i
i
“826-Jerman-naslov” — 2009/6/2 — 17:09 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 15 (1987/1988)
Številka 1
Strani 28–33
Marjan Jerman:
REŠEVANJE ENAČB Z METODO ZAPOREDNIH PRI-
BLIŽKOV
Ključne besede: računalništvo.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/15/869-Jerman.pdf
c© 1987 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2009 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
ClO('ll'\IOI N'CT' 'l-7"'1 __ 11'11- ,_"'''_
RESEVANJE ENACB
Z METODO ZAPOREDNIH PRIB1I2KOV
Nekaterih enačb (npr. 2x - 4 + Inx = O) ne moremo rešiti po običajni poti.
Pomagamo si z iteracijskimi metodami. To so metode, ki s ponavljajočim se
procesom dajejo vedno boljše približke korenov enačb.
Pri reševanju nam bo koristil kalkulator ali računalnik.
Pa si poglejmo, kako poteka iteracij ska metoda. Za zgled vzemimo kar zgo-
raj omenjeno enačbo 2x - 4 + lnx = O. Malce jo preoblikujmo in že imamo
Inx = 4 - 2x.
Pa naj bo f(x) = lnx in g(x) = 4 - 2x . Narišimo grafa teh dveh funkcij ; se-
kata se v točki, kate re abscisa je rešitev naše enačbe.
i",
I -.
-1""
1
(
'r
'1 _.!••
..li..
.•....... ':.
........
y = ln X....-_..- .._.- .
....._.....-_......
..+ , \ + , ) + j _..::: :j: :: ~, ~ :.:l :: : _.·._···j· ······ ··· · ····· ·i· · · · ·· · · · ·~ · · · _ · +·· · ·· · · · · ··__··-j··- - \ _ - .
! ,.-' .~H..
;
.]. :
i'
Približno rešitev lahko preberemo iz grafa (x = 2), vendar nas tako doblje-
na rešitev s svojo natančnostjo ponavadi ne zadovolji.
Zato uberemo drugo pot:
1. Enačbo 2x - 4 + Inx = O zapišimo v obliki x =h(x) , npr. x = 2 - (Inx)/2.
2. Iz grafa preberemo približno rešitev (x = 2). To je naš prvi približek.
Recimo rnu xs ,
3 . lzračunajrno vrednost h(xo):
h(xo) =h(2) = 2 - (In2)12 = 1,65342641
To je naš novi približek. Recimo mu Xl'
28
.,... ..
, .....
....
. •: .1 ._ ,J l'
...•• !! ---,; ,"1:
......
.! . ..
1 •
! ..>....
J.
1
\
i'
T ··
I ·
I '
J..
4 . Vzemimo novi približek in ravnajmo z njim kot s prvotnim:
Xo = 2 Približki so čedalje natančnejši. Ko
Xl = 1,65342641 bodo natančni že na osem decimalnih
X2 = 1,74857513 mest, si z navadnim kaikuiatorjem ne
X3 = 1,72059938 bomo mogli več pomagati. Trdil bo ,
........................ da je x n = X n+l• Pa nič zato, tudi mi
X1S = 1,72685041 bomo čisto zadovoljni s takim pribli-
X16 = 1,72685041 žkom.
Ko je torej xn na želeno število - de-
cimalk enak Xn + 1, lahko postopek
končamo.
(Pri fiziki bi bili zadovoljni že z X3')
Postavi pa se nam vprašanje, ali je ta metoda vedno uspešna.
Žal ni. Uspešna je le v primeru, ko je graf funkcije h(x) manj strm kot pre-
mica y =X + n (y =-x + n).
Zato nas iteracij ska metoda ne privede vedno k želenemu cilju. Kar
poglejmo si tole enačbo: 'i ~1I!1
X + ln x = O \ .
Poskusimo takole:
x = -Inx
ln kaj sledi?
+
....
.. . H •• • • • • j•.•......._ + ~.._ i · __·· ~···!······ ····..·······l··_·······..-v-l-: ,.l::.: _ .~:: ! . l ~: :~ ·!- _ j · +..·._ ··.·.···1···· , + _..j _ .
'1..1'
,1";,
.....
....
.... Y = - In X
....
...
....
i
I
i
1
Xo = 0,5
Xl = 0,69314718
X2 = 0,36651292
X3 = 1,00372151
X4 = -0,0037146
x s nedefiniran
29
Z nadaljevanjem postopka dobi-
vamo vedno slabše približke .
Vendar je za vsako bolezen zdravilo.
Preoblikujmo enačbo x = - Inx takole:
x = -Inx
x /2 = -(Inx)12
x = xl2 - (Inx)12
x = 1/2 (x - lnx)
Sedaj je graf takle :
1: 2
l+xl2
.j i .;._
_·i
i . / " . y = 1/2 (X - ln Xl
Ko malce razočarani od prej poskusi-
mo z iteracij sko metodo,
Površno povedano: krivuljo smo pri njenem padanju umirili tako da je zdaj
položnejša kot premica y = x.
Pa poskusimo sedaj z metodo iteracije:
Xo = 0,5
xI = 0,596573590
X 2 = 0,556563133
X3 = 0,571268901
X4 =0,565582076
Xs = 0,567740966
Xl 9 = 0,567143291
X2 0 = 0,567143290
X 21 = 0,567143290
se nam obraz zjasni pri
X20 = 0 ,567143290.
Kljub temu, da nas kalkulator reši računanja, pa je vseeno mučno priti tja
do 15. ali 20. približka . Tu nam priskoči na pomoč računalnik . Zaradi speci-
fičnosti ukaza DEF FN v različnih dialektih basica, sem program priredil za
dva računalnika, za C64 in ZX Spectrum.
30
SPECTRUM
5 REM ITE RACIJA
10 PRINT "Zapisite enacbo v obliki x = hlxl!"
20 INPUT "x ="; aS
30 PRINT "x ="; aS
40DEFFNh(x)=VALaS
50 PRINT
60 PRINT "Izberite zacetno vrednost!"
70 INPUT "xO ="; xO: PRINT "xO <': xO
80 PRINT
90 PRINT "Približki so:"
100 LET xl = FN h(xO)
110 PRINT xl
120 STOP
130 LET xO = xl : GO TO 100
Opomba: Računalnik vas vpraša po funkciji in začetni vrednosti. Nato vam
izpisuje približke po vsakem pritisku na tipko CONTINUE.
COMMODORE
10 PRINT "VPISITE ENACBO V OBLIKI X = H(X)!"
20 PRINT
30 PRINT "70 DEF FN Y(X)="
40 PRINT "GO TO 70"
50 FOR A = 1 TO 4: PRINT CHRS(145);: NEXT A
60 END
70 DEF FN Y(X)=1/2*(X - LOG(X))
80 INPUT "VPISITE ZAČETNO VREDNOST!"; XO
90 Xl = FN Y(XO)
100 PRINT Xl
110 GET AS:IF AS=""THEN 110
120 IF AS = "S" THEN END
130XO=Xl:GOT090
READY.
Opomba: Računalnik vas postavi v vrstico 70. Skazalcem (kurzorjem) se
zapeljite do konca definicije funkcije in jo vpišite. Pritisnite dvakrat RETURN.
Računalnik vas vpraša po začetni vrednosti. Nove približke vam izpisuje, vse
dokler ne pr itisnete S.
31
ln še opozorilo:
Pri iteracijski metod i moramo poznat i p rvi približek xo. Najlaže ga dobimo
grafično . Če pa se grafa funkcij sekata predaleč od izhodišča in ju zato ' ne
sprav imo ' na papir, funkc ijo enostavno delimo z od O različnim rea lnim
št evilom .
Pr ime r :
x 2 - 2x + 2 =O ~ ((x) = 2x , g(x) =x 2 + 2 li
x 2 /2 - x + 1 = O ~ ((x) =x, g(x) =x 2 / 2 + 1
Za konec reš imo še e nač bo 4x = 3x .
1. rešitev:
4x = 3x ~ x = 3x / 4
Prvi p ribli žek: Xo = 0 ,5
Nada ljujmo :
Xl = 0,433012702
X23 = .0,379194103
X24 = 0,379194103
I!•.~
• • • • •• • •• " ••••• o.
Y = ln 4X / ln 3
..;..
":t
J ..
. . ·-·..··_·1·····..·
".."
.1";.
32
-i--
i
2. rešitev:
3x = 4x ~ x In3 = In4x ~ x = .03~_
In 3
Xo = 2
Xl = 1,89278926
X2S = 1,79468896
X26 = 1,79468896
Dob ili smo dve rešitvi, vsako po drugi pot i.
;
, 1
1. Dohi; oba po&ma komna 3. Pribllno redi enatfbe: 
enaCbe TX = 8x - xB . a) xZ=2+lnx 
2. Mnoiilcl~ P naj bo potenha mno- b) logax (x  - 2)' 
fica mmZiee #. Md! m W c e  P c) x.lnx = 1 
Ie za 27 &la od moei rnnofice d) 2* =x + 2 
M. DoloEi m e  mnotice M. 4. Kje sa rEeta kriwljli y = 3" in 
v = x - 5 7  
Pripomba urednba: Ce ja braleu gornji CIanek nbudil zaninrianje ra numcsri- 
&w d m n j e  rnatemtiEnih problemov, potem mu priporobmo knjfip, 
Zvonimir Bohte: NumeriEno mhvanje enaEb, ki /e Mla v rbirki S i a .  Za ra- 
zumwanje knjige bo s e d %  potrebno nekoliko ve6 rrratmatiEtwga manjrr, 
kot ga zahwva priCujoBi Elanek. 
siwdi KXe*