i i “439-Batagelj-koledar” — 2010/5/26 — 6:48 — page 1 — #1 i i i i i i List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN 0351-6652 Letnik 7 (1979/1980) Številka 3 Strani 162–167 Vladimir Batagelj: NA KATERI DAN V TEDNU? Ključne besede: matematika, rekreacijska matematika, koledar, Zellerjev obrazec, matematǐcno razvedrilo. Elektronska verzija: http://www.presek.si/7/439-Batagelj-koledar.pdf c© 1980 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije c© 2010 DMFA – založništvo Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo- ljeno. 16j)1 NA KATERI DAN VTEDNU ? MATEMATiČNO RAZVEDRILO Ali ves te . ka t er eg a dne v t ednu (p onede l j ek . t ore k • ... ): - je bila rojena Nova Jugoslavija ( 29 . 11 . 1943) - j e v drugi sve tovni vojni Nemčij a napadla Sovjets ko zvez o (2 2 . 6. 1941) j e člove k prvi č stopil na Lunina tla (N. Armstrong in E. Aldri n, 21 . 7 . 1969) - bomo praznovali Novo l e t o leta 1985 - ste bili s ami ro jen i Na zastav ljen a vpr ašanja bi najbrž zaman iskali odgovore po e~ cikloped ij ah i n zgodovi ns ki h knj i gah. Veliko bolj bi se r azve- selil i kol edar ja za t isto leto . ki pr ipada d oločenemu datumu . ž a l ti ko led arji ponavadi ni so v e č dostopni ali pa sploh še ni s o na t isnje ni . Ko l e d arj i s o sestav ljeni po natan čno do ločen i h pravil ih ; dnevi v te dnu pa s e pe r iod ič no ponavljajo vsakih s edem dni . če je d~ nes sob ota, j e bila sobota tudi pred enim. dvema. tremi, t edni; in tud i č e z en. dva. tri, . .. t ed ne bo zo pet s obota. Z~ to l ah ko da nemu datumu pri padajoči dan v tednu izračunamo. Najprej dolo č imo število dni. ki lo čijo dani datum od da- naš njeg a dne (ali ne kega drugega - referenčn e ga - datuma, za ka t e r ega poznamo p r ipadajoči dan v tednu) . D o l o či m o ostanek pri del j enju t ega števila s 7 in se na shem i (s l . 1) pom a knem o od r e f e r e n č n emu datumu pripadajočega dneva za toli ko mest, ko- li kor je ostanek v s mer i vrtenja urinega kazal ca . č e je refe- r enč n i dat um pred dani m datumom; s ice r pa v nasprotni s me - 162 SI. 1- ri; dan, kj e r smo s e na shemi ustavili, je pripadajoči dan v tednu. d an emu da turnu Za to, da določimo, koliko dni lo či dva datuma, moramo natanč­ no vedeti , kako je koledar sestav ljen. Osvežimo si spomin! Danes se skoraj povsod na svetu uporablja koledar, ki i ma za osnovo (n avid e zno) giba nje Sonca po ne be sn i kr og l i . Za to po t pot re bu je Sonce 365 d ni 5 ur 48 mi nu t in 46 s ek und . Ko l edar je zbirka prav il, ki pos kušajo vskladit i to ne celošte - vilsko koli čino dni z zapor edjem kol edarskih let - t.j. razdo- bij s ce l im š t ev i l om dn i. Dolgo časa je bil v rabi j utijanski kotedar (uvedel ga je Gaj Jul i j Ce za r v prv em s tol e tj u pred naši m š te t j em) , ki je za Son če v o te t o vze l pr i bl i že k 365 dni i n 6 ur . Vs kla je nost je bi- la zagotovljen a z uvedbo prestopnih tet : trem let om po 365 dni sl edi prestopno leto s 366 dnevi. Leto je prestopno, č e je de- l j i vo s 4 . Ka kor lahko iz ra čunamo, je julijans ki ko l ed a r vsakih 400 let zaosta l za dobre 3 dn i. V 16 . stolet ju je zaostajal že za ce- lih 10 dni ( za 3 dni s o ga popravili ž e v 4. stolet ju). Da bi od pravil za ostane k, je papež Gregor XI I I. le t a 1582 dolo čil, da 4. oktobru s ledi 15. oktober; zaostajanje pa je odpravil t~ ko, da je iz prestopnih let iz ločil tista, ki se kon čujejo z dvema ničlam a in niso deljiv a s 400. Temu koled arju pravimo gregorijanski kotedar . Gregorijans ki ko l ed ar s o t akoj s pr e j e l e 163 ka to l iške dež e le ( Ita li ja, špa nija , Pol j s ka , Fr an c i j a (20. 12. 1582), Avstrija ( 17. 1. 1584 ) ). V pr otestant ski Angliji in njenih kolon ijah s o ga spreje l i še le 14 . se ptem bra 1752 . še kasn eje, po revo lucij i, so 14. februarja 1918 9r e90r ijanski kQ l eda r spr e j e l i v Rus i ji (tako se oblet ni ca Okt obr s ke r ev olu ci - je s edaj pr az nuje 7 . novembr a ) i n v Srbij i 1. fe br uarja 1919 . * Tudi gr egorija nsk i koledar, ko t pokaže račun, ni popo l noma na- tančen . V 400 le ti h pre hit i za skoraj 3 ure ( 2 ur i in 53 mi- nut) , oz i r oma v 3320 letih za ce l da n . Vendar ta na paka ni ma prakt ič neg a pomena . Kole d ar sko le t o se v gre gor ijansk em koledar ju de li na 12 mes e- ce v: janua r, f eb r uar , ma rec, apr i l, maj, junij, ju li j, av gust, september, okto ber, nove mber i n de cem ber , ki ima j o v navad nem le t u zaporedoma po : 31, 28, 31, 30, 3 1, 30, 31, 31, 30, 31, 30 , 31 dni. V prestopnih letih i ma februar 29 dni . Pojem mese - ca se j e r azvil v pr ocesu vs kl a j evanj a Lunskih mesecev (29 ,5 dni) s So nčev i m letom. Po ju li j an s kem koled arju je grego r ijanski koleda r pre vze l tu di se demdnevn i teden, ki so si ga Rimljani sposodili od vzh odni h na rodov . Pri Rimljanih so bi l i posamezn i dnevi v tedn u p os v e č ~ ni Soncu in Luni ter petim, tedaj znanim planetom (Mars , Mer- kur, Jupi ter, Venera i n Sa t urn), ka r se je ohrani lo v ime nih dn i v tednu v večin i romanskih jezik ov . Ve č o t em , predvsem pa o zgo dov ini koledarja, naj demo v Slovenski sto le tni pratiki in v u č benik ih astronom ije . še v e č pa izvemo v knj i g i : S.l. Se l e š n ikov, !storija kalen da rja in hronolog ija, Nauka, Moskva 1977. Ka r smo poveda li, že zadostuje za na š izra čun . Določ i mo npr . dan v tednu, ki pr ipa da datumu 29 . 11. 1943 ! Vemo, da je 19. 8 .1 977 bil pe tek (t .j . referenčni datu m). !z- računajmo koliko dni loč i oba dat uma! V iz ra č un u mor a vk lj uč no vstopat i eden od obeh datumov, ker mora biti za naše namene me d dv ema zapored nima dnevoma raz lika 1 . Med l e t om a 1943 in 1977 je 33 poln ih l et. Od teh jih j e 9 (! ?) prestopnih , kar da * Navedeni so prv i g reg or ijanski da tumi 164 S I. 2 ST O LETNI KO LE DAR Ko t v id imo, je pot do že l ene - ga odgovo ra kar do l ga . Doda- t en pr emis l e k gl ede pr est op- ni h l et j e potr e ben , č e sta da tu ma i z ra z l ičnih stoletij ; natančneje, če je med nj ima 28. f eb ru a r z le t nic o , ki s e k o n č a na dve ni č li . Pog 1e j mo , a l i pri določa n ju d neva morda l e ne obstaj a e nQ sta vnejša pot? V ne kat er ih ko ledarsk i h i zda j ah (n pr. S t a t i s t ičn i kol edar Ju gQ sl av ije , Slo ve nsk a s to le t na pr ati ka , ... ) na j demo poseb ne ta - be l e , t a ko imenov ane stoletne ko l e da r j e ( slo 2), ki nam i s ka- nje precej olajš a jo. Cepr av j e s to letn i ko leda r dober pripomo - ček pri ob iča jnem r a č un a n ju, pa bi ga l e r ed ko kateri prog ra- me r z ves el j em vgr adil v svoj pr ogr am. Pole g t ega dob imo odgo - vo re le za en o ali dv e st ol e t j i . 365 x 33 + 9 = 12054 dn i . Do konc a l et a 1943 man j ka š e en dan v novembr u in 3 1 d ni v decembru ; s kupa j 32 dni . Od z ače tk a l e - ta 1977 ( ki ni pr estop no) do (vklju čno) 19. 8. 1977 je 3 1 + + 28 + 31 + 30 + 31 + 30 + 31 + 19 = 23 1 d ni . Cel otna ra z lik a j e 120 54 + 32 + 23 1 123 17 dni . Os ta ne k pr i del jenj u s 7 ( 123 17 1759 x 7 + 4) j e 4 . Na sh emi mo ramo š t e t i od pe tk a 4 korak e v s me ri nasprotni gi - ba nj u ur inega ka za lca , ke r j e r ef e re n č ni da tum ( 19.8 .1 977) za dani m da tu mom (29. 11. 1943 ) . Ust a v i l i smo se na po- ned e ljku . Dne 29 . 11. 1943 j e bi l poned el je k. Zat o je tol i ko bo l j zani mivo , da j e mogo če prav i la gregor lJan - s kega ko le da r j a i n nje govo zvez o z dnev i v tednu s t r ni t i v ra~ mero ma enost ave n (Ze l lerje v ) ob raze c . Prede n na piše mo obraz ec , d o l o či m o i z da nega gr eg ori jan s keg a datuma 16 5 dan.mesec. leto nekaj količin, ki nastopajo v obrazcu k = dan { mes e c 2 m - mesec + 10 c = d če je mesec > 3 (t.j. po februarju) , če je mesec ali 2 (t. j. januar, febru- ar) . V tem primeru 1eto za 1 zmanjšamo zadn ji dve cifri števila, ki označuje leto število, ki označuje leto brez zadnjih dveh cifer Tako je na prime r za : 29 . 11 . 1943 l. l. 1800 k k 29 , m 1, m 9, c = 19, d = 43 11,c=17, d=99 Po Z e ~ ~e rje vem obraz cu t = k + [ ( 13 x m - 1) 15} + [5 x d14] + [21 x c14] je iskani dan v tednu, določen z ostankom, ki ga dobimo, če t del i mo s 7: O nedelja, 1 .. . ponedeljek, . . . , 6 - sobota Oglati oklepaji v Zellerjevem obrazcu pomenijo operacijo " c e- li de l:" : Tako je npr. [3 , 14] = 3 in [5] = 5 PONEDELJE K NEDELJA PONEDELJE K TOREK SREDA PETE K PRIPADA PRIPADA PRIPADA PRIPADA PRIPADA PRIPADA Po Ze l l er j evem obrazcu dobimo na v sestav ku zastavljena vpraš~ nja naslednje odgovore: DATUMU 29. 11. 1943 DATUMU 22. 6. 1941 DATUMU 21. 7.1969 DATUMU 1. 1. 1985 DATUMU l. 1. 1800 DATUMU 19. 8 . 1977 "Izračun" teh odgovor ov sem prepustil naslednjemu programu, na pisanem v programskem je z i ku Pasca~ . 166 prugram Zellerl Input, o u t p u t ) c v ar - d a n , mesec, l e t o , m, 1 , t : Integer; begin page( output 1; while not e o f do b e g i n -- readln( dan, mesec, let0 ) ; m := (9 + mesec) mod 12 + 1 ; I := l e t 0 - m e 11; t :- dan + ( 1 3 ~ 1 - 1) 5 + 5 * ( 1 mod 100) m4 + 21*(1 100) a 4; write( " O Y , l1 U : l Q , 'OATUMU". dan:4, ".", mesec:3, let0:5. . P R I P R D A " ); case t mod 7 of - 0 : w r i t e l n l UNEDELJAm ); 1 : w r i t e l n ( UPOHEPELJEK" ); 2 : w r i t e l a ( "TOREKU ); 3 : w r i t e l n ( 'SREDA"; 4 : wrjteln( 'EETRTEK" ); 5 : w r i t e l n ( "PETEKn j t 6 i writeln'( nSS603AY ) end - end - end. -