IZ RAZREDA 47 Matematika v šoli, št. 1., letnik 25, 2019 Ploščinsko enaka kolobarja in še kaj dr. Marko Razpet Del ravnine med dvema krožnicama, od katerih je manjša v celo- ti v večji, je krožni kolobar, v nadaljevanju kar kolobar. Če imata obe krožnici isto središče, govorimo o koncentričnem kolobarju, sicer pa o ekscentričnem kolobarju. Če je polmer manjše krožni- ce r 1 , večje pa r 2 , je ploščina kolobarja v obeh primerih enaka p = πr 2 2 − πr 2 2 = π(r 2 2 − r 2 2 ). Slika 1: Stikajoča se koncentrična kolobarja. Denimo, da krožnicama s polmeroma r 1 in r 2 s središčem v točki S pridružimo še krožnico s polmerom r 3 , prav tako s sre- diščem v S (Slika 1). Pri tem velja relacija r 1 < r 2 < r 3 . Zanima nas, kdaj je ploščina kolobarja med prvima dvema krožnicama enaka ploščini kolobarja med zadnjima dvema. To se pravi, da nas zanima, kdaj je oziroma po krajša- nju s π, kdaj je . Zadnji razliki označimo z d, kar pomeni, da sta tedaj ploščini kolobarjev enaki πd. Kvadrati vseh treh polmerov morajo zato sestavljati aritmetično zaporedje z razliko d. To zaporedje lahko zapišemo tudi v obliki . Polmeri krožnic pri izbranem r 2 in d so potem- takem . Naloga bi bila lahko s tem končana, če nas ne bi zanimalo, ali se nemara ne da poiskati takih pozitivnih racionalnih števil r 1 , r 2 , r 3 in takega naravnega števila d, da bo vsak od obeh kolobarjev imel ploščino πd. To pomeni, da moramo poiskati pozitivna racionalna števila r 1 , r 2 , r 3 in naravno število d, za katera veljata enačbi . (1) Po navadi d kar izberemo in iščemo r 1 , r 2 , r 3 . Naloga, rešiti sis- tem (1), je stara že okoli 1000 let. Z njim so se ukvarjali arabski matematiki in Leonardo iz Pise (1170–1250), bolj znan kot Fi- bonacci. Leonardo je nalogo rešil za d = 5: r 1 = 31/12, r 2 = 41/12, r 3 = 49/12. V resnici je rešitev nešteto. Nalogo rešijo na primer tudi kar dobimo s teorijo eliptičnih krivulj, s katerimi so povezani problemi kongruentnih števil. Naravno število d, za katero obstajajo pozitivna racionalna števila r 1 , r 2 , r 3 , ki rešijo sistem (1), imenujemo kongruentno število. Števi- lo 5 je kongruentno. Pierre de Fermat (1601–1665) je dokazal, da število 1 ni kongruentno. Posledično niso kongruentni kvadrati naravnih števil. Če bi namreč d = n 2 bilo kongruentno število za naravno število n > 1, bi sistem imel re- šitev v pozitivnih racionalnih številih r 1 , r 2 , r 3 . Potem bi lahko za- pisali (r 2 /n) 2 − 1 = (r 1 /n) 2 , (r 2 /n) 2 + 1 = (r 3 /n) 2 , kar bi pomenilo, da za pozitivna racionalna števila veljata zvezi . To pa pomeni, da je 1 kongruentno število, kar je protislovno z omenjeno Fermatovo ugotovitvijo. Kvadrati naravnih števil torej niso kongruentna števila. Število 4 ni kongruentno, prav tako ne 2 in 3. Število 5 je najmanj- še kongruentno število. Med 1 in 35 so naslednja kongruent- na števila: 5, 6, 7, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 23, 24, 28, 29, 30, 31, 34. Podobno tudi dokažemo, da je število d = k 2 d 1 , kjer je k > 1 na- ravno število, d 1 pa naravno število brez kvadratnega faktorja, kongruentno, kakor hitro je d 1 kongruentno. Kongruentno šte- vilo brez kvadratnega faktorja imenujemo primitivno kongruent- no število. Število 5 je primitivno kongruentno število, število 20 = 4 · 5 je kongruentno, toda ne primitivno kongruentno. Ugotavljanje, ali je dano število d brez kvadratnega faktorja kon- gruentno, je trd oreh tudi za največje matematike. Znani kriteriji kongruentnosti so prezapleteni, da bi jih tukaj sploh omenjali. Razumljiva pot do kongruentnih števil vodi prek pitagorejskih trikotnikov. To so pravokotni trikotniki s celoštevilskimi stra- nicami a, b, c. Pri tem sta a, b kateti, c pa hipotenuza, tako da velja a 2 + b 2 = c 2 . Dovolj se je omejiti na primitivne pitagorejske trikotnike, pri katerih a, b, c nimajo skupnih faktorjev. Vedno lahko predpostavimo, da je a < b < c. Seveda velja še relacija b − a < c < a + b. Z lahkoto preverimo enakosti c 2 − 2ab = (b − a) 2 , c 2 + 2ab = (a + b) 2 . (2) Sistem (2) primerjamo s sistemom (1) in takoj ugotovimo, da je d = 2ab kongruentno število, če vzamemo r 1 = b − a, r 2 = c, r 3 = a + b. IZ RAZREDA 48 Matematika v šoli, št. 1., letnik 25, 2019 Za najenostavnejši pitagorejski trikotnik s stranicami a = 3, b = 4, c = 5 je r 1 = 1, r 2 = 5, r 3 = 7, d = 24. Ker je d = 24 = 4 · 6, iz 5 2 − 24 = 1 2 , 5 2 + 24 = 7 2 po deljenju s 4 = 2 2 dobimo (5/2) 2 − 6 = (1/2) 2 , (5/2) 2 + 6 = (7/2) 2 . Število 6 je zato primitivno kongruentno. Za pitagorejski trikotnik s stranicami a = 5, b = 12, c = 13 dobi- mo r 1 = 7, r 2 = 13, r 3 = 17, d = 120. Ker je d = 120 = 4 · 30, je 30 primitivno kongruentno število in velja: (13/2) 2 − 30 = (7/2) 2 , (13/2) 2 + 30 = (17/2) 2 . Tako bi lahko nadaljevali s pitagorejskimi trikotniki in našli nova kongruentna števila. Ta pot je sicer preprosta, toda neučinkovita in zamudna. Traja lahko dolgo časa, preden ugotovimo, če ima- mo srečo, ali je število d kongruentno ali ne. Zato matematiki na vse kriplje iščejo metode, ki bi odgovorile na to vprašanje in nam obenem dale racionalna števila r 1 , r 2 , r 3 . Če enačbi v (2) delimo s 4, dobimo: (c/2) 2 − ab/2 = (b/2 − a/2) 2 , (c/2) 2 + ab/2 = (a/2 + b/2) 2 . (3) Enačbi veljata za vsak pravokoten trikotnik. Izraz ab/2 je ploš- čina pravokotnega trikotnika s stranicami a, b, c. Zato se je smiselno vprašati po pravokotnem trikotniku z racionalnimi stranicami a, b, c (a < b < c), katerega ploščina ab/2 je narav- no število n. Če vpeljemo r 1 = b/2 − a/2, r 2 = c/2, r 3 = a/2 + b/2, d = n v (3), dobimo kar pa je ravno sistem enačb (1). T o pa pomeni, da obstaja pravo- koten trikotnik z racionalnimi stranicami in ploščino n takrat in samo takrat, ko je n kongruentno število. Iz znanih r 1 , r 2 , r 3 takoj izračunamo stranice: a = r 3 − r 1 , b = r 1 + r 3 , c = 2r 2 . Za n = 5 dobimo na primer iz r 1 = 31/12, r 2 = 41/12, r 3 = 49/12 stranice a = 3/2, b = 20/3, c = 41/6. Seveda pa to ni edina rešitev. Slika 2: Geometrijska predstavitev. Povezavo med r 1 , r 2 , r 3 in n lahko predstavimo tudi geometrijsko (slika 2). Viri [1] J. H. Coates. (2005). Congruent Number Problem, Pure and Applied Mathematics Quarterly, 1, št. 1, str. 14–27. [2] G. Kramarz. (1986). All Congruent Numbers Less than 2000, Mathematische Annalen, 273, str. 337–340. [3] I. Vidav. (1986). O kongruentnih številih, Obzornik za matematiko in fiziko, 33, št. 1, str. 1–8.