OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO IZDAJA DRUŠTVO MATEMATIKOV, FIZIKOV IN ASTRONOMOV SLOVENIJE ISSN 0473-7466 MAREC 2022 STR 1-40 ŠT. 1 LETNIK 69 LJUBLJANA OBZORNIK MAT. FIZ. C K M Y 2022 Letnik 69 1 i i “kolofon” — 2022/3/8 — 10:38 — page 1 — #1 i i i i i i OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Glasilo Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije Ljubljana, MAREC 2022, letnik 69, številka 1, strani 1–40 Naslov uredništva: DMFA–založništvo, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana Telefon: (01) 4766 633, 4232 460 Telefaks: (01) 4232 460, 2517 281 Elektronska pošta: zaloznistvo@dmfa.si Internet: http://www.obzornik.si/ Transakcijski raˇ cun: 03100–1000018787 Mednarodna nakazila: SKB banka d.d., Ajdovšˇ cina 4, 1513 Ljubljana SWIFT (BIC): SKBASI2X IBAN: SI56 0310 0100 0018 787 Uredniški odbor: Peter Legiša (glavni urednik), Sašo Strle (urednik za matematiko in odgovorni urednik), Aleš Mohoriˇ c (urednik za fiziko), Mirko Dobovišek, Irena Drevenšek Olenik, Damjan Kobal, Petar Paveši´ c, Marko Petkovšek, Marko Razpet, Nada Razpet, Peter Šemrl, Matjaž Zaveršnik (tehniˇ cni urednik). Jezikovno pregledal Grega Rihtar. Raˇ cunalniško stavila in oblikovala Tadeja Šekoranja. Natisnila tiskarna COLLEGIUM GRAPHICUM v nakladi 1100 izvodov. ˇ Clani društva prejemajo Obzornik brezplaˇ cno. Celoletna ˇ clanarina znaša 24 EUR, za druge družinske ˇ clane in študente pa 12 EUR. Naroˇ cnina za ustanove je 30 EUR, za tujino 35 EUR. Posamezna številka za ˇ clane stane 6,00 EUR, stare številke 3,00 EUR. DMFA je vˇ clanjeno v Evropsko matematiˇ cno društvo (EMS), v Mednarodno matematiˇ cno unijo (IMU), v Evropsko fizikalno društvo (EPS) in v Mednarodno združenje za ˇ cisto in uporabno fiziko (IUPAP). DMFA ima pogodbo o reciproˇ cnosti z Ameriškim matematiˇ c- nim društvom (AMS). Revija izhaja praviloma vsak tretji mesec. Sofinancira jo Javna agencija za raziskovalno dejavnost Republike Slovenije iz sredstev državnega proraˇ cuna iz naslova razpisa za sofi- nanciranje domaˇ cih znanstvenih periodiˇ cnih publikacij. © 2022 DMFA Slovenije – 2150 Poštnina plaˇ cana pri pošti 1102 Ljubljana NAVODILA SODELAVCEM OBZORNIKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV Revija Obzornik za matematiko in fiziko objavlja izvirne znanstvene in strokovne ˇ clanke iz mate- matike, fizike in astronomije, vˇ casih tudi kak prevod. Poleg ˇ clankov objavlja prikaze novih knjig s teh podroˇ cij, poroˇ cila o dejavnosti Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije ter vesti o drugih pomembnih dogodkih v okviru omenjenih znanstvenih ved. Prispevki naj bodo zanimivi in razumljivi širšemu krogu bralcev, diplomantov iz omenjenih strok. ˇ Clanek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev), sedež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo), izvle- ˇ cek v slovenskem jeziku, naslov in izvleˇ cek v angleškem jeziku, klasifikacijo (MSC oziroma PACS) in citirano literaturo. Slike in tabele, ki naj bodo oštevilˇ cene, morajo imeti dovolj izˇ crpen opis, da jih lahko veˇ cinoma razumemo tudi loˇ ceno od besedila. Avtorji ˇ clankov, ki želijo objaviti slike iz drugih virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (copyright). Prispevki so lahko oddani v raˇ cunalni- ški datoteki PDF ali pa natisnjeni enostransko na belem papirju formata A4. Zaželena velikost ˇ crk je 12 pt, razmik med vrsticami pa vsaj 18 pt. Prispevke pošljite odgovornemu uredniku ali uredniku za matematiko oziroma fiziko na zgoraj na- pisani naslov uredništva. Vsak ˇ clanek se praviloma pošlje dvema anonimnima recenzentoma, ki morata predvsem natanˇ cno oceniti, kako je obravnavana tema predstavljena, manj pomembna pa je originalnost (in pri matematiˇ cnih ˇ clankih splošnost) rezultatov. ˇ Ce je prispevek sprejet v objavo, potem urednik prosi avtorja še za izvorne raˇ cunalniške datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane v eni od standardnih razliˇ cic urejevalnikov T E X oziroma L A T E X, kar bo olajšalo uredniški postopek. Avtor se z oddajo ˇ clanka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu. i i \Razpet" | 2022/3/21 | 8:13 | page 1 | #1 i i i i i i OFIURIDA ALI KA CJEREPNICA MARKO RAZPET IN NADA RAZPET Pedago ska fakulteta Univerza v Ljubljani Math. Subj. Class. (2010): 14H45, 51M15 Predstavljamo ourido, manj znano ravninsko krivuljo, ki jo je prvi obravnaval D. Uhlhorn na za cetku 19. stoletja. Ourida je mno zica to ck, ki jih dobimo s preprostim geometrijskim postopkom, je pa tudi no zi s cna krivulja parabole, inverzna slika hiperbole ter cisoida premice in kro znice. Pokazali bomo, da z ourido lahko re sujemo nekatere kubi cne ena cbe. OPHIURIDE We introduce the ophiuride, a lesser-known planar curve, rst discussed by D. Uhlhorn at the beginning of the 19th century. An ophiuride is a set of points obtained by a simple geometric procedure, but it is also a pedal curve of a parabola, the inverse of a hyperbola, and the cissoid of a line and a circle. We will show that the ophiuride can be used to solve some cubic equations. Uvod Nem ski samouk in iznajditelj Diedrich (tudi Diederich) Uhlhorn (1764{1837) je ze v delavnici svojega o ceta, mizarja, in kasneje v svoji poklicni karieri po- kazal velik talent za izdelavo mehanskih in opti cnih naprav. Samostojno se je nau cil toliko matematike, da je lahko za cel studirati krivulje. D. Uhlhorn je opazoval na delujo cih strojih gibanje to ck, ki opisujejo razne krivulje. Verjetno so bile le-te navdih, da je leta 1809 objavil knjigo [5], v kateri je precej natan cno obravnaval ve c ravninskih krivulj, ki jim je dal tudi imena, jih zapisal v pravokotnih kartezi cnih koordinatah in dognal njihove glavne lastnosti, pri cemer je uporabljal tudi odvod. Za nekatere krivulje je izde- lal in na koncu knjige objavil na crte orodij, s katerimi bi te krivulje lahko na crtovali. D. Uhlhorn v svoji knjigi na prvem mestu obravnava ravno ourido in njeno uporabo ter opi se orodje za njeno na crtovanje. Posveti ji kar 40 strani. Besedo ourida izvaja iz gr skih besed os , kar pomeni ka ca , v nem- s cini Schlange, in our a, kar pomeni rep, v nem s cini Schwanz. Iz tega je za ourido D. Uhlhorn sestavil nem sko besedo Schlangenschwanzlinie, kar pomeni dobesedno ka cjerepa crta , lep se in kraj se ka cjerepnica . Obzornik mat. fiz.69 (2022) 1 1 i i \Razpet" | 2022/3/21 | 8:13 | page 2 | #2 i i i i i i Marko Razpet in Nada Razpet D. Uhlhorn uporablja ourido tudi za re sitev anti cnih problemov pod- vojitve kocke in tretjinjenje kota. Anti cni matematiki so sicer uporabljali nekaj krivulj za re sevanje teh dveh problemov, ni pa videti, da bi poznali tudi ourido. Vse ka ze, da je bil D. Uhlhorn prvi, ki se je kar natan cno ukvarjal z njo (glej [2]). Na crtovanje z njegovim orodjem pa nas se najbolj spominja na znano Platonovo re sitev problema podvojitve kocke z dvema kotnikoma, o cemer je nekaj napisanega v [3]. Ourida je ravninska krivulja, ki jo dolo cajo trije podatki: premica p, izbrana to cka O na p in izbrana to cka A, ki ni na p. Premica p in to cki O ter A so za izbrano ourido stalnice. Slika 1. Konstrukcija to cke na ouridi. Oglejmo si, kako najenostavneje konstruiramo posamezne to cke T na ouridi, ki jo dolo cajo p, O in A. Najprej na p izberemo to cko M in kon- struiramo premico q skozi A in M. Nato konstruiramo v M pravokotnico r na q, nazadnje pa se pravokotnico s skozi O na r. Premici q in s sta vzporedni. Premici r in s se sekata v to cki T . Ko to cka M prete ce p, to cka T opi se krivuljo, ki jo zaradi njene oblike imenujemo ourida . Del krivulje ima obliko zanke (slika 1). Analiti cna obravnava ouride Tako kot D. Uhlhorn bomo ourido obravnavali z metodami analiti cne ge- ometrije. Dodali pa bomo se marsikaj, kar mu ni bilo znano. Vpeljemo pravokotni kartezi cni koordinatni sistem Oxy. Vlogo premicep bo igrala os x, vlogo to cke O koordinatno izhodi s ce, to cka A(a;b) pa naj bo v prvem 2 Obzornik mat. fiz.69 (2022) 1 i i \Razpet" | 2022/3/21 | 8:13 | page 3 | #3 i i i i i i Ofiurida ali kaˇ cjerepnica kvadrantu. Pozitivni stevili a in b ourido v koordinatnem sistemu Oxy natan cno dolo cata. Pravokotna projekcija to cke A na osx je to cka A ′ (a; 0), na ordinatno os pa to cka A ′′ (0;b). To cka A je od O oddaljena za c= √ a 2 +b 2 . Slika 2. Ourida v koordinatnem sistemu. Vpeljemo relativno absciso to cke M glede naA ′ , tako da jeM(a+; 0). Brez te zav zapi semo ena cbe premic q, r in s: q∶ y =− b (x−a− ); r∶ y = b (x−a− ); s∶ y =− b x: To cka T na ouridi je presek premic r in s in ima koordinati x T = (a+ ) 2 b 2 + 2 ; y T =− b(a+ ) b 2 + 2 : Da bi ourido cim lep se parametrizirali, vpeljemo z relacijo =−bt stevilski parameter t in dobimo: x(t)= (a−bt)t 2 1+t 2 ; y(t)= (a−bt)t 1+t 2 : (1) To sta parametri cni ena cbi ouride. Takoj opazimo, da Sx(t)S→∞ iny(t)→ −b, ko StS→∞. To pomeni, da je y =−b vodoravna asimptota ouride. Ko parameter t nara s ca od zelo velikih negativnih vrednosti proti 0, to cka T potuje v cetrtem kvadrantu, njena abscisa se manj sa, ordinata pa dose ze nekje najmanj so vrednost, ki jo bomo kasneje izra cunali. Za t<−b~a poteka ourida pod svojo asimptoto, za t = −b~a jo preseka v to cki B(b 2 ~a;−b), za −b~a < t < 0 pa poteka nad asimptoto in za t = 0 dose ze koordinatno izhodi s ce O. V cetrtem kvadrantu ima ourida tudi prevoj. Za t = a~b 1–14 3 i i \Razpet" | 2022/3/21 | 8:13 | page 4 | #4 i i i i i i Marko Razpet in Nada Razpet dose ze T se enkrat to cko O, za t∈ [0;a~b] opi se v negativni smeri v prvem kvadrantu zanko, katere velikost je odvisna od razmerja konstanta inb. Ko t nara s ca od a~b prek vseh meja, potuje T po tretjem kvadrantu in se od zgoraj pribli zuje asimptoti ouride. Iz ena cb (1) vidimo, da velja zveza x(t)~y(t)=t. Z izlo citvijo parametra t najdemo implicitno ena cbo ouride: y(x 2 +y 2 )=x(ay−bx): (2) Ourida je algebrska krivulja tretje stopnje in je dolo cena s konstantama a inb. Ker se jo da parametrizirati z racionalnima funkcijama, je racionalna krivulja. D. Uhlhorn je njeno implicitno ena cbo na sel, ni pa se ukvarjal z njeno parametrizacijo. Ena cba (2) je kvadratna za spremenljivko x, ki se jo da izraziti zy. D. Uhlhorn je vztrajal pri tem in na sel ve c lastnosti ouride. Videli bomo, da se jo da lepo obravnavati v parametri cni obliki. V ena cbi (2) pravzaprav lahko dovolimo tudi negativne konstante a ali b. Iz ouride s konstantama SaS in SbS dobimo ouride za vse primere s preprostimi transformacijami, in sicer: za a> 0 inb< 0 z zrcaljenjem cez os x, zaa< 0 inb> 0 z zrcaljenjem cez os y ter zaa< 0 inb< 0 z zrcaljenjem cez koordinatno izhodi s ce (slika 3). To ustreza izbiri to cke A glede na premicop in to cko O na njej (slika 1) oziroma postavitvi to cke A v ustrezen kvadrant. Slika 3. Ourida in predznaka konstant a in b. 4 Obzornik mat. fiz.69 (2022) 1 i i \Razpet" | 2022/3/21 | 8:13 | page 5 | #5 i i i i i i Ofiurida ali kaˇ cjerepnica Kaj pa, ce dovolimo, da je v ena cbi (2) katera od konstant a in b enaka 0? Za a = b = 0 dobimo kar abscisno os, y = 0. Za a = 0 in b ≠ 0 pa x 2 (y +b) = −y 3 , kar je ena cba Dioklove cisoide, ki ima v to cki O ost z navpi cno tangento in ne zanke ter vodoravno asimptoto y =−b. Ugotovitvi nista v nasprotju z denicijo ouride v Uvodu. Za a ≠ 0 in b = 0 dobimo iz ena cbe (2) ena cbo y(x 2 +y 2 −ax) = 0, ki predstavlja unijo premice y = 0 in kro znice x 2 +y 2 −ax = 0 s sredi s cem v to cki S(a~2; 0) in polmerom % = SaS~2. Tudi ta ugotovitev ni v nasprotju z uvodno denicijo ouride. To cka A ≠ O v tem primeru le zi na premici p (slika 1). Za M ≠ A dobimo vse to cke T na p. Za M = A pa je treba upo stevati vse premice q skozi A, vse pravokotnice r skozi A na q in vse pravokotne projekcije to cke O na r. S tem dobimo to cke T , ki le zijo na kro znici s sredi s cem v sredi s cu daljice OA in polmerom %= SOAS~2. Zato lahko brez skode za splo snost obravnavamo samo primer a > 0 in b > 0. Za zelo majhne x in y v (2) prevlada desna stran. To pomeni, da je pribli zek ouride tedaj krivulja x(ay−bx)= 0, ki pa razpade na premici x = 0 in ay = bx, ki sta tangenti na ourido v njeni dvojni to cki O. Prva poteka skozi O in A ′′ , druga pa skozi O in A (slika 4). Slika 4. Tangenti na ourido v njeni dvojni to cki. Parametri cna oblika ouride je primerna za izra cun plo s cine S(a;b) lika, ki ga omejuje njena zanka. Uporabimo formulo S(a;b)=− 1 2 S a~b 0 (x(t) _ y(t)−y(t) _ x(t))dt; v kateri je s piko ozna cen odvod po parametru t. Predznak minus stoji pred integralom zato, ker to cka T(x(t);y(t)) opi se zanko v negativni smeri, ko t 1–14 5 i i \Razpet" | 2022/3/21 | 8:13 | page 6 | #6 i i i i i i Marko Razpet in Nada Razpet te ce po integracijskem intervalu. Po dalj sem ra cunu dobimo: S(a;b)= 1 2 S a~b 0 t 2 (a−bt) 2 (1+t 2 ) 2 dt= 1 4 (a 2 − 3b 2 ) arctg a b + 3ab 4 −ab ln c b ; kjer je c = √ a 2 +b 2 . V posebnem primeru a = 0;b ≠ 0 je S(0;b) = 0, kar ni presenetljivo, saj ourida, ko a→ 0 pri b ≠ 0, preide v Dioklovo cisoido, zanka ouride pa se stisne v to cko. Ourida kot cisoida premice in kro znice To cko O pravokotno projicirajmo na premico q (slika 5). Dobimo to cko P , premico skozi O in P pa ozna cimo z n. Ena cba premice n je by = x . Preprost ra cun poka ze, da ima to cka P koordinati x P = b 2 (a+ ) b 2 + 2 ; y P = b (a+ ) b 2 + 2 : Ni te zko videti, da koordinati to cke P zado s cata ena cbi kro znice x 2 +y 2 =ax+by; ki je o crtana pravokotniku OA ′ AA ′′ . Njeno sredi s ce je v to cki S(a~2;b~2), polmer pa c~2. Ko te ce M po premici p, te ce P po tej kro znici. Premica n preseka premico y =b v to cki Q(b 2 ~;b ). Za vektor —⇀ QP v standardni bazi dobimo —⇀ QP = b 2 (a −b 2 ) (b 2 + 2 ) ; b(a −b 2 ) b 2 + 2 : Ce vpeljemo nov stevilski parameter z relacijo =b, dobimo —⇀ QP = (a−b ) 2 1+ 2 ; (a−b ) 1+ 2 : Na premici n dolo cimo to cko T ′ tako, da velja ——⇀ OT ′ = —⇀ QP . To pa pomeni, daT ′ te ce po ouridi, ko M te ce po premici p. Ourida (2) je torej v smislu denicij v [1, 4] cisoida premice y =b in kro znice x 2 +y 2 =ax+by. Do enakega rezultata pridemo tudi, ce ourido (2) zapi semo v polarnih koordinatah: r =a cos’+b sin’−b~ sin’: 6 Obzornik mat. fiz.69 (2022) 1 i i \Razpet" | 2022/3/21 | 8:13 | page 7 | #7 i i i i i i Ofiurida ali kaˇ cjerepnica Slika 5. Ourida in kro znica. Ourida kot no zi s cna krivulja parabole Ko spreminjamo to cko M po premici p, premice r ogrinjajo neko krivuljo. Poi s cemo jo po standardnem postopku. Enoparametri cna dru zina premic r je dana z ena cbo F(x;y; )=by− (x−a− )= 0: Njihovo ogrinja co, ovojnico ali envelopo dobimo, ce iz sistema ena cb F(x;y; )= 0; @F @ (x;y; )= 0 izlo cimo parameter . Rezultat je preprost. Iskana ogrinja ca je parabola 4by = (x−a) 2 : (3) Njeno teme je to cka A ′ (a; 0), gori s ce je to cka A(a;b), vodnicav pa asimptota ouride. To cke T so pravokotne projekcije ali no zi s ca to cke O na tangente te parabole. To pomeni, da je ourida no zi s cna krivulja parabole glede na to cko na njeni temenski tangenti (slika 6). V kateri to cki T 0 (x 0 ;y 0 ) se ourida in parabola dotikata? Da bi odgo- vorili na to vpra sanje, moramo re siti sistem ena cb (2) in (3). Ko izlo cimo neznanko y, dobimo (x 3 − 3ax 2 +(3a 2 + 8b 2 )x−a 3 ) 2 = 0. Re siti je treba ku- bi cno ena cbo x 3 −3ax 2 +(3a 2 +8b 2 )x−a 3 = 0, ki se po uvedbi nove neznanke 1–14 7 i i \Razpet" | 2022/3/21 | 8:13 | page 8 | #8 i i i i i i Marko Razpet in Nada Razpet Slika 6. Ourida in parabola. =x−a prevede v enostavnej so: 3 + 8b 2 + 8ab 2 = 0. Po Cardanu dobimo realen koren 0 = √ 3 3 3 … 4b 2 ( − 3a √ 3)− 3 … 4b 2 ( + 3a √ 3) ; pri cemer je = √ 27a 2 + 32b 2 . Iskana to cka je torej T 0 ( 0 +a; 2 0 ~(4b)). Izka ze se, da je ta to cka na zanki ouride od njene dvojne to cke O najbolj oddaljena. Premica r se parabole dotika v to cki D(a+ 2; 2 ~b). Pravokotna pro- jekcija dotikali s ca D na vodnico v parabole je D ′ (a+ 2; −b) in premica r, tangenta na parabolo v D, je simetrala daljice AD ′ . To lastnost lahko iz- koristimo za konstrukcijo kubi cnega korena z metodo prepogibanja papirja, kar bomo naredili na koncu prispevka. Ourida in hiperbola Kaj dobimo z inverzijo ouride (2) na kro znici x 2 +y 2 = a 2 ? Inverzija na taki kro znici je preslikava ∶ (x;y)z→ a 2 x x 2 +y 2 ; a 2 y x 2 +y 2 : 8 Obzornik mat. fiz.69 (2022) 1 i i \Razpet" | 2022/3/21 | 8:13 | page 9 | #9 i i i i i i Ofiurida ali kaˇ cjerepnica Ko jo uporabimo v ena cbi ouride in dobljeni izraz poenostavimo, dobimo ena cbo axy−bx 2 =a 2 y, iz katere sledi y = bx 2 a(x−a) = bx a +b+ ab x−a : Iskana krivulja je sto znica, in sicer hiperbola z asimptotama x=a in y = bx a +b: Prese ci s ce asimptot je sredi s ce S h (a; 2b) hiperbole (slika 7). Slika 7. Ourida in hiperbola. Po sevna asimptota hiperbole je vzporedna tangenti na ourido v to cki O. Inverzija seveda preslika hiperbolo nazaj v ourido. Kaj pa asimp- toti? Navpi cna asimptota se preslika v kro znico x 2 +y 2 = ax s sredi s cem v to cki S 1 (a~2; 0) in polmerom % 1 =a~2 in se dotika navpi cne tangente na ourido v O, po sevna pa v kro znico b(x 2 +y 2 ) = a 2 y−abx s sredi s cem v to cki S 2 (a~2;a 2 ~(2b)) in polmerom % 2 = ac~(2b). Ta kro znica se v O do- tika po sevne tangente na ourido v O. Sredi s ce S 2 le zi namre c na premici by =−ax, ki je pravokotna na po sevno tangento na ourido v O. Opazimo tudi, da je prvi polmer odvisen le od konstante a. Obe kro znici, inverzni sliki asimptot hiperbole, sta tudi pritisnjeni kro- znici na ourido v to cki O. Kako to vidimo? V to cki, ki jo dolo ca parameter t, je krivinski polmer 1–14 9 i i \Razpet" | 2022/3/21 | 8:13 | page 10 | #10 i i i i i i Marko Razpet in Nada Razpet (t)= ( _ x 2 (t)+ _ y 2 (t)) 3~2 S _ x(t)y(t)− x(t) _ y(t)S = (a 2 − 4abt+ 4b 2 t 2 +b 2 t 4 ) 3~2 2Sa 2 − 3abt+ 3b 2 t 2 +abt 3 S : (4) Za t= 0 in t=a~b res dobimo % 1 = (0)= a 2 ; % 2 = (a~b)= ac 2b : To ni ni c cudnega in je v soglasju s tisto lastnostjo inverzije na kro znici, ki pravi, da inverzija ohranja kote med krivuljami. Ourida s pritisnjenima kro znicama v O vred se z inverzijo preslika v hiperbolo in njeni asimptoti. Asimptoti sta tangenti na hiperbolo v neskon cnosti. Ekstremne to cke in prevoj ouride Kje ima ourida ekstremne to cke? Katere to cke na njej imajo lokalne ek- stremne ordinate, katere lokalne ekstremne abscise? Odgovor se skriva v odvodih funkcij v (1): _ x(t)= t(2a− 3bt−bt 3 ) (1+t 2 ) 2 ; _ y(t)= a− 2bt−at 2 (1+t 2 ) 2 : Najla ze je poiskati t za ekstremni ordinati, v katerih je _ y(t)= 0. Re sitvi kvadratne ena cbe at 2 + 2bt−a = 0 sta t 1;2 = (−b±c)~a, iz katerih dobimo to cki Y (c−b) 2 2a ; c−b 2 ; Z (c+b) 2 2a ;− c+b 2 : To cka Y ima najve cjo ordinato na ouridi, to cka Z pa najmanj so. V teh dveh to ckah je tangenta na ourido vodoravna (slika 8). Te ze pa je najti na ouridi to cko X z lokalno ekstremno absciso. Ce postavimo _ x(t) = 0, dobimo t = 0 za dvojno to cko O, v kateri ima abscisa ouride najmanj so vrednost, ce upo stevamo samo lok od Z doY , netrivialno re sitev na zanki pa dobimo, ce re simo kubi cno ena cbo bt 3 +3bt−2a= 0. Njeno edino realno re sitev t 0 izrazimo po Cardanu: t 0 = 3 ‰ a+c b + 3 ‰ a−c b : Da bi izra cunali X(x(t 0 ;y(t 0 )), izkoristimo zvezo bt 3 0 + 3bt 0 − 2a =bt 0 (t 2 0 + 1)− 2(a−bt 0 )= 0, iz cesar takoj sledi y(t 0 )= t 0 (a−bt 0 ) 1+t 2 0 = bt 2 0 2 ; x(t 0 )=t 0 y(t 0 )= bt 3 0 2 =a− 3bt 0 2 : 10 Obzornik mat. fiz.69 (2022) 1 i i \Razpet" | 2022/3/21 | 8:13 | page 11 | #11 i i i i i i Ofiurida ali kaˇ cjerepnica Lokalno najve cjo absciso ima torej ourida v to cki X a− 3 2 3 » (a+c)b 2 + 3 » (a−c)b 2 ; 1 2 3 » (a+c) 2 b+ 3 » (a−c) 2 b −b : Slika 8. Lokalno ekstremne to cke in prevoj ouride. V prevoju W ouride je njena ukrivljenost, to je obratna vrednost kri- vinskega polmera (t), enaka 0. To pomeni, da mora v prevoju parametert zado s cati ena cbi a 2 −3abt+3b 2 t 2 +abt 3 = 0. Te ena cbe ne bomo re sevali, pa c pa bomo upo stevali, da v vsaki to cki T(x;y) veljax~y =t. To uporabimo v zgornji ena cbi, ki jo poenostavimo v abx 3 +3b 2 x 2 y−3abxy 2 +a 2 y 3 = 0, iz (2) pa izrazimoy 3 =axy−bx 2 −x 2 y. Iz obeh ena cb dobimo x(bx−ay)(ax+3by−a 2 )= 0. Ena cba razpade na tri: x = 0, bx−ay = 0 in ax+ 3by−a 2 = 0. Prvi dve nam dasta to cko O, kjer ni prevoja. Prevoj ouride je potemtakem na pre- miciax+3by =a 2 . Za koordinati prevojaW dobimo kubi cni ena cbi, katerih realni re sitvi se izra zata precej zapleteno. Ourida, kubi cne ena cbe in tretjinjenje kota Z ouridami lahko re sujemo tudi kubi cne ena cbe z realnimi koecienti in posledi cno tudi tretjinimo kote. Znano je, da lahko vsako kubi cno ena cbo s premikom neznanke pretvorimo v obliko y 3 +py+q = 0: (5) Ce preoblikujemo ena cbo ouride (2) v kubi cno ena cbo glede na y, tudi dobimo tako obliko: y 3 +(x 2 −ax)y+bx 2 = 0: (6) 1–14 11 i i \Razpet" | 2022/3/21 | 8:13 | page 12 | #12 i i i i i i Marko Razpet in Nada Razpet S primerjavo koecientov v ena cbah (5) in (6) dobimo p=x 2 −ax; q =bx 2 . Ce sta p in q realna koecienta, izberemo primeren x 0 ≠ 0 in dolo cimo konstanti ouride: a= x 2 0 −p x 0 ; b= q x 2 0 : Na crtamo ustrezno ourido, ki ima eno od oblik na sliki 3. Ordinate prese- ci s c s premico x=x 0 so realne re sitve ena cbe (5). Slika 9. Re sitev ena cb y 3 = 2a 3 (levo) in y 3 − 13y+ 12= 0 (desno) z ourido. Najprej re simo ena cbo y 3 − 2a 3 = 0 za a > 0. Njen realni koren je y 0 = a 3 √ 2. Tedaj je p = 0, q =−2a 3 , a =x 0 in b =−2a. Z ourido s konstantama a in b=−2a tako gra cno re simo problem podvojitve kocke. Na sliki 9 levo je a = SOA ′ S in a 3 √ 2 = SA ′ S. Tako je, kot ka ze, D. Uhlhorn na svojevrsten na cin re sil problem podvojitve kocke. Podobno re sujemo ena cbo y 3 − 13y+ 12= 0. Zax 0 = 1 dobimo konstanti ouride a= 14 in b= 12 (slika 9 desno). Neprakti cnost take metode re sevanja kubi cnih ena cb, cesar se je zavedal D. Uhlhorn, je v tem, da je za vsako ena cbo treba dolo citi konstanti a in b ouride. Tretjinjenje kota lahko obravnavamo v okviru kubi cnih ena cb. Ce je namre c = 3 , velja enakost 4 cos 3 − 3 cos = cos , kar pomeni, da pri znanem kotu stevilo y = cos zado s ca kubi cni ena cbi y 3 − 3 4 y− 1 4 cos = 0; ki je oblike (5) in jo lahko re sujemo z ustrezno ourido. Dovolj je, da znamo 12 Obzornik mat. fiz.69 (2022) 1 i i \Razpet" | 2022/3/21 | 8:13 | page 13 | #13 i i i i i i Ofiurida ali kaˇ cjerepnica to narediti za oster kot . Tedaj sta cos in cos s kotoma in natan cno dolo cena, kar pomeni, da pri izbrani enoti lahko za kot konstruiramo cos , iz dobljenega cos pa kot . Ourida in prepogibanje papirja Ourido (2) preseka premica u, ki ima ena cbo x = a in poteka skozi A in A ′ , v to cki T(a;− 3 √ a 2 b) (slika 10). Tedaj je SA ′ TS = 3 √ a 2 b. Premica r je tangenta na parabolo (ogrinja co premic skozi M in to cke na ouridi) v to cki D in poteka skozi M(a+; 0) in T , je pa tudi simetrala daljice AD ′ . Iz podobnih trikotnikov OTA ′ in TMA ′ dobimo = SA ′ MS= 3 √ ab 2 . Ce zrcalimo O cez r, dobimo to cko O ∗ na premici w, ki ima ena cbo x= 2a. Premicav, ki ima ena cbo y =−b, pa se prezrcali cez r v premicov ∗ , ki poteka skozi A. Slika 10. Zrcaljenje cez tangento parabole. Za konstrukcijo daljice z dol zino 3 √ a 2 b uporabimo tanek prosojen papir , na katerem ustvarimo s prepogibanjem med seboj pravokotna prepogiba x iny, ki se sekata v to cki O (slika 11). Nato naredimo se prepogiba u inw, ki sta desno ody oddaljena zaa oziroma 2a. Presek medx inu ozna cimo z A ′ . Nau na razdaljib odx ozna cimo to cko A, podx pa naredimo prepogib v na razdaljib. Nazadnje naredimo prepogib r tako, daO pade vO ∗ naw, A pa vA ∗ nav. Presek premicr inu je to cka T , za katero je SA ′ TS= 3 √ a 2 b. Presek daljice AA ∗ s premico r je to cka M, za katero je SA ′ MS= 3 √ ab 2 . Ce vzamemoa za enoto, je SA ′ TS= 3 √ b, ce pa izberemo za enoto b, pa je SA ′ MS= 3 √ a. S tem smo dvakrat konstruirali tretji koren. 1–14 13 i i \Razpet" | 2022/3/21 | 8:13 | page 14 | #14 i i i i i i Marko Razpet in Nada Razpet Slika 11. S prepogibanjem papirja do SA ′ TS= 3 √ a 2 b in SA ′ MS= 3 √ ab 2 . Naloga namesto zaklju cka Videli smo, da se z inverzijo na kro znici s sredi s cem v dvojni to cki ouride le-ta preslika v hiperbolo, ki tudi poteka skozi to dvojno to cko. Na isti kro znici se hiperbola z inverzijo preslika nazaj v ourido, kar je poseben primer inverzije hiperbole na kro znici, ki ima sredi s ce na tej hiperboli. Ce naredimo inverzijo poljubne hiperbole na kro znici, ki ima sredi s ce na tej hiperboli, dobimo krivuljo, ki spominja na ourido, ni pa nujno ourida. Naloga zahteva poiskati na hiperboli tiste to cke, ki so lahko sredi s ca kro znic, na katerih se ista hiperbola z inverzijo preslika v ourido. V katerih to ckah hiperbole so tangente pravokotne na eno od njenih asimptot? Ali take to cke obstajajo za vsako hiperbolo? LITERATURA [1] D. Haftendorn, Kurven erkunden und verstehen, Springer Spektrum, Wiesbaden, 2017. [2] B. von Pape, Von Eudoxus zu Uhlhorn, Books on Demand, Norderstedt, 2019. [3] M. Razpet in N. Razpet, Prepogibanje papirja, podvojitev kocke in Slusova konhoida, Obzornik. mat. z. 67 (2020), 41{51. [4] A. A. Savelov, Ravninske krivulje, Skolska knjiga, Zagreb, 1979. [5] D. Uhlhorn, Entdeckungen in der hohern Geometrie, theoretisch und practisch abge- handelt, Schulze’sche Buchhandlung, Oldenburg, 1809. 14 Obzornik mat. fiz.69 (2022) 1 i i \Rakovec" | 2022/3/25 | 7:05 | page 15 | #1 i i i i i i NOBELOVA NAGRADA 2021 ZA FIZIKO JO ZE RAKOVEC IN TOMA Z PROSEN Fakulteta za matematiko in ziko Univerza v Ljubljani PACS: 89.75.-k, 92.60.Ry Nobelovo nagrado za ziko 2021 »za prelomne prispevke k na semu razumevanju kom- pleksnih sistemov« so prejeli { eno polovico skupaj dva meteorologa: Syukuro Manabe in Klaus Hasselmann »za zikalno modeliranje klime na Zemlji, kvanticiranje variabilnosti in zanesljivo napovedovanje globalnega segrevanja« in drugo polovico teoreti cni zik Gi- orgio Parisi »za odkritje medsebojnega delovanja nereda in uktuacij v zi cnih sistemih od atomske do planetarne skale« { in pri tej planetarni skali so se »sre cala « podro cja njihovih raziskav. V clanku opisujemo, kaj so nagrajenci odkrili in kako so pri sli do teh odkritij. NOBEL PRIZE 2021 IN PHYSICS The Nobel Prize in Physics in 2021 was awarded»for groundbreaking contributions to our understanding of complex systems« { one half jointly to two meteorologists { Syukuro Manabe and Klaus Hasselmann»for the physical modelling of Earth’s climate, quantifying variability and reliably predicting global warming« and the other half theoretical physicist Giorgio Parisi »for the discovery of the interplay of disorder and uctuations in physical systems from atomic to planetary scales« { and on this planetary scale, the areas of their research »met«. In this article we describe what the winners discovered and how they came to these discoveries. Na spletni strani Kraljeve svedske akademije znanosti o leto snjih Nobe- lovih nagrajencih iz zike ( www.nobelprize.org/prizes/physics/2021/ summary/) pi se: »Trije nagrajenci si letos delijo Nobelovo nagrado za ziko za svoje stu- dije kaoti cnih in o citno naklju cnih pojavov. Syukuro Manabe in Klaus Hasselmann sta postavila temelje na sega znanja o klimi na Zemlji in kako clove stvo vpliva nanjo. Giorgio Parisi je nagrajen za svoje revolucionarne prispevke k teoriji neurejenih materialov in naklju cnih procesov. Za kompleksne sisteme sta zna cilni naklju cnost in neurejenost in jih je te zko razumeti. Leto snja nagrada se zaveda pomembnosti novih metod za njihovo opisovanje in napovedovanje njihovega dolgoro cnega vedenja. Eden od zapletenih sistemov, ki so klju cnega pomena za clove stvo, je klima Zemlje. Syukuro Manabe je pokazal, kako pove cane ravni ogljikovega dioksida v ozra cju vodijo do povi sanja temperatur na povr sini Zemlje. V sestdesetih letih prej snjega stoletja je vodil razvoj zikalnih modelov klime in bil prvi, ki je raziskal interakcijo med sevalnim ravnovesjem in vertikal- nim transportom zra cnih mas. Njegovo delo je postavilo temelje za razvoj sedanjih klimatskih modelov. Obzornik mat. fiz.69 (2022) 1 15 i i \Rakovec" | 2022/3/25 | 7:05 | page 16 | #2 i i i i i i Jože Rakovec in Tomaž Prosen Pribli zno deset let pozneje je Klaus Hasselmann ustvaril model, ki po- vezuje vreme in klimo, s cimer je odgovoril na vpra sanje, zakaj so klimatski modeli lahko zanesljivi, ceprav je vreme spremenljivo in kaoti cno. Razvil je tudi metode za prepoznavanje speci cnih signalov, prstnih odtisov, ki jih tako naravni pojavi kot clovekove dejavnosti vtisnejo v podnebje. Njegove metode so bile uporabljene kot dokaz, da je povi sana temperatura v ozra cju posledica clove skih emisij ogljikovega dioksida. Okoli leta 1980 je Giorgio Parisi odkril skrite vzorce v neurejenih kom- pleksnih materialih. Njegova odkritja so med najpomembnej simi prispevki k teoriji kompleksnih sistemov. Omogo cajo razumevanje in opis stevilnih razli cnih in na videz povsem naklju cnih pojavov in neurejenih sistemov, ne le v ziki, ampak tudi na drugih, zelo razli cnih podro cjih, kot so matematika, biologija, nevroznanost in strojno u cenje. « Klima Zemlje in klimatski modeli Verjetno je primerno, da najprej na kratko opi semo klimo in modele klime na Zemlji. Ti so ali konceptualni, ali pa numeri cni modeli, zelo podobni tistim za napovedovanje vremena. Za cnimo z najpreprostej sim konceptualnim modelom , glej npr. [26]: Ze- mlja kot celota v vesoljskem okolju. Energija, ki jo oddaja Sonce, se siri vse naokrog in zato je gostota toka te energije na vse ve cjih razdaljah od Sonca vse manj sa in manj sa { pri oddaljenosti do Zemlje zna sa v povpre cju j 0 = 1364 W=m 2 (kratkoro cno nekaj odstotkov, dolgoro cno pa nekaj promil). Ker je na s planet v son cni svetlobi videti prijazno lep { modra morja, zeleni gozdovi, rumen pesek, beli oblaki, vrhovi hribov in polarne kape, to pomeni, da se kar nekaj son cne svetlobe od Zemlje odbije: od- bojnost oz. albedo za son cno svetlobo je okrog a = 31 %. Preostalih 69 % Zemlja absorbira s povr sino S svojega kro znega preseka, torej je prejeta mo c P abs =S(1 a)j 0 . Ce se ne ukvarjamo s preteklimi geolo skimi obdobji ali pa s sedanjim hitrim globalnim segrevanjem, je bila pred dva tiso c leti v casu Rimskega imperija pribli zno taka klima, kot je danes. Torej velja, da je Zemlja v sevalnem ravnovesju in oddaja v vesolje toliko energije, kot je pre- jema. Oddaja jo s svoje celotne povr sine, ki je stirikrat ve cja od kro znega preseka, in to s sevanjem po Stefanovem zakonu v infrarde cem obmo cju (IR):P odd = 4ST 4 ( = 5;67 10 8 Wm 2 K 4 ). Ko to izena cimo, dobimo ena cbo 4 T 4 = (1 a)j 0 in hitro lahko izra cunamo, kolik sna bi bila po tem preprostem modelu ravnovesna temperatura Zemlje: T 20 °C. Malo!? Seveda, saj se nismo upo stevali vpliva tople grede, tega, da je tukaj spodaj relativno toplo, tam zgoraj, kjer letajo letala, pa okrog 50 °C. Topla greda je posledica lastnosti nekaterih plinov v ozra cju, da absorbirajo IR-sevanje, ki ga oddajajo tla, a tudi sami sevajo { glede na svojo temperaturo v ozra- cju. Upo stevajmo torej se vpliv tople grede, h kateremu prispeva najve c { 16 Obzornik mat. fiz.69 (2022) 1 i i \Rakovec" | 2022/3/25 | 7:05 | page 17 | #3 i i i i i i Nobelova nagrada 2021 za fiziko pribli zno 60 % { vodna para H 2 O, ki je je v ozra cju veliko, pa okrog eno petino CO 2 , potem pa se metan, ozon, didu sikov oksid itd.! Ko vstavimo med tla in vesolje se ozra cje s pribli zno 70-odstotno sposobnostjo absorp- cije in oddajanja IR-sevanja, dobimo se eno dodatno ravnovesno bilanco, iz cesar sledi T tal = +9 °C in T ozr = 36 °C. Pri tleh je torej se vedno precej hladno! A ko vklju cimo se vpliv oblakov na IR-sevanje in prenose toplote s konvekcijo in izhlapevanjem iz tal, pa pridemo do poznanih povpre cnih 15 °C pri tleh. Kaj pa numeri cni klimatski modeli ? Ce preprosti 1D-konceptualni mo- deli ne zmorejo predstaviti razlik sem in tja po Zemlji, pa jih 3D-numeri cni lahko. Z modeli, podobnimi tistim za napoved vremena, ra cunajo dolgo, tako dolgo, da dogajanje v njih ze »pozabi« na razmere, od katerih so model pognali. Potem dogajanja ne dolo cajo ve c za cetni pogoji, ampak razmere skozi letne case. Model za napoved vremena si je zamislil ze Vilhelm Bjer- knes pred pribli zno sto leti [8]. A kaj, ko je model ra cunsko zelo zahteven. Dogajanje namre c opisujejo parcialne diferencialne ena cbe: za gibalno ko- li cino (Euler{Navier-Stokes{Coriolisova ena cba), termodinamska energijska ena cba (dodajanje toplote, stiskanje/razpenjanje, fazne spremembe vode), pa zakon o ohranitvi mase (kontinuitetna ena cba) in edina »lahka« ena cba je ena cba stanja. Te ena cbe so zaradi advekcije (veter prena sa koli cine sem in tja) in ker vse lastnosti zraka v njih turbulentni vrtinci razpr sujejo naokrog, tudi nelinearne. Analiti cno je sistem ena cb tako zapleten, da zanj sploh se ni bil dokazan obstoj re sitve, kaj sele ene same enotne re sitve (eksisten cni pogoj). Zato ni cudno, da je bil Bjerknes prisiljen poiskati alternativno pot { t. i. sinopti cno metodo. Tudi zelo sposobni in hitri ra cunarji namre c ne bi mogli dohitevati sprotnega razvoja vremena, kaj sele, da bi ga prehitevali in ga tako napovedovali. Po Bjerknesu je Lewis Fry Richardson sicer mu- kotrpno (ve c mesecev ra cunanja!) izra cunal eno numeri cno re sitev, a kaj, ko je bil rezultat povsem napa cen { v resnici celo nemogo c [27]. In sele leta 2000 je Peter Lynch pokazal, da se Richardson ni niti enkrat zmotil { po- kopali so ga slabi, med seboj neusklajeni za cetni podatki [17]. No, po drugi svetovni vojni pa so imeli meteorologi ze na razpolago prve elektronske ra cu- nalnike in tako so se Jule Charney, Phillip Thompson, Ragnar Fjortoft (iz Bjerknesovega gnezda), John Freeman, George Platzman, Joseph Smago- rinsky, Jerome Namias in se nekateri drugi ob pomo ci matematika in enega od utemeljiteljev ra cunalni stva Johna von Neumanna, lahko lotili ra cunanja za napoved vremena [6, 18]. Ker so bili takrat ra cunalniki sicer ogromne omare, a ra cunsko se zelo ubogi, so morali sistem ena cb poenostaviti in za preprostej se (barotropne) primere jim je uspelo dobiti nekaj 24-urnih napo- vedi vremena, ki so se zelo dobro skladale s tem, kar se je res pokazalo za naslednji dan. Pot za numeri cno simuliranje vremena in klime je bila tako odprta . . . Kak sen je torej sodoben klimatski model? Bolj ali manj tak kot model za napoved vremena, toda najpopolnej si vklju cujejo poleg dogajanja v ozra cju 15–29 17 i i \Rakovec" | 2022/3/25 | 7:05 | page 18 | #4 i i i i i i Jože Rakovec in Tomaž Prosen se tista v tleh, oceanih, upo stevajo led na njih, pa bolj podrobno aerosole v ozra cju, seveda sestavo in kemijo ozra cja, pa precej podrobno izmenjave z vegetacijo, s planktonom itd. Prostorska lo cljivost po horizontali je okrog 25 km krog in krog Zemlje, imajo do 80 in ve c plasti v ozra cju oz. ra cunskih nivojev v modelu, med 30 in 60 vertikalnih ra cunskih nivojev v oceanih, pa nekaj nivojev v kopnih tleh. Od modelov za napoved vremena se razlikujejo predvsem po bolj podrobni obravnavi tokov v oceanih, prenosov toplote in vlage v tleh, bolj podrobni obravnavi vegetacijskih ciklov in sevanja ipd. (V vremenskih modelih je npr. stanje vegetacije lahko kar konstantno, saj se v dveh tednih, kolikor obsega tipi cna napoved vremena, vegetacija komaj kaj spremeni. Pri oceanih so za vreme najva znej si temperatura povr sinske vode, hrapavost povr sine zaradi valov in morda se izhlapevanje, tokovi v globinah pa niti ne ipd.). Ker klimatske modele poganjajo skozi mesece, leta, desetletja, torej { kot smo ze rekli { pozabijo svoje za cetno stanje in se obna sajo predvsem glede na kemijsko sestavo ozra cja in son cno obsevanje posameznih predelov Zemlje ter s tem glede na letne case. Ra cunanje za tako dolgo obdobje seveda pomeni tudi, da zahtevajo ogromno ra cunskega casa, ker pa imajo tudi skoraj tako lo cljivost kot modeli za napoved vremena, pa je tudi zahtevana ra cunska mo c zelo velika (ve c sto Tops) [32, 13]. Dva nagrajenca { meteorologa Syukuro Manabe je meteorolog japonskega rodu, ki je meteorologijo do stu- diral v Tokiu in se po doktoratu 1959 preselil v Zdru zene dr zave [40]. Tam ga je Joseph Smagorinsky, ki je razvijal tridimenzionalne numeri cne modele ozra cja za prou cevanje splo snega kro zenja ozra cja (pa tudi za napovedovanje vremena), pritegnil k raziskovanju splo snega kro zenja ozra cja pri oddelku Urada za meteorologijo imenovanega General Circulation Research, ki se je kasneje preoblikoval v Geophysical Fluid Dynamics Laboratory (GFDL) v okviru NOAA. Tam je Manabe raziskoval skoraj dvajset let { do 1997. Za stiri leta se je vrnil na Japonsko, kjer je vodil skupino za prou cevanje global- nega ogrevanja planeta, ter se 2002 vrnil v ZDA na raziskovalno Univerzo v Princetonu v New Jerseyju, kjer je vodilni meteorolog, kot gostujo ci profesor pa u ci tudi na Japonskem na Univerzi v Nagoji. Dobil je stevilne nagrade in priznanja. Med meteorologi bo morda najve c veljala raziskovalna medalja Carla-Gustava Rossbyja { eno od treh priznanj, ki jih je dobil od Ameri- skega meteorolo skega zdru zenja (AMS, American Meteorological Society) { poleg drugih ameri skih nagrad in priznanj. Evropsko zdru zenje za znanosti o Zemlji (European Geosciences Union EGS) mu je podelilo medaljo Milu- tina Milankovi ca, od doma ce Japonske je dobil dr zavni red kulture in dve priznanji Asahi, pa se in se. Nobelovo nagrado 2021 je dobil predvsem za to, ker je na fundamen- talnem nivoju razlo zil vpliv toplogrednih plinov na klimo na Zemlji. Z nu- 18 Obzornik mat. fiz.69 (2022) 1 i i \Rakovec" | 2022/3/25 | 7:05 | page 19 | #5 i i i i i i Nobelova nagrada 2021 za fiziko meri cnim modelom za splo sno kro zenje ozra cja (general circulation model GCM) je raziskal ne samo sevalno energijsko bilanco ozra cja in tal, ampak je v energijsko bilanco vklju cil tudi vodni cikel ( clanek leta 1965 s Sma- gorinskym in Stricklerjem, [20]), razporeditve vla znosti v ozra cju in vpliva koli cine CO 2 v ozra cju 1967 z Wetheraldom, [22], leta 1969 povezal model ozra cja z modelom oceanov (z Bryanom, [19]) in ker je 1975 s 3D GCM mo- delom z Wetheraldom [21] pokazal, kako podvojitev koli cine CO 2 v ozra cju na dogajanje in spremenljivke v modelu splo snega kro zenja ozra cja vpliva na gibalno koli cino, temperaturo, koli cino padavin, debelino sne zne odeje itd. Morda je za vtis o vplivu podvojitve CO 2 v ozra cju se najbolje poka- zati vertikalni presek skozi ozra cje od ekvatorja (na spodnji sliki 1 desno) do pola (levo) ter od tal (spodaj) do velikih vi sin (zgoraj { okrog 50 km visoko). Temperatura naj bi se po tej simulaciji pri tleh zvi sala okrog ekvatorja za kaki dve stopinji, v visokih geografskih sirinah pa tudi do 10 stopinj. Precej pa naj bi se ohladila stratosfera (spodnja slika 1). Manabe (s sodelavci) je do nadaljnjih ugotovitev o vplivih konvekcije, vla znosti ozra cja, koli cini CO 2 itd. pri sel s 3D-numeri cnim modeliranjem. Na kratko opi simo tak model. Za za cetne simulacije (1965) so on, Smago- rinsky in Strickler izpopolnili Phillipsov numeri cni kvazi-geostrofski model splo snega kro zenja ozra cja (general circulation model GCM). Norman Phil- lips je namre c desetletje prej [25] tak model uporabil za prvo numeri cno klimatsko simuliranje splo sne cirkulacije na planetu v dveh plasteh ozra cja (samo toliko so omogo cali takratni ra cunalniki) v pasu krog in krog Zemlje (tako se je tudi izognil potrebi po enem od robnih pogojev). Ob predpo- stavki o prete zno geostrofskem ravnote zju dve komponenti horizontalne hi- trosti (u,v) nadomesti vertikalna komponenta vrtin cnosti ( @v=@x @u=@y) in tako ostane za izra cunavanje ena spremenljivka manj. Model so torej pre- uredili iz kvazi-geostrofskega v model s prvotnimi (primitivnimi) ena cbami: dve ena cbi za obe komponenti horizontalne hitrosti, termodinamska ener- gijska ena cba in kontinuitetna ena cba. Vertikalni prenos gibalne koli cine (in posredno trenje pri tleh) so parametrizirali na Prandtlov na cin z dol zino me sanja. Model so raz sirili na devet plasti (takrat je ra cunalni ska mo c to ze dovoljevala) in uporabili Phillipsovo vertikalno koordinato (ra cunski nivoji bolj na gosto pri tleh, vse vi sje pa plasti vse debelej se). Predpisali so, da s tropi ni izmenjav toplote in gibalne koli cine (na jugu v modelu to- plotno izolirana vertikalna stena brez trenja). Krajevne odvode v ena cbah so nadomestili s koli cniki kon cnih razlik, razlike v casu pa so omogo cale postopno napredovanje po kon cnih korakih (seveda ob upo stevanju CFL- pogoja za numeri cno stabilnost). Tako so od diferencialnih ena cb pre sli na sistem algebrai cnih ena cb in re sitve po dalj sem casu naprej so se pribli zale klimatskim. Mre za ra cunskih to ck ni bila po vzporednikih in poldnevnikih, horizontalna lo cljivost je bila okrog 320 km ob ekvatorju, 540 km pri 45 ° g. s. in 640 km blizu pola. Ker posameznih stebrov vertikalne konvekcije taka 15–29 19 i i \Rakovec" | 2022/3/25 | 7:05 | page 20 | #6 i i i i i i Jože Rakovec in Tomaž Prosen TERMODINAMSKA ENAČBA ENAČBA GIBANJA ENAČBA PARE TOPLOTNO RAVNOVESJE ZEMLJINEGA POVRŠJA HIDROLOGIJA SEVALNI PRENOS ADVEKCIJA GOSTOTA VLAGA SEGREVANJE IN OHLAJANJE ADVEKCIJA TOPLOTA KONDENZACIJE TOPLOTA SNEŽNA ODEJA PADAVINE IZHLAPEVANJE Razlika med simulacijama z dvakratno koncentracijo in standardno koncentra- cijo CO 2 ; na abscisni osi { geografska sirina, na ordinatni osi { na levi zra cni tlak normiran s tlakom pri tleh, na de- sni vi sina. Slika 1. Zgoraj: Shemati cni prikaz, kaj vse je upo steval klimatski model Manabeja in Wetharalda leta 1975. Spodaj: Kako se spremeni zonalno povpre cena tempera- tura v ozra cju, ce se v model vstavi podvojeno koli cino CO 2. Oboje iz clanka v J. Atm. Sci. 32 (1975), dostopno na journals.ametsoc.org/view/journals/atsc/32/1/1520- 0469_1975_032_0003_teodtc_2_0_co_2.xml. Published (1975) by the American Me- teorological Society. groba lo cljivost seveda ne zazna, so za to in druga podmre zna dogajanja morali eksplicitno opisanim dogajanjem dodati parametrizacije podmre znih dogajanj. Prostodu sno so npr. za konvekcijo priznali, da »In view of our ignorance in this matter, we used a very simple scheme of convective adjust- ment . . .«, a dodali, da so se vseeno uspe sno izognili morebitnemu pretira- nemu pojavu konvekcije na skali lo cljivosti modela [28]. V prvih simulacijah je sevanje opisano se relativno preprosto, potem pa vse bolj podrobno. Manabe je torej raziskoval predvsem tako, da je z modelom GCM za splo sno kro zenje ozra cja numeri cno modeliral, kako razni dejavniki v modelu (suho ozra cje/vla zno ozra cje, konvekcija da/konvekcija ne, ve c CO 2 /manj 20 Obzornik mat. fiz.69 (2022) 1 i i \Rakovec" | 2022/3/25 | 7:05 | page 21 | #7 i i i i i i Nobelova nagrada 2021 za fiziko CO 2 , . . . ) vplivajo na procese v modelu po dalj sem casu { na simulirano klimo. Klaus Hasselmann [38] pa je raziskoval nekoliko druga ce { po eni strani na bolj teoreti cni na cin, pa tudi s pomo cjo sklopljenega modela ozra cja in oceanov. Fiziko in matematiko je Hasselmann do studiral na Univerzi v Hamburgu in 1957 doktoriral v Gotingenu iz prou cevanja turbulence. Po- svetil se je meteorologiji, pa tudi oceanograji. Ustanovil je In stitut Maxa Plancka za meteorologijo (IMP) v Hamburgu in bil od leta 1975 do novembra 1999 njegov direktor, od 1988 do 1999 pa znanstveni direktor v Nem skem klimatskem ra cunalni skem centru. Na tem in stitutu so v 90. letih prej snjega stoletja razvili sklopljeni model: model Evropskega centra ECMWF so pove- zali z IMP-jevim modelom oceanov LSG (glej npr. intervju s Hasselmannom iz leta 2006 [36]). Tudi Hasselmann je dobil stevilne nagrade: spet se bo meteorologom morda zdela pomembna medalja Vilhelma Bjerknesa, ki mu jo je podelila EGS, pa morda Symonsova medalja, ki mu jo je podelila Royal Meteorological Society (RMS), Sverdrupova medalja AMS, oceanografom bi morda veliko pomenilo ve c medalj in nagrad iz njihovih krogov, Hasselmann je dobil se priznanja in medalje akademij, ter se in se . . . Hasselmann je raziskoval vreme in klimo kako desetletje za Manabejem. Teoreti cno je pomagal odgovoriti na vpra sanje, zakaj so klimatski modeli lahko zanesljivi kljub spremenljivemu in kaoti cnemu vremenu [10]. Teo- reti cno je razvil tudi metode za prepoznavanje speci cnih signalov, ki jih naravni pojavi in clove ske dejavnosti vtisnejo v podnebje, in dokazal, da sedanje zvi sevanje temperature zraka lahko pripi semo clovekovim emisijam ogljikovega dioksida in drugih toplogrednih plinov [9]. Na podro cju klimatskih sprememb je Hasselmann pionir matemati cnega opisa stohasti cnega vpliva klime zaradi spremenljivega vremena { clanek 1976 v Tellusu [10]. V njem razlo zi, da spremembe klime niso posledica zgolj zunanjih vzrokov (son cno obsevanje in koli cina toplogrednih plinov), ampak v dolo cenih pogojih tudi naklju cno razvijajo cih se vremenskih vzor- cev. Pravi, da je »bistvena lastnost stohasti cnosti klimatskih modelov, da se ohranijo tudi nepovpre cne »vremenske« komponente. Formalno se poja- vljajo kot cleni naklju cnega siljenja. Klimatski sistem, ki deluje kot inte- grator tega kratkotrajnega vzbujanja, ka ze podobno naklju cno sprehajanje (random-walk) kot veliki delci, na katere vpliva skupina veliko manj sih del- cev { kot v analognem problemu Brownovega gibanja.« Torej kot da te zek delec (klimo) bombardirajo naklju cno premikajo ci se majhni delci (vreme). Hasselmann je to idejo prevedel v zapleten mnogodimenzionalen nelinearni sistem. Gledal je hitra in po casna dogajanja in spektre teh dogajanj. V frekven cnem spektru se spremenljivost izra za kot inverzna vrednost kva- drata frekvenc. Tako npr. nestacionarno dogajanje predstavljajo vrednosti blizu inverzne vrednosti ni c in spektralna analiza dogajanja s kon cnim tra- janjem ima vrh pri tej inverzni ni celni frekvenci. Tako je Hasselmann enim in drugim dogajanjem priredil pripadajo ce vrednosti v spektru. S tem je 15–29 21 i i \Rakovec" | 2022/3/25 | 7:05 | page 22 | #8 i i i i i i Jože Rakovec in Tomaž Prosen kvantitativno opredelil pomembnost enih in drugih dogajanj. Ko jim je priredil vrednosti, je lahko nadaljeval analizo z uporabo Fokker-Planckove ena cbe statisti cne mehanike, dobil nekatere posebne re sitve in jih uporabil za studij klime in njenih sprememb. Hasselmann je kasneje (objava 1993 v Journal of Climate, [9]) tudi te- oreti cno raziskal, kako razlo citi »prstne odtise« antropogeno povzro cenih klimatskih sprememb od naravnih, npr. od vpliva izbruhov ognjenikov { kako na optimalen na cin izlu s citi signal sistemati cnih klimatskih sprememb iz mo cne spremenljivosti klime. Za izlu s cenje od cloveka povzro cenega si- gnala je { na tem kompleksnem sistemu s stevilnimi spremenljivkami v od- visnosti od prostora in casa { uporabil svojo prej (1979) razlo zeno metodo razlikovanja signala od suma in predlagal emipiri cne ortogonalne funkcije in optimalne linearne ltre. To so potem nekaj let kasneje na dejanskih podatkih uporabili Gabriele Hegerl, Hasselmann in sod. (Climate dyna- mics 1997, [11]), za njimi pa se drugi, npr. spet Gabi Hegerl s sodelavcema Francisom Zwiersom in Claudio Tebaldi (2011 v Env. Res. Lett., [12]). Pri- kaz takega izlu s cenja so povzela tudi poro cila IPCC kot dokaz, da gre res za pomemben clovekov vpliv, pa tudi Nobelov odbor v svoji utemeljitvi za nagrado. Gra na sliki 2 so si na pogled podobni, prikazujejo pa razli cne stvari. Zgornja slika iz [9] ka ze, da prakti cno vsa informacija o casovni spremembi temperature pri tleh pripada prvi empiri cni ortogonalni funkciji za 2D-polje sprememb pri numeri cni simulaciji klime, ki upo steva tako vpliv toplogre- dnih plinov kot tudi vpliv sulfatnih aerosolov v ozra cju. Spodnja slika, ki jo je Nobelov odbor za ziko ( www.nobelprize.org/prizes/physics/ 2021/summary/) povzel iz clanka Hegerl, Zwiers in Tebaldi, 2011 [12], pa ka ze, da nara s canje temperature v obdobju od 1960 dalje lahko pripi semo clove skemu vplivu (rde ca crta), saj naravni vzroki (modra crta) vzdr zujejo temperaturo ves cas na pribli zno istem nivoju, pri cemer glavne uktuacije lahko pripi semo vulkanskim izbruhom. Hasselmann je torej raziskoval precej teoreti cno, s sodelavci pa seveda teoreti cno pridobljene metode tudi preskusil na podatkih o klimi skozi raz- li cna obdobja. Nagrajeni teoreti cni zik Polovico zikalne nagrade 2021 je dobil italijanski teoreti cni zik Giorgio Parisi [35] za »odkritje medsebojnega delovanja nereda in uktuacij v zi c- nih sistemih od atomske do planetarne skale« (pri planetarni skali se sre cajo raziskave Manabeja, Hasselmanna in Parisia). Parisi se je solal na La Sa- pienzi v Rimu, raziskuje pa na podro cjih kvantne teorije polja, statisti cne mehanike in kompleksnih sistemov. Raziskoval je v Laboratori Nazionali di Frascati (1971{1981), bil gostujo ci raziskovalec na Columbia University 22 Obzornik mat. fiz.69 (2022) 1 i i \Rakovec" | 2022/3/25 | 7:05 | page 23 | #9 i i i i i i Nobelova nagrada 2021 za fiziko Empiri cne ortogonalne funkcije za simulacijo ovrednotenja sprememb klime v obdobju 160 let. Na abscisni osi je pomotoma povsod zapisan cas 2000 let (2 10 3 Years); v resnici gre za celotno obdobje simulacije od leta 1880 do 2049. Na ordina- tni osi so prikazane vrednosti empiri cnih ortogonalnih funkcij. Spremembe temperature v obdobju 1900 do 2010 glede na predindustrij- sko obdobje; crna crta { izmerjene spremembe temperature, rde ca crta { simulirane spremembe temperature zaradi clo- ve skih in naravnih vpli- vov, modra crta { si- mulirane posledice samo naravnih vplivov. Pri- kazani so tudi casi naj- mo cnej sih izbruhov vul- kanov. Slika 2. Zgoraj: Prve tri empiri cne ortogonalne funkcije iz clanka Gabriele Hegerl, Klausa Hasselmanna in sod. iz Climate Dynamics 1997 [11] link.springer.com/article/10.1007/s003820050186. ©CCC Ri- ghtsLink. Spodaj: Slika iz obrazlo zitve Nobelovega odbora za ziko www.nobelprize.org/prizes/physics/2021/summary/, povzeta iz clanka Hegerl, Zwiers in Tebaldi, Env. Res. Let. 2011 [12]. ©Johan Jarnestad/The Royal Swedish Academy of Sciences. (1973{1974), na Institut des Hautes Etudes Scientiques (1976{1977) in Ecole Normale Sup erieure (1977{1978). Bil je profesor za teoreti cno ziko na rimski univerzi Tor Vergata ter predsednik znamenite rimske akademije znanosti Academia dei Lincei, sedaj pa je profesor kvantne mehanike na 15–29 23 i i \Rakovec" | 2022/3/25 | 7:05 | page 24 | #10 i i i i i i Jože Rakovec in Tomaž Prosen rimski La Sapienzi. Tudi on je ze pred Nobelovo nagrado dobil cel kup priznanj, npr. Boltzmannovo, Diracovo, Fermijevo, Lagrangevo, Planckovo, Onsagerjevo medaljo, pa se druge. Okoli leta 1980 je Giorgio Parisi predstavil svoja odkritja o tem, kako navidezno naklju cne pojave urejajo skrita pravila. Posebej temeljno po- memben je njegov prispevek [23, 24] k razumevanju obna sanja spinskih ste- kel na osnovi re sitve problema spontanega zloma simetrije med replikami. Parisijevo delo danes velja za enega najpomembnej sih prispevkov k teoriji kompleksnih sistemov. Sodobne studije kompleksnih sistemov temeljijo na statisti cni mehaniki, ki so jo v drugi polovici 19. stoletja razvili James C. Maxwell, Ludwig Boltzmann in J. Willard Gibbs, ki so to podro cje tako poimenovali leta 1884. Statisti cna mehanika se je razvila iz spoznanja, da je za obravnavo plinov ali teko cin, ki so sestavljeni iz velikega stevila delcev, potrebna nova metoda za opis teh sistemov. Ta metoda je morala upo stevati naklju cne premike delcev, zato je bila osnovna ideja izra cunati povpre cne u cinke delcev. Statisti cna mehanika zagotavlja mikroskopsko razlago za makroskopske lastnosti plinov in teko cin, kot sta temperatura in tlak. Preprost primer iz stohasti cnosti in kompleksnosti: delce plina obrav- navamo kot kroglice in ko temperatura pade ali se tlak pove ca, se kroglice najprej kondenzirajo v teko cino in nato v trdno snov. Ta trdna snov je pogosto kristal, kjer so kroglice organizirane v pravilnem vzorcu. Ce pa se ta sprememba zgodi hitro, se lahko kroglice zdru zijo v nepravilen oziroma neurejen vzorec, ki se ne spremeni, tudi ce se teko cina dodatno ohladi ali dodatno stisne skupaj. Pri ponovljenem poskusu bodo kroglice prevzele spet nov, malce druga cen vzorec, kljub temu da se sprememba (zni zanje temperature) zgodi na popolnoma enak na cin. Te stisnjene kroglice so eden od preprostih modelov za navadno steklo ali za zrnate materiale, kot sta pesek ali gramoz. Vendar je bil predmet Parisijevega prvotnega dela druga cen sistem { spinsko steklo. To je teoreti- cen model, ki opisuje posebno vrsto kovinske zlitine, v kateri so npr. atomi zeleza naklju cno pome sani v mre zo atomov bakra. Ceprav je v mre zi le nekaj atomov zeleza, spremenijo magnetne lastnosti materiala na radikalen in zelo neurejen na cin. Vsak atom zeleza se obna sa kot majhen magnet oz. ima magnetni moment, na katerega vplivajo drugi atomi zeleza v bli zini. Pri navadnem magnetu so vsi magnetni momenti ob prisotnosti zunanjega polja usmerjeni v isto smer, v spinskem steklu pa so frustrirani: nekateri pari se usmerijo v isto smer, drugi pa v nasprotno smer { kako torej naj- dejo optimalno orientacijo? Giorgio Parisi je odkril skrito strukturo v tako zapletenih neurejenih sistemih in na sel na cin, kako jih matemati cno opi- sati. Tako je na sel pomemben klju c za obravnavo kompleksnih sistemov. V sedemdesetih letih prej snjega stoletja so stevilni ziki, vklju cno z ve c No- belovimi nagrajenci, iskali na cin, kako opisati skrivnostna in frustrirajo ca spinska stekla. Ena od metod, ki so jo uporabili, je bil trik replike, to je ma- 24 Obzornik mat. fiz.69 (2022) 1 i i \Rakovec" | 2022/3/25 | 7:05 | page 25 | #11 i i i i i i Nobelova nagrada 2021 za fiziko temati cna tehnika, pri kateri se hkrati obravnava ansambel identi cnih kopij sistema [3]. Vendar pa so bili v zikalnem smislu rezultati prvotnih izra cu- nov napa cni. Fizikalno zelo smiselna predpostavka permutacijske simetrije med replikami je npr. vodila do nesmiselnih rezultatov, kot je negativna en- tropija. Tudi prve sugestije spontanega zloma simetrije med replikami [3, 4] niso dale smiselnih rezultatov. Leta 1979 pa je Parisi torej naredil odlo cilen preboj, ko je z genialnim sve zim pristopom pokazal, kako je mogo ce trik replike uporabiti za re seva- nje problema spinskih stekel. V replikah je odkril skrito strukturo in na sel matemati cno smiseln na cin, kako popisati fazni prehod zloma simetrije re- plik s pomo cjo neskon cno-dimenzionalnega parametra ureditve, nekak snega tenzorja v abstraktnem vektorskem prostoru, katerega dimenzijo n dolo ca stevilo replik. Klju cna ideja metode je korektno izvesti limito, ko gre n proti 0, ki na koncu omogo ca konkreten izra cun proste energije in drugih termodinamskih koli cin. Morda ni presenetljivo, da so v za cetku matematiki in bolj strogo misle ci matemati cni ziki ob tej metodi zmajevali z glavo. Trajalo je kar nekaj let, da se je Parisijeva re sitev izkazala za matemati cno pravilno in dokazljivo. Tallagrand jo je tako leta 2006 utemeljil v najpresti znej si matemati cni reviji Annals of Mathematics [29] kot »temeljni izrek matemati cne analize «. Od takrat naprej oziroma ze prej pa je bila Parisijeva metoda uporabljena v ste- vilnih neurejenih sistemih in je postala temelj teorije kompleksnih sistemov. V zadnjem casu so poro cali celo o nazornih eksperimentalnih realizacijah Parisijevega mehanizma, npr. v neurejenih laserjih [7]. Poleg prispevka k teoriji spinskih stekel je treba spomniti na stevilne druge temeljne Parisijeve prispevke v statisti cni ziki, ki danes navdihujejo na tiso ce raziskovalcev. Posebej je treba omeniti vsaj se Kardar-Parisi- Zhangovo (KPZ) ena cbo, to je stohasti cna parcialna diferencialna ena cba, ki opisuje rast neurejenih povr sin [14]. Sele v zadnjih letih postaja jasno, kako splo sna je vloga KPZ ena cbe v neravnovesni statisti cni ziki, ki se pojavlja v zikalno zelo razli cnih kontekstih, od rasti povr sin ob depoziciji snovi, modeliranja prometa na avtocestah, do anomalnega transporta snovi, ki je u cinkovitej si od difuzije. Zato se nanjo ve ckrat sklicujemo tudi kot na KPZ univerzalnostni razred, ki v neravnovesni ziki igra podobno vlogo kot npr. Isingov model v ravnovesni statisti cni mehaniki. V zadnjih letih smo npr. v Ljubljani na sli novo in povsem nepri cakovano manifestacijo KPZ ena cbe v kvantnem magnetizmu v modelih z netrivialnimi simetrijami [15]. Parisijevi prispevki k razumevanju dinami cnih procesov v kompleksnih sistemih in dinami cnih sistemov na splo sno ga tematsko tudi pribli zajo delu meteorologov Manapeja in Hasselmanna. Za potrditev te teze samo ome- nimo Parisijev prispevek k clanku o stohasti cni resonanci v klimatologiji [2]. 15–29 25 i i \Rakovec" | 2022/3/25 | 7:05 | page 26 | #12 i i i i i i Jože Rakovec in Tomaž Prosen Zakaj prav te nagrade? Seveda ne vemo, kak sne predloge so dobili in kaj so premlevali v Nobelovem odboru za ziko. Videti pa je, da so predlagatelji in odbor zeleli opozoriti na pomembnost raziskav o klimi in o podnebnih spremembah. Tako so s podro cja prou cevanja klime in njenih sprememb izbrali Manabeja in Hassel- manna, pridru zili pa jima se Parisija kot teoretika na podobnem podro cju { kompleksni, stohasti cni sistemi s stevilnimi spremenljivkami. Ob nagradi za prou cevanje klime in podnebnih sprememb moramo spo- mniti na matematika Josepha Fourierja, ki je ze pred dvesto leti (1827, [37]) opozoril na vpliv plinov v ozra cju { IR-absorberjev { na sevalno bilanco Zemlje. Vsekakor je treba omeniti se Svanteja Arrheniusa, svedskega - zika in zikalnega kemika, ki je 1896 uporabil na cela zikalne kemije, da bi ocenil, v kolik sni meri bi bilo pove canje atmosferskega ogljikovega dioksida odgovorno za nara s cajo co temperaturo povr sine Zemlje, [39]. (Leta 1903 je dobil Nobelovo nagrado za kemijo. Menda pa je pri teh nagradah kot clan odbora tudi prote ziral svoje prijatelje in sodelavce, druge pa zaviral { vsaj tako pravi Wikipedija [39]). Ve cinoma sicer ve c beremo o Arrheniusu kot o Tyndallu, a treba je povedati, da je John Tyndall o topli gredi imel predavanje ze januarja 1863 [31], torej pred Arrheniusovimi objavami. Naj si na koncu dovolimo se vpra sanje, ali bi si morda se kak meteorolog zaslu zil tako ali podobno visoko nagrado? No, zaslu zil bi jo Vilhelm Bjerknes, a takrat, v za cetku 20. stoletja je bilo v ziki toliko epohalnih odkritij, da niti Einstein ni pri sel na vrsto za nagrado za relativnost, temve c za fotoefekt. Pa tudi: Bjerknes je sicer pre- dlagal sistem ena cb za opis dogajanj v ozra cju, a tedaj { v predra cunalni ski dobi { ga ni mogel zares uporabiti. Da pa je zares zaslu zen, pa pri ca npr. Symonsova medalja RMS in to, da EGS podeljuje medaljo, poimenovano po njem. Potem bi visoke nagrade zaslu zil Jule Charney skupaj z Johnom von Neumannom { prvi za res inovativne ideje okrog numeri cne napovedi vre- mena, drugi pa za izjemno matemati cno pomo c pri numeri cni napovedi, saj je ravno von Neumann zasnoval koncept v ra cunalnik shranjenega ra cunal- ni skega programa. (Ne edini, z Alanom Turingom in Claudom Shannonom. A kot vemo, za matematiko Nobelove nagrade ni). Bjerknes je ravno se do- zivel to prvo uspe sno ra cunanje Charneya in sodelavcev po svojem sistemu ena cb { a tudi ce bi nagrado za to podelili zelo hitro, je Bjerknes zal ne bi do cakal, saj je umrl pet mesecev po objavi o tem novembra 1950 v Tellusu. Jule Charney bi visoko nagrado zaslu zil tudi za kvazi-geostrofsko teorijo in odkritje barokline nestabilnosti, kajti prva uspe sna numeri cna napoved je bila izra cunana z barotropno vrtin cno ena cbo, ki pa ne zmore napovedati »tistega, cesar se ni «. Tisto, » cesar se ni «, namre c nastaja v obmo cjih ba- rokline nestabilnosti [5]. Ali bi jo za to odkritje Charney zaslu zil sam, ali pa morda za baroklinost z njim se Eric Eady, ki je v svoji disertaciji pri- 26 Obzornik mat. fiz.69 (2022) 1 i i \Rakovec" | 2022/3/25 | 7:05 | page 27 | #13 i i i i i i Nobelova nagrada 2021 za fiziko kazal pojav barokline nestabilnosti na druga cen, morda se la zje razumljiv na cin [33]. Za kvazi-geostrofsko teorijo pa morda se Phill Thompson, ki je v dopisovanju s Charneyem le-tega mo cno motiviral z vpra sanji in dilemami, ko se je sam mu cil s tem, kako naj bi ra cunal divergenco v ozra cju [30]? Je pa Charney seveda dobil veliko nagrad in medalj, med njimi Symonsovo medaljo RMS, Rosbyjevo medaljo AMS, nagrado Svetovne meteorolo ske or- ganizacije (WMO), medaljo Smithsonian Institution, posebna cast pa je tudi, da AMS od leta 1983 podeljuje medaljo, s katero casti tudi njega { medaljo Jula Charneya. Kaj pa Carl Gustav Rossby { saj je vendar on odkril, zakaj se ozki trans- verzalni valovi toka v ozra cju v zmernih geografskih sirinah hitro premikajo proti vzhodu, siroki pa po casi, ali se morda ne premikajo, ali pa gredo celo malce»nazaj«. To lastnost, pomembno za napoved vremena, so prognostiki ze prej opazili npr. na zaporednih vremenskih kartah tokovnic na 500 mbar, Rossby pa je odkril preprosto, a zelo prepri cljivo razlago za to. Rossby je dobil ve c nagrad od aeronavti cnih institucij in iz meteorolo skih krogov, npr. Symonsovo zlato medaljo RMS, nagrado WMO, nagrado AMS, po njem pa se imenuje tudi medalja, ki jo podeljuje AMS. Namesto Crafoordove medalje bi lahko Svedska kraljeva akademija Ed- wardu Lorenzu [34] podelila tudi Nobelovo nagrado (nekateri ju ocenjujejo za precej enakovredni, a je seveda Nobelova precej bolj znana). Njegovo odkritje deterministi cnega kaosa bi jo zaslu zilo. Do deterministi cnega kaosa je pri sel, ko je prou ceval dokaj preprost, a nelinearen problem konvekcije med toplo povr sino spodaj in hladnej so zgoraj, s cimer sta se ukvarjala pred njim ze lord Rayleigh in Henri B enard [16]. No, seveda je Lorenz do- bil veliko drugih presti znih nagrad in odlikovanj { Rossbyjevo, Symonsovo, Buys-Ballotovo medaljo, medaljo Lomonosova, pa nagrado WMO, Kyoto Prize . . . , AMS pa je nagrade za pedago sko odli cnost leta 2013 preimeno- vala v Lorenzove nagrade za tovrstno odli cnost. Morda se kdo? Pri tem moramo za Nobelove nagrade upo stevati, da jih dobivajo le zive ci znanstveniki { posthumnih Nobelovih nagrad ni. Se ve c o leto snjih nagrajencih je objavljeno tudi v Proteusu. LITERATURA [1] S. Arrhenius, On the inuence of carbonic acid in the air upon the temperature of the ground, Phil. Mag. and J. of Sci. 41 (1896), 237{276. [2] R. Benzi, G. Parisi, A. Sutera in A. Vulpiani, Stohastic resonance in climatic change, Tellus 34 (1982), 10. [3] A. Blandin, Theories versus experiments in the spin glass systems, J. Phys. Coll. 39 (1978), C6{1499. [4] A. J. Bray in M. A. Moore, Replica symmetry-breaking in spin-glass theories, Phys. Rev. Lett. 41 (1978), 1068. [5] J. G. Charney, The dynamics of long waves in a baroclinic westerly current, J. Atmos. Sci. 4 (1947), 136{162, dostopno na doi.org/10.1175/1520-0469(1947)004<0136: TDOLWI>2.0.CO;2, ogled 3. marca 2022. 15–29 27 i i \Rakovec" | 2022/3/25 | 7:05 | page 28 | #14 i i i i i i Jože Rakovec in Tomaž Prosen [6] J. G. Charney, R. Fjortoft in J. Von Neumann, Numerical Integration of the Barotro- pic Vorticity Equation, Tellus 2:4 (1950), 237{254, DOI: 10.3402/tellusa.v2i4.8607, dostopno na www.tandfonline.com/doi/abs/10.3402/tellusa.v2i4.8607, ogled 3. marca 2022. [7] N. Ghofraniha, I. Viola, F. Di Maria, G. Barbarella, G. Gigli, L. Leuzzi in C. Conti, Experimental evidence of replica symmetry breaking in random lasers, Nature Com- mun. 6 (2015), 6058. [8] E. Gold, Vilhelm Friman Koren Bjerknes 1862{1985, Obituary Notices of Fellows of the Royal Society 7 (20): 302{326. doi:10.1098/rsbm.1951.0002, 1951, dostopno na royalsocietypublishing.org/doi/10.1098/rsbm.1951.0002, ogled 3. marec 2022. [9] K. Hasselmann, Optimal Fingerprints for the Detection of Time-dependent Cli- mate Change, J. of Climate 6 (1993), 1957{1971, dostopno na doi.org/10.1175/ 1520-0442(1993)006<1957:OFFTDO>2.0.CO;2, ogled 3. marca 2022. [10] K. Hasselmann, Stochastic climate models Part I. Theory, Tellus 28 (1976), 473{485, DOI: 10.3402/tellusa.v28i6.11316, dostopno na doi.org/10.3402/tellusa.v28i6. 11316, ogled 3. marca 2022. [11] G. C. Hegerl, K. Hasselmann, U. Cubasch, J. F. B. Mitchell, E. Roeckner, R. Voss in J. Waszkewitz, Multi-ngerprint detection and attribution analysis of gre- enhouse gas, greenhouse gas-plus-aerosol and solar forced climate change, Climate Dynamics 13 (1993), 613{634, dostopno na link.springer.com/article/10.1007/ s003820050186, ogled 3. marca 2022. [12] G. Hegerl, F. Zwiers in C. Tebaldi, Patterns of change: whose ngerprint is seen in global warming?, Environ. Res. Lett. 6 (2011), 044025 (6pp) doi:10.1088/1748- 9326/6/4/044025, dostopno na iopscience.iop.org/article/10.1088/1748-9326/ 6/4/044025, ogled 3. marca 2022. [13] T. J. Johns et al. (25 avtorjev), The new Hadley Centre Climate Model (HAD- GEM1), Evaluation of coupled simulations, J. of Climate 19:7 (2006), 1327{1353, DOI:10.1175/JCLI3712.1, dostopno na journals.ametsoc.org/view/journals/ clim/19/7/jcli3712.1.xml, ogled 3. marca 2022. [14] M. Kardar, G. Parisi in Y-C. Zhang, Dynamical scaling of growing interfaces, Phys. Rev. Lett. 56 (1986), 889. [15] M. Ljubotina, M. Znidari c in T. Prosen, Kardar-Parisi-Zhang physics in the quantum Heisenberg magnet, Phys. Rev. Lett. 122 (2019), 210602. [16] E. N. Lorenz, Atmospheric predictability as revealed by naturally occurring analogues, J. Atmos. Sci. 26 (1969), 636{646, dostopno na doi.org/10.1175/1520-0469(1969) 26<636:APARBN>2.0.CO;2, ogled 3. marca 2022. [17] P. Lynch, The emergence of numerical weather prediction, Richardson’s Dream, Cam- bridge Univ. Press, 2006, xi+280 pp. [18] P. Lynch, The ENIAC Forecasts: A re-creation, Bull. Am. Meteorol. Soc. 89 (2008), 45{56, DOI: doi.org/10.1175/BAMS-89-1-45, ogled 3. marca 2022. [19] S. Manabe in K. Bryan, Climate calculations with a combined ocean-atmosphere mo- del, J. Atmos. Sci. 26 (1969), 786{789. [20] S. Manabe, J. Smagorinsky in R. F. Strickler, Simulated climatology of general cir- culation with a hydrologic cycle, Monthly Weather Rev. 93 (1965), 769{798. [21] S. Manabe in R. T. Wetherald, The eects of doubling the CO 2 concentration on the climate of a general circulation model, J. Atmos. Sci. 32 (1975), 3{5, dostopno na doi.org/10.1175/1520-0469(1975)032<0003:TEODTC>2.0.CO;2, ogled 3. marca 2022. 28 Obzornik mat. fiz.69 (2022) 1 i i \Rakovec" | 2022/3/25 | 7:05 | page 29 | #15 i i i i i i Nobelova nagrada 2021 za fiziko [22] S. Manabe in R. Wetherald, Thermal equilibrium of the atmosphere with a given distribution of relative humidity, J. Atmos. Sci. 24 (1967), 241{259. [23] G. Parisi, Innite number of order parameters for spin-glasses , Phys. Rev. Lett. 43 (1979), 1754. [24] G. Parisi, Toward a mean eld theory for spin glasses , Phys. Lett. 73 (1979), 203. [25] N. A. Phillips, The general circulation of the atmosphere: A numerical experiment, Quart. J. Roy. Meteorol. Soc. 82 (1956), 123{164, dostopno na doi.org/10.1002/ qj.49708235202, ogled 3. marca 2022. [26] J. Rakovec in T. Vrhovec, Osnove meteorologije za naravoslovce in tehnike, 3. izdaja, DMFA { zalo zni stvo, Ljubljana, 2017. [27] L. F. Richardson, Weather prediction by numerical process, Cambridge Univ. Press, xii+240 pp, 1922, dostopno na archive.org/details/ weatherpredictio00richrich/, ogled 3. marca 2022. [28] J. Smagorinsky, S. Manabe in J. L. Holloway, Numerical results from a nine-level general circulation model of the atmosphere, Monthly Weather Rev. 93 (1965), 727{ 768, dostopno na doi.org/10.1175/1520-0493(1965)093<0727:NRFANL>2.3.CO;2, ogled 3. marca 2022. [29] M. Talagrand, The Parisi Formula, Annals of Mathematics 163 (2006), 221. [30] P. Thompson, Interview of Philip D. Thompson, 1987, dostopno na opensky.ucar. edu/islandora/object/archives%3A7649/datastream/OBJ/view, ogled 3. marca 2022. [31] J. Tyndall, On radiation through the earth’s atmosphere, javno predavanje, 1863, dostopno na www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/14786446308643443, ogled 3. marca 2022. [32] Climate model, dostopno na en.wikipedia.org/wiki/Climate_model, ogled 3. marca 2022. [33] Eady Model, dostopno naen.wikipedia.org/wiki/Eady_Model, ogled 3. marca 2022. [34] Edward Norton Lorenz, dostopno na en.wikipedia.org/wiki/Edward_Norton_ Lorenz, ogled 3. marca 2022. [35] Giorgio Parisi, dostopno na en.wikipedia.org/wiki/Giorgio_Parisi, ogled 3. marca 2022. [36] Intervju s Hasselmannom v Die Welt (1976), omenjen na doma ci strani Max-Planck-Gesellschaft, dostopno na www.mpg.de/17673145/ klaus-hasselmann-nobel-prize-physics-2021-background, ogled 3. marca 2022. [37] Irish Times 2012: How Joseph Fourier discovered the green- house eect , dostopno na www.irishtimes.com/news/science/ how-joseph-fourier-discovered-the-greenhouse-effect-1.3824189, ogled 3. marca 2022. [38] Klaus Hasselmann, dostopno na en.wikipedia.org/wiki/Klaus_Hasselmann, ogled 3. marca 2022. [39] Svante Arrhenius, dostopno na en.wikipedia.org/wiki/Svante_Arrhenius, ogled 3. marca 2022. [40] Syukuro Manabe, dostopno na en.wikipedia.org/wiki/Syukuro_Manabe, ogled 3. marca 2022. 15–29 29 i i \Drinovec-Drnovsek" | 2022/3/21 | 8:47 | page 30 | #1 i i i i i i NOVEKNJIGE A. Alarc on, F. Forstneri c in F. J. L opez, Minimal surfaces from a complex analytic viewpoint, Springer Monographs in Mathematics, Springer, 2021, 430 strani. Teorija minimalnih ploskev je eno klasi c- nih podro cij matematike, ki se ukvarja s studijem ploskev z lokalno najmanj so povr sino. Za cetnik moderne teorije je bil Leonhard Euler, ki je leta 1744 dokazal, da sta edini taki rotacijsko invariantni ploskvi v R 3 ravnina in katenoida, to je ploskev, ki jo dobimo z vrtenjem vija c- nice okoli abscisne osi. V moderni teoriji minimalnih ploskev se uporabljajo metode iz diferencialne ge- ometrije, geometrijske teorije mere, par- cialnih diferencialnih ena cb in komple- ksne analize. Metode kompleksne ana- lize ene spremenljivke so bile s pridom uporabljene ze v klasi cni teoriji pri stu- diju ploskev vR 3 : Weierstrassova repre- zentacijska formula za primeren par me- romorfne in holomorfne funkcije lokalno opi se vse minimalne ploskve. V predstavljeni monograji pa avtorji predstavijo prispevek teorije Oka k stu- diju minimalnih ploskev. Gre za homotopski princip v kompleksni analizi, ki poda re sljivost analiti cnega nelinearnega problema, kadar ni topolo skih ovir. Avtorji so v zadnjih desetih letih uporabili teorijo Oka, konveksno integracijo in metodo sprejev, ki ju je uvedel Mikhail Gromov, ter z njihovo pomo cjo re sili precej odprtih problemov v teoriji minimalnih ploskev. Monograja je namenjena ekspertom s podro cja diferencialne geometrije in kompleksne analize, pa tudi doktorskim studentom in raziskovalcem na sorodnih podro cjih. Napisana je zelo strukturirano, njeni avtorji so znani po odli cni razlagi. Dokazi so ponazorjeni z ilustracijami, ki olaj sajo razumeva- nje tehni cno zelo zapletenih konstrukcij. Knjiga je opremljena s stevilnimi avtorskimi prikazi klasi cnih primerov minimalnih ploskev. Prvi dve poglavji sta uvodnega zna caja. V prvem so predstavljene osnove realnih in kompleksnih mnogoterosti, s posebnim poudarkom na eno- razse znih kompleksnih mnogoterostih { Riemannovih ploskvah, na komple- 30 Obzornik mat. fiz.69 (2022) 1 i i \Drinovec-Drnovsek" | 2022/3/21 | 8:47 | page 31 | #2 i i i i i i Minimal surfaces from a complex analytic viewpoint ksni aproksimacijski teoriji in teoriji Oka. Drugo poglavje je pregled osnov teorije minimalnih ploskev. Povezava med obema podro cjema je posledica tega, da je realni del holomorfne funkcije harmoni cna funkcija in obratno, vsaka harmoni cna funkcija, ki ima ni celne periode, je realni del holomorfne funkcije. Minimalne ploskve so namre c parametrizirane s konformnimi har- moni cnimi preslikavami. Naj bo A ni celna kvadrika A =f(z 1 ;z 2 ;:::;z n )2C n :z 2 1 +z 2 2 + +z 2 n = 0g: Pravimo, da je holomorfna imerzija f:M!C n iz odprte Riemannove plo- skveM holomorfna ni celna krivulja , ce v vsaki to cki njen odvod le zi v ni celni kvadriki. Realni deli holomorfnih ni celnih krivulj so konformne minimalne imerzije. Avtorji so ugotovili, da je prebodena ni celna kvadrika Anf0g mnogoterost Oka, kar jim je omogo cilo uporabo homotopskega principa. V nadaljevanju avtorji predstavijo rezultate, ki so jih razvili s svojimi sodelavci in studenti v zadnjih desetih letih: v tretjem poglavju so izpeljani aproksimacijski in interpolacijski izreki za konformne minimalne imerzije. V cetrtem poglavju se posvetijo minimalnim ploskvam s kon cno totalno Ga- ussovo ukrivljenostjo. V petem poglavju se osredoto cijo na Gaussovo pre- slikavo minimalne ploskve, ki vsaki to cki na minimalni ploskvi v R 3 priredi normalni vektor. Riemann-Hilbertov robni problem in njegova uporaba pri konstrukciji minimalnih in holomorfnih ni celnih krivulj je osrednja tema sestega po- glavja. Njegova aproksimativna re sitev omogo ca konstrukcije z natan cno kontrolo lege roba. Pravimo, da je ploskev M vR n kompletna, ce je dol zina vsake poti v M, ki zapusti katero koli kompaktno mno zico v M, neskon cna. Tema sedmega poglavja je problem Calabi-Yau v teoriji minimalnih ploskev: to je vpra sanje, katere odprte Riemannove ploskve dolo cajo kompleksno strukturo kompletnih omejenih minimalnih ploskev vR 3 . Kon cna Rieman- nova ploskev je kompaktna Riemannova ploskev z robom, ki je sestavljen iz kon cnega stevila gladkih sklenjenih krivulj. V osmem poglavju avtorji z uporabo Riemann-Hilbertove metode konstruirajo kompletne prave kon- formne minimalne imerzije iz kon cnih Riemannovih ploskev v minimalno konveksne domene vR n . Minimalno konveksne domene so posplo sitev kon- veksnih domen in so denirane s primernimi funkcijami iz crpanja. Delijo si nekatere lastnosti s psevdokonveksnimi domenami v C n . V devetem po- glavju se posvetijo studiju minimalnih ogrinja c z uporabo metod kompleksne in funkcionalne analize. Barbara Drinovec Drnov sek Obzornik mat. fiz.69 (2022) 1 31 i i \Sega" | 2022/3/23 | 11:33 | page 32 | #1 i i i i i i VESTI Osemindvajseto mednarodno tekmovanje studentov matematike Zaradi razmer je bilo tekmovanje, ki je v preteklosti pogosto potekalo v Blagoevgradu v Bolgariji, lani izvedeno po vsem svetu. Med 2. in 8. avgu- stom so studenti iz celega sveta tekmovali, vsak v svoji dr zavi, nekateri kar doma. Iz Slovenije sta se tekmovanja udele zili dve ekipi. Fakulteto za ma- tematiko in ziko Univerze v Ljubljani so zastopali Luka Horjak iz prvega letnika, Matev z Mi s ci c iz drugega letnika, Andra z Maier in Zan Bajuk iz tretjega letnika ter Daniel Vitas in Tja z Silov sek, ki matematiko studirata cetrto leto. Fakulteto za matematiko, naravoslovje in informacijske tehno- logije Univerze na Primorskem pa so zastopali studenti Dorotea Red zepi in Lazar Markovi c iz prvega letnika, Ajla Sehovi c, Milan Milivoj cevi c in Todor Anti c iz drugega letnika in Besfort Shala, cetrto leto studija. Pravila tek- movanja namre c dolo cajo, da lahko tekmujejo vsi, ki niso starej si od 23 let ter so vklju ceni v studij najve c stiri leta. Prilagojena izvedba je dovoljevala nadzor bodisi zi cno v predavalnici bodisi prek ustreznega nadzornega ra- cunalni skega sistema. Na FMF smo se odlo cili za zi cno prisotnost, tako da je vseh sest tekmovalcev pisalo v predavalnici, na Famnitu pa so studentom omogo cili, da so pisali doma, nadzor pa je bil prek Zooma. Vodji ekip sva bila Gregor Sega in Slobodan Filipovski. V dvodnevnem re sevanju osmih nalog se je pomerilo 589 studentov, kar je najve c do sedaj. Razvr s ceni so bili v 113 ekip, med katerimi je bila najbolj Slika 1. Studenti Fakultete za matematiko in ziko prvi dan tekmovanja. 32 Obzornik mat. fiz.69 (2021) 1 i i \Sega" | 2022/3/23 | 11:33 | page 33 | #2 i i i i i i Osemindvajseto mednarodno tekmovanje študentov matematike Slika 2. Studenti FMF na za cetku drugega tekmovalnega dne. stevilna ekipa studentov brez ekipe. Obi cajno namre c univerzitetno ekipo sestavlja od tri do sest studentov, se pa na tekmovanje lahko prijavi vsak student, tudi ce njegova univerza ne sodeluje. Letos je bilo takih studen- tov kar precej, skoraj sto, in ker mora tudi za njih kdo poskrbeti (nadzor, prito zbe), so bili organizirani v ekipo. V ekipni razvrstitvi so univerze ran- girane po formuli »vsota najbolj sih treh tekmovalcev plus povpre cje vseh «. Kot zanimivost, ekipa studentov brez ekipe je imela tudi (vsaj) tri zelo do- bre tekmovalce, tako da je po omenjeni formuli, kljub kar nekaj studentom z ni clo (in pravzaprav stevilnim, ki so povpre cje zni zevali), dosegla celo trinajsto mesto. Letos so na si tekmovalci dosegli izjemen uspeh. Luka Horjak in Daniel Vitas sta dobila prvo nagrado, vsi drugi tekmovalci s FMF, torej Matev z Mi s ci c, Andra z Maier, Tja z Silov sek in Zan Bajuk ter Besfort Shala so dobili drugo nagrado, Todor Anti c in Dorotea Red zepi pa pohvalo. Ekipno smo dosegli devetnajsto (ekipa Fakultete za matematiko in ziko) ter stiriinosemdeseto mesto (ekipa Famnit). Ker tekmovanje ni potekalo na eni lokaciji, je ves spremljevalni dru zabni program odpadel. Tekmovanje na ta na cin izgubi precej svojega zna caja, po drugi strani pa je tudi vpliv mote cih elementov zmanj san. V dneh, ko so studenti re sevali naloge, se je temperatura v Blagoevgradu dvignila do 38 °C, kar v kombinaciji z neklimatiziranimi prostori lahko pomeni te zavo. Tudi dejstvo, da so ekipe za cenjale pisati ob razli cnih urah, ni bil problem, vsaj zaznaven ne. Na splo sno je bila letos odgovornost studentov na visokem nivoju, kar dokazuje ni c diskvaliciranih (lani jih je bilo nekaj, ob podobnem Obzornik mat. fiz.69 (2021) 1 33 i i \Sega" | 2022/3/23 | 11:33 | page 34 | #3 i i i i i i Vesti Slika 3. Studenti FMF med drugim tekmovalnim dnem. re zimu). Je pa bivanje v razli cnih casovnih pasovih bilo problem za komisijo, ko se je bilo treba uskladiti za ocene z ocenjevalcema z drugih strani planeta { vedno jih je kar nekaj spalo (tako smo morda dobili se prakti cen dokaz, da Zemlja res ni plo s cata). Otvoritvena slovesnost ter kon cna podelitev nagrad sta potekali po sple- tu, posnetka lahko najdete na strani tekmovanja (www.imc-math.org.uk) oziroma na YouTubu. To pa je bilo tudi vse, kar se ti ce dru zabnega zi- vljenja. Namesto da bi studenti v pri cakovanju rezultatov spoznavali druge tekmovalce, igrali nogomet, dru zabne igre, morda sli na bazen ali plezali po okoli skih hrib ckih (kar obi cajno po cnejo v Blagoevgradu), so na rezultate cakali doma. In tokrat so morali cakati kar dolgo, saj so bili tudi clani ko- misije doma in vpeti v normalen ritem zivljenja, namesto da bi cele dneve in no ci posvetili hitremu ocenjevanju izdelkov. Prav tako se nismo mogli izogniti za to leto obi cajnim dogodkom. Ena ekipa, ki je imela nadzor na daljavo, je pisanje tik pred za cetkom premaknila z dopoldneva na popoldan, ker je pri enem od tekmovalcev pri slo do pretrganja elektri cnega kabla. Eden izmed ocenjevalcev je kar naenkrat postal neodziven, naknadno smo ugoto- vili, da zaradi mo cne reakcije po cepljenju. In seveda, sredi ocenjevanja so izdelki postali nedostopni, ker smo presegli dovoljen dnevni promet podat- kov na stre zniku, kar je onemogo cilo oddajo prek obrazca tudi nekaterim studentom (med drugim tudi prej omenjeni ekipi). Oglejmo si se stiri naloge s tekmovanja ter nekaj njihovih re sitev. Pripo- ro cam, da posku sate naloge najprej re siti sami, nato pa pogledate namige in re sitve. 34 Obzornik mat. fiz.69 (2021) 1 i i \Sega" | 2022/3/23 | 11:33 | page 35 | #4 i i i i i i Osemindvajseto mednarodno tekmovanje študentov matematike Slika 4. Ekipa Fakultete za matematiko in ziko po zaklju cku drugega tekmovalnega dne. Pogosto so naloge sestavljene zelo dobro, tako da preverjajo razumevanje snovi in koncepte re sevanja matemati cnih nalog, oziroma ze razumevanje, kaj navodilo naloge sploh pomeni. Taka je bila tudi najla zja naloga obeh dni. Naloga 1. Naj bo A realna n n matrika, za katero velja A 3 = 0. (a) Doka zite, da ena cbo X +AX +XA 2 =A re si enoli cna realna n n matrika X. (b) Izrazite X z A. Re sitev. Navajeni smo, da se enoli cnost dokazuje na na cin, da predpo- stavimo dve re sitvi ter poka zemo, da sta enaki. V tem primeru naj torej poleg matrike X ena cbo re si tudi matrika Y . No, ta pot nas ne privede skoraj nikamor. Tako se za cnemo igrati in osnovno ena cbo mno zimo z raz- li cnimi potencami matrike A, v casih z leve, v casih z desne. Tako dobimo recimo A 2 (X +AX +XA 2 )A 2 =A 2 XA 2 +A 3 XA 2 +A 2 XA 4 =A 2 XA 2 : Upo stevamo seveda, da je A 3 = 0 in zato tudi A 4 =A 5 = 0. Zato je desna stran ena cbe enaka A 2 A A 2 = A 5 = 0, torej smo dobili A 2 XA 2 = 0. Obzornik mat. fiz.69 (2021) 1 35 i i \Sega" | 2022/3/23 | 11:33 | page 36 | #5 i i i i i i Vesti Podobno dobimo A 2 X =A 2 (X +AX +XA 2 ) =A 3 = 0 AXA =A(X +AX +XA 2 )A =A 3 = 0 XA 2 = (X +AX +XA 2 )A 2 =A 3 = 0 AX =A(X +AX +XA 2 ) =A 2 : Sledi X =A AX XA 2 =A A 2 : Videti je, kot da smo re sili to cko (b) naloge, saj imamo X izra zen z A. Vsaj tako je menilo kar precej studentov. Pravzaprav pa smo re sili to cko (a), namre c, predpostavili smo, da obstaja X, ki re si ena cbo, in ugotovili, da bi moral biti oblike X = A A 2 . Ce torej re sitev obstaja, je ena sama. Za to cko (b) moramo le se preveriti, da tako izbran X res ustreza ena cbi, kar enostavno vidimo, saj je res (A A 2 ) +A(A A 2 ) + (A A 2 )A 2 =A: Druga re sitev. Sicer podobna, a le malo druga cna re sitev, najprej pre- oblikuje osnovno ena cbo: X =A AX XA 2 : Sedaj tako izra zen X vstavimo v desno stran ena cbe, upo stevamo A 3 = 0 in nadaljujemo: X =A AX XA 2 =A A(A AX XA 2 ) (A AX XA 2 )A 2 =A (A 2 A 2 X AXA 2 ) (A 3 AXA 2 XA 4 ) =A A 2 +A 2 X + 2AXA 2 =A A 2 +A 2 (A AX XA 2 ) + 2A(A AX XA 2 )A 2 =A A 2 + (A 3 A 3 X A 2 XA 2 ) + 2(A 4 A 2 XA 2 AXA 4 ) =A A 2 3A 2 XA 2 =A A 2 3A 2 (A AX XA 2 )A 2 =A A 2 3(A 5 A 3 XA 2 A 2 XA 4 ) =A A 2 : 36 Obzornik mat. fiz.69 (2021) 1 i i \Sega" | 2022/3/23 | 11:33 | page 37 | #6 i i i i i i Osemindvajseto mednarodno tekmovanje študentov matematike Tudi v tem primeru moramo preveriti, da je tako izra zen X res re sitev osnovne ena cbe. Tretja re sitev. Opazimo, da velja (I A +A 2 ) (I +A) =I. Ce osnovno ena cbo pomno zimo z ( I A +A 2 ) z leve, dobimo X + (I A +A 2 )XA 2 = (I A +A 2 )A =A A 2 : (1) Od tod (z mno zenjem z A 2 z desne) dobimo XA 2 = 0, kar ena cbo (1) spremeni v X =A A 2 . Spet moramo preveriti, da je to res re sitev. Kombinatorika in verjetnost sta eni izmed podro cij, iz katerih so lahko naloge na tem tekmovanju, vendar pa se redko pojavijo. Tokrat je bila v re sevanje ponujena naslednja verjetnostna naloga. Naloga 2. Naj bosta n in k naravni stevili in naj bo a poljubno nenega- tivno celo stevilo. Naklju cno izberemo k-elementno podmno zico X mno zice f1; 2;:::;k +ag tako, da je vsaka k-elementna podmno zica izbrana enako verjetno (torej jo izberemo enakomerno), in podobno (spet enakomerno), neodvisno od izbrane podmno zice X, naklju cno izberemo n-elementno pod- mno zico Y mno zice f1;:::;k +n +ag. Doka zite, da je verjetnost P min(Y )> max(X) neodvisna od izbrane vrednosti parametra a. Re sitev. Najprej opazimo, da je stevilo vseh mo znih izbir podmno zic (X;Y ) enako k+a k k+n+a n . Ce zelimo, da je min( Y )> max(X), izberemon+k stevil izmed n+k+a, k manj sih stevil razglasimo za mno zico X inn ve cjih za Y . Torej je ugodnih izbir za podmno zici X in Y n+k+a n+k . Tako je iskana verjetnost enaka n+k+a n+k k+a k n+k+a n = 1 n+k n (preverimo tako, da binomske koeciente razpi semo in pokraj samo dobljene ulomke). Tako izra cunana verjetnost je neodvisna od a. Druga re sitev. Ce se nekaj da re siti enostavno, se zagotovo da tudi zakomplicirati. Tako je veliko studentov razmi sljalo zaporedno: najprej izberemo stevila v X, kakorkoli ze, nato pa stevila v Y izbiramo izmed tistih, ki so ve cja od najve cjega v X. Torej moramo lo citi primere, koliko je najve cje stevilo v mno zici X. Ce je to stevilo m, potem za X (poleg njega) Obzornik mat. fiz.69 (2021) 1 37 i i \Sega" | 2022/3/23 | 11:33 | page 38 | #7 i i i i i i Vesti izberemo se k 1 stevil izmed stevil od 1 do m 1, za Y pa izberemo n stevil izmed m + 1;m + 2;:::;k +n +a. Torej imamo m 1 k 1 k+n+a m n ugodnih izbir za X in Y , pri katerih je najve cje stevilo v X enako m. Da dobimo vse mo zne ugodne izbire, samo se se stejemo po m: k+a X m=k m 1 k 1 k +n +a m n : Kombinatori cno ze znamo se steti to vsoto, saj pre stevamo vse n +k velike podmno zice mno zice z k +n +a elementi (pri cemer v vsoti lo cimo, katero vrednost zavzame k-to stevilo). Vendar bi v tem primeru razmislek naredili kot v prvi re sitvi. Alternativa je, da se vsote lotimo ra cunsko. Tako sedaj sledijo trije na cini, kako se steti to vsoto. Vse tri so uporabili studenti. Vsi trije so napa cni. Pozoren bralec bo napake zagotovo odkril sam. Prvi na cin. Seveda lahko preverimo, kaj se zgodi pri a = 0. Vsota je enaka le enemu clenu, torej k+a X m=k m 1 k 1 k +n +a m n = k 1 k 1 k +n k n = 1; kar pomeni, da je P min(Y )> max(X) = 1 k+0 k n+k+0 n = 1 n+k n Ker v rezultatu ne nastopa a, je iskana verjetnost neodvisna od a. Drugi na cin. Ce nekaj velja za vse a, je mo zno poskusiti tudi indukcijo. Poskusov na to temo je bilo veliko. Vsem je skupno to, da izraz za a + 1 preoblikujejo (recimo, uporabijo Pascalovo enakost za binomski koecient), nato pa bodisi nekaj spregledajo bodisi nekaj opazijo, kar ne dr zi in kar jih pripelje do zelenega rezultata. Podrobnosti spustimo, podoben sistem re sevanja si oglejmo v naslednjem na cinu. Tretji na cin. Ta je se posebej inovativen. Najprej naredimo malce dru- ga cen razmislek, kako izberemo obe ugodni mno zici. Izbrali bomo k stevil izmed prvihm tern stevil izmed zadnjih k +n+a m, torej je treba se steti k+a X m=k m k k +n +a m n : Stevilni se spomnimo enakosti r X k=0 m k n r k = n +m r ; 38 Obzornik mat. fiz.69 (2021) 1 i i \Sega" | 2022/3/23 | 11:33 | page 39 | #8 i i i i i i Osemindvajseto mednarodno tekmovanje študentov matematike ki je (pri verjetnosti) povezana s hipergeometrijsko porazdelitvijo, ima pa tudi posebno ime: Vandermondeova enakost (uporabljene crke so nerodne, vendar je to to cno oblika, kot je na Wikipediji). Namesto n raje pi simo t m in se stevajmo po j, da dobimo r X j=0 m j t m r j = t r ; sedaj pa lahko preimenujemo spremenljivke in dobimo (m!k +j, r!a, t!k +n +a, se vedno se stevamo po j): a X j=0 k +j j k +n +a (k +j) a j = k +n +a a ; torej smo dobili vsoto a X j=0 k +j j n +a j a j = k +n +a a : Za novo spremenljivko m =j +k dobimo k+a X m=k m m k n +a m +k a m +k = k +n +a a : Oziroma k+a X m=k m k n +a m +k n = k +n +a a : Spet smo pravilno re sili nalogo: ko pokraj samo vse clene, je kon cni rezultat neodvisen od a. Zanimivo, kako se pogosto dve napaki ravno pokraj sata, da dobimo pravi rezultat. Se cetrti na cin. S tem je bilo sploh veliko problemov pri ocenjevanju. Namre c, zelo veliko studentov je zapisalo, da je k+a X m=k m 1 k 1 k +n +a m n = k +n +a a po znani formuli. Kateri, niso zapisali. Komisija se je strinjala, da so verje- tno nekateri studenti res ze sli sali za ustrezno enakost (predlo zen je bil celo Obzornik mat. fiz.69 (2021) 1 39 i i \Sega" | 2022/3/23 | 11:33 | page 40 | #9 i i i i i i Vesti u cbenik kombinatorike, kjer je ustrezna ena cba dokazana na sedmi strani, pred Vandermondovo). Kako lo citi med tistimi, ki to enakost poznajo, in ti- stimi, ki je ne, je ostalo neodgovorjeno vpra sanje. Tako pri vsej objektivnosti ocenjevanja s tremi ocenjevalci vsakega izdelka se vedno ostaja subjektivni del. Naslednja naloga i s ce dobra zaporedja. Naloga 3. Re cemo, da je pozitivno realno stevilo d dobro, ce obstaja zaporedje a 1 ;a 2 ;a 3 ;:::2 (0;d), tako da za vsak n to cke a 1 ;:::;a n razdelijo interval [0;d] na podintervale dol zine najve c 1 =n. Dolo cite sup n d d je dobro o : Re sitev. Naj bo d ? = supfd j d je dobrog. Pokazali bomo, da je d ? = ln(2) : = 0;693 (kar je recimo ve c kot 1 2 , kar je kot zgornjo mejo na slo kar nekaj tekmovalcev). (a) d ? ln 2: Naj bo d dobro stevilo in naj bo a 1 ;a 2 ;::: ustrezno zaporedje za to stevilo. Vemo, da vsako kon cno zaporedje a 1 ;:::;a n razdeli interval [0;d] na n + 1 delov z dol zino najve c 1 =n. Naj bodo 0 ‘ 1 ‘ 2 ‘ n+1 dol zine teh intervalov. Za vsak k = 1;:::;n velja, da ko dodamo naslednjih k clenov zaporedja, torej a n+1 ;:::;a n+k , vsaj n + 1 k intervalov ostane nespremenjenih in imajo torej nespremenjene dol zine. Torej mora veljati ‘ n+1 k 1 n+k , zato pa je d =‘ 1 + +‘ n+1 1 2n + 1 2n 1 + + 1 n : (2) Ko po sljemo n!1, desna stran konvergira k ln(2), od koder dobimo zeleno neenakost d ln(2). (b) d ? ln 2: Najti moramo zaporedje a i , ki ustreza pogoju o delitvi intervala (0;d) in za katerega je supa i = ln 2. Opazimo ln 2 = ln 2n lnn = n X i=1 (ln(n +i) ln(n +i 1)) = n X i=1 ln 1 + 1 n +i 1 : 40 Obzornik mat. fiz.69 (2021) 1 i i \Sega" | 2022/3/23 | 11:33 | page 41 | #10 i i i i i i Osemindvajseto mednarodno tekmovanje študentov matematike Ideja je, da clene vsote ena cimo z dol zinami intervalov, ki jih dobimo, ce v interval (0; ln 2) dodamo n 1 to ck. Seveda velja tudi, da je najve cja dol zina enaka ln(1 + 1 =n), kar je manj od 1=n. Ko v interval dodamo se eno to cko, razbijemo najdalj si interval na dva manj sa kosa, tako da v vsoti clen ln(1 + 1 =n) nadomestimo z vsoto ln(1 + 1=(2n)) in ln(1 + 1=(2n + 1)), saj je ln 1 + 1 2n + ln 1 + 1 2n + 1 = ln 1 + 1 n : Tako dobimo postopek dodajanja to ck. Za n = 2 dobimo prvo to cko, a 1 = ln 3 2 in interval (0; ln 2) razpade na dva intervala, (0; ln 3 2 ) in (ln 3 2 ; ln 2). Vzamemo ve cjega, vanj dodamo to cko tako, da se interval dol zine ln 3 2 razbije na dva kosa, dolga ln 5 4 in ln 6 5 , torej je a 2 = ln 5 4 . Nato inter- val dol zine ln 4 3 razbijemo na dva z dol zinama ln 7 6 in ln 8 7 , tako je recimo a 3 = ln 3 2 + ln 7 6 = ln 7 4 . Na isti na cin dobimo a 4 = ln 9 8 , a 5 = ln 11 8 , a 6 = ln 13 8 , a 7 = ln 15 8 , a 8 = ln 17 16 ;::: . Za konec pa najlep sa naloga. Zakaj najlep sa? Recimo, ker je kratka, z enostavno formulacijo, ki jo lahko razume tudi marsikateri nematematik: Naloga 4. Koliko najve c enotskih vektorjev lahko izberemo v R n , da bosta med poljubnimi tremi izmed njih vsaj dva pravokotna? Kot informacija: z nalogo je povezan Paul Erd} os. Namigi. Re sitev je seveda 2 n. Izberemo lahko dve razli cni ortonormirani bazi, vsaka iman vektorjev, in ko izberemo tri, sta zagotovo dva iz iste baze in torej pravokotna. Naloga je torej pokazati, da ne moremo imeti 2n + 1 takih vektorjev. Ko pogledamo Gramovo matriko teh vektorjev, ugotovimo, da je z njo nekaj narobe. Kaj to cno, lahko poskusite premisliti sami. Se informacija: na tekmovanju je bil dose zen povpre cen rezultat pri prvi nalogi 6,5, pri drugi 4,7, pri tretji 1,1 in pri cetrti 0,04 to cke, od 10 mo znih. Zmagovalec je imel 70 to ck od 80 mo znih, pri cetrti nalogi je dobil 0 to ck. Kogar zanima uradna re sitev zadnje naloge ali pa bi se rad poskusil v re sevanju se kak sne naloge s tekmovanja, si jih lahko ogleda na prej omenjeni internetni strani tekmovanja www.imc-math.org.uk. 28. tekmovanje je bilo kar se ti ce tekmovalnega uspeha za na se studente res popolno, kot je 28 popolno stevilo. Vseeno na podoben uspeh upamo prej kot cez 468 let. Gregor Sega Obzornik mat. fiz.69 (2021) 1 III i i “kolofon” — 2022/3/8 — 10:38 — page 2 — #2 i i i i i i OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO LJUBLJANA, MAREC 2022 Letnik 69, številka 1 ISSN 0473-7466, UDK 51+ 52 + 53 VSEBINA ˇ Clanki Strani Ofiurida ali kaˇ cjerepnica (Marko Razpet in Nada Razpet) . . . . . . . . . . . . . 1–14 Nobelova nagrada 2021 za fiziko (Jože Rakovec in Tomaž Prosen) . . . 15–29 Nove knjige A. Alarcón, F . Forstneriˇ c in F . J. López, Minimal surfaces from a complex analytic viewpoint (Barbara Drinovec Drnovšek) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30–31 Vesti Osemindvajseto mednarodno tekmovanje študentov matematike (Gregor Šega) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32–III CONTENTS Articles Pages Ophiuride (Marko Razpet and Nada Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–14 Nobel Prize 2021 in Physics (Jože Rakovec and Tomaž Prosen) . . . . . . 15–29 New books . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30–31 News . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32–III Na naslovnici: Izrazit 22 stopinjski halo s parhelijem in tangentim lokom, ki je nastal na zgornjem sloju nizkih oblakov pod Krvavcem. (Foto: Janez Bonˇ ca)