O NEKIH FREKVENČNIH PORAZDELITVAH S POSEBNOSTMI V KONCENTRACIJI dr.Marijan Blejce O NEKIH FREKVENČNIH PORAZDELITVAH S POSEBNOSTMI V KONCENTRACIJI dr.Mari jan Blejce INŠTITUT ZA STATISTIKO IN OPERACIJSKO RAZISKOVANJE RCEE Raziskovalni center Ekonomske fakultete Univerze v LjuToljani 1969 OOP(SAM f O i -09- 2008 7 125 ( Iz zveze 3 in 4 spoznamo, da je to le, če je pri pozi¬ tivnem b v enačbi 2 a pozitiven. * t . ?\ : . ; » • * Iz zveze d0/dF = x/M sklepamo, da so odnosi smiselni le, če je d0/dF monotono naraščujoč, To pa je, če je prvi odvod od d0/dF pozitiven. Iz zveze 5 sklepamo, da je prvi odvod od d0/dF pozitiven pri pozitivnem b, če je pozitiven odvod eksponenta iz 5 _d dz (b 2 -l)z 2 - 2abz + •z (b -1) + ab> 0 ( 6 ) tj ., če je z < ab b 2 -l ( 7 ) Če je b=l, je zaradi tega, ker je a^> o, ta pogoj izpolnjen neodvisno.od z, torej za vse vrednosti od - oo do + oc> . Za primere, da j e b^l, pa pogoj 7 ni izpolnjen za vse vrednosti intervala -«j do +cp . Če vpeljemo nov, iz parametrov a in b izveden parameter c = je c=c + > o, če je b> 1 Za primer, da je b 3,79. V primerih, da je b^l gre za okrnele porazdelitve, vendar je ta okrnelost neznatna, če je /c/ > 3,79. 4. Transformacije osnovnega znaka x. Z logaritmiranjem dobimo iz 5 če se x porazdeljuje logaritemsko normalno. - 9 - Č e je b 1, dobimo iz 11, da se porazdeljuje standardi zirano normalno na naslednji način transformirani x z + c - -2^— ln — b -1 bM (14) Če je b 2 -l)t + ll + abtz + t L 2 2 dz (20 S transformacijo zB=v, pri čemer je B dobimo iz 20 (b -l)t+l A (t) lnx-Elnx B exp exp - 1 (v _ abt)2 2 B a 2 b 2 t 2 ^ (b 2 -l)t 2B (21 Za poseben primer, da je parameter b=l dobimo M (t) lnx=Elnx exp r a 2 t 2 2 J (2 ž kar je rodna funkcija momentov za normalno porazdelitev« To potrjuje že ugotovljen rezultat, da se za primer, da je b=l,x porazdeljuje logaritemsko normalno. 6. Neposredno izračunan j a centralnih momentom— metrov VELORG-LIN. Izpeljana rodna funkcija za centra ne momente za lnx je razen za poseben primer garitemsko normalne porazdelitve razmeroma zapletena. Zato izračunajmo prve štiri centralne momente za In* neposredno. če upoštevamo znane obrazce, da je za strandardizirano normalno porazdelitev f: (z) 2k (2k)! 2 k k! U (z) = 0 r 2 k+l (23) tv . dobimo iz 19 (24) (25) /V lnx) = E a 4 b 4 [ Z + L 2c J i-z 2 "I 4 - 4 4 z + - I = 3 a b 5. 5 1 + ” + —l c 4c 4 1 (26) Medtem ko je ^p 2 lnx = Yarlnx, dobimo iz centralnih momentov < u 2 lnx, ^lnx, ^ 4 lnx meri asimetrije in splo¬ ščenosti .. 3.3 Ti (lnx) = -^2_ N 1 572 3 + a V r 1+ 11 L 2c^ J 372" c (1 + - 4 5 -) 3/2 = - 4 (3 - -V) c 4c^ (27) 2c r 2 ci“) = - 3 = ^2 3a 4 b 4 (1+ + —— A — ) c 4c a 4 b 4 + —— - 3 = 1 13 1 (1 + 1 •) J 2c‘ (28) Dobljene opisne parametre za lnx dopolnimo še z Elnx, ki sledi iz 18 Elnx = lnbM - | J(b 2 - 1) + a 2 | (29) in koeficientom variacije za lnx KV = \| ^ 2 (lnx) E ln x "-rtVli ♦ 1 * 2c (30) lnbM - \ j^(b 2 -l) +, a ] V posebnem primeru, da je b=l, velja iz 24, da je p |^ 2 (lnx) = a . Parameter a je v tem primeru standardni odklon za lnx za logaritemsko normalno porazdelitev. Iz istega obrazca spoznamo, da je pri velikem c standard¬ ni odklon SD(lnx) približno enak ab. Za b=l je c=oo. Iz tega sledi, da je j = o. To je v skladu z lastnostjo logaritemsko normalne porazdelitve, za katero se lnx raz- podeljuje simetrično. Za b>1 je porazdelitev asi- metričja v levo, ker je c' za ta primer pozitiven, pa negativen. Za b <^1 je porazdelitev za lnx asi¬ metrična v desno. C" za ta primer je namreč negativen, pa po obrazcu 27 pozitiven. Stopnja asimetrije je v splošnem tem večja čim manjši je c ; c pa je v splošnem tem manjši čimbolj je b različen od 1. iT? J e za vse primere razen za b=l, ko je nič, pozitiven. Glede na to so vse porazdelitve z izjemo za b=l, take^ da se lnx porazdeljuje glede na sploščenost koničasto. - 14 7. Parametri VEGLORG-LIN porazdelitev za x. Čeprav j e za porazdelitve obravnavanega tipa naravneje proučevati lnx kot x, vseeno proučimo nekaj osnovnih parametrov tudi zanj. Iz znane zveze, da je E ln x = ln & x in obrazca 18 dobimo, da je geometrijska sredina G x enaka Iz 11 G x = bM exp 1 2 dobimo, da je na splošno x = bM exp z_ 2 a 2 + (b 2 - 1) za VELORG-LIN (b 2 - 1) + abz - (3D (32) (33) Za ta izraz je rodna funkcija momentov prekomplicirana. Da pridemo do osnov za izračunanje momentov, P v izraz za pomožen moment za splošno stopnjo k,E iz njih proučimo posebne parametre. )imo Če upoštevamo 33,dob: E(x k ) = b^M^E exp „2 9 2 ~ (b -1) + abz - 2 ~_ + <» b k M k 1 s[2¥ exp k(b 2 ~l) + abkz a 2 k 2 1 exp z c ~2 dz (34) - 15 Vpeljimo pomožen parameter A = \j Kb -(k-1) in transfor¬ macijo Az=v. Dalje dobimo E(x k ) = ■- .. -i— \ exp A \[2t ) k M k 1 f , abk^ a 2 b 2 k 2 a 2 k , v _ -r ) + p- ~ * R 2 A 2 - exp a k(k -l) 2 A 2 1 , abk\‘ (v-) * A (55) Ker je zadnji del v izpeljavi 55 enak 1, dobimo, da velja na splošno' E(x k ) b k M k - r- : ~ r :- -— — - exp-^--- ykb 2 -(k-l) 2 j^kb 2 -(k-1 )j a^k(k-l) (56) Če vstavimo v obrazec 56 po vrsti k=l,2,5,4,dobimo prve štiri pomožne momente E(x 4 ) = b 4 M 4 M exp ■ 2 4b -5 6 a c 4b^ - 5 J (57) E(x) = M je v skladu z definicijo za matematično upanje in aritmetično sredino. - 16 Iz E(x ) in E(x) pa sledi, da je -,2 ^ 2 (x) = E(x 2 ) - [e(x)] = M 2 2d-1 exp a 2 -r L 2b -11 -1 (38) Koeficient variacije je iz 38 KV(x) (39) Iz pomožnih momentov v 37 moremo dalje izračun- tretji in četrti centralni moment oziroma )(p 1 2 Vendar so obrazci neprikladni. Boljše 2 e za P°^ , primer izračunati vrednostno pomožne momente, ’ «3 . pa po znanih obrazcih centralne momente in me je in sploščenosti. Poseben primer: Logaritemsko normalna porazdelitev. Za logaritemsko normalno porazdelitev so pomožni momenti enostavnejši, ker je b=l. Če vstavimo b=l v obrazce 37 dobimo E(x k ) a 2 k(k-l) 2 E(x) = M ; ( 40 ) Izračun centralnih momentov je za ta poseben primer - 17 enostaven f 1 2 = E ^ x2 ) ~ (Ex) 2 = M 2 (exp J^a 2 j - D = Ex 3 - 3 Ex 2 Ex + 2(Ex) 3 = M 5 (eXp JT a 2 "J - 3 exp [a 2 J +2 (exp £ a -D' (exp £ a 2 + 2 ) = Ex 4 - 4 Ex 5 Ex + 6 Ex 2 (Ex) 2 - m 4 ^ 3 (Ex)‘ = M'*' ' exp |~6 a 2 - 4 exp [ 3 a 2 j + 6 exp £ a 2 J - 3 = M (exp [a 2 ] - l) 2 (exp [_4a 2 ] + 2 exp jj5a 2 J + 3 exp [2a 2 ] (41) £ odobno se poenostavijo tudi obrazci za Tir 2 Tl - — |y 2 = (exp [a 2 ] + 2) \J exp [a 2 ] -1 (42) ^3 X 2 = -3 = exp /*2 = (exp £a 2 j -l)(exp [3a 2 j + 3 exp j^2a 2 j + 6 exp [a 2 j +6) T x in Y 2 sta enaka nič, če je a=0, v vseh drugih primerih pa sta Yp in f 2 pozitivna. Logaritemsko normalne porazde¬ litve so vse asimetrične v desno in koničaste. M + 2 exp M + 3 exp ia 2 J -< 18 Koeficient variacije za logaritemsko normalno porazde¬ litev pa je KV = = \Jexp Ja^ 1 -1 (43) M 1 Harmonična sredina. Iz splošnega obrazca 36 zlahka do¬ bimo obrazec za izračunanje harmonične sredine exp (44) Za logaritemsko normalno porazdelitev (b=l) pa j e harmo¬ nična sredina enaka H = M exp £ - a 2 J _ (45) Iz obrazca 44 sklepamo, da je H realno število, če je b< 4T. 8. Kvantili. Določenemu kvantilnemu rangu P je prirejen normalni porazdelitvi ustrezen standardiziran kvantil z^, temu pa prek obrazca 33 P ustrezen kvantil x^ (b^-1) + abz.p 2 a 2 = b.M. exp 2 (46) - 19 - Z obrazcem 46 moremo prek P ustreznemu standardizirane¬ mu odklonu za normalno porazdelitev dobiti katerekoli kvantile: mediano, kvartile, decile in centile. Rešimo kot primer nekaj osnovnih zvez. Za mediano z P=o,5o, je z p_ 0 5 = o . Iz tega dobimo, da je iz obrazca 46 Me *P=o,5o b.M. exp (47) Če upoštevamo vrednost mediane iz 47 moremo pisati splošen obrazec za kvantil iz 46 v enostavnejši obliki X,, Me exp 2 (b 2 -i (48) Ker je Zp = -Zp_p dobimo iz 46, da je kvantilni razmak, ki vključuje (1-2P) vrednosti^enak X.. - x^_ p = b.M exp a_ 2 2 z‘ f (b ' 1) igjcp abz. j -exp -abz kb J = x (1 - exp f-2a bZj;/j ) (49) Enostavnejše je kvantilno razmerje, ki ga definirajmo kot kvocient x. /x^_. = exp [2 abz., ] (50) Tako je za kvartila Qp in kvartilno razmerje 20 Qj/Qj_ = exp [l,3490 ab -^q 0,58586 ab (51) Podobno velja za decilno razmerje exp £ 1,6852 ab J 1Q 0,73100 ab (52) ker je z T , , = 0,8416 r=o,io Večina dosedaj izračunanih parametrov in zvez je dana v odnosu na aritmetično sredino, za katero predpostav¬ ljamo, da je znana. V resnici moremo to predpostavlja¬ ti v večini primerov. Če je Jjorenzov grafikon v kateri¬ koli obliki zasnovan na kumulativi relativnih frekvenc in kumulativi relativnih vsot, je znana skupna frekvenca, to je obseg populacije N in skupna vsota X. Iz tega pa je aritmetična sredina 9. Pokazovalci koncentracije. Premica v VELORG-LIN je določena z dvema parametroma. Iz tega sklepamo, da je koncentracija za te tipe porazdelitev opisana z dvema parametroma. Formalno je s parametroma a in b koncentracija za VELORG-LIN popolnoma opisana, vendar moremo ta dva parametra zamenjati z drugima dvema, ki se dasta lažje tolmačiti. Če v obrazec 54 postavimo z p = o, dobimo,da je 1 —O * ju M = X/N (53) u = bz - a (54) ustrezen standardiziran odklon -a (55) 21 Če prevedemo standardiziran odklon u = -a v kvantilni rang P (u=-a) A (56) A pove, kolik del celotnega agregata odpade na polovico enot celotne populacije z najmanjšimi vrednostmi ali na enote pod mediano. Če skušamo podobno raztolmačiti tudi odsek premice VELORG-LIN na abscisni osi o = u~ , dobimo r = o, 5o z( ' U P = o,5o ) = § (57) v 57 dobljeni z prevedemo v kvantilni rang P, iz njega dobljeni parameter 1 - P (z=a/b) = B <58) pa pove, kolik delež velikih enot obsega polovico agre¬ gata. Parametra A in B vsebinsko enostavno tolmačimo, z njima pa popolno opišemo zakonitosti koncentracij e in z nasprotno transformacijo pridemo do osnovnih para¬ metrov a in b. Če je porazdelitev logaritemsko normalna, je b=l, A pa enak B. V tem primeru ima polovico majhnih enot enak del agregata kot je delež velikih enot, v katerem je polovica agregata. 10. Ginijev koeficient koncentracij e za VELORG-LIN. Ginijev koeficient koncentracije je definiran z + 00 G = 1 - 2 j 0(x) d F(x) (59) o O 22 Zaradi odnosov med F(x) in $(x) je za VELORG-LIN obrazec za Ginijev koeficient koncentracij e ■rco u=bz-a 2 Ker zaradi transcendentnosti funkcije e integrala 60 ne moremo izračunati direktno, dobimo približek po obrazcu (6o) G = 1 ~ 2 F ( u k = bz k- a) ^ (z k ) ^ Z : z k+l = z k + Az (61) k Tabela odnosov Ginijevega koeficienta G in parametrov a in b. Za pare vrednosti a = o(o,l)5>o in b = o,7o(o,o5) 1,3o so bile na računalniku IBM 113o izračunane vredno¬ sti za G. Praktičen pomen te tabele je v tem, da more¬ mo iz parametrov a in b, katere moremo v praktičnih primerih zlahka oceniti iz odsekov na koordinatnih oseh, oceniti, kakšna je vrednost Ginijevega koeficien¬ ta G. Razen v tabeli so v nomogramu dani odnosi med G in a in b. Z nomogramom je lažje oceniti z vizuelno interpola¬ cijo G tudi za vrednosti a in b, ki so med tabelira- nimi . 23 Tabela 1. Tabela za ocenjevanje Ginijevega koeficienta G, v odvisnosti od parametrov a in b - 24 - > TaBela 1 . Tabela za ocenjevanje Ginij evep-a koeficienta G, v odvisnosti od parametrov a in b _ nadaljevanje - 2 . 5 - 26 11. Primer za analizo z VELORG. Pa se prepričamo, v koliko porazdelitve ekonomskih poja¬ vov ustrezajo pogojem VELORG-LIN, analizirajmo po izsled¬ kih, ki smo jih nakazali v teoretičnem delu, tri pojave; število zaposlenih, vrednost osnovnih sredstev in vred¬ nost neto produkta za SFRJ v letu 1965 za. naslednja pod¬ ročja; kmetijstvo, gozdarstvo, industrija in rudarstvo, obrt, gradbeništvo, promet, zunanjo trgovino, trgovino na malo, trgovino na veliko in gostinstvo, ^snova za analizo so podatki iz SG-1967. Za vse tri podatke po panogah bomo podali v sumarni ob¬ liki osnovne parametre in grafikone VELORG in sumaren grafikon parametrov A in B, ki pokaže odnose v koncentra¬ ciji za različne pojave. 12. Za primer izračuna pa podajmo potek analize za porazdelitev industrijskih podjetij po številu zaposle¬ nih. Razen prikaza, kako so izračunani parametri, ki so v nadaljevanju dani za vse pojave in panoge, bomo za po¬ razdelitev industrijskih podjetij po številu zaposlenih izračunali še dodatne parametre in izvršili dodatne ana¬ lize, da prikažemo uporabnost teoretičnih izsledkov v praktičnih primerih. Iz frekvenc f^ in vsot Y^ dobimo kumulative relativnih frekvenc in kumulative relativnih vsot 0^» če kumula¬ tive delimo z N=2466 oziroma z Y=1368475. V koloni 4 in 7 pa so vneseni iz tablic površin za normalno porazdeli¬ tev Zj, in /?a-^ , ki ustrezajo kumulativnim relativnim frek¬ vencam oziroma kumulativam relativnih vsot 0^. Če je porazdelitev VELORG-LIN, je med xx^ in z^, linear¬ na zveza. Kljub temu pa za ampirične porazdelitve ta zveza - 27 Tabela 2. Osnovna porazdelitev industrijskih podjetij po številu zaposlenih ni funkcijska, tudi če je porazdelitev tipa VELORG-LIN. Stvarnim porazdelitvam ustrezna prilagojena VELORG-LIN porazdelitev je ona, ki se stvarnim točkam VELORG najbo¬ lje prilega. To je regresijska premica " bz F " a ( 62 > ki jo dobimo po metodi najmanjših kvadratov. Eogoj, ki ga postavljamo na izračunane parametre, je 2_ w k (u 0 - u 0 ) 2 = Min (63) k k Pri tem so ponderi, w^.=c=l, če damo vsem vrednostim oziroma razredom enak pomen. Možna pa je varianta, da da¬ mo vrednostim, ki veljajo za razrede z večjimi frekven¬ cami, večjo težo. V tem primeru je ena izmed možnih pon- 28 ) deracij w^. = f^_^ + f^. V našem primeru smo se odloči¬ li za kriterij neponderiranih kvadratov odklonov. S pomočjo Zp in u ^ dobimo, da je = 1,0148 z F - 1,2695 (64) ker j e a = u^ - bz F (65) Za Zp=o je A=u^ = -1,2695. 0, ki ustreza pa je o,lo2 ali lo,2 %. V 50 % majhnih podjetij je lo,2 % vseh za¬ poslenih v industriji. Za U/V= o, je B=z p = a/b = 1 » 26 . 9.5„ = i,25o9. Temu B ^ * l,ol48 ustreza F= o,894, kar pomeni, da je v looF-89,4 = 10,6 velikih industrijskih podjetij 50 % vseh zaposlenih. V koliko stvarna porazdelitev ustreza teoretični VELORG-LIN porazdelitvi, presodimo s korelacijskim koeficientom Vz F z tf * Za naš primer je ) Z n Z Z n u, F0 F 0 cT cT Z F Z 0 12,5569 \J 12,3543 . \| 12,729o = o,9997 (66) Linearna odvisnost med z^ in u ^ se je pokazala kot zelo visoka. Čeprav gre del te visoke odvisnosti na račun relativno majhnega števila stopinj prostosti (k-2 = 8-2 =6), je korelacijski koeficient tako velik, da moremo sklepa¬ ti na to, da porazdelitev za število zaposlenih v indu- 29 - stri ji teži k VELORG-LIN zakonitosti. Pomemben parameter VELORG-LIN porazdelitev je c = a.b/(b 2 -l) = 1,2 = 43,2o4. Parameter (1,0148^ - D c + = Zp = 43,2o4 glede na 7,8 in 9 nakazuje razmak, v ka¬ terem je porazdelitev VELORG-LIN definirana. Za naš primer je jasno, da je v razmaku «<^z^43,2o4 prak¬ tično celotna populacija. Ker M = Y/N = 68475 .. _ 554,94 znan, po obrazcu 14 2466 dobimo zvezo med x in z za prilagojeno VELORG-LIN poraz delitev. z = c (c ) b 2 -l ln bM = c r (^) 2 + L b (b -l)Mod log bM (b -1)Mod log x = = 43,2o4 / 43,2o4 \ 2 + 2 log(l, 0 I 48 .554,94) ~\ \l,ol48/ (1,o148 2 -1) 0,43429448 J -- £ - log x (l,ol48-l) 0,43429448 = 43,2o4 - \j 2237,352155 - 154.44o log x (' Ta zveza med x in Zp omogoča reproducirati osnovni po¬ razdelitvi prilagojeno teoretično VELORG-LIN porazdeli¬ tev. Razen tega moremo dobiti prek te zveze teoretično VELORG-LIN porazdelitev za katerokoli drugo grupacijo 30 za vrednost osnovnega znaka x. Če stvarna porazdelitev sledi zakonitosti VELORG-LIN, kar je razvidno iz ustre¬ znega korelacijskega koeficienta r , dajo naka- Z F U 0 zane interpolacije boljše rezultate, ker je interpola¬ cija izvršena na premici. Za primer najprej stvarni po¬ razdelitvi za industrijska podjetja po številu zaposle¬ nih prilagodimo VELORG-LIN. Nakazan izračun in primerjava stvarnih kumulativ F (glej k=J-I) in kumulativnih vsot (2f (glej 0=N-M) s teoretič¬ nimi v tabeli 3 pokaže zadosti veliko skladnost med obe¬ ma. Za primer pregrupiranja podatkov na druge razrede vzemimo meje razredov s kvocientom 2 in začetno mejo 25» Po ena¬ kem postopku kot za osnovno grupacijo dobimo kumulativo F in 0 v tabeli 4. V tabeli 4 je v koloni M frekvenčna porazdelitev števila podjetij po številu zaposlenih, izračunana iz prilagoje¬ ne VELORG-LIN porazdelitve. Ker zaradi velikega korela¬ cijskega koeficienta med z^, in u^ (r = o, 9997) sklepamo na precejšnjo skladnost med stvarno in prilagojeno po¬ razdelitvijo, moremo dobljeno teoretično frekvenčno po¬ razdelitev smatrati kot približek stvarne porazdelitve oziroma kot zadosti dobro oceno za pregrupirano porazde¬ litev. Podobno so tudi v stolpcu 0 izračunane vsote šte¬ vila v posameznih razredih ocene števila zaposlenih v pregrupirani porazdelitvi. 7 ) 31 Tabela 3. Prilagoditev VELORG-LIN za porazdelitev indu¬ strijskih podjetij v SFRJ v letu 1965 po številu zaposlenih Število zaposlenih 32 tabela 4. VELORG-LIN porazdelitev za industrijska podjetja v SFRJ v letu 1965 po številu zaposlenih Število zaposlenih loo,oo 13684 oo loo,oo 2466 33 - Za isto porazdelitev izračunajmo po obrazcih 32, 44, 47, 27 in 28 G x , H x , Me,^ ; ^in 4u^(lnx). G = b.M.exp -(a 2 +b 2 -l) 2 = 1,0148.554,94 exp |(1,2695 2 +1,o148 2 -1) 247,85 H x = b .M. \j~2-b 2 . exp a _ 2-o‘ ! = 1, ol48. 554,94 • ^2-1,lo48 exp 1,2695' _ 2-1, ol48‘ = lo5,35 = 251,58 3 + I(lnx) = - I -£- ° (H-i) 20^ ■372 = - - - 4 ) 2/^ C 4c -1 43,2o4 (3---- o, o694 4•43»2o3 ’j^(lnx) = 12 1- d + -4)^ 2c^ r 12 _ 12 — = o,oo64 c 2 43,2o4^ čn* = \ ^ 2 (lnx) = a * b ' 1+ -Kr- = 1,2695-1.0148 2c d \ 1 + 1 2.23,2o^ = 1,28846 34 nx .Mod 1,28846.0,434294 o,55957 Dobljeni rezultati kažejo več značilnosti proučevane porazdelitve. Zaradi velike asimetrije porazdelitve so razlike med posameznimi merami centralne tendence znatne. Ker sta tako mera asimetrije mera splošnosti za lnx razmeroma majhna, sklepamo, da je porazdelitev blizu logaritemsko-normalni porazdelitvi. Če čT(logx) = °»55857 antilogaritmiramo, dobimo K = 3»627.Intervalom M - z S', za ta primer ustreza razmak, G x .k~ z 780 po obrazcu 52 pa decilno razmerje Dg/D-j_ a^ 1,3 G-^ o = o,642o G-^-j =63oo a-a o-b a-, -a 1 o + 1,2695-1,2 1,3 - 1,2 (o , 642o-o , 6o39 )- + 1, ol48-l, o_ o ( n , 5y21-o, 6o39 ) 1 , o5 - 1 , 00 -: - 36 13. Po prikazu izračuna parametrov za porazdelitev industrijskih podjetij v SFRJ *o številu zaposlenih, v katerem je nakazan način za izračunavanj e posamez¬ nih parametrov za prilagojen VELORG-LIN, podajamo v nadaljevanju tabelo osnovnih parametrov za prilagoje¬ ne VELORG-LIN za gospodarske organizacije po področjih dejavnosti za osnovne tri porazdelitve; po številu za¬ poslenih, po osnovnih sredstvih in neto produktu. VELORG-LIN je definiran s parametroma a in b oziroma z in *=a/b. A=(-a) je namreč odsek premice VELORG-LIN na orainatni osi, -ts=a/b pa na abscisni osi. Iz navedenega primera kompleksnejšega prikaza za več področij dejavnosti in različne podatke spoznamo, da večina pojavov bolj ali manj sledi zakonitostim VELORG-LIN. Razen osnovnih parametrov so v nadaljeva¬ nju še VELORG za posamezna področja dejavnosti. Že bežna primerjava števila organizacijskih enot v vsa¬ kem področju dejavnosti z ustreznimi VELORG ali ko- relacijskimi koeficienti r nakazuje, da so odkloni empiričnih porazdelitev za posamezna področja dejav¬ nosti pogojeni s slučajnostnimi faktorji, katerih učinek se po zakonu o velikih številih za večje popu¬ lacije omiljuje. - 37 - Tabela 5. Frekvenčne porazdelitve in porazdelitve vsot v letu 1965 po področjih dejavnostih Kmetijstvo - število zaposlenih 2798 loo,oo 9514,3 loo ,00 »* - - 38 - Tabela 5« Frekvenčne porazdelitve in porazdelitve vsot v letu 1965 po področjih dejavnosti (nadaljevanje) Kmetijstvo - Neto produkt 152 lOO , 00 77929 loo,00 39 Tabela 5. Frekvenčne porazdelitve in porazdelitve vsot v letu 1965 po področjih dejavnosti (nadaljevanje, Gozdarstvo - Osnovna sredstva > - 40 - Tabela 5. Frekvenčne porazdelitve in porazdelitve vsot v letu 1965 po področjih dejavnosti (nadaljevanje) Industrija - Rudarstvo: Zaposleni x f k J? k * T k 0 k % 41 Tabela 5. frekvenčne porazdelitve in porazdelitve vsot v letu 1965 po področjih dejavnosti (nadaljevanje) Industrija - Rudarstvo: Neto produkt 3168 loo ,00 2ol522 loo ,00 *■ •'>■ - 42 - Tabela 5. frekvenčne porazdelitve in porazdelitve vsot v letu 1965 po področjih dejavnosti (nadaljevanje) Gradbeništvo - Zaposleni 43 Tabela 5. Frekvenčne porazdelitve in porazdelitve vsot v letu 1965 po področjih dejavnosti (nadaljevanje) Gradbeništvo - Neto produkt \ • ~ 44 - Tabela 5. Frekvenčne porazdelitve in porazdelitve vsot v letu 1965 po področjih dejavnosti (nadaljevanje) Promet - Osnovna sredstva - 45 - Joe,oo 472,1 1o 0,00 46 Tabela 5. Frekvenčne porazdelitve in porazdelitve vsot v letu 1965 po področjih dejavnosti (nadaljevanje) Trgovina na malo - Zaposleni - 47 Tabela 5. Frekvenčne porazdelitve in porazdelitve vsot v letu 1965 po področjih dejavnosti (nadaljevanj e) Trgovina na veliko - Zaposleni 623 lOO,00 3444,1 loo ,00 48 Tabela 5« Frekvenčne porazdelitve in porazdelitve vsot v letu 1965 po področjih dejavnosti (nadaljevanje) Gostinstvo - Zaposleni 49 - Tabela 5. Frekvenčne porazdelitve in porazdelitve vsot v Sft letu 1965 po področjih dejavnosti (nadaljevanje) Gostinstvo - neto produkt is,5 ss s« s? S5 iO «0 70 6C JC H 3 < Sl t ( b - 5o - £ 4 . VELORG VELORG za za kmetij stv KMETIJSTVO 1965 2 - zaposleni - osnovna sredttva - neto produkt N - 51 - U f * VELOKG za GOZDARSTVO l9f>5 41 - zaposleni ^ - osnovna sredstva N Neto produkt - 52 - U VELOG za INDUSTRIJO IN RUDAR V O 1965 Z ~ zaposleni O - osnovna sredstva N - neto produkt - 53 - u VERJETNOSTNA MREŽA Lf't+, VEJLOfj za OBRT 1965 Z zaposleni k 5. VELORG za GRADBENIŠTVO 1965 Z - zaposleni 0 - osnovna sre d is t va - neto produkt N 55 o Z - zaposleni 0 - osnovna sredstva N - neto produkt VERJETNOSTNA • 1REŽA ^ .J. VELOSGza ZUNANJO TRGOVINO 19 6 3 % ~ zaposleni O - osnovna sredstva ~ 57 - U VERJETNOSTNA MREŽA VliLORGza TRGOVINO NA MALO Z - zaposleni O - osnovna sredstva - neto produkt N 58 u VELORG za TRGOVINO NA VELIKO 1905 Z N zaposleni neto produkt - 59 VERJETNOSTNA MREŽA ,s-{ 40» VELOG za GOSTINSTVO 1965 Z - zaposleni O - osnovna sredstva N - neto produkt 60 - Tabela ti. Osnovni parametri prilagojenih VEL0RG-1IN, za porazdelitve o številu zaposlenih, vredno¬ sti osnovnih sredstev in vrednosti neto pro- 61 ,1 A=a P(u=a) b B=a/b P(z=a/b) c r 6.Promet N=425 Verjetnosti P(c>C) nakazujejo, kakšen delež populacije izpolnjuje pogoje, ki pogojujejo smiselnost za vredno¬ sti proučevane populacije. Če proučimo vrednosti za c, 62 dobijo za naš primer naslednjo porazdelitev: c f 16 13 3 3 32 64 £ 25 Samo en c je manjši kot 4(c=3»716 za osnovna sredstva v gozdarstvu), za večino je med 4 in 8, za 11 pa celo nad 8 . Če analogno analiziramo korelaeijske koefTiciente z r 0 r/ p za kumulative frekvenc in kumulative vsot dobimo: Iz dobljene frekvenčne porazdelitve za korelaeijske.; ko- eficiente vidimo posredno, da se veliko pojavov porazde¬ ljuje v porazdelitvah, ki se zelo približujejo VEL0RG-ŠL1N. Za 23 od skupno 25 porazdelitev je koreiacijsl^i koeficient A večji kot r=o.995, za 11 pa večji od r=o,999./ Na sliki 5 so s točkami vrisani parametri a/b, a za posa^- me,zne izmed proučevanih podatkov po področjih dejavnosti. Za logaritemsko normalne porazdelitve so točke na premi¬ ci LN. Zanje je namreč b=l oziroma a/b=a. Odmik od te premice pomeni odstopanje porazdelitev od logaritemsko normalne in sicer kot je nakazano na sliki za točke nad LN asimetričnost v desno, za točke pod LN pa asimetričnost v levo. Z velikostjo a in a/b pa je nakazana koncentraci¬ ja pojava. Čim večje so absolutne vrednosti za a in a/b tem večja je koncentracija pojava. Iz slike 5, v kateri so kompleksno nakazani parametri za vsa proučevana pod¬ ročja dejavnosti^ z.a posamezna področja na splošno opa- rf3 M) ■S 3 -m si o y & s-si 64 zimo, da je najmanjša koncentracija števila zaposlenih, največja pa. za osnovna sredstva. Izrazito velika izpa¬ de koncentracija osnovnih sredstev v gostinstvu in pro¬ metu. Velike razlike v koncentraciji opazimo tudi v po¬ datkih za industrijo, pri kateri kaže točka za parame¬ tra a in a/b logaritemsko normalnost (točka leži na premici a=a/b). L2. VSIORG za oinomske in Poissonove porazdelitve. Za primer proučimo še VELORG za dvoje teoretičnih po¬ razdeli tev;oinomske in Poissonove. Analogno 3 in 4 velja za oinomsko porazdelitev F[n;P;x] T> »x) I ,n ) P* Q J n-x in V ——-( n ) p X Q n " X o np x X ( n : l )p x-l Q n-x „ X-0 (*-!>] če vnesemo v VELORG točke s koordinatama kumulativ ?(n,x),0(n,x) = P(n-1,x-l) za binomske porazdelitve, do¬ bimo VELORG za oinomsko porazdelitev. V sliki 6 so vne¬ sene krivulje za binomske,porazdelitve z n=2o za P=o,o ; 5, '=0,10, P = o,23, P=o,5o', P=o,75 in P = o,95. Slika kaže določene značilnosti, krivulje se z večanjem P siste¬ matično pomikajo navzgor, kar kaže na to, da je koncentra¬ cija z večanjem P manjša, čeprav ne moremo trditi, da se VELORG krivulje ponašajo kot VELORG-LIN, ker v splošnem niso premice, vendar kaže porazdelitev za P=o.3o na to, da je za ta primer prilagojenost VELORG-LIN zeio velika, končentračija pa majhna. 65 Če podobno poiščemo analogno 5 in 4 še za Poissonovo spoznamo, da so koordinate točk na VE10RG za Poissonovo porazdelitev p£m,xl ; $ [m, x'J = F(m,x-l} Tudi VELORG za ^oissonove porazdelitve za m=i ,2,3» 5»lo,2o kaže določene zakonitosti in asimptotičnost VELCRG kri¬ vulj z večanjem parametra m. Enako opazimo manjšanje koncentraeij e če se m veča. 13. Skl ep. Koncentracijo pojava nazorno priKazujemo z norenzovim grafikonom, sintetično pa med drugim z Ginijevim koefi¬ cientom koncentracije. Vendar je primerljivost uorenzo- vih krivulj zaradi specifične oblike težka in moremo iz njega razorati le splošne črte o koncentraciji. Enako je Ginijev koeficient koncentracije za različne tipe kon¬ centracije enak. Ge namesto linearnih skal za porazdelitve A. no funkcijo F(x) = £ (x)dx in nepopoln prvi moment dx uvedemo normalno verjetnostne skale oO z in u, se lorenzove krivulje v splošnem izravnajo za določene porazdelitve celo v premico. Študij družine po¬ razdelitev, za katere je v dvojno verjetnostni mreži Lo- renzova krivulja premica (o i: bz-a) pokaže določene zna- 0OO - - i f Cx) 66 u VELORG za Poissonove porazdelitve za m =1, m~2 , m=3, m-5» m= 59 ,m= 2 o 67 u \r ° VELORG za binomske porazdelitve za n = 2o za P=o 4 o5* P — o j 1.o 5 P=o , 2,5 , P~o»5o, P=o, 75 » P=o, 95 - 68 čilnosti porazdelitev. Za b=l je v posebnem porazde¬ litev logaritemsko normalna, parameter a pa je direktno proporcionalen s stopnjo koncentracije, Porazdelitve, za katere je moremo z določeno transformacijo, ki je v razpravi nakazana, prevesti v normalno porazdelitev, Ker so porazdelitve nakazanega tipa popolnoma opisane s parametroma a,b in M, so najrazličnejši opisni parametri - vključno koncentracijo - z njimi določeni in jih moremo preko a,b in M izračunati, Ker moremo s transformacijo iz porazdelitve za osnovni znak x preiti v normalno po¬ razdelitev, moremo s tablicami za standardizirano normal¬ no porazdelitev sestaviti frekvenčne porazdelitve za kate¬ rokoli grupacijo. Študij dejanskih porazdelitev za ekonomske pojave (v raz¬ pravi so proučene porazdelitve gospodarskih organizacij po številu zaposlenih, osnovnih sredstvih in neto pro¬ duktu) je pokazal, da stvarne porazdelitve razmeroma dobro ustrezajo poogojem VELORG-LIN odvisno od pojava in velikosti populacije. Zakonitosti VELORG-LIN so v večini primerov tako izrazite, da moremo izračunane pa¬ rametre a in b za prilagojene porazdelitve uporabiti za osnovo za ocenitev parametrov, ki so izvedeni iz a in b za dejanske porazdelitve. . . . f . ; . ' . i. , ■ ■ . ... ... . ■ . • •' i- - . , ... . ■. •. " v . NARODNO IN UNIVERZITETNA KNJIŽNICA GS II 745 960 202215495 COBISS o