iy
tt L    fr~

UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN TEHNOLOGIJO ODSEK ZA MATEMATIKO
Gabrijel Tomšič HOMOGENI OPERATORJI IN HOMOGENE SPEKTRALNE MERE
DISERTACIJA
~l°Q '

LJUBLJANA, november 1971
I
! O 9 2 T
vv» <y
VjUo
Izdelavo   tega  dela mi  je  omogočil  moj  učitelj profesor dr.Ivan   Vidav.   Iskreno  se  mu  zahvaljujem  za  idejo  in  dragoceno  vodstvo.   Rad bi   e e Se   zahvalil  docentu  dr .Antonu  Suhadolcu,,   ki  je bil  vedno  pripravljen  delo  spremljati  in mi svetovati.
Gabrijel   TomSiČ

VSEBINA
0. UVOD                                                                                                 3
1. FORMULACIJA PROBLEMA                                                                 5
2. SREDSTVA IZ FUNKCIONALNE ANALIZE IN TEORIJE MERE          8
3. UREJENA REPREZENTACIJA ZA SPEKTRALNE MERE                      16
4. HOMOGENI SEBI ADJUNGIRANI OPERATORJI                                28
5. HOMOGENI UNITARNI OPERATORJI                                                58
6. HOMOGENI NORMALNI OPERATORJI                                                62
7. HOMOGENE SPEKTRALNE MERE                                                       65 LITERATURA                                                                                   79
		i	)-i							4			
		4J	nj							CD			
1		tO	.*	1	1			1		TI	1		
0	1	rd		o	O		C	o	1	P	d		
ft	O	rH	^	•a	E		•H	a	0)	O	X	•H	
	CL		P		0			0	TJ	P		X)	
3	O	i—i	CD	CD	.C		¦H			nj	tO	CD	
P		rt	L	•ri			P	a	0	P	N	tO	
hH	rd	x			C		m	C	E	CD			
>	N	0>	J3	rd	-H		0	nj	¦H	ft	fe	a	
M		C	-H	^H			C	P	P	o	rC	C	
o	-H		C	CD	CD		CD	-H	•H		-H	0)	
	•P	C	•-i	TJ	*r—i		D	Öl	H«	CD	-n	CT-	
>	0)	•H	fd		P		O	C	N	C	P	0	»
	0		P	rd	O		E	D	ro	P	0	E	tp
3	C	0	P	Cn	-p		O	-r-i	P	rd	P	0	
i-i	0)	u	X	CD	(3		x	TJ		P	nj	x	3
C	Öl	C	CD	P	P			KI	O	•H	P		X
d	o	CD	a		<U		O		M	C	CD	*h	rH
>	1	P	w	C	a,		-m	-H	X	3	a	-n	0)
nj	o	m		O	o		-H	XI	(D		0	¦H	TJ
TJ	L	•H	JS	Ë			U	01	r-l	C		U	N
0)		to	•H	nj	CD		-H	tO		•H	x:	ta	a
P	D	a:	c	C	C		C		<tJ		-H	N	p
a	-n	CD	CD		CD		•H	rd	TJ	a>	c	-H	
	-H		Cn	-H	tn		4-1	N	CD	c	(0	P	>
nj	U	.-I	0	C	0		CD		>	r-l	p	CD	
C	hH	id	E	>	L		TJ	-n	CD	rd	-H	P	o
	C	N	O	m	0			0	LO	i	Cn	Ai	E
>	-H	(0	x:	rH	r,		-r-l	P			C	m	ta
(0	4-1	JK		o			.rt	ft	¦	0	3	p	>
-o	0	0	c		rd		TJ	-n	3	C	-n	rt	m
•H	"ti	a	-r-l	•	N		O	rc	p		TJ	M	c
>				-r^			>	C	o	tO	m		>
•	.-1	%	>	rH	0		rc		p	C		-n	(0
M	rö	o	0)	TJ	-1-1		C	0	to		-H	d	p
*	TJ	p	-n	O	¦H			P	0	rt	XI	5	XI
m	0	OJ	M	>	U		0		p	TJ	CD	CD	o
O	O,	e	0	(C	rd		E	C	a	p	t/i	C	
M			P	C	N		O	¦W		p			0)
a	RI	CD	«J		¦H	•	XI		E		d	-P	¦n
	¦i—i	C	M	-H	M	CD		rt)	CD	•H	c	¦P	P
0>	M	rH	CD	TJ	CD	N	rH	E	>	p		•H	O
TI	tO	nj	CL	D	-U	0)		CD	o	to	CD	X!	P
	C	P	O	-U	a;	E	P	r-l	-p	0	-n	0	m
-^	-H	P			rd		X	A	p	C		TJ	p
VL>	E	X	x	3	p	CD	r-l	0	CD	CD	nj		01
<T>	CD	CD	tK	.H	rd	C	CD	u	XI	5»	ft	O	a
^H	to	CL	c	CD	x	rH	TJ	a	r-i	o		r-l	0
		w	CD	TJ		nj	N		•H	E	tO	O	
nj	(D		tji		0	P	nj	o	X	0	r-l	a	0)
P	Di	C	0	e	C	-P	P	-r-i		x:	CD	o	C
0J	O	-H	E	d)	>U)	J*		¦H	r>		TJ	3	nj
J	X		0	-M	X	O	>	U		o			P
	m	OJ	Ä		nj	ft		nj	CD	-n	CD	o	hH
	e	•I-i		>	,*:	w		r-l	TI	•H	XJ	¦n	cn
	0	U	•H					3	P	U	Xfl		C
	¦H	0	P	O	-H	0)		g	0	-H	-H	CD	P
	a	-u	U	E	p	c			p	C	JN	P	-n
	-H	(0	0	1	M	CD		0	rd	-H	CD	0)	TJ
	¦a	M	C		XI	tn		M-l	P	4-1	E-<	P	nj
1	1 C			CD		p				*			
k	3		•	X		QJ	1			r^			
	•r-i		OJ	(0		M	0)		O		C		C
	TJ	CD	CTI	p	0		P		C	3	rt		rt
-h	«J	r-l	0		-n	k	3		rH	X		C	
C			E	p		•H			tO	rH	CD	•<^	OJ
tJl	•H	O	o	tO	P	P	0		p	OJ	M		N
0	X)	1-1	x:	TJ	0	-H			p	TJ	-r-i	>	-r-i
rH	CD	p		C	X	X)	(0		X	N	rH	0	rH
«J	LO	0	•H	(D	rd	0	•n		0)	rd	td	E	rd
C		p	p	>	X	TJ	¦H		Qi	P	C	T-i	d
tO	Ol	to	w				P		UJ		tO	0	rd
	C	p	0	**	¦h	0	D			>		ft	
0	0)	0)	c	u;	0)	rH	O)		rd		CD		0!
a	Cn	Oj	p		•r-i	m	P		C	O	C	T"»	C
	O	0	tO	3	P	Cu				E	r-i	rd	rH
tO	E		tO	X	O	tO	td		CD	-rt	rd	X	rd
TJ	O	CD	r-t	rH	P	3	C		m	P	C	0)	C
	JG	C		CD	rd		rd			0	0	C	O
CD		p	¦n	TJ	P	•H	rH		-H	>	-rt		rt
U)	(C	nj	tO	N	<D	C	CD		P	O	U	<N	U
	N	P	L	(0	a		TJ		•H	Di	X		X
CD		•H	0)	P	0	«i	N		>L0		C	3	C
-n	P	C	s			0)	•H		O	x:	3	X	3
p	O	3		>	0)	•r-i			i—t	(0	4-1	rH	4H
O	X		v		C	P	•H		ft	p		CD	
P	rt	d	LO	0	rH	0	C		tO	CD	td	TJ	C
nj	x	C		i	tO	P			0	E	>	N	-rt
P		0)	D		g	rd	CD		ft		P	rd	
CD	CD	C"	M	)N		P	•n	•		rti	m	P	CD
Pu	P	O	rH	<d	o	CD	P	•H	rO	-rt	TJ		C
O	rt	E	OJ	M	C	L	0	-r-i	TJ	C	O	>	r-i
	p	0	TJ	0		o	P	•rt		rH	P		rd
CD	r-l	x:	N	a	0)		(3	U	01	nj	to	O	CD
C	3		tO		C	0)	P	rd	tO	P			P
P	N	o	p	>	CD	C	CD	P		P	0	tO	
tO	CD	p		CD	B>	nj	a	C	•rt	X		1—1	^
P	P	tO	>	¦n	0	P	0	CD	p	0)	(3	rd	CD
-H		N		P	E	•H		N	to	ft	-n	>	P
d	CD		0	O	0	en	CD	CD	0	tO	rH	tO	CD
3	P	C	E	P	x:	C	C	P	C		X3	C	E
	10	-H	tO	td		3	rH	a	CD	JU	td		
CD	-H		>	p	rd	•n	rd	CD	Cn	•H	P	o	G)
C		a)	(0	CD	N	TJ	S	P	0	C	O	p	•n
CD	•r-i	¦r-i	C	a,		(0			E	CD	ft	tO	-rt
D^	a	P	>	o	CD		0	•7-i	0	Cn	3	N	P
0	p	0	tO		-n	1-1	C	C	XI	o			0
E	o	P	p	x:	•H	XI		r-\		E	3	k	01
O	x	td	XI	¦H	U	0)	0)	nj	p	0	rH	0)	P
j3	to	P	0	C	(0	to	C	P	(D	Ä	CD	p	
		CD		rH	N		CD	P	¦n		TJ	CD	N
m	•H	CL	o	rd	•P	rd	-r-i	M	0	O		E	¦rt
N	P	O	X	E	P	N	0)	0)	n,		>		
	¦H		p	P	CD		E	Cu		C		CD	>
	XI	01	<d	0	+>	O	0	to		¦^4		i—i	O
	o	C	p	C	M	E	0)					¦H	X
	TJ	td	X		m	¦H	C	-rt		a		P	0)
		p		x:	p	XI		C		p		0	P
	-H	-H	td	-H	ro	O	tO	G		CD		OJ	N
	P	tu	C	C	X	TJ	N	-r-i		e		p	¦^
-4-
teorije spektralne in urejene reprezentacije glede na sebi adjungiranÇ operatorje.
Za obdelavo homogenih spektralnih mer tudi potrebujemo teorijo o spektralni in urejeni reprezentaciji za spektralne mere, ki Se ni bila izdelana, temelji pa na taki teorij.l za omejene normalne operatorje. Navajamo jo v razdelku 3.

-s-
1. FORMULACIJA PROBLEMA
Namen tega dela je, da bi dobili karakterizacijo za homogene operatorje in kasneje še za homogene spektralne mere. Navedimo najprej definicijo homogenosti za operatorje in začnimo s sebi adjungiranimi operatorji iz separabllnega Hilber-tovega prostora.
DEFINICIJA   :   Sebi  adjungiran  operator A,   ki  bodi  definiran
v  nekem  separabilnem  Hilbertovem prostoru,   imenujmo  homogen,   Se je  ekvivalenten  razliki A   -  \I pri  poljubnem  realnem  ëtevilu  A.
Če je torej operator A homogen, po definiciji pomeni, da eksistira za vsak XeR tak unitaren operator U(X), da je
A - XI = U<X)AU*(X) .                                       (D
Poglejmo kakšne lastnosti ima tako definiran homogen operator. Znano je, da imajo ekvivalentni operatorji isti spekter. Operatorja A in A - XI imata za X vzporedno premaknjen spekter. Če je točka X v spektru operatorja A, tedaj ja za vsak  XeR tudi tockaX  + X v spektru operatorja A. Spekter tako obsega vso realno premico R in homogen operator je očitno neomejen. Zaradi neomejenosti operatorjev A - XI in A moramo enačbo (1) razumeti tako, da imata leva ih desna stran isto definicijsko območje. Tako je za neki x, ki je v definicijskem območju operatorja A, xeD(A), tudi U*{X)x iz definicijskega območja operatorja A.
Nadaljna lastnost, ki sledi iz definicije homogenosti je, da homogen operator v separabilnem Hllbertovem prostoru nima lastnih vrednosti. Če bi bila na primer X lastna vrednost homogenega operatorja A z lastnim vektorjem e, He|| = 1, bi bila tudi X + X za vsak XeR lastna vrednost, ki ji pripada
-6-
lastni vektor U(X)e. Zaznamujmo U(X)e - f in ker velja Ae =X e, imamo
(A - XI) (U(X)e) * U(X)AU*(X)U(X)e = = U(X)Ae ¦ U(X)Xoe = X0(U(X)e) = \Qf,
odtod je (A - XI)f ¦ X f oziroma Af = (X +X)f, torej je X +X lastna vrednost operatorja A in to za vsak XeR. Tako bi imel homogen operator neštevno lastnih vrednosti. V separabilnem Hilbertovem prostoru sebi adjungiran ali normalen operator ne more imeti neštevno lastnih vrednosti. Od tod sledi še ena pomembna lastnost: homogen sebi adjungiran operator ima le zvezni spekter, vsa realna premica R leži v zveznem spektru.
Ali kak homogen operator sploh eksistira? Pokažimo primer homogenega operatorja. Naj bo L? (-<»,*>) prostor vseh funkcij x(t), ki so na intervalu (-«>,<») merljive po Lei&gu, kvadrat njihove absolutne vrednosti pa je integrabllen. Potem je operator množenja z neodvisno spremenljivko t
Ax(t) - tx(t)
homogen operator. Hitro se prepričamo, da za pripadajoče unitarne operatorje U(X) lahko vzamemo na primer
U(X)x(t) m  x(t-X) . Operator U*(M deluje takole
U*{X)x(t) = x(t+X) . Tako definiran operator U ohranja skalami produkt, poglejmo
00                                                                                          00
(Uf,Ug) =  t f (t-X)g(t-X)dt  =  ( f (t ') gTt') dt ' = (f,g>.
-7-
Pokažimo, da operator množenja izpolnjuje pogoje homogenosti. (U(X)AU*{X))x(t) = (U<X)Ax(t+X) = U(A)tx(t+A) -= (t-X)x(t) = (A - XI)x(t) .
Tako smo ugotovili, da je v prostoru L_<-<«> ,<*>) operator množenja z neodvisno spremenljivko homogen operator v smislu postavljene definicije in homogeni operatorji ekslstirajo.
Sedaj, ko smo vpeljali pojem homogenega operatorja in ko smo hoteli pokazati eksistenco takega operatorja, smo ugotovili, da je na primer homogen operator kar operator množenja v prostoru L_. Postavimo osrednje vprašanje: ali  je  morda  vsak  homogen  sebi  adjungiran  operator  ekvivalenten  operatorju množenja  z  neodvisno  spremenljivko  v  prostoru  L J?
Odp'govor na postavljeno vprašanje bomo dali najprej za sebi adjungirane operatorje. Posrečilo se je pokazati, da je vsak homogen sebi adjungiran operator v separabilnem Hilberto-vem prostoru ekvivalenten operatorju množenja v prostoru L_ {-«,«).
Na zgornje vprašanje bomo skušali odgovoriti tudi za homogene unitarne in homogene normalne operatorje.
Pojavi se še vprašanje, kdaj je v prostoru L_ (-«,») homogen operator množenja z zvezno funkcijo, oziroma množenja s poljubnim homeomorfizmom na Številski premici?
Ostalo je odprto vprašanje,ali eksistirajo še kakšni drugi homogeni operatorji, ki bi bili različni od operatorja množenja.
Pojem homogenosti se da razširiti na spektralne mere in za homogene spektralne mere postavimo podobno vprašanje, kot za homogene operatorje: ali  je  vsaka     homogena  spektralna mera E(e)   v  separabilnem  Hilbertovem prostoru  ekvivalentna  operatorju množenja  s   karakteristično  funkcijo množice  e  v  pro-
k štoru  L„(mtF, )t   to., je  prostoru  vseh  po  Lebesgu merljivih  s
k kvadratom  integrabilnih  funkcij    v  prostoru R   ?
-8-
2. SREDSTVA IZ FUNKCIONALNE ANALIZE IN TEORIJE MERE
V tem delu uporabljamo sredstva funkcionalne analize in teorije mere, zato navedimo najbolj pogoste pojme iz teorije mere in nekaj izrekov realne in funkcionalne ana liže ([14] , [7] , [3]).  '
Naj bo X poljubna množica. Družino podmnožic Vi cz   p(x) naj sestavlja o-algebro v X. Množice Me VL   imenujemo merljive množice in X imenujemo merljivi prostor, Če v X eksistira kaka cr-algebra 071 .
Naj bo X topološki prostor. Najmanjšo o-algebro v X, ki vsebuje vse odprte množice, zaznamujmo z & . Družino množic iz S imenujemo Borelove množice iz X. Iz definicije o-algebre sledi, da so tudi zaprte množice Borelove množice in tudi vse Števne unije zaprtih množic in števni preseki odprtih množic. Torej je (B> neka a-algebra v X in imamo X za merljivi prostor, kjer so merljive množice Borelove množice.
Pozitivna mera p je funkcija, definirana na o-algebri TU', z zalogo vrednosti na intervalu [O,»] in števno aditivna, Mero \i   , ki je definirana na o-algebri vseh Borelovih množic v lokalno kompaktnem Hausdorffovem prostoru X, imenujemo Borelovo mero.
Merljivi prostor, ki ima pozitivno mero u definirano na o-algebri 771 merljivih množic označimo kot trojico (X, 1iL, vai
Pozitivno Borelovo mero u , definirano na o-algebri ™- => C» , ki ima lastnosti
a)  p (E) = inf {p (V) : E C V, V odprta množica za vsak EeH} in
b) ]x (E) = sup {p (K) : K čE, K kompaktna množica, za vsako odprto množico E in p (E) < °° } ,
imenujemo regularno mero.

-9-
Pri ugotavljanju regularnosti mer bomo uporabljali ta izrek <[l4],Th.2.18):
Naj bo X lokalno kompakten Hausdorffov prostor, v katerem je vsaka odprta množica a-kompaktna. Naj bo u pozitivna Borelova mera na X in taka, da je y(K)<«> za vsako kompaktno množico K. Potem je u regularna mera.
Množica E v danem merskem prostoru z mero u ima a-konČno mero, Ce je E ätevna unija množic E. , da je y(E,)<<» za vsak i.
Naj bo y pozitivna mera na o-algebri fît in X poljubna pozitivna mera na 71L .   Pravimo, da je mera X absolutno zvezna glede na mero y, kar zapišemo takole
X << u,
Ce je X (E) =0 za vsako množico Ee 17L , za katero je u (E)=0. Če za meri u in X velja
y << X   in  X << y,
potem pravimo, da sta meri u in X ekvivalentni, to je absolutno zvezni druga glede na drugo, kar bomo zaznamovali
y = X -
Pravimo, da je mera y skoncentrirana na množici A, Ce eksistira taka množica Ae Ti , da je y (E) = y (A A E) za vsako
množico Ee '^L.
Recimo, da imamo meri y in X na %. in da eksistira par takih disjunktnih množic A in B, da je y skoncentrirana na A, mera X  pa na B; potem pravimo, da sta meri y in X medsebojno singularni, kar zapišemo y |  X .
Omenimo še Lebesgovo dekompozicijo mere. Naj bosta y in X  pozitivni in o-konCni meri na o-algebri 7ÎI v X. Potem eksistira enolično doloCen par mer X  in X_ na #1, da je
-10-
X = *a + Xs '  V* v       ln Xs 1 »•
Meri X  in X  se imenujeta absolutno zvezni del in singularnl a    s
del mere X; Ä  in X  sta tudi pozitivni in medsebojno  slngu-a    s
larni meri.
Izrek, ki uporablja absolutno zveznost in ki ga bomo tudi potrebovali, je Radon-Nikodymov izrek, ki pravi:
Če sta |i in X pozitivni omejeni meri, 7fl o-algebra v X In X << \i   , potem eksistira funkcija geL-(g), da je
X (E) = J g du E za vsak Ee 1IL.
V primeru, ko sta meri u in X pozitivni in 0-končni, zgornji izrek tudi velja, le da eksistira funkcija g, ki je lokalno v prostoru L., geL,-] _* to pomeni, da eksistira tako zaporedje množic E z lastnostjo E = UE , kjer je
M(E )<» in X(E )<«  za n = 1,2,...  , da je
¦¦-r-^ .  .      n
i
g du  < «
za vsak n.
Ob koncu tega pregleda definicij iz teorije mere omenimo Še odvod mere. Naj bo fi družina odprtih množic v k-dimen-zionalnem evklidskem prostoru R z lastnostmi: a) eksistira konstanta ß<» , da je vsaka množica E e li vsebovana v neki odprti krogli B, pri Semer velja
m(B) <  6 m(E) oziroma  jj|j|}- < ß ,
kjer je m Lebesgova mera, in
v b) vsakemu xeR in 6 >0 ek
množice E je manjši od 6 :
v b) vsakemu xeR in 5 >0 eksistira Eeîî , da je xeE in premer
-11-
diam E ¦ sup{|x-y|   :  xeE,  yeE  }   <  6.
Tako družino množic imenujemo Vitalijevo družino.
k m   /** Naj bo ÎI poljubna Vitali jeva družina, xeR . ce je^po-
zitivna Borelova mera na R , potem lahko definiramo zgornji
v in spodnji odvod mere \i   za vsako točko xeR . Za vsak r > 0
postavimo
A   (x)   = sup{  ^-^   !   xeE,  Eefi   ,  diam E <  r  }                 (*)
m (E)
in definirajmo zgornji odvod mere g  za x takole:
(Dp) (x) = lim Äfx) r+0
Če v izrazu {*) zamenjamo supremum z lnfimum, dobimo 4_(x) in definiramo spodnji odvod mere
(Du) (x) = lin A (x) . r+0  "r
Torej rečemo, da je mera g odvedljiva in ima odvod (Du)(x) pri nekem x tedaâ in le tedaj, Če sta izraza (Du)(x) in (Dp)(x) enaka in končna, to je
(Du) (x) = (Du) (x) = (Dp) (x) .
Zvezo med Radon-Nikodymovim odvodom in odvodom v pravkar definiranem smislu podaja tale izrek ([14],Th.8.6):
v Naj bo u kompleksna Borelova mera na R , ÎI poljubna
Vitalijeva družina, potem velja:
v
a) mera u je odvedljiva skoraj za vsak xeR t
b)  naj bo u= V    + ua/ tedaj je (Dg )(x) =0 skoraj povsod in
S3                                    S
Radon-Nikodymov odvod j_^x) je enak  (Dp) (x) skoraj povsod,
-12-
du
g~(x) ¦ (Dp) (x) skoraj povsod glede na m.
Iz (izreka opazimo» da so trditve v bistvu neodvisne od izbire Vitalijeve družine fl .
Poleg do sedaj navedenih pojmov iz teorije mere bomo potrebovali pri nekaterih dokazovanjih še izreke, ki govore o spremembi integracijske spremenljivke ([14]([7]). Preden navedemo tak izrek, podajmo definicijo N-funkcije:
Naj ima funkcija f domeno [a,b]cR in zalogo vrednosti v [ct,&] dR. če za vse Borelove podmnožice E e [a,b] m(E)=0 implicira m(f(E)) = 0, imenujemo funkcijo f N-funkcijo.
Izrek 1 ([7],20.4): Naj bo [a,b] interval na realni premici R. Funkcija f bodi nekonstantna, realna, zvezna in N-funkcija na intervalu [a,b]. Interval [a,S] naj preslika funkcija f na interval [a,b] . Potem eksistira nenegatlvna, realna po Borelu merljiva funkcija w na intervalu [a,b] tako, da je za vse geLx([ci,ßJ ,Mm,m) tudi (g.f).wel^ ([a,b],Mm,m) in
ß        b
f g(y)dy = j g.f(x)w(x)dx
a                      a
Tu smo z M zaznamovali po Lebesgu merljive množice in m je Lebesgova mera.
V primeru, ko je funkcija f monotona, zvezna, dobimo klasično obliko izreka o integraciji s substitucijo. Izrek 2 ([7],20.5): Naj bo f monotona, zvezna, N-funkcija z domeno na [a,b] in zalogo vrednosti na[ct,ß]. Potem je f absolutno zvezna funkcija in funkcija w iz izreka 1 je kar |f* skoraj povsod glede na mero m na intervalu [a,b]. Tako je za gelato,p]) tudi (g.f) |f "|eL1(fafbJî in
ß                      b
f g<y)dy = J g.f (x) |f '(x)|dx.
a                      a
-13-
Pri dokazovanju, da je homogen sebi adjungiran operator ekvivalenten operatorju množenja z neodvisno spremenljivko v prostoru L.f-«»,»), potrebujemo teorijo o spektralni reprezentaciji neomejenih sebi adjungiranih operatorjev. Ta teorija je podrobno izdelana za omejene normalne operatorje ([3], pogl.X). Ker je rezolventa sebi adjunglranega operatorja normalen omejen operator, lahko teorijo o spektralni reprezentaciji razširimo na neomejene sebi adjungirane operatorje ([3], pogl.XII).
Pripravimo najprej definicijo spektralne reprezentacije. Razčlenitev enote sebi adjunglranega operatorja A zazna-mujmo z E, , Vzemimo vektor ae "SC , z ~Jt označimo podprostor iz X » ki sestoji Iz vseh vektorjev oblike f(A)a, kjer f preteče vse Borelovo merljive funkcije, za katere je aeD(f(A>). Funkcija u
u (e) = (E(e)a,a),  eto
H
predstavlja regularno mero, definirano na Borelovih množicah družine & v ravnini.
Prostor <fL je Hilbertov prostor in je glede na prešli-
pi
kavo
f(A)a  <------->  f
ekvivalenten prostoru L,(ii ), t[3]/ pgl.XII,Lema 1).
Dalje velja tole ([3], XII,Lema 2): eksistira taka množica Ji z iC, da je
3LtJ.
Torej, če vzamemo x eH.,  potem x predstavlja komponento od x v  podprostoru IZ  ,
Si
x = 1     x*
-14-
Omeniti moramo še, da je za vsako Borelovo funkcijo f
D(f(A)) = { x : x eD(f(A>), ae a   , \   |f<A)x |2<» }
a
in   (f (A)x)     = f (A)xa  za vsak x  iz D(f(A))   in vsak aecft   ,
a.                       o.
([3], XII,Lema 3).
Sedaj lahko podamo definicijo spektralne reprezentacije:
Definicija 3: Naj bo A neomejen sebi adjungiran operator v Hilbertovem prostoru X in {y Jdružina končnih pozitivnih mer, ki so definirane na Borelovih množicah ravnine in so enake nič Izven spektra operatorja A. Naj bo U izomorfizem prostora 3l. na ves prostor \  © L« (u ) . Izomorf izem U naj Se ohra-
a                                -1
nja skalami produkt. Operator V = UAU  je sebi adjungiran
v [ 8 L,(p ). Preslikavo U imenujemo spektralno reprezenta-
ct cijo prostora *~na \ 9  L_(u ) glede na operator A, ce sta
izpolnjena pogoja: a
a) za vsako Borelovo funkcijo f, ki je definirana na spektru o{A) operatorja A, je
D(f(V)) = {x :xe pBLj (y ) ,L   \        | f (t) Xq (t) | 2g- dt<« },
a       a  a(A)
ae a t
in b)
de na mero u .
a
Izrek 4 ([3], X2I,Th.3.5): Vsak Hilbertov prostor ima spektralno reprezentacijo glede na poljuben sebi adjungiran operator.
Drugi pomemben pojem iz teorije spektralne reprezentacije je pojem urejene reprezentacije.
Definicija 5: Naj bo y pozitivna mera, definirana na družini Borelovih množic (B kompleksne ravnine in i^t.)  padajoče zaporedje Borelovih množic, pri čemer naj bo prvi element e^
b) (f(V)x ) (t) = f(t)x (t)  za xED(f{V)) in skoraj vse t gle-
a                          ci
-15-
vsa ravnina, če je za poljubno Borelovo množico e č.  e.,
u k(e) = u(eAek), ee E>  , k = 1,2,..,,
potem imenujemo spektralno reprezentacijo prostora 1C na l    9  L,(u.) glede na sebi ađjungiran operator A, urejeno re-prezentacijo. Pri tem se mera u imenuje mera urejene reprezentacije. Množice e. bomo imenovali množice vefikratnosti urejene reprezentacije. Če je u (e.) > 0 in u(e.+.) = 0, pravimo, da ima urejena reprezentacija veökratnost k. Kadar je M(ei.î > 0 za vse k, potem ima urejena reprezentacija neskončno veckratnost.
Povejmo še, kdaj sta dve urejeni reprezentaciji ekvivalentni.
Definicija 6: Dve urejeni reprezentaciji U in ti' prostora X
gleđe na sebi adjunglrana operatorja A in A" in z merama y
in g " in množicami večkratnosti {e } in {e'} , sta ekviva-
n      n
lentni, če je
M = M' in y (ekAek ) = u'(ëkAek) = 0 za k = 1,2,..
Končajmo navedeni del teorije spektralne reprezentacije s pomembnim izrekom ([3], XII, Th.3.16).
Izrek 7:  Separabilen Hilbertov prostor X ima urejeno reprezentacijo U glede na sebi ađjungiran operator A v X. Dva sebi adjunglrana operatorja iz prostora X sta unitarno ekvivalentna tedaj in le tedaj, kadar sta ekvivalentni urejeni reprezentaciji prostora X glede na ta dva operatorja.
-16-
3. UREJENA REPREZENTACIJA ZA SPEKTRALNE MERE
Pri obravnavanju homogenih spektralnih mer bomo potrebovali teorijo o spektralni in urejeni reprezentaciji glede na spektralne mere. Ta teorija za spektralne mere v literaturi ni izdelana, zato jo na tem mestu pripravimo in to kar za primer, ki ga bomo obravnavali, to je za k-dimenzionalen ev-klidski prostor, o-algebro v tem prostoru pa naj sestavlja družina Borelovih množic.
Pri konstrukciji te teorije se opiramo na teorijo o spektralni in urejeni reprezentaciji Hilbertovega prostora glede na omejene normalne operatorje ([3], pogl.X,5).
Najprej podajmo splošno definicijo spektralne mere.
Definicija  8:   Naj bo  X  neprazna množica,  1U pa  neka a-algebra podmnožia  iz  X.    It naj  bo  Hilbertov prostor  in P družina  vseh  sebi  adjungiranih projektorjev v  prostoru   TL.   Homomorfno  preslikavo
E  :    7fc------>  p
imenujemo  spektralno  mero,   de  ima   lastnosti:
(a) prasni množici  pripada  ničelni  operator, E(0)   = 0  in  vsemu  prostoru  identični  operator E(X)   = I ;
(b) E(ef)f)   =  E(e).E(f)     za  e,fz%i
(a)   E(eUf)   = E(e)   +  E(f),   de  je  e f\f = 0  in
*,f  e %;
(d)   E je  zvezna  preslikava,   in  sicer V  tem  smislu,   da  za  vsako  naraščajoče  zaporedje  množic e te, e  z Tifi,   velja,   da  zaporedje  projektorjev E(e  )   konvergira  krepko  proti  Eie).
Ugotovimo nekaj posledic, ki jih daje ta definicija. Iz

-17-
lastnosti (b), ki je lastnost multiplikativnosti, sledi še, da je spketralna mera komutativna, to pomeni, da je (E(e), ee VL}     komutativna množica operatorjev. Projektorja E(e) in E(f) sta ortogonalna, če sta množici e in f disjunktni,
V nadaljnem obravnavamo primer, ko je X = R ,  to je k-dimenzionalen evklidski prostor in WL = ß , družina Bore-vih množic v prostoru R .
Recimo, da imamo dano spektralno mero E{e) za vsak eeß , ki ima zalogo vrednosti v P, prostoru vseh sebi adjunglranih projektorjev, ki delujejo v Hilbertovem prostoru L.,
Spektralni meri lahko priredimo normalen operator. Poglejmo to povezavo! Z M zaznamujemo razred omejenih Borelo-
u vo merljivih funkcij f na prostoru R . K vsaki funkciji feH
eksistira integral {[i],  sec.5; [6],&37), tako imenovani spektralni integral
¦J
T(f) =        f dE .
¦
Zgornji vektorski integral eksistira v smislu krepke topologije. T(f) je obmejen normalen operator, hi je seveda odvisen od izbire funkcije f. Tako imamo korespondenco med integralom in funkcijami,
f  •------+ lf dE.
I
Ker je E spektralna mera,velja
Wf+g)dE m    ff dE +    f g dE,      j(cf)dE = c j f dE in
f  f  dE  ¦   (       f dE)*,   f   fg dE  =   (    (  fdE)(   f   gdE)   za vse f,g e M       in
j fdE) *< Jf dE)   =    j|f|
If I2 dE,   za feM.
-18-
Vzemimo neki xe iL . K vektorju x priredimo y na tale način
[ f dE)x = f
y = ( \   f dE)x = I  f dEx = T(f)x,
k                    k
RK                  R*
za vsak feM.
Vsi vektorji y, ki jih tako dobimo, sestavljajo linearno množico X : o
XQ = {ycX , y = T(f)x, feM }.
Llnearha množica X je predhilbertov prostor, ki je invarianten glede na dano spektralno mero E. Pokazati moramo torej, da je za vsak yEX tudi E(e)yeX . V ta namen izračunajmo E(e)y = E(e)T(f)x[ iz prejšnjih rezultatov sledi, da je
dE m  E{Rk) = I
R*
oziroma
Tako dobimo
j xedE - j dE - E te) . k      e
R
f dE)x k
E(e)T(f)x = ( j xedE) (
Rk in poaastnostih, ki smo jih prej navedli, imamo dalje
E(e)T(f)x =
R
(Xef)dEx = T(Xef)x. k
Ker je funkcija xefEM* De tudi E(e)yeX . Torej je XQ invarianten glede na spektralno mero E.
Vsakemu vektorju xe SL pripada s predpisom
(E<e)x,x) = m (e) ,  ee
-19-
funkcija \i    definirana na Borelovlh množicah, kjer je E dana spektralna mera in ta funkcija p  je mera ([l], Th.l). Mera u  je očitno pozitivna Borelova mera na (B. Dalje je mera u  tudi omejena:
Kx<e> < HI2-
za vse ee L> in za vsak xe X . Tako definirana mera je tudi regularna, ker izpolnjuje izrek ([l4],Th.2.18), ki smo ga navedli v razdelku 2, kajti v tem primeru je X ¦ R  in celo u (e)<«>  za vsako množico ee 6 . Vsaki spektralni meri E in za vsak xe IL  priredimo lahko družino mer, definiranih na prejšnji način t[l],sec.3).
Prostor vseh merljivih funkcij, ki ustrezajo pogoju
[   jf|2d<Ex,x)< » ,
R* zaznamujmo z L_(p ), torej

L2(MX) - <f,  |f| dpx < - }
Z  L(B) zaznamujmo prostor omejenih funkcij v L2^x'* L^B' je predhilbertov prostor in zaprtje L(B) je ravno prostor L_(m ), kajti omejene funkcije so povsod goste v prostoru &_<M ). Vsaki omejeni funkciji  feL(B) pripada neki vektor
yeX . in sicer o
i
y = (   f dE)x.
S tem imamo neko linearno preslikavo, ki jo trenutno zaznamujmo J, iz L(B) na X . Preslikava J je izomorfizem. Izra-
o                              J
čunajmo normo elementa yeX I Po prejšnjem je
|y||2 = J   |f|2d(Ex,x>   =    j     |f|2 dnx,
Rk                                   R'
-20-
Zadnji integral je prav kvadrat norme funkcije feL_{jj ). Preslikava
j . L(B) <-------->  x
o
je zato izometrifini izomorflzem, ||jjf = 1.
Zaprimo prostor X . S tem seveda privzamemo Se vse
limite Cauchyjevih zaporedij {y } eX  in zaznamujmo zaprtje
X„ prostora X z o                      o
Xo = H(x) .
Naj na primer zaporedje {y } , yneX0 konvergira proti zeH(x).
Ker je preslikava J izomorflzem, eksistira zaporedje funkcij {f_eL(B), da je y = Jf« Zaporedje {y_)  je Cauchyjevo in zaradi izometričnosti preslikave J še sledi
IIf - f II = Il y - v II + 0, m,n >n . li n   m "   il Jn  Jm"                       o
Zaporedje{f  }je tudi Cauchyjevo zaporedje v polnem prostoru L_(u ), torej konvergira  (f } prosti funkciji feL,(u ). S tem priredimo zeH(x) funkcijo f eL, (y ) in smo tako prešli-kavo J razširili na ves prostor H(x),
J : H(x) -----> L2(mx) *
Pokažimo, da je preslikava J korektno definirana. Naj na primer tudi zaporedje {y'} konvergira proti zeH(x). K temu zaporedju pripada zaporedje omejenih funkcij {f'}cL{B). Ocenimo || yn - y^ || i ker je
ll^n-^nlM l*rB- «I + (¦ -<l
—> 0. Zaradi izometricnosti preslikave J f J| --> 0. Odtod pa sledi, da %b  tudi
dobimo || yn - y^ | pa prav tako || f
-21-
zaporedje {f^} konvergira proti f. Seveda je |zjj ¦ J| f | in preslikava J je izometričnl izomorfizem iz H(x) na L, (y ).-
Ugotovili smo, da za poljuben xe X dobimo podpro-stor H{x) v ~&L t
H(x) = {y zX   y = ( f  f dE)x, |y||2 = f  ( f \ 2dMjt
k                                  k
za vsak feL_(u )|
ki je izometricno izomorfen prostoru L_(u ). Tu je Mx(e) = =(E(e)x,x) in projektorju E(e) restrlnglranemu na podprostor H{x) ustreza v prostoru L_ {\i  ) množenje s karakteristično funkcijo x množice e.
Pojem spektralne reprezentacije in urejene reprezentacije za neomejene sebi adjungirane operatorje smo podali v razdelku 2. Ta dva pojma podajmo Se za spektralne mere.
Definicija  9:   Naj  bo  E spektralna mera  v  Hilbertovem  prostoru IfC in   {u } družina  končnih  pozitivnih mer  definiranih  na   Borelovih množicah  ez (B • Saj  bo sedaj  J izomorf izem  prostora   <sL  na  ves  prostor L$L„f|j ).   Izomorfizem    J  naj  ëe  ohranja  skalar-ni  produkt.   Preslikavo t/ imenujemo  spektralno reprezentacijo  prostora    ~JL_ na   L $ L-(\i   ) glede  na  spektralno mero  Et   Se je  izpolnjena relacija
J(E(e)x)   (X)   =  v (Jx)   (X) n            ne        n
za  vsak  xe Y j skoraj  za  vsak  X  glede  na mero Vi     X oe  karakteristična funkcija  množice  ee ß.
V naslednji definiciji podajmo še pojem urejene reprezentacije glede na spektralno mero.
-22-
Definicija   10:   Naj  bo  g pozitivna mera  definirana  na  družini Borelovih množic   ß , ^ev^   padajoče  zaporedje Borelovih množic,   pri   Semer  naj  bo  e7 ves  pro-štor R   .   ce  je  za  poljubno  Borelovo množico e C e1
g   (e)   =    \ifef\e  )t     ez flS       g   H -  1*2,,..
potem imenujemo reprezentacijo prostora oC na 1$ L (]i ) glede na spektralno mero E, urejeno reprezentacijo.
Pojem večkratnostl urejene reprezentacije pa se ujema z definicijo 5 iz razdelka 2.
Sedaj, ko imamo ta dva pojma, lahko zapišemo naslednjo
lemo.
Lema   12:   Seéparabilen  Hilbertov  prostor It ima  urejeno  reprezentacijo  glede  na  dano  spektralno  mero  E.
Za dokaz te leme potrebujemo dva pomožna rezultata, Se prej pa uvedimo pojem maksimalnega vektorja v prostoru Jt.
Definicija   22:   Vektor  xc ~iL imenujemo maksimalen glede  na  dano  spektralno mero  Et   Se  je  vsaka mera  oblike (E(e)y,y) > yt IL  j absolutno   zvezna  glede  na mero   (E(e)x,x).
Lema  23:   V separabilnem  Rilbertovem prostoru   11. eksistira
maksimalen  vektor x glede  na  dano  spektralno mero  E(e).
Dokaz te leme teäe enako, kakor prvi del dokaza Leme 7 v [3], pogl.X,5.
Maksimalen element, ki ga po lemi 13 dobimo v prostoru "3C-, zaznamujmo kot z.. K temu maksimalnemu elementu na prej opisani način konstruiramo podprostor H(z.).
Lema   24:   V separabilnem  Hilbertovem  prostoru ILnaj  bo  dana
spektralna mera  E.   Potem  eksistira  zaporedje   {x }C#,
n
-23-
da  de   11 =  y $  H(x.)   in   tako   zaporedje   {e   } Bore-lovih množic, da je
(E(e)x   ,i )   =   (E(ef\e   )x,tx.) n     n                          nil
za   n     >. 2.
Dokaz:   Če prostor H(z.) ni ves prostor *L , potem v ortogo-nalnem komplementu H(z.)   eksistira z / 0. Temu vektorju z pripada podprostor H(z), ki sestoji iz vektorjev oblike
¦I
f dEz,
kjer je feL_(u)/ u ¦ (E(e)z,z).
C                                                          C
Pokažimo, da je H(z.)  ]_ H(z-). Vzemimo yeH(z.)  in ugotovimo, da je y  z.. Najprej še ugotovimo, da je prostor
H(z.)c invarianten na spektralno mero. Vzemimo zeH(z.)  in neki yeH(z-); izračunajmo skalami produkt
(E(e)z,y) = (z,E(e)y) - (z,yj) = 0,
kjer je, kot smo se prepričali, E(e)y = yjcHfz.). Torej je E(e)zeH(z ) . Sedaj izračunajmo skalami produkt (y,z.),
(y,^) = j  f đ(Ez,Zl) = 0,
Rk ker je (Ez,z.) = 0.
Q
Sedaj po lemi 13 izberemo maksimalen vektor z-eHfz.) Spet konstruiramo podprostor H(z_). Po zgornjem je očitno, da sta podprostora H(z.) in H(z„) med seboj ortogonalna. če H(z.) © H(z2* n* ves Pr°stor ¦*• t   potem iz <H(z.)®H(Zj)) izberemo element z,, ki naj bo tu maksimalen in sestavimo podprostor H(z,). Tako lahko zaradi separabilnosti prostora nadaljujemo največ Števno mnogokrat in dobimo
X = I © H(z ) . i=l    *
-24-
Zaradl maksimalnostl elementa z. je mera y2*e* = (E<e)z2,z2i zvezna glede na mero g.(e) « (E<e)z,rZ.). SploSno je mera
M..., zvezna glede na mero \i   , n>l,
n+i                                                      n  =
Uporabimo Radon-Nikodymov izrek in zapišemo
Mn(e) = (j gn(X) dMl,
kjer je g (XJcL-(jj.), Ker sta u, in p  nenegativni meri, lahko vzamemo, da je g  tudi nenegatlvna funkcija, Množica e naj sestoji iz tistih točk \,   za katere je 9nU) > o,   torej
e„ = (X: g (X) > 0}.
n       n
Ker je mera Mn+1 zvezna glede na mero u , se vidi, da je tudi
li,(e .. - e ) = 0 takole: e„,. - e ={X :g„, , (X) >0 in g(X)=0}, i n+i   n                              n+i   n     n+i        n
Ker je y (e ) =0, je zaradi zveznosti tudi u . , (e) = 0. pn n      J                                                pn+l n
Množica e .,- e c ec in je u (e .. - e ) - 0 in zaradi zve-n+1  nn   J   Hn n+1   n
znosti mere u ,, na mero u ,je tudi u ,.{e ., - e } =0. n+1                    n '                    n+1  n+1   n
Po Radon-Nikodymovem izreku imamo spet
"n+lten+l -%> "   J   gn+l(X)d^l " °"
en+ren
Ker je 9n+1^> > 0 za Xeen+1 - en sledi, da je M1(en+1-en> =
« 0. fie modificiramo funkcijo g_+1 na množicah, ki imajo
mero u, nie, in sicer tako
Wxî
f 0   ,   X   een+1-en
lgn+1r     sicer
-25-
in popravimo množice e  takole
n
en = { X: gn(A) > 0 },
dobimo padajoče zaporedje Borelovih množic {e  }. Vzemimo še,
k da je e. ves prostor, e. = R .
Za n > 2 naj bo x ¦ lim x  .,   k ¦*¦ <»   ,   kjer je
*„*- !  K'-'1'2
(X)] *'* dEzn Snk in
Snk = { X: gn(XÎ * 1/k }'
tu smo z z  zaznamovali maksimalne elemente. Najprej pokažimo, da ta limita eksistira. Za k>j ocenimo normo
"Xnk-Xnj|2-   l              em   d«S,n|2-
S .-s . nk  n}
Ker je d(Ez ,z ) = dp , imamo po Radon-Nikodymovem izreku
dMn = gnd ul in dalJe
S . -S . nk nj
" >»l{Snk - Snj> i ^l{en " Snj> '
kajti očitno je  S . C e .V limiti, ko gresta, k in j + » ,
gre norma || x ,   - x . || -*- 0. Sedaj postavimo x. ¦ z., torej
je x.maksimalen  vektor, za n>l pa je x = lim x . , k ¦*¦  °° . In imamo
-26-
(E(e)xn,xn)   =  ||E(e)xn|2  =  lim  ||E(e)xnkll2  =
k-*t»
"2! Î   ^ dHEZn||2^im 1   epV1
k^o ens . n                              fc*- enS . n A
nk                                                 nk
¦ lim J   đp L = lim Vl (eflSnk) = p^efle^ ¦ k-*™enS .      k
= (E(e r\en)x1,x1) .
Lema 14 đa torej padajoče zaporedje Borelovih množic {e },
k pri čemer je e. ves prostor, e, = R . Mere p , pn(e) =
= (E(e)x ,x ), n>l, so mere, ki so z p. povezane kot vidimo za vsako Borelovo množico e takole:
Hn(e) = Vj1(enen).
Tako lahko spet govorimo o urejeni reprezentaciji separabil-nega prostora X glede na spektralno mero E in to je trditev leme 11.
Definicija 15: Dve urejeni reprezentaciji glede na spektralni meri E in E z zaporedji Borelovih mnoSic {e } in  {e   }   imenujemo  ekvivalentni^   Se  velja
p =  p in     \i(en&ën)   m    pfe^uë^J = 0,   n  sJ,^.,
Lema   16:   Katerikoli  dve  urejeni  reprezentaciji  prostora   đC glede  na  spektralno  mero  E sta  ekvivalentni*
Dokaz te leme teče enako kot dokaz Th.10,pogl.X,5 v [3] , le da uporabimo definicijo spektralne reprezentacije (definicija 9) in urejene reprezentacije (definicija 10) za spektralne mere.
Definicija   17:   Spektralni meri  E(e)   in  Eie)   imenujemo  ekviva-lentnijde   eksistira  tak  unitaren  operator Ut da  je  E(e)=UE(e)U *  za  vsako   Borelovo  mnoSico  e,
-27-
Lema   18:   Dvema  ekvivalentnima  spektralnima  merama  v  separabil-nem  Hilbertovem prostoru  pripadata   ekvivalentni  ure~ jeni  reprezentaciji  prostorja  fC glede  na  spektralni meri.
Dokaz:   Naj bosta E in Ë dve spektralni meri, J in J pripadajoči urejeni reprezentaciji prostora K-glede na dani spektralni meri. Torej:
J : "it    ------> l®  L2(en,u)
J : TL    -----* \®  L2(en,Ü).
Spektralni meri sta po predpostavki unitarno ekvivalentni, to je Ë = UEU~ , kjer je U unitaren operator iz 7L v 1L . Pokazati bo treba, da eksistira neka urejena reprezentacija prostora "ic na  Lffi L„ (e ,vi) glede na spektralno mero E.
Sestavimo preslikavo W = JU iz "&L na  L® L2*enfU' * Ta preslikava je očitno izometrična. Velja relacija, ko upoštevamo definicijo 9
W(E(e)x) = JU(E(e)x) = J(Ë(e) (Ux)> = = Xe(JUx) = xeWx,
torej je W urejena reprezentacija X na l®  L,(e ,m) glede na spektralno mero E. Sedaj uporabimo trditev leme 16 in urejeni reprezentaciji J in J sta ekvivalentni.
Ugotovitve, ki smo jih dognali za spektralne mere zapi-šimo skupaj: SepCparabilen  Hilbertov  prostor  ima  urejeno  reprezentacijo  glede  na  dano  spektralno  mero  E. Vse  urejene  reprezentacije  glede  na  isto mero  so med seboj  ekvivalentne  in ekvivalentnim  spektralnim meram pripadajo  ekvivalentne  urejene  reprezentacije.
-28-
4. HOMOGENI SEBI ADJUNGIRANI OPERATORJI
V tem razdelku bomo iskali karakterizacijo za homogene sebi adjungirane operatorje. Definicijo in nekaj lastnosti sebi adjungiranega homogenega operatorja poznamo iz razdelka 1. Kot smo tam omenili, je naš glavni cilj dokazati domnevo, da je vsak homogen sebi adjungiran operator ekvivalenten operatorju množenja z neodvisno spremenljivko v prostoru I»2 (-00»00) .
Vzemimo homogen sebi adjungiran operator A, definiran v separabilnem Hilbertovem prostoru % . Zapišimo Še enkrat, da je operator A homogen, če eksistira tak unitaren operator U(X) , da je
A -  XI = U{X)AU*(X) .                                              (1)
Po definiciji homogenosti pripada vsakemu realnemu X vsaj en unitaren operator U(X).  {U{X)}  je množica, ki jo dobimo za vsa realna števila X . Ta množica je Še poljubna, njene lastnosti še niso določene. Vzemimo kar najpreprostejši primer, da množica{U(X)}  tvori enoparametriČno grupo, ki je zvezna v krepki topologiji. Ker se omejimo na separabilen prostor, je celo dovolj, da je enoparmetrična grupa krepko merljiva v Lebesgovem smislu ([ll], [13]).
Po Stoneovem izreku eksistira tak sebi adjungiran operator B, da je
U(X) - BiXB
in operator B je generator grupe. Enačba (1) dobi sedaj obliko
-29-
A - XI = eUBAe"UB
Iz te enačbe dobimo dalje, seveda po čisto formalnem računu, kajti homogen operator A je neomejen, tole
A -  XI = ( 1 + iXB + ... )A(1 - iXB + ... )
in
A - X I = A + IX(BA -AB) + ...
in odtod tole zvezo
BA - AB = il.
Tudi operatorju A pripada enoparametrična grupa unitarnih operatorjev ([8],Th.12.3.1),   torej
e^A = V (p).
Operatorji U{X) in V(u) v splošnem ne komutirajo. Zapišimo najprej
U{X)AnU*(X) = {A - XI)n
Delimo to enačbo z n! in množimo z (iu)n in nato seštejemo preko vseh n, n = 1,2,... in dobimo
U(X)elv,AUMX) = eiM{A - XI)
odtod pa
U{X)V(X)U*(X) = e"lljXV(u) oziroma
U(A)V(u> = e"iuXV(y)U(X)
-30-
V članku [l2] je dokazano tole: dva sebi adjungirana operatorja A in B, ki sta ireduclbilna v Hilbertovem prostoru in ki ustrezata pravkar Izpeljani zvezi, sta ekvivalentna operatorju množenja s t oziroma odvajanja i(d/dt) v prostoru L-(-">,«>). Na osnovi do sedaj povedanega lahko postavimo tale izrek.
IZREK I:   če  sestavljajo  operatorji   U(\)   grupo,   ki  je   zvezna v  krepki   topologiji  in  je   B generator   te  grupe  in Se  operatorja A   in  B delujeta  ireducibilno, potem je  homogen  operator A   ekvivalenten  operatorju množenja  v  prostoru  L   (-<*>,<*>).
ó
Ker nastopata operatorja A in B in parametra X,u simetrično, se hitro vidi, da je tudi operator B homogen operator. Tak par operatorjev imenujemo konjugirano homogena operatorja.
Ob privzetku, da sestavljajo unitami operatorji U(X) grupo, ki je zvezna v krepki topologiji in da na primer vzamemo, da operator U(X) deluje tako
U(X)x(t) ¦ x(t-A) ,
kakor smo izbrali v razdelku 1, ko smo pokazali eksistenco homogenega operatorja, potem po Stonovem izreku lahko zapišemo
U(X) = eUB
in dalje
e1ABx(t) = x(t-X) .
Razvijmo v vrsto
(1 + 1XB + ...)x(ti ¦ x(t) - Xx'(t) + .. in odtod dobimo
-31-
iBx(t) = -x'(t),
torej je operator B operator odvajanja, in sicer -i(d/dt), v prostoru L_.
Poglejmo še, fie so unitami operatorji, ki nastopajo pri definiciji homogenosti, enolično izbrani?
Po definiciji homogenosti pripada k vsakemu realnemu številu X neki unitaren operator V(X), da je
V(X)AV*(X) = A -  XI,
vendar operator V{X) ni enolično izbran. K vrednosti X vzemimo neki unitaren operator V.(X), ki tudi izpolnjuje relacijo
VjtXIAVJU) ¦ A -  XI. Iz obeh relacij dobimo
V(X)AV*<X) ¦ V1(X)AV*(X) ,
odtod pa
(V*{X)V(X))A(V*(X)V1(X)) = (V*(X)V(X))A(V*(X)V(X)}* » A.
Zaznamujmo V*(X)V(X) =W(X) , ki kot produkt dveh unitarnih operatorjev predstavlja spet unitaren operator.
Če imamo tak unitaren operator W(X), da je
W(X)AW*(X) = A
in operator V.{X), ki ustreza definiciji homogenosti, dobimo operator V(X) tako
VX(X)W{X)
= VU).
-32-
Pokažimo, da tudi operator V(A) ustreza enačbi (1). Torej
V(X)AV*(M - V1(X)W(X)AW*(X)V*(X) -
= Vj (X)AV*(A) = A -  XI.
Tako lahko zaključimo: če unitaren operator V.(X) izpolnjuje relacijo (1), potem jo izpolnjuje vsak unitaren operator V(X), ki ga dobimo na ta način
V(X) = VjtAIWU),
kjer je W(X) unitaren operator z lastnostjo, da komutira z operatorjem A,
W<X)AW*(X) = A.
Ugotovili smo, da je v prostoru L2 (-«,«>) vseh s kvadratom integrabilnih funkcij, ki so merljive po Lebesgu, operator množenja z neodvisno spremenljivko
(Ax) (t) = tx<t)                                                     (2)
homogen operator. Zanima nas nekoliko sploŠnejši primer in se vprašamo, ali je tako definiran operator tudi homogen v prostoru s splošnej So mero ?
Da bi odgovorili na to vprašanje, vzemimo prostor L^t-»,00) s kvadratom integrabilnih funkcij, ki so merljive s pozitivno Stieltjes-Lebesgovo mero. Naj bo a(t) zvezna, strogo naraščajoča funkcija, ki jo normiramo a(0) = 0. Taka funkcija generira Stieltjes-Lebesgovo mero v takole:
v [O,t]  *= a (t) ,  tM) v[t,0]  =-o(t) ,  t<0.
-33-
Prostor L2<-«,™) sestavljajo funkcije
fx(t) :   j |x(t)|2 da(t)
<  00  }
K zgoraj določeni funkciji a(t)   = t * eksistira enolična o-
bratna funkcija t = ß(t'), ki je  tudi monotona, naraščajoča
in zvezna. Funkcija x[ß(t')] je  očitno po Lebesgu merljiva in s kvadratom integrabilna,
j x[B(t')]2 dt-
<  ™ .
Torej vsaki funkciji x{t)eL" ustreza funkcija x[ß (t *) ] eL-, Preslikava
L_ (-»,») --------->  L-(-00,00)
je linearna in ohranja skalami produkt, saj je
00                                                                                 00
J x{t) f(t)dct(t) *=   x[6(t')] y[ß(t'i] dt.'
Torej je preslikava izomorfizem. Enačbo (2) zapišemo sedaj tako
(Ax> [$tt*>3 = ß(t')x[0(t*i]  ,
kjer Hft  x[ß(t')] pomeni, da je x posredno funkcija spremenljivke t'. Kot neodvisno spremenljivko pišimo spet t in imamo tole ugotovitev:
Operator množenja  e   t  v  prostoru  L „ (-<*>,v>)   je  homogen operator  tedaj  in   le   tedaj,   Se  je  operator množenja  8   $(t) v prostoru  Lp(-<»t<*>)   homogen,   kjer je  a[ß(t)]   =  t.
-34-
Tako moramo odgovoriti na vprašanje, kdaj je na naalednji način definiran operator
(Ax) (t) = f (t)x(t)                                       (3)
homogen, kjer je f(t) po Lebesgu merljiva In monotona funkcija ln x(t) cL_ (-«,») .
Kakšne dodatne zahteve je treba še postaviti za funkcijo f(t), da bi bil operator A iz relacije (3) res homogen operator ?  Odgovor da tale izrek.
IZREK  II:   Operator,   definiran  z   relacijo   (3)   je   homogen  operator v  prostoru  L   ,   če je  funkcija  f(t)   realna, zvezna,   striktno monotona,   lim f(t)   - -<*>  ,t+  -», lim  f(t)   - « ,   L-*"» in  naj  ekeietira  od nič različen odvod v  vsaki   točki,   rasen v   Stevno  mnogo točkah   (v   teh ali  f ne  eksistira,   ali  pa je  f-Q).
Dokaz:   Konstruirajmo tak unitaren operator V, da bo V*AV prav operator množenja z neodvisno spremenljivko v prostoru L_(-»,»). Definirajmo operator V na ta način:
<Vx) (t) = x[f {t)] A (t)      .
Najprej ugotovimo, da tako definiran operator ohranja normo,
If Vx | = || x | in da* preslikavo iz L„ v L_. Pokazati moramo namreč tole:
00                                                co
l[x{t)|2dt = |[x[f(t)]!2 f(t)dt        (4)
Pri tem bomo uporabili pravilo o spremembi integracijske spremenljivke, in sicer izrek 1, oziroma izrek 2 iz razdelka 2.
Najprej poglejmo, ali ima funkcija f(t) lastnosti, ki
-35-
jih zahteva izrek 2, zatem moramo še razširiti meje integracije iz končnosti na neskončnost. Funkcija f(t) je N-funkcija, velja namreč tole ( [7],18.48b): Če je na kompaktnem intervalu [a,b] iz R funkcija f rezana funkcija, definirana na (a,b) in ima končne odvode v vseh, razen v štev-no mnogo točkah intervala [a,b] , potem je funkcija f tudi N-funkcija. Iz predpostavk za funkcijo f vidimo, da je res N-funkcija. Znano je tudi, da je monotona N-funkcija absolutno zvezna. Tako so izpolnjeni vsi pogoji izreka 2 in smemo uporabiti novo integracijsko spremenljivko.
Razširiti moramo le še meje integracije. Ker imamo
naraščajočo funkcijo, seveda velja f (t) + -» , ko t + ¦ »,
f (t) t », ko t -•¦ « in zato a = f(-n)+ - », B„ = f (ni + » .
n                                n
Potem velja za vsak n po izreku 2, ko je a = -n in b = n tole
pn                      n
f
I
g(y)dy =
g(f (t))f (t)dt, y = f (t)   (5)
-n
To pravilo potrebujemo pri verifikaciji, da operator V ohranja normo.
Poglejmo enačbo (4), tam nastopa g(t) ¦ |x{t)| , ki je v L. in g(t) > 0. Zato sedaj vzemimo, da je g(yi > 0 in g(y)eL.(-»,»). Definirajmo
f g (y>  an < y < sn gn(y) -
n      [ 0      izven Enačbo (5) lahko zapišemo v tejle obliki
\ g(y) dy - \ gn(f<t))f(t)dt      (6)
Leva stran v enačbi (6) ima limito, saj velja
-36-
a)   9n(y)     * 9 (y)   za vsak  fiksen y,   ko gre  n * » lil
b)    9n<y)     ¦ gtyieLj (-»,«) .
Uporabimo Lebesgov izrek o dominantni konvergenci in imamo
lim \  gn(y)dy =  1 g(y)dy
Za desno stran enačbe (6) vemo, da velja
¦                                                                                                                                                                                       *
a) gn(f(t))f(t) > 0 za vse t, za katere f (t) ekslstira, to je po naših predpostavkah za vse t, razen za števno mnogo; in
b> g <f(t))f(t>  —---->   g(f(t))f(t) za vsak fikéen t,
n                          n. ¦ w
razen morda za števno t, kjer f ne ekslstira.
Po izreku o limiti pozitivnih funkcij velja
00                                                                                                                00
f gn(f (t))f   (t)dt —y     fg(f(t))f(t)
dt
oo
g{y)dy
in ker  je
co
j gn(y)dy    ----->       j
— 00                                                                                             —00
sledi
00                                                                   00
j g(y)dy    =       |  g(f(t))f(t)dt.
Torej je enačba (4) izpolnjena in smo ugotovili, da operator V ohranja normo.
Ko iščemo operator V* potrebujemo inverzno funkcijo funkcije f{t) « t", to je $(t')   =  t. Inverzna funkcija é(t*) je monotona, odvod ekslstira in je končen, razen morda $(t')
-37-
ne eksistira, ker pač f(t) ne eksistira za pripadajoči t, ali pa ne eksistira, ker je tam f(t) ¦ 0. Toda takih točk t'  je kvečjemu Stevno mnogo. Povsod drugod je
f((fr(t'))<t(t') = 1.
Iz do sedaj povedanega sledi, da je tudi ${t')   absolutno zvezna in zato N-funkcija.
Pokazati moramo še, da operator V* ohranja normo. Smemo spet uporabiti izrek 2 iz razdelka 2 in s pomočjo njega ugotovimo, da operator V* res ohranja normo.
Konstruirajmo sedaj adjunglrani operator V*. Zapi-Šimo skalami produkt
(Vx,y)
x[f(t)] h (t)   JJx)   dt.
Postavimo f(t)   = t',   torej     t ¦ $(t').  Očitno je f[<f>(t')]   = t in odtod     (df/dt) . <d<)>/dt')   =  1,  oziroma    d<fr/dt' =  l/(df/dt).
*                           *
Ker  sta  f     >  0  in    $ L 0,  dobimo dalje
M
x(t')   A/(  <J (t'))    y[<f>(t'>l  <J(t')dt' =
J  x(t') Ifait')]/ iit'))     dt' =   (x,V*y)
in odtod pač sledi, da operator V* deluje takole:
(V*x) (t) = x[<fr(t)] A (t) .
Za nadalnje dokazovanje hočemo videti, koliko je izraz (V*Vx) (t),
-38-
(V*x) {f <t)/f (t)   )   =• - /i (t)     /f[t (t)]   x[f(*(t))]   * -/¦(tif[*(ti]   x[f (*(ti)] Ker sta f  in f   inverzni  funkciji druga druge,   je f[$(t)*J   » t
¦                                                *
in f[$(t)] $ (t) =* 1. Upoštevajmo to v prejšnjem izrazu in dobimo dalje
(V*Vx) (t) = /<ji<t)f|>(t)] x[f (+(t))] -
¦ l.x(t) = x(t) .
Prav tako dobimo, da je
(W*x) (t) = x{t).
Operator V je res unitaren operator.
V naslednjem koraku izracunajmo Izraz (V*AV)(x(t))1 Operator V*AV je unitarno transformiran k,operatorju A. Iz definicij operatorjev A,V in V* dobimo
(AVx) (t) - f (t)/ f (t)  x[f(t)]
in dalje
<V*AVx) (t) =/J(t)r t*{t)] f [<Mt)]x[f (*(tiil = = tx(t) .
Odtod sledi, da je v tem primeru operator A ekvivalenten operatorju množenja s t v prostoru L« in je zato homogen operator
Konstruirajmo še grupo unitarnih operatorjev V(X), ki prevede operator A v A - XI. Operator množenja s t v prostoru
-39
L- zaznamujmo sedaj z Â. Ker je operator  homogen, eksi-stira unltaren operator W(A), da je
W<X)ÂW*(A) = Ä - XI                                            (7)
Vzemimo primer, da operator W(X) deluje takole
W<X)x<t) = x(t -A )  in W*(X)x(t) = x(t + X)                                             (8)
Pravkar smo videli, da je operator A množenja s funkcijo f(t), ki ima predpisane lastnosti, v prostoru L_ unitarno ekvivalenten operatorju množenja a t v prostoru L-.
Za unitaren operator
Ux(t) = / i (t) x[d>(t)] oz.
U*x(t)= /f (t) x[L (t)]                                      (9)
dobimo
(UAU*)x(t) m   tX(t) ¦ Äx{t)
ali
UAU* m  Ä.                                                                  (10)
V enačbi (7) uporabimo zvezo (10) in dobimo
W(A)UAU*W*(X) - UAU* - X{UU*)
Pomnožimo z leve z U*, z desne pa z U in imamo
U*W(X)UAU*W*(X)U = A -  XI.
Od<j(tod sledi, da je iskani operator V(X) dan kot V{X) = U*W{A)U in V*{X) = U*W*(X)U.
-40-
Ofiitno je
V(X)AV*(X) = A - XI.
Iz definicije operatorja W(X), to je enačbe (8) in definicije operatorja U, to je enačbe (9) sledi
VU)x(t)   =  /f(t)<fr[f (t)+X]   x[<f>[f(t) + X]]
V*<X)x(t)=> /f (t)I[f (ti*X]   *¦[#[L (t)- X]]
Ker tvorijo operatorji W(X) grupo, tvorijo tudi operatorji V(X) grupo in smo s tem dobili iskano grupo unitarnih operatorjev.
Na vprašanje kdaj je v prostoru L-t-»,«) operator množenja z   zvezno funkcijo homogen, smo vsaj delno odgovorili z izrekom II» Omenimo še, da velja podoben izrek, le da postavimo na funkcijo f{t) nekoliko hujše zahteve, zahtevamo namreč, da je funkcija f(t) še zvezno odvedljiva.
Pa vzemimo sedaj še vse homeomorfizme na Številski pre mici in postavimo prejšnje vprašanje takole: kdaj je operator množenja s homeomorfizrnom na številski premici homogen operator ?
Homeomorfizem ja povratno enolična in v obe smeri zvezna preslikava in predstavlja na številski premici monotono funkcijo. Potem se to vprašanje reducira na prej postavljeno vprašanje in odgovor lahko zapišemo v malo spremenjeni obliki izreka II:
Operator definiran z relacijo {3) je homogen operator v prostoru L_ (-<»,«>), če je f poljuben homeomorf izem na številski premici, ki ima od nič različen odvod v vsaki, razen v števno mnogo točkah.
V drugem delu tega razdelka hočemo pokazati, da je
-41-
vsak homogen operator v separabilnem Hilbertovem prostoru ekvivalenten operatorju množenja z neodvisno spremenljivko v prostoru L2{-~,<»), pri tem se naslonimo na teorijo o urejeni reprezentaciji za sebi adjungirane operatorje in teorijo o kvaziinvariantnih merah.
Najprej bomo Študirali tak homogen sebi adjungiran operator, ki Ima enostavno spektralno večkratnost (izrek III), zatem bomo pokazali še splošneje, da pridemo do takega rezultata, ce ima homogen sebi adjungiran operator števno spektralno večkratnost (izrekV).
IZREK III:   Naj  bo A   sebi  adjungiran  homogen  operator v  eepa-rabilnem  Hilbertovem prostoru  3u . Pvivzemimo,   da ima  operator A   enostavno  spektralno  večkratnost. Potem je  operator A   unitarno  ekvivalenten  operatorju mnoaenja  e  t  v  prostoru  L„(-«>,»K
Pri dokazu tega izreka bomo uporabili nekaj teorije spektralne reprezentacije neomejenih sebi adjungiranih operatorjev In nekaj pojmov in izrekov iz teorije mere (glej razdelek 2). Povedali smo, da ima separabilen Hilbertov prostor urejeno reprezentacijo U glede na dan sebi adjungiran operator A v prostoru HL . Spektralno reprezentacijo definira linearna izometrija U,
U : IL  ---*    I  « L2^k' *
Kot sledi Iz definicije 3, je operator UAu" v prostoru
L ® k-fg.) prav operator množenja z neodvisno spremenljivko
(UAU-1x) (t) = tx{t) .
Al
Torej je homogenemu operatorju A pripadajoči operator A = UAU- v prostoru L© L2^llk^ °Perator množenja s t.
-42-
Pokažimo najprej, da je operator X = UAU~ tudi homogen operator v prostoru I  eL2(Ujj!
Po definiciji homogenosti eksistira k vsakemu realnemu X tak unitaren operator S(X), da je
A - XI = S(A)AS*(X) .
Konstruirati moramo torej tak unitaren  operator S. Z U smo
zaznamovali spektralno reprezentacijo/   to je linearno izo-
metrijo iz ~HL  —> L® L2*wk' * Ker ^e A  homogen operator, seveda velja
A - XI = W(X)AW"1{A) ,
kjer je W(X) unitaren operator. Zgornjo zvezo pomnožimo z leve z U in desne z u" , dobimo
UAU~X- XI = UWUIAW'NxiU"1.
Sedaj zaznamujemo UW(X)u" = S(X) in se prepričamo, da je S(X) unitaren operator, S~ = S* in SS~ = I. Naj bo Ux = Ç in Uy = n , kjer sta x,y e "H. in Ç,neL® L2 *Mk'* Dal^e dobimo
(sç,n) = (uwu_1ç,n) ¦» (uwx,uy) = (Wx,y) =
= (x,w"1y) = (Ux,UW-1y) - (Ç,UW-1u"1n) - (Ç,S-1t)).
Odtod sledi S* »S-1. Očitno je (UWU-1)(UW_1U_1) - I. In končno je
A - XI = UAU-1 - XI =
-1  -i -l
= UWU  AUW  U   » SAS*.
-43-
Privzeli smo, da ima operator A enostavno spektralno
večkratnost, to po definiciji 5 pomeni, da so e. prazne množice za vse k > 1 in seveda Pv^ o 0 za k > 1. V direktni vsoti prostorov L^'^k' ^mamo ^e en prostor L,(y.), kjer je M|(e) * y(eOe,) = p (e) , pri cerner je e. =R,vsa realna premica.
Eden važnejSih pojmov, ki ga pri tem dokazovanju večkrat uporabimo, je pojem kvaziinvariantnosti mere ([4]) in podajmo definicijo.
Definicija  19:   Naj  bo  G   lokalno  kompaktna   (kompaktna)   komu-tativna   topoloëka grupa.   Regularno  Borelovo mero  p na  G  imenujemo  kvaziinvariantnot   Se  je za merljivo  mnoSico  D C Gt   za  katero  je     ]i(D)   = = 0  tudi  \i(-x+D)   =  0  za  vaak xcG.
Kot   lokalno  kompaktno  komutativno   topoloSko  grupo  G vzamemo  realno  premico R  in grupna operacija  je  seštevanje.
Lema  20:   Pozitivna  regularna mera  \i  t   ki  pripada  po  izreku
o  urejeni  reprezentaciji  homogenemu  sebi  adjungira-nemu  operatorju A,   je  generirana  e   striktno monotono  funkoijo  in je  kvaziinvariantna.
Dokaz:   Po definiciji homogenega operatorja sta operatorja A in A - XI unitarno ekvivalentna za vsak realen \. Iz izreka 7 sledi, da sta ekvivalentni pripadajoči urejeni reprezentaciji. Po definiciji 6 to pomeni, da sta ustrezni meri ekvivalentni. Operatorju A pripada mera y, operatorju A - Al pa mera u. Operatorju A - \I  pripada v prostoru L_(u.(t)) operator množenja s t - X,   Imamo namreč spektralno reprezentacijo 0, U: iL  ---> L2(u1)- Za x{t)eL2(Ml) je
[U(A -  XI)U-1x](t) = (UAtT^Mt) -  Xx(t) -= Ax(t) -  Xx(t) = <t - A)x(t) .
-44
V prostoru L_(ii,(s+A)) pa je operator A - XI ekvivalenten operatorju množenja z neodvisno spremenljivko s. Vsaki funkciji xUieLjtyjtti) priredimo funkcijo Vx<s) - x(s+A) e L2(p1(s+X)i in obratno v"ly<s) - y (s-X)eL2 (ux(b)). Očitno je V izometrični izomorfizem
V : L2(\i1it))    ----»  L2(u1(b+XI),
saj je
cr,                                                                             co
|x(t)l2 - j |x(t)|2dUl(t) = J Jx(s+X)|2du1(»+Xi -
—co                                                                      —os
- ||x(s+X)||2 = | Vx (t) ||2.
Operatorju A - XI pripada v prostoru L2(u.(t)) operator množenja s t - X. Temu operatorju pa pripada v prostoru L2(Ul(s+xn operator V (A - XI) V-1 in
V(A - XDV"1y(s) = V{s - X)y(s - X) - sy(s) .
Tako pripada v prostoru L (u,(s+X)) operatorju A - XI operator množenja z s in u.ts+X) je mera, ki po spektralnem izreku pripada operatorju A - XI.
Zaradi ekvivalence operatorjev A in A - XI sta meri u in ü ekvivalentni, \i  -  y. Ekvivalentnost mer pa pomeni, da i2 p(D) « O sledi ü(D) = g{D + X) = O in obratno, za D C R, kar je ravno lastnost kvaziinvariantnosti.
Funkcija g(t), ki generira mero u, dg{t), je zvezna in monotona funkcija. Skokov funkcija g(t) ne more imeti, ker bi v tem primeru imel operator A v teh točkah lastne vrednosti, ki jih kot homogen operator nima. Recimo, da bi bila funkcija g(t) na kakem intervalu (a,b) konstantna. Potem je mera u množice D C (a,b) enaka nič, u(D) = 0. Ker sta meri,
-45-
ki pripadata operatorjema A in A - XI zvezni druga glede na drugo, to je ekvivalentni, sledi, da je y (D) = u (D + \ )   m ¦ 0 za vsak realen X, kar bi pomenilo, da je y(D) =  0 za vsako množico D C R.
Vpeljimo Še pojem konvolucije dveh pozitivnih mer. Naj bosta sedaj y in p pozitivni, regularni končni Borelovi meri na kompaktnem prostoru G, ki naj bo kompaktna Abelova topo-loäka grupa. Konvoluclja m*p je definirana na G {[5],[9],[15]) z relacijo
J f d(u*p) - j( j f (x+y)du(x))dp(y),
G                          G  G
kjer je f nenegativna po Borelu merljiva funkcija definirana na G.
Haj bo D Borelova podmnozica iz G. Za f vzemimo karakteristično funkcijo množice D, xD* Tako je
J XD d(ii*p) = (u*p) (D) * )<jxD<x+y)dy<x))dp(y) G                                                 G G
Ker. sta meri pozitivni in integrand pozitivna funkcija, velja Fubinijev izrek in dobimo
<U*p) (D) = j (J xD(x+y>dp<y))dv(x) =
G  G
" \{   1 X_x+D(y)dp(y))dM(x) = J  p(-x+D)dy(x) . G  G                                               G
G je Abelova grupa in z uporabo Fubinijevega izreka dobimo tudi
(U*p> (D) ¦  j y(-x+D)dp(x)
46-
Funkcijl u(-x+D) oziroma p(-x+D) sta glede na x po Borelu merljivi funkciji, kar tudi dokazuje omenjeni Članek [9]. Kako pa je s konvolucijo mer na lokalno kompaktni Abelovi grupi G? Naj bosta y in p regularni končni meri na G Iz članka [15] se vidi, da tudi sedaj velja vse, kar amo povedali za primer kompaktne Abelove grupe.
S pomočjo teh priprav konstruirajmo dalje mero f-p tako, da bo konvolucija u*p eksistirala in da bo končna.
0 tem govori naslednja lema.
2
Lema  21:   Če je mera   p dana   tako,   da je    dp    = dx/(î+x )   in
u pozitivna,   regularna  Borelova  mera,   potem je  kon-voluaija  dana  takole
(V*P){D)   =     [    Y<-*+Oidx
a+x")
končna   za omejene mnoSioe D C  Ä.
Dokaz:  Mero y naj določa monotona, zvezna in naraščajoča funkcija g<t), ki je končna za končen t. Funkcijo g(t) normalizirajmo, da je g(0) ¦ 0. Ker je
p(-x+D) < |g(-Ä+b) -g(-x+a)| < jg(-x+b) | +  |g(-x+a) | ,
kjer je D c |a,b|, dobimo
1
f   /  A*_» j        f g(~x+a) (
Oba integrala sta v mejah od -R do N končna, N poljubno končno število, ker je funkcija g{-x+b) in g{-x+a) omejena za

-47-
xe[-N,N]. Da bo prvi sumand končen, je treba oceniti le integrala
-N f g(-x+b)dx
J  (l+x2)
ln  [J g<-x+a)dx  |
N
(l+x'i
Ocenimo najprej tale integral
-N
g<-x+b)dx  |  _
'i
-N
T d+xz)
g(b-x)dx 5
-N
dx
(l+x*)
I. <
Ocenimo Se drugi integral in imamo
il sik-odx ,     r_dx_^
„       (l+x2i             i     (l+x2)
N
N
Enako dobimo ocene tudi za integral g (-x+a)dx
j
_J   (l+xz)
Lema  22:  Mera   p, definirana  V  prejšnji   lemi,   je   kvaziinva-riantna.
Dokaz:  Naj bo D taka omejena množica na R, da je p(D) « 0, Videti moramo, da je tudi p(-x+D) » 0 za vsak xeR. Torej
p (D)
= J  XD dP
dt
0.
1+t'
Ker je funkcija h{t),
h(t) =
1+t'
-48-
pozitlvna funkcija, je m(D) = 0, kjer je m Lebesgova mera. Ker je h(t)eL-, velja, da je tudi h(t-x)eL. in imamo
p(-x+D) =    h(t-x) dt = 0 , D
ker je m(D) = 0,
S pomočjo konvoluclje lahko pokažemo odnos med merama a*- in p*
Lema  23:   Ker  sta prej  opieani meri  \i  in  p kvaziinvariantnit
8ta  zvezni  druga glede  na  drugo,   torej  ekvivalentni.
Dokaz:    Vzemimo tako množico D c  R, da je y(D) » 0. ZapiSimo konvolucijo
co
(y*p> (D) =>  \ M(-x+D)dp(x) ,
Zaradi kvaziinvariantnosti mere y je u(-x+D) = 0 za vsak x. Đotem je  (n*p) (D) = 0, torej u*p << g.
Sedaj vzemimo tako množico D C R, da je (u*p) (D) <¦ 0, potem je
00
<U*p) <D) »  1 ft(-x+D)dp(x) - 0.
Meri y in p sta pozitivni in je \i (-x+D) = 0 skoraj povsod glede na mero p. Eksistira tak x , da je u(-x +D) = 0, zaradi lastnosti kvaziinvariantnosti je u(D) =0 in u<< v*P* Tako smo pokazali, da sta meri p in y*p  ekvivalentni.
Pokazati hočemo Še, da je p = y*p . Spet vzemimo tako množico D, da je p(D) = 0. Zapišimo konvolucijo v tej obliki
«j
¦!
<M*P> (D) -    p(-X+D)du<x).
-49-
Ker je p kvazilnvariantna mera, je p(-x+D) ¦ O in odtod sledi, da je  (u*p) (D) = 0. Pokažimo obratno. Za množico D, za katero je (u*p) (D) = 0, je
00
(V*p) (D) =  t p(-x+D)du(x) =« 0.
—oo
Ker je p pozitivna mera, je p(-x+D) = 0 skoraj povsod glede na mero jj. Eksistira tak x , da je p(-x +D) ¦ 0, zaradi kvaziinVariantnosti pa je p(D) ¦ 0.
Ker ima ekvivalenca lastnost tranzitivnosti, iz obeh rezultatov sledi: \i  =  p.
Lema   24:   Prej  izbrana mera  p in  Lebesgova mera m  eta  zvezni druga glede  na  drugo,   p = m.
Dokaz:  Vzemimo tako množico D C R, da je p<D) = 0. Pokazati je treba, da je tudi m(D) ¦ 0. Definirajmo zaporedje pozitivnih funkcij $  takole
¦a"tH x2) *Drt[-n,n]
Ker je funkcija $  različna od nifi le na množici, ki ima mero p enako nie, je očitno
J *n \     - °-
—00
Imamo naraščajoče zaporedje pozitivnih, merljivih funkcij e , A (x) —> $ (x) , n -*¦  » , pri cerner je limitna funkcija
$(x) = (1 + x ) Xn' XLR* Po Lebesgovem izreku o monotoni konvergenci velja, da je tudi $(x) merljiva funkcija in je
OO                                                                                 00
\ $  dp  --------»   \     0 dp tri ¦*¦<*>   .
-50-
Od^Jtod sledi
[ * dp
(1+x2)    dx
(1+x2)
in odtod pa m(D) =0. Obratno, da it m(D) =0 sledi p(D) » 0,
2 je očitno, saj je funkcija l/(l+x )eL..
Posledica leme 23 in leme 24 je, da sta meri g in Le-besgova mera m ekvivalentni, p = m.
Lema  25:   Če  sta  meri  \i   in m  ekvivalentni,   je  operator A   z
lastnostjo,   kot  Brno  30  postavili  v  izreku  IIIt   ekvivalenten operatorju množenja  z  neodvisno  spremenljiv-ko v prostoru Lp (-a>,co).
Dokaz:   Homogenemu operatorju A po izreku 4 pripada operator
-1
A = UAU  v prostoru L2(y1) = L2(p). Vemo, da je operator A
tudi homogen operator in da je operator množenja s t v prostoru L_(p). Vzemimo funkcijo ycL_ (m) in xeL_(u)r zaradi ekvivalence mer po Radon-Nikodymovem izreku velja
du = h (t) dt ,
kjer je h(t) pozitivna funkcija integrabilna na vsakem končnem intervalu. Velja tudi
dm m  l/h(t) dp
in    l/h(t) EL.,     .  Norma  funkcije    xeI*2 (p)   je
|xK2  =    1 |x(t) |2 h(t>dt
—co
in norma  funkcije yeL_(m)   pa
CD
||v||2    o      j   |y(s)|2 ds
-51-
Preslikava Vi L2(y) -----> L2(m) naj priredi funkciji x(tfrE
L2<u) funkcijo y(sJeL,^' takole:
y(s) = Vx(s) « x{s) /ft(S) . Preslikava V je izometricni izomorfizem, norma se ohranja
OO                                                                         00
||xH2 =   l |x(t)|2h<t)dt =   \ IxttJ \[h(t)   |2dt »
oo
-    J   |ytt)|2dt - Jy|2 - |Vx|2.
Torej je operator A ekvivalenten operatorju množenja z s v prostoru L-(m) , kajti
(VAV'Vi (S) - VA tSSL    « V s  Xl2l    -
/STII7                    /h~TiT
= s ^TTsT   ^  - s y(s). /nTiT
Ker je predpostavka leme 25 izpolnjena, imamo s tem dokazan izrek III.
Vprašamo se, kako je v primeru, ko imamo homogen sebi adjungiran operator z večkratno spektralno mnogokratnostjo? Poglejmo najprej primer z dvojno spektralno vefikratnostjo. Pokažimo, da velja izrek, ki ga zatem lahko posplošimo.
•
IZREK IV:   Homogen  sebi  adjungiran operator A   V  eeparabilnem
Hilbertovem prostoru  naj  ima  dvojno  spektralno  veS~ kratnost.   Tak operator je  ekvivalenten operatorju mnoSenja  s   t  v  direktni  vsoti  dveh prostorov L„(-«>*<*) .
Dokaz:  Po predpostavki vzemimo, da sta neprazni le prvi dve Borelovi množici iz definicije 5, to je e. ¦ R in e2, ostale
-52
množice e. naj bodo za k>3 prazne. V razdelku 2 smo omenili, da sebi adjunglranemu operatorju pripada neka pozitivna mera u , takoimenovana mera urejene reprezentacije in u(ej)>0, u(e-)>0. Meri u,(e) inu3(e), kjer je e Borelova množica iz e-, sta definirani (definicija 5) tako
U^e) « g (e)  in u2(e' " u(efle2).
Po Izreku 4 eksistlra izometricnl izomorfizem U,
U: X •---> L2(Uii ® L2(u2) _
Operator A je ekvivalenten operatorju množenja s t, za (xr(t) ,x2(t))eL2(u1i ® L2(g2) je
AfXjftî ,x2(t)) ¦ (tXj(t) ,tx2(t)) ,
-1
kjer je A ¦ UAU  in U prej omenjeni izomorfizem. Operatorju A unitarno ekvivalenten operator A - XI je ekvivalenten operatorju množenja s t-A v prostoru L«{y.) 9  L2(y2>, torej
(A - AI)(x1(t),x2(t)) = ((t-A)x1(t),(t-A)x2(t))
Po izreku 7 pripada operatorju A - Al neka mera u urejene reprezentacije in Borelovi množici f, = H in f,, f, Z2  f2 in y{f.)>0 za k ¦ 1,2 in ptfjj = 0 za k>3, kajti unitarno ekvivalentna operatorja imata enako veckratnoat.
Operator A - Al je tudi ekvivalenten operatorju množenja s t v direktni vsoti prostorov L_ z mero y.tt+AI oziroma y2(t+A) in p(e) = u1(e+Ai.
Ker sta po definiciji homogenosti operatorja A in A - Al unitarno ekvivalentna, velja, da sta pripadajoči ure-
-53-
jenl reprezentaciji ekvivalentni, to pomeni (definicija 6)
M a M in u(ekAfk) = U<ekAfk) = 0,k=l,2
Množica f. Je v tem primeru za X premaknjena množica e. , fk e ek - X. Ker je e* « f, ¦ R, je pogoj u(ejAfj) = « p(e.Af.) ¦ 0 očitno izpolnjen in ostane le
\i  = $  in u(e2Af2) ¦ M (e2Äf 2^ = °*
Pokažimo tole trditev:
Borelova mnoSiaa  e_ je  kar enaka vsej realni premiai P  skoraj povsod glede na Lebesgovo mero.
Zaznamujmo s $(t) karakteristično funkcijo množice e_ in karakteristično funkcijo množice f- = e„ - X pa s <Mt+X) • Karakteristična funkcija simetrične diference e2A f2 je  $(t) + <Mt+X) - 2<Mt) + <t+X). Mera y, ki pripada operatorju A je po lemi 20 kvazilnvariantna in je, kakor smo se prepričali, ekvivalentna Lebesgovi meri m. Potem sledi iz pte-Af-i = 0, da je tudi mfe-AfJ ¦ 0, kjer smo z m kot vedno, zaznamovali Lebesgovo mero. Odtod sledi, da pri vsakem XeR velja
$(t) + $(t+X) - 2<fi(t)(Mt+M ¦ 0 skoraj povsod. Tako dobimo
es
\ f (t) [o>(t)+ (fr(t+X) -2<fr(t)o>(t+X)]dt « 0,
—00
za poljubno po Lebesgu merljivo funkcijo f(t). ZapiSlmo zgornjo enakost takole
00                                                                                                             OB
J f<t) [2<fr(t)-l]   <Kt+X)dt -   J
(t)-l]   <Kt+X)dt -      f(t)*(t)dt,
-54-
Izraz 24(t) -1 lahko zavzame vrednost 1 ali -1; vpeljimo funkcijo g(t), in sicer g(t) = f(t)[2f|t) - lj. Očitno je tuđi funkcija g(t) merljiva in poljubna, če ptimerno izberemo f (t). Dalje je
f(t)<Mt) = g(t)
<Ht)
2*(t)-l
in ulomek v zgornjem izrazu ima za tee- vrednost 1, za t^e-pa 0 in je torej karakteristična funkcija množice e-. Tako
f (t)$(t) = g(t)(fr(t) ,
S tem dobimo dalje
CD                                                                         00
J g(t)$(t+A)dt = ) g(t)<fr(t)dt,
oziroma
\  g (t) [*(t+xi-*(ti] dt = 0,
za poljubno merljivo funkcijo g(t); od^tfd dobimo tole pomembno zvezo
$(t+A) - <fr(t) =0                                              (11)
Ta enačba velja pri poljubnem \  skoraj za vsak t glede na mero m. Punkcija $(t) je merljiva, zato eksistira integral x
]  <Mt) dt = f(x) 0
za vsak realen x. Tu je f(x) zvezna funkcija spremenljivke x
Dalje je
f(x+\) ¦ J  <Mt)dt.
in je f(o) = 0. Dalje je
z.
-55-
Sedaj namesto integracijske spremenljivke t vzemimo t+X  in imamo
x f(x+X) = l  <* (t+X) dt.
Upoštevajmo 2vezo (11) in dobimo
x f(x+X) = j  $(t) dt,
-X
ko razdelimo integracijski interval pa
x                      -X
f(x+X) = J (j)(t)dt - f #(t)dt, 0                      0
odtod sledi
f<x+X) = f (x) - f (-X) . Vstavimo x=0, dobimo f(X) = - f(-X) in končno imamo
f (x+X) = f (x) + f (X) .
Ker je f(x) zvezna funkcija, ima ta funkcionalna enačba samo rešitve f(x) = c.x, kjer je c konstanta,
Znano je, da iz enačbe (12) sledi, da je funkcija f(x) odvedljiva in njen odvod je skoraj povsod enak integrandu, torej
f'(x) = ¦(x).
Ker je f'(x) = c, je <f» (x) konstantna skoraj povsod. Torej ima funkcija $(t)   konstantno vrednost na poljubnem intervalu skoraj za vsak t glede na mero m. Ker je $ karakteristična funkcija, je *(t) ali 0 ali 1 skoraj za vsak t glede na mero m. Tako je e. = R skoraj povsod glede na m, ali pa e- = 0 skoraj povsod. V drugem primeru bi imel operator A le enostav-
-se-
no spektralno večkratnost, kar nasprotuje privzetku.
Ker je e- -  R skoraj povsod, je torej ji2*e' = w(e^e2^ = m  u(e) za poljubno Borelovo množico e C R. Tako je y2(e) " = U,(e) in enako kakor pri dokazovanju izreka III, ugotovimo, da je operator A|L2(u2) unitarno ekvivalenten operatorju množenja s t v prostoru L,(-«,»). Tako je homogen operator A z dvojno spektralno veckratnostjo ekvivalenten operatorju množenja s t v direktni vsoti prostorov L2(-«>,co) ffl L2(-ec,oo) .
Rezultat, ki smo ga pravkar dobili, lahko analogno razširimo na homogene sebi adjunglrane operatorje s poljubno spektralno veckratnostjo.
i,
IZREK V:     Sebi  adjungivan  homogen operator v   eeparabilnem  Hil-bertovem prostoru ^ je  ekvivalenten  operatorju množenja  a  t v direktni  vsoti  prostorov L „(-<*>,«>),   tj.
L 0 L   f-o,»;. Sumandov  v   tej  direktni  Vsoti  je   toli-
K
ko>   kolikrëna  je  spektralna  večktatnost  operatorja.
Podobno kakor prej bi se prepričali, da so Borelove množice efc iz definicije 5 enake R skoraj povsod glede na mero m. Tako je uk(e) = uteflejj = \i{e)   =  n,(e). Zatem lahko enako kakor * izreku IV ugotovimo, da je operator A = UAU restringiran na prostor L2 (uk)» k = 1,2,... unitarno ekvivalenten operatorju množenja s t v prostoru L_(-»,»).
Pokazali smo, da je vsak homogen operator A z enostavno spektralno veckratnostjo ekvivalenten operatorju množenja z neodvisno spremenljivko t v prostoru L2(-t*>>oo) t   (izrek III). Množica unitarnih operatorjev { U(x)/ AeR}» ki pripadajo operatorju A po definiciji homogenosti, v splošnem ne sestavljajo grupe unitarnih operatorjev. Operator U(A) pri danem A ni enolično izbran, kot smo pokazali. Ker je homogen operator A ekvivalenten operatorju množenja s t, za katerega pa lahko izberemo množico (V(A) , AeR} tako, da je (V(A)} grupa.
-57-
Potem tudi za homogen operator A z enostavno spektralno več-kratnostjo lahko izberemo množico unitarnih operatorjev (U(A), X t RJ tako, da je tudi |U(A)I  grupa. V izreku I smo trdili: če je A homogen Ireducibilen sebi adjungiran operator in ce je mogoče izbrati množico (U(X), AfrR \    tako, da je to grupa, potem je operator A ekvivalenten operatorju množenja v prostoru L- (-*»,«*).
Veljavnost izreka I sledi torej iz izreka III in zgoraj povedanega, Se se le äe prepričamo, da iz ireducibilno-sti operatorja A sledi enostavna spektralna večkratnost. 0 tem se prepričamo takole: Če ima neki sebi adjungiran operator spektralno večkratnost večjo ali enako 2, potem ima ta operator najmanj dva invariantna podprostora in zato- ni ireducibilen,
-58-
5. HOMOGENI UNITARNI OPERATORJI
V prejšnjem razdelku smo dobili nekaj rezultatov za homogene sebi adjungirane operatorje. Tu želimo nakazati,da se da dobiti podobne rezultate za preprostejši tip operatorjev, to je za unitarne operatorje. Do teh rezultatov pridemo po podobni poti kakor pri sebi adjungiranih operatorjih. Podajmo najprej definicijo homogenosti za unitarne operatorje.
Definicija   26:   Unitaren  operator U,   definiran  v   eeparabilnem Hilbertovem  prostoru  imenujmo  homogen,   Se je ekvivalenten  operatorju  e     U  za  vsak  a,0<a<2-n.
Po  zgornji definiciji  za  vsak ote [0,2Tr]°bstaja unitaren operator V(a) ,  da je
eiaU = V(a)UV*(a)                                               (1)
oziroma
eiaOV(a) = V(a)U.
Najprej zopet poglejmo, ali kak homogen unitaren operator sploh eksistira. V prostoru L-(K), kjer K pomeni enotno krožnico v kompleksni ravnini, eksistira homogen unitaren operator U, dan s predpisom
Ux(z) = žx(z) = e^xfe1*) ,
kjer je x(z)eL2{K) in z = e *.
Pripadajoči unitami operator V (a)   izberimo na primer takole
V(a)x(z)   =    e~lct/2x(eic(z)   =
=  e-ia/2 x(e1(*+a>),
in
-59-
V*(aix(z) - ela/2 x(ei(*~aî). Pokažimo, da s tako izbranimi operatorji velja zveza (1):
eiaUx(z>   = ei(*+a>   xte1*)   = eictz x<z),
V(a)UV*(a)x(z)   = V (a)Ueia/2 x (e1 (*~a) )   *
»VfaJe1*  eic,/W(*~a))   a e-^V^^^^e1*)   =
> e^e1* xfe1*)   = elaz x(z).
Unitaren operator je normalen operator in ima spekter na kro-žnici K. Homogen unitaren operator ima samo zvezen spekter, torej je vsa kroŽnica K zvezen spekter.
0 tej trditvi se prepričamo v dveh korakih. V prvem koraku pokažimo, da homogen unitaren operator nima lastnih vrednosti. Recimo, da je e * lastna vrednost operatorja U. Obstaja torej lastna funkcija x{z), da je
Ux(z) - eiB x(z) .
Uporabimo lastnost homogenosti:
eiciUx(z) = V(a)UV*(ct)x(z)
in imamo
ei{a+6) x(z) = V(a)UV*(a)x(z) , pomnožimo zgornje z leve z V* (a), dobimo
ei(a*ß)  v*{a)x(z) = U{V*(a)x(z)) .
Zaznamujmo V*(a)x(z) = y(z;a) in dobimo
-60-
torej je e   "'* tudi lastna vrednost operatorja U in to za poljuben a. Tako bi imel homogen unitaren operator neštevno lastnih vrednosti, kar v separabilnem Hilbertovem prostoru ni mogoče.
V drugem koraku pokažimo se, da na krožnici K ni regularnih točk homogenega unitarnega operatorja U. Pa reci-
iß mo, da je X   » e  regularna točka operatorja U, to pomeni,
ifl  -1 da je operator (U - e PI)   omejen operator.  Potem je
V(a) (U - ei0I)-1V*(a) , kjer je V(a) unitaren operator iz
enačbe (1), tudi omejen operator. Zapisimo
V(o)(U - ei$I)_1V*(ti) = [v(a)(U - elßI)V*(a)]"1.
Upoštevajmo še relacijo homogenosti in dobimo
[V(aMU - ei0I)V*(a)]-1 » (V (ct)UV* (a) - ei0I)-1 =
= e_la(U - e1(8-a)I)_1.
Ker je očitno operator  [(U - e (&~a'i]~ omejen operator, je
tudi §*'&-** regularna točka, in to za vsak a. Tako bi bila
m vsaka točka na krožnici regularna, sic« bi bil spekter prazna množica in odtod zaključimo, da na krožnici K ni regularnih točk homogenega unitarnega operatorja U.
Iz obojega do sedaj povedanega, da homogen unitaren operator U nima rstnih vrednosti in da na K ni regularnih točk, sledi, da je vsa krožnica K zvezni spekter.
Kot smo omenili, je unitaren operator omejen normalen operator, za take operatorje je izdelana teorija spektralne in urejene reprezentacije ([3],pogl.X.5); veljajo seveda podobni izreki kakor pri omenjeni teoriji za sebi adjungirane
-61
operatorje. Ekslstlra izometriCni izomorfizem iz Hilberto-vega prostora "JČ. na X ® L- (p.) , kjer so u. pozitivne regularne Borelove mere na krožnici. Iz teorije o kvaziinvariantnih merah, ki pa so sedaj definirane na kompaktni komutatlvni to-poluški grupi - krožnlci K (definicija 19), sledi po analogni poti, kot pri sebi adjungiranih operatorjih, da je na kroŽ-nici vsaka kvaziinvariantna mera ekvivalentna Lebesgovi meri m na krožnlci.
Podobno kot v razdelku 4 dokažemo, da homogenemu unitarnemu operatorju z enostavno sbektralno veckratnostjo pripada po urejeni spektralni reprezentaciji mera, ki je kvaziinvariantna.
Sedaj na podoben način kakor pri homogenih sebi adjungiranih operatorjih dobimo rezultat, da je homogen unitaren operator v separabilnem Hilbertovem prostoru unitarno ekvivalenten operatorju množenja z neodvisno spremenljivko z,|z| =» 1 v prostoru L-(K,m), oziroma splošno:
Homogen  unitaren  operator  v  separabilnem  Hilbertovem prostoru je  ekvivalenten  operatorju mnoSenja  z  neodvisno spremenljivko  z,   \z\   $ 1,   v direktni  vsoti prostorov L.(Kt%}; število  sumandov  direktne  vsote  se  ujema  s   spektralno  veckratnostjo  operatorja.
-62-
6. HOMOGENI NORMALNI OPERATORJI
Pojem homogenosti lahko razširimo iz sebi adjungira-nih in unitarnih operatorjev tudi na normalne operatorje.
Definicija   27 :   Normalen  operator A   v  eeparabitnem  Hilbertovem prostoru  imenujmo  homogen,   Se  je  ekvivalenten razliki  A   - XI  za  Vsako   kompleksno  Število  X.
Iz definicije sledi spet nekaj lastnosti homogenega normalnega operatorja. Homogen normalen operator je neomejen in če je definiran v separabilnem Hilbertovem prostoru, nima nobene lastne vrednosti. Razlogi za to so seveda isti kakor pri homogenih sebi adjungiranih operatorjih. Zvezni spekter v tem primeru predstavlja vsa ravnina kompleksnih števil.
Prepričajmo se o eksistenci homogenega normalnega operatorja! Vzemimo spet prostor L- vseh v Lebesgovem smislu merljivih funkcij x(t,-r) dveh spremenljivk. Operator množenja s t+ it je homogen operator,
(Ax) (t,t) - (t+ix)x(t,T> .
Grupa unitarnih operatorjev U{X), ki prevedejo normalen operator A v A - XI, je določena s predpisom
(U(X)x) (t,t) = x(t+Xj, t+X2I ,
kjer je X = X. + ^2* Hitro se prepriCamo, da je z zgoraj uvedenim unitarnim operatorjem izpolnjena relacija homogenosti, kajti
((A - XI)x}(t,T) ¦ ((t-Xj) + i(T-X2))x(t,i) in
-63-
( (U(X)AU*(A>x) (t,T) = (Ax) (t-X1,T-X2) = = (t-X1 + i(T-X2))x(t-Al(T-X2) -
= ({t-X^ + i(T-X2))x(t,T) .
Podajmo sedaj normalen operator A še v obliki
A - Ax + i A2,
kjer sta A, in A_ sebi adjungirana operatorja, ki komutirata. Trdimo tole: ce je normalen operator A homogen, potem sta tudi sebi adjungirana operatorja A. in A„ homogena. 0 tem se hitro lahko prepričamo.
Sebi adjungiran operator A. se izraža takole
A + A* Al "    2
Ker je normalen operator A homogen, potem za operator A* velja tale relacija
A* -  XI = U(X)A*U*{A) oziroma
A* -  XI = U(X)A*U*(Xi.
Poglejmo, kako je z relacijo homogenosti za operator A.!
Al " X1 =  It(A " XI) + (A* " XI)I = = |(U(X)AU*(X) + U(X)A*U*(XI) .
Ker pa je operator A. sebi adjungiran, je X realno Število in imamo
A+A*
Aj - XI - U(X)^p UMA) = U(X)A1U*{X),

-64
torej je sebi adjungiran operator A. homogen. Enako se prepričamo o homogenosti sebi adjungiranega operatorja A_.
Podobnega rezultat«, kakor ga imamo pri sebi adjungiranih homgendih operatorjih, da je namreč homogen normalen operator ekvivalenten operatorju množenja s t + It v direktni vsoti prostorov L-, kjer se Število sumandov direktne vsote ujema s spektralno večkratnostjo normalnega operatorja, pa ni uspelo dobiti. Potrebovali bi spektralni teorem in teorijo o urejeni spektralni reprezentaciji za normalne operatorje, če bi seveda delali po podobni poti kakor pri sebi adjungiranih operatorjih. Tu nastopi težava, kajti spektralno reprezentacijo Hilbertovega prostora imamo le za omejene normalne operatorje ([3],pogl.X; Ti])» homogen normalen operator pa je neomejen.
-65-
7. HOMOGENE SPEKTRALNE MERE
Znano je, da vsakemu sebi adjungiranemu operatorju pripada enoparametrična družina {E(X)}- Iz spektralne družine (E(X}> sebi adjungiranega operatorja moremo konstruirati spektralno mero operatorja, saj lahko vsaki Borelovi množici e na realni premici priredimo projektor E(e). Za odprti interval (a,b) definiramo E((a,b)) takole:
E((a,b)) = E(b-O) - E(a) .
Za poljubno Borelovo množico e je narejena konstrukcija v []4}Vll/3. Dobljeno družino {E(e),ee q } imenujemo spektralno mero sebi adjungiranega operatorja A.
Iz homogenosti operatorja A sledi, da ima spektralna mera to lastnost:
E(Te) = U(T>E(e)U*<T) , ee (&,
kjer pomeni t paralelni premik množice e, U(t) je unitarni operator. Spektralno mero, ki zadošča zgornji enačbi, imenujemo homogeno spektralno mero.
Do sedaj povedano povzemimo v tejle ugotovitvi: homogenemu sebi adjungiranemu operatorju A pripada homogena spektralna mera.  Tako poleg homogenih operatorjev lahko študiramo tudi homogene spektralne mere.
Splošno definicijo spektralne mere smo podali v razdelku 3, tam so zbrana tudi sredstva, ki jih potrebujemo pri Študiju homogenih spektralnih mer.
Uvedimo pojem homogenosti pri spektralnih merahl Kot do sedaj naj pomeni (p družino vseh Dorelovih množic iz R , P linearno množico vseh sebi adjungiranih projektorjev v da-
-66-
nem Hllbertovem prostoru X. Zaznamujmo s T grupo vseh tran-slacij T v prostoru R in Te je množica, v katero preide množica e po translaciji t.
Definicija   S3:   Spektralno  mero   E(e),
E(e)   ;  ß ---->  P
imenujmo   homogeno   (za  tranelacijo) >   âe je  spektralna mera  E (-re)   ekvivalentna meri   E(e)   za  v e a-ko   tranelacijo  t in  za  veako mnoSico  eeßv torej ekeistira   tak  unitaren  operator U (t),   da je
Eine)   s  U(t)E(e)U*(T)
za  vsako  Borelovo množico   e.
Recimo, da imamo dano homogeno spektralno mero E. Predpostavimo najprej, da imamo enostavno spektralno večkratnost. Torej naj bodo vse množice iz zaporedja Borelovih množic {e.}, ki nastopajo pri urejeni reprezentaciji, prazne množice, le e, « R . Eksistira tak maksimalni vektor xeX/ da je H(x) ves prostor X in u  = u. = g.
Lema   29;   Zgoraj  definirana  mera  u je  kvasiinvariantna  in ekvivalentna  Lebesgovi  meri  m,   u = m.
Dokaz:   Pri dokazu bomo uporabili rezultate, ki smo jih dobili že pri homogenih sebi adjungiranih operatorjih v razdelku 4. Začnimo s kvaziinvariantnostjo. Da ugotovimo kvaziin-variantnost mere, po definiciji 19 potrebujemo, da je mera na lokalno kompaktni komutativni topološki grupi regularna Borelova mera. Mera u ima na prostoru R te lastnosti. Ker je spektralna mera E(e) homogena, je ekvivalentna spektralni meri E{re) = E(e). Po lemi 18 iz razdelka 3 sledi, da sta pripadajoči urejeni reprezentaciji ekvivalentni, to po definiciji 15 pomeni, da sta meri y in n , ki pripadata spektralnima merama E(e) in Ë(e>, ekvivalentni. V tem primeru je
Ë(e) = E(ie) in v (e) = \i (Te) .
-67-
Iz ekvivalence mer sledi, da za množico e e R , za katero je M (e) = 0, je tudi y (e) = y (xe) = 0 in obratno. S tem imamo prav lastnost kvaziinvariantnosti mere.
Spet potrebujemo pojem konvolucije dveh mer. Po članku [15] je definirana za pozitivni končni regularni meri kon-volucija takih mer na lokalno komapktni grupi G takole:
<u*p) (D) = ] v (-X+D) dp(x)
G
za vsako podmnožico DcG.
V našem primeru vzamemo za G evklidski prostor R . Mera y je določena s spektralno mero E, medtem ko mero p želimo izbrati tako, da bo to pozitivna, regularna Borelova in končna mera, obenem pa še taka, da bo integral, ki nastopa v konvoluciji, končen. Definirajmo mero p tako
-I
p(e) =   f(r) dm,
kjer bomo za f{r) izbrali primerno zvezno funkcijo iz pro-
štora L.. Tu je r = (L |x,|) ' .Zrn zaznamujemo k-dimenzio-
i=l nalno Lebesgovo mero.  Tako definirana mera p je absolutno
zvezna glede na mero m. Vpeljimo sferične koordinate in imamo
îîk \rk_1f i
Rk
v kjer je nfc površina krogle v R . Funkcijo f(r) izberemo še
tako, da bo
\ f(r) dm <
Rk
vzemimo na  primer,  da  je
f<r> -   ;   l k+i '
1  + r
-68-
tedaj velja
\    rk-i dr J l  + rk«
k+1 Torej je dp = dm/(l + r  ). Tako določena mera ima vse
potrebne lastnosti, je pozitivna, Borelova, končna in tudi
regularna mera. Konvolucija je končna, ocenimo
| (n*P> (D) ] <  u(Rk) )     dp , DELE
Rk Mera p je tudi kvaziinvariantna, o čemer se prepričamo podobno kakor v lemi 22. Ker sta meri p in p kvaziinvariantni, dobimo po lemi 23, da sta meri ekvivalentni, to je zvezni druga §lede na drugo.
Pokazati bi bilo še treba, da je mera m absolutno zvezna glede na mero p. Dokaz teče podobno kakor v lemi 24. Dobili smo vmesni rezultat: p s m.
Zaradi tranzitivnosti relacije ekvivalence sta meri y in m ekvlvaletni,^ = m.
Ko imamo ta rezultat, lahko zapišemo izrek, ki je analogen izreku III za sebi adjungirane operatorje.
IZREK VI:     Nas   bo  E(e)   homogena  spektralna mera  z   enostavno
spektralno  veSkratnostjo  v  separabilnem  HilbertoVem prostoru 3u Potem  eksistira  tak  izometriSni  izo-
morfizem      1L--> L.(m,R  )t   da  projektorju
E(e):   IK--* ^ ustreza  V  prostoru  Lg(m,R  )   operator množenja  s  karakteristično  funkcijo  xfi-
Dokaz:  Pokazali smo, da imamo urejeno reprezentacijo z enostavno spektralno večkratnostjo v separabilnem Hilbertovem prostoru glede na mero E, torej
J : H(x)  «------*  L2^x)#
-69-
Vemo tudi, da projektorju, ki deluje v H{x), ustreza v prostoru L_(u ) množenje s karakteristično funkcijo x . Vzemimo feL-(u). Zaradi ekvivalence mere ^ in Lebesgove mere imamo po Radon-Nikodymovem izreku
dy = h (t) dt, kjer je h(t) pozitivna in h(t)eLj,  . IzraČunajmo normo f,
llfll2 = J     |f|2 dMx -   J   |f;(t)|2h(t)dt
Rk                            Rk
Preslikava V,
V ! L2(ux) 4----> L2(m)
dana s predpisom
Vf = f/~h~ = g L2(m),
je očitno izomorfizem in je tudi izometrična, saj je po zgornjem računu
MJj   - llvfll2 = lg|l2.
tDzracunajmo Se
<VE(e)V-1)g - VE(e)f = VXe f = Xßg
in vidimo, da pripada projektorju E(e) množenje s karakteris-
v tifino funkcijo x v prostotu L2(m,R ), proëtoru vseh po Le-
besgu merljivih in s kvadratom integrabilnih funkcij v prostoru Rk.
V izreku VI smo predpostavili, da imamo enojno spektralno večkratnost. Spet skušajmo posplošiti in vzemimo naj-rej, da imamo dvojno spektralno večkratnost urejene reprezentacije glede na dano homogeno spektralno mero E, na primer
-70-
e1 ¦ R , m (e.) > 0, e. = j3 za k > 3. Po lemi 11 imamo v tem
primeru
It  = H(Xj) © H(x2)
in u j (e) " p1(e Ae2) r e d R , kjer je u 1 te) = (E(e)x1,x1) in M2(e) ¦ (Ete)x2,x_). Pokazali smo, da imamo izometrični lzo-
morfizem J,
.k. Ä . «  „k,
"K «---------*  L2(Ml,R ) ®L2(u2,RK).
Lema   ZO:   Urejena  reprezentacija  z   dvojno  spektralno  veSkrat-
noBtjo  glede   na  homogeno  spektralno  mero  ima   to   last-
k noBtj   da je  tudi mnoSica  e„ kar ves  prostor R    skoraj
povsod alede  na  Lebesgovo mero   in potem  je
V 2 f*/ =  Mi teJ = u (e) .
Dokaz:   Ker sta zaradi homogenosti za vsak premik t spektralni meri Et(e) in E (te) unitarno ekvivalentni, vej.ja, da sta pripadajoči urejeni reprezentaciji ekvivalentni,
M = M  in  M tenAf ) = MtenAfn) = 0, n = 1,2.
Množice f so Borelove, ki pripadajo po urejeni reprezentaciji spektralni meri E (Te). Množica f"2 je translatlrana množica e2, f_ = t e_. Enako kakor pri sebi adjungiranih operatorjih zaznamujmo s $(t) karakteristično funkcijo množice
e_,  $(t) ¦ x  in *(t+T) - X* = X   • Prav tako velja za *                        e2                              t2    te2
karakteristično funkcijo simetrične diference e2A f2, da je
¦ (t) + ¦(t+T) - 2<p(t)*(t+T) = X0 A To
e2u T 2
Tu je t - (Tj,t2,... ,Tj^) in t = (t1 ,t2,... ,ty) . Zaradi ekvi-valence mere u in mere m sledi iz jite-Af») = 0, da je tudi mte^Af,) c 0. Potem imamo

s
-71-f(t)1>(t) +*(t+T) - 2A (t)A (t+T)]dm = 0
za vsak tin za vsako merljivo funkcijo f. Zgornjo enačbo zapišemo v tej obliki
\    f(t)[2A(l> - l]A(t+T>dm = J  f(t)A(t)dm.     (1) k                                                          k
Vpeljemo funkcijo g (t) = f(t)[2A(t) - 1] , ki je očitno merljiva funkcija in po enakem razmisleku, kakor v razdelku 4 dobimo relacijo
f (t)A(t) = g(t)A(t) .
V desno stran enačbe (1) vstavimo desno stran zgornjega izraza in je
\    g(t)A(t+T)dm =  J g(t)A(t) dm
odtod pa
Rk                                        R*
j g(t) [+(t+T> - ¦(t)]dm « 0,
Rk
za poljubno merljivo funkcijo g(t).
Sedaj dobimo zopet zvezo
A(t+T> -A (t) = 0,
it)
,k
ki velja pri poljubnem t in skoraj za vsak teR glede na mero m.
2
Nadaljne razmišljanje omejimo najprej na ravninu R .
Funkcija A(t) je merljiva in poglejmo integral po pravokutniku Q(x), kjer je x = (X^x,)  oglisče pravokotnika, ki leži izven koordinatnih osi (slika).
-7 2
Vpeljimo funkcijo F(x) takole
\  4 (t) dm = F(x) . Q(x)
Definirajmo mero v  s predpisom
<t> dm,
«(e)   =   J
e
Mera v je absolutno zvezna glede na mero m in imamo
v(Q(x)> =  j $ dm = F(xlfx2).
Q(x)
Očitno je F(0) = 0. Napravimo sedaj premik v smeri spremenljivke X. za t,. Potem imamo dalje
F(x1+t1,x2) = \ (fi(t1,t2) dm ,
QtXj+Tj/Xj)
Z zamenjavo integracijske spremenljivke t. z t.+i, dobimo
F(x1+t1,x2) = 1 <(,(t1+rlft2) dm
integracijsko območje je pravokotnlk Q(x,+t1/X2) premaknjen za -t, v smeri osi x.. Upoštevamo enačbo (2) in je
F(xx +Tlfx2) =  \ (ftXt1,t2) dm =
-73-
"    S*ttl't2i       +S*(tl't2i
Od^tod dobimo
dm
Q(x1(x2)      Q(-Tlfx2)
F(x1+Tj/X2) = F{x1,x2) - F(-Tl^x2) .
Ker je F(0,x2) ¦ 0, imamo iz zgornje enačbe, ko V2amemo x- = 0 tole
F(t1,x2) ¦ - Ft—c1,x2) .
Z upoštevanjem tega dobimo tole funkcionalno enačbo
F(x1+t1,x2) = FfXjfXj) + F(Tlfx2) .
Funkcija F je zvezna funkcija spremenljivk x.,x2. Rešitev zgornje funkcionalne enačbe je
F(xlfx2) = c<x2' *X1*
Isti postopek napravimo za spremenljivko x2, to je premik v smeri x„ za t2. Enako kakor prej bi prišli do tele funkcionalne enačbe
F(x1/x2+t2) - F(Xj,x2) + F(xlf t2) ,
in n<jena rešitev  je
F(x1,k2)   = k(x1) ,x2.
Postavimo x. a 1 in dobimo c(x2) ¦ k(l)x2 za vsak x2< S tem dobimo tole
F(x1(x2) = k xltx2 .                                                    (3)
-74-
Ker je funkcija F(x.,x2) mera v pravokotnikov, poiačimo odvod mere. Za elemente Vitalijeve družine n vzemimo kar kvadrate Q s stranico 2a in središčem v točki x = (x.,x_) (slika).
la.
"%
Omejimo se na primer, da je (x.,x_) v prvem kvadrantu in da je a dovolj majhen. Iz definicije odvoda {razdelek 2) sledi
F' (x) = lim
v<Q}
a+0 m(Q)
lim a+0
vtej+a^j+a) - v(Xj+a,x2-a) - v(Xj-a,x2+a) + v(Xj-a,x2-a)
4a'
lim a+0
F {x.,+a,x2+a) -F {x.+a/X.-a) -F (x.-afx_+a) +F {x.-a,x2-a)
4^
UpoStevajmo enačbo (3) in dobimo dalje
F'(X) = fc Hfl—i
(x,+a) (x2+a)-(x1+a) (x2-ai - (x1~a) (x2+a) + (x1~a) {x2~a)
4a
k lim iâ == k. a-*-0  4a
Torej je F' (x) = * (xi = k,
-75-
Funkcija $(x) je konstantna skoraj povsod. Ker je $ (t) karakteristična funkcija množice e_, ima vrednost 0 ali 1 za vsak t glede na mero m in ker je m(e2) > 0, je $(t) =1 skoraj povsod. Torej je
m(e2 - Rk) = 0.
Isto razmišljanje seveda lahko razširimo na k spremenljivk, na
y prostor R .
Dosedanji rezultat, ki smo ga izrazili v izreku VI, lahko posplošimo na primer dvojne spektralne večkratnosti in zapišimo izrek v obliki:
IZREK VII;   Homogeni  spektralni  meri   E(e)   z  dvojno  spektralno
Večkratnostjo  V  separabilnem  Hilbertovem  prostoru
k                    k
~}L    ustreza  v  prostoru  Lp(m$R  )   9  L   (mtR   )   množenje  s   karakteristično  funkcijo  x  *n prostor
k                    k                                e
L   (m,R  )   $ Lp(mtR   )   je  ekvivalenten  Hilbertovemu
prostoru   TC.
dokaz;   Ko  smo v prejšnji lemi 30 ugotovili, da je e- = R
k skoraj povsod in p?{e) ¦ U-. (e) za poljubno množico ecR ,
smo dobili enako situacijo kakor v izreku VI, torej pripada
homogeni spektralni meri E(e) restrlngirani na prostor L-tp.)
tudi v prostoru L-(m) množenje s karakteristično funkcijo
X . Dalje zaključimo, da homogeni spektralni meri z dvojno
spektralno večkratnostjo pripada množenje s karakteristično
k        k funkcijo v direktni vsoti prostorov L_(m,R ) 9  L2<m,R ).
Isti rezultat lahko raztegnemo na primer poljubne spektralne večkratnosti in po enaki poti ugotovimo, da so
vse Borelove množice e., ki nastopajo pri urejeni reprezen-
k
taciji, kar enake prostoru R . Tako lahko formuliramo splošni izrek, ki je analogen izreku V, ki smo ga dobili pri homogenih sebi adjungiranih operatorjih»
-76-
IZREK  VIII;   Homogeni  spektralni meri   E(e)   v  separabilnem HiIbertovem  prostoru  X ustreza  množenje  a karakteristično  funkcijo  x  Ö direktni  vsoti  pro-
k štorov   L $  L„(mtR  )t   sumanđov  pa je   toliko,
kolikrSna  je  spektralna  večkratnost  spektralne
mere.
Do sedaj smo definirali homogenost spektralne mera za translacljo. Ali je spektralna mera, ki je homogena za translacljo, homogena tudi za rotacijo?
Vzemimo najprej preprost primer, spektralno mero v prostoru L_(R ). Tu konstruiramo primer spektralne mere E(e) na primer tako:
E(e)f(t) = xe(t)f (t),
f{t)eL5(R ). Taka spektralna mera je, kot smo videli, homogena za translacljo. Hitro se prepričamo, da je tako izbrarta spektralna mera homogena tudi za rotacijo. Veljati mora tedaj relacija
E(ae) = U(a)E(e)U*(o)
za vsako rotacijo a  in Borelovo množico e.
Unitarni operator U (a) naj deluje takole
U(dîf(t) = f(CT-1t) inUMa)f(t) =f(<jt).
Potem imamo
[u<cr)B(e)U*(a)]f (t) = U (a)[xe<t) f (at) ] =
m    X«te"**)f<t) = x«0(t)f (t) =E(oe)f(t).
-77-
Pokazall smo, da je tako Izbrana spektralna mera v prostoru
L-(R ) homogena za poljubno gibanje,
Dobljeni rezultat pokažimo še v splošnem primeru. Vzemimo spektralno mero E(e) v separabllnem Hilberto^em prostoru , ki naj ima enostavno spektralno večkratnost in ki naj bo homogena za translacijo, e pa Borelova množica v k-dimen-zionalnem evklldskem prostoru. Da bi bila ta mera homogena tudi za rotacijo, mora biti izpolnjena relacija
E(oe) = U(o)E(e)U*(o)
za vsako rotacijo a  in vsako Borelovo množico e.
Vemo, da eksistira izometrifini izomorfizem J iz prostora K na L-(R ). Pa konstruirajmo unitarni operator U(o) takole:
U(o) = J"V(«)J#
v kjer operator V(a) deluje na funkcije f(t)EL2<R ), in sicer
V(ff)f (t) - f tat).
Verificirajmo zgornjo relacijo homogenosti za rotacijo! Iz izreka VI vemoi/ da je spektralna mera E(e) unitarno ekvivalentna operatorju množenja s karakteristično funkcijo* vzemimo tie%- in torej velja
E(e)u - J-1 Xe<t)Ju Dalje potem imamo
ü(o)E(e)U*(ö)u ~ <J-1V(o)J) (J-^J) (J"1V*(«T) J)u -
-78-
=   {J~l<V{o)x V*(o))Ju = J-1  x„ Ju - E(oe)u
6                                              OS
Pri predzadnjem enačaju smo uporabili rezultat iz začetka tega razmišljanja. Iz do sedaj povedanega đobimo tole posledico:
Vsaka  spektralna mera,   ki  je   homogena  za  translaoijo V  prostoru R  t   je   homogena   tudi   za  poljubno  gibanje  V  pro~ Btoru R   .
Analogno velja v splošnem primeru, ko ima homogena spektralna mera E(e) v separabilnem Hilbertovem prostoru poljubno večkratnost.
Na koncu omenimo še eno posploŠitev: Vzemimo tranzi-tivno grupo homeomorfizmov v k-dimenzionalnem evklidskem prostoru. Spet definiramo homogeno spektralno mero, to pomeni, da za vsak homeomorfizem o iz grupe eksistira unita-ren operator U (o), da je izpolnjena relacija
E(oe) ¦ U(a)E(e)U*(a)
za vsako Borelovo množico e.
Ali se da tudi sedaj dokazati domneva, da je homogena spektralna mera ekvivalentna operatorju množenja s karajo kteristično funkcijo v prostoru L3(m,R )?
To vprašanje ostane odprto, nastopita dve težavi: topološka grupa homeomorfizmov v R se ne da identificirati s k-dimenzionalnim prostorom in tranzitivna grupa homeo-morfizmov ni komutativna grupa, komutativnost smo pa pri dosedanjih dokazih tudi potrebovali,
z
-79-LITERATURA
[I]  Berberian S. : Notes on spectral theory, Van Nostrana
New York 1967
[2]  Dunford N.,Schwarz J.: Linear operators I,Interscience
N.Y, 1963 [3]     -*-       -"-     Linear operators II,  -"-
[4]  Forelli F.: Analytic and quasi-invariant measures,
Acta Math.118(1967),33-59
[5]  Glicksberg I.: Convolution semigroups of measures,
Pacif.J.Math.9(1959),59-67
[6]  Halmos P.: Introduction to Hilbert space,Chelsea,N.Y.1957
[7]  Hewitt E.,Stromberg K.: Real and complex analysis,
Spr inger,Heidelberg,N.Y. 1965
[8]  Hille E.,Phillips R.: Functional analysis and semigroups,
Coll.Pubi.,Providence 1957
[9]  de Leeuw K.: The Fubini theorem and convolution formula
for regular measures, Math.Scand.il(1962), 117-122
[10] de Leeuw K,,Gliksberg J.: Quasi-invariance and analytici-
ty of measures on compact groups, Acta Math.109(1963),18o-205
[II] Nagy Sz.: Spektraldarstellung linearer Transformationen
des Hilbertschen Raumes,Springer Bd.39,1967
[12] v.Neumann J.: Die Eindeutigheit der SchrÖdingerschen Operatoren, Coli.Works,vol.II,No.7
[13] Plesner A.,Rohlin V.: Spektralnaja teorije linejnih operatola, Uspehi mat. naükll(1946),71-191 [14] Rudin W.: Real and complex analysis,Me Graw Hill, 1966
[15] Stromberg K.: A note on the convolution of regular
measures, Math.Scand.7(1959),347-352