//. /4' SV / - , ' Močnikova knjiga posebne in obče ARITMETIKE V ■ d I • • v v učiteljišča. Pregledal in predelal L. Lavtar, ces. kr. profesor. Druga izdaja. H, f\ P 'Velja v platnu vezana 2 K 60 * Mht&Sf C i r h. V . . ' i kn J i Z k ^■ iU otjanj Na Dunaju. V cesarski kraljevski zalogi šolskih knjig. 1911. Šolske knjige, 1 prodajati c. kr. zalogi šolskih knjig na svetlo dane, se smejo samo po ceni, ki je povedana na čelni strani. Pridržujejo se vse pravice. 1 Uvod. § 1. Gozd je sestavljen iz dreves, voda iz kapljic, dolžina traku iz metrov i. t. d. Karkoli je sestavljeno iz istovrstnih delov, ali kar si vsaj moremo misliti sestavljeno iz istovrstnih delov, imenujemo količino (Grofje). Vsaka količina se da povečati, ako ji pridenemo še nove dele, ali zmanjšati, ako od nje odvzamemo eden ali več delov. Znanstvo o količinah imenujemo matematiko (Mathematik). Količino tekočine moremo primerjati z litrom, dolžino njive z metrom, čas z dnevom i. t. d. Ako hočemo natančno dognati, kolika je kaka reč, moremo to storiti le tako, dajo primerjamo z drugo istovrstno rečjo, kateri smo veličino natančno določili in s katero primerjamo potem sploh vse istovrstne reči. Tako določeno množino kake reči imenujemo enoto (Einheit). Kar ima enoto večkrat v sebi, se imenuje mno¬ žina (Vielheit). Izraz, ki pove, kolikokrat ima množina v sebi enoto, ali koliki del enote, zovemo število (Zahl'). Oni del matematike, ki se peča s števili, imenujemo arit¬ metiko ali računstvo (Arithmetik). § 2. Tvoreč števila začenjamo z enoto. Ako pridenemo enoti še eno enoto, številu, tako dobljenemu, zopet enoto, in tako dalje, dobimo vrsto naravnih števil (naturliche Zahlen). Enoto samo in tudi vsako število, ki smo ga dobili dodajoč enoto po enoto, imenujemo celo število (ganze Zahl). Ako hočemo povedati, da še niti enote ni, rabimo izraz ničla (Nuli, 0). Ker nastane število šele takrat, ako vzamemo enoto vsaj enkrat, tedaj je ničla pričetek vsaki tvorbi števil. Iskati iz danih števil po določenih izpremembah druga števila, se pravi račun iti (rechnen). Število, ki ga računajoč dobimo, imenu¬ jemo resultat ali znesek računa (Resultat). Močnik, Aritmetika. X. 1056. i 2 § 3. Ako štejoč ne jemljemo v poštev, kakšna je enota, imenu¬ jemo dobljena števila neimenovana ali brezimenska števila (unbenannte Zahlen)] ako pa gledamo tudi nato, kakšna je enota, dobimo imenovana števila (benannte Zahlen). Na pr. 5 je ne¬ imenovano, 5 kron pa imenovano število; izraz „krona a je ime dragega števila. § 4. Števila, ki izražajo določeno množino enot, zovemo posebna števila (besondere Zahlen)', pismeno jih izražamo s številkami (Ziffern). Na pr. 5 je posebno število, ker izraža •le 5 enot, ne več ne menj. Števila, ki izražajo sploh le neko množino enot, so obča števila (allgemeine Zahlen)] zaznamennjemo jih s črkami. Na pr. a kot obče število lahko zaznamenuje katerokoli množino enot, lahko pomeni 1, 5, 20 ali tudi vsako drago število. Le to je treba pomniti, da mora vsaka črka ohraniti v vsem računu tisto vrednost, katero smo ji dali v pričetku računa. Za obča števila (črke) postavljati posebne številne vrednosti ter s temi izvrševati zahtevane račune, pravi se zamenjavati (substituieren). Ako se peča aritmetika le s posebnimi števili, imenujemo jo posebno aritmetiko ali računanje s številkami (beson¬ dere Arithmctik oder Zifferredinen) ; ako pa se peča s posebnimi in občimi števili, imenujemo jo občo aritmetiko ali računanje s črkami (allgemeine Arithmetik oder Buchstabenrcchnen). § 5. Dve števili, ki imate isto vrednost, ki ju tedaj lahko zamenjamo med seboj, imenujemo enaki (gleich). Ako hočemo naznačiti, da sta števili a in b enaki, pišemo a = b ; v tem slučaju je vselej tudi b — a. Takšen izraz, kakor a = b, imenujemo enačbo (Gleichung), znamenje = pa enačaj; b = a je obrat enačbe a = b. Izraza na obeh straneh enačaja imenujemo enačbina dela. Dve števili, ki nimate enake vrednosti, sta neenaki (un- gleich)] in sicer imenujemo manjše ono, kateremu je treba še kaj dodati, da dobimo drago; to pa imenujemo večje. Da je število a večje od števila b, izražujemo z a > b; v tem slučaju je tudi šte¬ vilo b manjše od števila a, kar zaznamenujemo z b < a. Takšne izraze, kakor a> b ali &<«, imenujemo neenačbe (Ungleichungen), znamenje S pa n e enačaj. 3 § 6. Podstava matematiki so nekatere resnice, ki so razvidne same ob sebi, tedaj jih ni treba posebej dokazovati. Take resnice imenujemo osnovne resnice ali aksijome (Grundsdtze oder Axiome). Reki, ki niso razvidni sami ob sebi, in jim je treba resničnost šele izvajati iz drugih že spoznanih resnic, imenujemo izreke ali teoreme (Lehrsatze oder Theoreme)-, te je treba vselej dokazati (beweisen). Na pr. § 13, str. 10. Rek, kateremu resničnost neposrednje izvira iz kakega pojma ali dokazanega izreka, imenujemo i z v o d (Folgesatz). Na pr. § 18, str. 15. § 7. Obče matematične osnovne resnice. 1. Vsaka količina je enaka sama sebi. 3 = 3, a = a. 2. Celota je enaka vsem delom skupaj. Na pr. 5 = 3 + 2. 3. Celota je večja nego nje del. 4. Ako sta dve količini enaki tretji, enaki sta tudi med seboj. Ako j e a — c in b — c, tedaj je tudi a — b. 5. Enake količine, izpremenjene na enak način, dajo zopet enake količine. Na pr. A ima 5 K, B ima tudi 5 K; ako dobi vsak 3 K, ima vsak 8 K. \ * 4 Prvi oddelek. Četvero osnovnih računov s posebnimi in občimi celimi števili. I. O dekadnem številnem sistemu. Tvoritev števil se naslanja na štetje. Začenši pri enoti štejemo z znanimi imeni števil: ena, dve, tri, .... do deset. Deset prvotnih enot, tudi e dni c e (Einer) imenovanih, tvori novo višjo enoto, ka¬ tero imenujemo desetico (Zehner ); deset desetic da stoti c o (Hunderter), deset stotič tisočico (Tausender), deset tisočic desettisočico (Zehntausender) , deset desettisočic stotisočico (Hunderttausender) , deset stotisočic milijon (Million), i. t. d. Vsako število je sestavljeno iz ednic, desetic, stotič, .... in je po¬ polnoma določeno, ako povemo, koliko ima ednic, desetic, stotič,.... Na to načelo oprto izraževanje vseh posebnih števil imenujemo dekadni (desetni) številni sistem (dekadisches Zahlensystem), šte¬ vilo deset pa osnovno število tega sistema. § 8. Na ta način moremo vsa cela števila, naj so še tolika, z malo besedami natančno in določeno izraževati ustno, in še z manj znaki pismeno. Za pismeno predočevanje potrebujemo le številk za prvih devet števil, namreč 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 in znaka 0 (ničle), ki kaže, da dotiČno število nima enot določenega reda. Da pa moremo, sestavljajoč teh desetero številk, izraževati vsa mogoča števila, postopamo po načelu, da pomeni vsaka številka na prvem mestu, ako začnemo od desne proti levi, ednice, in na vsakem nastopnem mestu proti levi desetkrat toliko, kolikor na prejšnjem. Tedaj pomeni vsaka številka na drugem mestu od desne proti levi toliko desetic, na tretjem toliko stotič, na četrtem toliko tisočic i. t. d., 5 kolikor na prvem ednic. Število, obstoječe iz 3 tisočic, 3 stotič, 3 desetic in 3 ednic napišemo 3333, ter zaznačimo tisočice, stotice, desetice in ednice z mestom, na katerem se nahaja številka 3. V napisanem številu ima vsaka številka dvojno vrednost, šte¬ vilčno vrednost (Wert der Ziffer oder Nenmvert), ki pomeni število enot, in mestno vrednost (Stellenivert), ki pomeni vrsto enot dotičnega mesta. Grledč na vrednost znaka pravimo, da je na pr. številka 7 večja od številke 4, kar nam je tako razume¬ vati, da je število, ki ga izraža številka 7 večje od števila, ki ga izraža številka 4. Oziraje se na mestno vrednost pa imenujemo kar ono številko večje vrednosti, ki izraža enote višjega reda ter stoji na kakem daljšem mestu proti levi. § 9. Pravilno napisavanje in pravilno čitanje napisanih števil imenujemo numeracijo (Numeration). Da moremo razumevati in pismeno izraževati poljubno velika števila z malo številnimi števniki, razdeljujemo številna mesta, kakor sledč zaporedoma drugo za drugim, v razrede (Klassen) po šest mest, in po tri mesta vsakega razreda v vrste (Ordnung). Prvih šest mest od desne proti levi tvori razred ednic, nastopnih šest mest tvori razred milijonov; za tema se vrstč razredi bili¬ jonov, trilijonov, kvadrilijonov i. t. d. Prva tri mesta vsakega razreda (od leve proti desni) tvorijo vrsto ednic, druga tri vrsto tisočic. Obrazec: > S ° d O o ^ s _L 3 OJ o w G> cn > O rt o hrt > o rt o M >o . o >o o +3 m o -P gg >o m o o .52 >> > 2 o g rt o o :pr> ^rt S S . -p o m G> m nd o >o o m *-p -p G) m c D T3 G> O O rt G> o m 45 o tisočice ednice tisočice ednice tisočice ednice b i lij oni milij oni ednice 6 Da laže črtamo mnogoštevilčna števila, postavljamo za raz¬ redom milijonov vejico, za razredom bilijonov dve vejici i. t. d. Na nižji stopnji pouka ločimo obe vrsti enega razreda s piko. Na pr. 2.843„597.384,901.834. Števila 1, 2, 3, . . . 10 hočemo imenovati osnovna, 10, 20, 30, . . . 100 desetična, 100, 200, 300, . . , 1000 stotična števila i. t. d., števila obstoječa iz raznovrstnih dekadnih enot pa mešana cela števila. Naloge. a) Šterne raje. 1. a) Štej do 10! do 100! b) Štej po 10 do 100! 2. a) Štej do 5 (12)! b) do 8 in odtod do 11! c) od 7 do 12! 6) do 9 in odtod za 3 naprej \ d) od 7 za 4 naprej! 3 . Štej od 88 do 112! od 398 do 415! od 889 do 910! 4 . Štej od 10 nazaj! od 100 nazaj! od 100 po 10 nazaj! 5 . Štej od 8 nazaj! od 11 nazaj do 8 in odtod do 3! od 9 za 4 nazaj! b) Čitanje in pisanje števil. Čitaj ta-le števila: 1. 2000, 7000, 5600, 2750, 2904, 1039, 5138, 2718, 38090, 27026, 80912, 12345. 2. 630427, 938824, 732084, 493220, 815500, 408010, 276939, 356805, 1246829, 538191378. 3 . Najvišja gora v Avstriji je Ortljev vrh na Tirolskem, ka¬ teremu nadmorska višina iznaša 3900 metrov. 4 . Solnce je 1413879 krat toliko kakor naša zemlja. 5 . Ako udari žila pri zdravem človeku po 75 krat v eni minuti, udari v enem dnevi 108000, in v enem letu 39420000 krat. 6. Ako je krogov premer 1000000000 metrov dolg, ima njegov obod 3141592654 metrov. Zapiši ta-le števila, izražena z besedami: 7. Dva tisoč in štirideset, pet tisoč sedem sto štiri in devet¬ deset, osem tisoč in tri, tisoč tri sto in deset, dvanajst tisoč pet in dvajset milijonov in osemdeset. 7 8. Svetloba preleti pot od solnca do zemlje, ki je dvajset milijonov šest sto tri in osemdeset tisoč tri sto in deset milj dolga, v osmih minutah in trinajstih sekundah. 9. Razdeli nekatera števila druge naloge v skupine ter čitaj posamezne skupine, oziraje se na mestno vrednost! Na pr. 63 042|7 ali 6j304|27 i. dr. 10. Koliko tisočic, koliko stotič, koliko desetmilijonov imajo števila 2. naloge? — Podobni drugi primeri! II. Seštevanje. I. Seštevanje posebnih števil. § 10. Naloga. Koliko je 5 K in 3 K? 1 + 1 + 1 + 1 -f 1 -f i + 1 + 1 = 8 ali 6, 7, 8; 5 -f 3 = 8. Število iskati, katero ima toliko enot, kakor 5 in 3 skupaj, se pravi števili 5 in 3 seštevati. — Seštejemo pa števili B in 3, ako seštejemo enote obeh števil ali ako štejemo od števila 5 za 3 dalje. Z ozirom na številno vrsto rečemo tudi lahko: Števili 5 in 3 seštejemo, ako se v naravni številni vrsti, pričenši pri 5, pomaknemo za toliko enot dalje, kolikor jih ima število 3. Imenovana števila moremo seštevati le tedaj, kadar imajo isto ime. Znak seštevanja je + (več ali plus). Na pr. B + 3. števili B in 3 imenujemo seštevanca (sumanda), B + 3 naznačeno vsoto in 8 vrednost vsote. Vrednost vsote imenovanih števil dobi tisto ime kakor su¬ manda. Na pr. B K + 3 K = 8 K. Naj se pravi seštevati števili 4 in 6, 8 in 9? Kako jih seštejemo? Seštevanje dveh osnovnih števil imenujemo vajo ena in ena (seštevanka). Zdaj pa poskusi na ta način seštevati števili 200 in 300! Seštevanja velikih števil ne moremo izvršiti s štetjem; treba je, da skrajšamo to izvrševanje, kar je mogoče na podlagi sešte- vanke in s pomočjo dekadnega sistema. To nas pa privede na stopnje za ustno in pismeno seštevanje, katere hočemo označiti s posebnimi primeri. 8 Stop n j e za ustno sešteva n j evštevilnemobsegudo 100. 1. 5 + 4 (9 + 8) JO, il, i 2 ali 9 in i je 10 in 2 je 12; 9 + 3 = 12. 2. 42 + 3 (47 + 5) 43, 44, 45 ali 2 in 3 je 5, 42 + 3 = 45. 47 in 3 je 50 in 2 je 52, 47 —(- 5 == 52. 3. 40 + 20 4 D in 2 D = 6 D, 40 + 20 = 60. 4. 50 + 34 50 in 30 je 80 in 4 je 84, 50 + 34 = 84. 5. 28 + 60 20 in 60 je 80, 28 + 60 = 88. 6 . 53 + 26 (38 + 43) 53 in 20 je 73 in 6 je 79, 53 + 26 = 79. Stopnji pismenega seštevanja. Pravilo. DekaAna števila seštevamo kakor večimenska števila. Vaje. Z zvezdico * zaznamovane naloge razreši tu in pozneje na pamet! *1. a) 40 + 20; b) 50 + 60; c) 43 + 10; d) 38 + 20; e) 47 + 50. *2. a) 45 + 13; b) 67 + 21; c) 38 + 42; d) 57 + 45; e) 63 + 57. Ki. a) 520 + 100; b) 370 + 200; c) 761 + 300; d) 254 + 500. *4. a) 317 + 450; b) 436 + 324; c) 321 + 654; d) 827 + 173. 5. 8 i! 6 dl 3 d 6. 7 Dt 2 T 4 S 5 D 3 E 2 n 5 „ 7 „ 2 „ 5 „ 8 „ 3 „ 2 ,, 1 „ 4 „ 5 „ 1» 6 „ 9 „ 8 „ 6 „ 11 . 73308 + 905476 + 217663 + 8978 + 544879. 12 . 369258 + 741852 + 15307 + 847941 + 403507. 9 IB. Pri stavbi neke hiše se je potrošilo: za stavbišče 1712 K, za stavbeni materijal 12616 K, za mojsterska dela 19490 K in za različna dela 4164 K; koliko je stala vsa stavba? 14 . V neki vinorodni deželi so pridelali v 5 letih zaporedoma 78506, 80253, 38975, 63428, 74070 hi vina; koliko hektolitrov vina so pridelali v vseh 5 letih sknpaj ? 15 . Neka železnica je imela dohodkov: v prvem četrtletju 1270584 K, v drngem 1583614 K, v tretjem 1609375 K, v četrtem 1364227 K; koliko vse leto ? 16 . V četverokotniku merijo koti posamič 73° 12 / 47“, 88° 40' 52", 67° 39' 48", in 130° 26' 33"; kolika je njih vsota? 17 . Cesar Ferdinand I. je začel v Avstriji vladati dne 2. marcija 1. 1835., odpovedal pa se je vladanju po 13 letih in 9 mesecih; kdaj se je to zgodilo? 18 . Prešeren je bil porojen v Vrbi na Gorenjskem dne 3. de¬ cembra 1. 1800., umrl pa je 48 let 2 meseca in 5 dni star; kdaj je umrl? 19 . Od enega ščipa do drugega (sinodski mesec) mine 29 dni 12 ur in 3 sekunde; ako je tedaj dne 16. aprila ob 8ih 45 minut 35 sekund ščip, kdaj bode prihodnji? 2. Seštevanje občih števil. § 11. 1. Kaj se pravi seštevati števili 3 in 2, 9 in 6, . . . a in 6? — Kako izvršimo to seštevanje? Seštevanje števil a in h napišemo a + h = c ali a + h — {a + h). Oklepaj pomenja, da si mislimo naznačeno vsoto a + b iz¬ vršeno. Oklepajev se pa tudi poslužujemo, kadar je treba računiti dalje z naznačeno vsoto a + b ali sploh s katerokoli številno spojino. Na pr. (6 + 5) + 7 pomeni, da je treba vsoti števil 6 in 5 prišteti še število 7. 6 + (5 + 7) pomeni, da je treba številu 6 prišteti vsoto števil 5 in 7. 10 Iz pojma o seštevanju izvajamo: Ako je en sumand enak 0, je vsota enaka dru¬ gemu sumandu. 0 + a = a, a + 0 = a, 0 + 0 = 0. 2. Vsoto več števil imenujemo število, katero dobimo prištevajoč vsoti prvih dveh števil tretje, novi vsoti četrto i. t. d. ledaj je a + b + c = (a + b) + c a + b + c + d = [(a + b) + c] + d, i. t. d. Izreki o vsotah. § 12. Ako deneš na mizo enkrat 3 krone in tem prideneš še 4 krone, drugikrat pa najprej 4 krone in tem prideneš še 3 krone, tedaj se nahaja na mizi v obeh slučajih isto število (7) kron. Torej je 3 + 4 = 4 + 3. Prav tako je: a + b = b + a. Tako tudi razvidimo, da je a+&+c=a+c+5=6+c+u= . Vrednost vsote se ne izpremeni, akosumande med seboj zamenjamo. § 13. 1. Ako vzameš v primeru § 12. namesto 3 kron 5 kron več, dobiš tudi na mizi za 5 kron več. Ako povečamo en sumand za kako število, poveča se tudi vsota za tisto število. In obratno: Vsoti prištejemo število, ako gaprištejemo enemu sumandu. 54 + 30 = (50 + 4) + 30 = (50 + 30) + 4 = 80 + 4 54 + 3 = (50 + 4) + 3 = 50 + (4 + 3) = 50 + 7. Vobče: (a + b) + c = (a’ + c) + b = a + (b + c). 2. Obmivši zadnjo enačbo dobimo izrek: Številu prištejemo vsoto, akoprištejemo sumand e drugega za drugim. Porabivši predstoječa izreka moremo tudi vsoto prištevati vsoti, ako si mislimo prvo vsoto izvršeno. Na pr. (60+5) + (20+4) = [(60+5) + 20] + 4 = [80 + 5] + 4 = 80+ 9 =89. Vobče: (a + b) + (c + d) = [(a + b) + c] + d. 11 Kako je seštevati istoimenske izraze. § 14. Vsoto, v kateri se nahaja eno in isto obče število večkrat kot sumand, zaznamenujemo krajše na ta način, da zapišemo obče število le enkrat, pred to število pa postavimo število kažoče, kolikokrat se nahaja obče število kot snmand; na pr. a + a+ a + a + a = 5a. V izrazu 5 a imenujemo a glavno količino (HauptgrojSe), 5 pa sočinitelj, koeficijent (Koeffizient). Koeficijent pove, kolikokrat naj se glavna količina postavi kot sumand. Koeficijent more biti tudi obče število; na pr. ma = a + a+ a + ... (m krat). Izraze, ki imajo isto glavno količino, zovemo istoimenske (gleichnamig), na pr. 5 a in 6 a, 3 x in x. Izrazi z različnimi glav¬ nimi količinami so raznoimenski (ungleichnamig), na pr. 3 a in 7 b, 5 x in 5 y. § 15. Vsoto istoimenskih izrazov lahko zapišemo v bolj eno¬ stavni obliki, lahko jo skrčimo (reduzieren). 3 a = a a -\- a 4:a = a J ra-\-a J ra 3d-t-4a=a + a-fa + a + (i + a + a= 7(i. Istoimenske izraze seštejemo, ako seštejemo njih koeficijente ter to vsoto postavimo pred glavno količino. 1 . a + a. 3. 2 b + b. 5. 6 y + y + 3 y. 7. 3 a ~i~ 5 a 7 a -f- 9 a. 9 . (* + 3) + 5. 11 . (6 + 5») + 7x. 13. (2m + 5w + 3 p) + 4 p. 15. [(3x + 14 y) + y\ + 2x. 17. 5 + (2a + 1). Naloge. 2. X + X + X. 4. 3 m + 2 m. 6, 4c + 7c + 9c. 8. 2x + 4 x -V 6x + 12sc. 10 . (4 a + 6) + 2a. 12. (5 y + 2a ) + 4y. 14. (o + 66 + 10c) + la. 16. [( 5 m + 2 n) + 3 m] + 6 n. 18. 7x + (12® + 9). 12 19. 9m + (3 m + 5 n). 21. 4a “h [3a -f- (2 a -f- 7)]. 23. (a + 7) + (2 a -j~ 1). 25. 5x + 2?/ + 8z 4x + 7 y + 3z 8* + 5 y + Qz 20. 12 y + (23* + 11 y). 22. x + [3x + (8* + 9 y)\. 24 . (8ž + 5c) + (3 b + 4c). 26 . m + 2n + 3p 4 * 4q 2 m + 4n + 6p + Sq 4m + Sn + 12p 4- IG^ Izračuni vrednost teh-le vsot za a = 2, b = 3, c = 4: 27. 5a + 6 (5 + c); 28 . 6b + 6 (a + c) ; 29 . 5c + 6 (a + 6); 30. 5 (a 4 J) 4 6c. III. Odštevanje. 1. Odštevanje posebnih števil. § 16. 1. Izračunaj 4 K 4- 3 K! Kako imenujemo števili 4 4-3? kako število 7? 2. Izračunaj: a) 7 manj 3, b) 4 4~ ? = 7. a) 6, 5, 4, 7 manj 3 = 4; bj 4 4 * 3 = 7. Iz števila 7 kot vsote števil 4 in 3 in iz sumanda 3 (4) iskati drugi sumand 4 (3) se pravi število 3 (4) od 7 odštevati. Število 7 imenujemo zmanjševanec (Minuend), 3 (4) od- števanec (Subtrahend), iskani sumand ostanek (prim. a), raz¬ loček (prim. 6); ostanek in razloček imenujemo tudi diferenco. Odštevanje števil 7 in 3 pa izvršimo, ako štejemo od minuenda ali ako se pomaknemo v številni vrsti od minuenda 7 za 3 enote nazaj, števil 7 in 4 pa, ako štejemo od subtrahenda 4 ali ako se pomaknemo v številni vrsti od subtralienda 4 za toliko enot dalje, da pridemo do minuenda 7. Kaj se pravi odštevati število 5 od 12? 8 od 15? Kako ju odštevamo ? Obrat seštevanke imenujemo vajo ena manj ena (odšte- vanka). Pri imenovanih številih morata imeti minuend in subtrahend isto ime; prav tisto ime dobi tudi diferenca. Znak odštevanja je — (manj, minus). Poskusi pa zdaj na navedeni način odštevati število 300 od 800! 13 Odštevanja velikih števil ne moremo izvršiti s štetjem. Misliti je na to, da izvrševanje skrajšamo, kar je mogoče na podlagi odštevanke in s pomočjo dekadnega sistema. To nas privede na stopnje za ustno in pismeno odštevanje, katere hočemo označiti s posebnimi primeri. St opnje za ustno odštevanj e v številnem obsegu do 100. 1. 9 - 5 (15 - 7) 2. 59 - 6 (43 - 8) S. 80 - 50 4. 70 - 24 5. 68 - 40 6 . 83 - 37 14, 13, 12, 11, 10, 9, 8 ali krajše 10 manj 5 je 10 manj 2 je 8, 15 — 7 = 8. 43 manj 3 je 40 manj 5 je 35, 43 — 8 = 35. 81) — 5 D i. t. d. 70 manj 20 je 50 manj 4 i. t. d. 60 - 40 = 20, 68 — 40 = 28. 83 manj 30 je 53 manj 7 je 46. Stopnji pismenega odštevanja. 1. Gl 8 dl 7 cl -3„1 „ 6 „ a) Y desetici. 2. 9 T 4 S 7 D 6 E 3. - 3 „ 2 „ 5 „ 1 „ 46358 24135 1. 8 bk. 3 lg. 2 pl. — 3 „ 1 „ 6 „ h) Črez desetico. 2. 5T3S2D4E 3 „ 5 „ 1 „ 8 „ 3. 42357 — 34839 Pravilo. Dekadna števila odštevamo kakor večimenska števila. Vaje. •1. a) 70-20; b) 140-50; c) 54-20; d) 81-40; e) 187-59. *2. a) 59-47; b) 65-24; c) 167-53; d) 73-44; e) 715-60. *3. a) 340-200; b) 770-400; c) 843-500; d) 667-300. *4. a) 865-340; b) 598-324; c) 528-461; d) 952-507. Izračuni, uporabljajoč izrek v § 19., VI.: *5. a) 314 - 95; b) 248 — 73; c) 477 - 197; d) 632 — 303. Izračuni, uporabljajoč izrek v § 19., V.: *8. a) 137 + 29; b) 225 + 198; c) 367 + 402; d) 543 + 290. 14 7. 8 Z 4 dl 6 d 8. 9T4S1D7E 9. 11 let 4 mes. 3 dn. — 2 „ 3 „ 4 „ — 5 „ 6 „ 7 „ 2 „ — 5 „ 8 „_ 9 „ 10 . 940 32 ' 20" 11 . 7856 12 . 302858 - 320 54 ' 30" - 2614 - 190579 IB. 471708 - 345725 14. 6092743 - 5694146. 15 . (837145+24093)-618814. 16 . (732801-93786)-48079. 17 . Seštej števila 650890, 126604, 531899, 863925, potem pa odštej od vsote zaporedoma prve tri sumande; kolik je ostanek? 18 . Odštej od 4736256 število 789376, od diference zopet šte¬ vilo 789376, in tako dalje po vrsti 6krat! 19 . Od števila 731542 1 82591 odštej ) 72859 števila j 127986 f 231578 ostanek 216528. Seštevajoč števila, katera je treba odšteti (§ 19., III., b ), prav lahko od danega minuenda ob enem tudi odštevaš. V ta namen seštej najprej ednice vseh števil, katera je treba odšteti, ter poišči, koliko je treba njih vsoti 24 še dodati, da dobiš nastopno višje število, ki ima na mestu ednic 2, t. j. 32; prav tako postopaj pri deseticah, stoticah i. t. d. Računajoč govori: 8, 14, 23, 24 in 8 je 32, ostane 3; 3, 10, 18, 23, 32 in 2 je 34, ostane 3; i. t. d. ‘20. 40189 - (13921 + 9107 + 3570 + 10277). 21 . 392462 - (157280 + 37988) - (2369 + 1875). 22 . Mont Blank v Savoji je 4810 m, vrh Ortljer na Tirolskem pa 3917 m visok; za koliko je prva gora višja od druge? 2B. Oče je zapustil svojemu starejšemu sinu 6840 K, mlajšemu pa 1580 K manj; koliko sta dobila oba sina skupaj ? 24 . Mesec ni vedno od zemlje enako oddaljen; njegova naj¬ manjša razdalja iznaša 355348 km, največa pa 404632 km-, za koliko je v prvem slučaju zemlji bliže kakor v drugem? 25 . Za koliko je dolžina ekvatorja naše zemlje (4000 (J -m) daljša nego zemeljska os (1270 [*m) ? 26 . Praga ima 50» 5' 20", Dunaj 48» 12' 35", Gradec 47° 4' 2", Trst 45° 38' 8" zemljepisne širine; za koliko širinskih stopenj je 15 Praga severnejša nego vsako drugo teh treh mest? (Uporabi izrek v § 20., 1.) 27 . Med 3 osebe razdele 4526 K 52 h tako, da dobi prva 2348 K 60 h, druga 491 K 17 h manj od prve in tretja ostanek; koliko dobi tretja oseba? 28 . Goethe je umrl dne 28. marcija 1. 1832., star 82 let 7 mesecev; kdaj je bil porojen? 29 . Cesar Franc Jožef I. je bil porojen dne 18. avgusta 1. 1830., vladati pa je začel dne 2. decembra 1. 1848.; a) koliko let je imel takrat? b) koliko jih ima danes? c) koliko časa že vlada? 2. Odštevanje občih števil. § 17. Kaj se pravi odštevati število 6 od 9? 8 od 17? . . . J od a? Kako izvršimo to odštevanje? Odštevanje števila b od števila a napišemo a — b = c ali a — b — {a — b) § 18. Iz pojasnila o odštevanju izvajamo: Ttv Ako prištejemo diferenci dveh števil subtra- hend, dobimo minuend. (Preizkušnja, da je odštevanje prav.) (a — b) + b — a. "2. Ako odštejemo od vsote dveh števil en sumand, dobimo drugi sumand. (a + b) — b = a. 3. Število ostaneneizpremenjeno, ako isto število prištejemo in odštejemo. (Obrat poprejšnjih enačeb.) 4. Ako je minuend enak subtrahendu, tedaj je diferenca enaka ničli. a — a = 0. 5. Ako je subtrahend enak 0, je diferenca enaka minuendu. a _ o = a , 0 — 0 = 0. Izreki o diferencah. § 19. 1. Ako ima učenec v prvem predelu omare 20 (a) pol papirja, v drugem predalu pa 12 ( b ) pol, ima v obeh predalih 16 32 (a + 6) pol. Vso zalogo zmanjša za 1, 2, 3,... pole (c p].), ako zmanjša prvo zalogo ali pa drugo zalogo za 1, 2, 3,. .. pole (c p].). ako je 1. zal. Vsa zaloga 1. zal. 2. zal. 32 = 20 + 12 31 = 19 + 12 30 = 18 + 12 Vsa zal. za 1 manjša za 2 manjša za 1 manjša za 2 manjša Vsa zaloga je tem manjša, čim manjša je 1. zaloga. Na isti način se prepričaš: Vsa zaloga je tem manjša, čim manjša je 2. zaloga. Vobče: Vsa zal. 1. zal. 2. zal. («+6) —a +6 («+6)—1= (a—1) + b ali «+(6—1) (a+b)- 2= («—2) + b ali «+(6-2) c) 0+6)—c = (a—c) + 6 ali «+(6- Dobimo torej enačbo: 0 + 6) — c = (a — c) - 'u) Od vsote odštejemo število, ako je odštejemo od enega sumanda. Na pr. (70 + 8) — 20 = (70 — 20) + 8. b) Ako je treba številu a prišteti število 6 in odšteti število c, tedaj je vse eno, ali prej prištevamo in potem odštevamo ali obratno. 2. Učenec ima 20 (a) pol papirja v zalogi, in ako ga porabi 12 (6) pol, ostane mu 8 (a — 6) pol. Ostanek pa poveča za 1, 2, 3, . . . pole (c pl.), ako poveča zalogo ali pa zmanjša porabo za 1, 2, 3, . . . pole (c pl.). Ostanek je tem večji, čim večja je zaloga ali čim manjša je poraba. a) Ostanek Zaloga Poraba (a — 6 ) —a — 6 (« — 6 ) + 1 = (« + 1 ) — 6 («—6) + 2 = (« + 2) — 6 bj Ostanek («— 6 ) = («—6) + 1 = («— 6 ) + 2 = Zaloga a a a Poraba 6 (6 - 1 > (6 - 2 ) («—6) + c = (« + c) — («—6) + c = (6 — c) 17 Torej je: (a — b) + c = (a + c) — b — a — ( b — c) ... . II. Diferenci prištej emo število, ako ga prištejemo minuendu ali odštejemo od subtrahenda. 3. Učenec ima v zalogi 20 (a) pol papirja in ako porabi 12 ( b ) pol, ostane mn 8 (a — b) pol. Ostanek pa zmanjša za 1, 2, 3, . . . pole (c pl.), ako zmanjša zalogo ali pa poveča porabo za 1, 2, 3,. . . . pole (c pl.). Torej je: (a — b) — c — (a — c) — b — a — (b + c) . . . III. a) Od diference odštejemo število, ako ga odšte¬ jemo od minuenda ali pa prištejemo subtrahendu. b) Kadar je treba odšteti zaporedoma dve št e vili, labko ji odštejemo v kateremkoli redu ali pa kar ob enem njiju vsoto. Na. pr. (628 - 48) - 52 = (628 - 52) - 48 = 628 - (48 + 52) = 628 - 100 Obrnivši enačbe III., I. in II. dobimo: a — (b + c) = (a — b) — c — (a — c) — b ... . IV. Od števila odštejemo vsoto, ako suma n de zapo¬ redoma odštejemo in sicer v kateremkoli redu. a + {b — c) — (a + b) — c — (a — c) + b . . . . V. Številu prištejemo diferenco, ako minuend pri¬ štejemo in subtrahend odštejemo ali obratno. Ta izrek uporabljamo pri računanju na pamet. Na pr. 357 + 96 = 357 + (100 - 4) = 457 - 4 = 453 a — (b — c) = (a — b) + c = (a + c) — b _VI. Močnik, Aritmetika. X. 1056 . - 18 Od števila odštejemo diferenco, ako minuend od¬ štejemo in subtrahend prištejemo ali obratno. Uporaba pri računanju na pamet. Na pr.: 543 - 194 = 543 - (200 - 6) = (543 - 200) + 6 = 343 + 6 = 349 § 20. Ako prištevamo minuendu a in subtrahendu b diference a — b število c, povečamo diferenco za število c in zmanjšamo jo za isto število. Iz tega sledi: 1. Vrednost diference se ne izpremeni, ako mi¬ nuendu in subtrahendu prištejemo isto število. Na isti način izvajamo: 2. Vrednost diference se ne izpremeni, ako od minuenda in subtrahenda odštejemo isto število. § 21. Uporabljajoč izreke za odštevanje vsot in diferenc od števila, moremo nastopne naloge izvršiti, ako smatramo minuend kot eno število. Oklepaji naznačujejo, kako je zaporedoma izvršiti račune s posameznimi števili ter moremo pisati kratko-le: a + 6 — c — d , a — b — c — d, a b — c -j- d, a — b — c + d. 5a — 2a = a + a + a — 3a Istoimenske izraze odštejemo, ako odštejemo koefici- jente in postavimo njih diferenco pred skupno glavno količino. 1. (a + b) — (c 4- d) = [(a + b) — c] — d. 2 . (a — b) — (c + d) = [(a — b) — c] — d. 3 . (a + b) — (c — d) — [(a. + 6) — c] + d. 4 . (a — b) — (c — d) = [(a — b) — c] + d. § 22 . 5 a. = a + a+ a + a + a 2a — a + a Naloge. 1 . 3 a — 3 a. 2. 8cc — 5x. 3. (10 — a) A 2. 5 . (15 - b) - 7. 7. (18 — n) — 4. 4 . (m — 10) + 3. 6 . (ji — 3) — 4. 8 . (2r - 8) - 2. 19 9. {a — 2) -f- o a. 11. (15x — 18y) + 5 y. 1*1. (9 m — 4) — 5. 15. [(4» -l)-7]-z. 17. 7 + (x - 3). 19. 6x — (2x + 5). 21 . (a + 6) — 2. 23. (3x + 5(/) — (2x + y). 25. 12a. •—• 76 5a — 36 - _+ 27. [(12» — f) + 5»] — 29. [(7 - 3o) - 4«] - 6i BI. 2a+106 + 15c — (a+36 + c) 32. 8x — (4x — f) + f + ». 34. a — ! 6 — [c — (a — 6)] |. . 35. [x — (m + n)] + [x' — (wi 4 10. (7 y - 9) + 6. 12. [(10o - 8) + 3a] + 7. 14. (12a - 76) - 7 a. 16. 7n + 3 n — 5 n — 2 n. 18. 2 y + (5 y — 6 m). 20. 9ct — (4a + 56). 22. (5m + 7) — 2 m. 24. (9m + 13rt) — (3m — 5n). 20. 8x — 9 y 4x — 8t/ - + 28. [(10x 9) -f- 3 y\ — 5-j. 30. |(6« — 3) — 4a| + 2 33. 10 i — (5j/ — i). 'reizkušnja za a — 10, 6 = 8, c = 9. p)] + [x — (m +£>)]. Preizkušnja za # = 20, m = 1, n = 2, p = S. Izračuni vrednost teh-le izrazov za a = 4, 6 = 3: 36. (8a + 76) - (5a - 46) - (2a - 6); 37. 8a + (76 - Ba) - [(46 - 2a) - 6]; 38. 8a + (76 - Bo) - [46 - (2a - 6)]; 39. (8c* + 76) - [Bo - (46 - 2a) - 6]. Relativna števila. § 23. Doslej smo učili odštevanje s pogojem, da je minuend večji, ali da vsaj ni manjši nego subtrahend. Ako pa je minuend manjši od subtrahenda, dobimo čisto nov slučaj. V vsakdanjem življenju imamo dovolj takih slučajev. Navesti hočemo tri, da jih primerjamo: 1. Trgovec ima pri prvi kupčiji 5 K dobička, pri drugi kupčiji pa 3 K izgube. Kolik je njegov dobiček? 5K-3K = 2K dobička. 2. Trgovec ima pri prvi kupčiji 5 K dobička, pri drugi kupčiji pa 5 K izgube. Kolik je njegov dobiček? 5 K — 5 K = 0. (Trgovec nima nič dobička). 20 3. Trgovec ima pri prvi kupčiji B K dobička, pri drugi kupčiji pa 7 K izgube. Koliko ima dobička? 5 K — 7 K = ? Trgovec ima 2 K izgube, katero mora poplačati iz svojega imetja. Ako nima nobenega imetja, imel bi 2 K dolga. Po izreku v § 19, IV. je 5 — 7 = 5 — (5 + 2) = 0 — 2. Takšno diferenco imenujemo negativno število (negative Zahl) ter jo pišemo kratko „ — 2“ (2 K izgube v nasprotju z 2 K dobička), kar je isto kakor „0 — 2". Takih nasprotij je veliko, na pr.: dobiček in izguba, imetje in dolgovi, premikanje proti severu in premikanje proti jugu, povišanje in znižanje temperature, čas pred Kristom in čas po Kristu i. t. d. Da taka nasprotja v matematiki zaznamujemo, potrebujemo poseb¬ nega znaka. Ako zaznanimo izgubo 2 K z „—2 K", tedaj označimo 2 K dobička s „ + 2 K a . Ako rabimo znaka „ + “ in ,, — ' £ v tem zmislu, imenujemo ju predznaka (Vorzeichen). Če zapišemo tudi ničlo, moremo predznaka smatrati tudi za računska znaka (za seštevanje, odštevanje), kakor je razvidno iz gori navedenih primerov. Vobče: a — (a + ra) = 0 — n — — ra. Negativno število n“ dobimo, ako od števila a odštejemo število, katero je za ra večje. Nasproti negativnim številom imenujemo vsa druga števila pozitivna števila (positive Zahlen). Števila, katera imajo predznak, zovemo relativna, sovisna ali algebrajska števila (relative oder algebraische Zahlen). Števila brez predznaka, pri katerih ni podobnega nasprotja, so absolutna (samoobsebna) števila (absolute Zahlen). Absolutna vrednost števila — 5 je 5. Grafično vpodabljanje relativnih števil. § 24. Ako uvedemo negativna števila, raztegnemo naravno številno vrsto. To razvidimo prav dobro, ako si številno vrsto po¬ nazorimo na številni črti (Zahlenlinie). 21 D, C\ B, A { A B C D E I- 1 - 1 - 1 - O - 1- \ -1-1 - 1 -4 -3 -2 -1 +1+2+3+4+5. Ako je točka O izhodišče, tedaj predstavljajo točke A, B , C, B, E, . . ., katere so za 1, 2, 3, 4, 5, . . . enot od O proti desni oddaljene, števila +1, +2, +3, +4, +5, . . . Vsoto 2 + 3 ponazori potem, točka E. Dobimo jo, ako se od izhodišča na desno pomaknemo najprej za 2 in potem še za 3 enote. Diferenco 5 — 3 ponazori točka B. Dobimo jo tako, da se najprej pomaknemo za 5 enot proti desni, potem pa od točke, do katere smo tako prišli, zopet za 3 enote nazaj (proti levi). Po istem tvorbnem zakonu ponazornjemo tudi 5 — 6 ali 5 — 7 tako, da se pomaknemo od izhodišča za 5 enot naprej (proti desni), potem pa za 6, oziroma 7 enot nazaj (proti levi). Zato moramo številno črto podaljšati na levo. Točke A,, B,, C,, D,, E„ . . ., katere so od O proti levi oddaljene za 1, 2, 3, . . . enote, pona- zornjejo torej števila — 1,-2, — 3, — 4, . . . Kako se razločujejo predznaki in računski znaki. § 25. Ako hočemo označiti, da je znaka + in — treba v poštev jemati kot predznaka, stavimo vrednost, ki ima predznak, v oklepaj. Predznaka + vender ne pišemo niti v začetku računa niti za oklepajem niti za enačajem: <* + (+&) pomeni, da se naj številu + a prišteje število + b. a + (— b) „ „ ,,„ ,,+ a „ „ — b. a ~ (— c) „ da se naj od števila + a odšteje število — c. V teh primerih je prvi znak računski znak, drugi pa P n e d z n a k. Seštevanje relativnih števil. § 26. V § 23. smo določili, da je negativno število „— n“ resultat odštevanja 0 — ra, natančneje 0 — (+ ra). Iz tega določila izvajamo to-le, kar se tiče pomena negativnih števil: Ker je — ra = 0 — (+ ra), zato je 0 = (+ ra) + (— ra) (Naredi preizkušnjo!) 22 Vsako negativno število (— n ) uničuje tedaj isto toliko pozitivno število (+w), ali njuna skupna vred¬ nost se skrči na nič. Kdor ima na pr. 5 K izgube, mora pridobiti 5 K dobička, če hoče poravnati izgubo. Dve relativni števili (kakor + 5 in — B), ki imate isto abso¬ lutno vrednost, pa različna predznaka, imenujemo nasprotni števili (entgegengesetzte Zahlen). 1. pravilo: Vsota dveh nasprotnik števil je enaka nič. (Števili se uničujeta.) § 27. 1. Ako ima kdo 5 K dobička ter naredi še 2 K dobička, ima skupaj 5 + 2 = 7 K dobička. 2. Ako ima trgovec pri prvi kupčiji 5 K izgube ter pri drugi izgubi zopet 2 K, izgubi vsega skupaj 5 + 2 = 7 K. Torej je 1) + 5 + (+2) = + (5+2) ~ + 7. 2) — 5 + (—2) =— (5+2)=—7. 5 poz. e. in 2 poz. e. je 7 poz. e. 5 neg. e. in 2 neg. e. je 7 neg. e. Vobče: + a + (+ b ) = + (a + b) — a + ( — b ) = — (a + b). a poz. e. in & poz. e. je (a+ b) poz. e. a neg. e. in b neg. e. je (a-\-b) neg. e. II. pravilo: Dvoj e enako zaznamovanih števil sešte¬ jemo, ako postavimo pred vsoto njunih absolutnih vrednosti skupni predznak. Ako uporabimo to pravilo pri istoimenskih sum a n dih, moremo vsoto izraziti z enim samim izrazom. Tako postopanje imenujemo krčenje (Reduzieren). — 2x + (— 5x) — — (2 o; + 5at) = — (2 + 5) x = — 7 x. Enako zaznamovana, istoimenska števila skrčimo, ako postavimo vsoto koeficientov s skupnim predznakom vred pred glavno količino. § 28. +7 + (—8) = + 4 + 3 + ( — 3) = + 4 = + (7—3). - 7 + (+3) = - 4 + (-3) + (+ 3) = - 4 = - (7-3). Ako seštejemo pozitivno in negativno število, uničujete se dve enaki a nasprotni števili (§ 26.), od absolutno večje vrednosti pa še preostaje toliko enot, kolikor jih ima diferenca absolutnih vrednosti. Vobče: + a + ( —b ) = + ( a — b ) ako je a>6, = — ( b — a ) ako je 6>a. 23 III. pravilo: Dvoje različno zaznamenovanih števil seštejemo, ako postavimo pred diferenco njunih abso¬ lutnih vrednosti predznak večjega števila. Istoimenska, različno zaznamenovana števila moremo zopet skrčiti: + 7x + (— 3*) = + Ase + 3* + (— 3*) = + 4* — + (7 — 3) a? + 7 y + (—9 y) = + 7 y + (—7 y) + (—2 y) = — 2 iy= — (9—7)*. Različno zaznamenovana, istoimenska števila skrčimo, ako postavimo diferenco koeficientov s predznakom (absolutno) večjega števila vred pred glavno količino. Kadar prištevaš negativna števila, pazi še na to-le pojasnilo: Ako ima kdo gotovo zalogo enot ter ji pridene — 5 (vobče — n) enot, uniči s tem + 5 (vobče + n) enot svoje zaloge; torej pomeni „ — 5 prištevati “ ravno isto kakor „+ 5 odštevati' 1 . Negativno število prištejemo danemu številu, ako od tega odštejemo njega absolutno vrednost. Samo ob sebi se umeje, da pozitivno število prište¬ jemo, ako prištejemo njega absolutno vrednost. § 29. Pravila v § 27. veljajo tudi za več kakor dva sumanda. Na pr. — 4//+(—%)+(—3//)=( — 12//)+( — 3//)=—15»/= — (4+8+3)//. Ako je treba sešteti več deloma pozitivnih, deloma negativnih sumandov, tedaj poiščemo (ker smemo sumande zameniti) najprej vsoto vseh pozitivnih, potem vsoto vseh negativnih sumandov ter končno seštejemo obe delni vsoti (po § 28.). Na pr. 3« + ( — 5 a) -f- ( — a) -f- (a) + 18« = 22« -j- ( — 6«) = 16«. Ako niso vsi sumandi istoimenski, tedaj je primernejše, da seštejemo istoimenska števila zase. Na pr. '2b + (-8) + (4 b) + (—36) + (— 9)+(—6) = 66 + (-46) + (-17) = = 26+ (-17) = 26-17. Ko si se nekoliko privadil računanju, moreš vmesne račune izvršiti na pamet. Seštevanje veččlenskih izrazov. § 30. Številne izraze, katere smo dobili po seštevanju ali od¬ števanju dveh ali več števil, na pr. 24 a-\-b, a— b, a-\-b — c — d, a — b — c — d (§ 21.), m -j- 4- r + 6s. imenujemo veččlenske izraze ali polinome (mehrgliedrige Ausdriicke oder Polgnome). Posebej imenujemo izraz z dvema členoma dvočlenec ali binom (Binom), s tremi členi tričlenec ali trinom (Trinom), z enim samim členom enočlenec, enočlenski izraz ali monom (Monom). 5 a, ah, 6 (m-j-n), n so enočlenski izrazi, kajti vsi ti r + s poedini izrazi so spojeni po računskih operacijah v enotne ce¬ lote. A izrazi 5 + a, a — b, 6 — (m + n), 8 6 + m + n r + s so dvočlenski ali binomi. Vsako vsoto relativnih števil, na pr. a + ( b ), a + (+ c) + (— b), a + (— c) + ( — b ) izrazi imenujemo algebrajsko vsoto (algebraische Summe). Po pojasnilu v § 28. je algebrajska vsota a + (— b) — a—b Torej smemo diferenco a — b (binom) smatrati za algebrajsko vsoto iz števil (+ a) in ( — b), ne da bi se ji vrednost količkaj izpremenila. Ce to storimo, izpustili smo le znak seštevanja. Po podobnem razmišljevanju najdemo, da je (a — c) — b = a — c — b = a + (— c) + (— b). Ker je seveda tudi + a + (+m) + (+n) = a + m + n, izvajamo: V vsaki algebrajski vsoti prištevne znake lahko kar izpustimo. Ta izrek izražamo dostikrat v obliki pravila za mehanično računanje tako-le: Relativna (algebrajska) števila seštejemo, ako jih pripišemo z njih predznaki drugo k drugemu. Vsak veččlenski izraz smatramo torej lahko za algebrajsko vsoto, sestoječo iz toliko sumandov, kolikor je členov; a prezreti ne smemo, da pripadata posamezne člene vezoča znaka (+, —) kot predznaka k tem členom. Izraz: -j - 1 — g + (%y — 4) — [2sc — (y + 1)] ima torej štiri člene: 2a: + l + 2a, ’ + (% — 4), — [2x ~(y + 1)]. Vsota v oglatem oklepaju sestoji iz dveh členov: + 2x in — {y + l). Polinom prištejemo torej ravno tako kakor vsoto (§ 13., 2.): Polinom prištejemo danemu številu, ako vse člene zaporedoma prištejemo (z njih predznaki pripišemo). Na pr. m + (3a — 6 + o;) = »i + 3a — 6 + cc; m + (— x — 1) = m — x — 1. Nahaja-li se v vsoti več istoimenskih števil, moremo jih (po § 27. in § 28.) skrčiti. Radi pišemo istoimenska števila kar drugo pod drugo. Na pr. a — 2 6 — c + (5 6—8c + 14cž) + (— 3c + 10cž) — a — 2 b — c + 56 - 8c + IM — 3c + 10 d = a + 36 - 12c + 2M. Odštevanje relativnih števil. § 31. 1. + 7 - (+ 3) =* 7 - 3 = 7 + (- 3) + a — (+ b) — a — 6 — a + ( — 6). Pozitivno število odštejemo od drugega relativnega števila, ako odštejemo njega absolutno vrednost, ali (kar je po § 28. isto) ako prištejemo število z nasprotnim predznakom. 2. Ako ima kdo 11 K, od katerih pa je 3 K dolžan, tedaj se mu imetje poveča za 3 K, ako se mu dolg izbriše (odšteje). ..Dolgove odjemati (brisati)^ ali „gotovino pridajati“, to je isto. 8 - (- 3) = 8 + (+ 3) = 11, a — (— 6) = a + (+ 6). Negativno število odštejemo, ako prištejemo isto to¬ liko število z nasprotnim predznakom. Da sta pravili prav, se prepričaš, ako narediš preizkušnjo (po § 18., 1.): 1. a + (— 6) + (+ b) — a. 2. a + (+ 6) + (— 6) — a. diferenca + subtr. = min'.' diferenca + subtr. = min. 26 Pravilo: Relativno (a 1 g e b r a j s k o) število odštejemo, ako prištejemo število z nasprotnim predznakom. Na pr. + 3-(+2) = + 3- 2= + l; — 7 — (+3)= — 7 — 3 = — 10; + 2 a —(—5 a) = + 2 a+ 5 a— 7 a ; — 6 a — (— 5■ +8 d 57. (27« — 186 + 15c) — (20« + 26 — 15c) + (8« — 56 + 30c). 58. (« + 6) — \a — [x — (6 — «) + 2x j. 59. 2x — [(3« + 4x)'— (4x — 1)] — (x — 2« — 2). 60. ( x + y — *) — {x — y + z) + (— x + y + a) — (— x — y + z). 61. [(« — 6) — 6] — (6 — «). 62. o« — [3« — (« — 6)]. 63. x + [(// — x) — {y — ec)]. 64. x — [ec + z — (y + z)]. 65. Nekdo gre 65 korakov naprej, potem 37 korakov nazaj, potem zopet 48 korakov naprej; a) koliko korakov je naredil sploh? b) za koliko korakov se je oddaljil od svojega prvotnega stališča? 66 . Po reki plavajoč parnik naredi vsled parne sile same v vsaki minuti pot 312 to, voda sama pa zanese parnik v vsaki minuti 65 to navzdol; koliko metrov dolgo pot naredi parnik v eni minuti, a) ako plava po reki navzdol, b) po reki navzgor? 29 IV. Množenje (poštevanje). 1. Množenje posebnih števil. § 34. Izračunaj: 6K + 6K + 6K + 6K + 6K! Število 6 postaviti 5 krat kot sumand, se pravi 6 s 5 mno¬ žiti (poštevati). Namesto 6K + 6K + 6K + 6K + 6K rečemo krajše 5krat6K ali 6 K je množiti s 5. Množenje števila 6K s 5 zaznamenujemo s X, na pr. 5X 6K=30K (5 krat 6 K, ustno) ali 6 K X 5 = 30 K (6 K je množiti s 5, pismeno). Število 6 imenujemo množenec (multiplikand), 5 mno- žitelj (multiplikator), oba skupaj činitelja (faktorja), število 30 pa, katero dobimo pri množenju, zmnožek (produkt). Produkt dveh celih števil imenujemo tudi multiplikandov mnogokratnik. Na pr. 12 = Škrat 4; 12 je trikratnik števila 4. Množenje števila 6 K s 5 izvršimo, ako postavimo 6 K 5 krat kot sumand. Kaj se pravi 7 množiti s 3 ? 8 z 9 ? — Kako izvršimo to množenje? Vajo za množenje dveh osnovnih števil imenujemo enkratena (poštevanka). Multiplikand je lahko ali neimenovano ali imenovano število; v zadnjem slučaju ima tudi produkt isto ime kakor multiplikand. Multiplikator je vselej neimenovano število. Zdaj pa poskusi 300 krat 400 izračunati v obliki seštevanja! Množenje, velikih števil ne moremo izvršiti s seštevanjem; misliti je na to, da skrajšamo izvrševanje, kar je mogoče na podlagi poštevanke in s pomočjo dekadnega sistema. To nas spet pri¬ vede na stopnje za ustno in pismeno množenje. Stopnje za ustno množenje. I. 1. 3krat 5 5 +- 5 + 5 = 15, 3krat 5 = 15. 2. 3 krat 20 3 krat 2 D = 6 D, 3 krat 20 = 60. 3. 3 krat 24 3 krat 20 = 60, 3 krat 4 = 12, 3 krat 24 = 72. 30 II. Stopnje za pismeno množenje. I. 1. Seštej: a) 3 Z 2 dl 4 cl &J7T3S4JD5E c) 12356 3 „ 2 „ 4 „ 7 „ 3 „ 4 „ 5 „ 12356 7 „ 3 „ 4 „ 5 „ 12356 12356 2. Napiši in izračunaj te naloge krajše! a) 3 l 2 dl 4 c l X 2 b) 7 T3S4D5EX 3 c ) 12356 X 4 Ql 4 dl 8 cl 2 krat 4 cl je 8 c? i. t. d. Pravilo. Dekadna števila množimo z osnovnimi števili kakor večimenska števila. 3. Množi po tem pravilu: a) 432 X 10 = 10 krat 2 je 20, ostane 2 i. t. d. b) 5492 X 10 = c) 32653 X 10 = Celo število množimo z 10 mehanično, ako mu pripišemo na desni ničlo. Na pr. 5321 X 10 = 53210. II. A. 1. a) 20 krat 43 b) ’43 X 20 c) 43 X 20 2 krat 43 = 86 43 X 2 = 86 860 10 krat 86 _= 860 86 X 10 = 860 20 krat 43 = 860 43 X 20 = 860 b) Namesto 20 krat 43 rečemo lahko 43 je množiti z 20 i. t. d. <’) Treba pa ni, da napišemo delsko množenje: 43 X 2, 86 X lO- 31 2. Izvrši takisto: 30krat 412, 70krat 8324, ne da bi izra¬ čunal ustno delska produkta! Pravilo. Z desetičnim številom množimo celo število kakor z osnovnim, pripisati je le produktu ničlo na desni. 3. Množi po tem pravilu: a) 241 X 100 10 krat 1 je 10, ostane 1 i. t. d. ničlo na desni. 24100 b) 5432 X 100 c) 3 6322 X 100 Celo število množimo s 100 mehanično, ako mu pripišemo na desni dve ničli. Na pr. 3246 X 100 = 324600. B. 1. a) 300 krat 26 b) 26 X 300 c) 26 X 300 3krat 26- 78 26X 3= 78 7800 100 kra t 77 = 7800 78 X 100 = 7800 300 krat 26 = 7800 26 X 300 = '7800 2. Izvrši takisto: 500 krat 375, 900 krat 6321, ne da bi iz¬ računal ustno delska produkta! Pravilo. S stotičnim številom množimo celo število kakor z osnovnim, pripisati je le produktu dve ničli na desni. B. Množi po tem pravilu: 351 X 1000 10krat 1 je 10, ostane 1 i. t. d.; dne ničli na desni. 351000 Celo število množimo s 1000 mehanično, ako mu pripišemo na desni 3 ničle. C. Na isti način dobimo pravilo: S tisoči enim številom množimo celo število kakor z osnovnim, pripisati je le produktu 3 ničle na desno. Spojivši dobljeni pravili moremo reči sploh: 1. Celo število množimo z 10, 100, 1000 i. t. d., ako mu pri¬ pišemo na desni toliko ničel, kolikor jih ima multiplikator. 2. Celo število množimo z desetičnim, stotičnim, tisočičnim številom i. t,- d. kakor z osnovnim, pripisati je le produktu na desni toliko ničel, kolikor jih ima multiplikator. 32 III. a) 372 krat 643 h) 643 X 372 300 krat 643 = . . 70 krat 643 = . . 2 krat 643 = . . 372 krat 643 = . . 643 X 300 = 192900 643 X 70 — 45010 643 X 2 ==_ 1286 643 X 372 == 239196 c) 643 X 372 c) 6 43 X 372 643 X 3 — 1929 643 X 7 = 4501 643 X 2 = 1286 643 X 372 = 239196 1929 4501 1286 239196 Izvrši takisto: 362 krat 781, 4531 krat 7247. Pravilo. Večštevilčno število množimo z vecštevilcnim, ako množimo maltiplikand z vsako multiplikaterjevo številko, začenši s številko na najvišjem mestu., ter pomaknemo vsak naslednji delski produkt za eno mesto dalje proti desni; delske produkte treba potem še sešteti in to tako, kakor stoje drugi pod drugim. Ako začnemo množiti z najnižjo multiplikatorjevo številko, moramo vsak naslednji produkt pomakniti za eno mesto proti levi. 1. Pomnoži a) 358, b) 8070 z 10, 100, 1000, 10000. *2. Koliko je 3 krat 21? 2krat 36? 4krat 41? 7 krat 69? Koliko je 2 krat 180? 4krat 213? 3 krat 236? 6 krat 149? 4 . Pomnoži a) 875, b) 2168, c) 15786 s 5, 6, 7, 8. 5. 286712.7.4.8.3.6. * 6 . Koliko je 15krat 40? 12krat 27? 21krat 43? 13krat 34? 7 . 639 . 57. 8 . 52029.475. 9 . 7664.94. 10 . 74509.3049. 11 . 91234.7100. 12 . 65800 . 978000. 13 . Pomnoži 9283 a) s 386, b) s 7405, c) z 91034. 14 . 6789 . 2345 . 7890. 15 . 86325 . 11 16 . 709458.11. 86325 _ 17 . 288797.11. 949575 18 . 3705866.110. Naloge. 33 19 . 64538.41 258152 2646058 21 . 905643.31. 2 ‘ 1 . 583076.371. 20 . 357946.128 715892 2863568 45817088 22 . 447653.17. 24 . 290884.185. 25 . Dunajčan ima zahtevati v Londonu 847'5 funtov sterlingov in v Parizu 5650 frankov, dolžan pa je v Petrogradu 8665 rubljev. Ako stane 1 funt sterlingov 24'G8 K, 1 frank 0‘96 K in 1 rubelj 3'12 K, za koliko je terjatev večja kakor dolg? 26 . Nekdo prehodi vsako minuto povprek pot 83 m ter hoče narediti v vsem 15 km 310 m dolgo pot; koliko še mora prehoditi, ako je hodil že 2 uri? 27 . Vsak kraj, ki je za 1 stopnjo bolj proti vzhodu, ima za 4 časovne minute poprej poldne; koliko kaže ura v Parizu, ki je za 14° bolj proti zahodu nego Dunaj, ako kaže ura na Dunaju 10 ur 28 minut dopoludne? 28 . Avstro-Ogrska monarhija meri 6220 gm 2 ; koliko ima pre¬ bivalcev, ako se računi na 1 [*m 2 povprek po 6700 prebivalcev? 29 . Specifična teža živega srebra je 13'5956 wy 3 ). Izloči v nalogi 34., 35. in 36. skupni faktor: 34. 5u + 56; ax‘ + 6x 2 ; ( a + m) x — mx. 35. a . 10 3 — 6 . 10 :! ; 9ax 2 — 6?/ 3 ; ax + ay + a.. 36. a (2x - 3) - 26 (2x - 3) + a (2x — 3) — (2x - 3) 6. 37. (3x 2 + 2 xy + yh) (2x + y) + (x 3 + 4x 2 y + xyh) (l + 3 ? y). 38. (3c 2 + 4c + 5) (6c 2 + 2c + 1). 39. (8x 2 + ax + a 2 ) (x 3 + 2ax + 3a 2 ). 40 40 . Izračuni vrednost izrazu: 4 a (3x~ — 5 xy) — 56 (2cc 2 — 6?/ 2 ) za a = 5, 6 = 3, a: = 6, y = 4. 41 . (z/ 2 + 2y + 3) (4?/ 2 + 8t/ + 3) — + 1) (y + 3). 43 . 42.23 = (4.10 + 2) (2 . 10 + 3). 43 . (3 . 10 2 + 2 . 10 + 8) (2 . 10 2 + 7 . 10 + 9). 44 . Določi mestno vrednost številke na najvišjem mestu, ne da ki tvoril produkt: 5728 X 83, 46853 X 3052! 45 . Izračuni, uporabljajoč izrek v § 38., 3.: a) 37.24; b) 17.18; c) 23.32. 46 . 83452.45. 48 . 265824.64. 100—2 47 . 149335 . 72. 41 ). 703796.320. 400—1 50 . 753467oo . 98 1506934 73839766 51 . 6937 4 . 399 277496oo 69374 53 . 357908 . 997. 54 . 480267 . 599. 27680226 53 . 662452 . 9996. 55 . 534426.99990. Množenje algebrajskih števil. § 45. Ako je multiplikator pozitivno število, tedaj računimo ravno tako kakor z absolutno vrednostjo. Torej je: (+ 4). (+ 3) = (+ 4). 3 = (+ 4) + (+ 4) + (+ 4) = + 12 .... I. (-4). (+ 3) = (-4). 3 = (-4) + (-4) + (-4) = - 12 .... II. Ako je multiplikator negativno število, ne moremo porabiti pojma o množenju, kakršnega smo podali v § 34. (35.) Računimo pa lahko po § 43., 2.: a . (— 3) = a . (0—3) = a-. 0 — [a . 3] = 0 — [a . 3] = — a . 3. Za a = + 4 dobimo: (+ 4). (- 3) = 0 - [(+ 4) . 3] = 0 - [+ 12] = - 12 . . III. Za a = — 4 pa: (- 4) ., (- 3) = 0 - [(- 4) . 3] = 0 - [- 12] = + 12 . . IV. Vobče: I. . . . (+ a) . (+ 6) = + ab. II. . . . (— a) . (4- 6) = — ab. III _(+ a) .(-&>,*= - ab. IV _(- a) . (— 6) = + ab. 41 1. Dva enako zaznamenovana faktorja dasta pozi¬ tiven, dva neenako zaz name nova n a faktorja dasta ne¬ gativen produkt. 2. Za tri ali več faktorjev izvirate iz prejšnjega izreka pravili: a) Ako so vsi faktorji pozitivni, pozitiven je tudi produkt. b) Ako so vsi ali vsaj nekateri faktorji negativni, tedaj je produkt pozitiven ali negativen, kakor je število negativnih faktorjev ali sodo ali liho. Na pr. (— 2a) (+ 3 ab) (— 4 ab 2 ) (— 8ac) = — 192a 4 6 3 c. (— 4«) (+ ab 3 ) ( — ac 2 ) (+ bc 3 ) = + 4a 3 6 4 c 5 . § 46. Ker moremo veččlenske izraze smatrati za algebrajske vsote, veljajo za produkt iz veččlenskih izrazov pravila v § 44.; predznak produktu dveh in dveh členov določujemo po § 45., 1. Na pr. (2 ab — 3ax + 4) (— 5«) — (2 ab) (—5 a) + (—3 ax) ( — 5 a) + (4) (—5a) = = - 10 a 2 b + 15a 2 x - 2Qa. (4 «2 - 3o - 4) (3 a 2 - la + 5) = = 12a 4 — 9a 3 — 12a 2 . = (4a 2 - 3« - 4) (+ 3a 2 ). - 28a s + 21a 3 + 28a.= (4a 2 - 3a - 4) (- 7a). __, + 20a 3 - 15o - 20 . . . ■ = (4a 2 — 3a - 4) (+ 5). = 12a 4 — 37a 3 + 29a 3 + 13a — 20 produkt. § 47. 1. (a + 6) 2 = (a + b) ( a + b) = a 2 + 2 ab + b 2 , (a — b ) 3 = (a — b) (a — b) — a~ — 2ab + b 2 ; t. j. Kvadrat vsote ali diference dveh števil je enak vsoti kvadratov obeh števil, več, oziroma manj, dvojnemu produktu teh števil. 2. (a + b) (a — b) = a 2 - b 2 , t. j. Produkt iz vsote in diference dveh števil je enak diferenci kvadratov onih dveh števil. Naloge. *1. +9.-7. B. -- 128 . + 39. 5. + 14 . + 9 . - 8. * 2 . - 19 . + 8. 4 . - 217.25. 6 . + 27 . - 6 . - 9. 42 7. - 2 . - 7 . - 11 . - 20. 8. + 9 . - 5 . - 12 . - 25. 9. [- 2345 - (+ 730)] . [+ 1357 + (- 1468)]. 10. 4 . (- 3) - 5 (- 6) + 7 (- 5) - 9 (+ 8). 11. Izračuni (® — 1) (* — 4) (x — 7) (z — 10) za x = 3. 12. Izračuni x~ — 6a: — 16 za x = + 8 in za x = — 2. '13. Izračuni vrednost y 3 , y 3 , ?/ 4 14. 6 a . — 3. 16. — a 3 . — 4 a. 18. — 12x* . 8x 2 y 2 . 20. — 5x . — 5x . — 5x. i 21 za y — 2, — 2, 15. — lab . 2 ac. 17. 3x . — 5 xy. 19. — 8aw/ 3 . 15 a 3 y. 21. 8ab 2 .7 ac.- 18c 3 . 3. 22. — Qab 2 y 3 .2 b 3 y 3 . — 8 a 2 y. 23. 1 2x 2 y 3 z . — 9 xy 2 z 3 . — 2 x 2 z 2 . 24. — a 3 ™- 5 . 6 5 ’ i+5 . “S"). 25. (— 2my 3n ). (m 3 y n ~ 3 ). 3my 3 . 26. (6a - 56) . - 8c. 27. (7n- 3 - 6y 3 ) . 2 xy. 28. (2 + 3a — 4a 3 —• 5a 3 ) . 6a 3 . 29. — 15 a 2 x 2 . (2a 4 — 4 a 3 x + 6 a 2 x 2 ). 30. (7a:c 2 — 10 by 2 ) . 4abx 2 — (9 bx 2 + 5 ay 2 ) . 5 aby 2 . 31. (3 ay — a 2 ?/ 2 ) • (— 2a) — (4a— 3 a 2 y) (— 5 ay). 32. (+ 2 ah) . (- \a 2 b 3 ) . (- 4 ab 3 ) . (- 3a). - (2a + 6) . (- 3a). 33. (3® — 2/y) . (—4® 2 ) — 2® (^x) . (— 6a?z/) . (— y 2 ). 34. ( 8 ® + &y + 5) (3a — 4). 35. (® 3 — + y 2 ) (x + y). 36. (y 3 ~2y + l) (6 y - 3). 37. (5® 3 + 6» - 7) (4® - 5). 38. ( x i — x 3 + x 2 — x + l) (a — 1). 39. (x i + x 3 + x 2 + x + 1) (x — 1). 40. (a 4 + a 3 b + a 2 b 2 + ab 3 + 6 4 ) (a - b). 41. (a 3 — a 4 6 + a 3 b 2 — arb 3 + a6 4 — b 3 ) (a + b). 42. (16® 4 + 8x 2 y 3 + y’>) (4® 3 - y 2 ). 43. (a 3 + 2 ab + b 2 ) {a + b) + (a 2 - 2a6 + b 2 ) (a - b). 44. (5® 3 + 4x - 3) (4® + 8) — (4® 2 - 3 x - 6) (5* + 4). 45. (® + 3) (y + 2). 46. (® + 3) (j/ - 2). 47. (® - 3) (y + 2). 48. (® - 3) (y - 2). 49. (3® + 2y) (2x - 3y). 50. (5a 3 - 36 2 ) (3a 3 - 46 2 ). 51. (2x 2 + 3a 3 ) (6® 3 - 4a 3 ) - (10® 4 - 12a 4 ). 52 (5 - x 2 ) (7 + y 2 ) + (7 - x 2 ) (6 + y 2 ). 53. (3 a 3 - 4a 2 — 2a + 1) (2 a 3 - 2a 3 + 3a - 2). 54. (10 x^y + 4 x 3 y 2 — 5 x 2 y 3 ) (9 x 2 y — bxy 2 + 7 y 3 ). 55. (® 4 + x 3 y + xy 3 + y i ) ( x 2 — xy + y 2 ). 43 56. 57. 58. 60. 62. 64. 65. 66 . 69. 72. 74. 76. 78. 80. 82. 83. 84. 85. 86 . 87. 88 . 89. 90. 91. 92. (x 4 ” - 2 x 3m y n + 2x 2m y 2n — 4 x m y 2n + 4y in ) (cc 3 ™ + 2 x m y n — y 2n ). (3a 3 — 4 a% + 6 ab~ — 26 3 ) (4a 2 — 3 ob + 6 3 ). (x — l) (x — 2) (x — 3). 59. (x + 3) (x 2) (x — 1). (x — a) (x + 6) (x — c). 61. (x — a) (x — 6) (x — c). (3a — 2 b + c) 3 . 63. ( ax 3 + by 2 — cz 2 ) 2 . (2x — 3) ( 3x — 4) (4x — 5) (5x — 6). (4a 3 + 36 3 - 2c 3 ) (4a 3 - 36 2 + 2c 3 ). (a + 2) 3 . 67. (2a + 56) 2 . 68. (3a; 3 + 4 y 2 ) 2 . (3 - x) 2 . 70. (lOm - v) 2 .- 71. (5a 2 - 26 2 ) 2 (a + 5) 2 — 10«. ( a ; + «) 2 + (# — «) 2 - (x + 3) (x — 3). (« -f- O (« — 7) + 49 ■ (5a — 66) (5a + 66). (3:c 2 + 5 y 2 ) (3x 3 - hy 2 ) 73. (x - 4) 2 + 8*. 75. (x + a) 2 —'(x — a) 2 . 77. (a + 5) (a — 5). 79. x 2 — (x 4) ( x — 4). 81. (3 y 2 + 2b 2 ) (3 y 2 - 26 3 ). (2*2 _ Ay 2 ) (2x 2 + 4y 2 ). 9« (6 3 - 5a 3 ) + 56 ( 6 * - 3a 3 ) + 3«6 (6a - 36) + 5 (9a 3 - 6 3 ). (5a-— 1) (5a + 1) (25a 3 + 1) — (4a — 2) (I6a 2 + 4) (4 a + 2). 3x(x 2 —5xy + 8y 2 )—x(18x 2 —5xy—y 2 )—5x(—3x 2 —2xy + 5 y 2 ). 5 (2x — 3 y) 2 — 2 (x 2 — 3 xy + 5 y 2 ) — {40y 2 — 54 xy). (6 + y) (- 6 + y) - 4 (y + 3) 3 + 2{y + 12 )y. [6 — x ) 2 — 3x [5 — 3x (3 — x)] I ] (2 — x l — 3x i ). (4a — 36) (2 a — 6) -j- (3a — 26) (2 a + 36) — (2 a — 6) (7a 36). (3a 3 — 2a 2 + a —- 1) (5a 2 — 4 a — 1) — (15a 4 — 12a 3 + 3a 3 — — a — 1) (a — l). [(3cc — 4y) 2 —(2x + 3 y) 2 ] . [(2x + 5 y) (2x — 5y)]—(3x 2 —12xy + + 25 y 2 ) 2 . (2x 2 — 3 xy + j/ 2 ) 3 . 93. (1 — a — 2a 3 ) 3 — (1 + a + 2a 2 ) 3 . V. Deljenje (razštevanje). 1. Deljenje posebnih števil. § 48. Nalogi. 1. 1 m blaga velja 4 K 2 3 m blaga veljajo 12 K Rešitev. 1. Vprašati se je „kolikokrat 4 K je 12 K ali koliko¬ krat so 4 K v 12 K?“ 2. Ta se je vprašati „3 krat koliko K je 12 K ali 1 tretjina °d 12 K je koliko ~K“ ? 44 To napišemo kratko z obrazcem: 1. a) ? krat 4 K = 12 K, Škrat 4 K = 12 K b) 4 K v 12 K = ? krat? 4 K v 12 K'= Škrat. 2. aj 3 krat ? K = 12 K, 3 krat 4 K = 12 K b) 1 tretjina od 12 K = ? K 1 tretjina od 12 K = 4 K. Iz tega obrazca posnamemo: Iz produkta 12 K in iz faktorja 4 K (3) iskati drugi faktor 3 (4 K) se pravi število 12 K deliti (razštevati) s 4 K (s 3). — Primerjaj rešitev aJ obeh nalog. Dani produkt 12 K imenujemo deljenec (dividend), dani faktor 4 K (3) delitelj (divi z or) in faktor 3 (4 K), katerega iščemo, količnik (kvocient). Deljenje števila 12 K s 4 K (s 3) zaznamenujemo z 12 K : 4 K, 12 K : 3. Deljenje pa je po pojmu ali merjenje — primerjaj 1. nal. reš. b) — ali pa deljenje v ožjem pomenu — prim. 2. nal. reš. b). Pri merjenju iščemo multiplikator, pri deljenju pa multiplikand — prim. reš. a) obeh nalog. Pri merjenju imata dividend in divizor isto ime, kvocient pa je vselej neimenovano število; pri deljenju je divizor vselej neimenovano število, kvocient pa ima z dividendom isto ime. Drugo nalogo moremo pa še drugače rešiti, kar razvidimo iz na¬ stopnega obrazca: 12 K moremo razdeliti na 3 enake dele, ako vzamemo za vsak del najpred 1 K, to pa tolikokrat, kolikokrat so 3 K v 12 K. Daši sta torej merjenje in deljenje po pojmu različna, dasta vendar oba za isti dividend in divizor. ne gledč na ime, isto število za kvocient in sta zato v izvršitvi en sam računski način. 12 K : 3 = 4 K, 12 K : 3 K = 4. Kako se imaš vprašati, da izračunaš: 1. 5 v 10, 8 v 32, 9 v 63? ? krat 5 = 10. 2. | od 10, \ od 20, } od B6? 2 krat ? = \ 2. 46 Deljenje je množenju nasproten račun. Vaje, kakršne se na¬ hajajo v predstoječih primerih, so obrat poštevanke. Obrat pošte¬ vanke imenujemo razštevanko. Poskusi pa zdaj na tak način 391 s 23 deliti! Deljenja velikih števil ne moremo izvršiti z množenjem, misliti je na to, da izvršitev skrajšamo, kar je mogoče na podlagi raz- števanke in s pomočjo dekadnega sistema. To nas spet privede na stopnje za ustno in pismeno deljenje. Stopnje za ustno deljenje. I. 1. 5 v 15 = '''trat 5 je 15 i. t. d. 2. £ od 60 = i od 6 D = 2 D i. t. d. Iz tega sledi: 3 v 60 = 20krat. 3. 3 v 63 = 3 v (50 = 20, 3 v 3 = i i. t. d. Slično -3- od 63. 4. 3 v 75 = 75 = 60 + 15 i. t. d. Slično -3- od 76. II. 1. 20 V 60 = 2 D v 6 D i. t. d. Iz tega sledi: gV od 60 — 3. 2. 20 v 600 = 2 D v 60 D i. t. d. 3. 20 V 640 = 20 V 600 = 30, 20 v 40 = 2 i. t. d. 4. 30 v 750 == 750 = 600 + 150 i. t. d. Stopnja za deljenje z mešanimi celimi števili izvršuje se bolje pismeno. Stopnje za pismeno deljenje. I. Izračunaj: 1. 7 m 5 dm 3 cm 6 mm : 4 = 2. 4 Dt 2 T IS 8D 5 E : 5 = 3. 27244 : 7 = 3. nalogo izvrši a) v smislu deljenja, b) v smislu merjenja. Pravilo. Dekadna števila delimo z osnovnimi števili kakor več- imenska števila. 46 n. A. 1. Pretvori a) cm na dm, bj ednice na desetice in deli: a) 540 cm : 30 cm, b) 7452 : 40 = 74512 : 4 l 0 = Pravilo. Da delimo dekadno število z desetičnim, odrezati je le ednice dividenda in divizorja; deli se potem kakor z osnovnim številom, 2 . Deli po tem pravilu: a) 850 : 10 = b) 4360 : 10 = c) 284524 : 10 = I v 8 je 8 krat, 8 krat i je 8 i. t. d. Celo število delimo z 10 prav kratko, ako odrežemo ednice dividenda. B. 1. Pretvori a) k na K, b) ednice na stotice in razštevaj: a) 25800 h : 200 = b) 32625 : 300 = 326 l 25 : 3 l 00 = Pravilo. Da delimo dekadno število s stotičnim, odrezati je le dividendo, in divizorju število iz desetic in ednic; razšteva se potem kakor z osnovnim številom. 2. Deli po tem pravilu: a) 23400 : 100 = b) 45670 : 100 = c) 325652 : 100 = Primerjaj deljenje z IG! Celo število razdelimo s 100 prav kratko, ako odrežemo divi- dendu število iz desetic in ednic. C. Na isti način dobimo pravili: Da delimo dekadno število s tisočičnim, odrezati je le divi- dendu in divizorju število, obstoječe iz stotič, desetic in ednic; deli se potem kakor z osnovnim številom. Celo število delimo s 1000 prav kratko, ako odrežemo divi- dendu število, obstoječe iz stotič, desetic in ednic. Spojivši dobljeni pravili moremo reči sploh: 1. Da delimo dekadno število z desetičnim, s stotičnim, s tiso¬ čičnim številom i. t. d., odrezati je le na desni dividendu in divi¬ zorju število, obstoječe iz toliko številk, kolikor ima divizor ničel; deli se potem kakor z osnovnim številom. 47 2. Celo število delimo z 10, 100, 1000 i. t. d. prav kratko, ako odrežemo na desni dividendn število, obstoječe iz toliko številk, kolikor ima divizor ničel. III. A. 1. Izračunaj: a) 741 : 247 — približno 200 v 700 ali 2 v 7). b) 52045 : 7435 = (približno 7000 v 52000 ali 7 v 52). 2. Določi še v nastopnih primerih kvocientovo številko: a) 86 : 43 = b) 876 : 219 = c) 9432 : 3226 = č) 672 : 96 = d) 6656 : 832 = e) 58428 : 6843 = B. Izračunaj: 8309j42 : 973 = 854 7784 ... 973 X 8 5254 486 5 ... 973 X 5 3892 3892 ... 973 X 4 0 Krajše: 8309 L 42 : 973 = 854 5254 3892 0 V drugem slučaju smo poedine produkte odštevali takoj pri množenju in zapisavali le ostanke. Za prvi del dividenda vzemi toliko najvišjih dividendovih številk, kolikor jih ima divizor, ali pa eno več, ako bi bilo število, ki ga izražajo one številke, manjše od divizorja; tako dobiš naj¬ višjo kvocientovo številko in s to pomnoži ves divizor, produkt pa odštej od prvega dividendovega dela. K ostanku pripiši nastopno dividendovo številko, iz tega novega dividendovega dela določi potem drugo kvocientovo številko ter to nadaljuj, dokler nisi vzel v račun vseh dividendovih številk. — Pomniti pa treba, da mora 973 ni v 8, ni v 83, ni v 830, je pa v 8309; 8309 je prvi del dividenda in prva kvocientova številka pomeni sto- tice; 973 v 8309 je 8 krat i. t. d. 8 krat 3 je 24 in 5 je 29, ostane 2, 8 krat 7 je 56 in 2 je 58, 58 in 'l je 60 i. t. d. 48 biti ostanek, ki si ga dobil pri vsakokratnem odštevanju produk- tovih delov, manjši od divizorja, kajti sicer bi dobil v kvocientu še drugo številko istega reda. Naloge. I. Razdeli 2735000 z 10, 100, 1000. J. Kolikokrat je: 4 v 240? 4 v 8400? 6 v 186? * 3 . Kolikokrat je: 3 v 54? 6 v 720? 7 v 301? 4 . Razdeli a) 4240, b) 29680, c) 72080, d) 769560 s 5, 6, 7, 8, 9. 5 . 140261: 41. 6 . 5791338 : 63. 7. 134676 : 29. 8 . 309644 : 778. 9 . 530376 :123. 10 . 5606912 : 752. 11 . Razdeli vsako števil: a) 24655445, b) 191205 s 607, 315. 12 . 1472692768 : 14734. 13 . 36263918357 : 62883. 14 . V nalogah 5. do 13 . povej mestno vrednost najvišje kvocien- tove številke, ne da bi izvršil delitev. * 15 . Koliko velja 1 m, če se dobi za 15 K 12 h a) 6 m, b) 7 m? * 16 . Koliko velja 1 l, če se dobi za 7 K 56 h a) 9 l, b) 12 Z? 17 . Na trg so pripeljali 2Q89'8 hi žita ter ga prodali za 16400 K 75 h. Ena osmina je bilo rži, ena petina ječmena, ostanek pa oves. 1 hi rži so prodajali po 17 K, 1 lil ječmena po 11'74 K. Po čem so prodajali 1 hi ovsa? 18 . Obseg ravnika znaša 40000 km ; koliko preleti vsaka točka na ravniku v 1 sekundi? 19 . Ekvator naše zemlje ima 4000 milj v obsegu; kako dolga je ena ekvatorjeva stopnja? 20 . V drevesnici je v pravilnih vrstah nasajenih 31928 rastlin in sicer so v vsaki vrsti 104 rastline; koliko vrst je v drevesnici? 21 . Kranjska ima 100 gm 2 površine in 498153 prebivalcev; koliko prebivalcev pride povprek na 1 fW 2 ? 22 . Češka ima 6318008 prebivalcev, in sicer po 12150 na 1 gm 2 ; kolika je nje površina? 23 . Trgovec plača za 3200 kg sladkorja 3568 K ter hoče pri vsakih 100 kg imeti 8 K 50 h dobička; po čem mora prodajati kg? 24 . Nekdo je zmešal 12 M vina a 72 K s 4 hi a 56 K; koliko velja 1 hi tega zmešanega vina? 49 25 . Zlatar je zlil 7 kg srebra s čistino 720 tisočin z 2 kg srebra s čistino 540 tisočin; koliko tisočin čistega srebra je v 1 kg zlitine? 26 . Oče zapusti 16802 K. To imetje je razdeliti med njegovo ženo, 3 sine in 3 hčere tako, da dobi mati 4 dele, vsak sin 3 in vsaka hči 2 isto tolika dela. Koliko dobi mati in koliko vsak otrok ? 27 . Nekdo kupi za 196 K 25 h blaga, kg po 1'25 K, potem pa še 25 kg po 1‘15 K; po čem mora prodajati kg zmesi, da ima v vsem 24‘34 K dobička? 2. Razštevanje občih, števil. § 49. Kaj se pravi 20 razdeliti s 5? 36 z 9? ... a z 6? Deljenje števila a s številom b napišemo a : b = c ali _ r — c. § 50. Iz pojma o deljenju izvira: 1) (a : b) . b — a in 2) ab : b = a. 1. Kvocient pomnožen z divizorjem, da dividend. (Preizkušnja, da je deljenje prav.) 2. Ako razdelimo produkt dveh faktorjev z enim teh faktorjev, dobimo drugi faktor. Mehanično izvršimo deljenje z enostavnim divizorjem tako, da izpustimo skupni faktor. Ce pa se divizor v dividendu ne nahaja kot faktor, deljenja ne moremo izvršiti; moremo ga le nakazati. Na pr. žabe : ža = bc, 'žabe : m — ——-. m 3. Število ostane neizpremenjeno, ako ga s katerim¬ koli številom pomnožimo, potem pa z istim številom razdelimo. (Obrat enačbe l) in 2). Iz a . 1 = a izvira: a : a = 1 in a : 1 = a. Torej: 4. Vsako število da, samo s seboj razdeljeno, 1 za kvocient. 5. Vsako število da, z 1 razdeljeno, samo sebe za kvocient. Ker je a . 0 = 0, tedaj je 0 : 0 = a. 6. Ničla, razdeljena z ničlo, da lahko vsaktero število za kvocient. Izraz q rabi namzatokotznamenjenedoločene vrednosti. Močnik, Aritmetika. X. 1056. 4 50 Izreki o kvocientih. § 51. Produkt razdelimo s številom, ako ž njim razdelimo en faktor. 1) (a . 6) : c = (a : c) . b, 2 ) (a . b) : c = a . (b : c). Da je ta izrek prav, se prepričaš naredivši preizkušnjo po § 50., 1.: kvocient X divizor = dividend. 1) (a : c) . b X c = (a : c) . c . b [po § 87., 1.] = a . b 2 ) a . (b : c) X c = a . (b : c) c = a .b Izvod. Ako je treba število pomnožiti z drugim številom in s tretjim razdeliti, tedaj je vse eno, v katerem redu množimo in delimo. Na pr. (8.100) : 4 = (8 : 4) . 100. § 52. Število razdelimo s produktom, ako je raz¬ delimo z enim faktorjem in dobljeni kvocient še z drugim faktorjem. 1) a : (6 . c) = (a : 6) : c, 2) a : (b . c) = (a : c) : b. Dokaz po preizkušnji (§ 50., 1.): kvocient X divizor = dividend. (a : b) : c X ( bc ) = [(a : b): c] . c X b = (a : b) X b = a (a: c) :b X (bc) — [(a : c): b] . b X c = (a : c) X c = a. Razdeli na pamet 360 s 24 (=3.8), 30 (= 3. 10> i. dr. Izvod. Ako je treba število razdeliti z dvema številoma, razdelimo ga lahko z vsakim posamič v kateremkoli redu, ali pa ob enem z njiju produktom. Na pr. (70 : 2) : 5 = (70 : 6) : 2 = 70 : (2.5) 35:5= 14 : 2 = 70 :10 = 7. § 53. Ako pomnožimo en faktor v produktu, pomnožimo ob enem tudi produkt (§ 38., 1.); ako razdelimo en faktor, razdelimo tudi produkt; ako izvršimo oba računa istočasno, ne izpremeni se produkt (§ 50., 3). Torej: Vrednost produktu se ne izpremeni, ako mu en faktor s katerimkoli številom pomnožimo, drugi faktor pa z istim številom razdelimo. 51 (b Vobče: a .b — am . (b : m), a . b — (a : m) . bm. Zato je: 64 X 25 = 16 X 100 = 1600. 0 pravosti zadnjik enačeb se prepričaš, ako izvršiš množitev m) . am: ( b : m ) . am = (b : m) . m X a — b X a. - a• a) 5 . ; kajti § 54. a« : Vobče: ako je m> n. Potence iste osnove razdelimo, ako od dividendo- vega eksponenta odštejemo divizorjev eksponent ter sto diferenco potenciramo(vzmnožimo)sknpno osnovo. Dostavek: Ako je m — n, dobimo, uporabljajoč ta izrek, a m . a m — a “—m — a o • [ ier p a potenca imajoča 0 za eksponent po pojmu o potenci (§ 88.) nima nobenega pomena, treba tej potenčni obliki pomen še le določiti. Po § 50., 4. je a m : a m = 1; a {> po¬ meni torej 1. Vsako število, vzmnoženo z ničlo, je enako 1. Primeri: a; 10 : x 7 = x 3 ; 8x 10 : x 7 = 8a; 3 ; 24x 6 y 2 : 3 x l y = Sa; 4 «/. Dostavek: Deljenje monoma z mononom izvršujemo vobče po § 51. in 52. Uporabljajoč navedene izreke razdelimo naj¬ prej dividendov koeficient s koeficientom divizorjevim in splok divi¬ dend (oziroma vselej po en pripraven njegov faktor) zaporedoma z vsemi faktorji divizorjevimi. Ako kakega divizorjevega faktorja ni v dividendu, moremo delitev le nakazati. Na pr. 8 a:b = 8 a 8a : 26 = 4a 8a : , . 2a* : 4a6 = Deljenje vsot in diferenc. § 55. 1. Ako ima deček 12 lirušek in 36 orehov, ima drug deček le takrat polovico ali tretjino tega, ako ima od vsake vrste polovico ali tretjino tistega, kar ima prvi deček. Vobče: (a + b) : c = — H-• c c ■4 * 52 Preizkušnja (po § 50.,l.):f—+— ) c = — c -j- — . c = a-\-b (dividend). \ C C / c c Vsoto razdelimo s številom, ako vsak suma n d raz¬ delimo s številom in dobljene kvociente seštejemo. Na pr. (90 + 6) : 3 = (90 : 3) + (6 : 3). _ / a b 2 . (a — b) : c — - • ^ c c Preizkušnja (po § 50.,1 .):( ~~ —c = U c — - . c — a — b (dividend). Diferenco razdelimo s številom, ako minuend in subtrakend razdelimo s številom ter drugi kvocient odštejemo od prvega. Na pr. (100 — 8) : 4 = (100 : 4) - (8 : 4). Dostavek. Ako združimo prvo enačbo z drugo, dobimo: 7 \ a . b c d (a + b — c — a) \n— — 1 - • n n n n § 56. Uporabljajoč izreka v § 55., 1. in § 41., 1. dokažemo lahko tudi ta-le važni izrek: Kvocientu se vrednost ne izpremeni, ako dividend in divizor z istim številom pomnožimo, ali oba z istim številom razdelimo. Dokaz: Kvocient pove, kolikokrat je divizor kot sumaml v dividendu kot vsoti iz enakih sumandov. Na pr. 12 : 4 = 3, ker je 4 +4 +4 =12 (=4X3). Po § 41., 1. je: 4 m + 4 m + 4 m = 12 m ; 4 12 po § 55., 1. je: + + A m m m m Iz tega je razvidno, da je 2, 3, . . . m krat večje število v 2, 3, . . . mkrat večji vsoti prav tolikokrat, kolikorkrat je prvotno število (divizor) v prvotni vsoti (dividendu) in kolikor¬ krat je 2, 3, . . . mkrat manjše število v 2, 3, . . . mkrat manjši vsoti (dividendu). Vobče: am : bm = a : b — — : —. m m Tudi ta izrek se da prav ugodno uporabljati. Na pr. 325 : 25 = (325.4): (25.4) = (325.4): 100. 7125 :125 = (7125.8) : (125.8) = (7126 . 8 ) : 1000. 53 § 57. Kako je deliti vsoto z vsoto, razvidimo najlaže iz tega, kako je nastal dividend, ko smo pomnožili divizor s kvocientom. Upoštevaj primer v § 44., 2. Ako sta urejena dividend in divizor po črki vodnici v istem zmislu (na pr. po padajočih potencah): dividend = 72« 4 + 101« 3 + 95« 2 + 43« + 12, divizor = 9 a 2 + 7« + 3, uvidimo takoj, da je moral najvišji (prvi) člen dividendov pri množitvi divizorjevi s kvocientom nastati iz produkta naj višjega (prvega) člena divizorj evega z najvišjim (prvim) členom kvocientovim. Zato dobimo prvi člen kvocienta tako, da razdelimo najvišji člen dividenda z najvišjim členom divizorja: 72« 4 : 9« a = 8« 2 = prvi člen kvocienta. Prvi člen da pri množenju (§ 44.) nastopne člene v dividendu! (9a 2 + 7« + 3) 8« 2 = 72a 4 + 56a 3 + 24a 2 . Ako odštejemo to vsoto od dividenda: 72« 4 + 101« 3 + 95a 2 + 43« + 12 72a 4 + 56« 3 + 24a 2 45« 3 + 71a 2 + 43a + 12 = ostanek, je v ostanku vsota onih produktov, ki so nastali iz drugega in tretjega kvocientovega člena. Najvišji člen tega, na isti način urejenega ostanka, je zopet produkt iz najvišjega (prvega) člena divizorjevega in drugega člena kvocientovega. Drugi člen kvocienta dobimo torej tako, da razdelimo prvi člen urejenega ostanka s prvim členom v istem zmislu urejenega divizorja. 45a 3 : 9a 2 = 5a = drugi člen kvocientov. Ako zopet odštejemo od prejšnjega ostanka vse produkte, katere je dal člen 5 a pri množenju, je v novem ostanku vsota produktov iz tretjega člena in kvocienta. 45a 3 + 71a 2 + 43« + 12 45« 3 + 35« 2 + 15« 36« 2 4" 28« -j- 12 54 Tretji člen kvocienta dobimo, ako razdelimo prvi (najvišji) člen novega ostanka s prvim členom v istem zmislu urejenega divizorja. 36a 2 : 9a 2 = 4 — tretji člen kvocientov. Račun izvršimo tako-le: (72 «4 + 101« 3 + 95« 2 + 43« + 12): (9a 2 + 7« + 3) = 8« 2 + 5« + 4 72« 4 + 56« 3 + 24« 2 .(9o* -f la -f 3) 8«2. 45« 3 + 71« 2 + 43« 45« 3 +35« 2 +15«.(9a 2 -j-7« + 3) 5«. 36« 3 + 28« + 12 36« 2 + 28« + 12 — — . .... (9a 2 + 7a -f 3) 4. 0 Odtod izvajamo, da treba vsoto z vsoto deliti po tem-le pravilu: Uredivši člene v dividendu in divizorju v istem zmislu, razdeli prvi dividendov člen s prvim divizorjevim členom; tako dobiš prvi člen kvocienta; s tem kvocientom pomnoži ves divizor, produkt pa odštej od dividenda. Ako ravnaš z ostankom, katerega je treba takisto urediti, kakor sta urejena dividend in divizor, prav tako kakor s prvotnim dividendom, dobiš drugi kvocientov člen i. t. d. Izračuni prejšnji primer še enkrat z rastoče urejenimi števili! 1. 15«: 5. 4. 12 ab : 2«. 7 . «5 : « 2 10. 8x 3 : 2x 2 . 13. 16« 4 ;/ 4 :4«č> 2 . 16. (6«6. 2x) : 3ax. 18. (12« 2 cc :! : 2«) : 6cc 2 . 20. ( ax + ay) : a. Naloge. 2 . 6 «: «. 5. 8 mxy : 2x. 8. « 4 : a. 11. 6 y' l z : 3 y. 14. 9 d i xhy : 3 xy. 3. 5 xy : y. 6 . abxy : by. 9. «“ + ”:«“. 12. 7a 3 x 5 : ax-. 15. 2« 6 m 3 x 2 : « 3 mcc 2 . 22 . (« 2 x + ax~) : ax. 24. (8®y - 12a%V) ■ 4xy . 26. (36«x — 12 bx -f- 24cx): 6rr. 17. (4« 2 x . 5«x 2 ): 2a 2 x 2 . 19. (18« 2 ?) 3 c 4 : 3«6 2 c) : 2ac 2 . 21. ( ax — bx) : x. 23. (6 a~y — 3 ay~) : 3 ay. 25. (I2a 3 x 2 + 8«x 4 ) : ax~. 27. (21m 4 + 15m 3 — 18wi 2 ) : 3m 2 . ob 28. (5a 3 — 25a 4 — 10a 5 + 15a 6 ): 5a 2 . 29. (5m 4 cc — 4wi'V i — 3»M'3 o 3 ) : m-a;. Preizkušnja za m = 3, x = 2. SO, (lCte 4 ?/ 2 z; — 25aj 3 y 2 z 2 — 15cc 2 2/ 2 z 3 + 5 xy % z A ) : bxy 2 z. 31. (I6a 3 6 2 c 8 + 8a 4 6 3 c 6 - 12a 5 6 4 c 4 - 20a 6 6 5 c a ) : 4aW. 32. (x 2 + 2ce?/ 4~ y 3 ) : (aJ + ?/). 33. (9a 3 + 6 ab + 6 2 ) : (Ba + 6 ). 34. (m 3 + 3m 2 « + Brnu 2 4~ n 3 ): (m 4- m). 35. (4a 3 4- 12a 2 6 + 11«6 2 4- 36): (2a 4- 36). 36. (3x 4 4- 10 x*y 4- 14a?V 4- 17 xy* 4- 10/y 4 ): (a; 2 4- 3 xy 4- 2 y i ). 37. (14x 2 z/ 2 4- 10a% + 17.r/y 3 + 10,y 4 4- 3ir 4 ): (5/y 2 -f 3a: 2 -f xy). 38. (86 3 + 126 2 -f 66 + 1) : (46 2 4- 46 + 1). 39. (12c 3 4- 20c 2 4- Hc 4- 2): (3e 4- 2). 40. (x» n 4- x ifn y n - x m y 3n — y in ) : (x? m — ?/”). 41. 66688 : 32 (§ 52). 42. 125860 : 35. 43. 321111: 63. 44. 278725 : 25 (§ 58). 45. 92278 X 25 = 9227800 : 4 (§ 53). 46. 764625 : 25. 47. 7753675 : 25. 48. 345673 X 25. 49. 814041 X 250. 50. 572375 X 125. 51. 39271 X 125. Deljenje algebrajskih števil. § 58. Pojem o deljenju absolutnih števil (§ 48., 49.) velja ne¬ spremenjen tudi za algebrajska števila. Kvocient dveh algebrajskih števil je pozitiven ali negativen, kakor sta obe števili ali enako ali raz¬ lično zaznamenovani. (4- 6) : (4“ 2) = + 3 (4- a) : (4- 6) — 4- k, (— 6) : (— 2) = 4- 3 (— a) : (-f 6) = 4- k, (4- 6) : (— 2) =— 3 (4~ a) : (— 6) = — k, (— 6) : (4- 2) = — 3 (— a) : (4" 6) = — k, pri čemer pomeni 3 (k) absolutno vrednost kvocientovo. Dokaz. Ako je dividend (produkt) pozitiven, morata imeti (po § 45., 1.) divizor in kvocient (oba faktorja) enaka predznaka; torej je (4" a) : (4- 6) — 4- k in (4* a) : (— 6) = — k. Ako je dividend negativen, morata imeti divizor in kvocient različna predznaka; torej je (— a) : (4~ 6) = — k in (— a) : (— 6) = 4~ ki § 59. Ker moremo vsak veččlenski izraz smatrati kot algebrajsko vsoto, zato veljajo izreki o deljenju vsote (§ 55., 1. in 56 § 57.) tudi za deljenje veččlenskili izrazov. Predznake kvocientom iz posameznih členov določujemo po § 58. Na pr. g (12« 4 6 3 - 8a 2 b 2 - 6o): (- 2 ab) = - 6 a% 2 + 4 ab + . (3a 2 - 4«6 - 46 2 ) : (3a + 26 ) = a - 26 3a 2 + 2a6 — 6 a6 — 46- — 6a6 — 46 3 + + O § 60. Posebej pomni: 1) (a 2 — 6-) : (a + 6) = a — 6, 2) (a 2 — 6 3 ) : (a — 6) == a + 6; t. j. Ako razdelimo diferenco kvadratov dveh števil z vsoto ali diferenco t eh števil samih, dobimo za kvocient diferenco, oziroma vsoto teh števil. 1. + 63 : - 7. 3 . + 264 : 4. 5. [2760 - (+ 732)] : [ a T v . x —14 o. Izračuni z — 5 — x 7. [(4 — £c) 2 : (5 +- 2/)aj x + Naloge. 2. - 48 : + 12. 4. - 3840 : - 30. 62-(-23)]. x — 10 5 (a; — 2) 7 — x 3 (6 — x) za X 8 . * 9 . 0 X [(x — 2) 3 : (y + l) 3 ] za x : 1) (x - 2) (x — 3)' ■ 8 . ■2, y = - 3. za x — — 3. x — 2 x {x + 1) (x +. 2) Termometer je kazal nekega dne zjutraj —8° R, opoludne + 3° B, zvečer — 5° i?; kolika je bila srednja temperatura tega dneva? 10. 12a 4 : — 3«. 12. — 4a 2 m i x !i : — 2m‘-a; 3 . 14. (8a6 — 12ac): 4 a. 16. (18am-// :i — 276mi/ 2 + 36 cy): — 3 y. 17. (— 16a 3 6‘-c 5 + 8a 4 6 3 c 4 - 12+6V 2 ): Aa 2 b 2 c 2 . 18. [(24a 3 m% 2 — 42 afim 2 rv > + 30a 6 m 4 n 3 ) : (— 2«-)] : ( 11. — 14a 4 6 2 : 2a 2 6. 13. 3Qx s y 2 z i : — 9xy 2 z s . 15. — (16a 3 — 24a. 2 ): — 8a 2 . ■ 3 a 2 n). 57 19 . ( 6* 3 - 23*3 + 24 * - 10 ) : (- 2 * + 5 ). 30. (— 30* 4 + 2*3 + 125*3 + 51 * - 27 ) : (- 6* 2 - 8 * + 3 ). 21. ( 6« 4 - 5«3 + 4«3 + 11 « - 4 a) : (- 2« 2 + 3 a - 4 ). 22. (2 - 7* + 16* 2 _ 25*3 + 21* 4 - 16 * 5 ): (2 - 3 * + 4 * 2 ). 23. 25. 27. 29. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. (* 2 — 1 ): (* — 1 ). (9a 2 - 46 2 ). ( 3 a + 26). (* 4 — 1 ): (* + 1 ). (a 5 + 6 5 ): (a + 6). (28a 2 - 67a6 + 406 2 ): (7 a - 24. (* 2 — 2*y + w 2 ) :(* — «). 26. (16* 2 -2/3) : (4*-^). 28. (* 4 — 1) : (* — 1). 30. («6-66): (a 2 -6 2 ). 86 ). (20a 5 — 18a 4 6 + 4a. 3 6 2 ): ( 4 a 2 — 2a6). (a» + (15; i*° ; — 2 a — 8 ): (a — 2 ). 4*3 ;y — 29*r/ 2 + 10z/3); (3* + 5 y). (15 + 8 * - 32*3 + 32*3 _ i 5 a 4 ) ; (3 + 4 * - 5 * 2 ). (a 4 - 2a 2 6 2 + 6 4 ) : (a 2 + 2ab + 6 2 ). (a 4 - 4a 3 6 + 6 a 2 6 2 - 4a6® + 6 4 ) : (« 2 - 2a6 + 6 2 ). ( 15* 4 + 8*3y — 41*3 cela števila, tedaj je a — mk, b = mk\, c = mkg. Ker pa dajo enake količine, prištete enakim količinam, enake vsote, dobimo a + b + e — m.k + mk[ + ali, ako razdelimo obe strani enačbe z m, (a + b + c): m = k + k\ + k . Vsota a + b + c, raz¬ deljena z wi, da torej za kvocient celo število k + k\ + k-,. Zato je vsota a + b + c res razdelna z m. 2. Ako imate dve števili kako skupno mero, raz¬ delna je ž njo tudi njiju diferenca. Dokaz. Po pogoju v točki 1. je Oj O ( a — b): m — ~ — — = k — k\, (celo število). Torej je res diferenca a — b deljiva z m. 59 § 63. 1. Ako je število razdelno s kakim drugim številom, raz delen je s temštevilomtudi vsak njegov mnogokratnik. Dokaz. Vzemimo, da je a- razdelen z m in sicer da je a : m = k, torej a = mk ; tedaj je ar = mkr in ar :m = kr (celo število), a-jev mnogokratnik ar je torej res razdelen s številom m. 2. Ako je število razdelno s katerimikoli rela¬ tivnimi praštevili, razdelno je tudi z njih produktom. Dokaz. Vzemimo, da je število a razdelno z relativnima pra- številoma m in n. Ker te dve števili nimate nobenega skupnega faktorja in ker mora a imeti vse faktorje števil m in n , zato mora število a imeti tudi vse faktorje produkta mn, torej biti razdelno s produktom mn. Ako je število razdelno na pr. z 2 in 3, mora biti razdelno tudi z njih produktom 6. § 64. 1. Ako imata dividend in divizor kako skupno mero, razdelen je s to mero tudi delitveni ostanek. Dokaz. Vzemimo, da sta števili a in b razdelni s številom m, in da dobimo, razdelivši a z b, za kvocient število k in r za ostanek; tedaj je r = a — bk. Ker je a razdelen z m, prav tako b, in torej tudi njegov mnogokratnik bk, mora biti z m. razdelna tudi diferenca a—bk, in ta je enaka r. 2. Ako imata skupno mero divizor in delitveni ostanek, razdelen je ž njo tudi dividend. Dokaz. Vzemimo, da dobimo, a z b razdelivši, A: za kvocient in r za ostanek, in da je m skupna mera od b in r; tedaj je a = bk + r. Ce pa je z m razdelen b, tedaj tudi njegov mnogo¬ kratnik bk, in prav tako r, mora z m biti razdelna tudi vsota bk + r, ki pa je enaka a. 3. Ker imata po navedenih dveh izrekih dividend in divizor ravno iste skupne mere kakor divizor in ostanek, izvajamo iz tega: Največja skupna mera med divizorjem in ostankom je tudi največja skupna mera med dividendom in divi z orj e m. 60 2. Kako spoznavamo razdelnost debadnih. števil. § 65. Vsako dekadno število lahko razstavimo na mnogo¬ kratnik števila 10 in na ednice; na pr. 3576 = 357.10 + 6, 4385 = 438.10 + 5. Število 10 pa je razdelno z 2 in 5, prav tako tudi vsak mnogokratnik števila 10; ako so še ednice danega števila razdelne z 2 in 5, razdelno je število samo. Dekadno število je razdelno z2ali5, ako so njega ednice razdelne z 2, oziroma s 5. Dostavek. Dekadno število je razdelno z 10, ako ima na mestu ednic ničlo. Pojasnilo. Ona števila, ki imajo na mestu ednic 0, 2, 4, 6, 8 ter so torej razdelna z 2, imenujemo soda števila (gerade Zahlen). Sodo število zaznamenujemo, ker je mnogokratnik števila 2, vobče z 2 m, pri čemer pomeni m katerokoli celo število. — Ona števila pa, katera imajo na mestu ednic 1, 3, 5, 7, 9, ki tedaj niso razdelna z 2, so liha števila (ungerade Zahlen). Taka števila zaznamenujemo vobče z 2m + 1 ali z 2m — 1. 3 je drugo, 5 tretje ... liho število. § 66. Vsako dekadno število lahko razstavimo na dva dela, na mnogokratnik števila 100 in na število, izraženo z njega deseti¬ cami in ednicami; na pr. 9132 = 91 . 100 + 32, 8475 = 84.100 + 75. 100 je razdelno s 4 in 25, prav tako tudi vsak njegov mnogo¬ kratnik; ako je s 4 ali 25 razdelen še drugi del, imajoč desetice in ednice, razdelno je tudi število samo. Dekadno število je razdelno s 4 ali s 25, ako je razdelno s 4 ali s 25 število, katero izražate njegovi dve najnižji številki. Dostavek. Dekadno število je razdelno s 100, ako sta njega najnižji dve številki ničli. § 67. Vsako dekadno število lahko razstavimo na dva dela, na mnogokratnik števila 1000 in na število, katero izražajo njega stotice, desetice in ednice; na pr. 37912 = 37 . 1000 + 912, 56875 = 56 . 1000 + 875. 61 Vsak mnogokratnik števila 1000 je razdelen z 8 in 125; ako je razdelno z 8 ali 125 tudi število iz treh najnižjih mest, razdelno je tudi število samo. Dekadno število je razdelno z 8 ali 125, ako je razdelno z 8 ali 125 število, katero izražajo njega tri najnižje številke. Dostavek. Dekadno število je razdelno s 1000, ako so njega tri najnižje številke ničle. § 68. Vsako dekadno število lahko razstavimo na dva dela tako, da ima prvi del same mnogokratnike števila 9, drugi pa številčno vsoto danega števila; na pr. Prva vertikalna vsota ima same mnogokratnike števila 9 ter je razdelna s 3 in 9; ako je torej s 3 ali 9 razdelna tudi druga vertikalna vsota, razdelno je tudi število samo. Dekadno število je razdelnos3ali9, ako je nje g a številčna vsota razdelna s 3 ali 9. Dostavek. Sodo število, katero je razdelno s 3, razdelno je tudi s 6 (§ 63., 2.). Naloge. 1. Katera izmed števil 3924, 1038, 5016, 8033, 9062, 8752, 16536, 24300, 39235, 74636 so razdelna z 2, katera tudi s 4, katera niso razdelna niti s 4 niti z 2? 2. Katera izmed števil 352, 1630,’ 2876, 4756, 9492, 12478, 22062, 25864, 30508 so razdelna z 2, s 4, z 8? 3. Katera izmed števil 273, 1540, 5926, 8028, 12345, 20475, 38124, 67089, 705426, 791426, 310629, so razdelna s 3, katera tudi z 9, katera niso razdelna niti z 9 niti s 3? 4. S katerimi izmed števil 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 25, 100, 125, 1000 so razdelna ta-le števila: a) 312; b) 6225; c ) 17280; d) 71016; e) 948656? j) 720; g) 8625; h) 76450; i) 484572; k) 567000? 5. Katera števila so razdelna s 15, 18, 24, 36? 62 3. ^Razstavljanje števil na faktorje. § 69. Vsako sestavljeno število moremo razstaviti vsaj na dva faktorja. Ako sta ta faktorja sestavljeni števili, moremo ju zopet razstaviti na faktorje, kateri so ali praštevila ali sestavljena števila. Ce v zadnjem slučaju razstavljanje nadaljujemo, moramo naposled dobiti same prafaktorje. Vsako končno število se da razstaviti na same prafaktorje. § 70. Da razstaviš sestavljeno število na njegove prafaktorje, razdeli dano število z najmanjšim praštevilom, s katerim je razdelno, ne oziraje se na 1; kvocient zopet razdeli z najmanjšim praštevilom, s katerim je razdelen, ne izimši prejšnjega praštevila, in tako ravnaj z vsakim nastopnim kvocientom, dokler ne dobiš kvocienta, ki je sam praštevilo. Drug za drugim uporabljeni divizorji in zadnji kvocient so prafaktorji danega števila. Ako je treba na pr. 630 razstaviti na prafaktorje, dobimo: zato je 630 = 2.315 = 2.3.105 = 2.3.3.35 = 2.3.3.5.7. § 71. Da razstavimo obči številni izraz na faktorje, treba pomniti to-le: 1. Pri enočlenskih izrazih so posamezne črke same prafaktorji; ako ima tak izraz tudi potence, vzemi podlogo toliko¬ krat kot faktor, kakor kaže eksponent. Na pr. abc — a . b . c; 21a 2 mx~ = 3.7 . a . a . m . x . x. 2. Kako je razstavljati polinome na faktorje, za to nimamo splošnih pravil; zaradi tega navajamo tukaj le dva posebna slučaja, katera se večkrat uporabljata. a) Polinom, čigar vsi členi imajo skupno mero, razstavimo po § 42. na dva faktorja, ako vzamemo izločeno skupno mero kot en faktor, za drugi faktor pa kvocient, katerega dobimo, razdelivši dani izraz s skupno mero. Na pr. 1) 3 ax — 4bx — x (3 a — 4 b). 2) 2(te 4 — 16x 3 + 12x 2 = 4x 2 (bx l — 4x + 3). 63 b) Oziraje se na § 47. dobimo:. 1) « 2 + 2 ab + & 2 =(« + &)(« + b), 2) « 2 — 2 ab + č> 2 = (a — b) (a — b), 3) a 2 — /j 2 = (a -j- 6) (a — 6). Naloge. Razstavi ta-le števila na prafaktorje: 1. a) 420; h) 504; c) 1260; d) 1694; e) 2025. 2. a) 2268; b) 3075; c) 3828; d) 5376; e) 10528. 3. a) 76a 3 ; b) 66«6 2 ; c) 26x 2 ,// 2 ; d,) 72« 3 6 2 ; ej 60a®y. Razstavi na dva faktorja, uporabljajoč § 71., 2., a): 4. 18«ž> — 15«r. 5. 9x 2 — 24xt/. 6. 2 a 4 — 4a 3 + 6a 2 . 7. «x 4 y 2 + bx s y s + (odh/*. 8. a 3 6 2 x — a 2 4~x 2 -(- ab' l x’. 1). 5x 3 .e 2 — 15x 2 z 3 -j- 25x0. Razstavi na dva faktorj 10 . x 2 + 2x + 1. 12. 4« 2 + 12« -f 9. 14. y ' + 10 y H - 25. 16. 4x 2 - 1. 18. 25x 2 — 16// 2 . 20 . « 2 -(6 +' c ) 2 i, uporabljajoč § 74., 2., b): \ 11. m 2 — 2m + 1. 13. 96 2 —126 + 4. 15. x 2 — 6 xy + 9 y l . 17. 9« 2 -166 2 . 19. 6x 2 - 54« 3 . 21 . ( 6 - c ) 2 -« 2 4. O najveeji skupni meri. § 72. Naj večjo skupno mero dveh ali več števil imenu¬ jemo naj večje število, s katerim so vsa ta števila razdelna. Da dobiš najveejo skupno mero dveh ali več števil, razstavi vsako število na njega prafaktorje, potem pa izloči izmed teh prafaktorjev one, ki so skupni vsem danim številom; njih produkt je iskana naj večja skupna mera. Dokaz. Ta produkt je vsakako skupna mera vseh danih števil, kajti vsako ima vse njegove faktorje; a ta produkt je tudi največja skupna mera, ker bi ne bilo vsako danih števil ž njim ra/delno, ko bi mu dodali še katerikoli faktor. Na pr. Poišči največjo skupno mero števil 300 in 420. 300 = 2.2.3.5.5, 420 = 2.2.3.5.7; najv. sk. mera = 2.2.3.5 = 60. 64 § 73. Največjo skupno mero dveh števil dobiš, ne da bi števili razstavil na prafaktorje, tudi tako-le: Večje danih dveh števil razdeli z manjšim, potem divizor z ostankom, novi divizor z novim ostankom, i. t. d., dokler ne dobiš za ostanek ničle; zadnji divizor je največja skupna mera danih dveh števil. Dokaz. Ako sta a in b dani števili, in sicer a > 6, in r,, r 2 , r 3 , r t , . . . zaporedoma dobljeni ostanki, tedaj stoji račun tako-ie: Jasno je, da moramo, deljenje nadaljujoč, priti naposled do ostanka = 0, kajti vsakokratni ostanek mora biti celo število in vsaj za 1 manjši od divizorja, kateri je bil v prejšnjem deljenju ostanek. Recimo, da je r 4 = 0. Potem je r 3 gotovo največja skupna mera števil a in h. Iz zadnjega deljenja namreč izvira, da je r 3 največja skupna mera števil r 2 in r 3 ; r 2 in r 3 pa sta v prejšnjem deljenju divizor in ostanek, torej je (§ 64., 3.) r 3 tudi naj večja skupna mera med dividendom r, in divizorjem r 2 . Prav tako je zaradi predprejšnjega deljenja, v kateri sta r, in r 2 divizor in ostanek, r, največja skupna mera med b in r,, in slednjič zaradi prvega deljenja je r 3 tudi naj večja skupna mera med a in b. Tako iskanje največje skupne mere imenujemo verižno deljenj e. Primera: 1. Recimo, da nam je poiskati največjo skupno mero števil 1134 in 3654. Tu dobimo 3654:1134 = 3 in ostanek 252 1134: 252 = 4 „ „ 126 252: 126 = 2 „ „ 0 ali 1134 126 36543 252 02 Največja skupna mera = 126. 2. Poišči največjo skupno mero števil 377 in 848. 377 1 848 94 0u4 Največja skupna mera = 1. Števili 377 in 848 sta relativni praštevili. 65 Ako hočeš na ta način dobiti največjo skupno mero za več nego dve števili, poišči najprej največjo skupno mero za dve števili, potem za to mero in tretje število, takisto za to novo mero in četrto število i. t. d.; zadnja največja skupna mera je zaeno največja skupna mera vseh danih števil. Naloge. *1. Poišči največjo skupno mero števil a) 12 in 16, h) 15 in 20, c) 40 in 56, d) 72 in 96, e) 45 in 75! Razstavi ta-le števila na prafaktorje, potem pa poišči njih največjo skupno mero: (?) 84 in 308. 3. 360 in 680. 108, 450 in 540. 5. 560, 620 in 760. 6 . 698, 819 in 945; 7 . 504, 756, 1260 in 1764; 8. 12acx, 14a‘-x in 16 ax l \ 9 . lOafb/ 4 , bx4f> in 20* 4 y 3 ; 10 . m 1 + 2 mn + n 2 in m 2 — n 1 ; 11 . a 2 — 2 ab + 6 2 in a 2 — b ‘ l ; 12 . a 2 + 4 ab + 46 2 in a 2 + 2 ab — 3 až> 2 — 6 & 3 ; Poišči največjo skupno mero teh-le števil, ne da bi jih raz¬ stavil na prafaktorje: 13 . 637 in 4277; 15 . 1404 in 8658; 17 . 7774 in 3718; 19 . 39215 in 73997; 21 . 1701, 6426, 10521; 14 . 2091 in 1353; 16 . 3552 in 5143; 18 . 27671 in 21708; 20 . 65429 in 146957; 22 . 120582, 145530, 167706. 6. O najmanjšem skupnem mnogokratniku. § 74. Najmanjši skupni mnogokratnik dveh ali več števil imenujemo najmanjše število, ki je razdelno z vsemi onimi števili. Da dobiš najmanjši skupni mnogokratnik dveh ali več števil, razstavi vsako dano število na prafaktorje in izmed teh prafaktorjev vzemi vse različne faktorje in sicer vsakega tolikokrat, kolikorkrat se največkrat nahaja v katerem danih števil; produkt teh faktorjev je iskani najmanjši skupni mnogokratnik. Dokaz. Ta produkt je vsakako skupni mnogokratnik danih števil, kajti ima vse faktorje vsakega števila; a ta produkt je tudi Močnik, Aritmetika. X, 1056 . 5 66 najmanjši skupni mnogokratnik, kajti ni več razdelen z vsemi danimi števili, če mu izpustimo le enega njegovih faktorjev. Primer. Poišči najmanjši skupni mnogokratnik števil 60, 108 in 1050. 60 = 2.2.3.5 108 = 2.2.3.3.3 1050 = 2.3.5.5.7; najm. sk. mnogokratnik = 2.2.3.3.3.5.5.7 = 18900. Uporabljajoč to razrešitev najdeš najmanjši skupni mnogo¬ kratnik več števil kratko tako-le: 1. Dana števila zapiši v eno vrsto drugo poleg drugega ter kar prečrtaj ona manjša števila, katera so mera večjih. 2. Preišči, ali ni kako praštevilo skupna mera dveh ali več ostalih števil. Ako je, zapiši to mero na desno ter razdeli ž njo vsa ona števila, katerim je mera; kvociente in vsa nerazdelna števila zapiši spodaj v novo vrsto drugo poleg drugega. 3. S to novo vrsto ravnaj prav tako kakor s prvo, in tako nadaljuj, dokler ne dobiš vrste s samimi relativnimi praštevili. 4. Naposled pomnoži drugo z drugim vsa relativna števila zadnje vrste in na desno zapisane skupne mere; produkt iz teh števil je iskani najmanjši skupni mnogokratnik. Primer. Poišči najmanjši skupni mnogokratnik števil 4, 6, 15, 60, 108, 1050. 4, 0, 45, 60, 108, 1050 j 2 30, 54, 52512 45, 27, 525 3 9, 175 Najmanjši skupni mnogokratnik = 175 X9X3X2X2 = 18900. Ker so vsa števila, katera so razdelila s 60, razdelna tudi s 4, 6, 15, mora biti najm, sk. mnogokratnik ravnotolik, kolikršnega smo dobili v poprejšnji nalogi. § 75. Ako se dana števila ne dado z lahka razstaviti na prafaktorje, tedaj iščemo najmanjši skupni mnogokratnik na drug način, ki se opira na to-le umovanje. Ako razdelimo dve števili z njiju največjo skupno mero, do¬ bimo za kvocienta relativni praštevili. Produkt, katerega dobimo, pomnoživši pri deljenju enega števila dobljeni kvocient z drugim 67 številom, ima faktorje obeh števil in je torej razdelen z obema številoma; a ni več razdelen, če mu izpustimo le en faktor. Ta produkt je najmanjši skupni mnogokratnik danih dveh števil. Da dobiš na ta način naj manj ši skupni mnogokratnik dveh števil, poišči najprej največjo skupno mero obeh števil, razdeli s to mero eno število in z dobljenim kvocientom pomnoži drugo. Produkt je iskani najmanjši skupni mnogokratnik danih števil. Na pr. poišči najmanjši skupni mnogokratnik števil 648 in 972. 648 0 972 1 324 2 324 je najv. sk. mera. 648 : 324 = 2; 972.2 = 1944 ali 972:324 = 3; 648.3 = 1944; najmanjši skupni mnogokratnik = 1944. Ako je treba na ta način poiskati najmanjši skupni mnogokratnik treh ali več števil, poišči najmanjši skupni mnogokratnik za prvi dve števili, potem za ta najmanjši skupni mnogokratnik in tretje število, za tem za drugi najmanjši skupni mnogokratnik in četrto število i. t. d. Zadnji najmanjši skupni mnogokratnik je ob enem najmanjši skupni mnogokratnik vseh danih števil. § 76. Ako iščemo najmanjši skupni mnogokratnik na pamet, razločevati je nastopne slučaje, izražene s posebnimi primeri. Poišči najmanjši skupni mnogokratnik števil: 1. 3 in 4, 2. 3 in 6, 3. 6 in 8! 1. Najmanjši skupni mnogokratnik je 3 krat 4=12. 2 - „ „ „ „ 6 - 3. 2 v 6 =3, 3 krat 8 = 24. 24 je najmanjši skupni mnogokratnik. Vaja. Poišči najmanjši skupni mnogokratnik števil: 6 in 18; 4 in 5; 8 in 12; 3 in 7; 15 in 20; 7 in 14; 2, 3 in 5; 3, 9 in 12; 3, 6, 8, 24. Naloge. 1. Kolik je najmanjši skupni mnogokratnik števil a) 8 in 15? h) 10 in 25? c) 24 in 36? d) 12 in 52? e) 30 in 48? 5* 68 Razstavi ta-le števila na prafaktorje, potem pa poišči njih najmanjši skupni mnogokratnik: 2 . 300 in 620; 4 . 120, 168 in 182; 6 . 3, 4, 6, 10 in 25; 8. 4, 5, 6, 12, 18, 25, 70; 10 . 4, 6, 7, 26, 35, 40, 56; 12 . a, 2 a 2 , 3ab 2 , 12abm; 14 . 3x, 3 (x -f- 1), x — 2, 5 (x 3. 240 in 486; 5. 105, 144, 270; 7. 2, 5, 9, 20, 21 in 24; 9. 10, 12, 14, 15, 16, 18, 21; 11 . 8, 12, 16, 24, 32, 36, 256; 13 . 6 amn, i()ani‘n, 5a 2 a 2 ; 2), 20 (sc 2 -4) in 6(cc + 2) 2 . Poišči najmanjši skupni mnogokratnik naslednjih števil, ne da hi jih razstavil na faktorje: 15 . 874 in 943; 16 . 561 in 1530; 17 . 4314 in 9347; 18 . 20132 in 15099; 19 . 816, 765, 697; 20 . 259, 3219, 7548. VII. Naloge v ponavljanje. *1. a) 57+12; b) 39 + 63; ej 25 + 47; e) 86 + 35; d) 94 + 96. *2. a) 371 + 128; b) 607 + 134; c) 593 + 238; č) 369 + 158. 3. 7a + (5« — 3); 8* — (4x — 3 y). Dokaz! 4. Brzovlak se odpelje z Dunaja ob 7' 1 20' in dospe v Ljubljano ob 3* 10'; koliko časa traja ta vožnja? 5. 132475.37060 + 7908.4296. 6. 83716.5009 — 63077.7080. 7. Seštej a) 6x + 5 y b) 8« + 76 — 6c + 5 d ai + 7 y 9 a — 65 + 7c — 4 d 8*— y 7 a —56 — 8c+6rf 8. (4 a* + 5+ 664) ( 7a 2 _ g&2), 9. (2a2 + 362) (5 a 2 _ 4&2j _ ^ a i _ 1264). *10. Koliko velja a) 24 l a 26 h; b) 17 m a 2 K 34 h? *11. 9 kg velja 3 K 78 h ; koliko velja l/«7? 12. (5a + 26 — 3c) — (2 a — 36 + 5c) — ( a — 26 — 4c). 13. 7 a — (3e — 65) — (6« — 3e) — 36 + (3ct — 8c). 14. (9«2— 1662):(3a + 45). 15. ( 8x4 _ 26x3 _ 433,2 _ 78x — 21) : (2x2 _ 9* _ 3 ). *16. a) 85 — 24; b) 74— 53; c) 56 — 29; d) 81—47; e) 98 — 29. *17. a) 466 — 149; b) 393 — 208; c) 706 — 658; d) 832 — 399. 18. Posoda napolnjena z morsko vodo tehta 67-607 kg, prazna posoda pa 9’125 kg- t koliko l drži ta posoda, ako iznaša gostost morske vode D026? 69 19. Kolika je vsota treh števil, katerih je prvo 789021, drugo za 179248 manjše od prvega, in tretje za 98764 manjše od drugega? 20. Pestalozzi je bil porojen v Curihu dne 12. januvarija leta 1746. ter je umrl v Bruggu na Aargavskem dne 17. februvarija leta 1827. Koliko starost je učakal? 21. Na ladjo so naložili 236 t 24 q. Na postaji so raztovorili 28 t 64 q, naložili pa 54 t 98 q ; koliko iznaša potem tovor ? 22. Gospa kupi 5 kg moke po 28 h, 3 kg sladkorja po 92 h, 2 kg riža po 72 h; koliko dobi iz dvajsetkronskega novca nazaj? 23. Magnetni odklon je bil v Parizu leta 1814. 22° 34' 2" proti zahodu, leta 1874. pa 17° 30' 6" proti zahodu; za koliko se je izpremenil odklon vsako leto? 24. 7 xy — [7 yz — (3 xz — 2a cy) -j- 3a -,y\ — (Jbyz — 3 xz), 25. (3 a + 86)2 + (4 a + 6&) 2 — (5a — 106)2. 26. (*s —J—as 4 */ 4 -(- y 8 ) : (m 4 — x 2 y 2 -J- ?/ 4 ). 27. a) 86727.25; b) 13076.125; c) 399448.11. 28. a) 54352.41; b) 56703.108; e) 870234.49. 29. a) 68304.63; 6 ) 99755.48; c) 513942.270. 30. a) 17768.399; b) 64159.994; c) 806635.999. 31. a) 34625 : 25; b) 57625 :125; c) 8872472 : 56. 52. f6* 7?/ + 5z) + (4z + 4 ij) + (10* + z) (9// -J- 14z). 53. (v?x — 6 2 v/) 2 -j- (n 2 * -J- 6 2 ?y)2 — (a 4 * 2 -j - 6 4 +). 34. (16*5 — 8x 4 + 12* 3 — 6x 2 + 2* — 1) : (2*2 + 1 j. 35. a) — 1.2. — 3.4. — 5. b) 2 . - 3 . — 4 . - 5 . — 6. 36. (— 3*) (2 ax) (—5a 2 *) C— ax % tf) 37. (3*2 + «/)2 _ (2*2 _ 3 ?/ )2. 38. Za katero število je 8a + 36— [26 — 4c—(6— 7a)| večje nego 2 a —46 — 8c? 59. 206 — 5a— 12— j a — [6 + 5 — (3o — 6)] | — [4a —2 + (—6+1)] ? za a = 16, 6 = 14. 40. (9« — 56) (« -f- 26 — 3) — (3 a — 56) (3a — 6 — 3). 41. y4«3 — 16a 2 + 7 a + 20): (2a — 5). *42. a) 728+ 154; 6 ) 398 + 542; c) 827 — 452; 6) 643 — 397. *43. 15 l velja 6 K 60 h; koliko velja 11? 44. Nekdo je bil porojen dne 5. januvarija 1. 1819. in je umrl 60 let 6 mesecev in 12 dni star; katerega dne je umrl? 45. (4a 3 6 4 + — 12a? 68): — 2a 2 6 3 . 46. [12a 4 »i 2 (—10aw 3 )j : [(—6 3 • (!)■■■ 73 I. Navadni ulomki. 1. Obča svojstva ulomkov. § 77. Ako enoto razdelimo na b enakih delov, enaka je vsota b takih delov zopet enoti; torej . b — 1. Ako vzamemo manj nego b delov, dobimo manj, ako pa vzamemo več nego b delov, dobimo več kakor enoto. Ulomek — je torej manjši kakor 1, če je »<&; enak 1, če je a = b, in večji nego 1, če je u> b. Na pr. US 8 1 . Ulomek, katerega vrednost je manjša nego 1, imenujemo pravi ulomek (ecMer Bruck), vse druge ulomke pa neprave ulomke (unechte Brucke). Število, sestavljeno iz celega števila in pravega ulomka, zo- vemo mešano število (gemischte Zalil)] na pr. _3 4 5 + - 7 - = Bf, + m m n § 78. Iz § 76. sledi: [j + J + J + • • • akrat ] ' b = (I) • b + (I) • h + 1 b ^ . b . . . »krat = 1 + 1 + 1 + . . . a krat = a. Iz te enačbe izvajamo: Ako pomnožimo ulomek z njegovim imenovalcem, dobimo števec za produkt. § 79. Iz pojma o ulomku izvira: 1. Izmed dveh ulomkov, katera imata enaka ime¬ novalca, je oni večji, ki ima večji števec. 2. Izmed dveh ulomkov, katera imata enaka števca, je oni večji, ki ima manjši imenovalec. 74 § 80. Vsak nepravi ulomek se da pretvoriti v celo ali mešano število; v ta namen treba števec razdeliti z imeno¬ valcem. f = 20:E. = ^ 23 _ 20 + 3 4 + 1 ‘4*. o 5 § 81. 1. Vsako celo število moremo pretvoriti na ulomek, čigar imenovalec je dano število. V ta namen je treba le produkt iz celega števila in danega imenovalca vzeti za ulomkov števec. „ K , 20 an 5 = 5.4:4 = 20 :4 — . . a = an: n — — • 4 n 2. Vsako mešano število se dapretvoriti naulomek. V ta namen pomnoži celo število z ulomkovim imenovalcem, ta pro¬ dukt povečaj ali zmanjšaj za števec, kakor je ulomek pozitiven ali negativen; to število je števec, imenovalec pa ostane neizpremenjen. 5 — = 5 + — 3 3 j (5 + . 3J : 3 = (15 + 2) : 3 = 17 = (an ± m) : an + m : n § 82. Ker moremo vsak ulomek smatrati za kvocient in se le-ta ne izpremeni, ako pomnožimo ali razdelimo dividend in divizor imo § 83. 1. Uporabljajoč prvi del izreka v § 82. moremo vsak ulomek, ne da bi se mu izpremenila vrednost, pretvo¬ riti na drug ulomek, čigar imenovalec je mnogokratnik prejš¬ njega. V ta namen treba le novi imenovalec razdeliti s prejšnjim in s tem kvocientom pomnožiti števec; dobljeni produkt je novi 4 števec. Recimo, da hočemo na pr. ulomek ^ pretvoriti na imeno¬ valec 40. Tu dobimo 4 32 40 : 5 = 8; 4.8 = 32; torej ~ 75 Ako bi hoteli ulomek pretvoriti na imenovalec 4 bc, dobili bi a 2 ac 4 bc : 2b — 2c ; a . 2c = 2ac; tedaj ^ Kadar pretvorimo ulomku obliko s tem, da pomnožimo imeno¬ valec in števec z istim številom, pravimo, da smo ga razširili (ermeitern ); število, s katerim pomnožimo števec in imenovalec, imenujemo razšitjalno število (Erweiterungszahl'). 2. Ulomke razširjajoč pretvorimo jih lahko tudi več na nov skupni imenovalec, ki pa mora biti mnogokratnik vseh danih imenovalcev. Navadno pretvarjamo ulomke na najmanjši skupni imenovalec. V ta namen poiščemo najprej najmanjši skupni mnogokratnik vseh danih imenovalcev; ta je tudi najmanjši skupni imenovalec. Da dobimo potem vsakemu ulomku novi števec, treba razdeliti novi skupni imenovalec s prejšnjim ter s kvocientom po¬ množiti prejšnji števec. — Primera. 1. Pretvori ulomke , 3 ^ 8 ’ _9 10 na najm. sk. imenovalec. Najmanjši skupni imenovalec je 40, in zaradi tega dobimo: tedaj 40 2. Pretvori ulomke a 3 m 21/ 4 bc j na najm. sk. imenovalec. C w Najmanjši skupni imenovalec je Abc~d. Zaradi tega dobimo: a 2 ačAd Abc l d : 2b — 2 c 2 d, 2crd . a — 2ac~d ; 4 bc~d : 4 bc = cd cd . 3 m — 3cdm ; 4 b(?d : c, l d — Ah, Ah . An = A&m ; 2 b 3 m 4 bc 4w ~#d 4 bcM 3rdm 4 bČH 16 bn Ahrh! § 84. Uporabljajoč drugi del izreka v § 82. moremo ulomek, čigar števec in imenovalec sta z istim številom razdelna, okraj- 76 sati (abkurzen). V ta namen je treba le števec in imenovalec razdeliti z njiju skupno mero. Na pr. 35 _ 7 200 _ 20 _ 5 ^ 40 8 ’ 240 24 6 ’ 4 am 2 m 12a 2 bx 2 4ab 6 an 3 n ’ loacx :i 5cx * 1 . 2 . Naloge. Pretvori na cela ali mešana števila: 24 27 32 37 30 57 96 104 223 2 ’ 5 ’ 4 ’ 6 ’ 3 ’ 8 ’ 7 ’ 10' 982 744 2383 3383 13785 405979 15’ 24’ 9 ’ 30 ’ 128 ’ 96 ax 3bx 2 4a + 3 am + b 3acc — b 4’ a) * 3 . 4 . ^ a ’ x ’ 4 ’ m Pretvori na neprave ulomke: ab-c ■ mx 3x 64, 7f, 13-1, 3A, 151, 21 274, -o- 30 f .2 01 _3 07 6 77 f, 95 H, 561f, 56 H, 83 44, 324 f|. —, 3 a + —, 5cc + cc + —- m a x m + n b) a + c) m — x 2 „ \ H , a 2 — b' 1 — c* a* — o* — c* , . 1 + “■ ašT“ 1 “ - »s. • ° + 8 ~ .-6 Pretvori ulomke §, f, f, f- na skupni imenovalec 24! x 1 + a ■ a + b' a 2 - 6 2 1 + x-- ab _ x 2 - 1 a: 2 xy + y l 4 xy a ' 2 - 26 2 * 5 . 6 . Pretvori ulomek + 1 na imenovalec m 2 — 1! Pretvori ulomke , a 2w 5/i 3«?/ 6 ab' 3p 10 by na imenovalec 30abxy. Pretvori te-le ulomke na najmanjši skupni imenovalec: 77 15 . 17 . a — 1 a — 2 a — 3 « + 1’ a + 2’ « + 3 x ~h 1 X 1 + 2x 3« _ x- — 1 a; — 1’ X 1 — 1 ’ x + 1’ a; 3 + 1 k; v + 1 ^ - 1 y 8 + i 'y- i’ ž/ + i’ y*-i' . 18 . 1’ (a+ 1)3’ (a-1) 2 ' Okrajšaj te-le ulomke: 19 . a) M; b) m ; c; tAtt; ^ m 20. «j 5.12 .18 b) 6.12.20.28 4.10.27’ y 4. 8.16.30’ y 8.27.50.56.60 6.21.24.36.75 21 . a ) m-, b) m- „ ) 76 V z*- L5_. x) O 4 j V 20 79 . Y0Y9 i d) 9082 . TTTSZ J e ) 78 22. Izračuni vrednost izrazu 23 - 24 . 25 . 26 . za n = 6, prav tako za n Okrajšaj te-le ulomke: a) n (n — l) (n — 2) (ra — 3) (ra — 4) 1.2.3.4.5 8, dobljena ulomka pa okrajšaj. 3 ahx , \ 12 «'+ . 15«w.a3 :! 72mx 2 y 3 12 bmx’ 28ax 2 ’ ° 406m«; ’ ° 96 nx 3 y 2 a) a) «(« + !) b) 2 m (: m ■ (o+ 1) (o+ 2)’ 15r — 10 y , i 7«2 + 14« 1) _ \ 15 (« + b) (x — y) m 3 — 1 ’ ' 24 (« — b ) (x — y ) ab-b 3 21x - , \ tu ,— r j .-™ \ X 2 — 6x + 9 14 y ’ 4«6 + 8/, ’ ' ;+ -9 ’ X*— , _ a+z+ara/ 3 ’ 12« 3 6—3a& 3 -r 16« 4 —& 4 ; c) ^ ab — a 2 80«^2-5« 2 6 4 16«3+16«6’ 24«3fe 3 +6a& 4 ' 8«3—8 ab č) 2. Seštevanje in odštevanje ulomkov. 2 § 85. 1. Hočeš li sešteti ulomka + ~ 9 (~ in -V treba le, V m to/ da vzameš 9 tt (m ti ) del enote najprej 2 krat (akrat), potem še 5 krat (frkrat), torej vkup 7 krat (a+ 6 krat). Torej je 2,5 7 , v a 9 + 5 - = 9 vobče b _ a + b m m 9 y y to Ulomke enakih imenovalcev seštejemo, ako sešte¬ jemo vse števce ter damo tej vsoti skupni imenovalec. Na pr. 7 , 5 _ 12 _ 3 8 + g- o o a^+ b , « 2 to 2 to 8 2 b _ (« + b) + («- 2m b) 2 « 2w a m 78 2. Kadar je treba sešteti ulomke neenakih imenovalcev, pre¬ tvori jih najprej na skupni imenovalec, potem pa uporabi prejšnji izrek. Na pr. 4 ' 6 12 + 12 12 15 a b _ cm _j_ bm __ an + bm m n mn mn mn § 86. 1. Hočeš li ulomek H odšteti od ulomka C). moraš vzeti 7 krat (a krat) 9 tl (m u ) del enote, zmanjšan za 2 krat (č>krat) 9 li (m") del enote, torej 5 krat [(a — 6) krat] m ti del enote. a b a — b m m m Ulomka enakih imenovalcev odštejemo, ako subtra- hendov števec odštejemo od minuendovega in tej diferenci damo skupni imenovalec. Na pr. 7 _ 3 _ 4 _ 2 10 10 10 5 ’ x + y _x — y _ (x + y) — (x — y) _2c/ mm m m 2. Kadar je treba odšteti dva ulomka neenakih imeno¬ valcev, pretvori ju najprej na skupni imenovalec, potem pa upo¬ rabi prejšnji izrek. Na pr. 7 __3 = 7 __6 = 1 . 8 4 8 8,8’ a _ b_ __ an bm an — bm m n mn mn mn Naloge. *!• a ) 8f + f; b) | + 4|; c) 2f + 4-f-; č) 10* + 6*. -•■'2. a) i + f + f; b) 8 * -j- ji + rk; c) 5 j 3 q + 6 * + 7 j !! ff . 3. 35 * + 57 * + 79 U- 4. 54 ff + 98 ff -f 44 + 61 ff. ;A 5. a) g -f b) * + ff; <0 f + f J <0 3 * + ff. *6. a) f + 4; b) 2f + c) 3f + 9f; č) 17f + 12*. *?• i + f + 4; b) t + I + f; cj 1| + 2| + 3*. 8. | + f + * + *. 3- f + •* + M + M- 79 10. 231 + 21* + 58* + 47 M. 11. 52 f + 93 y 7 o + 88 + 35f| + 208*. 12. 4068 + 1234|| + 5678ff + 987 ti + 6543 U- 13. Iz jame moremo izčrepati vodo z eno vodno sesalko v 15 dneh, z drugo v 12 dneh; koliki del vode izčrepa v enem dnevu a) vsaka sesalka zase, b) obe skupaj ? prvih dveh ulomkov manjša nego 1? — za koliko vsota prvih treh, štirih, petih, šestih? 4 x . 2x '8 + T 25. 28. 3 3 .»d 6x — 5 y , 3x 4 y „ .2 ' , v »2 _ „ .2 * 32. 34. 36. 38. 40. a + 4x , 2a + x x- 3a — 2 . 2a. + 3 3 _ 3 g* + !f + bc ac ob a + x x a i~ x a — b a a + b , _ a - - b + a + b' 9 « + 2 _ 7 a + 5 3 4 2 5 gg 3m_m 4 4' 27. 29. ~- h ~ + 3 m x _ y — z 8 _ 1T‘ 2a — b + 3c 3 m gj 6 + ~ 2 + 5a 2 — 36 2 10a 2 — 4b~ a + b a + b 33. - 35. 1 + 1 , + a + b x x x~ 12 1 x 3 8 +h 39. a + b - y y — i' a — b a — b a + b 3 - 7a ^7a 5 ~^3a _ 6 8 12 + , 4 h 41 ' 2x — 1 3x — 1 ' 2x-3 l- 42. x ■ 2x 3x + 1 4x — 3 x — 2 x - 80 4B. a + b — e _j a — b + c 6 + c — a «6 ac bc 44. J + x + £ 3 3?/ 5:c 45. a + 1 > — 1 2a — 2 2a + 2 3a; _ ox + 3t/ __ 3y — 2a; Preizkušnja za 15?/ 15cc * — 3, y = 2. l 3a 2 — 1 _ ' . “T ^ ^ • Preizkušnja za a = 0‘6. 3. Množenje in deljenje ulomkov s celim številom. § 87. Ulomek pomnožimo s celim številom, ako ž njim števec pomnožimo ali imenovalec razdelimo. D A 3= 2 + A + A = A+ . 8.+ A. ' 15 15 15 15 15 Ž) 15' 3 = 1573 2 5 : 6 15 a b 5’ b am b' b Dokaz. 1) Ako vzamemo a delov, katerih vsak je , m krat za sumand, dobimo am takih delov; torej ■ m am T’ 2 ) f.»- UMI / = y (po 1) = am . a -(s 82 .) = 7 -• o : m b : m § 88. Ulomek razdelimo s celim številom, ako ž njim števec razdelimo ali imenovalec pomnožimo. 18 : 3 = 6 25’ 18 • 3 25 ‘ 3 25 18. 3 = _1§_ 25 ' 25.3 Dokaz. Res je a : m —:— . m = bm a a: m - ---- : m = —;—; 18 75 6 25’ a bm. ( § 87.) = f, kakor tudi b b _ /O q rj \ (A i — (S 87.J = bm b Množenje z ulomkom. § 89. Vzemimo, da je treba število 5 pomnožiti z ulomkom, na pr. s f. Gledd na to, kar smo povedali v § 34., 35. o množenju, morali bi tu število 5 vzeti f krat za sumand; to pa očividno nima 81 nobenega zmisla. Nastane zatorej potreba, da pojem, katerega so iistanovili za množenje celih števil, tako raztegnemo, da se da uporabiti tudi za ulomke. Naloge praktičnega življenja same kažejo, kako je treba raz¬ tegniti pojem o množenju. Ako velja na pr. 1 m 5 K, velja a metrov 5 K X a, torej f metra 5 K X §. Pomen tega produkta razvidimo iz rešitve te naloge; dobimo namreč: 1 meter velja 5 K; \ metra velja četrti del od 5 K, torej — K; § metra veljajo 3krat toliko, kolikor % metra, torej — K X 3; zato je 5 K X ~ K X 3. Število z ulomkom pomnožiti se torej pravi, število razdeliti na toliko enakih delov, kolikor enot ima ulomkov imeno¬ valec, ter en tak del vzeti tolikokrat za sumand, kolikor enot ima števec. 5Xf = | + f + | = |X3 = J ^. Število pomnožimo z ulomkom, ako je z imenovalcem razdelimo ter kvocient s števcem pomnožimo. (V zmisln izvoda v § 51. moremo račun izvršiti tudi v obratnem redu.) 10 • 3 5 10 5 3 = 2.3 = 6; a a am • m = — . n n dobimo po prej- Ako je ulomek pomnožiti z ulomkom šnjem izreku a m / a \ a J ’ ~n ~ Vb : V ' m ~ bn ' * Ulomek pomnožimo z ulomkom, ako damo produktu števcev produkt imenovalcev za imenovalec. = im' ‘ Na pr. - 7 10 3j l 7_ 5.10 -21 50’ Dostavek. Ako dasta dve števili 1 za produkt, imenujemo vsako teh števil obrnjeno ali recipročno (umgekehrt oder rezi- prok) vrednost drugega. Močnik, Aritmetika. X. 1056. 6 82 Deljenje z ulomkom. § 90. Ker je v § 48. ustanovljeni pojem o deljenju vobče veljaven, izvira iz njega tudi izrek, kako je z ulomkom deliti, namreč: Sjtevilo razdelimo z ulomkom, ako ga razdelimo s števcem, kvocient pa pomnožimo z imenovalcem, ali ako ga po¬ množimo z ulomkovo recipročno vrednostjo (z obrnjenim ulomkom). Faktorje v števcu moremo z enakimi faktorji v imenovalcu okrajšati uže med računanjem. 5 4 = 1 1 = A 8 ' 3 2 ’ 3 6 ’ Naloge. *1. a) f • 6; b) A • 7; c) !f • 5; S) ki • 16. *2, a) H ■ 6 ; b) U ■ 12; e) M • 30; c) f| • 20. 83 * 3 . 4 . • 5 . * 6 . >ts ■ 6; 6) 3|- ■ ‘24. a) 7| • 9; 1 ) • o; c) a) 81 hi ■ 74; b) 57M • 79; c) 258• 85; č) 607 1 m velja f K; koliko velja 5, 12, 37, 72 m? 1 hi velja 23-f K; koliko velja 6, 15, 20 hi? 120 . by\ b). 13 . ! a + l 3 - 2 a. a 14 . 1 + 1 + « . (1 + a). 15 . 17 . m 4 18 . 11 + - 3 + + 1 n" m- m _2o 3 _j^ 3a ^ j X” x- x ) a 3 ! 3 - 2alc 3 + c 4 16 . j 3 m s { 4 n s , 2m? m j 3n 2 2n ! 12«. ^ a' i 'r.3 X° 4 alc 3 > 19 . * 20 . 21 . * 22 . 23 . 24 . 27 . 29 . 31 . 32 . ' 33 . 31 . 35 . 36 . * 38 . 39 . a ) ts '■ 4; b) : 6; ■ 1: 5; 1) 44 * 4- * <0 . (« 3 1 3 — 2alc 3 + c 4 ). : 7; 6) 7|: 12. ■jt - 1-^:9; c) Tff 15. 9.12 f : 3; h) 184-f:16; c) 791*; 27; 179 M -.34. Lokomotiva predirja v 4 urah 113f km ; koliko v 1 uri? Ako velja 1 hi vina 36 K, koliko vina dobiš za 499 \ K? 15am 51 1 5 a; 3 «/ 3 luV, 1 5aj. 2al 3 . 25 . L 2 a, m ?; 51« 4čuk. 26 . 8a; 3 ?>my : 3my. 1 + m :2m. m + w ) 28 . 3 «. lOm 3 ^ 3 xy 2 + 1 - a 3 + l 3 a d - 1 (a + 1 ). 6a 3 + 5al_-_61 3 2a + 31. 1 + 2w — 2wi 3 — m 4 1 — 2ro + m 3 15 ■ b) 64 : ( 3 a - 21 ). (1 -j- 2 m + m 3 ). - • c) 31 • *; č) 8 • 5 f «) ss • ff; b) H a) to- • -s-i 8 . TT, 8 T5 7 . T2, č) 27 f- c) 10 * • T 2 ; b) 27 • 15 i; 28-1-91; cj 53if’8M; c) 216*-15H- 6 f • 11 • f ■ 11. 37 . | • 1 -£ • 6 ■ tt ■ f. Za koliko je produkt ulomkov § in f manjši nego vsak faktor ? Za koliko je produkt ulomkov i, f, f in f manjši nego njih vsota? 6 * 84 40. 1 kg sladkorja velja 96 li; koliko velja 5§ (444) kg? 41. B ima 2 -J- krat toliko denarja kakor A, C l\ krat toliko kakor B, D pa le f krat toliko kakor <7; če ima A 45 § K, a) koliko de¬ narja ima vsak izmed ostalih? b) koliko pa imajo vsi skupaj? 42. 8« ■ 45. 2«3 b 4' bx ’ 2aŽAy' 43. ax ■ 2 b y' 44. 4x 2 ' 46. (a — *) • a + x T 47. 3a*. 3 ah 2 xy ax Al 3 ax\ /_5ac\ V dx)‘ 56. 58. a 4~ b m — n [ «3 a — b vi -j- n 57. 1 + - a - a - , a i 26 363 + 453 1 3a? 46 2 ' X* 60. 1 + A b i 1 + 61. /3a6 a VIT 663 + 6 ) 1563 \ ac ) _a_ CL+b 5 ac ŠP' 50. b a — 6 \ a 1 26 x 2 4- 2x + 4 * 4 -f 8 ■ 2*3 + 4 x- 9' 62. 63. 5*3 2x _ 0 T + J 2 1 4. m J_ m ' t 1 + J + J + (7*3 5* ' I To + 7 m. s j \ . 4 j • r ~ + m 2 2| 3 i' *64. a) 24: f; 6 ) 15 : f ; cj 10 č) 32 : 5|. 65. aj |4 : A; b) * : *; c) : st; c) 8 - 2 % : *. 66. a) 6 ; 140f : 6 A; cj 105* : 121; č) 135* : 20 if. *67. 27^ l vina je stočiti v steklenice; koliko steklenic se potre¬ buje. če drži vsaka natančno f- 1 ? 68. Stavbni svet meri 11544 • Posestnik proda 67 f m 3 za 461* K, m 3 ostalega sveta pa za 14 K dražje; koliko prejme za ves stavbni svet? 69. Posoda za vodo se napolni po eni pritočni cevi v 3 urah, po drugi v 4 nrah; a) koliki del posode se napolni po vsaki cevi 85 70. 71. 74. 76. 78. 80. 82. 84. 85. 86 . 87. 88 . •91. 92. 93. v 1 uri? h) v koliko urah se napolni posoda, če priteka voda istočasno po občil cevčh? Vlak predirja po različno napeti cesti v prvih 3 urah 94 %km, v drugih 2-g- ure 70gf km in v naslednjih 3f ui'e 122 km-, kolika je njegova povprečna hitrost v 1 uri? 2 a m '■ 2 m 72. 12a 8 3 a 8 73. 6«‘ y ■ 3 6 3 t , \ . x + y (,x + y) ■ -A x — v 3 a 4x 5x 2 h' / 12 a 8 \356 4 ‘ 8« "\ _ 4a 5.6®/ ' 56 3 ' ja + -tj : j« —--j 4 (ce + ;y) _ 8 (m — ■») 9 (m — n) 3 (x — ?/) j 1 „ , 47 . 2 75. ( ffl 8-5*): 77. 79. 81. 83. a + 6 a — 6 r . * x 2 — 6 (a;*-y*): ( l 1 y a + h 1 _ x 1 i )■ _xy x* — i/ (x + y x — y 13* 3 9a; 2 xy j 3x , , 47 I 2“' + 2i0“* 43x2 62! ' ( 4 3x2 _ 4 ! 4 y 15 14 10 ) 5 ?/ 6 «- 5x 2 V 24 X , X . _l_ .. . x + a x — a 3 («6 — 4) 35crf2 - 2a 9 — a 4 : 8 ‘ a + 89. bx — ay x + y a x - a x + a a bx + ay x + y 3 Preizkušnja za a — 1, 6 = 2, c = 3, d = 4. Preizkušnja za « = - 2 . — Preiz- I kušnjaza a — — 1. 90. a -j- a L2 5 TSt A, A P° njihovi vrednosti, začenši Kolikokrat je f m v ^ m, v A m? Razvrsti ulomke f~, pri najmanjšem! Ako predirja motor 1 v 15 minutah, v katerem času pre¬ dirja 15 km,? Kako daleč dospe v 2| ure z isto hitrostjo? 86 94 . A dobi 32814 K, B § tega, kar dobi A, in še 15 K 48 h, C f od tega, kar dobi B, in še 34 K 25 h, D toliko, kolikor dobita A in B skupaj manj 182 K 27 h in E toliko, kolikor B in C skupaj manj 26 K 30 h; koliko dobi vsak in koliko vsi skupaj? II. Decimalni ulomki. 13 7 d, 100 4 o 6432 n j no i 13 s, r = 6432t... ’ 1000 fin . 7 13 6432 .. 7 §91, io’ioo’iooo"' ah 10 v 7 13 6432 , v A ah 10’ 10®’ • • • vobce & Ulomek, čigar števec je celo število, imenovalec pa kaka po¬ tenca števila 10, tedaj 10, 100, 1000,.. 1CT, imenujemo decimalni apr.jg, 617 57 T7T> • • • • Obča oblika 10 ’ 1000 A decimalnega ulomka je kjer pomenita A m m celi števili. Decimalne ulomke moremo torej smatrati kot neko posebno vrsto navadnih ulomkov. Ker je 6432 = 6.10 3 + 4.10^ 10 3 10 3 3.10+ 2 ,.,4,3,2 - 6 + 10 + 10 = + 10 = " 6 + 4 w + 3, sr= +2 io=’ A vobče ■.. = a.,. 10 3 + a. t . 10 + a, + b, ' io + bl ' io 2 + h *' 10 3 ' moremo pa decimalni ulomek smatrati kot razširitev dekadnega sestava, pri čemur uvedemo dekadne enote nižje vrste, desetine, stotine, tisočine i. t. d. Zato pa pišemo decimalne ulomke kakor cela števila, samo da ločimo ednice in desetine s točko, katero imenujemo decimalno točko. 7 _ r..r7 13 _ I o 6432 io - 0 7 ’ 10= - 013 ' W 6'432 i. t. d. Število na levi decimalne točke pomeni celo število; številke na desni strani decimalne točke imenujemo decimalke (l)ezi- malen), prva decimalka pomeni desetine, druga stotine, tretja tisočine i. t. d. 87 Decimalni ulomek čitamo tako, da izgovorimo najprej celote pred decimalno točko, potem pa vsako posamezno decimalko z njenim imenovalcem. Imenovalec posameznih decimalk pri izgovarjanju dostikrat tudi opuščamo ter imenujemo po vrsti le vse decimalke, ne izimši ničle. - . • • , A . Izvodi. 1. Število decimalk decimalnega ulomka 1(yB je enako potenčnemu eksponentu imenovalca. 2. Decimalnemu ulomku se vrednost ne izpremeni, ako mu pripišemo na desni kolikor si bodi ničel. Na pr. 0'23 = 0'230 = 0'2300 . . . 3. Vrednost vsakega decimalnega ulomka je manjša od enote onega mesta, ki stoji pred najvišjo veljavno številko. Na pr. 0-0834 < Pretvarjanje navadnih ulomkov na decimalne in obratno. § 92. Da pretvoriš navadni ulomek na decimalni ulomek, razdeli števec z imenovalcem, v kvocientu pa postavi za celotami — (na njih mesto pride pri pravem ulomku ničla) — deci¬ malno točko. Ostanku pripiši potem ničlo, deli zopet ter zapiši dobljeno kvocientovo številko na desno od decimalne točke. Prav tako pripiši potem vsakemu naslednjemu ostanku ničlo ter nadaljuj deljenje, dokler ne dobiš deljenja brez ostanka, ali, če se to ne zgodi, dokler nimaš toliko decimalk, kolikor jih želiš. q 300 — = 30 : 4 = 0-75 —J = 329 :125 = 2'632 4 20 126 790 0 400 250 0 Dokaz. Ako pripišeš ostanku celot ničlo, pretvoriš ga na desetine; ako potem te razdeliš, dobiš v kvocientu desetine. Če pripišeš ničlo prav tako ostanku desetin, pretvoriš ga na stotine in le-te razdelivši dobiš stotine; i. t. d. Dostavka: 1. Da moremo navadni ulomek natančno pre¬ tvoriti v decimalnega, treba, da postane ta decimalni ulomek 88 končen (endlich), t. j. popreje omenjeno deljenje se mora dati izvršiti brez ostanka. Ako vzamemo, da sta števec in imenovalec relativni praštevili, tedaj je deljenje brez ostanka le takrat mogoče, kadar imenovalec nima nikakega faktorja, ki je raz¬ ličen od 2 in 5; kajti z vsakokratnim pripisanjem ničle izvršimo množenje z 10 (5 X 2) ter s tem ostanku pridenemo le faktorja 2 in 5. V vseh slučajih, v katerih imenovalec celo nima faktorjev 2 in B, ali v katerih ima razven teh še različne druge faktorje, da se navadni ulomek v svoji najenostavnejši obliki le približno pretvoriti na decimalni ulomek. Na pr. ~ = 23'0 : 78 = 0‘2948 ... 2. Kadar se navadni ulomek ne da natančno pretvoriti na decimalni ulomek tedaj moramo, pretvarjajoč ga na decimalni ulomek približno iste vrednosti, dobiti nekaj decimalk, katere se v istem redu ponavljajo. Kajti v vsakem deljenju je ostanek vselej manjši nego divizor; zato moremo dobiti le toliko različnih ostankov, kolikor je celih števil, ki so manjša nego divizor. Deljenje nadaljujoč moramo dobiti naposled ostanek, katerega smo že poprej imeli, a potem se bodo tudi v kvocientu v istem redu ponavljale številke, katere smo že poprej dobili, in prav tako se bodo ponavljali tudi prejšnji ostanki. Na pr. 15 7’0 :15 = 0-4666 . 100 100 100 10 18 37 = 18-0 : 37 = 0-486486 . 3 20 240 180 320 240 18 Decimalne ulomke, v katerih se ponavlja nekoliko številk v istem redu, imenujemo povratne ali periodične (periodisch), vrsto ponavljajočih se številk pa povračaj ali periodo (Periode). Periodo zapišemo navadno le enkrat, toda nad prvo in zadnjo njeno številko postavimo piko; tedaj je: 7 15 = 0-46; 18 37 = 0-486. 89 § 93. Decimalne ulomke pretvarjamo v navadne ulomke po teh-le izrekih: 1. Končen decimalni ulomek pretvoriš na navadni ulomek, ako ga napišeš v obliki navadnega ulomka in tega, ako mogoče, še okrajšaš. Na pr. 075 = 75 100 3 4 ’ 31'325 = 31 325 1000 2. Cisto periodičen decimalni ulomek, t. j. ulomek, ki nima pred periodo nikakršnih decimalk, pretvoriš na na¬ vadni ulomek, ako vzameš periodo za števec, za imenovalec pa toliko 9, kolikor ima perioda številk. 0'46 46 99' Dokaz. Ako zaznamiš iskani navadni ulomek z «, tedaj je x = 0'46 46 46 . . ., ako odšteješ prvo vrednost 100« == 46'46 46 46 . . ., od druge dobiš 99« = 46 in odtod 46 X ~ 99 3. Mešano periodičen decimalni ulomek, t. j. ulomek, ki ima pred periodo še druge decimalke, pretvoriš na navadni ulomek, ako odšteješ število, sestoječe iz decimalk pred periodo, od števila, sestoječega iz decimalk pred periodo in v periodi, ter to diferenco vzameš za števec ulomku, čigar imenovalec ima to¬ liko 9, kolikor ima perioda številk, s toliko ničlami na desni, kolikor je pred periodo decimalk. Na pr. 0-325 = 325 - 3 = 322 CV427 = 427 — 42 = 885 990 990' “ 900 900 Dokaz. Ako zaznamiš iskani navadni ulomek z x, _ 77 180' je x — 0'3 25 25 25 . .., torej 1000« = 325"25 25 25 ..., 10« = 3'25 25 25 ..., ako es dobiš 990« : - 325 — 3, in odtod 3 25-3 = 322 990 990' Četvero osnovnih računov z decimalnimi ulomki. § 94. Računanje z decimalnimi ulomki se opira na tiste za¬ kone, kakor računanje s celimi števili, paziti pa je na mestno vrednost posameznih številk, t, j. na decimalno piko. 90 Hočemo li decimalne ulomke seštevati ali odšte¬ vati, napišemo jih. tako, da pridejo istoimenska mesta, tedaj tudi decimalne točke, natančno druga pod drugo, potem jih seštevamo ali odštevamo od desne proti levi kakor cela števila. Na praznih mestih si lahko mislimo ničle. 35'312 215-3456 0-5678 91-45923 39(2 _ diferenca 123"88637 vsota 75-0798 Dostavek. Pri mnogih računih navadno zadošča, ako od decimalnega ulomka, imajočega veliko decimalk, pridržimo le nekaj decimalnih mest. Pogrešek, ki tako nastane, izkušamo kar največ zmanjšati in sicer s tem, da zadnjo pridržano decimalko popra¬ vimo (korrigieren). Ta poprava sestoji vtem, da zadnjo pridržano decimalko povečamo za 1, kadar je prva izpuščena številka 5 ali večja od 5, in da zadnje pridržane decimalke ne izpremenimo, kadar je prva izpuščena številka manjša nego 5. Tak decimalni ulomek imenujemo okrajšan ali nepopoln. Da označimo decimalni ulomek za okrajšanega, pripišemo mn nekaj pik. 7"28374 da okrajšan na 4, 3, 2, 1 mesto: 7-2837 ..., 7-284 . .., 7'28 . . ., 7'3 ... V pravilno okrajšanem decimalnem ulomku je pogrešek vselej manjši kakor polovica enote poslednje pridržane decimalke. Kadar so v enem izmed več sumandov (ali tudi v minuendu ali subtrahendu) desetine, stotine ... nepopolne, nepopolne so dese¬ tine, stotine ... tudi v vsoti (diferenci). V takem slučaju ne moremo vsote (diference) določiti natančneje kakor na desetine ali stotine; zato pa vzamemo od nižjih mest popravo. Na pr. 134‘5 ... ali 134'5 ... ! 13'43 ... | 13-43 . .. 28‘359 28-4... ; -5'82,43 j -5'82 7"84 7'8 . .. 7-61 . . . 7'61 .. 170"7 . .. 170-7 ... § 95. 1. Decimalni ulomek pomnožimo s potenco števila 10, ako pomaknemo decimalno piko za toliko mest proti desni, kolikor ima multiplikator ničel. 91 • 10 " = — 10 ” 10 ” 10 ” 10 ” 314159.100 = 314159, 0'097325.1000 = 97‘325. 2. Dva decimalna ulomka pomnožimo, ako ju pomno¬ žimo, ne oziraje se na decimalni piki, kakor celi števili ter potem v produktu od desne proti levi odrežemo tolik decimalk, kolikor jih imata oba faktorja skupaj. g b _ ab _ 10 ” ' 10 " ~ 10 ” + ”' Prav isto velja tudi takrat, kadar je faktor celo število. Kadar produkt nima toliko mest, kolikor jih je treba odrezati, postavijo se na prazna mesta na levi ničle. 6'543 X 2'37 4'23 X 0’01307 1 269 2961 13 086 1 9629 45801 0TJ552861 15-50691 Pomniti je treba tudi to, da se pri množenju z ednicami mestna vrednost ne izpremeni, a da se pri množenju z desetinami, stotinami... zniža za 1, 2,... mesti. § 96. Kadar v produktu dveh decimalnih ulomkov nočemo dobiti nižjih mest, nego jih zahteva natančnost računa, uporabljamo okrajšano množenje (abgekurzte Multiplikation), pri čemer množimo z vsako multiplikatorjevo številko le one multiplikandove številke, katerih produkti vplivajo na zahtevana mesta. Na pr. 7 ed. X 6 desettisočin = 42 des.-tisočin. Desetice tega produkta (4 tisočine) vzamemo kot popravo. 7 ed. X 5 tisočin — 35 tisočin, torej zapišemo 7 ed. pod 5 tisočin (zahtevano decimalno mesto). 4 desetine X 6 des.-tisočin = 24 stotisočin ne vpliva na tretjo decimalko. 4 desetine X 5 tisočin = 20 des.-tisočin da 2 tisočini za popravo. 4 desetine X 1 stotina = 4 tisočine. Torej zapišemo 4 desetine pod 1 stotino. 9 tisočin X 2 desetini = 18 des.-tisočin, torej 2 za popravo. 9 tisočin X 5 ednic = 45 tisočin. Zato zapišemo 9 tisočin pod 5 ednic. Ako zapišemo multiplikatorjeve številke pod multiplikandove tako, da produkt vsakih dveh druga nad drugo stoječih 35-2156 X 7-409 na tri decimalke 35’21 56 9 04'7 246 50 9 14 08 6 31 7 260-912... 92 številk (najnižje) zahtevano decimalno mesto, pridejo vselej e dni c e enega faktorja pod (oziroma nad) zahte¬ vano mesto drugega faktorja in stojč sploh vse številke multiplikatorjeve v obratnem redu. Na pr. a) 3-047653 X 0 - 00867 b) 16'42 X 279'34 na 4 deeimal. na 1 decimal. 3-047 653 16-42 ali 279‘34 76 800'0 43-972 24'6l Okrajšano množiš torej tako-le: 1. Multiplikatorjeve ednice zapiši pod ono multiplikandovo mesto, ki se v produktu zahteva kot najnižje; vse druge številke pa napiši zraven teh ednic v obratnem redu tako, da se prikaže ves multiplikator obrnjen. 2. S prvo na desni stoječo številko obrnjenega multiplikatorja pomnoži najprej ono 'multiplikandovo številko, katera stoji za eno mesto dalje proti desni, pa tega produkta ne zapiši, marveč si zapomni le njega najbližje desetice, katere dado popravo ali korekturo; potem pomnoži ravno nad njo stoječo multiplikandovo številko, produktu prištej popravo in tu začni produkt napisavati; nato pomnoži zaporedoma vse multiplikandove številke. Prav tako množi z drugo, tretjo .. . multiplikatorjevo številko, dobljene okraj¬ šane produkte pa piši tako drugega pod drugega, da pridejo njih najnižja mesta natančno drugo pod drugo. 3. Te dele produkta seštej in odreži v vsoti toliko decimalk, kolikor se jih zahteva. Dostavek. Ako je en faktor okrajšan (ali ako sta okrajšana oba), produkta ne moremo tako natančno določiti, kakor bi hoteli. Na pr. produkta 8"43 ... X 26'859... ne moremo natančno določiti na 3 decimalke, 8'43?? ali 26-859 .. 958-62 .... 34'8 ker ne poznamo dveh mest prvega faktorja, s katerima bi morali množiti 2 desetici in 6 ednic drugega faktorja, da bi dobili tisočine natančno. V tem slučaju moremo izračunitile toliko veljavnih številk v produktu (ali za eno več), kolikor zanesljivih multiplikatorjevili številk ustreza multiplikandovim številkam. Pišemo pa: 93 8"43... ali 26"859 .. . 95 8'62 .. .34'8 ■ Mestna vrednost tiste številke enega faktorja, ki stoji nad (ali pod) 1 ednicami drugega faktorja, določuje mestno vrednost najnižjemu mestu produkta. Pogostoma jemljemo to najnižje mesto v produktu le za po¬ pravo. Na pr. 19-438 ... X 0-0604 .. . nasprotno: 19"43 8 ... X 604 . .. 4 0 60 '0 40 6 1166 11662 8 8 77 7 P17 4 ali 117 .. . 11740-5 ... ali 11741 . V popolnem številu 604 moremo mesta desetin, stotin,... po- polniti z ničlami, tedaj razvidimo, da moremo produkt zanesljivo izraeuniti le na eno decimalko. § 97. 1. Decimalni ulomek razdelimo s potenco števila 10, ako pomaknemo decimalno točko za toliko mest proti levi, kolikor ima divizor ničel. « . _ a 10 ra ' 10” +n ' 345"67 :10 = 34-567, 3'78 :1000 = 0-00378. 2. Hočeš li decimalni ulomek razdeliti z decimalnim ulomkom, pripiši dividendu in divizorju toliko ničel, da imata enako število decimalk, potem izpusti decimalno piko ter izvrši deljenje kakor pri celih številih. a b _ a 10 m _ a _ ^ ičr ' io ra — 10”' b ~ b ~ a ' 3-1452 :1-234 = 31452 :12340 = 2-54878 .... Prav tako ravnaj, kadar je dividend ali divizor celo število. Za praktično računanje pomni sosebno to-le: 17536 :128 = 137, 17536 :12800 = 1'37, 1753600 : 128 = 13700, 17'536 :128 = 0137, 17536 :12’8 .= 1370, 1753'6 :1‘28 = 1370. (Dokaži, da so ti kvocienti prav, uporabljajoč prejšnji izrek!) Vrsta veljavnih številk v kvocientu je zavisna, kakor kažejo navedeni primeri, edino le od številčne vrste v dividendu in 94 divizorju. Zaporedne kvocientove številke dobimo, ako se v divi- dendu in divizorju kar nič ne oziramo na decimalno piko, marveč izvršimo deljenje kakor s celimi števili. Mestno vrednost najvišje kvocientove številke, katera določuje tudi mestno vrednost vseh drugih, določujemo tako-le: 17536 :128 = 1 . govori: 175 stotič : 128 ednic. = 1 stotica, 6'4379 : 2827 = 0'002, govoii : 6437 tisočin : 2827 ednic. daje '2 tisočini. Primerjajoč ta dva primera z nastopnima: 17536 : 129 = 1. 61379 : 2828 = 0'002, razvidimo, da za določitev mestne vrednosti nima nobenega pomena, Če ima divizor razven celot tudi decimalke. Določujoč mestno vred¬ nost najvišji kvocientovi številki moraš torej paziti le na celote diviz orj e ve: a) 17536 :128'439 = 1 . .', govori: 175 stotič : 128 ednic. daje stotice. h) 6'4379 : 2827'3475 = 0'002, govori: 6437 tisočin:2827 ednic. da tisočine. Kadar divizor nima nobenih celot, tedaj je prav umestno, da dividend in divizor pomnožimo s primerno potenco števila 10 ter decimalno piko premaknemo proti desni za toliko mest, da dobimo divizorju eno celo mesto. Potem pa določimo mestno vrednost najvišje kvocientove številke prav tako, kakor pri prejšnjih pri¬ merih. Na pr. c) 124’3 : 0’0045 = 124300 : 4'5 = 2 ... /, govori: 12 deset- tisočic : 4 edn. daje 2 desettisočici. č) 26'48 : 0'145 = 264'8 :1’45 = 1.govori: 2 stotici: 1 edn. daje 1 stotico. Mestno vrednost najvišje kvocientove številke lahko določiš, ne da bi premaknil decimalno piko, po tem-le pravilu: Divizor misli si zapisan pod prvi delski dividend; prva številka v kvocientu ima prav tisto vrednost, katero ima v dividendu številka stoječa nad divizor- jevimi ednicami. Na pr. a) 175 36 :128139 = 1. / c) ?. 1213 : 0'0045 = 2 .. .* 128139 0‘0045 b) 6-437 9 : 2827-3475 = 0’002 č) ?26’48 : 0145 = 1. / 2 827-3475 0-14 5 95 Računajoč se prepričaj, da ima produkt vsake kvocientove številke s katero¬ koli divizorjevo številko prav tisto mestno vrednost, kakor ona številka v dividendu, od katere je treba odšteti dotični del produkta. § 98. Da določimo v kvocientu dveh števil le toliko številk, kolikor jih je zanesljivih in da se ob enem izognemo nepotrebnemu računanju, v to nam služi okrajšano deljenje (abgekurzte ■Division). Bistvo okrajšanega deljenja je to-le: 1. Najprej poišči prvo kvocientovo številko in tej določi mestno vrednost (§ 97.). Iz mestne vrednosti prve kvocientove številke in iz števila zahtevanih decimalk lahko določiš, koliko številk je treba izračuniti v kvocientu. 2. V divizorju odreži od leve proti desni toliko veljavnih številk, kolikor se jih zahteva v kvocientu; te številke tvorijo okrajšani divi z or. Ako divizor nima toliko številk, kolikor jih je treba odrezati, začni na okrajšani način še le tedaj deliti, ko si vzel vse številke okrajšanega dividenda v račun. 3. Tudi v dividendu pridrži le toliko najvišjih številk, kolikor se jih zahteva v kvocientu, ali pa za eno več, in to takrat, kadar grav toliko najvišjih številk nima v sebi okrajšanega divizorja. Številke, katere pridržiš, tvorijo okrajšani dividend. 4. Deljenje okrajšanega dividenda z okrajšanim divizorjem prični na navadni način in ga nadaljuj, dokler nisi vzel v račun vseh številk okrajšanega dividenda; potem pa odreži pri vsakem poznejšem deljenju najnižjo številko v divizorju, dokler jih je še kaj. Vsakikrat dobljeno kvocientovo številko pomnoži najprej z naj¬ višjo odrezano divizorjevo številko in prištej iz tega produkta dobljene najbližje desetice kot popravo produktu iz okrajšanega divizorja in dobljene kvocientove številke. 5. Tako ravnaj, dokler ni v divizorju nobene številke več. Na pr. 3 dec. 3 dec. a) 876-54 118 22 4 48 60 12 11 38:1,8’,9,5/7,9 = 46-236.. b) 8-91 39 1 25: 9,4’,75 = 0-094... c) 48-438 2113 2 028 117 ! 8 | 4 dec. 6 : 27-3 = 1-7743 Dividend krajšamo z varnostno črto. 96 V tretjem primeru se prične okrajšano deljenje šele tedaj, ko smo vzeli že vse številke okrajšanega dividenda v račun. Dostavek. Ako je dividend ali divizor nepopolno decimalno število, dobimo v kvocientu le toliko zanesljivo veljavnih številk, kolikor si jih vzajemno ustreza v dividendu in divizorju. Na pr. a) 13 8'4 ...: 5'3842 = 257 ... b) 281 : 5‘349 .... = 5‘309 .. . 553,8,4.2 553,4,9... 307 1655 3 8 5 0 2 2 Popolnemu decimalnemu ulomku pristavimo lahko na desni katerokoli število ničel; a pri okrajšanem decimalnem ulomku kaj takega nikakor ne smemo storiti. Naloge. Pretvori te-le navadne ulomke na decimalne: 1. a) 2. a) -5 3. 4. Pretvori te-le končne decimalne ulomke na navadne: a) 0’25, b) 075, c) 3*072, g/ 5725, d) 0*0024, e) 8*0876. 111 . 2 2 2 O. Katero periodo da 7 ’ 13’ 17 "■ primeroma z 7’13’ 17" 6 . Pretvori te-le čisto periodične decimalne ulomke na navadne: a) 0-6, h) 5'4, c) 0'21, c) 6*06; d) 4‘243, e) 01378. 7. Pretvori te-le mešano periodične decimalne ulomke na navadne: a) 0*26, b) 2*35i, c) 4113, g) 051245, d) 079324. 8. 32’38 + 43’49 + 21*27 + 78'04 + 49'83. Seštej te-le decimalne ulomke: 9. 19'78 + 35-096 + 871295 + 0*2087 + 4178063 + 15'892; 10. 37'09 + 18’388 + 2*34966 + 0'2897 + 3'047585 + 74118; 11. 5"35 + 56-905 + 7’58506 + 0 - 5375 + 7193203.+ 9'005; 97 12 . Okrajšaj decimalne ulomke: 4178063, 3'047585, 7193203, 0'479728 na 2 (3, 4) decimalke in poišči vsoto okrajšanih števili Primerjaj vsoto neokrajšanih števil z okrajšano vsoto! 13 . 5-273 ... 14 . 0-7619 15 . 13'58 ... 16 . 23'3182 .'. . 0-689 ... 0'7988 6’376 9*30 . . . 5 - 035 . . . 0'522 . . . 42'0457 0'2649 4’621 . . . 0-8098 86’93 . . . 6816804 17 . 83-8-251. 18 . 5716-9-58. 19 . 62-027-29-28. 20 . 1-01736. 21 . 257-328 - 138. 22 . 85 - 46'55037. 23 . Od 721’092... odštej: a) 248..., b) 937..., c) 30154..., č) 58-709 ..., d) 2"8765 ... 24 . Izračuni A = a + b + c, B = a + b — c, C — a — 6 +c, D = b + c — a. za a = 231567, b — 39"0703, c = 51 "809. 25 . Če vzamemo, da preleti prosto padajoče telo v prvi sekundi svojega padanja 4'904 m in v vsaki naslednji sekundi za 9"808 m več nego v prejšnji; koliko m preleti a) v drugi, tretji in četrti sekundi, b) v prvih štirih sekundah? 26 . Dolžina nihala, katero nihne vsako sekondo po enkrat, iznaša na tečajniku 996"088 mm, na ravniku 990"891 mm; kolika je razlika obeh dolžin? 27 . 1 km = 0131823 avstr, milje; koliko avstr, milj ima 10, 100 , 1000 km? 28 . Pomnoži a) 2127, b) 33618, c) 0‘27309 s 3, 4, 5, 8, 9. 29 . 9-7084.0-925. 80 . 371774.51907. 31 . 0P2745.0'0798. 32 . Razdalja med mesecem in zemljo je 58'525 krat tolika kakor polumer Zemljinega ravnika; kolika je ta razdalja, če vza¬ memo, da ima ravnikov polumer 637'7 p-m ? 33 . 1 kg mesa velja 164 K; koliko 4'3 (8'32) kg ? 34 . Koliko velja 1 g zmesi, obstoječe iz 456 kg po 45 h, 399 kg po 54 h in 285 kg po 63 h? 35 . 1 kg čaja kupi trgovec za 13 K 75 h; po čem prodaja dkg, ker iznese dobiček pri kg 4"25 K? 36 . Nekdo kupi 36 kosov sukna po 28 m, meter po 3"2 K, proda pa meter za 412 K; koliko ima dobička? Močnik, Aritmetika. X. 1056. i 98 37. Kmet more 125 hi ječmena prodati po 17'06K; v mestu bi pa dobil za ječmen 2182 K 50 h. Po čem bi prodal v mestu 1 hi in koliko dobička bi imel, ako ga velja vožnja 32 K 50 h? Izračuni množeč na okrajšani način: 38. 31415.9-2587. (3 dec.) 39. 0'9156.23-851. (2 dec.) 40. 12-0748.1-91345. (4 dec.) 41. 81-2867.01234. (3 dec.) 42. 5-376079.8'058876. (5 dec.) 43. 8613 ... X 0‘503 .. . 44. 9-4152 .. . X 120... 45. 143'57 ... X 140'2 .. . 46. 80'3 X 1’045 ... X 19P62 ... 47. 8-14793.710936.2‘51446. (4 dec.) 48. 1'045.1-045.1‘045.1‘045. (6 dec.) 49. Določi p — (a + h — c) ( a — h + c) {b + c — a) za a = 1-3078 ..., b = 2‘0912 ..., c = 2'801 . .. 50. Razdeli a) 3271, b) 58"06, c) 0"23, z 10, 100, 1000. 51. 381: 4. 52. 0'675 :17. 53. 774772 :109. 54. 268"8 : 32. 55. Cf3197 : 27‘8. 56. 4735'02 : 0 - 53. 57. 71-541: 0‘9. 58. 0'5976 : 0‘083. 59. 65'0448 : 0'0024. 60. Zemlja preteče, vrteč se okoli solnca, v 1 uri 10973"08 | im ; koliko a) v 1 minuti, b) v 1 sekundi? Izračuni deleč na okrajšani način: 61. 4512345 : 3’8265. (3 dec.) 62. 986’256 :127-85. (2 dec.) 63. 13-794:28-376. (4 dec.) 64. 07123:43-566. (4 dec.) 65. 75106 : 0'649. (2 dec.) 66. 3-1416 : 7’825. (3 dec.) 67. 1 kg — 1785523 . . . dunajskega funta; koliko kg ima 1 dunajski fant? 68. 18-439 ...: 4-80 .... 69. 156 :14732 .... 70. 9-7354 : 8716 .... 71. 156‘2 ...: 4'98765. 72. 1 drn 3 živega srebra tehta 13"5959 .. kg ; koliko je vsebina 1 kg živega srebra? 73. V 365"25637 dneh preleti zemlja 931 milijonov fon ; koliko preleti v 1 sekundi? III. Naloge v ponavljanje. *1. Koliko velja 45 kg po 20 h? (20 h = -J K). *2. Koliko velja 64 l, ako velja 1 l a) 10 h, b) 20 b, c) 25 h, č) 50 h? *3. Koliko velja 48 m po 30 h ? (30 h = J K -(- -gV K). 99 *4. Koliko velja 127 kosov, če velja 1 kos a) 15 h, b) 24 h, e) 35 h, čj 60 h, d) 75 h? 5. Pretvori te-le navadne ulomke na decimalne: a) b) c ) Al f J I £.$. f ,) 46.2 *'/ 7 5) a > 22) e J 591' 6. (59 302 — 27 8775). 3'32. 7. 8-137526.3-044891.7-628573. (5 dec.) 8. 68-0124152 : 7'961. 9. 0-0552861: 0'423. IQ 17*-|-1% __ 3x — 7y , 2x— 3 g ^ 8 m 3 x ny x -)- y x + y x + y ■ ’ 5?i 2 i/ ‘ 4 mx 12. ■■ • 13 - K- 8®*) ■ O 1 *)] : [4a . (- 5a 3 x 2 )]. 3 b 1 6x i 14. Poišči največjo skupno mero od 2370, 56485 in 47005. , „ r-n 100, *15. Pomnoži a) 45, b) 98, c) 16-f s 50. 1°0-g-)- ^16. Pomnoži a) 24, b) 81, c) 135 s 33-f. (33^- — -g-), 17. (36a 5 x 4 — 12a 4 * 3 -f- 8a 8 * 8 ) ; [(— 2 ax) . (—- 2a 2 x 2 )]. 18. (5x 4 — 2x3—3x 2 —• 2as-f-7) (6x 3 + 4x—7). 19. (16a 4 — 8a 2 6 2 — b 4 ) : (4a 2 — 4 ab + b 2 ). 20. (6x 4 —■ 5x 3 -j- 4x 2 -J- 11 x — 4) : (2x 2 — 3x -J- 4). 21. 29607 : 1202 22. 16 T W X 9 vtt- 22-594 18-597 — 12-6584 10-8724.0-368 ' '7-395* ‘.' 0-325 ' 245 ‘ *24. Trgovec je imel kos sukna; od tega je prodal -g- in -j-Vi ostalo pa mu je še 9 m. Koliko m sukna je bilo? *25. Koliko velja a) 28 l po 48 h ? b) 16 m po 3 K 35 h? *26. 2-j kg velja 2 K 24 b; po čem je 1 kgt *27. 2 ^ m velja 7 \ K; po čem je 1 m ? *28. Kolik je najmanjši skupni mnogokratnik od a) 7 in 8? b) 36 in 72? c) 16 in 24? č) 3, 5, 30? d) 4, 8, 12, 18? 29. Poišči največjo skupno mero in najmanjši skupni mnogokratnik od 2124, 2950, 7139, 9971! a 2 -j- b 2 m „2 x 4 — 2x 2 «/ 2 — «/ 4 .30. a+b - *(¥■ 31. x 2 — jy 2 - . /2 a _ 3x\ 6 ) ' V3 4 /" x 2 -f- ?/ 2 a+b ‘ cix 3x 2 ' 12 16 , 33. Za koliko se poveča ali zmanjša ulomek ff, a) ako števcu in imenovalcu prišteješ 1, b) ako od števca in imenovalca odšteješ 1? o A 17 | 38 I A 7 7.8. •> K UL I Al _1_ 37 I 2.2 «' «6TT5Tt0TŠ0' ^ 40T45Tiat?5' 100 *36. f- m veljajo 3 K 36 h; koliko velja 1 m? 37. Pretvori te-le periodične decimalne ulomke na navadne: a) 0-36, b) 0-03, c) 4 3527, 6) 6513, d) 0 67954. Izračuni na okrajšani način na 3 decimalke: 38. 079596.73'804. 39. 256 8735 . 0 09276. 40. 572876 : 0-0275. 41. A porabi od svojih letnih dohodkov §■ za hrano in obleko, ^ za stano¬ vanje, kurjavo in razsvetljavo, ^ za druge potrebščine in si poleg tega prihrani še 349 K 25 h. Koliko ima letnih dohodkov? 42. 43. a-j-1 , a- j-i i - X V ■y-\ - x — y x + y- __2 xyj x-fy a+3 n — 3’ Preizkušnja m x = 3 4’ y = 2 _ 3' 44. 9 084 ... X 135 8 ... 45. 0'83 ... X 0-0705. 46. 6-43 ... X 7-83 .. X 9 714 .. 47. 136 4 ... : 28735 .... 48. 17-314... : 120. 49. 240 : 5-9437 ... »O. 1 marka = 1'1756 ... K. a) Koliko kron je 250 6 mark? b) Koliko mark dobiš za 140'7 K? 51. Pripiši številu 371 tako število, da je razdelno s 3 (9), številu 513 tako* število, da je razdelno z 2, s 5 in številu 813 tako število, da je razdelno s 4 (8)t 52. Poišči največjo skupno mero in najmanjši skupni mnogokratnik za 18»i s (/ 2 * 4 , 36 »m/ s £c, 48 nfiyx^\ 53. Magnetni odklon je bil v Parizu leta 1814. 22° 34' proti zahodu, leta 1852. 20° 20' proti zahodu; za koliko se je izpremenil odklon vsako leto? "■[(••-SH-aM-Mfcr*} 101 Tretji oddelek. Enačbe prve stopnje z eno neznanko. § 99. Izenačitev dveh številnih izrazov, katera imata isto vrednost, imenujemo enačbo (Gleichung). Na pr. x = x, (x + 2) (x — 2) = x 2 — 4, 7x — 6 = &x. Izraza na obeh straneh enačaja imenujemo enačbina dela; vsakteri ima lahko zopet po več členov. Na pr. V enačbi 7x — 6 = je 7x— 6 prvi, 5x drugi del; prvi del ima člena 7x in —6. Enačbe so dvoje: identične in določilne enačbe. Identična ali istovna (identisck) enačba ostane veljavna za vsako vrednost, katero damo njenim še nedoločenim (občim) količinam. To svojstvo imata enačbi x = x in {x -f 2) (x— 2) = x 2 —4, ki ostaneta prav, naj si damo količini x katerokoli vrednost. Vsaka formula, izražajoča katerokoli aritmetično operacijo, je taka iden¬ tična enačba. Določilne enačbe (Bestimmungsgleichungen) so pa one, katere ne ostanejo veljavne za vse, marveč le za določene vred¬ nosti svojih občih števil, neznank. Enačba 7x — 6 = 5cc je dolo- čilna enačba, kajti nji zadošča le vrednost x = 3. Vsaka določilna enačba izraža pogoj, kateremu morajo zadoščati njena neznana števila. Vrednosti neznanke, katere zadoščajo določilni enačbi, imenu¬ jemo korene (Wurzeln) te enačbe. Tako je 3 koren enačbe 7x — 6 = &x, kajti ako postavimo v enačbo za x to število, za¬ došča ji popolnem. Enačbi korene določiti, se pravi enačbo razrešiti. Po številu neznank, nahajajočih se v enačbi, razloču¬ jemo enačbe z eno, z dvema in več neznankami. Na pr. 7x — 3 = 4x je enačba z eno, 5x — 3y = 8 enačba z dvema, 7x — 3 y — 5z + 5 enačba s tremi neznankami. 102 Enačbo, ki nima neznank v višjih potencah kakor v prvi in tudi ne produkta iz več neznank, imenujemo enačbo prve stopnje ( ersten Grades). Enačba, ki ima poleg neznank sama posebna števila, je številčna enačba (numerische oder Ziffergleichung) ; na pr. lx — 6 = 5ce, dočim zovemo enačbo, imajočo poleg neznank tudi še obča števila, črkovno enačbo ( Bvchstabengleichung)■, na pr. ax — b — cx + d. I. Razreševanje enačeb prve stopnje z eno neznanko. § 100. Enačbe prve stopnje razrešujemo opirajoč se na osnovno resnico (§ 7., 5.): Enako na enak način izpremenjeno da zopet enako. Iz te obče osnovne resnice izvajamo te-le posebne reke: a) Enako enakemu prišteto da enake vsote. b) Enako od enakega odšteto da enake diference. c) En ako z enakim pomnoženo da enake produkte. d) Enako z enakim razdeljeno da enake kvociente. Iz teh rekov izvira: 1. Vsak enačbin člen moremo iz enega dela z nasprotnim predznakom prenesti (transponieren) v drugi del. Na pr. Iz 3x = 16 — 5 x dobimo 3x + 5x = 16; „ *+ 3 = 8 „ x = 8 - 3. V prvi enačbi smo vsakemu delu prišteli 5x, v drugi pa od obeh delov odšteli 3. Enake člene v obeh delih lahko kar izpustimo. Na pr. Iz 5x — 3 = 6 + 3x — 3 dobimo 5x = 6 + 3x. 2. Iz vsake enačbe moremo ulomke odpraviti; v ta namen treba le oba enačbina. dela pomnožiti s skupnim mnogokratnikom vseh imenovalcev. Na pr. Iz x — 1 = 2 dobimo x — 4 = 8. 4 Iz v = v - 11 „ 4» = lbx - 66. O u 103 3. Vsak faktor enega dela lahko prenesemo kot v drugi del. Na pr. Iz 7x = 35 dobimo ali x = 5. divizor §101. Iz rekov v § 100. izvajamo za razreševanj e enačeb prve stopnje z eno neznanko to-le navodilo: 1. Ako ima enačba ulomke, odpravi jih; v ta namen pomnoži oba dela enačbe ali zaporedoma z vsakim imenovalcem posebej ali pa kar z najmanjšim skupnim mnogokratnikom vseh imenovalcev. (Odprava ulomkov.) 2. Ako so v enačbi sestavljeni, z oklepaji združeni izrazi, izvrši vse one račune, katere oklepaji le nakazujejo. (Razrešitev oklepajev.) 3. Vse člene, ki imajo neznanke, prenesi v prvi del ter jih skrči; znane člene pa prenesi v drugi del ter jih tudi skrči. (Prenos in krčitev.) 4. Neznanko oprosti koeficienta; v ta namen razdeli ž njim oba dela enačbe. (Delitev z neznankinim koeficientom.) Hočeš li se prepričati, ali si enačbo prav razrešil, zameni neznanko v dani enačbi z najdeno nje vrednostjo ter skrči izraza na obeh straneh. Ako dobiš na obeh straneh isti resni tat, t. j. ako se izpremeni enačba v identično, razrešil si jo prav, sicer pa ne, 1. 4x + 5 = 17. Razrešitev: 4x = 17 - 4x = 12 x — 3. Primeri. Preizkušnja: 4.3 + 5 = 17 2. = 2x ■ 5 36. Razrešitev: x = 10.« — 180 x — 10x = — 180 — 9x= —180 x — 20. 12 + 5 = 17, = 17. Preizkušnja: = 4 2.20 — 36 = 4 : : 40 ■ : 4. 36 = 4 3. ax + b = bx — a. Razrešitev: (a —b)x= — a — b, x = a + b b — a 104 Preizkušnja: a - + 6 2 = a ~ + 6 2 6 — a b — a Naloge. 1. 5« + 4 = 19. 3. 70 - 3x = 40. 5. 92 - 27?/ = 11. 7. 7« + 8 = 5« + 18. 9. 39 o; — 168 = 24« + 42. 11. 5z — 40 — 8z — 73. IB. 2x + 2 = 2x — 3 + 5«. 2. 3« - 4 = 20. 4. 42« — 36 = 75. 6 . 29 = 62 - 13. 5. 17 + 8« = 71 - as. 10. 5?/-60 = 324 - 19//. 12. 47« - 155 = 35« - 25. 14. 14?/—23 + 17?/ = 24,y + 109. 15. 2x - 11 + 2x - 5« + 7 = 7x - 7. 16. 155 - 3« - 27 = 35 - 17x + 138 - 13«. 17. a + x = b. 18. a — x — b. 19. ax + b = c. 20. ax — b = cx — d. 21. 3a — 4x — 9 a + 66 — 6 «. 22. 2a — 5 y + b — 4?/. 2 B. a‘‘x + ax — abx — a — 6 + 1 . 24. 6«« — 7 ac + 3a« — bab = 2ax + 2 a 6 . 25. 7 (* - 5) = 35 + 7. 26. 5 (3 + x) + 16 = 61. 27. 20 - (y — 4) = 2 y. 28. 9 (2« — 7) = 5 (4« — 15). 29. 2 (x — 7) = 3 (8 — x) + 22 . BO. 3 (7 - 8 z) + 7 (4« - 3) = 1. 31. 8 « + 5 (2x — 1) = 2 (® + 4) — 5. 32. 2 (2x - 19) + 3 (* - 3) = 2 (x - 1). 33. 22 (x + 1) - 8 (* + 7) = 5 (x + 5) - 32. 34. 3 (5 + x) - 2 (as + 6 ) = 3 (2« + 9) - 9 (4 + x). 35. 12 (3« - 7) - 3 (2x + 28) = 15 (16 - 2x) + 4 (18 - 5x). 36. (x — 1) (x + 1) = X 1 + X + 1. 37. (5 + x) (4 — x) = (3 — x) (x + 2) + 22. 38. 2 ! 3 (3y - 4) - 81 + (11 y - 15) = 2 (5 - 2 y). 39. 5 ! 3 + (2x- 7) j — 7 (x + 5) + 1 = 3 |4(3 — *) — x\ — 60. 40. a (x — 6) = b (a — x ) — c. 41. p (y — q) + q (y + p) = m. 42. m(x — a) — n (x — b ) = (a + b) x. 43. 2 a (a — x) + (a — b ) x = a 1 + b' 1 . 44. z (z — 2aj - (b - z) 2 = 36 3 — 4a 2 . 105 45. 47. 49. 51. 53. 55. 57. 59. 61. 63. 65. 67. 69. 71. 72. 73. 2x 3 x = 25 — x. + 17 x + 18. 7 = ' x-3. b 2x- 8 ~=3(x-2). o 6 -f- x 6 — x x , x = 2 . 2 30 i X 3 + 4 13. , 81 . , 7 y % 10 x + 3 x~ 3 _ „ 5 “ '9 2 - 3z + 5 j_ 2 z — 1 4 3 13 — x _ 3 16 — x 4 10cc 4 ~ 1 _ + 3 5ic — 8 3x — 4 1 1 7. 10;y + 1 , B V 3{y + 1) (x + 4) = 1. y + 1 46. 3 —‘- + 3 = 4x. 48. y - y = 1 . 3 2 6. 50. -- ec — 4 4 x — 3. 52. 54. 2 z 1 — a; = 2 — 2. 3 x 56 . | + j + f-. + 1. 58. 2B_2A-*) = 3. 60. X X y _+ 7 _ i _ 9 ~~y 5 14 ’ * — o , x + 1 7o; — 2 ,K 3 + .3 ' 64. x + 9 £ + 5 .... _4_j_ 2 5cc — 1 :« +3 ' x — 3 x? — 9 68 . 1 — f — | ; (x + 3) + 2j + 2 L 3 (4 i 33 + 2 4x + 5 I o — - -— x ~r 2 - 3 6 (/ -f J »/ ” 2 ^ 2// ] x — 8 x — 7 x — 9 70. 2 ( x - 6 )=|L.-2 1 3 \ 4 / 8 3 = 1. !/ + 11 7 x — 8 ’’ 9 _ 2 ~ 3// _ . 4 3. 106 74 2x ~ 1 3 i % - 12 = 29 __ 70 - 9a; ' 2(x — 8) + V- 8 24 3 O - 8)‘ X - b mr, X I*- ■* X Oj 4 ~T~ 76 . 7 _ ^ o — -- a. b 77 . g — bx _ m — na; C j:) 78. iL + c = ^ + c). 2 / by a — b _j_ ^ _ « + cc _ 6 (a — b) x x a + b ca a + b b — a . a 8 + 6* a — b a ~r b 2 81 li +' a ~ 6 ) y r 1 a + b\ X 1 = ia -j- b (a — b l! x. II. Uporaba enačeb. § 102. V vsaki nalogi se stavijo neki pogoji, katerim morajo zadoščati števila, katera iščemo. Kadar moremo pogoje, veljavne za neznana števila, izraziti z algebrajskimi znaki, tedaj lahko do¬ ločimo te neznanke, če razrešimo dotično enačbo. Uporabljajoč enačbe v razreševanje takih nalog treba paziti na dve stvari: 1. Da enačbe sestavimo, t. j. da izrazimo dane pogoje z algebrajskimi znaki; 2. Da tako dobljene enačbe razrešimo. Kako naj enačbe sestavljamo, za to nimamo splošnih pravil; za to je treba bistroumnosti in mnogotere vaje. Začetnikom utegne stvar vsaj nekoliko zlajšati to-le pravilo: Dano nalogo si misli razrešeno in z neznanko ravnaj, kakor to zahtevajo pogoji naloge; tako dobiš za eno in isto količino dva po obliki različna izraza. Ako ta izraza izenačiš, dobiš zahtevano enačbo. Bolj enostavne naloge moreš, ne da bi sestavljal posebne enačbe, razrešiti tudi kar na pamet s samim umovanjem. Da se prepričaš, je li naloga prav razrešena, preišči, ali najdena vrednost neznanke tudi res zadošča pogojem naloge. 107 Primeri. 1. Katerega števila 5ina je za 52 manjša nego število samo? Na pamet. Razlika med katerimkoli številom in njega petino je f. Ako je torej ta razlika, t. j. -f iskanega števila, enaka 52,. potem je njega petina 13, in število samo 5krat 13, t. j. 65. Pismeno. Ako zaznamimo neznano število z x, potem je njega petina —. Ker pa je -~r za 52 manjši od x, treba, da postaneta oo . • enaka, — prišteti še 52; torej dobimo 5 f + 52 - *. 5 Razrešivši to enačbo dobimo x 65. Preizkušnja. -J- od 65 je 13; 65 — 13 = 52. 2. Gospodar obljubi svojemu služabniku kot letno plačilo 180 K in obleko; a po 3 mesecih ga odpusti ter mu da le obleko za plačilo. Za koliko je gospodar zaračunil obleko? Na pamet. Ako dobi služabnik za 3 mesece, t. j. \ leta obleko za plačilo, dobiti bi moral za ostale f leta še 180 K, torej za i leta 60 K. Ker pa dobi za ta čas obleko, zaračunila se mu je za 60 K. Pismeno. Vzemimo, da ima obleka vrednost x K. Plačilo na x _|_ pgQ vse leto iznaša potem (x + 180) K, torej za 3 mesece — K; ker je pa dobil služabnik za ta čas le obleko, ki je vredna x K, mora biti _ x + 180 * 4 ' torej x = 60 K. 3. Nekdo odgovori, ko so ga vprašali za njegovo starost: Gez 10 let bom imel 2 krat toliko let, kolikor sem jih imel pred 4 leti. Koliko let ima? 'Vzemimo, da ima x let, potem jih bode imel čez 10 let (x + 10), a pred 4 leti jih je imel (x — 4), 108 Ker je po pogojih naloge prvo število 2 krat večje od drugega, treba, da dobimo enačbo, drugo število pomnožiti z 2; tedaj je x 10 — 2 (x 4), in zato x — 18. 4. Oče je 48, sin pa 18 let star. Čez koliko let bode oče 4krat toliko star kakor sin? Recimo čez x let. čez toliko let bode oče (48 + x), sin pa (18 + x) let star, in ker je po pogojih naloge starost očetova 4krat tolika kakor sinova, dobimo 48 + x = 4 (18 + a;), in iz te enačbe x = — 8. Za neznanko x dobimo tu negativno vrednost, Ker smo rekli, da pomeni x v tej nalogi prihodnja leta, pomeniti mora za x dobljena negativna vrednost leta v nasprotnem zmislu (§ 24.), torej 8 preteklih let, t. j. oče je bil pred 8 leti 4krat toliko star kakor sin. 5. Neki vodnjak napolni ena cev v 3, druga v 4 urah. V ko¬ liko urah se napolni vodnjak, ako sta zaeno odprti obe cevi? Recimo, da pomeni x iskano število in p vodnjakovo prostornino. Prva cev napolni v 1 uri ^, v x urah 3 3 druga „ „ „ 1 „ v x „ obe napolnita torej 4 ' 4 v x urah , 3 4 Ker pa je ta vsota enaka vodnjakovi prostornini, dobimo px ,px 3 4 in iz te enačbe cc = 1 P- ali 6. Za slom (kurirjem), kateri je odpotoval iz nekega kraja pred 2 dnevoma, in ki prehodi na dan 49 km, odpošlje se iz istega kraja drug sel, ki prehodi na dan 77 km. V koliko dneh dohiti drugi sel prvega? Na pamet. Prvi sel je dva dni prej odpotoval nego drugi ter v tem času naredil pot 2 krat 49 = 98 km. Ker prehodi drugi sel vsak dan 77 km, torej za 28 km več kakor prvi, zmanjša se raz- 109 dalja med njima vsak dan za 28 km, torej postane čez dneva enaka nič, t. j. drugi sel dohiti prvega čez 3-| dneva. Pismeno. Recimo, da dohiti drugi sel prvega v x dneh. Da se snideta, potuje prvi (2 + x), drugi x dni; prvi naredi v tem času pot 49 (2 + x) km, drugi 77x km. Te poti pa sta enaki; zato dobimo 49 (2 + x) = 77x, in x = 3^ dneva. Naloge. Z zvezdico (*) zaznamovane naloge razreši na pamet in tudi pismeno. *1. 5kratnik nekega števila, povečan za 23, je enak 88. Katero število je to? * 2 . Kateremu številu moraš prišteti 54, da dobiš njega 4 kratnik ? *3. Katerega števila 3 kratnik je za 42 manjši nego njegov 5 kratnik? Ako pomnožim neko število s 3, dobim prav toliko, kakor če mu 3 prištejem; katero je to število? 5 . Ako prišteješ mkratniku nekega števila število a, dobiš prav toliko, kakor če odšteješ od njegovega n kratnika število. b.. Katero število je to? * 6 . Katerega števila četrtino moraš zmanjšati za 12, da dobiš njega 12ino? '*7. Ako vzamem 5ino nekega števila 8 krat, dobim za 6 večje' število, nego je število samo. Katero število je to? *8. Polovica in petina nekega števila sta skupaj za 86 manjši nego njega 5kratnik. Koliko je to število? Ako zmanjšam osmino nekega števila za njega desetino, dobim ravno toliko, kakor če zmanjšam petnajstino istega števila za 5. Koliko je to število? 'TO. Kateremu številu moraš prišteti njega polovico, tretjino in četrtino, da dobiš 100? 11 . Ako prištejem nekemu številu število a ter vsoto razdelim z m, dobim prav toliko, kakor če od istega števila odštejem b ter diferenco razdelim z n. Katero število je to? 110 12 . S katerim številom treba 230 razdeliti, da dobiš 13 za kvocient in 9 za ostanek? 13 . Mislim si neko število. Ako je pomnožim s 5, od produkta odštejem 6, diferenco razdelim s 3 in kvocientu prištejem 10, dobim dvakrat toliko število. Katero število sem si mislil? 14 . Ako tretjini nekega števila prištejem 1 in od dvakratne vsote odštejem 6, dobim nič. Katero je to število? 15 . Katero število je treba odšteti od števil 19 in 11, da je prva diferenca dvakrat tolika kakor druga? 16 . Katero število moraš prišteti števcu in imenovalcu ulomka jf, da dobiš ulomek -f? 17 . Katero število moraš odšteti od števca in imenovalca ulomka -gjj, da dobiš ulomek fr? 18 . Katero število moraš prišteti števcu ulomka ^ in odšteti od njegovega imenovalca, da dobiš recipročno vrednost danega ulomka ? 19 . Ako odšteješ od števca in imenovalca ulomka rt neko število, tedaj je produkt iz danega in novega ulomka enak f. Katero je to število? 20 . Ako prišteješ nekemu številu njega polovico in 6, tej vsoti zopet nje polovico in 6, dobiš 69. Poišči to število? * 21 . Ko sem zmanjšal neko število za njega polovico in še za 15, ostanek pa zopet za njega tretjino in še za 10, ostalo je 30. Koliko je bilo to število? Na pamet. Ker sem odštel naposled tretjino ostanka in 10, ostali sta še dve tretjini manj 10; torej je 30 + 10 ali 40 enako •§• prvega ostanka; ako pa sta ■§ ostanka = 40, potem je ■§■ njegova = 20 in ves prvi ostanek 3krat 20 = 60. Ker je pa ta za 15 manjši nego polovica neznanega števila, mora 60 + 15 ali 75 biti polovica tega števila in število samo 2 krat 75 — 150. * 22 . A ima 315 K, B 205 K; koliko mora A dati 77-ju, da bodeta imela oba enako? 23 . Ko bi imel 20 K več, nego imam, imel bi ravno 5 K manj nego dvakrat toliko, kolikor imam. Koliko imam denarja? 24 . Od blaga, katero je tehtalo 320 kg, prodalo se je nekaj, -ostalo pa je še 50 kg več, nego se ga je prodalo. Koliko kg se je prodalo ? 111 ; * 25 . Deček je imel 60 orehov. Nekaj jih je dal svojemu tova¬ rišu, njemu pa je ostalo še 4 krat toliko, kolikor jih je oddal. Koliko orehov je dal tovarišu? * 26 . Nekdo porabi od svojih letnih dohodkov polovico za hrano in stanovanje, £ za obleko in perilo, za druge manjše potrebščine, 280 K pa si prihrani. Koliko ima dohodkov na leto? 27 . Potnika so vprašali, koliko km je neki prehodil; a on odgovori: Ko bi bil prehodil še 48 km, prišel bi bil 3 krat tako daleč, kakor sedaj. Koliko km je potnik prehodil? *28. Nekdo si je hotel za določeno vgoto denarja kupiti vina in sicer steklenico po 180 h; ker je pa steklenica veljala le 140 h, dobil je za svoj denar 8 steklenic več. Koliko steklenic je dobil? •* 29 . Neki učitelj odgovori na vprašanje, koliko ima učencev: „Polovica mojih učencev je za 16 večja nego šestina in devetina. 11 Koliko učencev ima učitelj? 30 . Neki oče je 32 let, njegov sin pa 2 leti star; čez koliko let bode oče 3krat toliko star kakor sin? 31 . Nekdo je 60 let, njegov sin pa 24 let star; pred koliko leti je bil oče 4krat toliko star kakor sin? 32 . Nekdo odgovori na vprašanje, koliko je star: „Cez 12 let bodem 4krat toliko star, kakor sem bil pred 12 leti. 11 Koliko je star? * 33 . Neki oče je sedaj 43 let star, a pred 8 leti je bil 5 krat toliko star kakor njegova hči; koliko let ima hči? * 34 . Nekdo hoče denar, kar ga ima ravno pri sebi, razdeliti med 10 ubožcev. Ako da vsakemu 20 h, ima ravno toliko premalo, kolikor ima preveč, ako da vsakemu 18 h. Koliko h ima pri sebi ? 35 . Ko se je tiskala neka knjiga, postavili so na vsako stran po 36 vrst in v vsako vrsto po 40 črk. Ako bi postavili na vsako stran po 4 vrste več in na vrsto po B črk več, potrebovali bi 2 poli manj. Koliko pol ima knjiga? 36 . Železniški vlak je potreboval 4|- ure, da je pretekel neko razdaljo, a potreboval bi bil le 3 \ ure, ako bi bil pretekel vsako uro 9f/cm več. Koliko km je pretekel vlak v vsaki uri? * 37 . Ako odvzamem od neke vsote polovico, od ostanka zopet polovico in od novega ostanka tudi polovico, ostane mi še 37 K. Kolika je bila prvotna vsota? 112 38 . Neki igralec izgubi pri prvi igri 6 K manj nego i svojega denarja, pri drugi igri 2 K več nego ostanka, pri tretji igri 8 K več nego -7- tega, kar mu je ostalo po drugi igri, in ima še sedaj 28 K. Koliko denarja je imel s početka? 39 . Za blago se je iztržilo 2744 K, a dobiček je iznašal -5V kupnine. Kolika je bila kupnina? * 40 . Trgovec je kupil kos sukna, meter po 3§ K, a prodal ga je meter po 44 K. Ako je imel pri vsem 27 K dobička, koliko metrov sukna je bilo? 41 . Trgovec z žvfcom ima neko določeno množino pšenice. Ako proda hl po 20 K, ima 384 K dobička; ako pa proda ki po 18 K; ima 96 K izgube. Koliko hl ima? 42 . V vodnjak priteka voda po treh ceveh; prva cev sama ga napolni v 4 urah, druga sama v 6 urah, tretja sama v 12 urah. V koliko urah se napolni vodnjak, ako priteka voda ob enem po vseh treh ceveh? 43 . Dva delavca imata nalog, da očistita blata 435 m dolg jarek; prvi očisti na dan 42 m, drugi 45 m; kdaj bodeta izvršila delo? 44 . Za neko delo se ponujata dva delavca; A bi dovršil delo v 18, B v 15 dneh. V koliko dneh bi A in B skupaj dovršila to delo? 45 . Od krajišč A in B 300 m dolge daljice se začneta dve telesi v istem času gibati drugo proti drugemu; prvo naredi v vsaki minuti pot 7 m, drugo pa pot 5 m. Koliko minut po početku gibanja se bodeta telesi srečali? Vsota potij, kateri naredita telesi do sestanka, je enaka razdalji toček A in B. 46 . Kateri resultat dobiš v prejšnji nalogi, ako postaviš na¬ mesto števil 300, 7, 5 števila d, a, 6? 47 . Iz A gre v 356 km oddaljeno mesto B sel, kateri pre¬ hodi 56 km na dan; istodobno odpotuje iz B v A drug sel, kateri prehodi 52 km na dan; kdaj in v kateri razdalji od A se bosta ta dva sla srečala? 48 . Od A do A je izpeljana 225 km dolga železnica. Od A se odpelje proti B osobni vlak, ki preteče vsako uro 30 km-, isto¬ dobno se odpelje od B proti A tovorni vlak, kateri bi imel osobni vlak srečati čez ure. Koliko km mora tovorni vlak preteči vsako uro? 113 *49. Za slom, ki je pred 3 dnevi odpotoval iz mesta A ter prehodi vsak dan 40 km, odpošlje se iz istega mesta drug sel, ki prehodi na dan 60 km. Kdaj hode drugi dohitel prvega? 50. Ob 7ik zjutraj se odpelje z Dunaja po zahodni železnici osobni vlak, ob 9ih zjutraj pa brzovlak; kdaj bode dohitel brzovlak osobni vlak, če preteče prvi vsako uro 42, zadnji pa 26 km? *51. Iz A v B gre sel, ki prehodi po 12 milj na dan; en dan pozneje se pošlje iz A za njim drug sel; po koliko milj mora ta na dan prehoditi, da dohiti prvega v 4 dneh? 52. Za slom, ki je pred 6 dnevi odpotoval iz A, in ki pre¬ hodi po 48 km, na dan, pošlje se iz B, skozi katero mesto je šel, drug sel, ki prehodi 75 km na dan, V koliko dneh dohiti drugi sel prvega, ako iznaša razdalja med A in B 99 km? 5S. Od B proti C se odpelje poštni vlak ter naredi vsako liro pot 24 km ; istodobno se odpelje brzovlak v isto mer iz mesta A, katero je 36 km zadaj za B, ter dohiti poštni vlak v 3 urah. Ko¬ liko km preteče brzovlak v 1 uri? 54. Dve telesi se gibljeta v isto mer, prvo od A, drugo od B, katero mesto je za 2 (d) m zadaj za A, in sicer se začne drugo telo 6 (t) sekund pozneje gibati nego prvo. Čez koliko sekund od tedaj, ko se je začelo gibati drugo telo, bode le-to dohitelo prvo, ako naredi prvo v vsaki sekundi \ (a) m, drugo % (b) m? 55. Dve telesi se začneta istočasno gibati na obodu kroga od iste točke in v isto mer; prvo preteče ves obod v 24, drugo v 18 minutah. V koliko minutah prideta telesi zopet skupaj? 56. Koliko časa mine od enega sestanka kazalcev na uri do drugega ? 57. Koliko minut čez 4 pride minutni kazalec ravno nad oni kazalec, ki kaže ure? III. Naloge v ponavljanje. *1. a) 56.3 + 38.4; b) 36.9 + 74.4; c) 97.3 + 65 . 8 . *2. a) 96.4 — 54.5; b) 98.3 — 24.9; c) 81 . 9 — 69 . C. *3. a) j • 255 + 3 • 111; b) l . 175 + 1 . 276. *4. a) ■ 340 — 4- ■ 448; b) 4.486-=- • 546. O Ji Močnik, Aritmetika. X. 1056. 8 114 5. (17-45 -f 48 354 + 8-702 + 0-0089 - 56 2059) . 4-601 434 ' - /46 1/3 23\ 0-22 ‘ 0-682' ' y)-9 ' 2-4 ' 2 8/ ' 1 2 - 66 ). *8. Od katerega števila moraš odšteti20, dati ostane še šestina vsega števila? *9. Vsota treh števil iznaša 350; drogo število je dvakrat toliko kakor prvo, tretje dvakrat toliko kakor drugo. Katera števila so to? 10 . Ako prištejem števcu ulomka -5+ neko število, od imenovalca pa odštejem 3kratnik tega števila, dobim ulomek -f. Katero je to število? *11. Dva trgovca imata skupaj 505 K dobička; tega si hočeta tako razdeliti, da dobi prvi za 25 K več nego drugi. Koliko dobi vsak trgovec? 12. 3 (4* — 5) + 11 (2* + 9) = 33 (x + 3). 7+2! 10 + 2! _ 4 + x 1 5 13 7 14 . 82! — 3 3x + 4 H- 2x — 1 x + 1. 15 . (5x 2 + 4x — 3) (4x + 8) — (4x 2 — 3x — -6) (5x + 4). 16 . (24x‘t — 146x s + 329x2 — 326x + 120) : (2x 2 — 7x + 6). * 17 . Železnica se napne pri vsakih 50 m dolžine za £ m ; kolike dolžine treba, da se napne za 1 jjr m ? *18. Ako prišteješ 6kratnik nekega števila številu 204, dobiš njega ISkratnik, Koliko je oho število? 19. Od katerega števila je ■§+ tolika kakor vsota iz 209.15 in 158.23? 2 a b 5 6 5 9 a 2 554 a 2 + 5 ab — 6 2 a — 6 3 P ' 4 ČD + 6p • Č+ 3 ' • «2 4 a J) + 4J2 — ++ 26 ' 22. 332166 : 138. 23. 3672444 : 732. 24. 5586875 : 875. OR 490.65.24 370.81.35 350.120.175 - 0 ' 50.36 ' ' 280.63 ' ' 360.125 ' 28. Za koliko se poveča ali zmanjša ulomek -ff-f-g-, če izpustimo v števcu in imenovalcu a) zadnjo, b) zadnji dve številki na desni? *29. Za neko trgovino da A -gy-B ^ in C ostanek potrebne glavnice. Ako imajo vsi skupaj 720 K dobička; koliko dobi vsak? 5« + 7b 2a + 36 2a + 3 b 5a —76 31. | 2a + 3x j 2 | 2 « - 3 .rj ' /3 a 26 c \ /2 a . 36 4c\ (j + +T~"5j /3+ __ 4x 2 y2 8x2 _ 4+ , %2 _ o\ / 3^2 \ «4 «262 T - „2 64 ^ 6 2 '7 : «2 + %2 62 34. Nekdn voli f svoje gotovine sorodnikom, f ostanka siromašnici in ostalih 450 K svoji gospodinji; koliko je zapustil ta mož? 115 35. Vodnjak napolni ena cev v 4-J- ure, druga sama v 5{ ure, tretja sama v 13-g- ure; v koliko urah se napolni prazni vodnjak, ako so vse tri cevi ob enem odprte? 36. Deček je dal svojemu najstarejšemu bratu polovico svojih orehov manj 8, drugemu bratu 8 manj kakor polovico ostanka, tretjemu zopet 8 manj kakor polo¬ vico drugega ostanka in prav tako tudi četrtemu bratu 8 manj kakor polovico zadnjega ostanka, a ostalo mu je še 20 orehov. Koliko orehov je sploh imel in koliko jih je dal vsakemu bratu? 37. 1K = 0'8506 . . . markam? a) Koliko kron dobiš za 453'5 mark? b) Koliko mark dobiš za 1120 K? 38. 1 frank = 0'9523 ... K. a) Koliko frankov dobiš za 400 K? b) Koliko K dobiš za 67'08 frankov? 39. Določi iz enačbe sp = e (100-\-p) po vrsti a) s; b) e; c) p. 8 * 116 Četrti oddelek. Razmerja in sorazmerja. I. Razmerja. § 103. Ako upoštevamo razštevanje v zmislu deljenja, dobimo pojem ulomka, ako ga upoštevamo v zmislu merjenja, dobimo pojem razmerja (Verkdltnis). Raz m er j e dveli števil ali istovrstnih količin a in b imenujemo oni izraz, ki kaže, kolikokrat je a večji nego b, ali kolikokrat se a nahaja v b. Razmerje dveh količin a in b izra¬ žamo zato tako, da postavimo med nji delitveni znak, tedaj a : b, kar čitamo: „a se ima proti b“ ali krajše „a proti b“. Dividend in divizor imenujemo člena (Glieder), in sicer je dividend prednji člen (Vorderglied), divizor pa zadnji člen (Hinterglied). Ako je a\b—k, ondaj imenujemo neimenovano število k eksponent ali kvocient razmerja a : b. Na pr. v razmerju 8:2 je 8 prednji člen, 2 zadnji člen in 4 eksponent. Kolikost razmerja je zavisna od njegovega eksponenta; čim večji je ta, tem večje je tudi razmerje. Dve razmerji sta enaki, ako imata isti eksponent; na pr. 8 : 2 in 12 : 3, prav tako am : a in hm : b. Ako sta obratno dve razmerji enaki, imata tudi enaka eksponenta. Razmerje, čigar člena sta neimenovani števili, imenujemo številno razmerje (Zdhlenverhdltnis) ; na pr. 8:2. Vsako razmerje med dvema istoimenskima številoma moremo izraziti s čistim številnim razmerjem; na pr. razmerje 10 K: 5 K je enako razmerju 10: 5, kajti obe imata isti kvocient 2. § 104. Ker vsako razmerje lahko smatramo za naznačeno deljenje, zato veljajo vsi izreki, katere smo dokazali o dividendu, divizorju in kvocientu, tudi o prednjem in zadnjem členu razmerja ter o njega eksponentu. Tedaj velja: 117 1. V vsa k terena razmerju je prednji člen enak zadnjemu, pomnoženemu z eksponentom. (§ 48., 49.) 2. V v s akt er e m razmerju j e zadnji člen enak pred¬ njemu, razdeljenemu z eksponentom. (§ 48., 49.) Ako je a:b = k, tedaj je 1) a = bk 2) b == a: k. Na pr. 10 : 2 = 5, torej 10 = 2.5 in 2 = 10 : 5. 3. Razmerju se ne izpremeni vrednost, ako oba njegova člena pomnožimo ali razdelimo z istim šte¬ vilom. (§ 56.) Na pr. 12 : 4 je enako razmerju (12.2): (4.2) ali 24 : 8; 12:4 „ „ „ (12:2): (4:2) „ 6:2. Uporabljajoč prvi del tega izreka izraziti moremo s celimi števili tudi taka razmerja, kojih členi so ulomljena števila; v ta namen treba, da oba člena pomnožimo s skupnim mnogokratnikom obeli imenovalcev. Na pr. o o a o “ : -j- = • 12 : -j- • 12 = 8 :9, — : — = -~ -bd:~ -bd = ad: bc. b d b d Drugi del zadnjega izreka pa nam služi v to, da razmerje, čigar člena imata skupno mero, okrajšamo; to se zgodi, ako oba njegova člena razdelimo s skupno mero. Na pr. 12 8 12:8= — — 3:2; abm : acm = b : c. 4 4 § 105. Ako pomnožimo v dveh ali več razmerjih vse prednje in prav tako vse zadnje člene drugega z drugim, dobimo novo raz¬ merje, katero imenujemo sestavljeno Czusammengesetzt) razmerje v nasprotje danim enostavnim (einfach) razmerjem. Ako so na pr. Ako pomnožimo ali razdelimo enostavnim razmerjem kateri¬ koli prednji in katerikoli zadnji člen z istim številom, pomnožimo ali razdelimo s tem tudi prednji in zadnji člen sestavljenega raz¬ merja, njega vrednost ostane torej neizpremenjena. 118 b) n 13 . '3 0 j Naloge. Izrazi ta-le razmerja s celimi števili * 1 . a) f : 5 ; 2. a J IB yo ’• 1 B. a ) 35‘4:12"56; b) ~ ab ac Izrazi ta-le razmerja z najmanjšimi celimi števili: 4 . -■F? b) 128f :45-&; „ ) '2 . _7 cj 0'05 :1. cj (a — b) : ab 4. oj 30:24; 5. a) 5 : |; 6 . aj 7'5 : 2’5; b) 112:114; b) 3f :4f; b) 0-625:0'5; 7 . a) ax (w. 2 — n~) : ab (m + n ); b) c) 240: 96. c) 151-: 6 f. c) 3'208:1'28. x + y X 1 — y l ax bx‘ i *8. Izmed dvek teles naredi A vsako minuto 80 m, B 96 m dolgo pot; v katerem razmerju sta hitrosti teh teles? ■ 9 . Telo A. naredi v 8 minutah isto pot kakor B v 6 minutah; kako se imata njiju hitrosti? * 10 . Temeljna razdalja na termometru je razdeljena po Reaumurjevi delitvi na 80°, po Celsijevi na 100°; kakšno je torej razmerje med 1° R in 1° (7? •Tl. Kakšno je razmerje med vrednostjo 1 franka in 1 marke, ako je 100 frankov = 95"23 K in 100 mark = 117*56 K? 12. V kakšnem razmerju sta ploščini dveh. pi^avobotnikov, katerih eden je 28 m dolg in 15 m širok, drugi pa 25 m dolg in 16 m širok? IB. Delavec izvrši v 18 urah prav toliko kosov kot drugi v 22i ure; prvi dela 8 ur na dan, drugi 10 ur; v kakem razmerju sta njiju deli? 14. Izmed dveh parnih strojev vzdigne prvi v a sekundah b kg cm visoko, drugi v m sekundah n kg p m visoko; v katerem razmerju sta njiju sposobnosti za delo? II. Sorazmerja. § 106. Izenačitev dveh enakih razmerij imenujemo soraz¬ merje (Froportion). Ako je a\b—k in c. d — k, tedaj je tudi a :b = c: d' ta izraz je sorazmerje in čitamo ga: „a je proti b, 119 kakor c proti d“ ali krajše: „a proti b kakor c proti d.“ Prvi člen a in četrti d imenujemo zunanja člena, drugi člen b in tretji člen c sta notranja člena; člena a in c zovemo tudi prednja, b in d pa zadnja člena sorazmerja. Sorazmerje, čigar notranja člena sta enaka, imenujemo stalno sorazmerje (stetige Propbrtion) ; na pr. 16:8 = 8:4. Notranji člen 8 zovemo srednjo (geometrijsko) sorazmernico ali pr o- porcijonalno (mittlere /geometrischej Proportionale) števil 16 in 4, in 4 tretjo stalno sorazmernico števil 16 in 8. Sorazmerje, v katerem so vsi členi neimenovana števila, zovemo številno sor azmerj e (ZahlenproportionJ ; na pr. 12 : 4 = 15.5. Sorazmerje more imeti tudi imenovana števila; vender morata oba člena vsakega razmerja imeti isto ime. Na pr. 18 m : B m = 12 m : 2 m. 6 kg : 2 kg = 15 K : 5 K, 15 K : 3 K = 25 : 5. Ne le vsako razmerje, ampak tudi vsako sorazmerje, v katerem so imenovana števila, lahko izrazimo kot čisto številno soraz¬ merje (reine Zahlenproportion). Izreki o številnih sorazmerjih. § 107. 1. V vsakterem številnem sorazmerju je pro¬ dukt zunanj ik členov enak pr o duktu no tr anj ih členov. Dokaz. Vzemimo, da je a : b = c : d, in da je a\ b = k, tedaj je tudi c : d = k. Iz tega izvira a = bk, c — dk. Ako pomnožimo prvo enačbo z d, drugo pa z b, dobimo ad = bdk, bc = bdk in odtod ad — bc. Da je ta izrek prav, se prepričaš tudi tako, da na mesto vsakega prednjega člena postaviš produkt zadnjega člena in kvo¬ cienta : bk:b — dk : d. Takoj je jasno, da sestoji produkt zunanjih členov iz istih faktorjev kakor produkt notranjih členov. 120 Iz navedenega izreka izvira: V vsakterem stalnem sorazmerju je kvadrat srednje sorazmernice enak produktu drugih dveh •členov. Ako je a:b — b : c, tedaj je & 2 = ac. Na pr. Iz 16:8 = 8:4 izvira 8 3 = 16.4. 2. Vsak zunanji člen številnega sorazmerja je enak produktu notranjih dveh členov, razdeljenemu z drugim zunanjim členom; in vsak notranji člen je enak produktu zunanjih dveh členov, razdeljenemu z drugim notranjim členom. Ako je a : b — c : d, tedaj ad = bc, ondaj je bc 1 bc . . ad ad a—, d— — , m b = - , c = • da c b 3. Iz dveh enakih produktov vselej lahko sesta¬ vimo sorazmerje; v ta namen treba le, da razstavimo vsak produkt na dva faktorj a ter da vzamemo faktorj a enega produkta za zunanja, faktorja drugega pro¬ dukta za notranja člena sorazmerja. (Obrat od 1.) Recimo, da je ad = bc. Razdelivši to enačbo z bd (produktom obeh členov, ki naj bi bila zadnja člena) dobimo ad : bd = bc \ bd ali a : b — c : d. Daje številno sorazmerje prav, spoznamo torej ne le iz tega, da sta eksponenta v obeh razmerjih enaka, ampak tudi iz enakosti produktov zunanjih in notranjih členov. § 108. Sorazmerje razrešiti se pravi, iz treh danih členov sorazmerja poiskati njega četrti, še neznani člen. a) Sorazmerje razrešiš, ako poiščeš eksponent znanega razmerja ter potem z njega pomočjo določiš neznani člen drugega razmerja. b) Številno sorazmerje, razrešiš najlaže po § 107., 2. Na pr. Iz x : 2 = 15 : 3 dobiš: a) 16 : 3 = 5, x = 2.6 = 10; ali b) x = ~ -g'- = 10; tedaj 10 : 2 = 15 : 3 popolno sorazmerje. 121 Preobrazba sorazmerij. § 109. Vsaktero številno sorazmerje ostane prav, ako zamenimo a) zunanja člena med seboj, ali b) notranja člena med seboj, ali c) notranja člena z zunanjima. Dokaz. Recimo, da je a : b = c : d, torej ad = bc. a) Ako zamenimo v tem sorazmerju notranja člena, dobimo a: c — b : d. b) Zamenivši v tek dveh sorazmerjih zunanja člena, dobimo d : b — c: a, d : c == b : a. c) Ako zamenimo slednjič v vseh štirih sorazmerjih notranja člena z zunanjima, dobimo b : a — d: c, c : a = d : b, b : d — a: c, c : d — a : b. Da je vsak izmed teh sedem postavkov pravo sorazmerje, raz- vidimo iz tega, da je v vsakem produkt zunanjih (ozir. notranjih) členov ad enak produktu notranjih (ozir. zunanjih) členov bc- pro¬ dukta ad in bc pa sta po pogoju enaka. Vsako sorazmerje lahko torej preobrazimo na osmero načinov, v ta namen mu je treba le člene drugače razvrstiti. § 110. Sorazmerje ostane prav, ako en notranji in en zunanji člen z istim številom pomnožimo ali raz¬ delimo. arn : b — cm : d, Dokaz. Ako je a : b = c : d, torej ad — bc, potem je tudi 1) am : hm — c: d, a:b = cm: dm, a : hm — c : dm ; c _ d m m ’ d '■ c : m 2 ) a m a m m : b — c: d, a : b c j — : d, m a : m v ad _ bc Iz ad = bc izvira namreč ne le adm — bera, ampak tudi • — m V vseh sorazmerjih pod 1) je produkt zunanjih členov adm, produkt notranjih členov bon, v sorazmerjih pod 2) je produkt zunanjih 122 členov , produkt notranjih členov —; vsa ta sorazmerja so m r J m J torej prav. Uporabljajoč ta izrek moremo a) vsaktero sorazmerje, v katerem so ulomki, izraziti s celimi števili, b) vsaktero sorazmerje, v katerem imata po en notranji in zunanji člen kako skupno mero, okrajšati z isto skupno mero. § 111. 1. V vsakterem sorazmerju sta vsota ali dife¬ renca prvih dveh členov proti prvemu ali drugemu členu, kakor vsota ali diferenca drugih dveh členov proti tretjemu ali četrtemu členu. Dokaz. Ako je a : b — c : d, torej ad — bc, potem je tudi (n ± b) : a = (c ± d) : c in (a ± b) : b = (c ± d) : d . . . . « Te dve sorazmerji sta prav, ako je v vsakem produkt zunanjih členov enak produktu notranjih členov, t. j. ako je (a ± b) . c ~ a . (c ± d) in (a + b) . d = b . (c + d), torej ako je ac ± bc — ac ± ad in ad ±bd — bc ± bd. Ta produkta sta resnično enaka, kajti po pogoju je ad = bc. 2. V vsakterem sorazmerju je vsota prvih dveh členovproti diferenci teh členov, kakor vsota drugih dveh členov proti diferenci teh členov. Dokaz. Ako je a : b = c : d, velja po 1. (a + b) : a = (c + d) : c in (a — b) : a = (c — d,) : c, ali ako zamenimo notranja dva člena, (a + b) : (c + d) = a : c in (a — b ) : (c — d) — a : c, tedaj tudi (a + 6) : (c + d)' = (a — b):(c — d), in če zamenimo notranja dva člena (a + b) : (a — b) — (c + d) : (c — d) .P 3. V vsakterem sorazmerju je vsota ali diferenca prednjih členov proti vsoti ali diferenci zadnjih členov, kakor vsak prednji člen proti svojemu zad¬ njemu členu. Dokaz. Vzemimo, da velja a :b = c : d. Zamenivši notranja člena dobimo a : c = b : d. 123 Potem velja po 1. (a ± c): a = (b ± d): b in (a ± c) ; c = (b ± d): d in če zamenimo še notranja člena (a ± c) : (b ± d) — a :b in (a ± c): (b ± d) — c : d) . . . . v Dostavek. Ako je več številnih razmerij med seboj enakih, je vsota vseh pr e dnj ih členov pr o ti vsoti vseh zadnjih členov kakor vsak prednji člen proti svojemu z adnj emn členu. Ako je a:b = c:d =f: g, tedaj velja tudi (a + c +_/*) : (6 + d + g) — a : b .S § 112. Ako pomnožimo v dveh ali več sorazmerjih vse istomestne člene drugega z drugim, tvorijo pro¬ dukti zopet pravo sorazmerje. Vzemimo, da velja a : h = c: d, torej ad = bc, dalje e \f — g : h, „ eh = fg, in k : l = m : n, „ kn = Im. Ako pomnožimo zadnje tri enačbe, dobimo adehkn = bcfglm,. Ce damo temu izrazu obliko aek . dhn - bfl. cgm, dobimo iz njega sorazmerje aek : bfl = cgm : dhn. ...s Tako sorazmerje imenujemo sestavljeno, nasproti danim sorazmerjem, katera zovemo enostavna. Naloge. Razreši ta-le sorazmerja: 1. 3 : 8 = 12 : x. 2. 12 : 27 = * : 15. B. 36 : x = 6 : 3. 4. x : 10 = 8 : 5. 5. x : 15 = 165 : 66. 0. 88 : x = 72 : 63. 7. a; : 5 = § : f. 8. 3 I : 4 = 61: x. 9. as: J-2*: 3. 10. 7f : 2£ = X : 5f. 11. 5£ : 7| = * : 2£. 12. as : i = 3£ : 5. IB. 14 : 4f — x : 5-|. 14, a? : 10* = 4f : 9$. 15. 1f- : as = 3ff : 4f 16. 174- : 12 t 2 t = 14f :'as. 17. 10|i : as = 13|f : 18ii 18. 9 H : 101 =• 271: as. 19. as : 0'35 = 2'38 : P25. 20. 14'35 : 218'275 = 918 : as. 21 . 2B. a b m p x : (m — = as:°~. 22. as:3f = 9 2 n) — (6 m + 8 n ): (2m — 4n). 124 24 . (6 a — 5 b) : x — (12 a~ — 4 ab — 56' 2 ): (8a 2 — 2 ah — 3S 2 ). 2 - m 2 — n 2 m + n m 2 — 2ron + n 2 »• , , -o •• .- =-J—..: *• m~ n* m — n m ~r n a + b b ' 27 . (cc'+ a): a? = i : c. x ■ ( a _ x ) _ a a oziraje se na § 111., 1. a + b a — bi 29 . Izpremeni obliko tema-le sorazmerjema, uporabljajoč § 109. in § 115.: o J 9 : 6 = 15 :10, b) 36 :12 = 24 : 8. 30 . Ako velja a:b — 2:3, 6:e = 4:9, c:6. 9 130 Razrešitev 2. naloge v § Pogoj: 3x vprašanje: ur 117. s sestavljenim sorazmerjem: 212J lil 12im, H X 81 = 6i:3f 12i:8| 425.13.49.4.4 2.2.4.15.35 515 tR Naloge. *1. 5 l vina velja 3'75 K; koliko velja 15 l istega vina? *2. 30 m platna velja 36 K; koliko velja 15 m (90 m)? 3. Zaloga petroleja zadostuje 25 dni, ako svetimo vsak dan 6|- ure; koliko dni zadostuje, ako svetimo vsak dan 3| ure? *4. Pri 100 K je 16 K dobička; koliko dobička je pri 425 K? *5. Neka hiša daje na leto 540K obresti; koliko v 8 mesecih? •*6. 16 zidarjev sezida zid v 20 dneh; v koliko dneh bi se¬ zidalo isti zid 10 zidarjev? 7. Ako znaša zračni tlak na 1-J- dm- 154 kg-, kolik je zračni tlak na 1 m 3 ? 8. En delavec zasluži v 4 dneh ravno toliko kakor drugi delavec v 5 dneh; ako tedaj zasluži prvi v 15 dneh 37 \ K, koliko zasluži drugi v istem času? 9. Rokopis da 126 stranij po 45 vrst; koliko strani bi dal, ako bi se stavilo na stran le 35 vrst? 10. Ako se zavrti kolo v 48 minutah 264 krat, a) kolikokrat se zavrti v 26 minutah, b) v koliko minutah se zavrti 840krat? 11. Sprednje kolo na 'vozu ima a metrov, zadnje b metrov v obsegu; kolikokrat se zavrti prvo, če se zadnje zavrti p krat? a — 2‘8; b — 4'2; p = 170. 12. Voda v vodnjaku zadostuje 70J dneva, ako se porabi ves dan 48 hi vode. a) Koliko časa zadostuje voda, ako se je po¬ rabi 49 hi ves dan? b) Koliko hi se sme porabiti vsak dan, da zadostuje voda le 311; dneva? 13. Morska milja = 1'852 ... km. a) Koliko km je 892 morskih milj? b) Koliko morskih milj je 912 km? 131 14. A pridela na ^ ha 72 hi krompirja, B na § ha 110 hi ; kdo je pridelal razmerno (na 1 ha) več .krompirja? 15. 90 delavcev izdela v tvornici na dan 42 kosov blaga; koliko kosov bi izdelala tvornica, ako bi delalo 75 delavcev več? 16. Glavnica da v 4f let 6331 K obresti, a) Koliko obresti da v 1 letu? b) Koliko v 7 mesecih? c) Koliko v 11 mesecih in 20 dneh? (10 dni = ^ mes.) 17. Železniška sina je 4f m dolga in tehta 106 -g kg ; koliko tehta 5 m dolga šina? 18. Teža pridelanega pšeničnega zrnja se ima proti teži slame poprek kakor 4:7; ako se pridela na 1 ha 1'75 t zrnja, kolikor se pridela slame? 19. Gospodinja ima za 3 tedne kave, ako porabi vsak dan 90 g] za koliko časa bi zadostovala ta kava, ako bi porabila vsak dan 120 g ? 20. Voznik zahteva za lt 13 K 60 h voznine; koliko dobi za 6 q 75 kg ? 21. 3000 delavcev dodela železnico v 9 mesecih; koliko de¬ lavcev treba še najeti, da se železnica dodela v 6 mesecih? 22. Na nekem posestvu izorjejo njive s 24 plugi v 9 dneh; oralo se je pa z 20 plugi 4 dni, z 18 plugi 2 dni, z 20 plugi 3 dni; v kolikih dneh izvrši 10 plugov ostalo delo? 23. Posadka več ladji šteje 180 mož in je preskrbljena z ži¬ vežem za 68 dni; po 12dnevni vožnji je sprejala 18 ponesrečenih; koliko časa zadostujejo še živila? 24. Na njivi, ki meri 6-f ha, pridela se 68^ hi pšenice; a) ko¬ liko pšenice se pridela na njivi, ki meri 3 ^ ha'} b) na koliko ha se pridela 37 § hi pšenice ? 25. Stroj vzdigne v a sekundah b kg na določeno višino; v katerem času vzdigne b' kg do iste višine? o = 93, b = 4185, b‘ = 3912. 26. 47 l oljčnega olja tehta ravno toliko kakor 43 l vode; koliko tehta 1 l oljčnega olja, ker tehta 1 l vode 1 kg? 27. Ako je razmerje med prostornino trde in zrahljane zemlje 10 :17, a) koliko zrahljane zemlje da 248 m 3 trde zemlje? b) koliko trde zemlje da 300 m 3 zrahljane zemlje? 9 * 132 88. Ako vloži zidar na dan v podzidje po 500, v oboke pa le po 325 opek in se mn plača za 1 m 3 podzidja 1 K 25 h, koliko stane potem delo za 1 ra 3 oboka? 29 . 15 delavcev izvrši neko delo v 10 dneh, ako delajo na dan po 12 ur; koliko delavcev je treba najeti, da zgotovijo isto delo v 6 dneh, ako delajo le po 10 ur na dan? 30 . Dvoje zobatih koles sega drugo v drugo; A ima 60, B pa 120 zobcev; kolikokrat se zavrti B v 36 sekundah, ako se zavrti A v 12 sekundah 10krat? Na pamet: Ker ima B 120 in ne 60 zobcev, zavrti se le polovico od 10krat, t. j. Škrat; ker pa se ne vrti 12 ampak 36 sekund, zavrti se 3krat 5 = 15krat. 31 . Parni stroj, ki čini 4 konjske sile, vzdigne v 5 sekundah breme 1500 kg 1 m visoko; koliko kg more vzdigniti parni stroj, kateri čini 6 konjskih sil, v 12 sekundah prav tako visoko? 33 . Travnik, kateri je 512 m dolg in 72 ra širok, da 10 voz sena po 900 kg ; koliko voz sena po 1000 kg da 384 ra dolg in 192 ra širok travnik ? * 33 . 80 ra dolg, 5 ra širok in 2 m globok prekop izkoplje 20 delavcev v 18 dneh; koliko delavcev zgotovi 120 ra dolg, 6 ra širok in 3 m globok prekop v 36 dneh? Na pamet: Ce bi bil prekop mesto 80 m le 40 m dolg, treba bi bilo le od 20, t. j. 10 delavcev, ker je pa prekop 120 m, tedaj 3 krat taleč dolg, treba je 3krat 10, t. j. 30 delavcev; i. t. d. 34 . 4500 mož ima kruha za 8 mesecev, ako ga dobiva vsak po 1 \kg na dan. A pride jih še 500 mož; koliko kg kruha sme prejeti vsak na dan, da izhajajo ž njim meseca? 35 . V rudniku sta dva parna stroja; prvi vzdigne vsake 2 minuti 7 hi vode iz globočine 84 ra, drugi pa vsake 3 minute 10 hi iz globočine 108 ra. V koliko minutah bi spravila oba parna stroja 2550 hi iz globočine 120 m? 30. Nekdo ima toliko volne, da se da iz nje natkati 16 kosov sukna, ki so po 54 ra dolgi in | ra široki. Iz nekaj te volne so natkali že dva kosa 1 \ ra širokega sukna, vsak kos po 48 ra; koliko kosov l-^ra širokega sukna se da natkati iz ostale volne, ako je vsak kos 40 m dolg? 133 37. 6 delavcev je izkopalo v 4 dneh 300 m dolg, 11 -g dm širok in 3 i dm globok prekop. Da se pri drugem prekopu izkoplje 5 m 3 , potrebuje se prav toliko časa, kakor pri prvem za 6 m 3 , a) Koliko delavcev izkoplje drugi prekop v 9 dneh, če je ta 245 m dolg, 10 dm širok in 6 dm globok? b) V koliko dneh izkoplje drugi prekop 10 de¬ lavcev, ako je le-ta 280 m dolg, 8§ dm širok in 5 dm globok? IV. Naloge v ponavljanje. *1. Koliko je hkratna diferenca med 10-f in 6f? *2. Zmanjšaj Tkratnik od 5-f za 29-J,'od ostanka pa vzemi četrtino. 3. Bakrena žica, ki ima pri temperaturi 0° C dolžino 1 m, meri pri tempe¬ raturi 30° O 1-000515... to. a) Koliko dolžino ima pri temperaturi 30° C bakrena žica, ki meri pri temperaturi 0° C 8'435 ... to (12'57... m)? b) JS a katero dolžino se skrči bakrena žica, ki je merila pri 30° C 6’083 ... m (0-675 ... m), ako jo ohladimo do 0° C? 3a + 4 la -j- 5 8 — la ,5 — 3« 3 — la 4 . — j 6 1 8 12 ' 65 £ X li 3f ( * 2 _ ?/ 2 \ . ( » 1 y _ \ \ 4 a* O 2 / ’ \ 2 a ‘ b J' 8 i 3f 0. 8. 26.t 3 j/ 4 2 5 _ 39x 2 f/% 4 45 a 2 č 3 c 4 a i -j- 1 , 40aft 2 c 3 ’ a? _2a + l ■1 a 2 + 2a+l 9. Izračuni te-le produkte na 4 decimalke: a) 24-83275.2-0437. b) 27-0889.0-3067. 10. Določi te-le kvociente na 3 decimalke: a) 815-9025 : 87-53. b) 12-345 : 678-908. c) 6-354 . 0-00875. c) 2-8752 :0-0207. 11. {21x8 — I0x 2 - ■ 69x + 101 : {(5x + 2) 2 — (2* ~ 3j 2 j. 12. J^2x x 2 + 2 xy + j/ 2 Ml x 2 + 2 xy + // 2 ' J 13. (8x —■ 2) — 3 =; 6x —- (2x — 5) =. Dokaz! 14. 5x — 2 y + 3 z — (2x + 3// — 72). Dokaz! 15. 2-5 : 0-629. 16. (x + 4) : x = 9 : 5. 17. Poišči najmanjši skupni mnogokratnik 9«x 2 , 15a 2 x, 3a + 3x, 5 (a 2 — x 2 ). 18. Dokaži da je prav nastopna enačba: najv. sk. mera (50890, 41439)+ najm. sk. mnogokr. (11706, 29265) = „ „ „ (40418,43305)+ „ „ „ (11274,18790). 19. 1 marka = 1"17563 K; a) koliko Kje 5670 mark (3 dec)? bj koliko mark je 670-34 K (3 dec)? 20. V trikotniku je kot «=52° 16' 28", kot /3 = 2«; kolik je tretji kot? 134 *21. Hitrosti poštnega voza in lokomotive se imata kakor 2:9; lokomotiva preteče v 2 urah 54 /cm; koliko pota naredi poštni voz v 12 urah? 22. Izmed treh zidarjev sezida prvi v 3 urah 151 dni 3 , drugi v 4 urah 265 dm s , tretji v 6 urah 381 dni 3 , a) Koliko dm 3 sezidajo vsi vi uri? b) V koliko dneh sezidajo vsi trije 16420 dm 3 zida, ako delajo po 10 ur na dan? 23. (x -f- a) : (x — a) — b:c. 24. 4 • ~ x = 3 25. (* + l):(* — &) = (x + 3):(x-7). 26. (8* — 1): (4x + 2) = (6.® — 9) : (3* — 4). *27. Katerega števila tretjina je za 4 večja nego četrtina? *28. Lokomotiva naredi v 1 uri 30 lem pota in pride od H do B v 6 urah ; koliko km dolgo pot hi morala narediti v 1 uri, da bi prišla od H do B v 5 urah? 29. Parni stroj, ki čini 4 konjske sile, vzdigne v 5 sekundah 1500 kg težko breme 1 m visoko; koliko kg vzdigne parni stroj, ki čini 6 konjskih sil, v 12 se¬ kundah prav tako visoko ? 30. (16x1 — 48x*(/ + 108*V — iOSxy 3 + 81?/*) (4®» + 12.*// — 9// 2 ). 31. (64as 6 — 432a 3 6 3 -f 7296«) : (4 a 3 — 12 ab + 9 h 3 ). 32. 3a -f- 55 = as(4 -f- h). Misli si v tej enačbi a (b) kot neznanko ter jo poišči! (Preizkušnja!) 33. 20 delavcev lahko izvrši neko delo v 18 dneh. V koliko dneh bode to delo zgotovljeno, ako odide čez 4 dni 12 delavcev, a se zopet vrne čez 11 dni 8 delavcev? 34. Ha se je izvršilo neko delo, delalo je sprva 20 mož 3 tedne po 8 ur na dan, potem 30 mož 4 tedne po 10 ur na dan in zadnjič 50 mož po 9 ur na dan. V koliko tednih bi izvršilo to delo 43 mož, ako bi delali po 12 ur na dan? 35. Ob 6ih zjutraj se odpelje poštni voz od A proti B ter preteče vsako uro po km-, 20 minut čez 2 popoludne odpelje se iz A železniški vlak, kateri naredi vsako uro 36 km dolgo pot ter dospe istočasno s poštnim vozom v B. Koliko Jem je od A do B? * 1 36. - = - - ——. Preizkušnja. * _ 1 2f 6 3 3® -4- 1 , x -f- 2 . .... 37. — -j— -: 4 — t: 1. Preizkušnja. 38. Vlak preleti ■§■ poti manj 5 km, drugi vlak J več 5 lem, oba pa isto pot; kolika je vsa pot? 39. Kupili smo 28 kg sladkorja in 15 kg kave; 1 kg kave velja 5-f krat toliko kot 1 kg sladkorja; koliko velja 1 kg vsakega blaga, ako smo plačali vsega skupaj 83 K 16 h ? 40. V dvoštevilčnem številu je številčna vsota 12. Ako zamenjamo obe številki, se ima novo število proti prvotnemu kakor 13: 31; katero število je to? 135 41 . Številčna vsota trištevilčnega števila je 12, številka za ednice je 2. Ako zamenjamo stotice in desetice, je novo število za 141 večje nego polovica prvotnega števila; katero število je to? 42 . Številčna vsota trištevilčnega števila je 11, številka za ednice 3; ako razdelimo število s stotično številko, dobimo 103 za kvocient, 5 pa ostane; katero je to število ? 43. Iz 6f kg volne se da natkati 2-J m dolgo in f m široko sukno; a) ko¬ liko kg volne je potreba, da se natke 5dolgega in 1 |-m širokega sukna? b) Kako dolgo bo sukno, če se pridene še 5-£ leg volne in če je sukno m širje? c) Kako dolgo bo sukno, natkano iz 6f kg volne, ako je 1 \m široko? 44. Osnovnica paralelograma, čigar obseg je 2 m 8 dm 2 cm, je za 2 dm 3 cm večja nego tik ležeča stranica. Kako dolgi sta stranici? 45 . Razdalja med Moskvo in Petrogradom iznaša 689-8 ... vrst; a) koliko km je to, ako je 1 vrsta = 1-066779 .. km ? (Na cele točno.) b) Kolika je ta raz¬ dalja na zemljevidu, ako je zemljevidu mera 1 :200.000? (Na mm točno.) 46. 15 delavcev dovrši delo v 30 dneh, ako delajo vsak dan 12 ur. Ko so delali že 6 dni, sprejeli so še 3 delavce, da bi delali samo 10 ur na dan. V koliko dneh izvrše to delo? 47 . Osnovnica pravokotnika meri 26-42 ... m, višina pa 20'34 .. m ; kako visok mora biti ploskovnoenak trikotnik nad osnovnico 17 65.. to? 48 . Zaloga drv zadostuje, da ogreva 1700 to 3 zraka 400 dni, druga 10400 m 3 90 dni; koliko m s zraka ogrevata oboji zalogi 160 dni?- 186 Peti oddelek. O potencah in korenih. I. O potencah. § 119. Število a vzmnožiti (potencirati) z m se pravi, število a postaviti mkrat kot faktor. (§ 39.) Število a imenujemo osnovno število ali osnovo, m potenčni ekspo¬ nent, dobljeni produkt p pa m -jo potenco števila a, ter pišemo a m = p. Potenca je tedaj produkt enakih faktorjev. Vzmnoževanje ali potenciranje ima za sedaj kaj pomena le, ako je eksponent celo pozitivno število ter večji nego 1; razven tega morata biti osnova in eksponent neimenovani števili. Prvotni pojem potence smo že raztegnili v § 39., vzemši, da je a 1 = a, in v § 54., dokazavši, da je = 1. Izreki o potencah. § 120. 1. a m . a n = a . a . a .... (m krat) . a . a . a .... (n krat), = a . a . a ... . (m + n) krat = a m+n . Potence istih osnov pomnožimo, ako vzmnožimo skupno osnovo z vsoto eksponentov. 2. Ako ta izrek obrnemo, dobimo a m + n = a m .a n , t. j.: Število vzmnožimo z vsoto, ako ga vzmnožimo z vsakim sumandom ter dobljene potence pomnožimo drugo z drugo. § 121. 1. Dve potenci istih osnov razdelimo, ako skupno osnovo vzmnožimo z diferenco dividendovega in divizorje- vega eksponenta. Dokaz . a m n . a" a m — n-\-n 137 2. Obratno dobimo a m ~ n = a m : a n , t. j.: Število vzmnožimo z diferenco, ako ga vzmnožimo z minuendom in subtrahendom ter prvo potenco razdelimo z drugo. § 122. 1. a m .b m = a . a . a . (m krat) .b.b.b... (mkrat) = ab . ab . ah . ah . .. . (m krat) (§ 37.) = (ah) m 2 :! . 5 3 = 10 3 . a . b — \ab) Potence istih eksponentov pomnožimo, ako produkt njih osnov vzmnožimo s skupnim eksponentom. 2. Obratno dobimo: (o6)" = a m . b m , 10 3 = 2 3 .5 3 , t. j.: Produkt vzmnožimo s številom, ako vzmnožimo ž njim vsak faktor. e , a m _ a . a . a ... (m krat) š 1 ■ V*~b.b . b . ..(mkrat) (m krat) b Dve potenci istih osnov razdelimo, ako vzmnožimo kvocient njunih osnov s skupnim eksponentom. 2. Če obrnemo ta izrek, dobimo / a \ m _ a m \ b J b m ’ t. j. '.Kvocient (ulomek) vzmnožimo s številom, ako ž njim vzmnožimo dividend in divizor (števec in imenovalec). § 124. 1. (a“)" = a m . a m . a m _(n krat) .— ~?n -4- m 4- m + m . . . (n krat) (A/ = a mn , (a 4 ) 3 = a«. (a m )" — a mn Potenco vzmnožimo s številom, ako osnovo vzmnožimo s produktom obeh eksponentov. 2. obratno: a '“ = (o“)“, a 1 - = (a 4 ) 3 , t. j.: Število vzmnožimo s produktom, ako ga vzmnožimo z enim faktorjem in dobljeno potenco še z drugim faktorjem. 138 3. Ako treba potenco zopet vzmnožiti, smemo ekspo¬ nente zamenjati. (< a m ) n = ( a n ) m . Dokaz. Po 1. je (a m ) n = a mn in (a n ) m = a nm - ker pa je mn = nm, je tudi a mn = a nm , tedaj (a m ) n = (a”) m . Kakšne predznake imajo potence. § 125. 1. (+ a) m = a. + «, + «.+ a . = + a m (§45., 2, a). Pozitivna osnova, vzmnožena s katerimkoli celim številom, da vselej pozitivno potenco. 2. (— c*) 2 = — a . — a = + aa — + a 2 , (—■ a) 3 = — a . — a . — a = — aaa — — a 3 , ( — a) 4 = — a . — a . — a . — a = + aaaa = + a 4 , ( — a) 5 = —■ a . — a. — a. — a. — a = — aaaaa = — a 5 , i. t. d. (§ 45., 2, 6); vobče: (— a) 2 ”* = + a 2TO , (- a)‘ im + 1 = - a 2 ” 1 + J. Negativna osnova, vzmnožena s sodim številom, da pozitivno, vzmnožena z lihim številom pa nega¬ tivno potenco. Potence z negativnimi eksponenti. § 126. Izrek o delitvi dveh potenc iste osnove, katerega izraža enačba a m :a n = a m ~ n (§ 121., 1.), ima doslej veljavo s po¬ gojem, da je m n. Ako pa je in sicer m + p — n, dobimo, izvršivši razštetev po navedenem izreku, potenco z negativnim ekspo¬ nentom ; kajti a m : a n — a m : a m+p — a~ p . Da dobi zakon, katerega izraža gori navedena enačba, občo veljavo, moramo potencam z negativnimi eksponenti dati tak pomen, da velja prvotni pojem o potencah tudi zanje. Ta pomen pa do¬ bimo, ako damo kvocientu, katerega izraža a~ p , drugačno obliko. Dobimo namreč : a" — - ,m + p Zato je 1 ? t. j.: Potenca z negativnim eksponentom je enaka 139 ulomku, čigar števec jel, imenovalec pa ista potenca s pozitivnim eksponentom. Da dokažemo ta izrek za eksponente, ki so posebna števila, določimo na pr. a 3 : a 5 . Tu imamo a 1 : a 5 = a 3-5 = a~ 3 in j .. . a 3 aa 1 1 > tedai a l \a i ' = , =- = — = -s J a 3 a ■’ aaaaa aaa a d l Dostavek. Iz a ? — — a? „ . ab~‘ i a 1 rrimer. - —- • -r izvira, da je a p . a p = 1 in dP — — J a. ? _ a a a . 1 a „ ac 3 36 3 ’ 5c“ 3 5 c -3 5 5 Vsako potenco, ki se v števcu nahaja kot faktor, lahko pre¬ nesemo kot faktor v imenovalec, in obratno; v ta namen treba le eksponentu izpremeniti predznak v nasprotnega. § 127. Vsi izreki, katere smo dokazali o potencah s pozitivnimi eksponenti, veljajo prav tako tudi o po¬ tencah z negativnimi eksponenti. Kajti a m 1 1 a m + n — (m -f- n) . 1 VzmnoževaDje števil na drugo potenco ali kvadrat. § 128. Za kvadrat binoma smo dobili v § 47. (a “k b)‘ — a 3 d - 2 ab “k b ~, t. j.: Kvadrat binoma je enak kvadratu prvega člena, več dvojnemu produktu obeh členov več kvadratu drugega člena. Ako hočemo trinom (a + h + c) vzmnožiti z 2, treba ga le smatrati za binom ter vzeti ( a + b) za prvi, c za drugi člen tega binoma. Potem pa dobimo {a + b + c) 3 = [(a + b) + c] 3 = (a + h) 3 + 2 {a + b ). c + c 3 = d- 4~ 2 ab -k. a 3 -f 2 (a -f b) . c “k c 3 . 140 Prav tako dobimo: (a -f- b -|- c 4 t (ž)® = — [(a + b + c) + d] 2 = (« + 6 + c) 2 + 2 (a + b -f- c) . d + c? 2 = a 2 ~k 2a?> + 6 2 + 2 (a. -j- b). c ~k c 2 ~k 2 (a + b c) . c? -k d 2 , (» -)- 5 + c + (H - e) 2 = = a 2 + 2ab + b* + 2(a + b) c + c* + 2(a + b + c) d + d* + + 2 (a + b + c + eč) e + e 3 , i. t. A. Iz tega izvajamo za vzmnoževanje polinomov na kvadrat ta-le tvorbeni zakon: 1. Prvi člen danega izraza da sam svoj kvadrat. 2. Vsak nastopni člen da po dve sestavini, namreč dvojni produkt iz vsote vseli predstoječih členov s tem členom in sam svoj kvadrat. 3. Vsota vseli teh sestavin je iskani kvadrat. Primer. (2a — 3 b + 4c) 3 = 4a 2 — 12 ab + % 2 + 2 (2 a — 3 b) . 4c + 16c 2 = 4a 2 — 12 ab + 96 2 + 16ac -— 246c + 16c 2 . Dostavek. Obe sestavini, ki jih da vsak člen danega poli¬ noma v kvadratu, lahko združimo tudi v en člen in sicer s tem, da prištejemo ta člen dvojni vsoti vseh predstoječih členov in to vsoto pomnožimo še s tem členom. 2«.. b + 6 2 = (2a + b). b ; 2 (a + b). c + c 3 = [2 (a + b) + c]. c; i. t. d. § 129. Ker moremo vsako dekadno število smatrati za polinom, urejen po padajočih potencah števila 10, zato velja pravilo, katero smo določili za. vzmnoževanje sestavljenih algebrajskih izrazov na kvadrat, tudi za dekadna števila. Na pr. 3417 2 = (3000 + 400 + 10 + 7) 2 = (3000® + 2.3000.400 -f 400 2 + 2.3400.10 + 10 2 + + 2.3410.7 + 7 3 . Ako pišemo te sestavine drugo pod drugo, dobimo: 141 Pri krajšem zapisovanju ničle niso napisane. Za vzmnoževanje dekadnega števila na kvadrat (kvadriranje dekadnega števila) velja torej to-le pravilo: 1. Prva ali najvišja številka danega števila da sama svoj kvadrat. 2. Vsaka nastopna številka da v kvadratu dve sestavini: dvojno pred njo stoječe število, pomnoženo s to številko, in sama svoj kvadrat. 3. Te sestavine zapišemo drugo pod drugo tako, da pride vsaka nastopna za eno mesto dalje proti desni, ter jih naposled seštejemo, kakor stojd; vsota je iskani kvadrat. Na pr. 3140- 31417- 9 87[02:78;89 Kvadrat dekadnega števila ima ali dvakrat toliko številk kakor dano število ali pa eno manj; kajti prva številka da v kvadratu eno ali dve mesti, vsaka nastopna pa po dve mesti. Ako razstavimo tedaj kvadrat od desne proti levi na razdelke po dve številki — prvi razdelek na levi more imeti tudi le eno številko — dobimo prav toliko razdelkov, kolikor številk ima dano število. 142 Dostavka. 1. Iz ( |q„ j = ^. )ri razvidimo, da je računiti kvadrat decimalnega ulomka prav tako, kakor kvadrat celega dekadnega števila, treba le v kvadratu števčevem odrezati dvakrat toliko decimalk, kolikor jih ima decimalni ulomek. Kvadrat deci¬ malnega ulomka ima torej vselej sodo število decimalk. 2. Sestavini, kateri da druga in vsaka nastopna številka da¬ nega števila v kvadratu, lahko združimo v eno samo sestavino, ako dvojnemu številu stoječemu pred to številko, pripišemo to novo številko, tako dobljeno število pa pomnožimo z ravno tisto številko, A vsak nastopni produkt moramo potem pomakniti za dve mesti dalje proti desni. Vobče je namreč (2 A . 10) .p + p 2 = (2 A . 10 + p) p. Ako izračunimo zadnji primer na ta način, dobimo 3 2 . . . . 9.. 61.1 .... 61.. 624.4 .... 2496.. 6281.1 .... 6281.. 62827 .7 .... 439 789 31417 2 = 987027889. Dostavek. Kvadrate okrajšanih števil računimo sploh po načinu okrajšanega množenja. (§ 96., dostavek.) Kubo vanje števil. § 130. (a + 6)3 = (a + S) 2 (o + 6) = (a 2 + 2a6 + 6 2 ) (a + 6) = a 3 + 3a 2 6 + 3a6 2 + 6 3 , t. j.: Tretja potenca (kub) binoma je enaka tretji po¬ tenci prvega člena, več trojnemu kvadratu prvega člena, pomnoženemu z drugim členom, več trojnemu prvemu členu, pomnoženemu s kvadratom drugega člena, več tretji potenci drugega člena. Da dobimo po tem izreku tretjo potenco (kub) trinoma (a+6+c), treba le, da smatramo (a + 6) za en sam člen. Tako dobimo (a + 6 + c) 2 = = [(a + 6) + c] 3 = (a + 6)3 + 3 (a -j- 6) 2 . c + 3 (a + 6) c 2 -j- c 3 = a 3 + 3a 2 6 + 3a6 2 + 6 3 + 3 (a + 6) 2 c + 3(« + 6)cH c 3 .. 143 Prav tako dobimo: {a + b + c -p d ) 3 — [(a + b + c) + d \ 3 = = (a + b + c) 3 + 3 (a + b + c) 2 d + 3 (a + b + c) d 3 + d 3 = a 3 -j- 3 a-b + 3a b 3 + b 3 + 3 (a + b) 2 c + 3 (a + b) c 2 + c 1 + 3 (a + b + c ) 2 d + 3 (a + b + c) d 2 + d 3 , i. t. d. Tz tega izvira za kubiranje večclenskega izraza ta-le tvorbeni zakon. 1. Prvi polinomov člen da, sam svoj kub. 2. Vsak nastopni člen da tri sestavine, namreč trojni kvadrat iz vsote vseli pred njim stoječih členov, pomnožen s tem členom, trojno vsoto pred njim stoječih členov, pomnoženo s kvadratom tega člena, in sam svoj kub. 3. Vsota vseh teh sestavin je zahtevani kub. Na pr. (y 2 + 2y-S) 3 = = ;y« + 6 y° + 12t/ 4 + % 3 - 9 (if + %y) 2 + 27 (y 2 + 2 y) - 27 = + 6^ 5 + 12.V/4 + 8^3 _ 9y4 _ 36?y 3 _ 30_ y 2 + 27 y 2 + 54 y - 27 = y 6 + 6// r ’ + 'Sy i — 2 8// 3 — 9 y 2 + 54y — 27. § 131. Računajoč po tem tvorbenem zakonu kub dekadnega števila, na pr. 4213, dobimo: 4213 3 = (4000 + 200 + 10 + 3) 3 = 4000 3 .. 3.4000 3 .200 .. 3.4000 .2003.. 200 3 .. 3.42003. 10 .. 3.4200 . 103.. 10 3 .. 3.42103. 3 ... 159516900 3.4210. 3 2 ... 113670 3 3 ... 27 = 74778091597 = 77[778|091597. 64000000000 krajše: 9600000000 480000000 8000000 529200000 1260000 1000 Iz tega izvira, da je tretjo potenco (kub) dekadnega števila računiti tako-le: 1. Najprej vzmnoži prvo ali najvišjo številko danega števila na tretjo potenco. 144 2. Za vsako nastopno številko tvori po tri sestavine: trojni kvadrat pred njo stoječega števila, pomnožen s to številko, trojno pred njo stoječe število, pomnoženo s kvadratom te številke, in tretjo potenco te številke. 3. Te sestavine zapiši drugo pod , drugo tako, da pride vsaka nastopna za eno mesto dalje proti desni, potem jih seštej, kakor stojč. Na pr. 123 3 3054 3 Tretja potenca dekadnega števila ima ali trikrat toliko številk kakor dano število, ali pa za dve, ali tudi za eno manj; kajti prva številka danega števila ima v tretji potenci eno, dve ali pa tri mesta, vsaka nastopna pa da vselej tri mesta. Ako razstavimo torej -tretjo potenco od desne proti levi na razdelke po tri mesta — prvi razdelek na levi ima lahko dve ali tudi le eno številko — dobimo prav toliko razdelkov, kolikor številk ima dano število. / a \ 3 _ d A Dostavek. 1. Iz j izvira, da moramo pri deci¬ malnih ulomkih v števčevem kubu odrezati 3 krat toliko deci¬ malk, kolikor jih ima dani decimalni ulomek. Dostavek. 2. Tretjo potenco okrajšanih števil ra- čunimo sploh po načinu okrajšanega množenja. (§ 96., dostavek.) Naloge. ■o" • cP = a m + p ; (a . b) m = a m .b m -, (—a)** 1 = d »; (—a)* + 1 =— a > +b / a \ m ( 6 *: 6 * = &"“*; =- 1 (a m ¥ = a m r; P = 1; «0 = 1; -ar 145 1. a 5 . a. 4 . 2. a; 3 ” . cc 2 ". 8. (2x) 3 . (2cc) 5 . 4. c n + 1 .c n ~ i . 5. 3a 2 x 2 .7a 3 x 4 . 6. ŽaV® 4 .3awV 2 . 7. 3« 2 a;. 15acc 2 .4a 2 ce 3 . 8. 7am 2 . 36 2 n 2 . 8a i bm s n. 9. (8a 3 cc 2 - Bi 3 ?/ 2 ). 3 a?yK 10. (2 d*b - 3a& 2 - 46 3 ) . 8 a%. 11. (3m 2 — 8m -— 5) (7m 2 + 5m — 6). 12 . a(x — l) p .a p .(x — l) 3 a p + 3 . (x — 1). 18. Izračuni : a) 4 8 iz 4 5 = 1024 in 4 3 = 64; b) 15« iz 15 3 = 3375 in 15 2 = 225; c) 1'04 10 iz 1'04 8 = 1-368569 ... in l - 04 2 = 1'0816; č) 1'025« iz 1"025 4 = 1-103813 ... in 1'025 2 = 1'050625. 14. x‘->: x 3 . 15. 27««: 3«'-. 16. a 2n+1 : a n ~K 17 30cc 4 y 3 : 5 x 3 y. 18. 8:c“ + 2 *: 12x 24 - “. 19. 3a 9 6 3 c 4 ii 5 : aWcd 3 . 22 15a:c 4 3cc 3 8 by' 1 4 y 20. lQ4a/) 3 cc 9 : (91a r> 6«cc 7 : 7a 4 & 4 :c). 8a«an/ 4 _ 4 a ( 'xy ' 1 : 56cV‘ Močnik, Aritmetika. X. 1056. 10 146 103. ( 6 : IX 0 105. 5x 2 + 4x ■ ( 2 -!■+¥)■ 3)2. 104. (7x6 + 4 x i + x 3 _ 8)2. «■ (S+MD- 107. (— a + b + c) 3 + (a — b + c) 3 + (a + b — c) 3 . *108. Določi kvadrat od 2 desetic, 3 stotič, 4 tisočic, 1 desetine, 3 tisočin, 4 des.-tisočin. 109. 3762. 110. 25432. 113. 8'47 2 . 114. 74'06 3 117. 2704 3 . 118. (37-082...> 121. (942)2. 122. Bogi. 111. 50792. 112. 734162. 115. 0-83152. 116. 2-34562. 119. (13'079...) 3 . 120. (4-6029...)* 123. 5"27 4 . 124. 76». 125. (3x + 2 y)\ a_ b b 131. (y~ + 2 y- 3)2. 128 - (f-7)' 126. (4« — 3) 3 . »(i 132. (1- 127. (2ax2 + 3%2)3. »ai+?)■ 2 a 2 -|-a 4 — « 8 ) :! . 147 m. (f-f- 1 ) 3 * 'X 3 135. 7341 139. 782561 143. (0’8304 147. (57®)1 O 3 - 136. 8621 140. 9171 144. 6-0431 148. 0-621 134. (4a — 137. 60351 141. 5"9461 145. (18-02. 149. 1-371 2x 2 9 x 4 \3 3 a 8 crv 138. 210091 142. (69-023...)! )1 146. (6’084...)1 150. l'05il 151. Odstrani negativne eksponente: 3 a~‘ i x~ 3ckc~" 3 ; 2 b i y ' 3 5 a i b~ 3 y~ i '6b~ i y-* 1 n*a-*y‘ 152. Odstrani imenovalca v nastopnih ulomkih: 3 a &x 3 ax 3 b ’ ’ 3“ i ax ~ 3 4 II. O korenih. § 132. Razkorenitev (Wurzelausziehen , Radizieren) služi nam takrat, kadar hočemo iz vrednosti dane potence (a = p m ) in nje eksponenta (m) poiskati pripadajočo osnovo (p). Število a razkoreniti s številom m ali številu a poiskati m-ji koren, se pravi iz potence a in eksponenta m izra¬ čunih osnovo. Dano potenco a imenujemo radikand ali kar šte¬ vilo, dani eksponent rakorenski eksponent ( Wurzelexponent), iskano osnovo p pa m-ji koren (Wurzel) števila a, ter pišemo ra \Ja — p. s Na pr. 4 3 = 64, tedaj obratno \/64 = 4. Drugi in tretji koren imenujemo tudi kvadratni oziroma kubični koren. ra Za sedaj ima V« le takrat kaj pomena, če je a zares m-ja potenca kateregakoli celega ali ulomljenega števila in kadar sta radikand in eksponent neimenovani števili. § 133. Iz navedenega pojasnila izvira: 1. Koren, vzmnožen s korenskim eksponentom, da radikand. 3 ™ (V/27) 3 = 27, ( \/a) m = a. 10 * 148 2. Številu se ne izpremeni vrednost, ako ga s ka¬ terimkoli številom vznožimo in z istim številom raz- kor enimo. m m a — V(a) OT ; a — ( \/a) m . Zato moremo vsako število pretvoriti na koren. Na pr. b = Vba 3 = V3 4 = V81; 5 = V625. Vzmnoževanje in razkorenjevanje sta tedaj nasprotna ra¬ čuna; razkorenjevanje je obratni račun vzmnoževanja. 3. Prvi koren vsakega števila je število samo. 1 Ker je a 1 = a, tedaj je tudi \A* = «• Za prvi koren ne pišemo niti eksponenta 1, niti korenskega znaka. Za drugi koren pišemo pač korenski znak, ne pa eksponenta 2. 2 \Ja pomeni torej \/a. m m 4. VI = 1- 5- VO^O. Izreki o korenih § 134. 1. Produkt razkorenimo, ako razkorenimo vsak njegov faktor. m _ mm ^_ 3 3 _ Vab=Va.\Jb, V8.64= V8. V64 = 2.4=8. m m Dokaz. Ako je \/a . \/b zares pravi koren, mora dati, vzmnožen s korenskim eksponentom m, radikand ah. In res je m m m m (V« • Vb) m = ■ (\/b) m (§ 122., 2) = ab (§ 133., 1.). Uporabljajoč ta izrek, radikand lahko deloma razkorenimo, ako ima namreč kak faktor, ki se da razkoreniti z dotičnim šte¬ vilom. Na pr. n _ n n n Va n b = \a n . \Jb — a . \Jb, V ; 4« = V4 . V» = 2 V«; V245 = V5.49 = 7 V5. Tako moremo dostikrat korene, imajoče isti eksponent pa različne radikande, pretvoriti na take, ki imajo isti radikand, in jih potem še skrčiti. Na pr. V8 + V50 + V72- V128 = V472 + V25.2 + V'36.2 - V64.2 = = 2V2 + 5V2 + 6V2-8V2 = 5V2. 149 2. Obrnivši prejšnji izrek dobimo mm m M a . \/b = Vab, t. j. Korene istih korenskih eksponentov pomnožimo, abo produkt radikandov razkorenimo s skupnim korenskim ekspo¬ nentom. Uporabljajoč ta izrek in pa onega v § 133., 2. moremo obratno vsak korenov faktor spraviti pod korenski znak, in sicer tako, da dotični faktor vzmnožimo s korenskim eksponentom in to potenco pomnožimo z radikandom. Na pr. n n n n _ 3 3 3 3 a\b = \Ja n . \/b = Ma%, 2 \/5 = j/8 . \/40. § 135. 1. Kvocient (ulomek) razkorenimo, ako raz¬ korenimo dividend in divizor (števec in imenovalec). m 3 m \m m l- = ( !f a) “(§ 126, 2) = f (§ 136, 1.). ! Mb ) tMb) m m m 2. Obratno dobimo — l / a > Mb \ 1 t. j.: Dva korena istih korenskih eksponentov razde¬ limo, ako kvocient iz obeh radikandov razkorenimo s skupnim korenskim eksponentom. § 136. 1. Potenco razkorenimo, ako razkorenimo osnovo, ali pa Če potenčni eksponent razdelimo s korenskim eksponentom. n n 3 3 1) vV”) = (\/«) m , V(8 5 ) = ( V8) 5 = 2 5 . n m 2) \/(a“) = a n V/3« = 3 * = 3 3 . Dokaz. D | (Ma) m \ n= |( Ma) n \ m (§ 127-, 3.) - a™ (§ 133, 1.). ( m \ n m • 2) \a n ) = a n * (§ 127, 1.) = a m . 160 2. Obrnivši enačbo 1.) dobimo (]/a) m = ]/(a m ), t. j.: Koren vzmnožimo s številom, ako ž njim vzmnožimo radikand. Izvod. Kadar je treba število vzmnožiti in raz- koreniti, izvrši se to lahko v kateremkoli redu. 3. Ako obrnemo enačbo 2.), dobimo “ n a n = \J{a m ), t. j.: Število vzmnožimo z ulomkom, ako ga vzmnožimo s števcem in razkorenimo z imenovalcem. Potenca z ulomljenim eksponentom pomeni torej toliki koren, kakor kaže imenovalec, iz tolike osnovine potence, kakor kaže števec. §137. Koren razkorenimo s številom, ako ž njim raz¬ korenimo radikand, ali pa če ž njim pomnožimo korenski eksponent. mn n m 1) V(V<*) = V'(V«), m n mn 2) v (V») = V« Dokaz. .Urok n »i n D | y/(v a )j = \J{\'a) m (§ 136., 2.) = \/a (§ 133., 1.). V / (V'27)=Y(V'27)= \/3; V (V64) = V64 = 2. v mn n | mn i n n mn n 2) (y/ a )» = VK\/aH (§ 133., 2) = V {^a) mn (§ 133., 1) = \Ja. Izvod. Ako je treba število razkoreniti z dvema številoma, razkorenimo ga lahko ali z vsakim številom posamič v kateremkoli redu, ali pa kar s produktom obeh ob enem. § 138. Korenu iz katerekoli potence se vrednost ne iz premeni, ako korenski in potenčni eksponent z istim številom pomnožimo ali razdelimo. Kajti Uporabljajoč prvi del tega izreka lahko pretvorimo vsakeršne korene na skupni korenski eksponent. 151 3 3 10 Recimo, da je treba korene \/a, \'lr, V'c :! , \'d 7 pretvoriti na skupni korenski eksponent. Najmanjši skupni mnogokratnik danih korenskih eksponentov je 30; tedaj dobimo Zato moremo tudi korene, imajoče različne eksponente, mno¬ žiti in deliti (§ 134., 2. in § 134., 2.), ako jih poprej pretvorimo na take, ki imajo isti korenski eksponent. \Ja . \Ja = \Ja 3 . V « 2 = V a‘ ! . a 2 = \Ja? ; i 3 12 12 j f - 1 2 V « 3 : l/a — V ® 9 '• \/« 4 = ta 9 : a 4 = \ja^. Uporabljajoč drugi del onega izreka okrajšujemo korene, kadar imata korenski in potenčni eksponent kako skupno mero. 8 4 mp m Na pr. V« 6 = \/a 3 , \/a p = \Ja. Kakšne predznake imajo koreni. § 139. 1. Pozitivno število, razkorenjeno s katerim¬ koli lihim številom, da pozitiven koren. 3 V + 27 = + 3; kajti (+ 3) 3 = + 27. 2 2_+ 1 Zn +i Vobče: V + a — + \/a. 2. Negativno število, razkorenjeno s katerimkoli lihim številom, da negativen koren. 3 V— 27 Vobče: - 3; kajti (- 3) 3 = - 27. 2n+1 21.+ 1 v — a = — \a. 3. Pozitivno število, razkorenjeno s katerimkoli sodim številom, da dve enaki a različno zaznamovani števili. 152 V +16= ± 2; kajti (+ 2) 4 = + 16 in (— 2) 4 = + 16. 2 v_ a „ Vobče: V+a^+Va. 2 n 4. Sedaj si treba ogledati še V — a. Ako vzmnožimo bodisi pozitivno bodisi negativno število s sodim številom, nikdar ne dobimo 2 n negativnega števila; zatorej pomeni V—a neko število, katerega ni med onimi, s katerimi smo se pečali doslej. To novo število imenu¬ jemo imaginarno (umišljeno) število (imciginare Zakl), v na¬ sprotje vsem drugim številom, katera imenujemo realna (istinita) števila (reelle Zahlen). Na pr. V — 4 ne more biti niti + 2 niti — 2, kajti (+ 2)3 = +4 in (- 2)3 = + 4. Sodkoreniznegativnegaradikandajeimaginarno število. 2 ii Daši imaginarno število V — a v aritmetiki ne pomeni nič dru¬ gega nego število, katero da, 2«krat kot faktor vzeto, število — a, vender ga ne kaže v matematiki prezirati, kajti že v aritmetiki je pri višjih algebrajskih računih dostikrat prav koristno, v geometriji pa ima prav določen pomen. Ako dobimo v čisto aritmetični nalogi, v kateri se more vprašati le po realnem številu, imaginarno število za resultat, kaže to, da se naloga z danimi pogoji ne da razrešiti. Iracionalna števila. ra § 140. Ko smo v § 182. pojasnili pojem izraza \Ja, smo vzeli, da je radikand a m-ja potenca kateregakoli celega ali ulomlje- nega števila. Ako pa. celo število a ni m-ja potenca kakega ce- ra lega števila, potem \/a ne more biti niti celo število niti ulomek; vender se da približno izraziti z ulomkom in sicer tako natančno, kakor le hočemo. Recimo na pr., da nam je določiti \/2. Ker je 2 med 1'- = 1 in 2 3 = 4, zato je \/2 med 1 in 2. Dalje je 2 153 med 1'4- = 1'96 in 1'5 2 = 2"25, „ 1-41®' =1-9881 „1'42 2 = 2-0164, „ 1’414* = 1-999396 „ 1-415 2 = 2-00225, i. t. d. Tedaj je 1/2 med 1"4 in 1"5 „ i-41 „ 1-42 „ 1-414 „ 1-415 i. t. d. Iz tega razvidimo, da je \/2 med dvema številoma, kateri lahko toliko zbližamo, kolikor le hočemo; da ima torej j/2 določeno vrednost, katere sicer ne moremo izračuniti s popolno točnostjo, a vendar tako točno, kakor hočemo. § 141. Števila, katerih ne moremo po vsem točno izraziti niti s celimi števili niti z ulomki, a z ulomki približno tako točno, kakor le hočemo, imenujemo iracionalna števila (irratio- nale Zahlen), v nasprotje celim m ulomljenim številom, katera zo- vemo racionalna števila (rationale Zahlen). Z iracionalnimi števili računi ti se pravi, računiti z njih približnimi vrednostmi. Ker so pa te približne vrednosti racionalna števila, veljajo tudi o iracionalnih številih vsi obči izreki, katere smo dokazali o racionalnih številih. § 142. Ulomek, čigar imenovalec je iracionalen monom ali binom, pretvorimo lahko, ne da bi mu izpremenili vrednost, na tak ulomek, ki ima racionalen imenovalec; v ta namen treba le števec in imenovalec pomnožiti s primernim faktorjem. Iz ulomka odpraviti iracionalen imenovalec se pravi, imenovalec pora c io naliti (den Nenner rational machen). Tu se pečajmo z nekaterimi lažjimi slučaji. 1. Ako hočemo ulomku, imajočemu obliko s kjer je m> n , \ja n dati racionalen imenovalec, treba le števec in imenovalec pomno¬ žiti z Va m n . Kajti i _ *vv* m m m m Vo” Va n . \/a m -’ 7 V*” š\la AT 1,1 iMa pr. 3 m\Jd l 3 \Ja 3 \/a . \/d l 3 ^cfi- a . o a a V ) _ š(\Ja + \/fe) \/a + \/& (V r/ + \/6) (Va + a — b _3 = 3 (5 + y '2) = 1.5 + B \/2 5 - \ 2 5 2 - 2 " 23 ’ Na pr. 15 15 (y/5 - \/2) V5 + \2 5 — 2 (VB-V2). § 143. Ako je v enačbi neznanka pod korenskim znakom, prav lahko odpravimo koren. V ta namen uredimo enačbo tako, da stoji koren, katerega hočemo odpraviti, sam na eni strani, potem pa vzmnožimo oba dela enačbe s korenskim eksponentom. Ako v enačbi neznanko oprostimo korenskega znaka, pravimo, da enačbo poracionalimo (.Die Gleichuncj rational machen). Recimo, da treba poracionaliti na pr. enačbo \2x + 3 = 5. Enako vzmnoženo z enakim da enako. Ce vzmnožimo oba dela enačbe na kvadrat, dobimo racionalno enačbo 2x + 5 = 25, ki se da prav lahko razrešiti. Računanje kvadratnega korena. Naloga. (x 2 + 3r - 5) 3 = r 4 + 6a; :! + 9cc- - lO.r 2 — 30x + 25 ,.i c g ,.:i — x ‘i — 30x + 25. § 144. Iz zakona (§ 128.), po katerem so sestavljene sesta¬ vine polinoma v njega kvadratu, ra z vi dim o, da nam je računi ti kvadratni koren urejenega polinoma po tem-le navodilu: 1. Prvi člen (cc 4 ) urejenega polinoma je kvadrat prvega ko- renovega člena (r 2 ). Prvi korenov člen (cc 2 ) dobiš torej, ako izra- čuniš kvadratni koren prvega radikandovega člena (ar 4 ). Kvadrat dobljenega prvega korenovega člena odštej od radikanda. 2. Prva dva člena v ostanku (6a? 3 — x l ) imata oni dve sesta¬ vini, kateri da nastopni korenov člen (3ar) v kvadratu, in sicer je 155 prvi člen v ostanku (6ic 3 ) produkt iz dvojnega že najdenega ko¬ rena (te 2 ) in nastopnega korenovega člena (3cc). Ako torej razdeliš prvi člen ostanka (6x 3 ) z dvojnim že znanim korenom (2x 2 ), dobiš nastopni korenov člen (3x). Potem tvori sestavini, kateri da ta novi korenov člen v kvadratu; v ta namen prištej ta novi člen (3cc) dvojnemu že znanemu korenu (2x 2 ) ter vsoto pomnoži z ravno tem členom (3x) (§ 128., dostavek), dobljeni produkt pa odštej od poli- nomovega ostanka. 3. To postopanje nadaljuj, dokler nisi vzel vseh radikandovih členov v poštev. Kvadratni koren polinoma x i + 6 x 3 — x l — 3Cte + 25 računimo torej: ^x i + 6a; 3 — a; 2 — 30cc + 25 — cc 2 + 3x — 5 — x 4 + Qx s — x? : (2:k 2 + 3x) . 3x + 6:r :t + 9x- — 10cr 2 — 30^ + 25 : (2« 2 + 6cc — 5) . — 5 + 10g' 2 + 3Cb:: + 25 ’ 0 Slično postopamo pri računanju kvadratnega korena vsakega drugega polinoma. Ako ne dobiš nobenega ostanka, tedaj je dani polinom popoln kvadrat in dobljeni kvadratni koren racionalen; če pa dobiš ostanek, je kvadratni koren iracionalno število. § 145. Izračuni 194 2 ! 194 2 = 37636 3|7 6,3 6 Iz tega obrazca razvidimo, da je računiti kvadratni koren celega dekadnega števila po tem le navodilu: 1. Število (37636) razdeli, pri ednicah začenši, na razdelke po dve številki (3|76|36) — prvi razdelek na levi (3) more imeti tudi le eno številko — potem poišči največje število (1), katerega 156 kvadrat se nahaja v prvem razdelku na levi ter to zapiši kot prvo številko v koren. Kvadrat te prve korenove številke (1) odštej od prvega razdelka. 2. Ostanku. (2) pripiši nastopni radikandov razdelek (76). Tako dobljeno število (276) brez njega zadnje številke (6) razdeli z dvojnim že znanim korenom (2) ter kvocient (9) zapiši, kot novo številko v koren, ob enem pa tudi k divizorju. Tako popolnjeni divizor po¬ množi z novo korenovo številko (9), produkt pa odštej od dividenda, kateremu pa moraš privzeti prej izpuščeno številko (6). 3. To postopanje nadaljuj, dokler nisi vzel v račun vseh radi- kandovib razdelkov. Kvadratni koren števila 37636 računimo torej: V3j76|36 — 194 1 276 : 2 ... 2.1 29.9. „261 1536: 38... 2.19 384.4... 1536 0 Produkt iz vsakokratnega popolnjenega divizorja in nove šte¬ vilke lahko bar takoj, ko množiš, ob enem od dividenda odštevaš. Prejšnji primer dobi potem to-le obliko: |76|76!36 = 194 2 76 : 2» 15 36 : 384 0 Slično postopamo pri računanju kvadratnega korena vsakega drugega celega števila. Ako dobiš naposled kak ostanek, tedaj je kvadratni koren danega števila iracionalno število. Da to natančneje določiš, pripiši zadnjemu in vsakemu nastopnemu ostanku po dve ničli, sicer pa računi kakor poprej. V kvadratnem korenu postavi decimalno točko, predno vzameš prvi dve ničli v račun. Na pr. V23I61 = 48'59 ... 7 61: 8s 5700: 96s 87500: 9709 119 157 § 146. 1. Kvadratni koren decimalnega ulomka računimo prav tako kakor kvadratni koren celega števila; vender moramo decimalni ulomek razdeliti od decimalne točke proti levi in proti desni na razdelke po dve mesti ter v korenu postaviti decimalno točko, predno vzamemo prvi razdelek decimalk v račun. Kadar ima zadnji razdelek decimalk na desni le eno številko, pri¬ pišemo mu ničlo, da dobimo sodo število decimalk. Na pr. V1|B2'27|66 = 12'34 V'68'30 = 8'2643 .. . 52 : 2a 4 30: 16a 8 27 : 24s 1 0600 :164e 98 56 : 246i 72400 :16524 0 630400:16528:: 134551 2. Kvadratni koren n a v a d n e g a ulomka računimo tako, da izračunimo kvadratni koren njegovega števca in imenovalca, ali pa tako, da pretvorimo navadni ulomek na decimalnega ter potem izračunimo kvadratni koren tega ulomka. Na pr. j j 144 _ V144 __ 12 _ V 529 _ \/529 28’ = \/G'625 = 07905 ... § 147. Ako smo v korenu določili n veljavnih številk, dobimo še n — 1 številko na okraj sani način in sicer tako, da razdelimo ostanek z dvojnim že najdenim korenom, uporabljajoč okrajšano deljenje, kakor se to razvidi v teh-le primerih, če primerjamo naj višja mesta: zadnjih treh korenovih številk v kvadratu (radikandu), ampak le iz produkta, sestoječega iz dvojnega že dobljenega korena in teh 158 številk. [Kvadrat (7) tisocin da le (49) milijonin]. Zadnje tri šte¬ vilke dobimo torej, ako izvršimo delitev. 01724 ...: 231,8. Zadnjo divizorjevo številko je treba vsakikrat odrezati ter jo uporabiti za popravo. Ako hočeš v kvadratnem korenu na okrajšani način izračuniti le določeno število decimalk, izračuni najprej na navadni način polovico zahtevanih decimalk in še eno, potem še le postopaj na okrajšani način. Ako bi hotel na pr. p 48532 določiti na 2, 3, 4, 5, 6 mest, dobiš v korenu 5, 6, 7, 8, 9 veljavnih številk; od teh pa smeš po okrajšanem deljenju določiti le 2, 2, 3, 3, 4 številke. \ 14‘0382 ... moreš izračuniti na 4, Y 669'62... in V 669-67.. na tri decimalke. Računanje tretjega korena. § 148. Naloga. (?/ 2 — 2y + 3) 3 = y ( ' — 6 2 / 5 + 12 y’ i — 8y 3 + 9 y !l -- 36?/ 3 + 36^- _ _ _ + 27 y* - 54y + 27 — 6 + 21 — 44y 3 + 63v/- — 54 y + 27 Iz tvorbenega zakona za tretjo potenco veččlenskega izraza (§ 130.) izvira obratno, da nam jeračunititretjikoren ureje- nega polinoma po tem-le navodilu: 1. Za prvi člen iskanega korena (y 2 ) vzemi tretji koren prvega radikandovega člena ( y 6 ) ter njega tretjo potenco odštej od radikanda. 2. Prvi člen ostalega polinoma (— 6 1 /') razdeli s trojnim kva¬ dratom že znanega korena (3?/ 4 ); kvocient je nastopni korenov člen (— 2 y). Potem tvori one sestavine, katere da ta novi korenov člen v kubu, namreč: trojni kvadrat že prej znanega korena (3 y i ), pomnožen s tem členom (— 2 y). trojni prejšnji del korena (3?/ 2 ), pomnožen s kvadratom tega člena (4?/ 2 ), in kub tega člena (— 8 y 3 ), ter odštej vsoto teh treh sestavin od prejšnjega radikandovega ostanka. 3. To nadaljuj. Ako naposled ne dobiš nobenega ostanka, je tretji koren racionalen, sicer pa je iracionalen. 159 Tretji koren polinoma y 6 — Qy 5 + 21;y 4 — 44v / 3 + 63;y 2 —54// + 27 računimo torej: V[?/ B “ % 5 + 21 v / 4 — 44 // 3 + 63// — 54// + 27] = // — 2 // + 3 -ž/ 6 — 6// 5 + 21,V 4 — 44y / 3 : 3 // 4 + 6 y 5 + 12// 4 + 8// 3 + 9y 4 - 36y 3 + 63// - 54// + 27 : (3 // 4 - 12// + 12//) + 9 // 4 + 36// 3 ± 36// ± 27// + 54// ± 27 0 Slično postopamo pri računanju tretjega korena vsakega dru¬ gega polinoma. § 149. Izračuni 425 3 ! 425 2 = 76 765 625 Iz tega obrazca razvidimo, da je računiti tretji koren celega dekadnega števila po tem-le navodilu: 1. Število (76 765 625) razdeli, pri ednicah začenši, proti levi na razdelke po tri številke — prvi razdelek na levi (76) more imeti tudi le dve ali pa eno številko —; potem poišči največje število (4), katerega kub se nahaja v prvem razdelku, ter to zapiši kot prvo številko v koren. Kub te korenove številke (64) odštej od prvega radikandovega razdelka. 2. Ostanku pripiši nastopni razdelek (765); tako dobljeno šte¬ vilo (12765) brez zadnjih dveh številk (65) razdeli s trojnim kva¬ dratom že znanega korena (48), kvocient (2) pa zapiši kot novo številko v koren. Potem tvori one sestavine, katere da ta nova korenova številka v kubu, namreč: trojni kvadrat že znanega ko¬ rena (48), pomnožen s to številko (96), trojni že znani koren (12), 160 pomnožen s kvadratom te številke (4) in kub te številke (8); prvo sestavino zapiši pod dividend (127), vsako nastopno pa za eno mesto dalje proti desni; potem pa odštej vsoto vseh. treh sestavin od divi¬ denda, privzemši njega prej izpuščeni dve številki (65). 3. To nadaljuj, dokler nisi vzel vseh radikandovih razdelkov v račun. Tretji koren števila 76 765625 računimo torej: V 76|765 625 = 425 43.. . 64 12 765 : 48 ... 3.42 3.42.2 ... 9 6 3.4 .22 ... 48 2»... 8 2 677 625 : 5292... 3.422 3.422.5 ... 2 646 0 3.42 .5 3 ... 31 50 5 3 .. . 125 0 Slično postopamo pri računanju tretjega korena vsakega dru¬ gega celega števila. Ako dobiš naposled ostanek, je tretji koren iracionalen, iz- računiš pa ga lahko tako točno, kakor le hočeš. V ta namen postavi v korenu decimalno točko, potem pa pristavi zadnjemu in vsakemu nastopnemu ostanku po tri ničle, sicer pa računi kakor poprej. \/10 — 215 ... _8 . 2000 : 12 12 6 1 739000: 1323 6615 1575 125 61625 161 § 150. 1. Prav tako postopamo, kadar računimo tretji koren decimalnega ulomka; vender moramo decimalni ulomek raz¬ deliti od decimalne točke proti levi in proti desni v razdelke po tri številke ter v korenu postaviti decimalno točko, predno vzamemo prvi razdelek decimalk v račun. Na pr. \/13144|256 = 2‘36 \/0'002!360 = 0133 ... Račmi izvrši tako, kakor v primerili § 149. 2. Tretji koren navadnega ulomka izračuniš, ako izračuniš tretji koren njegovega števca in imenovalca, ali pa, ako pretvoriš navadni ulomek na decimalni ulomek ter izračuniš njega tretji koren. / 64 343 V/64 \/343 4 7' \/5-| \/5 ‘ 6 17828. V zadnjem slučaju ne smeš razdelkov popolnjevati z ničlami, marveč s številko 6. § 151. Ako smo z navadnim razkorenjevanjem izračunili n veljavnih številk, dobimo iz morebitnega ostanka še n —1 številko v korenu takč, da ostanek razdelimo s trikratnim kva¬ dratom že dobljenega korena, izpustivši v le — tem zadnjo številko. Da je tako okrajšano računanje prav, vidimo iz nastopnih vzgledov, če primerjamo najvišje veljavne številke. V3 = 1A422 ... X 2000 :3 12 48 64 2560 00: 588 2352 67 2 64 1-4422 3 V3 2000: 3 12 48 64 256 000: 235 2 6 72 64 588 140 16 4 16 : 62|20,8 6238092 3,09320552 Močnik, Aritmetika. X. 1056. n 162 Ko smo odrezali zadnjo divizorjevo mesto, okrajšamo še ostanek in divizor za toliko mest, da ima divizor le še n —1 številko. Ako hočemo v tretjem korenu izračuniti le določeno število decimalk, moramo vsakako izračuniti (kakor v § 147.) več kakor polovico zahtevanih veljavnih številk z resničnim razkorenjevanjem, potem še le smemo dalje računiti na okrajšani način. 3 _ Ako je treba na pr. K48532 določiti na 2, 3, 4, 5 decimalk, dobi koren 4, 5, 6, 7 veljavnih številk, od katerih moramo 3, 3, 4, 4 mesta določiti z resničnim razkorenjevanjem. Eksponencialne enačbe. § 152. Enačbo, v kateri je neznanka v eksponentu imenujemo eksponencialno enačbo. Vobče jo izrazimo v obliki a x = b X ali Va = 6. Nekatere teh enačb moremo razrešiti z uporabo izreka: Ako sta potenci z istim osnovnim številom enaki, sta tudi ekspo¬ nenta enaka. Izvzeta sta osnovni števili 1 in 0. Na pr. 35 — 3 . 93—11 = 81 35—2.34—3 = 34 39—5 = 34 9x — 5 = 4, torej x — 1. Naloge. 8 _ 3 163 26. \/a 3 . V'«. 27. \'a . V'«’ 1 . 28. \Jx . \'xy. 29. 3 \/8.1/4 — 2 \/2 . \/32. BI. \/2a .\/&b yšab. BB. (3 + V'2) (3 - \/'2). 35. (V10-V/5) (\/15 + V20). 37. (2 + V3,) 3 . B9. (2 V8 - 6 V/18 + 3 \/50). \/2. 444 BO. \jx . \Jx i . \Jxy. B2. VabV x . 1 '/ f g 'a B4. (8 + V7)(4-V7). B6. (\/32 + 1/48) (1/2-1/3). 38. (v'8 —y/2) 3 . 40. (3 V8 — B \/32): V'2. Spravi pri teh-le korenih faktor pod korenski znak: 41. 3\/5. 42. 2 VI. 4B. 3\/l|. 44. 4a.dk s 48. ni 49. V2% 50. V3|. /8 a^b 27c 4 ’ 7 l/j » l/l-f- 54. 57. 51. V2ia. 2 . I/ 8 _ 9 j/ 9 !/: a 6 b s \jxy 5 x i y i J/ g 4 6 3 .,(1:: 11) i a_ 61. V/81: \/3- 64. 5 \/g 4 '6 • V'« 3 62. 65. 3 3 _ V48* : Vfia;. 67. j/ a: 4 y 8 1 e 4 a; 0®^®* V g 3 — b z V a — b 68. fe. 72 . 70. V64Š-V16 3 . 71. V'(«:*)3 -f gV(g 3 ) 3 . 73. V5 4 . 74. 1/4. 75. V2 6 + V'2 8 . 11 * 164 76. Pretvori na korene in izračuni: a) 26 i, b) 16 i, c) 8§, čj 32f, d) 48 0 ' 5 , ej81°- 25 r 105. Pretvori te-le korene na skupni korenski eksponent: a) \Jx in \/x 2 ] b) \Jd l , \/6 3 in \/e 5 . ~ 3 4_ 2 q 107. Vat'. Va 2 6. 108. \.-Vr . V 33 ' 2 • Vx 5 . (|/l-|/l)’ 106. V16.V2. p m y p m \( m p vv„:uj7\f, \&v„- 110 . 3 3 Ya + b Ve. . ' 3* « — b Vč~. 111. Va 5 : Va. 112. \/9 : \/3. 118. Ja 4 : V« 2 . 114. (V2 . \/4) : \/‘2. 115. Pretvori te-le ulomke na take, ki imajo racionalen imenovalec: 2 _ 8 _ 9 _ a V2' \Jc 110 . 5 V« 3 2+ V3 116. 120 . 128. V3 V/24' 2+ y/8 V/2 ' 124. H7. 121 . V7 2 _ 5 + V/2' 118. 3 \/a 6\/3 122 . 3 — \/5 3+ V7' 2 V5+ ys 3 V/5-2 v/3' 165 126. M a + x - f- V« — x Va + x — Va — x 129. 6\2 LVf “\/3~ ‘ V2 ' 127. h 1 ' V C . 12 128 - 2 + ve-Vio’ Poracionali te-le enačbe ter jih potem razreši: 180. 3 Vx — 1 — 4. 132. 17-2^ = 15. 134. 3Vfo; + 7 = 5V6^6) 131. \Jx — 3 = 5. 133. b]/x — 14 = 4 + 3V*. 135. Vaj + 1 = 5 — Vx — 1.' 136. 4 - V* = V4 + x. 137. V ( .'' ~ Va , 3 _ 7 - 138. V(4a 3 - 12a& + 96 2 ). 139. \/(9m 4 - 12mV + 4w. 4 ). 140. \/(x 4 — 6ax 3 + ll«, 2 x'- — 6« :! :c + a 4 ). 141. V'(16»i° + 16w 5 + 4w 4 — 16m 3 — 8m 2 -f- 4). 142. \/(16a 0 - 24a 5 + 25a 4 - 20a 3 + 10a 2 -4a + 1). 143. \/(% (3 ob)'* 81 b x ~-’ ( 3\ 3 * -4 — / 9 / V -1 VT/ _ \16/ ’ ,10 3-+4 + 3 * = 246, v ' l x +1 + 7 x+ ~ — 19551- III. Naloge v ponavljanje. *1. Katero število je največja skupna mera od a) 8 in 12, b) 15 in 40, c) 20 in 44, č) 32 in 48? 2. Poišči največjo skupno mero števil a) 465 in 589, b) 612 in 1080, cj 168, 312 in 504. *3. Kolika je vsota iz 4kratnika od 2-f in iz 5kratnika od 3-f? *4. Za koliko je 3kratnik od 5f manjši nego 5kratnik od 7J? 5. 8642 |fl X U§ + 19371 ff X 2551||. 6. 4751 iU X 571 iU - 3640 IH X 460 10.9 10.9.8 10.9.8.7 , 10.9.8.7.6 1.2 1.2.3 1,2.3,4 a" 1.2 3.4.5" 167 *8. 15 m velja 69 K; koliko velja 65 m? 9. Iz cevi priteče v 4-1 minute 98 Ji vode; koliko l vode priteče iz iste cevi v 45'2 minute? 10. Dunaj ima 14» 2' 36", Berolin 11» 2' 30" vzhodne dolžine od Pariza; koliko je ura na Dunaju, kadar je v Berolinu poldne? (Kraji, ki so za 1® dalje proti vzhodu, imajo poldne za 4 časovne minute popreje.) 11. Za 5§ kosov nekega blaga se plača 742 K 30 h, ako je vsak kos 18 m dolg in 1 \ m širok; koliko bi veljalo 12f kosov istega blaga, ako so po¬ samezni kosi 25 m dolgi in 1 g m široki ? Haloge števili 12,- — 19. izračuni okrajšano na 3 decimalke. 12. 5-4832.7-519. 14. 304-279.0-0532. 83-423 . 16, 31-586 3478.0 07643 19, 4091.0-88251 13. 6-9754.0-2844. 15. 1-065.1-052.1-0475. 3-7936 0-8464 17 ‘ 13-859' 18 ‘ 0 00163' 403.719.12-0795... 20 ’ 378.8-23.15-6324 ...' 21. \J{ 19025. 22. \/46335249. 23. \/9829-6118... 24. \/857375. 25. ^156590819. 26. \/829789013773. *27. Ako izdam od svojega denarja polovico in eno četrtino, ostane mi 15 K; koliko imam denarja? , , 19 — x „ „ 2 a; — 3 28. 8-| J - 3 2i >- I A + 3 H x 10 1 3rc — 1 3« + 3 5tc -j- 2 “3 ' 30. 8® -f 2 ~x- 2 — 10 = 2x — 1 3 a: — 6 3 *+ 2 5 ® — 10 ' 31. 5 a: — ] — 5 ~aT+T 6 a: + 12 1 x + 3 ' 32. 2at — 5 2 5a; — 2 3a; — 7 ® ' 7ar — 3' 33. \ffx -f \/8x = 6. 34. \/ix + 13 — 2 = x. 35. Cesto naredi 30 delavcev v 12 tednih. Iz početka je delalo 45 delavcev 6 tednov; koliko delavcev je še treba najeti, da narede' nedodelan del ceste v 2-g- tedna? *36. Vzmnoži na drugo potenco števila od 11—20. 37. Pretvori te le periodične decimalne ulomke na navadne: a) 0-2, b) 0-15, e) 6 023, &) 0-324, d) 4-5148, e) 016, f) 2 08, gj 15 327, h) 0-1472, i) 0-65243. no £_ ±_ i M _ 1 _|_ 1 _I * 2 y xy 2 ’ x l — g* ' (x yp ' (x — y) 2 40. (5a: -f- a) (2x — a) — (4a: — 3 a) (7x -j- a) -f- (3x — a) (6a: -f- 2o). 41. (48c/ 8 - 14«V + 17 cfiy* — 6ct«) : (6 y* - 3 ati/ + 2o“). 168 42 i 12a 4 // 4 ( ) a? y 2a 2 t/ 2 j K ■ ’ 14a 8 3a 2 ( ‘ / 2as 4 3a x i' A „ ( 2a a: 2 \ 2 /6a® 2 V- /5b 2 \ 4 j (2*?/ 2 )& . (3xW)* . (5 * j- TUo D » » t 7 '5; torej vsota sama = 17'4.100 = 1740. 3. Koliko fo je 18 K od 450 K? P = 1800 450 = Po sklepovnem računu: 1% od 450 K je 4-| K; 18 K je torej toliko % od 450 K, kolikokrat se nahaja Ijl v 18 K, tedaj 4%. 172 Računi nad sto. § 156. Za procentni račun nad slo velja sorazmerje z:p = v: (100 + p), v katerem imajo z, p in v isti pomen kakor v § 155. Iz tega sorazmerja dobimo _ vp _z (100 + p) __ 100« 1.00 -p p p ’ ^ v —z' Primeri. 1. Koliko znašajo 4% nad sto od 2912 K? z : 4 — 2912 :104; z — 112 K. 2. Katera vsota da po 6^ nad sto 75 K za znesek? v : 106 = 75 : 6; v = 1325 K. 3. Koliko % nad sto je 120 K od 3120 K? Tu dobimo p : 120 = (100 + p ): 3120, torej 3120p = 12000 + 120p in p — 4 °/o. Računi pod sto. § 157. Ako pomenijo p , v, z prav isto, kakor poprej, dobimo za procentni račun pod sto P v 100 -p z:p = v : (100 — p ); _ z (100 — p) P lOOz p = V + 2 torej: Primeri. 1. Koliko je 5^ pod sto od 2109 K? z : 5 = 2109 : 95; * = 111 K. 2. Od katere vsote znašajo 4% pod sto 64 K? v: 96 = 64: 4; v — 1536 K. 3. Koliko °/o pod sto da 5031 K 129 K za znesek? p : 129 = (100 —p) : 5031, torej 5031p = 12900 — 129p, in p — 2-|$. 173 Naloge. *1. a) 2 °/o od 50. 25, 20, 10, 75, 300, 650, 975; b) 4$ od 400, 1600, 350, 775, 860, 1230, 2575; c) 5 °/o od 600, 1400, 50, 350, 920, 489, 2860. 2 . 3 . 4 . Koliko je a) 4$ od 635? c ) 6 i$ od 1830? Koliko je a) 1 %o od 7360? c) 1 \%o od 8380? Kolik znesek da vsota 5280 b) 5|$ od 846? č) 7f$ od 6052? b) \\%o od 8640? c) 1 l°/oo od 14320? K po a) £ % , b) 3 i '°/o , c) 4f %, c) 5-g- $, d) 6f °/o ? 5 . Izmed 400 ljudi, ki so stari 35 let, jih umrje do 60. leta 40$ ; koliko jih učaka torej 60. leto? 6 . 6350 m dolga cesta se vzdiguje za 1'8$ ; koliko m znaša vzdig? 7. Mesto je imelo 1840. leta 15860 prebivalcev; do leta 1880. se je prebivalstvo pomnožilo za 25$. Koliko prebivalcev je imelo mesto leta 1880.? 8 . Za stavbo se potrebuje 64800 opek; koliko opek je treba kupiti, ako se jih potare ali poizgubi 8 - 3 -$ ? 9. Uradnik ima 304 K mesečne plače in vsako leto 200 K postranskih dohodkov; najemnine plačuje 18$ od plače in 5^ najemninskega prispevka od najemnine. Koliko mu ostane na mesec za domače potrebe? no. Katera vsota da a) po 2 °/o 48? b) po 3$ 84? c) po 4% 38? 11 . Koliko prebivalcev ima mesto, ako jih znaša 22$ 572? 12 . Ako dobiš iz pese 5$ neprečiščenega sladkorja, koliko kg pese je treba za 47200% neprečiščenega sladkorja? 13 . Goveje meso izgubi, ako se skuha, 15$ svoje teže; oj ko¬ liko tehta 3 ^ kg surovega mesa (brez kosti), kadar je skuhano? b) koliko surovega mesa je treba vsak dan kupiti za 12 oseb, da dobi vsaka -g- kg kuhanega mesa ? 174 ' 14 . Koliko °/j je a) 12 od 200? b) 16 od 400? c) 38 od 2000? c) 36 od 800? d) 80 od 1200? e) 63 od 1400? 15 . Koliko °/o je a) 40 h od 8 K? b) 35 K od 1050 K? c) 308 K od 5600 K? č) 116 - 64 K od 1728 K? 16 . V sreberni zlitini, katera tehta lž^kg, je 5 kg bakra; koliko °/o bakra je v tej zlitini? 17 . Iz 25 kg surove kave dobimo le 21 f kg žgane kave; ko¬ liko % svoje teže izgubi torej kava, ako jo prežgemo? 18 . češka je imela 1880. leta 5,560819, leta 1890. pa 5,843250 prebivalcev; za koliko % se je prebivalstvo pomnožilo v tej dobi? 19 . Kolik je znesek nad sto od vsote: a) 923 K po 3^ ? 1555 K po 5 |^ ? c) 680’85 K po 2^? č) 3047 Kpo^? 20. Da preračuniš vrednost krone v franke, treba, da dodaš 100 K še 5 °/o. Koliko K je tedaj a) 92'4 franka? h) 66 frankov? 77'7 franka? 21 . Prebivalstvo mesta se je v 10 letih pomnožilo za 8^, tako da je končno znašalo 11230; koliko prebivalstva je bilo izprva? 22. Prililo se je neki množini vina 8 % vode in dobilo se je 81 l zmesi; koliko vode se je prililo? 23 . Uradnik plača 7208 K najemnine, namreč 10% svoje plače. Koliko more vsak mesec porabiti? 24 . V drevesnici se je posušilo 10% vsajenih drevesc, tako da je še rastlo 810 drevesc. Koliko drevesc je bilo vsajenih? 25 . Davek s 32% doklado vred znaša 125 K 40 h; kolik je davek brez doklade? 28. Ako odštejemo od števila vinarjev 15$, dobimo istovredni znesek fenigov. Koliko vinarjev je tedaj a) 51 fenigov? b) 68 fenigov? c) 1 marka 19 fenigov? c) 94 fenigov? 27 . Trgovec je iztržil za blago po odbitku 2-|% stroškov 6676£ K; koliko je bilo stroškov? 175 38. Pri nakupu blaga je znašal 3 \ °/o odbitek 175 -g K; koliko K je plačal kupec? 39. Pri blagu, ki se ga je prodalo 1582 kg, je bilo vpadka 6§ °/o . Koliko blaga je šlo v vpadek? O tari. § 158. Ako stehtamo blago s posodo vred, v kateri se nahaja, imenujemo to težo surovo ali nečisto težo (BruttoSporko- gewic,ht). Kar pa zaradi posodne teže odštejemo od nečiste teže, zovemo taro (Tara) in težo blaga samega čisto težo (Netto- gcmicht). Taro izražamo dostikrat v procentih; v tem slučaju jo računimo od nečiste teže po procentnem računu od sto. Decimalke pri kilogramih se jemljejo v poštev le pri zelo dragem blagu, sicer pa se ali prezirajo ali pa se število kilogramov poveča za 1, ako znašajo 5 ali več desetin. Na pr. Koliko velja 5 vreč kave, ako znaša nečista teža 773 kg, tara 5 °/o ter se računi 100 kg čiste teže po 330 K ? 773 po 5^ Nečista teža 773 kg 38’65 kg 5 °/o tare 39 „ čista teža 734 kg po 330 K 2202 “ 220 20 2422-20 K. O skontu ali rabatu. § 159. Kupcu, ki kupuje blago na debelo, ni treba plačati blaga precej, ampak še-le v določenem roku; zato pa se mu blago računi nekoliko draže. Ako pa kupec blago plača precej, dovoli se mu zaradi takojšnjega plačila odbitek od kupnine, katerega imenu¬ jemo diskont, skonto ali rabat (Warendiskont, Skonto, Rabati), ter ga računimo po procentih od sto. Ako od kupnine odštejemo skonto, dobimo gotovo plačilo (kontante Zahlung). Pri marsikaterem blagu določuje izdelovalec sam ceno, po kateri se morajo njegovi izdelki prodajati na drobno, prodajalcu na drobno pa dovoljuje neki odbitek od določene cene kot odškodnino za stroške in trud; tudi tak odbitek se imenuje rabat. Tak je na pr. knjigarski rabat (Buchhandlerrabatt). 176 Primera. 1. Ako znaša kupnina za neko blago 5192 K; a) koliko znaša skonto po 2^ ? b) koliko je gotovo plačilo? Kupnina K 5192 Skonto po 2^ „ 103'84 Gotovo plačilo K 5088'16. 2. Knjigar-založnik je razposlal knjig, vrednih. 2518 K; koliko ima zanje terjati, ako daje 20 °/o rabata? 2518 po 20% ali: \ od 2518K 2518 K 503'60 K rabata 503'6 K 503'6 „ "2014-4 K. O senzariji. § 160. Pri nakupu in prodaji blaga med trgovci istega mesta posredujejo zapriseženi ljudje, katere imenujemo mešetarje ali senzale (Mahler, Sensale). Nagrada, katero dobivajo za svoj trud, zove se mešetarina ali senzarija (Sensarie, Courtage). V trgovini z blagom znaša senzarija navadno po 1%, in sicer plačuje kupec prodajalac ^°/o, pri menicah pa 1 %o. Primera. 1. Koliko znaša (°/o senzarije pri blagu, prodanem za 4580 K; koliko dobi za blago prodajalec, in koliko mora plačati kupec? 4580 po \°/o 22'90 K senzarije. Prodajalec dobi: za blago . K 4580 ako se odbije senzarije. „ 22'90 ostane mu čistega . . K 4557'10. Kupec plača: za blago . K 4580 \°/o senzarije . „ 22'90 vsega skupaj .... K 4602'90. 2. Za koliko se je kupilo državnih papirjev, ako znaša 1 %o senzarije 5 K 64 h? * = 5'64.1000 = 5640 K. 177 O proviziji. § 161. Ako kdo naroči komu drugemu, da izvrši zanj kako opravilo, na pr. da kupi ali proda blago, tedaj imenujemo osebo, katera da nalog, p o veri tel j a ali komitenta (Kommittent), osebo pa, ki dobi in izvrši nalog, poverjenika, op ravni k a ali komisij o n ar j a (Kommissionar). Nagrada, katero dobi poverjenik za svoj trud, zove se op ravni n a ali provizija (Provision, Kommission) ter se računi po procentih od sto. Ako pridejo v poštev različni stroški ali odbitki, računi se provizija vselej od. največje vsote; pri nakupu tedaj od kupnine, povečane za vse stroške, pri prodaji iz skupila za blago ne glede na stroške. Provizija in drugi stroški povečujejo vrednost za nakup in zmanjšujejo vrednost skirpila (čisto skupilo). Račun, katerega pošlje poverjenik svojemu poveritelju. o kup¬ ljenem ali prodanem blagu, imenuje se nakupni račun ali fak¬ tura (Faktura), oziroma prodajni račun ( Verkaufsrechnung). Primeri. 1. Koliko znaša provizija po \°/o, in koliko je čisto skupilo za prodano menico, glasečo se na 1785*12 K? 1785*12 po Menični znesek . . 1785*12 K, 8*9256 K provizije. ako se odbije \°/o provizije . . 8‘93 „ ostane čistega skupila . . 1776’19 K. 2. Neki trgovec v Trstu kupi za trgovca na Dunaju 3 zaboje sicilijanskega suhega grozdjiča štev. 12. do 14., nečiste teže 768 kg, tare po 18 kg od zaboja, 100 kg čiste teže po 62 K. Izračuni znesek, o katerem se izda faktura, ako znašajo stroški za zaboje, nakla¬ danje i. t. d. 31'16K in ako se računi \ % senzarije in 2 °/o provizije. Faktura. 178 3. V Vratislavu se proda po naročilu nekega trgovca v Pragi 218 cnt. pšenice, in sicer 200 funtov po 19'80 marke; voznina znaša 30 fenigov od vsakega centa, na darilih za merjenje, pijačo i. t. d. se izplača 10'80 marke, senzarije \ %. Kako se glasi prodajni račun, ako se računi 2|$ provizije? Prodajni račun. O zavarovalnini. § 162. Društva, katera prevzemajo proti določeni pristojbini odškodovanje za nezgode in izgube, nastale bodisi po prirodnih, bodisi po izrednih prirodnih dogodkih, imenujemo zavarovalna društva (Versicherungs- oder Assekuranzgesellschaften). Pristoj¬ bino, katero njim treba plačevati za to, da prevzamejo odškodo¬ vanje, imenujemo zavarovalnino (Versicherungspramie), pismo pa, s katerim društva potrjujejo, da se je kdo res in za koliko se je zavaroval, zavarovalno pismo ali polico (Polizze). Zavaro¬ valnino računimo od zavarovane vsote po procentih o d sto. Na pr. Kolika je zavarovalnina od zavarovanih 15280 K po lf % ? 152'80 po 1 °/o 76-40 „ W 19-10 „ j* ■ 248-30 K. Zavarovanje zoper nezgode. Po zakonu z dne 28. decembra 1. 1887. so delavci zavarovani proti nasledkom telesnih nezgod, ki se jim utegnejo pripetiti pri delu. Višina doneskov (0"1 delavec, 0'9 delodajalec) se ravna po večji ali manjši nevarnosti, ki preti zavarovancem, in po letnem 179 zaslužku. Vse obrtstvo je razdeljeno na 12 nevarnostnih razredov. Dohodnina znaša, ako je delavec popolnoma onemogel, 60 % letnega zaslužka. Kot letni zaslužek se vzame poprečna dnina 300 krat. Ako pa je delavec še deloma zmožen za delo, mu pristoja primerni deli 60% letnega zaslužka. Ako umrje zavarovanec, pristoja njega zaostalim za pogrebne stroške k večjemu 50 K, vdovi letna renta po 20% , sirotam pa 10—15%, a vsem skupaj ne nad 50% letnega zaslužka ranjkega. Na pr. Rokavičar zasluži poprek 2‘75 K na dan. Kako velika je 0’16% letna zavarovalnina, koliko plača delavec, koliko delodajalec? Letni zaslužek 2'75 K X 300 = 825 K, letna zavarovalnina 8’25 „ X 0'16 = 1'32 K, delavec plača.013 „ delodajalec plača.1*19 „ Zavarovanje zoper bolezni. Po zakonu z dne 30. marcija 1. 1888. je zavezan vsak delavec, da pristopi bolniški blagajni. Od vsake zaslužene K plača delavec 2 h, delodajalec pa 1 h. Ako zboli zavarovanec, dobi zdravnika in zdra¬ vila zastonj, bolniščino po 60% navadne dnine za vsak dan bolezni, ako ne traja bolezen več kakor 20 tednov. Na pr. Delavec zasluži na leto 942 K; kolika je letna zavarovalnina zoper bolezni, koliko plača delavec, koliko delodajalec? Letna zavarovalnina 3 h X 942 = 28'26 K, delavec plača.18'84 „ delodajalec plača.9‘42 „ O dobičku in izgubi. § 163. Pri računih o dobičku in izgubi moramo v poštev je¬ mati troje: stroške pri nakupu, dohodke pri prodaji in do¬ biček ali izgubo. Trgovci računijo dobiček ali izgubo navadno po procentih od kupnine. Primera. 1. Trgovec je kupil m sukna po 9 K 60 h; po čem mora pro¬ dati m, da ima 15% dobička? 180 9'6 po 15 °/o 4'80 kupna cena . . 15 °/o dobička . prodajna cena. 9 K 60 h 1 „ 44 „ 1’440 K dobička. prodajna cena. . . 11 K 04 h. Ako hoče trgovec imeti 15 °/o dobička, mora prejeti za vsakih 100 K, ki so se izdale pri nakupu, 115 K pri prodaji; tedaj izraču- nimo prodajno ceno ( y ) tudi tako-le: 100 K kupne cene 115 K prodajne cene 2 ® n »v V n»n y : 115 = 9'6 : 100, y — 1B04 K. 2. Blago, ki se je kupilo za 725 K, prodalo se je za 674 K 25 li; koliko °/o je bilo izgube? Kupna cena . . . 725 K _50'75.100_ „ 0 , skupilo. 674 „ 25 b X 725 izguba ... 50 K 75 b Odstotke (p) izračunimo tudi tako-le: 100 K kupne cene (100— p) K prodajne cene 725 „ „ „ 674-25 671-25 : (100 - p) = 725 : 100 67425 = 72500 - 725 p ; torej p = 7. 100 K kupne cene z K prodajne cene Ali: 725 674'25 100 : 725 = z : 674'25, z = 93 K. Ako skupi trgovec za 100 K kupne cene le 93 K, ima 7 % izgube. Naloge. 1. Blago ima 2792 kg nečiste teže; kolika je njega čista teža, ako se računi tare a) 3 0 /o, b) 5-|^, c) 12^? 2 . Blago ima 2150 kg nečiste in 1978 kg čiste teže; koliko % znaša tara? 3. Kolik je skonto po 2pri a) 2577 K, b) 3538 K, c) 939’85 K, č) 1714"17 K? 4 . Koliko veljajo 4 sodi smokev, imajoči 518 kg nečiste teže, 10^ tare, ako se plača za vsakih 100 kg čiste teže po 48 K in se računi 1 -g- % skonta ? * 5 . Ako se računi pri knjigi 20^, 25^, 33rabata, koliki del one cene je to, po kateri se knjiga prodaja? 181 *6. Koliko znaša rabat po 33 f °/o , ako kupi kdo knjig za a) 1518-24 K, h) 917| mark? *7. Kolika je senzarija po od a) 918 K, b) 506 K 58 h, c) 3096 K? 8. Za kupljeno blago se plača s \°/o senzarije vred 2653 K 40 h; kolika je prvotna kupnina? 9. Kolika je provizija po 2% (lf %) od a) 458 K, b) 720 K, c) 912 K 50 h? 10. Proda se po naročilu 3 zaboje čaja, nečiste teže 50 kg, tare 8 °/o, 1 kg čiste teže po 15 K. Kako se glasi prodajni račun, ako znaša senzarija , stroški 8 K 75 h, provizija 2f ^ ? 11 . A je prodal za nekoga drugega za 2085 K 25 b blaga; koliko ostane prodajalcu, ako se odbije t\% provizije? 12. Blago stane pri nakupu z 2^ provizije vred 3207 K 90 b; a) kolika je-provizija? b) kolika kupnina sama? 13. Za prodano blago se istrži po odbitku 2 % provizije 2158 K 88 b; koliko znaša provizija? 14. Trgovec proda za nekoga drugega za 3518 K blaga, meše- tarju plača \%, zase pa zaračuni lf % provizije; koliko dobi prodajalec? (Prodajni račun!) 15. Koliko treba plačati za 2308 kg nečiste teže, ako znaša tara 8$, 100% čiste teže pa velja 85’72 K, in se računi 2$ skonta in lf $ provizije? (Faktura!) 16. Koliko zavarovalnine treba plačati od 7850 K a) po i ^ ? b) po §°/o ? c) po 1 %o‘> č) 1 f^o? ■17. Hišni posestnik je zavaroval pri zavarovalnem društvu svojo bišo ter plačal 37 K 68 b; koliko je biša vredna, ako je računilo društvo hišne vrednosti? *18. 5 °/o, 6 %°/o , 8 \°/o, 10 °/o, 12 \°/o, 16|^, 20^ dobička je koliki del kupnine? 19. Trgovec dobi 2 zaboja blaga; prvi zaboj ima 42f % ne¬ čiste teže, drugi 48 kg. Oba skupaj pa imata 80i % čiste teže. Koliko odstotkov znaša tara vsakega zaboja, ako se zaračuna od drugega 2 -\°/o več tare nego od prvega? 20. Pri blagu, katero se je kupilo za 4250 K, bilo je pri prodaji dobička 340 K; koliko °/o je bilo dobička? 182 21 . Trgovec je iztržil za blago, pri katerem je imel 3 °/o izgube, 1040 K; a) koliko je imel izgube? b) za koliko je bil kupil blago? 22. Nekdo je iztržil za prodano blago 1590 K; koliko % je imel dobička, ako je znašal le-ta 90 K? 23. Za prodano blago se je iztržilo 1410 K; koliko °/o je bilo izgube, ako je znašala le-ta 90 K? 24 . Dunajčan dobi iz Trsta 4 zaboje suhega grozdjiča, imajoče 972 kg nečiste teže, tare se računi po 18 kg od zaboja, 100 kg čiste teže po 60 K, senzarije \ °/o , provizije 2^ ; carina, voznina in drugi stroški znašajo 168 K 64 k; po čem mora prodati kg, ako hoče imeti 15^ dobička? 25 . Delavec zasluži na dan 3 K (4’5 K) poprek; kako velik njega letni zaslužek? 26 . Delavec v predilnici zasluži 2'5 K na dan. Po njegovi smrti dobi vdova 20°/o letnega zaslužka. Koliko znaša njena letna renta ? 27 . Kolika je zavarovalnina delavca, ako zasluži na dan 4'75 K a) ob najnižjem (1'56$), b) ob najvišjem (2'34^) nevarnostnem odstotku? Koliko plača delavec, koliko delodajalec? 28. V tvornici dela 300 delavcev in 110 delavk. Delavec za¬ služi na dan 3'60 K, delavka 2 K. Koliko zavarovalnine dobi bol¬ niška blagajna v 2 mesecih po 24 delavnikov, koliko je plačati delavcem in delavkam, koliko delodajalcu? 29 . Delavec, ki zasluži 4 K poprečno na dan, je bil bolan od 16. marcija do vštetega 20. maja; koliko bolniščine je dobil za ta čas? II. O obrestnem računu. 1. O enostavnem obrestnem računu. § 164. Denar, katerega kdo ali sam uporablja tak6, da mu kaj nese, ali komu drugemu posodi proti temu, da mu plačuje le-ta za uporabo določen znesek, naposled pa vender le povrne ves poso¬ jeni denar, imenujemo kapital ali glavnico (Kapital), znesek pa, kateri se plačuje za uporabo kapitala, obresti (Zinsen, Inter- essen). Obresti se računijo po procentih; le-ti veljajo za 100 kapi- 183 talnih enot in za časovno enoto, navadno za eno leto. Leto se računi pri obrestnih računih po 360 dni, mesec po 30 dni. Obrestni račun je tedaj procentni račun, pri katerem pa treba razven količin, ki se nahajajo v vsakem procentnem računu, v poštev jemati še čas. Obresti imenujemo enostavne ali proste (einfache Zinsen), ako ostane kapital ves čas, ko tečejo obresti, neizpremenjen, ako se pa obresti koncem vsakega leta ali polleta pridevajo kapitalu in same zopet nalagajo na obresti, imenujemo jih obrestne obresti ( Zinseszinsen). § 165. Podlaga obrestnemu računu je sestavljeno sorazmerje; toda vsako tako nalogo je moči tudi razrešiti po sklepovnem računu. Sklepovni račun nam rabi sosebno, kadar računimo na pamet. Na pr. Kapital 1346 K je naložen po 5 $ ; koliko obresti da v 3 letih? Uporabljajoč sklepovni račun, dobimo: 1346 K kap. da po 1^ vi let. K obresti, 1346 J? 5 % „ 1 1346.5 100 ” 1346 1346.5.3 100 = 201'9 K obresti. Uporabljajoč sestavljeno sorazmerje: 100 K kap. v 1 let. 5 K obresti x : 5 = 1346 :100 1346 „ „ „ 3 „ x „ ___ 3 :1 _ 1346.5.3 100 VobČe: Ako zaznamenujemo kapital, procente, število let in obresti oziroma s k, p, l in o, dobimo takisto o kpl 100 ’ in odtod _ 100. o ~ pl ’ P = 100 . o M ’ Izrazi te formule z besedami! 100 . o kp 184 Primeri. 1. Koliko obresti da 350 K po 4 °/o v 3 letih? a) Na pamet. 350 K da v 1 letu po 1 % lOOti del od 350 K, tedaj 3 -j K, po 4^ torej 4 krat 3-g K = 14 K; v 3 letih tedaj 3 krat 14 K = 42 K obresti. b) Po formuli: o = ~ = 42 K. 2. Kateri kapital da po 4^ v 5 letih 540 K obresti? oj Na pamet. 4 °/o kapitala v 5 let. = 540 K 4% „ * 1 „ = 108 ,, , t. j. „ ., 1 „ = 27 „ ; tedaj je kapital sam = 100krat 27 K = 2700 K. b) Po formuli: k = p — = 2700 K. 4. t> 3. Po koliko °/o treba na obresti naložiti 3450 K kapitala, da bode dal v 2 letih 276 K obresti? a) Na pamet. Po 1 % da 3450 K kapitala v 1 letu 341 K, v 2 letih 69 K; 276 K je tedaj toliko %, kolikorkrat ima 276 število 69 v sebi. torej 4 °/o . b) Po formuli: • p — = 4$. 4. Koliko časa treba imeti kapital 4800 K izposojen po 5^, da da 600 K obresti? a) Na pamet. 4800 K da v 1 letu po 1^ 48 K, po 5 '/o tedaj 5krat 48 K = 240 K; 600 K obresti da tedaj isti kapital v toliko letih, kolikorkrat je 240 v 600, torej v 2 g leta. b) Po formuli: Z = = 2 -g- leta. § 166. Navadno pa se računi jo obresti za katerikoli kapital in katerikoli čas tak6-le: 1. Najprej izračuni obresti za eno leto po procentnem ra¬ čunu, pomnoživši stoti del kapitala s procenti. 2. Obresti za več let dobiš, ako pomnožiš obresti za eno leto s številom let. 185 3. A. k o so dani tudi meseci in dnevi, uporabljaj raz¬ stavni način (Zerfdllungsmethode ); mesece namreč razstavi na pripravne dele leta, in dneve na pripravne dele meseca, potem vzemi od obresti za eno leto, oziroma za en mesec, prav toliko delov in vse te zneske prištej obrestim za leta. Na pr. Koliko obresti da 4850 K kapitala po 4i^ v 3 letih 7 mesecih 12 dneh? 4850 K po 4-^^ v 3 1. 7 m. 12 dn. 218'25 K obr. v 1 1. 654‘75 K obr. v 3 1. 109125 „ „ „ 6 m. = A L 18187 „ „ ,, 1 „ = od 6 m. 6’062 „ „ „ 10 dn. = | m. 1'212 „_„ 2 _=_ £ od 10 dn. 789'336 K obresti. § 167. Dostikrat treba izračuniti obresti le za določeno število dni. Ako je k oni kapital, kateri je naložen na obresti po p% d dni, ondaj dobimo 100 K kap. v 360 dn. p K obr. ^ j? r jj ^ _ n _j? _ x :p = k: 100 d: 360 tedaj x kpd 36000' Ako je = 6, dobimo: obresti — k.&^d 36000 kd 6000' Tukaj imenujemo število 6000 obrestni divizor (Zins - divisor) za 6 °/o . Sploh dobimo za nastopne procente te-le obrestne divizorje: za 3^ . . . 12000, za 5f. . . 7200, za 4^ ... 9000, za 6$ ... 6000; in za te procente velja pravilo: Obresti za določeno število dni dobimo, ako po¬ množimo kapital s številom d niterta produkt (obrestni produkt) razdelimo z dotičnim obrestnim divizorjem. 186 Primera. 1. Koliko obresti da 780 K kapitala po 6 od dne 3. aprila do dne 12. avgusta? Od dne 3. aprila do dne 3. avgusta so 4 m. = 120 dn. „ » 3. avgusta „ „ 12. „ je 9 „ 78 0.129 129 dn. 15 60 7 020 100(620 : 6.000 = 1677 K. 2. Koliko obresti da 4559 K 90 h po 44 °/o v 54 dneh? 4560 X 4 j X 54 ali 4560 X 54 36000 246240:9000 = 29'64 K. 27*36 po 4^ + 2‘28 po od 4% K 29-64 po 4 bjo. Naloge. *1. Izračuni letne obresti od 30 K, 75 K, 120 K, 350 K, 924 K po 5(4, 4i)#. * 2 . Koliko znašajo obresti po 4^ (6 %) od a) 200 K v 3 (3i) letih? b) 525 K v 5 (6) letih? 3. Letne 1$ obresti kapitala znašajo 21*24 K. a) Koliko znašajo letne 4 °/o (5 z°/o ) obresti? b) Koliko znašajo 1% obresti za 3 leta (3 1. 4 mes.)? 4 . Vdova ima naloženih 19120 K kapitala po ; koliko sme potrošiti na dan, ako živi zgolj ob obrestih onega kapitala? 5. Koliko obresti da a) 4105 K po 5^ v 3 letih? b) 2412 K po 5f % v 5 letih? d. Koliko obresti da 1428 K a) po 5# (3 \io) v 4 (7) mes.? b) po 6% (4■§%) v 7 (11) mes.? 7. Koliko obresti da a) 6720 K po 4% vi letu 5 mesecih? b) 2928 K po 51^ v 2 letih 7 mes. 15 dneh? c) 5704 K po v 3 letih 10 mes. 20 dneh? 187 8. Koliko znašajo obresti po 6^ (4$) od a) 984 K v 65 dneh? b) 2250 K v 212 dneh? c) 2127'6 K v 96 dneh? č) 3284 K v 192 dneh? 9 . Koliko obresti da 9379 K kapitala po 4 \°/o v 147 dneh? 10 . A si izposodi 832 K (1654 Iv) dne 24. aprila (12. junija), plača pa svoj dolg dne 18. julija (23. avgusta) s 4£$ (6^) obrestmi. Koliko plača A? 11 . Poišči obrestne divizorje (§ 167.) za a) 2 °/o, 8 °/o ; b) 4* **6, 9 °/o . 12 . Na posestvu je 18500 K dolga; čez 2 leti plača posestnik dolg in 5 \ °/o obresti; koliko mora plačati ? 13 . A potrebuje 1432 K od 13. marcija do 27. julija. B bi mu posodil denarje s 5^ obrestmi, C pa zahteva, da mu izplača 28. julija 1454 K. Katera ponudba je ugodnejša? * 14 . Kateri kapital da na leto obresti a) 25 K, 30 K, 145 K in to po 5^ ? b) 10 K, 40 K, 75 K, 200 K po 4^? * 15 . Kateri kapital da po 5 °/o v 3 letih a) 75 K, b) 90 K, c) 125 K obresti? 10 . Izračuni kapital, kateri da a) po 4$ (4-|^) t 2 (4) let. 70 (652) K obresti, b) po 5 °/o v 11>- let. 93-^0- (420) K obresti. 17 . Kateri kapital naraste v 3 mesecih s 4z obrestmi vred na 3262'29 K? * 18 . Koliko °/o se računi, ako da v T 1 letu a) 800 K kap. 40 K obresti? b) 1500 „ „ 80 „ c) 600 „ „ 27 „ „ č) 1400 „ „ 63 „ „ ■ 19 . Koliko °/o se računi, ako da a) 400 K kap. v 2 let. 28 K obresti? b) 700 „ „ „ 4 „ 140 „ „ c) 300 „ „ „ 4 „ 42 ,, „ Č) 800 „ „ „ n „ 120 „ 188 20 . Po koliko °/o da 4260 K kapitala v 3 letih 4 mesecih 710 K obresti? 21 . Kapital da v 8 letih po 460 f K obresti; drug, za 150 K večji kapital pa da v istem času 90 K obresti; po koliko °/o je naložen drugi kapital? 22. Po koliko °/o treba naložiti na obresti 9110 K, da dajo od dne 2. maja do dne 15. oktobra 205 K 23 h obresti? 23 . Po koliko °/o ireba naložiti na obresti kapital, da bodo enostavne obresti a) v 20, b) v 25, c) v 33- 3 - let. enake kapitalu ? 24 . Koliko % nosi sreberna renta, katero kupimo (po kurzni vrednosti) za 97'53 gl.? (4'2 gl. je letni znesek.) * 25 . V katerem, času da a) 225 K kap. po 4% 45 K obresti? b) 320 „ „ „5^ 32 „ „ c) 1200 „ „ „ 4# 240 „ „ č) 450 „ „ „ 6 ^ 94i „ „ 28 . V katerem času da a) 5460 K kap. po 5 \°/o 365 K obresti? b) 5244'55 K kap. po 956'3 K obresti? 27 . Nekdo naloži 13500 K na obresti po 4$ ; 6 let pozneje izposodi pa 18000 K po 4 \°/o. Gez koliko let dasta obe glavnici iste obresti? 2. O diskontnem računu. § 168. Naloga. Nekdo hoče takoj izplačati brezobresten dolg 418 K, katere je dolžan plačati še-le čez 14 leta; a) koliko od¬ bitka se mn mora dovoliti, ako se računi 6 ^ na leto, b) koliko je izplačati takoj? 100 K takčj je vrednih čez 1 leta 109 K, ako se računi 6 °/o obresti; obratno: 109 K, katere treba plačati brez obresti še-le čez 1-|- leta, vrednih je sedaj le 100 K, ali od vsakih 109 K treba odbiti 9 K, ako se plačajo 1|- leta prej. Tedaj: a) 109 K dolga 9 K odb. X : 9 = 418 :109 418 x — 34'51 K odb. x 189 b) Dolga je. odštev. 6 % odb. za 1-|- leta . ostane. 418 K 383'49 K. Preizkušnja. 3 83-49 K po 6 o/o 23*00 94 K otresti v \ J. 11*50 47 K „ v \ 1. Takoj je izplačati 383*49 K 6 °/ 0 obresti za l-J- leta 34*51 K kapital čez i ^ leta 418*— K. 34-51 41 K. Recimo, da kdo takčj izplača vsoto, katero ima brez obresti plačati še-le čez nekaj časa; tedaj mu očividno ne bode treba pla¬ čati vsega, kar je dolžan, nego plačal bode le oni znesek, kateri da ves dolg, povečan za obresti, ki bi narasle do plačilnega roka; dolžniku se mora tedaj dovoliti nekaj odbitka. Ta odbitek se zove diskont (Diskont) ter se računi po procentih. Ako odštejemo diskont od dolga, zove se ostanek gotova, sedanja ali diskon- tovana kapitalna vrednost (der bare, gegenwartige, diskontierte Wert des Kapital s). Iz tega je razvidno, da je računiti diskont nad sto. Ako bi računili diskont od sto, dobili bi: Toda 380 38 K gotovega plačila bi ne dalo s 6% obrestmi vied čez \ \ leta dolžnega kapitala 418 K, ampak le 414*61 K. Iver je pa račun od sto pripravnejši nego račun nad sto in razloček med obema resuliatoma za kratke roke neznaten, zato računijo trgovci diskont ali skonto pri zneskih za blago (§ 159.) vsikdar po pripravnejiem računu od sto, zakaj tu gre navadno le za kratke roke. Iz prav tistih vzrokov se računi tudi menični diskont, o katerem bodemo govorili pozneje (§ 188.), vselej o d sto. Ako je vobče v vsota, izplačna brez obresti čez n let, g go¬ tovo plačilo, katero mora plačati dolžnik, ako se računi p % diskonta, ondaj velja 418 K po 9% 37*92 K diskonta Dolga 4181£ odštev. disk. 37*62 K ostane gotovega plačila 380'38 K. Naloge. 1. Kateri kapital naraste v 6 mesecih (-| leta) s obrestmi vred na 349 K 35 h? 190 2 . Dolžnik plača upniku 5343 K 75 h ter poplača s tem kapital in 'q\°/o obresti za 1-j; leta; koliko znašajo obresti, in kolik je kapital? S. Nekdo bi moral plačati čez 1 leto 2345 K; a on plača takoj ter dobi 5 °/o diskonta; koliko znaša a) diskont, b) gotovo plačilo? 4 . Koliko je vrednih 850 K, katere treba plačati čez 2 leti, sedaj, ako se računi h% diskonta? 5. A ponuja za hišo 11820 K proti temu, da plača kupnino še-le čez 1 leto in 4 mesece; koliko K je vredna ponudba sedaj, ako se računi 4 \°/o diskonta? 6 . A mora plačati /i-ju 1245 K čez 5 let; koliko bi mu moral plačati čez 3 leta in 2 meseca, ako se računi diskonta? 7. Za 980 K, izplačnili čez 6 mesecev, plača se takčj 931 K; koliko °/o diskonta se računi?«. 8. A posodi /?-ju 1850 K po 6^ ter mu prčcej odtegne obresti za 1 leto; za koliko je na škodi B, kateri bi moral prav za prav plačati obresti še-le koncem leta? 9. A ponuja za posestvo 40000 K v gotovini, B pa 44000 K, in sicer hoče plačati 20000 K prčcej, ostalo vsoto pa čez 2 leti. Kateri ponuja več, ako se računi 5 °/o diskonta? 3. O rokovnem računu. Naloga. Nekdo ima plačati 300 K čez 2 meseca, 400 K čez 5 mesecev in 500 K čez 8 mesecev brezobrestno, plačal bi pa rad ves dolg ob enem; kdaj naj se to zgodi, da ne bode na škodo niti dolžniku niti upniku? Dolžniku pristojč obresti od 300 K za 4 mesece, od 400 K za 5 mesecev in od 500 K za 8 mesecev. Plačati mu je torej 1200 K ves dolg, ko mu prineso iste obresti. Sklepamo torej: 300 K da v 4 mes. iste obr. kakor 4krat 300 K = 1200 K v 1 mes., 400 „ „ ,, 5 „ „ „ „ 5 krat 400 „ =2000 „ „ 1 „ 500 „ _j, „_8 „ „ „ „ 8 krat 500 „ = 4000 „ „ 1 „ 1200 K v x mes. iste obresti kakor 7200 K v 1 mes., torej v x = 7200 K : 1200 K = 6 Upnik more torej plačati ves svoj dolg v 6 mesecih. 191 300K, 400in500K so posamična pl ačila f Raten), 4 mes., 5 mes. in 8 mes. roki (Termine), ob katerih so plačati ta plačila, 6 mes. je povprečni plačilni rok (mittlerer Zahlungstermin), ves račun imenujemo pa rokovni račun (Terminrechnung). Da je račun prav, se prepričamo s preizkušnjo na obresti (Zinsenprobe) (najpriprosteje 1$). Vsota obresti posamičnih plačil 1 K + 1 f K V 3 j. K = 6 K mora dati iste obresti kakor 1200 K v 6 mes. torej 6 K in to je res. Vobče recimo, da so k,, k, , k 3 oni kapitali, katere treba pla¬ čati oziroma čez m ,, m 2 , m 3 let (mesecev, dni) brez obresti. Vzemimo dalje, da se plačajo vsi ob enem in to čez t let (mesecev, dni). Obresti vsega plačila /c, + /c 2 + k 3 morajo biti to¬ like kakor obresti posamičnih plačil k,, k 2 , k s skupaj. Tedaj, ako vzamemo obrestno mero po p°/o, je k 3 pm t (k, -f k 2 + /«,) pt _ k,pm, , k 2 pm 2 100 100 1.00 + 100 ali, ako razdelimo s (k, -f k 2 -f- k 3 ) t — + k 2 m 2 -f- k 3 m 3 . Iz te enačbe je moči določiti vsako posamično količino, ako so znane vse druge. Navadno treba poiskati t, t. j. povprečni plačilni rok (mittlerer Zahlungstermin). Iz prejšnje enačbe dobimo: _ k t m, -f- k 2 m 2 -j- k 3 m 3 _ t - + ^ + h . : t. j. povprečni plačilni rok najdemo, ako pomnožimo vsako posamično plačilo z njegovim rokom ter vsoto teh produktov raz¬ delimo z vsoto vseh posamičnih plačil. Navadno obliko rokovnih računov spoznamo iz naslednjega primera. A je kupil hišo za 8000 K proti temu, da plača kupnino v več obrokih, ne da bi se mu računile obresti, in sicer: 3500 K čez 2 meseca, 2000 K čez 3 mesece, 1500 K čez 4 mesece in 1000 K čez 5 mesecev; kdaj lahko plača vso kupnino ob enem ? (Povprečni plačilni rok.) 192 3500 K čez 2 mes. 2000 „ „ 3 „ 1500 „ ,, 4 „ 1000 „ „ 5 „ . 7000 . 6000 , 6000 . 5000 24000: 8000 8000 24000 : 8000 = 3 mes. Kako se lahko prepričaš, je li resultat prav? Dostavek. Kadar so posamična plačila enaka, in sicer vsako = k, ondaj je povprečni plačilni rok _ /mi + km.o 4- krn-t mi -I- m» -J- m% H/t " ’ tedaj enak povprečnemu številu posamičnih rokov. Naloge. Štirje kapitali po 600 K so izplačni čez 4, 5, 7, 8 mesecev; čez koliko mesecev se lahko plačajo vsi ob enem? *3. 4800 K treba plačati v treh enakih obrokih čez 2, 2-|- in 3 leta; kdaj se plača lahko ves dolg na enkrat? *S. Nekdo je dolžan 1200 K in od teh mora vsake 3 mesece odplačati po 300 K; kdaj bi moral plačati ves dolg ob enem? 4. A mora 10000 K plačati v 4 obrokih, in sicer: 3000 K čez 4 mesece, 2500 K čez 6 mesecev, 2000 K čez 8 mesecev in kar ostane, čez 1 leto; kdaj lahko plača vse ob enem? (Preizkušnja na obresti.) 5. Kdaj treba plačati 1800 K ob enem, ako je izplačnih 300 K čez 1 leto, 400 K čez 1-J leta, 500 K čez 2 |- leta in ostanek čez 3g leta in to brez obresti? 6 . A mora H-ju plačati: 1600 K dne 1. julija, 1400 K dne 1. septembra, 1000 K dne 1. novembra; kdaj lahko plača vse tri kapitale ob enem? Roke računi od dne 1. julija. 7. J. bi moral plačati brez obresti 2000 K čez 2 leti in 1600 K čez 4 leta, plača pa 2400 K že čez 1 g- leta; kdaj mora plačati ostanek ? Ker povprečni rok x ni zavisen od procentov (zakaj ne?), račtmimo najbolje enoprocentne obresti: 20.2 + 16.4 = 24.I| + i2.® x = ? (Ostanek = 1200 K) 8. Nekdo bi moral 3000 K plačati čez 8 mesecev, plača pa 1800 K takčj; kdaj mora plačati ostanek ? 9 . A bi moral, plačati 800 K čez 2 meseca, 500 K čez 3 me¬ sece in 600 K čez 4 mesece, plača pa 800 K čez 1 mesec in 500 K čez 3 4 meseca; kdaj mora plačati ostalih 600 K ? 10 . Nekdo bi moral plačati dne 20. marcija 1500 K, dne 25. ju¬ nija 2000 K in dnč 30. septembra 1200 K; plača pa dnč 1. marcija 1000 Iv, dnč 25. maja 800 K in dnč 15. avgusta 1600 K; kdaj mora plačati ostanek? 4. O obrestnoobrestnem računu. § 170. Naloga. Nekdo da 300 Iv v hranilnico, M plačuje 4 °/o in pusti obresti pri kapitalu. Koliko dobi iz hranilnice čez 3 leta? Koncem prvega leta znašajo obresti 12 K, torej kapital z obrestmi vred 312 K. Koncem drugega leta znašajo obresti 3‘12 K X 4, kapital z obrestmi vred 324'48 K. 12'48 K Koncem tretjega leta 3'2448 K X 4 in 337’46 K kapital z obrestmi vred. 12-9792 K obr. Čez 3 leta dobi 337'46 K iz hranilnice. Ako se pridevajo obresti koncem vsakega leta ali polleta kapi¬ talu ter se s tem vred nalagajo zopet na obresti, pravimo, da je kapital naložen na obrestne obresti (§ 164.) Pri obrestnoobrestnem računu imamo, prav takč kakor pri eno¬ stavnem obrestnem računu, štiri količine, namreč: kapital, čas, pro¬ cente in obresti. Obrestna doba je tudi tu eno leto, ako se izrekoma kaj nasprotnega ne poudarja. Ako je kapital naložen po p°/o na obresti, naraste 100 kapitalnih enot (kron, mark) v enem letu z obrestmi vred na 100 +_p; kapitalna enota je tedaj vredna čez 1 leto z obrestmi vred —— 1 + Vrednost 1 + 100 100 ’ 100 na katero naraste kapitalna enota z obrestmi v 1 letu (vobče v 1 ča¬ sovni dobi), navadno imenujemo obrestno mero (Zinsfufi). Za 4r°/o je tedaj obrestna mera 1 + == 1'04. Močnik, Aritmetika. X. 1056. 13 194 § 171. Naloga. Na koliko naraste kapital avmleti k, ako ga naložimo na obrestne obresti po p$ ? Ker je vredna kapitalna enota z obrestmi vred čez 1 leto P 1 + 1 1)() . zato ima kapital a čez 1 leto vrednost 0 + m)' t. j.: Vrednost, na katero naraste kapital v enem letu, dobimo, ako pomnožimo njega početno vrednost z obrestno mero. Naloživši novi kapital e, zopet eno leto na obresti, dobimo koncem leta V 3, 4,... letih naraste kapital na ^3 — e l e* = e 3 C 1 + ioo) = “ ( x + lob)*' l 1 + lob) = “ ( 1 + (* + lob) = “ ( :l + ioo) 3 0- + ioo) = * ( x + ž> y Ioo/ ’ 100 / ’ i. t. d. Kapital ima tedaj koncem m j ega leta vrednost t. j.: Končni kapital je enak početnemu kapitalu, po¬ množenemu s toliko potenco obrestne mere, kolikor je dob. Ako je naloženih na pr. 2000 K po 5^ na obrestne obresti, narastejo: v 1 let. na 2000. 1'05 K „ 2 „ 2000.(1-05)2 „ » 3 ,, „ 2000.(1-05)3 „ „ 10 „ „ 2000.(1-05)10 „ Ako se obresti ne pridevajo kapitalu koncem vsakega leta, nego koncem vsakega polleta, treba vzeti dvakrat toliko dob, kakor je danih let, a za vsako dobo le polovico procentov, tedaj v formuli Cm — Oj za p in m oziroma in 2 m. U Na pr. za 4^ in 8 let bi dobili e 16 — a. (l"02) 16 . 195 V nastopni razpredelnici so sestavljene že izračunane potence obrestne mere za 2, 2-J. 3, 4, 5 procentov za m = 1, 2, 3,... 29. 30. 13 * 196 Primera. 1. Koliko bode vrednih 5800 K čez 20 let, ako se 3 ^ obresti kapitalizuj ej o celoletno ? 5800 . (1-03)20 = 5800.1-806111... = 10475‘44 K. V gorenji razpredelnici so razven števil v prvih treh vrstah vsa nastopna števila okrajšana na 6 mest. 2. Na koliko naraste kapital 1234 K v 7 letih, ako je naložen na obrestne obresti po 4$ in se obresti kapitalizujejo polletno? Tn treba vzeti 14 polletij in procente za polleta, namreč 2$ tedaj 1234 . (1'02)» = 1234.1*319479 ... = 1628'24 K. § 172. Ako pa treba obratno določiti vrednost, katero je imel kapital pred toliko časom, in to glede na obrestne obresti, t. j. iz končnega kapitala izračuniti početni kapital, ondaj dobimo iz formnle e m =a(l + ^L) takoj t. j.: Početni kapital j e. enak končnemu kapitalu, raz¬ deljenemu s toliko potenco obrestne mere, kolikor je dob, ali enak končnemu kapitalu, pomnoženemu z reci¬ pročno vrednostjo te potence. Na pr. 2000 K je bilo vrednih pred 12 leti, ako se računi 5 °/o obrestnih obresti 2000 . K (1"05) 12 ' V nastopni razpredelnici so sestavljene že izračunane reci¬ pročne vrednosti dotičnih potenc obrestne mere za 2, 2-?r, 3, 4, 5 procentov in to za m = 1, 2, 3, . . . 29, 30. 197 Primera. 1. Koliko je bilo vrednih 731CT75 K pred 15 leti, ako se ra¬ čuni 5 °/o obrestnih obresti in celoletno kapitalizovanje? 731075 • ^-Q 5 )i5 = 731075.0781017 ... = 3516’6 K. 2. Kateri kapital treba naložiti po A°/> na obrestne obresti, da naraste pri polletnem kapitalizovanju v 12 letih na .5200 K? 198 520° . —j^ ¥4 = 5200.0'621721 ... = 3232'95 K. Dostavek. Formule, katere smo dobili v §§ 171. in 172. za obrestne obresti, veljajo tudi za druge količine, rastoče v stalnem razmerju, na pr. za prirastek prebivalstva v deželi, lesa v gozdu, i. t. d. Naloge. 1. Na koliko naraste 1350 K v 24 letih, ako je naložena glavnica na obrestne obresti po 4^? 2 . Na koliko naraste, ako se računijo obrestne obresti: a) 3480 K po 5^ v 15 letih? c) 120 K po 5 °/o v 12 letih? b) 6340 „ „ 4j6 „ 22 „ č) 5165 „ „ 3^ „ 28 „ 3 . Nekdo ima v hranilnici 4600 K (8420 K). Na koliko na¬ raste ta kapital v 11 (10) letih, ako plačuje hranilnica po (4 °/o) na leto ter kapitalizuje obresti polletno? 4 . Nekdo ima 3000 K v hranilnici, ki kapitaiizuje obresti polletno. Čez 2 leti se mu izplača 3247 K 30 h. Po koliko odstotkov se računijo obresti? (Uporabi za ta račun enkrat razpredelnico [§ 171.], drugokrat pa račun brez razpredelnice!) 5 . Gozd ima sedaj 9800 m s lesa ; koliko ga bode imel čez 10 let, ako ga vsako leto priraste po 3 % ? 0 . Mesto je imelo 1880. leta 35846 prebivalcev; koliko jih bo imelo leta 1910., ako se je pomnožilo prebivalstvo vsako leto za 2-|-^ ? 7 . Nekdo mora plačati 3000 K čez 1 leto, 2000 K čez 2 leti, 1000 K čez 3 leta in 4000 K čez 4 leta; koliko bodo vredni vsi ti zneski čez 4 leta, ako se računi 5 % obrestnih obresti in se obresti kapitalizujejo celoletno? 8. Nekdo je nosil 4 leta zaporedoma v začetku vsakega polleta po 140 K v hranilnico; koliko si je prihranil v tem času, ako pla¬ čuje hranilnica za pol leta 2 % obresti in jih kapitalizuje polletno? 1). Koliko je bilo vrednih 2485 K pred 5 leti, ako se računi h°/> obrestnih obresti in celoletno kapitalizovanje? 10 . Koliko je vrednih sedaj 8500 K, izplačnih čez 9 let, ako se računi 4% obrestnih obresti ter celoletno kapitalizovanje? 199 11 . Koliko je sedaj vrednih a) 750 K izplačnih čez 25 L, ako se računi 3 °/o ohr. obresti? b) 4060 „ „ ,, 17 „ „ „ „4 °/o „ „ cj 6372 „ „ „ 12 „ „ „ „ 5?« „ „ 12 . Kateri kapital treba naložiti po 4^ obrestnih obresti, da naraste v 7 letih na 4711'03 K? 13 . Kateri kapital treba naložiti po 5^ na obrestne obresti s polletnim kapitalizovanjem, da naraste v 10 letih, na 8000 K? 14 . Dežela ima sedaj 1258750 prebivalcev; koliko jih je imela pred 25 leti, ako jih je vsako leto prirastlo po ? 15 . Nekdo hoče prodati njivo. A mn ponuja 3600 K v goto¬ vini, B 4250 K, izplačnih brez obresti čez 2 leti, C 4310 K, iz¬ plačnih brez obresti čez 3 leta. Katera ponudba je za prodajalca najugodnejša, ako se računi h°/> obrestnih obresti in celoletno kapitalizo vanj e ? Da bode mčči ponudbe drugo primerjati drugi, treba izračuniti njih vrednost za isti čas, torej njih sedanjo ali pa njih vrednost čez 3 leta. 1(>. Nekdo hoče dobivati 3 leta koncem vsakega leta po 1000 K; koliko mora v ta namen naložiti tak6j, ako se računi 5 °/o obrestnih obresti in celoletno kapitalizovanje? 17 . Koliko mora dati A fi-ju, da mu bode ta izplačeval 5 let zaporedoma koncem vsakega leta po 586 K, ako se računi 4^ obrestnih obresti in celoletno kapitalizovanje? 18 . A prevzame hišo ter se zaveže, da bode izplačeval do¬ sedanjemu posestniku 15 let zaporedoma koncem vsakega leta po 1200 K; koliko se je cenila hiša, ako se računi h°/o obrestnih obresti ? III. O družbenem računu. Razrešitev s sklepi. § 173. 1. primer. Med tri osebe A, B , C treba razdeliti 564 K v razmerju števil 2, 3 in 7; koliko dobi vsaka oseba? A dobi 2, B 3 in C 7, tedaj vsi skupaj 12 enakih delov • od 564 K je 47 K, tedaj dobi A 2 brat 47 K = 94 K B 3 krat 47 „ = 141 „ C 7 krat 47 „ = 329 „ 200 2. primer. Dva delavca zaslužita 37‘4 K; koliko dobi vsak, ako dela prvi 3 dni po 8 ur, drugi pa 2 dni po 10 ur na dan? Tu moramo zaslužek razdeliti v razmerju dni in v razmerju ur. Pretvorimo pa lahko obe razmerji na eno samo. Prvi delavec dela namreč 3 dni po 8 ur ali 24 ur, drugi 2 dni po 10 ur ali 20 ur. Zaslužek je torej razdeliti v razmerju 24: 20 ali 6: 5. Prvi dobi torej 6, drugi 5, oba skupaj pa 11 enakih delov; tt od 37'4K je 3'4 K, tedaj dobi prvi 6 krat 3‘4 K = 20'4 K, drugi Bkrat 3'4 „ = 17'0 „ Kadar treba razdeliti dano število na več delov tako, da so ti deli med seboj v istem razmerju kakor dana števila, uporablja se družbeni račun ali razdelbeno pravilo (Gesellschafts- rechnung, Teilregel). Števila, izražajoča razmerje med posamičnimi deli, zovemo .razmerska števila (Verhaltniszahlen). Družbeni račun je enostaven ali sestavljen; prvega upo¬ rabljamo, kadar je dana le ena vrsta (1. primer), drugega pa, kadar je danih več vrst razmerskih števil. Obča razrešitev. § 174. Recimo, da je v enostavnem družbenem računu s šte¬ vilo, katero nam je razdeliti, a, & in c pa so razmerska števila. Ako imenujemo neznane dele x, y in z, tedaj velja x:y = a: b in y : z = b : c, ali x\ a= y : b in y : b = z : c, tedaj x: a = y: b = z : c. Odtod pa dobimo, po dostavku k § 111. (x + y + z): (a + b + c) — x : a = y:b = z: c, ali, ker je po pogoju x + y + z = s, S s : (a + b + c) = x : a, tedaj x = — r-j — T— ' “ ’ J a + b + c g s : (a + b + c) = y : b, „ y = — + - b g s : (a + b + c) = z : c, „ z — — r~, .-c. a + b + c 201 P.ri enostavnem družbenem računu razdali tedaj šte¬ vilo, katero treba razdejali na dele, z vsoto vseh razmerskili števil, dobljeni kvocient pa pomnoži zaporedoma z vsakim razmerskim številom; produkti so iskani deli. Ako so razmerska števila ulomki, treba vsa števila pomnožiti z najmanjšim skupnim imenovalcem ter takisto pretvoriti na cela števila; ako imajo vsa razmerska števila kako skupno mero, treba jih ž njo okrajšati. Na pr. Med v razmerju števil štiri osebe A, B, C, D treba razdeliti 5610 K A B D I 5610 8 ; 9 ; 10 ; 83 r, 6 - 170 K. 170 „ , 170 „ 170 „ 6 = 1020 K dobi A, 8 = 1360 „ „ B, 9 = 1530 „ „ B, 10 = 1700 „ „ D, 170 5610 K vsi skupaj. Prav tisto pravilo dobimo tudi po sklepovnem računu. Vzemimo, da treba razdeliti na pr. 640 K med tri osebe A, B, C v razmerju števil 9, 7 in 4; koliko dobi vsaka oseba? A dobi 9, B 7 in (7 4, tedaj vsi skupaj 20 enakih delov; 20i del od 640 K je 32 K; tedaj dobi A 9 krat 32 K = 288 K B 7 krat 32 ,. = 224 „ C 4 krat 32 „ = 128 „ Takisto sklepamo sosebno tedaj, kadar računimo na pamet. § 175. Že iz primera 2. § 173. je razvidno, da pretvorimo lahko vsak sestavljeni družbeni račun na enostavnega. Oglejmo si to še natančneje na nastopnem primeru. Trije trgovci so se združili za podjetje, pri katerem je bilo 2300 K dobička; kako jim je razdeliti ta dobiček, ako se je udele¬ ževal podjetja A z 2000 K 8 mesecev, B s 4000 K 6 mesecev, C z 8000 K 5 mesecev? Tu treba dobiček razdeliti ne le v razmerju vlog, ampak tudi v razmerju časa. Toda, ker je prav tisto, če se udeležuje A z 2000 K 8 mes. ali pa s 16000 K 1 mesec, . B s 4000 „ 6 „ „ „ „ 24000 „ 1 „ C z 8000 40000 zato morajo dobiti vsi trije v obeh slučajih prav toliko dobička. Toda v drugem slučaju se vsi trije udeležujejo podjetja enako dolgo, 202 in zato treba razdeliti dobiček med nje le po razmerju vlog, t. j. pro¬ duktov 16000 K, 24000 K in 40000 K, katere lahko smatramo za razmerska števila enostavnega družbenega računa. Račun stoji tako-le: A 2000 K 8 mes. B 4000 „ 6 „ C 8000 „ 5 „ 16000 24000 40000 2 3 6 2300 :10 = 230 230.2 = 460 K 230.3 = 690 „ 230.5 = 1150 „ 2300 K. Pri sestavljenem družbenem računu pomnoži tedaj vsa istemu delu pripadajoča razmerska števila drugo z drugim, dobljene produkte pa vzemi za razmerska števila enostavnega družbenega računa in le-tega potem uporabi v razrešitev naloge. Naloge. *1. 175 K treba razdeliti med dve osebi A in B tako, da dobi A 2, B 3 enake dele; koliko dobi vsaka oseba? * 2 . Razstavi število 160 na dva dela tako, da se bosta imela kakor 7:9; kolika sta ta dva dela ? *3. Štiri osebe kupijo srečko; A da 50 h, B da 1 K, C 1 K 50 h, D 2 K. Srečki pripade dobitek 8000 K; koliko dobi vsaka oseba ? 4. Za skupno podjetje da A i, B i in C ostali del potrebne vsote. Dobička imajo 240 K; koliko dobi vsak? 5 . Za belo steklo se jemlje 13 delov kremenjaka, 4 dele pepelike in 1 del krede; koliko treba vzeti vsake tvarine za 125 kg stekla? 6 . Iz 1 kg zmesi, ki ima 95 delov bakra, 4 dele kositra in 1 del cinka, nakuje se 600 enovinarskih kosov. Koliko kg je treba vzeti vsake kovine, da se nakuje enovinarskih kosov za 15000 K? 7 . Trgovec je dolžan: J.-ju 2000 K, R-ju 3200 K, O-ju 1200 K, D-ju 2800 K, JjJ-j u 4600 K, imetja pa ima le 8625 K; koliko dobi vsak upnik pri delitvi in koliko procentov izgubi vsak? 8. 67270 K treba razdeliti med pet oseb v razmerju števil f, t) A, 4 9 o, it; koliko dobi vsaka? 9 . Nekdo zapusti 15845 K imetja, katero je tako razdeliti med njegove tri dediče, da dobi A 2 krat toliko kakor B , in B 3krat toliko kakor C ; koliko dobi vsak dedič? 203 10 . Med tri osebe treba razdeliti 9150 X tako, da dobi A tolikokrat po 5 K, kolikorkrat B po 3 K, in C tolikokrat po 3 K kolikorkrat B po 4 K; koliko dobi vsaka oseba ? 11 . Trije trgovci kupijo nekaj blaga; pri prodaji imajo 15^ dobička in tega razdelč med seboj po razmerju svojib vlog. Koliko je vložil vsak izmed njih, ako ima A 810 K, B 350 K in C* 220 K dobička ? 12 . Trije trgovci so zložili 16000 K ter nekaj časa tržili skupaj. Ko so se razdružili, dobil je A 5400 K, B 6200 K, C 8400 K; koliko je bil vložil vsak, in koliko °/o je bilo dobička? 13 . Tri osebe so tržile skupno. M je vložil 1500 K na 1 leto, B 1200 K na 6 mesecev, C 1000 K na 8 mesecev; dobička imajo 960 K; koliko tega dobička dobi vsak? 14 . Tri občine dobč za nebo delo 500 K. Iz občine M je delalo 11 delavcev 10 dni po 9 ur na dan; iz občine B 9 delavcev 9 dni po 10 ur na dan, iz občine C 15 delavcev 5 dni po 6 ur na dan; koliko plačila dobi vsaka občina? 15 . A začne tržiti dne 1. januvarija z 8000 K kapitala; dne 1. marcija pristopi B s 5000 K in dne 1. maja C' s 3000 K. Koncem leta imajo 1059 K dobička; koliko tega dobička dobi vsak? 16 . Za podjetje se je potrebovalo 9000 K; A je dal J na 10 mesecev, B -f na 8 mesecev, C pa ostali del vsote na 6 mesecev; računski sklep je izkazal 629 K dobička; kakč se je moral ta razdeliti? 17. A je najel v gostilni 3 sobe za 3 dni, B 1 sobo za 4 dni, C 3 sobe za 5 dni. Ob koncu tedna je dobil krčmar, ki računi posamično sobo (B) za polovico draže, 48 K. Koliko je plačala vsaka oseba? IV. O zmesnem računu. § 176. Dostikrat je treba več istovrstnih, a po vrednosti ali dobrini različnih stvari zmešati tako, da dobimo zmes srednje vrednosti. Pri tem je paziti na tč-le količine: 1.) na množino po¬ samičnih sestavin, 2.) na njih vrednost in 3.) na vrednost zmesi. 204 Račun, kateri uči, kako je katerokoli teh. količin najti iz drugih, zovemo vobče zmesni račun (Mischungsrechnung). Sem spadajo zelo različne naloge, a izmed vseh sta tč-le dve za prak¬ tično življenje najbolj važni. 1. Kako je najti, koliko je vredna enota zmesi, katero smo dobili iz več istovrstnih stvari različne vrednosti. Ta račun imenu¬ jemo povprečni račun (Durchschnittsrechnung). 2. Kako je najti razmerje, v katerem treba zmešati dvoje ali več istovrstnih stvari različne vrednosti, da dobimo zmes srednje vrednosti. Zmesni račun imenujemo v tem slučaju aligacijski račun (Alligationsrechnung). § 177. 1. Podstava povprečnemu računu so prav eno¬ stavni sklepi. Na pr. Trgovec zmeša trojo kavo: 6 kg po 3'84 K, 8 kg po 3’60 K in 10 kg po 3'36 K; koliko velja 1 kg zmesi? 6 kg po 3'84 K velja 23'04 K 8 „ „ 3-60 „ „ 28-80 „ 10 „ „ 3'36 „ „ 33'60 „ 24 kg zmesi 85'44 K tedaj velja 1 kg zmesi 3'56 K 2. Pri aligacijskem računu pa treba sklepati na poseben način; kakč, pokaže ta-le naloga: Krčmar hoče imeti vino po 40 K (m) hi, ima pa le vino po 32 K ( h ) in po 60 (a) K hi; v katerem razmerju mora zmešati to dvoje vino, da velja hi zmesi ravno 40 K? 1. Razrešitev s sklepi. Ako bi prodali hi boljšega vina po 40K, bi imeli 20K izgube; ako bi pa prodali hi slabšega vina po 40 K, bi imeli 8 K dobička. Da pa izenačimo izgubo in dobiček, zmešati je 8 hi boljšega vina z 20 hi slabšega. Boljšo vrsto moramo zmešati s slabšo v raz¬ merju 8 : 20. Obrazec za ta račun je torej: 60 K 40 K 32 J) 205 Vobče: a j a —m izgube m — b hi m j a> m> b b \ m — b dobička a — m „ Boljšo vsoto moramo zmešati s slabšo v razmerju (m — b) : ( a — m). 2. Razrešitev v obliki enačbe. Ako pomeni x množino Al, katere je treba vzeti od boljše vrste in y število hi, kateri se vzemo od slabše vrste, tedaj je, ker mo¬ rata biti vrednosti obeb snovi skupaj enaki vrednosti zmesi vobče, ax + bij = m {x + y ). Iz tega dobimo: (a — m) x — (m — b ) y ali x : y = (m — b) : (a — m). 3. Krajša (mehanska) razrešitev. Kadar je dana tudi množina zmesi, izvršujemo račun po družbenem računu. Množina boljše in množina slabše tvarine sta kakor diferenca med srednjo in slabšo vrednostjo in diferenca med boljšo in srednjo vrednostjo. Naloge. *1. Nekdo zmeša 1 l vina po 72 h z IZ po 80 h in 1 Z po 90 h; koliko velja 1 Z zmesi? * 2 . Nekega dne je kazal termometer zjutraj 16°, opoludne 22°, zvečer 13°; kolika je bila povprečna temperatura, onega dneva? 3 . Posestvo je dalo čistih dohodkov v 5 letih zaporedoma po 2565 K 24 h, 2844 K 64 h, 2085 K 38 h, 2633 K, 2408 K 84 h; koliko povprek na leto? * 4 . Koliko je vreden 1 Z zmesi, ako zmešaš 5 Z vina po 72 h s 4 Z vina po 80 h in 1 Z vode? 5 . Krčmar zmeša 4 hi vina po 48 K, 3 hi po 56 K in 5 hi po 60 K; koliko je vreden 1 hi zmesi? 206 6 . Nekdo zmeša 39 l špirita po 40 stopinj s 26 Z po 30 stopenj; koliko stopenj ima zmes? 7 . Nekdo je izposodil 3600 K po 4-f^, 4500 K po 5^ in 1900 K po 6 % ; po koliko °/o bi moral izposoditi vsoto vseh teh treh kapitalov, da bi dobil iste obresti? *8. Trgovec ima dvoji riž, kg po 70 h in po 56 h; ta dvoji riž hoče zmešati takč, da mn bode moči kg zmesi prodajati po 64 h; v katerem razmerju mora zmešati oboji riž? (Preizkušnja!) *{). V kakšnem razmerju treba zmešati špirit po 60 stopenj in po 45 stopenj, da dobimo špirit po 50 stopenj ? 10 . Iz srebra po 800 in po 600 tisočin čistine hoče srebrar zliti (legovati) srebro po 720 tisočin čistine; v katerem razmerju mora zliti oboje srebro? 11 . Koliko Z vina po 75 h in koliko po 1 K moraš zmešati, ako hočeš dobiti 100 Z zmesi po 84 h ? 12 . Cisto srebro (po 1000 tisočin čistine) in srebro po 400 ti¬ sočin čistine treba zliti takč, da bode imela zlitina po 835 tisočin čistine; koliko je vsakega srebra treba vzeti za 24 kg zlitine? 13 . Avstrijske dvajsetice se kujejo iz 500 tisočinskega, goldi¬ narji iz 900 tisočinskega srebra. Koliko kg mora novčarnica zliti od vsake vrste, da skuje 5000 K (po 835 tisočin), ako tehta 1 K 5 g 1 ? 14 . Koliko kg po 18 h treba dodati 564 kg po 32 h, da bode veljal kg zmesi 24 h? 15 . Koliko (y) kg bakra treba dodati 3 kg zlata po 850 tisočin čistine, da bode imela zlitina po 700 tisočin čistine? iy + 3) kg tehta zlitina. V. O verižnem računu. § 178. Verižni račun (Kettenrecknung) uporabljamo tedaj, kadar treba poiskati odnošaja med dvema količinama s pomočjo znanih vmesnih določil. Primer. Iz 1 kg čistega zlata se nakuje 164 kosov po dvajset kron (3280 K). Koliko kron da 10 funtov sterlingov (£), ako se iz 40 standart-troy-funtov nakuje 1869 £, ako je v 12 standard- troy-funtih 11 troy-funtov čistega zlata in ako tehta 1 troy-funt 0'373242 ...kg? 207 Tukaj imamo nastopne enačbene odnošaje: cc K = 10 £, 1869 £ — 40 standard-troy-fantov, 12 standard-troy-funtov = 11 troy-funtov čistega zlata, *) 1 troy-funt čistega zlata — 0'373242 ... kg čistega zlata, 1 kg čistega zlata = 3280 K. Ker stojč na levi in desni enačaja zgolj isto vredna števila, dobimo, ako produkt desnih števil razdelimo s produktom levih števil, kvocient 1. 10£ X40st.-troy-ft. X 11 ft. č. zl.XCT37342 ...kgi. zLX3280K 4 xK X 1869£ X 12 st.-troy-ft. X i ft. čist. zl. XI kg čist. zl. Različna imena ne predrugačijo računa, ako so števci in imeno¬ valci istoimenski (pri množenju ni treba jemati imen v poštev), ker da kvocient iz isto imenskih števil neimenovano število: 10 £ 40st.-troy-ft. 11 ft.č.zl. 0'373242 .. .kg č. zl. 3280K 1869 £ 12 st.-troy-ft. lft. č. zl. 1 kg čist. zl. a; K 10 40 11 0-373242... 3280K 1869'12' 1 ' 1 * K “ “ ’ torej x K = 10 X 40 X 11 X G'373242... X 3280 1869 X 12 X 1 X I K, 10 X 10 X 11 X G'124414... X 3280 1869 ’ : = 448884... : 1869 = 240174 ... K. **) Da dobimo v števcu in v imenovalcu vedno ista imena, pričnemo račun vselej z istim imenom, s katerim smo nehali, in sklenemo verigo šele potem, ko se je vrnilo ime neznanke. — Odtod imč verižni račun. Ako primerjamo ravnokar najdeni izraz za x in pa dano na¬ logo, kakršna je v verižni obliki, razvidimo, da velja za verižni račun tč-le pravilo: *) Na vrednost primešanega bakra (prim. prihodnji oddelek) se v novčnem računu nikoli ne oziramo. **) Ker je bila po zakonu z dne 2. avgusta 1892. leta, iz katerega smo posneli enačbeni odnošaj „1 kg čistega zlata = 164 kosov po dvajset kron“, vrednost 10 £ = 240474 K = 120-08 gl., zat<5 se je dejalo, da smo prešli po kurzu „120 h kronski veljavi." 208 1. Najprej potegni vertikalno črto in zapiši na levo te črte neznanko x z nje imenom, na desno pa ono znano količino, za ka¬ tero treba iskati zneska, katera ima torej isto vrednost kakor ne¬ znanka x. Spodaj zapiši vsa vmesna določila, in sicer začni na levi vselej s količino, ki ima isto ime kakor najbližja prejšnja na desni; zraven na desno pa postavi vsakikrat tisto količino, ki ima isto vrednost kakor ona na levi. Takisto nadaljuj, dokler ne dobiš na desni količine, ki ima isto ime kakor neznanka x. 2. Potem razdeli produkt vseli neimenovanih števil, zapisanih na desni, s produktom vseh števil, zapisanih na levi spodaj podtc; kvocient je iskana vrednost neznanke x. Na pr. Ako velja v Angleški 1 kvarter pšenice 40 šilingov, koliko K velja potem 1 hi? (11 kvarterjev = 32 hi, 20 šilingov = 1 £, 10 £ = 240 K.) Razrešitev: xK 32 hi 1 kvart. 20 šiling. 10 £ 1 hi 11 kvart. 40 šiling. 1 £ 240 K 11.40.240 32.20.10 = 175 K Naloge. 1. Nekdo kupi v Hamburgu 3894 funtov kave za 5125 mark; koliko K velja 1 kg, ako sta 2 hamb. fnt. = 1 kg, in je 100 mark = 118 K. (Preizkušnja po sklepih in po sorazmerjih.) 2. Koliko K velja 1 frank? (1 kg čistega zlata = 164 kosov po dvajset kron = 3444-f frankov.) (Preizkušnja po sklepih.) 3 . Vzemimo, da tehta 5 m dolga železnična sina 125 ^ kg in da velja v Belgiji 100 kg šin 27franka; koliko gl. a. v. stanejo šine, katerih je treba za 1 km? (100 frankov = 96 K.) 4 . Avstrijski goldinar ima 900 tisočin čistega srebra; koliko g tehta tak goldinar, ako je v 45 goldinarjih 500 g čistega srebra? 5. Koliko velja blago, ki ima 455 kg nečiste teže, ako se plača po odbitku 10$ tare kg čiste teže po 62 h? 6. Trgovec kupi 4 kose sukna, kos po 30 m, za 612 K; po čem mora prodajati m, ako hoče imeti 15$ dobička, t. j., ako 209 koce za vsakih 100 K, katere je izdal pri nakupu, iztržiti pri pro¬ daji 115 K? 7 . Nekdo je kupil 949 kg blaga za 876 K, potem pa ga je prodal po 100% za 87 K; ali je pri tej kupčiji kaj pridobil ali izgubil, in to koliko procentov? Verigo začni: x K pri prodaji da 100 K pri nakupu (izdanih), ako i. t. d. 8. Ako se kupi hi vina po 48 K, l pa proda po 64 h, ko¬ liko °/o je dobička? 9 . Koliko pene velja 1 standard-unca zlata, ako se iz 40 standard-troy-funtov (po 12 sterl.-unc) nakuje 1869 funtov sterlingov (£)? (1 £ = 12 šilingov po 12 pene.) V kakšnem raz¬ merju sta si ceni zlata in srebra, ako velja 1 standard-unca srebra v Londona 30 pene? 10 . Stroj velja v Angleški 875 funtov sterlingov; stroškov je v Londonu 8$, prevoznih in drugih stroškov do Dunaja pa 25^ tega, kar stroj velja; koliko K stane stroj na Dunaju, ako je 10 funt sterlingov = 240 K? VI. O novčnem računu. § 179. Pri novcih treba razločevati: 1. Kov (das Geprage), t. j. napise in podobe, ki se nahajajo na novcih vzvišeni. 2. Kovino (das Metali), iz katere je novec skovan. Manj vredni drobiž (Scheidemiinzen) se kuje navadno iz brona, bakra in niklja, novci večje vrednosti pa so od srebra ali zlata. Ker sta pa te dve kovini precej mehki, zlivata se s tršo kovino, navadno z bakrom, da se novci preveč ne obrusijo v prometu. 3. Težo. Vso težo novca imenujemo njega robelj (Schrot oder Rohgewicht) , težo čistega zlata ali srebra, kar ga je v njem, pa jedro ali zrno (Kom, Feingeuoicht). Kot n o v č n a u t e ž (Mitnz- geivicht) rabi v av s t r ij sk o - ogr ski državi kilogram s svo¬ jimi nižjimi razdelki. Prej je rabila kot novona utež kolonjska marka (kolnische Mark) — = 233'87 g, tudi dunajska marka (Wiener Mark) — 280'67 g in od 1. 1857. nemški funt = 500 4:, „ 0 580, Zakonite določbe o teži, čistini, zovemo novčno mero (Munzfup). srebro štev. 1, čistina 0'950, „ „ 2, „ 0-900, „ „ 3, „ 0‘800, » „ 4, „ 0750. razdelitvi in kovanju novcev Pri novcih treba razločevati trojno vrednost: notranjo ali kovinsko, zakonito in trgovsko. Notranja vrednost novca je vrednost njega čiste kovine; zakonito vrednost določuje vlada, in ta vrednost velja vobče za ono deželo, kjer se kuje novec; trgovska ali kur zna vrednost (Handelsvuert , Kursvoert) je ona premenljiva vrednost, katero ima novec v trgovini in prometu. Ako se ravna v kaki deželi vrednost vseh novcev po dolo¬ čenem srebrnem novcu, pravimo, da ima dežela srebrno ve¬ ljavo (Silberwdhrung) ; kadar je pa zlat novec podlaga denarnemu sistemu, ima dežela zlato veljavo (Goldwahrung) ; na pr. Avstrija (kronska veljava), Nemčija, Angleška. Ako je naposled kje v državi, na pr. na Francoskem, vrednostno razmerje med zlatimi in srebr¬ nimi novci zakonito določeno, takč da vsakdo lahko plača, v kateri kovini hoče, tedaj pravimo, da ima država dvojno veljavo (Doppelwdhrung). 211 Avstrijsko no veno razmerje. § 180. Denar, po katerem se računi v državi, imenuje se računski novec te države. V avstrij sko-ogrski monarhiji se je doslej račnnilo na goldinarje in krajcarje avstrijske veljave. (1 gl. = 100 kr.) Vrednost goldinarju avstrijske veljave je bila izprva usta¬ novljena po tako zvani „petinštiridesetgoldinarski meri“, t. j. iz 500 g čistega srebra se je kovalo po 45 gl. (■& čistine). Ko so pa leta 1879. nehali kovati srebrne novce na račun zasebnikov, tedaj je bila avstrijska veljava oproščena usode srebra, čigar vrednost je čimdalje bolj padala v trgovini. Z zakonom z dne 2. avgusta 1892. leta se je namesto dote¬ danje avstrijske veljave uvedla zlata veljava (Goldivahrung). Nje računska enota je krona (K), ki se deli na 100 vinarjev (h). Razločujemo: 1. Deželne novce (Landesmiinzen), 2. drobiž (Scheidemiinzen) in 8 . trgovske novce (Handelsmilnzen). 1. Deželni novci so prava denarna znamenja, katera mo¬ rajo deželni prebivalci v vsaki množini prejemati za denar. Po avstrijski kronski veljavi se kuje iz skega zlata: a) dvajsetkronskih novcev 164 iz 1 kg čistega zlata; njih zrno je 6'09756 g , torej njih robelj 6'77506 <7; h) desetkronski.h novcev 328 iz 1 kg čistega zlata. Iz enega kilograma čistega zlata se torej naknje 3280 kron. 20kronski novci se kujejo tudi na račun zasebnikov, ako plačajo le-ti ko- valnine 4 do 6 kron. Zlati novci, katerim se teža v navadnem prometu ni zmanjšala pod 6'74 g oziroma 337 g (prestopna teža, Passiergewicht), prejemljejo se pri vseh plačilih za polnotežne; nasprotno pa se zlati novci, ki so se v prometu tolikanj obrusili, da nimajo več gorenje prestopne teže, ob državnih troskih jemljd iz prometa. 2. Drob iž se rabi samb tedaj, kadar se poravnavajo manjši novčni zneski. Država določuje, koliko drobiža največ mora vzpre- jeti vsakdo. Drobiž se kuje ali iz srebra, toda njega notranja vrednost je manjša od zakonite vrednosti, ali pa iz nežlahtnih kovin, t. j. iz niklja, brona, bakra. Vrednost drobiža je torej so- sebno oprta na zaupanje (kredit) države. 14 * 212 Ti-le novci se še kujejo po kronski veljavi: 1) srebrni novci: a) enokronski novci, 200 iz 1 kg jifSj skega srebra (robelj B g ); b) petkronski novci; 2) novci od niklja: a) dvajsetvinarskik novcev 250 iz 1 kg čistega niklja (teža 4 g ); b) desetvinarskib novcev 333 iz 1 kg ; 3) bronasti novci: a) dvovinarski novci; b) enovinarsld novci (300 oziroma 600 iz 1 kg). Enokronski in petkronski novci, novci iz niklja in brona se kujejo samb na račun države. Enokronskik novcev se sme nakovati za 140 milijonov, petkronskih novcev za 80 milijonov, novcev od niklja za 42 milijonov, novcev od brona največ za 18'2 milijona. Pri vseb državnih in javnih blagajnicah se vzprejemljejo ti novci po nomi¬ nalni vrednosti, in sicer enokronski novci v poljubnem številu ■—■ ti so torej višja vrsta drobiža — novci od niklja in brona pa do 10 kron. V zasebnem prometu ni nihče dolžan vzprejemati za plačilo enokronskih novcev nad 50 K, novcev od niklja nad 10 K in novcev od brona nad 1 K. B. Trgovski novci nam vobče ne rabijo kot denar; kujejo se zato, da se olajšava trgovina z inozemstvom. Vrednost, izražena v računskih deželnih novcih, imenuje se njih kurz. V Avstriji se kujejo cesarski zlatniki (cekini) kot trgovski zlati novci, in sicer se nakuje 290'519 cekina (%) iz 1 kg čistega zlata (zlato je 23 § karatno) *); levantinski tolarji s podobo cesarice Marije Terezije slavnega spomina in z letnico 1780 kot trgovski srebrni novci, in sicer se kuje po 12 tolarjev iz dunajske marke (srebro je 13gTotno). Izza leta 1870. sta v prometu še dva avstrijska trgovska zlata novca, kakršnih pa sedaj več ne kujejo: a) osemgoldinarski novci v vrednosti 20 frankov; b) štirigoldinarski novci v vrednosti 10 frankov, 172 f iz 1 kg, oziroma \ kg čistega zlata. 42 avstrijskih zlatih goldinarjev (carinskih ali frankovnih zlatih goldinarjev) ima po zakonu tisto vrednost kakor 100 kron. *) 81 ■§-§■§ ces. zlatnikov se nakuje iz dunajske marke (0'280668 kg) čistega zlata v čistini 23 karatov 8 grenov. 213 Nihče ni dolžan vzprejemati novcev pa osem in po štiri goldinarje, vendar pa se pri vseh carinskih plačilih prejemajo za 8, oziroma za 4 carinske zlate goldinarje. Enogoldinarski novci avstrijske veljave ostanejo še na¬ dalje v prometu in se račnnijo po 2 kroni. Prej so računih v Avstriji na konvencijske novce (Konventionsmunze). 1 goldinar je imel 60 kr., 1 krajcar 4 fenige (Pfennig)\ 100 gl. konvencijske ve¬ ljave = 105 gl. avstrijske veljave. § 181. V Avstriji imamo tudi papirnat denar, in sicer: po 10 K, 20 K, 50 K, 100 K, 1000 K. To so imovniški papirji (Inhaberpapiere), s katerimi se avstrijsko- ogrska banka zaveže, da plača zneske, na katere se glasč. Njih. vrednost v trgovini se opira zgolj na zaupanje (Kredit), katero ima izdatnik. Ce zaradi neugodnega (trgovskega ali politiškega) položaja opeša zaupanje do izdatnika, utegne se zgoditi, da se mora plačati nadavek ali ažij (Agio), če se vršč plačila v notah, ki bi se morala vršiti v kovanem denarju. Ažij se izraža v procentih kova¬ nega denarja. V državah, kjer so državne note in bankovci popolnoma pokriti (fundiranij s kovanim denarjem in rabijo zatd le za lažji promet, zgodi se tudi, da imajo proti kovanemu denarju nadavek (disažijo), ker jih je pripravneje razpošiljati. Najvažnejši inozemski novci. § 182. 1. Nemška država ima zlato veljavo in računi na marke po 100 fenigov. 1 kg čistega zlata = 139 | zlatnika po 20 mark = 2790 mark = 3280 K. 1 marka = 117562 K. Na Nemškem se kujejo zlatniki po 20, 10 in 5 mark. 2 marki — 2'35125 K veljata en avstrijski zlati goldinar (mar- kovni zlati goldinar). 2. Francoska in Belgija računita v zlatu in srebru na franke po 100 centimov. 1 kg čistega zlata = 172 § zlatnika po dvajset frankov (napo- leondori) = 3444 f franka = 3280 K. 1 frank = 0'952258 K. 214 Na Francoskem se nakuje 3100 frankov iz 0'9 kg čistega srebra (srebrni franki). Zlatnik za 20 frankov ima prav tisto notranjo vrednost kakor 1 avstrijski zlatnik po osem goldinarjev, 1 zlatnik za 10 frankov pa ima tisto notranjo vrednost kakor 1 avstrijski zlatnik po štiri goldinarje. Enačba 1 frank = 0'952258 K velja tudi za švicarski, itali¬ janski, srbski, grški, bolgarski, romunski kov in za ruske pol- imperijale novejšega kova. Novčne enote nazivljejo v teh deželah franke (po 100 rapnov), lire (po 100 centesimov), dinare (po 100par), drahme (po 100 sept), leve (po 100 stotink), leje (po 100 banov). Na Nizozemskem računijo na zlate goldinarje. Holandski goldinar = 1*983744 K. — Na Švedskem in Norveškem imajo skandinavske krone. Skandinavskakrona = 1*32258 avstr. kron. 3. Angleška računi v zlatu na funte ali livre sterlingov (£) po 20 šilingov (sh.) po 12 pencev ali denierjev (d.). 1 kg čistega zlata = 136*5776 funta sterlingov = 3280 K. 1 funt sterlingov (sovereign) = 24*01741 K. 4. Severna Amerika računi v zlatu in srebru na dolarje. 1 kg čistega zlata = 664*662 dolarja = 3280 K. 1 dolar v zlatu = 4*9351 K. 5. Ruska: 1 zlati rubelj (po 100 kopejk) = 3*809525 K. Vred¬ nostno merilo za tozemstvo je papirnati rubelj s posilnim kurzom in srebrni rubelj, čigar vrednost za inozemstvo se da izračuniti le po dnevnem kurzu. 6. Turška: 1 zlata lira (po 100 pijastrov) = 21*4288 K. § 183. Kakč je računiti čistino, zrno in robelj. Či¬ stina (c) se izračuni, ako zrno (z) razdelimo z robljem (r) (§ 179.). 6= . Zato je r zrno z — r. č, robelj r = z : 6. Primeri. 1. Avstrijska krona tehta 5 g in ima 4^j g čistega srebra; kolika je čistina? g 167 = 835 200 1000 ’ 215 2. Iz 1 kg čistega zlata se nakuje 155 zlatnikov po osem goldinarjev; koliko čistega zlata ima 1 zlatnik po osem goldinarjev? Robelj 1000 155 9> zrno 1000 9 155 ~ = 5-80645 g. 10 y 3. Koliko telita dvajsetkronski novec, ki ima j 1 ?, čistine in 6'69756 g čistega zlata? Robelj = 6-09756 g : ^ = 60 - 97560 : 9 = 677506 g. § 184. Kako izračunimo novcem notranjo vred¬ nost. Da izračunimo novcem notranjo vrednost, uporabljamo naj¬ enostavneje enačbene odnošaje § 182.: 1 kg čistega zlata = 3280 kron = 2790 mark = 34441 frankov = = 136"5776 funtov sterlingov = 664"662 dolarjev. Račune izvršujemo ali po sklepovnem ali po verižnem ra¬ čunu; na pr. 1. Koliko mark je 100 kron? x mark 100 K x - 27900 : 328 = 85 - 061 .. . mark. 3280 K 2790 mark. Ker velja 100 K primeroma 85 mark, izpremenimo jih pri manjših zneskih v marke kar tako, da od števila kron odštejemo 15%. Za večje zneske nam rabi enačba 1 K = 0-85061 mark. Kako preračunimo torej vinarje na fenige? 2. Koliko centimov je 100 vinarjev? x cent. 100 h 3280 K 1 fr. 310000 9 : 328 = 105'0135 cent. 100 h 1 K 3444| fr. 100 cent. Če je treba torej vinarje izpremeniti na centime, prištejemo vinarjem 5% Takisto se tudi manjši zneski kron preračunajo na franke (zakaj ?J. 3. Koliko mark velja avstrijski zlatnik po osem goldinarjev? 1 zl. po 8 gold. 1 kg čist. zlata 2790 mark 1 zlatnik po osem goldinarjev je torej = kovnega zlatega goldinarja). x mark 1721 zl. po 8 gl. 1 kg čist. zl. = 2790 : li}5 ° = 2511:155 = O = 16-2 mark. 84 avstr, zlatega goldinarja (mar- 4. Pri carinskih, plačilih se sprejemlje osmi del avstrijskega osemgoldinarsltega novca za en carinski zlati goldinar (fran- kovni zlati goldinar). Koliko kron velja 1 carinski zlati goldinar? 216 x K 8 car. zl. gl. 172 f osemgl. n. x 410 : 1550 9 2'38064 K. 1 car. z 1. gl. 1 osemgold. novec 3380 K 42 carinskih zlatih goldinarjev je 99'987 ... K; zato je usta¬ novil zakon z dnč 2. avgusta 1892. leta, da je pri plačilih, katera se dejanski morajo izvršiti v avstrijskih zlatih goldinarjih (sosebno carinska plačila), 42 avstr, zlatih goldinarjev (frankovnih zlatih goldinarj ev) = 100 K. § 185. Kako izračunimo novcem kurz n o vrednost. Na dunajski borzi se zabeležuje kurz posamičnih novcev (per Studi), in to v bankovcih (Bankvaluta) . Navadno sta zabeležena dva kurza: po prvem (denar) se je novec želel kupiti, po drugem (blago) se je prodajal. Na pr. Dne 31. julija 1900. so zabeleženi v kurzni tabeli (kurznem listu): Novci po 20 frankov . . 19'33 (denar), 19'35 (blago). Novci po 20 mark . . . 23'70 (denar), 23'78 (blago). Torej se je dobilo 60 mark za 35'505 gl. a. v. Naloge. 1. Izračuni naloge 1., 2., 3. v § 186. po sklepovnem računu. Koliko čistino ima srebrna kepa, ki tehta 640 g ter ima 480 g čistega srebra ? 3 . Koliko tisočin primesi je v zlitini, v kateri je čistega srebra ? 4 . Ruski srebrni rubelj tehta 20‘7315 g ter ima 17'9961 g čistega srebra; kolika je njegova čistina v tisočinah? 5. Koliko čistino dobi zlitina, ako zlijemo 3 kg srebra, imajo- čega Q'800 čistine, a) z enim kg čistega srebra, b) z enim kg bakra? 6. Od 1 kg srebra, imajočega 0'945 čistine, nakiije se 100 ho¬ landskih goldinarjev; izračuni kol. goldinarju zrno. 7 . Koliko srebra in koliko bakra je v srebrni šibiki, ki tehta 3-f kg in ima 0’52Q čistine? 8. Od 1 bolonjske marke (233'87 g) 23 f karatnega zlata se kuje po 67 ces. zlatnikov; izračuni ces. zlatniku zrno. 9 . Koliko tehta denarna pošiljatev 100 novcev po dvajset kron? 217 10. Novčno zlato ima takisto x 9 du/it. / 906 . ^/deof/ ad/ oddm/č-. nad odAee/a Zh-c/lepu ( 2 ddod-ta. ddeedied/^id^ed. oddnie/jda- ^//M,y'/dt,tea- (Hrbtna stran edine menice.) (Hrbtna stran potegnjene menice ali trate.) 221 Menični imovnik smč po avstrijskih in nemških meničnih za¬ konih odstopiti svojo menico, komurkoli hoče, če se ni izreklo kaj nasprotnega (z besedami „ne na ukaz“ ali kako drugače). Odstopno izrecilo se mora vselej zapisati menici na hrbet (in dosso) in se imenuje indosament. Kdor menico odstopi, zove se indosant ali žirant; on je ,,meničnopravno“ porok za znesek, kakor vsakdo, ki menico podpiše. b) Spredi natisnjena potežka ali trata je lahko nastala tako le: a) Ivan Kak ima terjati 12CV3 K od Jožefa Semena in je ta znesek sam dolžan Martinu Kolarju. Zato izda (potegne, trasuje) na Jožefa Semena menico in jo pošlje (remituje) Mar¬ tinu Kolarju, ki ima potem pravico vsoto ob svojem času iz¬ terjati od Jožefa Semena. p) A. B. (na pr. Anton Bregar) v Celovcu je dolžan M artinu Kolarju 120'B K in ve, da ima Ivan Kak terjatev pri Jožefu Semenu v Celju. Zato kupi od Raka menico, katero je ta firma potegnila na Jožefa Semena, izplačno Martinu Kolarju. To menico pošlje (remituje) A. B. Martinu Kolarju, bi jo vzprejme namesto denarja za plačilo. t) Martin Kolar je dolžan komu (na pr. Leopoldu Sta¬ niču) 120'3K; zato kupi od Raka menico, katero le-ta potegne na svojega trgovskega prijatelja Jožefa Semena. Odstopek se izvrši z izrecilom (indosamentom) na hrbtu menice. V tem primeru je Martin Kolar remitent Leopoldu Staniču. V trgovskem prometu se imenuje praviloma prvi imovnik me¬ nice remitent. V vsaki potegnjeni menici so vsaj tri osebe: 1. izdatnih ali tras ant (Aussteller, Trassant), ki menico izda, potegne ali tra¬ suje (tukaj Ivan Rak); 2. potezovnib ali trasat (der Be- zogene, Tras-sat), katerega izdatnik pozove, naj plača menično vsoto (tukaj Jožef Semen); 3. oseba ali firma, kateri se izplačaj me¬ nica, remitent (Remittent). Izrecilo, za čigav račun potezovnik izplačaj menično vsoto, obseženo je v obični opomnji; „in postavite jo na račun" (pokritveno razmerje). V slučaju (p), da izdatnik ne trasuje na potezovnika na svoj račun, nego po naročilu tretje osebe 222 (Antona Bregarja), označi se ime naročnikovo (komitentovo) z začetnicama: „in postavite jo na račun (z) A. B.“ (komisijska trata). Ako se odda trata dalje, pristopijo nove oseke. Na hrbtni strani spredi na¬ tisnjene trate je razvidno, da jojeMartin Kolarnajprej remitoval naLeopolda Staniča, ta na kmetsko posojilnico ljubljanske okolice, ta pa na- posted na Andrej a Roso, kateri jo šele izterja. — Pour acquit (izgovori: pur aki) pomeni: „Potrjujem vzprejem“. — Kdor ima trato, ima pravico, le-to pokazati trasatu v pla¬ čilno izrecilo, ,,v vzprejem“. Šele, ko jo je potezovnik „vzprejel“, kar s podpisom potrdi na menice sprednji strani, porok je trasat meničnopravno. Trasat, ki je menico vzprejel (a k c ep to val), zove se akceptant (Akzeptant), njega izrecilo pa vzprejem (akcept). Med trgovci se vsaka vzprejeta menica imenuje kar „akcept“. Da je potegnjena menica veljavna, mora obsezati: 1. kraj, dan, mesec in leto, ko se je izdala; 2. čas, kdaj se izplačaj menična vsota (plačilni rok ali dospetek) (Verfallszeit ); 3. oznamenilo „menica“, katero je vzprejeti v besedilo samo (ne v nadpis); 4. imč one osebe, kateri se menica izplačaj (ime remitentovo); 5. menično vsoto; 6. podpis izdatnikov (trasantov); 7. ime tistega, ki se je pozval, da plača (imč trasatovo); 8. kraj, kje se izplačaj menica. Y lastni menici se seveda izpusti ime trasatovo in njega bivališče. Med trasatom in izdatnikom se imenuje menica trata, med prvim imovnikom in izdatnikom (ali vobče med prednjim in na¬ stopnim imovnikom) rimesa (Bimesse). § 187. Čas, kdaj se ima menica izplačati, t. j. plačilni rok ali dospetek (Verfallszeit), zaznamuje se četvero: a) Na določen dan, na pr. dne 8. maja tega leta, sredi (medio) maja t. 1. (sredi znači zmerom 15. dan meseca), zadnjega (ultimo) maja t. 1. (dne 31, maja). Take menice se imenujejo dnevne menice (Tagvoechsel) ; na pr. 223 V Trstu, dne 18. avgusta 1910. Za K 600 a. zl. v. Dne 1. decembra 1910. plačajte za to prvo menico na ukaz gospoda Pavla Rusa vsoto od šest sto kron a. zl. v. vrednost v blagu in postavite jo na račun po poročilu. Gospodu Simonu Križanu v Ljubljani. Anton Klun & dr. b) Na vid (auf Sicht), in sicer 1. takbj na vid (na zahte¬ vanje, a vista, a piacere), kadar treba menico še tisti dan izplačati, ko se je predložila, in 2. na določen čas (8 dni, 3 tedne, 2 meseca) po vidu, kadar treba menico izplačati toliko časa po pokazu. Pri poslednjih menicah na vid mora dostaviti akceptant, kdaj jo je vzprejel. Vender ostane vzprejem veljaven, če tudi se datum ne dostavi. Na pr. V Ljubljani, dne 19. januvarja 1910. Za K 928'85 a. zl. v. Na vid plačajte za to prvo menico na ukaz gospoda Petra Režka vsoto od devetstoosemindvajset kron 85 h a. zl. v. vrednost v blagu in postavite jo na račun po poročilu. Gospodu Jožefu Samcu v Mariboru. Jurij Gričar. 224 V Trstu, dne 19. januvarja 1910. Za K 508 a. zl. v. ukaz Štirinajst d o vidu plačajte za to prvo $ os w a 4 menico na imona Rožnika vsoto od ^'petstoinosem kron a. zl. v. ' - vrednost prejeli in postavite jo na račun po poročilu. Gospodu Jožefu Kovaču v Celju. Peter Končan. c) Na določen čas od izdatnega dnč, na pr. 2 meseca a d at o, 3 tedne od denašnjega dne. Take menice se imenujejo d at o-m eni c e. Na pr. 4 V Ljubljani, dne 13. maja 1910. Za K 691'57 a. zl. v. Štiri mesece a doto plačajte za to prvo menico na ukaz najin lastni šest stosedemindevetdeset kron 57 h a. zl v. vrednost v blagu in postavite jo na račun po poročilu. Gospodu Andreju Severu v Mariboru. Klun & Kode. V Trstu, dne 6. maja 1910. Za K 2566'60 a. zl. v. Tri mesece a doto plačajte za to drugo *) menico prve ne, na ukaz gospoda Petra Zorca vsoto od. dvetisočpetstošestinšestdeset kron 60 h vrednost v blagu in postavite jo na račun po poročilu. Gospodu Jožefu Trdini v Ljubljani. Pavel Dolinar. Vzprejeta prva menica pri gospodu Antonu Novaku. *) Izraz „druga“ (secunda) znači, da se je izdala menica v „dveh“ izvodih ter da imamo pred seboj „drugi“ izvod. 225 c) Na kak sejem ali tržni dan. V Ljubljani, dne 3. decembra 1910. Za rubljev 4800 v srebru. Na nižjenovgorodskem semnju o sv. Petru in Pavlu leta 1911. plačajte za to prvo menico na ukaz gospoda Ivana Petroviča vsoto od štiritisočosemsto rubljev v srebru vrednost v blagu in postavite jo na račun po poročilu. Gospiodu Ivanu Kosu v Peterburgu. Frančišek Gruden. O meničnem diskontu. § 188. Menice, izplačne v naši državi, se imenujejo diskonti (Diskonten). Te so ali mestne menice (Platzwechselj ali rimese (v ožjem zmislu); ime se ravna po tem, če so izplačne na bivališču imovnikovem ali pa če jih je treba še-le odposlati, da se izplačajo. Ako se mestna menica izplača pred nje dospetkom, dovoli se dolž¬ niku zaradi tega, ker plača prej, nego bi moral, primeren popust, odbitek ali diskont (Diskont , Eskompt) imenovani. Menico pred nje dospetkom prodati ali kupiti proti primernemu diskontu, pravi se, menico diskontovati (diskontieren). Menični diskont izražamo v procentih za 1 leto in trebalo bi ga prav za prav računiti nad sto; v resnici pa se računi vselej po pripravnejšem procentnem računu od sto, ker gre tu le za kratke robe, za te je pa razloček med enim in drugim resultatom neznaten. Menični diskont se računi tedaj prav tako kakor obresti za dolo¬ čeno število dni, namreč za čas od dne, katerega se diskontuje, do dne dospetka; a pri določevanju tega časa se ne všteva dan, kate¬ rega se diskontuje, ali pa dan dospetka. Meseci se računijo po toliko dni, kolikor jih res imajo, leto pa po 860 dni. Na pr. Menica za 960 K, izplačila 31 dni po vidu ter vzprejeta dne 18. junija, diskontuje se dne 27. junija po 4^ ; koliko se dobi zanjo? Vzprejela se je dne 18. junija Meničin znesek .... 960 K Dospela bode dne 19. julija 4 °/o disk. za 22 dni . 2'35 „ Proda se dne 27. junija gotova vrednost . . . 957'65 K Junija 3 dni Julija 19 „ 22 dni Močnik, Aritmetika. X. 1056. 15 226 Kak6 je izračunavati menice na tuja mesta. § 189. Menice, glaseče se na tuja mesta, zovejo se tuje (ino¬ zemske) menice ali devize (auslandische Wechsel, Devisen). Devize se glasč na tujo veljavo. — Primer glej v § 187., d. — Pri nakupu ali prodaji tujih menic treba po danem meničnem kurzu ( Wechselkurs) preračuniti tuji denar (menično vrednost, (Wechselvaluta ) na svoj domači denar, ali pa obratno. Takovo pre¬ računavanje zovemo menično redukcijo (Wechselreduktion). Menični kurz je zavisen od notranje vrednosti tujega denarja, od časa, ki ga ima menica še do dospetka, dalje, •ali se menica ponuja ali se po njej povprašuje. Pri meničnem kurzu treba vselej gledati na dvojno veljavo, na veljavo doma¬ čega in tujega mesta; ena je nepremenljiva, druga premen- Ijiva. Na avstrijskih borzah velja zmerom 100 (za London 10) enot tujega denarja kot nepremenljiva valuta in zabeleženi kurz kaže, koliko kron se zanje dobi ali plača. Ako je na pr. kurz v Pariz 96, pravi se to: za 100 frankov treba plačati 96 K. Menice se preračunavajo po procentnem ali po sklepovnem računu. Na pr. 1. Dunajski trgovec ima v Amsterdamu plačati 2360 bol. gl.; mesto denarja pošlje menico; koliko mora zanjo plačati, ako je kurz v Amsterdam 200' 5? 4720 k temu -(k °/o 11'80 4731-80 K. 2. Dunajski trgovec ima v Parizu za svoj račun terjati 2494'41K; za koliko frapkov bode izdal menico, ako je kurz v Pariz 96? x : 100 = 2494'41 • 96, x = 2598’34 frankov. Naloge. 1. Menica za K 800'5, izplačna sredi meseca novembra (§ 187., a), proda se dnč 8. oktobra; diskonta se računi 4 \°/o ■ Koliko se dobi zanjo? 227 2. Izračuni diskont in gotovo vrednost tčh-le menic: 3 . Sredi avgusta izplačna menica za 849 K se diskontuje dne 26. junija po 4 \°/o ; koliko je menica ta dan vredna? 4 . Menica za 3180 K, izplačna 34 dni po pokazu, vzprejeta dne 20. novembra, diskontuje se dne 23. novembra; kolika je nje gotova vrednost, ako se računi 4 \°/o diskonta? 5 . Menica za 3048‘72 K, izdana dne 13. maja, izplačna 2 me¬ seca a dato, diskontuje se dne 18. junija; koliko treba zanjo pla¬ čati, ako se računi 5 \°/o diskonta in \°/o provizije? Provizijo računi otl meničnega zneska. 6 . Dne 24. aprila diskontuje avstro-ogrska banka tč-le me¬ nice po 5 °/i> \ za 3128 K na J. Kovača, dne 20. maja; „ 1073 „ „ F. Lavriča, zadnjega maja; „ 536 „ „ A. Bonača, 31 dni po pokazu, vzpr. dne 8. aprila; „ 2895 „ „ L. Purgaja, od dne 28. marcija, 2 meseca a dato. Koliko mora banka izplačati za vse te menice? 7 . Dunajski trgovec ima v Augsburgu terjati 2915 drž. mark; to terjatev poravna z menico, katero izda na svojega dolžnika ter proda po 115*2; koliko dobi za to menico? 8. Trgovec v Marseille-u ima od Dunajčana terjati 5682 frankov 56 centimov; koliko je vredna ta terjatev v kronah, če je 100 frankov = 96‘20 K? 9 . Koliko je na Dunaju vredna menica v Berlin za a) 738 mark po 56*8, b) 1335 mark po 56'92, c) 3085 mark 48 fenigov po 56’85? 10 . Dunaj kupi 3708 frankov v Pariz po 96*40; koliko stane ta deviza, ako treba plačati \%o senzarije? 11 . Dunaj kupi po naročilu 7123 vlaških pijastrov v devizah v Bukarešt po 34'30 ter računi \°/o provizije in f °/oo senzarije; kateri znesek v a. v. bode Dunaj pripisal naročevalčevemu računu ? 15* 228 12 . A kupi na Dunaju menice v Hamburg: za 2032 mark, diskonta za 126 dni, „ 1760 „ „ „ 80 „ n 3188 „ „ „ 52 „ Koliko mora plačati za vse, ako je kurz v Hamburg 118'40 in se računi diskonta po 4|-$ ? 13. V Amsterdam se je poslalo za 4692'34 K 2345 kol. gl.; po katerem kurzu je odposlal Dunaj svojo menico? 14. Kolik je kurz v Bruselj, ako se pri \°/o provizije za 5248 frankov dobi 4483'10 K? VIII. Kako je izračunavati državne papirje in akcije. § 190. Kapitale za večja družbena podjetja (železniške zgradbe, tvorniške naprave i. t. d.), takisto posojila države, dežela in večjih občin se pogostoma priskrbe tako, da vplača po več zasebmkov vsak nekaj. Plačilo se potrdi z listino, ki izreka, da je imovnik plačal določen delski znesek, da mu torej gre vsako leto določen delež podjetniškega dobička, oziroma državnih (deželnih, občinskih,) dohodkov. Kdor ima tak vrednostni papir, ta se udeležuje družbe¬ nega podjetja, oziroma upnik je tistega, kdor je najel posojilo.. Svojega zneska pa ne more nikoli odpovedati, nego le, če proda vrednostni papir, utegne dobiti zanj primerno vrednost. Po drugi plati pa prihranke lahko plodonosno nalagamo, če kupujemo take vrednostne papirje. Vrednostni papirji so ali javni ali zasebni ter se glasč na določen znesek, katerega imenujemo imensko ali nominalno vrednost (Nominahvert). 1. Javni vrednostni papirji (offentliche Effekten) so- dolžna pisma, katera izdado ali posamične države (državni pa¬ pirji) ali pa z državno dovolitvijo dežele in večja mesta za delske' zneske obrestljivega posojila Gledč na razdolžitev so državne za¬ dolžnice a) obligacije (Obligationen), ki se poravnavajo po dolo¬ čenem (razdolžnem) načrtu; b) neobrestljive in ob res tl ji ve- srečke (Lose), katerih kapitalna vrednost se poravnava po žrebnem načrtu, pri čemer se uporablja ali ves obrestni znesek ali le del 229 tega zneska za izplačilo premij (dobitkov); c) rente (stalen, fundiran državni dolg), pri katerih se je država pač zavezala, da plačuje obresti, ne pa da vrne posojeni kapital. Javnim vrednostnim papirjem prištevamo tudi: zastavna pisma (Pfandbriefe), za¬ dolžnice, ki se izposojajo s posredovanjem bank in kreditnih društev na zemljišča (Hypotheken ); zemljiškoodvezne obligacije (deželne rente), s katerih izdajo (emisijo) se zemljišče oprosti realnih bremen; zadolžnice mest in javnih podjetij (uravnava dunavske reke). 2. Zasebni vrednostni papirji so ali akcije (delnice), prioritete (prednice) ali zasebne srečke. Akcije ali delnice (Aktien) so oni vrednostni papirji, ka¬ teri spričujejo, da je postal njih lastnik s tem, da je vplačal določen znesek, deležnik večjih prevoznih, obrtnih ali trgovskih podjetij. Dohodki od vsake posamične akcije se zovejo dividenda, in ti so ali določene obresti ali del dobička, ki ga nese podjetje, ali največkrat oboje ob enem. Redna dividenda gelja v zadnjem slu¬ čaju za obresti, izvenredna pa razdeljuje ostali dobiček. Prioritetne obligacije ne dado imovniku pravice, da bi imel kaj deleža pri dobičku, kar ga je več; zato pa se morajo njih popolne obresti izplačevati pred obrestmi akcij. Zasebne srečke se izdajajo z dovolitvijo dotične države (pogostoma v dobrodelne namene). Da se obresti pripravneje plačujejo, imajo zadolžnice več obrestnih nakaznic (pobotnic), ki se zovejo kuponi (odstrižki). Imovnik ob vsakem obrestnem roku odstriže določeni kupon in ga prinese (kot pobotnico) določeni izplačevadnici (Zahlstelle), da se mu izplačajo obresti. — Kupon srebrne rente za 100 gl. slove: 230 § 191. Vrednostni papirji imajo premenljivo vrednost; ta pre- menljiva vrednost se zove kurz ter ni zavisna le od nominalne vrednosti, nego tudi od obrestne mere in dobička, dalje od tega, ali se po dotičnem papirju povprašuje ali se papir ponuja. Na avstrijskih borzah se zabeležujejo kurzi v kronski vrednosti, in sicer pri vseh zasebnih srečkah in akcijah za vsako posebej (per Stiick ). Pri ostalih vrednostnih papirjih se zabeležujejo kurzi, ako se glasi njih nominalna vrednost na krone, goldinarje a. v. ali srebro, za 100 K = 50 gld., za one, ki se glase na konvencijske novce ali zlate goldinarje za 50 gld. zadevne nominalne vrednosti; za one, ki se glasč na marke, franke, lire in liv. sterl. za, 100 mark, frankov, lir in liv. sterl. Pri nakupu takih vrednostnih papirjev, kateri nes6 obresti, mora kupec prodajalcu! plačati ne le kapitalno vrednost, nego tudi še ne potegnjene obresti, in to od zadnjega obrestnega roka do dne, katerega jih kupi. Pri vrednostnih papirjih se računijo obresti vselej od nominalne vrednosti preračunjene na krone; mesec se računi po 30 dni. Za preračunanje obresti veljajo nastopne enačbe: 1 gld. a. v. = 2 K, 1 gld. konv. vredn. = 2 K 10 h, 1 zlati gld. = 2K 10 h, 1 M =1K 18 h, 1 fr. = 96 h, 1 £ - 24 K. Primeri. 1. A kupi dne 3. decembra 8 akcij avstro-ogrske banke po 1705 K; koliko mora plačati zanje? (Nominalna vrednost ene akcije = 600 gld. a. v., 5^ obresti niso izplačane od dne 1. julija.) 8 akcij po 1705 K .. 13640 K — h obresti od 8 akcij po 600 gld. = 9600 K od dne 1. jul., t. j. za 152 dni po _ 202 „ 66 „ 13842 K 66 h 2. Nekdo kupi dne 6. novembra 2400 gld. enotnega državnega dolga v srebru po 99'50; koliko mora plačati? obresti od dne 1. julija.) 4800 K po 99-50 . 4776 K 4 \°/o obr. od dne 1. jul., t. j. za 125 dni . . . 70 „ 4846 K 231 3. Dne 17. februvarja se proda na borzi 4B000 gld. zlate rente (4$) po 116’1Q. Mešetarina ^°/o . Kuponi 1./IV. in l./X. 45000 gld. po 11610 (900 X 11610 K) . . . 104490 K Obresti od dne 1. oktobra; 108000 K za 136 dni po 4$ .._ 1632 „ 106122 K \°/oo mešetarine. 52 „ 2 5 k Čistega zneska. 106069 K 75 k Mešetarina se računi od kurzne vrednosti in se pri nakupu prišteva, pri prodaji odšteva. 100 zl. gld. = 240 K pri izračunanju obresti. Naloge. *1. Koliko velja 9 srecek iz leta 1864. po 194? *2. Koliko velja 6 kreditnik srecek po 385, 12 Palffj-jevih srecek po 132 in 15 srecek Rudolfove ustanove po 64'75? 8. Koliko je vrednih dne 18. avgusta 2500 gld. enotnega državnega dolga v bankovcih s kuponi od dne 1. maja po 97'40? (Obresti po 4 -5 $.) 4 . Nekdo proda dne 6 . decembra 3000 gld. zlate rente po 115'80; koliko dobi zanje? (Obresti 4^ od dnd 1. oktobra.) 5. Koliko treba plačati dne 9. septembra za 6 celih srecek iz leta 1860. po 166’50? (Nominalna vrednost po 500 gld., 4 % obresti od dne 1 . maja.) 6. A proda 1. maja: 9 komadov avstr, kronske rente po 97'60 K, obresti 4$ od dne 1 . marcija; 12 komadov ogrske kronske rente po 90’20 K, obresti 4^ od dne 1. decembra. Nominalna vrednost 200 K. Koliko dobi za vse, ako se računi \%o senzarije in-|-^ provizije? 7. Nekdo je kupil meseca februvarja zlato rento po 115'70, plačal pa je 9256 K glavnice in 114 K 4 odstotnih obresti (od dne 1. oktobra prejšnjega leta). Katerega dne je kupil te papirje? 232 8. A kupi dne 8. oktobra 6000 gld. zastavnih pisem štajer¬ skega hranilnega društva po 97; koliko mora plačati zanje, ako se računi \%o senzarije? (4 °/o obresti od dne 1. septembra.) 9 . Koliko treba plačati dne 26. aprila za a) 2 akciji Ferdi¬ nandove sev. železnice po 6125 (nominalna vrednost po 1000 gld. k. v.), b) 6 akcij Elizabetine železnice po 493 (nominalna vrednost po 200 gld. k. v.), ako treba povrniti nepotegnjene 5% obresti od dne 1. januvarija naprej, in se računi \%o senzarije? 10 . Nekdo proda na Dunaju dne 26. novembra: 4 akcije avstro-ogrske banke po 1720 (nominalna vrednost po 600 gld., 5^ obresti od dne 1. julija); 8 sreček iz leta 1860. po 163 (nominalna vrednost po 500 gld., 4 °/o obresti od dne 1. novembra); koliko dobi za vse, ako se računi senzarije in \°/o provizije? Provizija se računi od kurzne vrednosti z obrestmi vred. IX. Naloge v ponavljanje. *1. Nekega dne je kazal termometer ob dih zjutraj 12°, ob lOih 15°, ob 2h popoludne 21°, ob 6ih zvečer 16°; kolika je bila povprečna toplina onega dne? *2. Nekdo zmeša 3 l vina po 80 b s 5 l po 112 b; koliko velja 6 l zmesi? 3. Razdeli po razmerju 3:5 števila: a) 20, b) 28, c) 35, c) j-, d) 0'32. *4. Izmed dveh števil, katerih diferenca je 30, je eno število trikrat toliko kakor drugo; kateri sta te števili? 5. 100-|(2* + 16* + 3t + 8*).*j. 6. 3280 I£ = 3444 f- frankov. Koliko kron ima 1 frank ? 7 . Izmed štirih števil je prvo 25-J, drugo za 8-f večje od prvega, tretje za 12f manjše od drugega, četrto pa je enako diferenci med prvim in tretjim; kolika je vsota vseh štirih števil? 8. Koliko znašajo 4% od 775 K a) o A, b) nad, c) pod sto? 9. Katera vsota d4 75 K po 6 % p o d sto ? 10 . Po koliko % nad sto da vsota 1634 K 86 h za znesek? 11 . Koliko veljajo 4 zaboji smokev, imajoči 511 kg nečiste teže, ako se računi 13°/ 0 tare in kg čiste teže po 50 h? 12 . Ako pomnožiš neko število s 15, produktu prišteješ 20, vsoto razdeliš s 4 in od kvocienta odšteješ 14, dobiš trojno ono število; katero število je to? 13 . Za 2734 kg mandljev in 2891 7«? kave se plača 121 K 95 h voznine; koliko znaša voznina za mandlje in koliko za kavo? 233 14. Delavcu se zviša tednina od 14 K 48 li na 16 K 80 h; za koliko % se je zvišala tednina? 15. Iz 1 kg rfa čistega zlata se nakuje 155 zlatnikov po 8 gld.; koliko čistega zlata je v enem zlatniku ? 16. Koliko gld. a. v. je vrednih 2350 carinskih zlatih goldinarjev, če se računi ažtja v zlatu 19-J%? 17. Koliko vrednost v zlatu ima 3285 gld. papirnatega denarja, če ima zlatč 20% ažija ? *18. A kupi vrt za 1200 K ter se zaveže, da bode plačal vsake tri mesece po 240 K; kdaj bi moral plačati vso vsoto skupaj? *19. Koliko znašajo letne obresti po 5% od a) 4 K, b) 20 K, c) 34 K, čj 377 K, d) 2850 K? 20. Koliko obresti da kapital a) 3678 K po 5% v 1 letu 5 mes. ? b) 5782 Ii po 5f% v 6 mes. 12 dneh? 21. Koliko obresti da kapital a) 942-75 K po 4-|% v 37 dneh? h) 1348 K po 51% v 132 dneh? 22. Izračuni obresti teh-le kapitalov: a) 1745 K po 6% od dne 15. aprila do dnč 12. julija; b) 5680 K po 4-J% od dne 1. julija do dne 18. oktobra. 23. Nekdo kupi v Trstu 5 sodov blaga; nečista teža znaša 5219%, tare je 10%; koliko mora plačati za blagč, ako velja 100% čiste teže 28 K in se računi 2% skonta? 24. 23-75* — 25 6-25 " 3-6*. 25. 2-93* 16 0-00925. 26. ~ (2*+ 51 + 312*—3j — ~ (5* — 7) = 1. 27. Nekdo zmeša 27 kg blaga, katerega velja kg 36 b, z 12 % slabšega blaga. Sedaj jo vreden kg zmesi 48 h; koliko velja 1 kg slabšega blaga? *28. Rokodelec izdeluje svoje proizvode po 4-8 K in bi imel rad pri prodaji 15% dobička. Po čem mora prodajati blago, če mora dovoliti njemu, ki obskrbuje prodajanje, 10% odbitka? 29. Zlata verižica tehta kg in ima 0‘840 čistine; a) koliko čistega zlata je v nji, b) koliko je vredno čisto zlato, če velja 1 kg 3280 K? 30. Za menico, ki bode dospela dne 22. juljja, se izplača dne 12. junija 2135-49 K s 4% diskonta; na kateri znesek je bila izdana? 31. Nekdo si je izposodil dne 1. maja 1550 K po 4%; ko je vrnil posojilo, znašal je kapital z obrestmi vred 1619-f- K. Kdaj je vrnil kapital? 32. Ako izdaš od denarne vsote tretjino, četrtino in petino, ostane ti še 39 K; kolika je bila vsota? 234 33. Uradnik dobiva na leto plače in 18% draginske doklade 1888 K; kolika je sama plača? 34. Nekdo naloži 3485 K po 4% na obrestne obresti; koliko znaša kapital po 3 letih? 35. če plačaš vsako leto v zavarovalnico 200 K, kateri kapital dobodeš v 8 letih, če so obrestne obresti 4%? *36. Koliko provizije po 2% da: a) 568 K, b) 1240 K, c) 1736 K, 5) 2518 K, d) 3712 K? *37. Koliko senzarije po ■§% da: a) 884 K, b) 1508 Ii, c) 2030 K, c) 2264 K, d) 4508 K? *38. Koliko dobička da: a) 250 K po 20%, l) 168 K po 25%, c) 516 K po 16f%? 39. Ce prodaš blagd za 102 K, izgubiš 15%; za koliko je moraš prodati, da bode 15% dobička? 40. Pri 43-g- hm dolgi železnici je bilo na koncu prvega leta 212652 K čistega dobička, tako da je dal uporabljeni kapital 3% obresti. Koliko povprek je veljal 1 hm te železnice? 41. Koliko je treba plačati dne 25. februvarja za 3500 gld. zastavnih pisem češke hipotečne banke po 102-§■? (Obresti po 5% od dnč 1. oktobra.) 42. Blago se je z všteto - 5 -%no senzarijo kupilo za 2653 K 40 h; kolika je senzarija? 43. Prodano blago je po odbiti -g%ni senzariji vredno 5537 K 40 h; za koliko se je prodalo blago? 44. Menica za 2929 mark 3 tedne po pokazu, kije vzprejeta dne 11. avgusta, diskontuje se v Lipskem dne 17. avgusta s 4%; koliko je treba plačati zanjo? 45. Dunajski trgovec je dobil iz Marseille-a blaga za 5633 frankov 63 cent.; koliko K mora zapisati na korist trgovskemu prijatelju, če je kurz 96’60? *46. Nekdo nakupi sukna, meter po 5 I£, prodaja pa vsake 4 m po 25 K in ima 310 K dobička. Koliko m je kupil? *47. 1000 K naj se razdeli tako med A in B, da dobi A tolikokrat po 3 K kakor B po 2 K. Koliko dobi vsak ? 48. Za skupno podjetje da A 8000 K, B 7200 K, C 4800 K. Pridobe si 232-J K manj nego 16% vloženega kapitala; koliko dobi vsak od skupnega dobička? 49. V 5943-841 (3. dec.). 50. \A4H449 777 s _ s _ 51. \/94818-816 (3 dec.). 52. V-2164-361 ... 53. Berlinski trgovec remituje na Dunaj 2772 K; koliko plača za rimeso, če znaša senzarija l%o, kurz pa 83'5 (100K=83'5 mark)? 54. Nekdo ima v hranilnici 2345 K 30 h; ob začetku vsakega polletja še vloži 50 K; kolik bode kapital v 9-J leta, če znašajo polletne obrestne obresti 2%? 55. Trgovec s platnom nakupi dvoje platno, boljšega 126 m po 1 K 50 h, slabšega 228 m po 1 K; za vse skupaj iztrži 491 K 28 h. Ako ima pri boljšem platnu 20% dobička, koliko % znaša dobiček pri slabšem platnu? 2B& 56. A dobi iz Lyona 350 m svilenega blaga, meter po 4§ frankov, skonto znaša 2%; carine plača 20% vrednosti, voznine in stroškov pa 4%. Po koliko K mora prodajati m, da si pridobi 20%, če je 100 frankov = 96 K? 57. A ima v svoji tvornici 24 plinovik plamenov, za katere plača v 6 me¬ secih 600 K, če gorč po 4 ure na dan. Koliko mora plačati B, ki je rabil 30 pla¬ menov 5 2 meseca, če so goreli po 4-J ure na dan in če je potreboval vsak plamen 1'4 krat toliko plina kakor 4,-jev? s s 3 58. y/ 2 —|— \/8 —(— 2 50. 59. 5 \/5 — 2 \/40 -f- 2 \/135. 60. y4 x s y — 5 y \xy — x J/4 xy + 25 \JxyS. 61. \/4. \/8. 63. (Va + V^ + CV^V 6 ) 2 - 65. 1 : V+ŠK 67. 1- : V L \/8 F 8 /3m 2 «/ 3 \ 2 /10 p 2 x\ a ' 5;.: / ' V 9 &jj J ' 70. [(6£iB®3j2 . (_ 2a2a!)J . [(— 3aic 2 j3 : (o®J S J. 62. (\'a + \+ 3 ) (V« 3 -l/o 1 ). 64. (V'8 + V' 2 ) 2 — (V 8 -V 2 ) 2 3 66. 3 V/8 : 2 \/2. 68 . F V 3 . 16 * 2 \ 25 &) 75. Izloči skupni faktor iz 5* (2 a — 6) — 2 y (2 a — b) -j- 32 (2 a — - 6)! ■ 2 76. mx 3 ^j (— 3 m x i )‘ 2 . 78. 5 + \Jx _ 1 6 + V* 79. \Jx— i + V- m. j / j+V^ 7 ■ 1 = \/4*— 11. 51+ 2l 16 x// y .r« ]/- 2 3 Z& 6 236 82. 2re!) (/a& 2 — 3i> (/« 4 6 2 ia \/ab°. 83. ? . Vl_ — ~ ^ (rac. imenovalec). V/3 — V/2 84. Kapital da po 4-£% v določenem času 239-fK obresti; koliko obresti bi dal v tistem času po 5-g-% ? 85. Katerega kapitala je treba, da dobiš po 5% tiste obresti, katere da 3200 K kapitala po 4°/ 0 ? 86. Ako da kapital v 5 letih 527 K obresti, v kolikoh letih da 210 K obresti? 87. Po koliko % je treba naložiti kapital, da da v 3 letih prav toliko obresti kakor v 2 letih po 6%? 88. Nekdo podeduje 4850 K, katere naj se mu pa izplačajo šele v 5 letih; na njega željo se mu izplača denar takoj s 5-|% diskonta; kolika je dediščina v gotovem denarju? 89. Trgovec ima dvoje blago; boljšega velja kg 60 h, slabšega 36 h. Obojega bi rad namešal 80 kg tako, da bi prodajal kg zmesi po 45 h. Koliko kg mora vzeti vsakega blaga? 90. Nekdo kupi državnih zadolžnic po 97-§, ki dajo 4-g-°/ 0 obresti v papir¬ natem denarju; koliko % obresti dobiva od naloženega kapitala? 91. Kaj je bolje, ali kupiti avstrijske papirne rente (obresti 4-g-°/ 0 ) po 98 ali zlate rente (obresti 4°/ 0 ' v zlatu) po 116, če je 1 zlati goldinar = 2 K 40 h? 92. Nekdo hoče 5 let dobivati po 1000 K letne rente; koliko kapitala mora naložiti, če se obrestne obresti celoletno nalagajo po 5%? 93. Ko se je razdelila neka vsota, dobil je A 100 K in ■§• ostanka, B \ novega ostanka in še 500 K, G pa ostanek 2500 K. Kolika je bila vsota, koliko je dobil A, koliko B? 94. Izmed dveh kapitalov, ki znašata skupaj 5330 K, je naložen prvi po 5°/o, drugi po 4%; kolik je vsak kapital, ako daje prvi dvakrat toliko obresti kakor drugi? 95. A si izposodi 1200 K in plača na račun 5 °/ 0 obrestnih obresti in v po¬ vrnitev kapitala na koncu vsakega leta 800 K; a) kolik bode dolžni ostanek po 10 letih, bj koliko je dolžni ostanek vreden sedaj? 96. Izračuni, koliko kron je vrednih a) 5840 frankov, b) 6800 mark 50 fe- nigov. (§ 182.). 237 Sedmi oddelek. O enačbah, prve stopnje z več neznankami. I. Kako je razreševati enačbe z dvema neznankama. § 192. Ena sama enačba ne določuje dveh neznank; zakaj brezštevilno je vrednosti, katere zadoščajo enačbi, ako jih postaviš za dve neznanki. Ako vzamemo na pr. enačbo 2x + 5y = 26, do¬ bimo, če smatramo za sedaj x za neznanko, y pa za znano število, 26 — 5 y 2 x Kolikor različnih vrednosti vzamemo za y , toliko različnih vrednosti dobimo za x ; ker pa vzamemo lahko za y brez števila različnih vrednosti, dobimo jih tudi za x brez števila; raz¬ rešitev je tedaj nedoločena. Da je moči x in y določiti popolnoma natančno, treba še druge enačbe, izražajoče odnošaj med x in y , da odpravi nedoločeno razrešitev prve enačbe; druga enačba mora biti od prve bistveno različna, nasprotovati ji pa tudi ne sme. Da razrešimo dve enačbi z dvema neznankama, treba iz obeh enačeb napraviti tretjo, ki ima le eno neznanko. O drugi neznanki pravimo, da jo odpravimo (eliminieren). § 193. Rabijo nam sosebno trije odpravni načini. 1. Naloga. 2x + oy = 26 .. . 1.) in 3x — 2y = 1... 2) Iz teh enačeb dobimo 3) • ■•: 26 °y m x _1 + 2y m j ■ 26 — 5y 1 + 2 y . . . . Tedaj — 9 — = — m odtod y = 4. Ako postavimo to vrednost za y v 3), dobimo x — 3. Vrednost eni neznanki se določi iz obeh enačeb, te dve vred¬ nosti se izenačita, in potem se razreši dobljena enačba, ki ima le- drugo neznanko. Primerjalni način (Komparationsmethode). 238 2. Naloga. x + %y — 8 ... 1) in Qx — 5y = 14 ... 2) Iz 1) dobimo x = 8 — 2 y. Ako postavimo to vrednost v 2), dobimo 6 (8 — 2 y) — hy = 14; in odtod y = 2. Zamenivši v 1) y s to vrednostjo, dobimo * = 4. Vrednost eni neznanki se določi iz ene enačbe, in ta vrednost se postavi v drugo enačbo; tako dobljena enačba ima le eno ne¬ znanko, in ta se potem določi. Zamenjevalni način (Substitutions- methode). 3. Naloga. 4cc — 3y = 9 ... 1) in 6cc + hy = 61... 2) Pomnoživši tedaj prvo enačbo s 3 in drugo z 2, dobimo 12x — 9y — 27, 12cc + 1( )y = 122. Odštevši prvo od druge, dobimo: 1% = 95, tedaj y — 5. Ako zamenimo s to vrednostjo y v l), dobimo x = 6. Neznanki, katero je iztrebiti, priskrbi v obeli enačbah isti koeficient; to dosežeš, ako pomnožiš vsako enačbo s primernim faktorjem; tak6 izpremenjeni enačbi potem seštej ali odštej, kakor imata ta dva koeficienta neenak ali enak predznak; tako dobljeno enačbo z eno neznanko treba potem razrešiti. Način enakih koefi¬ cientov (Methode der gleichen Koefizienten). Kateri izmed teh treh odpravnih načinov je v vsakem posa¬ mičnem slučaju najugodnejši, ravna se po tem, kakšne koeficiente imajo neznanke. § 194. Da je moči iz dveh enačeb z dvema neznankama dolo¬ čiti vrednosti teh neznank, treba, da sta te dve enačbi popolnoma nezavisni druga od druge in tudi nasprotovati si ne smeta, kakor je razvidno iz tčh-le primerov. 1. 4x - dy = 9 in | - 2y = 6. Druga enačba je z a vi sna od prve, zakaj dobili smo jo iz prve, poštevši le-t6 z f. Uporabivši za razrešitev teh dveh enačeb primerjalni način, dobimo 9 + 3,v _ 18 + 6 y 18 + 6 y = 18 + 6// 4 . 8 ’ 0 = 0. Za y tedaj ne dobimo nikakršne vrednosti. 239 2. 4® —- 3y = 9 in 8® — 6 y = 15. Druga enačba nasprotuje prvi, zakaj nje prvi del je 2 kratnik prvega dela prve enačbe, 15 pa ni 2 kratnik števila 9. Ako upo¬ rabimo za te dve enačbi način enakih koeficientov, dobimo 8x — 3y = 18 8x — 6 y — 15 '> 3. Razrešitev danih enačeb daje torej protislovje. 1. x + y = 11, x — y = 3. 3 . 2x — y — 4 , 4® + 3y = 18. 5. 7x — 2 y = 12, 3x + 2 y — 8. 7 . 8x — 5 y — 25, 3® + 7y — 36. 9. 16 y — 25 s = 7, 5 z — 24 y = 9. 11 . 3® + 7 = 4y + 3, 4x — 8 = 5y — 10. 13 . x + y = 20, x ■ 8 = y ' 15 . x —- y = 12, * _ v = i 9 8 17 .- \y = 2, 1.2 - 2 *+- r y = 4. Naloge. 2. S|+ y = 12, ® + 4y = 12. 4. 3x -j- y = 19, 3®-2y = 7 6 . 4® + 5y — 22, 5® — 4 y — 7. 8. 3® + 4y = 4, 12® — 6y = 5. 10 . 28® + 6y = 9, 9z/ — 4® = 2. 12 . 37® - 16'6 = 4%, 1‘5® — 27 = 2 - 4y. 14 . y = 3® — 33. ^ + 8 . 4 3 16 . ® + 2 y = 30, ^ + y = v\ 5^2 18 . X X - 7T^ = 4 , y = 3. 240 38. (x — 4) (y + 7) = (x — 3) {y + 4), (x + 5) (y — 2) — (x + 2) (y — 1). x y_ __ ® + y ab bo ac x — y = c. 241 oo x _ y — 1 ‘ a b a — b a + b’ £C _ 2/ _ 1 a b a — b a -j- b 40 . + v - 2 a + b a — b ’ x _ __ _ y _ 4 ab a — b a + b a? — 6 2 ' 41 . \dc : Mx + y = 4 : 5, x + y — 25. 43 . 2 \x — \jy — 5, Vdc + 2\Jy = 20. 45 . 3 1 V.32 + x \ 12 — y _ 4 _ _ 3 V20 — x Vi + y 42 . x — 1 = \Jy, y — 4 — 3 a; + x z . 44 . 3\/a3 — 2\/y — 9, 2\/a3 — 3 \A/ = 1. _3_ \/x = 1. 3 8 II. Kako je razreševati enačbe s tremi ali več neznankami. § 195. Za določitev treh. ali več neznank je treba prav to¬ liko enačeb; le-tč ne smejo biti med seboj v nikakem nasprotju in druga mora biti od druge po polnem nezavisna. V razrešitev več skupaj spadajočih enačeb s prav toliko ne¬ znankami se uporabljajo isti načini, katere smo navedli v § 193. za razrešitev dveh enačeb z dvema neznankama. Iz danih enačeb se namreč izloči ena neznanka; nato se dobi ena neznanka in ena enačba manj; iz teh novih enačeb se odpravi zopet druga neznanka, in to se ponavlja, dokler ne dobimo naposled le ene enačbe z eno neznanko, iz katere je moči določiti vrednost te neznanke. Dobljena vrednost se postavi v eno izmed prejšnjih dveh enačeb; tako se določi druga neznanka. Potem se postavita obe te dve vrednosti v eno izmed prejšnjih treh enačeb, i. t. d.; tako se določijo zaporedoma vrednosti vseh neznank. Močnik, Aritmetika. X. 1056. 16 242 Primeri. x = 1. 8r + 5y + 2z = 24 &x — 3y + z = 3 4r + % — 6« = 4. Uporabljajoč primerjalni način, dobimo 24 — 5y — 2z 8 a; = x __ 3 + 3y — z 6 4 — % + 6z tedaj / . ) 24 — 3y — 2z _ 3 + 3 y 8 6 3 + 3 y — z _4 — 9y + Qz 6 _ 4 Določivši iz zadnjih, dveh enaČeb y, dobimo 60— 2z J 2 / 27 6 + 20z ( , tedaj . 60-2« 6 + 20z V 33 in odtod z — 3. 27 33 Ako postavimo vrednost za z v katerikoli prejšnji izraz za y, 60-2 s na pr. v y — 27 , dobimo 60-2.3 27 2 . Ako postavimo naposled vrednosti za y in z v katerikoli prej dobljeni izraz za x, dobimo x = 1. Preizkušnja. 8.1 + B . 2 + 2.3 = 24, 6.1 — 3.2+ 3= 3, 4.1 + 9.2- 6.3 = 4. 2. 3x + y + z = 18 I 2x + 3y + 2z = 28 J Po zamenjevalnem načinu. 5r + 2y + 3z = 38 5 Iz prve enačbe je y — 18 — 3x — z. Ako postavimo to vred¬ nost v drugo in tretjo enačbo, dobimo 2cc + 3 (18 — 3x — z) + 2z — 28, ali 7x + z — 26, + 2 (18 — 3x — z) + 3z — 38, ali x + z = 2. 243 S tem smo skrčili nalogo na razrešitev dveh enačeb. Po na¬ činu enakih koeficientov dobimo x = 3, z — 5. Ako postavimo dobljeni vrednosti za x in z v izraz y — 18 — — Sx — z, dobimo y = 4. 3. 3x — 2y + 5z = 8 1 2x + by — 2z = 18 ) Po načinu enakih koeficientov. 4x — y + 2z — 14 ) Da izločiš iz prvih dveh enačeb x-, pomnoži prvo z 2, drugo s 3; tako dobiš 6x 6x 4 y + lOz 15 y — 6 z 16 54 odštev. a) 19// — 16z = 38 Da izločiš iz druge in tretje enačbe x, treba le drugo po¬ množiti z 2, ter potem odšteti, tedaj odštev. Tako si dobil lahko razrešiš: 19// — 16z = 38 ID/- 6z = 22 4x + 10 y — 4z — 36 4x — y + 2z = 14 1 b) ID/ — 6 z == 22. dve enačbi z neznankama y in z, kateri prav X 11 X 19 209// ■ 209 y - 176z = 418 114z = 418 62z = 0; tedaj z = 0. Ako postaviš vrednost za z v enačbo 11// — 6z = 22, dobiš ID/ = 22; torej y — 2. Ako postaviš naposled vrednosti za y in z v katerokoli danih enačeb, dobiš: x = 4. 1. x ~r // .— 12, x + z = 10, y + z = 8. 3 . x + 3y = 30, 3a; + 2z = 25, 4 y — 3z = 12. ■5. 3x + y + 2z = 13, x + 2y + 3z = 17, 2x J c3y+ z = 12. Naloge. 2 . x + y = 30, 3 y — 2z = 25, x — 2z = 3. 4 . 3x — 4 y— 6, 2x + 3z = 26, 5 y — 6z = 18. 6 . 3x — 4y + 3z = 28, 4x — y — 3z = 7, 2cc — 3 y + 4z = 13. 16 * 244 7 . 7x — 2y + 7« = 60, 3ic + Ay + 2z = 20, 5» — 8y — 3» + 2 = 0. 9 . 4x — 2 y 4- 3z = 8, 7x + 8t/ — » = 59, lOcc + 3y — 2z = 49. 11. x + y + z = 100, x : y = 6 : 3, y : z = 3 : 2. 13. * + §K + 7 ! = 18, 5 2cc 15 2a , 21 _L 5 ^ 12 + 3 19, x Q y + 1 _ 23> 10 + 6 15. y + fcc = 112, = 36, 2y — z _ g a; — t/ 17. j_ J/. + 3 4 2 *_ + SL + A 2 8 5 = 13, = 10 , 19 3a; — y — « = 10. 5 7 3a: — 1 3y + 4’ 3 = j_ 5?/ — 7 3» — 5’ 2 _ _ 3 3g + 1 5x + 7’ 21. x + y + z = a, x — y + z — b, x + y — z — c. 8. 4a; + 3 y — 5 z — 13, 3x — 4 y + z = 2, — 2x + 7y + 3g = 11. 10 . x — 3 y -\~ z — 2 , 20a; — y — 2z = 7, 7a; + 9y - 4z = 3. 12 . 0‘4a; + 0% + 0'7s = 51, 0‘3a; + 0'4 y + 0‘5z = 38, 0‘2x + 0'3 y + 0'4z = 29. 14 . x + 3L + ± = 612, u a § + y + f = 612, ■T + X + * = 612 ‘ 4 4 16. + + 1 — 9 y + 1 y + 2 = 4 g + 1 ’ g 4~ 3 _ x jc + 1 2 ' is « + .v i y + g _ 7 ' 2 ^ 3 ' ’ x + z , y + z 2 + 3 2x + 2y — 5z = 10. 20. — + 1 + 5 . = ii, x y z _1 + 1 + 1 = 2 5, x y z x y z 22. ax + by = m, ax + cg = m, fcz/ + cg — p- 245 23. - + V - = m, a b x , z — + — = n, a c 25. \lx + \/y = 5, \Jx = 6 , vv + V® = 7 - 27. m + x = 15, M "I - y = 14, a; + y = 18, r + a == 12. 29. 3m — x + y + 2a = 20, 2« + 3r — y + z = 17, m + 2r + ?>y — z = 21, — m “h 'cc -f- 2y -j- 3z — 12. 24.-f- —-a, y * * y 26. \/x + \/y ~\z — 4, \/x — \/y + \A = 6. — y/® + v,y + \A = 8. 28. 3m + 5x + y + 2z = 37, u + 3x + 3y + 4z = 47, 4m + 3x + y -j- z = 26, 2 m + 4r + 2y + 3z = 42. 30 . \x + iy — iz = 6 , ■J* — \y + £w = 5, \x + iz — = 4, + 's® ~iu = 3. III. Kako je uporabljati enačbe z več neznankami v raz¬ reševanje nalog. § 196. Kadar ima naloga dvoje ali ve o neznanih števil, treba v njih določitev iz pogojev naloge sestaviti prav toliko enačeb, kolikor je neznank. Razrešivši te enačbe, dobimo vrednosti neznank. Dostikrat je moči tako nalogo razrešiti s pomočjo le ene enačbe z eno neznanko; v ta namen treba le vse drage izraziti s to neznanko in z danimi znanimi števili. Ako treba razstaviti na pr. število 40 na dva dela, zadošču- joča danemu pogoju, lahko zaznamimo iskana dela z x in y, in ena enačba je potem x + y =40; drago sestavimo iz danega pogoja. Zaznamenujemo pa lahko tudi en del z x in drugega s 40 — x, ker je vsota obeh 40; uporabivši drugi dani pogoj, dobimo enačbo z eno samo neznanko. Enostavnejše naloge lahko razrešimo tudi kar na pamet. 246 Primeri. 1. Število 32 razdeli na tri dele tako, da bode prvi za 5, drugi za 3 večji od tretjega; kateri so ti deli? a) Na pamet. 32 je vsota, ki ima tretje število trikrat in poleg tega še 6 + 3. Zat6 pripada trikratniku tretjega števila 24. Tretje število je torej 8; prvo število je 8 + 5 = 13; drugo 8 + 3 = 11. b) Pismeno s pomočjo treh enačeb s tremi neznankami z = tretji del 32 = x + y + z y — drugi del y — z + 3 x = prvi del. x = z + 5 Ce postavimo vrednosti za y in x v prvo enačbo, dobimo 32 = z + 5 + z + 3 + z = 3z + 8 24 = 3z z = 8 y = z + 3 = 11 cc = z + 5 = 13. c) Pismeno s pomočjo samo ene enačbe z eno neznanko. Tretji del — z (z + 5) + (z + 3) + z = 32 drugi del = z + 3 3z + 8 = 32 prvi del = z + 6 3z = 24 in z = 8. Tretji del (z) je 8; drugi del (z + 3) je 11; prvi del (z + 5) je 13. Ti trije deli dado skupaj res 32. 2. Oče ima sedaj 2krat toliko let kakor sin; pred 15 leti pa jih je imel 5 krat toliko kakor sin. Koliko let ima oče, koliko sin? Sin ima sedaj x let, Sin je imel pred 16 leti x — 15 let Oče „ „ 2x „ Oče „ „ „ 16 „ 2x -15 „ Po drugem pogoju te naloge je 2x - 15 = 5 (x - 15), iz česar dobimo x = 20 in 2x — 40. Oče ima torej 40, sin 20 let. Razreši to nalogo tudi z- dvema enačbama z dvema neznankama. 3. Nekdo razdeli 100 K'med 3 osebe takč, da dobi B dvakrat toliko kakor A, in C 10 K več, nego je polovica tega, kar dobita A m B skupaj. Koliko dobi vsaka oseba? a) S tremi enačbami. A dobi a; K, tedaj je: y — 2x. B „ y K, z = x + iO. C „ z K. 100 = x + y + z. Razrešivši te tri enačbe, dobimo x — 20, y = : 40 in z = 40. 247 b) Z eno enačbo. x pomeni krone, kolikor jih dobi A, x + 2x 2x + 10 T> » ?> > a Zato je a: + 2a; + + 10 = 100. iz česar dobimo ai = 20. A dobi torej x — 20 kron, i? „ „ 2x = 40 „ Q/y> C „ f + 10 = 40 „ 4. Dve telesi, katerih specifični teži sta s, oziroma s 2 , treba spojiti v novo telo tako, da bode imelo le-t6 specifično težo s in da bode tehtalo p kilogramov; koliko kg vsakega telesa treba vzeti za to ? Ako zaznamenujemo z x in y število kilogramov, katere treba vzeti od prvega, oziroma drugega telesa, ondaj je prostornina x . y p prvega telesa , m drugega , - pa prostornina spojine. S i S 2 s Ker morata imeti obe sestavini skupaj prav tisto absolutno težo kakor spojina, velja x y = p. Ker morata biti tudi prostornini obeh sestavin skupaj enaki prostornini spojine, dobimo J5. _|_ V_ = P. S| Sl s in odtod s, p (g — Si) s (s, — s ■>) in y _ Si j) (g, — g) S (s, — s,) Naloge. ■ 1 - Vsota dveh števil je 47, njiju diferenca 9; kateri števili sta to? * 2 . Katerih dveh števil je ne le vsota nego tudi kvocient 3? •*8. Diferenca dveh števil je 12, 3kratnik prvega pa je enak okratniku drugega; kateri števili sta to? 248 4 . Polovica nekega števila je za 18 večja nego petina drugega števila; dvojno drugo število pa je za 32 večje od prvega. Kateri sta te dve števili? 5 . Mislim si dve števili, kateri sta za 1 različni. Ako raz¬ delim večje s 4 in manjše s 5, različna sta tudi kvocienta za 1. Kateri števili sem si mislil? 6 . Diferenca dveh števil je 10; ako odštejem večje od 135, manjše od 105, imata se ostanka kakor 9 : 7. Kateri števili sta to? 7 . Razmerje med dvema številoma je 2:3; ako prišteješ vsakemu 16, ondaj je razmerje med vsotama kakor 10:13. Kak6 se zoveta števili? 8. Ako povečaš prvo izmed dveh števil za 10, ondaj je 4krat toliko kakor drugo; ako povečaš pa drugo za 16, potem je 3krat toliko kakor prvo. Kateri števili zadostujeta tema dvema pogojema? * 9 . Razstavi število 50 na dva dela tako, da bode prvi za 6 manjši od dragega. 10 . Mislim si dve števili; prvo je za 3 manjše od drugega. Ako pomnožim prvo število s 4 in od produkta odštejem 18, dobim drugo število. Kateri sta obe števili? 11 . Razstavi število 48 na tri dele takč, da bode razmerje med njimi kakor 4:5: 7. 12 . Število 76 razstavi na dva dela tako, da bode, ako raz¬ deliš večjega z 11 in manjšega s 7, vsota teh kvocientov 8. * 13 . Mislim si ulomek. Vsota iz števca in imenovalca je 16; ako pa števec povečam za 2 in imenovalec zmanjšam za 2, dobim recipročno vrednost onega ulomka. Kateri ulomek sem si mislil? 14 . Kateri ulomek se iz premeni na ulomek ako odšteješ od njegovega števca in imenovalca 3; in na ulomek \, ako prišteješ njega števcu in imenovalcu 5? * 15 . V deželnem zboru se je vzprejel predlog z večino 10 glasov. Koliko poslancev je glasovalo za in koliko zoper predlog, ako jih je 64 sploh glasovalo? * 16 . Sredi maja je nekje dan za 6 ur 15 minut daljši od noči; kako dolg je dan, kakč dolga noč? 17 . Izmed treh števil je prvo enako polovici vsote iz drugih dveh, drugo tretjini vsote iz prvega in tretjega, tretje pa je za 10 manjše od vsote prvih dveh. Katera so ta števila? 249 18. Poišči tri števila, katera imajo ta-le svojstva: Ako zmanjšaš vsako izmed prvih dveh za 3, ondaj se imata ostanka kakor 1:2; ako zmanjšaš prvo in tretje vsako za 4, dobiš ostanka, katera se imata kakor 1:3; ako povečaš drugo in tretje vsako za 5, potem je razmerje med vsotama 3 : 4. *19. Deček pravi: Jaz in moj oče imava skupaj 60 let; a moja leta so le 5i del očetovih let. Koliko let ima oče, koliko sin? ‘30. Oče, ki ima 25 let več od sina, bode jih imel čez 5 let dvakrat toliko kakor sin. Koliko let ima oče, koliko sin? 31. Oče, kateri ima sedaj 3 krat toliko let kakor njegov sin, bode jih imel čez 12 let le dvakrat toliko kakor sin. Koliko let ima oče, koliko sin? •*32. Tri osebe razdele med seboj 350 K, in sicer tako, da dobi B 18 K več nego C , in A 14 K več nego B ; koliko dobi vsaka oseba? 33. Med tri osebe se razdeli vsota tako, da dobi B 20 K manj nego A, in O 20 K manj nego _B; vsota sama je za 25 K večja nego štirikratni D-jev delež. Koliko dobi vsak? *34. A ima v dveh mošnjah 206 K, in sicer v prvi 44 K več nego v drugi; koliko ima v vsaki ? 35. Dve osebi imata vsaka nekaj denarja. Ako bi A dal ii-jn 4 K, imela bi oba enako; ako bi pa B dal M-ju 5 K, imel bi A dvakrat toliko kakor B. Koliko denarja ima vsak? 36. Na mizi leži nekaj denarja. A pravi: „Jaz imam dvakrat toliko denarja^; B: Jaz ga imam 3 krat toliko“ ; C: „Jaz ga imam le na pol toliko, kolikor ga imata A in B skupaj“. Vsi skupaj imajo 240 K; koliko denarja je na mizi, in koliko ga ima vsak? *37. V družbi je 88 oseb, gospodov in gospa, in sicer je raz¬ merje med številom gospodov in gospa 5 : 6. Koliko gospodov in koliko gospa je v družbi? 38. V družbi je bilo 3krat toliko gospodov kakor gospa; pozneje pa so prišli še 3 gospodje s 4 gospčmi, in potem je bilo 2krat toliko gospodov kakor gospa; koliko gospodov in gospa je bilo izprva v družbi? 39. V družbi je bilo 2 krat toliko moških kakor žensk; ko je pa odšlo 6 gospodov s svojimi gospčmi, ostalo je 5 krat toliko moških kakor žensk. Koliko moških in koliko žensk je bilo izprva v družbi? 250 * 30 . Kapital daje na leto 420 K obresti; ako bi bil naložen po 1% več, dajal bi 84 K obresti več. Kolik je kapital, koliki so procenti? 31 . Nekdo ima izposojena dva kapitala, prvega po 4$, dru¬ gega po 5 °/o ■ oba skupaj mu neseta na leto 1000 K obresti. Ako bi bil pa vsak kapital izposodil po 1^ več, dobil bi vsako leto 220 K več obresti. Kolika sta kapitala? 32 . Dva zidarja zidata zid. Ako delata oba, sezidala bi zid v 12 dneh; ako pa dela A 2 in A 3 dni, sezidata v tem času 5ti del vsega zidu. V koliko dneh bi dovršil delo vsak sam? 33. Za skupno podjetje je dal A 10000 Iv, B 12000 K. Ko sta razdelila dobiček, dobil je A 800 K manj nego B. Koliko dobička je imel vsak? (Tudi na pamet in s sorazmerjem.) 34 . Hieron, kralj Sirakuški, je imel krono od zlata in srebra, ki je tehtala 20 funtov, pod vodo pa le 18f funta; koliko zlata in koliko srebra je bilo v kroni, ako izgubi v vodi na videz zlato tV in srebro svoje teže? 35 . Nekdo ima dvoje vino. Ako zmeša 12 litrov boljšega in 4 litre slabšega vina, velja 1 liter zmesi 1 K 4 h; ako pa zmeša 6 litrov boljšega in 10 litrov slabšega vina, stane liter zmesi 92 h. Po čem je liter vsakterega vina? 36 . V dveh sodih je 351 litrov vina; ako ga vzameš iz prvega šestino in iz drugega tretjino, ostane ti ga v obeh sodih enako. Koliko litrov vina je v vsakem sodu? 37 . Izmed dveh cevi daje prva v 10 minutah 17 litrov manj vode nego druga v 9 minutah; obe dasta v 5 minutah 305 litrov. Po koliko litrov daje vsaka v eni minuti? 38 . V vodnjak priteka voda iz dveh cevi. Ako je odprta prva 2, druga 1-|- ure, nateče se 25 \ hektolitra vode; ako je pa prva odprta 1-f, druga pa 1 3- ure, ondaj 3 x Q o hektolitra manj. Po koliko litrov vode daje vsaka cev v eni uri? 39 . Dva popotnika sta si narazen za 9 kilometrov. Ako si gresta naproti, snideta se v 1 uri; ako pa gresta v isto mer, doide hitrejši drugega v 5 urah. Po koliko kilometrov prehodi vsak v eni uri ? 40 . Ako razdeliš število z drugim, dobiš za kvocient 2, ostane pa 14. Ako pa razdeliš diferenco teh števil s 57, dobiš tudi kvo¬ cient 2, ostane pa 12. Kateri števili sta to? 251 41. Mislim si dvoštevilčno število, njega številčna vsota je 9; ako napišeš številki v obratnem redu in prišteješ dobljeno število prvotnemu, je vsota 5krat večja nego prvotno število. Katero število je to? 42. Ako pišeš v trištevilčnem številu številke v obratnem redu, postane število za 198 manjše. Katero je to število, ako je njega številčna vsota enaka 11, stotična številka pa enaka 2kratni ednični številki? 43. Glavnica naložena po 3 da 6 .| K manj obresti nego druga, ki je za 100 K večja in naložena po 3f^. Kateri sta te glavnici? 44. Glavnici sta naloženi po 4 °/o ; večja naraste v 5 mesecih, z enostavnimi obrestmi vred na isto vrednost kakor manjša v 5^ leta. Kateri sta te glavnici, ako se razlikujeta za 1000 K? 45. Za delo v vinogradu dobi 9 moških in 7 žensk isto mezdo kot 6 moških in 13 žensk, namreč SOK; koliko dobi vsak? 46. Ako zmešamo 9 l slabejega vina s 7 l boljšega, velja 1 hi zmesi 137'5 K; ako pa zmešamo 3 l slabejega vina s 5 l boljšega, velja 1 hi zmesi 145 K. Koliko velja 1 l slabejega, koliko 1 l bolj¬ šega vina? 47. Vodnjak se more izprazniti, ako odteka voda iz cevi A 10 ur in iz cevi B 15 ur ali pa ako odteka voda iz cevi A 8 ur in iz cevi B 18 ur. V kolikem času odteče vsa voda, ako teče le po cevi A ali po cevi BI 48. V vodnjak priteka voda iz cevi A, iz cevi B pa odteka. Ako je cev A 6 minut odprta, potem pa obe še 9 minut, nateče se ves vodnjak; isto tako, ako je A odprta 4 minute, potem pa obe še 12 minut. V kolikem času se nateče ves vodnjak po sami cevi A? 49. A kupi 16. oktobra x komadov po 99'50 avstrijske in y komadov po 97'5Q ogrske kronske rente; glavnica znaša 1377 K, obresti po 4 % za 45 odnosno 135 dni pa 15 K skupaj (|- leta = 180 dni). x = ?, y — ?. 50. B kupi 10 komadov avstrijske kronske rente (200 K nom. vredn., 4%', kupon in za 4918 K tako, da velja 5 komadov ogrske rente 180 K več nego 4 komadi avstr, rente, a) Izračuni kurz vsake rente! b) Koliko je plačati 5. maja (dones) po onem kurzu? 252 51 . Po poti okoli vrta, ki je dolga 1260 m, hodita osebi druga za drugo in se snideta vsakih 15 minut; ako pa gresta druga proti drugi, se srečata vsakih 7 minut; koliko pota naredi vsaka oseba v 1 minuti? 52 . Tri glavnice, katere znašajo 37000 K skupaj, so izposojene po 3 °/o, 4 %, 3'6^ in dado 1320 K obresti; ako bi pa bile po 4^, 1 o°/o in 4 \°/o izposojene, bi dale na leto 355 K več obresti; kolika je vsaka glavnica? 53 . Ploskvi dveh kvadratov se razločita za 495 dm?, stranici pa za 9 dm ; koliki sta stranici? 54 . Ako podaljšaš osnovnico trikotnika za 4 cm in višino za 2 cm, je njega ploščina za 26 cm 2 večja; ako pa skrajšaš osnovnico za 5 cm in višino podaljšaš za 1 cm, je njega ploščina za 9 cm 3 manjša. Kako veliki sta osnovnica in višina? 55. Izmed dveh pravokotnikov je prvi 6 m, drugi 12 m dolg. Višina prvega pravokotnika je za 3 m daljša nego višina drugega, dijagonala prvega pa je za 3 m krajša nego dijagonala drugega. Izračuni višini in dijagonali obeh pravokotnikov! 56 . Ako se zmeša 6'3 kg glicerina s 5'4 kg olja, se dobi 11 l zmesi; ako se pa zmeša 2 kg 52 dkg glicerina s 4'5 kg olja, se dobi 7 l zmesi. Določi specifično težo vsake tekočine! 57 . Na točko A učinkuje sila P v vertikalni, sila p pa v horizon¬ talni smeri. Ako zmanjšaš silo P za 2 kg, silo p pa povečaš za isto, se ne izpremeni sila poslednjica; ako pa učinkujeta obe sili verti¬ kalno navzdol, znaša poslednjica 14 kg. Kako velika je vsaka sila? 58 . Ako zliješ 102 g antimona in 73 g kositra, je specifična teža zmesi 7 g ; ako pa zliješ 34 g antimona in 146 g kositra, je specifična teža zmesi 7'2 g. Določi specifično težo antimona in kositra! IV. Naloge v ponavljanje. H. a) 5krat y 8 o, f, 2f, 12*, 27*, 55f, 138*; b) Škrat *, lf, 7f, 151, 48*, 61 H, 104* je koliko? 2. Cll* + 9* + 7|).64-(2| + 8*+13*l.54. *3. Koliko obresti da a) 350 K po 4% v 3 letih? b) 375 K po 6% v 2 letih? c) 780 K po 5% v 4 letih? b) 1600 K po 4-J-°/ 0 v 3 letih? 253 *4. Kateri kapital da po 3 \ % 62 -J K obresti na leto ? 5. Kapital da po 4% 321 K obresti na leto; v koliko letih da kapital po 3\% prav tiste obresti? 6. A ponuja za hišo 8850 K v gotovini, B pa 9000 K in sicer hoče pla¬ čati polovico takoj, drugo polovico čez 6 mesecev. Kateri ponuja več, ako se računi 4% obresti? 7 . Menica za 2345 Iv, izplačna sredi novembra, diskontuje se dne 5. sep¬ tembra po 4%; koliko dobi prodajalec zanjo? 8. Hamburški trgovec plača za Dunajčana 12820 mark in za ta znesek izda na Dunajčana menico, računajoč sebi -§■% provizije in l%o senzarije ter 166 mark po 200 K. Za koliko K izda tedaj menico ? *9. Koliko K papirnatega denarja treba plačati za 3200 gld. v zlatu, ako ima zlato 20% ažija? * 10 . Koliko % ima zlato ažija, ako dobiš za 1080 gld. v papirju 900 gld. v zlatu? *11. Krčmar ima pri hi vina 18 K ali 25% dobička; po čem je kupil hi? 12. Trgovec dobi 1400 kg blaga, po 12 K 100 kg, in 1225 7«?, po 15 -§- K 100 kg ; stroškov je 12 K 75 h. Koliko % bode imel dobička, ako proda kg po 20 h? a — x a~\-x — 2ct _ ax — 25 ‘ b — x hx' ax — 26 a*-|-2 a 15. 1%+ 1/3® = 2. 16. 21/3*- 1=-^==:. * ' \Ax 1 *17. Katerega števila 8kratnilc je za 6 manjši od števila 50? 18. Od katerega števila treba odšteti njega desetino, da dobiš število 77? 19. Mislim si število. Ako ga pomnožim z 2, na desni pripišem številko 5, potem razdelim z 11 ter kvocient povečam za 1, dobim dvakrat toliko število, kakor sem si je mislil. Katero število je to ? 20. Iz nekega mesta se odpošlje sel, kateri potrebuje za vsakih 54 km po 5 ur; 4 ure pozneje se pošlje za njim drug sel, kateri potrebuje za vsakih 42 km 3 ure. V koliko urah dohiti drugi sel prvega? *21. 15 m velja 64 K; koliko velja 40 m? 22; Nekdo zmeša 5 l po 36 h in 7 l po 48 h; koliko velja 1 l zmesi? 23. Izmed dveh cevi daje prva v 1 uri po 6-f M vode, druga pa v istem času po 7 \ hi ; v koliko urah se nateče 77 M vode, ako sta odprti obe cevi ? 24. ■§• nekega dolga treba izplačati dne 15. januvarija, \ dne 31. januvarija J- dne 28. februvarija in ostanek dne 31. marcija. Kdaj bi se lahko poplačal ves dolg obenem? *25. Tri osebe razdele 360 K med seboj tako, da dobi B dvakrat toliko kakor A, in C Škrat toliko kakor M; koliko dobi vsaka oseba? 26. Tri osebe razdele 688 K med seboj tak<5, da dobi A tolikokrat po 2 K kakor B po 3 K, in G tolikokrat po 6 K kakor B po 5 K; koliko dobi vsak ? 254 27. Nekdo je zapustil 15650 K, določivši, naj si razdele njegovi štirje dediči to imetje takč-le: B naj dobi 250 K več nego A, C 300 Ii manj nego A in B skupaj, D pa 750 K manj nego A, B in C skupaj. Koliko bode dobil vsak ? 28. \/269361. 29. V64647 (4 dec.) 30. ^129211-12 . .. 31. (/592704. 32. \/l2575l (3 dec.) 33. V2'918076 - 34. Koliko velja 3600 K 4°/ 0 ne zlate rente po 97-60 z obrestmi za 136 dni? 35. Ako se računi 1 kg čistega zlata po 3280 K (3274 K), koliko velja 4 \ kg zlata po 900 tisočin čistine? 36. Koliko gld. a. v. velja 95-g-rn, ako velja 68-g- angl. yarda 17-§• funta sterlinga, in je 17 yard. = 16 m, 10 funt. sterl. = 121 gld. a. v. 37. 2® — 3?/ + 4« — u = 4, 3x y — 5z -j- u = — 6, — x -f- 4