i
i
“1373-Razpet-DvePalici” — 2010/7/27 — 14:16 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 26 (1998/1999)
Številka 3
Strani 154–156
Nada Razpet in Danica Mati:
DVE PALICI Z ENAKIMA SENCAMA
Ključne besede: matematika, geometrija, podobni trikotniki.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/26/1373-Razpet-Mati.pdf
c© 1998 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
Matematika I
DVE PALICI Z ENAKIMA SENCAMA
Se spominjate stare tab orniške naloge o merj enju višine droga? Glasi
se takole: Imamo pokonci postavljen drog za zastavo, palico in merilni
trak. Zmaga t ist i, ki najhitreje izmeri dolžino droga. Prebri san i novinec
postavi pokonci palico, zaznamuje, kje je 1 m nad zemljo , izmeri dolžino
sence tega dela palice in dolžino sence dr oga ter hi t ro izračuna dolžino
droga.
Ali vedno različno dolge navpične palice mečejo različno dolge sence?
Odgovor je pri trdilen le, če merimo dolžine sence takrat , ko so svetlobni
ža rki, ki padajo na palice, med seboj vzporedni (in je podlaga seveda
vodoravna). To je tak rat , ko je svet ilo zelo daleč , oziroma, če je svet ilo
Sonce. Kaj pa , če svet ilo ni daleč st ran? Poglejmo si naslednjo nalogo
(slika 1).
. p
. I
: v
. :2
,T
: I '.
I '
I '
I
I '.
I '.:p
2
'"
I
I
I V
1
I
I
I
V TI Af sS2
Slika 1.
Dve palici zabo demo navpično v zemljo tako, da ima prva višino v
in dr uga višino v / 2 t er da sta v razdalj i v . Če je podlaga vodoravna,
lahko opaz ujemo senci , ki j u mečeta palici. Kam moramo v ravnini palic
post aviti svetilo, da bosta senci na nasprotnih straneh palic in da bost a
enako do lgi?
N a r iš im o sk ico in op azujmo, p o kakšni krivulj i se g ib lje točka T , v
kateri je svet ilo, ko se dolžini senc (s) daljšata (krajšata) .
Na logo lahko rešimo vsaj na dva načina.
Prvi način
Koordinatni sist em izberemo t ako, da je os x kar na pod lagi, os y pa
vzdolž kraj še palice. Pri oznakah kot na sliki, leži točka T na presečišču
premi ce P(SI , PI ) in pr emi ce P(S2, P2).
Matematika
Iz enačb te h dveh premi c
v
y=-(x + s)
2s
v
y =-- (x - v- s)
s
izločimo par ameter s in dobimo enačbo krivulje, po kateri se giblje točka
T (oziroma naše svetilo):
v(2x - v) v - x--'--- - --'-- > v in zato > O.
3x - 2v 3x - 2v
Ker je O < x < v, mor a bit i
3x - 2v > O in končno
v( 2x - v)
y = .
3x - 2v
To je enačba enakoose hip erbole, ki
ima as imptoti
Ali točka T opiše vso hiperbolo?
Poglejmo na poskus s praktičnega st a-
lišča , Svetilka mora biti višje kot zgor-
nja konca palic, t orej y > v , in med
podaljškoma obeh palic (O< x < v ),
saj sicer ne bi mogli dobiti senc na na-
sprot nih straneh . To pomeni , da je
1
I
I
I
I P. ,
I 2,
I
I
; _ _ - - _ -6- - _ - ...:.- - - --
: PI : v
I
11 I
:2 I
I X
y
5 1S O s52
Slika 2,
'T
1 ',
I
I
I
I
I
I "
:P2
I
I
I
'PI I VI
11 I
:2 II "
I "
5 1S O V TI 111s52
Slika 3 ,
2
y - - v- 3 .in
2
x =-v
3
2
"3 v < x < v ,
To pa pomeni , da je krivulja , po ka-
teri se giblje svet ilo, le del desn e veje
hiperbole, kot kaže slika 3, seveda brez
točke P2 , ki je t eme desn e veje hip er-
bole.
Matematika I
Drugi način
Ob držim o koordinatni sist em tak , kot je bil v prvem primeru, in
izb erimo do lžino v za enoto. Na sliki 1 opazimo podobne trikotnike:
6 TT151 cv 6P1051
6 T T152 rv 6 P2M 52 .
Iz pr imerj av dol žin stranic sledi:
y 1
x + s 2s
Y 1
l- x + s s
Enačbi preuredimo:
2sy = x + s
sy = 1 - x + s
in izrazimo s (dolžino sence) z x in ~ z y :
2
s = 3(x - - )
3
1 2
- = 3(y - -) .
s 3
Od tod sled i
221
(x - "3)(y - "3) = 9 .
Faktorja na desni strani dobljene enač be sta pozitivna (enaka st a ~ in
3
1
s , kjer je s do lžina sen ce) in sta zato razdalj i točke T od premic x = ~
in y = ~. Enačba pove, da je produkt te h razdalj konst ant en , ne glede
na izbor točke T . Krivulj a , ki ima lastnost , da je pro dukt razdalj po-
ljub ne njene točke od dveh prem ic (as imptot ) konstant en , je hiperb ola .
Upoštevati moramo le t isti del hiperbole, kjer sta izraza x - ~ in y - ~
pozitivna in ki leži med obema palicama.
Nada Razpet, Danica Mati
Vprašanje za bralce: Ali j e odgovor bist veno drugačen , če sta palici
poljubnih dolžin in na polj ubni odda ljenosti druga od druge?