i
i
“1208-Legisa-Matematicni” — 2010/7/21 — 9:41 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 22 (1994/1995)
Številka 1
Strani 18–24
Peter Legiša:
MATEMATIČNI UČBENIKI JURIJA VEGE
Ključne besede: matematik, zgodovina matematike, Jurij Vega, učbe-
niki.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/22/1208-Legisa.pdf
c© 1994 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
MATEMATiČNI UČBENIKI JURIJA VEGE
Letos slavimo dvestoletnico prve izdaje Vegove Popolne zakladnice logarit-
mov , to je velikih desetmestnih tabellogaritmov . Poleg sedemmestnih tabel
logaritmov je to najbolj znano Vegovo delo.
Prva Vegova knjiga pa je imela naslov Predavanja iz matematike in je
bila izdana že leta 1782. Toje bil začetek serije štirih učbenikov, ki so bili zelo
uspešni. Letnice zadnjih (deloma prirejenih) izdaj so: za prvo knjigo 1850, za
drugo knjigo 1848 , za tretjo knjigo 1835, za četrto knjigo 1819 .
Poglejmo si nekaj vtisov o prvih dveh zvezkih Vegovih matematičnih
predavanj. Knjigi sta manjšega formata, vendar prva obsega 550 strani, druga
pa približno 660 strani in čez 200 slik. Tretja in četrta knjiga obsegata bolj
fizikalno snov, zato o njiju tu ne bomo govorili podrobneje .
Prva knjiga ima naslov: Računstvo in algebra. Avtor, Jurij baron ple-
meniti Vega, je v četrti izdaji (1821) naveden z vsemi svojimi nazivi: član
deželnih stanov Vojvodine Kranjske, vitez vojaškega reda Marije Terezije,
podpolkovnik cesarsko-kraljevega četrtega pehotnega topniškega polka, član
znanstvenih družb v Berlinu, Erfurtu, Gottingenu in Pragi. Uradni naslov
knjige je: Predavanja iz matematike, tako za širjenje matematičnih znanj v
cesarsko-kraljevih deželah kot tudi posebej za uporabo v cesarsko-kraljevem
artilerijskem korpusu.
V uvodu, naslovljenem na celotni artilerijski korpus, pravi med drugim:
"Moj namen je dati v roke trdno nit tistim , ki imajo željo v prostem času
osvojiti nujno potrebno znanje iz višje in uporabne matematike.. . Ne dajem
novih poti ; tako delo ne dopušča novosti, razen tistih, ki imajo izvor v razliki
povezav, razvoju in uporabi nekaterih izrekov.. . Le Vam bo (knjiga) všeč, je
moj trud poplačan in moj zagon za nadaljevanje tega dela podvojen . Dunaj,
februarja 1782."
V uvodu k drugi izdaji (1792) se Vega pohvali , da je s knjigo imel uspeh
tudi pri ljudeh brez prave izobrazbe in da so nekateri s tem učbenikom prišli
celo tako daleč, da so lahko inštruirali druge.
V uvodu k t retji izdaji pove, da so knjigo uspešno prodajali tudi v tujino
in da jo uporabljajo v mornariški šoli. Zanimiva je tudi izjava, da je po
13 letih vojskovanja ugotovil" da je matematika najtrdnejša osnova prave
vojne znanosti" in da so to spoznali vsi kulturni narodi. V vojnih pohodih
proti Visoki porti in Franciji je ugotovil, da so se študenti, ki so se zagnano
19
lotili študija matematike, odlikovali tudi na bojišču s pametno vztrajnostjo in
pogumom.
Knjige so, zlasti v začetku, dejansko predavanja, sestavljena iz obširne
razlage in mnogih zgledov, medtem ko je vaj sorazmerno malo .
Zanimivo je, da so potence in koreni vpeljani obenem . Tu so seveda
postopki za računanje kvadratnih in kubičnih korenov, ki pa danes niso več
posebno aktualni . Vpeljana so tudi kompleksna števila .
Obširno poglavje je posvečeno razmerjem in procentom. Zgledi so pred-
vsem v preračunavanju raznih mer . Na tem področju je namreč takrat vladala
prava zmešnjava. Vsako večje italijansko mesto je imelo svoje mere . V Geno-
vi so imeli celo dva funta: težkega in lahkega . V Padovi pa so se ponašali z
velikim in malim funtom. Odgovor na vprašanje, zakaj je sedanja italijanska
država tako centralizirana, lahko iščemo prav v upravni zmedi, ki je vladala
pred združitvijo italijanskih pokrajin in mest. Drugod ni bilo dosti bolje. Tudi
v Avstriji so se mere razlikovale od pokrajine do pokrajine.
Naslednja obravnavana tema so eriačb e prve in druge stopnje ter upora-
ba , nato pa sistemi enačb prve stopnje. Navedimo nekaj zanimivih zgledov in
nalog:
* Prej je moral lastnik hiše na Dunaju od dobljene najemnine letno dajati
eno sedmino davka . Zdaj pa mora za davek dajati eno šestino najemnine. Za
kakšen delež mora povečati najemnimo, da bo imel enake dohodke kot prej?
Odgovor: Za eno petintridesetino.
* Poganka je šla v Jupitrov tempelj in ga prosila, naj ji podvoji denar, ki
ga je imela pri sebi. Jupiter ji je ugodil. V zahvalo je darovala dva zlatnika. Z
ostankom denarja je šla v Apolonov tempelj, spet prosila za podvojitev, bila
uslišana in darovala dva zlatnika . Ko je prišla domov, je imela le en zlatnik.
Koliko denarja je imela na začetku?
Odgovor: Zlatnik in tričetrt.
* Umirajoči je zapustil nosečo ženo in 9000 goldina rjev. Njegova zadnja
želja je bila: l.e boš rodila sina , naj dobi trikrat tolikokot ti ; če pa boš rodila
hčerko, si vzemi dvakrat toliko kot ona. Žena je rodila sina in hčerko. Kako
naj se razdeli premoženje?
Odgovor: Sin dobi 6000, žena 2000, hčerka 1000 goldinarjev .
* Dva kmeta sta skupaj porabila 24 mernikov semena. Prvi reče druge-
mu: l.e mi vsak mernik prinese toliko, kot si ti posejal, bom pridelal 135
mernikov. Koliko je posejal vsak?
Odgovor: Eden 9, drugi 15 mern ikov................"'"..._~....;;;. -~~~
20
* Trgovec letno poveča svoje premoženje za tretjino . Konec vsakega leta
pa vzame 1000 goldinarjev za preživljanje svoje družine. Na koncu tretjega
leta ima dvakrat tolikšno premoženje kot' na začetku prvega leta . Kolikšno
premoženje je imel na začetku prvega leta?
Odgovor: 11100 godinarjev .
* Osem konjev je v sedmih tednih do golega popaslo travnik, ki je meril
400 kvadratnih sežnjev (t .j . , popasli so vso travo , ki je tam že bila, pa tudi
tisto, ki je medtem zrasla). V enakih pogojih je devet konjev v osem tednih
popaslo travnik v izmeri 500 kvadratnih sežnjev. Koliko konjev bi na ta način
preživel za 12 tednov travnik s 600 kvadratnimi sežnji?
Odgovor: Osem.
Šesto poglavje ima naslov: O vrstah in uporabi . Na začetku imamo
končne vsote. Med "uporabnimi" nalogami so posebej opazne tiste o sestav-
ljanju piramid iz topovskih krogel. Te so bile namreč takrat res okrogle in so
jih sestavljali v umetelno narejene kopice.
Tu imamo tudi kar nekaj snovi iz kombinatorike. Primeri so predvsem iz
iger na srečo.
Za računanje so bili takrat izredno pomembni logaritmi , ki jim je posveče­
no precej prostora. Zanimive so "uporabne" naloge:
* Nekdo ima sod vina s prostornino 100 veder. Vsako vedro stane 32
krajcarjev . lztoči eno vedro vina in dotoči 1 vedro vode . Spet iz soda iztoči
vedro in dotoči ved ro vode. Kolikokrat lahko to ponovi, ne da bi vrednost
vedra iz soda padla pod 24 krajcarjev?
Odgovor: Največ štiridesetkrat.
* V neki pokrajini je dva milijona ljudi . te se zdaj to število letno poveča
za eno petdesetino, t .j. za 2 procenta, koliko bo ljudi čez 100 let?
Odgovor: Prib ližno 14490 000.
* Banka posodi nekomu 600 goldinarjev in si da za to izstaviti zadolžn ico
za 800 goldinarjev , izplačljive čez tri leta brez obresti . Kolikšne so odgovar-
jajoče let ne obresti?
Odgovor: Dobrih 10 procentov.
* Koliko časa mora ležati kapital, naložen s štiri procentno obrestno
mero, da se bo podvojil?
Odgovor: Približno 18 let.
* Trgovec se je obvezal, da bo 6 let zaporedoma v začetku vsakega leta
plačal 4000 gold inarjev. Ni pa plačal ničesar . Koliko je dolžan na koncu
šestega leta , če je obrestna mera 4 procente?
Odgovor: 27593 goldinarjev.
21
Knjiga vsebuje tudi neskončne vrste. Avtor brez posebne zadrege upora-
blja tudi vrste iz potenc spremenljivke x , kar bi danes uvrstili v višjo mate-
matiko, in to ne prav na njen začetek. Takrat so se pač držali načela , da je
važno, da stvar deluje , pa čeprav morda ni povsem jasno, kako.
Sledi še obravnava interpolacije in enačb višjih redov . K temu je Vega
dodal še razlago matematične indukcije . Na koncu pa imamo tablice prafak-
torjev števil do 10000 , tablice kvadratov , kubov, kvadratnih in kubičnih ko-
renov. Namesto kazala je kratek pregled vsebine .
Leprav je knjiga vsebovala precej osnovnošolske in srednješolske snovi,
je bila namenjena odraslim in je ponekod krepko presegla srednješolski nivo.
Simpatično je bilo predvsem, da si je avtor prizadeval svoje učence brez večjih
ovinkov pripeljati do dokaj zahtevne in raznolike uporabe matematike. Sodeč
po več izdajah mu je to tudi uspevalo.
Druga knjiga predavanj vsebuje po avtorju: teoretično in praktično ge-
ometrijo, navadno in sferično trigonometrijo, višjo geometrijo in infinitezimal-
ni račun . Zanimivo je rešen problem slik. Zelo lepi bakrorezi so prilepljeni
na koncu knjige, tako da jih lahko razvijemo izven nje. V tekstu pa imamo
ob strani navedene številke ustreznih slik. Poleg nemških imamo pogosto
navedena tudi latinska imena za nove izraze.
Od zanimivejših tem navedimo: Obodni in središčni kot, pitagorejske
trojice , konstrukcijo pravilnega petkotnika in pravilnega desetkotnika, potenco
točke glede na krog, Heronov obrazec, konstrukcijo daljice z dolžino bela .
Precej prostora je posvečenega praktičnemu merjenju - s posebnim pou-
darkom na potrebah topništva. Vodoravne razdalje so merili z napeto verigo .
Sicer pa je bila glavna pozornost namenjena merjenju kotov. Tu so uporabljali
vodno tehtnico , daljnoglede z nitnim križem in natančna kotna merila .
Merjenje ploščin je bilo oteženo zaradi raznih mer. V nekaterih primerih
uporablja Vega za računanje neskončne vsote . Pri tem ra čuna s simbolom za
neskončno na način , s katerim se danes ne bi mogli strinjati. Rezultati pa so
seveda pravilni.
Precej strani je namenjenih računanju števila 71'. Približek 355/113 si je
po Vegi lahko zapomniti: 11 33 55 (prva tri liha števila , vsako dvakrat).
Sledi delitev lika na ploščinsko enake dele ter transformacija lika v drug
lik z enako ploščino .
Ravnine v prostoru so obravnavane po Evklidu, se pravi približno tako
kot danes. Pri prostorninah teles so spet težave z merami .
22
V skladu s svojim nagnjenjem do računstva Vega podrobno razloži
ra čunanje vrednosti za sinus (tako kot je v prvi knjigi razložil svojo meto-
do za ra čunanje logaritmov) . Prav tako je tu Vegov izračun štev ila 7r. Z njim
je odkril napako v prejšnjih izra čunih , in sicer na 113. decimalki. Omenili
smo že, da je Vega dolgo imel svetovni rekord v št evilu izračunanih decimalk
št evila 7l".
Zanimivo je , da je v okviru obravnave kotnih funkcij sorazmerno malo
govora o pravokotnem tr ikotniku .
Bakrorez iz druge Vegove knjige o geometrij i.
23
Tudi tu imamo primere iz topničarstva . Kaže, da (nekateri) takratni
topovi niso imeli nobene muhe, vizirja ali česa podobnega, in so topničarji
merili kar čez skrajne točke cevi, kar se je križalo z osjo topa . Izmere topa pa
so računali v večkratnikih premera krogle (kalibra , kot bi rekli danes) .
Mnogo prostora je posvečeno sfernim trikotnikom in uporabi na površju
zemeljske krogle. Močno je poudarjena zveza s krajevnim časom, saj je bilo
to za orientacijo in navigacijo izrednega pomena . Točnost tovrstnih meritev
pa je bila prvovrsten tehnični izziv. Knjiga vsebuje tudi veliko praktičnih
napotkov za geodetske meritve - določanje horizonta itd. Opisan imamo
tudi barometer in pa barometrsko enačbo , ki so jo uporabljali za ocenjevanje
nadmorske višine. V zadnjem delu knjige imamo zemljevid Evrope, ki je v
zahodnem delu odličen. Avstr ija je takrat segala še do Milana . Opazno pa
je , da so jadranski otoki vrisani zelo pomanjkljivo, notranjost balkanskega
polotoka pa je - kot preostali osmanski imperij - bolj ali manj prazna . V tem
delu je vrisanih le nekaj najvažnejših pristanišč. Sklepamo lahko, da so na
Zahodu takrat že izvedli natančne meritve, ki pa so na Vzhod segle le do za
Zahod najbolj pomembnih prometnih vozlov.
Preostali del knjige je posvečen matematični analizi . To je snov, ki se
večinoma obravnava v čet r t em letniku srednje šole ali pa šele na univerzi, zato
morebitne neznane pojme kar preskočite . Citirajmo začetne stavke: "Krivulja
je pot, ki jo opiše točka, ko se giblje po določenem zakonu , vendar brez
smeri ... Zakon je treba podati z ena čbo, ki se ji pokorava točka pri gibanju."
Obravnavane so znane krivulje, kot so elipsa, hiperbola , parabola, neka-
tere spirale ter cikloida , to je krivulja, ki jo opiše točka na obodu kroga , ki se
kotali po premici v ravnini.
Diferencialni račun vpelje neskončno majhne količine in diferenciale .
Današnje pisave odvodov pravzaprav ni.
Izpeljana je tudi formula za ukrivljenost ravninskih krivulj.
Naslednji razdelek ima latinski podnaslov " De maximis et rrururrus
ln govori o največjih in najmanjših vrednostih. Tu imamo vrsto zanimivih
primerov. Vega je očitno najboljši , ko ima opravka z uporabo matematike:
* Iz Krožne plošče izrezat i plašč stožca z maksimalno prostornino.
Odgovor: Središčni kot meri ~1l".j6 radianov, to je približno 293 stopinj,
56 minut, 20 sekund .
* Iz okroglega debla izrezat i najmočnejši tram , če veš, da je trdnost
trama sorazmerna produktu kvadrata višine in vodoravnega prereza.
Odgovor: 5irina trama proti višini je kakor 1 : V2.
* Določiti obliko valja , ki ima pri dani prostorn ini minimalno površino .
Odgovor: Tak valj je enakostraničen.
24
* Daljico razdeliti na tri dele, tako da ima dani tr ikotnik maksimalno
ploščino.
* Včrtati v kroglo stožec (valj) z največjo prostornino.
* Včrtati v stožec valj z največjo prostornino .
* Določiti obliko zgoraj odprte valjaste posode z minimalno notranjo
površino pri dani prostornini .
* Iz danega pokončnega stožca izrezati parabo l ični presek z največjo
mogočo ploščino.
Naslednja tema je int egral. Knjiga vsebuje zelo veliko formul za inte-
gracijo. Imamo tudi reševanje diferencialnih enačb .
Mnogo je uporabe integrala : ploščine pod (med) krivuljami , dolžina
krivulj, obseg elipse, sploščenost zemeljske krogle (sferoida) in pa površina
in prostornina vrtenin .
Dodan imamo širši pregled formul za kotne funkcije , sinuse vseh več­
kratnikov kota 3 stopinje ( od O do 90 stopinj) ter zelo obse žen seznam
trigonometričnih formul tako za navadne kot za sferne trikotnike .
Na koncu knjige avtor omeni , da bi lahko infinitezimalni račun izpe-
ljal tudi brez neskončno majhnih koli čin , vendar naj si to zainteresirani raje
ogledajo drugje . Zan imiva je tudi pripomba : Tisti , ki jim tak infinitezimalni
račun ni všeč in ki mislijo, da so sami sposobni napraviti boljšega , naj svoje
rezultate preverijo pri računanju dolžin lokov in prostornin rotacijskih teles.
Očitno je mnoge motila ohlapnost takratnih dokazov (ki pa skoraj nikoli
ni vplivala na natančnost računov) . Bistvene korake k večji preciznosti je
napravil šele francosk i matematik Cauchy več desetletij kasneje.
Tretja knjiga ima naslov : Mehanika trdnih teles . Dodani so ji lepi
bakrorezi, ki kažejo škripčevja , zobata kolesa in mehanizme . l:etrta knjiga
je Mehanika tekočin . Slikovne priloge so bakro rezi veznih posod in raznih
črpalk , med katerimi je ena tudi na paro. Več o teh knjigah bo lahko poveda l
mehanik ali fizik.
Iz povedanega je j asno, da sta prvi dve knjigi vsebovali dobršen del tega ,
kar še danes učimo pri matematiki tako na srednjih šolah kot na tehn ičnih
in nekaterih drugih fakultetah . V nekaterih poglavjih posredovano znanje je
bilo praktično enakovredno tistemu , kar zahtevamo danes . Knjige so tudi
dokaj pregledne, avtor pa se je očitno potrudil matematiko približati bralcu .
Zna čilni so tudi obširni komentarji , ki naj bi olajšali obvladovanje nelahke
snovi . Posebno simpatična pa je , kot sem že rekel, avtorjeva usmeritev v
uporabo , ki je tudi danes eden poglavitnih čarov teh knjig.
Peter Legiša