Ohlajanje jeklenega valja na vozičku BOŽIDAR BRUDAR UDK: 536.:621.771.07 ASM/SLA: 12, W23k, PMJ UVOD Gre za študij prenosa toplote z jeklenega bloka v okolico s sevanjem. Pri tem predpostavljamo, da gre za sevanje sivih površin in da so v okolici druga siva telesa z različno orientiranimi ploskvami glede na jekleni blok. Za primer smo izbrali ohlajanje jeklenega valja, ki se nahaja nad vozičkom, ki je prekrit s plastjo šamota. Gre za prenos toplote s površine valja na ravno ploskev končnih dimenzij, ki se nahaja blizu valja. Takšen primer srečamo v železarni Štore. Ulit valj namreč naložijo na poseben voziček in ga porinejo v žarilno peč, da se homogeno pregreje na temperaturo od 800 do 1000° C. Po končanem žarjenju potegnejo voziček z valjem iz peči in ga hladijo na zraku. Da bi postopek pospešili, si pomagajo še s pihanjem na valj s stisnjenim zrakom. Od hitrosti ohlajanja valja je odvisna tudi struktura v valju. Za cilj raziskovalne naloge smo si postavili izdelavo računalniškega programa za prenos toplote pri ohlajanju valja na vozičku. Praktične meritve časovnega poteka temperature na površini valja in vozička so opravili sodelavci železarne Štore, FNT in MI, mi pa smo izdelali še računalniški program za simuliranje ohlajanja valja in vozička. Za začetek smo izdelali dvoimenzionalni model. Z njim smo preizkusili samo metodo in se prepričali, da tudi problem v treh dimenzijah ne bi predstavljal nobenih posebnih težav. Rešitev je zelo zanimiva s stališča matematične fizike, saj obravnava kombinacijo sevalnega in konvekcijskega robnega pogoja v dveh različnih koordinatnih sistemih. S pomočjo računalniškega programa je mogoče variirati fizikalne lastnosti in dimenzije valja in vozička in vnaprej analizirati pogoje ohlajanja pri predpostavljenih emisijskih koeficientih obeh površin. Problem reševanja parcialne diferencialne enačbe za prenos toplote v takih pogojih je nelinearen, pa kljub temu rešljiv z opisano interacijsko metodo. REŠEVANJE TOPLOTNE ENAČBE Problem obravnavamo v dveh dimenzijah: Preko krožnega preseka valja si mislimo napeto cilindrično mrežo, preko pravokotniškega prereza izolir-ne plasti na vozičku pa pravokotno mrežo. Zaradi simetrije problema obravnavamo le eno polovico mreže. Mrežna razdalja na vozičku v obeh smereh naj bo enaka mrežni razdalji pri valju v radialni smeri. Časovni korak v cilindrični mreži določimo s pomočjo sta-bilnostnega kriterija, iz predpostavljenega krajevnega koraka v smeri kota in izbranega krajevnega koraka v radialni smeri. Toplotna prevodnost in specifična toplota naj se ne spreminjata s temperaturo niti pri valju niti pri vozičku. (Iz rezultatov prejšnjih obdelav pa se lahko prepričamo, da temperaturna odvisnost ne bi predstavljala prevelikega problema). Emisijska koeficienta površine valja in vozička sta lahko različna. Okolica naj ima stalno temperaturo, tudi konvekcij-ski koeficient naj bo konstanten. Začetna temperatura v prerezu valja naj bo povsod enaka ali pa naj se spreminja po nekem znanem predpisu. Začetna temperatura v prerezu samotne plasti na vozičku pa naj pada eksponencialno. Okolica ima »črno« površino in je stalno ogreta na temperaturo TOK. Enačba za prevajanje toplote, ki velja znotraj valja dl1 | 1 81 | 1 g2T RO ■ CP 81 dr'7 r' dr' r'2'<9(p2 PR ' 8M Enačbo zapišemo v brezdimenzijski obliki in rešujemo numerično z metodo končnih diferenc. Cilindrična in pravokotna mreža Fig. 1 Cylindrical and rectangular net Vpeljemo referenčno dolžino R0, ki je lahko kar enaka R0 = 1 meter, in referenčni čas T0 = 1 sekunda, da lahko zapišemo enačbo v brezdimenzijski obliki: t = t' V :T = Vpeljemo C = R0 T0 R0R0ROCP cJ PR-T0 "a R0R0ROCP (D PR-T0 Enačbo (1) zapišemo v diferenčni obliki za cilindrični koordinatni sistem (slika 1), v katerem naraščajo indeksi I v smeri kota cp, indeksi J pa v smeri polmera in indeksi K v smeri časa. V točki (I, J) lahko temperaturo v (K + l) trenutku zapišemo v obliki: T(I,J, K+l) = T(I, J, K) + T(I,J+ 1, K)- + T(I,J-1,K)- C \R2 R2(J — l)2- FI: -•(—+ 1 1 + C \ R2 2R2(J — 1) 1 C \R2 2R2(J — 1) + + T(I + 1, J, K) ■ + T(I — 1, J, K)- (J- :R2 • FI2 K c' K C(J- 1)2R2-FFJ I + (2) Pri tem pomenijo R, FI, K brezdimenzijske korake v smereh polmera, kota in časa. Slika 3 Določanje faktorja vidnosti za točke na vozičku Fig. 3 Determination of the view factor for the points on the horizontal plane Enačba, ki velja za središče krožnega prereza Okrog središča prereza valja si mislimo narisani krog1 s polmerom R in uporabimo naslednji izraz: V2T(I,J,K) = 4Tm~^''J'K), pri čemer je Tm srednja vrednost temperatur na krožnici s polmerom R: Slika 2 Določanje faktorja vidnosti za točke na površini valja Fig. 2 Determination of the view factor for the points on the cylindrical surface. T =- * m 2^ T(I,2, K) + T(1,2, K) + T(IKON,2, K) 2-(IKON— 1) 4- K T(I,J,K + 1) = T(I,J, K) I — CR2. + 4 ■ Tm • —(3) CR2 IKRIT Enačba za prevajanje toplote v samotni plasti na vozičk" Mrežni razdalji v vodoravni in navpični smeri naj bosta enaki mrežni razdalji v radialni smeri pri valju. Za ta primer dobimo: r KW 4 T(L,M,K + 1) = T(L,M,K)- ' CW R: + KW -[T(L + l,M,K) + CW = R02ROWCPW PRWT0 Stabilnostni kriterij za diferenčne enačbe Upoštevati moramo kriterije, ki morajo biti izpolnjeni za izračun temperatur po metodi končnih diferenc v enačbah, ki veljajo za notranjost krožnega prereza, za samo središče in za pravokotno mrežo v prerezu samotne plasti na vozičku1. Potrebni pogoj, ki mora biti izpolnjen v enačbi (2): 2 K. C R: . +- (J-l)-Fl- Najbolj neugodna situacija je takrat, ko je J = 2. Zato mora veljati: KsS R-Fl-C 2(FI:+ 1) Odločimo se za enačaj in pri izbrani vrednosti FI določimo največji časovni korak K: K = R2 ■ FI: • R0: ■ RO-CP 2-(FI2+ 1)- PR-T0 . V primeru pravokotne mreže pa mora veljati1: 4 KW žl. K = R:FI2C <-CW R2 2-(l + FI3) oziroma FI2 ^ROWCPWPR- Odločimo se torej, da časovni korak K določimo iz pogoja (6), ki velja za notranjost krožnega prereza. Središče krožnega prereza pa postavlja svojo omejitev. V deferenčni enačbi za izračunavanje temperature v središču mora namreč biti izpolnjen pogoj: Kž CR2 (7) CW R; + T(L — 1,M,K) + T( L,M — 1, K) + T(L,M+1,K)](4) V pravokotni mreži narašča indeks L od zgoraj navzdol, M pa od leve proti desni. (5) (6) CW R2 Za časovni korak v šamotni plasti mora torej veljati: cwr2 KW<-- K-in KW morata biti enaka. Kdaj sta oba pogoja izpolnjena? • Če vzamemo pogoj za valj in izenačimo K = = KW, mora veljati: 1 + FI2~ RO-CP- PRW-2 To pa je v primeru jeklenega valja in šamotne plasti na vozičku vedno izpolnjeno. To pa postavlja dodatne omejitve glede izbire mrežne razdalje FI, ki ne sme biti večja od 1. Če je namreč FI v izrazu za K(5) ravno enak 1, je ravno še izpolnjen pogoj (7). Če pa bi bil FI večji od I, pa pogoja (7) ne bi mogli več izpolniti. Diferenčne enačbe v posameznih mrežnih točkah Točka 1: Uporabimo formulo (2). Točka 4: Uporabimo formulo (3). Točka 12: Uporabimo enačbo (4). Točka 13: Toplotni tok, ki priteka na površino iz notranjosti šamotne plasti, je enak koanvekcijskemu toplotnemu toku, ki odteka v okolico. Temperaturo v točku (L, M, K + 1) izračunamo po formuli: T(L,M,K+ 1) = PRWT(L— 1,M,K+ 1)/R +ALPHA TOK ALPHA+ PRW/R Točka 14: Za temperature v teh točkah velja podoben izraz kot v točki 13: T(L,M,K+ 1) = PRW-T(L, M — 1,K + 1)/R +ALPHA-TOK ALPHA+ PRW/R Točka 16: Odločimo se za srednjo vrednost temperatur v sosednjih točkah: T(L,M,K+1) = [T(L-1,M,K+1) + T(L,M-1, K)]/2 Točka 5: Tudi v točkah 5 bi želeli uporabiti enačbo (2) oziroma (4). Pri tem pa se pojavi težava: potrebovali bi temperaturo v točki, ki pa leži že za eno mrežno razdaljo stran od roba valja oziroma vozička. Te namišljene (fiktivne) vrednosti pa lahko izračunamo iz znanega izraza za toplotni tok, ki priteka na rob iz notranjosti. Ta pa je odvisen od emisijskega koeficienta površine valja, vozička in okolice, pa tudi od konvekcijskega koeficienta. Ker gre za sevanje sivega telesa, si oglejmo nekoliko podrobneje, katere zakonitosti veljajo v točkah 5. Predpostavljamo, daje krožni obod prereza valja sestavljen iz mnogokotnikov s stranico R0 ■ FI. Krožnica naj predstavlja del včrtanega kroga v mnogokotniku. Na ta način problem nekoliko poenostavimo, kar je tudi smiselno, saj uporabljamo metodo končnih diferenc. Mrežna točka se nahaja v sredini te stranice mnogo-kotnika. Tudi posameznim točkam na površini vozička pripadajo posamezne daljice z dolžino R. S ploskvice A; odteka toplotni tok, ki je sestavljen iz sevalnega toka (sivo telo) in odbitega sevanja, ki pade na to ploskev z drugih ploskvic. Naj bo B, gostota sevalnega toplotnega toka, ki izhaja iz ploskvice i: B, = 6iaTf + (1 - Bi) ■ [Z F,j • Bj + a-TOK4- Fok.,] (8) j-i EjaTf predstavlja gostoto sevalnega toka zaradi temperature ploskvice, pri kateri znaša emisijski koeficient E; 1 — Ej je koeficient odbojnosti. Sevanje, ki se odbije od ploskvice i, prihaja iz drugih ploskvic j. Pri vsem tem smo predpostavili naslednje: — emisijski koeficient Ej ni odvisen od valovne dolžine, — gre za difuzni odboj, — temperatura se na majhni ploskvici nič ne spreminja. Tisti del toplote, ki jo »odnese« konvekcija, ne vpliva na gostoto sevalnega toka, ki bi padel na sosednje ploskve. Fi,j — faktor vidnosti Po definiciji predstavlja F, j med ploskvama A, in A, tisti del sevanja, ki ga oddaja ploskev A, in ga sprejme ploskve Aj Velja: A, • F j = Fj i • Aj. Toplotni tok, ki odteka s ploskve j, je Bj- A,. Če to pomnožimo še s Fjj, dobimo toplotni tok, ki ga je pre-stregla ploskev i. V gostoti toka bi se to poznalo kot B.A.-F,, B, A l- .3 ker je A, ■ Fj, = A, • F|j. Prav zaradi tega lahko tudi zapišemo prvi člen v oglatem oklepaju FLJ • BJt ki predstavlja gostoto, ki pade na ploskev i s ploskve j. Seveda pa pade na ploskev i tudi sevanje iz okolice. Poleg ploskvic na valju in na vozičku moramo upoštevati še okolico. V zaprtem prostoru, ki ga omejuje n ploskvic, mora veljati: Ž F—1 (9) j-1 Iz te relacije lahko določimo tudi Foki, ki predstavlja del sevalnega toka, ki ga seva okolica s temperaturo TOK (ki je črna) in ki pade na ploskev i. Fok i določimo iz enačbe (9). V našem primeru smo si predstavljali, da imamo na površini valja IKON ravnih ploskvic, ki ustrezajo stranicam z dolžino R0 • FI oziroma R, če gre za površino vozička. Teh je pa MKON. Oboje se nanaša na del valja in vozička na desni strani simetrale po sliki 1. Upoštevati je treba naslednje: Ploskvice na valju se med seboj ne »vidijo« in zato je Fi j = 0, če pomenita indeksa i in j par ploskvic na valju. Prav tako ploskvica i na valju ne »vidi« vozička, če je i večji od I KRIT. Tudi ploskvice na vozičku se ne »vidijo« med seboj in ne »vidijo« tistih ploskvic j na valju, pri katerih je j večji od 11 ali 12. V vsakem primeru pa je Fok ¥= 0, pa naj velja za ploskev na valju ali pa na vozičku. Vedno ga lahko izračunamo iz formule (8). Če pa upoštevamo še konvekcijo, zapišemo izraz za celotno gostoto toplotnega toka, ki izhaja iz ploskvice i, takole: C i = £,crT4 + (1 — E|) • [2 Fj j • B; + a • TOK4 • Fok J + + ALPHA (T,— TO K) (10) Prvi člen v enačbi (10) predstavlja gostoto toplotnega toka, ki ga seva ploskev i zaradi temperature ploskve T|, drugi člen predstavlja gostoto odbitega sevalnega toka, ki prihaja iz okolice, tretji člen za gostoto toplotnega toka, ki ga »odnaša« konvekcija. ALPHA pomeni konvekcijski koeficient zaradi prisilne konvekcije pri pihanju s stisnjenim zrakom. V enačbi (10) je zapisan izraz za gostoto toka le za eno ploskvico z oznako i, ki naj leži bodisi na valju ali na vozičku. V resnici bi morali zapisati toliko enačb, kolikor točk je na sliki 1 označenih s številko 5. Če bi bile temperature na površini in v okolici znane, bi lahko iz takšnega sistema (IKON + MKON) enačb izračunali gostote sevalnih toplotnih tokov B;, saj gre za sistem linearnih enačb. Izraz v oglatem oklepaju v enačbi (10) pa lahko zapišemo zaradi preglednosti takole: Hei = 2 Fi.j' Bj + a • TOK4• Fok ; j Tudi izraz za B, v enačbi (8) potem lahko zapišemo takole: Bi = Ej • o • T4 + (1 — Ej) • HB| Izraz za HBi predstavlja ves sevalni toplotni tok, ki pade na ploskev i iz okolice. Ta tok, pomnožen z emisijskim koeficientom ploskve i, pa predstavlja toplotni tok, ki skuša teči v material preko ploskve i. Ker gre v našem primeru za ohlajanje, pričakujemo, da iz notranjosti valja ali vozička doteka toplotni tok na površino. Označimo ga z Dr Zapišemo ga pa takole: D, = EjOT4 — £,• HBi + ALPHA (Tj — TOK) (11) Prvi in tretji člen v enačbi (11) sta gostoti toplotnega toka, ki dotekata iz notranjosti valja (vozička) na površino in se širita potem v obliki konvekcijskega ali sevalnega toka. Drugi člen ima negativni predznak, saj je to tisti del sevalnega toka, ki iz okolice vdre preko površine in teče v notranjost. Spet velja trditev, da bi takšnih izrazov lahko zapisali prav toliko, kolikor imamo površinskih mrežnih točk z oznako 5 po sliki 1. Levo stran (11) pa zapišemo za točke na valju takole: D = PR T(I,JKQN-I)-T(I,JKON + I) = prT;-T: 2■R ' 2R ' pri čemer pomeni T; temperaturo v točki, ki leži za eno mrežno razdaljo R pod točko i v notranjosti valja, T." pa temperaturo v fiktivni točki, ki bi ležala v oddaljenosti R nad valjem. Če to vstavimo v enačbe (11), dobimo izraz, iz katerega lahko določimo fiktivne vrednosti T": PR, (1 — Ej) ,rj.> _ y_ _g_L ALPH A 2 • R ■ Ej ' ' ' 1 Ej •(l-Ej)-(Tj-TOK) (12) Za točke na površini šamotne plasti na vozičku bi zapisali izraz, ki bi bil podoben enačbi (12), le da bi ustrezno morali upoštevati toplotno prevodnost šamota PRW oziroma emisijski koeficient na površini vozička. Če pa želimo študirati sevanje črnega telesa, določimo fiktivne vrednosti T" iz enačbe (13): — T") = aTf — Fok j • TOK4 + + ALPHA(Tl-TOK)-2F1.ra-TJ4 (13) j Reševanje obeh sistemov enačb bomo opisali nekoliko pozneje. Zdaj se ponudimo še nekoliko pri izračunu faktorjev vidnosti (view factor). Faktor vidnosti v treh dimenzijah Fjj Po definiciji je to del sevalne moči, ki jo oddaja ploskev i in sprejme ploskev j (slika 4). Naj bosta ploskvi A; in A, majhni v primeri z njuno medsebojno razdaljo r. Kot Pi naj bo kot med normalo na ploskev A, in zvez-nico, kot (3, naj bo pa kot med normalo na ploskev A, in zveznico. /Aj Seveda pa je sevalni toplotni tok, ki pade na ploskev j, odvisen od orientacije te ploskve na smer žarkov. Celotni toplotni tok, ki pade na ploskev Aj je torej sorazmeren z A,, pomnožimo s cos(3j (kot med normalo na ploskev A, in zveznico i—j). Iz ploskve A, torej seva celotna moč B,-A„ kar pomeni, da smo gostoto toplotnega toka pomnožili s ploskvijo. Ta produkt pride v imenovalec izraza: Ploskev seva celotno. p _ AjJj cosfti Qjj cosPj J, cosPj cos(3, A, 'J B;A, B, V F,, je torej razmerje med sevanjem, ki ga ujame ploskev Aj, in tistim, ki ga emitira ploskev A;. Če bi ploskev A, postavili vodoravno v središče pol-krogle in integrirali po vsej polkrogli, bi to pomenilo, da bi dobili i Fi.i-1, j=l saj bi polkrogla ujela prav vse sevanje iz ploskvic Aj5 ki sijih mislimo razporejene po površini polkrogle. Sledi: I _ f 2 J, • cos (p • I • 2nr • sin tp • r • dtp J B,r2 oziroma Bj = Jj-ji Tako smo prišli do običajnega izraza za faktor vidnosti _ cos P, cos [3 j Aj ki ga je mogoče najti tudi v literaturi2 3. Slika 4 Faktor vidnosti v treh dimenzijah Fig. 4 View factor in three dimensions Moč, ki jo oddaja ploskev A, naj bo v vseh smereh enaka. Gostota toplotnega toka na enoto prostorskega kota naj bo J,. Če je med normalo na ploskev A, in zveznico med i in j kot |3„ lahko zapišemo toplotni tok, ki odteče proti j, kot: 0= J,-cos p,-O,j, pri čemer je fi,, prostorski kot, pod katerim je mogoče videti ploskev j s ploskve A,. Faktor vidnosti v dveh dimenzijah Fij Ploskve A, in A, nadomestimo z daljicami z dolžino s, in Sj (slika 5). Celoten izračun poteka tako kot v treh dimenzijah, razlika je le v kotu to, ki zdaj ni več prostorski kot. P _slJ|Cosfti-a);|-cos[31 B, ■ S; P J,-cosp,sj-cosPi Če postavimo daljico s, vodoravno in v središče polkroga in integriramo po vsem polkrogu, dobimo: n lF,= l j-i oziroma: I f 2 J, cos(p-r-d

noTOJiKa, TaK»e ynHT-biBajiH pacnpenejieHHe coceaHHX 6jiokob, a TaK»e h3 b33hm-Hoe BJiHflHHe (fleffcTBHe TeHeii). ABTep CTaTbH yBepeH, hto 6y-ziet b03mo»HOCTb 3tot npouecc onncaTb jTyHine, TaK hto pe-3yjibTaTbi, onncaHHbie b stoh pa6oTe 6wjih 6bi 6jiH»ce (J)3kth-HeCKOH CHTyaiIHH.