der öesonderen und allgemeinen r i t h rn e t für Lehrcr-Bildmgsanstliltcn. Von vr. Fran^ Ritter von Močnik. Prag, 1879. Verlag Vvn F. Tempsky. Lehrbuch der besonderen und allgemeinen ri 1 h we t für Lehrerbildungsanstalten. Von vr. Franz Ritter von Mornik. Prag, 1878. Verlag von F. Tempsky. Druck von Hrinr. Mrrcy iu Prag. D orwort Das vorliegende Lehrbuch ist zum Unterrichtsgebrauche an Lehrer¬ bildungsanstalten bestimmt. Für den Inhalt und die Anordnung desselben war das Organisationsstatut dieser Anstalten maßgebend. Insofern das Statut die Bestimmung enthält, dass bei den Lehr¬ amtszöglingen in der Arithmetik hauptsächlich das Verständnis der Operationen mit besonderen Zahlen anzustreben, das Rechnen mit allgemeinen Zahlen aber mit Rücksicht auf diesen Zweck zu pflegen ist, musste hier auf die besondere Arithmetik das Hauptgewicht gelegt und darum die allgemeine Arithmetik in beschränkterem Umfange behandelt werden, als dies in anderen Lehrbüchern über diesen Gegenstand der Fall ist. Auch erschien es dort, wo das Verfahren beim Rechnen mit besonderen Zahlen durch die Sätze der allgemeinen Arithmetik nicht schon unmittelbar gegeben ist, sondern aus denselben erst durch weitere Schlüsse abgeleitet werden soll, geboten, das Rechnen mit allgemeinen Zahlen dem mit besonderen vorauszuschicken. Die Anordnung des Lehrstoffes ist mit der durch den Lehrplan vorgezeichneten übereinstimmend; nur die wichtigsten bürgerlichen und kaufmännischen Rechnungen, welche eigentlich angewandte Verhältnis¬ rechnungen sind, erhielten wegen des wissenschaftlichen Zusammenhanges im Lehrbuche unmittelbar nach den Verhältnissen und Proportionen ihre Stelle, während sie nach dem Lehrplane erst nach den Potenzen und Wurzeln vorzunehmen sind. Die Verschiebung dieses Theiles beim Unterrichte unterliegt jedoch keinem Anstande. Was die Darstellung betrifft, so kann dieselbe, da das Buch für Lehramtszöglinge mehrerer Jahrgänge und verschiedener Bildungsgrade bestimmt ist, nicht durchaus gleichmäßig fein. Während anfänglich durch ausführlicheres Eingehen und genauere Angabe der Einzelnheiten das Verständnis erleichtert werden muss, kann aus den späteren Stufen mehr und mehr der Selbstthätigkeit der Zöglinge Rechnung getragen werden. In größerer Ausführlichkeit behandelt das Lehrbuch solche Tkfeile der Arithmetik, welche für das praktische Leben und für das angewandte Rechnen von Bedeutung sind. Das Materiell-Praktische hat an sich seinen Wert; zudem wird auch die formale Bildung dadurch gefördert. Die Beweise sind möglichst einfach und übersichtlich gegeben. Sie werden nur hie und da mit Rücksicht auf die Natur der Sache in allgemeinen Zahlen, meistens aber wegen der leichteren Auffassung bloß an bestimmten Zahlenbeispielen durchgeführt. Gegen den Einwand, dass Beweise der letzteren Art nicht die volle Einsicht in die Wahrheit der bewiesenen Sätze gewähren, bemerke ich, dass die Euklidische Geo¬ metrie, welcher doch allgemeine Evidenz und Schärfe der Beweise nach¬ gerühmt wird, auch nicht anders als an Figurenbeispielen beweiset. Nicht in der Allgemeinheit der dabei gebrauchten Zeichen, sondern in der Allgemeingiltigkeit der Gründe liegt die überzeugende Kraft der Beweise. Es muss übrigens als besonders zweckförderlich empfohlen werden, dass die Zöglinge, nachdem sie die im Buche mit besonderen Zahlen durchgeführten Beweise richtig erfasst haben, dieselben jedesmal auch mit allgemeinen Zahlen darstellen, und umgekehrt die allgemein geführten Beweise auch durch besondere Zahlen beleuchten. Einen guten Theil des Unterrichtes, den dieses Buch den Lehr¬ amtszöglingen vermitteln soll, habe ich in die Übungsaufgaben gelegt. Die Erkenntnis muss nicht weniger in die Hand als in den Kopf; ein bloßes Wissen ohne Können würde den Unterricht, wie in jedem andern Lehrgegenstande, auch in der Arithmetik fruchtlos machen. Ich habe darum den theoretischen Lehren auf allen Stufen zahlreich» Aufgaben zur Übung und Anwendung folgen lassen und überdies jedem Abschnitte eine Reihe von Wiederholungsaufgaben angesügt, welche sich nicht nur auf den eben behandelten sondern auch auf alle früheren Abschnitte beziehen. Soll das Gelernte sicheres und bleibendes Eigenthum der Zöglinge werden, so muss der Unterricht zu jedem einzelnen Theile des Buches mehr als einmal zurückkehren; dazu aber sind Wiederholungs¬ ausgaben erforderlich, an denen die Zöglinge zugleich die Ausführung der Operationen bis zur vollsten Geläufigkeit durchüben sollen. Da nach dem Organisationsstatute durch den arithmetischen Unter¬ richt insbesondere auch die Fertigkeit im Kopfrechnen erzielt werden soll, habe ich in allen Theilen auch auf dieses gebührende Rücksicht genommen und dein Übungsstoffe überall zahlreiche Aufgaben über das Kopfrechnen eingeslochten. Diese Aufgaben sind zur Unterscheidung durch Beifügung eines Sternches (*) hervorgehoben worden. Dass ich der Arithmetik einen Anhang folgen ließ, in welchem die Grundzüge der einfachen Buchführung kurz auseinandergesetzt werden, dürfte hoffentlich als eine willkommene Beigabe des Buches angesehen werden, indem dadurch für die Zöglinge die Nothwendigkeit entfällt, die bezüglichen Kenntnisse aus einem besondern Lehrbuche über Buchhaltung herzuholen. Schließlich fühle ich mich noch angenehm verpflichtet, meinem verehrten Colleqen, dem Herrn Landesschulinspector vr. G. Ullrich für die schätzbaren Winke, durch die er mich bei Bearbeitung dieses Buches freundlichst unterstützte, hiemit meinen aufrichtigsten Dank auszusprechen. Graz im Juli 1878. Der Verfasser. Einleitung. tz. 1. Jedes Object, das aus Theilen derselben Art besteht oder aus solchen Theilen bestehend gedacht werden kann, heißt eine Größe. Eine Größe kann vermehrt werden, indem man zu den vorhandenen Theilen noch andere solche Theile hinzugibt; eine Größe kann vermindert werden, indem man von den vorhandenen Theilen einen oder mehrere derselben wegnimmt. Die Wissenschaft von den Größen wird Mathematik genannt. Stellt man sich eine Größe als ein aus gleichartigen Theilen zusammengesetztes Ganzes vor, so nennt man jeden dieser Theile eine Einheit, und die Größe selbst als die wiederholt gesetzte Einheit eine Vielheit. Der Ausdruck für eine solche Vielheit heißt Zahl. Jener Theil der Mathematik, welcher sich mit der Untersuchung der Zahlen beschäftigt, heißt Arithmetik. ß. 2. Jede Zahlenbildung beginnt mit dem Setzen der Einheit. Indem man zu der Einheit noch eine Einheit, zu der dadurch gebildeten Zahl wieder eine Einheit, und sofort hinzusetzt, erhält man die Reihe der natürlichen Zahlen. Die Einheit selbst, sowie jede durch das wiederholte Setzen derselben gebildete Zahl wird eine ganze Zahl genannt. Um anzugeben, dass noch keine Einheit gesetzt sei, bedient man sich des Ausdruckes Null (0). Da erst durch das Setzen der Einheit eine Zahl entsteht, so ist die Null als der Ausgangspunkt jeder Zahlcnbildung zu betrachten. In der natürlichen Zahlenreihe entsteht jede Zahl aus der vorher¬ gehenden durch Hinzufügen einer Einheit, und aus der folgenden durch Wegnehmen einer Einheit. Durch das Hinzufügen, bezüglich Wegnehmen einer Einheit von einer Zahl zur andern fortschreiten, heißt zählen; das erstere vorwärtszählen, das letztere rückwärtszählen. Von gegebenen Zahlen durch vorgeschriebene Verbindung derselben zu einer andern gesuchten Zahl übergehen und letztere dadurch bestimmen, heißt rechnen. Die Zahl, zu welcher man durch das Rechnen gelangt, heißt das Resultat der Rechnung. Z. 3. Wird beim Zählen die Art der Einheit ganz unberücksichtigt gelassen, so heißen die dadurch gebildeten Zahlen un benannte Zahlen; Močnik, Arithmetik für Lehrerbildungsanstalten. 1 wird aber beim Zählen auch die Art der Einheit ausgedrückt, so entstehen benannte Zahlen. Z. B. 5 ist eine unbenannte, 5 Gulden eine benannte Zahl; Gulden heißt die Benennung der letzteren. Z. 4. Zahlen, welche eine bestimmte Menge von Einheiten aus¬ drücken, heißen besondere Zahlen; sie werden durch Ziffern bezeichnet. Z. B. 5 ist eine besondere Zahl; sie drückt eine genau bestimmte Menge von Einheiten aus, indem man sich darunter nicht mehr und nicht weniger als 5 Einheiten vorstellen kann. Rechnungen, die man mit besonderen Zahlen ausführt, können darum auch nur für einzelne besondere Fälle gelten, und müssen so ost erneuert werden, als nur die mindeste Ver¬ änderung in der Angabe gemacht wird. Um nun auch allgemeine Rech¬ nungen, die für alle ähnlichen Fälle gelten und von den besonderen Werten der in einer Aufgabe vorkommenden Größen ganz unabhängig sind, vor¬ nehmen zu können, hat man Zahlen eingeführt, welche jede beliebige Menge von Einheiten bedeuten können, und darum allgemeine Zahlen genannt werden. Als die zweckmäßigste Bezeichnung für solche allgemeine Zahlen stellen sich die Buchstaben dar. So ist z. B. u eine allgemeine Zahl, unter welcher man sich jede willkürliche Menge von Einheiten vorstellen kann; a kann 1, 5, 20 oder jede andere Zahl anzeigen. Nur ist zu bemerken, dass jeder Buchstabe den Wert, den man ihm beim Anfänge der Rechnung beigelegt hat, durch die ganze Rechnung beibehalten muss; nimmt man für u in irgend einer Aufgabe einen bestimmten Wert, z. B. 5 an, so muss man in dieser Aufgabe für a durchgängig den Wert 5 beibehalten. In eine Zahlenverbindung an die Stelle der allgemeinen Zahlen (Buchstaben) besondere Zahlwerte setzen, und mit diesen die vorgeschriebenen Rechnungen ausführen, heißt substituieren. Werden in der Arithmetik nur besondere Zahlen in Betrachtung gezogen, so heißt sie besondere Arithmetik oder Zifserrechnen; werden aber in derselben nebst besonderen auch'allgemeine Zahlen betrachtet, so heißt sie allgemeine Arithmetik oder Bnchstabenrechnen. §. 5. Zwei Zahlen, welche denselben Wert haben, so dass die eine' für die andere gesetzt werden kann, heißen einander gleich. Um anzu¬ zeigen, dass u und b gleich sind, schreibt man u - b; in diesem Falle ist immer auch b — u. Ein Ausdruck von der Form a — d heißt eine Gleichung; b — n ist die Umkehrung der Gleichung a - d. Zwei Zahlen, welche nicht denselben Wert haben, heißen ungleich, und zwar heißt diejenige, zu der noch etwas hinzugesetzt werden muss, um die andere hervorznbringen, die kleinere, die andere die größere. Dass a größer als b ist, drückt man durch a > b aus; in diesem Falle ist auch b kleiner als a, was durch b < a bezeichnet wird. Ausdrücke von der Form u>>b oder b < a nennt man Ungleichungen. §. 6. Die Mathematik stützt ihre Lehren auf gewisse Grundwahr¬ heiten, welche an sich klar sind und deshalb nicht weiter begründet zu 3 werden brauchen. Solche Grundwahrheiten werden Grundsätze (Axiome) genannt. Sätze, die nicht an und für sich einleuchtend sind, deren Richtigkeit erst aus anderen, bereits als wahr anerkannten Sätzen hergeleitet werden muss, heißen Lehrsätze; diese müssen bewiesen werden/ Ein Satz, dessen Wahrheit sich aus der Erklärung eines Begriffes oder aus einem erwiesenen Satze unmittelbarergibt, heißt ein Folgesatz. Z. 7. Allgemeine mathematische Grundsätze. 1. Jede Größe ist sich selbst gleich. n — n, 3 — 3. 2. Das Ganze ist gleich allen seinen Theilen zusammengenommen. 3. Das Ganze ist größer als ein Theil desselben. 4. Wenn zwei Größen einer dritten gleich sind, so sind sie auch unter einander gleich. Ist a — e und d — e, so ist auch a — b. 5. Gleiche Größen auf gleiche Weise verändert geben Gleiches. 1* Erster Aöschmtt. Die vier Grundrechnungsarten mit besonderen und allgemeinen ganzen Zahlen. I. Dekadisches Zahlensystem. 8. 8. Alle ganzen Zahlen, wie groß sie auch sein mögen, lassen sich mit einigen wenigen Wörtern genau und bestimmt benennen, und mit noch wenigeren Zeichen schriftlich ausdrücken. Man geht dabei allgemein von dem Grundsätze aus, dass eine bestimmte Zahl niedrigerer Einheiten stets wieder als eine neue höhere Einheit, als Einheit des nächst höheren Ranges, betrachtet wird und als solche auch einen besonderen Namen erhält. Eine auf diesem Grundsätze beruhende Darstellung aller besonderen Zahlen heißt ein Zahlensystem, und die Zahl, welche angibt, wie viele niedrigere Einheiten stets als eine höhere Einheit betrachtet werden, die Grundzahl des Zahlensystems. Das gegenwärtig allgemein gebräuchliche Zahlensystem ist das dekadische, dessen Grundzahl zehn (griechisch deka) ist. In diesem Systeme bilden je zehn Einheiten eines Ranges eine Einheit des nächst höheren Ranges. Man zählt, von der Einheit ausgehend, mit den bekannten Zahlennamen: eins, zwei, ... bis zehn. Zehn ursprüngliche Ein¬ heiten, auch Einer genannt, bilden eine neue höhere Einheit, welche ein Zehner heißt; zehn Zehner bilden ein Hundert, zehn Hunderte sind ein Tausend, zehn Tausende ein Zehntausend, zehn Zehn- iausende ein Hunderttausend, zehn Hunderttausende eine Million, u. s. w. Jede Zahl ist aus Einern, Zehnern, Hunderten, ... zusammen¬ gesetzt, und wird vollkommen bestimmt, wenn man angibt, wie viele Einer, Zehner, Hunderte, . . . sie enthält. Mit dem mündlichen Ausdrucke der Zahlen stimmt auch deren schrift¬ liche Darstellung überein. Wir brauchen dazu nur die Ziffern für die ersten neun Zahlen, nämlich 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, und das Zeichen 0, welches anzcigt, dass von einem bestimmten Range keine Einheiten vor¬ handen sind. Um nun durch die Zusammenstellung dieser zehn Ziffern alle möglichen ganzen Zahlen auszudrücken, nimmt man an, dass jede Ziffer an der ersten Stelle, von der Rechten an gezählt, Einer, und an jeder folgenden Stelle gegen die Linke zehnmal so viel bedeutet, als 5 sie an der nächstvorhergehenden Stelle gilt. Hiernach bedeutet jede Ziffer an der zweiten Stelle von der Rechten an gezählt so viele Zehner, an der dritten so viele Hunderte, an der vierten so viele Tausende u. s. w., als sie an der ersten Einer ausdrückt. Jede Ziffer in einer geschriebenen Zahl hat einen doppelten Wert, den Wert der Figur, welcher ihr vermöge des Zeichens zukommt und daher unveränderlich ist, und den Wert der Stelle, welcher ihr vermöge der Stelle zukommt und veränderlich ist. So bedeutet z. B. in der Zahl 4404 jede vorkommende geltende Ziffer die Zahl vier, jedoch gilt dieselbe an der ersten Stelle vier Einer, an der dritten vier Hunderte, an der vierten vier Tausende. In Hinsicht des Wertes der Figur einer Ziffer pflegt man zu sagen, dass z. B. die Ziffer 7 größer ist als 4, worunter eigentlich zu verstehen ist: die Zahl, welche durch die Ziffer 7 bezeichnet wird, ist größer als die Zahl, welche man durch die Ziffer 4 ausdrückt. In Beziehung auf die Stelle der Ziffer nennt man, ebenfalls uneigentlich, diejenige Ziffer die höhere, welche eine höhere Art von Einheiten vorstellt und daher an einer weiteren Stelle gegen die Linke vorkommt. Z. 9. Zahlen richtig anschrcibcn und'die geschriebenen richtig lesen, heißt numerieren. Die Zahlenordnungen, welche nach dem dekadischen Zahlensysteme in den einzelnen auf einander folgenden Stellen vorkommen, lassen sich sehr bequem in Classen zu drei Stellen eintheilen, welche nach der Reihe Einer, Zehner und H u n d e rte enthalten. Die drei niedrigsten Stellen sind geradezu Einer, Zehner, Hunderte; in der nächstfolgenden Classe kommen Einer, Zehner, Hunderte von Tausenden vor; in der noch weiter folgenden Classe stehen Einer, Zehner, Hunderte von Millionen u. s. w. Durch diese Eintheilung der Zahlen wird die Auffassung und schriftliche Darstellung derselben wesentlich erleichtert. Aufgaben. Lies folgende Zahlen: 1. 2000, 7000, 5600, 2750, 5904, 1039, 5138, 2718, 38090, 27026 80912 12345 ' 2. 630427, 938824, 732084, 493220, 815500, 408010, 276939, 356805, 1246829, 538191378. „ 3. Der höchste Berg in Österreich ist die Ortlesspitze in Tirol, welche sich 3917 Meter hoch über der Meeresfläche erhebt. 4. Die Sonne ist 1413879mal so groß als unsere Erde. 5. Wenn der Puls bei einem gesunden Menschen in einer Minute 75mal schlägt, so macht er in einem Tage 108000, und in einem Jahre 39420000 Schläge. 6. Wenn der Durchmesser eines Kreises 1000000000 Meter lang ist, so enthält der Umfang desselben 3141592654 Meter. 6 Schreibe mit Ziffern folgende mit Worten ausgedrückte Zahlen: 7. Zweitausend und vierzig, fünftausend sieben¬ hundert vier und neunzig, achttausend und drei, eintausend dreihundert und zehn, zwölftausend fünf und zwanzig. 8. Ein erwachsener Mensch athmet in einer Minute sechs zehn¬ mal, in einer Stunde neunhundertsech szigmal, und in einem Tage drei und zwanzigtausend vierzigmal. 9. Das Licht legt den Weg von der Sonne bis zur Erde, der zwanzig Millionen sechshundert drei und achtzigtausend dreihundert und zehn Meilen beträgt, in acht Minuten und drei¬ zehn Secunden zurück. 10, Wenn Jemand in einer Secunde eins zählen würde, so brauchte er, um eine Million zu zählen, eilf Tage, dreizehn Stunden, sechs und vierzig Minuten und vierzig Secunden; um eine Billion zu zählen, braucht er ein und drcißigtausend sieben¬ hundert und neun Jahre, zweihundert neun und achtzig Tage, eine Stunde, sechs und vierzig Minuten und vierzig Secunden. II. Addition. Z. 10. 1. Zu einer Zahl a eineZahl b addieren heißt, eine Zahl e suchen, welche so viele Einheiten enthält, als a und b zusammen. Das Zeichen der Addition ist ff- (mehr oder plus); man schreibt demnach a -ff b — e. Die Zahlen a und heißen Summanden, n -ff b heißt die Summe; c nennt man den Wert der Summe. Um die Addition zweier Zahlen n und k auszuführen, schreitet man in der Zahlenreihe, von n ausgehend, um so viele Einheiten vor¬ wärts, als ihrer b enthält; die Zahl, zu der man dadurch gelangt, ist die gesuchte Summe. Soll z. B. zu der Zahl 5 die Zahl 3 addiert werden, so schreitet man in der Zahlenreihe von 5 angefangen um 3 Ein¬ heiten vorwärts, wodurch man zu der Zahl 8 gelangt; es ist also o -s- 3 — 8. Aus der Erklärung der Addition folgt: Ist ein Summand 0, so ist die Summe dem anderen ^Summanden gleich. 0-s-n — a, g, -ff 0 — a, 0 ff- 0 — 0. Wenn mit einer bloß angezeigten Summe a ff- d, oder überhaupt mit einer Zahlenverbindung eine weitere Rechnung vorzunehmen ist, schließt man dieselbe in Klammern ein. Z. B. (6 ff- 5) ff- 7 bedeutet, dass zu der Summe aus den Zahlen 6 und 5 die Zahl 7 addiert werden soll. 6 -ff (5 ff- 7) bedeutet, dass zu 6 die Summe aus den Zahlen 5 und 7 zu addieren ist. 7 2. Unter der Summe mehrerer Zahlen versteht man die Summe, welche erhalten wird, indem man zu der Summe der ersten zwei Zahlen die dritte, zu der neuen Summe die vierte Zahl u. s. w. addiert. Es ist demnach a -ft 5 -ft e — (a -ft d) -ft e, u-fttz-fte-ftä- s(a -s- b) -ft -ft ci, u. s. f. Benannte Zahlen lassen sich nur dann addieren, wenn sie gleiche Benennung haben; dieselbe Benennung hat dann auch die Summe. Sätze über die Summen. H. II. Eine Summe bleibt unverändert, wenn man die Summanden unter einander vertauscht. a -ft k) — k) -s- a, 4 -ft 3 — 3 -ft 4; ^-ftd-fte — a-fte-ftb — d-fta-fto — d-fte-fta— ... Beweis. Die Anzahl der in den Summanden enthaltenen Ein¬ heiten bleibt dieselbe, in welcher Reihenfolge sie auch vorkommen mögen; es muss daher auch der Wert der Summe derselbe bleiben. Z. 12. I. Wird in einer Summe einer der Summanden um eine Zahl vermehrt, so wird auch die Summe um dieselbe Zahl vermehrt. Zu einer Summe wird also eine Zahl addiert, indem man sie zu einem der Summanden addiert. (50 -ft 4) Z- 30 - (50 -s- 30) -ft 4, (50 -s- 4) -ft 3 - 50 -ft (4 -ft 3). Allgemein (a -ft d) -ft e — (n -ft c) -ft b — a -ft (b -ft e). 2. Durch Umkehrung der letzten Gleichung erhält man a -ft (b -ft c) - (a -ft d) -ft c - (a -ft e) -ft d; d. h. Zu einer Zahl wird eine Summe addiert, indem man die Summanden einzeln dazu addiert. Hiernach kann auch zu einer Summe eine Summe addiert werden. Z. B. (60 -ft 5) -ft- (20 -ft 4) - (60 -s- 20) -s- (5 -s- 4). Addition gleichnamiger Ausdrücke. Z. 13. Eine Summe, welche entsteht, indem man dieselbe allgemeine Zahl öfters als Summand setzt, wird abgekürzt dadurch bezeichnet, dass man die allgemeine Zahl nur einmal anschreibt und ihr die Zahl vorsetzt, welche anzeigt, wie vielmal die allgemeine Zahl als Summand vorkommt; z. B. a -ft a -ft a -ft a -ft a — 5a. In dem Ausdrucke 5 a heißt dann a die Hauptgröße und 5 der C ocfficient. Der Coefficient kann auch eine allgemeine Zahl sein; z. B. ma-a-fta-fta-fta-ft.. (mmal). 8 Ausdrücke, welche dieselbe Hauptgröße haben, heißen gleichnamig, z. B. 5a und 6a, 3x und x. Ausdrücke, welche verschiedene Haupt¬ größen haben, heißen ungleichnamig, z. B. 3a und 7b, 5x und 5)-. Z. 14. Gleichnamige Ausdrücke werden addiert, indem man ihre Coefficienten addiert und die erhaltene Summe der gemein¬ schaftlichen Hauptgröße vorsetzt. 3a — a 4^ a 4" a 4a — a-s-a-s-a-s-a 3a-s-4a — a-s-a-s-a-s-a-s-a-s-a-s-a- 7a. Addition dekadischer Iahten. Z. 15. Jede dekadische Zahl kann als eine Summe, deren Sum¬ manden beziehungsweise Einer, Zehner, Hunderte u. s. w. darstellen, an¬ gesehen werden. Das Verfahren beim Addieren dekadischer Zahlen beruht daher auf den in Z. 12 angeführten Sätzen, wobei übrigens zu bemerken ist, dass nur Einheiten von gleicher Rangstelle zu einander addiert werden können. Man schreibt die Summanden so unter einander, dass Einer unter Einer, Zehner unter Zehner, ... zu stehen kommen, und addiert zuerst die Einer, dann die Zehner, Hunderte u. s. w. Die jedesmalige Summe setzt man, wenn sie einziffrig ist, unter die addierten Einheiten; ist aber die Summe einer Rangstelle zweiziffrig, so werden davon nur die Einer unter die eben addierten Einheiten geschrieben, die Zehner dagegen zu den Einheiten der nächst höheren Rangstelle weiter gezählt. Z. B. 1) 324 - 300 -s- 20 -j- 4 571 - 500 4- 70 4- 1 895 - 800 -s- 90 -s- 5. 2) 6719 - 6 Taus. 7 Hund. 1 Zehn. 9 Ein. 5348 5 „ 3 „ 4 „ 8 „ 2864 2 „ 8 „ 6 „ 4 „ 14931 13 Taus. 18 Hund. 11 Zehn. 21 Ein. 14 Taus. 9 Hund. 3 Zehn. 1 Ein. — 14931. Beim Kopfrechnen werden zuerst die höheren und dann die niedrigeren Einheiten zugezählt. Z. B. Wie viel ist 345 und 136? 345 und 100 ist 445, und 30 ist 475, und 6 ist 481. Aufgaben. 1. u -s- a. 2, x Z- x -s- x. 3. 2b 4- b. 4. 3m 4- 2m. 5. 6^ 4- 4- 6. 4e 4- 7c -st 9c. 7. 3a -st 5a-st 7a -st 9a. 8. 2x 4-4x -s- 6x 4- 12x. 9. (x 4- 3) 4- 5. 10. (4a 4- 6) 4- 2a. 9 11. (b 4 5x) -s- 7x. 13. (2m -I- 5n -s- 3x>) -I- 4x. 15. s(3x 4 14 4 4 2x. 17. 5 4 (2u 4 1). 19. 9m 4 (3iu 4 5u). 21. 4u -1- s3u -1- (2u 4 7)f. 23. (a 4 7) 4 (2-, 4 1). 25. 5x 4 2^ 4 82 4x 4 7^ 4 32 8x -j- 57 -i- 62 12. (57 4 2a) 4 47. 14. (a 4 6b 4 igo) 4- 7 a. 16. s(5m 4- 2u) 4- 3ms 4- 6m 18. 7x 4- (12x 4- 9). 20. 127 4- (23 x 4- 117). 22. X 4 s3x 4 (8x 4- 97)^. 24. (8b 4- 5 e) -j- (3d 4- 4ich. 26. m 4- 2n 4- 3x 4 4>i 2m -j- 411 -j- 6p 4- 84 4iu 4- 8n 4- 12p 4- 161 Berechne die Werte folgender Summen für u — 2, b — 3, c — 4. 27. 5u 4- 6 (d 4- c). 28. 5b 4 6 (u 4 0). 29. 5c 4 6 (u 4 d). 30. 5 (u 4 b) 4 6c. Die mit einem Sternchen * bezeichneten Aufgaben sind hier und weiterhin im Kopfe zu lösen. 31. * u) 40 4- 20, b) 50 4- 60, e) 43 4- 10, ä) 38 4. 20, 6) 47 4- 50: 32. * n) 45 -j- 13, d) 67 4- 21, e) 38 4- 42, 4) 57 4- 45, c) 63 4- 57 ; 33. * a) 520 4 100, d) 370 4- 200, e- 761 4 300, 4) 254 4- 500; 34. * u) 317 4 450, b) 436 4 324, c) 321 4- 654, ci) 827 4 173. 39. 73308 4- 905476 4 217663 4 8978 4 544879. 40. 369258 4 741852 4 15307 4 847941 4 403507. 41. Addiere die folgenden Zahlen, und zwar zuerst jene der loth- rechten, dann jene der wagrechten Reihen; addiere ferner die bei den lothrcchten Reihen, und dann die bei den wagrechten Reihen erhaltenen Summen: 234 4 5793 4 89075 4 345206 4 298876 7896 4 10248 4 367853 4 789640 4 75665 62785 4 837034 4 956788 4 68032 4 9978 509539 4 963690 4 37932 4 4879 4 524358 79186 4 4 837 4 426079 4 29585 4 82057 42. Addiere die Zahlen: 8337091, 2578903, 9107053, 7905438, 9834157, 19805, 842739, 6590365. 43. Bei dem Baue eines Hauses hat man folgende Auslagen: für den Bauplatz 856 fl., für die Baumaterialien 6308 fl., für die Meister¬ schaften 9745 fl. und für verschiedene Arbeiten 2082 fl.; wie hoch kommt der Bau zu stehen? 10 44. Ein Weinland erzeugt in 5 auf einander folgenden Jahren 78506, 80253, 38975, 63428, 74070 Hektoliter Wein; wie viel in allen 5 Jahren zusammen? 45. Die Einnahmen einer Eisenbahn betrugen: im ersten Quartal 1270584 fl., im zweiten 1583614 fl., im dritten 1609375 fl, im vierten 1364227 fl.; wie viel im ganzen Jahre? 46. In einem Vierecke betragen die Winkel einzeln 73° 12" 47"", 88° 40" 42"", 67° 39" 58"" und 130° 26" 33"'; wie groß ist ihre Summe? 47. Kaiser Ferdinand I. trat am 2. März 1835 die Regierung von Österreich an und verzichtete nach einer 13 Jahre 9 Monate langen Regierungszeit auf den Thron; wann geschah dies? 48. Schiller war am 11. November 1759 geboren und erreichte ein Alter von 45 Jahren 5 Monaten 29 Tagen; wann starb er? 49. Die Zeit von einem Vollmonde bis zum andern (synodischer Monat) beträgt 29 Tage 12 Stunden 44 Minuten 3 Secunden; wenn nun am 16. April um 8 Uhr 45 Minuten 35 Secunden Abends Voll¬ mond ist, wann tritt der nächste Vollmond ein? III. Suötraction. Z. 16. Die Umkehrung der Addition führt auf die Subtraction. Von einer Zahl g, eine Zahl b subtrahieren heißt, aus a als der Summe zweier Zahlen und b als dem einen Summanden den andern Summanden 6 suchen. Die Subtraction wird durch das Zeichen — (weniger oder minus) angezeigt. Man schreibt u — d — a und nennt s. den Minuend, b den Subtrahend und u — b ihre Differenz (Rest); e heißt der Wert der Differenz. Da im Gebiete der natürlichen Zahlen die Summe zweier Zahlen nicht kleiner sein kann als einer der Summanden, so wird auch hier vor¬ ausgesetzt, dass der Minuend nicht kleiner ist als der Subtrahend. Aus jeder Addition zweier Zahlen, z. B. 7 -j- 6 — 13, ergeben sich durch Umkehrung zwei Aufgaben der Subtraction, je nachdem außer der jedesmal gegebenen Summe 13, dem Minuend, entweder der erste Summand 7 oder der zweite 6 als Subtrahend gegeben ist. Ist als Subtrahend der erste Summand 7 gegeben, so ist zu untersuchen, wie viel man zu 7 noch addieren müsse, um 13 zu erhalten; man muss von 8 in der Zahlen¬ reihe vorwärts zählen, bis man auf 13 kommt; die so durch Addition gefundene Zahl 6 ist der gesuchte zweite Summand, die Differenz. Ist dagegen der zweite Summand 6 als Subtrahend gegeben, so ist zu unter¬ suchen, zu welcher Zahl man 6 addieren müsse, um 13 zu erhalten, d. i. wie viel von 13 noch übrig bleibt, wenn die hinzugezählten 6 wieder weggezählt werden; die so übrig bleibende Zahl 7 ist der gesuchte erste Summand, der Rest. 11 Da es aber für die Summe einerlei ist, welcher von zwei Summan¬ den der erste oder der zweite ist, so ist es auch für die Differenz gleich- giltig, ob man beim Subtrahieren die erste oder die zweite der oben angegebenen Auflösungen anwmdet. Man erhält bei der ersten Aufgabe die Differenz 6 auch dadurch, dass man von 13 7 wegzählt, und bei der zweiten Aufgabe die Differenz 7 auch dadurch, dass man zu 6 so viel dazu zählt, bis man auf 13 kommt. Hiernach kann die Subtraction zweier Zahlen u und d auf zwei¬ fache Art ausgeführt werden. Man kann in der Zahlenreihe vom Minuend a aus um so viele Einheiten zurückschreiten, als der Subtrahend d anzeigt; die Zahl, zu welcher man dadurch gelangt, ist die Differenz. Man kann aber auch in der Zahlenreihe vom Subtrahend d aus um so viele Einheiten vorwärts zählen, bis man zum Minuend u gelangt; die Zahl der dazu gezählten Einheiten ist die Differenz. Bei benannten Zahlen müssen der Minuend und der Subtrahend gleiche Benennung haben, welche dann auch die Differenz erhält. 8. 17. Aus der Erklärung der Subtraction folgt: 1. Addiert man die Differenz zweier Zahlen und den Subtrahend, so erhält man den Minuend. (u — b) st- b — u, b st- (a — d) — a. 2. Subtrahiert man von der Summe zweier Zahlen den einen Summanden, so erhält man den zweiten Sum¬ manden. (u st- d) — u — b, (u st- b) — b — a. 3. Eine Zahl bleibt unverändert, wenn man dieselbe Zahl zu ihr addiert und von ihr subtrahiert. g. — lu st- b) — d, u — (a — d) st- b. 4. Ist der Subtrahend dem Minuend gleich, so ist die Differenz gleich Null. u — g, — 0. 5. Ist der Subtrahend 0, so ist die Differenz dem Minuend gleich. u — 0 — a, 0 — 0 — 0. Sätze iiöer die Differenzen. Z. 18. Wird in einer Summe einer der Summanden um eine Zahl vermindert, so wird auch die Summe um dieselbe Zahl vermindert. Von einer Summe wird also eine Zahl subtrahiert, indem man sie von einem der Summanden subtrahiert. (70 st- 8) - 20 - (70 - 20) st- 8, (70 st- 8) - 5 - 70 st- (8 — 5). Allgemein 1) (u st- ll) — 6 — (u — a) st- k), 2) (a st- b) — e — u st- (b — e). §. 19. Durch Umkehrung der Gleichung 2) im Z. 18 erhält man a st- (d — o) — (a st- d) — e; 12 d. h. Zu einer Zahl wird eine Differenz addiert, indem man den Minuend addiert und den Subtrahend subtrahiert. Von diesem Satze macht man beim Kopfrechnen Anwendung. Z- B. 357 -st 96 - 357 -f- (100 — 4) - (357 -s- 100) — 4 - 457 — 4 - 453. ß. 20. Wird der Minuend um eine Zahl vermehrt, so wird auch die Differenz um dieselbe Zahl vermehrt. Wird der Subtrahend um eine Zahl vermindert, so wird dadurch die Differenz um dieselbe Zahl ver¬ mehrt. Zu einer Differenz wird also eine Zahl addiert, indem man sie zu dem Minuend addiert, oder von dem Subtrahend subtrahiert. 1) (u — b) -st c — (a -st c) — d, 2) (u — d) -st e — u — (b — e). Auch dieser Satz wird beim Kopfrechnen angewendet. Z. B. 97 -st 85 - (100 — 3) -st 85 - (100 -st 85) — 3 - 185 — 3 - 182. Z. 21. Aus der Gleichung 2) im Z. 20 erhält man durch Umkehrung u — (b — o) — (a — d) -st o; d. h. Von einer Zahl wird eine Differenz subtrahiert, indem man den Minuend subtrahiert und den Subtrahend addiert. Anwendung beim Kopfrechnen. Z. B. 543 — 194 - 543 — (200 — 6) - (543 — 200) -f- 6 - 343 -j- 6 - 349. Z. 22. Wird der Minuend um eine Zahl vermindert, so wird auch die Differenz um dieselbe Zahl vermindert. Wird der Subtrahend um eine Zahl vermehrt, so wird dadurch die Differenz um dieselbe Zahl ver¬ mindert. Von einer Differenz wird also eine Zahl subtrahiert, indem man sie von dem Minuend subtrahiert, oder zu dem Subtrahend addiert. 1) (a — b) — c — (u — c) — d, 2) (g. — b) — 6 — u — (b -st e). Aus der zweiten Gleichung folgt auch: Anstatt zwei Zahlen nach einander zu subtrahieren, kann man sogleich ihre Summe subtrahieren. Z. B. (628 — 48) — 52 - 628 - (48 -st- 52) - 628 — 100 - 528. §. 23. Durch Umkehrung der zweiten Gleichung im Z. 22 erhält man 3, — (b -st o) - 0 — d) — 6, 1Z — (4 -st 5 ) - (13 — 4) — 5; d. h. Von einer Zahl wird eine Summe subtrahiert, indem man die Summanden einzeln subtrahiert. Hiernach kann auch von einer Summe eine Summe sub¬ trahiert werden. Z. B. (90 -s- 7) — (20 -st 5) - (90 — 20) -st (7 — 5) (700 -st 40 -st 8) — (200 -st 30 -st 5) - (700 — 200) -st (40—30) -st (8—5) Z. 24. Wird der eine Summand um 1, 2, 3, . . . vermehrt, so wird auch die Summe um eben so viel vermehrt. Wird der andere 13 Summand um 1, 2, 3,. . . vermindert, so wird auch „die Summe um eben so viel vermindert. Vollzieht man daher beide Änderungen nach einander, so erhält man wieder den ursprünglichen Wert der Summe. Daraus folgt: Eine Summe bleibt unverändert, wenn man zu dem einen Summanden eine Zahl addiert und von dem andern Summanden dieselbe Zahl subtrahiert. Allgemein g, -f- d — (n -f- m) -s- (b — m), g 4- b - (g — w) -s- (b -j- in). Anwendung beim Kopfrechnen. Z. B. 37 Z- 45 - 40 -f- 42 - 82, 36 4- 49 - 35 -f- 50 - 85. H. 25. Wird sowohl der Minuend als der Subtrahend um 1, 2,3, . . . vermehrt, so wird die Differenz wegen des neuen Minuends um 1,2,3,. . . vermehrt, zugleich aber wegen des größeren Subtrahends um eben so viel vermindert; sie behält also ihren ursprünglichen Wert. Vermindert man Minuend und Subtrahend um 1, 2, 3, . . ., so wird die Differenz wegen des neuen Minuends um 1, 2, 3, . . . vermindert, zugleich aber wegen des kleineren Subtrahends um eben so viel vermehrt; ihr Wert bleibt demnach unverändert. Daraus folgt: Eine Differenz bleibt unverändert, wenn man zu dem Minuend und dem Subtrahend dieselbeZahl addiert, oder von beiden dieselbe Zahl subtrahiert. Allgemein g — b — (g -j- w) — (5 -j- in), g — b — (g — in) — (b — in). Anwendung beim Kopfrechnen. Z. B. 76 - 28 - 78 - 30 - 48, 95 — 32 93 — 30 - 63. Z. 26. Gleichnamige Ausdrücke werden subtrahiert, indem man die Coefsicienten subtrahiert und die erhaltene Differenz der gemeinschaftlichen Hauptgröße vorsctzt. 5n — n-f-n-f-n-f-n-f-n 2g — g -j- g . 5n — 2g, — g -s- a 4- g — 3g. Addition «nd Suötractio« mehrgliedriger Ausdrücke. Z. 27. Sollen in einer durch die Zeichen 4- und — vorgeschriebenen Verbindung von Zahlen die dadurch angezeigten Operationen in der Reihen¬ folge, wie diese Zahlen mit ihren Zeichen von links nach rechts vorkommen, vollzogen werden, so kann man, ohne der Bestimmtheit dadurch Abbruch zu thun, die Klammern wcglasfen. Hiernach kann man 14 (a ff- b) ff- cs ff- ä — a ff- b ff- c ff- 6, (g, — b) ff- es — ä — a — b -ff c — 6, ' 65 - 24, o) 167-53,4) 73 - 44, s) 715 - 69; 41 .* a) 340 - 200, 6) 770 - 400, o) 843 - 500, 4) 667 - 300; 42.* a) 865 - 340, 6) 598 - 324, o) 528 - 461, 4) 952 - 507 ; Berechne mit Anwendung des Satzes im Z. 25: 43.* a) 314 — 95, 6) 248 - 73, o) 477 - 197, 4) 632 - 303. 57. (837145 -4- 24093) - 618814. 58. (732801 - 93786) — 48079. 59. Addiere die Zahlen 650890, 126604, 531899, 863925, und subtrahiere von der Summe nach und nach die ersten drei Summanden; wie groß ist der Rest? 17 60. Subtrahiere von 4736256 die Zahl 789376, von der Differenz wieder 789376, und sofort 6 mal. 61. Von der Zahl sind zu sub¬ trahieren die Zahlen Rest- 731542 82591 72859 127986 231578 215528 Wenn von einer gegebenen Zahl zwei oder mehrere Zahlen zu subtrahieren find, so addiert man diese Zahlen und subtrahiert ihre Summe von der gegebenen Zahl. Man kann übrigens sehr leicht mit der Addition der zu subtrahierenden Zahlen zugleich die Subtraction von dem gegebenen Minuend verbinden. Man addiert nämlich zuerst die Einer aller zu subtrahierenden Zahlen und sucht, wie viel man zu ihrer Summe 24 noch addieren müsse, um die nächste höhere Zahl zu bekommen, welche an der Stelle der Einer 2 hat, d. i. um 32 zu erhalten; dann verfährt man ebenso mit den Zehnern, Hunderten u. s. w. Dabei spricht man: 8, 14, 23, 24 und 8 ist 32, bleibt 3; 3, 10, 18, 23, 32 und S ist 34, bleibt 3; u. s. f. 62. 401894 — (139214 -Z 91078 -s- 35709 -fl 102775). 63. 5404791 - (879356 -fl 937885 -fl 704799 -fl 689557). 64. 3924623 — (1572809 4- 379886 -fl 1027795) - (236976-fl 187595 Z- 229868). 65. Im Jahre 1875 zählte man seit der Erfindung der Dampf¬ maschinen 176 Jahre, seit der Erfindung der Buchdruckerkunst 435 Jahre und seit der Erfindung des Papiers 624 Jahre; in welchem Jahre geschah jede dieser Erfindungen? 66- Der Mont Blanc in Savoyen ist 4632"°, die Ortlesspitze in Tirol 3917"° hoch; wie viel ist der erste Berg höher als der zweite? 67. Ein Vater hinterlässt dem älteren seiner beiden Söhne 6840 fl., dem jüngern um 1580 fl. weniger; wie viel bekommen beide Söhne zusammen? 68. Der Mond ist der Erde nicht immer gleich nahe; seine kleinste Entfernung von derselben ist 48020 Meilen, die größte 54680 Meilen; wie viel ist er im ersten Falle der Erde näher als im zweiten? 69. Das Flussgebiet der Donau beträgt 14423 fl) Meilen, jenes des Rheins 3598, der Elbe 2800, der Oder 2072 fl) Meilen; um wie viel ist das Gebiet der Donau größer als das der drei übrigen Flüsse zusammen? 70- Wenn man die Oberfläche unserer Erde mit 9261238 geogr. flMeil. annimmt, und wenn davon auf die heiße Zone 3692978 (flMeil., auf jede der beiden kalten Zonen 384084 Meilen entfallen; welchen Flächenraum nimmt jede der beiden gemäßigten Zonen ein? 71. Die geographische Breite von Prag ist 50" 5' 20", von Wien 48" 12° 35°°, von Graz 47" 4° 2°°, von Triest 45" 38° 8"; wie viel Breitengrade liegt Prag nördlicher als jede der drei anderen Städte? Mocnr'k, Arithmetik für Lehrerbildungsanstalten. 2 18 72. Goethe starb am 28. März 1832 in einem Alter von 82 Jahren 7 Monaten; wann war er geboren? 73. Kaiser Franz Josef I. wurde am 18. August 1830 geboren und bestieg am 2. December 1848 den österreichischen Thron; a.) wie alt war er damals? d) wie alt ist er heute? o) wie lange regiert er? IV. Multiplikation. Z. 31. Eine Zahl 8 mit einer Zahl multiplicieren heißt, a so oft als Summand setzen, als b Einheiten enthält. Man nennt g, den M u lt i p l i c a n d, 1> den M u l t i p l i c a t o r und beide F ac- toren; die Zahl aber, welche man durch das Multiplicieren erhält, das Product. Das Product ist demnach eine Summe gleicher Summanden; der Multiplicand ist einer dieser gleichen Summanden; der Multiplicator zeigt an, wie viele solche Summanden gesetzt werden sollen. Das Product aus dem Multiplicand 8 und dem Multiplicator d bezeichnet man durch a X ll, oder a . (d. i. a d mal), oder, wenn beide Factoren allgemeine Zahlen sind, auch bloß durch 8 b. Das Product zweier ganzer Zahlen wird auch ein Vielfaches des Multiplicands genannt. Z. B. 12 — 4.3; 12 ist das 3 fache von 4. Aus der Erklärung der Multiplikation folgt: s.) Ist der Multiplicand 1, so ist das Product dem Multipli¬ cator gleich. 1.8 — u. d) Ist der Multiplicand 0, so ist auch das Product 0. 0.8 — 0. o) Der Multiplicator ist immer eine unbenannte Zahl. Der Multiplicand kann unbenannt oder benannt sein; im letzteren Falle hat das Product mit dem Multiplicand gleiche Benennung. 3) Nach der obigen Erklärung hat das Multiplicieren nur dann einen Sinn, wenn der Multiplicator eine ganze Zahl und größer als 1 ist. 2. Unter dem Producte mehrerer Zahlen versteht man das Product, welches erhalten wird, indem man das Product der ersten zwei Zahlen mit der dritten, das neue Product mit der vierten Zahl u. s. w. .multipliciert. Hiernach ist 8.1). o — (ab) . v, 8 . k» . o . 3 . — s(8 i)) . cr) . 6, u. s. W. Sätze über die Iwoducte. Z. 32. Ein Product bleibt unverändert, wenn man die Factoren unter einander vertauscht. ( Es seien z. B. 5 und 3 die beiden Factoren; zerlegt man 5 in fünf ^Einheiten, die in einer wagrechten Reihe anschaulich gemacht werden, und bringt 3 solche Reihen unter einander an, 19 11111 11111 11111 so erhält man offenbar gleichviel, ob man die Einheiten aller wagrechten oder jene aller lothrcchten Reihen zusammenzählt. Zählt man die^ Ein¬ heiten der wagrechten Reihen, so erhält man 5 Einheiten 3 mal, oder 5. 3; zählt man die Einheiten der lothrechten Reihen, so bekommt man 3 Ein¬ heiten 5mal, oder 3.5. Es ist daher 5.3 — 3.5. Allgemein ist s,. 1) — k . a. Der Satz gilt auch für jede beliebige Zahl von Factoren. Da nämlich in dem Producte mehrerer Factoren je zwei auf einander folgende Factoren bei ungcänderter Stellung der übrigen vertauscht werden dürfen, so kann durch wiederholtes Vertauschen zweier solcher Factoren jeder Factor an jede vorgeschriebene Stelle gebracht werden. So ist z. B. für drei Factoren a.id.L — u.o.i) — o.a.io — o.io.a — lr.o.u — b.a.o. Es ist demnach auch bei mehreren Factoren für das Product gleich- giltig, in welcher Ordnung dieselben multipliciert werden. Zusätze, u) Damit dem obigen Satze über die Vertauschbarkeit der Factoren allgemeine Giltigkeit gewahrt bleibe, muss man auch 1. u —u . 1 und 0 . u — u . 0 aunehmen dürfen. Dadurch erhalten dann auch die Ausdrücke u . 1 und u . 0, welche nach der im tz. 31 gegebenen Erklärung der Multiplikation keinen Sinn haben, ihre ganz bestimmte Bedeutung. Es ist nämlich L . 1 — 1 . Ä — Ä und L . 0 — 0 . Ä — 0, d. h. 1. Eine Zahl mit 1 multipliciert gibt sich selbst zum Producte. 2. Eine Zahlmit 0 multipliciert gibt 0 zum Pro ducte. d) Der Coefficient kann als Factor der Hauptgröße, vor welcher er steht, betrachtet werden. 3u — s -s- rrZ-Ä — Ä.3 — 3.Ä. Z. 33. Aus dem vorhergehenden Satze folgt: 1. EinProduct wirdmit einer Zahl multipliciert, indem man einen Factor damit multipliciert. (ud) . o — (ao) . d — u. (bo). Z. B. (20.4) . 5 - (20.5) . 4 - 20 . (4.5). Folgesatz. Soll eine Zahl mit zwei Zahlen multi¬ pliciert werden, so darf man sie entweder mit denselben einzeln in beliebiger Reihenfolge, oder auch sogleich mit ihrem Producte multiplicieren. 2. Eine Zahl wird mit einem Producte multipliciert, indem man sie mit dem einen Factor und das erhaltene Product mit dem andern Factor multipliciert. 2* 20 a . (ko) — (ak) . o — (ao) . k. Z. B. 8 . (10. 3) (8 . 10) . 3 - (8 . 3) . 10. 34. 1. Eine Summe wird mit einer Zahl multipliciert, indem man jeden Summanden damit multipliciert und die Theilproducte addiert. (a ff- k) . o — ao ff- ko. Beweis. (a ff- k) . o — (a ff- k) ff- (a ff- k) ff- (a ff- k) ff- . . . (omal) — a ff- a ff- a ff- . . (omal) -ff- k ff- k ff- k ff- . . (omal) — ao ff- ko. Z. B. (30 ff- 6) . 7 - 30.7 ff- 6 . 7, (200 ff- 80 ff- 3) . 5 - 200.5 ff- 80.5 ff- 3.5. 2. Eine Differenz wird mit einer Zahl multipliciert, indem man den Minuend und den Subtrahend damit multipliciert und das zweite Product vom ersten subtrahiert. (a — k) . o — ao —- ko. Beweis. (a— k) . o — (a — k) -j- (a — k) (s, — k) -j- . . . (o mal) — ja ff- a -j- a ff- . . (omal)j — sk ff- k ff- k ff- . . (omal)j — ao — ko. Anwendung beim Kopfrechnen. Z. B. 87 . 2 - (90 - 3) . 2 90.2 — 3 . 2 - 180 — 6 - 174. Z. 35. Aus der Umkehrung der Gleichungen des Z. 34 folgt ao ff- ko — (a ff- k) . o, ao — ko — (a — k) . o, d. h. Producte, welche einen gemeinschaftlichen Factor haben, werden addiert oder subtrahiert, indem man bezüglich die Summe oder Differenz der nicht gemeinschaftlichen Factoren mit dem gemeinschaft¬ lichen Factor multipliciert. Diese Operation nennt man das Herausheben des gemein¬ schaftlichen Factors. §. 36.1. Eine Zahl wird mit einer Summe multipliciert, indem man sie mit jedem Summanden multipliciert und die Theilproducte addiert. a . (k ff- o) — ak ff- ao. Beweis, a . (k ff- o) — (k ff- o) . a (Z. 32)—ka -s- oa (H. 34, 1) — ak ff- ao (K. 32). Z. B. 68 . (50 ff- 3) - 68 . 50 ff- 68.3. 2. Eine Zahl wird mit einer Differenz multipliciert, indem man sie mit dem Minuend und dem Subtrahend multipliciert und von dem ersten Producte das zweite subtrahiert. a. (k — o) — ak — ao. Der Beweis ist dem vorigen analog. 21 Von diesem Satze wird manchmal beim Zifferrechnen Vortheilhafter Gebrauch gemacht. Z. B. 346.299 - 346 . (300-1) - 346.300 — 346 . 1, 758 . 994 - 758 . (1000-6) - 758 . 1000 - 758 . 6. Vroducte gleicher Aactoren. ß. 37. Ein Product, dessen Factoren einander gleich sind, wird ab¬ gekürzt dadurch bezeichnet, dass man nur einen Factor anschreibt und ihm rechts oben die Zahl beisetzt, welche anzeigt, wie vielmal derselbe vor¬ kommt; z. B.: a . a . a . a . a . s, — a?. Ein Product gleicher Factoren heißt eine Potenz; die Anzahl der gleichen Factoren heißt der Potenz exponent, auch bloß Exponent, und der Factor, der so oft vorkommt, als der Exponent anzeigt, die Basis oder Grundzahl. In der Potenz welche gelesen wird: „s. zur inten" tPotenz erhoben) oder „s, mit irr potenziert", ist a die Basis, m der Exponent. Die zweite Potenz a? nennt man insbesondere auch das Quadrat, die dritte a? den Cubus von a. Z. B. 10.10 - 10^ - igo 10.10.10 - IO" - 1000 10.10.10 . 10 - M - 10000, u. s. w. Jede Zahl a wird als die erste Potenz von a angesehen; also a — s4, 10 - 10'. Wenn in einem mehrgliedrigen Ausdruck mehrere Potenzen derselben Basis Vorkommen, so Pflegt man wegen der leichteren Übersicht die ein¬ zelnen Glieder nach den Potenzexponenten zu ordnen, indem man ent¬ weder mit der höchsten Potenz anfängt und dann immer niedrigere Potenzen folgen lässt, oder indem man zuerst jenes Glied setzt, welches keine oder die niedrigste Potenz der gemeinschaftlichen Basis enthält und dann zu immer höheren Potenzen übergeht. Im ersten Falle heißt der Ausdruck fallend, im zweiten steigend geordnet. So erhält z. B. der Ausdruck 3x2 -fl 4 -s- 5x — 6x? -s- x^ fallend geordnet die Form: x^ - 6x« -s- 3x2 -s- 5x -s- 4, und steigend geordnet die Form: 4 -s- 5x -s- 3x2 — 6xb -s- Z. 38. Potenzen derselben Basis werden multipliciert, indem man die gemeinschaftliche Basis mit der Summe der Exponenten potenziert. g? , g,s — uaaaa . aaa — auuLaaaa — s?. Allgemein Muktiplication mehrgliedriger Ausdrücke. 39. 1. Ein mehrgliedriger Ausdruck wird mit einer Zahl multiplicirt, indem man jedes Glied desselben mit dieser Zahl 22 multipliciert und den einzelnen Producten die Zeichen der Glieder des Multiplicands gibt. (a — st — o -j- ä — o) . 1 — ast — stst — ost -j- cist — ost. 2. Eine Zahl wird mit einem mehrgliedrigen Aus¬ drucke multipliciert, indem man sie mit jedem Gliede desselben multipliciert und die einzelnen Producte additiv oder subtractiv zusammen¬ stellt, je nachdem sie aus der Multiplication mit additiven oder subtractiven Gliedern hervorgehen. a (st — o — ä-j-s — st) — ast — ao — aä -j- ao — ast. 3. Ein mehrgliedriger Ausdruck wird mit einem mehr¬ gliedrigen Ausdrucke multipliciert, indem man den ganzen Multiplicand, d. i. jedes Glied desselben, mit jedem Gliede des Multipli- cators multipliciert und die einzelnen Producte additiv oder subtractiv zusammenstellt, je nachdem die bezüglichen Factoren gleiche oder verschiedene Rechnungszeichen haben. (a — st -j- o) (ä — o — st) — aä — stck -s- oä — as -j- sts — os — ast -j- stst — ost Die Richtigkeit dieser drei Lehrsätze ergibt sich aus ZF. 34 und 36. Folgesatz. Insbesondere erhält man 1) (a -j- st)« - (a -j- k) (a -s- st) - a« -s- 2ast -si st«, (a — st)« — (g, — 4,) (g. — st) — a« — 2ast -st- st^; d. h. Das Quadrat der Summe oder Differenz zweier Zahlen ist gleich der Summe der Quadrate dieser Zahlen, bezüglich vermehrt oder vermindert um das doppelte Product derselben. 2) (a -s- st) (a — st) — a« — st«, d. h. Das Product aus der Summe und Differenz zweier Zahlen ist gleich der Differenz ihrer Quadrate. §. 40. Bei mehrgliedrigen Ausdrücken, welche nach den Potenzen derselben Basis fortschreiten, erhält man, wenn dieselben gleichartig geordnet sind, durch die Multiplication des Multi¬ plicands mit den einzelnen Gliedern des Multiplicators Theilproducte, welche eben so geordnet sind. Man schreibt diese Theilproducte, um sie leichter zu reducieren, so an, dass ihre gleichnamigen Glieder unter einander zu stehen kommen. Z. B.: 4 a« — 3a — 4 Multiplicand 3a" — 7a — 5 Multiplicator 12a« — 9a» — 12a« — 28a« -i- 21a- -s- 28a -j- 20a- — 15a — 20 12 a« — 37a« -s- 29 a« -s- 13a — 20 Product. Z. 41. Aus den Sätzen der vorhergehenden HZ. lassen sich für die Bestimmung des Productes von irgend zwei Gliedern beliebiger Ausdrücke folgende Regeln zusammenfassen: 23 1. Rücksichtlich des Zeichens ist das Product zweier Glieder additiv oder subtractiv zu setzen, je nachdem diese Glieder gleiche oder verschiedene Rechnungszeichcn haben. 2. Der Coefsicient des Produktes zweier Glieder ist das Product aus den Coesficienten dieser Glieder; denn 3a. 43 — 3.Ä.4.K — 3.4. u.k — 12 ak. 3. Die Haupt grüße des Productes zweier Glieder erhält man, indem man die Factoren, welche in den Hauptgrößen dieser Glieder vor¬ kommen, (in alphabetischer Ordnung) neben einander stellt, und bei Potenzen derselben Basis die gemeinschaftliche Basis mit der Summe der Exponenten potenziert. WuMpkicatioir dekadischer Zahlen. tz. 42. Eine dekadische Zahl wird mit 10, 100, 1000, . . multipliciert, indem man ihr rechts bezüglich 1, 2,3,.. Nullen anhängt. Denn durch das Anhängen von 1, 2, 3, . . Nullen kommt jede Ziffer bezüglich um 1, 2, 3, . . Stellen weiter gegen die Linke zu stehen, und erhält dadurch einen lOmal, lOOmal, lOOOmal, . . so hohen Wert (ß. 8); somit wird auch die ganze Zahl (Z. 34, 1) lOmal, lOOmal, lOOOmal, . . so groß. Z. B. 376 . 10 - 3760, 583 . 1000 - 583000. Allgemein bedeutet . 10°^ eine dekadische Zahl, deren Ziffernreihe rechts m Nullen hat. Zusatz. Jede dekadische Zahl kann als ein nach den fallenden Potenzen von 10 geordnetes Polynom dargestellt werden. Z. B. 6547 - 6000 -st 500 Z- 40 -ff 7 - 6 . 10» -st 5 . 10° -s- 4 . 10 -s- 7. Der Rang jeder einzelnen Ziffer wird durch den Exponenten der¬ jenigen Potenz von 10 bestimmt, als deren Coesficienten man sich die Ziffer vorstellen muss; man kann daher diesen Exponenten von 10 den Rangexponenten der Ziffer nennen. Z. B. in 6547 hat die Ziffer 4 den Rangexponenten 1, die höchste Ziffer 6 den Rangexponenten 3. In l^der dekadischen Zahl ist der Rangexponent der höchsten Stelle um 1 kleiner als die Anzahl der Ziffern. Hiernach ist r . 10-°-» -t- g . 10----2 -s- . . . -j- e . 10° -s- k . 10 -j- n die allgemeine Form einer wziffrigen dekadischen ganzen Zahl, welche Ä Einer, k Zehner, . . . r Einheiten des (in — 1)ten Ranges enthält. §. 43. Wenn N - 6.10* -s- ä . 10» -s- o. 10° -s- k . 10 -s- a, so ist Ä . p — op . 10* -st äp . 10» Z- o p . 10° -j- k p . 10 -s- ap. Eine mehrziffrige Zahl wird daher mit einer cin- ziffrigen multipliciert, indem man die Einer, Zehner, Hunderte, .. des Multiplicands mit dem Multiplicator multipliciert und die einzelnen Producte unter die multiplicierten Ziffern setzt. 24 Ist eines dieser Products zweiziffrig, z. B. op — r . 10—j- s, so behalte man an dieser Stelle nur die niedrigere Ziffer s, und zähle die höhere r zu dem Producte in dieser höheren Rangstelle. Z. B. 752 . 4 oder kürzer: 752 . 4 8 Einer 3008 20. Zehner 28. . Hunderte 3008 Beim Kopfrechnen vervielfacht man mit dem einziffrigen Multi¬ plikator zuerst die höheren, und dann die niedrigeren Einheiten. Z. B. Wie viel ist 6mal 78? 6mal 70 ist 420, 6mal 8 ist 48; 420 und 48 ist 468. Wird die Multiplication auf Preisberechnungen angewendet, so ist es häufig Vortheilhaft, den Preis der Einheit in Zehner und Kreuzer zu zerlegen. Z. B. I kostet 64 kr.; wie viel kosten 9 Ls>.? 9 L x a 6 4 kr. 9 L?, a 6 Zehner kosten 9mal 6 Z. — 54 Z. — 5 fl. 40 kr. 9 „ a 4 kr. „ 9mal 4 kr. 36 „ zusammen 5 fl. 76 kr. S. 44. Ist LI irgend eine mehrziffrige Zahl und I-l p . 10» -s- 1 - 10" fi- r . 10 fi- s, so ist II . Ll - LIp . 10» -j- LI H . 102 Ur io -j- Lis. Um daher zwei mehrziffrige Zahlen mit einander zu multipli eieren, multipliciert man den Multiplicand mit jeder Ziffer des Multiplicators, von den Einern angefangen, multipliciert dann die erhaltenen Theilproducte der Ordnung nach mit den steigenden Potenzen von 10, was dadurch geschieht, dass man jedes folgende Product um eine Stelle weiter gegen die Linke rückt, und addiert die unter einander stehenden Ziffern der Theilproducte. Z. B. 6237 oder: 6237 954 954 24948 24948 311850 31185 5613300 56133 5950098 5950098. Fängt man mit der höchsten Ziffer des Multiplicators zu multi- plicieren an, so wird jedes folgende Product um eine Stelle weiter gegen die Rechte gerückt. 1. 4a . !>. 4. m . 3n. 7. s.2 . a. Aufgaben. 2. 3x/ . 2. 5. s. . 6iro. 8. X'"' . X». 3. 5a . 6 . 3. 6. 2x . 3^ . 4k. 9. M» . IN^ . IN. 25 10. a/° . a'-/. 11. Zn, 13. -°° . 3^ . 52«. 14. 8x» 16. 7x«/» . 5x°r:5 . 3/^2. 18. (x -st 2) . 3. 20. (3 g, -j- 45) . 5 x. 22. (a — 6) . x. 24. (2x° — 5) . 4 -st 2x°. 26. (m -st n) . x -st (m — o) . - 28. 7 . (a -st 2). 30- 8 (3 - ?). 32- n° . (x° — 2M°) 4- M°a° 2 M». 12. 5a°x» . 3 a. 35° . a. 15. a»5«o» . a»5°a. 17. 2a5°o»ck« . 3a°o°ä° . 45»a°ci». 19. (a -st 5) . x. 21. (x°v 4- x/°) . X/. 23. (2a° — 3a) . 4a. 25. (x» — 2x°) . 3x — 2x«. 27. (m 4- n) x — (m — o). x. 29. M . (a° -st x°). 31. 5 a (mx» — a/»). 33. 2a°5° (a°6 - 3.5°) — a«5». Hebe in folgenden Ausdrücken den gemeinschaftlichen Factor heraus: 34. 5a -5 55. 35. ax° 4- 5x°. 36. (a -st M) X — MX. 37. a . 10» — 5.10». 38. 9a/° —6/». 39. ax 4- a/ -st a. 40. a (2x — 3) - 25 (2x — 3) -st (a — 5) (2x — 3). Addiere: 41. 3ax — 55/ 4ax 4^ 2 5/ ax — 35/ 42. 12x« 4- 20x»— 8x° — 9 x» — 15 x° 4- 6 x 4- 3x° -st 5x — 2 Subtrahiere: 43- 9 inx 4- 6 n/ — 3p2 MX — 3n/ -st 8p2 44. 20a» — 31 a° -st 22a — 8 20 a» - 15 a° 4- 10a 45- Bestimme den Wert des Ausdruckes: 4a (3x° — 5x/) — 55 (2x° — 6/°) für a — 5, 5 — 3, x — 7, / — 4. 47. lx 4- 3) (/ - 2). 49. (x — 3) (/ — 2). 51. (5a° — 3 5°) (3a° — 45°). 56- (3x° 4- 4/°)°. 59. (5a° — 35°)°. 61. (x — 4)° 4- 8x. 63. (x -st a)° — (x — a)°. 65. (a -st 5) (a — 5). 67. x° — (x 4- 4) (x — 4). 69. (3y° 4- 25°) (3/° — 25°). " ° — 4/-) (2x° -st 4/°). 72- <7 -st 5a - 3a°) . 4a°. - 9a5 -st 45°). 74. 3ax . (2a° -st 7ax 4- 5x°). 76. (x° — x/ -st /°) (x -st /). (7° -2/4-1) (6/-3). 78. (5x° -st 6x - 7) (4x - 5). 46. (x 4- 3) (/ -st 2). 48. (x — 3) (/ -st 2). 50. (3x 4- 2/) (2x — 3/). , 52. (2x° -st 3a°) (5x° - 4a°) - (10x« - 12 a«). 53. (5 - x°> (7 4- /°) -st (7 - x°) " 54. (a 4- 2)°. 55. (2a -st 55)°. 57. (3 — x)°. 58. (10 M — a)°. 60. (a 4- 5) ° - 10 a. " 62. (x -st a)° -st (x — a)°. 64. (x -st 3) (x — 3). 66. - - . 68. 70. 71. 73. 75. (a -st 7) (a - 7) -st 49. (5a — 65) (5a -st 65). (3x° 4- 5/°) (3x° — 5/°) — (2x° (3a - 45 -st 5) . 8. "" " 5x°.(6a°- ". (8x-st 6/ 4-5) (3a^-st4). 26 79. (x^ —- X» -s- X- X -s- 1) (x -j- 1). 80. (x* x' -j- x" X -j- 1) (x — 1). 81. 4> a»b -p. ^-p- ^3 __ k). 82. (a^ — a^b 4- a»b- — a-b» 4- ab^ — b») (a 4- 6). 83. (16x» 4> 8x^2 -l- ^4) (4^2 ^2), 84. (a- 4- 2 ab 4- 6°) (a 4- b) 4- (a- - 2 ad 4- b-) (a — 6). 85. (5x- 4- 4x — Z) (4x4-8) — (4x- — 3x — 6) (5x -4 4). 86. (x 4- 1) (X 4- 2) (x 4- 3». 87. (x 4- 3) (x - 2) (x - 1). 88. (x 4- a) (x -4 3) (x 4- o). 89. (x — a) (x — b) (x — 6). 90. (3a — 2b 4- o)-. 91- (ax- 4- 8^- — 62-)-. 92. (2x — 3) (3x — 4) (4x - 5) (5x — 6). 93. (4a'' 4- 3b- - 2 o-) (4a- — 3b- 4- 2 6-). 94. (10x^ -4 4x»§- — 5x-^») (9x-^ - 5x^- 4- 7).-). 95- (x^ 4- x^ -4 x^» 4- 7») — x^ 4- 96. (3a» - 4a-b 4- 6ab- — 2b») (4a- — 3ab 4- b-). 97. (x» 4- 2x-/ 4- 2x^- 4- ^») (x» — 2x-zl 4- 2x7- — )"»). 98. (a« 4- 2a» — 3a- — 3a 4- 1) (a» - 3a- 4- 3a — 1). 99. (a- — 2ab 4- 3b-) (3a- 4- ab — 2b°) (2a» — 3b»). 100. (4x- — 4x^ — ^-) (x- — 2x^ 4- 2^-) (2x- 4- 2x^ 4- 3)--). 101. Multipliciere a) 358, b) 509, o) 2977, ä) 8070 mit 10, 100, 1000, 10000. 102. * Wie viel ist 3mal 21 ? 2mal 36? 4mal 41? 7mal 69? 103. * Wie viel ist 2mal 180? 4mal213? 3mal236? 6mal149? 104. Multipliciere a) 875, b) 2168, o) 15786, ä) 357986 mit 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. 105. 51709 . 3 . 5 . 6 . 6 . 8 . 8 . 9. 106 . 286712 . 7 . 4 . 8 . 3 . 7 . 2 . 9 . 5 . 6. 107. * Wie viel ist 15mal40? 12mal 27? 21mal 43? 13mal34? 108. 739 . 57. 109. 1098.68. 110. 7664.94. 111. 3467 . 238. 112. 52029.475. 113- 12378.968. 114. 57964.9876. 115. 74509.3049. 116. 91234.7800. 117. 893600.3718. 118. 65800.978000. 119. 665070.83850. 120. Multipliciere 928386 a) mit 386, b) mit 7405, e) mit 91034. 121. Berechne — ab, L — ac, 0 — aä, v — bo, L — bci, - vä für a - 325694, b - 547816, o - 769039, ä - 981256. 122. 56789 . 12345 . 45678 . 67890. 123 . 86325 . 11 124. 709458.11. 86325 125. 288797 . 11. 949575 126. 3705866 . 110. 27 127. 64538 . 41 128. 357946 . 128 258152 715892 2646058 2863568 45817088 129. 905643 . 31. 130. 447653 . 17. 131. 582076 . 271. 132. 290884 . 185. 133* Berechne unter Anwendung des Satzes in K. 33, 2: a) 37.24, 5) 17 . 18, o) 23 . 32, 4) 19 . 134. 83452 . 45 417260 _ X 9 3755340 138. 753467 „g . 98 1506934 100 — 2 73839766 142. 69374.399 27749600 400 - 1 27680226 42, 6) 29 . 35. 135. 149335 . 72. 136- 265824 . 64. 137. 703796 . 320. 139. 357908 . 997. 140. 662452 . 9996. 141. 313678 . 9930. 143 . 480267 . 599. 144. 917304 . 2999. 145. 534426 . 99990. 146.* Wie viel kosten a) 8 Liter a 72 kr., io) 18 LZ. ü 46 kr.? 147* Wie viel kosten a) 9 Meter ü 1 fl. 82 kr., io) 12 Hektol. L 20 fl. 38 kr. ? 148. Österreich-Ungarn erzeugt im Durchschnitte jährlich 37180 Ux. feines Silber; wie viele Einguldeustücke, zu 90 auf 1 können daraus geprägt werden? 149. Die Luft übt auf eine Fläche, die IkD^ groß ist, einen Druck von 103 320 Gramm aus; wie viel beträgt der Druck aus eine Fläche von E>°? 150. Jemand legt in jeder Minute durchschnittlich einen Weg von 83 Meter Länge zurück; wenn er nun im Ganzen 15 Kilometer 310 Meter zurücklegen soll, welche Strecke hat er noch zurückzulegen, wenn er bereits 2 Stunden gegangen ist? 151. Ein um 1 Grad östlicher liegender Ort hat 4 Zeitminuten früher Mittag; wie viel Uhr ist es in Paris, das 34 Grad westlich von Wien liegt, wenn es in Wien 10 Uhr 28 Min. Vormittags ist? 152. Die österreichisch-ungarische Monarchie hat 6225 wie groß ist die Bevölkerung, wenn man auf 1iJ^ im Durchschnitte 5795 Einwohner rechnet? 28 V. Division. Z. 45. Die umgekehrte Aufgabe der Multiplication ist die D i v i s io n. Eine Zahl a durch eine Zahl 5 dividieren heißt, aus a als dem Producte zweier Zahlen und b> als dem einen der Factoren den andern Factor suchen. Man nennt das gegebene Product s, den Dividend, den gegebenen Factor d den Divisor, den gesuchten Factor den Quo¬ tienten, und bezeichnet den letzteren mit a : d oder Jede Multiplication zweier Zahlen, z. B. 5 . 3 — 15, bietet in ihrer Umkehrung zwei dem Begriffe nach verschiedene Aufgaben der s Division, je nachdem außer dem jedesmal gegebenen Producte 15, dem s Dividend, entweder der Multiplicand 5 oder der Multiplicator 3 als Divisor gegeben ist. Ist als Divisor der Multiplicand 5 gegeben, so ist diejenige Zahl Z zu suchen, welche anzeigt, wie vielmal 5 als Summand gesetzt werden müsse, um den Dividend 15 als Summe zu erhalten. Diese Zahl 3 I erhält man, indem man untersucht, wie vielmal sich der Divisor 5 von 1 dem Dividend 15 subtrahieren lässt, oder wie viclmal der Divisor 5 in 1 dem Dividend 15 enthalten ist. Die Division ist hier ein Messen. Ist dagegen der Multiplicator 3 als Divisor gegeben, so hat man !- diejenige Zahl zu suchen, welche 3mal als Summand gesetzt den Dividend j 15 zur Summe gibt; diese Zahl 5 findet man, indem man den Dividend s in 3 gleiche Theile th eilt. Die Division ist hier ein Th eilen. Noch deutlicher tritt der Unterschied zwischen den beiden Divisions- 4 arten an benannten Zahlen hervor. Z. B. Multiplicationsaufgabe: 1 Meter kostet 5 fl., wie viel kosten 3 Meter? 1 Antwort: 5 fl. X 3 — 15 fl. Die beiden daraus zu bildenden Divisionsausgabcn sind: a) 1 Meter kostet 5 fl.; wie viel Meter erhält man für 15 fl. ? 1 Hier sind das Product und der Multiplicand gegeben und der Multipli¬ cator zu suchen. Es wird gefolgert: Für 5 fl. erhält man 1 Meter, für 15 fl. wird man so vielmal 1 Meter erhalten, wie vielmal 5 fl. in 15 fl. enthalten sind, also 3mal 1 Meter d. i. 3 Meter. Hier werden 15 fl. durch 5 fl. gemessen, und man hat 15 fl. : 5 fl. — 3. Wird die Division benannter Zahlen zur Lösung einer Aufgabe des Messens angcwendet, so müssen Dividend und Divisor als Product und Multi¬ plicand gleichnamig sein; der Quotient aber als Multiplicator ist immer unbenannt; erst durch anderweitige Schlüsse kann er einen Namen erhalten, wie im angeführten Beispiele „Meter". 3) 3 Meter kosten 15 fl.; wie viel kostet 1 Meter? Hier sind das Product und der Multiplicator gegeben und der Multiplicand zu suchen. Es wird geschlossen: 1 Meter ist der 3te Theil von 3 Meter, 1 Meter kostet daher den 3ten Theil von 15 fl. Es werden also 15 fl. in 3 29 gleiche Theile getheilt, und so viele fl. ein solcher Theil enthält, so viele fl. kostet 1 Meter; man erhält 15 fl. : 3 - 5 fl. Wird die Division benannter Zahlen als Th ei len angewendet, so muss der Divisor als Multiplicator immer unbenannt sein; der Quotient als Multiplicand ist gleichnamig mit dem Dividend als Product. Wie die Multiplication eine wiederholte Addition derselben Zahl ist, so ist auch die Division nichts anderes als eine wiederholte Subtraction von einer gegebenen Summe. Bei dem Messen wird gefragt, wie viclmal sich der Divisor vom Dividend subtrahieren lasse; z. B. 5 ist in 15 3mal enthalten, heißt: 5 lässt sich von 15 3mal subtrahieren. Gei dem Th eil en wird gefragt, welche Zahl sich vom Dividend so vielmal subtrahieren lasse, wie der Divisor anzeigt; z. B. der 5tc Theil von 15 ist 3, heißt: die Zahl, welche sich von 15 5mal subtrahieren lässt, ist 3. Das Theilcn lässt sich immer auf das Messen zurückführen. Ist z. B. 15 durch 5 zu theilcn, so hat man den 5ten Theil von 15 zu suchen; diesen findet man, indem man von je 5, welche in 15 Vorkommen, immer nur 1 nimmt; man erhält dadurch so vielmal 1, wie vielmal 5 in 15 vorkommt, d. i. der 5te Theil von 15 ist so viel, wie vielmal 5 in 15 enthalten ist. So sehr daher die beiden Divisions- arteu des Messens und des Theilens dem Begriffe nach verschieden sind, so geben doch beide für denselben Dividend und denselben Divisor, wenn man von den Benennungen absieht, dieselbe Zahl als Quotienten, und fallen demnach in der Ausführung in eine einzige Rechnungsart zusammen. Um daher die Division auszuführen, sucht man in der Zahlen¬ reihe diejenige Zahl auf, welche so oft gesetzt, wie der Divisor anzeigt, den Dividend gibt. Die Division zweier Zahlen kann an der natürlichen Zahlenreihe nur dann ausgcführt werden, wenn der Dividend ein Viel¬ faches des Divisors (Z. 27, 1) ist. Z. 46. Aus der Erklärung der Division folgt: 1. Der Quotient muss so beschaffen sein, dass er mit dem Divisor multipliciert den Dividend gibt. (a : b) . b — a. 2. Dividiert man das Product zweier Zahlen durch den einen Factor, so erhält man den andern Factor. ab : a — b; ab : b — a. 3. Eine Zahl bleibt unverändert, wenn man sie mit einer Zahl multipliciert und durch dieselbe Zahl dividiert. a — (ab) : b; a — (a : b) . b. 4. Jede Zahl durch sich selbst dividiert gibt 1 zum Quotienten. a : a — 1; denn 1 . a — a. 5. Jede Zahl durch 1 dividiert gibt sich selbst zum Quotienten. a : 1 — a; 1:1-1. 30 6. Null durch eine von Null verschiedene Zahl divi¬ diert gibt Null zum Quotienten. 0 : a — 0; denn 0 . a — 0. 7. Null durch Null dividiert kann jede beliebige Zahl zum Quotienten geben. 0 : 0 — a, wo a eine beliebige Zahl bedeutet; denn g, . 0 — 0. Der Ausdruck ist daher ein Symbol der Unbestimmtheit. Sätze üöer die Huotienlen. 8- 47. Ein Product wird durch eine Zahl dividiert, indem man einen der Factoren dadurch dividiert. 1) (u . k) : o - (u : o) . 3, (12 . 9) : 3 - (12 : 3) . 9; 2) (a . d) : o - u . (b : o), (12 . 9) : 3 - 12 . (9 : 3). Beweis. 1) Soll (12 : 3) . 9 der richtige Quotient der Zahlen 12 . 9 und 3 sein, so muss das Product aus (12 : 3) . 9 und dem Divisor 3 gleich sein dem Dividend 12 . 9 (§. 46, 1). Nun ist s(12 : 3) . 9s . 3 - s(12 : 3) . 3s . 9 (Z. 33) - 12.9 (§. 46, 1), also (12 : 3) . 9 eine richtige Lösung der Aufgabe. 2) Ebenso ist sl2 . (9 : 3)s . 3 - 12 . s(9 : 3) . 3s (§. 33) - 12 . 9 (§. 46, 1), also ist auch die zweite Form 12 . (9 : 3) des Quotienten richtig. Folgesatz. Soll eine Zahl mit einer zweiten multi- pliciert und durch eine dritte dividiert werden, so ist es gleichgiltig, in welcher Reihenfolge man multipliciert und dividiert. Z. B. (8 . 100) : 4 - (8 : 4) . 100. §. 48. Eine Zahl wird durch ein Product dividiert, indem man sie durch den einen Factor und den erhaltenen Quotienten durch den andern Factor dividiert. 1) a : (b . o) - (u : k) : o, 24 : (2 . 3) - (24 : 2) : 3: 2) u : (d . o) - (s : e) : 6, 24 : (2 . 3) - (24 : 3) : 2. Beweis. Sowohl (24 : 2) : 3 als auch (24 : 3) : 2 entspricht der in §. 46, 1 gestellten Bedingung. Denn es ist s(24 : 2) : 3s . (2.3) - ss(24 : 2) : 3s . 3s . 2 (§. 29 . 2) - (24 : 2) . 2 (§. 40, 1) — 24, und auch s(24 : 3) : 2s . (2 . 3) - ss(24 : 3) : 2s . 2s . 3 (§. 29, 2) (24 : 3) . 3 (§. 40, 1) - 24. Folgesatz. Soll eine Zahl durch zwei Zahlen dividiert werden, so darf man entweder durch dieselben einzeln in 31 beliebiger Reihenfolge, oder auch sogleich durch ihr Product dividieren. Z. B. (70 : 2) : 5 — (70 : 5) : 2 — 70 : (2 . 5) 35 : 5 — 14 : 2 — 70 : 10 - 7. 49. Jedes Product ist eine Summe mehrerer gleicher Summanden: der eine Factor stellt die Größe eines solchen Summanden, der andere Factor die Anzahl der gleichen Summanden vor. Wenn man nun jeden Summanden 2, 3, 4 mal so groß, dagegen aber von diesen größeren Summanden 2, 3, 4mal weniger nimmt, so bleibt die Summe dieselbe. Daraus folgt: Ein Product bleibt unverändert, wenn man den einen Factor mit einer Zahl multipliciert und den andern durch dieselbe Zahl dividiert. Allgemein a . 6 — am . (i>: m), a . 6 — (a : m) . 1>m. Von diesem Satze macht man beim Zifferrechnen Vortheilhaften Ge¬ brauch. Z. B. 64.25 - (64 : 4) . (25.4) - (64 : 4) . 100 - (64 . 100) : 4, 64 . 125 - (64 : 8) . (125 . 8) - (64 : 8) . 1000 (64 . 1000) : 8. H. 50. Der Quotient zeigt an, wie vielmal der Divisor als Sum¬ mand in dem Dividend als der Summe gleicher Summanden enthalten ist. Nimmt man nun die Summe 2, 3, 4mal so groß und zugleich jeden der gleichen Summanden 2, 3, 4 mal so groß an, so ist ein solcher größerer Summand in der so vergrößerten Summe eben so vielmal ent¬ halten, als der ungeänderte Summand in der ungeänderten Summe. Nimmt man ferner sowohl von der Summe als von jedem der gleichen Summanden nur die Hälfte, den dritten, vierten Theil, so ist ebenfalls ein solcher kleinerer Summand in der verkleinerten Summe gerade so vielmal enthalten, als der ursprüngliche Summand in der ursprünglichen Summe. Daraus folgt: Ein Quotient bleibt unverändert, wenn man den Dividend und den Divisor mit derselben Zahl multipli- pliciert oder beide durch dieselbe Hahl dividiert. Allgemein a : — am : ibm, a : 4> — (a : m) : (6 : m). Auch dieser Satz lässt sich vortheilhaft anwenden. Z. B. 325 : 25 - (325.4) : (25.4) - (325.4) : 100, 7125 : 125 - (7125 . 8) : (125.8) - (7125 . 8) : 1000. Z. 51. Potenzen derselben Basis werden dividiert, indem man von dem Exponenten des Dividends den Exponenten des Divisors subtrahiert und die gemeinschaftliche Basis mit der Differenz der Expo¬ menten potenziert. 32 3,8: g? — s?. Denn 3^ . 3^ — 3^. Allgemein 3^:3^ — 3^°, wenn m > n ist. Zusatz. Ist m — 2, so erhält man nach diesem Satze 3-°: 3-° — 3^-^ — 3°; da aber eine Potenz mit dem Exponenten 0 nach der in Z. 37 gegebenen Erklärung einer Potenz keinen Sinn hat, so muss für diese neue Potenzform erst die Bedeutung festgestellt werden. Aus Z. 46, 4 ergibt sich 3^:3^- 1; folglich ist 3° gleichbedeutend mit 1. Die nullte Potenz einer Zahl ist also gleich 1. §. 52. 1. Eine Summe wird durch eine Zahl dividiert, indem man jeden Summanden dadurch dividiert und die so erhaltenen Theilquotienten addiert. Beweis, — . o (§. 34, 2) o e - 3 — i> (Z. 46, 1). Z. B. (90 -s- 6) : 3 — (90 : 3) -j- (6 : 3). 2. Eine Differenz wird durch eineZahl dividiert, indem man den Minuend und den Subtrahend dadurch dividiert und von dem ersten Quotienten den zweiten subtrahiert. 3—i> — 3 5 L L o ' Beweis. — o)' o — 2 ' 6 (§' 2) - 3 - i> (Z. 46, 1). Z. B. (100 — 8) : 4 - (100 : 4) — (8 : 4). Division mehrgliedriger Ausdrücke. Z. 53. Ein mehrgliedriger Ausdruck wird durch eine Zahl dividiert, indem man jedes Glied desselben durch diese Zahl dividiert und den einzelnen Quotienten die Rechnungszeichen der Glieder des Dividends gibt. 3—6 — o-j-ck — S—3 6 _ 0^,4 s 1 1 k' Die Richtigkeit dieses Satzes ergibt sich aus der wiederholten An¬ wendung des Z. 52, 1 und 2. Z. 54. Sind Dividend und Divisor mehrgliedrige Ausdrücke, so lässt sich das Divisionsverfahren am einfachsten aus der Art und Weise ableiten, 33 wie der Dividend durch die Multiplikation aus dem Divisor und Quo¬ tienten entstehet, wie dabei die Theile des Divisors und Quotienten in ihrem Produkte, dem Dividende, zu einander gestellt erscheinen. Ist der Divisor a -st 3 -st o, der Quotient m -st n -st p, so erhält man durch die Multiplikation, wenn die Theilproducte unter einander geschrieben werden, . Divisor a -st 3 -st o Quotient m -st u -st p i ain -st bin -I- orn Dividendi-stan st-3n -st en l-stap -st 3p -st- op. Der erste Theil ain des Dividends ist das Product aus dem ersten Theile a des Divisors und dem ersten Theile in des Quotienten; man erhält daher den ersten Theil des Quotienten, wenn man den ersten Theil des Dividends durch den ersten Theil des Divisors dividiert. — Bildet man nun die Bestandtheile, welche in im Produkte hervorgebracht hat, indem man den ganzen Divisor mit in multipliciert, und subtrahiert dieses Product vom Dividende, so ist der erste Theil an des Restes das Pro¬ duct aus dem ersten Theile a des Divisors und dem zweiten Theile n des Quotienten. Wird daher dieser erste Theil des Restes durch den ersten Theil des Divisors dividiert, so erhält man den zweiten Theil des Quo¬ tienten. — Wenn man das Theilproduct, welches n im Dividende her¬ vorbrachte, nämlich das Product aus dem ganzen Divisor und aus n, von dem früheren Reste subtrahiert, so ist der erste Theil des Restes ap, welches das Product aus dem ersten Theile a des Divisors und dem dritten Theile p des Quotienten vorstellt. Man findet daher den dritten Theil des Quotienten, wenn man den ersten Theil des letzten Restes durch den ersten Theil des Divisors dividiert u. s. w. Hieraus ergibt sich folgendes Verfahren für das Dividieren zweier mehrgliedriger Ausdrücke: Man dividiere, nachdem die Glieder des Dividends und des Divisors gleichartig geordnet wurden, das erste Glied des Dividends durch das erste Glied des Divisors; dadurch erhält man das erste Glied des Quotienten; mit diesem Theilquotienten multipliciere man den ganzen Divisor und subtrahiere das Product vom ganzen Dividend. Mit dem Reste verfahre man dann eben so, wie mit dem ursprünglichen Dividend, um das zweite Glied des Quotienten zu erhalten, u. s. s. Z. B. (3a° - 4a3 - 43-) : (3a -st 23) - a - 23 3a^ st- 2a3 — 6 ab — 43- — 6a3 — 43- > -st 0 Močnik, Arithmetik für Lehrerbildungsanstalten. 3 34 Insbesondere ist: 1) (a- — b«) : (a -s- b) - a — b, 2) (a- — b^) : (a — b) - a -s- b; s n? -s- ab a" — ab — ab — b" 4- aH b^ — ab — b" 4- ab — b" -4-4- -4- 0 0 d. h. die Differenz der Quadrate zweier Zahlen dividiert durch die Summe oder die Differenz dieser Zahlen gibt : bezüglich die Differenz oder die Summe derselben Zahlen. 4 Z. 55. Mit Rücksicht auf die vorhergehenden Sätze lassen sich zur ? Bestimmung des Quotienten zweier Glieder beliebiger Ausdrücke folgende ß Reg eln zusammenstellen: 1. Bezüglich des Zeichens ist der Quotient zweier Glieder additiv 4 oder subtractiv zu setzen, je nachdem die beiden Glieder gleiche oder ver- schicdene Rechnungszeichen haben. (Folgt aus Z. 39 und ß. 46, 2.) 2. Der Coefficient des Quotienten zweier Glieder ist der Quo ' tient der Coefficienten dieser Glieder. 3. Die Hauptgröße des Quotienten zweier Glieder erhält man, v wenn man von den Factoren, welche in den Hauptgrößcn dieser Glieder vorkommen, diejenigen, welche beiden gemeinschaftlich sind, in gleicher An- I zahl weglässt, folglich bei Potenzen derselben Basis den Exponenten des z Divisors von jenem des Dividends subtrahiert und die gemeinschaftliche ? Basis mit dieser Differenz potenziert. Arviston dekadischer Zahlen. ß. 56. Aus den Sätzen in M. 53 und 54 ergibt sich, wenn die mehrgliedrigen Ausdrücke dekadische Zahlen, d. i. nach den fallenden Potenzen von 10 geordnete Polynome sind, für das Dividieren zweier 1 dekadischer Zahlen folgendes Verfahren. Man nimmt so viele höchste Ziffern des Dividends, als der Divisor- Hat, oder wenn diese kleiner wären als der Divisor, um eine mehr als - ersten Thcildividcnd an, multiplicicrt mit der dadurch gefundenen höchsten Ziffer des Quotienten den Divisor und subtrahiert das Product von dem - ersten Thcildividcnd. Zu dem Reste setzt man die nächstfolgende Ziffer - des Dividends, bestimmt aus diesem neuen Thcildividcnd die zweite Ziffer des Quotienten und setzt dieses Verfahren fort, bis alle Ziffern des s Dividends in Rechnung gezogen wurden. Dabei ist zu berücksichtigen, dass ' der Rest, der aus der Subtraction der Theilproducte entsteht, immer kleiner sein muss als der Divisor, weil man sonst im Quotienten eine zweite Ziffer H von derselben Nangstelle erhalten würde. 35 - 247, kürzer 132886: 538 - 247 2528 3766 O 3. 5x7 : 6. 86x7 : 67. 9. 8°^° : 8^. 12. 7s?x-> : ux-. 15. 28«iri»x- : 8»wx-. 1. 15a : 5. 4. 12 ab : 2 a. 7. 8« : 8-. 10. 8x» : 2x°. 13- 16-414 : 4ab- 16. (6 ab . 2x) : 3 8.x. 18. (12a-x» : 2a) : 6x°. 20. (ax -j- ^7) : a. 22- (a-x 4^ nx-) : 8x. 24. (8x»7» - I2X-7-2-) : 4x-7- 25- (12a»x- 4- 9ax») : Z8X-. 26. (36 8x — 12 bx -j- 24 ox) : 6x. 27. (21 rr4 -4 15 m» — 18 «12^ : 3 m-. 28. (58» - 25-4 — 10a° 4- 15a«) : 58°. 29. tlOx^-2« — 25x»7°22 - 15x27-2» 4- 5x7-2^ : 5x7-2. 30. (16-4b-(4 4-8-4b»<4 — 12-4146« - 208«b«6-) : 48-b-6-. 31.. (x-4-2x7 4-7-) : (x 4- l)- 32. (x- — 2x7 4- 7-) : (x - 7). 33. (9a- - 46-) : (38 4s- 2b). 34. (16x- - 7-) : (4x - 7)/ 35. (x« - 1) : (x 4- 1). 36. (x« - 1) s (x - 1). 37. (8» 4- b«) : (8 4- b). 38. (8° — b«) : (8- - b-). 39. (288- - 678b 4- 40) : (78 - 8 b). 40. (20^ - 18-4b 4- 48»b-) : (48- - 28b). 41. (8» 4- -4 - 2s. - 8) : (8 — 2). 42- (15x» 4- 4x-7 — 29x7- 4- 107») : (3x 4- 57). 43. (15 4- 8x - 32x- 4- 32x» - 15-4) : (3 4- 4x - 5x-). 44. (a« - 28-b- 4- 5«) : (8- 4- 28b 4- b-). 45. (a« — 4-4b -4 68-b- — 48b» 4- 14) : (8- — 28b 4° 5-). 46. (15x«4-8x»v — 4IX-7- 4- 10x7» st- 8)4) : (5x- 4- 6x7 — 87-). 47. (4x° 4- 15a-x« -4 10844 — 98») : (2x» 4- 8X- 4- 48-x 4- 38»). 48. (278» - 334b —454b- 4- 71-4b» - 368b» 4- 16b«) : (98»- 28-b - 58b° 4- 4b»). 49. Dividiere 2735000 durch 10, 100, 1000. 50. * Wie ost ist enthalten: 3 in 240 ? 4 in 84? 6 in 186? 51. * Wie oft ist enthalten: 3 in 54? 6 in 72? 7 in 301? 3* z. B. 132886 : 538 1076 2528 2152 3766 3766 0 Bei der zweiten Form wurden die Theilproducte sogleich während der Multi- plication subtrahiert und nur die Reste angeschrieben. Aufgaben. 2. 6u: 8. 5. 800x7 : 2x. 8. 8« : 8. 11. 67-2 : 37. 14. 9-4x»7 : 8x7. 17. (4-4x . 5ax-) : 2 8-x-. 19. (18-414(4 : 3-tb-ü) : 28«-. 21- (ux — bx) : X. 23- (68-7 — 387-) : 387- 36 84.* Wie viel kostet 1 Meter, wenn man für 15 fl. 12 kr. a) 6 Meter, 6) 7 Meter erhält? 85* Wie hoch kommt 1 Liter, wenn man für 7 fl. 56 kr. a) 9 Liter, 6) 12 Liter erhält? 86. Der Umfang des Erdäquators beträgt 5400 geogr. Meilen; welche Länge hat 1 Grad des Äquators? 87. In einer Baumpflanzung befinden sich in regelmäßigen Reihen 31928 Pflanzen und zwar in jeder Reihe 104 Pflanzen; wie viel Reihen sind da? 88- Oberösterreich hat auf einem Flächenraum von 1200^ eine Bevölkerung von 734560 Einwohnern; wie viele Einwohner entfallen durchschnittlich auf ein Lü^? 89. Böhmen hat 5144880 Einwohner, von denen 9894 auf 1 kommen; wie groß ist der Flächeninhalt dieses Landes? 90. Ein Kaufmann zahlt für 3200 Zucker 1784 fl. und will an je 100 LZ-. 4 fl. 25 kr. gewinnen; wie theuer muss er das verkaufen? 91. Jemand mischt 12 Hektoliter Wein n 36 fl. mit 4 Hektol. n 28 fl.; wie viel kostet 1 Hektoliter der Mischung? 92. Ein Goldarbeitcr schmelzt 7 Lx. 720tansendtheiliges und 2 540tausendtheiliges Silber zusammen; wie viel Tausendtheile fein Silber sind in 1 der Mischung? 37 93. EinVater hinterlässt ein Vermögen von 16800 fl. Dieses soll unter seine Frau, 3 Söhne und 3 Töchter so vcrthcilt werden, dass die Mutter 4 Theile, jeder Sohn 3 eben so große Theile und jede Tochter 2 solche Theile erhalte. Wie viel bekommt die Mutter und wie viel jedes Kind? VI. Wiederhol'ungsaufgaven. 1* a) 57 -fl 12,1>) 39 -fl 63, o) 25 -fl 47, ä) 86 -fl 35, s) 94 4- 96. 2. * a) 371 -fl 128, 6) 607 -fl 134, o) 593 -fl 238, 6) 399-fl 158. 3. 132475 . 37160 -fl 7908 . 4296. 4. 83716 . 5809 — 63077 . 7089. 5. Addiere a) 6x -fl 5^ 6) 8a -fl 76 — 6« -fl 56 x -fl 7v 9a — 66 -fl 7o — 44 8x — z? 7a — 56 — 8o -fl 6 4 6. (4a4 ch- 5a-6- -fl 66^) (7 a- - 8 6-). 7. (2 a- -j- 36-) (5 a- - 4b-) — (10 a^ - 126^). 8? Wie viel kosten a) 24 Liter a 26 kr., 6) 17 Metern2 fl.34 kr.? 9.* 9 LK. kosten 3 fl. 78 kr., wie viel kostet 1 L^.? 10. (5a -I- 26- 3«)-(2a —36-fl 5«) - (a-26 —4«). 11. 7a — (3o — 66) - (6a - 3«) - 36 -fl (3a — 8o). 12. (9a° - 16 6-) : (3a -fl 46). ^3. (8x4 _ 26x8 4Zx- — 78x — 21) : (2x- — 9x —3). 14. * a) 85 — 24, 6) 74 - 53, c-) 56 — 29, 4) 81 - 47, s) 98 - 29. 15. * a) 466 — 149, 6) 393 — 208, o) 706 — 658, 4) 832 — 399. 16. Wie groß ist die Summe dreier Zahlen, von denen die erste 789021, die zweite um 179248 kleiner als die erste, und die dritte um 98764 kleiner als die zweite ist? 17. Pestalozzi wurde am 12. Jänner 1746 zu Zürich geboren und starb zu Brugg im Aargau am 17. Februar 1827. Wie alt 'ist er geworden? 18. (9 - 3) - (8 - 7) -fl (24 - 20) — (18 - 9). 19. (a — 6) — (6 — a) -fl (v — a -fl 6). 20. 7x^ -- j7^2 — (3x2 — 2x^) -fl 3xz4 — (6v2 — 8x2). 21. (3a -fl 86)- 4- (4a -fl 66)- - (5a — 106)-. 22. (X^ -fl x^ 4- ^8-, . (^4 — z? 2 4), 23. a) 86727 . 25, 6) 13076.125, «) 399448 . 11. 24. a) 54352.41, 6) 56703.108, «) 870294.49. 25. a) 68304.63, 6) 99755.48, o) 513942.270. 26. a) 17768.399, 6) 64159 . 994, o) 806635.999. 27. a) 34625 : 25, 6) 57625:125, o) 8872472 : 56. 28. (6x -fl 7^ -fl 52) -fl (42 -fl 4y) -fl (10x -j- r) 4- (9 v -fl 142). 29. (a-x — 6-v)- -fl (a-x -fl 6-^)-'- (a^x- -fl 6-^-). 30. (16x4 - 8x4 -fl i2x-- — 6x- -fl 2x — 1) : (2x- 4- 1). Zweiter Aöschnitt. Die vier Grundrechnungsarten mit algebraischen ganzen Zahlen. 1. Wegative Zahlen. Z. 57. Die Subtraction kann, so lange man auf das Gebiet der natürlichen Zahlen beschränkt ist, nur dann ausgeführt werden, wenn der Minuend größer oder eben so groß ist, als der Subtrahend. Ist z. B. von 6 die Zahl 4 zu subtrahieren, so schreitet man in der Zahlenreihe von 6 aus um 4 Einheiten zurück, wodurch man zur Zahl 2 gelangt; also ist 6 — 4 — 2. Ist ferner von 6 die gleiche Zahl 6 zu subtra¬ hieren, so schreitet man von 6 um 6 Einheiten zurück, und gelangt zur Null, welche der Ausgangspunkt der natürlichen Zahlen ist; man hat also 6 — 6-0. Ist dagegen von 6 eine größere Zahl, z. B. 8 zu subtrahieren, so müsste man, nachdem man von 6 zuerst um 6 Einheiten zurückgezählt hat und dadurch zur Null gelangt ist, von 0 aus noch um 2 Einheiten weiter zurückschreiten, was jedoch an der natürlichen Zahlenreihe, da dieselbe mit 0 abbricht, nicht möglich ist. Um daher die Subtraction anch dann ausführen zu können, wenn der Minuend kleiner ist als der Subtrahend, ist man genöthigt, auch Zahlen anzunehmen, welche durch das Rückwärtszählen von 0 aus erhalten werden. Es kommt dabei nur darauf an, dass die ursprünglich bloß nach vorwärts ohne Ende fortschreitende Zahlenreihe nach dem gleichen Bildungs¬ gesetze von 0 auch nach rückwärts erweitert, und dass der Gegensatz der von 0 nach vorwärts und rückwärts fortschreitenden Zahlen entsprechend ausgedrückt werde. Letzteres geschieht, indem man die ursprünglich vor¬ handenen Zahlen, welche von 0 aus immer um eine Einheit nach vorwärts schreiten, positiv, die Zahlen aber, zu denen man gelangt, wenn man von 0 nach demselben Bildungsgesetze rückwärts schreitet, negativ nennt, und die ersteren mit dem Vorzeichen -st (plus), die letzteren mit dem Vor¬ zeichen — (minus) bezeichnet. Die dadurch entstehende zweiseitige Zahlen¬ reihe ist daher ... — 4, — 3, — 2, — 1, 0, -st 1, -st 2, -st 3, -st 4, .. . 39 Während hier die positiven Zahlen die ursprünglichen Zahlen der natürlichen Zahlenreihe verstellen, treten die negativen als Zahlen einer neuen Form auf, die den Gegensatz zu den positiven ausdrücken, -s- 4 bedeutet 4 von 0 aus nach vorwärts gezählte Einheiten, — 4 bedeutet 4 von 0 aus nach rückwärts gezählte Einheiten. Hiernach ist die oben gesuchte Differenz 6 — 8 — — 2, also eine negative Zahl. Man kann die positiven und negativen Zahlen bildlich darstellen, indem man auf eine gerade Linie von einem Punkte 0 aus nach einer bestimmten Richtung gleiche Strecken aufträgt; die Endpunkte dieser Strecken versinnlichen die auf einander folgenden natürlichen (positiven) Zahlen. -4 —3 -2 -1 0 -sil -si2 -P.3 -s-4 i_! ! I-!-i-!-!— Um dann an dieser Zahlenlinie auch die negativen Zahlen zu veranschaulichen, darf man nur die ursprünglich bloß nach einer Richtung mach rechts) sich erstreckende gerade Linie über den Anfangspunkt 0 hinaus auch nach der entgegengesetzten Richtung (nach links) verlängern, und auch hier gleich große Strecken auftragen; die Endpunkte der links aufgctragenen Strecken versinnlichen die negativen Zahlen. Z. 58. Die mit Vorzeichen versehenen Zahlen werden relative oder algebraische Zahlen genannt, im Gegensätze zu den Zahlen ohne Vorzeichen, welche absolute Zahlen heißen. Jede algebraische Zahl besteht aus einem Vorzeichen und einem absoluten Werte. Das Vorzeichen zeigt an, ob sich die Zahl auf der positiven oder negativen Seite der Zahlenreihe befindet; der absolute Wert zeigt an, welche Stelle die algebraische Zahl in der Reihe der positiven oder negativen Zahlen einnimmt. Es ist nicht nöthig, stets beide Vorzeichen zu gebrauchen; man Pflegt das Vor¬ zeichen 4 als selbstverständlich dort wegzulassen, wo es ohne Störung des Sinnes und des Zusammenhanges einer Rechnung geschehen kann. Zwei algebraische Zahlen, welche gleichen absoluten Wert, aber ver¬ schiedene Vorzeichen haben, heißen einander entgegengesetzt; z. B. -s- 4 und — 4. Größen, wie Bewegung^nach Norden und nach Süden, das Steigen und Sinken, Vermögen und Schulden, Höhe über und unter dem Meeres¬ spiegel, Zeiten vor und nach Christi Geburt, und dgl., welche in dem einen und in dem entgegengesetzten Sinne gezählt werden können, so dass gleichviel von beiden Zählungen 0 gibt, heißen entgegengesetzte Größen. In der Mathematik bezeichnet man die eine von zwei ent¬ gegengesetzten Größen, gleichviel welche, aber conscquent, mit -si, die andere mit —. 40 Erhält man in irgend einer Rechnung für die gesuchte Größe einen negativen Wert — u, so bedeutet ein solches Resultat, dass die Größe gemessen wird durch n Einheiten, aber in einem Sinne, welcher dem ursprünglich in die Rechnung eingeführten entgegengesetzt ist. Z. B. Ein Ereignis fand 65 Jahre nach Christo statt, das Ercigniß L 128 Jahre später als und ein drittes Ereignis 0 246 Jahre früher als wie viel Jahre nach Christo fand das Ereignis O statt? Man erhält x — 65 ff- 128 — 246 — — 53; d. h. das Ereignis 6 fand 53 Jahre vor Christo statt. 2. Addition und SuStmction algebraischer Zahlen. 59. Nachdem wir durch die Einführung der negativen Zahlen unser Zahlengebiet erweitert haben, müssen auch die ursprünglichen Begriffe der Rechnungsoperationen angemessen erweitert werden, so dass sie auch auf negative Zahlen anwendbar werden. Aus den so erweiterten Erklärungen der Operationen ergibt sich dann von selbst auch das bei der Ausführung derselben anzuwendende Verfahren. Absolute Zahlen addieren heißt, in der natürlichen Zahlenreihe vom ersten Summand um so viele Einheiten vorwärts schreiten, als der zweite Summand angibt. Für algebraische Zahlen nimmt die Erklärung, da die absoluten Zahlen dabei als positive Zahlen auftreten, die negativen aber den Gegensatz zu den positiven ausdrücken, folgende allgemeinere Fassung an: Algebraische Zahlen addieren heißt, in der algebraischen Zahlenreihe vom ersten Summand um die Einheiten des zweiten vorwärts schreiten, wenn der zweite Summand positiv, dagegen rückwärts schreiten, wenn derselbe negativ ist, also allgemein in derselben Richtung fort¬ schreiten, welche das Vorzeichen des zweiten Summanden angibt; die Zahl der Zahlenreihe, zu der man dadurch gelangt, ist die gesuchte Summe. Aus dieser Erklärung folgt: Addition einer positiven Zahl ist Addition des abso¬ luten Wertes derselben; Addition einer negativen Zahl ist Subtraction des absoluten Wertes derselben. u ff- (ff- tz) — u ff- tz, uff- (— 1>) — u — 6 7 ff- (ff- 3) - 7 ff- 3, 7 ff- (- 3) - 7 — 3. 8- 60. 1. Zwei gleichbezeichnete Zahlen werden addiert, indem man ihre absoluten Werte addiert und dieser Summe das gemein¬ schaftliche Vorzeichen gibt. (ff- k) ff- (ff- k) — ff- (a ff- d), (— u) ff- (— k>) — — (uff- k). (> 5) ff- (ff- 3) ff- ff- (5 ff- 3), (- 5) ff- (- 3) -- - (5 ff- 3). 41 Beweis. Ist die Summe (-4- 5) -st- (-st 3) zu suchen, so schreitet man von -s- 5 aus in positiver Richtung um 3 Einheiten fort, wodurch man zur Zahl -st- 8 gelangt; also (-st 5) -st (st- 3) -st (5 -st 3) -st 8. Um die Summe (— 5) -st (— 3) zu erhalten, schreitet man von — 5 aus in negativer Richtung um 3 Einheiten fort, wodurch man zur Zahl — 8 gelangt; folglich (- 5) -st (- 3) -- - (5 -st 3) - 8. 2. Zwei ungleich bezeichnete Zahlen werden addiert, indem man den kleineren absoluten Wert von dem größeren subtrahiert und dieser Differenz das Vorzeichen des größeren absoluten Wertes gibt. (-st n) -st (— d) — -st (u — d), oder — — (d — a), (— a) -st (-st st) - — (u — st), oder — -st (b — u). Z. B. (-st 5) -st (- 3) (5 - 3) -st 2, (- 5) -st (-st 3) - (5 - 3) - 2. Beweis wie zu 1. 3. Zwei entgegengesetzte Zahlen geben zur Summe Null (heben sich gegenseitig auf). (-st u) -st (— s) — 0, (— u) -st (-st a) — 0. (-st 5) -st (— 5) — 0, (— 5) -st (-st 5) — 0. H. 61. Bei der Subtraction absoluter Zahlen schreitet man in der natürlichen Zahlenreihe vom Minuend aus um so viele Einheiten rückwärts, als der Subtrahend anzeigt. Algebraische Zahlen subtrahieren heißt demnach, in der algebraischen Zahlenreihe vom Minuend aus um die Einheiten des Subtrahends ebenfalls rückwärts schreiten, wenn dieser positiv, dagegen vorwärts schreiten, wenn derselbe negativ ist, also allgemein in der ent¬ gegengesetzten Richtung fortschreitcn, als sie das Vorzeichen des Subtrahends angibt; die Zahl der Zahlenreihe, zu welcher man auf diese Art gelangt, ist die gesuchte Differenz. Aus dieser Erklärung folgt: Subtraction einer positiven Zahl ist Subtraction des absoluten Wertes derselben; Subtraction einer nega¬ tiven Zahl ist Addition des absoluten Wertes derselben. u — (st st) — -c — st, a — (— st) — a -st st. 8 — (-st 5) - 8 - 5, 8 - (— 5) - 8 -st 5. Z. 62. Zwei algebraische Zahlen werden subtrahiert, indem man zum unveränderten Minuend den Subtrahend mit entgegen¬ gesetztem Vorzeichen addiert. (-st a) — (-st st) — (st- u) -st (— st), (-st 5) — (st 3) — (-st 5) -st (— 3): (-st a) — (— st) — (-st g) -st (-st st), (-st 5) — (— 3) — (-st 5) -st (st- 3); ( a) (-st st) — (— a) -st (— st), (— 5) — (-st 3) — (— 5) -st (— 3); (-a)_ (-ll)^(-a)-st(-sti>), (-5)-(-3) ^(-5)-st (-st 3). 42 Beweis. Um die Differenz (4- 5) — (-j- 3) zu finden, schreite man von -f- 5 aus um 3 Einheiten in negativer Richtung fort; man gelangt dadurch zu der Zahl -f- 2. Dies ist aber derselbe Rechnungs¬ gang, als ob man zu -s- 5 die Zahl — 3 addiert, folglich (-f- 5) — (-j- 3) — (-j- 5) -f- (— 3) — -f- 2. Es sei ferner (4- 5) — (— 3) zu bestimmen. Hier muss man von 4- 5 aus um 3 Einheiten in positiver Richtung fortschreiten, wodurch man zu der Zahl -j- 8 gelangt. Dies ist aber derselbe Rechnungsgang, als ob man zu -s- 5 die Zahl -s- 3 addiert; also (Z- 5) - (- 3) - (Z- 5) -fl (4- 3) 8. Ebenso findet man (- (- 5) - (-s- 3) (- 5) -s- (- 3) -- - 8, 5) - (- 3) -- (- 5) -j- (-s- 3) - 2. Z. 63. Eine Summe, deren Summanden algebraische Zahlen sind, heißt eine algebraische Summe; z. B. (4- a) -s- (- k) Z- (- o) -fl- (Z- 6) Z- (- l). Die Differenz je zweier algebraischer Zahlen kann als eine algebraische Summe dargestellt werden (Z. 62). Jede algebraische Summe kann in einen mehrglied¬ rigen Ausdruck verwandelt werden, indem man die Additions¬ zeichen und die Klammern weglässt und dann die Vorzeichen als Rechnungs¬ zeichen ansieht. (-j- a) -s- (— l>) -s- (—- o) -s- (-s- 6) — n — — o-s-ck. Ergibt sich unmittelbar aus dem Folgesatze zu H. 59. Man ist übereingckommen, bei algebraischen Summen die Additions¬ zeichen und die Klammern für die einzelnen Summanden wegzulassen. In dieser Form unterscheidet sich eine algebraische Summe von einem mehr¬ gliedrigen Ausdrucke nur dadurch, dass die Rechnungszeichen -s- und — des letzteren in der ersteren als Vorzeichen, d. i. die additiven und sub- tractiven Glieder des letzteren in der ersteren bezüglich als positive und negative Summanden zu betrachten sind. Auf den Wert beider hat diese verschiedene Bedeutung der Zeichen, wie aus dem Folgesatze zu Z. 59 erhellet, keinen Einfluss. Hiernach gelten die Sätze über die Addition und Subtraction mehrgliedriger Ausdrücke (Z. 28, 1 und 2) auch für alge¬ braische Summen; nur müssen die additiven und subtractiven Glieder hier als positive und negative Summanden angesehen werden. Aufgaben. 1. -s- 7 -s- (- 2). 2. - 15 -s- (- 5). 3. — 31 - (Z- 14). 4. -l- 95 — (— 67). 5. 4- 412 (— 318) -4- (4- 104). 6. 4- 752 — (4- 319) -s- (— 284). 7. 4- 378 - (- 129) 4- (- 245) — 88) - (— 236). 8. Berechne x — (x — 2) -fl (x — 4) — (x — 6) -s- (x — 8) für x - 3. 43 9. — 8 a -j- (4- 7 k)- 10. -j- 5x -j- (— 5x). 11. -j- 6m — - 4m> 12. — 15^ — (— 20^). IZ, — 4x -4 (— 7x) — (— 12x). 14. -1- 8a — (— 9a) — (4" 7a). 15, (6 — 33 — 9«) 4- (— 4 a -s- 53 — o). IZ, 8a — 63 4" 4o 17» 3 — 4x 4^ 5x" 5^ — 31) -z. 7o — 4 — 3x — 2x° 8 4^ 43 — 9 o 2 -u 9x — 3x° 18. lx 4- — 2) — (x — 4- 2) 4- (—x 4- 4- 2) — (—x— 4- L). 19. s(a — 6) — 3j — (3 — a). 20. 5 s, — st38 — (a — 3)s. 21. x -j- — x) — O — 2)?. 22. x — j(x 4- 2) — (/ 4- 2)^. 23. Jemand geht 65 Schritte vorwärts, hierauf 37 Schritte rück¬ wärts, dann wieder 48 Schritte vorwärts; 8) wie viel Schritte hat er im ganzen gemacht; 3) wie viel Schritte ist er von dem Orte entfernt, von dem er ausgieng? 24. Ein Dampfschiff wird durch die Einwirkung des Stromes allein jede Minute 65"> abwärts getrieben, durch die Kraft des Dampfes allein legt es jede Minute 312^ zurück; wie viel Meter legt es in der Minute a) stromabwärts, 3) stromaufwärts zurück? 3. Multiplication und Division algeömischer Zahlen. Z. 64. Bei der Multiplication absoluter Zahlen setzt man den Multiplicand so oft als Summand, wie der Multiplicator anzeigt. Algebraische Zahlen multiplicieren heißt demnach, wenn der Multiplicator positiv ist, den Multiplicand selbst mit unverändertem Vorzeichen, wenn aber der Multiplicator negativ ist, das Entgegengesetzte des Multiplicands, d. i. den Multiplicand mit entgegengesetztem Vorzeichen, so oft als Summand setzen, wie der Zahlwert des Multiplicators anzeigt. Z. 65. 1. Zwei gleich bezeichnete Factorcn geben ein positives, zwei ungleich bezeichnete Factoren geben ein negatives Product. l-3 a) . (4- 3) - 4- 83, (4- 4) . (-j- 3) - -s- 12; (— a) . (— 3) - -j- a3, (-j- 4) . 3) - — 12; t-j- s.) . (— 3) - - 83, (- 4) . (-Z 3) - — 12; (- a) . (-j- 3) - — 83, (- 4) . (- 3) -j- 12. Beweis. Nach der Erklärung der Multiplication algebraischer Zahlen ist (4- 4) . (-j- 3) — (Z- 4) -s- (4- 4) 4- (4- 4) — -j- 12, (4- 4) . (- 3) (- 4) 4- (- 4) -j- (- 4) - 12, (- 4) . (4- 3) - (- 4) 4- (— 4> -st (- 4) — 12, ( 4) . 3) — (Z- 4) -j- (-s- 4) 4- (4- 4) — 4- 12. 44 2. Für drei oder mehrere Factoren ergibt sich aus dem vor¬ hergehenden Satze: a) Sind alle Factoren positiv, so ist auch das Product positiv. b) Sind alle oder auch nur einige Factoren negativ, so ist das Product positiv oder negativ, je nachdem die negativen Factoren in gerader oder ungerader Anzahl vorkommen. Z. 66. Der in Z. 45 für absolute Zahlen gegebene Begriff der Division gilt unverändert auch für algebraische Zahlen. Der Quotient zweier algebraischer Zahlen ist positiv oder negativ, je nachdem dieselben gleiche oder verschiedene Vorzeichen haben. (ff- a) : (ff- 5) - ff- (i, <— a) : (— i>) - ff- (ff- a) : (— 5) - — q, (— a) : (-ff- i>)-cz, wo i den absoluten Wert des Quotienten vorstellt. Beweis. Ist der Dividend (das Product) positiv, so müssen, wie aus Z. 65, 1 folgt, der Divisor und der Quotient (die beiden Factoren) gleichbezeichnet sein; also ist (ff- n) : (ff- i>) — ff- i und (ff- a): (— 6) — — Ist der Dividend negativ, so müssen Divisor und Quotient ver¬ schiedene Vorzeichen haben, also ist (— a,) : (ff- i>) - — und (— a) : (— i>) - ff- Z. 67. Die Sätze über die Multiplication und Division mehrgliedriger Ausdrücke (ZZ. 39, 40, 53 — 55) gelten auch für algebraische Summen; nur müssen die additiven und subtractiven Glieder (mit Rücksicht auf Z. 63) hier als positive und negative Sum¬ manden betrachtet werden. Ausgaben. 1. -s- 9 . - 7. 2. - 19 . ff- 8. 3. — 128 . ff- 39. 4. - 217 . — 25. 5. -s- 14 . ff- 9 . — 8. 6. ff- 27 . — 6 . - 9. 7. — 2 . — 7 . - 11 . - 20. 8. ff- 9 . — 5 . — 12 . — 15. 9. j— 2345 — (ff- 730)1 . fff- 1357 ff- (- 1468)j. 10. 4. — 3-5. — 6-s-7. — 5 — 9.ff-8. 11. Berechne (x -- 1) (x — 4) (x — 7) (x — 10) für x — 3. 12. Berechne x^ — 6x — 16 für x — -i- 8 und für x - — 2. 13. Ein Körper, welcher sich in gerader Linie in jeder Secunde 12-" s.) nach vorwärts, 6) nach rückwärts bewegt, befindet sich gegenwärtig im Punkte auf welcher Seite und in welchem Abstande 45 von Wird er sich nach 25 Secunden befinden? Auf welcher Seite und in welchem Abstande von L. befand sich derselbe vor 25 Secunden? 14. 6a . — 3. 16. — a? . — 4a. 18. — 12x» . 8x^7°. 20. — 5x . — 5x . — 5x. 22. — 6a6°7» . , _ 8a^7. 24. (6a — 56) . — 8o. 15. — 7a6 . 2ao. 17. 3x . — 5x7- 19. — 8 s,)-» . 15 a»/. 21. 9a6° . 7ao . — 18 23- 12x^7»2 . — 8x7^2» . — 2x^2. 25. (7x" - 6).°) . — 2x7. 26. (2 -4 3a — 4a° - 5a») . — 6a°. 27. — 15 aV . (2 a» — 4a»x -fi 6a"x^). 28. (7ax° — 106)?) . 4a6x^ — (86x^ -s- 5a^^) . — 5a6)-". 29. (5a -s- 66) (— 2a -s- 36). 30. (1 — m°) (1 -s- m-). 31. (x^ -s- 2x7 fi- 7°) (— x^ -s- 2x.y — 7°). 32. (3 — 4x -s- 6x-) (2 — 6x — 18x°). 33. (1 — 2a -s- 3a° — 4a») (1 — 3a -s- 5a" — 7a»). 34. (a -fi 6 — o) (a — 6 -s- o) (— a -s- 6 -fi a). 35. -s- 63 : - 7. 36. - 48 : -j- 12. 37. -fi 264 : - 4. 38. - 3840 : - 30. 39. s276O - (-1- 732)s : f- 62 - (- 23)f. cQ X — 14 , X — 10 5 (x — 2) « g 40. B-r-chn- - » 4- >-- -° -- » 41. Das Thermometer zeigte an einem Tage Morgens — 8° H, Mittags -s- 2° R., Abends — 5° R.; wie groß war die mittlere Tages- tempcratur? 42. 12a» : — 3a. 43. - 14a»6° : 2a?6. 44- — 4a°m»x^ : — 2m°x». 45- 36x»y°2» : — 9x)?2». 46. (8a6 - 12ao) : — 4a. 47. - (16a» — 24a?) : — 8a°. 48. (18 am ^7» — 276m7^ -f- 8607) : — 87. 49- (— 16a»6^» -s- 8a»5»o» — 12a»6»a» -s- 20a«6V) : 4a°6V. ci - ri 51. ' (6x» — 23x- 4- 24 x — 10) : (— 2x 4- 5). 52. (— 30x» 4- 2x» -s- 125x° 4- 51x - 27) : (- 6x° - 8x 4- 3). 53. (6a» - 5a» 4- 4-? 4- Ha — 4) : (- 2a° 4- 3a - 4). 54. (2 — 7x 4- 16x° - 25x» 4- 24x» — 16x») : (2 — 3x 4- 4x). 4. Wiederhotungsaufgaöen. 1. * Berechne: a) 18 Liter a 36 kr., 6) 13 Meter L 1 fl. 74 kr., 0) 21 „ a 64 „ ä) 12 „ a 5 „ 28 „ 2. -1.2.—3.4.-5. 3-^2. — 3.-4. — 5. — 6. 46 3. Addiere die folgenden lothrechten und wagrechten Zahlenreihen: 41782 -1- 29714 -st 80508 -st 26396 st- 73614 71396 -st 29592 st- 75801 -1- 34567 -st 90123 95703 st- 88466 -st 54953 -st 63780 -st 77367 18278 -f- 91705 -st 27265 -st 53927 4- 84806 89420 4- 93364 4- 62879 4- 27048 4- 60973 4. sx — (m -st u)j 4- jx -- (in 4- p)s -st sx — (u -st p))- 5. <9a — 5K) (a -st 2K — 3) — (3a — 5t>) (3a — k — 3). 6. (4a-- — 16a- 4- 7a 4- 20) : (2a — 5). 7. * s) 728 -st 154, k) 398 4- 542, 0) 827 — 452, ä) 643 - 397. 8-* 15 Liter kosten 6 fl. 60 kr.; wie viel kostet 1 Liter? 9. Jemand wurde am 5. Jänner 1809 geboren und starb in einem Alter von 60 Jahren 6 Monaten und 12 Tagen; an welchem Tage war dies? 10. (4a»tst 4- 8a°k' — 12 aV) : — 2a°b--. 11. (8m — 5x) — (2m — 3u — 4x) -st s(3x — 2n) — (4m -st 3n)st 12. (1 — 2a 4- 3a- - 4a--) (1 — 3a st- 5a° — 7a»). 13. — 2906 . 2076 . — 249 . 157. 14. a) 123469037 : — 24679, k) — 462191832 : — 79251. 15. (24x-- — 26x°/ st- 18x)-° — 4?--) : (4x? — 3x^ -st 27-). Dritter Aö schnitt. Theilbarkeit der Zahlen. ß. 68. Eine Zahl heißt durch eine andere theilbar, wenn sie durch dieselbe dividiert eine ganze Zahl zum Quotienten gibt. Der Dividend heißt in diesem Falle ein Vielfaches des Divisors, und der Divisor ein Maß oder ein Th eil er des Dividends. So ist z. B. 18 durch 6, ad durch a theilbar; ad ist ein Vielfaches von a, und a ein Maß von ad. Durch lund durch sich selbst ist jedeZahltheilbar. Eine Zahl, welche nur durch 1 und durch sich selbst theilbar ist, wird eine Primzahl genannt; z. B. 3, 11, 29. Jede durch einen Buchstaben dar¬ gestellte Zahl ist, wenn nicht ausdrücklich das Gegcntheil angenommen wird, als eine Primzahl anzusehcn. Eine Zahl, welche nicht bloß durch 1 und durch sich selbst, sondern auch noch durch andere Zahlen theilbar ist, heißt eine zusammengesetzte Zahl, z. B. 8, 15, ado. Eine Zahl, durch welche zwei oder mehrere andere Zahlen theilbar sind, wird ein gemeinschaftliches Maß dieser letztem Zahlen genannt; z. B. 3 ist ein gemeinschaftliches Maß von 12 und 21; m ein gemein¬ schaftliches Maß von ainx, din^ und oni2. Zahlen, welche außer 1 kern anderes gemeinschaftliches Maß haben, heißen Primzahlen unter einander, oder relative Primzahlen; z. B. 2, 9, 12; eben so ab, bo, crck, aboci. Eine Zahl, welche durch zwei oder mehrere andere Zahlen theilbar ist, heißt ein gemeinschaftliches Vielfaches dieser Zahlen; z. B. 20 ist ein gemeinschaftliches Vielfaches von 2, 4, 5, 10; 8aboä von 2ai>o 4ci, 8aoci. Ist eine Zahl a durch eine andere d nicht theilbar, so heißt die Zahl r, welche erhalten wird, wenn man von dem Dividende a das größte Vielfache von l>, welches darin vorkommt, z. B. subtrahirt, der Rest der Division. Es ist also r — Ä — kxz, und daher a — bcz -s- I-. 1. Mgemeine Sätze. 8- 69. 1. Haben zwei oder mehrere Zahlen ein gemeinschaftliches Maß, so ist auch ihre Summe dadurch theilbar. 48 Beweis. Es seien n, i> und o durch in theilbar, so lässt sich zeigen, dass auch a -j- i> -s- o durch in theilbar sein müsse. L>etzt man a : in — p, d : IN — o : IN — r, wo p, r ganze Zahlen vorstcllen, so folgt n — inp, d — in<^, c — inr. Da gleiche Größen zu gleichen addiert auch gleiche Summen geben, so hat man n-s-d-j-o — inp-s- nn^-s-inr; und wenn man die beiden gleichen Ausdrücke durch in dividiert, (a -s- b -s- o) : m — k Z- <4 -s- r; die Summe a Z- b -j- o gibt also durch IN dividiert eine ganze Zahl p -s- Z- r zum Quotienten, oder was gleichviel ist, a -s- d -s- o ist wirklich durch in theilbar. 2. Haben zwei Zahlen ein gemeinschaftliches Maß, so ist auch ihre Differenz dadurch theilbar. Beweis. Es sei in ein gemeinschaftliches Maß von a und b, und zwar n : in — p, d : in — dann ist a — nip, k> — in^, und durch Subtraction a — 3 — in^ — in<^, somit (n — — woraus folgt, dass die Differenz n — b durch in theilbar ist. §. 70. 1. Ist eine Zahl durch eine andere theilbar, so ist auch jedes Vielfache derselben dadurch theilbar. Beweis. Es sei n durch ni theilbar, und zwar s, : m — p, also n — inp; dann ist nr — inpr, und ar : in — xr; das Vielfache ar von a ist also durch in theilbar. 2. Ist eine Zahl durch zwei relative Primzahlen theilbar, so ist sie auch durch das Product derselbcnthcil bar. Beweis. Es sei a durch die relativen Primzahlen in und n theilbar. Da diese keine gemeinschaftlichen Factoren haben und doch a sämmtliche Factoren von in und von n enthalten muss, so muss a alle Factoren des Productes inn enthalten, also a durch inn theilbar sein. Ist eine Zahl z. B. durch 2 und 3 theilbar, so muss sie auch durch ihr Product 6 theilbar sein. Z. 71. 1. Wenn der Dividend und der Divisor ein gemeinschaftliches Maß haben, so muss auch der Divisions¬ rest dadurch theilbar sein. Beweis. Es seien n und K durch in theilbar, und es gebe a durch k dividiert den Quotienten mit dem Reste r; so ist r — a — da. Da n durch in theilbar ist, ferner k, somit auch das Vielfache durch in theilbar ist, so muss auch die Differenz a — i>cz, welche gleich r ist, durch in theilbar sein. Aus diesem Satze folgt: Jedes gemeinschaftliche Maß zwischen Dividend und Divisor ist auch ein gemeinschaftliches Maß zwischen Divisor und Rest. 2. Wenn der Divisor und der Divisionsrest ein gemeinschaftliches Maß haben, so muss auch der Dividend dadurch theilbar sein. 49 Beweis. Es gebe a durch i> dividiert den Quotienten mit dem Reste r, und es sei m ein gemeinschaftliches Maß von b und r; dann ist s — dg -s- r. Wenn nun d, somit auch das Vielfache dy, und ferner r durch m theilbar sind, so muss auch die Summe 6), 2. 20x^ — 16x3 12x^ — 4x^ (5x^ — 4x -j- 3). ll) Aus Z. 39, Folges. ergibt sich ferner: 1. a^ -ft 2 all -ft ll^ — (a -ft ll) (a -ft ll), 2. a« - 2all -ft ll° - (a — ll) (a - ll), 3. a^ — ll^ — (a -ft ll) (a — ll). Aufgaben. Zerlege folgende Zahlen in ihre Primfactoren: 1. a) 420; b) 504; e) 1260; ck) 1694; s) 2025; 2. 1) 2268; ss) 3075; ll) 3828; i) 5376; ll) 10528; 3. Y 76a»; in) 66all"; n) 26x^; §) 72a3ll--; p) 60ax°^. Suche alle Prim- und zusammengesetzten Factoren folgender Zahlen : 4. a) 48; ll) 180; e) 210; ä) 315; s) 810; 5. Y 18all; 36x«; ll) 27ni7°; i) 165x^ ll) lllan'-x». Zerlege nach Z. 78. 2. a) in zwei Factoren: 6. 18all — I5ao; 7. 9x^ — 24x^; 8. 2a^ — 4a3 -ft 6a^; 9. ax^^ -ft llx^ ox^^; 10. a^ll^x — aVx° -ft all^; 11. 5x^" — 15x^» > 25xr:ft 53 Zerlege nach ß. 78, 2. b) 12- x- st- 2x -st 1 14. 4a« st- I2a st- 9; 16. 5« -I- 10/ st- 25; 18. 4x« — 1; 20. 25x« — 16/«; 22. a« - (b st- o)«; in Factoren: 13. m« — 2 in -st l; 15. 9b« — 12b st- 4; 17. x« - 6x/ st- 9/«: 19. 9a« — 16b«; 21. 6x« — 54a«; 23. (b — e)- - a«. 4. Pom größten gemeinschaftlichen Maße. K. 79. Unter dem größten gemeinschaftlichen Maße mehrerer Zahlen versteht man die größte Zahl, durch welche diese Zahlen theilbar sind. Um das größte gemeinschaftliche Maß zweier oder mehrerer Zahlen zu finden, zerlege man jede derselben in ihre Prim- factvren und'hebe unter diesen diejenigen heraus, welche in allen gegebenen Zahlen gemeinschaftlich vorkymmen; das Product derselben ist das gesuchte größte gemeinschaftliche Maß. Beweis. Das so gebildete Product ist, da alle Factoren desselben in allen gegebenen Zahlen enthalten sind, gewiss ein gemeinschaftliches Maß derselben; es ist aber auch das größte, weil, sobald man noch einen Factor hinzufügen würde, durch dieses Product nicht mehr alle Zahlen theilbar wären. Beispiel. Suche das gr. g. Maß von 300 und 420. 300 - 2 . 2 . 3 . 5 . 5, 420 - 2 . 2 . 3 . 5 . 7; gr. g. Maß - 2.2.3.5 - 60. Divisionsreste, so lässt Rest r,, 1'4, U. s. W. Divisor b, tz. 80. Das gr. g. Maß zweier Zahlen kann auch unabhängig von ihrer Zerlegun g in Primsactoren auf folgende Art bestimmt werden: Man dividiere die größere der beiden Zahlen durch die kleinere, sodann den Divisor durch den Divisionsrest, den neuen Divisor durch den neuen Rest, u. s. f., bis endlich eine Division ohne Rest aufgeht; der letzte Divisor ist das größte gemeinschaftliche Maß der zwei gegebenen Zahlen. Beweis. Sind a und b, wo a > b, die zwei gegebenen Zahlen und n, i-2, i-z, 04... die aufeinander folgenden Divisionsreste, so lässt sich der Rechnungsgang so darstellen: Dividend s, „ b, „ -5, „ 1'2, .. , l'z, Zunächst ist klar, dass man bei fortgesetztem Dividieren endlich auf einen Rest - 0 kommen müsse, weil der jedesmalige Rest eine ganze Zahl und wenigstens um 1 kleiner als der Divisor, welcher der vorher¬ gehende Rest war, sein muss. Es sei z. B. 04 — 0. 54 Dann ist gewiss das größte gemeinschaftliche Maß von a und b. Aus der letzten Division folgt, dass iz, das gr. g. Maß zwischen und i-z ist; n» und n, kommen in der vorhergehenden Division als Divisor und Rest vor, also ist G. 71, 3) n auch das gr. g. Blaß zwischen dem Dividend n, nnd dem Divisor 1'2, folglich vermöge der nächstvorher- 7 gehenden Division, wo r, und 1'2 Divisor und Rest vorstcllen, iz das ,H gr. g. Maß zwischen 5 und und endlich vermöge der ersten Division i-z auch das gr. g. Maß zwischen s und t>. Beispiele. 1. Um das gr. g. Maß von 1134 und 3654 zu finden, hat man 3654 : 1134 - 3 mit dem Reste 252 oder 1134 36543 1134 : 252 - 4 „ „ „ 126 126 2524 252 : 126 2 „ „ „ 0 ! 02 gr. g. Maß - 126. 2. Man suche das gr. g. Maß von 377 und 848. 377-848 2 gr. g. M. - 1. 1 94 4 377 und 848 sind also relative Primzahlen. 0 94 3. Es soll das gr. g. Maß zwischen 3a? — 2s? — 3ai>" -s- s. > -s- 2K2 -f- b g? — 1)2 gesucht werden. (3s? — 2s? — 3s1)2 4- s -s- 2P2 -s- b) : (a? — d«) - 3s — 2 3 s» — 3s1)2 —_7^_ — 2a° -s- s -s-21)2 -fi d — 2s2 -s-21)2 _ — 4- s -s-ll Rest. (s2 — 1>2) : (s -s- k>) — s — 1). Das gesuchte gr. g. Maß ist also der letzte Divisor s -s- 1>. Um nach dieser Methode das gr. g. Maß von mehr als zwei Zahlen zu finden, suche man dasselbe zuerst von zwei Zahlen, dann von dem so gefundenen Maße und der dritten Zahl, hierauf von dem neuen Maße und der vierten Zahl, u. s. f.; das zuletzt gefundene gr. g. Maß ist zugleich das gr. g. Maß aller gegebenen Zahlen. Aufgaben. 1. * Welches ist das gr. g. Maß zwischen s) 12 und 16? b) 15 und 20? 0) 40 und 56? ä) 72 und 96? s) 45 und 75? Suche mittelst Zerlegung in Factoren das gr. g. Maß folgender Zahlen: 2. 84 und 308; 3. 360 und 680; 4. 108, 450 und 540; 5. 560, 620 und 760; 6. 693, 819 und 945; 7. 504, 756, 1260 und 1764; 8- 12sox, 14s°x und 16ux2; 9- 10x?)4, 5x»v» und 20x^2- 10. ii)2-s-2ivu-s-u2und m2 — ii2; n, s2 — 2s6-Z 1)2 und »2— p-; 12. s° - 2sb - 8l)2 und g? -s- 2s1) - 3stz2 - 6b»; 55 14. 2091 und 1353; 16. 3552 und 5143; 18. 27671 und 21708; 20. 55660 und 66055; 22- 24955 und 338625; 24. 120582, 145530, 167706; Suche ohne Zerlegung in Factvren das gr. g. Maß folgender Zahlen: 13> 637 und 4277; ' ' 15. 1404 und 8658; 17. 7774 und 3718; 19. 50149 und 51119; 21. 39215 und 73997; 23. 1701, 6426, 10521 25. 12a» - 2i^ — Z5a — 11 und 6a° -s- 11a -s- 3; 26. 24x? — 10x^ — 56x -j- 10 und 6x^ — x — 15. 5. Mom kleinsten gemeinschaftlichen Mietsachen. 8. 81. Unter dem kleinsten gemeinschaftlichen Vielfachen mehrerer Zahlen versteht man die kleinste Zahl, welche durch alle jene Zahlen thcilbar ist. Um das kleinste gemeinschaftliche Vielfache zweier oder mehrerer Zahlen zu finden, zerlege man alle gegebenen Zahlen in ihre Primfactoren, und nehme aus diesen alle verschiedenen Factorcn und zwar jeden so oft, als er in irgend einer gegebenen Zahl am häufigsten vorkommt; das Product dieser Factoren ist das gesuchte kl. g. Vielfache. Beweis. Das so gebildete Product ist, da es alle Factoren einer jeden der gegebenen Zahlen enthält, gewiss ein gemeinschaftliches Vielfaches derselben; es ist aber auch das kleinste g. Vielfache, weil man keinen jener Factorcn weglassen darf, ohne dass das Product aufhören würde, durch alle gegebenen Zahlen theilbar zu sein. Beispiel. Es soll das kl. g. Vielfache zwischen 60, 108 und 1050 gefunden werden. 60 - 2 . 2 . 3 . 5, 108 2 . 2 . 3 . 3 . 3, 1050 - 2 . 3 . 5 . 5 . 7, kl. g. Vielfaches -2. 2. 3. 3. 3. 5. 5. 7- 18900. Diese Auflösung führt auf folgendes praktische Verfahren zur Auffindung des kl. g. Vielfachen mehrerer Zahlen: 1- Man schreibe die gegebenen Zahlen in eine Reihe neben einander, und lasse die kleineren Zahlen, welche in den größeren ohne Rest enthalten sind, weg. 2. Man untersuche, ob nicht zwei oder mehrere der übriggebliebenen Zahlen eine Primzahl als gemeinschaftliches Maß haben. Ist dieses der Fall, so hebt man dieses Maß rechts heraus und dividiert dadurch alle Zahlen, deren Maß es ist; die Quotienten, so wie die nicht theilbaren Zahlen setze man in eine darunter befindliche Reihe neben einander. 3. Mit dieser neuen Reihe verfahre man eben so wie mit der ursprünglich aufgestellten, und wiederhole dieses Verfahren so lange, bis man zuletzt eine Reihe erhält, in welcher lauter relative Primzahlen vorkommen. 56 4. Multipliciert man dann die in der letzten Reihe befindlichen relativen Primzahlen und die rechts herausgehobenen Maße mit einander, so ist das Product das gesuchte kl. g. Vielfache der gegebenen Zahlen. Beispiel. Es soll das kl. g. Vielfache der Zahlen 2, 3, 4, 18, 24, 32, 45, 50 gesucht werden. L, 3, 4, 18, 24, 32, 45, 50 9, 12, 16, 45, 25 2 6, 8, 45, 252 3, 4, 45, 25 2 4, 9, 5!5 kl. g. Vielfaches -4.9.5.2.2 . 2.5 - 7200. ß. 82. Wenn sich die gegebenen Zahlen nicht leicht in Primfactoren zerlegen lassen, wird zur Auffindung des kl. g. Vielfachen ein anderes Verfahren angewendct, welches aus folgenden Erwägungen beruht: Wenn man zwei Zahlen durch ihr gr. g. Maß dividiert, so müssen die Quotienten relative Primzahlen seien. Das Product, welches entsteht, indem man den bei der einen Zahl erhaltenen Quotienten mit der zweite» Zahl multipliciert, enthält die Factoren beider Zahlen uud ist somit durch beide Zahlen theilbar; auch kann keiner dieser Factoren weggelassen werden, ohne dass das Product aufhören würde, durch beide Zahlen theilbar z« sein. Jenes Product ist also das kl. g. Vielfache der beiden Zahlen. Um daher das kl. g. Vielfache zweier Zahlen zu finden, sucht man zuerst das gr. g. Maß derselben, dividiert durch dieses eim der beiden Zahlen und multipliciert mit dem Quotienten die andere Zahl Das Product ist das gesuchte kl. g. Vielfache der gegebenen Zahlen. Z. Ä. Man suche das kl. g. Vielfache zwischen 648 und 972. 648! 972!1 324 ist das gr. g. Maß. 0!324!2 648 : 324 - 2; 972 . 2 - 1944, oder 972 : 324 - 3; 648 . 3 - 1944; kl. g. Vielfaches — 1914. Um nach dieser Methode das kl. g. Vielfache von drei oder mehreren Zahlen zu finden, sucht man nach dem eben angegebene« Verfahren das kl. g. Vielfache der zwei ersten Zahlen, dann von dem st gefundenen kl. g. Vielfachen und der dritten Zahl, hierauf von diese» letzten kl. g. Vielfachen und der vierten Zahl, u. s. w. Das zuletzt gefundene kl. g. Vielfache ist zugleich das kl. g. Vielfache aller gegebene« Zahlen. Aufgaben. 1. * Welches ist das kl. g. Vielfache zwischen s) 8 und 15? d) 10 und 25? o) 24 und 36? 2, 12s5m; IZ. 6ama, lOaa^u, 14. na, 5m2, 3a, 8mu und 15m (m — n) ; 15. 3x, x — 2, 5 (x -s- 2), 20 (x- — 4) und 6 lx 4- 2>2. Suche ohne Zerlegung in Factoren das kl. g. Vielfache der Zahlen: 16. 874 und 943; 17. 561 und 1530; 48. 1716 und 2222; 19. 6987 und 8083; 20. 816, 765, 697 ; 21. 259, 3219, 7548; 22. x^ — 3x2/ 3x/2 — /S und x2 — /2. 23. 24a? -j- 14a? — 26a -j- 4 und 6a2 -j- 5a — 6. 6. Wiederholungsaufgaöen. 1? Wie viel beträgt a) das 8fache der Summe aus 28-f-39? b) der dritte Theil des 7fachen von 87? 2. * Von welcher Zahl muss man das 3fache um 20 vergrößern, um 167 zu erhalten? 3. Wie groß sind die Producte, welche man erhält, wenn man jede der Zahlen a) 57908, 6) 38826, o) 471937 mit sich selbst multi- pliciert? 4. 5m — !(2m -j- 3a) — 3m j. 5. (x Z- 1) (x — 2) (x -f- 3) (x 4). 6. (2a2)> — __ 4k» 5) (Zg?!, — 3^2 4- 4d-- — 5). 7- Suche das gr. g. Maß von a) 1081 und 1403, 6) 4587 und 1441, 0) 6417 und 28520, 6) 41454 und 8118. 8. Suche das kl. g. Vielfache von a) 5, 6, 8, 12, 16, 18; 6) 12, 15, 20, 36, 40, 45, 60; 0) 32, 40, 48, 60, 72, 84; ä) 36, 42, 54, 84, 90, 112. 9- Zerlege folgende Zahlen in Primfactoren: a) 60060, 6) 23142, 0) 61380, auch in dem Falle, wo a kein Vielfaches von U ist, bestimmen zu können, ist man genöthigt, die Reihe der ganzen Zahlen durch Einschaltung neuer Zahlen zu erweitern, indem man die ursprüngliche Einheit in U gleiche Theile theilt und einen solchen Theil, welcher durch (1 lltel) bezeichnet wird, als eine neue Einheit annimmt, um mit ihr zu zählen. Man erhält auf diese Weise eine neue Zahlenreihe 1 2 3 4 a U' 1/ Ü' U" ' ' 1/ ' ' ' ' in welcher sich für die Division jeder ganzen Zahl durch U der Wert des Quotienten genau vorfindet. Eine Zahl dieser neuen Art nennt man im Gegensätze zu den bisher betrachteten ganzen Zahlen eine gebrochene Zahl oder einen Bruch; u heißt der Zähler, 1> der Nenner des Bruches. Ein Bruch ist demnach eine Zahl, welche einen oder mehrere Theile einer in gleiche Theile getheiltcn Einheit ausdrückt. Der Nenner zeigt an, in wie viele gleiche Theile die ursprüngliche Einheit getheilt ist; der Zähler gibt an, wie vielmal ein solcher Theil gesetzt ist. Der Bruch bedeutet den tzten Theil der Einheit »mal gesetzt; oder 59 I. Gemeine Wrüche. 1. Allgemeine Eigenschaften -er Brüche. 84. Wird die Einheit in 5 gleiche Theile getheilt, so ist die Summe von b solchen Theilen wieder gleich der Einheit; also . b — 1. Nimmt man weniger als 5 solche Theile, so erhält man weniger; nimmt man mehr als d solche Theile, so erhält man mehr als die Einheit. Der Bruch ist also kleiner als 1, wenn a < 6; gleich 1, wenn Ä — l>; und größer als 1, wenn s, > 5 ist. Z. B. 5-1 8 13 Ein Bruch, welcher kleiner als 1, dessen Zähler also kleiner als der Nenner ist, heißt ein echter Bruch, jeder andere Bruch ein unechter Bruch. Eine Zahl, welche aus einer ganzen Zahl und einem echten Bruche besteht, heißt eine gemischte Zahl; z. B. §. 85. Multipliciert man einen Bruch mit seinem Nenner, so ist das Product gleich dem Zähler. Beweis. a , „sl . 1 . 1 , , , — (u mal) — 1 -j- 1 -j- 1 -j- . . . (amal), also . b - a. d Z. 86. Jeder Quotient kann als Bruch, und umgekehrt jeder Bruch als Quotient betrachtet werden; der Dividend ist der Zähler, der Divisor der Nenner des Bruches. , a c> 15 ° - b - -5 : S - Denn . 6 — a. 8- 87. Aus dem Begriffe eines Bruches folgt: 1. Von zwei Brüchen, die gleiche Nenner haben, ist jener der größere, welcher den größeren Zähler hat. 2. Von zwei Brüchen, die gleiche Zähler haben, ist jener der größere, welcher den kleineren Nenner hat. 60 A. 88. Jeder unechte Bruch kann in eine ganze oder gemischte Zahl verwandelt werden, indem man den Zähler durch den Nenner dividiert. Allgemein am — s, ui ani -s- r ui — a. -s- r in' ß.89. 1. Jede ganze Zahl kann in der Form eines Bruches mit gegebenem Nenner dargestellt werden, indem man das Product aus der ganzen Zahl und dem gegebenen Nenner als den Zähler des Bruches annimmt. a — LU : u — - , 5 — r> . 4 : 4 — 20 : 4 — . n 4 2. Jede gemischte Zahl kann in einen Bruch ver¬ wandelt werden, indem man die ganze Zahl mit dem Nenner des Bruches multipliciert, und den Zähler dazu addiert oder davon subtrahiert, je nachdem der Bruch positiv oder negativ ist; diese Zahl ist der Zähler, der Nenner wird ungeändert beibehalten. 2 2 e 9 I 17 5Z 5 z -- j(5 : 3 -- (15 Z- 2) : 3 , IN I, , UI, ( , , , LV -j- NI n Z- — - stL -j- ^) . u^ : u - (au -j- in) : u — -- - . ui / in. j , LU — ui n — — — j(a-) . u> : u — (au — in) : u — - . v > iQ j u H. 90. Da jeder Bruch als Quotient betrachtet werden kann, dieser aber nicht geändert wird, wenn man Dividend und Divisor mit derselben Zahl multipliciert oder durch dieselbe Zahl dividiert, so folgt unmittelbar: Ein Bruch bleibt (seinem Werte nach) unverändert, wenn man Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliciert, oder beide durch dieselbe Zahl dividiert. a — Lm 8 — 8 . 4 — 32 i> - lun' 12 - IZ-7-4 - 48' 3— L:in 8— 8:4 — 2 b - k : in' 12 - 12 :^4 3' L. 91. 1. Mit Hilfe des ersten Theilcs des Satzes m 8- 00 lan man jeden Bruch ohne Änderung seines Wertes auf eine neuen Nenner bringen, sobald dieser neue Nenner em B l ) des früheren Nenners ist; man braucht nur den neuen Nenner durch früheren zu dividieren und mit dem Quotienten den früheren Zayw z 61 multiplicierm; das Product ist der neue Zähler. Ist z. B. der Bruch auf den Nenner 40 zu bringen, so hat man 5 40 : 5 - 8; 4 . 8 - 32; also 5 40 Um 2^ auf den Nenner 4 do zu bringen, hat man 46o : 26 — 2o; a . 2o — 2ao; also 2c> 46e Die Formveränderung eines Bruches durch die Multiplication des Zählers und Nenners mit derselben Zahl wird die Erweiterung des Bruches genannt. 2. Durch die Erweiterung können auch mehrere Brüche aus einen neuen gemeinschaftlichen Nenner gebracht werden, nur muss dieser ein gemeinschaftliches Vielfaches aller gegebenen Nenner sein. Gewöhnlich bringt man die Brüche auf den kleinsten gemeinschaft¬ lichen Nenner. Man sucht zuerst das kl. g. Vielfache aller gegebenen Nenner; dieses ist der kl. g. Nenner. Um sodann den neuen Zähler eines jeden Bruches zu finden, dividiert man den neuen gemeinschaftlichen Nenner durch den früheren Nenner und multipliciert mit dem Quotienten den früheren Zähler. Beispiele. 1 3 9 1. Bringe die Brüche auf den kl. g. Nenner. Das kl. g. Vielfache aller Nenner, somit der kl. g. Nenner, ist 40 und man hat 40 2. Es sollen die Brüche auf den kl. g. Nenner gc- 62 8. 92. Mit Hilft des zweiten Thcilcs des Satzes in 8- 90 kann man einen Bruch, dessen Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl theilbar sind, ab kürz en; man darf nur Zähler und Nenner durch ihr gemeinschaftliches Maß dividieren. Z. B.: 35 - 7 200 - 20 -5 40 - 8' 240 - 24 " 6' 4 am — 2 m 12a,"t)x" — 4 ad 6 an — 3o' 15anx^ — 5ox' Aufgaben. Verwandle in ganze oder gemischte Zahlen: 24 27 32 37 30 57 96 104 223 4' 2' 5' 4' 6' 3' 8'7' 10' 4x^ X- — 1 X ,2 a -r o —d- X- — 1 X- —- - 2xy -s- 7° Verwandle in unechte Brüche: 3? 6z, 7ft, 13-, 3^-, 15z, 21ftft, 27z, 30°. 4. a) 77-, 95 ftft, 561-, 56 ftft, 83IZ, 324ftft. d) a -Z —, 3a -ft -, 5x — x -ft ' in a 2x' ' , m -ft n ° — °>»- -z- , l i , a-— d-—o- a- —d- —o- 2H""-' -2ko-' 5.* Stelle die Brüche ft, ft, -, ft mit dem gemeinschaftlichen Nenner 24 dar. 9. 11. 13. 15. 6. Bringe die Brüche auf den Nenner 30adx^. a 3ad 6ax 10K/ ' Bringe folgende Brüche auf den kleinsten gemeinschaftlichen Nenner: 7? a) ft und d) ft und ft, o) ft und -, 6) ft und 8? a) ft und -fto, 5) und ftft, o) ftft und ft-, 6) ft ft und H i' 4' ft-- 10. ft, ft„ ftft, ftft, ->ft, ftft. _r r 2 1.S s L 4 t) 2 I 3 z 7 II 4' 6' 7' 3-, 4», '5 6' 4 z, -^2, 2 0' ft, ft, ft, ! - 4- ' 14, 4 ' 2 3 19 z» 2» 2 4, K«, I«, 75, 128' 4.^ 3V 3>, 25, 24, 75, 36' 10 5a 3do 46ö^ a oft' a^ m' 3m-' 4m^' i5m*' 63 L - 1 L - 2 » - - 3 . 7 -t- 1 7 1 1 v- -n > " A -j-'1' a -j- 2' a Z- 3' o- 1' -s- 1' — 1 x -s- 1 x° -!- 2x 3x x- — 1 X - 1' x° - 1/ X ->- 1' X" -s- 1 -)N __ ' 1 1 — s/ 1 - 1 -s- 2 g. -s- L' Kürze folgende Brüche ab: -44 4- S > r ^22 2 4 I 5 2.8 2.S. Si^ e.t> -24, ,0' 15' 20' S2' 25' 4 5' 40' 6v' »8' I2V' 1.4 .114.- ^4 -84N-. ^4.1,824. „4 4V!>6. a>-54> "/ 250' O-,020' "/7008' ^/ 7424 5 . 12 . 18 6 . 12 . 20.28 6 . 21 . 24.36.75 . 4 . 10.27' 4.8 . 16.30 ' 8 . 27'. 50.56.60' ->4 „1 ».»2.- >5 '>S7 - z 2072 - g, '>2«2 »7t» "v g g g ' 02 z , g , 02 5g 04 7 0/702»' /87785- -4-7 4 n (u — 1) (n — 2) (u — 3) (ir — 4) 25. Bestimme den Wert von -— 2 —' -- für n — 6, dann für n — 8, und kürze die erhaltenen Brüche ab. Kürze folgende Brüche ab: .... . 3abx . , 12g.-x . loamx^ 72mx"v^ 12 b,nx' 28gx- °) 40bmx ' 96 nx^' -)7 .,2 a (s. -f- 1) ,. 2m (m — 1) . , 15 (a -s- 6) (x — >) - ' (a -- l) --- 2)' m ' - I ' 0) . j>) (x - vs 2. Addition und Subtraction der Brüche. Z. 93. 1. Sind die Brüche - und zu addieren, so hat man den inten Theil der Einheit zuerst amal, dann bmal, also zusammen (a -s- b) mal zu nehmen; folglich u , i) — a -j- 1b in m — in ' d. h. Brüche von gleichen Nennern werden addiert, indem man ihre Zähler addiert und dieser Summe den gemeinschaftlichen Nenner gibt. Z. B. 75-7-1-5- 12 ,3 , 8^8 '8 " 8' 2 - L-s-b^a — 6— (a-s-ii)-s-(g, — 6) — 2a — g, 2m 2m — 2in 2m m' 2, Sind Brüche mit ungleichen Nennern zu addieren, so stellt man sie mit einem gemeinschaftlichen Nenner dar und verfährt dann nach dem vorigen Satze. Z. B. 64 3 , ö _ 9 , 19 . 4^6" 12^ 12 " 12 a 6 au , 6m au -ft 6m m " u — mu mn MI1 6 g, 8. 94. 1. Ist — von zu subtrahieren, so hat man amal den o mm mtm Theil der Einheit, weniger 6mal den mtcn Theil der Einheit, also (a — K)mal den mten Theil der Einheit zu setzen; folglich a 6 a — 6 mm m ' d.h. ZweiBrüche von gleichen Nennern werden subtrahiert, indem man die Zähler subtrahiert und der Differenz den gemeinschaft¬ lichen Nenner gibt. Z. B. —3- 7 —-3 „ 4 __ 2 10 10 - 10 " 10 5' x ft-^ __ —-ff mm m m 2. Sind Brüche mit ungleichen Nennern zu subtrahieren, so stellt man sie mit einem gemeinschaftlichen Nenner dar und verfährt dann nach dem vorhergehenden Satze. Z. B. 7__3,7—6,1 8 4 - 8 8 - 8' a 6 — an 6m an — 6m m n mn mn — mn A uf g ab en. 12. 4068 ft- 1234ftft ft- 5678-s-ft 987^ -ft 6543-ft ^lo^Tagen, eine andere in 12 Tagen herausschaffen; der wievielte Theil zusammen in 1 Tage herausgepumpt? 43. Wie viel betragen folgende vier Straßenlängen zusammen: 23 g, 19ftß, 36/ft» und 25ftz Kilometer? 14. Eine Wasserpumpe kann das in einer Grube enthaltene Wasser w 15 Tagen, eine andere in 12 Tagen herausschaffen; der wievielte Theil des Wassers wird a) von jeder Maschine, 6) von beiden Maschinen 1? a) 8; -ft 6) § -ft 4z, 0) 2ft -ft 4ft, 6) 10^ -ft 6ftft. 2. " a) ft ft- ft ft- ft, 6) 8ft, -ft ftft ft- 0) 5^- -ft 6ftö ft- 7^. 3. 35H ft- 57^ ft- 79?z. 4. 54ftft -ft 98ftft ft- 44 -ft 61ftft. 5.' a) ft -ft ft, 6) ft» -ft ftz, 0) - -ft ft, ä) 3^ -ft ftft. 6? ») ft -ft ft, 6) 2ft -ft ft, 0) 3z ft- 9ft, ä) 17ft ft- 12^. 7. 'L) ft ft- ft -ft -, st) - -ft ; -ft ft. 0) Ift -ft 2ft -ff 3ft. 8. ft- ft- ft -ff -ff !ft- 9. ft -ff -ffft- ^ft- 10. 23ft -ft 21^ ft- 58^ ft- 47-ft. 11. 52- -ft 93^ -ft 88 ft- 35ffft ft- 208z». 65 15? a) d) 5z - «) - 2-, ä) 37tz- - 18^. 16? a) 23- - 16. 6) 1 - o) 10 - ä) 78 - 39^. 17. 503^-» — 319^7. Ig. 723z«> - 476^U. 19? a) - z, 6) 2» - o) 6) 8z^ - 20? a) 12st- - 8^, 6) 16- - 7-, o) 58^ - 19/ö- 21. 265zz - 156st-. 22. 374^ - 215-^. 23. 437^ - 187 24. 329zz — 109-z. 25. 822A- - 428Z-. 26. 657z-- — 384°z. 27. Man hat folgende Brüche: 4, 1, st, 64 i um wie viel ist die Summe der ersten zwei Brüche kleiner als 1? — um wie viel die Summe der ersten drei. vier, füns, sechs Brüche? 28- Von folgenden Metallen wiegt 1 Cub.-Decim. in Kilogrammen: Platina 22pN, Gold 19?^, Blei 11^, Silber 10^, Kupfer 9^; um wie viel ist 1 Cub.-Decim. jedes der vorangehenden Metalle schwerer, als ein Cub.-Decim. jedes der folgenden? ^3^3' 3m — PL oo- 4 4' 31. 33. 35. 37. 39. 41. 43. 44. 46. 48. 49. - — 5 4 2x 3x-st1 4x —3 2x-1 3x-1 2x-3'-t- ^ 2 — ^^3^ 2x -st 3y 2)p—3/ ast , ao , st« 6x(2x — 3v) 6x(2x-st3/)' -st-st st a H stH' a -st st - 0 ast 5a — 8st L -stTst' 'N a — st -st o aa st -st o — a sto 3a — st a — 4st . a -st 5st a — st a -st st a — st' Mocuil, Arithmetik für Lehrerbilduugsanstalten. 5 66 3. Multiplikation und Division der Grüche. H. 95. Ein Bruch wir-d mit einer ganzen Zahl multi- pliciert, indem man den Zähler damit multipliciert oder den Nenner dadurch dividiert. a am 22.4,8. -)X k 3 . , 3 , 3 b ' b : in' 16 ' " 16 : 4 4' Beweis. 1. Nimmt man a Theile, deren jeder ist, inmal als Summand, so erhält man ain solche Theile; also . in — 2.^ . m <».ch I> - <§. S°) -- Die zweite Art, einen Bruch mit einer ganzen Zahl zu multiplicieren, kann nur angewendet werden, wenn der Nenner des Bruches durch die ganze Zahl theilbar ist. §.96. Ein Bruch wird durch eine ganze Zahl dividiert, indem man den Zähler dadurch dividiert oder den Nenner damit multi¬ pliciert. a ,a:ni 18 , 18 : 3 , 6 : in - , Z5 - - ^,5- - ZZ; a „a, 7 7,7 b ' bin' 8 ' - 8 . 3 24' Beweis. Es ist sowohl als auch a s, n bin ' - bin : in - b' Die erste Art des Dividierens ist nur dann anwendbar, wenn der Zähler des Bruches durch die ganze Zahl theilbar ist. 8- 97. Es sei 5 mit einem Bruche, z. B. mit zu multiplicieren. Hier sollte nach der in §. 31 gegebenen Erklärung der Multiplication die Zahl 5 §mal als Summand gesetzt werden, welche Aufgabe offenbar keinen Smn hat. Man muss daher den ursprünglich für ganze Zahlen aus¬ gestellten Begriff des Multiplicierens so erweitern, dass er auch für die Brüche anwendbar wird. Um 5 mit 3 zu multiplicieren, muss man 5 3mal als Summand setzen; um 5 mit dem 4ten Theile von 3 zu multiplicieren, wird man 67 nicht die Zahl 5 selbst, sondern den 4ten Theil derselben 3mal als Summand setzen; also 5 x z - L -j- z z z x 3 Eine Zahl mit einem Bruche multiplicieren heißt daher, die Zahl in so viele gleiche Theile theilen, wie der Neuner des Bruches anzeigt, und einen solchen Theil so oft als Summand setzen, wie der Zähler anzeigt. Auf diese Erweiterung des Multiplicationsbegriffes wird man durch die Aufgaben des praktischen Lebens von selbst geführt. Um allgemein aus dem Betrage der Einheit den Betrag einer gleichartigen Mehrheit zu finden, wird der Betrag der Einheit mit der Zahl, welche die Mehrheit ausdrückt, multipliciert. Wenn z. B. 1 Meter 5 fl. kostet, so kosten Meter 5 fl. X Was dieses Product bedeutet, wird aus der wirk¬ lichen Lösung der Aufgabe ersichtlich; man hat nämlich: 1 Meter kostet 5 fl.; 1 Meter kostet den 4tcn Theil von 5 fl., also : Meter kosten 3mal so viel als Meter, also X 3; folglich ist 5 fl. X § X 3. Eine Zahl wird demnach mit einem Bruche multipli¬ ciert, indem man sie durch den Nenner dividiert und den Quotienten mit dem Zähler multipliciert. M g, LIN Ä . — . M — —: NN n - -s- - - b - s . s - °. Ist ein Bruch mit einem Bruche zu multiplicieren, so hat man nach dem vorhergehenden Satze d. h. ein Bruch wird mit einem Bruche multipliciert, indem man dem Producte der Zähler das Product der Nenner als Nenner gibt, om 3 7-3.7 -21 2 5 ' 10 - 5 .10 - 50' Zusatz. Wenn zwei Zahlen zum Producte 1 geben, so heißt jede der umgekehrte oder reciproke Wert der anderen. 5* 68 So ist s. . — 1, daher der umgekehrte Wert von u, a a na n n na n - " " " " 3 4 4 - o " 3 " " " " 4 Z. 98. Für die Division durch einen Bruch ergibt sich aus dem in 8- 45 ausgestellten allgemeinen Begriffe der Division folgender Satz: Eine Zahl wird durch einen Bruch dividiert, indem man sie durch den Zähler dividiert und den Quotienten mit dem Nenner multipliciert, oder indem man sie mit dem umgekehrten Bruche multipliciert. in a a : - — — n in n, in n s, : — — a. —, n na 8 8 : 3 8 , 40 --r - 1 z-. 3 __ 2 5—40 5 - rž ' 3 Beweis. Es ist sowohl a m m — a L m m (Z. 97) a; als auch na / na 7 n - — L . I- n vna na 4 . — I — a, . 1 — a. n Ebenso ist a , na — a n 5 3 5 4—20—5 -V ' ^8" ' 4- - ' 1 - 24 - "6" Aufgaben. 1? a) s . 6; 6) . 7; 0) . 5; ä) . 16. 2. * a) . 6; 6) Z7 . 12; «) . M; 3) . 20. 3. * a) 7^ . 9; 6) 8^ . 5; 0) 5^- . 6; 6) 13-- . 24. 4. a) 8izz . 75; b) 57^ . 79; «) 258 . 85; ä) 607-"- . 120. 5. * 1 Meter kostet fl.; wie viel kosten 5, 12, 37, 72 Meter? . 3o. 6.* 1 Hektoliter kostet 23^ fl.; wie viel kosten 6, 15, 32 Hektol.? 3,1) 4sts 24x° 10' 8' 11. . 2b. 2ao 9' 15i>^- ' ' IS. <- - b). 13. -s- 3 t . 2a. 11. fr -1- . a -1- >). 69 . . „ /3in° , 2ln^ , ml i - > - IN m / i 3a . > - -4--44 . x°. x j IN" x» 1 m" 2s? x° o /i , ^6° — 2ado2 st- v» 18. sl -i- —— ^2 (ssti? — 2nllo^ st- o^). 18 fl. kostet; wie viel Hektoliter 28. ——i: (a st-d). 12s,mx '5bo^ 8v2 4ax. 26. - : 3m^. OIN)7 lOm^N^ -o ' : oni" L". X7° 30. /ast-6- 19? -0 : 4; 6) U r 6; o) z-, : 7; 6) 7s : 12. 20? a) 5 : 5; 6) U : 4; o) 1^ : 9; e) 9/^ : 15. 21. a) 91U : 3; 6) 184° : 16; e) 791^ - 27; «) 179U: 34. 22? Eine Locomotive legt in 4 Stunden 113° Kilometer zurück; wie viel in 1 Stunde? 23. Wenn ein Hektoliter Wein bekommt man für 499^ fl.? 24. : 5x. 25. 4o L7.^ : E 29. !l st-^-^! : 2m. 4 NI -f- nl . 6ri.^ st- 5ii6 — 6i? . . 31--2m^ ' - 26). 2-) 1 st- 2lN — 2n? — N? . , y 2 32.- 1 - 2m - - (1 st- 2m st- mst. 33. a) 15 . °; 6) 64 . 4; o) 31 . ci) 8 . 5ß. 34. a) U. -z; 6) U . o) 10/, . 6) 27U . U 35. n) U . 15^; 6) 28z. U; o) 53z§ . 8U; ä) 216U . 15U. 36. 6§ . 15 . § . 1°. 37. - 1- - 6 . /, . 4. 38? Um wie viel ist das Product der Brüche 4 und G kleiner als jeder der beiden Factoren? 39. Um wie viel ist das Product der Brüche 4, z, 4 und , kleiner als ihre Summe? 40. 1 1>4 >>i/, 6>S,-,^z. «,L«- .4.1^°«! >>)I4»^S/,; .) I«z - iq; 65* In Flaschen, welche genau ° Liter fassen, sollen 274 Liter Wein gefüllt werden; wie viel Flaschen werden voll? 66. Eine Anzahl Guldenstücke wiegt 134 Ls>.; wie viel sind es, da 1 Stück wiegt? 67. Ein Wasserbehälter kann durch eine Röhre in 3, durch eine zweite in 4 Stunden gefüllt werden; a) welchen Theil des Behälters füllt jede Röhre in 1 Stunde, 3) in wie viel Stunden wird der Behälter voll, wenn beide Röhren zugleich geöffnet sind? 68. Ein Eisenbahnzug legt bei verschiedener Steigung in den ersten 3 Stunden 94^ Kilometer, in den folgenden 2^ Stunden 70'^ Kilo¬ meter und in den weiteren 3»/,. Stunden 122^, Kilometer zurück; wie groß ist die durchschnittliche Fahrgeschwindigkeit dieses Zuges in 1 Stunde? 69. 2am : 70. 12-1-- : 7^. ^2 . 33^. 0 x ^2)- 71 o- /5x0 43x^ , 9^1 i3x^ 6s," j ol' tlLa» 24a^ ' 5x°l ' i 4 5x^0 II. Jecimalörüche. z. 99. Ein Bruch, dessen Zähler cine ganze Zahl, und dessen Nenner eine Potenz von 10, also 10,100, 1000, . . IO ist, heißt ein De cima l- 21^ ^17 ^7 bruch;z. B. nd Die allgemeine Form eines Decimal- bruches ist wo und m ganze Zahlen bezeichnen. Im Gegensätze zu den Decimalbrüchen werden alle anderen Brüche gemeine Brüche genannt. Die Decimalbrüche werden ohne Nenner angeschrieben; man braucht nur im Zähler von der Rechten gegen die Linke so viele Ziffern durch einen Punkt, den Decim alp unkt, abzuschneiden, als der Potenz- cxponent von 10 im Nenner Einheiten enthält, oder was 'gleichviel ist, als im Nenner Nullen Vorkommen: sollten nicht genug Ziffern vorhanden sein, um sie abschneiden zu können, so werden die fehlenden links durch Nullen ersetzt. Z. B. 78317 , 78317 „ 5483 „ ^483 , I(? ' 1000 - 10« - 10000 - 0 5483, -37 _ 37 „ 10» --100000 Die Ziffern rechts nach dem Decimalpunkte werden Decimalen genannt, stellt demnach einen Decimalbruch mit m Decimalen vor. Um die Bedeutung der Ziffern eines Decimalbruches kennen zu lernen, sei der Decimalbruch welcher 4 Decimalen enthält; die Zahl vor 72 dem Decimalpunkte heiße m, und die Decimalziffern in der Ordnung gegen die Rechte seien a, i>, o, ä; dann ist . 10* -j- a . 10' -s- b . 10" -s- e . 10 -s- _rr , d . o - m io 10" 10' 10*' Es bedeutet also die Zahl, welche links vor dem Decimalpunkte steht, eine ganze Zahl; die erste Decimale bedeutet Zehntel, die zweite Hundertel, die dritte Tausendtel, die vierte Zchn- tausendtel u. s. w. 2 N - 34781, 34000- s- 700-s-80-j-1 Z. ^5.-j4/81 - 1000 - - 1000 — _i_ _I__l_ _— - o» , io 100 ' 1000' In einer nach dem dekadischen Zahlensysteme (?. 8.) geschriebenen ganzen Zahl bedeutet jede Ziffer an der nächstfolgenden Stelle gegen die Rechte den 10. Theil von dem, was sic an der vorhergehenden Stelle gilt. Dasselbe Gesetz findet auch bei den Decimalen statt, da ein Zehntel der 10. Theil von einem Einer, ein Hundertel der 10. Theil von einem Zehntel, u. s. w. ist. Die Decimalbrüche sind also eine Erweiterung des dekadischen Zahlensystems in der Art, dass die Reihe der Zahlcnordnungen. . . Tausende, Hunderte, Zehner, Einer nicht mehr mit den Einern abbricht, sondern sich nach demselben Gesetze, indem jede niedrigere Einheit als der zehnte Theil einer Einheit der nächst höheren Ordnung angenommen wird, noch unter den Einern hinab in Zehnteln, Hunderteln, Tauscndteln, . . . fortsetzt. Der Decimalpunkt scheidet die ursprüngliche Reihe der Zahlenordnungen von dieser Fortsetzung. Hiernach ist . . . o . 10 ' -s- d . IO -s- a . 10 -j- L -s- i 102 10' ' ' ' die allgemeine Form einer Zahl des dekadischen Systems, wo L, a, d, o,. - - die Ziffern der Einer, Zehner, Hunderte, Tausende, . . ., und «, - die Ziffern der Zehntel, Hundertel, Tausendtel, . . . bezeichnen. Um einen Decimalbruch zu lesen, spricht man zuerst die Ganzen vor dem Decimalpunkte aus, und dann jede Decimalstelle einzeln mit Hinzufügung ihres Nenners. Man kann den Nenner der einzelnen Deci¬ malen beim Aussprechen auch weglasscn und nur alle Decimalziffern, 0 nicht ausgenommen, in der Ordnung nennen. Folgesatz. Der Wert eines Decimalbruchcs wird nicht geändert, wenn^ian den Decimalen rechts beliebig viele Nullen anhängt. Es 0-23 - 0-230 - 02300 - 0 23000. 73 Wernmndlung der gemeinen Arüche in Aecimakörüche, nnd umgekehrt. Z. 100. Um einen gemeinen Bruch in einen Decimal- bruch zu verwandeln, dividiere man den Zähler durch den Nenner und bringe im Quotienten nach den Ganzen, an deren Stelle bei einem echten Bruche eine Null gesetzt wird, den Decimalpunkt an. Dem Reste hänge man hierauf eine Null an, dividiere wieder und schreibe die erhaltene Quotientenziffer nach dem Decimalpunkte hin; hänge dann eben so jedem etwa weiter folgenden Reste eine Null an und setze die Division fort, bis diese endlich ohne Rest aufgeht, oder, wenn dieses nicht eintritt, bis man die gewünschte Anzahl Decimalen erhalten hat. H - 30 : 4 - 0-75 329 : 125 - 2 632 4 125 20 790 0 400 250 0 Beweis. Indem man dem Reste der Ganzen eine Null anhängt, wird derselbe in Zehntel verwandelt, durch deren Division man daher auch im Quotienten Zehntel erhält. Indem man ebenso dem Reste der Zehntel eine Null anhängt, wird derselbe in Hundertel verwandelt, und man erhält durch deren Division auch im Quotienten Hundertel; u. s. w. Zusätze. 1. Damit sich ein gemeiner Bruch in einen Decimal- bruch genau verwandeln lasse, muss dieser ein endlicher Decimalbruch werden, d. i. die oben angegebene Division muss ohne Rest aufgchen. Dieses ist aber unter der Voraussetzung, dass Zähler und Nenner des gemeinen Bruches relative Primzahlen sind, nur dann möglich, wenn der Nenner keinen von 2 und 5 verschiedenen Factor cnihält. In allen Fällen, wo der Nenner entweder die Factoren 2 und 5 gar nicht, oder außer denselben noch andere davon verschiedene Factoren enthält, kann der auf die einfachste Form gebrachte gemeine Bruch nur annäherungs¬ weise in einen Decimalbruch verwandelt werden. 23 Z. B. 23-o : 78 -- 0 2948 . . . io 7 40 380 680 56 2. Wenn ein Bruch, der sich nicht genau durch einen Decimalbruch darstellen lässt, nähcrungsweise in einen Decimalbruch verwandelt wird, so müssen bei der Entwicklung einige Decimalziffern in derselben Ordnung immer wiederkehren. Denn bei der Division ist der Rest immer kleiner als der Divisor; man kann daher nur so viele verschiedene Reste erhalten, als cs ganze Zahlen gibt, welche kleiner sind als der Divisor, so dass im ungünstigsten Falle wenigstens unter so vielen Resten, als der Divisor 74 Einheiten enthält, wieder einer der vorigen Reste zum Vorschein kommt, von welchem an sich dann weiter die nämlichen Ziffern im Quotienten und dieselben Reste wie vorher ergeben müssen. Z. B.: - 7-0 : 15 - 0'46666 . . -A - 180 : 37 - 0'486486... Io 37 100 3 20 100 240 100 180 10 - 320 240 18 Decimalbrüche, in denen sich eine bestimmte Anzahl von Ziffern in derselben Ordnung wiederholt, nennt man periodische, und die immer wiederkehrerde Ziffernreihe die Periode. Man pflegt die Periode nur einmal anzuschreiben, jedoch die erste und letzte Ziffer derselben mit dar¬ über gesetzten Punkten zu bezeichnen; es ist also - 0-46; 0-486. Z. 101. Die Verwandlung eines D ecimalbruch es in einen gemeinen Bruch geschieht nach folgenden Sätzen: 1. Ein endlicher Decimalbruch wird in einen gemeinen Bruch verwandelt, indem man denselben in der Form eines gemeinen anschreibt und diesen, wenn es angeht, abkürzt. Z. B. »75 - - s> M - Sl 2. Ein rein Periodischer Decimalbruch, d. i. ein solcher, worin der Periode keine Decimale vorangeht, wird in einen gemeinen Bruch verwandelt, indem man als Zähler die Ziffern der Periode und als Nenner eine Zahl setzt, welche mit so vielen 9 geschrieben wird, als die Periode Ziffern hat. 0 46 - ^0 . Beweis. Drückt man den gesuchten gemeinen Bruch durch x aus, so ist 46 , 46 100 10000 1000000 100000000 ' Multipliciert man diesen Ausdruck mit 100, so erhält man lOOx - 46 -s- -s- 40 -s_46_ 100 10000 1000000 ' 75 Subtrahiert man nun den früheren Ausdruck von dem letzten, so folgt 99x — 46, und daraus 46 x - gg-. 3. Ein gemischt periodischer Decimalbruch, d. i. ein solcher, worin der Periode noch andere Decimalen vorangehen, wird in einen gemeinen Bruch verwandelt, indem man die der Periode vorangehenden Decimalen sammt der Periode als ganze Zahl zusammen- stellt, davon die der Periode vorangehenden Decimalen, ebenfalls als ganze Zahl betrachtet, subtrahiert und diese Differenz als Zähler, als Nenner aber eine Zahl annimmt, die mit so vielen 9, als die Periode Ziffern enthält, und fo vielen rechts folgenden Nullen, als Decimalen der Periode vorangehen, geschrieben ist. 325 - 3 , 322 990 " 990' Beweis. Bezeichnet man den gesuchten Bruch durch x, so ist — 3 25 25 25 . - 10 1000 100000 ' 10000000 ' Wird dieser Ausdruck zuerst mit 1000, dann mit 10 multipliciert, so erhält man o 25 . 25 , 25 , ' - 100 10000 ' 4000000 ^ ' ' ' Durch Subtraction des zweiten dieser Ausdrücke von dem ersten folgt dann 990x (300 -s- 25) — 3, und daraus 325 - 3 322 990 - 990' Die vier Grundrechnungsarten mit Accimakörüchen. 102. Das Rechnen mit Decimalbrüchen beruhet auf denselben Gründen, wie das mit ganzen Zahlen, und fordert nur die genaue Rück¬ sicht auf den Rang der einzelnen Ziffern, d. i. auf die Stellung des Decimalpunktes.- Um Decimalbrüche zu addieren oder zu subtrahieren, schreibt man sie so unter einander, dass die gleichnamigen Stellen, mithin auch die Decimalpunkte, genau unter einander zu stehen kommen, und addiert oder subtrahiert sie sodann von der Rechten gegen die Linke, wie 76 Summe 75'0798 6-543 . 2-37 13 086 19629 45801 15-50691 tz. 103. 1. Ein Decimalbruch wird mit einer Potenz von 10 multipliciert, indem man den Decimalpunkt um so viele Stellen weiter gegen die Rechte rückt, als der Multiplicator Nullen hat. IO - -_ -- . IO ' IO : 10° IO - ° 3-14159 . 100 - 314 159, 0097325 . 1000 - 97-325. 2. Decimalbrüche werden multipliciert, indem man sie ohne Rücksicht auf die Decimalpunkte wie ganze Zahlen multipliciert und im Productc von der Rechten angefangen so viele Ziffern als Decimalen abschneidet, als deren in beiden Factoren zusammen enthalten sind. a 6 ab» IO ' — IO - ° ' Dieselbe Regel gilt auch, wenn ein Factor eine ganze Zahl ist. Hat das Product nicht so viele Ziffern, als abgeschnitten werden sollen, so ersetze man die fehlenden Stellen links durch Nullen. 4 23 . 0 01307 1269 2961 00552861 ganze Zahlen. Die fehlenden Decimalstellen kann man sich durch Nullen ersetzt denken. 35-312 2153456 0 5678 9145923 39 2 Differenz 123'88637 tz. 104. Bei praktischen Rechnungen ist es gewöhnlich genügend, von einem Decimalbrüche, der viele Decimalen enthält, nur einige Decimal¬ stellen zu behalten, und zwar so viele, als das Bedürfnis der Rechnung erfordert. Den Fehler, den man dabei durch die Weglassung der über¬ flüssigen Decimalen begeht, pflegt man dadurch so klein als möglich zu machen, dass man die letzte bcibehaltene Decimalziffer um 1 erhöht, korrigiert, wenn die erste wegzulasscnde Ziffer 5 oder größer als 5 ist, dagegen die letzte Decimalziffer unverändert lässt, wenn die erste weg¬ zulasscnde Ziffer kleiner als 5 ist. So setzt man statt des Decimalbruches 0'728374, wenn 4 Decimalen genügen, 0'7284, und, wenn 3 Decimalen genügen, 0'728. Ein solcher Decimalbruch heißt ein abgekürzter und ist bloß ein angenäherter Ausdruck für den vollständigen Decimalbruch. Der Fehler, den man begeht, ist jedoch nicht größer als eine halbe Einheit der letzten beibehaltenen Decimalstelle. Damit man im Products zweier Decimalbrüche keine niedrigeren »stellen erhalte, als die Genauigkeit der Rechnung verlangt, bedient man 77 sich der abgekürzten Multiplikation, bei welcher man mit jeder Ziffer des Multiplikators nur jene Ziffern des Multiplicands multipliciert, deren Producte auf die verlangten Stellen Einfluss haben. Zu diesem Ende wird folgendes Verfahren angewcndet, dessen Richtigkeit leicht zu ersehen ist: 1. Man setze die Einer des Multiplikators unter jene Stelle des Multiplicands, welche im Producte die niedrigste der verlangten ist; die übrigen Ziffern werden in umgekehrter Ordnung daneben geschrieben, so dass der ganze Multiplicator umgekehrt erscheint. 2. Man multipliciere mit der ersten rechts vorkommenden Ziffer des umgekehrten Multiplikators zuerst die um eine Stelle weiter rechts stehende Ziffer des Multiplicands, schreibe jedoch dieses Product nicht an, sondern merke sich davon nur die nächsten Zehner, welche die Correctur bilden; dann multipliciere man die gerade darüber stehende Ziffer des Multiplicands, addiere zum Producte die Correctur, und fange hier das Product zu schreiben an; hieraus werden nach der Reihe auch die weiter folgenden Ziffern des Multiplicands multipliciert. Eben so multipliciert man mit der zweiten, dritten, . . . Ziffer des Multiplikators und schreibt die ein¬ zelnen dadurch erhaltenen abgekürzten Theilproducte so unter einander, dass ihre ersten Ziffern rechts genau unter einander zu stehen kommen. 3. Diese Theilproducte werden addiert und in der Summe die ver¬ langte Anzahl Decimalen abgeschnitten. Z. B. Es seien folgende Producte abgekürzt zu entwickeln: a) 35 2156 . 3 506 i>) 3 047653 . 0'000867 in 3 Decimalen. in 5 Decimalen. 352156 3047653 6053 7680000 105647 244 17608 18 211 2 123-466 0 00264 Z. 105. 1. Ein Decimalbruch wird durch eine Potenz von 10 dividiert, indem man den Decimalpunkt um so viele Stellen weiter gegen die Linke rückt, als der Divisor Nullen enthält. - io" — 10'" ' i0"l" n' 345'67 : 10 - 34'567, 3'78 : 1000 - 0 00378. 2. Decimalbrüche werden dividiert, indem man Dividend und Divisor durch Anhängung von Nullen mit gleich vielen Decimalen darstellt und dann nut Weglassung der Decimalpunkte die Division wie bei ganzen Zahlen verrichtet. a 1> — a 10*" — a, — 10-" ' 10-" - 1Ö-" ' ff - ff - a : b. 3-1452 : 1-234 31452 : 12340 -- 2'54878 . . 78 Dieselbe Vorschrift gilt auch, wenn der Dividend oder der Divisor eine ganze Zahl ist. Praktisch verfährt man einfacher nach folgenden Regeln, deren Richtigkeit von selbst cinleuchtet: rch Ein Decimalbruch wird durch eine ganze Zahl divi¬ diert, indem man ihn wie eine ganze Zahl dividiert und im Quotienten den Decimalpunkt setzt, bevor man die erste Decimalziffer des Dividends in Rechnung zieht. Z. B. 487-75 : 25 - 19 51 237 12 7 25 0 6) Eine Zahl wird durch einen Decimalbruch dividiert, indem man im Dividend und im Divisor durch Multiplication mit der entsprechenden Potenz von 10 den Decimalpunkt so verschiebt, dass der Divisor eine ganze Zahl wird, und dann die Division nach der Regel a) ausführt. Z. B. 0 05496 : 36 84 - 5 496 : 3684 - 0'00149 . . 34461 : 0'63 - 3446100 : 63 - 54700. Zusatz. Aus den voranstehenden Sätzen folgt: Die Ziffernreihe des Quotienten hängt bloß von der Ziffernreihe des Dividends und jener des Divisors ab; man erhält daher die auf einander folgenden Ziffern des Quotienten, wenn man im Dividend' und im Divisor die Decimal- punkte ganz unberücksichtigt lässt und die Division wie bei ganzen Zahlen verrichtet. Um dann den Rang der Ziffern des Quotienten zu bestimmen, denkt man sich den Divisor unter den ersten Theildividend gesetzt; der Rang derjenigen Stelle des Dividends, unter welcher die Einerziffer des Divisors steht, gibt den Rang der ersten Ziffer im Quotienten an; durch den Rang dieser Ziffer ist aber auch der Rang der übrigen Ziffern bestimmt. Z. B. u) 9142-2326 : 34'9 - 2 . . 6) 3'4856 : 83 7 - 0'04 . . 349 837 In -0 steht die Einerziffer 4 des Divisors unter der Ziffer 1 des Dividends, welche Hunderte bedeutet; also bedeutet auch die erste Quotientenziffer 2 Hunderte. In d) steht die Einerziffer 3 des Divisors unter der Ziffer 8 des Dividends, welche Hundertel bedeutet; also bedeutet auch die erste Ziffer 4 des Quotienten Hundertel. 8- 106. Um in dem Quotienten zweier Zahlen mit Vermeidung jeder überflüssigen Rechnung nur so viele Ziffern zu bestimmen, als ihrer Merläsftg sein sollen, bedient man sich der abgekürzten Division. Diese besteht in folgendem Verfahren: 1. Man suche die erste Ziffer des Quotienten und bestimme ihren Rang (Zusatz zu Z. 105). Da der Quotient eine bestimmte Anzahl Decimalen enthalten soll, so ist aus dem Range der ersten Ziffer auch bekannt, wie viele Ziffern der verlangte Quotient im Ganzen haben soll- 79 2. Man schneide im Divisor von der Linken angefangen so viele Ziffern ab, als ihrer der gesuchte Quotient enthalten soll; diese bilden den abgekürzten Divisor. Hat der Divisor nicht so viele Ziffern, als ihrer abgeschnitten werden sollen, so tritt die abgekürzte Division erst später im Verlaufe der Rechnung ein. 3. Man behalte auch im Dividend nur so viele Ziffern von der höchsten angefangen, als ihrer der Quotient haben soll, oder um eine mehr, wenn der abgekürzte Divisor in eben so vielen höchsten Ziffern des Dividends nicht enthalten ist; jene beibehaltenen Ziffern sind der ab¬ gekürzte Dividend. 4. Man dividiere nach der gewöhnlichen Divisionsweise so lange fort, bis die letzte Ziffer des abgekürzten Dividends herabgesetzt wurde; hierauf schneide man bei jeder folgenden Division die niedrigste noch vor¬ handene Ziffer des Divisors ab; die jedesmal gefundene Ziffer des Quo¬ tienten multipliciere man dann zuerst mit der höchsten im Divisor weg¬ gelassenen Ziffer und zähle die aus diesem Producte erhaltenen Zehner als Correctur zu dem ersten eigentlichen Producte dazu. 5. Dieses Verfahren wird fortgesetzt, bis sich im Divisor keine Ziffer mehr vorfindet. Z. B.: 3 Decimalen. 3 Decimalen. 876 54,38 : 1.8 ,9,5.79 - 46'236 8'91.25 : 9,4'75 - 0'094 118 22 ' 39 448 1 69 12 1 Aufgaben. 4. Verwandle folgende endliche Decimalbrüchc in gemeine Brüche: -0 0'25, ll) 0'75, o) 3'072, 6) 5'725, s) 0'0024, y 8'0875. 5. Verwandle folgende rein periodische Decimalbrüchc in gemeine Brüche: a) 0'6, 6) 5'4, o) 0'21, 6) 6'06, e) 4'243, k) 0'4378. 6. Verwandle folgende gemischt periodische Decimalbrüchc in gemeine Brüche: a) 0'26, Id) 2'351, o) 4'413, ä) 0'1245, s) 0'79324, H 7-29074. 80 7. 32 38 43-49 4- 21'27 4- 78'04 4- 49'83. 8. 5-273 9. 0-7619 10. 13 58 11. 233182 0-689 0-7988 6'376 9 305 5035 05225 420457 0'2649 4 621 08098 86'93 68'16804 Addiere folgende Decimalbrüche zuerst in verticaler, dann in hori¬ zontaler Richtung: s) st) o) -fl o — a) für a - 1-30785, 6 - 2'09122, o - 2'80116. 52.. Dividiere a) 327-4, 6) 58'06, o) 9-233, 3) 0 5942 durch 10, 100, 1000, 10000. 53. 384 : 4. 54. 0'2244 : 6. 55- 0-25673 : 7. 56. 268'8 : 32. 57. 0'675 : 17. 58. 7-74772 : 109. 59. 71-541 : 09. 60. 0 3197 : 27'8. 61. 4735 02 : 0 53. 62. 05976 : 0 083. 63 - 2 0093724 : 0'0054. 64. 309644 : 38 9. 65. 1'6820736 : 2'256. 66. Die Erde legt bei ihrer Bewegung um die Sonne in 1 Stunde 14787'68 geogr. Meilen zurück; wie viel a) in 1 Minute, b) in 1 Secunde? Bestimme nach der abgekürzten Division: 67. 45-12345 : 3'8265. (3 Dec.) 68. 986'256 : 127'85. (2 Dec.) 69. 13 794 : 28'376. (4 Dec.) 70. 0'7123 : 43'566. (4 Dec.) 71. 75406 : 0'649. (2 Dec.) 72. 3'1416 : 7-825. (3 Dec.) 73. 7-24257 : 19 14. (3 Dec.) 74. 0-436861 : 18547. (4 Dec.) , 75. 1 Kilogramm — 1-785523 Wiener Pfund; wie viel Kilogramm beträgt 1 Wiener Pfund? (5 Dec.) 76. Aus einem halben Kilogramm feinen Goldes werden 86'1111 Achtguldcnstücke oder auch 68-2831 englische Sovereigns geprägt; wie viel Achtguldenstücke ist ein Sovereign wert? (3 Dec.) III. MederHoümgsaufgaöen. 1? Wie viel kosten 45 L 20 kr. ? (20 kr. — 1 fl.) 2?' Wie viel kosten 64 Liter, wenn 1 Liter a) 10 kr", 6) 20 kr., <0 25 kr., 6) 50 kr. kostet? 3. * Wie viel betragen 48 Meter L 30 kr. ? (30 kr. — s fl. -fl fl.)_ 4. * Wie viel kosten 127 Stück s. 15 kr., s. 24 kr., n 35 kr., -t 60 kr., g, 75 kr.? Močnik, Arithmetik fiir Lehrerbildungsanstalten. 6 82 5. Verwandle in Decimalbrüche die gemeinen Brüche: a) d) c-) -V, 6) L-, e) N, k) 6. (59'302 - 27-8775) . 3 32. 7. 8137526 . 3044891 . 7 628573. (6 Dec.) 8. 68 0124152 : 7 961. 9. 00552861 : 0 423. 10. (5x? — 2x» — 3x2 _ 2x -j- 7) (6x° -f- 4x — 7). 11 1?x-1-127 3^-77 , 2x -37 ' x -f- 7 x -j- 7 x -f- 7 ' . o 8 m ^x uv . o 4x^ . 5^7° 5ll27 ' 4mx' ' 352 3x2 14. Suche das gr. g. Maß von a) 11467 und 16031; d) 2370, 56485 und 47005. 15. 893z : 23^. 16. 33^ . 37^. 17. Multipliciere a) 45, 6) 98, e) 16z mit 50. 18. Multipliciere a) 36, 5) 48, 0) 120 mit 12z. 19. Multipliciere a) 24, 6) 81, 0) 135 mit 33z. «2 -I- >>2 20. a -j- 6 - —. 21. x- - 72 - a. -f- 0 ^^6-4- 3x2 2 — 3x2 9 — 4^- — 3 4x-- 72^2 sx 3x2^ r2a 3x4 " 12 167 - (3 " ^1' (50 - M). (12z ^0). (33! - ^00), -2x-y2- 7» >.2 , ^,2 24. Um wie viel wird der Bruch größer oder kleiner, wenn man a) zum Zähler und Nenner 1 addiert, 6) vom Zähler und Nenner 1 subtrahiert. 9 5 >' 4-4-4- 96 >> 4- 4- 27 > 22 SV 45 > V0 4^ so- 4Y. 4g 4 z 7^2 1^ ^z- 27? z Meter kosten 2 fl. 36 kr.; wie viel kostet 1 Meter? 28? Nachdem von einer Summe 16 fl. ausgegeben, besaß er nur noch z von dem, was er anfangs hatte; wie viel hatte er anfänglich? 30. (27a« — 33i?l) — 45r?p!- _j_ 71^-3» 36^s 16k«) : (9a» — 2r?b — 5^2 _s_ 4P-). Jünster Aö schnitt. Gleichungen des ersten Grades mit einer Unbekannten. Z. 107. Die Gleichstellung zweier Zahlenausdrücke, welche denselben Wert haben, wird eine Gleichung genannt. Z. B. x - x, (x -f- 2) (x — 2) x^ — 4, 7x - 6 - 5x. Die Ausdrücke zu beiden Seiten des Gleichheitszeichens heißen Lcheil e der Gleichung und können einzeln wieder aus mehreren Gliedern bestehen. Z. B. In der Gleichung 7x — 6 — 5x ist 7x — 6 der erste, und Theil; der erste Theil besteht aus zwei Gliedern 7x Man unterscheidet identische und Bcstimmungsgleichungen. Gleichungen, welche für jeden Wert der darin vorkommenden noch unbestimmten Größen richtig sind,, heißen identische Gleichungen. ^>o haben die Gleichungen x — x und (x -j- 2) (x — 2) — x^ — 4 rhre Richtigkeit, man mag für x was immer für einen Wert setzen. Jede Formel für eine arithmetische Operation bildet eine identische Gleichung. Gleichungen, welche nicht für alle, sondern nur für bestimmte Werte der darin vorkommcndcn Unbekannten richtig sind, heißen Bestim- wungsgleichungen. So ist die Gleichung 7x — 6 — 5x eine Bestimmungsgleichung, da ihr nur der Wert x — 3 Genüge leistet. Jede Bestimmungsgleichung drückt eine Bedingung aus, welche die in ihr enthaltenen unbekannten Zahlen erfüllen sollen. Die Werte der Unbekannten, welche einer Bestimmungsgleichung Genüge leisten, heißen die Wurzeln dieser Gleichung. So ist 3 eine Wurzel der Gleichung 7x — 6 — 5x, weil sie statt x in die Gleichung 'ubstituirt derselben Genüge leistet. Die Wurzeln einer Gleichung bestimmen, heißt die Gleichung °uflös en. Nach der Anzahl der Unbekannten, welche in einer Gleichung vorkommen, unterscheidet man Gleichungen mit einer, mit zwei und wit mehreren Unbekannten. Z. B. 7x — 3 - 4x ist eine Gleichung mit einer, 5x — 3^ — 8 eine Gleichung mit zwei, 7x - — 02 -t- 5 eine Gleichung mit drei Unbekannten. Eine Gleichung, in welcher keine der Unbekannten in einer höheren als der ersten Potenz und auch kein Product mehrerer Unbekannten vor- vmmt, heißt xjne Gleichung des ersten Grades. 6* 84 Eine Gleichung, welche außer den Unbekannten nur besondere Zahlen enthält, heißt eine numerische oder Ziffergleichung; z. B. 7x — 6 - 5. Eine Gleichung, welche außer den Unbekannten auch allgemeine Zahlen enthält, heißt eine Buchstabcngleichung; z. B. LX — l) — ox -j- Aus 3x — 16 — 5x folgt 3x -s- 5x — 16; „ x-f-3— 8 „x— 8 — 3. In der ersten Gleichung wurde zu beiden Theilen 5x addiert, in der zweiten von beiden Theilen 8 subtrahiert. Auch kann man gleiche Glieder in beiden Theilen weglassen. Z. B- Aus 5x — 3r^6-s-3x — 3 folgt bx — 6 -s- 3x. 2. Jede Gleichung, in welcher Brüche vorkommen, kann von den Nennern befreit werden, indem man beide Theile mit einem gemein¬ schaftlichen Vielfachen der Nenner multipliciert. Z. B. Aus -1-2 folgt x - 4 - 8; „ Z — — 11 „ 4x — 15x — 66. 3. Ein Factor des einen Theiles kann als Divisor in den andern Theil gesetzt werden. Z. B. Aus 7x — 35 folgt x — oder x — 5. 8- 109. Aus den in Z. 108 angeführten Sätzen ergibt sich für die Auflösung der Gleichungen des ersten Grades mit einer Unbekannten folgendes Verfahren: 85 1. Wenn die Gleichung Brüche enthält, so werden diese weggeschafft, indem man beide Theile der Gleichung entweder nach einander mit jedem Nenner, oder sogleich mit dem kleinsten gemeinschaftlichen Vielfachen aller Nenner multipliciert. (Wegschaffung der Brüche.) 2. Kommen in der Gleichung zusammengesetzte, durch Klammern verbundene Ausdrücke vor, so werden die durch Klammern angezeigten Operationen wirklich ausgeführt. (Auflösung der Klammern.) 3. Es werden alle Glieder, welche die Unbekannte enthalten, in den ersten Theil der Gleichung gebracht und zusammengezogen; die bekannten Glieder dagegen werden in den zweiten Theil übertragen und ebenfalls reducicrt. (Transponieren und Rcducieren.) 4. Man befreit die Unbekannte von ihrem Coefficicnten, indem man beide Theile der Gleichung durch denselben dividiert. (Division durch den Coefficicnten der Unbekannten.) Um sich von der Richtigkeit der Auflösung zu überzeugen, sub¬ stituiert man den gefundenen Wert für die Unbekannte in der gegebenen Gleichung und reduciert dann die Ausdrücke in beiden Theilen. Erhält man beiderseits dieselbe Zahl, d. i. wird die Gleichung zu einer identischen gemacht, so ist die Auflösung richtig. Beispiele. 1) 4x -ft 5 - 17. Auflösung: 4x — 17 — 5 Probe: 4 . 3 -s- 5 — 17 4x - 12 12 Z- 5 - 17 x — 3. 17 — 17. 2) - 2x - 36. o Aust.: X I^ lOx - 180 .20 M x - 10x m - 180 Probe: - 2 . 20 - 3b - 9x - — 180 4 - 40 — 36 x — 20. 4 — 4. 3) 6 (2x — 5) — 5x -s- 12. Aust.: 12x — 30 — 5x -ft 12 Probe: 6. (2.6 — 5) — 5.6 -ft 12 12x - 5x - 12-ft 30 6. (12 —5) - 30-ft 12 7x - 42 6 . 7 - 42 x m 6. 42 m 42. Aufgaben. 1. 5x -ft 4 19. 2. 3x — 4 — 20. 3. 70 — 3x — 40 4. 42x — 35 - 75. 5. 92 — 27> - l'l. 6. 29 - 62 — 13. 7. 7x -ft 8 — 5x -ft 18. 8> 17 -ft 8x — 71 — x. 9. 39x — 168 24x -ft 42. 10. 5/ - 60 - 324 - 19/. 11. 5? — 40 — 82 — 73. 12- 47x — 155 - 35x — 25. 13. 2x -ft 2 - 2x — 3 -ft 5x. 14- 14)- —23-ft 177-24/-ft 109. 86 15. 2x — 11 4- 2x — 5x -4 7 - 7x — 7. 16. 155 - 3x — 27 - 35 — 17x 4- 138 — 13x. 17. a -j- x — 6. 18- a — x — ir. 19. ax 4- 5 — v. 20- ax — 6 — ex — ä. 21. 3» — 4x — 9a -s- 65 — 6x. 22. 2g. — 5/ k — 47. 23- a^x -i- ax — g.6x — s. — 6 -j- 1. 24- 6ax — 7ao 3ax — 5sb — 2ax -j- 2s.6. 25. 7 (x - 5) - 35 -s- 7. 26. 5 (3 -j- x) 4- 16 - 61. 27. 20 - (7 — 4) - 2/. 28. 9 (2x - 7) - 5 (4x - 15). 29. 2 (x - 7) - 3 (8 — x) 4- 22. 30. 3 (7 - 82) 4- 7 (4^ - 3) - 1. 31. 8x 4- 5 (2x — 1) - 2 (x 4- 4-) — 5. 32. 2 (2x - 19) 4- 3 (x — 3) - 2 (x — 1). 33. 22 (x 4- 1) — 8 (x 4- 7) - 5 (x -I- 5) — 32. 34. 3 (5 4- x) — 2 (x 4- 6) - 3 (2x 9- 9) - 9 (4 x). 35. 12 (3x — 7) - 3 (2x 4- 28) - 15 (16 — 2x) 4- 4 (18 - 5x). 36. (x — 1) (x 4- 1) — 4- 4- 1. 37. (5 4. x) (4 - x) - (3 - x) (x 4- 2) 4- 22. 38. 2 !3 (37 — 4) - 8j 4- (II7 - 15) - 2 (5 — 27). 39. 5 )3 4- (2x - 7)j — 7 (x 4- 5) 4- 1 - 3 !4 (3 - x) — x^ - 60. 40. a (x — d) - d (a — x) — 0. 41. ? (> — 9) 4- 9 4~ p) - m. 42. IN (x — n) — n (x — 6) — (s. 4- 5) X. 43. 2a (s, — x) 4^ (ki — 6) x — 4- 6". 44. 2 (2 — 2a) — (b — 2)2 — 31>2 — 4»2. 87 59. 61. s, L. 2 X 64-X--Z 66.. .. 1 14 - x4-1 , 7x —2 4 " 15 x — 5' 2 5x —^1 x — 3 ' X- — 9 - 1- — 7 x — 9' _ —7 3 3^ 4 ' Wx4- 1 - 6x^3 8 - 3x — 4 9 ' 11 4 29 _ 70 — 9 x 24 3(x — 8) ' x , x 74.- 6 - - a b 76 4- o - I 78. i 2 8) x — x — 6 IN — NX k n — xZ-m' 79. o X — 6 — a . n — 6 n 4- 6 L/I /i , a — i>i b/ a V 63- i« - 16 — x x4-3 x — 3 5 9 " 3^4-5 22-1 4 - 13 — x 60. -^- 5 62. x "O 2 n 4- 6 a — 6 65. — 5x - 67 w^ 4--1 .3)- - 2 '3(^-!-i) ^4-1' I 2 , 22 , 82 SS. - z I- j- 70 2 _4x -s-5 > 3 6 71. 4- >' >' " ' 2 3 4 79 2x -^13 2x — 12 2(^7"8> x^ 8^ 73.^ e m 2. Anwendung der Gleichungen. 8- 110. In jeder Aufgabe werden gewisse Bedingungen angegeben, denen die zu suchenden Zahlen genügen sollen. Die Lehre über die An¬ wendung der arithmetischen Gesetze auf die Lösung von Aufgaben, indem man die Beziehungen zwischen den unbekannten und bekannten Zahlen durch Gleichungen ausdrückt und aus diesen die Werte für die unbekannten Zahlen sucht, heißt Algebra. Das Geschäft der Algebra bei der Auf¬ lösung von Aufgaben ist daher ein zweifaches: 88 1. Der Ansatz der Gleichungen, d. i. die Übertragung der Bedin¬ gungen der Aufgabe aus der gewöhnlichen Wortsprache in die algebraische Zeichensprache; 2. die Auflösung der gebildeten Gleichungen. Für das Ansetzen der Gleichungen können keine allgemeinen Regeln gegeben werden; es ist das Werk des Scharfsinnes und kann nur durch vielfältige Übung geläufig gemacht werden. Anfängern kann folgende Regel als einigermaßen leitende Vorschrift dienen: Man betrachte die gegebene Aufgabe vorläufig als aufgelöst und behandle die Unbekannte so, wie es die Bedingungen der Aufgabe erfordern; dadurch erhält man für eine und dieselbe Größe zwei verschieden geformte Ausdrücke, welche einander gleichgestellt die verlangte Gleichung geben. Einfachere Aufgaben lassen sich auch ohne Ansatz einer Gleichung durch bloße Verstandesschlüsse im Kopfe auflösen. Um sich von der Richtigkeit der Auflösung einer Aufgabe zu über¬ zeugen, untersuche man, ob durch den gefundenen Wert der Unbekannten auch wirklich die Bedingungen der Aufgabe erfüllt werden. B eispiele. 1. Von welcher Zahl ist der 5te Theil um 52 kleiner als die Zahl selbst? Im Kopfe. Der Unterschied zwischen einer Zahl und ihrem 5tm Theile ist der Zahl. Ist nun dieser Unterschied, d. i. s der gesuchten Zahl, gleich 52, so ist derselben 13, daher die Zahl selbst 5mal 13 — 65. Algebraisch. Ist x die unbekannte Zahl, so ist ihr 5ter Theil . Da aber um 52 kleiner sein soll als x, so muss man, um zwischen beiden eine Gleichung herzustellen, zu - noch 52 addieren; man hat also -s- 52 - x Durch Auflösung dieser Gleichung erhält man x — 65. Probe. > von 65 ist 13; 65 — 13 - 52. 2. Ein Diener soll jährlich 90 fl. und ein Kleid erhalten; nach 3 Monaten wird der Diener entlassen und erhält als Lohn das Kleid. Wie theuer wurde ihm dieses angerechnet? Im Kopfe. Erhält der Diener für 3 Monate, d. i. Jahr, das Kleid als Lohn, so muss er für die übrigen Jahre noch 90 fl., also für Jahr 30 fl. erhalten. Da er nun für diese Zeit das Kleid bekommt, w hat dieses einen Wert von 30 fl. . ", Algebraisch. Der Wert des Kleides sei x fl. Der Lohn für l Jahr beträgt also lx -f- 90) fl., daher der Lohn für 3 Monate 89 —— ft.; da nun für diese Zeit das Kleid, also X fl. im Werte als Lohn angerechnet wurde, so ist x -s- 90 x - 4 folglich x — 30 fl. 3. Jemand wurde um sein Alter gefragt und sagte: Mein Alter nach 10 Jahren wird doppelt so groß sein, als mein Alter vor 4 Jahren war. Wie alt war er? Setzt man die Anzahl seiner Jahre — x, so ist sein Alter nach 10 Jahren — x -j- 10, sein Alter vor 4 Jahren — x — 4. Da nun nach der Bedingung der Aufgabe die erste Zahl doppelt so groß sein soll als die zweite, so wird, damit man eine Gleichung er¬ halte, die zweite Zahl mit 2 multipliciert; daher ist x -s- 10 - 2 (x — 4), woraus x — 18 folgt. Probe. Alter nach 10 Jahren — 28 Jahre, Alter vor 4 Jahren — 14 Jahre, und wirklich ist 28 - 2.14. 4. Ein Vater ist 48, sein Sohn 18 Jahre alt. Nach wie viel Jahren wird der Vater 4mal so alt sein als der Sohn? Nach x Jahren. Dann hat der Vüter ein Alter von 48 -j- x, der der Sohn ein Alter von 18 -s- x Jahren. Da nun nach dieser Zeit das Alter des Vaters gleich ist dem 4fachen des Alters des Sohnes, so hat man 48 -s- x — 4 (18 -st x), woraus x - — 8 folgt. Hier erhält man für x einen negativen Wert. Da nach der Stellung der Aufgabe x Jahre künftige Jahre bedeuten sollen, so bedeutet der für x erhaltene negative Wert Jahre in einem Sinne, welcher dem ursprünglich in die Aufgabe gelegten entgegengesetzt ist, (Schlussabsatz zu 8- 58,) also 8 vergangene Jahre, d. i. der Vater war vor 8 Jahren 4rnal so alt als sein Sohn. 5. Ein Wasserbehälter kann durch eine Röhre in 3, durch eine zweite m 4 Stunden gefüllt werden. In wie viel Stunden wird der Behälter voll, wenn beide Röhren zugleich geöffnet sind? Man setze die gesuchte Zahl der Stunden — x und den Inhalt des Behälters — v. Die erste Röhre allein füllt in 1 Stunde-^-, also in x Stunden-^-; die zweite Röhre füllt in 1 Stunde also in 90 x Stunden : beide Röhren füllen also in x Stunden st- Da diese Summe dem Inhalte v des ganzen Behälters gleich sein soll, , , vx , vx . so hat man —st — v, oder woraus x — 1^ folgt. 6. Einem Boten, der vor 2 Tagen von einem Orte abgieng und täglich 49 Kilometer zurücklcgt, wird von demselben Orte aus ein zweiter Bote nachgeschickt, der täglich 77 Kilometer macht. In wie viel Tagen wird der zweite Bote den ersten einholen? Im Kopfe. Der erste Bote hat in 2 Tagen 2mal 49 — 98 Kilo¬ meter zurückgelcgt, ehe der zweite abgieng: da nun dieser täglich 77 Kilo¬ meter, also um 28 Kilometer mehr macht als der erste, so wird die Ent- 98 fernung beider täglich um 28 Kilometer kleiner, also nach — Reise- tagen gleich 0, d. h. der zweite Bote wird den ersten in 3^ Tagen einholen. Algebraisch. Ist x die Zahl der Tage, nach denen der zweite Bote den ersten einholt, so reiset bis zum Zusammentreffen der erste Bote 2 -s- x, der zweite x Tage; daher wird von dem ersten Boten die Strecke 49 (2 -st x), von dem zweiten die Strecke 77x Kilometer zurückgelegt. Da nun die beiden Strecken gleich sein müssen, so ist 49 e2 st- x) - 77x, daher x — 3^ Tage. Aufgaben. Die mit einem Sternchen bezeichneten Aufgaben sind sowohl im Kopfe als algebraisch zu lösen. 1-* Das 5fache einer Zahl, vermehrt um 23, ist gleich 88. Welche Zahl ist es? 2. * Zu welcher Zahl muss man 54 addieren, um ihr 4faches zu erhalten? 3. * Welches ist die Zahl, deren 8faches um 42 kleiner ist als ihr 5faches ? 4. * Es ist einerlei, ob man eine Zahl 3mal nimmt, oder ob man sie um 3 vergrößert. Welche Zahl ist es? 5. Wenn man n zu dem infachen einer Zahl addiert, so erhält st"hl stt" s? wenn man von ihrem «fachen d subtrahiert. Welche 6. * Welche Zahl ist es, deren 4ter Theil, um 12 vermindert, ihren 12ten Theil gibt? 7. * Von welcher Zahl ist der 5te Theil 8mal genommen uw 6 größer als die Zahl selbst? 91 8.* Die Hälfte und das Fünftel einer Zahl sind zusammen uni 86 kleiner als das 5fache der Zahl. Wie groß ist diese? 9-* Von welcher Zahl ist der 8te Thcil vermindert um den lOten Thcil gleich dem um 5 verminderten löten Theile? 10* Addiert man zu einer Zahl ihre Halste, ihren dritten und 4tcn Theil, so erhält man 100. Welche Zahl ist es? 11. Wenn ich zu einer Zahl a addiere und die Summe durch m dividiere, so erhalte ich denselben Quotienten, als wenn ich von der Zahl b subtrahiere und die Differenz durch w dividiere. Welches ist die Zahl? 12. Durch welche Zahl muss man 230 dividieren, damit man 13 zum Quotienten und 9 zum Reste erhalte? 13. Ich denke mir eine Zahl. Multipliciere ich sie mit ö, sub¬ trahiere von dem Producte 6, dividiere die Differenz durch 3 und addiere zu dem Quotienten 10, so erhalte ich das Doppelte der Zahl. Welche Zahl habe ich mir gedacht? 14- Wenn man den dritten Thcil einer Zahl um 1 vermehrt, und das doppelte der Summe um 6 vermindert, so erhält man 0. Welche Zahl ist cs? 15. Welche Zahl muss man von jeder der zwei Zahlen 19 und 11 subtrahieren, damit die erste Differenz doppelt so groß sei als die zweite? 16. Welche Zahl muss man zu dem Zähler und dem Nenner des Bruches addieren, damit man den Bruch § erhalte? 17. Welche Zahl muss man von -dem Zähler und dem Nenner des Bruches subtrahieren, damit man den Bruch § erhalte? 18. Welche Zahl muss zu dem Zähler des Bruches addiert, und von dem Nenner desselben subtrahiert werden, damit man den um¬ gekehrten Bruch des früheren erhalte? 19. Subtrahiert man von dem Zählerund dem Nenner des Bruches !° eine bestimmte Zahl, so ist das Product aus dem gegebenen und dem neuen Bruche gleich °. Welche Zahl ist es? 20. Addiert man zu einer Zahl ihre Hälfte und 6, zu der Summe wieder die Hälfte derselben und 6, so erhält man 69. Wie heißt die Zahl? 21. * Man verminderte eine gewisse Zahl um ihre Hälfte und noch 15, den Rest wieder nm den dritten Theil desselben und 10, und behielt so nur noch 30 übrig. Wie groß war die Zahl? , Im Kopfe. Da man zuletzt den dritten Theil des Restes und 10 wegnahm, s° blieben 4 desselben weniger 10 übrig; also sind 30 4- 10 oder 40 gerade - des »sten Restes; sind aber 4 des Restes - 40, so ist 4 desselben --- 20, nnd der ganze erste Rest 3mal 20 - 60 Da nun dieser die nm 15 verminderte Halste der unbe¬ kannten Zahl ist so muss 60 4- 15 oder 75 die Hälfte dieser Zahl, also die ganz- unbekannte Zahl 2mal 75 -- 150 sein. 22. * hat 315 fl., 0 205 fl.: wieviel muss dem 8 abgeben, damit beide gleich viel haben? 92 23. Hätte ich 20 fl. mehr, als ich habe, so würden mir gerade noch 5 fl. auf das Doppelte von dem, was ich habe, fehlen. Wie viel Geld habe ich? 24. Von einer Ware, welche 320 wog, wurde ein Theil ver¬ kauft und es blieben noch 50 Ir». mehr übrig, als verkauft wurden. Wie viel Lx. wurden verkauft? 25. * Ein Knabe gibt von seinen 60 Nüssen einem andern eine gewisse Anzahl und behält selbst noch 4mal so viel, als er verschenkt hatte. Wie viel Nüsse hat er weggcgeben? 26* Von den jährlichen Einkünften verwendet Jemand die Hälfte auf Kost und Miete, den 8ten Theil auf Kleidung und Wäsche, den 5ten Theil auf Nebenauslagen, und erspart noch 260 fl. Wie groß ist sein jährliches Einkommen? 27. Ein Reisender wird gefragt, wie viel Kilometer er zurückgelegt hat. Er gibt zur Antwort: wenn ich 48 Kilometer mehr zurückgelegt hätte, so würde ich 3mal so weit gekommen sein als jetzt. Wie viel Kilometer hat er zurückgelegt? 28* Jemand wollte für ein bestimmtes Geld Wein kaufen, die Flasche zu 90 Kr.; da die Flasche nur 70 kr. kostete, so erhielt er für dasselbe Geld 8 Flaschen mehr. Wie viel Flaschen erhält er? 29-* Ein Lehrer gab auf die Frage, wie viel Schüler er habe, fol¬ gende Antwort: die Hälfte meiner Schüler beträgt 16 mehr als der sechste und neunte Theil derselben. Wie viele Schüler hatte er? 30. Ein Vater ist 32, sein Sohn 2 Jahre alt; nach wie viel Jah¬ ren wird der Vater gerade 3mal so alt sein als sein Sohn. 31. Ein Vater ist 60, sein Sohn 24 Jahre alt; vor wie viel Jah¬ ren war der Vater 4mal so alt als der Sohn? 32. Jemand wurde nach seinem Alter gefragt. Er antwortete: nach 12 Jahren werde ich 4mal so alt sein, als ich vor 12 Jahren war. Wie alt ist er? 33. Ein Vater, welcher vor 8 Jahren 5mal so alt war als seine Tochter, ist jetzt 45 Jahre alt; wie alt ist die Tochter? 34. * Ein Menschenfreund wollte eine Summe, die er eben bei sich hatte, unter 10 Arme Vertheilen. Gibt er jedem 20 kr., so hat er eben so viel zu wenig, als er zu viel hat, wenn er jedem nur 18 kr. geben will. Wie viel Kreuzer hatte er bei sich? 35-' Als man ein Buch druckte, setzte man 36 Zeilen ans die Seite und 40 Buchstaben in die Zeile; hätte man auf die Seite 4 Zeilen mehr und in die Zeile 5 Buchstaben mehr gesetzt, so würde man 2 Bogen ge¬ spart Haden. Wie viel Bogen beträgt die Stärke des Buches? 36. Um eine gewisse Strecke zurückzulegen, brauchte ein Eisenbahn¬ zug 4,s Stunden; er würde jedoch nur 3z Stunden gebraucht haben, wenn er in jeder Stunde 9j Kilometer mehr" zurückgelegt hatte. Wie viel Önometer hat der Zug stündlich zurückgelegt? 93 37. * Wenn man von einer Summe die Halste wcgnimmt, von dem Reste wieder die Hälfte und von dem neuen Reste nochmals die Hälfte, so bleiben 37 st. übrig. Wie groß war die anfängliche Summe? 38. Ein Spieler verliert im ersten Spiele 6 st. weniger als -! seines Geldes, im zweiten Spiele 2 st. mehr als z des Restes, im dritten Spiele 8 st. mehr als z dessen, was ihm nach dem zweiten übrig ge¬ blieben war, und hat nun 28 st.; wie viel hatte er Anfangs? 39. Bei einem Verkaufe löst man 2744 st. und gewinnt dabei der Einkaufssumme. Wie groß ist letztere? 40. * Ein Kaufmann kaufte ein Stück Tuch, das Meter zu 3^ st.; hierauf verkaufte er dasselbe zu 4z sl. das Meter. Wenn er nun dabei 27 st. gewonnen hat, wie viel Meter enthielt das Stück? 41- Ein Gctreidehändler hat eine Quantität Weizen. Verkauft er das Hektoliter zu 10 ft., so gewinnt er im Ganzen 192 ft.: verkauft er es aber zu 9 sl., so verliert er 48 fl. Wie viel Hektoliter hat er? 42. Ein Wasserbehälter kann durch drei Röhren gefüllt werden; die ersw Röhre allein füllt das Gefäß in 4 Stunden, die zweite allein in 6 Stunden, die dritte allein in 12 Stunden. In wie viel Stunden wird der Wasserbehälter gefüllt, wenn man das Wasser durch alle drei Röhren zugleich fließen lässt? 43. Zwei Arbeiter sollen einen Graben von 435 Meter Länge reinigen; der eine macht täglich 42 Meter, der andere 45 Meter fertig: wann wird die ganze Arbeit fertig sein? 44. Zu einer Arbeit bieten sich zwei Personen an; 4 würde die Arbeit in 18, L in 15 Tagen liefern. In wie viel Tagen wird die Ar¬ beit durch 4 und L zusammen geleistet werden? 45. Von den Endpunkten 4 und ü einer 300 Meter langen Strecke fangen zwei Körper gleichzeitig an sich gegen einander zu bewegen, der eine mit der Geschwindigkeit von 7 Meter, der andere mit der Geschwin¬ digkeit von 5 Meter in der Minute. Wie viel Minuten nach dem Anfänge der Bewegung treffen sie zusammen? Die Summe der von beiden Körpern zur Zeit des Zusammentreffens zurück¬ gelegten Strecken ist gleich der Entfernung der Punkte und L. 46. Welches ist das Resultat der vorigen Aufgabe, wenn statt der Zahlen 300, 7, 5 die Zahlen ck, », v gesetzt werden? 47. Von 4 geht ein Bote, welcher täglich 56 Kilometer macht, nach dem 356 Kilometer entfernten Orte L; zu gleicher Zeit geht ein zwei¬ ter Bote, welcher täglich 52 Kilometer zurücklcgt, von L nach 4 ab. Nach wie viel Tagen und in welcher Entfernung von 4 werden beide zu¬ sammentreffen ? 48. 4 und L sind durch eine Eisenbahn verbunden, deren End¬ punkte 225 Kilometer von einander absteheu. Von 4 geht gegen L ein Personenzug ab, der in jeder Stunde 30 Kilometer zurücklegt; zu gleicher Zeit geht von L gegen 4 ein Lastzug ab, der den Personcnzug nach 4z Stunden ; begegnen soll. Wie viel Kilometer muss der Lastzug in jeder Stunde zurücklegen? 94 49. * Einem Boten, der vor 3 Tagen von einem One abgieng und jeden Tag 40 Kilometer zurücklegt, wird von demseben Orte aus ein anderer Bote nachgeschickt, der täglich 60 Kilometer macht. Wann wird letzterer den ersteren einholen? 50. Um 7 Uhr Vormittags fährt von Wien auf der Westbahn ein Personenzug, um 9 Uhr Vormittags ein Schnellzug ab. Wann und in welcher Entfernung von Wien wird der Schnellzug den Personenzug ein¬ holen, wenn der erstere in jeder Stunde 42, der letztere 26 Kilometer zurücklegt? 51? Ein Courier geht nach und macht täglich 12 Meilen; einen Tag später wird ihm ein zweiter Courier nachgeschickt; wie viel Meilen muss dieser zurücklegen, damit er den ersten Courier in 4 Tagen einhole? 52. Einem Boten, der von aus vor 6 Tagen abgieng und täg¬ lich 48 Kilometer zurücklegt, wird von 6 aus, welchen Ort er berührte, ein zweiter Bote nachgcsendet, welcher täglich 75 Kilometer macht. In wie viel Tagen wird dieser den ersten einholen, wenn die Entfernung zwischen und L 100 Kilometer beträgt? 53. Von L aus fährt in der Richtung gegen 0 ein Postzug, welcher in jeder Stunde 24 Kilometer zurücklcgt; zu gleicher Zeit fährt von aus, welcher Ort 36 Kilometer hinter 8 liegt, in derselben Richtung ein Schnell¬ zug, welcher den Postzug in 3 Stunden erreicht. Wie viel Kilometer legt der Schnellzug in einer Stunde zurück? 54. Zwei Körper bewegen sich nach derselben Richtung, der erste von aus, der zweite von dem 2 Meter hinter gelegenem Orte ö aus; außerdem beginnt der zweite seine Bewegung 6 Secunden später als der erste. Nach wie viel Secunden vom Abgänge des zweiten an gerechnet wird dieser den ersten einholen, wenn der erste in jeder Secunde -s- Meter, der zweite Meter zurücklegt? 55. Wie stellt sich das Resultat der vorigen Aufgabe, wenn statt der Zahlen 2, 6, A die Zahlen ci, t, a, 6 gesetzt werden. 56- Zwei Körper fangen gleichzeitig an sich auf der Peripherie eines Kreises von demselben Punkte aus nach derselben Richtung zu bewegen; der eine durchläuft die Peripherie in 24, der andere in 18 Minuten. Wie viel Minuten nach dem Anfänge der Bewegung treffen sie wieder zusammen? 57. Wie viel Zeit verfließt von einem Zusammentreffen der beiden Zeigereiner Uhr bis zum nächsten Zusammentreffen derselben? 58. Wie viel Minuten nach 4 Uhr wird der Minutenzeiger einer Uhr über den Stundenzeiger zu stehen kommen? 95 III. Mederßoümgsaufgaben. 1? a) 56.3-1- 38.4; 6)36.9-1-74.4; o) 97.3-1-65.8. 2. * a) 96.4 — 54.5; 6) 98.3 — 24.9; o) 81.9 — 69 . 6. 3. * a) ^.255 -j- 111; 5) 2.175-^^.276; 1 5 o) g . 512 -j- . 264. 4. * u) ? - 340 - . 448; b) . 486 - -Z . 546; e) . 280 - . 108. o sj 7 5. (1745 -j- 48-354 Z- 8'702 -j- 00089 — 56'2059) . 1'84/ 4-601 0-34 O' 0-22' ' 0-682' - l« L 2--) - -b-d - 2 8. 3 (4x — 5) 4- 11 (2x 9) - 33 (x -j- 3). o 7 Z- x 10 -j- x 4 -s- x 5 13 - 7 ' 44.* Auf welcher Länge erreicht das Ansteigen einer Eisenbahn 1^ Meter Höhe, wenn dieselbe auf je 50 Meter Länge um Meter ansteigt? 42. * Addiert man das 6fache einer Zahl zu 204, so erhält man das 18fache derselben. Welches ist die Zahl? 43. Von welcher Zahl ist der 64ste Theil so groß als die Summe °us 209. t5 und 158.23? 14 2g? 5l? 9s? 55" 36« ' 4a^ 66« ' 9u«' x° -s- 5a6 — 6° s —6 a° Z- 4ui> Z- 46° a-j-26 46. 332166 : 138. 47. 3672444 : 732. 48. 5586875 : 875. 490.65.24 370.81.35 " 50 7536 ' 20- 280 . 63 350.120.175 360.125 ' 96 22. Um wie viel wird der Bruch größer oder kleiner, wenn man im Zähler und Nenner a) die letzte, b) die zwei Ziffern rechts weglässt? s2^ -i- 3x f« i2a — 3xi /-3a 2b , o/^2g, , 3b 4a4 s iz 4 st L-b" ' a- b« ^b- / 26- -Ein Mann hat seinen Verwandten^ seines baren Vermögens, dem Armeninstitutc von dem Reste und seiner Haushälterin die noch übrigen 225 fl. vermacht; wie viel beträgt die bare Hinterlassenschaft dieses Mannes? 27- Ein Wasserbehälter kann durch eine Röhre in 4^, oder durch eine zweite in 5- Stunden gefüllt, durch eine dritte dagegen m 13^ Stun¬ den entleert werden; in wie viel Stunden wird der leere Behälter unge¬ füllt, wenn alle drei Röhren zugleich geöffnet sind? Sechster Abschnitt. Verhältnisse und Proportionen. 1. WerMnifse. 8- 111- Die Division als Theilung führt auf die Brüche; die Divi- Messung einer Zahl durch eine zweite führt auf den Begriff eines -Verhältnisses. Unter dem Verhältnis zweier Zahlen oder zweier gleich¬ artiger Größen a und i> versteht man einen Ausdruck, welcher anzeigt, wie vielmal so groß a ist als st, oder wie oft b in a enthalten ist. Das Verhältnis der Größen a und 5 bezeichnet man daher durch das zwischen oeide gesetzte Divisionszeichen, also durch a: l>, welches gelesen wird: u verhält sich zu l>, oder kürzer: a zu b. Dividend und Divisor heißen ^"bder des Verhältnisses, und zwar der Dividend das Vorderglied, oer Divisor das Hinterglied. Ist a : l> — q, so heißt die unbenanntc Zahl o der Quotient (Exponent) des Verhältnisses a : b. Z. B. In der" Verhältnisse 8 : 2 ist 8 das Borderglied, 2 das Hinterglicd und 4 Die Größe eines Verhältnisses hängt von seinem Quotienten ab; st größer dieser ist, desto größer ist auch das Verhältnis. Zwei Verhält¬ nisse sind einander gleich, wenn sie denselben Quotienten haben; z. B. st - 2 und 12 : 3, ebenso am : a und bm : b. Wenn umgekehrt zwei Verhältnisse gleich sind, so haben sie gleiche Quotienten. Sind die Glieder eines Verhältnisses unbenanntc Zahlen, so nennt wan dasselbe ein Zahlenverhältnis; z. B. 8 : 2. Jedes Verhältnis zwischen zwei gleichbenannten Zahlen lässt sich als st" stines Zahlenverhältnis darstellen; z. B. das Verhältnis 10 sl.: 5 fl. V gleichbedeutend mit dem Verhältnisse 10 : 5, weil beide denselben Quotienten 2 haben. ,, 8- 112. Weil jedes Verhältnis als eine angezeigte Division anzu- i st en ist, sg galten alle Sätze, welche in Bezug auf den Dividend, Divisor und Quotienten bewiesen wurden, auch in Beziehung auf das Vorderglied, Hmterglied und den Quotienten des Verhältnisses. Daraus ergeben sich 'ur die Verhältnisse insbesondere folgende Sätze: jedem Verhältnisse ist das Vorderglied gleich Hinterglied multipliciert mit dem Exponenten. (Z. 45.) Mo cnik, Arithmetik für Lehrerbildungsanstalten. 7 98 2. In jedem Verhältnisse ist das Hinterglied gleich dem Bordergliede dividiert durch den Exponenten. (§. 45.) Wenn a : 5 — g ist, so ist 1) s — 5g; 2) 5 — a : g. Z. B. 10 : 2 - 5, daher 10 — 2 . 5 und 10 : 5 — 2. 3. Ein Verhältnis bleib t (seinem Werte nach) unverändert, wenn man Vorder- und Hinterglied mit derselben Zahl multipliciert, oder beide durch dieselbe Zahl dividiert (8- 50.) Z. B. 12 : 4 ist gleich dem Verhältnisse (12.2): (4.2) oder 24 :8; 12:4 „ „ „ „ (12:2): (4:2) „ 6:2. Mit Hilfe des ersten Theiles dieses Satzes kann man ein Ver¬ hältnis, dessen Glieder Brüche enthalten, durch ganze Zahlen darstellen; man braucht nur Vorder- und Hinterglied mit dem gemeinschaft¬ lichen Vielfachen der Nenner zu multiplicieren. Z. B. : 5 — — . m : 5m — s : 5m, na m . 5ä : . 5ä — sä : 5o. 5 ä 5 ä Der zweite Theil des letzten Satzes gibt ein Mittel an die Hand, ein Verhältnis, dessen beide Glieder ein gemeinschaftliches Maß haben, abzukürzen; man darf nur Vorder- und Hinterglied durch jenes Maß dividieren. Z. B. 1L) O 12 : 8 - 3 : 2, 4 4 a5m : som — 5 : o. 113- Multipliciert man in zwei oder mehreren Verhältnisse» alle Vordcrglicder, und ebenso alle Hinterglieder mit einander, so bilden die Producte ein neues Verhältnis, welches im Gegensätze zu den ge¬ gebenen einfachen Verhätnissen ein zusammengesetztes Verhältnis genannt wird. Sind z. B. s : 5 4:3 <- : ä 7 : 12 o : k 9 : 1 4 einfache Verhältnisse, so ist Los : 5äf 4.7.9:3.12.14 ein zusammengesetztes Verhältnis. Multipliciert oder dividiert man irgend ein Vorderglied und irgend ein Hinterglied in den einfachen Verhältnissen durch dieselbe Zahl, ft wird dadurch auch sowohl das Vorder- als das Hinterglied des zusammen- 99 gesetzten Verhältnisses durch die nämliche Zahl mnltipliciert oder dividiert, folglich bleibt der Wert dieses letzteren ungeändert. Aufgaben. Drücke folgende Verhältnisse in ganzen Zahlen aus: 1. » -i) § : 5, i>) äz : °) § : 2. a) 15/ö : 1?; i>) 128- - 45^- <-) 005 : 1; Drücke folgende Verhältnisse in den kleinsten ganzen Zahlen aus: 4. * a) 30 : 24, t>) 112 : 144, o) 5. a) 5 : z, d) 3? : 4z, o) 6. a) 75 : 2'5, 5) 0 625 : 05, v) 7. a) ax (in° — : all (in -st- n), st) 240 : 96; 15z : 6 - ; 3'208 : 1-28; x x . x° -- ax ' kx° 8. * Von zwei Körpern legt in jeder Minute 80 Meter, 8 96 Meter zurück; wie verhalten sich ihre Geschwindigkeiten? 9. * Der Körper legt in 8 Minuten dieselbe Strecke zurück, wie 8 in 6 Minuten; in welchem Verhältnis stehen ihre Geschwindigkeiten? 10. * Von zwei Rädern, deren Zähne in einander greifen, hat das erste 28, das zweite 36 Zähne; in welchem Verhältnis steht die Umdre¬ hungsgeschwindigkeit des ersten Rades zu jener des zweiten? 11. * Der Abstand des natürlichen Gefrierpunktes von dem Sied- Punkte ist bei dem Thermometer von Reaumur in 80°, bei dem von Celsius in 100° cingetheilt; wie verhält sich demnach 1°. R. zu 1° 0. ? 12. Welches Wcrtvcrhältnis besteht in Österreich zwischen Gold und Silber, da aus 1 Lss. feinen Goldes 172z Achtguldenstücke, aus 1 feinen Silbers 90 Gulden geprägt werden, und 1 Achtguldenstück 8, 'v Gulden in Silber gilt? 13. Wie verhalten sich die Flächen zweier Rechtecke, von denen das eine 28 Meter lang und 15 Meter breit, das andere 25 Meter lang und 16 Meter breit ist? 14. Von zwei Dampfmaschinen kann die eine in u Sccundcn st o Meter hoch, die andere in m Sccundcn n p Meter hoch heben; wie verhalten sich die Leistungskräfte dieser beiden Maschinen? 2. Proportionen. m 8- 114. Die Gleichstellung zweier gleicher Verhältnisse heißt eine Proportion. Ist g,: st - y und n: cl — g, so ist auch n : st - « : — q, so muss auch o : 6 — h sein. Daraus folgt a — ixj , 6 — 4^. Multipliciert man die erste dieser Gleichungen mit 6, und die zweite mit 6, so erhält man LV — ixi^, ko — 66^, woraus sich all — 1)0 ergibt. Der Beweis kann auch so geführt werden: Betrachtet man eine beliebige Proportion z. B. 6 : 2 — 15 : 5, und setzt darin statt eines jeden Vordergliedes das Product aus seinem Hintergliede und dem Exponenten 3, so nimmt die Proportion die Form 2.3:2 — 5 . 3 : 5 an, aus welcher ersichtlich ist, dass sowohl die zwei äußeren als die zwei inneren Glieder mit einander multipliciert, dieselben drei Factoren 2, 3 und 5 enthalten, somit auch dasselbe Product geben müssen; es ist wirklich 6 . 5 — 2 . 15 — 30. Aus dem obigen Satze folgt: In einer stetigen Zahlenproportion ist das Quadrat der mittleren Proportionale gleich dem Producte der beiden anderen Glieder. Ist s. : i) — d : o, so ist 6° — ao. Z. B. Aus 16 : 8 - 8 : 4 folgt 8° - 16 . 4. 2. Jedes äußere Glied einer Zahlenproportion ist gleich dem Producte der beiden inneren Glieder dividiert 101 durch das andere äußere Glied; und jedes innere Glied ist gleich dem Producte der beiden äußeren Glieder dividiert durch das andere innere Glied. Ist a : b — o : ä, daher aä — bo, so ist bo bo . s, — ä — —, und ci 8. . sä aä b — —, o — o b 3. Aus zwei gleichen Producten lässt sich eine Pro¬ portion bilden, wenn man jedes der beiden Producte in zwei Factoren zerlegt und die Factoren des einen Pro¬ duktes als die äußeren, die Factoren des anderen Pro¬ duktes als die inneren Glieder annimmt. (Umkehrung von 1.) Es sei aci — bo. Dividiert man jeden dieser gleichen Ausdrücke durch bä, so erhält man a,ä : bä — bo: bä, oder a : b — o : ä. Das Kennzeichen für die Richtigkeit einer Zahlcnpro- Portion ist demnach nicht nur die Gleichheit der Exponenten beider Verhältnisse, sondern auch die Gleichheit der Producte aus den beiden äußeren und aus den beiden inneren Gliedern. 8- 116. Eine Proportion auflösen Heißt, aus drei gegebenen Gliedern einer Proportion das noch unbekannte Glied finden. a) Eine Proportion wird aufgelöst, indem man den Duotienten des bekannten Verhältnisses sucht und daraus das unbekannte Glied des andern Verhältnisses bestimmt. b) Eine Zahlenproportion wird am einfachsten nach §. 115,2 Z. B. Aus x : 2 - 15 : 3 findet man a) 15 : 3 - 5, x - 2 . 5 - 10; oder b) x - - - 10; daher o 10 : 2 — 15 : 3 die vollständige Proportion. Umformung von Proportionen. 8.117. Jede Hahlenproportion bleibt richtig, wenn Man 3.) die inneren Glieder unter einander oder b) die äußeren Glieder unter einander, oder e) die inneren Glieder mit den äußeren vertauscht. Beweis: Es sei die Proportion a : b — « : ä, somit aä - ba. a) Vertauscht man in dieser Proportion die inneren Glieder, so folgt A : o - b : ä. 102 d) Durch Vertauschung der äußeren Glieder in diesen beiden Pro¬ portionen erhält man ä : b o : a. d : o — i> : a. «) Vertauscht man endlich in allen vier Proportionen die inneren Glieder mit den äußeren, so hat man i) : a — d : o, o : u — d : t>, b : d — a : o, o : d — u : ll. Dass die letzten sieben Ansätze richtige Proportionen sind, folgt daraus, dass in denselben das Product der äußeren Glieder ad und jenes der inneren do, oder umgekehrt ist, die Producte ud und do aber nach der Voraussetzung gleich sind. Es kann daher jede Proportion durch bloße Umstellung ihrer Glieder auf achtfache Art dargestellt werden. Z. 118. Eine Proportion bleibt richtig, wenn man ein äußeres und ein inneres Glied mit derselben Zahl multi- pliciert oder durch dieselbe Zahl dividiert. ad m Beweis: Ist u: d — o : 6, also ad — do, so ist auch --ä, NI 1) ani : km — o: ä am : I) — eNi : 6, 2) — : — — o : o, IN IN » :k>- in s, : d — oiu : dm, u : dm — o : dm; . o d u : b — — : —, m m d d u : — — o : — . m m Denn aus ad — do folgt sowohl udm — dom, als auch — —. Nun ist in der Proportion 1) das Product der äußeren Glieder adm, das Product der inneren dem, ferner in den Proportionen 2) das Product der äußeren Glieder das Product der inneren —; also sind m m alle diese Proportionen richtig. Durch Anwendung dieses Satzes kann man u) jede Proportion, in welcher Brüche vorkommen, mit ganzen Zahlen darstellen; d) jede Pro¬ portion, in welcher ein äußeres und ein inneres Glied ein gemeinschaft¬ liches Maß haben, dadurch abkürzen. Z. 119. In jeder Proportion verhält sich die Sumnu oder Differenz der beiden ersten Glieder zum ersten oder zweiten, wie die Summe oder Differenz der beiden letzten Glieder zum dritten oder vierten. 103 Beweis. Ist a : st — v: 3, also aä — sto, so ist auch (2 l!i d) : a — (0 7st 6) : o, und (s 7st st) : st — (0 7st ä) : 3. Diese Proportionen sind richtig, wenn in denselben die Producte der äußeren Glieder den Productcn der inneren gleich sind, d. i. wenn (a 7I7 p) . o — a . (o 7I7 ä) und (a 7st st) . 3 — st . (0 7)7 6), also L6 7st sto — ao 7I7 aä und oU -st std — sto 7)7 stll ist. Dieses ist nun der Fall, da nach der Voraussetzung aä — stv ist. 2. In jeder Proportion verhält sich die Summe der beiden ersten Glieder zu deren Differenz, wie dieSummc der beiden letzten Glieder zu deren Differenz. Beweis. Ist n: st — o : 3, so hat man nach 1. (a -st st) : g, „ (0 -st <1) : 0 und (a — st) : a — (o — ä) : o, oder, wenn man die inneren Glieder vertauscht (0. -st st) : (0 -st 3) — a : 0 und (a — st) : (o — ä) Ä : v, daher auch (a -st st) : (0 -st 6) — (a — st) : (0 — 6), und nach Umstellung der inneren Glieder (a -st st) : (a — st) — (0 -st 3) : (0 — ä). 3. In jeder Zahlenproportion verhält sichdieSumme oder Differenz der Vorderglieder zur Summe oder Diffe¬ renz der Hinterglieder, wie ein Vorderglied zu seinem Hinterglied. Beweis. Es sei a : st - 0 : ä. Vertauscht man die inneren Glieder, so hat man g, : 0 — st : ä. Dann ist nach 1. (a 7st 0) : s, — (0 7)7 ä) : st und (a 7)7 0) : 0 — (st 7st ä) : ä, und nach Umstellung der inneren Glieder (a 7I7 0) : (st -st Z) — a : st und (u 7st 0) : (b 7!l ä) — o : ä. Zusatz. Sind mehrere Zahlenverhältnisse einander gleich, so verhält sich die Summe aller Vorderglicder zur Summe aller Hinterglied er, wie ein Vorderglied zu seinem Hintergliede. Ist a : st - 0 : ä - k : A, so ist auch (a -st 0 -st 1) : (st -st <1 -st §) — u: st. Z. 120. Wennmaninzweiodermehreren Zahlenpropor- teonen die gleichstelligen Glieder mit einander multiplr- ciert, so bilden die Producte wieder eine Proportion. Es sei a : st — o : 6, also aä - sto, ferner s : 1 — A: st, „ sst — tz, endlich st : 1 - m: u, „ stn - Im. Durch die Multiplication erhält man aäsststn stotzlm. 104 Gibt man dem letzten Ausdrucke die Form a^b: . ckim — dkl. «Ain, so folgt daraus die Proportion asb : iE — vKin : cklm. Man sagt, die letzte Proportion ist aus den gegebenen zusammen¬ gesetzt. Ausgaben. Löse folgende Proportionen auf: 21.- . 22.x :3z --m-: 23- x: (m — 2ll) — (6m -s- 8n) : (2m — 4a). 24. (6a — 5b) : X - (12a? — 4ab — 5i)2) : (8s? . Ili^ — »2 IN 4- n — 2inii 4" ' 4^n^'rn — n m4-n 25. (>> ^.) ^ - (>> ^- ^) : 3m^ "2"^ - 2ab - 35° - 27. (x 4- a) : x — b : o. 28. X : (a — x) - : —^-7- a4^ o s,— b mit Rücksicht aus Z. 119, 1. 29- Führe an den Proportionen a.) 9 : 6 - 15 : 10, 5) 36 : 12 - 24 : 8 die in den 117 und 119 bezeichneten Formverändcrungen durch. 30. Wenn a:b-2:3, b:s-4:9, o:ä-3:5und ä : 6 — 3 : 8 ist, wie verhält sich a : o, a : 6, a : s? (8- 120.) 3. Anwendung der Proportionen. 8- 121. Wenn zwei Arten von Zahlen so von einander abhängen, dass zu einer 2, 3, 4, ... in mal so großen Zahl der einen Art auch eine 2, 3, 4,... m mal so große Zahl der andern Art gehört, 105 so sagt man, die beiden Arten von Zahlen sind gerade proportioniert, oder sie stehen in einem geraden Verhältnisse. So sind Ware und Preis gerade proportioniert; denn wenn ein Meter von einer bestimmten Ware s, Gulden kostet, so kosten 2, 3, 4. .. ru Meter von derselben Ware 2a, 3a, 4a, .. ma Gulden. Hängen dagegen zwei Arten von Zahlen so von einander ab, dass zu einer 2, 3, 4, . . . m mal so großen Zahl der einen Art nur der 2te,. 3te, 4te,.. . mte Theil von der Zahl der andern Art gehört, so sagt man, die beiden Arten von Zahlen sind verkehrt proportioniert, oder sie stehen in einem verkehrten Verhältnisse. Dieses ist z. B. bei der Zahl der Arbeiter und der Zahl der Arbeitstage der Fall; denn wenn ein Arbeiter zu einer bestimmten Arbeit a Tage braucht, so brauchen unter übrigens gleichen Umständen 2 Arbeiter für dieselbe Arbeit nur 2^ Tage, 3 Arbeiter nur Tage,. . . in Arbeiter nur Tage. Angewandte Aufgaben mit einfachen Verhältnissen. Z. 122. Die Lösung von Proportionsaufgaben, deren Größen in einfachen Verhältnissen stehen, — die sogenannte einfache Regeldetri—, beruht auf folgenden zwei Sätzen: 1. Wenn zweiArten vonZahlen gerade proportioniert sind, so ist das Verhältnis zwischen je zwei Zahlen der einen Art gleich dem Verhältnisse zwischen den zwei zu¬ gehörigen Zahlen der andern Art, in derselben Ordnung genommen. Es seien A und u zwei Zahlen der einen Art, L und b die zu- gehörigen Zahlen einer zweiten Art und diese beiden Arten von Zahlen gerade proportioniert. Ist nun A — um, so muss nach dem Begriffe der geraden Proportionalität auch L — mb sein. Man hat daher A: u — m, und L : b — m, und somit A : a — L : b. 2. Wennzwei Arten vo n Zahlen verkehrt proportioniert sind, so ist das Verhältnis zwischen je zwei Zahlen der einen Art gleich dem Verhältnisse zwischen den zwei zu¬ gehörigen Zahlen der andern Art, in umgekehrter Ordnung genommen, daher das Product der zusammengehörigen Zahlen der beiden Arten dasselbe. Es seien A und a zwei Zahlen der einen Art, L und b die beiden Zugehörigen Zahlen der andern Art, und diese zwei Arten von Zahlen verkehrt proportioniert. Ist nun A - mu, so muss L - oder K - mk sein. Man hat daher A : u - m und b : L - m; folglich A : a - b : L und AL — ab. 106 Beispiele. 1. 7 Meter Tuch kosten 30 fl., wie viel kosten 42 Meter von demselben Tuche? Da hier die beiden Arten von Zahlen gerade proportioniert sind, so hat man 7 Meter 30 fl. x : 30 - 42 : 7 42 „ x „ also x — 180 fl. 2. 16 Arbeiter vollenden eine Arbeit in 6 Tagen; wie viele Arbeiter wird man ausnehmcn müssen, damit sie dieselbe Arbeit in 4 Tagen zu Stande bringen? Die beiden Arten von Zahlen sind hier verkehrt pro¬ portioniert, und man hat 16 Arb. 6 Tage x : 16 — 6:4 x „ 4 „ x — 24 Arbeiter. Eine Rcgeldetri-Aufgabe besteht aus zwei Sätzen: der eine spricht eine Bedingung aus, der andere enthält eine Frage. Bei jeder Regeldetri-Aufgabe müssen, damit dieselbe Sinn und Geltung für das Leben habe, bei den zwei mit einander verglichenen Arten von Zahlen im Bedingungs- und Fragesatze alle darin nicht genannten Umstände als vollkommen gleich gedacht werden; oder, was einerlei ist, es muss stillschweigend oder ausdrücklich vorausgesetzt werden, dass zu jeder Einheit der einen Art im Bedingungs- und im Fragesatze die nämliche Menge von Einheiten der andern Art gehört. Diese Vor¬ aussetzung muss man bei allen nachfolgenden Regeldetri-Aufgaben im Auge haben, wenn sie auch der Kürze wegen nicht überall ausdrücklich hervorgehoben wurde. Z. 123. Einfachere Aufgaben der Rcgeldetri können oft sehr bequem durch leichte Verstandesschlüsse im Kopfe aufgelöst werden. Dabei wird im Allgemeinen aus der gegebenen Bestimmung für eine Mehrheit auf diejenige für die Einheit geschlossen und sodann aus der gefundenen Bestimmung für die Einheit wieder die für eine andere Mehrheit gesucht. Z. B.: 8 Meter Tuch kosten 32 fl., wie hoch kommen 5 Meter? — Wenn 8 Meter 32 fl. kosten, so kostet 1 Meter den 8ten Theil von 32 fl., also 4 fl.; 5 Meter kosten daher 5mal 4 fl., d. i. 20 fl. 6 Arbeiter bringen eine Arbeit in 20 Tagen zu Stande, wie viel Tage werden zu derselben Arbeit 5 Arbeiter brauchen? — Wenn eine Arbeit von 6 Arbeitern in 20 Tagen vollendet wird, so wird 1 Arbeiter dazu 6mal 20 Tage, somit 120 Tage brauchen; 5 Arbeiter aber werden nur den 5ten Theil jener Zeit brauchen, in welcher 1 Arbeiter jene Arbeit zu Stande bringt, also den 5ten Theil von 120 Tagen, d. i. 24 Tage. Kürzer gestaltet sich die Auflösung im Kopfe, wenn die Mehrheit des Fragesatzes ein Vielfaches oder ein Theil oder das Vielfache eines ^heiles von der gleichnamigen Mehrheit des Bedingungssatzes 5 Hektoliter Gerste kosten 21 fl. 15 kr.; wie hoch kommen 30Hektol.? — 30 Hektol. sind 6mal 5 Hektol., sie kosten also 6mal 21 fl. 15 kr., d. i. 126 fl. 90 kr. 100 fl. Capital geben jährlich 5 fl. Zins; wie viel Zins bekommt man jährlich von 25 fl. Capital? - Da 25 fl. der 4te Theil von 100 fl sind, so geben sie auch nur den 4ten Theil von 5 fl, somit 1 fl. 25 kr. Zins. 107 48 Meter kosten 60 sl. 72 kr.; wie viel kosten 36 Meter? — 36 Meter sind 3mal 12 Meter; 12 Meter sind der 4te Theil von 48 Meter, sie kosten also den 4ten Theil von 60 sl. 72 kr., d. i. Ib sl. 18 kr.; 36 Meter kosten daher 3mal 15 sl. 18 kr., also 45 sl. 54 kr. In einzelnen Fällen können die Rcgeldetri-Aufgaben auch durch eine schickliche Zerlegung der Mehrheit des Fragesatzes aufgelöst werden. Z. B.: Wie viel kosten 30 ll^., wenn 14 mit 43 fl. 82 kr. bezahlt werden? — 30 Lx. sind 2mal 14 Ls-, und noch 2 ; 2mal 15 Lg;. kosten 2mal 43 fl. 82 kr., d. i. 87 fl. 64 kr.; 2 Lx. sind der 7te Theil von 14 Lu-, und kosten daher den 7ten Theil von 43 fl. 82 kr. d- i. 6 fl. 26 kr.; 87 fl. 64 kr. und 6 fl. 26 kr. sind 93 fl. 90 kr. Wenn 5 Hektoliter Wein 92 fl. kosten, wie hoch kommen 19 Hektol.? — 20 Hektol. würden 4mal 92 fl., also 368 fl. kosten. Um nun den Betrag für 19 Hektoliter zu finden, muss man von 368 fl. noch den Wert eines Hektoliters subtrahieren; 1 Hektoliter kostet den 5tcn Theil von 92 fl., d. i. 18 fl. 40 kr.; von 368 fl. zuerst 18 fl. weg, bleiben 350 fl, und davon noch 40 kr. weg, bleiben 349 fl. 60 kr. Angewandte Anfgaöen mit zusammengesetzten Verhältnissen. Z. 124. Die Lösung von Aufgaben, deren Größen in zusammen¬ gesetzten Verhältnissen stehen, — die sogenannte zusammengesetzte Regeldetri — beruht auf folgendem Satze: Wenn eine Art von Zahlen von mehreren andern Arten so abhängt, dass sie mit denselben einzeln genommen theils gerade, theils verkehrt proportioniert ist, so ist das Verhältnis zwischen je zwei Zahlen der ersten Art gleich dem zusammengesetzten Verhältnisse aus den einfachen Verhältnissen zwischen den zugehörigen Zahlen jeder andernArt, in der nämlichen oder in umgekehrter Ordnung genommen, je nachdem die Zahlen dieser Art mit den Zahlen der ersten Art gerade oder verkehrt propor¬ tioniert sind. Die Richtigkeit dieses Satzes soll an folgender Aufgabe nachgewicsen werden: , . . 3 Maurer führen in 14 Tagen 50 Cub.-Meter Mauerwerk aus; m wie viel Tagen werden 7 Maurer 125 Cub.-Meter Mauerwerk auf- führeu ? Die Aufgabe lässt sich in folgende zwei Aufgaben mit einfachen Verhältnissen zerlegen: 1. 3 Maurer führen ein Mauerwerk in 14 Tagen auf; in wie viel Tagen führen unter sonst gleichen Umständen 7 Maurer dasselbe Mauerwerk auf? 108 Da die Zahl der Maurer und die Zahl der zu einer bestimmten Arbeit erforderlichen Arbeitstage verkehrt proportioniert sind, so liegt die Antwort auf die gestellte Frage in der Proportion. 7 : 14 3 .- 7, aus welcher man — 6 findet. 2. Wenn 7" Maurer in y (— 6) Tagen 50 Cub.-Meter Mauer¬ werk vollenden, in wie viel (x) Tagen werden dieselben Maurer 125 Cub.- Meter Mauerwerk aufführen? Die Antwort darauf erhält man, da die Größe des Mauerwerkes und die Zahl der zur Ausführung erforderlichen Tage gerade proportioniert sind, durch Auflösung der Proportion x : — 125 : 50, wodurch die Unbekannte x — 15 der ursprünglich gegebenen Aufgabe bestimmt ist. Es ist aber nicht nothwendig, die Unbekannte / durch eine besondere Proportion wirklich zu berechnen; man kann x auch unmittelbar bestimmen, indem man die früher erhaltenen Proportionen zusammensetzt. Multipliciert man nämlich die gleichstelligen Glieder der zwei Proportionen : 14 — 3:7 und x : — 125 : 50, so erhält man v . x : II . x - 3 . 125 : 7 . 50 und, wenn man das erste "Verhältnis durch dividiert, x : 14 - 3 . l25 : 7 . 50, was der leichteren Uebersicht wegen auch so geschrieben werden kann: x : 14 - 3:7 125 : 50 wobei man sich denken muss, dass die unter einander stehenden Zahlen zu multiplicieren sind. Das Verhältnis x : 14 ist demnach gleich dem zusammengesetzten Verhältnisse aus 3 : 7 und 125 50. Beispiel. Wenn 20 Arbeiter, welche täglich 12 Stunden arbeiten, in 5 Wochen einen Damm von 375 Meter Länge zu Stande bringen; in wie viel Wochen werden 12 Arbeiter, welche täglich 10 Stunden arbeiten, einen eben solchen Damm von 600 Meter Länge vollenden? 20 Arb. 12 Std. tägl. 5 Woch. 375 Meter Länge, 12 „ 10 „ „ x „ 600 „ x : 5 — 20 : 12 12 : 10 600 : 375 x : 1 - 16 : 1 x — 16 Wochen. 8- 125. 1. Einfachere Aufgaben können auch hier durch leichte Schlüsse im Kopfe gelöst werden. Z. B. 4 Arbeiter, welche täglich 12 Stunden arbeiten, bringen eine Arbeit ist 7-^- Tagen zu Stande; wie viel Tage brauchen dazu 6 Arbeiter, wenn sie täglich 10 Stunden arbeiten? 109 Wenn 4 Arbeiter 7z Tage brauchen, so hat 1 Arbeiter 4mal so viel Zeit, also 4mal 7z - 30 Tage nöthig; 6 Arbeiter aber brauchen nur den 6ten Theil von 30 Tagen d. i. 5 Tage bei täglich Mündiger Arbeit: würden sie aber nur 1 Stunde täglich arbeiten, so hätten sie 12mal 5 Tage — 60 Tage daran zu thun; da sie nun 10 Stunden täglich arbeiten, so brauchen sie nur den 10 Theil von 60 Tagen, also 6 Tage. 2. Dieselben Schlüsse, wie beim Kopsrechnen, können auch der schriftlichen Rechnung zu Grunde gelegt werden. Für die Z. 124 behandelte Aufgabe würde sich die schriftliche Schluss¬ rechnung so stellen: Aufgaben. 1.* 6 Meter Tuch kosten 18 fl.; wie viel kosten 12 Meter? Im Kopfe: Wenn 6 Meter 18 fl. kosten, so kostet 1 Meter den 6ten Theil von 18 fl., also 3 fl.; 12 Meter werden daher 12mal 3 fl. d. i. 36 fl. kosten. — Oder kürzer: 12 Meter sind 2mal 6 Meter, sie kosten somit 2mal so viel als 6 Meter, also »mal 18 fl. - 36 fl. 2* 1 Hektoliter kostet 28 fl.; wie viel kosten 40 Liter? 3.* 300 Kaffee kauft man für 320 fl.; wie viel Kaffee bekommt man für 32 fl.? 4? An 100 fl. gewinnt man 16 fl.; wie viel gewinnt man an 425 fl. ? 5. * Ein Haus trägt 540 fl. jährlichen Zins; wie viel kommt auf 8 Monate? 6. * 16 Maurer können eine Mauer in 20 Tagen aufführen; in wie viel Tagen würde dieselbe Mauer von 10 Arbeitern aufgeführt werden? Im Kopfe: Wenn 16 Maurer zu einer Arbeit 20 Tage brauchen, so braucht em Maurer dazu 16mal so viel Zeit, also 320 Tage; 10 Maurer brauchen nur den wten Theil von der Zeit, die 1 Maurer braucht, also nur den 10. Theil von 820 Tagen d. i. 32 Tage. 7. Wenn die Luft auf eine Fläche von iz ffff Decimeter einen Druck von 154 ausübt, welcher Luftdruck lastet auf einer Fläche v°n 1 o Meter? . 8. Ein Arbeiter verdient in 4 Tagen so viel, als ein anderer in o Tagm; wenn nun der erste in 15 Tagen M fl. verdient, wie viel verdient der zweite in derselben Zeit? 110 9. Ein Manuscript gibt 126 Seiten zu 45 Zeilen; wie viel Seiten wird es geben, wenn auf die Seite nur 35 Zeilen kommen? 10. Wenn ein Rad in 48 Minuten 264 Umdrehungen macht, wie viele Umdrehungen macht es in 36 Minuten? b) in wie viel Minuten dreht es sich 840mal? 11. Das Vorderrad eines Wagens hat a Meter, das Hinterrad b Meter im Umfange; wie oft hat sich ersteres umgedreht, wenn letzteres m Umläufe gemacht hat? a - 2-8; io - 4-2; m - 170. 12-* Mit dem Bau einer Eisenbahn können 3000 Arbeiter in 9 Monaten fertig werden; wie viel Arbeiter wird man noch aufnehmen müssen, damit der Bau in 6 Monaten fertig werde? 13. Ein Acker von 6^ Hektar gibt einen Ertrag von 68^ Hekto¬ liter Weizen; ai wie viel Weizen trägt eine Ackerfläche von 3 j'Hektar? b) auf wie viel Hektar erhält man 37^- Hektoliter Weizen? 14. Eine Maschine hebt in a Secunden d auf eine Höhe von o Meter; in welcher Zeit kann sie 1/ Meter hoch heben? a - 93, k - 4185, e - °, 5' - 3912, - iz. 15- 47 Liter Olivenöl wiegen eben so viel als 43 Liter Wasser; wie viel wiegt ein Liter Olivenöl, wenn ein Liter Wasser 1 I<^. wiegt? 16. Wenn sich das feste Erdreich zum lockeren dem Inhalte nach wie 10 : 17 verhält, a) wie viel lockere Erde geben 248 Cub.-Meter feste Erde, b) wie viel festes Erdreich geben 3M Cub.-Meter lockere Erde? 17. Wenn ein Maurer bei gleichem Fleiße bei Grundmauern täglich 5M, bei Gewölbemauern dagegen nur 325 Ziegelsteine legt, und für 1 Cub.-Meter Grundmauer 1 fl. 25 kr. an Arbeitslohn gezahlt wird, wie viel beträgt der Arbeitslohn für 1 Cub.-Meter Gewölbemauer? 18- 15 Arbeiter verrichten eine Arbeit in 10 Tagen, wenn sie täglich 12 Stunden arbeiten; wie viele Arbeiter wird man aufnehmen müssen, damit sie die nämliche Arbeit in 6 Tagen vollenden, indem sie täglich nur 10 Stunden arbeiten? 19. Von zwei in einander greifenden Zahnrädern hat L 60 Zähne, L 120 Zähm; wenn sich in 12 Secunden lOmal umdreht, wie oft wird sich L in 36 Secunden umdrchen? Im Kopfe. Da L statt 60, 120 Zähne hat, so wird es nur die Hälfte von 10, d. i. 5 Umdrehungen machen; da es sich ferner statt durch 12 durch 36 Secunden bewegt, so wird es sich 3mal 5 - ISmal umdrehen. 20. Eine Dampfmaschine von 4 Pferdekraft hebt in 5 Secunden eine Last von 15M 1 Meter hoch; wie viel wird eine Maschine von 6 Pferdekraft in 12 Secunden eben so hoch heben? 21. Von einer Wiese, welche 512 Meter lang und 72 Meter breit ist, werden 10 Wagen Heu gewonnen, von welchen jeder 9M LZ-. Ladung hat; wie viel Wagen Heu, jeder zu 1000 Lx., wird man verhältnis¬ mäßig von einer Wiese gewinnen, die 384 Meter lang und 192 Meter 111 22. * An einem Graben, welcher 80 Meter lang, 5 Meter breit und 2 Meter tief wird, arbeiten 20 Arbeiter 18 Tage; wie viele Arbeiter werden einen 120 Meter langen, 6 Meter breiten und 3 Meter tiefen Graben in 36 Tagen vollenden? Im Kopfe. Wäre der Graben statt 80 Meter nur 40 Meter lang, so brauchte man nur r von 20, d. i. 10 Arbeiter; wird der Graben 120 Meter, also 3mal so lang, so braucht man 3mal 10 - 30 Arbeiter; u s. w. 23. 4500 Mann haben auf 8 Monate Brot, wenn jeder täglich 1-f bekommt. Nun kommen 500 Mann dazu; wie viel Kg. wird jeder täglich bekommen, damit das Brot auf 7! Monate ausreiche? 24. In einem Bergwerke befinden sich zwei Dampfmaschinen; die eine schafft alle 2 Minuten 7 Hektoliter Wasser aus einer Tiefe von 84 Meter, die andere alle 3 Minuten 10 Hektoliter aus einer Tiefe von 108 Meter. In welcher Zeit würden beide Maschinen zusammen 2550 Hektoliter Wasser auf eine Höhe von 120 Meter zu bringen im Stande sein? 25. Aus einer gewissen Quantität Wolle können 16 Stück Meter breites Tuch verfertigt werden, wenn das Stück 54 Meter hält. Aus einem Thcil der Wolle werden 2 Stück 1^ Meter breites Tuch verfertigt, jedes Stück zu 48 Meter; wie viele Stück 1^ Meter breites Tuch, das Stück zu 47 Meter, können aus dem Reste verfertigt werden? 26. 6 Arbeiter vollendeten in 4 Tagen einen Graben, welcher 300 Meter lang, 8j Decimeter breit und 6 Decimeter tief ist. Bei einem zweiten Graben erfordert die Förderung von 2i Cub -Meter eben so viel Zeit als beim ersten die Förderung von 4,i Cüb.-Meter, a) Wie viele Arbeiter vollenden den zweiten Graben in 9 Tagen, wenn er 245 Meter lang, 11- Decimeter breit und 3^- Decimeter tief ist; b> in wie viel Tagen vollenden den zweiten Graben" 10 Arbeiter, wenn derselbe 250 Bieter lang, 9^ Decimeter breit und 4^ Decimeter tief ist? 4. WiederHolrmgsaufgaöen. 1. * Wie viel ist das 6 fache des Unterschiedes zwischen 10- und 6- ? 2. * Vermindere das 7fache von 5°- um 29^ und nimm von dem Reste den 4ten Thcil. 65f . 19 , 259,' . 23 . 124- . 15 1508-^ . 17 z,— -fi-—12,— -fi - 5; 23 ' . 3a -s- 4 7a -4- 5 8 — 7n 5 — 3a 3 — 7a — 5 4 6 8 12 ' - I2a-b 26xy« 26x»v^ 39V ' 40aii V' 4a- - s>'- .1' l 2a7 4a-' a- - 1 n- -j- 2a Z- 1' 112 9. Entwickle folgende Producte in 4 Decimalen: a) 24-83275 . 2 0437. i>) 27 0889 . 0 3067. o) 6-354 : 000875 6) 5'047329 : 0'00278. 10. Entwickle folgende Quotienten in 3 Decimalen: a) 815-9025 : 87'53. b) 12 345 : 678'908. o) 4328'6 : 9876-702. ä) 3 8752 : 0 0207. 11. * 30 Meter kosten 138 fl.; wie viel kosten 65 Meter? 12. * 45 Liter kosten 18 fl.; wie viel kosten 10 Liter? 13. * Ein Eilwagen und eine Locomotive haben in ihrer Bewegung das Geschwindigkeitsverhältnis 2:9; die Locomotive legt in 2 Stunden 15 Kilometer zurück; welche Strecke legt der Eilwagen in 12 Stunden zurück? 14. Von drei Maurern macht der erste in 3 Stunden 158 Cub.- Decimeter, der zweite in 4 Stunden 205 Cub.-Decimetcr, der dritte in 6 Stunden 281 Cub,-Decimeter; a) wie viel Cub.-Dccimeter fertigen alle zusammen in einer Stunde, d) in wie viel Tagen werden sie eine Mauer von 1708 Cub.-Decimeter Herstellen, wenn sie täglich 12 Stunden arbeiten? 15- (x -i- a) : (x - a) - i) : o. 16. 4 : 1: (l5- 17. (x -f- D) : (x - 5) - (x -f- 3) : (x - 7). 18. (8x — 1) : (4x -j- 2) - (6x — 9) : (3x — 4). 19. * Von welcher Zahl ist der dritte Theil um 4 größer als der vierte Theil? 20. Um 6 Uhr Morgens fährt ein Eilwagen aus einem Orte nach einem Orte L und macht jede Stunde 7° Kilometer; 20 Minuten nach 2 Uhr Nachmittags verlässt ein Bahnzug/ der stündlich 36 Kilometer zurücklegt, den Ort und kommt zu gleicher Zeit mit dem Eilwageu in L an; wie weit ist L. von L entfernt? Sieöenter AöschniLt. Die wichtigsten Verhältmsrechnungen des bürgerlichen und kaufmännischen Rechnens. I. Are Wrocentrechrrung. 8- 126. Der hundertste Theil einer Zahl wird ein Pro cent (1°/,) dcyelben genannt. 2, 3, . . p Procent von einer Zahl sind .^«dieser Zahl. '"° 1 o Hernach betragen 1, 2, 3, . . p Procent von 100 Einheiten bezüglich 3,. . p Einheiten- Das Pro cent ist daher eine Zahl, welche angibt, wie viele Einheiten einer bestimmten Art von 100 Einheiten derselben Art zu nehmen sind. . Um Procentangaben in kleinen Brüchen zu vermeiden, wird für manche Größen "«/ 1000 entfallende Betrag angegeben, den man Promille (°/„) nennt; z. B. heißt, von 1000 Einheiten ist 4 Einheit zu berechnen. Bei der Rechnung nach Proccnten kommen vier Größen in Betracht: me Zahl 100 als die Grundzahl; 2. der von 100 entfallende ^-"wg, das Pro cent; 3. die Summe, von welcher die Procente berechnet werden; 4. der Ertrag, d. i. die von der gegebenen Summe nach den Proccnten entfallende Menge. 8- 127. Man kann eine dreifache Procentrechnung unterscheiden: bvn Hundert, aus Hundert und in Hundert. 1) Von Hundert wird gerechnet, wenn die Summe, von welcher me Procente berechnet werden, mit der Grundzahl 100 selbst gleich Mlg ist. Z. B. Bei dem Einkäufe einer Ware, welche 400 fl. kostet, stht MM Z»/,, Spesen; wie viel fl. betragen die Spesen? Zur Auflösung dieser Aufgabe hat man folgende Proportion: x : 2 - 400 : 100. .. 2) Auf Hundert wird gerechnet, wenn die Summe, von welcher Procente berechnet werden, nicht mit der Grundzahl IM selbst, G- r" mit IM vermehrt um das Procent gleichartig ist. Z. B. nie Ware kommt mit Einrechnung von 2°fo Spesen auf 400 fl.; M'k, Arithmetik für Lehrerbildungsanstalten. 8 114 wie viel betragen die Spesen? Man hat hier zur Auflösung die Proportion: x : 2 - 400 : 102. 3) In Hundert endlich wird gerechnet, wenn die gegebene Summe, deren Ertrag nach Procenten berechnet wird, mit der Grundzahl 100 vermindert um das Procent gleichartig ist. Z. B. Für eine Ware erhält man nach Abzug von 2°/„ Spesen 400 fl.; wie viel betragen die Spesen? Hier hat man x : 2 - 403 : 98. Daraus sieht man, dass allgemein für p°/» bei der Rechnung von Hundert die Zahl 100, „ „ „ auf Hundert „ „ 100 -s- p, „ „ „ in Hundert „ „ 100 — x alsZ die mit der gegebenen Summe gleichartige Zahl angenommen werden müsse. Itechnung von Kundert. ß. 128. Bezeichnet x das Procent und s den Ertrag von der Summe s, so hat man die Proportion s : p — s : 100, aus welcher zunächst s - b?. " 100 folgt, d. h.: Der Ertrag einer Summe nach Procenten von Hundert ist gleich dem lOOsten Theile des Produktes aus der gegebenen Summe und dem Procent. Beim Promille wird die gegebene Summe mit dem Promille multipliciert und das Product durch 1000 dividiert. Zur Bestimmung von 8 und p erhält man aus der obigen Proportion 100s , 100s s — - und p — -. p 8 Drücke auch diese zwei Formeln mit Worten aus. Die Procentbcrechnungcn können auch ohne Anwendung der Pro¬ portionen durch die Schlussrechnung ausgeführt werden. Einfachere Aufgaben werden im Kopfe berechnet. Beispiele. 1) Wie viel beträgt a) 5°/„ von 2450, 5) 4 s"/» von 6800. a) 2450 g. 5°/, 1>) 6800 ü 4^/„ 12250 272 34 306 Nach der Schlussrechnung: 6) 1°/„ d. i. von 6800 ist 68, 4°/„ ist 4mal 68 - 272, z°/„ ist die Hälfte von 68, d. i. 34; 272 und 34 ist 306. 115 der Summe — 87, . , /0 „ — 174, daher die Summe selbst - 17'4 . 100 - 1740. 3) Wie viel °/„ von 450 fl. sind 18 fl. ? 1800 '450^ " Nach der Schlussrechnung: 1°/, von 450 fl. sind 44 fl.; 18 fl. sind daher so viel °/g von 450 fl., wie oft 44 fl. in 18 fl. enthalten sind, also 4°/^. 2) Von welcher Summe geben 5"/, den Ertrag 87? 8700 s - -x— - 1740. 5 Nach der Schlussrechnung: 5°/o von 1°/° d. i. Rechnung auf Kundert. Für die Procentrechnung auf Hundert hat man, wenn die ihnen in Z. 128 gegebene Bedeutung behalten, die 6 : x - s : (100 -fl x), 8p — s (100 -fl p) 100s 0 fl- p' p ' s — s Beispiele. 1) Wie viel betragen 4°/g auf Hundert von 2912 fl.? s : 4 fl: 2912 : 104^ s - 112 fl. 2) Welche Summe ist nöthig, um bei 6°/, auf Hundert 75 fl. zu erzielen? 8 : 106 - 75 : 6; 8 - 1325 fl. 3) Wie viel °/„ auf Hundert sind 120 fl. von 3120 fl.? Man erhält p : 120 -- (100 flfl x) : 3120 daher 3120p - 12000 fl- 120p, und aus dieser Gleichung p -4/,. p, s und 6 Proportion und folglich v — - Rechnung in Kundert. 8- 130. Behalten p, 8, 6 ihre frühere Bedeutung, so ist für die Procentrechnung in Hundert s : p — 8 : (100 — p), daher s (100 - p) 100s 8 — p ' P 8 -fl s' 8* tz — ---, 100 - p' 116 Beispiele. 1) Wie viel betragen 5°/, in Hundert von 2109 fl. ? s : 5 - 2109 : 95; s - 111 fl. 2) Von welcher Summe betragen 4°/, in Hundert 64 fl. ? s : 96 - 64 : 4; s 1536 fl. 3) Wie viel °/, in Hundert beträgt es, wenn von 5031 fl. berechnet werden 129 fl.? p : 129 - (100 - p) : 5031 5031 v - 12900 — 129 v ? - 2z°/o. Aufgaben. 1.* a) 2«/, von 50, 25, 20, 10, 75, 300, 650, 975; 5) 3°/o von 200, 700, 2500, 250, 1250, 175, 975; a) 4°/, von 400, 1600, 350, 775, 860, 1230, 2575; ) 5C/„ von 846? o) 6s °/, von 1832? 6) 7§°/„ von 6052? Z. Wie viel beträgt n) 1°/„ von 7360? b) 1s°/„ von 8640? o) izo/oo von 8380? 6) 1§°/„ von 14320? 4. Wie viel gibt eine Summe von 5280 fl. zu a) ^°/„ i>) 3s°/„ °) ä) 5z°/„ o) 6Z°/,? 5. Von 409 35jährigen Menschen sterben 40°/, bis zum 60sten Jahre; wie viele erreichen demnach das 60ste Jahr? 6. Eine Straßenstrecke von 6350 Meter hat eine Steigung von 1'8°/,; wie viel Meter beträgt die Steigung? 7. Die Bevölkerung einer Stadt, welche im Jahre 1840 15860 Einwohner zählte, hat bis zum Jahre 1875 um 25°/, zugenvmmen; wie groß war die Bevölkerung dieser Stadt im Jahre 1875? 8. Zu einem Baue hat man 64800 Ziegelsteine nöthig; wie viel Stück müssen geliefert werden, wenn man für Bruch und Verlust 8j"/y rechnet? 9. Nieder,Österreich hat 1885840 Hektar productive Bodenfläche, darunter 42 s"/, Acker; wie viel Hektar betragen die letzteren? 10. * Welche Summe gibt n) zu 2°/ 48 b) zu 3«/, 74, o) zu 4°/, 38, '0 4!°/o 50, 6) zu 5°/, 110, t) zu 6°/, 150 als Ertrag? 11. Wie groß ist die Bevölkerung eines Ortes, wenn 22°/, derselben 572 beträgt? 117 12. Man nimmt an, dass aus Runkelrüben 5«/„ Rohzucker gewonnen wird; wie viel X». Runkelrüben sind erforderlich, um daraus 47200 Xg-. Rohzucker zu gewinnen? 13. Rindfleisch verliert beim Sieden 15°/, seines Gewichtes; a)wie viel wiegt ein Stück von 3z Xx. roh lohne Knochen) nach dem Sieden? i>) wie viel rohes Fleisch muss täglich für 12 Personen angeschafft werden, wenn jede j X^. gekochtes Fleisch bekommen soll? 14. * Wie viel °/, sind a) 12 von 200? p) 16 von 400? o) 38 von 2000? ck) 36 von 800? s) 80 von 1200? 1) 63 von 1400? 15. Wie viel °/, sind n) 40 kr. von 8 fl. ? b) 35 fl. von 1050 fl. ? o) 308 fl. von 5600 fl. 6) 116 64 fl. von 1728 fl. ? 16. In einer Silbermasse, welche 12z Xx. wiegt, sind 5 Xg-. Kupfer; wie viel °/, Kupfer befindet sich in dieser Legierung? 17. Aus 25 X^. Kaffee erhält man nach dem Brennen nur 2iz XZ-., wie viel °/, ist am Gewichte verloren gegangen? 18. Böhmen zählte im Jahre 1780 2561794, im Jahre 1870 5140156 Einwohner; um wie viel Procent hat die Bevölkerung Böhmens in dieser Zeit zugcnommen? 19. Wie groß ist der Ertrag auf Hundert r0 von 923 fl. a 3°/g? d) von 1555 fl. Ä 5j"/g? v) von 680-85 n 2°/, ? von 2508 fl. ü 10°/, ? b) von 836 fl. L 8/°/, ? e) von 7018 fl. n 2z°/, ? 6) von 1601/ fl. L 6/7,? 23. Von welchen Summen sind die nachfolgenden Beträge zu den "eigesetzten Procenten gerechnet worden: a) 3M fl. ü 10°/, ? 5) 128/ fl. L 11/ 7, ? o) 130 2 fl. a 3/°/, ? 6) 78z fl. L 1/°/, ? 24. Wie viel °/, in Hundert sind 66 fl. von 3234 fl.? 25. Für eine Steuer sammt 32°/, Umlage werden 125 fl. 40 kr. gezahlt; wie groß ist die ursprüngliche Steuer? 26- Jemand zahlte für eine Steuer, bei welcher ihm 4°/, nach¬ gelassen wurden, 398 fl. 40 kr.; wie viel Steuer war ihm berechnet worden? 27. Ein Kaufmann erhielt für eine Ware nach Abzug von 2/°/, Kosten einen Betrag von 6676k fl.; wie groß waren die Kosten? 28. Bei einer Warenbezahlung betrug der Abzug zu 3^o/o 175^ fl.; ww viel fl. zahlte der Käufer? 118 Hara. Z. 131. Wenn eine Ware sammt dem Behältnisse, worin sie sich befindet, gewogen wird, so heißt dieses ganze Gewicht das Lrntto- Gewicht. Der Abzug vom Lrutto-Gewichte, welcher wegen des Gewichtes des Behältnisses gemacht wird, heißt Tara, und das Gewicht der Ware selbst das Gewicht. Die Tara wird häufig in Procenten an¬ gegeben und von Hundert des Bruttogewichtes berechnet. Die Decimalen der Kilogramme werden, außer bei sehr feinen Waren, wcggelassen; nur wird, wenn 5 oder mehr als 5 Zehntel vorkommen, die Anzahl der Kilo¬ gramme um 1 vermehrt. Z. B. Wie viel kosten 5 Ballen Kaffee Lrutto 773 Li»-., Tara 5"/,, zu 115 fl. pr. 100 Netto? 7 73 s, 5"/, Lrutto L^. 773 Tara 5 7, „ 39 Lss. 734 g, 115 73 4 36 70 fl. 844'10. Sconto oder Itaöatt. Z. 132. Beim Warenverkäufe im Großen wird dem Käufer gewöhnlich eine bestimmte Zahlungsfrist gewährt, und darum der Preis etwas höher gestellt. Zieht nun der Käufer die bare Zahlung vor, so muss ihm wegen der baren Bezahlung vom Warenpreise ein Abzug, welcher Waren- discont, Sconto, auch Rabatt heißt und nach Procenten von Hundert berechnet wird, bewilligt werden. Wird von dem Warenpreise der Sconto subtrahiert, so heißt der Rest die contante Zahlung. Unter Rabatt versteht man häufig auch den Abzug, welcher vom Preise solcher Waren, bei denen der Erzeuger den Preis für den Einzeln¬ verkauf festgestellt hat, dem Kleinhändler als Ersatz für die Bezugskosten und zur Ermöglichung eines Gewinnes gewährt wird. Von dieser Art ist der Buchhändlerrabatt. Dieser beträgt in der Regel solche Procente, die einen bequemen Thcil von 100 ausmachen; z. B. 33^°/, oder des Ladenpreises , 25°/,, 20°/,. Die Berechnung des Buchhändler-Rabatts geschieht durch die Procentrechnung von Hundert, häufig auch durch eine einfache Division. , Beispiele. 1) Wie groß ist bei einem Warenbetrage von 5192 fl. u) der Sconto L 2°/,, i>) die contante Zahlung? Warenbetrag fl. 5192 Sconto 27, ,, 10384 contante Zahlung fl. 5088-16. 2) Eine Verlagsbuchhandlung hat Bücher im Werte von 2518 fl- versendet; wie viel hat sie dafür bei 20°/, Rabatt zu fordern? 2518 a 2 07, oder: 4 von 2518 fl. 2518 fl. 503-60 fl. Rabatt 503-6 fl. , 503-6 „ 2014'4 fl. 119 Sensarie. 8. 133. Zur Abschließung von Geschäften zwischen Kaufleuten des¬ selben Ortes gibt es beeidete Personen, welche Sensale oder Mäkler heißen. Die Vergütung für ihre Mühe wird Sensarie oder Oour- taAs genannt. Bei Warengeschäften beträgt die Sensarie gewöhnlich 1°/g, wovon der Käufer, .s"/„ der Verkäufer zahlt, bei Wcchsclgeschäften dagegen 1°/^. Beispiele. 1. Wie viel beträgt die Sensarie von einem Warengeschäfte von fl. 4580 zu wie viel bekommt der Verkäufer, und wie viel muss der Käufer zahlen? 4580 L 4 7° 22'90 fl. Sensarie. Der Käufer zahlt für die Ware. . . . fl. 4580 dazu die Sensarie s. 47° - - fl- 2 2 90 zusammen fl. 4602'90 Der Verkäufer erhält für die Ware . . . . fl. 4580 ab Sensarie L 4°/„ . . fl. 22'90 reine Einnahme fl. 4557'10. 2. Wie hoch beläuft sich die Einkaufssumme von Staatspapiercn, wenn die Sensarie st 1"/.,» 5 fl. 64 kr. beträgt? x - 5'64 . 1000 - 5640 fl. Provision. l?' Wenn jemand die Ausführung eines Geschäftes, z. B. den Ankauf oder Verkauf von Waren, einem andern aufträgt, so heißt die EstMn, welche den Auftrag ertheilt, der Committent, die Person aber, welche das Geschäft zu vollziehen beauftragt wird, der Commissionär. ^le Vergütung, die der Commissionär für seine Mühe erhält, wird Pro- bcstim"t Kommission genannt, und in Proccnten von Hundert Beim Einkäufe wird die Provision von dem Betrage der gekauften ^ore, nachdem schon die dabei vorkommendcn Auslagen dazugezählt addi bettchmt- Die Provision wird dann zu jenem ganzen Betrage . . Beim Verkaufe wird die Provision von dem Betrage der ver¬ wüsten Ware, ehe noch die dabei vorfallenden Spesen abgezogen wurden, berechnet. Die Provision wird sammt den Spesen von dem Warenbctrage subtrahiert; was übrig bleibt, ist der reine Ertrag der verkauften Ware. Die Rechnung, welche der Commissionär seinem Committenten über eu vollzogenen Einkauf oder Verkauf einer Ware ertheilt, heißt bezüglich oactura oder Verkaufsrcchnung. 120 Beispiele. 1. Wie viel beträgt die Provision a und wie groß ist der reine Ertrag eines verkauften Wechsels von 1785'12 fl.? 1785 12 u ->°/o Wcchselbetrag 1785'12 si. 8-9256 fl. Provis. °b Prov. . .893,, Reinertrag 1776'19 fl. 2. Ein Triester Kaufmann kauft für einen Wiener 3 Kisten sici- lianische Weinbeeren Nr. 12—14, gewogen Li-utto 768 ivx., Tara 18 pr. Kiste, ä fl. 31 pr. 100 idlstto; auf welchen Betrag lautet die Factura, wenn' die Spesen für Kisten, Verpacken rc. fl. 15'58 betragen, Sensarie und 2°/, Provision gerechnet wird? Factura. 3 Kisten sicilianische Weinbeeren Nr. 12—14 Brutto 768 LZ. Lara 18 LZ. pr. Kiste 54 „ fl. ö. W. s 242 ^79 3. In Breslau werden im Auftrage eines Prager Committenten 218 Ctr. Weizen L Mark 19 „ 80 pr. 200 K verkauft; die Fracht beträgt 30 Pfenn. pr. Ctr., Maßgeld, Trinkgeld rc. Mark 10 „ 80, Sensarie 1 ; auf welchen Reinertrag lautet die Verkaufsrechnung, wenn die Provision zu 2//„ gerechnet wird? Verkaufsrechnung. 218 Ctr. Weizen s, 19 „ 80 pr. 200 T . . Spesen: Fracht 30 Pf. pr. Ctr. . . . Mark 65 „ 40 Maßgeld, Trinkgeld rc. . . . „ 10 „ 80 Sensarie „ 10 „ 79 Provision 217, „ 48 „ 57 Kflecurauz tz. 135. Gesellschaften, welche gegen eine bestimmte Gebühr den Schadenersatz für Unfälle und Verluste übernehmen, die durch den natür¬ lichen Lauf der Dinge oder durch außerordentliche Naturereignisse herbei¬ geführt werden, nennt man Versicherungs- oder Assecuranz- Gesellschaften. Die Gebühr, welche für die Übernahme der Schaden- 121 Vergütung bezahlt wird, heißt Prämie; die über den Versicherungsbetrag ausgestellte Urkunde heißt Polizze. Die Prämie wird nach Pro¬ cente» von Hundert der versicherten Summe berechnet. Z. B. Wie viel beträgt die Prämie für versicherte 15280 ä 1°°/,? 15280 ä i; °/o 7640 „ 4 1910^,^ _ 248-30 fl. Hewinn und Derkust. Z. 136. Bei der Gewinn- und Verlustrcchmmg kommen drei Bestim¬ mungen vor: die Ausgabe beim Einkäufe, die Einnahme beim Verkaufe und der Gewinn oder Verlust. Dieser wird von den Kaufleuten gewöhnlich nach Proccntcn bestimmt; cs heißt z. B. 6°/, gewinnen, statt 100 fl., die man beim Einkäufe ausgelcgt hat, beim Ver¬ kaufe 106 fl. einnehmen; 6°/, verlieren aber, für 100 fl. Ausgabe beim Einkäufe nur 94 fl. Einnahme beim Verkaufe haben. Beispiele. 1. Ein Kaufmann kauft das Meter Tuch für 4 fl. 80 kr.; wie theuer muss er cs verkaufen, um 15°/» zu gewinnen? 4 8 L 15 Einkaufspreis 4 fl. 80 kr. 2 40 Gewinn 15°/,— „ 72 „ 0-720 fl. Gewinn. Verkaufspreis ' 5 fl. 52 kr. 2. Eine Ware, welche im Einkäufe 725 fl. gekostet hat, musste für 674 fl. 25 kr. verkauft werden; wie viel 7, betrug der Verlust? Einkaufssumme 725 fl. „ 50 75 . 100 ,, Verkaufssumme 674 „ 25 kr. " 725 - /«- Verlust 5(7fl. 75 kr. Aufgaben. Eine Ware wiegt Brutto 2792 Lu-.; wie groß ist das Xotto- -Von einer Ware ist das Brutto-Gewicht 2150 Ha-., das IWtto- >cht 1978 LZ-.; wie viel °/, beträgt die Tara? okoö Wie hoch beläuft sich der Sconto ü 2'°/« bei a) 2577 fl., 6538 fl, e) 939.85 3) 171417 fl.? 190/ Wie hoch kommen 4 Fässer Feigen Brutto 518 Lg-., Tara /<,,wcnn !00 1<^_ Ustto zu 24 fl. mit 1 s °/, Sconto bezahlt werden? 2a«/ 71. Den wievielten Theil des Ladenpreises eines Buches betragen Rabatt? van ?- Wre viel beträgt der Rabatt ä 33^7, bei einer Bücherrechnung °" ») 1518-24 fl., d) 917- Reichsmark? 122 7. * Wie groß ist die Sensarie ä 4«/« s.) von 918 fl? io) 'von 506 fl 58 kr.? e) von 3096 fl.? ä) von 2744 fl. 87 kr.? 8. Der Einkaufspreis einer Ware beläuft sich mit Einschluss von ^°/g Sensarie auf 2653 fl. 40 kr.; wie groß ist der ursprüngliche Warenpreis? 9. Wie groß ist die Provision L 2°/, a) von 458 fl.? 6) von 720 fl.? o) von 912 fl. 50 kr.? ä) von 1325 fl.? o) von 3915 fl.? 1) von 1118 fl. 75 kr.? 10. Wie viel beträgt die Provision von 4760 fl. -Ozu^/,? d)zuz°/o? o)zu^°/»? 6)zu1§°/o? 11. Jemand besorgt den Verkauf einer Ware im Betrage von 2085 fl. 25 kr.; wie viel verblieb dem Verkäufer nach Abschlag der Provision L 1;°/»? 12. Eine Ware kommt sammt L"/, Einkaufs-Provision auf 3207 fl 90 kr.; a) wie viel beträgt die Provision? 6) wie groß ist der reine Warenbetrag? 1Z, Für eine verkaufte Ware erhält man nach Abzug von 2°/« Provision 2158 fl. 88 kr.; wie viel beträgt die Provision? 14. Ein Kaufmann besorgt den Verkauf einer Ware im Betrage von 3518 fl., zahlt dem Sensalen 4«/« und berechnet für sich iz«/« Pro¬ vision; wie viel erhält der Verkäufer? 15. Wie viel kosten 2308 Lx. Lrntto einer Ware, wenn die Tara 8"/g beträgt, IM I7stto 85'72 fl. mit 2«/« Sconto kosten und die Provision zu 1°°/, berechnet wird? 16. Wie groß ist die Versicherungsprämie von 7850 fl. a)zu z°/o? b)zuz°/g? zu i°/o? ä) zu 14«/,? 17. * Ein Hauscigenthümer zahlte für sein Haus an eine Ver¬ sicherungs-Gesellschaft 18 fl. 84 kr., wobei die Gesellschaft 4^ des Reali- tätenwertes gerechnet hat; wie groß ist letzterer? 18. * Den wievielten Thcil der Einkaufssumme beträgt ein Gewinn von 5°/„ 6z°/g, 8z°/o, io°/o, I2z°/o, 16z°/o, 20°/o? 19. * Wie theuer wird eine Ware, welche im Einkäufe 780 fl. kostet verkauft, wenn man re) 10«/, gewinnt, 5) 10«/« verliert? 20. Eine Ware wurde um 4250 fl. eingekauft und mit einein Gewinne von 340 fl. verkauft; wie viel «/, betrug der Gewinn? 21. Für eine mit 3«/« Verlust verkaufte Ware werden 1040 st gelöst; wie groß ist a) der Verlust, b) der Einkaufspreis? 22. Die Verkaufssumme einer Ware von 1590 fl. enthält einen Gewinn von 90 fl.; wie viel «/, beträgt dieser? 23. Die Verkaufssumme von 1410 fl. bringt einen Verlust von 90 fl.; wie viel «/, beträgt dieser? 123 II. Die Zinsrechnung. 24. Ein Wiener Kaufmann erhält aus Triest 4 Kisten Weinbeeren, gewogen Lrutto 972 L-r., Tara 18 pr. Kiste, zu 30 fl. pr. 100 Lx. Ästto, Sensarie 4°/„, Provision 2°/„; Einfuhrzoll, Fracht und andere Spesen betragen 68 fl. 64 kr.; wie theuer muss er das verkaufen, um 15°, 'g zu gewinnen? 1. Einfache Zinsrechnung. Z. 137. Eine Summe Geldes, welche man entweder selbst zu einer nutzbringenden Unternehmung verwendet, oder einem anderen gegen regel¬ mäßig wiederkehrende Entrichtung eines Geldbetrages zur freien Benützung überlässt, heißt Capital, und das Erträgnis, das man daraus bezieht, Zins oder Interesse. Der Zins wird nach Prozenten berechnet, welche sich auf 100 Capitalseinheiten und auf eine Zeiteinheit, gewöhnlich ein Jahr, beziehen. Das Jahr wird dabei zu 360 Tagen, der Monat zu 30 Tagen angenommen. Die Zinsrechnung ist demnach eine Procentrechnung, in Welcher außer den bei dieser zusammentretenden Größen noch eine weitere Größe, die Zeit, in Berücksichtigung kommt. . 8. 138. Die Zinsrechnung beruht auf der zusammengesetzten Pro¬ portion; die Aufgaben derselben können jedoch auch durch die Schluss¬ rechnung aufgelöst werden. Letztere wendet man insbesondere berm Kopf¬ rechnen an. Ein Capital von 1346 fl. ist zu 5°/« angelegt; wie groß ist der Zms in 3 Jahren? Nach der Schlussrechnung: 1346 fl. Cap. geben zu 1°/„ in 1 Jahre -Mo 1346.5 1346 „ „ „ „ 5°/o „ 1 „ " 1346 „ „ „ „ 5°/, „ 3 Jahren " - 201'9 fl. Zins. Mittelst der zusammengesetzten Proportion: N fl. Cap. in 1 Jahr 5 fl. Zins x : 5 1346 : 100 "46 „ „ 3 Jahren x „ „ _ __ 1346.5.3 x " 100 ' 124 Allgemein: Bezeichnet o das Capital, p das Procent, n die Anzahl der Jahre und 2 den Zins, so erhält man auf gleiche Weise - - 100' aus welcher Gleichung man auch 100- IOO2 IOO2 0 — -, v —-, u — - Oll «p erhält. Drücke diese vier Formeln in Worten aus. des Capitals in 5 Jahren — 540 fl. „ „ „ 1 Jahr - 108 „ ,, „ „ 1 „ — 27 „ 4°/o 4°/, 1°/° d. i. daher das Capital selbst - iOÖmal 27 - 2700 fl. Nach der Formel: 100.540 0 - -n- - 2700 fl. 4.5 3) Zu wie viel "/„ muss ein Capital von 3150 fl. angelegt werden, damit cs in 2 Jahren 276 fl. Zins gebe? Im Kopfe. 1°/o von 3450 fl. beträgt in 1 Jahre 34^ fl-, 2 Jahren 69 fl.; 276 fl. sind daher so viel °/„, wie ost 69 in 276 ent¬ halten ist, also 4°/,. Nach der Formel: - 100.276 - k 3450.2 - 4) Wie lange muss ein Capital von 4800 fl. zu 5"/g ausstehen, um 600 fl. Zinsen zu geben? Im Kopfe. 4800 fl. geben in 1 Jahre zu 1°/„ 48 fl., zu 5°-« also 5mal 48 — 240 fl.; 600 fl. Zinsen gibt daher dasselbe Capital 1» so viel Jahren, wie oft 240 in 600 enthalten ist, somit in 2^ Jahren Nach der Formel: 100.600 . ° - 4800.5 - Bcispiele. 1) Wie viel Zinsen geben 350 fl. zu 4"/» in 3 Jahren? Im Kopfe. 350 fl. geben in 1 Jahre zu 1°/g den lOOsten Theil von 350 fl., also 3'- fl., daher zu 4"/„ 4mal 3^ fl. — 14 fl.; somit in 3 Jahren 3mal 14'fl. — 42 fl. Zins. Nach der Formel: 350.4.3 - 100 - st- 2) Wie groß ist das Capital, welches bei 4°/„ in 5 Jahren 540 fl Zins einbringt? Im Kopfe. 125 ?. 139. Praktisch berechnet man die Zinsen eines Capitals für irgend eine gegebene Zeit gewöhnlich auf folgende Art: 1. Die Zinsen für ein Jahr berechnet man nach der Procentrechnung, indem man den lOOsten Theil des Capitals mit dem Procent multipliciert. 2. Um die Zinsen für mehrere Jahre zu finden, darf man nur die einjährigen Zinsen mit der Anzahl der Jahre multiplicieren. 3. Die Monate werden als bequeme Theile des Jahres, und die Tage als bequeme Theile des Monates betrachtet, die auf diese Theile entfallenden Zinsbeträge durch die Division bestimmt, und zuletzt zu den Zinsen auf Jahre addiert. Z. B. Wie viel Zins geben 4850 fl. Capital zu 4^°/„ in 3 Jahren 7 Monaten 12 Tagen? 485 0 fl. zu 4z°/o in 3 I. 7 M. 12 T. 789-336 fl. 8. 140. Häufig sind ine Z'usm mcs Cach alS blsi s bestimmte Anzahl von Tagen zu berechnen. In v ciem n zuerst die Zinsen zu 6'7o> und leitet daraus durch entsprechens Zer, die Zinsen für das gegebene Procent ab. ) 2928 fl. a 5s»/, in 2 Jahren 7 Mon. 15 Tagen? o) 5704 fl. ä 6^"/g in 3 Jahren 10 Mon. 20 Tagen? 9. Wie viel betragen die Zinsen u 6°/g von a) 984 fl. in 65 Tagen? b) 2250 fl. in 212 Tagen? o) 2127-6 in 96 Tagen? ä) 3284 fl. in 192 Tagen? 10. Wie viel Zins geben a) 8888 fl. Capital zu 7°/„ in 12 Tagen? b) 9379 fl. Capital zu 6z°/« in 147 Tagen? o) 1230 fl. 39 kr. Capital zu 4z°/„ in 305 Tagen? 11. Wie viel Zinsen tragen u) 945 fl. zu 5z°/„ vom I. Aug. bis 7. Nov.? 6) 1278 fl. zu 6^/„ vom 25. Mai bis 3. October? o) 3377 fl. zu 5°/« vom 13. Juni bis 27. August? 12. Ein Capital c, wird nach n Jahren zurückgczahlt; zu welcher Summe (s) ist es bei p"/» einfachen Zinsen «»gewachsen?^ 13. Auf einem Gute lastet eine Schuld von 8500 fl.; nach 2 Jahren zahlt der Besitzer die Schuld und die 5z°/„ Zinsen; wie viel muss er zahlen? 14. * Wie vielmal so groß ist das Capital als die jährlichen Zinsen a) zu 5°/o, d) zu 4°/„? 15. * Welches Capital gibt an jährlichen Zinsen a) 20 fl., 25 fl., 30 fl, 36 fl., 82 fl., 145 fl. a 5°/,? d) 10 fl., 24 fl., 40 fl., 75 fl., 120 fl., 200 fl. ä. 4°/,? 16. * Wie groß ist das Capital, dessen Zinsen ü 5"/, in 3 Jahren a) 75 fl., 6) 90 fl., o) 125 fl. betragen? 17. Berechne die Capitalicn, welche folgende Zinsen bringen: u) ZU 4°/, in 2 Jahren 70 fl. Zins, d) „ 5°/o „ 14 „ 92^ „ °) „ 6°/o „ 2ß „ 692 „ 18. Welches Capital gibt a) M 4z»/, in 3 Jahren 837 fl. Zms? K) „ 6z°/o „ 1-- Jahren 390 fl. Zins? o) „ 5z°/o „ 2 Jahren 7 Mon. 398'58 fl. Zms: s) 800 ^^e viel in 1 Jahre e 600 ^0 fl. Zins? b) 1500 fl. Cap. 80 fl. Zins? sü Cap. 27 fl. Zins? 6) 1400 fl. Cap. 63 fl. Zins? -0. Wie viel "/, erhält man, wenn an Zins einbringcn: u) 400 fl. in 2 Jahren 28 fl. ? b) 700 „ „ 4 „ 140 „ ? c) 800 „ „ 2z „ 120 „ ? 128 21. Zu wie viel °/„ sind 4260 fl. angelegt, wenn sic in 3 Jahren 4 Monaten 710 fl. Zins geben? 22. Ein Capital bringt in 3 Jahren zu 4^"/, 60^ fl. Zins; ein um 150 fl. größeres Capital bringt in derselben Zeit 90 fl. Zins; zu wie viel °/g ist das letztere verzinst? 23. Zu wie viel °/„ muss man 9110 fl. anlegen, damit sie vom 2. Mai bis 15. October 206 fl. 23 kr. Zins bringen? 24. Zu wie viel muss ein Capital ausstehen, damit die ein¬ fachen Zinsen s.) in 20, 6) in 25, o) 33j Jahren dem Capitale gleich sind? 25. Zu wie viel müssen 375 fl. ausgeliehcu werden, damit sie mit den einfachen Zinsen in 1^ Jahren zu 402 fl. anwachsen? 26- In welcher Zeit geben a) 225 fl. Cap. a 4"/g 45 fl. Zins? d) 320 „ „ ü 5°/o 32 „ „ ? o) 250 „ „ L 4°/° 70 „ „ ? b) 450 „ „ u 6°/, 94^ , „ ? 27. In welcher Zeit geben a) 5460 fl. Cap. zu 5s''/o 365 fl. Zins? b) 5244 55 fl. Cap. zu 5^°/„ 9563 fl. Zins? o) 6580 5 fl. Cap. zu 4I 849 82 fl. Zins? 28. Wie lange muss ein Capital angelegt bleiben, damit die Zinsen a) zu 4°/„ 6) zu 5"/„, c) zu 6°/, eben so viel betragen, als das Capital? 2. Disrsntrrchnung. §. 141. Wenn Jemand eine Summe Geldes, die er erst nach einer gewissen Zeit ohne Zinsen zu zahlen verpflichtet ist, sogleich bezahlt, so wird er offenbar nicht die volle schuldige Summe entrichten, sondern nur einen so großen Betrag, dass dieser vermehrt um die Zinsen, die er bis zum Zahlungstermine tragen würde, der Schuldsumme gleich wird;, cs muss daher in diesem Falle dem Schuldner ein bestimmter Abzug gewährt werden. Dieser Abzug von der Schuldsumme heißt Discont und wird nach Procenten berechnet. Wenn man den Discont von dem Schuld- capitale subtrahiert, so heißt der Rest der bare oder gegenwärtige tauch discontierte) Wert des Capitals. Z. B. Jemand will eine unverzinsliche Schuld von 418 fl., du er nach 1^ Jahren abzutragen hat, sogleich bezahlen; a) wie viel wird ihm bei O"/» jährlichen Discont nachgelassen, 6) wie groß ist die bare Bezahlung? Wenn die Barsumme 100 fl. ist, so beträgt bei 6"/g Zins bereu künftiger Wert nach 1j Jahren 109 fl., und umgekehrt; 109 fl., welche 129 unverzinslich nach 14 Jahren gezahlt werden sollen, sind bar nur 100 fl. wert, oder von je 109 fl. werden, wenn man sie 1^ Jahre früher bezahlt, 9 fl. als Discont in Abzug gebracht. Man hat daher: 109 fl. Schuldcap. 9 fl. Disc. x : 9 - 418 : 109 418 „ „ x „ „ x - 34'51 fl. Discont Schuldcapital 418 fl. ab Disc, ü 6"/, für 1^ I. . . 34'51 „ Barzahlung 383'49 fl. Probe: 3 83-49 fl. ü 6°/„ Barzahlung 38349 fl. 23-00 94 fl. Zins für 1 I. Zins für iz Jahr 34'51 „ -ZZÄ^-fl. " Cap.nachizJ- 418-fl. Aus dieser Darstellung geht hervor, dass der Discont auf Hundert gerechnet werden müsse. Würde man den Discont von Hundert rechnen, so Hütte man: 418 fl. d. 9°/„ Schuld 418 fl. 3742- fl. Discont ab Discont 37'62 „ Barzahlung 380 38 fl. Eine Barzahlung von 380'38 fl. würde aber mit den 6°/° Zinsen nach U Jahren nicht das Schuldcapital 418 fl., sondern nur 414'61 fl. geben. . , Weil jedoch die Rechnung von Hundert bequemer ist als jene auf Hundert, und der Unterschied zwischen den nach den beiden Berechnungsarten erhaltenen Dlscont- veträgen für kleinere Zeitabschnitte nur unbedeutend ist, so rechnen Kaufleute den Discont oder Sconto bei Warenbeträgen (§. 132), da es sich dabei gewöhnlich ^ur um einen kurzen Zeitraum handelt, nach der bequemeren Procentrechnung von Hundert. Aus dem gleichen Grunde wird auch der Wechseldiscont, von dem spater (8- 160) die Rede sein wird, immer von Hundert berechnet. Heißt allgemein s eine nach n Jahren ohne Zinsen fällige Geld¬ summe, und 5 die Barzahlung, welche dafür der Schuldner bei x /0 Discont zu entrichten hat, so hat man k : s - 100 : (100 Z- xn), daher 5 - Aufgaben. auf 452 ' welches Capital wächst mit den 5^7» Zinsen in 6 Jahren 2?Für ein ^Capital, welches durch 3 Jahre 5z°/o ausstand, erhalt man an Capital und Zinsen 5359 fl.; wie groß sind die Zinsen, "" ^3? fi. b-M«. I°Mch "Ut 5°/o Discont; wie viel beträgt a) der Discont, ll) die Barzahlung" . „ 4. Wie viel sind 850 fl., welche nach 2 Jahren bezahlt werden lallen, bei 5°/g Zins jetzt wert? Moöliik, Arithmetik fiir Lehrerbildungsanstalten. 9 130 5. Jemand bietet auf ein Haus 11820 st. unter der Bedingung, dass er das Geld erst nach 3 Jahren zahlen werde; wie viel st. ist das Anbot gegenwärtig wert, wenn man 5°/, Discont rechnet? 6. soll an L nach 5 Jahren 1245 st. bezahlen; wie viel hüttk er bei 5st°/„ Zins nach 2 Jahren zu zahlen? 7. Eine Schuld von 980 fl., zahlbar nach 6 Monaten, wird mit 931 fl. bar bezahlt; wie viel °/„ Discont rechnet man? 8. Jemand leiht 1850 fl. zu 6°/„ aus, zieht aber die jährlicher Zinsen sogleich ab; um wie viel ist dabei der Schuldner, welcher die Zinsen erst nach Ablauf des Jahres zu zahlen hätte, im Nachtheil? 9. bietet auf ein Landgut 40000 fl. bar, ö 44000 fl., wovor er 20000 fl. bar und den Rest nach 2 Jahren zahlen will. Wer bietet am meisten, wenn man 5E°/g Discont rechnet? 10. Jemand kauft einen Weingarten für 8000 fl. mit der Bedin¬ gung, dass er 2580 fl. sogleich, 2380 fl. nach einem Jahre und den Rest nach 3 Jahren ohne Zinsenvergütung zahlt; er entschließt sich aber, da der Verkäufer damit zufrieden ist, auch die beiden letzten Posten mit 6"/, jährlichem Discont sogleich zu entrichten; wie groß ist die ganze Bar¬ zahlung? 3. Terminrechnung. 8- 142. Wenn unverzinsliche Geldsummen, welche in verschiedene" Zeitfristen oder Terminen zahlbar sind, auf einmal oder zu anderen ču¬ den , festgesetzten Terminen abgetragen werden sollen, so nennt man da» Verfahren, durch welches ermittelt wird, zu welcher Zeit dieses oW Nachtheil des Schuldners und des Gläubigers geschehen kann, "" Terminrechnung. Es seien allgemein die Capitalien oh o", o"", welche bezinM nach inh na", na"" Zeiträumen (Jahren, Monaten) unverzinslich zu zahn" sind. Alle Zahlungen sollen auf einmal geleistet werden, und t sn d> Anzahl der Zeiträume, nach welchen dieses zu geschehen hat. Damit weder dem Schuldner noch dem Gläubiger dadurch " Schaden erwachse, muss der bare Wert der ganzen Zahlung der Summe der barenWerte der einzelnen Theilzahlung'" gleich feig. Zur richtigen Bestimmung der Barwerte ist der Dischs auf Hundert zu berechnen (Hofmann'sche Methode). In der Prak' wendet man gewöhnlich die minder genaue, aber einfachere EarpzowIst Methode an, bei welcher man den Discont von Hundert, d. i. die ZE zu Grunde legt. Dieses Verfahren beruht dann auf dem Satze: Zinsen der ganzen Zahlung o" -st o" -st o"" müssen de' umme der Zinsen der einzelnen Terminzahlungen ehe- v gleich fern. Nimmt man daher den Zinsfuß zu x°/g, so muss 131 fl- 6" -j- pt vPm" 2 3 4 5 sein. Aus dieser Gleichung kann jede einzelne der in ihr vorkommenden Größen aus den übrigen bestimmt werden. Gewöhnlich ist t, d. i. der mittlere Zahlungstermin, zu suchen. Man erhält aus der obigen Gleichung ollall -s- a"m" -I- t — - 7—, —"— -' h^ der mittlere Zahlungstermin mehrerer Tcrmin- wird berechnet, indem man jede Terminzahlung mit der Myt dcr^Zciträumc, nach welchen sie geleistet werden soll, multipliciert dividiert dieser Productc durch die Summe aller Terminzahlungen d t« ^n Haus um 8000 fl. unter der Bedingung gekauft, a)S die Zahlung in mehreren Terminen ohne Zins und zwar in fol- o Weise geleistet werden soll: 3500 fl. nach 2 Monaten, 2000 fl. ach 3 Monaten, 1500 fl. nach 4 Monaten und 1000 fl. nach 5 Monaten; ann ist der mittlere Termin für die Gesammtzahlung? 3500 fl. nach 2000 „ „ ^00 „ „ 1000,, „ '8000 Mache die Zinsenprobe. Zusatz. Sind die Terminzahlungen einander gleich, und zwar jede - °' so ist der mittlere Termin — oirll -j- ona" fl- null" fl- na" -s- na" at' E 3 Iv die Durchschnittszahl der einzelnen Zeiträume. m'" Sind die Capitalien <^, o", o"" bezüglich nach nll, m", Zeiträumen zu zahlen, und wird statt dessen das Capital L/ nach Capital L" nach n" Zeiträumen gezahlt, so entsteht die Frage, nach Zu Zeiträumen der Rest fl- o" fl- fl- ir") — r ^achtlesi dass weder dem Schuldner noch dem Gläubiger ein in 8 i^unt man t die Anzahl dieser Zeiträume, so muss, analog wie 8- 142, für einen beliebigen Procentsatz x 9* Mon. . . . 7000 „ ... 6000 „ . . . . 6000 „ ... 50M 24000 : 8000 - 3 Mon. 100 - ^ÖO" ^100' oder, wenn man durch dividiert, 132 , I'pt 0^PIN^ "100^ 100 "100 - 'M«" L"pin" , 6"'pIN IM" 100 oder Ir.^Q^ -s- k"u" -s- rt — e^ni^ -j- o"in" -j- o^"n^" sein. Aus dieser Gleichung folgt (v'in" -st o"m" -sto"'m"0 — (Ic'll'-st ir"n") r Z. B. hat nach 3 Jahren 300 fl., nach 4 Jahren 5M fl. und nach 5 Jahren 600 fl. zu zahlen; er zahlt jedoch schon nach 2 Jahren 400 fl. und nach 24 Jahren 600 fl.; wann wird der Rest fällig sein? 300 fl. ' 3 - 900 fl. 4M fl. . 2 - 800 fl. 500 „ . 4 - 2000 „ 6M „ . 2.s - 1500 „ 600 „ - 5 - 3000 „ 1000 fl. ' 2300 1400 fl. 5900 fl. 1000 „ 23M „ Rest 400 fl. 3600 fl. : 400 fl. - 9. Der Rest von 400 fl. wird also nach 9 Jahren, von Beginne an gerechnet, zu zahlen sein. Aufgaben. 1.* Vier Capitalien von je 600 fl. sind nach 4, 5, 7, 8 Monaten zahlbar; nach wie viel Monaten können sie auf einmal gezahlt werden? 2 * 4800 fl. sollen in drei gleichen Raten nach 2, 2 4 und 3 Jahren abgetragen werden; wann kann die Zahlung der ganzen Summe erfolgen? 3. * Jemand ist verpflichtet 1200 fl. so zu zahlen, dass er nach je 3 Monaten 300 fl. abtrage; wann müsste er die ganze Summe auf einmal entrichten? 4. Eine Summe von 10000 fl. ist in 4 Raten zu bezahlen, und zwar: 3000 fl. nach 4 Monaten, 2500 fl. nach 6 Monaten, 2000 fl nach 8 Monaten und der Rest nach 1 Jahre; wenn nun die ganze Summe auf einmal erlegt wird, wann soll dieses geschehen? (Zinsenprobe.) 5. Wann müssen 18M fl. auf einmal bezahlt werden, wenn mau 3M fl. nach 1 Jahr, 4M fl. nach iz Jahr, 500 fl. nach 2z Jahren und den Rest nach 3z Jahren ohne Zins zu zahlen schuldig ist? 6. Jemand hat 2M00 fl. so zu entrichten, dass er 4000 st sogleich, 4M0 fl. nach 3 Monaten, 5000 fl. nach 6 Monaten und den Rest nach 10 Monaten bezahlt; er wünscht nun die ganze Schuld aus einmal zu tilgen; nach wie viel Monaten wird dieses geschehen müssen/ 7. hat an L drei Capitalien zu zahlen: 1600 fl. am 1. Juli, 1400 fl. am 1. September, 1000 fl. am 1. November; wann kann er die drei Capitalicn zugleich zahlen? Als Ausgangspunkt wird der I. Juli angenommen. 8. soll 2000 fl. nach 2 Jahren und 1600 fl. nach 4 Jahren ohne Zinsen zahlen; er bezahlt 2400 fl. schon nach 1s Jahr; wann must er dann den Rest bezahlen? 133 9. Jemand hat nach 8 Monaten 3000 fl. zu bezahlen: er zahlt 1800 fl. bar; wie lange darf er den Rest behalten? 10. 4, hat 800 fl. nach 2 Monaten, 500 fl. nach 3 Monaten und 600 fl. nach 4 Monaten zu zahlen; er bezahlt die 800 fl. nach 1 Monate, die 500 fl. nach 34 Monaten; wann muss er dann die 800 fl. berichtigen? 11. Jemand soll am 20. März 1500 fl., am 25. Juni 2000 fl. und am 30. September 1200 fl. zahlen; er zahlt aber am 1. März 1000 fl., am 25. Mai 800 fl. und am 15.August 1600 fl.; wann muss er den Rest zahlen? 4. Z in s e s? i n s r e ch n ung. Z. 144. Wenn der Zins am Ende eines jeden ganzen oder halben Jahres zum Capital geschlagen, und die so vermehrte Summe von neuem verzinset wird, so nennt man die daraus hervorgehendcn Interessen Zinseszinsen, während die gewöhnlichen Zinsen einfache genannt werden. Bei den Zinscszinsrechnungen kommt, wie bei der einfachen Zins- rechnung, das Capital, die Zeit, das Procent und der Zins in Betracht. Als Zeitperiode der Verzinsung ist, wenn nicht ausdrücklich das Gegen¬ teil bemerkt wird, ein Jahr zu verstehen. Ist ein Capital zu p°/„ an- Nslegt, so wachsen 100 Einheiten des Capitals (Gulden, Mark) in einem Jahre sammt den Zinsen auf 100 -fl p an; somit hat 1 Capitals- kinheit nach 1 Jahre mit Hinzufügung der Zinsen den Wert— - 1 -fl Den Wert 1 -fl zu welchem die Einheit des 100 100 Kapitals mit Zinsen in 1 Jahre anwächst, nennt man gewöhnlich den Zinsfuß. Für 4°/g ist also der Zinsfuß ^'04. §.145. Ein Capital a ist zu p°/o auf Zinseszinsen an- 8"egt; zu welchem Werte wächst es nach x Jahren an? Da die Capitalseinheit mit den Zinsen nach 1 Jahre den Wert 1 erhält, so hat das Capital a nach 1 Jahre den Wert 6, - n. ^1 -fl Mfl)' N h- man findet den Wert eines Capitals nach 1 Jahre, indem man den ^Wangswert mit dem Zinsfüße multipliciert. 134 Wird das neue Capital wieder ein Jahr verzinst, so ist sein Wert am Ende desselben e« e, .(l-st - (l 'st Nach 3, 4, . . Jahren wird das Capital angewachsen sein auf u. s. w. Hiernach ist der Wert des Capitals am Ende des nten Jahres d. h.: Das Endcapital ist gleich dem Producte aus dem Anfangscapital und der fovielten Potenz des Zinsfußes, als die Zahl der Zeitperioden anzeigt. Sind z. B. 2000 fl. Capital zu 5°/, angelegt, so wachsen sie mit Zinseszinsen an: nach 1 Jahre auf 2000 . 105 fl. „ 2 Jahren „ 2000 . (105)° „ „ 3 Jahren „ 2000 . (105)° „ „ 10 Jahren,, 2000.(1-05)'°,,. Werden die Zinsen nicht ganzjährig, sondern am Ende eines jeden halben Jahres zum Capital geschlagen, so muss man in der Formel — a . (l -j- statt x nur das halbe Procent setzen und die Zahl n in halben Jahren ausdrücken. Z. B. für 4°/„ und 8 Jahü hätte man — g, . (1-02)'°. Die Berechnung der einzelnen Potenzen des Zinsfußes kann durch wiederholte Multiplication geschehen. So hat man zur Bestimmung vo" (1-04)° folgende Rechnung: 1-04.1-04 1-124 8 64.1'124864 416 L6A4A14 (2) 10816.1-04 1-124864 43264 1 12 4 8 6 (3) 1-124864 2 2 4 9 7 4499 900 68 5 (104,° 1-265319. L.ie nachstehende Tabelle enthält die bereits berechneten Potenzen Zmsfußes für 2, 2z, 3, 4, 5 Procent und für n - 1, 2, 3, . .29, 135 ganzjähriger , zu 3°/o Zinsenszins bei Capitalrsierung nach 20 Jahren wert sein? . ,, « 5800 . l1'E° - 5800 . 1'806111 -104/9'44 fl. 2- Wie iivw lt« z» i /o von 1234 fl. in 7 Jahren bei halbjähriger ^Capcka^^^ m Rechnung zu bringen; man hat also n 1234 . (1-02)^ - 1234 . 1'319479 - 1628'24 fl. 8. 146 Ist umgekehrt der Wert eines Capitals vor einer gegebenen Zeit mit Rücksicht auf Zinseszinsen zu bestimmen , d. i. °us dem End- capitale das Anfangscapital zu berechnen, so ergibt sich aus der Formel Beispiele. 1) Wie viel werden 5800 fl. 5800 l1'03V"-' _ —_> 2) Wie hoch wird ein zu 4°/g Zins vvn.Z^.^^legtes^ Capital .254 fl. in / Jahee« bri halLjühnzrr Lax:t2.:^.:on anw" - Hier sind 14 Halbjahre und das halbjährige Procent, nämlich 2 /«, °- - - -fl -i- Ä" '"'"° 136 — Sn __ 1 _. - ll -j- ° ' sl lOOl Q 100- d. h. Das Anfangscapital ist gleich dem Quotienten aus dem Endcapital und der sovielten Potenz des Zinsfußes, als die Zahl der Zeitperioden anzeigt, oder gleich dem Producte aus dem Endcapital und dem umgekehrten Werte dieser Potenz. So sind 2000 fl. bei 5°/g Zinseszins vor 12 Jahren wert 2000 . (i>05)i2 fl- Die bereits berechneten umgekehrten Werte der Potenzen des Zins¬ fußes für 2, 24, 3, 4, 5°/g und für n — 1, 2, 3, . . 29, 30 enthält die nachstehende^ Tabelle: 137 Beispiele. 1) Welchen Wert haben fl. 7310 „ 75 vor 15 Jahren, 5°/» Zinses¬ zins und ganzjährige Capitalisierung vorausgesetzt? 7310-75 . 7310-75 . 0'481017 - 3516'6 fl. 2) Wie viel Capital muss man zu 4°/, Zins von Zins anlegen/' damit es bei halbjähriger Verzinsung in 12 Jahren auf 5200 fl. anwachse? 5200 . ^.02)24 5200 . 0'621722 - 3232'95 fl. Zusatz. Die in ZZ. 145 und 146 sür Zinseszinsen abgeleiteten Formeln können auch auf andere Größen, wenn dieselben in einem bestän¬ digen Verhältnisse wachsen, z. B. auf die Zunahme der Bevölkerung eines Landes, des Holzstandes eines Waldes u. dgl., angewendet werden. Aufgaben. 1. Zu welcher Summe wachsen 1350 fl. zu 4°/„ Zinseszinsen in 24 Jahren an? 2. Welche Summen erhält man bei Zinseszinsen für folgende Capitalien? u) 3280 fl. L 5°/o in 15 Jahren? b) 6340 „ L 4°/, „ 22 „ o) 5165 „ L 3°/„ „ 28 3. Jemand hat in der Sparcasse ein Capital von 4300 fl. Wenn nun die Sparcasse mit 5°/§ jährlich verzinset, und die Zinsen halbjährig zum Capitale schlägt, welchen Wert wird jenes Capital nach 11 Jahren haben? 4. Jemand legt 3560 fl. zu 4°/, unter der Bedingung an, dass die Zinsen halbjährig zum Capitale geschlagen werden; wie hoch wird das Capital in 10 Jahren anwachsen? 5. Der Bestand eines Waldes ist gegenwärtig 9800 Cubikmeter; wie groß wird derselbe bei einem jährlichen Zuwachs von 3°/» nach 10 Jahren sein? 6. Eine Stadt hatte im Jahre 1850 35846 Einwohner; wie groß lst die Bevölkerung derselben im Jahre 1875 bei einer jährlichen Zunahme von 2z°/o? 7. Jemand ist verpflichtet, 3000 fl. nach 1 Jahre, 2000 fl. nach Jahren, 1000 fl. nach 3 Jahren und 4000 fl. nach 4 Jahren zu bezahlen; wie viel werden alle diese Beträge nach 4 Jahren wert sein, wenn man 5°/„ Zinseszins rechnet und wenn die Capitalisierung ganz- lährig geschieht? 8. Jemand legt zu Anfang jedes halben Jahres durch 4 Jahre hinter einander 140 fl. in eine Sparcasse, bei welcher halbjährige Capita- usterung mit 2°/, stattfindet; wie groß ist sein Ersparnis nach dieser Zeit? 138 9, Welchen Wert haben 2485 fl. vor 5 Jahren, wenn man 5"/g Zinseszins und ganzjährige Capitalisicrung rechnet? 10. Welchen gegenwärtigen Wert haben 8500 fl., fällig nach 9 Jahren, bei 4°/, Zinseszins und ganzjähriger Verzinsung? 11. Berechne den gegenwärtigen Wert folgender Capitalien: a) 750 fl. Ä 3°/g, fällig nach 25 Jahren; 5) 4060 „ L 4°/<„ „ „ 17 „ °) 6372 „ u 5°/«,, „ „ 12 „ 12. Welche Summe ist g, 4°/„ Zinseszins angelegt worden, wenn man dafür nach 7 Jahren 4711'03 fl. erhalten hatte? 13. Welches Capital wächst bei 5°/g halbjähriger Verzinsung in 20 Jahren auf 8000 fl. an? 14. Ein Land zählt gegenwärtig 1258750 Einwohner; wie groß war die Bevölkerung vor 25 Jahren, wenn dieselbe jährlich um 2^"/, zunahm? 15. Jemand will ein Grundstück verkaufen. bietet ihm 3600 fl. bar, O 4250 fl. ohne Zins nach 2 Jahren zahlbar, 0 4310 fl. ohne Zins nach 3 Jahren zahlbar. Welches Anerbieten stellt sich bei 5°/„ ganz¬ jähriger Verzinsung als das vortheilhafteste für den Verkäufer heraus? Um die Anbote mit einander vergleichen zu können, müssen sie alle auf dieselbe Zeit reduciert werden; man wird entweder den gegenwärtigen Wert aller drei Anbote, oder ihren Wert nach 3 Jahren zu suchen haben. 16. Jemand will durch 3 Jahre eine Mrliche Summe (Jahres¬ rente) von 1000 fl. beziehen; wie viel Capital muss er zu diesem Ende anlegen, wenn die Zinseszinsen ganzjährig zu 5°/o angelegt werden? 17. 71 will dem L eine Geldsumme geben, damit ihm dieser durch 5 Jahre am Ende eines jeden Jahres 586 fl. auszahle; wie groß wird jene Summe bei 4°/, Zinseszins und ganzjähriger Capitalisicrung sein müssen? 18- Jemand übernimmt ein Haus mit der Verpflichtung, dem bis¬ herigen Besitzer 15 Jahre hintereinander eine nachschußweise Rente von 600 fl. auszuzahlen; wie hoch wurde das Haus veranschlagt, wenn 5°/, Zinseszinsen gerechnet werden? HI. Die Theilregel. §. 147. Wenn eine gegebene Zahl in mehrere Theile, welche sich wie andere gegebene Zahlen verhalten, getheilt werden soll, so geschieht dieses durch die Th»eilrcgel oder Gesellschaftsrechuung. Die Zahlen, durch welche das Verhältnis der Theile ausqcdrückt wird, heißen Verhältniszahlen. . nur cine Reihe von Vcrhältniszahlen gegeben, so wird die ein¬ fache; smd mehrere Reihen von Vcrhältniszahlen gegeben, so wird die zusammengesetzte Theilrcgel angcwcudet. 139 Z. 148. Es seien bei der einfachen Theilregel s die zu vcr- theilende Zahl, a, b und o die Verhältniszahlen. Nennt man die noch unbekannten Theile x, und 2, so muss x : / a : 6 und v : 2 — p : 6, oder X : L — / : b und /:p — 2:o, daher x:n — v:6 — 2:0 sein. Nach ß. 119, Zusatz ist dann (x -j- / -fl 2) : (g, -j- l> -s- 0) — x : a - / : b — 2:0. Da nun x -fl / -fl 2 — 8 sein muss, so hat man 8 : (a -fl l) -fl 0) — x : a, daher x — ——-- . n a -t- b -j- 0 s : -u e) - 2 - °, „ 2-:— Bei der einfachen Theilregel dividiert man daher die zu ver- theilcnde Zahl durch die Summe aller Verhältniszahlen und multipliciert den Quotienten mit jeder Verhältniszahl; die Producte sind die gesuchten Theile. Wenn die Verhältniszahlen Brüche enthalten, so werden sie zuerst in ganzen Zahlen dargestellt, indem man sie mit dem kleinsten gemeinschaftlichen Vielfachen aller Nenner multipliciert. Haben alle Verhältniszahlen ein gemeinschaftliches Maß, so werden sie dadurch abgekürzt. Auf dieselbe praktische Regel wird man auch durch die Schluss¬ rechnung geleitet. Es seien z. B. 640 fl. unter drei Personen L, 0 nach dem Ver¬ hältnisse der Zahlen 9, 7 und 4 zu theilen; wie viel entfällt auf jede Person? Auf kommen 9, auf L 7 und auf 0 4, also auf alle zusammen 20 gleiche Theile; der 20ste Theil von 640 fl. sind 32 fl.; somit bekommt /V 9mal 32 fl. - 288 fl. L 7mal 32 „ - 224 „ 6 4mal 32 „ - 128 „ Diese Schlusswcise wird insbesondere beim Kopfrechnen angewendet. 140 Z. 149. Jede zusammengesetzte Gesellschaftsrechnung kann auf eine einfache zurückgeführt werden. Z. B. Drei Kaufleute sind mit einander in Gesellschaft getreten und haben zusammen 2300 fl. gewonnen; wenn nun 2000 fl. durch 8 Monate, L 4000 fl. durch 6 Monate, 0 5000 fl. durch 5 Monate in dem Geschäftsfonde liegen ließ, wie viel von dem Gewinne wird jeder erhalten? Hier hängen die Antheile am Gewinne nicht bloß von der Einlage, sondern auch von der Zeit ab. Es ist jedoch gleichviel, ob 2000 fl. 8 Monate oder 16000 fl. 1 Monat „ L 4000 „ 6 „ „ 24000 „ 1 „ 0 8000 „ 5 „ „ 40000 „ 1 in dem Fonde liegen lässt. Da nun im zweiten Falle die Zeit für alle drei Antheile gleich ist, so hängen dieselben nur von den zu dieser Zeit gehörigen Einlagen, nämlich den Producten 16000 fl., 24000 fl. und 40000 fl. ab, welche daher als Verhältniszahlen einer einfachen Gesell¬ schaftsrechnung betrachtet werden. Die Rechnung steht: 2000 fl. 8 Mon. L 4000 „ 6 „ 6 8000 „ 5 „ 16WS 2 230 . 2 - 460 fl. 24gW 3 230 . 3 - 690 „ 40WS 5 230 . 5 - 1150 „ 2800 : 10 - 230 2300 fl. Bei der zusammengesetzten Theilregel multipliciert man daher die auf denselben Theil Bezug habenden Verhältniszahlen mit ein¬ ander, und betrachtet die Produkte als Verhältniszahlen einer einfachen Theilregel, nach welcher dann die weitere Auflösung erfolgt. Aufgaben. 1? 175 fl. sollen unter und L so vertheilt werden, dass L. 2, L 3 Theile von gleicher Größe erhalte; wie viel wird jeder erhalten? 2* Die Zahl 160 soll in zwei Theile getheilt werden, welche sich verhalten wie 7:9; wie heißen diese Theile? 3* Vier Personen nehmen ein Lotterielos; dazu gibt 50 kr., L 1 fl., O 1 fl. 50 kr., O 2 fl. Sie gewinnen damit 8000 fl.; wie viel bekommt jeder? 4. Zu einem gemeinschaftlichen Geschäft gibt 4, L j und 0 den Rest. Sie gewinnen zusammen 240 fl.; wie viel erhält'jeder? 5. Zu weißem Glas nimmt man 13 Theile Quarz, 4 Theile Pottasche und 1 Theil Kreide; wie viel muss man von jedem zu einer Glasmasse von 125 LZ. nehmen? „ 6. Für die Versendung von 2133 LZ. Kaffee, 1735 LZ. Zucker und 923 LZ. Pfeffer werden 65 fl. 30 kr. Fracht gezahlt; wie viel kommt auf reden dieser Artikel? 141 7. Ein Kaufmann ist schuldig: an 2000 fl., an L 3200 fl. an 0 1200 sl., an I) 2800 fl, an i8 4600 fl.; sein Vermögen besteht aber nur in 8625 fl.; wie viel wird jeder Gläubiger bei der Theilung erhalten und wie viel Procent verliert jeder? 8. Es sollen 67270 fl. nach dem Verhältnisse der Zahlen /2' unter L, 0, I) und L getheilt werden; wie viel kommt auf jede Person? 9. Jemand hinterlässt ein Vermögen von 15845 fl, welches unter seine drei Erben so vertheilt werden soll, dass 2mal so viel als L und fl 3mal so viel als 0 bekommt; wie viel bekommt jeder Erbe? 10. Drei Personen sollen 9150 sl. so unter einander thcilen, dass so oft 5 fl. als L 3 fl, und 0 so oft 3 fl. als L 4 fl erhalte; wie viel bekommt jede Person? 11. Drei Kaufleute kaufen eine Partie Ware und verkaufen dieselbe mit 15°/g Gewinn, den sie nach Verhältnis ihrer Einlage unter sich theilen; fl erhielt vom Gewinn 810 fl., L 350 fl. und 0 220 fl.; wie viel hat jeder eingelegt? 12. Bei Auflösung eines Geschäftes, wozu drei Geschäftsleute 16000 fl zusammengeschossen hatten, erhielt L 5400 fl, L 6200 fl., 0 8400 fl; wie viel hat jeder eingezahlt, und wie viel "/» wurde gewonnen? 13. Drei Personen handeln auf gemeinschaftlichen Gewinn. legt ein 1500 fl auf ein Jahr, L 1200 fl. auf 6 Monate, 0 1000 fl. auf 8 Monate; sie gewinnen 960 fl; wie viel erhält jeder davon? 14. Drei Gemeinden erhalten für geleistete Erdarbeiten 500 fl Aus der Gemeinde arbeiten 11 Mann durch 10 Tage zu 9 Stunden, aus der Gemeinde L 9 Mann durch 9 Tage zu 10 Stunden, aus der Gemeinde 0 15 Mann durch 5 Tage zu 6 Stunden täglich. Welchen Antheil an jenem Lohne wird jede der drei Gemeinden haben? 15. beginnt am Anfänge des Jahres ein Unternehmen mit einem Fonde von 8000 fl; nach zwei Monaten tritt L mit 5000 fl bei, und noch zwei Monate später gesellt sich auch 6 mit 3000 fl. dazu. Beim Jahresabschlüsse zeigt sich ein Gewinn von 1059 fl.; wie viel bekommt jeder davon? 16. Zu einem Geschäfte, welches einen Fond von 9000 fl. forderte, gab L. auf 10 Monate, ö § auf 8 Monate, 0 den Rest auf 6 Monate; der Rechnungsabschluss zeigte einen Gewinn von 629 fl; wie musste dieser vertheilt werden? . 17. beginnt am 1- Jänner ein Geschäft mit 8000 fl. Capital, am 1. Mai tritt L mit 5000 fl., und am 1. Juli 6 mit 6000 fl. bei; wenn sich nun am Ende December ein Gewinn von 1180 fl. 33 kr. ergibt, wie viel gebührt davon jedem der Theilnehmer? 142 IV. Die Wischrmgsrechrmng. tz. 150. Häufig werden gleichartige Stoffe, die jedoch an Wert oder Gehalt verschieden sind, mit einander gemischt (gemengt), um eine Mischungssorte von mittlerem Werte zu erhalten. Dabei kommen folgende Größen zur Betrachtung: 1) die Menge der einzelnen Bestandtheile, 2) der Wert derselben, und 3) der Wert der Mischung. Die Rechnung, welche diese Größen aus einander herleitet, wird im allgemeinen die Mis chungsrechnung genannt. Sie enthält sehr mannig¬ fache Aufgaben, von denen die zwei folgenden von besonderer praktischer Wichtigkeit sind: 1. Es ist der Wert der Einheit einer Mischung zu suchen, welche aus gleichartigen Stoffen von verschiedenem Werte hergestellt wird. Die Rechnung heißt die Durchschnittsrechnung. 2. Es ist das Verhältnis zu finden, in welchem zwei gleichartige Stosse von verschiedenem Werte mit einander verbunden werden müssen, um eine Mischung von bestimmtem Mittelwerte zu erhalten. Die Mischungs¬ rechnung heißt in diesem Falle eine Alligationsrechnung. tz. 151. 1. Die Durchschnittsrechnung beruht auf ganz ein¬ fachen Schlüssen. Z. B. Ein Kaufmann mischt dreierlei Kaffee: 6 LZ. ü 1'32 st., 8 LZ. g, 1-20 st. und 10 LZ. n 1'08 fl.: wie viel kostet 1 LZ. der Mischung? 6 LZ. u 1-32 fl. kosten 7'92 fl. 8 „ a, 1-20 „ „ 9 60 „ 1 0 „ u 108 „ „ 10V0 „ 24 LZ. der Mischung „ 2 8-32 f l. , also kostet 1 LZ. ' Hfl. ' 2. Dagegen tritt bei der Alligationsrechnung eine besondere Art von Schlüssen auf, die wir an der folgenden Aufgabe näher erläutern wollen. Ein Weinhändler will Wein zu 20 fl. pr. Hektoliter haben, er hat aber nur Weine zu 16 fl. und zu 30 fl.; in welchem Verhältnisse muss er diese beiden Gattungen mischen, damit 1 Hektoliter der Mischung gerade den Preis von 20 fl. erhalte? Ein Hektoliter der besseren Sorte kostet 30 — 20 — 10 fl. mehr, 1 Hektoliter der schlechteren Sorte 20 — 16 - 4 fl. weniger, als 1 Hekto- üter der Mischung. . Man wird also beim Verkaufe der Mischung an 4 Hektolitern der besseren Sorte, welche darin vorkommen, eben so viel verlieren, als an 10 Hektolitern der schlechteren Sorte gewonnen wird, namüch 4 x 10 40 fl. Man muss daher, damit sich der Verlust und ver Oewmn ausgleichen, je 4 Hektoliter der besseren Sorte mit 10 Hekto- itcrn der schlechteren, d. h. man muss die bessere Sorte mit der gerin¬ geren m dem Verhältnisse 4 : 10 oder 2 : 5 mischen. 143 Der schriftliche Ansatz steht so 30 4 j 2 20 16 ! 10 ! 5 Es seien allgemein zwei gleichartige Stoffe und L, von welchen die Einheit bezüglich den Wert n und 6 hat. In welchem Verhältnisse muss man sie mischen, wenn die Einheit der Mischung den Mittelwert m. haben soll, wobei a > m > 5 vorausgesetzt wird? Bezeichnet x die Anzahl Einheiten, welche man von dem Stoffe L, und die Anzahl Einheiten, welche man von dem Stoffe L nehmen muss, so ist, da die Werte der zur Mischung verwendeten Stoffe zusammen dem Werte der Mischung gleich sein müssen, x . n -s- / - 5 — (x -fl l) - m, folglich x — in) — (m — v), oder x : — (m — d) : (a — in); d- h.: Die von dem besseren Stoffe zu nehmende Menge verhält sich zu der von dem schlechteren Stoffe zu nehmenden Menge, wie die Differenz des mittleren und geringeren Wertes zur Differenz des höheren und mittleren Wertes. Ansatz: n ! in — k> in i> s, — m. Ist auch die Quantität der Mischung gegeben, so wird die weitere Rechnung nach der THeilregel ausgeführt. Aufgaben. 1. * Jemand mischt 1 Liter Wein zu 36 kr., 1 Liter zu 40 kr. und 1 Liter zu 56 kr. zusammen; wie viel ist 1 Liter der Mischung wert? 2. * An einem Tage zeigte das Thermometer des Morgens 16", um Mittag 22°, des Abends 13°; wie groß war die mittlere Temperatur dieses Tages? Z. Ein Gut gibt in 5 auf einander folgenden Jahren 2565 fl. 24 kr., 2844 fl. 64 kr., 2085 fl. 38 kr., 2633 fl., 2408 fl. 84 kr. reinen Ertrag; wie groß ist der jährliche Durchschnittsertrag? 4. * Was ist ein Liter der Mischung wert, wenn unter 5 Liter ä 34 kr. und 4 Liter L 40 kr. 1 Liter Wasser gemischt wird? 5. Ein Weinwirt mischt 4 Hektoliter Wein L 24 fl., 3 Hektoliter ä 28 fl. und 5 Hektoliter L 30 fl.; wie viel ist 1 Hektoliter des so gemischten Weines wert? 6. Jemand mischt 39 Liter Spiritus L 40 Grad mit 26 Liter 5 30 Grad; welchen Gehalt hat die Mischung? 144 7. Jemand hat 3600 fl. L 4z»/«, 4500 L 5°/„ und 1900 fl. L 6°/, ausgeliehen; zu wie viel °/„ müsste die Summe aller drei Capitalien ausgeliehen werden, um gleich viel Zinsen zu erhalten? 8.* Ein Kaufmann hat 2 Sorten Reis, das LZ. zu 35 kr. und zu 28 kr.; er will aus beiden eine dritte Sorte mischen, von welcher das LZ. 32 kr. kosten soll; in welchem Verhältnisse muss er die beiden Sorten mischen? 9* In welchem Verhältnisse muss man Spiritus L 60 Grad und L 45 Grad mischen, um Spiritus u 50 Grad zu erhalten? 10. Aus 800- und 600tausendtheiligem Silber soll720tauscndtheiliges legiert werden; welches ist das Mischungsverhältnis? 11. Wie viel Liter Wein a 36 kr. und wie viel a 56 kr. muss man mischen, um 100 Liter a 42 kr. zu erhalten? 12. Jemand will Spiritus L 90° und ü 56° zusammcngießen, um 720 Liter ä 70° zu erhalten; wie viel Liter muss er von jeder Sorte nehmen? 13. Feines Silber (1000 Tausendthcilc fein) und 640 Tsdth. feines Silber sollen zu Silber von 750 Tsdth. Gehalt cingeschmolzcn werden; wie viel von jedem Bestandtheile kommt auf 24 LZ.? 14. Ein Goldschmied braucht zu einer Arbeit LZ. Gold s, 700 Tausendth.; er will solches aus Gold von 650 und 900 Tsdth. Gehalt Herstellen; wie viel muss er von jedem nehmen? 15. Ein Getreidehändler hat zweierlei Korn; von der besseren Sorte gilt das Hektoliter 6 fl. 60 kr., von der schlechteren 6 fl. 20 kr.; er will nun 42 Hektoliter so mischen, dass er jedes Hektoliter um 6 fl. 36 kr. verkaufen kann; wie viel muss er von jeder Sorte nehmen? 16. Wie viel LZ. ä 18 kr. muss man zu 564 LZ. k 32 kr. setzen, damit das LZ. der Mischung auf 24 kr. komme? 17- Wie viel Kupfer muss zu 3 LZ. Gold, das 850 Tausendtheile fein ist, zugesetzt werden, damit ein Feingehalt von 700 Tausendtheilen erzielt werde? V. Are KeLtenrechimng. 8- 152. Wenn die Beziehung zwischen zwei Größen nicht unmittelbar bekannt ist, sondern erst durch eine zusammenhängende Aufstellung bekannter Zwischcnbestimmungen gesucht werden muss, so wendet man die Ketten¬ rechnung an. Um dieses Rechnungsverfahren abzuleiten, wählen wir folgendes Beispiel: Wie viel Kreuzer ö. W. kosten 4 Dekagramm einer Ware, von welcher 7^ LZ. auf 75 Francs kommen? 145 10 Um hier den zu 4 Dekagr. gehörigen Preis in Kr. ö. W. zu finden, muss man nebst der Angabe, dass 74 LZ. 75 Franks kosten, noch folgende Mittclbestimmungen zu Hilfe nehmen1 Lg. hat 100 Dekagr., 24 Franks gelten 100 kr. ö. W.; und die vollständige Aufgabe lässt sich'dann in folgende Kettenverbindung bringen: x kr. ö. W. kosten .... 4 Dekagramm, wenn 100 Dekagramm . . 1 LZ. machen, wenn 74 ÜA 75 Franks kosten, und wenn 24 Franks ... 100 kr. ö. W. gelten? Die Aufgabe zerfällt in folgende drei Aufgaben: a) Wie viel (^) Lg-. sind 4 Dekagr., wenn 100 Dekagr. 1 sind? Zur Bestimmung von hat man 5) Wie viel (2) Franks kosten Lg-., wenn 74 75 Franks kosten? Zur Bestimmung von 2 hat man 2 Franks v Kx. . 75 __ 7,1 7?; 71 2 . <2- 0) Wie viel (x) Kr. ö. W. sind 2 Franks, wenn 24 Franks 100 Kr. v. W. gelten? Zur Bestimmung von x hat man x Kr. ö. W. 2 Franks . E — 2^ PI 2 . «-2- Multipliciert man in den erhaltenen drei Proportionen die gleich¬ stelligen Glieder mit einander, so ergibt sich V2x : 1 . 75 . 100 - 4v2 : 100 . 74 . 24, oder x : 1 . 75 . 100 - 4 : 100 . 74.24; folglich 4 . 1 . 75 . 100 . .. x " 100 . 74 . 24 - °' "H' Aus dem oben angegebenen Ansätze der Aufgabe und dem hier für x erhaltenen Ausdrucke ergibt sich daher für die Kettenrechnung folgendes praktisches Verfahren: 1. Man ziehe einen verticalen Strich, schreibe links neben denselben x mit der Benennung an und rechts die gegebene Größe, deren Betrag gesucht wird und die daher mit x gleichen Wert hat. Darunter setze man alle Mittelbeziehungen, und zwar fange man jedesmal links mit einer Größe an, welche mit der nächstvorhergchenden rechts von gleicher Art ist; rechts neben jede Größe kommt diejenige Größe, welche mit ihr gleich¬ wertig ist. So wird sortgefahren, bis man rechts eine Größe erhält, die Mit x gleichnamig ist. 2. Man dividiere das Product aller rechts stehenden unbenannten Zahlen durch das Product aller links unter x stehenden; der Quotient gibt den gesuchten Wert von x. Mocnrk, Arithmetik für Lehrerbildungsanstalten. 146 Z. B. Wenn in England 1 Quarter Weizen 52 Shilling kostet, welches ist der entsprechende Preis für 1 Hektoliter in fl. ö. W.? (11 Quarter — 32 Hektoliter, 20 Shilling — 1 Pfund Sterling, lO Pfd. Sterl. - 112 fl. ö. W.) Ansatz: x fl. ö. W. 32 Hektol. 1 Quarter 20 Shilling 10 Pfd. Sterl. 1 Hektoliter 11 Quarter 52 Shilling 1 Pfd. Sterl. 112 fl. ö. W. Aufgaben. 11 . 52 . 112 x - 32 . 20 . 10 10 01 fl. ö. W. Jemand kauft in Hamburg 3751 K Kaffee für 3125 Reichs¬ mark; wie viel in ö. W. kostet ein Lg;., wenn 2 Hamb. K — 1 Hz-, und wenn 100 Mark — 54 fl. ö. W. sind? 2. Wie viel Londoner Ctr. machen 2534 KZ., wenn 100 Lond. Pfd. — 45?z Lg. und wenn 1 Lond. Ctr. 112 Lond. Pfund enthält? 3. Wenn eine Eisenbahnschiene von 5 Meter Länge 125z Hg. wiegt und für 100 LZ. Schienen in Belgien 27/„ Franks bezahlt werden; wie viel fl. ö. W. kosten die für 1 Kilometer erforderlichen Schienen? (100 Frks. - 44 fl. ö. W.) 4. Ein österr. Guldenstück enthält 900 Tansendtheile feines Silber: wie viel Gramm wiegt es, wenn 45 Guldcnstücke 500 Gramm feinen Silbers enthalten? 5. Wie viel kosten 455 LZ. Brutto einer Ware, wenn nach Abzug von 10"/g Tara das 1) 252 Mark, o) 47 Mark 62 Pfennige. 12. a) 1 Frank (Lira) hat 4'5 Gramm feines Silber, 6) 1 holl. Gulden „ 9'45 „ „ „ o) 1 russ. Silberrubel „ 17'9961 „ „ welchen Silberwert in ö. W. hat jede dieser Münzen? 13. 20 fl. Conventions-Münze enthalten 233'87 Gramm feinen Silbers; wie viel fl. ö. W. ist hiernach 1 fl. C. M. wert? 14. a) 1 kais. Ducaten hat 3'4421 Gramm feines Gold, 5) 1 deutsches 10 Markstück „ 3'5842 „ „ „ o) 1 engl. Sovereign „ 7'3223 „ „ „ welchen Wert in ö. Silbergulden hat jede dieser Münzen? 15. Eine Silberstange wiegt 2^ und ist fein; wie groß ist der Silberwert in ö. W.? 16. An der Wiener Börse notiert man an einem Tage den Cours für kais.. Ducaten mit 5'32 fl. > in „ „ „ Achtgnldenstücke „ 9-05 „ < Bank- „ „ „ Sovereigns „ 11'28 „ ' valuta; wie viel kosten 158 Stück jeder dieser Goldmünzen? 17. Für 1000 fl. ö. W. werden Ducaten im Course zu 5'25 gekauft; wie viele Stücke erhält man, und wie groß ist der Rest im Courantgelde? 18. Jemand hat eine Zahlung von 2083 fl. in Silber zu leisten; wie viel in Bankvaluta muss er dafür bei 2^°/g Silbcragio zahlen? 19. Wie viel sind 1266 fl. Silber wert bei a) 5°/g, b) 3^"/„, 2z°/„, 4) 1^°/, Agio? 20. Als das Silbcragio 25°/„ war, wurde der Wien. Ctr. (56 006 L^.) Zucker mit 32 fl. in Papiergeld verkauft, später, als das Agio auf 2"/» sank, das X»-. mit 56 kr.; wann war der Zucker verhältnismäßig theuercr? VH. Wechfelrechnung. Z. 158. Eine Urkunde, in welcher sich der Aussteller unter wechsel- rechtlicher Haftung verpflichtet, eine bestimmte Geldsumme an eine gewisse Person zu einer bestimmten Zeit entweder selbst zu zahlen, oder durch eine dritte Person zahlen zu lassen, wird Wechsel genannt. 152 Rücksichtlich des Zahlers unterscheidet man eigene Wechsel und fremde, oder gezogene, trassierte Wechsel. 5. ) Eigene Wechsel heißen jene Wechsel, in welchen sich der Aus¬ steller verpflichtet, die Wcchselsummc selbst zu bezahlen. Z. B. -V. Tiolltsr in Wien kauft von T. Haas daselbst um 2000 fl. Waren, zahlbar nach 2 Monaten, und stellt ihm über diesen Betrag folgenden Wechsel aus: Wien am 7. August 1878. pr. fl. 2000 ö. W. Zwei Monate von heute zahle ich gegen diesen Sola-Wechsel an den Herrn T. Huas die Summe von zweitausend Gulden öst. Währung. Tioiitsr. Tiolltor ist dann nach Wechselstrenge verpflichtet, nach 2 Monaten dem Inhaber dieses Wechsels die darin genannte Summe zu zahlen. In einem eigenen Wechsel kommen wenigstens zwei Personen vor: 1. der Aussteller, welcher sich zur Zahlung der Wechselsumme ver¬ pflichtet (hier Tiolltor); 2. der Remittent oder der erste Inhaber des Wechsels, dem sich der Aussteller die Zahlung zu leisten verpflichtet (hier Haus). 1>) Gezogene oder trassierte Wechsel sind solche Wechsel, in welchen sich der Aussteller verpflichtet, die Wechselsumme durch eine dritte Person zahlen zu lassen. Z. B. 6. Tisolisr in Wien erhält von 8. 'WittKsn in Hamburg Waren im Betrage von 1200 Mark, zahlbar nach 3 Monaten. In Wien ist aber der Kaufmann .1. Llosor, welcher mit dem Hamburger Kaufmann 1?. Torno in Geschäftsverbindung und Rechnung steht. Statt, dass der Wiener Tisollsr die Summe deutsches Geld mit österreichischem kauft und an IVitt^on in Hamburg sendet, was mit Unbequemlichkeit, Kosten und Gefahren verbunden wäre, begibt er sich zu Llosor, erlegt ihm eine Summe in v. W., welche denselben Wert hat als 1200 Mark und erhält dafür von Llosor folgenden Wechsel: Wien am 15. Juli 1878. pr. Mark 1200. Drei Monate nach heute zahlen Sie gegen diesen Prima-Wechsel an den Herrn 8. LVItt^sn die Summe von eintausend zweihundert Mark. Herrn I?. Torno in Hamburg. 0. Llosor. Diesen Wechsel übersendet Tisollor von Wien an LVitt^on in Hamburg, welcher denselben an Torno dort zur Zahlungserklärung ver¬ weiset oder präsentiert. Torno erklärt sich auf demselben schriftlich zur Zahlung der Summe zur bestimmten Zeit, d. i. er acceptiert den Wechsel, und hat nun zu der genannten Zeit die Zahlung an LVitt^sn zu leisten. Der Wiener hat dadurch seine Zahlung an den Gläubiger ^OttKon in Hamburg auf eine sehr einfache Weise geleistet. Würde aber Torno den Wechsel nicht acccptieren, so wäre der Aussteller unter wechsel- 153 rechtlicher Haftung verpflichtet, für die Wechselsumme und für die Auslagen Ersatz zu leisten. Ein Wechsel bietet demnach ein sehr einfaches Mittel zur Ausgleichung von Schulden und Forderungen zwischen Kaufleuten verschiedener Plätze. Bei einem gezogenen Wechsel sind im Allgemeinen vier Personen betheiligt: 1. Der Aussteller oder Trassant, welcher den Wechsel ausstellt, zieht oder trassiert (hier Llossr); 2. der Bezogene oder Trassat, welcher vom Aussteller zur Zahlung der Wechselsumme auf- gcfordert wird (hier Lorns), er heißt, wenn er den Wechsel accepticrt hat, auch Acceptant; 3. der Remittent, d. i. jene Person, welche den Wechsel kauft, um ihn an seinen Gläubiger zu übermachen, zu remittieren (hier k'isoliör); 4. der Präsentant, welcher den Wechsel zur Annahme und späteren Zahlung vorweiset (hier IVittKsn). Ein Wechsel wird in Beziehung auf den Trassanten und den Tras¬ saten eine Tratte, in Beziehung auf den Remittenten und den Präsen¬ tanten eine Rimesse genannt. Z. 159. Die im Wechsel bestimmte Zeit zur Zahlung der Wechsel¬ summe, d. i. die Verfallszeit, kann auf vier Arten festgesetzt werden: a) Auf einen bestimmten Tag, z. B. 8. Mai dieses Jahres, msllio Mai d. I. (unter moäio versteht man immer den 15. des Monates), ultimo Mai d. I. (31. Mai). Solche Wechsel heißen Tagwechsel. 5) Nach Sicht, und zwar 1. unmittelbar nach Sicht (auf Sicht, auf Verlangen, a vista, a piaosrs), wenn der Wechsel noch am Tage der Vorzeigung oder Präsentation zu bezahlen ist, und 2. auf eine bestimmte Zeit (8 Tage, 3 Wochen, 2 Monate) nach Sicht, wenn die Zahlung in der angegebenen Zeit nach der Präsentation zur Annahme zu leisten ist. Bei den Sichtwechseln der zweiten Art muss der Acceptant der Acceptation auch das Datum derselben beifügen. Ein Unterlassen der Datierung hat jedoch auf die Giltigkeit des Acceptes keinen Einfluss. o) Auf eine bestimmte Zeit nach dem Tage der Aus¬ stellung, z. B. 2 Monate a äato, 3 Wochen nach heute. Diese Wechsel heißen Datowechsel. ä) Auf eine Messe oder einen Markt. Solche Wechsel heißen Messwechsel, und sind, wenn die Messe nur einen Tag dauert, an diesem Tage, wenn der Markt mehrere, jedoch nicht über 8 Tage dauert, am Tage vor dem gesetzlichen Schlüsse des Marktes, und wenn der Markt mehr als 8 Tage dauert, am dritten Tage vor dem Schluffe des Marktes fällig. Damit der Wechsel als kaufmännisches Zahlungsmittel in aus¬ gedehntestem Umfange verwendet werden könne, ist der Remittent berech¬ tiget, den Wechsel sammt dem ihm daraus zustehenden Rechte einem andern abzutreten. Das Übertragen der Rechte des Wechselinhabers an einen andem heißt indossieren oder girieren; es geschieht durch eine schüft- 154 liche Erklärung auf dem Wechsel, der Rückseite oder einer Copie desselben, Indossament oder Giro genannt. Derjenige, welcher den Wechsel an einen andern überträgt, heißt Indossant oder Girant; derjenige, an welchen der Wechsel übertragen wird, Indossatar oder Giratar. Der Indossatar kann den Wechsel wieder an einen andern, selbst an den Aussteller, Bezogenen oder einen früheren Giranten giltig girieren, bis zur Verfallszeit der letzte Eigenthümer die Wcchselzahlung wirklich erhält. 160. Wechselt» iscont. Wechsel, welche auf die Valuta des eigenen Handelsplatzes lauten und daselbst zahlbar sind, heißen Platzwechsel. Wenn ein Platzwechsel vor dem Verfallstage verkauft wird, so muss sich der Verkäufer wegen der früheren Bezahlung einen Abzug gefallen lassen, welcher von der Zeit abhängt, die der Wechsel noch zu laufen hat. Dieser Abzug heißt Diskont oder Escompt. Einen Wechsel vor der Verfallszeit gegen Abzug des Discontes verkaufen oder kaufen, heißt denselben d i s c o n ti e ren. Der Wechseldiskont wird in Procenten für ein Jahr angegeben und sollte richtig auf Hundert gerechnet werden (Z. 141); er wird jedoch tatsächlich immer nach der bequemeren Procentrechnung von Hundert bestimmt, weil die sich ergebende Differenz mit Rücksicht auf die kurze Laufzeit der Wechsel sehr gering ist. Man berechnet daher den Wechsel¬ diskont für die Zeit vom Kaustage bis zum Verfallstage wie die Zinsen auf Tage i H. 140), zählt bei der Bestimmung dieser Zeit den Kauftag oder den Verfallstag nicht und rechnet jeden Monat zu so viel Tagen, als er deren wirklich hat. Z. B. Ein Wechsel pr. 960 fl., zahlbar 31 Tage nach Sicht, acceptiert am 18. Juni, wird am 27. Juni mit 4°/g diskontiert; wie viel nimmt man dafür ein? Accepttag 18. Juni Wechselsumme 960 fl. Verfallstag 19. Juli 4°/g Diskont für 22 Tage 2 „ 35 kr^ Verkaufstag 27. Juni diskontierter Wert 957 fl. 65 kr. Juni 3 Tage Ju li .19 „ 22 Tage 8- 161. Wechselreduction. Wechsel, welche auf fremde Handelsplätze und gewöhnlich auch auf eme fremde Währung lauten, heißen ausländische Wechsel oder Devisen. Beim Ein- oder Verkaufe von Devisen muss nach einem gegebenenWechselcourse der Betrag des fremden Geldes (die Wechsel¬ valuta) in die eigene Währung, oder umgekehrt umgercchnet werden. Diese Rechnung nennt man die Wechselreduction. Wechsblcours hängt von dem des fremden Geldbetrages, von der Laufzeit des Wechsels, sowie von der Nach- srage und dem Anbote solcher Wechsel ab und bezieht sich immer auf zwei Geldwährungen, die des eigenen und die des fremden Handels- 155 Platzes; cs wird nämlich angegeben, dass für eine unveränderliche oder feste Summe der einen Valuta eine veränderliche, bald größere, bald geringere Summe in der andern Valuta geleistet wird. An den österreichischen Börsen bilden immer 100 (für London 10) Einheiten des fremden Geldes die feste Valuta und gibt der notierte Cours an, wie viel fl. ö. W. Bankvaluta dafür gezahlt oder empfangen werden. Wenn z. B. der Cours auf Paris mit 44 notiert ist, so heißt dies: für 100 Franks zahlt man 44 fl. österr. Währ, in Banknoten. Die Wechselreduction wird meistens nach der Procent- oder nach der Schlussrechnung ausgeführt. Z. B. 1) Ein Wiener hat in Amsterdam eine Zahlung von 2360 fl. holl, zu leisten; er will diese durch Übersendung eines Wechsels begleichen, den er zum Course 93'50 cinkauft; wie viel muss er für diesen Wechsel bezahlen? 2) Ein Wiener hat für seine Rechnung in Paris 2485 fl. ö. W. zu fordern; welchen Betrag in Franks wird er trassieren, wenn der Cours auf Paris 44 steht? 44 fl. ö. W. . . . 100 Franks 1 1-00 2485 „ „ ... 100- 5647 73 Franks. Aufgaben. Wechsel von fl. 1249'13 pr. 15. Juni wird am 8. Mai mit 44°/g Discont verkauft; wie viel beträgt die Einnahme? ' 2. Berechne den Discont und den discontiertcn Wert für folgende 3. Ein P6I- msciio August ausgestellter Wechsel über 849 fl. wird am 26. Juni zu 6z°/„ discontiert; wie viel ist der Wechsel an diesem Tage wert? 4. Wie groß ist der discontierte Wert eines Wechsels über 3180 fl. 14 Tage nach Sicht, acceptiert am 20. November, und zu 4^"/g discontiert M 23. November? 156 5. Ein Wechsel von fl. 3048-72, ausgestellt am 13. Mai 2 Monate a äato, wird am 18. Juni Z. 5z°/o mit ^o/g Provision discontiert; wie viel ist dafür zu zahlen? 6. Am 24. April werden bei der österr. Nationalbank folgende Wechsel zu 5°/g escomptiert: 3128 fl. auf E. Moser, pr. 20. Mai; 1073 „ „ F. Link pr. ultimo Mai; 536 „ „ K. Müller, 31 Tage nach Sicht, accept. 8. April; 2895 „ „ H. Probst, vom 28. März, 2 Monate a dato. Wie viel hat die Bank für alle diese Wechsel zu bezahlen? 7. Ein Wiener hat in Augsburg 2915 Reichsmark zu fordern und will diese Forderung mittelst eines Wechsels, den er auf seinen Schuldner ausstellt und ä. 55-60 verkauft, an sich bringen; wie viel nimmt er für diesen Wechsel ein? 8. Ein Handlungshaus in Marseille hat von einem Wiener 5682 Franks 56 Cent, zu fordern; wie groß ist diese Forderung in ö. W, wenn 100 Franks — 44-75 fl. ö. W. gerechnet werden? 9. Wien kauft 3708 Franks auf Paris n 44'80, wie viel kostet diese Devise, wenn dabei Sensarie gezahlt werden muss? 10. Wie hoch stellt sich in Wien der Wert eines Wechsels auf Berlin über n) 738 Mark L 54-80, d) 1335 Mark s. 54 92, o) 3085 Mark 48 Pfenn. L 54'85? 11. Wien kauft im Auftrage 7123 Wallach. Piaster in Devisen auf Bukarest ä 17-15 und berechnet 1°/«, Provision und "/„o Sensarie; mit welchem Betrage in ö. W. wird Wien den Committcnten belasten? 12. kauft in Wien Wechsel auf Hamburg: 2032 Mark, Discont für 126 Tage, 1760 „ „ „ 80 „ .,3188 „ „ „ 52 „ Wre viel fl. ö. W. sind zu bezahlen bei dem Cours 54E-, wenn der Discont zu 4^°/, gerechnet wird? 13. Einem Amsterdamer wurden fl. ö. W. 2227'75 in 2345 fl. holl, übermacht; zu welchem Course remittierte Wien? 14. Wie steht der Cours auf Brüssel, wenn bei Berechnung von z°/o Provision für 5248 Franks 2241 fl. 55 kr. ö. W. gutgeschriebeu werden? VIII. Berechnung der Staatspapiere und Actien. 159. Staatspapiere sind Schuldverschreibungen, welche voin Staate oder mit Bewilligung des Staates von einzelnen Ländern, von größeren gesellschaftlichen Unternehmungen und selbst von einzelnen Güter- bescher« über Theilbeträge eines empfangenen Darlehens ausgestellt werden- 157 Der Capitalsbetrag, auf welchen ein Staatspapier lautet, wird der Nominalwert desselben genannt. Die Staatspapiere sind entweder verzinsliche Obligationen, für welche in bestimmten Terminen die Zinsen nach einem bestimmten Zinsfüße, und zwar gewöhnlich gegen gedruckte Zinsanweisungen, Cou¬ pons, ausgezahlt werden, oder Lose, deren Erträgnis in bestimmten Gewinsten besteht, die in festgesetzten Ziehungen entfallen. Einige Lose gewähren außer der Möglichkeit, einen großen Gewinn zu machen, auch regelmäßige Zinsen. Actien sind Antheilscheine über die durch Einzahlung eines be¬ stimmten Capitals erworbene Mitgliedschaft an größeren Transport-, Industrie- oder Handelsunternehmungen. Das Erträgnis der Actien, die Dividende, besteht entweder in bestimmten Zinsen oder in einem Antheile am Gewinne der Unternehmung, oder meistens in beiden zugleich. Die ordentliche Dividende gilt für die Zinsen, die außerordentliche vertheilt den Mehrgewinn. Außer den Actien werden von den Aktiengesellschaften häufig auch verzinsliche Schuldverschreibungen hinausgegebcn, welche zwar zu keinem Antheile am Gewinne, dagegen zu dem Ansprüche auf die Zahlung der Zinsen noch vor den Actien berechtigen und darum Prioritäts- Obligationen oder Prioritäten heißen. Die Actien, Prioritäten und die öffentlichen Fonds werden mit dem gemeinschaftlichen Namen Effecten bezeichnet. 8- 163. Die Effecten haben einen veränderlichen Wert, welcher Cours heißt und nicht bloß von dem Nominalwerte, sondern auch von der Höhe des Zinsfußes und des Gewinnes, von der Nachfrage und dem Anbote abhängt. An den österreichischen Börsen werden die Course m Gulden ö. W. Bankvaluta, und zwar bei sämmtlichcn Actien sowie bei Privatloscn pr. Stück, dagegen bei allen Staatspapieren, Grundentlastungs- Obligationen, Pfandbriefen und den meisten Prioritäts-Obligationen in Prvcenten d. i. für 100 fl. des Nominalwertes notiert. Beim Kaufe zinstragender Effecten müssen dem Verkäufer nebst dem Capitalswcrte auch die noch nicht behobenen Zinsen vom letzten Zins- iernnne bis zum Tage des Kaufes vergütet werden. Die Zinsen der Cffecten werden immer von dem Nominalwerte berechnet; dabei wird der Monat zu 30 Tagen gerechnet. Wenn ein Effect auf Conventions-Münze lautet, so haben dieselbe Benennung auch die Zinsen; diese müssen daher, weil der Courswert m °- W. ausqedrückt ist, gleichfalls in ö. W. umgerechnet werden. Bezüglich der in Silber verzinslichen Effecten besteht an den österreichischen Börsen die Übung, dass die laufenden Zinsen in Papiergeld ohne Zuschlag des Silberagio berechnet werden. Bei den meisten Staatspapieren muss von .den Zmsen noch d e Einkommensteuer in Abzug gebracht werden; nur die Actien, Pfandbriefe und einige Prioritätsobligationen sind steuerfrei. 158 Beispiele. 1) kauft am 3. December 8 Stück Actien der Nationalbank L 845; wie viel muss er dafür zahlen? (Nominalwert einer Actie - 600 fl. ö. W., 5° „ Zinsen seit 1. Juli rückständig.) 8 Stück L 845 fl 6760 fl. Zinsen von 8 Stück ü 600 fl. — 4800 fl. vom 1. Juli, 152 Tage, ü 5"/„ .... 101 „ 33 kr. 6861 fl. 33 kr. 2) Am 26. November werden 2400 fl. einheitliche Staatsschuld in Silber zum Course 66 90 gekauft; wie viel ist dafür zu zahlen? (Zinsen zu 4^°/g seit 1. Juli.» 2400 fl. ü 66-90 1605-60 fl. Zinsen seit 1. Juli, 125 Tage, ü 4^o/o. . 37 50 „ 1743-10 fl. 3) Wie viel erhält man am 16. September für verkaufte 12 Stück Lose vom Jahre 1854 L 106? (Nominalwert ü 250 fl. C. M., Zinsen 4°/g mit 20"/g Einkommensteuer seit 1. April.) 12 Stück L 250 fl. C. M. 3000 fl. C. M. 3000 fl. C. M. a 106 3180 fl. ö. W. Zinsen von 3000 fl. C. M., 165 Tage ü 4°/», 55 fl. C. M. - .... 57-75 fl. ö. W. ab Eink.-St. ü 20°/, . . . 1155 „ „ 46'20 „ „ 3133-80 fl. ö. W. Aufgaben. 1? Wie viel betragen 9 Stück Lose vom I. 1864 ü 142? 2. * Wie viel kosten 6 Stück Creditlose a 166, 12 „ Palffy-Lose g. 26, und 15 „ Lose der Rudolfsstiftung ü 14? 3. Welchen Wert haben am 18. August fl. 2500 einheitliche Staats¬ schuld in Noten mit Coupons vom 1. Mai L 64'75? (Zinsen 4^°/s>.) 4. Wie viel muss man am 9. September für 6 Stück ganze Lose vom I. 1860 a 114'25 bezahlen? (Nominalwert ü 500 fl., 5"/g Zinsen mit 20°/o Einkommensteuer.) 5. Am 1. Mai werden gekauft: 14 Stück Actien der Graz-Köflacher Bahn ü 18, 9 „ „ „ Kronprinz Rudolfsbahn L 129'75, und 12 „ „ „ Siebenbürger Bahn ü 116-50. (Nominalwert g. 200 fl, Zinsen s, 5"/o seit 1. Jänner.) ,6. Jemand verkauft am 6. December 9 Stück Lose vom Jahne 1?o4 n 108 75; wie viel nimmt er dafür ein? (Nominalwert ü 250 fl C. M., Zinsen 4°/o mit 20°/„ Einkommen-Steuer seit 1. April.) 159 7. Am 26. Februar werden verkauft: 18 Stück Prioritäten der Siebenbürger Bahn ü 71-75, und 10 „ „ „ Franz-Josefsbahn a 93-75. (Nominalwert u 200 fl., Zinsen 5°/, seit 1. Oct.) 8. Am 4. October werden gekauft: fl. 6000 Pfandbriefe des steierm. Sparcasse-Vereins ä 99; wie viel ist dafür bei Sensarie zu bezahlen? (Zinsen 5z°/„ seit 1. Juli.) 9. Wie viel kosten am 26. April 2 Stück Fcrdinands-Nordbahn-Actien ü 2070 (Nominalwert L 1000 fl. C. M.), und 6 Stück Elisabcthbahn - Actien ä 167-25 (Nominalwert ü 200 fl. C. M.), wenn die 5°/„ Zinsen seit 1. Jänner zu vergüten sind und z°/„g Sensarie gerechnet wird? 10. Jemand lässt am 26. Nov. in Wien verkaufen: 4 Stück Actien der Nationalbank a 835 (Zinsen seit 1. Juli); 8 Stück Lose vom I. 1860 L 112 (Nominalwert L 500 fl., 5°/g Zinsen mit 20°/g Eink.-St, seit 1. Nov.); 3500 fl. 5°/g Pfandbriefe der österr. Boden-Creditanstalt g, 107'50 (Zinsen seit 1. Nov.); wie viel erhält er dafür, wenn die Sensarie z"/«» und die Provision 1°/» beträgt? IL. Medechoümgsaufgaöen. 1. * An einem Tage stand das Thermometer um 6 Uhr Morgens auf 12 Grad, um 10 Uhr auf 15 Grad, um 2 Uhr auf 21 Grad, um 6 Uhr Abends auf 16 Grad; wie groß war die mittlere Temperatur dieses Tages? 2. * Man mischt 3 Liter Wein L 40 kr. mit 5 Liter L 56 kr.; wie viel sind 6 Liter der Mischung wert? 3. 100 - s(2fl -fl 16^ P- 3z Z- 8z) . ^!- 4- i5^ -fl 7^ -fl 25z-) - (z -fl 9,-^ -fl 2^). 5. Man hat vier Zahlen: die erste ist 25-s, die zweite um 8? größer als die erste, die dritte um 12z kleiner als die zweite, die vierte 'st gleich dem Unterschiede zwischen der ersten und dritten; wie groß ist die Summe aller vier Zahlen? 6. Wie viel sind 4"/„ a) von, b) auf, o) in Hundert von 775 fl. ? 7. Von welcher Summe sind 75 fl. 6°/« n) von, 5) auf, o) in Hundert? 8. Wie viel a) von, 6) auf, o) in Hundert sind 86 fl. von 1634 fl. ? IM 9. Man bestimme den Wert von 4 Kisten Feigen im Gewichte von 511 Lrutto, wenn die Tara zu 10°/g und das Uotto zu 36 kr. gerechnet wird? 10. Wenn man eine Zahl mit 15 multipliciert, zu dem Producte 20 addiert, die Summe durch 4 dividiert und von dem Quotienten 14 subtrahiert, so erhält man das 3fache der fraglichen Zahl; welche Zahl ist es? 32 4a^x 8x^^ 4m"n^p 27dH» ' 96^' 15mll'ch,o ' 5x^°^' 13. (8m — 5x) — (2m—3n — 4x) -st j(3x — 2n) — (4m -st 3n)z. 14. Welcher Wert in st. ö. W. ergibt sich für 1 Achtguldenstück, da 155 Stück auf 1 Gold von 900 Tausendtheilen Feingehalt gehen, wenn das Verhältnis des Goldes zum Silber wie 15^ : 1 angenommen wird? 15. Welchen Wert in Papiergeld haben 2350 st. Silber, wenn das Silber 4°/° Agio hat? 16. Wie viel in Silber sind 3285 st. Papiergeld wert, wenn das Silber mit 103st notirt ist? 17* kauft einen Garten für 1200 st., wovon er sich nach je 3 Monaten 240 st. zu zahlen verpflichtet; wann müsste er die ganze Summe auf einmal entrichten? 18* Wie viel betragen die jährlichen Zinsen a 5"/» von: u) 4 st, 5) 20 fl., o) 34 fl., ck) 377 fl., s) 2850 st.? 19. Wie groß sind die Zinsen von и) 3678 fl. ä 5°/g in 1 Jahr 5 Mon.? к) 5782 fl. ü 55°/» in 6 Mon. 12 Tagen? o) 986 85 fl. L 61°/g in 2 Jahren 8 Mon. 21 Tagen? 20. Wie viel betragen die Zinsen u) von 942-75 fl. ä 4z»/„ in 37 Tagen? 6) von 1348 fl. L 5^°/g in 132 Tagen? 21. Berechne die Zinsen a) von 1745 fl. zu 6"/g vom 15. April bis 12. Juli; d) von 5680 fl. zu 6^°/„ vom 1. Juli bis 18. October. 22. Jemand kauft in Triest 5 Fässer einer Ware, gewogen Brutto 5219 mit 10"/g Tara; wie viel wird er contant dafür bezahlen, wenn man 100 Rstto zu 14 fl. mit 2°/g Sconto rechnet? -rox.x-j-l.x — 1 2x . 7 23' 2 - 5 -i- 4- 0/1 I X , X , X o I 23 24. -st b Z' 6 11 - 66' 25. — - 25 b.gx. 26. ^Q^8 2Ä3x 000925. v 5 Iv 7 27. (2x -st 5) -st 3 (2 x - 3) - (5x - 7) - 1. 161 28. Jemand legt ein Capital von 3485 fl. zu 4°/, Zins auf Zins an; wie hoch wird das Capital in 3 Jahren anwachsen? 29. Wenn jährlich in eine Versicherungsbank 200 fl. eingezahlt werden, welches Capital wird diese nach 8 Jahren bei 4°/„ Zinseszins dafür zurückerstatten? 30* Berechne 2°/„ Provision von: a) 568 fl., 6) 1240 fl., o) 1736 fl., 6) 2518 fl., o) 3712 fl. 31u Berechne Sensarie von: a) 884 fl., 6) 1508 fl., o) 2030 fl., 6) 2264 fl., o) 4508 fl. 32. Der Einkaufsbctrag einer Ware beläuft sich mit Einschluß von 4"/o Sensarie auf 2653 fl. 40 kr.; wie groß ist die Sensarie? «Auf Hundert.) 33- Der Verkaufswert einer Ware beträgt nach Abzug von Sensarie 5537 fl. 42 kr.; um wie viel wurde die Ware verkauft? (In Hundert.) 34. Verwandle folgende rein periodische Decimalbrüche in gemeine Brüche: a) 0'2, b) 045, o) 6'023, ä) 0'324, s) 4'5148. 35- Verwandle folgende gemischt periodische Decimalbrüche in gemeine Brüche: g) 0'16, 6) 2'08, o) 15'327, 4) 0'1472, s) 0'65243. 36. Ein Wechsel über 2929 Mark 3 Wochen nach Sicht, acceptiert am 11. August, wird in Leipzig am 17. August mit 4°/g discontiert; wie viel wird dafür bezahlt? 37. Ein Wiener Kaufmann soll für aus Marseille erhaltene Waren 5633 Ipravos 63 Osntimss bezahlen; wie viel in ö. W. wird er bei dem Curse 44'15 seinem Handelsfreunde gutschreiben müssen? 38- * Jemand kauft Tuch, zu 5 fl. das Meter; im Verkauf gibt er 4 Meter zu 27 fl. und gewinnt 504 fl. Wie viel Meter sind gekauft worden? 39- * 1000 fl. sollen unter und L so vertheilt werden, dass so oft 3 fl. erhält, wie L 2 fl. Wie viel erhält jeder? 40. Zu einem Unternehmen gibt 8000 fl., L 7200 fl., 0 4800 fl. Damit haben sie 232^ fl. weniger als 16"/„ des Einlagccapitals gewonnen; wie viel erhält jeder von dem gemeinschaftlichen Gewinne? l (x —.4?' — 3u) (7x -s- a) -s- (3x — g) (6x-s-2a). - 6a«): (67« - 3g°^ fl- 2g«). 7 __ 3a x /' 46.* Für 7200 Mann reicht ein gewisser Vorrath 15 Monate ang Ms; wie lange wird er ausreichen, wenn z der Mannschaft ent¬ lassen wird? Močnik, Arithmetik für Lehrerbildungsanstalten. 11 27 2x 42' x°- v- 43- (5x-s-g)(2x-a)- (4x 44. (48^« — 14a«7«-l- 17a°72 4- 197- 12<^ . / >4^8 3^2 X- l »2a« 162 47. * Zum Ausgraben eines Canals brauchten 6 Arbeiter 76 Tage; wie viel Tage hätten 8 Arbeiter dazu gebraucht? 48. hat in seiner Fabrik 24 Gasflammen, wofür er in 6 Monaten bei täglich Mündiger Brcnnzeit 300 fl. zahlt. Wie viel muss L bezahlen, der 30 Gasflammen 5z Monate lang bei täglich Mstündiger Brennzeit brauchte, wenn jede Flamme 1'4mal so viel Gas verzehrte als die des 4? 49- Ein Capital gibt zu 4l in einer bestimmten Zeit 239^ fl. Zinsen; wie viel Zinsen gibt es in derselben Zeit zu 5z°/o? 50. Welches Capital bedarf man, um zu 5°/„ dieselben Zinsen zu haben, welche 3200 fl. Capital L 4"/, geben? 51. Wenn ein Capital in 5 Jahren 527 fl. Zinsen trägt, in wie viel Jahren trägt es 210 fl. Zinsen? 52- Zu wie viel °/g muss ein Capital angelegt werden, damit cs in 3 Jahren eben so viel Zinsen gebe, als es in 2 Jahren n 6°/o geben würde? 53- Jemand erbt 4850 fl., welche aber erst nach 5 Jahren aus¬ gezahlt werden sollen; man will ihm aus seinen Wunsch gegen 6j°/„ Discont das Geld gleich auszahlen; wie viel beträgt die Erbschaft'in barer Summe? 54. Ein Kaufmann hat zwei Sorten einer Ware, eine bessere, das IM. zu 60 kr., und eine geringere, das IM. zu 36 kr.; er will von beiden eine Mischung von 80 IM. bereiten, die er zu 45 kr. das IM verkaufen kann. Wie viel Kilogr. muss er von jeder Sorte nehmen? 55. Eine Partie Cacao, gewogen 923 IM. Ustto, kostet im Ein¬ käufe mit allen Auslagen fl. 761 „ 50; wenn nun das Kilogr. ü 88 kr. verkauft wird, wie viel beträgt der Gewinn oder Verlust n) überhaupt, 6) in Procenten? 56. Jemand will durch 5 Jahre eine jährliche Summe (Jahres¬ rente) von 1000 fl. beziehen; wie viel Capital muss er zu diesem Ende anlegen, wenn die Zinseszinsen ganzjährig zu 5°/g angelegt werden? 57* Das 5fache einer Zahl ist um 86 größer als ihre Hälfte und ihr Fünftel zusammengenommen; welche Zahl ist es? 58- Jemand wird nach 10 Jahren doppelt so alt sein, als er vor 4 Jahren war; wie alt ist er jetzt? 59. Bei der Theilung einer gewissen Summe erhält 1000 fl und des Restes, L r des neuen Restes und noch 500 fl. darüber, 0 die noch übrigen 2500 fl. Wie groß ist die Summe, wie viel erhält M wie viel L? 60- Ein Kaufmann in Wien verkauft für einen Triester Kaufmann 6 Fässer Tafelöl, gewogen Lrntto 3285 IM, Tara 16°/«, zu fl. 75 pr- 100 IM. IMtw; Spesen fl. 21 „ 35, Sensarie 4°/„, Provision M"/»' Man stelle die Verkaufsrechnung zusammen. Achter Abschnitt. Potenzen und Wurzeln. I. WoLenzieren. 8- 164. Eine Zahl a zur utcn Potenz erheben oder a 4c? potenzieren heißt a u mal als Factor setzen (Z. 37). a ist die Grundzahl oder Basis, u der Potcnzexponcnt und das erhaltene Product p die n te Potenz von a. Man schreibt - p. Eine Potenz ist demnach ein Product gleicher Factoren. Das Potenzieren hat zunächst nur dann einen Sinn, wenn der Exponent eine ganze positive Zahl und größer als list; außerdem müssen sowohl Basis als Exponent nnbenannte Zahlen sein. Die in K. 37 gemachte Annahme — s, und der in Z. 51. abgeleitete (Latz a" — 1 sind als Erweiterungen des ursprünglichen Potenzbegriffes anzusehen. Sätze über die Nolenzcrr. 8-165.1. Potenz en derselben Basis werden multipli eiert, indem man die gemeinschaftliche Basis mit der Summe der Exponenten potenziert. a-". n" - u-" *", — s?. Beweis. . a" — a . a . u . . . . (w mal) . a . a . a . (n mal), — a . a . a . . . . (m -s- n) mal - 2. Aus der Umkehrung dieses Satzes folgt a", d- H-: Eine Zahl wird mit einer Summe potenziert, indem Mult" Summanden potenziert und die erhaltenen Potenzen ß. 166. 1. Potenzen derselben Basis werden dividiert, wdem man die gemeinschaftliche Basis mit einer Zahl potenziert, welche Aeich ist dem Exponenten des Dividende weniger dem Exponenten des Dwisors. : a" — a" : a 0 — L^. Beweis. g.« - ° . a" — - a-" ; 11* 164 2. Durch Umkehrung erhält man d. h.: Eine Zahl wird mit einer Differenz potenziert, indem man sie mit dem Minuend und mit dem Subtrahend potenziert und die erste Potenz durch die zweite dividiert. 167. 1. Potenzen desselben Exponenten werden multipliciert, indem man das Product der Grundzahlen mit dem gemeinschaftlichen Exponenten potenziert. . 6-2 - (ab)-", 2^ . 53 — KU. Beweis. L--- . b--- — a . a . a . . (in mal) . b . b . b . . . (in mal) — ab . ab . ab . ab .... (in mal) (§. 32) — (ab)--- 2. Durch Umkehrung ergibt sich (ab)-" - a-° . b---, d. h.: Ein Product wird mit einer Zahl potenziert, indem man jeden Factor damit potenziert. tz. 168. 1. Potenzen desselben Exponenten werden dividiert, indem man den Quotienten der Grundzahlen mit dem gemeinschaftlichen Exponenten potenziert. a-" 7^a 21-» , b-" - 1 b > 7» ' Beweis. a--- a . a . a . . . (in mal) b-" — b . b . b . . . (in mal) 3- 3, 3- / /X - t. b 2. Aus der Umkehrung dieses Satzes folgt 7 a x--- — aU ' b 1 - 'b---" ' d. h.: Ein Quotient (Bruch) wird mit einer Zahl potenziert, indem man Dividend und Divisor damit potenziert. Z. 169. 1. Eine Potenz wird mit einer Zahl potenziert, ndem man die Basis mit dem Product beider Exponenten potenziert. (a---)-- - a-"--, (a^ - Beweis, (a---)-- - a---. a---. a--- .... (n mal) - a-°°--. 165 2. Umkehrung: — (^)st d. h.: Eine Zahl wird mit einem Producte potenziert indem man stc mit dem einen Factor und die erhaltene Potenz mit dem anderen rMtor potenziert. 3. Die Potenz einer Potenz bleibt unverändert, wenn man die Exponenten unter einander vertauscht. (a°>)° - Beweis. Nach 1. ist )° - a-»-- und (g°)" - ; aber mu — nm (K. 32), also auch und somit (u^? - Uorzcichen der ^oten?en. 8- 170. 1. Eine positive Basis gibt mit einer ganzen Zahl potenziert immer eine positive Potenz. Beweis. Nach §. 65, 2 . a ist (Z- — -st u . -st a — -st an — -st a?, (-st nF — -sta.-stL.-sta — -st Laa — -st (-st a,)^ — -sta.-sta-st.u.-stu-st — -st nana — -stast u. s. w.; allgemein (-st - -st . 2. Eine ncgativeBasis gibt mit einer geraden ganzen Zahl potenziert eine positive, mit einer ungeraden ganzen Zahl potenziert eine negative Potenz. Beweis. Nach K. 65, 2 . 5 ist (— a)" — — a . — u — -st aa — -st a", (— n)3 - — u. — a. — a — — uaa — — (— — — n. — a. — a. — a — -st aaan — -st (— a)5 - — a. — n. — a. — a — — Laaaa — — u. s. w.; allgemein (— a)°E - -st (— a)-°>" - — Z^otciizen mit negativen Exponenten. §. 171. Der durch die Gleichung a": - ° ausgcdrückte Lehrsatz für die Division zweier Potenzen derselben Basis (§. 166, 1), wurde bisher auf den Fall, wo m > u ist, beschränkt. Ist nun m < n und zwar irr -st p — n, so führt die Anwendung der obigen Gleichung auf eine Potenz mit negativem Exponenten; es ist L"* : a? — v — a - v. Damit daher das durch die obige Gleichung ausgesprochene Gesetz allgemeine Geltung habe, ist man genöthigt, auch den Potenzen mit negativen Exponenten eine Bedeutung beizulegen, durch welche auch sie auf den ursprünglichen Potenzbegriff zurückgeführt werden. Diese Bedeutung 166 ergibt sich sogleich, wenn man den Quotienten, welchen a - vorstellcn soll, in einer anderen Form entwickelt. Man hat L- u- 1 — - H — n-. s. - - I> ,^I> ^-> Mithin ist a - r> — ; d. h.: Eine Potenz mit negativem Exponenten ist gleich einem Bruche, dessen Zähler 1, und dessen Nenner die¬ selbe Potenz mit positivem Exponenten ist. Um diesen Satz für besondere Exponenten nachzuweisen, sei z. B. u" : u? zu bestimme». Man hat u" : a? - - u-3, und auch „ u' au _ 1 _ 1 A- : s? — — - — — — — —g, s? uuaaa aaa a somit Zusatz. Aus u-r> — solgt »v . — 1, folglich ist auch a? — Man kann daher jede Potenz, die im Zähler eines Bruches als Factor vorkommt, als Factor in den Nenner, und umgekehrt, übertragen, wenn man das Borzeichen des Exponenten in das entgegen¬ gesetzte verwandelt. Z 172. Alle bisher erwiesenen Lehrsätze von den Po¬ tenzen mit positiven Exponenten gelten auch fürPotenzen mit negativen Exponenten. Denn es ist: ' - (ad)- " u-° 7 d- - a- ' d- " ' (a—)° - u. s. w. Knadrieren der Zahlen. 8- 173. Wenn man eine Zahl mit sich selbst multiplicicrt, so erhält man ihr Quadrat. Um also das Quadrat des Binoms a st- d zu erhalten, darf man dieses nur mit u st- d multiplicieren; man findet dadurch, wie in tz. 39, Folge,'., (a st- d)- - a- st- 2ud st- d-, 167 d. h. das Quadrat eines Binoms besteht aus demQuadrate des ersten Gliedes, dem doppelten Producte beider Glieder und dem Quadrate des zweiten Gliedes. lim ein Trinom a st- 3 -st o zum Quadrate zu erheben, betrachte man dasselbe als ein Binom, indem man a -4 b als das erste, und o als das zweite Glied ansieht; es ist also (a -st 0 -4 (st- — s(a -st Ist st- (st2 — (A st- ^2 st- 2 (a -st ll). o -st «2 u- st- 2all st- 1>- st- 2 (s, st- 6) . a st- Eben so findet man (a -st st st- o -st 6)2 - - st- d st- o) st- (1s 2 — (g, st- f) -st o)2 st- 2 (a st- 1> st- o) . 6 -st 6° - ^2 st. 2ad st- i>2 st- 2 (a -i- 1>) . o st- (>2 st- 2 (a st- b st- c) . 6 st- 62, tu -1- b st- « st- 6 st- s)2 — - st- 2all st- b° -st 2 (a -st ll) o st- 6° -st 2 (a -st ll -st o) cl -st 6° st- 2 tu st- i) st- o st- 6) 6 st- 6^, u. s. w. Aus den hier abgeleiteten Ausdrücken ergibt sich sür das Q n a d ri c r e n eines Polynoms folgendes Bildungsgesetz: 1. Das erste Glied des gegebenen Ausdruckes gibt sein eigenes Quadrat. 2. Jedes folgende Glied gibt zwei Bestandtheile, das doppelte Product aus der Summe aller vorangehenden Glieder mit diesem Miede, und das eigene Quadrat. 3. Die Summe aller so gebildeten Bestandtheile ist das gesuchte Quadrat. Beispiel. (2a — 3l> st- 4o)2 - 4a° — 12all -s- 9ist -st 2 (2a — 3l>) . 4o -st16 st- 1i>2 — (2a -st ll) . ll; 2 (a st- b) . o st- v? — s2 (u st- d) st- >st . o; u. s. w. Z. 174. Da sich jede dekadische Zahl als ein nach den Potenzen 10 geordnetes Polynom darstellen lässt, so kann man das fürs Quadrieren zusammengesetzter algebraischer Ausdrücke abgeleitete Verfahren auch aus dekadische Zahlen anwenden. Um z. B. 3417 znm Quadrate zu erheben, hat man 34172 - (3ooo st- 400 st- 10 st- 7)2 - 3000° st- 2 . 3000 . 400 st- 400° st- 2 . 3400 . 10 st 10" st- 2 . 3410 . 7 st- 7-; 168 oder wenn man die Bestandtheile unter einander setzt und entwickelt: Man verfährt daher, um eine dekadische Zahl zum Quadrat zu erheben, auf folgende Art: 1. Man erhebt die erste Ziffer links zum Quadrat. 2. Aus jeder folgenden Ziffer bildet man zwei Bestandtheile, das Product aus der ihr vorangehenden Zahl mit dieser Ziffer und ihr eigenes Quadrat. 3. Diese Bestandtheile werden so unter einander gesetzt, dass jeder folgende um eine Stelle weiter rechts erscheint, und dann, so wie fte stehen, addiert; die Summe ist das gesuchte Quadrat. Beispiele. 169 Da dre erste Ziffer der gegebenen Zahl im Quadrate eine oder zwei Stellen gibt, wegen jeder folgenden Ziffer aber im Quadrate immer zwei Stellen zuwachsen, so enthält das Quadrat einer Zahl entweder doppelt so viele Ziffern, als deren die Zahl hat, oder um eine weniger. Thcilt man daher das Quadrat von der Rechten gegen die Linke in Abthcilungcn zu zwei Ziffern, wobei die erste Abtheilung links auch nur eine Ziffer enthalten kann, so hat man so viele Abtheilungcn, als die quadrierte Zahl Ziffern enthält. Zusätze. 1. Da ll'st!° erhellet, dass bei einem D e ci¬ ma lbruche das Quadrat aus gleiche Weise wie bei einer dekadischen ganzen Zahl gebildet wird; nur muss man im Quadrate des Zählers doppelt so viele Decimalen abschneiden, als deren der gegebene Decimal- bruch enthält. Daraus folgt auch, dass das Quadrat eines Decimalbruches immer eine gerade Anzahl von Decimalstellen hat. 2. Die zwei Bestandtheile, welche die zweite und jede folgende Ziffer der gegebenen Zahl im Quadrate liefert, kann man in einen ein¬ zigen zusammenfassen, wenn man zu der doppelten vorangehenden Zahl die neue Ziffer hinzuschreibt, und die dadurch entstehende Zahl mit dieser neuen Ziffer multipliciert; nur muss bei diesem Vorgänge jedes folgende Product um zwei Stellen weiter rechts hinausgcrückt werden: es ist nämlich allgemein (2^ . 10) . p -st x" - (2^ . 10 -j- p)x. Das letzte Beispiel würde sich bei diesem verkürzten Verfahren so stellen: 31417" 3" . . . . 9 . 61.1. . . . 61.. 624.4. . . . 2496.. 6281.1. . . . 6281.. 62827 7 .... 439789 987027889. Kubieren der Zahlen. Z. 175. Multipliciert man das Quadrat einer Zahl mit dieser Zahl selbst, so erhält man ihren Cubus. Es ist also ss, -st 6)3 — (a" -st 2ai) -st i>") (a -st i>) a-- -st 3a"b -st 3ab" -st K--, d. h. der Cubus eines Binoms ist gleich dem Cubus des ersten Gliedes, dem dreifachen Quadrate des ersten Gliedes multipliciert mit dem zweiten Gliede, dem dreifachen ersten Gliede multipliciert mit dem Quadrate des zweiten Gliedes und dem Cubus des zweiten Gliedes. 170 Um nach diesem Satze den Cubus eines Trinoms a, st- K 4 « zu erhalten, betrachtet man g, st- b als das eine Glied nnd findet in fi- i) -s- v/ — stast-ksst-v?- 3(a-^d) j - a- 4 345 4- 3 ad" -fi 1)» -t- 3 (a 4 d)- o 4 3(u 4 6) 4 cst. - Eben so folgt (k -fi b -s- o -fi cl)3 — f(a -fi d -fi «) "fi — - (a 4 6 st- o)3 4 3(s. 4 1> 4 o)^ ä -j- 3(a -s- lz -j- ol 6" -s- ) 4 _st 4 4 3 (a 4 6 4- o)2 <1 4 3 (u st- 6 4 o) 4 st- ci^, U. s- f- Hieraus ergibt sich für das Cubieren eines mehrgliedrigen Ausdruckes folgendes Bildungsgesetz: 1. Das erste Glied des gegebenen Ausdruckes gibt seinen eigenen Cubus. 2. Jedes folgende Glied liefert drei Bcstandtheile, das dreifache Quadrat der Summe aller vorangehenden Glieder multipliciert mit diesem Gliede, die dreifache Summe aller vorangehenden Glieder multipliciert mit seinem Quadrate und seinen eigenen Cubus. 3. Die Summe aller so gebildeten Bcstandtheile ist der verlangte Cubus. Beispiel. (7° 4- 27 — 3? - 7« 4- 67^ -st 124 4- 84 — 9 (4 -l- 27)° 4- 27 (7« 4- 27) — 27 7« st- 6 4 -st 12 4 st- 84 — 94 ' - 367» — 364 st- 277° -st 547 — 27 - 4 4- 6'4 -l- 87' -284-94-4 547 - 27. " ß. 176. Sucht man nach dem hier entwickelten Bildungsgesctze für dm Cubus eines algebraischen Polynoms den Cubus einer dedakischen Zahl, z. B. 4213; so erhält man, wenn die Bcstandtheile unter einander gestellt werden: 42133 - (4000 4 200 4 10 4 34 - 74778091597 oder mit Weglassung der Nullen: 4213» 171 74778091597. Zur Entwicklung des Cubus einer dekadischen Zahl ergibt sich demnach folgendes Verfahren: 1. Man erhebe die erste Ziffer links zum Cubus. 2. Aus jeder folgenden Ziffer bilde man drei Bestandteile: das Product aus dem dreifachen Quadrate der ihr vorangehend!» Zahl mit dieser Ziffer, das Product aus der dreifachen vorangehenden Zahl und dem Quadrate dieser Ziffer und ihren Cubus. 3. Diese Bestandteile werden so unter einander geschrieben, dass jeder folgende um eine Stelle weiter rechts erscheint, und dann, so wie sie stehen, addiert. Beispiele. Da die erste Ziffer der Zahl im Cubus eine, zwei oder drei Stellen und wegen jeder folgenden Ziffer im Cubus immer drei Stellen Mwachscn, so enthält der Cubus einer Zahl immer entweder dreimal so -^ Ziffern als deren die Zahl hat, oder um eine oder zwei weniger, ^checkt ma,i daher den Cubus von der Rechten angcfangen in Abteilungen Ziffern, wobei die erste Abteilung zur Linken auch nur eine oder fw.er Ziffern enthalten kann, so hat man so viele Abteilungen, als die vierte Zahl Ziffern enthält. Zusatz. Da ist so folgt, daß man bei Deci- Aolbrjjchen vom Cubus des Zählers 3mal so viele Decimalen ab- Meiden müsse, als deren der gegebene Decimalbruch hat. 172 7. 3a°x . 15ax°. 4a°x°. 8. 7am°. 3b°u° . 8a°dm»n. 9. (8a»x° — 5d»§°) . 3x°^°. 10. (2a°d — 3ad° — 4d») . 8a»t>. 11. (3m° — 8m — 5) (7m° -j- 5m — 6). 12. Berechne: a) 4» aus -1? - 1024 und 4» - 64; d) 15» aus 15» - 3375 und 15° 225; v) 1-04^0 Ms iE - 1-Z68569 und 1-04° - 10816 (in 6 Dec.,; 4) 1025« aus 1025» - 1-103813 und 1'025° - 1'050625 (in 6 Dec.). 16. 30x»§» : 5x»v. 17. 8x» °»: 12x°« - 18. 3a«d»o»4»: a»b°eä». 19. 104ad»x«: (91a«t)«x^: 7a»b»x). 22. (3x» - 6x» -1- 9x^ - 12x«) : 3x°. 23. (24x» — 38a°x° -f- 15a») : (4x° - 3a°). 35. (5a°do°/ : (5ao)». 36- (84a°b»x»)° : (6ad»x)°. 173 86. (2a -j- 36)-. 87. (8x - 77)-. 88. (53- - 67»)-. «s. (tz-^)'. g«. (S - tz')' Sl. (Ä-!.' 92. (3. -j- 26 — 3e)-. 93> (4 4- 27 — 7-)-. 94, (3x — 5/ -§- 82)-. 95. (6x» - 5x- -j- 4x — 3)-. 96. (27x° — 54x« -s- 36x- - 8)°. 97. s2 - 5 u- 98 4- 1 2^32 -t- 5^) - 99 I V (ZV- 36 2l ' 100. (— 3 4- 6 4- 6)- -4 (3 — 6 4- 0)- 4- (3 4- 6 — g)2 101. 376°. 102. 2543- 103. 5079- 104. 73416-. 117. (3x 4- 2^)'. 118. (43 - 3)«. 119. (2ax- 4- 367-)». 120. -1 /- 3x — 2/^ 77m- 5p-^» ^'(5x4-^- 122.^4-^). ^3. (72 124. 1 -o. <1 — 2x — 3x- 4, 4x«)4 126. (I — 23- 4- 4V — 83»)». 174 43 2 ^1 ' 129. 734». 130. 862». 133. 78256». 134. 917». 137.(57-)». 138.0623». 131. 6035». 135. 5 946». 139. 1376«. o- - x L')' 132. 21709». 136. 69 9023». 140. 105'». II. Wurz e L aus zi e H e n. Z. 177. Ist der Wert einer Potenz und deren Exponent gegeben, so findet man die Basis durch das Wurzel auszieh en oder Radi¬ či e r c n. Aus einer Zahl a die ute Wurzel ausziehen, oder die Zahl a durch n radicicrcn, heißt aus der Potenz a und dem Exponenten n die Basis suchen. Die gegebene Potenz a heißt der Radicand, oder geradehin die Zahl, der gegebene Exponent n der Wurzelexponent, und die gesuchte Basis x die ute Wurzel aus a- Man schreibt — x. s Z. B. 4» — 64, dann ist umgekehrt (?64 — 4. Die zweite und dritte Wurzel einer Zahl nennt man bezüglich Quadratwurzel und Cubikwurzel. Damit s/-s, nach dem bisherigen Zahlbcgrisfe Sinn und Bedeutung habe, muss der Radicand a die nte Potenz irgend einer ganzen oder gebrochenen Zahl sein. Auch müssen sowohl Radicand als Wurzelexponent unbenannte Zahlen sein. Z. 178. Aus der obigen Erklärung folgt: 1. Die Wurzel muss so beschaffen sein, dass sie mit dem Wurzelexponenten potenziert den Radicand gibt. ii s - g, (^27)» - 27. 2. Eine Zahl bleibt unverändert, wenn man sie mit einer Zahl potenziert und durch dieselbe Zahl radiciert. a — tg. — (s/" Hiernach kann jede Zahl in Form einer Wurzel dargestellt werden; z. B. 1) - Das Potenzieren und das Radicicrcn sind demnach einander ent¬ gegengesetzt; das Radicieren ist eine Umkehrung des Potenzierens. 3. Die erste Wurzel aus einer Zahl ist die Zahl selbst- Da s.' — a, so ist — a. 175 Für die erste Wurzel wird daher weder der Exponent 1, noch das Wurzelzeichen angeschrieben. Bei der zweiten oder Quadratwurzel wird das Wurzelzeichen, aber nicht der Exponent 2 angeschrieben, so dass j/'a so viel als bedeutet. 4- st'l - 1. 5. ^0 - 0. Sätze üöcr die Wurzeln. 5- 179. Aus einem Productc wird eine Wurzel aus- gezogen, indem man sie aus jedem Factor auszieht. m m 3 g g . z/W, ^/8^64 - 1^8 . 1^64 - 2.. 4 - 8. Beweis. Soll H . z/^b die richtige Wurzel sein, so muss sie uut dem ^Wurzelexponenten m potenziert den Radicand ab geben. Nun (st"a . st^b)--- . (^b)" (§. 167, 2) - a . b (Z. 178, 1). Mit Hilfe dieses Satzes kann mau, wenn der Radicand einen Factor mthäll, aus welchem sich die verlangte Wurzel ausziehen lässt, diesen -Factor vom Wurzelzeichen befreien. Z. B. . b — — a st'b, ^/4ä — — 2z^a. Durch dieses Verfahren können öfters auch Wurzeln mit ungleichen Radicanden, wenn sic denselben Exponenten haben, mit einem gemein¬ schaftlichen Radicand dargestcllt, und dann rcduciert werden. Z. B. ^8 -st ^50 -st 1^72 - 1^128 - ^/4 . 2 -st M-st2 -st H36 . 2 - H64^. 2 - 2 V^2 -st 5 1^2 -st 6 ^2 — 8 1^2 - 5 ^2. 2. Durch Umkehrung des Satzes in 1. erhält man st"a . Hai^ d- h. Wurzeln desselben Wurzelexponenten werden multi- pliciert, indem man die gemeinschaftliche Wurzel aus dem Producte der Radicanden auszieht. Nach diesem Satze kann man mit Beiziehung von Z. 178, 2 um¬ gekehrt jeden Factor einer Wurzel unter das Wurzelzeichen bringen, indem Ulan ihn mit dem Wurzelexponenten potenziert und diese Potenz mit dem Radicand multiplicicrt. Z. B. a z-W - . v-^b - Vu" b, 3 3 3 3 2 ^5 - 1^8 . ^5 - v^40. 176 Beweis. a 6' a d d. h. Wurzeln desselben Wurzelexponenten werden divi¬ diert, indem man die gemeinschaftliche Wurzel aus dem Quotienten der Radicanden auszieht. K. 180. 1. Aus einem Quotienten 30 : 30 : 30 : ... 30 : 10 Hiernach kann man Wurr»i bnste Theil dieses Satzes gibt ein Mittel an die Hand, beliebige Gingen "" einen gemeinschaftlichen Wurzelexponenten zu oem»„8 z. B. die Wurzeln V'a, l^b-, ^^Ä-"^llchen Wurzelexponenten darzustellen. Das der gegebenen Wurzelexponenten 2, so - 1^, so - so 1^6 so - welche ungleiche Exponenten 1^ a s V^b- s 10 .. ^icrnacy kann man auch Wurzeln, Man ' ..^ltiplicieren oder dividieren (Z. 179, 2 und ß. 178, 2), wenn ^früher mit einem gemeinschaftlichen Wurzelexponenten dar- ^Nik, Arithmetik fUr Lehrerbildungsanstalten. 12 178 s s s s 8 . Ista - zsta» . fsta° - - »° - 4 3 12 12 12 12 tzsta? : tzsta — ssta^ : tzsta^ — : s? — v"ast Mit Hilfe des zweiten Theiles des obigen Satzes kann man eine Wurzel, worin Wurzel- und Potenzexponent ein gemeinschaftliches Maß haben, ab kürz en. Z. B. z s.6 — zstgst, z/ L? — zsts. Vorzeichen der Wurzeln. Z. 184. 1. Jeder ungeraden Wurzel aus einem positiven Radicand entspricht ein positiver Wert. s -st 27 -st 3- Denn (-st 3)» - 27. SH---1 Sil ^4 Allgemein: zst -st g, — -st '/'s. 2. Jeder ungeraden Wurzel aus einem negativen Radi¬ cand entspricht ein negativer Wert. s z/-— 27 - — 3. Denn (— 3)» - - 27. Allgemein: zst— a — — st a. 3. Jeder geraden Wurzel aus einem positiven Radi¬ cand entsprechen zwei gleiche und entgegengesetzte Werte. 4 fst-st 16 - sti 2. Denn es ist sowohl (st- 2)^ — -st 16 als auch (—2)^ —st-16. 2n 2n Allgemein: z^-st a - -st a. 2n 4. Es bleibt noch —a zu untersuchen übrig. Da weder eine positive noch eine negative Zahl zu einer geraden Potenz erhoben, ein 2n negatives Resultat hervorbringen kann, so bedeutet —a eine Zahl, welche in der Reihe der bisher betrachteten Zahlen nicht vorkommt. Diese neue Zahlform heißt eine imaginäre Zahl, und im Gegensätze zu ihr nennt man alle übrigen Zahlen reelle Zahlen. Z. B. tzst—4 kann weder — st- 2, noch — — 2 sein, da sowohl (-st 2)2 - -st 4, als auch (—2)^ - -st 4 ist. Eine gerade Wurzel aus einem negativen Radicand ist imaginär. 2n Wenn auch die imaginäre Zahl ist — a in der Arithmetik keinen anderen Sinn hat, als den einer Zahl, die 2n mal als Factor gesetzt — a gibt, so ist sie darum aus dem Gebiete der Mathematik doch nicht zu verbannen, da sie schon bei höheren algebraischen Rechnungen oft wichtige 179 Vortheile darbietet, in der Geometrie aber ihre ganz bestimmte Bedeutung Hal Wenn in einer rein arithmetischen Aufgabe, in welcher nur nach einer reellen Zahl gefragt werden kann, eine imaginäre Zahl als Resultat erscheint, so ist dies ein Zeichen, dass die gesuchte Zahl unter den in der Aufgabe enthaltenen Bedingungen nicht möglich ist. Irrationale Zahlen. tz. 185. Bei der Erklärung von in Z. 177 wurde vorausgesetzt, dass der Radicand a die u tc Potenz irgend einer ganzen oder gebrochenen Zahl sei. Wir wollen nun auch den Fall betrachten, wo diese Voraus¬ setzung nicht cintrifft. Ist die ganze Zahl a nicht die ntc Potenz einer ganzen Zahl, so kann weder eine ganze noch eine gebrochene Zahl sein; sie lässt sich jedoch annäherungsweise durch einen Bruch mit jedem beliebigen Grade der Genauigkeit darstellcn. Beweis, a) Bildet man die uten Potenzen der auf einander fol¬ genden ganzen Zahlen, nämlich 1°, 2°, 3°, 4° . . . (p -j- 1)°, . . . und ist u unter diesen Potenzen nicht enthalten, so muss cs zwischen zwei auf einander folgenden Potenzen, z. B. zwischen x" und (x -j- 1)", daher a zwischen x und x -j- 1 liegen; somit ist keine ganze Zahl. Es lässt sich aber a auch durch keinen Bruch x> -f- — KI 9, wo und r relative Primzahlen seien, darstellen, weil die Potenz eines auf die einfachste Form gebrachten Bruches nie eine ganze Zahl a sein kann. d) Gleichwohl hat die Form auch in diesem Falle eine bestimmte Bedeutung. Man kann nämlich zwischen p und x -s- 1 eine Bruch¬ zahlenreihe mit dem Nenner m einschalten. Erhebt man dann die Zahlen dieser Reihe 1,2 ,6.0 i 1, p' I' -j- - , 1- -i- - p -K m ' K m -- - p zur uten Potenz, so fällt a. zwischen zwei unmittelbar auf einander fol- gmde solche Potenzen, z. B. zwischen s p -s- j und sp -Z — und folglich 1^a zwischen die Zahlen x -s- und k "I Zn ' ^^n Differenz ist. 12* 180 Setzt man daher für die Zahl x -s- oder p -s- , so begeht man einen Fehler, der kleiner als ist. Da aber in beliebig I 2 groß, daher beliebig klein gemacht werden kann, so lässt sich 1^» mit jeder beliebigen Genauigkeit bestimmen. -s—heißt der untere, x-j—— der obere Nähe¬ rungswert von Z. B. Es sei 1^2 zu bestimmen. Da 2 zwischen 1° — 1 und 2^-4 liegt, so liegt s^2 zwischen 1 und 2. Ferner liegt 2 zwischen 1'4^ — 1-96 und 1-5^ — 2-25, „ 1-412 __ 1.988I „ 1-422 - 2-016^ „ 1-4142 _ 1999Z96 „ 1-4152 - 2 002225, u. s. w. Folglich liegt V"2 zwischen 1'4 und 1-5, „ 1'41 „ 1'42, „ 1414 „ 1'415, u. s. w. Hieraus sieht man, dass ^2 zwischen zwei Zahlen liegt, die man einander beliebig nähern kann, dass also s^2 einen bestimmten Wert hat, welcher zwar nicht vollständig, aber doch bis zu jedem verlangten Grade der Annäherung angegeben werden kann. K. 186. Zahlen, welche sich weder durch ganze noch durch gebrochene Zahlen vollkommen genau, dagegen durch letztere annäherungs¬ weise mit jedem beliebigen Grade der Genauigkeit darstellen lassen, heißen irrationale Zahlen. Im Gegensätze zu ihnen werden die ganzen und gebrochenen Zahlen rationale Zahlen genannt. Unter den Rechnern gsoperatio neu mit irrationalen Zahlen versteht man die gleichartigen Operationen mit den Näherungswerten, zwischen denen die irrationalen Zahlen liegen. Da hiernach die Resultate der Rechnungen mit irrationalen Zahlen durch die bezüglichen Rechnungs¬ resultate ihrer Grenzwerte bestimmt werden, diese aber rationale Zahlen sind, so gelten alle für die rationalen Zahlen erwiesenen allgemeinen Sätze auch für die zwischen ihnen eingeschlossenen irrationalen Zahlen. §. 187. Ein Bruch, dessen Nenner ein irrationales Monom oder Binom ist, kann, durch entsprechende Multiplication des Zählers und des Nenners ohne Änderung seines Wertes mit einem rationalen Nenner dargestellt werden. Man nennt diese Umformung das Rationalmacheu des Nenners. Hier sollen nur die einfachsten Fälle betrachtet werden. 1. Um einen Bruch von der Form —wobei in > n ist, mit 181 einem rationalen Nenner darzustellen, multipliciere man Zähler und Nenner mit Es ist v I^ L". ststill —II s s I« J N styst — nal^a^, 3p^a 3st"a . zstg.2 Z^g^s -O- s — „ , 5 — — . l^L 1^» 2. Um einen Bruch von der Form —,-n oder — i—mit a -st p b p L -st V » einem rationalen Nenner darzustcllen, multipliciere man Zähler und Nenner mit Ä -p- oder p^s, -p- st"1>. Es ist 2 2 (a Ist st^b) 2 (a Ist ^d) fs. ^st l^b) (a Ist ^l>) a" — ll ' _2-_ 2 (stA Ist st^b )_ Ist l^ll) v^u.^stst^i) (p^a Ist l^b) a — y « 3 - Z (5 _st ^Z) - 15 -st 3^2 5- st^2 - 5° - 2 " 23 15 - 15 (1^5 — ^2) 1^5 -st ^2 5 — 2 5 (1^5 - st-2). Z. 188. Kommt in einer Gleichung die Unbekannte unter dem Wurzelzeichen vor, so kann die Wurzel weggeschafft werden, indem man beide Theile der Gleichung mit dem Wurzelexponenten potenziert; dabei muss die Wurzel, welche man wegschaffen will, allein in den einen Theil gebracht werden. Diese Formveränderung nennt man das Rational¬ machen der Gleichung. Es sei z. B. die Gleichung ^2x -st 3 — 5 rational zu machen. Gleiches mit derselben Zahl potenziert gibt wieder Gleiches. Erhebt man daher beide Theile der gegebenen Gleichung zum Quadrat, so erhält man die rationale Gleichung 2x -st 3 — 25, welche leicht aufgelöst werden kann. Ausziehen der Kuadratwurzek. Z. 189. Aus dem Gesetze (Z. 173), nach welchem die Bestand¬ teile einer mehrgliedrigen Zahl in ihrem Quadrate zusammengestellt erscheinen, lässt sich für das Ausziehen der Quadratwurzel aus einem geordneten Polynom folgendes Verfahren ableiten: 1. Das erste Glied des geordneten Polynoms ist das Quadrat des ersten Wurzelgliedes. Man findet daher das erste Glied der Wurzel, wenn man aus dem ersten Glieds des Radicands die Quadratwurzel auszieht. Das Quadrat des gefundenen ersten Wurzelgliedes wird von dem Radi- cand subtrahiert. 182 2. Die ersten zwei Glieder des Restes enthalten die Bestandtheile, welche aus dem folgenden Glieds der Wurzel hervorgehen, und zwar ist das erste Glied des Restes das Product aus der doppelten, bereits gefun¬ denen Wurzel und aus dem weiteren Glieds der Wurzel. Dividiert man daher das erste Glied des Restes durch das Doppelte der bereits gefun¬ denen Wurzel, so erhält man das folgende Glied der Wurzel. Man bilde nun die Bestandtheile, welche dieses neue Glied der Wurzel im Quadrate gibt, indem man (nach §. 174, Zusatz 1) zu dem Doppelten der früheren Wurzel das neue Glied addiert und die Summe mit diesem Gliede mul- tipliciert. und subtrahiere das Product von dem Reste des Polynoms. 3. Dieses Verfahren wird fortgesetzt. Bleibt zuletzt kein Rest, so ist das gegebene Polynom ein vollständiges Quadrat und die erhaltene Quadratwurzel rational; bleibt aber ein Rest übrig, so ist die Wurzel irrational. Beispiel. Vx» -st 6x-"- x- — 30x -st 25 - x° -st 3x — 5 x^ -st 6x» — x- : (2x2 Zz.) . Zx -st 6x^ -st dx^ — ZOx 25 : (2x2 -st 6x — 5) . — 5 — 10x2 — 30x -st 25 0 Z. 190. Auf gleiche Weise ergibt sich auch aus dem Gesetze (Z. 174), nach welchem die einzelnen Wurzelzisfern im Quadrate zusammengestellt erscheinen, für das Ausziehen der Quadratwurzel aus einer dekadischen ganzen Zahl folgendes Verfahren: 1. Man theile die Zahl von den Einern angefangen in Abtheilungen von je zwei Ziffern, wobei die höchste Abtheilung auch nur eine Ziffer enthalten kann, suche die größte Zahl, deren Quadrat in der höchsten Ab¬ theilung enthalten ist, und schreibe sie als erste Ziffer der Wurzel an. Das Quadrat der ersten Wurzelziffer wird von der höchsten Abtheilung des Radicands subtrahiert. 2. Zu dem Reste setze man die folgende Abtheilung des Radicands herab, dividiere die dadurch gebildete Zahl nach Weglassung ihrer letzten Ziffer durch das Doppelte der bereits gefundenen Wurzel und schreibe den Quotienten als neue Ziffer in die Wurzel und zugleich als Ergänzung zu dem Divisor. Den so ergänzten Divisor multipliciere man mit der neuen Wurzelzifser und subtrahiere das Product von dem Dividende mit Zuziehung der früher weggelaffenen Ziffer. 3. Dieses Verfahren setze man fort, bis alle Abtheilungen des gegebenen Radicands in Rechnuung gezogen worden sind. Bleibt zuletzt ein Rest übrig, so ist die Quadratwurzel aus der vor- gelegtcn Zahl eine irrationale Zahl. Um diese angenähert zu bestimmen, hängt man dem letzten sowie jedem folgenden Reste eine Abtheilung von 183 zwei Nullen an und verfährt weiter wie vorhin; in der Quadratwurzel wird der Dccimalpunct gesetzt, bevor man die erste Abteilung von Nullen in Rechnung zieht. Man kann das Product aus dem jedesmaligen Divisor, nachdem man ihm die neugefundene Ziffer angehängt hat, und aus dieser neuen Ziffer sogleich während des Multiplicierens von dem Dividende subtra¬ hieren. Die obigen zwei Beispiele würden sich dann so stellen: ffff76!36 - 194 ff2ch61 - 48 59 . . . 2 76 : 2-> 761:8» 15 36 : 38« 5700 : 96- 0 87500 : 970- 119 Z. 191. Aus einem Decimalbruche wird die Quadratwurzel nach demselben Verfahren ausgezogen, wie aus einer ganzen Zahl; nur muss man den Decimalbruch vom Decimalpunkte aus nach links und rechts in Abtheilungen von je zwei Stellen theilen, und in der Wurzel den Dccimalpunkt setzen, bevor die erste Abtheilung von Decimalen in Rechnung gezogen wird. Wenn in den Decimalen die letzte Abtheilung nur eine Ziffer enthalten sollte, so wird, damit die Anzahl der Decimal- stellen eine gerade werde, eine Null angehängt. Z. B. ff152-27i56 - 12'34 ff0'68j30 - 0'8264 . . . 52 : 2- 430 : I62 8 27 : 24- 10600 : 164° 98 56 : 246» 72400 : 1652« 0 6304 2. Nm aus einem gemeinen Bruche die Quadratwurzel zu ziehen, zieht man dieselbe aus Zähler und Nenner; oder man verwandelt den gemeinen Bruch in einen Decimalbruch und zieht dann aus diesem die Quadratwurzel. Z. B. ./144 ff 144 - 12 V529 ff 529 " 23' ff"--. - ff O'625 - 0'7905 . . . 8- 192. Will man in der Quadratwurzel nur mit einer bestimmten Anzahl Decimalen berechnen, so bedient man sich eines abgekürzten Verfahrens. Nachdem man nämlich die halbe Anzahl der verlangten 184 Wurzclziffern nach dem gewöhnlichen Verfahren gefunden hat, lässt man, anstatt zu dem Reste eine neue Abtheilung von Nullen anzuhängen, in dem neuen Divisor die letzte Ziffer weg, und entwickelt die folgenden Wurzelziffern mittelst der abgekürzten Division. Hat man z. B. ffQ38 auf 5 Decimalstellen genau, also im ganzen mit 7 geltenden Ziffern zu bestimmen, so sucht man die ersten 4 Ziffern durch das Radicieren, die letzten 3 durch die abgekürzte Division. Die Rechnung steht: 1^138 11-74734 . . 38 : 2, 1700 : 2 2 7 11100 : 2 34» 1724 : 2 3 4,8 80 10 1 Ausziehen der tzubikwurzet. ß. 193. Aus dem Bildungsgesetze des Cubus eines mehrgliedrigen Ausdruckes (tz. 175) ergibt sich durch Umkehrung für das Ausziehen der Cubikwurzel aus einem geordneten algebraischen Aus¬ drucke folgendes Verfahren: 1. Man ziehe die Cubikwurzel aus dem ersten Gliede des geord¬ neten Radicands; diese ist das erste Glied der Wurzel. Der Cubus des ersten Wurzelgliedes wird von dem Radicand subtrahiert. 2. Man dividiere das erste Glied des Restes durch das dreifache Quadrat der bereits gefundenen Wurzel; der Quotient ist das folgende Glied der Wurzel. Man bilde dann die Bestandtheile, welche dieses neue Glied der Wurzel im Cubus hervorbringt, nämlich das dreifache Quadrat des bereits gefundenen Wurzeltheiles multipliciert mit dem neuen Gliede, das Dreifache des vorhergehenden Wurzeltheiles multipliciert mit dem Quadrate des neuen Gliedes, und den Cubus dieses Gliedes, und subtra¬ hiere die Summe dieser drei Bestandtheile von dem früheren Reste des Radicands. 3. Dieses Verfahren wird fortgesetzt. Bleibt zuletzt kein Rest übrig, so ist die Cubikwurzel rational; bleibt ein Rest, so ist sie irrational. Beispiel. Z — 67b 4- 21/4 — 447» -l- 687» — 547 -ff 27f - /2 — 2/ -ff 3 7° — 6v^ -st 21/4 — 44/» : Zy« — 6/5-f-12/4— 8/5 -ff 9/4 - 36/5 -f- 63/2-54/ -ff 27:3/ 4 —12/5 4- 12/2 -ff 9/4 - 36/5-ff 36/2 27/2-54/4-37 0 185 194. Aus dem Gesetze für die Bildung des Cubus einer deka¬ dischen ganzen Zahl (§. 176) lässt sich für das Ausziehen der Cubik- wurzel aus einer dekadischen ganzen Zahl folgendes Verfahren ableiten: 1. Man theile die Zahl von den Einern angefangen gegen die Linke in Abteilungen von je drei Ziffern, wobei die höchste Abtheilung auch nur zwei oder eine Ziffer haben kann, suche die größte Zahl, deren Cubus in der höchsten Abtheilung vorkommt, und schreibe sie als erste Ziffer in die Cubikwurzel. Den Cubus der ersten Wurzelzisfer subtrahiere man von der ersten Abtheilung des Radicands. 2. Zu dem Reste setze man die folgende Abtheilung herab, dividiere dann die dadurch entstehende Zahl mit Weglassung der letzten zwei Ziffern durch das dreifache Quadrat der bereits gefundenen Wurzel, und schreibe den Quotienten als neue Ziffer in die Wurzel. Dann bilde man die Bestandteile, welche diese neue Wurzelziffer im Cubus hervorbringt, nämlich das dreifache Quadrat der ihr vorangehenden Zahl multipliciert mit der neuen Ziffer, die dreifache vorangehende Zahl multipliciert mit dem Quadrate dieser neuen Ziffer, und ihren Cubus; schreibe den ersten Bestandteil unter den Dividend, jeden folgenden aber um eine Stelle weiter gegen die Rechte und subtrahiere die Summe der so angesetzten Bestandteile von dem Dividende mit Zuziehung der früher weggclaffenen zwei Ziffern. 3. Dieses Verfahren wird fortgesetzt, bis man alle Abtheilungen des Radicands in Rechnung gezogen hat. Bleibt zuletzt ein Rest, so ist die Cubikwurzel irrational; sie kann jedoch mit jeder beliebigen Genauigkeit bestimmt werden, indem man nach den bereits gefundenen Wurzelziffern den Decimalpunkt setzt, dann dem letzten sowie jedem folgenden Reste eine Abtheilung von drei Nullen an¬ hängt und übrigens wie vorhin verfährt. ß. 195. 1. Dasselbe Verfahren wird auch angewendet, um aus einem Decimalbruche die Cubikwurzel zu ziehen; nur muss man den Deci- malbruch vom Decimalpunkte aus nach links und rechts in Abtheilungen 186 zu drei Ziffern thecken, und in der Cubikwurzel den Decimalpunkt setzen, bevor die erste Abtheilung von Decimalen in Rechnung gezogen wird. g s Z. B. 1^13-144256 - 2 36 ^0002'360 - 0133 . . . gezogen, indem man sie aus Zähler und Nenner auszicht, oder indem man den gemeinen Bruch in einen Decimalbruch verwandelt und aus diesem die Cubikwurzel auszieht. Z. B.: ,"/64 - s.^64 __ 4 V 343 V -343 7 s s 1^52- - -^5-666666 ... - 1'7828 . . . Z. 196. Sind in der Cubikwurzel nur eine bestimmte Anzahl von Ziffern zu entwickeln, so kann die Rechnung dadurch abgekürzt werden, dass man, nachdem die halbe Anzahl der verlangten Wurzelziffern nach dem gewöhnlichen Verfahren gefunden wurden, zur Bestimmung der weiteren Ziffern den letzten Rest durch den neuen Divisor nach Weglassung der letzten Ziffer abgekürzt dividiert. 3 Ist z. B. 1^3 mit 5 Decimalen zu bestimmen, so hat man: V"3 - 1-44225 1 2000 : 3 12 48 64 256000 : 588 2352 672 64 14016': 62,2.0,8 1575 331 187 13. V0° > — (<4 — b-)-. 14. 1412 -j- 427 4- 448. 15. 450 4- 1472 — 14128. 16. 9448 — 3475 — 2412. 17- 1^20 4- 1445 — 4125. 18. 4428 4- 5^63 — 34175. 21. 5;- 2 4- 6472 — 3416. 22. 4V3x — 2V24x 4- Vl92x. 5 5 6 6 4 4 4 29. 3^8 . — 2^2 . ^32. 30. V^x . ^x° . 31. V2^ . M . VZab. 32. Vab . 33. (3 -4 42) (3 - 42). 34. (8 4- 47) (4 - /7). 3 3 S S 35. (410 - 45) (415 4-420). 36. (432 4- 4'48) (42 - 43) 37. (2 4- 43)-. 38. (48 — 42)"- 39. (248 - 6418 4- 3450) . 42. 40. (348 - 5432) : 42. Bringe in den folgenden Wurzeln den Factor unter das Wurzel- 188 s s s s 60. 1^128 : ^8. 61. 1^81 : 1^3. 62. V48x : V6x- z 6 4 68. M 69. V2Z3- 70- V64° — Vl6". 3 _ 71. V(^? 4- 72. V(^ - 2x^ s 4 73. M 74. 75. V?« ch- V2'- 76. Verwandle in Wurzeln und berechne: a) 25', a) 48«^, i) 9-1 77. x- - X-. 80. 243- : 9-. 83. (^2)». 86. 89. (2 -s- 1^3)-. 92. (V^2 4- ^8)-. 3 95. V^°- z) 161, v) 8^>, cl) 32 k) 81»'--, §) 64^'-, b ^125-1, I) (^, 78. : us. 81. : x^. 84. 87. (V^a)» . 90. (u — 3 93. <4^2 — ^u)-. 96. ^64. 4 99. 102. ' 16'^-, -») 79. 3< . 27s. 82. x°" - : x"- 85. (Val?^ 7 7 88. (V- u)° . 91. (2^8 - 3^2)2- s s 94. (4u^d —3bV^)' 5 _ /s 97. ^/^2'°. 100. ^/Vv' 256. 3 189 104. Kürze folgende Wurzeln ab: ^4 9 IS Sll L) b) o) 1?x'°, (l) 105. Stelle folgende Wurzeln mit einem gemeinschaftlichen Wurzel¬ exponenten dar: s s 4 8 a) z/x und z/x"; b) p^a«, /b° und 1?o°. 8 SS g 106. 1/ 16 . ^2. 107. 1/a . V'a- 108- 2^2 . ^3. 8_ 1 S S 109. Vab« . 110. I^x . Vx« . )/x°. b SS SS 111. 1^9 : 1/3. 112. : 1/a«. 113. (z/2.1/4) : 1/2. Stelle folgende Brüche mit einem rationalen Nenner dar: Vo. -f- x — ^/a — x Mache folgende Gleichungen rational und löse sie auf: 126. 3Vx^ 1 - 4. 127. V^x — 3 - 5. 128. 17 — 2^x - 15. 129. 5^x - 14 - 4 4- 3^ x. 130. 3V6H7 - 5Vöx - 6. 131. 4- 1 - 5 - Vx - 1- 132. 4 - V4 4- x. 133. 134. 1/(4a« — 12ab 4- 9b«). 135- ^(9m^ — 12m«n« -f- 4i?). 136. 1/(x« — 6ax° -f- 11a«x« - 6a°x -f- 137. 1/f16m° 16m° -f" 4oa^ — 16m° — 8m« 4" 4). 138. 1/(16a" - 24a° 4- 25^ — 20a° 4- 10a« — 4a 4- 1). 139. 1/(9)° — 12)-° 4- 10)4 — 28)° 4- 17)« — 8) 4- 16). 140. 1^(25 — 70a 4- 139a« — 236a° 4- 235a4 — 198a° 4- 121a°). 190 142. 141296. 145. 1'435424. 148. V1920996. 151. 14395850816. 154. 141406-25. 157. 14785-6809. 160. 163. V^29986576. 143. 147056. 146- 14556516. 149. 1426956864. 152. 14422220304. 155- 1427 973521. 158. 140-97535376. 161. 14^2^. t 164. 14362673936. 144, 1^11664. 147. 14226576. 150. 1453993104. 153. 454782211136. 156. 140-00178929. 159, 1^44105-040144. 162. 14485380/4. 8 165. 141475789056. Berechne folgende irrationale Wurzeln auf 5 Decimalen: 166. 1428. 167. 14320. 168. 146584. 169. 14552747. 170. 143-92. 171. 140101. 172. 14 8 376. 173- 14007854. 174. 140-123457. 175. 1455-25734. 176. 1419'383838. 177. 14-4 ^47-. ? 178. 14-4'. 179. 14251-72 180> V (s?x° — 3o."6x^^ — 644-). s 181. I4(8x« — 36x- -f- 78x4 — 99x-> 78x- 36x -f- 8). s 182. I4(64x« - 144ax» -f- 204a.°x» - 171-r'x» -f- 102^x° - 36s?x -f- 8^3). s 183 V _ 5^ U- buo" _ 64ü'° i V18b3 3bä^ 27631' 3 3 3 184. 4 5832. 185. 1412167. 186. 1459319. s s s 187. 14262144. 188. 141259712. 189. 148615125. 3 S 3 190. 14746142643. 191. 141767172329. 192. 14627881709547. 3 3 3 193. 140-778688. 194. 14474-552. 195. 1478-402752. 3 3 z 196. 141420661046784. 197. 141126162419264. s 3 3 198- 14 199. 7 32-856 . . 200. 140-00008427 . . Berechne folgende irrationale Wurzeln auf 5 Decimalen: s s g 3 201. 14100. 202. 145213. 203. 148135. 204. 1447838. 3333 205. 1 0-3. 206. 1425-643. 207. 140 0957. 208- 14012345. "SS z 8 209. 14- 1444° ? 210. 1'44. 211. 148^-4 191 ILI. Wiedecholungsaufgaöen. 1. * Theile nach dem Verhältnis 3 : 5 die Zahlen: a) 20, b) 28, o) 35, 6) ft s) 0 32. 2. * Ein Kaufmann hatte ein Stück Luch; er verkaufte davon ft 5 und und behielt noch 9 Meter. Wie viel Meter hatte das Stück'? 3. * Den wievielten Theil eines Capitals betragen seine jährlichen Zinsen u) zu 4°/„, b) zu 5°ft ? 4. Wie groß sind die jährlichen Zinsen von u) 82 fl., 108 fl., 250 fl., 365 fl., 512 fl. L 5°/.? d) 75 fl., 215 fl., 306 fl., 645 fl., 750 fl. L 4»/,? 5. * Ein Capital war zu 5°/, ausgeliehen; nach 5 Jahren erhielt man an Capital und einfachen Zinsen 2000 fl. Wie groß war das Capital? 6. Wie viel betragen die Zinsen a) von 1800 fl. n 5"/, vom 1. Januar bis 20 Februar? v) von 6400 Mark L 4"/o vom 1. Februar bis 18. Mai? o) von 5600 Franks a 4^°/g vom 1. November bis 24. Januar? 7. Von einer Ware, bei welcher die Tara 15°ft betrug, wurden 1989 Ustto berechnet; wie groß war das Krutw-Gewicht? 8. Wie viel kosten 12 Fässer gelbes Wachs, gewogen Brutto 6767 Tara 636 LZ-., wenn 100 LZ-, Hotto zu fl. 19548 mit 2^-"/o Sconto gerechnet werden? 9. 29607 : 1202^. 10. 1728M : 57M. .. 5 8 2x — 1— 2x — 5 n 3x — 9 5x-15' x — 2 x —4' s2a°x^° I6ax«^ s3k>^^ . ll2xy«)° . (3x-2--ft. (57^)->s2 ' 156^ ' 14a°> > (10x^-)° fl 15. Ein Kaufmann hat an den verschiedenen Artikeln seines Ge¬ schäftes einen durchschnittlichen Gewinn von 16z°/g; wie viel beträgt dieser, wenn er in einem Jahre 16008 fl. 60 kr. umsetzt? 16. Ein Kaufmann verkaufte mit 3°ft Provision für seinen Commit- tcnten Waren im Betrage von 2930 fl. 70 kr. und hatte dabei 52 fl. 40 kr. Auslagen; wie viel hat er an den Committentcn einzusendcn? 17. * Welche Zahl muss man mit multiplicieren, damit sie um '5 größer werde? 18. * Nimmt man von einer Zahl erst die Hälfte, und von dem Reste wieder die Hälfte, so hat man 150 weggenommen. Welche Zahl ist es? 19. Don L. geht ein Bote nach L und macht die Strecke in 10 Tagen. Ein anderer Bote geht von B nach und macht die Strecke in 15 Tagen. Nach wie viel Tagen werden sie sich begegnen, wenn sie gleichzeitig abgehen? 192 20. x"" x^ — ° . x^-^. 21. (x")'? — 2g6x^ -s- 22- (V4^ 4- v^s (VZx - VZ7). 23. (2g°b 24.* g) 534 -j- 215, b) 663 4- 157, o) 424 4- 569, 6) 439 4- 298. 25? a) 605 — 96, b) 684 — 355, o) 936 — 547, 4) 765 - 397. 26. * g) 23 . 15, 6) 52 . 18, o) 43 . 27, 6) 64 . 22, s) 34 . 26. 27. * a) 960 : 12, 'o) 682 : II, o) 602 : 14, 6) 775 : 25. 28>* Erhebe jede der Zahlen 11 bis 20 zum Quadrate. 29. Von 2734 Lx. Mandeln und 2891 LZ-, Kaffee zahlt man 121 ff. 95 kr. Fracht; wie viel entfällt davon für die Mandeln, wie viel für den Kaffee? 30. Zur Heizung eines Schulzimmers waren für jeden Winter 18 Cub.-Meter Buchenholz erforderlich; in Zukunft will man mit Stein¬ kohlen Heizen. Wie viel Tonnen Steinkohlen wird man brauchen, wenn 1 Cub.-Meter Buchenholz 376 wiegt und wenn die Heizkraft der Steinkohlen um 70°/^ größer ist als die einer gleichen Gewichtsmasse Buchenholz? 31. Wie viel 0-720 feines Gold muss zu 3 0-900 feinem Gold legiert werden, wenn 0840 feines Gold daraus entstehen soll? 32. Der Holzbestand eines Waldes wird jetzt zu 80000 Cub.- Meter veranschlagt. Wenn der jährliche Zuwachs 2°/g beträgt, g) wie stark war derselbe vor 10 Jahren, 6) wie stark wird er nach 10 Jahren sein? 22-594 18-597 — 12'6584 10'8724 . 0'368 7-395 - " - 0325 - 2'45 34. Bestimme nach der abgekürzten Division in 3 Decimalen die Quotienten: a) 83-422 : 31'586, 6) 345'6352 : 0'789, o) 6-54728 : 15'23, ä> 047 : 16 982. 35. * -4 und 8 thcilen 585 ff. so unter sich, dass sich ihre Antheile wie 4 : 4 verhalten; wie viel erhält jeder? 36. In Hamburg kostet das K Portorico-Kafsee 91 Pfenn., Spesen daselbst sind 3°/„ Provision 2°/„ Fracht bis Wien, Zoll u. dgl. 14°/<>. Wie hoch kommt ein Kilogramm von diesem Kaffee bis Wien, wenn 100 Mark — 56'8 fl. ö. W. gerechnet werden? 37. 7 (3x — 6) -p- 5 (x - 3) 4- 4 (17 — x) - 11. oo n — bx — NX -- i) NX — 2g, — NX — 21) 6 g ' ' g,x — 21) — gx 4- 2g' 40. 5 4- V2x - 7. 41. 2^x 4-3-7 (2s4x - 3). 42. Am 1. Mai wurden 1550 fl. zu 4°/s, ausgeliehen; als die Rück¬ erstattung erfolgte, betrug das Capital mit den Zinsen 16194 fl-, wann ist das Capital zurückgezahlt worden? 43. Am 18. Mai erhält ein Commissionär folgende Wechsel zum Eincassieren zugesendet: 600 fl. zahlbar nach 36 Tagen, 800 fl. zahlbar nach 45 TagM- und 400 fl. zahlbar nach 60 Tagen; an welchem Tage wird er seinen Committentcn die Summe derselben gutschreiben? 193 44. V 119025. 45. 1 46335249. 46. 1^9820611801. 3SZ 47. 1^857375. 48. 1^156590819. 49. 1^829789013773. 50* Ein Capital, das bisher zu 4°/„ ausgclichen war, wird nun¬ mehr zu 6°/, angelegt, wodurch eine jährliche Mehreinnahme von 52 fl. an Zinsen erzielt wird; wie groß ist das Capital? 51>* Wie lange müssen 100 fl. zu a) 2°/„ bl 4°/», o) 5°/, aus¬ geliehen werden, wenn die einfachen Zinsen dem Capital gleichkommen sollen? 52. Die jährlichen Zinsen einer Staatsschuld von 104 Millionen Gulden betragen 367500 fl.; wie viel °/„ betragen die Zinsen? 53. Eine Eisenbahn, 86^ Kilometer lang, bringt am Ende des ersten Betricbsjahres einen Reingewinn von 212652 fl., sw dass das zum Bau verwendete Capital 3"/g Zinsen abwirft. Wie viel hat durchschnittlich 1 Kilometer dieser Bahn gekostet? 54. (16x« - 48x«/-fl I08x°y2 - 108xy-° -j- 81,y^) (4x° -j- 12xy st- 9-/^). 55. l64a« — 432asti? ft- 729i>«) : (4a° — 12ai) st- 9i^). ' 56. * Wenn man von 80 eine gewisse Zahl subtrahiert, so bleiben noch 20 mehr übrig, als mau subtrahiert hat. Welche Zahl ist es? 57. Zwei Arbeiter sollen einen Graben von 665 Meter Länge reinigen; der eine macht täglich 45 Meter, der andere 50 Meter fertig. Wann wird die ganze Arbeit fertig sein? 58. Ein Capital ist zu 4"/„ ausgeliehen. Dividiert man den fünften Theil des Capitals durch die jährlichen Zinsen des ganzen Capitals und addiert zum Quotienten 75, so erhält man so viel Gulden, als die Jahreszinsen des ganzen Capitals betragen. Welches ist das Capital? 59. Wenn man von einer Zahl 10 subtrahiert, den Rest mit 3 multipliciert, aus dem Quotienten die Quadratwurzel auszieht und von dieser 17 subtrahiert, so erhält man 1. Wie heißt die Zahl? 60. Die Quadratwurzel aus einer um 1 vermehrten Zahl und die Quadratwurzel aus der um 1 verminderten Zahl geben 2 zur Summe. Welche Zahl ist cs? 61. L und 0 haben bei einem gemeinschaftlichen Geschäfte 20°/„ Verlust erlitten. Die gemachten Einlagen verhalten sich wie 9 : 8 : 7, und das Capital nach Abzug des Verlustes betrug 22480 fl. 80 kr. u) Wie viel erhält jeder zurück, b) wie viel hat jeder eingelegt, o) wie viel hat jeder verloren? 62. nimmt ein Capital von 12000 fl. auf und zahlt für Rechnung der 5°/o Zinseszinsen und der Capitaltilgung am Schluffe eines jeden Jahres 800 fl.; a) wie groß wird noch der Schuldrcft nach 10 Jahren sein, 6) welchen gegenwärtigen Wert hat dieser Schuldrest? Mocnrk, Arithmetik für Lehrerbildungsanstalten. 13 Neunter Abschnitt. Gleichungen des ersten Grades mit mehreren Unbekannten. I. Auflösung der Gleichungen mit zwei Unbekannten. Z. 197. Eine Gleichung mit zwei Unbekannten ist unbestimmt; es gibt unendlich viele Werte, welche für die beiden Unbekanten sub- stituirt, der Gleichung Genüge leisten. Hat man z. B. die Gleichung 2x -st 5/ — 19, so folgt daraus, wenn einstweilen x als die Unbekannte, aber als bekannt angesehen wird, x — Jedem Werte, der in der Auflösung für gesetzt wird, entspricht auch ein anderer Wert für x; da nun für unendlich viele verschiedene Werte angenommen werden können, so ist auch x unendlich vieler Werte fähig; die Auflösung ist demnach unbestimmt. Sollen nun x und vollkommen bestimmt sein, so muss noch eine zweite, von der ersten^wesentlich verschiedene und ihr nicht widersprechende Gleichung zwischen x und gegeben werden, welche die Unbestimmtheit der auö der ersten Gleichung sich ergebenden Werte behebt. Um zwei Gleichungen mit, zwei Unbekannten aufzulösen, leitet man aus den beiden Gleichungen eine dritte her, in welcher nur eine der Unbekannten vorkommt. Dieses Verfahren heißt das Eliminieren der zweiten Unbekannten. K. 198. Es sind vorzüglich drei Eliminations-Methoden im Gebrauche. 1. Die Comparations-Methode. Man bestimmt den Wert derselben Unbekannten aus beiden Gleichungen, setzt diese Werte einander gleich und löst die dadurch erhaltene Gleichung, welche nur die andere Unbekannte enthält, auf. Z. B. 2x -st 5^ 26 . . . 1) und 3x — 2^ — 1 . . . 2) Aus 1) folgt x - 20 5/ aus 2) folgt x — 1 2)', o . k 26 — 5v 1 -s- 2v daher --— 3 195 woraus man 7 - 4 erhält. Wird dieser Wert in 1) substituiert, so hat man 2x -s- 5 . 4 - 26, woraus x — 3 folgt. 2. Die Substitutions-Methode. Man sucht den Wert einer Unbekannten aus einer Gleichung und substituiert denselben in die andere Gleichung; dadurch erhält man eine Gleichung mit nur einer Unbekannten, welche dann aufgelöst wird. Z. B. x -f- 2^ — 8 . . .1) und 6x — 67 — 14 . . .2) Aus 1) folgt x — 8 — 27. Wird dieser Wert in 2) substituiert, so erhält man 6 (8 — 27) -— 57 — 14, woraus 7 — 2 hervorgeht. Durch Substitution dieses Wertes in 1) bekommt man sodann x — 4. 3. Die Methode der gleichen Coesficienten. Man verschafft in beiden Gleichungen der zu eliminierenden Unbekannten durch Multipli¬ kation aller Glieder mit einem geeigneten Factor gleiche Coesficienten, und addiert oder subtrahiert die neuen Gleichungen, je nachdem diese Coesficienten ungleiche oder gleiche Vorzeichen haben; die dadurch erhaltene Gleichung mit einer Unbekannten wird dann aufgelöst. Z. B. 4x — 87 — 9 . . . 1) und 6x -s- §7 — 61 ... 2) Das kleinste gemeinschaftliche Vielfache von 4 und 6 ist 12. Multi- pliciert man daher die erste Gleichung mit 3, und die zweite mit 2, so erhält man 12x - 9/ - 27, 12x 4- 10/ - 122. Wird nun die erste Gleichung von der zweiten subtrahiert, so hat man 197 — 95, woraus 7 — 5 folgt. Wenn man diesen Wert in der Gleichung 1) substituiert, so findet man daraus x — 6. Zusatz. Welche von den drei Eliminations-Methoden in jedem besondern Falle am Vortheilhaftesten anzuwenden sei, muss aus der Beschaffenheit der Coesficienten der Unbekannten bcurtheilt werden. Gewöhnlich bestimmt man nur den Wert der einen Unbekannten nach einer der angeführten drei Methoden und substituiert dann den gefundenen Wert in eine der gegebenen Gleichungen, woraus sich der Wert für die zweite Unbekannte ergibt. Z. 199. Damit sich ans zwei zusammengehörigen Gleichungen mit zwei Unbekannten die Werte dieser Unbekannten bestimmen lassen, müssen die beiden Gleichungen von einander unabhängig sein und einander nicht Widerstreiten, wie aus folgenden Beispielen erhellet. 1) 4x — 87 - 9 und — 27 - 6. 13* 196 Die zweite Gleichung ist von der ersten abhängig; sie ist aus der¬ selben dadurch entstanden, dass alle Glieder mit ? multipliciert wurden. Wendet man auf diese Gleichungen die Comparationsmethode an, so ergibt sich 9 -st 3^ 18 4- 6/ 18 -st 6? - 18 -s- 6^ 0-0. Man erhält demnach keinen Wert für 2) 4x — 3)? — 9 und 8x — 6/ — 15- Die zweite Gleichung widerstreitet der ersten, da der erste Theil der zweiten Gleichung das Lfache des ersten Theiles der ersten Gleichung, 15 aber nicht das 2fache von 9 ist. Wendet mau auf diese Gleichungen die Methode der gleichen Coefficienten an, so hat man 8x — 6/ — 18 8x — 6/ - 15 0 - 3. Die Lösung der gegebenen Gleichungen führt daher auf einen Widerspruch. 1. x -st 11, x — — 3. 3. 2x — 7 - 4, 4x -st 3/ - 18. 5. 7x - 2^ - 12, 3x -st 2^ - 8. 7. 8x — 5^ - 25, 3x -st 7^ 36. 9. 16^ — 252 - 7, 5r — 24^ — 9. 11. 3x -st 7 4^ -st 3, 4x — 8 — 5^ — 10. Aufgaben. 2. 2x -st — 12, x -st 4/ - 12. 4. 3x -st v — 19, 3x — 2^ — 7. 6. 4x -st 5). - 22, 5x — 4^ — 7. 8. 3x -st 4^ — 4, 12x — 6^ - 5. 10. 28x -s- 67 - 9, 9/ — 4x — 2. 12. 3-7x — 16 6 - 4'5^ 1-5x — 2-7 - 2-4^. 13. x-s-^ — 20, x 3 " 15. x — — 12, L - 1 9 8 - 17 3 1 1,2 . 2-^3^ " 14.;- ^8, — 3x — 33. 16. x -st 27 - 30, -st -r 11 5^2 ö 4 . 18.-gx-gv - 4, 197 19. 21. 23. 25. 27. 28. 29. 31. 33. 35. 37. 39. X -4, i 3 ' x - 17 4 3 ' _I_ 0^ 4^8 " X 4- 7 , 4 " 5' 1 - 2' 4,5 6 ->x-N 22. - _ 2 94 0^3 - 0 2' — 10 4- 09 09 x 4- - 36, x : - 3 : 2. 26. x : / — 4 : I, O — 6) : (7 4- 6) - 1 : 4. (2x 4- z, - 1) : (3x 4- 2), 4- 11) 1 : 2, (5x - 3^ 4- 4) : (6x — 3^ 4- 3) - 3 : 4. (x - 4) (7 4- 7) - (x - 3) (7 4- 4), (x 4- 5) (7 — 2) - (x 4- 2) (v — 1). .7 4' 6 '2 3 x 7 - 10' ax 4- — m, x 4- 6/ — v. ax — 1,^ — s? 4- 64 6x 4- a/ — 4- 64 g, — 6 x — - c. - 9. 38. so X s6 30. 28 4-'' - -- - 2. X - -1, 3^6 - — — 5. I - IN/ — IN - n, 28 x I gs.^ 0^ x 34. nx INN (x 4- /) — IN^ 4- ll4 36- (s 4^ o) x 4^ — 0) / — 26o, <6 — 0) X 4- (6 4- 0) / — 2so. x — s 4^ 26 , / 6 6 ^0^0' ?. - x 4- 7 60 X 7 1 a 4-6 s — 6 »4-6' - 4, s-j-6 s—6 s — 6 40. -^4- '' ,, - 2, s 4- b s — n x — 4s5 s — b s 4" 6 " 6^ 198 41. '^x : 4- I - 4 : 5, X -st 25, 43- 2V"x — - 5, v^x -st 2^y - 20. 3 _' _ ^0' ^/ZZH - Vl2 - v' 4 3 V20 -x Vl — ) ' 42. x - 1 -st v>, — 4 — 3x -st x^. 44. 3^x — 2^^ — 9. 2^x - Zststv 1. 46- - O- 3 - 1. V X V II. Auflösurrg der Gleichungen mit drei oder mehreren HtnöekannLen. 200. Zur Bestimmung von drei oder mehreren Unbekannten müssen eben so viele von einander unabhängige und sich nicht wider¬ streitende Gleichungen gegeben sein. Nm ein System von mehreren zusammengehörigen Gleichungen mit eben so vielen Unbekannten aufzulösen, wendet man dieselben Methoden an, welche in Z. 198 für die Auflösung von zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten angegeben wurden. Man eliminiert nämlich aus den gegebenen Gleichungen eine der Unbekannten, wodurch man eine Unbekannte und zugleich eine Gleichung weniger erhält; aus diesen neuen Gleichungen eliminiert man eine zweite Unbekannte und setzt dieses Verfahren fort, bis man zuletzt nur eine Gleichung mit einer Unbekannten erhält, aus welcher sich der Wert dieser Unbekannten ergibt. Der gefundene Wert wird in eine der zunächst vorhergehenden zwei Gleichungen substituiert und dadurch eine zweite Unbekannte bestimmt. Die beiden gefundenen Werte substituiert man dann in eine der vorhergehenden drei Gleichungen u. s. w., und bestimmt auf diese Art nach und nach die Werte aller Unbekannten. x x X Beispiele. 1) 8x -st 5/ -st 22 — 24^ 6x —- 3/ -st 2 — 3 nach der Comparations-Methode. 4x -st 9/ — 62 — 4i 24 — 5/ — 2^' 4 3 -st 3y — 2 6 ' 4 — 9^ -st 62 4' Aus den letzten zwei Gleichungen ergibt sich, wenn man sie nach / auflöst, 199 - 6 -^ 20-1' daher 60 — 2-. - 27 33 60 - 2- 27 6 -s- 20- 33 ' aus welcher letzteren Gleichung - — 3 folgt. Substituiert man den Wert von - in einen der für v gefundenen Ausdrücke, z. B. in 7 — , so hat man Werden endlich die gefundenen Werte von 7 und - in einen der für x aufgestellten Ausdrücke, z. B. in x — -- substituiert, so erhält man 3-4-2.3-3 , - g- Probe. 8 . 1 -s-5 . 2 -s-2 . 3 - 24, 6.1 — 3.2-4- 3-3, 4.1-P-9.2-6.3- 4. 2> 3x -j- 7 -j- - — 18 2x -j- 87 -s- 2- — 28 s nach der Substitutions-Methode, öx 2v 3- — 381 Aus der ersten Gleichung folgt x — ——Substituiert mau diesen Wert in die zweite und dritte Gleichung, so erhält man 2 X - - 28, oder 77 -s- 4- - 48, 5 x 1-^—- -s- 27 -s- 3r - 38, oder -7 -s- 4r - 24. Aus der letzten Gleichung folgt 7 - ,24,— 4-. Wird dieser Wert in die vorletzte Gleichung substituiert, so ergibt sich 7 (24 — 4-) -s- 4- - 48, woraus - — 5 folgt. Substituiert man den Wert von ? in 7 — 24 — 4-, so ist — 24 — 4 . 5 — 4. Werden endlich die Werte von 7 und - in den Ausdruck I8 — 7 —2 x - g eingestellt, so erhält man 18 — 4—5 » x — - ö - — o- 200 3) 3x - 2/ -st 52 - 8> 2x -st 5/ — 22 — 18s nach der Methode der gleichen Coefficienten. 4x — / -st 22 — 14^ Um aus den ersten zwei Gleichungen x zu eliminieren, multipliciere man die erste mit 2, die zweite mit 3; es ist 6X — 4v -st 102 — 16t 6x -st 15v 62 - 54s subtrahiert H 19v -st I62 - - 38. Um aus der zweiten und dritten Gleichung x zu eliminieren, braucht man nur die zweite mit 2 zu multipliciere», und die Subtraction zu ver¬ richten; man erhält 4x -st 10/ — 42 — 36 4x — / -st 22 — 14 - -1- - . 11/ — 62 - 22. Nun hat man zwei Gleichungen, worin noch die Unbekannten / und 2 vorkommen. Um aus denselben / zu eliminieren, wird man die erste Gleichung mit 11, die zweite mit 19 multipliciere», und die neuen Gleichungen addieren; dadurch ergibt sich - 209/ st- 1762 - - 418 209/ — 11 4 2 - _ 418 622 — 0; also 2^0. Wird der Wert von 2 in die Gleichung 11/ — 62 — 22 substi¬ tuiert, so hat man 11/ - 22, daher / — 2. Substituiert man endlich die Werte von / und 2 in eine der gegebenen Gleichungen, z. B. in 3x — 2/ -st .02 — 8, so ergibt sich 3x — 2.2 - 8, folglich x — 4. 201 9. 4x — 2^ -j- 3r — 8, 7x 4- 87 — 2 — 59, 10x -j- 3/ — 2^ — 49. 41. x -j- v -j- 2 — 100, x : 7 5 : 3, ^:2-3:2. 44- z -1- 4 10- x — 37 4- 2 — 2, 20x — 7 — 22-7, 7x 4- 9/ — 42 — 3. 12. 0 4x -s- 057 -j- 0 72 - 51 0 3x -j- 0 47 -1- 0 52 - 38, 0 2x -t- 0 ^7 4- 0'42 - 29 > -- IS, 14. --1- -ß- 4 - SIS. 202 27. u x - 15, 28- 3u -s- 5x -t- -i- 2? - 37, II -s- v — 14, u -s- 3x -st 3^ -st 4r — 47, x -st v - 13, 4u -st 3x -st -st 2 - 26, x -st 2 — 12. 2n -st 4x -st 2^ -st 32 — 42. 29. 3u — X -st -st 22 20, 30. stx -st -zv - 6, 2u -st 3x — -st 2 - 17, -zx — z/ -st > - 5, ii -j- 2x -j- 3)- — 2 - 21, zx -st > - 4, — u -st x -st 2/ -st 32 - 12. -st — ^ii - 3. ILI. Anwendung der Gleichungen mit mehreren Wnöekannten. tz. 201. Sind in einer Aufgabe zwei oder mehrere Zahlen unbekannt, so müssen sich zu ihrer Bestimmung aus den Bedingungen der Aufgabe so viele Gleichungen bilden lassen, als Unbekannte da sind. Durch die Auflösung dieser Gleichungen erhält man die Werte für die Unbekannten. Häufig kann eine solche Aufgabe auch auf eine einzige Gleichung mit einer Unbekannten zurückgeführt werden, indem man die übrigen durch diese Unbekannte und durch gegebene bekannte Zahlen ausdrückt. Ist z. B. die Zahl 40 in zwei Theile zu theilen, welche eine gegebene Bedingung erfüllen, so kann man die gesuchten Theile mit x und,y bezeichnen und hat dann x -st — 40 als die eine Gleichung; die zweite Gleichung wird der gegebenen Bedingung gemäß aufgestellt. Man kann aber auch den einen Theil — x, und den andern, weil ihre Summe 40 betragen soll, — 40 — x setzen und erhält dann aus der weiteren Bedingung eine Gleichung mit einer einzigen Unbekannten. Auch hier können einfachere Aufgaben durch bloße Verstandesschlüsse im Kopfe gelöst werden. Beispiele. 1) Ich denke mir zwei Zahlen, von denen die erste um 3 kleiner ist als die zweite; multiplieiere ich die erste mit 4 und subtrahiere vom Producte 18, so erhalte ich die zweite. Welches sind die zwei Zahlen? a) Im Kopfe. Die um 18 verminderte 4fache erste Zahl ist gleich der zweiten, d. i. um 3 größer als die erste; also ist die um 21 ver¬ minderte 4fache erste Zahl gleich dieser Zahl selbst; der Unterschied zwischen dem 4fachen der Zahl und der einfachen Zahl, d. i. das 3fache der Zahl betrügt demnach 21, daher die erste Zahl selbst 7. Die zweite Zahl, welche um 3 größer ist als die erste, ist 10. ist Algebraisch mittelst zweier Gleichungen mit zwei Unbekannten. iLs seien X und die beiden Zahlen. Da die erste um 3 kleiner ist als die zweite, so hat man die Gleichung x - - 3. 203 Nach dcr zweiten Bedingung der Aufgabe muss das 4fache der ersten Zahl um 18 vermindert die zweite Zahl geben, also die Gleichung 4x — 18 - stattfindcn. Durch die Auflösung dieser zweier Gleichungen erhält man x — 7 und — 10. o) Algebraisch mittelst einer einzigen Gleichung mit einer Unbekannten. Nennt man x die erste Zahl, so ist x -st 3 die zweite. Man hat daher nach den Bedingungen der Aufgabe 4x— 18 — x -st 3, woraus x — 7, und daher x -st 3 — 10 hcrvorgcht. Probe. Die zweite Zahl 10 ist wirklich um 3 größer als die erste 7; ferner gibt das 4fache von 7 weniger 18 zur Differenz 10, d. i. die Zweite Zahl. 2) Ein Vater ist gegenwärtig 2mal so alt als sein Sohn; vor 15 Jahren war er 5mal so alt als der Sohn. Wie alt ist der Vater, wie alt der Sohn? Der Sohn sei x Jahre alt, so ist das Alter des Vaters 2x Jahre; vor 12 Jahren war also der Vater 2x — 15, der Sohn x — 15 Jahre alt. Man hat daher die Gleichung 2x — 15 — 5 (x — 15), woraus man x — 20 und 2x -- 40 erhält. Dcr Vater ist also 40, der Sohn 20 Jahre alt. Man löse diese Aufgabe auch mit Hilfe zweier Gleichungen mit zwei Unbekannten auf. 3) Unter drei Personen werden 100 st. so vertheilt, dass 0 doppelt so viel als und 6 um 10 fl. mehr als die Hälfte dessen bekannt, was .4 und L zusammen erhalten. Wie viel bekommt jede der drei Personen? a) Mittelst dreier Gleichungen. Es seien x, s die Zahlen der Gulden, welche folqcweise 4., L und 6 bekommen, so ist erstlich x -st 7 -st 100. Da L doppelt so viel als bekommt, so ist ferner I — 2x. Da endlich 0 um 10 fl. mehr als die Hälfte dessen bekommt, was ^4 und L zusammen erhalten, so hat man auch - - w. Durch Auflösung dieser drei Gleichungen erhält man nun x - 20, 7 - 40 und 2 40. U) Mittelst einer einzigen Gleichung. Es sei x die Anzahl Gulden, welche bekommt, so ist 2x „ „ „ „ „ x -st 2x , -2-10 " " " " 204 daher x -s- 2x -j- - Z- 10 - 100, welche Gleichung x - 20 gibt. bekommt also x — 20 Gulden, L „ „ 2x - 40 0 ,,-^--j-10^40 „ 4) Zwei Körper vom specifischen Gewichte s, und sollen so mit einander verbunden werden, dass der entstehende Körper p> wiege und das spccifische Gewicht s habe; wie viel eines jeden Körpers hat man zu nehmen? Bezeichnet x die Anzahl L^., welche man vom ersten Körper, und die Anzahl L^., welche man vom zweiten Körper zu der Verbindung nehmen muss, so ist der Cubikinhalt des ersten Körpers —und jener des zweiten Körpers während der Cubikinhalt der Verbindung ist. Sy 8 Da die Summe der absoluten Gewichte der beiden Bestandtheile dem absoluten Gewichte der Verbindung gleich sein muss, so ist x 4- / - x. Da ferner auch die Summe der Cubikinhalte der Bestandtheile dem Inhalte der Verbindung gleich sein muss, so hat man x. _1_ p. o, 82 8' woraus pch s, p (« — 8 ' 5) 375 fl. st 6°/„ in 2 Jahren? /Z „ 4 „ 6) 1600 fl. L 4,s°/„ in 3 Jahren? 4. * Welches Capital bringt zu 3;°/„ jährlich 62,s fl. Zinsen? 5. * < 1. * Wie viel ist s.) 5mal d) 8mal 2. (11/,-P 9j-1 3. * Wie viel betragen die Zinsen von u) 350 fl. st 4°/o in 3 Jahren? - — - v) 780 fl. L 5°/ .. 4 5)- Ein Capital trägt zu'4°/» jährlich 321 fl. Zinsen; wie lange muss das Capital anlicgen, damit es zu 3.//, dieselben Zinsen bringe? 208 6. bietet aus ein Haus baar 8850 fl., L 9000 fl., wovon er die Hälfte baar, die andere Hälfte nach 6 Monaten zahlen will. Wer bietet mehr, wenn man 6"/, Zinsen rechnet? 7. Ein Wechsel über 2345 fl., per msäio November zahlbar, wird am 5. September zu 6°/, discontiert; wie viel erhält der Verkäufer für denselben? 8. Ein Hamburger Kaufmann zahlt für einen Wiener eine Rechnung von 12820 Mark, trassiert dagegen auf den Wiener u 178 Mark pr. 100 fl. ö. W. und berechnet sich Provision und 1°/,, Sensarie. Auf wie viel fl. ö. W. lautet die Tratte? 2a"x" 6a^ bst^ 7 (3 -st x' ' ax—2b — ax -st 2a' 5x -st 8 21. st x -st V3x 2. 22. 2^/Zx - 1 - - 23-* Von welcher Zahl ist das 8fachc um 6 kleiner als 50? 24.* Welche Zahl ist um ihren lOten Theil kleiner als 77? 25- Ich multipliciere eine gedachte Zahl mit 2, setze ihr rechts die Ziffer 5 dazu, dividiere dann durch 11, so gibt der um 1 vermehrte -Quotient das Doppelte der gedachten Zahl. Welche Zahl ist es? 26. Von einem Orte wird ein Courier abgcschickt, der alle 5 Stunden 54 Kilometer macht; 4 Stunden später wird ihm ein anderer Courier nachgcschickt, der alle 3 Stunden 42 Kilometer macht. Nach wie viel Stunden wird der zweite Courier den ersten einholen? 27. * 15 Meter kosten 64 fl.; wie viel kosten 40 Meter? 209 28. * Eine Röhre gibt in 1 Stunde 6§ Hektoliter Wasser, eine zweite Röhre in derselben Zeit 74 Hektoliter; in wie viel Stunden erhält man 77^ Hektoliter Wasser, wenn beide Röhren zugleich geöffnet sind? 29. Wie viel Sauerstoff und Stickstoff befindet sich in einem luft¬ erfüllten Raume von 87 Cub.-Meter, wenn in 100 Theilen atmosphärischer Luft 21 Theile Sauerstoff und 79 Theile Stickstoff enthalten sind? s s g 30. s^2 -s- -s- 2s^50. 31. 5s^5 — 2^40 -j- 3^135. 32. — 5v^'xv — x^4xv Z- ^/2öx)'^. 4 6 4 4 33. s^4 . ^8. 34. (s^a -I- 35. 36. (^8-Z^2)--(^8-j^2)'. 3 37. 1 : V0'25. 38. 3s^8 : 2s^2. -9. . ^4 «E vz: 4' 41. Zerlege folgende Zahlen in ihre Primfactorcn: 240, 356, 540, 1536, 4158, 5250, 6048. 42. Von einer Schuld soll 4 am 15. Januar, 4 am 31. Januar, 4 am 28. Februar und der Rest am 31. März gezahlt werden. Wann kann man die ganze Schuld auf einmal abtragen? 43-* Drei Personen theilen 360 fl. so unter einander, dass ö doppelt so viel als L., und 6 3mal so viel als erhält; wie viel kommt auf jeden? 44. Wie viel erhält jeder von 688 ff., wenn so oft 2 fl als L 3 fl. und 0 so oft 6 fl. als L 5 fl. erhalten soll? 45- Jemand hinterließ ein Vermögen von 15650 fl., welches unter seine vier Erben in folgender Weise zu theilen ist: L soll 250 fl. mehr als 0 300 fl. weniger als und 6 zusammen, I) 750 fl. weniger als L und 0 zusammen erhalten. Wie viel wird jeder bekommen? 46. 1^269361. 47. ^6461761. 48. ^1292114916. 49- ^592704. 50. V"125751501. 51- ^2-918076589. 52. * Jemand mischt 5 Liter ü 36 kr. und 7 Liter a 47 kr.; wie viel kostet 1 Liter der Mischung? 53. Zu Porzellan nimmt man 25 Theile Thon, 1 Theil Gyps und 2 Theile Kies; wie viel von jedem braucht man zu einer Masse von 42 ? 54. Jemand kauft mit 4^°/, Papiergeld verzinsliche Staatsschuld¬ verschreibungen zum Course 65^; wie viel Zinsen trägt das darin angelegte Capital? 55. Wie viel kosten 3500 fl. 57» Silber-Pfandbriefe der österr- Boden-Creditanstalt g. 107^ mit Zinsen für 136 Tage? Močnik, Arithmetik für Lehrerbildungsanstalten. 14 210 56. Wenn 1 IvA. feines Gold 1395 fl. gilt, wie hoch kommen 44 Münzgold von 900 Feingehalt? 57- Wie viel fl. ö. W. kosten 95^ Meter, wenn 684 engl. Nard mit 174 Pfund Sterling bezahlt werden, und wenn 17 Jard — 16 Meter und 10 Pfund St. — 115 fl. ö. W. sind? 58. 2x — 3^ -s- 4^ — 5u -s- 6v — g, 3x -s- — 5^ -fl u — 3vv — 3, — x -fl 4/ 4- 2s — 5u -fl 3v — 8, x — -j- — u -s- 3, X -fl -fl 2 -fl n -fl — 15. 59-* Die Zahl 150 so in zwei Theile zu theilen, dass der eine 4 vom andern sei. 60. 1200 fl. sollen unter drei Personen so vertheilt werden, dass die zweite 3mal so viel als die erste weniger 20 fl., die dritte 4mal so viel als die zweite und noch 20 fl. erhält. Wie viel bekommt jede? 61. Ich denke mir zwei Brüche mit demselben Nenner; ihre Differenz beträgt , das Verhältnis ihrer Zähler 5:1; vermindert man aber den größeren Zähler um 12, und vermehrt den kleineren um 12, so erhält man das umgekehrte Verhältnis 1 : 5. Wie heißen die zwei Brüche? 62. Jemand hat zwei Fässer mit Wein. Gießt er aus dem ersten den 5ten Theil in das zweite, nnd dann aus diesem den 5ten Theil in das erste, so sind in jedem Fasse 80 Liter. Wie viel Liter waren Anfangs in jedem Fasse? 63- Ein Wcinhändler hat zwei Sorten Wem, das Hektoliter zu 40 fl. und das Hektoliter zu 60 fl., und will daraus 15 Hektoliter a 48 fl. mischen. Wie viel muss er von jeder Sorte nehmen? 64- Jemand legt am Anfänge eines jeden Jahres 2000 fl. zu 5°/» Zins von Zins an: am Ende des dritten Jahres fordert er sämmtliche Capitalien sammt Zinsen von Capital und Zinsen ein; wie groß wird seine Forderung sein? 65- Welchen baren Wert haben 7520 fl., zahlbar in 8 Jahren, bei 5°/«, Zinseszinsen? 66- Zu einem gemeinschaftlichen Geschäfte legt ein: sogleich 3000 fl. und nach 1 Jahr noch 2000 fl.; L sogleich 2000 fl. und nach 14 Jahren noch 2400 fl.; 0 sogleich 4000 fl. und nach 2 Jahren noch 1600 fl. Das Geschäft dauert 3 Jahre und bringt einen Gewinn von 9050 fl. Wie viel wird jeder von diesem Gewinn erhalten? Zehnter Aöschniti. Gleichungen des zweiten Grades mit einer Unbekannten. I. Auflösung der Kteichungen des zweiten Krudes. ß. 202. Eine Gleichung, in welcher nach Wcgschaffung der Nenner und Wurzeln und Auflösung der Klammern die höchste verkommende Potenz der Unbekannten die zweite ist, heißt eine Gleich ungdes zweiten Grades oder eine quadratische Gleichung. Die quadratischen Gleichungen werden in reine und gemischte eingcthcilt. Eine reine quadratische Gleichung ist eine solche, in welcher die Unbekannte nur in der zweiten Potenz vorkommt; z. B. x? — 5, — s, — b>. Eine gemischte quadratische Gleichung ist eine solche, welche außer dem Quadrate der Unbekannten auch die erste Potenz der¬ selben enthält; z. B. 2x^ - 5x — 9, x° -s- ux - b. ß. 203. Jede reine quadratische Gleichung kann durch An¬ wendung der in tz. 109 angeführten Regeln, und, wenn sie Wurzeln ent¬ hält, durch Wcgschaffung derselben (Z. 188) aus die Form .x^ — s, Wo u eine positive oder negative bekannte Zahl bezeichnet, gebracht werden. Es sei z. B. die reine quadratische Gleichung x" — 9 gegeben. Wenn man aus gleichen Größen dieselbe Wurzel auszieht, so erhält man wieder Gleiches. Zieht man daher aus beiden Theilen der Gleichung die Quadratwurzel, so ergibt sich — 1^9 oder x — 3. Der Wert von x kann also -s- 3 oder — 3 sein, da sowohl (-s- Z)^ — 9, als auch (— 3)? — 9 ist. Hat man allgemein die Gleichung x° - a aufzulchcn, so ergibt sich durch Ausziehen der Quadratwurzel aus beiden Theilen x — Eine reine quadratische Gleichung hat daher immer zwei Wurzeln, welche denselben absoluten Wert, aber entgegengesetzte Vorzeichen haben. Ist s positiv, so sind beide Wurzeln reell; ist u negativ, so sind beide Wurzeln imaginär. 14* 212 Beispiele. 1) x"- - 36 x - 36 4; 6. 3) x — 4 1 "2 x^st 1^ — x-st 6 (x — 4) (x -st 6) — 2x -st 1 x° —4x-st6x —24 - 2x-s-1 x°- 25 x — 5. > x — — 36 x — 4i V — 36. 4) V33 4-2x —x- - x 4- 1 33-st2x —x° - (x 4- 1>" 33-st2x-x°-x°4-2x-st1 — 2x- - - 32 x° - 16 x — 4- 4. 204. Die allgemeine Form einer geordneten gemischten qua¬ dratischen Gleichung ist x° -st sx — d, wo Ä und 1) positive oder negative Zahlen bezeichnen. Es sei z. B. die gemischte quadratische Gleichung x° -st 8x — 20 aufzulösen. Da der erste Theil dieser Gleichung zwei Glieder enthält, so ist er nicht das Quadrat eines eingliedrigen Ausdruckes; er kann aber auch nicht das vollständige Quadrat eines Binoms sein, da dasselbe nach der bekannten Formel (a 4- — s.° -st 2ad -st 6° aus drei Gliedern be¬ stehen muss. Um also aus dem ersten Theile die Quadratwurzel ausziehen und dadurch den Wert für die Unbekannte bestimmen zu können, muss zu beiden Theilen eine solche Zahl addiert werden, dass der erste Theil das vollständige Quadrat eines Binoms wird. Betrachtet man nun x° als das Quadrat des ersten Gliedes, somit x als das erste Glied des Binoms, ferner 8x als das doppelte Product, also 4x als das einfache Product beider Glieder, so stellt 4 das zweite Glied vor; es fehlt daher, damit der erste Theil der Gleichung das vollständige Quadrat des Binoms x -st 4 werde, noch das Quadrat des zweiten Gliedes, nämlich 16. Addiert man daher zu beiden Theilen der gegebenen Gleichung 16, so ergibt sich x- -st 8x 4- 16 - 20 -st 16, oder (x 4- 4)- 36, und, wenn man aus beiden Theilen die Quadratwurzel auszieht x -st 4 — 4^ >^36, oder x -st 4 — 4^ 6, daher entweder x-—4-st6--st 2, oder x - — 4 — 6 - — 10. Probe, (-st 2)° -st 8 . -st 2 - 4 -st 16 - 20, und auch (- 10)° -st 8 . — 10 100 - 80 - 20. Ist allgemein die Gleichung x° -st ax — 5 gegeben, so muss man, um den ersten Theil zu einem vollständigen Qua¬ drate zu ergänzen, zu beiden Theilen das Quadrat des halben Coefficicnten von x, d i. addieren. Man erhält dadurch 213 3,^ 4 < ' 3^ 4-, folglich 2) — 12x - - 35 x - 6 V- 35 -j- 36 - 6 47 1^1 6 7i7 1 x, - 7, x§ 5. Hieraus folgt: In einer geordneten gemischten quadratischen Gleichung ist die Unbekannte gleich dem halben Coeffici- enten der ersten Potenz mit entgegengesetzten Borzeich en, vermehrt oder vermindert um die Quadratwurzel aus der Summe des bekannten Gliedes und des Quadrates jenes halben Coefficienten. g,2 Ist b positiv, so sind, da stets positiv sein muss, die beiden Wurzeln reell. Ist d negativ, so sind die zwei Wurzeln auch reell, so lange >5 »2 ist; für — 5 ist die Größe unter dem Wurzelzeichen gleich Null und die beiden Wurzeln sind einander gleich und reell; für < d endlich sind beide Wurzeln imaginär. Beispiele. 1) x- -j- 6x - 112 x - — 3 4i V^2 -s- 9 - - 3 V121 - — 3 11 x, - 8, x§ - — 14. x" -s- ax -f- — b -j- oder l-c -I- und, wenn man aus beiden Thcilen die Quadratwurzel zieht, x -f- -2 a Die Gleichung hat also folgende zwei Wurzeln: A I / u. - — -j- u ° -i- 4- und X2 - — 214 3) 8x'-' — 10x - 3 4) ^3x^2 - 1 - V^- 7 x- - >/x - Zx — 2 — 2 VZHZst-1 - 4x-7 X - z sti -st — X 4- 6 - 2VZX^2 - z V" X- - 12xst- 36 - 4 (3x — 2) - A- x° — 24x - — 44 x^ X,- - X - 12st^V-44st-144 " - 12 sti 1^100 - 12 10 x, — 22, X2 — 2. 5) x^ -^- (3a — 2d) x — 6 ad -- - S--2d <3.--,.^ S» — 2b . > /s 9»- 4- ISob -I- 4b^ I --z - ^Vl - '4 -j 3a — 2d 3a st- 2d 2^2 x^ — 2d, X2 — 3a. Z. 205. Zwischen den bekannten Zahlen einer geordneten quadra¬ tischen Gleichung und ihren Wurzeln finden folgende Beziehungen statt: 1. Die Summe der beiden Wurzeln ist gleich dem mit entgegengesetztem Vorzeichen genommenen Coefficienten der ersten Potenz der Unbekannten. 2. Das Product der beiden Wurzeln ist gleich dem mit entgegengesetztem Vorzeichen genommenenen von der Un¬ bekannten freien Gliede. Beweis. Bezeichnet man die beiden Wurzeln der Gleichung x^ st- sx d mit x^ und X2, so ist daher , 3> 3> L X. -4- X- —--— — 5,. und Z. B. Aus X? — 6x — 16 folgt X; — 8 und X2 — — 2; und man hat ^2 "" 0, Xg — 16. 215 Mit Hilfe der vorhergehenden zwei Sätze kann man für zwei ge¬ gebene Wurzeln sogleich die Gleichung bilden, welcher sie angehören. Sind z. B. die Wurzeln 4 und — 6 gegeben, so hat man -f- 2x — 24 die Gleichung, welche 4 und — 6 zu Wurzeln hat. Aufgaben. 1. x« - 49. 2. X« — 64 - 0. 3. x- - 56169. 4. x--00729-0. 5, - 54. 6. 3 : x - x : 12. 23. Va 4- x — V-r — x - 26. 24. 2x VÜ°H"2 4- 2 0° -4 x°) — 5^2. 216 47. - 4- - 3. 6x -j- 5 , ir, 2^z -- 4-- - IS. I — k; 0^- X - 1 X 4- 1 "O. 48. 50- 10x 4- 3 3x 4- 2 " 13x 4- 42 _ 11 (x 4- 2) 9x — 4 — 7x — 4 6 _3— , ' X 4- 3 X -4 1 4' 55. (x 4- 3)° 4- (x 4- 5)- 514. 56. (x -4 3) (x 4- 4) 4- (x — 3) (x — 1) - x (x 4- 11). x 4- 11 , 4x 4-50 -o 5 5 12 5/- --- - -6. 08. x 47 Z' 4x 4- 3 4 (x — 3) 19 — 2x 0^' 7 5 - X — 5 ' 3 2 2 b0- 1711^ - 44^^ - H^12' 7x - 2 x 4- 2 6x- 4- 9x 4- 5 3x 4-' 2 3x - 2 - 9x« — 4 ' 62. x 4- 7v"x - 30. 63. 2x - 3VxH - 4. 64. V7x^l3- 12 - Vöx-4 1. 65. V«x -7 4- 3 - V15H4. 75. ab ' . 66. ^>x 4- 25 - V6x - 24» 4- Vx - 997 67. V^x^ll 4- V5x 4- 25 - )/l 8x^19. 68. V2 (7x 4- 30) 4- 2V4x 4- 25 - 2Vl5x 4- 79^ 69. x- - (» 4- d) x 4- ad - 0. 71. x° - 4ax - 96« — 4a«. ^0 Ir x« "(1-x)«' x »d 4- 1 " ».«4- i-«' 70. x« — (a — 5) - ad. 72. 4x« — 4sx - 6« - a«. 74. — -4 abx - a« -4 5«. x X« -4 1 2x L« 4- 5« 78.-^- X — g. a Sl 79. sx — X — 0. Bilde Gleichungen, 81. 4- 5 und — 5. 83. — 3 und 4- 7. 85. 10 und — 1. 87. § und o. 80. Vs 4- x 4- Vl> -- x — Vs -4 3- welche folgende Wurzeln haben: 82. -4 3^2 und — 3^2. 84. 12 und 7. 86. — 9 und — 13. 88. und — 217 89. 0 7 und — 2-4. 90. 136 und 0 75. 91. 1 -s- 1^2 und 1 - ^2. 92. und H. Anwendung der Gleichungen des zweiten Grades. 8- 206. Wenn die Bedingungen einer Aufgabe, in die algebraische Zeichensprache übersetzt, ans eine Gleichung führen, in welcher die Un¬ bekannte in der zweiten Potenz erscheint, so wird der Wert dieser Unbekannten durch die Auflösung einer quadratischen Gleichung bestimmt. Man erhält dadurch jedesmal zwei Werte, welche in arithmetischer Beziehung gleiche Berechtigung haben; bei angewandten Aufgaben muss man jedoch noch untersuchen, ob die Bedingungen der Aufgabe durch beide oder nur durch einen der gefundenen Werte erfüllt werden. Beispiele. 1) Welche Zahl gibt mit ihrem dritten Theile multipliciert 972 zum Producte? Heißt x die gesuchte Zahl, so ist ihr dritter Theil, daher nach der Bedingung der Aufgabe x . o - 972, oder x- 2916, o woraus x — ch 54 folgt. 2) Von zwei Stück Tuch kostet jedes 120 fl.; in dem zweiten sind 6 Meter mehr als in dem ersten, dagegen kostet jedes Meter des ersten 1 fl. mehr, als jedes Meter des zweiten. Wie viel Meter enthält jedes Stück? Enthält das erste Stück x Meter, so enthält das zweite x -j- 6 120 Meter; 1 Meter des ersten Stückes kostet fl, 1 Meter des zweiten 120 —fl- Man hat daher nach der Bedingung der Aufgabe die Gleichung X X -j- 6 oder nach vollzogener Ordnung x- -s- 6x - 720, woraus sich x — 24 oder x — — 30 ergibt. Der negative Wert von x hat nach der Natur der Aufgabe keinen Sinn. Es enthält also das erste Stück x - 24 Meter, „ zweite „ x -s- 6 - 30 „ 3) Wie viel Secundcn braucht ein mit der Geschwindigkeit 200 Meter- senkrecht in die Höhe geworfener Körper, um eine Höhe von 400 Meter 218 zu erreichen, wenn ein frcifallender Körper in der ersten Secundc eine Strecke von 4'9 Meter zurücklegt? In x Secunden würde der Körper, dem die Geschwindigkeit 200 Meter mitgetheilt wird, die Höhe 200x Meter erreichen; in derselben Zeit aber würde er auch vermöge der Schwere, wie die Physik lehrt, einen Fall¬ raum von 4'9x2 Meter zurücklegen. Für die wirklich zurückgelegte Strecke 400 Meter hat man daher die Gleichung 200 x — 4 9x2 400, aus welcher sich x — 38'7 oder x — 2'12 ergibt. Naturgemäß entsprechen beide Werte der Aufgabe; der Körper wird sich nämlich n-ach 2'12 Secunden während des Aufsteigens, und nach 38'7 Secunden während des Zurückfallens, in der Höhe von 400 Meter befinden. Bezeichnet man in dieser Aufgabe allgemein die Anfangsgeschwindig¬ keit mit o, die Höhe mit b, die in Secunden ausgcdrücktc Zeit mit t und den Fallraum der ersten Secunde mit so erhält man ebenso die Gleichung °' - 's - <>, aus welcher man, wenn von den vier Größen o, t, § drei gegeben sind, die vierte finden kann. Ist die Zeit t gegeben, so hat man zur Bestimmung von o, K, oder § eine Gleichung des ersten Grades. Aufgaben. 1. Das Product aus dem 4ten und 5ten Theile einer Zahl beträgt 180. Welches ist die Zahl? 2. Multiplicicrt man das ofache einer Zahl mit ihrem 4ten Theile, so erhält man 480. Welches ist die Zahl? 3. Dividiert man 192 durch eine Zahl, so erhält man das 3fache derselben. Wie heißt die Zahl? 4. Welche Zahl muss um 6 vermehrt und um 6 vermindert werden, damit das Product der beiden neuen Zahlen 325 sei? 48 ^363?? mittlere geometrische Proportionale zwischen 6. Das 12sache einer Zahl um 45 vermehrt gibt das Quadrat derselben. Welches ist die Zahl? 7. Wenn man zu einer Zahl 40 addiert und die Summe durch die ungcändcrte Zahl dividiert, so ist der Quotient um 2 kleiner als die ursprüngliche Zahl. Wie groß ist diese? 8- Wenn man die Summe und Differenz einer gewissen Zahl mit 5 brldet, so ist die Summe der Quadrate der so erhaltenen Zahlen 178. Welches ist die Zahl? 219 612 ist 0' D'e Zahl 53 in zwei Summanden zu zerlegen, deren Product 10. Die Zahl 15 in zwei Theile zu theilen, so dass die Summe ihrer Quadrate 113 wird. , 11. Die Zahl 15 in zwei Theile zu theilen, deren Quadrate sich wie 4 : 9 verhalten. 12. Welche ganze Zahl ist um 19 kleiner als das Quadrat der vorhergehenden Zahl? 13. Von welcher Zahl muss man ihren reciproken Wert subtrahieren, um 2Zo zu erhalten? 14. Der Zähler und der Nenner eines Bruches betragen zusammen 33. Wäre der Zähler um 39, und der Nenner um 20 größer, so würde der Bruch doppelt so groß sein. Welches ist der Bruch? 15. Bei zwei Brüchen, deren Differenz ist der Zähler des einen die Hälfte vom Nenner des anderen; der Nenner eines jeden Bruches ist um 1 größer als der Zähler. Welches sind die Brüche? 16. Ein freifallender Körper legt in der ersten Secunde 4'9 Meter zurück und die Fallräume verhalten sich wie die Quadrate der Zeiten. Wie viel Secunden braucht ein Körper, um aus einer Höhe von 150 Meter zu fallen? 17. Jemand kauft für 117 fl. Weizen und zwar kostet jedes Hekto¬ liter davon um 4 fl. weniger als Hektoliter sind; wie viel Hektoliter Weizen hat er gekauft? 18. Jemand kauft ein Stück Acker, das er kurze Zeit darauf als Bauplatz für 816 fl. verkauft. Dabei gewinnt er so viel °/„ als ihn der Acker Gulden gekostet hat. Wie thcuer hat er den Ackcrgrnnd gekauft? 19. Ein Vater hinterließ seinen Kindern ein Vermögen von 14400 fl. zu gleichen Theilen; bald nach seinem Tode starben zwei Kinder, und es erhielt in Folge dessen jedes der übrigen Kinder um 1200 fl. mehr, als es sonst bekommen hätte. Wie viele Kinder hinterließ der Vater? 20. Unter eine Anzahl armer Leute sollen 110 fl. zu gleichen Theilen vertheilt werden. Da sich bei der Austheilung 5 Arme mehr einstcllen, als man erwartet hat, so entfällt auf jeden von ihnen fl. weniger, als ihm Anfangs bestimmt war. Wie viel Arme werden betheilt? 21. Ein Kaufmann bestellt für 1080 fl. Kaffee. Da jedoch der Ballen Kaffee um 18 fl. im Preise gestiegen ist, so erhält der Kaufmann 2 Ballen weniger, als er erwartet hat. Wie viel Ballen erhält er? 22. Jemand kaufte für 400 fl. Tuch; hätte das Meter um 1 fl. weniger gekostet, so würde er für jenes Geld 20 Meter mehr erhalten haben. Wie viel Meter hat er gekauft? 23. Ein Fuhrmann soll 15000 I^. Heu in einer bestimmten An¬ zahl Fuhren zur Stadt fahren. Er ladet aber für jede Fuhr 100 Lx. wehr, als ursprünglich festgesetzt ist, und spart dadurch 5 Fuhren. Wie vst sollte er fahren? 220 24. Ein Kaufmann hat in zwei auf einander folgenden Jahren gleichviel °/g gewonnen und dadurch sein Capital von 12000 fl. auf 15870 fl. vermehrt. Wie viel °/„ betrug sein Gewinn? 25. Ein Reisender braucht zu einem Wege von 520 Kilometer 3 Tage mehr als ein anderer, weil dieser täglich 12 Kilometer mehr zurücklegt als der erstere. Wie viel Tage braucht jeder zu dieser Reise? 26- Ein Zug braucht für eine Strecke von 100 Kilometer eine gewisse Zeit; ein Schnellzug, der alle 3 Stunden 25 Kilometer mehr zurücklegt, braucht für dieselbe Strecke 1 Stunde weniger. Wie viel Kilo¬ meter legt der erste Zug in jeder Stunde zurück? 27- Ein Baumgarten bildet ein Rechteck, in welchem 560 Bäume in gleichen Entfernungen von einander stehen; eine Reihe nach der Länge enthält 8 Bäume mehr als eine Reihe nach der Breite. Wie viel stehen in jeder Reihe? 28. An einem Wagen ist der Umfang des Hinterrades 2 Meter größer als der des Vorderrades. Auf einer Strecke von 6000 Meter macht das Vorderrad 500 Umdrehungen mehr als das Hinterrad. Wie groß ist der Umfang des Vorderrades? 29. Aus einem mit 144 Liter gefüllten Fasse wurde eine gewisse Anzahl Liter abgezapft und durch Wasser ersetzt; dann wurden eben so viel Liter der Mischung abgezapft und wieder durch Wasser ersetzt. Die so verdünnte Mischung enthielt noch 121 Liter reinen Weines. Wie viel Liter wurden jedesmal abgezapft? 30. Wie stellt sich das Resultat der vorigen Aufgabe, wenn statt der Zahlen 144 und 121 allgemein die Zahlen a und d gesetzt werden? IH. Wiederholungsaufgaöen. 1.* Wie viel ist a) 2°/„ von 700, 40, 120, 260, 475, 580, 1425? b) 5°/, von 500, 20, 380, 540, 660, 810, 1250? 2- * An 100 fl. gewinnt man 12z fl.; wie viel an 324 fl. ? 3- * An 40 fl. gewinnt man 3z fl.; wie viel an 100 fl. ? 4. * Eine Locomotive' legt in jeder Stunde 30 Kilometer zurück und kommt von nach L in 6 Stunden; wie viel Kilometer müsste dieselbe stündlich zurücklegen, um jene Strecke in 5 Stunden zu durch¬ laufen ? 5. Welchen Wert hat x in folgenden Proportionen: a) 12§ .- x - 84 : 28, 5) x : 63§ - 6 : 76z, 0) x: 2iz - 12^ : 18z, ä) 3§ : 54 x : 73z, o) x : 50 - 0-24 : 0-64, f) 78 8 : 48 5 - 154'78 : x. 6. Wie viel Münzgold a 900 fein kann man aus 12 25 vx. Gold a 800 fein Herstellen? 221 7. Eme Dampfmaschine von 4 Pferdekraft hebt in 5 Secunden eine Last von 1500 Lss. 1 Meter hoch; wie viel LZ-. wird eine Maschine von 6 Pfcrdekraft in 12 Secunden eben so hoch heben? 8. 20 Arbeiter können eine Arbeit in 18 Tagen zu Ende führen: in wie viel Tagen wird die Arbeit beendet sein, wenn nach 4 Tagen 12 Arbeiter abgchcn und nach 11 Tagen wieder 8 derselben zurückkehrcn? 9. * Der Weizen ist um 6°/, im Preise gefallen; wie viel kostet nun 1 Hektoliter, da es bisher 9 sl. 50 kr. kostete? 10. * Wie groß muss die Summe sein, von welcher die Provision zu 1-^o/y gerechnet 78 fl. 60 kr. beträgt? 11. Bei einem Concurse erhält Jemand für seine Forderung von 5760 fl. nur 3840 fl.; wie viel °/„ verliert er? 12. Ein Kaufmann kauft 600 einer Ware für 421'05 fl, und verkauft sie nach 8 Monaten zu 80 kr. pr. L^., wie viel "/» beträgt der jährliche Gewinn? 13. Eine Partie Ware wiegt Lrutto 430 LZ-. und wird mit 480 fl. bezahlt; die Tara beträgt 30 Lix., die Provision 2"/,, die Fracht 54 fl. Wie theuer muss 1 verkauft werden, wenn man 16z°/g gewinnen will? 14. Jemand kauft Tuch, je 4; Meter für 15- fl.; er verkauft das¬ selbe zu 4 fl. per Meter und gewinnt im Ganzen 428 fl. Wie viel Meter hat er gekauft? 15. x - - 7 -j- 16.^^ 4- -7-2. 17. 2Vx^^7 - VZH47. 18. V'lO -i- 2 -4"- 4. 19. * Von welcher Zahl muss man 20 wegnchmen, damit noch ihr 6ter Theil übrig bleibt? 20. Um welche Zahl muss man in den Productcn 32.26 und 36.24 jeden Factor verkleinern, damit die neuen Producte einander gleich werden? 21. Ein Knabe gibt seinem ältesten Bruder die Hälfte seiner Nüsse weniger 8, dem zweiten die Hälfte des Restes weniger 8, dem dritten wieder 8 weniger als die Hälfte des jetzigen Restes, und so auch dem vierten 8 weniger als die Hälfte des neuen Restes; die noch übrigen 20 Stücke behält er selbst. Wie viel Nüsse hatte er anfänglich und wie viele gab er jedem Bruder? 22. Mit welcher Anfangsgeschwindigkeit müsste ein Körper senkrecht in die Höhe geworfen werden, damit er in 4 Secunden eine Höhe von 500 Meter erreiche, wenn der Fallraum eines Körpers in der ersten Secunde 4'9 Meter beträgt? 23. * Wie viel kosten n) 28 Liter ll 48 kr. ? 5) 16 Nieter L 3 fl. 35 kr. ? 24. » 1Z Lu-, kosten 2 fl. 24 kr.; wie hoch kommt 1 K».? 25. * 2z Meter kosten 9z fl.; wie viel kostet 1 Meter? 222 26. * Welches ist das kleinste gemeinschaftliche Vielfache von a) 6 und 15? 5) 12 und 18? o) 16 und 24? 6) 20 und 25? 27. Suche das kleinste gemeinschaftliche Vielfache von a) 4, 5, 10, 12, 15, 36; 6) 2, 5, 8, 11, 15, 21, 72. 28. Berechne die Zinsen von s) 3210 fl. ü 3 °/y vom 5. Febr. bis 30. Juni, b) 2545 „ L 4 °/o „ 17. Mai „ 28. Oct. o) 4080 „ ü 5z °/, „ 26. März „ 9. Juli. 29- Jemand hat ein'Haus, das einen jährlichen Reinertrag von 680 st. liefert, für 10120 fl. angekauft; wie viel "/g trägt ihm sein Capital? 80. Zwei Capitalien, die zusammen 3600 fl. betragen, tragen jährlich 168 fl. Zinsen. Wie groß ist jedes Capital, da das eine zu 5°/y, das andere zu 4°/„ ausgcliehen ist? 31. Wie groß ist eine nach 3 Jahren 9 Monaten zu zahlende Schuld, deren barer Wert bei 4°/g Discont 1080 fl. beträgt? 32. Eine Schuld von 960 fl., nach 6 Jahren fällig, soll sogleich bezahlt werden; wie viel beträgt die Barzahlung bei 5°/„ Discont? 1814z . 100 43z . 32 . 12z 5z . 5737zz' 28z . 28 ' 35- Von der jährlichen Einnahme verwendet -z auf Kost und Kleidung, z auf Wohnung, Heizung und Beleuchtung, mit bestreitet er Nebenbedürfnisse und erspart noch 349 fl. 25 kr. Wie groß ist die jährliche Einnahme? (2x^-)- /3aV 5b^,-- Z"' <4x^s)2 ' (3a-ps)s- 9a?x»/ s s j IS 38- VVl6" - 81» 39. 3^6- . 5^5» . 40- (2^6 -fl 5fl-3 - 7p^2) — 2^3 -fl 4p^2). ^^5-j-2j<3' ^'^3-^2' 44* Wie viel fl. ö. W. betragen nach dem innen: Werte a) 136 Mark, 6) 1315 Mark, o) 83 Mark 72 Pfennige? 45- Wie viel fl. in Papiergeld erhält man bei 3.j°/g Agio für u) 600 fl., i>) 368 fl., 0) 1820 fl., 6) 736 25 fl. Silber? 46- Wie viel fl. in Silber erhält man bei 4°fl für a) 316 fl., 6) 578 fl, 0) 950 fl., 6) 2340 fl. Papiergeld? 47. Welchen Feingehalt in Tauscndtheilen hat eine Mischung, wenn sich unter 20 Lx. Mischung a) 5 LZ-, 6) 8 L§., 0) 15 Lg. feinen Silbers befinden? 48- Ein Silberbarren wiegt 4fl Lx. und enthält Silber ü 750 Tausendtheile fein; wie viel ist er wert, wenn 1 Xu-, feinen Silbers mit 90 fl. bezahlt wird? 223 49. verkauft in Wien folgende Wechsel: a) 3416 Reichsmark auf Berlin a 55.2, b) 5204 Franks auf Paris K 44 8, o) 837 Pfund St. auf London L 114'75; k"? bafür ein, ^°/ao Sensarie gerechnet wird? 50- Die Acticn einer Eisenbahn hatten am 1., 15. und 30. April einen Cours von 112, 116,114ft; wie hoch war ihr Durchschnittscours? .... ol- Wieviel muss man am 12. December für gekaufte 1500 fl. C. M. bohin. Grundcntlastnngs-Obligationen s 10M bezahlen? (Zinsen 57„ seit 1. Nov., Abzug von 10°/, Einkommensteuer.) 52.^4^^ 53 ^-«-3 3^ 03- __ 4 - 3, 9/ — 3x 2x - 12 . 7' - 3- 7H 4 - 1- 54. 5x ft- 1 — Osx ft- v 29 4/- (5x ft- v) - 15x ft- 55.* Die Summe dreier Zahlen ist 500; die zweite ist doppelt so groß als die erste, die dritte doppelt so groß als die zweite. Welche Zahlen sind es? 56- Drei Zahlen sind so beschaffen, dass die Summe der ersten und zweiten 66, die der ersten und dritten 70, und die der zweiten und dritten 76 beträgt. Wie groß ist jede? 57. Suche drei Zahlen von folgender Beschaffenheit: Wird die erste zur 3facheu Summe der übrigen addiert, so erhält man 115; wird die zweite zur 4fachen Summe der übrigen addiert, so erhält man 135; wird endlich die dritte zur 5fachen Summe der übrigen addiert, so erhält Mann 145. 58. Wie lautet die Lösung der vorigen Aufgabe, wenn statt der Zahlen 3, 4, 5, 115,135, 145, allgemein m, n, p>, a, d, o, gesetzt wird ? 59- Von zwei Orten aus, die 81 Kilometer von einander entfernt sind, gehen und L einander entgegen. Geht 3 Stunden früher aus als L, so treffen sie nach 7 Stunden zusammen; geht ö 3 Stunden früher aus, so treffen sie erst nach 8 Stunden zusammen. Wie viel Kilo¬ meter legt jeder in einer Stunde zurück? 60- Wie viel LZ. Korkholz von dem spccifischcn Gewichte 0'25 muss man mit 12 Lss. Eisen von dem specisischen Gewichte 7'9 ver¬ binden, damit der entstehende Körper schwimmen könne, d. i. das specifische Gewicht 1 habe? 61. Verwandle folgende periodische Decimalbrüche in gemeine Brüche: a) 0'36, d) 2'02, o) 0'372, 6) 6 5148; s) 0 86, 1) 0'03, A) 4'3527, 5) 067954. 224 Entwickle abgekürzt auf 3 Decimalen: 62. 95074 . 0 3487. 63 . 4 9728 . 004725. 64. 079596 . 73 804. 65. 256 8735 . 009276. 66. 27 942 : 8-5674. 67- 37 8268 : 0'8927. 68- 5-72876 : 0 0275. 69- 242 87 : 17 384. 70* Wie viel Wasser muss zu 8 Liter Essig L 18 kr. gegossen werden, damit 1 Liter der Mischung noch 16 kr. wert sei? 71- Ein Kaufmann will durch Mischung 640 Liter Spiritus von 75 Grad erhalten; er nimmt zu dieser Mischung 460 Liter zu 80 Grad. Wie viel Grad muss die zweite Sorte halten, die er dazu gießen soll? 72- * Ein Meister hat mit 5 Gesellen eine Arbeit für den Preis von 375 fl. vollendet. Welchen Betrag erhält jeder, wenn auf den Meister 2^mal so viel kommen soll als auf einen Gesellen? 73* Die Zahl 108 soll in drei Theile so gctheilt werden, dass sich der erste Theil zum zweiten wie 3 : 5, und der zweite zum dritten wie 10 : 11 verhält. 74- Bei einem Geschäfte, zu welchem 3500 fl., L 2850 fl., 0 4180 fl. hergegeben hat, werden 11°/„ gewonnen; wie viel gewinnt jeder ? 75. Zu einem gemeinsamen Geschäfte gibt 1250 fl. auf 4 Monate, L 2380 fl. auf 5 Monate, 0 3000 fl. auf 3 Monate und v 2710 fl. aus 10 Monate; der Gewinn beträgt 2188 fl. 48 kr.; wie viel erhält jeder? 76- 1^198025. 77. 1^1292-114916. 78- 1^3163725009. 79. 1^91125. 80. V"49027896. 81- 1^0-428661064. 82. 1^0« - 6a» -j- 11a« - 16a» -j- 31a« — 10a -j- 25). 83. i^(8x« — 36x» -s- 66x« - 63x» -j- 33x° — 9x -j- 1). 84- * Vier gleich große unverzinsliche Beträge sind nach 3, 4, 5, 6 Monaten zahlbar. Nach welcher Zeit können alle auf einmal bezahlt werden? 85- 4196 fl. sollen nach 3 Monaten, 3148 fl. nach 7 Mon. und 1180 fl. nach 14 Mon. gezahlt werden. Wann muss die ganze Summe auf einmal gezahlt werden, wenn weder für den Gläubiger noch für den Schuldner ein Zinsenvcrlust stattfinden soll? 86. hat 500 fl. sogleich, 500 fl. nach 6 Monaten und 500 fl. nach 1 Jahre zu zahlen. Er zahlt aber nach 1 Monate 300 fl., nach 2 Monaten 200 fl. und nach 3 Monaten 100 fl. Wann muss er den Rest entrichten? 87. Jemand bietet für ein Haus 20000 fl., zahlbar nach 4 Jahren; wie groß ist der Barwert dieses Anbotes, wenn man 5"/, Zinseszins und ganzjährige Verzinsung annimmt? 88. Die Einkaufssumme einer Ware beträgt 1573 fl. 20 kr. Wie hoch kommt die Ware zu stehen, wenn 2"/„ Scouto, Sensarie (vom Einkaufspreis), 216 fl. 50 kr. Platzspesen und 2°/, Provision (von der Gesammtauslage) in Rechnung kommen? 225 89.-^_90 , I. x-7-4 X — 5 4' X -i-g ai x -j- 4 4x-j-7, 7-x , 3 9 "x-3^^ 92- VxHT^H) -1 2i, - - , . Ä -f- v 93- Die Kosten einer Reise, welche mehrere Personen unternommen, betragen 432 fl.; da zwei Personen frei gehalten wurden, musste jede der übrigen Personen um 3 Gulden mehr bezahlen. Wie viel Personen nahmen an der Reise Theil? 94- Zwei Boten reisen von zwei Orten, deren Entfernung 84 Kilo¬ meter beträgt, zu gleicher Zeit einander entgegen; der eine braucht zu jedem Kilometer 2^ Minuten mehr als der andere. In wie viel Minuten legt jeder 1 Kilometer zurück, wenn sie sich nach Verlauf von 5 Stunden begegnen? 95. und L verkauften zusammen 100 Meter einer Ware, und zwar der eine mehr als der andere, aber beide nahmen dennoch dieselbe Geldsumme ein. Hätte so viel Meter gehabt als L, so würde er 63 fl. dafür eingenommen haben; hätte L so viel Meter als L. gehabt, so würde er nur 28 fl. dafür erhalten haben. Wie viele Meter hat jeder verkauft? Močnik, Arithmetik für Lehrerbildungsanstalten. 15 Gisfier Abschnitt. Logarithmen. I. Don den Logarithmen überhaupt. ß. 207. Sind der Wert einer Potenz nnd ihre Basis gegeben, so heißt die Rechnungsart, durch welche der Potenzexponent bestimmt wird, das Logarithmieren. Eine Zahl a durch eine andere Zahl l> logarithmieren, heißt den Potenzexponenten suchen, mit welchem l> als Basis potenziert werden muss, um a als Potenz zu geben. Die Zahl i> ist die Grund¬ zahl oder Basis, die als Potenz gegebene Zahl a heißt derLogarith- mand, oder geradezu die Zahl (l^ninoi-ns), und der gesuchte Potenz¬ exponent der Logarithmus. Ist — a, so ist n der Logarithmus der Zahl a für die Basis d; man hat dafür die Bezeichnung: 2 — IvAb a. Werden die Logarithmen durchgängig auf eine bestimmte Basis d bezogen, so schreibt man statt des letzten Ausdruckes kürzer n — Io§ a, wobei die Basis K als bekannt vorausgesetzt wird. Z. B. 10° - 1, 10- - 100, 10» - 1000, 10"° - 0-01, . .. Nimmt man daher 10 als Basis an, so ist lox 1-0, ioK 100 - 2, lox 1000 - 3, Io§ 0 01 - — 2, . - - Sowohl Logarithmand als Basis müssen unbenannte Zahlen sein. Das Logarithmieren ist eine zweite Umkehrung des Potenzierens. Dass dem Potenzieren zwei wesentlich verschiedene Umkehrungen, das Radicieren und das Logarithmieren entsprechen, während sowohl das Addieren als auch das Multiplicieren nur eine Rechnungsart als Umkehrung hat, ist eine Folge davon, dass sich beim Potenzieren die zwei gegebenen Zahlen ohne Änderung des Wertes nicht vertauschen lassen, dass nämlich im Allgemeinen s? von verschieden ist. Z. 208. Aus dem Begriffe eines Logarithmus folgt: 1. Der Logarithmus der Basis in Bezug auf diese Basis selbst ist immer gleich 1. Ist die Basis, so ist lox - 1, weil 1U — ist. 2. Der Logarithmus von 1 ist für jede Basis gleich 0- Es ist k° - 1, daher locx 1-0. 3. Für dieselbe Basis gehören zu gleichen Zahlen auch gleiche Logarithmen; und umgekehrt: zu gleichen Logarithmen gehören auch gleiche Zahlen. 227 4. Für eine Basis, welche größer als 1 ist, gehört zu der größeren Zahl auch ein größerer Logarithmus; und um¬ gekehrt: zu dem größeren Logarithmus gehört auch eine größere Zahl. (- 10)- - - 10, (- 10)° - 100. (- 10)» - - 1000, (- 10)4 10000, Z. 209. Der Inbegriff der Logarithmen der in natürlicher Ordnung auf einander folgenden Zahlen für eine bestimmte Basis bildet ein loga¬ rithmisches System. Eine negative Zahl kann nicht die Basis eines Logarithmensystems sein, weil sich durch ihre auf einander folgenden Potenzen nicht alle möglichen Zahlen darstellen lassen. Wollte man z. B. — 10 als Basis annehmen, so hätte man (- 10)° -- I, (- io)' - V^io, 1 s (— 10) - 10° -- s (— 10) - — 107, u. s. w. Man sieht, dass, während man die Exponenten allmälig wachsen lässt, die entsprechenden Potenzen keinem bestimmten Bildungsgesetze unter¬ liegen, sondern bald positiv, bald negativ, bald reell, bald imaginär aus¬ fallen; auch ist ersichtlich, daß sich z. B. die Zahlen 10, 1000 . . . durch keine Potenz von — 10 darstellen lassen. Auch die Einheit eignet sich nicht als Basis eines Systems, weil jede Potenz von 1 wieder 1 ist. Nur eine positive, von der Einheit verschiedene Zahl kann also als Basis eines Logarithmensystems angenommen werden. Da jede ganze oder gebrochene, positive oder negative Potenz einer Positiven Zahl stets ein positives Resultat gibt, so folgt, dass die Loga¬ rithmen n e g a ti v er Zahlen nicht reell ausfallcn können, sonnt imaginär sind. Wenn bei Rechnungen, die man mit Hilfe der Logarithmen aus- sührt, negative Zahlen Vorkommen, so betrachtet man sie während der Rechnung als absolute Zahlen, und berücksichtigt ihre Vorzeichen erst bei der Bestimmung des Vorzeichens in dem Resultate. Im Gebrauche sind nur zwei logarithmische Systeme, nämlich das gemeine oder Brigg'sche für die Basis 10, und das natürliche oder Nep er'sche für die irrationale Basis 2'718281828 . . . Alkgemeine Sätze über die Logarithmen. §. 210. 1. Der Logarithmus eines Productes ist gleich der Summe aus den Logarithmen der Factoren. Beweis. Es sei für die Basis b 1o^ U — m, loA - u, IvA k — p, so ist N -- k - b->. 15* 228 Multipliciert man diese drei gleichen Ausdrücke, so ergibt sich UM - Die Basis l> muss also zur Potenz na -s- u -s- x erhoben werden, um die Zahl LM? zu geben, also ist m -s- u -s- p der Logarithmus von UM, folglich Iv§ UM — na -s- u -s- p, oder, wenn man für m, n, x> ihre Werte setzt, IvA UU'k — 1oK U -s- IvK U -s- IOK k. Z. B. loA 3ab> — IoK 3 -j- lo^ a -j- IvA tz. IvK 6 — lo^ 2 -j- IvA 3. Io^ 15 — IoA 3 -s- IvA 5. IoK 30 — IvK 2 -s- IvA 3 IoK -Z 5. Wenn für eine Basis die Logarithmen aller Primzahlen bekannt sind, so lassen sich daraus durch bloße Addition auch die Logarithmen aller zusammengesetzten Zahlen ableiten. 2. Der Logarithmus eines Bruches (Quotienten) ist gleich dem Logarithmus des Zählers weniger dem Logarithmus des Nenners. Beweis. Es sei für die Basis b IoK U — na, IvA X — n; so ist U - — b°, daher durch die Division U folglich IoK — m — n — lo^ U — IoK 20 Z. B. A INK 29 - lox 31. IvK 35 29 - IvA - loss 3529 — 100. Ivss (u Z- 5) — IvA (a — 5). 3. Der Logarithmus einer Potenz ist gleich dem Loga¬ rithmus der Basis multipliciert mit dem Potenzexpo¬ nenten. Beweis. Es sei 5 die Basis und lo^ U — na, so ist U — erhebt man jede dieser gleichen Größen auf die pte Potenz, so erhält man Ur> — ia^p, woraus IoA Ur — nap> — p IoK U folgt. A. B. Io§ 8^-3 IoA 8. (2a)^ — 3 IoA 2a, — 3 (IvA 2 -s- lo^ a). IvK 2s. IvK 2 -s- IvA — lo^ 2 -j- 3 IvA a. 229 4. Der Logarithmus einer Wurzel ist gleich dem Loga¬ rithmus des Radicands dividiert durch den Wurzelex¬ ponenten. Beweis. Es sei für die Basis b, log N — in, also N — i)°>, so ist V"Ll - l>^, daher - !L -- Z B. ^7» - . 230 n. Won den Brigg'schen Logarithmen. Eigenschaften der Arigg'schen Logarithmen. Z. 211. Unter dem Brigg'schen Logarithmus einer Zahl ver¬ steht man den Potenzexponenten, mit welchem man die Basis 10 poten¬ zieren muss, um die vorgelegte Zahl als Potenz zu erhalten. In dem Brigg'schen Systeme ist 10° — 1 daher IoA 1 — 0; Aus dieser Darstellung folgt: 1. Im Brigg'schen Systeme sind nur die Logarithmen der dekadischen Einheiten ganze Zahlen. Die Logarithmen aller übrigen Zahlen liegen zwischen 0 und 1, zwischen 1 und 2, 2 und 3, u. s. w.; sie sind irra¬ tionale Zahlen und werden näherungswcise durch Decimalbrüche aus¬ gedrückt. Ein Brigg'scher Logarithmus besteht daher im Allgemeinen aus Ganzen mit angehängten Decimalziffern. Man nennt die Ganzen eines solchen Logarithmus die Charakteristik oder Kennziffer, die Decimalstellen die Mantisse. 2. Die Charakteristik des Logarithmus einer ganzen Zahl ist um 1 kleiner als die Anzahl der Ziffern. Denn: Jede einziffrige Zahl liegt zwischen 1 und 10; der Logarithmus von 1 ist 0, der Logarithmus von 10 ist 1; der Logarithmus einer ein- ziffrigen Zahl liegt also zwischen 0 und 1, ist also 0 Ganze mit darauf¬ folgenden Decimalen; somit ist die Charakteristik 0. Jede zweiziffrige Zahl liegt zwischen 10 und 100; lorx 10 — 1, IoK 100 — 2; folglich liegt der Logarithmus einer zweiziffrigen Zahl zwischen 1 und 2, und hat also 1 zur Charakteristik, u. s. w. 3. Die Logarithmen aller Zahlen, welche größer als 1 sind, sind positiv; für alle positiven Zahlen, welche kleiner als 1 sind, ist der Loga¬ rithmus, also dessen Charakteristik und Mantisse negativ. Negative Mantissen pflegt man übrigens in der Rechnung zu beseitigen; man führt statt derselben positive Mantissen mit einer negativen Charakteristik ein, indem man den negativen Logarithmus von einer Zahl subtrahiert, die um 1 größer ist als die Charakteristik, wodurch eine positive Mantisse zum Vorschein kommt, und dann diese um 1 größere Zahl als negative Charakteristik hinter die Mantisse setzt. Z. B. — 2 34567 - 3 — 2'34567 —3 - 0'65 433 —3. 231 ß. 212. Wenn man irgend eine Zahl mit einer Potenz von 10 multipli eiert oder durch eine Potenz von 10 dividiert, so wird dadurch in ihrem Brigg'schen Logarithmus nur dre Charakteristik geändert, während die Mantisse die¬ selbe bleibt. Beweis. Es ist ioA (a . 10°) — ioZ- a -j- log- 10° — log- a -j- n, M — Io§ a — IvK 10° — IoK s, — o. Es wird also der Logarithmus von a um die ganze Zahl n im ersten Falle vermehrt, im zweiten vermindert, d. h. erhält eine andere Charak¬ teristik, während die Mantisse ungeändert bleibt. Man sieht, dass hier die Mantisse stets dieselbe bleibt und nur die Charakteristik geändert wird, und zwar, dass letztere für jede Zahl dem Exponenten derjenigen Potenz von 10 gleich ist, welche den Rang der höchsten Ziffer ausdrückt. Daraus folgt: 1. Die Charakteristik des Logarithmus einer Zahl ist gleich dem Rangexponenten der höchsten geltenden Ziffer dieser Zahl. 2. Die Mantisse eines Logarithmus hängt bloß von der Ziffern¬ folge der gegebenen Zahl ohne Rücksicht auf deren Rang ab, so dass alle Zahlen, welche sich nur in der Stellung des Decimalpunktes unter¬ scheiden, dieselbe Mantisse haben. Logarithmentafeln. ß. 213. Man hat die Logarithmen aller vier- oder fünfziffrigen ganzen Zahlen mit fünf, sechs oder sieben Decimalstellen in besonderen Tabellen, welche Logarithmentafeln heißen, zusammengestellt. Diese enthalten nur die Mantissen der Logarithmen, weil die Charakteristik in jedem Falle nach Z. 208, 1 leicht bestimmt werden kann. 232 In den kleineren Logarithmentafeln sind nur die Mantissen vier- ziffriger Zahlen, und zwar mit fünf oder sechs Decimalstellen enthalten. Für die meisten praktischen Rechnungen genügen fünfstellige Logarithmen vollständig. Mit Hilfe solcher Tafeln findet man durch ein ganz einfaches Ver¬ fahren zu jeder Zahl den entsprechenden Logarithmus, und umgekehrt zu jedem gegebenen Logarithmus die zugehörige Zahl. *) 1. Zu einer gegebenen Zahl den zugehörigen Loga¬ rithmus zu finden. Mau suche aus den Tafeln zu der gegebenen Ziffernfolge die Man¬ tisse und setze als Charakteristik den Rangexponenten der höchsten bedeu¬ tenden Ziffer. u) Ist die gegebene Zahl vierziffrig, so sucht man die ersten drei Ziffern in der ersten Spalte links auf und geht von da in derselben Zeile in diejenige Spalte hinein, welche oben und unten die vierte Ziffer als Aufschrift hat; hier findet man die letzten drei Mantisfenziffern. Die ersten zwei Ziffern stehen in der mit 0 bezeichneten Spalte, und zwar in derselben Zeile, oder etwas weiter oben, oder auch, wenn sich vor der ersten der drei Mantissenziffern ein Sternchen befindet, in der nächstfolgenden Zeile. So findet man z. B. Io§ 5134 - 3-71 046 los 0 5375 - 0 73 038 - 1 Io§ 528-9 - 2-72 337 loz- 0-05497 - 0 74 013 — 2. 5) Hat die gegebene Zahl weniger als vier Ziffern, so denkt man sich ihr so viele Nullen hinzugefügt, dass man eine vierziffrige Zahl erhält. Ist z. B. der Logarithmus von 38 zu suchen, so nimmt man die Mantisse von 3800. o) Enthält die gegebene Zahl fünf oder sechs Ziffern, so ent¬ nehme man aus den Tafeln nach a) zu den ersten vier Ziffern die zugehörige Mantisse und bestimme die Differenz zwischen dieser und der nächst größeren Tafelmantisse. Dann suche man aus den rechts stehenden Hilfstäfelchen unter jener Differenz die Differenztheile für die 5te und 6te Ziffer der gegebenen Zahl und addiere sie zu der bereits gefundenen Mantisse. Z. B. IvK 215-87 - 2-33405 los 7 24638 - 086 010 Diff. 20 7 .... 14 "Diff. 6 3 .... 1 8 2-33419 8 .. . .0 5 0-86 012 *) Eine ausführliche Belehrung über die Einrichtung und den Gebrauch solcher Tafeln findet man in der Einleitung zu den von mir herausgegebenen fünf¬ stelligen Logarithmen tafeln zum Sch ulgebrauche. Wien, bei Gerold. 233 2. Zu einem gegebenen Logarithmus die zugehörige Zahl zu finden. Man suche aus den Tafeln zu der Mantisse die entsprechende Ziffern- folge und bestimme den Stellenwert dieser Ziffern, indem man der höchsten Ziffer denjenigen Rang gibt, den die Charakteristik anzeigt. Die ersten zwei Mantissenziffern sucht man in der mit 0 bezeichneten Spalte, die letzten Mantissenziffern aber in derselben oder in einer der nächst folgenden Zeilen, oder auch in den mit einem Sternchen bezeichneten Stellen der nächst vorhergehenden Zeile. a) Sind die Mantissenzisfern in der Tafel genau enthalten, so entnehme man die ersten drei Ziffern der gesuchten Zahl aus der ersten Spalte links in jener Zeile, in welcher die letzten Mantissenziffern gefunden wurden, die vierte Ziffer aber aus der obersten oder untersten Zeile in der Spalte, in welcher jene Mantissenziffern stehen. Z. B. log- x - 2-91046 los I - 0-90811 — 2 x - 813-7 - 0-08093. l>) Ist die gegebene Mantisse in der Tafel nicht g en au enthalten, so suche man die nächst kleinere Mantisse, welche in der Tafel steht, und bestimme nach s.) die ihr zugehörige vierziffrige Zahl; diese gibt die ersten vier Ziffern der gesuchten Zahl. Sodann suche man sowohl die Differenz der beiden Tafelmantissen, zwischen denen die gegebene Mantisse liegt, als auch den Unterschied zwischen der gegebenen und der aus der Tafel ent¬ nommenen nächst kleineren Mantisse, und bestimme aus den Hilfstäfelchen zu den Differenztheilen, welche der letztere Unterschied angibt, für die erhaltene Tafeldiffercnz die entsprechende fünfte und sechste Ziffer. Z. B. log- u - 0-88 016 — 1 los- b - 2-50 729 013. . .7588 718. .3215 Diff. 5 3.6 11 u 0-75886" 9 8. . . 7 12. . . .9 b - 321579. Rechnungsopcraironeil mit Logarithmen. 8. 214. In Beziehung aus das Rechnen mit Logarithmen hat man im Allgemeinen dieselben Regeln zu beobachten, wie für dekadische Zahlen überhaupt; nur hat man dabei noch Folgendes zu berücksichtigen: 1. Erhält man beim A d d i e r e n der Logarithmen zwei Charakteristiken, eine positive und eine negative, so werden diese in eine einzige zusammen¬ gezogen. Z. B. 2-27 056 008 341 - 1 0 62 279 - 2 2^97 676^3"- 097 676 - 1 234 2. Ist beim Subtrahieren der Minuend kleiner als der Sub¬ trahend, so addiere man, um im Reste eine negative Mantisse zu ver¬ meiden, zu dem Minuend so viele positive Einheiten, dass er größer wird als der Subtrahend und setze dann auch als Charakteristik des Restes so viele negative Einheiten. Z. B. -st 2 — 2 2-65 348 4-07 513 0-57 835 — 2. 3. Wird ein Logarithmus mit negativer Charakteristik mit einer Zahl multipliciert, so muss im Producte die neue negative Charakteristik mit der etwa erhaltenen positiven zusammengezogen werden. Z. B. (0-931147 - 2) X 5 - 4 655735 — 10 - 0 655735 - 6. 4. Ist ein Logarithmus mit negativer Charakteristik durch eine Zahl zu dividieren, so muss die negative Charakteristik, wenn sie durch diese Zahl nicht theilbar ist, um so viele Einheiten vergrößert werden, dass sie dadurch theilbar wird; eben so viele Einheiten müssen aber dann auch als Ganze zu der positiven Mantisse gesetzt werden. Dadurch wird eine ge¬ brochene Charakteristik vermieden. Z. B. (0 47 532 - 3) : 4 - (1'47 532 — 4) : 4 - 0-36 883 - 1. Anwendung der Arigg'schen Logarithmen. H. 215. Durch die allgemeinen Sätze, die in H. 210 entwickelt wurden, ist man im Stande, die Multiplication in eine Addition, die Division in eine Subtraction, das Potenzieren in eine Multiplication und das Radi- cicrcn in eine Division zu verwandeln. I. Hat manzwei oder mehrere Zahlen zu multiplicieren, so nimmt man ihre Logarithmen und addiert sie; die Summe ist der Loga¬ rithmus des Productes; sucht man daher zu jenem Logarithmus die ent¬ sprechende Zahl, so ist diese das verlangte Product. Z. B. x - 2-1345.3-8902.0 7849. 2-1345 - 0-32 930 IvK 3-8902 - 0-58 997 0-7849 - 0-89 481 — 1 IvK x - 0-81 408H^ 0 65174 x - 0-65174. 2. Sollen zwei Zahlen mit Hilfe der Logarithmen dividiert werden, so zieht man den Logarithmus des Divisors von dem Logarithmus des Dividends ab; der Rest ist der Logarithmus des Quotienten; sucht man zu diesem Logarithmus die zugehörige Zahl, so hat man den ver¬ langten Quotienten. Z. B. 235 a) x - 7 6912 : 218'87 -1-2 - 2 Ivx 7 6912 - 0-88 594 Io§ 218-87 2-34 019 Ivss x — 0 54 575 — 2 - los- 0 03514 x - 0 03514. 3-4156.4023 '1-2378.5'8709 - loZ- x - Iox 3-4156 -st log- 4 023 — (los 1'2378 -4- los 5'^ lo§ 3 4156 - 0-533 47 log- 4 023 - 0-604 55 1-138 02 log- 1-2378 - 0 092 65 log- 5-8709 - 0-768 71 log- x - 0 276 66 log- 1'8909 x - 1-8909. 3. Wenn eine Zahl zu einer Potenz erhoben werden soll, so suche man den Logarithmus dieser Zahl, und multipliciere ihn mit dem Potenzexponenteu; das Product stellt den Logarithmus der gesuchten Potenz vor; um diese selbst zu erhalten, suche man zu jenem Logarithmus die entsprechende Zahl. Z. B. x - Id». los 1-05 - 002119 -x 20 los x - 0-42 380 - log- 2'6533 x - 2-6533. 4. Um aus einer Zahl eine bestimmte Wurzel auszu¬ ziehen, suche man den Logarithmus dieser Zahl, und dividiere ihn durch den Wurzelexponenten; der Quotient ist der Logarithmus der verlangten Wurzel; nimmt man die diesem Logarithmus entsprechende Zahl, so hat man die Wurzel selbst. Z. B. s u) X — 1^50. log- 50 — 1'69 897 los x - 0-28 316 - log- 19194 x - 1'9194. s s b) x-1/^2^3 V 2 ^18 logx - j 2 log 1'052 -j- log 23 — (log 2 -st log 18)1 236 los- 1-052 - 0-02 202 2 los 1052 - 0-04 404 los 23 - 1-36 173 4 log- 23 - 0 68 086 0 72 490 los 2 - 0-30 103 los 18 - 1-25 527 z loK 18 - 0-41 842 0 -00 545 . g los x - 0 00 061 log- 1'0014 x - 10014. Z. 216. Eine vortheilhafte Anwendung finden die Logarithmen auch bei den Zinseszinsrcchnungen. Heißt s der Endwert, zu dem ein zu auf Zinseszinsen ange¬ legtes Capital s. bei ganzjähriger Verzinsung nach n Jahren anwächst, so hat man (Z. 145) — ,, , p 4^ s - u (1 -s- ioo) - Nimmt man von beiden. Theilen dieser Gleichung die Logarithmen, so ergibt sich IOK o - lo^ a -j- n loA (1 -si 1^-), und hieraus loss u - IvK 6 — n lvK (1 -s- 1 , p X los o — los L a -i- "" o ' IoA o - log- Ä ° - -°-- <- L) Aus diesen vier Gleichungen kann, wenn von den Größen a, s, p, n drei gegeben sind, die vierte bestimmt werden. Geschieht die Verzinsung halbjährig, so muss statt x und n bezüglich und 2n gesetzt werden. Beispiele. 1) Zu welcher Summe wächst ein Capital von 1300 st. in 25 Jahren mit Zinseszinsen zu 4°/„ an? s - 1300.104-s. los 104 - 001 703 25 los 104 - 0-42 575 log- 1300 - 3-11 394 los o - 3-53 969 IoK 3465 s - 3465 fl. 237 2) Welches Capital wächst in 10 Jahren mit Zinseszinsen zu 5°/» bei halbjähriger Verzinsung auf 2000 fl. an? 2000 - 1-025«°' log 2000 - 3-30 103 log 1025 - 001 072 20 log 1-025 - 0-21 440 log n 3-08 663 - log 1220'75 n - 1220'75 fl. 3) Zu wie viel °/„ müssen 614 fl. 19 Jahre lang auf Zinseszinsen ausgeliehen werden, um auf 1859 fl. anzuwachsen? loc, s 1 H 1859 — log 614 " 100/ " 19 log 1859 - 3 26 928 log 614 - 2-78 817 0-48 111 . log- ^1 Z- - 0 02 532 - log 1'06 1 fl- ^0 - 106, daher x - 6°/o- 4) Wie lange müssen 2518 fl. zu 5°/„ Zinseszinsen anliegen, um auf 4522 fl. anzuwachsen? log 4522 - log 2518 " - log 105 " ' log 4522 - 3 65 553 log 1'05 - 0-02 119 log 2518 - 3-40106 0-25447 : 0'02119 - 12 Jahre. Aufgaben. 238 35. 3-15 594. 38. 0 64 018 — 1. 41- 2-60 555. 44. 0-39 094 — 2. 47. 0-73 280 — 1. 50- 1-66 246. 53- 0-72 421 — 2. 34- 3-59 605. 37. 0-76 027. 40- 1'36 544. 43- 3-89 763. 46- 2-30 852. 0-41 582. 4-38 368. 49. 52- Suche zu folgenden Logarithmen die zugehörigen Zahlen: 36- 2-94 468. 39- 0-97 007 — 2. 42. 0-46 318 — 1. 45. 0-88 226. 48- 107 365. 51. 0 01 923. 54. 1'83 378 — 3. 55- 57. 56- 8-57353.0 72985. 58. 37-8946.001897.0'5764. Berechne mit Hilfe der Logarithmen folgende Ausdrücke: 1'2345 . 1-5432. 1-025.1079.0-5628. o - 3-159. 239 96- Zu welcher Summe wächst ein Capital von 860 fl. in 15 Jahren mit Zinseszinsen zu 4so/o an? 97- Jemand legt 1600 fl." in eine Sparcasse, welche die Einlagen zu 5°/° und zwar halbjährig verzinset, ein; nach 10 Jahren behebt er das Capital sammt Zinseszinsen; wie groß ist die Summe? 98. Ein Wald enthält jetzt 35800 Cubikmeter Holz; der jährliche Zuwachs beträgt 2i-°/„. Welches wird sein Holzbestand nach 12 Jahren sein? 99. Ein Capital von 9000 fl. ist nach 10 Jahren unverzinslich fällig; wie groß ist sein Barwert, wenn Zinseszinsen zu 5°/g gerechnet werden? 100. Für ein durch 9 Jahre zu 4^°/» Zinseszins angelegtes Capital erhielt man 5234 fl. ; wie groß war das Anfangscapital? 101- Eine Stadt zählt gegenwärtig 36230 Einwohner; wie groß war die Bevölkerung vor 30 Jahren bei einer jährlichen Zunahme von 2°/, ? 102- Ein Capital von 7537'8 fl. wächst in 20 Jahren mittelst Zinseszinsen auf 20000 fl. an; zu wie viel war es verzinset? 103. Jemand borgt einem andern 250 fl. auf 3 Jahre, ohne Zinsen zu fordern, lässt sich jedoch dafür einen Schuldschein von 300 fl. ausstellen. Wie viel "/„ hat er genommen, wenn man Zinseszinsen rechnet? 104. In wie viel Jahren wächst ein Capital von 500 fl. mit Zinses¬ zinsen g. 5"/g aus 3041 fl. an? 105. In welcher Zeit verdoppelt sich ein Capital zu 4^"/o Zinses¬ zins und bei halbjähriger Capitalisierung? HI. WiederhMngsaufgaöen. 1* Welches ist das größte gemeinschaftliche Maß von a) 8 und 12, 5) 15 und 40, o) 20 und 44, ä) 32 und 48? 2. Suche das größte gemeinsch. Maß von a) 465 und 589, b) 612 und 1080, o) 6s79 und 9159, cl) 93345 und 165375, s) 168, 312 und 504. 3. * Wie groß ist die Summe aus dem 4fachen von 2§ und dem 5fachen von 31? . , , 4. * Um wie viel ist das 3fache von 5z kleiner als das 5fache von 71- ? 5. 8642E-P- X 4- 19371". X 255^. 6. 4751sz» X 57izzz - 3640-zz X 460^. 240 10.9 10.9.8 10.9.8.7 ,10.9.8.7.6 7.I-1O-i- i 2 1.2.3 1.2.3.4 "'1.2.3.4.5 8.* 15 Meter kosten 69 fl.; wie viel 65 Meter? g. Aus einer Röhre fließen in 4ff Minuten 98 z Liter Wasser; wie viel Liter fließen aus derselben Röhre rn 45'2 Minuten? 10. Wien hat 14° 2^ 36", Berlin 11° 2^ 30" östlicher Länge von Paris; wie viel Uhr ist es in Wien, wenn in Berlin Mittag ist? 11. Wenn 5z Stück einer Ware, von der jedes Stück 18 Meter¬ lang und Iff Meter breit ist, 742 fl. 30 kr. kosten; wie viel kosten 12§ Stück von einem gleichwertigen Stoff, von welchem jedes Stück 25 Meter lang und 1! Meter breit ist? Bestimme auf drei Decimalen u) durch abgekürzte Multiplikation oder Division, ir) mit Hilfe der Logarithmen, folgende Ausdrücke: 12. 54832 . 7-519. 13 . 6 9754 . 0'2844. 14. 304-279 . 00532. 15. 1'065 . 1052 . 10475. 83-423 3-7936 08464 Io- 31-586 ' 13-859' 000163' 3478 . 0 07643 403 . 7'19 . 12'0795 4091 . 0 08251' 378 . 8'23 . 15'6324' 21. * Nimmt man mir von meinem Gelde die Hälfte und ein Mertel desselben, so bleiben mir noch 15 fl. übrig. Wie viel Geld habe ich? 22. 8z -ff 2-2 X - -ff /x -ff 1 I i3x — 1 s 3x -ff 3 5x -ff 2 23. ,-g— -ff 3^ - -3^ - -Z"- 8x-ff2^ -2x-1 3x -ff 2 x - 2 " 3x - 6 5x - 10' 5x-ff5 , , 6x -ff 12 , 2x - 5 , 5x — 2 x ff- 2 " x -ff 3 ' 7 - 7 - » ' 7x - 3' 27. V2x -ff - 6. 28. V^x - 3 ff- 2 - x^3. 29-* Theile die Zahl 76 so in zwei Theile, dass der größere 4 mehr als das doppelte des andern betrage. 30.* Mer Personen theilen 2000 fl. so, dass z vom Antheile des 0, 0 z von dem des v, und I) 2 der ganzen Summe erhält. Wie groß ist der Antheil eines jeden? 31- In einer Schule von 178 Schülern sind in der zweiten Classe 5 Schüler mehr als in der ersten, in der dritten 9 weniger als in der zweiten, in der vierten 7 weniger als in der dritten. Wie viel Schüler sind in der ersten Classe? 32. Von zwei Spielern hatte 4mal so viel Geld als L. Nachdem aber an L 5 fl. verloren hat, hatte nur noch 3mal so viel als L. Wie viel Geld hatte jeder am Anfänge des Spieles? 241 33- Eme Gesellschaft soll eine bestimmte Summe durch qleich Hobe Verträge aufbringen. Zahlt jeder 600 st., so kommen dadurch 900 fl. zu wenig zusammen; zahlt jeder 700 fl., so kommen 300 fl. mehr zusammen als nöthig ist. Aus wie viel Personen besteht die Gesellschaft, und wie groß ist die aufzubriugende Summe? 7i> _ 2a, -st Z st 3x — 8 4x — 5 2u - 3i> 5g- 76' ^0- - 3 5x^4' 36 5a -s- Z — 2u — 17 u — 2 g, — 3 s,^ — 5g-j-6' 37. * Wie viel beträgt die Versicherungsprämie L 2^°/„„ von a) 3500 fl., 5) 8250 fl., e) 4750 fl., ä) 6300 fl.? 38. Wenn der Weizen im Preise um 28°/g höher steht als der Roggen; um wie viel °/„ steht dann der Roggen tiefer als der Weizen? 39. Es werden 7 Fass Wein st 10 Hektoliter zu 29 fl. per Hektoliter auf 2 Monate Zeit gekauft; wie viel muss man contant zahlen, wenn 6^°/o Jahres-Sconto gerechnet wird? 40. Auf eine von Triest nach Smyrna bestimmte Ware im Werte von 9108 fl. wird die Assecuranz gegen Secgefahr mit 2^°/g berechnet. Wie hoch beläuft sich die Prämie, wenn die Provision die Sensarie L"/.,» beträgt? 41. * Welches Capital gibt an jährlichen Zinsen u) 30 fl., 45 fl., 52 fl., 75 fl., 124 fl. L 5°/„? 5) 16 fl., 20 fl., 42 fl., 65 fl., 170 fl. st 4°/, ? 42. Jemand leiht 480 fl. zu 5°/, aus und zieht die jährlichen Zinsen sogleich ab. Um wie viel kommt der Schuldner zu Schaden? 43- 41 hatte an L zu zahlen: am 15. Juli 2340 fl. 58 kr.; am 20. Sept. 1547 fl. 83 kr.; dagegen hatte L an zu zahlen: am 18. October 3104 fl. 75 kr. am 10. December 873 fl. 6 kr. Am 31. December wird die Abrechnung vorgenommen; welcher von beiden, und wie viel ist er dem andern schuldig, wenn die Zinsen zu 6°/„ gerechnet werden? 44. Jemand erhält von seinen Capitalien 2392 fl. jährliche Zinsen; 1 derselben waren zu 5"/„, i zu 6"/„ angelegt. Wie groß ist die ganze Capitalsumme? 45. Ein Landmann kauft eine Wiese für 832 fl. zahlbar nach 2 Jahren; wie viel muss er bei 6"/„ Discont sogleich bar bezahlen. 46. Jemand hatte nach 4 Jahren eine Schuldforderung zu empfangen; wie groß war dieselbe, wenn ihm bei barer Bezahlung gegen 6 /„ Dis¬ cont 144 fl. abgezogen wurden? 47 /x" j v -st bst- —1>°j 'fx—a/- 4o-s25x2j Mo cnr'k, Arithmetik für Lehrer-Bildungsanstalten. 5X^4 i» I X^3 / ' 16 242 50. iM 51- 52. V 361 3^2x . 1^x 53. (^5 Z- ^10 -j- 1^15)-. 54- (1 - 2^2 -j- 3^8--. 3^3 — 2^2 2 o»- -^3 ^2 ' oo- 3- 57* Wie viel wird gewonnen: s) "an 250 fl. bei 20°/„ 6) a« 168 fl. bei 25°/,. o) an 516 fl. bei 16^°/,? 58- Eine Handelsgesellschaft hat ein Capital von 50000 fl. angelegt und davon eine Jahreseinnahme von 5870 fl. erzielt. An Steuern sind und für sonstige Auslagen der Einnahme zu zahlen. Wie viel °/, beträgt der Gewinn? 586. Ein Geschäftsmann berechnet den Erzeugungspreis einer Ware, wie folgt: Rohmaterial 4-8 fl., Arbeitslohn 1'6 fl., für die Ge schäftsleitung 4°/, und für die Verzinsung des Betriebscapitals 6°/, der Barauslagen. Wie thcuer muss er die Ware verkaufen, wenn er 8°/» gewinnen will? 59- Wenn man eine Ware für 120 fl. verkauft, so verliert man 15°/,; wie theuer muss man sie verkaufen, um 15°/, zu gewinnen? 9x° x° 26x^ 53x° 2x" 20x „ " 16?° - 2v-- " 9^ ' 6v-- ^3^- " V s . /1"^ . 6x . 15x^ 10x° 45x^ 27x^ 27x°Z 61- n- A "2a? " a» "2Ü° " 8u^/ 62. 1^37636. 63. V29844369. 64- 1^000367236. 65. '/'57 l787. 66. 1^751-089429. 67- 1^164206490176. Bestimme auf vier Decimalen a) nach dem Radicationsverfahren, 6i mit Hilfe der Logarithmen, folgende Wurzeln: 68- 1^2. 69. 1^25. 70. 1^578. 71- 1^384. 3 s z z " 72- 1^5. 73- 1^008. 74. 1/72-9. 75- 76- Von 1800 fl. soll § und noch 1^°/„ L /2 und 2°/» und 0 den Rest bekommen; wie viel wird jeder erhalten? 77- * Zu einem Geschäfte gibt L. L und 0 den Rest des erforderlichen Fondes. Sie gewinnen zusammen 720 fl.; wie viel erhält jeder? 78- In einem Geschäfte gewannen und L zusammen 5950 fl. Wie war diese Summe zu vertheilen, wenn sich ihre Einlagen wie 2 : 3 verhielten, aber für die Leitung des Geschäftes noch i mehr erhalten sollte, als ihm nach seiner Einlage zufiel? 79. Die Einlagen dreier Kaufleute verhalten sich zu einander wie x - Wie viel erhält jeder von dem 3311 fl. betragenden Gewinne, wenn die Zeitdauer der Betheiligung im Verhältnis 6:7:8 steht? , 80-* In welchem Verhältnisse muss man Spiritus L 60 Grad und ü 45 Grad mischen, um Spiritus ä 50 Grad zu erhalten? 243 . 81- Wie viel Wasser muss man zu Spiritus ä 56 Grad scheu, damit der Gehalt um 6 Grad fällt? 82. Man will aus Weizen und Korn ein Gemenge von 27 Hekto¬ liter machen, wovon das Hektoliter 76 Kg. wiegt: wie viel von'jeder Getreideart ist dazu zu nehmen, wenn 1 Hektoliter Weizen 78, 1 Hcktol Korn 72 LZ. wiegt? 83. 27x -j- 16)' - 452, 84- x -j- - 30 — 16-, 18x — 88 -j- 16v. x v z-i- 12- i- 85. u (x —)-) -j- 6 (x 4- )') - 0. x -s- )- (x -fl )-) (s - — 6«) - 2a. .j — x - 8^. 86- Die Altersjahre des Großvaters und Vaters sind zusammen 112, des Vaters und Sohnes 46, des Großvaters und Sohnes 82. Wie alt ist jeder? 87- Es sollen drei Zahlen von solcher Beschaffenheit gefunden werden, dass die zweite durch die erste dividiert 2 zum Quotienten und 7 zum Reste, die dritte durch die zweite dividiert 2 zum Quotienten und 1 zum Reste gibt und dass die Summe der drei Zahlen 85 ist. 88. und L legen zu einem Geschäfte eine Summe Geldes ein. Hätte 5000 fl. mehr gegeben, so wären ihre Einlagen gleich gewesen: hätte L 5000 fl. mehr gegeben, so wäre seine Einlage doppelt so groß gewesen als die des Wie groß ist die Einlage eines jeden? 89- Ein Capital wächst in 3j Jahren mit den einfachen Zinsen auf 2814'24 fl. an; in 5 Jahren würde dasselbe auf 3013'5 fl. anwachsen. Wie groß ist das Capital und zu wie viel °/„ ist cs angelegt? 90. Jemand hat zwei Sorten Silber. Legiert er 7 z Kg. der ersten und 2z Kg. der zweiten Sorte, so erhält er Silber von 880 Tausend- theilen"Gehalt; legiert er aber 4z Kg. der ersten und 5 z Kg. der zweiten Sorte, so wird die Mischung 8Ä)haltig. Welchen Gehalt hat jede Sorte? 91. Ein Zug legt in einer bestimmten Zeit eine gewisse Strecke zurück. Würde er in jeder Stunde 3z Kilometer mehr zurücklegen, so brauchte er für dieselbe Strecke z Stunde weniger; würde er aber in jeder Stunde iz Kilometer weniger zurücklegen, so brauchte er z Stunde mehr. Wie lang ist die Strecke, und in welcher Zeit legt der Zug die¬ selbe zurück? 92. Am 18. Juni wurden bei der Nationalbank folgende Wechsel s, 5°/„ discontiert: 985 fl. pr. ultimo Juni; 556 „ pr. mockio Juli; 1320 „ ausgestellt 28. April 3 Monate a «lato: 1084 „ 31 Tage nach Sicht, acceptiert am 8. Juni; welcher Betrag wurde dafür bezahlt? 93- Ein Wiener hat in London 425 Pfund Sterl. zu zahlen und will dafür Wechsel auf Amsterdam remittieren, die er zu 96 (100 fl. holl. - 96 fl. ö. W.) kaufen kann und die ihm in London zu 11 fl. 17 Cents Pr. Pfund Sterl. gntgeschrieben werden. Wie hoch kommt obige Schuld 244 94- Am 13. Jänner werden 3500 fl. Pfandbriefe der n. ö. Spar- casse ä 100 s gekauft; wie viel muss man dafür zahlen, wenn die Zinsen L 5^°/g seit 1. November rückständig sind? 95- Die Münzordnung des Kaisers Ferdinand I. vom Jahre 1529 bestimmte, dass aus einer kölnischen Mark (— 233'855 Gramm) Gold, 18^ Karat fein, 72 Goldgulden geprägt werden sollten; wie viel neue Achtguldenstücke sind 100 solcher Goldgulden wert, da ein Achtguldenstück fein ist und auf ein halbes Kilogr. rauh 774 gehen? 96. 2x° - 9x - 35. 97- 15x^- 22x - 152. 0« x -s- 3 — 12 -st x oo e;x u 1) x — 3 " 12 - x' u -st st ox - 2st ' 100. -st 1 - 101. 2ux 102. Jemand verkauft eine Ware mit eben so viel °/, Gewinn, als ihm die Ware Gulden gekostet hat. Wie theuer hat er die Ware eingekauft, wenn er 4 fl. gewinnt? 103. Zwei Röhren füllen zusammen einen Teich in 3 Stunden; die erste allein braucht dazu 3' Stunden weniger als die zweite. In wie viel Stunden füllt jede Röhre'allein den Teich? 104. Ein Körper wird mit der Geschwindigkeit 180 Meter senkrecht in die Höhe geworfen, 5 Secunden später wird ein zweiter Körper mit der Geschwindigkeit 250 Meter in die Höhe geworfen. Nach wie viel Secunden erreicht dieser mit dem ersten Körper die gleiche Höhe? (Fall¬ raum eines Körpers in der ersten Secunde — 4'9 Meter). 105- Wie lautet das Resultat der vorhergehenden Aufgabe, wenn man statt der Zahlen 180, 5, 250, 4'9 allgemein 0, t, ost setzt? 106. Bei einem Falliment erhalten die Gläubiger 60°/„ und zwar sollen 15°/, sogleich, 15°/, nach 6 Monaten, l5°/, nach 9 Monaten und 15°/, nach 1 Jahre gezahlt werden. Welches ist die mittlere Verfallszeit, und wie viel °/, verliert jeder Gläubiger, wenn 6°/, Zinsen gerechnet werden? 107. Jemand hat 2000 fl. nach 2 Monaten, 1500 fl. nach 5 Monaten, 2400 fl. nach 1 Jahre, 2500 fl. nach 1 Jahre 3 Monaten unverzinslich zu l zahlen; wann mufs die Zahlung geschehen, wenn die Summe aller jener Terminzahlungen auf einmal erlegt werden soll? 108- Eine Stadt hatte im Jahre 1850 35846 Einwohner; wie groß ist die Bevölkerung derselben im Jahre 1875 bei einer jährlichen Zunahme von 24°/,? 109. In wie viel Zeit wird ein Capital zu 4°/, Zinseszins a) bei ganzjähriger, st) bei halbjähriger Capitalisierung auf das Dreifache an¬ wachsen? 110. Der Bestand eines Waldes hat sich in 12 Jahren von 27000 Cub.-Meter auf 35000 Cub.-Meter erhöht; wie viel °/, beträgt der jährliche Zuwachs? 245 117- 0-78 s /481 / 592' » s 119. ^1-357» ^8 25« . 68315 ' 3 121. VlOO - 10 l^io. 123- bezieht aus Lyon 350 Meter Seidenstoffe zu 4^ Franks pr. Meter mit 2°/„ Sconto. An Zoll hat er 20°/, des Wertes, an Fracht und Spesen 4°/„ zu zahlen. Zu wie viel st. muss er 1 Meter verkaufen, wenn er 20°/, gewinnen will, und wenn 100 Franks — 44 st. gerechnet werden? 124. Ein Wiener Kaufmann erhält aus Triest 12 Säcke Mai¬ länder Reis, 2110 Kg. Lratto, 15 Kg. Tara, zu 24^ st. pr. 100 Kg. Kotto. Spesen in Triest fl. 5 „ 25, Provision 2°/„ Fracht 2^ fl. pr. 100 Kg., Einfuhrzoll 80 kr. Silber pr. SO Kg-. Ürntto, Spesen in Wien fl. 7 „ 47. Wie hoch calculieren sich 100 LZ-, Kotto in Wien, wenn das Silberagio 3°/, beträgt? 111. Zu wie viel "/, muss man 2525 fl. auf Zinseszinsen anlegen, um nach 10 Jahren dieselbe Summe zu erhalten, zu welcher 2518 fl. nach 12 Jahren bei 5°/, Zinseszins anwachsen? 112- Von einer Schuld von 10000 fl. werden nach 3 Jahren 2500 fl., nach 6 Jahren 1000 fl. bezahlt; wie groß ist noch die Schuld nach 10 Jahren, wenn 5°/, Zinseszinsen gerechnet werden? 113- hat an 8, so lang dieser lebt, eine jährliche Rente von 320 fl. zu bezahlen, ö wünscht aber sogleich den Betrag aller Renten bar zu empfangen; wie viel muss ihm H. geben, wenn wahrscheinliche Lebensdauer des 8 mit 12 Jahren angenommen wird; und wenn man ganzjährig 6°/, Zinseszins rechnet? (Mit Hilfe der Tabelle in ß. 146.) Berechne mit Hilfe der Logarithmen: 5 10 7 114. ^15. 115- ^125. 116- 1^. r2109t°« /J245QE "o- ^1934) - (2456- s -19-) //! ^0 92 -f- ^0-35 l Anhang. Grundznge der einfachen Buchführung. Allgemeine Erklärungen. Z. 1. Kaufleute und Gewerbetreibende müssen, um den Gang ihres Geschäftes, den Stand ihrer Forderungen und Schulden sowie die Lage ihres ganzen Vermögens zu jeder Zeit vollständig überblicken zu können, alles, was auf das Geschäftsvermögen und die damit vorgehenden Ver¬ änderungen Bezug hat, in dazu bestimmte Bücher aufschreiben. Diese Auszeichnungen nennt man die Buchführung oder Buchhaltung. Z. 2. Jede Buchführung erfordert zunächst die Kenntnis des am Anfänge des Geschäftszcitraumes vorhandenen Vermögens. Unter Vermögen im weitern Sinne find nicht nur die im Eigen- thume einer Person befindlichen beweglichen und unbeweglichen Güter, sondern auch die aus diesem Besitze hervorgehcndcn noch nicht erfüllten Verpflichtungen zu verstehen; im engern Sinne unterscheidet man ein drei¬ faches Vermögen, das Activ-, das Passiv- und das reine Ver¬ mögen. Unter dem A c ti v - V e rmö g e n einer Person versteht man das, was sie an Geld oder andern"Gegenständen, die Geldeswert haben, besitzt oder von andern zu fordern hat, ohne Rücksicht, ob diese Güter ihr freies, vollkommenes Eigenthum sind, oder ob darauf Verpflichtungen gegen andere Personen lasten. Das Activ-Vermögcn des Geschäftsmannes besteht in Geld, Staatspapicrcn, in Waren, in einzucassicrcnden Wechseln, in Forderungen an andere (Activschuldcn), Mobilien (Möbel, Hausgcräthe, Werkzeuge u. dgl.) und Immobilien (Gebäude, Grundstücke u. dgl.). Unter dem Passiv-Vermögen einer Person versteht man die Verpflichtungen, die sie gegen andere zu erfüllen hat. Dahin gehören die Wechsel- und andere Schulden, die sic zu bezahlen hat (Passivschulden). Subtrahiert man von dem Activ-Vermögen das Passiv-Vermögen, so zeigt der Rest das reine Vermögen an. Die Verzeichnung und Wertangabe sämmtlicher Bestandtheile des Activ- und Passiv-Vermögens, wie dieselben zu einer bestimmten Zeit durch Zählen, Abwägen oder Messen vorgefunden werden, heißt die In¬ ventur oder das Inventar. 247 8- 3. Jedes Vorkommnis, das in den Bestandthcilen des Geschäfts¬ vermögens eine Veränderung bewirkt, heißt ein G e s ch ä ft s f a l l. Werden z. B. Waren gegen bare Bezahlung verkauft, so ist dies ein Geschäftsfall, da sich dadurch der Warenvorrath vermindert, dagegen das Barvermögen vermehrt. Zur richtigen Eintragung der Geschäftsfülle in die einzelnen Bücher ist vor allem die genaue Unterscheidung des Schuldners und des Gläu¬ bigers erforderlich. Jeder, der von dem Geschäfte etwas empfängt, ohne einen Gegenwert zu leisten, wird Schuldner (Debitor). Jeder, der dem Geschäfte etwas gibt, ohne einen Gegenwert zu empfangen, wird Gläubiger (Oroäitor). Der Schuldner wird in der Buchhaltung durch „ Soll" oder „Pobot", der Gläubiger durch „ Haben" oder ..Oroeiit, " bezeichnet. Jcmano zum Dobitor erklären, heißt auch: ihn debitieren, ihn belasten; jemand zum Orockitor erklären, heißt auch: ihn creditiercn, ihm gut¬ schreiben. Bei Wechselzahlungen gilt Folgendes: Jeder, der einen Wechsel trassiert, wird für die Wechselsumme Schuldner des Trassaten. Jeder, der einen Wechsel acceptiert, wird Gläu¬ biger des Trassanten. Jeder, der uns einen Wechsel sendet (remittiert, wird Gläubiger für den Wechselbetrag. Jeder, der eine Rimesse empfängt, wird Schuldner des Remittenten. Z. 4. Die Geschäftsfälle werden in die verschiedenen Bücher entweder nach der Zeitfolae , oder mit Rücksicht auf das Gleichartige, worin sie übereinstimmen, nach gewissen Abtbeilunaen geordnet eingetragen. Das Buch, welches die ersten Aufzeichnungen aller Geschäfts¬ fälle, welche nicht gegen bare Bezahlung stattfinden, nach der Ordnung ihres Vorkommens" ausmmnik, heißt Journal (Tagebuch) oder Prima-Nota . In das Cassabuch kommen die Einnahmen und Ausgaben in bareN Gelde, ebenfalls nach der Zeitfolae geordnet. Das Buch, welches die Schulden und Forderungen unserer Geschäfts¬ freunde, nach Personen geordnet, enthält, heißt Hauptbuch . Die Bücher, welche Gcschäftsfälle, die im Journal nur kurz berührt werden, ausführlicher darstellen, oder Eingang und Ausgang von Gegen¬ ständen, die im Cassa- und Hauptbnche nur mittelbar verrechnet werden, ersichtlich machen, heißen Neben- oder Hilfs büch er. Ihre Zahl hängt von der Art und dem Umfange des Geschäftes ab. Die vorzüglichsten dieser Bücher sind: das Briefcopierbuch, das Facturenbuch, die Scontrobücher und zwar insbesondere das Waren-Scontro oder Warenbuch, das Wechsel-Scontro und das Effectcn- Scontro, endlich das Verfallsbuch. tz. 5. Eine Rechnung, in welche alle Geschäftsfälle, die eine bestimmte Person oder Sache betreffen, eingetragen werden, heißt ein 248 Conto. Man unterscheidet hiernach Personen-Conti und Sach- Conti; erstere werden für die Rechnungsverhältnisse mit Personen, letztere für die Rechnungsverhältnisse von leblosen Vermögensbestandtheilen aufgestellt. Ein Conto nimmt zwei einander gegenüberstehende Blattseiten ein. Aus die linke Seite, welche mit „Soll" oder „vsdse" bezeichnet wird, kommen jene Posten zu stehen, für welche die Person oder Sache Debitor des Geschäftes wird; auf die rechte mit „Haben" oder ^Orsckit" über¬ schriebene Seite diejenigen Posten, für welche die Person oder Sache Creditvr des Geschäftes wird. tz. 6. Um aus den Büchern nicht bloß den Stand der Forderungen und Schulden, sondern auch den Gewinn oder Verlust bei jeder Gattung der gemachten Geschäfte zu ersehen und zugleich eine Controle über die richtige Buchung zu erhalten, wird jeder Posten doppelt, nämlich in das Soll des einen und zugleich in das Haben eines andern Conto eingetragen, so dass sich Soll und Haben der verschiedenen Conti stets das Gleich¬ gewicht halten. Diese Art der Verbuchung heißt die doppelte Buch¬ führung. Werden dagegen die Geschäftsfälle in die Bücher derart eingetragen, dass sich daraus zunächst die Rechnungsverhältnisfe mit den Geschäfts¬ freunden ergeben, so heißt die Verbuchungsweise die einfache Buch¬ führung. Man kann übrigens auch mittelst der einfachen Buchhaltung durch Zuhilfenahme von Nebcnbüchern den Geschäftserfolg im Allgemeinen ausmitteln. Die einfache Buchführung eignet sich vorzugsweise für kaufmännische Geschäfte von geringem Umfange, für Gewerbe und kleinere Industrien. In diesem Buche soll nur von der einfachen Buchführung die Rede sein. Z. 7. Die Führung der einzelnen Geschäftsbücher beruht theils auf gesetzlichen Bestimmungen, theils auf allgemeinen Grundsätzen und Formen, die sich im geschäftlichen Verkehr im Laufe der Zeit heraus¬ gebildet haben. In ersterer Beziehung enthält das allgemeine Handelsgesetzbuch vom 17. December 1862 folgende Bestimmungen: Art. 28: „Jeder Kaufmann ist verpflichtet, Bücher zu führen, aus welchen seine Handelsgeschäfte und die Lage seines Vermögens vollständig zu ersehen sind. Er ist verpflichtet, die empfangenen Handelsbriefe aufzubewahren und eine Abschrift (Copie oder Abdruck) der abgesandtm Handclsbriefe zurück¬ zubehalten und nach der Zeitfolge in ein Copierbuch einzutragen." Art. 29: „Jeder Kaufmann hat bei dem Beginne seines Gewerbes seine Grundstücke, seine Forderungen und Schulden, den Betrag seines baren Geldes und seine anderen Vermögensstücke genau zu verzeichnen, dabei den Wert der Vermögensstücke anzugeben und einen das Verhältnis des Vermögens und der Schulden darstellenden Abschluss zu machen; er 249 hat demnächst in jedem Jahre ein solches Inventar und eine solche Bilanz seines Vermögens anzufertigen". Art. 30: „Das Inventar und die Bilanz sind von dem Kaufmanne zu unterzeichnen. Sind mehrere persönlich hastende Gesellschafter vor¬ handen, so haben sie alle zu unterzeichnen. Das Inventar und die Bilanz können in ein dazu bestimmtes Buch eingeschrieben oder jedesmal besonders aufgestellt werden. Im letzteren Falle sind dieselben zu sammeln und in zusammenhängender Reihenfolge geordnet aufzubewahren". Art. 31.: „Bei der Aufnahme des Inventars und der Bilanz sind sämmtliche Bermögensstücke und Forderungen nach dem Werte anzusetzcn, welcher ihnen zur Zeit der Aufnahme beizulegen ist. Zweifelhafte Forderungen sind nach ihrem wahrscheinlichen Werte anzusetzen, uneinbringliche Forderungen aber abzuschreiben. Art. 32: „Bei der Führung der Handclsbücher und bei den übrigen erforderlichen Aufzeichnungen muss sich der Kaufmann einer lebenden Sprache und der Schriftzeichen einer solchen bedienen. Die Bücher müssen gebunden und jedes von ihnen muss Blatt für Blatt mit fortlaufenden Zahlen versehen sein. An Stellen, welche der Regel nach zu beschreiben sind, dürfen keine leeren Zwischenräume gelassen werden. Der ursprüngliche Inhalt einer Eintragung darf nicht durch Durchstreichen oder auf andere Weise unleserlich gemacht, es darf nichts radiert, noch dürfen solche Veränderungen vorge- nommcn werden, bei deren Beschaffenheit es ungewiss ist, ob sie bei der ursprünglichen Eintragung oder erst später gemacht worden sind". Art. 33: „Die Kaufleute sind verpflichtet, ihre Handelsbücher während zehn Jahren, von dem Tage der in dieselben geschehenen letzten Eintragung an gerechnet, aufzubewahren. Dasselbe gilt in Ansehung der empfangenen Handelsbriefe, sowie in Ansehung der Inventare und Bilanzen". Art. 34: „Ordnungsmäßig geführte Handelsbücher liefern bei Streitig¬ keiten über Handelssachen bei Kaufleuten in der Regel einen unvollständigen Beweis, welcher durch den Eid oder durch andere Beweismittel ergänzt werden kann". Art. 35: „Handelsbücher, bei deren Führung Unregelmäßigkeiten vor¬ gefallen sind, können als Beweismittel nur insoweit berücksichtiget werden, als dieses nach der Art und Bedeutung der Unregelmäßigkeit, sowie nach der Lage der Sache geeignet erscheint". Art. 36: „Die Eintragungen in die Handclsbücher können, unbeschadet ihrer Beweiskraft, durch Handlungsgehilfen bewirkt werden". 250 I. Aie einfache kaufmännische Buchführung. 1. Wesentliche Äücher. H. 8. Zu den wesentlichen Büchern der einfachen kauf¬ männischen Buchführung gehören: Das Jnventarbuch, wenn nicht die Inventuren besonders aufgestellt und aufbewahrt werden, das Journal, das Cassabuch und das Hauptbuch. Die Inventur. Bei der Aufnahme der Inventur (Z. 2) werden zuerst die Activa aufgeführt. Man beginnt dabei mit dem baren Gclde, welches ab¬ gezählt wird. Dann werden die Effecten und die Wechsel auf fremde Plätze inventiert und bei deren Wertbestimmung der Tagescours zu Grunde gelegt. Sodann bestimmt man den Wert der einzucassierenden Platzwechsel, indem man in der Regel den Discont in Abzug bringt. Hierauf schreitet man zur Inventur des Warenlagers; die Waren werden wirklich gewogen, gemessen, gezählt, und gewöhnlich zu dem Einkaufs¬ preise berechnet. Sind noch andere zur Handlung gehörige bewegliche oder unbewegliche Vermögcnstheile da, so werden auch diese abgeschätzt und ihre Werte eingestellt. Endlich führt man noch die Schuldner einzeln an; sie werden aus dem Hauptbuchc entnommen. Addiert man alle bisher ausgestellten Beträge, so zeigt die Summe das Activ-Ver¬ mögen an. Nun werden die Passiva angeführt. Dazu gehören erstlich die einzu- lösendcn Tratten, bei denen in der Regel der Discont in Abrechnung gebracht wird. Hierauf werden die Gläubiger mit ihren Forderungen einzeln angeführt. Durch Summierung der einzelnen Passiva erhält man das ganze Passiv-Vermögen. Subtrahiert man dann von dem Activ-Vermögen das Passiv-Ver¬ mögen, so zeigt die Differenz das reine Vermögen an. Wenn man nun am Schluffe des Rcchnungszeitraumes wieder inven¬ tiert und das reine Vermögen der anfänglichen Inventur mit dem reinen Vermögen der Schluss-Inventur (Bilanz) vergleicht, so gibt die Differenz zwischen beiden den während dieser Periode erzielten Gewinn oder Verlust an, je nachdem das schließliche Vermögen größer oder kleiner ist als das anfängliche. Die nähere Einrichtung der Inventur ist aus folgendem Beispiele ersichtlich: 251 Inventur ausgenommen am 30. Juni 1878. 252 Aas Journal. Z. 9. Das Journal oder Tagebuch hat die Bestimmung, die erste Verzeichnung derjenigen Geschäftsfälle, welche eine Schuld oder For¬ derung begründen, in der Ordnung, in welcher sie stattfinden, bestimmt und deutlich abgefasst aufzunehmen. Das Journal wird paginiert, d. i. die Seiten werden mit den in natürlicher Ordnung auf einander folgenden Zahlen versehen. Jeder Posten enthält das Datum, den Namen und Wohnort des Geschäftsfreundes nebst einer kurzen und klaren Angabe des Geschäftes, durch welches er unser Schuldner oder Gläubiger geworden ist; endlich den Geldbetrag, welcher bei Schuldnern in die mit „Soll" und bei Gläubigern in die mit „Haben" überschriebene Colonne gesetzt wird. Das Journal wird mit der Eintragung der in der Inventur angeführten For- derungs- und Schuldposten eröffnet. Zum besseren Verständnisse diene folgendes Beispiel: Journal. i Juli 1878. Soll Haben 253 2 Juli 1878. Soll Haben 254 Aas tzassaLuch. Z. 10. In das Cassabuch werden alle Geldeinnahmen und Geld- ausgabcn, und zwar täglich eingetragen. Das Cassabuch wird foliicrt, d. h. es werden je zwei gegenüber¬ liegende Blattseitcn (ein Folium) mit derselben Zahl bezeichnet. Auf der linken Seite erhält es die Überschrift Soll oder Eingang , auf der rechten Haben oder Aus gang . Auf der linken Seite werden die ein¬ gegangenen, auf der rechten die ausgegebenen Gelder verzeichnet. Jeder Posten enthält: 1. Jahr, Monat und Tag; 2. eine kurze Erklärung, von wem und wofür das Geld empfangen, oder an wen und wofür es aus- gegeben wurde; 3. die Geldsumme. Wenn eine Blattseite vollgeschrieben ist, so werden die Summen der Einnahmen und der Ausgaben gebildet, und auf die nächsten zwei Blatt- sciten transportiert. Kassa- Soll Juli 8.8 16. 20. 20. 25. 8.4 28. 8.1 30. fl. !kr. Bares Geld laut Inventur. Für Barzahlung von priseli in Voslau. „ verkaufte Rimesse auf 8. 'tViess . . . fl. 730 „ — ab 6°/o Discont bis 20. Ang. . „ S „ 60 „ Barzahlung von 4. litt in Lacken „ an ck. Ott hier verkauften Zucker. „ Jncafso der Rimesse auf 0. Olanr „ Jncaffo der Rimesse auf 0. Zeümickt. „ Barzahlung von L. Llov8 in IV. Aenataät . . „ Barzahlung von Vl. 8aeüss hier August 1878. 2580 750 724 40 500 - 168 28 600 — 875 — 800 — 350 — 7347 68 Cafsabestand vom vorigen Monate 3070 29 255 Am Ende eines jeden Monates wird das Cassabuch abgeschlossen, indem man die Einnahmen und die Ausgaben addiert, die Summe der letzteren von der Summe der ersteren subtrahiert und dm Unterschied, welcher Saldo heißt, als Cassabestand auf die Ausgabsseite einstcllt, wodurch sich beiderseits gleiche Summen ergeben. Diese Summen werden, nachdem man früher in den Betragscolonnen in gleicher Höhe Linien gezogen hat, darunter geschrieben, worauf etwas tiefer noch die Abschluss¬ linien zu stehen kommen. Zuletzt wird, um den wahren Cassastand wieder herzustellen, der Saldo unter dem ersten des nächsten Monates als Eingang auf weitere Rechnung vorgetragen. Hier folgt das Schema eines CassabucheS. Much- 1878. Haben U.6 U.9 s.3 7. 10. 15. 2. 3. 20. 25. 27. 30. 31. 31. 31. Für die Haushaltung . „ meine Barzahlung au I. Sadu hier. „ diverse Handlungskosten. „ Fracht und Spesen auf Sendung des 1'. Troxssui in Briest. „ Einlösung der Tratte Ordre Seist „ Erwerbsteuer. „ Fracht und Spesen auf Sendung des S. Tropssui in Briest . „ Einlösung meines heute fälligen Acceptes. „ meine Barzahlung an 8. 8üss hier. „ meine Barzahlung an briseb in Vöslau . . . „ Einlösung der Tratte Ordre 8. Trost. „ Zahlung an das Handelspersonale. Saldo (Cassabestand). 256 Aas KaupLöuch. 11. Das Hauptbuch dient zur Darstellung des Rechnungs¬ verhältnisses mit unseren Geschäftsfreunden; es soll ersichtlich machen, was uns jede Person, mit der wir in Geschäftsverbindung stehen, schuldig ist und was sie an uns zu fordern hat. In demselben wird jedem Geschäfts¬ freunde ein Conto eröffnet, der zwei gegenüberstehende mit derselben Foliozahl versehene Blattseiten einnimmt und den Namen und Wohnort des Geschäftsfreundes als Überschrift enthält. Auf die linke mit „Soll" überschriebene Seite trägt man jene Posten ein, für welche der Geschäfts¬ freund unser Schuldner wird, auf die rechte mit „Haben" überschriebene Seite dagegen die Posten, für welche er unser Gläubiger wird. Es ist nicht nothwendig, jedem Conto ein Folium zu geben; man kann zur Ersparung des Raumes auch zwei oder drei solcher Conti, welche voraussichtlich wenig Posten enthalten werden, auf ein Folium bringen. Am Ende bekommt das Hauptbuch ein alphabetisches Namens¬ register aller Personen, denen Conti eröffnet wurden, worin neben jedem Namen auch das Folium bemerkt ist, auf welchem der betreffende Conto vorkommt. Das Hauptbuch entnimmt seine Posten aus dem Journal und aus dem Cassabuch e. Aus dem Journal müssen sämmtliche Posten, da sie ohne Aus¬ nahme nur solche Geschäftsfälle enthalten, welche eine Schuld oder eine Forderung begründen, in das Hauptbuch übertragen, und zwar auf die Soll- oder Haben-Seite des betreffenden Conto, je nachdem sie in der Colonne Soll oder Haben des Journals vorkommen. Aus dem Cassabuche dagegen werden nur diejenigen Posten , welche sich auf eine Einnahme zur Bedeckung oder Abschlagzahlung einer Forderung oder auf eine Ausgabe zur Bedeckung oder Abschlagzahlung einer Schuld beziehen, auf die entsprechenden Conti des Hauptbuches über¬ tragen. Auch mit der Art der Übertragung verhält cs sich hier anders als bei dem Journal. Die Einnahmen stehen im Cassabuche auf der Soll-Seite; da sie aber dem Zahler gutzuschreiben sind, müssen sie auf dem Conto desselben im Hauptbuchc auf der Haben-Seite erscheinen. Umgekehrt müssen die Ausgaben, welche im Haben des Cassabuches stehen, dem Empfänger derselben zur Last geschrieben werden, also auf dessen Conto im Hauptbuche auf der Soll-Seite erscheinen. Bei dem Übertragen der Posten auf einen Conto des Haupt¬ buches schreibt man auf die entsprechende Seite 1. das Datum, 2. die Seitenzahl des Journals oder Cassabuches, auf welcher der übertragene Posten erscheint, 3. eine bündige Angabe des Geschäftes, wodurch die Person Osstitor oder Orsckitor geworden ist, und 4. den Betrag. — Jeder Posten im Hauptbuche nimmt eine Zeile ein; die Zeilen sollen, damit kein Posten eingeschoben werden könne, in gleicher Entfernung stehen. 257 Zum Zeichen der geschehenen Übertragung schreibt man in der Bezugs- colonne des Journals oder Cassabuches vor dem übertragenen Posten das Folium des Hauptbuches. Z. 12. Um das Hauptbuch am Ende eines bestimmten Zeitraumes abzuschließen, addiert man in jedem Conto die Beträge im Soll und jene im Haben, und zieht die kleinere Summe von der größern ab, der Unterschied wird Saldo genannt. Ist die Summe der Beträge im Soll größer als die Betragssumme im Haben, so ist uns die Person, auf welche sich der Conto bezieht, mehr schuldig als sie von uns zu fordern hat; also ist sie unser wirklicher Schuldner, und der Saldo zeigt an, wie viel sie uns schuldig ist. Wenn dagegen im Haben eine größere Summe zum Vorschein kommt als im Soll, so hat die Person im ganzen an uns zu fordern, und der Saldo zeigt an, wie viel sie zu fordern hat. Wird der Saldo auf diejenige Seite, wo man die kleinere Summe erhielt, eingestellt, so werden die Summen beider Seiten gleich sein. Man zieht dann auf beiden Seiten in gleicher Höhe unter den gleichen Summen die Abschlusslinien. Leere Räume werden diagonal durchschnitten. Kommt, nachdem schon der Saldo-eingestellt wurde, auf jeder Seite nur ein Posten vor, so braucht man weiter nichts zu thun, als die Abschlusslinien zu ziehen. Da der Saldo nur wegen der Ausgleichung der beiden Summen auf die schwächere Seite eingestellt wurde, so muss man, um den frühem wahren Stand der Rechnungen wieder herzustellen, diesen nämlichen Saldo in der neuen Rechnung auf die entgegengesetzte Seite vortragen. Indem der Saldo einmal im Soll und einmal im Haben des Conto eingestellt wurde, hat sich der Rechnungsstand nicht geändert; man hat aber dadurch erzielt, dass sich die frühere Rechnung ausgeglichen hat, und dass in dem Saldo, so wie er auf die neue Rechnung vorgetragen wird, das wahre Resultat der vorigen Rechnung ausgedrückt erscheint. Zum besseren Verständnisse werden nachstehend drei Conten eines Hauptbuches zusammengestellt. Močnik, Arithmetik ftir Lehrerbildungsanstalten. 17 258 Kaupt- i Süll Äl. KLCltSö 3 Soll I?ri8oll 5 259 Much. 3 5 in Irisst. Haben 260 2. Neben- und Hilfsbricher. Das Arief-ßopierSuch. Z. 13. Das Buch, in welches die Geschäftsbriefe, die ein Kaufmann an seine Handclsfreunde schreibt, rein abgeschrieben werden, heißt das Brief- Copierbuch. Das Copierbuch wird paginiert. Bei jeder Copie setzt man links den Ort, wohin der Brief gerichtet ist; weiterhin den Namen des Ge¬ schäftsfreundes, dem wir schreiben, und ganz zur Rechten das Datum. Hierauf fängt in der zweiten Zeile die wörtliche Abschrift des Briefes an. Das Schlusscompliment wird als unwesentlich weggelassen. Unter die Copie des Briefes wird noch eine Querlinie gezogen. Das Copierbuch hat am Ende ein alphabetisches Namensverzeichnis der Freunde, an welche die copierten Briefe geschrieben wurden; in dieses Register muss sogleich nach geschehener Copierung die Pagina der Copie eingetragen werden. Das Aacturenöuch. Z. 14. In dieses Buch werden die Facturen, die man von aus¬ wärtigen Handelsfreunden empfängt, wörtlich eingetragen; zugleich setzt man darunter die Fracht- und andere Spesen. Meistens wird einer solchen Factura sogleich auch die Calculation beigefügt. Für Einkäufe am Platze, so wie für Verkäufe braucht, wenn die sie betreffenden Rechnungen vollständig im Journal und im Cassabuche Vor¬ kommen, kein besonderes Nebenbuch aufgestellt zu werden. Die Scontro-Mücher- 8. 15. Jene Bücher, in denen der Eingang oder Ausgang bestimmter Gegenstände eingetragen wird, heißen Scontro-Büchcr. In einem Scontro wird jedem Gegenstände,ein besonderer Conto auf einem Folium errichtet, dessen linke Seite die Überschrift Soll oder Eingang, die rechte Haben oder Ausgang, und die Mitte die Be¬ zeichnung des Gegenstandes enthält. Jeder Empfang dieses Gegenstandes wird mit den wesentlichen Umständen und dem Geldbeträge aus die linke, jedes Weggeben eben so auf die rechte Seite eingetragen. Die vorzüglichsten Scontri sind: 1. Das Waren-Scontro oder Warenbuch. Dasselbe macht nicht nur unseren jedesmaligen Warenvorrath ersichtlich, sondern weiset auch insbesondere aus, wann, was und wie theuer wir gekauft oder verkauft, von wem wir gekauft oder an wen wir verkauft haben, und zeigt endlich auch den Gewinn oder Verlust bei jedem Waren-Artikel an. Jedem Warenartikel oder auch nur jeder Gattung von Waren wird ein Conto eröffnet, welcher folgende Posten enthält: 1. Jahr, MonMuud 261 Tag, 2. den Namen des Verläufers oder Käufers, 3. Maß und Gewicht, 4. den Preis, 5. den ganzen Betrag. 2. Das Wechsel-Scontro. In dieses Buch werden jene Wechsel, die wir empfangen und am Verfallstage einzucassieren oder sonst darüber zu verfügen haben, nach allen Einzelnheiten, als Betrag und Verfallszeit, Ort und Datum der Ausstellung, Acceptant, Ordre u. s. w. ein¬ getragen. Ist ein Wechsel cingelöst oder verkauft worden, so wird dieses in der zu diesem Zwecke eingerichteten Colonne bemerkt, der Betrag und Verfallstag aber durchstrichen. 3. Das Efsecten-Scontro wird über die ein- undausgehenden Effecten geführt. Jeder Gattung von Effecten widmet man einen eigenen Conto, und zwar enthält darin jeder Posten 1. Jahr, Monat und Tag, 2. den Namen des Verkäufers oder Käufers, 3. die Nummern der Obligationen, 4. den Nominalwert, 5. den Cours, 6. den Betrag. Wenn man mit Staatspapieren nur geringe Geschäfte macht, so ist es nicht nöthig, dafür ein eigenes Scontro aufzustellen, sondern man eröffnet die betreffenden Conti sogleich im Warenbuche. Z. 16. Um einen Conto im Waren- oder Effecten-Scontro abzu- schlicßen, stellt man den laut Inventur sich ergebenden Vorrath sammt Preis und Betrag in die Ausgabs-Colonne, als wenn die Ware verkauft worden wäre. Dann addiert man die Betrüge einer jeden Seite; die Summe auf der linken Seite gibt an, was man für den Empfang des Gegen¬ standes ausgelegt hat; die Summe der rechten Seite zeigt, was man für das Weggeben des Gegenstandes eingenommen hat, und für den Vorrath eiunehmcu würde. Zieht man beide Summen von einander ab, so bedeutet der Rest Gewinn, wenn die Summe im Ausgang größer ist als jene im Eingang, im entgegengesetzten Falle Verlust. Zur Ausgleichung der Rechnung wird der Rest als Gewinn in den Eingang, als Verlust in den Ausgang eingestellt. Unter dm Summen der Gewichte und Geldbeträge, welche im Ein¬ gang und Ausgang gleich sein müssen, werden sodann die Abschlusslinien gezogen. Endlich wird noch der Vorrath sammt Preis und Betrag auf der Eingang-Seite auf neue Rechnung gebracht. Das Wechsel-Scontro bedarf keines Abschlusses; der Vorrath wird einfach auf neue Rechnung vorgctragen. Nachstehend wird zur besseren Beleuchtung ein Conto aus dem Waren buche als Beispiel angeführt. 262 Waren- Eingang Zucker- 1878 Juli 1. 4. 15. 28. 31. Aug. 1. Borrath: 5 Fässer Rafsinad 9 Fässer Melis . Vorrath: 4 Fässer Rafsinad 7 Fässer Melis . Von L 8üss hier gekauft: 4 Fässer Rafsinad . . . Von L. 8üss hier 3 Fässer Rafsinad . . . 8 Fässer Melis . . . . Von L. Lullos hier 5 Fässer Melis . . . . Jas MerMsöilch. Z. 17. Das Verfallsbuch, auch Sead enzbuch, soll dem Kauf- manne zu jeder Zeit die Übersicht gewähren, was für Wechsel und wann er sie zu zahlen, für welche Wechsel und wann er Zahlung zu empfangen hat; damit er im ersten Falle mit dem zur Zahlung erforderlichen Gelde sich versehen, im zweiten Falle über die zu empfangende Summe vorhinein verfügen kann. In diesem Buche wird jedem Monate ein Folium gewidmet; die linke Blattseite nimmt die Rimessen, die rechte die Tratten auf. Jas Speditionsöuch. 18. In dieses Buch werden alle Frachtstücke, die man zur Weiter¬ beförderung erhält, eingeschrieben. 263 Buch. i Conto. Ausgang. Das Speditionsbuch wird auf zwei Blattseiten geführt; auf die linke trägt man den Empfang der Frachtstücke, auf die rechte die Wciter- sendung derselben ein. Es kommt demnach auf die linke Seite der Name und Wohnort des Übergebers oder Einsenders, Tag des Aviso, Name des Weiterbeförderers nebst Angabe der Frachtgelegenheit, Lieferzeit und Fracht, Name und Wohnort desjenigen, für welchen die Frachtstücke bestimmt sind, und die Art der Spesenbezahlung, ob sie nämlich nachzunehmen, oder dem Übersender zur Last zu schreiben sind; endlich fügt man den Tag des Empfanges der Güter, und die beim Empfange und bis zur Weiter¬ beförderung gehabten Auslagen bei. Auf die rechte Blattseite kommt der Name dessen, an den die Frachtstücke gesendet wurden, der Name des Frächters, Lieferzeit und Fracht, die Angabe der Frachtstücke und die Spesen-Nota; endlich der Beisatz, ob man die Spesen nachgenvmmen hat oder wer dafür debitiert wurde. 264 3. Erfolgs-Nachweisung der der einfachen Buchhaltung. Z. 19. Aus dem Abschlüsse des Hauptbuches ergibt sich der Bermögens- stand des Geschäftsmannes in Bezug auf Forderungen und Schulden. Um das Resultat des ganzen Geschäftes zu erhalten, muss man inventieren, und zu den Jnventurs-Vermögenstheilen die Forderungen und Schulden, wie sich dieselben in den Saldi des Hauptbuches darstellen, hinzusetzen. Daraus lässt sich das schließliche reine Vermögen, und durch dessen Ver¬ gleichung mit dem anfänglichen reinen Vermögen der Gewinn oder Verlust während des Rechnungszeitraumes bestimmen. Zur Probe für die Richtigkeit des auf diese Art ausgcmittelten Erfolges kann man die einzelnen Gewinne oder Verluste im Laufe des Geschäftes theils aus den Scontro-Büchern, nachdem diese abgeschlossen wurden, theils aus dem Journal ausziehen und auf einem eigenen Ver¬ zeichnisse darstellen. Bildet mau nun die Summe aller Gewinne, dann die Summe aller Verluste, und zieht die kleinere Summe von der größeru ab, so muss der sich ergebende Erfolg mit dem in der Inventur nachge- wiescnen übereinstimmen. II. Die einfache gewerMiche Buchführung. 1. Mr größere Gewerbe. Z. 20. Bei größeren Gewerben werden die Bücher auf gleiche Art wie bei der kaufmännischen Buchhaltung eingerichtet und geführt. Das Jnventarbuch, das Journal, das Cassabuch und das Hauptbuch treten auch hier als wesentliche Bücher auf, während mau als Nebenbücher das Briefcopierbuch, ein Facturabuch,. ein Materiali enbuch, ein Waren- oder Lagerbuch, ein Bestel¬ lungsbuch, das Wechsel-Scontro und das Verfallsbuch führen kann. In das Jnventarbuch werden die Inventuren (Z. 8) übertragen. Das Journal (§. 9) nimmt die Geschäfte nach der Zeitfolge geordnet auf, und zwar nur diejenigen, welche auf Zeit abgeschlossen werden. Im Cassa buche (H. 10) kommen die Geldeinnahmen und Gcld- ausgaben zur Verrechnung, indem man die Einnahmen auf die linke, und die Ausgaben auf die rechte Seite stellt. Das Einträgen in das Cassabuch geschieht täglich, und der Abschluss desselben monatlich. Über die Einrichtung des Hauptbuches und das Einträgen in dasselbe gilt das in W. 11 und 12 Gesagte. Wenn das Cassabuch und das Journal die Gcschäftsfälle ausführlich aufnehmen, so brauchen die¬ selben im Hauptbuche nur kurz angedeutet zu werden, indem man unter der in der Bezugscolonne stehenden Pagina jener Bücher über jeden Geschäftsfall nähern Aufschluss finden kann. 265 Das Facturenbuch wird geführt, wenn der Gewcrbsmann seine Materialien von fremden Plätzen bestellt und darüber Rechnung erhält. In ausgedehnten Geschäften hält man ein eigenes Materialien- bnch, in welches auf der Eingangsseite die gekauften, auf der Ausgangs¬ seite die in die Werkstätte verabfolgten Materialien cinzutragen sind. Auch kann man bei solchen Geschäften ein besonderes Lagerbuch führen, welches eine ähnliche Einrichtung hat wie das Warenbuch bei der kauf¬ männischen Buchführung; kommt eine fertige Arbeit in die Niederlage, so wird sie auf der linken Blattseite zu dem Erzeugungspreisc eingetragen; beim Verkaufe wird sie dann auf der rechten Seite zu dem dafür empfangenen Werte wieder in Ausgang gebracht. Über bestellte Arbeiten wird das Befiel lungs buch geführt, dem man folgende Colonnen geben kann: 1. für das Datum der Bestellung, 2. für den Namen und die Wohnung des Bestellers, 3. für die genaue Angabe der bestellten Gegenstände, endlich 4. für die Vormerkung der stattgefundenen Besorgung. In Geschäften, welche nur einen sehr unbedeutenden Verkehr mit Wechseln haben, kann das Wechscl-Scontro ganz unterbleiben, und die wenigen vorkommenden Wechsel werden dann nur in das Verfalls¬ buch eingetragen. 2. Mr kleinere Gewerbe. Z. 21. Die kaufmännische Buchführungsweise kann wohl nur in größeren Gewerben volle Anwendung finden. Der Klcingewerbsmann hat nicht Zeit zu langwierigen Verbuchungen, er will durch seine Aufzeichnungen nur einen leichten Überblick dessen gewinnen, was auf den gedeihlichen Gang seines Geschäftes von wesentlichem Einflüsse ist. Dabei muss er jedoch immer auch darauf Bedacht nehmen, dass er sich durch seine Buch¬ führung für Streitfälle ein wichtiges Beweismittel sichert. Damit nach Z. 121 der allgemeinen Gerichts-Ordnung die Bücher des Handwerkers vor Gericht die Kraft des halben Beweises haben, muss derselbe ein ordentliches Tagebuch halten, in welches er alles, was ihm zur Last und zu Guten kommt, einzutragen und in welchem er Jahr und Tag, wie auch die Personen, denen und durch welche die Arbeit geliefert worden ist, klar auszudrücken hat. Um dieser gesetzlichen Bestimmung zu genügen und zugleich den Stand des Vermögens zu jeder Zeit übersehen zu können, muss der Gewerbsmann zunächst ein Journal oder Tagebuch führen und in dasselbe nach der Zeitfolge sämmtliche Geschäftsfälle, sowohl solche, die gegen bare Bezahlung, als auch diejenigen, welche auf Credit stattfinden, klar und bündig eintragen. Das Journal erhält drei Hauptcolonnen. In der ersten Colonne wird das Datum, in der zweiten das Geschäft selbst mit Angabe aller- wesentlichen Umstände, in der dritten der Geldbetrag angeführt. Bei 266 Forderungs- und Schuldposten setzt man in die zweite Colonne zuerst den Vor- und Zunamen und den Wohnort der Person, mit welcher das Ge¬ schäft gemacht wird, sammt der Angabe, ob sie gegen uns Schuldner oder Gläubiger geworden ist, was man durch den Beisatz Soll oder Haben andeutet; dann erst wird das Geschäft näher angegeben, durch welches jene Person unser Schuldner oder Gläubiger geworden ist. Aus dem so geführten Journal kann der Gewerbsmann am Ende eines jeden Zeitraumes ein Verzeichnis seiner Forderungen und Schulden aufstellen. Um den Gesammtersolg des Geschäftes zu erhalten, muss er das bare Geld abzählen (die Barschaft muss mit der Differenz der im Journal verzeichneten Bareinnahmen und Barausgaben übereinstimmen), den Wert der vorräthigen Stoffe und fertigen Arbeiten abschätzen und sodann die Inventur zusammenstellen. Aus der Vergleichung der schlie߬ lichen Inventur mit der anfänglichen ergibt sich der während des be¬ treffenden Zeitraumes erzielte Gewinn oder Verlust. Über die an die Kunden abgelieferten Arbeiten hat der Gewerbs¬ mann entweder gleich bei der Zustellung dieser Arbeiten oder am Ende eines gewissen Zeitraumes Rechnungen, Noten oder Conti zu über¬ senden, in denen die einzelnen Stücke mit Angabe der dazu verwendeten Stoffe und ihrer Beträge, sowie des Arbeitslohnes, detaillirt anzuführen sind. Zu diesem Ende muss der Gewerbsmann außer dem Journal auch ein Kundenbuch oder Conto-Buch halten, dessen Auszüge eben jene Noten bilden. Im Kundenbuchs wird jeder Kundschaft eine Rechnung erösftwt, und zwar weil Ausgleichungen zwischen Soll und Haben selten vorkommen, nur einseitig, und darin alles eingetragen, was in der auszu- sertigenden Note anzuführen kommt. Wenn eine Rechnung von den be¬ treffenden Kunden bezahlt wird, so setzt man darunter die Bemerkung „bezahlt" mit dem Betrage, welchen man dafür empfangen hat. IH. Entwurf eines einmonatlichen Geschäftes zur Mung im praktischen Durchführen der einfachen Buchhaltung. Dsopolck Lssllotsr in IVisn legt am 1. Juli 1878 aus Grund einer vorgenommenen Inventur seiner Handlung neue Bücher an. Geschäftsgang im Monate Juki 1878. 1. Juli. Laut Inventur wurden meine Activa und Passiva, wie folgt, vorgefunden: 1) Bares Geld 1992 fl. 2) Rimessen: 720 fl. auf Rnäsror pr. 12. Juli, ck90 „ „ L. I,sroll „ 15. Juli, 1260 „ „ N. Svimbl „ 10. August. 267 3) Waren: Java-Kaffee 1256 L>. L 178, Rio-Kaffee 1470 „ L 164, Raffinad-Zucker 875 „ g. 46, Melis-Zucker 1613 „ a 42, Tafelöl 428 „ L 84, Weinbeeren 315 „ s 25, Reis 528 „ g, 24. 4) Warcn-Vorräthe im Kleinvcrkaufsgewölbe: Laut Gcwölbsinventur im Werte von 476 fl. Ausstehende Forderungen 178 fl. mit 3°/„ Abzug. 5) Mobilien und Utensilien 960 fl. 6) Buchforderungen: bei 6-. Norita in HainiburA 760 fl. „ R. Rsinsr „ Nöcklin^ 450 „ „ Npulluor „ liiroms 816 „ „ 0. Ulu6sr „ ImuäsnizurA 210 „ „ 8. ImoUnsr hier 270 „ 7) Tratten: 674 fl. Ordre 0. ITits pr. 9. Juli 880 „ „ 0. Dumpl „ 15. Juli, 519 „ „ 3. OliÄtv ,, 25. August. 8) Buchschnlden:, an tl. Uassiui in Triost 850 fl., „ 0. Hink „ Lrünll 726 „ „ LI. Riolitsr hier 535 „ Ich gebe für Haushaltungskosten 180 fl. und zahle an Gehalten für das Handlungspersonale 120 fl. Die Tageslosung des Kleingewölbes beträgt 95 fl. 3. Juli. Übergebe an das Gewölbe zum Kleinverkause: 150 Java ü 178, 300 Rio u 164, 100 „ Raffinat) ü 46, 400 „ Melis ü 42, 100 „ Tafelöl ü 74, 50 „ Weinbeeren L 24 und 100 „ Reis ü 24. 6. Norit2 in HailldurK sendet 300 fl. bar und 410 fl. in einer Rimesse auf A. Hart pr. 10. Juli, und empfängt auf Zeit: 200 Java u 180, 350 L^. Rio u 168, 150 „ Raffinad a 47, 5M Melis L 43. Ich rechne 18 fl. 50 kr. Verpackungsspesen. Die TageSlosung beträgt 81 fl. 4. Juli. Ich löse die Tratte Ordre 0. IHt-, 674 fl. pr. 9. Juli, mit 6°/, Discont ein. Ich kaufe von Äl. kiobtor hier gegen mein Accept pr. 20. Juli 680 Lx. Melis L 40. Tageslosung 67 fl. 268 5. Juli. Sende in Folge eines Auftrages an R. Rsinor in Nöälins. 120 L^. Java L 180, 100 Ls. Raffinad L 47, 350 „ Melis L 43, 50 Tafelöl ü 82. Tagcslosung 102 fl. 6. Juli. Erhalte von L. L^auusr in Lrsius eine Barzahlung von 600 fl. und verkaufe ihm auf Zeit: 100 L^. Java n 180, l00 L^. Raffinad ü 47, 200 „ Melis d, 43, 100 „ Reis L 25. Tageslosung 81 fl. 7. Juli. Kaufe einen Wechsel auf 4. Huas in Misst, 800 fl. pr. 31. Juli, mit 6°/, Discont, und giriere denselben an L. Bussini in Misst. Tageslosung 78 fl. 8. Juli. Erhalte ich in Folge Bestellung von 0. Lüuir in Brünn aus 2 Monate Zeit: 1 Fass Raffinad, Brutto 435 L»v, Tara 24 L§., ü 43, 3 Fässer Melis, „ 1336 „ „ 73 „ L 39, und zahle an Fracht und Spesen 16 fl. 38 kr. Tageslosung 93 fl. 10. Juli. Ich cassiere die Rimesse auf N. Hurt mit 410 fl. ein. Verkaufe an 0. Buvsr in BunäsullurZ 200 Lss. Rio L 168 und 300 L§. Melis L 43. Tageslosung 88 fl. 11. Juli. Erhalte von L. Bssllusr hier eine Barzahlung von 250 fl. und liefere ihm 100 L»>. Raffinad L 47 und 200 L»-. Melis a 43. Kaufe und remittiere an 0. Bünü in Brünn einen Wechsel über 1000 fl. auf L. NüIIsr in Brünn pr. 10. August. Tageslosung 80 fl. 12. Juli. il. Bnssini in Misst übersendet in Folge meines Auf¬ trages Factura über 2 Fässer Java, Brutto 497 LZ., Tara 38 Lg., a 147, 3 „ Rio, „ 728 „ „ 52 „ ü 123, 2 „ Tafelöl, „ 532 „ „ 65 „ ü 60, 1 Kiste Weinbeeren, „ 271 „ „ 27 „ ü 18. Für Verpackungsspesen rechnet er 28 fl. 50 kr. und entnimmt auf mich den Waren- und Spesenbetrag Ordre L. IVorm pr. 12. September. Ich cassiere die Rimesse auf L. Buäsror mit 720 fl. ein. Tagcslosung 112 fl. 13. Juli. Verkaufe ich an L. Bötll hier gegen dessen einmonat¬ liches Accept: 200 L§. Java L 180, 200 LZ. Raffinad L 47, 100 „ Tafelöl g, 82, 50 „ Weinbeeren ü 27. Tageslosung 74 fl. 269 14. Juli. Ich kaufe von N. Hulisi- hier gegen bar: 350 LZ. Reis L 23. Tageslosung 70 fl. 15. Juli. Cassiere ich^die Rimesse auf L. Lsrvll mit 490 fl. ein. Zahle die heute fällige Tratte Ordre 0. Lumpi mit 880 fl. Tageslosung 95 fl. 17. Juli. Kommt die avisierte Sendung von H.. Lusmni in Misst an und ich zahle an Einfuhrzoll, Fracht und kleinen Spesen 282 fl. 35 kr., wovon auf Nstto 456 LZ. Java 91 fl. 80 kr., auf Nstto 676 LZ. Rio 135 fl. 20 kr., auf Netto 497 LZ. Tafelöl 36 fl. 23 kr., und auf Netto 244 LZ. Weinbeeren 19 fl. 12 kr. entfallen. Tageslosung 78 fl. 18. Juli. Übergebe an das Kleingewölbe: 100 LZ. Java a, 188, 420 LZ. Rio a 164, 150 „ Rasfinad a 46, 500 „ Melis g. 42, 150 „ Tafelöl n 74, 100 „ Weinbeeren a 24 und 200 „ Reis g, 24. Tageslosung 91 fl. 19. Juli. L. Rsiner in NöälinZ sendet eine Rimesse von 750 fl. aus I. LuZIsr in Lrürm pr. 20. August, und empfängt auf Zeit: 200 LZ. Rio d, 168, 250 LZ. Melis ä 43, 100 „ Tafelöl u 82, 100 „ Weinbeeren a 27. Tageslosuug 85 fl. 20. Juli. Löse mein heute fülliges Accept mit 265 fl. 20 kr. ein. Tageslosung 78 fl. 21. Juli. Erhalte von 0. Lünk in Lrüvu: 1 Fass Rasfinad, Lrutto 412 LZ., Tara 23 LZ., ä 44, 2 Fässer Melis „ 883 „ „ 47 „ ä 39, und giriere an ihn meine Rimesse von 750 fl. auf /1. LuZlor in Lrüna pr. 20 August. An Spesen für die Sendung zahle ich 9 fl. 20 kr. Tageslosung 83 fl. 22. Juli. Leiste an N. Liolltsr hier eine Barzahlung von 500 fl. und empfange von ihm: 200 LZ. Rasfinad ä 44 und 500 LZ. Melis g, 40 fl. Tageslosung 98 fl. 24. Juli. 0. Huber in LuuäsuburZ sendet eine Barzahlung von 450 fl. Tageslosung 86 fl. 25. Juli. Liefere an L. Leobuer hier auf Zeit: IM LZ. Rasfinad L 47 und 2M LZ. Melis ä 44. Tageslosung 87 fl. 270 26. Juli. Verkaufe an .1. saollo hier gegen bar: 50 LZ. Java ü 178, 100 XZ. Tafelöl u 84, 100 „ Reis L 24 50 „ Weinbeeren L 27. Tageslosung 116 fl. 27. Juli. Löse die am 25. August fällige Tratte Ordre 4. Oräks pr. 519 fl. mit 6°/y Discont ein. Tageslosung 84 fl. 28. Juli. 4. kassini in Irisst sendet mir in Folge meines Auf¬ trages, Ziel 2 Monate: 2 Fässer Java, Urutto 478 LZ., Tara 39 !<§., L 147 3 „ Rio, „ 725 „ „ 51 „ s. 123. An Fracht, Eingangszoll und anderen Spesen zahle ich 256 fl. 40 kr. Tagcslosnng 93 fl. 29. Juli. O. Norita in HaiullnrZ sendet 100 Stück kais. Ducaten ein, welche für seine Rechnung ü 5 fl. 28 kr. verkauft werden; Sensarie Tagcslosnng 133 fl. 30. Juli. Für kleine Gewölbsspesen im Monate Juli 28 fl. Das Gewölbe führt die Losung von 98 fl. ab und weiset nach: Warenvorräthe im Werte von 539 fl. Kleine Gewölbsschulden 205 fl. mit 3°/„ Abzug. Am 31. Juli schreitet man zum Abschlüsse der Bücher und zur Auf¬ stellung der Inventur, wobei wir annehmen wollen, dass der Cassabestand mit dem Saldo des Cassabuches übereinstimmt, und dass die Waren so vorgefunden werden, wie sie das Warenbuch ausweisct. Die Mobilien und Utensilien sollen zu dem anfänglichen Werte mit 1°/g Abzug in Rechnung gebracht werden. a) Wie groß ist das schließliche Activ-, Passiv- und das reine Ver¬ mögen? b) Wie groß ist der in dem einmonatlichen Geschäfte erzielte Erfolg? Inhalts-Verzeichnis Seite Kinkeitung. i Krster Abschnitt. Nie vier Grundrechnungsarten mit besonderen und allgemeinen ganzen Zahlen. 4 I. Dekadisches Zahlensystem 4 II. Addition . 6 III. Subtraction 10 IV. Multiplication . 18 V. Division . 28 VI. Wiederholungsaufgaben 37 Iweiter Abschnitt. Die vier Grundrechnungsarten mit algebraischen ganzen Zahlen. 38 1. Negative Zahlen .. 38 2. Addition und Subtraction algebraischer Zahlen 40 3. Multiplication und Division algebraischer Zahlen 43 4. Wiederholungsanfgaben . 45 Dritter KV schnitt. Thrilbarkrit der Zahlen 47 1. Allgemeine Sätze 47 2. Kennzeichen der Theilbarkeit dekadischer Zahlen 49 3. Zerlegung in Factoren. 51 4. Vom größten gemeinschaftlichen Maße 53 5. Vom kleinsten gemeinschaftlichen Vielfachen 55 6. Wiederholungsaufgaben . 57 Werter Abschnitt. Mir vier Grundrcchnungsartrn mit gebrochenen Zahlen. ^8 I. Gemeine Brüche 59 II. Decirnalbrüche .. 71 III. Wiederholungsaufgaben 81 Aünfter Aö schnitt. Gleichungen des ersten Grades mit einer Unbe¬ kannten . 83 1. Auslösung der Gleichungen 84 2. Anwendung der Gleichungen 87 3. Wiederholungsaufgaben . 95 Sechster Abschnitt. Verhältnisse und Proportionen 1. Verhältnisse 2. Proportionen . 3. Anwendung der Proportionen . . . . 4. Wiederholungsaufgaben. 97 97 99 104 11l Seite Siebenter Abschnitt. Die wichtigsten Verhältnisrrchnungrn des bürger¬ lichen und kaufmännischen Rechnens... 113 1. Die Procentrechrmng. 113 II. Die Zinsrechnung "...123 1. Einfache Zinsrechnung.123 2. Discontrechnung ..128 3. Terminrechnung ..: . . . . 130 4. Zinseszinsrechnung.133 III. Die Theilregel.138 IV. Die Mischnngsrechnung . ..142 V. Die Kettenrechnung ..144 VI. Die Münzrechnung.147 VII. Die Wechselrechnung.151 VIII. Berechnung der Staatspapiere und Actieu.156 IX. Wiederholungsaufgaben.159 Achter Abschnitt. Patenten mrd Wurzeln...163 I. Potenzieren.163 II. Wurzelausziehen . ..174 III. Wiederholungsanfgaben.191 Neunter Abschnitt. Gleichungen des ersten Grades mit mehreren Unbekannten. 194 I- Auflösung der Gleichungen mit zwei Unbekannten.194 II. Auflösung der Gleichungen mit drei oder mehreren Unbekannten . . 198 IV. Wiederholungsaufgaben.207 Zehnter Abschnitt. Gleichungen des Metten Grabes mit einer Un¬ bekannten .211 I. Auflösung der Gleichungen des zweiten Grades .211 II. Anwendung der Gleichungen des zweiten Grades.217 III. Wiederholungsaufgaben.220 Kikster Abschnitt. Logarithmen. 226 I. Von den Logarithmen überhaupt.226 II. Von den Brigg'schen Logarithmen.-.230 III. Wiederholungsaufgaben. 239 Anhang. Grundlüge der einfachen Buchführung. 246 Allgemeine Erklärungen.246 I. Die einfache kaufmännische Buchführung .250 II. Die einfache gewerbliche Buchführung... 264 III. Entwurf eines einmonatlichen Geschäftes zur Übung in der praktischen Durchführung. -.266 JErnpfrchlensrvrrche Hilfsbüchrr für Lrhrer n. Lehrerbildungsanstalten. Lehrbuch der besonderen und allgemeinen Arithmetik für Lehrerinnenbildungsanstalten. Von vr. Fran; Ritter von Močnik. gr. 8°. 246 Seiten. Die Unterklasse. Eine Anleitung zur Behandlung des Unterrichtes in der Fibelklasse. Von Fran; Herrmann. Preis geb. 50 kr. Anleitung zur Behandlung der sogenannten russischen Rechenmaschine. gr. 4°. Preis geh. 16 kr. Der Re^enunierri^t in äer Ro^s^nse. Eine Anleitung für Lehrer zum Gebrauche der Rechenbücher für Volksschulen. Von vr. Fran; Ritter von Mornkk. Zweite, nach den neuen Lehrplänen nmgearbeitete Anflage. Preis gebunden 95 kr. Handbuch für dm ^iechemmterricht. Mit zahlreichen Aufgaben für das mündliche Itechnen an Volks- u. Bürgerschulen. Bon Bnrgerschuldirector Johann Raget. "rster Baud. 1. Abteilung. H. und II. Stnfe.» gr. 8°. Preis geh. 25 kr „ 2. Abtheiluna. (III. und IV. Stufe.) gr. 8". Preis geh. 40 kr. tcr Baud. (V., VI. und 'VII. Stufe) gr. 8°. Preis geh. 50 kr. Die geometrische Formenlehre in der Volksschule. ine Anleitung für Lehrer zur Erthcilnng des geometrischen Unterrichtes. Von vr. Fran; Ritter von Mornkk. Preis geh. 35 kr. Mehrung liber die Landwirtschaft. Von A. W. Freiherrn von Rado, Director der Wein- und Obstbaumschule in Klosterneuburg. Preis geh. 30 kr. Irak tische Hrgekschul'e. Für Prüparanden. Von Johann Friedrich Kittl. gr. 4°. Preis geh. 60 kr. Vertag von F. Tempsky in Prag. Druck von Heinr. Mercy in Prag. 006158 s Li cs (S ki 8K00Ä8K