Matematično modeliranje termičnih stanj pri strjevanju Mathematical Modelling of Thermal States by Solidification B. Stok, B. Bukovec, Univerza v Ljubljani, Fakulteta za strojništvo B. Koroušič, Inštitut za kovinske materiale in tehnologije, Ljubljana Razumevanje mehanizmov strjevanja in poznavanje parametrov, ki vplivajo na kinetiko strjevanja, je bistvenega pomena za uspešno načrtovanje livarske tehnologije, saj začetna kemična sestava taline ter zgodovina ohlajanja le-te povsem določata mehanske lastnosti litih materialov in zlitin. Časovno spreminjanje temperaturnega polja tako med samim procesom strjevanja, kakor tudi pozneje, ko je talina že strjena in v splošnem preide v procesu nadaljnjega ohlajanja določeno število faznih premen, je najpomembnejši generator končnih lastnosti ulitega materiala. Čeprav se je zaradi izredne kompleksnosti problematike vzpostavilo obsežno izkustveno znanje, le-to v mnogih primerih žal ne zadostuje. Zato predstavlja matematično modeliranje z eksperimentalno preverjenimi modeli tisto objektivno možnost učinkovitega načrtovanja kompleksnih problemov, ki bi jim bili sicer navkljub dobremu empiričnemu znanju mnogo teže kos. Obravnavano je matematično modeliranje termomehanskih stanj v litini ob spremembi agregatnega stanja iz tekočega v trdno. Uporabljeni matematični model vključuje na makroskopskem nivoju popis prevoda toplote v obravnavanem območju, medtem ko na mikroskopskem nivoju zajema termodinamiko in kinetiko strjevanja. Verifikacija matematičnega modela je bila izvedena na primeru računalniške simulacije strjevanja in ohlajanja sive litine evtektoidne sestave. Izračunano temperaturno polje je bilo zatem primerjano z izmerjeno ohlajevalno krivuljo, posneto s Quick-Cup metodo. Ključne besede: matematično modeliranje, računalniška simulacija, termomehanska stanja, kinetika strjevanja The initial chemical composition of a molten metal and its cooling history completely determine mechanical properties of a čast material. Understanding of solidification mechanisms and identification of parameter s influencing the solidification kinetics is therefore of major impor-tancefor designing a casting technology. Time variation of the temperature field during solidification, and later cooling of already solidified material as well, is the most important generator of the obtainedfinal mechanical properties of a casting. Although a vaste empirical knowledge about the problem, which is rather complex, has been gained, experience proves that it is often not sufficient. It seems that mathematical modelling, when based on experimentally verified models, could enable in a very objective and reliable way an efficient design of more complex problems, \vhich M'ould be otherwi.se, despite ali good empirical experience, designed with much more difficulty. The paper is concemed with mathematical modelling of the thermomechanical state in a solidify-ing molten metal. The mathematical model used considers at the macroscopic level the heat transfer in the problem domain, and thermodynamics and kinetics of solidification at the micro-scopic level, respectively. Verification of the mathematical model has been obtained through computer simulation of solidification and cooling of eutectic gray čast iron. Finally, a cor-respondent comparison of the computed temperature tirne variation with the cooling curve, registered experimentally in accordance with Quick-Cup method, has been done. Key M'ords: mathematical modelling, computer simulation, thermomechanical state, solidification kinetics 1 Uvod Načrtovanje postopkov litja je izredno zahtevna naloga, saj vsebuje prehod iz tekočega stanja v trdno in povsem ohlajeno stanje veliko fenomenoloških specifičnosti. Čeprav so le-te pogojene že s samo kemično sestavo taline, je hitrost ohlajanja vendarle tisti parameter, ki ključno opredeli končne lastnosti litine tako v smislu dosežene homogenosti strukture kakor tudi njene sestave. Zaradi kompleksnosti problema v pogojih tehniške uporabe, ki se ob zapletenem mehanizmu strjevanja kaže še v njegovi prostorski razsežnosti in časovni spremenljivosti, je bilo uspešno načrtovanje željenih končnih lastnosti litin še do nedavna odvisno skorajda izključno od pridobljenih empiričnih izkušenj. Pridobljena nova znanja na področju matematičnega modeliranja stijevanja pa dandanes ponujajo ob podpori sodobne visoko zmogljive računalniške tehnologije ter ustreznega programskega orodja možnost povsem drugačnega pristopa k obravnavanju te problematike. Ob obstoječih empiričnih izkušnjah, ki še vedno predstavljajo nepogrešljivo izhodišče vsakršnega načrtovanja, je livarsko tehnologijo mogoče uspešno in ceneno načrtovati predvsem na osnovi računalniške simulacije, vodenje oz. kontrolo tako določene tehnologije v realnih industrijskih pogojih pa zagotoviti z ustrezno on-line regulacijo. Z vidika obvladovanja prostorske in časovne odvisnosti je opisani način reševanja livarske problematike nedvomno izredno perspektiven, vendar pa moramo zaradi objektivnosti priznati, da zaenkrat popolnega matematičnega modela, ki bi povsem zadovoljivo popisal celotno fenomenologijo obravnavanega procesa na tako širokem temperaturnem intervalu, vključuj očem termomehanska stanja od tekoče faze pa do trdne faze pri temperaturi okolice, še ni. Razlogov za to je vsekakor mnogo, med najpomembnejše pa lahko prištevamo naše nepopolno poznavanje problemov faznega prehoda ter toplotnih, kemičnih in strukturnih sprememb pri tem prehodu, nepoznavanje temperaturne odvisnosti snovnih lastnosti,... Zaradi tega je matematični model potrebno stalno dopolnjevati v skladu z našimi na novo pridobljenimi empiričnimi izkušnjami, rezultate, ki jih modificirani model daje, pa izpostaviti ustrezni eksperimentalni verifikaciji. Prispevek obravnava numerično simulacijo strjevanja in ohlajanja litine ter v tem smislu predstavlja doprinos k izboljšanju matematičnega modela za popis termomehanskih stanj v litini ob spremembi le-te iz tekočega v trdno stanje. Model, ki na makroskopskem nivoju vključuje popis prevoda toplote v obravnavanem območju, na mikroskopskem pa termodinamiko in kinetiko stijevanja, je potrjen na primeru računalniške simulacije strjevanja in ohlajanja sive litine evtektoidne sestave v pogojih, ki jih opredeljuje Quick-Cup metoda. 2 Matematični model Za čim bolj verodostojen popis procesa litja je le-tega potrebno obravnavati kot razšiijen termodinamični sistem, ki vključuje talino, formo in okolico. Toplotno neravnotežje, ki karakterizira dani sistem v trenutku, ko formo zapolnimo s talino, je generator vseh kasnejših strukturnih in mehanskih sprememb v litini. Zato je v nadaljevanju vsa naša pozornost usmerjena v čim verodostojnejšo določitev prostorsko in časovno spremenljivega temperaturnega polja T(xkjt), ki ob začetni kemični sestavi taline povsem pogojuje strukturno in mehansko stanje v strjenem in ohlajenem ulitku. Določitev termomehanskega stanja v litini sledi iz rešitve vezanega sistema diferencialnih enačb, ki popisujejo fenomenologijo prevoda toplote, kinetike strjevanja in morebitnih faznih premen. V teoretičnem delu analize se omejujemo le na obravnavo termomehanskih razmer v litini, vpliv preostanka celotnega termodinamičnega sistema (forma, okolica) pa nadomestimo z ustreznimi robnimi pogoji na ograji območja, ki ga izpolnjuje litina. 2.1 Osnovne enačbe prenosa toplote Ob predpostavki, da tako talino (x*eQz.(f)) kot strjeno litino (x/ieQs(t)) obravnavamo kot isti kontinuum =Q(f); QLnQ^=0), kateremu se časovno, v skladu s spreminjanjem temperaturnega polja, ustrezno spreminjajo fizikalne lastnosti, lahko temperaturno polje T(xkJ) določimo na osnovi toplotne analize, ki je definirana z enačbo prevoda toplote ter pripadajočimi začetnimi in robnimi pogoji. V tenzorski obliki zapišemo enačbo prevoda toplote na sledeči način pcpt = {kT„)„ + Q, xk e n(t), (1) pri čemer je T absolutna temperatura, pcp toplotna kapaciteta, k toplotna prevodnost in Q polje prostorsko porazdeljenih toplotnih izvorov. Simbola (•) in ( ),, označujeta časovni odvod (•) = ter odvod po krajevni koordinati x; ( ),; = Če zasledovanje obravnavanega problema opredelimo časovno z intervalom t>0, mora temperaturno polje T(xk/), ki sledi kot rešitev enačbe (1), zadostiti še začetnim in robnim pogojem T(xl,0) = f(xl,0) = To(xl), xteQ(0) ^ Hr(T,xltt) = 0, xkeT{t), ki so predpisani v območju Q(0) ter na ograji T(f) tega območja. Funkcija HiiT,Xk,t) predstavlja implicitno obliko možnih robnih pogojev, ki so za t>0 definirani glede na vrsto prestopa toplote na ograji T(f)9. Numerična določitev temperaturnega polja, ki je matematično povsem determinirano z enačbami (1) in (2), ne predstavlja večjih težav 6. Verodostojnost takšne rešitve v realnih razmerah pa je vendarle odvisna od nekaj ključnih faktorjev, ki so v bistvu vselej odraz našega poznavanja parametrov problema. Vsakršno odstopanje od dejanskih vrednosti v enačbah obravnavanega problema prisotnih parametrov povzroči odstopanje numerične rešitve od dejanske, ki jo je mogoče tudi eksperimentalno ugotoviti. Za določitev čim realnejšega odziva, ki sledi zgoraj opisanim enačbam, je pomembno zagotoviti realne podatke o temperaturni odvisnosti snovnih lastnosti, prestopnih pogojih na meji obravnavanega območja z okolico ter časovni odvisnosti polja prostorsko porazdeljenih toplotnih izvorov Q(xk/). Glede na naravo problema, ki ga ob prehodu iz tekoče v trdno fazo karakterizira eksotermna reakcija s sproščanjem latentne toplote Ql, namenjamo v nadaljevanju pozornost predvsem vprašanju objektivnega modeliranja te reakcije. Če z fs(xkf) označimo delež trdne faze v opazovanem volumnu in z Ql celotno latentno toploto, ki se sprosti pri strjevanju enote volumna, je toplotni tok Q(xkJ) mogoče zapisati kot (3) dt 2.2 Osnovne enačbe kinetike stijevanja Prav določitev časovne in prostorske odvisnosti deleža trdne faze fs(xklt), ki posredno pogojuje intenzivnost polja toplotnih izvorov (3), predstavlja enega večjih problemov pri modeliranju tovrstnih procesov. Ob več poznanih pristopih je eden bolj zapletenih, ki temelji na teoriji kristalizacije, obravnavan v nadaljevanju. 2.2.1 Termodinamika strjevanja Snovne spremembe, med katere prištevamo tako spremembe agregatnega stanja (fazne transformacije) kot fazne spremembe pri istem agregatnem stanju (fazne premene), so termodinamično karakterizirane z energijskimi spremembami, ki jih je mogoče zajeti v obliki spremembe Gibbsove proste energije G Le-ta je definirana v odvisnosti od entalpije H, entropije S ter absolutne temperature T danega sistema z enačbo g = h-t s (4) Termodinamično stanje opazovanega sistema je stabilno, če je njegova prosta energija G v stacionarnem stanju, ki je pri poljubno majhni spremembi veličin stanja pogojeno z veljavnostjo dG = 0 Spremembo termodinamičnega stanja iz stanja 1 v stanje 2, za katero velja AG = G2 - Gi < 0, je tedaj mogoče razumeti kot potrebni pogoj za razvoj katerekoli snovne spremembe. V nadaljevanju se omejimo le na obravnavo tehnično čistih kovin in evtektičnih zlitin, za katere velja, da je pri stijevanju pri konstantnem tlaku termodinamično ravnotežje lahko vzpostavljeno vedno samo v eni fazi. Obe fazi, tekoča in trdna, lahko eksistirata samo pri eni, točno določeni temperaturi trasfor-macije Tm Glede na vzpostavljeno termodinamično ravnotežje velja g1{tj = gs(tu) ag(tm)=gs(tu)-gl(tm)=o, (5) g l{t) > g s{t) ag{t)=gs{t)-g\t) rcr pa padajoča. Nastali grozdi atomov, katerih velikost se nahaja v območju r < rcr, niso obstojni in se ponovno topijo v talini. Kritična velikost grozda atomov rCr, s katero je opredeljena meja stabilne rasti kristalnih zrn, je določena s pogojem stacionamosti funkcije (8). Tako sledi 2y ag(t) (9) pri čemer se indeksa L in S nanašata na tekočo oziroma trdno fazo. Potrebno spremembo proste energije AG < 0, ki bo omogočala, da se preostala talina strdi, dosežemo s podhladitvijo za Ar = Tm - T Dano termodinamično stanje ni stabilno, saj pri temperaturi podhladitve T (T < Tm) namreč velja Spremembo proste energije AGcr ag" =AG (rj, (10) ki karakterizira kritično velikost grozda atomov, je razumeti kot aktivacijsko energijo, to je tisti del energijske spremembe, ki omogoči stabilno rast kristalnih zrn. V realnih pogojih strjevanja imamo opraviti s heterogeno in le izjemoma s homogeno nukleacijo. Za slednjo je namreč potrebna razmeroma velika aktivacijska energija AGcr, ki jo je mogoče doseči le z velikimi podhladitvami. V primeru hetero-gene nukleacije, kjer se prične nukleacija ob stenah kokile, se energijske spremembe glede na ugotovljene spremembe v primem homogene nukleacije (8) spremenijo v skladu z oblikovnim faktorjem omočenja /(©) ( 0 < /(©) < 1 ). Glede na aktivacijsko energijo pri homogeni nukleaciji (10) je tedaj, ob nespremenjeni kritični velikosti grozda atomov Ter (9), potrebna aktivacijska energija heterogene nukleacije podana z Enačbo (14) je smotrno dopolniti v smislu Johnson-Mehlove korekcije, s katero upoštevamo proporcionalno zmanjšanje hitrosti strjevanja, ki sicer sledi iz enačbe (14). Korekcija upošteva efektivno površino med trdno in tekočo fazo, s čemer je dana možnost upoštevanja nepravilnosti oblike kristalnih zrn. Upoštevajoč faktor Johnson-Mehlove korekcije (l-fs) dobimo končno /,(**>') = 1~exP —m(xk,t)R,{xl,t) V 3 (16) AG;-, =agl/(©), cu) pri čemer je © kot omočenja ( 0 <® < 1 ). 2.2.3 Določanje deleža trdne faze Volumski delež trdne faze fs(xkj) ( 0 < fs(xkjt) < 1 ) je odvisen od vrste nukleacije in njene hitrosti. Če pri vzamemo, da se prične rast kristalnih zrn okrog kristalnih kali pri določeni nukleacijski temperaturi T, zapišemo po Huntu8 hitrost nukleacije I h et{t) v obliki dt AG" het kT (12) kjer je k Boltzmannova konstanta, ns število v enoti volumna prisotnih kristalnih kali in n(t) trenutno število nastalih kristalnih zrn v enoti volumna, Ki (t) pa koeficient, katerega vrednost je odvisna od difuzijskih lastnosti taline. Vrednost koeficienta Ki (t) se za Fe-C zlitine giblje v območju od 1.78xl018 do 8.66><1022 s-1, odvisno od vrste zlitine. Z enačbo (12) je opredeljen zakon nukleacije, katerega integracija po času da število kristalnih zrn n(t) v danem trenutku t n(t) = ]lJr)dZ. (13) Glede na to, da je število kristalnih zrn v določenem trenutku t po prostoru x/i(t)eO(t) različno, je potrebno upoštevati n(t)=n(xkjt). Če nadalje predpostavimo, da so vsa kristalna zrna kroglaste oblike, je povprečni delež trdne faze fs(xkjt) v točki Xk v ulitku opredeljen z 3 Numerična implementacija modela Rešitev problema, ki smo ga matematično formulirali v predhodnem razdelku, je zaradi prostorske in časovne odvisnosti fizikalnih veličin problema mogoče poiskati le aproksimativno. Aproksimativno rešitev zato poiščemo v obliki numerične analize, katere prostorska diskretizacija temelji na konceptu končnih elementov, časovna pa na poznanih diferenčnih shemah. I ZAČETEK ANALIZE I časovni korak t«+t = t« +AtN materialne konstante m= f(T) tvorba prevodnostne matrike popis mikro dogajanja naslednja integracijska točka izračun novega temperaturnega polja s poznanim deležem f. popravek temperaturnega polja naslednji časovni korak fs{xkj) = n{xl,t)-KR\xl,t\ (14) 3 kjer je R(xkf) srednja vrednost radijev obstoječih kristalnih zrn. Kristalna zrna rastejo v skladu z zakonom rasti, ki ga je mogoče za primer ekviaksialnih kristalov evtektika zapisati v obliki enačbe KONEC ANALIZE dR dt = mM t)2 (15) s konstanto pi, ki jo lahko dobimo iz eksperimenta. Slika 1: Diagram poteka izračuna. Figure 1: Flow chart for computational analysis. Numerično reševanje problema zahteva koračno reševanje s časovnim korakom AIn, pri čemer je samo reševanje znotraj istega časovnega koraka v splošnem iterativno, saj je zaradi temperaturne odvisnosti snovnih lastnosti problem izrazito nelinearen. Diagram poteka izračuna (slika 1) prikazuje zaporedje računskih operacij, ki jih je v okviru izračuna odziva obravnavanega sistema v danem časovnem koraku A/,v potrebno izvesti. Numerično modeliranje sproščanja latentne toplote, ki je vezano na kinetiko strjevanja, je potrebno izvesti na nivoju diskretnih integracijskih točk posameznega končnega elementa v skladu z evolutivnimi zakoni (3),(13),(15) in (16). 4 Eksperimentalna verifikacija Verodostojnost ustreznega računskega modela je potrebno iskati na primera, ki je eksperimentalno nesporen. Glede na to, da se proces stijevanja taline kakor tudi poznejše rekristalizacije v trdnem odražajo v temperaturnem stanju opazovanega dela, lahko našemu namenu služi ohlajevalna krivulja, posneta na vzorcu po Quick-Cup metodi. Navkljub temu, da je celoten proces strjevanja sicer makroskopsko uravnavan s temperaturnim stanjem ter hitrostjo sproščanja latentne toplote, smo pri validaciji računskega modela ugotovili, da nikakor ne smemo prezreti vpliva kmetike in načina rasti kristalnih zrn pri modeliranju procesa strjevanja taline, saj ta bistveno vpliva na hitrost sproščanja latentne toplote. 4.1 Opis eksperimenta strjevanja sive litine v Quick-Cup lončku Eksperiment meritve ohlajevalne krivulje za sivo litino približno evtektične sestave je bil opravljen na Inštitutu za kovinske materiale in tehnologije v Ljubljani. Merilni sistem je bil sestavljen iz naslednjih glavnih komponent: PC računalnika za obdelavo izmerjenih podatkov, dataloggerja in Quick-Cup lončka z vgrajenim termolementom. Talina je bila izdelana v indukcijski peči z vložkom, ki je bil sestavljen iz naslednjih komponent: 300 kg grodlja, 10.35 kg Si, 1.726 kg Mn in 38.08 kg Fe. Iz vložka lahko ocenimo kemično sestavo zlitine po raztalitvi: 3.51 % C, 3.30 % Si, 0.50 % Mn, 0.007 % S, 0.023 % P. Obravnavana zlitina seveda ne ustreza čistemu Fe-C sistemu, sama sestava pa približno ustreza evtektski sestavi sive litine. Izmerjeno ohlajevalno krivuljo ter hitrost spreminjanja temperature smo prikazali grafično v sliki 2. Iz nje je možno razbrati, da se proces strjevanja začne okoli časovnega trenutka t=40s, ko po nastanku kristalnih kali začnejo kristali rasti. Podhladitev taline se zmanjša in temperatura se približa ravnotežni temperaturi fazne transformacije. Iz časovnega poteka je nadalje razvidno, da pride pri času okoli 500 s še do ene eksotermne reakcije (okoli 780°C), ki je posledica strukturne premene v trdnem stanju. 4.2 Numerična simulacija strjevanja sive litine v Quick-Cup lončku Zaradi verifikacije matematičnega modela smo izvedli tudi numerično simulacijo strjevanja sive litine, ki ustreza prejšnjemu eksperimentu. Modeliran je bil celoten sistem talina - lonček, medtem ko je bil vpliv okolice upoštevan preko robnih pogojev. V simulaciji so bile uporabljene snovne lastnosti naslednjih velikosti: ulitek: gostota p=7000 kg/m3, koeficient prevodnosti k=45 W/mK, specifična toplota cp=540 J/kgK, temperatura evtektika T=1135°C, latentna toplota Ql=1.9 10° J/m3, nukleacijska konstanta Ki=1020 s"1, konstanta rasti kristala m =10 7 ms^1 K"2, nukleacijska podhladitev ATn=2 K. lonček: gostota p=1500 kg/m3, koeficient prevodnosti k=0.61 W/mK, specifična toplota cp=800 J/kgK. ter robni pogoji, kot sledi: temperatura okolice To= 20°C, koeficient prestopnosti a = 20 W/mK, emisivnost e = 0.9. V sliki 2 sta prikazana izračunani potek temperature v ulitku in hitrost ohlajanja. Iz primerjave z eksperimentalnimi rezultati je očitno, da se obe krivulji v fazi strjevanja dokaj dobro ujemata. Fazo stijevanja je mogoče iz slike identificirati tako iz funkcijske odvisnosti deleža trdne faze, ki se med strjevanjem stalno veča, kakor tudi iz poteka ohlajevalne krivulje, ki je v primera strjevanja karakterizirana s kons-tantnostjo temperature. Pri eksperimentu je v začetni fazi nuk-leacije krivulja precej drugačna, najverjetneje zaradi strjevanja prve faze, ker je pač obravnavana siva litina samo približno evtektik. Tudi v nadaljevanju ohlajanja, torej že izven območja fazne premene pri okoli 1050°C pride do nekoliko večje razlike v hitrosti ohlajanja. Pravih razlogov za odstopanje nismo iskali, saj smo bili v tej analizi predvsem osredotočeni na modeliranje pojavov strjevanja. Vsekakor pa lahko z gotovostjo trdimo, daje vzrok za to odstopanje iskati v zmanjšanem odvodu toplote na okolico, kot posledice spremembe koeficienta prestopnosti a zaradi spremembe površine lončka in tudi strukture samega materiala lončka pod vplivom zelo visokih temperatur. Slika 2: Računska in eksperimentalna ohlajevalna krivulja. Figure 2: Computed versus experimental cooling curve. 5 Zaključne ugotovitve Rezultati prikazane računalniške simulacije strjevanja ter primerjava le-teh z eksperimentalno dobljenimi rezultati potrjujejo velike zmožnosti, ki jih nudi matematično modeliranje. Ob testiranju računskega modela smo ugotovili, da kljub temu, da je celoten proces strjevanja sicer makroskopsko uravnavan s temperaturnim stanjem ter hitrostjo sproščanja latentne toplote, nikakor ne smemo prezreti vpliva kinetike in načina rasti kristalnih zrn pri modeliranju procesa strjevanja taline, saj ta bistveno vpliva na hitrost sproščanja latentne toplote. Zaradi kompleksnosti problematike in nepoznavanja določenih snovnih parametrov, ki uravnavajo nukleacijo kristalnih kali, smo se v analizi omejili na matematično najbolj enostavne primere, t.j. evtektik m tehnično čiste kovme. Za te primere smo uspeli izdelati računski model, ki zadovoljivo sledi eksperimentalnim rezultatom, vendar pa je nadaljevanje teh vzpodbudnih začetkov v mnogočem odvisno od poglobljenega laboratorijskega dela pri ugotavljanju vseh tistih faktorjev, ki so za natančen odziv računskega modela nujni. Na koncu kaže opozoriti na izredno perspektivnost in pomen obravnavane problematike. Osvojene matematične modele, ki zajemajo ključne mehanizme obravnavanega fenomena, je namreč po prestani eksperimentalni verifikaciji s povsem poznanimi robnimi pogoji, snovnimi lastnostmi in kinetiko strjevanja mogoče uporabiti v smislu parametrske analize za numerično identifikacijo posameznih parametrov procesa, pa tudi v smislu inverznega problema pri iskanju neznanih snovnih lastnosti. Slednje je predvsem zanimivo ob nastajanju množice novih zlitin in materialov, katerih snovne lastnosti je potrebno še raziskati ter številčno ovrednotiti. Prvi vidik pa omogoča s kontrolirano regulacijo toplotnega toka in hitrosti spremembe le-tega doseganje željenih lastnosti končnega ulitka. 6 Literatura 1 F.J. Bradley: On simulating latent heat evolution during ductile iron solidification, Material Processing in the Computer Age, The Minerals, Metals & Materials Society, 1991 2 S.G.R Brovvn, J.A. Spittle: Computer simulation of grain grovvth and macrostructure developement during solidification, Materials Science and Technology, Vol. 5, 1989 3 B. Bukovec: Numerična identifikacija snovnih parametrov na osnovi eksperimentalno določenih ohlajevalnih krivulj, magistrsko delo, Fakulteta za strojništvo, Ljubljana, 1993 4 H. Fredriksson: A guide to the Solidification of Steels, Jernkontaret, Stockolm, 1977 5 B. Koroušič: Računalniško podprta metoda za ugotavljanje tališča in intervala strjevanja legiranih jekel in super-zlitin, Poročilo Inštituta za kovinske materiale in tehnologije v Ljubljani, 1991 6 N. Mole: Numerično modeliranje termoelasto-plastičmh problemov, magistrsko delo, Fakulteta za strojništvo, Ljubljana, 1991 7 M. Rappaz, D.M. Stefanescu: Modelling of Microstructural Evolution, In Solidification Processing of Eutectics, TMS, Warendale PA, 1988 8 D.M. Stefanescu, G.'Upadhya, D. Bandyopadhyay: Heat Transfer-Solidification Kinetics Modelling of Solidification of Castings, Metallurgical Transactions A, vol. 21 A, 1990 9 B. Štok, N. Mole: Matematično modeliranje rotacijskega litja - analiza termomehanskega stanja v orodju, Kovine, zlitine, tehnologije, letnik 27/št 1-2, 1993