Pri poučevanju matematike se pogosto srečamo z iskanjem navdiha, s svojim navdušenjem nad matematiko bi želeli vsaj malo »okužiti« tudi naše poslušalce. Na seminarju Matematika in umetnost, ki je v organizaciji DMFA Slovenije potekal 14. in 15. marca 2014 na Pedagoški fakulteti v Ljubljani, smo vsekakor dobili kopico idej za širjenje lepote in smisla matematike. Za uvod smo slišali glasbo. Violinistka Nina Švab nam je sku- paj s flavtistko Živo Kadunc, čelistko Evo Bohinc in pianistko Doris Primc (vse so dijakinje Srednje vzgojiteljske šole in gim- nazije Ljubljana) predstavila svojo skladbo Noč po nevihti. S to skladbo je Nina Švab zmagala na slovenski glasbeni olimpijadi in bo zato zastopala barve Slovenije tudi na mednarodni glasbe- ni olimpijadi v Rigi v Latviji. Mentorici: Katarina Virant Iršič in Alenka Bobek. O pomenu geometrije v renesančni umetnosti in filozofiji nam je predaval dr. Marko Uršič, profesor logike, filozofije na- rave in renesančnih študij na Filozofski fakulteti v Ljubljani (več o njegovem plodnem delu lahko preberete na naslovu http:// www2.arnes.si/~mursic3/). Poudaril je, da renesansa odkri- je perspektivo in obnovi čaščenje geometrije, še posebej zlate- ga reza. Za konkretne primere so poskrbeli renesančni filozofi, umetniki, znanstveniki in še kaj (običajno vse to v eni osebi): Leon Battista Alberti, Nikolaj Kuzanski, Nikolaj Kopernik in ne- pogrešljivi Leonardo Da Vinci. Vse omenjene dandanes najde- mo na svetovnem spletu, predstavitev v pdf-ju tega predavanja Matematika in umetnost tinka majaron Konservatorij za glasbo in balet Ljubljana Mathematics and Art α Matematika v šoli ∞ XX. [2014] ∞ 84-88 85 pa najdete na profesorjevi osebni strani na že zapisanem naslovu. [Slika 1] Iz predavanja Marka Uršiča S 3D-očali smo si ogledali anaglifne slike dr. Marka Razpeta, izrednega profesorja za matematiko na Pedagoški fakulteti v Ljublja- ni. Slike so nastale s programom GeoGebra 5.0, ki omogoča tudi izdelavo trirazsežnih slik, kar poleg običajne analitične in diferen- cialne geometrije v prostoru ponuja precej možnosti umetniškega ustvarjanja objektov. Nastalo kompozicijo lahko vrtimo, premika- mo, povečujemo/zmanjšujemo, opazujemo v tlorisu, narisu in stranskem risu ter anaglif- no prikažemo. Program je brezplačen, pre- nesemo ga lahko z naslova http://download. geogebra.org/installers/. Sledilo je gledališče. Dijaki 2. d razreda Gi- mnazije Bežigrad so nam v angleščini za igrali dramo Tima Horvata (dijaka omenjenega razreda) Saving Private Goldbach. Drama govori o superračunalniku, ki mu uspe v zelo kratkem času dokazati zadnji Fermatov izrek in se loti tudi Goldbachove domneve. Na kriznem posvetu matematiki ugotovijo, da bi ob takem računalniku postali nepotreb- ni in da bi se izgubil čar dokazovanja, zato izumitelja ubijejo, računalnik pa ugasnejo. Kaj bo prinesla resnična prihodnost? Mento- rici: Jasna Kos, prof. matematike, in Tamara Bosnič, prof. angleščine. Dijaki bodo s pred- stavo sodelovali na tekmovanju MATHeatre Europe Competition, ki bo aprila na Cipru. Dr. Andrej Bauer, izredni profesor na Fa- kulteti za matematiko in fiziko v Ljubljani, nam je preko programa Povray, ki je prosto dostopen na spletu, predstavil sledenje žar- kom (angl. ray tracing). To je računalniška metoda za risanje realističnih slik. Modeli- ranje scene zahteva poznavanje geometrije v trirazsežnem prostoru, zato so študentski in dijaški projekti na to temo primerni za spoz- navanje osnov geometrije in računalniške grafike. Avtorji projektov so po izkušnjah predavatelja visoko motivirani, če njihove iz- delke tudi natisnemo in jih razstavimo. O matematičnih tlakovanjih v arhitek- turi in umetnosti je spregovoril dr. Tomaž Pisanski, redni profesor za diskretno in ra- čunalniško matematiko. V prvem delu je pri- kazal, kako je v sodelovanju z umetnikoma De Wittom Godfreyem in D. Martinezom iz univerze Colgate izdelal skulpturo Tucker- jeve grupe, ki je od leta 2007 razstavljena v Tehniškem muzeju v Bistri. V drugem delu je predstavil računalniški sistem za delo s tla- kovanji, ki temelji na operacijah nad tlakova- nji ter na subdivizijah tlakovanj. Pravi, da je moč matematike v tem, da lahko zelo zaple- tene objekte opisujemo s preprostimi pravili. Ustvarjalec stripov Ciril Horjak – dr. Horowitz, absolvent Akademije za likovno umetnost v Ljubljani, je predstavil stripov- ske algoritme. Poudari je, da je od (mate- matične) postavitve strani odvisno, kako bo tekla zgodba. Seznanil nas je tudi z zgodo- vinskim razvojem stripa, pri čemer je s sta- tistično analizo pokazal, da se na različnih 86 Matematika in umetnost koncih sveta strip pojavi v času ogromnega povečanja števila prebivalstva. [Slika 2] Ciril Horjak – dr. Horowitz Arhitektki Ana Struna Bregar in Len- ka Kavčič z zavoda Igriva arhitektura sta predstavili svoje bogato delo na področju po učevanja otrok o pomenu okolja na ka- kovost bivanja. Na spletni strani www.igri- varhitektura.org je prosto dostopen priroč- nik za izob raževanje o grajenem okolju, ki znanja povezuje s šolskim učnim načrtom posameznih predmetov, kar omogoča tudi vključevanje arhitekturnih vsebin v pouk matematike. Upajmo, da bodo vlagatelji ne- koč poleg denarja spet videli tudi ε-okolico objekta, ki ga nameravajo graditi. Prvi dan smo kočali s predstavitvami udeležencev seminarja s skupnim naslovom Matematična »umetnost« kot obogatitev šolskega pouka. Hanka Lebič z Gimnazije Vič je predstavila natečaj za matematično poezijo in izdelke na temo števila Pi. Nekaj zanimivih izdelkov iz preteklih let lahko naj- demo v matematičnem časopisu Gimnazije Vič z naslovom Matematik na kolesu, ki je objavljen na strani http://www.gimvic.org/ delovanjesole/predmeti/matematika/caso- pis/. Kaj vse se pri njih dogaja marca, ki je že tradicionalno mesec matematike, pa lahko preberete na http://www.gimvic.org/dogod- ki/mesec_matematike_2014/. Helena Bezgovšek Vodušek je prikazala, kako so z učenci izdelali novoletne voščilni- ce s Kochovo snežinko, Boštjan Kuzman pa je predstavil natečaj risanja novoletne jelke v GeoGebri, ki ga je izvedel na Pedagoški fa- kulteti v Ljubljani. Na FAMNIT-u Univerze na Primorskem pa je potekal natečaj PIezije. Vsekakor veliko čudovitih idej za vključeva- nje umetnosti v matematične vsebine. O matematiki, poeziji in glasbi je go- voril dr. Jurij Kovič, avtor knjig Amadeusov abecednik, mala šola glasbe in Pesem kot na- črt in navdih, šola za pesnike. Izdal je tudi šest pesniških zbirk in zbirko matematičnih problemov z naslovom Znate rešiti sami?. S primeri je pokazal, da je matematika lahko odlično izhodišče za ustvarjanje umetniških del z domišljeno strukturo. Vendar takšna racionalna (simetrična, harmonična, načrto- vana) struktura sama po sebi še ni zagotovilo lepote ali umetniške vrednosti nekega dela. Umetniški presežek zahteva tudi element iracionalnosti (navdih). Darka Hvastija in Olga Arnuš z Gimnazi- je Bežigrad sta matematiko našli v literaturi in filmu. Priporočata knjige Schami: Mrač- na plat ljubezni, Stendhal: Življenje Henryja Brularda, Giordano: Samotnost praštevil, Kehlmann: Izmera sveta, Ogava: Darilo šte- vil, Doxiadis: Stric Petros in Goldbachova domneva, Brown: Da Vincijeva šifra, Moss: Grobnica. In filme Enigma, Pi, Skrivnost iz Kellsa, Dobri Will Hunting, 21, Čudoviti um, Ženska, ki poje in serijo Numbers. Primere filmov najdemo tudi na strani http://www. tsm-resources.com/mlink.html#movies. Sledilo je še eno presenečenje pod na- slovom Matematika v epu Deuje babe. Dr. 87 Marko Razpet je predstavil svojo pesnitev Deuje babe, zapisano v cerkljanskem nareč- ju. V njem nastopa kar nekaj matematikov: Pitagora, Evklid, Fermat, Fibonacci, Bolyai in Wiles. Nadvse zabavno branje se nahaja na http://oreh.pef.uni-lj.si/~markor/divje_ babe/index.htm. Računalniške analize tem v skladbah se je v svojem diplomskem delu lotil Matevž Je- kovec, mladi raziskovalec na Fakulteti za ra- čunalništvo in informatiko Univerze v Ljub- ljani. Muzikološka analiza kompozicijskih tehnik skladateljev je za muzikologa dolgo- trajen in zahteven postopek, zato bi bilo ču- dovito, če bi melodične analize skladb lahko opravili s pomočjo računalnika. Predavatelj je razvil aplikacijo, ki pretvori skladbe iz raz- ličnih zapisov v ustrezen model in izriše pri- ponsko drevo motivov, ki je nekakšen zem- ljevid po skladbi. Ta podatkovna struktura skupaj s statističnimi podatki o posamez- nem motivu, z mesti pojavitev in izračuna- no kakovostjo posameznega motiva pomaga pri iskanju zanimivosti v skladbi. Problem aplikacije so variacije, saj jih obravnava kot novo melodijo. Diplomsko delo je na ogled na strani http://eprints.fri.uni-lj.si/1405/1/ Jekovec1.pdf. [Slika 3] Računalniške analize tem v skladbah Sledile so simetrije, grafi in baročna glasba, o čemer je predaval dr. Boštjan Kuz- man, asistent za matematiko na Pedagoški fakulteti v Ljubljani. Matematični opis kom- binatoričnih objektov in njihove simetrije predstavlja pomemben del sodobne mate- matike, hkrati pa na abstrakten način nad- grajuje številna “umetniška” odkritja, katerih sledove najdemo v različnih obdobjih človeš- ke civilizacije. Ogledali smo si simetrije gra- fov in nekaj zanimivih filmčkov na YouTu- bu, med drugim http://www.youtube.com/ watch?v=xUHQ2ybTejU in http://www.you- tube.com/watch?v=NmmINsTg-Vs. Zadnja se je predstavila Mateja Budin z Zavoda Mathema, njeno predavanje je nosi- lo naslov Matematika in dekorativna umet- nost. Na področju matematike v povezavi z umetnostjo se po svetu ogromno dogaja. Iz- vedeli smo za nekaj zanimivih festivalov in elektronskih revij, sledila pa je delavnica z ustvarjanjem različnih geometrijskih/umet- niških teles. http://www.bridgesmathart.org/ http://www.math-art.eu/ http://vismath.tripod.com/ http://festival.symmetry.hu/ http://etopia.sintlucas.be/3.14/Leonar- do%20meeting/Leonardo_meeting.htm [Slika 4] Matematika in dekorativna umetnost 88 Seminar je prinesel veliko svežih idej in bo vsekakor pripomogel k umetniško nav- dahnjenemu predajanju znanja matematike. Upam, da se bo po povzetkih predavanj in naštetih povezav nekaj tega navdiha preneslo tudi med bralce. Fotografiral je Boštjan Kuzman. Matematika in umetnost