O NEKIH FREKVENČNIH PORAZDELITVAH
S POSEBNOSTMI V KONCENTRACIJI
dr.Marijan Blejce
O NEKIH FREKVENČNIH PORAZDELITVAH
S POSEBNOSTMI V KONCENTRACIJI
dr.Mari jan Blejce
INŠTITUT ZA STATISTIKO IN OPERACIJSKO RAZISKOVANJE
RCEE
Raziskovalni center Ekonomske fakultete
Univerze v LjuToljani
1969
OOP(SAM f
O i -09- 2008
7 125
O NEKIH FREKVENČNIH PORAZDELITVAH
S POSEBNOSTMI V KONCENTRACIJI
0. Uvod . Porazdelitev agregata X med N enot populacije
more biti najrazličnejša. Glede na koncentracijo agre¬
gata X v N enotah je ena skrajnost popolna nekoncentra-
cija, ki obstaja takrat, ko je agregat enakomerno pora¬
zdeljen na N enot populacije in odpade na vsako enoto
populacije x^ = X/N (i = 1,2..N), torej enak del agre¬
gata. Druga skrajnost je popolna koncentracija, ko ce¬
loten agregat odpade na eno samo enoto. x^ = o (i =
1,2.. (N-l)jX^=X. Porazdelitev agregata X ali koncentra¬
cija za stvarne populacije je med nakazanima ekstremoma
in je tem večja, čim večji del agregata odpade na razme¬
roma majhno število enot.
Koncentracij o pojava nazorno prikažemo z Lorenzovim gra¬
fikonom. V njem v kvadratu, v katerem je abscisa linear-
na skala za k^mulativo relativne frekvence E(x) dP,
ordinata pa linearna sk a 3 a za kumulativne relativne
nosti. Dok Eorenzove krivulje, ki poteka iz levega
spodnjega oglišča kvadrata s koordinatama (F=o, $f=o) do
zgornjega desnega oglišča kvadrata (P =1, 0=1) poteka
med diagonalo in stranicama AB in BČ, bolj ali manj
približan diagonali ali stranicama AB BČ, kar je odvi¬
sno od stopnje koncentracij e.
Razen z Lorenzovim grafikonom prikazujemo in analiziramo
koncentracijo tudi s sintetičnimi kvantitativnimi poka-
zovalci. Eden izmed njih je Ginijev koeficient koncentra¬
cije, ki je definiran z
vsote 0’(x) = f ~ dP v ranžirni vrsti urejenih vred¬
2
+ cP
G = l - 2 j gS (x)dP (l)
- oo
razmerjem med površino, ki jo oklepa Lorenzova krivulja
in diagonala A(T in površino trikotnika /\ABC. Tako defi¬
niran koeficient ima vrednost 0, če ni koncentracij e
pojava in vrednost 1, če je pojav maksimalno koncentri¬
ran. V stvarnih primerih pa je vrednost za
G o ^ G ( 1 .
Tako prvi kot drugi način prikazovanja koncentracije ima
svoje prednosti in svoje hibe. Lorenzov grafikon daje
podrobnejši in nazornejši vpogled v zakonitosti koncen¬
tracije, z njim pa ne izražamo stopnje koncentracije
kvantitativno. Obratno pa Ginijev koeficient koncentra¬
cije in vsi drugi sintetični pokazovalci sicer kvantita¬
tivno nakažejo stopnjo koncentracije, v njih pa se izgube
bistvene informacije o zakonitostih koncentracije.
Na shematičnem primeru dveh simetričnih Lorenzovih kri¬
vulj a in b spoznamo, da je zakonitost koncentracije v
obeh primerih različna, Ginijeva koeficienta pa, kot je
soditi po ustreznih površinah, sta za a in b enaka.
D
Shematičen prikaz Lorenzovega grafikona za pojave z enakim
Gimijevim koeficientom
3
1. Verjetnostni Lorenzov grafikon - VELORG . Kumulativ¬
na S-krivulja relativnih frekvenc je za analizo normal¬
nosti porazdelitev neprikladna, ker je prekomplicirana«
Podobno je z Lorenzovo krivuljo. V običajnem Lorenzo-
vem grafikonu so zakonitosti koncentracij e pogosto za-
brisane in iz njega neposredno ni jasno razvidna zako¬
nitost koncentracije.
Za analizo normalnosti porazdelitev je rešitev v verjetno
stnih grafikonih, v katerih linearno skalo za kumulati-
vo relativnih frekvenc zamenjamo z verjetnostno skalo,
zaradi česar se S krivulja za normalno porazdelitev iz¬
ravna v premico.
Uporabimo idejo verjetnostnih skal za kumulative rela¬
tivnih frakvenc F(x) in kumulative relativnih vsot
0(x) in zamenjajmo linearni kali za kumulativo relativ¬
nih frekvenc F(x) in kumulativo relativnih vsot $(x)
z verjetnostnima skalama. Ta način prikazovanja Loren-
zove krivulje imenujmo Verjetnostni Lorenzov grafikon,
kratko pa označimo s kratico VELORG. V splošnem mo¬
remo pričakovati, da se v VELORGU Lorenzova krivulja
izravna.
2. VELORG-LIN. Pod določenimi pogoji se Lorenzova kri¬
vulja na VELORGU izravna v prsnico. Cilj razprave je
proučiti, za katere tipe porazdelitev je VELORG-LIN -
verjetnostni Lorenzov grafikon premica, kakšni so pa¬
rametri in lastnosti teh porazdelitev in analizirati,
če in v koliko stvarne porazdelitve socialno-ekonomskih
pojavov slede tem zakonitostim.
Kumulativi relativne frekvence F(x) ustrezno normalno
standardizirano spremenljivko zaznamujmo z z(F(x)) = z,
kumulativi relativnih vsot 0(x) pa z z(0(x)) = u.
Suka 1. Lorenzois grafikon za A t 8,C
u
-ko^VLLORG za porazdelitve A , B , C
VERJETNOSTNA MREŽA
( 2 )
- 6 -
Za proučevan tip porazdelitev VELORG-LIN velja po
definiciji
u = bz -a
Pri tem sta a in b osnovna parametra porazdelitev VELORG-
LIN.
Ustrezni kumulativi relativnih frekvenc in vsot sta po
zgornjih definicijah izraženi s spremenljivko z naslednji:
0(x) =
dz (4)
-oo
Iz odnosov, ki so izraženi v obrazcih 3 in 4 dobimo
osnovno zvezo med prvotnim znakom x in standardiziranim
normalnim znakom z za VELORG-LIN
d0 x
dP M
b exp
(bz-a)
2t
/ exp
= b
exp
[-
(b 2 -l)z 2
- 2abz + a
(5)
3. Velikost osnovnih parametrov a in b . Iz odnosov med
P in 0 in zveze 5 sklepamo na nekatere zakonitosti o ve¬
likosti parametrov a in b.
če predpostavljamo, da je proučevana količina x pozitivna
vrednost, mora biti zaradi 5 parameter b pozitiven, če naj
porazdelitev podaja naraščujočo funkcijo.
t i
Če je x naraščujoč, je za vsak x oziroma z F > (
Iz zveze 3 in 4 spoznamo, da je to le, če je pri pozi¬
tivnem b v enačbi 2 a pozitiven.
* t . ?\ : . ; » • *
Iz zveze d0/dF = x/M sklepamo, da so odnosi smiselni le,
če je d0/dF monotono naraščujoč, To pa je, če je prvi
odvod od d0/dF pozitiven. Iz zveze 5 sklepamo, da je
prvi odvod od d0/dF pozitiven pri pozitivnem b, če je
pozitiven odvod eksponenta iz 5
_d
dz
(b 2 -l)z 2 - 2abz +
•z (b -1) + ab> 0
( 6 )
tj ., če je
z <
ab
b 2 -l
( 7 )
Če je b=l, je zaradi tega, ker je a^> o, ta pogoj
izpolnjen neodvisno.od z, torej za vse vrednosti od
- oo do + oc> .
Za primere, da j e b^l, pa pogoj 7 ni izpolnjen za vse
vrednosti intervala -«j do +cp .
Če vpeljemo nov, iz parametrov a in b izveden parameter
c =
je c=c + > o, če je b> 1
Za primer, da je b 3,79. V primerih, da je b^l gre za okrnele
porazdelitve, vendar je ta okrnelost neznatna, če je
/c/ > 3,79.
4. Transformacije osnovnega znaka x. Z logaritmiranjem
dobimo iz 5
če se x porazdeljuje logaritemsko normalno.
- 9 -
Č e je b 1, dobimo iz 11, da se porazdeljuje standardi
zirano normalno na naslednji način transformirani x
z
+
c
- -2^— ln —
b -1 bM
(14)
Če je b 2 -l)t + ll + abtz + t
L 2 2
dz (20
S transformacijo zB=v, pri čemer je B
dobimo iz 20
(b -l)t+l
A (t)
lnx-Elnx
B
exp
exp -
1 (v _ abt)2
2 B
a
2 b 2 t 2 ^ (b 2 -l)t
2B
(21
Za poseben primer, da je parameter b=l dobimo
M (t)
lnx=Elnx
exp
r a 2 t 2
2 J
(2 ž
kar je rodna funkcija momentov za normalno porazdelitev«
To potrjuje že ugotovljen rezultat, da se za primer,
da je b=l,x porazdeljuje logaritemsko normalno.
6. Neposredno izračunan j a centralnih momentom—
metrov VELORG-LIN. Izpeljana rodna funkcija za centra
ne momente za lnx je razen za poseben primer
garitemsko normalne porazdelitve razmeroma zapletena.
Zato izračunajmo prve štiri centralne momente za
In* neposredno.
če upoštevamo znane obrazce, da je za strandardizirano
normalno porazdelitev
f:
(z)
2k
(2k)!
2 k k!
U (z) = 0
r 2 k+l
(23)
tv .
dobimo iz 19
(24)
(25)
/V lnx) = E a 4 b 4 [ Z +
L 2c J
i-z 2 "I 4 - 4 4
z + - I = 3 a b
5. 5 1
+ ” + —l
c 4c 4 1
(26)
Medtem ko je ^p 2 lnx = Yarlnx, dobimo iz centralnih
momentov < u 2 lnx, ^lnx, ^ 4 lnx meri asimetrije in splo¬
ščenosti
.. 3.3
Ti (lnx) = -^2_
N
1
572
3 +
a V r 1+ 11
L 2c^ J
372"
c (1 + - 4 5 -) 3/2
= - 4 (3 - -V)
c 4c^
(27)
2c
r 2 ci“) = - 3 =
^2
3a 4 b 4 (1+ + —— A — )
c
4c
a 4 b 4 +
—— - 3 =
1
13
1
(1 +
1
•) J
2c‘
(28)
Dobljene opisne parametre za lnx dopolnimo še z
Elnx, ki sledi iz 18
Elnx = lnbM - | J(b 2 - 1) + a 2 |
(29)
in koeficientom variacije za lnx
KV =
\| ^ 2 (lnx)
E ln x
"-rtVli ♦ 1
* 2c
(30)
lnbM - \ j^(b 2 -l) +, a ]
V posebnem primeru, da je b=l, velja iz 24, da je
p
|^ 2 (lnx) = a . Parameter a je v tem primeru standardni
odklon za lnx za logaritemsko normalno porazdelitev.
Iz istega obrazca spoznamo, da je pri velikem c standard¬
ni odklon SD(lnx) približno enak ab. Za b=l je c=oo.
Iz tega sledi, da je j = o. To je v skladu z lastnostjo
logaritemsko normalne porazdelitve, za katero se lnx raz-
podeljuje simetrično. Za b>1 je porazdelitev asi-
metričja v levo, ker je c' za ta primer pozitiven,
pa negativen. Za b <^1 je porazdelitev za lnx asi¬
metrična v desno. C" za ta primer je namreč negativen,
pa po obrazcu 27 pozitiven. Stopnja asimetrije je
v splošnem tem večja čim manjši je c ; c pa je v
splošnem tem manjši čimbolj je b različen od 1. iT? J e
za vse primere razen za b=l, ko je nič, pozitiven.
Glede na to so vse porazdelitve z izjemo za b=l, take^
da se lnx porazdeljuje glede na sploščenost koničasto.
- 14
7. Parametri VEGLORG-LIN porazdelitev za x. Čeprav j e za
porazdelitve obravnavanega tipa naravneje proučevati
lnx kot x, vseeno proučimo nekaj osnovnih parametrov
tudi zanj.
Iz znane zveze, da je
E ln x = ln & x
in obrazca 18 dobimo, da je geometrijska sredina G x
enaka
Iz 11
G x = bM exp
1
2
dobimo, da je na splošno
x = bM exp
z_
2
a 2 + (b 2 - 1)
za VELORG-LIN
(b 2 - 1) + abz -
(3D
(32)
(33)
Za ta izraz je rodna funkcija momentov prekomplicirana.
Da pridemo do osnov za izračunanje momentov, P v
izraz za pomožen moment za splošno stopnjo k,E
iz njih proučimo posebne parametre.
)imo
Če upoštevamo 33,dob:
E(x k ) = b^M^E exp
„2 9 2
~ (b -1) + abz - 2 ~_
+ <»
b k M k 1
s[2¥
exp
k(b 2 ~l) + abkz
a 2 k
2 1
exp
z c
~2
dz
(34)
- 15
Vpeljimo pomožen parameter A = \j Kb -(k-1) in transfor¬
macijo Az=v. Dalje dobimo
E(x k ) = ■- .. -i— \ exp
A \[2t
) k M k
1 f , abk^ a 2 b 2 k 2 a 2 k
, v _ -r ) + p- ~
* R 2 A 2 -
exp
a k(k -l)
2 A 2
1 , abk\‘
(v-)
* A
(55)
Ker je zadnji del v izpeljavi 55 enak 1, dobimo, da velja
na splošno'
E(x k )
b k M k
- r- : ~ r :- -— — - exp-^---
ykb 2 -(k-l) 2 j^kb 2 -(k-1 )j
a^k(k-l)
(56)
Če vstavimo v obrazec 56 po vrsti k=l,2,5,4,dobimo prve
štiri pomožne momente
E(x 4 ) =
b 4 M 4
M
exp
■ 2
4b -5
6 a c
4b^ - 5 J
(57)
E(x) = M je v skladu z definicijo za matematično upanje
in aritmetično sredino.
- 16
Iz E(x ) in E(x) pa sledi, da je
-,2
^ 2 (x) = E(x 2 ) - [e(x)] = M 2
2d-1
exp
a
2 -r
L 2b -11
-1
(38)
Koeficient variacije je iz 38
KV(x)
(39)
Iz pomožnih momentov v 37 moremo dalje izračun-
tretji in četrti centralni moment oziroma )(p 1 2
Vendar so obrazci neprikladni. Boljše 2 e za P°^ ,
primer izračunati vrednostno pomožne momente, ’ «3 .
pa po znanih obrazcih centralne momente in me
je in sploščenosti.
Poseben primer: Logaritemsko normalna porazdelitev. Za
logaritemsko normalno porazdelitev so pomožni momenti
enostavnejši, ker je b=l. Če vstavimo b=l v obrazce 37
dobimo
E(x k )
a 2 k(k-l)
2
E(x) = M ;
( 40 )
Izračun centralnih momentov je za ta poseben primer
- 17
enostaven
f 1 2 = E ^ x2 ) ~ (Ex) 2 = M 2
(exp J^a 2 j -
D
= Ex 3 - 3 Ex 2 Ex + 2(Ex) 3 = M 5 (eXp JT a 2 "J - 3 exp [a 2 J
+2
(exp £
a
-D'
(exp £ a 2
+ 2 )
= Ex 4 - 4 Ex 5 Ex + 6 Ex 2 (Ex) 2
- m 4 ^
3 (Ex)‘
= M'*' ' exp |~6 a 2 - 4 exp [ 3 a 2 j + 6 exp £ a 2 J - 3
= M
(exp [a 2 ] - l) 2 (exp [_4a 2 ] + 2 exp jj5a 2 J + 3 exp [2a 2 ]
(41)
£
odobno se poenostavijo tudi obrazci za Tir 2
Tl - — |y 2 = (exp [a 2 ] + 2) \J exp [a 2 ] -1 (42)
^3
X 2 = -3 = exp
/*2
= (exp £a 2 j -l)(exp [3a 2 j + 3 exp j^2a 2 j + 6 exp [a 2 j +6)
T x in Y 2 sta enaka nič, če je a=0, v vseh drugih primerih
pa sta Yp in f 2 pozitivna. Logaritemsko normalne porazde¬
litve so vse asimetrične v desno in koničaste.
M
+ 2 exp
M
+ 3 exp
ia 2 J -<
18
Koeficient variacije za logaritemsko normalno porazde¬
litev pa je
KV = = \Jexp Ja^ 1 -1 (43)
M 1
Harmonična sredina. Iz splošnega obrazca 36 zlahka do¬
bimo obrazec za izračunanje harmonične sredine
exp
(44)
Za logaritemsko normalno porazdelitev (b=l) pa j e harmo¬
nična sredina enaka
H = M exp £ - a 2 J _ (45)
Iz obrazca 44 sklepamo, da je H realno število, če je
b< 4T.
8. Kvantili.
Določenemu kvantilnemu rangu P je prirejen normalni
porazdelitvi ustrezen standardiziran kvantil z^, temu
pa prek obrazca 33 P ustrezen kvantil x^
(b^-1) + abz.p
2
a
2
= b.M. exp
2
(46)
- 19 -
Z obrazcem 46 moremo prek P ustreznemu standardizirane¬
mu odklonu za normalno porazdelitev dobiti katerekoli
kvantile: mediano, kvartile, decile in centile.
Rešimo kot primer nekaj osnovnih zvez.
Za mediano z P=o,5o, je z p_ 0 5 = o . Iz tega dobimo,
da je iz obrazca 46
Me
*P=o,5o
b.M. exp
(47)
Če upoštevamo vrednost mediane iz 47 moremo pisati
splošen obrazec za kvantil iz 46 v enostavnejši obliki
X,,
Me exp
2 (b 2 -i
(48)
Ker je Zp = -Zp_p dobimo iz 46, da je kvantilni razmak,
ki vključuje (1-2P) vrednosti^enak
X.. - x^_ p = b.M exp
a_
2
2 z‘
f (b ' 1)
igjcp abz. j -exp -abz
kb J
= x (1 - exp f-2a bZj;/j )
(49)
Enostavnejše je kvantilno razmerje, ki ga definirajmo
kot kvocient x. /x^_. = exp [2 abz., ] (50)
Tako je za kvartila Qp in
kvartilno razmerje
20
Qj/Qj_ = exp [l,3490 ab
-^q 0,58586 ab
(51)
Podobno velja za decilno razmerje
exp £ 1,6852 ab J
1Q 0,73100 ab
(52)
ker je z T , , = 0,8416
r=o,io
Večina dosedaj izračunanih parametrov in zvez je dana
v odnosu na aritmetično sredino, za katero predpostav¬
ljamo, da je znana. V resnici moremo to predpostavlja¬
ti v večini primerov. Če je Jjorenzov grafikon v kateri¬
koli obliki zasnovan na kumulativi relativnih frekvenc
in kumulativi relativnih vsot, je znana skupna frekvenca,
to je obseg populacije N in skupna vsota X. Iz tega pa
je aritmetična sredina
9. Pokazovalci koncentracije. Premica v VELORG-LIN
je določena z dvema parametroma. Iz tega sklepamo, da
je koncentracija za te tipe porazdelitev opisana z
dvema parametroma. Formalno je s parametroma a in b
koncentracija za VELORG-LIN popolnoma opisana, vendar
moremo ta dva parametra zamenjati z drugima dvema, ki
se dasta lažje tolmačiti.
Če v obrazec 54 postavimo z p = o, dobimo,da je
1 —O * ju
M = X/N
(53)
u = bz - a
(54)
ustrezen standardiziran odklon
-a
(55)
21
Če prevedemo standardiziran odklon u = -a v kvantilni
rang
P (u=-a)
A
(56)
A pove, kolik del celotnega agregata odpade na polovico
enot celotne populacije z najmanjšimi vrednostmi ali na
enote pod mediano.
Če skušamo podobno raztolmačiti tudi odsek premice
VELORG-LIN na abscisni osi o = u~ , dobimo
r = o, 5o
z( ' U P = o,5o ) = § (57)
v 57 dobljeni z prevedemo v kvantilni rang P, iz njega
dobljeni parameter
1 - P (z=a/b) = B <58)
pa pove, kolik delež velikih enot obsega polovico agre¬
gata. Parametra A in B vsebinsko enostavno tolmačimo,
z njima pa popolno opišemo zakonitosti koncentracij e
in z nasprotno transformacijo pridemo do osnovnih para¬
metrov a in b.
Če je porazdelitev logaritemsko normalna, je b=l, A pa
enak B. V tem primeru ima polovico majhnih enot enak
del agregata kot je delež velikih enot, v katerem
je polovica agregata.
10. Ginijev koeficient koncentracij e za VELORG-LIN.
Ginijev koeficient koncentracije je definiran z
+ 00
G = 1 - 2 j 0(x) d F(x) (59)
o O
22
Zaradi odnosov med F(x) in $(x) je za VELORG-LIN obrazec
za Ginijev koeficient koncentracij e
■rco
u=bz-a
2
Ker zaradi transcendentnosti funkcije e integrala
60 ne moremo izračunati direktno, dobimo približek
po obrazcu
(6o)
G = 1 ~ 2 F ( u k = bz k- a) ^ (z k ) ^ Z : z k+l = z k + Az (61)
k
Tabela odnosov Ginijevega koeficienta G in parametrov
a in b. Za pare vrednosti a = o(o,l)5>o in b = o,7o(o,o5)
1,3o so bile na računalniku IBM 113o izračunane vredno¬
sti za G. Praktičen pomen te tabele je v tem, da more¬
mo iz parametrov a in b, katere moremo v praktičnih
primerih zlahka oceniti iz odsekov na koordinatnih
oseh, oceniti, kakšna je vrednost Ginijevega koeficien¬
ta G.
Razen v tabeli so v nomogramu dani odnosi med G in a in
b. Z nomogramom je lažje oceniti z vizuelno interpola¬
cijo G tudi za vrednosti a in b, ki so med tabelira-
nimi .
23
Tabela 1. Tabela za ocenjevanje Ginijevega koeficienta G,
v odvisnosti od parametrov a in b
- 24 -
>
TaBela 1 . Tabela za ocenjevanje Ginij evep-a koeficienta G,
v odvisnosti od parametrov a in b _ nadaljevanje
- 2 . 5 -
26
11. Primer za analizo z VELORG.
Pa se prepričamo, v koliko porazdelitve ekonomskih poja¬
vov ustrezajo pogojem VELORG-LIN, analizirajmo po izsled¬
kih, ki smo jih nakazali v teoretičnem delu, tri pojave;
število zaposlenih, vrednost osnovnih sredstev in vred¬
nost neto produkta za SFRJ v letu 1965 za. naslednja pod¬
ročja; kmetijstvo, gozdarstvo, industrija in rudarstvo,
obrt, gradbeništvo, promet, zunanjo trgovino, trgovino
na malo, trgovino na veliko in gostinstvo, ^snova za
analizo so podatki iz SG-1967.
Za vse tri podatke po panogah bomo podali v sumarni ob¬
liki osnovne parametre in grafikone VELORG in sumaren
grafikon parametrov A in B, ki pokaže odnose v koncentra¬
ciji za različne pojave.
12. Za primer izračuna pa podajmo potek analize za
porazdelitev industrijskih podjetij po številu zaposle¬
nih. Razen prikaza, kako so izračunani parametri, ki so
v nadaljevanju dani za vse pojave in panoge, bomo za po¬
razdelitev industrijskih podjetij po številu zaposlenih
izračunali še dodatne parametre in izvršili dodatne ana¬
lize, da prikažemo uporabnost teoretičnih izsledkov
v praktičnih primerih.
Iz frekvenc f^ in vsot Y^ dobimo kumulative relativnih
frekvenc in kumulative relativnih vsot 0^» če kumula¬
tive delimo z N=2466 oziroma z Y=1368475. V koloni 4 in 7
pa so vneseni iz tablic površin za normalno porazdeli¬
tev Zj, in /?a-^ , ki ustrezajo kumulativnim relativnim frek¬
vencam oziroma kumulativam relativnih vsot 0^.
Če je porazdelitev VELORG-LIN, je med xx^ in z^, linear¬
na zveza. Kljub temu pa za ampirične porazdelitve ta zveza
- 27
Tabela 2. Osnovna porazdelitev industrijskih podjetij
po številu zaposlenih
ni funkcijska, tudi če je porazdelitev tipa VELORG-LIN.
Stvarnim porazdelitvam ustrezna prilagojena VELORG-LIN
porazdelitev je ona, ki se stvarnim točkam VELORG najbo¬
lje prilega.
To je regresijska premica
" bz F " a ( 62 >
ki jo dobimo po metodi najmanjših kvadratov. Eogoj, ki ga
postavljamo na izračunane parametre, je
2_ w k (u 0 - u 0 ) 2 = Min (63)
k k
Pri tem so ponderi, w^.=c=l, če damo vsem vrednostim
oziroma razredom enak pomen. Možna pa je varianta, da da¬
mo vrednostim, ki veljajo za razrede z večjimi frekven¬
cami, večjo težo. V tem primeru je ena izmed možnih pon-
28
)
deracij w^. = f^_^ + f^. V našem primeru smo se odloči¬
li za kriterij neponderiranih kvadratov odklonov.
S pomočjo Zp in u ^ dobimo, da je
= 1,0148 z F - 1,2695 (64)
ker j e
a = u^ - bz F
(65)
Za Zp=o je A=u^ = -1,2695. 0, ki ustreza pa je o,lo2
ali lo,2 %. V 50 % majhnih podjetij je lo,2 % vseh za¬
poslenih v industriji.
Za U/V= o, je B=z p = a/b = 1 » 26 . 9.5„ = i,25o9. Temu B
^ * l,ol48
ustreza F= o,894, kar pomeni, da je v looF-89,4 = 10,6
velikih industrijskih podjetij 50 % vseh zaposlenih.
V koliko stvarna porazdelitev ustreza teoretični VELORG-LIN
porazdelitvi, presodimo s korelacijskim koeficientom
Vz F z tf *
Za naš primer je
)
Z n Z
Z n u,
F0
F 0
cT cT
Z F Z 0
12,5569
\J 12,3543 . \| 12,729o
= o,9997 (66)
Linearna odvisnost med z^ in u ^ se je pokazala kot zelo
visoka. Čeprav gre del te visoke odvisnosti na račun
relativno majhnega števila stopinj prostosti (k-2 = 8-2 =6),
je korelacijski koeficient tako velik, da moremo sklepa¬
ti na to, da porazdelitev za število zaposlenih v indu-
29 -
stri ji teži k VELORG-LIN zakonitosti.
Pomemben parameter VELORG-LIN porazdelitev je
c = a.b/(b 2 -l) = 1,2 = 43,2o4. Parameter
(1,0148^ - D
c + = Zp = 43,2o4 glede na 7,8 in 9 nakazuje razmak, v ka¬
terem je porazdelitev VELORG-LIN definirana. Za naš
primer je jasno, da je v razmaku «<^z^43,2o4 prak¬
tično celotna populacija.
Ker M = Y/N = 68475 .. _ 554,94 znan, po obrazcu 14
2466
dobimo zvezo med x in z za prilagojeno VELORG-LIN poraz
delitev.
z = c
(c )
b 2 -l
ln
bM
= c
r (^) 2 +
L b
(b -l)Mod
log bM
(b -1)Mod
log x =
= 43,2o4
/ 43,2o4 \ 2 + 2 log(l, 0 I 48 .554,94) ~\
\l,ol48/ (1,o148 2 -1) 0,43429448 J
-- £ - log x
(l,ol48-l) 0,43429448
= 43,2o4 - \j 2237,352155 - 154.44o log x ('
Ta zveza med x in Zp omogoča reproducirati osnovni po¬
razdelitvi prilagojeno teoretično VELORG-LIN porazdeli¬
tev. Razen tega moremo dobiti prek te zveze teoretično
VELORG-LIN porazdelitev za katerokoli drugo grupacijo
30
za vrednost osnovnega znaka x. Če stvarna porazdelitev
sledi zakonitosti VELORG-LIN, kar je razvidno iz ustre¬
znega korelacijskega koeficienta r , dajo naka-
Z F U 0
zane interpolacije boljše rezultate, ker je interpola¬
cija izvršena na premici. Za primer najprej stvarni po¬
razdelitvi za industrijska podjetja po številu zaposle¬
nih prilagodimo VELORG-LIN.
Nakazan izračun in primerjava stvarnih kumulativ F (glej
k=J-I) in kumulativnih vsot (2f (glej 0=N-M) s teoretič¬
nimi v tabeli 3 pokaže zadosti veliko skladnost med obe¬
ma.
Za primer pregrupiranja podatkov na druge razrede vzemimo
meje razredov s kvocientom 2 in začetno mejo 25» Po ena¬
kem postopku kot za osnovno grupacijo dobimo kumulativo
F in 0 v tabeli 4.
V tabeli 4 je v koloni M frekvenčna porazdelitev števila
podjetij po številu zaposlenih, izračunana iz prilagoje¬
ne VELORG-LIN porazdelitve. Ker zaradi velikega korela¬
cijskega koeficienta med z^, in u^ (r = o, 9997) sklepamo
na precejšnjo skladnost med stvarno in prilagojeno po¬
razdelitvijo, moremo dobljeno teoretično frekvenčno po¬
razdelitev smatrati kot približek stvarne porazdelitve
oziroma kot zadosti dobro oceno za pregrupirano porazde¬
litev. Podobno so tudi v stolpcu 0 izračunane vsote šte¬
vila v posameznih razredih ocene števila zaposlenih v
pregrupirani porazdelitvi.
7 )
31
Tabela 3. Prilagoditev VELORG-LIN za porazdelitev indu¬
strijskih podjetij v SFRJ v letu 1965 po
številu zaposlenih
Število
zaposlenih
32
tabela 4. VELORG-LIN porazdelitev za industrijska podjetja
v SFRJ v letu 1965 po številu zaposlenih
Število
zaposlenih
loo,oo 13684 oo
loo,oo
2466
33 -
Za isto porazdelitev izračunajmo po obrazcih 32, 44, 47,
27 in 28 G x , H x , Me,^ ; ^in 4u^(lnx).
G = b.M.exp
-(a 2 +b 2 -l)
2
= 1,0148.554,94
exp
|(1,2695 2 +1,o148 2 -1)
247,85
H x = b
.M. \j~2-b 2 .
exp
a
_ 2-o‘
! = 1, ol48. 554,94 • ^2-1,lo48
exp
1,2695'
_ 2-1, ol48‘
= lo5,35
= 251,58
3 +
I(lnx) = - I -£-
° (H-i)
20^
■372 = - - - 4 )
2/^ C 4c
-1
43,2o4
(3---- o, o694
4•43»2o3
’j^(lnx) = 12
1-
d + -4)^
2c^
r 12 _ 12 — = o,oo64
c 2 43,2o4^
čn* = \ ^ 2 (lnx) = a * b '
1+ -Kr- = 1,2695-1.0148
2c d
\
1 +
1
2.23,2o^
= 1,28846
34
nx
.Mod
1,28846.0,434294
o,55957
Dobljeni rezultati kažejo več značilnosti proučevane
porazdelitve. Zaradi velike asimetrije porazdelitve so
razlike med posameznimi merami centralne tendence znatne.
Ker sta tako mera asimetrije mera splošnosti
za lnx razmeroma majhna, sklepamo, da je porazdelitev
blizu logaritemsko-normalni porazdelitvi. Če čT(logx) =
°»55857 antilogaritmiramo, dobimo K = 3»627.Intervalom
M - z S', za ta primer ustreza razmak,
G x .k~ z 780
po obrazcu 52 pa decilno razmerje Dg/D-j_
a^ 1,3 G-^ o = o,642o G-^-j =63oo
a-a
o-b
a-, -a
1 o
+ 1,2695-1,2
1,3 - 1,2
(o , 642o-o , 6o39 )- +
1, ol48-l, o_ o ( n , 5y21-o, 6o39 )
1 , o5 - 1 , 00 -:
- 36
13. Po prikazu izračuna parametrov za porazdelitev
industrijskih podjetij v SFRJ *o številu zaposlenih,
v katerem je nakazan način za izračunavanj e posamez¬
nih parametrov za prilagojen VELORG-LIN, podajamo v
nadaljevanju tabelo osnovnih parametrov za prilagoje¬
ne VELORG-LIN za gospodarske organizacije po področjih
dejavnosti za osnovne tri porazdelitve; po številu za¬
poslenih, po osnovnih sredstvih in neto produktu.
VELORG-LIN je definiran s parametroma a in b oziroma
z in *=a/b. A=(-a) je namreč odsek premice
VELORG-LIN na orainatni osi, -ts=a/b pa na abscisni osi.
Iz navedenega primera kompleksnejšega prikaza za več
področij dejavnosti in različne podatke spoznamo, da
večina pojavov bolj ali manj sledi zakonitostim
VELORG-LIN. Razen osnovnih parametrov so v nadaljeva¬
nju še VELORG za posamezna področja dejavnosti. Že
bežna primerjava števila organizacijskih enot v vsa¬
kem področju dejavnosti z ustreznimi VELORG ali ko-
relacijskimi koeficienti r nakazuje, da so odkloni
empiričnih porazdelitev za posamezna področja dejav¬
nosti pogojeni s slučajnostnimi faktorji, katerih
učinek se po zakonu o velikih številih za večje popu¬
lacije omiljuje.
- 37 -
Tabela 5. Frekvenčne porazdelitve in porazdelitve vsot
v letu 1965 po področjih dejavnostih
Kmetijstvo - število zaposlenih
2798 loo,oo 9514,3
loo ,00
»* -
- 38 -
Tabela 5« Frekvenčne porazdelitve in porazdelitve vsot
v letu 1965 po področjih dejavnosti (nadaljevanje)
Kmetijstvo - Neto produkt
152
lOO , 00
77929
loo,00
39
Tabela 5. Frekvenčne porazdelitve in porazdelitve vsot v
letu 1965 po področjih dejavnosti (nadaljevanje,
Gozdarstvo - Osnovna sredstva
>
- 40 -
Tabela 5. Frekvenčne porazdelitve in porazdelitve vsot v
letu 1965 po področjih dejavnosti (nadaljevanje)
Industrija - Rudarstvo: Zaposleni
x f k J? k * T k 0 k %
41
Tabela 5. frekvenčne porazdelitve in porazdelitve vsot v
letu 1965 po področjih dejavnosti (nadaljevanje)
Industrija - Rudarstvo: Neto produkt
3168
loo ,00
2ol522
loo ,00
*■ •'>■
- 42 -
Tabela 5. frekvenčne porazdelitve in porazdelitve vsot v
letu 1965 po področjih dejavnosti (nadaljevanje)
Gradbeništvo - Zaposleni
43
Tabela 5. Frekvenčne porazdelitve in porazdelitve vsot v
letu 1965 po področjih dejavnosti (nadaljevanje)
Gradbeništvo - Neto produkt
\ •
~ 44 -
Tabela 5. Frekvenčne porazdelitve in porazdelitve vsot v
letu 1965 po področjih dejavnosti (nadaljevanje)
Promet - Osnovna sredstva
- 45 -
Joe,oo 472,1
1o 0,00
46
Tabela 5. Frekvenčne porazdelitve in porazdelitve vsot v
letu 1965 po področjih dejavnosti (nadaljevanje)
Trgovina na malo - Zaposleni
- 47
Tabela 5. Frekvenčne porazdelitve in porazdelitve vsot v
letu 1965 po področjih dejavnosti (nadaljevanj e)
Trgovina na veliko - Zaposleni
623
lOO,00
3444,1
loo ,00
48
Tabela 5« Frekvenčne porazdelitve in porazdelitve vsot v
letu 1965 po področjih dejavnosti (nadaljevanje)
Gostinstvo - Zaposleni
49 -
Tabela 5. Frekvenčne porazdelitve in porazdelitve vsot v Sft
letu 1965 po področjih dejavnosti (nadaljevanje)
Gostinstvo - neto produkt
is,5
ss
s«
s?
S5
iO
«0
70
6C
JC
H
3 <
Sl
t
(
b
- 5o -
£
4 .
VELORG
VELORG
za
za kmetij stv
KMETIJSTVO 1965
2 - zaposleni
- osnovna sredttva
- neto produkt
N
- 51 -
U
f
* VELOKG za GOZDARSTVO l9f>5
41 - zaposleni
^ - osnovna sredstva
N
Neto produkt
- 52 -
U
VELOG za
INDUSTRIJO IN RUDAR
V O
1965
Z ~ zaposleni
O - osnovna sredstva
N - neto produkt
- 53 -
u
VERJETNOSTNA MREŽA
Lf't+, VEJLOfj za OBRT 1965
Z
zaposleni
k
5. VELORG za GRADBENIŠTVO
1965
Z - zaposleni
0 - osnovna sre d is t va
- neto produkt
N
55
o
Z - zaposleni
0 - osnovna sredstva
N -
neto produkt
VERJETNOSTNA • 1REŽA
^ .J. VELOSGza ZUNANJO TRGOVINO 19 6 3
% ~ zaposleni
O - osnovna sredstva
~ 57 -
U
VERJETNOSTNA MREŽA
VliLORGza
TRGOVINO NA MALO
Z - zaposleni
O - osnovna sredstva
- neto produkt
N
58
u
VELORG za TRGOVINO NA VELIKO 1905
Z
N
zaposleni
neto produkt
- 59
VERJETNOSTNA MREŽA
,s-{ 40» VELOG za GOSTINSTVO 1965
Z - zaposleni
O - osnovna sredstva
N - neto produkt
60 -
Tabela ti. Osnovni parametri prilagojenih VEL0RG-1IN,
za porazdelitve o številu zaposlenih, vredno¬
sti osnovnih sredstev in vrednosti neto pro-
61
,1
A=a P(u=a) b B=a/b P(z=a/b) c r
6.Promet N=425
Verjetnosti P(c>C) nakazujejo, kakšen delež populacije
izpolnjuje pogoje, ki pogojujejo smiselnost za vredno¬
sti proučevane populacije. Če proučimo vrednosti za c,
62
dobijo za naš primer naslednjo porazdelitev:
c
f
16
13
3 3
32
64
£
25
Samo en c je manjši kot 4(c=3»716 za osnovna sredstva v
gozdarstvu), za večino je med 4 in 8, za 11 pa celo nad
8 .
Če analogno analiziramo korelaeijske koefTiciente z
r 0 r/ p za kumulative frekvenc in kumulative vsot dobimo:
Iz dobljene frekvenčne porazdelitve za korelaeijske.; ko-
eficiente vidimo posredno, da se veliko pojavov porazde¬
ljuje v porazdelitvah, ki se zelo približujejo VEL0RG-ŠL1N.
Za 23 od skupno 25 porazdelitev je koreiacijsl^i koeficient
A
večji kot r=o.995, za 11 pa večji od r=o,999./
Na sliki 5 so s točkami vrisani parametri a/b, a za posa^-
me,zne izmed proučevanih podatkov po področjih dejavnosti.
Za logaritemsko normalne porazdelitve so točke na premi¬
ci LN. Zanje je namreč b=l oziroma a/b=a. Odmik od te
premice pomeni odstopanje porazdelitev od logaritemsko
normalne in sicer kot je nakazano na sliki za točke nad
LN asimetričnost v desno, za točke pod LN pa asimetričnost
v levo. Z velikostjo a in a/b pa je nakazana koncentraci¬
ja pojava. Čim večje so absolutne vrednosti za a in a/b
tem večja je koncentracija pojava. Iz slike 5, v kateri
so kompleksno nakazani parametri za vsa proučevana pod¬
ročja dejavnosti^ z.a posamezna področja na splošno opa-
rf3
M)
■S
3
-m
si
o y &
s-si
64
zimo, da je najmanjša koncentracija števila zaposlenih,
največja pa. za osnovna sredstva. Izrazito velika izpa¬
de koncentracija osnovnih sredstev v gostinstvu in pro¬
metu. Velike razlike v koncentraciji opazimo tudi v po¬
datkih za industrijo, pri kateri kaže točka za parame¬
tra a in a/b logaritemsko normalnost (točka leži na
premici a=a/b).
L2. VSIORG za oinomske in Poissonove porazdelitve. Za
primer proučimo še VELORG za dvoje teoretičnih po¬
razdeli tev;oinomske in Poissonove. Analogno 3 in 4
velja za oinomsko porazdelitev
F[n;P;x]
T>
»x)
I
,n
) P* Q J
n-x
in
V ——-( n ) p X Q n " X
o np x
X
( n : l )p x-l Q n-x „
X-0
(*-!>]
če vnesemo v VELORG točke s koordinatama kumulativ
?(n,x),0(n,x) = P(n-1,x-l) za binomske porazdelitve, do¬
bimo VELORG za oinomsko porazdelitev. V sliki 6 so vne¬
sene krivulje za binomske,porazdelitve z n=2o za P=o,o ; 5,
'=0,10, P = o,23, P=o,5o', P=o,75 in P = o,95. Slika kaže
določene značilnosti, krivulje se z večanjem P siste¬
matično pomikajo navzgor, kar kaže na to, da je koncentra¬
cija z večanjem P manjša, čeprav ne moremo trditi, da se
VELORG krivulje ponašajo kot VELORG-LIN, ker v splošnem
niso premice, vendar kaže porazdelitev za P=o.3o na to,
da je za ta primer prilagojenost VELORG-LIN zeio velika,
končentračija pa majhna.
65
Če podobno poiščemo analogno 5 in 4 še za Poissonovo
spoznamo, da so koordinate točk na VE10RG za Poissonovo
porazdelitev
p£m,xl ; $ [m, x'J = F(m,x-l}
Tudi VELORG za ^oissonove porazdelitve za m=i ,2,3» 5»lo,2o
kaže določene zakonitosti in asimptotičnost VELCRG kri¬
vulj z večanjem parametra m. Enako opazimo manjšanje
koncentraeij e če se m veča.
13. Skl ep.
Koncentracijo pojava nazorno priKazujemo z norenzovim
grafikonom, sintetično pa med drugim z Ginijevim koefi¬
cientom koncentracije. Vendar je primerljivost uorenzo-
vih krivulj zaradi specifične oblike težka in moremo iz
njega razorati le splošne črte o koncentraciji. Enako je
Ginijev koeficient koncentracije za različne tipe kon¬
centracije enak. Ge namesto linearnih skal za porazdelitve
A.
no funkcijo F(x) = £ (x)dx in nepopoln prvi moment
dx uvedemo normalno verjetnostne skale
oO
z in u, se lorenzove krivulje v splošnem izravnajo za
določene porazdelitve celo v premico. Študij družine po¬
razdelitev, za katere je v dvojno verjetnostni mreži Lo-
renzova krivulja premica (o i: bz-a) pokaže določene zna-
0OO - - i f Cx)
66
u
VELORG za Poissonove porazdelitve
za m =1, m~2 , m=3, m-5» m= 59 ,m= 2 o
67
u
\r
° VELORG za binomske porazdelitve za n = 2o
za P=o 4 o5* P — o j 1.o 5 P=o , 2,5 , P~o»5o, P=o, 75 » P=o, 95
- 68
čilnosti porazdelitev. Za b=l je v posebnem porazde¬
litev logaritemsko normalna, parameter a pa je direktno
proporcionalen s stopnjo koncentracije, Porazdelitve,
za katere je moremo z določeno transformacijo, ki je
v razpravi nakazana, prevesti v normalno porazdelitev,
Ker so porazdelitve nakazanega tipa popolnoma opisane s
parametroma a,b in M, so najrazličnejši opisni parametri -
vključno koncentracijo - z njimi določeni in jih moremo
preko a,b in M izračunati, Ker moremo s transformacijo
iz porazdelitve za osnovni znak x preiti v normalno po¬
razdelitev, moremo s tablicami za standardizirano normal¬
no porazdelitev sestaviti frekvenčne porazdelitve za kate¬
rokoli grupacijo.
Študij dejanskih porazdelitev za ekonomske pojave (v raz¬
pravi so proučene porazdelitve gospodarskih organizacij
po številu zaposlenih, osnovnih sredstvih in neto pro¬
duktu) je pokazal, da stvarne porazdelitve razmeroma
dobro ustrezajo poogojem VELORG-LIN odvisno od pojava
in velikosti populacije. Zakonitosti VELORG-LIN so v
večini primerov tako izrazite, da moremo izračunane pa¬
rametre a in b za prilagojene porazdelitve uporabiti za
osnovo za ocenitev parametrov, ki so izvedeni iz a in b
za dejanske porazdelitve.
. . . f . ;
.
'
.
i.
, ■ ■ .
...
... . ■
.
• •' i-
- . , ... .
■. •.
"
v
.
NARODNO IN UNIVERZITETNA KNJIŽNICA
GS
II 745 960
202215495
COBISS o