Σ Povzetek Članek nagovarja učitelja, naj izkoristi tako GeoGebro kot tudi digitalno fotografijo, da posodobi pouk matematike z rea- lističnimi primeri. Pokaže primer uporabe drsnikov v GeoGe- bri (kot določevalcev parametrov) pri obravnavi vodoravnega meta, ki ga analiziramo s slikami vržene frnikole. Na kratko pa nakaže tudi uporabo parametrov pri iskanju ustrezne de- formirane elipse, ki ustreza obrisu jajca. Ključne besede: parabola, realistična matematika, geogebra, modeliranje Dva parametra? Mala mal'ca! Tine Golež Škofijska klasi čna gimnazija Ljubljana Two parameters? No problem! Σ Abstract This paper advises teachers to use the GeoGebra, as well as di- gital photography, to update the teaching of mathematics with realistic examples. The paper presents an example of the usage of sliders in GeoGebra (as an identifier of parameters) in the treatment of the horizontal throw, which we analyse with the help of photographs of thrown marble. The paper also briefly reveals the usage of parameters in searching for the appropriate deformed ellipse which corresponds to the contour of the egg. Key words: parable, realistic mathematics, geogebra, modelling α Matematika v šoli ∞ XIX. [2013] ∞ 54-60 α Uvod V drugem letniku srednje šole dijaki kar podrobno spoznajo parabolo. Narišejo veli- ko parabol in jih morda še pri fiziki (vodo- ravni met) povežejo z dogajanjem v naravi. A roko na srce; veliko primerov iz naših učbenikov je pravzaprav takih, kot jih naj- demo v stoletja starih učbenikih. Gre za na- loge v stilu: Določi parameter a v paraboli y = 2x 2 – ax + 6 tako, da bo potekala skozi točko (3, -5). So pač tako osnovne in pouč- ne, da bodo še dolgo podane kot primeri za parabole. Smiselno se je vprašati, kako dogajanje iz vsakdanjega sveta povezati z matematiko. Eden izmed takih primerov realistične ma- tematike je odboj žoge od tal [1]. Pokažimo, kako nam pri »matematizaciji« pomaga Ge- oGebra. Dokler namreč parabole le ročno rišemo, je govorjenje o dveh parametrih pre- hud zalogaj. Prav GeoGebra pa nudi prepro- sto seznanitev z vlogo kar dveh parametrov pri modelizaciji opazovanega pojava. Če rav- nokar zapisani stavki zvenijo nekoliko ab- straktno, jih bo nadaljevanje tako prizemlji- lo, da bodo razumljivi tudi za vaše dijake. β Slike Denimo, da nam je nekdo podaril pet fo- tografij. Uporabil je hitroslikovni aparat, ki posname 30 slik na sekundo. Ob tem nam je zastavil vprašanje: določi točko, s katere je v vodoravni smeri poletela frnikola, ki je na fotografijah (slike 1 do 5). Ker nam je darovalec fotografij zaupal, da gre za frnikolo, smemo upor zraka zanema- riti. Očitno je tudi, da je bil fotoaparat med slikanjem na stojalu, hkrati pa goriščna raz- dalja ni bila prav majhna. Če bi bila, bi bila [Slika 1] Frnikola, ki je bila vržena nekje z leve, že leti nad metrom. [Slika 2] Minila je 1/30 sekunde in frnikola se je pomaknila naprej in navzdol. [Slika 3] Frnikola nadaljuje svoj let. 55 Dva parametra? Mala mal'ca! 56 tnega sistema in bi od tam poletela frnikola v vodoravni smeri, bi se koordinati frnikole spreminjali tako: x = v 0 t in Pri tem je v 0 začetna hitrost frnikole in g gravitacijski pospešek. A obstaja resen dvom, da je frnikola začela svoj polet prav tam. Pa prestavimo izhodišče koordinatnega sistema v začetno točko metrskega traku. Tako bo vsaj os x že imela ustrezno merilo (fotogra- fija 6). Fotografijo odpremo v »Slikarju« in jo močno povečamo. Zlahka preberemo, da koordinatno izhodišče ustreza pikslu z ozna- kama (478, 1852), oznaka na metru (40 cm) pa pikslu (1270, 1582). Od tod izračunamo, da en piksel pomeni 0,505 milimetra. Sedaj moramo dopolniti enačbi za lego frnikole v odvisnosti od časa. S slik ni težko ugotoviti, da je bila frnikola v trenutku t = 0 levo od izhodišča. Ta razdalja v smeri x bo parameter p, ki ga moramo odšteti od koor- dinate x. x = v 0 t – p [Slika 4] Let se nadaljuje. [Slika 5] Je že blizu tal. [Slika 6] Izbrali smo koordinatni sistem z izhodi- ščem v začetni točki metra. zgornji in spodnji rob knjige, ki je na tleh, znatno različno dolga. Prav to zagotavlja, da popačenja niso velika in da se bo dalo kar nekaj pomembnih podatkov izmeriti s slik. Da je naloga sploh izvedljiva, nam je na tla postavil še merilni trak. Skoraj točno nad trakom je letela kroglica in tako je za bistre glave dovolj vidnih in skritih podatkov, da odgovorijo na zastavljeno vprašanje. δ Teorija Če bi bilo v levem zgornjem oglišču slike izhodišče desnega kartezičnega koordina- 57 Koordinata y pa je bila v začetnem trenut- ku (in v vseh ostalih, saj se frnikola ni zarila v tla) pozitivna. Ker višino pogosto označu- jemo s črko h, to črko uporabimo tudi tokrat: Iz enačbe za koordinato x izrazimo čas in ga vstavimo v enačbo za koordinato y. Do- bimo: Vse je pripravljeno, sedaj se lotimo foto- grafij. ε Analiza fotografij in izra čun Velika povečava fotografij omogoča, da zares natančno določimo lego frnikole na vsaki sliki. Piksle preračunamo v milimetre oziroma metre. Koordinate frnikole na (pr- vih) petih zaporednih slikah so se spreminja- le tako, kot kaže tabela. Gre za koordinatni sistem, ki je narisan na sliki 1. Upoštevali smo, da je časovni razmik med zaporednima fotografijama 1/30 sekunde, saj je aparat po- snel 30 fotografij na sekundo. t [s] x [m] y [m] 0 0,057 0,394 0,033 0,195 0,350 0,066 0,331 0,295 0,100 0,461 0,228 0,133 0,600 0,151 [Preglednica 1] Tako so se spreminjale koordinate središča frnikole. Trenutek 0 je za nas kar slika 1. Ker gre v vodoravni smeri (smer osi x) za gibanje s konstantno hitrostjo, ki je ob zane- marljivem uporu zraka kar enaka začetni hi- trosti, lahko začetno hitrost izračunamo kot: Upoštevamo, da je gravitacijski pospešek g = 9,81 ms -2 in enačbo (1) zapišemo kot: y = h – 0,296(x + p) 2 (2) Enot nismo pisali. Za vse smo uporabljali osnovne enote, tako da bosta obe koordinati v metrih. Pred nami je torej kvadratna funkcija z dvema parametroma. Prvi parameter (h) po- meni višino izstrelišča, drugi (p) pa odmik izstrelišča v levo glede na izbrano koordina- tno izhodišče. Matematično gledano je to iz- hodišče teme parabole, katere odsek sovpada s tirom gibanja frnikole. Obliko parabole določata gravitacijski pospešek in začetna hitrost. Seveda pa je na ravnini neskončno takih parabol. Z določitvijo parametrov p in h pa bomo iz te družine izbrali tisto parabo- lo, ki bo – v okviru natančnosti ocenjevanja – potekala skozi koordinate, ki označujejo lege frnikole na petih slikah. Točke vnesemo v GeoGebro, kamor tudi prepišemo funkcijo y(x) in definiramo oba parametra kot drsnika. Pri tem ni treba pre- tiravati s širino intervala, saj za začetno vi- šino povsem upravičeno izberemo vrednosti med 0,4 m in enim metrom, za premik v levo pa med 0 in enim metrom ali kaj takega. Z drsnikoma spreminjamo parametra toliko časa, da se parabola lepo prilega izmerjenim koordinatam, ki jih predstavljajo točke od A do E. Izkaže se, da je primeren korak za dr- snik 0,002, kar predstavlja dva milimetra v stvarnem svetu. 58 lo. Prav zato je frnikola letela dokaj točno nad merilnim trakom. Ker imamo na slikah tudi merilni trak, lahko z merjenjem po sliki potr- dimo, da je s parametroma določeno izhodišče poleta res (v okviru razumne natančnosti) ena- ko dejanskemu. Na sliki je ta točka označena s križcem, gre za rob sedala otroškega stola. γ In še po dveh drugih poteh Priznati moramo, da se lahko enačbe (2) oziroma iskanja vrednosti parametrov lo- timo še po drugih poteh. Najprej v enačbo vstavimo koordinati prve točke, potem še druge. Tako dobimo dve enačbi z dvema neznankama. Enačbi med sabo odštejemo in s tem se znebimo parametra h, tako da lahko izračunamo parameter p; nato še iz- računamo parameter h. Tak pristop je pov- sem v redu, če bi imeli popolnoma natančne podatke. Tiste matematične naloge, ki niso iz realnega sveta pač pa iz sveta idej, bi nas po tej poti pripeljale do pravega rezultata. Naše koordinate pa so obremenjene z neko naključno napako odčitavanja. Zato bo pa- rameter p lahko le 0,40 ali celo 0,47, odvisno od tega, kateri dve točki (katera dva para ko- ordinat lege) izberemo. S spreminjanjem pa- rametrov, s katerima smo izbrali najbolj lepo prilegajočo se parabolo, smo na oko poiskali povprečje vseh teh vrednosti. In še druga pot. Tokrat delo prepusti- mo enemu izmed programov, ki išče prila- goditveno funkcijo. V Excelu zahtevamo, da program skozi točke izračuna in nariše »trendno črto« (tako pač Excel poimenuje prilagoditveno krivuljo) v obliki polinoma druge stopnje. Seveda ne smemo zahtevati, da gre polinom skozi koordinatno izhodišče; vsekakor pa želimo, da program izpiše enač- bo, saj bomo iz koeficientov tega polinoma izračunali naša parametra. [Slika 7] S spreminjanjem parametrov smo našli tisto parabolo, ki »ustreza« danim točkam. [Slika 8] Ker smo dobili tudi neodrezano sliko, lahko še neposredno s slike (piksli!) ugotovimo za- četno točko vodoravnega poleta frnikole. Z nastavitvijo parametrov smo ugotovili, da je bilo izhodišče poleta frnikole okoli 43 cm levo od koordinatnega izhodišča in okoli 46 cm nad koordinatnim izhodiščem; koordi- nati začetne lege poleta frnikole sta torej bili: x = -0,43 m in y = 0,46 m. T o sta koordinati te- mena parabole, saj je tir gibanja pri vodorav- nem metu del parabole, ki se začne v temenu. Spodobi se, da rezultat preverimo po ne- odvisni poti. Darovalec slik je mislil tudi na to. V resnici nam je do sedaj podaril pet na levi strani odrezanih slik, da nismo mogli videti, kje je frnikola začela svoj polet. Sedaj nam podarja še eno celotno sliko. Fotograf vseh teh slik je na otroški stol dal dve knjigi in tako s hrbtiščema knjig ustvaril kanal, po katerem je s prstom potisnil frniko- Dva parametra? Mala mal'ca! 59 Ko enačbo (1) preuredimo, dobimo izraz: Sedaj se vidi, da na obliko parabole vpli- vata le gravitacijski pospešek in začetna hi- trost, medtem ko parametra določata premik te parabole iz koordinatnega izhodišča. Vstavimo začetno hitrost in gravitacijski pospešek ter dobimo: y = – 0,296x 2 – 0,592px + (h – 0,296p 2 ) Upoštevamo enačbo prilagoditvene kri- vulje, ki jo je izračunal Excel, kar da: – 0,247 = – 0,592p Od tod sledi, da je p = 0,417. Izračunamo, da je h = 0,460. Enota obeh zapisov je meter. Vrednosti se le malo razlikujeta od tistih, ki smo ju dobili z ročnim prilagajanjem para- metrov. η Dodatna namiga Nalogo lahko zastavimo še drugače. Za- molčimo časovni interval med slikami, hkra- ti pa damo poleg slik 1–5 še sliko 8. V tem primeru iščemo en sam parameter, začetno hitrost. Pri tako zastavljeni nalogi bi izho- dišče koordinatnega sistema postavili v za- četno lego frnikole. Teme parabole bi bilo v koordinatnem izhodišču, iskali bi parabolo, ki poteka skozi dane koordinate. V igri bi bil en parameter, začetna hitrost (gravitacijski pospešek poznamo): V GeoGebri bi imeli en sam drsnik, dr- snik v 0 . Prilagajali bi ga, dokler ne bi točke ležale na paraboli. Zanimiva je tudi naloga, ko fotografijo jaj- ca prilepimo v GeoGebro. To storimo tako, da sta skrajni točki jajca na vodoravni osi ravno nasprotni vrednosti. S tem je določena velika polos, ki je v danem primeru 2,88. Po- tem iščemo parametra B (gre za malo polos elipse na kvadrat) in C. Parameter B »niža« in »viša« elipso, medtem ko parameter C določa nesimetričnost te parabole (slika 10). Snov je primerna za tretji letnik, saj zabavno nadgradi obravnavo elipse. Nalogo pa lahko nadgradimo še z integralom in tako isti pri- mer obravnavamo še v četrtem letniku, ko z vrteninami računamo prostornine teles [2]. Zgornji obris jajca ustreza funkciji: Ko z drsnikoma izberemo ustrezni vredno- sti za parametra, se »deformirana elipsa« lepo ujema z zgornjim obrisom jajca (slika 11). λ Sklep Po vsej verjetnosti kar veliko učiteljev uporablja GeoGebro pri pouku. Morda mnogi tudi pokažejo, kako parametri/koefi- cienti v kvadratni funkciji vplivajo na sliko funkcije, na obliko in lego parabole. [Slika 9] Excel je izpisal enačbo polinoma druge stopnje, ki ustreza danim koordinatam. 60 Pristop, ki je nakazan v tem članku, pa ponuja nekaj bolj svežega. Res je, da se da z različnimi matematičnimi programi skozi izmerke »nafitati« (skoraj) poljubno krivu- ljo, ki ustreza funkciji, v kateri je več para- metrov; hkrati nam tudi izračuna te para- metre. Ker pa se je smiselno najprej snovi lotiti na kvalitativni ravni, pa je prilagajanje parametrov z drsniki dejavnost, ki naj najde svoj prostor v srednjih šolah. Vsekakor velja, da moramo najprej poznati zakonitost, izra- ženo z enačbo (kvadratna funkcija v našem primeru), potem pa z določitvijo parametrov izvemo še kaj zanimivega o pojavu – v našem primeru o štartni legi frnikole. Prava zako- nitost je uspešna tako pri interpolaciji kot ekstrapolaciji, pa še z dodatnimi informaci- jami nam postreže [3]. V navedenem viru tako najdete enačbo, ki opisuje zaustavljanje izstrelka zračne puške v vodi. V igri sta dva parametra, ki ju lahko določimo z dvema dr- snikoma v GeoGebri. Opisani primer je vzorec, ki naj služi kot »pripravljena jed« in tudi kot navdih tako za različice tega primera kot tudi kot zgled za mnoge druge primere, ki še čakajo na vašo domišljijo v neskončnem svetu idej inovativ- nega pouka. [Slika 10] Dva parametra, ki ju spreminjamo z dvema drsnikoma v GeoGebri, deformirata elipso v jajčni obris. Parameter B bo treba še nekoliko pove- čati, medtem ko bo treba parameter C zmanjšati. [Slika 11] Z ročno nastavitvijo parametrov (lahko še povečamo število decimalnih mest) smo dobro »ujeli« zgornji obris jajca. Zlahka mu dodamo še spodnjega. δ Viri in literatura: 1. M. Rugelj in T. Golež, Matematizacija odboja žoge za drugošolce in maturante, Fizika v šoli, 15 (2009), str. 84–91 2. T. Golež, Prizemljitev infinitezimalnega računa, Za- vod sv. Stanislava, 2012 3. G. Bregar in T. Golež, Strel v vodo, Fizika v šoli, 15 (2009), str. 41-46 Dva parametra? Mala mal'ca!