LUNEBURGOVA LECA
MARKO RAZPET
Pedagoška fakulteta Univerza v Ljubljani
Math. Subj. Class. (2010): 49Sxx, 53A04, 78A05
V prispevku je predstavljena Luneburgova leca, v kateri se žarki enobarvne svetlobe Sirijo po eliptičnih lokih. Izpeljane so nekatere lastnosti ustreznih elips.
THE LUNEBURG LENS
In this contribution the Luneburg lens wherein the monocromatič light rays propagate along elliptical arcs is presented. Some properties of the corresponding ellipses are derived.
Uvod
Običajno v optiki najlaZe obravnavamo probleme, pri katerih imajo optična sredstva lomni količnik, ki se ne spreminja v prostoru in času. V prispevku bomo skoz in skoz predpostavljali, da veljajo pravila geometrijske optike, kar pomeni, da bodo dimenzije optičnih teles zelo velike v primerjavi z valovno dolZino uporabljene svetlobe, za katero bomo ves čas predpostavljali, da je enobarvna. Ogledali si bomo kroglo, ki je izdelana iz optične snovi tako, da je njen lomni količnik v vsaki točki funkčija samo razdalje te točke od sredisča krogle. Opazovali pa bomo samo tiste zarke, ki prodirajo skozi kroglo, ne pa tistih, ki se na njenem robu odbijajo. Videli bomo, da nekateri dobljeni rezultati spominjajo na znane zakone mehanike.
Najprej bomo uporabili običajni Fermatov prinčip v optiki, ki pravi, da v optičnem sistemu prepotuje svetloba svojo pot od točke A do točke B v najkrajšem času. Ce smo natančni, bi morali zapisati v stacionarnem času, ker se v nekaterih primerih lahko zgodi, da stačionarni čas ni najmanj si, ampak lokalno največji (več o tem v [2]). Vzemimo, da se svetloba siri v optičnem sredstvu z lomnim količnikom, ki je zvezno odvisen od točke. V izbranem pravokotnem kartezičnem koordinatnem sistemu Oxyz označimo lomni količnik v točki T, ki jo določa njen krajevni vektor r = (x,y,z), z n(r) = n(x,y,z). Funkčija r ^ n(r) naj ima zvezne vse parčialne odvode in naj bo navzdol omejena z 1 na obravnavanem območju. Naj točki A do B povezuje gladka krivulja K, za katero predpostavljamo, da je parametri-zirana s parametrom
r(i) = (x(i ),y(i),z(i)). Obzornik mat. fiz. 60 (2013) 2	41
Točki A naj ustreza parameter {a, točki B pa , katerikoli točki T na krivulji pa tako da velja < { < .Z označimo naravni parameter krivulje K, to je njeno dolZino od točke A do točke T. Veljata zapisa:
^(0 =
r?

dr
dT
dT^ I ({) =
de({)
Hitrost svetlobe v praznem prostoru naj bo co, v točki T pa je po fizikalni definičiji lomnega količnika enaka c0/n(r). Hitrost svetlobe v optičnem sredstvu je torej zvezno odvisna od točke, tudi vzdolz krivulje se zvezno spreminja. Na splosno se svetloba v optičnem sredstvu s krajevno spremenljivim lomnim količnikom ne siri premočrtno. Svetlobni zarki se ukrivijo.
Uporaba variacijskega računa
Razmisljajmo takole: Zelo kratek lok dolzine A£ na krivulji v okoliči točke, ki jo določa vektor r, kjer se lahko vzame, da je lomni količnik priblizno stalen, prepotuje svetloba v času At = A£/(c0/n(r)) = n(r)A£/c0. Ko vse At po krivulji sestejemo, nato pa vse A£ manjsamo proti nič, dobimo čelotni čas t ab, K potovanja svetlobe po krivulji K od točke A do točke B:
1
B
t AB, K	n(r) d£.
c0 J A, K
Količino sab, K = c0tAB, K imenujemo optična pot od točke A do točke B vzdolz krivulje K. Fermatov prinčip zahteva, da najdemo tako krivuljo K, za katero bo optična pot
rB	f?B
sab, k ^ n(r) d£ ^ n(r(e))
ja, k	j?a
dr
de
(e)
de
minimalna. Naloga je tipičen primer iskanja ekstremale funkčionala

dr
dej
r,
r?B

n(r(e))
dr
de
(e)
de
v variačijskem računu. Podintegralska funkčija, s katero imamo opravka, je
(r, p) ^ L (r, p) = n(r) |p| ,
kjer je p = dr/de = (x',y',z'). Pri tem smo označili x' = dx/de,y' = dy/de,z' = dz/de. V daljsem, koordinatnem zapisu je
L(x, y, z; x', y', z') = n(x, y, z)\/x'2 + y'2 + z'2.
Ekstremalo K iščemo med rešitvami sistema Euler-Lagrangeevih enacb (za poglobljen studij variacijskega racuna je na razpolago na primer delo [1]):
d d^ dL d d^ dL d d^ _ dL d^dx' = dX' d^dy' = dy' d^dž' = dž"
Po kraj sem računu dobimo v vektorski obliki enačbo, ki velja vzdolz ekstre-male:
n(r)
dr	-1 d	/	(r)	dr	-1 dr\
dC	dC	n		dC	dC)
= 2grad n2(r)_
(1)
Leva stran enačbe (1) je zapletena. Ce pa sledimo [2, 3], pa tudi [1], jo lahko dodobra poenostavimo. Iskana ekstremala mora namreč biti neodvisna od svoje ekvivalentne parametrizačije. Denimo, da je parametrizirana z naravnim parametrom i, za katerega velja |dr/d^| = 1. Izberimo za parameter { resitev diferenčialne enačbe d{/di = 1/n(r(i)) pri začetnem pogoju e(0) = Ca. Potem je
n
dr
dC
-1
=n
dr
di
-1
dC dC ,
— = n— = 1 di di
in
dr		dr	di	di
dC		di	dC	= dC
Tedaj dobi diferenčialna enačba (1) posebno preprosto obliko, in sičer
d2r 1 ,, 2, X =2gradn (r)'
ki velja pri pogoju
dr
dC
= n(r).
(2)
(3)
Enačba (2) v primeru, ko je parameter C čas, spominja na Newtonov zakon delča z maso m = 1 v potenčialnem polju.
Pomembni so primeri, ko je lomni količnik odvisen le od dolzine r = |r| vektorja r. Tedaj je za r = 0
d2r
1
^ - gradn2(r) = n(r)n'(r)-.
(4)
dC2 2	r
Omejili se bomo na primer, ko ima funkčija r ^ n(r)n'(r)/r limito v točki
0, tako da (4) velja tudi za r = 0. Tedaj smemo zapisati relačijo
= _
dC2 = dC
r
d	dr
dC
\
= 0.
To pa pomeni, da obstaja tak konstanten, od { neodvisen vektor G, da velja
r X = G.	(5)
Za G = 0 je ekstremala premica, za G = 0 pa neka ravninska krivulja. Enačbi (5) ustreza pri gibanju planeta okoli Sonca izrek o stalnosti ploscinske hitrosti. V obeh primerih lahko potem obravnavamo ravninski primer diferencialne enačbe (2). Vpeljemo ravninski koordinatni sistem Oxy v ravnini, ki je pravokotna na vektor G. Diferencialna enacba (2) razpade na sistem
dd'x , , ,, ,x dd'y , , ,, ,y ^ = n(r)n'(r) ^ = n(r)n'(r)
kjer je r ^ a/x2 + y2, pri tem pa seveda velja pogoj (3) n(r) = \/x'2 + y'2.
Vzemimo kroglo, ki ima brez skode za splosnost polmer 1, izdelana pa je iz opticnega sredstva, kateremu se lomni kolicnik spreminja po zakonu n(r) =	, pri cemer smo koordinatno izhodisce nasega sistema Oxyz
postavili v sredisce krogle. Lomni kolicnik v srediscu krogle je ena^ \/2, na povrsini krogle pa je enak 1. Zunanjost krogle naj ima lomni kolicnik enak 1, tako da je r ^ n(r) zvezna funkcija na vsem prostoru. Taka krogla je Luneburgova leča.
Rudolf Karl Luneburg (1903-1949) je bil rojen v Nemciji s priimkom Lüneburg, doktoriral je leta 1930 iz teorije potenciala v Gottingenu, pred nacizmom se je zatekel najprej na Nizozemsko, od tam pa leta 1935 v ZDA, kjer je nekaj casa delal na univerzi, v glavnem pa se je ukvarjal z optiko. Njegovo temeljno delo je Mathematical theory of optics, ki je v obliki predavanj izslo leta 1944, nato pa z istim naslovom se v knjizni obliki leta 1964 (glej [3]). V ZDA se je avtor pisal najprej Lueneburg, nato Luneburg, vcasih pa ga napacno navajajo celo kot Luneberg. Zahvaljujoc njegovemu temeljnemu delu pa se je v svetu najbolj uveljavil priimek Luneburg.
Potek žarkov v Luneburgovi leci
Z odvajanjem relacije n2(r) =2 — r2 takoj dobimo n(r)n'(r) = —r. Ravninski primer nam omogoca, da leco studiramo v koordinatnem sistemu Oxy, ki lezi v poljubni ravnini skozi sredisce krogle. Ustrezni diferencialni enacbi sestavljata preprost sistem
d2x	d2y
de = —x, = —y,	(6)
ki ima splošno rešitev
= a cos { + ß sin	= Y cos { + 5 sin	(7)
kjer so a, ß, 7,5 realne konstante, ki pa zaradi pogoja (3) niso poljubne. Iz zahteve n2(r) = 2 — r2 = 2 — — = + namrec dobimo
a2 + ß2 + 72 + 52 = 2.	(8)
Vpeljimo matriko in njeno determinanto
d = det M = a5 — ß7.
M =
aß 7 5
Primer d = 0 ni zanimiv, saj sta tedaj resitvi x(() in y({) linearno odvisni, ekstremala v Luneburgovi leCi tedaj poteka po premici. Primer d = 0 pa nam omogoca iz (7) izraziti cos { in sin
5x — ßy ^ ay — Yx
cos ^ = -^T^, sin e = y d 7 .	(9)
Po izlocitvi parametra { iz (9) dobimo druzino stoznic
(5x — ßy)2 + (ay — 7x)2 = d2, a2 + ß2 + 72 + 52 = 2,
na katerih lezijo iskane ekstremale. Iz razvite oblike
(72 + 52)x2 — 2(a7 + ß5)xy + (a2 + ß2)y2 = d2, a2 + ß2 + 72 + 52 = 2, (10)
izracunamo diskriminanto kvadratne forme na levi strani enacbe (10):
(a7 + ß5)2 — (a2 + ß2)(72 + 52) = —(a5 — ß7)2 = —d2 < 0.
To pomeni, da je dobljena stoznica elipsa, ki je na splosno zasukana okoli koordinatnega izhodisca. Elipso, ki jo dobimo kot resitev sistema (7), imenujemo Hookova elipsa. Po Robertu Hooku (1635-1703) se elipse imenujejo zato, ker imamo vsako od enacb (6) lahko za enacbo gibanja vzmetnega nihala, pri katerem za vzmet velja Hookov zakon. Hookove elipse so tudi poseben primer Lissajousovih krivulj. Spomnimo se, da Lissajousovo krivuljo opisuje tockasto telo, ki niha sinusno v dveh med seboj pravokotnih smereh, na splosno z razlicnima kroznima frekvencama in w2. Matema-ticno tako gibanje opisemo s funkcijama casa t:
x(t) = a cos w1t + ß sin w1t, y(t) = 7 cos w2t + 5 sin w2t. (11) 41-50	45
Slika 1. Potek žarka skozi Luneburgovo leco.
Za = W2 in { = dobimo ravno Hookovo elipso.
Ekstremala v Luneburgovi leči, v preseku znotraj enotskega kroga, torej poteka po loku, ki je del Hookove elipse (slika 1).
Naj svetlobni Zarek pada na enotsko kroZnico v točki T (cos sin ^), kjer je ^ polarni kot točke T, vzporedno z osjo x. Smiselno je vzeti pogoja < n/2 in ^ = 0. Za ^ = 0 se zarek ne lomi in poteka skozi sredisče kroga od točke (1, 0) do točke (-1, 0), kjer lečo zapusti. Zarek namreč tedaj pravokotno seka namisljene krozniče, vzdolz katerih se lomni količnik ne spreminja.
Hookove elipse in Luneburgova leca
Enačbo elipse (10) z vpeljavo novih koefičientov
Y2 +	+ ßö a2 + ß2
a = ^ ,b = - ,C = ^
predelamo v enostavnejso obliko:
ax2 + 2bxy + cy2 = 1. 46	Obzornik mat. fiz. 60 (2013) 2
Slika 2. Vzporeden snop žarkov Luneburgova leca zbira v tocki.
Iz pogoja (8) dobimo najprej d2(a + c) = 2, iz enakosti
(a^ - ßY)2 + (aY + ßö)2 = (a2 + ß2)(72 + ^2) pa ac = b2 + 1/d2. Nazadnje najdemo relacijo:
a^ b2 =
^ a + c
2
(12)
Žarek pade vzporedno z osjo x na enotsko kroZnico v toCki T (cos sin ^), kjer se zaradi enakosti lomnih koliCnikov zunaj kroga in na njegovem robu ne lomi. V toCki T je tangenta na ekstremalo vzporedna z osjo x, kar pomeni, da v toCki T velja ax + by = 0. Iz obeh podatkov imamo:
a cos2 ^ + 2b cos ^ sin ^ + c sin2 ^ = 1, a cos ^ + b sin ^ = 0.
Iz teh zvez hitro dobimo c = 1 + (a + 1) ctg2 ^ in b = -a ctg Izraza za b in c vstavimo v (12) in brez tezav izrazimo:
a = 1, b = — ctg c = 1 + 2ctg2
To pomeni, da lahko enacbo elipse zapisemo kot
x2 — 2xy ctg ^ + (1 + 2 ctg2 ^)y2 = 1
ali pa kot
x2 + 26xy + (1 + 262)y2 = 1.	(14)
Dobili smo enoparametrično druzino elips in preprost račun pove, da ima druzina za ogrinjačo elipso z enačbo x2/2 + y2 = 1. Vsaka elipsa iz druzine poteka skozi točki (—1,0) in (1,0), ki sta ravno gorisči ogrinjače. Najbolj zanimiva pa je ugotovitev, da Luneburgova leča vse vzporedne zarke, ki padajo nanjo, zbere v isti točki na nasprotni strani leče (slika 2).
Izračunajmo se kot izstopa zarka. Z odvajanjem relačije (14) dobimo:
y'(x,y) = - x +by
bx + (1 + 262)y-V izstopni točki (—1,0) se odvod poenostavi v
y'(-1, 0) = -1 =tg
To pomeni, da zarek izstopa pod kotom, ki je enak polarnemu kotu vstopne točke T.
Kot -d zasuka elipse (14) izračunamo s formulo
2b 1 tg2- = = - b = tg
Kot zasuka je torej - = ^/2.
Temena elipse (13) najpreprosteje izračunamo kot presečisča premič y = x tg(^/2) in y = -x čtg(^/2) s to elipso:
A
B
22
— (1+čOš — sin ^ , C —— (1 + čos ^), —— sin ^
22
—— (1 - čos — sin^ , ^ — (1 - čos^), —— sin^
22
22
\ /\ / Polosi elipse sta dolgi
V2čOš(^/2) in sin(^/2)|,
njena plosčina pa je enaka n| sin . Nekoliko bolj zahtevno pa je računanje, kje se elipsa dotika ogrinjače druzine (14), to je elipse x2/2 + y2 = 1. To se zgodi v točkah
E
/o	•	\
2 čos ^	sin ^
/
in F
2 čos ^	sin ^
ya/1 + čos2 ^ A/TTCÖS2^y	y A/TTCÖS2^' VTTcös2^^
Do zgornjega rezultata najlaze pridemo tako (glej na primer [5]), da resimo sistem enačb
x2 + (2y2 - 2) = 0' x2 + 2byx + (1 + 2b2)y2 - 1 = 0 z uporabo rezultante R(p' q) polinomov
p(x) = x2 + (2y2 - 2)' q(x) = x2 + 2byx + (1 + 2b2)y2 - 1
2
22
pri čemer je y parameter:
R(P'q) =
1	0	2y2 - 2
0	1	0
1	2by	(1 + 2b2)y2 - 1
0	1	2by
0
2y2 - 2 0
(1 + 2b2)y2 - 1
= ((1 + 2b2)y2 - 1)2 = 0.
Nato resitve ni več tezko najti. Ce polarni kot točke E označimo s ^ (slika 1), potem ni tezko priti do povezave 2tg^ = tgPrav tako očitno velja, da sta daljsa in krajsa polos elipse v razmerju | čtg(^/2)| in daje razdalja od sredisča elipse do njenih gorisč enak^ a/2čos ^. Gorisči elipse sta v točkah
2čos^čos(^/2)'	sin(^/2)).
Takoj opazimo, da lezita na Bernoullijevi lemniskati (x2 + y2)2 = 2(x2 -y2), ki ima gorisči v točkah (±1,0). Numerična eksčentričnost e elipse in njen parameter p (poloviča dolzine na daljso os elipse pravokotne tetive skozi gori sče, glej na primer [6]) sta
' p = V2sin(^/2)tg(^/2).
čos(^/2)'
Uporaba
Nazadnje se se vpra samo, ali ima Luneburgova leča tudi kak sno uporabno vrednost. Leče, ki zbirajo zarke v eni točki, so pomembne, ker je v tej točki svetloba zelo ojačana. Isti prinčip pa deluje tudi pri dielektrični Luneburgovi leči, saj so telekomunikačijski in drugi elektromagnetni valovi tudi podvrzeni odboju in lomu. Luneburgova leča elektromagnetna valovanja z majhno valovno dolzino v primerjavi s premerom leče, na primer s satelitov, zbere
in ojaca praktično v točki, z različnih satelitov pa v različnih točkah. Z isto lečo torej lahko spremljamo hkrati več satelitov. Luneburgova leča je uporabna tudi v obratni smeri: na lečo prislonjen izvir valovanja usmeri v snop vzporednih zarkov. Razne mobilne postaje in čelo počitniske prikoliče ter avtodomi so pogosto opremljeni z Luneburgovo lečo kot anteno.
Kako tehnično izdelati Luneburgovo lečo? V bistvu se moramo zadovoljiti z bolj ali manj natančnimi priblizki. Po tankih krogelnih plasteh nana-samo optično snov oziroma dielektrik, tako da v bistvu funkčijo r ^ n(r) nadomestimo z odsekoma konstantno funkčijo. Velikost in maso Lunebur-gove leče lahko razpolovimo, če namesto krogle vzamemo polkroglo, na njen ravni del pa namestimo ravno zrčalo, ki zarke odbije proti ukrivljenemu povrsju polkrogle, kjer se zberejo. Raziskav v zvezi z Luneburgovo lečo ne manjka, na kar nas opozarja veliko spletnih strani. Tudi člankov v znanstvenih in strokovnih revijah je prečej, če samo navedemo [4]. Kaksne pa so v resniči Luneburgove leče, pa si lahko braleč sam ogleda na svetovnem spletu, kjer najdemo prečej skič in fotografij.
Sklepne besede
Spremenljivi lomni količnik n(r) ^ \/2 — r2, Hookov lomni profil, je samo eden, ki se uporablja in smo si ga v prispevku nekoliko natančneje ogledali. Lomnih profilov si lahko izmislimo nesteto. Pomemben je na primer tudi Newtonov lomni profil n(r) = y'l/r—l. Ustrezna leča, Eatonova leča, je tudi krogla in obrne snop vzporednih zarkov tja, od koder so prisli. Diferen-čialna enačba (4) preide v obliko, ki ustreza gibanju delča v gravitačijskem polju. Teorija takih leč je obsirna. Kot lahko razberemo iz [2, 3], je v njej veliko matematike in fizike, na primer analitična geometrija, diferenči-alna geometrija, diferenčialne enačbe, variačijski račun, kompleksna analiza, analitična mehanika, teorija relativnosti.
LITERATURA
[1]	F. Križanič, Diferencialne enačbe in variacijski račun, DZS, Ljubljana, 1974.
[2]	U. Leonhardt, T. Philbin, Geometry and light: the science of invisibility, Dover Publications, Mineola, New York, 2010.
[3]	R. K. Luneburg, Mathematical theory of optics, University of California Press, Berkely, Los Angeles, 1964.
[4]	M. M. Mattheakis, G. P. Tsironis in V. I. Kovanis, Luneburg lens waveguide networks, Journal of optics 14 (2012), st. 11, 1-8.
[5]	I. Vidav, Algebra,, Mladinska knjiga, Ljubljana, 1972.
[6]	I. Vidav, Vičja matematika I, DMFA - Založnistvo, Ljubljana, 2008.