Ali je 1 p ulomek? Is a Fraction? Zlatan Magajna Pedagoška fakulteta Univerza v Ljubljani Σ Povzetek V prispevku obravnavamo pomen izraza ulomek in zapisa a b . Čeprav je ulomek eden najosnovnejših matematičnih pojmov in je oznaka zanj vsem poznana, ju učenci, dijaki in tudi učitelji matematike različno razumejo. V prispevku predstavljamo različna pojmovanja in razumevanja izraza ulomek in zapisa z ulomkovo črto ter vzroke za raznolikost v njihovem razumevanju. Ulomek je primer matematične- ga pojma, ki ga uporabljamo tako v formalnem, izvornem pomenu, pa tudi manj formalno v drugih pomenih, zato je predvsem pomembno razlikovati različne pomene in se jih zavedati. Σ Abstract The paper discusses the meaning of the term fraction and of the notation a b . Even though the fraction is one of the most basic mathematical concepts and the symbol for it is known by all, primary school students, secondary school students and math- ematics teachers understand it differently. The paper presents various concepts and understandings of the term fraction and of the notation with a fraction line, and the reasons for such differences in understanding. The fraction is an example of a mathematical concept which is being used in the formal, origi- nal meaning, and less formally in other meanings; it is therefore important that we distinguish among the different meanings and are aware of them. α Matematika v šoli ∞ XXII. [2016] ∞ 74-79 075 α Uvod Pričujoči prispevek je nastal kot odgovor na razmišljanje bralke, v katerem se sliko- vito sprašuje: Ali je 1 p ulomek? Vsi poznamo rek »Dva pravnika – tri pravniška mnenja.« Kot nasprotje pravniškim raznolikim in- terpretacijam istih zakonov postavljamo za zgled matematiko, kjer naj bi bili pojmi in dejstva nedvoumni in naj bi jih vsi enako razumeli. Razmišljanje bralke pa kaže, da ni tako. Na vprašanji Kaj je ulomek? in Ali je 1 p ulomek? bi dobili zelo raznolike odgovo- re celo pri učiteljih matematike in drugih matematikih, kaj šele pri učencih, dijakih. Še večja raznolikost bi prišla na dan, če bi raziskali, kako razumemo pojem ulomek. Razlogov za razlike v razumevanju ulomkov in nasploh matematičnih pojmov je več, predvsem pa se pojavljajo na različ- nih ravneh. Na konceptualni ravni govori- mo o različnih pojmovanjih ulomka, npr. ulomek kot del celote ni enak pojem kot ulomek v pomenu razmerja. Na termino- loški ravni so razlike v interpretaciji izraza ulomek in interpretaciji zapisa a b . Na didak- tični ravni prihaja do razlik zaradi didaktič- nih poenostavitev: avtorji oz. učitelji želijo uvesti pojme, povezane z ulomki, na enos- taven ali celo poenostavljen način, včasih zato tudi zožijo obravnavane pojme (npr. v učbenikih srečamo vsebinsko različne opredelitve algebrskih ulomkov). V učnem kontekstu pa ne moremo mimo dejstva, da je ulomek, kot ga razume posameznik, subjektiven konstrukt – tako kot tudi vsak matematičen pojem. Tudi če je nek pojem enotno opredeljen, posameznik sam zgradi in oblikuje razumevanje pojma, v skladu s svojimi izkušnjami in predhodnim znan- jem. Za nekatere mora, na primer, biti ulo- mek (ne glede na kdaj naučeno definicijo) nujno pozitiven. Pri običajnem delu indi- vidualne razlike v razumevanju usvojenih matematičnih pojmov ne povzročajo nes- porazumov in se jih zato niti ne zavedamo. V prispevku se bomo omejili na termino- loško raven, saj se nanjo nanaša zapis bralke. Torej: Kaj označuje izraz 'ulomek'? Kdaj zapi- su oblike a b lahko rečemo ulomek? β Pomeni izraza ulomek in zapisa a b Vsi se strinjamo, da predstavlja ulomek. Vendar zapis, da je ulomek, lahko inter- pretiramo na različne načine. Predstavili bomo tri značilne. 1. Ulomek je simbolni zapis racionalnega števila. V tovrstnem zapisu sta števec in imenovalec nujno celi števili, pri čemer je imenovalec različen od 0. Po tej inter- pretaciji sta in različna ulomka, to- rej različna simbolna zapisa istega racio- nalnega števila. Isto racionalno število lahko torej predstavimo z več različni- mi ulomki (kot simbolnimi zapisi racio- nalnih števil). Kot včasih rečemo, imajo lahko različni ulomki enako vrednost oz. predstavljajo isto racionalno število. V tem pomenu v zapisu ne gre za deljen- je – v množici celih števil se to deljenje ne izide – temveč za označitev racional- nega števila z navedbo dveh celih števil. Ko govorimo o števcu in imenovalcu ulomka, se to nanaša na ulomek v po- menu simbolnega zapisa racionalnega števila. In ko rečemo, da ulomek razši- rimo ali pa krajšamo, prav tako mislimo na ulomek v smislu simbolnega zapisa: dani simbolni zapis racionalnega števila (ulomek) nadomestimo z drugačnim za- 076 Ali je ulomek? pisom istega racionalnega števila (razšir- jeni oz. krajšani ulomek). 2. Ulomek je racionalno število. Zapis predstavlja neko racionalno število, ki mu pogosto tudi pravimo ulomek. V zapisu + nastopata dva ulomka. Ta ulomka predstavljata racionalni števili, saj seveda seštevamo racionalni števi- li. Zapisa oz. v omenjenem izrazu interpretiramo kot racionalni števili, predstavljeni s paroma celih števil 2 in 7 oz. 1 in 5. Če v tem kontekstu uporabimo izraz ulomek, torej mislimo na racional- no število in ne na simbolni zapis. Zapi- sov namreč ne moremo seštevati, sešte- vamo lahko le števila. Kadar uporabimo izraz ulomek v pomenu racionalnega šte- vila, ne moremo govoriti o imenovalcu ulomka ali števcu ulomka, saj zapis ra- cionalnega števila s parom celih števil ni enoličen. Videli smo, da a b in s tem povezan izraz ulomek lahko pomeni včasih simbolni zapis racionalnega števila ali pa racio- nalno število, ki ga zapis predstavlja. Pri naravnih številih je drugače, saj upo- rabljamo različna izraza za zapis in za to, na kar se zapis nanaša, torej za ozna- čevalca in označeno. Številka se nanaša na označevalca (zapis števila), število pa na označeno. Številka je simbolni zapis števila. 3. Ulomek je računski izraz (deljenje dveh celih števil). Zapis lahko interpreti- ramo še drugače. Števec in imenovalec obravnavam kot celi števili v obsegu ra- cionalnih števil (ali tudi realnih števil). V obsegu lahko vedno delimo z neni- čelnim elementom. Kvocient števca in imenovalca (kot racionalni števili) je racionalno število, ki ga simbolno preds- tavimo s parom celih števil – ta par sta lahko kar števec in imenovalec ali pa kak drug ustrezen par. V našem prime- ru lahko izraz razumem kot deljenje racionalnega števila 2 z racionalnim šte- vilom 7, rezultat je racionalno število, ki ga simbolno zapišemo kot npr. kot ali in seveda še drugače. To je torej tretja interpretacija zapisa . V tem pomenu zapis a b uporabim v pomenu kvocienta a : b v obsegu racionalnih števil, pri če- mer sta a in b celi števili in je b različen od 0. Doslej smo na zapleten način poveda- li to, kar tako ali drugače piše v učbenikih matematike. Ulomek je izraz a b , kjer sta a in b celi števili in b ni 0. Racionalna števila lahko zapišemo z ulomkom. V množici ra- cionalnih števil je kvocient celih števil a in b enak ulomku a b . β Matematično in didaktično ozadje Na ulomke bomo pogledali še z dveh zornih kotov. Najprej bomo predstavili matematič- no ozadje ulomkov in ulomkom podobnih objektov, pri katerih števec in imenovalec nista nujno celi števili. Na ulomke pa bomo pogledali tudi z vidika učenja matematike, kjer je treba učečim se predstaviti ulomke na bolj ali manj poenostavljen, a korekten način. Pri eni in drugi obravnavi se bomo naslonili na avtoritativne in lahko dostopne vire z našega prostora. Do racionalnih števil lahko pridemo iz celih števil s konstrukcijo, ki je splošna in je opisana v vsakem učbeniku abstraktne algebre (Vidav, 1989). Vsak cel komutati- ven kolobar je namreč mogoče vložiti v najmanjši komutativen obseg. Iz kolobarja 077 celih števil tako dobimo obseg racionalnih števil, iz kolobarja polinomov s celimi koe- ficienti dobimo obseg racionalnih funk- cij itd. Pri tej konstrukciji najprej tvorimo množico parov (a, b) elementov kolobarja, pri čemer b ¹ 0. Če v to množico parov uvedemo ekvivalenčno relacijo (a, b) ~ (c, d) Û a . d = c . b in v množici ek- vivalenčnih razredov ustrezno definiramo operaciji seštevanja in množenja, dobimo komutativen obseg. Torej lahko vsak ele- ment nastalega obsega predstavimo s parom elementov izhodiščnega kolobarja, pri če- mer za par (a, b) in/ali ekvivalenčni razred [(a, b)] tega para običajno uporabljamo za- pis a b . Če gre za konstrukcijo racionalnih števil iz celih števil, potem je v pomenu simbolnega zapisa ulomek dogovorjeni zapis urejenega para (2, 7), v pomenu racio- nalnega števila pa ulomek pomeni ekvi- valenčni razred urejenih parov, kamor sodi par (2, 7). Če izhajamo iz kolobarja celih števil, predstavljajo ulomki racionalna števila oz. zapise racionalnih števil s parom ce- lih števil. Takim ulomkom pravimo tudi številski ulomki. Če izhajamo iz kolobarja polinomov s celoštevilskimi koeficienti, predstavljajo ulomki racionalne funkcije oz. zapise racionalnih funkcij s parom po- linomov s celoštevilskimi koeficienti. Če izhajamo iz kolobarja celih kompleksnih števil, predstavljajo ulomki racionalna kom- pleksna števila. Primerov je seveda še več. V osnovnošolskih in srednješolskih uč- benikih so racionalna števila uvedena na zgoraj opisan način, seveda ustrezno po- enostavljen. Legiša (1996, str. 75) opredeli ulomek kot »izraz oblike m n , kjer sta m in n celi števili in n ¹ 0.« Nato uvede ekviva- lentnost ulomkov in zapiše: »Dogovorimo se, da bomo ekvivalentne ulomke izenači- li, npr. = = .«. V nadaljevanju torej uporablja izraz ulomek tako v pomenu sim- bolnega zapisa kot v pomenu racionalnega števila. V zahtevnejših učbenikih zasledimo tudi drugačno pot do množice racionalnih števil. Vidav (1981) in Prijatelj (1980) izha- jata iz obsega realnih števil in podmnožice množice celih števil v njem. Oba uvede- ta ulomek a b v pomenu zapisa kvocienta a . b -1 , kjer sta a in b ¹ 0 celi števili v obsegu realnih števil. »Racionalna števila so po- temtakem natanko tista realna števila, ki so izrazljiva z ulomkom.« (Prijatelj, 1980, str. 99). Načeloma oba avtorja torej uporabljata izraz ulomek v pomenu zapisa izraza in ne v pomenu vrednosti izraza. Mnoge (a ne vse!) postopke in pravila za računanje s številskimi ulomki je eno- stavno razširiti na primere, kjer sta števec in imenovalec poljubna izraza, ulomkova črta pa pomeni deljenje števca z imenoval- cem. Kot pravi Venceljeva (1999, str. 99) ob obravnavi ulomkov s celoštevilskimi števci in imenovalci: »Iz pomena ulomka kot ko- ličnika med števcem in imenovalcem izhaja tudi navada, da namesto znaka za deljenje enakovredno uporabljamo ulomkovo črto tudi v primerih, ko ne gre za ulomke.« (po- udarek je avtoričin). Če torej uporabljamo ulomkovo črto, še ne pomeni, da gre za ulomek v smislu racionalnega števila ali njegovega zapisa, temveč gre lahko le za za- pis kvocienta dveh izrazov oz. za vrednost kvocienta. A ne le, da pogosto zapisu kvo- cienta dveh izrazov rečemo ulomek, temveč se – po analogiji s številskim ulomkom – na deljenec in delitelj sklicujemo kot na števec in imenovalec (kar lahko ni najbolj posre- čeno). Nekatere zapise, kjer z ulomkovo črto označujemo deljenje, srečamo pogosto, 078 in ker so povezani s specifičnimi postop- ki, jih tudi posebej poimenujemo. Če sta v zapisu a b števec in/ali imenovalec ulomka, govorimo o dvojnem ulomku; zapisu a b , kjer sta a in/ali b izraz z ulomki, pravimo sestavljeni ulomek (angl. complex fraction); posebna vrsta sestavljenih ulomkov so ve- rižni ulomki. Če gre v zapisu a b za kvocient algebrskih izrazov (t.j. izrazov, v katerih na- stopajo cela števila, spremenljivke, štiri os- novne operacije in potence z racionalnimi eksponenti), govorimo algebrskih ulomkih. Za posamezne vrste ulomkov so pomemb- ni specifični postopki: dvojne ulomke in sestavljene ulomke lahko pretvorimo v šte- vilske ulomke, algebrske ulomke skušamo racionalizirati ipd. γ Kaj je torej ulomek? Izraz ulomek uporabljamo v različnih po- menih. V matematiki je pomembno, da so definicije, s katerimi vpeljujemo nove pojme, natančne in nedvoumne. K nedvo- umnosti sporočanja pripomore tudi nedvo- umnost v poimenovanju in simbolizaciji pojmov, ki naj bi oba bila nedvoumna. To zagotovo velja za poimenovanja kvocient, racionalno število, številski izraz. Vendar pa prizadevanje, da bi v sporočanju za vsak pojem uporabljali svoje ime in oznako, včasih vodi k nepreglednosti, okornosti in nerazumljivosti. Zato se avtorji matematič- nih besedil in tudi učitelji zatekajo k neče- mu, kar v angleščini poimenujemo abuse of terminology in abuse of notation (zloraba terminologije, zloraba označevanja). Gre za to, da se za doseganje boljše razumljivosti in preglednosti izrazimo na način, ki for- malno ni povsem natančen. Torej ne gre za napako v izražanju ali nepravilnost v sami trditvi, temveč za to, da raje kot for- malno pravilno in bralcu/poslušalcu težko razumljivo formulacijo uporabimo sicer ne povsem natančno formulacijo, ki pa pred- vidoma bralca/poslušalca napelje k pravil- nemu razumevanju obravnavanega dejstva. Goldova v zvezi s tem zapiše: Matematiki so znani po tem, da se zate- kajo k zlorabi označevanja (abuse of nota- tion). Pogosto uporabljamo enako oznako v mnogih različnih kontekstih (s širjenjem pomena oznake). Na primer: (a, b) ozna- čuje točko v ravnini, element kateregakoli kartezičnega produkta itd. Spremenljivke uporabljamo na zelo različne načine, pri čemer pričakujemo, da bodo dijaki sami iz konteksta razbrali, kako naj jih uporabljajo v posameznem kontekstu. (Gold, 2012, str. 159) Nekateri avtorji tako formalno opredeli- jo ulomek kot simbolni zapis a b para števil, kjer sta a in b celi števili in b ¹ 0. Nato pa izraz »ulomek« uporabljajo tudi v pomenu vrednosti ulomka, t.j. racionalnega števila oz. ekvivalenčnega razreda parov celih šte- vil, ki so v enakem razmerju. Drugi avtorji formalno opredelijo ulomek kot racionalno število, a uporabljajo izraz »ulomek« tudi v pomenu simbolnega zapisa racionalnega števila s parom celih števil. In pogosto, po- sebej pri delu v razredu, uporabimo izraz »ulomek« tudi za kvocient dveh kakršnih- koli izrazov, kjer deljenje označeno z ulom- kovo črto. Če se, na primer, pri delu v razre- du rečemo »Imenovalec ulomka «, bodo vsi dijaki razumeli, da mislimo na izraz (1 + p), in nas bodo bolje razumeli, kot če rečemo »Delitelj v izrazu, kjer je deljenje zapisano z ulomkovo črto«. Ali je torej 1 p ulomek? V pravem, izvor- nem pomenu besede ni ulomek, saj v zapisu Ali je ulomek? 079 števec in imenovalec nista oba celi števili. Gre pač za zapis kvocienta dveh realnih šte- vil z ulomkovo črto. Ali je ulomek? Za- gotovo ni običajen (številski) ulomek, lahko pa nanj gledamo kot na algebrski ulomek. Medtem ko izraz racionalno število pravilo- ma uporabljamo v enem samem pomenu, pa je uporaba izraza ulomek izmuzljiva. V istem stavku lahko pomeni racionalno šte- vilo in simbolni zapis racionalnega števila. Izraz ulomek je tudi povezan s specifičnimi zapisi, ki pa imajo posebna poimenovanja. Formalna opredelitev ulomka kot z ulom- kovo črto zapisanega kvocienta poljubnega realnega števila z neničelnim realnim šte- vilom bi vodila v težave in nesporazume. Da se pri tovrstnem izrazu sklicujemo kot na ulomek, pa je sprejemljiv abuse of termi- nology. Pomembno je, da se zavedamo, da uporabljamo izraz ulomek v različnih po- menih, ne vedno formalno povsem točnih. In pomembno je, da te pomene razlikujemo in da jih v kontekstu prepoznamo. Če jih ne razlikujemo ali jih ne prepoznamo, bo lahko p = p 1 postalo racionalno število, sku- šali bomo okrajšati ulomek , iskali bomo najmanjši skupni imenovalec ulomkov 1 p in 1 e . δ Viri 1. Gold, B. (2012) How Your Philosophy of Mathema- tics Impacts your Teaching. V: Mircea, P. (ed.). The Best Writing in Mathematics 2012. Str. 149-162. Princeton: Princeton University Press. 2. Legiša, P . (1996) Matematika I. Realna števila in line- arna funkcija. Ljubljana: DZS. 3. Prijatelj, N. (1980) Uvod v matematično analizo. Del I. Ljubljana: DZS. 4. Vencelj, M. (1999) Matematike za triletne poklicne šole, 1. zvezek, Ljubljana: DZS. 5. Vidav, I. (1981) Višja matematika I. Ljubljana: DZS. 6. Vidav, I. (1989) Algebra. Ljubljana: DMFA.