i i “1151-Vidav-Koliko” — 2010/7/19 — 9:46 — page 1 — #1 i i i i i i List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN 0351-6652 Letnik 20 (1992/1993) Številka 6 Strani 328–329 Ivan Vidav: KOLIKO JE URA? Ključne besede: matematika. Elektronska verzija: http://www.presek.si/20/1151-Vidav.pdf c© 1993 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije c© 2010 DMFA – založništvo Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo- ljeno. /i)" -'-/i).' - ,l/ o'" ICI,' I"", KOLIKO JE URA? Pred kratkimje Gerald Weinsteinv časopisuAmerican Mathematical Monthly postavil tole vprašanje: Ali lahko ugotovimo točen čas, če poznamo lego obeh kazalcev na uri, ne vemo pa, kateri kaže ure in kateri minute? 1) Odgovor se glasi : Ne vedno . Obstaja končno število leg kazalcev , pri katerih ne moremo določiti časa. To vidimo takole: Naj bo prvi kazalec med številkama a in a + 1, in sicer naj bo njegova natančna lega a + u , O::; u < < 1. (Dolžino med dvema zaporednima številkama na uri označimo torej z 1.) Lega drugega kazalca pa naj bo b + v , O ::; v < 1. (Kadar je prvi (oz . drug i) kazalec med 12 in 1, vzamemo a = O(oz . b = O) .) Denimo , da prvi kazalec kaže ure. V času, ko je prišel od a do a + u , je drugi kazalec pretekel pot od številke 12 do b + v. Ker je hitrost drugega 12-krat večja , mora biti 12u = b + v . Kadar ta enakost ni izpolnjena , prvi kazalec ne kaže ur temveč minute . l.e pa je izpolnjena , nismo gotovi , da j e urni kazalec. Poglejmo še drugi kazalec . Kakor pri prvem ugotovimo, da drugi ne kaže ur, kadar ni izpolnjena enakost 12v = a+ u . Na vprašanje, kateri je urni in kateri minutni kazalec, lahko odgovorimo, če ena od omenjenih enak osti ni izpolnjena. V dvomu pa smo tedaj, kadar sta izpolnj eni obe, kadar je torej 12u - v = b in - u + 12v = a . Izračunajmo od tod u ln v : u= a + 12b 143 v= 12a+ b 143 l.e je a = b , je tudi u = v ; tedaj oba kazalca sovpadata in čas je določen . Koliko je ura , ne moremo ugotoviti le v primeru , ko je a f: b in se u in v izražata z (*). Lahko je namreč a ur in 5(b + v) minut ali pa b ur in 5(a + u) minut. Ker imamo za a dvanajst možnosti (a = 0,1 , ... , 11) in pri izbranem a enajst možnosti za b (ker je a 1- b) , je vseh leg 12 x lI = 132 . V teh primerih ne vemo, kateri je urni in kateri minutni kazalec ; zato je različnih leg polovico ma nj, torej 132 : 2 = 66. Weinstein je postavil še dodatno vprašanje : Kaj pa, če poznamo lego sekundnega kazalca, morda je tedaj čas vselej določen ? 1) Amer. Math. Monthly, V. 99, 1992 , str . 87 3, Naloga 10260. Dcnimo, da pi kozalec ka2e minute. Razmak mad dvma itevilkama na uri pomtni 5 minut. Torej je preteklo 5u minut od trtnutka, ko j e bil ta kazalee usmerjan jxoti a. Sttvilo 5u ni nujno celo. Prese£ek mad edim Itwilom pokafe sckundni kezalec (prcsefek ja treba pomnofiti s 60). c e se prestfck ne sklado z lego sekundnsga kazalco, potem pwi katelu ne b f e minut temveE ure. Prav trko ugotovimo, da drugi kazalec ni minutni, kadar st r Itgo sekundntga kazalca ne ujtma prtreiLek Stevila 5v nad celirn gtevilorn. V dvomu bi wtal i tedaj, kadar bi bila oba presefka v skladu z Itgo rekundncga kazalca. V tern primaru pa bi morala biti oba prcreiCka tnaka in rat0 5 v - 5u celo bwilo. Od prtj vemo, da prideta v pd t tv la u in v, ki se izrafata t (*). Od tod izraEunamo Dmna stran je d o itwila It t d a j , & jt rarlika a - b deljiva r 13. Ker &I a in b manjk od 12, mora biti a - b = 0, se pravi o = b. V tem primetu pa a t kazala na uri ujcmata in lahko razbererno, koliko je ura. Tako sma ugotwili: lk pwnamc lcgd obth (vslikih) kazalcw na uri in iego sckundnega kaxalca, lahko dolo?5limo Eas, bprav ns vurno, kattri ad kazalcev kaft ure in koteri minute. 1v.n \r*lv