Univerza v Ljubljani Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo NANA KRAUBERGER VPLIV POŽARA NA OBNAŠANJE OJA O Ž A NI A N A ETONSKI A N LINIJSKIH KONSTRUKCIJ DOKTORSKA DISERTACIJA DOKTORSKA DISERTACIJA Ljubljana, 10. junij 2008 Ljubljana, 2008 Krauberger, N. 2008. Vpliv požara na obnašanje ojačanih betonskih linijskih konstrukcij. VII Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. BIBLIOGRAFSKO-DOKUMENTACIJSKA STRAN IN IZVLEČEK UDK: 614.84:624.012.46(043.3) Avtor: Nana Krauberger Mentor: izr. prof. dr. Igor Planine Somentor: doc. dr. Sebastjan Bratina Naslov: Vpliv požara na obnašanje ojačanih betonskih linijskih konstrukcij Obseg in oprema: 109 str., 11 pregl., 62 si., 347 en. Ključne besede: prednapeti betonski nosilci, zamik, stik beton-jeklo za prednapenjanje, Reissnerjev nosilec, požarna odpornost, lezenje, diferenčna metoda, metoda končnih elementov Izvleček V disertaciji je predstavljen matematični model in računski postopek za geometrijsko in materialno nelinearno analizo predhodno napetih betonskih linijskih konstrukcij ob sočasnem delovanju mehanske in požarne obtežbe. Pri izpeljavi modela so upoštevani zamiki na stiku med betonom in jeklom za prednapenjanje, luščenje betona pa v modelu ni upoštevano. Zaradi zahtevnosti modela je vsebina disertacije razdeljena na dva dela. V prvem delu so predstavljene osnovne enačbe modela za analizo prednapetih betonskih linijskih konstrukcij pri sobni temperaturi. Obnašanje betonskega dela prednapete linijske konstrukcije je opisano z Reissnerjevim modelom ravninskega nosilca, obnašanje jekla za prednapenjanje pa z modelom vrvi. Osnovne enačbe modela so rešene s pomočjo novih deformacijskih končnih elementov, ki so izpeljani s pomočjo modificiranega izreka o virtualnem delu. Ustreznost in natančnost predstavljenega matematičnega modela in računskega postopka za analizo prednapetih betonskih linijskih konstrukcij pri sobni temperaturi je ocenjena s primerjavo med numeričnimi in eksperimentalnimi rezultati. Primerjava je pokazala, da togost stika med betonom in jeklom za prednapenjanje bistveno vpliva na potek kinematičnih in statičnih količin v prednapetih betonskih linijskih konstrukcijah. V drugem delu naloge, ki je tudi osrednja tema disertacije, je matematični model in računski postopek za analizo prednapetih betonskih linijskih konstrukcij pri sobni temperaturi razširjen na razmere, ki vladajo med požarom. Predstavljeni model je razdeljen na dve matematično nepovezani fazi. V prvi fazi je določena časovna in krajevna razporeditev temperature in vlage v prečnem prerezu prednapete betonske linijske konstrukcije. Za opis povezanega prenosa toplote in vlage v kapilarno poroznih materialih med požarom je uporabljen Luikov matematični model. Določata ga dve povezani nelinearni parcialni diferencialni enačbi s temperaturno in vlažnostno odvisnimi materialnimi parametri. Enačbi sta rešeni z diferenčno metodo. V drugi fazi analize je s pomočjo dobljenih rezultatov prve faze določen časovni odziv prednapete linijske konstrukcije med požarom ob sočasnem delovanju mehanske in temperaturne obtežbe. Materialni zakoni betona, jekla za armiranje in jekla za prednapenjanje so nelinearni, pripadajoči materialni parametri pa so odvisni od temperature. Prav tako je nelinearna in odvisna od temperature konstitu-cijska zveza med zamiki in strižnimi napetostmi na stiku med betonom in jeklom za prednapenjanje. Pri določitvi napetostnega in deformacijskega stanja prednapetih linijskih konstrukcij med požarom so poleg mehanskih in temperaturnih deformacij upoštevane tudi t.i. prehodne deformacije betona in lezenje betona ter viskozno lezenje jekla za armiranje in prednapenjanje. Ustreznost in natančnost predstavljenega matematičnega modela in računskega postopka za analizo prednapetih betonskih linijskih konstrukcij med požarom je ocenjena s primerjavo med numeričnimi in eksperimentalnimi rezultati. Primerjava in podrobna parametrična študija je pokazala, da je časovno in krajevno razporeditev temperatur in vlage v prednapetih linijskih konstrukcijah potrebno določiti z enačbami povezanega prenosa toplote in vlage, ter da imajo zamiki na stiku med betonom in jeklom za prednapenjanje pomemben vpliv na napetostno in deformacijsko stanje ter požarno odpornost prednapetih betonskih linijskih konstrukcij in jih v analizi ne smemo zanemariti. VIII Krauberger, N. 2008. Vpliv pozˇara na obnasˇanje ojacˇanih betonskih linijskih konstrukcij. Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbenisˇtvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. BIBLIOGRAPHIC-DOCUMENTALISTIC INFORMATION UDC: 614.84:624.012.46(043.3) Author: Nana Krauberger Supervisor: Assoc. Prof. dr. Igor Planinc Co-supervisor: Assist. Prof. dr. Sebastjan Bratina Title: Analysis of prestressed concrete structures exposed to fire Notes: 109 p.,11tab., 62fig., 347 eq. Key words: prestressed concrete beams, slip, contact concrete-prestressing steel, Reissner’s beam theory, fire resistance, finite difference method, creep, finite element method Summary The thesis presents the mathematical model and numerical procedure for geometrically and materially non-linear static analysis and fire resistance of prestressed concrete structures. The mathematical model is limited to pretensioned prestressed concrete structure. In the derivation of matematical model the slip effect between concrete part of the structure and prestressing steel is considered, while the concrete spalling is not included into the matematical model. Because the problem was very complex we decided to divide the thesis into two parts. The first part presents the static analysis and the system of fundamental equations of prestressed concrete structures considering slip effect between concrete part of structure and prestressing steel. Reissner’s planar beam theory is used to model the concrete part of the structure, while the prestressing steel is modelled as a rope model. The system of the fundamental equations has to be solved numerically. Therefore, a modified principle of virtual work is used to derive the strain based family of finite elements for a non-linear analysis of prestressed concrete structures. The applicability and the accuracy of the proposed mathematical model and numerical procedure of prestressed concrete structures subjected to static load are illustrated and verified by numerical examples avaliable in literature. It was found out that the slip effect between concrete part of the structure and prestressing steel has a significant influence on kinematic and static quantities in prestressed concrete structures. In the second part, which is the main part of the thesis the mathematical model and numerical procedure is expanded to the analysis of prestressed concrete structure exposed to fire. Because the problem is very complex, the problem was devided into two phases. In the first phase the temperature and moisture content in concrete section are analysed. The Luikov matematical model with two coupled non-linear partial differential equations is used to describe the simultaneous heat and moisture content. Material parameters are dependent on temperature and moisture content. Generally, the exact solution of this problem is not known, therefore the simultaneous heat and moisture content in porous material has to be solved numerically. In our case the finite difference method is used. The temperature field of the structure represents the temperature load in the second phase of the analysis, where the mechanical response of prestressed concrete structures simultaneously exposed to static load and fire is presented. Concrete, reinforcing and prestressing steel all depend on temperature. Also, the slip-shear stress relationship between concrete part of the structure and prestressing steel depend on temperature. The geometric strain increment is assumed to be the sum of increments of elastic, plastic, temperature and creep strain in concrete, reinforcing steel and prestressing steel and the increment of trainsent strain in concrete. The applicability and the accuracy of prestressed concrete structures subjected to static load and fire is illustrated and verified by numerical examples avaliable in literature. It was found out that simultaneous heat and moisture content has an important influence on the temperature and moisture content analysis in concrete. It was also found out that the slip effect between concrete part of the structure and prestressing steel significantly affects on the stress and strain state of prestressed concrete structures, when taken into account. Krauberger, N. 2008. Vpliv požara na obnašanje ojačanih betonskih linijskih konstrukcij. IX Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. ZAHVALE Najprej bi se iz srca zahvalila mentorju izr. prof. dr. Igorju Planincu in somentorju doc. dr. Sebastjanu Bratini. Hvala vama za strokovno vodenje, nasvete in nesebicˇno pomocˇ, ki sem jih bila delezˇna pri nastajanju tega dela. Iskrena hvala vsem sodelavcem na Katedri za mehaniko. V tako naklonjenem okolju in prijetnem delovnem vzdusˇju zahtevne poti postanejo enostavnejsˇe. Za razne nasvete in izmenjavo mnenj bi se zahvalila tudi sodelavcem v pisarni: dr. Matiji Gamsu, Tomazˇu Hozjanu in Mojci Markovicˇ. Iskrena hvala Ministrstvu za visoko sˇolstvo, znanost in tehnologijo Republike Slovenije ter Ministrstvu za gospodarstvo Republike Slovenije za dodeljeno sˇtipendijo. Na tem mestu bi se iskreno zahvalila Fakulteti za gradbenisˇtvo in geodezijo v Ljubljani ter gradbenemu podjetju Vegrad d.d., ki sta mi v okviru programa mladih raziskovalcev ponudila ustrezno delovno mesto za podiplomski sˇtudij. Iskrena hvala prijateljem, ki so mi stali ob strani. Na koncu, a ne na zadnje, bi se iskreno zahvalila tudi svojim najblizˇnjim: Domnu, starsˇema ter sestri z druzˇino. Hvala vam za podporo, spodbudo in razumevanje, tebi Domen pa hvala tudi za potrpezˇljivost. X Krauberger, N. 2008. Vpliv požara na obnašanje ojačanih betonskih linijskih konstrukcij. Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. Krauberger, N. 2008. Vpliv požara na obnašanje ojačanih betonskih linijskih konstrukcij. XI Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. KAZALO VSEBINE 1 UVOD 1 2 STATICˇNA ANALIZA PREDNAPETIH BETONSKIH LINIJSKIH KONSTRUKCIJ 5 2.1 Osnovne enačbe prednapetih betonskih linijskih nosilcev................. 5 2.1.3 Konstitucijske enačbe ............................... 10 2.1.5 Konstitucijski zakon stika............................. 15 2.2 Diskretizacija posplošenih ravnotežnih enačb prednapetega betonskega linijskega nosilca 19 2.2.1 Izrek o virtualnem delu............................... 19 2.2.2 Modificiran izrek o virtualnem delu........................ 20 2.2.3 Galerkinova (standardna) metoda končnih elementov............... 27 2.3.1 Prednapeti prostoležeči nosilec........................... 30 2.3.1.1 Analiza izbranega geometrijskega modela............... 31 2.3.1.2 Primerjava eksperimentalnih in numeričnih rezultatov......... 33 2.3.1.3 Analiza konvergence deformacijskih končnih elementov........ 34 2.3.1.4 Vpliv togosti stika na obnašanje prednapetega nosilca......... 35 2.3.2 Prednapeta betonska votla plošča ......................... 37 2.3.2.1 Primerjava med numeričnimi in eksperimentalnimi rezultati...... 38 2.3.2.2 Vpliv nivoja zunanje obtežbe na obnašanje prednapete votle plošče . . 38 2.3.2.3 Vpliv togosti stika na obnašanje prednapete votle plošče........ 40 XII Krauberger, N. 2008. Vpliv požara na obnašanje ojačanih betonskih linijskih konstrukcij. Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. 3 VPLIV POŽARA NA OBNAŠANJE PREDNAPETIH BETONSKIH LINIJSKIH KONSTRUKCIJ 47 3.1 Temperaturno-vlažnostna analiza prednapetih betonskih linijskih konstrukcij....... 47 3.1.1 Osnovne enačbe prevajanja toplote in vlage.................... 49 3.1.2 Diferenčna metoda................................. 52 3.2 Določitev napetostnega in deformacijskega stanja v prednapetem betonskem nosilcu med 3.2.1 Adicijski razcep geometrijske deformacije..................... 55 3.2.2 Posplošene ravnotežne enačbe prednapetega betonskega nosilca med požarom . . 55 3.2.3 Računski postopek................................. 57 3.3 Mehanske in toplotne lastnosti betona, jekla za armiranje in prednapenjanje ter stika pri visokih temperaturah.................................... 59 3.3.1.1 Tlačna trdnost betona.......................... 59 3.3.1.2 Elastični modul betona ......................... 61 3.3.1.3 Koeficient toplotnega raztezanja betona................. 61 3.3.1.4 Specifična toplotna kapaciteta in specifična vlažnost betona...... 63 3.3.1.5 Gostota betona.............................. 64 3.3.1.6 Koeficient toplotne prevodnosti in prevodnostni koeficient vlage betona 64 3.3.1.7 Konstitucijski zakon betona pri povišanih temperaturah........ 65 3.3.2 Jeklo za armiranje ................................. 69 3.3.2.1 Meja elastičnosti in natezna trdnost jekla za armiranje......... 69 3.3.2.2 Elastični modul jekla za armiranje ................... 69 3.3.2.3 Koeficient raztezanja in krčenja pri jeklu za armiranje......... 70 3.3.2.4 Specifična toplotna kapaciteta jekla za armiranje............ 70 3.3.2.5 Konstitucijski zakon jekla za armiranje pri povišanih temperaturah . . 71 3.3.3 Jeklo za prednapenjanje.............................. 75 3.3.3.1 Meja elastičnosti in natezna trdnost jekla za prednapenjanje...... 75 3.3.3.2 Elastični modul jekla za prednapenjanje ................ 75 3.3.3.3 Koeficient raztezanja in krčenja pri jeklu za prednapenjanje...... 75 3.3.3.4 Specifična toplotna kapaciteta jekla za prednapenjanje......... 75 3.3.3.5 Konstitucijski zakon jekla za prednapenjanje pri povišanih temperaturah 77 3.3.4 Stik med betonom in jeklom za prednapenjanje.................. 78 3.3.4.1 Mehanske lastnosti stika......................... 78 3.3.4.2 Konstitucijski zakon stika pri povišanih temperaturah......... 80 Krauberger, N. 2008. Vpliv požara na obnašanje ojačanih betonskih linijskih konstrukcij. XIII Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. 3.4.1 Prostoležeče prednapete betonske plošče ..................... 82 3.4.1.1 Določitev temperature in vlage v prečnem prerezu........... 83 3.4.1.2 Analiza mehanskega odziva plošč pri sočasnem delovanju požara in mehanske obtežbe............................ 85 3.4.2 Prednapeta betonska plošča s previsi........................ 90 3.4.2.1 Določitev temperature in vlage v prečnem prerezu........... 91 3.4.2.2 Analiza mehanskega odziva plošče pri sočasnem delovanju požara in mehanske obtežbe............................ 92 4 ZAKLJUČKI 101 VIRI 103 XIV Krauberger, N. 2008. Vpliv požara na obnašanje ojačanih betonskih linijskih konstrukcij. Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. Krauberger, N. 2008. Vpliv požara na obnašanje ojačanih betonskih linijskih konstrukcij. XV Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. KAZALO SLIK Slika 2.1 Prednapeti betonski nosilec: (a) nedeformirana lega in (b) Deformirana lega. . . . . 6 Slika 2.2 Obtezˇba prednapetega betonskega nosilca ....................... 9 Slika 2.3 Geometrijski pomen zamika na stiku med betonom in prednapetim kablom. . . . . 14 Slika 2.4 Komponente kontaktne linijske obtezˇbe na stiku med betonom in prednapetim kablom. . .......................................... 16 Slika 2.5 Geometrijski in materialni podatki ter podatki o obtezˇbi. . ............. 31 Slika 2.6 Konstitucijski zakoni za beton, jeklo za armiranje in prednapenjanje v skladu z Eurocode 2, Part 1-1 (2004); konstucijski zakon stika med betonom in prednapetim jeklom (Keuser in Mehlhorn, 1983). . ............................... 33 Slika 2.7 Obtezˇno-deformacijska krivulja. Primerjava numericˇnih in eksperimentalnih rezultatov. . ............................................ 34 Slika 2.8 Spreminjanje relativne napake pri mejni nosilnosti nosilca Pmej v odvisnosti: (a) od sˇtevila koncˇnih elementov in (b) od stopnje numericˇne integracije. . ......... 35 Slika 2.9 Vpliv zacˇetne togosti stika na potek osne sile: (a) v betonu Nc in (b) v prednapetem kablu Np1 ........................................... 36 Slika 2.10 Vpliv zacˇetne togosti stika na potek: (a) zamikov ?1 in (b) strizˇne komponente kontaktnega napetostnega vektorja p1t,p. . ......................... 36 Slika 2.11 Vpliv zacˇetne togosti stika na potek: (a) normalne komponente kontaktnega napetostnega vektorja p1n,p in (b) navpicˇnega pomika wc na sredini nosilca ............. 37 Slika 2.12 Geometrijski in materialni podatki ter podatki o obtezˇbi. . ............. 38 XVI Krauberger, N. 2008. Vpliv požara na obnašanje ojačanih betonskih linijskih konstrukcij. Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. Slika 2.13 Obtežno-deformacijska krivulja. Primerjava numeričnih in eksperimentalnih rezul- Slika 2.14 Spreminjanje osne sile vzdolž osi plošče za štiri nivoje zunanje obtežbe: (a) v betonu Mc in (b) v prednapetem kablu Ml.......................... 39 Slika 2.15 Spreminjanje: (a) zamika A1 in (b) strižne komponente kontaktnega napetostnega vektorja p\v vzdolž stika med betonom in prednapetim kablom za štiri nivoje zunanje Slika 2.16 Vpliv začetne togosti stika na potek obtežno-deformacijske krivulje......... 41 Slika 2.17 Vpliv nivoja zunanje obtežbe in začetne togosti stika na potek osne sile v prednapetem kablu M}...................................... 42 Slika 2.18 Vpliv nivoja zunanje obtežbe in začetne togosti stika na potek zamikov A1 vzdolž stika med betonom in prednapetim kablom......................... 43 Slika 2.19 Vpliv nivoja zunanje obtežbe in začetne togosti stika na potek strižne komponente kontaktnega napetostnega vektorja j)\ vzdolž stika med betonom in prednapetim kablom. 44 Slika 3.1 Požarne krivulje.................................... 48 Slika 3.2 Oznake temperatur v točkah diferenčne mreže pri dveh različnih časih........ 53 Slika 3.3 Oznake vozlišč izbrane diferenčne mreže glede na lego v prerezu.......... 54 Slika 3.4 Spreminjanje tlačne trdnosti betona s temperaturo glede na nivo tlačne obremenitve za: (a) kremenčev agregat in (b) apnenčev agregat..................... 60 Slika 3.5 Spreminjanje tlačne trdnosti betona s temperaturo glede na vrsto uporabljenega Slika 3.6 Spreminjanje elastičnega modula betona s temperaturo................ 62 Slika 3.7 Temperaturne deformacije betona........................... 62 Slika 3.8 Spreminjanje specifične toplote betona iz kremenčevega agregata skladno z Eurocode 2, Part 1-2 (2003)................................... 63 Slika 3.9 Spreminjanje gostote betona s temperaturo skladno z Eurocode 2, Part 1-2 (2003). . 64 Slika 3.10 Toplotna prevodnost betona kot funkcija temperature ................. 65 Krauberger, N. 2008. Vpliv požara na obnašanje ojačanih betonskih linijskih konstrukcij. XVII Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. Slika 3.11 Konstitucijski zakon betona pri izbranih temperaturah v skladu z Eurocode 2, Part 1-2 (2003). . ........................................ 66 Slika 3.12 Spreminjanje meje elasticˇnosti in trdnosti jekla za armiranje s temperaturo. . . . . 69 Slika 3.13 Spreminjanje elasticˇnega modula jekla za armiranje s temperaturo .......... 70 Slika 3.14 Temperaturne deformacije jekla za armiranje. . ................... 71 Slika 3.15 Konstitucijski zakon hladno oblikovanega jekla za armiranje pri izbranih temperaturah skladno z Eurocode 2, Part 1-2 (2003) ......................... 72 Slika 3.16 Znacˇilni diagram cˇasovnega razvoja lezenja jekla ................... 73 Slika 3.17 Spreminjanje meje elasticˇnosti in trdnosti jekla za prednapenjanje s temperaturo. . 76 Slika 3.18 Spreminjanje elasticˇnega modula jekla za prednapenjanje s temperaturo ....... 76 Slika 3.19 Temperaturne deformacije jekla za prednapenjanje .................. 77 Slika 3.20 Konstitucijski zakon za hladno oblikovano jeklo za prednapenjanje pri razlicˇnih temperaturah skladno z Eurocode 2, Part 1-2 (2003). . .................. 78 Slika 3.21 Konstitucijski zakon stika med betonom in jeklom za prednapenjanje pri razlicˇnih temperaturah po Diederichsu in Schneiderju (1981) ............ ......... 79 Slika 3.22 Temperaturno odvisna trdnost stika med betonom jeklom za prednapenjanje po Diederichsu in Schneiderju (1981) .............................. 80 Slika 3.23 Konstitucijski zakon stika med betonom in jeklom za prednapenjanje pri sobni temperaturi (Keuser in Mehlhorn, 1983) ....... .................... 80 Slika 3.24 Konstitucijski zakon stika med betonom in prednapetim kablom pri povisˇanih temperaturah (Keuser in Mehlhorn, 1983; Diederichs in Schneider, 1981) ........... 81 Slika 3.25 Prednapeta betonska plosˇcˇa. Geometrijski in materialni podatki ter podatki o obtezˇbi. 82 ˇ Slika 3.26 Casovno spreminjanje temperature v precˇnem prerezu na mestu prednapetih kablov: (a) normalni beton in (b) lahki beton. Primerjava matematicˇnih modelov. . ........ 84 ˇ Slika 3.27 Casovno spreminjanje temperature v precˇnem prerezu na mestu prednapetih kablov: (a) normalni beton in (b) lahki beton. Primerjava numericˇnih in eksperimentalnih rezultatov. . ............................................ 85 XVIII Krauberger, N. 2008. Vpliv požara na obnašanje ojačanih betonskih linijskih konstrukcij. Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. Slika 3.28 Prednapeta betonska plošča Pij. Izmerjeni in izračunani navpični pomik na sredini razpona plošče wm...................................... 86 Slika 3.29 Prednapeta betonska plošča Pin- Izmerjeni in izračunani navpični pomik na sredini razpona plošče wm...................................... 87 Slika 3.30 Prednapeta betonska plošča Plm. Izmerjeni in izračunani navpični pomik na sredini razpona plošče wm................................... 87 Slika 3.31 Prednapeta betonska plošča Pliv- Izmerjeni in izračunani navpični pomik na sredini razpona plošče wm................................... 88 Slika 3.32 Prednapeta betonska plošča Pin- Porazdelitev osnih sil v: (a) betonu J\fc in (b) prednapetem kablu M} za 0,10, 70,137 minut trajanja požara............... 89 Slika 3.33 Prednapeta betonska plošča Pin- Porazdelitev: (a) zamikov A1 in (b) strižne komponente linijske obtežbe na stiku med betonom in prednapetim kablom j)\ za 0,10, 70,137 minut trajanja požara..................................... 89 Slika 3.34 Prednapeta betonska plošča s previsi. Geometrijski in materialni podatki ter poslika 3.35 Časovno spreminjanje temperature v prečnem prerezu na mestu prednapetih kablov. Primerjava numeričnih in eksperimentalnih rezultatov................... 92 Slika 3.36 Razporeditev temperature in vlage v prečnem prerezu plošče za 10, 30, 63 minut Slika 3.37 Prednapeta betonska plošča s previsi. Izmerjeni in izračunani navpični pomik na Slika 3.38 Prednapeta betonska plošča s previsoma. Vpliv upoštevanja prispevkov deformacij na velikost mejnega pomika na sredini plošče toni..................... 94 Slika 3.39 Porazdelitev osnih sil v: (a) betonu J\fc in (b) prednapetem kablu M} za 0,10, 30,63 minut trajanja požara..................................... 96 Slika 3.40 Upogibni moment: (a) v betonskem delu plošče Mc in (b) v prednapeti plošči M za 0,10, 30, 63 minut trajanja požara............................ 96 Slika 3.41 Porazdelitev: (a) zamika A1 in (b) tangencialne komponente kontaktnega napetostnega vektorja vzdolž stika med betonom in prednapetim kablom p\ za 0,10, 30, 63 minut trajanja požara..................................... 97 Slika 3.42 Deformirana oblika računskega modela za 0,10, 30, 63 minut trajanja požara. ... 97 Krauberger, N. 2008. Vpliv požara na obnašanje ojačanih betonskih linijskih konstrukcij. XIX Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. Slika 3.43 Porazdelitev: (a) specifične spremembe dolžine referenčne osi betonskega dela nosilca eco, (b) psevdoukrivljenosti referenčne osi betonskega dela nosilca nc in (c) specifične spremembe referenčne osi prednapetega kabla e\ za 0,10,30,63 minut tra- XX Krauberger, N. 2008. Vpliv požara na obnašanje ojačanih betonskih linijskih konstrukcij. Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. Krauberger, N. 2008. Vpliv požara na obnašanje ojačanih betonskih linijskih konstrukcij. XXI Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. LIST OF FIGURES Figure 2.1 Prestressed concrete beam: (a) undeformed configuration and (b) deformed configuration ........................................... 6 Figure 2.2 Load of prestressed concrete beam .......................... 9 Figure 2.3 Geometrical meaning of slip between concrete and prestressing tendon. . ..... 14 Figure 2.4 Components of bond stress between concrete and prestressing tendon. . ..... 16 Figure 2.5 Geometrical, material and loading data. . ...................... 31 Figure 2.6 Stress-strain relationships of concrete, reinforcing and prestressing steel recomended by Eurocode 2, Part 1-1 (2004); bond stress-slip relationship between concrete and pre-stressing steel (Keuser and Mehlhorn, 1983). . ....................... 33 Figure 2.7 Load-displacement curve. The comparison of numerical and experimental results. 34 Figure 2.8 The change of relative error at load capacity Pmej: (a) for different numbers of finite elements and (b) for different levels of numerical interpolation ............ 35 Figure 2.9 Influence of initial slip modulus on distribution of axial force: (a) in concrete Nc and (b) in prestressing tendon Np1. . ............................ 36 Figure 2.10 Influence of initial slip modulus on distribution of: (a) slips ?1; (b) tangential component of bond stress vector p1t,p. . .......................... 36 Figure 2.11 Influence of initial slip modulus on distribution of: (a) normal component of bond stress vector p1n,p and (b) vertical midspan displacement wc. . ............... 37 Figure 2.12 Geometrical, material and loading data. . ...................... 38 Figure 2.13 Load-displacement curve. The comparison of numerical and experimental results. 39 XXII Krauberger, N. 2008. Vpliv pozˇara na obnasˇanje ojacˇanih betonskih linijskih konstrukcij. Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbenisˇtvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. Figure 2.14 Distribution of axial force along the span of slab for four different levels of load: (a) in concrete Nc and (b) in prestressing tendon Np1. . .................. 39 Figure 2.15 Distribution of: (a) slip ?1 and (b) tangential component of bond stress vector p1t,p between concrete and prestressing tendon for four different load levels. . ...... 40 Figure 2.16 Influence of initial slip modulus on distribution of load-displacement curve. . . . 41 Figure 2.17 Distribution of axial force in prestressing tendon Np1 for different load levels and different initial slip modulus ................................. 42 Figure 2.18 Distribution of slip ?1 between concrete and prestressing tendon for different load levels and different initial slip modulus. . ....................... 43 Figure 2.19 Distribution of tangential component of bond stress vector p1t,p between concrete and prestressing tendon for different load levels and different initial slip modulus ..... 44 Figure 3.1 Fire curves. . .................................... 48 Figure 3.2 Finite difference points at two different times. . .................. 53 Figure 3.3 Finite difference points and their position in the cross-section. . .......... 54 Figure 3.4 Compressive strength at elevated temperature for different strength levels for: (a) siliceous aggregate and (b) carbonate aggregate ....................... 60 Figure 3.5 Compressive strength at elevated temperatures for different types of aggregates. . 60 Figure 3.6 Modulus of elasticity of concrete at elevated temperature .............. 62 Figure 3.7 Thermal elongation of concrete. . .......................... 62 Figure 3.8 Specific heat of siliceous concrete, as function of temperature recommended by Eurocode 2, Part 1-2 (2003). . ............................... 63 Figure 3.9 The variation of density at elevated temperature, recommended by Eurocode 2, Part 1-2 (2003) ........................................ 64 Figure 3.10 Thermal conductivity of concrete as function of temperature. . .......... 65 Figure 3.11 Stress-strain relationships of concrete under compression at elevated temperature, recommended by Eurocode 2, Part 1-2 (2003). . ...................... 66 Figure 3.12 Strength and proportional limit of reinforcing steel at elevated temperature. . . . . 69 Krauberger, N. 2008. Vpliv požara na obnašanje ojačanih betonskih linijskih konstrukcij. XXIII Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. Figure 3.13 Modulus of elasticity of reinforcing steel at elevated temperature .......... 70 Figure 3.14 Thermal elongation of reinforcing steel. . ..................... 71 Figure 3.15 Stress-strain relationships of cold worked reinforcing steel at elevated temperature, recommended by Eurocode 2, Part 1-2 (2003) ..................... 72 Figure 3.16 Typical time depended creep diagram of steel. . .................. 73 Figure 3.17 Strength and proportional limit of prestressing steel at elevated temperature. . . . 76 Figure 3.18 Modulus of elasticity of prestressing steel at elevated temperature. . ....... 76 Figure 3.19 Thermal elongation of prestressing steel ....................... 77 Figure 3.20 Stress-strain relationships of prestressing for cold worked steel at elevated temperature, recommended by Eurocode 2, Part 1-2 (2003). . ................. 78 Figure 3.21 Bond stress-slip relationship between concrete and prestressing steel at elevated temperature, reported by Diederichs and Schneider (1981). . ............... 79 Figure 3.22 Bond strength between concrete and prestressing steel at elevated temperature, reported by Diederichs and Schneider (1981). . ...................... 80 Figure 3.23 Bond stress-slip relationship between concrete and prestressing tendon at room temperature (Keuser and Mehlhorn, 1983). . ........................ 80 Figure 3.24 Bond stress-slip relationship between concrete and prestressing tendon at elevated temperature (Keuser and Mehlhorn, 1983; Diederichs and Schneider, 1981) ........ 81 Figure 3.25 Prestressed concrete slab. Geometrical, material and loading data. . ....... 82 Figure 3.26 Time dependent temperature in cross section in place of prestressing tendons: (a) normalweight concrete and (b) lightweight concrete. Comparison between mathematical models. . .......................................... 84 Figure 3.27 Time dependent temperature in cross section in place of prestressing tendons: (a) normalweight concrete and (b) lightweight concrete. Comparison between numerical and experimental results. . ................................. 85 Figure 3.28 Prestressed concrete slab PlI. Measured and calculated vertical midspan deflection wIII ........................................... 86 Figure 3.29 Prestressed concrete slab PlII. Measured and calculated vertical midspan deflection wIII ........................................... 87 XXIV Krauberger, N. 2008. Vpliv požara na obnašanje ojačanih betonskih linijskih konstrukcij. Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. Figure 3.30 Prestressed concrete slab Plm. Measured and calculated vertical midspan defle- Figure 3.31 Prestressed concrete slab Pliv- Measured and calculated vertical midspan defle- Figure 3.32 Prestressed concrete slab Pin- The distribution of axial force in: (a) concrete J\fc and (b) prestressing tendon ft/} for 0,10, 70,137 minutes of fire.............. 89 Figure 3.33 Prestressed concrete slab Pin- The distribution of: (a) slips A1 and (b) tangential component of bond stress vector between concrete and prestressing tendon pi for 0,10, 70,137 minutes of fire................................. 89 Figure 3.34 Prestressed concrete slab with overhangings. Geometrical, material and loading Figure 3.35 Time dependent temperature in cross section in place of prestressing tendons. Comparison between numerical and experimental results.................. 92 Figure 3.36 The distribution of temperature and moisture in slab cross section for 10, 30, 63 minutes of fire........................................ 93 Figure 3.37 Prestressed concrete slab with overhangings. Measured and calculated vertical midspan deflection wm................................... 94 Figure 3.38 Prestressed concrete slab with overhangings. The influence of strain contributions to value of limit midspan deflection wni........................... 94 Figure 3.39 The distribution of axial force in: (a) concrete Mc and (b) prestressing tendon M} for 0,10, 30, 63 minutes of fire................................ 96 Figure 3.40 The distribution of the bending moment: (a) in concrete part of slab Mc and (b) in prestressed concrete slab M for 0,10,30,63 minutes of fire............... 96 Figure 3.41 The distribution of: (a) slip A1 and (b) tangential component of bond stress vector between concrete and prestressing tendon pi p for 0,10, 30, 63 minutes of fire....... 97 Figure 3.42 The deformed shape of mathematical model for 0,10, 30, 63 minutes of fire. ... 97 Figure 3.43 The distribution of: (a) extensional strain of centroidal axis for concrete part of beam eco, (b) psevdocurvature of centroidal axis for concrete part of beam nc and (c) extensional strain of centroidal axis for prestressed tendon e\ for 0,10, 30, 63 minutes of Krauberger, N. 2008. Vpliv požara na obnašanje ojačanih betonskih linijskih konstrukcij. XXV Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. KAZALO PREGLEDNIC Preglednica 2.1 Primerjava rezultatov med geometrijsko linearno teorijo (GLT) in geometrijsko nelinearno teorijo (GNT) za različne togosti stika K................. 32 Preglednica 2.2 Vpliv začetne togosti stika na mejno nosilnost in pripadajoči pomik..... 41 Preglednica 2.3 Vpliv začetne togosti stika na značilne kinematične in ravnotežne količine prednapete votle plošče.................................... 45 Parametri lezenja po Williams-Leiru (1983).................. 74 Spreminjanje karakterističnih vrednosti stižne napetosti s temperaturo na stiku. 81 Prednapete betonske plošče. Geometrijski in materialni podatki ter podatki Podatki za račun povezanega prenosa toplote in vlage............. 84 Primerjava numeričnih in eksperimentalnih rezultatov za mejni pomik na sredini plošče ter požarna odpornost............................. 88 Preglednica 3.6 Prednapeta betonska plošča Pin- Značilne količine na stiku med betonom in prednapetim kablom in osni sili pri štirih časih trajanja požara t = 0,10, 70,137 min. . 90 Preglednica 3.7 Vpliv prispevkov deformacij na velikost mejnega pomika na sredini plošče. . 95 Preglednica 3.8 Prednapeta betonska plošča s previsnima poljema. Značilne kinematične, ravnotežne in deformacijske količine pri štirih časih trajanja požara t = 0,10, 30, 63 min. 99 Preglednica 3.1 Preglednica 3.2 Preglednica 3.3 o obtezˇbi. . Preglednica 3.4 Preglednica 3.5 XXVI Krauberger, N. 2008. Vpliv požara na obnašanje ojačanih betonskih linijskih konstrukcij. Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. Krauberger, N. 2008. Vpliv pozˇara na obnasˇanje ojacˇanih betonskih linijskih konstrukcij. XXVII Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbenisˇtvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. LIST OF TABLES Table 2.1 The comparison of numerical results obtained by geometrical linear theory (GLT) and geometrical nonlinear theory (GNT) for different slip modulus K ........... 32 Table 2.2 Influence of initial slip modulus on bearing capacity and appurtenant deflection. . . 41 Table 2.3 Influence of initial slip modulus on characteristic kinematic and equilibrium quantities of hollow core slab ................................... 45 Table 3.1 Creep parameters, reported by Williams-Leir (1983) ................. 74 Table 3.2 The temperature dependent values of characteristic tangential stress between concrete and prestressing steel .................................. 81 Table 3.3 Prestressed concrete slabs. Geometrical, material and load data. . ......... 83 Table 3.4 Data for calculating coupled heat and mass transfer. . ................ 84 Table 3.5 The comparison of numerical and experimental results of limit midspan deflection. Fire endurance of prestressed concrete slabs. . ....................... 88 Table 3.6 Prestressed concrete slab PlII. Characteristic quantities in a contact between concrete and prestressing tendon and axial forces for four different times of fire duration t = 0, 10, 70, 137 min. . .................................. 90 Table 3.7 The influence of strain contributions to value of limit midspan deflection. . . . . . 95 Table 3.8 Prestressed concrete slab with overhangings. Characteristic kinematic, equilibrium and deformation quantities for four different times of fire duration t = 0, 10, 30, 63 min. 99 XXVIII Krauberger, N. 2008. Vpliv požara na obnašanje ojačanih betonskih linijskih konstrukcij. Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. Krauberger, N. 2008. Vpliv požara na obnašanje ojačanih betonskih linijskih konstrukcij. 1 Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. 1 UVOD Predstavitev problema Prednapete betonske konstrukcije se zelo pogosto uporabljajo v gradbeništvu. To nedvoumno potrjuje njihova razširjena uporaba pri montažni gradnji, mostogradnji, raznih sanacijah in podobno. Značilni nosilni elementi prednapetih konstrukcij so prednapeti nosilci in stebri, prednapete polne ali votle plošče kot del medetažnih stropnih konstrukcij, prednapeti stenasti elementi itd. Poznamo dva osnovna tehnološka postopka prednapenjanja: (i) predhodno napenjanje in (ii) naknadno napenjanje. Pri prvem najprej napnemo jeklo za prednapenjanje in šele kasneje zabetoniramo nosilec, pri drugem pa je tehnološki postopek napenjanja ravno obraten. Vzporedno z razvojem tehnoloških postopkov gradnje, pa je skokovit napredek opazen tudi v razvoju različnih matematičnih modelov ter s tem povezanih računskih postopkov in računalniških programov za analizo prednapetih betonskih konstrukcij. Avtorji Campbell in Ko-dur (1990), Chern, You in Bažant (1992), Hurst (1988), Keuser in Mehlhorn (1983) podajajo različne matematične modele in računske postopke za analizo prednapetih betonskih konstrukcij. Ti se razlikujejo predvsem glede modeliranja obnašanja betona, kot tudi v načinu modeliranja interakcije med betonskim delom konstrukcije in jeklom za prednapenjanje. Nekateri med njimi zamik na stiku med betonom in jeklom za prednapenjanje upoštevajo (Keuser in Mehlhorn, 1983), drugi ne (Eurocode 2, Part 1-1, 2004). Pomemben del varnosti gradbenih konstrukcij in s tem tudi prednapetih betonskih konstrukcij predstavlja požarna varnost. To lahko v največji meri zagotovimo s poznavanjem nastanka, razvoja in poteka požara oziroma z analizo termodinamičnih, kemijskih in mehanskih procesov v gradbenih konstrukcijah in njihovem okolju med požarom. Med požarom se sprošča veliko toplote. Količina sproščene toplote je odvisna od gorljivih lastnosti konstrukcije in razpoložljivih gorljivih snovi v požarnem prostoru. Znano je, da se konstrukciji oziroma delu konstrukcije, ki je izpostavljena požaru, zmanjšuje nosilnost in povečuje deformabilnost (Abrams, 1979; Gustaferro in Selvaggio, 1967). Zato s projektiranjem požarne odpornosti gradbeni konstrukciji zagotavljamo ustrezno nosilnost in deformabilnost za različne možne požarne scenarije. Prvi projektantski postopki, ki so bili osnovani na izkušnjah, so bili stavbarski ukrepi (Pickard, 1994). V drugi polovici dvajsetega stoletja pa so se s tehnološkim razvojem pojavile tudi prve metode požarnega testiranja gradbenih elementov, ki so se do današnjih dni že zelo izpopolnile in standardizirale (White in Shirvill, 1995). Tako danes raziskovalci v požarnih laboratorijih izvajajo standardizirane požarne preizkuse, s katerimi pridobivajo informacije o požarni odpornosti preizkušancev. V požarni peči preizkušanec izpostavijo različnim ti. standardnim požarom oziroma požarnim krivuljam, ki določajo časovno spreminjanje temperature v požarnem prostoru. Različna združenja (American Society for Testing and Materials; ISO 834, 1999; Eurocode 1, 1995) podajajo različne požarne krivulje. Nekatere med njimi določajo samo naraščajočo temperaturo v požarnem prostoru, medtem ko druge, ki so bolj realne, vsebujejo tudi fazo ohlajevanja. Pridobljeni podatki standardnih požarnih preizkusov določajo požarno odpornost preizkušanca, lastnosti materialov in podobno. Še bolj realno sliko obnašanja konstrukcij in njihovih elementov med požarom vsekakor predstavlja preizkušanje kon- 2 Krauberger, N. 2008. Vpliv požara na obnašanje ojačanih betonskih linijskih konstrukcij. Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. strukcij v naravnem merilu, kar pa je zelo drago. Ker pa je obnašanje konstrukcij med požarom odvisno od velikega števila parametrov, kot so: velikost in razvoj požarne obtežbe, lokacija ognja v prostoru, vrste in razporeditve gorljive snovi, površine odprtin, dimenzij prostora, termične difuzivnosti in kon-duktivnosti konstrukcije, toplotne radiacije znotraj prostora in skozi odprtine, temperature in zračnega pritiska, relativne vlažnosti okolja in podobno, so pridobljeni eksperimentalni podatki pogosto premalo splošni. Ker lahko z računalniki ta problem v veliki meri rešimo, se je z razvojem računalništva povečalo zanimanje raziskovalcev za določitev natančnih matematičnih modelov in zanesljivih numeričnih metod (računalniških programov) za analizo gradbenih konstrukcij ob sočasnem delovanju mehanske obtežbe in povišanih temperatur med požarom. Podobne trende razvoja požarne varnosti gradbenih konstrukcij opazimo tudi pri armiranobetonskih in prednapetih betonskih konstrukcijah. Pri teh konstrukcijah je matematično modeliranje zaradi zahtevnih in medsebojno povezanih mehanskih, temperaturnih in vlažnostnih pojavov zelo zahtevno. Teoretično najzahtevnejši, a tudi najrealnejši, so tridimenzionalni modeli, pri katerih odziv konstrukcije ob sočasnem delovanju mehanske in požarne obtežbe modeliramo kot povezan termo-hidrološko-mehanski problem (Bianco et al., 2003; Dal Pont et al., 2005; Ichikawa in England, 2004; Obeid et al., 2001; Pesavento in Schrefler, 2003). S temi modeli lahko v analizi upoštevamo vrsto značilnih povezanih pojavov v betonu pri povišani temperaturi, kot so: deformiranje konstrukcije, nestacionaren prehod toplote in vlage, difuzijo pare ter izparevanje vlage, kondenzacijo pare v konstrukciji, razpokanje in luščenje betona. Zaradi zahtevnosti se ti modeli uporabljajo le pri študijah najzahtevnejših inženirskih objektov, kot so na primer jedrske elektrarne in predori. Poenostavljeni, a še vedno zahtevni so računski postopki, pri katerih mehanski del analize ločimo od termo-hidrološkega dela. S tem se požarna analiza konstrukcij razdeli v dve matematično nepovezani fazi. To je fizikalno upravičeno zaradi dveh razlogov: (i) stisljivost vode v betonu je mnogo večja kot je stisljivost betona, zato sprememba prostornine por bistveno ne vpliva na povečanje pornih tlakov in (ii) povečanje temperature v konstrukciji zaradi mehanskega dela je glede na dovedeno toploto med požarom zanemarljivo (Bažant in Kaplan, 1996). Skladno s temi modeli, najprej glede na izbrano požarno krivuljo in spreminjanje vlage v požarnem prostoru določimo časovno in krajevno razporeditev temperature in vlage v konstrukciji med požarom (Luikov, 1966; Luikov, 1975; Luikov in Mikhailov 1966), nato s pomočjo dobljenih rezultatov določimo mehanski odziv obravnavane konstrukcije ob sočasnem delovanju mehanske in požarne obtežbe (Bratina, 2003; Li et al., 2003; Obeid et al., 2001; Schnabl, 2007). Kljub veliki poenostavitvi pa je ta matematični model še vedno matematično zelo zahteven. Zato evropski predpisi za beton Eurocode 2, Part 1-2 (2003) ta model za standardne armiranobetonske in prednapete betonske konstrukcije še dodatno poenostavijo. Pri tem lahko povezan problem za določitev temperature in vlage v betonskih konstrukcijah med požarom določimo nepovezano (Bratina, 2003; Bratina et al. 2004; Eurocode 2, Part 1-2, 2003; Gawin et al., 2003; Purkiss, 1996). Podobno kot pri vseh gradbenih konstrukcijah se tudi pri prednapetih betonskih konstrukcijah s spreminjanjem temperature v konstrukciji spreminjajo tudi mehanske in toplotne lastnosti betona, jekla za armiranje in jekla za prednapenjanje (Abrams, 1979; Abrams in Cruz, 1961; Anderberg, 1976; Eurocode 2, Part 1-2, 2003; Li in Purkiss, 2005). Zato je poznavanje spreminjanja mehanskih in toplotnih lastnosti betona in jekla s temperaturo bistvenega pomena za natančno oceno obnašanja prednapetih betonskih konstrukcij med požarom. V standardu Eurocode 2, Part 1-2 (2003) je spreminjanje tlačne trdnosti betona, elastičnega modula ter materialnega modela s temperaturo podano v obliki preglednic. Tako se tlačna trdnost betona pri temperaturah nad 350°C zmanjša (Abrams, 1979; Eurocode 2, Part 1-2, 2003), podobno tudi elastični modul. Abrams (1979), Abrams in Cruz (1961) sta ugotovila, daje padec elastičnega modula betona najizrazitejši pri betonih iz lahkega agregata. Temperaturne deformacije betona so odvisne od vrste agregata (Eurocode 2, Part 1-2, 2003). Za lezenje betona pri visokih temperaturah so Harmathy (1993), Cruz (1966) in Purkiss (2005) ugotovili, daje pri visokih temperaturah bistveno bolj izrazito kot pri sobni temperaturi, kjub temu pa lahko v požarni analizi skladno z Krauberger, N. 2008. Vpliv požara na obnašanje ojačanih betonskih linijskih konstrukcij. 3 Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. Eurocode 2, Part 1-2 (2003) lezenje betona zanemarimo. Značilnost betona pri povišanih temperaturah so t.i. prehodne deformacije. Te se pojavijo v začetni fazi segrevanja betona, so trajne in nepovratne (Bratina, 2003). Tudi za jeklo za armiranje in prednapenjanje evropski standard Eurocode 2, Part 1-2 (2003) v pregledicah podaja spreminjanje trdnosti in elastičnega modula s temperaturo ter zveze med napetostmi in deformacijami pri visokih temperaturah. V splošnem je pri povišanih temperaturah jeklo za prednapenjanje bolj občutljivo na zunanje vplive kot jeklo za armiranje (Eurocode 2, Part 1-2, 2003). Značilnost jekla pri povišanih temperaturah je t.i. viskozno lezenje. Abrams (1979) je ugotovil, da se lezenje jekla pojavi, ko temperatura doseže vrednost okoli 400°C, hitrost lezenja pa je odvisna od vrste jekla (Bratina, 2003; Srpčič, 1991). Pri jeklu za prednapenjanje se lezenje pojavi že pri 300°C (Eurocode 2, Part 1-2, 2003). Pomembna predpostavka pri modeliranju gradbenih konstrukcij pri povišanih temperaturah, ki jo praktično upoštevajo vsi raziskovalci, je ti. adicijski razcep prirastka geometrijske deformacije v vsoto prirastkov mehanskih in temperaturnih deformacij, prirastka viskoznega lezenje jekla in prirastka prehodnih deformacij betona (Bratina, 2003; Eurocode 2, Part 1-2, 2003; Srpčič, 1991). Vsebina dela V doktorski disertaciji predstavimo matematični model in računski postopek za nelinearno analizo prednapetih betonskih linijskih konstrukcij, ki so izpostavljene sočasnemu delovanju mehanske obtežbe in požara. Pomembna novost predstavljenega modela je v tem, da omogoča modeliranje zamika med betonom in prednapetim jeklom, ter da časovno in krajevno razporeditev temperature in vlage v konstrukciji določimo kot povezan temperaturno-vlažnostni pojav. Ker lahko pri standardnih prednapetih betonskih konstrukcijah luščenje betona zanemarimo, razdelimo matematični model in pripadajoči računski postopek v dve matematično nepovezani fazi. V prvi fazi s pomočjo temperaturno-vlažnostne analize določimo časovno in krajevno razporeditev temperature in vlage v prečnem prerezu obravnavane prednapete betonske konstrukcije. V ta namen povezan prenos toplote in vlage v kapilarno poroznih materialih zapišemo s povezanima nelinearnima parcialnima diferencialnima enačbama Luikova (1966). Pri tem upoštevamo temperaturno in vlažnostno odvisne materialne parametre za beton. V splošnem dani sistem povezanih nelinearnih parcialnih enačb analitično ni rešljiv, zato ga rešimo s ti. diferenčno metodo. S tem namenom računalniški program, ki ga je za določitev vlage in temperature v lesenih konstrukcijah med požarom v svoji doktorski disertaciji predstavil Schnabl (Schnabl, 2007), ustrezno prilagodimo prednapetim betonskim konstrukcijam med požarom. Izračunana časovna in krajevna razporeditev temperature in vlage v prečnem prerezu v nadaljevanju predstavlja požarno obtežbo za drugo fazo požarne analize prednapetih betonskih konstrukcij. Jedro disertacije predstavlja druga faza predstavljenega matematičnega modela in računskega postopka za analizo odziva prednapetih betonskih linijskih konstrukcij na sočasen vpliv mehanske in temperaturne obtežbe. Zaradi večje preglednosti v doktorski disertaciji najprej prikažemo izpeljavo matematičnega modela in računskega postopka za analizo prednapetih linijskih konstrukcij pri sobni temperaturi, v nadaljevanju pa jo razširimo še na razmere, ki vladajo med požarom. V obeh primerih je izhodišče geometrijsko točna Reissner-jeva teorija ravninskega nosilca (Raissner, 1972). Skladno s to teorijo nosilcev v modelu upoštevamo Bernoulli-jevo hipotezo o ravnih prečnih prerezih ter predpostavko, da se oblika in velikost prečnih prerezov med deformiranjem ne spreminja. Pri izpeljavi matematičnega modela in računskega postopka se omejimo na predhodno prednapete nosilce. Glede na to, da se med požarom betonski del nosilca in prednapeto jeklo zamakneta, uporabimo Reissner-jev model nosilca ločeno za betonski del konstrukcije in ločeno za prednapeto jeklo. Pri tem model za prednapeto jeklo poenostavimo v model vrvi. Ker v disertaciji obravnavamo prednapete konstrukcije standardnih dimenzij, v analizi strižne deformacije zanemarimo. Na stiku med betonom in jeklom za armiranje predpostavimo kompatibilnost deformacij betona in jekla. Poleg prispevka mehanskih deformacij v analizi napetost- 4 Krauberger, N. 2008. Vpliv požara na obnašanje ojačanih betonskih linijskih konstrukcij. Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. nega in deformacijskega stanja upoštevamo tudi prispevke temperaturnih deformacij, prispevke lezenja in prispevek prehodne deformacije betona. Pomembna novost doktorske disertacije je, da posplošene ravnotežne enačbe za analizo prednapetih linijskih konstrukcij pri sobni temperaturi in med požarom z upoštevanjem zamikov med betonom in prednapetimi kabli rešimo z novimi deformacijskimi končnimi elementi. Značilnost deformacijskih končnih elementov je v tem, da vzdolž referenčne osi interpoli-ramo osno deformacijo in psevdoukrivljenost betonskega dela nosilca ter osne deformacije prednapetih kablov. Posebnost novih končnih elementov pa je v tem, da interpoliramo tudi materialne koordinate x*k (k = 1,2, ...,np), ki določajo tiste delce prednapetih kablov, ki so v deformirani legi v stiku z betonom, ter normalne komponente kontaktne linijske obtežbe pk (k = 1, 2,..., np) na stiku med betonom in prednapetimi kabli. Pri predstavljeni nelinearni analizi odziva prednapetih betonskih konstrukcij na sočasen vpliv mehanske in požarne obtežbe rešujemo sistem diskretnih posplošenih ravnotežnih enačb inkrementno, s t.i. Newton-ovo inkrementno-iteracijsko metodo. Pri tem celoten čas požarne analize [0, t ] razdelimo na dovolj majhne časovne korake [tr,tr+1], znotraj katerih predpostavimo konstantno temperaturo, napetost in mehansko obtežbo. Za znan inkrement obtežbe in temperature iterativno izračunamo popravke inkre-mentov posplošenih vozliščnih pomikov vse do željene natančnosti. Kot kriterij za porušitev konstrukcije med požarom izberemo singularnost tangentne togostne matrike konstrukcije. Disertacija ima poleg uvoda še tri poglavja. V drugem poglavju predstavimo matematični model in računski postopek za analizo prednapetih betonskih linijskih konstrukcij pri sobni temperaturi. S pomočjo modificiranega izreka o virtualnem delu prikažemo družino novih deformacijskih končnih elementov za analizo prednapetih betonskih konstrukcij. Primernost in natančnost predstavljenega modela in računskega postopka prikažemo z dvema računskima primeroma. V tretjem poglavju podrobno predstavimo dvofazni matematični model in računski postopek za analizo odziva prednapetih betonskih konstrukcij na sočasno delovanje mehanske in požarne obtežbe. V tem poglavju najprej prikažemo temperaturno-vlažnostno analizo prednapetih betonskih konstrukcij in v nadaljevanju še razširitev matematičnega modela in računskega postopka za analizo prednapetih linijskih konstrukcij pri sobni temperaturi na razmere, ki vladajo med požarom. Tudi tu natančnost in primernost matematičnega modela in računskega postopka prikažemo z dvema računskima primeroma. Na koncu podamo zaključke. Krauberger, N. 2008. Vpliv požara na obnašanje ojačanih betonskih linijskih konstrukcij. Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. 2 STATICˇNA ANALIZA PREDNAPETIH BETONSKIH LINIJSKIH KONSTRUKCIJ 2.1 Osnovne enačbe prednapetih betonskih linijskih nosilcev V tem poglavju prikažemo osnovne enačbe matematičnega modela in računskega postopka za geometrijsko in materialno nelinearno statično analizo prednapetih betonskih linijskih konstrukcij pri sobni temperaturi. Pri izpeljavi osnovnih enačb modela upoštevamo tudi zamike na stiku med betonom in jeklom za prednapenjanje, omejimo pa se na predhodno napete linijske konstrukcije. Izhodišče izpeljave predstavlja geometrijsko točna Reissner-jeva teorija ravninskega nosilca (Reissner, 1972). Ker upoštevamo zamike med betonom in jeklom za prednapenjanje, uporabimo Reissner-jev model nosilca ločeno za betonski del konstrukcije in za jeklo za prednapenjanje. Pri tem se model za prednapeto jeklo poenostavi v model vrvi. Glede na dimenzije prednapetih betonskih konstrukcij, ki se uporabljajo v gradbeništvu, je vpliv strižnih deformacij na njihovo obnašanje majhen, zato jih zanemarimo. 2.1.1 Kinematične enačbe Obravnavamo raven prednapeti betonski nosilec z začetno dolžino L in konstantnim prečnim prerezom Ac. Jeklo za prednapenjanje predstavlja np prednapetih kablov s prečnim prerezom A^ (k = 1,2, ...,np). Betonski del nosilca je dodatno ojačan z ns armaturnimi palicami s prečnim prerezom A{ {j = 1,2,..., ns). Količine, ki pripadajo betonskemu delu prednapetega nosilca označimo s spodnjim indeksom (•)c, količine, ki pripadajo fc-temu prednapetemu kablu pa z indeksoma (•)L (slika 2.1). Deformiranje prednapetega betonskega linijskega nosilca opazujemo v ravnini (X, Z) evklidskega prostora s kartezijskim pravokotnim koordinatnim sistemom (X, Y, Z) in pripadajočimi baznimi vektorji Ex, Ei z in Ey = Ez x Ex- Za referenčno os predpostavimo težiščno os betonskega dela nosilca. Poljubne delce betonskega dela nosilca identificiramo z materialnimi koordinatami (xc,yc, zc), poljubne delce fc-tega prednapetega kabla pa z materialnimi koordinatami (xp,yp, zp). Vektorji ex,c, &y,c in gz>c predstavljajo bazo materialnega koordinatnega sistema za betonski del prednapetega nosilca, vektorji e% , e k k p in ekz,p pa bazo materialnega koordinatnega sistema za k-ti prednapeti kabel. Zaradi večje preglednosti veznih enačb na stiku med betonom in prednapetimi kabli, pri izpeljavi osnovnih enačb reparametriziramo referenčne osi prednapetih kablov (Čas, 2004). S tem namenom vpeljemo nove materialne koordinate x*k (k = 1,2, ...,np), ki določajo tiste delce prednapetih kablov v nedeformirani legi, ki so v deformirani legi v stiku z delcem v betonu (slika 2.1). Dodatno pa predpostavimo, da se med betonom in prednapetimi kabli ustvari vmesna plast debeline e* (e = e* + 0p/2, k = 1,2,..., np). To prikazujemo na sliki 2.1, kjer se delca betona in fc-tega prednapetega kabla, T>c (točka T^ oziroma T^2) in V^ (točka Tp), ki sta bila v nedeformirani legi soležna, v deformirani legi 5 Krauberger, N. 2008. Vpliv požara na obnašanje ojačanih betonskih linijskih konstrukcij. Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. (a) Nedeformirana lega: „ xf „ Prečni prerez: l (b) Deformirana lega: 4l,x-2cl sin^c e = e*+$/2 Upk = Wp = p(:r* ) x,p k *fc c"y,pv^p I k *k z,p Kk) — smipk(x*k) 0 costpk(x*k) EX EY EZ (2.4) Če v izrazih (2.1) oziroma (2.2) upoštevamo izraza (2.3) oziroma (2.4), lahko zapišemo deformirane lege poljubnih delcev Vc in Vk prednapetega nosilca v prostorski bazi (i = 1,2 in A; = 1,2,..., np): Mci{%c,Zci) = Xc +UC{XC) + Zci Smipc{Xc))Jiix + (^cC^c) + zci cos Vc (^c J ) & Z, (2.5) Rp(x* ,Zp) = (x* +Up(x* ))Ex + (Wp(Xp ))Ez- (2.6) V enačbah (2.5) in (2.6) smo z a;c, z^ = zk =f e označili materialne koordinate betonskega delca nosilca na stiku s fc-tim prednapetim kablom, z x*k, zk materialne koordinate fc-tega prednapetega kabla na stiku, z uc(xc) in wc(xc) smo označili komponenti pomika referenčne osi betonskega dela nosilca, z uk(x* ) in Wp(x*k) komponenti pomika referenčne osi fc-tega prednapetega kabla, s ipc(xc) zasuk prečnega prereza betonskega dela nosilca, s )) SlUlPp(Xp ) = 0) (2-11) ---------;--------Kn[Xn ) = ^- (2-12) da;*fc p p V enačbah (2.7)-(2.12) predstavljajo eco(^c), ^c(a;c), Lp(;Ep ) in Hp(x* ) specifične spremembe dolžine in psevdoukrivljenost referenčne osi betonskega dela nosilca oziroma referenčne osi fc-tega prednapetega kabla. V nadaljevanju količine eco(xc), nc(xc), Lp(x* ) in Hp(x* ) imenujemo deformacijske količine, uc(xc),wc(xc), tpc(xc),Up(x* ),Wp(x* ), (fp(x* ) pakinematične količine. 2.1.2 Ravnotezˇne enacˇbe Ravnotežne enačbe predstavljajo zvezo med notranjimi statičnimi količinami prednapetega betonskega nosilca in zunanjo obtežbo. Zapišemo jih ločeno za betonski del nosilca in prednapeto jeklo. Zaradi tega predstavlja obtežbo prednapetega nosilca konservativna zunanja linijska obtežba qc{xc) = qx,c(xc)Ex+ Qz,c(%c)Ez in linijska momentna obtežba mc(xc) = my>c(a;c)Ly ter tudi kontaktna linijska obtežba na stiku p^(xc), Pp(Xp), hc(xc) in h (Xp) (k = 1,2, ...,np) (slika 2.2). Ko upoštevamo, da so dimenzije prečnega prereza jekla za prednapenjanje majhne, lahko kontaktno obtežbo na stiku zapišemo z enačbami: betonski del nosilca: pc(xc) = px c(xc)eXtC(xc) + pz c(xc)eZtC(xc) = pXc(xc)Ex + Pzc(xc)Ez, (2.13) hc(xc) = h (xc)eytC(xc) = hYc(xc)EY = Pxc(xc) zcEy- (2.14) prednapeti kabli (k = 1, 2, ...,np): Pp(xp) = Px p(xp)ex,p(xp) + Pz b(Xp)ez,p(Xp) = Pxp(xp)Ex + Pzp(xp)Ez, (2.15) ^pO^p) = hy p(xp)ey,p(xp) = flYp(xp)Ey = 0. (2.16) Glede na povedano sestavljata ravnotežne enačbe betonskega dela prednapetega nosilca (Simo, 1985) dve vektorski diferencialni enačbi prvega reda: diVc(a;c) ^np k/ ------------------^Qcl^c) + PcV^c) = 0, (2.17) dxcfc=i dMc(xc) d-Roc(^c ) »t / s~^n p h ------\-----------1--------i-------- x jVc[xc) + mc(xc) + > h (xc) = 0. (2.18) axc axc *-^k=i Posplošeni ravnotežni sili v betonskem delu nosilca Nc in Mc lahko zapišemo v komponentni obliki: s Nc(xc) = Mc(xc)ex>c(xc) + Qc(xc)ez,c(xc) = 7Zx,c(xc)Ex +T^-z,c(xc)Ez, (2.19) Krauberger, N. 2008. Vpliv požara na obnašanje ojačanih betonskih linijskih konstrukcij. Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. Figure 2.2: Load of prestressed concrete beam. Mc(sc) = Mc(%c)ey,c(%c) = MY,c{%c)Ey ¦ (2.20) kjer predstavljata J\fc(xc) in Qc(xc) ravnotežno osno in ravnotežno prečno silo, Mc(xc) pa ravnotežni upogibni moment, medtem ko predstavljata TZx,c(xc) in T^-z,c{xc) ravnotežno vodoravno in navpično komponento notranje sile. Zveze med ravnotežnimi količinami J\fc(xc) in Qc(xc) ter TZx,c(xc) in T^-z,c{xc) zapišemo s pomočjo enačb: Nc(xc) = TZx,c(xc) cosipc(xc) — TZz,c(%c) s\mpc(xc), (2.21) Qc(%c) = T^-x,c{xc) simpc(xc) -\-TZz,c(%c)('osipc(xc). (2.22) Ko izraza (2.19) in (2.20) vstavimo v ravnotežni enačbi (2.17) in (2.18), zapišemo znane ravnotežne enačbe za betonski del prednapetega nosilca v komponentni obliki (Reissner, 1972): d1Zx,c(Xc) , f ^np k ( n ------j-----------h qx,c{%c) + Px c\xc) = ^, \\Xq &—^ dTZZ,c(Xc) , / V^raP fc / n -----j-----------1" QZ,c{%c) + / Pz cl^cj = 0, (2.23) (2.24) dMc(xc) dx f i \ i i \ ^np k i k — (1 + eCQ{xc)) Qc{xc) + my)C(a;cj + px c{xc) zc =0. (2.25) 9 10 Krauberger, N. 2008. Vpliv požara na obnašanje ojačanih betonskih linijskih konstrukcij. Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. Na podoben način zapišemo tudi ravnotežne enačbe za prednapete kable (k = 1, 2, ...,np): dNk(xkp) p p t> / t> ——T--------\~ Pp{Xp) = 0, (2.26) dMgOffi dfi0fcp(4) -------;-----------------;----- x J\„(%n) + n^ix^) = 0. H/r«1 H t« p p p p S pomočjo enačb (2.27) ^pC^p) = •^'p(xp)ex,p(xp) + Qp(xp)ez,b(xp) = Kjn(a^i + TZZp(xZ)Ez (2.28) iKfp(;Cp) = Aip(Xp)e^p(Xp) = Aiypi^nj-^Y ¦MpO^p) = ^X,p(^pOcosY>p(a;p) -^-l.pC^p)8!11^^)) öpX^p) = ^X,pO^p) Sin ^pX^p) + ^Z,p{xp) cos VpC^p); so ravnotežne enačbe prednapetih kablov v komponentni obliki sledeče (k = 1, 2,..., np): dnkXp(xkp) dxk + Pxp(xp) = 0) (2.29) (2.30) (2.31) (2.32) + Pz p\xp) = u, dxk dMk(rk) ----"j—T-------(1 + Lp{Xp))Qp{Xp) = ^- (2.33) (2.34) 2.1.3 Konstitucijske enačbe S konstitucijskimi enačbami ravnotežne količine Nc(xc), A4c(xc), Mp(xk) in A4k(xk) povežemo z deformacijskimi količinami eco(xc), nc(xc), Lp(xk) in nk(xk) (k = l,2,...,np). V ta namen vpeljemo konstitucijske osne sile MC}C(xc) in A/JpW) ter konstitucijske upogibne momente .A4C)C(a;c) in A4kp(xk) (k = 1,2,..., np). Konstitucijske enačbe zapišemo ločeno za betonski del nosilca in za prednapete kable: betonski del nosilca: A/"c(^c) = A/"C)C(a;c, eco(xc), kc(xc)), ¦M.c(xc) = ¦M-c,c{xc,Lcq(xc),kc(xcJ), (2.35) (2.36) prednapeti kabli (k = 1, 2, ...,np): Afk(xk)=Afk (rk Lk(rk) Kk(rkW J vp p c,p p' p v^p/' ™p \^pj i (2.37) Krauberger, N. 2008. Vpliv požara na obnašanje ojačanih betonskih linijskih konstrukcij. 11 Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. •MpC^p) = A4cpxp,ep(xp), np(xp). (2.38) Omenili smo, da lahko prednapete jeklene kable zaradi majhne upogibne togosti obravnavamo kot jeklene vrvi. V tem primeru velja M^ (xp,ep(xp), np(xp) ^ = 0 in posledično tudi A4p(xp) = 0 (k = 1,2, ...,np), pri tempa Kp(a;p) 7^ 0. S temje enačbi (2.38) identično zadoščeno. V nadaljevanju izrazimo ¦A/"c,c(^c) m A/"p(:cp) (k = 1,2, ...,np) ter A4c,c(xc) z napetostmi. V primeru prednapetih betonskih linijskih nosilcev jih določajo enačbe: ¦^c,c(xc,eco, kc) = / ac(xc,eco, kc) dAc + N as(xc,eco, kc) A3s, (2.39) Ac J~ ¦M-c,c{xc,Lco, Kc) = / (& = 1> 2, ..., np), (2.44) kjer smo za vse kable predpostavili enak konstitucijski zakon. Funkcije J-c, J-s in J-p so poljubne in jih določimo s preizkusi. Z njimi lahko opišemo elastično, hiperelastično, plastično in tudi viskoplastično obnašanje prednapetih betonskih nosilcev. Pri prednapetih betonskih nosilcih je jeklo za prednapenjanje predhodno napeto z začetno silo prednapetja J\fp precin oziroma začetno deformacijo prednapetja ep precin = A/p predn/^p ^p (^ = 1> 2,..., rip). Pri tem zaenkrat v disertaciji vpliva izgub sile prednapetja zaradi reoloških pojavov ne upoštevamo. Povedali smo že, da pri izpeljavi modela vrvi predpostavimo A4p(xp) = 0 (k = 1,2,..., np). Ta predpostavka nam omogoča tudi poenostavitev ravnotežnih enačb prednapetih kablov. To na kratko predstavimo v nadaljevanju. Ker je A4p(xp) = 0, velja tudi dA4p(:Cp)/d:rp = 0 in posledično Qp(xp) = 0. Tako je enačbi (2.34) identično zadoščeno. Če v izrazih (2.30) in (2.31) upoštevamo Qp(xp) = 0, se enačbe poenostavijo (k = 1,2,..., np): 1Zxv{xp) = Np(xp) cos Lpp(xp), (2.45) 1ZZ (x ) = — AC (x) sintp (xp). (2.46) Enačbi (2.45) in (2.46) upoštevamo v ravnotežnih enačbah (2.32) in (2.33) in dobimo: d(J\fp(Xp) cos (pp(xp)) dx^ + Px p(xp) = 0) (2.47) 12 Krauberger, N. 2008. Vpliv požara na obnašanje ojačanih betonskih linijskih konstrukcij. Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. d— Mp{xp) smLpp(Xp) , , -----------------—r------------------h Pz p(xp) = 0- (2.48) V nadaljevanju enačbi odvajamo in pomnožimo s costpp(xp) oziroma s sintpp(xp) ter seštejemo. Dobimo preoblikovane ravnotežne enačbe (k = 1,2,..., np): d Kf (t \ —-j—r-------h (p^ p(a; J cos ip [x ) — pz {x ) s\mp {x )) = 0. (2.49) Podobno dobimo po kratkem računu še druge ravnotežne enačbe (k = 1,2,..., np): —Mp (a;p) Kp(^p) + (pip(^p) sin ^p(^p) + Pz p(xp)cos ^(^p)) = 0- (2.50) Glede na povedano nadomestimo ravnotežne enačbe prednapetih kablov (2.32)-(2.34) s preoblikovanimi ravnotežnimi enačbami (2.49) in (2.50). 2.1.4 Vezne enačbe Z veznimi enačbami opišemo interakcijo na stiku med betonom in prednapetimi kabli. Ker smo pri izpeljavi matematičnega modela predpostavili, da se beton in prednapeti kabli na stiku samo zamaknejo, ne morejo pa se razmakniti oziroma vtisniti drug v drugega (upoštevamo tudi e = 0), na stikih velja (k = 1, 2,...,%,) Rc = Rc(xc, zc = zp) = Rp(x* ,zp), (2.51) oziroma v komponentni obliki xc + uc(xc) + zc sintpc(xc) = x* +up(xp), (2.52) wc{xc) + zc cosipc(xc) = w (x* ). (2.53) Enačbe (2.51) oziroma (2.52) in (2.53) v nadaljevanju imenujemo kinematične vezne enačbe. Zaradi njihove posebne stukture so zveze med nekaterimi kinematičnimi količinami prednapetega betonskega nosilca zelo preproste. To ugotovimo tako, da enačbe (2.52) in (2.53) odvajamo po xc: duc(xc) u dtpc(xc) dx* dup(x* ) 1 H-----------------h zc cos(pc(xc)--------=— 1 H---------------- , (2.54) dxc dxc dxc dxc dwc(xc) u dipJxc) dx* \dwp{x* ) ------------zc sintfJxc)—;-------=—--------------- • (2.55) dxc dxc dxc dxc Ko v enačbah (2.54) in (2.55) upoštevamo kinematične enačbe (2.7)-(2.12), dobimo: (ifdipc (x c )\ da;* / , , \ , , 1 + Lco(^c) + Zc------------ COS (fJXc) =----- 1 + Lp(^p ) cos <*pAxv ) > (2.56) dxc dxc v v v v (k dtpc (x c )\ dx* / . , \ , , 1 + ^coi^c) + zc------ sinip (xc) =— 1 + Lv(xv ) sinfAx„ ) . (2.57) dxc dxc v v v v Krauberger, N. 2008. Vpliv požara na obnašanje ojačanih betonskih linijskih konstrukcij. 13 Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. V nadaljevanju enačbe (2.56) in (2.57) med seboj delimo in dobimo preproste zveze (k = 1,2,..., np): tanipc(xc) = tanip (x* ) —> ipc(xc) = pv(x* ). (2.58) S pomočjo enačb (2.54) in (2.55) lahko ugotovimo tudi zveze da;*fc/da;c (k = 1,2, ...,np). Po kratkem računu dobimo: da;* (l-\-eco(xc)-\-z^ kc(xc)) — =-----------,--------T----------. (2.59) dxc (1 + e™(Xpk)) Enostavno tudi pokažemo, da so enačbe (2.8) in (2.11) ter enačbe (2.9) in (2.12) identične. V ta namen najprej enačbe (2.11) pomnožimo z enačbami (2.59), pri tem upoštevamo enačbe (2.55), (2.58) in (2.59) in dobimo: pV p / ^^p / L, , ±k\\ . /-> / ±k\ V n ----^----h------\-------1" (1 + ^pl^p )) SmiPr>\Xr> )~i---- = ^- ""* (2.60) ax*" axc p p p p da;c p + (1 + eco(^cJ) smtL>c(a;cJ = 0. (2.61) dxc Na podoben način pokažemo, da sta identični tudi enačbi (2.9) in (2.12): dip^(x*pk) dxf kk^x*k v*p — KD(a;D J— = 0 —> (2.62) l^ 1^ ---T------k----------T------- --- PP----------- drCp da;c p p da;c i. ,da; dtL> (a;c) ^c(^c) = ^pl^p )~,— "-*¦ —--,-----------^c(^c) = 0. (2.63) p p da;c da;c S pomočjo enačb (2.63) lahko določimo tudi zvezo med psevdoukrivljenostjo betonskega dela nosilca in psevdoukrivljenostmi prednapetih kablov (k = 1,2, ...,np): k k (l ~^~ Lp(Xr>k)) Kv(xv ) = 7---------------------1w Kc(xc). (2.64) (1-\-eco(xc)-\-z" Kc(xc)) Ob upoštevanju zgoraj navedenih dejstev se kinematične enačbe prednapetega betonskega nosilca (2.7)— (2.12) bistveno poenostavijo. Nadomestimo jih s sistemom enačb (k = 1, 2, ...,np): duc(a;c) , , 1 H------------------(1 + eco(xc)) cos(pc(xc) = 0, (2.65) da;c dioc(a;c) , , —i----------h (1 + Lco{xc)) sintfJxc) = 0, (2.66) da;c —------------Kc(a;cJ = 0, (2.67) da;c di/ (V ") 1 H-------—t-------(1 + ^pl^p )) COS ^cl^cj = 0, (2.68) ^pC^p ) = wc(xc) + zc cos(/?c(a;c), (2.69) ipp(x* ) = T^O^o -^), KJer Je xp = xc- Tako lahko s pomočjo slike 2.3 na preprost način zapišemo zvezo med deformacijskimi količinami eco(xc) in L„(;L„) (k = 1,2, ...,np) in zamiki A (xc) na stiku. Pri tem zaradi preglednosti ponovno upoštevamo e = 0, kar pomeni z^ = z^2 = zc = xt ~X,xc ¦ X-n %c —3^p I z,zc,4 1 . r r \8MMSS3 VQ*a------}Tp*--- — im MMMj !Tcfc2 >xc >L* ^ ^p Slika 2.3: Geometrijski pomen zamika na stiku med betonom in prednapetim kablom. Figure 2.3: Geometrical meaning of slip between concrete and prestressing tendon. Zamik na stiku torej določa enačba sc(%c) + A (xc) = A (0) + Sp(Xp) —> A (xc) = A (0) + Sp(^c) — Sc(^c) , (2.71) kjer predstavljajo sc(xc) in Sp(Xp = xc) (k = 1,2, ...,np) deformirani dolžini od začetnega delca betonskega dela nosilca oziroma prednapetih kablov na stiku do izbranega delca. Določimo jih z izrazi (k = 1, 2, ...,np): sc(%c) = / (1 + Lco(^) + zc kc(x) dx, (2.72) o Krauberger, N. 2008. Vpliv požara na obnašanje ojačanih betonskih linijskih konstrukcij. 15 Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. k k fXp Xc ( k \ sp(xp = xc) = (1 + Lp{x) j dx. (2.73) o Ko izraze (2.72) in (2.73) vstavimo v enačbe (2.71), dobimo (k = 1, 2, ...,np): A (xc) = A(0) + / Lp(^) — (^co^) + zc nc(x)) dx (2.74) o oziroma dAfc(a;c) k , k / \ k —-------= Lv(xc) — (eco(^c) + zc nAxc)) = Lv(xc) — ec(xc), (2.75) axc p \ v kjer je Lc(%c) = Lco(^c) + zj? nc(xc). Z upoštevanjem zvez (2.59) pa lahko zamik na stiku med betonom in fc-tim prednapetim kablom zapišemo tudi z izrazom (k = 1, 2, ...,np) (Čas, 2004): A {xc) = (1 + Lp{x))ax. (2.76) x*k 2.1.5 Konstitucijski zakon stika S konstitucijskim zakonom stika definiramo zvezo med strižno komponento kontaktne linijske obtežbe in zamikom na stiku med betonom in prednapetim kablom. Skladno s tretjim Newtonovim zakonom velja na stiku enačba (k = 1, 2, ...,np): pc (xc) + pp(x = xc) = 0 (2.77) oziroma v komponentni obliki glede na prostorsko bazo (k = 1,2, ...,np): Pxc(xc) +Pip(sp = xc) = 0, (2.78) Pz c(xc) +Pz p(xp = xc) = 0- (2.79) V enačbah (2.13)—(2.16) smo kontaktno linijsko obtežbo, ki deluje na stiku med betonom in jeklom za prednapenjanje, zapisali tudi v materialnem koordinatnem sistemu. V disertaciji materialne bazne vektorje, na primer za betonski del nosilca, označimo et)C = ex,c m en,c = ez,c- S tem poudarimo, da gre za tangentni in normalni vektor glede na deformirano referenčno os. Posledično pripadajoče komponente kontaktne linijske obtežbe imenujemo tangentna (strižna) in normalna komponenta (slika 2.4). S pomočjo slike 2.4 zapišemo zveze (k = 1, 2,...,%,): Ptc(xc) =Ptci(xc) +ft 02(^0); (2.80) Ptp(xp) = Pt piC^p) +Pt p2(a;p)) (2.81) Pnc(xc) = Pncll^c) +Pn 02(^0)) (2.82) Pn,p(xp) = Pn,pl(xp) +Pn,p2(a;p)- (2.83) 16 Krauberger, N. 2008. Vpliv požara na obnašanje ojačanih betonskih linijskih konstrukcij. Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. "t.n Slika 2.4: Komponente kontaktne linijske obtežbe na stiku med betonom in prednapetim kablom. Figure 2.4: Components of bond stress between concrete and prestressing tendon. Z upoštevanjem enačb (2.80)-(2.83) pa zapišemo tudi zveze med komponentami kontaktne linijske obtežbe v različnih bazah: za betonski del nosilca (k = 1,2, ...,np): Pxc(xc) = Pt cC^c) costpc(xc) + pn c(xc) smipc(xc), (2.84) Pz c(xc) = ~Pt c(xc) s'mtPc(xc) +Pn cO^c) COSlßc(xc), (2.85) za prednapete kable (k = 1,2, ...,np): PXp(xp) = Pt pO^p) coslPp(xp) +Pn pO^p) smlPp(xp)i (2.86) PZp(xp) = ~Pt pO^p) smlPp(xp) +Pn pC^p) coslPp(xp)- (2.87) V enačbah (2.84)—(2.87) predstavljata^c(xc) in p^ c(xc) tangencialno (strižno) oziroma normalno komponento kontaktnega napetostnega vektorja, s katero k-ti prednapeti kabel deluje na betonski del nosilca. Podobno psLPtp(xp) in K pO^p) predstavljata tangencialno (strižno) in normalno komponento kontaktnega napetostnega vektorja, s katero betonski del nosilca deluje na fc-ti prednapeti kabel. Ko enačbe (2.84)-(2.87) vstavimo v ravnotežne enačbe (2.49) in (2.50), dobijo te znane oblike ravnotežnih enačb za vrvi (k = 1,2, ...,np): dA/p^pO k . —~rk-------\~ Pt pl^p) = 0, (2.88) —AC, (Xp) Kp(xp) + pn p(xp) = 0. (2.89) V splošnem lahko konstitucijski zakon stika med betonom in prednapetimi kabli zapišemo v obliki (k = 1,2, ...,np): pt c(xc) = Qt c(A (xc),pnc(xc),xc,...). (2.90) Funkcije C/^c (^ = 1>2, ...,np) so v splošnem odvisne od zamika, normalne komponente kontaktne linijske obtežbe, lege in številnih drugih parametrov. Kot vse konstitucijske zveze tudi te določimo s Krauberger, N. 2008. Vpliv požara na obnašanje ojačanih betonskih linijskih konstrukcij. 17 Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. preizkusi. Te zveze v literaturi pogosto imenujejo strižni tok-zamik. Najpreprostejša je linearna zveza (Čas, 2004) ptc(xc) = K A (xc), (2.91) kjer predstavlja K koeficient togosti stika. Kot je pokazal Čas v svoji doktorski disertaciji (Čas, 2004), so pri gradbenih konstrukcijah zamiki na stiku majhni. V tem primeru lahko v osnovnih enačbah predstavljenega matematičnega modela še dodatno upoštevamo (k = 1,2,..., np): VpC^p) ~ ^Pp^p ) = VcO^c), (2.92) ^pC^p ) ~ ^pC^p); (2.93) ^pC^p ) ~ ^pC^p); (2.94) Lr>(XV ) ~ čpO^p); (2-95) 'S^p ) ~ K-pO^p)- (2-96) Če enačbo (2.92) upoštevamo v enačbah (2.84)—(2.87), lahko ob upoštevanju enačb (2.78) in (2.79) dobimo poenostavljene zveze tudi za komponente kontaktne linijske obtežbe v materialni bazi (k = 1,2, ...,np): Pnp(xp) ~ ~~ pnc(xc), (2.97) Ptp(xp) ~ ~Ptc(xc)- (2.98) 2.1.6 Posplosˇene ravnotezˇne enacˇbe Posplošene ravnotežne enačbe predstavljenega matematičnega modela za analizo prednapetih betonskih linijskih konstrukcij pri sobni temperaturi sestavljajo kinematične, ravnotežne, konstitucijske in vezne enačbe: kinematične enačbe: duc(xc) , , 1 H------------------(1 + eco(xc)) cos(pc(xc) = 0, (2.99) dxc dwc(xc) , , ----------h (1 + eco(^c)) sintfJxc) = 0, (2.100) dxc —------------Kc(^c) = 0, (2.101) dxc d<(aL) , k k. 1-\-------------------(1 + LD(xD)J cosipAXc) = 0, (k = 1,2, ...,np), (2.102) dxc v v 18 Krauberger, N. 2008. Vpliv požara na obnašanje ojačanih betonskih linijskih konstrukcij. Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. ravnotežne enačbe: dKx,c(Xc) , i ^ , ^nP fc / n ------j-------------1" «ZX,cl^cJ + PXc\Xc) = O; (2.103) d7?-z,c(a;c) , , v^rap fc / m ------j------------h qz,c{%c) + y, Pz c\xc) = 0, (2.1U4) UA^cl^cj / / \ / / \ ^^p t, , L, -----j--------------(1 + LcO[.Xc)jQc{Xc) + mY,c{%c) + / PXc\Xc) zc = ^) (2.105) dj\f (x ) — f t. P—l~ftp(a;p) = 0> (^ = 1)2, ...,np), (2.106) rk k I (l "1" ^pC-^p)) 1 AL (a;p) -t------------------------rt-kc(3;c) (1 + Lco(^c) +-Zc Kc(^c)j 1 + Lp(#p) i. i. -------t;,7\ Kc(xc) +Pnp(a;p) = 0) (k = 1,2, ...,np), (2.107) l-\-eco(xc)-\-z*; kc(xc)) konstitucijske enačbe: vezne enačbe: Mc(xc) = Mc,c(xc, Lco, Kc), (2.108) A4c(^c) = A4C)C(a;c,eco, kc), (2.109) ¦^p (^p) = -^cpC^pj^p)) (k = 1,2, ...,np), (2.110) %c + uc(xc) + zc smipc(xc) = x* +up(Xp), (k = 1,2, ...,np), (2.111) Xc \ k { i / /? / \ 1 A [xc) = [1 + e [x)j(lx, (k = 1,2, ...,np), (2.112) ptc(xc) = Qtc[A (xc),pnc(xc),xc,...), (A; = 1,2, ...,np), (2.113) Pjc(j;c) = ft cC^c) cos(/?c(a;c) — pn p(xp) sin ipc(xc), (k = 1, 2, ...,np), (2.114) Pzc(xc) = —Ptc(xc) sinipc(xc) — Pnp(xp)cos^(^c), (& = 1; 2, ...,np), (2.115) p^ (a;p) = — pXc(xc), (k = 1,2, ...,np), (2.116) pzp(xp) = — Pzc(xc)i (k = 1,2, ...,np) (2.117) ter pripadajoči statični in kinematični robni pogoji: Krauberger, N. 2008. Vpliv požara na obnašanje ojačanih betonskih linijskih konstrukcij. 19 Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. xc = 0 : -S2,c-Kz,c(S>) -S3,c-Mc(0) 0 ali «i)C = uc(0), 0 ali v,2tc = ^c(O), 0 ali ustC = c(0), (2.118) (2.119) (2.120) xc = L : —5*6,0 + -A4C(L) 0 ali -U4)C = uc(L), 0 ali -U5)C = wc(L), 0 ali -U6,c = Y>c(-^)> (2.121) (2.122) (2.123) Sistem enačb (2.99)—(2.113) sestavlja (7np + 8) diferencialnih in algebrajskih enačb za prav toliko ne- znank: eco(xc), Kc(a;c),Lp(:rp), TZx,c(xc),T^-z,c(xc), -M.c(xc),NL(x^),uc(xc), wc(xc), ipc(xc), u^(x^), Xp (xc), Pnp(Xp), p^c(xc), A (xc), (k = 1,2, ...,np). Ker analitične rešitve obravnavanega sistema enačb ne poznamo, jih v nadaljevanju rešimo z metodo končnih elementov. 2.2 Diskretizacija posplošenih ravnotežnih enačb prednapetega betonskega linijskega nosilca Točno rešitev osnovnih enačb prednapetega betonskega linijskega nosilca (2.99)-(2.123) poznamo le za geometrijsko linearne in elastične modele. Zato dani sistem osnovnih enačb s pripadajočimi robnimi pogoji rešimo numerično, in sicer z metodo končnih elementov (MKE). V disertaciji predstavimo nov numerični postopek za nelinearno analizo prednapetih betonskih linijskih konstrukcij z možnostjo zamika na stiku med betonom in prednapetimi kabli. Postopek je zasnovan na t.i. deformacijski metodi končnih elementov (Planine, 1998). Glavna prednost deformacijskih končnih elementov pred standardnimi končnimi elementi je v tem, da so deformacijski končni elementi neobčutljivi na vse vrste blokiranj. Družino novih deformacijskih končnih elementov izpeljemo s pomočjo modificiranega izreka o virtualnem delu. Zaradi preglednosti izpeljave v nadaljevanju funkcijske argumente posameznih količin izpustimo. 2.2.1 Izrek o virtualnem delu Izrek o virtualnem delu pravi, daje v ravnotežnem stanju telesa virtualno delo zunanjih sil enako virtu-alnemu delu notranjih sil. Ker so zamiki na stiku med betonom in prednapetimi kabli pri običajnih gradbenih konstrukcijah majhni, predpostavimo, da je beton v stiku s prednapetimi kabli na celotni dolžini nosilca. S to predpostavko lahko zapišemo izrek o virtualnem delu z ločenima enačbama na celotnem nosilcu: za betonski del nosilca: L L 5WC = / Mc 5eco dx + / J\AC önc dx o o 0 — / (Qx,c + / Px c) ^uc dx — (qz>c + / Pzc) ^wc dx— o ~ 0 ~ _ _ _ _ _ _ 20 Krauberger, N. 2008. Vpliv požara na obnašanje ojačanih betonskih linijskih konstrukcij. Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. - / (V,c + YZi *&.c ** ) ^c d* - E-=1 5*.c Kc = 0, (2.124) za prednapete kable (k = 1,2, ...,np): __r L L 5Wp = y I A/"p 6ep dx + / .A/L čkp dx — ~~0 0 L L L 1 — / p^ č-u dx — / fep^pdx- / hYpöip dx =0. (2.125) o o o Izrek o virtualnem delu prednapetega betonskega nosilca zapišemo kot vsoto izrazov (2.124) in (2.125): 5W = 5WC + 5Wp (2.126) L L 5W = / J\fc 5eCQ dx + / A4c5K,cdx— O O — / Qx,c~\~/ Pxc) ducdx — / ( qzjC + / p^c) ču?cdx— O ~ O ~ - I (m^ + Eli: *&,c 4) Sc M U __^ r rL L + > / AC, öep dx + / .A/L $Kp da; — ~ o o L L 1 — / pxpöUpdx — / p^p^tüpda; =0, (2.127) o o kjer smo upoštevali hyp = 0 (k = 1,2, ...,np). V enačbi (2.127) količine $uc, $«;c, L<^c, $-up\ čiOp in 5(/?p označujejo virtualne spremembe pomikov in zasukov referenčne osi betonskega dela nosilca oziroma fc-tega prednapetega kabla, öeco, önc, öep in ÖKp pa so virtualne spremembe deformacijskih količin prednapetega betonskega nosilca. Z 5ui>c in Si>c {i = 1,..., 6) smo označili virtualne spremembe robnih pomikov in zasukov ter zunanje točkovne sile in momente betonskega dela nosilca. 2.2.2 Modificiran izrek o virtualnem delu Pri izpeljavi modificiranega izreka o virtualnem delu upoštevamo, da so konstitucijske enačbe (2.39)-(2.41) identično zadoščene, zato v funkcionalu (2.127) ravnotežne količine Mc, Mc, A/? in A4p nadomestimo s konstitucijskimi količinami J\fc,c, -M-c,c, A/"c p in A4^p: L L ÖW = / A/"c,c feco dx + Mc,c ökc da;— o o — / Qx,c + / Pxc) č>ucdx — / Qz,c~\~/ Pzc) öwcdx— o ~ o ~ Krauberger, N. 2008. Vpliv požara na obnašanje ojačanih betonskih linijskih konstrukcij. 21 Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. - / [mYtC + ^ px>c zcj 5 11 z,c in -M.c ter Kj , 11% in jSA^ (k = 1,2, ...,np). Produkte vezi in Lagrangevih množiteljev v nadaljevanju integriramo po referenčni osi betonskega dela nosilca oziroma prednapetih kablov. Dobljene izraze variiramo po spremenljivkah uc, wC7 ipc7 €cq7 kCs 1Zx,c> Hz,c> Mc, u^7 w^7 ip^7 e^, Kp, 7^xv7 TZ-Zp in -M p (& = 1) 2, ...,np) in dobimo: za betonski del nosilca: 5DC = I ll-\-v!c — (1 + Lco) cos (pc J 5TZx,c dx-\-o L , , + / 7^x,c$ufc ~~ cos(/pc feco + (1 + Lco) sin(/?c čy?c )dx+ O L + / I tüg + (1 + ^co) sin (pc J 5TZz,c dx-\-Jo L , . + / Hz,c ( ^c + sin Ve ^^co + (1 + Lco) cos Vc btPc ) dx+ O / (ipfc — &c) &MC dx + I Aic (č<^. — ČKC) O O za prednapete kable (k = 1,2,..., np): čDp = y I (1 + (^p)' — (1 + Lp) cos (pp ) 61Zx p dx + ~~ 0 + / 71 x p ((^p)' ~~ cos ^p $ep + (1 + Lp) sin (p 5pp ) dx-\- 0 + / I (wp)f + (1 + Lp) sin (p J 57^^ p dx+ O L , , + 7^2 ((čwp)' + sin (p 5e + (1 + e ) cos (/? čy? J dx-\- 0 + / ((^p)' ~~ Kp ) č.Mpdx + / A4p ((č^p)'— čkp J do? =0. (2.130) O O Z/ + ^ — nc 5A4C dx + Mc öPc ~ 3kc dx = 0, (2.129) o O L o L o L 22 Krauberger, N. 2008. Vpliv požara na obnašanje ojačanih betonskih linijskih konstrukcij. Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. Ko izraza (2.129) in (2.130) prištejemo k tunkcionalu (2.128), integrale /n I-Cx cou'ax, /n /<.z r dw' da;, r^ \ a c / i r^T-jk /c k/ i r^ t-» ^ / c k\/ i r^ x Ak <: k\r i n J0 AAC opc ax, J0 Kx (oUp) ax, J0 l<,z yow^) ax in J0 yVlp (ot^pj da; (k = 1, z, ...,np) integriramo po delih in ko v funkcionalu (2.128) upoštevamo izraze: A4 = 1Zx,ccos Ve ~ T^z,c sin wc~ — (M'c — (1 + Lco)Qc + Wy,c + / Plc2:c)^c+ + (l + Ug — (1 + eco) cos pc)ö1Zx,c + ((«c — (1 + Lco) sin(/?c)^7?.^)C + (p'c — kc!)öM.c ) da;+ + ( —S\,c — 1Z-X,c(Q) )Suitc + ( —5*2,0 — 1Z-Z,c(ty )öll2tc + ( —*S*3,c — A4C(0) )5U3,C + + ( —*S*4,C + 1Zx,c(L) 1^^4,0 + ( — *S*5,C + 1Zztc(L) 1^^5,0 + ( — *S*6,c + A4C(L) 1^^6,0 + __ r L / + / / ( (-^č p ~~ -^p )^Lp + (-^c p ~~ -^p)^Kp ~~ ~ o -((R-x,p)' +Px,P)^up - ((^l,p)' + Pz,p)^wp-— ((.A/L)' — (1 + ep)Qp)(5(L'p+ + (l + (wp)' — (1 + Lp) COS fL> ) $7L^ + + (w )' — (1 + L ) sin ^ p)^7?-^p+ + (( )' — k)&A4p da;+ + ( —1ZX(0) )öui + ( —1ZZ(0) )5u2p + ( — .A4 (0) jöu3 + + (1Zxp(L) öu^p + (1ZZp(L) )öu5p + (A4p(L) j^Usp = 0- (2.135) Variacije öuc, öwc, öipc, öeco, önc, ö1Zx,c, ö1Zz,c, öA4c, öUp, ötVp, Sipp, ÖLp, ÖKp, 51ZX , 51ZZ in öM.p v funkcionalu (2.135) predstavljajo poljubne neodvisne funkcije, variacije: Sui>c = 5uc(0), öv,2tc = Swc(Ö), öustc = 5 = 0, (A; = 1,2, ...,np), /g = (tup)' + (1 + Lp) s'mtp = 0, (A; = 1,2, ...,np), /10 = (Pp)' ~ Kp = 0) (A; = 1,2, ...,np), (2.144) (2.145) (2.146) (2.147) (2.148) (2.149) ravnotežne enačbe: xc,Xp G [0, L] : /11 =fc'Xc + Qx,c + y^,P Jic = 0, ' *—'fc=l ' /l3 = 7Wg — (1 + Lcq) Qc + ( my)C + 2, Px c^c = 0' (2.150) (2.151) (2.152) 24 Krauberger, N. 2008. Vpliv požara na obnašanje ojačanih betonskih linijskih konstrukcij. Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. /14 = (Kj )' +pj =0, (k = 1,2, ...,np), /15 = {TZZv)' + Pzp = 0, (A; = 1, 2, ...,np), /16 = (.A/L)' — (1 + Lp)Qp = 0, (fc = 1,2, ...,np). (2.153) (2.154) (2.155) Pripadajoči statični (ali naravni) in kinematični (ali bistveni) robni pogoji so: xc = 0 : -s2,c-nz>M -S3,c-Mc(0) 0 ali «i)C = «c(0), 0 ali v,2tc = ^c(O), 0 ali ustC = c(0), (2.156) (2.157) (2.158) xc = L : —5*6,0 + -A4C(L) 0 ali U4)C = uc(L), 0 ali U5)C = wc(L), 0 ali -U6,c = Y>c(-^)> (2.159) (2.160) (2.161) kjer smo upoštevali, daje 7?.^ (0) = 7L^| (0) = • • • = Mp(L) = 0 (k = 1, 2, ...,np). Napetostno in deformacijsko stanje prednapetega betonskega linijskega nosilca določajo poleg enačb (2.140)-(2.155) in robnih pogojev (2.156)—(2.161) tudi vezne enačbe (2.52) in (2.53). V podpoglavjih 2.1.2 in 2.1.3 smo posplošene ravnotežne enačbe prednapetih kablov nadomestili z enačbami za vrvi, v podpoglavju 2.1.4 pa smo z veznimi enačbami (2.52)-(2.53) modificirali kinematične enačbe (2.7)-(2.12). S temi modifikacijami v nadaljevanju preoblikujemo Euler-Lagrangeove enačbe (2.140)-(2.161) in dobimo: konstitucijske enačbe: xc,Xp G [0, L] : /i = Mc>c — Mc = 0, (2.162) /2 = Mc,c — Mlc = 0, /3 = Mc p — A/p =0, (k = 1,2, ...,np), (2.163) (2.164) kinematične enačbe: xc,Xp G [0, L] : /5 = 1 + u'c ~ (1 + Lco) cos ipc = 0, (2.165) _ _ _ _ _ _ fe = w'c + (1 + eco) sin ipc = 0, (2.166) Krauberger, N. 2008. Vpliv požara na obnašanje ojačanih betonskih linijskih konstrukcij. 25 Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. fj = ip'c — nc = 0, (2.167) /8 = 1 + (lip)' — (1 + ep) cosipp = 0, (k = 1,2, ...,np), (2.168) /g = wc + zc cos ipc — wp = 0, (A; = 1,2, ...,np), (2.169) /io = Ve ~~ fr, = 0) (A; = 1,2, ...,np), (2.170) ravnotežne enačbe: xc,xp G [0, L] : /n = Ky. + qx c + / Pxc = 0' (2.171) /12 = Tvz c + Qz c + / Pz c = 0, (2.172) ' ' ^-—'fc=l ' /i3 = M^, — (1 + eco) Qc + (Tny,c + /. Px c^c =0, (2.173) /14 = (A/"p)'+pt p = 0, (A; = 1,2, ...,np), (2.174) /i5 = —-A/p Kp + pn p = 0, (A; = 1,2, ...,np). (2.175) Pomike in zasuk prednapetega betonskega linijskega nosilca določimo z integriranjem kinematičnih enačb (2.165)—(2.168): xc,Xp G [0, L] : Xc uc (xc) = uc (0) + ((1 + eco) costpc )dx — xc, (2.176) o wc (xc) = wc (0) — / ((1 + eco) sinipc )dx, (2.177) ipc (xc) = ipc (0) + / ncdx, (2.178) ur,(xr>) = up (0) + / [(l + Lp) costpc) dx — xp, (k = 1, 2, ...,np). (2.179) o Če uc (0), ioc (0), tL>c (0), Up (0) (A; = 1, 2, ...,np) zadostijo bistvenim robnim pogojem pri xc = 0 oziroma pri rep: = 0, so kinematične količine uc, wc, ipc, vz odvisne le od deformacijskih spremenljivk eco, kc, Lp. V splošnem moramo pomikom in zasukom zadostiti tudi pri xc = L oziroma pri Xp = L. Vsem tem pogojem lahko preprosto zadostimo, če enačbe: uc (L) = uc (0) + / ((1 + eco) costpc )dx — L, (2.180) o 26 Krauberger, N. 2008. Vpliv požara na obnašanje ojačanih betonskih linijskih konstrukcij. Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. wc (L) = wc (0) — / ((1 + eco) sinipc )dx, (2.181) o L ipc (L) = ipc (0) + / ncdx, (2.182) o (L) = u„(O) + / ((1 + Lp) cos(/?c j da; — L, (A; = 1,2, ...,np) (2.183) 0 obravnavamo kot vezne enačbe deformacijskih količin prednapetega betonskega nosilca (Planine, 1998). Na podoben način rešimo tudi ravnotežne enačbe (2.171)-(2.174): xc,Xp G [0, L] : Kx,c (xc) = Kx,c (0) - / (qx,c + X^fc-i Px>c) da;' (2.184) o ~ Tlzfi (%c) = TLz,c (0) - / (qz,c + ^J.Pz^) d^, (2.185) o ~ A4c yxc) = A4c (U) + ( (1 + ecoJ Qc — [ fny,c + / Pxc zc J j d#, (2.186) o ~ A4. (Xp) = AC, (0) — / ptpda;, (fc = 1,2, ...,np). (2.187) o Statične količine pri xc = L oziroma Tt = L (k = 1,2, ...,np), ki jih potrebujemo v enačbah (2.159)-2.161), izračunamo z enačbami: Kx,c (L) = Ux,c (0) - (qx,c + ^J.Px^) d«, (2.188) /<-z,c (i) = 7cz,c (0) - [qz,c + Z^fc-iPz'cJ ' (2.189) o ~ f ( z' ^np & &^ Aic (L) = Mc (0) + ((1 + Lco) Qc — (^y,c + Vxc zc ) ) d#, (2.190) o — L A/"p (L) = A/"p (0) — / pt dx, (k = 1,2, ...,np). (2.191) O Ker smo kinematične in ravnotežne enačbe točno rešili, v funkcionalu (2.135) odpadejo ustrezni členi. Da zadostimo kinematičnim robnim pogojem, oziroma da povežemo nosilce v konstrukcijo, k enačbi (2.135) dodamo še enačbe (2.180)—(2.183). Dobimo t.i. modificiran izrek o virtualnem delu: L / \ 5W* = / I (A/"c,c — A/"c)feco + (A^C)c — A4c)ök,c )dx-\-o (L \ uc (L) — uc (0) — / ((1 + Lco) cos Ve ) dx + L č7^x,c(0)+ O Krauberger, N. 2008. Vpliv požara na obnašanje ojačanih betonskih linijskih konstrukcij. 27 Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. wc (L) — wc (0) + / ((1 + Lco) sintPc) dx ) 5TZz}C(0)-\-o ipc (L) — Lpc (0) — / kc dx ) öA4c(0)+ + ( —S\tc — ^x,c(0) ) $uc (0) + ( —5*2,0 — föz,c(0) ) $ioc (0) + ( —S3)C — A4C(0) ) 5ipc (0) + + ( —*S*4)C + TZx,c(L)$uc (L) + I —S5)C + TZz,c(L) 1$«;c (L) + I —S6,c + A4C(L) Sipc (L) + r ^ / \ EP / l ( k rk i rk\ ? k \ i / ^c p ~~ A/p °Lp (*X + (L \ Up (L) — up (0) — / ((1 + Lp) cos tL>c) da; + L čAC (0)+ o + (—AC, (0))$up (0) + (AC (L) ^öup (L) = 0. (2.192) Bistvena lastnost modificiranega izreka o virtualnem delu (2.192) je, daje odvisen le od deformacijskih količin eco (xc), nc (xc) in ep {xp). Ostale neznane količine (pomiki, zasuk, Lagrangevi množitelji) nastopajo le s svojimi robnimi vrednostmi. V nadaljevanju bomo dani modificiran izrek o virtualnem delu skupaj z enačbami (k = 1,2,..., np): —AC, Kp +pnp = 0, (2.193) (l + k k —----------------^t kc = 0, (2.194) + Lc0 + -Zc Kc) fc *fc k P (1 + ecQ + -Zg Kc) ^c + uc + zc sin ipc — x* — Up = 0 (2.195) uporabili za formulacijo deformacijskih končnih elementov prednapetega linijskega betonskega nosilca. 2.2.3 Galerkinova (standardna) metoda končnih elementov Pri metodi končnih elementov prednapeti betonski nosilec razdelimo na končne elemente. Neznane deformacijske količine v funkcionalu (2.192) eco (xc), nc (xc) in e^ {x^) interpoliramo z Lagrangevimi interpolacijskimi polinomi (k = 1, 2,..., np): ^cO (^c) = / Pn\%c) Lc0n, Hc (Xc) = > Pn (Xc) Kcn, t-—'«,=1 ' t.—'«,=1 ' (2.196) Sp(Xp) = y Pn(Xp ) Lp,n, kjer predstavljajo eco,n, Kcrain^p n (^ = 1,2,..., A0 vozliščne vrednosti deformacijskih količin. Skladno z interpolacijskimi nastavki (2.196) zapišemo tudi nastavke za variacije deformacijskih količin (k = 1,2, ...,np): OLco (a?c) = / Pn\Xc) OLcon, OKc{Xc) = > Pn\Xc) OKcn, t-—'«,=1 ' ^-—'«,=1 ' (2.197) P p Z—/rl=i v v> 28 Krauberger, N. 2008. Vpliv požara na obnašanje ojačanih betonskih linijskih konstrukcij. Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. Formulacija posplošenih diskretnih ravnotežnih enačb pri homogenih nosilcih je dobro znana in predstavlja osnovo za formulacijo posplošenih diskretnih ravnotežnih enačb prednapetega betonskega nosilca (Planine, 1998). Skladno s to teorijo nastavke (2.196)—(2.197) vstavimo v modificiran izrek o virtualnem delu (2.192) in dobimo (k = 1,2, ...,np): AT / L \ ÖW* = > I / (A/"C)C — Mc) Pndx ) fec0,ra+ ~o / AT / L/ \ + / ( / (-A4c,c ~~ -M-c) Pndx ) $KC)Tl + ~ 0 __^ r__ yY / ^ / \ \ 1 + / / ( / (^c p ~~ -^p ) Pn dx ) fep ra + + Wc (L) — Uc (0) — (1 + > Pn Lc0,n) COS Lpc (IX + L O/vx,c(0)+ o ~ wc (L) — wc (0) + I ( (1 + > P« ^cOr?) sin(L> I dx ) ölZz c(0)+ u / (/?c (L) — (pc (0) — / I >^ Pn Kc,n ) dx ) 5A4c(0)-\-Jo ~ __ r / L / __ju \ \ 1 + / ( ^p (-k) ~ up(fy ~ ((¦'¦"'"/ ^n ^p ^)cos ^c ) dx + L 5Afp (0) + + ( —«51,0 — 7Lx,c(0) ) ^Wc (0) + ( —«§2,0 — 7Lz,c(0) ) čwc (0) + ( —SsyC — A4C(0) ) 6(pc (0) + + ( —*$4,c + 7Zx,c(L) J 5wc (L) + I —Ss,c + 7Zz,c(L) J ču?c (L) + I —«§6,0 + A4C(L) ) <^c (-k) + + > (— Afp (0))^Wp (0) + (Al (L))^w (L) = 0. (2.198) Euler-Lagrangeove enačbe k variacijskemu problemu (2.198) so (k = 1, 2, ...,np): L 5^0 = / (-^c,c — A/"c) Pn dx = 0, (n = 1,2, ...,jV), (2.199) o 9kc = (A/Jc,c — ^c)Pndx = 0, (n = 1, 2, ...,jV), (2.200) o 9™k = / (*^c p ~~ -^p ) Pndx, (n = 1, 2, ...,jV), (2.201) o L / ____ AT \ = uc (L) — uc (0) — / I (1 + > Pn Lco,n) cos (/pc ) dx + L =0, (2.202) o ~ L / ____ AT \ iK-z c = wc (L) — wc (0) + / I (1 + y Pn ^c0,n) sin(/?c ) dx = 0, (2.203) 0 — Krauberger, N. 2008. Vpliv požara na obnašanje ojačanih betonskih linijskih konstrukcij. 29 Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. L ___ Aj 9Mc = fc (-^) ~~ Pc (0) ~~ / / Pn Kc,n da; = 0, (2.204) o L o L ____ AT ^fjyyfc = up (L) — -u (0) — (1 + / -P« Lp n) cos Ve da; + L =0, (2.205) o ~ SVo = ~~ Si,c — T^-x,c(0) = 0, (2.206) 9wc0 = —S2,c — föz,c(0) = 0, (2.207) (^ = —S3>c — Mc(0) = 0, (2.208) ^Mfc = — AC, (0) = 0, (2.209) 5Vl = ~~ ^4,c + l^x,cyj) — Qx,c + y^ Vxc J da; = U, (2.210) O ~ ö^cL = —*^5,c + i^z,c\y) — [Qz,c + / P^c J d^ = ^, (2.211) o ~ 9VeL = -Se,c + Mc(0) + J Ul + Y,n=1 Pneco,n)Qc-mY,c-Y,kP=1Px,c^)äx = 0, (2.212) L #nfc = A/"p (0) — I Pt pdx = 0. (2.213) O Poleg Euler-Lagrangeovih enačb (2.199)-(2.213) sestavljajo posplošene diskretne ravnotežne enačbe prednapetega betonskega nosilca tudi enačbe (2.193)-(2.195). Izkaže se, daje numerično ugodno z Lagrangeovimi interpolacijskimi polinomi aproksimirati tudi spremenljivki x* in p^ (k = 1, 2,..., np): Pn(x )pn n. (2.214) Ko nastavke (2.214) vstavimo v enačbe (2.193)—(2.195) in točno zadostimo enačbi (2.194), dobimo (k = 1,2, ...,np): g™*k = xc n + uc + zc sin tL>c — x* — uv = 0, (n = 1,2, ...,N), (2.215) (l + k ^"fc =PiiDn~^'i)------------^T Kc = 0, (n = 1, 2, ...,N). (2.216) Pn'p (1 + Lc0 + ^c Kc) 30 Krauberger, N. 2008. Vpliv požara na obnašanje ojačanih betonskih linijskih konstrukcij. Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. Za dano zunanjo obtežbo predstavljajo enačbe (2.199)-(2.213) in (2.215)- (2.216) sistem N(3np + 2) + (3np + 9) enačb za prav toliko neznank. Med notranjimi prostostnimi stopnjami je neznanih N(np + 2) deformacijskih vozliščnih količin: eco,n, nc,n, in Lpn ter (np + 3) ravnotežnih količin: TZx,c(0), föz,c(0), .A4C(0) in Afp (0). Med zunanjimi prostostnimi stopnjami pa je neznanih (2np+6) kinematičnih količin: uc (0), ioc (0), tL>c (0), vh (0), uc (L), wc (L), tL>c (L) in vh (L). Neznanih je še dodatnih 2Nnp vozliščnih količin x*n in p^ n. Funkcije TZx,c(xc), TZz,c(xc), A4c(xc) in Mp(xp) v enačbah (2.199)-(2.216) določimo s pomočjo izrazov (2.184)-(2.187). V nadaljevanju notranje prostostne stopnje končnih elementov kondenziramo, zunanje prostostne stopnje pa združimo v enačbo konstrukcije G(a:,A)=0. (2.217) V enačbi (2.217), ki jo imenujemo tudi diskretna posplošena ravnotežna enačba konstrukcije, je x vektor posplošenih pomikov oziroma vektor vozliščnih pomikov končnega elementa, parameter A pa obtežni faktor konstrukcije. Pri reševanju enačbe (2.217) si pomagamo z inkrementno-iteracijskimi metodami. V disertaciji je uporabljena Newton-Raphsonova inkrementno-iteracijska metoda, ki jo je v svoji disertaciji podrobno opisal Bratina (2003), zato je tu ne opišemo. 2.3 Računski primeri Z računskimi primeri prikažemo učinkovitost, natančnost in primernost predstavljenega matematičnega modela in pripadajočega računskega postopka za analizo prednapetih betonskih linijskih konstrukcij z upoštevanjem zamika na stiku med betonom in jeklom za prednapenjanje pri sobni temperaturi. S tem namenom smo z novo deformacijsko družino končnih elementov dopolnili računalniški program NFIRA (Non-linear FIRe Analysis), narejen v programskem okolju Matlab (Bratina, 2003). V vseh računskih primerih smo predpostavili, daje debelina vmesne plasti med betonom in prednapetimi kabli enaka nič (e = 0), ter da so zamiki na stiku med betonom in prednapetimi kabli majhni. Podobno kot Bratina (Bratina, 2003) končne elemente označimo z Ei-j, kjer indeks “i” predstavlja število interpolacijskih točk, indeks “j” pa stopnjo numerične integracije. Tako smo označili, da eco, nc ter ep, x* in p^ (k = 1,2, ...,np) interpoliramo s polinomi enake stopnje in enačbe integriramo z enako stopnjo numerične integracije. Obravnavamo dva računska primera: (i) prednapeti betonski prostoležeči nosilec in (ii) prednapeto betonsko votlo ploščo. 2.3.1 Prednapeti prostoležeči nosilec V prvem računskem primeru obravnavamo prednapeti prostoležeči nosilec I prečnega prereza, za katerega so Rabczuk in Eibl (2004) oziroma Rabczuk, Akkermann in Eibl (2005) predstavili eksperimentalne rezultate. S tem računskim primerom analiziramo vpliv geometrijskega modela nosilca na napetostno in deformacijsko stanje nosilca. V nadaljevanju s primerjavo med numeričnimi in eksperimentalnimi rezultati ocenimo natančnost predstavljenega matematičnega modela in računskega postopka. Na koncu prikažemo še konvergenčne lastnosti deformacijskih končnih elementov in s parametrično študijo vpliv togosti stika med betonom in prednapetimi kabli na napetostno in deformacijsko stanje prednapetih betonskih nosilcev. Geometrijski in materialni podatki ter podatki o legi obtežbe obravnavanega nosilca so prikazani na sliki 2.5. Z I, II in III označimo levi in desni rob nosilca ter prečni prerez na sredini razpona nosilca. Izmerjeni materialni parametri so (Rabczuk, Akkermann in Eibl, 2005): tlačna trdnost betona /c = 4.5 kN/cm , sekantni modul elastičnosti betona Ecm = 2900kN/cm , deformacija pri tlačni trdnosti Krauberger, N. 2008. Vpliv požara na obnašanje ojačanih betonskih linijskih konstrukcij. Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. 31 (a) Prostoležeči nosilec (dimenzije v m): P (b) Prečni prerez (dimenzije v cm): T X h42&12k ^ Ai fro: ~x,xh Y-yh<---| 1.03 III 1.95 4.00 fe = 4.5 kN/cm2 fyk= 50 kN/cm2 Lm= 2900 kN/cm2 4, =0.79 cm2 qz =1.56kN/m "Ä H-»a* & -3- 1.03 Z,Zb,z$ /Po.ik//pk = 142/157 kN/cm2 4 =1.13 cm2 ^predn=80kN Ls = 21000 kN/cm2 Ev = 20500 kN/cm2 Slika 2.5: Geometrijski in materialni podatki ter podatki o obtežbi. Figure 2.5: Geometrical, material and loading data. betona ec\ = —2.2 °/00, mejna tlačna deformacija betona ecu = —3.5 °/00, meja tečenja jekla za armiranje /yk = 50 kN/cm , elastični modul jekla za armiranje Es = 21000 kN/cm , karakteristična napetost jekla za prednapenjanje, pri kateri po razbremenitvi ostane 0.1 °/0 plastične deformacije /po,ik = 142 kN/cm , natezna trdnost jekla za prednapenjanje/pk = 157kN/cm , elastični modul jekla za pred- 2 napenjanje Ep = 20500 kN/cm . Dodatni materialni parametri, ki niso izmerjeni, so pa potrebni pri 771 n 2 analizi so: modul utrditve jekla za armiranje -c/utrd = OkN/cm (brez utrditve), mejna deformacija jekla za armiranje euk = 40 °/00 in mejna deformacija jekla za prednapenjanje euk = 40 °/0o- Obravnavani prednapeti betonski nosilec je ojačan z mehko armaturo s prečnim prerezom As = 0.79 cm2 ter prednapet z dvema kabloma (np = 2). Sili prednapetja ter prečna prereza kablov so za oba kabla enaki: A/? dn = 80 kN, Ap = 1.13 cm2 (k = 1,2). Poleg točkovne sile P, ki deluje na nosilec preko vmesne konstrukcije (slika 2.5), upoštevamo v analizi še vpliv lastne teže nosilca qz,c = 1.56 kN/m. Nosilec modeliramo z mrežo 20-ih končnih elementov tipa E4-5. 2.3.1.1 Analiza izbranega geometrijskega modela V nadaljevanju najprej analiziramo vpliv geometrijskega modela nosilca na napetostno in deformacijsko stanje prednapetega nosilca. Obravnavani nosilec je prednapet in obremenjen le z lastno težo qz,c (P = 0). Rezultate prikazujemo za linearno elastičen prednapeti betonski nosilec. Tudi konstitucijski zakon stika med betonom in prednapetima kabloma je linearen, torej (k = 1,2): ac(xc,zc) = Ecm (eco(^c) + 2ckc(sc)), (2.218) oziroma (?p(xc) = Ecm (ep(xc) + ep0(xc)), Ptp(xc) = K A (xc), t (xc) = 9 A (xc). (2.219) (2.220) (2.221) 32 Krauberger, N. 2008. Vpliv požara na obnašanje ojačanih betonskih linijskih konstrukcij. Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. Pri tem je T (Xc) = PL(Xc (2.222) Rezultate analize prikazujemo v preglednici 2.1, kjer za različne togosti stika prikazujemo kinematične in ravnotežne količine ločeno za geometrijsko linearno teorijo nosilcev (GLT) in geometrijsko nelinearno teorijo nosilcev (GNT). Togost stika spremljamo od K = oo kN/cm (absolutno togi stik), K = 150 kN/cm do K = 15 kN/cm (zelo podajen stik). Relativno napako označimo z e, določimo pa jo v odstotkih z enačbo (.\GLT _ (#)GNT e(») = (•) GNT 100. (2.223) Preglednica 2.1: Primerjava rezultatov med geometrijsko linearno teorijo (GLT) in geometrijsko nelinearno teorijo (GNT) za razlicˇne togosti stika K. Table 2.1: The comparison of numerical results obtained by geometrical linear theory (GLT) and geometrical nonlinear theory (GNT) for different slip modulus K. GLT GNT K [kN/cm2] oo 150 15 oo 150 15 u1p,I [mm] 0 0.60 1.89 0 0.75 1.99 u1p,II [mm] —0.74 —0.89 —2.16 —0.71 — 1.05 —2.34 uc,II [mm] —0.74 —0.69 —0.55 —0.71 —0.30 —0.24 wc,III [mm] — 1.26 — 1.28 — 1.11 — 1.21 — 1.08 —0.92 jVpin [kN] 151.44 156.00 147.84 159.95 152.26 144.71 A^ciii [kN] — 151.44 — 156.00 — 147.84 -159.95 — 152.26 — 144.71 Ap j [mm] 0 0.60 1.89 0 0.56 1.86 p1t,p,I [kN/cm] 0 8.99 2.84 0 8.87 2.80 p1n,p,III [kN/cm] 0 -1.01 -10-3 -9.11 -10-4 0 -0.81 • 10-3 -7.29 • 10-4 V preglednici 2.1 vidimo, da so za prednapeti nosilec s K = 150 kN/cm napake značilnih količin naslednje: za vodoravna pomika na začetku in koncu prednapetih kablov (-up j in -up n) 20 °/0 oziroma 15.2 °/0, za vodoravni pomik težišča betonskega dela nosilca CuC)n) kar 130 °/0, za prečni pomik na sredini razpona prednapetega nosilca (ioc,iii) 18.5 °/0, za maksimalno napenjalno silo v kablih (A/^jjj) samo 2.5 °/o» za največji zamik na stiku med betonom in prednapetimi kabli (Ap j) 7.1 °/0, za maksimalno strižno napetost na stiku (PtPi) samo 1-4 °/0 in za maksimalno normalno napetost na stiku (p\ j) 24.7 °/o- Ugotovimo lahko, da ima geometrijski model nosilca relativno majhen vpliv na velikost značilnih količin prednapetega betonskega nosilca (prečni pomik, maksimalna napenjalna sila, zamik in strižna napetost), nekoliko večji je ta vpliv na vodoravne pomike nosilca, ki pa so relativno majhni in jih zato lahko zanemarimo. Nekoliko večji je vpliv togosti stika med betonom in prednapetimi kabli. Krauberger, N. 2008. Vpliv pozˇara na obnasˇanje ojacˇanih betonskih linijskih konstrukcij. 33 Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbenisˇtvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. Tako je napaka maksimalne napenjalne sile in precˇnega pomika na sredini razpona med prednapetima nosilcema z zelo podajnim stikom in togim stikom 8.4 ?/? oziroma kar 24 ?/?. 2.3.1.2 Primerjava eksperimentalnih in numericˇnih rezultatov Natančnost predstavljenega matematičnega modela in pripadajočega računskega postopka za statično analizo prednapetih betonskih nosilcev pri sobni temperaturi prikažemo s primerjavo numeričnih in eksperimentalnih rezultatov (Rabczuk in Eibl, 2004; Rabczuk, Akkermann in Eibl, 2005). Za konstitu-cijske zakone betona, jekla za armiranje in prednapenjanje, ki v veliki meri določajo natančnost vsakega matematičnega modela, izberemo nelinearne zveze skladno z evropskim standardom za beton Eurocode 2, Part 1-1 (2004). Grafe teh zakonov ter fizikalni pomen materialnih parametrov prikazujemo na slikah 2.6a-2.6c. Nelinearni konstitucijski zakon med strižno napetostjo in zamikom na stiku med betonom in prednapetimi kabli privzamemo skladno s priporočili Abrishamija in Mitchella (1993), Jendela in Cr-venke (2006) oziroma Keuserja in Mehlhorna (1983). Graf tega zakona in fizikalni pomen materialnih parametrov prikazujemo na sliki 2.6d. Izbrani materialni parametri tega zakona so: začetna togost stika 9o = 30 kN/cm , meja elastičnosti t o = 0.3 kN/cm , zamik pri meji elastičnosti Ao = 0.01 cm, strižna trdnost stika t\ = 0.327 kN/cm in pripadajoči zamik A\ = 0.1 cm. Vrednosti materialnih (a) konstitucijski zakon betona (b) konstitucijski zakon jekla za armiranje i 0i ~y TßutKi / i / i — Ecl Lcul (c) konstitucijski zakon jekla za prednapenjanje Jik/Es Suk (d) konstitucijski zakon stika 0j=O.O10o 0.1T0 Jp0,lk/Ep Mn Slika 2.6: Konstitucijski zakoni za beton, jeklo za armiranje in prednapenjanje v skladu z Eurocode 2, Part 1-1 (2004); konstucijski zakon stika med betonom in prednapetim jeklom (Keuser in Mehlhorn, 1983). Figure 2.6: Stress-strain relationships of concrete, reinforcing and prestressing steel recomended by Eurocode 2, Part 1-1 (2004); bond stress-slip relationship between concrete and prestressing steel (Keuser and Mehlhorn, 1983). 34 Krauberger, N. 2008. Vpliv požara na obnašanje ojačanih betonskih linijskih konstrukcij. Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. parametrov za opis mehčanja stika sta: An = 0.25 cm in Ani = 1-0 cm. Njuni velikosti izberemo tako, da povečamo stabilnost numeričnega postopka. Na sliki 2.7 prikazujemo izračunano in izmerjeno obtežno-deformacijsko krivuljo za navpični pomik na sredini nosilca, wm, v odvisnosti od velikosti zunanje obtežbe P. Opazimo zelo dobro ujemanje med krivuljama do točke A, od tu naprej pa veliko odstopanje. Izmerjena mejna nosilnost nosilca znaša 7->eksp v eksp vl v _rm ¦ = 122 kN, pripadajoči pomik pa i^jj^ ¦ = 5.8 mm (točka A na sliki 2.7). Izmerjeni prečni ^ eksp ~i r-y v pomik ob porušitvi nosilca pa je ioin ^ ¦ = 10 mm (točka L na sliki 2.7). Izračunana mejna nosilnost nosilca je Pmej = 147.19 kN, pripadajoči prečni pomik pa ioni,mej = 12.37 mm (točka B na sliki 2.7). Opazimo, da izračunana mejna nosilnost ter pripadajoči pomik znatno prekoračita izmerjene vrednosti. Vzrok odstopanj je najverjetneje v prevelikih izbranih (izmerjenih) trdnostih betona in jekla. 160 140 120 ^ 100 t 8° 60 40 20 0 d eksperiment (Rabczuk et al^ 2005) -----program NFIRA ^^-^^ ,— B - d^ - p D - p ? - T a f C h-------,---------1---------,---------1---------,---------1---------,---------1---------,--------m--------^_ 10 12 14 min [mm] Slika 2.7: Obtezˇno-deformacijska krivulja. Primerjava numericˇnih in eksperimentalnih rezultatov. Figure 2.7: Load-displacement curve. The comparison of numerical and experimental results. 2.3.1.3 Analiza konvergence deformacijskih koncˇnih elementov V nadaljevanju preverimo konvergenco predstavljenih deformacijskih končnih elementov E%-j- Deformacijske količine eco, nc, Lp ter količini x*k in pk (k = 1, 2) interpoliramo z različnimi stopnjami Lagrangevih interpolacijskih polinomov (indeks “i”) ter različnimi stopnjami Lobattove numerične integracije (indeks “j”). Za referenčno oziroma točno rešitev privzamemo rešitev, dobljeno z 40 končnimi elementi tipa Es-9. Napako ocenimo z enačbo (2.223). Spreminjanje relativne napake pri mejni nosilnosti nosilca Pmej glede na točno vrednost v odvisnosti od števila končnih elementov prikažemo na sliki 2.8a, v odvisnosti od stopnje numerične integracije pa na sliki 2.8b. Iz slike 2.8a vidimo, da se relativna napaka s številom končnih elementov manjša, iz slike 2.8b pa, da izbrana stopnja numerične integracije bistveno ne vpliva na relativno napako. Glede na povedano lahko povzamemo, daje za analizo prednapetih betonskih nosilcev najugodneje izbrati mrežo 20-ih končnih elementov tipa E4-5. Zato v nadaljnjih parametričnih študijah uporabimo mrežo 20-ih končnih elementov tipa E4-5. Krauberger, N. 2008. Vpliv požara na obnašanje ojačanih betonskih linijskih konstrukcij. Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. 35 (a) 10 15 20 25 30 35 40 število elementov o\° (b) 20 elementov 'i1 vu 2 ,?--------- ,^, 4 5 6 7 stopnja integracije Slika 2.8: Spreminjanje relativne napake pri mejni nosilnosti nosilca Pmej v odvisnosti: (a) od števila končnih elementov in (b) od stopnje numerične integracije. Figure 2.8: The change of relative error at load capacity Pmej: (a) for different numbers of finite elements and (b) for different levels of numerical interpolation. 2.3.1.4 Vpliv togosti stika na obnasˇanje prednapetega nosilca Že v podpoglavju 2.3.1.1 smo ugotovili, da togost stika med betonom in prednapetimi kabli pomembno vpliva na napetostno in deformacijsko stanje prednapetih betonskih nosilcev. V tem podpoglavju podrobno analiziramo vpliv začetne togosti stika 9o (konstitucijski zakon stika je prikazan na sliki 2.6d) na obnašanje obravnavanega prednapetega nosilca. Pri tem spreminjamo le začetno togost stika 9q, vrednosti značilnih zamikov Ao, Aj, An in Ani pa ohranjamo nespremenjene. Za začetno togost stika izberemo vrednosti: 9q = oo (absolutno togi stik), 9q = 500, 9q = 100, 9q = 50, 9q = 30 in 9q = 20 kN/cm (zelo podajen stik). Rezultate parametrične študije prikažemo za prednapeti nosilec, ki je obtežen z lastno težo qztb in prednapet z začetno napenjalno silo A/? dn (k = 1,2). Zunanja sila P je enaka nič. Zaradi simetrije in obtežbe nosilca prikazujemo rezultate analize le za polovico nosilca (0 < x/L < 0.5). Na sliki 2.9 prikazujemo spreminjanje osne sile v betonskem delu nosilca Mc ter prednapetem kablu M} v odvisnosti od začetne togosti stika 9q. Pričakovano opazimo padanje sile Mc in naraščanje sile M} v območju prenosa napenjalne sile v betonski del nosilca. Območje prenosa napenjalne sile se povečuje s padanjem začetne togosti stika. Za teoretični primer 9q = oo kN/cm sta sili Mc in Ml vzdolž osi nosilca konstantni, kar pomeni, da se napenjalna sila s kabla na betonski del nosilca prenese na razdalji nič, kar seveda fizikalno ni mogoče. Zaradi deformiranja nosilca ob vnosu napenjalne sile v beton se sila v kablu zmanjša z začetne vrednosti A/"* dn = 80 kN na vrednost M} = 76.07 kN. Vpliv začetne togosti stika na potek strižne komponente kontaktnega napetostnega vektorja p\ p in zamika A1 prikazujemo na sliki 2.10. Na sliki 2.10a vidimo, daje za večje začetne togosti stika zamik manjši in je največji na začetku nosilca. Za 9o = 500 kN/cm je zamik na robu Aj = 0.12 mm in je malo večji od zamika pri meji elastičnosti Ao = 0.1 mm. Območje stika na začetku oziroma na koncu nosilca, kjer je vrednost zamika različna od nič, pa ne presega 5 °/0 dolžine nosilca. Za najbolj podajni stik (#o = 20 kN/cm ) je zamik na robu bistveno večji in je kar Aj = 1.97 mm ter občutno presega zamik pri doseženi strižni trdnosti stika A\ = 1 mm. To pomeni, daje na tem delu stika, kjer so zamiki A1 > 1.0 mm, nosilnost stika prekoračena in je zato prišlo že do mehčanja. To vidimo tudi na sliki 2.10b, kjer prikazujemo potek strižne komponente kontaktnega napetostnega vektorja vzdolž stika med 36 Krauberger, N. 2008. Vpliv požara na obnašanje ojačanih betonskih linijskih konstrukcij. Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. ST (a) 0 -20 R'u \ -40 -60 -80 ¦100 ¦120 ¦140 ¦160 i'U ¦ ] \\ \ '•••.. ! i \ \ "I 1 » v i \ \ \ ------Ö0=oo ------Öo=500 ------Öo=100 -0o=5O -0o=3O 0o=2O 0 0.1 0.2 0.3 x/L 0.4 0.5 (b) 80 70 60 s 50 ^40 < 30 20 10 0 TT77' i / / / ! i ' i / / ti i i /// , '.¦'./ -0o=°° -0o=5OO -00=100 -0o=5O -0o=3O 0o=2O 0 0.1 0.2 0.3 x/L 0.4 0.5 Slika 2.9: Vpliv zacˇetne togosti stika na potek osne sile: (a) v betonu Nc in (b) v prednapetem kablu Np1. Figure 2.9: Influence of initial slip modulus on distribution of axial force: (a) in concrete Nc and (b) in prestressing tendon Np1. betonom in prednapetimi kabli. Tako za do = 20 kN/cm p\ proti robu nosilca pada, čeprav se zamiki povečujejo. V nadaljevanju s pomočjo slike 2.10a tudi ugotovimo, da se zamiki praktično pojavijo skoraj po celotni dolžini nosilca, nič so le na osrednji tretjini nosilca. Vpliv začetne togosti stika na p\ p prikazujemo na sliki 2.10b. Na sliki vidimo, da so za 0q = oo kN/cm zamiki na stiku nie, zato so tudi strižne napetosti enake nič. Pri prednapetih nosilcih z zelo togimi stiki {9q = 500 kN/cm ) se zamiki pojavijo le na majhnem območju ob robovih nosilcev. Vrednosti zamikov so bistveno manjše od zamikov na meji nosilnosti stika, strižne napetosti pa so na tem območju zelo velike. Največja vrednost je na robu 1 //1 3 nosilca in je kar pL = 18.89 kN/cm. Pri nosilcih z zelo podajnimi stiki (#0 = 20 kN/cm ) so zamiki bistveno večji, največja vrednost strižne napetosti na stiku pa je le p\ p = 0.34 kN/cm. Pomembno pa (a) (b) 2.0 1.8 1.6 1.4 ^ 1.0 "< 0.8 0.6 0.4 0.2 o \ \ \ N \ \ \ V \ . \ \ -0o=oo 0O=5OO 00=100 0o=5O 0o=3O 0o=2O 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 x/L 20 16 S 3 1___1 ,_, P. <2 1 0 r\ tV-, t V 3- V.¦¦'i \ -0o=oo 0O=5OO 00=100 0O=5O 0o=3O 0o=2O 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 x/L Slika 2.10: Vpliv začetne togosti stika napotek: (a) zamikov A1 in (b) strižne komponente kontaktnega napetostnega vektorja p1t,p. Figure 2.10: Influence of initial slip modulus on distribution of: (a) slips ?1; (b) tangential component of bond stress vector p1t,p. Krauberger, N. 2008. Vpliv požara na obnašanje ojačanih betonskih linijskih konstrukcij. 37 Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. je, da zaradi mehčanja stika ekstrem ne nastopi na mestu največjega zamika, t.j. na robu nosilca, temveč pri x ~ 0.1L. V nadaljevanju na sliki 2.IIa prikažemo tudi vpliv začetne togosti stika na potek normalne komponente kontaktnega napetostnega vektorja p\ p. Vrednosti normalne komponente kontaktnega napetostnega vektorja so bistveno manjše od tangencialne komponente in ne presegajo vrednosti 0.0005 kN/cm, kar je praktično zanemarljivo. Na koncu na sliki 2.lib prikazujemo še spreminjanje prečnih pomikov nosilca wc vzdolž referenčne osi prednapetega nosilca v odvisnosti od začetne togosti stika. Ker je zunanja obtežba relativno majhna (zgolj lastna teža nosilca), se nosilec zaradi prednapetja dvigne. Pri prednapetem nosilcu s podajnim stikom se prečni pomik na sredini razpona v primerjavi s pomikom nosilca s togim stikom spremeni za 16.55 °/0 oziroma za 0.16 mm. (a) xl0' (b) 0.3 0.4 0.5 Slika 2.11: Vpliv začetne togosti stika na potek: (a) normalne komponente kontaktnega napetostnega vektorja p1n,p in (b) navpicˇnega pomika wc na sredini nosilca. Figure 2.11: Influence of initial slip modulus on distribution of: (a) normal component of bond stress vector p1n,p and (b) vertical midspan displacement wc. 2.3.2 Prednapeta betonska votla plošča V drugem računskem primeru analiziramo obnašanje prednapete votle betonske plošče. Za ta primer v literaturi obstajajo eksperimentalni rezultati (Keuser in Mehlhorn, 1983). Tudi s tem računskim primerom s primerjavo med numeričnimi in eksperimentalnimi rezultati ocenimo natančnost in primernost predstavljenega matematičnega modela in računskega postopka za analizo prednapetih betonskih konstrukcij. V nadaljevanju s parametričnimi študijami ocenimo vpliv togosti stika med betonom in prednapetimi kabli na togost, duktilnost in nosilnost tovrstnih prednapetih betonskih konstrukcij. Geometrijske in materialne podatke, podatke o legi obtežbe in načinu podpiranja ter podatke o legi prednapetega jekla prikazujemo na sliki 2.12. Z I, II in III označimo levi in desni rob plošče ter prečni prerez na sredini razpona plošče. Plošča je prednapeta z devetimi kabli. Prečni prerez posameznega kabla je A^ = 0.71 cm2, začetna napenjalna sila pa je A/? dn = 41.54 kN (k = 1,2,..., 9). Mehke armature v prečnem prerezu ni. Vpliv lastne teže prednapete votle betonske plošče upoštevamo z enakomerno linijsko obtežbo qz,c = 2.40 kN/m. Podobno kot v prvem računskem primeru izberemo za konstitucijske zakone be- 38 Krauberger, N. 2008. Vpliv požara na obnašanje ojačanih betonskih linijskih konstrukcij. Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. (a) Prostoležeča plošča (dimenzije v m): P 0.89^--------1.79 (b) Prečni prerez (dimenzije v cm): III 1.79 7.15 II 1.79 0.89 /c = 5.18 kN/cm2 Lm = 3900 kN/cm2 ?Zc=2.40kN/m /po.ik//pk = 157/177 kN/cm2 4 = 0.71 cm2, /Ced^ 41.54 kN Ep = 19500 kN/cm2 Slika 2.12: Geometrijski in materialni podatki ter podatki o obtežbi. Figure 2.12: Geometrical, material and loading data. tona ter jekla za prednapenjanje nelinearni zvezi skladno z Eurocode 2, Part 1-1 (2004) (sliki 2.6a in 2.6c). Uporabljen je tudi enak konstitucijski zakon stika med betonom in prednapetimi kabli (slika 2.6d). Materialni parametri konstitucijskega zakona stika so: začetna togost stika 9o = 50 kN/cm , meja elastičnosti t o = 0.5 kN/cm , trdnost stika t\ = 0.545 kN/cm , zamika na meji elastičnosti in trdnosti stika pa sta Ao = 0.01 cm in Aj = 0.1 cm. Ploščo modeliramo z mrežo 20-ih linijskih končnih elementov tipa E4-5. 2.3.2.1 Primerjava med numericˇnimi in eksperimentalnimi rezultati Na sliki 2.13 prikazujemo izmerjeno in izračunano obtežno-deformacijsko krivuljo za navpični pomik na sredini plošče, w\\\, v odvisnosti od velikosti zunanje obtežbe P. Opazimo relativno dobro uje-manje krivulj. lako je izmerjena mejna nosilnost plosce Pmei = 47.50 kN, pripadajoči pomik pa w eksp III,mej 28 cm. Izračunana mejna nosilnost plošče je Pmej = 55.99 kN, pripadajoči pomik pa ^m,mej = 32.64 cm. Iz prikazanega lahko sklepamo, da predstavljeni matematični model za analizo prednapetih betonskih konstrukcij zelo dobro opiše togost prednapetih betonskih konstrukcij, nekoliko slabše pa duktilnost in nosilnost. 2.3.2.2 Vpliv nivoja zunanje obtežbe na obnašanje prednapete votle plošče V nadaljevanju podrobneje analiziramo vpliv nivoja zunanje obtežbe na mehansko obnašanje prednapete votle plošče. Analizo prikažemo za štiri nivoje zunanje obtežbe, Pa, Pb> Pc m Pd (slika 2.13). Obtežba Pa = 0 kN predstavlja osnovni nivo obtežbe, kjer poleg lastne teže qz,c na ploščo delujejo le začetne napenjalne sile A/? dn (k = 1,2,..., 9). Preostali nivoji obtežbe so: Pb = 19.15 kN, Pc = 37.0 kN in Pd = 55.99 kN. Krauberger, N. 2008. Vpliv požara na obnašanje ojačanih betonskih linijskih konstrukcij. Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. 39 ? eksperiment (Keuser in Mehlhorn, 1983) — program NFIRA 15 20 wm [cm] 30 35 Slika 2.13: Obtežno-deformacijska krivulja. Primerjava numeričnih in eksperimentalnih rezultatov. Figure 2.13: Load-displacement curve. The comparison of numerical and experimental results. Na slikah 2.14a in 2.14b prikažemo spreminjanje osne sile v betonu Mc in prednapetem kablu M} odvisnosti od nivoja zunanje obtežbe. Opazimo, da je pri vseh nivojih obtežbe potek osne sile na robu plošče enak. V osrednjem delu plošče osna sila v prednapetem kablu z obtežbo narašča in je največja na sredini plošče. Pri obtežbi Pd je njena vrednost M} = 112.25 kN. Pripadajoča napetost v kablu je 120 100 _ 80 S 60 40 20 ........... D -«A — Pb - Pc y" ........P0 / \ / N / \ / '. / ¦' / ^' "^ \ \ ^\ / , i 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x/L 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x/L Slika 2.14: Spreminjanje osne sile vzdolž osi plošče za štiri nivoje zunanje obtežbe: (a) v betonu J\fc in (b) v prednapetem kablu M}. Figure 2.14: Distribution of axial force along the span of slab for four different levels of load: (a) in concrete Mc and (b) in prestressing tendon M}. 40 Krauberger, N. 2008. Vpliv požara na obnašanje ojačanih betonskih linijskih konstrukcij. Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. obtežbi Pd kabel že plastificira. Na sliki 2.15 prikažemo spreminjanje zamika A1 in strižne komponente kontaktnega napetostnega vektorja pi p vzdolž stika med betonom in posameznim kablom za vse štiri izbrane nivoje zunanje obtežbe. Vidimo, daje zamik A1 največji na robu plošče, t.j. v območju sidranja oziroma prenosa napenjalne sile v betonski del plošče. Opazimo tudi, da je zamik na robu plošče neodvisen od nivoja zunanje obtežbe in znaša A1 = 0.45 mm ter je manjši od zamika pri doseženi trdnosti stika Aj = 1.0 mm ter večji od zamika pri meji elastičnosti Ao = 0.1 mm. Tudi strižna komponenta kontaktne linijske obtežbe p\ p je neodvisna od nivoja zunanje obtežbe. Njena vrednost na robu znaša p\ p = 1.55 kN/cm. Z računsko analizo smo ugotovili, da sta pri sili Pa = 0 kN tako zamik kot strižna komponenta kontaktnega napetostnega vektorja izven območja sidranja enaka nič, medtem ko za ostale nivoje zunanje obtežbe Pb, Pc in Pd to ne velja. V teh primerih se zamiki in strižne komponente kontaktnega napetostnega vektorja pojavijo tudi izven območja sidranja. Na sredini prednapete betonske plošče pa sta A1 in pi p za vse obravnavane nivoje zunanje obtežbe enaka nič. (a) ö0= 50 kN/cm3 (b) ö0= 50 kN/cm3 0. 0. 0. 0. 1 °' -0 -o -o -o — Pa — PB -Pr C- \ p» 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x/L 2.0 1.5 i ^ 1.0 I 0.5 \ a o *. -0.5 -1.0- -1.5 -2.0 0 — Pa — PB -Pc ........ L 0.2 0.4 0.6 x/L 0.8 1.0 Slika 2.15: Spreminjanje: (a) zamika A1 in (b) strižne komponente kontaktnega napetostnega vektorja pi p vzdolž stika med betonom in prednapetim kablom za štiri nivoje zunanje obtežbe. Figure 2.15: Distribution of: (a) slip A1 and (b) tangential component of bond stress vector pi between concrete and prestressing tendon for four different load levels. 2.3.2.3 Vpliv togosti stika na obnašanje prednapete votle plošče V nadaljevanju za vse štiri izbrane nivoje obtežbe (Pa, Pb, Pc m Pd) analiziramo še vpliv začetne togosti stika na napetostno in deformacijsko stanje prednapete betonske plošče. Analizo prikažemo za začetne togosti: 9q = oo (absolutno togi stik), 9q = 500, 9q = 50, 9q = 25, 9q = 15 in 9q = 10 kN/cm (zelo podajen stik). Vrednosti zamikov Ao in A\ v konstitucijskem zakonu suka pri tem ne spreminjamo, vrednosti značilnih materialnih parametrov v območju mehčanja stika pa izberemo na podlagi stabilizacije numeričnega postopka. Vrednosti sta: An = 0.25 cm in Ani = 1-0 cm. Na sliki 2.16 prikažemo vpliv začetne togosti stika med betonom in prednapetimi kabli na potek obtežno-deformacijske krivulje za pomik na sredini plošče ioni- Rezultate računa za mejno nosilnost Pmej in pripadajoči prečni pomik na sredini plošče iomej prikazujemo tudi v preglednici 2.2. S pomočjo slike 2.16 ugotovimo, daje oblika obtežno-deformacijske krivulje praktično neodvisna od izbrane začetne togosti stika. To je najverjetneje posledica relativno majhnih zamikov na stiku. Popolnoma drugačen pa je vpliv začetne togosti stika 9q na velikost mejne nosilnosti plošče Pmej ter pripadajočega pomika na Krauberger, N. 2008. Vpliv požara na obnašanje ojačanih betonskih linijskih konstrukcij. 41 Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. sredini plošče iomej (slika 2.16 in preglednica 2.2). Pri ploščah z zelo togimi stiki sta mejni vrednosti Pmej in tümej največji, pri ploščah s podajnimi stiki pa se mejne nosilnosti plošč Pmej in pripadajoči 60 50 / 40 / § 30 20 10 0 ( / --x Pmq(0o=oo) / --^ Pmq(0o=5OO) / ---^ L*(&>= 50) / —o L*(&>= 2$) J -v Pmq(Ö0=15) _ / OPmsd(ö0=10) ) 5 10 15 20 25 30 35 40 wm [cm] Slika 2.16: Vpliv zacˇetne togosti stika na potek obtezˇno-deformacijske krivulje. Figure 2.16: Influence of initial slip modulus on distribution of load-displacement curve. Preglednica 2.2: Vpliv začetne togosti stika na mejno nosilnost in pripadajoči pomik. Table 2.2: Influence of initial slip modulus on bearing capacity and appurtenant deflection. 6q = oo 6q = 500 6q = 50 6q = 25 6q = 15 6q = 10 [kN/cm3] [kN/cm3] [klSf/cm3] [kN/cm3] [kN/cm3] [kN/cm3] Pmej [kN] 56.94 wmej [cm] 38.31 55.99 55.99 55.97 31.52 4.74 32.65 32.64 32.64 11.38 0.34 V okviru tega računskega primera prikažemo tudi vpliv začetne togosti stika 9o na potek nekaterih ravnotežnih in kinematičnih količin v obravnavani prednapeti votli betonski plošči. Rezultate zopet prikazujemo za vse štiri izbrane nivoje zunanje obtežbe Pa, Pb> Pg in Pd- Zaradi simetrije plošče in obtežbe rezultate prikazujemo le za polovico plošče (0 < x/L < 0.5). Ker v prečnem prerezu plošče velja ravnotežje sil Mc + SfcLi -^p = 0, v nadaljevanju prikazujemo le osno silo v prednapetem kablu M}, osne sile v betonskem delu plošče pa ne (slika 2.17). Potek osne sile v kablu je vzdolž referenčne osi zaradi simetrije plošče in obtežbe simetričen. Opazimo, da ima začetna togost stika ne glede na nivo zunanje obtežbe pomemben vpliv na potek osne sile v kablu M}. V skladu s pričakovanji opazimo pri vseh nivojih zunanje obtežbe padec napenjalnih sil v bližini robov plošče. Padec osne sile v kablu je tem večji, čim bolj podajen je stik med betonom in kablom. Pri vseh nivojih zunanje obtežbe se s padanjem začetne togosti stika povečuje območje vnosa napenjalne sile v betonski del plošče. Pri osnovnem 42 Krauberger, N. 2008. Vpliv požara na obnašanje ojačanih betonskih linijskih konstrukcij. Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. nivoju obtežbe Pa = 0 kN je pri plošči z absolutno togim stikom vrednost osne sile v kablu konstantna ft/} = 39.21 kN, vendar zaradi deformiranja plošče manjša od začetne napenjalne sile M} 0 = 41.54 kN. (a) PA=0kN 0.4 0.5 (c) Pc=37kN (b)PB= 19.15 kN 0.4 0.5 (d) PB= 55.99 kN 120 100 80 2,60 ft 20 0 / i / / 'i ' i i ö0= oo 0O=5OO öo=50 -0o=25 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 x/L Slika 2.17: Vpliv nivoja zunanje obtežbe in začetne togosti stika na potek osne sile v prednapetem kablu K- Figure 2.17: Distribution of axial force in prestressing tendon M} for different load levels and different initial slip modulus. V nadaljevanju na sliki 2.18 prikažemo vpliv začetne togosti stika na potek zamikov A1 med betonom in prednapetimi kabli za vse štiri izbrane nivoje zunanje obtežbe Pa, Pb, Pg m Pd- Potek zamikov je antisimetričen glede na sredino plošče. Pričakovano so zamiki največji ob robovih plošče, tj. v območju sidranja oziroma vnosa napenjalne sile v betonski del plošče. Ugotovimo, da so pri ploščah z isto začetno togostjo stika zamiki na robu plošče neodvisni od nivoja zunanje obtežbe. V primeru plošč z zelo togimi stiki med betonom in prednapetimi kabli (t/o = 500, 0q = oo kN/cm ) pa na stiku ni zamikov oziroma so zanemarljivo majhni. Na sliki 2.19 primerjamo za različne začetne togosti stika potek strižne komponente kontaktnega napetostnega vektorja p\ p vzdolž stika med betonom in prednapetim kablom pri vseh štirih izbranih nivojih zu- Krauberger, N. 2008. Vpliv požara na obnašanje ojačanih betonskih linijskih konstrukcij. 43 Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. (a) PA= 0 kN 4.0 r -3.5 \ 3.0 1 2'5 J1 2.0- 1.5 1.0- \ V 0.5 ;\\ 0^ ¦Öo=oo Öo=500 0o=5O Ö0=25 0o=15 0n=lO 0.1 0.2 0.3 x/L 0.4 0.5 4.0 (c) Pc=37kN 3.5 ------0o=oo - - 0n-5OO 3.0 ------0O=5O 1" 2-5 -0o=25 e 2.0 mMk. (3.13) l=i—l m=j—l n=k V izrazih (3.12) in (3.13) predstavljata Timn in Wimn točkovne (vozliščne) vrednosti temperature in točkovne (vozliščne) vrednosti potenciala vlage v točkah diferenčne mreže, Ni>m in Mk pa predstavljata krajevne in časovne oblikovne funkcije. V tem primeru z indeksoma “i” in “j” označimo koordinati y in z, z indeksom “k” pa čas. Diferenčno mrežo z danimi koordinatami prikazujemo na sliki 3.2. Z upoštevanjem odvodov oblikovnih funkcij in brezdimenzijskih koordinat (Gams, 2003) aproksimirane izraze, ki nastopajo v enačbah (3.1) in (3.3) oziroma (3.2) ter (3.4), zapišemo v razviti obliki z izrazi: (3.14) -L i— l,j,fc+lj i ^J.lJ^ -^ i— l,j,fc+l/ 5 ^J.IO^ CJT (1 - tb) (rp rp \ ^b (rp ~\ 7T~ä v *+l,7,fc i—1,1,k) ~r ~t \-Li-\-l,j,k-\-l oy 2Ay 2Ay CJT (1 - tb) jrp rp \ ^b jrp ~\ 7T~a v -*-i-\-l,j,k 1-i— l,j,k) > . \-*-i-\-l,j,k-\-l OZ 2Az 2Az 02T (1 - tb) jrp rp rp ^b ¦ rp rp rp ö o V *+l,7,fc ^i,7,fc \ -^i—l,7,fcj \ q \-L i—1,7, fc+1 ^± i, 7, fc+1 \ -L i— 1,7',/c+l)5 \J.l i) L> L> '"' "' '"' iL> " ' " ' " ' Krauberger, N. 2008. Vpliv požara na obnašanje ojačanih betonskih linijskih konstrukcij. 53 Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. Slika 3.2: Oznake temperatur v točkah diferenčne mreže pri dveh različnih časih. Figure 3.2: Finite difference points at two different times. 02T (1 — tb) /rr „ „ % , . V 2,7+1,& ^-*-i,j,k + -Li,j—l,k) + ~Ä öl ^?+l)^+l 2,7',/č+l "T -Li j—1,/c+l)t w-to^ dz2 Az2 CJW (1 — tb) / ^b ö ^ a \^i-\-l,j,k LVi—l,j,k ) i . v^2+l,7,Ä+1 ^2— 1,7,/c+ly5 ay 2Ay 2Ay dw (1 — tb) 9z 92io (1 — tb) ------ = ------------ 9y2 Ay2 2Az / . ^b / \ \UJi-\-l,j,k ^i—l,j,k) \ y^i-\-l,j,k-\-l ^i— l,j,k-\-l) •> 2Az (3.19) (3.20) (3.21) tb V^2+l,7,fc ^^i,j,k i Wi—ijLJ + . 9 ^Wi—\ j k-\-l ^^2,7',/č+l + ^i— 1,7,/c+ly > w-^^-/ Ayz 92io (1 — tb) / 0 tb . o 9 a 9 v^2,7+l,fc ^^2,7',/č 1 Wi j—i uj + — ^^(l7^,7+1 ,k-\-l ^^2,7',/č+l + ^2,7 — l,fc+l/S w-^-^J azz Azz Azz dky (1 — tb) r V ^b) ßi,j,k "T ^bPiJ}k-\-l^ ^b (3.24) 9y 2Ay 1*^/2+1,7,fc 1*^/2—1,7,fc + ~ * ("'vJ^+l,7,^+1 1*^/2—1,7,fc+1> \J.Zj) 2Ay itd. Ko izraze (3.14)-(3.25) vstavimo v (3.1) in (3.3) oziroma (3.2) ter (3.4), dobimo enačbe za notranje (ne-robne) točke diferenčne mreže prečnega prereza (slika 3.3). Diferencialne enačbe za točke na robu in v vogalih izpeljemo z uporabo ti. nesimetričnih ali simetričnih formul (Gams, 2003). Postopek računanja _ 54 Krauberger, N. 2008. Vpliv požara na obnašanje ojačanih betonskih linijskih konstrukcij. Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. je praviloma bolj učinkovit, če pri zapisu enačb uporabljamo le središčne interpolacije. Središčna interpolacija zahteva vpeljavo pomožnih vozlišč z namišljenimi vrednostmi temperature in potenciala vlage, ki se nahajajo okrog prereza. Posledično pomeni to vpeljavo dodatnih neznank, za kar potrebujemo dodatne enačbe. Dodatne enačbe dobimo, če enačbe za notranje točke zapišemo še v robnih točkah (slika 3.3). 4,0 o 3,0 o 2,0 o 1,0 2,1 JU.l o0,l 1,2 o0,2 nty+l,ntz o-------1 • notranje točke • robne točke o pomožne točke d vogalne točke nty št. točk v smeri y ntz št. točk v smeri z o o o o nty,ntz+\ O o nty-5,ntz+l Slika 3.3: Oznake vozlišč izbrane diferenčne mreže glede na lego v prerezu. Figure 3.3: Finite difference points and their position in the cross-section. V izrazih (3.14)-(3.25) smo vpeljali brezdimenzijski čas 0 < tb < 1 kot prosti parameter. Da bi diskretiziran sistem enačb povezanega prenosa toplote in vlage lahko rešili, moramo izbrati vrednost parametra tb. Če izberemo tb = 0, imenujemo diferenčno metodo čista eksplicitna ali Eulerjeva metoda, če je tb = 0.5, jo imenujemo Cranc-Nicholsonova metoda, če je % = 0.67, jo imenujemo Galerkinova metoda in če je tb = 1, imenujemo diferenčno metodo čista implicitna metoda. Izbira parametra % nam pove, pri katerem času zadostimo diferencialnim enačbam. Pri tem pomeni tb = 0 začetek časovnega koraka, tb = 1 pa njegov konec. Različne izbire parametra % dajejo različno natančne rešitve. Če izberemo tb na intervalu 0 < tb < 0.5, postane sicer stabilna diferenčna metoda pogojno stabilna. Ker moramo v tem primeru zadostiti dodatni kriterij o dovoljeni dolžini časovnega koraka ?t, se takim izbiram tb raje izognemo. Pri nelinearnih problemih v splošem iščemo rešitve z raznimi iteracijskimi metodami. Za uspešno iterativno reševanje pa sta pomembna tako izbira začetnega približka kot izbira iteracijske metode. Na voljo je kar nekaj iteracijskih metod, npr. navadna oz. Jacobijeva iteracija, Newtonova metoda, kvazi-Newtonove metode, variacijske metode, itd. Neodvisno od izbire iteracijske metode je togostna matrika običajno odvisna od temperature in potenciala vlage. Poleg tega je togostna matrika pogosto tudi pasovna. Upoštevanje algoritmov za reševanje pasovnih matrik lahko v takem primeru zelo izboljša natančnost rešitev in hitrost konvergence (Schnabl, 2007). Krauberger, N. 2008. Vpliv požara na obnašanje ojačanih betonskih linijskih konstrukcij. 55 Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. 3.2 Določitev napetostnega in deformacijskega stanja v prednapetem betonskem nosilcu med požarom Drugo fazo predstavljenega matematičnega modela in računskega postopka za analizo prednapetih betonskih linijskih konstrukcij med požarom predstavlja določitev napetostnega in deformacijskega stanja v nosilcu ob sočasnem delovanju mehanske in požarne obtežbe. S tem namenom razširimo v prejšnjem poglavju predstavljen numerični model za analizo prednapetih nosilcev pri sobni temperaturi na temperaturne razmere med požarom. To zahteva razširitev matematičnega modela in računskega postopka. Pri razširitvi matematičnega modela upoštevamo spremenjene mehanske lastnosti betona, jekla za armiranje in prednapenjanje ter stika med betonom in prednapetimi kabli pri povišanih temperaturah. Večino teh pojavov v modelu upoštevamo z znanim adicijskim razcepom geometrijskih deformacij prednapetega betonskega linijskega nosilca (Bratina, 2003; Srpčič, 1991). Pri razširitvi računskega postopka pa moramo upoštevati, daje požar časovni pojav. Vse te razširitve predstavimo v nadaljevanju. 3.2.1 Adicijski razcep geometrijske deformacije Kot smo že povedali, predstavlja osnovno razširitev matematičnega modela za analizo prednapetih nosilcev med požarom ustrezno upoštevanje spremenjenih mehanskih lastnosti betona, jekla za armiranje in prednapenjanje ter stika med betonom in prednapetimi kabli pri povišanih temperaturah. Te podrobno opišemo v podpoglavju 3.3. Formalno pa vse te vplive v matematičnem modelu upoštevamo z adicijskim razcepom prirastka geometrijske deformacije Ae v vsoto prirastkov mehanskih deformacij Aea, temperaturnih deformacij Aeth> viskoznih deformacij jekla za armiranje in prednapenjanje, Aecrs ter Aecrp in t.i. prehodnih deformacij betona Aetr,c- Prispevke posameznih prirastkov deformacij zapišemo posebej za betonski del nosilca, jekla za armiranje in jekla za prednapenjanje: betonski del konstrukcije: Aec = Aeafi + Aeth,c + Aecr)C + Aetr,c> (3.26) jeklo za armiranje: Aes = AeatS + Aeth,s + Aecr)S, (3.27) jeklo za prednapenjanje: Ae = Aea p + Aeth + Aec , (k = 1, 2,..., np). (3.28) Seveda so vsi ti prirastki deformacij eksplicitno ali pa implicitno odvisni od temperature. V predstavljenem matematičnem modelu jih upoštevamo preko konstitucijskih količin A/"C)C, MCyC in -A/Jp (k = 1,2, ...,np). 3.2.2 Posplošene ravnotežne enačbe prednapetega betonskega nosilca med požarom Posplošene ravnotežne enačbe predstavljenega matematičnega modela za analizo prednapetih betonskih linijskih konstrukcij med požarom so formalno enake enačbam (2.99)-(2.113). Zaradi spremenjenih mehanskih lastnosti betona, jekla za armiranje in prednapenjanje ter stika med betonom in prednapetimi kabli pri povišanih temperaturah se spremenijo konstitucijske količine A/"C)C, MCyC m NcV (k = 1,2,..., np). V posplošenih ravnotežnih enačbah te spremembe upoštevamo s pomočjo adicijskega razcepa prirastka geometrijskih deformacij (enačbe (3.26)-(3.28)). Poleg tega pa so sedaj posplošene ravnotežne enačbe za analizo prednapetih betonskih nosilcev med požarom odvisne tudi od časa in temperature in so: 56 Krauberger, N. 2008. Vpliv požara na obnašanje ojačanih betonskih linijskih konstrukcij. Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. kinematične enačbe: duc(xc,t) , \ 1 H---------------------(1 + eca(xc, t)) cos ) -S3,c-Mc(0) 0 ali «i)C = uc(0), 0 ali v,2tc = wc(0), 0 ali ustC = yc(0), (3.48) (3.49) (3.50) xc = L : 5*4,0 + T^x, c (L) = 0 ali U4yC=uc(L), -5*5,0 + TZz,c(L) = 0 ali U5yC=wc(L), —*S*6,c + -M-c(L) = 0 ali UQtC=ipc(L). (3.51) (3.52) (3.53) V splošnem so lahko tudi robni pogoji odvisni od časa in temperature. Podobno kot pri analizi prednapetih linijskih konstrukcij pri sobni temperaturi predstavlja zgornji sistem (7np + 8) diferencialnih in algebrajskih enačb za prav toliko neznank: eco(xc, t), nc(xc,t), e^(x^,t), 7lx,c{xc,t), TZz,c(xc, t), Mc(xc,t), A/p (Xp, t), Uc(xc, t), Wc(xc, t), (n = 1,2, ...,iv) (3.69) /% fc,r+l\ 1 + ev Ti v-\-\ h r-\-^ k rk r-\-] r-M ^ t\t 5 fc = Pnp n ~ •™p 7---------+i-------r----+TV Kc = 0, (n = 1, Z, ...,iV). (3.70) Pn>p ' ' (1 + e^o + zc Kc ) Sistem enačb (3.54)—(3.70) sestavlja N(3np + 2) + (3np + 9) enačb za prav toliko neznank. Med notranjimi prostostnimi stopnjami je neznanih N(np+2) deformacijskih vozliščnih količin s^on' Kc V m Lv% ter (np + 3) ravnotežnih količin: 7L^" (0), T^zc (0)> -^c+1(0) m -^p r (0)- Med zunanjimi prostostnimi stopnjami pa je neznanih (2np + 6) kinematičnih količin: urc+l (0), wrc+l (0), T^zc (xc)> -M^+l(xc) in A/"p'r (x^) v enačbah (3.54)—(3.70) določimo s pomočjo izrazov (2.184)-(2.187). V nadaljevanju notranje prostostne stopnje končnih elementov kon-denziramo, zunanje prostostne stopnje pa združimo v enačbo konstrukcije G (xr+\ Xr+l,Tr+\ wr+l) = 0. (3.71) V enačbi (3.71) predstavljajo: xr+l vektor posplošenih pomikov oziroma vektor vozliščnih pomikov in zasukov končnega elementa pri času tr+1; parameter Ar+ obtežni faktor konstrukcije pri času tr+1; Tr+1 temperaturno in wr+l vlažnostno polje po konstrukciji pri času tr+l. 3.3 Mehanske in toplotne lastnosti betona, jekla za armiranje in pred-napenjanje ter stika pri visokih temperaturah Spreminjanje temperature v konstrukciji bistveno vpliva na mehanske in toplotne lastnosti betona, jekla za armiranje in prednapenjanje ter stika med betonom in prednapetimi kabli. Poznavanje spreminjanja teh lastnosti v odvisnosti od temperaturnih sprememb je bistvenega pomena za oceno obnašanja prednapetih betonskih konstrukcij, ki so izpostavljene požaru. V literaturi je na voljo vrsta eksperimentalnih podatkov o mehanskih in toplotnih lastnostih omenjenih materialov pri povišanih temperaturah. Te lastnosti na kratko opišemo v nadaljevanju. 3.3.1 Beton 3.3.1.1 Tlacˇna trdnost betona Med prvimi je natančne eksperimentalne rezultate spreminjanja materialnih karakteristik betona v odvisnosti od temperature predstavil Abrams (1979). Predstavil je rezultate enoosnih tlačnih preiskav za tlačno trdnost betonskih vzocev pri povišanih temperaturah, fc,T- Podobne izsledke o spreminjanju tlačne trdnosti betona pri povišanih temperaturah podaja tudi evropski standard za beton Eurocode 2, Part 1-2 (2003). Rezultate Abramsa (1979) ter priporočila Eurocode 2, Part 1-2 (2003) za spreminjanje tlačne trdnosti betona pri povišanih temperaturah prikazujemo na slikah 3.4 in 3.5. 60 Krauberger, N. 2008. Vpliv požara na obnašanje ojačanih betonskih linijskih konstrukcij. Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. 1.0 0.8 ^ 0.6 t-, ^ 0.4 0.2 0 >^ \ N N. \ \ \\ \ ^V\ N X N Kremenčev \V agregat: \\ — EC 2 (2003) \ — Abrams (1979), crc= = 0^ --Abrams (1979), o-c= = 0.4^-^__ 1.0 0.8 4 °-6 "¦-St-^ ""• 0.4 Apnenčev agregat: — EC 2 (2003) Abrams(1979),o-C=0 0.2 0 200 400 600 800 1000 1200 r[°c] o Abrams (1979), crc= 0.4/c0 x^___ 0 200 400 600 800 1000 1200 T[°C] Slika 3.4: Spreminjanje tlacˇne trdnosti betona s temperaturo glede na nivo tlacˇne obremenitve za: (a) kremencˇev agregat in (b) apnencˇev agregat. Figure 3.4: Compressive strength at elevated temperature for different strength levels for: (a) siliceous aggregate and (b) carbonate aggregate. Na sliki 3.4a je prikazano spreminjanje tlačne trdnosti v odvisnosti od temperature za betonski vzorec iz kremenčevega agregata, na sliki 3.4b pa za vzorec iz apnenčevega agregata. Iz slik 3.4a in 3.4b vidimo, da tlačna trdnost betonskega vzorca iz obeh vrst agregata z naraščanjem temperature pada. Padec tlačne trdnosti betona iz kremenčevega agregata je izrazitejši. Najprej interpretiramo rezultate Abramsa. Pri neobremenjenem betonskem vzorcu iz kremenčevega agregata (ac = 0) vidimo, da ima betonski vzorec pri temperaturi 450°C še 75 °/0 tlačne trdnosti betona pri sobni temperaturi, /co, pri temperaturi 550°C pa le še 50 °/0. Hiter padec tlačne trdnosti betona nastopi zaradi relativno velikega raztezanja silikatnih Kremenčev agregat: 1.0 -=55^^ ------EC 2 (2003) ^^^^V--¦ ------Abrams (1979) \" YV---N Apnenčev agregat: 0.8 \\\ "N^ ------EC 2 (2003) \\ \ \\ ------Abrams (1979) \ \ \\ Lahki agregat: «š 0.6 V \ \\------Abrams (1979) *4 \ \ %N ^ 0.4 \ \ \ ' \ 0.2 \, " 0 200 400 600 800 1000 1200 r[0c] Slika 3.5: Spreminjanje tlacˇne trdnosti betona s temperaturo glede na vrsto uporabljenega agregata . Figure 3.5: Compressive strength at elevated temperatures for different types of aggregates. Krauberger, N. 2008. Vpliv požara na obnašanje ojačanih betonskih linijskih konstrukcij. 61 Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. kamenin, ki vodi v hipno spremembo volumna. Če je betonski vzorec iz kremenčevega agregata med požarom tudi tlačno obremenjen (ac = 0.4/co), ima pri temperaturi 450°C še 90°/o tlačne trdnosti betona pri sobni temperaturi, pri temperaturi 550°C pa le še 60 °/0 (slika 3.4a). Zanimivo je, daje v tem primeru tlačna trdnost betona do temperature 350°C enaka tlačni trdnosti betona pri sobni temperaturi. Praktično enake kvalitativne ugotovitve veljajo tudi za betonske vzorce iz apnenčevega agregata (slika 3.4b). Razlikujejo se le kvantitativni rezultati. V tem primeru ima neobremenjen betonski vzorec (ac = 0) pri temperaturi 650°C le še 75 °/0 tlačne trdnosti betona pri sobni temperaturi, pri temperaturi 760°C pa le še 50 °/0. Če je betonski vzorec med požarom tudi tlačno obremenjen (ac = 0.4/co), ima pri temperaturi 650°C še 90°/o tlačne trdnosti betona pri sobni temperaturi, pri temperaturi 760°C pa le še 60°/o- Pri tlačno obremenjenih betonskih vzorcih je tlačna trdnost betona do temperature 500°C kar enaka tlačni trdnosti betona pri sobni temperaturi. Abrams (1979) je tako ugotovil, da ima tlačno obremenjen betonski vzorec med požarom višjo tlačno trdnost kot neobremenjen vzorec, kar nazorno prikazuje tudi slika 3.4. Ugotovil pa je tudi, da imajo predhodno segreti in nato ohlajeni neobremenjeni betonski vzorci največji padec tlačne trdnosti betona, ter da imajo betonski vzorci iz lahkega agregata najvišjo tlačno trdnost betona pri povišanih temperaturah. Z enoosnimi nateznimi preizkusi valjastih betonskih vzorcev pa je Abrams (1979) pokazal, da se z naraščanjem temperature tudi natezna trdnost betona zmanjšuje. Če primerjamo spreminjanje tlačne trdnosti betona s temperaturo po priporočilih evropskega standarda Eurocode 2, Part 1-2 (2003) z rezultati Abramsa (1979) ugotovimo, da so priporočila iz standardov dokaj konzervativna. Iz slike 3.5 vidimo, daje Eurocode 2, Part 1-2 (2003) najbolj konservativen na temperaturnem intervalu med 500°C in 800°C. Skladno z evropskim standardom Eurocode 2, Part 1-2 (2003) ima betonski vzorec iz kremenčevega agregata pri temperaturi 450°C le še 65 °/0 tlačne trdnosti betona pri sobni temperaturi, pri temperaturi 550°C pa še 50°/o- Betonski vzorec iz apnenčevega agregata pa ima pri temperaturi 650°C le še 50°/o tlačne trdnosti betona pri sobni temperaturi, pri 760°C pa le še 35 °/o- Skupna značilnost vseh predstavljenih rezultatov je, da se tlačna trdnost betona z naraščanjem temperature zmanjšuje, pri tem pa se deformacije betona povečujejo. 3.3.1.2 Elastični modul betona Eksperimentalne rezultate in ugotovitve o spreminjanju elastičnega modula betona v odvisnosti od temperature predstavita Abrams (1979) ter Abrams in Cruz (1961). Rezultate eksperimentov prikazujeta za tri vrste agregata, in sicer za kremenčev, apnenčev ter lahki agregat (slika 3.6). Najizrazitejše spreminjanje elastičnega modula betona s temperaturo opazimo pri betonih iz lahkega agregata, najmanj pa pri betonih iz apnenčevega agregata. Opazimo tudi, da se ne glede na vrsto agregata vrednost elastičnega modula z višanjem temperature dokaj enakomerno zmanjšuje. Betonski vzorec ima pri temperaturi 200°C le še 70°/o do 80°/o vrednosti elastičnega modula pri sobni temperaturi, Ecq, pri temperaturi 450°C pa le še 40 °/0 do 50 °/0. 3.3.1.3 Koeficient toplotnega raztezanja betona Segrevanje oziroma ohlajevanje betona vpliva na spremembo njegovega volumna. S koeficientom toplotnega raztezanja betona opišemo raztezanje oziroma krčenje betona zaradi temperaturnih sprememb. Specifično temperaturno deformacijo betonskega vlakna označimo z Lth,c- Na sliki 3.7 prikazujemo temperaturne deformacije betona, kot jih za različne vrste betona podaja Abrams (1979) oziroma Eurocode 2, Part 1-2 (2003). Rezultati kažejo, da se temperaturne deformacije spreminjajo nelinearno s temperaturo, ter da so odvisne od vrste agregata. Tako po Abramsu (1979) kot po Eurocode 2, Part 1-2 (2003) so najizrazitejše temperaturne deformacije pri betonih iz kremenčevega agregata. 62 Krauberger, N. 2008. Vpliv požara na obnašanje ojačanih betonskih linijskih konstrukcij. Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. 1.0 0.8 t| 0.6 N 0.4 0.2 Abrams (1979), kremenčev agregat Abrams (1979), apnenčev agregat Abrams (1979), lahki agregat 100 200 300 400 r[°c] 500 600 700 Slika 3.6: Spreminjanje elasticˇnega modula betona s temperaturo. Figure 3.6: Modulus of elasticity of concrete at elevated temperature. 0.015T 0.012 0.009 to 0.006 0.003 Kremenčev agregat: ------EC 2 (2003) ------Abrams (1979) Apnenčev agregat: ------EC 2 (2003) ------Abrams (1979) 200 400 600 T[°C] 800 1000 1200 Slika 3.7: Temperaturne deformacije betona. Figure 3.7: Thermal elongation of concrete. Krauberger, N. 2008. Vpliv požara na obnašanje ojačanih betonskih linijskih konstrukcij. 63 Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. 3.3.1.4 Specifična toplotna kapaciteta in specifična vlažnost betona Specifična toplota betona cc(J/kgK) pove, za koliko J se spremeni notranja energija enega kilograma betona pri spremembi temperature betona za 1 K. V splošnem je specifična toplotna kapaciteta betona odvisna od vrste agregata. Praviloma zadržujejo silikatni agregati večje količine toplote kot apnenčasti. Spreminjanje specifične toplote betona za beton normalne teže in 0 °/0 vsebnosti vlage s temperaturo določa izraz (Eurocode 2, Part 1-2 (2003)): cc (T) = 900, 900 + (T - 100), 1000 + (T - 200)/2, 1100, 20°C T je tlačna trdnost betona, Lci,t Je deformacija pri tlačni trdnosti betona, eCui,T pa je porušna deformacija. Vsi materialni parametri so odvisni od temperature. Eurocode 2, Part 1-2 (2003) vrednosti teh parametrov podaja v obliki preglednic ločeno za beton iz kremenčevega agregata in za beton iz apnenčevega agregata. Za izbrane temperature prikazujemo na sliki 3.11 konstitucijski zakon betona iz kremenčevega agregata. Ugodni vpliv natezne nosilnosti betona na požarno nosilnost konstrukcij predstavljeni model zanemari; za zgornjo mejo plastičnega utrjevanja betona predpostavimo 0.4/C)y . 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 /v 11 r\2oo°c i i/ \ ------20°C j \ )r^4oo°c i / i / \ \ ¦ i / i/ \ \ l/A \ \ / > \ \ /i \ \ i / / * \ \ —. 600°C -! / / t \ /'^ \ / * yc / \ / \ i / v / \ i/ / ^ \ 1000°C 800°C \ \\ j / \ ^—----- 1 s *~"—"""^^n. 0.01 0.02 0.03 0.04 Slika 3.11: Konstitucijski zakon betona pri izbranih temperaturah v skladu z Eurocode 2, Part 1-2 (2003). Figure 3.11: Stress-strain relationships of concrete under compression at elevated temperature, recommended by Eurocode 2, Part 1-2 (2003). Normalna napetost v posameznem betonskem vlaknu pri času tr+l je zaradi adicijskega razcepa prirastka mehanske deformacije odvisna od prirastka geometrijske deformacije, prirastka temperaturne deformacije, prirastka deformacije lezenja betona pri povišanih temperaturah ter od prirastka t.i. prehodne deformacije obravnavanega betonskega vlakna. Običajno so deformacije lezenja in prehodne deformacije betona odvisne tudi od napetosti. Zato je potrebno prirastek normalne napetosti betonskega vlakna v časovnem intervalu [tr, tr+1] izračunati z Newtonovo iteracijsko metodo (i = 1, 2,...) Aff'lj = Au!! + 5Aar (3.80) Krauberger, N. 2008. Vpliv požara na obnašanje ojačanih betonskih linijskih konstrukcij. 67 Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. V enačbi (3.80) predstavlja öAa^ inkrement prirastka normalne napetosti v betonskem vlaknu. Sočasno z določitvijo normalne napetosti betonskega vlakna v časovnem intervalu [tr,tr+1] izračunamo tudi prirastek napetostno odvisne deformacije lezenja betona ter prirastek napetostno odvisne prehodne deformacije betona. Določimo ju z enačbama: Ae^\ • = Aerrr „ „• + öAerntn,-, (3.81) ^Ltxc i = ^Ltr c i + <^etec i' (3.82) V enačbah (3.81)—(3.82) predstavljata öAe^c i in 5Ae[^c i inkrementa prirastka deformacije lezenja in prirastka t.i. prehodne deformacije betona v časovnem intervalu [tr,tr+1]. Inkremente prirastka normalne napetosti, prirastka deformacije lezenja in prirastka prehodne deformacije izračunamo z naslednjimi enačbami: TP , d:FC fTP EM — r\ +-----(±<2 + L3) s- A r+1 0La c oA(jnJ = „^.—7—--------------0,^ . , (3.83) O j 1 uri o /C + de„ dAtj dAa dTi öAerntn i = — F3 + —-—öAal't , (3.84) SAel^~ = —Fo + 7—;—öAal't ¦ (3.85) tr,c,i dAac c'z V enačbah (3.83)—(3.85) smo z F\, F2 in F% označili algebrajske enačbe za prirastek normalne napetosti in prirastka deformacij lezenja in prehodne deformacije: Fi = Aa^\ — J-c i er^c A + arci, (3.86) F2 = Ae[^~c i — /C (arc\ j , (3.87) F3 = Ae^c i — Ti (a^\ j + ercr c. (3.88) Pri tem smo v enačbah (3.83)—(3.88) s Ji označili zakon, s katerim izračunamo deformacijo lezenja (angl. creep strain) betonskega vlakna na koncu časovnega intervala [tr, tr+1]: Ae^c = Lrcfc —ercrc. (3.89) Kot poroča Purkiss (2005), sta Anderberg in Thelandersson določila deformacije lezenja betona pri povišani temperaturi T, času t in tlačni napetosti ac z izrazom: ------ ] e0.00304(T-20)_ (3>90) 180 Nekoliko poenostavljen izraz za lezenje betona pri povišanih temperaturah, ki ga uporabimo tudi v okviru predstavljenega računskega modela je predstavil Harmathy (1993): Lcr,c =ßi^tl/2ed{-T-2m). (3.91) 68 Krauberger, N. 2008. Vpliv požara na obnašanje ojačanih betonskih linijskih konstrukcij. Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. V enačbi (3.91) sta /?1 in d empirični konstanti materiala in sta (Bratina, 2003): ßi = 6.28 • 10~ , (3.92) d = 2.658 • 10~ K- . (3.93) Določiti moramo še prirastek t.i. prehodnih deformacij betona (angl. transient strain). V enačbah (3.83)—(3.88) smo s /C označili zakon, s katerim izračunamo prirastek prehodnih deformacij betona. Li in Purkiss (2005) sta na podlagi meritev Anderberga in Thelanderssona podala naslednji enačbi za določitev prehodnih deformacij betona v časovnem intervalu [tr, tr+1]: r+l ^etrc = ^tr^—^Lt> T < 550°C, (3.94) /cO r+l ^etrc = 0.0001^—, T > 550°C. (3.95) /cO V enačbah (3.94)-(3.95) predstavlja /co tlačno trdnost betona pri sobni temperaturi, fctr pa empirično konstanto materiala, katere vrednost se nahaja na intervalu med 1.8 in 2.35. V literaturi zasledimo tudi alternativne modele za račun t.i. prehodnih deformacij betona. Omenimo model Schneiderja (1986), pri katerem so deformacije lezenja betona in prehodne deformacije betona združene v t.i. deformacijo prehodnega lezenja betona (angl. transient creep strain). V okviru predstavljenega matematičnega modela in računskega postopka smo izberali zakon, ki sta ga predlagala Anderberg in Thelandersson (1976). Temperaturne deformacije betona (angl. thermal strain) izračunamo skladno z evropskim standardom Eurocode 2, Part 1-2 (2003). Za beton iz kremenčevega agregata so temperaturne deformacije betona določene z enačbo: /rT1 ( —1.8 • 10-4 + 9 • 10_6T + 2.3 • 10_11T3, 20°C < T < 700°C LthcU)= ta r,-?, o^( m ^o^l ) (3.96) 14 • 10 , 700 Ü < 1 < 1200 Ü za beton iz apnenčevega agregata pa z enačbo: /rTl f —1.2 • 10-4 + 6 • 10_6T + 1.4 • 10_11T3, 20°C < T < 805°C „ LthcU)= ir ^-^ n^l m ^ r,^ • (3-97) ' 12 • 10 , 805 Ü < 1 < 1200 Ü Prirastek temperaturne deformacije betona v časovnem inkrementu [tr, tr+1] izračunamo z enačbo: ^Lth~c = Lth~c — Lthc- (3.98) Prirastek geometrijske deformacije betonskega vlakna v časovnem intervalu [tr, tr+1] izračunamo z izrazom: Aec = Aeco + zc Anc. (3.99) Pri tem je Aeco = L[$ — ercQ prirastek specifične spremembe dolžine betonskega vlakna, Akc = nrc+l — nrc prirastek psevdoukrivljenosti prečnega prereza, zc pa pravokotna oddaljenost vlakna od referenčne osi betonskega dela. Krauberger, N. 2008. Vpliv pozˇara na obnasˇanje ojacˇanih betonskih linijskih konstrukcij. 69 Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbenisˇtvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. 3.3.2 Jeklo za armiranje 3.3.2.1 Meja elasticˇnosti in natezna trdnost jekla za armiranje Skladno z Eurocode 2, Part 1-2 (2003) je trdnost (fsy,T ) hladno oblikovanega jekla nizˇja kot pri vrocˇe valjanih jeklih, sˇe posebej na intervalu med 400?C in 600?C (slika 3.12). Na sliki 3.12 vidimo, da ima hladno oblikovano jeklo pri temperaturi 470?C le sˇe 75 ?/? natezne trdnosti pri sobni temperaturi, pri temperaturi 570?C pa le sˇe 50 ?/? natezne trdnosti jekla pri sobni temperaturi. Vrocˇe valjano jeklo pa ima pri temperaturi 510?C sˇe 75?/? natezne trdnosti jekla pri sobni temperaturi, medtem ko ima pri temperaturi 590?C le sˇe 50 ?/? natezne trdnosti pri sobni temperaturi. Na sliki 3.12 prikazujemo tudi vpliv temperature na spreminjanje trdnosti za razlicˇne vrste jekla (hladno oblikovane palice, visoko trdne legirane palice), kot jih podaja Abrams (1979). Tudi njegovi eksperimentalni podatki kazˇejo na dejstvo, da z narasˇcˇanjem temperature trdnost jekla pada. Visoko trdno jeklo ima na temperaturnem intervalu od 160?C do 280?C nekoliko visˇjo trdnost kot jo ima pri sobni temperaturi. Pri temperaturah okoli 430?C je meja elasticˇnosti po ASTM (1976) nekoliko nizˇja od tiste, ki jo podaja Eurocode 2, Part 1-2 (2003), medtem ko je pri visˇjih temperaturah (okoli 510?C) le-ta visˇja. 1.0 0.8 J 0.6 ------EC 2 (2003), vroče valjano ------EC 2 (2003), hladno valjano •^ 0.4 0.2 Abrams (1979), \ hladno valjano ^ V Abrams (1979), \ \ visoko trdne palice \ v—_s Abrams (1979), ASTM 0 200 400 600 800 1000 1200 r[°c] Slika 3.12: Spreminjanje meje elastičnosti in trdnosti jekla za armiranje s temperaturo. Figure 3.12: Strength and proportional limit of reinforcing steel at elevated temperature. 3.3.2.2 Elastični modul jekla za armiranje Podobno kot pri betonu se tudi pri jeklu za armiranje elasticˇni modul s temperaturo hitro zmanjsˇuje. Eurocode 2, Part 1-2 (2003) podaja spreminjanje elasticˇnega modula s temperaturo za hladno in vrocˇe valjano jeklo. Na sliki 3.13 prikazujemo spreminjanje elasticˇnega modula s temperaturo skladno z Eurocode 2, Part 1-2 (2003) ter Abramsom (1979). Ta je ugotovil, da je spreminjanje elasticˇnega modula s temperaturo pri feritnih jeklih do 500?C linearno, nato pa nelinearno. 70 Krauberger, N. 2008. Vpliv požara na obnašanje ojačanih betonskih linijskih konstrukcij. Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. 1.0 0.8 hq 0.6 \ X \ \ 0.4 ------ EC 2 (2003), \ \ vroče valjano \ \ ------EC 2 (2003), \\ 0.2 hladno valjano \\ ------ Abrams (1979), \ feritna jekla 0 200 400 600 800 1000 1200 r[°c] Slika 3.13: Spreminjanje elastičnega modula jekla za armiranje s temperaturo. Figure 3.13: Modulus of elasticity of reinforcing steel at elevated temperature. 3.3.2.3 Koeficient raztezanja in krčenja pri jeklu za armiranje Jeklo za armiranje se vse do tališča postopoma razteza. Evropski standard Eurocode 2, Part 1-2 (2003) podaja naslednje izraze za določitev temperaturnih deformacij Lth,s zaradi raztezanja jekla za armiranje: -2.416-10 4 + 1.2 • 10 5T + 0.4 • 10 8T2, Lth,s(T)= 11 • 10~3, -6.2 • 10-3 + 2 • 10_5T, 20°C mejo proporcionalnosti (/sp,t) in s trdnostjo jekla (/sy,T)- Konstitucijski zakon jekla za armiranje skladno z Eurocode 2, Part 1-2 (2003) je: 0"s (L-0",S; -^S,T; /sp,T; ^-sy,T; L-st,T; ^-SU,T; /sy,T; ^; 0} C -^S,T L-a",S; sgn (ea,s) Sgn (ea,s) /sy,T Sgn (Ls dAas dC r+l öAe^J i = —Fo + 7—;—bAo ¦ cr,s, <9A (3.114) Pa P^ \®s I T (Ta ^ (T/ 1 "2 =---------TčJ- (3.115) C3 |(TS| Pri tem je at ~ 10.3 kN/cm in predstavlja t.i. prehodno napetost, parametri računskega modela lezenja jekla ci, C2,..., C7 pa so medsebojno povezani z izrazoma: cq = c\ (—) 2 , m (3.116) c7 = ^. Parametre lezenja za različne vrste jekla prikazujemo v preglednici 3.1. Lezenje je najmanj izrazito pri jeklu z oznako Austen 50, najbplj pa pri jeklu z oznako SS 41 (Bratina, 2003; Srpčič, 1991). Preglednica 3.1: Parametri lezenja po Williams-Leiru (1983). Table 3.1: Creep parameters, reported by Williams-Leir (1983). vrsta jekla c\ [min] c^ c^ c^ c$ [°C] Austen 50 1.246 • 10-3 4.858 8.564 • 10-n 1.731 44210 SM 58 3.080 • 10-2 4.206 9.032 • 10-5 0.302 40510 A 135 1.143 • 10-2 4.721 1.251 • 10-10 1.695 43250 X-60 2.987 • 10-3 4.624 1.695 • 10-24 4.661 41390 A 149 1.120 • 10-2 4.948 4.914 • 10-10 1.638 44960 SM 50 3.175 • 10-7 6.460 4.949 • 10-n 1.843 48970 SS 41 7.991 • 1020 3.225 3.485 • 10-30 6.701 77380 Prirastek temperaturne deformacije jekla za armiranje v časovnem inkrementu [tr, tr+1] izračunamo z enačbo: ^eth~s = Lth~s — Lths- (3.117) Pri tem sta e[h in e^s temperaturni deformaciji na začetku oziroma na koncu časovnega intervala [tr, tr+1]. V okviru predstavljenega računskega postopka izračunamo temperaturne deformacije jekla za armiranje skladno z Eurocode 2, Part 1-2 (2003) (glej enačbo 3.100). Prirastek geometrijske deformacije jekla za armiranje v časovnem intervalu [tr, tr+1] izračunamo z izrazom: Aes = Aeco-\-zsAkc. (3.118) Pri tem sta Aeco = L[$ — ercQ in Akc = nrc+l — nrc deformacijski količini obravnavanega prečnega prereza betonskega dela nosilca, zs pa je pravokotna oddaljenost armaturne palice od referenčne osi nosilca. Krauberger, N. 2008. Vpliv požara na obnašanje ojačanih betonskih linijskih konstrukcij. 75 Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. 3.3.3 Jeklo za prednapenjanje 3.3.3.1 Meja elastičnosti in natezna trdnost jekla za prednapenjanje Med prvimi sta obnašanje hladno oblikovanih jeklenih palic za prednapenjanje pri povišanih temperaturah raziskovala Abrams in Cruz (1961). Ugotovila sta, da se pri jeklu za prednapenjanje meja tečenja z naraščanjem temperature zmanjšuje veliko hitreje kot pri jeklu za armiranje. Podobno je tudi zmanjševanje natezne trdnosti z višanjem temperature pri jeklu za prednapenjanje izrazitejše kot pri jeklu za armiranje. Kvantitativno pa sta ugotovila, daje do 200° C zmanjševanje natezne trdnosti jekla minimalno, nad 200°C pa izrazitejše. Tako je pri temperaturi 310°C natezna trdnost jekla okrog 75 °/0 trdnosti jekla pri sobni temperaturi, pri 530°C pa le še 25 °/0. O podobnih mehanskih lastnostih jekla za prednapenjanje so kasneje poročali tudi Holmes in sodelavci (Holmes et al., 1982) oziroma jih navaja Eurocode 2, Part 1-2 (2003). Spreminjanje meje elastičnosti ter trdnosti jekla za prednapenjanje s temperaturo kot jih navajajo Abrams in Cruz (1961), Holmes et al. (1982) ter Eurocode 2, Part 1-2 (2003) grafično prikazujemo na sliki 3.17. Vidimo, da ima po Eurocode 2, Part 1-2 (2003) toplotno obdelano jeklo v primerjavi z hladno obdelanimi vrvmi in kabli manjši padec trdnosti. Vidimo tudi, da rezultati Holmesa et al. (1982) v primerjavi z Eurocode 2, Part 1-2 (2003) precej odstopajo, medtem ko so rezultati Abramsa in Cruza (1961) z Eurocode 2, Part 1-2 (2003) primerljivi. 3.3.3.2 Elastični modul jekla za prednapenjanje Elastični modul jekla za prednapenjanje se z naraščanjem temperature zmanjšuje veliko hitreje kot pri jeklu za armiranje. Zmanjšanje elastičnega modula jekla za prednapenjanje je v veliki meri odvisno od načina obdelave jekla, kar nazorno prikazuje slika 3.18. Tudi spreminjanje elastičnega modula jekla za prednapenjanje s temperaturo so raziskovali Abrams in Cruz (1961) ter Holmes s sodelavci (1982). Izsledke omenjenih avtorjev ter priporočila Eurocode 2, Part 1-2 (2003) prikazujemo na sliki 3.18. Vidimo, da Eurocode 2, Part 1-2 (2003) določa pri toplotno obdelanem jeklu izrazitejši padec elastičnega modula. Na sliki 3.18 tudi vidimo, da so rezultati Holmesain sodelavcev (1982) primerljivi z rezultati v Eurocode 2, Part 1-2 (2003), medtem ko rezultati Abramsa in Cruza (1961) niso. 3.3.3.3 Koeficient raztezanja in krčenja pri jeklu za prednapenjanje Temperaturne deformacije jekla za prednapenjanje, ki jih podaja standard Eurocode 2, Part 1-2 (2003), so podobne temperaturnim deformacijam pri jeklu za armiranje. Določa jih enačba: Lth,p (T) = | —2.016 • 10-4 + 10_5T + 0.4 • 10_8T2, 20°C < T < 1200°C. (3.119) Spreminjanje temperaturnih deformacij jekla za prednapenjanje s temperaturo skladno z Eurocode 2, Part 1-2 (2003) oziroma skladno z meritvami Abramsa (1979) prikazujemo na sliki 3.19. 3.3.3.4 Specifična toplotna kapaciteta jekla za prednapenjanje Skladno z določili standarda Eurocode 2, Part 1-2 (2003) lahko v analizi upoštevamo, da se specifična toplota jekla za prednapenjanje ne spreminja s temperaturo. Priporočena je konstantna vrednost cp = 600 J/kgK. 76 Krauberger, N. 2008. Vpliv požara na obnašanje ojačanih betonskih linijskih konstrukcij. Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. - EC 2 (2003), toplotno obdelano - EC 2 (2003), hladno valjano - Holmes et al. (1982) - Abrams in Cruz (1961) 0 200 400 600 800 1000 1200 T[°C] Slika 3.17: Spreminjanje meje elastičnosti in trdnosti jekla za prednapenjanje s temperaturo. Figure 3.17: Strength and proportional limit of prestressing steel at elevated temperature. 1.0 0.8 t| 0.6 fei 0.4 0.2 - Holmes et al. (1982) - Abrams in Cruz (1961), feritna jekla v \ -EC 2 (2003)/ toplotno obdelano - EC 2 (2003), hladno valjano 0 200 400 600 800 1000 1200 T[°C] Slika 3.18: Spreminjanje elastičnega modula jekla za prednapenjanje s temperaturo. Figure 3.18: Modulus of elasticity of prestressing steel at elevated temperature. Krauberger, N. 2008. Vpliv požara na obnašanje ojačanih betonskih linijskih konstrukcij. 77 Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbenisˇtvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. u.uzu i ' i ' i ' i ------ EC 2 (2003), jeklo za prednapenjanje ------ Abrams (1979), feritna jekla / 0.016 0.012 / S 0.008 y^r 0.004 J^ o S^ l 1 l 1 l 1 l 1 l 1 l 0 200 400 600 800 1000 1200 r[°c] Slika 3.19: Temperaturne deformacije jekla za prednapenjanje. Figure 3.19: Thermal elongation of prestressing steel. 3.3.3.5 Konstitucijski zakon jekla za prednapenjanje pri povišanih temperaturah Zvezo med mehansko deformacijo jekla za prednapenjanje ea,P in normalno napetostjo ap opišemo s konstitucijskim zakonom jekla za prednapenjanje pri povišani temperaturi. Formalno ga zapišemo v obliki: 4 A.l%- 4x13.34 69.60 8.13>4 /po.ik//pk = 162.6/180.6 kN/cm2 4 =0.7 cm2, JVp*predn= 84.46 kN /Po.ik//pk = 170.7/189.6 kN/cm2 4 = 0.23 cm2, N&nbr 27.72 kN Slika 3.25: Prednapeta betonska plosˇcˇa. Geometrijski in materialni podatki ter podatki o obtezˇbi. Figure 3.25: Prestressed concrete slab. Geometrical, material and loading data. Krauberger, N. 2008. Vpliv požara na obnašanje ojačanih betonskih linijskih konstrukcij. 83 Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. Prikazujemo dva značilna prečna prereza obravnavanih plošč, ki se razlikujeta glede količine in razporeditve prednapetih kablov v prečnem prerezu. Mehke armature v prečnih prerezih ni. Glavne podatke obravnavanih plošč prikazujemo tudi v preglednici 3.3. Kot vidimo na sliki 3.25, so dimenzije prečnih prerezov vseh plošč enake. Plošča z oznako Pli je bila prednapeta s petimi kabli z napenjalnimi silami A/? dn = 84.46 kN, prečni prerezi kablov pa so A^ = 0.7 cm2 (k = 1, 2,..., 5). Ostale plošče so bile prednapete s petnajstimi kabli s prečnimi prerezi A^ = 0.23 cm2 in napenjalnimi silami A/p dn = 27.27kN (k = 1,2, ...,15). Plošče so se razlikovale tudi po debelini zaščitne plasti betona (a = 5.08 cm oziroma a = 7.62 cm), kvaliteti betona (normalni oziroma lahki beton), tlačni trdnosti betona fco, relativni vlažnosti okolja RH in velikosti zunanje obtežbe (preglednica 3.3 in 3.4). Preglednica 3.3: Prednapete betonske plosˇcˇe. Geometrijski in materialni podatki ter podatki o obtezˇbi. Table 3.3: Prestressed concrete slabs. Geometrical, material and load data. vrsta plošče vrsta betona št.prereza a fcO P [cm] [kN/cm2] [kN] PlI lahki 1 7.62 4.34 7.47 PlII normalni 2 5.08 5.34 9.15 PlIII normalni 2 7.62 3.74 6.16 PlIV lahki 2 7.62 5.14 6.87 3.4.1.1 Določitev temperature in vlage v prečnem prerezu Med eksperimentom je bila le spodnja površina plošče enakomerno ogrevana vzdolž celotne dolžine plošče. Bočne strani plošče so bile izolirane. Tako lahko v analizi predpostavimo, da se temperatura in vlaga spreminjata le v prečni smeri plošče. Spreminjanje temperature in vlage po prečnem prerezu plošče izračunamo na dva načina. Pri prvem načinu izračunamo časovno in krajevno razporeditev temperature in vlage v prečnem prerezu kot povezan prehod toplote in vlage v kapilarno poroznih materialih. Pri drugem načinu pa določimo temperaturno polje v plošči neodvisno od razporeditve vlage. Za to uporabimo računalniški program HEATC (Saje in Turk, 1987). Vrednosti vlažnostnega potenciala wa, prevodnostnega koeficienta vlage Dm, specifične vlage snovi cm in prestopnega koeficienta vlage hm, ki jih potrebujemo v analizi, prikazujemo v preglednici 3.4. Dodatno v računu predpostavimo, daje delež vlage v plinastem stanju ? = 0.3, izparilna toplota snovi pa hi\r = 2.50 • 106 J/kg. Vpliv prednapetih kablov na razporeditev temperature in vlage po prečnem prerezu zanemarimo (Bratina, 2003). Spreminjanje specifične toplote ter gostote betona v odvisnosti od povišane temperature upoštevamo skladno z evropskim standardom za beton Eurocode 2, Part 1-2 (2003). Spreminjanje toplotne prevodnosti betona s temperaturo pa izberemo tako, da se izračunana časovna razporeditev temperature v prečnem prerezu čim bolj prilega izmerjenim vrednostim. Najprej analiziramo vpliv izbire matematičnega modela na časovno razporeditev temperature v prečnem prerezu. Na sliki 3.26 prikažemo časovno spreminjanje temperature v prečnem prerezu na mestu prednapetih kablov za oba matematična modela. Glede na način ogrevanja plošče imajo pričakovano vsi kabli približno enako temperaturo. Na sliki 3.26 vidimo, da pri računu z upoštevanjem povezanega prenosa 84 Krauberger, N. 2008. Vpliv požara na obnašanje ojačanih betonskih linijskih konstrukcij. Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. Preglednica 3.4: Podatki za racˇun povezanega prenosa toplote in vlage. Table 3.4: Data for calculating coupled heat and mass transfer. vrsta plošče PlI PlII PlIII PlIV RH [?/?] 66 63 65 69 wA [?M] 12.79 12.12 12.57 13.45 Dm [kg/ms?M] 2.59 · 10-11 3.74 · 10-11 3.61 · 10-11 2.46 · 10-11 cm [kg/kg?M] 0.00117 0.00123 0.00119 0.00112 hm [kg/s m2 ?M] 4.11 · 10-8 5.94 · 10-8 5.73 · 10-8 3.90 · 10-8 toplote in vlage temperatura v začetni fazi požara počasneje narašča kot v primeru, ko vpliv vlage zanemarimo. Razlika je izrazitejša pri normalnem betonu. Nižja temperatura pri računu z matematičnim modelom, s katerim časovno razporeditev vlage in temperature v plošči določimo kot povezan problem, je posledica dejstva, da se del toplote porabi za izparevanje vode. Na koncu s primerjavo med eksperimentalnimi in numeričnimi rezultati ocenimo natančnost predstavljenega matematičnega modela za določitev temperature in vlage v prednapetih betonskih konstrukcijah med požarom. Glede na dostopne eksperimentalne rezultate v literaturi (Gustaferro in Selvaggio, 1967) prikazujemo na sliki 3.27 samo primerjavo časovnega spreminjanja temperature v prečnem prerezu plošče na mestu prednapetih kablov na časovnem intervalu od 30 do 240 minut. Ujemanje izmerjenih ter izračunanih temperatur je na tem časovnem intervalu za obe debelini zaščitne plasti betona ter za obe vrsti betona zelo dobro, kar dokazuje primernost predstavljenega matematičnega modela za določitev vlage in temperature v prednapetih betonskih linijskih konstrukcijah med požarom. (a) normalni beton ASTM] (b) lahki beton 50 100 150 200 250 300 t [min] 50 100 150 200 250 300 t [min] ˇ Slika 3.26: Casovno spreminjanje temperature v precˇnem prerezu na mestu prednapetih kablov: (a) normalni beton in (b) lahki beton. Primerjava matematicˇnih modelov. Figure 3.26: Time dependent temperature in cross section in place of prestressing tendons: (a) normal-weight concrete and (b) lightweight concrete. Comparison between mathematical models. Krauberger, N. 2008. Vpliv požara na obnašanje ojačanih betonskih linijskih konstrukcij. 85 Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. 800 700 600 °^500 (a) normalni beton - eksperiment (Gustaferro in Selvaggio, 1967) diferenčna metoda (b) lahki beton 800 700 600 ,^500 400 300 200 eksperiment (Gustaferro in Selvaggio, 1967) diferenčna metoda 30 60 90 120 150 180 210 240 t [min] 30 60 90 120 150 180 210 240 t [min] Slika 3.27: Cˇ asovno spreminjanje temperature v precˇnem prerezu na mestu prednapetih kablov: (a) normalni beton in (b) lahki beton. Primerjava numericˇnih in eksperimentalnih rezultatov. Figure 3.27: Time dependent temperature in cross section in place of prestressing tendons: (a) normal-weight concrete and (b) lightweight concrete. Comparison between numerical and experimental results. 3.4.1.2 Analiza mehanskega odziva plosc pri sočasnem delovanju požara in mehanske obtežbe V nadaljevanju analiziramo mehanski odziv prednapete plošče pri sočasnem delovanju požara in mehanske obtežbe. Poudarek je na primerjavi med eksperimentalnimi in numeričnimi rezultati (Gustaferro in Selvaggio, 1967) ter oceni vpliva togosti stika med betonom in prednapetimi kabli na značilne količine obravnavanih prednapetih betonskih plošč. Vpliv požarne obtežbe upoštevamo s časovno odvisnim temperaturnim poljem prečnega prereza, ki smo ga določili v podpoglavju 3.4.1.1. V nadaljevanju predstavimo parametre računa. Konstitucijska zakona za beton in jeklo za prednapenjanje izberemo skladno z Eurocode 2, Part 1-2 (2003) (glej sliko 2.6). Uporabljeni materialni parametri pri sobni temperaturi so: (a) za beton: tlačna trdnost betona /c,t=20°c (preglednica 3.3), deformacija pri tlačni trdnosti Lci,T = —2.5 °/oo» mejna deformacija LCU)t = —20 °/00, (b) za jeklo za prednapenjanje: za vrvi s prerezom A^ = 0.7 cm2 (k = 1, 2,..., 5) je trdnost jekla /Py,T=20°c = 162.5 kN/cm . V skladu s priporočili Eurocode 2, Part 1-2 (2003) je to 90 °/0 karakteristične trdnosti jekla /pk,T=20°c = 180.6 kN/cm , ki sta jo izmerila in podala Gustaferro in Selvaggio (1967) oziroma za prerez A^ = 0.23 2 J1 2 / r 1 o 2 cm (k = 1,2,..., 15) je /Py,T=20°c = 170.6 kN/cm (/pk,T=20°c = lo9.6 kN/cm ), napetost na meji proporcionalnosti /pp,t je pri sobni temperaturi enaka trdnosti jekla /py,T> elastični modul EPtT=20°c = 19500 kN/cm , deformacija pri trdnosti jekla epy,T = 20 °/00, deformacija na meji mehčanja Lpt,T = 50 °/0o in mejna deformacija Lpu,T = 100 °/0o- V skladu z evropskim standardom za beton Eurocode 2, Part 1-2 (2003) upoštevamo, daje prirastek celotne (geometrijske) deformacije betonskega vlakna sestavljen iz prirastka mehanske deformacije AeCT)C, prirastka temperaturne deformacije Aeth,c> prirastka deformacije lezenja betona Aecrc in prirastka prehodne deformacije betona Aetr,c- Prirastek temperaturne deformacije betonskega vlakna izračunamo skladno s priporočili Eurocode 2, Part 1-2 (2003), prispevek deformacije lezenja betona pri povišanih temperaturah upoštevamo z modelom, ki ga podaja Harmathy (1993), prispevek prehodnih deformacij pa z modelom po Anderbergu in The-landerssonu (Bratina, 2003). Podobno predpostavimo, daje prirastek celotne (geometrijske) deformacije jekla za prednapenjanje sestavljen iz prirastka mehanske deformacije AeCT)P in temperaturne deformacije Aeth,P- Temperaturno deformacijo jekla za prednapenjanje izračunamo skladno z Eurocode 2, Part 1-2 (2003). Ob predpostavki, daje vpliv viskoznega lezenja jekla pri povišanih temperaturah upoštevan že v 86 Krauberger, N. 2008. Vpliv požara na obnašanje ojačanih betonskih linijskih konstrukcij. Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. konstitucijskem zakonu za jeklo, ki ga podaja Eurocode 2, Part 1-2 (2003), pri adicijskem razcepu celotne deformacije jekla prispevka deformacij viskoznega lezenja dodatno ne upoštevamo. Konstitucijski zakon stika med betonom in prednapetimi kabli pri vzamemo skladno s priporočili Keuserja in Mehlhorna (1983) (slika 2.6d), njegovo modificirano obliko pri povišanih temperaturah pa prilagodimo meritvam Diederichsa in Schneiderja (1981) (slika 3.24). Na slikah 3.28 do 3.31 prikazujemo primerjavo med izmerjenimi ter izračunanimi navpičnimi pomiki na sredini razpona (točka III na sliki 3.25) za vse štiri izbrane prednapete plošče z oznakami Pij, Pln, Plni in Pliv- Numerične rezultate prikazujemo za plošče s podajnim (6q = 50 kN/cm ) in togim stikom (t/o = oo kN/cm ) med betonom in prednapetimi kabli. Na slikah 3.28 do 3.31 vidimo, daje pri vseh obravnavanih prednapetih ploščah požarna odpornost plošč s togim stikom bistveno večja kot pri ploščah s podajnim stikom med betonom in prednapetimi kabli. Dodatno na slikah vidimo, da se rezultati plošč s podajnim stikom bistveno bolje prilegajo eksperimentalnim rezultatom kot rezultati plošč s togim stikom, čeprav so odstopanja še kar velika. Največja opazimo v območju, kjer pričnejo pomiki hitro naraščati (to običajno pomeni porušitev konstrukcije). Da numerični rezultati v tem območju ne sledijo eksperimentalnim, je posledica nestabilnosti računskega postopka. Ta pa je najverjetneje posledica lokalizacij deformacij, ki se pojavlja kot izrazito in nefizikalno nihanje deformacij po referenčnih oseh obravnavanih plošč. Takšnemu pojavu se v analizi armiranobetonskih linijskih konstrukcij v veliki meri izognemo z vpeljavo t.i. kratkih končnih elementov (Bratina, 2003). Taka modificirana analiza bo tudi predmet naših nadaljnjih raziskav. Zaradi preglednosti predstavimo rezultate analiz tudi v preglednici 3.5, kjer smo porušitev plošč med požarom zaradi nestabilnosti računskega postopka označili s tcr. Na koncu na slikah 3.33 in 3.32 ter v preglednici 3.6 za prostoležečo prednapeto betonsko ploščo z oznako Pln za 0, 10, 70 in 137 minut trajanja požara predstavimo vrednosti nekaterih značilnih količin. ->U ? eksperiment (Gustaferro in Selvaggio, 1967) d ?5 ----- program NFIRA(Ö0= oo) D program NFIRA (60= 50) D 20 - D 15 - s 10 o= 50) / 200 250 300 Slika 3.30: Prednapeta betonska plošča Plm. Izmerjeni in izračunani navpični pomik na sredini razpona plošče wm. Figure 3.30: Prestressed concrete slab Plm. Measured and calculated vertical midspan deflection wm. 88 Krauberger, N. 2008. Vpliv požara na obnašanje ojačanih betonskih linijskih konstrukcij. Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. 50 r 45 ? eksperiment (Gustaferro in Selvaggio, 1967) | ----- program NFIRA(0o=oo) program NFIRA (ö0= 50) D O. 40 35 150 200 t [min] 250 300 Slika 3.31: Prednapeta betonska plošča Pliv- Izmerjeni in izračunani navpični pomik na sredini razpona plošče win. Figure 3.31: Prestressed concrete slab Pliv- Measured and calculated vertical midspan deflection wm. Preglednica 3.5: Primerjava numericˇnih in eksperimentalnih rezultatov za mejni pomik na sredini plosˇcˇe ter pozˇarna odpornost. Table 3.5: The comparison of numerical and experimental results of limit midspan deflection. Fire endurance of prestressed concrete slabs. eksperiment program NFIRA ^cr ^HIjCr ^cr ^HIjCr vrsta plošče [min] [cm] [min] [cm] PlI 275 27.40 237 11.28 PlII 169 45.52 137 17.22 PlIII 276 36.29 198 13.83 PlIV 311 46.37 253 12.50 Na sliki 3.32 prikazujemo spreminjanje osne sile v betonu Mc in kablih M} za 0, 10, 70 in 137 minut trajanja požara. Spreminjanje osnih sil je simetrično glede na sredino plošče. Opazimo, daje padec osnih sil s časom izrazitejši, največji pa je v območju vnosa napenjalne sile v betonski del plošče, in sicer ne glede na čas trajanja požara. Krauberger, N. 2008. Vpliv požara na obnašanje ojačanih betonskih linijskih konstrukcij. Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. 89 (b) L = 0min ~t = 70 min L=10min ?ct= 137 min 0.2 0.3 0.4 0.5 x/L 35 30 25 M20 ^ 15 10 5 0 t = 0 min t= 10 min t = 70 min %!= 137 min 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 x/L Slika 3.32: Prednapeta betonska plošča Pin- Porazdelitev osnih sil v: (a) betonu J\fc in (b) prednapetem kablu ftfp za 0,10, 70,137 minut trajanja požara. Figure 3.32: Prestressed concrete slab Pin- The distribution of axial force in: (a) concrete J\fc and (b) prestressing tendon ft/} for 0,10, 70,137 minutes of fire. Na sliki 3.33a prikazujemo porazdelitev zamikov A1 na stiku med betonom in prednapetimi kabli. Opazimo, da je zamik največji na robu plošče in ne presega zamika na meji nosilnosti stika A\ = 3 mm (zakon stika na sliki 3.24). Opazimo tudi, da se s časom zamik na stiku manjša. Vzporedno na sliki 3.33b prikazujemo porazdelitev strižne komponente kontaktne linijske obtežbe p\ p. Ta je na robu plošče največja in pada z oddaljenostjo od roba plošče. Daljši je čas trajanja požara, izrazitejši je padec strižne komponente kontaktne linijske obtežbe. Na slikah 3.33a in 3.33b tudi nazorno vidimo nihanje A1 in p\ pri času tcr = 137 min. Značilne količine za ploščo Pln predstavimo tudi v preglednici 3.6. (a) 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 0.1 t — 0 mm ------1= 10 min :\ — t = 70 min :. \ : \ 'A tcr= 137 min ¦ A - 0.2 0.3 x/L 0.4 0.5 1.0 r (b) t = 0 min L = 10min t = 70 min ¦ta= 137 min 0.1 0.2 0.3 x/L 0.4 0.5 Slika 3.33: Prednapeta betonska plošča Pin- Porazdelitev: (a) zamikov A1 in (b) strižne komponente linijske obtežbe na stiku med betonom in prednapetim kablom j)\ za 0,10, 70,137 minut trajanja požara. Figure 3.33: Prestressed concrete slab Pin- The distribution of: (a) slips A1 and (b) tangential component of bond stress vector between concrete and prestressing tendon p\ for 0,10, 70,137 minutes of fire. 90 Krauberger, N. 2008. Vpliv požara na obnašanje ojačanih betonskih linijskih konstrukcij. Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. Preglednica 3.6: Prednapeta betonska plošča Pin- Značilne količine na stiku med betonom in prednapetim kablom in osni sili pri štirih časih trajanja požara t = 0,10, 70,137 min. Table 3.6: Prestressed concrete slab Pin- Characteristic quantities in a contact between concrete and prestressing tendon and axial forces for four different times of fire duration t = 0,10, 70,137 min. plošča Pin t=0 [min] t = 10 [min] t = 70 t = 137 [min] [min] A^ciii [kN] TV* jjj [kN] Aj1 [mm] —412.19 —411.33 —330.05 27.48 27.42 22.00 1.02 1.03 0.97 p1t,p,I [kN/cm] 0.87 0.87 0.78 -250.65 16.71 0.88 0.63 3.4.2 Prednapeta betonska plošča s previsi V drugem računskem primeru obravnavamo prostoležečo prednapeto betonsko ploščo s previsi. Tudi za to prednapeto ploščo obstajajo v literaturi eksperimentalni rezultati (Gustaferro in Selvaggio, 1967). Gustaferro in Selvaggio (1967) sta ploščo v območju med podporama zgolj s spodnje strani izpostavila požarni obtežbi, pri kateri je temperatura požarnega prostora naraščala skladno s požarno krivuljo ASTM El 19 (slika 3.1). Na sliki 3.34 prikažemo geometrijske in materialne podatke ter podatke o obtežbi prednapete plošče s previsi. Prostoležeča plošča s previsoma (dimenzije v m): IIA (v IÜ o ASTM El 19 1.37- ^0.37^0.73^^0.73^^0.73 -*--------------------------3.66 — ---------------------------6.40 lit ASTM El 19 -0.73^0.37, A iv v -1.37 Prečni prerez (dimenzije v cm): ^S.13^ 4x13.34 69.60 lahki beton: q7 = 172 kN/m S. 13^4 /po.ik//pk = 162.6/180.6 kN/cm2 4 =0.7 cm2, Wp*predn= 84.46 kN a = 2.54 cm Slika 3.34: Prednapeta betonska plošča s previsi. Geometrijski in materialni podatki ter podatki o obtežbi. Figure 3.34: Prestressed concrete slab with overhangings. Geometrical, material and loading data. Krauberger, N. 2008. Vpliv požara na obnašanje ojačanih betonskih linijskih konstrukcij. 91 Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. Plošča je bila prednapeta s petimi kabli s prečnimi prerezi A^ = 0.7 cm2, prednapetimi s silami A/"p dn = 84.46kN(fc = 1,2,...,5). Debelina zaščitne plasti betona je a = 2.54 cm. Pri sobni temperaturi (T = 20 °C) je izmerjena tlačna trdnost betona fc>T = 4.5 kN/cm , izmerjena trdnost jekla za prednapenjanje je /py,T = 162.6 kN/cm , karakteristična trdnost pa /pk,T = 180.6 kN/cm . Relativna vlažnost okolice je RH = 67 °/0. Poleg lastne teže qz,c = 1-72 kN/m je plošča na območju med podporama obremenjena tudi z zunanjimi točkovnimi silami P (P = 12.25 kN). 3.4.2.1 Določitev temperature in vlage v prečnem prerezu Med eksperimentom je bila enakomerno ogrevana le spodnja površina plošče v območju med podporama. Previsa plošče nista bila izpostavljena požaru. Bočne strani plošče so bile med požarom izolirane. V analizi zato predpostavimo, da se temperatura in vlaga spreminjata le v prečni smeri plošče. Za previsa plošče predpostavimo, da se temperatura in vlaga med požarom ne spreminjata. Časovno in krajevno razporeditev temperature in vlage v prečnem prerezu izračunamo kot povezan prehod toplote in vlage v kapilarno poroznih materialih. Postopek računa temperature je podrobneje predstavljen v podpoglavju 3.1.1, zato tu navajamo le vrednosti parametrov, ki jih potrebujemo pri računu povezanega prenosa toplote in vlage. Vrednosti parametrov so: vlažnostni potencial okolice je ioa = 13.01 °M, prevodnostni koeficient vlage Dm = 2.54 • 10-11 kg/ms°M, specifična vlaga betona cm = 0.00115 kg/kgs°M, prestopni koeficient vlažnosti hm = 4.04 • 10-8 kg/sm2oM, delež vlage v plinastem stanju e = 0.30 in izparilna toplota snovi /&lv = 2.50 • 106 J/kg. Spreminjanje specifične toplote ter gostote betona v odvisnosti od temperature upoštevamo skladno z evropskim standardom za beton Eurocode 2, Part 1-2 (2003), spreminjanje toplotne prevodnosti betona pa povzamemo iz prvega računskega primera. Vpliv prednapetih kablov na razporeditev temperature in vlage zanemarimo. Na sliki 3.35 prikažemo primerjavo med numeričnimi in eksperimentalnimi rezultati za časovno spreminjanje temperature v plošči, na mestu prednapetih kablov. Primerjavo rezultatov prikažemo na časovnem intervalu od 30 do 63 minut. Na tem območju je ujemanje izmerjenih in izračunanih temperatur zelo dobro, torej je predstavljeni matematični model za določitev vlage in temperature v prednapetih betonskih linijskih konstrukcijah med požarom ustrezen. Na sliki 3.36 prikažemo računsko razporeditev temperature in vlage v prečnem prerezu prednapete plošče pri treh različnih časih trajanja požara (10, 30 in 63 minut). V računu smo upoštevali simetrijo prečnega prereza. Polovico prereza smo razdelili v mrežo 31 x 14 točk. Časovno razporeditev temperature in vlage smo izračunali z diferenčno metodo (podpoglavje 3.1.2). S točko A na sliki 3.36 smo označili spodnjo površino plošče, s točko B lego prednapetih kablov, s točko C pa zgornjo površino prednapete plošče. Pri času t = 10 min so izračunane temperature v referenčnih točkah naslednje: Ta = 433 °C, Tb = 45 °C in Te = 20 °C. Vrednosti potenciala vlage so po 10 minutah požara skoraj nespremenjene. Vrednosti v referenčnih točkah so: ioa = 12.96 °M, w-q = 13.01 °M in wc = 13 °M. Po 30 minutah požara temperatura v betonu na spodnjem robu plošče naraste na Ta = 726 °C, na mestu kablov pa na Tb = 212 °C. Na zgornjem robu plošče je temperatura še vedno 20 °C. Opazimo padec potenciala vlage na spodnjem robu plošče zaradi izhlapevanja vlage iz plošče (ioa = 12.84 °M, w-q = 13.04 °M in wc = 13 °M). Po 63 minutah požara je temperatura v betonu na spodnjem robu plošče že Ta = 865 °C, na mestu kablov pa že Tb = 428 °C, medtem ko ima zgornja površina plošče še vedno začetno temperaturo. Padec potenciala vlage pa je še izrazitejši, njegove vrednosti v referenčnih točkah so: ioa = 12.69 °M, iob = 13.05 °M in wq = 13 °M. 92 Krauberger, N. 2008. Vpliv požara na obnašanje ojačanih betonskih linijskih konstrukcij. Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. 800 700 600 eksperiment (Gustaferro in Selvaggio, 1967) diferenčna metoda 200 30 35 40 45 50 t [min] 55 60 63 Slika 3.35: Cˇasovno spreminjanje temperature v precˇnem prerezu na mestu prednapetih kablov. Primerjava numericˇnih in eksperimentalnih rezultatov. Figure 3.35: Time dependent temperature in cross section in place of prestressing tendons. Comparison between numerical and experimental results. 3.4.2.2 Analiza mehanskega odziva plosce pri sočasnem delovanju požara in mehanske obtežbe V nadaljevanju analiziramo napetostno in deformacijsko stanje prednapete plošče s previsi pri sočasnem delovanju požarne in mehanske obtežbe. Vpliv požarne obtežbe upoštevamo s časovno odvisnim temperaturnim poljem prečnega prereza, izračunanim v podpoglavju 3.4.2.1. Podrobneje nas zanima napetostno in deformacijsko stanje v plošči med požarom ter primerjava dobljenih rezultatov z eksperimentalnimi rezultati (Gustaferro in Selvaggio, 1967). Konstitucijski zakon za beton in jeklo za prednapenjanje povzamemo skladno s priporočili iz Eurocode 2, Part 1-2 (2003). Uporabljeni parametri pri sobni temperaturi so: tlačna trdnost betona /c,t=20°c = 4.5 kN/cm , trdnost jekla za prednapenjanje /Py,T=20°c = 162.6 kN/cm (izmerjena vrednost karakteristične trdnosti jekla je bila /pk,T=20°c = 180.6 kN/cm ). Preostali materialni parametri so enaki kot pri prejšnem računskem primeru, zato jih tukaj ne navajamo. V skladu z Eurocode 2, Part 1-2 (2003) upštevamo adicijski razcep mehanske deformacije betonskega vlakna in jekla za prednapenjanje. Za račun prispevkov temperaturnih deformacij, deformacij lezenja in t.i. prehodnih deformacij uporabimo enake modele in parametre kot pri prejšnem računskem primeru. Ohranimo tudi lastnosti konstitucijskega zakona stika med betonom in prednapetimi kabli (slika 3.24). Na sliki 3.37 prikazujemo primerjavo med izmerjenim in izračunanim navpičnim pomikom prednapete plošče na sredini razpona (točka III na sliki 3.34). Numerične rezultate prikazujemo za ploščo s podajnim (t/o = oOkN/cm ) in togim stikom ((Jo = ookN/cm ) med betonom in prednapetimi kabli. Na sliki vidimo, daje tudi pri plošči s previsi požarna odpornost pri računu s togim stikom med betonom in kabli bistveno večja kot pri računu s podajnim stikom. Rezultati za ploščo s podajnim stikom se bolje prilegajo eksperimentalnim rezultatom, čeprav so odstopanja relativno velika. Največja odstopanja ponovno opazimo v območju, ko pričnejo pomiki plošče hitro naraščati in izračunani pomiki zaradi nestabilnosti Krauberger, N. 2008. Vpliv požara na obnašanje ojačanih betonskih linijskih konstrukcij. 93 Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. računskega postopka ne sledijo izmerjenim vrednostim. Rezultate prikažemo tudi v preglednici 3.7. (a) t= 10 min T[°C] B ; 900 800 700 600 500 400 300 200 100 20 B A w[°M] I B 13.05 13.00 12.95 12.90 12.85 12.80 12.75 12.70 (b)<=30min T[°C] 1900 800 ^ 700 600 H 500 400 300 200 100 20 D B A w[°M] ' 13.05 13.00 12.95 12.90 ! 12.85 12.80 12.75 12.70 (c) %r= 63 min T[°C] ! D 900 800 700 600 500 400 300 200 100 20 C —•— B w[°M] 13.05 H 13.00 12.95 y 12.90 12.85 I- 12.80 12.75 12.70 Slika 3.36: Razporeditev temperature in vlage v prečnem prerezu plošče za 10, 30, 63 minut trajanja požara. Figure 3.36: The distribution of temperature and moisture in slab cross section for 10, 30, 63 minutes of fire. V nadaljevanju analiziramo vpliv posameznih deformacijskih prispevkov na mehanski odziv prednapete plošče. Rezultate računa zberemo v preglednici 3.7 in prikažemo na sliki 3.38. Na sliki 3.38 vidimo, da imajo deformacije viskoznega lezenja jekla največji vpliv na mehanski odziv prednapete plošče. Požarna odpornost plošče je v primerjavi z ostalimi rezultati računa manjša kar za 22 °/0. Iz povedanega lahko sklepamo, da velja predpostavka, daje vpliv viskoznega lezenja jekla pri povišanih temperaturah upoštevan že v konstitucijskem zakonu za jeklo, ki ga podaja Eurocode 2, Part 1-2 (2003), in ga zato v analizi ni smiselno dodatno upoštevati. Vpliv preostalih deformacijskih prispevkov na mehanski odziv prednapete plošče je bistveno manjši. Vpliv deformacij lezenja betona pri povišanih temperaturah je zanemarljiv, ker je čas trajanja požara relativno kratek. Ko v računu odziva upoštevamo t.i. prehodne deformacije v betonu, so izračunani pomiki plošče manjši. Prehodne deformacije betona so nasprotnega predznaka kot temperaturne deformacije. 94 Krauberger, N. 2008. Vpliv požara na obnašanje ojačanih betonskih linijskih konstrukcij. Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. iV ? eksperiment (Gustaferro in Selvaggio, 1967) 25 ----- program NFIRA (0O= °°) D - programNFIRA (0„=5O) D D 20 D 15 0 / / D • / -/ D / i s 1 D 10 /D '' 5 oJ 2----------------------------^-----------------' 1_________________________i_____________________________1_____________________________i_____________________________1_____________________________i_____________________________1_____________________________i_____________________________1_____________________________i____________________________ 20 40 60 80 t [min] 100 120 Slika 3.37: Prednapeta betonska plošča s previsi. Izmerjeni in izračunani navpični pomik na sredini plošče win. Figure 3.37: Prestressed concrete slab with overhangings. Measured and calculated vertical midspan deflection wm. 30 25 20 ? eksperiment (Gustaferro in Selvaggio, 1967) -----programNFIRA; Lfh,c,Lth,p -----program NFjRA.;Lfh,c,Lth,p,ECT,c - program NFIRA;Lfh,c,Lfh,p,Lcr,c,Ltr,c - programNFIRA; Lth,c,Ltb,p,Lcr,c,Ltr,c,LCr,P(Au 50) c Slika 3.38: Prednapeta betonska plošča s previsoma. Vpliv upoštevanja prispevkov deformacij na velikost mejnega pomika na sredini plošče wm. Figure 3.38: Prestressed concrete slab with overhangings. The influence of strain contributions to value of limit midspan deflection wm. Krauberger, N. 2008. Vpliv požara na obnašanje ojačanih betonskih linijskih konstrukcij. 95 Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. Preglednica 3.7: Vpliv prispevkov deformacij na velikost mejnega pomika na sredini plošče. Table 3.7: The influence of strain contributions to value of limit midspan deflection. eksperiment program NFIRA upoštevane deformacije tcr wni,Cr tcr wni,Cr beton kabel [min] [cm] [min] [cm] Lth,c, Lth,P 76 26.60 62.50 12.48 Lth,c,Lcr,c Lth,P -ii- -n- 62.89 14.03 Lth,c,Lcr,c,Ltr,c Lth,P -ii- -ii- 62.82 11.96 Lth,cj Lcr,c, Ltr,c Lth,pj Lcr,p(Au50) — II— — II— 49.31 15.03 Na koncu računske analize na slikah 3.41-3.43 ter v preglednici 3.8 prikažemo izbrane količine prednapete plošče s previsi, in sicer: osno silo v betonu Mc in prednapetem kablu M} (slika 3.39), upogibni moment A4C v betonskem delu prednapete plošče in skupni upogibni moment A4 = A4C — Y^k=i -^p zp v prednapeti plošči (slika 3.40), zamik A1 in strižno komponento kontaktnega napetostnega vektorja pip na stiku med betonom in kablom (slika 3.41), deformirano obliko prednapete plošče (slika 3.42) in deformacijske količine v betonu, eco, nc, ter prednapetem kablu e\ (slika 3.43). Rezultate prikažemo pri štirih izbranih časih trajanja požara (0, 10, 30 in 63 minut). Zaradi simetrije plošče in obtežbe nekatere rezultate analize prikažemo le za polovico plošče (0 < x/L < 0.5). Na sliki 3.39 opazimo, da se osni sili v betonu Mc oziroma kablu M} med požarom zmanjšujeta le v osrednjem delu plošče, t.j. med podporama, medtem ko se v območju vnosa napenjalne sile osni sili v betonu oziroma kablu med požarom ne spreminjata. Podobna ugotovitev velja tudi za upogibna momenta Mc in M (slika 3.40). Pred nastopom požarne obtežbe sta oba upogibna momenta Mc in M največja ob podpori (točka II na sliki 3.34). Med požarom se momenta Mc in M ob podpori zmanjšujeta, v polju pa povečujeta. Pri času tcr = 63 min upogibni moment M v osrednjem delu plošče spremeni predznak. Pri tem času je njegova vrednost M = 5.49 kNm (točka III na sliki 3.34). Na sliki 3.41a opazimo, daje zamik A1 na stiku med betonom in kablom največji na robu plošče (točka I na sliki 3.34) in ne presega zamika na meji nosilnosti stika A\ = 3 mm. Opazimo tudi, da se s časom zamik zelo poveča v območju podpiranja plošče (točka II na sliki 3.34). Opazimo, da se pri daljšem času trajanja požara zamiki pojavijo tudi v osrednjem delu plošče. Nihanje zamikov v osrednjem delu plošče je najverjetneje posledica lokalizacije deformacij. Vzporedno na sliki 3.41b prikazujemo porazdelitev strižne komponente kontaknega napetostnega vektorja p\ p na stiku. Ta je na robu plošče največja. S časom se strižna napetost najbolj poveča v območju podpiranja plošče (točka II na sliki 3.34). Na sliki 3.42 opazimo, da se pomiki obravnavane prednapete plošče med požarom zelo povečajo. Pri času tcr = 63 min je največji izračunani pomik plošče v polju 12 cm (poveča se kar za 99.8 °/0), pri tem pa se previsni del plošče dvigne za 11.5 cm. Na sliki 3.43 opazimo lokalizacijo deformacijskih količin betonskega dela plošče (Lco> Kc) pred računsko porušitvijo. 96 Krauberger, N. 2008. Vpliv požara na obnašanje ojačanih betonskih linijskih konstrukcij. Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. (a) °f -100 -200 3-300 -400 -500 -600 \ lega podpore Nt, s tO min ------1 = lOmin t 30 min kr-63 min 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 x/L (b) 120 ~ 100 n80 i60 40 / 20 / t = 0min t = lOmin 0 lega podpore t = 30 min Ta= 63 min 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 x/L Slika 3.39: Porazdelitev osnih sil v: (a) betonu Nc in (b) prednapetem kablu Np1 za 0, 10, 30, 63 minut trajanja pozˇara. Figure 3.39: The distribution of axial force in: (a) concrete Nc and (b) prestressing tendon Np1 for 0, 10, 30,63 minutes of fire. -60 -50 -40 § -20- ^ 0' 10 20 30 0 0.1 / /Mo=0 ^-Ornin ------1= 10 min t = 30 min v kr=63min lega podpore 0.2 0.3 x/L 0.4 0.5 -60 -50 -40 IT30 §-20 5-10 0 10 20 30 / s .lega podpore \ M = 0 / t \) min ------1= 10 min t = 30 min tcT=63 min - 0.1 0.2 0.3 x/L 0.4 0.5 Slika 3.40: Upogibni moment: (a) v betonskem delu plošče Mc in (b) v prednapeti plošči M za 0,10, 30, 63 minut trajanja požara. Figure 3.40: The distribution of the bending moment: (a) in concrete part of slab Mc and (b) in pre-stressed concrete slab M for 0,10,30, 63 minutes of fire. Krauberger, N. 2008. Vpliv pozˇara na obnasˇanje ojacˇanih betonskih linijskih konstrukcij. 97 Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbenisˇtvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. (a) 2.0 1.6 1.2 1 °'8 5 0.4 0 -0.4 -0.8 0 lega podpore t -Omin ^ ------1 = 10min t = 30 min v ta— 63 min '¦¦¦. ^-.^ .¦ "V 0.1 0.2 0.3 x/L 0.4 0.5 Slika 3.41: Porazdelitev: (a) zamika ?1 in (b) tangencialne komponente kontaktnega napetostnega vektorja vzdolzˇ stika med betonom in prednapetim kablom j)\ za 0,10, 30, 63 minut trajanja pozˇara. Figure 3.41: The distribution of: (a) slip ?1 and (b) tangential component of bond stress vector concrete and prestressing tendon p\ for 0,10, 30, 63 minutes of fire. between in IV (Wm —Urv -----t = 0 min -----t = 10 min - t = 30 min Lr=63 min Slika 3.42: Deformirana oblika racˇunskega modela za 0,10,30, 63 minut trajanja pozˇara. Figure 3.42: The deformed shape of mathematical model for 0,10,30,63 minutes of fire. 98 Krauberger, N. 2008. Vpliv požara na obnašanje ojačanih betonskih linijskih konstrukcij. Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. (a)Lco (b) /cc -1.75x10 Si=- --MXJ4r -1.43xl0": -2^LL I 3.16x10 III L = 0min t= 10 min t = 30 min Lr= 63 min ^%1X>^ (c) 4 -5.83x10" II aH 3.58xl0": -1.19x10" lin IV ¦z%.--- 6.19x10" III ? = 0min -f = 10 min - ? = 30 min ?cr=63 min Slika 3.43: Porazdelitev: (a) specifične spremembe dolžine referenčne osi betonskega dela nosilca eco, (b) psevdoukrivljenosti referenčne osi betonskega dela nosilca nc in (c) specifične spremembe referenčne osi prednapetega kabla el za 0,10,30,63 minut trajanja požara. Figure 3.43: The distribution of: (a) extensional strain of centroidal axis for concrete part of beam eco, (b) psevdocurvature of centroidal axis for concrete part of beam nc and (c) extensional strain of centroidal axis for prestressed tendon el for 0,10, 30, 63 minutes of fire. Krauberger, N. 2008. Vpliv požara na obnašanje ojačanih betonskih linijskih konstrukcij. 99 Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. Preglednica 3.8: Prednapeta betonska plošča s previsnima poljema. Značilne kinematične, ravnotežne in deformacijske količine pri štirih časih trajanja požara t = 0,10, 30, 63 min. Table 3.8: Prestressed concrete slab with overhangings. Characteristic kinematic, equilibrium and deformation quantities for four different times of fire duration t = 0,10, 30, 63 min. t = 0 [min] t = 10 [min] t = 30 [min] tCI = 63 [min] A^,ii [kN] —397.48 —385.71 —310.62 — 172.03 A^ciii [kN] —416.33 —410.61 —314.63 —211.90 TV* j j [kN] 79.50 77.14 62.12 34.36 7Vp m [kN] 83.27 82.12 62.93 42.38 Mc,II [kNm] —24.40 —23.73 — 19.43 — 11.46 Mc,III [kNm] 6.57 6.90 12.39 18.23 A411 [kNm] —47.12 —45.77 —37.18 —21.99 A'fiii [kNm] — 17.23 — 16.57 —5.60 5.49 ? J [mm] 1.70 1.70 1.69 1.68 ?jj [mm] 0 —0.02 —0.17 —0.60 p\ j [kN/cm] 1.56 1.56 1.56 1.56 p\ j j [kN/cm] 0.03 —0.11 — 1.23 — 1.51 «iv [cm] wni [cm] —0.04 0.02 —0.03 0.32 0.08 1.66 0.37 11.96 Lc0,II,max — 1.92 • 10-4 —6.65 • 10-4 —3.85 • 10-3 -1.75-10-2 Lc0,III 1.34 • 10-4 7.11 • 10-5 —4.88 • 10-4 -9.67-10-3 ^c, II, max 1.04 • 10-4 2.24 • 10-4 8.50 • 10-4 3.16- 10-3 ^c,III —9.37 • 10-6 —3.26 • 10-5 — 1.38 • 10-4 -1.43-10-3 F1 LP,I 6.19 • 10-3 6.19 • 10-3 6.19 • 10-3 6.19- 10-3 F1 p,II,min 3.64 • 10-4 5.36 • 10-4 — 1.10 • 10-4 -5.83 • 10-3 F1 p,II,max 3.64 • 10-4 2.69 • 10-4 1.64 • 10-3 3.58 • 10-3 F1 8.74 • 10-5 —9.78 • 10-5 — 1.20 • 10-3 -1.19-10-2 100 Krauberger, N. 2008. Vpliv požara na obnašanje ojačanih betonskih linijskih konstrukcij. Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. Krauberger, N. 2008. Vpliv požara na obnašanje ojačanih betonskih linijskih konstrukcij. 101 Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. 4 ZAKLJUČKI V disertaciji smo predstavili matematični model in računski postopek za nelinearno analizo prednapetih betonskih linijskih konstrukcij, ki so izpostavljene sočasnemu delovanju mehanske obtežbe in požara. Pri izpeljavi modela smo upoštevali zamike na stiku med betonom in jeklom za prednapenjanje, luščenja betona pa nismo upoštevali. V ta namen smo v programskem okolju Matlab izdelali računalniški program. Zaradi zahtevnosti problema smo disertacijo razčlenili na dva dela. V prvem delu disertacije smo predstavili matematični model in računski postopek za analizo prednapetih betonskih linijskih konstrukcij pri sobni temperaturi. Obnašanje betonskega dela prednapetega nosilca smo opisali z Reissnerjevim modelom ravninskega nosilca, obnašanje prednapetih kablov pa z modelom vrvi. Posplošene ravnotežne enačbe predstavljenega modela smo rešili z metodo končnih elementov. S tem namenom smo razvili novo družino deformacijskih končnih elementov. Izpeljali smo jo z modificiranim izrekom o virtualnem delu. Značilnost vpeljanih deformacijskih končnih elementov je v tem, da poleg deformacijskih količin interpoliramo tudi materialno koordinato x* , ki posredno določa zamik na stiku med betonom in prednapetimi kabli ter normalno komponento kontaktne linijske obtežbe p^ fc-tega prednapetega kabla (k = 1, 2,..., np). Pri izpeljavi enačb smo se omejili na predhodno napete elemente z ravnimi kabli, kjer smo k-ti prednapeti kabel predhodno napeli z začetno silo prednapetja A/p dn oziroma deformacijo el predn = A/p predn/^p^P' (^ = 1> 2, ¦¦-, np). Pri tem smo vpliv izgub sile v kablih zaradi reoloških pojavov zanemarili. Ker je pri večini gradbenih konstrukcij vpliv strižnih deformacij na njihovo obnašanje zanemarljiv, smo tudi njihov vpliv zanemarili. Ustreznost in natančnost predstavljenega matematičnega modela in računskega postopka za statično analizo prednapetih betonskih linijskih konstrukcij pri sobni temperaturi smo ocenili s primerjavo numeričnih in eksperimentalnih rezultatov. S primerjavo rezultatov in parametričnimi študijami smo ugotovili: • Primerjava med eksperimentalnimi in numeričnimi rezultati je pokazala relativno dobro ujemanje rezultatov. Zato je predstavljeni matematični model primeren za analizo prednapetih betonskih linijskih konstrukcij pri sobni temperaturi. • Predstavljeni deformacijski končni elementi so zelo natančni in neobčutljivi na vse vrste blokiranj. Konvergenčna analiza deformacijskih končnih elementov je pokazala, da se natančnost izračunane mejne nosilnosti obravnanih prednapetih betonskih nosilcev povečuje z večanjem števila končnih elementov, hkrati pa se ne povečuje s stopnjo numerične integracije. • Iz povedanega sklepamo, da so deformacijski končni elementi primerni za analizo prednapetih betonskih linijskih konstrukcij z upoštevanjem zamika na stiku med betonom in prednapetimi kabli. • Togost oziroma podajnost stika med betonom in prednapetimi kabli bistveno vpliva na obnašanje prednapetih betonskih linijskih konstrukcij. Ta vpliv je največji na duktilnost in nosilnost pred- 102 Krauberger, N. 2008. Vpliv požara na obnašanje ojačanih betonskih linijskih konstrukcij. Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. napetih betonskih konstrukcij, nekoliko manjsˇi pa na togost. Zato podajnosti stika med betonom in prednapetimi kabli v analizi prednapetih betoskih linijskih konstrukcij ne smemo zanemariti. V drugem delu disertacije smo matematicˇni model in racˇunski postopek za analizo prednapetih betonskih linijskih konstrukcij pri sobni temperaturi razsˇirili na razmere, ki vladajo med pozˇarom. Model smo razdelili v dve matematicˇno nepovezani fazi. V prvi fazi smo analizirali temperaturno-valzˇnostno stanje v betonskem precˇnem prerezu. Za opis povezanega prenosa toplote in vlage po betonskem precˇnem prerezu smo uposˇtevali matematicˇni model Luikova (Luikov, 1966). Pripadajocˇe enacˇbe smo resˇili z diferencˇno metodo. Dobljene rezultate smo uposˇtevali v drugi fazi analize, kjer smo dolocˇili napetostno in deformacijsko stanje prednapetih betonskih linijskih konstrukcij pri socˇasnem delovanju mehanske in temperaturne obtezˇbe. Za materialne zakone betona, jekla za armiranje in prednapenjanje smo izbrali nelinearne zveze, pripadajocˇi materialni parametri pa so bili odvisni od temperature. Tudi za konstitucijski zakon stika smo izbrali nelinearno in temperaturno odvisno zvezo med zamiki in strizˇnimi napetostmi na stiku med betonom in prednapetimi kabli. Pri dolocˇitvi napetostnega in deformacijskega stanja prednapetih linijskih konstrukcij med pozˇarom smo poleg mehanskih in temperaturnih deformacij uposˇtevali tudi t.i. prehodne deformacije betona in lezenje betona ter viskozno lezenje jekla za armiranje in pred-napenjanje. Ustreznost in natancˇnost predstavljenega matematicˇnega modela in racˇunskega postopka za analizo prednapetih betonskih linijskih konstrukcij pri socˇasnem delovanju mehanske in pozˇarne obtezˇbe smo ocenili s primerjavo numericˇnih in eksperimentalnih rezultatov. S primerjavo rezultatov in parametricˇnimi sˇtudijami smo ugotovili: • Primerjava med eksperimentalnimi in numericˇnimi rezultati za cˇasovno spreminjanje temperature v precˇnem prerezu je pokazala dobro ujemanje. Zato je cˇasovno razporeditev temperature v prednapetih betonskih linijskih konstrukcijah smiselno dolocˇiti z uposˇtevanjem matematicˇnega modela Luikova, kjer prenos vlage in toplote po betonskem precˇnem prerezu obravnavamo povezano. • Primerjava med eksperimentalnimi in numericˇnimi rezultati mehanskega odziva prednapetih betonskih linijskih konstrukcij med pozˇarom je pokazala relativno dobro ujemanje, kar dokazuje primernost predstavljenega matematicˇnega modela in racˇunskega postopka za analizo prednapetih betonskih linijskih konstrukcij. • Podrobna parametricˇna sˇtudija je pokazala, da togost oziroma podajnost stika med betonom in prednapetimi kabli bistveno vpliva na napetostno in deformacijsko stanje prednapetih betonskih linijskih konstrukcij med pozˇarom. Zato jih v analizi ne smemo zanemariti. Krauberger, N. 2008. Vpliv pozˇara na obnasˇanje ojacˇanih betonskih linijskih konstrukcij. 103 Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbenisˇtvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. VIRI Abrams, M.S. 1979. Behaviour of inorganic materials in fire. ASTM STP 685. Design of Buildings for Fire Safety. Abrams, M.S., Cruz, C.R. 1961. The Behaviour at High Temperature of Steel Strand for Prestressed Concrete. Journal of the PCA Research and Development Laboratories 3: 8–19. Abrishami, H.H., Mitchell, D. 1993. Bond characteristic of pretensioned strand. ACI Materials Journal 90, 3: 232–262. Anderberg, Y. 1976. Fire-exposed hyperstatic concrete structures (An experimental and theoretical study). Division of Structural Mechanics and Concrete Construction. Lund Institute of Technology, Lund, Sweden, Bulletin 55. Anderberg, Y., Thelandersson, S. 1976. Stress and deformation characteristics of concrete. 2-experimen-tal investigation and material behaviour model. Lund Institute of Technology, Lund, Sweden, Bulletin 54. ASTM E-119-76. 1976. Standard methods of fire tests of building construction and materials. Annual book of ASTM standars, Part 18, American Society for Testing and Materials, West Conshohocken, PA. Bazˇant, Z.P., Kaplan, M.F. 1996. Concrete at high temperatures: Material Properties and Mathematical Models, Longman Group Limited: 412 f. Bianco, M., Bilardi G., Pesavento, F., Pucci, G., Schrefler, A., 2003. A frontal solver tuned for fully coupled non-linear hygro-thermo-mechanical problems. International Journal for Numerical Methods in Engineering 57: 1801–1818. Bratina, S. 2003. Odziv armiranobetonskih linijskih konstrukcij na pozˇarno obtezˇbo. Doktorska disertacija. Ljubljana, Univerza v Ljubljani, Fakulteta za gradbenisˇtvo in geodezijo, Oddelek za grad-benisˇtvo, Konstrukcijska smer: 159 f. Bratina, S., Planinc, I., Cˇ as, B., Saje, M., Turk, G. 2003. Non-linear fire-resistance analysis of reinforced concrete beams. Structural Engineering and Mechanics 16: 695–712. 104 Krauberger, N. 2008. Vpliv pozˇara na obnasˇanje ojacˇanih betonskih linijskih konstrukcij. Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbenisˇtvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. Bratina, S., Saje, M., Planinc, I. 2004. On materially and geometrically non-linear analysis of reinforced concrete planar frames. International Journal of Solid Structures 41: 7181–7207. Buchanan, A.H. 2004. Structural Design for Fire Safety. John Wiley & Sons Ltd, Reprinted version: 421 f. Budaiwi, I., El. Diasty, R. Abdou, A. 1999. Modelling of moisture and thermal transient behaviour of multi-layer non-cavity walls, Building and Environment 34: 537–551. Campbell, T.I., Kodur, V.K.R. 1990. Deformation controlled nonlinear analysis of prestressed concrete beams. PCI Journal 35, 5: 42–755. Carlson, C.C. 1962. Fire resistance of prestressed concrete beams (Study A: Influence of thickness of concrete covering over prestressing steel strand). PCA, Research Department Bulletin 147. Chang, W.J., Weng, C.-I. 2000. An analytical solution to coupled heat and moisture diffusion transfer in porous material. International Journal of Heat and Mass Transfer 43: 3621–3632. Chern, J.-C., You, C.-M., Bazˇant, Z.P. 1992. Deformation of progressively cracking partially prestressed concrete beams. PCI Journal 37, 1: 74–85. Chung, J.H., Consolazio, G.R. 2005. Numerical modelling of transport phenomena in reinforced concrete exposed to elevated temperatures. Cement and Concrete Research 35: 597–608. Cruz, C.R. 1968. Apparatus for measuring creep of concrete at high temperatures. Journal of PCA Research and Development Laboratories 8, 1: 37–45. Cˇ as, B. 2004. Nelinearna analiza kompozitnih nosilcev z uposˇtevanjem zdrsa med sloji. Doktorska disertacija. Ljubljana, Univerza v Ljubljani, Fakulteta za gradbenisˇtvo in geodezijo, Oddelek za grad-benisˇtvo, Konstrukcijska smer: 136 f. Dal Pont, S., Ehrlacher, A. 2004. Numerical and experimental analysis of chemical dehydration, heat and mass transfer in a concrete hollowcylinder submitted to high temperatures. International Journal of Heat and Mass Transfer 47: 135–147. Dal Pont, S., Schrefeler, B.A., Ehrlacher, A. 2005. Intrinsic Permeability Evolution in High Temperature Concrete. An Experimental and Numerical Analysis, Transport in Porous Media 60: 43–74. Diederichs, U., Schneider, U. 1981. Bond strength at high temperatures. Magazine of Concrete Research 33, 115: 75–84. Krauberger, N. 2008. Vpliv pozˇara na obnasˇanje ojacˇanih betonskih linijskih konstrukcij. 105 Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbenisˇtvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. Ellingwood, B., Shaver, J. 1979. Fire effect on reinforced concrete members. Technical Note 985. Washington, D. C.: National Bureau of Standards. Eurocode 1, 1995. Basic of Design and Actions on Structures, Part 2-2: Actions on structures-Actions on structures exposed to fire, ENV 1991-2-2. Eurocode 2, 2004. Design of Concrete Structures, Part 1-1: General rules and rules for buildings, EN 1992-1-1. Eurocode 2, 2003. Design of Concrete Structures, Part 1-2: General rules-Structural fire design, prEN 1992-1-2. Gams, M. 2003. Povezan prenos vlage in toplote v poroznem materialu. Diplomska naloga. Ljubljana, Univerza v Ljubljani, Fakulteta za gradbenisˇtvo in geodezijo, Oddelek za gradbenisˇtvo, Konstrukcijska smer: 78 f. Gawin, D., Pasavento, F., Schrefeler, B.A.. 2003. Modelling of hygro-thermal behaviour of concrete at high temperature with thermo-chemical and mechanical material degradation. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 192: 1731–1771. Gustaferro, A.H., Abrams, M.S., Salse, E.A.B. 1972. Fire Resistance of Prestressed Concrete Beams (Study C: Structural Behaviour During Fire Tests) PCA, Research and Development Bulletin, RD00901B, Skokie, I11. Gustaferro, A.H., Selvaggio, S.L. 1967. Fire Endurance of Simply-Supported Concrete Slabs. Journal of Prestressed Concrete Institute 12: 37–53. Han, C.G., Hwang, Y.-S., Yang, S.-H., Gowriplan, N. 2005. Performance of spalling resistance of high performance concrete with polypropylen fiber contents and lateral confinement. Cement and Concrete Research 35: 1747–1753. Harmathy, T.Z. 1967. A comprehensive creep model. Journal of Basic Engineering 89: 496–502. Harmathy, T.Z. 1993. Fire Safety Design and Concrete. London: Longman Group Hertz, K.D. 2003. Limits of spalling of fire-exposed concrete. Fire Safety Journal 38: 103–116. Hertz, K.D. 2005. Test method for spalling of fire exposed concrete. Fire Safety Journal 40: 466–476. Holmes, M., Anchor, R.D., Cook, G.M.E., Crook, R.N. 1982. The effect of elevated temperatures on the strength properties of reinforcing and prestressing steel. Structural Engineer-Part B 60, 1: 7–13. 106 Krauberger, N. 2008. Vpliv pozˇara na obnasˇanje ojacˇanih betonskih linijskih konstrukcij. Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbenisˇtvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. Huang, Z.H., Platten, A. 1997. Nonlinear finite element analysis of planar reinforced concrete members subjected to fires. ACI Structural Journal 94, 3: 272–282. Hurst, M.K. 1988. Prestressed concrete design. London, New York: Chapman and Hall: 262 f. Ichikawa, Y., England, G.L. 2004. Prediction of moisture migration and pore pressure build-up in concrete at high temperatures. Nuclear Engineering and Design 228: 245–259. ISO 834. 1999. Fire-resistance Tests - Elements of Building Construction - Part 1: General Requirements. ISO 834-1. International Organization for Standardization, Geneva, Switzerland. Jendale, L., Cervenka, J. 2006. Finite element modelling of reinforcement with bond. Computers and Structures 84: 1780–1791. Kalifa, P., Menneteau, F.-D., Quenard, D. 2000. Spalling and pore pressure in HPC at high temperatures. Cement and Concrete Research 30: 1915–1927. Kalifa, P., Chene, G., Galle, C. 2001. High temperature behaviour on HPC with polypropylene fibres prom spalling to microstructure. Cement and Concrete Research 31: 1487–1499. Keuser, M., Mehlhorn, G. 1983. Bond between prestressed steel and concrete: Computer analysis using ADINA. Computers and Structures 17, 5, 6: 669–676. Kodur, V.K.R. 1999. Fire performance of high-strength concrete structural members. Institute for Research in Construction: Construction Technology Update 31: 1–14. Krauberger, N., Saje, M., Bratina, S., Planinc, I. 2007. Nelinearna analiza prednapetih betonskih linijskih nosilcev = Non-linear analysis of prestressed concrete planar beams. V: Korelc, J. (ur), Zupan, D. (ur). Kuhljevi dnevi 2007. Terme Snovik, 20.-21. september 2007. Ljubljana: Slovensko drusˇtvo za mehaniko: str. 131–138. Krauberger, N., Bratina, S., Planinc, I. 2007. Analiza prednapetih betonskih nosilcev z uposˇtevanjem zdrsa kabla = Analysis of prestressed concrete beams considering slip between concrete and steel tendon. V: Lopaticˇ, J. (ur), Markelj, V. (ur), Saje, F. (ur). Zbornik 29. zborovanja gradbenih konstrukterjev Slovenije. Bled, 19.-20. oktober 2007. Ljubljana: str. 201–208. Li, G., Lu, Z.D., Wang, L.G. 2003. Fire resistance of prestressed concrete frames. ICACS 2003: International Conference on Advances in Concrete Structures 1 and 2, 32: 445–452. Li, L-y., Purkiss, J. 2005. Stress strain constitutuve equations of concrete material at elevated temperatures. Fire Safety Journal 40: 669–686. Lien, H.P., Wittmann, F.H. 1995. Coupled heat and mass transfer in concrete elements at elevated tem- Krauberger, N. 2008. Vpliv pozˇara na obnasˇanje ojacˇanih betonskih linijskih konstrukcij. 107 Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbenisˇtvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. peratures. Nuclear Engineering and Design 157, 7: 109–119. Liu, J.Y., Cheng, S. 1991. Solutions of Luikov equations of heat and mass transfer in capillary-porous bodies. International Journal of Heat and Mass Transfer 34, 7: 1747–1754. Lou, T., Xiang, Y. 2006. Finite element modelling of concrete beams prestressed with external tendons. Engineering Structures 28: 1919–1926. Lobbo, P.D., Mikhailov, Yu.A., Ozisk, M.N. 1987. On the complex eigenvalues of Luikov system of equations. Drying technology 5, 2: 273–286. Luikov, A.V. 1966. Heat and mass transfer in capillary porous bodies. Pergamon Press, Oxford, England: 623 f. Luikov, A.V. 1975b. System of differential equations of heat and mass transfer on capillary-porous bodies (review). International Journal of Heat and Mass Transfer 18: 1–14. Luikov, A.V., Mikhailov, Yu.A. 1966. Theory of energy and mass transfer. Pergamon Press, Oxford, United Kingdom: 392 f. Mang, H.A., Meschke, G. 1991. Nonlinear finite element analysis of reinforced and prestressed concrete structures. Engineering Structures 13, 2: 211–226. McGrath, R. 2003. Fire Endurance of High Strength Concrete Columns. Fire Technology 39: 73–87. Mendes, P.A., Valente, J.C., Branco, F.A. 2000. Simulation of ship fire under Vasco da Gama bridge. ACI Structural Journal 97, 2: 285–290. Meszaros, C.S., Farkas, I., Balint, A. 2001. A new application of percolation theory of coupled transport phenomena through porous media. Mathematic and Computer Simulation 56: 595–404. Neves, I.R., Rodrigues, J.P.C., Loureiro, A.D. 1996. Mechanical properties of reinforcing and prestress-ing steel after heating. Journal of Materials in Civil Engineering 8, 4: 189–194. Nie, J.G., Cai, C..S., Zho, T.R., Li, Y. 2007. Experimental and analytical study of prestressed steel concrete composite beams considering slip effect. Journal of Structural Engineering ASCE 133: 530–540. Obeid, W., Mounajed, G., Alliche, A. 2001. Mathematical formulation of thermo-higro-mechanical coupling problem in non saturated porous material. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 190: 5105–5122. O¨ zisik, M.N. 1985. Heat transfer: A basic approach. McGraww-Hill Book Company, Singapore: 780 f. 108 Krauberger, N. 2008. Vpliv pozˇara na obnasˇanje ojacˇanih betonskih linijskih konstrukcij. Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbenisˇtvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. ¨ Ozisik, M.N. 1994. Finite difference methods in heat transfer. CRC Press, Boca Raton, Florida, USA: 412 f. Pandey, R.N., Pandey, S.K., Michailov, M.D. 1999a. Temperature and moisture distributions in a moist spherical capillary-porous body-a new approach. International Journal for Numerical Methods in Engineering 45: 125–146. Pandey, R.N., Srivastava, S.K., Michailov, M.D. 1999b. Solution of Luikov equations of heat and mass transfer in capillary porous bodies through matrix calculs: a new approach. International Journal of Heat and Mass Transfer 42: 2649–2660. Pickard, R. 1994. Fire Safety and Protection in Historic Buildings in England and Ireland – Part I. Structural Survey: 12, 2: 27–31 Planinc, I. 1998. Racˇun kriticˇnih tocˇk konstrukcij s kvadraticˇno konvergentnimi metodami. Doktorska disertacija. Ljubljana, Univerza v Ljubljani, Fakulteta za gradbenisˇtvo in geodezijo, Oddelek za grad-benisˇtvo, Konstrukcijska smer: 83 f. Purkiss, J.A. 1996. Fire Safety Engineering: Design of Structures. Butterworth-Heinemann: 342 f. Rabczuk, T., Eibl, J. 2004. Numerical analysis of prestressed concrete beams using a coupled element free Galerkin/finite element approach. International Journal of Solids and Structures 41: 1061–1080. Rabczuk, Akkermann, J., T., Eibl, J. 2005. Numerical model for reinforced concrete structures. International Journal of Solids and Structures 42: 1327–1354. Reissner, E. 1972. On one-dimensional finite-strain beam theory: The plane problem. Journal of Applied Mechanics and Physics (ZAMP) 23: 795–804. Saje, M. Turk, G. 1987. HEATC: Program za racˇun nelinearnega in nestacionarnega prevajanja toplote. Ljubljana, Univerza v Ljubljani, Fakulteta za gradbenisˇtvo in geodezijo, Oddelek za gradbenisˇtvo. Selvaggio, S.L., Carlson, C.C. 1963. Effect of Restraint on Fire Resistance of Prestressed Concrete, Symposium on Fire Test Methods. American Society for Testing and Materials 344: 1–25. Selvaggio, S.L., Carlson, C.C. 1964. Fire Resistance of Prestressed Concrete Beams (Study B: Influence of Aggregate and Load intensity). Journal of the PCA Research and Development Laboratories 6: 41–64. Schnabl, S. 2007. Analiza obnasˇanja kompozitnih nosilcev pri pozˇaru. Doktorska disertacija. Ljubljana, Univerza v Ljubljani, Fakulteta za gradbenisˇtvo in geodezijo, Oddelek za gradbenisˇtvo, Konstrukcijska smer: 109 f. Krauberger, N. 2008. Vpliv pozˇara na obnasˇanje ojacˇanih betonskih linijskih konstrukcij. 109 Doktorska disertacija. Ljubljana, UL, Fakulteta za gradbenisˇtvo in geodezijo, Konstrukcijska smer. Schneider, U. 1986. Modeling of concrete behaviour at high temperature. In: Anchor, R.D., Malhotra, H.L., Purkiss, J.A., editors. Design of structures against fire. New York, Elsevier: 53–69. Simo, J.C. 1985. A finite strain beam formulation. The three-dimensional dynamic problem. Part I. Computer methods in applied mechanics and engineering 49: 55–70. Srpcˇicˇ, S. 1991. Racˇun vpliva pozˇara na jeklene konstrukcije. Doktorska disertacija. Ljubljana, Univerza v Ljubljani, Fakulteta za gradbenisˇtvo in geodezijo, Oddelek za gradbenisˇtvo, Konstrukcijska smer: 104 f. Sˇelih, J., Sousa, A.C.M., Bremner, T.W. 1994. Moisture and heat flow in concrete walls exposed to fire. Journal of Engineering Mechanics 120: 2028–2043. Tenchev, R., Li, L.Y., Purkiss, J.A. 2001. Finite element analysis of coupled heat and moisture transfer in concrete, subjected to fire. Numerical Heat Transfer, Part A 39: 685–710. Tenchev, R., Purnell, P. 2005. An application of damage constitutive model to concrete at high temperature and predicting of spalling. International Journal of Solids and Structures 42: 6550–6565. Thomas, H.R., Morgan, K., Lewis, R.W. 1980. A fully nonlinear analysis of heat and mass transfer problems in porous bodies. International Journal of Numerical Methods in Engineering 15: 1381–1393. Wang, Y.C. 2002. Steel and Composite Structures: Behaviour and design for fire safety . Spon Press: 332 f. Whitaker, S. 1977. Simultaneous heat, mass and momentum transfer in porous media: A theory of drying. Advances in Heat Transfer 22: 257–266. White, G.C., Shirvill, L.C. 1995. Fire testing a review of past, current and future methods. 14th International Conference on Offshore Mechanics and Arctic Engineering, Copenhagen, Denmark. Published by ASTM, ISBN 2: 397–404. Williams-Leir, G. 1983. Creep of structural steel in fire: Analytical expressions. Fire and Materials 7, 2: 73–78. Youssef, M., Ghobarah, A. 2000. Strength Deterioration due to Bond Slip and Concrete Chrushing in Modeling of Reinforced Concrete Members. ACI Structural Journal 96, 6: 596–966.