1D MODELIRANJE PREHODNIH POJAVOV V PN STRUKTURAH
Vera Gradišnik, Slavko Amon
KLJUČNE BESEDE; polprevodniški elementi, pn diode, pn struktura, fizikalni modeli, enodimenzionalno modeliranje, numerične metode, prehodni pojavi.
VSEBINA: V delu so opisani fizikalni modeli in numerična metoda, ki so uporabljeni v enodimenzionalnem programu za modeliranje prehodnih pojavov v PN strukturah. Podani so numerični rezultati simulacije pojava N'^P diode pri preklopu stopnice napetosti od 0,1V do -0,1V, dobljeni z reševanjem parcialnih diferencialnih enačb, ki temeljijo na Boltzmannovi statistiki.
1D MODELING OF TRANSIENT BEHAVIOR IN PN STRUCTURES
KEY WORDS: semiconductor components, pn diode, pn structure, physical models, one dimensional modelling, numerical methods, transients
ABSTRACT: The physical models and numerical method used in one-dimensional program for transient behavior modeling in PN structures has been described. The edposed numerical results of the transient behavior simulation of N*P diode in switching conditions from 0,1V to -0,1V bias have been achieved by solving the partial differential equation which are based on Boltzmann statistics.
1.UV0D
Računalniško nnodeliranje je postalo nujen element v načrtovanju in analizi polprevodniških elementov. Enostavni analitični modeli nam dajejo samo omejene informacije in točnost za razumevanje in optimizacijo polprevodniških struktur. Z računalniškim modelom lahko dobimo vpogled vvpliv fizikalnih in geometrijskih parametrov na dogajanja v sami strukturi in na zunanjih priključkih.
- |y = - -J div Jp - R	(3)
kjer so gostote tokov elektronov in vrzeli
Jn = -qn|.ingradV -n qDngradn	(4)
Jp =-qp.upgradV - qDpgradp	(5)
V svetu se že nekaj let skupine raziskovalcev ukvarjajo z razvojem računalniških programov za modeliranje polprevodniških elementov tudi v treh dimenzijah.
Na Fakulteti za elektrotehniko in računalništvo v Ljubljani v Laboratoriju za nelinearne elemente je bil razvit program za reševanje časovno oddvisnih polprevodniških enačb v eni dimenziji. Program je napisan v programskem jeziku FORTRAN 77 in izvajanje poteka na računalniku VAX 8800,
2. FIZIKALNI MODELI
Prehodne pojave v polprevodniških strukturah opisujejo osnovne enačbe:
Poissonova eliptična diferencialna enačba div(egradv) = q (n-p-C)
(1)
kontinuitetni parabolični diferencialni enačbi za elektrone in vrzeli
5n 1 , n
= - div Jn - R ot q
(2)
in enačba za celotni tok 5E
Jf = Jn + Jp +
bt
(6)
Pri tem so koncentracije elektronov in vrzeli funkcije potenciala
n = ni exp (
kT '
<7 (On - 1/)^ p= —)
(7)
(8)
m
C=Nb-NA	(9)
razlika ioniziranih donorskih in akceptorskih primesi.
Omenjene enačbe temeljijo na Boltzmannovi statistiki. Z Boltzmannovo statistiko brez modifikacije, oz. vpeljave efektivne intrinsične koncentracije nie je možno reševati samo primere s srednje dopiranimi strukturami. Pri močno dopiranih strukturah, ko se pojavlja efekt oženja prepovedanega pasu, kar ima za posledico povečanje koncentracije prostih nosilcev naboja, Boltz-mannova statistika ni več uporabna in je nujna vpeljava
Fermi-Diracove statistike. Numerično gledano je takrat tudi sklopljenost med Poissonovo enačbo in kontinuitet-nimi enačbami večja in je nujno reševati celotni ti. sklo-pljeni sistem enačb naenkrat'"''. Reševanje nesklo-pljenega sistema enačb ima lahko za posledico konver-genčne probleme. Razen tega na stabilnost in konver-gentnost vplivajo izbrani fizikalni modeli za mobilnosti, življenske čase ter rekombinacije in generacije prostih nosilcev naboja. V literaturi je omenjeno, kar kažejo tudi naši rezultati simulacije z lastnim programom, da naslednji fizikalni modeli ne povzročajo omenjenih problemov.
Model mobilnosti elektronov In vrzeli
Vplive kristalne mreže in ioniziranih primesi na mobilnosti nosilcev naboja opisuje Caughey-Thomasov izraz, podan v
L
(10)
_ _ mm L/ _ min ^ n,p~ ^ n,p

n.p
kjer je C1 vsota produktov vseh ioniziranih primesi in njihovega valenčnega stanja:
Ci
;= 1
(11)
Ostale parametre lahko vnesemo glede na eksperimentalne rezultate, podane v literaturi.
Model rekombinacij in generacij elektronov In vrzeli
Generacije in rekombinacije elektronov in vrzeli so modelirane s Shockley-Read- Hallovim izrazom:
R =
p n~ n.
p{n+ ni)-t- /7(p + pi)
(12)
kjer so življenski časi nosilcev:
Xno
Xn = -
1 +
tp =
1 +
Nd+ NA
"Ipo
Nd+ NA
hfo''
(13)
(14)
pri tem so pri modeliranju vzete naslednje vrednosti:
Xpo= 1.10"^S
V uporabljenem modelu so rekombinacijski centri enakomerno razporejeni po polprevodniku, z energijskim nivojem na sredini prepovedanega pasu.
3. ROBNI POGOJI
Predpostavimo, da je napetostno krmiljen ohmski kontakt idealno prevoden. S tem zanemarimo padec napetosti na samem kontaktu. Takrat so Dirichietovi robni pogoji'^"®' za elektrostatični potencial:
V(t) = Vd +Vappl
(16)
kjer je Vd vgrajeni difuzijski potencial in Vappi zunanja priključena napetost.
Na ohmskem kontaktu predpostavimo termično ravnovesje in nevtralnost prostorskega naboja:
n p - nf = 0 n-p C= O
(17)
(18)
iz česar izhajajo Dirichietovi robni pogoji za elektrone in vrzeli.
4. NUMERICNA METODA
Preden začnemo z numeričnim reševanjem polprevod-niških enačb, moramo diskretizirati strukturo polprevod-niškega elementa v prostoru in času. Definicijsko območje je razdeljeno na M subintervalov ali segmentov. Širina posameznega segmenta je h, = Xi+i - x,. Med posameznimi segmenti so vozlišča oštevilčena od O do M. Vrednosti potenciala, koncentracij elektronov in vrzeli določimo v vsakem vozlišču, medtem ko električno poljsko jakost, gostote tokov in difuzijske konstante računamo v sredini posameznega segmenta, oz. na notranji mreži, ki ima N vozlišč. Časovno definicijsko območje razdelimo na potrebno število subintervalov s konstantnim korakom dm = tm+i - tm, kjer je m indeks posameznega časovnega nivoja. V vsaki točki definicijskega območja Xim je rešitev aproksimirana z zahtevano natančnostjo. Z metodo končnih diferenc, ko parcialne odvode po koordinati x nadomestimo s centralnimi diferencami, parcialne diferencialne enačbe prevedemo v diferenčne algebraične enačbe. Z uvrstitvijo enačb (4) in (5) v en. (2) in (3) in ob predpostavki, da je odvod potenciala 8V/5x = konst. znotraj segmenta, dobimo sistem treh enačb s tremi neznankami v vsaki točki definicijskega območja. Časovni odvod je izražen s končnimi diferencami v smeri nazaj, t. i. backward Euler metoda.
Dokler velja Boltzmannova statistika in dokler je sklopljenost med enačbami majhna, lahko vsako nelinearno enačbo lineariziramo z Newtonovo metodo'"'. Na ta način dobimo tri sisteme enačb z M4-1 naznankami. Posamezna Jacobijeva tridiagonalna matrika vsebuje analitične odvode posameznih enačb glede na spremenljivke V, n, p. Enačba vozlišča k vsebuje vrednosti vozlišča k-1 in k-nl. Rezultirajoča matrika je tridiagonalna. Vsak sistem enačb ima sedaj obliko:
Matrično enačbo (19) rešimo z LU dekompozicijo. Na koncu vsake Nev\/tonove iteracije poiščemo največji popravek in ugotovimo, ali so zadovoljeni konvergenčni pogoji. Kojedoseženapredpisanatočnost, preidemo na računanje novega časovnega koraka s spremenjenimi robnimi pogoji. Računanje se konča po vnaprej predpisanem številu časovnih korakov.
5. ANALIZA PREHODNEGA POJAVA PN DIODE
Z opisanim programom je bila opravljena analiza prehodnega pojava N^^P diode. Struktura je bila dolga 5nm,
0.8
a )
b)
c)
Slika 1: Preklop N*P diode od 0.1 V do -0.1V
a)	potencial vzdolž strukture
b)	koncentracija elektronov in
c)	koncentracija vrzeli
i/ času t = O, 0.05, 0.1, 0.3, 0.5 in 1 ns
globina spoja 0,5|j,m, površinska koncentracija donor-skih primesi 1.10^® cm"^ in koncentracija akceptorskih primesi 5.1cm"^. Slika 1 prikazuje diodo po preklopu stopnice napetosti v 50 ps od 0,1 V prevodne do -0,1 V zaporne napetosti. Prikazani so krajevni poteki potenciala, koncentracij elektronov in vrzeli v različnih časih. Začetne spremembe v poteku koncentracij minerskih nosilcev v skladu s spremembami potenciala kažejo na fazo kopičenja naboja. Na sliki 2 je prikazan časovni potek gostote toka j(t) od trenutka, ko je na diodi zaporna napetost - O,IV.
2.0EO
-j(t) [A/c«^]
2.5E-2 ------------------------------
0.05 0.2 0,4 U.6 0.8	1
t tnr, )
Slika 2: Gostota toka po preklopu N'P diode od O.IV do -0.1 V v odvisnosti od časa
6. ZAKLJUČEK
Numerično niodeliranje polprevodniških elementov omogoča hitrejše in točnejše reševanje polprevodniških enačb. V predstavljenem delu je prikazan samostojno izdelan računalniški program za enodimenzionalno analizo prehodnih pojavov v PN diodah. Prikazani so rezultati modeliranja pri preklopu NT diode, izračunani s predstavljenim programom.
Literatura
(1.) M. S. Mock' Analysis of Mathematical Models of Somiconductor Devices, Boole Press, Dublin, 1983,
(2,) S Selberherr Analysis and Simulation of Somiconductor Devices, Springer- Verlag Wien, New York, 1984
(3.) B, S PolskyandJ S Rimshans, Half-implicit difference scheme for numerical simulation of transient processes in semiconductor devices, Solid- State Electronics Vol, 29, No 3, pp 321 -328, 1986,
(4 ) C S, Rafferty, M R, Pinto, R W Dutton Iterative Methods in Semiconductor Deviccs Simulation, IEEE Trans on Electr, Dev Vol, ED - 32. No, 10,, October 1985,
Mag. Vera Gradišnik *, dipl. ing. Dr. Slavko Amon, dipl. ing. Fakulteta za elektrotehniko in računalništvo Tržaška 25. 61000 Ljubljana
' Trenutno: Maršala Tita 46, 51410 Opatija