i
i
“Mohoric” — 2017/9/21 — 7:49 — page 91 — #1 i
i
i
i
i
i
DETEKCIJA GRAVITACIJSKIH VALOV
ALEŠ MOHORIČ1,2 IN ANDREJ ČADEŽ1
1Fakulteta za matematiko in fiziko, Univerza v Ljubljani
2Institut Jožef Stefan, Ljubljana
PACS: 04.30.-w
Zaznava gravitacijskih valov predstavlja pomemben mejnik v razvoju fizike, saj za-
znamuje potrditev vseh napovedi teorije gravitacije. Dosežek je še toliko večji, ker je bilo
od samega začetka jasno, da je odkritje zaradi šibkosti gravitacijske interakcije možno le
ob doseganju občutljivosti, ki je omejena samo s Heisenbergovim načelom nedoločenosti.
Trikratno odkritje zlitja dveh črnih lukenj na oddaljenosti milijarde svetlobnih let tako
predstavlja hkrati truimf fizike črnih lukenj in temeljnih načel kvantne mehanike.
DETECTION OF GRAVITATIONAL WAVES
Detection of gravitational waves is an important milestone in the progression of
physics, since it rounds up the list of all the predictions of theory of gravity. The achieve-
ment is all the greater because it was clear from the outset that the discovery, because of
the weakness of the gravitational interaction, is only possible at a sensitivity on the limit
of the Heisenberg principle of uncertainty. The three discoveries of a pair of merging black
holes at a distance of billions of light years also represent the triumph of both physics of
black holes and the fundamental principles of quantum mechanics.
Izvori gravitacijskih valov
Gravitacijski valovi so pojav spreminjanja lastnosti prostor-časa, ki ga opǐse
splošna teorija relativnosti. Spremljajo najbolj silovite vesoljske dogodke
in nekaterih med njimi niti ne moremo opazovati z očmi. Tak dogodek
je npr. združitev gravitacijsko vezanih črnih lukenj. Združitev dveh črnih
lukenj opazimo le po gravitacijskih valovih, ki pri tem nastanejo, čeprav
se ob tem sprosti ogromno energije. Zaznava pojava, ki ga omogoča le
neposredna meritev, je dobrodošla potrditev našega razumevanja delovanja
narave. Vendar pa je detekcija gravitacijskih valov zelo težavna. Vpliv
valov na prostor je izredno šibek. V [1] smo opisali gravitacijske valove
gravitacijsko vezanega sistema dveh teles.
Vse do Webrovih poskusov detekcije se je vprašanje gravitacijskih valov
videlo kot povsem akademsko, saj se je zdelo, da izraza za izsev in gostoto
Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 3 91
i
i
“Mohoric” — 2017/9/21 — 7:49 — page 92 — #2 i
i
i
i
i
i
Aleš Mohorič in Andrej Čadež
energijskega toka valovanja iz preǰsnjega prispevka1:
Lgv =
32G
5c5
(µb2ω3)2 , (1)
jgv =
π
8
c5
Gλ2
(|a+|2 + |a×|2) (2)
praktično izključujeta verjetnost, da bi se v vesolju dogajalo nekaj, kar bi
lahko oddajalo gravitacijske valove z zadostno amplitudo, da bi jih vsaj
teoretično mogli zaznati.
Predstavo o pričakovani velikosti signala h dobimo, če obravnavamo dvo-
zvezdje, ki je od nas oddaljeno r. Dvozvezdje sestavljata zvezdi na medse-
bojni oddaljenosti b, ki krožita druga okrog druge s periodo, ki je za dani
par možna in jo opǐse tretji Keplerjev zakon. Npr. ko se dve zvezdi glavne
veje z maso Sonca med kroženjem približata do dotika, krožita s periodo 6
ur in oddajata gravitacijske valove s periodo 3 ure. Če sta zvezdi beli pritli-
kavki, se lahko stokrat bolj približata in krožita s periodo nekaj minut, za
dve nevtronski zvezdi pa je minimalna perioda kroženja celo milisekunda.
Iz enačb (1) in (2) dobimo naslednjo oceno za velikost amplitude gravitacij-
skega signala h ∼
√
|a+|2 + |a×|2:
h =
16√
5
Gµ
c2r
(
GM
c2
ω
c
)2/3
, (3)
pri čemer je M = m1 + m2 celotna masa dvozvezdja, µ =
m1m2
m1+m2
pa redu-
cirana masa.
Slika 1 kaže velikost amplitude h gravitacijskega valovanja v odvisnosti
od periode valovanja (π/ω) za dvozvezdja, v katerih sta obe masi enaki
masi Sonca in so oddaljena 10 kpc, 1 Mpc in 1 Gpc. Pogled nanjo razkriva
težavnost problema zaznavanja gravitacijskih valov. Zvezde glavne veje so
zaradi počasnega plesa zelo šibki izvori – velikostni red amplitude h za
dvozvezdje oddaljeno 10 kpc je 10−22, kar pomeni, da val spremeni razdaljo
med Soncem in Zemljo (1 a.e. = 150.000.000 km) za 0,015 nanometra!
Možnost meritve tako majhnih sprememb, ki se zgodijo na časovni skali
nekaj ur, je še danes ničelna. Slika 1 kaže na dvozvezdja nevtronskih zvezd
1V preǰsnjem prispevku je prǐslo do neljube tiskarske napake v izrazu za Lgv, ki je tu
popravljena.
92 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 3
i
i
“Mohoric” — 2017/9/21 — 7:49 — page 93 — #3 i
i
i
i
i
i
Detekcija gravitacijskih valov
10kpc
1 pM c
1Gpc
nevtr. zvezde
bele pritl.
glavna
veja
1ms 1s 1h 1dan
-2810
-2610
-2410
-2210
-2010
-1810
1ms 1s 1h 1dan
Perioda
h
Slika 1. Amplituda gravitacijskega valovanja s frekvenco 1/Perioda, ki jo povzroči dvo-
zvezdje dveh enakih zvezd z maso Sonca na oddaljenosti 10 kpc (jedro galaksije), 1 Mpc
(najbližja galaksija) in 1 Gpc (slaba desetina velikosti vidnega vesolja). Puščica ustreza
vrednostim za dvozvezdje zaznano v dogodku GW150914. Začetna točka puščice sega v
davno preteklost dvozvezdja, končna pa v trenutek povezan z združitvijo, ki je vodila v
detekcijo.
kot na edine potencialno zanimive izvore gravitacijskega valovanja, ker imajo
največjo amplitudo in kratko periodo.
V šestdesetih letih preǰsnjega stoletja do tega zaključka še ni bilo mo-
goče priti, saj nevtronske zvezde še niso bile odkrite. Njihovo odkritje in
identifikacija z vrtečimi se nevtronskimi zvezdami konec šestdesetih let je
vzbudilo zanimanje, da bi hitro se vrteče nevtronske zvezde utegnile biti
izvori gravitacijskega valovanja, če bi le bile dovolj hitre, da bi dobile obliko
Jacobijevih elipsoidov, npr. nevtronske zvezde ob nastanku – ob eksploziji
supernove.
Veliko zanimanje sta vzbudila Russell Hulse in Joseph Taylor z odkritjem
dvozvezdja PSR B1213+16 sestavljenega iz nevtronskih zvezd, ki krožita po
precej sploščenem tiru s periodo 7,75 ure. Iz izraza (1) sledi, da takšno dvo-
zvezdje gravitacijsko seva z močjo, ki je enaka približno dvema odstotkoma
izseva Sonca, zato se obhodna perioda dvozvezdja kraǰsa za 76,5 mikrose-
kunde na leto. Večletna opazovanja sistema so natančno potrdila napovedi
teorije, zato jih imamo za prvi dokaz o obstoju gravitacijskih valov.
Odkritje para pulzar-nevtronska zvezda pa je za Kipa Thorna predsta-
vljalo tudi močno vzpodbudo za gradnjo detektorjev gravitacijskih valov.
Izračunal je, da se bosta nevtronski zvezdi po 300 milijonih let približali
do dotika in krožili s frekvenco 1 kHz – premaknili se bosta na levo stran
91–103 93
i
i
“Mohoric” — 2017/9/21 — 7:49 — page 94 — #4 i
i
i
i
i
i
Aleš Mohorič in Andrej Čadež
v sliki 1. Po 300 milijonih let bo ta dvojica proizvedla gravitacijsko valo-
vanje s frekvenco vǐsjo od kilohertza in amplitudo h ∼ 10−17. Seveda pa
ne moremo čakati 300 milijonov let, zato je Thorne naredil drzno predpo-
stavko z naslednjim argumentom: iz podatka, da bo v naši Galaksiji čez
300 milijonov let prǐslo do zlitja nevtronskih zvezd2, ocenjujem verjetnost
za zlitje nevtronskih zvezd v povprečni galaksiji vsaj na 3 · 10−9/leto. Če
nam uspe narediti detektor, ki bi zmogel zaznati gravitacijske valove iz pro-
stornine vesolja, ki zajema milijardo galaksij, lahko po takem premisleku
pričakujemo 3 detekcije na leto. Ker je v vesolju približno ena galaksija v
kubičnem megaparseku, jih najdemo v prostornini s polmerom gigaparsek
približno 4 · 109. Ta razmislek je utemeljil spodnjo (1 Gpc) črto na sliki 1
in cilj, da je treba postaviti detektor, ki bo občutljiv za gravitacijske valove
z amplitudo 10−22 na frekvenčnem intervalu med nekaj sto in nekaj tisoč
hertzi. Dvakrat drzen predlog!
Kako meriti h ∼ 10−22?
Teorija gravitacije natančno opǐse, kako vpliva gravitacijsko valovanje na
snov. V preǰsnjem prispevku smo zapisali gravitacijski potencial za val, ki
se razširja v smeri osi z v obliki:
h =

0 0 0 0
0 a+ a× 0
0 a× −a+ 0
0 0 0 0
 sin(2πλ z − ωt
)
. (4)
Če rešimo enačbe gibanja za točkaste delce, kot smo jih napisali v prej-
šnjem prispevku, ugotovimo, da delci, ki v začetku mirujejo, ohranjajo svoje
koordinate tudi po prehodu vala. Seveda pa ta rešitev velja samo v tej po-
sebni umeritvi, v kateri je naš gravitacijski val zapisan. Dejstvo, da delci
ohranjajo koordinatni položaj, pa hkrati pomeni, da se razdalja med njimi
ob prehodu vala spreminja – razdalja vzdolž osi x se spreminja za val s pola-
rizacijo »+« kot (1+a+ sin(ωt))∆x, v smeri osi y pa kot (1−a+ sin(ωt))∆y –
kadar se razdalja v smeri x povečuje, se v smeri osi y zmanǰsuje in obratno.
Ta opis delovanja gravitacijskega vala na delce je posledica izbire koordi-
natnega sistema, umeritve, ki je izbrana tako, da so koordinate pripete na
mrežo delcev, ki prosto padajo v gravitacijskem valu. Če so delci v mreži
2Verjetno vseh parov v naši galaksiji nismo našli.
94 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 3
i
i
“Mohoric” — 2017/9/21 — 7:49 — page 95 — #5 i
i
i
i
i
i
Detekcija gravitacijskih valov
povezani z vzmetmi, se pojavijo med njimi sile, ki so sorazmerne s trenutnim
relativnim podalǰskom ali skrčkom. Torej gravitacijski val vzbudi elastično
snov v nihanje, ki ima frekvenco valovanja. S to predstavo so Weber in drugi
za njim gradili resonančne detektorje gravitacijskih valov, katerih osnovni
element je bil ohlajeno telo z osnovno resonančno frekvenco okrog 1000 Hz
in zelo visoko kvaliteto osnovnega nihajnega načina. V skladu z načinom
detekcije elektromagnetnih valov so pričakovali, da bi resonanca lahko po-
večala amplitudo nihanja do tolikšne mere, da bi jo lahko zaznali s katero
od mnogih tehnik, ki so jih razvijali. Ta metoda ni rodila uspeha, vendar
pomembno razsvetli, v čem je problem merjenja majhnih odmikov.
Vzemimo, da bi hoteli zaznati gravitacijski signal z dvema masama m na
razdalji L, ki sta povezani z vzmetjo k. Ti dve masi predstavljata harmonični
oscilator z lastno frekvenco ω0 =
√
k
m in z mehansko kvaliteto Q. Enačba
nihanja za tako nihalo je:
mẍ(t) + kx(t) = − 1
Q
√
kmẋ(t) +mL
∂2h
∂t2
. (5)
Ko se zvezdi v dvozvezdju približujeta zaradi sevanja gravitacijskih va-
lov, se gravitacijskemu signalu h(t) frekvenca s časom spreminja, zato si
predstavljajmo signal kot žvižg s frekvenco ωg, ki traja čas τ . Širina in vǐsina
»resonančne krivulje« za žvižge sta določeni s trajanjem žvižga, kvaliteta
nihala pa določa predvsem, kako dolgo po žvižgu nihalo ostane vzbujeno.
Žvižgi, ki jih lahko zaznamo, niso dolgotrajni in kljub veliki dobroti nihala
ne moremo pričakovati velikega resonančnega ojačenja. To pa pomeni, da je
vzbujanje s signalom h ∼ 10−22 v domeni kvantne mehanike – veliko nihalo
z maso ene tone je treba obravnavati kot kvantni harmonski oscilator.
Zapǐsimo Hamiltonovo funkcijo oscilatorja:
H =
1
2m
p̂2 +
1
2
mω20 q̂
2 +Hdus − Fgv q̂ . (6)
Prva dva člena predstavljata kinetično in potencialno energijo nihala, Hdus
sklopitev z okolico, ki povzroča dušenje, Fgv = mL
∂2h
∂t2
pa je sila, ki jo pov-
zroča gravitacijski val. Pri kvantnem harmonskem oscilatorju ne moremo
istočasno meriti lege in hitrosti, vemo pa, da ima nemoten kvantni har-
monski oscilator kvantizirana energijska stanja En = (n + 1/2)~ω0, ki jim
ustrezajo čista energijska stanja. Zaradi sklopitve z okolico, ki jo opǐse Hdus,
se v oscilatorju pojavi termično nihanje in oscilator je v koherentnem sta-
nju, ki je linearna kombinacija čistih stanj. Pričakovana vrednost energije
91–103 95
i
i
“Mohoric” — 2017/9/21 — 7:49 — page 96 — #6 i
i
i
i
i
i
Aleš Mohorič in Andrej Čadež
v koherentnem stanju je
〈H0〉 =
(
|α|2 + 1
2
)
~ω0 =
1
2
(kT + ~ω0) . (7)
S kvantno meritvijo lahko v danem trenutku izmerimo samo verjetnost za
to, da je sistem v nekem čistem stanju, to je P (n) = e−|α|
2 |α|2n
n! . To je
Poissonova porazdelitev s povprečno vrednostjo N = |α|2 in širino σN =
|α| =
√
N . Gravitacijski val zaznamo, če motnja Fgv q̂, ki jo predstavlja
gravitacijski val, preseže motnjo Hdus, ki predstavlja sklopitev oscilatorja z
okolico. Z drugimi besedami, prehod žvižga gravitacijskega vala je mogoče
zaznati le, če povzroči, da se prvotno izmerjena vrednost n po prehodu
spremeni za več kot
√
n.
Spremembo n ocenimo iz spremembe energije oscilatorja med začetno
vrednostjo in po prehodu žvižga τ kasneje. Upoštevamo, da je v Heisenber-
govi sliki operator energije H funkcija časa, valovna funkcija pa ne, ter da
je časovni odvod H0 sorazmeren s komutatorjem [H0, H]. Za dovolj majhno
motnjo lahko pričakovano spremembo energije oscilatorja ocenimo z:
∆E
~ω0
=
√
2π
mLω2√
2~mω0
h0τ |α|
(
e
1
2
τ2(ω−ω0)2 + e−
1
2
τ2(ω+ω0)2
)
sin δ. (8)
Amplitudo koherentnega stanja zapǐsemo kot α = |α|eiδ. Za žvižg smo
uporabili časovni potek h0e
− t
2
2τ2 cos(ωt). Sama oblika ni zelo pomembna,
važno je, da ima neko nosilno frekvenco, amplitudo in omejen čas trajanja.
Vidimo, da se pričakovana vrednost energije lahko poveča, če je žvižg v
fazi z nihanjem nihala (0 < δ < π), ali zmanǰsa, kadar pride žvižg v naspro-
tni fazi (−π < δ < 0), natanko tako, kot pri klasičnem nihalu. Po zgoraj
povedanem mora gravitacijski val povzročiti spremembo ∆E~ω0 , ki je večja od
|α|. Tako lahko vzamemo za kvantno enoto za detekcijo gravitacijskega
signala naslednji izraz:
hq =
√
~ω0
πmω20A
2
1
ωτ
A
L
ω0
ω
. (9)
Vpeljali smo amplitudo A, ki se sicer pokraǰsa, vendar omogoča, da spo-
znamo izraz mω2A2 za dvakratno energijo oscilatorja, ki niha z amplitudo
A.
Izberimo A tako, da je izraz pod korenom enak 1, in izračunajmo ustre-
zno amplitudo A za približno L = 1 m dolgo Webrovo aluminijasto palico z
96 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 3
i
i
“Mohoric” — 2017/9/21 — 7:49 — page 97 — #7 i
i
i
i
i
i
Detekcija gravitacijskih valov
maso m = 1000 kg pri osnovni lastni frekvenci ω0 = 2π1000 s
−1. Dobimo:
A = 2,3 · 10−21 m. Zahtevo ∆E~ω0 > |α| v tem primeru številsko izrazimo
takole:
h0 > 2,3 · 10−21
1
ωτ
ω0
ω
[(
e−
1
2
τ2|ω−ω0|2 + e−
1
2
τ2|ω+ω0|2
)
sin δ
]−1
. (10)
Pozoren bralec je morda že opazil, da smo kar nekako spregledali del Ha-
miltonove funkcije Hdus, ki predstavlja tisto sklopitev z okolico, ki makro-
skopsko predstavlja dušenje, mikroskopsko pa se zaradi sklopitve z okolico
naključno spreminja faza δ. Zato se prispevki ∆E ne seštevajo vedno z isto
fazo, ampak je faza koherentna približno Q nihajev. Enačbo (10) popravimo
tako, da ω0 v eksponentu nadomestimo z ω0(1 +
i
Q), sin δ pa z ustrezno va-
rianco. Enačba (10) kaže, da je tak detektor občutljiv samo za signale, ki
imajo frekvenco zelo blizu ω0 ob pogoju, da je čas trajanja žvižga čim dalǰsi.
Cilj zaznati gravitacijski val kolapsa dveh nevtronskih zvezd do oddalje-
nosti 1 Gpc se ne zdi niti teoretično dosegljiv s tako napravo. Treba je najti
drugačen detektor. To je interferometer, kot ga kaže slika 3, z dvema pra-
vokotnima krakoma, od katerih se zaradi vala eden trenutno razteza, drugi
pa krči in obratno v naslednji polperiodi.
Gostota energijskega toka v curku, ki zapušča interferometer v smeri
detekcijske diode, je 12ε0cE
2
0 [1 − cos(k(s1 − s2))]. E0 je amplituda jakosti
električnega polja v interferometru – enem ali drugem kraku. Razlika razdalj
v interferometru je nastavljena tako, da je k(s1−s2) enak lihemu večkratniku
π in izstopni svetlobni tok je zelo majhen. Občutljivost Michelsonovega
interferometra za zaznavanje razlike poti s1 − s2 je odvisna od najmanǰse
spremembe jakosti svetlobe, ki jo lahko zaznamo na izhodu interferometra.
Tudi interferometer moramo obravnavati kvantnomehansko. Energiji
svetlobnega snopa v kraku lahko pripǐsemo energijska stanja EN = (N +
1/2)~ω0, pri čemer je ω0 krožna frekvenca svetlobe in N število fotonov v
kraku. Tudi svetloba je zaradi sodelovanja z okolico v koherentnem stanju,
pri čemer predstavlja |α|2 pričakovano število fotonov v kraku, |α| pa va-
rianco tega števila. Zapisati moramo še del Hamiltonovega operatorja, s
katerim gravitacijski val deluje na svetlobo v kraku. Ker se ob prehodu vala
krak širi in krči, se s tem spreminja tudi krožna frekvenca: δω0ω0 = −
δL
L = h.
Če bi šlo za navaden mehanski oscilator, bi zapisali pripadajočo gravitacij-
sko motnjo v četrtem členu v enačbi (6) kot mω0δω0q̂
2 = −mω20hq̂2. Ko
izrazimo q̂ z operatorjema a+ in a−, dobimo:
Ĥgv = −
1
2
~ω0
(
a+2e2iω0 + a−2e−2iω0 + a+a− + a−a+
)
h . (11)
91–103 97
i
i
“Mohoric” — 2017/9/21 — 7:49 — page 98 — #8 i
i
i
i
i
i
Aleš Mohorič in Andrej Čadež
Masa se je pokraǰsala, zato smo dobili izraz za gravitacijsko motenje, ki velja
za svetlobo v resonatorju. Dalǰsa izpeljava, ki jo najdete npr. v [3], vodi do
izraza za minimalno amplitudo gravitacijskega vala, ki jo interferometer še
zazna
hmin =
λ
π3/2L
√
~ω0
P
1√
T
. (12)
λ je valovna dolžina laserske svetlobe, L dolžina kraka interferometra, P
moč laserja, ki napaja interferometer, ter T čas meritve signala. Interfe-
rometer s 4-kilometrskima rokama, ki ju napaja 200-vatni laser z valovno
dolžino 1 µm, je tako občutljiv za sekundo dolg val z amplitudo 1,3 · 10−21.
Še vedno nekaj velikostnih redov premalo. Kako torej povečati občutljivost
za faktor 1000? Na prvi pogled imamo na voljo dva parametra: dolžino
rok interferometra in moč laserja. Pri moči je problem v tem, da raste ob-
čutljivost s kvadratnim korenom, torej bi samo s povečanjem tega faktorja
zahtevali idealni laser z močjo 10 MW! Absurdna zahteva! Druga možnost
je podalǰsati roki interferometra, toda na 4000 km – tudi to je neizvedljivo!
Ena od možnosti je zakasnilni vod, kjer s parom zrcal in večkratnim odbo-
jem podalǰsamo pot žarka. Vendar vod ni primeren za povečanje dolžine
zelo dolgega, nekajkilometrskega kraka interferometra. Oviro predstavlja
sipani del svetlobe pri odboju na zrcalu. Verjetnost za sipanje na zelo na-
tančno izdelanem zrcalu je sicer res majhna, a ne povsem zanemarljiva pri
majhnih kotih. V zakasnilnem vodu interferometra za gravitacijske valove
so koti med vsemi žarki nujno zelo majhni, zato obstaja nezanemarljiva ver-
jetnost za to, da foton preskoči korak svoje poti do izhoda in s tem pokvari
koherenco izstopnega žarka. Problem reši Fabry-Perotov resonator, ki ga
vstavimo v vsak krak in deluje kot zakasnilni vod, če je natančno uglašen s
frekvenco laserske svetlobe, ki ga vzbuja. Gravitacijski val modulira dolžino
resonatorja in s tem njegovo lastno frekvenco, zato se pri nespremenjeni fre-
kvenci laserja spreminja faza vala, ki se odbije od resonatorja. Čimvečji je
faktor kvalitete resonatorja, tem hitreje se faza spreminja z razliko med fre-
kvenco laserja in lastno frekvenco resonatorja. Z dodanim Fabry-Perotovim
resonatorjem se občutljivosti sistema (en. (12)) poveča sorazmerno poveča-
nju jakosti električnega polja v resonatorju.
LIGO
LIGO je akronim za Observatorij gravitacijskih valov z laserskim interfero-
metrom (Laser Interferometer Gravitational-Wave Observatory). Observa-
98 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 3
i
i
“Mohoric” — 2017/9/21 — 7:49 — page 99 — #9 i
i
i
i
i
i
Detekcija gravitacijskih valov
torij sestavljata dva interferometra, ki sta postavljena 3000 km narazen, en
v Hanfordu, ZDA, drug v Livingstonu, ZDA (slika 2). V svoji osnovi je vsak
interferometer Michelsonov interferometer z izredno dolgima, med seboj pra-
vokotnima krakoma, v katerih se nahajata para zrcal Fabry-Perotovega re-
sonatorja. Shemo interferometra kaže slika 3. Kraka sta dolga po 4 kilome-
tre, vendar ju zrcala Fabry-Perotovega interferometra efektivno podalǰsata
za 280-krat na več kot 1000 km. Kraka interferometra sta uglašena tako,
da delna curka pred detektorjem destruktivno interferirata. V tem načinu
je občutljivost sistema največja ob vpeljavi ustrezne modulacije (Pound-
Drever-Hall). Občutljivost je povečana tudi tako, da uporabijo zelo močan
laser. Vhodni laser ima moč 200 W. Z rekuperacijo odbite svetlobe moč
povečajo nad 700 kW. Dodatno se občutljivost izbolǰsa tako, da se zelo na-
tančno izbere laserski način, kar pomeni, da ima svetloba zelo natančno
določeno frekvenco. Uporabljajo infrardeči laser z valovno dolžino 1064 nm.
Tako dolga valovna dolžina svetlobe je bolj primerna, saj se izognejo teža-
vam s pregrevanjem stekel in zrcal. Interferometer je zgrajen za zaznavanje
gravitacijskih valov z valovno dolžino od 43 km do 10 000 km, kar ustreza
frekvencam od 30 Hz do 7000 Hz.
Občutljivost interferometričnih detektorjev je omejena pri visokih fre-
kvencah s Poissonovim šumom, ki je posledica naključnega toka fotonov
laserskega curka. Dodatno k šumu pri nizkih frekvencah prispeva tudi mo-
čan laserski curek, ki trese zrcala, od katerih se odbija. Dodatna omejitev
občutljivosti je posledica termičnega šuma. Občutljivost interferometra na
spremembo razdalje v kraku je reda 10−19 m. To je desettisočkrat manǰse
od velikosti protona. Pri taki občutljivosti je interferometer dovzeten za
kakršnekoli tresljaje zrcal. Ta vpliv je zmanǰsan tako, da so zrcala obešena
na nizu težkih uteži, kot nekakšno štiri stopenjsko nihalo, vpetǐsče pa je
še posebej termično izolirano z elektronsko povratno zanko. Poleg tega se
vpliv potresov upošteva tudi s primerjavo signalov obeh interferometrov. Če
enega od interferometrov strese potres, potem drugi tega tresenja ne zazna.
Kadar interferometer zazna gravitacijski val, ga zaznata oba. Po časovnem
zamiku sklepajo na smer, iz katere je prǐsel val. O smeri lahko sklepajo tudi
po tem, kateri od krakov in koliko se krči, ko val zajame interferometer.
Na interferometrih observatorija so septembra 2015 zaznali karakteristi-
čen signal (slika 4). Frekvenca in amplituda signala sta naraščali s časom,
potem pa je signal izginil. Take vrste signal imenujemo žvižg (chirp). Na-
stane, ko se združita dve masivni telesi, ki pred tem krožita okoli skupnega
težǐsča, kot smo opisali vǐsje. Iz frekvence sklepamo na maso teles, ki se
91–103 99
i
i
“Mohoric” — 2017/9/21 — 7:49 — page 100 — #10 i
i
i
i
i
i
Aleš Mohorič in Andrej Čadež
Slika 2. Eden od dveh interferometrov LIGA, postavljen v Livingstonu, ZDA. Vir:
Caltech/MIT/LIGO Lab.
združita, po amplitudi signala pa tudi na oddaljenost sistema teles. Ča-
sovni zamik med obema interferometroma – pomnimo, gravitacijsko valova-
nje potuje s svetlobno hitrostjo – nudi podatek o smeri, iz katere valovanje
prihaja.
Od kod značilen potek zaznanega signala? Spomnimo, sistem dveh teles,
ki krožita drugo okoli drugega v ravnini xy na medsebojni razdalji b, seva
gravitacijsko valovanje, ki se razširja s svetlobno hitrostjo. Gravitacijske
potenciale v ravnem gravitacijskem valu, ki potuje v smeri osi z, opǐsemo
z enačbo (4). Izsev Lgv (enačba (1)) je obratno sorazmeren b
5, saj krožno
frekvenco in razdaljo med telesoma povezuje Keplerjev zakon GM = b3ω2k.
Za sistem Zemlja-Sonce je izsev majhen, le 200 W. V Newtonovi mehaniki
je energija sistema sestavljena iz gravitacijske potencialne Wp =
GMµ
b in
kinetične energije Wk =
1
2µv
2: W = Wk + Wp = −GµM2b . Energija sistema
se manǰsa zaradi sevanja in zato se manǰsa razdalja med telesoma, frekvenca
kroženja pa se povečuje:
dW
dt
=
GMµ
2b2
db
dt
= −Lgv ⇒
db
dt
= −64G
3µM2
5c5b3
. (13)
Razdalja med telesoma se od začetne b0 zaradi izgubljanja energije s
časom manǰsa:
b =
4
√
b40 −
256G3µM2
5c5
t, (14)
100 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 3
i
i
“Mohoric” — 2017/9/21 — 7:49 — page 101 — #11 i
i
i
i
i
i
Detekcija gravitacijskih valov
laser
zrcalo za
recikliranje
moèi
polprepustno
zrcalo
zrcalo za
recikliranje
signala
zrcala
Fabry-Perotovega
resonatorja
ni premika
ni gravitacijskih 
valov
premik
gravitacijski
val
foto-
detektor
25 W
800 W
100 kW
4
 k
m
1064 nm
Slika 3. Shema interferometra LIGO (levo): laser oddaja infrardečo svetlobo z valovno
dolžino 1064 nm, ki jo s posebnimi zrcali ojačimo. Nato se curek na polprepustnem zrcalu
razdeli na dva delna curka, ki potujeta vsak po svojem 4 kilometre dolgem kraku. Kraka
sta med seboj pravokotna. Par zrcal Fabry-Perotovega resonatorja podalǰsa efektivno
dolžino krakov za 280-krat. Curka se po odboju na koncu kraka združita na polprepustnem
zrcalu in usmerita v fotodetektor. Izsek (desno) kaže osnovno načelo interferenčnega
merjenja – ko sta delni valovanji v nasprotni fazi (ko ni gravitacijskega vala), se med
seboj ošibita in signala ni. Ko gravitacijski val premakne katerega od zrcal, se spremeni
faza med delnima valovanjema, valovanji se med seboj ne ošibita popolnoma in detektor
zazna signal.
frekvenca pa narašča ustrezno Keplerjevemu zakonu. Izraza za b(t) in
ω(t) opǐseta, kako se s časom spreminja izsev in s tem amplituda h: h =
214/3G2µM√
5c4rb
. Tako lahko na sliki 1 spremljamo razvoj sistema, ki je za pri-
mer prvih detektiranih gravitacijskih valov predstavljen s puščico. Puščica
se konča v točki, ko pride do združitve teles. Amplituda h narašča, ko se
b manǰsa. Ker je amplituda h odvisna tudi od r, lahko po njej sklepamo
na oddaljenost dvozvezdja od nas. Časovni potek medsebojne razdalje, iz-
seva in amplitude gravitacijskega potenciala kaže za tipičen primer slika na
naslovnici. Kot primer, sistem Zemlja-Sonce seva gravitacijsko valovanje z
valovno dolžino enako polovici svetlobnega leta in amplitudo h na razdalji
enaki valovni dolžini ∼ 10−26, nekaj redov pod detekcijsko limito ∼ 10−22.
Torej so telesa, katerih valovanje lahko detektiramo, zares masivna.
Zapisani izrazi so bili izpeljani v okviru linearizirane teorije gravitacije.
Sklopitev gravitacijskega polja s sevanjem v limiti močnega polja je predsta-
vljala velik izziv za razvoj numerične relativnosti. Analiza opisana v [7, 8]
je nakazovala, da so rezultati linearizirane teorije uporabni daleč v režim
91–103 101
i
i
“Mohoric” — 2017/9/21 — 7:49 — page 102 — #12 i
i
i
i
i
i
Aleš Mohorič in Andrej Čadež
 d
e
fo
rm
a
ci
ja
 (
1
0
-2
1
)
 f
re
kv
e
n
ca
 (
H
z)
Hanford, Washington (H1) Livingston, Louisiana (L1)
èas (s) èas (s)
n
o
rm
ir
a
n
a
 a
m
p
lit
u
d
a
H1 meritev
L1 meritev
H1 meritev (premaknjena, invertirana)
512
256
128
64
32
1,0
0,5
0,0
-0,5
-1,0
0,30 0,35 0,40 0,45 0,30 0,35 0,40 0,45
Slika 4. Signal gravitacijskih valov, ki so jih zaznali v LIGU ob dogodku, ki nosi oznako
GW150914. Levo zgoraj je signal izmerjen v Hanfordu, zgornji desni diagram pa kaže
signal izmerjen v Livingstonu in za sedem milisekund zamaknjen in invertiran signal iz
Hanforda. Jasno se vidi ujemanje obeh signalov. Signal je izmeničen, njegova amplituda
narašča in nihajni čas se kraǰsa. Ko sta črni luknji trčili, je signal izzvenel. Spodnji par
slik kaže časovni razvoj spektra obeh signalov. Vir: LIGO/Shane Larson.
močnega polja, ko nastane nova črna luknja in se sevanje konča. Obsežni
numerični računi, ki so bili potrebni za potrditev identifikaciije, se ujemajo
s tem predvidevanjem.
Signal, ki ga je detektiral LIGO ob dogodku GW150914, je ustrezal trku
dveh črnih lukenj z nepričakovano velikima masama, vsaka približno 30 Son-
čevih mas: m1 = (36 ± 5)mSonce in m2 = (29 ± 4)mSonce. Zadnji nihajni
čas pred trkom je znašal 6,2 ms. Oddaljenost črnih lukenj je ocenjena na
1,3 milijarde svetlobnih let, kar pomeni, da se je trk zgodil davnega leta
1.300.000.000 pr. n. št. Na koncu, tik pred trkom, sta črni luknji krožili
druga okoli druge 250-krat v sekundi in s polovico svetlobne hitrosti. V pe-
tini sekunde se je ta kataklizmični dogodek končal. V energijo gravitacijskih
valov se je pretvoril ekvivalent treh Sončevih mas. To je izjemna količina
energije. Več kot je izsev vseh zvezd v vesolju. Raziskovalci so imeli srečo,
da se je ta dogodek zgodil ravno v času obratovanja observatorija, saj je ta
signal zelo značilen, se dobro prilega modelu in ga je enostavno razbrati.
Decembra 2015 so v LIGU zaznali še žvižg, ki je ustrezal združenju dveh
črnih lukenj z masama 14,2 in 7,5 Sončeve mase [6]. Trk se je zgodil na
razdalji 1,4 milijarde svetlobnih let. Januarja 2017 pa so zaznali že tretji
102 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 3
i
i
“Mohoric” — 2017/9/21 — 7:49 — page 103 — #13 i
i
i
i
i
i
Detekcija gravitacijskih valov
žvižg zlitja para črnih lukenj z masama 31 in 19 Sončevih mas, oddaljenih
3 milijarde svetlobnih let.
Kako naprej? Občutljivost interferometrov bodo izbolǰsali tako, da bodo
povečali število interferometrov po svetu. Med drugim eden deluje v Ita-
liji. Na ta način bo korelacija signala določena bolj zanesljivo in lažje bo
določiti smer izvora valovanja. V tisto smer lahko nato usmerijo teleskope
in opazujejo, ali ta kataklizmični dogodek spremlja tudi aktivnost v elek-
tromagnetnem valovanju – infrardeči svetlobi, vidni svetlobi, rentgenskem
sevanju in sevanju gama. Hkrati lahko merijo tudi tok nevtrinov in ugota-
vljajo, kaj se je dogajalo pri trku. Gravitacijski valovi so tudi eno redkih
oken, skozi katera lahko zremo globoko v preteklost vesolja. Vidna svetloba
se namreč v zelo mladem vesolju ni širila, dokler ni postalo prozorno, ko so
se elektroni povezali z nukleoni v atome. Neprozornost vesolja ni ovira za
potovanje gravitacijskih valov. Opazovanja gravitacijskih valov bodo vse-
kakor poglobila naše znanje o vesolju. Nova spoznanja si obetamo tudi o
lastnostih zelo goste snovi, pojavih pri velikih tlakih ter mehanizmih trkov
nevtronskih zvezd in z njimi povezanimi izbruhi sevanja gama. Opazovanja
gravitacijskih valov nam bodo razkrivala očem nevidne črne luknje in po-
magala ugotoviti, koliko se jih pravzaprav skriva v vesolju, mogoče dobimo
celo odgovor o izvoru temne snovi. Med koristmi tovrstnih eksperimentov
pa ne smemo pozabiti tudi na tehnološke izbolǰsave, ki segajo na področja
vakuumske, optične, kriogenske in laserske tehnologije, vede o materialih,
geodeziji, geologiji kot tudi metodah hitre obdelave velike količine podatkov.
LITERATURA
[1] A. Mohorič in A. Čadež, Gravitacijski valovi, Obzornik mat. fiz. 64 (2016), 53–63.
[2] B. P. Abbott et al., Observation of Gravitational Waves from a Binary Black Hole
Merger, Phys. Rev. Lett. 116 (2016), 061102–16.
[3] A. Čadež, Teorija gravitacije, Matematika – fizika 49, 1. natis. Ljubljana, DMFA –
založnǐstvo, 2011.
[4] A. Einstein, Die Feldgleichungen der Gravitation, Sitzungsberichte der Preussischen
Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 844–847, 1915.
[5] LIGO, dostopno na www.ligo.caltech.edu/, ogled: avgust 2016.
[6] J. Chu, For second time, LIGO detects gravitational waves, MIT News, MIT, 2016.
[7] A. Čadež, Some remarks on the two-body problem in geometrodynamics, Annals of
physics, 91 (1975), 58–74.
[8] A. Čadež, Apparent horizons in two-black-hole problem, Annals of physics, 83 (1974),
449–457.
91–103 103