i
i
“994-Domajnko-domino” — 2010/6/16 — 14:25 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 17 (1989/1990)
Številka 4
Strani 193–197
Vilko Domajnko:
PRESEKOVA NADLOGA – DOMINO
Ključne besede: razvedrilo, naloge.
Elektronska verzija:
http://www.presek.si/17/994-Domajnko-domino.pdf
c© 1990 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
"07l ,cll D II [7. ", '~/~L_"'L_ .
PRESEKOVA NADLOGA
DOMINO
V igri domino . še bolj pa v nekaterih njenih izpeljankah, lahko matematika
igra pomembno vlogo. V tem članku si bomo peščico takih iger tudi ogledali.
Slika 2
19\ v ornament 0011 DoDO
Iz običajnega kompleta dO~ll inO iB
O-O. 0-1, .. .. 6-6 lahko sestavimo ••alll:Kll lil
zanimiv geometrijski ornament, ki lJIrI L-J
ga prikazuje slika 1. Ornament jeO a O O
treba sestaviti tako . da se sleherni II
?ve so~ednji polji na razl.ičnih d?m -
I
. 1DDOeJD
Inah ujernata med seboj , kot Je v
'=-=--
navadi pri običajni igri domino . O D
Ornament na sliki 2 pa naj os-
tane za vabo reševalcu . Da mu bo O O
i z po l n j e~a nj e te.ga or~ament.a lažje I II I O
st eklo. Je nekaj domin v njem že
postavljenih na pravilna mesta.
2. le kam bi del?
Vzemimo sedaj komplet domin O-O. 0-1. 0-2. 1-1. 1-2 in 2-2 . Zlahka
jih bomo uspeli postaviti v verigo. Slika 3 nam kaže eno izmed takšnih
razvrstitev.
Pa storimo še korak naprej in si zastavimo vprašanje - koliko je vseh
različnih verig iz teh šestih domin? Denimo. da začnemo graditi verigo z
domino 1-2. Očitno je. da sme desno od nje stati le dornlna 2-2 . levo od nje
pa edino domina 1-1. Ce bi desno od nje postavili domino 2-0. bi namreč
domina 2-2 s tem že dokončno izpadla iz verige, in če bi levo od nje postavili
domino 0-1. bi enaka usoda doletela tudi domino 1-1. Kratek premislek sedaj
pokaže , da dobimo vse možne razvrstitve že zgolj s tem. da v verigi s slike
3 eno za drugo prestavljamo domine z njenega začetka na konec. In ker je
vseh domin šest , je torej toliko tudi vseh različnih verig. Ce pa upoštevamo
še obraten vrstni red (zasukanih) domin. je vseh različnih verig pravzaprav
dvanajst.
.....lIlIa•••••
Slika 3
Slika 4
.aaaa
II
II
II••••••••••
195
Začuda pa desetih domin iz kompleta O-O. 0-1, 0-2.. ... 2-3. 3-3 nikakor
ni moč razvrstiti v eno samo verigo. In bistri reševalec naj v svojem odgovoru
pojasni. zakaj se zadnji domini veriga zmeraj upre.
3. Ulomki
Le kanček domišljije je potreben za to . da se domine naučimo uporabljati
kot ulomke. Iz običajnega kompleta O-O. .... 6-6 izločimo najprej vse tiste
domine. ki imajo na obeh svojih poljih po enako število pik. ter še vse tiste.
na katerih je vsaj eno polje prazno . Tako nam ostane 15 domin. pri katerih
lahko eno izmed obeh polj vzamemo za števec ulomka. drugo pa za njegov
imenovalec.
Razdelimo domine sedaj v tri skupine po pet tako . kakor kaže slika 5.
Presenetljivo - če jih seštevamo kakor ulomke. opazimo. da je vsota vsake
izmed treh vrstic natanko 5/2.
Seveda je potrebno precej spretnosti za takšno umetelno razvrstitev
domin. Kljub temu pa bo tudi Presekov nepopustljivi reševalec morebiti že
po krajšem razmisleku uspel sestaviti podobne tri skupine po pet domin z
vsoto 10 v vsaki vrstici. Za lažji začetek pri reševanju je v vsaki vrstici po
ena izmed domin že postavljena . In v vseh treh primerih je to tista domina.
ki v svoji vrstici predstavlja ulomek. po vrednosti večji od natančno dveh
preostalih ulomkov iz te vrstice.
4. Magični kvadrat 4. reda
Magični kvadrat je zagotovo ena izmed najpopularnejših tem na področju
rekreacijske matematike . Tudi mi mu bomo namenili lep kos prostora.
Na sliki 7 vidimo magični kvadrat 4. reda s konstanto 5 (vsote vseh
Slika 5
r
T
f
T
Slika 6
10
10
196
pik na štirih poljih v vsak i vrstici. v vsakem stolpcu in na obeh diagonalah
so vselej 5) . čc štev ilo pik na slehernem izmed polj nadomcstimo s tistim
številom pik. ki temu polju manjka do 6. dobimo šc en magični kvadrat .
Zgornjo desno domino 2-0 na sliki 7 bi torej nadomestili z domino 4-6 itd .. .
Pravimo . da sta si oba tako dobljena magična kvadrata komplcmcntarna.
Znano je. da je mogoče z običajnim kompletom domin O-O... .. 6- 6
sestaviti magični kvadrat 4. reda s poljubno izbrano konstanto mcd 5 in 19
(vključno z mejnima vrednostima) . Zato vabimo reševa lca, da z dominami
sestavi vsaj še kak magični kvadrat 4. reda. Za ohrabritev naj povem, da se
skorajda vsak tak poskus prej ali slcj uspešno konča .
• I ·•• •
•• • ••
• ••• •
• • .1 ••
Sli ka 7
Sli ka 8
5. Magični kvadrat 5. reda
S tcm kvadratom je pa križ. saj ga na način. kakršnega smo opisali v
prejšnji točki. ni moč sestaviti (bralce. ali že veš. zakaj ne?). Vcndar pa nas
slika 8 tolaži. da tudi v tem primeru gre -le zad cve sc je treba drugače lotiti.
Ce vsoto vseh pik na domi ni vzamemo za število v rn a gi čn e m kvadratu . lahko
na tej sliki ob čud ujemo prav imcniten magični kvadrat 5. rcda s konstanto
27. In naloga . ki jo zastavljamo ob tej sliki - posku simo sestaviti podoben
ma gi čni kvadrat 5. reda s konstanto 33.
6. ?
Reševalec Presekove nadloge naj tudi tokrat postavi ob koncu 'kakršno-
koli zanimivo vprašanje (tokrat seveda v zvezi z dominami) .
197
Namenimo sedaj nekaj pozornosti še odgovorom na vprašanje s Pre-
sekove nadloge iz letošnje prve številke. Žal smo prejeli le troje odgovorov .
Poslali so nam jih Tanja Rudolf iz Ljubljane, Liga Krof! iz Kranjske gore
in Luka Štravs iz Ljubljane. Vsi trije zaslužijo vsaj pohvalo za korajžo ter
priznanje za dobre rešitve.
Najbrž se bralci še spominjajo . da je bilo treba takrat sestaviti faraonov
tetraed er (mimogrede - lepo izdelano sestavljanko za tak tetraeder lahko
kupite tudi v nekaterih trgovinah; sestavljenka se imenuje Tristranična pi-
ramida) . Rešitve najbrž nima pomena objavljati. saj je brez večjih težav
tetraeder sestavil najbrž vsak . ki je vsaj poskušal.
Omeniti pa vsekakor velja izvrstno Lukovo sestavljanko za tetraeder s po
petimi kroglicami na vsakem izmed robov. Čisto drugačna je od ..običajne".
ki sta jo sicer odkrila tudi ostala dva reševalca. Mislim. da zasluži objavo, v
zabavo in kratkočasje pa bo služila najbrž tudi kak šnernu izmed bralcev.
CoY:J!fJUY em(j
Liga sprašuje v svojem pismu med drugim tudi po formuli za izračun
števila kroglic v tetraedru z n kroglicami na vsakem robu. Takole gre ta reč:
število kroglic na
robovih tetraedra
2 345 6 n
n (n + l )(n + 2)----6"-----4 10 20 35 56število vseh kroglic
v tetraedru
Števila v spodnji vrstici imenujemo tetraedrska števila . Poznali pa so
jih že Pita gorejci.
Tanji hvala za lepe ilust racije.
Za svoj najpopolnejši in najobsežnejši odgovor bo knjižno nagrado tokrat
dobil Luka Stravs. Čestitamo!
Yilko Domajnko