlos, Filho,; Jenks, de Moor, van Lieshout, Maathuis, Keus in Gorter 2007, v Van Rooijen idr. 2010) ugotavljajo, da učenci z GO v primerjavi s kontrolnimi skupinami učencev brez GO dosegajo slabše rezultate na področju ocenjevanja količine, na področju vizualno-prostorskih in števnih sposobnosti, pri reševanju nalog seštevanja in odštevanja do 100 ter imajo slabši občutek za števila. Vzroke za takšne rezultate avtorji pripisujejo slabšemu vizualno--prostorskemu kratkotrajnemu spominu pri učencih z GO, šibkejši vizualno-mo-torični koordinaciji, šibkejšim vizualno--prostorskim in števnim spretnostim ter pomanjkanju osnovnega aritmetičnega znanja. Vzrokov pa je lahko še več: primanjkljaji s področja zaznavanja telesa, delov telesa, dojemanja telesne sheme, razvoja lateralizacije, prehod čez srednjo linijo ... (Žgur, 2017). Strategije štetja in računanja pri učencih z gibalno oviranostjo Otroci navadno začnejo reševati aritmetične probleme seštevanja s pomočjo strategij, ki temeljijo na štetju. Pri tem si največkrat pomagajo z različnimi predmeti in s prsti (materialne strategije). Postopoma preidejo na verbalno štetje, s katerim si pomagajo pri reševanju računov seštevanja in odštevanja (verbalne strategije), pozneje pa dejstva memorira-jo in jih prikličejo iz dolgotrajnega spomina (miselno računanje) (Geary, 1994). Normalen potek razvoja strategij v času osnovnošolskega izobraževanja poteka od nezrelih, neučinkovitih strategij, preko verbalnega štetja k priklicu aritmetičnih dejstev (Kavkler, 2007). Geary (1994) po več virih (Ginsburg, 1982; Saxe, 1982; Geary, Fan in Bow-Thomas, 1992) povzema, da v različnih kulturah prva strategija, ki jo otroci uporabljajo za reševanje aritmetičnih problemov, temelji na štetju. Zato je obvladovanje štetja ključnega pomena, da se lahko razvijejo višje, naprednejše in hitrejše strategije. Če se otrok pri štetju moti, bo v dolgotrajni spomin uskladiščil napačno aritmetično dejstvo (prav tam, 1994). M. Kavkler (1997) navaja, da je temeljni cilj aritmetike dosežen, ko je otrok iz dolgotrajnega spomina sposoben brez napak priklicati osnovna, bazična aritmetična dejstva. Tako se lahko posveti reševanju kompleksnejših in zahtevnejših aritmetičnih problemov in ne izgublja časa in energije z nižjimi in zamudnejšimi strategijami. M. Kavkler (1997, po Geary, 1994) navaja naslednje strategije štetja in računanja: Strategije štetja nazaj: 1. nima strategije; 2. pomaga si s konkretno oporo, a šteje nazaj; 3. pomaga si s štetjem naprej, brez opor; 4. šteje nazaj brez opor. Strategije preštevanja predmetov: 1. nima strategije; 2. prime in premakne vsak predmet; 3. vsakega predmeta se dotika s prsti; 4. gleda in prešteva predmete. Seštevanje: 1. nima strategije; 2. šteje vse na prste; 3. začne s prvim številom, ne glede na velikost, in prišteje drugo; 4. začne z večjim številom in prišteje drugo; 5. prikliče aritmetično dejstvo. Odštevanje: 1. nima strategije; 2. prešteje večje število na prste, odšteje manjše in prešteje preostanek; 3. šteje nazaj po ena od večjega števila; 4. šteje po ena naprej od manjšega števila; 5. priklic aritmetičnega dejstva. 48 Matematika v šoli, št. 1., letnik 24, 2018 PRILOGA 1: UGOTAVLJANJE PREDZNANJA V nadaljevanju predstavljamo izsledke raziskave avtorice A. Vidmar (2017), v katero je bilo vključenih 44 učencev 2. in 3. razreda prilagojenega vzgojno-izob-raževalnega programa z NIS (od tega 22 učencev z različnimi oblikami in stopnjami GO). Raziskava je pokazala, da imajo učenci z GO bistveno slabše razvite številske predstave pri reševanju nalog, ki merijo razvitost številskih predstav, in da se glede na učence razlikujejo v rabi strategij. Interpretirali bomo najpomembnejše razlike med obema vzorcema. Rezultati (Tabela 1) kažejo, da kar 68,2 % učencev z GO nima razvite strategije štetja nazaj. Med učenci brez GO je teh učencev skoraj polovica manj (36,4 %). V primerjavi s celotnim vzorcem več kot polovica učencev nima ustrezne strategije štetja nazaj (52,3 %), 40,9 % učencev pa uporablja šteje nazaj brez opor. Med temi učenci je velika večina učencev (59,1 %) brez prisotne GO. Izračunani Kruskal-Wallisov test razlik je pokazal, da ni statistično značilne razlike v rabi strategij štetja nazaj med učenci z GO in med učenci brez GO (x2 = 7,234; df = 3; 2p = 0,065), se pa dobljeni rezultat statistični zanesljivosti (2p = 0,05*) močno približa (2p = 0,065). * Velja pri vseh vrednostih Kruskall-Wal-lisovega testa. Analiza strategij preštevanja predmetov (Tabela 2) je pokazala, da med učenci z GO 22,7 % učencev nima strategije preštevanja predmetov, medtem ko med učenci brez GO ni nobenega takega učenca. Pri celotnem vzorcu je v največji meri (47,7 %) zastopana strategija »vsakega predmeta se dotika s prsti«, sledi uporaba strategije »prime in premakne vsak predmet« (22,7 %). 18,2 % učencev uporablja najvišjo strategijo »gleda in prešteva predmete«, v najmanjši meri (11,4 %) učenci ne uporabljajo nobene strategije, med temi učenci pa ni nobenega učenca brez GO. Test razlik Kruskal-Wallis je pokazal, da obstajajo statistično značilne razlike (x2 = 8,625; df = 3; 2p = 0,035) v rabi strategij preštevanja predmetov med učenci z GO in med učenci brez GO (v korist slednjih). Rezultati (Tabela 3) kažejo, da kar polovica učencev z GO (50,00 %) nima razvite strategije seštevanja, medtem ko je med učenci brez GO takšnih učencev zgolj 18,2 %. Test razlik Kruskal-Wallis je pokazal, da obstajajo (x2 = 13,333; df = 4; 2p = 0,010) statistično značilne razlike med učenci brez GO in med učenci z GO v rabi strategij seštevanja v prid učencem brez GO. Rezultati (Tabela 4) kažejo, da 54,5 % učencev z GO nima prisotne strategije odštevanja. Pri učencih brez GO je takšnih učencev 22,7 %. Več kot polovica učencev brez GO (54,5 %) uporablja strategijo »prešteje večje število na prste, odšteje manjše in prešteje preostanek«, kar uporablja 36,4 % učencev brez GO. Strategije »priklic aritmetičnega dejstva« ne uporablja nobeden od učencev z GO ter trije učenci (13,6 %) brez GO. Test razlik Kruskal-Wallis je pokazal, da ni statistične značilnosti (x2 = 7,934; df = 4; 2p = 0,094) med obema skupinama učencev. Pri vseh opazovanih strategijah štetja in seštevanja (Tabela 1, Tabela 2, Tabela 3 in Tabela 4), razen pri strategijah preštevanja predmetov, je med učenci z GO vsaj polovica učencev, ki nima prisotne nobene strategije. Pri učencih brez GO je takšnih učencev bistveno manj (največ pri strategijah štetja nazaj - 36,4 %). Več učencev brez GO uporablja višje razvite strategije štetja nazaj (več kot polovica jih šteje nazaj brez opor). Med strategijami preštevanja predmetov je najvišja strategija »gleda in prešteva predmete« med obema vzorcema zastopana v enaki meri, vendar imajo, za razliko od učencev z GO, vsi učenci brez GO razvito vsaj Tabela 1: Vrsta strategij štetja nazaj glede GO Gibalna oviranost Skupaj da ne nima strategije f 15 8 23 % 68,2 36,4 52,3 pomaga si s konkretno oporo, a f 1 0 1 Strategije štetja nazaj šteje nazaj % 4,5 0,0 2,3 pomaga si s štetjem naprej, f 1 1 2 brez opor % 4,5 4,5 4,5 šteje nazaj brez opor f 5 13 18 % 22,7 59,1 40,9 Skupaj f 22 22 44 % 100,0 100,0 100,0 Tabela 2: Vrsta strategij preštevanja predmetov glede na gibalno oviranost Gibalna oviranost Skupaj da ne nima strategije f 5 0 5 % 22,7 0,0 11,4 prime in premakne vsak f 3 7 10 Strategije preštevanja predmetov predmet % 13,6 31,8 22,7 vsakega predmeta se dotika f 10 11 21 s prsti % 45,5 50,0 47,7 gleda in prešteva predmete f 4 4 8 % 18,2 18,2 18,2 Skupaj f 22 22 44 % 100,0 100,0 100,0 49 IZ TEORIJE ZA PRAKSO Matematika v šoli, št. 1., letnik 24, 2018 Tabela 3: Vrsta strategij seštevanja glede na gibalno oviranost Gibalna oviranost Skupaj da ne nima strategije f 11 4 15 % 50,0 18,2 34,1 šteje vse na prste f 1 1 2 % 4,5 4,5 4,5 Strategije seštevanja začne s prvim številom, ne f 1 8 9 glede na velikost, in prišteje drugo % 4,5 36,4 20,5 začne z večjim številom in f 7 3 10 prišteje drugo % 31,8 13,6 22,7 prikliče aritmetično dejstvo f 2 6 8 % 9,1 27,3 18,2 Skupaj f 22 22 44 % 100,0 100,0 100,0 Tabela 4: Vrsta strategij odštevanja glede na gibalno oviranost Gibalna oviranost Skupaj da ne Strategije odštevanja nima strategije f 12 5 17 % 54,5 22,7 38,6 prešteje večje število na prste, odšteje manjše in prešteje preostanek f 8 12 20 % 36,4 54,5 45,5 šteje nazaj po ena od večjega števila f 1 1 2 % 4,5 4,5 4,5 šteje po ena naprej od manjšega števila f 1 1 2 % 4,5 4,5 4,5 priklic aritmetičnega dejstva f 0 3 3 % 0,0 13,6 6,8 Skupaj f f 22 44 % 100,0 100,0 100,0 eno strategijo preštevanja predmetov. Učenci brez GO uporabljajo v večji meri višje razvite strategije seštevanja (treba je omeniti, da več učencev z GO uporablja strategijo »začne z večjim številom, ne glede na velikost, in prišteje drugo«, vendar pa več učencev brez GO prikliče aritmetično dejstvo pri seštevanju). Prav tako je pri strategijah štetja nazaj več učencev, ki prikličejo aritmetično dejstvo (13,6 %), med učenci z GO pa ni nobe- nega učenca, ki bi uporabljal to strategijo. Razloge za omenjena dejstva pripisujemo predvsem vplivu spremljajočih posledic GO. Učenci z GO imajo zaradi specifičnega poteka motoričnega razvoja pogosto zmanjšane zmožnosti samostojnega manipuliranja s predmeti, pomanjkljivo je razvita tako groba kot tudi fina motorika (Žgur, 2017), tako učenci posledično razvijejo tudi manj spontanih predštevilskih dejavnosti. Gibalno oviranost pogosto spremljajo pridružene senzorno-percep-tivne motnje, motnje zaznavanja lastnega telesa in telesne sheme, motnje pomnjenja in pozornosti, težave pri zaznavanju predmetov, težave z organizacijo učenja, dela ..., dodatne težave pa lahko povzroča še pogosta odsotnost od pouka (zaradi postopkov zdravljenja ali rehabilitacije, utrujenost zaradi fizičnih ovir ipd.), kar vse lahko vpliva na učenje in usvajanje šolskega znanja ter učenje aritmetičnih strategij. Učenci z GO in LMDR potrebujejo bistveno več utrjevanja in ponavljanja. Iz rezultatov sklepamo, da učenci 2. in 3. razreda še niso zadovoljivo usvojili in avtomatizirali vseh strategij štetja in računanja ter potrebujejo pri tem še mnogo vodenih izkušenj in usmerjenih ter konkretnih vaj. Strategije pomoči in podpore pri razvijanju številskih predstav Strokovni delavci lahko pomagajo učencem pri razvijanju številskih predstav z naslednjimi splošnimi strategijami (Hodnik Čadež, 2002; Kavkler, 2011): • Pred začetkom vsake nove ure naredimo povzetek prejšnje snovi. • Uporabljamo čim bolj različne primere matematičnih problemov, ki naj bodo povezani z življenjskimi situacijami. • Učencem zagotovimo različne konkretne in grafične materiale, ki jim pomagajo pri razumevanju matematičnih vsebin in konceptov. • Učencem matematične vsebine in probleme v čim večji meri verbalizi-ramo. • Učenje in poučevanje naj bo aktivno, multisenzorno, povezano z učenčevimi izkušnjami. • Delovni listi naj bodo prostorni in ne prenatrpani s preveč vizualnimi informacijami. • Potrebno je načrtno spodbujanje rabe prstov ali drugih predmetov pri usva-janju količin in pri računanju. • V čim večji meri naj se spodbuja pred-številske dejavnosti urejanja, razvrščanja. • Potreben je sistematičen prehod od naravnih predmetov, preko grafične ponazoritve do simbolov. Predstavljamo še nekaj praktičnih primerov razvijanja specifičnih strategij (z avtorsko določenimi cilji) za pomoč pri 50 Matematika v šoli, št. 1., letnik 24, 2018 PRILOGA 1: UGOTAVLJANJE PREDZNANJA razvijanju številskih predstav, ki so nastale kot rezultat magistrskega dela (Vidmar, 2017). Strategija za obravnavo novega števila Tabela 5 prikazuje korake strategije za obravnavo novega števila do 10. Tudi pri obravnavi števil do 20 in naprej lahko prav tako sledimo tem korakom, le da uporabljamo razne materiale, ki ponazarjajo enice in desetice ter nadalje stotice. Pomembno je tudi, da sproti, ko obravnavamo nova števila, izgrajujemo številsko vrsto. Morske zvezde Cilj aktivnosti je prirejanje morskih zvezd k pikam (slika 1). Učenci priredijo po eno Slika 1: Aktivnost prirejanja. (Living Montes-sori Now, b.d.) Tabela 5: Strategija za obravnavo novega števila 1. korak Pred obravnavo novih števil uporabimo čim več različnih predštevilskih dejavnosti razvrščanja, prirejanja, urejanja. 2. korak Ob obravnavi novega števila glasno povemo število, ki ga bomo obravnavali, ga ponazorimo s konkretnimi predmeti (nastavljamo množice istovrstnih predmetov števila 4 - nastavimo 4 svinčnike, 4 radirke, 4 flomastre itd.). 3. korak Utrjujemo količinsko predstavo o novo spoznanem številu (nastavljamo množice z raznovrstnimi predmeti, z isto močjo - za število 4 to pomeni v eni množici npr. 1 kemik, 1 radirka, 1 zvezek, 1 kamenček. Predmeti med množicami naj se dobro razlikujejo, da učenec razliko opazi). Uporabimo čim več različnih naravnih predmetov, ki jih učenci poznajo. Učenec najprej nastavi predmete zase, nato pogleda pri ostalih sošolcih. 4. korak Število ponazorimo z didaktičnim materialom (npr. kockami, kroglicami). 5. korak Število zapišemo s številsko sliko (npr. pikicami, ki ponazarjajo količino tega števila). Številsko sliko damo zraven ali jo prilepimo na konkretno ponazorjeno količino tega predmeta (na kamenčke, kocke, flomastre ipd.). 6. korak Število zapišemo tudi z besedo. 7. korak Število zapišemo s številskim simbolom: • Najprej zapis učitelj demonstrira in verbalizira, lahko s pomočjo pesmice (npr. za številko 5 lahko po korakih, ob demonstraciji, pove: »Moj vrat kratek je in raven, trebušček okrogel in napet, na vrhu pa še streha, to sem jaz, številka 5!«.) • Sledi zapis števila na veliko podlago, učenci lahko po njem hodijo, se vozijo z vozički, sledijo z avtomobilčki itd. • Število zapišemo na manjšo predlogo, učenci jo prevlečejo z raznimi barvicami, rišejo npr. mavrico, ji sledijo z različnimi predmeti, jo okrasijo, izdelajo iz plastelina. • Število lahko zapišemo v sipke materiale: riž, moko, peno za britje, zdrob, mivko ipd. • Sledi zapis na še manjšo predlogo, po katerem učenci vlečejo mavrico, polagajo predmete ipd. • Na koncu sledi prost zapis števila - najprej na večje, nato na manjše ploskve. morsko zvezdico k vsaki piki. V poznejših korakih na bele številke položijo še peščene številke, s tem utrjujejo simbolni zapis števila. Prirejanje je pomembna sposobnost za razvoj občutka za števila in štetje, pomembno je, da jo učenci v čim večji meri urijo. Opomba: Morske zvezde so primer praktičnega materiala, lahko jih nadomestimo z drugimi predmeti, ki so večji in lažji za prijemanje (npr. kocke, ploščice, zamaški iz plute, kostanji, kamenčki ipd.), saj nekateri učenci z GO potrebujejo več prilagoditev. Opomba velja za vse nadaljnje aktivnosti in strategije. Rojstnodnevno število Cilj aktivnosti je, da učenci utrjujejo povezavo med količino, številskim simbolom ter štetjem. Pripomočki (Slika 2): • torte iz papirja ali kartona, • več svečk različnih barv, sestavljene iz dveh delov. Navodilo: Ob praznovanju rojstnega dne v razredu vsi učenci dobijo torte iz papirja, na katerih je zapisano, koliko let ima učenec, ki praznuje rojstni dan. Na torte (sami ali ob pomoči) postavijo svečke (Slika 3). Slika 2: Rojstnodnevno število. (Living Mon-tessori Now, b.d.) Slika 3: Rojstnodnevno število. (Living Mon-tessori Now, b.d.) 51 IZ TEORIJE ZA PRAKSO Matematika v šoli, št. 1., letnik 24, 2018 Poišči par 1. primer: Polovici učencev nalepimo na sprednjo stran majice števila (1-10 ali 1-20), drugi polovici pa količinske ponazoritve teh zapisanih števil (npr. pike, krogce, kapljice), ponazoritev naj bo nestandardna (drugačna od standardne ponazoritve na igralni kocki). Učenci morajo poiskati svoj par, tako utrjujejo povezavo med količino in številskim simbolom. 2. primer: Učencem nalepimo na sprednjo stran majice številke (1-10 ali 1-20). Po dva učenca imata na majici enako številko. Naloga učencev je, da poiščejo svoj par, tako lahko utrjujejo vizualno podobo zapisanih števil. 3. primer: Aktivnost je namenjena utrjevanju računov seštevanja in odštevanja. Polovici učencev zalepimo na sprednjo stran majice račune v obsegu 1-5 ali 1-10, drugi polovici pa vsoto ali razliko za pripadajoči račun. Učenci morajo poiskati svoj par. Na enak način lahko igramo igro spomin s kartami, za vse tri primere. Koga bo pojedel krokodil? Cilji: • Učenci s pomočjo konkretnega materiala določijo večje in manjše število. • Učenci s pomočjo grafične ponazoritve določijo večje in manjše število. • Učenci določijo večje in manjše število na simbolnem nivoju. Pripomočki (Slika 4, Slika 5, Slika 6): • kartice z vpisanimi števili, • narejena krokodilova usta iz lesa, • slika krokodilovih ust, • cofki, kamenčki ali drug material. Navodila: 1. Korak: Učenec si pod vsako število nastavi ustrezno število frnikol/cofkov. Povemo mu, da krokodilček vedno poje večje število, in ga vprašamo, na katero stran se bo torej obrnil. 2. Korak: Postopoma opuščamo konkretni nivo (cofke in lesenega krokodilčka) in učenec vadi na grafičnem nivoju (nariše ali pobarva določeno število krogcev ter vriše krokodilčka v prazno okence). • Učenci utrjujejo branje števil do 10. Pripomočki: • igralne podloge (Slika 7), • manjši kartončki za pokrivanje števil. Navodila igre: Vsak učenec dobi svojo igralno podlogo s šestimi polji, na kateri so števila od 0 do 10 (Slika 7). En učenec ali odrasla oseba je zadolžena za žrebanje števil. Tisto število, ki ga izžreba, glasno prebere (vendar ga ne pokaže). Zmagovalec je tisti, ki prvi prekrije vsa polja. Igro se lahko igra, dokler vsi ne prekrijejo svojih polj. Slika 5: Večje in manjše število - 2. korak. 3. Korak: Učenec vadi na simbolnem nivoju. 5 > 3 Opomba: Igralna podloga lahko vsebuje števila poljubnega številskega obsega. Različice igre: Igra se lahko izvaja tudi z drugačnimi cilji (npr. utrjevanje preprostih računskih operacij seštevanja in odštevanja). V tem primeru namesto žreba ene številke izžrebamo kartico, na kateri so zapisani računi ali uganke (Slika 8). Slika 6: Večje in manjše število - 3. korak. Didaktična igra: Bingo Cilji: • Učenci utrjujejo simbolni zapis števila. • Učenci povezujejo simbolni zapis števila z verbalno oznako. 1. Številu 3 dodaj število 2. Katero število dobiš? 2. Pred mano je število 6, za mano pa število 8. Katero število sem? 3. Sem za 3 številke večje od števila 4. Katero število sem? 4. Če od mene odšteješ 2, dobiš število 1. Katero število sem? 5. Za mano sta števili 9 in 10. Katero število sem? 6. Pred mano ležita števili 7 in : Katero število sem? Slika 4: Večje in manjše število - 1. korak. Slika 8: Bingo - različica igre. 52 Matematika v šoli, št. 1., letnik 24, 2018 PRILOGA 1: UGOTAVLJANJE PREDZNANJA Didaktična igra: Nahrani opico Cilji: • Učenci štejejo do 5. • Učenci utrjujejo količinske predstave o številih. Pripomočki: • igralna podloga (Slika 9), • barvna kocka, • igralne figure (poljubne), • kartice z bananami (približno 40 kartic za dva igralca) (Slika 10). Navodila : Vsak igralec dobi igralno figurico in enako število kartic z bananami. Prvi igralec vrže barvno kocko. Premakne se na tisto polje, kot kaže barva na kocki. Pogleda, katera številka je zapisana na njegovem polju. Nato, glede na to številko, nahrani opico z bananami, tako da opici položi v usta določeno število banan (npr. če je na polju zapisana številka tri, položi opici v usta tri banane). Zmaga tisti, ki prvi porabi vse kartice. 3 4 2 5 3 3 1 5 2 4 Slika 9: Nahrani opico. 53 Slika 10: Igralne karte za igro Nahrani opico. Zaključek Na osnovi dobljenih raziskovalnih podatkov povzemamo, da obstajajo razlike med učenci z GO in učenci brez GO pri rabi strategij štetja in računanja. Učenci z GO večinoma nimajo izdelanih strategij, s katerimi bi si lahko pomagali pri štetju in računanju. Statistično značilne razlike so se izkazale pri rabi strategij preštevanja predmetov in seštevanja. Pri preštevanju predmetov se je največja razlika pokazala v tem, da imajo vsi učenci brez GO določeno strategijo pri preštevanju predmetov, pri učencih brez GO je skoraj četrtina takšnih, ki strategije nimajo. Največja razlika pri seštevanju se med obema skupinama učencev kaže v tem, da veliko več učencev brez GO nima ustrezne strategije seštevanja, manj jih tudi prikliče aritmetično dejstvo. Slednje nakazuje, da še nimajo usvojene avtomatizacije priklica. Potrjene so opazne razlike med učenci z GO in učenci brez GO pri uporabi strategij, zato bi bilo v praksi smiselno več časa posvetiti konkretni dejavnosti in ponazoritvi pri razvoju številskih in prostorskih strategij pri učencih z GO. Pri poučevanju pa je treba uporabljati čim več konkretnih, realističnih, z življenjem povezanih dejavnosti ter ostati na nivoju konkretnega poučevanja, vse dokler posamezen učenec to potrebuje, in šele postopno, s primerno zahtevnostjo preiti na grafični in simbolni nivo. S tem namenom smo v prispevku zbrali nekaj dejavnosti in strategij, s katerimi lahko izboljšamo proces poučevanja in učenja strategij. Številske in prostorske predstave so temelj za nadaljnjo uspešnost na matematičnem področju, zato je smiselno, da jim v praksi posvetimo dovolj časa in učencem, še posebej učencem z GO, nudimo dovolj realnih, zabavnih in konkretnih izkušenj. ■ 54 Matematika v šoli, št. 1., letnik 24, 2018 PRILOGA 1: UGOTAVLJANJE PREDZNANJA Literatura Arp, S., Taranne, P. in Fagard, J. (2006). Global Perception of Small Numerosities (Subitizing) in Cerebral-palsied Children. Journal of Clinical and Experimental Neuropsychology, 28(3), 405-419. doi: 10.1080/13803390590935426 Bymes, J. in Wasik, B. (2009). Factors predictive of mathematics achievement in kindergarten, first and third grades: An opportunity-propensity analysis. Contemporary Educational Psychology 34(2), 167-183. doi: 10.1016/j.cedpsych.2009.01.002 Erkoi;, M. F., Gecu, Z., in Erko^, C. (2013). The Effects of Using Google SketchUp on the Mental Rotation Skills of Eighth Grade Students. Educational Science: Theory & Practice, 13(2), 1285-1294. Pridobljeno s http://files.eric.ed.gov/fulltext/EJ1017248.pdf Geary, D.C (1994). Children's Mathematical Development: Research and practical applications. Washington, DC: American Psychological Association. Haskell, S. in Barrett, E. (1993). The Education of Children with Physical and Neurological Disabilities. London: Chapman & Hall. Kalan, M. (2015). Strategije reševanja aritmetičnih besednih problemov pri učencih z učnimi težavami pri matematiki. (Doktorska disertacija, Pedagoška fakulteta Ljubljana). Pridobljeno s http://pefprints.pef.uni-lj.si/2812/1/Doktorska_naloga_2015_Marko_Kalan.pdf Kavkler, M. (1997). Latentna struktura specifičnih učnih težav pri matematiki (Doktorska disertacija). Pedagoška fakulteta Ljubljana. Kavkler, M. (2007). Specifične učne težave pri matematiki. V M. Kavkler in M. Košak Babuder (ur.), Učenci s specifičnimi učnimi težavami: Skriti primanjkljaji - skriti zakladi (77-113). Ljubljana: Društvo Bravo. Labinowicz, E. (2010). Izvirni Piaget. Učenje - Mišljenje - Poučevanje. Ljubljana: DZS. Tomšič, G. idr. (b.d.). Učni načrt za prilagojen izobraževalni program z nižjim izobrazbenim standardom. Matematika. Pridobljeno s http://www.mizs.gov.si/fileadmin/mizs.gov.si/pageuploads/podrocje/posebne_potrebe/programi/ucni_nacrti/pp_nis_matematika.pdf Van Rooijen, M., Verhoeven, L. in Steenbergen, B. (2011). Early numeracy in cerebral palsy: review and future research. Developmental Medicine & Child Neurology, 53, 202 - 209. doi: 10.1111/j.1469-8749.2010.03834.x Vidmar, A. (2017). Številske in prostorske predstave pri učencih z gibalno oviranostjo in lažjimi motnjami. v duševnem razvoju. (Magistrsko delo). Pedagoška fakulteta Ljubljana. Vipavc, J. in Kavkler, M. (2015). Konceptualne osnove obravnave učencev z učnimi težavami pri matematiki. V M. Kavkler in M. Košak Babuder (ur.), Težave pri učenju matematike: strategije za izboljšanje razumevanja in učnih dosežkov učencev (9-24). Ljubljana: Bravo, društvo za pomoč otrokom in mladostnikom s specifičnimi učnimi težavami. Vovk-Ornik, H. (ur.), Kriteriji za opredelitev vrste in stopnje primanjkljajev, ovir oziroma motenj otrok s posebnimi potrebami (str. 23-31). Ljubljana: Zavod RS za šolstvo. Pridobljeno s http://www.zrss.si/pdf/Kriteriji-motenj-otrok-s-posebnimi-potrebami.pdf. Vrlič Danko, A. (2005). Gibalno ovirani otroci in otroci z nevrološko poškodbo v vrtcu in v šoli. Maribor: Svetovalni center za otroke, mladostnike in starše Maribor. Žakelj, A. in Valenčič Zuljan, M. (2015). Učenci z učnimi težavami pri matematiki: prepoznavanje učnih težav in model pomoči. Ljubljana: Zavod Republike Slovenije za šolstvo. Žgur, E. (2017). Vloga razvoja motorike pri otroku in njena vpetost v predšolski kurikul - pomen zgodnje obravnave. V B. Vrbovšek, D. Belak in S. Žnidar, Simona (ur.), Različni otroci - enake možnosti (str. 28-40). Ljubljana: Supra. Žgur, E. (2017). Aspects of motor development in children with cerebral palsy. Innovative issues and approaches in social sciences. Innovative Issues and Approaches in Social Sciences, 10(1), 117-126. Pridobljeno s http://pefprints.pef.uni-lj.si/4358/1/Zgur.pdf 55 IZ TEORIJE ZA PRAKSO Matematika v šoli, št. 1., letnik 24, 2018 Nadarjeni otroci na matematičnem področju Tanja Črnivec Osnovna šola Stična Povzetek Matematična sposobnost je osnova za matematično nadarjenost in je zmožnost spretnega in hitrega operi-ranja s števili in odnosi med njimi (Kavaš v Blažič, 2002). Cilj raziskave z uporabo anketnega vprašalnika je ugotavljanje razlik med matematično nadarjenimi in ostalimi učenci 8. in 9. razreda. Sodelovalo je 35 evidentiranih matematično nadarjenih in 86 ostalih učencev. Odgovorili so na 5 vprašanj s področja računanja, pomena matematike, grafičnega ponazarjanja in udeležbe na tekmovanju Mednarodni matematični kenguru. Rezultati so prikazani z odstotki, ločeno za deklice in dečke. Bistvene ugotovitve raziskave so, da ocene niso odraz nadarjenosti. Tudi učenci, ki niso identificirani kot matematično nadarjeni, so lahko uspešni na matematičnem tekmovanju. (Črnivec, 2009). Opomba: V prispevku z besedno zvezo matematično nadarjeni učenci mislimo učence, ki so identificirani kot nadarjeni na matematičnem področju. Ključne besede: nadarjenost, matematično nadarjeni učenci, raziskava Mathematically Talented Children Abstract Mathematical skills as the basis of mathematical talent are the ability to quickly and easily operate with numbers and their relationships (Kavaš and Blažič, 2002). The purpose of the research using questionnaires was to determine the differences between mathematically talented students and other eighth and ninth grade students. The research included 35 documented mathematically talented students and 86 other students who answered 5 questions relative to calculation, mathematical significance, graphic representation and the international mathematical competition Mathematical Kangaroo. The results are given in percent separately for girls and boys. The most important research findings are that grades do not reflect talent. Even students who are not considered mathematically talented can be successful in mathematical competitions (Črnivec, 2009). Note: The term mathematically talented students in the article refers to students who were recognized as talented in mathematics. Keywords: talent, mathematically talented children, research Uvod Nadarjenost je prirojena sposobnost. Otrok jo lahko podeduje od enega ali obeh staršev. Vendar je sam potencial premalo, če ga ne razvijamo. Pomembno je tudi okolje, v katerem otrok odrašča. Matematična nadarjenost se pri otroku kaže že zelo zgodaj. Matematično nadarjen otrok postavlja smiselna vprašanja že v zgodnjem otroštvu (do 8 let). V obdobju pubertete ga odlikuje samostojno učenje ter interes za fiziko in matematiko. Pri obeh predmetih navadno dosega boljše ocene. Veliko vlogo imajo učitelji in starši nadar- jenega. Brez njihove podpore se nadarjenost ne bi razvila. Zelo pomembno je tudi njihovo medsebojno sodelovanje ter že zgodnje odkrivanje nadarjenih učencev pri pouku. Osnovna šola naj bi dopuščala nadarjenemu učencu zgodnejši vstop v šolo, preskok razreda, zunanjo, notranjo in fleksibilno diferenciacijo, dodatni pouk ter izbirne predmete. Nekateri nadarjeni imajo pogosto težave pri socialnih odnosih s sovrstniki. Navadno bolj zrelo razmišljajo, tako da jih sovrstniki ne morejo razumeti. Veliko je tudi zbadanja na račun drugačnosti. Ena izmed večjih težav je pomanjkljiva moti- vacija za šolsko delo in slabe učne navade, saj jih rutinske naloge dolgočasijo. Tudi pri izbiri poklica se srečajo s težavo, saj jih navadno zanima več stvari, ali jih omejuje učni uspeh, ki ni nujno odličen (Bezic, 2006). Značilnosti matematično nadarjenih otrok Značilnosti matematično nadarjenih otrok lahko razdelimo po področjih (Ka-vaš v Blažič, 2002): 56 Matematika v šoli, št. 1., letnik 24, 2018 PRILOGA 1: UGOTAVLJANJE PREDZNANJA Učne značilnosti: Učenci hitro spoznajo načela, na katerih temeljijo stvari, mislijo jasno in precizno, kritično presojajo podatke in dokaze, hitro si zapomnijo dejstva, iščejo skupne značilnosti in razlike, hitro analizirajo različne vsebine in probleme. Motivacija: Učenci si prizadevajo, da bi naloge vedno rešili, radi delajo neodvisno, določenim problemom se povsem predajo, ob rutinskih nalogah se dolgočasijo; če jih naloga zanima, ne potrebujejo nobene zunanje motivacije. Ustvarjalnost: Učenci veliko sprašujejo o različnih stvareh, svoje mnenje jasno izrazijo, pri reševanju problemov tudi tvegajo, imajo veliko idej in problemskih rešitev. Vpliv spola na matematično nadarjenost V literaturi zasledimo več vzrokov za različno distribucijo matematičnih sposobnostih med dečki in deklicami. Razlike so posledica različne zgradbe možganov pri ženski oz. moškem, pomembnosti funkcije leve možganske hemisfere in pomembnosti moških hormonov za razvoj matematične sposobnosti. Razlike so posledica različnih kulturnih in socialnih pogojev, kot so razlike v vzgoji in socializaciji interesov glede na spol. Deklice so že od najzgodnejšega otroštva usmerjene na socialne in estetske vrednote, dečki na materialno-tehnično-znanst-vene vrednote (Kavaš v Blažič, 2002). Najpomembnejši dejavniki nadarjenih otrok Do trenutka, ko začne otrok hoditi v šolo, so v glavnem starši odgovorni za to, da bodo odkrili njegove posebne sposobnosti. Pomembno je, da otrokovo vedoželj-nost in voljo do storilnosti že v predšolskem obdobju spodbujajo, mu pomagajo, da s svojo storilnostjo nadaljuje tudi po vstopu v šolo in ga bodrijo. Paziti morajo, da ne gojijo prevelikih pričakovanj (Kna-felc v Blažič, 2003). Učitelj, ki ima v razredu nadarjene učence, mora biti dovolj zrel in hkrati sposoben sprejemati otroke z vrhunskimi sposobnostmi. Za nadarjene otroke mora najti in oblikovati pogoje za njihov razvoj. Razumeti mora njihove občutke osamljenosti in frustracije, ki so posledica prehitrega intelektualnega razvoja. Sodelovanje staršev in učiteljev pripomore k razvoju otrokove nadarjenosti, hkrati pomeni združevanje tistih akterjev, ki jih nadarjeni otrok potrebuje ob sebi. Nudijo mu veliko podporo, dajejo možnost za izražanje in mu pomagajo pri reševanju osebnih problemov. Raziskovalni del Glavni cilj raziskovalnega dela je primerjati interese in načine reševanja nalog med matematično nadarjenimi in ostalimi učenci. Anketiranih je bilo 121 učencev - 63 deklic in 58 dečkov. Od 121 učencev je bilo 35 matematično nadarjenih, in sicer 18 deklic in 17 dečkov. Ostalih je bilo 86 učencev. Anketne vprašalnike so reševali učenci 8. in 9. razreda dveh podeželskih osnovnih šol. Z njimi sem skušala ugotoviti, kako se nadarjeni učenci razlikujejo od ostalih. Zanimale so me razlike med nadarjenimi dečki in deklicami pri reševanju nalog z več rešitvami, razlike v grafičnih ponazoritvah, kdo se udeležuje tekmovanja Mednarodni matematični kenguru. Primerjala sem tudi zaključene ocene pri matematiki v preteklem šolskem letu. Ugotovitve Vprašanje je bilo, na koliko različnih načinov lahko sestavijo številski izraz iz števk 2 in 5 z uporabo osnovnih računskih operacij. Vse možne številske izraze, tj. 8, je napisalo 27 matematično nadarjenih učencev (77 %) in 47 ostalih učencev (55 %), kar sem tudi pričakovala. Sestavili so naslednje številske izraze oziroma enakosti: 2 + 5 = 7; 5 + 2 = 7; 5 - 2 = 3; 2 - 5 = - 3; 5 ■ 2 = 10; 2 ■ 5 = 10; 5 : 2 = 2,5; 2 : 5 = 0,4 Med učenci, zajetimi v raziskavo, so matematično nadarjeni učenci napisali več različnih rešitev pri nalogi z več rešitvami kot ostali učenci. Več različnih načinov sestavljanja številskih izrazov je napisalo 15 matematično nadarjenih dečkov (88 %) in 17 matematično nadarjenih deklic (94 %). Med učenci, zajetimi v raziskavo, so matematično nadarjene deklice napisale več rešitev pri nalogi z več rešitvami kot matematično nadarjeni dečki. Na vprašanje, zakaj mislijo, da je matematika koristna, so matematično nadarjeni napisali več odgovorov kot ostali učenci. Največ, tj. 5 odgovorov, je napisal 1 nadarjen deček (6 %). Med nadarjenimi so se največkrat pojavili naslednji odgovori: • za vsakdanjo rabo (v trgovini in na banki), • v gradbeništvu (za načrtovanje in gradnjo hiš), • za medsebojno razumevanje (logika je tista, ki jo potrebujemo za pravične odnose). Ostali učenci so največkrat napisali odgovor, da matematiko potrebujemo: • za vsakdanjo rabo (v trgovini in na banki), • za službo in za način razmišljanja. Med učenci, zajetimi v raziskavo, so matematično nadarjene deklice napisale manjše število odgovorov (72 %) na postavljeno vprašanje kot matematično nadarjeni dečki (82 %). Naloga, ki so jo morali učenci grafično ponazoriti: Metka ima 2 celi žogi, Matija 3 cele žoge in 5 poškodovanih, Sandi 8 celih žog in 2 poškodovani. Rok ima x žog in vse so cele. Koliko žog ima Rok, če jih imajo vsi skupaj 50. Deklice so pogosto pretirano natančne, dečki nasprotno pogosto ustvarjajo intuitivne, hitre rešitve. Tudi v tem primeru so bile deklice bolj natančne pri grafični ponazoritvi. Nalogo je pravilno grafično ponazorilo 16 matematično nadarjenih deklic (89 %) in 13 matematično nadarjenih dečkov (76 %). Pri grafični ponazoritvi matematične naloge so bile matematično nadarjene deklice uspešnejše kot matematično nadarjeni dečki. Na vprašanje o udeležbi na tekmovanju Mednarodni matematični kenguru je 18 matematično nadarjenih učencev (51 %) obkrožilo odgovor, da so se vsako leto 57 IZ TEORIJE ZA PRAKSO Matematika v šoli, št. 1., letnik 24, 2018 35 30 25 20 15 10 Število žog na posameznega otroka Metka Matija Sandi udeležili tekmovanja, vendar niso vedno dobili priznanja. Eden (3 %) se tekmovanja ni nikoli udeležil. Med ostalimi 86 učenci je 32 (37 %) takih, ki se niso nikoli udeležili tekmovanja. Samo eden (1 %) se je udeležil tekmovanja vsako leto in vedno dobil tudi priznanje. Kot zanimivost velja izpostaviti, da je med matematično nadarjenimi učenci 1 učenec, ki se ni nikoli udeležil tekmovanja, med ostalimi pa učenec, ki se je vsako leto udeležil tekmovanja in dobil priznanje. Torej so lahko na matematičnem tekmovanju uspešni tudi tisti učenci, ki niso identificirani kot nadarjeni. Med učenci, zajetimi v raziskavo, matematično nadarjeni učenci na tekmovanju Mednarodni matematični kenguru niso dobili vedno priznanja. Zaključene ocene iz matematike v preteklem šolskem letu so vidne v Tabeli 1. Med učenci, zajetimi v raziskavo, je nadarjenost za matematiko vplivala na zaključeno oceno iz matematike, saj je imelo 17 učencev (48,6 %) zaključeno oceno v preteklem letu odlično. Med učenci, zajetimi v raziskavo, veljajo naslednje sklepne ugotovitve: • Med matematično nadarjenimi učenci je več deklic kot dečkov. • Matematično nadarjeni učenci napišejo več različnih rešitev pri nalogi z več rešitvami kot ostali učenci. • Matematično nadarjene deklice napišejo več rešitev pri nalogi z več rešitvami kot matematično nadarjeni dečki. Matematično nadarjeni učenci napišejo več odgovorov na zastavljeno vprašanje kot ostali. Matematično nadarjene deklice so uspešnejše pri grafični ponazoritvi matematične naloge kot matematično nadarjeni dečki. Matematično nadarjeni učenci ne dobijo vedno priznanja na tekmovanju Mednarodni matematični kenguru. Tudi učenci, ki niso identificirani kot matematično nadarjeni, se udeležujejo tekmovanja Mednarodni matematični kenguru. Poleg matematično nadarjenih otrok imajo tudi nekateri učenci, ki niso identificirani kot matematično nadarjeni, zaključeno oceno iz matematike odlično ali prav dobro. Tabela 1: Zaključene ocene iz matematike v preteklem šolskem letu Ocena Nezadostno (1) Zadostno (2) Dobro (3) Prav dobro (4) Odlično (5) Skupaj Matematično nadarjeni učenci 0 (0 %) 0 (0 %) 1 (2,9 %) 17 (48,6 %) 17 (48,6 %) 35 (100 %) Ostali učenci 0 (0 %) 29 (33,7 %) 31 (36 %) 19 (22,1 %) 7 (8,1 %) 86 (100 %) Skupaj 0 (0 %) 29 (24 %) 32 (26,4 %) 36 (29,8 %) 24 (19,8 %) 121 (100 %) 58 Matematika v šoli, št. 1., letnik 24, 2018 PRILOGA 1: UGOTAVLJANJE PREDZNANJA Zaključek Med učenci, zajetimi v raziskavo, je bilo med matematično nadarjenimi učenci več deklic kot dečkov, matematično nadarjeni učenci so napisali več različnih rešitev pri nalogi z več rešitvami in več odgovorov na postavljena vprašanja. Matematično nadarjene deklice so bile uspešnejše pri grafični ponazoritvi matematične naloge kot matematično nadarjeni dečki. Matematično nadarjeni učenci niso dobili vedno priznanja v tekmovanju Mednarodni matematični kenguru in zaključeno oceno odlično so imeli tudi tisti učenci, ki niso bili identificirani kot matematično nadarjeni. Vsak dober pedagog mora vedeti, da ocena ni nujno odraz učenčeve nadarjenosti. Vsakemu učencu, še posebno pa nadarjenim, je treba omogočiti vključevanje v različne dejavnosti, kot so: tekmovanja, nastopi na prireditvah, interesne dejavnosti ... Učitelji se moramo zavedati svojega pedagoškega poslanstva, svojega vpliva na otrokove odločitve in moči svojega zgleda. Prav je, da učenca spodbujamo, ga opogumljamo, za uspehe pohvalimo, usmerjamo, mu omogočamo učenje iz lastnih napak, predvsem pa v njem iščemo dobro. ■ Viri in literatura Bezic, T., idr. (2006). Odkrivanje nadarjenih učencev in vzgojno-izobraževalno delo z njimi. Ljubljana: Zavod RS za šolstvo. Črnivec, T. (2009). Nadarjeni otroci pri pouku matematike. Diplomsko delo, Pedagoška fakulteta, Univerza v Ljubljani, Pedagoška fakulteta. Kavaš, B. (2002). Matematično nadarjeni učenci v osnovni šoli, Pedagoška obzorja, l. 17, št. 3-4, str. 38-50. Knafelc, B. (2003). Pomen in vloga družine pri spodbujanju nadarjenega otroka, V: Blažič, M. (ur.). Nadarjeni med teorijo in prakso. Ljubljana: NUK, str. 207-218 59 MATEMATIKA SKOZI ZGODOVINO Matematika v šoli, št. 1., letnik 24, 2018 O dr. Ivanu Vidavu Dijaki Srednje trgovske šole Ljubljana z mentorico Anico Hočevar Dijaki Srednje trgovske šole Ljubljana so s svojimi izdelki sodelovali na natečaju: »IVAN VIDAV - pomemben soustvarjalec matematike v Sloveniji«. Namen natečaja je bil ozaveščanje o pomembnosti odkritij na področju znanosti, spoznavanje zgodovinskega razvoja matematike in znanih matematikov ter ustvarjanje na razpisano temo. Letos poteka 100-ta obletnica rojstva slovenskega matematika Ivana Vidava. Največ je raziskoval na področju diferencialnih enačb, funkcionalne analize in algebre. Razen po njegovih znanstvenih razpravah ga poznamo tudi po strokovnih člankih, predvsem s področja teorije števil in geometrije, kot npr.: • O praštevilih. • Število n na deset tisoč decimalk. • Racionalna in iracionalna števila. Napisal je tudi veliko poljudnoznanstvenih člankov, npr.: • O številu 13. • O delitvi dediščine. • Številka Tonetove osebne izkaznice. • Kako razrežemo kvadrat na same ostrokotne trikotnike. • Kako ugotovimo, da je naravno število sestavljeno, preden ga razstavimo. Objavljamo nekaj izdelkov, ki so bili razstavljeni na 4. mednarodni konferenci o učenju in poučevanju matematike KUPM 2018 ^^^^ v Laškem. ■ m W//A k 1 1 t 'i it L/m \VM 1* J B\ f I ilWA\/ 1 ¥ T C/ P-\ V J v- LUV \ Ä A - lila - lo fs* 1 v LJL ] ^ ^ U'll lr L— »C IbÜANÍ L._ Bor Pavlin Petra Grom: Pesem o dr. Vidavu po' * dt.W*0® 60 Matematika v šoli, št. 2., letnik 24, 2018 UVODNIK Katja Kovačič: Število Pl — ManVidav-P' Kat)aKovaOC.Wan ortretizst' 61 NOVICE Matematika v šoli, št. 2., letnik 24, 2018 UVODNIK Dogajalo se je v Hermanovem brlogu v Celju Vodniki po razstavi, dijaki Gimnazije Celje - Center V marcu so v Hermanovem brlogu potekale matematične delavnice. Otroci iz vse okolice Celja so se preizkusili v trinajstih nalogah. Da je bilo lažje, smo cel teden otroke spremljali dijaki Gimnazije Celje-Center. Smo dijaki predšolske vzgoje, zato smo delo animatorja z veseljem opravljali. Naloge so bile raznolike in zanimive. Dijaki smo bili prisotni predvsem pri težjih matematičnih nalogah. Najprej smo skupino otrok razdelili v dve skupini, saj so bile naloge razdeljene v dveh prostorih. Nato smo jih najprej popeljali skozi naloge, nato pa so jih prosto reševali. Najbolj so jim bile všeč naloge, ki so vsebovale milnico in seveda je bila miza vedno povsem mokra. Pri teh nalogah so spoznavali telesa. Najmanj pa so se zadrževali pri tistih, ki so bile bolj zahtevne, čeprav priznamo, da so bile nekatere tudi nam težko rešljive. Z nekaj pomoči so otroci rešili prav vsak izziv. Prav tako jim je bilo všeč, ko so morali z dotikom * ; Slika 2: Zrcalno pisanje - naloga otrok je bila, da z gledanjem v zrcalo obrišejo dano obliko (ribica ali zvezda). prepoznati kuhinjski pripomoček in razvrstiti slike. Poleg vseh nalog pa je bil prostor, v katerem so bile razstavljene igrače, ki smo jih izdelali dijaki. Otroci so se z njimi radi igrali, mi pa smo jim jih z veseljem predstavljali. Teden je hitro minil, mi pa smo pridobili ogromno izkušenj. Sami smo ugotovili, da matematika ni vedno tako težka in nezanimiva. ■ Slika 1: Senčno mesto - naloga otrok je, da iz danih lesenih teles sestavijo mesto, katerega senco vidijo v ozadju. 62 Matematika v šoli, št. 2., letnik 24, 2018 UVODNIK Slika 3: Most - naloga otrok je bila, da sestavijo most iz danih gradnikov. 63 NOVICE Matematika v šoli, št. 2., letnik 24, 2018 UVODNIK Predstavitev nove knjige: MArTEMATIČNE PRIGODE ]ylartA f ab*et M A v ,-TEMATiČNE PRIGODE Marta Zabret DMFA-Založništvo Ljubljana, 2017 148 strani Cena: 12,50 € lemov z notranjim ocenjevanjem na šolah in s preskusi znanja na državnem nivoju. Knjiga ima tudi nekaj čisto matematične vsebine, denimo v obliki zanimivo predstavljenih problemov na srednješolskem nivoju. Naslovnico je lepo oblikovala Neža Vavpetič, matematično navdihnjene izvirne, posrečene ilustracije in vinjete sta prispevali Ariana Godicelj in Ana Hafner. Knjiga je nadvse dobrodošla novost. Mislim, da jo bodo skoraj vsi bralci priporočili tudi drugim. ■ dr. Peter Legiša, Fakulteta za matematiko in fiziko, Univerza v Ljubljani ■ Knjiga je množica kratkih zgodb, v katerih so strnjene mnoge pisatelji-čine življenjske izkušnje. Vse se vrti okrog matematike in šole. Zvemo za avtoričino življenjsko pot do naziva profesorica matematike in specialistka matematičnega izobraževanja. Jedro knjige pa so zgodbe o njenih dijakinjah in dijakih. Besedila so napisana zelo lepo in strnjeno, v njih je tudi precej humorja. Zgodbe lahko beremo samostojno; nekatere so prav kratke. Vsi smo tako ali drugače bili deležni matematičnega izobraževanja. (Nekateri smo matematiko tudi poučevali.) Vsebina je zato zanimiva za vse. Marsikatera izkušnja iz knjige pa velja tudi za pouk pri drugih predmetih. Najdemo tudi strnjen, dobro premišljen in humoren prikaz prob- 3. Vn Etj e fiimjfiuv in kosmu.1DV Tale pimtka...................... Ko Sivljenje boli ................... O zaljubUenofti.................. Jabolko blizu drevesa ali bosa kovačeva kobila O možu ........................ 55 56 Si> 63 66 74 71 80 84 91 94 100 105 106 110 118 Pomoč ali pot:] h s .......................... 124 Interno, ekstemo, inferno..................... 129 4. nva krat tri rti vedno tri krat dva Dvoreznost dobrilt namenov..... Blišč in beda tehnologije....... Leta suhih krav............. Na robti in onkraj njega ....... Pismo učiteljici, in odgovor nanj . . 5. Kdor krajša £ez plus, dobi Sus O znanju............... Raihtnstvoali matematika . . . . Privilegij izobraževanja...... ... do ljubezni Mala šola dokazovanja Zahvale 135 137 143 LJUBEZEN V MATEMATIKI To je knjiga, ki jo je na police treba odložiti poleg Svetega pisma, Iliade in Integralov Srečka Kosovela. Radi jo bodo imeti vsi, ki nikoli niso marali matematike, in so sklep, da zanjo niso nadarjeni, prenesli na svoje otroke. Z matematiko se v življenju srečamo dvakrat. Prvič, ko dokončno propademo pri integralnem računu in takoj za tem za vedno pobegnemo pred enačbami. Drugič, ko svojim otrokom poskušamo razložiti, kako preprosta stvar je matematični izračun, in se nam začne kolcati pri poštevanki. Kdor z matematiko nikoli ni imel težav, se bo ob branju lahkotno zabaval. Vsi drugi ga doživimo kot odrešitev. V tem svetu nismo sami. In na drugi strani je nekdo.vki ve za našo stisko in je o njej napisa! knjigo. Govori o srečanju z neskončnostjo in večnostjo in njunimi povezavami z vsakdanjo šolsko politiko naiega časa. Kot mnoge knjige, ki se vrtijo okrog težkih reči, je napisana lahkotno, dokler se bralec ne sooči z visokim zidom, ki ga spremlja od prvih dni srednje šole. Kdor je imel težave s poftevanko, si je težko razložil neskončnost, s katero je moral operiran, ko so predenj položili odvode. Čez zid mu učiteljica matematike Marta Zabret pomaga z nardtivno tehniko starodavnih besedil, ki zapletene koncepte stvaritve sveta in njegovih možnih koncev razložijo z zgodbami. Bralec ima srečo, ker je učiteljica fantastična pripovedovalka zgodb. Pri tem ne sklepa kompromisov. Ta, ki razlaga zapletene reči, ne ponuja poenostavitev, ponuja razlago, ki razreši misterij, »Čeprav je poučevanje večen kompromis med jezikom znanosti in poenostavitvami, ki naj povečajo prebavljivost obravnavanih vsebin v možganih učencev,« je zapisala proti 64 Mathematics in school CONTENTS Mateja Sirnik Editorial 2018, Volume 2a FROM THE THEORY FOR PRACTICE Silva Kmetic Feedback - an Important Teaching Element . FROM THE CLASSROOM Tomaž Miholič On Multiplication Tables............... Rok Lipnik Formative Assessment Elements in High-School Mathematics Lidija Jug Unfinished Sentences for Reflection................................................................. Katja Kmetec Formative Assessment in POLYGONS Ada Holcar Brunauer, PhD in Urška Margan Teacher Self-Assessment Form with Formative Assessment Elements Melita Gorše Pihler From the Manual Formative Assessment in Mathematics.................................. Marko Razpet, PhD Number 41............... Anja Vidmar, Janez Jerman, PhD, Erna Žgur Counting and Calculation Strategies in Children with Impairment in Movement........................................... Tanja Črnivec Mathematically Talented Children 14 21 26 28 . 41 42 46 47 56 MATHEMATICS THROUGH HISTORY Students of the Secondary vocational school Ljubljana About Ivan Vidav................................................................................. 60 HIGHLIGHTS Guides to exhibition, students of the Secondary school Celje - Center Activities in Children's Museum Herman's Den in Celje..................... Peter Legisa, PhD Introduction of the Book MArTEMATICNE PRIGODE (MATHEMATICAL ADVENTURES)................................................ 62 64 2 IZ ZALOŽBE ZAVODA RS ZA ŠOLSTVO Formativno spremljanje v podporo učenju Priročnik za učitelje in druge strokovne sodelavce Priročnik obsega 7 zvezkov, zbranih v mapi, cena 12,40 € Zakaj formativno spremljati • Nameni učenja in kriteriji uspešnosti • Dokazi • Povratna informacija • Vprašanja v podporo učenju • Samovrednotenje, vrstniško vrednotenje • Formativno spremljanje v vrtcu Formativno spremljanje na RAZREDNI STOPNJI Formativno spremljanje pri MATEMATIKI AKTIVNA VLOGA UCENC Napovedujemo: Formativno spremljanje pri ZGODOVINI Formativno spremljanje pri DELU SVETOVALNIH DELAVCEV Formativno spremljanje kot PODPORA UČENCEM S POSEBNIMI POTREBAMI Zavod Republike Slovenije za šolstvo Naročanje: P Zavod RS za šolstvo, Poljanska c. 28, 1000 Ljubljana T 01 300 51 00 F 01 300 51 99 E zalozba@zrss.si S www.zrss.si m9 revije ZRSŠ SPp IPg facebook ZRSŠ twitter ZRSŠ 9771318010005